Lý thuyết Toán cao cấp: Giải tích (Phần 1)

179 trang ngocly 2661

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết Toán cao cấp: Giải tích (Phần 1)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

ly_thuyet_toan_cao_cap_giai_tich_phan_1.pdf

Nội dung text: Lý thuyết Toán cao cấp: Giải tích (Phần 1)

Toaùn cao caáp : Giaûi tích 3 Chöông 0 TAÄP HÔÏP VAØ AÙNH XAÏ A. TAÄP HÔÏP I. Khaùi nieäm Taäp hôïp laø moät yù nieäm nguyeân thuûy cuûa toaùn hoïc, khoâng ñònh nghóa. Ta moâ taû: moät soá vaät theå hôïp thaønh taäp hôïp; moãi vaät theå laø moät phaàn töû. + Cho moät taäp hôïp A vaø phaàn töû x . Neáu x laø phaàn töû cuûa A ta vieát x∈ A . Ngöôïc laïi, ta vieát x∈ A hay x∉ A (x khoâng thuoäc A). Ví duï: Taát caû hoïc sinh cuûa tröôøng Ñaïi hoïc Kinh teá laø moät taäp hôïp, moãi hoïc sinh laø moät phaàn töû. + Hoäp phaán laø moät taäp hôïp, moãi vieân phaán laø moät phaàn töû. II. Caùch dieãn taû Coù nhieàu caùch: 1) Lieät keâ: lieät keâ taát caû caùc phaàn töû trong 2 daáu { } Ví duï: Taäp hôïp caùc nguyeân aâm A = {a, e, i, u, o, y }. Ví duï: T = {baøn, gheá, con meøo, con gaùi, oâ mai}. 2) Tröng tính : (neâu tính chaát ñaëc tröng) Neáu moïi phaàn töû x cuûa taäp A ñeàu coù tính chaát b , ta vieát: A = { x x coù tính chaát b }. Ví duï: M = { x x laø soá nguyeân döông nhoû hôn 5 } → M = {1, 2, 3, 4 }. 3) Giaûn ñoà Venn a∈ A . X a b∈ A , 2∈ A . X c c,− 3,5 ∈ A . A X b X 2 X 5 X -3 III. Vaøi taäp hôïp thoâng duïng 1) ℕ = {0, 1, 2, 3, }; ℕ∗ = ℕ \ {0}. 2) ℤ = {0, ± 1, ± 2, }.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 4 m 3) ℚ =={x m ∈Z , n ∈ Z * } laø taäp caùc soá höõu tyû. n 4) ℝ laø taäp caùc soá thöïc. (ab, ) ={ x ∈ℝ axb << }. [ab, ] ={ x ∈ℝ axb ≤≤ }. − =∈− <≤ ( 2,15 {xℝ 2 x 15 } . IV. Chính soá, taäp troáng, taäp höõu haïn, taäp voâ haïn 1. Taäp höõu haïn : laø taäp hôïp coù soá phaàn töû höõu haïn. 2. Chính soá: Giaû söû A coù soá phaàn töû höõu haïn. Soá phaàn töû cuûa taäp A coøn ñöôïc goïi laø chính soá cuûa A (hay card A ). Kyù hieäu : ch.s A hay card A hay A . Ví duï: A={ − 3,5, a , b } → card A = 4. 3.Taäp troáng : la ø t aäp hôïp khoâng coù phaàn töû naøo caû. Kyù hieäu : ∅ hay { }. Ghi chuù: {∅ } ≠ ∅ . {0} ≠ ∅ . 4.Taäp voâ haïn : taäp khoâng höõu haïn ñöôïc goïi laø taäp voâ haïn. Ví duï: ℕ , ℤ , ℚ , ℝ , (0,1 ) laø nhöõng taäp hôïp voâ haïn. V. Taäp hôïp con, taäp hôïp baèng nhau 1. Taäp hôïp con: A laø taäp hôïp con cuûa B neáu moïi phaàn töû cuûa A ñeàu laø phaàn töû cuûa B . Kyù hieäu : A⊂ B ( A chöùa trong B ). AB⊂ ⇔∀" xxA , ∈ ⇒ xB∈ " . Ví duï: A = {1, -5, 0 }; B = {2, 3, 1, 8, 0, -5}; C = {1, -5, 0, 7, 3 } A⊂ B vaø C⊄ B ( 7∈C vaø 7∉ B ). Nhaän xeùt : ∀A , ta coù ∅ ⊂ A vaø A⊂ A . 2. Taäp hôïp baèng nhau : AB= ⇔ A ⊂ B vaø B⊂ A ⇔ "∀xx , ∈ A ⇔ x ∈ B " . 3. Taäp hôïp taát caû taäp hôïp con cuûa E goïi laø taäp hôïp caùc phaàn cuûa E
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 5 Kyù hieäu : PE(){= AA ⊂ E } . Ví duï: E= { abc , , } PE( )= { ∅ ,{},{},{},{ a b c ab , },{ bc , },{, ca },{ abc , , }} . Heä quaû: Neáu card E= n → card P( E )= 2 n (chöùng minh baèng truy chöùng). VI. Caùc pheùp toaùn treân taäp hôïp 1. Pheùp giao A∩ B ={ xx ∈ A vaø x∈ B }. Ví duï: A = {-3, 5, - 2 }, B = {0, -3, 8, - 2 }, C = {1, 2, 3 }. → A∩ B = {-3, - 2 } vaø A∩ C ={ ∅ } . Tính chaát : A∩∅=∅∩ A =∅ A∩ A = A A∩ B = B ∩ A ( AB∩) ∩ CA =∩( BC ∩ ) A∩ B ⊂ A ; A∩ B ⊂ B 2. Pheùp hoäi A∪ B ={ xx ∈ A hay x∈ B }. Ví duï: A= {, abcd , , } ; B= {, acef , , } → A∪ B = {,,, abcdef ,, } . Tính chaát : A∪ B = B ∪ A ( AB∪) ∪ CA =∪( BC ∪ ) A∪∅=∅∪ A = A A∪ A = A ; A⊂ A ∪ B ; B⊂ A ∪ B . Tính phaân boá cuûa pheùp giao vaø pheùp hoäi A∩( BC ∪) =( AB ∩∪ ) ( AC ∩ ) A∪( BC ∩) =( AB ∪∩ ) ( AC ∪ ) 3. Pheùp hieäu: AB\= { xx ∈ A vaø x∉ B }.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 6 Ví duï: A= {, abcd , , } ; B={5, acf , , , − 3} ; C= { af , ,7, d } A\ B= {,} bd ; B\ A= {5, f , − 3} . (\)\ABC= {} b ≠ ABC \(\){,,} = abd . Tính chaát : Neáu A≠ B thì A\ B≠ B \ A . Thoâng thöôøng (\)\AB C≠ A \(\) BC . A\ ∅ = A ; A\ A = ∅ ; A\ B⊂ A . Baøi taäp : Chöùng minh ABC\(∪ )(\)(\) = AB ∩ AC ABC\(∩ )(\)(\) = AB ∪ AC 4. Phaàn buø: Cho A⊂ E , phaàn buø cuûa A ñoái vôùi E laø: c == = = ∈ ∉ A ACAE EA\ { xx E vaø x A }. Tính chaát : ∅ = = ∅ ∪ = CE E ; CE E ; CAE A E ∩ = ∅ CE A A ( ) = = CE CA E A ( A A ) E ( ∪) = ∩ A CE A B CA E CB E ( ∩) = ∪ CE A B CA E CB E Ví duï: E= {,,, abcdef ,, } ; A= { a , d } ; B= {, aef , } = CAE {, bcef , , } ; CE B={b,c,d} ∪ ∩ CE (A B)={b,c} ; CE (AB )={b,c,d,e,f} 5. Taäp hôïp tích : AB× ={( xyx , ) ∈ A vaø y∈ B }. Ví du ï: A = {1,2,3} ; B= { a , b } → AB× = {(1, ab ),(1, ),(2, a ),(2, bab ),(3, ),(3, )} vaø BA× = {( aba ,1),( ,1),( ,2),( b ,2),( a ,3),( b ,3)} . Ghi chuù: Neáu A≠ B vaø A , B ≠ ∅ thì A× B ≠ B × A . Ví duï: (1, 4) ≠ (4, 1) - A×∅=∅× A =∅ . - Neáu A , B höõu haïn, ta coù Card ( A× B ) = Card A .Card B Neáu A= B ta vieát: AB× = AA × = A 2 . Ví duï: Maët phaúng toïa ñoä laø ℝℝℝ2 =×={,( xy) xy , ∈ ℝ } .
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 7 Töông töï ta coù : ×××= ∈∀= AA12 An {(, xx 12 , , xxAi nii ) , 1,} n = ∈∈∈ {(,xx12 , , xxAxn ) 112 , A 2 , , x n A n } AA×××== AAn {(, xx , , xxAi ) ∈∀= , 1,} n 1 2 n i nlaàn n = ∈∀= Ví duï: ℝ{(xx1 , 2 , , xxn ) i ℝ , i 1,} n (-5, 2, 7 , -8) ∈ ℝ4 (-2, 1, 0, 3, 7) ∈ ℤ5⊂ ℚ 5 ⊂ ℝ 5 B. AÙNH XAÏ I. Ñònh nghóa : Cho 2 taäp hôïp X , Y khaùc troáng, moät pheùp lieân keát f töông öùng moãi phaàn töû x∈ X vôùi duy nhaát phaàn töû y∈ Y ñöôïc goïi laø moät aùnh xaï töø X vaøo Y . Kyù hieäu : f: X→ Y x֏ y= fx( ) Khi ñoù, X : taäp hôïp nguoàn (mieàn xaùc ñònh) Y : taäp hôïp ñích (mieàn aûnh) Nhaän xeùt : f: X→ Y laø moät aùnh xaï neáu moïi phaàn töû cuûa X ñeàu coù aûnh duy nhaát ( ∈Y ). AÙnh xaï f: X → ℝ vôùi X ⊂ ℝ ñöôïc goïi laø một haøm soá thöïc vôùi bieán soá thöïc. Ví duï : f : ℝ→ ℝ fx()= 5 x2 − 3 x laø moät aùnh xaï vaø laø moät haøm soá thöïc vôùi bieán soá thöïc. II. Nghòch aûnh : (aûnh ngöôïc, tieàn aûnh) Cho aùnh xaï: f: X→ Y A⊂ X , aûnh cuûa taäp A laø fA(){()= fx ∈ Yx ∈ A } . Aûnh ngöôïc cuûa B⊂ Y laø f−1(){ B= xXfx ∈ () ∈ B } Ñaëc bieät khi B={ y } ⊂ Y ta vieát f−1({}) y= fy − 1 (){ =∈ xXfx () = y } .
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 8 x∈ f−1( y ) ñöôïc goïi laø aûnh ngöôïc cuûa y . Ví duï: f : ℝ→ ℝ f(x) = x 2 B = {-5, 2, 4, 9, 0 } f−1( B ) = {± 2 , ± 2, ± 3, 0 } f −1(169) = {±13 }; f −1(− 3) = ∅ f −1(2) = {± 2 }; f −1(− 5) = ∅ III. Toaøn aùnh : Cho aùnh xaï f: X→ Y , ta noùi f laø toaøn aùnh khi vaø chæ khi f( X ) = Y . Ta coù: fX()=⇔∀∈∃∈ Y yYxXfx , :() = y ⇔ ∀y ∈ Y , phöông trình y= f( x ) coù ít nhaát 1 nghieäm ⇔∀∈y Yf,−1 ( y ) ≠∅ . Ví duï : i) f : ℝ→ ℝ f( x ) = x 2 khoâng laø toaøn aùnh vì f −1(− 2) = ∅ (phöông trình x2 = − 2 voâ nghieäm). ii) f : ℝ → ℝ + f( x ) = x 2 laø toaøn aùnh vì ∀y ∈ ℝ+ , ta coù phöông trình fx( ) = y ⇔ x2 = y luoân coù nghieäm x = ± y Nhaän xeùt : Giaû söû f: X→ Y laø toaøn aùnh vaø X , Y laø taäp hôïp höõu haïn thì card X ≥ card Y . Ghi chuù: Ñeå chöùng minh f laø toaøn aùnh ta chöùng minh ∀y ∈ Y phöông trình f( x ) = y coù nghieäm. IV. Ñôn aùnh : Cho aùnh xaï f: X→ Y ⇔ ∀ ∈ ≠ ⇒ ≠ f laø ñôn aùnh x1, x 2 X vaø x12 x fx() 1 fx () 2 ⇔ ∀ ∈ = ⇒ = x1, x 2 X vaø fx()1 fx () 2 x 12 x ⇔ ∀y ∈ Y , phöông trình y= f( x ) coù nhieàu nhaát laø m ột nghieäm. ⇔ ∀∈y Yf,−1 ( Y ) =∅ hay f−1( y ) coù ñuùng 1 phaàn töû . Ví duï: * f : ℝ → ℝ
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 9 f( x ) = x 2 khoâng laø ñôn aùnh vì f(2)− = f (2) = 4 . * f : ℝ+ → ℝ hay ℝ− → ℝ f( x ) = x 2 laø ñôn aùnh * f : ℝ → ℝ 3x − 5 f( x ) = 7 ∀ ∈ = laø ñôn aùnh vì x1, x 2 ℝ vaø fx()1 fx () 2 3x − 5 3x − 5 ⇔ 1 = 2 ⇔ x= x . 7 7 1 2 V. Song aùnh : Cho aùnh xaï f: X→ Y . f laø song aùnh ⇔ f laø ñôn aùnh vaø f laø toaøn aùnh ⇔ ∀ y∈ Y , phöông trình f( x ) = y coù duy nhaát nghieäm ⇔ ∀ y∈ Y , f−1( y ) coù duy nhaát moät phaàn töû. 3x − 5 Ví duï : f : ℝ → ℝ ; f( x ) = laø song aùnh 7 3x − 5 Vì ∀y ∈ ℝ , phöông trình y = coù duy nhaát nghieäm 7 7y + 5 x = 3 f : ℝ → ℝ , f( x ) = x 2 khoâng laø ñôn aùnh, khoâng laø toaøn aùnh f : ℝ + → ℝ, f( x ) = x 2 laø ñôn aùnh, khoâng laø toaøn aùnh f : ℝ → ℝ+ , f( x ) = x 2 khoâng laø ñôn aùnh, laø toaøn aùnh ⇒ khoâng song aùnh f : ℝ+ → ℝ+ , f( x ) = x 2 laø song aùnh f : ℝ− → ℝ+ , f( x ) = x 2 laø song aùnh VI. AÙnh xaï ngöôïc : Neáu f: X→ Y x֏ f( x ) laø song aùnh thì aùnh xaïï f−1 : Y→ X
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 10 y= f( x ) ֏ x= f−1( y ) ñöôïc goïi laø aùnh xaï ngöôïc cuûa f . Ví duï: f : ℝ + → ℝ + f( x ) = x 2 ( yx=2 ⇔ x = y , x, y ≥ 0 ) f−1( y ) = y (,x y ≥ 0) hay f−1( x ) = x f : ℝ− → ℝ+ ; f( x ) = x 2 f−1( y ) = − y ; f−1( x ) = − x f : ℝ → ℝ+ \{ 0 }; f( x )= 3 x −1 + { }→ −1 = f : ℝ \ 0 ℝ ; f( x ) log 3 x π π  * f : − ,  → [-1, 1 ]; f( x )= sin x 2 2  π π −1   −1 f : [-1, 1 ] → − ,  ; f( x )= arcsin x 2 2  * f : [0, π ]→ [-1, 1 ]; f(x) = cosx f −1 : [-1, 1 ] →[0, π ]; f−1( x )= arccos x π π  * f : − ,  → ℝ ; f( x )= tg x 2 2  − π π  − f 1 : ℝ →− ,  ; f1( x )= arctg x 2 2  * f : (0, π ) → ℝ ; f( x )= cotg x f −1 : ℝ →(0, π ) ; f−1( x )= arc cotg x 3x + 7 * f : ℝ → ℝ ; f( x ) = 5 3x + 7 5y − 7 y = ⇔ x = 5 3 f −1 : ℝ → ℝ − 5x − 7 f1( x ) = 3
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 11 * Cho X ⊂ ℝ , Y ⊂ ℝ , xaùc ñònh X , Y ñeå f laø song aùnh 5x − 3 −1  vôùi f: X→ Y ; f( x ) = ; X = ℝ \   2x + 1 2  5x − 3 y = ⇔ y(2 x+ 1) = 5 x − 3 2x + 1 ⇔ 2xyyx+= 53 −⇔ xy (25) − =−− y 3 (*) 5 Phöông trình (*) coù duy nhaát nghieäm ⇔ y ≠ . Ta coù 2 y + 3 (*) ⇔ x = 5− 2 y −1  5  Vaäy vôùi X = ℝ \   vaø Y = ℝ \   thì 2  2  f: X→ Y 5x − 3 f( x ) = laø m ột song aùnh 2x + 1 vaø f−1 : Y→ X − 5  1  f 1 : ℝ \   → ℝ \ −  2  2  − x + 3 f1( x ) = 5− 2 x Ghi chuù: i) f: X→ Y laø ñôn aùnh vaø X , Y laø 2 taäp höõu haïn thì card X ≤ card Y . ii) f: X→ Y laø song aùnh vaø X , Y laø höõu haïn thì X= Y . iii) AÙnh xaï ngöôïc f −1 cuûa f chæ toàn taïi khi f laø song aùnh. VII. AÙnh xaï hôïp : (AÙnh xaï tích) Cho 2 aùnh xaï f: X→ Y , vaø g: Y→ Z . AÙnh xaï h: X→ Z ñöôïc ñònh nghóa: hx( ) = gfx( )  , ∀x ∈ X .
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 12 Kyù hieäu : h= g f ñöôïc goïi laø aùnh xaï hôïp (aùnh xaï tích) cuûa f vaø g . Ví duï 1: f :ℝ →[ 5, +∞ ) f( x )= x 2 + 5 g :[ 5, +∞) → ℝ− g( x )= − x + 2 gfx ( ) = gx( 2 + 5) = - x2 +5 + 2 = - x2 + 7 2x + 5 Ví du 2ï: f, g : ℝ → ℝ ; fx( )= 3 x2 − x ; g( x ) = 4 2(3xx2−+ ) 5 6 xx 2 −+ 2 5 gfx ( ) = gx(32 − x ) = = 4 4 2x + 5  f g( x ) = f   4  2x+ 5  2 2 x + 512 xx2 ++ 52 55 = 3  − = 4  4 16 Nhaän xeùt : i) Thoâng thöôøng, f g≠ gf . − ii) ()g f 1 = f−1 g − 1 (giaû söû f , g laø song aùnh). iii) ff −1( y ) = y , ∀ y∈ Y ( f: X→ Y laø song aùnh). f−1 fx( ) = x , ∀ x∈ X ( f: X→ Y laø song aùnh). iv) Giaû söû ( f g) h toàn taïi, ta coù ( fg) h= f ( gh ) . VIII Ñònh nghóa : 1) Moät taäp A ñöôïc noùi laø höõu haïn vaø coù n phaàn töû neáu toàn taïi moät song aùnh giöõa A vaø taäp con {1,2,3, , n} cuûa ℕ . Khi ñoù, ta vieát Card A= n hay A= n . 2) Neáu taäp A khoâng höõu haïn, ta noùi A voâ haïn.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 13 3) Hai taäp A vaø B ñöôïc noùi laø ñoàng löïc löôïng neáu toàn taïi moät song aùnh töø A vaøo B . 4) Moät taäp A ñöôïc noùi laø ñeám ñöôïc neáu toàn taïi moät song aùnh giöõa A vaø taäp con N cuûa ℕ . Khi ñoù, neáu N = ℕ thì ta noùi A laø taäp voâ haïn ñeám ñöôïc. Noùi caùch khaùc, ta noùi A laø taäp voâ haïn ñeám ñöôïc neáu toàn taïi moät song aùnh giöõa A vaø taäp ℕ .
