Giáo trình Toán cao cấp 2 (Phần 2)

Nội dung text: Giáo trình Toán cao cấp 2 (Phần 2)

1. 38 2.4. KHƠNG GIAN VECTƠ Khơng gian vectơ là mt cu trúc đi s cơ bn khái quát hĩa ca khơng gian vectơ hình hc mà ngưi hc đã quen thuc chuơng trình bc trung hc ph thơng, đưc đnh nghĩa như sau: 2.4.1. ðnh nghĩa và tính cht ca khơng gian vectơ. Gi s V là mt tp hp khác rng và trên V đã xác đnh hai phép tốn: i) Phép cng: ∀α, β ∈ V ⇒ α+ β ∈ V. ii) Phép nhân vơ hưng (phép nhân ngồi): ∀∈λℝ, ∀∈⇒ αV λα ∈ V . Tp hp V cùng vi 2 phép tốn trên đưc gi là khơng gian vectơ thc (hay khơng gian vectơ trên trưng s thc ℝ ) nu các điu kin sau tha mãn: 1) α+=+ β βα, ∀ αβ , ∈ V . 2) α++=++∀( βγ )( αβ );,, γ αβγ ∈ V . 3) ∃θ ∈ V sao cho: α+ θ = α , vi ∀α ∈ V . 4) Vi mi α∈V , tn ti phn t −α ∈ V sao cho α+( − α ) = 0 5) λαβ()+= λα + λβ ; ∀∈∀ λℝ ;,. αβ ∈ V 6) ()λ+ α = λα + α ;,; ∀ λ ∈∀∈ℝ α V . 7) ()λα= λα ();, ∀ λ ∈∀∈ℝ ; α V . 8) 1α= α , ∀ α ∈ V . Mi phn t ca V đưc gi là mt vectơ (chúng ta khơng đ ý đn bn cht vt lý ca các phn t ca V); vectơ θ nĩi trong điu kin (3) đưc gi là vectơ khơng ca V; vectơ −α nĩi điu kin (4) đưc gi là vectơ đi ca α trong V. Các s thc λ đưc gi là các đi lưng vơ hưng. Khơng gian vectơ cịn gi là khơng gian tuyn tính. Ví d 1: Tp hp E 2 gm các vectơ hình hc xut phát t gc đim O trong mt mt phng c đnh (P) vi phép cng theo quy tc hình bình hành, phép nhân mi s thc vi mt vectơ thơng thưng, là mt khơng gian vectơ. Ví d 2: Tp hp các s phc ℂ={ a + bi; ab , ∈ ℝ } vi hai phép tốn sau cũng lp thành khơng gian vectơ: i) Phép cng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; ii) Phép nhân: k(a + bi ) = ka + (kb)i, vi mi s thc a,b,c,d, k. 38
2. 39 Ví d 3: Tp hp ℝ[x] các đa thc ca bin x vi h s thc lp thành khơng gian vectơ vi phép cng đa thc và phép nhân mi s thc vi mt đa thc theo nghĩa thơng thưng. Ví d 4: Tp hp ℝ n [x] các đa thc ca bin x vi h s thc cĩ bc khơng vưt quá n lp thành khơng gian vectơ vi phép cng đa thc và phép nhân mi s thc vi mt đa thc theo nghĩa thơng thưng. Ví d 5: Cho n là s t nhiên khác 0. Ký hiu n ℝ={(x1 , , xx 21 ); , , x 2 ∈ ℝ }. ðnh nghĩa phép cng và phép nhân vơ hưng trên tp ℝn như sau: (xx1 , ,n )+ ( yy 1 , , n ) =+ ( xyxy 11 , , nn + ) ; λ(xx1 , ,n )= ( λλλ x 1 , , x n ), ∈ ℝ . Khi đĩ, ℝn vi hai phép tốn trên là mt khơng gian vectơ. Ví d 6: Tp hp C[a,b] các hàm s thc liên tc trên đon [a,b] lp thành khơng gian vectơ vi phép cng hàm s và phép nhân mi s thc vi mt hàm s thc theo nghĩa thơng thưng và đưc gi là khơng gianvectơ các hàm liên tc trên đon [a,b]. Ví d 7: Tp hp M(m,n) các ma trn cp mxn trên trưng s thc lp thành khơng gian vectơ, vi phép cng các ma trn và phép nhân mi s thc vi mt ma trn. Ta gi khơng gian này là khơng gian vectơ các ma trn cp mxn trên trưng s thc. 2.4.2 ðnh nghĩa. Cho V là là mt khơng gian vectơ, α1, , α n∈V ; a 1 , , a n ∈ ℝ . Ta n ⋯ gi vectơ αα=a1 1 ++ ann α = ∑ a ii α , là mt t hp tuyn tính ca h vectơ i=1 α1, , α n qua các h s a1, a 2 , , a n . Khi đĩ, ta cũng nĩi α biu th tuyn tính đưc qua h vectơ α1, , α n . 2.4.3 S tương đương ca các h vectơ Trong V cho các h vectơ: α1, , α n ( 1 ) β1, , β m ( 2 ) 39
3. 40 Nu mi vectơ ca h (1) biu th tuyn tính đưc qua các vectơ ca h (2) thì ta nĩi h (1) biu th tuyn tính đưc qua h (2). Nu (1) biu th tuyn tính đưc qua (2) và (2) cũng biu th tuyn tính đưc qua (1) thì ta nĩi (1) tương đương vi (2) và ký hiu (1)∼( 2 ). Nhn xét. (a) (1)∼( 1 ) (b) Nu (1)∼( 2 ) và α∈V biu th tuyn tính đưc qua (1) thì α cũng biu th tuyn tính đưc qua (2). (c) Nu (1)∼( 2 ) và (2)∼( 3 ) thì (1)∼( 3 ) . 2.4.4. Mt s tính cht đơn gin ca khơng gian vectơ a) Trong mi khơng gian vectơ V ch tn ti mt vectơ khơng duy nht. Chng minh. Gi s trong V tn ti các vectơ khơng là θ và θ ' . Theo tính cht ca vectơ khơng ta cĩ: θθ+=' θθθ, += ' θ ' . Do đĩ θ= θ ' . b) Vơí mi vectơ α∈V , tn ti duy nht mt vectơ α∈V sao cho α+( − α ) = θ . Chng minh. Tht vy, gi s tn ti vectơ α ' ∈V sao cho α+ α' = θ . ' ' Ta cĩ : (−ααα) +  + =−( α) + αα +  =−+=− αθ α ' ' ' ' Mt khác (−α) + α  + αθαα =+ = . Vy α= α . c) ∀α, β ∈∀V ; a , b ∈ ℝ cĩ (ia) (αβ−) = aa α − β ()()iiab−α = a α − b α . Chng minh. T a(αβ−+=) a β a [( αββ −+ ) ]= a[α+−(( ββ ) + ) ] = a α ⇒ a(αβ− ) = a α − a β Tương t, t (ab−)αα +=−+ b( abb) αα = a ⇒ (ab−)α = a α − b α . d) Vi ∀∈aℝ; ∀α ∈ V , ta cĩ: aα= θ ⇔ a = 0 hoc α =0. Chng minh. i) θα=−( aa) α = a α − a α = θ . 40
