Bài giảng Cơ học công trình xây dựng - Chương 5: Tính chuyển vị của hệ thanh - Trần Minh Tú

Nội dung text: Bài giảng Cơ học công trình xây dựng - Chương 5: Tính chuyển vị của hệ thanh - Trần Minh Tú

1. Trường Đại học Xây dựng CƠ HỌC CÔNG TRÌNH XÂY DỰNG Trần Minh Tú Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng DD & CN Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 1 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
2. Chương 5 TÍNH CHUYỂN VỊ CỦA HỆ THANH Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 2 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
3. Chương 5. Tính chuyển vị của hệ thanh NỘI DUNG 5.1. Các khái niệm 5.2. Cách tìm đường đàn hồi bằng phương pháp tích phân trực tiếp 5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 3 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
4. 5.1. Các khái niệm • Khái niệm về biến dạng Là sự thay đổi hình dạng, kích thước của phân tố dưới tác dụng của các nguyên nhân ngoài (tải trọng, nhiệt độ, ) • Các thành phần biến dạng Một phân tố thanh bất kỳ có chiều dài ds, khi biến dạng có thể phân thành ba thành phần  Biến dạng xoay jds giữa hai tiết diện cách nhau chiều dài ds, j gọi là biến dạng xoay (góc xoay) tỉ đối – góc giữa hai tiêt diện khi ds=1 đ.v dài Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 4 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
5. 5.1. Các khái niệm  Biến dạng dọc trục (biến dạng dài) eds giữa hai tiết diện cách nhau chiều dài ds, e là biến dạng dài tỉ đối  Biến dạng trượt gds giữa hai tiết diện cách nhau chiều dài ds; g – góc trượt tỉ đối  Chiều dương của các thành phần biến dạng qui ước như trên các hình vẽ. Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 5 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
6. 5.1. Các khái niệm • Khái niệm chuyển vị Là sự thay đổi vị trí của các tiết diện của thanh khi thanh bị biến dạng • Một tiết diện của thanh có ba khả năng: – Không chuyển vị nhưng có biến dạng (tiết diện 1) – Vừa có biến dạng, vừa có chuyển vị (tiết diện 2) – Có chuyển vị nhưng không có biến dạng (tiết diện 3) Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 6 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
7. 5.1. Các khái niệm • Phân loại chuyển vị Chuyển vị trong hệ thanh bao gồm: chuyển vị thẳng (chuyển vị dọc theo phương trục thanh , chuyển vị ngang theo phương vuông góc trục thanh) và chuyển vị quay (phương vòng). . Kí hiệu chuyển vị là Dkm : chuyển vị theo phương k do nguyên nhân m Trên (a) phương k, m là phương thẳng đứng tại tiết diện C, D; j là phương vòng tại gối tựa B. Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 7 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
8. 5.1. Các khái niệm Nguyên nhân gây ra chuyển vị Dkm Phương và vị trí của chuyển vị . Khi nguyên nhân gây ra chuyển vị bằng đơn vị => chuyển vị đơn vị dkm . dkm – chuyển vị theo phương k, tại k, do nguyên nhân m bằng 1 đ.v gây nên F • Khái niệm về đường đàn hồi z Đường đàn hồi: Đường cong của B trục dầm sau khi chịu uốn K Trọng tâm mặt cắt ngang của dầm L K’ K - trước biến dạng K K’ – sau biến dạng v(z) KK’ – chuyển vị của trọng tâm mặt cắt K’ ngang. u(z) Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 8 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
9. 5.1. Các khái niệm v(z) - chuyển vị đứng . Biến dạng bé: u(z) độ võng – ký hiệu: y(z) . Độ võng của dầm chịu uốn là chuyển vị theo phươngthẳng đứng của trọng tâm mặt cắt ngang F Tại K’ dựng tiếp tuyến t với đường z j đàn hồi, đường vuông góc với K B tiếp tuyến t tại K’ => K’ - Mặt cắt ngang dầm sau biến L dạng tạo với mặt cắt ngang j dầm trước biến dạng góc j => góc xoay j(z) Góc xoay: góc hợp bởi mặt cắt ngang dầm trước và sau biến dạng Biến dạng bé: j(z) = tgj = y’(z) => Đạo hàm bậc nhất của độ võng là góc xoay Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 9 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
10. 5.2. Cách tìm đường đàn hồi bằng phương pháp tích phân trực tiếp 5.2.1. Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi 1 Mz() • Gt: Khi chịu uốn vật x liệu thanh làm việc trong EIx miền đàn hồi: '' Mzx () 1yz "( ) y Hình học giải tích: EIx • 3 yz"( ) 2 • Biến dạng bé (1 y ' ) 2 z z M>0 M<0 M yz''( ) 0 M yz''( ) 0 Mzx () yz"( ) - Phương trình vi phân gần đúng đường đàn hồi EIx Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 10 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
