Bài giảng môn Cơ học kết cấu

119 trang ngocly 3060

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng môn Cơ học kết cấu", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_mon_co_hoc_ket_cau.pdf

Nội dung text: Bài giảng môn Cơ học kết cấu

Cơ học kết cấu
Ch−ơng : mở đầu. 1. Nhiệm vụ và đối t−ợng môn học: • Định nghĩa kết cấu: Kết cấu là một hay nhiều cấu kiện đ−ợc nối ghép với nhau theo những quy luật nhất định, chịu đ−ợc sự tác dụng của các tác nhân bên ngoài nh− tải trọng, nhiệt độ thay đổi và chuyển vị c−ỡng bức. • Nhiệm vụ môn học: Là một môn khoa học chuyên nghiên cứu về nguyên lý, ph−ơng pháp tính nội lực và chuyển vị của kết cấu. Đảm bảo cho kết cấu có đủ c−ờng độ, độ cứng và độ ổn định trong quá trình khai thác, không bị phá hoại. • Đối t−ợng nghiên cứu của môn học rất phong phú và đa dạng. Đối với nghành xây dựng Công trình ta chủ yếu nghiên cứu hệ thanh. • So với môn học SBVL thì cả hai môn học đều có chung một nội dung nh−ng phạm vi nghiên cứu thì khác nhau. SBVL nghiên cứu cách tính độ bền, độ cứng và độ ổn định của từng cấu kiện riêng rẽ. Còn Cơ học kết cấu nghiên cứu toàn bộ công trình gồm nhiều cấu kiện riêng rẽ liên kết với nhau tạo nên một kết cấu có đủ khả năng chịu lực. • Trong thực tế ta th−ờng gặp hai bài toán: • Bài toán 1: Bài toán kiểm tra: Khi đã biết rõ hình dạng, kích th−ớc của kết cấu cũng nh− biết tr−ớc các nguyên nhân tác dụng bên ngoài. Ta phải xác định trạng thái nội lực và biến dạng của hệ nhằm kiểm tra xem công trình có đảm bảo đủ bền, đủ cứng và ổn định hay không. • Bài toán 2: Bài toán thiết kế: Tức là phải xác định hình dáng, kích thứơc của công trình một cách hợp lý để công trình có đủ điều kiện bền, điều kiện cứng và ổn định d−ới tác dụng của nhân tố bên ngoài. 2. Sơ đồ tính của kết cấu: • Sơ đồ tính của kết cấu là hình ảnh đơn giản hoá mà vẫn đảm bảo phản ánh đ−ợc sát với sự làm việc của kết cấu . • Trong thực tế, để chuyển công trình thực tế về sơ đồ tính của nó ta cần thực hiện theo hai b−ớc biến đối . o B−ớc 1: Chuyển Công trình thực tế về sơ đồ của Công trình theo nguyên tắc sau: 1
- Thay các thanh bằng đ−ờng trục, thay các bản hoặc vỏ bằng các mặt trung gian. - Thay các tiết diện bằng các đặc tr−ng hình học của nó nh− : Diện tích F và mô men quán tính A để tính toán . - Thay các thiết bị tựa bằng các liên kết tựa lý t−ởng. - Mối liên kết giữa các đầu thanh quy về hai dạng: Khớp và Nối cứng. - Đ−a tải trọng tác dụng về trục của nó dứơi dạng ba loại chính là: Tải trọng tập trụng , tải trọng phân bố và mô men tập trụng . o B−ớc 2: Chuyển Sơ đồ của Công trình về Sơ đồ tính . Ví dụ 1: Sơ đồ tính của cầu dầm giản đơn. P1 P2 a b c l ắ Kết luận: Lựa chọn Sơ đồ tính là công việc rất phức tạp và đa dạng, một Công trình có thể có nhiều Sơ đồ tính nh−ng sẽ có một Sơ đồ tính hợp lý nhất. 3. Phân loại kết cấu: Gồm các hình thức phân loại: a. Phân loại theo cấu tạo trong không gian : - Kết cấu hệ thanh: Hệ một thanh( Dầm cột ) và Hệ nhiều thanh( Vòm , khung, dàn, dầm ghép .) - Kết cấu vỏ mỏng . - Kết cấu đặc. 2
b. Phân loại theo sự nối tiếp giữa các thanh : - Dàn khớp. - Dầm. Dầm - Khung. - Vòm Công son Cột Cột Khung - Hệ liên hợp giữa dầm và dàn Vòm Dàn c. Phân loại theo phản lực gối : - Hệ có lực đẩy ngang: Ví dụ nh− vòm, khung. - Hệ không có lực đẩy ngang. Ví dụ nh− Dầm, dàn. d. Phân loại theo ph−ơng pháp tính: - Kết cấu tĩnh định. - Kết cấu siêu tĩnh. 4. Phân loại liên kết: - Ngàm: Khi giải phóng liên kết ngàm sẽ có ba thành phần phản lực: R, H, M do ngàm ngăn cản sự dịch chuyển của kết cấu theo cả 3 ph−ơng:Thẳng đứng,nằm ngang và chuyển vị góc quay. - Gối cố định: Khi giải phóng liên kết Gối cố định sẽ có hai thành phần phản lực: R, H do Gối cố định ngăn cản sự dịch chuyển của kết cấu theo 2 ph−ơng:Thẳng đứng, nằm ngang. - Gối di động: Khi giải phóng liên kết Gối di động sẽ có một thành phần phản lực: R. do Gối di động ngăn cản sự dịch chuyển của kết cấu theo 1ph−ơng của gối di động. - Ngàm tr−ợt: Khi giải phóng liên kết Ngàm tr−ợt sẽ có hai thành phần phản lực: M, H do Ngàm tr−ợt ngăn cản sự dịch chuyển của kết cấu theo 1ph−ơng của gối di động và ngăn cản chuyển vị góc xoay. 3
Loại liên kết Liên kết Phản lực liênkết M H Ngàm R H Gối cố định R Gối di động R M H Ngàm tr−ợt Khớp trung gian H V V Khớp nối đất H R Liên kết đơn N Liên kết đơn V 4
5. Các Giả thiết trong Cơ học kết cấu - Nguyên lý cộng tác dụng: a. Các Giả thiết: - Giả thiết vật liệu là đàn hồi tuyệt đối và tuân theo Định luật Huck. - Giả thiết biến dạng và chuyển vị trong hệ rất nhỏ. Sau khi chịu tác dụng của ngoại lực ta vẫn dùng sơ đồ ban đầu để tính . b. Nguyên lý cộng tác dụng: Phát biểu nguyên lý: Một đại l−ợng nào đó (Phản lực, nội lực, chuyển vị ) do một số nguyên nhân (Ngoại lực, nhiệt độ thay đổi, chuyển vị c−ỡng bức ) đồng thời tác dụng lên kết cấu gây ra đ−ợc xem nh− tổng đại số hay tổng hình học những giá trị thành phần của đại l−ợng đó do từng nguyên nhân tác dụng riêng rẽ gây ra. 5
Ch−ơng 1: phân tích cấu tạo hình học của kết cấu. 1.1: Mục đích vμ các khái niệm. 1. Hệ không biến hình: Định nghĩa: Hệ không biến hình là hệ khi chịu tác dụng của tải trọng vẫn giữ nguyên đ−ợc hình dạng hình học ban đầu của nó nếu ta xem biến dạng đàn hồi cua kết cấu rất nhỏ hoặc xem các cấu kiện là tuyệt đối cứng. P P P 2. Hệ biến hình: Định nghĩa: Hệ không biến hình là hệ khi chịu tác P dụng của tải trọng sẽ thay đổi hình dạng hình học ban đầu. 3. Hệ biến hình tức thời: Định nghĩa: Là hệ khi chịu tác dụng của tải trọng P sẽ thay đổi hình dạng hình học vô cùng bé sau đó hệ δ sẽ chuyển thành hệ không biến hình. a b 4. Mục đích : Mục đích của Ch−ơng này là nhằm trang bị các kiến thức: - Để phân biệt kết cấu có biến dạng hình học hay không. - Thiết kế Tạo kết cấu mới 6
1.2. Bậc tự do vμ các loại liên kết. 1. Định nghĩa: Bậc tự do là các thông số hình học có thể biến đổi một cách độc lập để xác định vị trí của vật trong hệ toạ độ. 2. Bậc tự do của một điểm trong mặt phẳng: Một điểm trong mặt phẳng có hai bậc tự do. 3. Bậc tự do của một vật trong mặt phẳng: Một vật trong mặt phẳng có ba bậc tự do. y y B A A ϕ yA yA α x x O xA O xA 4. Các loại liên kết: a. Liên kết đơn: Liên kết đơn là một thanh có hai đầu khớp. • Một Liên kết đơn chỉ khử đ−ợc một bậc tự do. Liên kết đơn N b. Liên kết khớp: • Khớp đơn: Nối hai miếng cứng. Một khớp đơn khử hai bậc tự do. Khớp đơn Khớp đơn H V • Khớp kép: Nối nhiều miếng cứng. 7
Khớp kép • Độ phức tạp của khớp kép tính theo công thức: P= n-1 Trong đó: n là số tấm cứng. Một khớp kép khử : 2(n-1) bậc tự do. c. Liên kết hàn: Một Liên kết hàn khử ba bậc tự do. Liên kết hàn k Nk Mk Nk Qk 5. Công thức tính Bậc tự do của kết cấu: a. Công thức tổng quát : • Kết cấu có nối đất : W = 3T - 2C - Lo. Trong đó : W : Bậc tự do. T : Số tấm cứng. C : Số khớp đơn. Lo : Số Liên kết đơn nối với đất. • Kết cấu không nối đất : Do một tấm cứng chỉ cần 3 Liên kết để nối với đất là đủ nên trong tr−ờng hợp này: Lo =3. V = 3T - 2C - 3. b. Công thức tính bậc tự do của dàn: • Kết cấu có nối đất : 8
W = 2D – L – Lo. Trong đó : W : Bậc tự do. D : Số tiết điểm của dàn. L : Số thanh trong dàn. Lo : Số Liên kết đơn nối với đất. • Kết cấu không nối đất : V = 2D - L - 3. c. Một số ví dụ: Tính bậc tự do của các kết cấu sau: a, b, c, • Kết cấu dàn có nối đất : W = 2D - L - Lo. a, W = 2.4 – 6 – 3 = -1; b, W = 2.4 – 5 – 3 = 0; c, W = 2.4 – 4 – 3 = 1; d, W = 3T - 2C - Lo. W = 3.4 – 2.3 – 6 = 0; d, e, W = 3T - 2C - Lo. W = 3.4 – 2.4 – 5 = -1; e, 9
1.3. Các quy luật cấu tạo nên kết cấu không biến hình. 1. Quy luật 1: • Phát biểu: Hai tấm cứng nối với nhau bởi ba Liên kết không giao nhau tại một điểm thì tạo thành kết cấu (tấm cứng mới) không biến dạng hình học. • Hình vẽ : I II I II I 1 AB 1 2 2 ∞ 3 3 II 2. Quy luật 2: • Phát biểu: Ba tấm cứng nối với nhau bởi ba khớp không cùng nằm trên một đ−ờng thẳng thì tạo thành kết cấu (tấm cứng mới) không biến dạng hình học. • Hình vẽ : II I I 1 I P II 1 II 1 2 3 2 2 3 3 III III III 3. Quy luật 3 (Quy luật phát triển tấm cứng). • Phát biểu: Một điểm nối với một tấm cứng bằng hai liên kết đơn không cùng nằm trên một đ−ờng thẳng thì tạo thành kết cấu (tấm cứng mới) không biến dạng hình học. • Hình vẽ : 1 A 1 A 2 I 2 I 10
1.4. Các Ví dụ áp dụng. Mục đích của khảo sát cấu tạo hình học của kết cấu là xem kết cấu là biến dạng hình học hay không. Nh− vậy một kết cấu không biến dạng hình học cần phải có hai điều kiện: - Điều kiện cần: Độ tự do của kết cấu : W Kết cấu đủ Liên kết. - Phân tích cấu tạo hình học: Dầm AB là một tấm cứng nối với đất là tấm cứng thứ 2 bằng ba liên kết đơn (Tại A có 2 liên kết đơn, tại B có một Liên kết đơn) không đồng quy tại một điểm. Vậy theo quy luật 1 thì kết cấu là không biến dạng hình học. 2. Ví dụ 2: Khảo sát cấu tạo hình học của kết cấu sau: K B C II I D A E III 11
- Xác định bậc tự do: W = 3T - 2C – Lo = 3.3 - 2.2 – 5 =0 => Kết cấu đủ Liên kết. - Phân tích cấu tạo hình học: Ba tấm cứng CD, BCE và trái đất nối với nhau từng đôi một bởi 3 khớp đơn không thẳng hàng K, C, D. Vậy theo quy luật 2 thì kết cấu là không biến dạng hình học. 2. Ví dụ 2: Khảo sát cấu tạo hình học của kết cấu sau: 1 3 I 2 II III - Xác định bậc tự do: W = 2C - T – Lo = 2.6 – 8 – 4 =0 => Kết cấu đủ Liên kết. - Phân tích cấu tạo hình học: Ba tấm cứng I, II và trái đất nối với nhau từng đôi một bởi 3 khớp đơn không thẳng hàng 1, 2, 3. Vậy theo quy luật 2 thì kết cấu là không biến dạng hình học. 12
Ch−ơng II: tính nội lực của kết cấu phẳng tĩnh định chịu tác dụng của tải trọng tĩnh. 2.1. Tính chất chịu lực của kết cấu tĩnh định vμ ph−ơng pháp xác định nội lực. 1. Khái niệm kết cấu tĩnh định. • Kết cấu tĩnh định là kết cấu phải đảm bảo hai điều kiện: - Bậc tự do: W=0. - Không biến hình . Dầm Công son Cột Cột Khung Vòm Dàn • Kết cấu tĩnh định có thể là một bộ phận (Dầm giản đơn, Dầm mút thừa hay công son, cột) có thể gồm nhiều bộ phận ghép lại với nhau trong đó có kết cấu chính và kết cấu phụ thuộc. - Kết cấu chính là kết cấu không biến hình có thể tồn tại độc lập. - Kết cấu phụ thuộc là kết cấu phải dựa vào kết cấu khác mới đứng vững Kết cấu chínhKết cấu phụ 1 Kết cấu phụ 2 13
