Giáo trình Xác suất (Phần 1)

Nội dung text: Giáo trình Xác suất (Phần 1)

1. Chương 1 Tập hợp - Giải tích tổ hợp 1.1 Tập hợp 1.1.1 Khái niệm về tập hợp Khái niệm tập hợp được xem là một khái niệm nguyên thủy không định nghĩa, tương tự như các khái niệm điểm, đường thẳng trong hình học, . . . Tập hợp có thể hiểu tổng quát là một sự tựu tập của một số hữu hạn hay vô hạn các đối tượng nào đó. Các đối tượng này được gọi là các phần tử của tập hợp. Ta thường dùng các chữ cái in A,B,C, để ký hiệu tập hợp. Nếu a là phần tử của tập hợp A ta ký hiệu a A. Ngược lại nếu a không thuộc tập hợp A ta ký hiệu ∈ a / A. ∈ Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập hợp rỗng, ký hiệu . ∅ 1.1.2 Biểu diễn tập hợp Có hai cách xác định một tập hợp: a. Liệt kê các phần tử của nó: Nếu một tập hợp có số phần tử của nó không quá nhiều thì ta xác định tập hợp bằng cách viết ra tất cả các phần tử của nó. Chẳng hạn tập hợp tất cả các số tự nhiên nhỏ hơn 5 là A = 0, 1, 2, 3, 4 { } Nếu một tập hợp quá nhiều phần tử, hoặc có vô số phần tử, ta không thể viết ra hết các phần tử của nó thì ta dùng dấu “. . . ”, miễn là không gây sự hiểu lầm. Chẳng hạn tập hợp B là tập các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 200 là B = 1, 3, 5, , 197, 199 { }
2. 1.1 Tập hợp 2 b. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó: Không phải mọi tập hợp đều cần phải liệt kê rành mạch theo thứ tự nào đó. Chúng có thể được mô tả bằng các tính chất đặc trưng mà nhờ chúng có thể xác định một đối tượng nào đó có thuộc tập hợp này hay không. Chẳng hạn C là tập hợp các số thực lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1 là C = x x R và 0 <x< 1 | ∈  1.1.3 Quan hệ giữa các tập hợp a. Tập hợp con - (Quan hệ bao hàm): Cho hai tập hợp A và B. Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì ta nói tập hợp A là một tập hợp con của tập hợp B và ký hiệu A B hoặc là B A. ⊂ ⊃ Ta viết A B (x A x B) ⊂ ⇔ ∈ ⇒ ∈ Nếu tập hợp A không là tập hợp con của B, ta ký hiệu A B. 6⊂ b. Tập hợp bằng nhau: Cho hai tập hợp A và B. Nếu mỗi phần tử của A đều thuộc B và ngược lại mỗi phần tử của B đều thuộc A thì ta nói hai tập hợp A và B bằng nhau và ký hiệu A = B. Ta viết A = B A B và B A ⇔ ⊂ ⊂
   1.1.4 Các phép toán trên các tập hợp a. Giao của hai tập hợp: Giao của hai tập hợp A và B đã cho là tập hợp các phần tử đồng thời thuộc cả hai tập hợp này và được ký hiệu là A B. ∩ Ta viết x A x A B ∈ ∈ ∩ ⇔   x B A B ∈ ∩  b. Hợp của hai tập hợp: Hợp của hai tập hợp A và B đã cho là tập hợp các phần tử đồng thời thuộc ít nhất một trong hai tập hợp này và được ký hiệu là A B. ∪ Ta viết x A x A B ∈ A B ∈ ∪ ⇔  x B ∪ ∈ 
3. 1.2 Giải tích tổ hợp 3 c. Hiệu của hai tập hợp: Hiệu của hai tập hợp A và B đã cho (theo thứ tự này) là tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B và được ký hiệu là A B \ Ta viết A B = x x A và x / B \ | ∈ ∈ A B Tính chất 1.1. Từ định nghĩa của các phép giao, hợp, hiệu ta suy ra các\ tính chất sau: a. Tính giao hoán A B = B A; A B = B A ∪ ∪ ∩ ∩ b. Tính kết hợp (A B) C = A (B C) ∪ ∪ ∪ ∪ (A B) C = A (B C) ∩ ∩ ∩ ∩ do tính chất này mà khi viết hợp hoặc giao của một dãy tập không cần phải để các ngoặc đơn. c. Tính phân phối A (B C)=(A B) (A C) ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ A (B C)=(A B) (A C) ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ d. Công thức De Morgan A B = A¯ B¯ ∪ ∩ A B = A¯ B¯ ∩ ∪ 1.2 Giải tích tổ hợp 1.2.1 Quy tắc nhân Giả sử để hoàn thành một công việc thì phải thực hiện k giai đoạn. Giai đoạn thứ nhất có n1 cách thực hiện, giai đoạn thứ hai có n2 cách thực hiện,. . . , giai đoạn thứ k có nk cách thực hiện. Khi đó ta có n = n n n 1 · 2 ··· k cách hoàn thành công việc Ví dụ 1.1. Giả sử để đi từ A đến C ta bắt buộc phải đi qua điểm B. Có 3 đường khác nhau đi từ A đến B và có 2 đướng khác nhau đi từ B đến C.
4. 1.2 Giải tích tổ hợp 4 A %/9 B %9 C Vậy có n =3 2=6 cách khác nhau để đi từ A đến C. · 1.2.2 Tính chất của một nhóm (bộ) k phần tử a. Nhóm có thứ tự: Khi đổi vị trí các phần tử khác nhau của nhóm này ta nhận được nhóm khác. b. Nhóm không thứ tự: Khi đổi vị trí các phần tử khác nhau của nhóm này ta không nhận được nhóm khác. c. Nhóm có lặp: Các phần tử của nhóm có thể có mặt nhiều lần trong nhóm. d. Nhóm không lặp: Các phần tử của nhóm chỉ có mặt một lần trong nhóm. Ví dụ 1.2. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4 lập số có 3 chữ số { } a. Các chữ số có lặp Công việc 1: Chọn chữ số hàng trăm có n1 =4 cách chọn. Công việc 2: Chọn chữ số hàng chục có n2 =5 cách chọn. Công việc 3: Chọn chữ số hàng đơn vị có n3 =5 cách chọn. Vậy có n =4 5 5 = 100 số. · · b. Các chữ số không lặp Công việc 1: Chọn chữ số hàng trăm có n =4 cách chọn. Công việc 2: Chọn chữ số hàng chục có n =4 cách chọn. Công việc 3: Chọn chữ số hàng đơn vị có n =3 cách chọn. Vậy có n =4 4 3=48 số. · · 1.2.3 Chỉnh hợp Từ tập hợp A = 1, 2, 3 ta có thể lặp được 6 số có 2 chữ số khác nhau từ tập A, { } và đó là các số 23;32;25;52;35;53 Để ý rằng mỗi số tạo thành là một nhóm có thứ tự gồm 2 trong 3 số đã cho. Mỗi nhóm như vậy được gọi là một chỉnh hợp chập 2 từ 3 phần tử.
5. 1.2 Giải tích tổ hợp 5 Định nghĩa 1.2 (Chỉnh hợp - Nhóm không lặp, có thứ tự). Chỉnh hợp chập k của n phần tử (k n) là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử ≤ đã cho. k k Gọi An là số chỉnh hợp chập k của n phần tử, An chính là số cách chọn nhóm có thứ tự k phần tử khác nhau từ tập n phần tử Phần tử thứ 1 có n cách chọn. Phần tử thứ 2 có n 1 cách chọn. − ··· Phần tử thứ k có n k +1 cách chọn. − Theo quy tắc nhân thì ta có n! Ak = n (n 1) (n k)= n · − ··· − (n k)! − cách chọn. Ví dụ 1.3. Một lớp học tiếng Anh có 12 người tham dự. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một lớp trưởng và một lớp phó. Giải. Một cách chọn 1 lớp trưởng và 1 lớp phó là một nhóm có 2 phần tử không lặp và có thứ tự. Nên có A2 = 12 11 = 132 12 · cách chọn thỏa yêu cầu. 1.2.4 Hoán vị Định nghĩa 1.3. Hoán vị của n phần tử là một nhóm có thứ tự không lặp có đủ n phần tử đã cho. Số hoán vị của n phần tử là Pn = n! Người ta quy ước 0!=1. Ví dụ 1.4. Mỗi cách xếp 4 học sinh vào một bàn có 4 chỗ ngồi là một hoán vị của 4 phần tử. Số cách xếp 4 học sinh vào một bàn có 4 chỗ ngồi là P4 =4!=24. n Chú ý: Hoán vị là trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp vì Pn = An.
6. 1.2 Giải tích tổ hợp 6 1.2.5 Chỉnh hợp lặp Trong định nghĩa 1.2 ta đòi hỏi mỗi phần tử chỉ được có mặt trong nhóm không quá một lần. Nếu bỏ điều kiện đó ta có chỉnh hợp lặp. Định nghĩa 1.4 (Chỉnh hợp lặp - Nhóm có lặp, có thứ tự). Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử chọn từ n phần tử đã cho, trong đó mỗi phần tử có thể có mặt 1, 2, ,k lần trong nhóm tạo thành. k k Gọi An là số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử. An chính là số cách chọn nhóm có thứ tự k phần tử từ tập n phần tử e e Phần tử thứ 1 có n cách chọn. Phần tử thứ 2 có n cách chọn. ··· Phần tử thứ k có n cách chọn. k k Theo quy tắc nhân thì An = n . Ví dụ 1.5. Từ các số của tập hợp A = 1, 2, 3 , ta có thể lập được A5 = 35 số có 5 e { } 3 chữ số. e Chú ý: Vì mỗi phần tử có thể xuất hiện nhiều lần trong một chỉnh hợp lặp nên ở đây k có thể lớn hơn n. 1.2.6 Tổ hợp Định nghĩa 1.5 (Tổ hợp - Nhóm không lặp, không có thứ tự). Tổ hợp chập k của n phần tử (k n) là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn ≤ từ n phần tử đã cho. k k Gọi Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử, Cn chính là số cách chọn nhóm không có thứ tự gồm k phần tử khác nhau từ tập hợp n phần tử đã cho. Từ mỗi tổ hợp chập k ta hoán vị các phần tử sẽ nhận được k! chỉnh hợp có cùng thành phần như tổ hợp đó. Do đó Ak n! Ck = n = n k! k!(n k)! −
7. 1.2 Giải tích tổ hợp 7 Ví dụ 1.6. Mỗi đề thi gồm 3 câu hỏi lấy trong 25 câu hỏi cho trước, ta lập được 25! C3 = = 2300 25 3! 22! · đề thi. Vì mỗi đề thi là một nhóm có 3 câu hỏi có tính chất không lặp và không có thứ tự. Tính chất 1.6. Tổ hợp có các tính chất cơ bản sau: a. Quy ước 0!=1. k n k b. Cn = Cn− . k k 1 k c. Cn = Cn−1 + Cn 1. − − 1.2.7 Nhị thức Newton Công thức nhị thức Newton n n k n k k (a + b) = Cna − b Xk=0 Các hệ số trong công thức nhị thức Newton có thể được xác định từ tam giác Pascal 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 . . . C0 C1 Cn 1 Cn n n ··· ··· n− n Hình 1.1: Tam giác Pascal Một số hằng đẳng thức đáng nhớ (a + b)1 = a1 + b1 2 2 2 (a + b) = a +2ab
   + b 3 3 2 2 3 (a + b) = a +3a b +3
   ab + b
   
8. 1.3 Bài tập luyện tập 8 1.3 Bài tập luyện tập Bài tập 1.1. Nếu một người có 6 đôi vớ khác nhau và 4 đôi giày khác nhau. Có bao nhiêu cách kết hợp giữa vớ và giày? Bài tập 1.2. Năm người A, B, C, D và E sẽ phát biểu trong một hội nghị. Có bao nhiêu cách sắp xếp để: a. Người B phát biểu sau người A. b. Người A phát biểu xong thì đến lượt người B. Bài tập 1.3. Có 6 học sinh được sắp xếp ngồi vào 6 chỗ đã ghi số thứ tự trên 1 bàn dài. Tìm số cách xếp: a. 6 học sinh vào bàn. b. 6 học sinh này vào bàn sao cho 2 học sinh A và B ngồi cạch nhau. c. 6 học sinh này vào bàn sao cho 2 học sinh A và B không ngồi cạnh nhau. Bài tập 1.4. Một lớp gồm 40 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra 1 ban cán sự lớp gồm: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thủ quỹ. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn ban cán sự lớp? Bài tập 1.5. Một hộp có 8 viên bi đỏ, 6 viên bi trắng và 4 viên bi vàng. Người ta chọn ra 6 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu: a. Không yêu cầu gì thêm. b. Phải có 2 viên bi đỏ, 2 viên bi trắng, 2 viên bi vàng. c. Có đúng 2 viên bi vàng. Bài tập 1.6. Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B còn 4 người trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công? Bài tập 1.7. Một tổ sản xuất có 12 người, trong đó có 4 nữ, cần chia thành 4 nhóm đều nhau. Hãy tìm số cách phân chia sao cho mỗi nhóm có một nữ? Bài tập 1.8. Xếp 12 hành khách lên 4 toa tàu. Tính số cách xếp: a. Mỗi toa có 3 hành khách. b. Một toa có 6 hành khách, một toa có 4 hành khách, hai toa còn lại mỗi toa có 1 hành khách.
