›
›

Bài giảng Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyêt đàn hồi - Chương 8: Nhập môn phương pháp phần tử hữu hạn - Trần Minh Tú

pdf 62 trang ngocly 3290
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyêt đàn hồi - Chương 8: Nhập môn phương pháp phần tử hữu hạn - Trần Minh Tú", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_co_so_co_hoc_moi_truong_lien_tuc_va_ly_thuyet_dan.pdf

Nội dung text: Bài giảng Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyêt đàn hồi - Chương 8: Nhập môn phương pháp phần tử hữu hạn - Trần Minh Tú

  1. ®¹i häc CƠCƠ SỞSỞ CƠCƠ HỌCHỌC MÔIMÔI TRƯỜNGTRƯỜNG LIÊNLIÊN TỤCTỤC VVÀÀ LÝLÝ THUYÊTTHUYÊT ĐĐÀÀNN HỒIHỒI TrầnMinhTú ĐạihọcXâydựng–Hànội Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 1(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  2. Chương 8 Nhập môn phương pháp phần tử hữu hạn July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 2(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  3. NỘI DUNG 8.1.8.1. Mở Mở đầu đầu 8.2.8.2. Kh Khááii niệm niệm về về Phương Phương ph pháápPTHHpPTHH 8.3.8.3. Tr Trìnhình tự tự phân phân tí tchích b bààitoitoáánn theo theo PP PP PTHH PTHH 8.4.8.4. Phần Phần tử tử tam tam gi giáácc trong trong ph phéépp giải giải theo theo chuyển chuyển vị vị July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 3(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  4. 8.1. Mở đầu 8.1.8.1. Mở Mở đầu đầu Trong chương trước, ta đã giải bàitoán phẳng theo ứng suất với việc sử dụng hàm ứng suất Airy dạng đa thức hoặc chuỗi lượng giác – các lời giải nàylà lờigiảigiảitích. Số bàitoán cho nghiệm giải tích là rất ít, đặc biệt là những bàitoán không gian. Với cácbàitoán không thể cho nghiệm giải tích, người ta thường tìm cách giải gần đúng – kết quả không phải là hàmgiảitích mà là giá trị của các đại lượng cần tìm tại một số điểm nhất định trong vật thể và trên biên => Phương phápsố Phương phápsố: 9Giải cácphươngtrình vi phân: tích phân số, sai phân hữu hạn (rời rạc hóatoán học, đưa cácphươngtrình vi phân về các phương trình đại số) 9Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH): rời rạc hoá mô hình vật thể - mô hình tương thích, mô hình cân bằng và mô hình hỗn hợp. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 4(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  5. 8.1. Mở đầu • Ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực • Các ứng dụng ‰ Cơ học/Hàng không/Xây dựng/ Công nghiệp ô tô ‰ Phân tích kết cấu (tĩnh, động,tuyến tính/phi tuyến) ‰ Nhiệt/dòng chảy ‰ Điện từ ‰ Cơ học đất đá ‰ Sinh học ‰ July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 5(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  6. 8.1. Mở đầu July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 6(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  7. 8.2. Khái niệm về Phương phápPTHH 8.2.8.2. Kh Khááii niệm niệm về về Phương Phương ph pháápPTHHpPTHH Miền xác định V của vật thể chia thành một số hữu hạn các miền con - phần tử hữu hạn (finite element), liên kết với nhau tại các nút (node). 2 3 e 1 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 7(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  8. 8.2. Khái niệm về Phương phápPTHH Trong phạm vi mỗi phần tử, đại lượng cần tìmđượclấyxấpxỉbởimột hàm đơn giản nàođó gọi là hàm dạng (shape function) hoặc hàm nội suy (interpolation function). Cáchàmnày được biểu diễn qua giá trị của hàm tại cácđiểmnútphầntử. Sốlượngcácgiá trị nàytạimỗinút gọi là bậc tự do của nút. Tổng số bậc tự do của cácnút trong phần tử là số bậc tự do củaphầntửvà là ẩn số cần tìmcủabàitoán. Tùy theo ý nghĩa vật lý của hàmxấpxỉmà người ta có thể phân tích bài toántheocácmôhình: • Mô hình tương thích: ẩn số cơ bản là chuyển vị (được sử dụng rộng rãi hơn). • Mô hình cân bằng: ẩn số cơ bản là ứng suất. • Mô hình hỗn hợp: ẩn số vừa là ứng suất vừa là chuyển vị. Giả thiết: Các phần tử chỉ liên kết với nhau tại cácnút. Tại nútcó chuyển vị nútvà lực nút. Lực nút bao gồm lực tương tácgiữacácphần tử và tải trọng nút (tải tập trung tại nút, tải trọng phân bố qui đổi về nút) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 8(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  9. 8.3. Trình tự phân tích bàitoán theo PP PTHH 8.3.8.3. Tr Trìnhình tự tự phân phân tí tchích b bààitoitoáánn theo theo PP PP PTHH PTHH Bước 1: Rời rạc hoá miền khảo sát Miền khảo sát V được chia thành các phần tử Ve có hình dạng thích hợp. Số phần tử, hình dạng hình học, kích thước phần tử được xácđịnh. Số điểm nút từng phần tử được lất tùy thuộc vào dạng hàm xấp xỉ định chọn. Các phần tử thường có dạng hình học đơn giản. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 9(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  10. Mesh Elements One-dimensional Planar Shell Solid July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 10(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  11. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 11(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  12. 8.3. Trình tự phân tích bàitoán theo PP PTHH Bước 2: Chọn hàmxấpxỉthích hợp Giả thiết dạng hàm xấp xỉ sao cho đơn giản khi lập trình máytính nhưng đồng thời phải thỏa mãn điều kiện hội tụ. Bước3:Xây dựng ma trận độ cứng phầntử [Ke] và vec tơ tảiphầntử {Pe} bằng nhiều cách: trựctiếp, sử dụng nguyên lý biến phân, Phương trình phầntử có thể biểudiễndướidạng K qP= q á []e {}ee { } { }e -vectơc c bậc tự do của phần tử. Bước 4: Ghépnốicácphầntửđểcó hệ thống phương trình [K ] -ma trận độ cứng tổng thể []Kq{ } = { P} {q} -vectơ chuyểnvị nút tổng thể {P} -vectơ tảitổng thể. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 12(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  13. 8.3. Trình tự phân tích bàitoán theo PP PTHH Sử dụng các điềukiệnbiênđể nhận đượchệ phương trình để giải * (*) ⎣⎦⎡⎤K {qP} = { } Bước5:Giảihệ phương trình (*) để tìm các chuyểnvị nút => Xác định ứng suất, biếndạng trong từng phầntử. 4 5 11 3 2 1413121 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 13(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  14. 8.4. Phần tử tam giáctrongphép giải theo chuyển vị 8.4.8.4. Phần Phần tử tử tam tam gi giáácc trong trong ph phéépp giải giải theo theo chuyển chuyển vị vị 8.4.1. Phần tử tam giáctrongphép giải theo chuyển vị (mô hình tương thích) • Cácnút: i, j, k – đánh số theo chiều ngược chiều kim đồng hồ • Toạ độ cácnút : ()xyii,,,,,() xy j j( x kk y) • Chiều dày phần tử: t • Diện tích phần tử: 111 1 Δ= Det x x x 2 ijk yyijk y July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 14(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  15. 8.4. Phần tử tam giáctrongphép giải theo chuyển vị • Vec tơ chuyển vị nút: mỗi nútcó hai thành phần chuyển vị theo hai phương x, y là u, v • Vec tơ chuyển vị nútphầntử ⎧⎫u ⎫ i ⎬ displacements at node i ⎪⎪v ⎪⎪i ⎭ ⎧⎫qi ⎪⎪⎪⎪uj ⎫ {}qq==⎨⎬⎨⎬j ⎬ displacements at node j e v ⎪⎪⎪⎪q j ⎭ ⎩⎭k ⎪⎪ uk ⎫ ⎪⎪ ⎬ displacements at node k ⎩⎭vk ⎭ ⎧⎫qi ⎪⎪ T T qquvuvuvqqqqqq== = {}e ⎨⎬jiijjkk{}{}123456 ⎪⎪q ⎩⎭k July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 15(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  16. 8.4. Phần tử tam giáctrongphép giải theo chuyển vị Chuyển vị tại điểm bất kỳ bên trong phần tử: u, v UN(,)xy= (,) xy q {} { }e Hàm dạng ⎡NN00N 0 ⎤ (shape function) N = 12 3 ⎢ 00NN0 N ⎥ Hàmnộisuy ⎣ 12  3 ⎦ (interpolation function) Node 1 Node 2 Node 3 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 16(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  17. 8.4. Phần tử tam giáctrongphép giải theo chuyển vị • Vectơlựctươngtáctạinútphầntử: Tại cácnútđềucó lực tương tác giữa cácphầntửtagọichúng là cáclựcnút. Tại mỗi nútcó 2 thành phần lực nút theo hai phương x, y là U, V, chúng tạo thành vec tơ lực nút phần tử ⎧⎫Ri ⎪⎪ T RRUVUVUV {}e ==⎨⎬jiijjkk{} ⎪⎪ ⎩⎭Rk July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 17(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  18. 8.4. Phần tử tam giáctrongphép giải theo chuyển vị • Vec tơ tải trọng nútphầntử : tại cácnútcó tải trọng tác dụng (tải trọng tập trung hoặc tải trọng phân bố qui đổi về tải trọng tập trung tại nút) mà 2 thành phần theo hai phương là X và Y ⎧⎫Fi ⎪⎪ T T FFXYXYXYFFFFFF== = {}e ⎨⎬jiijjkk{}{}123456 ⎪⎪ ⎩⎭Fk July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 18(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  19. 8.4. Phần tử tam giáctrongphép giải theo chuyển vị Khi ghépcácphầntửthành vật thể thì theo điều kiện cân bằng, tổng cáclựctươngtác phần tử tại mỗi nút sẽ triệt tiêu và chỉ còn tổng các tải trọng tại từng nút. Cũng do vật thể ở trạng thái cân bằng nên tại cácnútcáclựccũng phải cân bằng, và do vậy tại nútthứi ta có (e là số phần tử tại núti): ∑{}{}RFii= e Trên mỗi phần tử, các tải trọng nútphầntửcó thểbiểudiễnqua chuyển vị nút (từ điều kiện cân bằng phần tử): -ma tr n đ c ng ph [Ke ] ậ ộ ứ ần tử FKq= { }ee[]e { } q - vec tơ chuyểnvị nút phần tử { }e {F} -vectơ tảitrọng nútphầntử. ẩn số cần tìm e July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 19(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  20. 8.4. Phần tử tam giáctrongphép giải theo chuyển vị 8.4.2. Hàm xấp xỉ chuyển vị Giả thiết chuyển vị tại điểm bất kỳ thuộc phần tử là hàm bậc nhất của toạ độ. ux(), y =+α12ααx + 3y vx(), y =+α45ααx + 6y Như vậy giá trị chuyển vị núttạicácđỉnhi, j, k sẽ là: uxiii=+α12αα + 3y uxyj =+α12ααjj + 3 uxkkk=+α12αα + 3y αi vxyiii=+α45αα + 6 vxyj =+α45ααjj + 6 vxykkk=+α45αα + 6 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 20(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  21. 8.4. Phần tử tam giáctrongphép giải theo chuyển vị Biểu thức của chuyển vị. 1 ux(), y =++++++++[]abxcy uabxc⎡⎤y uabxc [y ]u 2Δ {}ii i i⎣⎦ j j j j kk k k 1 vxy(), =++++++++[] a bxcyv⎡⎤ a bx cyv [ a bx cyv ] 2Δ {}ii ii⎣⎦ j j j j kk k k trong đó: axijkkj=−y x y byyi = j − k cxxijk= −+ axj =−kiy x iky byyj = ki− cxxj = −+ki cxx axyxykijji=− byykij= − ki= −+j (8.10) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 21(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  22. 8.4. Phần tử tam giáctrongphép giải theo chuyển vị 8.4.3. Biểuthứcbiếndạng Theo quan hệ chuyểnvị -biếndạng : ∂u ∂v ∂uv∂ ε = , ε = , γ =+ xx ∂x yy ∂y xy ∂y ∂x ⎧⎫ε xx ⎡bbi 000j bk ⎤ ⎪⎪1 ⎢ ⎥ T εε==⎨⎬yy 00cci j 0 cuvuvuvk{} i j j j k k 2Δ ⎢⎥ ⎪⎪ ⎢⎥ ⎩⎭2ε xy ⎣cbci i j bc j k b k ⎦ ⇒={}ε []Bq{} ⎡⎤bbijk000 b e 1 ⎢⎥ []Bccc= 00 0 2Δ ⎢⎥ijk Ma trận hình học ⎢⎥ ⎣⎦cbcii j bc jkk b July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 22(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  23. 8.4. Phần tử tam giáctrongphép giải theo chuyển vị 8.4.4. Biểuthức ứng suất Quan hệ ứng suất – biến dạng : ⎡⎤ ⎧⎫σνεxx ⎢⎥10⎧⎫xx ⎪⎪ E ⎢⎥⎪⎪ σσ==⎨⎬yy ν10⎨⎬ εyy =[][]D Bq{} 1−ν 2 ⎢⎥ e ⎪⎪σν⎢⎥1− ⎪⎪ε ⎩⎭xy ⎢⎥00 ⎩⎭xy ⎣⎦2 Ma trận đànhồi ⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎢⎥10ν ⎢10−νν ⎥ E ⎢⎥ E ⎢ ⎥ D = ν 10 []D =−⎢ νν10⎥ [] 2 ⎢⎥ (1+−νν )(1 2 ) 1−ν ⎢ 12− ν ⎥ ⎢⎥1−ν ⎢ 00 ⎥ ⎢⎥00 2 ⎣⎦2 ⎣ ⎦ (ứng suất phẳng) (biến dạng phẳng) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 23(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  24. 8.4. Phần tử tam giáctrongphép giải theo chuyển vị 8.4.5. Quan hệ lực nút - chuyểnvị nút - Ma trận độ cứng phầntử Nguyên lý chuyểnvị khả dĩ Lagrange Ởtrạngthái cân bằng nếu hệ có thêm các chuyển vị khả dĩ thì trị tuyệt đối của công ngoại lực và của công nội lực bằng nhau: A = U Ởtrạngthái cân bằng phần tử có: - vec tơ lực nút {Fe} - vec tơ chuyển vị nút {qe} -vectơ biếndạng {ε} = [B]{qe} -vectơ ứng suất {σ} = [D][Bq]{ e} * Khi cho cácnút phần tử một chuyển vị khả dĩ {}qe phần tử có biến dạng khả dĩ là {ε } = [Bq]{ e } July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 24(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  25. 8.4. Phần tử tam giáctrongphép giải theo chuyển vị Công của ngoạilực {}Fe trên các chuyển vị khả dĩ là: * T A = {qFee} {} Công nội lực trên toànbộphàntử: T T T Ut==εσ dStBqσ dStqBDBqdS =T ∫∫{}{} ([]{ eee}) {} ∫{ } [][][]{} SS S * T T k ⇒=ΔUtq{ ee} [][][] B DBq{} CânbằngvớicôngA, tathuđượcbiểuthức: FtBDBqKq=Δ T = F = k.u {}ee()[][][]{} []e {}e Độ cứng lò xo Ma trận độ cứng phầntử [Ke] July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 25(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  26. 8.4. Phần tử tam giáctrongphép giải theo chuyển vị Ma trận độ cứng phầntử T [Ke ][=ΔtB][D][B] KB= T DBdV Tổng quát: [ ee]66××∫[ ]63[ e]3×3[ e]3×6 V Với phần tử tam giác ma trận độ cứng phần tử là ma trận (6x6): ⎡kk11 12 k13 k14 k15 k16 ⎤ ⎢ ⎥ kk21 22 k23 k24 k25 k26 []Kk==⎡⎤⎢ ⎥ ei⎣⎦j⎢ ######⎥ ⎢ ⎥ kkkkkk ⎣ 61 62 63 64 65 66 ⎦66× July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 26(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  27. 8.4. Phần tử tam giáctrongphép giải theo chuyển vị 8.4.6. Ma trận độ cứng tổng thể (kếtcấu) ™ Thế năng biến dạng đànhồitoànkếtcấu N UUUUU= +1 2 +" +N ∑ =e e=1 ™ Ghépnối N N 1 T 1 T UU=∑e d = ∑{}e k[]e d{} e = {} u[]{} K u e=1 e=1 2 2 ™ Ma trận độ cứng tổng thể Tăng kích thước ma trận ˆ ˆ ˆ =[]K [k1 +] [k 2] +" [kN +] Kích thướcma trận độ cứng tổng thể phụ thuộcvàokíchthướccủavec tơ chuyểnvị nút tổng thể (DOF) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 27(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  28. 8.4. Phần tử tam giáctrongphép giải theo chuyển vị 8.4.6 Qui đổi tải trọng về cácnút: - Trong phương pháp phầntử hữuhạnngườitagiả thiếtcáctảitrọng đều đặttại các nút để thuậntiệnkhilập các phương trình cân bằng giữa ngoạilựcvànộilựctại các nút. -Nếu trong phầntử có những tảitrọng tập trung không đặttại các nút, hoặclàtảitrọng phân bố thì cầnphảiqui đổi chúng về nút mộtcách đơngiản theo nguyên lý tương đương tĩnh học. T -Nếutrênbiêncủaphầntử có lực phân bố bề mặt{}p = {ppxy} thì vec tơ lực nút qui đổisẽ là: T FNptdsp = ds là vi phân chiều dài biên của phần tử { e } ∫[]{} - Nếu tại điểm bất kỳ có toạ độ (x, y) trong phần tử có tác dụng của lực tập trung {}PPP= { x y } p T vec tơ lực nút qui đổi: {FNPe } = [ ] {} July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 28(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  29. 8.4. Phần tử tam giáctrongphép giải theo chuyển vị với [N] là ma trận cáchàm dạng và tính theo: ⎡⎤NN000 N Nabxcyiiii= ( ++) /2 Δ N = ijk []⎢⎥Nabxcy= ++/2 Δ ⎣⎦00NNijk 0 N jjjj() Nabxcykkkk= ()++/2 Δ Tổng hợpvectơ lực nút qui đổivàvectơ tảitrọng đặttại các nút ta đượcvectơ tảitrọng nút phầntử p {Peee} =+{FF} { } July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 29(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  30. 8.4. Phần tử tam giáctrongphép giải theo chuyển vị • Nguyên tắc chung để qui đổidựatrêncơ sở tương đương về công: Công sinh ra bởicáclực đã cho trên các chuyểnvị của điểm đặtcủa chúng theo phương, chiều đãchobằng công sinh ra do các lực nút tương đương trên các thành phần chuyểnvị nút có cùng phương, chiều đãchọn. • Trong thực hành tính cáclựcnút tương đương của PTHH do tải trọng phân bố ta có thểtiếnhành như tính phản lực của một dầm tựa đơn, chịu tải trọng phân bố tương ứng. q q L L V =qL/2 V =qL/2 VA=qL/6 A B VB=qL/3 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 30(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  31. 8.4. Phần tử tam giáctrongphép giải theo chuyển vị 8.4.7. Phương trình chung toànkếtcấu Sau khi rời rạc hoá kết cấu để thu được phương trình cho từng phần tử, bâygiờtasẽghép nối các phần tử lại để có hệ phương trình chung cho toànkếtcấu. ¾ Các chuyểnvị nút phảithoả mãn điềukiệnliêntụccủabiếndạng: chuyểnvịở cùng một nút thuộc các phầntử khác nhau phảinhư nhau. Với bài toán phẳng, nếuhệ có n nút => 2n ẩn chuyểnvị => Vec tơ chuyểnvị nút tổng thể (toàn kết cấu): T {}Qqqq= {123" q 212nn− q} ¾ Các lực nút phảithỏamãnđiềukiệncânbằng => sau khi ghép các phầntử, các lực liên kếtgiữa các phầntử triệt tiêu nhau, ở nút chỉ còn tảitrọng. Vec tơ tải trọng nút toàn kếtcấucũng có 2n số hạng: T {}PPPP= {123" P 212nn− P} ¾ Sau khi ghép nối ta nhận được hệ phương trình chung cho toànkếtcấucó dạng: K à [K]{QP} = { } [ ]22nn× - ma trậnđộcứngtổngthểto n kết cấu July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 31(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  32. 8.4. Phần tử tam giáctrongphép giải theo chuyển vị 8.4.8. Hệ phương trình để giải Sau khi ghép nối để nhận đượchệ phương trình (8.20), trước khi giảicần áp đặtcácđiềukiện biên theo chuyểnvị để khử bớtcácẩnsố và khử dạng suy biếncủama trận[K] -Nếu ẩnsố chuyểnvị qi = 0 bỏ dòng i củavectơ {Q}, và {P}, đồng thời gạch bỏ dòng i và cộticủama trận[K] July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 32(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  33. Ví dụ 8.1 1. Thiết lập ma trận độ cứng của một PTHH tam giác phẳng ở trạng thái ứng suất phẳng có toạ độ cácđỉnhlà (1,2), (1,4), (3,3). Khi tính lấy hệ số Poisson ν=0.25. Gợi ý cácbướcthựchiện: ƒ Biểu diễn toạ độ cácđỉnhtam giác trong hệ trục vuông góc xy ƒ Đánh số cácnúttheothứtựi, j, k ngược chiều kim đồng hồ. ƒ Xác định toạ độ các đỉnh, tính diện tích phần tử theo (6.1) ƒ Tính cáchệsốa, b, c theo (8.10) => Tính ma trận hình học [B] theo (8.12) ƒ Xácđịnhma trậnđànhồi[D] theo (8.14) ƒ Tínhma trậnđộcứngphầntử[Ke] theo (8.15) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 33(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  34. Ví dụ 8.2 Cho tấm có hình dạng, kích thước, liên kết và chịu tải trọng như hình vẽ. Tính trường ứng suất phátsinhtrongtấm. Khitính lấy ν = 0,25 q a q 2a 2a July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 34(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  35. Ví dụ 8.2 Bước 1: chia phần tử, đánh số phần tử, số nút, số ẩn số X • Chia làm 3 phần tử tam giác: 1, 2. và 3 X2 4 1 a 2 á á ú • Đ nhsốthứtực cn t: 1, 2, 3, 4, 5 X 1 X3 • Mỗi nútcó 2 thành phần chuyển vị u, v 1 Bảng định vị các phần tử: 2a 2 3 Bậc tự do 1 2 3 4 5 6 X10 Phần tử X6 X8 X5 X7 1 125 6 34 3 a4 a 5 X9 2 3 4 5 6 7 8 3 347 8 910 Vec tơ chuyển vị nút tổng thể: T {}X= {X1,,XX23456,,XX,X,X78,X,X9,X10} July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 35(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  36. Ví dụ 8.2 Bước 2: Xácđịnhcác ma trận độ cứng phần tử [K ] e y Phần tử 1: X X2 4 a xi = 0 yi = 2a i X1 X xj = 0 yj = 0 k 3 xk = a yk = 2a 1 2a bi= -2a bj= 0 bk= 2a X ci= a cj= -a ck= 0 6 j X5 x Diện tích phần tử: Δ = a2 111 axyxyijkkj= − byyijk=− cxxijk= −+ 1 Δ= Det x x x axyxyj = ki− ik byyj =−ki cxxjki= −+ 2 i j k axyxy= − byy=− cxx= −+ yyi j yk kijji kij kij July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 36(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  37. Ví dụ 8.2 Ma trận hình học: ⎡⎤−200020aa⎡−20 0 020⎤ 1 ⎢⎥1 ⎢ ⎥ []Baa=−2 0000[]B =−010 100 1 2a ⎢⎥1 2a ⎢ ⎥ ⎣⎦⎢⎥aaa−−2002 a ⎣⎢ 121002−− ⎦⎥ Ma trận vật lý: ⎡ 10,250⎤ ⎡820⎤ 16E ⎢ ⎥ 2E ⎢ ⎥ []D = 0, 25 1 0 []D = 280 15 ⎢ ⎥ 15 ⎢ ⎥ ⎣⎢ 000,375⎦⎥ ⎣⎢003⎦⎥ ⎡⎤ ⎢⎥10ν ⎡bb000 b⎤ E ⎢⎥ ijk D = ν 10 1 ⎢ ⎥ [] 2 ⎢⎥ []Bccc= 00 0 1−ν 2Δ ⎢ ijk⎥ ⎢⎥1−ν ⎢ ⎥ ⎢⎥00 cbcii j bc jkk b ⎣⎦2 ⎣ ⎦ July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 37(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  38. Ví dụ 8.2 Ma trậnđộcứngphầntử: T [K ] =ΔtB[ ] [D][B] y e X X2 4 a 1 25634 X i 1 k X3 ⎡⎤35 −−10 3 4 −32 6 1 1 ⎢⎥ ⎢⎥−−10 20 6 8 4 −12 2 2a Et ⎢⎥−−36300 65 K = X []e 1 ⎢⎥6 30 48−−08406 j ⎢⎥X5 x ⎢⎥−−32 4 0 4 32 0 3 k61 ⎢⎥ ⎣⎦61−−2600124 k46 XX= ,,XX,X,X,XT Vec tơ chuyển vị nút phần tử: {}1 {125634} July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 38(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  39. Ví dụ 8.2 1234 5 6 7 8 9 10 35 -10-32 6 -3 4 1 1 25634 -10 20 4-126-8 2 1 ⎡⎤35−− 10 3 4 − 32 6 -32 4 32 0 0-4 3 ⎢⎥2 ⎢⎥−−−10 20 6 8 4 12 6-12012 -60 4 ⎢⎥−−36300 65 -3 6300 -6 5 ⎢⎥6 ⎢⎥480840−−4 -12 -4 0 0 8 6 ⎢⎥−−32 4 0 4 32 0 3 7 ⎢⎥ ⎣⎦61260012−− 4 8 9 10 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 39(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  40. Ví dụ 8.2 Phần tử 2: y X4 xi = a yi = 2a i xj = 0 yj = 0 X3 xk = a yk = 0 2 2a bi= 0 bj= -2a bk= 2a X6 X8 ci= a cj= 0 ck= -a j X5 X7 x 2 Diện tích phần tử: Δ = a a k 111 axyxyijkkj= − byyijk=− cxxijk= −+ 1 Δ= Det x x x axyxyj = ki− ik byyj =−ki cxxjki= −+ 2 i j k axyxy= − byy=− cxx= −+ yyi j yk kijji kij kij July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 40(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  41. Ví dụ 8.2 Ma trận hình học: ⎡⎤00− 2aa 0 2 0 ⎡00− 2 0 2 0⎤ 1 ⎢⎥1 ⎢ ⎥ []Ba=−2 0000 a[]B =−01 0 0 0 1 2 2a ⎢⎥2 2a ⎢ ⎥ ⎣⎦⎢⎥aaaa00−− 2 2 ⎣⎢10 0−− 2 1 2⎦⎥ Ma trận vật lý: ⎡ 10,250⎤ ⎡820⎤ 16E ⎢ ⎥ 2E ⎢ ⎥ []D = 0, 25 1 0 []D = 280 15 ⎢ ⎥ 15 ⎢ ⎥ ⎣⎢ 000,375⎦⎥ ⎣⎢003⎦⎥ ⎡⎤ ⎢⎥10ν ⎡bb000 b⎤ E ⎢⎥ ijk D = ν 10 1 ⎢ ⎥ [] 2 ⎢⎥ []Bccc= 00 0 1−ν 2Δ ⎢ ijk⎥ ⎢⎥1−ν ⎢ ⎥ ⎢⎥00 cbcii j bc jkk b ⎣⎦2 ⎣ ⎦ July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 41(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  42. Ví dụ 8.2 Ma trậnđộcứngphầntử: T [Ke ] =ΔtB[ ] [D][B] y 3 45678 X4 ⎡⎤30 0 −−6 3 63 ⎢⎥X3 ⎢⎥08−4 0 4 −84 Et ⎢⎥04−−320 324 K = 5 []e 2 ⎢⎥2 2a 30 ⎢⎥−−60 0 12 6 126 ⎢⎥−−3 4 32 6 35 −10 7 X6 X8 k63 ⎢⎥X X x ⎣⎦68−−4 12−10208 5 7 a k86 XX= ,,XX,X,X,XT Vec tơ chuyển vị nút phần tử: {}2 {345678} July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 42(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  43. Ví dụ 8.2 Phần tử 3: y X4 xi = a yi = 2a i xj = a yj = 0 X3 xk = 2a yk = 0 2a 3 b = 0 b = -2a b = 2a i j k X X8 10 ci= a cj= -a ck= 0 X7 x Diện tích phần tử: 2 Δ = a a j a k X9 111 axyxyijkkj= − byyijk=− cxxijk= −+ 1 Δ= Det x x x axyxyj = ki− ik byyj =−ki cxxjki= −+ 2 i j k axyxy= − byy=− cxx= −+ yyi j yk kijji kij kij July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 43(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  44. Ví dụ 8.2 Ma trận hình học: ⎡⎤00− 2aa 0 2 0 ⎡00− 2 0 20⎤ 1 ⎢⎥1 ⎢ ⎥ []Baa=−2 00 00[]B =−01 