• Để tính và vẽ biểu đồ nội lực của kết cấu tĩnh định ta chỉ cần dùng 3 ph−ơng trình cân bằng tĩnh học: ⎧∑ X = 0 ⎪ ⎨∑Y = 0 ⎪ ⎩⎪∑ mi = 0 2. Tính chất chịu lực của kết cấu tĩnh định: a. Đặc điểm 1: - Nếu kết cấu tĩnh định gồm nhiều bộ phận hợp thành trong đó có bộ phận chính và bộ phận phụ thuộc thì: o Khi lực tác dụng lên bộ phận chính thì chỉ bộ phận chính có nội lực còn bộ phận phụ thuộc không có nội lực. o Khi lực tác dụng lên bộ phận phụ thuộc thì cả bộ phận chính và bộ phận phụ thuộc có nội lực. Ví dụ: Xét kết cấu nh− trên hình vẽ. P1 P2 P3 ABCEDF P3 P2 P1 P3 RF P2 RE RD P1 RE RA RB Ta nhận thấy: - ABC là bộ phận chính. - CDE là bộ phận phụ của ABC. 14
- EF là bộ phận phụ của CDE. - Nếu chỉ có lực P1 thì bộ phận CDE và EF không có nội lực . - Nếu chỉ có lực P2 thì cả bộ phận CDE và ABC có nội lực, còn EF không có nội lực. - Nếu chỉ có lực P3 thì cả 3 bộ phận EF, CDE và ABC có nội lực. b. Đặc điểm 2: D−ới tác dụng của nhiệt độ thay đổi và chuyển vị c−ỡng bức thì kết cấu tĩnh định chỉ bị biến dạng mà không phát sinh nội lực . ABABt1 t2 Δ (t2<t1) RA=0 RA=0 RB=0 RB=0 c. Đặc điểm 3: Nếu có một hệ lực cân bằng tác dụng lên một bộ phận không biến dạng hình học của kết cấu tĩnh định thì chỉ có bộ phận đó phát sinh nội lực còn các bộ phận khác không có nội lực. 2P Pa Pa A C E D B P P a a a P P M Pa P P P P NQ P 15
d. Đặc điểm 4: Khi trên một bộ phận không biến dạng hình học của kết cấu có lực tác dụng nếu ta thay lực đó bằng một hệ lực t−ơng đ−ơng thì nội lực trong bộ phận đó sẽ thay đổi còn các bộ phận khác không thay đổi. 2P A C EBD y1 a a y2 P P y1 y2 e. Đặc điểm 5: Nếu ta thay đổi cấu tạo cuả một bộ phận không biến dạng hình học nào đó trong kết cấu thì nội lực trong bộ phận ấy sẽ thay đổi còn các bộ phận khác nội lực không thay đổi. 3. Ph−ơng pháp xác định nội lực trong kết cấu tĩnh định : Để xác định nội lực trong kết cấu tĩnh định ta chỉ cần sử dụng 3 ph−ơng trình cân bằng tĩnh học cơ bản. ⎧∑ X = 0 ⎪ ⎨∑Y = 0 ⎪ ⎩⎪∑mi = 0 16
2.2. Tính vμ vẽ các biểu đồ nội lực của Dầm phẳng tĩnh định . 1. Phân loại Dầm phẳng tĩnh định: a. Dầm giản đơn: A B l b. Dầm mút thừa: CDA B l1 l l2 c. Dầm công son: AB l d. Dầm tĩnh định nhiều nhịp: Dầm tĩnh định nhiều nhịp là Dầm đ−ợc cấu tạo bởi các Dầm giản đơn, Dầm mút thừa hoặc Dầm công son và đựơc nối với nhau bởi các khớp trong đó có bộ phận chính và bộ phận phụ thuộc. Loại 1 Loại 2 AFB C D E A B CDEF EF C D C D AB AB EF A CDEF A C D E F EF C D CD A A EF 17
2. Tính và vẽ các biểu đồ nội lực của Dầm tĩnh định . Thực hiện theo trình tự sau: - B−ớc 1: Phân tích đ−ợc quan hệ giữa các đoạn dầm xem Dầm nào là Dầm chính Dầm nào là Dầm phụ thuộc. -B−ớc 2: Tính các phản lực của các đoạn dầm phụ thuộc tr−ớc sau đó truyền phản lực đó xuống Dầm chính thông qua các Liên kết trung gian. (Khớp hoặc liên kết đơn). Tiếp đó ta tính các phản lực trên Dầm chính. - B−ớc 3: Vẽ các biểu đồ nội lực cho từng đoạn dầm riêng lẻ sau đó ghép các biểu đồ đó lại với nhau ta đ−ợc biểu đồ nội lực của toàn Dầm . 3. Ví dụ1: Hãy tính và vẽ biểu đồ mô men, lực cắt của kết cấu sau: 20 KN 10 KN/m AB D C 7m 3m 6m C D A B 10 KN/m C D RD=30 KN RC=30 KN A B RA=-195/7 KN RB=755/7 KN 195 11.25 M KN.m 45 80 50 30 KN 30 Q 195/7 Giải • B−ớc 1: Phân tích đ−ợc quan hệ giữa các đoạn dầm : 18
Ta thấy nếu bỏ khớp C thì dầm ABC vẫn không biến hình còn Dầm CD bị biến hình. Vậy Dầm ABC là Dầm chính còn CD là Dầm Phụ thuộc. • B−ớc 2: Tính các phản lực của các đoạn dầm theo trình tự: Dầm Phụ thuộc tr−ớc, Dầm chính sau. Các phản lực đ−ợc tính và ghi trên hình vẽ. • B−ớc 3: Vẽ các biểu đồ nội lực cho từng đoạn dầm . Đoạn CD: Xét mặt cắt 1-1 cách C đoạn z ( 0 ≤ Z ≤ 6m) Xét cân bằng phần Dầm bên trái mặt cắt 1-1: 10 KN/m 10.z 2 m = 0 ⇒ M − Rc.z + = 0 C D ∑ z z 2 ⇒ M z = z(Rc − 5.z) 6m 10 KN/m ∑Y = 0 ⇒ Rc − Qz −10.z = 0 C 1 ⇒ Qz = Rc −10z D z 1 RC=30 KN - Tại C: z=0 => Mz = 0; Qz = 20 KN. RC=30 KN 10 KN/m - z=6m => M = 0 KN.m; Q = -30 KN. Tại D: z z C Mz - Điểm cực trị: z = 3m => M = 45 KN.m; z Nz z Qz RC Các đoạn Dầm còn lại ta vẽ t−ơng tự. Ví dụ 2: Vẽ nhanh các biểu đồ nội lực sau: 1 1 1 M=1 M=1 M=1 M=1 A B A B l l 1 RA=0 RB=0 RA=2/l RB=2/l 1 1/2 M=1 M=1 A B A B l 1/2 RA=1/l RB=1/l RA=1/l l RB=1/l 19
q q l l q l 2 8 M M q l 2 2 q l 2 Q 8 Q ql .cos a q l .cosα q l .acos NN2 2 ql .sin a ql .sin a 3. Nhận xét: Từ các ví dụ trên ta thấy : 1) Biểu đồ mô men bao giờ cũng đ−ợc vẽ về phía thớ chịu kéo của thanh. 2) Mô men tại khớp bằng không. Nếu tại mặt cắt sát khớp có mô men ngoại lực tác dụng thì mô men nội lực tại vị trí đó cũng bằng mô men ngoại lực. 3) Trên đoạn thanh có trục thanh là thẳng nếu không có ngoại lực tác dụng thì biểu đồ mô men sẽ biến thiên theo đ−ờng thẳng, nếu trên đó có tải trọng rải đều tác dụng thì biểu đồ mô men sẽ biến thiên theo quy luật Parabol bậc 2. 4) Mô men tại một mặt cắt nào đó luôn cân bằng và sẽ bằng tổng mô men của các lực thuộc nửa bên phải hay bên trái của mặt cắt đó gây ra. 5) Khi vẽ biểu đồ nội lực không nhất thiết phải xác định tất cả các phản lực tại các gối tựa mà ta chỉ cần tính các phản lực cần thiết phục vụ cho việc vẽ biểu đồ . 6) Biểu đồ lực cắt có thể vẽ theo 2 cách : Cách 1: Vẽ dựa vào các phản lực gối đã tính. Cách 2: Vẽ thông qua biểu đồ mô men đã vẽ đ−ợc dựa vào quan hệ giữa mô men và lực cắt: Đạo hàm mô men sẽ cho ta lực cắt. 20
7) Biểu đồ mô men luôn vẽ về phía thớ căng của thanh nên không cần có dấu. Biểu đồ lực cắt nhất thiết phải có dấu theo quy −ớc trong môn học SBVL tức là: - Lực cắt làm phân tố quay cùng chiều Kim đồng hồ là lực cắt +. - Lực cắt làm phân tố quay ng−ợc chiều Kim đồng hồ là lực cắt -. - Lực dọc là lực kéo sẽ là +. - Lực dọc là lực nén sẽ là -. Q>0 Q>0 Q 0N>0 N<0 N<0 21
2.2. Tính vμ vẽ các biểu đồ nội lực của khung phẳng tĩnh định . 1. Phân loại khung phẳng tĩnh định: a. Khung giản đơn: Khung giản đơn là khung đ−ợc cấu tạo bởi một thanh gãy khúc. b. Khung ba khớp: Khung ba khớp là khung đ−ợc cấu tạo bởi hai thanh đ−ợc nối với nhau và nối với đất bằng 3 khớp đơn không thẳng hàng. c. Khung ghép: Khung ghép là khung đ−ợc cấu tạo gồm nhiều bộ phận trong đó có bộ phận chính và bộ phận phụ thuộc. 2. Cách Tính và vẽ các biểu đồ nội lực của khung phẳng tĩnh định . 22
a. So sánh về mặt cấu tạo và ph−ơng thức chịu lực giữa dầm phẳng tĩnh định và khung phẳng tĩnh định : - Xét hai kết cấu sau: q P q q q b P A B l a a a • Ta thấy về mặt cấu tạo thì khung giản đơn đ−ợc cấu tạo từ một thanh gãy khúc còn dầm giản đơn là thanh thẳng. Vậy Dầm giản đơn là tr−ờng hợp đặc biệt của khung giản đơn. • Về mặt chịu lực: - Về lý thuyết thì cả Dầm và khung đều chịu lực theo hai ph−ơng: Thẳng đứng và ngang. - Trong thực tế thì Dầm chủ yếu chịu lựu theo ph−ơng thẳng đứng còn khung thì chịu lực theo cả hai ph−ơng. b. Cách Tính và vẽ các biểu đồ nội lực của khung phẳng tĩnh định . Qua việc phân tích so sánh kết cấu Dầm và khung ở trên ta rút ra kết luận: Ph−ơng pháp tính khung tĩnh định và Dầm tĩnh định hoàn toàn giống nhau. Tuy nhiên đối với khung ba khớp ta phải thực hiện theo trình tự tính toán sau: - B−ớc 1: Xét cân bằng của toàn khung : 1 C C HC C V V 1 C C HB B HB B RB RB HA A HA A RA RA Dùng ph−ơng trình : ∑MA = 0 => f(RB,HB) = 0; (1) 23
∑MB = 0 => f(RA,HA) = 0; (1’) - B−ớc 2: Dùng mặt cắt 1-1 cắt qua khớp trung gian C ( Nếu là khung 3 khớp có thanh căng thì ta cắt qua cả thanh căng DE). Sau đó xét cân bằng nửa bên phải khung (Nếu ở trên ta dùng Ph−ơng trình ∑MA = 0) hoặc xét cân bằng nửa bên trái khung (Nếu ở trên ta dùng Ph−ơng trình ∑MB = 0). 1 C C HC VC VC NDE N DE DED E 1 HA HA A B A B RA RA RB RB Dùng ph−ơng trình : ∑MC = 0 => f(RB,HB) = 0; (2) Hoặc f(RA,HA) = 0; (2’) - B−ớc 3: Kết hợp ph−ơng trình 1 và 2 ( Hoặc 1’ và 2’) ta giải và tính đ−ợc các phản lực gối tựa. - B−ớc 4: Tìm các phản lực Vc và Hc tại khớp trung gian C: Xét cân bằng nửa bên trái hoặc nửa bên phải mặt cắt 1-1: Dùng ph−ơng trình ∑X = 0 => Hc ∑Y = 0 => Vc - B−ớc 5: Vẽ biểu đồ nội lực của khung sau khi đã tìm đ−ợc các phản lực tại gối tựa và gối trung gian. c. Chú ý: • Các biểu đồ nội lực của khung đ−ợc vẽ theo quy −ớc của Dầm. • Biểu đồ nội lực đ−ợc vẽ theo trình tự từ đầu thanh vào trong. • Sử dụng ph−ơng pháp cân bằng nút (Nội lực tại nút phải đ−ợc cân bằng) để Vẽ các biểu đồ nội lực và để kiểm tra kết quả. • Tr−ờng hợp khung 3 khớp có thanh căng chịu tác dung của ngoại lực ta thực hiện theo trình tự sau: 24
1 C HC q q VC P P HD HE H E D E 1 VD 1 VE VE HA A B R A R R B B - Xét cân bằng cả hệ và dùng ph−ơng trình : ∑MA =0 => RB - Tách riêng thanh căng DE vẽ biểu đồ Mô men và lực cắt của thanh căng, đồng thời tính đ−ợc phản lực theo ph−ong thẳng đứng tại hai đầu khớp của thanh căng là VD ;VE cùng với quan hệ : HD = HE. - Dùng mặt cắt 1-1 cắt qua khớp C và khớp D (Hoặc E): Xét cân bằng nửa bên phải (Nếu ở trên ta cắt qua khớp E) hoặc nửa bên trái (Nếu ở trên ta cắt qua khớp D) . - Dùng ph−ơng trình : ∑MC =0 => HB (HE = HD ). - Vẽ biểu đồ nội lực của khung Sau khi tính đ−ợc các phản lực. 3. Ví dụ áp dụng: a. Ví dụ 1: Tính và vẽ biểu đồ mô men của kết cấu sau. 10 KN F F 10 KN/m 90 3m 45 60 E C D E C 30 D 6m A B A M B HB 3m 8m KN.m RA RB Giải B−ớc 1: Tính các phản lực gối: 25
195 M = 0 => R = KN ; ∑ B A 8 ∑ X = 0 => H B =10KN ; 45 Y = 0 => R = KN ; ∑ B 8 B−ớc 2:Vẽ biểu đồ mô men. (hình vẽ) b. Ví dụ 2: Tính và vẽ biểu đồ mô men của kết cấu sau. 30 KN.m 20 KN 20 KN 20 KN 20 KN D C E F H E F C V C 4m 4m 10 KN/m B B H HB =23 KN B R A R =58 2m B H =37 KN B A 4m 4m 3m 4m 3m R A Giải B−ớc 1: Tính các phản lực gối: ∑ M A = 0 => 4RB + H B = 255; (1) Xét mặt cắt 1-1 cắt qua C: Xét cân bằng phần bên phải mặt cắt: ∑ M C = 0 => RB − H B = 35 ; (2) Từ 1 và 2 ta có: ⎧ RB = 58KN ⎨ ⎩H B = 23KN Xét cân bằng bằng cả hệ: ∑ X = 0 => H A = 37KN ; B−ớc 2:Vẽ biểu đồ mô men. (hình vẽ) 26
152 60 42 72 92 45 M KN.m c. Ví dụ 3: Tính và vẽ biểu đồ mô men của kết cấu sau. 10 KN/m 10 KN/m 20 1 20 20KN HC 20 140 I C K C V 3m C 3m D E N =140/3 60 1 3m DE 3m HA A B M RA R B R =55 KN.m 4m 4m 4m B Giải B−ớc 1: • Tính các phản lực gối tựa: ∑ X = 0 => H A = 20KN ; ∑ M A = 0 => RB = 55KN ; ∑Y = 0 => RA = 25KN ; • Tính lực dọc trong thanh DE: Xét mặt cắt 1-1 cắt qua C và thanh DE: Xét cân bằng phần bên phải mặt cắt: 140 M = 0 => N = KN ; ∑ C DE 3 B−ớc 2:Vẽ biểu đồ mô men. (hình vẽ) d. Ví dụ 4: Tính và vẽ biểu đồ mô men của kết cấu sau. 27
