Giáo trình Toán cơ sở (Phần 2)

Nội dung text: Giáo trình Toán cơ sở (Phần 2)

1. Chương II : SỐ TỰ NHIÊN A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG Lý thuyết về số tự nhiên có thể coi là cửa ngõ của toán học, vì vậy những hiểu biết tối thiểu về số tự nhiên là rất cần thiết. Tập hợp số tự nhiên có thể xây dựng bằng phương pháp tiên đề, tuy nhiên trong giáo trình này chúng tôi giới thiệu với bạn đọc theo hướng số tự nhiên được xác định như là bản số của tập hợp hữu hạn. Điều đó vừa phù hợp với quá trình xuất hiện và hình thành khái niệm số tự nhiên trong hoạt động thực tiễn của xã hội loài người, vừa phù hợp với việc hình thành khái niệm số cho học sinh. Từ xa xưa, khi còn chưa biết khái niệm về số lượng, con người nguyên thủy do các nhu cầu của cuộc sống, đã biết so sánh số lượng giữa các tập hợp, đã dần dần dần nhận thức được khái niệm ít nhiều. Chẳng hạn, khi chuẩn bị chiến đấu, người tù trưởng bộ lạc phát cho mỗi chiến binh một vũ khí. Nếu chiến binh nào cũng được phát mà số vũ khí vẫn còn thì số vũ khí nhiều hơn số chiến binh. Ngược lại, nếu còn có chiến binh chưa được phát mà vũ khí đẫ hết thì số vũ khí ít hơn số chiến binh. Trường hợp thứ ba là mọi chiến binh đều đã được phát một vũ khí mà trong kho không còn vũ khí nào. Theo cách hiểu của chúng ta hiện nay thì ở trường hợp thứ ba, người tù trưởng đã thiết lập một tương ứng một – một giữa tập hợp các vũ khí và tập hợp các chiến binh (tất nhiên họ chỉ thực hiện một cách trực giác). Ở trường hợp này đã có một song ánh giữa tập hợp các vũ khí và tập hợp các chiến binh. Sự đụng chạm thường xuyên đến nhu cầu so sánh (phân phối số các cho mọi người trong bộ lạc, số ngựa với các kỵ sĩ, ) và sự tiếp xúc với các hiện tượng tự nhiên như: mỗi người có hai mắt, hai tai, một bàn tay có năm ngón, đã làm cho con người cổ xưa đi đến khái niệm về số lượng, về số. Đầu tiên chỉ mới hình thành các con số nhỏ, đơn giản để phục vụ nhu cầu đánh dấu các tập hợp như: đếm hai con mắt, hai cái tai, năm ngón chân, Đó là việc hình thành các số tự nhiên đầu tiên : 1, 2, Dưới đây ta sẽ trình bày khái niệm về số tự nhiên, mô phỏng theo sự hình thành của chúng trong lịch sử. 35
2. §1. TẬP HỢP TƯƠNG ĐƯƠNG 1.1. Tập hợp tương đương. Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B. Ta nói tập hợp A tương đương với tập hợp B, ký hiệu là A  B, khi và và chỉ khi tồn tại một song ánh từ A đến B. Ví dụ: 1) Cho A ={1, 2, 3, 4} và B = {a, b, c, d}. Ta thấy A  B vì có thể thiết lập một song ánh từ A đến B, chẳng hạn song ánh f cho bởi bảng 1 2 3 4 f : . a b c d 2) Cho A, B, C là ba điểm phân biệt không thẳng hàng. Gọi [AB], [AC] lần lượt là tập hợp điểm trên đoạn AB và AC. Khi đó ta sẽ có [AB]  [AC] . A Thật vậy, ta thiết lập được ánh xạ f : [AB] [AC] M M’ sao cho MM’//BC. M M’ Dễ dàng chứng minh được f là một song ánh. 1.2. Một số tính chất B C Tính chất 1. Quan hệ  nói ở định nghĩa 1.1 có các tính chất của một quan hệ tương đương, nghĩa là với các tập A, B, C bất kỳ, ta có: a) Tính phản xạ: A  A, b) Tính đối xứng: nếu A  thì B  A, c) Tính bắc cầu: nếu A  B và B  C thì A  C. Chứng minh. a) A  A nhờ có ánh xạ đồng nhất 1A : A A a a. b) Nếu A  B thì sẽ tồn tại song ánh f : A B. Khi đó có ánh xạ ngược f-1 : B A cũng là song ánh, do đó B  A. 36
3. c) Giả sử có A  B và B  C. Khi đó sẽ tồn tại các song ánh f : A B và g : B C. Suy ra ánh xạ tích h = g◦f : A C cũng là song ánh, vậy A  C. Nhận xét: Quan hệ  xác định ở trên có các tính chất của một quan hệ tương đương, vì vậy ta có thể gọi nó là quan hệ tương đương giữa các tập hợp. Khi có A  B thì ta cũng có B  A và ta nói hai tập A và B tương đương với nhau. Tính chất 2. Với các tập A, B, A1, B1 ta có: a) Nếu A  A1, B  B1 thì A B  A1 B1. b) Nếu A  A1, B  B1 và A  B = A1  B1 =  thì A  B  A1  B1. Chứng minh. Vì A  A1, B  B1 nên sẽ có các song ánh: f : A A1 và g : B B1. Dễ thấy rằng các ánh xạ và  xác định như sau: : A B A1 B1 (a, b) (a, b) = (f(a), g(b))  : A  B A  B 1 1 f (x),x A x (x) = là những song ánh. Từ đó ta suy ra điều cần chg(ứxng),x minh. B 1.3. Định lý Cantor. Cho A, B là các tập hợp tuỳ ý. Xảy ra ít nhất một trong hai trường hợp sau: a) A tương đương với một tập con của B, b) B tương đương với một tập con của A. Nếu đồng thời xảy ra cả hai trường hợp a) và b) thì A và B tương đương với nhau. Chúng ta không chứng minh định lý này. Ta chú ý thêm rằng nói A tương đương với một tập con của B đồng nghĩa với việc nói rằng có một đơn ánh từ A đến B. Vì vậy khi cần chứng minh A tương đương với một tập con của B ta chỉ cần chỉ ra rằng có một đơn ánh từ A đến B. §2. TẬP HỢP HỮU HẠN – TẬP HỢP VÔ HẠN 2.1. Định nghĩa và ví dụ 37
4. Định nghĩa. - Một tập hợp được gọi là hữu hạn nếu nó không tương đương với bất kỳ tập con thực sự nào của nó. - Một tập hợp được gọi là vô hạn nếu nó không hữu hạn (Hay một tập hợp là vô hạn nếu nó tương đương với một tập con thực sự nào đó của nó). Ví dụ: 1)  là tập hợp hữu hạn. Thật vậy, do  không có tập con thực sự nên nó không thể tương đương với tập con thực sự nào. Theo định nghĩa suy ra  là tập hợp hữu hạn. 2) Tập đơn tử {a} là hữu hạn. Thật vậy, vì {a} chỉ có một tập con thực sự là  mà rõ ràng  không tương đương với {a}, nên {a} không tương đương với tập con thực sự nào của nó. 3) Tập hợp điểm nằm trên một đoạn thẳng bất kỳ là vô hạn. Thật vậy, giả sử AB là đoạn thẳng bất kỳ, ký hiệu [AB] là tập hợp điểm trên AB. Lấy điểm C bất kỳ không thuộc đường thẳng AB, trên đoạn thẳng AB lấy điểm I với I A, I B. C Ta có [AB]  [AC] và [AI]  [AC] (Theo ví dụ 2) của §1). Do tính chất bắc cầu của quan hệ  nên suy ra [AB]  [AI]. Mặt khác, rõ ràng [AI] là tập con thực sự của [AB]. Theo định nghĩa suy ra [AB] là tập A I B hợp vô hạn. 2.2. Một số tính chất (của tập hợp hữu hạn và tập hợp vô hạn). a) Tính chất 1. Mọi tập hợp tương đương với một tập hợp hữu hạn là tập hợp hữu hạn. Chứng minh. Giả sử A là tập hợp hữu hạn và B ~ A, cần chứng minh B là tập hợp hữu hạn. Giả sử ngược lại, B là tập hợp vô hạn, khi đó tồn tại tập con thực sự B’ của B sao cho B’  B. Do B ~ A nên tồn tại song ánh f : B A. Ta thấy B’  f(B’) vì f là song ánh. Khi đó ta có: A  B, B  B’, B’  f(B’). Áp dụng hai lần tính chất bắc cầu của quan hệ , suy ra A  f(B’) (1). 38
5. Vì f : B A là song ánh mà B’ là tập con thực sự của B nên f(B’) cũng là tập con thực sự của A (2). Từ (1) và (2) suy ra A là tập hợp vô hạn, điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy giả thiết B là tập hợp vô hạn là sai, hay B hữu hạn (đpcm). Hệ quả 1: Tập hợp tương đương với tập hợp vô hạn là tập hợp vô hạn. b) Tính chất 2. Mọi tập con của tập hợp hữu hạn là tập hợp hữu hạn. Chứng minh. Giả sử A là tập hợp hữu hạn và B  A, cần chứng minh B là tập hợp hữu hạn. Giả sử ngược lại, B là tập hợp vô hạn. Khi đó tồn tại tập con thực sự B’ của B sao cho B’  B, do đó tồn tại song ánh g : B B’. Xét tập A’ = (A\ B)  B’, rõ ràng A’ là tập con thực sự của A. Lập ánh xạ f : A A’ x, x A \ B x f(x) = g(x), x B Ta thấy f là song ánh, do đó A  A’, tức là A tương đương với một tập con thực sự của nó là A’. Suy ra A là tập hợp vô hạn, điều này mâu thuẫn với giả thiết A hữu hạn, nghĩa là B là tập hợp vô hạn là sai. Vậy B là tập hợp hữu hạn (đpcm). Hệ quả 2: Tập hợp chứa tập hợp vô hạn là tập hợp vô hạn. c) Tính chất 3. Nếu A, B là hai tập hữu hạn tương đương thì A\ B ~ B\ A. Chứng minh. Giả sử ngược lại, A\ B và B\ A không tương đương với nhau. Khi đó theo định lý Cantor, một trong hai tập hợp đó sẽ tương đương với một tập con của tập hợp kia. Không mất tính tổng quát, giả sử A\ B tương đương với một tập con của B\ A. Nghĩa là sẽ tồn tại một đơn ánh f : A\ B B\ A, hiển nhiên f(A\ B) (B\ A). Lập ánh xạ g : A B x, x B x g(x) = f (x), x B Ta thấy g là một đơn ánh và g(A) B, A  g(A). Vì B  A nên B  g(A), mà g(A) là một tập con thực sự của B, do đó B là tập vô hạn, điều này trí với giả thiết B hữu hạn Vậy A\ B  B\ A (đpcm). 39