11. 5.2. Cách tìm đường đàn hồi bằng phương pháp tích phân trực tiếp 5.2.2. Phương pháp tích phân trực tiếp Từ phương trình vi phân gần đúng lấy tích phân lần thứ nhất ta được góc xoay. dy M j(z) x dz C dz EIx Tích phân lần thứ hai ta được biểu thức tính độ võng Mx y(z) dzC.dzD EIx trong đó C và D là hai hằng số tích phân, được xác định nhờ vào điều kiện biên chuyển vị . Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 11 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
12. 5.2. Cách tìm đường đàn hồi bằng phương pháp tích phân trực tiếp . Điều kiện biên chuyển vị .Điều kiện liên tục: P A B yy C CC jj CC Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 12 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
13. 5.2. Cách tìm đường đàn hồi bằng phương pháp tích phân trực tiếp VD 5.1: Xác định độ võng tại đầu F tự do của dầm công-xôn chịu EI B tác dụng của tải tập trung như z L-z hình vẽ L Ta có: M F( L z) M (z) F( L z) F( L z)) Fz 2 y'' (z) x j(z) dz C Lz C EI EI 2 EIxx EI xx F z23 z y( z) L Cz D . Điều kiện biên 2 EIx 2 6 FL jB j(zL ) zC 0 j 0 0 2EIx FL3 z 0 y 0 D 0 yB y( z L) 3EIx Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 13 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
14. 5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) 5.3.1. Công khả dĩ, nguyên lý công khả dĩ • Chuyển vị khả dĩ: Là bất cứ dạng chuyển vị nào mà hệ có thể thực hiện được do nguyên nhân nào đó gây ra, sao cho với chuyển vị này các điều kiện liên kết nội và ngoại vẫn được đảm bảo. • Chuyển vị thực: do nguyên nhân thực gây nên (lực, mô men, ) - là một trong các chuyển vị khả dĩ. • Định nghĩa công khả dĩ: Công khả dĩ là công sinh ra bởi các lực trên những chuyển vị và biến dạng vô cùng bé do một nguyên nhân bất kỳ (tải trọng, nhiệt độ, chuyền vị cưỡng bức) nào đó gây ra Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 14 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
15. 5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) • Xét hai trạng thái của hệ đàn hồi: – Trạng thái 1- Trạng thái thực “k”, khi hệ chịu lực F1, F2, . Fk; các thành phần nội lực trong hệ là Sk(Nk,Qk,Mk) – Trạng thái 2 - Trạng thái khả dĩ “m”, khi hệ chịu các nguyên nhân m (có thể là lực Fm) gây ra những thay đổi nhỏ của chuyển vị và biến dạng; các thành phần nội lực trong hệ là Sm(Nm,Qm,Mm) Dkm - là chuyển vị khả dĩ theo phương của lực Fk do các nguyên nhân ở trạng thái m gây nên Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 15 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
16. 5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) • Công khả dĩ ngoại lực Công khả dĩ của ngoại lực ở trạng thái thực k trên các chuyển vị khả dĩ tương ứng ở trạng thái khả dĩ m xác định bởi: n TF D ik. ikm i 1 . Công khả dĩ nội lực: Công khả dĩ của các nội lực ở trạng thái thực k trên các biến dạng khả dĩ tương ứng ở trạng thái khả dĩ m xác định bởi: n A  ( Ske sm ) dz i 1 • Nguyên lý công khả dĩ: Nếu một hệ đàn hồi cân bằng dưới tác dụng của các ngoại lực thì tổng công khả dĩ của các ngoại lực trên những chuyển vị khả dĩ bất kỳ vô cùng bé và công khả dĩ của các nội lực trên những biến dạng đàn hồi khả dĩ tương ứng phải bằng không (T + A = 0) Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 16 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
17. 5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) • 5.3.2. Công thức Maxwell – Mohr • Xét bài toán phẳng, thí dụ một khung phẳng. Gọi trạng thái chịu lực của khung đã cho là trạng thái “m”, lực và chuyển vị ở trạng thái này biểu diễn bởi chỉ số m. • Giả sử cần xác định chuyển vị theo phương k của trọng tâm mặt cắt ngang A, muốn vậy ta tạo cho khung một trạng thái “k” bằng cách bỏ tất cả ngoại lực và đặt lên khung một lực tập trung đơn vị đ.v tại A, theo phương k có chiều tuỳ ý, ứng lực phát sinh trong hệ ở trạng thái này là NMQk ,,k k . Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 17 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
18. 5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) • Công thức Maxwell - Mohr tính chuyển vị của hệ phẳng Nk Nm dz Mk M m dz Q k Qm dz Dkm     EA EI GA li l i l i – Đối với hệ dầm, khung phẳng - bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt Mk Mm dz D km  EI li – Đối với hệ thanh, dàn phẳng - lực dọc trên mỗi thanh là hằng số n Nkk Nm dz N N m l i Dkm  EAi 1 EA li – Đối với hệ gồm các thanh thẳng như dầm hoặc khung ta có thể tính các tích phân một cách đơn giản - Phương pháp nhân biểu đồ do Vêrêxaghin đề xuất Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 18 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
