Bài giảng Hình học đại số tính toán 1

pdf

120 trang ngocly 120 Free

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Hình học đại số tính toán 1", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_hinh_hoc_dai_so_tinh_toan_1.pdf

Nội dung text: Bài giảng Hình học đại số tính toán 1

n ơ tớnh toỏn 1 n S ố ế i s m Ti đạ ạ c ọ Ph Hỡnh h Đà Lạt - 2008
HNH HÅC I Sẩ TNH TON 1 PhÔm Tián Sỡn LÔt-2008
Mửc lửc LÍI Mé U 1 1 Hẳnh hồc, Ôi số v cĂc thuêt toĂn 3 1.1 a thực v khổng gian affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 a tÔp affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Tham số hõa cĂc a tÔp affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Idean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 a thực mởt bián . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6 PhƠn tẵch th nh cĂc th nh phƯn bĐt khÊ quy v kát thực . . . . . . . . . . . 15 1.6.1 a thực bĐt khÊ quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6.2 Kát thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Tứ iºn Ôi số-Hẳnh hồc 21 2.1 ành lỵ Hilbert vã cỡ sð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 ành lỵ khổng iºm cừa Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Idean radical v tữỡng ựng idean-a tÔp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Tờng, tẵch v giao cừa cĂc idean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.1 Tờng cĂc idean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.2 Tẵch cĂc idean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.3 Giao cĂc idean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5 Bao õng Zariski v thữỡng cừa cĂc idean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.6 a tÔp bĐt khÊ quy v cĂc idean nguyản tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.7 PhƠn tẵch a tÔp th nh cĂc th nh phƯn bĐt khÊ quy . . . . . . . . . . . . . 38 2.8 PhƠn tẵch nguyản sỡ cừa cĂc idean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 a thực v h m hỳu t¿ trản a tÔp 45 3.1 nh xÔ a thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2 Thữỡng cừa cĂc v nh a thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 V nh tồa ở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4 H m hỳu t¿ trản a tÔp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4 Hẳnh hồc Ôi số xÔ Ênh 65 4.1 Khổng gian xÔ Ênh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1
MệC LệC 1 4.2 Tứ iºn Ôi số-hẳnh hồc xÔ Ênh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3 Bao õng xÔ Ênh cừa mởt a tÔp affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.4 Hẳnh hồc cừa cĂc siảu m°t bêc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.5 ành lỵ Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5 Chiãu cừa a tÔp 89 5.1 H m Hilbert v chiãu cừa a tÔp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.1.1 Chiãu cừa a tÔp affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.1.2 Chiãu cừa a tÔp xÔ Ênh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.2 CĂc tẵnh chĐt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.3 Chiãu v phử thuởc Ôi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.4 Khổng gian tiáp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.5 Nõn tiáp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 A Mởt v i khĂi niằm tứ Ôi số 113 A.1 Trữớng - V nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 A.2 Nhõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 T i liằu tham khÊo 116
2 MệC LệC
Chữỡng 1 Hẳnh hồc, Ôi số v cĂc thuêt toĂn Chữỡng n y trẳnh b y mởt số khĂi niằm cỡ bÊn cừa giĂo trẳnh. ối tữủng quan tƠm chẵnh l cĂc a tÔp affine (bao gỗm cĂc ữớng cong v cĂc m°t cong). CĂc a tÔp n y xĂc ành bði cĂc phữỡng trẳnh a thực. º tẳm hiºu cĂc a tÔp affine ta cƯn nghiản cựu cĂc idean trong v nh a thực k[x1, x2, . . . , xn]. 1.1 a thực v khổng gian affine ành nghắa 1.1.1. ỡn thực theo cĂc bián x1, x2, . . . , xn l biºu thực cõ dÔng α1 α2 αn x1 x2 . . . xn , trong õ cĂc lụy thứa α1, α2, . . . , αn l cĂc số nguyản khổng Ơm. Số nguyản α1 + α2 + ããã + αn gồi l bêc cừa ỡn thực n y. º ỡn giÊn, ta thữớng viát α = (α1, α2, . . . , αn), |α| = α1 + α2 + ããã + αn, α α1 α2 αn x = x1 x2 . . . xn . ành nghắa 1.1.2. a thực f theo cĂc bián x1, x2, . . . , xn vợi cĂc hằ số trong k l mởt tờ hủp tuyán tẵnh hỳu hÔn cĂc ỡn thực vợi cĂc hằ số trong k; tực l X α f = aαx , aα ∈ k, α∈Λ trong õ l têp con hỳu hÔn cừa têp n Kỵ hiằu l têp tĐt cÊ cĂc a Λ N . k[x1, x2, . . . , xn] thực theo cĂc bián x1, x2, . . . , xn vợi cĂc hằ số trong k. 3
4 CHìèNG 1. HNH HÅC, I Sẩ V CC THUT TON Chú ỵ 1.1.3. Khi số bián l 1, 2, 3 ta s³ kỵ hiằu mởt cĂch ỡn giÊn l k[x], k[x, y] v k[x, y, z]. Ch¯ng hÔn, 2 f(x, y, z) = 2x3yz2 + y3z3 − xyz 3 l mởt a thực trong Q[x, y, z]. ành nghắa 1.1.4. GiÊ sỷ P α l a thực trong f = α∈Λ aαx k[x1, x2, . . . , xn]. α (i) aα gồi l hằ số cừa ỡn thực x . α (ii) Náu aα 6= 0 thẳ aαx gồi l mởt tứ cừa f. (iii) Bêc cừa f, kỵ hiằu deg f, l số nguyản lợn nhĐt |α| sao cho aα 6= 0. Vẵ dử 1.1.5. GiÊ sỷ f(x, y, z) = 2x3y2z + 5xy3 + 7xyz + 9z3 ∈ Q[x, y, z]. Ta cõ deg f = 6. Chú ỵ 1.1.6. Hiºn nhiản tờng v tẵch cừa hai a thực l mởt a thực. Ta nõi a thực g chia hát cho a thực f náu tỗn tÔi a thực h ∈ k[x1, x2, . . . , xn] sao cho g = f ã h. Dạ d ng chựng minh rơng k[x1, x2, . . . , xn] vợi cĂc ph²p toĂn cởng v nhƠn hai a thực l mởt v nh giao hoĂn. Vẳ lỵ do n y m ta thữớng nõi k[x1, x2, . . . , xn] l v nh a thực. ành nghắa 1.1.7. Cho k l mởt trữớng v n l số nguyản dữỡng. Têp hủp n k = {(a1, a2, . . . , an) | ai ∈ k, i = 1, 2, . . . , n} gồi l khổng gian affine n chiãu trản trữớng k. Khi n = 1 ta gồi k1 l ữớng th¯ng affine; khi n = 2 ta gồi k2 l m°t ph¯ng affine. Mội a thực P α xĂc ành mởt h m số f = α cαx ∈ k[x1, x2, . . . , xn] n X α1 α2 αn f : k → k, (a1, a2, . . . , an) 7→ cαa1 a2 . . . an . α Mằnh ã 1.1.8. GiÊ sỷ trữớng k cõ vổ hÔn phƯn tỷ. Khi õ f = 0 trong k[x1, x2, . . . , xn] náu v ch¿ náu f : kn → k l h m ỗng nhĐt khổng. Hằ quÊ 1.1.9. GiÊ sỷ trữớng k cõ vổ hÔn phƯn tỷ. Khi õ f = g trong k[x1, x2, . . . , xn] náu v ch¿ náu cĂc h m f, g : kn → k trũng nhau. Cuối cũng, mởt tẵnh chĐt °c biằt cừa cĂc a thực trản trữớng số phực C l : ành lỵ 1.1.10. GiÊ sỷ f l a thực mởt bián khĂc hơng trản trữớng số phực C. Khi õ tỗn tÔi ẵt nhĐt a ∈ C sao cho f(a) = 0. ành nghắa 1.1.11. Trữớng k gồi l õng Ôi số náu mồi a thực khĂc hơng trong k[x] cõ mởt nghiằm trong k. Vẵ dử 1.1.12. Trữớng cĂc số thỹc R khổng õng Ôi số vẳ a thực x2 + 1 khổng cõ nghiằm trong R. Trữớng cĂc số phực C l õng Ôi số.
1.2. A TP AFFINE 5 B i têp 1. Cho p l số nguyản tố. Trản Z x²t quan hằ ≡ m ≡ n mod p náu v ch¿ náu m − n chia hát cho p. (a) Chựng minh quan hằ l quan hằ tữỡng ữỡng. Kỵ hiằu l têp tĐt cÊ cĂc lợp ≡ Fp tữỡng ữỡng. Chựng minh gỗm úng phƯn tỷ. Fp p (b) GiÊi thẵch tÔi sao l mởt nhõm ối vợi ph²p nhƠn. Fp \{0} (c) Chựng minh p−1 vợi mồi a = 1 a ∈ Fp \{0}. (d) Chựng minh p vợi mồi a = a a ∈ Fp. (e) Tẳm a thực khĂc khổng sao cho bơng khổng tÔi mồi iºm cừa f ∈ Fp[x] f Fp. 2. Chựng minh náu bơng khổng trản n thẳ f ∈ C[x1, x2, . . . , xn] Z f ≡ 0. 3. GiÊ sỷ v °t f ∈ C[x1, x2, . . . , xn] M = degx1 f. n n ZM+1 = {(x1, x2, . . . , xn) ∈ Z | 1 ≤ xi ≤ M + 1}. Chựng minh náu bơng khổng trản n thẳ f ZM+1 f ≡ 0. 1.2 a tÔp affine ành nghắa 1.2.1. GiÊ sỷ k l mởt trữớng v f1, f2, . . . , fs ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. Têp hủp n V (f1, f2, . . . , fs) = {(a1, a2, . . . , an) ∈ k | fi(a1, a2, . . . , an) = 0, i = 1, 2, . . . , s} gồi l a tÔp affine xĂc ành bði f1, f2, . . . , fs. Vẵ dử 1.2.2. (i) Trong R2 a tÔp affine V (x2 + y2 − 1) l ữớng trỏn tƠm tÔi gốc tồa ở bĂn kẵnh ỡn và. (ii) ỗ thà cừa a thực f l mởt a tÔp affine. (iii) a tÔp affine V (y − x2, z − x3) l ữớng cong bêc ba trong R3. (iv) Têp cĂc nghiằm cừa hằ cĂc phữỡng trẳnh tuyán tẵnh a11x1 + ããã + a1nxn = b1, a21x1 + ããã + a2nxn = b2, . . . = . am1x1 + ããã + amnxn = bm l mởt a tÔp affine trong kn (gồi l a tÔp tuyán tẵnh). Bờ ã 1.2.3. GiÊ sỷ V, W ⊂ kn l cĂc a tÔp affine. Khi õ V ∪ W v V ∩ W l cĂc a tÔp affine. Vẵ dử 1.2.4. Ta cõ V (z) ∪ V (x, y) = V (zx, zy).
6 CHìèNG 1. HNH HÅC, I Sẩ V CC THUT TON B i têp 1. Trong R2, v³ cĂc a tÔp affine (a) V (x2 + 4y2 + 2x − 16y + 1). (b) V (x2 − y2). (c) V (2x + y − 1, 3x − y + 2). (d) V (y2 − x(x − 1)(x − 2)). 2. Trong R2, v³ hẳnh Ênh minh hồa V (x2 + y2 − 4) ∩ V (xy − 1) = V (x2 + y2 − 4, xy − 1). 3. Trong R3, v³ cĂc a tÔp affine (a) V (x2 + y2 + z2 − 1). (b) V (x2 + y2 − 1). (c) V (x + 2, y − 1.5z). (d) V (xz2 − xy). (e) V (x2 + y2 + z2 − 1, x2 + y2 + (z − 1)2 − 1). 4. B i têp n y chựng minh mồi têp con hỳu hÔn cừa kn l a tÔp affine. n (a) Chựng minh têp gỗm mởt iºm (p1, p2, . . . , pn) ∈ k l mởt a tÔp affine. (b) Chựng minh mồi têp con hỳu hÔn cừa kn l a tÔp affine. 5. Chựng minh têp 2 {(x, x) ∈ R | x 6= 1} khổng phÊi a tÔp affine trong R2. 6. Chựng minh têp 2 {(x, y) ∈ R | y 6= 0} khổng phÊi a tÔp affine trong R2. 7. Chựng minh têp Zn khổng phÊi a tÔp affine trong Zn. 8. Chựng minh hủp, giao hỳu hÔn cĂc a tÔp affine l a tÔp affine. 9. Cho vẵ dử chựng tọ hủp tũy ỵ cĂc a tÔp affine khổng phÊi a tÔp affine. 10. Cho vẵ dử chựng tọ hiằu hai a tÔp affine khổng khổng phÊi a tÔp affine. 11. Cho V ⊂ km v W ⊂ kn l cĂc a tÔp affine. Chựng minh tẵch de Cartes V ì W l mởt a tÔp affine.
1.3. THAM Sẩ HÂA CC A TP AFFINE 7 1.3 Tham số hõa cĂc a tÔp affine Trữợc hát ta bưt Ưu vợi mởt v i vẵ dử. Vẵ dử 1.3.1. Trong R3 x²t hằ cĂc phữỡng trẳnh x + y + z = 1, 2 + 2y − z = 3. Têp cĂc nghiằm cừa hằ trản l mởt ữớng th¯ng ữủc cho bði z = t, x = −1 − 2t, z = 2 + 2t, vợi tham số t ∈ R; ta gồi biºu diạn n y l ph²o tham số hõa cừa têp nghiằm ban Ưu. Vẵ dử 1.3.2. Ta biát rơng ữớng trong V (x2 + y2 − 1) ⊂ R2 cõ tham số hõa 1 − t2 x = , 1 + t2 2t y = , 1 + t2 vợi Chú ỵ rơng 1−t2 vợi mồi nản iºm khổng thuởc Ênh cừa ph²o tham t ∈ R. x = 1+t2 t (−1, 0) số n y. ành nghắa 1.3.3. GiÊ sỷ k l mởt trữớng. Thữỡng f/g cừa hai a thực f, g ∈ k[t1, t2, . . . , tm] (g khổng ỗng nhĐt bơng 0) gồi l h m hỳu t¿ theo cĂc bián t1, t2, . . . , tm vợi cĂc hằ số trong k. Hai h m hỳu t¿ f/g v p/q gồi l bơng nhau náu qf = pg trong k[t1, t2, . . . , tm]. Têp cĂc h m hỳu t¿ theo cĂc bián t1, t2, . . . , tm vợi cĂc hằ số trong k kỵ hiằu l k(t1, t2, . . . , tm). Nhên x²t 1.3.4. k(t1, t2, . . . , tm) vợi cĂc ph²p toĂn cởng v nhƠn hai h m hỳu t¿ l mởt trữớng. n Cho a tÔp affine V = V (f1, f2, . . . , fs) ⊂ k . Ta nõi hằ cĂc phữỡng trẳnh f1 = f2 = ããã = fs = 0 l biºu diạn ân cừa V. GiÊ sỷ r1, r2, . . . , rn ∈ k(t1, t2, . . . , tm) sao cho cĂc iºm (x1, x2, . . . , xn) xĂc ành bði x1 = r1(t1, t2, . . . , tm), x2 = r2(t1, t2, . . . , tm), . . . = . xn = rn(t1, t2, . . . , tm), thuởc V. Ta nõi r1, r2, . . . , rn l mởt biºu diạn tham số hõa hỳu t¿ cừa a tÔp V. Náu cĂc r1, r2, . . . , rn l cĂc h m a thực, ta ữủc mởt tham số hõa a thực cừa V.
8 CHìèNG 1. HNH HÅC, I Sẩ V CC THUT TON Vẵ dử 1.3.5. a tÔp affine V (x2 − y2z2 + z3) cõ tham số hõa a thực x = t(u2 − t2), y = u, z = u2 − t2, trong õ cĂc tham số u, t ∈ k. Náu biát biºu diạn tham số cừa V ta cõ thº sỷ dửng mĂy tẵnh º v³ nõ. M°t khĂc, náu biát cĂc phữỡng trẳnh xĂc ành V ta dạ d ng kiºm tra iºm p ∈ kn cõ thuởc V hay khổng. Hai vĐn ã nÊy sinh • (Tham số hõa) Mồi a tÔp affine cõ mởt tham số hõa hỳu t¿? • Cho trữợc mởt tham số hõa hỳu t¿ biºu diạn a tÔp affine V. Cõ thº tẳm cĂc phữỡng trẳnh xĂc ành V. Vợi cƠu họi thự nhĐt: hƯu hát cĂc a tÔp affine ãu khổng thº tham số hõa hỳu t¿ ữủc. CĂc a tÔp nhữ vêy gồi l cĂc a tÔp khổng hỳu t¿. Nõi chung, khõ cõ thº biát mởt a tÔp affine l hỳu t¿ hay khổng. Vợi cƠu họi thự hai: cho trữợc mởt biºu diạn tham số, ta luổn luổn cõ thº tẳm cĂc phữỡng trẳnh xĂc ành. Vẵ dử 1.3.6. X²t biºu diạn tham số x = 1 + t, y = 1 + t2. Dạ thĐy cĂc phữỡng trẳnh tham số n y biºu diạn a tÔp affine V (y − x2 + 2x + 2). Vẵ dử 1.3.7. ữớng trỏn ỡn và x2 + y2 = 1 cõ biºu diạn tham số 1 − t2 x = , 1 + t2 2t y = . 1 + t2 Vẵ dử 1.3.8. a tÔp affine V (y − x2, z − x3) cõ biºu diạn tham số x = t, y = t2, z = t3. 1. Tham số hõa têp nghiằm cừa hằ cĂc phữỡng trẳnh sau x + 2y − 2z + w = −1, x + y + z − w = 2.
1.3. THAM Sẩ HÂA CC A TP AFFINE 9 2. GiÊ sỷ f ∈ k[x]. Tẳm mởt tham số hõa cừa V (y − f(x)). 3. Cho tham số hõa t x = , 1 + t 1 y = 1 − . t2 (a) Tẳm a tÔp affine tữỡng ựng tham số hõa trản. (b) Chựng minh tham số hõa trản chựa mồi iºm cừa a tÔp ngoÔi trứ mởt iºm (1, 1). 4. X²t hyperbol x2 − y2 = 1. (a) Chựng minh cĂc iºm x = cosh(t), y = sinh(t) thuởc hyperbol x2 − y2 = 1. PhƯn n o cừa hyperbol ữủc phừ bði tham số n y? (b) Chựng minh ữớng th¯ng bĐt ký cưt hyperbol nhiãu nhĐt tÔi 3 iºm. (c) Tẳm mởt tham số hõa hỳu t¿ cừa hyperbol. (d) Tham số hõa ð phƯn (c) khổng ữủc xĂc ành tÔi úng hai giĂ trà t. GiÊi thẵch mối quan hằ cừa sỹ kiằn n y vợi cĂc ữớng th¯ng tiằm cên cừa hyperbol. 5. Chựng minh cõ thº tham số hõa hỳu t¿ m°t cƯu x2 + y2 + z2 − 1 = 0 trong khổng gian ba chiãu bði 2u x = , u2 + v2 + 1 2v y = , u2 + v2 + 1 u2 + v2 − 1 z = . u2 + v2 + 1 6. Tẳm mởt tham số hõa hỳu t¿ cừa m°t cƯu (n − 1) chiãu 2 2 2 x1 + x2 + ããã + xn = 1. 7. GiÊ sỷ c l mởt số thỹc v x²t ữớng cong C = V (y2 − cx2 + x3). (a) Chựng minh ữớng th¯ng bĐt ký cưt ữớng cong C nhiãu nhĐt tÔi 3 iºm. (b) Chựng minh ữớng th¯ng y = mx, m 6= 0, cưt C \{(0, 0)} tÔi úng mởt iºm náu m2 6= c. (c) Vợi mội iºm (1, t) ∈ V (x − 1) gồi L l ữớng th¯ng i qua hai iºm (1, t) v (0, 0). ữớng th¯ng L cưt C tÔi mởt iºm (x, y). V³ hẳnh minh hồa v sỷ dửng hẳnh hồc chựng minh C cõ tham số hõa hỳu t¿: x = c − t2, y = t(c − t2).
