Giáo trình Toán tài chính

210 trang ngocly 5000

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán tài chính", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_toan_tai_chinh.doc

Nội dung text: Giáo trình Toán tài chính

GIÁO TRÌNH TOÁN TÀI CHÍNH
CHƯƠNG 1 LÃI SUẤT (INTEREST RATE) Mục tiêu của chương: Giá trị của tiền tệ theo thời gian là một khái niệm cơ bản trong tài chính. Một khoản tiền được gửi vào ngân hàng hôm nay, sau một thời gian sau sẽ tạo nên một số tiền tích luỹ cao hơn số tiền bỏ ra ban đầu. Sự thay đổi số lượng tiền sau một thời gian nào đó biểu hiện giá trị theo thời gian của đồng tiền. Ý nghĩa của tiền phải được xem xét trên hai khía cạnh: số lượng và thời gian. Giá trị của đồng tiền theo thời gian được biểu hiện qua lợi tức và tỷ suất lợi tức (lãi suất). Các khái niệm cơ bản này sẽ được trình bày trong chương 1 bên cạnh hai phương thức tính lợi tức (lãi đơn, lãi kép), các loại lãi suất (lãi suất hiệu dụng, lãi suất chiết khấu, lãi suất danh nghĩa). Ngoài ra, sinh viên sẽ biết cách xác định giá trị của một khoản vốn tại một thời điểm nhất định (vốn hoá, hiện tại hoá) sau khi học xong chương này. Số tiết: 6 tiết Tiết 1, 2, 3: 1.1. Lợi tức (interest) và tỷ suất lợi tức (lãi suất – interest rate) 1.1.1. Lợi tức Lợi tức là một khái niệm được xem xét dưới hai góc độ khác nhau: góc độ của người cho vay và của người đi vay.
· Ở góc độ người cho vay hay nhà đầu tư vốn, lợi tức là số tiền tăng thêm trên số vốn đầu tư ban đầu trong một khoảng thời gian nhất định. Khi nhà đầu tư đem đầu tư một khoản vốn, nhà đầu tư sẽ thu được một giá trị trong tương lai lớn hơn giá trị đã bỏ ra ban đầu và khoản chênh lệch này được gọi là lợi tức. · Ở góc độ người đi vay hay người sử dụng vốn, lợi tức là số tiền mà người đi vay phải trả cho người cho vay (là người chủ sở hữu vốn) để được sử dụng vốn trong một thời gian nhất định. Trong thời gian cho vay, người cho vay có thể gặp phải những rủi ro như: người vay không trả lãi hoặc không hoàn trả vốn vay. Những rủi ro này sẽ ảnh hưởng đến mức lợi tức mà người cho vay dự kiến trong tương lai. Khoản tiền đi vay (hay bỏ ra để cho vay) ban đầu gọi là vốn gốc. Số tiền nhận được từ khoản vốn gốc sau một khoản thời gian nhất định gọi là giá trị tích luỹ. 1.1.2. Tỷ suất lợi tức (lãi suất) Tỷ suất lợi tức (lãi suất) là tỷ số giữa lợi tức thu được (phải trả) so với vốn đầu tư (vốn vay) trong một đơn vị thời gian. Đơn vị thời gian là năm (trừ trường hợp cụ thể khác) 1.2. Lãi suất hiệu dụng (effective interest rate) Giả sử ta đầu tư một khoản tiền ban đầu là 1 VND và mong muốn nhận được một khoản tiền sau khoảng thời gian t là a(t). Ở đây, ta mặc định đơn vị của t là năm (trừ các trường hợp cụ thể khác). Hàm số a(t) được gọi là hàm vốn hoá (function of capitalization). Hàm vốn hoá có thể có các dạng sau: - a(t) = 1 + i.t (i>0)
t - a(t) = (1 + i) (i>0) Trong đó, i là lã i suất. Ta có thể rút ra 3 đặc điểm về hàm vốn hoá như sau: - a(0) = 1
- a(t) là một hàm đồng biến - a(t) là một hàm liên tục nếu lợi tức tăng liên tục Về mặt toán học, a(t) có thể là hàm nghịch biến. Tuy nhiên, trường hợp này hiếm xảy ra trên thực tế. Có một số tình huống, hàm a(t) không liên tục mà liên tục trong từng đoạn. Ví dụ : - a(t) = (1+i.[t]) [t] - a(t) = (1+i) Trong đó : [t] là phần nguyên của t (ví dụ [1.75]=1) Giả sử vốn gốc đầu tư ban đầu là k, k>0. Chúng ta sẽ mong muốn giá trị tích luỹ từ khoảng đầu tư ban đầu này sau t kỳ là A(t). Hàm A(t) này sẽ được gọi là hàm tích lũy vốn. Ta có : A(t) = k.a(t) với các đặc điểm sau : - A(0) = k - A(t) là hàm đồng biến - A(t) là một hàm liên tục nếu lợi tức tăng liên tục Khi đó, lợi tức của kỳ thứ n sẽ là : In = A(n) – A(n-1) Trong đó, A(n) và A(n-1) lần lượt là các giá trị tích luỹ vốn sau n và (n – 1) kỳ. Do đó, sự chênh lệch giữa hai giá trị này chính là lợi tức của kỳ thứ n. Lãi suất hiệu dụng của kỳ thứ n, ký hiệu là i n, chính là tỷ số giữa khoản lợi tức thu được trong kỳ thứ n và số vốn tích luỹ vào đầu kỳ thứ n : (1) Trong đó, n là số nguyên và > 1. Lãi suất hiệu dụng cũng có thể viết theo hàm vốn hoá như sau : (2) Ví dụ:
Lãi suất hiệu dụng của kỳ thứ 1, i1, sẽ là : hay (vì a(0) = 1) => a(1) = 1 + i1 Nói các khác, i1 là lợi tức mà 1VND bỏ ra đầu tư vào đầu kỳ thứ nhất mang lại vào cuối kỳ thứ nhất (lợi tức trả vào cuối kỳ). Ghi chú : - Khái niệm « lãi suất hiệu dụng » được sử dụng nhằm phân biệt với lãi suất danh nghĩa (sẽ được trình bày ở phần sau). Trong trường hợp lãi suất hiệu dụng, lợi tức được trả một lần trong một kỳ. Ngược lại, trong trường hợp lãi suất danh nghĩa, lợi tức có thể được trả nhiều lần trong một kỳ. -Ở đây, lợi tức được trả vào cuối mỗi kỳ. Trường hợp lợi tức được trả vào đầu kỳ sẽ được trình bày ở phần sau. Khi đó, lãi suất sử dụng được gọi là lãi suất chiết khấu. - Vốn gốc đầu tư là hằng số trong suốt giai đoạn đầu tư, không thêm vào cũng như không rút ra. - Lãi suất hiệu dụng thường được trình bày ở dạng thập phân. Từ phương trình (1), ta sẽ có : A(n) = A(n-1) + in.A(n-1) = (1+in).A(n-1) Do đó: A(1) = A(0) + i1.A(0) = (1+i1).A(0) A(2) = A(1) + i2.A(1) = (1+i2).A(1) = (1+i2).(1+i1).A(0) A(n) = A(n-1) + in.A(n-1) = (1+in).A(n-1) = (1+in) (1+i2).(1+i1).A(0) Ví dụ:
Một khoản vốn gốc là 1.000.000 VND được đầu tư trong 3 năm. Lãi suất hiệu dụng của năm đầu tiên là 7,5%, năm thứ hai là 7% và của năm thứ ba là 6,5%. Giá trị tích luỹ vào cuối năm thứ ba sẽ là bao nhiêu? Giải: A(3) = (1+i3).(1+i2).(1+i1).A(0) = (1+7,5%).(1+7%).(1+6,5%).1000000 = 1.225.016 VND 1.3. Lãi đơn (Simple Interest) và lãi kép (Composed Interest) Trong phần này sẽ trình hai trường hợp điển hình của hàm vốn hoá: trường hợp lãi đơn và trường hợp lãi kép. 1.3.1. Lãi đơn (Simple Interest) Phương thức tính lãi theo lãi đơn là phương thức tính toán mà tiền lãi sau mỗi kỳ không được nhập vào vốn để tính lãi cho kỳ sau. Tiền lãi của mỗi kỳ đều được tính theo vốn gốc ban đầu và đều bằng nhau. Giả sử một khoản vốn gốc đầu tư ban đầu là 1VND và mỗi kỳ thu được một khoản lợi tức không đổi là i (ở đây lưu ý giá trị không đổi là lợi tức, không phải là lãi suất hiệu dụng). Do đó, đối với hàm vốn hoá, ta sẽ có: a(1) = 1 + i a(2) = 1 + i + i = 1 + i.2 a(t) = 1+ i.t với t N Trước đây, ta đã định nghĩa hàm vốn hoá với t là một số nguyên dương. Tuy nhiên, hàm vốn hoá vẫn có thể định nghĩa với mọi số thực t 0. Khi đó, hàm vốn hoá trong trường hợp lãi đơn là: a(t) = 1+ i.t (t 0) (3) i được gọi là lãi suất đơn. Hàm tích lũy vốn trong trường hợp này sẽ là:
A(t) = k.a(t) = k(1+ i.t) (4) Lợi tức của mỗi kỳ là: I = k.i (5) Trong đó: k là vốn đầu tư ban đầu, i là lãi suất đơn Ghi chú: Trong trường hợp lãi đơn, lãi suất hiệu dụng của kỳ thứ n sẽ được tính theo công thức sau: (6) => n càng tăng, lãi suất hiệu dụng in càng giảm. Ví dụ: Một khoản vốn gốc là 5.000.000VND được đầu tư trong 3 năm với lãi suất đơn là 7%. Giá trị tích luỹ của khoản vốn này vào cuối năm thứ 3 là bao nhiêu? A(3) = k(1+ i.3) = 5.000.000 (1+0,07x3) = 6.050.000 VND Chú ý: Lãi đơn chủ yếu được dùng cho các đầu tư ngắn hạn. Trong một số trường hợp, thời gian đầu tư được tính chính xác theo ngày (ví dụ: A gửi một số tiền vào ngân hàng vào ngày 01/09/2007 với lãi suất 9% và rút tổng giá trị tích luỹ vào ngày 13/10/2007), lợi tức được tính theo công thức sau: (7) Trong đó: n: thời gian đầu tư N: số ngày trong năm n, N được xác định như sau:
- Cách 1: Tính số ngày chính xác của đầu tư và quy ước mỗi năm là 365 ngày. - Cách 2: Quy ước mỗi năm 360 ngày và mỗi tháng 30 ngày. - Cách 3: Tính số ngày chính xác của đầu tư và quy ước mỗi năm là 360 ngày. Trong một số trường hợp cụ thể, có thể tính số ngày chính xác của đầu tư và quy định số ngày của mỗi năm là 365 đối với năm thường và 366 đối với năm nhuận. Ví dụ: Vào ngày 08/03/2006, Hoà gửi vào ngân hàng 40.000.000 VND với lãi suất đơn là 8% và rút tiền ra vào ngày 11/09/2006. Tính lợi tức Hoà thu được theo 3 phương pháp trên. - Cách 1: Số ngày gửi tiền từ 08/03/2006 đến 11/09/2006 sẽ là: 187 ngày. - Cách 2: Số ngày gửi tiền từ 08/03/2006 đến 11/09/2006 sẽ là: 183 ngày. - Cách 3: Số ngày gửi tiền từ 08/03/2006 đến 11/09/2006 sẽ là: 187 ngày. 1.3.2. Lãi kép (Composed Interest) Phương thức tính theo lãi kép là phương thức tính toán mà tiền lãi sau mỗi kỳ được nhập vào vốn để đầu tư tiếp và sinh lãi cho kỳ sau. Thông thường, đối với các giao dịch tài chính, lãi suất được sử dụng là lãi kép. Giả sử vốn gốc đầu tư ban đầu là 1VND. Hàm vốn hoá của kỳ thứ nhất sẽ là:
a(1) = 1 + i a(2) = 1 + i + i + i² 1: vốn gốc ban đầu i thứ nhất: lợi tức sinh ra trong kỳ thứ nhất của vốn gốc 1VND i thứ hai: lợi tức sinh ra trong kỳ thứ hai của vốn gốc 1VND i²: lợi tức sinh ra trong kỳ thứ hai từ khoản lợi tức i của kỳ thứ nhất Có thể viết cách khác: a(2) = (1+i) + (1+i).i (1+i): giá trị tích luỹ vào đầu kỳ thứ 2 (cuối kỳ thứ 1) (1+i).i: lợi tức sinh ra trong kỳ thứ 2 từ giá trị tích lũy (1+i) vào đầu kỳ thứ 2 a(2) = (1+i)² Tương tự: a(3) = (1+i)² + (1+i)².i (1+i)²: giá trị tích luỹ vào đầu kỳ thứ 3 (cuối kỳ thứ 2) (1+i)².i: lợi tức sinh ra trong kỳ thứ 3 từ (1+i)² a(3) = (1+i)3 Tương tự, ta sẽ rút ra được hàm vốn hoá là: a(t) = (1+i)t với t là một số nguyên dương Đây chính là phương thức tính lãi theo lãi kép. Ở đây, hàm vốn hoá được định nghĩa với mọi số t nguyên dương. Tuy nhiên, hàm vốn hoá vẫn có thể định nghĩa với t 0 với giả thiết là hàm vốn hoá là hàm liên tục và lợi tức thu được từ khoản vốn gốc 1VND đầu tư ban đầu tại thời điểm t+s (t,s 0) là tổng của lợi tức thu được từ 1VND ban đầu tại thời điểm t và lợi tức thu từ giá trị tích luỹ tại thời điểm t trong khoảng thời gian s. Với giả thiết này, hàm vốn hoá trong trường hợp lãi kép sẽ là :
a(t) = (1+i)t với t 0 (8) i : lãi suất kép Ghi chú: Trong trường hợp lãi kép, lãi suất hiệu dụng của kỳ thứ n sẽ được tính theo công thức sau: in = i (9) Lãi suất hiệu dụng không thay đổi và bằng với lãi suất kép. Hàm tích lũy vốn trong trường hợp lãi kép là: A(t) = k.a(t) = k(1+ i)t (10) Lợi tức của kỳ thứ n là: t t-1 t-1 In = A(n) – A(n-1) = k(1+ i) - k(1+ i) = k(1+ i) .i In = k(1+ i)t-1.i (11) Trong đó: k là vốn đầu tư ban đầu, i là lãi suất kép Ví dụ: Một khoản vốn gốc là 5.000.000VND được đầu tư trong 3 năm với lãi suất kép là 7%. Giá trị tích luỹ của khoản vốn này vào cuối năm thứ 3 là bao nhiêu? Giải: A(3) = k(1+ i)3 = 5.000.000 (1+0,07)3 = 6.125.215 VND 1.3.3. So sánh lãi đơn và lãi kép Lãi đơn Lãi kép t Hàm vốn hoá a(t)đ = 1+ i.t a(t)k = (1+i) t Hàm tích luỹ A(t)đ = k.a(t)đ = k(1+ i.t) A(t)k = k.a(t)k = k(1+ i) t-1 Lợi tức của kỳ thứ n Inđ = k.i Ink = k(1+ i) .i
Lãi suất hiệu dụng của ink = i kỳ thứ n Trong đó : t 0 i : lãi suất k : vốn gốc Riêng đối với hàm tích luỹ và lợi tức thu được của lỳ n, ta có bảng sau : Giá trị tích luỹ đến Tổng lợi tức đạt được đến cuối kỳ t cuối kỳ t t = 1 A(t)đ = A(t)k Itđ =Itk t A(t)k Itđ >Itk t > 1 A(t)đ < A(t)k Itđ <Itk Đồ thị:
Ở đây, ta giả định mặc nhiên là i>0. Nếu cho vay (đầu tư) trong thời gian < 1 kỳ, nên tính theo phương pháp lãi đơn. Ngược lại, nếu thời gian cho vay (đầu tư) 1, nên tính theo phương pháp lãi kép. Ví dụ: Một người đầu tư vốn gốc ban đầu là 200 triệu đồng với lãi suất là 9%/năm. Tính giá trị tích luỹ người đó đạt được theo hai phương pháp lãi đơn và lãi kép nếu thời gian đầu tư là: 1. 1 năm. 2. 9 tháng. 3. 5 năm. Giải : k = 200.000.000 đồng. i = 9%/năm. Ta có bảng sau: Giá trị tích luỹ đạt được theo lãi Giá trị tích luỹ đạt được theo lãi Thời gian đơn kép đầu tư t A(t)đ = k(1+ i.t) A(t)k = k(1+ i)
