Giáo trình Toán cao cấp A1

146 trang ngocly 2350

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán cao cấp A1", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_toan_cao_cap_a1.pdf

Nội dung text: Giáo trình Toán cao cấp A1

id11701062 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ài 1 Giới hạn và liên tục B Ố THỰC VÀ HÀM SỐ I. S ác số thực và ðýờng thẳng thực 1.C ác số thực là những số có thể biểu diễn dýới dạng thập phân nhý : C ðó dấu ba chấm ( ) chỉ dãy các ký số sau dấu chấm thập phân kéo dài ðến vô trong ạn . h ác số thực có thể ðýợc biểu diễn về mặt hình học bởi các ðiểm trên 1 ðýờng thẳ C ng, ðýợc gọi là ðýờng thẳng thực nhý minh họa dýới ðây: ập hợp tất cả các số thực (hay ðừng thẳng thực ) sẽ ðýợc ký hiệu là T R. ên tập hợp các số thực ta có hai phép toá õ bản + và * với một số tính chất ðại số Tr n c ộc ðã biết . Từ ðó ta cũng có phép toán trừ ( à phép chia (/) cho số khác 0. quen thu -) v ài ra trên ũng có một thứ tự thông thýờng và với thứ tự này ta có một số Ngo R ta c ính chất ðýợc viết dýới dạng các bất ðẳng ức nhý sau: t th ếu a,b, và c là các số thực thì ta có N a 0 a < b v ac <bc ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 à c 0 > 0 ếu (a và b cùng là số dýõng ) N à b cùng là số âm ) hay (a v ì ta có : Th ó một số tập hợp con quen thuộc là tậ ợp các số tự nhiên ập hợp các số R c p h N ,t ên à tập hợp các số hữu tỉ ứ tự "bao hàm trong " thì nguy Z, v Q . Theo th    N Z Q R ác số thực không thuộc ðýợc gọi là các số vô tỉ . C Q ý hiệu các khoảng ðoạn và nửa khoảng : K ới a và b là các số thực , ta ký hiệu : V à { x (a ,b ) l R / a a} à { x [a, ) l R /x >= a} à {x ( - ,b) l R /x < b } à {x ( - b] l R /x <= b} à ( - , ) l R ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ú : ýời ta còn chứng minh ðýợc rằng ó tính chất ðầy ðủ . Theo tính Ghi ch Ng R c ất này thì mọi tập số thực khác rỗng bị chặn trên ðều có cặn trên ðúng (tức là chặn ch ên nhỏ nhất). Týõng tự , mọi tập số thực khác rỗng bị ó chặn dýới ðúng. tr c ý hiệu "giá trị tuyệt ðối: K á trị tuyệt ðối của một số thực x ,ký hiệu bởi |x|, ðýợc ðịnh nghĩa nhý sau : Gi ừ ðó ta có một số tính chất dýới ðây: T ới mọi (1) V (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) ýu ý rằng về mặt hình học ,   ểu diễn khoảng cách từ ðiểm x ðến ðiểm 0 trên L x bi ðýờng thẳng thực . Tổng quát hõn là :   ảng cách giữa x và y x-y = kho ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 àm số 2. H Ðịnh nghĩa: ột hàm số f từ một tập D vào IR là một quy tắc cho ứng với mỗi x à một phần M D l ử duy nhất f (x) t R. ột hàm số thýờng ðýợc cho dýới dạng công thức nhý ác ví dụ sau: M c àm số ðýợc cho bởi một công thức nhý hàm số g(x) ở trên thì tập hợp tất cả các Khi h à g(x) xác ðịnh ðýợc gọi là ền xác ðịnh của hàm số x m mi . í dụ: ền ác ðịnh của hàm số à tập hợp các số thực x sao cho : V Mi x l 2 x 4 0 x -2 hay x 2 ậy miền xác ðịnh là : (  V - , -2 ] [ 2 , ) Ðồ thị của hàm số: Ðồ thị của hàm số f là ðýờng biểu diễn trong mặt phẳng Oxy có phýng trình y=f(x). ó bao gồm tất cả các ðiểm (x , f(x)) với x chạy trong miền xác ðịnh của hàm số. N í dụ : V Ðồ ị hàm số y = x2 1) th Ðồ thị hàm số y = x3/2 2) ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ổng, hiệu, tích, thýõng của các hàm số: T à g là 2 hàm số, và c là một hằng số. Ta ðịnh nghĩa các hàm f+g, f Cho f v g, f.g, f/g à c.f bởi các công thức sau: v (f + g) (x) = f(x) + g(x) (f - g) (x) = f(x) - g(x) (f . g) (x) = f(x) . g(x) (c.f) (x) =c.f(x) ợp nối của các hàm số H : ợp nối của f(x) và g(x) là 1 hàm số ðýợc ký hiệu là g à ðýợc ðịnh nghĩa bởi : H f v (g f) (x) = g(f(x) ) ền xác ðịnh của g à tập hợp các giá trị x sao cho f(x) ền xác ðịnh của g. Mi f l mi í dụ àm số y = ó miền xác ðịnh là tập hợp tất cả các số thực x V : H c sao cho ậy miền xác ðịnh là D = (  hay x (1, 2). V - , 1] [2, + ). ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ÁC DẠNG VÔ ÐỊNH III. C àm týõng ðýõng ,VCB ,VCL 1 . H Ðịnh nghĩa 1: àm số f(x à g(x) không triệt tiêu trong một khoảng quanh x ó thể loại Cho hai h )v ( c ừ x ói f(x) týõng ðýõng với g(x) khi x ếu: o tr o). Ta n -> xo n ấy , ta viết : Khi  f(x) g(x) khi x -> xo ặc là : khi x  Ho -> xo , f(x) g(x) ính chất : T Khi x -> xo  (i) f(x) g(x)   (ii) f(x) g(x) g(x) f(x)  à g(x)   (iii) f(x) g(x) v h(x) f(x) h(x) í dụ : ó : V Khi x -> 0, ta c sin x ~ x ln(1+x) ~ x tg x ~ x ex -1 ~ x arcsin x ~ x arctg x ~ x Ðịnh nghĩa 2: ác ðịnh quanh x ó thể loại trừ x ói f (x) là một ðại lýợng vô cùng Cho f (x) x o (c o). Ta n é khi x ết tắt là VCB , khi b -> xo vi ýờng hợp ta có ặc + ặc ói f (x) là vô cùng lớn Trong tr (ho , ho - ) ta n ết tắt là VCL) khi x (vi -> xo í dụ: V ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ó x, ln(1+x), 1 à các VCB. Khi x -> 0 , ta c cos x l + ó ln(x), à các VCL Khi x -> 0 , ta c l ó x, ln(x), ex là các VCL Khi x -> + , ta c ú : ác khái niệm về hàm týõng ðýõng, VCB và VCL cũng ðýợc ðịnh Ghi ch C ĩa týõng tự nhý hai ðịnh nghĩa trên khi xét giới hạn ở vô tận, tức là khi xét x ngh - > ặc x ặc x , ho -> + , ho -> - . ảy dạng ô ðịnh. 2. B v ả sử ta xét giới hạn của f(x) và g(x)trong cùng một qúa trình biến ðổi của Gi ðó x.Khi ói f (x) ó dạng vô ðịnh ếu f (x) và g (x) cùng tiến về + ặc 1) Ta n g (x) c - n (ho à l - ). ói f(x).g (x) có dạng vô ðịnh o . ếu: 2) Ta n n à VCB và g (x) là VCL , hoặc là: f (x) l à VCL và g (x) là VCB f (x) l ói ó dạng vô ðịnh ếu f(x) và g (x) ðều là các VCB 3) Ta n c n ói ó dạng vô ðịnh ếu f(x) và g(x) ðều là các VCL 4) Ta n c n ói f(x) g(x) ó dạng vô ðịnh 00 à g (x) ðều là các VCB. 5) Ta n c khi f (x) v ói f(x) g(x) ó dạng vô ðịnh 0 ếu f(x) à g (x) là VCB. 6) Ta n c n -> + v ói f (x) g(x) ó dạng vô ðịnh 1 ếu f(x) à g (x) là VCL . 7) Ta n c n -> 1 v ắc thay thế týõng ðýõng khi tính giới hạn. 3. Quy t Ðịnh lý : ả sử ta xét giới hạn trong một quá trìn ến ðổi của x. khi ấy : Gi h bi à g (x) có giới hạn L f (x) ~ g (x) v ó giới hạn L. (L hữu hạn hoặc vô hạn) f(x) c ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 à v í dụ: ính V T ó : x . ln(1+x) ~ x . x = x2 Khi x -> 0, ta c => ậy: V ánh các VCB , và các VCL 4. So s Ðịnh nghĩa: ét x ặc a là vô tận ) X -> a (a R , ho ả sử u = f (x)và v = g (x) là các VCB . Khi ðó: Gi ói u và v có cùng cấp nếu (i) Ta n ói u có cấp cao hõn v nếu (ii) Ta n ói u có cấp thấp hõn v nếu (iii) Ta n í dụ : ét x ó 1 à x2 à 2 VCB cùng cấp , 1 à VCB cấp V Khi x -> 0, ta c cos x v l cos x l õn ln(1+x) cao h Ðịnh nghĩa: ánh VCL) (So s ả sử f(x) và g (x) là 2 VCL khi x ói Gi -> a . Ta n ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ó cùng cấp với g (x) nếu (i) f (x) c ó cấ õn g (x) nếu (ii) f(x) c p cao h ó cấp thấp hõn g(x) nếu (iii) f(x) c í dụ: ó x và ùng cấp , x3/2 ó cấp cao hõn V Khi x -> + , ta c c c Ðịnh lý: ả sử f (x) và g(x) là các VCB khi x ó: Gi -> a .Ta c ếu f(x) có cấp nhỏ hõn g(x) thì f(x) (i) N g(x) ~ f(x) khi x->a ếu f(x) cùng cấp g(x) và f(x) ~ f ì : (ii) N 1(x), g(x) ~ g1(x) th f(x) - g(x) ~ f1(x) - g1(x) ới ðiều kiện f(x) và g(x) không týõng ðýõng. v Ðịnh lý: ả sử f(x) và g(x) là các VCL khi x ó: Gi -> a. Ta c ếu f(x) có cấp lớn hõn g(x) thì: (i) N f(x) g(x) ~ f(x) khi x->a ếu f và g cùng cấp nhýng không týõng ðýõng, và: f(x) ~ f ì : (ii) N 1(x), g(x) ~ g1(x) th f(x) - g(x) ~ f1(x) - g1(x) í dụ: ó: V Khi x - > + , ta c 3x4 + x + 1 ~ 3x2 ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 Ử DẠNG VÔ ÐỊNH IV. KH ý ðã biết , ta có thể dùng các quy tắc tính g ới hạn trong trýờng hợp không phải Nh i ạng vô ðịnh và các quy tắc thay thế týõng ðýõng ðể tính giới hạn . Trong trýờng hợp d ặp các dạng vô ðịnh : à ó thể phân tích biểu thức ðể ðõn g - , 0. , , v ta c ản hay thực hiện các quy tắc thay thế týõng ðýõng , ðặc biệt là áp dụng việc thế gi ýõng ðýõng cho VCB và VCL ðýợc trình bày trong các ðị ý ở mục II ở trên . Ðối t nh l ới các dạng vô ðịnh 00 à 0 ýờng dùng công thức biến ðổi sau ðây : v , 1 v ta th (u > 0) ồi xét giới hạn của v. lnu r ài ra , ðối với ác dạng vô ðịnh à òn có thể áp dụng quy tắc L Ngo c v ta c ắc này sẽ ðýợ ình bày trong phần áp dụng của ðạo hàm trong Hospitale. Quy t c tr ýõng sau . ch ýới ðây chúng ta sẽ xét một số ví dụ minh họa cho các phýõng pháp khử dạng vô D ðịnh nêu trên. í dụ 1 V : ìm à T v ó : Khi x -> + , ta c => ó : Khi x -> + , ta c ~ ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 => í ụ 2: V d ìm T ó : Khi x-> 0 , ta c 2x + sin 3x ~ 5x sin2 x ~ x2 2 2x + sin 3x + sin x ~ 5x sin 4x + ln(1+x) ~ 4x + x =5x 2 sin 4x + ln(1+x) - x ~ 5x suy ra : ậy: V í dụ 3: V ìm T ó: Khi x -> 0, ta c => ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ậy: V í dụ 4: V ính giới hạn T ó dạng vô ðịnh ến ðổi: Ta c . Bi ó: Khi x ,ta c ì V Suy ra à V ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ÀM SỐ LIÊN TỤC V. H Ðịnh nghĩa 1 . àm số f(x) xác ðịnh trên ột khoảng chứa xo. Ta nói f(x) liên tục tại xo nếu (i) Cho h m ác ðịnh trên với [ xo, xo +  ới s > 0. Ta nói f (x) liên tục bên phải tại (ii) Cho f (x) x ] v ếu: xo n ác ðịnh tên ( xo  ới s > 0 (iii) Cho f(x) x - , xo ] v ói f(x) liên tục bên trái tại xo nếu: Ta n ệnh ðề: ên tục tại x ên tục bên trái và liên tục bên phải tại x M f li o f li o Ðịnh lý: à g(x) là các hàm số liên tục tại xo. Khi ðó ta có : Cho f(x) v à f(x) . g (x) cũng liên tục tại xo (i) f(x) + g(x) v ên tục tại xo với ðiều kiện (ii) li   ên tục tại xo (iii) f (x) li . Ðịnh lý: ếu hàm số f(x) liên tục tại x à hàm số g(u ên tục tại u ì N v ) li = f(x ) th àm số hợp h (x) =gof(x) liên tục tại x o o o h o. ính chất của hàm hàm số liên tục trên một ðoạn 2.T Ðịnh nghĩa: àm số f(x) ðýợc gọi là liên tục trên ðoạn [a,b] nếu: H ên tục trên khỏang (a,b) ,tức là f (x) liên tục tại mọi xo (i) f(x) li (a,b) ên tục bên phải tại a. (ii) f(x) li ên tục bên trái tại b. (iii) f(x) li ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ên quan ðến hàm số liên tục trên một ðoạn , ngýời ta ðã chứng minh ðýợc ðịnh lý Li ðây: sau Ðịnh lý: àm số f(x) liên tục trên [a,b]. Khi ðó ta có: Cho h ó gía ị nhỏ nhất và gía trị lớn nhất trên [a,b] (i) f c tr Ðặt m = min {f(x)/ x (ii) [a,b]} M = max {f(x) / x [a,b]} ó f ([a,b] ) =[m,M] Ta c ột số thực