10 CHìèNG 1. HNH HÅC, I Sẩ V CC THUT TON 1.4 Idean ành nghắa 1.4.1. Cho I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn].I gồi l idean náu (i) 0 ∈ I. (ii) Náu f, g ∈ I thẳ f + g ∈ I. (iii) Náu f ∈ I v g ∈ k[x1, x2, . . . , xn] thẳ fg ∈ I. Vẵ dử 1.4.2. (i) Têp {xf + y2g | f, g ∈ k[x, y]} l mởt idean trong v nh k[x, y]. (ii) Têp hủp {x1f1 + x2f2 + ããã + xnfn | f1, f2, . . . , fn ∈ k[x1, x2, . . . , xn]} l mởt idean trong v nh cĂc a thực k[x1, x2, . . . , xn]. GiÊ sỷ f1, f2, . . . , fs ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. Kỵ hiằu ( s ) X hf1, f2, . . . , fsi = figi | g1, g2, . . . , gs ∈ k[x1, x2, . . . , xn] . i=1 Dạ thĐy hf1, f2, . . . , fsi l mởt idean trong k[x1, x2, . . . , xn]. Ta gồi hf1, f2, . . . , fsi l idean sinh bði f1, f2, . . . , fs. Idean I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] gồi l hỳu hÔn sinh náu tỗn tÔi cĂc a thực f1, f2, . . . , fs sao cho I = hf1, f2, . . . , fsi; khi õ ta nõi f1, f2, . . . , fs l mởt cỡ sð cừa I. Vẵ dử 1.4.3. (i) Idean {xf + y2g | f, g ∈ k[x, y]} sinh bði cĂc a thực x v y2. (ii) CĂc a thực x1, x2, . . . , xn tÔo th nh mởt cỡ sð cừa idean {x1f1 + x2f2 + ããã + xnfn | f1, f2, . . . , fn ∈ k[x1, x2, . . . , xn]}. Chú ỵ 1.4.4. Mồi idean trong k[x1, x2, . . . , xn] l hỳu hÔn sinh v cõ thº cõ nhiãu cỡ sð khĂc nhau. Bờ ã 1.4.5. GiÊ sỷ f1, f2, . . . , fs v g1, g2, . . . , gt l cĂc cỡ sð cừa cũng mởt idean I trong k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ V (f1, f2, . . . , fs) = V (g1, g2, . . . , gt). Cho V ⊂ kn l a tÔp affine. Kỵ hiằu I(V ) = {f ∈ k[x1, x2, . . . , xn] | f(a1, a2, . . . , an) = 0 vợi mồi (a1, a2, . . . , an) ∈ V }. Ta cõ I(V ) l mởt idean.
1.4. IDEAN 11 Vẵ dử 1.4.6. GiÊ sỷ V = {(0, 0)} ⊂ k2. Khi õ I(V ) = hx, yi. Vẵ dử 1.4.7. GiÊ sỷ k l mởt trữớng cõ vổ hÔn phƯn tỷ. Khi õ I(kn) = {0}. Vẵ dử 1.4.8. GiÊ sỷ V = V (y − x2, z − x3) ⊂ R3. Khi õ I(V ) = hy − x2, z − x3i. Thêt vêy, bao h m thực I(V ) ⊃ hy − x2, z − x3i l dạ d ng. º chựng minh chiãu ngữủc lÔi, nhên x²t rơng xαyβzγ = xα(x2 + (y − x2))β(x3 + (z − x3))γ α 2β 2 3γ 3 = x (x + g1(y − x ))(x + g2(z − x )) 2 3 α+2β+γ = h1(y − x ) + h2(z − x ) + x 2 3 = h1(y − x ) + h2(z − x ) + r, trong õ v g1 ∈ R[x, y], g2 ∈ R[x, z], h1, h2 ∈ R[x, y, z] r ∈ R[x]. M°t khĂc, mồi a thực f ∈ R[x, y, z] ãu l tờ hủp tuyán tẵnh (vợi hằ số trong R) cừa cĂc ỡn thực, nản ta cõ thº viát 2 3 f = h1(y − x ) + h2(z − x ) + r trong õ v Do õ náu thẳ h1, h2 ∈ R[x, y, z] r ∈ R[x]. f ∈ I(V ) 0 = f(t, t2, t3) = 0 + 0 + r(t) vợi mồi t ∈ R. Do õ r ≡ 0. Tực l f ∈ hy − x2, z − x3i. Bờ ã 1.4.9. GiÊ sỷ f1, f2, . . . , fs ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ hf1, f2, . . . , fsi ⊂ I(V (f1, f2, . . . , fs)). Vẵ dử sau ch¿ ra bao h m thực trong bờ ã trản cõ thº thỹc sỹ. Vẵ dử 1.4.10. Ta cõ I(V (x2, y2)) = hx, yi. Hỡn nỳa x 6∈ hx2, y2i. Vêy bao h m thực sau l thỹc sỹ hx2, y2i ⊂ I(V (x2, y2)). Mằnh ã 1.4.11. GiÊ sỷ V v W l cĂc a tÔp affine trong kn. Khi õ (i) V ⊂ W náu v ch¿ náu I(V ) ⊃ I(W ). (ii) V = W náu v ch¿ náu I(V ) = I(W ).
12 CHìèNG 1. HNH HÅC, I Sẩ V CC THUT TON B i têp 1. X²t hằ cĂc phữỡng trẳnh x2 + y2 − 1 = 0, xy − 1 = 0. (a) Dũng lỵ luên, khỷ y tứ hằ trản. (b) Chựng minh a thực trong (a) thuởc idean hx2 + y2 − 1, xy − 1i. 2. Cho idean I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] v cĂc a thực f1, f2, . . . , fs ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. Chựng minh hai iãu sau l tữỡng ữỡng (a) f1, f2, . . . , fs ∈ I. (b) hf1, f2, . . . , fsi ⊂ I. 3. Chựng minh cĂc ¯ng thực sau (a) hx + y, x − yi = hx, yi. (b) hx + xy, y + xy, x2, y2i = hx, yi. (c) h2x2 + 3y2 − 11, x2 − y2 − 3i = hx2 − 4, y2 − 1i. 4. Chựng minh V (x + xy, y + xy, x2, y2) = V (x, y). 5. Chựng minh I(V (xn, ym)) = hx, yi vợi mồi n, m nguyản dữỡng. 6. Chựng minh I(V ) l mởt idean radican vợi mồi a tÔp V ⊂ kn. 7. Chựng minh idean hx2, y2i khổng radican. Suy ra hx2, y2i= 6 I(V ) vợi mồi a tÔp V trong k2. 8. GiÊ sỷ V = V (y − x2, z − x3) ⊂ k3. (a) Sỷ dửng tham số hõa cừa ữớng cong V chựng tọ y2 − xz ∈ I(V ). (b) HÂy biºu diạn y2 − xz dÔng tờ hủp cừa y − x2 v z − x3. 9. Chựng minh I(V (x − y)) = hx − yi. 10. GiÊ sỷ V ⊂ R3 l ữớng cong cõ tham số hõa (t, t3, t4), t ∈ R. (a) Chựng minh V l a tÔp affine. (b) XĂc ành I(V ). 11. GiÊ sỷ V ⊂ R3 l ữớng cong cõ tham số hõa (t2, t3, t4), t ∈ R. (a) Chựng minh V l a tÔp affine. (b) XĂc ành I(V ).
1.5. A THÙC MậT BIN 13 12. Cho têp hủp S ⊂ kn. °t I(S) = {f ∈ k[x1, x2, . . . , xn] | f(a1, a2, . . . , an) = 0 vợi mồi (a1, a2, . . . , an) ∈ S}. (a) Chựng minh I(S) l mởt idean. (b) XĂc ành I(S) náu S = {(a, a) ∈ R2 | a 6= 1}. (c) XĂc ành I(Zn) náu Zn l têp cĂc iºm cừa Cn vợi cĂc tồa ở nguyản. 1.5 a thực mởt bián GiÊ sỷ f ∈ k[x] l a thực mởt bián khĂc a thực khổng: m m−1 f(x) = a0x + a1x + ããã + am, m trong õ ai ∈ k v a0 6= 0. ỡn thực a0x gồi l số hÔng Ưu tiản cừa f v kỵ hiằu l m LT(f) = a0x . Vẵ dử 1.5.1. GiÊ sỷ f(x) = 3x3 − 5x2 + 7. Khi õ LT(f) = 3x3. Tứ ành nghắa suy ra náu f, g l cĂc a thực khĂc a thực khổng thẳ deg f ≤ deg g náu v ch¿ náu LT(g) chia hát cho LT(f). Mằnh ã 1.5.2. Cho k l trữớng v g ∈ k[x] l a thực khĂc khổng. Khi õ vợi mồi f ∈ k[x] tỗn tÔi duy nhĐt cĂc a thực q, r ∈ k[x] sao cho f = qg + r, trong õ ho°c r = 0 ho°c deg r < deg g. Hằ quÊ 1.5.3. Cho k l trữớng v f ∈ k[x] l a thực khĂc khổng. Khi õ f cõ nhiãu nhĐt deg f nghiằm trong k. Hằ quÊ 1.5.4. Cho k l trữớng v idean I ⊂ k[x]. Khi õ tỗn tÔi duy nhĐt (sai khĂc mởt hơng số khĂc khổng) a thực f ∈ k[x] sao cho I = hfi. Nõi cĂch khĂc mồi idean trong k[x] l idean chẵnh. ành nghắa 1.5.5. ìợc chung lợn nhĐt cừa cĂc a thực f1, f2, . . . , fs ∈ k[x], kỵ hiằu GCD(f1, f2, . . . , fs), l a thực h thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt sau: (i) f1, f2, . . . , fs chia hát cho h. (ii) Náu f1, f2, . . . , fs chia hát cho a thực p thẳ h cụng chia hát cho p. Mằnh ã 1.5.6. Cho f1, f2, . . . , fs ∈ k[x]. Khi õ (i) Tỗn tÔi duy nhĐt (sai khĂc hơng số khĂc khổng) GCD(f1, f2, . . . , fs). (ii) GCD(f1, f2, . . . , fs) l phƯn tỷ sinh cừa idean hf1, f2, . . . , fsi.
14 CHìèNG 1. HNH HÅC, I Sẩ V CC THUT TON (iii) Tỗn tÔi thuêt toĂn tẳm GCD(f1, f2, . . . , fs). Vẵ dử 1.5.7. ìợc chung lợn nhĐt cừa cĂc a thực x3 − 3x + 2, x4 − 1 v x6 − 1 l a thực x − 1. Suy ra hx3 − 3x + 2, x4 − 1, x6 − 1i = hx − 1i. Kát quÊ trản cho ph²p giÊi b i toĂn th nh viản: Tỗn tÔi thuêt toĂn kiºm tra a thực f cõ thuởc idean I = hf1, f2, . . . , fsi hay khổng? Thêt vêy, °t h = GCD(f1, f2, . . . , fs). Ta cõ thº viát f = qh + r, trong õ deg r < deg h. Khi õ f ∈ I náu v ch¿ náu r = 0. Vẵ dử 1.5.8. a thực x3 +4x2 +3x−7 khổng thuởc idean hx3 −3x+2, x4 −1, x6 −1i = hx−1i vẳ x3 + 4x2 + 3x − 7 = (x2 + 5x + 8)(x − 1) + 1. B i têp 1. Chựng minh hx, yi khổng l idean chẵnh trong v nh k[x, y]. 2. GiÊ sỷ f, g ∈ k[x] v h = GCD(f, g). Chựng minh tỗn tÔi cĂc a thực A, B ∈ k[x] sao cho Af + Bg = h. 3. GiÊ sỷ f, g ∈ k[x]. Chựng minh hf − qg, gi = hf, gi vợi mồi q ∈ k[x]. 4. GiÊ sỷ f1, f2, . . . , fs ∈ k[x] v h = GCD(f2, . . . , fs). Sỷ dửng ¯ng thực hhi = hf2, . . . , fsi, hÂy chựng minh hf1, hi = hf1, f2, . . . , fsi. 5. Sỷ dửng phƯn mãm mĂy tẵnh, hÂy xĂc ành (a) GCD(x4 + x2 + 1, x4 − x2 − 2x − 1, x3 − 1i. (b) GCD(x3 + 2x2 − x − 2, x3 − 2x2 − x + 2, x3 − x2 − 4x + 4i. 6. úng hay sai: x2 − 4 ∈ hx3 + x2 − 4x − 4, x3 − x2 − 4x + 4, x3 − 2x3 − x − 2i? 7. B i têp n y kiºm tra khi n o a tÔp affine V ⊂ C l khĂc trống. (a) GiÊ sỷ f ∈ C[x] l a thực khĂc a thực khổng. Chựng minh V (f) = ∅ náu v ch¿ náu f l a thực hơng. (b) GiÊ sỷ Chựng minh náu v ch¿ náu f1, f2, . . . , fs ∈ C[x]. V (f1, f2, . . . , fs) = ∅ GCD(f1, f2, . . . , fs) = 1. 8. GiÊ sỷ r1 r2 rl f = c(x − a1) (x − a2) ããã (x − al) ∈ C[x] v fred = c(x − a1)(x − a2) ããã (x − al). (a) Chựng minh V (f) = {a1, a2, . . . , al}. (b) Chựng minh I(V (f)) = hfredi.
1.6. PHN TCH THNH CC THNH PHN BT KH QUY V KT THÙC 15 9. Ôo h m hẳnh thực cừa a thực n n−1 f = a0x + a1x + ããã + an ∈ C[x] l a thực 0 n n−2 f = na0x + (n − 1)a1x + ããã + an−1 + 0. Chựng minh cĂc quy tưc sau 0 0 (af) = af , c ∈ C, (f + g)0 = f 0 + g0, (fg)0 = f 0g + fg0. 10. B i têp n y tẳm ữợc chung lợn nhĐt cừa f v f 0 náu f ∈ C[x]. (a) GiÊ sỷ r trong vợi Chựng minh 0 r−1 vợi f = (x − a) h C[x], h(a) 6= 0. f = (x − a) h1 a thực khĂc khổng tÔi h1 ∈ C[x] a. r1 r2 rl (b) GiÊ sỷ f = (x − a1) (x − a2) ããã (x − al) , vợi ai ổi mởt khĂc nhau. Chựng minh 0 r1−1 r2−2 rl−1 f = (x − a1) (x − a2) ããã (x − al) H, trong õ khĂc khổng tÔi H ∈ C[x] ai 0 r1−1 r2−2 rl−1 (c) Chựng minh GCD(f, f ) = (x − a1) (x − a2) ããã (x − al) . (d) Chựng minh f f = . red GCD(f, f 0) (e) Sỷ dửng phƯn mãm mĂy tẵnh, hÂy xĂc ành a thực thu gồn cừa a thực sau x11 − x10 + 2x8 − 4x7 + 3x5 − 3x4 + x3 + 3x2 − x − 1. 11. Tẳm cỡ sð cừa idean I(V (x5 − 2x4 + 2x2 − x, x5 − x4 − 2x3 + 2x2 + x − 1)). 1.6 PhƠn tẵch th nh cĂc th nh phƯn bĐt khÊ quy v kát thực 1.6.1 a thực bĐt khÊ quy Ta bưt Ưu vợi ành nghắa sau: ành nghắa 1.6.1. Cho k l mởt trữớng. a thực f ∈ k[x1, x2, . . . , xn] gồi l bĐt khÊ quy trản k náu f khĂc hơng số v khổng tỗn tÔi cĂc a thực g, h ∈ k[x1, x2, . . . , xn] cõ bêc dữỡng sao cho f = g ã h. Vẵ dử 1.6.2. a thực x2 + 1 bĐt khÊ quy trản Q, R những khổng bĐt khÊ quy trản C.
16 CHìèNG 1. HNH HÅC, I Sẩ V CC THUT TON Mằnh ã 1.6.3. Mồi a thực khĂc hơng f ∈ k[x1, x2, . . . , xn] ãu cõ thº phƠn tẵch th nh tẵch cừa cĂc a thực bĐt khÊ quy trản k. ành lỵ 1.6.4. GiÊ sỷ f ∈ k[x1, x2, . . . , xn] l a thực bĐt khÊ quy trản k v g, h ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. Náu tẵch g ã h chia hát cho f thẳ ho°c g chia hát cho f ho°c h chia hát cho f. Hằ quÊ 1.6.5. GiÊ sỷ l hai a thực vợi f, g ∈ k[x1, x2, . . . , xn] degx1 (f) > 0, degx1 (g) > 0. Khi õ cõ ữợc chung vợi náu v ch¿ náu cõ ữợc f, g h ∈ k[x1, x2, . . . , xn] degx1 (h) > 0 f, g chung trong k(x2, . . . , xn)[x1]. ành lỵ 1.6.6. GiÊ sỷ f ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ tỗn tÔi cĂc a thực bĐt khÊ quy f1, f2, . . . , fr trản k sao cho f = f1 ã f2 ããã fr. Hỡn nỳa náu f = g1 ã g2 ããã gs vợi gi l cĂc a thực bĐt khÊ quy thẳ r = s v sau khi Ănh số lÔi ta cõ fi v gi sai khĂc mởt hơng số khĂc khổng. 1.6.2 Kát thực Bờ ã 1.6.7. GiÊ sỷ f, g ∈ k[x] l cĂc a thực bêc tữỡng ựng l > 0 v m > 0. Khi õ f v g cõ ữợc chung khĂc hơng náu v ch¿ náu tỗn tÔi cĂc a thực A, B ∈ k[x] sao cho (i) A, B khổng ỗng thới bơng khổng. (ii) deg A ≤ m − 1 v deg B ≤ l − 1. (iii) Af + Bg = 0. ành nghắa 1.6.8. GiÊ sỷ f, g l hai a thực bêc dữỡng: l l−1 f = a0x + a1x + ããã + al, a0 6= 0, m m−1 g = b0x + b1x + ããã + bm, b0 6= 0. Ma trên kẵch thữợc (l + m) ì (l + m): a0 b0  a1 a0 b1 b0    a2 a1 b2 b1   . . . .   . .   . a0 . b0   . .  Syl(f, g, x) =  . .   a1 b1    al bm   . .   . .   al bm     . .  al bm
1.6. PHN TCH THNH CC THNH PHN BT KH QUY V KT THÙC 17 (cõ m cởt ai v l cởt bj) gồi l ma trên Sylvester cừa f, g tữỡng ựng vợi bián x. GiĂ trà Res(f, g, x) = det Syl(f, g, x) gồi l kát thực cừa f v g tữỡng ựng bián x. Mằnh ã 1.6.9. GiÊ sỷ f, g ∈ k[x] l cĂc a thực cõ bêc dữỡng. Khi õ Res(f, g, x) l mởt a thực vợi cĂc hằ số nguyản theo cĂc bián l cĂc hằ số cừa f v g. Hỡn nỳa, f, g cõ ữợc chung khĂc hơng trong k[x] náu v ch¿ náu Res(f, g, x) = 0. Vẵ dử 1.6.10. GiÊ sỷ f = 2x2 + 3x + 1, g = 7x2 + x + 3 l hai a thực trong Q[x]. Ta cõ 2 0 7 0 3 2 1 7 Res(f, g, x) =   = 153 6= 0. 1 3 3 1 0 1 0 3 Suy ra f v g khổng cõ ữợc chung khĂc hơng. ành lỵ 1.6.11. GiÊ sỷ f, g ∈ k[x] l cĂc a thực cõ bêc dữỡng. Khi õ tỗn tÔi cĂc a thực A, B ∈ k[x] sao cho Af + Bg = Res(f, g, x). Hỡn nỳa, cĂc hằ số cừa A v B l cĂc a thực nguyản theo cĂc bián l cĂc hằ số cừa f v g. B i têp 1. Dữợi Ơy l vẵ dử vã cĂc a thực bĐt khÊ quy. (a) Chựng minh mồi a thực f ∈ k[x] bêc 1 l bĐt khÊ quy trản k. (b) GiÊ sỷ f ∈ k[x] cõ bêc bơng 2 ho°c 3. Chựng minh f bĐt khÊ quy trản k náu v ch¿ náu f khổng cõ nghiằm trản k. (c) Chựng minh a thực x2 − 2 bĐt khÊ quy trản Q những khổng bĐt khÊ quy trản R. (d) Chựng minh a thực x4 + 1 bĐt khÊ quy trản Q những khổng bĐt khÊ quy trản R. (e) Sỷ dửng phƯn (d) chựng minh (b) sai ối vợi cĂc a thực bêc ≥ 4. 2. Chựng minh trữớng k l õng Ôi số náu v ch¿ náu mồi a thực bĐt khÊ quy trong k[x] cõ bêc bơng 1. 3. GiÊ sỷ P i v P i trong õ f = i aix1 g = i bix1, ai, bi ∈ k[x2, x3, . . . , xn].
18 CHìèNG 1. HNH HÅC, I Sẩ V CC THUT TON (a) GiÊ sỷ u ∈ k[x2, x3, . . . , xn]. Chựng minh f chia hát cho u trong k[x1, x2, . . . , xn] náu v ch¿ náu trong k[x2, x3, . . . , xn] cĂc a thực ai chia hát cho u. (b) GiÊ sỷ P i HÂy biºu diạn qua v g ã h = i cix1. ci ai bi. 4. GiÊ sỷ f ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. (a) Chựng minh náu f bĐt khÊ quy v a thực h1h2 . . . hs chia hát cho f thẳ tỗn tÔi ch¿ số i sao cho hi chia hát cho f. (b) Chựng minh tỗn tÔi cĂc a thực bĐt khÊ quy f1, f2, . . . , fr trản k sao cho f = f1 ã f2 ããã fr. Hỡn nỳa náu f = g1 ã g2 ããã gs vợi gi l cĂc a thực bĐt khÊ quy thẳ r = s v sau khi Ănh số lÔi ta cõ fi v gi sai khĂc mởt hơng số khĂc khổng. 5. Cho hai a thực f = x5 − 3x4 − 2x3 + 3x2 + 7x + 6, g = x4 + x2 + 1. Tẵnh kát thực cừa f v g. Hai a thực n y cõ ữợc chung trong Q[x]? GiÊi thẵch. 6. GiÊ sỷ a1 a2 ar trong õ bĐt khÊ quy v khổng l tẵch f = f1 ã f2 ããã fr ∈ k[x], fi ∈ k[x] fi mởt hơng số vợi Chựng minh náu chựa trữớng cĂc số hỳu t¿ thẳ fj, i 6= j. k Q 0 a1−1 a2−1 ar−1 USCLN(f, f ) = f1 ã f2 ããã fr . (GiÊ thiát k ⊃ Q º cõ f 0 6= 0). 7. GiÊ sỷ cĂc a thực f, g ∈ C[x] cõ bêc dữỡng. Chựng minh f v g cõ nghiằm chung trong C náu v ch¿ náu Res(f, g, x) = 0. l l−1 8. GiÊ sỷ f = a0x + a1x + ããã + al ∈ k[x] vợi a0 6= 0 v l > 0. Ta gồi (−1)l(l−1)/2 Disc(f) = Res(f, f 0, x) a0 l biằt têp cừa f. Chựng minh f cõ mởt ữợc bởi (tực l tỗn tÔi a thực h ∈ k[x] sao cho f chia hát cho h2) náu v ch¿ náu Disc(f) = 0. 9. a thực f = 6x4 − 23x3 + 32x2 − 19x + 4 ∈ C[x] cõ nghiằm bởi? 10. Tẵnh biằt thực cừa a thực f = ax2 + bx + c. Nhên x²t. 11. KhÊo sĂt hai a thực f = 2x2 + 3x + 1, g = 7x2 + x + 3.