9. Chương 2 Biến cố và xác suất của biến cố 2.1 Biến cố và quan hệ giữa các biến cố 2.1.1 Phép thử và biến cố Trong toán học có những khái niệm không có định nghĩa mà chỉ có thể mô tả chúng bằng những hình ảnh hoặc tư duy trực giác. Chẳng hạn, trong hình học có khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng là những khái niệm không có định nghĩa. Trong xác suất, khái niệm phép thử là khái niệm cơ bản không có định nghĩa. Ta hiểu phép thử là việc thực hiện một thí nghiệm hoặc quan sát một hiện tượng nào đó. Phép thử được gọi là ngẫu nhiên nếu ta không thể dự báo trước chính xác kết quả nào sẽ xảy ra. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử gọi là không gian mẫu, ký hiệu là Ω. Mỗi kết quả của phép thử, ω, (ω Ω) gọi là một biến cố sơ cấp. ∈ Mỗi tập con của không gian mẫu gọi là biến cố. Chúng ta thường dùng các ký hiệu: ω để ký hiệu biến cố sơ cấp. Ω để ký hiệu không gian mẫu. A, B, C, để ký hiệu biến cố. A để ký hiệu số phần tử của biến cố A. | | Ví dụ 2.1. Gieo một đồng xu cân đối một lần. Gọi S là kết quả đồng xu “sấp” và N là kết quả đồng xu “ngửa”. Không gian các biến cố sơ cấp là: Ω= S, N { } và ω1 = N, ω2 = S là hai biến cố sơ cấp. Ta gọi tập con A = S Ω { } ⊂
10. 2.1 Biến cố và quan hệ giữa các biến cố 10 là biến cố “đồng xu là sấp”. Ví dụ 2.2. Thực hiện phép thử gieo đồng thời 3 đồng xu cân đối và đồng chất, trong trường hợp này chúng ta có các biến cố sơ cấp sau: ω1 =(SSS), ω2 =(SSN), ω3 =(SNS), ω4 =(SNN), ω5 =(NNN), ω6 =(NNS), ω7 =(NSN), ω8 =(NSS) với N ký hiệu đồng xu “ngửa” và S là đồng su “sấp”. Do đó không gian mẫu là Ω= ω ,ω ,ω ,ω ,ω ,ω ,ω ,ω { 1 2 3 4 5 6 7 8} Đặt A là biến cố “có hai đồng xu ngửa” thì A = ω ,ω ,ω { 4 5 6} 2.1.2 Quan hệ giữa các biến cố Quan hệ kéo theo: Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, ký hiệu A B, nếu ⊂ A xảy ra thì B xảy ra. Quan hệ bằng nhau: Hai biến cố A và B được gọi là bằng nhau nếu A B và ⊂ B A, ký hiệu A = B. ⊂ Biến cố chắc chắn: Là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử, ký hiệu Ω. Biến cố không thể (biến cố rỗng): Là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử, ký hiệu . ∅ Biến cố tổng: Biến cố C = A B = A + B được gọi là tổng của hai biến cố A và ∪ B, biến cố C xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố Ω A hoặc B xảy ra. Ta viết C = A B = ω : ω A hoặc ω B ∪ ∈ ∈ A + B  Ví dụ 2.3. Một xạ thủ bắn hai viên đạn vào một mục tiêu. Gọi Ai là biến cố viên thứ i, (i =1, 2) xạ thủ bắn trúng mục tiêu. Ta đặt biến cố C = A1 + A2 là biến cố ít nhất một viên trúng mục tiêu.
11. 2.1 Biến cố và quan hệ giữa các biến cố 11 Xét họ biến cố Ai, (i =1, ,n), ta đặt biến cố tổng n C = A A = A 1 ∪···∪ n i i=1 [ biến cố C xảy ra khi ít nhất một trong n biến cố này xảy ra. Biến cố tích: Biến cố C = AB = A B được gọi là biến cố tích (hay giao) của hai ∩ biến cố A và B, biến cố C xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố Ω A và B cùng xảy ra. Ta viết C = AB = A B = ω : ω A và ω B ∩ ∈ ∈ A B  ∩ Ví dụ 2.4. Hai người cùng bắn một con thú, mỗi người bắn một viên. Gọi A1 là biến cố người thứ nhất bắn trượt và A2 là biến cố người thứ hai bắn trượt. Biến cố tích C = A1A2 là biến cố thú không bị trúng đạn. Biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B gọi là hai biến cố xung khắc nếu chúng không đồng thời xảy ra trong một phép thử. Do đó hai biến cố Ω A và B xung khắc khi và chỉ khi A B = . ∩ ∅ A B Ví dụ 2.5. Gieo một đồng xu cân đối một lần. Gọi A1 là biến cố đồng xu sấp và A2 là biến cố đồng xu ngửa. Hai biến cố A1 và A2 gọi là xung khắc nhau. Xung khắc Biến cố đối lặp (biến cố bù): Biến cố không xảy ra biến cố A được gọi là biến cố ¯ đối lặp với biến cố A, ký hiệu A. Ω Ví dụ 2.6. Gieo một con xúc sắc một lần. Gọi A là biến cố số A A¯ chấm xuất hiện nhỏ hơn 5, biến cố đối lặp A¯ là biến cố số chấm xuất hiện bằng 6 Ta viết Đối lặp A¯ = ω : ω / A { ∈ } Biến cố hiệu: Biến cố C = A B được gọi là biến cố hiệu của hai biến cố A và B, \ biến cố C xảy ra khi và chỉ khi biến cố A xảy ra và B không xảy Ω ra. Ta viết C = A B = ω : ω A và ω / B \ ∈ ∈ A B  \
12. 2.2 Xác suất của biến cố 12 2.2 Xác suất của biến cố 2.2.1 Định nghĩa cổ điển của xác suất Định nghĩa 2.1. Xét một phép thử đồng khả năng, có không gian các biến cố sơ cấp Ω= ω ,ω , ,ω , Ω < + { 1 2 n} | | ∞ A Ω là một biến cố. Xác suất xảy ra biến cố A, ký hiệu P (A), và ⊂ A P (A) = | | (2.1) Ω | | số trường hợp thuận lợi đối với A = (2.2) số trường hợp có thể với A là số phần tử của biến cố A. | | Ví dụ 2.7. Gieo một con xúc sắc cân đối. Tính xác suất a. Xuất hiện mặt 6 chấm. b. Xuất hiện mặt bội của 3. Giải. Gọi A : “Xuất hiện mặt 6 chấm” B : “Xuất hiện mặt bội của 3” Thực hiện phép thử tung 1 con xúc sắc cân đối và đồng chất, ta có không gian mẫu Ω= 1, 2, 3, 4, 5, 6 , Ω =6 { } | | a. Xác suất xuất hiện mặt 6 chấm. 1 A = 6 , A =1 vậy P (A)= { } | | 6 b. Xác suất xuất hiện mặt bội của 3. 1 B = 3, 6 , B =2 vậy P (B)= { } | | 3 Ví dụ 2.8. Trong một thùng có 3 quả cầu trắng và 5 quả cầu đen giống nhau về kích thước. Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ thùng đó, tính xác suất xuất hiện:
13. 2.2 Xác suất của biến cố 13 a. 2 quả cầu trắng. b. 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen. Giải. Thực hện phép thử lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ thùng có 8 quả cầu nên số 2 trường hợp có thể là C8 = 28. Gọi A : “Lấy được 2 quả cầu trắng” B : “Lấy được 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen” a. Tính xác suất lấy được 2 quả cầu trắng. 2 Có tất cả 3 quả cầu trắng nên số trường hợp thuận lợi đối với A là C3 = 3. Xác suất xảy ra biến cố A là C2 3 P 3 (A)= 2 = 0, 1071 C8 28 ≈ b. Tính xác suất lấy được 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen. 1 Chọn 1 quả cầu trắng từ 3 quả cầu trắng trong thùng có C3 cách, chọn 1 quả cầu đen từ 5 quả cầu đen trong thùng có C1 cách. Theo quy tắc nhân ta có C1 C1 =3 5=15 5 3 · 5 · cách lấy được 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen, hay số trường hợp thuận lợi đối với B là B = 15. Vậy | | 15 P (B)= 0, 5357 28 ≈ 2.2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển của xác suất chỉ áp dụng khi phép thử là đồng khả năng và không gian các biến cố sơ cấp có hữu hạn phần tử. Tuy nhiên trên thực tế thường gặp những phép thử không có tính chất đó. Để khắc phục hạn chế đó của định nghĩa theo lối cổ điển người ta đưa vào định nghĩa theo lối thống kê. Định nghĩa 2.2 (Định nghĩa xác suất theo lối thống kê). Thực hiện phép thử n lần. Giả sử biến cố A xuất hiện m lần. Khi đó m gọi là tần số xuất hiện biến cố A và tỷ m số được gọi là tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử. n Thực hiện phép thử vô hạn lần, (n ), tần suất xuất hiện biến cố A dần ∗ về →∞ một số xác định gọi là xác suất của biến cố A. m P (A)= (2.3) n ∗Xem thêm mục 6.2
14. 2.2 Xác suất của biến cố 14 Trong một dãy dài (tức n lớn) các lần lặp lại một phép thử ngẫu nhiên, tần suất của biến cố A tuy lên xuống bấp bênh, nhưng có xu hướng không thay đổi mấy xung quanh một hằng số nhất định. Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng xu, người ta tiến hành tung đồng xu nhiều lần và thu được kết quả cho ở bảng bên dưới Người làm Số lần Số lần được Tần suất thí nghiệm tung mặt sấp f(A) Buyffon 4.040 2.048 0,5069 Pearson 12.000 6.019 0,5016 Pearson 24.000 12.012 0,5005 Bảng 2.1: Tính ổn định tần suất 2.2.3 Định nghĩa xác suất theo lối hình học Định nghĩa xác suất cổ điển có hai hạn chế cơ bản, thứ nhất là phép thử đồng khả năng và thứ hai là không gian các biến cố sơ cấp có hữu hạn phần tử. Định nghĩa xác suất theo lối thống kê đã khắc phục được hạn chế thứ nhất. Để khắc phục hạn chế thứ hai người ta đưa vào định nghĩa xác suất theo lối hình hoc. Định nghĩa 2.3 (Định nghĩa xác suất theo lối hình học). Xét một phép thử đồng khả năng, không gian các biến cố sơ cấp có vô hạn phần tử và được biểu diễn bởi miền hình học Ω có độ đo (độ dài, diện tích, thể tích) hữu hạn khác không. Biến cố A Ω được ⊂ biểu diễn bởi miền hình học A. Khi đó xác suất của biến cố A được xác định bởi Độ đo của miền A P (A)= (2.4) Độ đo của miền Ω Ví dụ 2.9 (Bài toán tàu cập bến). Hai tàu thủy cập vào một bến cảng một cách độc lập nhau trong vòng một ngày đêm. Biết rằng thời gian đỗ lại cảng để bốc đở hàng của tàu thứ nhất là 4 giờ, của tàu thứ hai là 6 giờ. Tìm xác suất để một trong hai tàu phải chờ cập bến. Giải.