10KN 1 HD I C K V =20 5 KN/m 4m 5 KN/m D 4m HD HE 5 KN/m D E H 1 E 40 KN.m 4m V =20 4m H B VD =20 VE =20 E A A RA =5 4m 4m 4m R =45 R =45 B B Giải B−ớc 1: • Tính các phản lực gối tựa: ∑ X = 0 => H A = 40KN ; ∑ M A = 0 => RB = 45KN ; ∑Y = 0 => RA = 5KN ; • Tính thanh căng DE: Xét mặt cắt 1-1 cắt qua C và thanh DE: Xét cân bằng phần bên phải mặt cắt: 140 M = 0 => N = KN ; ∑ C DE 3 B−ớc 2:Vẽ biểu đồ mô men. (hình vẽ) 60 100 10 120 10 40 M KN.m 28
2.4. Tính vμ vẽ các biểu đồ nội lực của vòm ba khớp. 1. Khái niệm: • Định nghĩa: Vòm ba khớp là một kết cấu tĩnh định gồm hai thanh cong nối với nhau bằng một khớp ở đỉnh và nối với đất bằng hai khớp ở chân. y a3 b3 C P3 a2 K ϕK a1 P2 α P1 f f ' B Hb' yK Vb' xK.tgα A α x Ha' xK Va' l1 l2 l P1 P2 P3 Ao Co Bo l1 l2 l • Các ký hiệu trong vòm: - Khớp A,B: Hai khớp chân vòm. - Khớp C: Khớp đỉnh vòm. - f: Mũi tên vòm là khoảng cách từ khớp đỉnh vòm C tới điểm giao nhau giữa đ−ờng nối AB với đ−ờng thẳng đứng đi qua C. - L: Khẩu độ vòm. 29
2. Tính các phản lực của vòm ba khớp : V’A, V’B, HA, HB. Trong phạm vi môn học ta chỉ xét tr−ờng hợp vòm chịu tải trọng thẳng đứng. (Hình vẽ). Xét cân bằng cả vòm : ∑MB =0 => V’A .l - P1 . b1 – P2 . b2 - Pi . bi - Pn . bn ∑ Pi . bi => V ' = A l ∑ Pi . ai ∑M =0 => V ' = A B l Xét dầm giản đơn AoBo có cùng khẩu độ l và cùng chịu tải trọng nh− vòm. Ta có: ∑ Pi . bi V 0 = = V ' A l A ∑ Pi . ai V 0 = = V ' B l B Vậy phản lực thẳng đứng trong vòm giống nh− phản lực thẳng đứng trong dầm giản đơn cùng khẩu độ. Để tìm HA ta dùng mặt cắt 1-1 cắt qua khớp C. Xét cân bằng nửa bên trái. ∑MC =0 => HA .f’ – V’A . l1 + P1.(l1-a1)+ P2.(l1-a2)+ - Pn.(l1-an) = 0 V ' .l − ∑ P .(l − a ) => H’ = A 1 i 1 i ; f’ = f.cosα. A f ' Xét Dầm giản đơn : o MC = V’A . l1 + ∑ Pi .(l1 − ai ) = HA .f’ M 0 => H = C (1) A f ' Xác định lực đẩy ngang trong vòm: H” , H” A B Ha'' A α H " A Va'' H”A = HA.cosα => H A = Ha' cosα Va' 30
V”A = HA.sinα =>V”A = H”A.tgα. f ' Mặt khác: f' = f.cosα => f = cosα Thay HA và f vào công thức (1) ta có : M 0 H " = C (2) A f Công thức 2 là công thức xác định lực đẩy ngang của vòm ba khớp. Vậy nếu gọi VA là lực thẳng đứng của vòm tại khớp A thì: 0 VA = V’A + V’’A = VA + H.tgα T−ơng tự ta có: 0 VB = V’B + V”B = VB - H.tgα Khi α = 0 (Tr−ờng hợp hai chân vòm có cùng cao độ) 0 0 VA = VA ; VB = VB 3. Xác định nội lực tại mặt cắt bất kỳ trên vòm ba khớp: y a2 MK NK a1 P2 K QK ϕK P1 yK xK.tgα Ha A α x Va K x Xét mặt cắt K ( xK, yK + xK.tgα) Xét cân bằng phần vòm bên trái mặt cắt K. 31
∑MK =0 => MK - VA.xK - HA.( yK+ xK.tgα) - P1.(xK- a1) - P2.(xK-a2) = 0 0 => MK = M K - HA.yK+ Trong đó: 0 M K : Mô men tại mặt cắt K trên Dầm giản đơn t−ơng đ−ơng. yK : Tung độ từ mặt cắt K đến đ−ờng nối hai chân vòm. Để xác định QK ta chiếu các lực lên ph−ơng vuông góc với vòm tại mặt cắt K ta đ−ợc: 0 tgα QK = Q K.cosϕK – H.sinϕK.(1- ) tgϕ K 0 Với Q K là lực cắt tại mặt cắt K trên Dầm giản đơn t−ơng đ−ơng. Để xác định NK ta chiếu các lực lên ph−ơng tiếp tuyến với vòm tại mặt cắt K: 0 NK = - Q K.sinϕK - H.cosϕK.(1-tgα.tgϕK) Vậy khi α = 0 thì : 0 MK = M K - H.yKi 0 QK = Q K.cosϕK - H.sinϕK 0 NK = - Q K.sinϕK - H.cosϕK 32
4. Ví dụ: Cho vòm ba khớp: f =2m; l=6m; chịu tải trọng nh− hình vẽ. Hãy tính và vẽ các biểu đồ nội lực của vòm. 5 KN/m 20 KN C f=2 m HA A B HB 3m 3m VA VB 5 KN/m 20 KN 3m 3m 18.75 32.50 41.25 27.50 13.75 M0 KN.m 6.25 Q0 KN -13.75 21.25 16.25 11.25 -13.75 4.17 4.17 9.17 9.17 M KN.m 8.25 3.43 6.25 Q KN 1.90 13.75 4.19 1.56 3.75 23.42 24.43 24.55 26.21 20.63 29.38 23.38 N KN Giải : B−ớc 1: Tính các phản lực : ∑ Pi . bi 5.3.4,5 + 20.3 V = = = 21,25 KN. A l 6 VB = 5.3 + 20 - VA = 13,75 KN. 33
M 0 13,75.3 H = H = C = = 20,625 KN.m. A B f 2 B−ớc 2: Tính nội lực : Nội lực tại mặt cắt K: 0 MK = M K - H.yK 0 QK = Q K.cosϕK - H.sinϕK 0 NK = - Q K.sinϕK - H.cosϕK 4 f Xác định góc ϕ : Từ ph−ơng trình vòm: y = .(l - x)x K l 2 4 f 4 f Tại mặt cắt K : y = .(l - x)x => tgϕ = y’ = .(l - 2x ) l 2 K K l 2 K => ϕK => sinϕK ; cosϕK. - Để vẽ đ−ợc các biểu đồ nội lực ta phải chia vòm thành các đoạn nhỏ bằng những mặt cắt Ki cách đều nhau. Chia thành càng nhiều đoạn thì các biểu đồ càng chính xác. Trong bài này ta chia vòm làm 6 đoạn, mỗi đoạn dài 1m theo ph−ơng ngang. 0 0 0 - Ta lần l−ợt tính M K, N K, Q K cho từng mặt cắt => MK, NK, QK t−ơng ứng. - Sau khi tính đ−ợc nội lực tại 6 mặt cắt ta nối lại sẽ đ−ợc biểu đồ M, N, Q của vòm 3 khớp. - Lập bảng tính các tung độ của các biểu đồ M, N, Q. 0 0 xK(m) yK(m) sinϕK CosϕK M K QK MK QK NK 0.00 0.00 0.80 0.60 0.00 21.25 0.00 -3.75 -29.38 1.00 1.11 0.66 0.75 18.75 16.25 -4.17 -1.56 -26.21 2.00 1.78 0.41 0.91 32.50 11.25 -4.17 1.90 -23.42 6.25 0.00 6.25 -20.63 3.00 2.00 0.00 1.00 41.25 -13.75 0.00 -13.75 -20.63 4.00 1.78 -0.41 0.91 27.50 -13.75 -9.17 -4.19 -24.43 5.00 1.11 -0.66 0.75 13.75 -13.75 -9.17 3.43 -24.55 6.00 0.00 -0.80 0.60 0.00 -13.75 0.00 8.25 -23.38 34
2.5. Tính nội lực trong dμn phẳng tĩnh định . 1. Khái niệm: • Định nghĩa: Dàn phẳng tĩnh định là một kết cấu tĩnh định đ−ợc cấu tạo bởi các thanh thẳng và Liên kết với nhau bằng các khớp. Thanh Xiên Thanh biên trên Thanh đứng 1' 2' 3' 4' 5' h 2 A 1 3 4 5 B Thanh biên d−ới 1 Khoang L=6d • Các giả thiết trong dàn: - Các thanh thẳng trong dàn đ−ợc thay thế bằng trục thanh thẳng. - Các thanh đ−ợc nối với nhau bằng các khớp lý t−ởng (tuyệt đối không có mô men). - Tải trọng tác dụng lên dàn đựơc đặt tại các tiết điểm là đầu các thanh. - Khi tính dàn ta bỏ qua trọng l−ợng bản thân của các thanh. - Tính dàn trong giới hạn đàn hồi. • Khi các giả thiết trên đ−ợc chấp nhận thì: Nội lực trong các thanh dàn chỉ có lực dọc trục. 2. Cách tính nội lực các thanh trong dàn phẳng tĩnh định: Có 2 cách tính. a 1' 2' 3' 4' 5' 2 A 1 3 4 5 B P a RB 35
a. Ph−ơng pháp tách tiết điểm : N22' N1'2 N23' N5'B α B N12 2 N23 N5B P RB • Nội dung của Ph−ơng pháp : - Dùng mặt cắt kín a cắt qua tất cả các thanh nối với nhau tại tiết điểm. - Để tính nội lực trong các thanh ta dùng hai ph−ơng trình cân bằng : ∑X = 0 ∑Y= 0 b. Ph−ơng pháp tách mặt cắt : • Nội dung của Ph−ơng pháp: Dùng 1 mặt cắt cắt qua các thanh chia dàn làm hai phần riêng biệt. Sau đó xét cân bằng 1 bên dàn và dùng 3 ph−ơng trình cân bằng: ∑X = 0. ∑Y= 0. ∑M = 0. Chú ý : Trong Ph−ơng pháp tách tiết điểm ta chú ý các tr−ờng hợp: N1 N3 N2 3 N2 N1 N2 N1 N N4 - Nếu 1 tiết điểm có 2 thanh và không có tải trọng tác dụng thì lực dọc trong 2 thanh đều bằng 0. - Nếu 1 tiết điểm có 3 thanh và 2 trong 3 thanh thẳng hàng không có tải trọng tác dụng thì lực dọc trong 2 thanh thẳng hàng bằng nhau và thanh còn lại bằng 0. - Nếu tiết điểm có 4 thanh từng cặp thẳng hàng và không có tải trọng tác dụng thì lực dọc trong từng cặp thẳng hàng sẽ bằng nhau. (N1 = N3, N2 = N4) 36
c. Ví dụ: Cho kết cấu dàn nh− hình vẽ. Hãy tính nội lực trong các thanh. b a B1'2' 3' d A 1 2 3 b a 3d P P Giải: • Ph−ơng pháp tách tiết điểm : (Tách nút) Tách nút 3 : ∑X = 0. => N23 = 0 ∑Y= 0. => N33’ = P Tách nút 3’ : 0 ∑X = 0. => -N2’3’ - N23’ cos45 = 0 0 ∑Y= 0. => -N3’3’ - N23’ cos45 = 0 => N2’3’ = N33’ = P N N = - 33' =P 2 23’ cos450 • Ph−ơng pháp mặt cắt : Dùng mặt cắt a-a: Xét cân bằng nửa bên phải mặt cắt 0 ∑Y= 0. =>N1’2. cos45 - P- P= 0 2P =>N = = 2P 2 1’2 cos450 0 ∑X= 0. =>N1’2. cos45 + N12 + N1’2’ = 0 0 => N12’ = - N1’2.cos45 - N1’2 Với N1’2 = 2P 2 ; N1’2’= N2’3’ = P => N12 = -3P; 37
Dùng mặt cắt b-b để tính nội lực các thanh: A1; A1’; B1’. Xét cân bằng nửa bên phải. ∑Y= 0. =>NA1’ = -2P 2 2P =>N = = 2P 2 1’2 cos450 ∑MA= 0. =>NB1’ = 5P; ∑M1’= 0. =>NA1 = -3P; 3. Cách tính các loại dàn phẳng tĩnh định hay gặp trong cầu dàn. a. Dàn có biên song song. Cho sơ đồ kết cấu: ( hình vẽ ). a C 1' 1' D 4m A B a 123 P P P 4x4m RA RB Yêu cầu :Tính lực dọc trong các thanh: Giải: • B−ớc 1:Tính phản lực gối. Xét cân bằng cả dàn: ∑Y= 0. =>RA =RB =3P; Do kết cấu đối xứng chịu tác dụng của tải trọng đối xứng. => RA = RB = 1.5P • B−ớc 2: Tính lực dọc trong thanh dàn: N3 Do tính đối xứng nên ta chỉ tính nội lực cho nút dàn. A α Thanh AC, A1: Tách nút A. N2 ∑Y= 0. =>NAc .sinα + RΑ =0; RA=1.5P 38
RA 1.5P 4 2 => N AC = = - ; sinα = = sinα sinα 2422+ 5 ∑ X = 0. =>NA1 +N AC ì cosα =0; =>NA1 =-N AC .cos α =1.5Pì cotg α =0.75P; Thanh C1, C1’, A1: Dùng mặt cắt a-a. Xét cân bằng nửa bên trái. ∑Y= 0. =>NC1 .sinα − RΑ =0; R 1.5P =>N = A = 5 ; C1 sinα 2 ∑MC= 0. =>NA1 .4 − RΑ .2 = 0; =>NA1 = 0,5.RΑ = 0.75P; ∑M1= 0. =>NC1’ = RΑ =1.5P. b. Tính dàn có biên không song song (Biên hình đa giác). Khái niệm: Dàn có biên không song song là dàn có biên trên hoặc biên d−ới hình đa giác. Ví dụ: Cho dàn có biên không song song chịu tải trọng nh− hình vẽ. Hãy tính nội lực các thanh a, b, c bằng ph−ơng pháp Giải tích. 3' H a α 1' 2' 4' 5' 3m c a 4 6m 5 b H A ° 12345 B 100 KNa 80 KN 100 KN A RB R 6x6m Giải: • Tính các phản lực: Xét cân bằng cả dàn NA1' =Na 4 5 => R =140 KN. A ° B NA1 • Tính lực dọc các thanh dàn: RA - Thanh a: 0 Tách nút A: ∑Y= 0. =>Na .sin45 + RΑ =0 39
R =>N = A = -140 5 KN. a sin45 - Thanh b: Dùng mặt cắt a-a nh− hình vẽ: Xét đến cân bằng phần dàn bên trái mặt cắt a-a. Gọi I là giao điểm của đ−ờng kéo dài hai thanh 2’3’ và 23. Ta dễ dàng chứng minh đ−ợng: I=A. ∑MI= 0. =>NΒ .rb +100.6 + RA =0 600 =>NΒ = rb Tính rb: là khoảng cách từ điểm I (A) tới thanh b. 3.6 rb = (Tam giác AH3 vuông cân tại H có cạnh huyền = 3.6m) 2 −100 2 Vậy: NΒ = KN. 3 - Thanh c: Tách nút 3’: 3' ∑X= 0. =>N2’3’ sinα+ N3’4’ sinα =0; N2'3' N2'3' α =>N2’3’ = N3’4’ NC ∑Y= 0. =>NC +2 N2’3’ cosα = 0; =>NC = -2 N2’3’ cosα . - Tính N2’3’ : Dùng mặt cắt a-a Xét cân bằng bê trái. 0 ∑Y= 0. => N2’3’ cosα + RΑ - 100 - NB . cos45 = 0; 100 2 100 + (− 2. ) −140 − 220 => N = 3 2 = . 2’3’ cosα cosα Thay N2’3’ vào NC: 40
440 N = -2 N cosα = KN. C 2’3’ 3 d. Dàn tổ hợp: • Dàn tổ hợp: là dàn đ−ợc cấu tạo gồm dàn lớn và các dàn nhỏ. 1' a 2' b 3' 4' 5' 4m 6 8 10 12 14 16 4m B A 7 1 9 2 b 11 3 13 4 15 5 17 b 10 KN 100 KN 10 KN 100 KN 100 KN 10 KN RB RB 12x4m • Cấu tạo Dàn nhỏ: có 2 loại 6 4m 4m A 7 1 2x4m 10 KN 2x4m VB V1 • Nguyên tắc chịu lực trong dàn tổ hợp: - Dàn nhỏ (dàn tăng c−ờng) chịu tác dụng trực tiếp của tải trọng sẽ phân tác dụng của tải trọng trên cả dàn phụ và dàn chính thông qua các liên kết giữa dàn phụ và dàn chính. - Dàn lớn: Nếu tải trọng đặt tại tiết điểm của dàn chính thì chỉ dàn chính chịu tác dụng của tải trọng. - Trong dàn tổ hợp trên: Tải trọng tác dụng các tiết điểm 7, 11, 13, 17 là tác dụng lên dàn phụ. Còn tải trọng tác dụng lên các nút 1, 3, 5 là tác dụng lên dàn chính. • Cách xác định Nội lực trong các thanh dàn: Trong dàn tổ hợp ta chia làm 3 loại thanh: 41