1 t = 1 năm A(t) đ = 200(1+9%) = 218 A(t)k = 200(1+9%) = 218 triệu triệu Itđ = 18 Itk = 18 triệu triệu 9/12 t = 9 tháng A(t)đ = 200(1+9%.9/12) = 213,5 A(t)k= 200(1+9%) = 213,353 triệu triệu Itđ = 13,5 Itk = 13,353 triệu triệu 5 t = 5 năm A(t)đ = 200(1+5.9%) = 290 A(t)k = 200(1+9%) = 307,725 triệu triệu Itđ = 90 Itk = 107,725 triệu triệu Ghi chú : Trong một số trường hợp, hàm tích luỹ kết hợp cả hai tình huống : đối với phần nguyên của t, ta sử dụng hàm tích luỹ của lãi kép, và phần lẻ của t, ta sử dụng hàm tích luỹ vốn của lãi đơn. a(t) = (1+i)[t].[1+(t – [t]).i] (12) A(t) = k.a(t) (13) Trong đó : [t] là phần nguyên của t. Tiết 4, 5, 6 1.4. Vốn hoá (capitalization) và hiện tại hoá (actualisation) 1.4.1. Vốn hoá (capitalization) Ví dụ : Ông A đầu tư một khoản tiền ban đầu là 3.000.000 đồng. Trong 3 năm đầu tiên, khoản đầu tư này mang lại cho ông một lãi suất kép là 7%/năm. Cuối năm thứ 3, ông A lại tái đầu tư toàn bộ giá trị tích luỹ đạt được trong vòng 4 năm,
mỗi năm đạt lãi suất kép là 8%. Hỏi giá trị tích lũy ông A có được vào cuối năm thứ 7 là bao nhiêu ? Giải : 3 3 A(3) = k.(1+i1) = 3.000.000 x (1+7%) = 3.675.129 VND 4 4 A(7) = A(3).(1+i2) = 3.675.129 x (1+8%) = 4.999.972 VND Đây là trường hợp vốn hoá, nghĩa là xác định giá trị của vốn sau một khoảng thời gian. 1.4.2. Hiện tại hoá (actualization) Bây giờ, chúng ta sẽ giới thiệu khái niệm ngược lại, khái niệm hiện tại hoá, nghĩa là xác định giá trị hiện tại của một khoản vốn trong tuơng lai. Nói cách khác, hiện tại hoá là việc xác định khoản vốn gốc cần đầu tư để đến một thời điểm t, sẽ nhận được giá trị tích luỹ mong muốn. Giả sử ta mong muốn đạt được giá trị tích luỹ là 1VND sau một kỳ đầu tư với lãi suất là i. Khoản vốn phải bỏ ra đầu tư ban đầu sẽ là : Để có giá trị tích luỹ là 1VND sau t kỳ, vốn gốc đầu tư ban đầu phải là : (14) Trong đó : a(t) là hàm vốn hoá a(t)-1 là hàm hiện tại hoá Vốn gốc đầu tư ban đầu để đạt giá trị tích luỹ là k sau k kỳ là : A(t)-1 gọi là giá trị hiện tại của A(t). Như vậy : Nếu dùng phương pháp lãi đơn : (15)
Nếu dùng phương pháp lãi kép : (16) Ví dụ: Một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền theo lãi kép với lãi suất 7,8%/năm. Sau 3 năm 9 tháng thu được 50 triệu đồng. Tính giá trị của số tiền gửi ban đầu. Giải: i = 7,8%/năm. t = 3 năm 9 tháng = 3,75. A(t) = 50.000.000 đồng. 1.5. Lãi suất chiết khấu hiệu dụng (effective rate of discount) 1.5.1. Lãi suất chiết khấu hiệu dụng Lãi suất chiết khấu hiệu dụng của kỳ thứ nhất, ký hiệu là d 1 là tỷ số giữa lợi tức thu được trong kỳ này và giá trị tích luỹ cuối kỳ thứ nhất. (17) Có thể viết công thức tính d1 theo hàm vốn hoá như sau : (18) -1 hay a(1) = (1-d1) vì a(0) = 1 Lãi suất chiết khấu hiệu dụng của kỳ n, dn, là :
(19) Lãi suất chiết khấu hiệu dụng được sử dụng trong các giao dịch tài chính có lợi tức được trả trước. Ví dụ : Ông A cho ông B vay một khoản tiền là 10.000.000 VND trong vòng 1 năm, trả lãi trước, với lãi suất chiết khấu hiệu dụng là 7%. Khoản lãi ông B phải trả : 10.000.000 x 7% = 700.000 VND Ông A đưa ông B : 10.000.000 – 700.000 = 9.300.000 VND và nhận lại số tiền 10.000.000 VND vào cuối năm. Ta có : A(n - 1) = (1 – dn).A(n) A(n - 2) = (1 – dn-1).A(n - 1) = (1 – dn-1).(1 – dn).A(n) A(0) = (1 – d1) (1 – dn-1).(1 – dn).A(n) Từ công thức này, ta có thể tính vốn gốc A(0) hoặc giá trị tích luỹ A(n) theo lãi suất chiết khấu hiệu dụng. 1.5.2. Mối quan hệ giữa lãi suất hiệu dụng và lãi suất chiết khấu hiệu dụng của 1 kỳ Giả sử ta cho vay 1VND với lãi suất chiết khấu hiệu dụng là d trong một kỳ. Như vậy, ta sẽ đưa cho người vay một khoản tiền là (1 – d) VND và nhận được 1 VND vào cuối kỳ. Khoản lãi người vay phải trả là d VND, vốn gốc cho vay ban đầu là 1 – d. Do đó, lãi suất hiệu dụng tương ứng với lãi suất chiết khấu hiệu dụng sẽ là: (20) Ta cũng sẽ có: (21)
Ví dụ: 1. a. Nếu lãi suất chiết khấu hiệu dụng là 7%, lãi suất hiệu dụng tương ứng: b. Nếu lãi suất hiệu dụng là 8%, lãi suất chiết khấu hiệu dụng tương ứng: 2. Ông A muốn mua một căn hộ với giá là 3 tỷ VND. Người bán đề nghị 2 lựa chọn: hoặc ông trả 3 tỷ sau 1 năm hoặc ông trả tiền ngay và được hưởng chiết khấu là 15%. Nếu lãi suất hiệu dụng trên thị trường tài chính hiện nay là 12%/năm, phương thức thanh toán nào sẽ có lợi cho ông A hơn và lãi suất thị trường là bao nhiêu để hai sự lựa chọn này giống nhau? Giải: Nếu lãi suất hiệu dụng trên thị trường là 12%/năm, giá trị của khoản tiền 3 tỷ VND trả sau 1 năm vào thời điểm bán là: Nói cách khác, nếu ta gửi vào ngân hàng 2.678.571.429 VND với lãi suất là 12% thì sau một năm, ông A sẽ có đủ 3 tỷ VND để trả tiền cho người bán. Do đó, giá trị của căn hộ vào thời điểm mua theo lựa chọn đầu tiên là 2.678.571.429 VND. Giá trị của căn hộ theo lựa chọn thứ hai là: 3.000.000.000 x (1 – 15%) = 2.500.000.000 VND So sánh hai phương thức thanh toán, ta thấy lựa chọn thứ hai có lợi hơn cho ông A. Gọi i(%/năm) là lãi suất hiệu dụng trên thị trường tài chính để hai sự lựa chọn này như nhau. Khi đó, giá trị của căn hộ tại thời điểm mua theo hai phương thức thanh toán là như nhau:
i = 17,65% Ở đây, ta có thể tính i theo công thức: Ta vừa xem xét chiết khấu cho 1 kỳ. Trong trường hợp nhiều kỳ, cũng giống như lợi tức, có 2 tình huống xảy ra: chiết khấu đơn và chiết khấu kép. 1.5.3. Chiết khấu đơn Đối với chiết khấu đơn, ta sẽ giả thiết là các khoản tiền chiết khấu của mỗi kỳ đều bằng nhau và bằng d. Như vậy, vốn gốc ban đầu phải là (1 – dt) VND để đạt được giá trị tích luỹ là 1 VND sau t kỳ . Ta sẽ có: a(t)-1 = (1 – d.t) với 0 t < d-1 (22) với 0 t < d-1 với 0 t < d-1 (23) i : lãi suất đơn tương ứng. d : lãi suất chiết khấu hiệu dụng đơn 1.5.4. Chiết khấu kép Đối với chiết khấu kép, ta giả thiết lãi suất chiết khấu hiệu dụng của các kỳ không đổi là d. Để có giá trị tích luỹ là 1VND sau 1 kỳ, vốn gốc ban đầu là (1 – d) VND. Để có giá trị tích luỹ là 1VND sau 2 kỳ, giá trị tích luỹ đến cuối kỳ thứ nhất phải là (1 – d) VND. Và để có giá trị tích luỹ là (1 – d) VND ở cuối kỳ 1, vốn gốc đầu kỳ 1 phải là (1 – d).(1 – d) = (1 – d)². Như vậy, muốn đạt giá trị tích luỹ là 1 VND sau 2 kỳ, vốn gốc ban đầu là (1 - d)². Tương tự, muốn đạt giá trị tích luỹ là 1 VND sau t kỳ, vốn gốc ban đầu là (1 - d)t. Ta có: a(t)-1 = (1 - d)t với 0 t (24)
= (1 - d)t với 0 t với 0 t (25) t ở đây có thể không phải là một số nguyên. Ví dụ : Ông B hứa trả ông A khoản tiền là 40.000.000 sau 3 năm. Nếu lãi suất chiết khấu hiệu dụng kép là 6%/năm, số tiền mà ông A đưa cho ông B là bao nhiêu ? Số tiền đó sẽ là bao nhiêu nếu đây là lãi suất hiệu dụng đơn. Giải : Nếu là lãi suất hiệu dụng kép : = (1 - 6%) 3 x 40.000.000 = 33.223.360 VND Nếu là lãi suất hiệu dụng đơn : = (1 - 6%.3) x 40.000.000 = 32.800.000 VND 1.6. Lãi suất danh nghĩa Cho đến bây giờ, chúng ta chỉ xem xét các tình huống trong đó lợi tức được trả một lần trong kỳ (hay còn gọi là vốn hóa một lần trong kỳ). Lãi suất được dùng là lãi suất hiệu dụng. Ngoài ra, còn có một khái niệm khác là lãi suất danh nghĩa. Đối với trường hợp này, lợi tức sẽ được vốn hoá nhiều lần trong một kỳ. Ví dụ, lợi tức trả mỗi tháng, mỗi qúy hoặc mỗi nửa năm. Nếu lợi tức được trả m lần trong một kỳ, m > 1, và lãi suất của mỗi kỳ nhỏ trong m kỳ nhỏ này là i (m)/m thì lãi suất danh nghĩa ở đây là i (m) (%/kỳ). Lợi tức được vốn hoá vào cuối mỗi kỳ nhỏ m. Ký hiệu i(m) có nghĩa là lãi suất danh nghĩa trong đó lợi tức được vốn hoá m lần trong 1 kỳ. Ví dụ :
Nếu lãi suất i(12) = 9%, lợi tức sẽ được vốn hoá 12 lần/năm, một tháng một lần và lãi suất sử dụng cho mỗi tháng sẽ là : . Nếu một khoản vốn gốc ban đầu là 10.000.000 được đầu tư với lãi suất danh nghĩa là 9%, vốn hoá hàng tháng, nghĩa là i(12) = 9%. Giá trị tích luỹ của khoản vốn này vào cuối năm thứ 1 sẽ là : Lúc này, lãi suất hiệu dụng là sẽ là : Một cách tổng quát, lãi suất hiệu dụng i tương đương với lãi suất i (m) sẽ xác định được từ giá trị tích luỹ sau một kỳ từ khoản vốn ban đầu là 1VND theo lãi suất i và i(m). (26) Từ phương trình này ta có thể tính được lãi suất hiệu dụng i tương đương với lãi suất danh nghĩa i(m) và ngược lại : (27) (28) Ví dụ : Một người đầu tư một khoản tiền ban đầu là 7.000.000 VND với lãi suất danh nghĩa là 9%, vốn hoá mỗi quý (3 tháng/lần). Sau 30 tháng người đó thu được giá trị tích luỹ là bao nhiêu ? Giải : i(4) = 9%
Lợi tức được vốn hoá : m = = 10 lần Giá trị tích luỹ thu được sau 30 tháng sẽ là : Ví dụ : Một người cần đầu tư một khoản vốn gốc ban đầu là bao nhiêu để nhận được một giá trị tích luỹ sau 3 năm là 5.000.000 VND. Biết rằng đầu tư này đem lại lãi suất danh nghĩa là 10%, vốn hoá 2 lần/năm. Giải : i(2) = 10% Lợi tức được vốn hoá : m = 3 x 2 = 6 lần Vốn gốc cần đầu tư ban đầu là A(t)-1 Ta có : A(t)-1 x (1 + )6 = 5.000.000 VND 1.7. Lãi suất chiết khấu danh nghĩa Tương tự lãi suất danh nghĩa, ta cũng có khái niệm lãi suất chiết khấu danh nghĩa d (m). Trong trường hợp này, mỗi kỳ được chia làm m kỳ nhỏ và lãi suất chiết khấu áp dụng đối với mỗi kỳ nhỏ là . Ta có thể xác định lãi suất chiết khấu hiệu dụng d tương ứng với lãi suất chiết khấu danh nghĩa là d(m) qua phương trình sau :
Đây chính là giá trị hiện tại của 1VND sau một kỳ. Từ đó, suy ra : Tóm tắt chương : Các nội dung chính : Lợi tức: được xem xét dưới hai góc độ: -Ở góc độ người cho vay hay nhà đầu tư vốn, lợi tức là số tiền tăng thêm trên số vốn đầu tư ban đầu trong một khoảng thời gian nhất định. -Ở góc độ người đi vay hay người sử dụng vốn, lợi tức là số tiền mà người đi vay phải trả cho người cho vay (là người chủ sở hữu vốn) để được sử dụng vốn trong một thời gian nhất định. Tỷ suất lợi tức (lãi suất) : tỷ số giữa lợi tức thu được (phải trả) so với vốn đầu tư (vốn vay) trong một đơn vị thời gian. Đơn vị thời gian là năm (trừ trường hợp cụ thể khác) Hàm vốn hoá a(t): hàm số cho biết số tiền nhận được từ 1 đơn vị tiền tệ đầu tư ban đầu sau một khoảng thời gian nhất định. Có thể có các dạng : a(t) = 1 + i.t (i>0) a(t) = (1 + i)t (i>0) a(t) = (1+i.[t]) a(t) = (1+i)[t]
Trong đó : i : lãi suất t: thời gian đầu tư [t]:phần nguyên của t. Hàm tích lũy vốn A(t): giá trị tích luỹ từ khoảng đầu tư ban đầu k (k>0) sau t kỳ:A(t) = k.a(t) Lợi tức của kỳ thứ n: In = A(n) – A(n-1) Trong đó: A(n) và A(n-1) lần lượt là các giá trị tích luỹ vốn sau n và (n – 1) kỳ. Lãi suất hiệu dụng của kỳ thứ n, in: hay Lãi đơn (Simple Interest): Phương thức tính lãi theo lãi đơn là phương thức tính toán mà tiền lãi sau mỗi kỳ không được nhập vào vốn để tính lãi cho kỳ sau. Tiền lãi của mỗi kỳ đều được tính theo vốn gốc ban đầu và đều bằng nhau. Hàm vốn hoá: a(t) = 1+ i.t (t 0) Trong đó : i: lãi suất đơn. Hàm tích lũy vốn : A(t) = k.a(t) = k(1+ i.t) Lợi tức của mỗi kỳ: I = k.i Trường hợp thời gian đầu tư được tính chính xác theo ngày, lợi tức đơn được tính bằng công thức: Trong đó: n: thời gian đầu tư N: số ngày trong năm Lãi kép (Compound Interest): Phương thức tính theo lãi kép là phương thức tính toán mà tiền lãi sau mỗi kỳ được nhập vào vốn để đầu tư tiếp và sinh lãi cho
kỳ sau. Thông thường, đối với các giao dịch tài chính, lãi suất được sử dụng là lãi kép. Hàm vốn hoá: a(t) = (1+i)t với t 0 Trong đó : i : lãi suất kép Hàm tích lũy vốn: A(t) = k.a(t) = k.(1+i)t Lãi suất hiệu dụng của kỳ thứ n :i n = i t-1 Lợi tức của kỳ thứ n :I n = k(1+ i) .i Vốn hoá (capitalization): xác định giá trị của vốn sau một khoảng thời gian. Hiện tại hoá (actualization) : xác định giá trị hiện tại của một khoản vốn trong tuơng lai. Giá trị hiện tại của A(t) là A(t)-1 Lãi suất chiết khấu hiệu dụng : được sử dụng trong các giao dịch tài chính có lợi tức được trả trước. Lãi suất chiết khấu hiệu dụng của kỳ n, dn: Mối quan hệ giữa lãi suất hiệu dụng và lãi suất chiết khấu hiệu dụng của 1 kỳ : Trong đó : i : lãi suất hiệu dụng d : lãi suất chiết khấu hiệu dụng Chiết khấu đơn: các khoản tiền chiết khấu của mỗi kỳ đều bằng nhau và bằng d.