15. 2.2 Xác suất của biến cố 15 Gọi x : (giờ) là thời điểm tàu thứ nhất cập bến 24 Ω 4 y : (giờ) là thời điểm tàu thứ hai cập bến 18 = − y 12 x − A : “Một trong hai tàu phải chờ để cập bến” =6 y 0 x 24 6 Miền Ω giới hạn bởi ≤ ≤ x −  0 y 24  ≤ ≤ O 6 12 18 24 Hình ví dụ 2.9 Nếu tàu 1 cập bến trước thì điều kiện tàu 2 phải chờ là y x 4 − ≤ Nếu tàu 2 cập bến trước thì điều kiện tàu 1 phải chờ là x y 6 − ≤ Vậy A xảy ra khi và chỉ khi 4 x y 6, thể hiện miền gạch chéo. Thực hiện tính − ≤ − ≤ toán ta có 202 182 242 + Diện tích miền gạch chéo − 2 2 P (A)= =   0, 3715 Diện tích hình vuông 242 ≈ 2.2.4 Định nghĩa theo tiên đề Xét không gian các biến cố sơ cấp Ω, giọi F là họ các tập con của Ω thỏa các điều kiện sau: i) Ω F . ⊂ ii) Nếu A, B F thì A¯ F , A + B F , và AB F . ∈ ∈ ∈ ∈ ∞ ∞ iii) Nếu Ai F , i =1, 2, thì Ai F , Ai F . ∈ i=1 ∈ i=1 ∈ S T Nếu họ F thỏa điều kiện i) và ii) thì F được gọi là đại số, họ F thỏa điều kiện i), ii) và iii) thì F được gọi là σ - đại số. Định nghĩa 2.4 (Định nghĩa theo tiên đề). Ta gọi xác suất trên (Ω, F ) là một hàm số P xác định trên F có giá trị trong [0, 1] và thỏa mãn 3 tiên đề sau: i) P (Ω) = 1.
16. 2.3 Xác suất có điều kiện 16 ii) P (A) > 0, A F . ∈ ∞ iii) Nếu Ai F , i =1, 2, , Ai Aj = , i = j, Ai F thì ∈ ∩ ∅ 6 i=1 ∈ P ∞ ∞ P Ai = P (Ai). i=1 ! i=1 X X 2.2.5 Tính chất xác suất i) 0 P (A) 1 với mọi biến cố B. ≤ ≤ ii) P ( )=0, P (Ω) = 1. ∅ iii) Nếu A B thì P (A) P (B). ⊂ ≤ iv) P (A)+ P A¯ =1.
    2.3 Xác suất có điều kiện Trong mục này chúng ta đi tìm xác suất của một biến cố A Ω khi chúng ta biết ⊂ biến cố B đã xảy ra và khái niệm đôc lập của hai biến cố A và B. Trước hết chúng ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2.10. Tung một xúc sắc cân và đối đồng chất một lần. Ta có không gian các biến cố sơ cấp là Ω= 1, 2, 3, 4, 5, 6 { } khả năng xảy ra các biến cố sơ cấp là như nhau và P (ωi)=1/6, (i =1, , 6). Gọi A : “Xuất hiện mặt 6 chấm” B : “Xuất hiện mặt lớn hơn 4 chấm” Chúng ta có P (A)=1/6. Bây giờ chúng ta giả sử xúc sắc đã được tung và biến cố B đã xảy ra. Điều này có nghĩa là kết quả của phép thử này là 5 hoặc 6, do đó xác suất xảy ra biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra là 1/2. Định nghĩa 2.5 (Xác suất có điều kiện). Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của biến cố A, ký hiệu P (A B). | Ví dụ 2.11. Một hộp có 5 viên bi trắng và 3 viên bi đen. Lấy lần lượt ra 2 viên bi (lấy không hoàn lại). Tìm xác suất để lần lấy thứ hai được viên bi trắng biết lần lấy thứ nhất đã lấy được viên bi trắng.
17. 2.3 Xác suất có điều kiện 17 Giải. Gọi A : “Lần thứ hai lấy được viên bi trắng” B : “Lần thứ nhất lấy được viên bi trắng” Bài toán yêu cầu tìm P (A B). Ta thấy lần thứ nhất đã lấy được viên bi trắng (B | đã xảy ra) nên trong hộp còn 7 viên bi trong đó có 4 viên bi trắng và 3 viên bi đen. Do đó 1 P C4 4 (A B)= 1 = 0, 5714 | C7 7 ≈ Ví dụ 2.12. Giả sử trong 200 người đàn ông có 100 người hút thuốc và 100 người phụ nữ có 20 người hút thuốc. Gọi A : “Người được chọn là đàn ông” B : “Người được chọn là phụ nữ” C : “Người được chọn hút thuốc” Chọn ngẫu nhiên một người và người này là phụ nữ thì xác suất người này hút thuốc sẽ là: số phụ nữ hút thuốc số phụ nữ hút thuốc/300 P (BC) 20 P (C B)= = = = | số phụ nữ số phụ nữ/300 P (B) 100 P (C B) bằng với xác suất chọn được người phụ nữ hút thuốc chia cho xác suất chọn | được người phụ nữ. Ngược lại chọn ngẫu nhiên một người và người này là đàn ông thì xác suất người này hút thuốc sẽ là số đàn ông hút thuốc số đàn ông hút thuốc/300 P (BC) 100 P (C A)= = = = | số đàn ông số đàn ông/300 P (B) 200 P (C A) bằng với xác suất chọn được người đàn ông hút thuốc chia cho xác suất chọn | được người đàn ông. Định lý 2.6 (Công thức xác suất có điều kiện). Cho hai biến cố A và B với P (B) > 0. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra là P (AB) P (A B)= ; P (B) > 0 (2.5) | P (B)
18. 2.3 Xác suất có điều kiện 18 Chứng minh. Giả sử phép thử đồng khả năng có không gian các biến cố sơ cấp Ω và Ω = n trong đó có A biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A, B biến cố sơ cấp | | | | | | thuận lợi cho biến cố B và AB biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố AB | | Theo định nghĩa cổ điển của xác suất thì AB B P (AB)= | |, P (B)= | | Ω Ω | | | | Vì biến cố B đã xảy ra, nên “không gian mẫu” bây giờ là B có số phần tử B và số | | biến cố sơ cấp thuận lợi cho A là AB . Do đó | | AB P (AB) P (A B)= | | = | B P (B) | | Ví dụ 2.13. Một bộ bài có 52 lá bài. Chọn ngẫu nhiên một lá từ bộ bài và xem, tính xác suất lấy được lá bài cơ biết rằng lấy được lá bài màu đỏ. Giải. Gọi A : “Lá bài lấy được là lá cơ” B : “Lá bài lấy được là lá đỏ” Xác suất có điều kiện P (AB) 13 P (A B)= = =0, 5 | P (B) 26 P (A B) gọi là xác suất lấy được lá bài cơ biết rằng lá bài lấy được là lá đỏ. | Giả sử P (A B) = P (A), sự xảy ra biến cố B không làm thay đổi “khả năng” xảy | ra biến cố A thì khi đó ta nói hai biến cố A và B là độc lập. Công thức xác suất có điều kiện trong trường hợp này P (AB) P (A B)= = P (A) (2.6) | P (B) hay P (AB)= P (A) P (B). Định nghĩa 2.7 (Hai biến cố độc lập). Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu P (AB)= P (A) P (B) (2.7) Ví dụ 2.14. Tung một lượt một đồng xu và một xúc sắc cân đối.
19. 2.3 Xác suất có điều kiện 19 Gọi A : “Đồng xu sấp” B : “Số chấm xuất hiện trên mặt xúc sắc lớn hơn 4” Hỏi hai biến cố A và B có độc lập? Giải. Không gian các biến cố sơ cấp Ω có Ω = 12. | | Ký hiệu S, N nếu đồng su xuất hiện mặt sấp hay ngửa và 1, 2, , 6 chỉ số chấm xuất hiện trên mặt xúc sắc. Biến cố A được biểu diễn như sau: A = S1,S2,S3,S4,S5,S6 ; A =6 { } | | và biến cố B B = S5,S6, N5, N6 ; B =4 { } | | ta suy ra được AB = S5,S6 ; AB =2 { } | | Trước hết ta tính AB 2 1 P (AB)= | | = = (2.8) Ω 12 6 | | và tích xác suất 6 4 1 P (A) P (B)= = (2.9) 12 · 12 6 Từ (2.8) và (2.9) ta suy ra hai biến cố A và B độc lập. Mệnh đề 2.8. Nếu hai biến cố A và B độc lập thì các cặp biến cố A, B¯; A,¯ B; A,¯ B¯ là đôc lập Chứng minh. Chứng minh A và B¯ độc lập, thật vậy vì P AB¯ = P (A) P (AB) − = P (A) P (A) P (B)
    − = P (A) P [1 P (B)] − = P (A) P B¯ Các cặp biến cố còn lại chứng minh tương tự.