6. d) Tính chất 4. Nếu A là tập hợp hữu hạn, A1 và A2 là những tập con của A mà A1  A2, thì A\ A1  A\ A2. Chứng minh. Ta có A\ A1 = (A\ (A1  A2))  (A2\ A1) với (A\ (A1  A2))  (A2\ A1) =  và A\ A2 = (A\ (A1  A2))  (A1\ A2) với (A\ (A1  A2))  (A1\ A2) =  Mặt khác, do A1  A2 nên A1\ A2  A2\ A1 (theo tính chất 3). Sử dụng tính chất 2 trong §1 ta suy ra A\ A1  A\ A2 (đpcm). e) Tính chất 5. Hợp của hai tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn. Chứng minh. Giả sử A và B là các tập hợp hữu hạn, ta cần chứng minh A  B là tập hợp hữu hạn. Xét hai trường hợp có thể xảy ra: - Trường hợp 1: A  B = . Giả sử ngược lại, A  B là tập hợp vô hạn, khi đó sẽ có một đơn ánh f : A  B A  B sao cho f(A  B) A  B. Như vậy sẽ có a A  B mà a f(A  B). Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết a A. Đặt f(A) = A’, f(B) = B’. Vì A  B =  và f là đơn ánh nên A’  B’ = . Ta có B  B’ nên B\ B’  B’\ B = B’  A (theo tính chất 3), nghĩa là có một song ánh g : B\ B’ B’  A. Lập ánh xạ h : A A f (x), x A x h(x) = g( f (x)), f (x) A Ta thấy h là một đơn ánh và h(A)  A’  B’ nên a h(A). Như vậy có một đơn ánh h : A A mà h(a) A, tức là A tương đương với một tập con thực sự của nó, hay A là tập hợp vô hạn, điều này trái với giả thiết A hữu hạn Vậy A  B là tập hợp hữu hạn. - Trường hợp 2: A  B . Khi đó ba tập hợp A\ B, A  B, B\ A đều là những tập hợp hữu hạn và rời nhau. Ta có A  B = (A\ B)  (A  B)  (B\ A). 40
7. Áp dụng kết quả ở trường hợp 1, trước tiên ta có C = A\ B)  (A  B) là tập hợp hữu hạn, và ta cũng có A  B = C  (B\ A) là tập hữu hạn. Vậy ta có điều phải chứng minh. Hệ quả. Hợp hữu hạn các tập hữu hạn là một tập hữu hạn. f) Tính chất 6: Tích Đề các hai tập hữu hạn là tập hữu hạn. Chứng minh. Giả sử A và B là hai tập hợp hữu hạn. Nếu một trong hai tập này là  thì hiển nhiên A B =  là một tập hữu hạn. Ta xét cả 2 tập đều khác . - Nếu A là tập đơn tử bất kỳ: A={x}, xét tập {x} B. Thiết lập ánh xạ f : {x} B B (x, b) b , b B. Ta thấy f là một song ánh, do đó {x} B  B, mà B là tập hợp hữu hạn, suy ra {x} B là tập hợp hữu hạn. - Nếu A là tập hợp hữu hạn khác  tuỳ ý: A = {x1, x2, , xn}, ta có: A B = {x1, x2, , xn} B = {x1} B  {x2} B   {xn} B. Các tập {x1} B, {x2} B, , {xn} B đều là tập hữu hạn, vì vậy A B là hợp một họ hữu hạn các tập hữu hạn nên A B hữu hạn. Vậy ta có điều phải chứng minh. §3. SỐ TỰ NHIÊN QUAN HỆ THỨ TỰ TRÊN TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN 3.1. Bản số – Số tự nhiên. a) Bản số: Ta đã biết quan hệ  giữa các tập hợp là một quan hệ tương đương. Như vậy, ta có thể phân lớp các tập hợp như sau: những tập hợp tương đương với nhau thuộc cùng một lớp. Những tập thuộc cùng một lớp theo quan hệ tương đương này còn được gọi là cùng bản số. Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa. Nếu A  B ta nói A và B có cùng bản số hay cùng lực lượng. Bản số (lực lượng) của tập A được ký hiệu là card(A). 41
8. Ta thường ký hiệu bản số bởi các chữ cái thường như: a, b, c, Chẳng hạn khi a là bản số của tập hợp A ta viết a=card(A). Nhận xét: Card(A) = Card(B) khi và chỉ khi A  B. b) Số tự nhiên. Định nghĩa. Bản số của một tập hợp hữu hạn được gọi là một số tự nhiên. Tập hợp tất cả các số tự nhiên được ký hiệu là N. Vậy: a N khi và chỉ khi có một tập hợp hữu hạn A sao cho a = Card(A). Ví dụ: 1)  là một tập hợp hữu hạn nên Card() là một số tự nhiên. Ta ký hiệu Card() = 0 (đọc là “số không”). 2) Tập đơn tử A = {a} là một tập hợp hữu hạn nên Card({a}) là một số tự nhiên, ký hiệu Card({a}) = 1 (đọc là “số một”). 3.2. Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên. a) Định nghĩa. Cho hai số a, b N và gọi A, B là hai tập hợp hữu hạn sao cho a = Card(A), b = Card(B). Ta nói a nhỏ hơn hoặc bằng b, ký hiệu a b, khi và chỉ khi A tương đương với một tập con của B. Nếu a b và a b, ta viết a < b (đọc là a thực sự nhỏ hơn b). Nhận xét. - Trong định nghĩa trên có mặt hai tập hợp A, B sao cho a = Card(A), b= Card(B). Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn A, B. Nghĩa là nếu A1, B1 là các tập hợp mà A  A1, B  B1 và A tương đương với một tập con của B thì A1 cũng tương đương với một tập con của B1. Thật vậy, theo giả thiết suy ra tồn tại các song ánh f : A1 A và g : B B1 và đơn ánh h : A B. Khi đó ánh xạ tích g◦h◦f : A1 B1 là một đơn ánh, chứng tỏ A1 tương đương với một tập con của B1. - Khi A tương đương với tập con B’ của B mà Card(A) = a thì ta cũng có Card(B’) = a, do đó theo nhận xét trên, có thể coi a b khi và chỉ khi A  B. Ví dụ: Vì  là tập con của mọi tập hợp nên 0 a, a N. b) Định lý. Quan hệ nói trong định nghĩa trên là một quan hệ thứ tự toàn phần trên tập hợp các số tự nhiên N. Chứng minh. 42
9. Trước tiên ta chứng minh quan hệ này là một quan hệ thứ tự trên N. Thật vậy, quan hệ có các tính chất sau: a) Tính phản xạ: a N, giả sử a = Card(A). Vì A luôn tương đương với một tập con của nó chính là A, A nên a a. b) Tính phản đối xứng: giả sử a b và b a với a, b N. Gọi A, B là các tập hợp sao cho Card(A) = a, Card(B) = b. Theo giả thiết suy ra A tương đương với một tập con của B và B tương đương với một tập con của A, áp dụng định lý Cantor ta có A  B, suy ra Card(A) = Card(B) hay a = b. c) Tính chất bắc cầu: giả sử a b và b c với a, b, c N. Gọi A, B, C là các tập sao cho Card(A) = a, Card(B) = b, Card(C) = c. Từ giả thiết suy ra tồn tại các đơn ánh f : A B và g : B C. Do đó tồn tại ánh xạ h = g◦f : A C là đơn ánh, vậy a c. Vậy quan hệ là một quan hệ thứ tự trên N. Ta sẽ chứng tỏ quan hệ thứ tự này là toàn phần trong N. Giả sử a, b là hai phần tử bất kỳ thuộc N và a = Card(A), b = Card(B). Theo định lý Cantor thì hoặc A tương đương với một tập con của B, hoặc B tương đương với một tập con của A, nghĩa là a b hoặc b a. Vậy quan hệ là một quan hệ thứ tự toàn phần trên N (đpcm). 3.3. Số liền sau. a) Định nghĩa. Cho a và b là hai số tự nhiên với a b. Gọi B là tập hợp hữu hạn mà Card(B) = b, ta biết rằng khi đó vì a b nên sẽ có A  B mà Card(A) = a. b được gọi là số liền sau của a khi và chỉ khi Card(B\A) = 1. Khi đó ta cũng nói a là số liền trước của b hay a và b là các số liền nhau. Số liền sau của a được ký hiệu là a’. Ví dụ: Số 1 là số liền sau của số 0. b) Một số tính chất. 1) Số 0 không phải là số liền sau của bất kỳ số tự nhiên nào. Điều này là hiển nhiên vì 0 = Card() mà  không chứa tập con nào. 2) Mỗi số tự nhiên có duy nhất một số liền sau. Chứng minh. 43