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 13 CHÖÔNG I SOÁ THÖÏC I. Moät thieáu soùt cuûa ℚ Meänh ñeà: phöông trình: x2 = 2 khoâng coù nghieäm trong ℚ . Ch ng minh : Giaû söû phöông trình: x2 = 2 coù nghieäm trong ℚ m m laø x 0 ⇒ x 0 = vôùi m , n ∈ ℤ , n ≠ 0 vaø laø phaân soá toái giaûn n n ( m , n nguyeân toá cuøng nhau). 2 2 m  m 2 2 Khi ñoù   = 2 ⇒ = 2⇒ m= 2 n (1) n  n2 ⇒ m2 laø soá chaün ⇒ m laø soá chaün (vì neáu m laø soá leû thì m2 laø soá leû) ⇒ m= 2 k ( k ∈ ℤ ) (2) 2 (1) & (2) ⇒ ()2kn= 2 2 ⇒ 2k 2 = nn 2⇒ 2 laø soá chaün m 2k k ⇒ n laø soá chaün ⇒ n= 2 h ( h ∈ ℤ ) ⇒ = = n 2h h m ⇒ laø phaân soá khoâng toái giaûn ⇒ maâu thuaãn vôùi giaû thieát . n Do ñoù phöông trình x2 = 2 khoâng coù nghieäm trong ℚ . II. Tieân ñ Zorn : 1. Khaùi nieäm : Taát caû caùc soá höõu tyû vaø voâ tyû goïi chung laø soá thöïc. Taäp hôïp caùc soá thöïc kyù hieäu laøø ℝ . Treân ℝ coù caùc tính chaát veà pheùp coäng, nhaân vaø baát ñaúng thöùc nhö ñaõ bieát. 2. Ñònh nghóa : Cho A ⊂ ℝ vaø A ≠ ∅ . Ta noùi
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 14 i) A ø bò chaän treân neáu ∃ k ∈ ℝ sao cho: x≤ k ,∀ x∈ A . ii) A bò chaän döôùi neáu ∃ k ∈ ℝ sao cho x≥ k , ∀ x∈ A . 3. Tính ch t ñưc s p hoàn ch nh : Moïi taäp con cuûa ℝ khaùc ∅ bò chaän treân ñeàu toàn taïi chaän treân nhoû nhaát. Nhaän xeùt : Neáu A coù chaän treân nhoû nhaát thì chaän treân nhoû nhaát laø duy nhaát, kyù hieäu laø sup A . Chöùng minh : Giaû söû A coù 2 chaän treân nhoû nhaát laø k1 vaø k2 ta coù: ≤ k1 k 2 (vì k1 laø chaän treân nhoû nhaát) ≤ = k2 k 1 (vì k2 laø chaän treân nhoû nhaát) ⇒ k1 k 2 . • M laø chaän treân nhoû nhaát cuûa A neáu vôùi moïi T laø chaän treân cuûa A thì M≤ T . • m laø chaän döôùi lôùn nhaát cuûa A neáu ta coù m≥ t , ∀t laø chaän döôùi cuûa A. • Cho A ⊂ ℝ vaø A ≠ ¯. Neáu A bò chaän treân thì A coù voâ soá chaän treân. Neáu A bò chaän döôùi thì A coù voâ soá chaän döôùi. 3. Heâ quaû: Cho A ⊂ ℝ vaø A ≠ ∅. Neáu A bò chaän döôùi thì A coù chaän döôùi lôùn nhaát, kyù hieäu laø inf A. Chöùng minh : Ñaët B={ − xx ∈ A } . Vì A bò chaän döôùi neân toàn taïi m ∈ ℝ sao cho: m≤ x , ∀x ∈ A ⇒ −x ≤ − m , ∀ −x ∈ B ⇒ B bò chaën treân, do tính ch t ñưc s p hoàn ch nh ta coù sup B toàn taïi. Ta coù ∀x ∈ A , −x ≤ sup B ⇒ −sup B ≤ x ⇒ −sup B laø moät chaän döôùi cuûa A.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 15 Ta seõ chöùng minh −sup B laø moät chaän döôùi lôùn nhaát cuûa A. Thaät vaäy, ∀t laø chaän döôùi cuûa A thì t≤ x , ∀x ∈ A ⇒ −x ≤ − t , ∀ −x ∈ B ⇒ −t laø moät chaän treân cuûa B ⇒ sup B≤ − t ⇒ t≤ − sup B ⇒ infA= − sup B . Ví duï: Vôùi A ={ −75, , − 21 , } thì sup A = 5 ; inf A = − 7 . A ={ − 2, 18 } sup A =18 ; inf A = − 2 A =[ − 7; 12 ] sup A =12 ; inf A = − 7 A =( − 5, 2 ) sup A =12 ; inf A = − 5 • Nhaän xeùt : - sup A coù theå thuoäc A hoaëc khoâng thuoäc A . Neáu sup A∈ A ta coù supA= max A . - inf A coù theå thuoäc A hoaëc khoâng thuoäc A . Neáu inf A∈ A ta coù infA= min A . 5/ Meänh ñe à (ñaëc tröng cuûa sup) Cho A ⊂ ℝ , A ≠ ∅ . Khi ñoù: (i ) M laø moät chaän treân cuûa A M= sup A ⇔  ∀ε ∃∈ ε 0, x0A : M- x 0 M Chöùng minh : ( ⇒ ) Giaû söû M= sup A , khi ñoù (i) laø hieån nhieân. ∀ ε > 0 ⇒ M – ε < M ⇒ M – ε khoâng laø chaän treân cuûa A . ⇒ meänh ñeà ( ∀ x∈ A ; x≤ M − ε ) laø sai . ∃ ∈ −ε < ≤ ⇒ x0 A : M x0 M ⇒ (ii) thoûa.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 16 ( ⇐ ) Giaû söû M thoûa i) vaø ii) ⇒ M laø chaën treân. Giaû söû M khoâng laø chaën treân nhoû nhaát cuûa A . Ta coù: sup A 0 . ∃ ∈ − − 0 luoân luoân toàn taïi n ∈ ℕ ñeå cho n. a> b . Chöùng minh : Giaû söû khoâng toàn taïi n ∈ ℕ ñeå cho n. a> b ⇒ n. a≤ b ∀ n ∈ ℕ . Ñaët A={ nan. ∈ ℕ}, ta coù A ≠ ∅ vì A chöùa phaàn töû a=1. a . Vì na∈ A vaø na≤ b neân A bò chaën treân bôûi b ⇒ sup A toàn taïi. Theo ñaëc tröng cuûa sup, vôùi ε =a > 0 0 thì ∃∈ − 0 , ε ∈ℝ , ∃n ∈ ℕ* sao cho 1
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 17 1 ⇒ 0 ta coù (supA + ε ) 2 ≤ 2 5 ⇒ supA + ε ∈ A (Vôùi 0 ≤ t 2 ≤ 2 ⇒ t ∈ A) maø supA + ε > supA: voâ lyù. ii) Giaû söû (supA) 2 > 2. Xeùt ε > 0, ta coù (supA - ε)2 = (supA) 2 - 2. ε supA + ε2 > (supA) 2 - 2. ε supA ≥ (supA)2 - 4. ε. (supA ) 2 − 2 Ñeå (supA) 2 - 4. ε = 2 ta choïn ε = > 0. 4
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 18 (supA ) 2 − 2 Khi ñoù vôùi ε = > 0 ta coù (supA - ε)2 > 2. 4 Vaäy supA –ε laø moät chaën treân cuûa A ⇒ supA ≤ supA –ε ⇒ supA + ε ≤ supA (voâ lyù). Keát luaän (supA) 2 = 2. IV. Giaù trò tuyeät ñoái . Nhò thöùc Newton : 1) Ñònh nghóa : Trò tuyeät ñoái cuûa moät soá thöïc a laø a neáu a≥ 0 | a | =  -a neáu a<0 2) Tính chaát : i) x≥0, ∀ x ∈ ℝ ii) xy+ ≤ x + y ; daáu “=” xaûy ra ⇔ x.y ≥ 0 iii) xy−≤− xyxy; −≤+ xy x x iv) xy= x y ; = y y 3) Nhò thöùc Newton : n n n n! − n n! − ()ab+ = ∑ abn k k ; ()ab− =∑ ank( − 1 ) kk . b k =0 k!( n− k )! k=0 k!( n− k )! n.( n−1 ).( n − 221 ) . neáu n ≥ 1 Qui öôùc : n! =   1 neáu n = 0 n! Ta kyù hieäu C k = n k!( n− k )! an-bn =(a - b)(a n-1 + an-2b + an-3b2 + . + ab n-2 + bn-1) an+b n =(a + b)(a n-1 - an-2b + an-3b2 - . + (-1) n-2ab n-2 + (-1) n-1bn-1) vôùi n leû
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 19 Ghi chuù: Khoaûng hôû (môû) taâm a baùn kính ε > 0 laø ( a-ε , a+ ε ) coøn goïi laø laân caän taâm a baùn kính ε.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 20 CHÖÔNG II DAÕY SOÁ THÖÏC I. Khaùi nieäm : AÙnh xaï: f : ℕ→ ℝ = () n֏ un fn ñöôïc goïi laø moät daõy soá thöïc. { ∈ } { } Kyù hieäu: u1, u 2 , , u n , hay un , n ℕ hay un . n: ñöôïc goïi laø chæ soá; u n ñöôïc goïi laø soá haïng toång quaùt cuûa daõy. Ví duï: • Cho daõy 1, 2, 3, 4, , n, . Ta coù soá haïng toång quaùt cuûa daõy laø: u n = n. 1 • Cho daõy {un} coù soá haïng toång quaùt u n = . Caùc 2n + 3 1 1 1 phaàn töû cuûa daõy laø , , , 5 7 9 • { } + Cho daõy un vôùi u 1 = a > 0 vaø u n = a u n−1 3u + 5 • = n−1 Cho u 1 = 2 vaø un , caùc soá haïng cuûa daõy laø: un−1 11 43 u = 2; u = ; u = , 1 2 2 3 11 II. Söï hoäi tuï cuûa daõy soá: 1. Ñònh nghóa : Daõy {un} goïi laø hoäi tuï neáu toàn taïi soá a ∈ ℝ thoûa: “ ∀ε > 0 cho tröôùc, luoân toàn taïi soá nguyeân döông N( ε) sao cho n > N( ε) ⇒ |un - a| < ε”. { } → = Khi ñoù ta noùi un hoäi tuï veà a vaø kyùù hieäu: u n a hay limun a . n→∞
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 21 Nhaän xeùt : i) Vieát N( ε) nghóa laø N( ε) phuï thuoäc vaøo ε, N( ε) coù theå khoâng laø soá nguyeân cuõng ñöôïc. ii) |un - a | N 0. (nghóa laø: ∀ε, luoân toàn taïi soá N 0 sao cho un ∈ (a - ε, a + ε), ∀n > N 0) 1 Ví duï: Chöùng minh daõy { } hoäi tuï veà 0. n ∀ε > 0, ta caàn chöùng minh toàn taïi N 0 sao cho: 1 − 0 N 0 . n 1 Vôùi ε > 0, theo tính chaát Archimeøde thì ∃ N 0: N 0 ta coù 0, ∃ N 0: n > N 0 ⇒ − 0 = N ε 0
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 22 7 Vaäy ∀ε > 0, ∃ N = , sao cho vôùi moïi n > N 0 ε 0 2 7 2 ⇒ u − 0. 2 Vì u n hoäi tuï veà a 1, neân ∃N1 : vôùi moïi n > N 1 thì a− a |u - a | N 1 2 n 1 2 1 a+ a ⇒ u N (1) n 2 1 Maët khaùc, vì u n → a 2, a− a neân ∃ N : vôùi moïi n > N thì |u - a | N : a - 2 1 N : 2 1 max {N1, N 2} thì (1) vaø (2) cuøng xaûy ra → voâ lyù. Do ñoù giôùi haïn cuûa moät daõy neáu coù thì duy nhaát. 3. Ñònh nghóa : Daõy {un} goïi laø bò chaän neáu ∃ K sao cho |un| ≤ K, ∀n.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 23 Ví duï: 1 • { } 2 ≤ ≤ ∀ { } un vôùi un = 2 + sin n . Ta coù: 2 un 3, n ⇒ un bò chaän. 1  1  1  1  • {un} vôùi u n = 1−  1 −  1 −  1 −  2  3  4 n  Ta coù : 0 ≤ un ≤ 1 ⇒ |un| ≤ 1 ⇒ {un} bò chaän. Ghi chuù: i) {un} goïi laø bò chaän treân neáu ∃M : u n ≤ M, ∀n. ii) {un} bò chaän döôùi neáu ∃m : m ≤ u n, ∀n. iii) {un} bò chaän ⇔ {un} bò chaän treân vaø bò chaän döôùi. 4. Ñònh lyù : i) {un} hoäi tuï ⇒ {un} bò chaän. ii) Giaû söû {un} → a ≠ 0 ⇒ ∃A > 0, ∃ N > 0 sao cho |un| > A, ∀n > N Chöùng minh : i) Giaû söû u n → a. Khi ñoù vôùi ε = 1, ∃N : n > N ⇒ |un - a | N (|un| N) + | | ≤ ∀ ∈ Choïn K = max { uu1, 2 , , uN , 1 a } ⇒ un K, n ℕ Ghi chuù: Ta cuõng coù theå choïn K = |u1|+|u2| + + |un|+1+ |a| ii) Giaû söû u n → a ≠ 0. Ta seõ chöùng minh ∃A > 0 : |un| ≥ A, ∀n ∈ ℕ . a a Vôùi ε = > 0, ∃N : n > N, ta coù: |u - a | N 2 n
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 24 a a maø |u | = |u - a + a | ≥ |a| - |u - a | ≥ |a| - = , ∀n > N n n n 2 2 a ⇒ ∃A = > 0 : |u | > A, ∀n > N. 2 n ≥ ∀ ∈ = ≥ 5. Meänh ñeà: Neáu un 0, n ℕ vaø lim un a thì a 0. n→∞ Chöùng minh : (baèng phaûn chöùng) a a Giaû söû a N ⇒ |u - a | N n 2 2 1 ⇒ maâu thuaãn vôùi giaû thieát u n ≥ 0, ∀n. Ghi chuù: • Neáu thay giaû thieát un ≥ 0 ∀n baèng giaû thieát u n ≥ 0 ∀n > N thì ñònh lyù vaãn ñuùng. Noùi chung, neáu boû ñi moät soá höõu haïn caùc soá haïng cuûa daõy thì söï hoäi tuï cuûa daõy khoâng thay ñoåi. • Neáu thay (u n ≥ 0, ∀n ∈ ℕ ) baèng (u n > 0, ∀n ∈ ℕ ), ta cuõng chæ ≥ suy ra lim un 0 (khoâng theå boû daáu “=”). n→∞ 1 1 Ví duï: un = > 0, ∀n ∈ ℕ nhöng lim = 0 n n→∞ n 6. Meänh ñeà (caùc pheùp toaùn veà giôùi haïn cuûa daõy) : = = Giaû söû limun a vaø limvn b .Ta coù : n→+∞ n→+∞ + = + i) lim (un v n ) ab n→+∞ = ii) limuvn n ab . n→+∞ u a iii) limn = (neáu b ≠ 0) n→∞ vn b
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 25 = ≥ ∀ iv) limun a (neáu u n 0, n) n→+∞ Chöùng minh : i) Vôùi ε > 0 cho tröôùc, ε u → a ⇒ ∃N : n > N : |u - a | N : |v - b | N : |un + v n - (a + b) | = |un - a + v n - b | ε ε ≤ |u - a | + |v - b | 0, ∃N1 : n > N 1 : |un - a | N 2 : |vn - b | N = max {N1, N 2} : |unvn - ab | < + = ε 2K 2K Do ñoù : unvn → ab u 1 n = iii) un vn v n
