Bài giảng Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyêt đàn hồi - Chương 9: Bài toán phẳng trong hệ toạ độ độc cực - Trần Minh Tú

pdf 32 trang ngocly 26/05/2021 80
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyêt đàn hồi - Chương 9: Bài toán phẳng trong hệ toạ độ độc cực - Trần Minh Tú", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_co_so_co_hoc_moi_truong_lien_tuc_va_ly_thuyet_dan.pdf

Nội dung text: Bài giảng Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyêt đàn hồi - Chương 9: Bài toán phẳng trong hệ toạ độ độc cực - Trần Minh Tú

  1. ®¹ihäc CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƢỜNG LIÊN TỤC VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI Trần Minh Tú Đại học Xây dựng – Hà nội Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 1(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  2. Chƣơng 9 Bài toán phẳng trong hệ toạ độ độc cực July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 2(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  3. NỘI DUNG 9.1. Các phƣơng trình cơ bản 9.2. Hàm ứng suất 9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán chêm chịu lực tập trung 9.4. Bài toán đối xứng trục 9.5. Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên ( Bài toán Flamant) 9.6. Bài toán Boussinesq July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 3(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  4. 9.1. Các phƣơng trình cơ bản 9.1. Các phƣơng trình cơ bản • Trong nhiều trường hợp giải bài toán phẳng, sử dụng toạ độ độc cực thuận lợi hơn hệ toạ độ vuông góc. Chẳng hạn khi nghiên cứu trạng thái ứng suất và biến dạng trong các ống dày, các đĩa quay, Động cơ máy bay và hệ thống rôtor July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 4(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  5. 9.1. Các phƣơng trình cơ bản 9.1.1. Liên hệ giữa hệ toạ độ vuông góc và hệ toạ độ cực x r cos y rsin Y y r x2 y2  arctg x r  X  r     sin  cos x x r x  r r   r     cos  sin y y r y  r r  July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 5(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  6. 9.1. Các phƣơng trình cơ bản Y r  X  2  2 1  1  2 1  1  2 cos 2  sin 2  2sin cos 2 2 2 2 2 x r r r r  r  r r 2 2 1  1 2 1  1 2 sin2  cos2  2sin cos 2 2 2 2 2 y r r r r  r  r r 2 2 1  1 2 1  1 2 sin cos cos2  sin2  2 2 2 2 xy r r r r  r  r r July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 6(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  7. 9.1. Các phƣơng trình cơ bản 9.1.2. Phân tố trong hệ toạ độ cực  r Phân tố vật chất vô cùng bé lấy tại K(r, ) là hình phẳng giới hạn bởi tia  và +d và các bán kính r và r+dr K d rr r - r : trục theo hướng bán kính r   -  : trục đi qua K và vuông góc với r - u : chuyển vị theo phương r r dr - v : chuyển vị theo phương  r – thành phần ứng suất pháp theo phương bán kính r – thành phần ứng suất tiếp trên mặt có pháp tuyến theo phương bán kính r – thành phần ứng suất tiếp trên mặt có pháp tuyến theo phương tiếp tuyến (phương vòng) er – độ dãn dài tỉ đối theo phương bán kính, July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 7(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  8. 9.1. Các phƣơng trình cơ bản 9.1.3. Các phương trình cân bằng  r 1 r  r  fr 0 r r  r (9.1) 12    rr   f 0 r r r  ffr ,  - các thành phần lực thể tích theo hai phương r,  9.1.4. Các phương trình hình học Cauchy u uv1  e e r r  rr 1 u v v (9.2)  r r r r July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 8(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  9. 9.1. Các phƣơng trình cơ bản 9.1.4. Các phương trình vật lý 1 1 vv2 err () v  e ()   E rrEv1  1 1 vv2 e () v  r e ()   E Ev1 r 1 2(1 v ) 1 2(1 v ) r  r   r     GE rGE r  r  Ứng suất phẳng Biến dạng phẳng E E E 1 1  2 v v 1 v July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 9(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  10. 9.1. Các phƣơng trình cơ bản 9.1.6. Quan hệ giữa các thành phần ứng suất viết trong hai hệ trục • Để có các quan hệ giữa các thành phần ứng suất viết trong hai hệ trục ta có thể dùng ma trận biến đổi hệ trục toạ độ hoặc có thể xét cân bằng các phân tố tam giác chứa điểm K, với hai mặt có pháp tuyến trùng với trục r, trục  và một mặt có pháp tuyến trùng với phương trục x (nếu tính  xx ) , hoặc trùng với trục y (nếu tính  yy )   r y    r   xy rr xx r r  yx rr x r K yy 22 xx  rrcos   sin   r  sin 2  22 yy  rrsin   cos   r  sin 2  xy  rcos2  (  rr   )sin  cos  July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 10(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  11. 