1.6. PHN TCH THNH CC THNH PHN BT KH QUY V KT THÙC 19 (a) Sỷ dửng thuêt toĂn chia Euclid, tẳm USCLN(f, g). (b) Tẳm cĂc a thực A, B ∈ k[x] sao cho Af + Bg = 1. (c) Trong lới giÊi cừa phƯn (b), khỷ cĂc mău số. GiÊi thẵch mối liản hằ vợi kát thực. 12. Chựng minh náu f, g ∈ Z[x] thẳ Res(f, g, x) ∈ Z. 13. KhÊo sĂt hai a thực f = xy − 1, g = x2 + y2 − 4. Tẳm cĂc a thực A, B sao cho Af + Bg = 1. 14. B i têp n y tẳm hiºu kát thực cừa hai a thực f v g trong trữớng hủp mởt (ho°c hai) a thực n y cõ bêc bơng khổng. (a) GiÊ sỷ v l hơng số. Chựng minh l l = deg(f) > 0 g = b0 Res(f, g, x) = b0. (b) XĂc ành Res(f, g, x) náu f = a0 l hơng số v deg(g) = m > 0. (c) Náu f = a0 v g = b0 l cĂc h m hơng thẳ ành nghắa ( 0 náu ho°c a = 0 ho°c b = 0, Res(f, g, x) = 0 0 1 náu a0 6= 0 v b0 6= 0. 15. Chựng minh Res(f, g, x) = (−1)deg(f) deg(g)Res(g, f, x). l l−1 m m−1 16. Cho f = a0x + a1x + ããã + al v g = b0x + b1x + ããã + bm l hai a thực trong k[x]. GiÊ sỷ l ≥ m. ˜ l−m ˜ ˜ (a) °t f = f − (a0/b0)x g. Khi õ deg(f) ≤ l − 1. Chựng tọ náu deg(f) = l − 1 thẳ m ˜ Res(f, g, x) = (−1) b0Res(f, g, x). (b) Chựng minh m(l−deg(f˜)) l−deg(f˜) ˜ Res(f, g, x) = (−1) b0 Res(f, g, x). (c) Theo thuêt toĂn chia cõ thº viát f = qg + r trong k[x] vợi deg(r) < deg(g). Sỷ dửng (b) chựng minh m(l−deg(r)) l−deg(r) Res(f, g, x) = (−1) b0 Res(r, g, x).
20 CHìèNG 1. HNH HÅC, I Sẩ V CC THUT TON
Chữỡng 2 Tứ iºn Ôi số-Hẳnh hồc Chữỡng n y thiát lêp mối liản hằ giỳa cĂc idean v cĂc a tÔp affine. 2.1 ành lỵ Hilbert vã cỡ sð Trong giĂo trẳnh n y ta s³ giÊ sỷ cĂc v nh l giao hoĂn v cõ ỡn và l 1. Mằnh ã 2.1.1. GiÊ sỷ R l mởt v nh. CĂc iãu sau l tữỡng ữỡng: (i) Mồi idean ⊂ R l hỳu hÔn sinh; tực l vợi mồi idean I ⊂ R tỗn tÔi f1, f2, . . . , fs ∈ I sao cho I = hf1, f2, . . . , fsi. (ii) Mồi dÂy tông cĂc idean trong R : I1 ⊂ I2 ⊂ ã ã ã ⊂ Im ⊂ ã ã ã l dứng; tực l tỗn tÔi số tỹ nhiản N ≥ 1 sao cho IN = IN+1 = IN+2 = ããã . (iii) Mồi têp khĂc trống cĂc idean trong R cõ phƯn tỷ lợn nhĐt. ành nghắa 2.1.2. V nh R thọa mÂn mởt trong ba iãu kiằn tữỡng ữỡng trản gồi l v nh Noether. Mằnh ã 2.1.3. (i) GiÊ sỷ R l v nh Noether v I l idean trong R. Khi õ v nh thữỡng R/I l Noether. (ii) GiÊ sỷ R l Noether v l miãn nguyản, k(R) l trữớng thữỡng cừa R. GiÊ sỷ 0 6∈ S ⊂ R v °t B = {a/b ∈ k(R) | a ∈ R, v b = 1 ho°c b l tẵch cừa cĂc phƯn tỷ thuởc S}. Khi õ B l Noether. 21
22 CHìèNG 2. Tỉ IN I Sẩ-HNH HÅC ành lỵ 2.1.4. (ành lỵ Hilbert vã cỡ sð) GiÊ sỷ R l mởt v nh giao hoĂn v cõ ỡn và l 1. Náu R l noether thẳ R[x] cụng l Noether. Hằ quÊ 2.1.5. V nh cĂc a thực k[x1, x2, . . . , xn] l Noether. ành nghắa 2.1.6. GiÊ sỷ I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] l idean. Ta s³ kỵ hiằu n V (I) = {(a1, a2, . . . , an) ∈ k | f(a1, a2, . . . , an) = 0 vợi mồi f ∈ I}. M°c dũ idean I cõ vổ hÔn cĂc phƯn tỷ, những V (I) ữủc xĂc ành bði têp hỳu hÔn cĂc phữỡng trẳnh a thực. Mằnh ã 2.1.7. V (I) l mởt a tÔp affine. Hỡn nỳa náu I = hf1, f2, . . . , fsi thẳ V (I) = V (f1, f2, . . . , fs). Hằ quÊ 2.1.8. Náu hf1, f2, . . . , fsi = hg1, g2, . . . , gri ⊂ k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ V (f1, f2, . . . , fs) = V (g1, g2, . . . , gr). B i têp 1. GiÊ sỷ f ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. Chựng minh náu f 6∈ hx1, x2, . . . , xni thẳ hx1, x2, . . . , xn, fi = k[x1, x2, . . . , xn]. 2. GiÊ sỷ cõ dÂy giÊm cĂc a tÔp affine V1 ⊃ V2 ⊃ V3 ⊃ ã ã ã . Chựng minh tỗn tÔi số tỹ nhiản dữỡng N sao cho VN = VN+1 = VN+2 = ããã . 3. Cho dÂy cĂc a thực f1, f2, ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. GiÊ sỷ I = hf1, f2, i l idean sinh bði dÂy cĂc a thực n y. Chựng minh tỗn tÔi số tỹ nhiản dữỡng N sao cho I = hf1, f2, . . . , fN i. 4. Cho dÂy cĂc a thực f1, f2, ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. GiÊ sỷ V (f1, f2, ) l a tÔp affine gỗm tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa hằ cĂc phữỡng trẳnh f1 = f2 = ããã = 0. Chựng minh tỗn tÔi số tỹ nhiản dữỡng N sao cho V (f1, f2, ) = V (f1, f2, . . . , fN ). 5. Chựng minh V (I(V )) = V. 6. GiÊ sỷ I = hx2 − y, x2 + y − 4i ⊂ C[x, y] v V = V (I). (a) Chựng minh I = hx2 − y, x2 − 2i. √ (b) Suy ra V (I) = {(p, 2, 2)}. 7. Chựng minh náu g, g1, g2 ∈ k[x1, x2, . . . , xn] vợi g = g1g2 thẳ V (f, g) = V (f, g1) ∪ V (f, g2) vợi mồi f ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. 8. Chựng minh trong R3 cõ V (y − x2, xz − y2) = V (y − x2, xz − x4).
2.2. ÀNH Lị KHặNG IM CếA HILBERT 23 2.2 ành lỵ khổng iºm cừa Hilbert º nghiản cựu a tÔp V ⊂ kn ta s³ nghiản cựu idean: I(V ) = {f ∈ k[x1, x2, . . . , xn] | f(x) = 0 vợi mồi x ∈ V }. Nõi cĂch khĂc, tỗn tÔi tữỡng ựng cĂc a tÔp affine −→ cĂc idean V 7→ I(V ) Ngữủc lÔi, cho idean I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] ta ành nghắa n V (I) = {(a1, a2, . . . , an) ∈ k | f(a1, a2, . . . , an) = 0 vợi mồi f ∈ I}. Theo ành lỵ vã cỡ sð cừa Hilbert, V (I) l mởt a tÔp affine. Do õ ta cõ tữỡng ựng cĂc idean −→ cĂc a tÔp affine I 7→ V (I) Nhữ vêy, ta cõ tữỡng ựng giỳa cĂc a tÔp affine v cĂc idean. Mửc ẵch cừa chữỡng n y l tẳm hiºu cĂc tẵnh chĐt cừa nhỳng tữỡng ựng n y. Nhên x²t 2.2.1. Tữỡng ựng ữủc thiát lêp trản khổng l mởt-mởt. Thêt vêy, ta cõ hxi v hx2i l hai idean khĂc nhau trong k[x] những xĂc ành cũng mởt a tÔp affine V (x) = V (x2) = {0}. Mởt vĐn ã khĂc nÊy sinh khi k khổng õng Ôi số. Ch¯ng hÔn, x²t cĂc a thực 1, 1 + x2 v 1 + x2 + x4 trong R[x]. CĂc a thực n y sinh ra ba idean khĂc nhau 2 2 4 I1 = h1i = R[x],I2 = h1 + x i,I3 = h1 + x + x i. Dạ thĐy V (I1) = V (I2) = V (I3) = ∅. ành lỵ 2.2.2. (ành lỵ khổng iºm yáu-NullStellenSatz) GiÊ sỷ k l trữớng õng Ôi số v I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] l idean thọa mÂn V (I) = ∅. Khi õ I = k[x1, x2, . . . , xn]. Hằ quÊ 2.2.3. (ành lỵ cỡ bÊn cừa Ôi số) GiÊ sỷ I = hf1, f2, . . . , fsi l idean con thỹc sỹ cừa v nh sinh bði cĂc a thực Khi õ hằ cĂc phữỡng trẳnh a C[x1, x2, . . . , xn] f1, f2, . . . , fs. thực f1(x) = f2(x) = ããã = fs(x) = 0 cõ ẵt nhĐt mởt nghiằm trong Cn. ành lỵ 2.2.2 cụng cho ph²p ta giÊi b i toĂn: khi n o hằ cĂc phữỡng trẳnh f1(x) = f2(x) = ããã = fs(x) = 0 cõ nghiằm chung trong Cn. Thêt vêy, hằ trản vổ nghiằm náu v ch¿ náu V (f1, f2, . . . , fs) = ∅. iãu n y tữỡng ữỡng 1 ∈ hf1, f2, . . . , fsi. Vẳ vêy, º giÊi b i toĂn tỗn tÔi nghiằm, ta cƯn xĂc ành khi n o 1 thuởc mởt idean. iãu n y cõ thº kiºm tra mởt cĂch dạ d ng do vợi mồi thự tỹ ỡn thực, phƯn tỷ {1} ch¿ thuởc v o cỡ sð GrÔobnerthu gồn cừa idean h1i.
24 CHìèNG 2. Tỉ IN I Sẩ-HNH HÅC ành lỵ 2.2.4. (ành lỵ khổng iºm cừa Hilbert) Cho k l trữớng õng Ôi số. GiÊ sỷ f, f1, f2, . . . , fs ∈ k[x1, x2, . . . , xn] sao cho f ∈ I(V (f1, f2, . . . , fs)). Khi õ tỗn tÔi số nguyản m m ≥ 1 sao cho f ∈ hf1, f2, . . . , fsi (v ngữủc lÔi). B i têp 1. Nhưc lÔi V (y − x2, z − x3) l ữớng cong xoưn bêc ba trong R3. (a) Chựng minh V ((y − x2)2 + (z − x3)2) cụng l ữớng cong xoưn bêc ba. (b) Chựng minh mồi a tÔp affine n ữủc xĂc ành V (I) ⊂ R ,I ⊂ R[x1, x2, . . . , xn], bði úng mởt phữỡng trẳnh (v do vêy bði mởt idean chẵnh). 2. GiÊ sỷ J = hx2 + y2 − 1, y − 1i. Tẳm f ∈ I(V (J)) sao cho f 6∈ J. 3. Chựng minh trữớng õng Ôi số k cõ vổ hÔn phƯn tỷ. 4. B i têp n y chựng tọ náu k khổng õng Ôi số thẳ mồi a tÔp affine V ⊂ kn ữủc xĂc ành bði úng mởt phữỡng trẳnh. n n−1 (a) GiÊ sỷ f = a0x + a1x + ããã + an−1x + an. ành nghắa thuƯn nhĐt hõa cừa f l h n n−1 n−1 n a thực f = a0x + a1x y + ããã + an−1xy + any . Chựng minh f cõ nghiằm trong k náu v ch¿ náu tỗn tÔi (a, b) ∈ k2 sao cho (a, b) 6= (0, 0) v f h(a, b) = 0. (b) GiÊ sỷ k khổng õng Ôi số. Chựng minh tỗn tÔi f ∈ k[x, y] sao cho a tÔp V (f) ⊂ k2 gỗm úng mởt iºm (0, 0) ∈ k2. (c) GiÊ sỷ k khổng õng Ôi số. Chựng minh vợi mội số nguyản dữỡng s tỗn tÔi s a thực f ∈ k[x1, x2, . . . , xs] sao cho a tÔp V (f) ⊂ k gỗm úng mởt iºm (0, 0, , 0) ∈ ks. n (d) GiÊ sỷ k khổng õng Ôi số v W = V (g1, g2, . . . , gs) ⊂ k . Chựng minh tỗn tÔi f ∈ k[x1, x2, . . . , xn] sao W = V (f). n 5. GiÊ sỷ S l têp con cừa k[x1, x2, . . . , xs] gỗm cĂc a thực khĂc khổng trản k . Chựng minh náu I ⊂ k[x1, x2, . . . , xs] l idean sao cho I ∩ S = ∅ thẳ V (I) 6= ∅. 6. GiÊ sỷ A = (aij) l ma trên vuổng cĐp n ì n vợi cĂc phƯn tỷ trong k. GiÊ sỷ x = Ax.˜ ành nghắa Ănh xÔ ˜ αA : k[x1, x2, . . . , xs] → k[˜x1, x˜2, , x˜s], f 7→ f, trong õ f˜(˜x) = f(Ax˜). (a) Chựng minh αA l k-tuyán tẵnh. (b) Chựng minh αA(f ã g) = αA(f) ã αA(g). (c) Tẳm iãu kiằn cừa ma trên A º αA l mởt-mởt v lản. (d) GiÊ sỷ I ∈ k[x1, x2, . . . , xn] l idean. Têp hủp {αA(f) | f ∈ I} l mởt idean? ˜ ˜ (e) GiÊ sỷ I ∈ k[˜x1, x˜2, , x˜s] l idean. Têp hủp {f ∈ k[x1, x2, . . . , xn] | αA(f) ∈ I} l mởt idean?
2.3. IDEAN RADICAL V TìèNG ÙNG IDEAN-A TP 25 7. Trong B i têp 1, ta cõ hai idean trong R[x, y] xĂc ành cũng mởt a tÔp khĂc trống. Chựng tọ mởt trong hai idean n y ữủc chựa trong idean khĂc. úng hay sai: tỗn tÔi hai idean I,J trong R[x, y] sao cho V (I) = V (J) 6= ∅ v I 6⊂ J, J 6⊂ I? CƠu họi tữỡng tỹ ối vợi v nh cĂc a thực mởt bián R[x]. 2.3 Idean radical v tữỡng ựng idean-a tÔp Bờ ã 2.3.1. Cho V l mởt a tÔp. Náu f m ∈ I(V ) thẳ f ∈ I(V ). Chựng minh. GiÊ sỷ x ∈ V. Náu f m ∈ I(V ) thẳ (f(x))m = 0. Suy ra f(x) = 0. Vẳ x ∈ V tũy ỵ nản f ∈ I(V ). Bờ ã trản dăn án ành nghắa sau: ành nghắa 2.3.2. Idean I gồi l radican náu f m ∈ I vợi bĐt ký số nguyản m ≥ 1 thẳ f ∈ I. Hiºn nhiản Hằ quÊ 2.3.3. I(V ) l idean radican. M°t khĂc, theo ành lỵ khổng iºm cừa Hilbert, idean I khổng trũng idean gỗm tĐt cÊ cĂc a thực triằt tiảu trản V (I) náu tỗn tÔi f 6∈ I v số nguyản m ≥ 1 sao cho f m ∈ I; nõi cĂch khĂc I khổng phÊi idean radican. iãu n y dăn án tỗn tÔi tữỡng ựng mởt-mởt giỳa cĂc a tÔp affine v cĂc idean radican. Ta cõ ành nghắa sau ành nghắa 2.3.4. Cho idean I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn]. Têp hủp √ I = {f | tỗn tÔi số nguyản m ≥ 1 sao cho f m ∈ I} gồi l radican cừa I. √ Vẵ dử 2.3.5. GiÊ sỷ I = hx2, y3i ⊂ k[x, y]. Khi õ I = hx, yi. Tứ ành nghắa ta cõ Bờ ã 2.3.6. Cho idean I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ cĂc kh¯ng ành sau úng: √ (i) I ⊂ I. √ (ii) Idean I l radican náu v ch¿ náu I = I. √ √ (iii) I l mởt idean. Hỡn nỳa, I l idean radican. ành lỵ 2.3.7. (ành lỵ khổng iºm mÔnh) GiÊ sỷ k l trữớng õng Ôi số v I ⊂ k[x , x , . . . , x ] l idean. Khi õ 1 2 n √ I(V (I)) = I.
