Bài giảng Động lực học công trình - Dương Văn Thứ

278 trang ngocly 3200

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Động lực học công trình - Dương Văn Thứ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_dong_luc_hoc_cong_trinh_duong_van_thu.ppt

Nội dung text: Bài giảng Động lực học công trình - Dương Văn Thứ

ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH PGS. TS Dương Văn Thứ powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG 1.1.1 Khái niệm về chu kỳ và tần số Dao động của vật thuần túy do lực lò xo sinh K 0 ra khi M dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng ban đầu (do một nguyên nhân bất kỳ nào đó gây M ra rồi mất đi) được gọi là dao động tự do hay là dao động riêng. y P(t) Dạng chuyển vị của vật M được gọi là dạng dao động riêng. Nếu trong quá trình dao động luôn luôn tồn tại lực Hình 1.1 động P(t), ta có bài toán dao động cưỡng bức. Lực động P(t) còn được gọi là lực kích thích. Tuỳ thuộc vào quan hệ giữa lực lò xo và biến dạng của lò xo là tuyến tính , hay phi tuyến, mà ta có bài toán dao động tuyến tính hay dao động phi tuyến. 2 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO ▪ Số các dao động toàn phần của khối lượng thực hiện trong một đơn vị thời gian, chỉ phụ thuộc vào các đặc trưng cơ học của hệ, gọi là tần số dao động riêng hay tần số dao động tự do, và được ký hiệu là f. ▪ Thời gian để thực hiện một dao động toàn phần được gọi là chu kỳ dao động, và được ký hiệu là T. ▪ Nếu T đo bằng giây (s) (trong Động lực học công trình thời gian thường được đo bằng giây), thì thứ nguyên của f là 1/s. Về trị số f và T là nghịch đảo của nhau. 3 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 1.1.2 Dao động điều hoà và véc tơ quay Sau đây ta xét một dạng dao động quan trọng được gọi là dao động điều hòa. Đây là dạng dao động cơ bản thường gặp trong cơ học, mặt khác, các dao động có chu kỳ luôn luôn có thể phân tích thành các dạng dao động điều hòa đơn giản. Xét dao động điều hòa, S ( t )= A sin t (1-1) Có vận tốc v( t )= A c os t (1-2) và gia tốc a( t )=− A2 sin t (1-3) 4 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 1.1.2 Dao động điều hoà và véc tơ quay Có thể miêu tả chuyển động này như chuyển dịch của điểm mút véc tơ OA (có a độ lớn bằng A) lên một trục S nào đó khi Acosωt véc tơ này quay quanh điểm cố định O 0 x với vận tốc góc .(xem hình 1.2). ωt Asinω Trị số A được gọi là biên độ dao động, t còn vận tốc góc  được gọi là tần số A vòng của dao động – là số dao động toàn v s phần của hệ thực hiện trong 2 giây. Hình 1.2 Theo định nghĩa, 21  T = 2 nên T == do đó  = 2 f  f 5 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Tóm lại, trong dao động điều hòa ta có các quan hệ sau, 2  ==2 f (1-4) T 1  f == (1-5) T 2 12 T == (1-6) f  Sau này trong tính toán thực tế, người ta hay dùng  hơn f. 6 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Khảo sát ba dao động điều hòa cùng biên độ A và chu kỳ T T T T t 0 t t 0 A T A 0 A t0= 4 s a) s s tT== b) 0  2 c) St( )= Asin  t- St( )= Asin( t) St( )= Asin( t- ) 2 Hình 1.3 Ta nói t0 là độ lệch pha, còn là góc lệch pha (hay góc pha). dao động (a) có góc pha là /2. 7 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Cách biểu diễn dao động điều hòa dưới dạng véc tơ quay như trên hình 1.2, giúp ta thực hiện thuận tiện việc hợp các dao động điều hòa. Ví dụ, xét hợp của hai dao động điều hòa cùng tần số (có thể khác biên độ và lệch pha). S11( t )= A sin t (a) S22( t )=+ A sin( t ) (b) 8 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Hợp của hai dao động S1 và S2 chính là hợp của hai véc tơ OA1 và OA2 cho ta véc tơ OA có độ lớn , theo qui tắc hình bình hành, là 22 OA= A =( A1 + A 2 cos ) +( A 2 sin ) (1-7) A2 sin và góc lệch pha , mà: tg = (1-8) ( A12+ A cos ) Như vậy, hợp của hai dao động điều hòa cùng tần số là một dao động điều hòa cùng tần số, có biên độ A được tính theo (1-7) và góc lệch pha  được tính theo (1-8) S( t )= S12 ( t ) + S ( t ) = Asin( t+ ) (c) 9 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO nếu hai dao động thành phần khác tần số, thì hợp của chúng không còn là dao động điều hòa nữa, mà chỉ là dao động có chu kỳ s A A2 A2 sinφ φ A cosφ β 2 x A1 0 ωt Hình 1.4 10 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 1.1.3 Lực cản và các mô hình lực cản Lực cản do nhiều nguyên nhân gây ra như : ma sát giữa các mặt tiếp xúc mà ta gọi là lực cản ma sát; sức cản của môi trường như không khí, chất lỏng hay lực nội ma sát mà ta gọi chung là lực cản nhớt. Trong chuyển động cơ học, người ta thường chia lực cản thành ba nhóm chính: 1- Lực cản ma sát được xác định theo định luật Culong (1-9) RCNc = 1. Trong đó: C1 là hệ số ma sát, N là thành phần pháp tuyến của lực sinh ra giửa hai mặt tiếp xúc khi chuyển động (nó phụ thuộc vào vận tốc chuyển động) 11 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 2 - Lực cản nhớt tuyến tính Newton tỷ lệ bậc nhất với vận tốc chuyển động Rc = C2. v (1-10) Trong đó: C2 là hệ số cản nhớt  là vận tốc chuyển động,  = Ś(t) 3- Lực cản tỷ lệ bậc cao với vận tốc (thường là bậc hai). Lực cản này thường xẩy ra khi vật chuyển động trong môi trường chất lỏng hay chất khí với vận tốc tương đối lớn Rc = C3. v (1-11) 12 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 1.2 PT VI PHÂN DAO ĐỘNG NGANG TỔNG QUÁT CỦA HỆ 1 BẬC TỰ DO Hệ một bậc tự do gồm dầm đàn hồi giả thiết không có khối lượng, trên đó có đặt khối lượng tập trung M, chịu tác dụng của tải trọng động P(t) đặt tại khối lượng và có phương theo phương chuyển động của khối lượng P(t) 1 z a) M 2 Rđh yt yđ(t) y M M P(t) b) z P(t) c 2 y yđ(t) P=1 c) z P(t) Mô hình tính y Hình 1.6 d) f) 13 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO ❖ Do ở đây ta chỉ xét ảnh hưởng của lực động P(t), đồng thời do giả thiết biến dạng bé, nên trạng thái cân bằng tĩnh ban đầu có thể coi gần đúng như trường hợp chưa có biến dạng (Hình 1.6b). Tất nhiên, khi xác định một đại lượng nghiên cứu nào đó, ta phải kể tới giá trị do M gây ra theo nguyên lý cộng tác dụng. ❖ Xét hệ dao động chịu lực cản nhớt tuyến tính Newton, thì dao động của hệ trên hình 1.6b có thể được mô hình hóa như trên hình 1.6d; gồm khối lượng M được treo vào lò xo có độ cứng K , và gắn vào pít tông chuyển động trong chất lỏng nhớt có hệ số cản C. 14 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Xét hệ ở thời điểm t nào đó đang chuyển động hướng xuống cùng chiều với lực P(t). Khi đó hệ chịu tác dụng của các lực sau: lực động P(t); lực đàn hồi sinh ra trong lò xo phụ thuộc độ dịch chuyển y của khối lượng, Rđh(y) = K.y(t), có chiều hướng lên; lực quán tính Z(t) = -M ÿ(t) có chiều hướng xuống cùng chiều với chuyển động; và lực cản nhớt tuyến tính Rc = C ỳ(t) có chiều hướng lên ngược với chiều chuyển động (xem hình 1.6f). Hệ ở trạng thái cân bằng động, nên: Rđh + Rc – Z(t) – P(t) = 0 (1-12) hay My()()()() t+ Cy t + Ky t = P t 15 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Rđh + Rc – Z(t) – P(t) = 0 (1-12) hay My()()()() t+ Cy t + Ky t = P t Phương trình (1-12) là phương trình vi phân (PTVP) dao động ngang tổng quát của hệ đàn hồi tuyến tính một bậc tự do chịu lực cản nhớt tuyến tính. Trong đó, C là hệ số cản có thứ nguyên là [ lực thời gian / chiều dài]; K là độ cứng của hệ, là giá trị lực đặt tĩnh tại khối lượng làm cho khối lượng dịch chuyển một lượng bằng đơn vị, và có thứ nguyên là [lực / chiều dài ]. 16 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Phương trình (1-12) cũng có thể được thiết lập dựa vào biểu thức chuyển vị. Thật vậy, nếu ký hiệu  là chuyển vị đơn vị theo phương chuyển động tại nơi đặt khối lượng (hình 1.6c) – còn gọi là độ mềm của hệ một bậc tự do- thì dịch chuyển y(t) của khối lượng tại thời điểm t do tất cả các lực tác dụng trên hệ gây ra, theo nguyên lý cộng tác dụng sẽ là: y()()()() t= P t −  My t −  Cy t Hay My()()()() t+ Cy t + Ky t = P t chính là (1-12) 1 Trong đó K = (1-13)  được gọi là độ cứng của hệ. Giải (1-12) xác định được phương trình chuyển động, vận tốc, và gia tốc chuyển động của khối lượng -> xác định được các đại lượng nghiên cứu 17 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 1.3 DAO ĐỘNG TỰ DO-TẦN SỐ DAO ĐỘNG TỰ DO ( HAY TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG ) 1.3.1 Dao động tự do không có lực cản Đây là trường hợp lý tưởng hóa, vì trong thực tế lực cản luôn tồn tại. PTVP dao động lúc này có dạng đơn giản [cho C và P(t) trong (1-12) bằng không]. My( t )+= Ky ( t ) 0 Hay là y( t )+=2 y ( t ) 0 (1-14) 2 K1 g g Trong đó  = = = = ()M (1-15) M M G yt 18 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO (M) Ở đây, ta ký hiệu G = yt , về mặt ý nghĩa, nó là chuyển vị tĩnh của khối lượng M do trọng lượng của khối lượng, G , đặt tĩnh theo phương chuyển động gây ra (xem hình 1.6a); còn g là gia tốc trọng trường. Phương trình vi phân (1-14) có nghiệm tổng quát là: y( t )= Ac12 os t+A sin t (a) Các hằng số tích phân A1và A2 được xác định từ các điều kiện đầu: Tại thời điểm bắt đầu dao động (t=0), giả sử hệ có chuyển vị ban đầu yo và vận tốc ban đầu 0 y== y; v v (1-16) tt==0000 Thay (1-16) vào (a) với chú ý v( t )= y ( t ) = − A12 sin  t +  A c os  t ta được: A1 = y0 ; và A2 = 0 (b) 19 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Thay (b) vào (a) ta được phương trình dao động tự do không có lực cản của hệ một bậc tự do: v y( t )= y c os t+0 sin t (1-17) 0  v0 Hay y( t )= y0 sin  t+ + sin t (1-17)’ 2  Điều này có nghĩa là, dao động tự do không cản của khối lượng là hợp của hai dao động điều hòa cùng tần số  và lệch pha /2. Sử dụng khái niệm véc tơ quay, theo (1-7) và (1-8) , phương trình (1-17)’ có dạng đơn giản: yt( )= Asin( t+ ) (1-18) v 2 y 2 0 = arctg 0 Trong đó Ay=+0 và (1-19)  v0 20 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Như vậy, dao động tự do của hệ một bậc tự do (BTD), khi không có lực cản, là một dao động điều hòa, có tần số  được tính theo (1-15) , có biên độ và góc lệch pha được tính theo (1-19), còn chu kỳ dao động được tính theo (1-6). (M) Nhìn vào (1-15) ta thấy  chỉ phụ thuộc yt , cũng tức là phụ thuộc  hay K, nghĩa là chỉ phụ thuộc vào độ đàn hồi của hệ. Nên tần số dao động tự do  còn được gọi là tần số dao động riêng của hệ; Nó là một đặc trưng của hệ dao động. Dao động tự do không cản có dạng như trên hình 1-3; Phụ thuộc điều kiện ban đầu mà có dạng (hình 1.3a, b, hay c). Ví dụ, khi không có chuyển vị ban đầu (y0 = 0), thì  = 0, nên dạng dao động như trên hình 1.3b; Khi không có vận tốc ban đầu (0 = 0), thì góc pha bằng /2, dạng dao động như trên hình 1.3a; Còn dạng dao động trên hình 1.3c tương ứng với khi cả y0 và 0 đều khác không. 21 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Như vậy, dao động tự do của hệ một bậc tự do (BTD), khi không có lực cản, là một dao động điều hòa, có tần số  được tính theo (1-15) , có biên độ và góc lệch pha được tính theo (1-19), còn chu kỳ dao động được tính theo (1-6). (M) Nhìn vào (1-15) ta thấy  chỉ phụ thuộc yt , cũng tức là phụ thuộc  hay K, nghĩa là chỉ phụ thuộc vào độ đàn hồi của hệ. Nên tần số dao động tự do  còn được gọi là tần số dao động riêng của hệ; Nó là một đặc trưng của hệ dao động. Dao động tự do không cản có dạng như trên hình 1-3; Phụ thuộc điều kiện ban đầu mà có dạng (hình 1.3a, b, hay c). Ví dụ, khi không có chuyển vị ban đầu (y0 = 0), thì  = 0, nên dạng dao động như trên hình 1.3b; Khi không có vận tốc ban đầu (0 = 0), thì góc pha bằng /2, dạng dao động như trên hình 1.3a; Còn dạng dao động trên hình 1.3c tương ứng với khi cả y0 và 0 đều khác không. 