9.1. Các phƣơng trình cơ bản Toạ độ cực Toạ độ vuông góc      rr cos2   sin 2  xr22       rr cos2   sin 2  yr22    r  sin 2   cos2  xy2 r Toạ độ vuông góc Toạ độ cực      x y x y cos2   sin 2  r22 xy x  y  x  y  cos2  xy sin 2  22  xysin 2   cos2  r 2 xy July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 11(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  12. 9.2. Hàm ứng suất 2 Ứng suất 11  1   r rr r r r 22 rr  2   r 2 Y Toán tử Laplace 2 2 2 1  1 2 2 r x2 y2 r 2 r r r 2  2  X Toán tử bi-điều hoà 2  2 1  1  2  4 2 2 2 r r r r  July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 12(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  13. 9.2. Hàm ứng suất Điều kiện biên r  q   0 l 0  0 r  0   0 l   r  0 r  July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 13(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  14. 9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung 9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung - Xét đoạn nêm phẳng có chiều dày 1 đ.v, góc chắn đỉnh 2 (sơ đồ đập chắn, chi tiết hình nêm, thanh có tiết diện thay đổi theo qui luật bậc nhất, ) P Chiều dài nêm là lớn, nêm chịu lực tập trung ở đỉnh. b y Xác định các thành phần ứng suất tại điểm K(r, ) r : khoảng cách từ K đến đỉnh nêm. sr r  : góc hợp bởi r và trục x q x : trục nêm (trục đối xứng) K 2 : góc mở (góc đỉnh) nêm. a a x Phương pháp giải: Phương pháp nửa ngược- cho trước dạng hàm và làm chính xác hàm khi cho thỏa mãn đầy đủ các điều kiện của bài toán. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 14(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  15. 9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung Nhận xét: Ứng suất tại điểm K phụ thuộc vào các trị số P, r, , , . Ứng suất này càng nhỏ khi r càng lớn do đó có thể giả thiết dạng của hàm ứng suất: P k là hệ số rr kf r f  là hàm của q Theo tính chất hàm Airy thì: 2 11 P => giả thiết hàm ứng suất Airy dạng: rr 22 kf r r r r r  rf () (*) Thay (*) vào phương trình bi-điều hoà ta nhận được phương trình vi phân: d42 f d f 20 f dd42 Nghiệm của phương trình này là: f  Acos  B sin  C  cos  D  sin  July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 15(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  16. 9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung Do đó chọn dạng hàm ứng suất P r Ccos  C sin  C  cos  C  sin  b 1 2 3 4 y 2 a a rr CC43cos  sin  r r  r  0 q Điều kiện biên:  = ± =>  r  0 Các hằng số C C xác định bằng cách xét cân bằng 3 , 4 x phần nêm phía trên mặt trụ bán kính r Pcos  YC 0 3 2P sin cos 2 sin 2 rr cos  sin  r 2 sin 2 2 sin 2 Psin  XC 0  r  0  4 2 sin 2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 16(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  17. 9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung P Các trường hợp riêng: • Nêm chịu nén  y 2 2P cos  L rr r 2 +sin2 Ứng suất tại các điểm nằm trên đường x=L hoặc r L/ c os x 2P cos2  xx  rr L 2 +sin2 Ứng suất trên mặt cắt ngang vuông góc với trục x theo công thức (9.4): 2P cos4 2P cos3 sin   xx L 2 +sin2 xy L 2 +sin2 biểu đồ phân bố của thành phần ứng suất sxx July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 17(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  18. 9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung P • Nêm chịu uốn  0 y 2P sin  L rr r 2 -sin2 Ứng suất trên mặt cắt ngang vuông góc với trục x theo công thức (9.4): x P sin2  cos2   xx xx L 2 sin2 P sin2 2  xy L 2 sin2 biểu đồ phân bố của thành phần ứng suất sxx July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 18(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  19. 9.4. Bài toán đối xứng trục 9.4. Bài toán đối xứng trục Bài toán đối xứng trục: Các đại lượng là hằng số đối với biến số góc  X √ July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 19(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  20. 9.4. Bài toán đối xứng trục  Đối xứng trục (r) 0  -Chuyển vị u = u(r); v = 0. 11 2 2  1  rr   r r r r 22 r 2 rr  1 d d 2 Đối xứng trục  r   0 r dr  dr 2 r 2 2 1  1 2 4 22 0 2 2 2 r r r r  2 Đối xứng trục d 2 1 d 0 2 ĐẶC ĐIỂM BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC ĐỐI ĐIỂM ĐẶC XỨNG TOÁN BÀI dr r dr July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 20(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  21. 9.4. Bài toán đối xứng trục d   Phƣơng trình cân bằng rr rr  0 dr r du u Phƣơng trình hình học e e e r 0 rr dr r E du u  ()v rr 1  2 dr r Phƣơng trình vật lý E u du  () 1  2 r dr  r 0 ĐẶC ĐIỂM BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC ĐỐI ĐIỂM ĐẶC XỨNG TOÁN BÀI July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 21(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  22. 