    Định nghĩa 2.9 (Ba biến cố độc lập). Ba biến có A, B và C gọi là độc lập với nhau nếu chúng độc lập từng đôi và P (ABC)= P (A) P (B) P (C) nghĩa là ba biến cố A, B và C thỏa bốn đẳng thức sau: P (AB) = P (A) P (B) P (AC) = P (A) P (C) P (BC) = P (B) P (C) P (ABC) = P (A) P (B) P (C)
20. 2.4 Các công thức tính xác suất 20 Định nghĩa 2.10 (n biến cố độc lập). Các biến cố A1, ,An gọi là độc lập với nhau nếu các biến cố A1, ,An thỏa các đẳng thức nhân sau: P (AiAj) = P (Ai) P (Aj) P (AiAjAk) = P (Ai) P (Aj) P (Ak) P (A A A ) = P (A ) P (A ) P (A ) 1 2 n 1 2 ··· n với mọi tổ hợp chập hai (i, j), chập ba (i, j, k) , của n chỉ số. 2.4 Các công thức tính xác suất 2.4.1 Công thức cộng a. Cộng hai biến cố: Cho hai biến cố A và B, xác suất ít nhất một trong hai biến cố xảy ra là P (A + B)= P (A)+ P (B) P (AB) (2.10) − Chứng minh. Công thức này dễ dàng chứng minh bằng dùng biểu đồ Venn A = A B + AB | | | \ | | | B = B A + AB | | | \ | | | A + B = A B + B A + AB | | | \ | | \ | | | Từ đó ta có A + B = A + B AB nên suy ra | | | | | |−| | P (A + B)= P (A)+ P (B) P (AB) − Chú ý: Khi hai biến cố A và B xung khắc nghĩa là AB = thì ∅ P (A + B)= P (A)+ P (B) Ví dụ 2.15. Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên giỏi toán, 50 sinh viên giỏi văn, 20 sinh viên giỏi cả toán lẫn văn. Sinh viên nào giỏi ít nhất một trong 2 môn này sẽ được thưởng. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp. Tìm xác suất để sinh viên đó được thưởng? Giải. Gọi T : “Sinh viên được chọn giỏi toán” V : “Sinh viên được chọn giỏi văn”
21. 2.4 Các công thức tính xác suất 21 Thì biến cố A = T + V chính là biến cố sinh viên được chọn giỏi ít nhất một trong hai môn toán và văn. theo công thức cộng (2.10) ta có P (A)= P (T + V ) = P (T )+ P (V ) P (TV ) − 40 50 20 7 = + = 100 100 − 100 10 b. Cộng ba biến cố: Cho ba biến cố A, C và B, xác suất ít nhất một trong ba biến cố xảy ra là P (A + B + C)= P (A)+P (B)+P (C) P (AB) P (AC) P (BC)+P (ABC) (2.11) − − − Chứng minh. Vì tổng các biến cố có tính kết hợp cho nên P (A + B + C) = P ((A + B)+ C) = P (A + B)+ P (C) P ((A + B) C) − = P (A)+ P (B) P (AB)+ P (BC) P (AC + BC) − − = P (A)+ P (B)+ P (C) P (AB) P (AC) P (BC)+ P (ABC) − − − Chú ý: Khi ba biến cố A, B và C xung khắc nhau từng đôi thì P (A + B + C)= P (A)+ P (B)+ P (C) c. Công thức cộng tổng quát: Cho hệ các biến cố Ai, (i =1, ,n) xác suất ít nhất một trong n biến cố xảy ra là n P (A + + A ) = P (A ) P (A A )+ P (A A A )+ + 1 ··· n i − i j i j k ··· i=1 i 0) thì P (AB)= P (A) P (B A) (2.13) | và khi biến cố B đã xảy ra (nghĩa là P (B) > 0 ) thì P (AB)= P (B) P (A B) (2.14) |
22. 2.4 Các công thức tính xác suất 22 Chứng minh. Các công thức này được suy ra từ công thức (2.5). Chú ý: Từ định nghĩa (2.7), khi hai biến cố A và B độc lập thì P (AB)= P (A) P (B). Định lý sau là mở rộng công thức nhân cho họ n biến cố. Định lý 2.12 (Công thức nhân của họ n biến cố). Cho Ai, (i =1, ,n) là họ n biến cố sao cho P (A1A2 An 1) > 0, khi đó: − P (A1A2 An)= P (A1) P (A2 A1) P (A3 A1A2) . . . P (An A1A2 An 1) (2.15) | | | − Chứng minh. Định lý (2.12) được chứng minh bằng quy nạp dựa vào định lý (2.11) 2.4.3 Công thức xác suất đầy đủ Định nghĩa 2.13 (Hệ đầy đủ các biến cố). Hệ các biến cố Ai, (i =1, ,n) gọi là hệ đầy đủ các biến cố nếu thỏa mãn hai điều sau: a. Chúng xung khắc từng đôi một nghĩa là A A = với mọi (i = j) i j ∅ 6 b. A + + A = Ω 1 ··· n Ví dụ 2.16. Một ví dụ đơn giản về hệ đầy đủ các biến cố là hệ gồm hai biến cố A và A¯ bởi vì A + A¯ = Ω và AA¯ = ∅ Định lý 2.14 (Công thức xác suất đầy đủ ). Cho Ai, (i =1, ,n) là hệ đầy đủ các biến cố với P (Ai) > 0, (i =1, ,n). B là một biến cố nào đó thì P (B)= P (A ) P (B A )+ P (A ) P (B A )+ + P (A ) P (B A ) (2.16) 1 | 1 2 | 2 ··· n | n Công thức (2.16) gọi là công thức xác suất đầy đủ. Chứng minh. Bởi vì Ai, (i =1, 2, ,n) là hệ đầy đủ các biến cố cho nên Ω= A + A + + A 1 2 ··· n B là một biến cố và B Ω cho nên ⊂ B = A B + A B + + A B 1 2 ··· n ta nhận thấy A B A B = với mọi (i = j) vì A , (i =1, 2, ,n) là hệ đầy đủ các i ∩ j ∅ 6 i biến cố. Do đó P (B)= P (A B)+ P (A B)+ + P (A B) 1 2 ··· n và theo công thức (2.5) ta suy ra được P (B)= P (A ) P (B A )+ P (A ) P (B A )+ + P (A ) P (B A ) 1 | 1 2 | 2 ··· n | n
23. 2.4 Các công thức tính xác suất 23 Ví dụ 2.17. Một lô sản phẩm gồm hai loại và do hai máy sản xuất ra. Số sản phẩm do máy I sản xuất là 65% và do nhà máy II sản xuất là 35%. Tỉ lể phế phẩm của máy I là 0, 02 và của máy II là 0, 03. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm, tính xác suất để sản phẩm chọn được là tốt. Giải. Gọi A1 : “Sản phẩm chọn được do máy i”, (i =1, 2) B : “Sản phầm chọn được là sản phẩm tốt” Theo giả thiết P (A1)=0, 65; P (A2)=0, 35 và hệ hai biến cố A1 và A2 là hệ đầy đủ các biến cố. Theo công thức xác suất đầy đủ ta có P (B) = P (A ) P (B A )+ P (A ) P (B A ) 1 | 1 2 | 2 = 0, 65 0, 98+0, 35 0, 97=0, 9765 · · 2.4.4 Công thức xác suất Bayes Định lý 2.15 (Công thức xác suất Bayes). Cho Ai, (i =1, ,n) là hệ đầy đủ các biến cố với P (Aj) > 0, (j =1, ,n). B là một biến cố nào đó sao cho P (B) > 0. Khi đó với mọi i, (i =1, ,n) P (A ) P (B A ) P (A ) P (B A ) P (A B)= i | i = i | i (2.17) i| P (B) n P (Aj) P (B Aj) j=1 | P Chứng minh. Theo công thức (2.5) ta có P (A B) P (A B)= i i| P (B) theo công thức nhân xác suất (2.13) thì P (A B)= P (A ) P (B A ) i i | i và cũng từ công thức xác suất đầy đủ (2.16) cho ta n P (B)= P (A ) P (B A ) j | j j=1 X Từ ba điều trên ta suy ra được công thức Bayes (2.17).
24. 2.4 Các công thức tính xác suất 24 Ví dụ 2.18. Một hộp có 6 bi trắng và 8 bi đen, thực hiện hai lần lấy bi không hoàn lại. Lần I lấy 2 bi và lần II lấy 1 bi a. Tính xác suất lần II lấy được bi trắng. b. Giả sử lần II lấy được bi trắng. Tính xác suất 2 bi lấy lần I là hai bi đen. Giải. Gọi A1 : “Hai bi lấy lần I là hai bi trắng” A2 : “Hai bi lấy lần I là hai bi đen” A3 : “Hai bi lấy lần I là một bi đen và một bi trắng” B : “Một bi lấy lần II là bi trắng” a. Tính xác suất lần II lấy được bi trắng. C2 15 C2 28 C1 C1 48 P 6 P 8 P 6 8 Theo giả thiết (A1) = 2 = ; (A2) = 2 = ; (A3) = ·2 = . Hệ C14 91 C14 91 C14 91 các biến cố A1, A2 và A3 là hệ đầy đủ các biến cố, theo công thức xác suất đầy đủ ta có P (B) = P (A ) P (B A )+ P (A ) P (B A )+ P (A ) P (B A ) 1 | 1 2 | 2 3 | 3 15 4 4 6 48 5 = + + 0, 4286 91 · 12 13 · 12 91 · 12 ≈ với P (B A ) là xác suất lần 2 lấy được bi trắng biết rằng lần I đã lấy được hai bi | 1 trắng. Do lần I đã lấy ra 2 bi trắng nên hộp bây giờ còn 4 bi trắng và 8 bi đen, cho nên 1 P C4 4 (B A1)= 1 = | C12 12 . Tính tương tự ta được 1 1 P C6 6 P C5 5 (B A2)= 1 = và (B A3)= 1 = | C12 12 | C12 12 b. Giả sử lần II lấy được một bi trắng, tính xác suất hai bi lấy lần I là hai bi đen. Theo yêu cầu của bài toán ta cần tính P (A B), theo công thức xác suất Bayes ta có 2| P (A ) P (B A ) P (A B) = 2 | 2 2| P (B) 28 6 14 = 91 · 12 = 0, 359. 3 39 ≈ 7
25. 2.4 Các công thức tính xác suất 25 2.4.5 Cây xác suất Trong thực tế có những phép thử được thực hiện qua nhiều giai đoạn, cây xác suất cung cấp cho ta một công cụ thuận lợi cho việc xác định cấu trúc các quan hệ bên trong của phép thử khi tính xác suất. Cấu trúc của cây được xác định như sau: i) Vẽ biểu đồ cây xác suất tương ứng với các kết quả của phép thử. ii) Gán mỗi nhánh với một xác suất. Ví dụ 2.19. Có hai hộp đựng bi: hộp thứ I có 5 bi trắng và 6 bi đen, hộp thứ II có 7 bi trắng và 3 bi đen. Lấy từ hộp thứ I ra 2 bi và bỏ sang hộp thứ II, và từ hộp thứ hai lấy ra 4 bi. a. Tính xác suất 4 bi lấy ra từ hộp II có 3 bi trắng. b. Giả sử 4 bi lấy ra từ hộp II có 3 bi trắng. Tính xác suất để hai bi lấy ra từ hộp I có 1 bi đen và 1 bi trắng. Giải. Gọi A1 : “Hai bi lấy từ hộp I là hai bi trắng” A2 : “Hai bi lấy từ hộp I là hai bi đen” A3 : “Hai bi lấy từ hộp I là một bi đen và một bi trắng” B : “Bốn bi lấy từ hộp II có đúng 3 bi trắng” Ta có cây xác suất như sau
26. 2.4 Các công thức tính xác suất 26 28 P (B A )= | 1 55 2 P (A )= 1 11 27 P B¯ A = | 1 55 35 P(B A )=
    | 2 99 3 P (A )= 2 11 64 P B¯ A = | 2 99 224 P (B A )=
    | 3 495 6 P (A )= 3 11 271 P B¯ A = | 3 495
    P (A1) chính là xác suất lấy được 2 bi trắng từ hộp I có 5 bi trắng và 6 bi đen 2 0 P C5 C6 2 (A1)= 2 = C11 11 Xác suất P (B A ) là xác suất 4 bi lấy lừ hộp II có đúng 3 bi trắng biết rằng trước đó | 1 đã bỏ 2 bi trắng từ hộp I sang hộp II, do đó C3C1 28 P 9 3 (B A1)= 4 = | C12 55 và theo bài tập 2.3 thì 27 P B¯ A =1 P (B A )= | 1 − | 1 55
    Xác suất của các biến cố còn lại tính tương tự. Hệ ba biến cố A1, A2 và A3 là hệ đầy đủ. a. Tính xác suất 4 bi lấy ra từ hộp II có 3 bi trắng. Theo công thức xác suất đầy đủ ta có P (B) = P (A ) P (B A )+ P (A ) P (B A )+ P (A ) P (B A ) 1 | 1 2 | 2 3 | 3 2 28 3 35 6 224 = + + 0, 4358 11 · 55 11 · 99 11 · 495 ≈ b. Giả sử 4 bi lấy ra từ hộp II có 3 bi trắng. Tính xác suất để 2 bi lấy ra từ hộp I có 1 bi đen và 1 bi trắng.