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 26 1 1 Do ñoù : ta chæ caàn chöùng minh neáu vn → b thì → (b ≠ 0). vn b 1 1 v− b Ta coù: − = n vn b vbn b Theo chöùng minh cuûa meänh ñeà 4 thì |v | ≥ , ∀n > N n 2 1 − − vn b v n b 2 Do ñoù n > N 1 : ≤ =v − b v bb b 2 n n b 2 εb2 Vaäy ∀ε > 0, ∃N : n > N : |v - b | max N1, N 2 : 2 vn b b 2 1 1u 1 a ⇒ → ⇒ n →a = vn bv n bb iv) Vì un ≥ 0, ∀n ⇒ u n → a ≥ 0 − ≤ − Ta chöùng minh un a ua n ⇔ − −≤− un au n aua n ⇔ − −≤− + un au n a u n au n a Baát ñaúng thöùc treân hieån nhieân ñuùng. 2 Do ñoù: ∀ε > 0, ∃ N : n > N ta coù |un - a | N : un a ua n ⇒ un a
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 27 7. Meänh ñeà: = =  limun a , lim vb n Neáu  n→+∞ n →+∞ thì a ≤ b ≤ ∀ ∈  un v n , n ℕ − Chöùng minh : Theo meänh ñeà 6: ta coù lim (vn u n ) = b – a n→+∞ maø vn - un ≥ 0 ∀n ∈ ℕ . Theo meänh ñeà 5 ta suy ra: b - a ≥ 0 ⇒ b ≥ a Ghi chuù: + Thay un ≤ v n, ∀n baèng u n ≤ v n, ∀n > N thì ñònh lyù vaãn ñuùng. > ∀ ∈ ≥ + Neáu vn u n , n ℕ thì ta cuõng chæ suy ra b a (khoâng theå boû daáu “=” ) 3n2 3 n 2 Ví duï: > 4n2+ 14 n 2 + 3 32 3 2 3 n= n = nhöng lim2 lim 2 n→+∞4n+ 1 n →+∞ 4 n + 34 8. Ñònh lyù (keïp ) : Giaû söû u n ≤ x n ≤ v n, ∀n ∈ ℕ (* ) { } vaø lim un = lim vn = a thì xn hoäi tuï vaø lim x n = a n→+∞ n→+∞ Chöùng minh : Vôùi moïi ε > 0 cho tröôùc, • un hoäi tuï veà a, ∃N1 : n > N 1 ⇒ |un - a | N 1 • vn → a : ∃N2 : n > N 2 ⇒ |vn - a | max {N1, N 2} = N thì : a - ε N ⇒ x n → a
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 28 Ghi chuù: Giaû söû xn cuõng hoäi tuï, laáy giôùi haïn cuûa (* ) ≤ ≤ Ta coù: a = lim un lim xn lim vn = a ⇒ lim xn = a n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞ 1 Ví duï: Tìm lim sin(n !) n→∞ n 1 1 1 1 Vì 0 ≤ sinn !≤ ⇒ sin!n→ 0⇒ sin! n → 0 n n n n III. Daõy soá ñôn ñieäu : 1. Ñònh nghóa : i) Daõy {un} goïi laø ñôn ñieäu taêng neáu u n ≤ u n+1 , ∀n ∈ ℕ . Boû daáu “=” ta coù ñònh nghóa moät daõy taêng nghieâm ngaët (nghieâm caùch). ii) Daõy {un} goïi laø ñôn ñieäu giaûm neáu u n ≥ u n+1 , ∀n ∈ ℕ . Boû daáu “=” ta coù ñònh nghóa moät daõy giaûm nghieâm ngaët. iii) Daõy taêng hoaëc giaûm goïi chung laø daõy ñôn ñieäu. 2. Ñònh lyù: i) Daõy taêng vaø bò chaän treân thì hoäi tuï. ii) Daõy giaûm vaø bò chaän döôùi thì hoäi tuï. ={ ∈} ⊂ Chöùng minh : Ñaët A un / n ℕ ℝ . i) {un} bò chaän treân ⇒ A bò chaän treân. Theo tieân ñeà Zorn ta coù sup A toàn taïi, ta seõ chöùng minh {un} → sup A. Vôùi ε > 0 cho tröôùc, theo tính chaát cuûa sup thì ∃ N : sup A - ε N ⇒ sup A − u n N
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 29 ⇒ un − sup A  N (vì un − supA  = supA − u n = supA − u n) ⇒ limun = supA. n→+∞ ii) Töông töï u n giaûm vaø bò chaän döôùi thì hoäi tuï veà infA. 1 1 1 Ví duï 1 : {un} vôùi un = (1− )( 1 − ) ( 1 − ) 2 3 n 1 * Chöùng minh: {un} hoäi tuï: u n+1 = (1− ) un ≤ un, ∀n ∈ ℕ n +1 * ⇒ {un} giaûm vaø un > 0, ∀n ∈ ℕ Vaäy u n giaûm vaø bò chaän döôùi bôûi 0 neân {un} hoäi tuï. 1 1 1 Ví du 2ï: Cho {u }; vôùi u = + + + n n 2 22 2 n Chöùng minh {un} hoäi tuï vaø tìm giôùi haïn cuûa un. 1 1 (1− ) n 1 u = 2 2 = 1− u ∀n n+1 n 2n+1 n {un} taêng vaø bò chaën treân bôûi 1 ⇒ {un} hoäi tuï. 1  Ta coù: limu = lim 1 − = 1 n →+∞ n  n→+∞ n 2  IV. Daõy phaân kyø ra ∞∞∞: 1. Ñònh nghóa : Daõy soá khoâng hoäi tuï goïi laø daõy soá phaân kyø. n Ví duï: {un} vôùi u n = ( −1) laø 1 daõy phaân kyø. 2. Ñònh nghóa :
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 30 i) Daõy {un} goïi laø phaân kyø ra + ∞ neáu tính chaát sau thoûa: “ ∀A > 0 cho tröôùc, ∃ N : n > N ⇒ u n > A”. ii) Daõy {un} goïi laø phaân kyø ra −∞ neáu tính chaát sau thoûa: “ ∀A > 0 cho tröôùc, ∃ N : n > N ⇒ u n 0 baèng A > 0 vaø un−a A (hoaëc u n < −A). 3. Meänh ñeà: Giaû söû {un} taêng vaø {vn} giaûm thoûa: u≤ v, ∀ n ∈ ℕ  n n { } { }  − = thì un vaø vn hoäi tuï veà cuøng 1 giôùi haïn. lim(un v n )0 (*)  n→+∞ Chöùng minh : + Ta coù un ≤ v n ≤ v 1, ∀n ⇒ {un} bò chaän treân bôûi v1 (vaø un taêng) ⇒ {un} hoäi tuï veà x 1. + v n ≥ un ≥ u1, ∀n ⇒ {vn} giaûm vaø bò chaän döôùi bôûi u1 ⇒ {vn} hoäi tuï veà x 2. − − − ⇒ x 1 x 2 = limun limvn = lim (u n vn) (* ) = 0 ⇒ x 1 = x 2 n→∞ n→∞ n→+∞ V. Vaøi daõy soá ñaëc bieät : 1. Meänh ñeà:
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 31 1 = ∀α i) lim α 0 > 0 n→+∞ n ii) lim n a=1 ∀a > 0 n→+∞ iii) lim n n=1 n→+∞ nx iv) lim = 0 , ∀α > 0 , ∀x∈ ℝ n→∞ (1+α ) n nx  lim =0 , ∀ a > 1  n→+∞ an  +∞ neáu a>1 v) lim a n =  n→+∞ 0 neáu a n >   n ε ε  1 1 α 1 ∀ ε ∃   − ε Do ñoù > 0, N =   ⇒ n > N. Ta coù α 0 1 n n Ñaët x n = a − 1 > 0 ⇒ x n + 1 = a n a-1 ⇒ a = (1 + x n) ≥ 1 + nx n ⇒ 0 < x < n n Theo ñònh lyù keïp ta coù lim xn= 0 n→∞ ⇒ lim ( n a −1)= 0 ⇒ lim n a =1 n→∞ n→∞ * Neáu a < 1
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 32 1 1 lim = lim n =1 ⇒ lim n a=1 n→∞ n a n→∞ a n→∞ iii) n n →1 n n Ñaët y n = n − 1 ≥ 0 ⇒ n = yn + 1 nn()−1 nn () − 1 ⇒ n = (1 + y )n = 1 + ny + y2+ + > y 2 n n 2n 2 n 2 2 2 ⇒ y n 0 n→∞ (1+α ) n ∀x > 0, ∃ m ∈ ℕ∗ : m > x Khi n > 2m, ta coù: n n! n ! (1+ α)n = αk> α m ∑ − − k = 0 knk!( )! mnm !( )! nn(−1 ) ( nm − + 1 ) n  m α m = α m >   (*) m! 2  m! n n (ta coù (*) vì n – m > n - = (∀n >2m)) 2 2 x n nx 2m.m ! 1 ⇒ 0 2m, m – x > 0) (1+α ) nmα m α mn m− x . 2m m! nx nx ⇒ lim = 0 ,∀α > 0, ∀x hay lim= 0 ,∀a >1 n→+∞ (1+α ) n n→+∞ an 2. Meänh ñeà:
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 33 { } n 1 Cho daõy un vôùi u n = ∑ k =0 k! { } i) Daõy un hoäi tuï { } ii) Neáu goïi e laø giôùi haïn cuûa un thì e laø soá voâ tæ iii) 2 daõy soá sau cuõng hoäi tuï vaø coù giôùi haïn laø e + 1  n 1  n 1 xn = 1+  yn = 1+  n  n  Chöùng minh: 1 i) un+1 = un + > un ∀n ⇒ {un} taêng (n +1 )! 1− 1  1 −  111 1 2 2 n 1  u 2 + , n 4 , do ñoù e > 2) n→+∞ 2 p ∗ Giaû söû e laø soá höõu tæ ⇒ e = (vôùi p, q ∈ ℕ ). q Vôùi n > q ta coù: 111 1 1 1 un = 1++++++ ++ 123!!q !()! q+ 1 n ! 1 1 = uq + + + (q+1 )! n !
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 34 11 1 1  + + + = uq+   qq!+++112 ( qq )( ) ( qn + 1 )  11 1 1  + + + q, ta coù u q+1 ≤ u n < u q + . q! q 1  ≤ ≤ + Qua giôùi haïn, ta coù: limuq+1 lim u n lim  u q  n→+∞ n →+∞ n →+∞ q! q  1 1 ⇒ uq+1 ≤ e ≤ u q + suy ra uq < e < u q + q! q q! p ⇒ q!u q < q! < q!u q +1 q 1 1  p Ta coù: q!u q = q! 2 + + +  laø moät soá nguyeân vaø q! laø 2!q !  q moät soá nguyeân. Hôn nöõa, q!u q vaø q!u q + 1 laø 2 soá nguyeân lieân tieáp. Vaäy giöõa 2 soá nguyeân lieân tieáp coù 1 soá nguyeân laø voâ lí. Do ñoù e phaûi laø 1 soá voâ tæ.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 35 iii) Höôùng daãn: ≤ Ta chöùng minh xn x n+1 baèng baát ñaúng thöùc Cauchy: n + + n+1 + 1  +1  +≤ 1 n 11  = xn = 1  =1  1  . 1  x +1 n  n  n  n +1  n 1  n ⇒ 1+  laø daõy taêng. Sau ñoù chöùng minh daõy bò chaän treân n  bôûi 3. n +1  + 1  1  Ngoøai ra, ta coù yn = 1  1  = x n 1+  n  n  n  IV. Daõy Cauchy : { } 1. Ñònh nghóa : un ñöôïc goïi laø 1 daõy Cauchy neáu tính chaát sau thoûa: “∀ε > 0, luoân ∃N > 0 sao cho ∀m, n > N ⇒ u− u 0, ∃ N > 0 sao cho m, n > N ⇒ u− u 0, ∀ N > 0, ∃ m, n > N sao cho u− u ≥ ε ” 0 n m 0
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 36 Ví duï: Chöùng minh {un} khoâng hoäi tuï 1 1 1 vôùi u =+1 + + + n 2 3 n Chöùng minh: Tính: 11 11 1 1 1 − =+++++ ++ −+++  u2 u 1  1  m m 23mm+ 12 m 2 m  11 111 1 1 = + ++ ≥ + ++ = mm+1 + 2 222 mmm 2 m 2 ( m soá haïng ) 1 Do ñoù: ∃ ε = ,∀N, ∃n = N+1, m = 2(N+1) (m, n > N) 0 2 1 ⇒ u− u = u − u ≥ m n2 m m 2 vaäy {u m} khoâng hoäi tuï (phaân kyø) Ví duï: duøng tieâu chuaån Cauchy chöùng minh daõy sau hoäi tuï: 1 1 1 u =+1 + ++ n 22 3 2n 2 Chöùng minh: Daønh cho ñoäc giaû.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 37 Chöông III GIÔÙI HAÏN CUÛA HAØM SOÁ I. Vaøi khaùi nieäm : 1. AÙnh xaï f: D ⊂ℝ → ℝ ñöôïc goïi laø moät haøm soá thöïc. • D: mieàn xaùc ñònh cuûa f . • f(D): mieàn giaù trò cuûa f 2. Cho 2 haøm soá f vaø g coù mieàn xaùc ñònh laàn löôït laø D1 vaø D 2.  D= D Ta noùi: f = g neáu: 1 2  = ∀ ∈  fx( ) gx ( ), x D 1 3. Haøm soá f coù mieàn xaùc ñònh laø D 1 vaø g coù mieàn xaùc ñònh laø D 2. i). Haøm (f + g) vaø f.g ñöôïc ñònh nghóa: (f + g)(x) = f(x) + g(x) (fg)(x) = f(x)g(x) Coù mieàn xaùc ñònh laø D 1 ∩ D 2 f f( x ) ii). Haøm (x )= coù MXÑ laø D 1 ∩ D 2\ D3 g g( x ) vôùi D 3 = {x ∈ D 2/g(x) = 0 } iii). Haøm f: fx ()= fx () Coù mieàn xaùc ñònh laø D 1\ A vôùi A = {x ∈ D 1/ f(x) < 0 } 4. Vaøi haøm löôïng giaùc ngöôïc : π π  • y = arcsinx coù MXÑ laø [-1, 1 ] vaø mieàn giaù trò laø − , 2 2  • y = arccosx coù MXÑ laø [-1, 1 ] vaø mieàn giaù trò laø [0, π]
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 38 • y = arctgx coù MXÑ laø (-∞, + ∞) = ℝ vaø mieàn giaù trò laø (- π/2, π/2) • y = arccotgx coù MXÑ laø (-∞, + ∞) = ℝ vaø mieàn giaù trò laø (0, π) II. Giôùi haïn höõu haïn cuûa haøm soá: Nhaéc laïi : Cho ε > 0, (x 0 - ε, x 0 + ε) = {x/ x0 - ε 0 cho tröôùc, luoân toàn taïi α > 0 sao cho : x∈ I vaø 0 N baèng x ∈ I ∩ (x 0 - ε, x 0 + ε)\{x0}. ii) Ta cuõng coù theå ñònh nghóa: f coù giôùi haïn laø L khi x → x 0 neáu vôùi moïi khoaûng môû W taâm L baùn kính ε, luoân toàn taïi moät khoaûng môû V taâm x 0 baùn kính α, sao cho x ∈ (I ∩ V)\{x0} ⇒ f(x) ∈ W. → ≠ iii) Trong ñònh nghóa treân, x x 0 nhöng x x 0 . 2. Ñònh nghóa : Cho haøm soá f xaùc ñònh treân khoaûng môû I chöùa x 0 (coù theå khoâng xaùc ñònh taïi x 0).
