Giáo trình Nhóm và biểu diễn

Nội dung text: Giáo trình Nhóm và biểu diễn

1. J.L. Alperin with Rowen B.Bell NHÓM VÀ BIỂU DIỄN Người dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường Hiệu đính: TS. Lê Minh Hà Springger
2. Mục lục Mục lục 3 1. Các kiến thức cơ bản về lý thuyết nhóm 5 1. Nhắc lại 5 2. Tựđẳng cấu 17 3. Tác động nhóm 29 2. Nhóm tuyến tính tổng quát 40 4. Cấu trúc cơ bản 40 5. Nhóm con parabol 48 6. Nhóm tuyến tính đặc biệt 56 3. Cấu trúc địa phương 62 1. Định lí Sylow 62 2. p-nhóm hữu hạn 71 3. Định lí Schur-Zhassenhaus 78 4. Cấu trúc chuẩn tắc 86 10. Chuỗi hợp thành 86 11. Nhóm giải được 91 5. Đại số nửa đơn 102 12. Môđun và biểu diễn 102 13. Lý thuyết Wedderburn 113 6. Biểu diễn nhóm 130 14. Đặc trưng 130 15. Bảng đặc trưng 138 16. Cảm sinh 154 Phụ lục 168 Danh mục từ khóa 169
3. 4 MỤC LỤC Chỉ số 169 Chỉ mục 169 Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
4. 1 Các kiến thức cơ bản về lý thuyết nhóm Trong chương này, chúng ta xem lại các khái niệm cơ bản của lí thuyết nhóm và giới thiệu các công cụ mà chúng ta sẽ sử dụng trong các chương còn lại. Phần 1 chủ yếu bao gồm các lập luận mà chúng ta giả sử rằng người đọc đã quen thuộc từ một nghiên cứu trước đó về lí thuyết nhóm, do vậy hầu hết các chứng minh trong chương này được lược bỏ. Trong Phần 2, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm quan trọng, ví dụ như tự đẳng cấu nhóm và tích nửa trực tiếp, những khái niệm mà có thể chưa được nhắc đến trong khóa học đầu tiên về lí thuyết nhóm. Phần 3 đề cập đến lí thuyết tác động nhóm, ở đây chúng tôi trình bày cả những ứng dụng cơ bản và kết quả mang tính chất kỹ thuật cần thiết cho các chương sau. 1. Nhắc lại Ta nhớ lại rằng, một nhóm bao gồm một tập không rỗng G và một phép toán hai ngôi trên G, thường kí hiệu theo lối nhân, thỏa mãn những tính chất sau: Phép toán hai ngôi có tính kết hợp: (xy)z = x(yz) với mọi x, y, z G. • ∈ Tồn tại duy nhất phần tử 1 G, gọi là phần tử đơn vị của G, sao cho x1 = x • ∈ và 1x = x với mọi x G. ∈ Với mọi x G có duy nhất một phần tử x−1 G, gọi là phần tử nghịch đảo • ∈ ∈ của x, với tính chất xx−1 = 1 và x−1x = 1. Tính chất kết hợp cho phép chúng ta dễ dàng định nghĩa tích của một số hữu hạn bất kỳ các phần tử của một nhóm. Trật tự các phần tử trong một tích là rất quan trọng, chẳng hạn nếu x, y là hai phần tử của nhóm G thì không nhất thiết phải có xy = yx. Trong trường hợp đẳng thức này xảy ra thì ta nói rằng x và y giao hoán. Thông thường, ta định nghĩa giao hoán tử của x và y là phần tử [x, y] = xyx−1y−1, khi đó x và y giao hoán nếu và chỉ nếu [x, y] = 1. (Nhiều tác giả định nghĩa [x, y] = x−1y−1xy.) Chúng ta nói rằng G là một nhóm abel nếu tất cả các cặp phần tử của G đều