10. - Tồn tại. Giả sử a  và a = Card(A). Xét tập {A} là tập đơn tử mà phần tử là tập hợp A. Rõ ràng {A} không phải là phần tử của A. Khi đó B = A{A} là một tập hữu hạn và Card(B\A) = Card({A}) = 1. Vậy tồn tại số tự nhiên b = Card(B) là số liền sau của a. - Duy nhất. Giả sử a  có hai số liền sau là b1 và b2. Gọi B1, B2 là những tập hợp mà Card(B1) = b1, Card(B2) = b2. Theo định nghĩa phải có các tập A1 B1, A2 B2 sao cho Card(A1) = Card(A2) = a và Card(B1\A1) = Card(B2\A2) = 1 Các hệ thức trên cho ta A1  A2, B1\A1  B2\A2. Mà B1 = (B1\A1)  A1, B2 = (B2\A2)  A2 nên ta suy ra B1  B2, do đó Card(B1) = Card(B2) hay b1 = b2, nghĩa là phần tử liền sau là duy nhất. Tính chất đã được chứng minh. 3) Mỗi số tự nhiên khác 0 đều là số liền sau của một số tự nhiên. Giả sử b N, b 0 và Card(B) = b. Thế thì B , do đó tồn tại phần tử x B. Đặt A = B\{x}. Dễ thấy B  A và Card(B\A) = Card({x}) = 1. Vậy b là số liền sau của a = CardA. 4) Mỗi số tự nhiên khác 0 đều là số liền sau của duy nhất một số tự nhiên. Chứng minh. Giả sử b N, b 0, b = Card(B) là số liền sau của các số tự nhiên a1 và a2. Theo định nghĩa sẽ có các tập A1 B, A2 B sao cho: Card(A1) = a1, Card(B\A1) = 1, Card(A2) = a2, Card(B\A2) = 1. Từ đó ta có B\A1  B\A2, do đó A1 = B\(B\A1) và A2 = B\(B\A2) là những tập hợp tương đương với nhau. Vì vậy Card(A1) = Card(A2) hay a1 = a2 (đpcm). 5) Cho a, b  mà a < b, thế thì a’ b. Chứng minh. Gọi B là tập hợp mà Card(B) = b. Vì a< b nên tồn tại A  B, A B sao cho Card(A) = a và tồn tại phần tử x B\ A. Khi đó ta có a’ = Card(A{x}) và A{x} B, do đó a’ b (đpcm). Tính chất này có hệ quả là: Giữa hai số tự nhiên liền nhau không có một số tự nhiên nào khác. 3.4. Dãy các số tự nhiên. Ký hiệu: card() = 0 N 44
11. 0’ = 1 1’ = 2 2’ = 3 ta được dãy các số tự nhiên quen thuộc: 0, 1, 2, 3, 4, BÀI TẬP 1. Cho A, B, A1, B1 là các tập hợp mà A  A1, B  B1. Bằng cách chỉ ra các song ánh thích hợp hãy chứng minh rằng: a) A B  B A b) A B  A1 B1 . 2. Chứng minh rằng tập hợp tất cả các số tự nhiên là tập vô hạn. 3. Cho a, b N và a < b. Hãy so sánh a’ với b’ . HD chương II 1. a) Tồn tại song ánh f: A B B A (a,b) (b,a) nên A B  B A. Dễ dàng chứng minh được f là song ánh. b) do A  A1, B  B1 nên có các song ánh f: A A1 và g: B B1 a a’ b b’ Do đó tồn tại song ánh h: A B A1 B1 (a,b) (a’ , b’) nên A B  A1 B1. Dễ dàng chứng minh được h là song ánh. 2. Ký hiệu N là tập hợp tất cả các số tự nhiên và 2N là tập hợp tất cả các số tự nhiên chia hết cho 2. Xét ánh xạ f: N 2N n 2n Dễ dàng chứng minh được f là một song ánh nên ta có N  2N. Ta thấy 2N là một tập con thực sự của N. Vậy ta suy ra N tương đương với một tập con thực sự của nó nên N là tập vô hạn. 3. 45
12. §4. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN 4.1. Định nghĩa phép cộng và phép nhân các số tự nhiên. Cho a, b N và A, B là các tập hợp hữu hạn sao cho a = Card(A), b = Card(B). Ta có các định nghĩa sau: a) Định nghĩa phép cộng. Giả sử A  B = . Khi đó ta gọi tổng của a và b, ký hiệu là a + b, là phần tử được xác định như sau: a + b = Card(A) + Card(B) = Card (A  B). Chú ý: - Do A  B cũng là tập hợp hữu hạn nên Card(A  B) N hay a+b N. Vậy tổng của hai số tự nhiên là một số tự nhiên. - Ta thấy rằng a + b = card(A  B) không phụ thuộc vào việc chọn các tập hợp A và B nói trên. Tức là nếu lấy A1, B1 là các tập hợp mà A  A1, B  B1 thì ta cũng có: a + b = Card(A1  B1) (Vì A  B  A1  B1). Ví dụ: Tính 0 + 1. Ta có 0 = Card(), 1 = Card({a}) và   {a} = . Do đó: 0 + 1 = Card(  {a}) = Card({a}) = 1. Tương tự ta cũng tính được 1 + 0 = 1. b) Định nghĩa phép nhân. Định nghĩa. Ta gọi tích của hai số a và b, ký hiệu là a.b (hoặc ab), là phần tử được xác định như sau: a.b = CardA.CardB = Card (A B). Chú ý: - Do A B cũng là tập hữu hạn nên Card(A B) N hay a.b N. Vậy tích của hai số tự nhiên là một số tự nhiên. - Ta thấy rằng a.b = Card(A B) không phụ thuộc vào việc chọn các tập hợp A và B nói trên. Tức là nếu lấy A1, B1 là các tập hợp mà A  A1, B  B1 thì ta cũng có: a.b = Card(A1 B1) (Vì A B  A1 B1). 4.2. Một số tính chất của phép toán cộng và phép toán nhân. a) Tính chất của phép cộng. a, b, c N ta có: (i) Tính chất giao hoán: a + b = b + a. (ii) Tính chất kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c. (iii) Số 0 là phần tử trung lập: a + 0 = 0 + a = a. Chứng minh. 46
13. Với mọi a, b, c N, giả sử A, B, C là các tập hợp đôi một rời nhau sao cho a = Card(A), b = Card(B), c = Card(C). (i) Do A  B = B  A nên Card(A  B) = Card(B  A) hay a + b = b + a. (ii) Do A  (B  C) = (A  B)  C (Phép hợp các tập hợp có tính chất kết hợp) nên Card(A  (B  C)) = Card((A  B)  C). Vì vậy Card(A) + Card(B  C) = Card(A  B) + Card(C) hay a + ( b+ c ) = ( a + b ) + c. (iii) Vì 0 = Card(), A   =  và A   =   A = A nên ta có: Card(A  ) = Card(  A) = Card(A) nên a + 0 = 0 + a = a, a N. Các tính chất của phép cộng đã được chứng minh. b) Tính chất của phép nhân. a, b, c N ta có: (i) Tính chất giao hoán: ab = ba. (ii) Tính chất kết hợp: a(bc) = (ab)c. (iii) Số 1 là phần tử trung lập: a.1 = 1.a = a. Chứng minh. Với mọi a, b, c N, giả sử A, B, C là các tập hợp sao cho a = Card(A), b = Card(B), c = Card(C). (i) Xét ánh xạ f : A B B A (x,y) (y,x). Dễ dàng kiểm tra được f là một song ánh, suy ra A B  B A. Do đó Card(A B) = Card(B A) hay ab = ba. (ii) Xét ánh xạ f : A (B C) (A B) C (x,(y,z)) ((x,y),z). Ta thấy f là một song ánh, do đó A (B C)  (A B) C. Nên ta có: card(A (B C)) = card((A B) C), suy ra CardA Card(B C) = Card(A B) Card(C), hay a(bc) = (ab)c. (iii) Lấy tập đơn tử {x} bất kỳ, ta thiết lập ánh xạ f : {x} A A (x,y) y , y A. Dễ thấy f là song ánh, do đó {x} A ~ A, suy ra 47
14. Card({x} A) = Card(A), do 1 = card({x}) nên từ đó ta được 1.a = a. Các tính chất của phép cộng đẫ được chứng minh. c) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. a, b, c N ta có: a( b+c) = ab + ac. Chứng minh. Với mọi a, b, c N, giả sử A, B, C là các tập hợp đôi một rời nhau sao cho a = Card(A), b = Card(B), c = Card(C). Trước tiên ta chứng minh A (B  C) = (A B)  (A C). Thật vậy, lấy bất kỳ phần tử (x,y) A (BC), suy ra x A và y BC. Khi đó: Nếu x A và y B thì (x,y) A B nên ta có (x,y) (A B)  (A C). Nếu x A và y C thì (x,y) A C nên ta có (x,y) (A B)  (A C). Vậy luôn có (x,y) ( A B )  ( A C ). Suy ra A ( B  C )  ( A B )  ( A C ) (1). Ngược lại, lấy bất kỳ (x,y) (A B)  (A C), suy ra (x,y) A B hoặc (x,y) A C. Do đó x A và y B hoặc y C, nên ta có (x,y) A (BC). Suy ra (A B  (A C)  A (B  C) (2). Từ (1) và (2) ta được: A ( BC ) = ( A B )  ( A C ), suy ra Card(A (BC)) = Card((A B)  (A C)), Card(A) Card(B  C) = Card(A B) + Card(A C) , Card(A) (Card(B) + Card(C)) = Card(A) Card(B) + Card(A) Card(C) Card(A) Card(B  C) = Card(A B) + Card(A C) a(b+c) = ab + ac (đpcm) Chú ý: - Do tính chất kết hợp của phép cộng và phép nhân nên ta viết: 48