26 CHìèNG 2. Tỉ IN I Sẩ-HNH HÅC ành lỵ khổng iºm cho ph²p ta thiát lêp mởt tứ iºn giỳa hẳnh hồc v Ôi số, cử thº cõ cĂc tữỡng ựng cĂc a tÔp affine −→I cĂc idean v cĂc idean −→V a tÔp affine. ành lỵ 2.3.8. (Tữỡng ựng V ) GiÊ sỷ k l trữớng tũy ỵ. Khi õ tữỡng ựng V cõ cĂc tẵnh chĐt sau n (i) V (0) = k ; V (k[x1, x2, . . . , xn]) = ∅. (ii) Náu I1 ⊂ I2 l cĂc idean thẳ V (I1) ⊃ V (I2). (iii) V (I1 ∩ I2) = V (I1) ∪ V (I1). ành lỵ 2.3.9. (Tữỡng ựng I) Náu V1 ⊂ V2 l cĂc a tÔp thẳ I(V1) ⊃ I(V2). Hỡn nỳa, vợi mồi a tÔp V ta cõ V (I(V )) = V v do vêy tữỡng ựng I l mởt-mởt. °c biằt ành lỵ 2.3.10. (Tữỡng ựng idean radican-a tÔp affine) GiÊ sỷ k l trữớng õng Ôi số v ch¿ x²t cĂc idean radican thẳ cĂc Ănh xÔ cĂc a tÔp affine −→I cĂc idean radican v cĂc idean radican −→V cĂc a tÔp affine l song Ănh bao h m Êo ngữủc v l ngữủc cừa nhau. Mằnh ã 2.3.11. Cho l mởt trữớng v idean trong v nh a thực k √ I = hf1, f2, . . . , fsi ˜ k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ f ∈ I náu v ch¿ náu a thực hơng 1 thuởc idean I = hf1, f2, . . . , fs, 1− ˜ yfi ⊂ k[x1, x2, . . . , xn, y]. Trong trữớng hủp n y I = k[x1, x2, . . . , xn, y]. Mằnh ã 2.3.12. Cho idean chẵnh I = hfi trong v nh a thực k[x1, x2, . . . , xn]. Náu f = α1 α2 αs l phƠn tẵch cừa th nh tẵch cĂc a thực bĐt khÊ quy ổi mởt khĂc nhau thẳ f1 f2 ããã fs f √ p I = hfi = hf1, f2, . . . , fsi. ành nghắa 2.3.13. GiÊ sỷ f ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. a thực g gồi l thu gồn cừa f náu p hgi = hfi. Kỵ hiằu fred l thu gồn cừa f. a thực f gồi l thu gồn náu f = fred. Bði ành nghắa, cĂc a thực thu gồn cừa f sai khĂc mởt hơng số trong k. 2 3 2 Vẵ dử 2.3.14. Náu f = (x + y ) (x − y) ∈ k[x, y] thẳ fred = (x + y )(x − y). ành nghắa 2.3.15. GiÊ sỷ f, g ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. a thực h ∈ k[x1, x2, . . . , xn] gồi l ữợc chung lợn nhĐt cừa f v g náu cĂc iãu sau thọa mÂn
2.3. IDEAN RADICAL V TìèNG ÙNG IDEAN-A TP 27 (i) f v g chia hát cho h. (ii) Náu f v g chia hát cho a thực p thẳ h cụng chia hát cho p. Kỵ hiằu USCLN(f, g) = h l ữợc chung lợn nhĐt cừa f v g. Mằnh ã 2.3.16. Cho k l trữớng chựa trữớng cĂc số hỳu t¿ Q. GiÊ sỷ I = hfi l idean chẵnh trong v nh a thực k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ I = hfredi, trong õ f fred = . USCLN(f, ∂f , ∂f , , ∂f ) ∂x1 ∂x2 ∂xn Chú ỵ 2.3.17. Mằnh ã trản khổng úng náu k khổng chựa Q. B i têp 1. GiÊ sỷ m, n l cĂc số nguyản dữỡng. Chựng minh rơng phxm, yni = hx, yi. 2. GiÊ sỷ v l hai a thực khĂc hơng trong v 2 3 úng hay √ f g, f 6= g, k[x, y] I = hf , g i. sai: I = hf, gi? 3. Chựng minh hx2 + 1i ⊂ R[x] l idean radican những V (I) = ∅. 4. GiÊ sỷ I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] l idean. √ (a) Chựng minh idean I l radican. √ (b) Chựng minh idean I l radican náu v ch¿ náu I = I. p√ √ (c) Chựng minh I = I. 5. Chựng minh cĂc tữỡng ựng V v I l bao h m Êo ngữủc. 6. GiÊ sỷ I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] l idean. √ (a) Trong trữớng hủp °c biằt vợi mi chựng minh m1+m2−1 √ I = hf1, f2i, fi ∈ I, f ∈ I vợi mồi f ∈ I. √ m0 (b) Vợi idean bĐt ký I, chựng minh tỗn tÔi m0 sao cho f ∈ I vợi mồi f ∈ I. 7. úng hay sai: (a) x + y ∈ phx3, y3, xy(x + y)i? (b) x2 + 3xz ∈ phx + z, x2y, x − z2i? Náu úng, tẳm lụy thứa nhọ nhĐt sao a thực thuởc idean. 8. GiÊ sỷ fm v fm+1 l cĂc a thực thuƯn nhĐt bêc tữỡng ựng m v m + 1 sao cho USCLN(fm, fm+1) = 1. Chựng minh fm + fm+1 l a thực bĐt khÊ quy. 9. GiÊ sỷ f, g ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. Chựng minh tỗn tÔi duy nhĐt (sai khĂc mởt hơng số trong k) USCLN(f, g).
28 CHìèNG 2. Tỉ IN I Sẩ-HNH HÅC 10. GiÊ sỷ f, g, h ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. Chựng minh h = USCLN(f, g) náu v ch¿ náu hhi ⊂ J vợi mồi idean J ⊃ hf, gi. 11. Tẳm mởt cỡ sð cừa idean sau phx5 − 2x4 + 2x2 − x, x5 − x4 − 2x3 + 2x2 + x − 1i. 12. Trong v nh Q[x, y] x²t a thực f = x5 + 3x4y + 3x3y2 − 2x4y2 + x2y3 − 6x3y3 − 6x2y4 + x3y4 − 2xy5 + 3x2y5 + 3xy6 + y7. Tẵnh phfi. √ 13. GiÊ sỷ J = hxy, (x − y)xi. Mổ tÊ V (I) v chựng minh J = hxi. 14. Chựng minh idean I = hxy, xz, yzi l radican. 2.4 Tờng, tẵch v giao cừa cĂc idean CĂc idean l cĂc ối tữủng Ôi số v bði vêy cõ cĂc ph²p toĂn Ôi số trản õ: tờng tẵch v giao cĂc idean. 2.4.1 Tờng cĂc idean ành nghắa 2.4.1. Cho hai idean I,J ⊂ k[x1, x2, . . . , xn]. Têp hủp I + J = {f + g | f ∈ I v g ∈ J} gồi l tờng cừa I v J. Mằnh ã 2.4.2. Cho hai idean I,J ⊂ k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ I +J l idean nhọ nhĐt chựa I v J. Hỡn nỳa, náu I = hf1, f2, . . . , fri v J = hg1, g2, . . . , gsi thẳ I + J = hf1, f2, . . . , fr, g1, g2, . . . , gsi. Mằnh ã trản suy ra Hằ quÊ 2.4.3. Náu f1, f2, . . . , fr ∈ k[x1, x2, . . . , xn] thẳ hf1, f2, . . . , fri = hf1i + hf2i + ããã + hfri. Vẵ dử 2.4.4. GiÊ sỷ I = hx2 + yi v J = hzi l hai idean trong R[x, y, z]. Khi õ I + J = hx2 +y, zi. Do õ a tÔp V (I +J) gỗm tĐt cÊ cĂc iºm (x, y, z) ∈ R3 m tÔi õ x2 +y = z = 0. Suy ra V (I + J) = V (I) ∩ V (J). ành lỵ sau cho ta mối liản hằ giỳa tờng cĂc idean vợi giao cĂc a tÔp. ành lỵ 2.4.5. GiÊ sỷ Iλ, λ ∈ Λ, l hồ cĂc idean trong k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ ! X \ V Iλ = V (Iλ). λ∈Λ λ∈Λ
2.4. TấNG, TCH V GIAO CếA CC IDEAN 29 2.4.2 Tẵch cĂc idean ành nghắa 2.4.6. Cho hai idean I,J ⊂ k[x1, x2, . . . , xn]. Têp hủp I ã J = {f ã g | f ∈ I v g ∈ J} gồi l tẵch cừa I v J. Tứ ành nghắa dạ d ng suy ra tẵch cừa hai idean l mởt idean. Hỡn nỳa, ta cõ Mằnh ã 2.4.7. Cho hai idean I = hf1, f2, . . . , fri v J = hg1, g2, . . . , gsi. Khi õ idean I ã J sinh bði têp tĐt cÊ cĂc tẵch cừa cĂc phƯn tỷ sinh cừa I v J : I ã J = hfigj | 1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ si. ành lỵ 2.4.8. GiÊ sỷ I v J l cĂc idean trong k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ V (I ã J) = V (I) ∪ V (J). 2.4.3 Giao cĂc idean ành nghắa 2.4.9. Cho hai idean I,J ⊂ k[x1, x2, . . . , xn]. Têp hủp I ∩ J = {f | f ∈ I v f ∈ J} gồi l giao cừa I v J. Ta cõ Mằnh ã 2.4.10. GiÊ sỷ I v J l cĂc idean trong k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ I ∩ J cụng l mởt idean. Nhên x²t 2.4.11. Ta luổn luổn cõ IJ ⊂ I ∩ J vẳ mồi phƯn tỷ cừa IJ l tờng cừa cĂc a thực cõ dÔng fg vợi f ∈ I v g ∈ J. Tuy nhiản cõ thº IJ chựa thỹc sỹ trong I ∩ J. Ch¯ng hÔn, náu I = J = hx, yi thẳ IJ = hx2, xy, y2i l têp con thỹc sỹ cừa I ∩ J = I = J = hx, yi (x ∈ I ∩ J những x 6∈ IJ). Bờ ã 2.4.12. (i) Náu I l idean trong k[x1, x2, . . . , xn] sinh bði cĂc a thực p1(x), p2(x), . . . , ps(x) thẳ f(t)I l idean trong k[x1, x2, . . . , xn, t] sinh bði cĂc a thực f(t)p1(x), f(t)p2(x), . . . , f(t)ps(x). (ii) Náu g(x, t) ∈ f(t)I v c ∈ k thẳ g(x, a) ∈ I. ành lỵ 2.4.13. GiÊ sỷ I v J l cĂc idean trong k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ I ∩ J = (tI + (1 − t)J) ∩ k[x1, x2, . . . , xn]. ành lỵ 2.4.14. GiÊ sỷ I v J l cĂc idean trong k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ V (I ∩ J) = V (I) ∪ V (J). )
30 CHìèNG 2. Tỉ IN I Sẩ-HNH HÅC Do vêy, giao v tẵch cừa hai idean xĂc ành cũng mởt a tÔp. M°c dũ tẵnh giao hai idean khõ hỡn tẵnh tẵch cừa chúng, những cõ lủi iºm khi tẵnh radican: tẵch hai idean radican khổng phÊi mởt idean radican những giao cừa hai idean radican l mởt idean radican. Thêt vêy, ta cõ Mằnh ã 2.4.15. GiÊ sỷ I v J l cĂc idean trong k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ √ √ √ I ∩ J = I ∩ J. B i têp 1. Chựng minh h(x + y)4(x2 + y)2(x − 5y)i ∩ h(x + y)(x2 + y)3(x + 3y)i = h(x + y)4(x2 + y)3(x − 5y)(x + 3y)i. 2. Cho cĂc idean I1,I2, ,Ir v J trong v nh k[x1, x2, . . . , xn]. Chựng minh cĂc iãu sau (a) (I1 + I2)J = I1J + I2J. (b) m m1 m2 mr (I1 ã I2 ããã Ir) = I1 ã I2 ããã Ir . 3. Cho cĂc idean I v J trong v nh k[x1, x2, . . . , xn]. Chựng minh cĂc iãu sau √ √ (a) Náu Ik ⊂ J vợi k nguyản dữỡng thẳ I ⊂ J. √ p√ √ (b) I + J = I + J. 4. Cho hai a thực f = x4 + x3y + x3z2 − x2y2 + x2yz2 − xy3 − xy2z2 − y3z3, g = x4 + 2x3z2 − x2y2 + x2z4 − 2xy2z2 − y2z4. (a) Sỷ dửng phƯn mãm mĂy tẵnh, xĂc ành hfi ∩ hgi v phfi ∩ hgi. (b) Sỷ dửng phƯn mãm mĂy tẵnh, xĂc ành USCLN(f, g). (c) GiÊ sỷ p = x2 + xy + xz + yz v q = x2 − xy − xz + yz. Sỷ dửng phƯn mãm mĂy tẵnh, xĂc ành hf, gi ∩ hp, qi. √ √ 5. Chựng minh IJ = I ∩ J. 6. Cho vẵ dử chựng tọ tẵch cĂc idean radican khổng l radican. √ √ √ 7. Cho vẵ dử chựng tọ IJ 6= I J. 8. Hai idean I v J trong k[x1, x2, . . . , xn] gồi l ối cỹc Ôi náu v ch¿ náu I + J = k[x1, x2, . . . , xn]. (a) GiÊ sỷ k = C. Chựng minh I v J ối cỹc Ôi náu v ch¿ náu V (I) ∩ V (J) = ∅. Cho vẵ dử chựng tọ ¯ng thực sai náu k 6= C.
2.4. TấNG, TCH V GIAO CếA CC IDEAN 31 (b) Chựng minh náu I v J ối cỹc Ôi thẳ IJ = I ∩ J. iãu ngữủc lÔi úng hay sai? (c) Chựng minh náu I v J ối cỹc Ôi thẳ Ir v J s ối cỹc Ôi vợi mồi r, s nguyản dữỡng. (d) Cho cĂc idean I1,I2, ,Ir ⊂ k[x1, x2, . . . , xn]. GiÊ sỷ Ii v Ji = ∩j6=iIj l ối cỹc Ôi. Chựng minh m m m m m I1 ∩ I2 ∩ ã ã ã ∩ Ir = (I1I2 ããã Ir) = (I1 ∩ I2 ∩ ã ã ã ∩ Ir) vợi mồi m nguyản dữỡng. √ 9. Cho cĂc idean I,J ⊂ k[x1, x2, . . . , xn]. GiÊ sỷ I ⊂ J. Chựng minh tỗn tÔi m nguyản dữỡng sao cho Im ⊂ J. 10. GiÊ sỷ A = (aij) l ma trên kẵch thữợc m ì n vợi cĂc phƯn tỷ trong k. GiÊ sỷ x = Ay. ành nghắa Ănh xÔ αA : k[x1, x2, . . . , xm] → k[y1, y2, . . . , yn], f 7→ αA(f), trong õ αA(f)(y) = f(Ay). (a) Chựng minh têp hủp ker(αA) = {f ∈ k[x1, x2, . . . , xm] | αA(f) = 0} l idean trong k[x1, x2, . . . , xm]. (b) Cho vẵ dử chựng tọ {αA(f) | f ∈ I} ⊂ k[y1, y2, . . . , yn] khổng l mởt idean, ð Ơy I l idean trong k[x1, x2, . . . , xm]. 0 (c) Chựng tọ náu I l idean trong k[y1, y2, . . . , yn] thẳ têp {f ∈ k[x1, x2, . . . , xm] | αA(f) ∈ 0 I } l idean trong k[x1, x2, . . . , xm]. 11. GiÊ sỷ A v αA nhữ trong b i têp trản. °t K = ker(αA). GiÊ sỷ I,J l cĂc idean trong k[x1, x2, . . . , xm]. Chựng minh rơng (a) I ⊂ J suy ra hαA(I)i ⊂ hαA(J)i. (b) hαA(I + J)i = hαA(I)i + hαA(J)i. (c) hαA(IJ)i = hαA(I)ihαA(J)i. (d) hαA(I ∩ J)i ⊂ hαA(I)i ∩ hαA(J)i; ¯ng thực xÊy ra khi I ⊃ K ho°c J ⊃ K. √ p (e) hαA( I)i ⊂ hαA(I)i; ¯ng thực xÊy ra khi I ⊃ K 0 0 12. GiÊ sỷ A v αA nhữ trong b i têp trản. °t K = ker(αA). GiÊ sỷ I ,J l cĂc idean trong k[y1, y2, . . . , yn]. Chựng minh rơng (a) 0 0 suy ra −1 0 −1 0 I ⊂ J αA (I ) ⊂ αA (J ). (b) −1 0 0 −1 0 −1 0 αA (I + J ) = αA (I ) + αA (J ). (c) −1 0 0 −1 0 −1 0 ¯ng thực xÊy ra náu vá phÊi chựa αA (I J ) ⊃ (αA (I ))(αA (J )); K. (d) −1 0 0 −1 0 −1 αA (I ∩ J ) = αA (I ) ∩ αA (J). √ q (e) −1 0 −1 0 αA ( I ) = αA (I ).
32 CHìèNG 2. Tỉ IN I Sẩ-HNH HÅC 2.5 Bao õng Zariski v thữỡng cừa cĂc idean GiÊ sỷ S ⊂ kn. Khi õ dạ d ng chựng minh I(S) = {f ∈ k[x1, x2, . . . , xn] | f(a) = 0 vợi mồi a ∈ S} l mởt idean trong k[x1, x2, . . . , xn]. Hỡn nỳa, I(S) l radican. Ta biát rơng V (I(S)) l a tÔp affine. Kát quÊ sau ch¿ ra V (I(S)) l a tÔp affine nhọ nhĐt chựa têp S. Mằnh ã 2.5.1. GiÊ sỷ S l têp con trong kn. Khi õ V (I(S)) l a tÔp affine nhọ nhĐt chựa têp S. ành nghắa 2.5.2. Bao õng Zariski cừa têp con S ⊂ kn l a tÔp Ôi số affine nhọ nhĐt chựa têp S v kỵ hiằu l S. n n ành lỵ 2.5.3. Cho k l trữớng õng Ôi số. GiÊ sỷ V = V (f1, f2, . . . , fs) ⊂ k v πl : k → kn−l l ph²p chiáu lản n − l tồa ở cuối. Náu Il = hf1, f2, . . . , fsi ∩ k[xl+1, xl+2, . . . , xn] thẳ V (Il) l bao õng Zariski cừa πl(V ). Ká tiáp ta tẳm hiºu cĂch tẵnh idean tữỡng ựng bao õng Zariski cừa hiºu hai a tÔp. Trữợc hát ta cõ Mằnh ã 2.5.4. GiÊ sỷ V, W l hai a tÔp sao cho V ⊂ W. Khi õ W = V ∪ (W − V ). Chựng minh. Vẳ W l a tÔp chựa W − V nản W − V ⊂ W. Những theo giÊ thiát V ⊂ W nản V ∪ (W − V ) ⊂ W. M°t khĂc, tứ V ⊂ W ta cõ W = V ∪ (W − V ). Tứ W − V ⊂ W − V ta cõ bao h m thực W ⊂ V ∪ W − V. Mằnh ã ữủc chựng minh. ành nghắa 2.5.5. Cho hai idean I,J trong k[x1, x2, . . . , xn]. Têp I : J = {f ∈ k[x1, x2, . . . , xn] | fg ∈ I vợi mồi g ∈ J} gồi l idean thữỡng cừa I bði J. Vẵ dử 2.5.6. Trong k[x, y, z] ta cõ hxz, yzi: hzi = {f ∈ k[x, y, z] | f ã z ∈ hxz, yzi} = {f ∈ k[x, y, z] | f ã z = Axz + Byz} = {f ∈ k[x, y, z] | f = Ax + By} = hx, yi. Mằnh ã 2.5.7. GiÊ sỷ I,J l hai idean trong k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ I : J l mởt idean trong k[x1, x2, . . . , xn] v I : J chựa I.
2.5. BAO ÂNG ZARISKI V THìèNG CếA CC IDEAN 33 ành lỵ 2.5.8. GiÊ sỷ I v J l cĂc idean trong k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ V (I : J) ⊃ V (I) − V (J). Hỡn nỳa, náu k l õng Ôi số v I l idean radican thẳ V (I : J) = V (I) − V (J). Chựng minh cừa ành lỵ trản cho ta hằ quÊ sau: Hằ quÊ 2.5.9. GiÊ sỷ V v W l cĂc a tÔp trong kn. Ta cõ I(V ): I(W ) = I(V − W ). Mằnh ã 2.5.10. GiÊ sỷ I, J, K l cĂc idean trong k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ (i) I : k[x1, x2, . . . , xn] = I. (ii) IJ ⊂ K náu v ch¿ náu I ⊂ K : J. (iii) J ⊂ I náu v ch¿ náu I : J = k[x1, x2, . . . , xn]. Chựng minh. B i têp. Mằnh ã 2.5.11. GiÊ sỷ I,Ii, J, Ji, K, i = 1, 2, . . . , r, l cĂc idean trong v nh cĂc a thực k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ r ! r \ \ Ii : J = (Ii : J), i=1 i=1 r ! r \ \ I : Ji = (I : Ji), i=1 i=1 (I : J): K = I : JK. Chựng minh. B i têp. Trong trữớng hủp f l mởt a thực v I l mởt idean, ta viát I : f thay cho I : hfi. Chú ỵ rơng r \ I : hf1, f2, . . . , fri = (I : fi). i=1 ành lỵ 2.5.12. GiÊ sỷ I l mởt idean v g ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. Náu hh1, h2, . . . , hpi l mởt cỡ sð cừa idean I ∩ hgi thẳ hh1/g, h2/g, . . . , hp/gi l mởt cỡ sð cừa I : g.
34 CHìèNG 2. Tỉ IN I Sẩ-HNH HÅC B i têp 1. XĂc ành bao õng Zariski cừa cĂc têp sau (a) Hẳnh chiáu cừa hyperbol V (xy − 1) ⊂ R2 lản trửc x. (b) Biản cừa gõc phƯn tữ thự nhĐt trong R2. (c) Hẳnh trỏn {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 4}. 2. Cho hai a thực f = (x + y)2(x − y)(x + z2), g = (x + z2)3(x − y)(z + y). Tẳm cĂc phƯn tỷ sinh cừa hfi: hgi. 3. Cho cĂc idean Chựng minh náu l radican thẳ idean l radican v √ I, J. I I : J I : J = I : J. 4. GiÊ sỷ A = (aij) l ma trên kẵch thữợc m ì n vợi cĂc phƯn tỷ trong k. GiÊ sỷ x = Ay. ành nghắa Ănh xÔ αA : k[x1, x2, . . . , xm] → k[y1, y2, . . . , yn], f 7→ αA(f), trong õ αA(f)(y) = f(Ay). (a) Chựng minh αA(I : J) ⊂ αA(I): αA(J); dĐu bơng xÊy ra náu I ⊃ K = ker(αA). (b) Chựng minh −1 0 0 −1 0 −1 0 αA (I : J ) = αA (I ): α (J ). 5. Cho idean I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] v cố ành f ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. BÊo hỏa cừa I tữỡng ựng vợi f l têp ∞ m I : f = {g ∈ k[x1, x2, . . . , xn] | tỗn tÔi m nguyản dữỡng sao cho f g ∈ I}. (a) Chựng minh I : f ∞ l idean. (b) Chựng minh I : f ⊂ I : f 2 ⊂ I : f 3 ⊂ ã ã ã . (c) Ta biát rơng tỗn tÔi số nguyản dữỡng N sao cho I : f N = I : f N+1 = ããã . Chựng minh I : f ∞ = I : f N . (d) Chựng minh I : f ∞ = I : f m náu v ch¿ náu I : f m = I : f m+1. 6. Cho idean I = hf1, f2, . . . , fsi ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] v cố ành f ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. Náu y l bián mợi, °t ˜ I = hf1, f2, . . . , fs, 1 − fyi ⊂ k[x1, x2, . . . , xn, y]. ∞ ˜ (a) Chựng minh I : f = I : k[x1, x2, . . . , xn]. (b) Suy ra cĂch tẵnh I : f ∞. √ ∞ 7. Chựng minh I : f = k[x1, x2, . . . , xn] náu v ch¿ náu f ∈ I.
