Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn - Bài 2: Cơ bản về ten-sơ - Nguyễn Xuân Thành

103 trang ngocly 2870

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn - Bài 2: Cơ bản về ten-sơ - Nguyễn Xuân Thành", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_phuong_phap_phan_tu_huu_han_bai_2_co_ban_ve_ten_so.pdf

Nội dung text: Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn - Bài 2: Cơ bản về ten-sơ - Nguyễn Xuân Thành

Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi BÀI GIẢNG 2 (cơ sở của phương pháp - phần 1/2) Nguyễn Xuân Thành tkris1004@nuce.edu.vn Bộ môn Cơ học Kết cấu Trường Đại học Xây dựng Ngày 15 tháng 8 năm 2013
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi NỘI DUNG CHÍNH 1 Cơ bản về ten-sơ Sơ lược Quy ước viết Các quy tắc biến đổi các ten-sơ Descartes Các giá trị chính và phương chính Tính toán với ten-sơ 2 Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình cân bằng Navier-Cauchy Phương trình biến dạng - chuyển vị Phương trình ứng suất - biến dạng theo Định luật Hooke
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi NỘI DUNG CHÍNH 1 Cơ bản về ten-sơ Sơ lược Quy ước viết Các quy tắc biến đổi các ten-sơ Descartes Các giá trị chính và phương chính Tính toán với ten-sơ 2 Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình cân bằng Navier-Cauchy Phương trình biến dạng - chuyển vị Phương trình ứng suất - biến dạng theo Định luật Hooke
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi NỘI DUNG CHÍNH 1 Cơ bản về ten-sơ Sơ lược Quy ước viết Các quy tắc biến đổi các ten-sơ Descartes Các giá trị chính và phương chính Tính toán với ten-sơ 2 Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình cân bằng Navier-Cauchy Phương trình biến dạng - chuyển vị Phương trình ứng suất - biến dạng theo Định luật Hooke
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Cơ học chất điểm và cơ học vật thể rắn: véc-tơ OK!! Cơ học vật thể đàn hồi: ma trận OK!! Cơ học môi trường liên tục: các đại lượng vật lý : phức tạp → véc-tơ / ma trận : dùng không thuận tiện Các đại lượng vật lý này là độc lập với bất kỳ một hệ tọa độ cụ thể Đồng thời, chúng lại thường được biểu diễn một cách rất thuận tiện trong một hệ tọa độ thích hợp nào đó Ten-sơ: tổng quát hóa của véc-tơ / ma trận Ten-sơ: thích hợp khi dùng để biểu diễn các đại lượng, quy luật vật lý phức tạp.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Cơ học chất điểm và cơ học vật thể rắn: véc-tơ OK!! Cơ học vật thể đàn hồi: ma trận OK!! Cơ học môi trường liên tục: các đại lượng vật lý : phức tạp → véc-tơ / ma trận : dùng không thuận tiện Các đại lượng vật lý này là độc lập với bất kỳ một hệ tọa độ cụ thể Đồng thời, chúng lại thường được biểu diễn một cách rất thuận tiện trong một hệ tọa độ thích hợp nào đó Ten-sơ: tổng quát hóa của véc-tơ / ma trận Ten-sơ: thích hợp khi dùng để biểu diễn các đại lượng, quy luật vật lý phức tạp.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Cơ học chất điểm và cơ học vật thể rắn: véc-tơ OK!! Cơ học vật thể đàn hồi: ma trận OK!! Cơ học môi trường liên tục: các đại lượng vật lý : phức tạp → véc-tơ / ma trận : dùng không thuận tiện Các đại lượng vật lý này là độc lập với bất kỳ một hệ tọa độ cụ thể Đồng thời, chúng lại thường được biểu diễn một cách rất thuận tiện trong một hệ tọa độ thích hợp nào đó Ten-sơ: tổng quát hóa của véc-tơ / ma trận Ten-sơ: thích hợp khi dùng để biểu diễn các đại lượng, quy luật vật lý phức tạp.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Cơ học chất điểm và cơ học vật thể rắn: véc-tơ OK!! Cơ học vật thể đàn hồi: ma trận OK!! Cơ học môi trường liên tục: các đại lượng vật lý : phức tạp → véc-tơ / ma trận : dùng không thuận tiện Các đại lượng vật lý này là độc lập với bất kỳ một hệ tọa độ cụ thể Đồng thời, chúng lại thường được biểu diễn một cách rất thuận tiện trong một hệ tọa độ thích hợp nào đó Ten-sơ: tổng quát hóa của véc-tơ / ma trận Ten-sơ: thích hợp khi dùng để biểu diễn các đại lượng, quy luật vật lý phức tạp.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Cơ học chất điểm và cơ học vật thể rắn: véc-tơ OK!! Cơ học vật thể đàn hồi: ma trận OK!! Cơ học môi trường liên tục: các đại lượng vật lý : phức tạp → véc-tơ / ma trận : dùng không thuận tiện Các đại lượng vật lý này là độc lập với bất kỳ một hệ tọa độ cụ thể Đồng thời, chúng lại thường được biểu diễn một cách rất thuận tiện trong một hệ tọa độ thích hợp nào đó Ten-sơ: tổng quát hóa của véc-tơ / ma trận Ten-sơ: thích hợp khi dùng để biểu diễn các đại lượng, quy luật vật lý phức tạp.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Cơ học chất điểm và cơ học vật thể rắn: véc-tơ OK!! Cơ học vật thể đàn hồi: ma trận OK!! Cơ học môi trường liên tục: các đại lượng vật lý : phức tạp → véc-tơ / ma trận : dùng không thuận tiện Các đại lượng vật lý này là độc lập với bất kỳ một hệ tọa độ cụ thể Đồng thời, chúng lại thường được biểu diễn một cách rất thuận tiện trong một hệ tọa độ thích hợp nào đó Ten-sơ: tổng quát hóa của véc-tơ / ma trận Ten-sơ: thích hợp khi dùng để biểu diễn các đại lượng, quy luật vật lý phức tạp.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Cơ học chất điểm và cơ học vật thể rắn: véc-tơ OK!! Cơ học vật thể đàn hồi: ma trận OK!! Cơ học môi trường liên tục: các đại lượng vật lý : phức tạp → véc-tơ / ma trận : dùng không thuận tiện Các đại lượng vật lý này là độc lập với bất kỳ một hệ tọa độ cụ thể Đồng thời, chúng lại thường được biểu diễn một cách rất thuận tiện trong một hệ tọa độ thích hợp nào đó Ten-sơ: tổng quát hóa của véc-tơ / ma trận Ten-sơ: thích hợp khi dùng để biểu diễn các đại lượng, quy luật vật lý phức tạp.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Các đặc trưng của ten-sơ Ten-sơ tồn tại độc lập với bất kỳ một hệ quy chiếu nào Nhưng lại có thể được biểu diễn thuận tiện qua việc xác định các thành phần của nó trong một hệ quy chiếu thích hợp nào đó. Hệ quả: Nếu biết các thành phần của một ten-sơ trong một hệ tọa độ, có thể xác định các thành phần của nó trong một hệ tọa độ khác bất kỳ thông qua quy tắc biến đổi ten-sơ. Ưu điểm: gọn, phù hợp với ngôn ngữ máy tính Hạng của ten-sơ (tensor rank) là số các thành phần của một ten-sơ cho trước có trong một không gian chiều. Một ten-sơ bậc có thành phần.