Thanh riêng dàn nhỏ: (Các thanh 67, 89, 10.11, 61, ) Để tính thanh này ta tách riêng dàn nhỏ ra để tính. Thanh riêng dàn lớn: (Các thanh: 1’2’; 4’5’; 11’; 22’; 33’; 44’; 55’ ) Có hai cách tính thanh này: - Cách 1: Phải tách riêng các dàn phụ ra khỏi dàn chính sau khi đã truyền các lực từ dàn phụ sang. Tính thanh riêng dàn chính ở dàn chính. - Cách 2: Tính trực tiếp trên dàn tổ hợp nếu có thể tính đ−ợc. • Thanh chung (A1, 12, 45, 5B, 2’3’, 3’4’ ) Có hai cách tính thanh chung: - Cách 1: Tính riêng ở dàn phụ và tính riêng ở dàn chính (sau khi đã tách dàn phụ và truyền lực lên dàn chính) và cộng lại với nhau. - Cách 2: Tính trực tiếp trên dàn tổ hợp nếu có thể tính đ−ợc. • Ví dụ áp dụng: Cho dàn tổ hợp chịu tải trọng nh− ở hình trên. Hãy tính lực dọc trục trong các thanh: • Thanh riêng dàn phụ: 67; 18; 61 • Thanh riêng dàn chính; 1’2’; 22’ • Thanh chung: 2’3’; A7. Giải • Tính các phản lực: Xét cân bằng cả dàn: ∑MA= 0. N67 =>R .4.12 -10.4.11 - 100.10.4 - 10.4.1 -10.4.5 - 100.4.2 A7 71 B N 7 N -10.4.1 = 0; 10 KN => RB = 170 KN. N61 Do kết cấu đối xứng chịu tải trọng đối xứng nên: 45 NA7 1 RA = RB = 170KN. V1=5 KN • Tính nội lực các thanh riêng dàn phụ: 67; 18; 61 42
Tách dàn nhỏ A716: Các phản lực: VA = VB = 5KN. - Tách nút 7: ∑Y= 0. =>N67 = 10; - Tách nút 1: ∑Y= 0. =>N61 .cosα + V1 = 0; V1 =>N =- = - 5. 2 KN. 61 cos45 Tách dàn nhỏ 1289: Dàn nhỏ 1289 không có tải trọng tác dụng => Nội lực các thanh bằng 0 => N18 = 0. - Tính các thanh riêng dàn chính: 1’2’; 22’. Dùng mặt cắt a-a nh− hình vễ: Xét cân bằng phần bên trái mặt cắt a-a: ∑ M21'2'A = 0 =>N .8 + R .4.4 -10.4.3 -100.4.2 = 0; =>N1'2' = -2. RA + 5. 3 + 100 = 115 -2.170 =225 KN. - Tính các thanh chung: 2’3’; A7. - Tính thanh 2’3’: N2’3’ , tính theo hai cách: Cách 1: Tính trực tiếp trên dàn tổ hợp. Dùng mặt cắt b-b: Xét cân bằng phần dàn bên trái mặt cắt. ∑ M32'3'A = 0 =>Nì 8 +R .4.6 - 10.4.5 - 100.4.4 = 0; 10.4 . 5 + 100 . 4 . 4 -170.4.6 => NKN==−285 2'3' 8 Cách 2: Tính riêng trên từng dàn chính và dàn phụ sau đó cộng lại: C P N2’3’ = N 2’3’ + N 2’3’ 2' 3' Tách dàn phụ 2’-3’-10-11: 10 V2’ = V3’ = 5KN. V2'=5 V3'=5 KN Tách nút 2’: 10 KN 0 ∑Y= 0. => V2’ = N2’10 .cos 45 43
P 0 ∑X= 0. => N 2’3’ = - N2’10 .cos 45 P => N 2’3’ = -V’2 = -5KN. Tính trên dàn chính: Truyền các phản lực V’2 và V’3 xuống dàn chính Dùng mặt cắt b-b,. Xét cân bằng nửa bên trái. ∑M3 = 0. =>N2’3’ = - 285KN 2.6. tr−ờng hợp tải trọng tác dụng gián tiếp. Cho kết cấu nh− hình vẽ. Để tính và vẽ biểu đồ nội lực của kết cấu ta thực hiện tính toán theo trình tự từ bản mặt cầu tr−ớc sau đó truyền phản lực từ bản mặt cầu xuống dầm chủ. Các biểu đồ mô men lực cắt đ−ợc vẽ nh− hình vẽ. 20 KN Bản mặt cầu 10 KN/m 10 KN/m Dầm ngang Dầm chủ 4m 4m 4m 4m 4m 20 KN 10 KN/m 10 KN/m 20 KN 20 KN 10 KN 30 KN 20 KN 4m 4m 4m 4m 4m 20 KN 10 KN30 KN 20 KN 4m 4m 4m 4m 4m RD=38 KN RD=42 KN M KN.m 152 168 224 38 256 18 8 M KN.m 22 42 44
Ch−ơng III: Tính kết cấu phẳng tĩnh định d−ới tác dụng của tải trọng di động. 3.1. Khái niệm đ−ờng ảnh h−ởng. 1. Khái niệm về tải trọng di động: - Trên các công trình cầu đ−ờng, tải trọng tác dụng chủ yếu là tải trọng xe cộ chạy trên đ−ờng, tải trọng bản thân của kết cấu và các nhân tố thiên nhiên nh− nhiệt độ, động đất gây ra chuyển vị c−ỡng bức tại các vị trí mố trụ cầu. - Tải trọng xe cộ ta gọi là tải trọng di động. Đó là loại tải trọng mà trong quá trình tác dụng không thay đổi về c−ờng độ, về ph−ơng chiều mà chỉ thay đổi về vị trí. - ứng với mỗi vị trí của tải trọng di động thì nội lực trong các bộ phận kết cấu sẽ có giá trị khác nhau. Với mỗi thành phần nội lực tại một mặt cắt của một bộ phận kết cấu nào đó sẽ có giá trị tuyệt đối lớn nhất ứng với một vị trị nào đó của tải trọng di động chạy trên kết cấu. Vị trí đó gọi là vị trí bất lợi nhất của kết cấu. Nội lực có trị tuyệt đối lớn nhất đó sẽ là Nội lực dùng để tính toán kết cấu. - Nhiệm vụ của ng−ời Kỹ s− thiết kế là phải nghiên cứu để đ−a ra đ−ợc qui luật thay đổi nội lực tại một mặt cắt bất kỳ của một bộ phận kết cấu d−ới tác dụng của tải trọng di dộng. Từ đó tìm ra vị trí bất lợi nhất của tải trọng di động và nội lực cực đại t−ơng ứng với vị trí bất lợi nhất của tải trọng Di động và nội lực cực đại t−ơng ứng với vị trí đó => Đ−a ra hình dạng, kích th−ớc, vật liệu của bộ phận kết cấu. - Đối với nghành Xây dựng Cầu Đ−ờng tải trọng di động là tải trọng bản thân xe cộ. Nh− vậy ph−ơng và chiều tác dụng là thẳng đứng và h−ớng từ trên xuống d−ới. 2. Khái niệm về đ−ờng ảnh h−ởng. Định nghĩa: Đ−ờng ảnh h−ởng (Đ.a.h) là đ−ờng biểu diễn qui luật biến đổi của một đại l−ợng cần nghiên cứu nào đó (Momen, lực cắt, lực dọc, phản lực, ) Khi có một lực p=1 di chuyển trên kết cấu theo một ph−ơng và chiều không đổi. 45
P=1 ⇒ C A B D l1 l l2 Đ.a.h S Các yếu tố của Đ−ờng ảnh h−ởng: - Ký hiệu Đ−ờng ảnh h−ởng của đại l−ợng S là: Đ.a.h S. - Chiều dài của Đ.a.h sẽ t−ơng ứng với chiều dài kết cấu mà lực p=1 di chuyển đ−ợc chiếu lên ph−ơng vuông góc với ph−ơng của lực p=1. - Đ.a.h phải là đại l−ợng có th−ớc đo và có dấu ( +, - ). P=1 ⇒ Đ.a.h S 46
3.2. Đ−ờng ảnh h−ởng của dầm tĩnh định đơn giản. 1. Đ−ờng ảnh h−ởng của dầm giản đơn: a. Đ−ờng ảnh h−ởng phản lực RA, RB: Xét lực P=1 có chiều h−ớng từ trên xuống d−ới và chạy từ A đến B. (Di động từ A đến B) trên dầm giản đơn AB có khẩu độ l. Gọi A là gốc toạ độ, trục x lấy theo chiều AB là d−ơng, x là khoảng cách từ gốc toạ độ đến lực P=1 gọi là toạ độ chạy. ( 0 ≤ x ≤ l ). y x P =1 x xk k RA l RB 1 Đ.a.h Va 1 Đ.a.h Vb x P =1 MK RA Q K RB l-xk xk Đ.a.h Mk 1 Đ.a.h Qk 1 Xét cân bằng dầm AB. ∑MB = 0. =>RA .l - p(l-x) = 0 p(l − x) =>R = A l 47
∑MA = 0. =>RB .l - p.x = 0 p.x =>R = B l Với P=1 => RA, RB là những hàm số tuyến tính đối với x => Biểu đồ là đ−ờng thẳng. Khi x = 0 => RA =1; RB = 0; Khi x = 0 => RA =0; RB = 1. => Đ.a.h RA ; Đ.a.h RB nh− hình vẽ. b. Đ−ờng ảnh h−ởng Mômen, lực cắt tại một mặt cắt. Xét mặt cắt k cách gốc toạ độ A là xK. Khi P=1 di động từ A đến mặt cắt K (Bên trái mặt cắt k ). Xét cân bằng phần dầm bên phải mặt cắt k. ∑MK = 0. =>MK - RA . xK = 0 =>MK = RA . xK ∑Y= 0. => QK = RA Từ Đ. a. h RA => Đ.a.h MK; Đ.a.h QK. Khi P=1 bên phải mặt cắt k. Ghép hai phần Đah lại ta đ−ợc các Đah MK, Đah QK nh− hình vẽ. 2. Đ−ờng ảnh h−ởng của dầm mút thừa. a. Đ−ờng ảnh h−ởng phản lực RA, RB. Xét dầm mút thừa nh− hình vẽ. Chọn gối A làm gốc toạ độ, x có chiều d−ơng từ trái sang phải. Xét lực p=1 có ph−ơng thẳng đứng, chiều từ trên xuống di động từ C đến A, đến B, rồi đến B. Toạ độ chạy x (-l ≤ x ≤ l1 +l2 ). Xét cân bằng dầm: ∑MB = 0. =>RA .l - 1.(l-x) = 0 48
y x P =1 CDK1 A K B K2 x a xk b l1 l l2 1 Đ.a.h Ra 1 Đ.a.h Rb l-xk xk Đ.a.h MK 1 Đ.a.h QK 1 a Đ.a.h MK1 1 Đ.a.h QK1 b Đ.a.h MK2 1 Đ.a.h QK2 1 Trái Đ.a.h QA 1 Phải Đ.a.h QA 1 1 Phải Đ.a.h QB 1 Trái Đ.a.h QB 1 49
l − x => R = A l ∑MA = 0. =>RB .l - 1.(l-x) = 0 x => R = B l Khi x = 0 thì RA = 1, RB =0; Khi x = l thì RA = 0, RB =1. l + l1 − l2 Khi x = -l => R = ; R = 1 A l B l Khi x = l => RA = 0, RB = 1. − l2 l + l2 Khi x = l + l => R = ; R = . 2 A l B l => Đah RA , RB của dầm mút thừa cũng là đah RA, RB của dầm giản đơn nh−ng đ−ợc kéo dài với hết mút thừa. b. Đah Mômen, lực cắt tại 1 mặt cắt nằm trong 2 gối A, B. Để vẽ đah MK, QK ta làm t−ơng tự nh− với dầm giản đơn ta đ−ợc đah MK, QK của dầm giản đơn chỉ việc kéo dài về 2 phia. c. Đ.a.h M, Q tại các mặt cắt nằm ngoài 2 gối A, B. Xét mặt cắt K1 cách đầu dầm C một đoạn a (0 ≤ x ≤ l1). Khi P=1 bên trái mặt cắt K1. x1 P=1 M Xét cân bằng phần dầm bên trái mặt cắt K . K1 1 C K1 - - ∑MK1 = 0. => MK1 = P.x1 = x1. a Q K1 ∑Y= 0. => QK1 = -1. Khi P = 1 bên phải mặt cắt K1. Xét cân bằng phần dầm bên phải mặt cắt K1. ∑MK1 = 0. => MK1 = 0. ∑Y= 0. => QK1 = 0. Xét mặt cắt K2 bên phải mặt cắt B và cách đầu D một đoạn b (0 ≤ b ≤ l2). Khi P1 bên trái mặt cắt K2. 50
Xét cân bằng đoạn bên phải mặt cắt K2 => MK2 =0; QK2 = 0. Khi P=1 bên phải mặt cắt K . 2 x2 P=1 Xét cân bằng phần bên phải: => MK2 = -x2; QK2 = 1. MK2 K2 C => Đah MK1 , QK1 . Đah M , Q . a K2 K2 QK2 d. Đah QA, QB . A, B là hai gối của dầm vì vậy lực cắt tại mặt cắt sát gối ở bên trái và bên phải sẽ khác nhau. • Xét tại A: A Tr - Xét Q A Tr Ph Q A Q A Tr Khi P=1 bên trái mặt cắt A. => QK =-1. Ph R A Khi P=1 bên trái mặt cắt A. => QK =0. Ph - Xét Q A Tr Khi P=1 bên trái mặt cắt A. => QA =-RB Ph Khi P=1 bên trái mặt cắt A. => QA =RA • Xét tại gối B: Tr - Xét Q B B Khi P=1 bên trái mặt cắt B. => Q Tr =-R . B B Tr Ph Ph Q B Q B Khi P=1 bên trái mặt cắt B. => QB =RA. Ph R - Xét Q B B Tr Khi P=1 bên trái mặt cắt B. => QB =0. Ph Khi P=1 bên trái mặt cắt B. => QB =1. Tr Ph Tr Ph Đah QA ;QA ;QB ;QB ; Nhận xét: Đ−ờng ảnh h−ởng lực cắt tại mặt cắt bên trái gối và bên phải gối của dầm mút thừa khác nhau hoàn toàn. 51
3.3. Đ−ờng ảnh h−ởng của dầm tĩnh định nhiều nhịp. 1. Tr−ờng hợp tải trọng tác dụng trực tiếp. • Cho hệ Dầm tĩnh định gồm hai Dầm: - Dầm mút thừa ABC . - Dầm giản đơn CD. • Trong hệ Dầm trên ta thấy ngay: - Dầm ABC là Dầm chính. - Dầm CD là Dầm phụ. • Ta vẽ các Đah phản lực, mô men, lực cắt tại một mặt cắt nào đó trên Dầm phụ và Dầm chính. 52
K H K1 A B C a b l1 l2 l3 K1 C H A B 1 Đ.a.h RH 1 Đ.a.h RC b Đ.a.h MK1 1 Đ.a.h QK1 1 1 Đ.a.h RA Đ.a.h RB 1 a Đ.a.h MK 1 Đ.a.h QK 1 1. Xét Dầm phụ thuộc CD: Dầm CD là Dầm phụ, ABC Dầm chính do vậy khi P=1 di dộng trên Dầm ABC hoàn toàn không ảnh h−ởng tới Dầm CD. Do đó Đah phản lực và các Đah nội lực trên Dầm CD sẽ có giá trị bằng trên Dầm ABC. CD là Dầm giản đơn vì vậy các Đah RC, RD, MK2, QK2 đ−ợc vẽ nh− hình vẽ. 2. Xét Dầm cơ bản ABC: 53
a. Dầm ABC là Dầm mút thừa do đó các Đah RA,RB, MK1, QK1 khi P=1 di động trên Dầm ABC đ−ợc vẽ nh− hình vẽ. b. Khi P=1 di động trên Dầm phụ thuộc CD sẽ gây ta nội lực trên Dầm cơ bản ABC thông qua phản lực tại khớp trung gian C. Tách Dầm phụ thuộc CD và truyền phản lực RC xuống Dầm cơ bản, xét cân bằng Dầm cơ bản ABC. l2 ∑MB = 0. => RA .l1 + RC.l2 = 0. => RA =- .RC l1 l1 + l2 ∑MA = 0. => RB .l1 - RC.(l1 + l2)= 0. => RB = .RC l1 Đah MK1, QK1: Xét cân bằng đoạn Dầm bên trái mặt cắt K1 l2 ∑Y = 0. => QK1 = RA = - .RC l1 l2 ∑MK1 = 0. => MK1 = RA .a = - .a.RC l1 Dựa vào Đah RC đã vẽ ta vẽ đ−ợc Đah RA, RB, MK1, QK1 trên đoạn CD. TR PH Các Đ−ờng ảnh h−ởng RA, M1, Q1, M2, Q2, M3 ,Q3,QB , QB , MB: 3. Nhận xét: Sau khi đã vẽ các Đ−ờng ảnh h−ởng nội lực và phản lực của Dầm tĩnh định nhiều nhịp ta rút ra những nhận xét sau: Đah là những đoạn thẳng. Khi lực P=1 tác dụng trên 1 gối nào đó thì phản lực ở các gối khác và M, Q ở mặt cắt bất kỳ trên kết cấu đều bằng 0. Đah phản lực và nội lực của Dầm phụ thuộc chỉ có tung độ trên Dầm phụ thuộc đó. Các tung độ trên Dầm cơ bản bằng 0. Nếu kết cấu có nhiều bộ phận cơ bản thì Đ−ờng ảnh h−ởng nội lực hoặc phản lực của đoạn Dầm cơ bản này có tung độ bằng không trên các đoạn dầm cơ bản khác. 54