2.6. A TP BT KH QUY V CC IDEAN NGUYN Tẩ 35 2.6 a tÔp bĐt khÊ quy v cĂc idean nguyản tố n ành nghắa 2.6.1. a tÔp affine V ⊂ k .V ữủc gồi l bĐt khÊ quy náu V = V1 ∪ V2, trong õ V1,V2 l hai a tÔp affine, thẳ ho°c V = V1 ho°c V = V2. Vẵ dử 2.6.2. a tÔp affine V (xz, yz) khổng bĐt khÊ quy do ta cõ thº viát V (xz, yz) = V (x, y) ∪ V (z). ành nghắa 2.6.3. Idean I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] gồi l nguyản tố náu fg ∈ I vợi f, g ∈ k[x1, x2, . . . , xn] thẳ ho°c f ∈ I ho°c g ∈ I. Mằnh ã 2.6.4. Cho V l a tÔp affine trong kn. Khi õ V bĐt khÊ quy náu v ch¿ náu I(V ) l idean nguyản tố. Nhên x²t 2.6.5. Mồi idean nguyản tố l radican. Hỡn nỳa, sỷ dửng tữỡng ựng giỳa cĂc idean radican v cĂc a tÔp affine ta cõ hằ quÊ sau: Mằnh ã 2.6.6. GiÊ sỷ k l trữớng cõ vổ hÔn phƯn tỷ v V l a tÔp affine xĂc ành bði hằ cĂc phữỡng trẳnh tham số: x1 = f1(t1, t2, . . . , tm), x1 = f1(t1, t2, . . . , tm), . . . = . xn = fn(t1, t2, . . . , tm), trong õ f1, f2, . . . , fn l cĂc a thực trong k[t1, t2, . . . , tm]. Khi õ V bĐt khÊ quy. Chựng minh. X²t Ănh xÔ a thực F : km → kn xĂc ành bði F (t1, t2, . . . , tm) = (f1(t1, t2, . . . , tm), f2(t1, t2, . . . , tm), . . . , fn(t1, t2, . . . , tm)). Tứ giÊ thiát ta cõ V l bao õng Zariski cừa F (km). °c biằt I(V ) = I(F (km)). Vợi mồi g ∈ k[x1, x2, . . . , xn] ta cõ g ◦ F ∈ k[t1, t2, . . . , tm]. Những k cõ vổ hÔn phƯn tỷ nản m I(V ) = I(F (k )) = {g ∈ k[x1, x2, . . . , xn] | g ◦ F = 0}. BƠy giớ giÊ sỷ gh ∈ I(V ). Thẳ (gh) ◦ F = (g ◦ F )(h ◦ F ) = 0. Hằ quÊ l ho°c g ◦ F = 0, ho°c h ◦ F = 0. Tực l ho°c g ∈ I(V ) ho°c h ∈ I(V ). Do õ I(V ) l idean nguyản tố. Hằ quÊ V bĐt khÊ quy. Lỵ luên trản dạ d ng mð rởng cho a tÔp xĂc ành bði cĂc tham số hõa hỳu t¿. Ta cõ Mằnh ã 2.6.7. GiÊ sỷ k l trữớng cõ vổ hÔn phƯn tỷ v V l a tÔp affine xĂc ành bði hằ cĂc tham số hỳu t¿: f1(t1, t2, . . . , tm) x1 = , g1(t1, t2, . . . , tm) f2(t1, t2, . . . , tm) x1 = , g2(t1, t2, . . . , tm) . . . = . fn(t1, t2, . . . , tm) xn = , gn(t1, t2, . . . , tm)
36 CHìèNG 2. Tỉ IN I Sẩ-HNH HÅC trong õ f1, f2, . . . , fn, g1, g2, . . . gn ∈ k[t1, t2, . . . , tm]. Khi õ V bĐt khÊ quy. n Vẵ dử 2.6.8. Ta cõ V = {(a1, a2, . . . , an)} ⊂ k l a tÔp affine xĂc ành bði phữỡng trẳnh tham số fi(x1, x2, . . . , xn) = ai, i = 1, 2, . . . , n, v do õ bĐt khÊ quy. Hỡn nỳa, dạ thĐy I(V ) = hx1 − a1, x2 − a2, . . . , xn − ani l idean nguyản tố. Idean n y cõ tẵnh chĐt °c biằt: náu J l idean chựa thỹc sỹ I(V ) thẳ J = k[x1, x2, . . . , xn]. ành nghắa 2.6.9. Idean I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] gồi l cỹc Ôi náu I 6= k[x1, x2, . . . , xn] v mồi idean J chựa I thẳ ho°c J = I ho°c J = k[x1, x2, . . . , xn]. Ta cụng cƯn khĂi niằm sau ành nghắa 2.6.10. Idean I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] gồi l thỹc sỹ náu I khổng bơng k[x1, x2, . . . , xn]. n Mằnh ã 2.6.11. GiÊ sỷ k l mởt trữớng v (a1, a2, . . . , an) ∈ k . Khi õ idean ma = hx1 − a1, x2 − a2, . . . , xn − ani l idean cỹc Ôi. Nhên x²t 2.6.12. Ta biát rơng V (x1 − a1, x2 − a2, . . . , xn − an) = {(a1, a2, . . . , an)}. n Nản mồi iºm (a1, a2, . . . , an) ∈ k tữỡng ựng mởt idean cỹc Ôi ma cừa k[x1, x2, . . . , xn]. iãu ngữủc lÔi khổng úng náu k khổng õng Ôi số. Thêt vêy, cõ thº chựng minh hx2 + 1i l idean cỹc Ôi trong R[x]. Những V (x2 + 1) = ∅ ∈ R. Tuy nhiản ta cõ Mằnh ã 2.6.13. GiÊ sỷ k l mởt trữớng. Náu I l idean cỹc Ôi trong v nh k[x1, x2, . . . , xn] thẳ I l idean nguyản tố. ành lỵ 2.6.14. GiÊ sỷ k l mởt trữớng õng Ôi số. Khi õ mồi idean cỹc Ôi cừa v nh k[x1, x2, . . . , xn] cõ dÔng hx1 − a1, x2 − a2, . . . , xn − ani n vợi (a1, a2, . . . , an) ∈ k n o õ. Chựng minh. GiÊ sỷ I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] l idean cỹc Ôi. Vẳ I 6= k[x1, x2, . . . , xn] v ành lỵ 2.2.2 ta cõ V (I) 6= ∅. Vêy tỗn tÔi (a1, a2, . . . , an) ∈ V (I). Hằ quÊ l I(V (I)) ⊂ I({(a1, a2, . . . , an)}). √ Những do ành lỵ 2.3.7. Chú ỵ l idean cỹc Ôi nản s³ l idean nguyản tố. I(V (I)) = I √ I Nản cõ ¯ng thực I = I. Tứ õ I ⊂ I({(a1, a2, . . . , an)}) = hx1 − a1, x2 − a2, . . . , xn − ani =: ma. Chú ỵ ma 6= k[x1, x2, . . . , xn]. Suy ra I = ma do I l cỹc Ôi. ành lỵ trản suy ra Mằnh ã 2.6.15. GiÊ sỷ k l mởt trữớng õng Ôi số. Khi õ tỗn tÔi tữỡng ựng mởt-mởt n giỳa cĂc iºm trong k v cĂc idean cỹc Ôi trong v nh k[x1, x2, . . . , xn].
2.6. A TP BT KH QUY V CC IDEAN NGUYN Tẩ 37 B i têp 1. Chựng minh idean nguyản tố l radican. 2. Chựng minh idean I l nguyản tố náu v ch¿ náu vợi mồi idean J, K sao cho JK ⊂ I thẳ ho°c J ⊂ I ho°c K ⊂ I. 3. Cho cĂc idean v l idean nguyản tố chựa n Chựng minh tỗn tÔi I1,I2, ,In P ∩i=1Ii. ch¿ số sao cho Hỡn nỳa, náu n thẳ tỗn tÔi ch¿ số sao cho i P ⊃ Ii. P = ∩i=1Ii i P = Ii. 2 4 3 4. Cho a thực f = x z − 6y + 2xy z. Tẳm cĂc a thực f1, f2, f3 ∈ k[x, y, z] sao cho f = f1(x + 3) + f2(y − 1) + f3(z − 2). 5. Cho k l trữớng vổ hÔn. (a) Chựng minh mồi ữớng th¯ng trong kn l bĐt khÊ quy. (b) Chựng minh mồi khổng gian con tuyán tẵnh trong kn l bĐt khÊ quy. 6. Chựng minh I({a1, a2, . . . , an}) = hx1 − a1, x2 − a2, . . . , xn − ani. 7. Chựng minh cĂc iãu sau (a) hx2 + 1i l idean cỹc Ôi trong R[x]. (b) Náu l idean cỹc Ôi thẳ ho°c bơng trống ho°c gỗm I ⊂ R[x1, x2, . . . , xn] V (I) úng mởt iºm trong Rn. (c) Cho vẵ dử idean cỹc Ôi sao cho I ⊂ R[x1, x2, . . . , xn] V (I) = ∅. 8. Cho k l trữớng vổ hÔn khổng nhĐt thiát õng Ôi số. (a) Chựng minh náu I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] l idean cỹc Ôi thẳ V (I) ho°c bơng trống ho°c gỗm úng mởt iºm trong kn. (b) Chựng tọ tỗn tÔi idean cỹc Ôi I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] sao cho V (I) = ∅. (c) GiÊ sỷ k khổng õng Ôi số. Chựng minh tỗn tÔi idean cỹc Ôi cừa k[x1, x2, . . . , xn] khổng cõ dÔng hx1 − a1, x2 − a2, . . . , xn − ani. 9. Cho a thực bĐt khÊ quy Chựng minh bĐt khÊ quy. f ∈ C[x1, x2, . . . , xn]. V (f) √ 10. Cho idean thỹc sỹ Chựng minh bơng giao cừa tĐt cÊ cĂc I ⊂ C[x1, x2, . . . , xn]. I idean cỹc Ôi chựa idean I.
38 CHìèNG 2. Tỉ IN I Sẩ-HNH HÅC 2.7 PhƠn tẵch a tÔp th nh cĂc th nh phƯn bĐt khÊ quy Ta bưt Ưu vợi tẵnh chĐt sau: Mằnh ã 2.7.1. GiÊ sỷ cõ dÂy giÊm cĂc a tÔp affine V1 ⊃ V2 ⊃ V3 ⊃ ã ã ã n trong k . Khi õ tỗn tÔi số tỹ nhiản N sao cho VN = VN+1 = ããã . Chựng minh. Thêt vêy, tứ giÊ thiát ta cõ dÂy tông cĂc idean I(V1) ⊂ I(V2) ⊂ I(V3) ⊂ ã ã ã trong k[x1, x2, . . . , xn]. Do k[x1, x2, . . . , xn] l v nh Noether, tỗn tÔi số tỹ nhiản N sao cho I(VN ) = I(VN+1) = ããã . Những V (I(V )) = V vợi mồi a tÔp affine. Vêy VN = VN+1 = VN+2 = ããã . Kát quÊ trản cho ta kát quÊ cỡ bÊn vã cĐu trúc cừa cĂc a tÔp affine. ành lỵ 2.7.2. GiÊ sỷ V ⊂ kn l a tÔp affine. Khi õ cõ phƠn tẵch V = V1 ∪ V2 ∪ ∪ Vm, trong õ Vi l a tÔp affine bĐt khÊ quy. Vẵ dử 2.7.3. X²t a tÔp affine V = V (xz − y2, x3 − yz). Vẳ cĂc a thực xz − y2 v x3 − yz bơng khổng trản trửc z nản V (x, y) ⊂ V. º xĂc ành V − V (x, y), ta x²t idean thữỡng hxz − y2, x3 − yzi: hx, yi. Ta s³ thĐy rơng idean hxz − y2, x3 − yzi l radican. Chú ỵ l hxz − y2, x3 − yzi: hx, yi = (I : x) ∩ (I : y), trong õ I = hxz − y2, x3 − yzi. º tẵnh I : x ta s³ tẵnh I ∩ hxi. Sỷ dửng thự tỹ tứ iºn lex vợi z > y > x ta nhên ữủc I ∩ hxi = hx2z − xy2, x4 − xyz, x3y − xz2, x5 − xy3i.
2.7. PHN TCH A TP THNH CC THNH PHN BT KH QUY 39 Ta cõ thº bọ qua x5 − xy3 do nõ l tờ hủp cừa cĂc phƯn tỷ thự nhĐt v thự hai trong cỡ sð. Do õ x2z − xy2 x4 − xyz x3y − xz2 I : x = h , , i x x x = hxz − y2, x3 − yz, x2y − z2i = I + hx2y − z2i. Tữỡng tỹ, º tẵnh I : y ta tẵnh I ∩ hyi = hxyz − y3, x3y − y2z, x2y2 − yz2i. Ta cõ xyz − y3 x3y − y2z x2y2 − yz2 I : y = h , , i y y y = hxz − y2, x3 − yz, x2y − z2i = I + hx2y − z2i = I : x. Vêy I : hx, yi = hxz − y2, x3 − yz, x2y − z2i. a tÔp W = V (xz − y2, x3 − yz, x2y − z2) l ữớng cong bĐt khÊ quy do nõ cõ thº tham số (t3, t4, t5). Vêy ta cõ phƠn tẵch V th nh hai th nh phƯn bĐt khÊ quy V = V (x, y) ∪ W. ành nghắa 2.7.4. Cho V ⊂ kn l a tÔp affine. PhƠn tẵch V th nh cĂc th nh phƯn bĐt khÊ quy V = V1 ∪ V2 ∪ ∪ Vm gồi l phƠn tẵch tối thiºu náu Vi 6⊂ Vj vợi mồi i 6= j. ành lỵ 2.7.5. GiÊ sỷ V ⊂ kn l a tÔp affine. Khi õ tỗn tÔi phƠn tẵch tối thiºu V = V1 ∪ V2 ∪ ∪ Vm, trong õ Vi l cĂc a tÔp affine bĐt khÊ quy v Vi 6⊂ Vj vợi mồi i 6= j. Hỡn nỳa phƠn tẵch trản l duy nhĐt (sai khĂc ph²p Ănh thự tỹ cĂc Vi. Sỷ dửng tữỡng ựng mởt-mởt giỳa cĂc idean radican v cĂc a tÔp Ôi số, ta cõ ành lỵ 2.7.6. GiÊ sỷ k l trữớng õng Ôi số v I l idean radican trong k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ I cõ phƠn tẵch tối thiºu I = P1 ∩ P2 ∩ Pr, trong õ Pi l cĂc idean nguyản tố v Pi 6⊂ Pj vợi mồi i 6= j.
40 CHìèNG 2. Tỉ IN I Sẩ-HNH HÅC Ta cụng cõ thº sỷ dửng cĂc idean thữỡng º mổ tÊ cĂc idean nguyản tố xuĐt hiằn trong biºu diạn tối thiºu cừa idean radican. ành lỵ 2.7.7. GiÊ sỷ k l trữớng õng Ôi số v I l idean radican thỹc sỹ trong k[x1, x2, . . . , xn] sao cho I = P1 ∩ P2 ∩ Pr, vợi Pi l cĂc idean nguyản tố v Pi 6⊂ Pj vợi mồi i 6= j. Khi õ Pi l idean nguyản tố thỹc sỹ xuĐt hiằn trong têp {I : f | f ∈ k[x1, x2, . . . , xn]}. Vẵ dử 2.7.8. GiÊ sỷ I = hxz − y2, x3 − yzi. Trữợc hát ta giÊ sỷ I l idean radican (thỹc sỹ, iãu n y úng nhữ ữủc ch¿ ra dữợi Ơy). Ta hÂy viát I dÔng cĂc idean nguyản tố. Ta biát rơng V = V (I) = V (x, y) ∪ W, trong õ W = V (xz − y2, x3 − yz, x2y − z2). Suy ra I = hx, yi = hxz − y2, x3 − yz, x2y − z2i. Hỡn nỳa, tứ ¯ng thực I : x = hxz − y2, x3 − yz, x2y − z2i ta nhên ữủc I = hx, yi ∩ (I : x). º biºu diạn hx, yi nhữ mởt thữỡng cừa idean I ta hÂy quan sĂt lĐy V trứ W. Vẳ V = V (xz − y2, x3 − yz) nản ta cõ thº thĐy I :(x2y − z2) = hx, yi. Vêy I = (I :(x2y − z2)) ∩ (I : x). Ká tiáp ta ch¿ ra cĂc idean I :(x2y − z2) v I : x l idean nguyản tố. Hiºn nhiản I :(x2y − z2) = hx, yi l idean nguyản tố. M°t khĂc, W = V (xz − y2, x3 − yz, x2y − z2) l a tÔp bĐt khÊ quy, nản I(W ) = hxz − y2, x3 − yz, x2y − z2i = I : x l idean nguyản tố. Vêy phƠn tẵch I = (I :(x2y − z2)) ∩ (I : x) l biºu diạn cừa idean I dÔng giao cừa cĂc idean nguyản tố. Vẳ giao cĂc idean nguyản tố l idean radican, ta suy ra I l radican. Chú ỵ 2.7.9. Lỵ luên ữủc sỷ dửng trong vẵ dử trản khổng Ăp dửng ữủc trong trữớng hủp tờng quĂt. Lỵ do l chựng minh cừa ành lỵ biºu diạn cừa cĂc idean radican trong phƯn n y ch¿ chựng tọ tỗn tÔi mởt biºu diạn tối thiºu m khổng ch¿ ra cĂch tẳm mởt biºu diạn idean radican th nh cĂc idean nguyản tố. Mởt số vĐn ã nÊy sinh:
2.7. PHN TCH A TP THNH CC THNH PHN BT KH QUY 41 (i) Tỗn tÔi thuêt toĂn kiºm tra mởt idean l nguyản tố? (ii) Tỗn tÔi thuêt toĂn kiºm tra mởt a tÔp affine l bĐt khÊ quy? (iii) Tỗn tÔi thuêt toĂn tẳm phƠn tẵch tối thiºu cừa mởt a tÔp affine hay mởt idean radican? CƠu trÊ lới l cõ. BÔn ồc quan tƠm cõ thº xem t i liằu dăn. B i têp 1. Chựng minh giao (tũy ỵ) cừa cĂc idean nguyản tố l mởt idean radican. 2. Chi idean nguyản tố P ⊂ k[x1, x2, . . . , xn]. Chựng minh ( P náu f 6∈ P, P : f = h1i náu f ∈ P. 3. Cho idean I = hxz − y2, x3 − yzi. (a) Chựng minh I :(x2y − z2) = hx, yi. (b) Chựng minh I :(x2y − z2) l idean nguyản tố. (c) Chựng minh I = hx, yi ∩ hxz − y2, x3 − yz, z2 − x2yi. 4. Cho idean J = hxz − y2, x3 − yz, z2 − x2yi. (a) Chựng minh mồi iºm cừa W = V (J) cõ dÔng (t3, t4, t5) vợi t ∈ k n o õ. (b) Chựng minh J = I(W ). (c) Chựng minh I = hx, yi ∩ hxz − y2, x3 − yz, z2 − x2yi. 5. Cho idean I = hxz − y2, z3 − x5i. (a) Viát V (I) dÔng hủp cừa cĂc a tÔp bĐt khÊ quy. (b) Viát I dÔng giao cừa cĂc idean nguyản tố. Suy ra I radican. 6. Cho V, W l cĂc a tÔp affine trong kn vợi V ⊂ W. Chựng minh mồi th nh phƯn bĐt khÊ quy cừa V chựa trong mởt th nh phƯn bĐt khÊ quy cừa W. 7. Cho a thực GiÊ sỷ a1 a2 as l phƠn tẵch cừa th nh f ∈ C[x1, x2, . . . , xn]. f = f1 f2 ããã fs f cĂc th nh phƯn bĐt khÊ quy. Chựng minh V (f) = V (f1) ∪ V (f2) ∪ ã ã ã ∪ V (fs) l phƠn tẵch cừa V (f) th nh cĂc th nh phƯn bĐt khÊ quy v I(V (f)) = hf1f2 ããã fsi.