Chiết khấu kép: lãi suất chiết khấu hiệu dụng của các kỳ không đổi. Lãi suất danh nghĩa : lợi tức sẽ được vốn hoá nhiều lần trong một kỳ, ký hiệu i(m), nghĩa là lợi tức trả làm m lần trong kỳ. Mối quan hệ giữa lãi suất danh nghĩa i(m) và lãi suất hiệu dụng tương ứng : Lãi suất chiết khấu danh nghĩa : mỗi kỳ được chia làm m kỳ nhỏ và lãi suất chiết khấu áp dụng đối với mỗi kỳ nhỏ là . Mối quan hệ giữa lãi suất chiết khấu danh nghĩa là d (m) và lãi suất chiết khấu hiệu dụng d tương ứng : Bài tập 1. Một người gửi vào Ngân hàng một khoản tiền là 20.000.000 VND với lãi suất đơn là 8%/năm với mong muốn nhận được một khoản tiền là 25.000.000 VND trong tương lai. Hỏi ông ta phải mất bao nhiêu thời gian ? ĐS : 3,125 năm 2. Bảo đầu tư 10.000.000 vào chứng chỉ tiền gửi của ngân hàng với lãi đơn là 9%/năm trong vòng 1 năm. Sau 6 tháng, lãi suất của các chứng chỉ tiền gửi loại này tăng lên là 10%/ năm. Bảo muốn tận dụng việc lãi suất tăng lên này nên muốn bán lại chứng chỉ tiền gửi cho ngân hàng và đầu tư tất cả giá trị tích luỹ vào chứng chỉ quỹ đầu tư có lãi suất đơn 10% trong 6 tháng còn lại. Hỏi số tiền mà ngân hàng yêu cầu Bảo phải trả khi muốn bán lại chứng chỉ tiền gửi này là bao nhiêu để Bảo từ bỏ ý định trên? ĐS : > 69.048 VND
3. Nam đầu tư một số tiền ban đầu là 50.000.000 và muốn đạt giá trị tích luỹ là 70.000.000 VND sau 5 năm. Hỏi tỷ suất sinh lời (lãi suất kép %/năm) mà Nam đạt được là bao nhiêu ? ĐS : 6,961% 4. Bắc gửi vào ngân hàng một số tiền với muốn nhận được số tiền là 75.000.000 VND sau 5 năm theo lãi suất kép với điều kiện như sau : - 2 năm đầu tiên : lãi suất kép là 7% - 2 năm tiếp theo : lãi suất kép là 8% - Năm cuối cùng : lãi suất kép là 9% Bắc phải gửi vào ngân hàng số tiền ban đầu là bao nhiêu là bao nhiêu ? ĐS : 51.525.201 VND 5. Đông muốn vay một số tiền là 10.000.000 VND trong 1 năm. Đông có 2 sự lựa chọn : - hoặc vay 10.000.000 VND với lãi suất 7.5% - hoặc vay 15.000.000 VND với lãi suất thấp hơn. Trong trường hợp này, Đông có thể đầu tư số tiền dư 5.000.000 với lãi suất 7%. Hỏi lãi suất trong trường hợp thứ 2 là bao nhiêu để Đông chọn phương án thứ hai. ĐS : < 7,333% 6. Tây có một khoản tiền 300.000.000 VND muốn đầu tư trong 10 năm. Có hai phương án cho Tây : - hoặc gửi vào ngân hàng với lãi suất kép là i (%/năm). - hoặc đầu tư vào một dự án có thể đem lại tỷ suất sinh lợi (lãi kép) trong 10 năm như sau :
+ 2 năm đầu : 7,5% + 3 năm tiếp theo : 8,5% + 5 năm cuối : 9.5% Hỏi lãi suất ngân hàng i là bao nhiêu để 2 phương án này là như nhau đối với Tây. ĐS : 8,797% 7. Tim vay của Tom một khoản tiền và sẽ trả cho Tom 15.000.000 sau 3 năm. Biết lãi suất chiết khấu là 7%, số tiền mà Tim nhận được ban đầu là bao nhiêu trong trường hợp : - lãi suất chiết khấu đơn - lãi suất chiết khấu kép ĐS : 11.850.000 VND 12.065.355 VND 8. Nếu lãi suất danh nghĩa ngân hàng công bố là 8%, trả lãi mỗi tháng 1 lần, lãi suất hiệu dụng tương ứng với lãi suất này sẽ là bao nhiêu ? ĐS : 8,3% 9. Nếu lãi suất hiệu dụng là 9%, lãi suất danh nghĩa trong đó lợi tức được trả mỗi tuần 1 lần tương ứng với nó là bao nhiêu ? Cho biết : 1 năm có 52 tuần. ĐS : 8,625% 10. Nguyễn muốn gửi vào ngân hàng một khoản tiền là 6.000.000 VND với lãi suất danh nghĩa là 8.5%, vốn hoá theo quý. Nguyễn muốn nhận được 10.000.000 VND thì phải gửi vào ngân hàng trong bao lâu ? ĐS : 6,073 năm
CHƯƠNG 2 TÀI KHOẢN VÃNG LAI (CURRENT ACCOUNT) Mục tiêu của chương Chương này sẽ giới thiệu một ứng dụng của phương pháp tính lãi đơn: Đó là tính lợi tức đối với tài khoản vãng lai. Sinh viên sẽ lần lượt tìm hiểu khái quát về tài khoản vãng lai (khái niệm, nghiệp vụ, số dư, lợi tức, lãi suất, ) và các phương pháp tính lợi tức theo lãi đơn của tài khoản vãng lai. Số tiết: 4 tiết Tiết 1: 2.1. Tổng quan 2.1.1. Khái niệm Tài khoản vãng lai là loại tài khoản thanh toán mà ngân hàng mở cho khách hàng của mình nhằm phản ánh nghiệp vụ gửi và rút tiền giữa khách hàng và ngân hàng. 2.1.2. Các nghiệp vụ của tài khoản vãng lai - Nghiệp vụ Có: nghiệp vụ gửi tiền vào Ngân hàng. - Nghiệp vụ Nợ: nghiệp vụ rút tiền ở Ngân hàng. 2.1.3. Số dư của tài khoản vãng lai Số dư của tài khoản vãng lai là hiệu số giữa tổng nghiệp vụ Có và tổng nghiệp vụ Nợ. Tài khoản vãng lai có thể có số dư Nợ hoặc số dư Có.
- Nếu (Tổng nghiệp vụ Có - Tổng nghiệp vụ Nợ) > 0 thì tài khoản vãng lai sẽ có số dư Có. - Nếu (Tổng nghiệp vụ Nợ - Tổng nghiệp vụ Có) > 0 thì tài khoản vãng lai sẽ có số dư Nợ. Những khoản tiền một khi đã ghi vào tài khoản thì mất tính chất riêng biệt của nó mà thành một tổng thể, nghĩa là không thể yêu cầu rút ra từng khoản cá biệt đó, mà chỉ thanh toán theo số dư hình thành trên tài khoản. 2.1.4. Lợi tức của tài khoản vãng lai Ngân hàng và chủ tài khoản thoả thuận với nhau về lợi tức của các nghiệp vụ. Để xác định lợi tức, hai bên cần thỏa thuận với nhau các yếu tố sau: lãi suất, ngày khoá sổ tài khoản, ngày giá trị. 2.1.4.1.Lãi suất - Lãi suất áp dụng cho nghiệp vụ Nợ gọi là lãi suất Nợ. - Lãi suất áp dụng cho nghiệp vụ Có gọi là lãi suất Có. - Khi áp dụng cùng một mức lãi suất cho cả nghiệp vụ Có và nghiệp vụ Nợ, người ta gọi tài khoản vãng lai có lãi suất qua lại (reciprocal rate). - Khi lãi suất không đổi trong suốt thời gian mở tài khoản, người ta gọi là lãi suất bất biến. 2.1.4.2.Ngày khóa sổ tài khoản Ngày khoá sổ tài khoản là ngày ghi vào bên Nợ hoặc bên Có khoản lợi tức mà khách hàng phải trả cho ngân hàng hoặc nhận được từ ngân hàng. 2.1.4.3.Ngày giá trị Ngày giá trị là thời điểm từ đó mỗi khoản nghiệp vụ phát sinh được bắt đầu tính lãi. Thời điểm này thường không trùng với thời điểm phát sinh của mỗi nghiệp vụ. Nó thường được tính trước hoặc sau thời điểm phát sinh của mỗi nghiệp vụ tuỳ theo đó là khoản nghiệp vụ Nợ hay khoản nghiệp vụ Có. - Đối với nghiệp vụ Nợ: đẩy lên sớm một hoặc hai ngày. - Đối với nghiệp vụ Có: đẩy lùi lại một hoặc hai ngày.
Tiết 2, 3, 4: 2.2. Tài khoản vãng lai có lãi suất qua lại và bất biến Việc tính lãi và số dư trên tài khoản vãng lai theo lãi suất qua lại và bất biến được thực hiện bằng 1 trong 3 phương pháp: - Phương pháp trực tiếp. - Phương pháp gián tiếp. - Phương pháp Hambourg. Ví dụ: Doanh nghiệp X mở tài khoản tại Ngân hàng Y. Thời gian: 01/06 -> 31/08 Lãi suất: 7,2% Các nghiệp vụ phát sinh được phản ánh vào TK như sau: Đơn vị tính: Triệu đồng Ngày Diễn giải Nợ Có Ngày giá trị 01/06 Số dư Có 100 31/05 18/06 Gửi tiền mặt 550 20/06 12/07 Phát hành sec trả nợ 400 10/07 13/07(*) Nhờ thu thương phiếu 250 15/07 23/08 Chiết khấu thương phiếu 150 25/08 28/08 Hoàn lại thương phiếu không thu 80 15/07 được (*): Ngày thu được tiền của nghiệp vụ nhờ thu 2.2.1. Trình bày tài khoản vãng lai theo phương pháp trực tiếp Theo phương pháp này, lợi tức được tính như sau: - Ngày giá trị: nghiệp vụ Có: đẩy chậm lại 2 ngày. nghiệp vụ Nợ: đẩy sớm lên 2 ngày.
Nghiệp vụ nhờ thu: cũng áp dụng nguyên tắc trên nhưng tính từ ngày tiền thu được ghi vào TK. - Số ngày tính lãi: tính từ ngày giá trị đến ngày khóa sổ. - Lãi của mỗi nghiệp vụ được tính theo phương pháp tính lãi đơn: Trong đó: C: giá trị của nghiệp vụ i: lãi suất áp dụng n: số ngày tính lãi Các bước tiến hành như sau: - Các nghiệp vụ phát sinh được ghi vào bên nợ hoặc bên có tuỳ theo tính chất của mỗi nghiệp vụ. - Tính số ngày tính lãi của mỗi nghiệp vụ. - Tính số lãi theo lãi suất quy định của từng nghiệp vụ, ghi vào lợi tức bên nợ hoặc bên có. - Tính số lãi trên cơ sở cân đối hai cột lợi tức bên nợ và bên có, ghi số lãi vào tài khoản khi đến ngày tất toán tài khoản: + Nếu tổng lợi tức bên nợ > tổng lãi bên có => ghi số lãi vào bên nợ + Nếu tổng lợi tức bên nợ ghi số lãi vào bên có - Nếu có các khoản hoa hồng và lệ phí thì căn cứ vào quy định của ngân hàng để tính. - Tính số dư của tài khoản khi khoá sổ. Tài khoản vãng lai được trình bày theo phương pháp trực tiếp như sau: Đơn vị tính: Đồng Ngày Số Lợi tức Ngày Diễn giải Nợ Có giá ngày Nợ Có trị n 01/06 Số dư Có 100.000.000 31/05 92 1.840.000
18/06 Gửi tiền 550.000.000 20/06 72 7.920.000 mặt 12/07 Phát hành 600.000.000 10/07 52 6.240.000 sec trả nợ 13/07 Nhờ thu 250.000.000 15/07 47 2.350.000 thương phiếu 23/08 Chiết 150.000.000 25/08 6 180.000 khấu thương phiếu 28/08 Hoàn lại 80.000.000 15/07 47 752.000 thương phiếu không thu được 31/08 Cân đối 5.298.000 lợi tức 31/08 Cân đối 375.298.000 số dư Có 1.055.298.000 1.055.298.000 31/08 Số dư Có 375.298.000 31/08 2.2.2. Trình bày tài khoản vãng lai theo phương pháp gián tiếp Theo phương pháp này, việc tính lãi được tiến hành theo ba bước: - Bước 1: Tính lãi từ ngày khoá sổ lần trước đến ngày giá trị của mỗi nghiệp vụ (mang dấu âm). - Bước 2: Tính lãi từ ngày khoá sổ lần trước đến ngày khoá sổ lần này. - Bước 3: Tính lãi thực tế bằng cách lấy kết quả bước hai trừ đi kết quả bước 1. Tài khoản vãng lai được trình bày theo phương pháp gián tiếp như sau: Đơn vị tính: Đồng Ngày Số Lợi tức Ngày Diễn giải Nợ Có giá trị ngày n Nợ Có
01/06 Số dư Có 100.000.000 31/05 / / / 18/06 Gửi tiền mặt 550.000.000 20/06 20 -2.200.000 12/07 Phát hành sec trả nợ 600.000.000 10/07 40 -4.800.000 13/07 Nhờ thu thương phiếu 250.000.000 15/07 45 -2.250.000 23/08 Chiết khấu thương phiếu 150.000.000 25/08 86 -2.580.000 28/08 Hoàn lại thương phiếu không 80.000.000 15/07 45 -720.000 thu được 31/08 Lợi tức từ ngày 31/05 đến 31/08: 680.000.000 31/08 92 12.512.000 - Tính theo tổng nghiệp vụ Nợ 1.050.000.000 31/08 92 19.320.000 - Tính theo tổng nghiệp vụ Có 31/08 Số dư lợi tức Có 5.298.000 31/08 Cân đối số dư Có 375.298.000 1.055.298.000 1.055.298.000 31/08 Số dư Có 375.298.000 31/08 Cách tính: - Bước 1: + Số ngày n: tính từ ngày khoá sổ lần trước đến ngày giá trị của nghiệp vụ phát sinh. + Các số lợi tức mang dấu âm (-) (những ngày không tính lãi). - Bước 2: Lợi tức tính theo bước hai: + Từ ngày khoá sổ lần trước đến ngày khoá sổ lần này là 92 ngày. + Lợi tức tính theo tổng nghiệp vụ Nợ: + Lợi tức tính theo tổng nghiệp vụ Có:
- Bước 3: Lợi tức tính theo bước 3 = lợi tức tính theo bước 2 - lợi tức tính theo bước 1. * Lợi tức Nợ = 12.512.000 - (4.800.000 + 720.000) = 6.992.000 * Lợi tức Có =19.320.000–(2.200.000+2.250.000+ 2.580.000) = 12.290.000 => Số dư lợi tức Có = 12.290.000 - 6.992.000 = 5.298.000 2.2.3. Trình bày tài khoản vãng lai theo phương pháp Hambourg (Phương pháp rút số dư) Hai phương pháp trên có nhược điểm là chỉ có thể tính được lợi tức vào ngày khoá sổ tài khoản. Để khắc phục nhược điểm này, người ta dùng phương pháp Hambourg (Phương pháp rút số dư). Theo phương pháp này, ta tính lợi tức Nợ hay Có ngay sau mỗi nghiệp vụ phát sinh, căn cứ vào số dư Nợ hay dư Có trên tài khoản sau mỗi nghiệp vụ. Đây là phương pháp thường dùng. Do có sự khác biệt giữa ngày phát sinh và ngày giá trị nên có hai cách trình bày. 2.2.3.1.Trình bày theo thứ tự thời gian của nghiệp vụ phát sinh Tài khoản vãng lai được trình bày theo phương pháp này như sau: Đơn vị tính: Đồng Số dư Ngày Số Lợi tức Ngày Diễn giải Nợ Có Nợ Có giá trị ngày n Nợ Có 01/06 Số dư Có 100.000.000 31/05 20 400.000 18/06 Gửi tiền mặt 550.000.000 650.000.000 20/06 20 2.600.000 12/07 Phát hành 600.000.000 50.000.000 10/07 5 50.000 sec trả nợ 13/07 Nhờ thu 250.000.000 300.000.000 15/07 41 2.460.000 thương phiếu 23/08 Chiết khấu 150.000.000 450.000.000 25/08 -41 3.690.000* thương phiếu 28/08 Hoàn lại 80.000.000 370.000.000 15/07 47 3.478.000 thương phiếu
không thu được 31/08 Cân đối lợi 5.298.000 5.298.000 tức 375.298.000 31/08 Số dư Có 375.298.000 31/08 Cách tính: - Số ngày n được tính từ ngày giá trị của nghiệp vụ trước đến ngày giá trị của nghiệp vụ kế tiếp. Số ngày n của nghiệp vụ cuối cùng được tính từ ngày giá trị của nghiệp vụ cuối cùng đến ngày khoá sổ tài khoản. - Lợi tức được tính theo công thức tính lãi đơn - Nếu ngày giá trị của nghiệp vụ sau ở trước ngày giá trị của nghiệp vụ trước, số ngày n là số âm (-), do đó lợi tức sẽ là số âm (-) và ta sẽ ghi số dương (+) vào cột lợi tức đối ứng. * Số âm (-) ở cột lợi tức Có sẽ ghi thành (+) ở cột lợi tức Nợ. * Số âm (-) ở cột lợi tức Nợ sẽ ghi thành (+) ở cột lợi tức Có.