27. 2.5 Bài tập luyện tập 27 Áp dụng công thức Bayes ta có 6 224 P (A ) P (B A ) P (A B)= 3 | 3 = 11 · 495 0, 5664 3| P (B) 791 ≈ 1815 2.5 Bài tập luyện tập Bài tập 2.1. Chứng minh định lý 2.12. Bài tập 2.2. Chứng minh công thức cộng xác suất (2.12). Bài tập 2.3. Cho hai biến cố A, B và A¯ là biến cố bù của biến cố A. Chứng minh P (A B)=1 P A¯ B . | − | Bài tập 2.4. Cho ba
    biến cố A, B, C sao cho P (A C) P (B C) và P A C¯ | ≥ | | ≥ P B C¯ . Chứng minh P (A) P (B). | ≥
    Bài tập
    2.5. Cho ba biến cố A, B và C với P (C) > 0, chứng minh P ([A B] C)= P (A C)+ P (B C) P (AB C) ∪ | | | − | Bài tập 2.6. Cho ba biến cố A, B và C sao cho hai biến cố A và B độc lập: P (ABC)= 0, 04; P (C AB)=0, 25 và P (B)=4P (A). Tính P (A + B). | Bài tập 2.7. Cho ba biến cố A, B và C tùy ý. Chứng minh xác suất có đúng một biến cố xảy ra là P (A1) + P (A2)+ P (A2) 2P (A A ) 2P (A A ) 2P (A A ) − 1 2 − 1 3 − 2 3 + 3P (A1A2A3) Bài tập 2.8. Có hai hộp đựng bút chì: hộp I có 10 bút màu đỏ và 15 bút màu xanh; hộp có II 8 bút màu đỏ và 9 bút màu xanh. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một bút, tính xác suất sao cho trong hai bút lấy ra có: a. Ít nhất một bút màu đỏ. b. Chỉ có một bút màu đỏ. c. Hai bút có màu giống nhau.
28. 2.5 Bài tập luyện tập 28 Bài tập 2.9. Thang máy của một tòa nhà 7 tầng, xuất phát từ tầng một với 3 người khách. Tính xác suất để: a. Tất cả cùng ra ở tầng bốn. b. Tất cả cùng ra ở một tầng. c. Mỗi người ra một tầng khác nhau. Bài tập 2.10. Hai người ném bóng rổ, mỗi người ném 3 quả. Xác suất ném trúng rổ của họ lần lượt là 0, 7 và 0, 8. Tính xác suất sao cho: a. Hai người bằng điểm nhau. b. Người thứ nhất hơn điểm người thứ hai. Bài tập 2.11. Một em bé có ở túi phải 5 viên bi trắng và 3 viên bi đỏ, ở túi trái có 6 viên bi trắng và 4 viên bi đỏ. Em đó lấy ngẫu nhiên ở mỗi túi ra 2 viên bi. Tìm xác suất để 4 viên lấy ra: a. Cùng màu. b. Có 3 viên bi màu trắng và 1 viên bi màu đỏ. Bài tập 2.12. Bỏ ngẫu nhiên 3 lá thư vào 3 phong bì đã điền tên và địa chỉ người nhận. Tính xác suất để: a. Cả 3 lá thư đến đúng người nhân. b. Không có lá thư nào đến đúng người nhận. c. Lá thư thứ nhất đến đúng người nhận. d. Có 1 lá thư đến đúng người nhận. Bài tập 2.13. Bốn sinh viên ôn tập thi học kỳ đến cùng một tầng có 5 phòng học. Giả sử mỗi người vào một phòng bất kỳ. Tìm xác suất để a. Cả bốn người vào cùng một phòng. b. Bốn người vào bốn phòng khác nhau. Bài tập 2.14. Một bộ bài có 52 lá bài gồm 4 chất, mỗi chất có 13 quân bài. Từ bộ bài rút ngẫu nhiên 6 lá bài. Tính xác suất: a. Trong 6 lá bài rút ra có con át.
29. 2.5 Bài tập luyện tập 29 b. Trong 6 lá bài rút ra có đủ đại diện của cả 4 chất. Bài tập 2.15. Một thủ kho có một chùm chìa khóa gồm 8 chiếc trông giống hệt nhau trong đó chỉ có một chiếc mở được kho. Anh ta thử ngẫu nhiên từng chìa khóa một và chiếc nào được thử thì không thử lại. Tính xác suất anh ta mở được cửa ở lần thử thứ 3. Bài tập 2.16. Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có: 8 học sinh giỏi, 20 học sinh khá và 12 học sinh trung bình. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có: a. Một học sinh trung bình, một học sinh khá và một học sinh giỏi. b. Có ít nhất một học sinh giỏi. Bài tập 2.17. Một thùng đựng 24 chai bia trong đó có 4 chai bia giả. a. Lấy ngẫu nhiên từ thùng ra 3 chai. Hãy chỉ ra một hệ đầy đủ các biến cố. b. Lấy hú họa từng chai ra kiểm tra (lấy không hoàn lại) đến khi nào thấy chai bia giả thì dừng. Tính xác suất để quá trình kiểm tra kết thúc sau lần lấy thứ hai. Bài tập 2.18. Trong một hộp có 6 bi đen và 4 bi trắng. Rút ngẫu nhiên từ hộp ra hai bi. Tính xác suất để được: a. Hai bi đen. b. Ít nhất một bi đen. c. Bi thứ hai màu đen. Bài tập 2.19. Hai người hẹn gặp nhau ở một địa điểm xác định vào khoảng từ 7 giờ đến 8 giờ. Mỗi người đến điểm hẹn trong khoảng thời gian trên một cách độc lập với nhau, chờ trong 20 phút, nếu không thấy người kia sẽ bỏ đi. Tìm xác suất để hai người gặp nhau. Bài tập 2.20. Một công nhân kỹ thuật đứng 4 máy hoạt động độc lập nhau. Xác suất để trong khoảng thời gian T các máy không cần người công nhân đến coi lấn lượt là 0, 8; 0, 9; 0, 85 và 0, 95. Tìm xác suất sao cho trong khoảng thời gian T đó: a. Không có máy nào cần công nhân đến coi. b. Ít nhất một máy cần công nhân đến coi. Bài tập 2.21. Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tìm xác suất để:
30. 2.5 Bài tập luyện tập 30 a. Tổng số nốt xuất hiện trên hai con là 7. b. Tổng số nốt xuất hiện trên hai con là 8. c. Số nốt xuất hiện trên hai con hơn kém nhau 2. Bài tập 2.22. Có hai xe chở hàng độc lập về một xí nghiệp, xác suất để hai xe chở hàng về đến xí nghiệp lần lượt là 0, 7 và 0, 6. Tìm xác suất sao cho: a. Chỉ có một xe chở hàng về tới xí nghiệp. b. Xí nghiệp nhận được hàng. Bài tập 2.23. Một lô hàng gồm 20 sản phẩm trong đó có 5 phế phẩm. Người ta kiểm tra bằng phương pháp sau: kiểm tra lần lượt 4 sản phẩm (không hoàn lại) nếu có ít nhất 1 trong 4 sản phẩm đó là phế phẩm thì loại lô hàng đó. Tính xác suất để lô hàng đó được nhận. Bài tập 2.24. Một đợt thi tuyển viên chức có 3 vòng thi: vòng I lấy 80% thí sinh dự thi; vòng II lấy 70% thí sinh đã qua vòng I và vòng III lấy 90% thí sinh đã qua vòng II. Giả sử khả năng trúng tuyển của các thí sinh là như nhau. Tìm xác suất để một thí sinh bất kỳ trúng tuyển. Bài tập 2.25. Một hộp gồm 9 quả bóng, mỗi lần chơi người ta lấy ra 3 quả và khi chơi xong lại bỏ vào hộp. Tìm xác suất để sau ba lần lấy bóng ra chơi các bóng đều được sử dụng. Bài tập 2.26. Một hộp gồm có 24 sản phẩm trong đó có 2 sản phẩm loại II. Lấy ngẫu nhiên ra từng sản phẩm kiểm tra (lấy không hoàn lại) đến khi nào được sản phẩm loại II thì dừng lại. Tìm xác suất để quá trình kiểm tra kết thúc sau không quá ba lần lấy. Bài tập 2.27. Một hộp gồm 4 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Hai người lần lượt lấy ra từng viên theo phương thức không hoàn lại, người nào lấy được viên bi xanh trước thì thắng cuộc. Tìm xác suất để người thứ hai thắng cuộc. Bài tập 2.28. Một hộp đựng 9 quả bóng, mỗi lần chơi người ta lấy ra 3 quả sau khi chơi xong người ta trả 2 quả vào hộp. Tìm xác suất để sau ba lần lấy bóng ra chơi tất cả các quả bóng đều được sử dụng. Bài tập 2.29. Hai xí nghiệp hoạt động độc lập nhau, khả năng chỉ có một xí nghiệp hoàn thành kế hoạch là 0,46. Tìm xác suất hoàn thành kế hoạch của xí nghiệp thứ nhất. Biết rằng xác suất hoàn thành kế hoạch của xí nghiệp thứ hai là 0,6. Bài tập 2.30. Một người say mê sổ số cào, người đó mua liên tiếp từng vé xổ số đến khi nào được vé trúng thưởng thì dừng. Tìm xác suất sao cho người đó mua đến vé thứ 4 thì dừng biết rằng xác suất trúng thưởng của mỗi lần mua là như nhau và bằng 0,01.
31. 2.5 Bài tập luyện tập 31 Bài tập 2.31. Học kỳ này sinh viên được thi môn lý thuyết xác suất và thống kê toán 3 lần. Xác suất để một sinh viên thi đỗ ở lần thi thứ nhất là 0,5. Nếu thi trượt lần thứ nhất thì xác suất thi đỗ lần thứ 2 là 0,7. Còn nếu thi trượt ở cả 2 lần đầu thì xác suất thi đỗ ở lần thứ 3 là 0,9. Tìm xác suất để sinh viên nói trên thi đỗ học kỳ này. Bài tập 2.32. Một người gọi điện thoại nhưng quên chữ số cuối cùng. Tìm xác suất để người đó quay ngẫu nhiên không quá 3 lần thì được số cần gọi. Bài tập 2.33. Có 3 hộp thuốc: hộp I có 7 ống thuốc tốt 2 ống thuốc xấu; hộp II có 4 ống tốt và 1 ống thuốc xấu; hộp III có 3 ống thuốc tốt. Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ hộp đó rút ngẫu nhiên ra hai ống thuốc. a. Tìm xác suất để được một ống thuốc tốt và một ống thuốc xấu. b. Khi rút thuốc ống thuốc ra ta thấy hai ống này là hai ống thuốc tốt. Tìm xác suất để đó là các ống thuốc hộp II. Bài tập 2.34. Một hộp đựng bi gồm 6 bi trắng và 8 bi đen. Thực hiện hai lần lấy bi, mỗi lần lấy một bi (lấy không hoàn lại). Đặt A1 là biến cố lần 1 lấy được bi trắng và A2 là biến cố lần 2 lấy được bi trắng. a. Tính xác suất lần 2 lấy được bi trắng. b. Hai biến cố A1 và A2 có đôc lập nhau không. Bài tập 2.35. Trên bàn có 5 đồng xu (3 sấp, 2 ngửa). Gieo tiếp lên bàn 2 đồng xu, sau đó khoanh ngẫu nhiên lấy 4 đồng xu. a. Tính xác suất 4 đồng xu khoanh có đúng 3 đồng xu sấp . b. Giả sử khoanh lấy 4 đồng xu thì được 3 đồng xu xấp. Tính xác suất 2 đồng xu tung trước đó là 2 đồng xu ngửa. Bài tập 2.36. Biết rằng một người có nhóm máu AB có thể nhận máu của bất kỳ nhóm máu nào. Nếu người đó có nhóm máu còn lại là A, B hoặc O thì chỉ có thể nhận máu của người có cùng nhóm máu với mình hoăc nhóm máu O. Cho biết tỉ lệ người có nhóm máu A, B, AB và O tương ứng là 37, 5%; 20, 9%; 7, 9% và 33, 7%. Chọn ngẫu nhiên một người cần tiếp máu và một người cho máu. Tính xác suất để sự truyền máu thự hiện được. Bài tập 2.37. Một địa phương có 45% đàn ông và 55% đàn bà, trong đó 3% tỉ lệ đàn ông và 2% tỉ lệ đàn bà bị loạn sắc. Chọn ngẫu nhiên một người - trong địa phương đi khám mắt.