22 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Chú ý: Khi khối lượng được liên kết bằng nhiều lò xo mắc song song hay nối tiếp như trên hình 1.7, khi đó độ cứng tổng cộng được tính như sau: K1 K2 K1 K1 K2 α1 α2 K M 2 M M P(t) P(t) P(t) kk= kk= sin2 11  i  ii =  (1-20) i i kki i Hình 1.7 23 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO ❖ VÍ DỤ 1.1 Trên dầm đơn giản hai đầu khớp, đặt tại C một khối lượng tập trung M có trọng lượng G = 0,75 kN như trên hình 1.8a; Biết E = 2,1.104 kN/cm2; C 4 a) 10 4 G=Mg J= cm ; 12 l=1m. P=1 b) Yêu cầu: Xác định tần số vòng và chu kỳ dao động riêng của hệ. Bỏ qua khối δ 2 P=1 lượng dầm, và lấy g = 981 cm/s . c) Hình 1.8 24 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO ❖ Giải: Chuyển vị đơn vị tai C, theo phương chuyển động, do lực P=1 gây ra, theo công thức Maxwell – Mohr là (xem hình 1.8b): 1 3 1 3 1 2 3 3m3  = +m m m = (a) EJ 4 4 16 2 3 16 256 EJ Chuyển vị tĩnh tại nơi đặt khối lượng do trọng lượng của khối lượng gây ra: 3m33 2,25 kNm y()M = G. = 0,75 kN = (b) t 256EJ 256 EJ Tần số dao động riêng của hệ , theo (1-15) là: 256 2,1 1044 4  =981 = 70,6 s−1 (c) 2,25 12 1003 Chu kỳ dao động riêng tính theo (1-6) là: 2 2 3,1416 Ts= = = 0,089 (d)  70,6 25 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO ❖ VÍ DỤ 1.2 Trên khung ba khớp có đặt vật nặng trọng lượng G (hình 1.9a). Bỏ qua ảnh hưởng của khối lượng khung, lực cắt , và lực dọc tới diến dạng. Hãy xác định tần số dao động riêng theo phương đứng và phương ngang của hệ. G h (EJ=hằng số) l 2 (hình 1.9a). 26 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Giải: Chuyển vị đơn vị theo phương đứng đg, và phương ngang ng tại nơi đặt khối lượng được tính theo công thức Maxwell – Mohr. Từ các biểu đồ mô men đơn vị trên hình 1.9b, và c, ta được: l l1 2 l 1 l3 đg = 2 = 4 2 2 3 4EJ 48 EJ (a)’ P=1 h P=1  h. h 2 h . l 2 1 h32+ h l ng = hl + = (b)’ 2 3 2 3EJ 3 EJ l 4 Thay (a)’ và (b)’ vào (1-15) ta được tần số dao động riêng theo phương đứng và phương ngang là g 48EJg 1 = l đg = 3 Gđ Gl s 2 g 3EJg 1 Hình 1.9b, 1.9c ng = = 3 2 G ng G(h + h l) s 27 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 1.3.2 Dao động tự do có lực cản Khi coi lực cản tỷ lệ với vận tốc, PTVP dao động tự do tổng quát có dạng: My( t )+ Cy ( t ) + Ky ( t ) = 0 (1-21) Hay y( t )+ 2  y ( t ) +2 y ( t ) = 0 (1-21)’ c Ở đây ta đã đặt 2 = (1-22) M cũng được gọi là hệ số cản Phương trình đặc trưng của PTVP (1-21)’ có nghiệm là 22 (a) 1,2 = − −  12tt nên nghiệm tổng quát của (1-21)’: y() t=+ Ae12 A e sẽ có dạng: 2−  2tt − 2 −  2 − t ( ) ( ) (1-23) y() t=+ e Ae12 A e 28 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Chuyển động của khối lượng, theo (1-23), y(t) phụ thuộc vào hệ số . Phân tích từng trường hợp ta thấy: t 1- Khi 2 2; hay C 2 KM 0 Hình 1.10 Khi >  ta gọi là lực cản lớn; còn khi =  ta gọi là lực cản trung bình (hay lực cản giới hạn). Lúc này  là một số thực; Hơn nữa, vì  nên α2 −ω2 < , (bằng không khi = ). Do đó cả hai nghiệm  tính theo (a) đều âm. Như vậy, chuyển động của khối lượng khi lực cản lớn và trung bình , theo (1-23), là tổng của hai hàm số mũ âm. Hệ không giao động mà chuyển động tiệm cận dần tới vị trí cân bằng như trên hình 1.10; 29 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 2- Khi 2 < 2: Trường hợp này được gọi là lực cản bé. Lúc này nghiệm  là phức. 2 2 2 Đặt 1 =−(  ) (1-24) Khi đó nghiệm của phương trình đặc trưng (xem (a ) sẽ là: (b) 1,2= − i  1 Và phương trình chuyển động (1-23) trở thành: − t ii12tt− y() t=+ e A12 e A e (1-23)’ eii =+cos sin Sử dụng công thức Euller (1-25) ei−i =−cos sin 30 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO thay vào (1-23)’ ta có: − t y( t )= e ( A1 + A 2) cos 1 t + i( A 1 − A 2) sin 1 t − t hay là, y( t )=+ e B1 cos 1 t B 2 sin 1 t (1-23)’’ Trong đó, B1 = A1 + A2 ; B2 = i ( A1 – A2 ) (c) Các hằng số B1, B2 xác định được từ các điều kiện đầu (1-16) B1 = y0 ; B2 = ( v0 + y0 ) / 1 (d) 31 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Thay (d) vào (1-23)’’, và lại áp dụng khái niệm véc tơ quay để hợp hai dao động điều hòa trong dấu móc vuông, ta được phương trình dao động tự do của hệ một bậc tự do khi lực cản bé là: − t y( t )=+ Ae sin(1 t ) (1-26) 2 v + αy 2 0 0 Trong đó, A = y0 + (1-27) ω1 y ω và  = arctg( 0 1 ) v0 + αy 0 32 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Dạng dao động trong trường hợp này được thể hiện trên hình 1.11 y(t) A yn+1 t 0 A yn T1 Hình 1.11 : Dao động tự do khi lực cản bé 33 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Từ (1-26), hay từ hình 1-11 ta thấy, dao động tự do của hệ một bậc tự do khi lực cản bé, cũng là một dao động điều hòa có tần số vòng 1 tính theo (1-24), và chu kỳ T1 tính theo (1-28) 2π 2π (1-28) T1 = = 2 2 ω1 ω − α song biên độ dao động giảm dần theo luật hàm số mũ âm : Ae - t. Để nghiên cứu độ tắt dần của dao động, ta xét tỷ số giửa hai biên độ dao động liền kề nhau (cách nhau một chu kỳ T1). Ký hiệu biên độ đạt được tại thời điểm t nào đó là An, còn tại thời điểm ( t + T1) là A n+1, thì từ (1-26) ta có: − t − t A Ae sin ( t +  ) e T n = 1 = = e 1 = hằng số − (t+T1 ) − (t+T1 ) An+1 Ae sin1(t +T1 )+   e A n Suy ra, T1 = ln ( ) =  (1-29) A n+1 34 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Như vậy, tỷ số giửa hai biên độ liền kề nhau là một hằng số; Còn logarit tự nhiên của tỷ số này, ký hiệu là , là một đại lượng phụ thuộc vào hệ số cản α và đương nhiên là cả ω1 của hệ, dùng để đánh giá độ tắt dần của dao động , người ta gọi là hệ số cản logarit, hay là Dekremen logrit của dao động tự do có cản bé Hệ số cản logarit  đóng vai trò quan trọng trong thực tế. Nó giúp xác định hệ số cản nhờ thí nghiệm đo biên độ dao động An và A n+1. Sau đây là một số kết quả thí nghiệm tìm được cho một số loại kết cấu xây dựng. 35 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 1, Đối với các kết cấu thép T1 = (0,016  0,08)2 0,1  0,15 2, Đối với kết cấu gỗ T1 = (0,005  0,022)2 0,03  0,15 3, Đối với các kết cấu bê tông cốt thép T1 = (0,016  0,032)2 0,08  0,2 3, Đối với các kết cấu bê tông cốt thép T1 = (0,016  0,032)2 0,08  0,2 4, Đối với cầu thép T1 = (0,01  0,15 ); trung bình 0,28 5, Với cầu bê tông cốt thép: T1 = 0,31 6, Với dầm bê tông cốt thép: T1 = (0,17  0,39 ); trung bình 0,28 7, Với khung bê tông cốt thép: T1 = (0,08  0,16 ); trung bình 0,12 36 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO So sánh hai phương trình dao động tự do không cản (1-18) và có cản bé (1-26) ta thấy, tần số riêng khi có cản bé 1 T; Có nghĩa là, khi có cản bé, dao động chậm hơn so với không có lực cản. Tuy nhiên, sự sai khác này cũng rất nhỏ. Do đó trong xây dựng, do chủ yếu là cản bé, người ta thường coi gần đúng 1 , và T1 T trong tính toán Xét một trường hợp dao động tắt khá nhanh Ví dụ, A n / A n+1 = 0,5. Khi đó  = ln(A n/A n+1) = ln0,5 = 0,693. suy ra, = 0,693 / T1 = 0,6931 / 2 = 0,111 hay ω2 −α2 2 2 1 = = ω −(0,11ω1 ) = 0,994 . 37 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Trở lại trường hợp lực cản trung bình (cản giới hạn) 2 = 2. Lúc này, 2π A n  = T = . = 2 ; Do đó: = e T = e 2 = 529. ω A n+1 Nghĩa là biên độ dao động sau một chu kỳ đã giảm đi 529 lần, hay nói cách khác, khi hệ chịu lực cản trung bình, hệ gần như không dao động mà chỉ chuyển động tiệm cận dần tới vị trí cân bằng ban đầu. Điều này nhất quán với kết luận đã được đề cập tới ở mục a. 38 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 1.4 DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC CHỊU LỰC KÍCH THÍCH ĐIỀU HOÀ P(t)=P0sinrt - HỆ SỐ ĐỘNG Phương trình vi phân dao động tổng quát trong trường hợp này, theo (1-12) sẽ là: My() t+ Cy () t + Ky () t = P0 sinrt (1-30) 2 P0 Hay là y( t )+ 2  y ( t ) + y ( t ) = sinrt (1-30)’ M Trong đó, P0 và r làn lượt là biên độ và tần số của lực kích thích; và  như đã ký hiệu trước đây. Đây là PTVP bậc hai tuyến tính chuẩn có vế phải là một hàm điều hòa. Nghiệm tổng quát của (1-30)’ bằng nghiệm tổng quát của PTVP thuần nhất ký hiệu là y0(t), cộng với một nghiệm riêng ký hiệu là y1(t). y(t) = y0(t) + y1(t) (a) 39 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 1.4.1 Xét trường hợp lực cản bé: Nghiệm y0(t) tính theo (1-26), còn nghiệm riêng y1(t) có thể xác định bằng nhiều cách, ví dụ phương pháp biến thiên hằng số Lagrange.Song thuận tiện hơn, ở đây ta giải bằng phương pháp nửa ngược như sau Giả thiết nghiệm riêng dưới dạng tổng quát sau y1(t) = A1sinrt + A2cosrt Hay là y1(t) = A0 sin(rt - ) (1-31) Trong đó r là tần số lực kích thích đã biết, còn A0 và là biên độ và góc lệch pha chưa biết. Rõ ràng là nếu ta tìm được một A0, và một để (1-31) thỏa mãn phương trình (1-30), thì (1-31) là một nghiệm riêng của (1-30). Thật vậy, thay y1(t) và các đạo hàm của nó 40 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Nghiệm y0(t) tính theo (1-26), còn nghiệm riêng y1(t) có thể xác định bằng nhiều cách, ví dụ phương pháp biến thiên hằng số Lagrange.Song thuận tiện hơn, ở đây ta giải bằng phương pháp nửa ngược như sau 2 y10( t )= rA c os(rt- ) và y10( t )= − r A sin( rt − ) (b) vào phương trình (1-30) ta được, 22 P0 −r A0sin( rt − ) + 2 rA 0 c os(rt- )+  A 0 sin( rt − ) = sinrt (c) M Khai triển sin(rt- ) và cos(rt- ), rồi nhóm các số hạng có chứa sinrt và cosrt ta được: P 2 20 2 2 sinrt -rA0 c os +2 rA 0 sin +  A 0 c os - + c osrt r A 0 sin + 2 rA 0 c os -  A 0 sin = 0 M 41 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Biểu thức (d) phải bằng không với mọi t tùy ý; Muốn vậy, các biểu thức hệ số của sinrt và cosrt phải bằng không. Từ đó suy ra: P A = 0 0 M(ω2 − r2 )cos + 2r sin  (1-32) 2rα (1-32)’ tgφ = ω2 − r 2 Thay (1-32) và (1-32)’ vào (1-31) ta có nghiệm riêng y1(t); Rồi lại thay (1-26) và (1-31) vào (a) ta được nghiệm tổng quát của PTVP dao động (1-30) là: y( t )= A sin(10 t +  ) + A sin( rt − ) (1-33) Trong đó: A,  tính theo (1-27) chứa các điều kiện đầu y0 và 0. A0, tính theo (1-32) chứa biên độ P0 và tần số r của lực kích thích điều hòa. 42 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Phân tích (1-33) ta thấy: Số hạng thứ nhất liên quan tới dao động tự do của hệ. Trong thực tế luôn luôn tồn tại lực cản. Nhưng cho dù lực cản là bé, thì phần dao động tự do này, sớm hay muộn, cũng sẽ mất đi sau một khoảng thời gian nào đó. Dao động của hệ lúc này được coi là đã ổn định, và được biểu diễn bằng số hạng thứ hai trong (1-33) y( t )= y10 ( t ) = A sin( rt − ) (1-34) Như vậy, dao động cưỡng bức - lực cản bé - của hệ một bậc tự do chịu lực kích thích điều hòa P0 sin rt, khi đã ổn định, là một dao động điều hòa có cùng tần số và chu kỳ với tần số và chu kỳ của lực kích thích, còn biên độ A0 và góc pha φ được tính theo (1-32). 43 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Biên độ dao động A0 cũng thường được biểu diễn ở dạng khác tiện lợi hơn như sau: Từ (1-32)’ ta có, 2αr = [(ω2 – r2)sinφ]/ cosφ, rồi thay vào (1-32) được: 2 2 A0 = P0 cosφ / M(ω -r ) (f ) 1 Thay φ tính theo (1-32)’ vào (f ) với chú ý: M = δω2 1 và Cos(artgφ) = (g) 1+ 2 P0 1 P0 A = 2 2 2 = Ta được, 0 M(ω − r ) 2 2 2 2 2rα 2 2 (ω − r ) + (2rα) 1+ 2 2 M(ω − r ) 2 ω − r (ω2 − r 2 ) P δP 0 = 0 hay A0 = 2 2 M (ω2 − r 2 ) + 4r 2α2 r 2 4r 2α2 1− + 2 4 ω ω 44 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO ()P0 Ký hiệu:  . Py 0 = t là chuyển vị tĩnh tại nơi đặt khối lượng do lực có trị số bằng biên độ lực động P0 đặt tĩnh tại đó gây ra, và 1 Kđ = 2 (1-35) r 2 4r 2α2 1− + 2 4 ω ω Thì ta được ()P0 (1-32)’’ A0 = yt . K Điều này có nghĩa là, khi hệ chịu tác dụng của tải trọng động điều hòa P0sinrt, thì biên độ chuyển vị động A0 lớn gấp Kđ lần so với chuyển vị khi P0 đặt tĩnh gây ra. Kđ được gọi là hệ số động. 45 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 1.4.2 Xét trường hợp khi không có lực cản Hệ số động trong trường hợp này có dạng đơn giản hơn (cho α = 0 trong công thức 1-35) 1 Kđ = (1-36) r 2 1− 2 ω Kết quả này cũng có thể tìm được nhờ giải trực tiếp PTVP dao động cưỡng bức không có lực cản. Sinh viên có thể tự thực hiện điều này. 46 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 1.4.3 Phân tích hệ số động – Hiện tượng cộng hưởng Nhìn vào công thức (1-35) và (1-36) ta thấy, hệ số động phụ thuộc vào tỷ số r/ω. a) Xét trường hợp không có lực cản: Đồ thị quan hệ giữa hệ số động và tỷ số r/ω vẽ được như trên hình (1.12a) với chú ý là hệ số động chỉ lấy giá trị dương r Ta thấy rằng, Khi tỷ số → 0 thì K → 1 ω đ → ∞ thì Kđ → 0 → 1 thì Kđ → ∞ 47 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Khi r<ω, Kđ dương, nghĩa là dao động của khối lượng và lực kích thích cùng pha. Khi r ≈ ω, Kđ tăng lên rất lớn, biên độ dao động tăng rất nhanh. Hiện tượng này được gọi là hiện tượng cộng hưởng. Trong thực tế, khi tỷ số r/ω nằm trong khoảng từ 0,75 đến 1,25 , Kđ đã rất lớn. Vùng như vậy được gọi là vùng cộng hưởng ( vùng gạch chéo trên hình 1.12). 