15. (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c và gọi đây là tổng của ba số a, b, c; (ab)c = a(bc) = abc và gọi đây là tích của ba số a, b, c. - Ta cũng có thể mở rộng một cách tự nhiên cho tổng và tích của nhiều số: a1 + a2 + + an ; a1.a2 an. Trong trường hợp đặc biệt a1 = a2 = =an = a, ta có tích a.a a (n lần) và gọi đây là lũy thừa bậc n của a, ký hiệu là an. 4.3. Liên hệ giữa quan hệ thứ tự và phép toán cộng, phép toán nhân. a, b, c N ta có: (i) a a + b. (ii) a ab. (iii) a b khi và chỉ khi a + c b + c. (iv) Nếu c 0 thì a b khi và chỉ khi ac bc. Các tính chất trên có thể dễ dàng chứng minh bằng cách sử dụng định nghĩa phép toán . 4.4. Phép trừ và phép chia. a) Phép trừ. Định nghĩa. Cho a, b N. Nếu tồn tại x N sao cho x + b = a thì x được gọi là hiệu của a trừ đi b, ký hiệu là x = a – b. Phép tìm hiệu của hai số tự nhiên được gọi là phép trừ. Điều kiện có hiệu. Cho a, b N. Điều kiện cần và đủ để có hiệu a – b là b a. Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử có a – b, theo định nghĩa ta có b b + (a – b) =a. Điều kiện đủ. Giả sử b a. Suy ra sẽ có các tập A, B sao cho Card(A) = a, Card(B) = b và B  A. Khi đó tồn tại hiệu a – b là số tự nhiên: a- b = Card(A\B). b) Phép chia hết. Định nghĩa. Cho a, b N và b 0. Nếu có số tự nhiên q sao cho a = bq thì ta nói có phép chia a cho b, a chia hết cho b, ký hiệu là a  b. Khi đó ta cũng nói b chia hết a, ký hiệu là ba. c) Phép chia có dư. 49
16. Định lý. a, b  và b 0, bao giờ cũng tồn tại duy nhất cặp số q, r  sao cho a = bq + r , trong đó 0 r < b. Chứng minh. - Tồn tại. Xét tập M các bội số của b mà nhỏ hơn hoặc bằng a: M = {x N x = bx a}. M  vì 0 M. Mặt khác ta thấy M bị chặn trên bởi a, như vậy M có phần tử lớn nhất, chẳng hạn phần tử lớn nhất là x0 = bq. Vì b 0 nên bq < bq + b = b(q + 1). b(q + 1) là một bội số của b lớn hơn bq nên b(q + 1) M và a < b(q + 1) = bq + b. Như vậy ta có bq a < bq + b. Nếu lấy r = a – bq thì ta được a = bq + r và 0 r < b. Như vậy ta đã chứng minh được sự tồn tại của b và q. - Duy nhất. Giả sử ta còn có cặp số q1, r1  sao cho a = bq1 + r1 và 0 r1 < b. Như vậy: a = bq + r = bq1 + r1 , 0 r < b, 0 r1 < b. Giả sử r1 r, ta có thể viết: bq + (r – r1) = bq1. Đẳng thức này cho ta thấy r – r1  b , nhưng 0 r – r1 < b nên bắt buộc r– r1 = 0 hay r = r1. Từ đó suy ra q = q1. Tính duy nhất đã đươc chứng minh. b) Định nghĩa. Đẳng thức a = bq + r ( 0 r < b ) gọi là phép chia có dư của a cho b, q gọi là thương hụt, r gọi là số dư. Chú ý: Phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư khi số dư r = 0. BÀI TẬP 1. Chứng minh rằng: a) a.b = 0 khi và chỉ khi a = 0 hoặc b = 0. b) a + b = 0 khi và chỉ khi a = 0 và b = 0. 2. Cho A và B là hai tập tuỳ ý khác rỗng. a) Hãy chỉ ra một song ánh để chứng tỏ A tương đương với một tập con của A B. Từ đó suy ra tính chất: a ab, a, b N, b 0. b) Hãy chỉ ra một song ánh để chứng tỏ A tương đương với một tập con của A  B. Từ đó suy ra tính chất: a a + b, a, b N. 3. Chứng minh các đẳng thức sau đây (với giả thiết các phép tính đều thực hiện được): 50
17. a) a – b = (a + c) – (b + c). b) a – b = (a – c) – (b – c). c) a – (b + c) = (a – b) – c. d) a + (b – c) = (a + b) – c. e) a – (b – c) = (a + c) – b. HD chương II 1. Giả sử A, B là các tập sao cho CardA=a và CardB=b. a) Do a.b = 0 tức là CardA.CardB = 0 Card(A B) = 0 A B =  A =  hoặc B =  a = CardA = Card = 0 hoặc b = CardB = Card = 0 (đpcm). b)Do a+b = 0 tức là CardA+CardB = 0 Card(AB) = 0 AB =  A =  và B =  a = CardA = Card = 0 và b = CardB = Card = 0 (đpcm). 2. a) A tương đương với một tập con của A B là tập hợp A {x} (với x là một phần tử thuộc tập hợp B). Thật vậy, tồn tại song ánh: f : A A {x} a (a, x) * Với hai số a, b N, giả sử A, B là hai tập hợp hữu hạn sao cho a = Card(A), b = Card(B). Khi đó ab=Card(A B) Từ kết luận: Với hai tập hợp A, B khác rỗng ta luôn có A tương đương với một tập con của A B, ta suy ra a ab , a, b N, b 0. b) A luôn tương đương với chính tập hợp A là một tập con của AB. Thật vậy, tồn tại song ánh là ánh xạ đồng nhất: 1A : A A a a * Với hai số a, b N, giả sử A, B là hai tập hợp hữu hạn sao cho a = Card(A), b = Card(B). Khi đó a+b=Card(AB) Từ kết luận: Với hai tập hợp A, B bất kỳ khác rỗng ta luôn có A tương đương với một tập con của AB, ta suy ra a a+b , a, b N. 3. 51
18. B. HƯỚNG DẪN TỰ HỌC CHƯƠNG II I. MỤC ĐÍCH – YÊU CẦU Chương II đề cập đến một số vấn đề về số tự nhiên nhằm những mục đích sau : 1. Cung cấp cho người học những khái niệm và kiến thức cơ bản của số tự nhiên như: khái niệm hai tập hợp tương đương, tập hữu hạn, tập vô hạn, số tự nhiên, các phép toán của số tự nhiên; bên cạnh các khái niệm còn có một số tính chất của chúng. Từ đó giúp người học hiểu rõ hơn về số tự nhiên, có cái nhìn rộng hơn và sâu hơn về nội dung và phương pháp hình thành các biểu tượng Toán cho trẻ. 2. Rèn luyện cho người học sử dụng chính xác và thành thạo các ký hiệu và ngôn ngữ của số tự nhiên. II. NHỨNG KIẾN THỨC CẦN CHUẨN BỊ - Các vấn đề liên quan đến tập hợp: khái niệm, quan hệ bao hàm, hai tập bằng nhau, các phép toán, tích Đề các của hai tập hợp. - Khái niệm và các tính chất của: ánh xạ, ánh xạ là song ánh, tích các ánh xạ, ánh xạ ngược. III. YÊU CẦU VỀ LÝ THUYẾT 3.1. Về khái niệm, học viên cần nắm được - Khái niệm về hai tập hợp tương đương - Khái niệm tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn - Khái niệm bản số, số tự nhiên, quan hệ thứ tự trên tập số tự nhiên, số tự nhiên liền sau - Định nghĩa về các phép toán trên số tự nhiên: phép cộng, phép nhân, phép trừ, phép chia hết và phép chia có dư. 3.2. Về các tính chất, học viên cần nắm được : - Các tính chất của quan hệ tương đương giữa hai tập hợp - Một số tính chất của tập hợp hữu hạn - Một số tính chất của phép toán cộng và phép toán nhân số tự nhiên. IV. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP 4.1. Chứng minh hai tập hợp đã cho là tương đương với nhau Với dạng bài tập này, ta cần phải chỉ ra một ánh xạ là song ánh từ một trong hai tập đến tập còn lại (Chỉ ra ánh xạ và chứng minh được nó là một song ánh). 53
19. 4.2. Chứng minh một tập hợp đã cho là tập hợp vô hạn Để chứng minh một tập hợp nào đó là tập hợp vô hạn, có hai cách: Cách 1: Ta cần chứng minh tập hợp đó tương đương với một tập con thực sự của nó. Muốn vậy ta cần thực hiện theo các bước: - Xác định được tập con thực sự mà ta dự đoán tập đã cho sẽ tương đương với tập con này - Chỉ ra được một ánh xạ là song ánh từ tập hợp đã cho đến tập con nói trên (hoặc ngược lại) Cách 2: Chứng minh tập hợp đã cho tương đương với một tập vô hạn. Cần thực hiện các bước: - Xác định được tập hợp vô hạn mà theo dự đoán tập này sẽ tương đương với tập hợp đã cho - Chỉ ra một ánh xạ là song ánh từ tập vừa xác định đến tập đã cho (hoặc ngược lại) 4.3. Chứng minh một đẳng thức về các phép toán cộng, trừ và nhân các số tự nhiên. Với dạng toán này chúng ta cần sử dụng các định nghĩa về các phép toán cộng, trừ, nhân (định nghĩa thông qua bản số của tập hợp). Đồng thời cần nắm được các tính chất về các phép toán của tập hợp (phép giao, phép hợp và phép trừ). V. CÂU HỎI ÔN TẬP 5.1. Nêu định nghĩa hai tập hợp tương đương với nhau. Cho ví dụ minh họa 5.2. Để chứng minh hai tập hợp tương đương với nhau ta cần thực hiện như thế nào ? 5.3. Nêu định nghĩa tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn 5.4. Nêu và chứng minh các tính chất của tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn 5.5. Định nghĩa số tự nhiên, số tự nhiên liền sau 5.6. Nêu các định nghĩa về các phép toán cộng, từ, nhân, chia trên số tự nhiên 5.7. Nêu và chứng minh các tính chất về phép toán cộng, phép toán nhân các số tự nhiên. 54