32. 2.5 Bài tập luyện tập 32 a. Tính xác suất để người này bị loạn sắc. b. Nếu người này bị loạn sắc, tính xác suất để người này là đàn ông. Bài tập 2.38. Một cặp sinh đôi được gọi là thực sự nếu do cùng một trứng sinh ra và trong trường hợp này bao giờ cũng cùng giới tính. Nếu cặp đó do hai trứng sinh ra thì xác suất để cặp đó cùng giới tính là 0, 2. Nếu biết một cặp có cùng giới tính thì xác suất để chúng là cặp sinh đôi thực sự sẽ là bao nhiêu, biết rằng xác suất để cặp sinh đôi cùng trứng sinh ra (trên tổng số trẻ sinh đôi) là p. Bài tập 2.39. Có 6 hộp như nhau đựng cùng một chi tiết máy: trong đó có 2 hộp, mỗi hộp đựng 3 chi tiết xấu và 5 chi tiết tốt do máy I sản xuất; 4 hợp còn lại mỗi hợp đựng 4 chi tiết xấu và 6 chi tiết tốt do máy II sản xuất. Lấy ngẫu nhiên một hợp rồi từ đó lấy ra hai chi tiết máy. a. Tìm xác suất hai chi tiết máy lấy ra là hai chi tiết tốt. b. Giả sử hai chi tiết máy lấy ra là hai chi tiết tốt. Tính xác suất hai chi tiết này do máy II sản xuất. Bài tập 2.40. Một nhà máy sản xuất một chi tiết của máy vi tính có tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn chất lượng là 85%. Trước khi xuất xưởng người ta dùng một thiết bị kiểm tra để kết luận sản phẩm có đạt yêu cầu chất lượng hay không. Thiết bị này có khả năng phát hiện đúng sản phẩm đạt tiêu chuẩn với xác suất là 0, 9 và phát hiện đúng sản phẩm không đạt tiêu chuẩn với xác suất là 0, 95. Tính xác suất để một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên sau khi kiểm tra: a. Được kết luận là đạt tiêu chuẩn thì lại không đạt tiêu chuẩn. b. Được kết luận đúng với thực chất của nó. c. Được kết luận là đạt tiêu chuẩn.
33. Chương 3 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 3.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên Trong chương 2 chúng ta đã đề cặp đến biến cố ngẫu nhiên. Biến cố ngẫu nhiên là đặc trưng định tính của phép thử ngẫu nhiên. Ví dụ, thực hiện phép thử ngẫu nhiên là tung 2 xúc sắc cân đối và đồng chất, Nếu gọi A là biến cố tổng số chắm xuất hiện trên hai xúc sắc là 7 thì chúng ta quan tâm đến tính chất của từng kết quả của phép thử sao cho tổng số chấm xuất hiện là 7, các biến cố sơ cấp của A là: (1, 6); (2, 5); (3, 4); (4, 3); (5, 2); (6, 1) Ngoài đặc trưng định tính của phép thử ngẫu nhiên còn có đặc trưng định lượng nhờ khái niệm đại lượng ngẫu nhiên. Với ví dụ trên đối với đặc trưng định lượng ta chỉ quan tâm đến tổng số chấm là 7 mà ta không quan tâm đến số chấm xuất hiện trên từng con xúc sắc là bao nhiêu. Người ta thường dùng các chữ in X,Y,Z, để ký hiệu các biến ngẫu nhiên và các chữ thường x,y,z, để chỉ các giá trị của biến ngẫu nhiên. Trong ví dụ sau, một phép thử ngẫu nhiên được biểu diễn bởi đặc trưng định tính và định lượng. Ví dụ 3.1. Bắn 3 viên đạn vào cùng một mục tiêu Gọi Ai : “Viên thứ i trúng mục tiêu”, (i =1, 2, 3) X : Biến ngẫu nhiên số viên trúng mục tiêu
34. 3.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên 34 Biến cố có hai viên trúng mục tiêu là X =2 = (A A A¯ ); (A A¯ A ); (A¯ , A , A ) { } 1 2 3 1 2 3 1 2 3 định lượng  định tính Biến ngẫu nhiên X| được{z định} | nghĩa như là ánh{z xạ từ không gian} các biến cố sơ cấp Ω vào R, X : Ω R −→ ω X = X(ω) 7−→ X  X I { ∈ } I R Ω X I = ω : X(ω) I = A Ω { ∈ } { ∈ } ⊂ Hình 3.1: Biến ngẫu nhiên X Ví dụ 3.2. Thực hiện phép thử gieo đồng thời 3 đồng xu cân đối, trong trường hợp này chúng ta có các biến cố sơ cấp sau ω1 =(SSS), ω2 =(SSN), ω3 =(SNN), ω4 =(SNS), ω5 =(NNN), ω6 =(NNS), ω7 =(NSS), ω8 =(NSN). Nếu gọi biến ngẫu nhiên X là số đồng xu ngửa xuất hiện thì X nhận các giá trị sau X (ω1)=0, X (ω2)=1, X (ω3)=2, X (ω4)=1, X (ω5)=3, X (ω6)=2, X (ω7)=1, X (ω8)=2. Trong số các biến ngẫu nhiên thường gặp nhất trên thực tế có thể phân thành hai loại: Biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục. Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu nó chỉ nhận một số hữu hạn hoặc một số vô hạn đếm được các giá trị. Ta có thể liệt kê các giá trị của biến ngẫu nhiên rời rạc x1, ,xn,
35. 3.2 Phân phối xác suất 35 Ta ký hiệu biến ngẫu nhiên X nhận giá trị x là X = x và xác xuất để X nhận giá trị x là P (X = x). Ví dụ 3.3. Tung 1 đồng xu cân đối. Gọi X là số chấm xuất hiện thì X có thể nhận các giá trị 1, 2, 3;4, 5, 6 và xác suất 1 P (X = x )= , x =1, 2, , 6 i 6 i Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu các giá trị có thể của nó lấp đầy một khoảng trên trục số. Ví dụ 3.4. Các biến ngẫu nhiên sau là biến ngẫu nhiên liên tục: a. Nhiệt độ không khí ở mỗi thời điểm nào đó. b. Thời gian hoạt động bình thường của một bóng đèn điện tử. . . 3.2 Phân phối xác suất Định nghĩa 3.1 (Hàm phân phối xác suất). Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X (xác định trên không gian các biến cố sơ cấp Ω) là hàm F (x) được định nghĩa F (x)= P (X < x) (3.1) với mọi x ( , + ). ∈ −∞ ∞ Tính chất 3.2. Hàm phân phối xác suất F (x) có các tính chất cơ bản sau i) Hàm phân phối là hàm không giảm. ii) Liên tục trái, có giới hạn phải tại mọi điểm. iii) F ( ) = lim F (x)=0, F (+ ) = lim F (x)=1. x x + −∞ →−∞ ∞ → ∞ iv) P (x X < b)= F (b) F (a) với mọi a, b R và a b. ≤ − ∈ ≤ 3.2.1 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị có thể x1, x2, ,xn, với xác suất tương ứng là P (X = xi), ta đặt P (X = x) khi x x1, ,xn, f(x)= ∈{ }  0 khi x / x , ,x ,  ∈{ 1 n } 
36. 3.2 Phân phối xác suất 36 gọi là hàm giá trị xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị x, để đơn gia ta gọi là hàm xác suất. Trong kết quả phép thử ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên rời rạc phải lấy một trong các giá trị x1, ,xn, cho nên hàm phân phối xác suất F (x)= P (X < x)= P (X = xi)= f(xi) (3.2) x <x x <x Xi Xi Tương tự (3.2) ta có P (X I)= P (X = x )= f(x ) ∈ i i xi I xi I X∈ X∈ Trường hợp đặc biệt là khi I =( , + ) thì −∞ ∞ P (X I) = P ( <X< + ) ∈ −∞ ∞ = f(xi)=1 x Xi Để mô tả biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nào đó với xác suất tương ứng là bao nhiên thì người ta dùng bảng phân phối xác suất. Bảng phân phối xác suất có hai dòng. Dòng thứ nhất là các giá trị có thể của biến ngẫu nhiên X. • Dòng thứ hai là xác suất biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị tương ứng. • Bảng phân phối có dạng như sau: X x x x 1 2 ··· n ··· P f(x ) f(x ) f(x ) 1 2 ··· n ··· + + ∞ ∞ Trong đó f(xi)= P (X = xi) và f(xi)= P (X = xi)=1. i=1 i=1 P P Ví dụ 3.5. Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất X 1 2 3 4 5 P 0, 5 0, 1 0, 2 0, 1 0, 1
37. 3.2 Phân phối xác suất 37 1,0 0,8 0,6 F (x) 0,4 0,2 0,0 0 1 2 3 4 5 6 7 x Hình 3.2: Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là 0 khi x 1 ≤   0, 5 khi 1 < x 2  ≤   0, 6 khi 2 < x 3 F (x)= P (X = x )=  ≤ i  xi<x  0, 8 khi 3 < x 4 X  ≤ 0, 9 khi 4 < x 5  ≤   1 khi 5 < x    Theo tính chất 3.2 ta tính được  P (1 X < 3, 27) = F (3, 27) F (1) = 0, 8 0=0, 8∗ ≤ − − 3.2.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục Ta đã biết biến ngẫu nhiên rời rạc X chỉ nhận một số đếm được các giá trị, bây giờ ta xét biến ngẫu nhiên X nhận mọi giá trị trong tập số thực I. Định nghĩa 3.3. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X, hàm số f(x) không âm, xác định trên R và thỏa các tính chất ∗Ta có thể tính trực tiếp từ bảng phân phối xác suất P (1 ≤ X < 3, 27) = P (X = 1)+ P (X = 2)+ P (X = 3) = 0, 5 + 0, 1 + 0, 2 = 0, 8
38. 3.2 Phân phối xác suất 38 i) P (X I)= f(x)dx, I R ∈ ∀ ⊂ ZI ii) ∞ f(x)dx =1 Z −∞ hàm số f(x) được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X. Do định nghĩa 3.1 ta có hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X x F (x)= P (X < x)= f(u)du (3.3) Z −∞ Giả sử hàm phân phối xác suất F (x) của biến ngẫu nhiên X khả vi, lấy đạo hàm hai vế công thức (3.3) theo x ta được liên hệ giữa hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X d F 0(x)= F (x)= f(x) dx Ví dụ 3.6. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ cho bởi 3 x2 khi 0 x 2 f(x)= 8 ≤ ≤   0 nơi khác Ta tính xác suất  3/2 3 3 19 P 1 <X< = x2dx = 2 8 64   Z1 Về mặt hình học, xác suất trên là phần diện tích gạch chéo ở hình 3.3. Tính chất 3.4. Nếu biến ngẫu nhiên X là liên tục thì a P (X = a)= f(x)dx =0 Za
39. 3.2 Phân phối xác suất 39 2 1 0 -2 -1 0 1 2 x Hình 3.3: Hàm mật độ và xác suất Từ tính chất 3.4, nếu biến ngẫu nhiên X là liên tục và với mọi a, b R sao cho a b ∈ ≤ thì P (b X 1 cho nên 1 1 k f(x)dx = kx3dx = =1 4 Z0 Z0 ta tìm được k =4. Chúng ta cũng có thể xác định hàm phân phối xác suất bằng cách lấy tích phân hàm mật độ từ đến điểm x bất kỳ. −∞ Khi x< 0 thì hàm mật độ xác suất f(x)=0, hàm phân phối xác suất • x F (x)= f(x)dx =0 Z −∞
40. 3.2 Phân phối xác suất 40 4 f(x) F (x) 3 1,0 2 0,5 1 0 0,0 -2 -1 0 1 2 x -2 -1 0 1 2 3 x Hình 3.4: Hàm mật độ và hàm phân phối của X Khi 0 x 1 thì hàm mật độ xác suất f(x)=4x3, hàm phân phối xác suất • ≤ ≤ x 0 x F (x)= f(u)du = f(x)dx + f(u)du Z Z Z0 −∞ −∞ x = 4u3du = x4 Z −∞ Khi 1 < x thì hàm mật độ xác suất f(x)=0, hàm phân phối xác suất • x 0 1 x F (x)= f(u)du = f(x)dx + f(u)du + f(u)du Z Z Z0 Z1 −∞ −∞ 1 = 4u3du =1 Z0 Vậy hàm phân phối xác suất của X là 0 khi x< 0 F (x)=  x4 khi 0 x 1  ≤ ≤  1 khi 1 < x   Hình 3.4 là đồ thị hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X.