4. 41 aaθ=( αα −=) aa α − αθ = . ii) aθ=≠⇒0( a 0 ) aaa−1( α) = − 1 θ ⇒ 1αθ= ⇒ αθ = . e) Vi ∀α ∈ V ta cĩ (−1)α =− α . Chng minh. Vì α+−( 11) αα =+−( 1) α =+− 11( )  ααθ = 0 = , nên (−1)α =− α . 2.4.5. Cơ s và s chiu ca khơng gian vectơ. Trong khơng gian vectơ V cho h vectơ α1, α 2 , , α m (1) H vectơ (1) đưc gi là ph thuc tuyn tính nu tn ti các s thc k1, , k n khơng đng thi bng khơng sao cho m (2) ∑kiiα= k1 α 1 ++ k mm α = 0 i=0 Nu h thc (2) xy ra khi và ch khi k1 = = k m = 0 thì h vectơ (1) gi là h đc lp tuyn tính . Vy h (1) đc lp tuyn tính khi và ch khi h (1) khơng ph thuc tuyn tính. 3 Ví d. 1) Trong ℝ h 3 vectơ ε1=(1,0,0) , ε 2 =( 0,1,0) , ε 3 = ( 0,0,1 ) là đc lp tuyn tính. Tht vy, ta cĩ: λελελε11223++=⇔0 λ 1( 1,0,0) + λ 2( 0,1,0) + λ 3 ( 0,0,1) = 0 (λ1,0,0)+( 0,,0 λ 2) +( 0,0, λ 3) =⇔ 0( λλλ 123 ,,) =⇔=== 0 λλλ 123 0. 2) Trong ℝ3 h 4 vectơ sau là h ph thuc tuyn tính α1 =(5,2,1 ) , α2 =( − 1,3,3 ), α3 =(9,7,5 ) , α4 =(3,8,7 ) Tht vy, ta cĩ : α3=2 αα 12 + ⇒ α 3 = 2 αα 12 ++ 0 α 4 3) Trong khơng gian vectơ các s phc ℂ h {1, i}đc lp tuyn tính. Tht vy: a.1.0+ bi =⇔+=⇔== abi 0 ab 0 . 2.4.6. Các tính cht ca h ph thuc tuyn tính 1). Mi h vectơ cha vectơ khơng đu là h ph thuc tuyn tính. Tht vy, gi s h (1) là θαα,1 , 2 , , α m khi đĩ cĩ các h s thc là 1, 0, , 0 khơng địng thi bng 0 sao cho: 41
5. 42 1.0θ+ α2 ++⋯ 0 α m = 0 Do đĩ, h (1) là h ph thuc tuyn tính. 2). H ch gm mt vectơ là h ph thuc tuyn tính khi và ch khi vectơ đĩ là vectơ θ . 3). Nu mt h vectơ chưa mt h con ph thuc tuyn tính thì h đĩ là h ph thuc tuyn tính. Tht vy, gi s h (1) cha h con α1, , α q ph thuc tuyn tính, khi đĩ tn ti các s thc k1, , k q khơng đng thi bng 0 sao cho: k1α 1 ++ kq α q = 0 ( qn ≤ ) Do đĩ, ta cĩ mt h thc khơng tm thưng là: k1α 1++ k qqq αα + 0+ 1 ++ 0 α m = 0 Hay h (1) ph thuc tuyn tính. 4) Mi h con ca mt h đc lp tuyn tính là h đc lp tuyn tính. 5) H vectơ (1) là h ph thuc tuyn tính khi và ch khi cĩ ít nht mt vectơ ca h đĩ là t hp tuyn tính ca các vectơ cịn li. Chng minh. i) Gi s h (1) ph thuc tuyn tính, khi đĩ cĩ k1, , k m khơng đng thi bng khơng sao cho: k1α 1 + + k m α m = 0 . Do k1, , k m khơng đng thi bng khơng nên cĩ mt h s ki ≠0,1 ≤ k ≤ m . Chng hn k1 ≠0 , do đĩ k2 km α1=− α 2 + +−  α m k1  k 1 hay α1 biu th tuyn tính đưc qua các vectơ α2 , , α m ca h (1). 2.4.7. H sinh và cơ s ca khơng gian vectơ Mt h vectơ ca V đưc gi là h sinh ca V nu mi vectơ ca V đu biu th tuyn tính đưc qua h đĩ. Mt h sinh đc lp tuyn tính ca V đưc gi là mt cơ s ca V. Mt h vectơ ca V đưc gi là đc lp tuyn tính cc đi nu nĩ đc lp tuyn tính và nu thêm bt kỳ vectơ nào ca V thì h mi thu đưc là h ph thuc tuyn tính. 42
6. 43 V 2.4.8. ðnh lý. Cho h hu hn các véctơ α1, α 2 , , α n ca . Khi đĩ, các khng đnh sau đây là tương đương vi nhau: (i) α1, α 2 , , α n là mt cơ s ca V. (ii) Mi vectơ ca V đu biu th tuyn tính duy nht đưc qua h α1, α 2 , , α n . (iii) α1, α 2 , , α n là mt h vectơ đc lp tuyn tính cc đi ca V. Chng minh. (i) ⇒ (ii): Gi s α1, α 2 , , α n là cơ s ca V, khi đĩ α1, α 2 , , α n là h sinh ca V. Do đĩ, mi vectơ ca V đu biu th tuyn tính đưc qua h này. Ta chng minh s biu din duy nht. Tht vy, gi s vi vectơ α ca V, ta cĩ các s biu din n n α=∑xii α = ∑ y ii α , ( xy ii , ∈ ℝ ). i=1 i = 1 Theo tính cht ca khơng gian vectơ cĩ n ∑(xi− y i )α i = θ . i=1 T tính đc lp tuyn tính ca h vectơ, suy ra xi− y i = 0 hay xyii= i , ∀ = 1,2, , n . (ii) ⇒ (iii): Mi vectơ α ca V đu biu th đưc qua h vectơ α1, α 2 , , α n cho nên h vectơ b sung αα1, 2 , , ααn , ph thuc tuyn tính: . Do đĩ, h α1, α 2 , , α n là h đc lp tuyn tính cc đi ca V. (iii) ⇒ (i): Do h vectơ α1, α 2 , , α n là h đc lp tuyn tính cc đi nên vi mi vectơ α ca V, ta cĩ h vectơ αα1, 2 , , ααn , là h ph thuc tuyn tính. Do đĩ, vectơ α biu th đưc qua h α1, α 2 , , α n hay nĩ là h sinh ca V và vì vy cũng là cơ s ca V. g 2.4.9. ðnh lý cơ bn v s ph thuc tuyn tính. Trong khơng gian vectơ V cho các h vectơ: α, α , , α (1) 1 2 n β1, β 2 , , β m (2) Nu h (1) đc lp tuyn tính và biu th tuyn tính đưc qua h (2) thì n≤ m . Chng minh. Gi s ngưc li n> m , ta chng minh rng h (1) ph thuc tuyn tính và điu đĩ s mâu thun vi tính đc lp tuyn tính ca h (1). Tht vy, theo gi thit ca đnh lý cĩ s biu th tuyn tính: 43