giao hoán, trong trường hợp này thứ tự các phần tử trong một tích là không qua trọng; trái lại, chúng ta nói rằng G là không abel. Phép toán trên một nhóm abel thường được viết theo lối cộng, có nghĩa là tích của các phần tử x và y được viết thành x + y thay vì xy, nghịch đảo của x được kí hiệu bởi x, và phần tử đơn vị kí hiệu là 0. − Nếu x là một phân tử của một nhóm G thì với n N chúng ta sử dụng xn (tương ∈
5. 6 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM ứng, x−n) để chỉ tích x x (tương ứng, x−1 x−1) gồm n số hạng. Chúng ta ··· ··· cũng định nghĩa x0 = 1. (Trong một nhóm abel mà được viết theo lối cộng, chúng ta viết nx thay vì xn với n Z.) Dễ dàng thấy rằng các công thức thông thường ∈ cho các lũy thừa cũng được thỏa mãn. Chúng ta nói rằng x có cấp hữu hạn nếu tồn tại n N sao cho xn = 1. Nếu x có cấp hữu hạn thì chúng ta định nghĩa cấp của x ∈ là số nguyên dương nhỏ nhất n mà xn = 1. Rõ ràng là, x có cấp n nếu và chỉ nếu 1, x, x2, , xn−1 là các phần tử phân biệt của G và xn = 1. Một nhóm G được gọi là hữu hạn nếu nó có một số hữu hạn các phân tử, trái lại nó là vô hạn. Chúng ta định nghĩa cấp của một nhóm hữu hạn, kí hiệu là G , là | | số các phần tử của G; chúng ta cũng có thể sử dụng S cho bản số của một tập hữu | | hạn S bất kỳ. Mọi phần tử của một nhóm hữu hạn đều có cấp hữu hạn và tồn tại các nhóm vô hạn cũng có tính chất này; các nhóm như vậy được gọi là tuần hoàn. Tuy nhiên, có các nhóm vô hạn mà ở đó phần tử đơn vị là phần tử duy nhất có cấp hữu hạn; các nhóm như vậy được gọi là không xoắn. Một tập con H của G được gọi là một nhóm con của G nếu nó tạo thành một nhóm với phép tính hai ngôi trên G được hạn chế trên H. Tương tự vậy, H G là ⊆ một nhóm con nếu và chỉ nếu thỏa mãn các điều kiện sau: Phần tử đơn vị 1 của G nằm trong H. • Nếu x, y G thì tích xy trong G cũng H. • ∈ ∈ Nếu x H thì nghịch đảo của nó x−1 H. • ∈ ∈ Rõ ràng, G là một nhóm con của chính nó. Tập 1 cũng là một nhóm con của G; { } nó được gọi là nhóm con tầm thường, và để đơn giản hóa chúng ta kí hiệu nó bởi 1. Mọi nhóm con của một nhóm hữu hạn là hữu hạn; tuy nhiên, một nhóm vô hạn luôn luôn có cả các nhóm con hữu hạn và vô hạn, đó lần lượt là nhóm con tầm thường của nó và chính nó. Tương tự vậy mọi nhóm con của một nhóm abel là abel, nhưng một nhóm không abel luôn luôn có cả các nhóm con abel và không abel. Nếu H là một nhóm con của G thì chúng ta viết H 6 G; nếu H được chứa thực sự trong G thì chúng ta gọi H là nhóm con thực sự của G, và chúng ta có thể viết H < G. (Sự khác biệt về kí hiệu này là chung nhưng không phổ biến.) Nếu K 6 H và H 6 G thì hiển nhiên K 6 H. Mệnh đề 1. Nếu H và K là các nhóm con của một nhóm G thì giao của chúng H K cũng vậy. Tổng quát hơn, giao của một tập bất kì các nhóm con của một ∩ nhóm cũng là một nhóm con của nhóm đó. Định lí dưới đây đưa ra thông tin quan trọng về bản chất của các nhóm con của một nhóm hữu hạn. Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