41. 3.3 Hàm của một biến ngẫu nhiên 41 3.3 Hàm của một biến ngẫu nhiên Nếu X là biến ngẫu nhiên đã biết phân phối xác suất thì Y = h(X) cũng là một biến ngẫu nhiên. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là phân phối của biến ngẫu nhiên Y là gì? Bây giờ chúng ta đi khảo sát phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y . 3.3.1 Hàm của biến ngẫu nhiên rời rạc Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất cho bởi X x x x 1 2 ··· n ··· P f(x ) f(x ) f(x ) 1 2 ··· n ··· thì Y = h(X) cũng là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất X h(x ) h(x ) h(x ) 1 2 ··· n ··· P f(x ) f(x ) f(x ) 1 2 ··· n ··· Ở đây ta coi các giá trị yi = h(xi), i =1, 2 . . . khác nhau từng đôi một, nếu trái lại nghĩa là tồn tại cặp x = x , i = j sao cho y = y thì ta đồng nhất hai vị trí này và i 6 j 6 i j thay tương ứng xác suất f(xi), f(xj) bởi f(xi)+ f(xj). Ví dụ 3.8. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất X 10 1 2 − P 0, 1 0, 3 0, 4 0, 2 Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y = X2 X2 0 1 4 P 0, 3 0, 5 0, 2
42. 3.3 Hàm của một biến ngẫu nhiên 42 3.3.2 Hàm của biến ngẫu nhiên liên tục Giả sử biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ là f(x) và biến ngẫu nhiên Y = h(X). Với mọi số thực y, hàm phân phốixác suất G(y) của biến ngẫu nhiên Y được xác định bởi G(y) = P (Y <y)= P (h(X) <y) = f(x)dx x:h(XZ)<y { } Nếu biến ngẫu nhiên Y cũng là biến ngẫu nhiên liên tục và hàm phân phối xác suất G(y) khả vi thì hàm mật độ xác suất g(x) của Y sẽ là d g(y)= G(y)= G0(y) dy Ví dụ 3.9. Tìm hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên Y = X2 khi X có phân phối đều trên khoảng ( 1, 1) với hàm mật độ xác suất − 1 khi x ( 1, 1) f(x)= 2 ∈ −   0 nơi khác Bởi vì Y = X2 cho nên 0 Y <1. Vậy miền giá trị y của biến ngẫu nhiên Y là ≤ 0 y < 1. ≤ Hàm phân phối xác suất G(y) của Y G(y) = P (Y <y)= P X2 <y = P ( √y<X< √y) −
    √y = f(x)dx = √y Z√y − Với mọi 0 <y< 1 thì hàm mật độ xác suất g(y) của Y là d 1 g(y)= G(y)= dy 2√y Định lý sau cho ta công thức để xác định trực tiếp hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Y = h(X) khi y = h(x) khả vi và đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm.
43. 3.3 Hàm của một biến ngẫu nhiên 43 Định lý 3.5. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f(x) với P (a 0 ii) Chứng minh tương tự khi Y = h(X) đơn điệu giảm trên a y)= P X < h− (y) =1 F h− (y) − 1 Vì h− (y) khả vi cho nên hàm mật độ g(y) của Y được
    xác định bời quan
    hệ 1 d 1 dh− (y) g(y)= G(y) = f h− (y) dy − dy 1 1
    dh− (y) = f h− (y) (3.6) dy
    1 1 Bởi vì h− (y) là hàm khả vi và đơn điệu giảm cho nên dh− (y)/dy < 0. Từ (3.5) và (3.6) ta có được điều cần chứng minh.
44. 3.4 Đặc trưng của biến ngẫu nhiên 44 Ví dụ 3.10. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất cho như sau 3x2 khi 0 <x< 1 f(x)=   0 nơi khác Chúng ta sẽ xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Y =1 X2. Trong ví dụ này, − P (0 <X< 1)=1 và Y là hàm khả vi, đơn điệu giảm theo biến X với mọi 0 <X< 1. X nhận giá trị trong khoảng (0, 1), cho nên Y sẽ nhận giá trị trong khoảng (0, 1). Hơn nữa, với mọi Y trong khoảng (0, 1), hàm ngược là X = √1 Y . Do đó với mọi − 0 <y< 1 dh 1(x) 1 − = dy −2√1 y − Theo biểu thức (3.5), hàm mật độ g(y) của biến ngẫu nhiên Y sẽ là 1 3 g(y) = 3(1 y) = 1 y, 0 <y< 1 − 2√1 y 2 − − p và g(y)=0 với mọi y không thuộc (0, 1). 3.4 Đặc trưng của biến ngẫu nhiên 3.4.1 Kỳ vọng - Expectation Định nghĩa 3.6 (Kỳ vọng biến ngẫu nhiên rời rạc). Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất X x x x 1 2 ··· n ··· P f(x ) f(x ) f(x ) 1 2 ··· n ··· Kỳ vọng của X, ký hiệu E (X), là một số được định nghĩa + ∞ E (X) = xiP (X = xi) i=1 X+ ∞ = xif(xi) (3.7) i=1 X Ví dụ 3.11. Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận hai giá trị 0 và 1 có bảng phân phối xác suất như sau
45. 3.4 Đặc trưng của biến ngẫu nhiên 45 X 0 1 1 1 P 2 2 thì kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X 1 1 1 E (X)=0 +1 = · 2 · 2 2 Ví dụ 3.12. Tung một con xúc sắc cân đối, gọi X là số chấm trên mặt xuất hiện thì bảng phân phối xác suất của X là X 123456 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Ta có kỳ vọng 1 1 1 1 1 1 7 E (X)=1 +2 +3 +4 +5 +6 = · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 2 Ta thấy rằng biến ngẫu nhiên X có thể không nhận giá trị kỳ vọng.(Bởi vì xúc sắc không có mặt 7/2 chấm). Ví dụ 3.13. Tiến hành n phép thử, giả sử X là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị có thể x1, ,xk với số lần (tần số) n1, ,xk. Giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X trong n phép thử là x n + + x n n n x¯ = 1 1 ··· k k = 1 x + + k x n n 1 ··· n k = f x + + f x 1 1 ··· k k ni với fi = n , (i =1, ,k) là tần suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị xi.Theo định nghĩa xác suất theo thống kê ta có lim fi = f(xi). Vì vậy với n lớn n + → ∞ x¯ f(x )x + + f(x )x = E (X) ≈ 1 1 ··· k k Do đó có thể nói kỳ vọng của biến ngẫu nhiên chính là giá trị trung bình theo xác suất của biến ngẫu nhiên. Nó phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất. Định nghĩa 3.7 (Kỳ vọng biến ngẫu nhiên liên tục). Giả sử biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f(x), kỳ vọng của X là + ∞ E (X)= xf(x)dx (3.8) Z −∞
46. 3.4 Đặc trưng của biến ngẫu nhiên 46 Ví dụ 3.14. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ 2x khi 0 <x< 1 f(x)=   0 nơi khác thì kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X 1 1 2 E (X)= x(2x)dx = 2x2dx = 3 Z0 Z0 Sau đây là một số tính chất của kỳ vọng Tính chất 3.8 (Tính chất kỳ vọng). Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên bất kỳ và C R thì kỳ vọng của biến ngẫu nhiên có các tính chất sau ∈ i) E(C)= C. ii) E(CX)= CE(X). iii) E(X + Y )= E(X)+ E(Y ). iv) Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập thì E(XY )= E(X)E(Y )†. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất f(x), kỳ vọng của hàm của biến ngẫu nhiên h(X) có thể được xác định bằng cách: Đặt Y = h(X); xác định hàm mật độ xác suất g(y) của Y ; và xác định kỳ vọng theo công thức (3.7) hoặc (3.8). Ví dụ, giả sử Y có phân phối liên tục với hàm mật độ g(y). Thì ∞ E (h(X)) = E (Y )= yg(y)dx Z −∞ Tuy nhiên, để tính kỳ vọng E (h(X)) không cần thiết phải tìm hàm mật độ của biến ngẫu nhiên h(X) mà chúng ta có thể tính E (h(X)) trực tiếp bằng mệnh đề 3.9 Mệnh đề 3.9 (Kỳ vọng của hàm của biến ngẫu nhiên). Cho g là hàm số thực bất kỳ a. Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất cho bởi X x x x 1 2 ··· n ··· P p p p 1 2 ··· n ··· †Xem bài tập 4.10
47. 3.4 Đặc trưng của biến ngẫu nhiên 47 kỳ vọng E (g(X)) = g(xi)pi x Xi b. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f(x) thì kỳ vọng ∞ E (g(x)) = g(x)f(x)dx Z −∞ Ví dụ 3.15. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất cho bởi X 1 2 3 P 0, 2 0, 5 0, 3 Giá trị E X2 = (12)(0, 2)+(22)(0, 5)+(32)(0, 3)=2, 1 Chính là kỳ vọng của biến
    ngẫu nhiên X2. Ví dụ 3.16. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ 2x khi 0 <x< 1 f(x)=   0 nơi khác thì  1 1 E X2 = x2 (2x) dx = 2 Z
    0
    là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X2. Chú ý: Người ta thường ký hiệu kỳ vọng là µ, µ = E (X). 3.4.2 Phương sai Định nghĩa 3.10 (Phương sai - Variance). Nếu biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng E (X) thì phương sai, ký hiệu Var (X), được định nghĩa Var (X)= E (X E (X))2 (3.9) − Ví dụ 3.17. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất
48. 3.4 Đặc trưng của biến ngẫu nhiên 48 x 1 2 3 P 0, 3 0, 5 0, 2 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X E (X)=1 0, 3+2 0, 5+3 0, 2=2, 3 · · · và phương sai 3 Var (X) = E (X E (X))2 = (x E (X))2 f(x ) − i − i i=1 X = (1 2, 3)2 0, 3+(2 2, 3)2 0, 5+(3 2, 3)2 0, 2=2, 01 − · − · − · Ví dụ 3.18. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất 2x khi 0 <x< 1 f(x)=   0 nơi khác  2 Theo ví dụ 3.14 thì kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là E (X) = . Phương sai của 3 biến ngẫu nhiên X là 1 2 2 1 Var (X)= x (2x) dx = − 3 18 Z0   Từ định nghĩa, ta thấy phương sai là giá trị kỳ vọng của bình phương độ lệch của X so với kỳ vọng (giá trị trung bình) của nó. Nói nôm na, phương sai là “trung bình của bình phương sai lệch so với kỳ vọng (trung bình)”. Do đó, nó còn được là giá trị trung bình của bình phương độ lệch. Công thức (3.9) tương đương với 2 2 Var (X) ‡ = E X E (X) (3.10) − Tính chất 3.11 (Tính chất phương sai). Cho