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 39 i) Ta noùi L laø giôùi haïn beân traùi taïi x 0 neáu: “∀ε > 0, ∃ α > 0 sao cho x ∈ I vaø 0 0, ∃ α >0 sao cho x ∈ I vaø 0 0, ∃α = sao cho |x - 2 | < α = 2 2 ⇒ |f(x) - 9 | < ε ⇒ limf ( x )= 9 x→2  x2 neáu x ≠ 4 Ví duï 2 : g(x) =   6neáu x = 4 Chöùng minh raèng limg ( x )=16 x→4 |x2 - 16 | = |(x - 4)(x + 4) | = |x + 4 ||x -4|
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 40 Coi khoaûng môû I taâm 4 baùn kính 1 (I = (3, 5)) Ta coù |g(x) - 16 | = |x + 4 ||x -4| 0, ∃α = min ,1  sao cho 0 1; neáu chæ choïn α = > 1 thì baát phöông 9 9 trình (*) khoâng coøn ñuùng (vì coù theå 0 0, ∃ α > 0 sao cho: → x x 0 x ∈ I vaø 0 N (2). Keát hôïp (1) vaø (2) ta coù “∀ε > 0, ∃ N sao cho |f(x n) - L | N” . = Vaäy limf ( xn ) L n→∞ (ii) ⇒ (i)
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 41 Giaû söû limf ( x ) ≠ L → x x 0 ⇒ “∃ ε > 0 sao cho ∀ α > 0 thoûa 0 < |x - x 0| < α thì f( x ) − L ≥ ε ” * 1 ∀n ∈ ℕ , choïn α = thì toàn taïi x n sao cho : n 1 0 < |xn - x 0| < α = vaø f( x )− L ≥ ε n n ⇒ toàn taïi daõy {xn} chöùa trong I hoäi tuï veà x 0 vaø x n ≠ x 0, ∀n nhöng ≠ limf ( xn ) L . n→∞  1  sin neáu x ≠ 0 Ví du 1ï: Cho f(x) =  x  0neáu x = 0 Chöùng minh raèng f khoâng coù giôùi haïn taïi 0 (hay limf ( x ) khoâng x→0 toàn taïi). 1 → 0 Chöùng minh : Xeùt daõy x n = π (2n + 1 ) 2 1 π n Nhöng daõy f(x n) = sin = sin[(2n + 1) ] = (-1) xn 2 ⇒ {f(x n)} khoâng hoäi tuï. Do ñoù limf ( x ) khoâng toàn taïi. x→0 Caùch khaùc : 1 1 Xeùt hai daõy x = → 0 ; y = → 0 n π n 2 π + 2nπ n 2
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 42 π  Nhöng f(x n) = sin +2nπ  → 1 ; f(y n) = sin(2n π) → 0 2  Do ñoù giôùi haïn cuûa f taïi 0 khoâng toàn taïi. Ví du 2ï: Xeùt haøm soá f(x) = x 2 chöùng minh limf ( x )= 9 x→3 ∀ { } → 2 → Thaät vaäy, daõy xn 3 ta coù f(x n) = xn = x nxn 3.3 = 9 ⇒ limf ( x )= 9 x→3 4. Ñònh nghóa : i) Cho f xaùc ñònh treân I = (a, + ∞) = {x ∈ ℝ / x > a }. Ta noùi f coù giôùi haïn laø L ôû + ∞, neáu: “∀ε > 0, ∃ B > 0 sao cho x ∈ I vaø x > B ⇒ |f(x) - L | 0, ∃B > 0 sao cho x ∈ I vaø x (ôû ñaây ε > 0) x2 ε 1 Do ñoù: ∀ε > 0, ∃ B = > 0 sao cho x > B ⇒ |f(x) -1| < ε ε 5. Meänh ñeà: Cho haøm soá f xaùc ñònh treân I = (a, + ∞). Khi ñoù, hai tính chaát sau töông ñöông:
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 43 i) lim f( x) = L x→+∞ ∀ { } → ∞ ( ) = ii) daõy xn + ⇒ lim f xn L n→+∞ Ghi chuù: Ta coù phaùt bieåu töông töï cho tröôøng hôïp lim f( x) = L x→−∞ 6. Meänh ñeà: Cho f xaùc ñònh treân khoaûng môû I chöùa x 0 (coù theå khoâng xaùc ñònh taïi x 0). Giôùi haïn cuûa f taïi x 0 (neáu coù) laø duy nhaát. Chöùng minh : = = Giaû söû lim f( x) L 1vaø lim f( x) L 2 x→ x 0 x→ x 0 Giaû söû L 1 0. L− L Coi ε = 2 1 > 0 ta coù: 2 Vì f coù giôùi haïn laø L 1 vaø L 2 taïi x 0 neân ∃ α1 > 0 vaø α2 > 0 sao cho: • x ∈ I vaø 0 1 2 (2) 2 Choïn α = min {α1, α2} Ta coù: khi x ∈ I vaø 0 < |x - x 0| < α. Ta coù (1) vaø (2) ñoàng thôøi xaûy ra ⇒ voâ lyù
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 44 (töông töï khi L 1 > L2) Vaäy L1 = L 2 Caùch khaùc : Xeùt daõy x n → x 0 = = ⇒ limf ( xn ) L 1 vaø limf ( xn ) L 2 (do meänh ñeà 3) n→∞ n→∞ ⇒ L 1 = L 2 (do tính duy nhaát cuûa giôùi haïn daõy soá) → → + → − Ghi chuù: Meänh ñeà vaãn ñuùng khi thay x x 0 baèng x x 0 , x x 0 hay x → ±∞. 7. Meänh ñeà: Cho haøm soá f xaùc ñònh treân moät khoaûng môû I chöùa x 0 (coù theå khoâng xaùc ñònh taïi x 0). i) Neáu giôùi haïn cuûa f taïi x 0 toàn taïi höõu haïn thì toàn taïi k > 0 vaø moät khoaûng môû J chöùa x 0 sao cho |f(x) | ≤ k, ∀x ∈ J\{x0}. ii) Giaû söû lim f( x) = L ≠ 0 thì toàn taïi k 1 > 0 vaø moät khoaûng môû J 1 x→ x 0 sao cho |f(x) | > k1, ∀ x ∈ J1\{x0}. Chöùng minh : i) Giaû söû lim f( x) = A . x→ x 0 Coi ε = 1, ∃ α > 0 sao cho x ∈ I vaø 0 0. → x x 0 2 Do ñònh nghóa cuûa giôùi haïn haøm soá ∃α > 0 : x ∈ I vaø 0< |x - x 0| < α
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 45 L L ⇒ |f(x) - L | |L| - = , ∀x ∈I vaø 0 0 vaø J = I ∩ (x - α, x + α) 1 2 1 0 0 Ta coù: |f(x) | > k 1, ∀x ∈ J 1\{x0}. Taát caû caùc meänh ñeà sau ñöôïc suy töø caùc tính chaát cuûa giôùi haïn cuûa daõy soá, meänh ñeà 3 vaø meänh ñeà 5 cuûa chöông naøy. 8. Meänh ñe à: Cho haøm soá f xaùc ñònh treân khoaûng môû I chöùa x 0 (coù theå khoâng xaùc ñònh taïi x 0).  ≥0 ∀ ∈ { }  fx( ) xIx \ 0 Neáu  thì L ≥ 0. limf ( x ) = L →  x x 0 → → + → − Meänh ñeà treân vaãn ñuùng khi thay x x 0 baèng x x 0 , x x 0 hay x → ±∞. Ghi chu ù: töông töï nhö daõy soá, neáu thay giaû thieát ≥ ∀ ∈ > ∀ ∈ fx()0 xIx \{ 0} bôûi giaû thieát fx( )0 xIx \ { 0} ta cuõng chæ keát luaän L ≥ 0 . 9. Meänh ñe à: (Caùc pheùp toaùn treân giôùi haïn haøm soá) Cho caùc haøm soá f, g xaùc ñònh treân khoaûng môû I chöùa x 0 (coù theå khoâng xaùc ñònh taïi x 0). Giaû söû limfx ()= L ,lim gx () = M . Khi ñoù: xx→0 xx → 0 i) lim[ fx ()+ gx ()] = LM + x→ x 0 ii) lim[kf ( x ) ] = kL x→ x 0
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 46 iii) lim[ f ()() xgx] = LM x→ x 0 f( x ) L iv) lim= (ñk M ≠ 0) → x x 0 g() x M v) lim f() x= L (neáu f(x) ≥ 0 ∀x ∈ I \{x0}) x→ x 0 10 . Meänh ñeà: Cho caùc haøm soá f, g xaùc ñònh treân khoaûng môû I chöùa x0 (coù theå khoâng xaùc ñònh taïi x 0) vaø ≥ ∀ ∈ fx( ) gx ( ), xI \ { x 0}. limf ( x ) = L x→ x Neáu  0 thì L ≥ M. limg ( x ) = M  → x x 0 11 . Meänh ñeà: (ñònh lyù keïp) Cho caùc haøm soá f, g, h xaùc ñònh treân khoaûng môû I chöùa x 0 (coù theå khoâng xaùc ñònh taïi x 0) vaø f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), ∀x ∈ I \{x0}. Neáu limfx( ) = lim hx( ) = L thì lim g( x) = L xx→0 xx → 0 x→ x 0 Ghi chuù: Caùc meänh ñeà treân cuõng ñuùng khi thay x →x0 baèng → + → − → ±∞ x x 0 , x x 0 hay x . 1 Ví duï : Tìm limx2 sin x→0 x 1 Ta coù : 0 ≤ x2 sin ≤ x 2 x 1 Maø limx2 = lim0 = 0 neân limx2 sin =0 . x→0 x → 0 x→0 x 1 Vaäy limx2 sin =0 . x→0 x 12 . Ñònh nghóa : Cho haøm soá f xaùc ñònh treân D. Ta noùi
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 47 i) f bò chaän treân treân D neáu ∃M : f(x) ≤ M, ∀x ∈ D. ii) f bò chaän döôùi treân D neáu ∃m : f(x) ≥ m, ∀x ∈ D. iii) f bò chaän treân D ⇔ f bò chaän treân vaø bò chaän döôùi treân D ⇔ ∃k : |f(x) | ≤ k, ∀x ∈ D Töø meänh ñeà 7 ta thaáy neáu lim f( x) toàn taïi höõu haïn thì coù moät x→ x 0 khoaûng môû J chöùa x 0 ñeå f bò chaän treân J\{x0} (f coù giôùi haïn höõu haïn taïi x 0 ⇒ f bò chaën treân khoaûng môû chöùa x 0 (coù theå ngoaïi tröø x0)). 13 . Heä quaû: Cho caùc haøm soá f xaùc ñònh treân khoaûng môû I chöùa x 0 (coù theå khoâng xaùc ñònh taïi x 0). Neáu limf ( x )= 0 vaø |g(x) | ≤ M, ∀x ∈ I \{x0} x→ x 0 thì limf ()() xg x = 0 x→ x 0 III. Giôùi haïn voâ cöïc cuûa haøm soá: 1. Ñònh nghóa : Cho f xaùc ñònh treân khoaûng môû I chöùa x 0 (coù theå khoâng xaùc ñònh taïi x 0). Ta noùi: i) f coù giôùi haïn laø + ∞ taïi x 0 neáu “ ∀A > 0, ∃α > 0 sao cho x ∈ I vaø 0 A” ii) f coù giôùi haïn laø -∞ taïi x 0 neáu “ ∀A > 0, ∃α > 0 sao cho x ∈ I vaø 0 < |x - x 0| < α ⇒ f(x) < -A” Ghi chuù: Neáu thay 0 < |x - x 0| < α bôûi a) 0 < x - x 0 < α: ta coù giôùi haïn phaûi taïi x 0 ; b) 0 < x 0 - x < α: ta coù giôùi haïn traùi taïi x 0. 1 = +∞ Ví duï 1 : Chöùng minh: lim2 x→0 x
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 48 1 1 Ta coù: >A >0 ⇔ x 0, ∃α = A 1 Ta coù : 0 A limf ( x ) x x→0 2 − + 1 2 − + 1 x x = −∞ x x = +∞ Ví duï 2 : lim+ ; lim − x→− 2 (x+2 )( x − 3 ) x→− 2 (x+2 )( x − 3 ) 2 − + 1 2 − + 1 x x = −∞ x x = +∞ lim − ; lim + x→3 (x+2 )( x − 3 ) x→3 (x+2 )( x − 3 ) 2. Ñònh nghóa : Cho f xaùc ñònh treân I = ( α, + ∞). Ta noùi: i) f coù giôùi haïn laø + ∞ ôû + ∞ neáu: “ ∀A > 0, ∃ B > 0 sao cho x ∈ I vaø x > B ⇒ f(x) > A”. Kyù hieäu: lim f( x ) = +∞ . x→+∞ ii) f coù giôùi haïn laø -∞ ôû + ∞ neáu: “ ∀A > 0, ∃ B > 0 sao cho x ∈ I vaø x > B ⇒ f(x) < -A”. Kyù hieäu: limf ( x ) = - ∞ . x→+∞ Töông töï ta coù caùc ñònh nghóa lim f( x ) = +∞ lim f( x ) = −∞ x→−∞ x→−∞ (Khi ñoù mieàn xaùc ñònh cuûa f laø I = (-∞, α )) 3. Meänh ñeà: i) f(x) → + ∞, g(x) → + ∞ ⇒ [f(x) + g(x) ] → + ∞ ii) f(x) → -∞, g(x) → -∞ ⇒ [f(x) + g(x) ] → -∞ iii) f(x) → + ∞, g(x) → + ∞ ⇒ f(x) g(x) → + ∞ iv) f(x) → -∞, g(x) → -∞ ⇒ f(x) g(x) → + ∞
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 49 v) f(x) → + ∞, g(x) → -∞ ⇒ f(x) g(x) → -∞ vi) f(x) → c > 0, g(x) → + ∞ ⇒ f(x) g(x) → + ∞ vii) f(x) → c n  +∞n > m, ab > 0  n m −∞ > <  n m, abn m 0
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 50 1 1  x b) lim()1+xx = e , lim1+  = e x→0 x→±∞ x  xα c) lim= 0 (neáu a > 1) x→+∞ a x  + ∞a > 1 d) lima x =  x→+∞  0 0 1 lima x =  x→−∞  +∞0 1 = e) lim loga x  x→+∞  −∞0 1 = f) lim+ loga x  x→0  + ∞a < 1 ln x ln(1+ x ) g) lim= 0 , lim=1 x→+∞ x x→0 x 1− 1 sin x= = tgx cos x = h) lim1 lim , lim2 x→0x x → 0 x x→0 x 2 π π i) limarctgx = , limarctgx = − x→+ ∞ 2 x→− ∞ 2 limarc cot gx = 0 , lim arccotgx = π x→ + ∞ x→ −∞ ∞ Caùch khöû daïng voâ ñònh : 1 Xeùt giôùi haïn lim[ f ( x )]g( x ) x→ x 0 trong ñoù: limfx ( )=1 ; lim gx ( ) = +∞ xx→0 xx → 0 Caùch 1 : [ − ] 1 gx() f () x 1 g( x )   [][]fx()=1 + (()) fx − 1 f( x ) −1   
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 51 [ −1] g( x ) − limgx ( ) f ( x ) Do ñoù: lim[]fx ( )= lim egx( )[ f ( x )1 ] = e x→ x 0 xx→0 xx → 0 1 1 Vì: lim[]1+ (f ( x ) − 1 )f( x ) −1 = e ( Do: lim(1+u ) u = e ) x→ x 0 u→0 Caùch 2 : Ñaët : y = [f(x) ]g(x) > 0 lny = g(x)ln[f(x)] = g(x)ln [1 + f(x) -1]. ln(1+f ( x ) − 1 ) Vì lim =1 → x x 0 f( x ) −1 ln[1+f ( x ) − 1 ] neân limlny= lim() gx[] fx () − 1 → → xx0 xx 0 f( x ) −1 gx( )( f ( x )−1 ) =lim()[()gxfx − 1 ]⇒ lim y= lim e xx→0 xxxx →0 → 0 1 Ví du ï: Tính lim() cos x x2 x→0 Caùch 1 : Ta coù: cos x−1 1 1 1 2   x 2 = + −=2 + − cos x−1 lim() cos x x lim()1 cosx 1x lim() 1 cos x 1  x→0 x→0 x → 0   cos x−1 −1 2 1 =lim ex = e 2 = x→0 e 1 Caùch 2 : Xeùt x ∈( − 1 , 1 ) , ñaët y= ()cos x x2 1 ln cos x ⇒ = ⇒ = lny2 ln cos x lim ln y lim 2 xx→0 x → 0 x ()()cosx−1 ln 1 + cos x − 1 −1 = = lim 2 x→0 ()cos x−1 x 2 1 −1 1 Suy ra lim() cos xx2 = e 2 = x→0 e
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 52 V. Caùc ñaïi löôïng töông ñöông : 1. Ñònh nghóa : i) Cho f vaø g laø 2 haøm xaùc ñònh treân khoaûng môû I chöùa x 0 (coù theå khoâng xaùc ñònh taïi x 0). Ta noùi: f töông ñöông vôùi g khi x tieán veà f( x ) x0 neáu lim =1. → x x 0 g() x → Khi ñoù, ta kyù hieäu fg∼ khi xx 0 ii) Cho f vaø g xaùc ñònh treân I = ( α, + ∞). Ta noùi: f töông ñöông vôùi f( x ) g khi x tieán veà +∞ neáu lim =1. Khi ñoù, ta kyù hieäu x→+∞ g() x f∼ g khi x →+ ∞ iii) Cho f vaø g xaùc ñònh treân I = (- ∞, α). Ta noùi: f töông ñöông vôùi f( x ) g khi x tieán veà −∞ neáu lim =1. Khi ñoù, ta kyù hieäu x→−∞ g() x f∼ g khi x →− ∞ → 2. Heä qua û: Cho ff∼1vaø gg ∼ 1 khi xx 0 →+ ∞ (hoaëc f∼ f1vaø gg ∼ 1 khi x →− ∞ hoaëc f∼ f1vaø gg ∼ 1 khix ) Khi ñoù, ta coù: = i) limfxgx (). () lim fxgx1 (). 1 () . xx→0 xx → 0 fx( ) fx( ) ii) lim= lim 1 . xx→ xx → 0gx() 0 gx1 () → →+∞ →−∞ (hoaëc thay x x 0 bôûi xhoaëc x ) ± ≠ ± + Chuù yù raèng coù khi lim(fxgx () ()) lim( fxgx1 () 1 ()) . xx→0 xx → 0
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 53 → + Cho ff∼1vaø gg ∼ 1 khi xx 0 vaø f, g cuøng döông trong laân caän + = + x0. Khi ñoù ta coù lim(fxgx () ()) lim( fxgx1 () 1 ()) . xx→0 xx → 0 Ví du ï: i) sinx∼ x khi x →0 x2 ii) 1−cosx∼ khi x → 0 2 iii) ln(1+x )∼ x khi x → 0 iv) ex −1∼ x khi x → 0 x v) n 1+x − 1∼ khi x → 0 n =+2 = 2 =−+ 2 =− 2 →±∞ vi) fx5∼ fxgx1 vaø 3 ∼ gx1 khi x nhöng lim( f+= g) lim ( x 2 +−+=5x 2 3) 8 x→±∞ x →±∞ ≠=2 −= 2 + 0 lim()xx lim () fg1 1 x→±∞ x →±∞ sin2x− x 2 cos 2 x vi) lim 2 2 x→0 xsin x + − − =(sinxxx cos)(sin xxx cos) = sin xxx cos lim32 lim 3 x→0 x xx → 0 x − + 2 = cosx cos xx sin x =sin x = 2lim 2 2lim x→0 3x x→0 3x 3 Caùch laøm SAI: 2− 2 2 222−1 − 2 sinx x cos x =xxxcos = cos x lim 2 2 lim4 lim 2 x→0 xsin x x→0x x → 0 x
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 54 2 = sin x lim2 =1 (sai vì söû duïng ñònh lyù töông ñöông veà giôùi haïn ôû x→0 x toång soá ) Daáu “=” trong ñaúng thöùc 2− 2 2 2− 2 2 sinx x cos x = x xcos x lim 2 2 lim4 laø sai vì treân töû soá laø moät x→0 xsin x x→0 x toàng soá neân khoâng theå thay sin 2x thaønh x 2 ñöôïc. Döôùi maãu thay x2sin 2 x = x 4 laø ñuùng. 2 ln1+ sin( 3 x )  23 3 2 9   =sin(x ) = ( x ) = vii) lim2 lim 2 lim 2 . x→0tgx()5 x → 0 tgx () 5 x → 0 () 525 x Ghi chuù: + α(x) goïi laø moät voâ cuøng beù khi x → x 0 neáu lim α(x) = 0. x→ x 0 + α(x), β(x) laø hai voâ cuøng beù khi x → x 0. + α(x) goïi laø voâ cuøng beù baäc cao hôn β(x) khi x → x 0 neáu α(x ) lim = 0, kyù hieäu α(x) = o ( β(x)). → x x 0 β (x ) x3 Ví duï : x 3 laø voâ cuøng beù baäc cao hôn x khi x → 0 vì lim = 0 x→0 x
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 55 Chöông IV HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC I. Söï lieân tuïc taïi 1 ñieåm : 1. Ñònh nghóa : Cho haøm f xaùc ñònh treân khoaûng môû I chöùa c. Ta noùi f lieân tuïc taïi c neáu limfx ()= fc () x→ c 2. Ñònh lyù: Haøm soá f xaùc ñònh treân khoaûng môû I chöùa c. Caùc meänh ñeà sau töông ñöông: i) f lieân tuïc taïi c. ii) ∀ε > 0, ∃α > 0: 0 < |x - c | < α ⇒ |f(x) - f(c) | < ε iii) moïi daõy {xn} trong I maø x n → c ⇒ f(x n) → f(c). Chöùng minh : Hieån nhieân töø ñònh nghóa vaø ñònh lyù 2 trong chöông giôùi haïn. Ghi chu ù: Cho haøm soá f xaùc ñònh treân khoaûng môû chöùa c. Khi ñoù: = + f lieân tuïc beân phaûi taïi c neáu lim+ fx () fc () x→ c = + f lieân tuïc beân traùi taïi c neáu lim− fx () fc () x→ c Nhaän xeùt : f lieân tuïc taïi c ⇔ f lieân tuïc beân traùi vaø f lieân tuïc beân phaûi taïi c. Ví du 1ï: i) Khaûo saùt söï lieân tuïc cuûa f taïi 0, vôùi  sin x  neáu x ≠ 0 f(x) =  x  2neáu x = 0 sin x Ta coù: lim()limf x= =≠1 f () 0 = 2 ⇒ f khoâng lieân tuïc taïi 0 x→0 x → 0 x ii) Xaùc ñònh a ñeå f lieân tuïc taïi 0, vôùi
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 56  1− cos ax  neáu x ≠ 0 f(x) =  x2  2a− 1neáu x = 0 2 ax  2sin 2 a2  a Ta coù limf ( x )= lim   = x→0 x → 0 2ax  2 2  a2 Do ñoù, f lieân tuïc taïi 0 ⇔ =2a − 1 ⇔ a 2 - 4a + 2 = 0 2 ⇔ a = 2 ± 2  1  (x−1 )sin neáu x ≠ 1 Ví du 2ï: f(x) =  x −1  0neáu x = 1 Khaûo saùt söï lieân tuïc cuûa f taïi 1. 1 Ta coù: limf () x= lim( x −1 )sin = 0 =f1() x→1 x −1 1 (vì 0≤−(x 1 )sin ≤− x 1 ) x −1 Vaäy f lieân tuïc taïi 1. Chuù yù raèng: limfx ()=0 ⇔ lim fx () = 0 xx→0 xx → 0 1 neáu x ∈ℚ Ví du 3ï: Chöùng minh haøm soá f(x) =   0 neáu x ∈ℝ\ ℚ khoâng lieân tuïc taïi moïi x ∈ ℝ . i) Neáu x 0 ∈ ℚ : Laáy daõy {xn} caùc soá voâ tæ sao cho x n → x 0. Ta coù f(x n) = 0, ∀n ⇒ f(x n) → 0 ≠ f(x 0) = 1
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 57 ⇒ f khoâng lieân tuïc taïi x 0 ∈ ℚ . ii) Neáu x 0 ∈ ℝ \ ℚ : xeùt daõy {yn} caùc soá höõu tæ maø y n→x0 ⇒ f(y n) = 1 ⇒ f(y n) → 1 ≠ f(x 0) = 0 ⇒ f khoâng lieân tuïc taïi x 0 ∈ ℝ \ ℚ . Keát luaän : f khoâng lieân tuïc taïi moïi x ∈ ℝ 2. Ñònh ly ù: Cho f xaùc ñònh treân khoaûng môû I chöùa c. Giaû söû f lieân tuïc taïi c vaø f(c) > 0. Khi ñoù, toàn taïi khoaûng môû W chöùa c sao cho f(x) > 0, ∀ x ∈ W. Chöùng minh : Töông töï meänh ñeà 7 trong chöông giôùi haïn haøm soá (thay L = f(c)) Ví duï: Tìm m ñeå baát phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát: f(x) = (m - 1)x 2 - 2(3m + 1)x - m 2 + 5 > 0 (1) Ta coù f lieân tuïc vôùi ∀x ∈ ℝ . Giaû söû x 0 laø nghieäm cuûa (1). Khi ñoù toàn taïi khoaûng môû W chöùa x 0 sao cho f(x) > 0 , ∀x ∈ W ⇒ (1) coù voâ soá nghieäm. Vaäy, vôùi moïi m, (1) hoaëc voâ nghieäm hoaëc voâ soá nghieäm ⇒ khoâng toàn taïi m ñeå (1) coù duy nhaát nghieäm. 3. Ñònh ly ù: Cho caùc haøm soá f, g xaùc ñònh treân khoaûng môû I chöùa c. Giaû söû f, g lieân tuïc taïi c. Khi ñoù caùc haøm soá f ± g, f.g, f ,f lieân tuïc taïi c g f (tröôøng hôïp theâm ñieàu kieän g(c) ≠ 0; tröôøng hôïp f theâm g ñieàu kieän f(x) ≥ 0 treân khoaûng môû chöùa c).