6. 1. NHẮC LẠI 7 Định lý Lagrange. Cho G là một nhóm hữu hạn và H 6 G. Khi đó H chia hết | | G . | | Nếu X là một tập con của một nhóm G thì chúng ta định nghĩa là giao của tất cả các nhóm con của G chứa X. Theo Mệnh đề 1, X là một nhóm con của G, mà chúng ta gọi là nhóm con của G sinh bởi X. Chúng ta thấy rằng là nhóm con nhỏ nhất của G mà chứa X, theo nghĩa nó được chứa trong một nhóm con như thế bất kì; do vậy nếu X 6 G thì = X. Nếu X = x thì chúng { } ta viết thay vì ; tương tự thế, nếu X = x , , x thì chúng ta viết { 1 n} thay cho . Mệnh đề 2. Cho X là một tập con của một nhóm G. Khi đó chứa đơn vị và tất cả các tích dạng xε1 xεr , ở đó r N, x X và ε = 1 với mọi i. 1 ··· r ∈ i ∈ i ± Một nhóm G được gọi là xyclic nếu G = với g G; phần tử g được gọi là ∈ một phần tử sinh của G. Ví dụ, nếu G là một nhóm cấp n có một phần tử g cấp n thì G = và g, , gn−1, gn = 1 là các phần tử phân biệt của G. Theo Mệnh đề 2, = gn n Z và do đó từ tính chất của lũy thừa suy ra các nhóm xyclic { | ∈ } là abel; tuy nhiên chúng ta thường viết các nhóm xyclic theo lối nhân thay vì lối cộng. Nếu g có cấp n thì = 1, g, , gn−1 , và do đó = n. Nếu g { } | | không có cấp hữu hạn thì là một nhóm abel vô hạn không xoắn. Hai nhóm xyclic hữu hạn bất kì có cùng một cấp là "tương đương" theo nghĩa sẽ được chính xác hóa trong phần này, và hai nhóm xyclic vô hạn bất kì cũng tương đương với cùng nghĩa như vậy. Nhóm xyclic vô hạn chính tắc là Z, tập các số nguyên với phép cộng, trong khi nhóm xyclic chính tắc cấp n là Z/nZ, tập các lớp còn lại của các số nguyên với phép cộng modulo n. Giả sử rằng G là một nhóm hữu hạn và g G có cấp n. Ta có là một ∈ nhóm con của G có cấp n, vì thế theo định lý Sylow ta có n chia hết G . Do vậy, | | cấp của một phần tử của một nhóm hữu hạn chia hết cấp của nhóm đó. Vì thế, nếu G bằng một số nguyên tố p nào đó thì cấp của mọi phần tử của G phải là một ước | | không tầm thường của p, từ đó G là xyclic với mọi phần tử khác đơn vị đều là một phần tử sinh. Nếu X và Y là các tập con của một nhóm G thì chúng ta định nghĩa tích của X và Y trong G là XY = xy x X, y Y G. Chúng ta có thể mở rộng khái { | ∈ ∈ } ⊆ niệm này cho số hữu hạn bất kì các tập con của G. Chúng ta cũng có thể định nghĩa nghịch đảo của X G bởi X−1 = x−1 x X G. Nếu H là một tập con của G ⊆ { | ∈ } ⊆ thì H 6 G nếu và chỉ nếu HH = H và H−1 = H. Mệnh đề 3. Cho H và K là các nhóm con của một nhóm G. Khi đó HK là một nhóm con của G nếu và chỉ nếu HK = KH.