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Các đặc trưng của ten-sơ Ten-sơ tồn tại độc lập với bất kỳ một hệ quy chiếu nào Nhưng lại có thể được biểu diễn thuận tiện qua việc xác định các thành phần của nó trong một hệ quy chiếu thích hợp nào đó. Hệ quả: Nếu biết các thành phần của một ten-sơ trong một hệ tọa độ, có thể xác định các thành phần của nó trong một hệ tọa độ khác bất kỳ thông qua quy tắc biến đổi ten-sơ. Ưu điểm: gọn, phù hợp với ngôn ngữ máy tính Hạng của ten-sơ (tensor rank) là số các thành phần của một ten-sơ cho trước có trong một không gian chiều. Một ten-sơ bậc có thành phần.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Các đặc trưng của ten-sơ Ten-sơ tồn tại độc lập với bất kỳ một hệ quy chiếu nào Nhưng lại có thể được biểu diễn thuận tiện qua việc xác định các thành phần của nó trong một hệ quy chiếu thích hợp nào đó. Hệ quả: Nếu biết các thành phần của một ten-sơ trong một hệ tọa độ, có thể xác định các thành phần của nó trong một hệ tọa độ khác bất kỳ thông qua quy tắc biến đổi ten-sơ. Ưu điểm: gọn, phù hợp với ngôn ngữ máy tính Hạng của ten-sơ (tensor rank) là số các thành phần của một ten-sơ cho trước có trong một không gian chiều. Một ten-sơ bậc có thành phần.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Các đặc trưng của ten-sơ Ten-sơ tồn tại độc lập với bất kỳ một hệ quy chiếu nào Nhưng lại có thể được biểu diễn thuận tiện qua việc xác định các thành phần của nó trong một hệ quy chiếu thích hợp nào đó. Hệ quả: Nếu biết các thành phần của một ten-sơ trong một hệ tọa độ, có thể xác định các thành phần của nó trong một hệ tọa độ khác bất kỳ thông qua quy tắc biến đổi ten-sơ. Ưu điểm: gọn, phù hợp với ngôn ngữ máy tính Hạng của ten-sơ (tensor rank) là số các thành phần của một ten-sơ cho trước có trong một không gian chiều. Một ten-sơ bậc có thành phần.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Các đặc trưng của ten-sơ Ten-sơ tồn tại độc lập với bất kỳ một hệ quy chiếu nào Nhưng lại có thể được biểu diễn thuận tiện qua việc xác định các thành phần của nó trong một hệ quy chiếu thích hợp nào đó. Hệ quả: Nếu biết các thành phần của một ten-sơ trong một hệ tọa độ, có thể xác định các thành phần của nó trong một hệ tọa độ khác bất kỳ thông qua quy tắc biến đổi ten-sơ. Ưu điểm: gọn, phù hợp với ngôn ngữ máy tính Hạng của ten-sơ (tensor rank) là số các thành phần của một ten-sơ cho trước có trong một không gian chiều. Một ten-sơ bậc có thành phần.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Các đặc trưng của ten-sơ Trong không gian Euclid ba chiều, số thành phần của một ten-sơ là 3 . Cụ thể: Một ten-sơ bậc không, có 30 = 1 thành phần và được gọi là một vô hướng. Đại lượng được xác định chỉ qua giá trị độ lớn của nó. Chữ cái viết thường. Ten-sơ bậc một, có 31 = 3 thành phần và được gọi là một véc-tơ. Một đoạn thẳng có mũi tên chỉ hướng và tuân theo "cộng véc-tơ". Chữ cái viết đậm. Ten-sơ bậc hai, có 32 = 9 thành phần và thường được biểu diễn bằng một ma trận. Chữ cái viết hoa, đậm. Ten-sơ Descartes: Khi chỉ có các biến đổi từ một hệ tọa độ đồng nhất (ví dụ: hệ tọa độ Descartes) sang một hệ tọa độ đồng nhất khác. Hệ tọa độ Descartes có thể là hệ tọa độ thẳng vuông góc ( 1, 2, 3), hoặc hệ tọa độ cong, như hệ tọa độ trụ (푅, 휃, ), hệ tọa độ cầu (푅, 휃, 휑).
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Các đặc trưng của ten-sơ Trong không gian Euclid ba chiều, số thành phần của một ten-sơ là 3 . Cụ thể: Một ten-sơ bậc không, có 30 = 1 thành phần và được gọi là một vô hướng. Đại lượng được xác định chỉ qua giá trị độ lớn của nó. Chữ cái viết thường. Ten-sơ bậc một, có 31 = 3 thành phần và được gọi là một véc-tơ. Một đoạn thẳng có mũi tên chỉ hướng và tuân theo "cộng véc-tơ". Chữ cái viết đậm. Ten-sơ bậc hai, có 32 = 9 thành phần và thường được biểu diễn bằng một ma trận. Chữ cái viết hoa, đậm. Ten-sơ Descartes: Khi chỉ có các biến đổi từ một hệ tọa độ đồng nhất (ví dụ: hệ tọa độ Descartes) sang một hệ tọa độ đồng nhất khác. Hệ tọa độ Descartes có thể là hệ tọa độ thẳng vuông góc ( 1, 2, 3), hoặc hệ tọa độ cong, như hệ tọa độ trụ (푅, 휃, ), hệ tọa độ cầu (푅, 휃, 휑).
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Các đặc trưng của ten-sơ Trong không gian Euclid ba chiều, số thành phần của một ten-sơ là 3 . Cụ thể: Một ten-sơ bậc không, có 30 = 1 thành phần và được gọi là một vô hướng. Đại lượng được xác định chỉ qua giá trị độ lớn của nó. Chữ cái viết thường. Ten-sơ bậc một, có 31 = 3 thành phần và được gọi là một véc-tơ. Một đoạn thẳng có mũi tên chỉ hướng và tuân theo "cộng véc-tơ". Chữ cái viết đậm. Ten-sơ bậc hai, có 32 = 9 thành phần và thường được biểu diễn bằng một ma trận. Chữ cái viết hoa, đậm. Ten-sơ Descartes: Khi chỉ có các biến đổi từ một hệ tọa độ đồng nhất (ví dụ: hệ tọa độ Descartes) sang một hệ tọa độ đồng nhất khác. Hệ tọa độ Descartes có thể là hệ tọa độ thẳng vuông góc ( 1, 2, 3), hoặc hệ tọa độ cong, như hệ tọa độ trụ (푅, 휃, ), hệ tọa độ cầu (푅, 휃, 휑).
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Các đặc trưng của ten-sơ Trong không gian Euclid ba chiều, số thành phần của một ten-sơ là 3 . Cụ thể: Một ten-sơ bậc không, có 30 = 1 thành phần và được gọi là một vô hướng. Đại lượng được xác định chỉ qua giá trị độ lớn của nó. Chữ cái viết thường. Ten-sơ bậc một, có 31 = 3 thành phần và được gọi là một véc-tơ. Một đoạn thẳng có mũi tên chỉ hướng và tuân theo "cộng véc-tơ". Chữ cái viết đậm. Ten-sơ bậc hai, có 32 = 9 thành phần và thường được biểu diễn bằng một ma trận. Chữ cái viết hoa, đậm. Ten-sơ Descartes: Khi chỉ có các biến đổi từ một hệ tọa độ đồng nhất (ví dụ: hệ tọa độ Descartes) sang một hệ tọa độ đồng nhất khác. Hệ tọa độ Descartes có thể là hệ tọa độ thẳng vuông góc ( 1, 2, 3), hoặc hệ tọa độ cong, như hệ tọa độ trụ (푅, 휃, ), hệ tọa độ cầu (푅, 휃, 휑).
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Các đặc trưng của ten-sơ Trong không gian Euclid ba chiều, số thành phần của một ten-sơ là 3 . Cụ thể: Một ten-sơ bậc không, có 30 = 1 thành phần và được gọi là một vô hướng. Đại lượng được xác định chỉ qua giá trị độ lớn của nó. Chữ cái viết thường. Ten-sơ bậc một, có 31 = 3 thành phần và được gọi là một véc-tơ. Một đoạn thẳng có mũi tên chỉ hướng và tuân theo "cộng véc-tơ". Chữ cái viết đậm. Ten-sơ bậc hai, có 32 = 9 thành phần và thường được biểu diễn bằng một ma trận. Chữ cái viết hoa, đậm. Ten-sơ Descartes: Khi chỉ có các biến đổi từ một hệ tọa độ đồng nhất (ví dụ: hệ tọa độ Descartes) sang một hệ tọa độ đồng nhất khác. Hệ tọa độ Descartes có thể là hệ tọa độ thẳng vuông góc ( 1, 2, 3), hoặc hệ tọa độ cong, như hệ tọa độ trụ (푅, 휃, ), hệ tọa độ cầu (푅, 휃, 휑).