    hai biến ngẫu nhiên X, Y và hằng số thực C R, phương sai có các tính chất sau ∈ i) Var (C)=0. ‡Xem bài tập 3.3
49. 3.4 Đặc trưng của biến ngẫu nhiên 49 ii) Var (CX)= C2Var (X). iii) Nếu X và Y độc lập thì Var (X + Y ) § = Var (X)+ Var (Y ). Chú ý: Người ta thường ký hiệu phương sai là σ2, σ2 = Var (X). Đơn vị đo của phương sai bằng bình phương đơn vị đo của biến ngẫu nhiên. Khi cần đánh giá mức độ phân tán các giá trị của biến ngẫu nhiên theo đơn vị đo của nó, người ta dùng một đặc trưng mới đó là độ lệch tiêu chuẩn. Định nghĩa 3.12 (Độ lệch tiêu chuẩn). Độ lệch tiêu chuẩn của biến ngẫu nhiên X bằng căn bậc hai phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu σ = Var (X) Ví dụ 3.19. Cho biến ngẫu nhiên liênp tục X có hàm mật độ xác suất 4 x3 khi 0 <x< 3 f(x)= 81   0 nơi khác Ta có kỳ vọng  3 4 E (X)= x x3 dx =2, 4 81 Z0   và 3 4 E X2 = x2 x3 dx =6 81 Z  
    0 Vậy phương sai Var (X)= E X2 (EX)2 =6 (2, 4)2 =0, 24 − − và độ lệch tiêu chuẩn σ = Var (X
    ) 0, 4899 ≈ p 3.4.3 Mod Định nghĩa 3.13 (Mod). Mod của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu Mod(X), là giá trị mà biến biến ngẫu nhiên X nhận được với xác suất lớn nhất. Từ định nghĩa, nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất §Xem thêm mục 4.7
50. 3.4 Đặc trưng của biến ngẫu nhiên 50 X x x x 1 2 ··· n ··· P p p p 1 2 ··· n ··· thì Mod(X)= x p = P (X = x ) = max p ,p . . . i ⇔ i 1 { 1 2 } còn nếu X có phân phối liên tục với hàm mật độ xác suất f(x) thì Mod(X)= x x = max f(x) , x R 0 ⇔ 0 { } ∀ ∈ Ví dụ 3.20. Tìm Mod của biến ngẫu nhiên X có phân phối rời rạc với bảng phân phối xác suất X 1 2 3 4 5 P 0, 3 0, 25 0, 18 0, 14 0, 13 Thì dễ dàng nhận thấy, Mod(X)=1. Ví dụ 3.21. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất 3 x(2 x) khi 0 x 2 f(x)= 4 − ≤ ≤   0 nơi khác Hàm mật độ xác suất f(x) có đạo hàm 3 (1 x) khi 0 x 2 f(x)0 = 2 − ≤ ≤   0 nơi khác đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm 1, do đó f(x) đạt cực đại tại x0 =1. Vậy Mod(X)=1. 3.4.4 Trung vị - Median Định nghĩa 3.14 (Trung vị). Cho biến ngẫu nhiên X bất kỳ, trung vị của X, ký hiệu Med(X), là giá trị m của biến ngẫu nhiên X sao cho 1 P (X m) ≤ ≥ 2  1  P (X m)  ≥ ≥ 2 ta viết Med(X)= m. 
51. 3.4 Đặc trưng của biến ngẫu nhiên 51 Khi X là biến ngẫu nhiên có phân phối liên tục thì phân vị của X, Med(X) chính là điểm chia phân phối xác suất thành hai phần bằng nhau nghĩa là P (X Med(X)) = P (X Med(X)) ≥ ≤ Ví dụ 3.22 (Trung vị phân phối rời rạc). Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau X 1 2 3 4 P 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 Trung vị, Med(X)=3 bởi vì 1 P (X 3)=0, 6 ≤ ≥ 2  1  P (X 3)=0, 7  ≥ ≥ 2 Hơn nữa, m =3 là trung vị duy nhất của biến ngẫu nhiên X Ví dụ 3.23 (Trung vị phân phối rời rạc cho trường hợp không duy nhất). Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau X 1 2 3 4 P 0, 1 0, 4 0, 3 0, 2 Ở đây 1 P (X 2) = ≤ 2  1  P (X 3) =  ≥ 2 Do đó, với mọi m, 2 m 3 sẽ là trung vị của biến ngẫu nhiên X. ≤ ≤  Ví dụ 3.24 (Trung vị phân phối liên tục). Giả sử biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất cho bởi 4x3 khi 0 <x< 1 f(x)=   0 nơi khác Trung vị của biến ngẫu nhiên X làMed(X)= m với m 1 1 4x3dx = 4x3dx = 2 Z0 mZ
52. 3.4 Đặc trưng của biến ngẫu nhiên 52 1 Vậy trung vị Med(X)= . √4 2 Ví dụ 3.25 (Trung vị phân phối liên tục cho trường hợp không duy nhất). Giả sử biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất cho bởi 1 khi 0 x 1 2 ≤ ≤  f(x)=  1 khi 2, 5 x 3  ≤ ≤  0 nơi khác   Trường hợp này với mọi m thuộc đoạn 1 m 2, 5 thì ≤ ≤ 1 P (X m)= P (X m)= ≤ ≥ 2 Do đó mọi m, 1 m 2, 5 là trung vị của biến ngẫu nhiên X. ≤ ≤ 3.4.5 Hàm đặc trưng Hàm đặc trưng là một công cụ giải tích rất quan trọng để nghiên cứu các định lý giới hạn của lý thuyết xác suất. Mục này trình bày một số tính chất cơ bản của hàm đặc trưng, các mối quan hệ giữa hàm phân phối xác suất và hàm đặc trưng và dùng đạo hàm của hàm đặc trưng để tính monen bậc k của biến ngẫu nhiên. Định nghĩa 3.15 (Hàm đặc trưng). Hàm số ϕ (t)= E eitX = E (cos tX + i sin tX) , t R (3.11) ∈ được gọi là hàm đặc trưng của biến
    ngẫu nhiên X. Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì hàm đặc trưng • + ∞ itxk ϕ (t)= e P (X = xk) Xk=1 Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì hàm đặc trưng • + ∞ ϕ (t)= eitxf(x)dx Z −∞ Ví dụ 3.26. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối Poisson(λ), biến ngẫu λke k nhiên X nhận giá trị nguyên dương k, (k =0, 1, ) với P (X = k)= − . Tìm hàm k! đặc trưng ϕ(t) của X.
53. 3.5 Bài tập luyện tập 53 Giải. Theo định nghĩa hàm đặc trưng thì ∞ ϕ(t) = eitkP (X = k) Xk=0 ∞ λke λ = eitk − k! k=0 X k ∞ (λeit) e λ = − k! Xk=0 λ λeit λ(eit−1) = e− e = e Sau đây là một số tính chất quan trọng của hàm đặc trưng, ta thừa nhận các tính chất này không chứng minh. Tính chất 3.16. Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X xác định duy nhất hàm mật độ xác suất . Nói cách khác hai biến ngẫu nhiên có chung hàm đặc trưng thì chúng sẽ có chung hàm mật độ. Tính chất 3.17. Nếu hàm đặc trưng ϕ(t) của biến ngẫu nhiên liên tục X là giới hạn của dãy hàm ϕn(t) của biến ngẫu nhiên Xn thì hàm phân phối xác suất F (x) của X là giới hạn của dãy hàm phân phối xác suất Fn(x) tại mọi điểm liên tục của F (x). Tầm quan trọng của tính chất 3.17 là trong nhiều trường hợp, việc chuyển qua giới hạn ở dãy hàm đặc trưng được thực hiện dễ hơn ở dãy hàm phân phối, do đó thay cho việc tìm giới hạn của dãy hàm phân phối ta tìm giới hạn của dãy hàm đặc trưng tương ứng, theo tính chất 3.16 thì giới hạn đó sẽ xác định duy nhất hàm phân phối giới hạn cần tìm. Tính chất 3.18. Hàm đặc trưng của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập bằng tích các hàm đặc trưng của mỗi thành phần. Tính chất 3.19. Nếu biến ngẫu nhiên X có momen cấp k hữu hạn và hàm đặc trưng là ϕ(t) thì ϕk(0) = inE Xk (3.12) với ϕk(0) là đạo hàm cấp k của hàm đặc trưng tại
    t =0. 3.5 Bài tập luyện tập Bài tập 3.1. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất cho bởi bảng (3.5)
54. 3.5 Bài tập luyện tập 54 X 2 10 1 2 − − P 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8 Bảng 3.5: a. Tìm hàm phân phối xác suất F (x). b. Tính P ( 1 X 1) và P X 1 hoặc X =2 . − ≤ ≤ ≤ − c. Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
    Y = X2. Bài tập 3.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có hàm xác suất cho bởi 2x +1 f(x)= , x =0, 1, 2, 3, 4 25 a. Lập bảng phân phối xác suất của X. b. Tính P (2 X 10). ≤ − Bài tập 3.3. Chứng minh công thức tính phương sai (3.10). Bài tập 3.4. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f(x) cho như sau kx(2 x) khi 1 0 f(x)=  0 khi x 0  ≤  a. Tính P (3 X). ≤
55. 3.5 Bài tập luyện tập 55 b. Tìm giá trị của a sao cho P (X a)=0, 1. ≤ c. Xác định hàm phân phối và mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên Y = √X. Bài tập 3.6. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ a exp x khi x 0 f(x)= − 2 ≥   0
    nơi khác Xác định:  a. Hằng số a. b. Hàm phân phối xác suất F (x) c. Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X. d. Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên Y =(X/2) 1. − Bài tập 3.7. Chứng minh rằng không có hằng số k nào để hàm k khi 0 <x< 1 f(x)= x   0 nơi khác là hàm mật độ xác suất.  Bài tập 3.8. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ 1 x khi 0 <x< 2 f(x)= 2   0 nơi khác Tìm hàm phân phối và hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên a. Y = X(2 X). − b. Y =4 X3. − c. Y =3X +2. Bài tập 3.9. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất 3 x(2 x) khi 0 x 2 f(x)= 4 − ≤ ≤   0 nơi khác 
56. 3.5 Bài tập luyện tập 56 a. Xác định hàm phân phối xác suất F (x) của biến ngẫu nhiên X. b. Tính E(X), Var (X) và trung vị của biến ngẫu nhiên X. c. Đặt Y = √X, xác định hàm phân phối và hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên Y . Bài tập 3.10. Tuổi thọ của một loại côn trùng nào đó là một biến ngẫu nhiên liên tục X (đơn vị tháng) có hàm mật độ kx2(4 x) khi 0 x 4 f(x)= − ≤ ≤   0 nơi khác  a. Tìm hằng số k. b. Tìm F (x). c. Tìm E (X), Var (X) và Mod(X). d. Tính xác suất để côn trùng chết trước một tháng tuổi. Bài tập 3.11. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ 2 2x kx e− khi x 0 f(x)= ≥   0 nơi khác  a. Tìm hằng số k. b. Tìm hàm phân phối xác suất F (x). c. Tìm E (X), Var (X) và Mod(X).