7. 8 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM Nhận thấy rằng, nếu H và K là các nhóm con của G thì tích của chúng HK chứa cả H và K; hơn nữa, nếu K 6 H thì HK = H. (Các tính chất này không thỏa mãn nếu H và K là các tập con bất kì của G.) Nếu G là abel thì HK = KH với các nhóm con H và K bất kì của G, và do đó tích của hai nhóm con bất kì của một nhóm abel là một nhóm con. Bây giờ chúng ta có thể mô tả cấu trúc nhóm con của các nhóm xyclic vô hạn. Định lí 4. Cho G = là một nhóm xyclic cấp n. Khi đó: n (i) Với mọi ước d của n, tồn tại đúng một nhóm con của G cấp d, đó là . (ii) Nếu d và e là cac ước của n thì giao của các nhóm con cấp d và e là nhóm con cấp gcd(d, e). (iii) Nếu d và e là các ước của n thì tích của các nhóm con cấp d và e là nhóm con cấp lcm(d, e). Nếu H 6 G thì chúng ta viết xH thay vì x H, tập xH được gọi là một lớp kề { } trái của H trong G. Tương tự, chúng ta viết Hx thay vì H x , và chúng ta gọi Hx { } là một lớp kề trái của H trong G. Trong cuốn sách này chúng ta sẽ dùng các lớp kề trái, và do vậy từ bây giờ trở đi từ "lớp kề" sẽ được hiểu như là "lớp kề trái". Cách sử dụng lớp kề trái thay cho lớp kề phải của chúng ta không phải là bản chất, vì bất kỳ một phát biểu nào đúng cho lớp kề trái đều đúng cho lớp kề phải. Nhiều giáo trình về lý thuyết nhóm sử dụng lớp kề phải thay cho lớp kề trái. Tồn tại một tương ứng song ánh giữa các lớp kề trái và phải của H trong G, biến một lớp kề trái xH thành nghịch đảo của nó (xH−1) = Hx−1. Cho H là một nhóm con của G. Hai lớp kề bất kỳ của H trong G hoặc là bằng hoặc là rời nhau, với các lớp kề xH và yH là bằng nhau nếu và chỉ nếu y−1x H. ∈ Do đó, một phần tử x G nằm chính xác trong một lớp kề của H, đó là xH. Với ∈ mọi x G, tồn tại một tương ứng song ánh giữa H và xH; một sự tương ứng như ∈ vậy biến h H thành xh. Chúng ta định nghĩa chỉ số của H trong G, được ký hiệu ∈ bởi G : H , là số các lớp kề của H trong G. (Nếu tồn tại một số vô hạn các lớp kề | | của H trong G thì chúng ta có thể định nghĩa G : H là bản số của nó mà không | | làm thay đổi giá trị của bất kỳ định đề nào được đưa ra dưới đây, bởi chúng ta có thể định nghĩa lại G như là bản số G : 1 .) Các lớp kề của H trong G chia G thành | | G : H tập rời nhau với bản số H và do đó G = G : H H . (Điều này chứng | | | | | | | || | minh cho định lý Lagrange; tuy nhiên, ta có thể chứng minh định lý Lagrange mà không cần sử dụng đến các lớp kề mà bằng cách sử dụng một lập luận tính toán đơn giản.) Thực tế, tất cả các nhóm con của một nhóm hữu hạn có chỉ số hữu hạn, trong khi các nhóm con của một nhóm vô hạn có thể có chỉ số vô hạn hoặc hữu hạn. Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
8. 1. NHẮC LẠI 9 Chúng ta ký hiệu tập các lớp kề (hoặc không gian lớp kề) của H trong G bởi G/H. Bây giờ, chúng ta có thể đưa ra một mô tả hoàn chỉnh về các nhóm con của các nhóm xyclic vô hạn. Chúng tôi mời độc giả phát biểu lại Định lí 4 theo cách sao cho sự tương ứng giữa Định lí 4 và 5 được rõ ràng hơn. Định lí 5. Cho G = là một nhóm xyclic vô hạn. Khi đó: 1. Với mỗi d N, có chính xác một nhóm con của G chỉ số d, . Hơn nữa, ∈ mọi nhóm con không tầm thường của G đều có chỉ số hữu hạn. 2. Cho d, e N. Khi đó giao của các nhóm con chỉ số d và e là nhóm con chỉ số ∈ lcm(d, e). 