48 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Kđ Kđ γ=0 3 4 0,2 3 2 0,5 0,3 2 1 0,6 0,4 1 γ=1 0 0 0,5 0,75 1 1,2 1,5 1,7 0,5 1 1,5 2 5 5 a) Không lực cản b) Lực cản bé r Hình 1.12: Quan hệ giữa K và đ  49 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO b) Xét trường hợp lực cản bé: Trong trường hợp này, Kđ không những phụ thuộc tỷ số r/ω, mà còn phụ thuộc vào hệ số cản α. Trên hình 1.12b cho ta các đường cong quan hệ này ứng với các hệ số cản khác nhau, và thấy rằng: b1- Hệ số cản càng lớn thì Kđ càng nhỏ; Thậm chí khi K C ≥2 KM , cũng tức là α ≥ (1-37) 2M hệ số Kđ luôn luôn nhỏ hơn một. Trường hợp riêng khi hệ số cản lấy dấu bằng trong công thức (1-37) được gọi là hệ số cản lý tưởng; và có ý nghĩa quan trọng khi chế tạo các thiết bị đo dao động. 50 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO b2- Khác với trường hợp không cản, khi có lực cản, hệ số động có giá trị lớn nhất không phải khi r/ω bằng một, mà khi tỷ số này nhỏ hơn một. Thật vậy, khảo sát biểu thức Kđ theo tỷ số r/ω, từ (1-35) hay (1- 35)’ ta có Kđ đạt cực trị khi : dK r α2 c2 đ = 0 suy ra = 1 − 2 = 1 − < 1 (1-37)’ r  ω2 2M2ω2 d ω Tuy nhiên sự sai khác này là nhỏ, nên thực tế vẫn coi gần đúng Kđ đạt giá trị lớn nhất khi r/ω ≈ 1 51 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 1.5 HỆ MỘT BẬC TỰ DO CHỊU TẢI TRỌNG KÍCH ĐỘNG – HÀM ĐỘNG LỰC VÀ TÍCH PHÂN DUHAMEL Ký hiệu P0 là giá trị lớn nhất mà tải trọng đạt được, f(t) là hàm biểu diễn luật biến đổi của tải trọng theo thời gian, còn gọi là hàm chất tải. Khi đó có thể biểu diễn tải trọng kích động dưới dạng tổng quát như sau (hình 1.13). P(t) P(t) = P0f(t) P0 f(t) PTVP dao động tổng quát có dạng: (1-39) My()()() t+= Ky t P0 f t t 2 P0 0 hay y()()() t+= y t f t (1-39)’ M Hình 1.13: Tải trọng kích độngđộng 52 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Có thể giải phương trình này bằng nhiều cách. Ở đây ta giải theo cách hạ dần bậc đạo hàm bằng các phép biến đổi tương đương như sau Trước hết nhân hai vế của (1-39)’ với sinωt, cộng và trừ vào vế trái hàm y( t ) c os( t) ta được: 2 P0 ( ytycsin+  os  t) +( y  sin  tyc −  os  t) = ftt ( )sin  M dd P Hay ( ysin t) +( − y  c os  t) = 0 f ( t )sin  t (a) dt dt M Tích phân hai vế của (a) theo cận từ t0 tới t ta được: t ttP ( ysin) −=( y  c os ) 0 f (  )sin( ) d  (b) tt00 M t0 Trong đó  là một thời điểm nào đó trong khoảng từ t0 tới t (do cận tích phân là t nên biến tích phân phải là ) 53 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Sử dụng điều kiện đầu yy() = 0 , yv() = 0  =t0  =t0 thì phương trình (b) trở thành: t P ysin t− v sin  t − y  c os  t+y  c os  t = 0 f (  )sin(  ) d  0 0 0 0 M t0 Tiếp theo, ta lại thực hiện các phép tính theo đúng thứ tự như trên nhưng nhân hai vế của (1-39)’ với cosωt; Sau cộng và trừ vào vế trái hàm , rồi tích phân hai vế với cận từ t0 tới t, và sử dụng điều kiện đầu (c); Ta lại được một biểu thức có dạng tương tự (1-40) t P ycos t− v c os  t + y  sin  t-y  sin  t = 0 f (  ) c os(  ) d  (1-40)’ 0 0 0 0 M t0 54 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Bây giờ ta lại nhân hai vế của (1-40) với cosωt, và với (1-40)’ là sinωt; rồi trừ hai phương trình cho nhau, với chú ý các quan hệ lượng giác: sin(a-b) = sina cosb - cosa sinb (d) Ta được cos(a-b) = cosa cosb + sina sinb t P −y( t ) + v sin  ( t − t ) +  y c os  (t-t ) = −0 f (  )sin  ( t −  ) d  0 0 0 0 t M Suy ra 0 t vP00 y( t )= sin ( t − t0 ) + y 0 c os  (t-t 0 ) + f (  )sin  ( t −  ) d  M Hay t0 v t 0 P0 (1-41) y( t )= y0 c os (t-t 0 ) + sin  ( t − t 0 ) + yt  f (  )sin  ( t −  ) d   t0 ()P0 Trong đó, yPt =  0 là chuyển vị tĩnh của khối lượng do lực có trị số bằng P0 đặt tĩnh gây ra. 55 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO (1-41) là nghiệm tổng quát của PTVP (1-39), có chứa tích phân t K( t )=− f (  )sin  ( t  ) d  (1-42) t0 Được gọi là tích phân Duhamel. Nếu điều kiện đầu y0 =0, và v0 =0; thì phương trình chuyển động chỉ còn lại số hạng thứ ba trong (1-41). ()P0 y()() t= yt K t (1-43) Chú ý: Lời giải (1-41), hay (1-43) là lời giải tổng quát không những cho trường hợp tải trọng kích động như trình bày ở trên, mà cho tải trọng động bất kỳ có thể biểu diễn được ở dạng (1-38). 56 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Hàm K(t) đóng vai trò ảnh hưởng của tác dụng động, nó là hàm của thời gian, được gọi là hàm nhân tố động hay là hàm động lực. Giá trị lớn nhất của K(t) chính là hệ số động. Trong thực tế tính toán, ta cần xác định giá trị lớn nhất này. Sau đây ta xét một số dạng tải trọng kích động thường gặp, với giả thiết ban đầu hệ ở trạng thái tĩnh, nghĩa là y0 = 0, và v0 = 0. Lúc này phương trình chuyển động của hệ là (1-43). 57 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 1) Lực không đổi tác động đột ngột vào khối lượng. Đồ thị hàm chất tải như trên hình 1.14a; Lúc này có: P = P0 f(t) = 1 (t ≥ 0) t (a) Nên, 0 K(t) = ω sinω(t-) d = 1 – cosωt (b) Đồ thị hàm K(t) này như trên hình 1.14b, và ta có Kđ = max K(t) = 2 58 powerpoint.vn
t1 2 CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 2- Tải trọng kích động dạng chữ nhật (như trên hình 1.15a) ♦ Khi 0 ≤ t ≤ t1, có P = P0, và f(t) = 1; nên theo (b) ta có: K(t) = 1 – cosωt (c1) ♦ Khi t1 ≤ t , có P = 0 , và f(t) = 0; nên theo (1-42) ta có: ωt K(t) =2sin( 1 ) sinω(t- ) (c2) 2 Trong đó t1 là thời gian chất tải. k(t) max k(t) P(t) 2 2 P 1 1 t t 0 0 0 t1 t1 4t1 5t1 0,2 0,4 0,6 0,8 a) b) c) Quan hệ giữa Kđ với Dạng chất tải Biến đổi của K(t) ứng với các t1 khác nhau Hình 1.15 59 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Trong trường hợp này, sự biến đổi của hàm động lực , cũng như giá trị lớn nhất của nó (Kđ) phụ thuộc t1. Sự biến đổi của K(t) theo thời gian, ứng với các t1 khác nhau, được thể hiện trên hình 1-15b; Còn quan hệ giữa maxK(t) = Kđ với tỷ số được thể hiện trên hình 1.15c. Rõ ràng là, khi t1 càng lớn, trường hợp này sẽ trở về trường hợp (1). T Và trong thực tế, khi t ≥ là đã có thể coi như trường hợp (1) – 1 2 xem hình 1.5c; Lúc này Kđ ≈ 2. Còn t1 càng lớn thì tần số càng lớn. Ở đây, T là chu kỳ dao động tự do. 60 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 3- Tải trọng tăng tuyến tính rồi sau đó không đổi (như trên hình 1.16a.) t ♦ Khi 0 ≤ t ≤ t1, có P = P0( ); Còn f(t) = ; t1 Thay vào (1-42) ta được hàm động lực trong trường hợp này là: sin t T K(t) = - = – ( )sinωt (d1) t1 2 t1 ♦ Khi t1 ≤ t, có P = P0; Còn f(t) = 1; Nên trong trường hợp này K(t) = 1 + ( )[sinω(t-t1) – sinωt] (d2) 2π Trong đó, T= là chu kỳ dao động tự do. ω 61 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Đồ thị biến đổi của K(t) theo thời gian, ứng với các t1 khác nhau, như t trên hình 1.16b; Còn quan hệ giữa maxK(t) = K với tỷ số 1 như trên đ T hình 1.16c. Ta thấy, khi t1 càng nhỏ (t1→ 0) , nó tiến dần tới trường hợp (1): Kđ → 2. k(t) max k(t) P(t) 2 2 P 1 1 t t 0 0 0 t1 t1 2t1 3t1 4t1 1 2 3 4 a) b) c) Hình 1.16 62 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 4 - Tải trọng kích động dạng tam giác (như trên hình 1.17a.) 63 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Sự biến đổi của K(t) ứng với các t1 khác nhau như trên hình 1.7b; Còn t quan hệ giửa maxK(t) = K với 1 như trên hình 1.17c. Và ta thấy K đ T đ luôn luôn nhỏ hơn hai. k(t) max k(t) P(t) 2 2 P 1 1 t t 0 0 0 t1 1 2 3 4 t1 2t 3t 4t a) b) 1 1 1 c) Hình 1.17 64 powerpoint.vn
CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO Một số nhận xét quan trọng. a, Khi chịu tác dụng của tải trọng kích động, hệ số động có giá trị nhỏ hơn , hoặc bằng hai. b, Khi thời gian chất tải kích động t1 là nhỏ so với chu kỳ dao động riêng, ta có thể giải gần đúng bài toán với giả thiết: khối lượng chỉ bắt đầu chuyển động sau thời gian t1. Như vậy, dựa vào nguyên lý động lượng ta có: t J J== P() t dt Mv v = 0 Suy ra 0 0 M Nghĩa là, có thể thay bài toán hệ chịu tải kích động có t1 nhỏ, bằng bài toán hệ chuyển động có vận tốc ban đầu v0 giải đơn giản hơn nhiều. Lời giải loại bài toán này có thể tìm thấy trong các tài liệu. 65 powerpoint.vn
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO powerpoint.vn
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO 2.1 KHÁI NIỆM BAN ĐẦU Như đã trình bày ở chương 1; hệ một BTD được đặc trưng bằng một dạng dao động riêng với tần số ω. Tương tự như vậy, dao động tự do của hệ nhiều bậc tự do cũng được đặc trưng bằng các tần số dao động riêng, và ứng với mỗi tần số riêng hệ có một dạng dao động riêng tương ứng. Hay nói cách khác như sau này sẽ chứng minh, hệ có bao nhiêu bậc tự do sẽ có bấy nhiêu tần số dao động riêng, và trong các điều kiện nhất định, ta có thể làm cho tất cả các khối lượng – tại một thời điểm nào đó- chỉ thực hiện dao động tương ứng với một tần số nào đó trong số các tần số riêng. Những dạng dao động như vậy được gọi là những dạng dao động riêng chính, hay dạng dao động chuẩn. Tất nhiên dao động tự do của hệ là tổng hợp của tất cả các dạng dao động riêng này. 67 powerpoint.vn
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO 2.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG NGANG TỔNG QUÁT CỦA HỆ CÓ n BẬC TỰ DO Xét hệ có n BTD, n khối lượng tập trung M1,M2, ,Mn, như trên hình 2.1(bỏ qua khối lượng kết cấu). Hệ dao động dưới tác dụng của hệ lực động P1(t), P2(t), ,Pn(t), trong trường hợp tổng quát, giả thiết đặt tại tất cả các khối lượng, và có phương theo phương chuyển động. Trường hợp có các tải trọng không đặt tại khối lượng, thì ta phải chuyển tương đương về đặt tại khối lượng P1(t P2(t Pn(t ) ) ) z M1 M2 Mn Hình 2.1 y yn(t) y1(t y2(t) 68) powerpoint.vn
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Khi dao động, tại mỗi khối lượng đều chịu tác dụng của các ngoại lực như sau, ▪ Ngọai lực động (nếu có) Pk(t); ▪ Lực quán tính Zk(t) = - Mkÿk(t) ▪ Lực cản Rk(t) Ở đây, k là khối lượng thứ k;( k = 1, 2, ,n); Còn lực đàn hồi Rđh(t) không phải là ngoại lực. Hợp của các ngoại lực này , ký hiệu là Fk(t), thì: Fk()()()() t= Z k t + R k t + P k t (a) Giả sử tại thời điểm t đang xét, khối lượng thứ k chuyển động hướng xuống cùng chiều với lực P(t), thì như đã phân tích ở mục 1.2, biểu thức (a) có dạng: (b) Fk()()()() t= − M k y k t − R k t + P k t 69 powerpoint.vn
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Dưới tác động của hệ lực này, dầm sẽ thực hiện dao động . PTVP dao động ngang tổng quát của hệ cũng có thể thiết lập được từ điều kiện cân bằng động viết tại từng khối lượng. Rđhk(t) – Fk(t) = 0 (c) ( k = 1, 2, ,n) Song trong trường hợp này, sử dụng biểu thức chuyển vị tỏ ra thuận tiện hơn. Chuyển vị của các khối lượng tại thời điểm nào đó, giả sử xét khối lượng thứ k, yk(t) = δk1 F1(t) + δk2 F2(t) + + δkn Fn(t) (d) 70 powerpoint.vn