yo tùy ý thuộc [m,M], ta có xo (iii) Cho m [a,b] sao cho yo=f(xo) ệ quả ếu f liên tục trên [a,b] và: H : N f(a) .f(b) b) ính giới hạn : 2.T ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ính giới hạn : 3.T ác ðịnh a và b sao cho các hàm số sau ðây là liên tục trên IR. 4.X ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ứng minh rằng phýõng trình 5.Ch 3 2x 6x+1=0 ó 3 nghiệm trên ðoạn [ C -2,2] ứng minh rằng các phýõng trình sau ðây có nghiệm : 6.Ch 2 3 2x 5x -2x-1=0 2x +3x = 6x ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ài 2 Ðạo hàm và vi phân của một số biến B ÁI NIỆM VỀ ÐẠO HÀM I. KH Ðịnh nghĩa: 1. àm số f(x) xác ðịnh trong một khoảng chứa x ếu tỉ số ó giới Cho h . N c ạn ì ta nói f có ðạo hàm tại x ào giá trị của giới hạn trên ðýợc gọi h R khi x x th v à ðạo hàm của hàmo số f tại x Ðạo hàm của f toại x ýờng ðýợc ký hiệu là: f(x l o . o th o) ác ký hiệu khác của ðạo hàm : C àm số y = f(x). Ngoài cách ký hiệu ðạo hàm là f(x) ta còn có một số cách ký Cho h ệu khác nhý sau: hi Hay y y x Ý nghĩa hình học của ðạo hàm : x= xo+h ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 à tiếp tuyến tại PT l ệ số góc của tiếp tuyến với ðýờng cong là H ậy phýõng trình tiếp tuyến với ðồ thị hàm số y = f (x) tại Mo(xo à: V f(x) l (x y-yo = f o) . (x- xo) ðó y trong o =f(xo) ên hệ giữa ðạ àm và tính liên tục 2. Li o h Ðịnh lý: ếu f(x) liên tục tại x ì f(x) liên tục tại x n o th o ảng ðạo hàm thông dụng 3. B =0 (C là hằng số) (1) C (2) ðặc biệt: (3) (sin x) = cos x (4) (cos x) = -sin x (5) (6) ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) ÁC QUY TẮC TÍNH ÐẠO HÀM II. C Ðạo hàm của tổng, hiệu, tích , thýõng 1. Ðịnh lý: ế à v(x) ðều có ðạo hàm theo biến x thì ta có: N u u(x) v = u (u + v) + v .v+u.v (u.v) = u ệ quả : H un ) =u +u (u1+u2 1+u 2+ n Ðạo hàm của hàm số hợp 2. Ðịnh lý: ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ét hà ố hợp y = f(u(x)). Giả sử u(x) có ðạo hàm tại xo và f(u) có ðạo hàm tại X m s ấy, hàm số y = f(u(x)) có ðạo hàm tại xo và y(xo) = f(uo). u(xo). uo=u(xo). Khi í dụ: V Ðạo hàm của hàm ngýợc 3. Ðịnh lý: ếu hàm số y = y(x) có ðạo hàm y(xo) à nếu có hàm ngýợc x = x(y) liên tục tại N 0 v ì hàm ngýợc có ðạo hàm tại yo và: yo=y(xo), th Ðạo hàm của hàm số có dạng y = u(x)v(x) ới u(x)>0 4. v ó: Ta c í dụ: V y = xx (x > 0) ó: y = Ta c = xx . (lnx+1) ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ÐẠO HÀM CẤP CAO III. ả sử f(x) có ðạo hàm tại mọi x thuộc một khoảng nào ðó. Khi ấy f(x) là một hàm số Gi ác ðịnh trên khoảng ðó. Nếu hàm số f(x) có ðạo hàm thì ðạo hàm này gọi là ðạo x àm cấp 2 của f(x), ký hiệu là f(x). Vậy : h (x)= (f(x)) f òn ký hiệu ðạo hàm cấp 2 là : Ta c ổng quát, ðạo hàm của ðạo hàm cấp n ðýợc gọi là ðạo hàm cấp n. Ðạo hàm cấp n T -1 ủa f(x) ðýợc ký hiệu là ậy: c v Ðạo hàm cấp n của f(x) còn ðýợc ký hiệu là: í dụ ính y(n) ới y=sinx V : T v (*) ông thức (*) ở trên có thể ðýợc chứng minh bằng phýõng pháp qui nạp. C ÂN IV .VI PH ân cấp 1 1.Vi ph Ðịnh nghĩa: ét hàm số f(x) xác ðịnh trên 1 khoảng quanh xo. Ta nói f khả vi tại xo . Khi ta có X ột hằng số ứng với mọi số gia ðủ nhỏ của biến x, số gia của hàm là m sao cho x f  ó thể viết dýới dạng : ( x0 + x ) - f ( x0 ) c f = A. x + 0( x) ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ðó 0( à VCB cấp cao hõn Trong x) l x khi x 0 ểu thức A. ðýợc gọi là vi phân của f(x) tại xo ứng với số gia à ðýợc ký hiệu Bi x x v à df l ậy V : df = A. x Ðịnh lý: àm số f(x) khả vi tại xo khi và chỉ khi f(x) có ðạo hàm tại x ðó ta H . Khi ó: o c (x df = f o) . x ừ ðịnh lý trên với f(x) = x ta có dx = T x ðó biểu thức vi phân của một hàm số y=y(x) sẽ ðýợc viết dýới dạng : Do . dx dy = y ú: Ghi ch ừ ðịnh nghĩa của vi phân ở trên và công thức : dy = ydx T ó: nếu y(x) ì dy và à 2 VCB týõng ðýõng khi Ta c 0 th y l x 0 ả sử y = f(x) và x = ét hàm hợp y = f( ó: Gi (t). X (t)), ta c ðó dy = y Do x . x t .dt = y x .dx ậy dạng vi phân dy của àm y = f(x) không thay ðổi dù x là biến ðộc lập hay là hàm V h ả vi theo biến ðộc lập khác. Tính chất này ðýợc gọi là tính bất biến của biểu thức vi kh ân. ph ừ các qui tắc tính ðạo hàm, ta có các qui tắc tính vi phân nhý sau : T d(u+v)=du + dv d(u.v)=v.du + u.dv ân cấp cao 2. Vi ph ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ả sử hàm số y=f(x) khả vi trên một khoảng nào ðó. Nhý thế vi phân dy=y.dx là Gi ột hàm theo x trên khoảng ðó và nếu hàm này khả vi thì vi phân của nó ðýợc gọi là m ân cấp 2 cuả y và ðýợc ký hiệu là d2 ậy: vi ph y.V ổng quát, vi phân cấp n của hàm số y ðýợc ký hiệu là dny và ðýợc ðịnh nghĩa bởi: T ó thể kiểm chứng dễ àng công thức sau: Ta c d í dụ : ới y= sin x, ta có: V V dy= cosx dx ận xét ông thức vi phân cấp cao: Nh : C ( n 2 ) ông còn ðúng nữa nếu x không phải là biến ðộc lập kh ÁC ÐỊNH LÝ CÕ BẢN V. C ực trị ðịa phýõng và ðịnh lý Fermat 1. C Ðịnh nghĩa: àm số f(x) ðýợc gọi là ðạt cực ðại ðịa phýõng tại xo nếu có một lân cận quanh ðiể H m ới mọi x thuộc lân cận này ta có : xo sao cho v f(x) f(xo) ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ái niệm cực tiểu ðịa phýõng cũng ðýợc ðịnh nghĩa týõng tự. Cực ðại ðịa phýõng Kh à cực tiểu ðịa phýõng ðýợc gọi chung là cực trị ðịa phýõng. v Ðịnh lý (Fermat): ếu hàm số f(x) ðạt cực trị ðịa phýõng tại x à có ðạo hàm tại xo thì f(x N o v o )=0 ứng minh: Ch ả sử f(x) ðạt cực ðại ðịa phýõng tại x à có ðạo hàm tại x ðó f(x) xác ðịnh Gi v . Khi ên 1 khoảng ( x   ới một 0 à trên khoảng noày ta có: tr o - , xo + )v > 0 v ới mọi  V x < ðó: Do (x Suy ra f 0) = 0 Ðịnh lý Rolle 2. ếu f(x) liên tục trên [a,b], có ðạo hàm trong khoản à f(a)=f(b) thì tồn tại c N g (a,b) v (c)=0 (a,b) sao cho f ứng minh: Ch ếu f(x) là hàm hằng trên [a,b], thì f(x) = 0. ậy ta có thể giả sử f(x) N x (a,b). V ông hằn ên [a,b]. Vì f(x) liên tục trên ðoạn [a,b] nên f([a,b]) = [m,M] với m kh g tr M. ó f(a) ét trýờng hợp m ýờng hợp M ì Ta c m hay f(a) M. Ta x f(a). (tr f(a) th ýõng tự). Do m à m ên  ẽ t f(a) = f(b) v f([a,b]) n c (a,b) sao cho f(c) = m. Ta s ứng min (c)=0 ch h f ới h ðủ nhỏ ðể c+h ó: V (a,b) ta c ì f(c+h) V f(c) 0 (c) = Suy ra f 0 ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 Ðịnh lý Lagrange 3. ếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và có ðạo hàm N ên (a,b) thì tồn tại c tr (a,b) sao cho: (c) . (b f(b) - f(a) = f -a). ứng minh Ch Ðặt k = à xét hàm g(x) = f(x) ấy g(x) liên tục trên , v - f(a) - k.(x-a). Ta th ó ðạo hàm ên (a,b) và g(a) =g(b)=0. Do ðó,theo ðịnh lý Rolle ta có c [a,b], c tr (a,b) (c) =0 sao cho c (a, b) sao cho: g ì : g(x)=f(x) ên: V -k, n (c) = 0 (c ) g f -k =0 (c) =k f (c).(b f (b)-f(a)=f -a) ọa hình học: Minh h ả sử cung AB là ðồ thị của hàm số f(x) thoả ðiều kiện của ðịnh lý Lagrange trên Gi ý hình vẽ. Khi ðó trên cung AB phải có ít nhất một ðiểm C có hoành ðộ c [a,b] nh ếp tuyến với ðồ thị tại C là son ới ðýờng thẳng AB. (a,b) sao cho ti g song v ú ý: ếu ðặt h = b ì ðẳng thức trong ðịnh lý Lagrange có thể ðýợc viết Ch N -a th ại nhý sau: l (a+ ới 0 <  f(a + b) - f(a)= h . f h) v < 1 Ðịnh lý Cauchy 4. ếu f(x) và g(x) là 2 hàm số liên tục trên [a,b], có ðạo hàm trên (a,b) và g(x) ại N 0 t ọi x ì tồn tại c m (a,b), th (a,b) sao cho: ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ứng minh: Ch Ðặt k = (x)  . Do g 0 x (a,b) ên theo ðịnh lý Rolle ta phải có g(a) ậy giá trị k là xác ðịnh . N g(b) . V ét hàm số h(x) = f(x) X - k.g(x) ấy h(x) liên tục trên [a,b], có ðạo hàm trên (a,b) cho bởi : Ta th (x)=f(x) (x). h - k.g õn nữa h(a) = h(b) nên t ðịnh lý Rolle ta có c (c) = 0. H heo (a,b) sao cho h Suy ra: Hay ÔNG THỨC TAY VI. C LOR Ðịnh lý Taylor 1. ếu hàm số f(x) có ðạo hàm ðến cấp n+1 trong một khoảng chứa xo và x thì ta có N ông thức Taylor sau ðây : c ðó c là một số nằm giữa xo và x trong ông thức trên ta gọi: Trong c à phần dý Lagrange trong công thức Taylor l ú ý: Ch ố c trong công thức Taylor còn ðýợc viết dýới dạng: 1) S ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1  ới 0 0. ển hàm y=sin x Khai tri ó ên: Ta c , n ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ậy: V ới 0 Khai tri -1 ới 0 <  v < 1 ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ển à Khai tri v ới 0< v <1 ển arctg x Khai tri ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ÀI TẬP CHÝÕNG 2 B ính ðạo hàm của 1. T ính gần ðúng ính xác ðến 0,0001 2. T ch ùng công thức gần ðúng: 3.D ðể tính ln (1,5) và ðánh giá sai số. ìm giới hạn của các hàm số sau ðâ 4. T y khi x 0: ìm giới hạn của các hàm số sau ðây khi x 5. T : ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 Áp dụng ðịnh lý Lagrange ðể chứng minh. 6. ới x V (0,1) ới x>0 V ảo sát và vẽ ðồ thị các hàm số : 7. Kh ết công thức khai triển Taylor của hàm số f(x) tại xo ðến cấp n 8. Vi ìm hiệ ủa các ðýờng cong theo hàm số : 9. T n c ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ân tích 8 thành tổng của 2 số dýõng sao ổng lập phýõng của 2 số ðó lớn 10. Ph cho t ất . nh ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ài 3 Ứng dụng của ðạo hàm B ỨNG DỤNG:TÍNH XẤP XỈ VÀ TÍNH GIỚI HẠN VII . ính gần ðúng (hay tính xấp xỉ ) và tính giới hạn 1.T ýờng dùng khai triển Taylor và khai triển Maclaurin ðể tính xấp xỉ giá trị của Ta th àm f(x) sau khi chọn n ðủ lớn ðể phần dý ó giá trị tuyệt ðối không výợt quá h Rn(x) c ố cho phép. sai s í dụ: ính số e chính xác ðến 0,00001. V T ông thức khai triển Maclaurin của hàm số ex Trong c : ới 0 <  V < 1 ấy x=1 và n=8 thì phần dý R ỏa: ta l 8 th ậy ta có thể tính e chính xác ðến 0,00001 ằng công thức xấp xỉ sau V b òn có thể dùng khai triển Maclaurin ðể tính giới hạn có dạng vô ðịnh nhý trong Ta c í dụ sau ðây : v í dụ: V ìm 1) T ó: Ta c ử dụng k ển Maclaurin của sinx ðến cấp 4, ta có thể viết sinx dýới dạng: S hai tri ới V ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 Suy ra Khi x 0 ậy: V ìm 2) T Áp dụng khai triển Maclaurin của các hàm sinx và cosx ta có : ðó trong Khi x 0 ậy V ắc LHospitale 2. Quy t ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ờ ðịnh lý Cauchy, ngýời ta ðã chứng minh ðýợc các ðịnh lý dýới ðây mà ta gọi Nh à quy ắc LHospitale. Quy tắc này rất thuận lợi ðể tìm giới hạn của các dạng vô ðịnh l