2. Tr−ờng hợp tải trọng tác dụng gián tiếp. ABk C 4m 2m 2m 4m 6m 6m Ra Đ.a.h Ra 1 6 Đ.a.h Mk 1 Đ.a.h Qk 1 Để vẽ các Đ−ờng ảnh h−ởng phản lực và nội lực của Dầm chủ khi tải trọng di động tác dụng gián tiếp trên bản mặt cầu ta thực hiện theo trình tự sau: B−ớc 1: Vẽ Đ−ờng ảnh h−ởng khi P=1 tác dụng trực tiếp trên Dầm chủ. B−ớc 2: Nối các tung độ của Đ−ờng ảnh h−ởng đã vẽ ở b−ớc 1 tại các vị trí t−ơng ứng với các dầm ngang với nhau ta đ−ợc Đ−ờng ảnh h−ởng cần vẽ. 55
3.4. Đ−ờng ảnh h−ởng nội lực các thanh trong dμn phẳng tĩnh định 1. Các ph−ơng pháp vẽ Đ.a.h Nội lực các thanh trong dàn tĩnh định: Ph−ơng pháp giải tích đ−ợc chia làm hai ph−ơng pháp: Ph−ơng pháp tiết điểm. Xét 2 tr−ờng hợp : Tr−ờng hợp 1: Tải trọng P=1 di động ngoài khoang mà mặt cắt cắt qua, và phía bên trái mặt cắt đó. Tr−ờng hợp 2: Tải trọng P=1 di động ngoài khoang mà mặt cắt cắt qua, và phía bên phải mặt cắt đó. Ph−ơng pháp mặt cắt. Xét 2 tr−ờng hợp: Tr−ờng hợp 1: Tải trọng P=1 đặt tại tiết điểm. Tr−ờng hợp 2: Tải trọng P=1 không đặt tại tiết điểm. Trong dàn tĩnh định, các Đ.a.h phản lực gối đ−ợc vẽ t−ơng tự nh− Đ.a.h phản lực gối của dầm tĩnh định. 56
2. Bài toán a, Bài toán Dàn có biên song song.: Vẽ đ.a.h phản lực RA, RB và Nội lực các thanh a, b, c, d và e bằng ph−ơng pháp giải tích. Thanh biên trên 1'c 2' 3' 4' 5' e a b h A 1 2 3 4 5 B d Thanh biên d−ới 6d 1 Đ.a.h RA 1 Đ.a.h RB Đ.a.h Na 1/sinα Đ.a.h Nb 1 Đ.a.h Nc 2d/h Đ.a.h Nd d/h 1/sinα Đ.a.h Ne Giải. Đah Na: Tách nút A Khi P=1 đặt tại A: ∑Y = 0. => NA = 0. 57
Khi P=1 di động từ 1 đến B: ∑Y = 0. => NA .sinα + RA = 0. R => N = - A . a sinα 1 Đah Na = - . RA sinα Nb=1 Đah Nb: Tách nút 1: N1A 1 N12 Khi P=1 đặt tại 1: P=1 ∑Y = 0. => Nb -1 = 0. => Nb =1 Nb=0 Khi P=1 đặt tại các nút còn lại: N1A 1 N12 ∑Y = 0. => Nb =0. 2. Ph−ơng pháp mặt cắt : Vẽ Đah các thanh c, d, e. Ta sẽ vẽ các Đah Nc, Nd , Ne dựa vào Đah RA, RB. Khi P=1 di động từ A đến 1: Xét cân bằng phần dàn bên phải mặt cắt 1-1: 1 ∑Y = 0. => N .sinα + R = 0. => N =- . R e B e sinα B 1 =>ĐahN =- .Đah R e sinα B 4d ∑m = 0. => N .h + R .4d = 0. => N =- . R 2 C B c h B 4d => ĐahN =- .Đah R c h B 5d ∑m = 0. => N .h + R .5d = 0. => N = . R 1’ d B d h B 5d => ĐahN = .Đah R d h B Khi P=1 di động từ 2 đến B: Xét cân bằng phần dàn bên trái mặt cắt 1-1: 58
1 ∑Y = 0. => N .sinα − R = 0. => N = . R e A e sinα A 1 =>ĐahN = .Đah R e sinα A 2d ∑m = 0. => N .h + R .2d = 0. => N =- . R 2 C A C h A 2d => ĐahN =- .Đah R c h A d ∑m = 0. => N .h − R .d = 0. => N = . R 1’ d A d h A d => ĐahN = .Đah R d h A Sau khi vẽ đ−ợc các Đ−ờng ảnh h−ởng t−ơng ứng với hai tr−ờng hợp trên ta lần l−ợt nối các tung độ Đah tại các nút 1 và 2 của từng Đah ta đ−ợc các Đah nh− hình vẽ. 59
b. Dàn tổ hợp: Cho dàn tổ hợp nh− hình vẽ . Hãy vẽ Đah các thanh a, b, c, d, e. 1' 1 2' b 3' 4' 5' a d 6 8 10 e 12 14 16 b d d A 7 1 c 9 2 11 3 13 4 15 5 17 B 1 b RB RB 12d 1 Đ.a.h RA 1 Đ.a.h RB Đ.a.h Na 1 Đ.a.h Nc 2 2 Đ.a.h Nb 2 Đ.a.h Nd 1 Đ.a.h Ne 1 60
Trong dàn tổ hợp gồm: Thanh riêng dàn nhỏ, thanh riêng dàn lớn và thanh chung. Với mỗi loại thanh ta sẽ có các Ph−ơng pháp vẽ Đ−ờng ảnh h−ởng khác nhau. Thanh riêng dàn nhỏ: Do thanh riêng dàn nhỏ chịu tải trọng cục bộ trong phạm vi dàn nhỏ. Do vậy ta dùng Ph−ơng pháp tiết điểm vẽ riêng Đah thanh đó. Thanh riêng dàn lớn: Có 2 cách vẽ: Cách 1: Vẽ trực tiếp trên dàn tổ hợp nếu vẽ đ−ợc. Cách 2: Vẽ trên dàn lớn nh−ng phải chú ý đến sự truyền lực từ dàn nhỏ sang dàn lớn. Thanh chung : Cách 1: Vẽ trực tiếp trên dàn tổ hợp nếu vẽ đ−ợc. Cách 2: Vẽ riêng Đah thanh đó trên dàn lớn và dàn nhỏ sau đó cộng lại. áp dụng vào bài toán trên: Vẽ Đah Na, Nb, Nc: Thanh a là thanh riêng dàn lớn ta vẽ trực tiếp trên dàn tổ hợp . Thanh b, c là thanh chung ta cũng vẽ đ−ợc trực tiếp trên dàn tổ hợp. Dùng mặt cắt 1-1 nh− hình vẽ . Khi P=1 di động từ A đến 1: Xét cân bằng phần dàn bên phải mặt cắt 1-1: 10d ∑m = 0. => N .h + R .10d = 0. => N =- . R =-5 R 1 a B a h B B 8d ∑m = 0. => N .h − R .8d = 0. => N = . R =4R 2’ c B c h B B 1 ∑Y = 0. => Nb .sinα − RB = 0. => Nb = . RB = 2 . RB sinα Khi P=1 di động từ 9 đến B: Xét cân bằng phần dàn bên trái mặt cắt 1-1: 2d ∑m = 0. => N .h + R .2d = 0. => N =- . R =- R 1 a A a h A A 4d ∑m = 0. => N .h − R .4d = 0. => N = . R =2R 2’ c A c h A A 61
1 ∑Y = 0. => Nb .sinα + RA = 0. => Nb = - . RA =- 2 . RA sinα Trên đoạn 19 ta nối hai tung độ Đah tại hai đầu 1 và 9 lại với nhau ta đ−ợc Đah lực dọc của các thanh nh− hình vẽ. Vẽ Đah Nd, Ne: Dùng Ph−ơng pháp tiết điểm. Thanh d: Là thanh riêng dàn nhỏ. Tách tiết điểm 9. Nd=1 Ne=1 Khi P=1 tác dụng tại 9. Nd = 1. 9 3 Khi P=1 không tác dụng tại 9. P=1 P=1 Nd = 0. Nb=0 Ne=0 Thanh e: Là thanh riêng dàn lớn. Tách tiết điểm 3. 9 3 Khi P=1 tác dụng tại 3. Nd = 1. Khi P=1 không tác dụng tại 3. Nd = 0. 62
3.5. Đ−ờng ảnh h−ởng của vòm ba khớp . Xét kết cấu vòm 3 khớp nh− hình vẽ . C K ϕK f yK H A B H xK l1 l2 VA l VB A K C B 0 0 VA VB 1 Đah.VA 1 Đah.VB l 1 f Đah.H l1.y f K xK x Đah.M K K l1.sin ϕ f K cosϕK cosϕK Đah.Q K cosϕK l1.cosϕ f K sin ϕK sin ϕK Đah.N K sin ϕ K 63
Ta có các công thức: M 0 Phản lực : V = V 0; V = V 0; H= C A A B B f Nội lực tại mặt cắt K: 0 MK = M K - H.yK; 0 QK = Q K .cosϕK− H. sinϕK; 0 NK = -Q K .sinϕK− H. cosϕK; Trong đó: 0 0 0 VA ; VB ; M C là phản lực tại gối A, B và mô men tại mặt cắt C t−ơng ứng của Dầm giản đơn có cùng khẩu độ. 0 0 M K ;Q K là mô men và lực cắt tại mặt cắt K của Dầm giản đơn . Vậy ta có công thức dùng để vẽ các Đ−ờng ảnh h−ởng trong vòn 3 khớp. Phản lực : 0 Đah VA = Đah VA ; 0 Đah VB =Đah VB ; 1 Đah H= .Đah M0 ; f C Nội lực tại mặt cắt K: 0 Đah MK =Đah M K - yK .Đah H; 0 Đah QK = cosϕK .Đah Q K − sinϕK .Đah H; 0 Đah NK = - sinϕK .Đah Q K − cosϕK .Đah H; Dựa vào các Đ−ờng ảnh h−ởng phản lực và nội lực trên Dầm giản đơn có cùng khẩu độ ta vẽ đ−ợc các Đ−ờng ảnh h−ởng phản lực và nội lực của vòm 3 khớp có cao độ khớp chân vòm bằng nhau nh− hình vẽ. 64
2. Vẽ Đ−ờng ảnh h−ởng của vòm 3 khớp bằng Ph−ơng pháp điểm không. Fn Fm ϕK Fq C K f yK A B xK l1 l2 l xK Đah.M K cosϕK Đah.Q K c κ 1 sin ϕK 1 a1 κ sin ϕK 2 Đah.N 0 0bK Fn a. Nội dung của Ph−ơng pháp : - Ph−ơng pháp điểm không dựa trên cơ sở tìm vị trí tác dụng của tải trọng P=1 mà ứng với vị trí đó mô men hoặc lực cắt, lực dọc tại 1 mặt cắt nào đó bằng 0. 65
- Sauk hi xác định đ−ợc điểm không ta sẽ kết hợp với các điểm không khác đã có (Các vị trí gối nối với đất ) để vẽ Đ−ờng ảnh h−ởng nội lực trên cơ sở Dầm giản đơn (Hoặc hệ Dầm tĩnh định) có gối là các điểm không đã tìm đ−ợc. • Đ−ờng ảnh h−ởng MK - Quan sát trên Đ−ờng ảnh h−ởng MK đã vẽ ta thấy: Đoạn đầu tiên của Đah MK giống nh− Đah Mô men tại mặt cắt K của Dầm giản đơn có chiều dài t−ơng ứng lm là khoảng cách từ gối A tới điểm Fm có mô men bằng 0. - Vậy nếu xác định đ−ợc điểm FM ta có thể vẽ đ−ợc Đah MK - T−ơng tự với Đah NK và QK ta cũng vẽ đ−ợc nếu nh− xác định đ−ợc điểm không FN, FQ t−ơng ứng. b. Cách vẽ Đah MK, QK, NK bằng Ph−ơng pháp điểm không . • Đ−ờng ảnh h−ởng MK - Kẻ đ−ờng thảng đi qua khớp đỉnh vòm và khớp chân vòm phía bên kia mặt cắt. (d1); - Kẻ đ−ờng thẳng đi qua khớp chân vòm còn lại và di qua mặt cắt K. (d2); - Đ−ờng d1 và d2 cắt nhau tại FM. - Chiều dài lm chính là hình chiếu bằng của đoạn nối khớp A với FM. l. j.xK - Dựa vào quan hệ hình học ta có: lm = ; l = l1 + l2 yK .l2 + xK . f - Vẽ Đ−ờng ảnh h−ởng MK của Dầm một đầu thừa có khẩu độ nhịp chính là lm, đầu thừa là l1-lm. Sau đó vẽ tiếp trên Dầm Phụ thuộc CB ta sẽ vẽ đ−ợc ĐAH MK. (Tr−ờng hợp lm l1 ta sẽ xét sau (Th−ờng gặp khi vẽ ĐAH trong khung 3 khớp). • Đ−ờng ảnh h−ởng QK: - Xác định điểm không Fq; - Kẻ đ−ờng thẳng đi qua khớp đỉnh vòm và khớp chân vòm phía bên kia mặt cắt. (d1); - Kẻ đ−ờng thẳng đi qua khớp chân vòm còn lại và song song với tiếp tuyến của đ−ờng congvòm tại K. (d3); - Đ−ờng d1 và d3 cắt nhau tại FQ. 66
- Chiều dài lq chính là hình chiếu bằng của đoạn thẳng nối FQ với khớp chân vòm phía mặt cắt K. - Chiều dài lq xác định bằng quan hệ hình học. • Cách vẽ Đ−ờng ảnh h−ởng QK: • Vẽ Đ−ờng ảnh h−ởng QK của Dầm có chiều dài lq sau đó nhân với (cosϕK) kéo dài về phía phải gặp đ−ờng dóng từ C xuống tại 1 điểm, nối điểm đó với điểm bằng không ở gối B ta đ−ợc Đ−ờng ảnh h−ởng QK của vòm 3 khớp. • Đ−ờng ảnh h−ởng NK: - Xác định điểm không FN: - Kẻ đ−ờng thẳng d4 đi qua khớp chân vòm có mặt cắt K và vuông góc với tiếp tuyến của vòm tại mặt cắt K. - Hai đ−ờng d1 và d4 gặp nhau tại FN. - Dóng điểm FN xuống đ−ờng chuẩn ta đ−ợc điểm FN. - Tại điểm ứng với vị trí của gối A, từ đ−ờng chuản ta dóng lên 1 đoạn bằng sinϕK (đoạn aa1). Nối FN với a1, kéo dài gặp đ−ờng dóng từ K xuống ở K1và đ−ờng dóng từ C xuống ở C1. Nối c1b, từ a kẻ đ−ờng thẳng song song với a1c1 gặp đ−ờng dóng từ K xuống ở K2. Ta đ−ợc ak2k1kc1b là Đ−ờng ảnh h−ởng NK mang dấu âm. - Các Đ−ờng ảnh h−ởng MK, QK, NK nh− hình vẽ. 67
3.6. Công dụng của Đ−ờng ảnh h−ởng . 1. Dùng Đ−ờng ảnh h−ởng để tính nội lực của kết cấu : • Sauk hi đã vẽ đ−ợc các Đ−ờng ảnh h−ởng nội lực ta sẽ đi xác định nội lực do từng loại tải trọng gây ra. • Tải trọng tác dụng lên kết cấu gồm: - Tải trọng tập trung. - Tải trọng phân bố. - Mô men tập trung. a. Tải trọng tập trung. Xét Đ−ờng ảnh h−ởng S (S có thể là phản lực, mô men, lực cắt, lực dọc) chịu tác dụng của tải trọng tập trung từ P1, P2 tới Pn-1,Pn. Các tung độ Đ−ờng ảnh h−ởng S t−ơng ứng với các tải trọng P1, P2, , Pn-1, Pn là y1, y2, ,yn-1, yn. P1 P2 P3 Pn Đ.a.h S y1 y2 y3 yn Nội lực Sp do các tải trọng tập trung gây ra là: n Sp = P1.y1+P2.y2 + +Pn-1.Pn = ∑ Pi.yi. i=1 Trong đó tung độ Đ−ờng ảnh h−ởng S : Yi có thể mang dấu +, - hoặc bằng 0 n: là số tải trọng tập trung tác dụng . b. Tải trọng phân bố: Xét tải trọng phân bố q(x) tác dụng lên kết cấu có Đ−ờng ảnh h−ởng S. 68