2.2.3.2.Trình bày theo thứ tự thời gian của ngày giá trị Theo phương pháp này, các nghiệp vụ được sắp xếp theo thứ tự thời gian của ngày giá trị. Các tính toán còn lại giống với phương pháp trên (2.3.1.) Tài khoản vãng lai được trình bày theo phương pháp này như sau: Đơn vị tính: Đồng Ngày Diễn giải Nợ Có Số dư Ngày Số Lợi tức Nợ Có giá trị ngày Nợ Có n 01/06 Số dư Có 100.000.000 31/05 20 400.000 18/06 Gửi tiền mặt 550.000.000 650.000.000 20/06 20 2.600.000 12/07 Phát hành sec trả nợ 600.000.000 50.000.000 10/07 5 50.000 13/07 Nhờ thu thương phiếu 250.000.000 300.000.000 15/07 0 0 28/08 Hoàn lại thương phiếu 80.000.000 220.000.000 15/07 41 1.804.000 không thu được 23/08 Chiết khấu thương 150.000.000 370.000.000 25/08 6 444.000 phiếu 31/08 Cân đối lợi tức 5.298.000 31/08 Cân đối số dư Có 5.298.000 375.298.000 31/08 Số dư Có 375.298.000 31/08 2.3. Tài khoản vãng lai có lãi suất không qua lại và biến đổi Đây là trường hợp phổ biến vì thông thường ngân hàng thường áp dụng lãi suất Nợ (lãi suất cho vay) cao hơn lãi suất Có (lãi suất tiền gửi). - Lãi suất Nợ được áp dụng để tính lợi tức cho vay theo số dư Nợ trên tài khoản. - Lãi suất Có được áp dụng để tính lợi tức tiền gửi theo số dư Có trên tài khoản. Trong trường hợp này, người ta chỉ dùng phương pháp Hambourg (phương pháp rút số dư) để tính lợi tức. Ví dụ 2:
Doanh nghiệp 1 mở tài khoản tại Ngân hàng B với các điều kiên sau: 01/06 -> 31/07: Lãi suất Nợ: 7,2%. Lãi suất Có: 6,84%. 01/08 -> 31/08: Lãi suất Nợ: 7,56%. Lãi suất Có: 7,02%. Hoa hồng bội chi (phí vay trội): 0,1% số dư Nợ lớn nhất. Phí giữ sổ (hoa hồng giữ sổ): 0,4% tổng nghiệp vụ Nợ. Các nghiệp vụ phát sinh được phản ánh vào TK như sau: Đơn vị tính: Triệu đồng Ngày Ngày Diễn giải Nợ Có giá trị 01/06 Số dư Nợ 50 31/05 18/06 Gửi tiền mặt 250 20/06 12/07 Phát hành sec trả nợ 350 10/07 13/07(*) Nhờ thu thương phiếu 200 15/07 27/07 Trả nợ thương phiếu 150 25/07 23/08 Chiết khấu thương phiếu 300 25/08 28/08 Phát hành sec thanh toán 180 26/08 (*): ngày thu được tiền của nghiệp vụ nhờ thu. Các nghiệp vụ trên được phản ánh vào TK vãng lai theo phương pháp Hambourg; trình bày theo thứ tự ngày phát sinh như sau: Đơn vị tính: Đồng Số dư Ngày Số Lợi tức Ngày Diễn giải Nợ Có Nợ Có giá trị ngày n Nợ Có 01/06 Số dư Nợ 50.000.000 31/05 20 200.000 18/06 Gửi tiền mặt 250.000.000 200.000.000 20/06 20 760.000 12/07 Phát hành sec trả 350.000.000 150.000.000 10/07 5 150.000 nợ 13/07 Nhờ thu thương 200.000.000 50.000.000 15/07 10 95.000 phiếu
27/07 Trả nợ thương 150.000.000 100.000.000 25/07 31 620.000 phiếu 23/08 Chiết khấu thương 300.000.000 200.000.000 25/08 1 39.000 phiếu 28/08 Phát hành sec 180.000.000 20.000.000 26/08 5 19.500 thanh toán 31/08 Cân đối lợi tức 56.500 19.943.500 56.500 31/08 Hoa hồng bội chi 150.000 19.793.500 Phí giữ sổ 2.720.000 17.073.500 31/08 Số dư Có 17.073.500 31/08 Cách tính: - Lợi tức được tính theo số dư với lãi suất Nợ hay Có tương ứng với từng thời kỳ. - Lưu ý đến sự thay đổi lãi suất vào ngày 01/08. - Ngoài lợi tức, khách hàng còn phải trả cho ngân hàng các khoản phí: * Phí vay trội = 150.000.000 x 0,1% = 150.000 đồng. * Phí giữ sổ = (350.000.000+150.000.000+180.000.000)x0,4% = 2.720.000 đồng. Tóm tắt chương: Các nội dung chính: Tài khoản vãng lai: loại tài khoản thanh toán mà ngân hàng mở cho khách hàng của mình nhằm phản ánh nghiệp vụ gửi và rút tiền giữa khách hàng và ngân hàng. Nghiệp vụ của tài khoản vãng lai gồm: Nghiệp vụ Có (nghiệp vụ gửi tiền vào Ngân hàng) và nghiệp vụ Nợ (nghiệp vụ rút tiền ở Ngân hàng).
Số dư của tài khoản vãng lai: hiệu số giữa tổng nghiệp vụ Có và tổng nghiệp vụ Nợ. Tài khoản vãng lai có thể có số dư Nợ hoặc số dư Có. Lợi tức của tài khoản vãng lai: phụ thuộc vào các yếu tố: lãi suất, ngày khoá sổ tài khoản, ngày giá trị. Lợi tức của tài khoản vãng lai được tính theo phương pháp tính lãi đơn. Lãi suất áp dụng cho các nghiệp vụ Nợ và Có: Khi áp dụng cùng một mức lãi suất cho cả nghiệp vụ Có và nghiệp vụ Nợ, người ta gọi tài khoản vãng lai có lãi suất qua lại (reciprocal rate). Khi lãi suất không đổi trong suốt thời gian mở tài khoản, người ta gọi là lãi suất bất biến. Ngày khoá sổ tài khoản: ngày ghi vào bên Nợ hoặc bên Có khoản lợi tức mà khách hàng phải trả cho ngân hàng hoặc nhận được từ ngân hàng. Ngày giá trị: thời điểm từ đó mỗi khoản nghiệp vụ phát sinh được bắt đầu tính lãi. Thời điểm này thường không trùng với thời điểm phát sinh của mỗi nghiệp vụ. - Đối với nghiệp vụ Nợ: đẩy lên sớm một hoặc hai ngày. - Đối với nghiệp vụ Có: đẩy lùi lại một hoặc hai ngày. Tài khoản vãng lai có lãi suất qua lại và bất biến: Việc tính lãi và số dư trên tài khoản vãng lai theo lãi suất qua lại và bất biến được thực hiện bằng 1 trong 3 phương pháp: - Phương pháp trực tiếp: Các bước tiến hành: + Các nghiệp vụ phát sinh được ghi vào bên nợ hoặc bên có tuỳ theo tính chất của mỗi nghiệp vụ. + Tính số ngày tính lãi của mỗi nghiệp vụ. Số ngày tính lãi: tính từ ngày giá trị đến ngày khóa sổ. + Tính số lãi theo lãi suất quy định của từng nghiệp vụ, ghi vào lợi tức bên nợ hoặc bên có. Lãi của mỗi nghiệp vụ được tính theo phương pháp tính lãi đơn: . Trong đó: C: giá trị của nghiệp vụ
i: lãi suất áp dụng n: số ngày tính lãi + Tính số lãi trên cơ sở cân đối hai cột lợi tức bên nợ và bên có, ghi số lãi vào tài khoản khi đến ngày tất toán tài khoản: Nếu tổng lợi tức bên nợ > tổng lãi bên có => ghi số lãi vào bên nợ Nếu tổng lợi tức bên nợ ghi số lãi vào bên có + Nếu có các khoản hoa hồng và lệ phí thì căn cứ vào quy định của ngân hàng để tính. + Tính số dư của tài khoản khi khoá sổ. - Phương pháp gián tiếp Các bước tiến hành: + Bước 1: Tính lãi từ ngày khoá sổ lần trước đến ngày giá trị của mỗi nghiệp vụ (mang dấu âm). + Bước 2: Tính lãi từ ngày khoá sổ lần trước đến ngày khoá sổ lần này. + Bước 3: Tính lãi thực tế bằng cách lấy kết quả bước hai trừ đi kết quả bước 1. - Phương pháp Hambourg: có hai cách trình bày: + Trình bày theo thứ tự thời gian của nghiệp vụ phát sinh: - Số ngày n được tính từ ngày giá trị của nghiệp vụ trước đến ngày giá trị của nghiệp vụ kế tiếp. Số ngày n của nghiệp vụ cuối cùng được tính từ ngày giá trị của nghiệp vụ cuối cùng đến ngày khoá sổ tài khoản. - Lợi tức được tính theo công thức tính lãi đơn - Nếu ngày giá trị của nghiệp vụ sau ở trước ngày giá trị của nghiệp vụ trước, số ngày n là số âm (-), do đó lợi tức sẽ là số âm (-) và ta sẽ ghi số dương (+) vào cột lợi tức đối ứng.
* Số âm (-) ở cột lợi tức Có sẽ ghi thành (+) ở cột lợi tức Nợ. * Số âm (-) ở cột lợi tức Nợ sẽ ghi thành (+) ở cột lợi tức Có. + Trình bày theo thứ tự thời gian của ngày giá trị: các nghiệp vụ được sắp xếp theo thứ tự thời gian của ngày giá trị. Các tính toán còn lại giống với cách trình bày theo thứ tự thời gian của nghiệp vụ phát sinh. Tài khoản vãng lai có lãi suất không qua lại và biến đổi: dùng phương pháp Hambourg (phương pháp rút số dư) để tính lợi tức. Bài tập 1. Công ty X mở tài khoản vãng lai tại một ngân hàng thời hạn từ 01/04 đến 30/06, lãi suất qua lại và bất biến 8,1%. Các nghiệp vụ phát sinh trong thời gian mở tài khoản như sau: Đơn vị tính: Triệu đồng Ngày Diễn giải Nợ Có 01/04 Số dư Nợ 80 17/04 Gửi tiền mặt 300 22/04 Phát hành sec trả nợ 250 08/05 Chiết khấu thương phiếu 100 22/05 Nhờ thu thương phiếu 200 03/06 Thanh toán tiền mua hàng 150 07/06 Hoàn lại thương phiếu không thu 50 được 18/06 Gửi tiền mặt 30 Trình bày tài khoản vãng lai của công ty X bằng các phương pháp sau: - Phương pháp trực tiếp. - Phương pháp gián tiếp. - Phương pháp Hambourg.
Biết ngày giá trị được tính theo nguyên tắc: - Nghiệp vụ Có: đẩy chậm lại 2 ngày. - Nghiệp vụ Nợ: đẩy sớm lên 2 ngày. - Ngày tiền thu được của nghiệp vụ nhờ thu thương phiếu được ghi vào tài khoản là ngày 27/05. 2. Doanh nghiệp Y mở tài khoản tại một ngân hàng thời hạn từ ngày 01/10 đến 31/12 với các điều kiện sau: 01/10 -> 30/11: Lãi suất Nợ: 9%. Lãi suất Có: 8,64%. 01/12 -> 31/12: Lãi suất Nợ: 9,18%. Lãi suất Có: 8,91%. Hoa hồng bội chi (lệ phí vay trội): 0,1% số dư Nợ lớn nhất. Lệ phí giữ sổ (hoa hồng giữ sổ): 0,4% tổng nghiệp vụ Nợ. Cách tính ngày giá trị như sau: - Nghiệp vụ Nợ: tính sớm 1 ngày. - Nghiệp vụ Có: tính trễ 1 ngày. Các nghiệp vụ phát sinh được phản ánh vào TK như sau: Đơn vị tính: Triệu đồng Ngày Diễn giải Nợ Có 01/10 Số dư Có 100 14/10 Thanh toán tiền mua hàng 120 29/10 Chiết khấu thương phiếu 200 13/11 Gửi tiền mặt 50 24/11 Phát hành sec trả nợ 300 03/12 Nhờ thu thương phiếu 280 13/12 Trả nợ thương phiếu 70 19/12 Hoàn trả thương phiếu không thu được 60 Biết ngày tiền thu được ghi vào TK của nghiệp vụ nhờ thu thương phiếu là 08/12.
CHƯƠNG 3 CHIẾT KHẤU THƯƠNG PHIẾU (COMMERCIAL PAPER DISCOUNTING) Mục tiêu của chương Chiết khấu thương phiếu là một hình thức tín dụng của ngân hàng thương mại. Trong nghiệp vụ này, ngân hàng sẽ đứng ra trả tiền trước cho các thương phiếu chưa đến hạn thanh toán theo yêu cầu của người thụ hưởng (chủ sở hữu thương phiếu). Ngân hàng sẽ khấu trừ ngay một số tiền gọi là tiền chiết khấu và trả cho người xin chiết khấu số tiền còn lại. Chương này sẽ lần lượt giới thiệu nghiệp vụ chiết khấu thương phiếu theo lãi đơn và lãi kép, cách xác định số tiền chiết khấu, chi phí chiết khấu cũng như giá trị hiện tại của thương phiếu. Ngoài ra, qua chương này, sinh viên cũng sẽ tìm hiểu các điều kiện tương đương của các thương phiếu, thay thế một thương phiếu bằng một hoặc một nhóm thương phiếu khác, Số tiết: 5 tiết Tiết 1, 2, 3 3.1. Tổng quan 3.1.1. Thương phiếu (Commercial Paper) Thương phiếu là chứng chỉ ghi nhận lệnh yêu cầu thanh toán hoặc cam kết thanh toán vô điều kiện một số tiền xác định trong một thời gian nhất định. Thực chất thương phiếu là giấy nhận nợ/đòi nợ, nhận được từ khách hàng trong thanh toán giao dịch thương mại. Thương phiếu gồm hai loại:
- Hối phiếu (bill of exchange) : do người bán lập. - Lệnh phiếu/kỳ phiếu (promissory note) : do người mua lập. 3.1.2. Chiết khấu thương phiếu (Commercial Paper Discounting) 3.1.2.1.Khái niệm Chiết khấu thương phiếu là một hình thức tín dụng của ngân hàng thương mại, thực hiện bằng việc ngân hàng mua lại thương phiếu chưa đáo hạn của khách hàng. Đặc điểm của nghiệp vụ tín dụng này là khoản lãi phải trả ngay khi nhận vốn. Do đó, khoản lợi tức này sẽ được khấu trừ ngay tại thời điểm chiết khấu. 3.1.2.2. Ý nghĩa - Đối với người sở hữu thương phiếu: Giúp cho họ có tiền để đáp ứng nhu cầu thanh toán, biến các thương phiếu chưa đến hạn thanh toán trở thành các phương tiện lưu thông, phương tiện thanh toán. - Đối với ngân hàng: Chiết khấu thương phiếu là nghiệp vụ tín dụng có đảm bảo mà tài sản đảm bảo là các tài sản có tính thanh khoản cao. Vì vậy, nghiệp vụ này vừa tạo ra tài sản sinh lời cho ngân hàng vừa tạo ra một lực lượng dự trữ để sẵn sàng đáp ứng nhu cầu thanh toán. 3.1.2.3.Điều kiện chiết khấu của một thương phiếu Một thương phiếu muốn được chấp nhận để chiết khấu cần phải đảm bảo những điều kiện sau: - Phát hành và lưu thông hợp pháp. - Các yếu tố trên thương phiếu phải đầy đủ, rõ ràng; không cạo sửa, tẩy xoá. - Thương phiếu phải còn hiệu lực. 3.1.3. Một số thuật ngữ liên quan 3.1.3.1.Mệnh giá của thương phiếu
Mệnh giá của thương phiếu là giá trị của thương phiếu khi đáo hạn (số tiền được viết trên thương phiếu). 3.1.3.2.Thời hạn (kỳ hạn) chiết khấu Thời hạn chiết khấu là thời gian để ngân hàng chiết khấu tính tiền lãi chiết khấu. Thời hạn chiết khấu xác định theo thời gian hiệu lực còn lại của chứng từ. Cách xác định: tính từ ngày chiết khấu cho đến ngày tới hạn thanh toán. Chú ý: - Nếu ngày đến hạn thanh toán trùng vào ngày nghỉ cuối tuần hoặc ngày nghỉ lễ, tết thì thời hạn chiết khấu sẽ kéo dài đến ngày làm việc gần nhất. - Trường hợp thời hạn chiết khấu còn lại quá ngắn thì ngân hàng sẽ áp dụng thời hạn chiết khấu tối thiểu (thường từ 10->15 ngày). 3.1.3.3.Lãi suất chiết khấu Lãi suất chiết khấu là lãi suất mà ngân hàng áp dụng để tính tiền lãi chiết khấu. Lãi suất chiết khấu bao giờ cũng thấp hơn lãi suất cho vay thông thường. Hai lãi suất này có mối liên hệ như sau: Trong đó: d: lãi suất chiết khấu. i: lãi suất cho vay thông thường. 3.1.3.4.Tiền chiết khấu Tiền chiết khấu là khoản lãi mà doanh nghiệp phải trả khi “vay vốn” ngân hàng dưới hình thức chiết khấu thương phiếu. Tiền chiết khấu phụ thuộc vào mệnh giá thương phiếu, thời hạn chiết khấu và lãi suất chiết khấu. Tiền Mệnh giá Thời hạn Lãi suất chiết = x x thương phiếu chiết khấu chiết khấu khấu Nếu gọi: C là mệnh giá thương phiếu
V0 là hiện giá thương phiếu. E là tiền chiết khấu Ta có : V0 = C - E 3.2. Chiết khấu thương phiếu theo lãi đơn Chiết khấu thương phiếu theo lãi đơn áp dụng đối với các thương phiếu có thời hạn thanh toán gần với thời điểm chiết khấu (ít hơn một năm). Ở đây, ta quy định thời hạn chiết khấu được tính theo số ngày chính xác và quy ước mỗi năm là 360 ngày. 3.2.1. Chiết khấu thương mại và chiết khấu hợp lý 3.2.1.1.Chiết khấu thương mại Số tiền chiết khấu thương mại Ec là số tiền lãi thu được tính trên mệnh giá C của thương phiếu. Áp dụng công thức tính lãi đơn, ta có: Trong đó: d : lãi suất chiết khấu/năm. n: thời hạn chiết khấu. Giá trị hiện tại thương mại V0 của thương phiếu được tính như sau: 3.2.1.2.Chiết khấu hợp lý Trong công thức tính tiền chiết khấu thương mại nêu trên, theo bản chất của lãi đơn, số lãi phải thanh toán vào ngày đáo hạn. Thực tế, ngân hàng lại nhận lãi ngay khi chiết khấu. Do đó, để đảm bảo hợp lý, lợi tức chiết khấu phải được tính trên số tiền mà ngân hàng cho khách hàng vay hay số tiền mà ngân hàng trả cho khách hàng của mình (hiện giá của thương phiếu). Đó là chiết khấu hợp lý. Gọi: Er là tiền chiết khấu hợp lý. V0’ là giá trị hiện tại hợp lý của thương phiếu. Ta có:
Suy ra: 3.2.1.3.So sánh chiết khấu thương mại và chiết khấu hợp lý Ta có: và Suy ra: Ec > Er hay V0 30/06 = 115 ngày. d = 12%. - Chiết khấu thương mại: - Chiết khấu hợp lý: 3.2.2. Thực hành về chiết khấu 3.2.2.1.Chi phí chiết khấu (AGIO) Trong thực tế, khi cần vốn, người ta đem các thương phiếu đến ngân hàng để chiết khấu. Ngoài số tiền chiết khấu đề cập ở trên, họ còn phải chịu thêm tiền hoa hồng và lệ phí. Tổng số tiền chiết khấu, hoa hồng và lệ phí gọi là chi phí chiết khấu (AGIO).