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Viết 푖, 푖 = 1 푛 thay cho 푛 biến số độc lập 1, 2, . . . , 푛 Viết 푖, 푖 = 1 푛 thay cho 푛 biến số độc lập 1, 2, . . . , 푛 Sự lặp lại của một chỉ số (trên hoặc dưới) trong một số hạng thể hiện phép lấy tổng theo chỉ số đó trong miền xác định của chỉ số. Phép tổng được lấy theo chỉ số nào thì chỉ số đó được gọi là chỉ số giả (dummy index) Mặc định, coi miền xác định của các chỉ số giả là các giá trị nguyên từ 1 đến 3.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Viết 푖, 푖 = 1 푛 thay cho 푛 biến số độc lập 1, 2, . . . , 푛 Viết 푖, 푖 = 1 푛 thay cho 푛 biến số độc lập 1, 2, . . . , 푛 Sự lặp lại của một chỉ số (trên hoặc dưới) trong một số hạng thể hiện phép lấy tổng theo chỉ số đó trong miền xác định của chỉ số. Phép tổng được lấy theo chỉ số nào thì chỉ số đó được gọi là chỉ số giả (dummy index) Mặc định, coi miền xác định của các chỉ số giả là các giá trị nguyên từ 1 đến 3.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Viết 푖, 푖 = 1 푛 thay cho 푛 biến số độc lập 1, 2, . . . , 푛 Viết 푖, 푖 = 1 푛 thay cho 푛 biến số độc lập 1, 2, . . . , 푛 Sự lặp lại của một chỉ số (trên hoặc dưới) trong một số hạng thể hiện phép lấy tổng theo chỉ số đó trong miền xác định của chỉ số. Phép tổng được lấy theo chỉ số nào thì chỉ số đó được gọi là chỉ số giả (dummy index) Mặc định, coi miền xác định của các chỉ số giả là các giá trị nguyên từ 1 đến 3.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Viết 푖, 푖 = 1 푛 thay cho 푛 biến số độc lập 1, 2, . . . , 푛 Viết 푖, 푖 = 1 푛 thay cho 푛 biến số độc lập 1, 2, . . . , 푛 Sự lặp lại của một chỉ số (trên hoặc dưới) trong một số hạng thể hiện phép lấy tổng theo chỉ số đó trong miền xác định của chỉ số. Phép tổng được lấy theo chỉ số nào thì chỉ số đó được gọi là chỉ số giả (dummy index) Mặc định, coi miền xác định của các chỉ số giả là các giá trị nguyên từ 1 đến 3.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Viết 푖, 푖 = 1 푛 thay cho 푛 biến số độc lập 1, 2, . . . , 푛 Viết 푖, 푖 = 1 푛 thay cho 푛 biến số độc lập 1, 2, . . . , 푛 Sự lặp lại của một chỉ số (trên hoặc dưới) trong một số hạng thể hiện phép lấy tổng theo chỉ số đó trong miền xác định của chỉ số. Phép tổng được lấy theo chỉ số nào thì chỉ số đó được gọi là chỉ số giả (dummy index) Mặc định, coi miền xác định của các chỉ số giả là các giá trị nguyên từ 1 đến 3.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Phép thu gọn (contraction) chỉ số của ten-sơ Phép thu gọn là việc lấy tổng theo một cặp hai chỉ số giống nhau. Điều này làm giảm bậc của ten-sơ đi hai bậc. Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc hai 푖푗 được (là một ten-sơ bậc không) Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc ba 푖푗 được 푖푙푙 (là một ten-sơ bậc nhất) Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc bốn 푖푗 푙 được 푖푗 (là một ten-sơ bậc hai)
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Phép thu gọn (contraction) chỉ số của ten-sơ Phép thu gọn là việc lấy tổng theo một cặp hai chỉ số giống nhau. Điều này làm giảm bậc của ten-sơ đi hai bậc. Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc hai 푖푗 được (là một ten-sơ bậc không) Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc ba 푖푗 được 푖푙푙 (là một ten-sơ bậc nhất) Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc bốn 푖푗 푙 được 푖푗 (là một ten-sơ bậc hai)
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Phép thu gọn (contraction) chỉ số của ten-sơ Phép thu gọn là việc lấy tổng theo một cặp hai chỉ số giống nhau. Điều này làm giảm bậc của ten-sơ đi hai bậc. Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc hai 푖푗 được (là một ten-sơ bậc không) Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc ba 푖푗 được 푖푙푙 (là một ten-sơ bậc nhất) Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc bốn 푖푗 푙 được 푖푗 (là một ten-sơ bậc hai)
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Phép thu gọn (contraction) chỉ số của ten-sơ Phép thu gọn là việc lấy tổng theo một cặp hai chỉ số giống nhau. Điều này làm giảm bậc của ten-sơ đi hai bậc. Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc hai 푖푗 được (là một ten-sơ bậc không) Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc ba 푖푗 được 푖푙푙 (là một ten-sơ bậc nhất) Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc bốn 푖푗 푙 được 푖푗 (là một ten-sơ bậc hai)
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Phép thu gọn (contraction) chỉ số của ten-sơ Phép thu gọn là việc lấy tổng theo một cặp hai chỉ số giống nhau. Điều này làm giảm bậc của ten-sơ đi hai bậc. Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc hai 푖푗 được (là một ten-sơ bậc không) Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc ba 푖푗 được 푖푙푙 (là một ten-sơ bậc nhất) Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc bốn 푖푗 푙 được 푖푗 (là một ten-sơ bậc hai)
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Quy ước viết đạo hàm với dấu phẩy Một dấu phẩy viết ở dưới được theo sau bởi một chỉ số dưới 푖 thể hiện phép lấy đạo hàm riêng theo biến/tọa độ 푖: 2 휕휑 휕 푖 휕 푖푗 휑, = ; 푖,푗 = ; 푖푗, 푙 = 휕 휕 푗 휕 휕 푙 Nếu 푖 vẫn còn là chỉ số tự do, bậc của ten-sơ kết quả sẽ cao hơn một bậc. 휕 푗 푗,푖 = 휕 푖 Nếu 푖 là chỉ số giả, bậc của ten-sơ kết quả sẽ thấp hơn một bậc. 휕 휕 1 휕 2 휕 푛 , = = + + ··· + 휕 휕 1 휕 2 휕 푛
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Quy ước viết đạo hàm với dấu phẩy Một dấu phẩy viết ở dưới được theo sau bởi một chỉ số dưới 푖 thể hiện phép lấy đạo hàm riêng theo biến/tọa độ 푖: 2 휕휑 휕 푖 휕 푖푗 휑, = ; 푖,푗 = ; 푖푗, 푙 = 휕 휕 푗 휕 휕 푙 Nếu 푖 vẫn còn là chỉ số tự do, bậc của ten-sơ kết quả sẽ cao hơn một bậc. 휕 푗 푗,푖 = 휕 푖 Nếu 푖 là chỉ số giả, bậc của ten-sơ kết quả sẽ thấp hơn một bậc. 휕 휕 1 휕 2 휕 푛 , = = + + ··· + 휕 휕 1 휕 2 휕 푛
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Quy ước viết đạo hàm với dấu phẩy Một dấu phẩy viết ở dưới được theo sau bởi một chỉ số dưới 푖 thể hiện phép lấy đạo hàm riêng theo biến/tọa độ 푖: 2 휕휑 휕 푖 휕 푖푗 휑, = ; 푖,푗 = ; 푖푗, 푙 = 휕 휕 푗 휕 휕 푙 Nếu 푖 vẫn còn là chỉ số tự do, bậc của ten-sơ kết quả sẽ cao hơn một bậc. 휕 푗 푗,푖 = 휕 푖 Nếu 푖 là chỉ số giả, bậc của ten-sơ kết quả sẽ thấp hơn một bậc. 휕 휕 1 휕 2 휕 푛 , = = + + ··· + 휕 휕 1 휕 2 휕 푛
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Ví dụ 푖 Viết 푖 = tương đương với việc viết 1 2 3 1 + 2 + 3 = là phương trình của một mặt phẳng trong không gian 3 chiều 1, 2, 3. Véc-tơ đơn vị ν trong không gian Euclid ba chiều với hệ tọa độ Descartes x, y, z có các cô-sin chỉ phương được định nghĩa như sau: α1 = cos (ν, x), α2 = cos (ν, y), α3 = cos (ν, z) với (ν, x) là góc giữa véc-tơ ν và trục x, v.v. Khi đó: α푖α푖 = 1.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Ví dụ 푖 Viết 푖 = tương đương với việc viết 1 2 3 1 + 2 + 3 = là phương trình của một mặt phẳng trong không gian 3 chiều 1, 2, 3. Véc-tơ đơn vị ν trong không gian Euclid ba chiều với hệ tọa độ Descartes x, y, z có các cô-sin chỉ phương được định nghĩa như sau: α1 = cos (ν, x), α2 = cos (ν, y), α3 = cos (ν, z) với (ν, x) là góc giữa véc-tơ ν và trục x, v.v. Khi đó: α푖α푖 = 1.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Ví dụ Phân tố đoạn thẳng trong không gian 3 chiều Euclid với hệ tọa độ Descartes x, y, z có chiều dài hình chiếu lên các trục này tương ứng là , và , có chiều dài 푠: 2 푖 푗 푠 = 훿푖푗 trong đó 훿푖푗 là Kronecker delta được định nghĩa như sau: {︃ 훿11 = 훿22 = 훿33 = 1 훿12 = 훿21 = 훿13 = 훿31 = 훿23 = 훿32 = 0 và 1 = , 2 = và 3 = ;
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Ví dụ ⎡ ⎤ 11 12 13 Định thức ma trận det ⎣ 21 22 23⎦ được viết là 31 32 33 | 푖푗| = 푒 푠푡 1 푠2 푡3 trong đó 푒 푠푡 là toán tử vòng hoán vị: ⎧ 푒 = 푒 = 푒 = 1 ⎨⎪ 123 231 312 푒213 = 푒321 = 푒132 = −1 ⎪ ⎩푒111 = 푒222 = 푒333 = ··· = 푒223 = 푒331 = 푒332 = 0 Quan hệ giữa Kronecker delta và Toán tử vòng hoán vị 푒푖푗 푒푖푠푡 = 훿푗푠훿 푡 − 훿푗푡훿 푠
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Ví dụ Vi phân của hàm ( 1, 2, . . . , 푛) được viết: 휕 = 푖, 푖 = 1 푛 휕 푖 Cho véc-tơ x = ( 1, 2, 3) và y = ( 1, 2, 3) trong hệ tọa độ Descartes. Tích vô hướng của hai véc-tơ như sau: = x · y = 푖 푖 Tích có hướng của hai véc-tơ như sau: z = x × y = 푒푖푗 푖 푗e trong đó e là véc-tơ cơ sở thứ .