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 58 Ví duï : n n-1 + P n(x) = a nx + a n-1x + + a 1x + a 0 lieân tuïc taïi moïi x ∈ ℝ . Pn ( x ) + lieân tuïc taïi moïi x thoûa Q m(x) ≠ 0. Qm ( x ) 2 5  + 3x− 8 x + 5 lieân tuïc taïi x ∈ (-∞, 1) ∪ , +∞  . 3  4. Ñònh nghóa : • Caùc haøm luõy thöøa, haøm loâgarit, haøm muõ, haøm löôïng giaùc vaø haøm löôïng giaùc ngöôïc laø caùc haøm sô caáp cô baûn. • Haøm nhaän ñöôïc bôûi moät soá höõu haïn caùc pheùp toaùn coäng, tröø, nhaân, chia vaø haøm hôïp cuûa nhöõng haøm sô caáp cô baûn ñöôïc goïi laø haøm sô caáp. Ghi chu ù: Moïi haøm sô caáp lieân tuïc taïi moïi ñieåm treân nhöõng khoaûng môû maø noù xaùc ñònh. 5. Ñònh lyù: (Söï lieân tuïc cuûa haøm hôïp) Cho haøm soá f xaùc ñònh treân khoaûng môû I chöùa x 0 vaø lieân tuïc taïi x0 , haøm soá g xaùc ñònh treân khoaûng môû J chöùa f(x 0) vaø lieân tuïc taïi f(x 0). Khi ñoù haøm soá hôïp h = g 0f lieân tuïc taïi x0 . Chöùng minh: Coi ε > 0 cho tröôùc, vì g lieân tuïc taïi f(x 0) neân toàn taïi α1 > 0 sao cho 0 0, ∃α > 0 sao cho 0 0, ∃α > 0 sao cho 0 < |x-x0| < α ⇒ |g[f(x) ]-g[f(x 0)]| < ε.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 59 Suy ra h = g 0f lieân tuïc taïi x 0 6. Ñònh nghóa : Neáu f khoâng lieân tuïc taïi x 0, ta noùi f giaùn ñoaïn taïi x0. Khi ñoù x 0 ñöôïc goïi laø ñieåm giaùn ñoaïn cuûa f. Ghi chuù: f khoâng lieân tuïc taïi x 0 neáu moät trong caùc tính chaát sau thoûa: = i) Ñaúng thöùc limfx () fx (0 ) sai nghóa laø f khoâng xaùc ñònh taïi x 0 x→ x 0 hay limf ( x ) khoâng toàn taïi hay limf ( x ) toàn taïi nhöng khaùc f(x 0). x→ x 0 x→ x 0 ii) ∃ ε0>0: ∀α> 0, toàn taïi x thoûa 0 < |x - x 0| < α vaø |f(x) - f(x 0)| ≥ ε0 { } ⊂ → iii) Toàn taïi daõy xn I vaø x n x 0 nhöng limf ( x n ) khoâng toàn taïi n→∞ ≠ ≠ ( ) hoaëc toàn taïi maø f(x 0) (nghóa laø limfx (n ) fx 0 ). n→∞ + − Ghi chuù: Kyù hieäu f(x 0 ) = lim + f(x), f(x 0 ) = lim − f(x). Khi ñoù: x→ x 0 x→ x 0 • x0 goïi laø ñieåm giaùn ñoaïn loaïi 1 neáu f giaùn ñoaïn taïi x 0 vaø toàn taïi M höõu haïn sao cho: + − | f(x 0 ) − f(x 0 )| ≤ M ( böôùc nhaûy höõu haïn). (x 0 goïi laø ñieåm giaùn ñoaïn loaïi 1 neáu x0 laø ñieåm giaùn ñoaïn vaø lim + f(x), lim − f(x) toàn taïi höõu haïn) x→ x 0 x→ x 0 • Ñieåm giaùn ñoaïn khoâng phaûi loaïi 1 goïi laø dieåm giaùn ñoaïn | + | +∞ − = +∞ loaïi 2. Neáu f(x 0 ) = hay f( x 0 ) thì x0 ñöôïc goïi laø ñieåm giaùn ñoaïn voâ cöïc. • x 0 goïi laø ñieåm giaùn ñoaïn boû ñöôïc neáu : ≠ lim − f(x) = lim + f(x) f(x 0) x→ x 0 x→ x 0
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 60 x2 − x + 5 Ví du 1ï: f(x) = . Ta coù x = 2 vaø x = −3 laø nhöõng (x−2 )( x + 3 ) ñieåm giaùn ñoaïn voâ cöïc (ñieåm giaùn ñoaïn loaïi 2). 2x − 5 neáu x < − 3 Ví du 2ï: f(x) =  x +1 neáu x ≥ − 3 − − ≠ − − lim − f(x) = lim − (2x 5) = 11 f( 3) = 2 x→− 3 x→− 3 − − lim + f(x) = lim + (x + 1) = 2 = f( 3) x→− 3 x→− 3 f lieân tuïc beân phaûi taïi −3 f khoâng lieân tuïc beân traùi taïi −3 f khoâng lieân tuïc taïi −3 −3 laø ñieåm giaùn ñoaïn loaïi 1. sin x  neáu x ≠ 0 Ví du 3ï: f(x) =  x 3 neáux =0 x = 0 laø ñieåm giaùn ñoaïn boû ñöôïc. π Ví duï 4 : Tìm a, b ñeå f lieân tuïc taïi x = ± . 2  π −2sin x neáu x ≤ −  2   π π f(x) = axbsin + neáu −<< x  2 2  1 π cos x+ neáu x ≥  2 2 π π π f( − ) = −2 sin( − ) = 2 lim f(x) = f( − ) = 2 π − 2 2 x→− 2 2
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 61 lim f(x) = −a + b; lim f(x) = a + b; π + π − x→− x→+ 2 2 π 1 lim f(x) = f( ) = π + x→+ 2 2 2  3 −a + b = 2 a = − π   4 Do ñoù f lieân tuïc taïi x = ± ⇔  1 ⇔  2 a+ b = 5  2 b =  4 II. Söï lieân tuïc treân 1 ñoaïn : 1. Ñònh nghóa : f xaùc ñònh treân [a, b ]. Ta noùi: i) f lieân tuïc treân (a, b) neáu f lieân tuïc taïi moïi x ∈ (a, b). ii) f lieân tuïc treân [a, b ] neáu f lieân tuïc treân (a, b) vaø ( ) = ( ) ( ) = ( ) lim+ f x f a , lim− f x f b (f lieân tuïc beân phaûi taïi a x→ a x→ b vaø lieân tuïc beân traùi taïi b). 2. Ñònh ly ù: f lieân tuïc treân [a, b ] ⇒ f bò chaän treân [a, b ] (nghóa laø ∃M : |f(x) | ≤ M, ∀x ∈ [a, b ] ). Ghi chu ù : neáu thay [a, b ] baèng (a, b); (a, b]; [a, b); (a, + ∞); [a, + ∞);(- ∞,a); (- ∞, + ∞) thì ñònh lyù khoâng ñuùng. 1 Ví duï: f(x) = lieân tuïc treân (0, 1) nhöng khoâng bò chaën treân x 1 1 ∞ ∀ ⇒ ∃ ∈ (0, 1) vì lim + = + . ( M > 0 x0 (0, 1) : > M) x→0 x x0 3. Ñònh ly ù: f lieân tuïc treân [a, b ] ⇒ f ñaït ñöôïc sup vaø inf treân [a, b ]. Nghóa laø ta coù: i) ∃x1 ∈ [a, b ] : f(x 1) = sup f(x) ≥ f(x), ∀x ∈ [a, b ]. x∈[] a, b
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 62 ii) ∃x2 ∈ [a, b ] : f(x 2) = inf f(x) ≤ f(x), ∀x ∈ [a, b ]. x∈[] a, b Ghi chuù : • Khi f lieân tuïc treân [a, b ]. Ta coù : max f(x) = sup f(x) ∈ x[] a, b x∈[] a, b min f(x) = inf f(x) x∈[] a, b x∈[] a, b + neáu thay [a, b ] baèng (a, b); (a, b]; [a, b); (a, + ∞);[a, + ∞);(- ∞,a); (- ∞, + ∞) thì ñònh lyù khoâng ñuùng. Ví duï: f(x) = x lieân tuïc treân (0, 1) nhöng khoâng ñaït ñöôïc sup vaø inf treân (0, 1). 4. Ñònh ly ù: (giaù trò trung gian) Neáu f lieân tuïc treân [a, b ] vaø f(a) 0. Chöùng minh phöông trình sau coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x 2 thoûa α1 0 f( α2) = b( α2 −α1) ( α2 −α3) < 0
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 63 f( α3) = c( α3 −α1) ( α3 −α2) > 0 Vì f lieân tuïc treân [α1, α2] vaø f( α1).f( α2) < 0 neân f(x) = 0 coù nghieäm treân ( α1, α2). Töông töï, f lieân tuïc treân [α2, α3] vaø f( α2).f( α3) < 0 ⇒ ∃x2 ∈ ( α2, α3) : f(x 2) = 0. Vaäy : (2) coù nghieäm thoûa α1 < x 1 < α2 < x 2 < α3 ⇔ (1) coù 2 nghieäm thoûa α1 < x 1 < α2 < x 2 < α3. 6. Ñònh ly ù: Giaû söû f laø haøm soá ñôn ñieäu nghieâm caùch treân (a,b) (taêng nghieâm caùch hoaëc giaûm nghieâm caùch) vaø coù mieàn giaù trò laø khoaûng môû (c, d). Khi ñoù f lieân tuïc treân (a, b).
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 64 Chöông V ÑAÏO HAØM VAØ VI PHAÂN CUÛA HAØM MOÄT BIEÁN SOÁ A. ÑAÏO HAØM : I. Ñònh nghóa vaø yù nghóa hình hoïc : 1. Ñònh nghóa : Cho haøm soá f xaùc ñònh treân khoaûng môû I chöùa x 0. Neáu giôùi haïn fx(+ h ) − fx () lim0 0 h→0 h toàn taïi höõu haïn thì giôùi haïn ñoù ñöôïc goïi laø ñaïo haøm cuûa f taïi x 0. + − / = fx(0 h ) fx () 0 Kyù hieäu : f( x 0 ) lim h→0 h fx(+ ∆ x )() − fx ∆y = lim 0 0 = lim (giaû söû y = f(x)) ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x / Neáu f( x 0 ) toàn taïi ta noùi f coù ñaïo haøm taïi x 0. − / / = fx() fx (0 ) Khi f( x 0 ) toàn taïi, ta coù f( x 0 ) lim x→ x − 0 x x 0 • Neáu f coù ñaïo haøm taïi moïi x thuoäc I, khi ñoù ta goïi haøm soá f/ : x֏ fx ' ( ) laø ñaïo haøm cuûa haøm f. + − − • fx(0 h ) fx () 0 fx() fx (0 ) Neáu lim− = lim− toàn taïi höõu h→0 x→ x − h 0 x x 0 haïn thì giôùi haïn ñoù goïi laø ñaïo haøm beân traùi taïi x 0. + − / − fx(0 h ) fx () 0 Kyù hieäu : f( x 0 ) = lim− h→0 h + − − / + fx(0 h ) fx () 0 = fx() fx (0 ) Töông töï: f( x 0 ) = lim+ lim+ h→0 x→ x − h 0 x x 0 goïi laø ñaïo haøm beân phaûi taïi x 0 cuûa f. Nhaän xeùt :
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 65 / ⇔ / − / + /−= / + i) f( x 0 ) toàn taïi f( x 0 ), f( x 0 ) toàn taïi vaø fx()0 fx () 0 . /− / + / ii) Coù khi fx()0vaø fx () 0 toàn taïi nhöng f( x 0 ) khoâng toàn taïi. 0+h − 0 | | / + =1 Ví duï: f(x) = x Ta coùù f (0 ) = lim+ h→0 h 0+h − 0 / - = − 1 f (0 ) = lim− h→0 h Nhöng f / (0) khoâng toàn taïi. 2. Vaøi ví duï tính ñaïo haøm baèng ñònh nghóa : • y = f(x) = xn (x+ h ) n − x n y’ = f’(x) = lim h→0 h −n( n −1 ) − xnxhnn+1 + xh n 2 2 ++− hx nn = lim 2! h→0 h n −n! − hnxn1 + ∑ hx knk = k!( n− k ) = limk 2 = nx n−1 h→0 h • y = f(x) = cosx h  h −2sinx +  sin cos(x+ h ) − cos x 2  2 (cosx )’= lim= lim h→0h h → 0 h h  sin h    h  = lim−+ sinx2 =lim −+ sin x = - sinx →   →    h 0 2h  h 0   2  2  h  Ghi chuù: Vì sinx lieân tuïc neân limsin x +  = sinx h→0 2 
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 66 + = Toång quaùt : Ñaúng thöùc lim(fx0 h ) fx () 0 chæ ñuùng khi f lieân tuïc h→0 taïi x 0. sin x  x ≠ 0 Ví duï: f(x) =  x ta coù: 3x = 0 sin(h) lim(f0+= h ) lim =≠ 103 f () = h→0 h → 0 h • y = f(x) = tgx tg( x+ h ) − tgx (tgx)’ = lim h→0 h sin(h) 1 2 = lim = 2 = 1 + tg x h→0 hcos( xh+ )cos x cos x • Töông töï : (sinx)’ = cosx 1 • (cotgx)’ = − = −(1 + cotg 2x) sin 2 x x+ h − x h • ( x )’ = lim = lim h→0 h h→0 h( xh+ + x ) 1 = (x > 0) 2 x • a > 0, a ≠ 1, x+ h  ln   ln(x+ h ) − ln x x  (log ax)’ = lim = lim h→0 hln a h→0 hln a h 1+ 1 ln( ) 1 = limx = xln a h→0 h xln a x
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 67 ln(1+ u ) (Nhaéc laïi lim =1) u→0 u 3. YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm : Cho ñöôøng cong (C): y = f(x), M (x 0, y 0) ∈ (C). Xeùt caùt tuyeán MM 1 vaø tieáp tuyeán MT. → → → → β α Ñaët M1(x, y), = ( Ox, MM 1 ), = (Ox , MT ) Khi M 1 → M ⇒ MM 1 → MT ⇒ β → α vaø tgα= limtg β x→ x 0 − − fx( ) fx( 0 ) fx( ) fx( 0 ) maø tg β = ⇒ tg α = lim = f’(x 0) − x→ x − x x 0 0 x x 0 ⇒ f ’(x 0) chính laø heä soá goùc (ñoä doác) cuûa tieáp tuyeán vôùi ñöôøng cong y = f(x) taïi M0(x 0, f(x 0)). Phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñöôøng cong y = f(x) taïi M0(x 0, f(x 0)) laø y − f(x 0) = f ’(x 0) (x −x0). 4. Ñònh ly ù: f xaùc ñònh treân khoaûng môû chöùa x 0. Neáu f coù ñaïo haøm taïi x 0 thì f lieân tuïc taïi x 0. Chöùng minh : − fx() fx (0 ) f coù ñaïo haøm taïi x 0 ⇒ lim toàn taïi höõu haïn x→ x − 0 x x 0 ⇒ toàn taïi khoaûng môû I = (x 0 − α1, x 0 + α1) fx()− fx ( ) vaø ∃M sao cho: 0 ≤ M, ∀x ∈ I vaø x ≠ x − 0 x x 0 ⇒ |f(x) − f(x 0)| ≤ M |x − x 0| , ∀x ∈ I − = = ⇒ limfxfx () ()00⇒ lim() fxfx () 0 xx→0 xx → 0 ⇒ f lieân tuïc taïi x 0. Ghi chuù: ñieàu ngöôïc laïi khoâng ñuùng:
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 68 “f lieân tuïc taïi x 0 ⇒ f coù ñaïo haøm taïi x 0” laø meänh ñeà sai Ví duï: f(x) = | x | lieân tuïc taïi 0 nhöng khoâng coù ñaïo haøm taïi 0. f(x) = |(x −2) (x + 5) | lieân tuïc taïi x = 2, taïi x = −5 nhöng khoâng coù ñaïo haøm taïi 2 vaø −5. Nhaän xeùt : Thoâng thöôøng f(x) = |g(x) | seõ khoâng coù ñaïo haøm taïi nhöõng ñieåm x 0 maø g(x) ñoåi daáu. II. Vaøi qui taéc tính ñaïo haøm : f, g xaùc ñònh treân khoaûng môû chöùa x 0. / / Neáu f( x 0 ) vaø g( x 0 ) toàn taïi thì: ± / / ± / 1) (f g) (x 0) = f( x 0 ) g( x 0 ) / / 2) (kf )( x 0 ) = k. f( x 0 ) (k laø haèng soá) / / / 3) (f .)( g x 0 ) = f( x 0 ) .g(x 0) + f(x 0). g( x 0 ) /− / f / fxgx()()00 gxfx ()() 00 ≠ 4) ( ) (x 0) = 2 (Neáu g(x 0) 0) g g( x 0 ) Chöùng minh: + +−+ / (fgx )(0 h ) ( fgx )( 0 ) 1) (f+g) (x 0) = lim h→0 h +− +− fx(0 h )()( fx 00 gx h )() gx 0  = lim +  h→0 h h  / / = f (x 0) + g (x 0) + − / (kf )( x0 h ) ( kf )( x 0 ) 2) (kf) (x 0) = lim h→0 h + − fx(0 h ) fx () 0  / = limk   = k f( x 0 ) h→0 h  + − / (.)(fgx0 h ) (.)( fgx 0 ) 3) (f.g) (x 0) = lim h→0 h