x dx q(x) Tải trọng phân bố a b y Đ.a.h S a b Xét 1 phân tố lực tập trung : dp= qx.dx. Nội lực do dp gây ra : ds = y.dp = qx.y.dx. Vậy nội lực S do tập trung phân bố qx gây ra là : b S = ∫ qx.y.dx a Trong đó: qx là tải trọng phân bố. y: Là tung độ Đ−ờng ảnh h−ởng t−ơng ứng với qx. Nếu tải trọng phân bố đều : qx = q0 = const. qo Tải trọng phân bố đều Ωab b Đ.a.h S a b => S=q0. ∫ y.dx a Mặt khác : b Ω y.dx ab = ∫ là diện tích của Đ−ờng ảnh h−ởng S trên đoạn ab. a S = q0. Ωab c. Mô men tập trung : 69
Xét Đ−ờng ảnh h−ởng S có mô men tập trung M tác dụng : M PP Đ.a.h S a b y y+Δy Δx Ta Phân tích mô men M thành cặp ngẫu lực P với cánh tay đòn: Δx; M = P. Δx. Vậy nội lực S do cặp ngẫu lực gây ra là. S = P.(y+Δy)-Py = P. Δy M Mà P = Δx => S= M. Δy = M.tgϕ. Δx Nếu trên Đ−ờng ảnh h−ởng S có nhiều mô men tập trung tác dụng : n S = ∑ ± Mi.tgϕi. i=1 Trong đó: ϕ là góc tiếp tuyến của Đ−ờng ảnh h−ởng tại điểm có mô men tập trung tác dụng. Tích số (Mi.tgϕi ) mang dấu + nếu M quay thuận chiều Kim đồng hồ và ϕ góc là góc đồng biến. Hoặc M quay ng−ợc chiều KĐH và góc ϕ là góc nghịch biến. 70
d. Ví dụ: Ví dụ 1: Cho kết cấu nh− hình vẽ. Hãy tính M, Q tại mặt cắt K bằng Ph−ơng pháp dùng Đ−ờng ảnh h−ởng . 5 KN/m 20 KN K 40 KN.m C AB 4m 2m 2m 4m 2 Đ.a.h M K 1.5 1 3 1 0.5 Đ.a.h Q K 0.5 1 Giải: • B−ớc 1: Vẽ ĐAH MK, QK: Dầm ABC là Dầm mút thừa do đó ta vẽ ngay đ−ợc các ĐAH MK, QK; • B−ớc 2: Tính MK, QK: Tải trọng tác dụng lên Dầm gồm cả tải trọng tập trung, tải trọng phân bố và mô men tập trung. Do vậy nội lực sẽ tính theo công thức. n m S =∑ Pi.yi. + q0. Ωab + ∑ ± Mi.tgϕi. i=1 i=1 Tính MK: MK = 20.1 - 40.tgϕM - 5.0,5.3.4; tgϕM = 0.25. = -20 KN.m. Tính QK: QK = 20.0,5 - 40. tgϕQ +5.0,5.4; tgϕQ = 0.125. = 10 KN. 71
Ví dụ 2: Cho kết cấu nh− hình vẽ. Hãy tính các phản lực gối RA, RB , Nội lực các thanh Na, Nb, Nc bằng Ph−ơng pháp dùng Đ−ờng ảnh h−ởng. 3' H 2 α 1' 1 2' 4' 5' 2m b a 4 c 4m 5 A ° 1 2 3 4 5 B 1 20 KN 2 50 KN 100 KN A RB R 6x4m 1 5/6 1/2 1/6 Đ.a.h R A 1 5/6 1/6 1/2 Đ.a.h R B 2 1/3 Đ.a.h Nb 2/3 4/3 1 2 2/6 Đ.a.h Na 5 2 /6 2/2 2 2 2/3 Đ.a.h Nc 72
Giải: • B−ớc 1: Vẽ các ĐAH . Đah RA, Đah RB : Giống nh− Đah RA, Đah RB của Dầm giản đơn AB. Đah Na: Dùng Ph−ơng pháp tiết điểm: Tách nút A. Khi P=1 tác dụng tại A: RA=1. ∑Y = 0 => Na = 0. Khi P=1 tác dụng ngoài vị trí A: ∑Y = 0 => Na.sinα + RA = 0. 1 2 => Na = - R ; α=450 ; sinα = sinα A 2 => Na = - 2 RA Đah Nb: Dùng mặt cắt 1-1: Khi P=1 di động từ A->1: Xét cân bằng phần Dàn bên phải mặt cắt 1-1: ∑M2 = 0 => Nb.4 + RB.4.4 = 0. =>Nb = -4.RB Khi P=1 di động từ 2->B: Xét cân bằng phần Dàn bên trái mặt cắt 1-1: ∑M2 = 0 => Nb.4 + RA.4.2 = 0. =>Nb = -2.RA Đah Nc: Dùng mặt cắt 2-2: Ta dễ dàng Chứng minh đ−ợc A là giao điểm của hai thanh 23 và 2’3’. Khi P=1 di động từ A->2: Xét cân bằng phần Dàn bên phải mặt cắt 2-2: ∑MA = 0 => Nb.4 + RB.4.4 = 0. Dựa vào quan hệ hình học ta có: Tam giác AH3 là tam giác vuông cân tại H. 3.4 =>rc = = 6 2 m. 2 4 =>Nc = - .RB = -2 2 . RB . 2 Khi P=1 di động từ 3->B: Xét cân bằng phần Dàn bên trái mặt cắt 2-2: ∑MA = 0 => Nc.rc + RA.0 = 0. =>Nc = 0. 73
=> Đah Na, Nb, Nc nh− hình vẽ . • B−ớc 2: Tính nội lực các thanh bằng Đ−ờng ảnh h−ởng . Phản lực RA, RB. 5 1 1 175 R = 20. + 50. +100. = KN A 6 2 2 3 1 1 5 335 R = 20. + 50. +100. = KN B 6 2 6 3 Nội lực các thanh a, b, c: 5 2 2 2 175 2 N = -20. + 50. +100. = - KN a 6 2 6 3 1 290 N = -20. 2 - 50.1 -100. = - KN b 3 3 3 2 20 2 N = -20. = - KN c 3 3 74
Ví dụ 3: Cho kết cấu nh− hình vẽ. Hãy tính mô men, lực cắt tại các mặt cắt i, j bằng Ph−ơng pháp Đ−ờng ảnh h−ởng. 20 KN 40 KN.m 10 KN/m 100 KN.m 3m 3m 4m 2m 4m 4m 3m 3m 3 Đ.a.h Mi 1 1 Đ.a.h Qi 3 1.5 Đ.a.h Mj 2 2/3 1 0.5 Đ.a.h Qj 1 Giải: • B−ớc 1: Vẽ các Đah Mi, Qi, Mj, Qj. • B−ớc 2: Tính Mi, Qi, Mj, Qj bằng Đ−ờng ảnh h−ởng . Phải Mi = -20.3 = -60 KN.m 3 M Trái =- 20.3- 40. = -100 KN.m i 3 M Trái= -10.(0,5.8.2) + 100.tgϕ Phải = -130 KN.m; tgϕ Phải =- 1.5 j 3 75
M Phải= -10.(0,5.8.2) + 100.tgϕTrái = -30 KN.m; tgϕTrái = 1.5 j 3 0 Qi = 100.tg0 + 20.1 = 20 KN. trái Phải Qj = Qj = 10 KN. Chú ý: Nếu mô men tập trung đặt tại đỉnh của Đ−ờng ảnh h−ởng dạng tam giác hoặc đa giác (Tại vị trí có 2 giá trị ϕ là ϕ trái và ϕ phải) thì tại đó ta phải tính cả hai giá trị mô men bên trái và bên phải mặt cắt. Hai gá trị mô men M trái và MPhải sẽ cân bằng với mô men ngoại lực tại đó. M trái + MPhải +M = 0 M ϕ Phải ϕTrái M MMTrái Phải 100 KN.m M =130 M =30 KN.m Trái Phải 76
2. Vị trí bất lợi nhất của tải trọng. a. Định nghĩa: Vị trí bất lợi nhất của tải trọng là vị trí mà tải trọng đặt tại đó sẽ gây ra giá trị nội lực lớn nhất của đại l−ợng cần nghiên cứu . b. Đ−ờng ảnh h−ởng có dạng đa giác: P1 P2 P3 P4 Δx Δx Δx Δx c b α3 d α2 α4 y2 y3 y4 y1 e a Đah S y1+Δy1 y2+Δy2 y3+Δy3 y4+Δy4 Tr−ờng hợp 1: Khi giữ nguyên vị trí tác dụng của tải trọng: Nội lực t−ơng ứng là: S1= P1.y1 + P2.y2 + P3.y3 + P4.y4 Tr−ờng hợp 2: Dịch đoàn tải trọng sang bên phải một đoạn Δx: Nội lực t−ơng ứng là: S2= P1.(y1 + Δy1) + P2.(y2 + Δy2) + P3.(y3 + Δy3) + P4.(y4 + Δy4); Xét ΔS = S2-S1 = P1. Δy1+ P2. Δy2+ P3. Δy3+ P4. Δy4 Nếu ở tr−ờng hợp 1: S1 là nội lực lực lớn nhất thì : ΔS ΔS = Δx.(P1.tgα1+ P2.tgα2+ P3.tgα3+ P4.tgα4) 0 nên (P1.tgα1+ P2.tgα2+ P3.tgα3+ P4.tgα4) <0; 77
Vậy để ΔS ∑ Pi.tgαi ∑ Pi.tgαi > 0; (2) (Đoàn tải trọng dịch chuyển sang trái); Công thức 1 và 2 là điều kiện để xác định vị trí bất lợi nhất của đoàn tải trọng trên Đ−ờng ảnh h−ởng hình đa giac. Kinh nghiệm tính toán cho thấy: Khi tải trọng có trị số lớn nhất trong đoàn tải trọng đặt lên đỉnh Đ−ờng ảnh h−ởng có tung độ lớn nhất thì sẽ đ−ợc vị trí bất lợi nhất của tải trọng. Vậy để tìm đ−ợc vị trí bất lợi nhất của đoàn tải trọng trên Đ−ờng ảnh h−ởng ta thực hiện theo trình tự sau: • Đặt đoàn tải trọng lên Đ−ờng ảnh h−ởng saôch tải trọng lớn nhất trong đoàn ở vị trí có đỉnh cao nhất của Đ−ờng ảnh h−ởng . • Cho đoàn tải trọng xê dịch sang trái và sang phải một đoạn Dx. Sau đó kiểm tra lại hai điều kiện t−ơng ứng trong công thức1 và 2. Nếu thoả mãn thì vị trí đó là vị trí bất lợi nhất của tải trọng . c. Đ−ờng ảnh h−ởng có dạng tam giác. Xét đoàn tải trọng gồm các tải trọng tập trung P1, P2, , Pn. đặt trên Đ−ờng ảnh h−ởng tam giác trong đó có tải trọng P5= Pk tác dụng trên đỉnh Đ−ờng ảnh h−ởng. P1 P2 P3 P4 P56P P7 Pn Ptrái Pphải c α β Đah S a b 78
Gọi Ptrái và Pphải lần l−ợt là hợp lực của các lực bên trái và bên phải đỉnh Đ−ờng ảnh h−ởng . Nếu vị trí ta đang xét là vị trí bất lợi nhất của tải trọng thì phải thoả mãn điều kiện: Δx : Ptrái.tgα + ( Pphải+Pk).tgβ Phai (5) a b P P + P Δx : Trai Phai (6) a b 79
3.7. Tải trọng rải đều thay thế t−ơng đ−ơng. 1. Định nghĩa: • Tải trọng rải đều thay thế t−ơng đ−ơng là loại tải trọng rải đều quy đổi từ tải trọng thực tế đ−ợc đạt tại vị trí bất lợi nhất của tải trọng trên Đ−ờng ảnh h−ởng. • Vậy nội lực tính theo tải trọng t−ơng đ−ơng sẽ là: tđ Smax = q .Ω (1) Trong đó: Ω: Là diện tích Đ−ờng ảnh h−ởng t−ơng ứng với chiều dài đặt tải. qtđ: tải trọng t−ơng xếp trên Đ−ờng ảnh h−ởng. Mặt khác: S=∑Pi.yi+∑qi. Ωi (2) Trong đó: Ωi: Là diện tích Đ−ờng ảnh h−ởng t−ơng ứng với chiều dài đặt tải qi. qi: Tải trọngrải đều trên 1 phần Đ−ờng ảnh h−ởng. Pi.yi: Tải trọng tập trung và tung độ Đ−ờng ảnh h−ởng t−ớng ứng. Từ 1 và 2 : P.y + q .Ω => qtđ= ∑ i i ∑ i i Ω - Trong Xây dựng Cầu đ−ờng, ta th−ờng gặp đoàn tải trọng là đoàn ôtô, đoàn tàu hoả hay đoàn ng−ời. - Trong Quy Trình 79 của Bộ GTVT thì tất cả các tải trọng ôtô và xe hoả đều đ−ợc quy về tải trọng rải đều t−ơng đ−ơng và đ−ợc lập thành bảng tra sẵn dùng để tính toán thiết kế công trính cầu đ−ờng. Còn tải trọng ng−ời luôn đ−ợc lấy là: 300 Kg/m2. - Trong Quy Trình 2001 của Bộ GTVT thì tải trọng ôtô đ−ợc xếp trực tiếp trên Đ−ờng ảnh h−ởng. 2. Đoàn tải trọng ôtô: 80
• Tải trọng tiêu chuẩn ôtô đ−ợc chia làm các cấp sau: H6, H8, H10, H13, H30. Cách bố trí các đoàn xe ôtô: - Đoàn xe tiêu chuẩn: H6, H8, H10, H13. ⇒ H−ớng xe chạy 0.3P 0.7P 0.35P 0.95P 0.3P 0.7P 0.3P 0.7P 8m 4m 8m 4m 4m 4m 8m 4m 8m - Đoàn xe tiêu chuẩn: H30. ⇒ H−ớng xe chạy 0.2P 0.4P0.4P 0.2P0.4P 0.4P 0.2P 0.4P0.4P 10m 6m 1.6m 10m 6m 1.6m 10m 6m 1.6m • Đoàn tải trọng xe hoả: Chia làm 4 cấp: Cấp 1: Z10. ( Z=10T); Cấp 2:Z18 ( Z=18T); Cấp 3: Z22( Z=22T); Cấp 4: Z26 ( Z=26T); Cách bố trí các đoàn xe xe hoả: 1 2 3 45 0.42Z 0.3Z 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 8 81
4. Tìm vị trí bất lợi nhất đối với các đoàn ôtô và xe hoả: Việc tìm vị trí bất lợi nhất của tải trọng trên Đ−ờng ảnh h−ởng là t−ơng đối phức tạp. Trong quá trình tải trọng thiết kế, ng−ời ta th−ờng dùng tải trọng rải đều t−ơng đ−ơng qtđ do đó rất thuận lợi cho việc tìm vị trí bất lợi nhất của đoàn tải trọng. Đối với Đ−ờng ảnh h−ởng tam giác: Để có đ−ợc qtđ ta phải tra bảng căn cứ vào : Chiều dài Đ−ờng ảnh h−ởng (l). a Trị số: α = ; Đah S l a b Với : l a: Chiều dài theo ph−ơng ngang phần Đ−ờng ảnh h−ởng có cạnh ngắn hơn. Đah S l: Chiều dài Đ−ờng ảnh h−ởng. Đối với Đ−ờng ảnh h−ởng đa giác: Để tính đ−ợc nội lực ta dùng 1 trong Đah S hai cách: Cách 1: Xếp tải trực tiếp lên Đ−ờng ảnh h−ởng . Cách 2: Coi Đ−ờng ảnh h−ởng đa giác xấp xỉ là Đ−ờng ảnh h−ởng tam giác có đ−ờng cao là đỉnh cao nhất của Đ−ờng ảnh h−ởng đa giác. => qtđ. => Xác định vị trí bất lợi nhất. 82
bảng tảI trọng t−ơng đ−ơng của đoàn ô tô h-10 (T/m) Vị trí đỉnh của tam giác Vị trí đỉnh của tam giác λ (m) λ (m) ở giữa ở L/4 ở đầu ở giữa ở L/4 ở đầu 4 4.75 4.78 4.75 32 1.23 1.29 1.37 5 3.80 3.80 4.08 40 1.15 1.16 1.27 6 3.17 3.30 3.66 50 1.09 1.09 1.19 8 2.38 2.67 2.81 60 1.05 1.05 1.13 10 2.16 2.23 2.54 70 1.01 1.02 1.08 12 1.94 1.99 2.31 80 0.99 1.00 1.05 14 1.76 1.86 2.08 90 0.97 0.97 1.03 16 1.59 1.73 1.71 100 0.96 0.96 1.01 20 1.40 1.57 1.67 120 0.94 0.94 0.98 24 1.35 1.44 1.57 140 0.92 0.92 0.96 28 1.30 1.34 1.45 160 0.91 0.91 0.94 bảng tảI trọng t−ơng đ−ơng của đoàn ô tô h-30 (T/m) Vị trí đỉnh của tam giác Vị trí đỉnh của tam giác λ (m) λ (m) ở giữa ở L/4 ở đầu ở giữa ở L/4 ở đầu 4 7.20 6.80 9.60 32 1.76 2.06 2.46 5 6.53 7.55 8.06 40 1.76 1.90 2.29 6 5.87 6.58 6.93 50 1.76 1.79 2.17 8 4.80 5.20 5.47 60 1.76 1.78 2.08 10 4.03 4.29 4.70 70 1.74 1.74 2.02 12 3.47 3.80 4.10 80 1.74 1.74 2.00 14 3.16 3.40 3.62 90 1.74 1.74 1.97 16 2.89 3.08 3.24 100 1.72 1.74 1.93 20 2.45 2.57 2.87 120 1.72 1.72 1.90 24 2.13 2.22 2.78 140 1.70 1.71 1.68 28 1.93 2.13 2.60 160 1.70 1.71 1.68 83