19. 5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) 5.3.3. Phép nhân biểu đồ Vêrêxaghin • Cơ sở toán học: Giả sử trên đoạn chiều dài thanh L, hàm số F(z) là đường cong bất kỳ, còn f(z) là một đường thẳng có phương trình: (hình vẽ)  - Diện tích biểu đồ hàm số bậc bất kỳ F(z). zC - hoành độ trọng tâm của diện tích . f(zC) tung độ của hàm bậc nhất f(z) ứng với hoành độ zC. Biểu thức tích phân tính theo: L I F()().() z f z dz  f zC 0 Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 19 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
20. 5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) • Như vậy các biểu thức tích phân trong công thức Maxwell-Mohr có trị số bằng tích của diện tích  của biểu đồ nội lực (Nm, Mm ,Qm) với tung độ của biểu đồ nội lực do tải trọng đơn vị gây ra (NMQk ,,k k ) tại vị trí tương ứng với toạ độ trọng tâm của diện tích . 1 1 1 Dkm  (N m) Nk ( c)  ( M m) Mk ( c)  ( Q m ) Q( c) EA EI GA k (*) trong đó, (NMQm),, ( m) ( m ) là diện tích các biểu đồ (Nm, Mm ,Qm) • Nk ( zc),, Mk ( z c) Qk ( z c ) là giá trị của các biểu đồ tại những vị trí tương ứng với trọng tâm diện tích biểu đồ Chú ý: • Nếu biểu đồ F(z) và f(z) đều là những đường thẳng thì phép nhân trên đây có tính chất hoán vị. • Tích mang dấu + nếu hai biểu đồ ở cùng một phía với trục thanh. • Nếu biểu đồ có hình dạng phức tạp thì chia thành các hình đơn giản để dễ xác định diện tích và trọng tâm. Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 20 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
21. 5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) Các bước thực hiện phép nhân biểu đồ Vêrêxaghin: • Bước 1: Tạo trạng thái “m” - trạng thái chịu lực của hệ, vẽ biểu đồ nội lực. • Bước 2: Tạo trạng thái “k” - vẽ biểu đồ nội lực cho trạng thái này – Cần xác định chuyển vị thẳng tuyệt đối của một điểm theo phương nào đó thì đặt lực Fk=1đ.v tại điểm đó theo phương chuyển vị. – Nếu cần xác định góc xoay thì đặt mô men mk=1 đ,v – Nếu cần xác định chuyển vị tương đối giữa hai điểm thì đặt hai lực Fk=1 tại hai điểm theo phương nối hai điểm đó. • Bước 3: Tiến hành nhân biểu đồ và thay vào công thức (*) Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 21 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
22. 5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) . Diện tích và hoành độ trọng tâm của một số hình thường gặp Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 22 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
23. 5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) Ví dụ 5.2. Xác định độ võng và góc xoay tại đầu D của một dầm chịu lực như hình vẽ, bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt. • Biểu đồ mô men uốn do tải trọng gây ra như hình vẽ. • Để tính độ võng tại D, ta đặt tại D một lực Fk=1 =>Biểu đồ mô men uốn. Theo (*) ta có 1 y ( M) Mk () c DmEI 1 qL23 qL 3 (ML) Mk () c L m 3 2 6 4 13qL34 qL yL D EI6 4 8 EI kết quả mang dấu dương chứng tỏ độ võng tại D cùng chiều với Fk. Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 23 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
24. 5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) • Để tìm góc xoay ta đặt tại D mô men Mk=1. Biểu đồ mô men như trên hình vẽ. Theo công thức, ta có 1  (M) Mk () c DmEI Mck ( ) 1 1 qL33 qL  1 D EI66 EI Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 24 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
25. 5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) Ví dụ 5.3. Cho khung có độ cứng EI=const. Xác định chuyển vị theo phương ngang tại D và góc xoay tại B. Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt và lực dọc. • Biểu đồ mô men do tải trọng gây ra biểu diễn trên hình (b). Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 25 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
26. 5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) • Để xác định chuyển vị ngang ta đặt lực Fk=1 (hình c). Biểu đồ mô men như trên hình (d). Ta chia biểu đồ làm hai phần, phần chữ nhật 1 và phần tam giác 2. Ta có Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 26 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
27. 5.3. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ (Vêrêxaghin) • Để xác định góc xoay tại B, ta đặt mô men Mk=1 (chiều tùy ý, hình (e), Biểu đồ mô men M k như trên hình (f). ta có 3 1 33qa M( c ) M ( c ) 1 B qa qa kk12 EI( ) 2 EI dấu dương chứng tỏ chiều góc xoay cùng chiều với chiều mô men Mk Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 27 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
28. Câu hỏi ??? Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 28 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com
29. Tran Minh Tu National University of Civil Engineering 29 www.nuce.edu.vn tpnt2002@yahoo.com