42 CHìèNG 2. Tỉ IN I Sẩ-HNH HÅC 2.8 PhƠn tẵch nguyản sỡ cừa cĂc idean ành nghắa 2.8.1. Idean I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] gồi l nguyản sỡ náu fg ∈ I suy ra ho°c f ∈ I ho°c gm ∈ I vợi m nguyản dữỡng n o õ. Vẵ dử 2.8.2. CĂc idean nguyản tố l nguyản sỡ. Idean hx, y2i l nguyản sỡ. √ Bờ ã 2.8.3. Náu I l idean nguyản sỡ thẳ I l idean nguyản tố v l idean nguyản tố nhọ nhĐt chựa I. Bờ ã n y dăn án ành nghắa sau: √ ành nghắa 2.8.4. Náu I l idean nguyản sỡ v I = P thẳ ta nõi I l P -nguyản sỡ. ành lỵ 2.8.5. Mồi idean I trong v nh k[x1, x2, . . . , xn] cõ thº viát dÔng giao hỳu hÔn cĂc idean nguyản sỡ. ành nghắa 2.8.6. PhƠn tẵch nguyản sỡ cừa idean I l biºu diạn r I = ∩i=1Qi √ trong õ Qi l idean nguyản sỡ. PhƠn tẵch gồi l tối thiºu náu cĂc idean Qi l phƠn biằt v r Qi 6⊃ ∩j6=iQj. √ √ Bờ ã 2.8.7. Náu I,J l cĂc idean nguyản sỡ v I = J thẳ I ∩ J l nguyản sỡ. ành lỵ 2.8.8. (Lasker-Noether) Mồi idean I trong v nh k[x1, x2, . . . , xn] cõ mởt phƠn tẵch nguyản sỡ tối thiºu. Chú ỵ 2.8.9. PhƠn tẵch th nh cĂc nguyản sỡ tối thiºu l khổng duy nhĐt. Ch¯ng hÔn idean I = hx2, xyi ⊂ k[x, y] cõ hai phƠn tẵch nguyản sỡ tối thiºu hx2, xyi = hxi ∩ hx2, xy, y2i = hxi ∩ hx2, yi. Tuy cĂc idean hx2, xy, y2i v hx2, yi l khĂc nhau những chúng cõ cũng radican. √ Bờ ã 2.8.10. GiÊ sỷ I l idean nguyản sỡ v P = I. Náu f ∈ k[x1, x2, . . . , xn] thẳ náu f ∈ I thẳ I : f = h1i náu f 6∈ I thẳ I : f l P -nguyản sỡ náu f 6∈ P thẳ I : f = I. ành lỵ 2.8.11. (Lasker-Noether) GiÊ sỷ r l phƠn tẵch nguyản sỡ tối thiºu cừa I = ∩i=1√Qi idean thỹc sỹ Khi õ l cĂc idean nguyản tố thỹc sỹ xuĐt I √⊂ k[x1, x2, . . . , xn]. Pi = Qi hiằn trong têp { I : f | f ∈ k[x1, x2, . . . , xn]}. Nhên x²t 2.8.12. °c biằt, cĂc idean Pi khổng phử thuởc phƠn tẵch nguyản sỡ cừa I. Ta nõi Pi thuởc I. Trong phƯn trữợc ta Â chựng minh ành lỵ phƠn rÂ ối vợi cĂc idean trản trữớng õng Ôi số. Sỷ dửng ành lỵ cĂc ành lỵ cừa Lasker-Noether ta nhên ữủc kát quÊ sau trản trữớng tũy ỵ. Hằ quÊ 2.8.13. GiÊ sỷ r l phƠn tẵch nguyản sỡ tối thiºu cừa idean radican thỹc I = ∩i=1Qi sỹ Khi õ l idean nguyản tố v l idean nguyản tố thỹc sỹ xuĐt I ⊂ k[x1, x2,√ . . . , xn]. Qi hiằn trong têp { I : f | f ∈ k[x1, x2, . . . , xn]}.
2.8. PHN TCH NGUYN Sè CếA CC IDEAN 43 B i têp 1. Cho idean I = hx, y2i ⊂ C[x, y]. (a) Chựng minh hx, yi2 ( I ( hx, yi. Suy ra I khổng l lụy thứa cừa mởt idean nguyản tố. (b) Chựng minh I l nguyản sỡ. 2. Cho idean I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn]. (a) Chựng minh I bơng giao hỳu hÔn cĂc idean bĐt khÊ quy. k k+1 (b) GiÊ sỷ g ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. Chựng minh I : g ⊂ I : g vợi mồi k ≥ 1. (c) GiÊ sỷ f, g ∈ I sao cho I : gN = I : gN+1. Chựng minh (I + hgN i) ∩ (I + hfi) = I. 3. Ta biát rơng mồi idean bĐt khÊ quy l nguyản sỡ. B i têp n y chựng tọ iãu ngữủc lÔi khổng úng. GiÊ sỷ I = hx2, xy, y2i ⊂ k[x, y]. (a) Chựng minh I l nguyản sỡ. (b) Chựng minh I = hx2, yi ∩ hx, y2i. Suy ra I khổng bĐt khÊ quy. 4. Cho idean I = hx2, xyi ⊂ Q[x, y]. (a) Chựng minh I = hxi ∩ hx2, xy, y2i = hxi ∩ hx2, yi l cĂc phƠn tẵch nguyản sỡ tối thiºu cừa idean I. (b) Chựng minh vợi mồi a ∈ Q ta cõ I = hxi ∩ hx2, y − axi l phƠn tẵch nguyản sỡ tối thiºu cừa idean I. Suy ra I cõ vổ hÔn cĂch phƠn tẵch nguyản sỡ tối thiºu. √ 5. Chựng minh idean I l thỹc sỹ náu v ch¿ náu radican I l thỹc sỹ. 6. GiÊ sỷ idean I l thỹc sỹ. Chựng minh mồi idean J ⊂ I cụng l idean thỹc sỹ. 7. GiÊ sỷ P1,P2, ,Pr l cĂc idean nguyản tố chựa trong idean I. √ r (a) Chựng minh I = ∩ Pi. √ i=1 (b) Chựng minh r khổng nhĐt thiát l phƠn tẵch tối thiºu cừa idean I = ∩i=1Pi I.
44 CHìèNG 2. Tỉ IN I Sẩ-HNH HÅC
Chữỡng 3 a thực v h m hỳu t¿ trản a tÔp Chữỡng n y khÊo sĂt cĂc Ănh xÔ giỳa cĂc a tÔp. CĂc tẵnh chĐt Ôi số cừa a thực v h m hỳu t¿ trản a tÔp cho ta nhỳng tẵnh chĐt hẳnh hồc cừa chẵnh a tÔp. 3.1 nh xÔ a thực ành nghắa 3.1.1. Cho V ⊂ kn v W ⊂ km l cĂc a tÔp. Ta nõi φ: V → W l Ănh xÔ a thực (hay Ănh xÔ chẵnh quy) náu tỗn tÔi cĂc a thực f1, f2, . . . , fn ∈ k[x1, x2, . . . , xn] sao cho φ(a1, a2, . . . , am) = (f1(a1, a2, . . . , am), f1(a1, a2, . . . , am), . . . , fn(a1, a2, . . . , am)) vợi mồi (a1, a2, . . . , am) ∈ V. Trong trữớng hủp n y (f1, f2, . . . , fn) gồi l biºu diạn cừa Ănh xÔ φ. Vẵ dử 3.1.2. X²t cĂc a tÔp V = V (y − x2, z − x3) ⊂ k3, W = V (y3 − z2) ⊂ k2. X²t ph²p chiáu 3 2 π1 : k → k , (x, y, z) 7→ (y, z). Ta cõ 2 3 π1(V ) = {(x , x ) | x ∈ k} ⊂ W. Suy ra π1 : V → W l Ănh xÔ a thực. Mằnh ã 3.1.3. Cho V ⊂ km l a tÔp affine. Khi õ (i) f v g biºu diạn cũng mởt h m a thực trản V náu v ch¿ náu f − g ∈ I(V ). n (ii) (f1, f2, . . . , fn) v (g1, g2, . . . , gn) biºu diạn cũng mởt Ănh xÔ a thực φ: V → k náu v ch¿ náu fi − gi ∈ I(V ) vợi mồi i = 1, 2 . . . , n. 45
46 CHìèNG 3. A THÙC V HM HÚU T TRN A TP ành nghắa 3.1.4. Kỵ hiằu k[V ] l têp tĐt cÊ cĂc h m a thực φ: V → k. GiÊ sỷ φ, ψ ∈ k[V ]. ành nghắa (φ + ψ)(p) = φ(p) + π(p), (φ ã ψ)(p) = φ(p) ã ψ(p). Dạ thĐy, k[V ] vợi cĂc ph²p toĂn tờng v tẵch n y l mởt v nh giao hoĂn. Tuy nhiản, k[V ] khổng l miãn nguyản. Vẵ dử 3.1.5. GiÊ sỷ V = V (x3 + xy2 − xz, x2y + y3 − yz). Ta cõ V khổng bĐt khÊ quy do V = V (x2 + y2 − z) ∪ V (x, y) ⊂ k3. X²t cĂc a thực f = x2 + y2 − z g = 2x2 − 3y4z ∈ k[x, y, z] v giÊ sỷ φ, ψ l cĂc phƯn tỷ tữỡng ựng cừa k[V ]. Chú ỵ rơng φ, ψ khổng ỗng nhĐt bơng khổng trản V : ch¯ng hÔn, tÔi (0, 0, 5) ∈ V những φ(0, 0, 5) = f(0, 0, 5) = −5 6= 0. Tữỡng tỹ, tÔi (1, 1, 2) ∈ V ta cõ ψ(1, 1, 2) = g(1, 1, 2) = −4 6= 0. Tuy nhiản φ ã ψ bơng khổng tÔi mồi iºm thuởc V. Lỵ do l f ã g = (x2 + y2 − z)(2x2 − 3y4z) = 2x(x3 + xy2 − xz) − 3y3z(x2y + y3 − yz) ∈ hx3 + xy2 − xz, x2y + y3 − yzi. Do õ f ã g ∈ I(V ). Vêy cĂc h m a thực tữỡng ựng φ ã ψ triằt tiảu trản V. Mằnh ã 3.1.6. GiÊ sỷ V, W ⊂ kn l cĂc a tÔp affine. CĂc kh¯ng ành sau l tữỡng ữỡng (i) V bĐt khÊ quy. (ii) I(V ) l idean nguyản tố. (iii) k[V ] l mởt miãn nguyản. B i têp 1. GiÊ sỷ V = V (y − x2, z − x3) ⊂ R3 v W = V (v − u − u2) ⊂ R2. Chựng minh Ănh xÔ φ(x, y, z) = (xy, z + x2y2) xĂc ành mởt Ănh xÔ tứ V v o W. 2. GiÊ sỷ V = V (y − x) ⊂ R2 v x²t Ănh xÔ φ: R2 → R3, (x, y) 7→ (x2 − y, y2, x − 3y2). nh cừa V qua φ l mởt a tÔp affine trong R3. Tẳm hằ cĂc phữỡng trẳnh xĂc ành Ênh φ(V ). 3. Cho a tÔp affine V = V (x2 − y2z2 + z3) ⊂ R3.
3.1. NH X A THÙC 47 (a) GiÊ sỷ φ: V → R, (x, y, z) 7→ z, l Ănh xÔ a thực. Vợi mội c ∈ R, chựng minh φ−1(c) l a tÔp affine xĂc ành bði hằ cĂc phữỡng trẳnh x2 − y2z2 + z3 = 0, z − c = 0. (b) Khỷ z giỳa hai phữỡng trẳnh trản º xĂc ành phữỡng trẳnh cừa a tÔp V ∩{z = c}. (c) GiÊ sỷ π : V → R, (x, y, z) 7→ x. Mổ tÊ cĂc m°t mực π−1(c) trong cĂc trữớng hủp c = −1, 0, 1. (d) Tữỡng tỹ cƠu họi trản ối vợi Ănh xÔ σ : V → R, (x, y, z) 7→ y. (e) XƠy dỹng mởt Ănh xÔ a thực ψ : R → V v tẳm Ênh ψ(R). 4. Cho a tÔp affine V = V (z2 − (x2 + y2 − 1)(4 − x2 − y2)) ⊂ R3 v ph²p chiáu π : V → R2, (x, y, z) 7→ (x, y). (a) Tẳm (a, b) ∈ R2 sao cho π−1(a, b) cõ nhiãu phƯn tỷ nhĐt. (b) Tẳm cĂc têp con R ⊂ R2 sao cho (a, b) ∈ R thẳ π−1(a, b) gỗm úng hai, mởt, khổng iºm. (c) Suy ra hẳnh hồc cừa V. 2 2 2 3 5. Chựng minh cĂc Ănh xÔ φ1(x, y, z) = (2x + y , z − y + 3xz) v φ2(x, y, z) = (2y + xz, 3y2) biºu diạn cũng mởt Ănh xÔ a thực tứ ữớng cong xoưn bêc ba V = V (y − x2, z − x3) ⊂ R3 v o R2. 6. Cho Ănh xÔ φ: R2 → R5, (u, v) 7→ (u, v, u2, uv, v2). (a) a tÔp S = φ(R2) gồi l m°t Veronese. Tẳm cĂc phữỡng trẳnh ân xĂc ành S. (b) Chựng minh ph²p chiáu 2 l Ănh xÔ ngữủc π : S → R , (x1, x2, x3, x4, x5) 7→ (x1, x2) cừa φ: R2 → S. Suy ra quan hằ giỳa S v R2. 7. B i têp n y °c trững cĂc a tÔp affine V m I(V ) = {0}. (a) GiÊ sỷ k l trữớng vổ hÔn v V ⊂ kn l a tÔp affine. Chựng minh I(V ) = {0} náu v ch¿ náu V = kn. (b) Chựng tọ náu k hỳu hÔn thẳ khổng thº xÊy ra I(V ) = {0}. 8. Cho a tÔp affine V = V (xy, xz) ⊂ R3. (a) Chựng minh cĂc h m a thực f = y2 + z3 v g = x2 − x khổng ỗng nhĐt bơng khổng trản V những tẵch cừa chúng ỗng nhĐt bơng khổng trản V. (b) Tẳm V1 = V ∩ V (f) v V2 = V ∩ V (g). (c) Chựng minh V = V1 ∪ V2. 9. Cho V l a tÔp bĐt khÊ quy v cĂc h m f, g ∈ k[V ] ữủc biºu diạn bði cĂc a thực f, g. GiÊ sỷ φ, ψ khổng ỗng nhĐt bơng khổng trong k[V ] những tẵch cừa chúng ỗng nhĐt bơng khổng trản V.
48 CHìèNG 3. A THÙC V HM HÚU T TRN A TP (a) Chựng minh V = (V ∩ V (f)) ∪ (V ∩ V (g)). (b) Chựng minh V ∩ V (f) ho°c V ∩ V (g) khổng thº bơng V. Suy ra mởt mƠu thuăn. 10. B i têp n y chựng tọ khổng tỗn tÔi Ănh xÔ a thực khĂc hơng tứ V = R v o W = V (y2 − x3 + x) ⊂ R2. Do õ cĂc a tÔp n y khổng ¯ng cĐu. (a) GiÊ sỷ φ: R → W l Ănh xÔ a thực biºu diạn bði φ(t) = (a(t), b(t)) vợi a(t), b(t) ∈ R[t]. TÔi sao cõ ¯ng thực b(t)2 = a(t)(a(t)2 − 1)? (b) Chựng tọ a(t) v a(t)2 − 1 nguyản tố cũng nhau trong R[t]. (c) Chựng tọ tỗn tÔi a thực c(t) ∈ R[t] nguyản tố cũng nhau vợi a(t) sao cho b2 = ac2. (d) Chựng minh c2 = a2 − 1. Suy ra c, a v do vêy b l cĂc a thực hơng. 3.2 Thữỡng cừa cĂc v nh a thực ành nghắa 3.2.1. GiÊ sỷ I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] l idean v f, g ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. Ta nõi f v g ỗng dữ modulo I náu f − g ∈ I; khi õ ta viát f ≡ g mod I. Vẵ dử 3.2.2. GiÊ sỷ I = hx2 − y2, x + y3 + 1i ⊂ k[x, y]. Khi õ f = x4 − y4 + x v g = x + x5 + x4y3 + x4 ỗng dữ modulo I vẳ f − g = x4 − y4 − x5 − x4y3 − x4 = (x2 + y2)(x2 − y2) − x4(x + y3 + 1) ∈ I. Ta cõ tẵnh chĐt sau Mằnh ã 3.2.3. GiÊ sỷ I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] l idean. Khi õ quan hằ ỗng dữ modulo I l mởt quan hằ tữỡng ữỡng. Nhữ vêy cõ thº ành nghắa lợp tữỡng ữỡng [f] = {g ∈ k[x1, x2, . . . , xn] | g ≡ f mod I}. °c biằt, náu I = I(V ) l idean cừa a tÔp V thẳ g ≡ f mod I(V ) náu v ch¿ náu f v g xĂc ành cũng mởt h m a thực trản V. Vêy Mằnh ã 3.2.4. GiÊ sỷ Ψ: k[V ] → k[x1, x2, . . . , xn]/I(V ), φ 7→ [f], thiát lêp tữỡng ựng mởt h m a thực φ: V → k vợi lợp tữỡng ữỡng [f] trong õ f l mởt biºu diạn cừa φ. Khi õ Ψ l mởt-mởt. ành nghắa 3.2.5. Têp cĂc lợp tữỡng ữỡng k[x1, x2, . . . , xn]/I = {[f] | f ∈ k[x1, x2, . . . , xn]} gồi l thữỡng cừa k[x1, x2, . . . , xn] modulo idean I.
3.2. THìèNG CếA CC VNH A THÙC 49 Vẵ dử 3.2.6. GiÊ sỷ k = R, n = 1 v I = hx2 − 1i. Theo thuêt toĂn chia Euclid, mồi a thực f ∈ R[x] cõ thº viát f = q(x2 − 2) + r trong õ r = ax + b vợi a, b ∈ R. Suy ra f ≡ r mod I. Vêy R[x]/I = {[ax + b] | a, b ∈ R}. Trản k[x1, x2, . . . , xn]/I x²t cĂc ph²p toĂn [f] + [g] = [f + g], [f] ã [g] = [f ã g]. Ta cõ Mằnh ã 3.2.7. CĂc ph²p toĂn ành nghắa trản l hủp lằ. Vẵ dử 3.2.8. X²t thữỡng R[x]/hx2 − 1i = {[ax + b] | a, b ∈ R}. Dạ d ng kiºm tra [ax + b] + [cx + d] = [(a + c)x + (b + d)], [ax + b] ã [cx + d] = [(ad + bc)x + (bd + 2ac)]. ành lỵ 3.2.9. GiÊ sỷ I l idean trong k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ thữỡng k[x1, x2, . . . , xn]/I l mởt v nh giao hoĂn. ành lỵ 3.2.10. GiÊ sỷ Φ: k[x1, x2, . . . , xn]/I(V ) → k[V ], [f] 7→ φ, trong õ φ: V → k l h m a thực ữủc biºu diạn bði f ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ Φ([f] + [g]) = Φ([f]) + Φ([g]), Φ([f] ã [g]) = Φ([f]) ã Φ([g]). Hằ quÊ 3.2.11. Ta cõ ¯ng cĐu v nh k[x1, x2, . . . , xn]/I(V ) ' k[V ]. Vẵ dử 3.2.12. GiÊ sỷ V = {(0, 0)} Ta cõ I(V ) = hx, yi. Do õ k[x, y]/I(V ) ' k[V ]. Hỡn nỳa, cõ thº chựng minh Φ: k[x, y]/I(V ) → k, [f] 7→ f(0, 0) l ¯ng cĐu v nh.
50 CHìèNG 3. A THÙC V HM HÚU T TRN A TP Vẵ dử 3.2.13. GiÊ sỷ I = hx3 + y2, 3y4i ⊂ k[x, y]. Dạ thĐy V (I) = {(0, 0)}. Tuy nhiản k[x, y]/I khổng ¯ng cĐu vợi k. Thêt vêy, x²t [y] ∈ k[x, y]/I. Ta cõ y 6∈ I. Do vêy trong v nh k[x, y]/I ta cõ [y] 6= 0. Những [y]4 = [y4] = 0 vẳ y4 ∈ I. Do õ tỗn tÔi phƯn tỷ khĂc khổng trong k[x, y] cõ lụy thứa bêc bốn bơngkhổng. iãu n y khổng thº xÊy ra trong mởt trữớng. Vêy k[x, y]/I khổng phÊi trữớng. Hằ quÊ l k[x, y]/I(V ) ' k v k[x, y]/I khổng ¯ng cĐu. GiÊ sỷ I l idean v V = V (I). Khi õ cõ thº xÊy ra k[x1, x2, . . . , xn]/I(V ) 6' k[x1, x2, . . . , xn]/I. √ Thêt vêy, giÊ sỷ idean I khổng l radican. Khi õ tỗn tÔi f ∈ I những f 6∈ I. Do õ trong n k[x1, x2, . . . , xn]/I cõ [f] 6= [0] những [f] = [0] vợi n nguyản dữỡng n o õ. Bði vêy v nh k[x1, x2, . . . , xn]/I cõ cĂc phƯn tỷ lụy linh, trong khi õ khổng tỗn tÔi phƯn tỷ lụy linh trong v nh k[x1, x2, . . . , xn]/I(V ) do idean I(V ) l radican . Mằnh ã sau cho mối quan hằ giỳa cĂc idean trong v nh thữỡng k[x1, x2, . . . , xn]/I v cĂc idean trong k[x1, x2, . . . , xn]. Mằnh ã 3.2.14. GiÊ sỷ I l idean trong k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ tỗn tÔi tữỡng ựng mởt- mởt giỳa cĂc idean trong v nh thữỡng k[x1, x2, . . . , xn]/I vợi cĂc idean trong k[x1, x2, . . . , xn] chựa I. Vẵ dử 3.2.15. GiÊ sỷ I = hx3 − 4x + 3i ⊂ R = R[x]. Ta cõ R l miãn idean chẵnh. Tực l mồi idean trong R sinh bði mởt a thực. Suy ra cĂc idean chựa I l cĂc idean sinh bði a thực chia hát cho x3 − 4x + 3. Vêy thữỡng R/I cõ úng 4 phƯn tỷ CĂc idean trong R/I cĂc idean trong R/I chựa I {[0]} I {[x − 1]} hx − 1i {[x − 3]} hx − 3i R/I R Ta cụng cõ thº xĂc ành R/I bơng cĂch xĂc ành phƯn dữ khi chia a thực f cho x3 −4x+3. Hằ quÊ 3.2.16. Mồi idean trong v nh thữỡng k[x1, x2, . . . , xn]/I l hỳu hÔn sinh. B i têp 1. B i têp n y xƠy dỹng mởt trữớng chựa Q. (a) Chựng minh vợi mồi f ∈ Q[x] tỗn tÔi a, b ∈ Q sao cho f = ax + b mod I, trong õ I = hx2 − 2i ⊂ Q[x]. (b) Chựng minh lợp cừa x trong Q[x]/I thọa mÂn [x]2 = [2]. (c) Chựng minh F = Q[x]/I l trữớng. (d) Tẳm mởt trữớng con cừa F ¯ng cĐu vợi Q.