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 69 fx(+ hgx ).( + h ) − fxgx ()() = lim0 0 00 = h→0 h fx(+ hgx )( +−+ h )( gx hfx )()( ++ gx hfx )() − fxgx ()() lim 0 0 0 00 000 h→0 h + − + − + fx(0 h ) fx () 0 gx(0 h ) gx () 0 = limg ( x0 h ). + limf ( x 0 ). h→0 h h→0 h / / = g(x 0).f (x 0) + f(x 0).g (x 0) (vì g lieân tuïc taïi x 0 neân lim g(x 0 + h) = g(x 0)) h→0 − / 1 / g( x 0 ) 4) Ta chöùng minh ( )(x0 ) = 2 g g( x 0 ) 1 1 1  1 / − ( )(x0 ) = lim  . h→0 + g gx(0 h ) gx () 0  h − + − / gx()0 gx ( 0 h ) g( x 0 ) = lim = 2 . h→0 + hgx. (0 hgx ). ( 0 ) g( x 0 ) f / 1 / Suy ra ( )(x ) = (f. ) (x 0) g 0 g AÙp duïng tính chaát 3: f / / 1 1 / ( ) (x 0) = f (x 0). + ( ) (x 0).f(x 0) g g( x 0 ) g / / /− / fx()0− gxfx ()() 0 0 fx().()0 gx 0 gxfx ()() 00 = 2 = 2 gx()0 gx () 0 g( x 0 ) III. Ñaïo haøm cuûa haøm hôïp : Cho haøm soá f xaùc ñònh treân khoaûng môû chöùa x0 vaø f’(x 0) toàn taïi, g xaùc ñònh treân khoaûng môû chöùa y 0 = f(x 0) vaø g’(y 0) = g’ [f(x 0)] toàn taïi. Khi ñoù haøm soá hôïp h=g 0f coù ñaïo haøm taïi x 0 vaø
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 70 [g0f]’(x 0) = g’ [f(x 0)]f’(x 0) (Caùch nhôù: [y(u(x)) ]’ = y’(x) = y’ u.u’ x, (g[u])’=g’[u].u’) Chöùng minh : Vì f’(x 0) toàn taïi neân: fx()− fx ( ) 0 = f’(x ) + ε (x) − 0 1 x x 0 −  ε fx() fx (0 ) − vôùi lim 1(x) = lim f'( x 0 )  = 0 x→ x x→ x − 0 0 x x 0  Khi ñoù: f(x) − f(x 0) = (x − x 0) [f’(x 0) + ε1(x) ] (1) vôùi ε1(x) → 0 khi x → x 0 Töông töï, vì g’ [f(x 0)] toàn taïi neân g[f(x) ] − g [f(x 0)] = [f(x) − f(x 0)] [g’(f(x 0)) + ε2 [f(x) ]] (2) vôùi ε2 [f(x) ] → 0 khi f(x) → f(x 0) Theá (1) vaøo (2): g[f(x) − g [f(x 0)] = (x −x0) [f ’(x 0) + ε1(x) ] [g’ [f(x 0)] + ε2[f(x) ] gfx[ ()]− gfx[ () ] ⇒ 0 = [f’(x ) + ε (x) ] [g’(f(x )) + ε (f(x)) ] − 0 1 0 2 x x 0 Vì f lieân tuïc taïi x 0 neân khi x → x 0 thì f(x) → f(x 0) ⇒ ε2[f(x) ] → 0 ( ) − ( ) gfx  gfx 0  ⇒ (g 0f)’(x 0) = lim x→ x − 0 x x 0 = lim [f’(x 0) + ε1(x) ][g’(f(x 0) + ε2(f(x)) ] = f’(x 0)g’ [f(x 0)] x→ x 0 Ví duï: Tính y’ cuûa: • y = (3x 7 + x 4)58 7 4 7 4 57 6 3 7 4 57 y’ = (3x + x )’58(3x + x ) = 58(21x + 4x )(3x + x )
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 71 • y = tg(2x + x4 +1) 4x 3  2 +  (2x + x4 +1)' 2 x4 +1  = = cos2 (2x+ x 4 +1) cos 2 (2x+ x 4 +1) 2( x4 +1+x 3 ) = x4 +1.cos 2 (2x+ x 4 +1) IV. Ñaïo haøm cuûa haøm ngöôïc : Cho haøm f laø moät haøm soá lieân tuïc, ñôn ñieäu nghieâm caùch töø (a, b) vaøo (c, d). Goïi ϕ laø haøm ngöôïc cuûa f, ϕ = f -1: (c, d) → (a, b). Neáu f coù ñaïo haøm taïi x 0 ∈ (a, b) vaø f ’(x 0) ≠ 0 thì ϕ coù ñaïo haøm taïi 1 1 1 y = f(x ) vaø ϕ’(y )= = = 0 0 0 / / []ϕ / −1  fx()0 f () y 0 f f( y 0 )  (f : (a, b) → (c, d) x ֏ f(x) = y ϕ ≡ f -1 : (c, d) → (a, b) y ֏ f -1(y) = x ) Chöùng minh : ϕ− ϕ − ()yy (0 ) xx 0 ϕ’(y 0) = lim= lim yy→− yy → − 0 yy00 fxfx() ( 0 ) 1 1 1 = lim= = x→ x − ϕ 0 fx() fx (0 ) fx'(0 ) f '[] ( y 0 ) − x x 0 (Vì f lieân tuïc taïi x 0 vaø ϕ lieân tuïc taïi y 0 neân y → y 0 ⇔ x → x 0). Ghi chuù: Vì haøm f laø moät haøm soá lieân tuïc, ñôn ñieäu nghieâm caùch töø (a, b) vaøo (c, d) neân f −1 toàn taïi vaø lieân tuïc treân (c, d).
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 72 Ví duï 1 : π π y = arcsin x vaø – 1 0, a ≠ 1) ⇔ x = log ay (y > 0) 1 1 (a x)’ = = =yln a = a x .lna 1 (loga y )' yln a Ví duï 2 : chöùng minh ( daønh cho ñoäc giaû ) π • arctgx + arccotg x = , ∀x ∈ ℝ 2 π • arcsin x + arccosx = , ∀x ∈[-1, 1 ] 2
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 73 B. VI PHAÂN : I. Khaùi nieäm vi phaân vaø tính gaàn ñuùng : 1. Ñònh nghóa : Cho f xaùc ñònh treân khoaûng môû I chöùa x vaø y = f(x). Giaû söû ta coù ∆y = f(x + ∆x) - f(x) = A. ∆x + ε(x). ∆x vôùi limε (x ) = 0 vaø A khoâng phuï thuoäc ∆x thì ta noùi A. ∆x laø vi ∆x → 0 phaân cuûa f taïi x. Khi ñoù ta kyù hieäu vi phaân cuûa haøm f taïi x laø dy= df( x) = A. ∆ x Neáu f coù vi phaân taïi x ta noùi haøm soá f khaû vi taïi x. 2. Ñònh lyù: Cho f xaùc ñònh treân khoaûng môû I chöùa x vaø y = f(x). Ta coù: f khaû vi taïi x ⇔ f coù ñaïo haøm taïi x. Chöùng minh : (⇐ ) Giaû söû f coù ñaïo haøm taïi x fx(+ ∆ x ) − fx ()  ⇒ lim−f '( x )  = 0 ∆x → 0 ∆x  ⇒ ∆y = f(x + ∆x ) - f(x) = f ’(x) ∆x + ε(x). ∆x vôùi limε (x )= 0 ⇒ f khaû vi taïi x. ∆x → 0 (⇒ ) Ñaûo laïi, neáu f khaû vi taïi x thì ta coù: ∆y = A. ∆x + ε(x). ∆x vôùi A ñoäc laäp vôùi ∆x vaøø limε (x )= 0 ∆x → 0 ∆y ⇒ =A + ε () x vôùi limε (x )= 0 ∆x ∆x → 0 ∆y suy ra f’(x) = lim = A. Do ñoù, f coù ñaïo haøm taïi x. ∆x → 0 ∆x Nhaän xeùt : • Töø ñònh lyù treân ta coù dy = f’(x). ∆x laø vi phaân cuûa f taïi x Khi y = x thì dy = dx = (x)’. ∆x = 1. ∆x = ∆x
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 74 dy neân ta vieát: dy = f’(x).dx hay = f’(x) dx • dy laø giaù trò gaàn ñuùng cuûa ∆y khi ∆x → 0 töùc laø dy ≈ ∆y (khi ∆x → 0) Ví duï: y = 3(x 2 −5x + 2) dy dy = 3(2x −5)dx ⇒ y’ = 3(2x − 5) = dx 3. Tính gaàn ñuùng : Cho f laø haøm soá xaùc ñònh treân khoaûng môû I chöùa x sao cho x+ ∆ x ∈ I vaø khaû vi taïi x. Ta coù: fx( +∆ x) ≈ fx( ) +∆ xfx. ' ( ) khi ∆x khaù nhoû. Ví duï1ï: Cho ln4, tính gaàn ñuùng: ln(4,001); ln(4,002); ln(4,005). 1 Ñaët f(x) = lnx ⇒ f ’(x) = x ⇒ f(x + ∆x) − f(x) = f’(x). ∆x + o(∆x) ⇒ ln(x + ∆x) − lnx ≈ f’(x). ∆x ( ∆x → 0) ⇒ ln(x + ∆x) ≈ lnx + f’(x). ∆x (khi ∆x khaù nhoû) 1 • ln(4,001) = ln(4 + 0,001) ≈ ln4 + .0,001 = ln4 + 0,00025 4 • ln(4,002) = ln(4 + 0,002) ≈ ln4 + f’(4).0,002 1 = ln4 + .0,002 = ln4 + 0,0005 4 1 • ln(4,005) ≈ ln4 + .0,005 = ln4 + 0,00125 4 Ví duï 2 : Tính gaàn ñuùng sin310 ,sin 29 0 0 ππ   ππ π sin31 = sin +  ≈ sin  + .cos 6180   6 180 6
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 75 0 ππ   ππ π sin29 = sin −  ≈ sin  − .cos 6180   6 180 6 Ví duï 3 : Tính gaàn ñuùng 3 126 1 Xeùt f( x) = 3 x , f'() x = , vôùi x=125 vaø h = 1. Söû duïng 33 x2 coâng thöùc tính gaàn ñuùng fxh( +) ≈ fx( ) + hf. ' ( x ) ta coù: 1 1 3126= 3 1251 +≈ 3 1251 +. =+ 5 33 125 2 75 II. Qui taéc tính vi phaân : Cho f, g laø caùc haøm khaû vi taïi x 1) d(f ± g)(x) = df(x) ± dg(x) 2) d(kf)(x) = k.df(x) 3) d(f.g)(x) = g(x).df(x) + f(x).dg(x) f gxdf() () x− f () xdgx () 4) d ( ) (x) = (g(x) ≠ 0) g g2 ( x ) Chöùng minh: Do tính chaát ñaïo haøm vaø neáu y = f(x) khaû vi taïi x thì f dy = df(x) = f’(x)dx. Ví duï h = vôùi f, g khaû vi taïi x ta coù: g f fg'− gf '  d( )(x) = dh(x) = h’(x)dx =   (x)dx g g 2  gxdf() () x− f () xdgx () = g2 ( x ) III. Tính baát bieán cuûa vi phaân baäc I : Cho z = g(y) khaû vi taïi y, vôùi y laø bieán ñoäc laäp. Ta coù: dz = g’(y)dy. Cho z = g(y) vôùi y laø haøm theo x vaø y = f(x) khaû vi.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 76 dz z’(x) = = [g[f(x) ]]/ = g’ [f(x) ].f’(x) dx ⇒ dz = g’ [f(x) ].f’(x)dx = g’ [f(x) ]dy = g’(y)dy (vì dy = f’(x)dx) Nhö vaäy, bieåu thöùc dz = g’(y)dy khoâng thay ñoåi duø y laø bieán ñoäc laäp hay laø haøm theo moät bieán khaùc. IV. Vaøi ñònh lyù cô baûn : 1. Ñònh nghóa : Cho f xaùc ñònh treân khoaûng môû I chöùa x 0. • Neáu ∃ h > 0 sao cho f(x) ≤ f(x 0), ∀x ∈(x 0 −h, x 0+h) ⊂ I thì ta noùi f ñaït cöïc ñaïi ñòa phöông taïi x 0. • Töông töï, f ñaït cöïc tieåu ñòa phöông taïi x 0, neáu f(x) ≥ f(x 0), ∀x ∈ (x 0 − h, x 0 + h) ⊂ I. • Cöïc ñaïi ñòa phöông hay cöïc tieåu ñòa phöông goïi chung laø cöïc trò ñòa phöông. 2 Boå ñeà Fermat : Cho f xaùc ñònh treân khoaûng môû (a, b). Neáu f ñaït cöïc ñaïi ñòa phöông taïi x 0 ∈ (a, b) vaø f’(x 0) toàn taïi thì f’(x 0) = 0. Chöùng minh : Vì f ñaït cöïc ñaïi taïi x 0 neân ∃ h > 0 : f(x) ≤ f(x 0), ∀x ∈ (x 0 −h, x 0 + h) ⊂ (a, b ) fx()− fx ( ) • Xeùt x ∈ (a, b) vaø x −h < x < x , ta coù: 0 ≥ 0 0 0 − x x 0 − + Do f’(x 0) toàn taïi neân f’(x 0) = f’(x 0 ) = f’(x 0 ) − fx()− fx ( ) ⇒ 0 ≥ f’(x 0) = f’(x 0 ) = lim− 0 (1) x→ x − 0 x x 0 (Nhaéc laïi : g( x ) ≥ 0 , ∀x ∈ (x 0 −h, x 0 + h) ⇒ lim g( x ) ≥ 0 ) x→ x 0
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 77 fx()− fx ( ) • Xeùt x < x < x + h, ta coù: 0 ≤ 0 0 0 − x x 0 fx()− fx ( ) ⇒ + 0 ≤ f’(x 0) = f’(x 0 ) = lim+ 0 (2). x→ x − 0 x x 0 Töø (1) vaø (2) ⇒ f’(x 0) = 0 Ghi chuù: Ñònh lyù ñöôïc phaùt bieåu töông töï khi x 0 laø cöïc tieåu ñòa phöông. 3. Ñònh lyù Rolle : Neáu f lieân tuïc treân [a, b ], khaû vi treân (a, b) vaø f(a) = f(b) thì ∃ c ∈ (a, b) : f’(c) = 0. Chöùng minh: f lieân tuïc treân [a, b ] neân f ñaït ñöôïc inf, sup treân [a, b ]. m==≤≤min fx( ) inf fxfx () () sup fx () =max fxM( ) = ∈[] ∈ [] ∈ xab, xab , x∈[] a,b x[]a , b (∀x∈[a, b ]) i) Tröôøng hôïp m = M: Ta coù: m = M ≤ f(x) ≤ m = M ⇒ f(x) = M, ∀x ∈ [a, b ]. Suy ra f(x) laø haøm haèng treân [a, b ] ⇒ f’(x) = 0, ∀x ∈ (a, b). ii) Tröôøng hôïp m < M: Vì f(a) = f(b). Vì f lieân tuïc treân [a, b ] neân ∃x1 ∈ [a, b ] : f(x 1) = m; ∃x2 ∈ [a, b ] : f(x 2) = M. Vì f(a) = f(b) neân x1 ≠ a, b hay x2 ≠ a, b. (Ta xeùt 3 tröôøng hôïp: hoaëc f(a)=f(b)= m < M, hoaëc f(a) = f(b) = M, hoaëc f(a) = f(b) ≠ m vaø ≠ M) Suy ra ∃c ∈ (a, b) : f(c) = m hoaëc f(c) = M. ⇒ ∃c ∈ (a, b) : f ñaït cöïc tieåu ñòa phöông hoaëc f ñaït cöïc ñaïi ñòa phöông taïi c ⇒ f ’(c) = 0 (do boå ñeà Fermat). YÙ nghóa hình hoïïc cuûa ñònh lyù Rolle :
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 78 Neáu f khaû vi treân (a, b) lieân tuïc [a, b ] vaø f(a) = f(b) thì ∃ C(c, f(c)) treân cung AB vôùi A(a, f(a)), B(b, f(b)) sao cho tieáp tuyeán taïi C // hoaëc truøng vôùi Ox (vaø // hoaëc truøng vôùi AB). 4. Ñònh lyù Lagange : (Ñònh lyù giaù trò trung bình) Neáu f lieân tuïc treân [a, b ], khaû vi treân (a, b) (a ≠ b) thì ∃c ∈ (a, b) : fb()− fa () f’(c) = (1) ( (1) ⇔ f(b) − f(a) = (b −a) f ’(c)) b− a Chöùng minh: fb()− fa () Nhaän xeùt: (1) ⇔ f’(c) - = 0 b− a (Ñeå aùp duïng ñònh lyù Rolle, ta caàn tìm g sao cho  fb()− fa () gc'( )= fc '( ) −  b− a ) ga()= gb () fb()− fa () Ñaët g(x) = f(x) - (x− a ) b− a Ta coù: g lieân tuïc treân [a, b ], khaû vi treân (a, b) vaø g(a) = g(b) = f(a). AÙp duïng ñònh lyù Rolle: fb()− fa () ⇒ ∃c ∈ (a, b) : g’(c) = 0 maø g’(c) = f’(c) - b− a fb()− fa () ⇒ ∃c ∈ (a, b) : f’(c) - = 0 ⇒ ñpcm b− a YÙ nghóa hình hoïc : Ta coù f’(c) laø heä soá goùc tieáp tuyeán taïi C(c, f(c)) vaø fb()− fa () → → = tg(Ox , AB ) = heä soá goùc cuûa ñöôøng thaúng AB. b− a