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Ví dụ Vi phân của hàm ( 1, 2, . . . , 푛) được viết: 휕 = 푖, 푖 = 1 푛 휕 푖 Cho véc-tơ x = ( 1, 2, 3) và y = ( 1, 2, 3) trong hệ tọa độ Descartes. Tích vô hướng của hai véc-tơ như sau: = x · y = 푖 푖 Tích có hướng của hai véc-tơ như sau: z = x × y = 푒푖푗 푖 푗e trong đó e là véc-tơ cơ sở thứ .
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các quy tắc biến đổi các ten-sơ Descartes Xét điểm 푃 được biểu diễn bởi hai hệ tọa độ Descartes vuông góc: x = 푖e푖 = ¯푗e¯푗 Các véc-tơ cơ sở của hai hệ tọa độ này là e và e¯ . Giả thiết gốc tọa độ của hai hệ tọa độ này trùng nhau. Do đó: e¯ · ( 푖e푖) = e¯ · (¯ 푗e¯푗) 푖(e¯ · e푖) = ¯푗훿 푗 = ¯ Do e푖 và e¯ là các véc-tơ đơn vị, nên: e¯ · e푖 = (1)(1) cos (e¯ , e푖) = 푅 푖
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các quy tắc biến đổi các ten-sơ Descartes Như vậy, phép chuyển trục tọa độ đối với các ten-sơ bậc nhất (các véc-tơ) là: ¯ = 푅 푖 푖 Phép chuyển ngược trục tọa độ cho các ten-sơ bậc nhất: làm tương tự Nhân vô hướng hai vế của đẳng thức cuối trong phương trình xuất phát với véc-tơ e , có: e · ( 푖e푖) = e · (¯ 푗e¯푗) Sau khi khai triển, ta được: 푖훿 푖 = ¯푗(x · e¯푗) Như vậy, phép chuyển ngược trục tọa độ cho các ten-sơ bậc nhất (các véc-tơ) là: = 푅푗 ¯푗
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các quy tắc biến đổi các ten-sơ Descartes Như vậy, phép chuyển trục tọa độ đối với các ten-sơ bậc nhất (các véc-tơ) là: ¯ = 푅 푖 푖 Phép chuyển ngược trục tọa độ cho các ten-sơ bậc nhất: làm tương tự Nhân vô hướng hai vế của đẳng thức cuối trong phương trình xuất phát với véc-tơ e , có: e · ( 푖e푖) = e · (¯ 푗e¯푗) Sau khi khai triển, ta được: 푖훿 푖 = ¯푗(x · e¯푗) Như vậy, phép chuyển ngược trục tọa độ cho các ten-sơ bậc nhất (các véc-tơ) là: = 푅푗 ¯푗
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các quy tắc biến đổi các ten-sơ Descartes Như vậy, phép chuyển trục tọa độ đối với các ten-sơ bậc nhất (các véc-tơ) là: ¯ = 푅 푖 푖 Phép chuyển ngược trục tọa độ cho các ten-sơ bậc nhất: làm tương tự Nhân vô hướng hai vế của đẳng thức cuối trong phương trình xuất phát với véc-tơ e , có: e · ( 푖e푖) = e · (¯ 푗e¯푗) Sau khi khai triển, ta được: 푖훿 푖 = ¯푗(x · e¯푗) Như vậy, phép chuyển ngược trục tọa độ cho các ten-sơ bậc nhất (các véc-tơ) là: = 푅푗 ¯푗
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các quy tắc biến đổi các ten-sơ Descartes Tính trực giao của ten-sơ cô-sin chỉ phương Đạo hàm phương trình () theo 푖, được: 휕 ¯ 휕 푗 = 푅 푗 = 푅 푗훿푗푖 = 푅 푖 휕 푖 휕 푖 Tiếp theo, đạo hàm phương trình () theo ¯ , được: 휕 휕 ¯푗 = 푅푗 = 푅푗 훿푗 = 푅 휕 ¯ 휕 ¯ 휕 휕 휕 ¯ Từ đó: = 훿 푖 = = 푅 푅 푖 휕 푖 휕 ¯ 휕 푖 hay: I = R R Vậy: R là một ten-sơ trực giao. Phép biến đổi tuyến tính ở trên là phép biến đổi trực giao.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các quy tắc biến đổi các ten-sơ Descartes Quy tắc biến đổi cho ten-sơ Descartes bậc hai Gọi S là một ten-sơ Descartes bậc hai và đặt: Trong hệ tọa độ thứ nhất: u = Sv Trong hệ tọa độ thứ hai: u¯ = S¯v¯ Thay thế u¯ = Ru và v¯ = Rv vào ta có: Ru = SRv¯ Nhưng từ phương trình () ta cũng có: Ru = RSv Suy ra: RSv = SRv¯ Do v là một véc-tơ bất kỳ và R là một ten-sơ trực giao: S¯ = RSR hay: 푆¯푖푗 = 푅푖 푅푗푙푆 푙 Cũng theo cách tương tự, có: S = R SR¯ hay: 푆푖푗 = 푅 푖푅푛푗푆 푛
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các quy tắc biến đổi các ten-sơ Descartes Quy tắc biến đổi cho ten-sơ Descartes bậc hai Gọi S là một ten-sơ Descartes bậc hai và đặt: Trong hệ tọa độ thứ nhất: u = Sv Trong hệ tọa độ thứ hai: u¯ = S¯v¯ Thay thế u¯ = Ru và v¯ = Rv vào ta có: Ru = SRv¯ Nhưng từ phương trình () ta cũng có: Ru = RSv Suy ra: RSv = SRv¯ Do v là một véc-tơ bất kỳ và R là một ten-sơ trực giao: S¯ = RSR hay: 푆¯푖푗 = 푅푖 푅푗푙푆 푙 Cũng theo cách tương tự, có: S = R SR¯ hay: 푆푖푗 = 푅 푖푅푛푗푆 푛
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các quy tắc biến đổi các ten-sơ Descartes Quy tắc biến đổi cho ten-sơ Descartes bậc hai Gọi S là một ten-sơ Descartes bậc hai và đặt: Trong hệ tọa độ thứ nhất: u = Sv Trong hệ tọa độ thứ hai: u¯ = S¯v¯ Thay thế u¯ = Ru và v¯ = Rv vào ta có: Ru = SRv¯ Nhưng từ phương trình () ta cũng có: Ru = RSv Suy ra: RSv = SRv¯ Do v là một véc-tơ bất kỳ và R là một ten-sơ trực giao: S¯ = RSR hay: 푆¯푖푗 = 푅푖 푅푗푙푆 푙 Cũng theo cách tương tự, có: S = R SR¯ hay: 푆푖푗 = 푅 푖푅푛푗푆 푛
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các quy tắc biến đổi các ten-sơ Descartes Quy tắc biến đổi cho ten-sơ Descartes bậc hai Gọi S là một ten-sơ Descartes bậc hai và đặt: Trong hệ tọa độ thứ nhất: u = Sv Trong hệ tọa độ thứ hai: u¯ = S¯v¯ Thay thế u¯ = Ru và v¯ = Rv vào ta có: Ru = SRv¯ Nhưng từ phương trình () ta cũng có: Ru = RSv Suy ra: RSv = SRv¯ Do v là một véc-tơ bất kỳ và R là một ten-sơ trực giao: S¯ = RSR hay: 푆¯푖푗 = 푅푖 푅푗푙푆 푙 Cũng theo cách tương tự, có: S = R SR¯ hay: 푆푖푗 = 푅 푖푅푛푗푆 푛
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các quy tắc biến đổi các ten-sơ Descartes Quy tắc biến đổi cho ten-sơ Descartes bậc hai Gọi S là một ten-sơ Descartes bậc hai và đặt: Trong hệ tọa độ thứ nhất: u = Sv Trong hệ tọa độ thứ hai: u¯ = S¯v¯ Thay thế u¯ = Ru và v¯ = Rv vào ta có: Ru = SRv¯ Nhưng từ phương trình () ta cũng có: Ru = RSv Suy ra: RSv = SRv¯ Do v là một véc-tơ bất kỳ và R là một ten-sơ trực giao: S¯ = RSR hay: 푆¯푖푗 = 푅푖 푅푗푙푆 푙 Cũng theo cách tương tự, có: S = R SR¯ hay: 푆푖푗 = 푅 푖푅푛푗푆 푛