7. 44 αββ1=+xx 11 22 ++⋯ xxm β m( i ∈ ℝ ). Vì h (1) đc lp tuyn tính nên vectơ α1 ≠ θ . Do đĩ, cĩ ít nht mt s thc xi ≠ 0. Khơng mt tính tng quát, ta gi s x1 ≠ 0 . Khi đĩ 1m 1 β1= α 1 +∑( − xi ) β i . 2 x1i= x 1 Như vy, h (2) biu th tuyn tính đưc qua h α1, β 2 , , β m (3). và do đĩ, h (1) cũng biu th tuyn tính đưc qua h (3). Tip tc, đi vi vectơ α2 ca h (1) ta cĩ ααβ2=+yy 11 22 ++⋯ yym β m( i ∈ ℝ ). Vì h (1) đc lp tuyn tính nên cĩ ít nht mt s thc yi ≠0, (2 ≤ i ≤ m ) . Khơng mt tính tng quát, ta gi s y2 ≠ 0. Khi đĩ 1m 1 β2= α 2 +∑( − yi ) β i . 3 y2i= y 2 Như vy, h (3) biu th tuyn tính đưc qua h ααβ1, 2 , 3 , , β m (4) và do đĩ h (1) cũng biu th tuyn tính đưc qua h (4). Tip tc lý lun như trên đi vi các vectơ cịn li ca h (1). Sau m ln thay th ht m vectơ ca h (2) bi m vectơ ca h (1), ta cĩ h (1) biu th tuyn tính đưc g qua h vectơ con α1, α 2 , , α m ca nĩ. Do đĩ, h (1) là h ph thuc tuyn tính. 2.4.10. ðnh nghĩa. Khơng gian vectơ V đưc gi là khơng gian vectơ hu hn sinh nu trong V tn ti mt h sinh gm hu hn vectơ. Ví d. 1) Khơng gian vectơ các s phc C là hu hn sinh vì trong C cĩ mt h sinh gm 2 vectơ {1, i}. 2) Khơng gian vectơ R[x] các đa thc vi h s thc là khơng gian vơ hn sinh. Tht vy, gi s R[x] cĩ mt h sinh hu hn: fxfx1( ), 2 ( ), , fxn ( ) . Khi đĩ, mi đa thc thuc R[x] cĩ bc ln hơn tt c bc ca các đa thc fxfx1( ), 2 ( ), , fxn ( ) s khơng biu th tuyn tính đưc qua h sinh fxfx1( ), 2 ( ), , fxn ( ) . Ta gp điu vơ lý. 44
8. 45 2.4.11. ðnh lý. Gi s V ≠{θ } là mt khơng gian vectơ hu hn sinh. Khi đĩ, trong V tn ti mt cơ s gm hu hn vectơ. Hơn na, mi cơ s ca V đu cĩ cùng s vectơ. Chng minh. Gi s γ1, γ 2 , , γ r là mt h sinh hu hn ca V. Vì V ≠{θ } nên cĩ mt vectơ α1 ≠ θ trong V. H gm mt vectơ α1 ≠ θ là h đc lp tuyn tính. Nu h này là h đc lp tuyn tính cc đi thì nĩ chính là mt cơ s ca V. Nu h này khơng đc lp tuyn tính cc đi thì trong V cĩ h α1, α 2 đc lp tuyn tính. Theo đnh lý cơ bn vè s ph thuc tuyn tính, s véctơ ca mt h đc lp tuyn tính bt kỳ trong V khơng vưt quá r. Do đĩ, tip tc lý lun như trên, sau khơng quá r bưc ta thu đưc mt h đc lp tuyn tính cc đi α1, α 2 , , α n (n≤ s ) ca V. Li theo ðnh lý 2.7.2.4, h này là mt cơ s hu hn ca V. Gi s β1, β 2 , , β n (m≤ s ) là mt cơ s ca V. Khi đĩ, vì h α1, α 2 , , α n (n≤ s ) đc lp tuyn tính và biu th tuyn tính đưc qua h β1, β 2 , , β n (m≤ s ) , nên theo ðnh lý cơ bn ca s ph thuc tuyn tính, ta cĩ n≤ m . Do tính bình đng gia hai cơ s, nên cũng cĩ bt đng ngưc li và do đĩ ta cĩ n = m. g T ðnh lý 2.4.11, ta cĩ tính hp lý ca đnh nghĩa sau 2.4.12. ðnh nghĩa. S vectơ ca mt cơ s bt kỳ ca khơng gian vectơ hu hn sinh V ≠{θ } đưc gi là s chiu (dimention) ca V trên R và đưc ký hiu là dimV. Nu V ={θ } thì ta quy ưc dimV = 0. Nu V khơng cĩ mt cơ s nào gm hu hn phn t thì nĩ đưc gi là khơng gian vectơ vơ hn chiu . Do s vectơ trong mt cơ s ca khơng gian vectơ là s vectơ đc lp tuyn tính cc đi cho nên ta cĩ nhn xét: Nu dimV= n thì mi h vectơ n + k (k ≥ 1) trong V đu là h ph thuc tuyn tính. Trong giáo trình này, nu khơng nĩi gì thêm chúng ta ch nghiên cu khơng gian vectơ hu hn chiu trên trưng s thc R. Ví d. 1) dim C = 2 trên R. 2) dim Rn = n trên R. 3) Khơng gian vectơ R[x] là khơng gian vơ hn chiu trên R. 2.4.13. ðnh lý. Gi s V ≠{θ } là mt khơng gian vectơ hu hn sinh. Khi đĩ 45
9. 46 (i) Mi h sinh ca V đu cha mt cơ s nào đĩ ca V. (ii) Mi h đc lp tuyn tính trong V đu cĩ th b sung thành mt cơ s ca V. (iii) Nu dimV= n thì mi h n vectơ đc lp tuyn tính trong V đu là cơ s ca V. Chng minh. (i) Gi s S là mt h sinh ca V. Gi S’ là h con đc lp tuyn tính cc đi ca S. Khi đĩ, S biu th tuyn tính đưc qua S’ và do đĩ V cũng biu th tuyn tính đưc qua S’ hay S’ là mt cơ s ca V. (ii) Gi s α1, α 2 , , α i là mt h đc lp tuyn tính trong V. Nu h này đc lp tuyn tính cc đi thì nĩ là cơ s. Trong trưng hp ngưc li, thì ta b sung vào h này các vectơ αi, α i +1 , đ thu đưc mt h đc lp tuyn tính cc đi trong V. Do V là khơng gian vectơ n chiu, cho nên quá trình b sung trên dng li sau khơng quá n bưc. H vectơ thu đưc chính là mt cơ s ca V. (iii) Gi s dim V = n và α1, α 2 , , α n là mt h đc lp tuyn tính tuyn tình, khi đĩ vi vectơ α ca V h αα1, 2 , , ααn , là h ph thuc tuyn tính. Do đĩ, tn ti mt h thc tuyn tính khơng tm thưng xx1122αα+ ++⋯ xxnnn α ++ 1 αθ =( x i ∈ ℝ ). Nu x n+1 = 0 thì h α1, α 2 , , α n ph thuc tuyn tính, trái gi thit. Do đĩ, cĩ s biu din −x1 − x 2 −xn ααα=1 + 2 ++⋯ α n, (x i ∈ ℝ ). xn+1 x n + 1 x n + 1 Như vy, α đã biu th tuyn tính đưc qua h α1, α 2 , , α n và do đĩ h này là h sinh đc lp tuyn tính ca V và vì vy là mt cơ s ca V. g 2.4.14. ðnh nghĩa. Gi s α1, α 2 , , α n là mt cơ s ca khơng gian vectơ V. Khi đĩ, mi vectơ α ca V cĩ s biu th tuyn tính duy nht: ααα=+xx11 22 ++⋯ xxn α n( i ∈ ℝ ) , n hay vit vn tt: α=∑ xi α i, ( x i ∈ ℝ ) . i=1 B n s thc (x1 , x 2 , , x n ) đưc gi là to đ ca vectơ α theo cơ s α1, α 2 , , α n . 2.4.15. Cơng thc đi ta đ. Gi s α, α , , α 1 2 n β1, β 2 , , β n 46