Chi phí chiết = Tiền chiết + Tiền hoa hồng và khấu (AGIO) khấu lệ phí chiết khấu - Tiền hoa hồng: Ngân hàng tính thêm tiền hoa hồng để bù đắp vào các chi phí từ lúc ngân hàng nhận chiết khấu cho đến khi thanh toán, đảm bảo cho nghiệp vụ chiết khấu của ngân hàng có lãi thích đáng. Hoa hồng chiết khấu bao gồm các loại sau: + Hoa hồng ký hậu hay hoa hồng chuyển nhượng. + Các loại hoa hồng khác. Tiền hoa hồng được xác định theo công thức sau: Hoa hồng Trị giá Tỷ lệ = x chiết khấu chứng từ hoa hồng Tiền hoa hồng chiết khấu sẽ không phụ thuộc vào thời hạn chiết khấu. - Lệ phí chiết khấu: Khi thực hiện nghiệp vụ chiết khấu, Ngân hàng phải trả một số khoản tiền để thẩm tra mối quan hệ giữa người ký phát hối phiếu với người chấp nhận hối phiếu; các chi phí lưu trữ, bảo quản Các khoản chi phí phát sinh này sẽ được tính vào lệ phí để có nguồn bù đắp cho ngân hàng chiết khấu. Lệ phí chiết khấu sẽ được tính bằng một trong hai cách sau: + Cách 1: Định mức thu tuyệt đối cho một hối phiếu. + Cách 2: Tỷ lệ Lệ phí Trị giá = x lệ phí cố chiết khấu chứng từ định Ví dụ: Một thương phiếu trị giá 400.000.000 VND, kỳ hạn 54 ngày được chiết khấu với lãi suất 9,6%/năm. Tỷ lệ hoa hồng chiết khấu là 0,6%. Tỷ lệ lệ phí là 0,05%. 1. Xác định số tiền chiết khấu ngân hàng được hưởng
2. Xác định chi phí chiết khấu Giải: 1. Số tiền chiết khấu: 2. Chi phí chiết khấu: - Tiền chiết khấu: 5.760.000 VND. - Hoa hồng chiết khấu: 400.000.000 x 0,6% = 2.400.000VND. - Lệ phí chiết khấu: 400.000.000 x 0,05% = 200.000 VND. AGIO = 5.760.000 + 2.400.000 + 200.000 = 8.360.000 VND. 3.2.2.2.Giá trị hiện tại và giá trị còn lại a. Giá trị hiện tại Giá trị hiện tại = Mệnh giá - Tiền chiết khấu b. Giá trị còn lại Giá trị còn lại = Mệnh giá – Chi phí chiết khấu Chú ý: Giá trị hiện tại là giá trị lý thuyết được dùng khi tính toán về sự tương đương của các thương phiếu, còn trên thực tế, khi chiết khấu thương phiếu, người ta sử dụng giá trị còn lại. 3.2.2.3.Lãi suất chi phí chiết khấu Lãi suất chi phí chiết khấu được xác định trên cơ sở AGIO so với mệnh giá thương phiếu được chiết khấu. Gọi dp là lãi suất chi phí chiết khấu.
3.2.2.4.Lãi suất chiết khấu thực tế Lãi suất chiết khấu thực tế được xác định trên cơ sở AGIO so với giá trị còn lại (số tiền mà khách hàng thực tế nhận được khi đem thương phiếu đi chiết khấu). Gọi it là lãi suất chiết khấu thực tế. Nhận xét: - Do AGIO bao gồm cả hoa hồng chiết khấu và các loại lệ phí nên lãi suất chiết khấu thực tế it lớn hơn lãi suất chiết khấu thương mại. - Thời gian chiết khấu đến ngày đáo hạn càng ngắn thì lãi suất chiết khấu thực tế càng cao. Ví dụ: Một thương phiếu trị giá 200.000.000.000.000 VND, kỳ hạn 108 ngày được đem chiết khấu với lãi suất 10%/năm. Các loại hoa hồng và lệ phí gồm: - Chi phí phụ: 200.000 VND. - Tỷ lệ hoa hồng: 0,5%. Xác định lãi suất chiết khấu thực tế. Giải: C = 200.000.000 VND. n = 108 ngày. d = 10%. Hoa hồng: 0,5% x 200.000.000 = 1.000.000 VND. AGIO = 6.000.000 + 1.000.000 + 200.000 = 7.200.000 VND. Lãi suất thực tế:
3.2.3. Sự tương đương của hai thương phiếu 3.2.3.1.Khái niệm Hai thương phiếu được gọi là tương đương với nhau ở một thời điểm nhất định trong trường hợp giá trị hiện tại của chúng bằng nhau nếu chúng được chiết khấu với cùng một lãi suất và cùng phương thức chiết khấu. Thời điểm mà những thương phiếu tương đương với nhau gọi là thời điểm tương đương (ngày ngang giá). Gọi:C 1 và C2 là mệnh giá tương ứng của 2 thương phiếu. V01 và V02 là giá trị hiện tại tương ứng của 2 thương phiếu. Hai thương phiếu này tương đương với nhau khi V01 = V02. Hay: Trong đó: - V01 và V02: hiện giá của hai thương phiếu. - n 1: số ngày tính từ ngày tương đương đến ngày đáo hạn của thương phiếu thứ nhất. - n 2: số ngày tính từ ngày tương đương đến ngày đáo hạn của thương phiếu thứ hai. - d: lãi suất chiết khấu áp dụng cho hai thương phiếu. Tương tự, một thương phiếu được gọi là tương đương với nhiều thương phiếu khác nếu hiện giá của nó bằng tổng hiện giá của các thương phiếu khác khi chúng được chiết khấu với cùng một lãi suất và cùng phương thức chiết khấu.3.2.3.2.Xác định thời điểm tương đương Gọi: x: số ngày tính từ ngày ngang giá đến ngày đáo hạn thứ nhất (ngày đáo hạn cuả thương phiếu đáo hạn sớm hơn trong hai thương phiếu).
y: số ngày tính từ ngày đáo hạn thứ nhất đến ngày đáo hạn thứ hai. Hai thương phiếu này tương đương khi: V01 = V02. 360C1 – C1.x.d = 360C2 – C2.x.d - C2.y.d (C2 – C1).x.d = 360(C2-C1)- C2.y.d Nhận xét: - Ngày ngang giá (nếu có) phải ở trước ngày đáo hạn gần nhất. - Ngày ngang giá phải sau ngày lập của hai thương phiếu. - Nếu hai thương phiếu có cùng mệnh giá nhưng kỳ hạn khác nhau hoặc có ngày đáo hạn khác nhau thì chúng sẽ không tương đương. - Hai thương phiếu sẽ luôn tương đương nếu chúng có cùng mệnh giá và cùng ngày đáo hạn. - Trong trường hợp khác, nếu hai thương phiếu có mệnh giá khác nhau và ngày đáo hạn khác nhau thì chúng sẽ tương đương vào một ngày nào đó. Khái niệm ngang giá được ứng dụng trong thực tế khi người ta muốn thay đổi điều kiện của thương phiếu (thay đổi mệnh giá, ngày đáo hạn) hoặc trong mục đích trao đổi thương phiếu. Ví dụ: Một doanh nghiệp có ba thương phiếu sau: - Thương phiếu 1: Mệnh giá 100.000.000 VND, ngày đáo hạn là 16/11. - Thương phiếu 2: Mệnh giá 150.000.000 VND, ngày đáo hạn là 30/11.
- Thương phiếu 3: Mệnh giá 250 triêụ VND, ngày đáo hạn là 31/12. Ngày 01/09, doanh nghiệp đó đề nghị thay 3 thương phiếu trên bằng một thương phiếu có kỳ hạn là 05/12. Hãy tính mệnh giá của thương phiếu đó biết lãi suất chiết khấu là 10%/năm. Giải: C1 = 100.000.000 VND; n1 = 01/09 -> 16/11 = 77. C2 = 150.000.000 VND; n2 = 01/09 -> 30/11 = 91. C3 = 250.000.000 VND; n3 = 01/09 -> 31/12 = 122. Gọi V01, V02, V03 lần lượt là giá trị hiện tại của ba thương phiếu trên. Thương phiếu tương đương với ba thương phiếu trên có mệnh giá là C, hiện giá là V0 và kỳ hạn n = 01/09 -> 05/12 = 96. Áp dụng khái niệm ngang giá, ta có: ) Suy ra: C = 499,072500.000.000 VND = 499.072.500 VND 3.2.4. Kỳ hạn trung bình của thương phiếu Kỳ hạn trung bình của nhiều thương phiếu là kỳ hạn của thương phiếu tương đương có mệnh giá bằng tổng mệnh giá của các thương phiếu đó. GọiX: thương phiếu tương đương và có tổng mệnh giá bằng tổng mệnh giá của ba thương phiếu A, B, C.
: kỳ hạn trung bình của A, B, C; cũng là kỳ hạn của thương phiếu X. Ta có: V0X = V0A + V0B + V0C (1) và CX = CA + CB + CC (2) (1): . (2) : Trong đó : Ck là mệnh giá của thương phiếu k. nk là kỳ hạn của thương phiếu k. Tiết 4, 5: 3.3. Chiết khấu thương phiếu theo lãi kép Ở phần trên, chúng ta đã nghiên cứu chiết khấu theo lãi đơn và nhận thấy giữa số tiền chiết khấu thương mại Ec và số tiền chiết khấu hợp lý Er có một sai số (Ec>Er). Nhưng sai số đó là không đáng kể vì đây là nghiệp vụ tài chính ngắn hạn (dưới một năm). Trong nghiệp vụ tài chính dài hạn (trên một năm), thời hạn của thương phiếu cách khá xa thời điểm xin chiết khấu, do đó, nghiệp vụ chiết khấu thương mại không còn phù hợp vì nó dẫn đến sai số quá lớn. Vì vậy, trong nghiệp vụ tài chính dài hạn, người ta chỉ dùng duy nhất nghiệp vụ chiết khấu hợp lý theo lãi kép để tính số tiền chiết khấu. Nếu số tiền chiết khấu thương mại được tính trực tiếp từ mệnh giá của thương phiếu thì số tiền chiết khấu hợp lý theo lãi kép lại phải tính từ giá trị hiện tại hợp lý. Như vậy, để tính được số tiền chiết khấu, trước hết ta phải tính giá trị hiện tại hợp lý của thương phiếu và sau đó tính số tiền chiết khấu chính là sai lệch giữa mệnh giá và hiện giá của thương phiếu. 3.3.1. Hiện giá của thương phiếu Gọi : C : là mệnh giá của thương phiếu. V0’’ : hiện giá hợp lý của thương phiếu theo lãi kép. E’’ : tiền chiết khấu hợp lý theo lãi kép.
n : kỳ hạn của thương phiếu. d : lãi suất chiết khấu Ta có : 3.3.2. Tiền chiết khấu Ví dụ: Một thương phiếu mệnh giá 150.000.000 VND, kỳ hạn 3 năm được chiết khấu với lãi suất 9,6%/năm. Tính hiện giá và tiền chiết khấu của thương phiếu trên. Giải : C = 150.000.000 VND. n = 3 năm. d = 9,6%/năm. E’’ = C – V0’’ = 150.000.000 - 113.935.640 = 36.064.360 VND. 3.3.3. Thực hành chiết khấu Trong thực tế, việc chiết khấu thương phiếu đòi hỏi ngân hàng phải tốn thêm một số chi phí cho các nghiệp vụ này. Vì vậy, ngân hàng đặt ra một số hoa hồng và lệ phí khác. Giả sử tổng hoa hồng và lệ phí mà người xin chiết khấu phải chịu là B, giá trị còn lại người đó nhận được là : Giá trị còn lại: 3.3.4. Sự tương đương của thương phiếu theo lãi kép 3.3.4.1.Sự tương đương của hai thương phiếu Hai thương phiếu có mệnh giá và thời hạn khác nhau sẽ tương đương với nhau, nếu khi đem chúng chiết khấu ở cùng một thời điểm, cùng một lãi suất và cùng phương thức chiết khấu chúng có cùng giá trị hiện tại hợp lý ở thời điểm đó. Giả sử có hai thương phiếu được đem chiết khấu tại cùng một thời điểm X với lãi suất chiết khấu là d:
- Thương phiếu 1 có mệnh giá là C 1, thời hạn n 1 và giá trị hiện tại hợp lý là V01. - Thương phiếu 2 có mệnh giá là C 2, thời hạn n 2 và giá trị hiện tại hợp lý là V02. Nếu V01 = V02 thì hai thương phiếu trên được coi là tương đương. Nhận xét : - Trong lãi kép, khi hai thương phiếu tương đương với nhau ở một thời điểm nào đó thì chúng sẽ tương đương với nhau ở bất kỳ một thời điểm nào khác. - Giả sử hai thương phiếu trên được chiết khấu tại thời điểm Y sau ngày chiết khấu trên (X) m kỳ. Lúc đó : Vì hai thương phiếu này tương đương nhau tại thời điểm X nên : Do đó : V01’’ = V02’’ => Chúng tương đương nhau tại thời điểm Y. 3.3.4.2.Sự tương đương của hai nhóm thương phiếu Hai nhóm thương phiếu sẽ tương đương với nhau, nếu khi đem chúng chiết khấu ở cùng một thời điểm, cùng lãi suất và cùng phương thức chiết khấu thì tổng giá trị hiện tại hợp lý của nhóm thương phiếu thứ nhất sẽ bằng tổng giá trị hiện tại của nhóm thương phiếu thứ hai. Giả sử có hai nhóm thương phiếu : - Nhóm 1: mệnh giá A1, A2, , Ak với thời hạn n1, n2, , nk. - Nhóm 2: mệnh giá B1, B2, , Bh với thời hạn m1, m2, , mh.
Tại thời điểm tương đương, ta có: 3.3.4.3.Thay thế một thương phiếu bằng một thương phiếu khác Đây là trường hợp vận dụng những kiến thức về sự tương đương của thương phiếu trong thực tiễn của nghiệp vụ chiết khấu thương phiếu. Ví dụ: Một thương phiếu mệnh giá 100.000.000 VND, thời hạn 2 năm được thay thế bằng một thương phiếu khác có mệnh giá là 110.000.000 VND. Hãy tính thời hạn của thương phiếu thay thế biết lãi suất chiết khấu là 8%/năm. Giải: C1 = 100.000.000 VND; n1 = 2. C2 = 110.000.000 VND; n2 = ?. Hai thương phiếu này tương đương nếu V01’’ = V02’’  n2 = 3,24 năm = 3 năm 2 tháng 26 ngày. 3.3.4.4.Thay thế nhiều thương phiếu bằng một thương phiếu Ví dụ: Một doanh nghiệp phải trả ba món nợ thương phiếu với những điều kiện sau: - Thương phiếu 1: Mệnh giá 150.000.000 VND, thời hạn 2 năm. - Thương phiếu 2: Mệnh giá 80.000.000 VND, thời hạn 1 năm. - Thương phiếu 3: Mệnh giá 200 triêụ VND, thời hạn 3 năm.
Vì điều kiện khó khăn về tài chính, doanh nghiệp đề nghị với ngân hàng thay thế ba món nợ trên bằng một thương phiếu có thời hạn 4 năm. Biết lãi suất chiết khấu của ngân hàng là 7,5%, hãy tính mệnh giá của thương phiếu trên. Giải: C1 = 150.000.000 VND; n1 = 2. C2 = 80.000.000 VND; n2 = 1. C3 = 200.000.000 VND; n3 = 3. Gọi V01, V02, V03 lần lượt là giá trị hiện tại hợp lý của ba thương phiếu trên. Thương phiếu tương đương với ba thương phiếu trên có mệnh giá là C, hiện giá là V0 và hạn n = 4. Áp dụng khái niệm ngang giá ta có: V0 = V01 + V02 + V03 Suy ra: n-n1 n-n2 n-n3 C = C1(1+d) + C2(1+d) + C3(1+d) C = 150(1+7,5%)4-2 + 80(1+7,5%)4-1 + 200(1+7,5%)4-3 C = 487.727.500 VND. 3.3.5. So sánh chiết khấu theo lãi đơn và chiết khấu theo lãi kép Giả sử đem chiết khấu một thương phiếu mệnh giá C, thời hạn n (kỳ) với lãi suất chiết khấu là d/kỳ. 3.3.5.1.Theo phương pháp lãi đơn - Chiết khấu thương mại: Ec = C.n.d V0 = C – Ec = C - C.n.d = C(1-n.d) - Chiết khấu hợp lý:
Er = V0’.n.đ V0’ = C – Er = C - V0’.n.d Ta có: Ec > Er và V0 Er > E’’. - n=1: Suy ra: Ec > Er = E’’. - n>1: So sánh E’’ và Ec: V0 = C(1-n.d) n>1: (1-n.d) E’’. Suy ra: Ec > E’’> Er
Kết luận: n Er > E’’ n=1: Ec > Er = E’’ n>1: Ec > E’’> Er Số tiết sửa bài tập chương 1, 2 và 3: 5 tiết Tóm tắt chương: Các nội dung chính: Thương phiếu: chứng chỉ ghi nhận lệnh yêu cầu thanh toán hoặc cam kết thanh toán vô điều kiện một số tiền xác định trong một thời gian nhất định. Thương phiếu gồm hai loại: hối phiếu (do người bán lập) và lệnh phiếu/kỳ phiếu (do người mua lập). Chiết khấu thương phiếu là một hình thức tín dụng của ngân hàng thương mại, thực hiện bằng việc ngân hàng mua lại thương phiếu chưa đáo hạn của khách hàng. Một số thuật ngữ liên quan: - Mệnh giá của thương phiếu: giá trị của thương phiếu khi đáo hạn (số tiền được viết trên thương phiếu). - Thời hạn (kỳ hạn) chiết khấu: Thời hạn chiết khấu là thời gian để ngân hàng chiết khấu tính tiền lãi chiết khấu. Thời hạn chiết khấu xác định theo thời gian hiệu lực còn lại của chứng từ, tính từ ngày chiết khấu cho đến ngày tới hạn thanh toán. - Lãi suất chiết khấu: lãi suất mà ngân hàng áp dụng để tính tiền lãi chiết khấu.
- Tiền chiết khấu: khoản lãi mà doanh nghiệp phải trả khi “vay vốn” ngân hàng dưới hình thức chiết khấu thương phiếu. Lãi suất Tiền chiết Mệnh giá Thời hạn = x x chiết khấu thương phiếu chiết khấu khấu Chiết khấu thương phiếu theo lãi đơn: áp dụng đối với các thương phiếu có thời hạn thanh toán gần với thời điểm chiết khấu (ít hơn một năm). - Chiết khấu thương mại và chiết khấu hợp lý + Chiết khấu thương mại: Số tiền chiết khấu thương mại Ec: số tiền lãi thu được tính trên mệnh giá C của thương phiếu: Trong đó: d : lãi suất chiết khấu/năm. n: thời hạn chiết khấu. Giá trị hiện tại thương mại V0 của thương phiếu: + Chiết khấu hợp lý: Lợi tức chiết khấu được tính trên số tiền mà ngân hàng cho khách hàng vay hay số tiền mà ngân hàng trả cho khách hàng của mình (hiện giá của thương phiếu). Số tiền chiết khấu Er: + So sánh chiết khấu thương mại và chiết khấu hợp lý: Ec > Er Ec - Er = - Thực hành về chiết khấu + Chi phí chiết khấu (AGIO): Khi khách hàng xem thương phiếu đến ngân hàng để chiết khấu, ngoài số tiền chiết khấu đề cập ở trên, họ còn phải chịu thêm tiền hoa hồng và lệ phí. Tổng số tiền chiết khấu, hoa hồng và lệ phí gọi là chi phí chiết khấu (AGIO). Chi phí chiết khấu = Tiền chiết + Tiền hoa hồng và lệ (AGIO) khấu phí chiết khấu Trong đó:
Hoa hồng Trị giá Tỷ lệ = x chiết khấu chứng từ hoa hồng Tỷ lệ Lệ phí Trị giá = x lệ phí cố chiết khấu chứng từ định + Giá trị hiện tại và giá trị còn lại Giá trị hiện tại = Mệnh giá - Tiền chiết khấu Giá trị còn lại = Mệnh giá – Chi phí chiết khấu + Lãi suất chi phí chiết khấu, dp: + Lãi suất chiết khấu thực tế, it: - Sự tương đương của hai thương phiếu: Hai thương phiếu được gọi là tương đương với nhau ở một thời điểm nhất định trong trường hợp giá trị hiện tại của chúng bằng nhau nếu chúng được chiết khấu với cùng một lãi suất và cùng phương thức chiết khấu. Thời điểm mà những thương phiếu tương đương với nhau gọi là thời điểm tương đương (ngày ngang giá). Điều kiện để hai thương phiếu này tương đương với nhau: Trong đó: -C1 và C2: mệnh giá tương ứng của 2 thương phiếu. - n 1: số ngày tính từ ngày tương đương đến ngày đáo hạn của t thương phiếu thứ nhất. - n2: số ngày tính từ ngày tương đương đến ngày đáo hạn của thương phiếu thứ hai. - d: lãi suất chiết khấu áp dụng cho hai thương phiếu. Thời điểm tương đương : Trong đó:
x: số ngày tính từ ngày ngang giá đến ngày đáo hạn thứ nhất (ngày đáo hạn cuả thương phiếu đáo hạn sớm hơn trong hai thương phiếu). y: số ngày tính từ ngày đáo hạn thứ nhất đến ngày đáo hạn thứ hai. - Kỳ hạn trung bình của thương phiếu: kỳ hạn của thương phiếu tương đương có mệnh giá bằng tổng mệnh giá của các thương phiếu đó. Trong đó :C k: mệnh giá của thương phiếu k. nk: kỳ hạn của thương phiếu k. Chiết khấu thương phiếu theo lãi kép: trong nghiệp vụ tài chính dài hạn, người ta dùng nghiệp vụ chiết khấu hợp lý theo lãi kép để tính số tiền chiết khấu. - Hiện giá của thương phiếu: Trong đó: C : là mệnh giá của thương phiếu. V0’’ : hiện giá hợp lý của thương phiếu theo lãi kép. E’’ : tiền chiết khấu hợp lý theo lãi kép. n : kỳ hạn của thương phiếu. d : lãi suất chiết khấu - Tiền chiết khấu : - Thực hành chiết khấu : Giá trị còn lại: Trong đó : B : tổng hoa hồng và lệ phí. - Sự tương đương của thương phiếu theo lãi kép : + Sự tương đương của hai thương phiếu : Hai thương phiếu có mệnh giá và thời hạn khác nhau sẽ tương đương với nhau, nếu khi đem chúng chiết khấu ở cùng một thời điểm, cùng một lãi suất và cùng phương thức chiết khấu chúng có cùng giá trị hiện tại hợp lý ở thời điểm đó. Hai thương phiếu tương đương :
+ Sự tương đương của hai nhóm thương phiếu : Hai nhóm thương phiếu sẽ tương đương với nhau, nếu khi đem chúng chiết khấu ở cùng một thời điểm, cùng lãi suất và cùng phương thức chiết khấu thì tổng giá trị hiện tại hợp lý của nhóm thương phiếu thứ nhất sẽ bằng tổng giá trị hiện tại của nhóm thương phiếu thứ hai. Trong đó:A 1, A2, , Ak: mệnh giá của các thương phiếu trong nhóm 1. n1, n2, , nk : thời hạn của các thương phiếu trong nhóm 1. B1, B2, , Bh: mệnh giá của các thương phiếu trong nhóm 2. m1, m2, , mh : thời hạn của các thương phiếu trong nhóm 2. Dựa vào sự tương đương của hai thương phiếu hoặc hai nhóm thương phiếu, có thể xác định thương phiếu thay thế cho một hoặc một nhóm thương phiếu khác. So sánh chiết khấu theo lãi đơn và chiết khấu theo lãi kép n Er > E’’ n=1: Ec > Er = E’’ n>1: Ec > E’’> Er Bài tập CHIẾT KHẤU THƯƠNG PHIẾU THEO LÃI ĐƠN 1. Một thương phiếu có mệnh giá 300.000.000 VND, ngày đáo hạn là 16/08 được chiết khấu vào ngày 12/06 với lãi suất chiết khấu 9%. 1. Hiện giá và tiền tiền chiết khấu thương mại của thương phiếu.
2. Hiện giá và tiền tiền chiết khấu hợp lý của thương phiếu. ĐS: 1. 295.050.000 VND - 4.950.000 VND 2. 295.130.350 VND - 4.869.650 VND 2. Ngày 10/04, một doanh nghiệp đem chiết khấu một thương phiếu có mệnh giá 250.000.000 VND với tiền chiết khấu thương mại là 3.000.000 VND. Xác định lãi suất chiết khấu nếu ngày đáo hạn là: 1. 05/06. 2. 15/05. ĐS: 1. 7,58% 2. 12% 3. Ngày 06/09, một doanh nghiệp đem chiết khấu một thương phiếu mệnh giá 250.000.000 VND, ngày đáo hạn 25/11. Chênh lệch giữa tiền chiết khấu thương mại và chiết khấu hợp lý là 100.500 VND. Hãy tính: 1. Lãi suất chiết khấu. 2. Tiền chiết khấu thương mại và tiền chiết khấu hợp lý. ĐS: 1. 9% 2. 5.062.500 VND - 4.962.000 VND 4. Ngày 28/05, một doanh nghiệp đem chiết khấu ở ngân hàng một thương phiếu mệnh giá 400.000.000 VND, kỳ hạn 20/07 với các điều kiện sau: - Lãi suất chiết khấu: 10%/năm. - Tỷ lệ hoa hồng: 0,4%. - Tỷ lệ lệ phí: 0,05%.
Hãy tính: 1. Tính AGIO và số tiền còn lại doanh nghiệp nhận được. 2. Tính lãi suất chiết khấu thực tế. ĐS: 1. 7.800.000 VND - 692.200.000 VND 2. 14,32% 5. Một thương phiếu mệnh giá 250.000.000 VND, thời hạn 45 ngày. 2 ngân hàng X, Y có các điều kiện chiết khấu như sau: Lãi suất chiết khấu Ngân hàng Tỷ lệ hoa hồng Tỷ lệ lệ phí (d) X 8% 0,6% 0,04% Y 10% 0,4% 0,03% 1. Tính AGIO đối với hai ngân hàng. 2. Tính lãi suất chiết khấu thực tế ở mỗi ngân hàng. Theo anh (chị) nên chọn ngân hàng nào để chiết khấu thương phiếu trên. ĐS: 1. 4.100.000 VND (X) - 4.200.000 VND (Y) 2. 13,34% (X) - 13,67% (Y) 6. Điều kiện chiết khấu ở ba ngân hàng A, B, C như sau: Lãi suất chiết khấu Ngân hàng Tỷ lệ hoa hồng Tỷ lệ lệ phí (d) A 10,8% 0,4% 0,05% B 9% 0,6% 0,04% C 9,9% 0,5% 0,06% Nếu thương phiếu được chiết khấu có kỳ hạn n ngày, xác định với những giá trị n nào thì chiết khấu ở ngân hàng nào sẽ có lợi nhất.
Đ.S. Giá trị n Ngân hàng được chọn 0 44 B 7. Lấy lại giả thiết của bài 06. Hãy xác định: 1. Lãi suất chi phí chiết khấu (ip) ở mỗi ngân hàng với một thương phiếu đáo hạn sau n ngày. 2. So sánh lãi suất chi phí chiết khấu ở mỗi ngân hàng theo giá trị n là 30, 45, 60, 75 ngày. Đ.S. 1. A: 10,8 + (%); B: 9 + (%); C: 9,9 + (%) n = 30 n = 45 n = 60 n = 75 2. ip(A) < ip(C) < ip(B) ip(B)< ip(C)<ip(A) ip(B)< ip(C)<ip(A) ip(B)< ip(C)<ip(A) 8. Một công ty muốn thay thế một thương phiếu mệnh giá 320.000.000 VND, kỳ hạn 60 ngày bằng một thương phiếu có kỳ hạn 75 ngày. Tính mệnh giá của thương phiếu thay thế nếu lãi suất chiết khấu là 9%. Đ.S. 321.223.000 VND 9. Có thương phiếu:
- Thương phiếu 1: mệnh giá 363.500.000 VND, đáo hạn ngày 09/09. - Thương phiếu 2: mệnh giá 367.500.000 VND, đáo hạn ngày 10/10. Hãy xác định ngày ngang giá của hai thương phiếu trên nếu lãi suất chiết khấu là 12%. Đ.S. 10/06 10. Một thương phiếu mệnh giá 250.000.000 VND, kỳ hạn 45 ngày được thay thế bằng hai thương phiếu: - Thương phiếu 1: mệnh giá 100.000.000 VND, kỳ hạn 30 ngày. - Thương phiếu 2: kỳ hạn 55 ngày. Với lãi suất chiết khấu là 10,8%, hãy xác định mệnh giá của thương phiếu 2. Đ.S. 150.00.000 VND 11. Có 3 thương phiếu: - Thương phiếu 1 mệnh giá 280.000.000 VND, kỳ hạn 29/06. - Thương phiếu 2 mệnh giá 300.000.000 VND, kỳ hạn 23/07. - Thương phiếu 3 mệnh giá 200.000.000 VND, kỳ hạn 20/08. Xác định kỳ hạn trung bình của ba thương phiếu trên biết ngày tương đương của chúng là 01/06. Đ.S. 52 ngày CHIẾT KHẤU THƯƠNG PHIẾU THEO LÃI KÉP 1. Một doanh nghiệp đem chiết khấu một thương phiếu 500.000.000 VND, kỳ hạn 3 năm 6 tháng. Lãi suất chiết khấu là 7%. Xác định hiện giá và tiền chiết khấu của thương phiếu trên.
Đ.S. 394.572.500 VND 105.427.500 VND 2. Một doanh nghiệp đem chiết khấu một thương phiếu mệnh giá 350.000.000 VND, lãi suất chiết khấu là 7,2%/năm. Biết tiền chiết khấu là 100.000.000 VND. Hãy cho biết thương phiếu trên còn bao lâu nữa thì đáo hạn. Đ.S. 4 năm 10 tháng 3. Một thương phiếu mệnh giá 250.000.000 VND, đáo hạn vào cuối năm 2006. Đầu năm 2004, doanh nghiệp đã đem trao đổi thương phiếu đó lấy một thương phiếu khác với lãi suất chiết khấu là 7%. 1. Nếu mệnh giá của thương phiếu đó là 297.500.000 VND, xác định kỳ hạn của thương phiếu thay thế. 2. Nếu kỳ phiếu thay thế đáo hạn vào ngày 30/06/2007, thương phiếu đó có mệnh giá là bao nhiêu. Đ.S. 1. 5 năm 6 tháng 2. 258.843.600 VND 4. Một thương phiếu A có mệnh giá 500.000.000 VND, đáo hạn sau 2x năm nay đề nghị thay thế bằng một thương phiếu B có mệnh giá là 592.145.000 VND, đáo hạn sau x + 0,5 năm. Hãy xác định thời hạn của hai thương phiếu trên biết lãi suất chiết khấu là 7%/năm. Đ.S. 6 năm 3,5 năm 5. Một thương phiếu có mệnh giá 400.000.000 VND, đáo hạn sau 5 năm được thay thế bằng ba thương phiếu khác cùng có mệnh giá, đáo hạn lần lượt sau x năm, x+2 năm 6 tháng, x+3 năm 6 tháng. Lãi suất chiết khấu là 8%.
1. Nếu mệnh giá của ba hối phiếu thay thế là 276.742.000 VND. Tính x. n = 3 năm n = 1 năm n = 0,5 năm Lãi đơn Ec 117.000.000 39.000.000 19.500.000 2. Nếu x = 2, Er 94.813.600 36.178.100 18.768.000 mệnh giá của ba hối phiếu thay thế là bao nhiêu? Đ.S. 1. x = 3 2. 122.654.500 VND 6. Có năm thương phiếu có mệnh giá và kỳ hạn như sau: Thương phiếu A1 A2 A3 A5 A6 Mệnh giá (trđ) 400 300 500 200 350 Kỳ hạn (tháng) 18 9 12 24 21 được thay thế bởi ba thương phiếu sau: Thương phiếu B1 B2 B3 Mệnh giá (trđ) 600 650 570 Kỳ hạn (tháng) 15 24 30 Xác định lãi suất chiết khấu/năm. Đ.S. 7,11% 7. Một thương phiếu mệnh giá 500.000.000 VND được chiết khấu theo lãi suất 7,8%/năm. 1. Tính tiền chiết khấu thương mại, tiền chiết khấu hợp lý theo lãi đơn và tiền chiết khấu theo lãi kép nếu thương phiếu có kỳ hạn là 3 năm. 2. Yêu cầu như câu 1 nhưng kỳ hạn của thương phiếu là 1 năm. 3. Yêu cầu như câu 1 nhưng kỳ hạn của thương phiếu là 6 tháng. 4. Rút ra nhận xét từ kết quả trên. Đ.S.