9.4. Bài toán đối xứng trục Phương trình và nghiệm bài toán theo chuyển vị Khi thay giá trị của ứng suất trong phương trình vật lý vào phương trình cân bằng ta nhận được phương trình: d 2u 1 du u 0 dr 2 r dr r 2 Giải phương trình trên, nghiệm tổng quát có dạng: Các hằng C2 u C1 r số xác định r theo điều Thay chuyển vị vào phương trình định luật Hooke: kiện biên tuỳ từng E 1  bài toán cụ rr 22[CC12 (1 ) ]  1  r thể. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 22(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  23. 9.4. Bài toán đối xứng trục Ví dụ1: Ống dày có bán kính trong a, bán kính ngoài b, chịu áp lực trong pa, áp lực ngoài pb  0  0 Điều kiện biên: r ra r rb  p  p rara rbrb 11  p a22 p b p p ab22 ur a b a b 2 2 2 2 E b a E b a r p a2 p b 2() p p a 2 b 2 1  a b a b rr b2 a 2 b 2 a 2 r 2 p a2 p b 2() p p a 2 b 2 1  a b a b  b2 a 2 b 2 a 2 r 2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 23(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  24. 9.4. Bài toán đối xứng trục Chú ý: Trong các công thức trên cần phân biệt rõ bài toán ứng suất phẳng hay biến dạng phẳng. Chẳng hạn nếu ống dày chịu áp lực vuông góc thành ống, khi hai đầu chiều dài ống để tự do thì đây là bài toán ứng suất phẳng; khi hai đầu chiều dài ống bị ngàm chặt hoặc ống có chiều dài lớn thì đây là bài tóan biến dạng phẳng. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 24(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  25. 9.5. Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên ( Bài toán Flamant) Nửa mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng, gọi là biên, chịu lực tập trung P vuông góc với đường biên Đây là trường hợp riêng của bài toán nêm P với 2 = và  = /2 y 1. Ứng suất tại điểm K(r, ) sẽ là  2PP cos 2 rd cos d r  rr  0 rd r  x d - đường kính đường tròn đi qua điểm đặt K rr lực và điểm tính ứng suất => những điểm nằm trên cùng đường tròn, có giá trị ứng suất srr như nhau => Những đường tròn đồng ứng suất, d càng bé thì ứng suất càng lớn Tuy nhiên chỉ có thể cho nghiệm chính xác khi d đủ lớn (xa miền đặt lực – nguyên lý Saint-Venant) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 25(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  26. Thí nghiệm quang đàn hồi - những đường vân đẳng ứng suất chính July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 26(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  27. 9.5. Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên ( Bài toán Flamant) • Trong nhiều trường hợp ta cần phải xác định các thành phần ứng suất trong hệ toạ độ vuông góc (áp lực theo phương thẳng đứng và nằm ngang khi tính toán nền móng) • Dùng công thức chuyển hệ trục toạ độ. Ứng suất trong hệ toạ độ vuông góc xy 2 2Px3 2P xy 2P x2 y   xx 2 yy 2  xy 2 xy22 xy22 xy22 • Trị số của các thành phần ứng suất theo phương thẳng đứng sxx và ứng suất trượt sxy ở khoảng cách x = H kể từ biên của bán phẳng: July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 27(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  28. 9.5. Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên ( Bài toán Flamant) Biểu đồ áp lực theo phương thẳng đứng, phương nằm ngang và áp lực trượt P c y  yy v3 v 3P/8 c  xy h b v3 v 3P/8 b  xx x July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 28(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  29. 9.5. Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên ( Bài toán Flamant) 2. Chuyển vị tại các điểm trong bán phẳng P - u - chuyển vị theo phương bán kính r y - v - chuyển vị theo phương vòng q  d r 2P 1  P u Bsin C cos  ln r sin   cos  x EE K rr 2 P 1  P v Bcos C sin  sin  sin   cos  Dr EE Các hằng số B, C, D xác định từ điều kiện biên - Chuyển vị u đối xứng qua trục x, chuyển vị v trên trục đối xứng x phải bằng 0 - Giả thiết trên trục x (q = 00) ở khoảng cách x=H nào đó không có chuyển vị theo phương thẳng đứng (thích hợp với bài toán nền móng) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 29(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  30. 9.5. Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên ( Bài toán Flamant) 2PH 1  P u ln cos  sin  E r E 22PHP 1  P v ln sin lsin  sin   cos  E r E E 3. Chuyển vị tại các điểm trên biên Các chuyển vị tại các điểm trên biên suy ra từ công thức trên với q=p/2 và q =-p/2 1  P u 0 E 2PH 1  P Độ lún v0 ln E r E July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 30(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  31. 9.6. Bài toán Boussinesq Vật thể đàn hồi chiếm phần k hông gian z>=0 chịu lực tập tr ung P vuông góc với mặt giới h ạn z=0 Là bài toán đối xứng trục nên: rz v 0 z P r 12 vR z u 2 4  R R z R P 12 vR 3 r2 z  rr 23 2 2 R R z R Pz wv 21 2 4 RR 12 vP Rz 3 2  2 3Pz 3P rz 3 R R z R  zz 23  rz 23 2 2 2 2 2 RR 2 RR R x y z July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 31(31) Email: tpnt2002@yahoo.com
  32. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 32(31) Email: tpnt2002@yahoo.com