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 79 Nghóa laø ∃ C thuoäc cung AB sao cho tieáp tuyeán taïi C song song vôùi daây AB. Nhaän xeùt : Ñònh lyù Rolle laø tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa Lagrange khi f(a) = f(b). 5. Heä qua û: f lieân tuïc treân [a, b ], khaû vi treân (a, b) vaø f’(x) = 0, ∀x ∈ (a, b) ⇒ f(x) laø haøm haèng treân (a, b), nghóa laø f(x) = k (haèng soá) ∀x ∈ (a, b). Chöùng minh: Laáy x1, x 2 baát kyø ∈ (a, b). Giaû söû x1 < x 2. Khi ñoù f lieân tuïc treân [x1, x 2] ⊂ (a, b) vaø khaû vi treân (x 1, x 2) AÙp duïng Lagrange ta coù: f(x 2) - f(x 1) = f’(c)(x 2 - x 1), vôùi c ∈ (x 1, x 2), maø f’(c) = 0 (giaû thieát) ⇒ f(x 2) - f(x 1) = 0, ∀x1, x 2 ∈ (a, b) ⇒ f(x2) = f(x 1), ∀x1, x 2 ∈ (a, b) nghóa laø f laø moät haøm haèng treân (a, b). 6. Ñònh lyù Cauchy : Neáu f, g lieân tuïc treân [a, b ], khaû vi treân (a, b) vaø g’(x) ≠ 0 ∀x ∈ (a, b) thì: fb()− fa () fc '() ∃ c ∈ (a, b): = (*) gb()− ga () gc '() Chöùng minh : fb()− fa () (* ) ⇔ f’(c) - g'( c )= 0 gb()− ga () fb()− fa () Ñaët h(x) = f(x) - [gx ( )− ga ( )] gb()− ga () Ta coù: h lieân tuïc treân [a, b ], khaû vi treân (a, b) vaø h(a) = f(a) = h(b). Theo ñònh lyù Rolle: ∃c ∈ (a, b): h’(c) = 0 ⇒ ñpcm.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 80 Nhaän xeùt : i) Vì g’(x) ≠ 0 ∀x ∈ (a, b) neân g(a) ≠ g(b). Neáu g(a) = g(b) thì theo ñònh lyù Rolle, ∃c ∈ (a, b): g’(c) = 0; maâu thuaãn vôùi giaû thieát g’(x) ≠ 0 ∀x ∈ (a, b). ii) Ñaët h(x) = f(x) – m.g(x), ta tìm m baèng caùch cho h(a) = h(b) fb()− fa () hay f(a) - mg(a) = f(b) - mg(b) ⇒ m = gb()− ga () iii) Caùch chöùng minh sau laø sai: Theo ñònh lyù Lagrange: ∃c ∈ (a, b) : f(b) - f(a) = f’(c)(b - a) (1) ∃c ∈ (a, b) : g(b) - g(a) = g’(c)(b- a) (2) fb()− fa () fc '() (1) & (2) suy ra: =[]c ∈ ( a , b ) gb()− ga () gc '() Sai vì c cuûa (1) khoâng baét buoäc phaûi truøng vôùi c cuûa (2). V. Ñaïo haøm vaø vi phaân caáp cao : 1. Ñaïo haøm caáp cao : Giaû söû y = f(x) coù ñaïo haøm y’ = f’(x). Neáu haøm y’ = f’(x) coù ñaïo haøm thì y’’ = (y’)’ = (f ’(x))’ = f’’(x) ñöôïc goïi laø ñaïo haøm caáp 2 cuûa f taïi x. Giaû söû ñaïo haøm caáp n -1 cuûa f toàn taïi vaø coù ñaïo haøm taïi x. Khi ñoù, ñaïo haøm cuûa ñaïo haøm caáp n-1 ñöôïc goïi laø ñaïo haøm caáp n: y(n) = (y (n - 1) )’ = (f (n -1) )’(x) = f (n) (x). Ví duï: y = (a - x) n y(n) = (-1)nn! y(n + 1) = 0 2. Qui taéc tính ñaïo haøm baäc cao : Giaû söû f vaø g laø caùc haøm soá coù ñaïo haøm ñeán caáp n taïi x. Khi ñoù:
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 81 i) (f ± g) (n) (x) = f (n) (x) ± g (n) (x) ii) (kf) (n) (x) = kf (n) (x) n (n) kk() ( nk− ) iii) (fg) (x) = ∑Cfn ( xg ). ( x ) k =0 n! Qui öôùc : f(0) (x) = f(x), 0! = 1, C k = n k!( n− k )! Chöùng minh: i) & ii) laø hieån nhieân. iii) Chöùng minh baèng qui naïp. 3. Vaøi ví du ï: ax ax 2 ax (n) n ax i) f(x) = e , f ’(x) = ae , f’’(x) = a e , , f (x) = a e 1 1 2 ii) f(x) = lnx, f’(x) = , f’’(x) = − , f’’’(x) = , , x x2 x3 − n−1 (n 1 )! (n) (−1 ) f (x) = xn α iii) y = (ax + b) α α y’ = a α (ax + b) - 1 ; y’’ = a 2α(α - 1)(ax + b) - 2 ; ; α y(n) = a nα(α - 1)( α - 2) ( α - n + 1)(ax + b) - n iv) f(x) = sinax π  π  f’(x) = acosax = asin − ax  = asin + ax  2  2  2 π  (n) n π  f’’(x) = a sin ax + 2  ; ; f (x) = a sin ax+ n  2  2  (n) π  Töø ñoù ta coù sin (x)= sin x+ n  . 2  π  Nhaän xeùt : Giaû söû ta coù: sin (n - 1) (x) = sin x+( n − 1 ) 2 
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 82 π  / thì sin (n) (x) = [sin (n - 1) (x) ]’ = sin(x+ ( n − 1 ) ) 2  π π π  = sin[x+ ( n −1 ) + ] = sin x+ n  2 2 2  v) f(x) = cosax π  π  f’(x) = -asinax = -acos − ax  = acos + ax  2  2  2 π  (n) n π  f’’(x) = a cos ax + 2  ; ; f (x) = a cos ax+ n  2  2  (n) π  Töø ñoù ta coù cos (x) = cos x+ n  2  4. Vi phaân caáp cao : Giaû söû y = f(x) laø haøm soá xaùc ñònh vaø khaû vi taïi moïi x thuoäc khoaûng môû I. Khi ñoù vi phaân caáp moät dy = f’(x)dx laø moät haøm theo x. Neáu dy laø haøm khaû vi taïi x thì bieåu thöùc d2y= d(dy) = (f’(x)dx)’dx = f’’(x)(dx) 2 = f’’(x)dx 2 ñöôïc goïi laø vi phaân caáp 2 cuûa y = f(x). Ghi chu ù: i) Vi phaân cuûa vi phaân caáp 1 laø vi phaân caáp 2. ii) d2y = d(dy) vaø (dx) 2 = dx 2 laø qui öôùc (kyù hieäu). Giaû söû f coù vi phaân caáp n - 1 vaø d (n-1)f coù vi phaân, vi phaân cuûa vi phaân caáp (n - 1) ñöôïc goïi laø vi phaân caáp n cuûa f. dny = d(d (n-1)y) = [f(n-1)(x)dx n-1]’dx = f (n) (x)dx n (x laø bieán ñoäc laäp) dn y = f(n ) ( x ) (*) dx n
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 83 Ghi chuù :Thoâng thöôøng, khi n > 1 thì coâng thöùc (* ) khoâng ñuùng neáu x khoâng laø bieán ñoäc laäp (x laø moät haøm theo t) Ví duï: y = f(x) laø haøm khaû vi vaø x = ϕ(t) laø haøm khaû vi. Ta coù: dy = f ’(x)dx = f ’[ ϕ(t)]ϕ’(t)dt ⇒ d 2y = [f’( ϕ(t) ϕ’(t) ]’dt 2 = [f’’( ϕ(t)) ϕ’(t) ϕ’(t) + ϕ’’(t)f’( ϕ(t)) ]dt 2 = f’’( ϕ(t))( ϕ’(t)dt) 2 + f’( ϕ(t))ϕ’’(t)dt 2 = f’’(x)dx 2 + f’(x)d 2x dy2 f'( xdx ) 2 y’’(x) = = + f’’(x) dx2 dx 2 Nhaän xeùt : Neáu x laø bieán ñoäc laäp thì: dx = ∆x (haèng soá); d2(x) = ( ∆x)’dx = 0dx = 0 Ví duï: y = x5 - 8x 2; dy = (5x 4 - 16x)dx d2 y d2y = (20x 3 - 16)dx 2; y’’ = = 20x 3 - 16 dx 2 VI. Coâng thöùc Taylor : 1. Ñònh lyù: Neáu haøm soá f coù ñaïo haøm caáp n laø f (n ) lieân tuïc treân [a, b ] vaø f coù ñaïo haøm caáp (n + 1) treân (a, b) thì ∃ c ∈ (a, b) sao cho: n ()k () n +1 fa() fc () + f(b) = f(a) + ()ba−k + () ba − n 1 ∑ + k=1 k! ()! n 1 fa'( ) fa ''( ) fa(n ) ( ) =+fa() () ba −+ () ba −++2 () ba − n 1! 2 !n !
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 84 (n+1 ) f( c ) + +(b − a )n 1 (n +1 )! Coâng thöùc treân goïi laø coâng thöùc khai trieån Taylor cuûa f taïi a. (n+1 ) f( c ) n+1 Rn = (b− a ) goïi laø sai soá (dö soá) baäc n cuûa coâng thöùc (n +1 )! khai trieån Taylor cuûa f taïi a. Chöùng minh : n (k ) f( a ) k Ñaët Rn(t) = f(t) - f(a) - ∑ (t− a ) ()1 k=1 k! n Ta coù: R n(a) = R n’(a) = R n’’(a) = = R (a) = 0 (n+1 ) (n+1) ∀ ∈ Vaø Rn ( t ) = f (t), t (a, b) − n+1 Rn ( b )( t a ) Ñaët ϕ(t) = R n(t) - (b− a ) n+1 ϕ khaû vi, lieân tuïc ñeán caáp n treân [a, b] vaø ϕ(n + 1) toàn taïi treân (a, b) Ta coù: ϕ(b) = ϕ(a) = ϕ’(a) = ϕ’’(a)= = ϕ(n) (a) = 0 ( k) (k ) Nhaän xeùt: ϕ (a) = Ra()=0 , ∀ kn = 1 , . Ta coù: n • ϕ(a) = ϕ(b) neân theo ñònh lyù Rolle, ∃ a1 ∈ (a, b): ϕ’(a 1) = 0. Töông töï: • ϕ’(a) = ϕ’(a 1) = 0, ∃ a2 ∈ (a, a 1): ϕ’’(a 2) = 0 • ϕ’’(a) = ϕ’’(a 2) = 0, ∃ a3 ∈ (a, a 2): ϕ’’’(a 3) = 0, , (n) ∃an ∈ (a, a n -1): ϕ (a n) = 0. (n) (n) (n + 1) Cuoái cuøng, vì ϕ (a) = ϕ (a n) = 0 neân ∃c∈(a, a n): ϕ (c) = 0, + (n+1 )! R () b (n+1 )! R () b maø ϕ(n+1) (c) = R(n 1 ) ( c ) - n = f (n+1) (c) - n n (b− a ) n+1 (b− a ) n+1
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 85 + (n +1) (n1 )! Rn () b ⇒ f (c) - = 0, vôùi c ∈ (a, a n) ⊂ (a, b) (b− a ) n+1 f(n+1 ) ( cba )(− ) n + 1 nghóa laø ∃ c ∈ (a, b): R n(b) = (2) (n +1 )! n (k ) f( a ) k Theo (1) thì Rn(b) = f(b) - ∑ (b− a ) (3) k =0 k! Töø (2) vaø (3) ta suy ra ∃c ∈ (a, b) sao cho n (k ) (n+1 ) f( a ) f( c ) + f(b) - (b− a )k = (b− a )n 1 ∑ + k =0 k! (n 1 )! Chuyeån veá ta coù ñaúng thöùc caàn chöùng minh. fa'( ) fa ''( ) f(b) = f(a) + (ba−+ ) ( ba −+ ) 2 1! 2 ! ()n () n +1 fa() fc () + +()ba −+n () ba − n 1 vôùi c ∈ (a, b) n! ()! n +1 Nhaän xeùt : • Khi n = 0 thì coâng thöùc treân trôû thaønh coâng thöùc Lagrange. • Khi a = 0 thì coâng thöùc Taylor goïi laø coâng thöùc Maclaurin. ()n () n +1 ff'(0 ) ''( 0 ) f ( 0 ) fc ( ) + f(b) = f(0) + bb+2 ++ bn + b n 1 1! 2 !n ! ()! n + 1 a= x • Thay  ta coù: b= x + h fx'( ) fx ''( ) f(x + h) = f(x) + h+ h 2 + 1! 2 ! ()n () n +1 fx() f () c + +hn + h n 1 n! ( n +1 )! vôùi x < c < x + h hoaëc x + h < c < x. • Thay b = x trong coâng thöùc Maclaurin ta coù:
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 86 ()n () n +1 ff'(0 ) ''( 0 ) f ( 0 ) fc ( ) + f(x) = f(0) + xx+2 ++ xn + x n 1 1! 2 !n ! ()! n + 1 Neáu b = a + h vôùi h > 0, ta coù: a < c < a + h ⇒ c = a + θh vôùi 0 < θ < 1. Töông töï trong tröôøng hôïp b = a + h, vôùi h < 0 Do ñoù coâng thöùc Taylor coøn vieát: fa'( ) fa ''( ) f(a+ x) = f(a) + x+ x 2 + 1! 2 ! ()n () n +1 fa() f ( ax+θ ) + +xn + x n 1 (0 < θ < 1) n! ()! n +1 (n+1 ) θ f( x ) n+1 Khi a = 0, ta coù: Rn = x vôùi 0 < θ < 1. (n +1 )! Phaùt bieåu khaùc : Neáu haøm soá f coù ñaïo haøm caáp n+1 treân khoaûng môû I chöùa a. Khi ñoù vôùi moïi x ∈ I, ∃ c ∈ (a, x) hoaëc c ∈ (x, a) sao cho: n ()k () n +1 fa() fc () + f(x) = f(a) + ()xa−k + () xa − n 1 ∑ + k=1 k! ()! n 1 fa'( ) fa ''( ) fa(n ) ( ) =+fa() () xa −+ () xa −++2 () xa − n 1! 2 !n ! (n+1 ) f( c ) + +(x − a ) n 1 (n +1 )! 2. Ví duï : Vieát coâng thöùc khai trieån Taylor cuûa f(x) taïi x = 0 vôùi • f(x) = e x f’(x) = e x , , f (n) (x) = e x ⇒ f (n) (0) = e 0 = 1, ∀ n ()n () n +1 f'()0 f () 0 fc () + ⇒ f(x) = f(0) + x+ + xn + x n 1 1!n ! ()! n + 1
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 87 vôùi c∈(0 , x ) hoaëc c∈( x ,0 ) xx2 3 xexnθ x n + 1 ⇒ e x = 1 + x + + ++ + vôùi 0 < θ < 1. 2! 3 !n !( n + 1 )! • f(x) = sinx. Ta coù : π  (n) π  f’(x) = sin x +  ; .; f (x) = sin x+ n  2  2  π 0n= 2 k f(n) (0) = sin( n ) =  2 (−1 ) k n = 2 k + 1 π π  sin [(2k + 1) ] = sin + kπ  2 2   π sin =1 neáu k chaün  2 =  = (-1) k π −sin = − 1 neáu k leû  2 Vaäy khai trieån Taylor cuûa y= sin x taïi 0 laø: 357k 21 k+ k + 1 xxx(−1 ) x ( − 1 ) cos θ x + sinx = x – +−++ + x2k 3 357!!! ( 21k+ )! ( 23 k + )! vôùi 0 < θ < 1. Neáu sai soá döøng laïi ôû ñaïo haøm baäc 2k + 2 ta coù: π 2k+ 2 3 2k+ 1 sin[θ x+ (2 k + 2 )] x x x sinx = x - ++− (1 )k + 2 3! ()! 21k+ ( 22 k + )! 3 2k+ 1 x x+sin θ x + = x - ++− (1 )k +− ( 1 ) k1x 2 k 2 3! ()! 21k+ ( 22 k + )! • Khai trieån f(x) = cosx taïi x = 0. Ta coù: (n) π  f (x) = cos x+ n  2 
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 88 π 0neáu n= 2 k + 1 f(n) (0) = cos(n )=  2 (−1 ) k neáu n = 2 k 2 4 2 k xx x+cos θ x + cosx = 1 - + ++− (1 )k +− ( 1 ) k1x 2 k 2 24!! ()! 2k ( 22 k + )! vôùi 0 < θ < 1 2k− 2 x− xcos α x = 1 - ++− (1 )k1 +− ( 1 ) kx2 k vôùi 0 < α < 1 2! ( 22k− )! ()! 2 k Neáu sai soá döøng laïi ôû ñaïo haøm baäc 2k + 1 π 2k + 1 2 2 k cos[θ x+ (2 k + 1 ) ] x x x cosx = 1 - ++− (1 )k + 2 2! ()! 2k ( 21 k + )! 2 2k 21 k + x x+ sin(θ xx ) = 1- ++− (1 )k +− ( 1 ) k 1 (*) 2! ()! 2k ( 21 k + )! Ghi chu ùù: Trong bieåu thöùc (* ) ta ñaõ söû duïng coâng thöùc π  k π  k cos θ x+(2 k + 1 )  = (-1) cos θ x +  = (-1) sin(-θx) 2  2  = (-1) k+1 sin θx Nhaän xeùt : o Khai trieån treân phuø hôïp vôùi tính chaát sinx laø haøm leû, cosx laø haøm chaün. o Muïc ñích cuûa khai trieån Taylor laø xaáp xæ haøm f(x) (haøm khaû vi ñeán caáp n + 1) baèng moät ña thöùc baäc n ñeå deã khaûo saùt. 1 −1 • f(x) = ln(1 + x), f’(x) = , f’’(x) = 2 , x +1 ()x +1
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 89 2 f’’’(x) = 3 , , ()x +1 (−1 )n−1 (n − 1 )! f(n) (x) = , f(n) (0) = (-1) n-1(n - 1)! (1+ x ) n ()n () n +1 ff'(0 ) ''( 0 ) f ( 0 ) fx (θ ) + f(x) = f(0) + xx+2 ++ xn + x n 1 1! 2 !n ! ()! n + 1 2 n n +1 x− x x ln(1 + x) = x - ++− (1 )n1 +− ( 1 ) n 2n( n+ 1 )( 1 + θ x ) n+1 vôùi 0 < θ < 1 α • f(x) = (1 + x) α - 1 α - 2 f’(x) = α(1 + x) ; f’’(x) = α(α - 1)(1 + x) α f(n) (x) = α(α - 1)( α - 2) ( α - n + 1)(1 + x) - n f(n) (0) = α(α - 1) ( α - n + 1) α αα(−1 ) αα ( −−+ 1 ) ( α n 1 ) (1 + x) = 1 + αx + x2 + + x n 2!n ! α( α−1 ) ( α − n ) α − − + +(1 + θ x ) n1 x n 1 , vôùi 0 < θ < 1 (n +1 )! - Khi α = n, ta coù: n( n−1 )n n ! (1 + x) n = 1 + nx + x2 + + xn = ∑ x k 2 k =0 k!( n− k )! Ñaây laø coâng thöùc nhò thöùc Newton : n n! − (a + b) n = ak b n k ∑ − k = 0 k!( n k )! - Khi α = -1
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 90 1 (−1 ) n+1x n + 1 (1 + x) -1 = = 1 - x + x 2 - x 3 + +(-1) nxn + 1+ x (1+θ x ) n+2 1 xn+1 ⇒ = 1 + x + x 2 + + x n + , vôùi 0 30000 (*). (*) ñuùng vôùi moïi 2n+1 ()n + 1 ! n ≥ 5 . 11 1 1 1 Vaäy choïn n = 5 ta coù e≈++ 1 + + + = A 2 22!2 32 ! 3 42 ! 4 52 ! 5 thoûa ñieàu kieän eA− = eA −< 0,0001 Ví duï 2 : Vieát khai trieån Taylor cuûa haøm soá f( x) = 3 x ñeán caáp 3 vaø tính gaàn ñuùng 3 124 .