Lãi kép (E’’) 100.870.600 36.178.100 18.428.700 Nhận xét Er < E’’ < Ec Er = E’’ < Ec E’’ < Er < Ec CHƯƠNG 4 CHUỖI TIỀN TỆ (ANNUITIES) Mục tiêu của chương Ở phần trước, chúng ta đã biết cách xác định giá trị của một khoản vốn tại một thời điểm nhất định. Trong chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu về chuỗi tiền tệ. Đó là một loạt các khoản tiền phát sinh định kỳ theo những khoảng thời gian bằng nhau. Chuỗi tiền tệ khá phổ biến trong thực tế. Ví dụ, chúng ta vay một khoản tiền tại ngân hàng và trả nợ bằng cách khoản tiền bằng nhau vào cuối mỗi quý. Các khoản tiền đó tạo thành một chuỗi tiền tệ. Chương này sẽ giới thiệu một số loại chuỗi tiền tệ cơ bản và nguyên tắc tính giá trị của chúng tại một thời điểm bất kỳ. Số tiết: 6 tiết Tiết 1, 2, 3: 4.1. Các nguyên tắc cơ bản 4.1.1. Phương trình giá trị Một tình huống đầu tư hoặc cho vay đơn giản bao gồm 4 yếu tố sau: - vốn gốc đầu tư hay cho vay ban đầu - thời gian đầu tư hay cho vay - lãi suất
- giá tích luỹ vào cuối kỳ đầu tư hoặc số tiền hoàn trả sau thời gian vay. Nếu biết ba trong số các giá trị này, ta sẽ tính được giá trị còn lại. Trong phần này, ta sẽ tìm hiểu một phương trình cho biết giá trị của một khoản đầu tư hay cho vay vào một thời điểm bất kỳ. Một nguyên tắc cơ bản của lý thuyết lợi tức là giá trị của một khoản tiền đầu tư hay cho vay tại một thời điểm nhất định sẽ phụ thuộc vào thời gian mà số tiền đã được đầu tư hay cho vay hoặc thời gian số tiền đó phải đầu tư hoặc cho vay trước khi thu hồi hoặc hoàn trả. Nguyên tắc trên cho biết: Giá trị tích luỹ hoặc giá trị hiện tại hoá của hai khoản tiền đầu tư hay cho vay ở hai thời điểm khác nhau chỉ có thể so sánh với nhau tại một thời điểm gọi là thời điểm so sánh. Phương trình gồm các giá trị tích luỹ hay giá trị hiện tại hoá của các khoản tiền đầu tư hoặc cho vay vào thời điểm so sánh gọi là phương trình giá trị. Để thấy rõ các khoản tiền đầu tư (hay cho vay), ta sẽ vẽ một đồ thị theo thời gian kể từ khi số tiền được đầu tư (hay cho vay). Trên đó sẽ ghi các dòng tiền vào và ra (tuỳ theo giác độ của người đầu tư, cho vay hay người đi vay). Ví dụ : A cho B vay như sau: A sẽ đưa ngay cho B 10.000.000 VND, sau 3 năm sẽ đưa thêm 5.000.000 VND và sau 4 năm sẽ đưa thêm 1.000.000 VND. B phải trả lại tiền cho A sau 6 năm. Hỏi số tiền B phải trả là bao nhiêu nếu lãi suất là 9%, vốn hoá mỗi tháng. Ở vị trí của A, ta có đồ thị như sau: X là số tiền cần tính. Nếu lấy cuối năm thứ 6 là thời điểm so sánh, ta sẽ có giá trị của X phải bằng tổng các giá trị tích luỹ của các khoản tiền mà A đã cho B vay. Ta có phương trình giá trị như sau :
X = 23.396.451 VND Ở đây : : giá trị tích luỹ vào cuối năm thứ 6 của 10.000.000 cho vay tại t = 0 : giá trị tích luỹ vào cuối năm thứ 6 của 5.000.000 cho vay tại t = 3 : giá trị tích luỹ vào cuối năm thứ 6 của 1.000.000 cho vay tại t = 4 Ta cũng có thể lấy thời điểm so sánh là t = 0. Khi đó, phương trình giá trị là: Trong đó: , , , lần lượt là giá trị hiện tại hoá của 10.000.000, 5.000.000, 1.000.000 và X tại thời điểm t = 0. Từ đó, X = 23.396.451 VND Để minh hoạ thêm về phương trình giá trị, ta có lấy thời điểm so sánh là t = 3. Khi đó, ta có giá trị của các khoản tiền hoàn trả đưa về cuối năm thứ 3 phải bằng giá trị tích luỹ của các khoản tiền cho vay trước t = 3 và giá trị hiện tại hoá của các khoản vay sau t = 3. Trong đó : , , , lần lượt là giá trị vào thời điểm t = 3 của 10.000.000 , 5.000.000, 1.000.000, X. Một cách tổng quát, ta sẽ có : Tổng giá trị tích luỹ hay hiện tại Tổng giá trị tích luỹ hay hiện tại hoá của dòng tiền vào tại thời = hoá của dòng tiền ra tại thời điểm so sánh điểm so sánh Ví dụ:
Lấy lại ví dụ 1 nhưng trong trường hợp này, thay vì B trả tiền một lần cho A vào cuối năm thứ 6, B sẽ trả làm 2 lần với 2 khoản tiền bằng nhau (Y) vào cuối năm thứ 5 và cuối năm thứ 6. Xác định Y. Giả sử lấy cuối năm thứ 5 làm thời điểm so sánh, ta có phương trình giá trị như sau : Trong đó, vế trái là giá trị của dòng vào tại thời điểm t = 5 và vế phải là giá trị của dòng ra tại thời điểm t = 5. Ta sẽ có : Y = 11.174.121 VND Ở đây, ta lưu ý, số tiền B phải trả cho A ở ví dụ 1 là X = 23.396.451 VND và trong ví dụ thứ 2 là hai lần số tiền Y = 11.174.121 VND. Tổng số tiền B trả trong ví dụ 2 là 2Y = 2 x 11.174.121 VND = 22.348.241 VND, ít hơn số tiền X trong ví dụ 1 là 23.396.451 VND - 22.348.241 VND = 1.048.210 VND. Thực tế, số tiền chênh lệch này đúng bằng khoản lợi tức sinh ra từ số tiền B trả vào cuối năm thứ 5 với lãi suất danh nghĩa i(12) = 9% trong năm cuối cùng. Ta có : 1.048.210 = 11.174.121 x [(1 + )12 – 1] Ví dụ : A vay B một số tiền là 10.000.000 VND. Xác định lãi suất cho vay nếu A trả cho B các khoản tiền 3.000.000 VND, 4.000.000 VND, 6.000.000 VND lần lượt vào cuối năm thứ 3, thứ 6 và thứ 10. Giải:
Gọi i là lãi suất của khoản vay. Lấy thời điểm t = 0 làm thời điểm so sánh, ta có phương trình giá trị như sau : 10.000.000 = 3.000.000 x (1 + i)-3 + 6.000.000 x (1 + i)-6 + 8.500.000 x (1 + i)-10 Để tìm i, ta có thể dùng phương pháp nội suy. Phương pháp nội suy : Giả sử ta có phương trình : f(i) = s. Trong đó, f(i) là một hàm số của i; s là một giá trị cho trước. Để tìm i, ta tìm hai giá trị i1 và i2 sao cho f(i1) = s1 s1 = 9.484.646 i2 = 8% => s2 = 10.099.659
4.1.2. Kỳ hạn trung bình của khoản vay Giả sử B phải hoàn trả cho A một khoản vay. Kỳ hạn trung bình của khoản vay (t *) là kỳ hạn mà ở đó, thay vì B trả nhiều lần cho A các khoản tiền s 1, s2, , sn lần lượt tại các thời điểm t 1, t2, , tn, * B có thể trả một lần tổng số tiền (s1 + s2 + + sn) tại thời điểm t . Lấy t = 0 làm thời điểm tương đương, ta có : -t* -t1 -t2 - (s1 + s2 + + sn).(1 + i) = s1.(1 + i) + s2.(1 + i) + + sn.(1 + i) tn Ví dụ: Nam phải trả một khoản nợ bằng cách chia làm nhiều lần: 15.000.000 vào cuối năm thứ 3, 25.000.000 VND vào cuối năm 5 vào 35.000.000 VND vào cuối năm 6. Tính thời hạn trung bình của khoản vay, biết lãi suất là 8%. Giải: Chọn t = 0 làm thời điểm tương đương, ta có phương trình giá trị như sau: (15.000.000 + 25.000.000 + 35.000.000) x (1 + 8%)-t* = 15.000.000(1 + 8%)-3 + 25.000.000(1 + 8%)-5 + 35.000.000(1 + 8%)-6
t* = 5,017 năm. 4.2. Chuỗi tiền tệ đơn giản 4.2.1. Khái niệm Trên thực tế, ta thường gặp trường hợp một khoản vay được trả bằng nhiều khoản tiền bằng nhau sau các khoảng thời gian bằng nhau. Thông thường, các khoản tiền được trả vào cuối mỗi tháng hoặc cuối mỗi năm. Trường hợp này gọi là chuỗi tiền tệ. Chuỗi tiền tệ là một loạt các khoản tiền phát sinh định kỳ theo những khoảng thời gian bằng nhau. Một chuỗi tiền tệ được hình thành khi đã xác định được: - Số kỳ phát sinh : n - Số tiền phát sinh mỗi kỳ : ai (i = ) - Lãi suất áp dụng cho mỗi kỳ : i - Độ dài của kỳ : khoảng cách thời gian cố định giữa hai kỳ (có thể là năm, tháng, quý, ) Có thể có một số loại chuỗi tiền tệ sau: - Chuỗi tiền tệ cố định (constant annuities): số tiền phát sinh trong mỗi kỳ bằng nhau. - Chuỗi tiền tệ biến đổi (variable annuities): số tiền phát sinh trong mỗi kỳ không bằng nhau. - Chuỗi tiền tệ có thời hạn: số kỳ phát sinh là hữu hạn. - Chuỗi tiền tệ không kỳ hạn: số kỳ phát sinh là vô hạn. Trong phần này, ta sẽ tìm hiểu chuỗi tiền tệ đơn giản (còn gọi là chuỗi tiền tệ đều). Đó là trường hợp chuỗi tiền tệ cố định (số tiền phát sinh trong mỗi kỳ bằng nhau) và kỳ phát sinh của chuỗi tiền tệ trùng với kỳ vốn hoá của lợi tức. Ví
dụ, các khoản tiền được trả hàng tháng thì lợi tức cũng được vốn hoá mỗi tháng. Các chuỗi tiền tệ biến đổi và kỳ phát sinh của chuỗi tiền tệ không trùng với kỳ vốn hoá của lợi tức sẽ được giới thiệu ở phần sau. 4.2.2. Chuỗi tiền tệ đều phát sinh cuối kỳ Xét một chuỗi tiền tệ gồm các khoản tiền bằng nhau a phát sinh vào cuối mỗi kỳ trong suốt n kỳ. Lãi suất áp dụng cho mỗi kỳ là i. Chuỗi tiền tệ này được gọi là chuỗi tiền tệ đều phát sinh cuối kỳ. 4.2.2.1.Giá trị hiện tại a. Đồ thị biểu diễn V0: Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ Lấy thời điểm t = 0 làm thời điểm so sánh, ta có: Vo là dạng tổng của một cấp số nhân với n số hạng; số hạng đầu tiên là và công bội là (1+i). Vo = . Ví dụ : Một người mua một cái bàn ủi bằng cách trả góp 12 kỳ vào cuối mỗi tháng số tiền 1 triệu VND, lãi suất danh nghĩa i (12) = 9,6%. Vậy người đó đã mua cái bàn ủi với giá bao nhiêu? i = i(12)/12 = 9,6%/12 = 0,8%
b. Hệ quả từ công thức tính V0 của chuỗi tiền tệ đều: - Tính kỳ khoản a: - Tính lãi suất i: Ta có thể sử dụng bảng tài chính hoặc dùng công thức nội suy để tính i. - Tính số kỳ khoản n: Trong trường hợp n không phải là số nguyên, ta cần phải biện luận thêm. Gọin 1: số nguyên nhỏ hơn gần nhất với n. n2: số nguyên lớn hơn gần nhất với n. Có 2 cách để quy tròn số n: * Cách 1: Chọn n = n1 nghĩa là quy tròn n sang số nguyên nhỏ hơn gần nhất. Lúc đó V 01 V0. Do đó, để đạt hiện giá V 0, chúng ta phải giảm bớt kỳ khoản cuối cùng n1 một khoản x. Ví dụ: 1. Xác định giá trị của kỳ khoản phát sinh của một chuỗi tiền tệ đều có 8 kỳ khoản, lãi suất 2,2%/kỳ. Biết hiện giá của chuỗi tiền tệ đó là 18.156.858 VND.
2. Hiện giá của một chuỗi tiền tệ đều có 12 kỳ khoản là 30 triệu VND với giá trị của mỗi kỳ khoản là 3 triệu VND. Hãy xác định lãi suất i áp dụng cho mỗi kỳ. 3. Xác định số kỳ khoản n của một chuỗi tiền tệ đều có giá trị của một kỳ khoản là 2 triệu VND, lãi suất áp dụng mỗi kỳ là 4% và hiện giá là 9.000.000 VND. 4. A muốn vay một khoản tiền 100.000.000 VND để mua một chiếc ôtô. A có hai sự lựa chọn như sau: - A phải trả vào cuối mỗi tháng một số tiền bằng nhau trong vòng 3 năm với lãi suất danh nghĩa là i(12) = 9,6%. - A phải trả vào cuối mỗi tháng một số tiền bằng nhau trong vòng 4 năm với lãi suất danh nghĩa là i(12) = 10,8%. Xác định số tiền phải trả mỗi tháng trong mỗi trường hợp. Giải: 1. i = 2,2%/kỳ n = 8 kỳ V0 = 18.156.858 VND. => 2. a = 3.000.000 n = 12 kỳ V0 = 30.000.000 V0 = a. => Ta có thể tính i bằng phương pháp nội suy: Đặt Chọn:
Ta có công thức nội suy: 3. i = 4,0%/kỳ V0 = 9.000.000 a = 2.000.000 => Cách 1: Chọn n = 5. V01 V0 = 10.000.000 VND Để đạt hiện giá V 0, ta giảm bớt kỳ khoản cuối cùng (6) một khoản x sao cho: x = (10.484.274 - 10.000.000)(1+4%)6 = 612.761
Vậy a6 = a – x = 2.000.000 - 612.761 = 1.387.239 4. Trường hợp 1: Lãi suất áp dụng cho mỗi kỳ: i(12)/12 = 9,6%/12 = 0,008 V0 = a1 x => a1 = Trường hợp 2: Lãi suất áp dụng cho mỗi kỳ: i(12)/12 = 10,8%/12 = 0,009 V0 = a2 x => a2 = 4.2.2.2.Giá trị tích luỹ (giá trị tương lai)a. Đồ thị biểu diễn Vn: Giá trị tích luỹ (giá trị tương lai) của chuỗi tiền tệ Chọn thời điểm t = n làm thời điểm so sánh, ta có: 2 n-2 n-1 Vn = a + a(1+i) + a(1+i) + + a(1+i) + a(1+i) Vế phải là dạng tổng của một cấp số nhân n số hạng với số hạng đầu tiên là a, công bội là (1+i) Ví dụ:
Để thành lập một số vốn, một doanh nghiệp gửi vào một tài khoản cuối mỗi năm một số tiền không đổi là 10 triệu VND. Cho biết số tiền trong tài khoản này vào lúc doanh nghiệp ký gởi tiền lần thứ 6, nếu lãi suất là 8,5%/năm. V6 = 10.000.000 x = 74.290.295 VND b. Hệ quả từ công thức tính Vn của chuỗi tiền tệ đều - Tính kỳ khoản a: - Tính lãi suất i: Ta có thể sử dụng bảng tài chính hay dùng công thức nội suy để tính i. - Tính số kỳ khoản n: Trong trường hợp n không phải là số nguyên, ta cần phải biện luận thêm. Gọin 1: số nguyên nhỏ hơn gần nhất với n. n2: số nguyên lớn hơn gần nhất với n. Có 3 cách để quy tròn số n: * Cách 1: Chọn n = n1 nghĩa là quy tròn n sang số nguyên nhỏ hơn gần nhất. Lúc đó Vn1 Vn. Do đó, để đạt được giá trị Vn sau n2 kỳ khoản, chúng ta phải giảm bớt kỳ khoản cuối cùng số còn thừa (Vn2 – Vn): an1 = a - (Vn2 – Vn)
* Cách 3: Chọn n = n1 và thay vì tăng thêm 1 số tiền ở kỳ khoản cuối cùng, ta có thể để Vn1 trên tài khoản thêm một thời gian x để Vn1 tiếp tục phát sinh lợi tức (kép) cho đến khi đạt được giá trị Vn. x Ta có : Vn = Vn1(1+i) => Ví dụ : Một người gửi tiết kiệm tại một ngân hàng vào cuối mỗi quý một khoản tiền bằng nhau. 1. Nếu người đó gửi mỗi lần một khoản tiền là 2 triệu VND, lãi suất danh nghĩa của ngân hàng là i (4) = 8,4% thì sau 2 năm, người đó thu được một khoản tiền là bao nhiêu. 2. Nếu người đó thu được cả vốn lẫn lãi là 40.463.286 VND sau ba năm, lãi suất tiết kiệm của ngân hàng là i (4) = 8,4% thì phải gửi vào ngân hàng mỗi quý một khoản tiền là bao nhiêu. 3. Xác định lãi suất tiền gửi tiết kiệm danh nghĩa i(4) tại ngân hàng biết: cuối mỗi quý người đó gửi vào ngân hàng một khoản tiền là 4 triệu VND và sau 2 năm 6 tháng thu được một khoản tiền là 43.800.000 VND. 4. Nếu lãi suất gửi tiết kiệm danh nghĩa ở ngân hàng i (4) = 8%, cuối mỗi quý, người đó gửi một khoản tiền là 2,5 triệu VND thì sau bao nhiêu kỳ gửi, ông ta sẽ thu được 42.000.000 VND. Giải : 1. a = 2.000.000 n = 2 năm = 8 quý i(4) = 8,4% => i = = 2,1%/quý 2. n = 3 năm = 12 quý. i(4) = 8,4% => i = = 2,1%/quý V12 = 40.463.286 VND. V12 = a.
3. a = 4.000.000 n = 2 năm 6 tháng = 10 quý. V10 = 43.800.000 Ta có thể tính i bằng phương pháp nội suy: Đặt Chọn : Ta có công thức nội suy : i(4) = 4.i = 4.2% = 8% 4. a = 2.500.000 i(4) = 8% => i = = 2%/quý Vn = 42.000.000 Vn = a. => n = = n = 14,63. Cách 1: Chọn n = 14. V14 = a. = 2.500.000 x = 39.934.845 Kỳ khoản 14, ông ta phải gửi vào tài khoản một số tiền là : a14 = a + (Vn - V14) = 2.500.000 + (42.000.000 - 39.934.845) a14 = 4.565.155
Cách 2: Chọn n = 15. V15 = a. = 2.500.000 x = 43.233.542 Kỳ khoản 15, ông ta phải gửi vào tài khoản một số tiền là: a15 = a - (V15 – Vn) = 2.500.000 - (43.233.542 - 42.000.000) a15 = 1.266.458 Cách 3: Chọn n = 14. V14 = 39.934.845 Để đạt được số tiền là 42.000.000 VND, ông ta để V 14 trên tài khoản một thời gian x: x = = = 2,546 quý = 7 tháng 19 ngày. 4.2.3. Chuỗi tiền tệ đều phát sinh đầu kỳ Xét một chuỗi tiền tệ gồm các khoản tiền bằng nhau a phát sinh vào đầu mỗi kỳ trong suốt n kỳ. Lãi suất áp dụng cho mỗi kỳ là i. Chuỗi tiền tệ này được gọi là chuỗi tiền tệ đều phát sinh đầu kỳ. 4.2.3.1.Giá trị hiện tại Đồ thị biểu diễn V0’: Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ
Chọn thời điểm t = 0 làm thời điểm so sánh, ta có: V0’ = a + + + + + Vo’ là tổng của một cấp số nhân với n số hạng, số hạng đầu tiên là và công bội là (1+i). V0’ = . V0’ = a (1+i). Ví dụ: Lấy lại ví dụ ở trên về việc một người mua một cái bàn ủi bằng cách trả góp. Thay vì trả vào cuối mỗi tháng, ông trả tiền vào đầu mỗi tháng. Trường hợp này, người đó đã mua cái bàn ủi với giá bao nhiêu? i = i(12)/12 = 9,6%/12 = 0,8% V0’ = 1.000.000 x (1 + 0,008) x = 11.489.803 VND 4.2.3.2.Giá trị tích luỹ (giá trị tương lai) Đồ thị biểu diễn Vn’: Giá trị tích luỹ (tương lai) của chuỗi tiền tệ 2 n-1 n Vn’ = a(1+i) + a(1+i) + + a(1+i) + a(1+i) Vế phải là dạng tổng của một cấp số nhân n số hạng với số hạng đầu tiên là a(1+i), công bội là (1+i) Vn’ = a(1+i). Vn’ = a(1+i). Ví dụ: Để thành lập một số vốn, một doanh nghiệp gửi vào một tài khoản đầu mỗi năm một số tiền không đổi là 10 triệu VND. Cho biết số tiền trong tài khoản này vào lúc doanh nghiệp ký gởi tiền lần thứ 6, nếu lãi suất là 8,5%/năm.
V6 = 10.000.000 x = 74.290.295 VND V6’ = 10.000.000 x (1+0,085). = 80.604.970 VND Tiết 4, 5, 6 : 4.3. Chuỗi tiền tệ tổng quát Ở phần trên, ta chỉ tìm hiểu các chuỗi tiền tệ đơn giản. Đó là các chuỗi tiền tệ đều với lãi suất áp dụng trong mỗi kỳ là như nhau và kỳ phát sinh trùng với kỳ vốn hoá. Trong phần này, các chuỗi tiền tệ tổng quát hơn sẽ được giới thiệu : - Chuỗi tiền tệ với lãi suất áp dụng ở mỗi kỳ không giống nhau. - Chuỗi tiền tệ với kỳ phát sinh không trùng với kỳ vốn hoá. - Chuỗi tiền tệ phát sinh có quy luật (biến đổi theo cấp số nhân hoặc cấp số cộng). 4.3.1. Chuỗi tiền tệ với lãi suất áp dụng ở mỗi kỳ không giống nhau Giả sử có một chuỗi tiền tệ gồm n kỳ với số tiền phát sinh là a 1, a2, , an tương ứng vào cuối kỳ thứ 1, 2, , n Lãi suất áp dụng trong kỳ thứ k là i k. Đối với trường hợp này, có hai tình huống nảy sinh: 4.3.1.1.Tình huống 1: ik của kỳ thứ k sẽ được áp dụng cho tất cả các khoản tiền phát sinh tại bất cứ kỳ nào. Khi đó, giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ này sẽ là : V0= + + + + Giá trị tương lai : Vn = a1(1+i2)(1+i3)(1+i4) (1+in) + a2(1+i3)(1+i4) (1+in) + a3(1+i4) (1+in) + + an 4.3.1.2.Tình huống 2: ik của kỳ thứ k sẽ được áp dụng cho duy nhất khoản tiền phát sinh tại kỳ đó. Khi đó, giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ này sẽ là :
Giá trị tương lai : n-1 n-2 n-3 Vn = a1(1+i) + a2(1+i) + + a3(1+i) + + an 4.3.2. Chuỗi tiền tệ với kỳ phát sinh không trùng với kỳ vốn hoá Giả sử một chuỗi tiền tệ có số tiền phát sinh vào cuối mỗi quý nhưng kỳ vốn hoá lại cuối mỗi tháng. Trong trường hợp này, ta sẽ tính lãi suất tương ứng với lãi suất đã cho sao cho kỳ vốn hoá của lãi suất mới trùng với kỳ phát sinh. Ví dụ : A muốn có một số tiền là 40.000.000 VND bằng cách gửi vào ngân hàng cuối mỗi 6 tháng một khoản tiền bằng nhau là a trong 5 năm. Lãi suất danh nghĩa của ngân hàng là i(12) = 8,4%, vốn hoá cuối mỗi tháng. Xác định số tiền a. Để xác định lãi suất áp dụng với mỗi 6 tháng tương ứng với i (12), trước hết, ta xác định lãi suất danh nghĩa i(2) vốn hóa mỗi 6 tháng. Ta có : Lãi suất áp dụng đối với mỗi 6 tháng của chuỗi tiền tệ: Phương trình giá trị: Ví dụ :
B vay một khoản tiền là 50.000.000 VND và phải trả vào cuối mỗi quý một khoản tiền bằng nhau trong 2 năm. Nếu lãi suất của khoản vay là lãi suất danh nghĩa i(2) = 8% vốn hoá mỗi 6 tháng thì số tiền mà B phải trả cuối mỗi quý là bao nhiêu? Tương tự như ví dụ trên, ta sẽ xác định lãi suất danh nghĩa i (4) vốn hoá cuối mỗi quý. Lãi suất áp dụng đối với mỗi quý của chuỗi tiền tệ là : Phương trình giá trị sẽ là : Như vậy, đối với chuỗi tiền tệ có kỳ phát sinh không trùng với kỳ vốn hoá : số kỳ phát sinh là n kỳ/năm trong khi lãi suất lại vốn hoá m kỳ/năm i (m), m ≠ n. Trước hết, ta tính lãi suất vốn hoá n kỳ/năm i(n) tương ứng với lãi suất đã cho i (m) bằng công thức sau : Khi đó, lãi suất áp dụng với mỗi kỳ của chuỗi tiền tệ sẽ là : 4.3.3. Chuỗi tiền tệ phát sinh có quy luật 4.3.3.1.Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng Xét một chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng có giá trị của kỳ khoản đầu tiên là a, công sai là r, số kỳ phát sinh là n và lãi suất áp dụng trong mỗi kỳ là i. Ở đây, ta cũng đặt giá thiết là kỳ phát sinh trùng với kỳ vốn hoá.
Ta sẽ có: a1 = a a2 = a1 + r = a + r a3 = a2 + r = a + 2r an = a + (n-1).ra. Chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ V0: Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ Vn: Giá trị tích luỹ (tương lai) của chuỗi tiền tệ Giá trị tích luỹ (tương lai), Vn: Giá trị tương lai tại thời điểm n của chuỗi tiền tệ trên là Vn: 2 n-2 n-1 Vn = an + an-1(1+i) + an-2(1+i) + + a2(1+i) + a1(1+i) Vn = [a+(n-1)r] + [a+(n-2)r](1+i) + [a+(n-3)r](1+i)² + + (a+r)(1+i)n-2 + a(1+i)n-1 2 n-2 n-1 Vn = [a + a(1+i) + a(1+i) + + a(1+i) + a(1+i) ] + [(n-1)r + (n-2)r(1+i) + (n-3)r(1+i)² + + r(1+i)n-2] Đặt A = a + a(1+i) + a(1+i)2 + + a(1+i)n-2 + a(1+i)n-1 B = (n-1)r + (n-2)r(1+i) + (n-3)r(1+i)² + + r(1+i)n-2 Ta có:
Giá trị hiện tại, V0: b. Chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ Giá trị tích lũy (tương lai), Vn’: Giá trị hiện tại, V0’:
4.3.3.2.Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số nhân Xét một chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số nhân có giá trị của kỳ khoản đầu tiên là a, công bội là q, số kỳ phát sinh là n và lãi suất áp dụng trong mỗi kỳ là i. Ta có: a1 = a a2 = a1.q = a.q a3 = a2q = aq² n-1 an = a.q a. Chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ Giá trị tích luỹ (tương lai), Vn’: Giá trị tương lai tại thời điểm n của chuỗi tiền tệ trên là Vn: 2 n-2 n-1 Vn = an + an-1(1+i) + an-2(1+i) + + a2(1+i) + a1(1+i) n-1 n-2 n-3 n-2 n-1 Vn = a.q +a.q (1+i)+a.q (1+i)² + + a.q.(1+i) + a(1+i) n-1 n-2 n-3 n-2 n-1 Vn = a[q + q (1+i) + q (1+i)² + + q.(1+i) + (1+i) ] Đặt S = qn-1 + qn-2(1+i) + qn-3(1+i)² + + q.(1+i)n-2 + (1+i)n-1 Ta thấy S là tổng của một cấp số nhân với những đặt điểm sau: - Số hạng đầu tiên là:(1+i)n-1 - Công bội là: q.(1+i)-1 - Có n số hạng. Suy ra :
Giá trị của chuỗi tiền tệ tại thời điểm n là: Giá trị hiện tại (hiện giá), V0’: b. Chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ Vn’ = Vn(1+i) = a. (1+i) Giá trị hiện tại, V0’: V0’ = V0.(1+i) = a. (1+i) Tóm tắt chương Phương trình giá trị: Tổng giá trị tích luỹ hay hiện tại = Tổng giá trị tích luỹ hay hiện tại
hoá của dòng tiền vào tại thời hoá của dòng tiền ra tại thời điểm so sánh điểm so sánh Kỳ hạn trung bình của khoản vay (t *): kỳ hạn mà ở đó, thay vì người đi vay trả nhiều lần cho người cho vay các khoản tiền s1, s2, , sn lần lượt tại các thời điểm t1, t2, , tn, người đó có thể trả một lần tổng số tiền (s 1 + s2 + + sn) tại thời điểm t*. Chuỗi tiền tệ: một loạt các khoản tiền phát sinh định kỳ theo những khoảng thời gian bằng nhau. Chuỗi tiền tệ đơn giản (còn gọi là chuỗi tiền tệ đều): chuỗi tiền tệ cố định (số tiền phát sinh trong mỗi kỳ bằng nhau) và kỳ phát sinh của chuỗi tiền tệ trùng với kỳ vốn hoá của lợi tức. - Chuỗi tiền tệ đều phát sinh cuối kỳ: chuỗi tiền tệ gồm các khoản tiền bằng nhau a phát sinh vào cuối mỗi kỳ trong suốt n kỳ. Lãi suất áp dụng cho mỗi kỳ là i. + Giá trị hiện tại, V0: + Giá trị tích luỹ (giá trị tương lai), Vn: - Chuỗi tiền tệ đều phát sinh đầu kỳ : chuỗi tiền tệ gồm các khoản tiền bằng nhau a phát sinh vào đầu mỗi kỳ trong suốt n kỳ. Lãi suất áp dụng cho mỗi kỳ là i. + Giá trị hiện tại, V0’: + Giá trị tích luỹ (giá trị tương lai): Chuỗi tiền tệ tổng quát : - Chuỗi tiền tệ với lãi suất áp dụng ở mỗi kỳ không giống nhau: Chuỗi tiền tệ gồm n kỳ với số tiền phát sinh là a1, a2, , an tương ứng vào cuối kỳ thứ 1, 2, , n Lãi suất áp dụng trong kỳ thứ k là ik.
+ Tình huống 1: i k của kỳ thứ k sẽ được áp dụng cho tất cả các khoản tiền phát sinh tại bất cứ kỳ nào. Giá trị hiện tại: Giá trị tương lai: Vn = a1(1+i2)(1+i3)(1+i4) (1+in) + a2(1+i3)(1+i4) (1+in) + a3(1+i4) (1+in) + + an + Tình huống 2: ik của kỳ thứ k sẽ được áp dụng cho duy nhất khoản tiền phát sinh tại kỳ đó. Giá trị hiện tại :V 0 = + + + + n-1 n-2 n-3 Giá trị tương lai : Vn = a1(1+i) + a2(1+i) + + a3(1+i) + + an - Chuỗi tiền tệ với kỳ phát sinh không trùng với kỳ vốn hoá: số kỳ phát sinh là n kỳ/năm trong khi lãi suất lại vốn hoá m kỳ/năm i(m), m ≠ n. + Mối quan hệ giữa lãi suất vốn hoá n kỳ/năm i (n) tương ứng với lãi suất danh nghĩa i(m): + Lãi suất áp dụng với mỗi kỳ của chuỗi tiền tệ: Sử dụng lãi suất này để tính giá trị hiện tại hay giá trị tích lũy cho chuỗi tiền tệ này. Chuỗi tiền tệ phát sinh có quy luật - Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng: chuỗi tiền tệ có giá trị của kỳ khoản đầu tiên là a, công sai là r, số kỳ phát sinh là n và lãi suất áp dụng trong mỗi kỳ là i: ak = a + (k-1).r ( 1 ≤ k ≤ n) + Chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ:
Giá trị tương lai, Vn: Giá trị hiện tại, V0 : + Chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ: Giá trị tích lũy (tương lai),Vn’: Giá trị hiện tại, V0’: - Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số nhân: chuỗi tiền tệ có giá trị của kỳ khoản đầu tiên là a, công bội là q, số kỳ phát sinh là n và lãi suất áp dụng trong mỗi kỳ là i: k-1 ak = ak-1.q = aq + Chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ: Giá trị tích luỹ (tương lai): Giá trị hiện tại (hiện giá): + Chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ: Giá trị tích luỹ (tương lai): Giá trị hiện tại:
Bài tập 1. Hoa vay của Lá một khoản tiền là 25.000.000 VND với điều kiện như sau: - Cuối năm thứ 2, Hoa trả 8.000.000 VND - Cuối năm thứ 3, Hoa trả 11.000.000 VND - Cuối năm thứ 5, Hoa trả 14.000.000 VND Xác định lãi suất của khoản vay này. Đ.S. 8,1473% 2. Cành vay của Cây một số tiền với lãi suất là 8,5%. Cành phải phải trả các số tiền là 10.000.000 VND, 20.000.000 VND, 40.000.000 VND và 50.000.000 VND lần lượt vào cuối năm thứ 2, 4, 5, 7. Xác định thời hạn trung bình của khoản vay. Đ.S. 5,316 năm 3. Hãy xác định giá trị hiện tại và giá trị tương lai của một chuỗi tiền tệ đều phát sinh cuối kỳ gồm 10 kỳ, số tiền trả mỗi kỳ là 10 triệu đồng, lãi suất 7,8%/ kỳ. Đ.S. 143.496.978,5 VND 67.710.364 VND 4. Một doanh nghiệp X vay vốn của Ngân hàng Y với những điều kiện sau: - Mỗi quý, doanh nghiệp phải trả ngân hàng 150 triệu đồng. - Thời hạn vay là 3 năm. - Lãi suất danh nghĩa là 8%/năm, vốn hoá mỗi quý. - Lần trả đầu tiên ngay sau ngày ký hợp đồng. Xác định số vốn doanh nghiệp đã vay.
Đ.S. 1.586.301.183 VND 5. Một người muốn có một số tiền là 100 triệu đồng trong tương lai. Người đó đã gửi vào ngân hàng những số tiền bằng nhau vào đầu mỗi năm, liên tiếp trong 5 năm. Lãi suất tiền gửi ở ngân hàng là 7,5%/năm. Xác định số tiền người đó phải gửi mỗi năm. Đ.S. 16.015.322,6 VND 6. Một doanh nghiệp vay một khoản tiền trong vòng 10 năm. Vào đầu mỗi năm, doanh nghiệp phải trả những số tiền bằng nhau là 200 triệu đồng. Tổng số tiền mà doanh nghiệp phải trả là 3,33 tỷ. Tính lãi suất vay vốn mà doanh nghiệp phải chịu. Đ.S. 9,095% 7. Một khoản vay 650 triệu được trả dần trong 16 qúy, cuối mỗi quý trả 50 triệu. Xác định lãi suất vay áp dụng cho mỗi quý. Tính lãi suất hiệu dụng (%/năm) tương ứng. Đ.S. 10,614% 8. Một người mua một thiết bị. Nếu trả ngay, người đó phải trả 500 triệu đồng. Nếu trả chậm, người đó trả dần vào đầu mỗi tháng một số tiền là 23 triệu đồng trong vòng 2 năm, lãi suất danh nghĩa i(12) = 9%. Người đó nên chọn phương thức nào. Đ.S. Phương thức trả ngay 9. Một công ty mua một dây chuyền thiết bị. Có ba phương thức thanh toán như sau: - Phương thức 1: Trả ngay 1 tỷ đồng.