20. Chương III : CÁC HÌNH HÌNH HỌC A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG §1. CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÌNH HÌNH HỌC Trong chương này, xem như không gian Ơclit đẫ được xây dựng, nó là tập hợp nhiững phần tử gọi là những điểm, mỗi đường thẳng là một tập con của không gian. Đó cũng là những ví dụ đầ tiên về các hình hình học. 1.1. Định nghĩa. Hình hình học là một tập khác rỗng những điểm của không gian. Hình mà mọi điểm của nó cùng thuộc một mặt phẳng gọi là hình phẳng. Tập những điểm ở giữa hai điểm phân biệt A, B gọi là đoạn thẳng mở với hai mút A, B. Đoạn thẳng mở cùng với hai mút của nó gọi là đoạn thẳng đóng. Để ý rằng mỗi đoạn thẳng hoàn toàn được xác định bởi hai mút của nó. Mỗi điểm cũng có thể xem là đoạn thẳng với hai mút của nó trùng nhau, đó là một quy ước giúp cho việc đơn giản một số lý luận về sau. Mỗi điểm O trên đường thẳng xx’ phân hoạch tập điểm khác O của xx’ thành hai lớp sao cho: - Mỗi đoạn thẳng đóng có hai mút cùng thuộc một lớp không chứa điểm O. - Mọi đoạn thẳng đóng có hai mút huộc hai lớp đều chứa điểm O. Mỗi lớp cùng với điểm O gọi là một tia (nửa đường thẳng) gốc O. Cũng tương tự như thế: Mỗi đường thẳng nằm trong một mặt phẳng phân hoạch tập điểm còn lại của mặt phẳng thành hai lớp sao cho: - Mỗi đoạn thẳng đóng có hai mút cùng thuộc một lớp không cắt đường thẳng. - Mỗi đoạn thẳng đóng có hai mút thuộc hai lớp đều cắt đường thẳng. Mỗi lớp như vậy gọi là nửa mặt phẳng mở có bờ chung là đường thẳng đó. Mỗi nửa mặt phẳng mở cùng với bờ của nó gọi là nửa mặt phẳng (đóng). 55
21. Góc phẳng là hình gồm hai tia có gốc chung, mỗi tia được gọi là cạnh của góc. x O y Nếu hai tia không đối nhau thì mỗi đường thẳng chứa một tia tạo thành hai nửa mặt phẳng. Giao của hai nửa mặt phẳng chứa một tia và có bờ chứa tia kia tạo thành một hình gọi là miền góc lồi. Mỗi điểm của miền góc lồi không thuộc hai cạnh gọi là điểm trong của góc lồi. Điểm của mặt phẳng không thuộc miền góc lồi gọi là điểm ngoài của góc đó, tập các điểm ngoài của một góc lồi cùng với hai cạnh được gọi là miền góc lõm. Góc có hai cạnh là hai tia đối gọi là góc bẹt. Đó là những ví dụ đầu tiên và quan trọng về các hình phẳng. 1.2. Xác định một hình bằng tính chất đặc trưng. Một hình có thể được xác định bằng tính chất đặc trưng của các phần tử thuộc nó. Ví dụ: Đường tròn tâm O bán kính R là tập hợp (quỹ tích) những điểm cách O một khoảng bằng R. Nếu ký hiệu đường tròn đó là C(O,R) và độ dài đoạn OM là l(OM) thì: M C(OM) l(OM) =R. Điểm có khoảng cách đến tâm O của đường trong nhỏ hơn (lớn hơn) bán kính R gọi là điểm trong (tương ứng: điểm ngoài) đường tròn. Tập các điểm trong của đường tròn C gọi là hình tròn mở nhận C làm biên, hình tròn mở cùng với biên của nó được gọi là hình tròn (đóng). Trong hình học sơ cấp, ta thường gặp các bài toán tìm hình biết các tính chất đặc trưng của các phần tử của nó, đó chính là các bài toán quỹ tích. 56
22. §2. TAM GIÁC 2.1. Định nghĩa. Hình tam giác là giao của ba nửa mặt phẳng có bờ đôi một cắt nhau nhưng không đồng quy và mỗi nửa mặt phẳng chứa giao điểm của hai bờ kia. Mỗi giao điểm của hai đường thẳng bờ gọi là đỉnh, mỗi đoạn thẳng của bờ nối hai đỉnh gọi A là cạnh của tam giác. Tập các cạnh của tam giác gọi là biên (hay chu tuyến) của tam giác, đó là ranh giới tập B C những điểm mà xung quanh nó có cả những điểm của tam giác, cả những điểm không thuộc tam giác. Để ý rằng: tam giác được hoàn toàn xác định bởi biên, thậm chí bởi ba đỉnh của nó và vì biên của tam giác đơn giản, dễ xác định nên nhiều khi người ta cũng có thể định nghĩa: - Tam giác là tập ba đoạn thẳng không cùng thuộc một đường thẳng, đôi một có mút chung. - Ta giác là tập ba điểm không thẳng hàng. Đôi khi người ta cũng coi ba điểm thẳng hàng là đỉnh của một tam giác (trường hợp suy biến). Tại mỗi đỉnh của tam giác, ta có một miền góc lồi chứa tam giác, nó được gọi là góc trong của tam giác. Mỗi góc kề bù với một góc trong của tam giác gọi là góc ngoài của nó. Chúng ta nhắc lại ở đây một số định lý cơ bản của “Hình học trong tam giác”. Có thể dễ dàng thấy các chứng minh của chúng trong sách giáo khoa hình học phổ thông. Định lý 1. Tổng các góc trong của mỗi tam giác bằng 180o. Định lý 2. Trong tam giác, hai góc đối diện với hai cạnh bằng nhau thì bằng nhau (tam giác cân), góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn. Định lý 3. Mỗi cạnh của tam giác nhỏ hơn tổng và lớn hơn hiệu của hai cạnh kia (Bất đẳng thức tam giác). Ngược lại, bất cứ ba đoạn thẳng mà mỗi đoạn nhỏ hơn tổng và lớn hơn hiệu hai đoạn kia đều là các cạnh của một tam giác xác định. Ta thường gọi: 57
23. - Tam giác có một góc vuông là tam giác vuông. - Tam giác có một góc tù là tam giác tù. - Tam giác có cả ba nhọn là tam giác nhọn. - Tam giác có ba cạnh (hoặc ba góc) bằng nhau là tam giác đều. Ví dụ: Cho hai điểm A, B ở về cùng một phía của đường thẳng d. Hãy tìm trên d điểm C để cho AC + BC ngắn nhất. Giải. Lấy điểm D đối xứng vơi A qua d. A Khi đó với mỗi điểm M bất kỳ thuộc d ta có MA = MD, do đó B MA + MB = MD + MB. d M Mà trong tam giác MBD ta luôn có MD + MB BD, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M D BD. Suy ra MA + MB sẽ ngắn nhất khi M BD. Vậy điểm C cần tìm phải là giao điểm của d với đoạn BD. 2.2. Các đường và các điểm đặc biệt trong tam giác. - Trung tuyến của tam giác là đường thẳng đi qua một đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện đỉnh đó. - Đường cao của tam giác là đường thẳng đi qua 1 đỉnh và trung điểm cạnh đối diện đỉnh đó. - Tia phân giác (trong hay ngoài) là tia xuất phát từ một đỉnh và chia góc (trong hay ngoài) của đỉnh đó thành hai góc bằng nhau. Đường thẳng chứa tia phân giác (trong hay ngoài) gọi là đường phân giác (trong hay ngoài) của tam giác. Định lý 4. Trong mỗi tam giác: a) Ba đường trung tuyến đồng quy. Điểm đồng quy đó gọi là trọng tâm của tam giác. b) Ba đường cao đồng quy. Điểm đồng quy đó gọi là trực tâm của tam giác. c) Ba đường trung trực đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ( là đường tròn đi qua ba đỉnh tam giác). 58
24. d) Ba đường phân giác trong đồng quy tại tâm đường tròn nội tiếp tam giác (đường tròn nằm trong tam giác và tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác). e) Đường phân giác trong và hai đường phân giác ngoài của hai góc còn lại đồng quy tại tâm đường tròn bàng tiếp (đường tròn nằm ngoài tam giác và tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác). §3. ĐA GIÁC Ta đã thấy, tam giác là một “mảnh” của mặt phẳng được bao bọc bởi ba đoạn thẳng. Đó cũng là một lớp hình riêng của lớp hình rộng hơn gọi là đa giác. 3.1. Đường gấp khúc. Cho n điểm phân biệt A1, A2, , An. Tập các đoạn thẳng A1A2, A2A3, , An-1An được gọi là đường gấp khúc. A2 A5 A1 A4 A 6 A7 A3 Mỗi điểm trong n điểm trên gọi là một đỉnh, mỗi đoạn thẳng trong tập n-1 đoạn trên gọi là một cạnh (hay một đốt) của đường gấp khúc. Ta ký hiệu đường gấp khúc như vậy là A1A2 An. Nếu điểm đầu A1  A và điểm cuối An  B ta nói đường gấp khúc đó nối A với A. Với hai điểm A, B bất kỳ, có vô số đường gấp khúc nối hai điểm đó. Đoạn thẳng AB là một đường gấp khúc, nó là đường đi ngắn nhất từ A đến B. Chính xác hơn là: Mọi đường gấp khúc nối hai điểm A, B có tổng độ dài các đốt không nhỏ hơn độ dài đoạn AB. Ta gọi tổng độ dài các đốt của đường gấp khúc là độ dài của nó. Độ dài đường gấp khúc nối A, B ngắn nhất khi và chỉ khi các đỉnh của nó đều thuộc đoạn AB và sắp xếp theo thứ tự A1  A, A2, , An  B (nghĩa là A2 ở giữa A1, A3; A3 ở giữa A2, A4; ; An-1 ở giữa An-2, An). 3.2. Đa giác. 59
25. Đường gấp khúc có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là đường gấp khúc khép kín. Định nghĩa. Mỗi điểm trên đường gấp khúc gọi là điểm đơn nếu: a) Nó là điểm đầu hoặc điểm cuối hoặc đỉnh chung của đúng hai đốt. b) Nó là điểm trong của đúng một đốt. Nếu mọi điểm của một đường gấp khúc đều là điểm đơn thì đường gấp khúc đó được gọi là đường đơn. Ví dụ về đường gấp khúc đơn và không đơn: A2 A2 A3 A3 A4 A2 A6 A6 A 1 A4 A A1 A 5 3 A 4 A A8 A7 A5 1 A5 a) b) c) Hình a) là ví dụ về đường gấp khúc đơn, khép kín. Hình b) và c) là ví dụ về các đường gấp khúc không đơn (hình b có một không phải là điểm đơn, hình c có hai điểm khôngphải là điểm đơn). Ta thấy mỗi đoạn thẳng là một đường gấp khúc đơn; biên của mỗi tam giác là một đường gấp khúc đơn, khép kín. Định nghĩa. Đa giác là hình gồm một đường gấp khúc đơn, khép kín và miền trong của nó (Nói cách khác: Đa giác là phần của mặt phẳng bị giới hạn bởi một đường gấp khúc đơn, khép kín). Ta gọi đỉnh (hay cạnh) của đường gấp khúc là đỉnh (cạnh) của đa giác. Mỗi đa giác được gọi tên theo số cạnh của nó (ví dụ: tam giác, tứ giác, , n giác). Định nghĩa. Đa giác lồi là đa giác ở về cùng một phía đối với mỗi đường thẳng chứa một cạnh của nó. Trong một đa giác lồi, miền góc tạo bởi hai cạnh chung đỉnh và chứa toàn bộ đa giác gọi là góc trong của đa giác. Ví dụ: Mỗi tam giác là một đa giác lồi. 60
26. Chú ý: Mọi đa giác lồi đều có thể phân hoạch (chia) thành các tam giác (bằng nhiều cách). Ngũ giác lồi Tứ giác không lồi (Tứ giác lõm) Định lý 1. Tổng số đo các góc trong của đa giác lồi n cạnh bằng o (n-2)180 Chứng minh. Từ một đỉnh của đa giác, kẻ các đoạn thẳng nối tới các đỉnh của đa giác không chung cạnh với đỉnh đó ( các đường chéo) ta dược n – 2 tam giác đôi một không có điểm chung trong. Mỗi tam giác có tổng các góc trong bằng 180o mà tổng các góc trong của đa giác bằng tổng các góc trong của n – 2 tam giác đó. Ta được công thức cần chứng minh. 3.3. Tứ giác. Ngoài tam giác, tập các tứ giác là lớp hình đáng quan tâm. Ta cũng có: a) Góc trong của tứ giác là miền góc (không nhất thiết lồi) có hai cạnh chứa hai cạnh kề của đa giác và có điểm chung trong với đa giác. Tổng các góc trong của tứ giác bằng 360o. b) Ta chỉ xét các tứ giác lồi và các lớp riêng biệt của nó. Định nghĩa. Hình thang là tứ giác lồi có hai cạnh đối song song. Hai cạnh song song gọi là hai đáy, hai cạnh còn lại gọi là các cạnh bên của hình thang. Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. Hình thang cân là hình thang có hai góc ở đáy bằng nhau. Định lý 2. Một hình thang là hình thang cân khi và chỉ khi nó có một trong các tính chất sau: a) Hai đường chéo bằng nhau. b) Bốn đỉnh của nó cùng nằm trên một đường tròn. Chứng minh. a) Dựa trên bổ đề: Hai đoạn thẳng song song chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau và hình vẽ sau: 61
27. b) Dựa vào góc nội tiếp của đường tròn. Định nghĩa. Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song. Hình chữ nhật là tứ giác lồi có bốn góc bằng nhau. Hình thoi là tứ giác lồi có bốn cạnh bằng nhau. Tứ giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau gọi là hình vuông. Ta có sơ đồ hệ thống các loại tứ giác: Tứ giác Hình thang Hình bình hành Hình thang cân 3.4. Đa giác đều. Hình chữ nhật Hình thoi Định nghĩa. Đa giác đều là đa giác lồi c ó: a) Các cạnh bằng nhau, b) Các góc bằng nhau Hình vuông Ví dụ: Các tam giác đều, hình vuông là các đa giác đều. Định lý 3. Đa giác đều là đa giác nội tiếp (Các đỉnh của đa giác đều cùng thuộc một đường tròn). Chứng minh. Cho A1A2 Ak là đa giác đều có k đỉnh (k cạnh), số do mỗi góc ở đỉnh (k 2)180o bằng < 180o. k Vì vậy kẻ hai trung trực của hai cạnh A1Ak, A1A2 chúng phải cắt nhau ở diểm O. 62
28. Các tam giác cân OA1A2 và OA1Ak bằng nhau (vì có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau). Do đó O nằm trên tia phân giác trong của góc A1.  Suy ra A2O là phân giác trong của A 2 . Hạ OJ  A2A3, ta có tam giác vuông OIA2 bằng tam giác vuông OJA2 (I là trung điểm A1A2). 1 Suy ra JA2 = IA2 = A2A3. Do đó tam giác OA2A3 cân vì trung 2 tuyến OJ  A2A3. Vì vậy O OA3 = OA2 = OA1 = OAk Ak A3 tức là đường tròn tâm O đi qua A3. J Lập lại lý luận đó ta sẽ được các đỉnh A1 I A2 của đa giác đều nằm trên đường tròn tâm O. 3.5. Đa giác bằng nhau. Định nghĩa. Hai đa giác bằng nhau là hai đa giác có cùng số cạnh và có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau. Ta đã biết ba trường hợp bằng nhau (c.c.c, c.g.c, g.c.g) của hai tam giác chính là các điều kiện (dấu hiệu) để hai tam giác bằng nhau. Hai tam giác bằng nhau có các “yếu tố tuyến tính” bằng nhau: các chiều cao tương ứng, các đoạn trung tuyến, các bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng nhau. Dễ thấy rằng, hai đa giác đều bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng số cạnh và độ dài các cạnh của chúng bằng nhau. Định nghĩa. Hai đa giác đồng dạng là hai đa giác có cùng số cạnh và có các cặp goác tương ứng bằng nhau, các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ. Nhờ định lý Ta lét ta có: Định lý 4. Hai tam giác đồng dạng khi và chỉ khi chúng thoả mãn một trong các điều kiện sau: a) Một cặp góc bằng nhau xen giữa hai cặp cạnh tỷ lệ. b) Hai cặp góc bằng nhau. c) Ba cặp cạnh tương ứng tỷ lệ. Định lý này đã được chứng minh trong nhiều sách phổ thông, bạn đọc tự chứng minh xem như bài tập. Hai tam giác đòng dạng có tỷ số giữa các yếu tố tuyến tính bằng tỷ số đồng dạng. Hai đa giác đều đồng dạng khi và chỉ khi chúng có cùng số cạnh. 63