3. Cho d, e N. Khi đó tích của các nhóm con chỉ số d và e là nhóm con chỉ số ∈ gcd(d, e). Kết quả dưới đây khái quát hóa định lí Lagrange và được xem như là "phép phân tích thành nhân tử của các chỉ số". Định lí 6. Nếu K 6 H 6 G thì G : K = G : H H : K . | | | || | Cho H là một nhóm con của một nhóm G và cho là một tập chỉ số tương ứng I song ánh với tập các lớp kề của H trong G. Một tập con T = t i được gọi { i| ∈ I} là lớp ngang (trái) của H (hoặc một tập các biểu diễn lớp kề (trái) của H trong G) nếu các tập tiH là các lớp kề của H trong G sao cho không có một lớp nào bị lược bỏ hoặc bị lặp lại. Cho N là một nhóm con của một nhóm G. Ta nói rằng N là nhóm con chuẩn tắc của G (hay N là chuẩn tắc trong G) nếu xN = Nx với mọi x G, hay tương ∈ đương với xNx−1 N với mọi x G. Nếu G là abel thì mọi nhóm con của G đều là ⊆ ∈ chuẩn tắc. Các nhóm con 1 và G luôn là chuẩn tắc trong G; nếu G chỉ có hai nhóm con chuẩn tắc này thì ta nói G là đơn. Chẳng hạn, một nhóm xyclic cấp nguyên tố là đơn. (Một nhóm chỉ có duy nhất một phần tử thông thường không được coi là đơn.) Nếu N là chuẩn tắc trong G thì chúng ta viết N E G; nếu N là nhóm con thức sự của vừa là chuẩn tắc trong G thì ta viết N C G. (Lưu ý rằng, nhiều tác giả không phân biệt điều này và chỉ viết N C G để kí hiệu N là chuẩn tắc trong G.) Nếu N E G và K E H thì chưa chắc K E G, chúng ta không đưa ra một phản ví dụ lúc này. Tuy nhiên, rõ ràng nếu K E G và K 6 H 6 G thì K 6 G. Mệnh đề 7. Cho H và K là các nhóm con của một nhóm G. Nếu K E G thì HK 6 G và H K E H; hơn nữa, nếu H E G thì HK E G và H K E G. ∩ ∩
9. 10 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM Mệnh đề 8. Mọi nhóm con chỉ chỉ số 2 đều là chuẩn tắc. Chứng minh. Cho H 6 G và giả sử rằng G : H = 2. Khi đó có hai lớp kề trái của | | H trong G; một lớp là H và do vậy lớp kia phải là G H. Tương tự, H và G H − − là hai lớp kề phải của của H trong G. Từ đó, x H khi và chỉ khi xH = H = Hx ∈ và x / H khi và chỉ khi xH = G H = Hx. Vậy H E G. ∈ − Các nhóm con chuẩn tắc quan trọng vì chúng giúp ta tạo ra nhóm mới từ nhóm cũ theo cách sau: Định lí 9. Nếu N E G thì tập các lớp kề G/N tạo nên một nhóm với phép toán xác định bởi (xN)(yN) = (xy)N. Nếu N E G thì chúng ta gọi G/N với phép toán trên là nhóm thương của G bởi N. Khi đó phân tử đơn vị của G/N là N và phần tử nghịch đảo của xN G/N là ∈ x−1N. Nếu G là abel thì G/N cũng là abel. Cho x và g là các phần tử của một nhóm G. Khi đó liên hợp của x bởi g được định nghĩa là phần tử gxg−1 của G. (Một vài tác giả định nghĩa liên hợp của x bởi g là g−1xg. Các kí hiệu gx và xg đôi khi được sử dụng thay cho gxg−1 và g−1xg.) Hai phần tử phần x và y của G được gọi là liên hợp nếu tồn tại một phần tử g G ∈ sao cho y = gxg−1. Hai phần tử phân biệt của một nhóm abel đều liên hợp. Một nhóm con N của G là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu mọi liên hợp của một phần tử của N bởi một phần tử của G đều nằm trong N. Cho X là một tập. Một hoán vị của X là một song ánh từ X đến X. Tập các hoán vị của X, kí hiệu X , tạo thành một nhóm với phép hợp thành của các ánh xạ. Nếu X = 1, , n với n N thì nhóm này đợc gọi là nhóm đối xứng bậc { } P ∈ S n và được kí hiệu là n. (Nhiều tác giả kí hiệu nhóm này là Sn hoặc n.) Nhóm là hữu hạn và có cấp n! = n(n 1) 2 1. X P − ··· · P Một phần tử ρ của n được gọi là một xích có độ dài r (hay r-xích) nếu có các số nguyên phân biệt 1 a , , a n sao cho ρ(a ) = (a ) với mọi P ≤ 1 r ≤ i i+1 1 i < r, ρ(a ) = a và