bảng tảI trọng t−ơng đ−ơng của xe xb80 và x60 (T/m) XB80 có đỉnh ở XB80 có đỉnh ở X60 có X60 có λ (m) λ (m) ở giữa nhịp đỉnh bất kỳ ở giữa nhịp đỉnh bất kỳ ở đầu ở đầu vμ 1/4L vμ 1/4L 4 18.00 22.00 12.00 22 6.48 6.67 4.83 5 16.64 20.50 12.00 24 6.00 6.17 4.48 6 16.00 18.67 11.67 26 5.58 5.73 4.17 7 15.02 16.97 11.02 28 5.22 5.33 3.90 8 14.00 15.50 10.31 30 4.91 5.01 3.67 9 13.04 14.22 9.63 32 4.62 4.71 3.46 10 12.15 13.12 9.00 36 4.15 4.22 3.10 12 10.67 11.33 7.92 40 3.76 3.82 2.81 14 9.47 9.95 7.04 50 3.05 3.08 2.28 16 8.50 8.67 6.33 60 2.56 2.59 1.92 18 7.70 8.00 5.74 70 2.21 2.22 1.65 20 7.04 7.28 5.25 80 1.94 1.95 1.45 84
5. Ví dụ: Tính nội lực các thanh Na, Nb trong dàn sau bằng cách dùng tải trọng t−ơng đ−ơng khi có đoàn xe H30 chạy qua. b A B 10m a 6x10m 2 Đ.a.h Na 4/3 2 Đ.a.h Nb 5 2 /6 Giải: B−ớc 1: Vẽ Đ−ờng ảnh h−ởng Na, Nb; tđ tđ B−ới 2: Tra bảng tải trọng t−ơng đ−ơng để có: q a; q b; 20 Tính qtđ : Với l=60 m; a= =0.3333; H30. a 60 tđ Tra bảng và Nội suy => q a =1.7542 ( T/m). 10 Tính qtđ : Với l=60 m; a= =0.1667; H30. b 60 tđ Tra bảng và Nội suy => q a =1.912 ( T/m). B−ớc 3: Tính Na, Nb: 4 Na = qtđ . Ω =1.7542.(0.5. .60)= 70.168 T. a a 3 5 Nb = qtđ . Ω =1.912.(-0.5. 2 .60)=-67.5994 T. b b 6 85
Ch−ơng 4. Tính chuyển vị tại một điểm trên kết cấu tĩnh định. 4.1. Khái niệm biến dạng vμ chuyển vị. - D−ới tác dụng của các nhân tố : Tải trọng, nhiệt độ thay đổi và chuyển vị c−ỡng bức; kết cấu sẽ bị biến dạng uốn , kéo, nén hoặc tr−ợt, xoắn. - Biến dạng của kết cấu là tổng hợp các chuyển vị của tất cả các điểm trên kết cấu. Hay nói khác đi, khi kết cấu bị biến dạng, hầu hết các điểm trên kết cấu sẽ bị dịch chuyển tới vị trí mới . Sự dịch chuyển vị trí của 1 điểm khi kết cấu bị biến dạng gọi là chuyển vị của điểm đó. - Chuyển vị bao gồm : chuyển vị đ−ờng và chuyển vị góc xoay. - Xét kết cấu khung chịu tải trọng tác dụng nh− hình vẽ. D−ới tác dụng của tải trọng, điểm C sẽ dịch chuyển tới vị trí C’. k P C ΔiP ΔkP C' q AB i CC’ gọi là chuyển vị toàn phần của điểm C. CC’ đ−ợc phân tích thành 2 thành phần: ΔkP và ΔiP. ΔkP: Chuyển vị của điểm C theo ph−ơng k do tải trọng gây ra. ΔiP: Chuyển vị của điểm C theo ph−ơng i do tải trọng gây ra. Gọi δkPvà δiP Chuyển vị đơn vị của điểm C theo ph−ơng k và i do tải trọng gây ra. 86
ΔkP=δkP.P; ΔiP=δiP.P; Nếu trên kết cấu có n tải trọng tác dụng thì theo nguyên lý cộng tác dụng : n ΔkP=ΔkP1+ΔkP2+ΔkP3+ +ΔkPn=∑ (δkPi.Pi); i=1 n ΔiP=ΔiP1+ΔiP2+ΔiP3+ +ΔiPn=∑ (δiPi.Pi); i=1 Các giả thiết trong tính toán: - Vật liệu làm kết cấu là đàn hồi, đồng nhất và đẳng h−ớng. - Kết cấu làm việc trong giới hạn đàn hồi (Biến dạng nhỏ), do đó quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tuân theo định luật Hook. - Khi tính chuyển vị ta áp dụng nguyên lý cộng tác dụng. 87
4.2. Các khái niệm về công vμ nguyên lý công khả dĩ. Có rất nhiều Ph−ơng pháp tính chuyển vị nh−ng Ph−ơng pháp thông dụng nhất là Ph−ơng pháp: Dùng nguyên lý bảo toàn về công để tính chuyển vị . 1. Công thực của ngoại lực: PK A K EJ B Δkk K' P yA Δ O Δkk Δds Xét Dầm giản đơn chịu tác dụng của lực tập trung Pk tại K => Điểm K sẽ chuyển dịch tới K’. Công do Pk gây nên trên chuyển vị đơn vị Δds là vi phân công dT: Vậy công do Pk gây ra chuyển vị Δkk là: Δkk ΔΔkk kk Δ dT = P .Δds = Δds T= ∫ ∫∫x 0 00c Trong đó : c: là độ cứng đơn vị của kết cấu: Δ= Px.c. 2 => T= Δ 2c 1 => T= P.Δ 2 88
Đặc điểm: Do lực tăng dần từ giá trị 0 tới Pk nên trong biểu thức tính công của ngoại lực có thêm số 1/2 Công của mô men ngoại lực: 1 T= M.ϕ 2 Trong đó : ϕ: là góc quay tại mặt cắt có mô men tác dụng. b. Công thực của nội lực: P1 ds P2 M M+dM N N+dN Q Q+dQ ds D−ới tác dụng của ngoại lực, nhiệt độ thay đổi hay chuyển vị c−ỡng bức. (Với kết cấu siêu tĩnh). Trong kết cấu phát sinh nội lực. Tr−ờng hợp tổng quát, nội lực bao gồm 3 thành phần: M, Q, N. Xét kết cấu Dầm giản đơn chịu tác dụng của lực nh− hình vẽ . Xét phân tố có chiều dài dọc theo trục thanh là ds: Coi các nội lực trên 2 mặt cắt của phân tố là ngoại lực tác dụng . Ta đi tính thế năng biến dạng do từng thành phần gây ra. • Thế năng biến dạng đàn hồi do riêng lực dọc gây ra : EF N N ds ds+Δds 89
Theo Định luật Hook: N.ds Δds= ; EF ệ Thế năng biến dạng : 1 1 N 2 .ds ệ dU = N.Δds = . 2 2 EF • Thế năng biến dạng do M sinh ra: Δdϕ M EJ M ds D−ới tác dụng của M, phân tố ds chỉ bị quay đi một góc: Δdϕ Theo Định luật Hook: 1 M 2 .ds Δdϕ = . ; 2 EJ Thế năng biến dạng uốn: 1 1 M 2 .ds dU = M.Δdϕ = . M 2 2 2EJ • Thế năng biến dạng đàn hồi do riêng lực cắt gây ra : dϕ Δγ 2 Q Q ds Biến dạng tr−ợt Δγ của phân tố do riêng Q gây ra: τ Q.S Q Δγ = = = μ. ; G Jb.G GF Thế năng biến dạng do lực cắt gây ra: 90
1 Q 2 .ds dU = Q.γ .ds = μ. ; Q 2 2GF Trong đó: μ: Hệ số phụ thuộc vào hình dạng tiét diện thanh. • Thế năng biến dạng đàn hồi toàn phần cuả phân tố là tổng thế năng do các lực gây ra. dU = dUM+ dUQ+ dUN 1 M 2 .ds Q 2 .ds 1 N 2 .ds ệ dU = . + μ. + . ; 2 2EJ 2GF 2 EF 1 M 2 .ds Q 2 .ds 1 N 2 .ds ệ U= ∫ dU = ∫ . + ∫ μ. + ∫ . l l 2 2EJ l 2GF l 2 EF Vậy công của nội lực là: V=-U Dấu - là do khi đ−a ra công thức ta đã giả sử nội lực là ngoại lực. Vậy: 1 M 2 .ds Q 2 .ds 1 N 2 .ds ệ V= ∫ . + ∫ μ. + ∫ . l 2 2EJ l 2GF l 2 EF Theo định luật bảo toàn năng l−ợng ta có quan hệ giữa công của nội lực và ngoại lực. T=-V; 2. Công giả của nội và ngoại lực: a. Công giả của ngoại lực: Định nghiă: Công giả (Công có thể) là công sinh ra bởi hệ lực này với chuyển vị t−ơng ứng do một lực khác hay nguyên nhân khác sinh ra. Xét hai tr−ờng hợp đặt lực 1 và 2 trên Dầm giản đơn : 91
P1 Δ21 1 1 2 P2 Δ12 2 1 2 P1 P2 1 2 Δ12 Δ21 Tr−ờng hợp 1: D−ới tác dụng của lực P1 thì tại vị trí 2 sẽ có chuyển vị Δ21; Tr−ờng hợp 2: D−ới tác dụng của lực P2 thì tại vị trí 1 sẽ có chuyển vị Δ12; Vậy theo định nghĩa thì: Công giả của ngoại lực P1 là: T1=P1. Δ12 Công giả của ngoại lực P2 là: T1=P1. Δ12 b. Công giả của nội lực : Xét hai trạng thái chịu lực trên cùng một kết cấu: Pi ds "i" ds Pk "k" 92
Công giả của nội lực : dV=- ( Mi. Δdϕ + Ni.Δdϕ + Qi.Δdϕ ); − (M .Δdϕ k +N .Δds k + Q .Δdγ k ) => V= ∑∫ i i i ; Mặt khác: M k . ds Δdϕκ = ; EJ N .ds Δdδκ = k ; EF Q .ds Δdγκ = μ k ; GF ⎡ M iM k Qi.Qk Ni.Nk ⎤ Vậy : V=- ⎢∑ ds + ∑ μ ds + ∑ ds⎥ ⎣ ∫ EJ ∫ GF ∫ EF ⎦ 93
4.3. Các định lý về sự t−ơng hỗ trong hệ đμn hồi tuyến tính. 1. Định lý t−ơng hỗ về công (Định lý Betti): Xét hai tr−ờng hợp đặt lực trên cùng 1 hệ kết cấu: P1 P2 1 2 1 Δ11 Δ12 Δ22 P2 1 P1 2 Δ22 2 Δ11 Δ21 Tr−ờng hợp 1: Công tổng cộng là: T1=T11+T22+T12; Tr−ờng hợp 2: Công tổng cộng là: T2=T22+T11+T21; Trong đó: T22,T11 là công thật; T21 là công giả; Do hệ làm việc trong giới hạn đàn hồi nên: T1=T2 => T12=T21 Định lý t−ơng hỗ: Công giả do lực ở trạng thái 1 gây ra ở trạng thái 2 bằng công giả do nội lực ở trạng thái 2 gây ra ở trạng thái 1 ; 2. Định lý t−ơng hỗ của chuyển vị đơn vị: Xét hai trạng thái chịu lực trên cùng một kết cấu ; 94
P1=1 δ21 1 P2=1 δ12 2 Từ Định lý t−ơng hỗ : => T12=T21; Mặt khác: T12= P1.δ12=1.δ12; T21= P2.δ21=1.δ21; Vậy : δ21=δ21 2. Định lý t−ơng hỗ của phản lực đơn vị : Xét 2 trạng thái chịu lực trên cùng một kết cấu : Δ=1 "i" rki Δ=1 "k" rik Theo Định lý t−ơng hỗ: => Tik=Tki; Mặt khác: Tik= rik.1; Tki= rki.1; Vậy : r21=r21 95
4. Định lý t−ơng hỗ giữa chuyển vị đơn vị và phản lực đơn vị: Xét 2 trạng thái chịu lực trên cùng một kết cấu : P2 "i" Δ=1 rki "k" rki Theo Định lý t−ơng hỗ: => Tik=Tki; Mặt khác: Tik= rki.1+1.δik; Tki= 0; => rki.1+1.δik=0; Vậy : δik = - rki 96
4.4. tính chuyển vị của một điểm trên kết cấu. 1. Công thức tính chuyển vị do tải trọng: Xét kết cấu khung chịu tải trọng nh− hình vẽ. k k P P C C C' B P=1 ΔkP k q k A A "P" "k" 'Trạng thái thực" 'Trạng thái đơn vị" Ta cần xác định chuyển vị tại điểm C theo ph−ơng k-k: Δkp; Để xác định ta lập trạng thái giả (Trạng thái đơn vị) bằng cách cho 1 lực đơn vị P=1 tác dụng tại điểm C theo ph−ơng k-k. Theo Định lý t−ơng hỗ: Vkp=-Tkp; Trong đó: Tkp = 1. Δkp; ⎡ M p M k Qp Q k N p .N k ⎤ Mà: Vkp=- ⎢∑∫ ds + ∑∫ μ ds + ∑∫ ds⎥ ⎣⎢ EJ GF EF ⎦⎥ ⎡ M p M k Qp Q k N p .N k ⎤ Vậy: Δkp = ⎢∑∫ ds + ∑∫ μ ds + ∑∫ ds⎥ (*); ⎣⎢ EJ GF EF ⎦⎥ Công thức * là công thức tổng quát xác định chuyển vị tại 1 điểm do tải trọng gây ra. (Công thức Morr); Trong công thức * có đầy đủ 3 thành phần chuyển vị do từng thành phần nội lực M, Q, N gây ra. Trong tính toán tuỳ thuộc loại kết cấu mà các chuyển vị thành phần do M, Q, N gây ra là khác nhau. Thành phần chuyển vị nào nhỏ ta có thể bỏ qua tức là ta bỏ qua thành phần nội lực ít ảnh h−ởng tới chuyển vị cần tính. 97
Chẳng hạn : Với kết cấu dàn, nội lực trong kết cấu chỉ có duy nhất là lực dọc trục vậy công thức tính chuyển vị là: n N pi.N ki Δkp =∑ ds i=1 EFi Trong đó: n là số thanh trong dàn; Để tính chuyển vị tại một điểm ta thực hiện theo trình tự sau: B−ớc 1: Lập trạng thái đơn vị. (trạng thái “k”); B−ớc 2: Viết biểu thức nội lực ở cả hai trạng thái “P” và “k”; B−ớc 3: Thay vào công thức tính chuyển vị. Ví dụ 1: Cho kết cấu nh− hình vẽ. z q A B l/2 C EJ ql/2 l ql/2 P=1 B "k1" A C 1/2 1/2 M=1 A B "k2" 1/l 1/l Tính chuyển vị thẳng đứng tại điểm C và góc quay tại B; Giải Tính ΔC↓ : áp dụng công thức tính chuyển vị tuy nhiên ta bỏ qua các thành phần chuyển vị rất nhỏ do lực cắt và lực dọc gây ra. 98
M M k ΔC↓ = p ds (1); ∑∫ EJ • B−ớc 1: Lập trạng thái đơn vị. (trạng thái “k”); • B−ớc 2: Viết biểu thức nội lực ở cả hai trạng thái “P” và “k”; - Đoạn AC: ( 0 0 chứng tỏ chiều chuyển vị từ trên xuống d−ới. Tính ϕB: Bỏ qua ảnh h−ởng của Q và N : M M k ϕ = p ds (2); B ∑ ∫ EJ Thực hiện theo trình tự nh− trên ta có: ql 3 ϕ = − B 24EJ 99
ϕB 0 chứng tỏ chiều chuyển vị từ trên xuống d−ới. 100
2. Công thức tính chuyển vị do nhiệt độ thay đổi gây ra: 0 k k t1 C C C' P=1 Δkt B 0 t0 k k t1 2 0 0 A t 1 >t2 A "k" 0 0 Giả sử kết cấu khung ABC chị tác dụng của nhiệt độ thay đổi t1 và t2 Tính chuyển vị tị điểm C theo ph−ơng k-k d−ới tác dụng của nhiệt độ thay đổi . Lập trạng thái giả “k”; Theo Định lý t−ơng hỗ công ta có: Tkt = -Vkt; Với Tkl =1.Δkt; (1) t t Vkt=-[∑∫ M k .Δdϕ + ∑∫ N k .Δds ] (2); Tính Δdϕt và Δdst αt1ds h1 Δds h Δdϕ h2 ds αt2ds (t −t ) Δdϕt =α 1 2 ds ; s α Δdst = (t .h +t .h )ds ; h 1 2 2 1 101