29. §4. ĐƯỜNG TRÒN 4.1. Xác định đường tròn. Từ định nghĩa đường tròn (xem §1), ta thấy đường tròn hoàn toàn được xác định khi biết tâm và bán kính của nó. Ta sẽ dùng ký hiệu (O,R) để chỉ đường tròn tâm O, bán kính R. Từ tính chất của tam giác (xem §2) ta thấy đường tròn được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng. Ta còn có : - Tập những điểm nhìn hai điểm cố định dưới một góc vuông là đường tròn có tâm là trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm và bán kính bằng 1 độ dài đoạn đó. 2 - Tập những điểm nhìn hai điểm cố định dưới một góc không đổi là hai cung tròn đối xứng nhau qua đường thẳng nối hai điểm đó. - Tập những điểm có tỷ số khoảng cách đến hai điểm cố định bằng k 1 (k > 0) là đường tròn có đường kính là đoạn nối điểm chia trong và chia ngoài đoạn thẳng nối hai điểm đã cho theo tỷ số k (đường tròn Apôlôniuyt). 4.2. Đường tròn ngoại tiếp của đa giác. Định nghĩa. Đa giác nội tiếp là đa giác có các đỉnh cùng nằm trên một đường tròn. Đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác. Mọi tam giác luôn có đường tròn ngoại tiếp. Mỗi đa giác đều cũng có đường tròn ngoại tiếp. Mỗi hình chữ nhật, hình thang cân là một tứ giác nội tiếp. Không phải tứ giác nào cũng có đường tròn ngoại tiếp. Ta có: “Tứ giác lồi là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi nó có tổng hai góc đói bằng 180o và hai đỉnh ở về cùng phía đối với một cạnh nhìn hai mút của cạnh dưới cùng một góc”. Định lý 1 (Định lý Ptôlêmê). Trong tứ giác lồi nội tiếp, tích của hai đoạn chéo bằng tổng các tích của các cạnh đối. Chứng minh. Giả sử tứ giác đó là ABCD, cần chứng minh AC . BD = AB . CD + AD . BC . 64
30.  Vẽ tia đối xứng với BD qua phân giác trong của B cắt đoạn chéo AC ở điểm E. Ta có: Tam giác ABE đồng dạng với tam giác DBC, do đó A B AB AE , BD CD suy ra AB.CD = AE.BD. D E Tam giác BCE đồng dạng với tam giác BDA, nên ta có BC EC, C BD AD suy ra AD.BC = EC.BD. Từ các đẳng thức trên ta được AB . CD + AD . BC = AE . BD + EC . BD = (AE + EC) . BD = AC . BD (đpcm). 4.3. Đường tròn nội tiếp một đa giác. Định nghĩa. Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng có đúng một điểm chung với đường tròn. Định lý 2. Đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn khi và chỉ khi nó có một trong các điều kiện sau: a) Đường thẳng vuông góc với một bán kính đường tròn tại nút của bán kính. b) Đường thẳng cách tâm đường tròn một khoảng bằng bán kính đường tròn. Hệ quả. Tại mỗi điểm của đường tròn có một và chỉ một tiếp tuyến với đường tròn (nhận điểm đó làm tiếp điểm). Giao của hai tiếp tuyến đường tròn cách đều hai tiếp điểm. Định nghĩa. Đường tròn nội tiếp trong đa giác là đường tròn nằm trong đa giác và tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác đó. Đa giác có đường tròn nội tiếp cũng được gọi là đa giác ngoại tiếp. Ví dụ: Mỗi tam giác là một đa giác ngoại tiếp. Mỗi đa giác đều cũng là một đa giác ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp trong đa giác đều chính là tâm đường tròn ngoại tiếp nó. Ta gọi tâm chung đó là tâm của đa giác đều. 65
31. Định lý 3. Điều kiện cần và đủ để một tứ giác lồi ngoại tiếp được là tổng các cạnh đối của tứ giác bằng nhau. Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O, gọi M, N, P, Q là các tiếp điểm. Khi đó ta có AM = AQ B BM = BN M CP = CN A N DP = DQ, O Do đó Q AM + BM + CP + DP = AQ + DQ + BN + C CN. P D Suy ra AB + CD = AD + BC. Điều kiện đủ. Giả sử tứ giác ABCD thoả mãn đều kiện AB + CD = AD + BC (*). Hai phân giác trong của A và B cắt nhau ở O, giả sử O là tâm của đường tròn tiếp xúc với AD, AB, BC tương ứng ở Q, M, N. Để ý rằng phải có hoặc Q ở giữa AD hoặc N ở giữa BC bởi nếu không thì AB = AM + MB = AQ + BN > AD + BC, M B do đó (*) không thể xảy ra. A Không mất tính tổng quát giả sử Q ở giữa AD, N kẻ tiếp tuyến thứ hai từ D, giả sử tiếp tuyến này cắt Q BC ở C’, ta phải chứng minh C’  C. Trong tứ giác ngoại tiếp AB C’D, ta có D C AB + C’D = AD + B C’ C’ so sánh với (*) suy ra CD – C’D = BC – B C’ hay  CD – C’D = CC’ điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức trong tam giác DCC’. Vậy C’  C, nghĩa là tứ giác ABCD là tứ giác ngoại tiếp. Định lý đã được chứng minh. §5. CÁC HÌNH KHÔNG GIAN 66
32. Các hình hình học thường gặp trong không gian là các hình đa diện và các hình tròn xoay. Các khối đa diện và các khối tròn xoay là phần không gian giới hạn bởi các hình đa diện và các khói tròn xoay. 5.1. Hình đa diện. a) Hình tứ diện. Hình đa diện có vai trò như hình tam giác trong mặt phẳng là hình tứ diện. Bốn điểm A, B, C, D không cùng thuộc một mặt phẳng xác định bốn tam giác, mỗi tam giác có đỉnh là ba trong bốn điểm trên. Hình gồm bốn tam giác đó gọi là hình tứ diện. A Bốn điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh; bốn tam giác ABC, ABD, ACD, BCD gọi là các mặt; sáu đoạn thẳng AB, Q AC, AD, BC, BD, CD gọi là các cạnh của M hình tứ diện. Hai cạnh không có đỉnh chung gọi O là hai cạnh đối diện. B D Ba đường thẳng nối trung điểm các N cạnh đối diện đồng quy tại một điểm O P gọi là trọng tâm của hình tứ diện. b) Hình chóp. C Hình chóp là hình gồm 1 đa giác A1A2 An (gọi là đáy) và n tam giác SA1A2, SA2A3, , SAnA1 (gọi là các mặt bên) trong đó S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác, S gọi là đỉnh của hình chóp. Ký hiệu SA1A2 An là hình chóp đỉnh S, đáy là đa giác A1A2 An. Hình chóp được gọi theo tên của đáy. Chẳng hạn gọi là hình chóp tam giác nếu đáy là tam giác, hình chóp tứ giác nếu đáy là tứ giác. S S D D E A H ình chóp tứ giác SABCD Hình chóp ngũ giác A SABCD C Chú ý: HDì nh tứ diện chính là một hình chóp tam giác. C D c) Hình lăng trụ. 67
33. Hình lăng trụ là hình gồm hai đa giác A1A2 An, B1B2 Bn có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau (gọi là hai đáy) và n hình bình hành A1A2B1B2, A2A3B3B2, , AnA1BnB1 (gọi là các mặt bên). Ký hiệu hình lăng trụ trên là A1A2 AnB1B2 Bn. Hình lăng trụ cũng được gọi theo tên của đáy: lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác, A3 A A3 4 A A2 A2 1 A1 B3 B3 B4 B 1 B2 B1 B2 Lăng trụ tam giác A1A2A3B1B2B3 Lăng trụ tứ giác A1A2A3A4B1B2B3B4 d) Hình hộp. Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp. Như vậy, hình hộp là hình có sáu mặt đều là hình bình hành. Hai đỉnh không cùng thuộc một mặt gọi là hai đỉnh đối diện; đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo; bốn đường chéo của hình hộp đồng quy tại một điểm O gọi là tâm của hình hộp. Hình hộp có sáu mặt đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật; còn nếu sáu mặt đều là hình vuông gọi là hình lập phương. A A 4 3 A4 A3 A2 A1 A1 A2 O B4 B4 B3 B3 B B B1 B2 1 2 Hình hộp A1A2A3A4B1B2B3B4 Hình hộp chữ nhật A1A2A3A4B1B2B3B4 A 4 A3 A1 A 2 68 B4 B3 B1 B2
34. Hình lập phương A1A2A3A4B1B2B3B4 5.2. Hình tròn xoay. R O a) Mặt cầu. Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách điểm cố định O một khoảng bằng R. Điểm O gọi là tâm, R gọi là bán kính của mặt cầu. b) Mặt trụ. R O Mặt trụ là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách đường thẳng cố định d một khoảng bằng R Các đường thẳng l song song với d và cách d một khoảng bằng R tạo nên mặt trụ, các đường thẳng ấy gọi là đường sinh của mặt trụ còn R gọi là bán kính mặt trụ. l c) Mặt nón. S Mặt nón: Cho hình tròn tâm O thuộc mặt phẳng (P), lấy điểm S (P) sao cho S có hình chiếu lên mặt phẳng (P) là O. Mặt nón đỉnh S là hình gồm các nửa đường thẳng gốc S nối với điểm M bất kỳ thuộc đường tròn tâm O. Các nửa đường thẳng đó gọi la đường sinh của mặt O nón. M 5.3. Vẽ hình không gian. a) Phép chiếu song song. M Cho mặt phẳng (P) và một đường thẳng l l cắt (p). Hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P) là điểm M’ giao của đường thẳng qua M M’ song song với l và mặt phẳng (P). Còn nói M’ P 69
35. là hình chiếu của M qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương chiếu l. Tập hợp các hình chiếu của các điểm thuộc một hình F trong không gian là một hình F’ trên mặt phẳng (P). Hình F’ gọi là hình chiếu của F. Hình F’ và các hình đồng dạng với nó gọi là hình biểu diễn của hình F. Vẽ hình không gian F tức là vẽ một hình biểu diễn của nó. b) Phép chiếu song song chỉ bảo toàn tính song song và tỷ số các đoạn A thẳng song song, không bảo toàn độ dài của đoạn thẳng và độ lớn của góc. Vì vậy, chẳng hạn, một tam giác tuỳ ý có thể M N coi là hình biểu diễn của tam giác đều, tam giác vuông hoặc tam giác cân. Một hình bình hành tuỳ ý có thể coi là hình B D biểu diễn của hình chữ nhật, hình vuông hoặc hình thoi. Đường Elip là biểu diễn Q P của hình tròn. Ví dụ: Vẽ hình biểu diễn của tứ C diện cắt bởi mặt phẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB, BC và CD. BÀI TẬP CHƯƠNG IV 1. Tính độ dài trung tuy ến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC, biết rằng AB = 1, AC = 2, A = 120o. 2. Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng bình phương của tất cả các cạnh bằng tổng bình phương của hai đường chéo cộng với bốn lần bình phương của đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo. 3. Chứng minh rằng nếu ABCD là hình chữ nhật thì với mọi điểm M ta luôn có MA2 + MC2 = MB2 + MD2. 4. Chứng minh rằng nếu các đường chéo của một tứ giác vuông góc với nhau thì tổng bình phương hai cạnh đối diện bẳng tổng bình phương hai cạnh còn lại. 70
36. B. HƯỚNG DẪN TỰ HỌC CHƯƠNG III I. MỤC ĐÍCH – YÊU CẦU Chương III đề cập đến một số vấn đề các hình hình học nhằm những mục đích sau : 1. Cung cấp cho người học những khái niệm và kiến thức cơ bản về các hình hình học trong mặt phẳng cũng như trong không gian: hình tròn, tam giác, tứ giác, đa giác, đường tròn nội tiếp một đa giác, đường tròn ngoại tiếp một đa giác, hình tứ diện, hình chóp, hình lăng trụ, hình hộp, mặt cầu, mặt trụ, mặt nón; bên cạnh các khái niệm còn có một số tính chất của chúng. Từ đó giúp người học hiểu rõ hơn về các hình hình học, biết cách vẽ chính xác các hình này, có cái nhìn rộng hơn và sâu hơn về nội dung và phương pháp hình thành cho trẻ các biểu tượng Toán nói chung và các biểu tượng về hình dạng nói riêng. 2. Rèn luyện cho người học sự khéo léo, cẩn thận, trí tưởng tượng phong phú khi vẽ hình, quan sát hình. 71
37. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Hữu Chân, nguyễn Tiến Tài, Tập hợp và lôgic số học, NXB GD, 1997. [2] Nguyễn Văn Đoành, Nguyễn Văn Khuê, Hình học sơ cấp, ĐHSP Hà nội I, 1994. [3] Trương Đức Hinh, Đào Tam, Hình học sơ cấp, NXB GD, 1995. [4] Đinh Thị Nhung, Toán và phương pháp hình thành các biểu tượng Toán học cho trẻ mẫu giáo, Tập I, NXB ĐH Quốc gia Hà nội, 2001. [5] Nguyễn Tiến Tài, Nguyễn Văn Ngọc, Số tự nhiên, Trường ĐHSP Hà Nội I, 1994. [6] Lại Đức Thịnh, Giáo trình số học, NXB GD, 1997. [7] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, NXB GD, 1998. 72
38. MỤC LỤC Lời nói đầu Chương I: Tập hợp - Quan hệ - Ánh xạ 1. Các khái niệm cơ bản về tập hợp 1.1. Khái niệm tập hợp 7 1.2. Sự xác định một tập hợp 8 1.3. Tập rỗng, tập đơn tử 8 1.4. Minh họa tập hợp bằng hình vẽ 9 Bài tập 9 2. Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp 2.1. Quan hệ bao hàm - Tập con 10 2.2. Hai tập hợp bằng nhau 10 2.3. Một số tính chất của quan hệ bao hàm 11 2.4. Tập hợp các tập con của một tập hợp 11 Bài tập 12 3. Các phép toán trên các tập hợp 3.1. Phép hợp 13 3.2. Phép giao 13 3.3. Một số tính chất của phép hợp, phép giao 14 3.4. Liên hệ giữa phép hợp và phép giao 15 3.5. Phép trừ 15 3.6. Sự liên quan giữa phép trừ với phép hợp và phép giao 16 Bài tập 17 4. Quan hệ 4.1. Tích Đề các của các tập hợp 17 4.2. Quan hệ hai ngôi 18 4.3. Một số tính chất thường gặp của quan hệ hai ngôi 19 4.4. Quan hệ tương đương 19 4.5. Quan hệ thứ tự 21 Bài tập 23 5. Ánh xạ 5.1. Các khái niệm cơ bản và ví dụ về ánh xạ 25 5.2. Ảnh và tạo ảnh 27 73
39. Bài tập 28 6. Các ánh xạ đặc biệt - Tích các ánh xạ - Ánh xạ ngược 6.1. Các ánh xạ đặc biệt 29 6.2. Tích các ánh xạ 31 6.3. Ánh xạ ngược 32 Bài tập 34 Chương II: Lôgic toán 1. Lôgic mệnh đề và các phép toán 1.1. Phép phủ định 36 1.2. Phép hội 37 1.3. Phép tuyển 38 1.4. Phép kéo theo 39 1.5. Phép tương đương 40 Bài tập 41 2. Công thức và luật của lôgic mệnh đề 2.1. Khái niệm về công thức 43 2.2. Giá trị của công thức 43 2.3. Hai công thức bằng nhau 44 2.4. Phép biến đổi công thức 46 2.5. Luật của lôgic mệnh đề 48 Bài tập 48 3. Lôgic vị từ 3.1. Hàm mệnh đề một biến 49 3.2. Hàm mệnh đề hai biến 51 3.3. Hàm mệnh đề n biến 52 Bài tập 52 4. Các phép toán của lôgic vị từ 4.1. Phép phủ định 53 4.2. Phép hội 53 4.3. Phép tuyển 54 4.4. Phép kéo theo 54 4.5. Phép tương đương 55 Bài tập 56 74
40. 5. Các lượng từ 5.2. Lượng từ “tồn tại’’ 57 5.2. Lượng từ “với mọi’’ 58 5.3. Liên hệ giữa lượng từ “tồn tại’’, “với mọi’’ và phép phủ định 58 Bài tập 59 Chương III: Số tự nhiên 1. Tập hợp tương đương 1.1. Quan hệ tương đương trên các tập 62 1.2. Một số tính chất 62 1.3. Định lý Cantor 63 2. Tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn 2.1. Định nghĩa và ví dụ 64 2.2. Một số tính chất 64 3. Số tự nhiên - Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên 3.1. Bản số - Số tự nhiên 67 3.2. Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên 68 3.3. Số liền sau 69 3.4. Dãy các số tự nhiên 71 Bài tập 71 4. Các phép toán trên tập hợp số tự nhiên 4.1. Định nghĩa phép cộng và phép nhân các số tự nhiên 72 4.2. Một số tính chất của phép toán cộng và phép toán nhân 73 4.3. Liên hệ giữa quan hệ thứ tự và phép toán cộng, phép toán nhân 75 4.4. Phép trừ và phép chia 76 Bài tập 77 5. Phép đếm và cách ghi số 5.1. Hệ thống ghi số cơ số g 78 5.2. Đổi cơ số 81 5.3. Cách viết các số trong hệ thống ghi số cơ số g 82 5.4. So sánh các số trong cùng hệ thống ghi số cơ số g 84 Bài tập 84 6. Các dấu hiệu chia hết 6.1. Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5 84 75
41. 6.2. Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25 85 6.3. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9 86 6.4. Dấu hiệu chia hết cho 11 86 Bài tập 86 7. Thực hành các phép toán trong hệ thống ghi số cơ số g 7.1. Phép cộng 87 7.2. Phép trừ 88 7.3. Phép nhân 98 7.4. Phép chia 92 Bài tập 93 Chương IV: Các hình hình học 1. Các khái niệm về hình hình học 1.1. Định nghĩa 95 1.2. Các phép toán trên các hình 95 1.3. Xác định một hình bằng tính chất đặc trưng 96 2. Tam giác 2.1. Định nghĩa 97 2.2. Các đường và các điểm đặc biệt trong tam giác 98 3. Đa giác 3.1. Đường gấp khúc 99 3.2. Đa giác 99 3.3. Tứ giác 101 3.4. Đa giác đều 102 3.5. Đa giác bằng nhau 103 4. Đường tròn 4.1. Xác định đường tròn 104 4.2. Đường tròn ngoại tiếp của đa giác 105 4.3. Đường tròn nội tiếp một đa giác 106 5. Các hình không gian 5.1. Hình đa diện 107 5.2. Hình tròn xoay 111 5.3. Vẽ hình không gian 111 Bài tập chương IV 111 76