ρ(b) = b với mọi 1 b n mà b khác các a . Xích ρ xác ≤ r 1 ≤ ≤ i định như trên còn được viết là ρ = (a a ). Dĩ nhiên, việc kí hiệu này có thể được 1 ··· r viết theo r cách khác nhau; chẳng hạn, (1 2 4), (2 4 1) và (4 2 1) đều là kí hiệu của cùng một 3-xích trong 4. Xích ρ xác định như trên cũng được gọi là di chuyển mỗi ai và cố định mọi sốP khác. Hai xích được gọi là rời nhau nếu không có số nào bị di chuyển bởi cả hai xích đó. Tích của hai xích (a a ) và (b b ) được viết 1 ··· r 1 ··· s là (a a )(b b ); nếu a = b thì tích này biến b thành a . (Chúng ta tính 1 ··· r 1 ··· s i j j−1 i+1 từ "phải sang trái" trong cách viết này vì chúng ta luôn coi các xích như các hàm Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
10. 1. NHẮC LẠI 11 trên tập 1, , n , và do đó tích của hai xích tương ứng với tích của hai ánh xạ, mà { } đối với tích hai ánh xạ ta thường tính từ phải sang trái. Trong nhiều giáo trình về lí thuyết nhóm tích hai xích được tính từ trái sang phải.) Mọi phần tử của n có thể viết như tích của các xích rời nhau; sự phân tích như vậy được gọi là sự phânP tích thành các xích rời nhau của các hoán vị. Hai sự phân tích thành các xích rời nhau bất kì của cùng một hoán vị luôn có cùng các xích, tuy nhiên thứ tự của chúng có thể khác nhau. Do đó chúng ta có thể đặt tương ứng một tập số các số nguyên dương có tổng bằng n với mỗi phần tử của n theo cách các số hạng trong tổng bằng n là chiều dài của các xích xuất hiện trongP sự phân tích thành các xích rời nhau của ρ và được gọi là cấu trúc xích của ρ. Chẳng hạn cấu trúc xích của một r-xích trong là (r, 1, , 1), có n r số 1; cấu trúc xích của n − (1 2 4)(3 5) trong 6 là (3, 2, 1)P. Chúng ta thường bỏ qua các 1-xích khi viết một hoán vị thành tíchP các xích rời nhau. Chúng ta cũng thường sử dụng 1 để kí hiệu cho phần tử đơn vị của n, sự phân tích thành các xích rời nhau của nó chỉ bao gồm các 1-xích. P Mệnh đề 10. Cho n N. Khi đó hai phần tử của liên hợp với nhau nếu và ∈ n chỉ nếu chúng có cùng cấu trúc xích. P Xem chứng minh [24, trang 46-7]. Một chuyển vị trong n là một 2-xích. Mọi phần tử của n đều có thể thành tích của các chuyển vị (khôngP nhất thiết rời nhau) theo nhiềuP cách khác nhau. Tuy nhiên, ta có thể chứng minh được rằng hai sự phân tích như vậy của cùng một hoán vị phải có cùng số chuyển vị theo modulo 2. (Xem [24, trang 8-9].) Do vậy chúng ta có thể nói một hoán vị là chẵn (tương ứng, lẻ) nếu nó có thể được viết thành tích của một số chẵn (tương ứng, lẻ) các chuyển vị, một hoán vị có thể chẵn hoặc lẻ nhưng không thể vừa chẵn vừa lẻ. Chẳng hạn, vì một r-xích có thể viết thành tích của r 1 chuyển vị nên một xích là một hoán vị chẵn nếu và chỉ nếu độ dài của − nó là lẻ. Tập con của n bao gồm tất cả các hoán vị chẵn là một nhóm con chỉ số 2, và do đó nó là chuẩnP tắc trong n, theo Mệnh đề 8; nó được gọi là nhóm thay phiên bậc n và kí hiệu là An. P Xét H = 1, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3) A . Ta có thể chỉ ra rằng H E A . { } ⊆ 4 4 (Thực ra, H là chuẩn tắc trong 4. Nhóm H này, theo lịch sử tìm ra nó, có tên là bốn-nhóm Klein.) Cho K = 1, (1 2)(3 4) . Khi đó K là nhóm con của H với {P } H : K = H / K = 4/2 = 2 và do đó K E H theo Mệnh đề 8. Tuy nhiên, bằng | | | | | | cách lấy liên hợp (1 2)(3 4) bởi hoán vị chẵn (1 2 3) ta thấy rằng K không chuẩn tắc trong A4. Đây là phản ví dụ cho khẳng định ở trang 8.