t à v . Ðịnh lý: (Quy tắc LHospitale 1) ả sử f(x) và g(x) có ðạo hàm trong khoảng (a,b) và g ảng ðó. Khi ấy, Gi 0 trong kho ếu: n ì th Ðịnh lý vẫn ðúng khi thay cho á trình x + ét quá trình x - ặc x qu a , ta x b ho c ới c ýờng hợp a= ðịnh lý vẫn ðúng. v (a,b). Tr - , b= + Ðịnh lý: (Quy tắc LHospitale 2) ả sử f(x) và g(x) có ðạ àm trong (a,b) và g(x) ảng ðó. Khi ấy nếu : Gi o h 0 trong kho à g (x) là các VLC khi x + à (i) f(x) v -> a ,v ữu hạn hoặc vô tận) (h ì th Ðịnh lý cũng ðúng cho các quá trình x - à cho các trýờng hợp a = b , x c (a,b) v à b = + - v ú ý: Ch ét ắc lHospitale, nếu thấy ẫn có dạng vô ðịnh ặc ì 1) Khi x trong quy t v ho th ại có thể áp dụng tiếp quy tắc lHospitale ta l ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ắc lHospitale chỉ là ðiều kiện ðủ ðể có ới hạn của ông phải là ðiều 2) Quy r gi kh ện cần. Do ðó, nếu không tồn tại giới hạn của ì ta chýa có kết luận gì về giới ki th ạn của h í dụ: V ìm 1) T Ðặt à g(x) = x v - sin x ét qúa trình x ó: X 0 ta c ó dạng vô ðịnh c ũng có dạng vô ðịnh c ũng có dạng vô ðịnh c ậy sau 3 lần áp dụng quy tắc lHospitale ta suy ra: V 2) ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ìm 3) T ới hạn này có dạng vô ðịnh ó thể biến ðổi giới hạn về dạng vô ðịnh Gi - . Ta c ðể áp dụng quy tắc lHospitale nhý sau: ìm 4) T ới hạn này có dạng vô ðịnh ến ðổi nhý sau: Gi . Ta bi ó: Ta c Suy ra Ứ ỤNG :KHẢO SÁT HÀM SỐ VIII. NG D ều biến thiên và cực trị ðịa phýõng 1. Chi Ðịnh lý: ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 Ðiều ện cần và ðủ ðể f(x) hằng trên khoảng (a,b) là f(x) = 0 với mọi x ki (a,b) Ðịnh lý: ả sử f có ðạo hàm trên khoảng (a,b) . Khi ðó ðiều kiện cần và ðủ ðể hàm số tãng Gi ên (a,b) là f(x) ới mọi x ýõng tự , ðiều kiện cần và ðủ ðể hàm số f(x) tr 0 v (a,b). T ảm trên (a,b) là f'(x) gi 0. ừ ðịnh lý này, ðể xét sự biến thiên của hàm số f(x) ta tính ðạo hàm f'(x)và xét dấu T ðạo hàm. Việc xét dấu ðạo hàm cũng cho ta biết cực trị ðịa phýõng của hàm số theo ðịnh lý sau ðây: Ðịnh lý: ðiều kiện ðủ ðể có cực trị ðịa phýõng) ( ả sử f(x) liên tục tại xo và có ðạo hàm trong một khoảng quanh x ó t ể trừ ðiểm Gi (c h ðó ta có: o xo). Khi ếu khi x výợt qua xo mà f(x) ðổi dấu từ ì f(x) ðạt cực tiểu ðịa phýõng (i) N sang + th ại x t o ếu khi x výợt qua xo mà f'(x) ðổi dấu từ + sang ì f(x) ðạt cực ðại ðịa phýõng (ii) N th ại x t o ếu khi x výợt qua xo mà f'(x ông ðổi dấu thì không có cực trị ðịa phýõng tại (iii) N ) kh xo ài cách khảo sát cực trị ðiạ phýõng bằng việc xét dấu ðạo hàm cấp 1 f'(x), ta còn Ngo ó thể xét dấu của ðạo hàm cấp 2 f''(x) tại ðiểm x ờ vào ðịnh lý sau : c o, nh Ðịnh lý : ả sử f(x) có ðạo hàm cấp 2 liên tục f''(x à f'(x Gi o) v o)=0. ðó: Khi ếu f''(x ì f(x) ðạt cực tiểu ðịa phýõng tại x (i) N o) > 0 th o ếu f''(x ì f(x) ðạt cực ðại ðịa phýõng tại x (ii) N o) 0 th ðạt cực tiểu tại xo nếu f(n) ì f(x) ðạt cực ðại tại x (xo) < 0 th o ếu n lẻ thì f(x) không ðạt cực trị tại x (ii) N o ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ột vấn ðề có liên quan ðến cực trị là tìm gía trị nhỏ nhất và gía trị lớn nhất của M ột hàm số f(x) liên tục trên ðoạn [a,b]. Ðể tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của f(x) m ên ðoạn [a,b] ta chỉ cần so sánh các gía trị của f tại 3 loại ðiểm : tr ác ð ểm dừng ( tức là f' tại ðó bằng 0) (1) C i ác ðiểm kỳ dị ( tức là f' không tồn tại ở ðó) (2) C ðầu nút a và b. (3) Hai í dụ: V ìm các khoảng tãng giảm của hàm số và tìm cự ị ðịa phýõng: 1) T c tr ó: Ta c = 0 tại tại x = 1 và y không xác ðịnh tại x = 0 y ảng xét dấu của ý nhý sau: B ậy hàm số giảm trong khoảng( à tãng trong (1,+ àm số y ðạt cực tiểu tại V - ,1) v ). H ới y(1) = x=1. V -3. ìm giá trị nhỏ nhất cuả hàm số. 2) T ới v ó: Ta c ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ận xét rằng trên khoảng ì à ãng nghiêm Nh th v t ặt từ ên 1 trong ính liên tục của ên có duy nhất ng 2 l . Do t n sao cho: ðó ta có bảng xét dấ ủa L( ý sau: Khi u c )nh ía trị nhỏ nhất của L( ên khoảng à: Suy ra g ) tr l ính lồi, lõm và ðiểm uốn 2.T Ðịnh nghĩa: àm số f (x) liên tục trên khoảng (a,b) ðýợc gọi là lồi trên (a,b) nếu với mọi x H 1 , x2 à mọi x à mọi ó: (a,b) v 1 ,x2 (a,b) v [0,1] ta c àm số f(x) ðýợc gọi là lõm trên (a,b) nếu à lồi trên (a,b). H f (x) l ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 àm số f(x) là lồi H àm số f(x) là lõm H ề mặt hình học, hàm số f(x) là lồi trên 1 khoảng nghĩa là mọi cung AB của ðồ thị V àm số ðều nằm dýới dây cung AB. h ýu ý: ột số giáo trình khác, ngýời ta có thể dùng thuật ngữ lồi và lõm theo L Trong m ĩa ngýợc với ở ðây. ngh Ðịnh nghĩa ðiểm uốn: Ðiểm phân cách giữa khoảng lồi và khoảng lõm của hàm số y=f(x) ðýợc gọi là ðiểm ốn. u Ðịnh lý dýới ðây cho ta cách dùng ðạo hàm ðể khảo sát tính lồi, lõm và tìm ðiểm ốn. u Ðịnh lý: ả sử f(x) có ðạo hàm cấp 2 f(x) trong khoảng (a,b). Khi ðó hàm số f là lồi (i) Gi ýõng ứng lõm) trên khoảng (a,b) nếu và c ỉ nếu f(x) ýõng ứng, f(x) ên (t h 0 (t 0) tr (a,b). ếu f(x) ðổi dấu khi x výợt qua xo thì ðiểm (xo,f(xo)) trên ðồ thị của hàm số (ii) N à một ðiểm uốn. f(x) l í dụ: ét tính lồi, lõm và tìm ðiểm uốn cho hàm số : V X ền xác ðịnh của hàm số là Mi D = R \ {-1, +1}. ính ðạo hàm : T ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ảng xét dấu của y : B ậy hàm số y lõm trên các khoả à ( ồi trên các khoảng (0,1) và V ng (- , -1) v -1,0); l ừ ðó, ðồ thị hàm số có 1 ðiểm uốn là M(0,0). (1,+ ). T õ ðồ khảo sát hàm số 3. S ìm miền xác ðịnh của hàm số y =f ðồng thời nhận xét về tính chẳn lẻ, tính tuần 1) T (x) àn cuả hàm số ðể rút gọn miền khảo sát. ho ảo sát sự biến thiên của hàm số và tìm các cực trị ðịa phýõng. Tính một số giới 2) Kh ạn quan trọng và lập bảng biến thiên của hàm số. h ảo sát tính lồi lõm và ð ểm uốn. 3) Kh i ìm các ðýờng tiệm cận. 4) T ẽ ðồ thị. Ðể vẽ ðýợc ðồ thị chính xác ta cần xác ðịnh các ðiểm cực trị , ðiểm uốn, 5) V ðiểm với các trục toạ ðộ và có thể xác ðịnh cả tiếp tuyến tại các ðiểm ðó. giao ú ý: ần lýu ý các trýờng hợp sau ðây khi tìm tiện cận . Ch C ì ðýờng thẳng x = a là tiệm cận ðứng Th ì ðýờng thẳng y = b là ột tiệm cận ngang Th m ếu y = f(x) có dạng f(x) = ax + b + N x ới V ì ðýờng thẳng à một tiện cận Th y = ax + b l ýờng hợp a ói tiệm cận này là tiệm cận xiên . Trong tr 0, ta n ýu ý rằng các hệ số a,b cuả tiệm cận y = ax + b khi xét x ó thể L (+ hay - ) c ðýợc tính bởi: ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 í dụ : ảo sát và vẽ ðồ thị hàm số V Kh ền xác ðịnh : àm số y là hàm số lẻ. Mi D = R \ {-1,+1}. H ác ðạo hàm: C ó y cùng dấu với 1 2 à: Ta c -x v cùng dấu với 2x và y triệt tiêu tại x = 0 y ảng biến thiên: B ện cận n Ti gang : y = 0 ện cận ðứng : x = 1 ; x = Ti -1 Ðồ thị của hàm số nhý sau : ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ÐÝỜNG CONG THEO THAM SỐ VÀ ÐÝỜNG CONG IX. Ạ ÐỘ CỰC TRONG TO Ðýờng cong theo tham số 1 . ýõng trình tham số của ðýờng cong trong mặt phẳng Oxy cho bởi hệ 2 hàm: Ph ðó t là ố chạy trên một tập  Trong tham s D R. ðổi ðiểm M( x(t),y(t) ) vạch nên một ðýờng cong trong mặt phẳng Oxy. Khi t thay í dụ: ó phýõng trình tham số là: V ellipse c 9; Ðể khảo sát ðýờng cong theo tham số ta cũng tiến hành tiến các býớc nhý ðối với àm số h y = f(x). ìm miền xác ðịnh , xét tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn nếu có. T ảo át sự biến thiên của x và y bằng cách xét dấu các ðạo hàm x (t) và y(t) theo Kh s t. ìm các tiệm cận T ẽ ðồ thị V Ðýờng cong trong tọa ðộ cực 2. ọa ðộ cực: T Ðể xác ðịnh vị trí của các ðiểm trong mặt phẳng, ngoài cách dùng tọa ðộ òn có thể dùng tọa ðộ cực nhý sau : Descartes(x,y) ta c ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1   r = OM 0 ó sự liên hệ giữa (x,y) và (r, Ta c ) 9; à 9; V ýõng trình của ðýờng cong ọa ðộ cực có thể ðýợc cho bởi hệ thức Ph trong t F(r, ) = 0 Hay r = f( ) í dụ: V ýõng trình r = a là phýõng trình ðýờng tròn tâm 0, và bán kính a. Phýõng trình à Ph l ýõng trình của nửa ðýờng thẳng (hay tia) lập với Ox một góc ph Ðể khảo sát ðýờng cong trong tọa ðộ cực ta cũng có thể thực hiện các býớc nhý ông thýờng. th ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ài 4 Nguyên hàm và tích phâ ất ðịnh B n b ÐỊNH NGHĨA & TÍNH CHẤT I. Ðịnh nghĩa 1. ọi một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a,b) là một hàm F(x) mà F(x)= f(x) , Ta g x (a,b) í dụ: V à một nguyên hàm của f(x) = x trên 1) l R à một nguyên hàm của hàm f(x) = 1 + tg2 ên các khoảng xác ðịnh của 2) F(x) = tgx l x tr tgx. Ðịnh lý : ếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên ảng (a,b) thì mọi nguyên hàm của f(x) N kho ên khoảng (a,b) ðều có dạng F(x) + C với C là một hằng số. tr Ðịnh nghĩa: ếu F(x ) là một nguyên hàm f(x) thì biểu thức F(x) + ðó C là hằng số có thể N C, trong ấy giá trị tùy ý, ðýợc gọi là tích phân bất ðịnh của hàm số f ý hiệu là l (x), k . ậy: V ấu ðýợc gọi là dấu tích phân, f(x) là hàm dýới dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức D ýới dấu tích phân và x là biến tích phân. d ác tính chất 2.C (1) (2) (3) ảng các tích phân cõ bản 3.B 1) ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 2) ( -1 ) 3) 4) ( a > 0, a 1) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) à hằng số tùy ý) 12) (h l í dụ 1: ính: V T ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 í dụ 2: ính: V T ÝÕNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN II. PH ýõng pháp phân tích 1.Ph ích phân ó thể ðýợc tính bằng cách phân tích hàm số f(x) thành tổng của T f (x) dx c ác hàm ðõn giản hõn hay dễ tính tích phân hõn : c +fn f(x) = f1(x) + f2(x) + (x) à áp dụng công thức : V í dụ: V 1) 2) ính 3) T ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ới n V 2: ờ hệ thức này ta có thể tính I ới n tùy ý. Nh n v ýõng pháp ðổi biến 2. Ph ýõng pháp ðổi biến trong tích phân bất ðịnh có 2 dạng sau ðây : Ph ạng 1: ả sử biểu thức dýới dấu tích phân có dạng: D Gi (x)dx F(u(x)) . u ðó u(x) là một hàm số khả vi. Khi ấy ta có thể ðổi biến bằng cách ðặt u=u(x),và Trong ó: c ạng 2: Ðặt x = ðó à một hàm khả vi, ðõn ðiệu ðối với biến t, D (+) , trong (t) l ó : ta c í dụ: V ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ính: 1) T Ðặt: u = x2 + 