10. 47 là các cơ s ca khơng gian vectơ V. Gi s vectơ α ca V cĩ to đ tương ng theo các cơ s đã cho là (x1 , x 2 , , x n ) và (y1 , y 2 , , y n ) . Biu din mi vectơ ca cơ s th hai qua cơ s th nht: n βj=∑a ij α i , ∀ j = 1,2, , n . i=1 Do đĩ, ta cĩ: n nn nn n αβ==∑yii ∑∑( bc jiji α )( = ∑∑ cb ijji ) αα = ∑ x ii . i=1 ji == 11 ij == 11 i = 1 Do tính duy nht ca to đ ca mi vectơ theo mt cơ s, ta cĩ cơng thc đi to đ như sau: n xi=∑ ayi ij j , = 1,2, , n . j=1 2.4.16. Khơng gian vectơ con. Gi s V là khơng gian vectơ. Tp con khơng rng W ca V đưc gi là tp con n đnh ca V nu i)αβ+∈ W ;, ∀ αβ ∈ W . ii)λα∈ W ; ∀∈ λ W , ∀∈ α W . Gi s W là tp con n đnh ca V, khi đĩ phép tốn cng và nhân vơ hưng trong W đưc gi là các phép tốn cm sinh trên V. Tp con n đinh W ca V đưc gi là mt khơng gian vectơ con ca V nu cùng vi hai phép tốn cm sinh trên V, bn thân tp W cũng lp thành mt khơng gian vectơ. 2.4.17. Mnh đ. Gi s V là khơng gian vectơ và W là mt khơng gian vectơ con ca V, khi đĩ vectơ θ thuc W. Nĩi khác đi, vectơ khơng ca V cũng là vectơ khơng ca W. Chng minh. Gi ρ là vectơ khơng ca khơng gian vectơ W, khi đĩ: θ= θ + ρ = ρ . Do đĩ, ρ= θ . 2.4.18. ðnh lý. (Tiêu chun khơng gian vectơ con ). Tp con khơng rng W ca V là khơng gian vectơ con ca V khi và ch khi W là tp con n đnh ca V, nghĩa là i)αβ+∈ W ;, ∀ αβ ∈ W . ii)λα∈ W ; ∀∈ λ W , ∀∈ α W . 47
11. 48 Chng minh. Ta ch cn kim tra các tiên đ v vectơ khơng và vectơ đi, bi vì các tiên đ cịn li tho mãn vi mi phn t ca V nên cũng tho mãn đi vi mi phn t ca W. Vì W khác rng nên W cĩ ít nht mt phn t σ . Do đĩ, θ = 0 σ thuc W đĩng vai trị vectơ khơng ca W. Mt khác, vi mi α thuc W luơn cĩ (1) α = α thuc W. g Ví d. 1) Bn thân {θ} và V là các khơng gian vectơ con ca V. Chúng đưc gi là các khơng gian vectơ con tm thưng ca V. 2) Khơng gian vectơ các s thc R là khơng gian vectơ con ca khơng gian vectơ các s phc C. 3) Khơng gian vectơ Rn[x] các đa thc h s thc cĩ bc bé hơn n là khơng gian vectơ con ca khơng gian vectơ R[x] các đa thc h s thc. 4) Khơng gian vectơ C 1[a,b] các hàm thc kh vi trên đon [a,b] là mt khơng gian vectơ con ca khơng gian vectơ C[a,b] các hàm thc liên tc trên đon [a,b]. 2.4.19. Mnh đ. Gi s V là khơng gian vectơ và W là mt khơng gian vectơ con ca V, khi đĩ dim W ≤ dim V và du = xy ra khi và ch khi V = W. Chng minh. Vì W là khơng gian con ca V nên mi h đc lp tuyn tính trong W cũng là h đc lp tuyn tính trong V. Do đĩ, dim W ≤ dim V. Du = xy ra khi và ch khi mi cơ s ca V cũng là mt cơ s ca W và điu này li tương đương vi W = V. 2.4.20. Mnh đ. Giao ca mt h tuỳ ý các khơng gian vectơ con ca V là mt khơng gian vectơ con ca V. . Chng minh. Gi s W là mt h tuỳ ý các khơng gian con ca V . Khi đĩ, vì { i}i∈ I mi Wi là mt tp con n đnh ca V cho nên giao ca chúng cũng cĩ tính cht đĩ. Theo tiêu chun khơng gian vectơ con ta cĩ điu cn chng minh. 2.4.21. ðnh nghĩa ánh x tuyn tính. Cho V và W là hai khơng gian vectơ trên trưng s thc R. Mt ánh x f: V→ W đưc gi là mt ánh x tuyn tính nu các tính cht sau đưc tha mãn: i) fxy( +=) fx( ) + fy( ), ∀∈ xyV , ii) fax( )= afx( ), ∀∈ xV , ∀∈ a ℝ Ta cĩ th thay hai tính cht trên bi tính cht sau: iii) fax( + by) = af( x) + bf( y ) , ∀x, y ∈ V và ∀a, b ∈Κ . Nu f : V→ W là mt ánh x tuyn tính thì ta cịn nĩi f là mt đng cu. 48
12. 49 ðng cu f : V→ W mà đơn ánh đưc gi là đơn cu . ðng cu f : V→ W mà tồn ánh đưc gi là tồn cu. ðng cu f : V→ W mà song ánh đưc gi là đng cu. ðng cu f: V → V đưc gi là mt t đng cu (phép bin đi tuyn tính) ca V. T đng cu ca V mà song ánh đưc gi là t đng cu ca V. Hai khơng gian V và W đưc goi là đng cu vi nhau và ký hiu V≅ W nu tn ti mt đng cu f : V→ W t V lên W. Cho ánh x tuyn tính f : V→ V ' . Ta gi: Ιmff( ) =(V) =∈∃∈{β V' α V: f ( αβ) = } là nh ca đng cu f Κ=er(ff )−1 (θ ) =∈{ α V fx( ) = θ } là ht nhân ca đng cu f Ví d v ánh x tuyn tính: 1. Gi ℝ n [x] là khơng gian vectơ các đa thc bc ≤n trên trưng s thc. Ánh x f: Ρn[ x] → Ρ n −1 [ x ] Ρ[x] ֏ Ρ ' [ x ] là mt ánh x tuyn tính. Tht vy, vi ∀pxqx( ), ( ) ∈Ρ n [ x ] và vi ∀a, b ∈ ℝ , ta cĩ ' ' ' f( ap()() x+=+= bq x)  ap()()()()() x bq x  ap x  + bq x = af( p x) + bf( q() x ) 2. Ánh x f :ℝ2→ ℝ 3 cho bi fxy( ,)=+( x yx , − yxy ,2 + ) là mt ánh x tuyn tính. Tht vy, vi u=( xy11,) , v =( xy 22 , ) ∈ ℝ , khi đĩ fufxy(λ)=( λλ11,) =+( λλλλλλ xyxy 1111 , − ,2 xy 11 + ) =+−λ( xyxy1111,,2 λλλ x 1 += y 1 ) fu( ) . fuvfxxyy( +=) ( 1212 +, +=+++) ( xxyyxxyyx 121212121 , +−− ,22 +++ xyy 212 ) =+(xyxyxy111111, − ,2 +++) ( xyxyxy 2 22 , − 22 ,2 += 2 ) fufv( ) + ( ) . R R 3. Cho Μ m× n là khơng gian các ma trn cp m x n trên trưng s thc và Α ∈Μ m× n . R R R Ánh x f : Μnxp → Μ mxp xác đnh bi f (Χ) =ΑΧ vi ∀Χ∈Μ n x p là mt ánh x tuyn tính. Tht vy, ta cĩ: f (λΧ+Y) =ΑΧ+( λλ Y) =( ΑΧ+) ( Α Y ) = λfx( ) + fy( ),∀λ, ∈ ℝ . 2.4.22. Các tính cht ca ánh x tuyn tính 49