Thay Δdϕt và Δdst vào 1và 2: (t1−t 2) α Δ = α M k ds + (t .h +t .h ) N k ds ; kt h ∫ h 1 2 2 1 ∫ Với M k ds = Ω là diện tích biểu đồ mô men của kết cấu ở trạng thái “k”; ∫ M k N k ds = Ω là diện tích biểu đồ lực dọc của kết cấu ở trạng thái “k”; ∫ N k Tổng quát: t −t α Δ = α 1 2 Ω + (t .h +t .h ) Ω kt ∑ h M k ∑ h 1 2 2 1 N k Tr−ờng hợp tiết diện đều: h1=h2 ; t −t α Δ = ±α 1 2 Ω + ± t +t Ω kt ∑ h M k ∑ 2 1 2 N k Trong đó: α : là Hệ số dãn nở vì nhiệt là . Ω là diện tích biểu đồ mô men của kết cấu ở trạng thái “k”; M k Ω là diện tích biểu đồ lực dọc của kết cấu ở trạng thái “k”; N k Với kết cấu dàn: 0 0 Nhiệt độ hai bên :t1 = t2 = t; Δkt= ∑±α.t. N ki .Si Trong đó: N ki là lực dọc trong thanh thứ i của kết cấu ở trạng thái “k”; Si là chiều dài thanh thứ i; Quy tắc lấy dấu trong công thức: Nếu biến dạng của thanh do nhiệt độ gây ra cùng chiều với biến dạng của thanh do nội lực của thanh ở trạng thái “k” sinh ra ta lấy dấu +; 102
Ng−ợc lại ta lấy dấu -; Ví dụ: Cho kết cấu khung chịu tác dụng của nhiệt độ thay đổi nh− hình vẽ . Hãy tính chuyển vị ngang tại C biết thanh có tiết diên đều và có chiều cao thanh là h. Hệ số dãn nở vì nhiệt là α. 1 o B 40 C B 4 C P=1 1 B C P=1 o 60 4 o o o o 40 60 60 60 1 1 4m 1 A B A M B A N B K K 4m 11 Giải: B−ớc 1: Lập trạng thái đơn vị. (trạng thái “k”); B−ớc 2: vẽ biểu đồ mô men, lực dọc ở trạng thái “k”: B−ớc 3: Thay vào công thức tính chuyển vị. => chuyển vị ngang tại C: t −t α ΔC = ±α 1 2 Ω + ± t +t Ω ∑ h M k ∑ 2 1 2 N k Ta lập bảng tính sau: t −t t +t t −t α 1 2 1 2 Ω Ω 1 2 Thanh M N ± α Ω ± t1+t 2 Ω h 2 k k h M k 2 N k 20 160α AB 50 8 4 + + 200α h h 20 160α BC 50 8 4 + + 200α h h CD 0 60 0 4 0 − 240α 320α Tổng ∑= + ∑= +160α h 103
Vậy : 320α 2 ΔC = + +160α = +160α( +1) h h ΔC >0 => chiều của chuyển vị h−ớng từ trái sang phải. 3. Chuyển vị do chuyển vị c−ỡng bức gây ra: Xét kết cấu khung chịu tác dụng của chuyển vị c−ỡng bức nh− hình vẽ. Tính chuyển vị tại điểm C theo ph−ơng k-k; k k C C C' B P=1 ΔkΔ k k AAR2 "k" M3 a R1 ϕ b Lập trạng thái giả “k”; Tính các thành phần phản lực tại vị trí liên kết với đất chịu chuyển vị c−ỡng bức: R1, R2, M3; Theo Định lý t−ơng hỗ công: TkΔ=TΔk; Mặt khác: TkΔ=1. ΔkΔ- R1.a-R2.b-M3.ϕ=0; TΔk=0; =>1. ΔkΔ- R1.a-R2.b-M3.ϕ=0; => ΔkΔ = R1.a+R2.b+M3.ϕ; => ΔkΔ = ∑ ± Ri .Δ i (1); Trong đó: 104
Δi: chuyển vị c−ỡng bức trên kết cấu theo ph−ơng i; Ri: Phản lực tại vị trí có chuyển vị c−ỡng bức do tải trọng đơn vị P=1 tác dụng theo ph−ơng k-k gây ra. Quy tắc lấy dấu: Lấy dấu + khi Ri và Δi ng−ợc chiều nhau. Lấy dấu - khi Ri và Δi cùng chiều nhau. 4.Tính chuyển vị tại một điểm do cả tải trọng, nhiệt độ thay đổi và chuyển vị c−ỡng bức gây ra. h A B Δ 6xd Theo nguyên lý cộng tác dụng : Δk = ΔkP + Δkt + ΔkΔ Trong đó: ΔkP , Δkt , ΔkΔ lần l−ợt là chuyển vị do riêng tải trọng, nhiệt độ thay đổi và chuyển vị c−ỡng bức gây ra. Chú ý: Trong thực tế ta có thể gặp bài toán một số thanh trong dàn chế tạo sai chiều dài Khi đó chuyển vị tại một điểm nút trên dàn theo ph−ơng k là: ΔkΔ = ∑± Ni.Δi Với Ni: lực dọc trong thanh dàn bị chế tạo sai dài Δi Lấy dấu (+) khi Ni và Δi cùng chiều. 105
Ví dụ 1: Tính chuyển vị thẳng đứng tại D và chuyển vị góc xoay tại E của kết cấu: b ABCDE a ϕ 8m 4m 2m 4m P=1 0 A 4 BEC D "kΔ" 1/2 8m 4m 2m 4m M=1 0 A 1 B C D E "kϕ" 1/8 8m 4m 2m 4m Giải: B−ớc 1: Lập trạng thái “k” Tính các phản lực tại ngàm A t−ơng ứng với từng trạng thái. B−ớc 2: Tính chuyển vị theo công thức (*): 1 1 Tính Δ Δ = ± Ri.Δi = - .a -4. ϕ = - .(a + 8ϕ) D ∑ 2 2 1 a ϕΕΔ = .a + 1. ϕ = +ϕ 8 8 Ta thấy ΔDΔ Vậy chiều chuyển vị của D ng−ợc với chiều lực đơn vị p = 1. 106
Ví dụ 2: Tính chuyển vị thẳng đứng tại điểm D và chuyển vị ngang tại E của kết cấu. Biết Δ = 12.ϕ P=1 D E D E 3m ϕ C 2 C 0 B B "kD" Δ 0 2m 3m Δ D E P=1 2 C 1 B "kE" 1 Lập trạng thái “k” Tính ΔD ↓ = +2. ϕ ΔE = −2ϕ +1.Δ +1.Δ = 22. ϕ 107
4.5. Ph−ơng pháp nhân biểu đồ nội lực Verexaghin Khi tính chuyển vị tại một điểm trên kết cấu do tác dụng của tải trọng gây ra, chúng ta phải giả quyết việc tính tích phân: Mk.Mp I = ds ( xét trên một đoạn thanh ). ∫ EJ Nếu EJ = const và các hàm Mk ; Mp là hàm liên tục, có ít nhất một hàm là bậc nhất thì ta có thể thay thế việc lấy tích phân bằng ph−ơng pháp nhân biểu đồ. MP dΩMP M abP (yk) MK α O M a b K xk 1 => I = . Mk.Mp.ds EJ ∫ Mặt khác: Mp.ds = d ΩMp ( vi phân diện tích Mp ). 1 => I = . Mk .d ΩMp EJ ∫ với Mk = yk = xk . tgα Vậy: 1 b 1 b 1 x .tga.dΩMp x .dΩMp ΩMp I = . ∫ k = .tgα ∫ k = .tgα. xk. EJ a EJ a EJ 108
1 => I = .y . ΩMp EJ k Mk.Mp 1 => I = ds = . ΩMp . Ωyc ∫ EJ EJ Trong đó: yc là tung độ ở biểu đồ đ−ờng thẳng ứng với trọng tâm ở biểu đồ lấy diện tích. Chú ý các tr−ờng hợp có thể xảy ra: - Ph−ơng pháp nhân biểu đồ chỉ thực hiện đ−ợc khi cả hai biểu đồ là các hàm liên tục. Nếu một trong hai biểu đồ là hàm không liên tục thì ta phải chia thành hai hay nhiều biểu đồ liên tục. - Nếu Mp, Mk cùng là hàm bậc nhất thì ta có thể lấy diện tích của biểu đồ nào cũng đ−ợc sau đó nhân với tung độ biểu đồ còn lại ứng với trọng tâm của biểu đồ đã lấy diện tích. - Một trong hai biểu đồ Mp, Mk là đ−ờng cong, biểu đồ còn lại là đ−ờng thẳng thì diện tích phải đ−ợc lấy trên biểu đồ đ−ờng cong. - Nếu hai biểu đồ cùng một bên (cùng chiều, cùng dấu) thì ta lấy dấu (+), ng−ợc lại dấu (-). - Biểu đồ phức tạp ta phải chia thành nhiều biểu đồ đơn giản để nhân. Ví dụ các tr−ờng hợp nhân biểu đồ cơ bản: 1. Mp, Mk cùng là dạng hình chữ nhật. a C( Trọng tâm) M P l/2 b yk=b M K l (MP).( Mk ) = ± (a.l).b ( Diện tích Mp.yC.Mk ) = ± (b.l).a (Diện tích Mk .yCMp ) 109
2. Mp và Mk có một biểu đồ là Δ ; một biểu đồ là chữ nhật. a C M P l/3 b yC=b M K l 0 1 ( Mp ).( Mk ) = ± ( a.l).b 2 3. Mp, Mk cùng có dạng tam giác: a C M P l/3 b yC=2b/3 M K l 1 2 (M ).( Mk ) = ( a.l). b P 2 3 4. Mp, Mk : Một biểu đồ dạng hình thang, một biểu đồ dạng hình chữ nhật. a M b P c M K l 110
(a + b) (M ).( Mk ) = .l .c P 2 5. Mp, Mk : Một biểu đồ hình thang, một biểu đồ dạng tam giác. a M b P c M K l Cách1: Chia hình thang thành một hình chữ nhật + 1 tam giác. ⎡1 ⎤ 2 1 (MP).( Mk ) = (a − b).l . .c + (b.l). c ⎣⎢2 ⎦⎥ 3 3 Cách 2: Chia hình thang thành hai tam giác. 1 2 1 1 (M ).( Mk ) = ( .a.l). c + ( b.l). c P 2 3 2 3 6. (MP), ( Mk ): Một Parabol bậc 2; một tam giác. a Parabol Bậc 2 M C P l/4 b M yC=3b/4 K l 1 2 1 1 (M ).( Mk ) = ( .a.l). c + ( b.l). c P 3 3 2 3 7. Mp là hình phức tạp, Mk là bậc nhất ( hình thang ). 111
a f l/2 b l a C1 l/3 C2 b l/3 f yb yd yc Chia biểu đồ Mp (hình a) thành 3 biểu đồ, sau đó lần l−ợt nhân với (MK). 1 1 2 Ta có: (M ).( Mk ) = ( .a.l).y − ( b.l).y − ( f .l).y P 2 b 2 c 3 d *) Diện tích và toạ độ trọng tâm của Parabol bậc n: a Parabol Bậc n C xC l 1 l Diện tích: Ω = .a.l ; Trọng tâm C: xC= = n +1 n + 2 Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho kết cấu (hình vẽ ). Hãy tính chuyển vị ngang tại D; chuyển vị góc xoay tại C. 112
10 KN/m 40 D E 40 20 4m A C B 40 4m 4m M P KN.m P=1 2 0.5 0.5 M=1 2 0.5 M M KD KC Giải: Lập trạng thái đơn vị “k” Vẽ (Mp); ( M KD ) và ( M KC ) Thực hiện nhân biểu đồ: 1 1 ⎡1 2 1 2 2 ⎤ ΔD = (Mp).(M KD ) = .4.40. .2 + 40.4.0 − .40.4. .2 + .20.4.1 EJ EJ ⎣⎢2 3 2 3 3 ⎦⎥ 160 => ΔD = − Chiều ΔD h−ớng từ trái sang phải. 3EJ 1 1 ⎡ 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1⎤ ϕc = (Mp).(M KC ) = − .4.40. . + 40.4. + .40.4. . + .20.4. . EJ EJ ⎣⎢ 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2⎦⎥ 280 => ϕc = 3EJ Ví dụ 2: Tính chuyển vị thẳng t−ơng đối theo ph−ơng thẳng đứng giữa hai điểm 1 và 2. EJ=hs. 113
5 KN/m 20 KN 1 1 3m 3m 4m 120 4 P=1 10 3.5 P=1 M M P K KN.m Giải: Lập trạng thái “k” Để tính chuyển vị đ−ờng t−ơng đối giữa hai điểm ta đặt một cặp lực đơn vị p=1 cùng ph−ơng ng−ợc chiều vào hai điểm đó. Để tính chuyển vị góc xoay t−ơng đối giữa hai mặt cắt ta đặt một cặp mômen đơn vị M =1 ng−ợc chiều nhau vào bai mặt cắt đó. Vẽ các biểu đồ MP ; M K . Nhân biểu đồ: 1 1 ⎡1 2 (3.5 + 4) 1 2 ⎤ Δ = .(Mp).(Mk) = .3.60. .3,5 + 60.3. + .60.3.(3,5 + .0,5) + 12 EJ EJ ⎢2 3 2 2 3 ⎥ ⎣ ⎦ 1 ⎡1 2 2 1 ⎤ ⎢ .120.4. .4 − .10.4. .4⎥. EJ ⎣2 3 3 2 ⎦ Từ đó có: 1816.67 Δ = 12 EJ 114
4.6. Ph−ơng pháp tảI trọng đμn hồi. 1. Khái niệm: Xét kết cấu chịu tác dụng của trọng nh− hình vẽ. D−ới tác dụng của tải trọng kết cấu sẽ bị biến dạng. Để tính và vẽ biểu đồ độ võng của kết cấu ttheo một ph−ơng nào đó ta có thể dùng ph−ơng pháp tính chuyển vị tại từng điểm sau đó nối lại với nhau, với cách này ta phải lặp đi lặp lại một bài toán tính chuyển vị nhiều lần, mất rất nhiều thời gian. Ph−ơng pháp tải trọng đàn hồi chính là ph−ơng pháp tính và vẽ biểu đồ độ võng nhanh và đơn giản. di-2 di-1 di di+1 di+2 di-2 di-1 di di+1 di+2 Xét một phân tố chiều dài ds tại điểm i chịu tác dụng của tải trọng Pi và lực cắt tại 2 bên mặt cắt. Ta có: PQQiii= − +1 Trong đó: 11 QMMiii=−−1 + ddii 11 QMMiii++11=− + ddii++11 1111⎛⎞ Vậy: PMii=−−11 +⎜⎟ + MM ii + + (1) ddddiiii⎝⎠++11 115
Nếu ta so sánh với biểu đồ mô men do các tải trọng tập trung tác dụng trên dầm tĩnh định sinh ra thì ta thấy hình dạng của biểu đồ độ võng giống nh− biểu đồ mô men do các lực tập trung nào đó (Wi gọi là tải trọng đàn hồi) tác dụng trên một dầm giả. Vậy ta có biểu thức xác định Wi t−ơng tự nh− biểu thức (1). 1111⎛⎞ Wyii=−−+11 +⎜⎟ + yy ii + (2) ddddiiii⎝⎠++11 Wi chính là tổng chuyển vị góc xoay tại điểm i cảu kết cấu. Để xác địnhWi ta thực hiện nh− sau: • Lập trạng thái giả bằng cách cho cặp ngẫu lực đơn vị tác dụng tại điểm i. Dầm thật Dầm Giả ABB A ABAB AAB C B C • Lập các biểu thức nội lực của kết cấu ở trạng thái thực (Do tải trọng gây ra). • Lập các biểu thức nội lực của kết cấu ở trạng thái giả. Xác định chuyển vị theo công thức: ⎡⎤MMi QQ N. Ni Wdsdsds=++pppμ i i ⎢⎥∑∑∫∫ ∑ ∫ (*); ⎣⎦⎢⎥EJ GF EF Trong đó: M i Qi N i là các hàm nội lực của kết cấu ở trạng thái giả ( trạng thái do một đôi ngẫu lực đơn vị đặt tại điểm i). NN. i Đối với kết cấu dàn: Wds= p i ∑∫ EF 116
MMi Đối với kết cấu khung, dầm: Wds= p i ∑∫ EJ • Sau khi tính đ−ợc Wi ta đặt chúng tại i trên dầm giả. Nếu Wi>0 thì chiều của Wi h−ớng từ trên xuống d−ới. • Vẽ biểu đồ mô men do Wi gây ra trên dầm giả ta đ−ợc biểu đồ độ võng của kết cấu. Ví dụ: Cho kết cấu chịu tác dụng của tải trọng nh− hình vẽ. Hăy tính và vẽ biểu đồ độ võng của kết cấu bằng ph−ơng pháp tải trọng đàn hồi. 6 KN/m i-1 i 1+1 30 KN 1 2453 di di+1 2m 4m 4m 48 i-1i 1+1 12 12 24 KN.m MP M i-1 i 1+1 i-1 i1+1 Mi Giải: Chia dầm làm 5 đoạn, d= 2m. Vẽ biểu đồ MP Tính Wi theo công thức: SSii+1 WMMMMiiiii=+++()−+1122() (kết quả của (MP)x(Mi)) 66EJii EJ +1 Vì d=2m và EJ=hs nên: 1 WMMM=++()4 iiii3EJ −+11 Vậy: 117
28 24 72 32 W = ; W =− ; W =− ; W =− ; 1 EJ 2 EJ 3 EJ 4 EJ Đặt tải trọng đàn hồi lên dầm giả và vẽ biểu đồ mô men ta đ−ợc đ−ờng cong đàn hồi của kết cấu. 118