11. 12 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM Cho G và H là các nhóm. Một đồng cấu là một ánh xạ ϕ : G H với tính → chất ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) với mọi x, y G; nghĩa là, một đồng cấu là một ánh xạ giữa ∈ các nhóm mà nó bảo tồn các cấu trúc nhóm tương ứng. Nếu ϕ là một đồng cấu thì ϕ(1) = 1 và ϕ(x−1) = ϕ(x)−1 với mọi x. Đồng cấu tầm thường từ G vào H là ánh xạ biến mọi phần tử của G thành phần tử đơn vị của H. Nếu đồng cấu ϕ là đơn ánh thì chúng ta gọi ϕ là đơn cấu, nếu ϕ là toàn ánh thì chúng ta gọi ϕ là toàn cấu và chúng ta nói ϕ là đẳng cấu nếu ϕ là song ánh. (Nhắc lại rằng, một ánh xạ f : X Y được gọi là đơn ánh nếu f(x) = f(x0) thì suy ra x = x0, gọi là toàn ánh → nếu với mọi y Y đều tồn tại x X để f(x) = y; và gọi là song ánh nếu nó vừa là ∈ ∈ đơn ánh, vừa là toàn ánh.) Nếu ϕ là một đẳng cấu thì ϕ−1 : H G cũng vậy. Một → đồng cấu ϕ : G G được gọi là một tự đồng cấu của G; một tự đồng cấu song ánh → được gọi là tự đẳng cấu. Nếu G và H là các nhóm và có một đẳng cấu ϕ : G H thì chúng ta nói rằng → G và H là đẳng cấu, hay G đẳng cấu với Hvà viết là G ∼= H. Đẳng cấu là một quan hệ tương đương giữa các nhóm; tức là, nó phản xạ (G ∼= G), đối xứng (G ∼= H suy ra H ∼= G) và bắc cầu (G ∼= H và H ∼= K suy ra G ∼= K.) Do đó, chúng ta có thể nói "lớp đẳng cấu" mà một nhóm cho trước thuộc vào lớp này. Các nhóm đẳng cấu được coi là hoàn toàn đồng nhất theo nghĩa bất kì phát biểu nào về một nhóm là đúng (sau khi đưa ra các phép đồng nhất thích hợp) nó cũng đúng cho bất kì nhóm nào đẳng cấu với nhóm đó. Nếu chúng ta nói rằng một nhóm có các tính chất nhất định là "đơn nhất" thì chúng ta thường hàm ý rằng nó là "đơn nhất đến đẳng cấu", theo đó chúng ta hàm ý rằng hai nhóm có các tính chất xác định đó là đẳng cấu. Bây giờ, chúng ta xét một vài ví dụ cơ bản. Cho G = và H = là hai nhóm xyclic cấp n. Chúng ta định nghĩa • một ánh xạ ϕ : G H bằng cách đặt ϕ(ga) = ha với mọi 0 a < n. Ánh xạ → ≤ này là một đẳng cấu. Do vậy, bất kì hai nhóm xyclic hữu hạn nào có cùng cấp đều đẳng cấu. Đặc biệt, mọi nhóm xyclic cấp n đều đẳng cấu với Z/nZ và có duy nhất một nhóm cấp p với mọi số nguyên tố p. Chúng ta sử dụng Zn để kí hiệu một nhóm xyclic cấp n và phép toán được viết theo lối nhân. Tương tự, chúng ta có thể chỉ ra rằng hai nhóm xyclic vô hạn là đẳng cấu; chúng ta sử dụng Z để kí