13. 50 1) Nu f, g :V→ W là hai ánh x tuyn tính, khi đĩ ánh x tng ϕ : V→ W xác đnh bi ϕ ( x)=+( f gx)( ) = fx( ) + gx( ) là ánh x tuyn tính. 2) Nu f :V→ W là ánh x tuyn tính, khi đĩ vi mi s thc λ , ánh x ψ : V→ W xác đnh bi ψ( x)=( λ fx)( ) = λ ( fx( ) ), là ánh x tuyn tính. 3) Tích ca 2 ánh x tuyn tính ( nu tn ti tích ) là ánh x tuyn tính. Chng minh. Cho f :V→ W,g:W → . Gi h= gof : V → . ∀xy, ∈ V, ∀ ab , ∈ ℝ ; h( ax+= by) ( gf)( ax += by) g( f( ax + by )) =g( af( x) += bf( y)) ag( f( x)) + bg( f( y )) =agof( )( x) + bgof( )( y) =+ ahx( ) bhy( ). 5) Cho f : V→ W là mt ánh x tuyn tính. Khi đĩ: a) fxy( −=) fx( ) − fy( ) = f (θ) = θ b) f(− x) =− fx( ) , ∀x, y ∈ V Chng minh. fxf(−=) (( −1) x) =−( 1 ) fx( ) =− fx( ) fxyfx( −=) ( +−=( y)) fxf( ) +−=( yfx) ( ) − fy( ) f(θ)= fxx( −=) fx( ) − fx( ) = θ . 2.4.23. ðnh lý. Mi khơng gian vectơ n – chiu trên ℝ đu đng cu vi nhau và đng cu vi khơng gian vectơ ℝn . Chng minh. Gi s V là mt khơng gian véctơ nchiu, khi đĩ trong V tn ti mt cơ s gm n vectơ {e1, e 2 , , e n} . Vi mi x ∈ V , cĩ duy nht b n s thc (x1, , x n ) n ℝn sao cho x=∑ xi e i . ðt f : V → xac sđnh bi fx( )= ( x1 , , x n ). i =1 Ta chng minh f là mt đng cu khơng gian vectơ. Tht vây: i) f là ánh x tuyn tính: Vi x, y ∈ V , gi s x=∑ xi e i , y=∑ yi e i ∀λ, ∈ ℝ , cĩ fxyf(λ+=) ( λ(∑ xeii) + ( ∑ xe ii )) = =f(∑ (λ xyeiii +=+) ) ( λ xy ii, , λ xy mm + ) =λ(xxin, ,) + ( yy i , , n ) =+ λ fx( ) fy( ) . ii) f đơn ánh: fxfy( )=⇒( ) f(∑ xefii) =( ∑ ye ii) ⇒( xx in, ,) = ( y in , , y ) xyi= i , ∀= i 1, , n ⇒= xy . 50
14. 51 ℝn iii) f tồn ánh: ∀( xx1, ,n) ∈⇒∃= xxe∑ i i ∈ V sao cho: fx( )=( x1, , x n ) . Vy: V≅ ℝn . 2.4.24. H qu. V≅ W ⇔ dimV=dimW. 2.4.25. ðnh lý xác đnh ánh x tuyn tính trên các khơng gian hu hn chiu Gi ' s α1, , α n là mt cơ s ca khơng gian vectơ n chiu Vn và V là mt khơng gian ' ' véctơ tuỳ ý trong đĩ đã chn n vectơ bt kỳ α1, , α n . Khi đĩ, tn ti duy nht mt ' ' ánh x tuyn tính f : Vn → V sao cho f (αi)= α i . ' Nĩi cách khác, ánh x tuyn tính f : Vn → V đưc xác đnh bi nh ca các vectơ cơ s ca Vn . n n ' Chng minh. Gi s α∈ Vn , biu din α=∑ xi α i . Ta đt f() x=∑ x iα i . Chng i =1 i =1 ' minh đưc f là ánh x tuyn tính t Vn vào V . Hơn na, t s biu din αi=1 α i ' chúng ta suy ra f(αi)= α i , ∀ i = 1.2, , n . ' ' Nu g : Vn → V là ánh x tuyn tính sao cho f( x i)=α i thì vi x=∑ x iα i , ' g ta cĩ gxgx( )=(∑iiα) = ∑ xg ii( α) == ∑ x ii α fx( ) hay f= g . 2.7.26. ðnh lý. Cho f : V→ V ' là mt đng cu. Ta cĩ: a) Nu A là khơng gian con ca V thì nh f(A) là khơng gian con ca ca V '. ðc bit, Im(f) cũng là khơng gian con ca V ' b) Nu B là khơng gian con ca V ' thì nghch nh f 1(B) là khơng gian con ca ca V. ðc bit, Ker(f) cũng là khơng gian con ca V c) f tồn cu ⇔ Ιm( f ) = V ' d) f đơn cu ⇔ Κer(f ) = {θ} . Chng minh. i) Gi s f đơn cu, khi đĩ nu x∈Κer ffxf ⇒( ) =( 00) =⇒= x 0 ( vì f đơn ánh ) ⇒ Κer f = {θ} . ii) Gi s Κer f = {θ} và fxfy( )=( ) ⇒ fxfy( ) −( ) =⇒0 fxy( −=) 0 ⇒−∈Κxyer f ={θ} ⇒−=⇒= xy θ xy . Do đĩ f đơn cu. Chúng ta phát biu đnh lý sau: 51
15. 52 2 4.27. ðnh lý. Cho f : V→ V ' là mt đng cu và V là khơng gian vectơ hu hn chiu. Khi đĩ, ta cĩ cơng thc s chiu sau: dimIm(f )+ dim Ker ( f ) = dim V . 2.4.28. Ma trn ca ánh x tuyn tính Gi s f : Vn→ W m là mt ánh x tuyn tính. Trong Vn chn mt cơ s: α1, , α n (1) Trong Wn chn mt cơ s: β1, , β n (2) Ta biu din nh f (αi ) ca cơ s (1) qua cơ s (2): f(α1)= aa 111 ββ + 212 ++ a m 1 β m f(α2)= aa 121 ββ + 222 ++ a m 2 β m . (3) f(αn)= aa11 n ββ + 2 n 2 ++ a mn β m m Hay vit tng quát: f()αj=∑ α iji β ,() j = 1, , n i =1 Ma trn A cp (m, n) mà các phn t là các h s trong các h thc (3) (đã đi dịng thành ct ): a11 a 12 a 1 n    a a a A=[]aij = 21 22 2 n      am1 a m 2 a mn  đưc gi là ma trn ca các ánh x tuyn tính f đi vi cp cơ s (1) và (2). Nhn xét. a) Ma trn ca ánh x tuyn tính f đi vi hai cơ s (1) và (2) đưc xác đnh duy nht. b) Khi Vn= W m tc f là phép bin đi tuyn tính ca Vn thì ta cĩ th chn cơ s (1) trùng cơ s (2), lúc đĩ ma trn A đưc gi là ma trn ca phép bin đi tuyn tính f đi vi cơ s (1) đã cho. Ví d 1. Tìm ma trn ca ánh x tuyn tính f : ℝ3→ ℝ 4 xác đnh bi fxxx( 123,,)= ( xxx 123 ,,,0 ) theo cơ s ε1=(1,0,0) , ε 1 =( 0,1,0) , ε 1 = ( 0,0,1 ) trong 3 4 ℝ và cơ s W1=( 1,0,0,0) ,W 2 =( 0,1,0,0) ,W 3 =( 0,0,1,0) ,W 4 = ( 0,0,0,1 ) trong ℝ . Ta cĩ: f (ε1)=(1,0,0,0) =+++ W 1234 0W 0W 0W f (ε 2)=(0,1,0,0) =+++ 0W 1234 1W 0W 0W 52
16. 53 f (ε3)=(0,0,1,0) =+++ 0W 1234 0W 1W 0W Vy ma trn ca f đi vi hai cơ s đ cho là ma trn cp ( 4, 3 ) sau đây: 1 0 0  0 1 0  Α =   0 0 1    0 0 0  Ví d 2. Gi s ℝ n −1 [x] là khơng gian các đa thc cĩ bc ≤n − 1. Xét phép biu thc tuyn tính f: Ρn−1[ x] → Ρ n − 1 [ x ] Ρ(x) ֏ Ρ ' ( x ) Trong Ρn −1 [x] chn 1 cơ s: x2 xn− 2 x n − 1 εεε===1,x , , , ε = , ε = . 1232!n− 1 ()n− 2! n () n − 1! Ta cĩ f (ε1) ==0 0 εε 1 + 0 2 ++ 0 ε n f (ε2) ==+1 εε 1 0 2 ++ 0 ε n f(ε3) == x 0 εε 1 + 0 2 ++ 0 ε n xn−1 f ()ε= =++++0 εεεε 0 0 n ()n −1 ! 1 2n− 1 n 01 0 0 0  0 01 0 0    Vy: Α =     0 0 0 01  0 0 0 0 0  ' xn−1  x n − 2 x n − 2 Chú ý: f()ε n =  =−() n 1 = = ε n −1 ()n−1!  () n − 1!() n − 2! 2.4.29. ðnh lý. Gi s Vn là mt khơng gian n chiu và Wm là mt khơng gian m chiu trong đĩ đã chn các cơ s (1) và (2). Gi s A là mt ma trn cp ( m, n ) vi phn t là các s thc tuỳ ý. Khi đĩ, tn ti duy nht ánh x tuyn tính f : Vn→ W m sao cho ma trn ca f đi vi cp cơ s (1) và (2) chính là ma trn A đã cho. 53
17. 54 a11 a 12 a 1 n    a a a Chng minh. Gi s Α=a  = 21 22 2 n  ij  m× n     am1 a m 2 a mn  Trong khơng gian Wm ta xét h vectơ m ' ' ' β1, , β n vi βj=∑a ij β j (4) i=1 Theo đnh lý v s xác đnh ánh x tuyn tính tn ti duy nht ánh x tuyn tính ' f : Vn→ W m sao cho f(αj)= β j , j = 1, , n m ' Ta cĩ f()αj= β j =∑ ajn ijj β ; = 1, , i=1 Do đĩ, ma trn ca f đi vi cp cơ s (1) và (2) chính là ma trn A đã cho. 2.4.30. Ma trn ca ánh x tuyn tính đi vi hai cp cơ s khác nhau Cho hai khơng gian vectơ Vn và Wm trong đĩ đã chn hai cơ s khác nhau: ε1, , ε n (1) w1, , w m (2) Gi s ánh x tuyn tính f : Vn→ W m đi vi cp cơ s (1) và (2) cĩ ma trn là   Α= aij  mn× Gi s trong Vn và Wm chn hai cơ s khác na là ' ' ’ ε1, , ε n (1 ) ' ' ’ w1, , w m (2 ) Gi ma trn chuyn t (1) sang (1 ’) là S Gi ma trn chuyn t (2) sang (2 ’) là T SS111 n   TT 111 m      Gi s S=  ,T =       SSn1 nn   TT m 1 mn  Hãy tìm ma trn   ca ánh x đi vi cp cơ s (1 ’) và (2 ’) Β= bij  mn× f m Ta cĩ : f()ε j=∑ awj kj k ()() = 1, , n 3 k=1 m ' ' f()ε j=∑ bwj iji ()() = 1, , n 4 k=1 54
18. 55 m ' Mt khác wi=∑ twi kik ()() = 1, , n 5 k=1 n ' εj=∑s ijl ε ()() j = 1, , n 6 l=1 Do đĩ t (6) và (3) cĩ : n nm mn '   f()εj=∑ st ijl() ε = ∑∑ saw lj kek = ∑∑ alw kejk  l=1 lk == 11 kl == 11  Mt mt ta li cĩ t (4) và (5) m mm mm ' '    f()ε j=∑ bw iji = ∑∑ btw ij kik  = ∑∑ tbw kiijk  (7) i=1 ik == 11  ki == 11  mn  nm   n m Do đĩ cĩ : ∑∑aswkllj  k= ∑∑  tbw kiij  k ⇒ ∑ as kllj = ∑ tb kiij (8) kl==11  ki == 11   l = 1 i = 1 vi ∀j, k = 1, , n ⇒Α .S= ΤΒ . (9) Vì S và T là các ma trn chuyn cơ s cho nên S và T là các ma trn khơng suy bin do đĩ cĩ các ma trn nghch đo S 1 và T 1 . Do đĩ t (9) suy ra B = T 1 A.S và A = T.B.S 1. Sơ đ (1) (2) (1 ’) (2 ’) Ta cĩ : B = T1 A.S A = T.B.S 1. 2.4.31. H qu. Cho f là mt phép bin đi tuyn tính trên khơng gian véctơ V. Gi s {ε1, , ε n} (1) {w1 , ,w m } (2) ln lưt là hai cơ s ca V. Gi s ma trn chuyn t cơ s (1) sang cơ s (2) là T, và ma trn ca f ln lưt đi vi (1) và (2) là A và B. Khi đĩ: B = T1 A.T, A = T.B.T 1 ’ Chng minh. S dng đnh lý 5.6.5 vi Vn= W m = V trong đĩ chn (1) = (1 ) và (2) = (2 ’). Khi đĩ T = S , do đĩ cĩ B = T 1 .A.S = T 1.A. T. 55
19. 56 2.4.32. ðnh nghĩa. Hai ma trn cùng cp A và B đưc gi là đng dng vi nhau nu tn ti mt ma trn vuơng S khơng suy bin cp sao cho B = S 1 A.S. Nhn xét: 1) Nu A đng dng vi B đng dng thì B đng dng vi A. 2) Hai ma trn đng dng vi nhau thì cĩ đnh thc bng nhau. 3) Các ma trn ca cùng mt phép bin đi tuyn tính ca khơng gian véctơ V theo hai cơ s ca V là đng dng vi nhau. 2.5. H PHƯƠNG TRÌNH TUYN TÍNH TNG QUÁT 2.5.1. ðnh nghĩa. H phương trình tuyn tính tng quát là h phương trình sau: axax111+ 122 ++⋯ ax 1n n = b 1  axax211+ 222 ++⋯ ax 2n n = b 2  (1)  ⋮ ⋮ ⋮  axaxm11+ m 22 ++⋯ axb mnnm = hay vit dưi dng vn tt: n ∑axbiij j= i ; = 1, , m j =1 trong đĩ abiij, i ,= 1, , mj ; = 1, , n là các s phc; xj , j= 1, , n là các n. Các s aij đưc gi là các h s và b1, b 2 , , b m đưc gi là các h s t do ca h phương trình (1). 2.5.2. Dng ma trn ca h phương trình tuyn tính tng quát Gi Α= a  là ma trn cp (m, n ) các h s ca h phương trình (1). i j  m× n b1  x 1 b  x Gi b=2, x =  2 là các ma trn ct. ⋮  ⋮   bm  x n Khi đĩ h (1) đưc vit dưi dng ma trn: Αx = b (2) aa11 12 a 1n b 1    aa a b Ta gi Β = Α= 21 22 2n 2  ⋮ ⋮    aam1 m 2 ab mn m  56
20. 57 là ma trn b sung ca h phương trình tuyn tính tng quát (1). 2.5.3. Dng vectơ ca h phương trình tuyn tính tng quát Trong khơng gian vectơ ℝm ta xét h các véctơ sau: m α j=(aaa1 j, 2 j , , mj ) ∈ℝ ( j = 1, , n ) m β =(b1j, b 2 j , , b m ) ∈ ℝ Khi đĩ, h (1) đưc vit: x11αα+ x 22 ++ x n αβ n = (3) Ta gi (3) là dng vectơ ca h phương trình (1). 2.5.4. Nghim ca h phương trình tuyn tính tng quát n Mt b n s thc (c1, c 2 , , c n )∈ℝ đưc gi là mt nghim ca h (1) nu n ∑acbiij j= i , = 1,2, , m j=1 nghĩa là nu ta thay các x j bi c j tương ng vào các phương trình ca h, ta nhn đưc các đng nht thc đúng bng s. Ký hiu rank (X) là hng ca ma trn X, ta cĩ 2.5.5. ðnh lí Kronecker – Capeli. H phương trình tuyn tính tng quát (1) cĩ nghim ⇔ rank() A= rank () A . Chng minh . H (1) cĩ nghim ⇔ Phương trình dng vectơ (3) cĩ nghim m ⇔ β biu th tuyn tính đưc qua h α1, α 2 , , α n trong khơng gian vectơ ℝ ⇔ Hai h véctơ α1, α 2 , , α n và αα1, 2 , , αβn , tương đương vi nhau ⇔ rank (A) = rank (B). g 2.5.6. Phương pháp Gauss – Jordan đ gii h phương trình tuyn tính Bưc 1. Lp ma trn b sung B Bưc 2. Thc hin 3 phép bin đi s cp sau đây trên các hàng ca ma trn B (thc cht mi hàng ca B là mt phương trình ca h (1)): 1) ði ch hai hàng cho nhau 2) Nhân vào mi hàng vi s thc khác 0. 3) Cng vào mt hàng mt t hp tuyn tính ca các hàng cịn li. Buc 3. Sau mt s hu hn bưc bin đi, h phương trình (1) đưc đưa v mt h tương đương vi ma trn m rng cĩ dng: 57
21. 58 bb1112 b 1r⋯ bc 1 n 1  0b b⋯ bc  22 2r 2 n 2  ⋮ ⋮    Β = Α= 0 0 brr⋯ b rn c r  00⋯ 0 ⋯ 0 c  r+1  ⋮ ⋮    0 0 0⋯ 0 cm  trong đĩ bii là nhng s thc khác 0 vi r = rank(A) . Nu cĩ mt trong các s thc cr+1, , c m khác 0 thì h (1) vơ nghim. Nu cr+1 = = c m = 0 thì h phương trình cĩ nghim. Bng cách gán cho xr+1, , x n nhng giá tr thc tuỳ ý (nu n > r) ri gii duy nht nghim x1, , x r theo nhng giá tr đã gán. x+3 y + 2 z = 1  Ví d 1. Gii h 2x+ y + 3 z = 0  3x+ 2 y + z =− 1 Thc hin các phép bin đi trên các hàng 1321  1321  1321  LLL− +   LL−  2130→1 2 3 2130 →2 1 0512 − − −     3211−  0242 −−−  0121    1321  1321   1321    →0512 − − −  → 0512  → 0512      05105  0093   1     0 0 1  3  1 2 130  100 − 3 13 0− 4  3    5 1 1 →050 → 010  →  010 3 3   3 1 1   1 001 001   001 3 3   3 2 1 1 ⇒=−x, y = , z = . 3 3 3 58
22. 59 x1− x 2 +3 x 3 = 1  x1−2 x 2 − x 3 = 2 Ví d 2. Gii h phương trình :  3x1− x 2 + 5 x 3 = 3  −2x1 + 2 x 2 + x 3 =− 4 9  1− 1 0 5    1− 121  1 − 121  1    0− 1 0 −  1212−− 0131 −− 5   →  → 3153−  0210 −   2     0 2 0 −  −2214 −  0052 −  5  2  0 0 1 −  5  1002  1002  1  1  010  010  5  5  →1  → 2  H Vơ nghim. 010−  000  5  5  2  2  001− 001 − 5  5  2xx1− 2 + 3 x 3 − x 4 = 1  Ví d 3. Gii h 4x1− 2 x 2 + 5 x 3 − 3 x 4 = 3  −42x1 + x 2 − 35 x 3 + x 4 =− 5 2−− 1311  21311 −−     2− 13 − 11  4− 2533 − → 42533 − − →      0 0− 1 − 11  −4235 − − 5  00000  2xx1− 2 + 3 x 3 − x 4 = 1 ⇒   x3= − x 4 − 1 ⇒ H vơ s nghim theo 2 n t do : x2=2 x 1 + 3 xx 34 −− 1 =23x1 − x 4 −−− 3 x 4 1 =2xx14 − 4 −= 424 tt 12 − − 4 x3=− x 4 −1 =− t 2 − 1 (xxxx1234,,,) =( tt 11 ,2 − 4 t 2 −−− 4, t 2 1, t 2 ) . 59
23. 60 2.6. H PHƯƠNG TRÌNH TUYN TÍNH THUN NHT 2.6.1. ðnh nghĩa. Mt h phương trình tuyn tính trong đĩ tt c các h s t do bng 0 gi là h phương trình tuyn tính thun nht . Nĩi khác đi, h phương trình tuyn tính n thun nht cĩ dng : ∑axk j j =0 ( k = 1, , m ) (1) j =0 Nhn xét. 1) H phương trình tuyn tính thun nht (1) luơn luơn cĩ ít nht mt nghim tm thưng, đĩ là nghim: (0, 0, , 0). 2) H phương trình tuyn tính thun nht (1) cĩ nghim khác tm thưng khi và ch khi hng ca ma trn h s A nh hơn n. 2.6.2. Mnh đ. Tp hp N tt c các nghim ca h phương trình thun nht (1) là mt khơng gian vectơ con ca khơng gian vectơ ℝn . Chng minh. Gi s α =(c1, , c n ) ∈Ν , β =(d1, , d n ) ∈Ν là các nghim ca h (1), khi đĩ ta cĩ: n ∑ack j j =0, ∀ k = 1, , m j =1 n ∑adk j j =0, ∀ k = 1, , m j =1 n ⇒∑acdkjjj()() +=⇒+=+0α β cdcd jjnn , , +∈Ν j =1 cũng là mt nghim ca h (1). n n  Ngồi ra: ∑ackj()λ j= λ  ∑ ac kjj  =∀=0, k 1, , m . j=1 j = 1  Do đĩ λα=( λc1, λ c 2 , , λ c n ) là mt nghim ca h (1) hay λα ∈ Ν . Vy Ν là khơng gian con ca ℝn . Ta phát biu đnh lý sau 2.6.3. ðnh lý. Khơng gian vectơ Ν các nghim ca h phương trình tuyn tính thun nht (1) cĩ s chiu là n – r, trong đĩ r = rank(A). 2.6.4. ðnh nghĩa. Mt cơ s ca khơng gian con ℕ đưc gi là mt h nghim cơ bn ca h phương trình tuyn tính thun nht (1). Ví d. Tìm h nghim cơ bn ca h phương trình tuyn tính thun nht: 60
24. 61 x1+2 x 2 + 4 x 3 − 3 x 4 = 0  3x1+ 5 x 2 + 6 x 3 − 4 x 4 = 0  4x1+ 5 x 2 − 2 x 3 + 3 x 4 = 0  3xx12++ 8 24 x 3 − 19 x 4 = 0 Ta dùng phương pháp Gauss đ gii : 1243−  1243 −  1243 −  3564−  0165 −−  0165 −−   →  →  4523−  031815 − −  0000      3824− 19  0212 − 10  0 0 0 0  Do đĩ, h đã cho tương đương vi h x1+2 x 2 =− 4 x 3 + 3 x 4 −x2 =6 x 3 − 5 x 4 x1=8 x 3 − 7 x 4 = 8 ab − 7 ⇒  x2=−6 xx 3 + 5 4 =− 65 ab + Da vào phép bin đi trên ta thy hng ca ma trn h s ca h phương trình đã cho là 2, do đĩ khơng gian nghim ca h cĩ s chiu là: dim(N) = 4 2 = 2. ð tìm h nghim cơ bn ta gán x 3 và x 4 các giá tr c th: x1 x2 x3 x4 8 6 1 0 7 5 0 1 Do đĩ, tìm đưc h nghim cơ bn ca h phương trình : α1=−(8, 6,1,0), α 2 =− ( 7,5,0,1). Ví d. Chng minh rng h: t1 =(1, − 2,1 ) ; t2 =( − 1,0,2 ) ; t3 =( −1, − 1,1 ) là mt cơ 3 3 s ca ℝ . Tìm ta đ ca α =(2, − 9,2 ) ∈ ℝ theo cơ s {t1, t 2 , t 3 } . Gi: c1 =(1,0,0 )  c2 = ()0,1,0  c3 = ()0,0,1 là cơ s đơn v ca ℝ3 . 61
25. 62 Khi đĩ, ma trn chuyn t cơ s {l1, l 2 , l 3 } sang cơ s { f1, f 2 , f 3 } là: 1− 1 − 1  Α=−2 0 − 1    1 2 1  ' ' ' Gi (x1, x 2 , x 3 ) là ta đ ca α đi vi cơ s { fi}. Theo cơng thc đi to đ, chúng ta cĩ: , x1  2   3    x,= A − 1  −9  =−  2  2      ,  2   3  x3      ' Vy α =3f1 − 2 f 2 + 3 f 3 , hay to đ ca α đi vi f1, f 2 , f 3 là (3,− 2,3) . HƯNG DN T HC CHƯƠNG 2 1. Chú ý rèn các k năng: tính đnh thc, tìm hng ca ma trn, tìm ma trn nghch đo; gii h phương trình bng phương pháp tính đnh thc và phương pháp kh Gauss; kim tra h vectơ ph thuc tuyn tính hoc đc lp tuyn tính. 2. Nm vng các khái nim: khơng gian vectơ, khơng gian vectơ con, cơ s ca khơng gian vectơ, s chiu ca khơng gian vectơ, ánh x tuyn tính, phép bin đi tuyn tính. 3. Vn dng đưc lý thuyt tốn hc đã hc (ma trn, h phương trình tuyn tính, khơng gian vectơ) vào gii quyêt các bài tốn trên các mơ hình kinh t và k thut. 4. Các khng đnh sau đây đúng hay sai. Nu đúng thì bn hãy đin giá tr 1 cịn nu sai thì bn hãy đin giá tr 0 vào ơ vuơng: 1. Phép cng hai ma trn cùng cp cĩ tính cht giao hốn và kt hp. □ 2. Phép nhân hai ma trn nu thc hin đưc thì cĩ tính cht giao hốn. □ 3. Phép nhân ma trn nu thc hin đưc thì cĩ tính cht kt hp. □ 4. Phép cng hai ma trn cùng cp luơn thc hin đưc. □ 5. Phép nhân hai ma trn cùng cp luơn luơn thc hin đưc. □ 6. (AB) 2 = A 2B2 vi mi ma trn vuơng A, B cùng cp. □ 7. (A + B) 2 = A 2 + B 2 + 2AB vi mi ma trn A, B cùng cp. □ 8. (A + B) 2 = A 2 + B 2 vi mi ma trn A, B cùng cp. □ 9. Khi nhân mt s vi mt ma trn, ta phi nhân s đĩ vi mi phn t ca ma trn. □ 62
26. 63 BÀI TP CHƯƠNG 2 1. Tính các lũy tha: n n 1 1  cosϕ− sin ϕ  a)   ; b)   0 1  sinϕc os ϕ  2. Tính đnh thc ca các ma trn sau: a 1 1  1 a a  λ + 3 1 2        a) 1b 1  b) 1 a b  c) λ λ −1 1    2 2    1 2b 1  b a ab  3(λ+ 1) λ λ + 3  3. Chng minh rng, các ma trn sau đây là ma trn suy bin: sin2α 1c os 2 α  sin2αc os2 α c os 2 α  2 2  2 2  sinβ 1c os β  ; sinβc os2 β c os β  . 2 2  2 2  sinγ 1c os λ  sinγc os2 γ c os λ  4. Tìm tt c các ma trn giao hốn đưc vi ma trn 1 2    . −1 1  x+3 y + 2 z = 1  6. Gii h phương trình: 2x+ y + 3 z = 0 .  3x+ 2 y + z =− 1 x1− x 2 +3 x 3 = 1  x1−2 x 2 − x 3 = 2 7. Gii h phương trình :  3x1− x 2 + 5 x 3 = 3  −2x1 + 2 x 2 + x 3 =− 4 8. Tìm h nghim cơ bn ca h phương trình tuyn tính thun nht: x1+2 x 2 + 4 x 3 − 3 x 4 = 0  3x1+ 5 x 2 + 6 x 3 − 4 x 4 = 0  4x1+ 5 x 2 − 2 x 3 + 3 x 4 = 0  3xx12++ 8 24 x 3 − 19 x 4 = 0 9. Chng minh rng h vectơ: t1 =(1, − 2,1 ) ; t2 =( − 1,0,2 ) ; t3 =( −1, − 1,1 ) là mt cơ 3 3 s ca ℝ . Tìm ta đ ca α =(2, − 9,2 ) ∈ ℝ theo cơ s {t1, t 2 , t 3 } . 63
27. 64 x x   10. Chng minh rng tp hp X=  x ∈ ℝ  vi phép cng và nhân mt s x x   vi mt ma trn lp thành khơng gian vectơ. Tìm cơ s và s chiu ca X. 11. Tìm ma trn ca ánh x tuyn tính f : ℝ3→ ℝ 4 xác đnh bi 3 fxxx( 123,,)= ( xxx 123 ,,,0 ) theo cơ s ε1=(1,0,0) , ε 1 =( 0,1,0) , ε 1 = ( 0,0,1 ) trong ℝ 4 và cơ s W1=( 1,0,0,0) ,W 2 =( 0,1,0,0) ,W 3 =( 0,0,1,0) ,W 4 = ( 0,0,0,1 ) trong ℝ . n 12. Cho tp hp: Axx={(, ,)1n ∈ℝ ; x 1 ++= ⋯ x n 0 }. a) Chng minh rng A là khơng gian vectơ con ca khơng gian vectơ ℝn . b) Tìm cơ s và s chiu ca A. c) Tìm phép bin đi f ca ℝn sao cho Ker(f) = A. d) Tìm phép bin đi g ca ℝn sao cho Im(g) = A. 3 13. Cho tp hp: A={(, ,) x1 xn ∈ℝ ; axbx 1 ++= 2 cx n 0,,, abc ∈ ℝ } . a) Chng minh rng A là khơng gian vectơ con ca khơng gian vectơ ℝ3 . b) Tìm cơ s và s chiu ca A. c) Tìm phép bin đi f ca ℝ3 sao cho Ker(f) = A. d) Tìm phép bin đi g ca ℝ3 sao cho Im(g) = A. a b   14. Cho tp hp: A=  ; abc , , ∈ ℝ  . b c   a) Chng minh A là khơng gian vectơ con ca khơng gian vectơ GL(2, R) các ma trn thc vuơng cp 2. b) Tìm cơ s và s chiu ca A. c) Tìm phép bin đi f ca khơng gian GL(2, R) sao cho Ker(f) = A. d) Tìm phép bin đi g ca khơng gian GL(2, R) sao cho Im(g) = A. 15 . Cho ánh x f : ℝ3→ ℝ 3 xác đnh bi : fxyz(,,)(2=+− x 3 y 4, zxyzx ++ ,3 −+− 2 y 5 zmm ), ∈ ℝ . a) Vi giá tr nào ca m thì f là phép bin đi truyn tính ca khơng gian vectơ ℝ3 . b) Tìm Im(f) và Ker(f) khi m = 0 . 64