1, du = 2xdx ới u = sinx 2) , v ính: 3) T Ðặt u = x2 , du = 2xdx hay xdx = ính 4) T Ðặt u = ex ó : du = ex à: . Ta c dx, v ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ính 5) T Ðặt u = cos2 ó: x Ta c du = -2cos x sinx dx = -sin 2xdx Suy ra: ính 6) T Ðặt: x = sint ; t = arcsin x, ( -1 x 1) ó: dx = cost dt Ta c Suy ra ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 à M à t = arcsin x v ên: N ýõng pháp tích phân từng phần 3.Ph ả sử u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có ðạo hàm liên tục u= u(x) và v= v(x) : Gi ết: Ta bi = uv+u.v (u.v) = (uv) hay u.v -v.u ừ ðó suy ra công thức: T ông thức này ðýợc gọi là công thức tích phân từng phần , và còn ðýợc viết dýới C ạng : d ông thức tích phân từng phần thýờng ðýợc áp dụng trong trýờng hợp hàm dýới dấu C ích phân có dạng f(x) = u.v mà hàm g = v.u có tích phân dễ tính hõn. t ột số bài toán, sau khi áp dụng công thức tích phân từng phần ở vế phải lại Trong m ất hiện tích phân ðã cho ban ðầu với hệ số khác, tức là : xu ðó ta tính ðýợc : Khi í dụ: V ính 1)T ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 Ðặt u = ln x = x v Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có : ính 2) T Ðặt u = arctg x = x , v ó : Ta c Suy ra : ính 3) T Ðặt = cos x u = sinx u ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 = ex ex v ; v = Ðể tính: ðặt: ta u1 = cos x u 1= -sinx v 1= ex v1 = ex Suy ra: ậy: V Suy ra: ính 4) T (a > 0) Ðặt = 1 v v = x Suy ra: ó: Ta c ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ðó: Do Suy ra ậy V : ính 5) T Ðặt ; =1 v = x v Suy ra : ó: Ta c Suy ra: ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ìm công thức truy hồi ðể tính tích phân 6) T (a>0) ó: Ta c ới n ðặt: V 1, = 1 v = x v Suy ra: ó: Ta c Suy ra: ậy: V ÀI TẬP CHÝÕNG 3 B ính các tích phân: 1. T ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ính các tích phân: 2.T ính tích phân bằng phýõng pháp tích phân toàn phần: 3.T ính tích phân hàm hữu tỉ. 4.T ính tích phân hàm lýợng giác. 5. T ính tích phân hàm vô tỉ. 6. T ính các tích phân sau: 7. T ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ính tích phân: 8. T ập công thức truy hồi và tính tích phân: 9. L à tính I v 4 à tính I v 6, I7 ính tích ân: 10. T ph ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ài 5 Tích phân hàm hữu tỉ và hàm lýợng giác B ÍC ÂN HÀM HỮU TỈ III. T H PH ích phân ðó à một phân thức hữu tỉ tối giản theo x. Cho t trong l ế ậc của P(x) ậc của Q(x) thì bằng cách chia ða thức P(x) cho Q(x) ta viết N u b b ðýợc: ới bậc R(x) < bậc Q(x) P(x) = Q(x) . S(x) + R(x), v ðó: Do ì S(x) là một ða thức th ên ó thể tính ðýợc một cách dễ dàng. Nhý V eo x n c ậy ta chỉ cần tìm cách tính ới bậc ủa R(x) < bậc của Q(x). v v c ích phân ó thể ðýợc tính bằng cách phân tích phân thức hữu tỉ T c ành tổng của các phân thức hữu tỉ ðõn giản hõn dựa vào 2 mệnh ðề sau ðây. th ệnh ðề 1: ọi ða thức Q(x) với hệ số thực ðều có thể phân tích thành tích của M M ác nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc 2 không có nghiệm thực : c ðó các tam thức x2 ., x2 x + q không có nghiệm thực Trong + px + q , + p ệnh ðề 2: ả sử phân thức hữu tỉ ó bậc của P(x)<bậc của Q(x) và Q(x) M Gi c ó dạng c ðó các tam thức (x2 .,(x2 x + q) không có nghiệm thực. Khi ấy Trong + px + q), + p ân thức hữu tỉ có thể phân tích thành tổng của các phân thức ðõn giản hõn nhý sau: ph ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ðó các hệ số A , Am, B ., Bk, M ., Ml, Nl, , R Trong , , , N , , ,Rl à các h1ằng số, và ta 1có thể tính ð1ýợc1 các hằng số này bằn1g phýõng pháp S , ,Sl l ệ1 số bất ðịnh, phýõng pháp trị riêng hay phýõng phá ân tích từng býớc. (Các h p ph ýõng pháp này sẽ ðýợc minh họa qua các ví dụ bên dýới). ph ý vậy việc tính tích phân ðýợc ðýa về việc tính 2 loại tích phân sau : Nh à: V ới p2 ức là x2 ông có nghiệm thực). v - 4q < 0 ( T + px + q kh Ðể tính I ỉ cần ðặt u = 1 ta ch x a Ðể tính I ó thể phân tích I ýới dạng: 2 ta c 2 d ích phân ðýợc tính dễ dàng bằn ách ðặt: u = x2 T g c + px + q. Ðối với ến ðổi x2 2 2 à ðặt u = x ðể . Ta bi + px + q = (x-b) + c v b ðýa về dạng: à ta ðã biết cách tính trong ví dụ 6 ), Mục II.3. m í dụ : V ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ính 1) T 5 2 2 3 2 2 x - x = x (x 1) = x (x 1) (x + x + 1) ðó: Do ân 2 vế cho x5 2 ðýợc: Nh x ta ồi x = 1 vào ta ðýợc :1 = à 1 = 3c Thay x = 0, r -B v B=-1; C = Ðồng nhất các hệ số của x4 3 2 ở 2 vế của ðẳng thức trên (ðúng với mọi x) ta ðýợc , x , x : à C= ào, rồi giải hệ này sẽ ðýợc: Thay B= -1 v v ậy: V ó: Ta c ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 Suy ra: ính 2) T ân tích phân thức ðýợc: Ph ta ó : Ta c ông thức truy hồi trong ví dụ 6) mục II,3, ta có Theo c ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ậy V ính 3) T ýớc hết ta ðổi biến ðể ðõn giản hóa tính phân trên bằng cách ðặt u = x2 ,du = Tr 2xdx ÍCH PHÂN HÀM LÝỢNG GIÁC IV. T ét tích phân I = ðó R(u, v) là hàm hữu tỉ ðối với u và v. X R(sinx, cosx)dx, trong Ðể tính tích phân này ta có thể dùng cá ýõng pháp ðổi biến sau : c ph ýõng pháp chung 1. Ph Ðặt ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 hay ó: Ta c Suy ra: ích ân này có dạng tích phân của phân thức hữu tỉ ðã xét trong mục III. T ph í dụ: V ính: 1) T Ðặt: #9; Suy ra: ính: 2) T Ðặt: 9; Suy ra: ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ân tích phân ức hữu tỉ ta ðýợc: Ph th ột số trýờng hợp ðặc biệt 2. M ếu R( (1) N -sinx, -cosx) = R(sinx,cosx) ì ðặt u=tgxhoặc u=cotgx th ếu R(sinx, (2) N -cosx) = -R(sinx,cosx) ì ðặ th t u = sinx. ếu R( (3) N -sinx, cosx) = -R(sinx,cosx) ì ðặt u = cosx th ích phân dạng ới m và n là các số chẵn dýõng.Ta có thể ðổi (4) T sinmx cosnx dx v ến bằng cách dùng công thức : bi í dụ : V ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ính: 1) T Ðặt Suy ra: ính: 2) T Ðặt u = sinx du = cosx dx Suy ra: ính: 3) T Ðặt u = cosx du = -sinx dx. ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ính: 4) T ó: Ta c Suy ra: ú ý: Ch Ðối với các tích phân dạng ùng các công thức biến ðổi tích thành tổng: ta d ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 Í ÂNHÀM HỮU TỈ ÐỐI VỚI À V. T CH PH X V ét tích phân ðó R(u,v) là hàm hữu tỉ ðối với u X , trong à v và a2 à một tam thức bậc 2 không có nghiệm kép. v x + bx + c l ýõng pháp tổng quát 1. Ph ùy theo dấu của hệ số a ta ðýa tam thức a2 ề dạng tổng hay ệu hai bình T x + bx + c v hi ýõng . Khi ðó tích phân I có một trong ba dạng sau: ph (a) Ðặt: ới v (b) Ðặt: , (c) Ðặt: í dụ : V 1) ến ðổi : x2 2 Bi + 2x = (x+1) - 1 ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ét trýờng hợp x+1 X 1 Ðặt ó: Ta c ðó: Do à: M ýờng hợp x + 1 < ông thức (*) ở trên vẫn ðúng vì ðạo hàm của hàm số ở vế Tr -1 ; c ải (*) luôn bằng: ph 2) Ðặt ó dx = ( 1 + tg2 Ta c t) dt ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 Ðặt u = sin x ðó: du = cost dt. Khi à M à tgt cùng dấu với sint v ích phân dạng 2.T Ðể tính tích phân dạng này ta có thể ðặt : ích phân dạng 3. T Ðể tính các tích phân dạng ta biến ðổi tam thức ax2 ành tổng hoặc hiệu của + bx + c th ình phýõng rồi ðổi biến ðể ðýa về các dạng tích phân ðã biết sau ðây: hai b ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 í dụ : ính các tích phân: V T 1) ến ðổi: x2 2 Bi - 4x + 5 = (x-2) + 1 Ðặt u = x 2 du = dx ó : Ta c 2) ến ðổi: 3 2 2 Bi 4x 4x = 4 (2x+1) Ðặt u = 2x + 1 du = 2dx ó: Ta c ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ÀI TẬP CHÝÕNG 3 B ính các tích phân: 1. T ính các tích phân: 2.T ính tích phân bằng phýõng pháp tích phân toàn phần: 3.T ính tích phân hàm hữu tỉ. 4.T ính tích phân hàm lýợng giác. 5. T ính tích phân hàm vô tỉ. 6. T ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ính các tích phân sau: 7. T ính tích phân: 8. T ập công thức truy hồi và tính tích phân: 9. L à tính I v 4 à tính I v 6, I7 ính tích phân: 10. T ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ài 6 Một số dạng tích phân khác B ỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN KHÁC VI. M ích phân dạng 1. T ðó R là một hàm hữu tỉ và m, ,k là các số nguyên dýõng; a, b, c, d là cá ằng Trong c h ố s Ðể tính tích phân này ta gọi x là một bội số chung nhỏ nhất của m, ,k và ðặt: ừ ðó, tích phân sẽ ðýợc chuyển về dạng: T ðó R à một hàm hữu tỉ ðối với u Trong 1 l í dụ: ính V T Ðặt ó: Ta c ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ích phân hàm hữu tỉ ðối với eax 2. T ðó R là một hàm hữu tỉ ðối và a Trong 0 Ðể tính phân tích này ta ðặt : u = eax ðó d à: Khi x = v ó dạng tích phân hàm hữu tỉ. C í dụ: V Ðặt: u = ex x du = e dx ác tích phân có dạng: 3.C ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ðó p(x) là một ða thức theo biến x. Trong Ðể tính các tích phân này ta dùng phýõng pháp tích phân toàn phần bằng cách ðặt : u = p(x) í dụ: V Ðặt: Suy ra ác tích phân có dạng : 4.C Ðể tính các tích phân này ta dùng phýõng pháp tích phân toàn phần bằng cách ðặt: dv= p (x) dx í dụ: ính V T xarctgxdx Ðặt u = arctgx du= xdx , Suy ra ó Ta c ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ậy: V ỘT SỐ TÍCH PHÂN KHÔNG BIỂU DIỄN ÐÝỢC VII. M ÝỚI DẠNG HÀM SÕ CẤP D ếu hàm số f(x) liên tục trên (a,b) thì f (x) luôn luôn có nguyên hàm trên khoảng ðó , N ức là tíc ân ồn tại . Tuy nhiên có một số tích phân không thể biểu diễn t h ph f(x) dv t ýới dạng hàm sõ cấp , chẳng hạn các tích phân nhý sau ðây: d ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ài 7 Tích phân xá ðịnh B c ÐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT I. Ðịnh nghĩa 1. àm f(x) trên ðoạn [a.b]. C ðoạn [a.b] một cách tùy ý thành n ðoạn nhỏ bởi Cho h hia ác ðiểm a = xo b , ta ðịnh nghĩa : (ii) Tr ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ýờng hợp a = b, ðịnh nghĩa (iii) Tr ừ ðịnh nghĩa, ta thấy ngay hàm f(x) bị chặn trên [a,b] nếu f(x) khả tích trên [a,b]. (iv) T Ý nghĩa hình học: ếu ên [a,b] và f ả tích trên [a,b] thì ính là diện tích S của N f(x) 0 tr (x) kh ch ình thang cong giới hạn bởi các ðýờng : h à trục hoành y=0. x = a; x = b; y = f(x) v ác tính chất 2.C (1) (2) ếu (3) N ệ quả: H ới c ó: (4) V [a,b] ta c ả sử f(x) khả tích trên [ ðó: (5) Gi -a, a]. Khi ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ếu f(x) là hàm số chẵn n ếu f (x) là hàm số lẻ n ổng Darboux & ðiều kiện khả tích 3.T àm khả tích thì bị chặn nên ta chỉ xét các hàm bị chặn trên [a, b]. Mỗi phép chia Do h ỏ ðoạn [a,b] bởi các ðiểm a = xo < x < xn ðýợc gọi là một phân hoạc nh < h ủa[a,b] , ký hiệu P = { xo, x . xn 1}. Ðặt: c 1 ận trên ðúng cuả f(x) trên [ xi (c -1, xi ] ) ận dýới ðúng cuả f(x) trên [ xi (c -1, xi ] ) ọi U(f,P) và L(f,P) là các tổng (Darboux) trên và dýới của f ứng với phân hoạch Ta g ýời ta ðã chứng minh ðýợc một ðiều kiện khả tích ðýợc phát biểu trong ðịnh lý P. Ng ðây : sau Ðịnh lý 1: Ðiều kiện cần và ðủ ðể f khả tích là: ừ ðịnh lý này ta có thể chứng minh một số lớp hàm khả tích ðýợc phát biểu trong T ác ðịnh lý dýới ðây. c Ðịnh lý àm f(x) liên tục trên [a,b] thì khả tích trên [a,b]. 2: H Ðịnh nghĩa: ếu hàm số f(x) xác ðịnh tại x à không liên tục tại x ýng có giới hạn 2 phía tại x N v nh ì ta nó à ðiểm gián ðoạn oloại 1 tại x o o th i xo l o. Ðịnh lý 3: ếu f chỉ có hữu hạn ðiểm gián ðoạn loại 1 trên [a,b] thì f khả tích trên [a,b]. N ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 Ðịnh lý 4: àm bị chặn và ðõn ðiệu trên [a,b] thì khả tích trên [a,b]. H ÊN HỆ GIỮA TÍCH PHÂN XÁC ÐỊNH VÀ NGUYÊN HÀM II- LI ích phân xác ðịnh nhý hàm của cận trên 1.T à một hàm khả tích trên [a ,b ]với x Cho f l [ a , b ], ác ðịnh và là một hàm số theo biến x. Hàm số này ðã ðýợc c ứng minh là có những X h ính chất phát biểu trong mệnh ðề sau ðây: t ệnh ðề: M ếu f khả tích trên [a,b] thì F(x)= à hàm liên tục trên [a,b]. (i) N l ếu f(t) liên tục tại t = x ì F(x) có ðạo hàm tại x à F(x (ii) N o (a,b), th o v o)=f(xo). ận xét : Nh ếu f liên tục trên [a,b] thì hàm số à nguyên hàm của f trên [a,b]. N l Ðịnh lý cõ bản 2. Ðịnh lý : ả sử f liên tục trên [ a,b]. Khi ðó : Gi à một nguyên hàm của f(x) trên [ (i) l a,b]. ếu G(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x) trên [a,b] thì: (ii) N ông thức này ðýợc gọi là công thức Newton (C -Leibnitz) ứng minh: ỉ cần chứng minh phần (ii). Ch Ta ch à G(x) là các nguyên hàm của f(x) trên [a,b] nên ta có hằng số C sao cho Do F(x) v  ðýợc 0 = G(a) + C, suy ra: F(x) = G(x) + C, x [a,b]. Cho x = a ta G(a) = - C ậy F(b) = G(b) ức là: V - G(a), t ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ệu số G(b) ông thức Newton ủa ðịnh lý trên thýờng ðýợc Hi - G(a) trong c -Leibnitz c ết dýới các ký hiệu sau: vi ắn tắt là , hay v ắn tắt là hay v í dụ: ính tích phân xác ðịnh : V T 1) 2)   3) ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ÀI TẬP CHÝÕNG 4 B ính các tích phân : 1.T ính các tích phân : 2/ T ính tích phân suy rộng: 3. T ính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ðýờng 4. T ính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi: 5. T ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ột hình cầu bán kính R và một nón tròn xoay có bán kính ðáy r và ðýờng cao h > 6. M ðỉnh nón trùng với tâm cầu. Tìm thể tích phần giao của hai hình. R sao cho ính ðộ dài ðýờng cong: 7. T ính diện tích mặt tròn xoay: 8. t ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ài 8 Phýõng pháp tính tích phân xác ðịnh B ÐỔI BIẾN VÀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ÐỐI VỚI TÍCH PHÂN XÁC III- ÐỊNH ýõng tự nhý ðối với tích phân bất ðịnh, trong tích phân xác ðịnh ta cũng có thể T ðổi biến hoặc dùng phýõng pháp tích phân từng phần. ýõng pháp ðổi biến 1.Ph ạng 1: D Ðặt x = ỏa các ðiều kiện: (t) th à (t) liên tục trên [  a) (t) v , ] à  b) ( ) =a v ( ) = b ến thiên trong [  ì x biến thiên trong [a.,b] c) Khi t bi , ] th ðó: Khi ạng 2: D ả sử hàm u = u(x) khả vi liên tục trên [ a,b ] và hàm số g liên tục trên miền giá trị Gi ủa u. Khi ðó: c í dụ: V ính: 1) T Ðặt u = sinx ta có du = cosx dx và: 2) ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 Ðặt 3) Ðặt ó à khi Ta c v ì 0 ậy: Th x 1. V ứng minh rằng: 4) Ch Ðặt ó du = Ta c - du ýõng pháp tích phân từng phần 2. Ph ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ả sử các hàm số u = u(x) và v = v(x) có các ðạo hàm theo biến x: u (x) và v = Gi = u (x) có các ðạo hàm theo biến x: u = u(x) và v = v(x) liên tục trên [a,b]. Khi ðó ta v ó công thức tích phân từng phần sau ðây: c ðó : Trong í dụ: ính tích phân xác ðịnh: V T 1) Ðặt: Suy ra: 2) Ðặt: Suy ra: Ðể tính: ại ðặt: ta l ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 Suy ra: ậy: V 3) Ðặt: Ðể tính ại ðặt: ta l ậy: V ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ài 9 ích phân suy rộng B T ÍCH PHÂN SUY RỘNG IV. T ích phân suy rộng có cận vô tận 1. T Ðịnh nghĩa: ả sử f(x) xác ðịnh trên [a,+ à khả tích trên[a,b] với mọi b ếu tồn a) Gi ] v [a, ]. N ại giới hạn à hữu hạn hoặc vô cùng thì giới hạn này ðýợc gọi là tích t l ân suy rộng của f(x) trên [a, ý hiệu là ph ] k ậy: V ích phân suy rộng là hữu hạn thì ta nói là tích phân suy rộng hội tụ, ngýợc lại, Khi t ếu tích phân suy rộng không tồn tại hoặc là vô cùng thì ta nói tích phân suy rộng là n ân kỳ. ph àn toàn týõng tự ðối với các hàm số f(x) xác ðịnh trên ( à khả tích trên b) Ho , - ,a] v ới mọi c ðịnh nghĩa tích phân suy rộng của f(x) trên ( ởi: [c,a] v (- ,a] ta - ,a] b Ðối với hàm số f ác ðịnh trên ( ðịnh nghĩa tích phân suy rộng bởi: c) (x) x - ,+ ) ta à tích phân này hội tụ khi các tích phân suy rộng: à à hội tụ. v v l í dụ: V ính 1)T ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ính 2) T ính ằng phýõng pháp tích phân từng phần. Ðặt: Cho b [o+ ), ta t b Suy ra: ậy V ðó tích phân suy rộng là phân kỳ Do ính 3) T ó: Ta c Suy ra à m áp dụng quy tắc l' hospitale) ( ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ậy: V ét sự hội tụ của phân tích suy rộng: 4) X ích phân này ðýợc tính theo 3 trýờng hợp của ý sau: T nh  =1 khi b + ậy à phân kỳ V l  >1 do ên n ậy tích phân ội tụ với V h >1  <1 ýờng hợp này ta có Trong tr ích phân à phân kỳ Suy ra t l ích phân của hàm số không bị chặn 2.T Ðịnh nghĩa: ả sử f(x) khả tích trên [a.c],  à không bị chặn tại b (nghĩa là Gi c [a,b] v ếu tồn tại giới hạn (hữu hạn hay vô cùng) ). N ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ì giói hạn này sẽ ðýợc gọi là tích phân suy ộng của f(x) trên [a,b], ký hiệu là: th r ếu giới hạn là hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng ội tụ, nếu giới hạn N h ông tồn tại hoặc là vô cùng thì ta nói tích phân suy rộng này là phân kỳ. kh ậy: V àn toàn týõng tự, nếu hàm số f(x) khả tích trên [c,b] vớ ọi c à f không Ho i m (a,b] v ị chặn tại a thì ta ðịnh nghĩa tích phân suy rộng của f(x) trên [a.b] bởi: b ýờng hợp f(x) không bị chặn tại một ðiểm c ðịnh nghĩ ích phân suy Tr (a,b), ta a t ộng của f trên [a,b] bởi: r ðó tích phân suy rộng ðýợc xem là hộ ụ .Khi cả hai tích phân Khi i t à ðều hội tụ . v í dụ: ảo sát tính hội tụ của các tích phân suy rộng sau và tính giá trị týõng V Kh ứng trong trýờng hợp tích phân hội tụ 1) ó: Ta c Ðặt: à: v ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 Suy ra: 2) ó: Ta c ét tích phân suy rộng: X ó: Ta c ân kỳ và do ðó I ũng phân kỳ. J1 Ph 2 c 3) ó Ta c ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ậy I ội tụ và V 3 h à à tham số . 4) b > a v l ới ó: V = 1, ta c ậy tích phân I ân kỳ khi V 4 ph =1 ới ó: V 1, ta c Suy ra: ếu ì tích phân I ội tụ và + N 1 th 4 ph 4 = + ột số tiêu chuẩn hội tụ 3.M ần này ta sẽ phát biểu một số tiêu chuẩn hội tụ của tích suy rộng Trong ph Ðịnh lý 1: ên [ a,+ ðó tích phân ội tụ khi và chỉ khi có M > 0 (i) Cho f(x) 0 tr ). Khi h sao cho: ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ên [a,b] và ðó tích phân ội tụ khi và (ii) Cho f(x) 0 tr . Khi h ỉ khi có M > 0 sao ch cho: Ðịnh lý 2: ả sử f(x) và g(x) không âm và khả tích trên [a,b] với mọi b à f(x) Gi [a,+ ) v g(x) ới x ðủ lớn. Khi ðó: v ếu ội tụ thì ội tụ (i) N h h ếu ân kỳ thì ân kỳ (ii) N ph ph Ðịnh lý 3: ả sử f(x) và g(x) không âm và khả tích trên [a,b] với mọi b à: Gi [a, + ) v ếu l = 0 ta có ội tụ ội tụ, và: (i) N h h ân kỳ ân kỳ Ph ph ếu l = + ó: (ii) N ta c ội tụ ội tụ ,và h h ân kỳ ân kỳ ph ph ếu l ó hai tích phân suy rộng à ùng hội tụ (iii) N (0 ,+ ) ta c v c ặc cùng phân kỳ . ho ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 Ðịnh lý 4: à g(x) không âm và khả tích trên [a,c] với mọi c ả sử f (x) Cho f(x) v [a,b) . Gi g(x) ở một lân cận trái của b . Khi ðó ta có: ếu ội tụ thì ội tụ (i) N h h ếu ân kỳ thì ân kỳ (ii) N ph ph Ðịnh lý 5: ả sử f(x) và g(x) không âm và khả tích trên [a,c] với mọi c à: Gi [a,b), v ếu l= 0 ta có: (i) N ội tụ ôi tụ h h ân kỳ ân kỳ ph ph ếu l=+ ó: (ii) N ta c ội tụ ội tụ h h ân kỳ ân kỳ ph ph ếu l ì hai tích phân suy rộng à ùng hội tụ hoặc (iii) N (0, + ) Th v c ùng phân kỳ c í dụ: V ét sự hội tụ của 1) X ới x > 1 ta có: V ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ì 2/3 < 1 nên ân ky ø V ph ũng là phân kỳ Suy ra: c ét sự hội tụ của 2) X ó: Khi x + ta c à ội tụ m h ậy ũng hội tụ V c ét sự ội tụ của 3) X h ó: Khi x 0, ta c à ội tụ nên tích phân suy rộng I cũng hội tụ m h ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ài 10 Ứng dụng của tích phân B ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ÐỊNH V. ính diệ ích 1. T n t ện tích hình thang cũng giới hạn bởi các ðýờng Di y= 0 ,y = f (x) 0 ,x = a , x = b ðýợc tính bởi công thức: ình thang cong giới hạn bởi các ðýờng : H ới f (x) ên [a ,b ] y = f (x), y = g (x), x = a, x = b v g (x) tr ó diện tích ðýợc tính bởi công thức : c í dụ: ính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ðýờ V T ng sau: 2 à y = 1) y = -x v - x - 2 ành ðộ giao ðiểm của 2 ðýờng y = 2 à y = à nghiệm cuả phýõng trình. Ho - x v - x - 2 l 2 - x = - x - 2 x = - 1 , x = 2 . ên [ ó 2 ên diện tích cần tính là : Tr -1,2] ta c - x - 2 - x n à 2) v ðýờng cong cắt nhau ại A( à B(2a, a). Hai t -2a, a) v ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 õn nữa ta có ên [ H tr -2a,2a]. Suy ra: ính thể tích 2.T ể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các ðuờng : Th y = f(x), ục Ox tr x = a, x = b ục Ox ðuợc cho bởi công thức : quay xung quanh tr ýõng tự, thể tích k ối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các ðuờng : T h ục Oy x = g(y), tr y = c, y = d ục Oy ðýợc cho bởi công