hiệu một nhóm xyclic vô hạn và phép toán cũng được viết theo lối nhân. Cho G là một nhóm, H 6 G và g G. Liên hợp của H bởi g là tập gHg−1 = • ∈ ghg−1 h H chứa tất cả các liên hợp của các phần tử của H bởi g. Dễ thấy, { | ∈ } gHg−1 6 G. Chúng ta nói rằng K 6 G là một liên hợp của H trong G, hay K và H là liên hợp trong G nếu K = gHg−1 với g nào đó thuộc G. Cho H 6 G Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
12. 1. NHẮC LẠI 13 và g G, chúng ta định nghĩa ánh xạ ϕ : H gHg−1 bởi ϕ(h) = ghg−1 với ∈ → h H. Dễ thấy ϕ là một đẳng cấu, do đó các nhóm con liên hợp với nhau đều ∈ đẳng cấu. Tuy nhiên, hai nhóm con đẳng cấu của một nhóm G chưa chắc liên hợp với nhau. Chẳng hạn, bốn-nhóm Klein có ba nhóm con cấp 2, chúng đẳng cấu với nhau nhưng đây đều là nhóm con của một nhóm abel nên không thể liên hợp với nhau. Cho X = x , , x và là nhóm các hoán vị của X. Chúng ta định nghĩa • { 1 n} X ánh xạ ϕ : bởi ϕ(ρ)(x ) = x với ρ và 1 i n. Dễ thấy n → X P i ρ(i) ∈ n ≤ ≤ ánh xạ ϕ làP một đẳngP cấu. P Cho G là một nhóm và N E G. Có một ánh xạ từ G đến nhóm thương G/N, • đó là phép chiếu η : G G/N xác định bởi η(x) = xN với x G. Chúng ta → ∈ dễ thấy rằng ánh xạ này là toàn cấu. Chúng ta gọi η là ánh xạ tự nhiên từ G đến G/N. Nếu ϕ : G H là một đồng cấu thì chúng ta định nghĩa hạt nhân của ϕ là tập con → ker ϕ = g G ϕ(g) = 1 của G và ảnh của ϕ và tập con Im ϕ = ϕ(g) g G của { ∈ | } { | ∈ } H. Chúng ta cũng thường sử dụng kí hiệu ϕ(G) để chỉ tập ảnh của ϕ và ϕ(K) để chỉ tập ϕ(g) = g K với K 6 G. Ví dụ, nếu N E G và η : G G/N là ánh xạ { ∈ } → tự nhiên thì chúng ta có ker η = N và η(K) = KN/N với mọi K 6 G. (Dễ thấy η(K) = K/N nếu K chứa N.) Mệnh đề 11. Cho G và H là các nhóm và ϕ : G H là một đồng cấu. Khi đó → ker ϕ E G và ϕ(K) 6 H với mọi K 6 G. Định lí sau là nền tảng của lí thuyết nhóm. Định lý cơ bản về đồng cấu. Nếu G và H là các nhóm và ϕ : G H là đồng cấu → thì có một một đẳng cấu ψ : G/K ϕ(G) sao cho ϕ = ψ η, trong đó K = ker ϕ → ◦ và η : G G/K là ánh xạ tự nhiên; hơn nữa, ánh xạ ψ xác định duy nhất. → (Nhiều tác giả gọi kết quả này là "định lí đẳng cấu thứ nhất"; các tác giả này cũng đặt số thứ tự cho các định lí đẳng cấu dưới đây.) Chứng minh. Nếu xK = yK, với x, y G, thì y−1x K; điều này kéo theo 1 = ∈ ∈ ϕ(y−1x) = ϕ(y)−1ϕ(x) và do đó ϕ(y) = ϕ(x). Từ đó có thể định nghĩa ánh xạ ψ : G/K ϕ(G) bằng cách đặt ψ(xK) = ