Bài giảng Cơ học đất - Chương III: Phân bố ứng suất trong đất

Nội dung text: Bài giảng Cơ học đất - Chương III: Phân bố ứng suất trong đất

1. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất Ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất Bμi 1 Phân bố ứng suất do trọng l−ợng bản thân của đất I. một số vấn đề cơ bản 1. áp lực n−ớc lỗ rỗng vμ ứng suất hiệu quả Khi ứng suất bên ngoμi truyền lên khối đất bão hoμ, áp lực n−ớc lỗ rỗng sẽ tăng tức thời. Điều đó lμm cho n−ớc lỗ rỗng có xu h−ớng chảy thoát khỏi hệ lỗ rỗng, áp lực n−ớc lỗ rỗng sẽ giảm đi vμ ứng suất tác dụng truyền cho kết cấu hạt của đất. Tại một thời điểm sau khi đặt tải, ứng suất tổng tác dụng sẽ cân bằng bởi hai thμnh phần nội ứng suất. - áp lực n−ớc lỗ rỗng (u): lμ áp lực gây ra trong chất lỏng (n−ớc, hoặc hơi n−ớc vμ n−ớc) chứa đầy lỗ rỗng. Chất lỏng trong lỗ rỗng có thể truyền ứng suất pháp nh−ng không truyền đ−ợc ứng suất tiếp, vì thế không tạo đ−ợc sức chống cắt. Vì vậy đôi khi còn gọi lμ áp lực trung tính. - ứng suất hiệu quả (σ’): lμ ứng suất truyền cho kết cấu đất qua chỗ tiếp xúc giữa các hạt. Chính thμnh phần ứng suất nμy đã điều khiển cả biến dạng thay đổi thể tích vμ sức chống cắt của đất vì ứng suất pháp vμ ứng suất tiếp truyền qua đ−ợc chỗ tiếp xúc hạt với hạt. Terzaghi (1943) chỉ ra rằng, với đất bão hoμ, ứng suất hiệu quả có thể xác định theo sự chênh lệch giữa ứng suất tổng vμ áp lực n−ớc lỗ rỗng: σ’ = σ - u (31-1) Giả sử xác định ứng suất tại một điểm A nh− hình (3-1) vμ xem nh− ứng suất thẳng đứng tại γ điểm A nằm ở độ sâu (h # h ) h1, 1 2 MNN - ứng suất tổng: σ = h .γ + h .γ 1 2 bh σ ở điểm A gồm cả áp lực n−ớc lỗ rỗng (u) vμ h2; γbh ứng suất có hiệu (σ’) tại điểm tiếp xúc giữa các hạt đất. A Hình 3-1 Trong điều kiện hiện tr−ờng tự nhiên không có dòng thấm, áp lực n−ớc lỗ rỗng thuỷ tĩnh đ−ợc đặc tr−ng bởi mặt n−ớc ngầm hay mức n−ớc ngầm. Nếu mặt n−ớc Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 1
2. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất ngầm nằm sâu d−ới mặt đất (dn) thì tại độ sâu (z ) , áp lực n−ớc lỗ rỗng thuỷ tĩnh tính theo công thức: uz = 9.81*(z-dn) (31-3) - Khi z>dn , uz có giá trị d−ơng; - Khi z<dn vμ n−ớc mao dẫn duy trì trên mặt n−ớc ngầm thì uz có giá trị âm (vì hút ẩm). Trong nhiều bμi toán, ứng suất hiệu quả tĩnh của lớp phủ cần tính tại một độ sâu đã cho, theo ph−ơng trình (3-1) : σ’z = σz - u (31-4) Ví dụ 1: Các lớp đất tại một công tr−ờng gồm có: 3 3 0-4m cát chứa cuội (γbh = 20kN/m ; γ = 19.2kN/m ) 4-9m đất sét (γ = 18.0kN/m3) Vẽ sơ đồ ứng suất hiệu quả / ứng suất tổng từ 0-9m khi mặt n−ớc ngầm ở trên đỉnh lớp sét 1m. Bμi giải: Lớp cát chứa cuội ở d−ới mực n−ớc σ'z; uz (kN/m3) 0 ngầm lμ bão hoμ vμ có trọng l−ợng đơn X vị tự nhiên lμ 20kN/m3, cho nên độ tăng ứng suất tổng theo độ sâu lμ: 57.6 2 mực nuớc ngầm Δσz = γbhxΔz = 20xΔz (kN/m ) 3 9.8 77.6 4 Trên mặt n−ớc ngầm, đất không bão hoμ có trọng l−ợng đơn vị lμ 19.2kN/m3 vμ uz σ'z 2 z Δσz = γxΔz = 19.2x.Δz (kN/m ) σz Trong lớp sét, vì có tính thấm nhỏ kết hợp với độ hút ẩm cao nên luôn tạo ra 58.8 167.6 sự bão hoμ ở trên mặt n−ớ ngầm. 9 ứng suất hiệu quả tại độ sâu đã cho: Z σ’z= σz - uz Hình 3-3 Các tính toán đ−ợc xếp vμo trong bảng d−ới đây: Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 2
3. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất ứng suất (kN/m2) Độ sâu ứng suất tổng ứng suất n−ớc lỗ rỗng ứng suất hiệu quả (m) Δσz σz uz σ’z = σz - uz 03 0 0 0 0 4 19.2x3 = 57.6 57.6 0 57.6 9 20.0x1 = 20.0 77.6 9.81x1 = 9.8 67.8 18.0x5 = 90.0 167.6 9.81x6 = 58.8 108.8 Ví dụ 2: Tại một công tr−ờng, lớp cát bụi trên mặt dμy 5m nằm trên lớp bùn sét dμy 4m, phía d−ới lμ đá không thấm. Hãy vẽ sơ đồ ứng suất hiệu quả / ứng suất tổng cho các điều kiện sau đây: a) mặt n−ớc ngầm bằng mặt đất. b) mặt n−ớc ngầm ở độ sâu 2.5m, lớp cát bụi ở trên mặt n−ớc ngầm đ−ợc bão hoμ bằng n−ớc mao dẫn. Trọng l−ợng đơn vị của cát bụi lμ 18.5kN/m3; của sét lμ 17.7kN/m3; Bμi giải: mực nuớc ngầm σ'z; uz (kN/m3) 0 σ'z; uz (kN/m3) 0 -24.5 X X 46.3 mực nuớc ngầm 49.1 92.5 24.5 92.5 5 5 uz σ'z uz σ'z z z 88.3 163.3 63.8 163.3 9 9 Z Z Hình 3-4 a) Khi mặt n−ớc ngầm bằng mặt đất: Toμn bộ đất bị ngập n−ớc, khi đó trọng l−ợng đơn vị = γbh vμ áp lực n−ớc lỗ rỗng = 9.81z Kết quả tính toán đ−ợc xếp thμnh bảng d−ới đây: Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 3
4. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất ứng suất (kN/m2) Độ sâu ứng suất tổng ứng suất n−ớc lỗ ứng suất hiệu rỗng quả (m) Δσz σz uz σ’z = σz - uz 0 0 0 0 0 5 18.5x5 = 92.5 92.5 9.81x5 = 49.1 43.4 9 17.7x4 = 70.8 163.3 9.81x9 = 88.3 75.0 b) Khi mặt n−ớc ngầm ở độ sâu 2.5m: Lớp đất nằm trên mực n−ớc ngầm đã bão hoμ vμ áp lực n−ớc lỗ rỗng sẽ âm. D−ới mực n−ớc ngầm, áp lực n−ớc lỗ rỗng sẽ d−ơng: uz = 9.81(z-2.5) Các tính toán đ−ợc xếp trong bảng d−ới đây: ứng suất (kN/m2) Độ sâu ứng suất tổng ứng suất n−ớc lỗ ứng suất hiệu rỗng quả (m) Δσz σz uz σ’z = σz - uz 0 0 0 -9.81x2.5 = -24.5 -24.5 2.5 18.5x2.5 = 46.25 46.25 0 46.25 5 18.5x2.5 = 46.25 92.5 9.81x2.5 = 24.5 68.0 9 17.7x4 = 70.8 163.3 9.81x6.5 = 63.7 99.6 3. ảnh h−ởng của dòng thấm tới ứng suất có hiệu - Khi không có dòng thấm thì ứng suất có hiệu tại A đ−ợc xác định nh− sau: σ’ = σ - u = (γ.h1 +γbh.h2) - γn.h2 = γ.h1 + (γbh - γn).h2 = γ.h1 + γ’.h2 - Khi có dòng thấm, giả sử từ d−ới lên trên, thì ứng suất tại A xác định nh− sau: σ = γbh.h1 + γbh.h2 u = γn.(h1 + h2 + h) Do đó: σ’ = σ - u Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 4
5. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất σ’ = (γbh.h1 + γbh.h2) - γn.(h1 + h2 + h) ⎛ h ⎞ ' ⎜ ⎟ σ = ()h1 + h2 .⎜γ '− γ n ⎟ = ()()h1 + h2 . γ '−i.γ n ⎝ h1 + h2 ⎠ ⎛ h ⎞ ⎜ ⎟ Nếu Gradient thuỷ lực rất cao thì .⎜γ '− γ n ⎟ = ()γ '−i.γ n sẽ bằng 0. Điều nμy có ⎝ h1 + h2 ⎠ nghĩa lμ sẽ không có ứng suất tiếp xúc giữa các hạt đất vμ kết cấu của đất sẽ bị phá hoại. Nh− vậy, ảnh h−ởng của dòng thấm tới ứng suất có hiệu lμ : - Nếu dòng thấm có h−ớng đi lên tác động tới các hạt đất, lúc nμy áp lực thấm J sẽ lμm giảm ứng suất giữa các hạt đất dẫn tới lμm giảm ứng suất có hiệu. σ’ = σ’đ – (i.γn).h (31-6) - Ng−ợc lại, nếu dòng thấm h−ớng xuống d−ới, sẽ lμm tăng ứng suất có hiệu. σ’ = σ’đ + (i.γn).h (31-7) Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 5
6. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất ứng suất do tải trọng tập trung Bμi 2: gây ra Trong thực tế tải trọng công trình bao giờ cũng thông qua đáy móng mμ truyền tải trọng xuống đất nền d−ới dạng tải trọng phân bố trên một diện tích nhất định chứ không ở dạng tải trọng tập trung. Tuy nhiên, bμi toán xác định ứng suất trong đất d−ới tác dụng của tải trọng tập trung có một ý nghĩa rất cơ bản về mặt lý thuyết vμ lμ cơ sở để giải quyết các bμi toán tính ứng suất khi tải trọng phân bố trên những diện tích theo những hình dạng khác nhau. Có ba tr−ờng hợp cơ bản cần xem xét: Lực tập trung thẳng đứng tác dụng trên mặt đất, lực tập trung nằm ngang tác dụng trên mặt đất vμ lực tập trung nằm ngang d−ới mặt đất. Bây giờ ta đi xét từng bμi toán cụ thể: I. Lực tập trung thẳng đứng tác dụng trên mặt đất (Bμi toán boussineque): 1. Điều kiện bμi toán: - Xét nền đất đồng nhất, đẳng h−ớng, mặt đất nằm ngang. - Điểm M có toạ độ (x,y,z) trong nền đất nh− hình vẽ chịu tác dụng của tải trọng tập trung thẳng đứng P (kN) trên mặt đất. P(kN) 0 Mặt đất x σz z τzx y τzy τxy τyz σx M τyx τxz x σy z Hình 3.2-1: Trạng thái ứng suất tại điểm M. - Xác định trạng thái ứng suất tại M do tải trọng tập trung P gây ra. Tại M luôn tồn tại một trạng thái ứng suất với các thμnh phần ứng suất pháp σx, σy, σz vμ các thμnh phần ứng suất tiếp τxy=τyx, τxz=τzx, τzy=τyz. Các thμnh phần ứng suất nμy do tải trọng bản thân đất vμ tải trọng ngoμi gây ra. Trong bμi 1 chúng ta đã xác định đ−ợc các thμnh phần ứng suất do tải trọng bản thân đất gây ra, trong bμi nμy Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 6
7. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất chúng ta sẽ đi xác định các thμnh phần ứng suất trên do tải trọng ngoμi d−ới dạng lực tập trung thẳng đứng tác dụng trên mặt đất gây ra. 2. Các giả thiết tính toán: Để xác định ứng suất do tải trọng tập trung thẳng đứng tác dụng lên mặt đất gây lên thì giáo s− ng−ời pháp J. Boussinesq đã giải vμ đ−a ra đ−ợc các biểu thức tính toán dựa trên các giả thiết sau: - Nền đất lμ một môi tr−ờng đồng nhất, đẳng h−ớng. - Nền đất lμ một bán không gian vô hạn biến dạng tuyến tính. => Quan hệ ứng suất vμ biến dạng lμ quan hệ đ−ờng thẳng (theo định luật Hooke). 3. Thμnh lập công thức: - Gọi O lμ gốc hệ toạ độ cực trùng với điểm đặt lực P. Điểm M đ−ợc xác định bởi bán kính R (OM) vμ góc β nh− hình vẽ 2.2-2. - Để tìm đ−ợc các thμnh phần ứng suất tại điểm M nh− trên ta giải bμi toán trong hệ toạ độ cực để tìm ứng suất pháp tổng σR tác dụng lên mặt phẳng qua M vμ thẳng góc với bán kính R. Sau đó ta chiếu ứng suất pháp tổng trên các mặt phẳng trong hệ toạ độ OXYZ ta đ−ợc các ứng suất thμnh phần. P(kN) 0 Mặt đất x β R z y x M dR M1 z Hình 3.2-2 - Cho R một số gia rất nhỏ dR, ta có điểm M1. - Theo giả thiết 3, áp dụng định luật Hooke ta có: σ R = B .ε R (3.2-1) Trong đó: B – Hệ số tỷ lệ. εR – Biến dạng t−ơng đối của đoạn dR. Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 7
8. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất - D−ới tác dụng của lực P điểm M có một chuyển vị S theo ph−ơng R. Qua thực nghiệm ta thấy rằng S tỷ lệ nghịch với R (R cμng lớn thì S cμng nhỏ) vμ S tỷ lệ nghịch với β hay tỷ lệ thuận với cosβ (0 ≤β ≤900). Từ nhận xét trên ta có thể viết: cos β S = A (3.2-2) R Trong đó: A – Hệ số tỷ lệ. - T−ơng tự nh− vậy ta có chuyển vị của điểm M1 theo ph−ơng R lμ: cos β S = A (3.2-3) 1 R + dR - Theo lý thuyết đμn hồi ta có biến dạng t−ơng đối εR của đoạn dR lμ: S − S 1 ⎛ A A ⎞ cos β A ε = = ⎜ − ⎟ = cos β (3.2-4) R dR ⎝ R R + dR ⎠ dR R 2 + RdR Bỏ qua đại l−ợng RdR vì nó quá nhỏ so với R2, Ta có: A ε = cos β (3.2-5) R R 2 - Thay εR vμo 3.2-1 ta đ−ợc: A σ = B cos β (3.2-6) R R 2 - Để xác định AB ta dựa vμo điều kiện cân bằng tĩnh ( ∑ Z = 0 ): π /2 − σ β = P ∫ R cos dF 0 (3.2-7) 0 Tr−ớc hết ta vẽ một bán cầu có tâm O vμ bán kính bằng R. ứng suất σR tác dụng trên khắp bán cầu vμ biến đổi từ O tại mặt phẳng giới hạn đến giá trị cực đại ở trục Z. Xét một phân tố hình đới cầu có chiều cao dh (hình 3.2-3) trên mặt bán cầu với giả thiết ứng suất σR không đổi trên mặt đai đó. P(kN) 0 x β d β R y dF dh σR σR z Hình 3.2-3 ở đây: Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 8
9. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất dF – Diện tích mặt đới cầu dF = 2πRdh (3.2-8) Với h lμ chiều cao đới cầu. dh = R cos β − R cos(β + dβ ) = R cos β − R cos β cosdβ + R sin β sindβ (3.2-9) ≈ Rdβ sin β vì dβ rất nhỏ. => dF = 2πR 2dβ sin β - Thay σR vμ dF vμo 3.2-7 ta đ−ợc: π /2 P − AB 2π ∫ cos 2 β sin βdβ = 0 0 (3.2-10) cos 3 β P + AB 2π π /2 = 0 3 0 Vậy ta có: 2 P = πAB 3 (3.2-11) 3P Hay AB = 2π Thay vμo 3.2-6 ta đ−ợc: 3P 1 σ = cos β (3.2-12) R 2π R 2 - Ta có σR lμ ứng suất pháp của mặt phẳng đi qua M vμ vuông góc với OM. Để tìm các ứng suất thμnh phần trên mặt phẳng nằm ngang ta chuyển σR về mặt phẳng nằm ngang. + Gọi σ’R lμ ứng suất h−ớng tâm tác dụng trên mặt phẳng nằm ngang đi qua điểm M (hình 3.2-4 ). + Gọi FR lμ diện tích mặt cắt phân tố tại M có ph−ơng vuông góc với OM. + Gọi F’R lμ diện tích mặt cắt phân tố tại M theo ph−ơng ngang. Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 9
10. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất P(kN) P(kN) 0 Mặt đất x 0 Mặt đất x β R β R z σR' y FR y σz σR r τzx σR' τzy M F'R z z Hình 3.2-4 Khi đó lực tác dụng lên phân tố theo ph−ơng OM lμ: Q = σ R F R = σ'R F 'R (3.2-13) Ta lại có FR/F’R=cosβ. Vậy ta có: σ'R = σ R cos β (3.2-14) Thay giá trị σR từ 3.2-12 vμo 3.3-14 vμ cosβ=z/R 3 P z 2 σ' = (3.2-15) R 2 π R 4 Chiếu σ’R xuống 3 trục thẳng góc nhau ta đ−ợc các trị số ứng suất tác dụng trên mặt phẳng nằm ngang tại M: 3 P z 3 σ = σ' cos(σ' ,Z ) = z R R 2 π R 5 3 P yz 2 τ = σ' cos(σ' ,Y ) = (3.2-16) zy R R 2 π R 5 3 P xz 2 τ = σ' cos(σ' ,X ) = zx R R 2 π R 5 Trong đó: cos(σ’R ,Z); cos(σ’R ,Y), cos(σ’R ,X) – lμ cos của các góc hợp bởi ph−ơng của σ’R lần l−ợt với ph−ơng Z,Y,X. cos(σ’R ,Z) = z/R; cos(σ’R ,Y) = y/R; cos(σ’R ,X) = x/R - Lμm t−ơng tự đối với các mặt của phân tố đất ta sẽ có ứng suất của các mặt khác nh− sau: Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 10
11. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất 3 P ⎪⎧zx 2 1 − 2μ ⎡R 2 − Rz − z 2 x 2 (2R + z ) ⎤⎪⎫ σ = + − x ⎨ 5 ⎢ 3 3 2 ⎥⎬ 2 π ⎩⎪ R 3 ⎣ R (R + z ) R (R + z ) ⎦⎭⎪ 3 P ⎪⎧zy 2 1 − 2μ ⎡R 2 − Rz − z 2 y 2 (2R + z )⎤⎪⎫ σ y = ⎨ 5 + ⎢ 3 − 3 2 ⎥⎬ (3.2-17) 2 π ⎩⎪ R 3 ⎣ R (R + z ) R (R + z ) ⎦⎭⎪ 3 P ⎧xyz 1 − 2μ xy(2R + z ) ⎫ = − τ xy ⎨ 5 3 2 ⎬ 2 π ⎩ R 3 R (R + z ) ⎭ Tổng ứng suất: P z θ = σ +σ +σ = (1 + μ) (3.2-18) x y z π R 3 - Các thμnh phần chuyển vị theo các ph−ơng: P (1 + μ) ⎡ z 2 1 ⎤ = + − μ Ph−ơng OZ: w ⎢ 3 2(1 ) ⎥ 2πE ⎣R R ⎦ P (1 + μ) ⎡xz x ⎤ = + − μ Ph−ơng OX: u ⎢ 3 2(1 ) ⎥ 2πE ⎣ R R(R + z )⎦ (3.2-19) P (1 + μ) ⎡ yz y ⎤ = + − μ Ph−ơng OY: v ⎢ 3 2(1 ) ⎥ 2πE ⎣ R R(R + z )⎦ Trong đó: μ – Hệ số nở hông. E – Mô đun đμn hồi *) Trong thực tế tính toán ta th−ờng dùng công thức tra bảng sau để tính ứng suất σz: P σ = k z z 2 3 1 (3.2-20) Với k = π r 2 5 /2 2 [1 + ( ) ] z Trong đó: r – Khoảng cách từ điểm đang xét tới trục Oz k – Hệ số tra bảng phụ thuộc vμo r/z đ−ợc tra theo bảng 3-1 trong SGK. ) Nếu tại mặt đất có nhiều lực tập trung cùng tác dụng P1, P2, P3 nh− hình vẽ . Thì ứng suất nén σz tại điểm bất kỳ cho các mặt phẳng nằm ngang song song với mặt phẳng biên có thể tính bằng công thức cộng tác dụng: Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 11
12. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất P P P σ = k 1 + k 2 + k 3 + z 1 z 2 2 z 2 3 z 2 (3.3-19) 1 n σ = Hay z 2 ∑ k 1Pi z i =1 II. Lực tập trung nằm ngang tác dụng trên mặt đất Khi có tải trọng tập trung Q nằm ngang tác dụng trên măt đất thì ứng suất nén thẳng đứng tại điểm M bất kỳ lμ: 3 Q xz 2 σ = (3.3-20) z 2 π R 5 Tổng ứng suất chính: Q x θ = (1 + μ ) (3.3-21) π 0 R 3 Trong đó: R2 = x2 + y2 + z2 Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 12
13. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất phân bố ứng suất trong tr−ờng Bμi 3: hợp bμi toán không gian. 1. Tải trọng phân bố đều trên diện tích hình chữ nhật. a. Xét bμi toán: - Xét tải trọng phân bố đều trên mặt đất có c−ờng độ p (kN/m2) trên diện tích HCN có kích th−ớc F = lxb. - Xác định trạng thái ứng suất tại M d−ới nền đất do tải trọng phân bố trên gây ra. b p dP x 0 R z M b x 0 y x l y b. Giải bμi toán: - Chọn hệ trục toạ độ Oxyz nh− hình vẽ, điểm M có toạ độ lμ (x0, y0,z0) - Trong phạm vi HCN lấy vi phân dF=dxdy, toạ độ (x,y,0) - Khi đó tải trọng phân bố trên diện tích dF coi nh− tải trọng tập trung: dP = p dxdy - áp dụng kết quả bμi toán Boussinesq ta có ứng suất tại M do lực dP tác dụng lμ: 3p z 3 dσ = 0 dxdy (3.4-1) z 2π R 5 => ứng suất tại M do lực phân bố trên cả diện tích HCN lμ: 3p b /2 l /2 dxdy σ = z 3 z 0 ∫∫ 2 2 2 5 /2 (3.4-2 2π −−b /2 l /2 [(x 0 − x ) + ( y 0 − y ) + z 0 ] Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 13
14. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất Nh− vậy muốn tính đ−ợc σz ta phải biết đ−ợc toạ độ của điểm M. Thay giá trị toạ độ điểm M vμo CT 3.4-2 rồi khai triển tích phân ta thu đ−ợc σz do tải trọng phân bố đều trên diện tích HCN. - Trong thực tế để tiện tính toán ta sử dụng các công thức tra bảng sau: + Các điểm nằm d−ới tâm diện tích chịu tải hình chữ nhật M(0,0,z): σ z 0 = k 0 p (3.4-3) Trong đó: ko tra bảng 3.3 trang 95 giáo trình Cơ học đất, phụ thuộc vμo zo/b, l/b Nếu các giá trị zo/b vμ l/b không nằm trong bảng tính phải tiến hμnh nội suy. + Các điểm nằm d−ới góc diện tích chịu tải hình chữ nhật M(±b/2, ±l/2, z): σ zg = k g p (3.4-4) Trong đó: kg tra bảng 3.4 trang 96 giáo trình Cơ học đất, phụ thuộc vμo zo/b, l/b + Tổng ứng suất các điểm nằm d−ới góc diện tích chịu tải hình chữ nhật M(±b/2, ±l/2, z): θ = λ.p(1 +ν ) (3.4-5) Trong đó: λ tra bảng 3.5 trang 97 giáo trình Cơ học đất, phụ thuộc vμo zo/b, l/b c. Ph−ơng pháp điểm góc. Theo ph−ơng pháp tra bảng ta tìm đ−ợc ứng suất tại các điểm nằm trên trục thẳng đứng OZ đi qua tâm HCN hay đi qua góc HCN. Đối với các điểm không thuộc 2 loại trên ta phải áp dụng ph−ơng pháp điểm góc. Ta xác định các HCN ảo sao cho điểm cần tính ứng suất nằm trên trục Oz vμ đi qua tâm hoặc góc của các HCN nμy sau đó áp dụng công thức cộng tác dụng để xác định ứng suất. - Ta tính σz tại điểm M tại độ sâu zo trên đ−ờng thẳng đứng đi qua O nằm trong phạm vi tác dụng tải trọng abcd, Ta chia abcd thμnh 4 hình chữ nhật mỗi hình chịu tải riêng biệt vμ coi mỗi hình đó nh− một diện tích chịu tải riêng biệt. Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 14
15. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất p p O O o o z z MM a e b a b e h f O c d g c d f h g O Ph−ơng pháp điểm góc - Tra hệ số kg vμ áp dụng công thức 3.4-2 ta đ−ợc: σ z = [kg (aeoh) + kg(oebf ) + kg(ofcg) + kg(ogdh) ]p (3.4-6) - Nếu điểm O nằm ngoμi phạm vi tác dụng tải trọng, ta giả định các diện tích chịu tải ảo nh− hình trên vμ tính σz theo CT 3.4-2: σ z = [kg (aeoh) − kg (beog) − kg(dfoh) + kg(cfog) ]p (3.4-7) 2. Tải trọng phân bố tam giác trên diện tích hình chữ nhật. a. Xét bμi toán: - Xét tải trọng phân bố tam giác trên mặt đất có c−ờng độ lớn nhất p (kN/m2) trên diện tích HCN có kích th−ớc F = lxb. - Xác định trạng thái ứng suất tại M d−ới nền đất do tải trọng phân bố tam giác trên gây ra. b dP p x 0 R M z b 0 x y x l dF y Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 15
16. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất b. Giải bμi toán: - Chọn hệ trục Oxyz có trục Ox nằm trên mặt đất, h−ớng theo chiều tăng tải trọng phân bố, gốc O trùng với góc có p=0 nh− hvẽ. Điểm M có toạ độ lμ (x0,y0,z0). - Trong phạm vi HCN lấy vi phân dF=dxdy, toạ độ (x,y,0) - Khi đó tải trọng phân bố trên diện tích dF coi nh− tải trọng tập trung: p dP = xdxdy b - ứng suất tại M do lực dP tác dụng lμ: 3p z 3 dσ = 0 xdxdy (3.4-1) z 2πb R 5 => ứng suất tại M do lực phân bố trên cả diện tích HCN lμ: 3p bl xdxdy σ = z 3 z 0 ∫∫ 2 2 2 5 /2 (3.4-2 2πb 00[(x 0 − x ) + ( y 0 − y ) + z 0 ] Nh− vậy muốn tính đ−ợc σz ta phải biết đ−ợc toạ độ của điểm M. Thay giá trị toạ độ điểm M vμo CT 3.4-2 rồi khai triển tích phân ta thu đ−ợc σz do tải trọng phân bố tam giác trên diện tích HCN. - Trong thực tế để tiện tính toán ta sử dụng các công thức tra bảng sau: + Các điểm nằm d−ới góc móng có p lớn nhất: σ z = kT p (3.4-3) + Các điểm nằm d−ới góc móng có p = 0: σ z = k'T p (3.4-4) Trong đó các hệ số kT, k'T phụ thuộc l/b vμ zo/b đ−ợc tra trong bảng 3.6a vμ 3.6b trang 100 vμ 101 giáo trình Cơ học đất: + Các điểm khác ta áp dụng ph−ơng pháp điểm góc. Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 16
17. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất phân bố ứng suất trong tr−ờng Bμi 4: hợp bμi toán phẳng 1. Tải trọng đ−ờng thẳng (bμi toán Flamant). a. Xét bμi toán: - Xét tải trọng đ−ờng phân bố đều có c−ờng độ p (kN/m) trên mặt đất. - Xác định trạng thái ứng suất tại M d−ới nền đất do tải trọng gây ra. p(kN/m) dy 0 x pdy R (0,y,0) M(xo,0,zo) y z b. Giải bμi toán: - Chon hệ trục toạ độ Oxyz nh− hình vẽ. Điểm M có toạ độ (x0,0,z0) - Lấy vi phân dy trên trục Oy, toạ độ (0,y,0) - Khi đó tải trọng phân bố trên dy coi nh− tải trọng tập trung: dP = pdy - áp dụng bμi toán Boussinesq ta có ứng suất tại M do lực dP tác dụng lμ: 3p z 3 dσ = 0 dy (3.5-1) z 2π R 5 => ứng suất tại M do toμn bộ tải trọng đ−ờng gây ra lμ: 3p +∞ dy σ = z 3 z 0 ∫ 2 2 2 5 /2 (3.5-2) 2π −∞[x 0 + y + z 0 ] Nh− vậy muốn tính đ−ợc σz ta phải biết đ−ợc toạ độ của điểm M. Thay giá trị toạ độ điểm M vμo CT 3.4-2 rồi khai triển tích phân ta thu đ−ợc σz do tải trọng đ−ờng phân bố đều trên trục Oy ta có. 2.p.z 3 σ = 0 z 2 2 2 (3.5-3) π.(x 0 + z 0 ) - Lμm t−ơng tự ta có: Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 17
18. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất 2.p.x 2 z 2.p x z 2 σ = 0 0 τ = 0 0 x 2 2 2 ; xz 2 2 2 (3.5-4) π.(x 0 + z 0 ) π (x 0 + z 0 ) c. Nhận xét: - Về mặt thực tế bμi toán nμy không gặp nhiều. - Về mặt lý thuyết nó có ý nghĩa quan trọng, kết quả của bμi toán nμy đ−ợc dùng lμm cơ sở để giải các bμi toán phẳng khác. 2. Tải trọng phân bố đều trên diện tích hình băng. a. Xét bμi toán: - Xét tải trọng phân bố đều có c−ờng độ p (kN/m) trên diện tích hình băng (có bề rộng b). - Xác định trạng thái ứng suất tại M d−ới nền đất do tải trọng gây ra. b dx p 0 x β β1 β2 R o z x-xo Z M(xo,0,zo) b. Giải bμi toán: - Chon hệ trục toạ độ Oxyz nh− hình vẽ. Điểm M có toạ độ (x0,0,z0) - Trên bề rộng b của diện tích băng tại toạ độ (x,0,0) lấy phân tố có chiều rộng dx. - Khi đó tải trọng phân bố trên dx coi nh− tải trọng đ−ờng: dP = pdx - áp dụng bμi toán Flamant ta có ứng suất tại M do lực dP tác dụng lμ: 3 3 2dP z0 2 p z0 dσ z = 2 2 2 = 2 2 2 dx (3.5-5) π [(x − x0 ) + z0 ] π [(x − x0 ) + z0 ] - Đặt các góc β, β1, β2 nh− hình vẽ. + Quy −ớc về dấu đối với các góc β nh− sau: lấy dấu "+" khi điểm xét nằm bên trái đ−ờng trục thẳng đứng qua vị trí của góc β. Nh− vậy các góc β1, β2 lấy dấu Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 18
19. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất "+" khi điểm xét nằm ngoμi phạm vi mép móng, lấy dấu "-" khi điểm xét nằm trong phạm vi mép móng. z + Từ hình vẽ ta có: x-x = z *tgβ => dx = 0 dβ 0 o cos 2 β 2 2 2 (x-x0) + z0 = R + Thay vμo CT 3.5-6 ta có: β1 3 β1 4 2 p z0 .zdβ 2 p z0 dβ σ z = = (3.5-7) π ∫ R 4 cos 2 β π ∫ R 4 cos 2 β β2 β2 + Ta có z0/R = cosβ => β1 β1 β1 2 p 2 p p σ z = cos βdβ = (1+ cos2β )dβ = (1+ cos2β )d(2β ) (3.5-8) π ∫ π ∫ 2π ∫ β2 β2 β2 p β 1 σ z = (2β + sin 2β ) 2π β2 p ⎧ 1 ⎫ Vậy: σ z = ⎨β1 − β 2 + (sin 2β1 − sin 2β 2 )⎬ (3.5-9) π ⎩ 2 ⎭ - Lμm t−ơng tự với hai thμnh phần σx vμ τxz ta đ−ợc: p ⎧ 1 ⎫ σ x = ⎨β1 − β2 − (sin 2β1 − sin 2β2 )⎬ (3.5-10) π ⎩ 2 ⎭ p τ = (cos2β − cos2β ) (3.5-11) xz 2π 2 1 - Trong thực tế để tiện sử dụng ta dùng các công thức tra bảng sau: σ z = k1.p σ x = k2 .p (3.5-12) τ xz =τ zx = k3.p Trong đó: k1, k2, k3 lμ các hệ số tra bảng 3.9 trang 108 giáo trình Cơ học đất phụ thuộc vμo z0/b vμ x/b. - Tổng ứng suất: θ = k4 .p (3.5-13) Trong đó: k4 phụ thuộc zo/b vμ sơ đồ tải trọng tác dụng đ−ợc tra bảng 3-10 trang 109 giáo trình Cơ học đất. - Giá trị ứng suất chính, ph−ơng của ứng suất chính vμ tổng ứng suất Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 19
20. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất b p 0 x β1 β2 σ1 2β σ3 Phân giác góc 2β M(xo,0,zo) Z +Ta có giá trị ứng suất chính tại điểm M lμ: p σ = (2β + sin 2β ) 1 π (3.5-13) p σ = (2β − sin 2β ) 3 π + Vμ ph−ơng của ứng suất chính σ1 lμ tia phân giác góc 2β nh− hình vẽ. - ứng suất tổng khi đó lμ: 2 p => θ = θ +θ = 2β (3.5-14) 1 3 π Ta thấy rằng ứng suất tổng θ phụ thuộc vμo c−ờng độ tải trọng p vμ góc nhìn 2β. Với cùng một cấp tải trọng, xét điểm M trên trục OZ ta có: + Điểm M cμng gần mặt đất thì góc nhìn 2β cμng lớn => ứng suất tổng cμng lớn vμ đạt cực đại tại mặt đất. + Điểm M cμng xa mặt đất thì ứng suất tổng cμng giảm. c. Tr−ờng hợp đặc biệt: b p 0 x β1 β2 σ1 σ3 M(xo,0,zo) Z - Khi M nằm trên đ−ờng thẳng OZ đi qua tâm tải trọng. Lúc đó ta có β1 = β, β2 = - β. Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 20
21. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất Nh− vậy ứng suất pháp σx, σz trong tr−ờng hợp nμy lμ ứng suất chính. p σ = σ = (2β + sin 2β ) z 1 π (3.5-13a) p σ = σ = (2β − sin 2β ) x 3 π Vμ thμnh phần ứng suất tiếp lμ: p => τ = τ = (cos2β − cos2β ) = 0 (3.5-15) xz zx 2π d. Nhận xét: - Trong thực tế rất ít gặp tr−ờng hợp tải trọng phân bố theo trục Oy có chiều dμi vô cùng. Nên khi l/b>7 thì móng HCN đ−ợc gọi lμ móng băng. - Trong tr−ờng hợp nμy trạng thái ứng suất của các điểm nằm trên các mặt phẳng vuông góc với chiều dμi móng sẽ nh− nhau. Do đó ta cắt 1m chiều dμi móng để tính (bμi toán phẳng). 3. Tải trọng phân bố tam giác trên diện tích hình băng. a. Xét bμi toán: - Xét tải trọng đ−ờng phân bố hình tam giác trên diện tích hình băng có bề rộng b c−ờng độ lớn nhất p (kN/m). - Xét điểm M (x0,0,z0) d−ới nền đất. - Xác định trạng thái ứng suất tại M do tải trọng hình tam giác trên diện tích hình băng gây ra. x dx p 0 x β β1 β2 R zo b M(xo,0,zo) Z b. Giải bμi toán: Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 21
22. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất - Chọn hệ trục Oxyz có trục Ox nằm trên mặt đất, h−ớng theo chiều tăng tải trọng phân bố, gốc O trùng với góc có p=0 nh− hvẽ. Điểm M có toạ độ lμ (x0,0,z0). - Trên bề rộng b của diện tích băng tại điểm có toạ độ (x,0,0) lấy phân tố có chiều rộng dx. - Khi đó tải trọng phân bố trên dx coi nh− tải trọng đ−ờng: p dP = xdx b - áp dụng bμi toán Flamant ta có ứng suất tại M do lực dP tác dụng lμ: 3 3 2dP x.z0 2p x.z0 dσ z = 2 2 2 = 2 2 2 dx (3.5-16) π [(x − x0 ) + z0 ] π. [(x − x0 ) + z0 ] 2 p b x σ = z 3 dx z 0 ∫ 2 2 2 (3.5-17) π.b 0 [(x − x0 ) + z0 ] - Trong thực tế để tiện sử dụng ta dùng các công thức tra bảng sau: σ z = kt1.p σ x = kt 2 .p (3.5-18) τ xz =τ zx = kt3.p Trong đó: kt1, kt2, kt3 lμ các hệ số tra bảng 3.11a vμ 3.11b trang 112 giáo trình Cơ học đất phụ thuộc vμo z0/b vμ x/b. p lμ c−ờng độ tải trọng phân bố lớn nhất. IV. do tải trọng phân bố hình thang trên diện tích hình băng. - Với tải trọng phân bố hình thang gẫy khúc (mặt cắt nền đ−ờng đắp, mặt cắt đê ) ta có thể tính đ−ợc ứng suất tại 1 điểm nằm d−ới nền đ−ờng theo những ph−ơng pháp sau: *) Ph−ơng pháp công ứng suất: Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 22
23. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất Hình 5.1-4 - Chia tải trọng hình thang thμnh 2 loại: Tải trọng tam giác vμ tải trọng phân bố đều trên diện tích hình băng. - Tính ứng suất tại M do từng loại tải trọng trên gây ra theo kết quả của những bμi toán đã nghiên cứu tr−ớc. - áp dụng ph−ơng pháp cộng tác dụng ta sẽ đ−ợc ứng suất tại M do toμn bộ tải trọng hình thang gây ra. *) Ph−ơng pháp tra biểu đồ Osterberg: - Theo Osterberg với tải trọng biến đổi tuyến tính ta có thể tính đ−ợc ứng suất trong đất theo công thức sau: σ z = I .p (3.5-19) Trong đó: p - c−ờng độ của tải trọng phân bố (Hình vẽ) I = f(a/z;b/z) - Hệ số tra biểu đồ Osterberg phụ thuộc vμo a/z vμ b/z. a, b: Chiều dμi t−ơng ứng của tải trọng tam giác vμ hình chữ nhật. z : Độ sâu điểm xét. - Trong công thức trên I đ−ợc xác định bằng cách cộng đại số các hệ số t−ơng ứng với tải trọng bên trái It vμ bên phải Ip của đ−ờng thẳng đứng đi qua điểm đang xét σ z = (I t + I p ).p (3.5-20) - Để rõ hơn vấn đề nμy ta lμm ví dụ sau: VD SGK. Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 23
24. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất Bμi 5: Phân bố ứng suất d−ới đáy móng 1. ứng suất d−ới đáy móng vμ các nhân tố ảnh h−ởng. a. Khái niêm: ứng suất đáy móng lμ thμnh phần ứng suất pháp tuyến tại mặt phẳng đáy móng trong nền đất do tải trọng công trình gây ra. Biết đ−ợc trạng thái ứng suất tiếp xúc của các điểm tại mặt phẳng đáy móng ta sẽ vẽ đ−ợc biểu đồ phân bố ứng suất tiếp xúc d−ới đáy móng. b Các nhân tố ảnh h−ởng đến ứng suất đáy móng: + Dạng, độ lớn của tải trọng. + Hình dạng, kích th−ớc móng. + Độ cứng của móng: Theo độ cứng móng ng−ời ta chia lμm 3 loại sau: * Móng mềm (hay móng có độ cứng hạn chế): Lμ móng có khả năng biến dạng cùng cấp với khả năng biến dạng của đất nền. áp lực d−ới đáy móng phân bố hoμn toμn giống tải trọng tác dụng trên móng. * Móng cứng: Lμ móng có biến dạng vô cùng bé so với biến dạng của đất nền. áp lực d−ới đáy móng đ−ợc phân bố lại. + Nền đất (tên, trạng thái đất). - Để xác định ứng suất d−ới đáy móng ta dựa vμo hai ph−ơng pháp tính toán sau: + Ph−ơng pháp giải tích (ph−ơng pháp chính xác). + Ph−ơng pháp gần đúng (tính theo các công thức trong SBVL). 2. Ph−ơng pháp chính xác. a) Các giả thiết: - Nền lμ bán không gian vô hạn đμn hồi, đồng nhất. F P - Móng coi tuyệt đối cứng. My 0 x - Đáy móng luôn tiếp xúc với nền đất. Đất lμ vật dP liệu không chịu kéo. y b) Xét bμi toán: z - Xét móng có diện tích F đặt trên mặt đất. - Tìm ứng suất phân bố d−ới đáy móng. c) Giải bμi toán: Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 24
25. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất - Chọn hệ trục toạ độ Oxyz bất kỳ. - Lấy phân tố bất kỳ trong phạm vi đáy móng có toạ độ (x,y). Diện tích phân tố dF=dx.dy. - Gọi áp lực phân bố đều trên dF lμ p(x,y). Do dF rất nhỏ nên ta coi áp lực phân bố nh− một tải trọng tập trung. - Theo bμi toán Boussinesq chuyển vị thẳng đứng tại một điểm bất kỳ trong nền: P(1 +ν ) ⎡ z 2 2(1 −ν )⎤ w = ⎢ 3 + ⎥ (3.6-1) 2πE0 ⎣ R R ⎦ Tại điểm M trên mặt đất ta có z=0 P(1 −ν 2 ) => w = (3.6-2) πRE0 P Đặt C=E /(1-ν2) => w = 0 M πRC => Chuyển vị tại M(x0,y0) d−ới đáy móng do phân tố dF gây ra lμ: 1 p(x , y )dxdy dw = πC 2 2 (3.6-3) (x 0 − x ) + ( y 0 − y ) 1 p(x , y )dxdy =>w = πC ∫∫ 2 2 (3.6-4) F (x 0 − x ) + ( y 0 − y ) - Theo giả thiết móng tuyệt đối cứng => chuyển vị đáy móng lμ 1 mặt phẳng có dạng hμm tổng quát: Ax+By+D - Do móng luôn tiếp xúc với đất nền nên: 1 p(x , y )dxdy =>w = =Ax+By+D πC ∫∫ 2 2 (3.6-5) F (x 0 − x ) + ( y 0 − y ) - Mặt khác từ điều kiện cân bằng tĩnh học ta có: ∫∫ p(x , y )dxdy = P F = ∫∫ xp(x , y )dxdy M y (3.6-6) F = ∫∫ yp(x , y )dxdy M x F Trong đó: P, Mx, My lần l−ợt lμ tải trọng tập trung, mô men quanh trục x, trục y do tải trọng công trình truyền xuống. A, B, D các hệ số của ph−ơng trình chuyển vị. - Giải hệ ph−ơng trình 3.6-5 vμ 3.6-6 ta tìm đ−ợc p(x,y) tại bất kỳ điểm nμo trên mặt nền trong phạm vi đáy móng. Tuy nhiên hiện nay ng−ời ta mới rút Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 25
26. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất ra đ−ợc nghiện chính xác cho tr−ờng hợp móng elip vμ móng hình tròn. Đối với móng hình vuông, hình chữ nhật ta th−ờng áp dụng ph−ơng pháp gần đúng. 3. Ph−ơng pháp gần đúng. - Xét móng hình chữ nhật có kích th−ớc bxl chịu tác dụng của lực thẳng đứng tại đáy móng P. Xảy ra các tr−ờng hợp sau: a. Tr−ờng hợp 1: Tải trọng P tác dụng đúng tâm b Ta có ứng suất d−ới đáy móng phân bố đều vμ có P giá trị: σ P σ = (3.6-5) F b. Tr−ờng hợp 2: b Tải trọng P tác dụng lệch tâm theo cả hai ph−ơng Mx Ta có ứng suất d−ới đáy móng phân bố dạng hình P My σmin σmax thang hoặc tam giác vμ có giá trị: b ey P 0xex l y B P M x M y σ A = ± ± (3.6-5) F Wx Wy Trong đó: Mx=P.ex – Mô men quanh trục x-x My=P.ey – Mô men qunh trục y-y ex, ey - Độ lệc tâm của lực P đối với trục x-x, y-y. 2 Wx=bl /6 – Mô men quán tính của đáy móng đối với trục x-x. Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 26
27. Bμi giảng cơ học đất ch−ơng III: phân bố ứng suất trong đất 2 Wy=b l/6 – Mô men quán tính của đáy móng đối với trục y-y. c. Tr−ờng hợp 3: b Tải trọng P tác dụng lệch tâm theo một ph−ơng ey (ex=0) P Ta có ứng suất d−ới đáy móng phân bố dạng hình AB : thang hoặc tam giác vμ có giá trị AB σmin σmax M B P y a) σ A = ± (3.6-5) F Wy AB Trong đó: M =P.e – Mô men quanh trục y-y σmax y y σmin =0 b) ey - Độ lệc tâm của lực P đối với trục x-x, y-y. ABσmin =0 σmax 2 Wy=b l/6 – Mô men chống uốn của c) đáy móng đối với trục y-y. b'=3(b/2-ey) P 6e y b Khi σ = (1 − ) = 0 ⇔ e = A F b y 6 b - Khi e biểu đồ ứng suất đáy móng có dạng hình tam giác (hình c) y 6 σ min = 0 2P (3.6-5) σ max = σ B = 3l(b / 2 − e y ) Bộ môn Địa Kỹ Thuật Trang 27