0 100 3 2a ⎢⎥3 2a ⎢ ⎥ ⎣⎦⎢⎥aaaa0202−− ⎣⎢10−− 1 202⎦⎥ Ma trận vật lý: ⎡ 10,250⎤ ⎡820⎤ 16E ⎢ ⎥ 2E ⎢ ⎥ []D = 0, 25 1 0 []D = 280 15 ⎢ ⎥ 15 ⎢ ⎥ ⎣⎢ 000,375⎦⎥ ⎣⎢003⎦⎥ ⎡⎤ ⎢⎥10ν ⎡bb000 b⎤ E ⎢⎥ ijk D = ν 10 1 ⎢ ⎥ [] 2 ⎢⎥ []Bccc= 00 0 1−ν 2Δ ⎢ ijk⎥ ⎢⎥1−ν ⎢ ⎥ ⎢⎥00 cbcii j bc jkk b ⎣⎦2 ⎣ ⎦ July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 44(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  45. Ví dụ 8.2 Ma trậnđộcứngphầntử: T [Ke ] =ΔtB[ ] [D][B] y 3 478910 X4 ⎡⎤30−−3 6 0 63 ⎢⎥X3 ⎢⎥08−−4 8 4 04 Et ⎢⎥−−3 4 35 10 −32 −6 7 K = 2a []e 3 ⎢⎥3 30 ⎢⎥−−6 8 10 20 −4 −12 8 X ⎢⎥04−−32 432 09 X8 10 k83 ⎢⎥X x ⎣⎦60−−6 120 1210 7 a a X9 K10,8 X = X,,,XXX,X,X T Vec tơ chuyển vị nút phần tử: {}2 {3478910} July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 45(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  46. Ví dụ 8.2 Bước 3: Xác định ma trận độ cứng toànkếtcấu[K] e K = ⎡K ⎤ K = k [ ]10× 10 ⎣ ij ⎦ ij ∑ ij 35 -10 -32 6 -3 4 0 0 0 0 -10 20 4 -12 6 -8 0 0 0 0 -32 4 38 0 0 -10 -6 0 0 6 6 -12 0 28 -10 0 0 -16 4 0 Et [K] = -3 6 0 -10 35 0 -32 4 0 0 30 4 -8 -10 0 0 20 6 -12 0 0 0 0 -6 0 -32 6 70 0 -32 -6 0 0 0 -16 4 -12 -32 40 -4 -12 000400-32-4320 0 0 6 0 0 0 -6 -12 0 12 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 46(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  47. Ví dụ 8.2 Bước3:Xác định vec tơ tảitrọng nút toàn kếtcấu T {}PP= {12,,PP3,,P4P5,P6,P7,P8,P9,P10} q P2=qa/2 P =qa/2 4 P P2 4 1 a 2 P =qa P 3 1 P3 q 2a P P6 P8 10 P5 P7 P =qa 9 3 a 4 a 5 P9 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 47(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  48. Ví dụ 8.2 Ta có: P2=qa/2 P4=qa/2 qa P2 =− P3 = −qa 2 P3=qa qa P =− P = −qa 4 2 9 PPPPPP1567810=== =0 P9=qa qa T {}P =− {}0121000020 2 Phương trình viết cho kết cấu: [K ].{XP} = { } July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 48(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  49. Ví dụ 8.2 X Bước5:Áp đặt điều kiện biên X2 4 a Từ đặc điểm liên kết, ta có: 1 2 X 1 X3 XXXXX156910=== =0 1 => Loại bỏ 2a 2 3 X ,,,,XXXX á 156910trong vec tơ c cẩnsố X X6 X8 10 => Loại bỏ X5 X7 P156910,,,,PPPPtrong vec tơ tải trọng 3 a4 a 5 X9 => Loại bỏ các dòng, các cột 1, 5, 6, 9, 10 trong ma trận độ cứng [K] ⎧⎫12041200 ⎡ − ⎤⎧X 2 ⎫ ⎪⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ 2438060− X 3 qa⎪⎪⎪ ⎪⎪ Et ⎢ ⎥⎪ ⎪ −=⎨112028016⎬⎨⎢⎥−−X 4 ⎬ 230⎢⎥ ⎪0060700⎪⎪− X ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥7 ⎪ ⎢⎥ ⎩⎭⎪00016040⎪⎪ ⎣ − ⎦⎩⎭X 8 ⎪ July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 49(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  50. Ví dụ 8.2 Loại bỏ các dòng, các cột 1, 5, 6, 9, 10 trong ma trận độ cứng [K] 35 -10 -32 6 -3 4 0 0 0 0 ⎧ X1 ⎫ ⎧ P1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ -10 20 4 -12 6 -8 0 0 0 0 X P ⎪ 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ -32 4 38 0 0 -10 -6 0 0 6 ⎪ X 3 ⎪ ⎪ P3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 6 -12 0 28 -10 0 0 -16 4 0 P ⎪ X 4 ⎪ ⎪ 4 ⎪ -3 6 0 -10 35 0 -32 4 0 0 ⎪ ⎪ ⎪ P ⎪ Et ⎪ X 5 ⎪ ⎪ 5 ⎪ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ 4 -8 -10 0 0 20 6 -12 0 0 P 30 ⎪ X 6 ⎪ ⎪ 6 ⎪ ⎪ ⎪ 00-60-326700-32-6 ⎪ X ⎪ P7 ⎪ 7 ⎪ ⎪ ⎪ 0 0 0 -16 4 -12 -32 40 -4 -12 P ⎪ X 8 ⎪ ⎪ 8 ⎪ 000400-32-4320 ⎪ ⎪ ⎪ X ⎪ P9 ⎪ 9 ⎪ ⎪ ⎪ 006000-6-12012 ⎪ P ⎪ ⎪⎩⎭X10 ⎪ ⎩⎭10 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 50(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  51. Ví dụ 8.2 Phương trình để giải: ⎧⎫12041200 ⎡ − ⎤⎧X 2 ⎫ ⎪⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ 2438060− X 3 qa⎪⎪⎪ ⎪⎪ Et ⎢ ⎥⎪ ⎪ −=⎨112028016⎬⎨⎢⎥−−X 4 ⎬ 230⎢⎥ ⎪0060700⎪⎪− X ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥7 ⎪ ⎢⎥ ⎪⎩⎭00016040⎪⎪ ⎣ − ⎦⎩⎭X 8 ⎪ Nghiệm của phương trình: ⎧⎫X 2 ⎧0,104⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ X 3 0,042 ⎪⎪⎪ ⎪⎪15qa ⎪ ⎪ ⎨X 4 ⎬⎨=− 0,104⎬ Et ⎪X ⎪⎪0,004⎪ ⎪ 7 ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭X 8 ⎪⎪⎩⎭0,042⎪ July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 51(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  52. Ví dụ 8.2 Ứng suất trong các phần tử: Phần tử 1 σ ==DB X DB X X X X X XT 1[ ][ ]11{}1 [ ][ ] {}125634 ⎧⎫0 ⎪⎪ ⎪⎪0,104 ⎧⎫σ xx ⎡⎤⎧−−16 2 0 2 16 0 0,884⎫ ⎪⎪ qq⎢⎥⎪⎪0 ⎪ ⎪ σσ1 ==−−⎨⎬yy 480 − 840⎨ ⎬=− ⎨1,001 ⎬ tt⎢⎥0 ⎪⎪σ ⎢⎥363006−− ⎪ ⎪ ⎪ 0,001 ⎪ ⎩⎭xy ⎣⎦⎩⎪⎪0,042 ⎭ ⎪⎪ ⎩⎭0,104 Phần tử 2, 3 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 52(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  53. Ví dụ 8.2 Ứng suất tại cácnút: ∑σ r Ứng suất tại núti σ = i n n - số phần tử có nútI, r – tên phần tử có núti July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 53(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  54. Ansys application Example 1: Circular and circle Holes in a Plate Under Uniform Tension ( FEM Mesh and load condition Distribution of x-stress July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 54(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  55. Example 2: Circular Disk Under Diametrical Compression FEM Mesh and load condition Distribution of x-stress July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 55(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  56. Abaqus application Example 1: Circular and ellipse Holes in a Plate Under Uniform Tension FEM Mesh and load condition Distribution of x-stress July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 56(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  57. BÀI TẬP LỚN Giải bài toán phẳng củalýthuyết đàn hồibằng phương pháp phầntử hữuhạn đốivớicáctấmchịulực cho trên các sơđồ kèm theo. Trình tự thực hiện 1. Vẽ lại tấm với cáckích thước, liên kết và tải trọng theo cácsơđồđược giao. 2. Chia tấm thành 4 phần tử tam giác theo gợi ý trên sơ đồ. Đánh số tên các phần tử, tên cácnút. 3. Gọi tên cácẩnsốchuyểnvịnút, viết véc tơ chuyển vị nút. 4. Xác định ma trận độ cứng của từng phần tử, kèm theo ký hiệu của các thành phần trong ma trận. 5. Tìm ma trận độ cứng chung cho toàntấm. 6. Tìmvéctơlựcnút. 7. Theo điều kiện biên, khử dạng suy biến của ma trận độ cứng, thu gọn dạng phương trình để giải. 8. Giải phương trình. Viết lại các kết quả của véctơchuyểnvịnút. 9. Tính các ứng suất trong từng phần tử 10.Tính ứng suất tại cácnút theo cácgiá trị trung bình. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 57(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  58. Sơ đồ liên kết Số sơđồ ĐiểmA ĐiểmB ĐiểmC ĐiểmD ĐiểmE 1 u=v=0 v=0 v=0 u=0 2 u=0 u=v=0 v=0 v=0 3 v=0 u=v=0 v=0 u=0 4 u=0 u=0 u=0 v=0 u=0 5 u=0 v=0 u=v=0 u=0 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 58(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  59. Sơđồ hình học Trong các sơđồ dưới đây, các phầntử là những hình tam giác vuông cân có cạnh bên là a ACB A B ACB DE CD E DE I II III July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 59(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  60. Sơ đồ tải trọng q 2q q Sơ đồ tấm Sơ đồ tấm q 2q q q 2q A B July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 60(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  61. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 61(53) Email: tpnt2002@yahoo.com
  62. July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi 62(53) Email: tpnt2002@yahoo.com