3.2. THìèNG CếA CC VNH A THÙC 51 2. B i têp n y khÊo sĂt cĂc ph²p toĂn cởng v nhƠn trong v nh thữỡng R[x]/hx2 + 1i. (a) Chựng minh vợi mồi f ∈ Q[x] tỗn tÔi a, b ∈ Q sao cho f = ax + b mod I, trong õ I = hx2 + 1i ⊂ R[x]. (b) Chựng minh lợp cừa x trong Q[x]/I thọa mÂn [x]2 = [2]. (c) Sỷ dửng phƯn (a) º xƠy dỹng cĂc ph²p toĂn cởng v nhƠn trản R[x]/I. (d) Tỗn tÔi mởt v nh khĂc ¯ng cĐu vợi R[x]/I? 3. Chựng minh R[x]hx2 − 4x + 3i khổng phÊi miãn nguyản. 4. B i têp n y chựng tọ cõ thº xƠy dỹng v nh thữỡng R/I khi I l mởt idean cừa v nh giao hoĂn R. (a) GiÊ sỷ I = hpi ⊂ R = Z vợi p l số nguyản tố. X²t quan hằ m ≡ n mod p ⇔ m − n chia hát cho p. Chựng minh Ơy l quan hằ tữỡng ữỡng. Liằt kả tĐt cÊ cĂc lợp tữỡng ữỡng. Kỵ hiằu têp cĂc lợp tữỡng ữỡng l Z/hpi. (b) XƠy dỹng cĂc ph²p toĂn cởng v nhƠn trản Z/hpi. (c) Chựng minh Zhpi vợi cĂc ph²p toĂn ành nghắa trản l mởt v nh giao hoĂn. (d) Chựng minh trữớng hỳu hÔn ¯ng cĐu v nh vợi Fp Z/hpi. 5. GiÊ sỷ R, S l cĂc v nh vợi phƯn tỷ ỡn và l 1R, 1S. Cho ỗng cĐu v nh φ: R → S. (a) Chựng minh φ(1R) = 1S. (b) Chựng minh náu r ∈ R cõ phƯn tỷ ngữủc r−1 ∈ R ối vợi ph²p nhƠn thẳ φ(r−1) l phƯn tỷ ngữủc cừa φ(r) ối vợi ph²p nhƠn (trong S). (c) Chựng minh náu R ¯ng cĐu v nh vợi S v R l mởt trữớng thẳ S cụng l mởt trữớng. 6. Chựng minh Ănh xÔ Φ: k[x, y] → k, f 7→ f(0, 0), cÊm sinh mởt ¯ng cĐu v nh k[x, y]/hx, yi ' k. 7. GiÊ sỷ R = k[x] v I = hx2i. (a) Chựng minh [x] l phƯn tỷ lụy linh trong R/I. Tẳm số nguyản dữỡng n nhọ nhĐt sao cho [x]n = 0. (b) Chựng minh mồi phƯn tỷ thuởc R/I cõ biºu diạn b + a trong õ a, b ∈ k v kỵ hiằu cho [x].
52 CHìèNG 3. A THÙC V HM HÚU T TRN A TP (c) Cho trữợc b + a ∈ R/I ta cõ thº ành nghắa Ănh xÔ R → R/I bơng cĂch tữỡng ựng mội x = b + a vợi phƯn tỷ f(x) ∈ R. Vẵ dử náu b + a = 2 + v f(x) = x2 thẳ (2 + )2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 4. Chựng minh f(b + a) = f(b) + a ã f 0(b), trong õ f 0 l Ôo h m hẳnh thực cừa a thực f. (d) GiÊ sỷ = [x] ∈ k[x]/hx3i. Thiát lêp cổng thực tữỡng tỹ phƯn (c) cho f(b + a). 8. GiÊ sỷ R l v nh giao hoĂn. Chựng minh têp tĐt cÊ cĂc phƯn tỷ lụy linh cừa R l mởt idean trong R. 9. (a) GiÊ sỷ I ⊂ J l cĂc idean trong k[x1, x2, . . . , xn]. Chựng minh J = {f ∈ k[x1, x2, . . . , xn] | [f] ∈ J/I}, trong õ J/I = {[J] | j ∈ J}. ˜ (b) GiÊ sỷ J l idean trong k[x1, x2, . . . , xn]/I. Chựng minh ˜ J = {[f] ∈ k[x1, x2, . . . , xn]/I | f ∈ J}, trong õ J = {j | [j] ∈ J˜}. 10. GiÊ sỷ R, S l cĂc v nh giao hoĂn v φ: R → S l ỗng cĐu v nh. (a) Chựng minh náu J ⊂ S l idean thẳ φ−1(J) l idean trong R. (b) Chựng minh náu φ l ¯ng cĐu v nh thẳ tỗn tÔi mởt tữỡng ựng mởt-mởt v lản, bÊo to n quan hằ bao h m, giỳa cĂc idean trong R vợi cĂc idean trong S. 11. B i têp n y nghiản cựu cĂc idean trong v nh thữỡng. (a) Cho idean I = hx2 − xi ⊂ R = R[x]. XĂc ành cĂc idean trong v nh thữỡng R/I. (b) Tữỡng tỹ cƠu (a) những ối vợi idean I = hx3 + xi. 12. B i têp n y nghiản cựu cĂc idean trong v nh thữỡng cừa R[x, y]. (a) Cho idean I = hx2 − xi ⊂ R = R[x, y]. XĂc ành cĂc idean trong v nh thữỡng R/I. (b) úng hay sai: R[x, y]/hx3, yi ¯ng cĐu v nh vợi R[x, y]/hx2, y2i? 13. Cho ỗng cĐu v nh φ: k[x1, x2, . . . , xn] → S. (a) Chựng minh kerφ = {r ∈ k[x1, x2, . . . , xn] | φ(r) = 0 ∈ S} l idean trong k[x1, x2, . . . , xn]. (b) Chựng minh tẵnh hủp lằ cừa Ănh xÔ v : k[x1, x2, . . . , xn]/kerφ → S, [r] 7→ φ(r). (c) Chựng minh v l ỗng cĐu v nh. (d) GiÊ sỷ φ l Ănh xÔ lản. Chựng minh v l mởt-mởt v lản. 14. Cho Ănh xÔ φ: k[x1, x2, . . . , xn] → k[V ], f 7→ φ(f), trong õ φ(f) ữủc biºu diạn bði a thực f. XĂc ành kerφ.
3.3. VNH TÅA ậ 53 3.3 V nh tồa ở PhƯn n y nghiản cựu v nh k[V ] cĂc h m a thực trản a tÔp affine V ⊂ kn. Sỷ dửng ¯ng cĐu k[V ] ' k[x1, x2, . . . , xn]/I(V ) ta s³ ỗng nhĐt k[V ] vợi k[x1, x2, . . . , xn]/I(V ). Do õ vợi f ∈ k[x1, x2, . . . , xn] kỵ hiằu [f] cõ nghắa l h m a thực trong k[V ] biºu diạn bði f. °c biằt, mội bián xi xĂc ành mởt h m [xi]: V → k, (p1, p2, . . . , pn) 7→ pi. Ta gồi [xi] l h m tồa ở thự i trản V. Khi õ ¯ng cĐu k[V ] ' k[x1, x2, . . . , xn]/I(V ) ch¿ ra cĂc h m tồa ở sinh ra k[V ]: mồi h m a thực trản V l tờ hủp tuyán tẵnh (vợi cĂc hằ số trong k) cừa cĂc tẵch cừa [xi]. iãu n y dăn án ành nghắa sau ành nghắa 3.3.1. V nh k[V ] gồi l v nh tồa ở cừa a tÔp affine V ⊂ kn. Nhiãu kát quÊ cừa phƯn trữợc cõ thº phĂt biºu lÔi theo thuêt ngỳ cừa v nh tồa ở. Vẵ dử: • a tÔp affine V bĐt khÊ quy náu v ch¿ náu k[V ] l miãn nguyản. • GiÊ sỷ k = C. Khi õ a tÔp V ⊂ Cn cõ hỳu hÔn phƯn tỷ náu v ch¿ náu C[V ] l khổng gian vector hỳu hÔn chiãu trản C. ành nghắa 3.3.2. Cho a tÔp affine V ⊂ kn. (i) Vợi mội idean J = hφ1, φ2, . . . , φsi ⊂ k[V ], kỵ hiằu VV (J) = {(a1, a2, . . . , an) ∈ V | φ(a1, a2, . . . , an) = 0 vợi mồi φ ∈ J} v gồi l a tÔp con cừa V. (ii) Vợi mội a tÔp W ⊂ V kỵ hiằu IV (W ) = {φ ∈ k[V ] | φ(a1, a2, . . . , an) = 0 vợi mồi (a1, a2, . . . , an) ∈ W } v gồi l a tÔp con cừa V. Vẵ dử 3.3.3. GiÊ sỷ V = V (z − x2 − y2) ⊂ R3. Náu J = h[x]i ∈ R[V ] thẳ 2 W = VV (J) = {(0, y, y ) | y ∈ R} ⊂ V l a tÔp con cừa V. Chú ỵ rơng kát quÊ n y cụng úng cho a tÔp V (z − x2 − y2, x) ⊂ R3. Tữỡng tỹ, náu W = {(1, 1, 2)} ⊂ V thẳ IV (W ) = h[x − 1], [y − 1]i. Kh¯ng ành sau thiát lêp quan hằ giỳa cĂc a tÔp con cừa a tÔp affine V v cĂc idean trong k[V ]. Mằnh ã 3.3.4. GiÊ sỷ V l a tÔp affine trong kn. Khi õ
54 CHìèNG 3. A THÙC V HM HÚU T TRN A TP n (i) Vợi mội idean J ⊂ k[V ], têp W = VV (J) ⊂ V l mởt a tÔp affine trong k . (ii) Vợi mội têp con W ⊂ V, IV (W ) l mởt idean cừa k[V ]. √ (iii) Náu J ⊂ k[V ] l mởt idean thẳ J ⊂ J ⊂ IV (VV (J)). (iv) Náu W l mởt a tÔp con cừa V thẳ W = VV (IV (W )). Ta cụng cõ cĂc idean radican trong k[V ] tữỡng ựng vợi cĂc idean radican trong k[x1, x2, . . . , xn] chựa I(V ). Cử thº Mằnh ã 3.3.5. GiÊ sỷ J l idean trong k[V ] v ˜ J = {f ∈ [x1, x2, . . . , xn] | [f] ∈ J} ⊂ k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ J l radican náu v ch¿ náu J˜ l radican. ành lỵ 3.3.6. GiÊ sỷ k l trữớng õng Ôi số v V l a tÔp affine trong kn. Khi õ (i) Náu J l idean trong k[V ] thẳ √ m IV (VV (J)) = J = {[f] ∈ k[V ] | [f] ∈ J}. (ii) CĂc tữỡng ựng cĂc a tÔp con affine −→IV cĂc idean radican . W ⊂ V ←−VV J ⊂ k[V ] l song Ănh bao h m Êo ngữủc v l ngữủc cừa nhau. (iii) Hỡn nỳa, qua tữỡng ựng IV , cĂc iºm cừa V tữỡng ựng vợi cĂc idean cỹc Ôi trong k[V ] ành nghắa 3.3.7. GiÊ sỷ V ⊂ km v W ⊂ kn l cĂc a tÔp Ôi số. Ta nõi V v W l ¯ng cĐu Ôi số náu tỗn tÔi cĂc Ănh xÔ a thực α: V → W v β : W → V sao cho α ◦ β = idW v β ◦ α = idV . Vẵ dử 3.3.8. a tÔp W ⊂ kn ¯ng cĐu vợi km náu tỗn tÔi Ănh xÔ a thực mởt-mởt lản α: km → W vợi Ănh xÔ ngữủc cụng l a thực. Khi õ ta cõ mởt tham số hõa a thực cừa W. Vẵ dử 3.3.9. Trong R3 khÊo sĂt hai m°t 2 2 2 Q1 = V (x − xy − y + z ) = V (f1), 2 2 2 Q2 = V (x − y + z − z) = V (f2). Ta hÂy nghiản cựu ữớng cong C = V (f1, f2). Nhên x²t rơng C = V (f1, f1 + cf2) c ∈ R, c 6= 0.
3.3. VNH TÅA ậ 55 Vẳ vêy m°t Fc = V (f1 + cf2) cụng chựa C. Ta hÂy chồn c sao cho m°t Fc cõ dÔng ỡn giÊn. Ch¯ng hÔn, lĐy c = −1 ta ữủc F−1 = V (f1 − f2) = V (z − xy). Ta cõ ¯ng cĐu vợi 2 Thêt vêy, x²t cĂc Ănh xÔ a thực F−1 R . 2 α: R → Q, (x, y) 7→ (x, y, xy), v 2 π : Q → R , (x, y, z) 7→ (x, y). Ta cõ v 2 α ◦ π = idQ π ◦ α = idR . Do õ ữớng cong C ⊂ Q cõ thº ữa vã cĂc ữớng cong trong m°t ph¯ng R2 nhữ sau. nh cừa C qua ph²p chiáu π xĂc ành bði π(C) = V (x2y2 + x2 − xy − y2). Vẳ C v π(C) ¯ng cĐu, nản cĂc tẵnh chĐt cừa C ữủc bÊo to n qua ph²p chiáu π. °c biằt, mội iºm (a, b) ∈ π(C) tữỡng ựng úng mởt iºm (a, b, ab) ∈ C. M°t khĂc, ữớng cong π(C) cõ tham số hõa −t2 + t + 1 x = t2 + 1 −t2 + t + 1 y = . t(t + 2) Tứ õ, sỷ dửng Ănh xÔ α, dạ d ng suy ra tham số cừa ữớng cong C. Vẵ dử trản dăn án cƠu họi: khi n o hai a tÔp l ¯ng cĐu? Phữỡng phĂp ð Ơy l sỷ dửng cĂc ¯ng cĐu k[V ] ' k[x1, x2, . . . , xn]/I(V ) v k[W ] ' k[x1, x2, . . . , xn]/I(W ). Thêt vêy, ta thĐy rơng náu cõ Ănh xÔ a thực α: V → W thẳ vợi mồi h m a thực φ: W → k ta cõ h m a thực φ ◦ α: V → k. Nhữ vêy ta ữủc Ănh xÔ tứ k[W ] v o k[V ] vợi tẵnh chĐt sau. Mằnh ã 3.3.10. GiÊ sỷ V v W l cĂc a tÔp. (i) GiÊ sỷ α: V → W l Ănh xÔ a thực. Khi õ vợi mồi h m a thực φ: W → k ta cõ φ ◦ α: V → k cụng l mởt h m a thực. Hỡn nỳa, Ănh xÔ α∗ : k[W ] → k[V ], φ 7→ φ ◦ α, l mởt ỗng cĐu v nh v l ỗng nhĐt trản cĂc h m hơng. (ii) Ngữủc lÔi, giÊ sỷ f : k[W ] → k[V ] l mởt ỗng cĐu v nh v l ỗng nhĐt trản cĂc Ănh xÔ hơng. Khi õ tỗn tÔi duy nhĐt Ănh xÔ α: V → W sao cho f = α∗.
56 CHìèNG 3. A THÙC V HM HÚU T TRN A TP ành lỵ 3.3.11. Hai a tÔp affine V v W l ¯ng cĐu náu v ch¿ náu tỗn tÔi ¯ng cĐu f : k[V ] → k[W ] m l ỗng nhĐt trản cĂc Ănh xÔ hơng. n n Vẵ dử 3.3.12. X²t Ănh xÔ tuyán tẵnh LA : k → k , x 7→ Ax, trong õ A l ma trên vuổng cĐp khÊ nghàch vợi cĂc phƯn tỷ thuởc Khi õ ∗ l n k. LAk[x1, x2, . . . , xn] → k[x1, x2, . . . , xn] n ¯ng cĐu v nh. Suy ra LA l ¯ng cĐu v bði vêy V ' LA(V ) vợi mồi a tÔp con V ⊂ k . Vẵ dử 3.3.13. GiÊ sỷ f ∈ k[x, y] v x²t ỗ thà cừa f : V = V (z − f(x, y)) ⊂ k3. Ta cõ V ' k2. Thêt vêy, ph²p chiáu π : V → k2, (x, y, z) 7→ (x, y), l Ănh xÔ ngữủc cừa ph²p tham số hõa cừa ỗ thà cừa f : α: k2 → V, (x, y) 7→ (x, y, f(x, y)). ¯ng cĐu giỳa cĂc v nh tồa ở tữỡng ựng Ănh xÔ π xĂc ành bơng cĂch thay z = f(x, y) v o h m a thực F (x, y, z) trản V. Vẵ dử 3.3.14. GiÊ sỷ V = V (y5 − x2) ⊂ R2. nh xÔ a thực f : V → R, (x, y) 7→ x l mởt- mởt, những V khổng ¯ng cĐu vợi R. Thêt vêy, giÊ sỷ ngữủc lÔi tỗn tÔi ¯ng cĐu α: R → V. Khi õ Ănh xÔ α∗ : R[V ] → R[u] l mởt ¯ng cĐu v nh, trong õ α∗([x]) = c(u), α∗([y]) = d(u), vợi c(u), d(u) ∈ R[u]. Vẳ y5 − x2 biºu diạn h m bơng khổng trản V nản α∗(y5 − x2) = (d(u))5 − (c(u))2 = 0 trong R[u]. Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, bơng cĂch sưp xáp α sao cho α(0) = (0, 0) ∈ V, cõ thº giÊ sỷ c(0) = d(0) = 0. Ta cõ thº viát 2 c(u) = c1u + c2u + ããã , 2 d(u) = d1u + d2u + ããã , trong õ Chú ỵ 5 khổng chựa lụy thứa cừa bêc thĐp hỡn 5 Tứ hằ thực ci, dj ∈ R. (d(u)) u u . (d(u))5 − (c(u))2 = 0 suy ra (c(u))2 cụng khổng chựa lụy thứa cừa u bêc thĐp hỡn u5. Tuy nhiản 2 2 2 3 2 4 (c(u)) = c1u + 2c1c2u + (c2 + 2c1c3)u + ããã 2 2 Vêy c1 = c2 = 0 v do õ lụy thứa nhọ nhĐt xuĐt hiằn trong (c(u)) l u . Tứ õ cõ d1 = 0. Suy ra u khổng thuởc Ênh cừa α∗ vẳ Ênh cừa α∗ gỗm cĂc a thực c(u) v d(u). iãu n y mƠu thuăn do α∗ l mởt ¯ng cĐu v nh tứ R[V ] lản R[u].