thức : quay xung quanh tr í dụ: ính thể tích khối tròn xoay V T ền phẳng giới hạn bởi các ðuờng : 1) Cho mi ục Ox , x= 0 , , tr ục Ox. quay xung quanh tr ó : Ta c ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ð.v.t.t ền phẳng giới hạn bởi các ðýờng y2 à x = 0 quay quanh Oy. 2) Do mi = x - 4 v ó tọa ðộ giao ðiểm của ðýờng cong y2 ới trục O à nghiệm của hệ: Ta c = x 4 v y l Suy ra : ính ðộ dài cung 3.T Ðộ dài cung AB của ðýờng cong y=f(x) với A(a,f(a)), B(b,f(b)) và a<b ðýợc tính theo ông thức : c í dụ: V ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ính ðộ dài cung của ðýờng cong ữa hai giao ðiểm của ðýờng cong với T gi ục hoành. tr Ðýờng c ắt trục hoành tại 2 ðiểm à ðộ dài cung AB ong c v . Suy ra ủa ðýờng cong là: c ýu ý: L ếu ðýờng cong cho bởi phýõng trình : (1) N ới c x = g (y) v y d ì ðộ dài của ðýờng cong là: th ýờng hợp ðýờng cong có phýõng trình tham số: (2) Tr ì ðộ dài của ðýờng cong ðýợc tính bởi: th ýờng hợp ðýờng cong trong tọa ðộ cực có phýõng trình (3) Tr  r = r ( ) , ì ta có : th  ( ) ðó ðộ dài ðýờ à: Do ng cong l ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ện tích mặt tròn xoay 4.Di ðýờng cong y=f(x) , ðýờng cong này quay Cho khi ục Ox trong không gian sẽ tạo ra một mặt tròn xoay. Diện quang tr ích của mặt tròn xoay này ðýợc tính theo công thức. t í dụ: ính diện tích của vòng xuyến sinh bởi ðýờng tròn : V T ục Ox. quay quanh tr ện tích S của vòng xuyến bằng tổng hai diện tích của hai mặt tròn xoay sinh bởi nửa Di ðýờng tròn trên có phýõng trình à nửa ðýờng òn dýới có phýõng trình v tr úng quay quanh trục Ox. Với cả 2 phýõng trình trên Khi ch ó : ta c ðó: do ýu ý : L ðýờng cong ðýợc cho bởi phýõng trình t ố Khi ham s ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ì diện tích mặt tròn xoay sinh ra bởi ðýờng cong quay quanh Ox ðýợc tính ởi : th b ếu ðýờng cong quay quanh Oy thì diện tích mặt tròn xoay là: N ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ài 11 Chuỗi số và tiêu chuẩn hội tụ B ÁI NIỆM CHUỖI SỐ I. KH Ðịnh nghĩa 1. : ãy số thực  ới n = 1, 2, 3, . Biểu thức tổng vô hạn Cho d un v ðýợc gọi là một ỗi số à un ðýợc gọi là số hạng tổng quát (thứ n) của chuỗi số. chu , v ổng số T ðýợc gọi là ổng riêng ứ n của chuỗi số. Nếu dãy các tổng riêng  ó giới hạn là t th Sn c ột số thự ì chuỗi số ðýợc gọi là ội tụ à S ðýợc gọi là tổng của m c S khi n th h v ỗi; trong trýờng hợp này ta viết chu ýợc lại, nếu dãy  ông hội tụ thì chuỗi số ðýợc gọi là ân kỳ Ng Sn kh ph . í dụ: ét chuỗi hình học có dạng V X ðó a là số khác 0. trong ó: Ta c = khi q 1. ếu |q| < 1 thì N . Suy ra . ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ó chuỗi hội tụ và có tổng là Ta c . ếu |q| > 1 thì N . Suy ra . ó chuỗi phân kỳ. Ta c ýờng hợp |q| = 1, ta dễ thấy rằng chuỗi phân ỳ. Trong tr k ết luận: ỗi hình học hội tụ khi và chỉ khi |q| < 1. Khi ðó K chu ác tính chấ ủa chuỗi số 2. C t c : ục này sẽ phát biểu một số tính chất của chuỗi số. Các tính chất này có thể Trong m ểm chứng dễ dàng từ ðịnh nghĩa của chuỗi số. ki Ðịnh lý: ính hội tụ ân kỳ của một chuỗi số sẽ không ðổi khi ta bỏ ði một số hữu hạn số T hay ph ạng ðầu của chuỗi số. h ệ quả: H ính hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi số sẽ không ðổi nếu ta bỏ ði hay thêm vào một T ố hữu hạn số hạng ở những vị trí bất kỳ. s Ðịnh lý : ếu chuỗi số ội tụ và có tổng bằng S thì vớc ta có chuỗi ũng hội N h c ụ và t = a S. Ðịnh lý: ếu à à các chuỗi số hội tụ thì các chuỗi tổng và chuỗi hiệu sau ðây N v l ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 à v ũng là các ch ỗi hội tụ. Hõn nữa: c u à v êu chuẩn hội tụ Cauchy: 3.Ti Ðịnh lý: Ðiều kiện cần và ðủ ðể chuỗi số (*) ội tụ là với mọi  ất kỳ, tồn tại số N (phụ thuộc  ới mọi n tùy ý lớn h > 0 b ) sao cho v õn N ðiều kiện sau ðâu ðýợc thỏa mãn: h  ới mọi p = 0, 1, 2, | an + an+1 + . . . + an+p | < , v ừ ðịnh lý trên ta suy ra ðịnh lý về ðiều kiện cần cho sự hội tụ của một chuỗi số sau T ðây. Ðịnh lý: ếu chuỗi ội tụ thì N h . ậy chuỗi số ân kỳ nếu  ông tiến về 0 khi n V ph un kh . í dụ: V ỗi ân kỳ vì ác 0. Chu ph kh ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ỗi ân kỳ vì ông tồn tại. Chu ph kh ỖI SỐ DÝÕNG II.CHU ỗi số ðýợc gọi là ch ỗi số dýõng nếu tất cả các số hạng của chuỗi số Chu u ðều là số dýõng. Trýờng hợp tất cả các số hạng ðều là số không âm thì chuỗi số ðýợc ọi là chuỗi số không âm. Lýu ý rằng khi xét tính hội tụ hay phân kỳ cũng nhý tính g ổng của chuỗi số không âm ta có thể loạ ỏ ra các số hạng bằng 0, nên chuỗi số t i b ông âm cũng thýờng ðýợc gọi là chuỗi số dýõng. kh ận xét rằng dãy các tổng riêng  ủa chuỗi số dýõng là dãy tãng nên chuỗi Nh Sn c ố hội tụ khi và chỉ khi dãy  ị chặn trên. s Sn b ác tiêu chuẩn so sánh 1.C Ðịnh lý: ả sử hai chuỗi số dýõng à ỏa ðiều kiện un ới n khá lớn Gi v th vn v ĩa là ứng với mọi n lớn hõn một số n ào ðó). Khi ðó (ngh 0 n ếu ội tụ thì ội tụ. N h h ếu ân kỳ thì ân kỳ. N ph ph ận xét: Nh ỗi số dýõng à ội tụ khi và chỉ khi chuỗi ội Hai chu v h h ụ. t í dụ: ảo sát sự hội tụ của chuỗi số V Kh ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ới mọi n = 1, 2, 3, ta có: V ì chuỗi hình học có số hạng tổng quát ội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh ðýợc V h át biểu trong ðịnh lý trên chuỗi số ội tụ. ph h ệ quả: H ếu tồn tại giới hạn ới L là một số thực dýõn ì các chuỗi số N v g th ýõng à ùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. d v c ếu ì từ sự hội tụ của chuỗi ẽ kéo theo sự hội tụ của N th s ỗi à từ sự phân kỳ của chuỗi ẽ kéo theo sự phân kỳ của chuỗi chu , v s . ếu ì từ sự hội tụ của chuỗi ẽ kéo theo sự hội tụ của N th s ỗi à từ sự phân kỳ của chuỗi ẽ kéo theo sự phân kỳ của chuỗi chu , v s . ú: Ghi ch ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ýờng hợp ói un týõng ðýõng với vn (khi n à viết Trong tr ta n ) v à un ~ vn . Vậy: nếu un ~ vn ì các chuỗi số dýõng à ùng hội tụ l th v c ặc cùng phân kỳ. ho Ðể áp dụng các tiêu chuẩn so ánh ta phải ghi nhớ tính chất hội tụ hay phân kỳ của s ột số chuỗi thýờng gặp, chẳng hạn chuỗi hình học. Ở ðây ta công nhận kết quả sau m ðây về sự hội tụ của chuỗi à t ố): ( l ham s ỗi ội tụ Chu h > 1. ết quả này có thể ðýợc chứng minh bằng cách áp dụng tiêu chuẩn tích phân Cauchy K ẽ ðýợc trình bày sau. Ứng với trýờng hợp ó chuỗi ân kỳ. s = 1 ta c ph í dụ: V ảo sát sự hội tụ của chuỗi số 1) Kh ó: à chuỗi ân kỳ và à một hằng số khác 0 nên Ta c ~ . M ph l ỗi ũng phân kỳ. chu c ảo sát sự hội tụ của chuỗi số 2) Kh ó Khi n , ta c 0 ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ~ ~ = ì chuỗi hình học có số hạng tổng quát ội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh ta có V h ỗi ũng hội tụ. chu c ảo sát sự hội tụ của chuỗi số 3) Kh ó Khi n , ta c 0. ~ . ì chuỗi ân kỳ nên chuỗi ũng phân kỳ. V ph c êu chuẩ Alembert. 2. Ti n d Ðịnh lý: êu chuẩn dAlembert) Xét chuỗi số dýõng (Ti Ðặt ó: . Ta c ếu có một số q n0, Dn q ì chuỗi số ội tụ. th h ếu có một số tự nhiên n N 0 sao cho  n > n0, Dn 1 ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ì chuỗi số ân kỳ. th ph ừ ðịnh lý trên ta rút ra hệ quả sau ðây, cũng ðýợc gọi là tiêu chuẩn hội tụ T Alembert: d ệ quả: ỗi số dýõng ả sử H Cho chu . Gi  = . ếu  ì chuỗi số ội tụ. (i) N 1 th ph ýu ý: L ýờng hợp ì ta chýa kết luận ðýợc một cách chính xác Trong tr = 1 (*) th ỗi số dýõng ội tụ hay phân kỳ. Chuỗi à một ví dụ cho trýờng chu h l ợp chuỗi số dýõng phân kỳ thỏa mãn ðiều kiện (*), và chuỗi à một í dụ h l v ýờng hợp chuỗi số dýõng hội tụ thỏa mãn ðiều kiện (*). cho tr ác khẳng ðịnh (i) và (ii) trong hệ quả trên cũng ðúng cho chuỗi bất kỳ với giả thiết C ằng r  = . í dụ: V ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ét chuỗi số ới x là một số thực cho trýớc. Khảo sát sự hội tụ của 1) X v ỗi ố. chu s ố hạng thứ n của chuỗi số là ận xét rằng với x = 0 thì các số hạng ðều S . Nh ằng 0 nên chuỗi hội tụ. Xét trýờng hợp x ó: b 0, ta c Suy ra = 0. ậy chuỗi ội tụ với mọi V h x. ảo sát sự hội tụ của chuỗi số 2) Kh . ố hạng thứ n của chuỗi số là ó: S . Ta c = à v > 1. ỗi ân kỳ. Suy ra chu ph êu chuẩn cãn thức Cauchy. 3. Ti ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 Ðịnh lý: êu chuẩn cãn thức Cauchy) Xét chuỗi số dýõng (Ti . Ðặt Cn = . ếu có một số q n0, Cn q ì chuỗi số ội tụ. th h ếu có một số tự nhiên n N 0 sao cho  n > n0, Cn 1 ì chuỗi số ân kỳ. th ph ừ ðịnh lý trên ta rút ra hệ quả sau ðây, cũng ðýợc gọi là tiêu chuẩn cãn thức T Cauchy: ệ quả: ỗi số dýõng ả sử H Cho chu . Gi  = . ếu  ì chuỗi số ội tụ. N 1 th ph ýu ý: L ýờng hợp ì ta chýa kết luận ðýợc một cách chính xác Trong tr = 1 (*) th ỗi ố dýõng ội tụ hay phân kỳ. Chuỗi à một ví dụ cho trýờng chu s h l ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ợp chuỗi số dýõng phân kỳ ỏa mãn ðiều kiện (*), và chuỗi à một ví dụ h th l ýờng hợp chuỗi số dýõng hội tụ thỏa mãn ðiều kiện (*). cho tr ác khẳng ðịnh (i) và (ii) trong hệ quả trên cũng ðúng cho chuỗ ất kỳ với giả thiết C i b ằng r  = . í dụ: V ét chuỗi số ới x là một số thực cho trýớc. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số. X v ố hạng thứ n của chuỗi số là ó: S . Ta c = 0 khi n ừ tiêu chuẩn Cauchy ta suy ra chuỗi ội tụ với mọi x. T h ét sự hội tụ của chuỗi số X ố hạng thứ n của chuỗi số là ó: S . Ta c = 2 khi n ỗi số ân kỳ theo tiêu chuẩn Cauchy. Suy ra chu ph êu chuẩn tích phân Cauchy. 4. Ti Ðịnh lý: êu chuẩn tích phân Cauchy) (ti ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ếu chuỗi số ó dạng ĩa là ới mọi n; trong ðó f là N c , ngh v ột hàm số liên tục ông âm và giảm trên [1, + ì ta có: m , kh ) th ội tụ ội tụ h h í dụ: V ét sự hội tụ của chuỗi ðiều hòa mở rộng 1) X . ýớc hết ta thấy rằng nếu ì ông hội tụ về 0 nên chuỗi phân Tr 0 th ( 1) kh ỳ. Xét trýờng hợp ễ thấy rằng các tiêu chuẩn dAlembert và tiêu chuẩn cãn k > 0. D ức Cauchy ðều không cho ta kết luận ðýợc về tính hội tụ hay ân kỳ của chuỗi số. th ph àm số f(x) = ỏa các ðiều kiện giả thiết trong tiêu chuẩn tích phân Cauchy. Do H th ích phân suy rộng ội tụ khi và chỉ khi ên chuỗi ội tụ khi t h > 1 n h à chỉ khi  óm lại ta có: v >1. T ội tụ h > 1. ét sự hội tụ của chuỗi 2) X ố hạng thứ n của chuỗi số là ó: S . Ta c ới , v . àm số f(x) thỏa các ðiệu kiện của tiêu chuẩ ích phân Cauchy. Xét tích phân H n t ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 Ðổi biến: u = ln(x), thì ðýợc = = + ậy chuỗi ân kỳ. V ph ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ÀI TẬP CHÝÕNG 5 B ùng ðịnh nghĩa ðể khảo sát sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của chuỗi số: 1. D (a) (b) (c) (d) ảo sát dự hội tụ của các chuỗi số. 2. Kh (a) (b) (c) (d) (e) (f) ử dụng tiêu chuẩn cãn thức Cauchy khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau: 3. S (a) (b) (c) (d) ử dụng tiêu chuẩn dAlembert khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau: 4. S (a) (b) (c) (d) ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ử dụng tiêu chuẩn tích phân Cauchy khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau: 5. S (a) (b) ác chuỗi sau ðây hội tụ hay phân kỳ: 6. C (a) (b) (c) (d) (e) (f) ứng minh rằng nếu các chuỗi à ội tụ thì chuỗi số 7. Ch v h ội tụ tuyệt ðối. h ác chuỗi số sau ðây hội tụ tuyệt ðối, bán hội tụ hay phân kỳ? 8. C (a) (b) (c) (d) ìm miền hội tụ của chuỗi hàm. 9. T (a) (b) (c) (d) ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 (e) (f) ìm miền hội tụ của các chuỗi sau ðây: 10. T (a) (b) (c) (d) (e) (f) àm số y = f(x) = 11. Cho h . ìm miền xác ðịnh của f(x). a) T ứng minh rằng hàm số y = f(x) nghiệm ðúng phýõng trình b) Ch = 1 + x (1-x) y y ển Maclaurin các hàm sau: 12. Khai tri a) y = x2ex b) y = sin2 x ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ài 12 Chuỗi số và tiêu chuẩn hội tụ (tt) B ỖI SỐ DÝÕNG II.CHU ỗi số ðýợc gọi là chuỗi số dýõng nếu tất cả các số hạng của chuỗi số Chu ðều là số dýõng. Trýờng hợp tất cả các số hạng ðều là số không âm thì chuỗi số ðýợc ọi là chuỗi số không âm. Lýu ý rằng khi xét ính hội tụ hay phân kỳ cũng nhý tính g t ổng của chuỗi số không âm ta có thể loại bỏ ra các số hạng bằng 0, nên chuỗi số t ông âm cũng thýờng ðýợc gọi là chuỗi số dýõng. kh ận xét rằng dãy các tổng riêng  ủa chuỗi số dýõng là dãy tãng nên chuỗi Nh Sn c ố ội tụ khi và chỉ khi dãy  ị chặn trên. s h Sn b ác tiêu chuẩn so sánh 1.C Ðịnh lý: ả sử hai chuỗi số dýõng à ỏa ðiều kiện un ới n khá lớn Gi v th vn v ĩa là ứng với mọ ớn hõn một số n ào ðó). Khi ðó (ngh i n l 0 n ếu ội tụ thì ội tụ. N h h ếu ân kỳ thì ân kỳ. N ph ph ận xét: Nh ỗi số dýõng à ội tụ khi và chỉ khi chuỗi ội Hai chu v h h ụ. t í dụ: ảo sát sự hội tụ của chuỗi số V Kh ới mọi n = 1, 2, 3, ta có: V ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ì chuỗi hình học có số hạng tổng quát ội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh ðýợc V h át biểu trong ðịnh lý trên chuỗi số ội tụ. ph h ệ quả: H ếu tồn tại giới hạn ới L là một số thực dýõng thì các chuỗi số N v ýõng à ùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. d v c ếu ì từ sự hội tụ của chuỗ ẽ kéo theo sự hội tụ của N th i s ỗi à từ sự phân kỳ của chuỗi ẽ kéo theo sự phân kỳ của chuỗi chu , v s . ếu ì từ sự hội tụ của chuỗi ẽ kéo theo sự hội tụ của N th s ỗi à từ sự phân kỳ của chuỗi ẽ kéo theo sự phân kỳ của chuỗi chu , v s . ú: Ghi ch ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ýờng hợp ói un týõng ðýõng với vn (khi n à viết Trong tr ta n ) v à un ~ vn . Vậy: nếu un ~ vn thì các chuỗi số dýõng à ùng hội tụ l v c ặc cùng phân kỳ. ho Ðể áp dụng các tiêu chuẩn so sánh ta phải ghi nhớ tính chất hội tụ hay phân kỳ của ột số chuỗi thýờng gặp, chẳng hạn chuỗi hình học. Ở ðây ta công nhận kết quả sau m ðây về sự hội tụ của chuỗi à tham số): ( l ỗi ội tụ Chu h > 1. ết quả này có thể ðýợc chứng minh bằng cách áp dụng tiêu chuẩn tích phân Cauchy K ẽ ðýợc trình bày sau. Ứng với trýờng hợp ó chuỗi ân kỳ. s = 1 ta c ph í dụ: V ảo sát sự hội tụ của chuỗi số 1) Kh ó: à chuỗi ân kỳ và à một hằng số khác 0 nên Ta c ~ . M ph l ỗi ũng phân kỳ. chu c ảo sát sự hội tụ của chuỗi số 2) Kh ó Khi n , ta c 0 ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ~ ~ = ì chuỗi hình học có số hạng tổng quát ội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh ta có V h ỗi ũng hội tụ. chu c ảo sát sự hội tụ của chuỗi số 3) Kh ó Khi n , ta c 0. ~ . ì chuỗi ân kỳ nên chuỗi ũng phân kỳ. V ph c êu chuẩn dAlembert. 2. Ti Ðịnh lý: êu chuẩn dAlembert) Xét chuỗi số dýõng (Ti Ðặt ó: . Ta c ếu có ột số q n0, Dn q ì chuỗi số ội tụ. th h ếu có một số tự nhiên n N 0 sao cho  n > n0, Dn 1 ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ì chuỗi số ân kỳ. th ph ừ ðịnh lý trên ta rút ra hệ quả sau ðây, cũng ðýợc gọi là tiêu chuẩn hội tụ T Alembert: d ệ quả: ỗi số dýõng ả sử H Cho chu . Gi  = . ếu  ì chuỗi số ội tụ. (i) N 1 th ph ýu ý: L ýờng hợp ì ta chýa kết luận ðýợc một cách chính xác Trong tr = 1 (*) th ỗi số dýõng ội tụ hay phân kỳ. Chuỗi à một ví dụ cho trýờng chu h l ợp chuỗi số dýõng phân kỳ thỏa mãn ðiều kiện (*), và chuỗi à một ví dụ h l ýờng hợp chuỗi số dýõng hội tụ thỏa mãn ðiều kiện (*). cho tr ác khẳng ðịnh (i) và (ii) trong hệ quả trên cũng ðúng cho chuỗi bất kỳ với giả thiết C ằng r  = . í dụ: V ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ét chuỗi số ới x là một số thực cho trýớc. Khảo sát sự hội tụ của 1) X v ỗi số. chu ố hạng thứ n của chuỗi số là ận xét rằng với x = 0 thì các số hạng ðều S . Nh ằng 0 nên c ỗi hội tụ. Xét trýờng hợp x ó: b hu 0, ta c Suy ra = 0. ậy chuỗi ội tụ với mọi x. V h ảo sát sự hội tụ của chuỗi số 2) Kh . ố hạng thứ n của chuỗi số là ó: S . Ta c = à v > 1. ỗi ân kỳ. Suy ra chu ph êu chuẩn cãn thức Cauchy. 3. Ti ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 Ðịnh lý: êu chuẩn cãn thức Cauchy) Xét chuỗi số dýõng (Ti . Ðặt Cn = . ếu có một số q n0, Cn q ì chuỗi số ội tụ. th h ếu có một số tự nhiên n N 0 sao cho  n > n0, Cn 1 ì chuỗi số ân kỳ. th ph ừ ðịnh lý trên ta rút ra hệ quả sau ðây, cũng ðýợc gọi là tiêu chuẩn cãn thức T Cauchy: ệ quả: ỗi số dýõng ả sử H Cho chu . Gi  = . ếu  ì chuỗi số ội tụ. N 1 th ph ýu ý: L ýờng hợp ì ta chýa kết luận ðýợc một cách chính xác Trong tr = 1 (*) th ỗi số dýõng ội tụ hay phân kỳ. Chuỗi à một ví dụ cho trýờng chu h l ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ợp chuỗi số dýõng phân kỳ thỏa mãn ðiều kiện (*), và chuỗi à một ví dụ h l ýờng hợp chuỗi số dýõng hội tụ thỏa mãn ðiều kiện (*). cho tr ác khẳng ðịnh (i) và (ii) trong hệ quả trên cũng ðúng cho chuỗi bất kỳ với giả thiết C ằng r  = . í dụ: V ét chuỗi số ới x là một số thực cho trýớc. Khảo át sự hội tụ của chuỗi số. X v s ố hạng thứ n của chuỗi số là ó: S . Ta c = 0 khi n ừ tiêu chuẩn Cauchy ta suy ra chuỗi ội tụ với mọi x. T h ét sự hội tụ của chuỗi số X ố hạng thứ n của chuỗi số là ó: S . Ta c = 2 khi n ỗi số ân kỳ theo tiêu ẩn Cauchy. Suy ra chu ph chu êu chuẩn tích phân Cauchy. 4. Ti Ðịnh lý: êu chuẩn tích phân Cauc (ti hy) ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ếu chuỗi số ó dạng ĩa là ới mọi n; trong ðó f là N c , ngh v ột hàm số liên tục, không âm và giảm trên [1, + ì ta có: m ) th ội tụ ội tụ h h í dụ: V ét sự hội tụ của chuỗi ðiều hòa mở rộng 1) X . ýớc hết ta thấy rằng nếu ì ông hội tụ về 0 nên chuỗi phân Tr 0 th ( 1) kh ỳ. Xét trýờng hợp ễ thấy rằng các tiêu chuẩn dAlembert à tiêu chuẩn cãn k > 0. D v ức Cauchy ðều không cho ta kết luận ðýợc về tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số. th àm số f(x) = ỏa các ðiều kiện giả thiết trong tiêu chuẩn tích phân H th Cauchy. Do ích phân suy rộng ội tụ khi và chỉ khi ên chuỗi ội tụ khi t h > 1 n h à chỉ  óm lại ta có: v khi >1. T ội tụ h > 1. ét sự hội tụ của chuỗi 2) X ố hạng thứ ủa chuỗi số là ó: S n c . Ta c ới , v . àm số f(x) thỏa các ðiệu kiện của tiêu chuẩn tích phân Cauchy. Xét tích phân H ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 Ðổi biến: u = ln(x), thì ðýợc = = + ậy chuỗi ân kỳ V ph . ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ài 13 Chuỗi tổng quát, chuỗi hàm B ỖI TỖNG QUÁT III. CHU ỗ ðan dấu 1. Chu i ãy  ác số dýõng, chuỗi số có số hạng tổng quát u na Cho d an c n = (-1) n hay un = (- n+1 ðýợc gọi là chuỗi ðan dấu. Liên quan ðến chuỗi ðan dấu ta có tiêu chuẩn hội tụ 1) a n ý sau: leinitz nh Ðịnh lý: êu chuẩn Leibnits) (ti ếu chuỗi ðan dấu ỏa mãn 2 ðiều kiện: N th ãy  à dãy dýõng giảm, và D an l = 0; ì chuỗi hội tụ. Hõn nữa tổng S của chuỗi thỏa 0 < S th u1. ú thích: Ch ỗi thỏa ðiều kiện của tiêu chuẩn Leibn ðịnh lý trên ðýợc gọi là chuỗi Chu itz trong ếu dùng tổng Leibnitz. N Sn = ðể xấp xĩ tổng của chuỗi Leibnitz thì phần dý thứ n của chuỗi là Rn thỏa: | Rn | | un+1 | í dụ ảo sát sự hội tụ của chuỗi V : Kh . ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ỗi số là chuỗi ðan dấu có số hạng thứ n là ới Chu = , v à dãy số dýõng giảm và hội tụ về 0. Vậy chuỗi số à chuỗi Leibnitz nên l l ỗi hội tụ. chu ội tụ tuyệt ðối 2. H Ðịnh nghĩa: ỗi số (có dấu bất kỳ) ðýợc gọi là ội tụ tuyệt ối ếu chuỗi Chu h n ội tụ. h ỗi số ðýợc gọi là án hội tụ ếu chuỗi ội tụ nhýng ỗi Chu b n h chu ân kỳ. ph ú ỗi ông dẫn tới sự hội tụ của chuỗi Ghi ch : Chu kh . í dụ: V ỗi ội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz nhýng chuỗi ðiều hòa 1) Chu h ân kỳ. Vậy chuỗi à bán hội tụ. ph l ét chuỗi ó số hạng tổng quát 2) X c . ó: Ta c ~ ~ ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 à chuỗi ðiều hòa mở rộng ội tụ. Suy ra chuỗi ội tụ theo tiêu v h h ẩn so sánh. Vậy chuỗi ội tụ tuyệt ðối. chu h Ðịnh lý: ếu chuỗi ội tụ thì chuỗi ội tụ và N h h . ýới ðây là một số tính chất ðã ðýợc chứng minh ên quan ðến các chuỗi hội tụ D li ệt ðối. tuy Ðịnh lý: (Riemann) ả sử chuỗi án hội ụ. Khi ðó với mọi số S hữu hạn hoặc là S = ồn tại Gi b t , t ột cách thay ðổi vị trí của các số hạng của chuỗi ðể ðýợc một chuỗi mới có tổng là m S. Ðịnh lý: ếu chuỗi ội tụ tuyệt ðối thì khi thay ðổi vị trí các số hạng của chuỗi một N h ách tùy ý ta vẫn ðýợc một chuỗi mới hội tụ tuyệt ðối và có cúng tổng với chuỗi ban c ðầu. Ðịnh lý: (Cauchy) ếu các chuỗi à ội tụ tuyệt ðối và có tổng lần lýợt là S và T thì N v h ỗi gồm mọi số hạng , n; j = 1, 2, , n) theo một thứ tự bất kỳ chu (i = 1, 2, ôn hội tụ tuyệt ðối à có tổng bằng ST. lu v ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ỖI HÀM IV. CHU Ðịnh nghĩa 1. ãy hàm số ới n = 1, 2, ùng xác ðịnh trên một tập E các số thực. Khi Cho d v c ðó với mỗi x ó chuỗi số E ta c ét x biến thiên trong E, ta gọi chuỗi à một ỗi hàm Ðiểm x Khi x l chu . 0 E à chuỗi ội tụ ðýợc gọi là iểm hội tụ ũng nói chuỗi hàm hội tụ tại m h ; ta c ập tất cả các ðiểm hội ụ ðýợc gọi là ền hội tụ ủa chuỗi hàm. Gọi D là miền x . T t mi c ộ0 i tụ của chuỗi lũy thừa, ta có: h , , à các hàm số của x xác ðịnh trên D. Sn(x) ðýợc gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi l àm, S(x) là tổng của chuỗi hàm và Rn(x) là phần dý thứ n của chuỗi hàm. Tổng h S(x) ó thể biểu diễn dýới dạng c ới mọi x ó ên ĩa là phần dý V D ta c , n , ngh ủa chuỗi hàm hội tụ ðến 0 khi n c + . í dụ: V ìm miền hội tụ của chuỗi hàm 1) T ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 Ðã biết rằng chuỗi số ội tụ khi và chỉ khi ðó chuỗi h > 1. Do ội tụ khi và chỉ khi ln(x) > 1, hay x > e. Suy ra miền hội tụ của chuỗi hàm là D = (e, h + ). ìm miền hội tụ của chuỗi hàm 2) T ới mỗi x, chuỗi số ó số hạng tổng quát V (*) c ới , v  = = = ex. êu chuẩn hội tụ dAlembert ta có: Theo ti  ỗi (*) hội tụ. 1 x > 0 : chu  ỗi (*) có dạng à chuỗi phân kỳ. = 1 x = 0 : chu l ậy miền hội tụ của chuỗi hàm à D = ( V l - , 0). ìm miền hội tụ của chuỗi hàm 3) T ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ới mỗi x, chuỗi số ó có số hạng tổng quát ới V (*) c , v  = = = + . êu chuẩn cãn Cauchy ta có chuỗi phân kỳ (với mọi x). Vậy miền hội tụ của Theo ti ỗi hàm à tập hợp rỗng. chu l ội tụ ðều 2. H Ðịnh nghĩa: ét x biến thiên trong một tập X nào ðó nằm trong miền hội tụ của chuỗi hàm X ọi S(x) là tổng của chuỗi hàm và Sn(x) là tổng riêng thứ n của chuỗi . G àm. Nếu với mọi  ồn tại n  h > 0, t 0( ) sao cho     n n0( ), x X, | Sn(x) S(x) | < ì ta nói chuỗi hàm ội tụ ều ới hàm S(x) trên tập X, hoặc dãy hàm Sn(x) hội tụ ðều th h t ới hàm S(x) trên tập X. Ðiều này cũng có nghĩa là dãy các phần dý Rn(x) = S(x) t - ội tụ ðều tới 0 trên X. Sn(x) h Ðịnh lý sau ðây cho ta một tiêu chuẩn về sự hội tụ cũng nhý hội tụ ðều của chuỗi àm. h Ðịnh lý: êu chuẩn Weierstrass) (ti ếu ứng với mọi n lớn hõn một n ào ðó và với mọi x à chuỗi số N 0 n X v ýõng ội tụ, thì chuỗi hàm ội tụ ðều và hội tụ tuyệt ðối trên X. d h h í dụ: V ảo sát sự hội tụ của chuỗi hàm 1) Kh ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ó: Ta c ứng với mọi x à do chuỗi ội tụ , nên chuỗi àm ội tụ R v h h h ðều và hội tụ tuyệt ðối trên toàn trục số theo tiêu chuẩn Weierstrass. ảo sát sự hội tụ của chuỗi hàm 2) Kh ên tồn tại n ới mọi n ì Do n 0 sao cho v n0 th . ới mọi n à với mọi số thực x ta có: Suy ra v n0 v à chuỗi số ðiều hòa (mở rộng) ội tụ. Vậy theo tiêu chuẩn Weierstrass m h ỗi hàm ội tụ ðều và hội tụ tuyệt ðối trê àn trục số. chu h n to ính chất của chuỗi hàm hội tụ ðều 3. T ục nầy sẽ phát biểu một số ðịnh lý về tính chất của các chuỗi hàm hội tụ Trong m ðều. Ðịnh lý: ính liên tục của hàm tổng) (T ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ếu mọi hàm ên tục trên X và chuỗi hàm ội tụ ðều ðến hàm S(x) N li h ên X, thì S(x) cũng liên tục trên X. tr Ðịnh lý: ích phân từng số hạng) (t ếu mọi hàm ên tục trên [a, b] và chuỗi hàm ội tụ ðều ðến hàm N li h ên [a, b], thì S(x) tr  . Ðịnh lý: ðạo hàm từng số hạng) ( ả sử ta có các ðiều kiện sau ðây: Gi ác hàm ó ðạo àm liên tục trong khoảng (a, b); C c h ỗi hàm ội tụ ðến S(x) trong (a, b); Chu h ỗi các ðạo hàm ội tụ ðều trong (a, b). Chu h ðó S(x) có ðạo hàm trong khoảng (a, b) và Khi (x)  S = ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ài 14 Chuỗi lũy thừa B ỖI LŨY THỪA V.CHU Ðịnh nghĩa 1. ọi chuỗi hàm có dạng Ta g à ỗi lũy thừa ác hằng số ðýợc gọi là các ệ số ủa chuỗi lũy l chu . C h c ừa, hệ số ðýợc gọi là hệ số tổng quát của chuỗi. Ta gọi à th l ố hạng tổng quát của chuỗi lũy thừa. s ếu thực hiện phép ðổi biến ì chuỗi lũy thừa trên trở thành chuỗi có N th ạng ðó trong các mục tiếp theo dýới ðây ta chỉ chuỗi lũy thừa có d . Do ạng d (*). í dụ: V ỗi lũy thừa 1) Chu ó hệ số tổng quát là c . ỗi lũy thừa 2) Chu ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ó hệ số tổng quát là ằng cách ðổi biến X = x+2, chuỗi lũy thừa c . B ðýợc chuyển về dạng . án kính hội tụ và miền hội tụ 2. B ột trong những vấn ðề ðýợc xem xét ðối với chuỗi lũy thừa là tìm miền hội tụ. Cho M ỗi lũy thừa chu (*). ýớc hết có thể thấy rằng chuỗi (*) hội tụ tại x = 0. Ðịnh lý sau ðây là một trong Tr ững kết quả quan trọng liên quan ðến vấn ðề tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa. nh Ðịnh lý: (Abel) ếu chuỗi lũy thừa ội tụ tại ì chuỗi cũng hội tụ tuyệt ðối tại N h th ọi x m . ếu chuỗi lũy thừa ân kỳ tại ì chuỗi cũng phân kỳ tại mọi x N ph th . ứng minh: Ch ả sử chuỗ ũy thừa ội tụ tại ĩa là chuỗi số ội Gi i l h , ngh h ụ. Khi ðó t ó số dýõng M sao cho ới mọi số tự nhiên n. c M v ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ột số thực x ó: Cho m . Ta c ới 0 v < 1. ỗi hình học ội tụ do q < 1, nên chuỗi ội tụ tuyệt ðối. Chu h h óm lại ta có chuỗi lũy thừa ội ụ tuyệt ðối trên ần (i) T h t . Ph ủa ðịnh lý ðýợc chứng minh. c ây giờ giả sử chuỗi lũy thừa ân kỳ tại ĩa là chuỗi số B ph , ngh ân kỳ. Nếu có số thực x à chuỗi ội tụ ph m h ì theo phần chứng minh ở trên ta có chuỗi ội tụ (mâu thuẩn). Vậy th h ỗi phân kỳ tại mọi x ần (ii) của ðịnh lý ðýợc chứng minh. chu . Ph ừ ðịnh lý Abel ta có một số nhận ét về dạng của miền hội tụ của chuỗi lũy thừa T x ý sau. Trýớc hết chuỗi hội tụ tại x = 0 với tổng bp sau ðây: nh ýờng hợp 1: Chuỗi chỉ hội tụ tại x = 0. Tr ýờng hợp 2: Chuỗi hội tụ trên toàn trục số. Tr ýờng hợp 3: Chuỗi ó ðiểm hội tụ à có ðiể ân kỳ ất Tr c v m ph . T ên là ðịnh lý Abel. Vậy miền hội tụ D của chuỗi lũy thừa phả nhi theo i ỏa D  ên bị chặn. Do tính ðầy ðủ của tập số thực D có cận trên th n ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ðúng R. Có thể thấy rằng nếu ì chuỗi phân kỳ tại x, và nếu x ì > R th (-R, R) th ỗi hội tụ tại x. chu Ðịnh nghĩa: án kính hội tụ) (b ỗi lũy thừa ếu tồn tại số dýõng R sao cho chuỗi lũy thừa hội tụ Cho chu . N ại mọi x mà à chuỗi phân kỳ tại mọi x mà ì R ðýợc gọi là bán t R, th ính ội tụ của chuỗi lũy thừa. Trýờng hợp chuỗi chỉ hội tụ tại x = 0 ta nói bán kính hội k ụ của chuỗi lũy thừa là R = 0; nếu chuỗi hội tụ trên toàn trục số t ì ta nói bán kính t h ội tụ là R = + h . ðịnh nghĩa trên ta có các trýờng hợp về miền hội tụ của chuỗi lũy thừa nhý Theo sau: ếu bán kính hội tụ R là một số thực dýõ ì miền hội tụ D của chuỗi lũy thừa là N ng th ột trong 4 trýờng hợp sau: m ỗi không hội tụ tại 1) D = (-R, R) khi chu R. ỗi hội tụ tại 2) D = [-R, R] khi chu R. ỗi hội tụ tại ýng không hội tụ tại R. 3) D = [-R, R) khi chu -R nh ỗi hội tụ ại R nhýng không hội tụ tại 4) D = (-R, R] khi chu t -R. ếu R = 0 thì miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là D =  N 0 . ếu R = + ì miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là D = N th R. ậy việc tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là býớc rất quan trọng cho việc tìm V ền hội tụ của chuỗi lũy thừa. Ta có thể tính bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa dựa mi ðịnh lý ýới ðây. theo d Ðịnh lý: ìm bán kính hội tụ) (T ỗi lũy thừa ả sử Cho chu . Gi hay = . ðó bán kính hội tụ R của chuỗi lũy thừa là Khi ếu à số thực dýõng; R = n l ếu R = 0 n = + ; ếu R = + n = 0. í dụ: V ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 1) T ệ số tổng quát của chuỗi lũy thừa là ó H . Ta c = 1 R = 1 Ðể xác ðịnh miền hội tụ ần xét sự hội tụ của chuỗi tại các ðiểm à +1. Xét tại x ta c -1 v ấy chuỗi số ân kỳ. Tại x = 1, ta có chuỗi = -1, ta th ph ố ũng phân kỳ(do số hạng tổng quát của chuỗi số không dần về s c 0). ậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là D = ( V -1, 1). ìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 2) T ệ số tổng quát của chuỗi lũy thừa là ó H . Ta c = 1 án kính hội tụ R = 1. b ét tại x = ðýợc chuỗi à chuỗi Leibnitz nên hội tụ. Tại x = 1 ta có X -1, ta l ỗi ðiều hòa ên là chuỗi phân kỳ. chu n ậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là D = [ V -1, 1). ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 3) T ệ số tổng quát của chuỗi lũy ừa là ới x ó H th , v 0 = -2 Ta c = 1/2 án kính hội tụ R = 2. b ét tại x = x ðýợc chuỗi số X 0 R = -4, ta = = ân kỳ. Tại x = x ðýợc chuỗi ph 0 + R = 0, ta = ội tụ theo tiê ẩn Leibnitz. h u chu ậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là D = ( V -4, 0]. ìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 4) T ó thể tính ðýợc bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là R = ỗi chỉ hội tụ C 0. Suy ra chu ại x = 0, tức là miền hội tụ D =  t 0 . ìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 5) T ó thể tính ðýợc bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là R = ỗi hội tụ tại C + . Suy ra chu ọi x, tức là miền hội tụ D = m R. ác tính chất của chuỗi lũy thừa 3. C ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 ục này sẽ nêu lên một số tính chất của chuỗi lũy thừa liên quan ðến sự hội tụ Trong m ðều, tính liên tục, tính ðạo hàm và tích phân. ính chất 1: T ỗi lũy thừa hội tụ ðều trên mọi ðoạn [a, b] nằm trong khoảng hội tụ của nó. Chu ính chất 2: T ổng của chuỗi lũy thừa là một hàm liên tục trong khoảng hội tụ của nó. T ính chất 3: T ó thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi lũy thừa trên ðoạn [a, b] nằm trong Ta c ảng hội tụ của nó. Nói cách khác ta có kho ài ra, nếu gọi S(x) là hàm tổng của chuỗi lũy thừa và R là bán kính hội tụ thì với Ngo ọi x thuộc khoảng hội tụ ( ó: m -R, R) ta c = ính chất 4: T ó thể lấy ðạo hàm từng số hạng của chuỗi lũy thừa trong khoảng hội tụ của nó và Ta c ỗi mới nhận ðýợc cũng có cùng bán kính hội tụ với chuỗi ðầu. chu ban í dụ: V ính tổng 1) T ó thể tính ðýợc dễ dàng là bán kính hội tụ của ỗi lũy thừa là R = 1, vậy khoảng C chu ội tụ là ( ảng hội tụ này, ta lấy ðạo hàm từng số hạng của chuỗi thì h -1, 1). Trong kho ðýợc ýu tầm by hoangly85 S
ÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤ GI P A1 = ấy tích phân của S(x) trên ðoạn [0, x] sẽ ðýợc 2) L Suy ra: ính tổng T , | x | < 1. ó: Ta c ấy ðạo hàm từng số hạng trong khoảng ( ì ðýợc L -1, 1) th = ýu tầm by hoangly85 S