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Cho k biến thiên từ ( k = 1, 2, , n); ta được hệ n PTVP chuyển động của n khối lượng tại thời điểm t là: y1() t= 11 F 1 () t +  12 F 2 () t + +  1nn F () t y2() t= 21 F 1 () t +  22 F 2 () t + +  2nn F () t (f) yn() t= n1 F 1 () t +  n 2 F 2 () t + +  nn F n () t Hay ở dạng ma trận, y1( t )   11  12  1n F 1 ( t )  y( t )    F ( t ) 2 21 22 2n 2 =  (f’) yn( t )   n12  n  nn F n ( t )  Trong đó, δkj, (k, j = 1,2, ,n) là chuyển vị đơn vị tại khối lượng thứ k do lực bằng đơn vị đặt tại khối lượng thứ j gây ra. 71 powerpoint.vn
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Ký hiệu các ma trận và các véc tơ như sau: 11  12  1n M1 CCC11 12 1n    M CCC N = 21 22 2n M  = 2 C = 21 22 2n ; ; (2-1) n12  n  nn M n CCCn12 n nn y1()()()() t  y 1 t  y 1 t  P 1 t  y2()()()() t y 2 t y 2 t P 2 t y();();();() t =  y t =  y t =  P t  =  ( 2-2) yn()()()() t  y n t  y n t  P n t  Trong đó, ▪ [N] là ma trận đối xứng, và được gọi là ma trận độ mềm của hệ, gồm có các phần tử là các chuyển vị đơn vị tại nơi đặt các khối lượng , theo phương chuyển động. ▪ [M] là ma trận khối lượng , là ma trận đường chéo. Các phần tử trên đường chéo chính lần lượt là các khối lượng tập trung đặt trên hệ. ▪ [C] là ma trận cản. Việc xác định các phần tử của [C] khá phức tạp 72
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Trong tính toán thực tế, người ta thường coi gần đúng [C] tỷ lệ với ma trận cứng [K]. y();();() t y t y t , lần lượt là véc tơ chuyển vị, véc tơ vận tốc, và véc tơ gia tốc chuyển động của hệ, mà các phần tử của nó, lần lượt là chuyển vị, vận tốc, và gia tốc chuyển động của các khối lượng {P(t)} là véc tơ ngoại lực động, có các phần tử là các ngoại lực động tác dụng tại các khối lượng T Còn Rtcn( ) == RtRt12 ( ) ( ) Rt ( )  Cyt ( ) (2-3) là véc tơ lực cản nhớt tuyến tính (tỷ lệ bậc một với vận tốc ). Thay (b) kết hợp với (2-3) vào (f)’ và chuyển vế, ta được: (f)’’ NMyt  ()()()()+ NCyt   + Eyt  =  NPt Ở đây, [E] là ma trận đơn vị cấp n. 73
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO k11 k 12 k 1n k k k Nhân bên trái (f)’’ với KN == −1 21 22 2n (2-4) kn12 k n k nn ta được PTVP dao động ngang tổng quát của hệ có n BTD , cản nhớt tuyến tính,dưới dạng ma trận như sau: Myt ()()()()+ Cyt  + Kyt  = Pt  (2-5) Ma trận [K] đối xứng, và được gọi là ma trận độ cứng của hệ. y();();() t y t y t  là các véc tơ hàm 74
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO 2.3 DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA HỆ CÓ n BẬC TỰ DO –PHƯƠNG TRÌNH TẦN SỐ 2.3.1 Tần số và phương trình tần số Khi nghiên cứu dao động hệ một bậc tự do ta thấy rằng, khi lực cản bé, tần số riêng ω1 ≈ ω; Bởi vậy, đối với hệ nhiều bậc tự do, khi nghiên cứu dao động tự do, ta quan tâm chủ yếu tới trường hợp giả thiết không có lực cản. Phương trình vi phân dao động tự do lúc này có dạng đơn giản: M y( t )+= K y ( t ) 0 (2-6) 75
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Giả thiết dao động tự do là điều hòa, nên phương trình dao động tự do không lực cản của khối lượng thứ k, cũng như (1-18), có dạng: ykk( t )=+ A sin( t ) (2-7) 2 và gia tốc ykk( t )= − A sin(  t +  ) (2-8) Trong đó, Ak là biên độ dao động của khối lượng thứ k, ω và λ là tần số và góc lệch pha của dao động. Thay (2-8) và (2-7) vào (2-6), rồi khai triển với (k = 1, 2, ,n); và đặt sin(ωt+λ) làm thừa số chung, ta được: (M −2 A + K A)sin(  t +  ) = 0 Do phải tồn tại dao động, sin(ωt+λ) ≠ 0; 76
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO nên, (KAMAKMA  − 22 ) =(  −  )  = 0 (2-9) T Trong đó, {A} = {A1, A2, ,An} là véc tơ cột chứa các biên độ dao động của các khối lượng thứ nhất, thứ hai, , thứ n, và được gọi là véc tơ biên độ dao động tự do của hệ. Do phải tồn tại dao động, nghĩa là {A} ≠ {0}. Từ đó suy ra định thức DKM=  −  2 = 0 (2-10) Hay ở dạng khai triển: 2 (k11− M 1 ) k 12 k 1n 2 k21( k 22− M 2 ) k 2n D ==0 (2-10)’ 2 kn12 k n ( k nn− M n ) 77
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Phương trình tần số (2-10) cũng có thể biểu diễn qua ma trận độ mềm. Muốn vậy, ta nhân bên trái hai vế của (2-9) với [N]( ) được:  11 2  22 NKNMA −=     0    1 Hay  2 ENMA−=    0 (2-9)’   1 Ở đây, [E] là ma trận đơn vị cấp n, và ký hiệu: u = (2-11)’’  2 Thì từ (2-9)’ ta suy ra phương trình tần số biểu diễn qua ma trận độ mềm: D= u E − N M  = 0 Hay D= N M − u E = 0 (2-11) 78
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO hay ở dạng khai triển: (M1 11− u) M 2  12 M nn  1 M( M − u) M  D ==1 21 2 22nn 2 0 (2-11’ M1n 1 M 2  n 2 ( M n  nn − u) Như vậy, phương trình tần số có thể biểu diễn qua ma trận cứng hoặc qua ma trận mềm. Tuy nhiên trong thực tế, người ta hay dùng ma trận mềm hơn, vì các phần tử của nó được xác định dễ dàng hơn nhờ công thức tính chuyển vị Maxwell- Mohr quen thuộc. 79
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO VÍ DỤ 2.1 Xác định các tần số dao động riêng của dầm cho trên hình 2-2a. Biết dầm có E J = hằng số, M1 =M2 =M, khi tính bỏ qua khối lượng dầm. 80
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Bài giải Bài toán này có hai BTD, nên phương trình tần số là định thức cấp hai sau: (δ M − u) δ M 11 1 12 2 = 0 (a) δ21M1 (δ22M2 − u) Dầm đã cho là siêu tĩnh, công thức Maxwell- Mohr để tính chuyển vị là (Xem giáo trình cơ học kết cấu) 0 0 (b) δik = (Mi )(Mk )= (Mi )(Mk ) Ở đây, biểu đồ mô men đơn vị có thêm chỉ số ‘0’ là trên hệ tĩnh định (ứng với trạng thái giả tạo). 81
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Các biểu đồ mô men đơn vị vẽ được như trên hình 2-2b,c,d,e; Thực hiện nhân các biểu đồ ta có: 23ll33− 3 =  =;  =  = (c) 11 221536EJ 12 21 512 EJ Thay (c) vào (a) và giải phương trình bậc Ml 3 hai này đối với u ta được: u1 = 48EJ 1 48EJ EJ suy ra 1 = =33 = 6,9282 u1 Ml Ml 7Ml 3 và u = 2 768EJ suy ra 1 109,72EJ EJ 2 = =33 =10,4745 u2 Ml Ml 82
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Dạng dao động ứng với ω1 có dạng phản đối xứng (px) như trên hình 2-2f; còn ứng với ω2 là dạng dao động đối xứng (đx) như trên hình 2-2g. 83
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO 2.2.3 Dạng dao động riêng và tính chất trực giao của các dạng dao động riêng. A. Dạng dao động riêng Nếu ta thay lần lượt các tần số dao động riêng ω1, ω2, , ω nvào phương trình (2-9), sẽ xác định được n véc tơ tỷ số biên độ dao động ký hiệu là{a1}, {a2}, ,{an} ứng với từng tần số riêng. Ví dụ, ứng với tần số riêng thứ i ta có véc tơ biên độ dao động {ai} có các phần tử ký hiệu là (a1i, a2i, aki, ani); là biên độ dao động của các khối lượng thứ (1, 2, ,k, ,n) ứng với tần số riêng ωi: T ai = a12 i a i a ki a ni (2-12) Các aki (k = 1, 2, , n) là nghiệm của phương trình (2-9)’’ sau đây, 2 ([K]-[M]ωi ){ai} = {0} (2-9)’’ 84
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Cần chú ý rằng, ở đây ta chỉ xác định được dạng của các dao động riêng, hay nói cách khác, chỉ xác định được tỷ số (quan hệ) giữa các biên độ dao động của các khối lượng ứng với một tần số cụ thể. Sở dĩ như vậy là vì, (2-9)’’ là phương trình đại số tuyến tính thuần nhất, sẽ có vô số nghiệm. Muốn xác định một hệ nghiệm nào đó, ta phải giả thiết trước một biến aki nào đó làm biến cơ sở; Sau đó sẽ giải nốt (n-1) biến còn lại qua biến cơ sở aki này. Rõ ràng, khi cho biến cơ sở các trị khác nhau ta sẽ được các véc tơ {ai} khác nhau. Tuy vậy, tỷ số giửa các phần tử trong véc tơ này với biến cơ sở chọn trước luôn không đổi. Nếu chọn ẩn cơ sở ban đầu aki = 1, thì các tỷ số này chính là các phần tử trong véc tơ (2-12). Trong thực tế, người ta thường chọn ẩn cơ sở ban đầu là a1i = 1, khi đó véc tơ biên độ dao động ứng với tần số T (2-12)’ riêng ωi sẽ là: ai == ( a12 i1) a i a ki a ni  aki (k = 2, 3, n) là nghiệm của phương trình (2-9)’’ ứng với a1i =1 85
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Các phần tử của véc tơ biên độ (2-12)’ cho ta dạng dao động của hệ ứng với tần số riêng thứ i được gọi là dạng dao động riêng thứ i (hay dạng dao động chính thứ i). Như vậy, hệ có bao nhiêu bậc tự do sẽ có bấy nhiêu dạng dao động riêng. Nếu ta đặt tất cả các véc tơ biểu diễn các dạng dao động riêng vào trong một ma trận vuông, ký hiệu là [A], thì [A] được gọi là ma trận các dạng dao động riêng của hệ. (a11 =1) ( a 12 = 1) ( a 1n = 1) a a a A == a a a  21 22 2n (2-13) 12 n an12 a n a nn 86
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO B - Tính chất trực giao giữa các dạng dao động riêng Các dạng dao động riêng của hệ nhiều bậc tự do có tính chất trực giao. Thật vậy, xét hai dạng dao động thứ i và thứ k. Thay ωi và ωk vào (2-9) rồi chuyển vế, ta có: 2 (a) Với ωi có: K ai =  M i a i K a= M2 a Với ωk có:   k   k k  (b) Chuyển trí (a) và chú ý rằng, [M]T = [M]; [K]T = [K] thì (a) trở thành, aT K=  2 a M i   i i  (c) T Nhân bên phải véc tơ {ak} vào(c), nhân bên trái véc tơ {ai} vào (b) ta được: TT2 ai  K a k =  i a i  M a k  (c)’ TT2 ai  K a k =  k a i  M a k  (b)’ 87
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO 22 T Trừ hai phương trình cho nhau: (c )'− ( b )' =(i − k) a i  M a k  = 0 T Vì ωi ≠ ωk, ta suy ra: aik  M a  = 0 (2-14) Về mặt toán học, (2-14) là điều kiện trực giao của hai véc tơ {ai} và {ak}, cũng tức là của hai dạng dao động riêng thứ i và thứ k. Đây là điều phải chứng minh. Thực hiện phép nhân ma trận, điều kiện (2-14) có thể viết ở dạng khai triển như sau Ma11 k  Ma 22 k aa1ii 2 a ni = aMaaMa 1 ikik 1 1 + 2 2 2 + + aMa ninnk = Man nk  n ==aji M j a jk 0 (2-14)’ j=1 88
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO C- Chuẩn hóa các dạng dao động riêng Nếu ta thay véc tơ dạng dao động riêng thứ i, {ai} bằng véc tơ {bi} thỏa mãn điều kiện T {bi} [M] {bi} = 1 (2-15) thì véc tơ {bi} được gọi là véc tơ biểu diễn dạng dao động riêng thứ i đã được chuẩn hóa, hay gọi ngắn gọn là véc tơ chuẩn hóa dạng dao động riêng thứ i. Nếu đặt các véc tơ {bi} vào trong một ma trận vuông, ký hiệu là [B], b11 b 12 b 1n b b b B == b b b  21 22 2n (2-13)’ 12 n bn12 b n b nn thì [B] được gọi là ma trận chuẩn hóa các dạng dao động riêng của hệ. 89
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Lúc này theo (2-15) ta có: BMBET    =   (2-15)’ Trong đó [E] là ma trận đơn vị cấp n Sử dụng dạng chuẩn hóa của các dạng dao động riêng kết hợp với hệ tọa độ chính sẽ cho phép ta chuyển việc giải bài toán có n BTD về giải n bài toán có một BTD đơn giản hơn nhiều đã được trình bày chi tiết trong chương 1. Thật vậy, để xác định {bi}, ta đặt 1 baii =  (2-16) di Trong đó di là một hệ số. 2 T Thay (2-16) vào (2-15) ta rút ra: di= a i  M a i  (2-16)’ 90
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Ký hiệu ma trận 2 1  2 = 2 (2-17) 2 n được gọi là ma trận các tần số dao động riêng, hay ma trận tần số. Thay (2-16) vào ma trận [A] (2-13), rồi thay vào (2-9) ta được: KBMB  =    (a) Nhân bên trái cả hai vế của (a) với [B]T và chú ý tới (2-15)’ ta có: BKBT    =  (2-18) Ký hiệu véc tơ {q(t)} như sau – được gọi là hệ tọa độ chính, y()() t =  B q t  (2-19) 91
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Thay (2-19) vào PTVP dao đông tự do (2-6) ta được, M B q( t )+= K B q ( t ) 0 (b) Nhân bên trái (b) bới [B]T, kết hợp với (2-15)’ và (2-18) ta được: q( t )+  q ( t ) = 0 (2-20) (2-20) là một hệ gồm n phương trình độc lập có dạng sau đây- là dạng PTVP dao động của hệ một BTD không có lực cản(1-14): 2 qi( t )+= i q i ( t ) 0 (2-21) ( i = 1,2, , n) Giải (2-21) (Xem chương 1- hệ một BTD) ta được các nghiệm qi(t), rồi thay vào (2-19) ta được lời giải của bài toán. 92
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO VÍ DỤ 2.2 Xác định các tần số dao động riêng và các dạng dao động tương ứng của dầm conson trên đó có đặt hai khối lượng tập trung như trên hình 2-3a. Dầm có EJ không đổi và bỏ qua khối lượng dầm khi ml tính. Cho M = ( m là cường độ khối lượng phân bố) 4 93
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Bài giải: Hệ có hai BTD. Các chuyển vị đơn vị tính được theo công thức Maxwell- Mohr và cho kết quả như sau: l 3  = 11 24EJ l 3  = (a) 22 3EJ 5l 3  =  = 12 21 48EJ 94