3.3. VNH TÅA ậ 57 B i têp 1. GiÊ sỷ C l ữớng cong xoưn bêc ba trong k3. (a) Chựng minh C l a tÔp con cừa m°t S = V (xz − y2). (b) Tẳm idean J ⊂ k[S] sao cho C = VS(J). 2. GiÊ sỷ V ⊂ Cn l a tÔp affine khĂc trống. (a) GiÊ sỷ Chựng minh náu v ch¿ náu khÊ nghàch trong φ ∈ C[V ]. VV (φ) = ∅ φ C[V ]. (b) Kh¯ng ành trản cỏn úng khổng náu thay C bði R? 3. Cho V = V (y − xn, z − xm) vợi n, m l cĂc số nguyản dữỡng. Chựng minh V ¯ng cĐu vợi k. (HÂy xƠy dỹng tữớng minh cĂc Ănh xÔ a thực α: k → V v β : V → k sao cho α ◦ β = 1V v β ◦ α = 1k). 4. Chựng minh mồi m°t trong k3 xĂc ành bði phữỡng trẳnh x − f(y, z) = 0 ho°c y − g(x, z) = 0 ãu ¯ng cĐu (nhữ mởt a tÔp) vợi k2. n 5. Cho a tÔp affine V = V (xn −f(x1, x2, . . . , xn−1)) ⊂ k . Chựng minh V ¯ng cĐu (nhữ mởt a tÔp) vợi kn−1. 6. Chựng minh mồi heperbol trong R2 cõ cĂc ữớng tiằm cên ngang v ựng v i qua cĂc iºm (0, 0) v (1, 1) ữủc xĂc ành bði phữỡng trẳnh dÔng xy + tx − (t + 1)y = 0 vợi t ∈ R n o õ. 7. GiÊ sỷ α: V → W l mởt ¯ng cĐu a thực giỳa cĂc a tÔp affine V v W. GiÊ sỷ U = VV (I) vợi idean I n o õ trong v nh k[V ]. Chựng minh α(U) l a tÔp con cừa W. Tẳm idean J ⊂ k[W ] sao cho α(U) = VW (J). 8. GiÊ sỷ f : k[V ] → k[W ] l ¯ng cĐu v nh giỳa cĂc v nh tồa ở sao cho hÔn chá cừa f m trản k l Ănh xÔ ỗng nhĐt. GiÊ sỷ rơng V ⊂ k vợi cĂc tồa ở x1, x2, . . . , xm. Chựng minh náu F ∈ k[x1, x2, . . . , xm] thẳ f([F ]) = F (f([x1]), f([x2]), . . . , f([xm]). 9. Cho a tÔp affine V = V (z − x2 − y2) ⊂ R3. (a) Chựng minh a tÔp con W = {(1, 1, 2)} ⊂ V chẵnh l a tÔp V ([x − 1], [y − 1]). Tứ õ suy ra h[x − 1], [y − 1]i ⊂ IV (W ). (b) Chựng minh h[x − 1], [y − 1]i = IV (W ). 10. Cho a tÔp affine 2 2 3 v Ănh xÔ tuyán tẵnh 3 3 ành V = V (y − 3x z + 2) ⊂ R LA : R → R nghắa bði ma trên 2 0 1 A = 1 1 0 0 1 1
58 CHìèNG 3. A THÙC V HM HÚU T TRN A TP (a) Chựng minh LA l ¯ng cĐu tuyán tẵnh. (b) Tẳm phữỡng trẳnh xĂc ành Ênh LA(V ). 11. Cho ữớng cong xoưn bêc ba V = V (y − x2, z − x3) ⊂ R3. (a) Tẳm ma trên biºu diạn ph²p quay ngữủc chiãu kim ỗng hỗ quanh trửc z mởt gõc π/6. (b) Tẳm phữỡng trẳnh xĂc ành Ênh cừa V qua ph²p quay trản. 12. B i têp n y chựng tọ V = V (y5 − x2) ⊂ R2 khổng ¯ng cĐu (giỳa cĂc a tÔp affine) vợi R. Chựng minh n y sỷ dửng cĐu trúc Ôi số cừa R[V ]. Chúng ta s³ chựng minh R[V ] khổng ¯ng cĐu v nh vợi R[t]-v nh tồa ở cừa R. (a) GiÊi thẵch tÔi sao mội phƯn tỷ cừa R[V ] ữủc biºu diạn duy nhĐt bði a thực cõ dÔng a(y) + b(y)x, trong õ a, b, ∈ R[y]. (b) Biºu diạn tẵch (a + bx)(a0 + b0x) trong R[V ] cõ dÔng nhữ trong phƯn (a). (c) GiÊ sỷ tỗn tÔi ¯ng cĐu v nh α: R[t] → R[V ]. Vẳ α l lản, tỗn tÔi cĂc a thực f, g ∈ R[t] sao cho x = α(f(t)) v y = α(g(t)). Sỷ dửng phƠn tẵch duy nhĐt cừa f, g v phƯn (b) suy ra mƠu thuăn. 13. GiÊ sỷ V ⊂ R3 l m°t tiáp xúc cừa ữớng cong xoưn bêc ba C = V (y − x2, z − x3). (a) Chựng minh tham số hõa thổng thữớng trản V thiát lêp tữỡng ựng mởt-mởt giỳa cĂc iºm thuởc V vợi cĂc iºm thuởc R2. (b) Chựng minh cĂc iºm thuởc C l cĂc iºm ký dà cừa a tÔp V. (c) GiÊ sỷ α: R2 → V l tham số hõa a thực cừa V. Chựng minh náu α(a, b) ∈ C thẳ ma trên Ôo h m cừa α tÔi (a, b) cõ hÔng < 2. (d) GiÊ sỷ β : V → R2 l Ănh xÔ ngữủc cừa α. Sỷ dửng Ôo h m h m hủp, chựng tọ (c) sai náu ta x²t iºm (a, b) vợi α(a, b) ∈ C. 3.4 H m hỳu t¿ trản a tÔp Kỵ hiằu f(x1, x2, . . . , xn) k(x1, x2, . . . , xn) = | f, g ∈ k[x1, x2, . . . , xn], g 6= 0 g(x1, x2, . . . , xn) l trữớng cĂc h m hỳu t¿. GiÊ sỷ R l miãn nguyản. Khi õ cõ thº ành nghắa trữớng thữỡng hay trữớng cĂc phƠn thực QF (R) cừa R nhữ sau: cĂc phƯn tỷ cừa QF (R) cõ dÔng r/s trong õ r, s ∈ R v s 6= 0. Trản QF (R) x²t cĂc ph²p toĂn cởng v nhƠn: r/s + t/u = (ru + ts)/(su) v r/s ã t/u = rt/(su).
3.4. HM HÚU T TRN A TP 59 Hai phƠn thực r/s v t/u biºu diạn cũng mởt phƯn tỷ trong QF (R) náu rs0 = r0s. Dạ d ng chựng minh QF (R) l mởt trữớng. Hỡn nỳa, QF (R) chựa têp con {r/1 | r ∈ R}' R. Náu V l a tÔp bĐt khÊ quy thẳ k[V ] l miãn nguyản. Do õ cõ trữớng thữỡng QF (k[V ]). Bði vêy cõ ành nghắa: ành nghắa 3.4.1. GiÊ sỷ V ⊂ kn l a tÔp bĐt khÊ quy. Ta gồi QF (k[V ]) l trữớng h m trản V v kỵ hiằu l k(V ). Bði ành nghắa ta cõ k(V ) = {φ/ψ | φ, ψ ∈ k[V ], ψ 6= 0} = {[f]/[g] | f, g ∈ k[x1, x2, . . . , xn], g 6∈ I(V )}. Chú ỵ rơng phƯn tỷ φ/ψ ∈ k(V ) xĂc ành mởt h m ch¿ trản phƯn bũ cừa VV (ψ). n Vẵ dử 3.4.2. GiÊ sỷ V = k . Khi õ k[V ] = k[x1, x2, . . . , xn] v do õ k[V ] = k(x1, x2, . . . , xn). Vẵ dử 3.4.3. X²t a tÔp affine V = V (y5 − x2) ⊂ R2. Ta cõ V bĐt khÊ quy. Do õ R[V ] l miãn nguyản. Bơng cĂch biºu diạn cĂc phƯn tỷ cừa R[V ] qua phƯn dữ modulo G = {y5 − x2} ta ữủc R[V ] = {a(y) + xb(y) | a, b ∈ R[y]}. Trản R[V ] cõ ph²p nhƠn (a + xb) ã (c + xd) = (ac + y5 ã bd) + x(ad + bd). Ká tiáp ta mổ tÊ trữớng h m R(V ). Náu c + xd ∈ R[V ] thẳ ta cõ thº viát a + xb a + xb c − xd = ã c + xd c + xd c − xd (ac − y5d) + x(bc − ac) = c2 − y5d2 ac − y5d bc − ac = + x . c2 − y5d2 c2 − y5d2 õ l mởt phƯn tỷ cừa R(y) + xR(y). M°t khĂc, dạ thĐy rơng mội phƯn tỷ cừa R(y)+xR(y) cụng xĂc ành mởt phƯn tỷ cừa R(V ). Vêy cõ thº ỗng nhĐt R(V ) ≡ R(y) + xR(y). Ká tiáp x²t cĂc Ănh xÔ 2 α: V → R, (x, y) 7→ x/y , 5 2 β : R → V, u 7→ (u , u ). Ta cõ α xĂc ành tÔi mồi iºm thuởc V \{(0, 0)}, trong khi β l tham số hõa a thực cừa V. X²t cĂc Ănh xÔ cÊm sinh ∗ 2 α : R(u) → R(V ), f(u) 7→ f(x/y ),
60 CHìèNG 3. A THÙC V HM HÚU T TRN A TP ∗ 2 5 2 β : R(V ) → R(u), a(y) + xb(y) 7→ a(u ) + u b(u ). Ta chựng minh α∗ v β∗ l cĂc ¯ng cĐu v nh. Thêt vêy, cõ thº ch¿ ra α∗ v β∗ bÊo to n cĂc ph²p toĂn tờng v tẵch. º chựng minh α∗ v β∗ khÊ nghàch, ta nhên x²t rơng α∗(f) = f(x/y2) vợi mồi f(u) ∈ R(u). Suy ra β∗(α∗(f)) = f(u5/(u2)2) = f(u). Do õ β∗ ◦ α∗ l Ănh xÔ ỗng nhĐt trản R(u). Tữỡng tỹ, trong trữớng R(V ) ta cõ x2 = y5 nản x2/y4 = y v x5/y10 = xy10/y10 = x. Vêy α∗ ◦ β∗ l Ănh xÔ ỗng nhĐt trản R(V ). Tõm lÔi, α∗ v β∗ l cĂc ¯ng cĐu v nh giỳa cĂc trữớng h m R(V ) v R[u]. Chú ỵ 3.4.4. Vẵ dử trản chựng tọ tỗn tÔi cĂc a tÔp affine khổng ¯ng cĐu những cõ cĂc trữớng h m ¯ng cĐu. Vẵ dử 3.4.5. Trong khổng gian R3 x²t m°t hyperboloid mởt tớ Q = V (x2 + y2 − z2 + 1) v m°t ph¯ng W = V (x + 1). LĐy p = (1, 0, 0) ∈ Q. Vợi mội q ∈ V, q 6= p, kỵ hiằu Lq l ữớng th¯ng nối p vợi q v ành nghắa Ănh xÔ 3 φ: V \{p} ã ã ã → R , q 7→ φ(q) nhữ sau: náu ữớng th¯ng Lq cưt m°t ph¯ng W thẳ °t φ(q) = Lq ∩ W ; ngữủc lÔi φ(q) khổng xĂc ành. º tẳm phữỡng trẳnh xĂc ành φ x²t q = (x0, y0, z0) ∈ Q. Khi õ Lq cho bði phữỡng trẳnh x = 1 + t(x0 − 1), y = ty0, z = tz0. −2 Tứ ành nghắa φ(q) = Lq ∩ W ta cõ 1 + t(x0 − 1). Nản t = . Hằ quÊ l x0−1 −2y −2z φ(q) = −1, 0 , 0 . x0 − 1 x0 − 1 Vêy φ xĂc ành tÔi mồi iºm trản Q ngoÔi trứ cĂc iºm thuởc hai ữớng th¯ng sau Q ∩ V (x − 1) = {(1, t, t) | t ∈ R} ∪ {(1, t, −t) | t ∈ R}. Ta s³ gồi φ: Q \ VQ(x − 1) → W l Ănh xÔ hỳu t¿ trản Q. i theo hữợng khĂc, náu (−1, a, b) ∈ W thẳ ữớng th¯ng L qua p = (1, 0, 0) v (−1, a, b) cõ tham số hõa x = 1 − 2t, y = ta, z = tb. Bði vêy a2 − b2 − 4 4a 4b L ∩ Q = (1, 0, 0), , , . a2 − b2 + 4 a2 − b2 + 4 a2 − b2 + 4
3.4. HM HÚU T TRN A TP 61 2 2 °t H = VW (a − b + 4). Ta cõ Ănh xÔ hỳu t¿ ψ : W \ H → Q cho bði cổng thực a2 − b2 − 4 4a 4b ψ(−1, a, b) = , , . a2 − b2 + 4 a2 − b2 + 4 a2 − b2 + 4 Theo cĂch xƠy dỹng ta cõ ngay φ ◦ ψ l Ănh xÔ ỗng nhĐt trản W \ H ⊂ W v ψ ◦ φ l Ănh ∗ ∗ ∗ ∗ xÔ ỗng nhĐt trản Q \ VQ(x − 1). Hỡn nỳa dạ d ng chựng tọ φ ◦ ψ v ψ ◦ φ l cĂc Ănh xÔ ỗng nhĐt trản cĂc trữớng h m. (Chú ỵ rơng hai a tÔp Q v W khổng ¯ng cĐu.) ành nghắa 3.4.6. GiÊ sỷ V ⊂ km v W ⊂ kn l cĂc a tÔp affine. nh xÔ f1(x1, x2, . . . , xm) fn(x1, x2, . . . , xm) φ: V → W, (x1, x2, . . . , xm) 7→ , , , g1(x1, x2, . . . , xm) gn(x1, x2, . . . , xm vợi fi, gi ∈ k(x1, x2, . . . , xm), gồi l hỳu t¿ náu nõ thọa mÂn (i) φ xĂc ành tÔi ẵt nhĐt mởt iºm thuởc V. (ii) Náu φ xĂc ành tÔi iºm (a1, a2, . . . , am) ∈ V thẳ φ(a1, a2, . . . , am) ∈ W. Chú ỵ 3.4.7. nh xÔ hỳu t¿ φ tứ V v o W cõ thº khổng xĂc ành tÔi mồi iºm thuởc V. Bði vêy kỵ hiằu sau thữớng ữủc sỷ dửng φ: V − − → W. Do iãu kiằn (i), têp cĂc iºm tÔi õ Ănh xÔ φ khổng xĂc ành úng bơng VV (g1, g2, . . . , gn). ành nghắa 3.4.8. GiÊ sỷ cĂc Ănh xÔ hỳu t¿ φ, ψ : V − − → W cho bði f f h h φ = 1 , , n v ψ = 1 , , n . g1 gn k1 kn Ta nõi φ = ψ náu fiki − higi ∈ I(V ), i = 1, 2, . . . , n. Ta cõ tiảu chuân hẳnh hồc sau Mằnh ã 3.4.9. GiÊ sỷ cĂc Ănh xÔ hỳu t¿ φ, ψ : V − − → W. Khi õ φ = ψ náu v ch¿ náu tỗn tÔi a tÔp con thỹc sỹ V 0 ⊂ V sao cho φ, ψ xĂc ành trản V \ V 0 v φ(p) = ψ(p) vợi mồi p ∈ V \ V 0. ành nghắa 3.4.10. Cho cĂc Ănh xÔ hỳu t¿ φ: V − − → W v ψ : − − → Z. Ta nõi Ănh xÔ hủp φ ◦ ψ ữủc xĂc ành náu tỗn tÔi p ∈ V sao cho φ ữủc xĂc ành tÔi p v ψ ữủc xĂc ành tÔi φ(p).
62 CHìèNG 3. A THÙC V HM HÚU T TRN A TP Mằnh ã 3.4.11. GiÊ sỷ φ: V − − → W v ψ : W − − → Z l cĂc Ănh xÔ hỳu t¿ sao cho Ănh xÔ hủp φ ◦ ψ ữủc xĂc ành. Khi õ tỗn tÔi a tÔp con thỹc sỹ V 0 ⊂ V sao cho (i) φ xĂc ành trản V \ V 0 v ψ xĂc ành trản φ(V \ V 0). (ii) ψ ◦ φ: V − − → Z l Ănh xÔ hỳu t¿ ữủc xĂc ành trản V \ V 0. Vẵ dử sau chựng tọ ψ ◦ φ cõ thº khổng ữủc xĂc ành. Vẵ dử 3.4.12. X²t cĂc Ănh xÔ hỳu t¿ 3 2 φ: R − − → R , t 7→ (t, 1/t, t ) v x + yz ψ : 3 − − → , (x, y, z) 7→ . R R x − yz Dạ thĐy ψ ◦ φ khổng ữủc xĂc ành. ành nghắa 3.4.13. (i) Hai a tÔp bĐt khÊ quy V ⊂ km v W ⊂ kn gồi l tữỡng ữỡng song hỳu t¿ náu tỗn tÔi cĂc Ănh xÔ hỳu t¿ φ: V − − → W v ψ : W − − → V sao cho cĂc Ănh xÔ φ ◦ ψ v ψ ◦ φ ữủc xĂc ành v φ ◦ ψ = idW , ψ ◦ φ = idV . (ii) a tÔp V gồi l hỳu t¿ náu tỗn tÔi số nguyản dữỡng n sao cho V tữỡng ữỡng song hỳu t¿ vợi kn. ành lỵ 3.4.14. Hai a tÔp bĐt khÊ quy V v W tữỡng ữỡng song hỳu t¿ náu v ch¿ náu tỗn tÔi mởt ¯ng cĐu Φ: k(V ) → k(W ) sao cho hÔn chá cừa Φ trản k ⊂ k(V ) l Ănh xÔ ỗng nhĐt. B i t êp 1. Cho R l miãn nguyản v kỵ hiằu QF (R) l trữớng cĂc phƠn thực trản R. (a) Chựng minh tẵnh hủp lằ cừa ph²p toĂn cởng trản QF (R). Tực l náu r/s = r0/s0 v t/u = t0/u0 thẳ (ru + ts)/su = (r0u0 + t0s0)/s0u0. (b) Chựng minh tẵnh hủp lằ cừa ph²p toĂn nhƠn trản QF (R). (c) Chựng minh QF (R) l mởt trữớng. 2. Cho a tÔp affine V = V (y5 − x2) ⊂ R2. (a) Chựng minh y5 − x2 bĐt khÊ quy trong R[x, y]. (b) Chựng minh I(V ) = hy5 − x2i. (c) Chựng minh R[V ] l miãn nguyản.
3.4. HM HÚU T TRN A TP 63 3. Chựng minh a tÔp affine V (y2 − x3) l a tÔp hỳu t¿. (Tực tữỡng ữỡng song hỳu t¿ vợi k). 2 2 3 4. X²t ữớng cong Vc = V (y − cx + x ), c ∈ k. Chựng minh Vc l a tÔp hỳu t¿ v tẳm cĂc a tÔp con 0 v sao cho Ănh xÔ hỳu t¿ ữủc thiát lêp trản xĂc ành Vc ⊂ Vc W ⊂ k tữỡng ựng mởt-mởt giỳa 0 v Vc \ Vc k \ W. 5. Sỷ dửng ph²p chiáu nời, chựng minh V (x2 + y2 + z2 − 1) ⊂ R3 tữỡng ữỡng song hỳu t¿ vợi m°t ph¯ng V (z). 6. Tỗn tÔi Ănh xÔ hỳu t¿ khĂc hơng tứ R lản V = V (y2 − x3 + x)? V tữỡng ữỡng song hỳu t¿ vợi R? 7. GiÊ sỷ V l a tÔp bĐt khÊ quy v f ∈ k(V ). Náu viát f = φ/ψ vợi φ, ψ ∈ k[V ] thẳ f xĂc ành trản V \ VV (ψ). Ta s³ thĐy rơng f xĂc ành trản têp lợn hỡn thổng qua vẵ dử V = V (xz − yw) ⊂ C4. (a) Chựng minh xz − yw bĐt khÊ quy trong C[x, y, z, w]. (b) Chựng minh hxz − ywi l idean nguyản tố. (c) Suy ra V bĐt khÊ quy v I(V ) = hxz − ywi. (d) GiÊ sỷ Khi õ xĂc ành trản Chựng minh f = [x]/[y] ∈ C(V ). f V \ VV ([y]). VV ([y]) l hủp cừa hai m°t ph¯ng {(0, 0, z, w) | z, w ∈ C}{(x, 0, 0, w) | x, w ∈ C}. (e) Chựng minh f = [w]/[z]. Suy ra f xĂc ành tÔi mồi iºm ngoÔi trứ m°t ph¯ng {(x, 0, 0, w) | x, w ∈ C}. Chú ỵ rơng ta cõ hai biºu diạn khĂc nhau cừa h m hỳu t¿ f. iãu n y giÊi thẵch tÔi sao nản x²t cĂc h m hỳu t¿! 8. Cho cĂc Ănh xÔ hỳu t¿ φ: R − − → R3 v ψ : R3 − − → R, trong õ x + yz φ(t) = (t, 1/t, t2) v ψ(x, y, z) = . x − yz Chựng minh hủp ψ ◦ φ khổng ữủc xĂc ành. 9. GiÊ sỷ V v W l cĂc a tÔp bĐt khÊ quy v Φ: k(V ) → k(W ) l ¯ng cĐu giỳa cĂc trữớng h m sao cho hÔn chá cừa Φ trản k l Ănh xÔ ỗng nhĐt. Chựng minh tỗn tÔi cĂc Ănh xÔ hỳu t¿ khÊ nghàch φ: V − − → W v ψ : W − − → V. 10. GiÊ sỷ φ: V − − → W l Ănh xÔ hỳu t¿ xĂc ành trản V \ V 0. GiÊ sỷ W 0 l a tÔp con cừa W. Chựng minh V 00 = V 0 ∪ {p ∈ V \ V 0 | φ(p) ∈ W 0} l a tÔp con cừa V.