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các quy tắc biến đổi các ten-sơ Descartes Quy tắc biến đổi cho ten-sơ Descartes bậc hai Gọi S là một ten-sơ Descartes bậc hai và đặt: Trong hệ tọa độ thứ nhất: u = Sv Trong hệ tọa độ thứ hai: u¯ = S¯v¯ Thay thế u¯ = Ru và v¯ = Rv vào ta có: Ru = SRv¯ Nhưng từ phương trình () ta cũng có: Ru = RSv Suy ra: RSv = SRv¯ Do v là một véc-tơ bất kỳ và R là một ten-sơ trực giao: S¯ = RSR hay: 푆¯푖푗 = 푅푖 푅푗푙푆 푙 Cũng theo cách tương tự, có: S = R SR¯ hay: 푆푖푗 = 푅 푖푅푛푗푆 푛
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các quy tắc biến đổi các ten-sơ Descartes Quy tắc biến đổi cho ten-sơ Descartes bậc hai Gọi S là một ten-sơ Descartes bậc hai và đặt: Trong hệ tọa độ thứ nhất: u = Sv Trong hệ tọa độ thứ hai: u¯ = S¯v¯ Thay thế u¯ = Ru và v¯ = Rv vào ta có: Ru = SRv¯ Nhưng từ phương trình () ta cũng có: Ru = RSv Suy ra: RSv = SRv¯ Do v là một véc-tơ bất kỳ và R là một ten-sơ trực giao: S¯ = RSR hay: 푆¯푖푗 = 푅푖 푅푗푙푆 푙 Cũng theo cách tương tự, có: S = R SR¯ hay: 푆푖푗 = 푅 푖푅푛푗푆 푛
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các quy tắc biến đổi các ten-sơ Descartes Quy tắc biến đổi cho ten-sơ Descartes bậc hai Gọi S là một ten-sơ Descartes bậc hai và đặt: Trong hệ tọa độ thứ nhất: u = Sv Trong hệ tọa độ thứ hai: u¯ = S¯v¯ Thay thế u¯ = Ru và v¯ = Rv vào ta có: Ru = SRv¯ Nhưng từ phương trình () ta cũng có: Ru = RSv Suy ra: RSv = SRv¯ Do v là một véc-tơ bất kỳ và R là một ten-sơ trực giao: S¯ = RSR hay: 푆¯푖푗 = 푅푖 푅푗푙푆 푙 Cũng theo cách tương tự, có: S = R SR¯ hay: 푆푖푗 = 푅 푖푅푛푗푆 푛
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các giá trị chính và phương chính Trong khóa học PP PTHH này, chúng ta chỉ xét các ten-sơ bậc hai đối xứng với các thành phần là các số thực. Với mọi ten-sơ đối xứng A, được xác định tại một điểm nào đó trong không gian, luôn có một véc-tơ v tương ứng với một phương véc-tơ pháp tuyến đơn vị n được cho bởi: v = An Nếu v song song với n thì: Có bài toán trị riêng: v = An = λn hay: 푖푗푛푗 = λ푛푖 Phương 푛푖 được gọi là phương chính, trục chính, hoặc là véc-tơ riêng của A.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các giá trị chính và phương chính Trong khóa học PP PTHH này, chúng ta chỉ xét các ten-sơ bậc hai đối xứng với các thành phần là các số thực. Với mọi ten-sơ đối xứng A, được xác định tại một điểm nào đó trong không gian, luôn có một véc-tơ v tương ứng với một phương véc-tơ pháp tuyến đơn vị n được cho bởi: v = An Nếu v song song với n thì: Có bài toán trị riêng: v = An = λn hay: 푖푗푛푗 = λ푛푖 Phương 푛푖 được gọi là phương chính, trục chính, hoặc là véc-tơ riêng của A.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các giá trị chính và phương chính Trong khóa học PP PTHH này, chúng ta chỉ xét các ten-sơ bậc hai đối xứng với các thành phần là các số thực. Với mọi ten-sơ đối xứng A, được xác định tại một điểm nào đó trong không gian, luôn có một véc-tơ v tương ứng với một phương véc-tơ pháp tuyến đơn vị n được cho bởi: v = An Nếu v song song với n thì: Có bài toán trị riêng: v = An = λn hay: 푖푗푛푗 = λ푛푖 Phương 푛푖 được gọi là phương chính, trục chính, hoặc là véc-tơ riêng của A.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các giá trị chính và phương chính Trong khóa học PP PTHH này, chúng ta chỉ xét các ten-sơ bậc hai đối xứng với các thành phần là các số thực. Với mọi ten-sơ đối xứng A, được xác định tại một điểm nào đó trong không gian, luôn có một véc-tơ v tương ứng với một phương véc-tơ pháp tuyến đơn vị n được cho bởi: v = An Nếu v song song với n thì: Có bài toán trị riêng: v = An = λn hay: 푖푗푛푗 = λ푛푖 Phương 푛푖 được gọi là phương chính, trục chính, hoặc là véc-tơ riêng của A.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các giá trị chính và phương chính Trong khóa học PP PTHH này, chúng ta chỉ xét các ten-sơ bậc hai đối xứng với các thành phần là các số thực. Với mọi ten-sơ đối xứng A, được xác định tại một điểm nào đó trong không gian, luôn có một véc-tơ v tương ứng với một phương véc-tơ pháp tuyến đơn vị n được cho bởi: v = An Nếu v song song với n thì: Có bài toán trị riêng: v = An = λn hay: 푖푗푛푗 = λ푛푖 Phương 푛푖 được gọi là phương chính, trục chính, hoặc là véc-tơ riêng của A.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các giá trị chính và phương chính Trong khóa học PP PTHH này, chúng ta chỉ xét các ten-sơ bậc hai đối xứng với các thành phần là các số thực. Với mọi ten-sơ đối xứng A, được xác định tại một điểm nào đó trong không gian, luôn có một véc-tơ v tương ứng với một phương véc-tơ pháp tuyến đơn vị n được cho bởi: v = An Nếu v song song với n thì: Có bài toán trị riêng: v = An = λn hay: 푖푗푛푗 = λ푛푖 Phương 푛푖 được gọi là phương chính, trục chính, hoặc là véc-tơ riêng của A.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các giá trị chính và phương chính Thay quan hệ 푛푖 = 훿푖푗푛푗 vào phương trình trên, có phương trình đặc trưng của A: ( 푖푗 − 휆훿푖푗)푛푗 = 0 Để tồn tại nghiệm không tầm thường thì: | 푖푗 − 휆훿푖푗| = 0 Chú ý đến tính chất đối xứng của A, có: ⎡ ⎤ 11 − 휆 12 13 det ⎣ 12 22 − 휆 23 ⎦ = 0 13 23 33 − 휆 ⎧˜ ⎪ 1 = 푡 (A) = 11 + 22 + 33 ⎨⎪ 1 Ký hiệu các bất biến: ˜ = ( − ) 2 2 푖푖 푗푗 푖푗 푖푗 ⎪ ⎩ ˜3 = det(A)
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các giá trị chính và phương chính Thay quan hệ 푛푖 = 훿푖푗푛푗 vào phương trình trên, có phương trình đặc trưng của A: ( 푖푗 − 휆훿푖푗)푛푗 = 0 Để tồn tại nghiệm không tầm thường thì: | 푖푗 − 휆훿푖푗| = 0 Chú ý đến tính chất đối xứng của A, có: ⎡ ⎤ 11 − 휆 12 13 det ⎣ 12 22 − 휆 23 ⎦ = 0 13 23 33 − 휆 ⎧˜ ⎪ 1 = 푡 (A) = 11 + 22 + 33 ⎨⎪ 1 Ký hiệu các bất biến: ˜ = ( − ) 2 2 푖푖 푗푗 푖푗 푖푗 ⎪ ⎩ ˜3 = det(A)
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các giá trị chính và phương chính Thay quan hệ 푛푖 = 훿푖푗푛푗 vào phương trình trên, có phương trình đặc trưng của A: ( 푖푗 − 휆훿푖푗)푛푗 = 0 Để tồn tại nghiệm không tầm thường thì: | 푖푗 − 휆훿푖푗| = 0 Chú ý đến tính chất đối xứng của A, có: ⎡ ⎤ 11 − 휆 12 13 det ⎣ 12 22 − 휆 23 ⎦ = 0 13 23 33 − 휆 ⎧˜ ⎪ 1 = 푡 (A) = 11 + 22 + 33 ⎨⎪ 1 Ký hiệu các bất biến: ˜ = ( − ) 2 2 푖푖 푗푗 푖푗 푖푗 ⎪ ⎩ ˜3 = det(A)
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các giá trị chính và phương chính Thay quan hệ 푛푖 = 훿푖푗푛푗 vào phương trình trên, có phương trình đặc trưng của A: ( 푖푗 − 휆훿푖푗)푛푗 = 0 Để tồn tại nghiệm không tầm thường thì: | 푖푗 − 휆훿푖푗| = 0 Chú ý đến tính chất đối xứng của A, có: ⎡ ⎤ 11 − 휆 12 13 det ⎣ 12 22 − 휆 23 ⎦ = 0 13 23 33 − 휆 ⎧˜ ⎪ 1 = 푡 (A) = 11 + 22 + 33 ⎨⎪ 1 Ký hiệu các bất biến: ˜ = ( − ) 2 2 푖푖 푗푗 푖푗 푖푗 ⎪ ⎩ ˜3 = det(A)
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các giá trị chính và phương chính Khi đó, có đa thức đặc trưng của A: 3 2 휆 − ˜1휆 − ˜2휆 − ˜3 = 0 Ba nghiệm 휆(푖), 푖 = 1, 2, 3 của đa thức đặc trưng được gọi là các giá trị riêng hoặc các giá trị chính của A. Tương ứng với mỗi giá trị riêng 휆(푖) là một véc-tơ riêng n(푖). Với một ten-sơ đối xứng có các thành phần thực, các giá trị riêng cũng là các số thực. Nếu ba giá trị riêng khác nhau từng đôi một, thì ba véc-tơ riêng sẽ trực giao từng đôi một. Khi được biểu diễn theo các trục chính, A sẽ có dạng đường chéo: ⎡ ⎤ 휆(1) 0 0 ⎢ (2) ⎥ ⎣ 0 휆 0 ⎦ 0 0 휆(3)
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các giá trị chính và phương chính Khi đó, có đa thức đặc trưng của A: 3 2 휆 − ˜1휆 − ˜2휆 − ˜3 = 0 Ba nghiệm 휆(푖), 푖 = 1, 2, 3 của đa thức đặc trưng được gọi là các giá trị riêng hoặc các giá trị chính của A. Tương ứng với mỗi giá trị riêng 휆(푖) là một véc-tơ riêng n(푖). Với một ten-sơ đối xứng có các thành phần thực, các giá trị riêng cũng là các số thực. Nếu ba giá trị riêng khác nhau từng đôi một, thì ba véc-tơ riêng sẽ trực giao từng đôi một. Khi được biểu diễn theo các trục chính, A sẽ có dạng đường chéo: ⎡ ⎤ 휆(1) 0 0 ⎢ (2) ⎥ ⎣ 0 휆 0 ⎦ 0 0 휆(3)
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các giá trị chính và phương chính Khi đó, có đa thức đặc trưng của A: 3 2 휆 − ˜1휆 − ˜2휆 − ˜3 = 0 Ba nghiệm 휆(푖), 푖 = 1, 2, 3 của đa thức đặc trưng được gọi là các giá trị riêng hoặc các giá trị chính của A. Tương ứng với mỗi giá trị riêng 휆(푖) là một véc-tơ riêng n(푖). Với một ten-sơ đối xứng có các thành phần thực, các giá trị riêng cũng là các số thực. Nếu ba giá trị riêng khác nhau từng đôi một, thì ba véc-tơ riêng sẽ trực giao từng đôi một. Khi được biểu diễn theo các trục chính, A sẽ có dạng đường chéo: ⎡ ⎤ 휆(1) 0 0 ⎢ (2) ⎥ ⎣ 0 휆 0 ⎦ 0 0 휆(3)
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các giá trị chính và phương chính Khi đó, có đa thức đặc trưng của A: 3 2 휆 − ˜1휆 − ˜2휆 − ˜3 = 0 Ba nghiệm 휆(푖), 푖 = 1, 2, 3 của đa thức đặc trưng được gọi là các giá trị riêng hoặc các giá trị chính của A. Tương ứng với mỗi giá trị riêng 휆(푖) là một véc-tơ riêng n(푖). Với một ten-sơ đối xứng có các thành phần thực, các giá trị riêng cũng là các số thực. Nếu ba giá trị riêng khác nhau từng đôi một, thì ba véc-tơ riêng sẽ trực giao từng đôi một. Khi được biểu diễn theo các trục chính, A sẽ có dạng đường chéo: ⎡ ⎤ 휆(1) 0 0 ⎢ (2) ⎥ ⎣ 0 휆 0 ⎦ 0 0 휆(3)
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các giá trị chính và phương chính Khi đó, có đa thức đặc trưng của A: 3 2 휆 − ˜1휆 − ˜2휆 − ˜3 = 0 Ba nghiệm 휆(푖), 푖 = 1, 2, 3 của đa thức đặc trưng được gọi là các giá trị riêng hoặc các giá trị chính của A. Tương ứng với mỗi giá trị riêng 휆(푖) là một véc-tơ riêng n(푖). Với một ten-sơ đối xứng có các thành phần thực, các giá trị riêng cũng là các số thực. Nếu ba giá trị riêng khác nhau từng đôi một, thì ba véc-tơ riêng sẽ trực giao từng đôi một. Khi được biểu diễn theo các trục chính, A sẽ có dạng đường chéo: ⎡ ⎤ 휆(1) 0 0 ⎢ (2) ⎥ ⎣ 0 휆 0 ⎦ 0 0 휆(3)
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Các giá trị chính và phương chính Khi đó, có đa thức đặc trưng của A: 3 2 휆 − ˜1휆 − ˜2휆 − ˜3 = 0 Ba nghiệm 휆(푖), 푖 = 1, 2, 3 của đa thức đặc trưng được gọi là các giá trị riêng hoặc các giá trị chính của A. Tương ứng với mỗi giá trị riêng 휆(푖) là một véc-tơ riêng n(푖). Với một ten-sơ đối xứng có các thành phần thực, các giá trị riêng cũng là các số thực. Nếu ba giá trị riêng khác nhau từng đôi một, thì ba véc-tơ riêng sẽ trực giao từng đôi một. Khi được biểu diễn theo các trục chính, A sẽ có dạng đường chéo: ⎡ ⎤ 휆(1) 0 0 ⎢ (2) ⎥ ⎣ 0 휆 0 ⎦ 0 0 휆(3)
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Tính toán với ten-sơ Một số toán tử vi phân quan trọng Toán tử gradient (còn gọi là toán tử vi phân tuyến tính): 휕 휕 휕 휕 ∇ = e1 + e2 + e3 = e푖 휕 1 휕 2 휕 3 휕 푖 Gradient của một trường vô hướng 휑( 1, 2, 3) Gradient của 휑 là véc-tơ ∇휑: 휕휑 ∇휑 = 휑 = e푖 = e푖휑,푖 휕 푖 Nếu n = 푛푖e푖 là véc-tơ đơn vị thì toán tử vô hướng 휕 n · ∇ = 푛푖 휕 푖 được gọi là đạo hàm có hướng theo phương n.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Tính toán với ten-sơ Một số toán tử vi phân quan trọng Toán tử gradient (còn gọi là toán tử vi phân tuyến tính): 휕 휕 휕 휕 ∇ = e1 + e2 + e3 = e푖 휕 1 휕 2 휕 3 휕 푖 Gradient của một trường vô hướng 휑( 1, 2, 3) Gradient của 휑 là véc-tơ ∇휑: 휕휑 ∇휑 = 휑 = e푖 = e푖휑,푖 휕 푖 Nếu n = 푛푖e푖 là véc-tơ đơn vị thì toán tử vô hướng 휕 n · ∇ = 푛푖 휕 푖 được gọi là đạo hàm có hướng theo phương n.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Tính toán với ten-sơ Một số toán tử vi phân quan trọng Toán tử gradient (còn gọi là toán tử vi phân tuyến tính): 휕 휕 휕 휕 ∇ = e1 + e2 + e3 = e푖 휕 1 휕 2 휕 3 휕 푖 Gradient của một trường vô hướng 휑( 1, 2, 3) Gradient của 휑 là véc-tơ ∇휑: 휕휑 ∇휑 = 휑 = e푖 = e푖휑,푖 휕 푖 Nếu n = 푛푖e푖 là véc-tơ đơn vị thì toán tử vô hướng 휕 n · ∇ = 푛푖 휕 푖 được gọi là đạo hàm có hướng theo phương n.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Tính toán với ten-sơ Một số toán tử vi phân quan trọng Toán tử gradient (còn gọi là toán tử vi phân tuyến tính): 휕 휕 휕 휕 ∇ = e1 + e2 + e3 = e푖 휕 1 휕 2 휕 3 휕 푖 Gradient của một trường vô hướng 휑( 1, 2, 3) Gradient của 휑 là véc-tơ ∇휑: 휕휑 ∇휑 = 휑 = e푖 = e푖휑,푖 휕 푖 Nếu n = 푛푖e푖 là véc-tơ đơn vị thì toán tử vô hướng 휕 n · ∇ = 푛푖 휕 푖 được gọi là đạo hàm có hướng theo phương n.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Tính toán với ten-sơ Một số toán tử vi phân quan trọng Phân kỳ của một trường véc-tơ v( 1, 2, 3) là đại lượng vô hướng sau: 휕푣푖 ∇ · v = 푖푣 v = = 푣푖,푖 휕 푖 Rôta của một trường véc-tơ u( 1, 2, 3) là một trường véc-tơ sau: 휕 ∇ × u = 푙 u = 푒푖푗 e푖 = 푒푖푗 ,푗e푖 휕 푗 Khi sử dụng ,푗 thay thế cho 휕 /휕 푗, ta thấy trật tự các chỉ số bị đảo ngược nếu so sánh với trật tự các chỉ số trong phép nhân có hướng.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Tính toán với ten-sơ Một số toán tử vi phân quan trọng Phân kỳ của một trường véc-tơ v( 1, 2, 3) là đại lượng vô hướng sau: 휕푣푖 ∇ · v = 푖푣 v = = 푣푖,푖 휕 푖 Rôta của một trường véc-tơ u( 1, 2, 3) là một trường véc-tơ sau: 휕 ∇ × u = 푙 u = 푒푖푗 e푖 = 푒푖푗 ,푗e푖 휕 푗 Khi sử dụng ,푗 thay thế cho 휕 /휕 푗, ta thấy trật tự các chỉ số bị đảo ngược nếu so sánh với trật tự các chỉ số trong phép nhân có hướng.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Tính toán với ten-sơ Một số toán tử vi phân quan trọng Phân kỳ của một trường véc-tơ v( 1, 2, 3) là đại lượng vô hướng sau: 휕푣푖 ∇ · v = 푖푣 v = = 푣푖,푖 휕 푖 Rôta của một trường véc-tơ u( 1, 2, 3) là một trường véc-tơ sau: 휕 ∇ × u = 푙 u = 푒푖푗 e푖 = 푒푖푗 ,푗e푖 휕 푗 Khi sử dụng ,푗 thay thế cho 휕 /휕 푗, ta thấy trật tự các chỉ số bị đảo ngược nếu so sánh với trật tự các chỉ số trong phép nhân có hướng.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Tính toán với ten-sơ Một số toán tử vi phân quan trọng Toán tử Laplace được định nghĩa như sau: 2 2 휕 () ∇ () = 푖푣 () = ∇ · ∇() = = (),푖푗 휕 푖휕 푗 Laplace của một trường vô hướng 휑( 1, 2, 3) 2 2 휕 휕 휑 ∇ 휑 = ( e푖) · (휑,푗 e푗) = (e푖 · e푗) = 휑,푗푖 훿푖푗 = 휑,푖푖 휕 푖 휕 푗휕 푖
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Tính toán với ten-sơ Một số toán tử vi phân quan trọng Toán tử Laplace được định nghĩa như sau: 2 2 휕 () ∇ () = 푖푣 () = ∇ · ∇() = = (),푖푗 휕 푖휕 푗 Laplace của một trường vô hướng 휑( 1, 2, 3) 2 2 휕 휕 휑 ∇ 휑 = ( e푖) · (휑,푗 e푗) = (e푖 · e푗) = 휑,푗푖 훿푖푗 = 휑,푖푖 휕 푖 휕 푗휕 푖
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Tính toán với ten-sơ Lý thuyết Gauss chuyển đổi miền tích phân chuyển đổi từ tích phân thể tích về tích phân bề mặt Xét với trường véc-tơ a trong vật thể có thể tích Ω và có biên bề mặt Γ. Một điểm trên biên có véc-tơ pháp tuyến n, khi đó: ∫︁ ∫︁ ∇ · a Ω = a · n Γ Ω Γ Xét với trường tensor A trong vật thể có thể tích Ω và có biên bề mặt Γ. Một điểm trên biên có véc-tơ pháp tuyến n, khi đó: ∫︁ ∫︁ ∇ · A Ω = An Γ Ω Γ
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Tính toán với ten-sơ Lý thuyết Gauss chuyển đổi miền tích phân chuyển đổi từ tích phân thể tích về tích phân bề mặt Xét với trường véc-tơ a trong vật thể có thể tích Ω và có biên bề mặt Γ. Một điểm trên biên có véc-tơ pháp tuyến n, khi đó: ∫︁ ∫︁ ∇ · a Ω = a · n Γ Ω Γ Xét với trường tensor A trong vật thể có thể tích Ω và có biên bề mặt Γ. Một điểm trên biên có véc-tơ pháp tuyến n, khi đó: ∫︁ ∫︁ ∇ · A Ω = An Γ Ω Γ
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Tính toán với ten-sơ Lý thuyết Gauss chuyển đổi miền tích phân chuyển đổi từ tích phân thể tích về tích phân bề mặt Xét với trường véc-tơ a trong vật thể có thể tích Ω và có biên bề mặt Γ. Một điểm trên biên có véc-tơ pháp tuyến n, khi đó: ∫︁ ∫︁ ∇ · a Ω = a · n Γ Ω Γ Xét với trường tensor A trong vật thể có thể tích Ω và có biên bề mặt Γ. Một điểm trên biên có véc-tơ pháp tuyến n, khi đó: ∫︁ ∫︁ ∇ · A Ω = An Γ Ω Γ
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi NỘI DUNG CHÍNH 1 Cơ bản về ten-sơ Sơ lược Quy ước viết Các quy tắc biến đổi các ten-sơ Descartes Các giá trị chính và phương chính Tính toán với ten-sơ 2 Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình cân bằng Navier-Cauchy Phương trình biến dạng - chuyển vị Phương trình ứng suất - biến dạng theo Định luật Hooke
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình cân bằng Navier-Cauchy Tại các điểm bên trong vật thể Bài toán không gian: 휕휎 휕휎 휕휎 + + + = 0 휕 휕 휕 휕휎 휕휎 휕휎 + + + = 0 휕 휕 휕 휕휎 휕휎 휕휎 + + + = 0 휕 휕 휕 Bài toán 2 chiều: 휕휎 휕휎 + + = 0 휕 휕 휕휎 휕휎 + + = 0 휕 휕
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình cân bằng Navier-Cauchy Tại các điểm bên trong vật thể Bài toán không gian: 휕휎 휕휎 휕휎 + + + = 0 휕 휕 휕 휕휎 휕휎 휕휎 + + + = 0 휕 휕 휕 휕휎 휕휎 휕휎 + + + = 0 휕 휕 휕 Bài toán 2 chiều: 휕휎 휕휎 + + = 0 휕 휕 휕휎 휕휎 + + = 0 휕 휕
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình cân bằng Navier-Cauchy Viết dưới dạng ma trận hoặc tensor Theo dạng ma trận: ∇ σ + f = 0 Theo dạng tensor: ∇ · σ + f = 0 hay 휎푖푗,푗 + 푖 = 0 Chú ý: Hai hệ thống ký hiệu (với mầu khác nhau trên slide) hoàn toàn khác nhau. Tránh nhầm lẫn!