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 91 Khai trieån caàn tìm laø: −5/32 − 8/33 − 11/34 1− 2xh 10 xh 80 ch 3xh+=+ 3 x xh2/3 − + − 3 9.2! 27.3! 81.4! c∈( xx, + h ) hoaëc c∈( x + hx, ) Vôùi x=125, h = -1 ta coù: −5/3 − 8/3 1− 2.125 10.125 3 124=−3 125 1≃ 3 125 − 125 2/3 − − 3 9.2! 27.3! Ví duï 3 : Tính gaàn ñuùng sin1 vôùi sai soá nhoû hôn 10 −6 . Ta coù: 3 2k − 1 x− xcos θ x + sinx=−++− x ( 1)k1 +− ( 1) kx 2 k 1 , 0<θ <1 3! (2k− 1)! (2 k + 1)! 1− 1 cos θ Cho x = 1 ta ñöôïc sin11=−++− (1)k1 +− (1) k 3! (2k− 1)! (2 k + 1)! cosθ 1 − Sai soá (1)−k < <∀≥ 10,6 k 5 . (2k+ 1)!() 2 k + 1! 1 1 Choïn k=5 ta coù sin1≈− 1 ++− ( 1) 4 = B thoûa ñieàu kieän 3! 9! sin1−B < 10 −6 C. VAØI ÖÙNG DUÏNG CUÛA ÑAÏO HAØM VAØ VI PHAÂN : 0 1. Qui taéc L’Hospital 1 (daïng ): Cho f, g lieân tuïc treân 0 khoaûng môû I chöùa a vaø f(a) = g(a) = 0. Giaû söû f, g khaû vi f'( x ) taïi moïi x ∈ I\{a}, g’(x) ≠ 0 ∀x ∈ I\{a} vaø lim = L x→ a g'( x ) fx( ) fx '( )  (L höõu haïn hoaëc voâ haïn) thì lim=L  = lim  . xa→gx( ) xa → gx '( ) 
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 92 Chöùng minh: • Xeùt x ∈ I vaø a < x fx()− fa () fc '() AÙp duïng ñònh lyù Cauchy ∃c ∈ (a, x): = gx()− ga () gc '() fx( ) fc '( ) ⇒ ∃ c ∈ (a, x): = gx( ) gc '( ) Khi x → a + thì c → a + fx( )= fc '( ) = fc '( ) = ⇒ lim+ lim + lim + L (1) xa→gx( ) xa → gc '( ) ca → gc '( ) • Töông töï: khi x ∈ I vaø x < a fx( ) fc '( ) = = 2 Ta coù: lim− lim − L ( ) xa→gx( ) xa → gc '( ) fx( ) fc '( ) (1) vaø (2) ⇒ lim= lim = L xa→gx( ) xa → gc '( ) ex− e− x − 2sin x Ví duï 1 : Tính: lim x→0 x− sin x ex+ e− x − 2cos x = lim x→0 1− cos x x− x e− e + 2sin x ex+ e− x + 2cos x = lim = lim= 4 x→0 sin x x→0 cos x 1 ln(1+ x ) 1+ x Ví duï 2 : lim= lim = 1 x→0x x → 0 1 Heä qua û: Ñònh lyù vaãn ñuùng khi thay x → a baèng x→+∞, x →−∞ 1 Ñaët t = ⇒ khi x → ± ∞ thì t → 0 x
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 93 1  f   f( x ) t  lim= lim x→±∞g( x ) t → 0 1  g  t  1 1  1 − f' f '  t2  t  t f'( x ) =lim = lim = lim t→01 1 t → 0  1 x →±∞ g'( x ) − g' g '  t2  t  t ∞ Qui taéc L’Hospital 2 (daïng ): ∞ Cho I laø moät khoaûng môû chöùa a. Giaû söû f, g xaùc ñònh vaø coù ñaïo haøm höõu haïn treân I\{ a } , g’(x) ≠ 0 ∀x ∈ I\{a}. f'( x ) = =+∞ lim= L Neáu limfx () lim gx () vaø → xa→ xa → x a g'( x ) fx( ) fx '( ) (L höõu haïn hoaëc voâ haïn) thì: lim= lim = L xa→gx( ) xa → gx '( ) Chöùng minh : ( ) =( ) =+∞ Ta chæ chöùng minh cho tröôøng hôïp lim+fx lim + gx xa→ xa → f'( x ) = vaø lim+ L (1) x→ a g'( x ) • L höõu haïn: Do (1) ta coù f'( x ) ε ∀>ε0, ∃> α 0 : 0 <−≤x a α ⇒ − L < (2). g'() x 2 = +α ∈ Choïn xa1,xeùt xax( , 1 ) fx()− fx () f'( c ) / Theo ñònh lyù Cauchy, ∃c ∈ ( x, x ) : 1 = ( 2 ) 1 − gx() gx ()1 gc '()
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 94 (2) vaø (2 /) cho ta: f( x ) 1− 1 fx()− fx () εfx() fx() ε 1 − 0 β< α Ta coù lim + neân toàn taïi ( ) sao cho: x→ a g() x 1− 1 g() x f( x ) 1− 1 1f() x 3 ≤ ≤∀∈=,x J (, aa + β ) (4). Khi ñoù, töø (3) vaø (4) ta 2g() x 2 1− 1 g() x f( x ) ε  f suy ra ≤2 +L  , ∀∈ x J (nghóa laø bò chaën treân J) g() x 2  g ε ()()= 0 ⇒ ∃δδβ <∀∈+ δ suy ra lim+ hx ,0<<: hx , xaa (, ) (5) x→ a 2
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 95 f( x ) Töø (*), (3) vaø (5) ta coù: − 0 ) =x = =>α ii) α limα−1 lim α 0 (vì 0 ) x→+∞ x x→+∞αx x →+∞ α x 1 2− 2 2 −2  = sinx x cos x iii) lim2 cotg x  lim 2 2 x→0x  x → 0 xsin x (sinxx+ cos x ) (sin xx − cos x ) = lim x→0 x x 3 − − + =sinxxx cos = cos x cos xxx sin 2lim3 2 lim2 x→0x x → 0 3 x sin x 2 =2lim = x→0 3x 3 f( x ) Nhaéc laïi : f goïi laø töông ñöông g khi x → x 0 neáu lim= 1 . Kyù → x x 0 g( x ) hieäu f ~ g khi x → x 0.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 96 x2 Ví duï: sinx ~ x ; cosx ~ 1 - khi x → 0 2 x2 + 5 ~ x 2 khi x → ± ∞ Tính chaát : Neáu f ~ f 1; g ~ g 1 khi x → x 0 thì: a) limfxgx () ()= lim fxgx () () → → 1 1 xx0 xx 0 f( x ) f( x ) b) lim= lim1 xx→ xx → 0gx() 0 gx1 () Löu yù: f ~ f 1; g ~ g 1 khoâng chaéc coù lim(fg± ) = lim( fg ± ) → → 1 1 xx0 xx 0 Ví duï: x2 + 5 ~ x 2 khi x → + ∞ Nhöng lim(xx2+− 5 2 ) =≠ 5 lim( xx 22 − ) = 0 x→+∞ x →+∞ 1 π  ln x iv) lim − arctgx  . x→+∞ 2  1 π  ln x 1 π  Ñaët y= − arctgx  thì lny =ln − arctgx  2  lnx  2  −1 π  π  ln − arctgx  (1+x2 )  − arctgx  2  2  ⇒ lim lny = lim = lim x→+∞ x →+∞ ln x x→+∞ 1 x −x −x = lim = lim →+∞ →+∞ x π  x 2 π  (1+x2 )  − arctgx  x− arctgx  2  2 
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 97 − 1 1( 1 + x2 ) = x = − =− lim lim2 [ ] 1 x→+∞ π  x→+∞ x 1 − arctgx  2  1 ⇒ lim y = x→+∞ e f( x ) f'( x ) Ghi chuù: Coù khi lim toàn taïi nhöng lim khoâng toàn taïi. x→ a g( x ) x→ a g'( x ) x+ cos x Ví duï: lim =1 x→ + ∞ x− cos x (x+ cos x )/ 1 − sin x vaø lim= lim khoâng toàn taïi. x→+∞(x− cos x ) / x →+∞ 1+ sin x 2. Ñònh lyù: Cho f khaû vi treân (a, b). Ta coù: i) f taêng treân (a, b) ⇔ f’(x) ≥ 0 , ∀x treân (a, b). ii) f’(x) > 0, ∀x ∈ (a, b) ⇒ f taêng nghieâm caùch treân (a,b). Nhaéc laïi : • f taêng (ñoàng bieán) treân (a, b) neáu ∀x1, x 2 ∈ (a, b) vaø x 1 0: a < x < x + h < b fx(+ h ) − fx () ⇒ ≥ 0 (1) h Neáu h < 0 vaø a < x + h < x < b thì fx(+ h ) − fx () ≥ 0 (2) h
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 98 fx(+ h ) − fx () Töø (1) vaø (2) ⇒ f ’(x) = lim≥ 0 h→0 h (⇐) Giaû söû f’(x) ≥ 0, ∀ x ∈ (a, b). ∀x1, x 2 ∈ (a, b) vaø x 1 0 ⇒ f(x 2) > f(x 1) − x2 x 1 ⇒ f taêng nghieâm caùch treân (a, b) Ghi chuù: - Ñònh lyù vaãn ñuùng khi thay (a, b) baèng [a, b ]. - Ñònh lyù ñöôïc phaùt bieåu töông töï khi f giaûm. - Phaàn (ii) chæ laø ñieàu kieän caàn. Ví duï: f(x) = x 3 taêng nghieâm caùch treân ℝ nhöng f’(0) = 0 (khoâng > 0) 3. Ñònh ly ù: f lieân tuïc treân khoaûng môû I chöùa x 0 vaø khaû vi treân I \{x0}. Ta coù: i) Neáu f’(x) ñoåi daáu khi qua x 0 thì f ñaït cöïc trò ñòa phöông taïi x 0. Cuï theå : a) (f’(x) 0 ∀x ∈ I vaø x > x 0) thì f ñaït cöïc tieåu taïi x 0. b) (f’(x) > 0, ∀x ∈ I vaø x x 0) thì f ñaït cöïc ñaïi taïi x 0.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 99 ii) Neáu f’(x) khoâng ñoåi daáu khi qua x 0 thì f khoâng ñaït cöïc trò taïi x 0. Noùi caùch khaùc : Neáu f’(x) 0, ∀x ∈ (x 0 - ε, x 0 + ε)\{x0} thì f khoâng ñaït cöïc trò taïi x0. Chöùng minh: suy ra töø ñònh nghóa ñieåm cöïc trò vaø ñònh lyù 2. 4. Ñònh lyù: Cho f coù ñaïo haøm caáp n +1 trong khoaûng môû chöùa x 0 (n - 1) (n) vaø f’(x 0) = f’’(x 0) = = f (x 0) = 0 vaø f (x 0) ≠ 0. Ta coù: i) Neáu n leû thì f khoâng ñaït cöïc trò taïi x 0. ii) Neáu n chaün thì f ñaït cöïc trò taïi x 0. Cuï theå: (n) a) f (x 0) > 0 : f ñaït cöïc tieåu taïi x 0. (n) b) f (x 0) < 0 : f ñaït cöïc ñaïi taïi x 0. Chöùng minh: Duøng coâng thöùc khai trieån Taylor cuûa f taïi x 0 ta coù: k n +1 n f(k )() xxx[ −] f ( n + 1) () cxx[ − ] fx()()− fx =0 0 + 0 0 ∑ + k=1 k! ( n 1)! + f(n )() xxx[]−n f ( n + 1) () cxx[] − n 1 =0 0 + 0 n! ( n + 1)! n ()n+1 [xx−] () fcxx()[ − ]  =0 fn () x + 0  0 + n! n 1  ∈ ∈( ) vôùi c( x0 , x ) hoaëc c x, x 0 . ( + ) fn 1 ( x ) Vì lim0 []x− x = 0 neân toàn taïi moät khoaûng môû I taâm x → 0 0 x x 0 n +1 baùn kính α sao cho giaù trò cuûa bieåu thöùc
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 100 ()n+1 () f() cxx[ − ]  ( ) fn () x + 0  cuøng daáu vôùi fn ( x ) , 0 + 0 n 1  ∀x ∈ I . ( ) − ( ) Do ñoù khi n leû thì fx fx 0 ñoåi daáu khi ñi qua x0 , vaäy haøm soá khoâng ñaït cöïc trò taïi x0 khi n leû. • (n) ( ) −( ) ≥ ∀ ∈ Neáu n chaün vaø f (x 0) > 0 thì fx fx 0 0 x I , nghóa laø f ñaït cöïc tieåu taïi x0 . • (n) ( ) −( ) ≤ ∀ ∈ Neáu n chaün vaø f (x 0) 0 3  3  3 3 
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 101 1 1 n = 4 (chaün) vaø f(4) ( ) > 0 ⇒ f ñaït cöïc tieåu taïi x = 3 3 • fxxefx( ) =−x, '( ) =− 1 efx x , ''( ) =−<∀∈ e x 0, x ℝ f/(0) = 0, f / / ( 0) < 0 . Vaäy f ñaït cöïc ñaïi taïi x = 0.
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 101 Chöông VI TÍCH PHAÂN BAÁT ÑÒNH I. Nguyeân haøm - tích phaân baát ñònh : 1. Ñònh nghóa : Cho caùc haøm soá f, F xaùc ñònh treân [a, b ]. F ñöôïc goïi laø nguyeân haøm cuûa f treân (a, b) neáu F’(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b). F goïi laø nguyeân haøm cuûa f treân [a, b ] neáu: F’(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b) vaø F’(a +) = f(a), F’(b -) = f(b) Ví duï: • (- cosx) laø nguyeân haøm cuûa sinx vì (-cosx)’ = sinx • (- cosx + 7) cuõng laø nguyeân haøm cuûa sinx. x3 x3 x3 • , − 5 , − C laø nhöõng nguyeân haøm cuûa x 2 vì: 3 3 3 / / / x3 x3  x 3  = −5  = − C  = x 2 3 3  3  2. Ñònh lyù: Neáu haøm soá f lieân tuïc treân [a, b ] thì f coù nguyeân haøm treân [a, b ]. 3. Ñònh lyù: Giaû söû F laø nguyeân haøm cuûa f treân (a, b). Khi ñoù: i) F + C (C laø haèng soá) cuõng laø moät nguyeân haøm cuûa f treân (a, b). ii) Neáu G laø moät nguyeân haøm cuûa f treân (a, b) thì G(x) = F (x) + C, ∀x ∈ (a, b). Chöùng minh : i) (F(x) + C)’ = F’(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b) ⇒ F + C laø moät nguyeân haøm cuûa f treân (a, b) ii) [G(x) - F(x) ]’ = G’(x) - F’(x) = f(x) - f(x) = 0, ∀x ∈ (a, b)
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 102 ⇒ G(x) - F(x) = C (haèng soá), ∀x ∈ (a, b) ⇒ G(x) = F(x) + C, ∀x ∈ (a, b) Ghi chu ù: • Ñònh lyù treân vaãn ñuùng neáu thay (a, b) baèng [a, b ]. • Neáu f coù moät nguyeân haøm thì f coù voâ soá nguyeân haøm vaø 2 nguyeân haøm baát kyø cuûa cuøng moät haøm thì sai khaùc nhau moät haèng soá. 4. Ñònh nghóa : Taäp hôïp taát caû nhöõng nguyeân haøm cuûa f treân [a, b ] ñöôïc goïi laø tích phaân baát ñònh cuûa f treân [a, b ], kyù hieäu: ∫ f( x ) dx . Neáu F laø moät nguyeân haøm cuûa f thì ∫ f( x ) dx =F( x ) + C . II. Tính chaát cuûa tích phaân baát ñònh : Cho f, g laø caùc haøm soá coù nguyeân haøm treân (a, b). Khi ñoù: d i) f() x dx= ( f () x dx )' =fx() dx ∫ ∫ ii) d∫ f( x ) dx =f( x ) dx iii) ∫( fx()()± gx) dx = ∫ fxdx () ± ∫ gxdx () iv) ∫kf() x dx =kfx ∫ ( ) dx , k ∈ ℝ n n = Heä quaû: ∫∑kfxdxii() ∑ k ii ∫ fxdx () i=1 i = 1 v) Neáu F’(x) = f(x) thì ∫F'() x dx= ∫ dF () x =Fx( ) + C = ∫ f( x) dx vaø ∫fydy( ) =+ Fy( ) C, ∫ ftdt () =+ Ft( ) C , Chöùng minh : Daønh cho ñoäc giaû (suy ra töø tính chaát ñaïo haøm). III. Caùc coâng thöùc tích phaân baát ñònh cô baûn :
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 103 1. ∫ 0dx =C 2. ∫ adx = ax+ C xn+1 3. xn dx = + C () n≠ -1 ∫ n +1 dx (lnx )' , x > 0 4. ∫ = ln x + C ( vì (ln |x| + C)’ = (ln |x|)’ =  x ln(−x )', x 0  x 1 =  = , x ≠ 0) 1 1 x − =,x < 0  −x x 5. ∫ ex dx = e x + C / ax ax  6. ∫ ax dx = +C (vì   = a x) ln a ln a  7. ∫sinxdx = - cosx + C 8. ∫ cosxdx = sinx+ C 1 9. dx = (1+tg2 x ) dx = tgx + C ∫ cos 2 x ∫ 1 10. dx = (1+ cotg2 x ) dx =− cot gx + C ∫ sin 2 x ∫ dx 11. = arctgx + C ∫ 2 1+ x dx 12. ∫ = arcsinx + C 1− x2 −n + 1 dx − x −1 13. = xn dx = + C = + C ( n ≠ 1) ∫ n ∫ n−1 x −n + 1 (n− 1) x
Toaùn cao caáp : Giaûi tích 104 dx ∫ = x + C 2 x sin x −d(cos x ) 14. tgxdx = dx = =-ln cosx + C ∫ ∫ cos x ∫ cos x cos x d(sin x ) 15. cotgxdx = dx = =ln sinx + C ∫ ∫ sin x ∫ sin x dx x 16. ∫ =arcsin + C a2− x 2 a dx1 x 17. =arctg + C ∫ ax2+ 2 a a dx 18. ∫ =ln x + x2 ++ bC x2 + b dx1 x− a 19. =ln + C (a ≠ 0) ∫ xa2− 2 2 a xa + dx1 x− b 20. =ln + C (a ≠ b) ∫ (xaxb−− )( ) ba − xa − x a2 x 21. axdx22−= ax 22 −+ arcsin + C (a ≠ 0) ∫ 2 2 a x a 2 22. axdx22+ = ax 22 ++ln xaxC +++ 22 ∫ 2 2 IV. Vaøi ví duï: x4−5 xx 3 − 2 + 3 x + 7 a. dx ∫ x2 +1 8x + 9  = x2 −5 x − 2 +  dx ∫x2 +1 