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO 1, Xác định các tần số dao động riêng Cũng như ở ví dụ 2-1, thay (a) vào phương trình tần số (2-11) ta được một phương trình bậc hai đối với u, giải phương rình này ta được (bỏ qua tính toán chi tiết): ml 4 3,156 EJ u = 0,1004 suy ra  = (b) 1 EJ 1 lm2 ml 4 16,258 EJ và u = 0,0043 suy ra  = 2 EJ 2 lm2 95
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO 2, Xác định các dạng dao động riêng Thay lần lượt ω1,ω2 (hay u1,u2) vào hệ phương trình (2-9)’ (là hệ hai phương trình hai ẩn) , rồi giả thiết trước ẩn thứ nhất bằng 1, ta sẽ giải ra ẩn thứ hai là các biên độ chuyển động của khối lượng thứ nhất và thứ hai, các dịch chuyển này cho ta dạng dao động tương ứng.Cụ thể: Dạng dao động thứ nhất: Thay u1 vào phương trình thứ nhất (hoặc thứ hai) của (2-9)’ và cho a11 =1 ta được một phương trình chứa một biến a21 như sau, (M1 11− u 1) ( a 11 =10) + M 2 12 a 21 = Thay M1, M2, δ11, δ12, u1 vào rồi giải ta được, a21 = 3,05472; Véc tơ biên độ dao động cho ta dạng dao động riêng thứ nhất là: TT a1 == a 11 a 21 1,0 3,05472 Dạng dao động này như trên hình 2-3b. 96
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Dạng dao động riêng thứ hai hoàn toàn tương tự, thay u2 vào (2-9)’ rồi cho a12 = 1, ta sẽ giải được a22 = -0,655. Do đó véc tơ biên độ cho ta dạng dao động riêng thứ hai là: TT a2 = a 12 a 22 = 1,0 − 0,65472 Dạng dao động riêng thứ hai như trên hình 2-3c. Ma trận các dạng dao động riêng của bài toán này là: a11 a12 1,0 1,0 [A] = = (c) a 21 a 22 3,05472 − 0,65472 97
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO 3, Chuẩn hóa các dạng dao động riêng Để xác định ma trận chuẩn hóa các dạng dao động riêng [B] ta phải tính các hệ số di. Theo (2-16)’ta có: 2 0 1,0  d 2 = {a }T[M]{a } = {1,0 3,05472} M  = 11,33133M 1 1 1 0 1 3,05472 Suy ra d1 = 3,3662 M 2 0 1,0  d 2 = {1,0 -0,65472} M = 2,42866M, 2 0 1 - 0,65472 suy ra d2 = 1,55842 98
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Thay d1,d2 vào (2-16) sẽ được ma trận chuẩn hóa [B] như sau: 1 1 1,0  0,2971  1 {b1} = {a1} =  =  d1 3,3662 M 3,05472 0,90747 M 1 1 1,0  0,64168  1 {b } = {a } =  =  2 2 -0,65472 -0,42012 d 2 1,55842 M   M Ghép hai véc tơ b1 và b2 , ta được ma trận chuẩn hóa các dạng dao động riêng của hệ: 0,29707 0,641677 1 [B] = (d) 0,90747 − 0,42012 M 99
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO 2.3.3 Phân tích tải trọng theo các dạng dao động riêng Xét hệ có n bậc tự do, n khối lượng M1, M2, , Mn; Trên đó có hệ tải trọng động tác dụng tại các khối lượng lập thành véc tơ tải trọng động như trong (2-2): Pt1() Pt() 2 Pt() =   (a) Ptk () Ptn () Ta sẽ phân tích hệ tải trọng này thành các thành phần đặt tại tất cả các khối lượng tương ứng với các dạng dao động riêng, nghĩa là: 100
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Ta sẽ phân tích hệ tải trọng này thành các thành phần đặt tại tất cả các khối lượng tương ứng với các dạng dao động riêng, nghĩa là: '''' Pt1() P11( t )+ P 12 ( t ) + + P 1in ( t ) + + P 1 ( t ) '''' Pt() P( t )+ P ( t ) + + P ( t ) + + P ( t ) 2 21 22 2in 2 = (b) Pt() '''' k Pk12( t )+ P k ( t ) + + P ki ( t ) + + P kn ( t ) '''' Ptn () Pn12( t )+ P n ( t ) + + P ni ( t ) + + P nn ( t ) hay viết ở dạng véc tơ '''' P( t ) = P12 ( t ) + P ( t ) + + Pin ( t ) + + P ( t ) (2-22) 101
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Trong đó, P’ki(t) là thành phần lực tác dụng tại khối lượng thứ k tương ứng với tần số ωi (dạng chính thứ i). Như vậy theo (2-19), ta đã phân tích véc tơ tải trọng {P(t)} thành tổng của n véc tơ tải trọng tương ứng với n dạng dao động riêng . ''''' T Véc tơ P1( t ) = P 11 ( t ) P 21 ( t ) Pkn 1 ( t ) P 1 ( t ) là hệ tải trọng tác dụng tại n khối lượng tương ứng với dạng chính thứ nhất. Véc tơ là hệ tải trọng tác dụng tại n khối lượng tương ứng với dạng T chính thứ hai. ''''' P2( t ) = P 12 ( t ) P 22 ( t ) Pkn 2 ( t ) P 2 ( t ) Tương tự, ta có các véc tơ tải trọng tác dụng tại các khối lượng tương ứng với các dạng chính thứ ba, thứ tư, v.v. , thứ k, v.v., thứ n: ''''' T Pn( t ) = P12 n ( t ) P n ( t ) P kn ( t ) P nn ( t ) 102
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Để xác định n véc tơ này, ta phải xác định (n×n) thành phần P’ki(t) (k, i = 1,2, ,n). Vì P’ki(t) liên quan tới khối lượng thứ k, và dạng dao động thứ i, nên ta đặt: ' Pki()() t= M k a ki H i t (2-23) Trong đó: ▪ Mk là khối lượng thứ k ▪ aki là biên độ dao động của khối lượng thứ k tương ứng với dạng dao động thứ i [xem (2-12)’] ▪ Hi(t) là hàm tương ứng với dạng chính thứ i, chưa biết mà ta phải xác định. 103
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Áp dụng (2-23) cho tất cả các khối lượng, ta được véc tơ ngoại lực động tác dụng tại các khối lượng tương ứng với dạng dao động thứ i. ' P1i()() t= M 1 a 1 i H i t ' P2i()() t= M 2 a 2 i H i t ' Pki()() t= M k a ki H i t ' Pni()() t= M n a ni H i t 104
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO hay ở dạng ma trận ' Pt1i () Ma11 i  ' Pt() Ma 2i 22 i ' Pii()() t==   H t  ' Ma Ptki () k ki '  Ptni () Man ni  Hay thu gọn, ' Pi()() t =  M a i H i t (2-24) 105
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Ở đây, [M] là ma trận khối lượng, còn {ai} là véc tơ (2-12)’ cho ta dạng dao động thứ i . Thay (2-24) vào (2-22), với (i = 1, 2, , n); ta có: Pt( ) = MaHt 1 1 ( ) + MaHt 2 2 ( ) + + MaHt i i ( ) + + MaHt n n ( ) (c) T Nhân bên trái hai vế của (c) với véc tơ {ai} , ta được: TTTT ai Pt( ) = aMaHt i   1 1 ( ) + aMaHt i   2 2 ( ) + + aMaHt i   i i ( ) + T ++ ai  M a n H n ( t ) (d) Do tính chất trực giao (2-14), nên các số hạng thứ 1, 2, ,(i-1), (i+1), (i+2), ,n trong (d) đều bằng không; chỉ có số hạng thứ i là khác không. Từ đó suy ra TT ai P()() t = a i  M a i H i t 106
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO T ai P() t  hay Hti ()= T (2-25) aii  M a  Thay (2-25) vào (2-24) ta được véc tơ tải trọng tương ứng với dạng dao động thứ i aT P() t  P' () t= M a  i ii (  ) T (2-24)’ aii  M a  107
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Chú ý: 1- Khi sử dụng công thức (2-24)’ cần lưu ý: (2-24)’ có hai thừa số, (mỗi thừa số được đặt trong dấu ngoặc đơn), và phải tính riêng từng thừa số; Thừa số thứ nhất là một véc tơ có n phần tử; thừa số thứ hai cho ta một con số; Tích hai thừa số này là một véc tơ có n phần tử chính là véc tơ tải trọng tương ứng với dạng dao động thứ i. Lần lượt cho ( i= 1, 2, , n) vào (2-24)’; ta xác định được n véc tơ tải trọng tương ứng với n dạng dao động riêng của hệ, được tách ra từ hệ tải trọng đã cho ban đầu. Có thể kiểm tra sự đúng đắn của phép phân tích từ công thức (b), hoặc (2-22). 2- Bằng cách tương tự, ta cũng có thể phân tích chuyển vị theo các dạng dao động riêng. Nhờ phân tích hệ tải trọng đã cho theo các dạng dao động riêng, và nhiều khi cả chuyển vị, mà sau này, khi nghiên cứu dao động cưỡng bức của hệ nhiều bậc tự do, ta cũng có thể chuyển việc giải bài toán hệ nhiều bậc tự do phức tạp về giải nhiều bài toán như hệ một bậc tự do đơn giản đã được nghiên cứu kỹ ở chương 1. 108
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO 2.4 CÁCH CHUYỂN TƯƠNG ĐƯƠNG CÁC TẢI TRỌNG ĐỘNG ĐẶT TẠI CÁC VỊ TRÍ BẤT KỲ TRÊN KẾT CẤU VỀ ĐẶT TẠI CÁC KHỐI LƯỢNG Khi trên kết cấu có các lực không đặt tại các khối lượng, ký hiệu là P*k(t) tác dụng, giả sử có m lực, lập thành véc tơ: T (2-26) P() t = P12 () t P () t Pm () t  Lúc này, để có thể áp dụng các kết quả đã trình bày ở phần trên, ta phải thay thế tương đương (chuyển tương đương) hệ lực này thành hệ lực đặt tại các khối lượng Có nhiều cách chuyển tương đương như vậy, song chỉ là gần đúng. Sau đây là một trong các cách chuyển tương đương như vậy dựa trên giả thiết gần đúng cho rằng: Hai hệ lực tương đương là hai hệ lực gây ra chuyển vị tĩnh tại các khối lượng bằng nhau. Ký hiệu véc tơ hệ lực thay thế đặt tại n khối lượng là , 109
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Có nhiều cách chuyển tương đương như vậy, song chỉ là gần đúng. Sau đây là một trong các cách chuyển tương đương như vậy dựa trên giả thiết gần đúng cho rằng: Hai hệ lực tương đương là hai hệ lực gây ra chuyển vị tĩnh tại các khối lượng bằng nhau. Ký hiệu véc tơ hệ lực thay thế đặt tại n khối lượng là , T P( t ) = P12 ( t ) P ( t ) Pn ( t ) (2-27) 110
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO ▪ δ*ik là chuyển vị đơn vị tại khối lượng thứ i do lực bằng đơn vị đặt tại lực P*k(t) gây ra; ▪ δij là chuyển vị đơn vị tại khối lượng thứ i do lực bằng đơn vị đặt tại khối lượng thứ j gây ra. Khi đó, chuyển vị tại các khối lượng thứ (1, 2, , n ) do hệ lực {P*(t)} gây ra, bằng chuyển vị này, do hệ lực thay thế {P(t)} gây ra, nghĩa là: yt1() 11P 1( t )+  12 P 2 ( t ) + +  1mm P ( t ) 11P 1( t )+  12 P 2 ( t ) + +  1nn P ( t ) yti ()= i1P 1( t )+  i 2 P 2 ( t ) + +  im P m ( t ) =i1P 1( t ) +  i 2 P 2 ( t ) + +  in P n ( t ) ()c ytn () n1P 1( t )+  n 2 P 2 ( t ) + +  nm P m ( t ) n1P 1( t )+  n 2 P 2 ( t ) + +  nn P n ( t ) 111
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Ký hiệu ma trận sau, 11  12  1m * 21  22  2m N = (2.28) n12  n  nm Lúc này có thể biểu diễn hệ n đẳng thức (c) dưới dạng ma trận: N P()() t =  N P t  (c)’ −1 Suy ra, P()() t =  N N P t  (2-29) Trong đó, [N] là ma trận độ mềm của hệ được tính theo (2-1). 112
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO 2.4 DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC CỦA HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO, KHÔNG LỰC CẢN CHỊU LỰC KÍCH THÍCH ĐIỀU HOÀ: P(t)=P0sinrt 2.5.1 Biểu thức nội lực động và chuyển vị động Xét hệ nhiều bậc tự do chịu tác dụng của các lực kích thích điều hòa cùng tần số. Cũng như hệ một bậc tự do, trong thực tế luôn tồn tại lực cản; nên dù lực cản rất nhỏ, thì sau một khoảng thời gian nào đó, dao động tự do cũng sẽ mất đi. Dao động của hệ lúc này hoàn toàn phụ thuộc lực kích thích điều hòa, nên nội lực, ứng suất, v.v. cũng thay đổi điều hòa cùng chu kỳ với chu kỳ của lực kích thích. 113
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Khi hệ có n BTD, sẽ có n tần số dao động riêng. Khi một trong số các tần số riêng xấp xỉ bằng tần số lực kích thích sẽ xuất hiện hiện tượng cộng hưởng. Thực tế, tần số lực kích thích thường nhỏ hơn nhiều so với tần số dao động riêng (r << ωi), nên cộng hưởng thường xẩy ra với ω1, hoặc ω2. Bởi vậy, để nghiên cứu cộng hưởng, ta thường quan tâm tới hai tần số nhỏ nhất này. Các tần số riêng là nghiệm của phương trình tần số (2-10) hoặc (2-11) Để phục vụ bài toán kiểm tra và bài toán thiết kế, ta phải biết biểu đồ biên độ nội lực động và chuyển vị động. 114
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Khi dao động đã ổn định (phần dao động tự do đã mất), hệ dao động do tác dụng của các lực sau: ▪ Các lực kích thích điều hòa P(t) = P0sin rt đặt tại các khối lượng; ▪ Các lực quán tính biến đổi điều hòa cùng tần số với tần số của lực kích thích, đặt tại các khối lượng : Zii( t )= Z sinrt (a) ( i = 1, 2, , n) Khi đó, đại lượng nghiên cứu S (có thể là nội lực, chuyển vị, phản lực, v.v.) tại tiết diện K nào đó trên hệ được tính theo nguyên lý cộng tác dụng như sau: StStSZtSZtK()= KP () + K1 1 () + K 2 2 () + + SZt Kn n () (b) 115
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Vì dao động đã ổn định, nên các đại lượng nghiên cứu đều biến đổi điều hòa theo cùng một tần số với tần số của lực kích thích. Bởi vậy, khi tải trọng đạt biên độ , thì các đại lượng nghiên cứu cũng đạt biên độ, nghĩa là: P0 SSSZSZSZK= K + K1 1 + K 2 2 + + Kn n (2-30) Trong đó, P0 ▪ SK là trị số của SK do biên độ lực động P0 đặt tĩnh gây ra, và được xác định bằng các phương pháp được trình bày trong giáo trình cơ học kết cấu. ▪ S ki là giá trị SK do lực quán tính Zi = 1 đặt tĩnh gây ra. (i = 1, 2, ,n) ▪ Zi là biên độ của lực quán tính Zi(t) Như vậy, để xác định được Sk ta phải xác định được các biên độ lực quán tính Zi. 116
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO 2.5.2 Xác định biên độ của các lực quán tính Khi bỏ qua lực cản, phương trình chuyển động của khối lượng thứ i, theo nguyên lý cộng tác dụng , có dạng: yi() t= i1 Z 1 () t +  i 2 Z 2 () t + +  in Z n () t + iP () t (c) Trong đó, ∆iP(t) là chuyển vị của khối lượng thứ i do các lực động P(t) gây ra. Sau khi dao động đã ổn định, cả yi(t), Zi(t), và ∆iP(t) đều biến đổi điều hòa với tần số r của lực kích thích. Nghĩa là: yt( )= sinrt (t ) = sinrt ii và iP iP0 (d) 2 đồng thời yii( t )= − r sinrt Trong đó, i là biên độ chuyển vị động của khối lượng thứ i đang tính. iP0 là chuyển vị của khối lượng thứ i do biên độ P0 của các lực động P(t) đặt tĩnh gây ra. 117
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Mặt khác, lực quán tính Zi()() t=− M i y i t 22 Thay (d) vào (f) ta được: Zi( t )= M i r i sinrt=Mi r y i ( t ) 1 Hay rút ra: yii()() t= 2 Z t (2-31) Mri Thay (a), (d), và (2-31) vào (c), rồi chuyển vế và đặt sinrt làm thừa số chung, ta được: 1 Z+  Z + +  − Z + +  Z + sin rt = 0 (g) i1 1 i 2 2 ii2 i in n iP0 Mri 118
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Vì sinrt khác không (do tồn tại dao động), nên từ (g) ta rút ra được hệ phương trình dùng để xác định biên độ của các lực quán tính, khi hệ chịu tác dụng của các lực kích thích điều hòa và không có lực cản, như sau: ZZZZ+  + + * + +  + = 0 (2-32) i1 1 i 2 2 ii i in n iP0 ( i = 1, 2, , n) Trong đó ta đã ký hiệu * 1 (2-33) ii=− ii 2 Mri ( i = 1, 2, , n) Giải hệ phương trình (2-32) ta được biên độ của các lực quán tính. Nếu kết quả tính ra dương, thì chiều giả thiết ban đầu của lực là đúng; Nếu kết quả tính ra âm, thì chiều giả thiết là sai và phải đổi ngược lại. 119
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO VÍ DỤ 2. 3 Cho dầm dài l = 6m, trên đó đặt hai mô tơ, trọng lượng mỗi mô tơ là G = 10 kN. Khi mô tơ thứ nhất quay với vận tốc n = 450 v/phút tạo ra lực ly tâm P0 = 5 kN. Xem hình 2.5a. Yêu cầu : Xác định các tần số dao động riêng, và vẽ biểu đồ biên độ mô men động, và biểu đồ mô men tổng cộng của dầm. Biết dầm có: J = 8880 cm4; E = 2,1. 104 kN/cm2; Lấy g = 981cm/s2 và bỏ qua khối lượng và trọng lượng của dầm trong tính toán. 120
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO GIẢI 1, Xác định các tần số dao động riêng Hệ có hai bậc tự do, nên phương trình tần số, theo (2-11)’ có dạng (M1 11− u) M 2 12 D == 0 (a) M1 21( M 2 22 − u) Từ các biểu đồ mô men đơn vị trên hình 2.5c và d; ta tính được theo Maxwell-Mohr 47ll33 =  =;  =  = (b) 11 22243EJ 12 21 486 EJ Thay (b) vào (a) và giải, ta được: Ml335 Ml uu==; 12486EJ 162 EJ 121
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO 221 162EJ 1 486 EJ Nên 12= =33; = = (c) u215 Ml u Ml G10 kNs22 kNs Thay M= = =1,02 ; l = 6 m và EJ vào (c), ta được g9,81 m m −1 và −1 1 = 52,5s 2 = 203s 122
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO 2, Xác định biên độ các lực quán tính Hệ phương trình để xác định biên độ hai lực quán tính Z1 và Z2, theo (2-32), trong trường hợp này là, * 11ZZ 1+ 12 2 + 1P = 0 0 (d) ZZ+* + = 0 21 1 22 2 2P0 Tần số lực kích thích r = 2πn/60 = 50 s-1; đồng thời thay l, E, J vào (b) ta tính được -4 m -4 (b)’ δ11 = δ22 = 1,908.10 δ12 = δ21 = 1,67. 10 kN -4 Thay M, r, δ11 vào (2-25) được: δ*11 = δ*22 = - 2,013.10 (f) (Đơn vị của δik trong (b)’ và (f) được giải thích ở ví dụ 4- 1) 123
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Còn , và có thể tính được từ các biểu đồ mô men đơn vị trên 1P0 2P0 các hình 2.5c và d, và biểu đồ M trên hình 2.5b; Tuy nhiên ở đây có P0 thể tính đơn giản hơn, bởi vì: m =P. = 5 kN .1,908 = 9,54.10−4 m 1P0 0 11 kN m =P. = 5 kN .1,67 = 8,35.10−4 m (g) 2P0 0 21 kN Thay (f), (g) vào (d) và giải hệ phương trình này ta được: Z1 = 25,98 kN; Z2 = 25,65 kN (h) 124 powerpoint.vn
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO 3, Vẽ các biểu đồ nội lực yêu cầu Có hai cách vẽ biểu đồ biên độ mô men động a, Cách vẽ trực tiếp: Theo cách này, ta đặt vào hệ các lực có trị số bằng biên độ các ngoại lực động và biên độ các lực quán tính, rồi tính toán như với bài toán tĩnh dưới tác dụng của các lực này. b, Cách vẽ theo nguyên lý cộng tác dụng: Theo cách này , biểu đồ biên độ mô men động được vẽ theo (2-30) =MZMZM + + Mđ 1 1 2 2 P0 Kết quả cho trên hình 2.5e; 125 powerpoint.vn
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO 126
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO So sánh hai biểu đồ: M và MM () P 0  ta thấy rằng, trong trường hợp đ ( tP0 ) tổng quát, hệ số Kđ tại các tiết diện khác nhau là khác nhau. Như vậy, khác với hệ một bậc tự do, đối với hệ nhiều bậc tự do, ta không có một hệ số Kđ chung cho tất cả các tiết diện ; cũng như không có một hệ số Kđ chung cho tất cả các đại lượng nghiên cứu. Tuy nhiên như sau này sẽ thấy, để đơn giản trong tính toán , đồng thời thiên về an toàn, đối với một đại lượng nghiên cứu ta cũng có thể dùng một hệ số Kđ chung, đó là Kđ của tiết diện có trị số Kđ lớn nhất. Ví dụ ở trường hợp đang xét, hệ số động có trị số lớn nhất đối với mô men là tại tiết diện đặt khối lượng M2: 58,855 Max Kđ = = 16,4 3,335 Thậm chí, nhiều khi người ta còn dùng một hệ số Kđ chung cho tất cả các đại lượng. Lúc này hệ số động được tính theo công thức (1-36) đối với hệ một bậc tự do, mà ở đó ta lấy tần số riêng bé nhất ω1 để tính toán. 127 powerpoint.vn
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO c, Biểu đồ mô men tổng cộng: Trước khi động cơ đặt tại khối lượng thứ nhất hoạt động, trong dầm đã có nội lực do trọng lượng của hai động cơ gây ra. Biểu đồ mô (M) men này vẽ được như trên hình 2.6f. (ký hiệu là Mt ). Rõ ràng, khi động cơ làm việc, mô men lớn nhất xuất hiện trong dầm sẽ là tổng của hai biểu đồ này, và ta gọi nó là biểu đồ mô men tổng cộng. (M) Mtc = Mđ + Mt (k) Kết quả như trên hình 2.5g. Chú ý: Ta cũng có thể giải bài toán bằng cách phân tích tải trọng điều hòa đã cho ra n hệ tải trọng tương ứng với các dạng dao động riêng (với bài toán đang xét n=2) rồi giải bài toán như hệ một bậc tự do. Cách làm này sẽ được trình bày ở mục tiếp theo đây. 128 powerpoint.vn
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO 2.6 DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC CỦA HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO, KHÔNG LỰC CẢN, CHỊU LỰC KÍCH THÍCH BẤT KỲ P(t) Trong trường hợp này, ta có thể giải bài toán bằng nhiều cách. Cách 1: Ta phân tích tải trọng bất kỳ thành các hàm điều hòa dưới dạng chuổi lượng giác, rồi giải bài toán như đã được trình bày ở mục 2.5. Khi tải trọng động P(t) có chu kỳ T, thì có thể phân tích thành chuổi lượng giác như sau: Ptaa( )=0 + 1 sinrt+a 2 sin2rt+ +a k sin krtbc + + 1 osrt+b 2 c os2rt+ +b k c oskrt+ (2-34) π Trong đó, r = T (được gọi là tần số cơ bản của lực kích thích) 1 T P(t)dt a0 = T 0 k T P(t) ak = sinkrt dt (2-34)’ T 0 k T P(t) bk = coskrt dt T 0 129 powerpoint.vn
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Cách 2: Sử dụng hệ tọa độ chính để đưa hệ n BTD về n bài toán hệ một BTD. Xét trường hợp không lực cản, PTVP dao động tổng quát có dạng: M y()()() t+= K y t P t  (2-35) Nhân bên trái (2-35) với [B]T , và chú ý tới (2-19) ta được: BMBqtTTT   ()()() += BKBqt      B Pt  Hay q()()() t +  q t =  BT P t  (2-35)’ Phương trình (2-35)’ là một hệ gồm n phương trình độc lập có dạng như dạng PTVP dao động của hệ một BTD (1-39)’ [Điều này cũng đã được nói tới khi nghiên cứu dao động tự do ở điểm (c) của mục 2.3.2] 2 qti()+ i qt i () = BPt i1 1 () + BPt i 2 2 () + + BPt in n () (2-36) ( i = 1, 2, , n) 130 powerpoint.vn
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Trong đó, Bij (i, j = 1,2, ,n) là các phần tử của ma trận chuẩn hóa . Nghiệm của phương trình (2-36) được biểu diễn qua tích phân Duhamel (1- 41) như đã biết ở mục (1- 5). Thay các nghiệm qi(t) vào (2-19) ta được lời giải của bài toán. 131 powerpoint.vn
Chương 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ NHIỀU BẬC TỰ DO Cách 3: Dựa vào (2-24)’ ta phân tích véc tơ tải trọng {P(t)} theo các dạng chính, sau đó giải n bài toán như hệ một BTD đã được trình bày ở chương một.Cụ thể là: ( Bỏ qua các biến đổi chi tiết): Phương trình chuyển động của khối lượng thứ k dưới tác dụng của hệ lực động {P(t)} là: n yk()() t=  a ki S i t (2-37) i=1 Trong đó Si(t) là nghiệm của PTVP sau: 2 Si()()() t+= i S i t H i t (2-38) Ở đây Hi(t) được tính theo công thức (2- 25), còn aki là thành phần thứ k của véc tơ biên độ dao động của dạng chính thứ i. (xem 2-12)’; phương trình vi phân (2-38) có dạng như của hệ một BTD, nghiệm tổng quát của nó được biểu diễn qua tích phân Duhamel (1-41) như đã được trình bày trong mục 1-5. 132 powerpoint.vn
ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH Chương 3 DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO powerpoint.vnpowerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 3.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TỔNG QUÁT DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG Một hệ kết cấu thực tế luôn luôn có vô hạn bậc tự do. Xét đoạn thanh thẳng được đặt trong hệ tọa độ (yz). Xét trường hợp tổng quát thanh có tiết diện thay đổi với khối lượng phân bố cường độ m(z), chịu tác dụng của hệ lực ngang phân bố cường độ q(z,t) như trên hình 3.1a. Dao động ngang của hệ tại thời điểm nào đó, chính là vị trí đường đàn hồi của nó tại thời điểm xét. Phương trình đường đàn hồi khi hệ chịu tác dụng của tải trọng động, phụ thuộc hai biến là z và t, nghĩa là: y = y(z,t) (a) 134 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Mối quan hệ giữa đường đàn hồi của trục thanh có tiết diện thay đổi với tải trọng ngang phân bố trên thanh, trường hợp tải trọng tĩnh, đã được nghiên cứu trong giáo trình Sức bền vật liệu: d2 d2 2 EJ(z) 2 y(z) = −q(z) dz dz (b) Với qui ước trục y hướng xuống là dương, còn tải trọng hướng lên là dương. Trường hợp tải trọng động thì:  2 22 EJ()(,)(,) z y z t=− p z t (3-1) zz 135 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Ở đây, p(z,t) là tổng tải trọng ngang tác dụng trên dầm (chiều hướng lên là dương). Khi dao động, giả sử tại thời điểm t hệ đang chuyển động hướng xuống cùng chiều với trục y, ngoài lực kích thích q(z,t), thanh còn chịu tác dụng của hệ lực quán tính phân bố: 2 Z(,)()(,) z t=− m z y z t (c) b) t 2 Z(z,t) 136 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Và lực cản phân bố: R(z,t) (d) (ngược chiều chuyển động) Do đó ta có: Pzt(,)(,)(,)(,)= qzt − Zzt + Rzt (3-2) hay là 2 Pzt(,)(,)()(,)(,)= qzt + mz yzt + Rzt t 2 137 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Thay (3-2) vào (3-1) rồi chuyển vế, ta được PTVP dao động ngang tổng quát của thanh thẳng có tiết diện thay đổi là: 2  2  2 2 EJz()(,)()(,)(,)(,) 2 yzt+ mz 2 yzt + Rzt = − qzt (3-3) z  z  t Trường hợp riêng, khi tiết diện thanh là hằng số, thì phương trình (3-3) có dạng đơn giản hơn: 2 2 2 (3-3)’ 2 EJ 2 y(z,t) + m 2 y(z,t) + R(z,t) = −q(z,t) z z t Trường hợp dao động tự do thì vế phải của (3-3) hay (3-3)’ bằng không. Sau đây ta giải PTVP (3-3) trong một số trường hợp riêng. 138 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 3.2 DAO ĐỘNG TỰ DO KHÔNG CÓ LỰC CẢN CỦA THANH THẲNG TIẾT DIỆN HẰNG SỐ - TÍNH CHẤT TRỰC GIAO CỦA CÁC DẠNG DAO ĐỘNG RIÊNG 3.2.1 Phương trình vi phân dao động tự do không có lực cản Phương trình vi phân dao động trong trường hợp này, theo (3-3)’ là 42m y( z , t )+= y ( z , t ) 0 z42 EJ t (3-4) Đây là PTVP đạo hàm riêng cấp bốn thuần nhất, nghiệm của nó có thể được biểu diễn dưới dạng tách biến như sau y(,)()() z t= y z s t (3-5) Thay (3-5) vào (3-4) ta có: EJ d4y(z) d2S(t) EJ 1 d4y(z) 1 d2S(t) S(t)+ y(z) = 0 chuyển vế được: = - (f) m dz4 dt 2 m y(z) dz4 S(t) dt 2 139 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Hai vế của (f) phụ thuộc hai biến khác nhau nên chúng chỉ bằng nhau khi cả hai vế cùng có giá trị bằng một hằng số nào đó, giả sử ký hiệu là ω2. Như vậy, từ (f) ta có thể biểu diễn PTVP đạo hàm riêng cấp bốn (3-4) bằng hai PTVP thường (chỉ phụ thuộc một biến). 2 d S() t 2 (3-6) += St( ) 0 dt 2 d4y(z) m và − ω2y(z) = 0 (3-7) dz4 EJ Nhờ đó, thay cho giải một PTVP đạo hàm riêng (3-4) phức tạp, ta giải hai PTVP thường (3-6) và (3-7) đơn giản hơn nhiều. 140 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 3.2.2 Giải PTVP (3-6)-Xác định quy luật dao động tự do Phương trình vi phân (3-6) chính là PTVP dao động tự do, không lực cản, của hệ một bậc tự do (1-14) đã được trình bày trong chương 1, nên nghiệm tổng quát của nó theo (1-18) sẽ là: st( )= Asin( t+ ) Hay st( )= sin( t+ ) (3-8) Ở đây ta đã cho A = 1; Sở dĩ làm được như vậy, bởi vì từ (3-5) ta thấy biên độ dao động chính là hàm y(z). Bởi vậy sau này ta gộp A nằm trong y(z) luôn [xem(3-5)’]. Theo (3-8), dao động tự do của hệ có vô hạn BTD cũng là dao động điều hòa. 141 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 3.2.4 Xác định tần số dao động riêng của các dầm một nhịp Nghiệm của (3-7) là hàm y(z) sẽ cho ta biên độ dao động, cũng chính là dạng dao động riêng của hệ. Do thanh có tiết diện không đổi, nên (3- 7) là PTVP thường cấp bốn có hệ số là gằng số; Nghiệm tổng quát có dạng 1z  2 z3z  4 z y() z= a1 e + a 2 e + a 3 e + a 4 e (g) Trong đó a1, a2, a3, a4 là các hằng tích phân, còn β1, β2, β3, β4 là nghiệm của phương trình đặc trưng của PTVP (3-7) như sau m β4 – k4 = 0, với ký hiệu k4 = ω2 (3-9) EJ Nên ta có: β1,2 = ± k; và β3,4 = ± ik (h) 142 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Thay (h) vào (g) ta có nghiệm của PTVP (3-7) là: kz−− kz ikz ikz y() z= a1 e + a 2 e + a 3 e + a 4 e (i) Sử dụng quan hệ 1 1 xx− xx− Chx=+ e e và Shx=− e e (k) 2 2 Thì (i) trở thành: y( z )= Achkz + Bshkz + Cc oskz+Dsinkz (3-10) Trong đó, A, B, C, D, là các hằng tích phân, được xác định từ các điều kiện biên như sau 143 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO a, Tại gối tựa khớp có: Độ võng y(z) = 0; và d2 y(z) mô men M(z) = 0 => = 0 dz2 d y(z) b, Tại ngàm cứng có: y(z) = 0 và góc xoay θ(z) = = 0 (3-11) dz d2 y(z) c, Tại đầu tự do có: Mô men M(z) = 0 => = 0; và dz2 d3y(z) Lực cắt Q(z) = 0 => = 0 dz3 Để thuận tiện cho tính toán sau này , ta đặt: C + C C + C C − C C − C A = 1 3 ; B = 2 4 ; C = 1 3 ; D = 2 4 (3-12) 2 2 2 2 144 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Khi đó nhiệm (3-10) có dạng: y() z= C1 Akz + C 2 B kz + C 3 C kz + C 4 D kz (3-13) Trong đó ta đã ký hiệu các hàm như sau: ch + cos sh + sin A = kz kz ; B = kz kz ; kz 2 kz 2 (3-14) ch − cos sh − sin C = kz kz ; D = kz kz ; kz 2 kz 2 còn được gọi là các hàm ảnh hưởng có một số tính chất đặc biệt. Hơn nữa, giá trị của bốn hàm này ứng với các giá trị khác nhau của (kz) biến thiên từ [0,0] đến [6,5] ( là khoảng biến đổi thực tế) đã được tính sẵn và lập thành bảng tra sẵn. 145 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 1, Tính hoán vị vòng quanh của các đạo hàm. Akz A’kz = k Dkz B’ = k A kz kz Bkz Dkz (m) C’kz = k Bkz D’kz = k Ckz Ckz Có thể minh họa tính chất này trên hình vẽ bên cạnh. Dấu (’) là ký hiệu phép đạo hàm theo biến z. Dựa vào tính chất này, các đạo hàm của y(z) có dạng rất đơn giản.  yz'( )= ( z ) = kCD( 1kz + CA 2 kz + CB 3 kz + CC 4 kz ) Mz() 2 yz''( ) = − = kCCCDCACB( 1kz + 2 kz + 3 kz + 4 kz ) (3-15) EJ Qz() yz'''( ) = − = kCBCCCDCA3 ( + + + ) EJ 1kz 2 kz 3 kz 4 kz  146 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 2, Tại tọa độ z = 0, giá trị các hàm đã biết: A(0) = 1, còn B(0) = C(0) = D(0) = 0; (n) Như vậy, nghiệm tổng quát của PTVP đạo hàm riêng (3-4) như sau: yzt( , )=( CA1kz + CB 2 kz + CC 3 kz + CD 4 kz ) sin( t + ) (3-5)’ Để xác định các hằng tích phân trong (3-13), ta sử dụng các điều kiện biên (3-11) nếu đã biết các liên kết tựa; Còn trong trường hợp tổng quát, ta có các điều kiện tại tọa độ z = 0 được giả thiết như sau M Q y(0) = y ; y’(0) = y’ ; y’’(0) = - 0; y’’’(0) = - 0 (3-16) 0 0 E J E J Các giá trị (y0, y’0, M0, Q0), được gọi là các thông số ban đầu. Thay (3- 16) vào (3-13) và (3-15), kết hợp với (n), rồi giải hệ bốn phương trình này ta được: y' M Q 0 − 0 0 C = y ; C = ; C = 2 ; C = − 3 (3-17)’ 1 0 2 k 3 k EJ 4 k EJ 147 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Thay các hằng tích phân tính theo (3-17)’ vào (3-13) và (3-15) , ta được các biểu thức biểu diễn dạng dao động (biên độ dao động) của chuyển vị, góc xoay, mô men, và lực cắt tại tiết diện có tọa độ z bất kỳ trên kết cấu. ' y0 M 0 Q 0  y()() z= y0 Akz + B kz −23 C kz − D kz a k k EJ k EJ ' MQ00 y'( z )= y00 kDkz + y A kz − B kz − C kz ( b ) kEJ k2 EJ  (3-17) 2' Q0 M()() z= − EJy0 k Ckz − EJy 0 kD kz + M 0 A kz + B kz c k 3 ' 2 Qz()()= − EJykB0kz − EJykC 0 kz + MkD 0 kz + QA 0 kz d  148 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Rõ ràng, (3-17) cho phép ta xác định được các đại lượng cần thiết để tính dao động tự do của thanh . Mặt khác, để tồn tại dao động, y(z) phải khác không, cũng có nghĩa là, bốn thông số ban đầu trong (3-16) không thể đồng thời bằng không. Hay nói cách khác, hệ bốn phương trình điều kiện biên để xác định bốn hằng số C1,C2,C3 C4, có định thức các hệ số phải bằng không. Điều kiện này dẫn tới một phương trình siêu việt dùng để xác định thông số k – cũng tức là phương trình để xác định ω -, mà ta gọi là phương trình tần số. Do tính chất chu kỳ của các hàm siêu việt, nên phương trình tần số sẽ có vô số nghiệm (k1, k2, v.v k∞ ); Thay các ki vào (3-9) ( i = 1, 2, , ∞ ), ta sẽ xác định được vô số các tần số dao động riêng ωi, ( tuân theo ký hiệu: ω1 < ω2 < < ωi < ). Như vậy, hệ có vô số bậc tự do sẽ có vô số tần số dao động riêng. Lại thay các ωi, (ki), vào phương trình (3-17) ta lại xác định được vô số dạng dao động riêng tương ứng. Tất nhiên, dao động tự do của hệ là tổng của các dao động riêng này. 149 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Nghĩa là (3-13) có dạng chi tiết như sau: yz()()= yz = CA + CB + CC + CD (3-13)’ i 1 ikzi 2 ikz i 3 ikz i 4 ikz i ii==11 Lúc này, y(,)()() z t=  yii z s t i=1 yzt( , )= CACB + + CC + CD sin( t + ) (3-5)’’ hay  1ikzi 2 ikz i 3 ikz i 4 ikz i i=1 Các [C1i, C2i, C3i, C4i ] được tính theo các biểu thức (3-17)’, trong đó phải thay k bằng các ki. Tương tự, có các biểu thức y’(z,t); M(z,t); Q(z,t) Chú ý : Thực tế, chỉ có tần số riêng bé nhất, hay hơn nữa là tần số riêng thứ hai, thứ ba là có ý nghĩa . Các tần số cao hơn không có ý nghĩa thực tế, vì có thể nó không hình thành do bản thân chúng gây nhiễu loạn cho nhau; hoặc chúng có hình thành nhưng gây ra biên độ rất nhỏ. 150 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 3.2.3 Giải PTVP (3-7) – Xác định tần số dao động riêng và dạng dao động riêng Trước hết, ta xét dao động của dầm đơn giản có một đầu ngàm cứng và một đầu tự do, tiết diện hằng số, như trên hình 3.2a (dầm conson) 1, Xác định các thông số ban đầu: Tại đầu ngàm (z = 0) ta có: ω1 y0 = 0; y’0 = 0; còn M0 ≠ 0; Q0 ≠ 0; chưa biết (a) 151 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 2, Xác định các tần số dao động riêng. ω Tại đầu tự do (z = l) ta có: 2 Ml = 0; Ql = 0 (b) Thay (b) vào (3-17c,d), đồng thời sử dụng các thông số ban đầu (a) ta có hệ phương trình sau: Q0 (m là ký hiệu cường độ MAB0kk 1+= 1 0 k khối lượng phân bố) kM0 Dkk 1+= Q 0 A 1 0 1 A B M0  hay dạng ma trận kl k kl  = 0 (c) Q0  kDkl Akl 152 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Do phải tồn tại dao động, nên M0, và Q0 phải khác không. Do đó từ (c) ta suy ra định thức Bkl Akl D = k = 0 kDkl Akl Thay các biểu thức (3-14) vào ta được: D=( chk1 + c osk1)2 −( sh22 k 1 − sin k 1) = 0 hay D= chk1. c osk1+1=0 (d) (d) là phương trình tần số của bài toán đang xét, là phương trình siêu việt nên sẽ có vô số nghiệm. Như đã nói ở chương hai, đối với hệ nhiều BTD, quan trọng nhất là hai, hay ba tần số đầu tiên. 153 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Ở đây ta giải gần đúng phương trình (d) xác định được ba nghiệm đầu tiên như sau 3,515 EJ k ≈ 0,6π ≈ 1,88; suy ra ω = 2 1 1 l m 22 EJ k ≈ 1,49π ≈ 4,68; suy ra ω = 2 2 l 2 m 61,7 EJ tương tự ta có ω = 2 3 l m 154 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 3, Xác định các biểu thức biên độ dao động, biên độ nội lực động Thay lần lượt các ωi vào hệ phương trình (c), kết hợp với điều kiện đầu , sẽ xác định được M0, và Q0. Lại thay M0, Q0 vào (3-17) sẽ xác định được các biểu thức biên độ dao động, biên độ góc xoay động, biên độ mô men động ,biên độ lực cắt động. Ba dạng dao động đầu tiên cho trên hình 3.2b, c, d. 155 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Đối với các dầm một nhịp khác, cách làm hoàn toàn tương tự, và ta thấy các tần số dao động riêng có thể được biểu diễn bằng một công thức chung có tính chất tổng quát như sau: B EJ ω = i (3-18) i l 2 m Trong đó Bi là một hệ số. Trong phần phụ lục có bảng (3-1) cho các giá trị Bi (i= 1, 2, 3, 4) và các dạng dao động tương ứng với bốn tần số cơ bản đầu tiên của một số dầm một nhịp hay gặp. Bảng 3.1 ( xem ở phần phụ lục ). 156 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 3.2.5 Tính chất trực giao của các dạng dao động riêng Cũng như hệ có hữu hạn BTD, các dạng dao động riêng của hệ vô hạn BTD cũng có tính chất trực giao. Thật vậy, từ PTVP dao động tự do (3-4), xét trường hợp tổng quát khi tiết diện thay đổi, có dạng: 2  2  2 (3-19) 2 −=EJz()(,)()(,) 2 yzt mz 2 yzt z  z  t Xét hai dao động riêng thứ i và thứ k. Phương trình dao động tương ứng, theo (3-5)’’ là, yi( z , t )=+ y i ( z )sin( i t i ) (a) yk( z , t )=+ y k ( z )sin( k t k ) (b) 157 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Thay (a) vào (3-19) , rồi chia hai vế cho sin(ωit+λi) ta được, 2 2 d d 2 2 EJ (z) 2 yi (z) = m(z)i yi (z) (c) dz dz Nhân hai vế của (c) với dạng dao động thứ k,[ yk(z)], rồi tích phân trên toàn bộ chiều dài thanh, ta được l d2 d2 l y (z) EJ (z) y (z) dz = y (z)m(z)ω2y (z)dz (c)’ k 2 2 i k i i 0 dz dz 0 Tính tích phân bên trái bằng phương pháp tích phân phân đoạn ta được, l l d2 d2 ω2 m(z)y (z)y (z)dz = EJ (z) y (z) y (z)dz (d) i k i 2 k 2 i 0 0 dz dz 158 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Làm hoàn toàn tương tự với dạng dao động thứ k, nghĩa là thay (b) vào (3-19) rồi biến đổi tương tự, ta được quan hệ cũng có dạng như (d): l l d2 d2 ω2 m(z)y (z)y (z)dz = EJ (z) y (z) y (z)dz k k i 2 k 2 i (f) 0 0 dz dz Trừ hai phương trình (d) và (f) cho nhau, và chú ý ωi ≠ ωk, ta rút ra: 1 m( z ) y ( z ) y ( z ) dz = 0 (3-20) ik 0 Đây là điều phải chứng minh: quan hệ (3-20) là điều kiện trực giao của hai dạng dao động riêng thứ i và thứ k. Thay (3-20) vào (d) hoặc (f) ta còn rút ra, l d2 d2 EJ(z) y (z) y (z)dz = 0 2 i 2 k (3-21) 0 dz dz (3-21)’ l d2 d2 y (z) EJ (z) y (z) dz = 0 i 2 2 k 0 dz dz 159 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Còn trường hợp đặc biệt khi, i = k, ta có: l l d2 d2 ω2 m(z) y (z) 2 dz = y (z) EJ (z) y (z) dz (3-21)’’ k  k  k 2 2 k 0 0 dz dz Dựa vào tính chất trực giao này, ta có thể phân tích tải trọng q(z,t), chuyển vị y(z,t) theo các dạng dao động riêng. Nhờ đó, có thể chuyển bài toán dao động cưỡng bức của hệ vô hạn BTD về giải các bài toán dao động cưỡng bức hệ một BTD như sẽ nghiên cứu ở các phần sau 160 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 3.2.5 Phân tích tải trọng theo các dạng dao động riêng Cũng như (2-15), ta phân tích tải trọng q(z,t) thành các thành phần tương ứng với các dạng dao động riêng như sau: (3-22) q(,)(,) z t=  qi z t i=1 Trong đó, qi(z,t) là thành phần tải trọng tương ứng với dạng dao động thứ i, nên nó liên quan tới yi(z). Do đó ta có thể biểu diễn qi(z,t) dưới dạng sau, qi(,) z t= m ().(). z y i z H i () t (3-23) 161 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Ở đây Hi(t) là hàm chưa biết cần phải tìm. Cách làm hoàn toàn như ở mục 2.3.3; Thay (3-23) vào (3-22), rồi nhân hai vế với yi(z). Tiếp theo ta tích phân hai vế trên toàn bộ chiều dài thanh được: 11 q(,)()()()()() z t y z dz= y z m z y z H t dz i i  i i 00 i=1 khai triển vế bên phải ta có mzyzyzdz()()()+ mzyzyzdz ()()() + + mzyzyzdz ()()() + (3-22)’ i12 i i i + +m ()()() z y z y z dz + H () t i n i Do tính chất trực giao (3-20), tất cả các số hạng trong (3-22)’ đều bằng không, trừ số hạng thứ i; nên từ (3-22)’ ta được l q(,)() z t y z dz i 0 Hti ()= l m()() z y z2 dz  i  0 162 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Thay (3-24) vào (3-23), và cho i biến thiên từ i = 1, 2, ∞ ta được các thành phần tải trọng tương ứng với các dạng dao động riêng. l q(,)() z t y z dz i q( z , t )= m ( z ) y ( z ). 0 iil (3-23)’ m()() z y z2 dz  i  0 163 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 3.2.7 Dạng chuẩn của các dao động riêng Nhìn vào (3-23)’ ta thấy hàm tải trọng qi(z,t) không thay đổi nếu ta nhân vào hàm yi(z) một số bất kỳ. Như vậy, nếu ta chọn một số thích hợp nhân với yi(z) được hàm mới ký hiệu là , để sao cho mẫu số của (3-23)’ bằng một, nghĩa là l 2 m z y z dz =1 (3-20)’ ( ) i ( ) 0 thì dạng dao động được biểu diễn bằng hàm này được gọi là dạngchuẩn của dao động riêng . Tương ứng với dạng chuẩn, hàm tải trọng có dạng đơn giản: l qzt(,)()()()(,)= mzyz yzqztdz (3-23)’’ i i i 0 l Và hàm H()()(,) t= y* z q z t dz (3-24) ii 0 164 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Chú ý: a, Trường hợp trên thanh có các lực tập trung Pj(t) tác dụng. Lúc này ta có thể làm gần đúng bằng cách thay lực tập trung bằng hệ lực phân bố tương đương. Nhờ vậy,(bỏ qua biến đổi chi tiết) ta được hàm Hi(t) như sau: n  Pj (t)yi (z j ) j=1 (3-25) Hi(t) = l m z y z 2 dz ( ) i ( ) 0 Còn ứng với dạng chuẩn, n P t y z (3-25)’ Hi(t) =  j ( ) i ( j ) j=1 Ở đây, n là số lực tập trung, còn zj là tọa độ của điểm đặt lực tập trung Pj(t); 165 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO b, Khi trên hệ có cả lực phân bố q(z,t), và các lực tập trung Pj(t) tác dụng, thì hàm Hi(t) được xác định theo nguyên lý cộng tác dụng. Lại biểu diễn nghiệm của PTVP (3-27) dưới dạng tách biến và cũng như khi nghiên cứu dao động tự do, nếu ta phân tích biên độ dao động theo các dạng dao động riêng, thì y(,)()() z t=  yii z S t (3-28) i=1 Ở đây, hàm chỉ phụ thuộc thời gian Si(t) mà ta cần tìm, còn được gọi là tọa độ khái quát. Để xác định Si(t), ta thay (3-28) vào (3-27); sau đó nhân hai vế với yk(z) , rồi tích phân trên toàn bộ chiều dài thanh l d2 d2 l d2 y (z) EJ (z) y (z)S (t) dz + y (z)m(z) y (z) S (t) dz = k 2  2 i i k  i 2 i 0 dz i=1 dz 0 i=1 dt l = y z q z f t dz (3-27) k ( ) ( ) ( ) 0 166 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Chú ý tới tính chất trực giao (3-20) và (3-21), cùng với các quan hệ (3-21)’ , và (3-21)’’, phương trình (a) trở thành (độc giả tự biến đổi): l q(z)yi (z)dz 2 d S (t)+ ω 2 S (t) = 0 f (t) hay = K f(t) (3-29) dt 2 i i i l 2 i m(z)y (z) dz i 0 l q z y z dz ( ) i ( ) 0 (3-30) Trong đó ký hiệu hệ số Ki = l 2 m z y z dz ( ) i ( ) 0 l Khi dạng dao động là chuẩn thì: K = q z y z dz (3-30)’ i ( ) i ( ) 0 167 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Phương trình vi phân (3-29) có dạng như PTVP dao động (1-39)’của hệ một BTD, không có lực cản, chịu lực kích thích bất kỳ đã nghiên cứu ở chương 1. Xét trường hợp, trước khi chịu lực kích thích, hệ ở trạng thái tĩnh (y0 = v0 = 0), thì nghiệm của (3-29) được biểu diễn qua tích phân Duhamel tương tự (1-41) như sau, K t S( t )=−i f ( )sin  ( t  ) d  ii (3-31) i 0 ( i = 1, 2, ∞) 168 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Kết luận: Để giải bài toán dao động cưỡng bức, trước hết phải giải bài toán dao động tự do để xác định các tần số riêng ωi và các dạng dao động riêng yi(z). Sau đó thay vào (3-30) để xác định các Ki, rồi lại thay vào (3-31) để xác định các Si(t). Cuối cùng, thay các Si(t) tính theo (3-31) vào (3-28), ta sẽ nhận được lời giải của bài toán. K t y( z , t )=− y ( z )i f ( )sin  ( t  ) d   ii (3-28)’ i=1 i 0 Có y(z,t) ta có thể xác định được các đại lượng nghiên cứu khác như: góc xoay, mô men uốn, lực cắt, bằng cách đạo hàm y(z,t) theo biến z. 169 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 3.3 DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC KHÔNG CÓ LỰC CẢN CỦA THANH THẲNG TIẾT DIỆN KHÔNG ĐỔI 3.3.1 Trường hợp lực kích thích phân bố bất kỳ q(z,t) Xét trường hợp tải trọng một thông số, nghĩa là có thể biểu diễn tải trọng theo (1-38) như sau, q(,)()() z t= q z f t (3-26) Trong đó: ▪ q(z) chỉ phụ thuộc tọa độ không gian z, biểu diễn qui luật biến đổi của tải trọng theo chiều dài thanh, được gọi là hàm tải trọng cơ sở. ▪ f(t) chỉ phụ thuộc thời gian t, như trong (1-38), được gọi là hàm chất tải. Lúc này, PTVP dao động (3-3), khi bỏ qua lực cản, sẽ là: 2  2  2 (3-27) 2 EJz()(,)()(,)()() 2 yzt+ mz 2 yzt = − qzft z  z  t 170 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 3.3.2 Trường hợp lực kích thích phân bố đều quy luật điều hoà q(z,t) = q0sinrt Nếu ở thời điểm ban đầu hệ đứng yên, nghĩa là, y0 = v0 = 0; thì đây là trường hợp riêng của lời giải (3-28)’, trong đó ta chỉ việc thay l q y z dz 0 i ( ) 0 hàm f(τ) bằng hàm sinrτ; Còn Ki = l . Tuy nhiên, đây là m z y z 2 dz ( ) i ( ) 0 trường hợp thường gặp trong thực tế, nên sẽ được trình bày chi tiết hơn ở đây. Trường hợp lực kích thích điều hòa, thì dao động cuả hệ khi đã ổn định cũng thay đổi điều hòa với chu kỳ bằng chu kỳ của lực kích thích. Nghĩa là, y( z , t )= y ( z )sinrt (3-32) 171 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Hàm biên độ dao động y(z) do tải trọng động gây ra, hoàn toàn xác định được từ phương trình (3-13)’. Song ở đây ta sẽ giải trực tiếp từ PTVP dao động của hệ lại tỏ ra đơn giản hơn. Thật vậy, thay (3-32) và đạo hàm bậc hai của nó vào PTVP (3-3), rồi chia hai vế cho EJsinrt, bỏ qua lực cản, ta được PTVP sau, d4 q y(z)− k 4y(z) = − 0 (3-33) dz4 EJ mr 2 Trong đó ký hiệu k4 = (3-34) EJ q Nghiệm riêng của (3-33) là ( 0 ); Nên nghiệm tổng quát của (3-33) là: k 4EJ q0 y() z= C1 Akz + C 2 B kz + C 3 C kz + C 4 D kz + 4 (b) k EJ 172 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Còn các đạo hàm của y(z) vẫn hoàn toàn như (3-15) [do số hạng cuối trong (b) là hằng số]. Lại sử dụng các điều kiện biên (3-16) , ta xác định được: q y ' M q C = y – 0 ; C = 0 ; C = − 0 ; C = − 0 (c) 1 0 k 4EJ 2 k 3 k 2EJ 4 k3EJ Thay (c) vào (b) và (3-15) ta được biểu thức biên độ dao động, và biểu thức biên độ nội lực động khi thanh chịu lực kích thích phân bố đều theo luật điều hòa q0sinrt là: y' M q y( z )= y A +0 B − 0 C − Q D − 0 ( A − 1) ( d 1) 00kzk kz k24 EJ kz kz k EJ kz M Q q yzkyDyA'( )= +' −0 B − 0 C − 0 D ( d 2) 00kz kzkEJ kz k23 EJ kz k EJ kz (3-33) Qq M( z )= − EJy ''( z ) = − k2' EJy C − kEJy D + M A +00 B + C ( d 3) 0kz 0 kz 0 kzkk kz2 kz q Q( z )= − EJy '''( z ) = − k3 EJy B − k 2 EJy ' C +kM D + Q A + 0 B( d 4) 00kz kz00 kz kzk kz Trong đó hệ số k được tính theo (3-34). 173 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Đồ thị của các hàm trong (3-35) cho ta các biểu đồ biên độ chuyển vị và nội lực động của thanh . Giá trị của các hàm (Akz,Bkz,Ckz,Dkz) ứng với các trị khác nhau của kz đã được cho trong các bảng tra sẵn ở phần phụ lục, sẽ giúp ta vẽ các biểu đồ này Trường hợp tải trọng phân bố trên nhiều đoạn khác nhau, các phương trình (3-35) chỉ áp dụng cho đoạn đầu tiên. Các phương trình của các đoạn tiếp theo có thể viết được dựa vào phương pháp truy hồi kiểu “ thông số ban đầu” quen thuộc trong sức bền vật liệu. 174 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Xét hai đoạn thanh thứ n và (n+1) được phân chia tại tọa độ z = a. Trên mỗi đoạn có lực động phân bố đều qn sinrt, và q(n+1) sinrt tác dụng. Tại ranh giới giữa hai đoạn có lực tập trung Pasinrt, và mô men tập trung Masinrt tác dụng (xem hình 3.3), với qui ước: lực hướng lên là dương, mô men dương khi quay thuận chiều kim đồng hồ. Khi đó công thức truy hồi có dạng như (3-36) 175 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO y' M P q yzyzyA( )= ( ) + +a B − a C − a D − a A − 1 ( f 1) n+1 n akza () −k kza () − k2 EJ kza () − k 3 EJ kza () − k 4 EJ kza () − M P q yzyzkyD'''( )= ( ) + + yA −a B − a C − a D ( f 2) n+1 n akza ()() − akza −kEJ kza () − k23 EJ kza () − k EJ kza () − Pq M()() z= M z − k2 EJ y C −kEJ y' D + M A +aa B + C( f 3) n+1( n a k z−a)()()()() akza − akza −kk kza −2 kza − q QzQzkEJyB( )= ( ) −3 − kEJyC 2 ' + kMD + PA + a B ( f 4) n+1 n akza () − akza () − akza ()() − akza −k kza () − Trong đó, Δya, Δy’a, Δqa, là bước nhảy của biên độ độ vỏng, góc xoay, và cường độ lực phân bố tại tọa độ z = a ( như trong sức bền vật liệu); Các ví dụ minh họa cách áp dụng phương pháp này sẽ được trình bày ở cuối chương. Qua nội dung đã được trình bày ở đây và ở chương hai ta thấy rằng, trường hợp lực kích thích bất kỳ, ta nên phân tích tải trọng theo các dạng dao động riêng để tính sẽ đơn giản hơn; Còn trường hợp lực kích thích điều hòa, ta không nhất thiết phải phân tích tải trọng, mà có thể nhận được kết quả nhờ các biểu thức (3-35) và (3-36) (với hệ vô hạn BTD), hay (2-22) kết hợp với (2-24) (với hệ hữu hạn BTD). 176 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 3.3.3 Trường hợp lực tập trung P(t) Giả sử trên thanh có lực động tập trung đặt tại tọa độ, z = a , được biểu diễn ở dạng: P()() t= Pf t (a) như trên hình 3.4a, thay thế tương đương lực tập trung bằng đoạn tải trọng phân bố đều cường độ q(z) trên đoạn thanh dài Δz như trên hình 3.4b. Hợp của hai hệ lực bằng nhau, nên: P=lim q ( z ) z = q ( z ) dz (b) →z 0 177 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Thay (b) vào (3-30) ta được: Pyi (a) Ki = l (3-37) m y z 2 dz  i ( ) 0 Trường hợp riêng, khi P(t) là lực điều hòa: P(t) = P sin rt (b) Lúc này PTVP dao động (3-29) sẽ là, 2 d 2 Si( t )+= i S i ( t ) K i sinrt (3-38) dt 2 178 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Phương trình (3-38) có dạng như PTVP (1-30)’ khi bỏ qua lực cản, P trong đó K vẫn được tính theo (3-37) đóng vai trò của ( 0 ), nên i M nghiệm tổng quát của nó, khi dao động đã ổn định, có dạng hoàn toàn như (1-34); nghĩa là, Ki Si(t) = (đ ) sin rt (3-39) Ki r 2 Trong đó ký hiệu, (đ) Ki = ( 1− 2 ) (3-40) ωi Lại thay (3-39) vào (3-28), ta được phương trình dao động tổng quát của hệ vô hạn BTD chịu lực kích thích điều hòa tập trung Psinrt là: Ki y(z,t) =  y i ( z ) ( đ ) sin rt (3-41) i=1 Ki Hiện tượng cộng hưởng sẽ xẩy ra khi tần số lực kích thích r trùng với một tần số dao động riêng ωi bất kỳ 179 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO Chú ý : a, Trường hợp tiết diện thanh thay đổi thì, EJ và m, trong các công thức trên phải được thay bằng EJ(z) và m(z). b, Trường hợp lực động biến đổi điều hòa, có hai cách giải bài toán: ▪ Cách thứ nhất: Sử dụng công thức truy hồi (3-36) kết hợp với (3-35) tỏ ra rất có hiệu quả nhờ có các bảng tra sẵn các hàm ảnh hưởng. ▪ Cách thứ hai: Phân tích tải trọng theo các dạng dao động riêng để tính. Lúc này sử dụng công thức (3-28)’ nếu tải trọng là phân bố, còn tải trọng tập trung ta dùng công thức (3-41). 180 powerpoint.vn
Chương 3: DAO ĐỘNG NGANG CỦA THANH THẲNG CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO VÍ DỤ 3-1: Cho dầm đơn giản hai đầu khớp dài 2m, có EJ = 16 .107 kNcm2 = hằng số; trọng lượng bản thân q = 1kN/m. Dầm chịu lực động P(kN)sinrt đặt giữa nhịp như trên hình 3.5a. (ở đây m là đơm vị đo chiều dài- mét) Yêu cầu: Vẽ biểu đồ biên độ chuyển vị động ,và mô men động. Khi tính lấy gần đúng: g = 10m/s2 ; π2 = 10 và r = 400 s-1. 181 powerpoint.vn