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình cân bằng Navier-Cauchy Viết dưới dạng ma trận hoặc tensor Theo dạng ma trận: ∇ σ + f = 0 Theo dạng tensor: ∇ · σ + f = 0 hay 휎푖푗,푗 + 푖 = 0 Chú ý: Hai hệ thống ký hiệu (với mầu khác nhau trên slide) hoàn toàn khác nhau. Tránh nhầm lẫn!
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình cân bằng Navier-Cauchy Viết dưới dạng ma trận hoặc tensor Theo dạng ma trận: ∇ σ + f = 0 Theo dạng tensor: ∇ · σ + f = 0 hay 휎푖푗,푗 + 푖 = 0 Chú ý: Hai hệ thống ký hiệu (với mầu khác nhau trên slide) hoàn toàn khác nhau. Tránh nhầm lẫn!
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình cân bằng Navier-Cauchy Tại các điểm trên bề mặt vật thể Bài toán không gian: 푙휎 + 휎 + 푛휎 = 푡 푙휎 + 휎 + 푛휎 = 푡 푙휎 + 휎 + 푛휎 = 푡 Bài toán 2 chiều: 푙휎 + 휎 = 푡 푙휎 + 휎 = 푡
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình cân bằng Navier-Cauchy Tại các điểm trên bề mặt vật thể Bài toán không gian: 푙휎 + 휎 + 푛휎 = 푡 푙휎 + 휎 + 푛휎 = 푡 푙휎 + 휎 + 푛휎 = 푡 Bài toán 2 chiều: 푙휎 + 휎 = 푡 푙휎 + 휎 = 푡
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình cân bằng Navier-Cauchy Viết dưới dạng ma trận hoặc tensor Theo dạng ma trận: L휎 = t Theo dạng tensor: 휎n = t hay 휎푖푗푛푗 = 푡푖 Chú ý: Hai hệ thống ký hiệu (với mầu khác nhau trên slide) hoàn toàn khác nhau. Tránh nhầm lẫn!
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình cân bằng Navier-Cauchy Viết dưới dạng ma trận hoặc tensor Theo dạng ma trận: L휎 = t Theo dạng tensor: 휎n = t hay 휎푖푗푛푗 = 푡푖 Chú ý: Hai hệ thống ký hiệu (với mầu khác nhau trên slide) hoàn toàn khác nhau. Tránh nhầm lẫn!
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình cân bằng Navier-Cauchy Viết dưới dạng ma trận hoặc tensor Theo dạng ma trận: L휎 = t Theo dạng tensor: 휎n = t hay 휎푖푗푛푗 = 푡푖 Chú ý: Hai hệ thống ký hiệu (với mầu khác nhau trên slide) hoàn toàn khác nhau. Tránh nhầm lẫn!
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình biến dạng - chuyển vị Các công thức Bài toán không gian: 휕 휕 휕 휀 = 휀 = 휀 = 휕 휕 휕 휕 휕 휕 휕 휕 휕 훾 = + 훾 = + 훾 = + 휕 휕 휕 휕 휕 휕 Bài toán 2 chiều: 휕 휀 = 휕 휕 휀 = 휕 휕 휕 훾 = + 휕 휕
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình biến dạng - chuyển vị Các công thức Bài toán không gian: 휕 휕 휕 휀 = 휀 = 휀 = 휕 휕 휕 휕 휕 휕 휕 휕 휕 훾 = + 훾 = + 훾 = + 휕 휕 휕 휕 휕 휕 Bài toán 2 chiều: 휕 휀 = 휕 휕 휀 = 휕 휕 휕 훾 = + 휕 휕
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình biến dạng - chuyển vị Viết dưới dạng ma trận hoặc tensor Theo dạng ma trận: ε = ∇u Theo dạng tensor: Tensor biến dạng ⎡ ⎤ 휀 휀 휀 ⎣휀 휀 휀 ⎦ 휀 휀 휀 1 Khi đó 휀 = ( + ) 푖푗 2 푖,푗 푗,푖 Chú ý 1: Bài toán biến dạng vô cùng bé, tensor biến dạng Lagrange trùng với tensor biến dạng Euler. Chú ý 2: Có hệ số 1/2 trong thành phần biến dạng trượt ở cách biểu diễn 2.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình biến dạng - chuyển vị Viết dưới dạng ma trận hoặc tensor Theo dạng ma trận: ε = ∇u Theo dạng tensor: Tensor biến dạng ⎡ ⎤ 휀 휀 휀 ⎣휀 휀 휀 ⎦ 휀 휀 휀 1 Khi đó 휀 = ( + ) 푖푗 2 푖,푗 푗,푖 Chú ý 1: Bài toán biến dạng vô cùng bé, tensor biến dạng Lagrange trùng với tensor biến dạng Euler. Chú ý 2: Có hệ số 1/2 trong thành phần biến dạng trượt ở cách biểu diễn 2.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình biến dạng - chuyển vị Viết dưới dạng ma trận hoặc tensor Theo dạng ma trận: ε = ∇u Theo dạng tensor: Tensor biến dạng ⎡ ⎤ 휀 휀 휀 ⎣휀 휀 휀 ⎦ 휀 휀 휀 1 Khi đó 휀 = ( + ) 푖푗 2 푖,푗 푗,푖 Chú ý 1: Bài toán biến dạng vô cùng bé, tensor biến dạng Lagrange trùng với tensor biến dạng Euler. Chú ý 2: Có hệ số 1/2 trong thành phần biến dạng trượt ở cách biểu diễn 2.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình ứng suât - biến dạng Giới hạn: Vật liệu tuyến tính, đồng nhất, đẳng hướng Các công thức Bài toán không gian: 휎 = [(1 − 휈)휀 + 휈(휀 + 휀 )] (1 + 휈)(1 − 2휈) 휎 = [(1 − 휈)휀 + 휈(휀 + 휀 )] (1 + 휈)(1 − 2휈) 휎 = [(1 − 휈)휀 + 휈(휀 + 휀 )] (1 + 휈)(1 − 2휈) 휎 = 훾 = 훾 2(1 + 휈) 휎 = 훾 = 훾 2(1 + 휈) 휎 = 훾 = 훾 2(1 + 휈)
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình ứng suât - biến dạng Giới hạn: Vật liệu tuyến tính, đồng nhất, đẳng hướng Các công thức Bài toán ứng suất phẳng: 휎 = (휀 + 휈휀 ) (1 − 휈2) 휎 = (휀 + 휈휀 ) (1 − 휈2) 휎 = 훾 = 훾 2(1 + 휈)
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình ứng suất - biến dạng Giới hạn: Vật liệu tuyến tính, đồng nhất, đẳng hướng Các công thức Bài toán biến dạng phẳng: 휎 = [(1 − 휈)휀 + 휈휀 ] (1 + 휈)(1 − 2휈) 휎 = [(1 − 휈)휀 + 휇휀 ] (1 + 휈)(1 − 2휈) 휎 = 훾 = 훾 2(1 + 휈)
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình ứng suất - biến dạng Viết dưới dạng ma trận hoặc tensor Theo dạng ma trận: 휎 = Dε Theo dạng tensor: 휎 = Cε trong đó C là tensor đàn hồi bậc 4 của vật liệu: 푖푗 푙 = 휇(훿푖 훿푗푙 + 훿푖푙훿푗 ) + 휆훿푖푗훿 푙 휈 với: 휆 = và 휇 = = (1 + 휈)(1 − 2휈) 2(1 + 휈) Chú ý: Tránh nhầm lẫn với các hệ thống ký hiệu khác nhau.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình ứng suất - biến dạng Viết dưới dạng ma trận hoặc tensor Theo dạng ma trận: 휎 = Dε Theo dạng tensor: 휎 = Cε trong đó C là tensor đàn hồi bậc 4 của vật liệu: 푖푗 푙 = 휇(훿푖 훿푗푙 + 훿푖푙훿푗 ) + 휆훿푖푗훿 푙 휈 với: 휆 = và 휇 = = (1 + 휈)(1 − 2휈) 2(1 + 휈) Chú ý: Tránh nhầm lẫn với các hệ thống ký hiệu khác nhau.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình ứng suất - biến dạng Viết dưới dạng ma trận hoặc tensor Theo dạng ma trận: 휎 = Dε Theo dạng tensor: 휎 = Cε trong đó C là tensor đàn hồi bậc 4 của vật liệu: 푖푗 푙 = 휇(훿푖 훿푗푙 + 훿푖푙훿푗 ) + 휆훿푖푗훿 푙 휈 với: 휆 = và 휇 = = (1 + 휈)(1 − 2휈) 2(1 + 휈) Chú ý: Tránh nhầm lẫn với các hệ thống ký hiệu khác nhau.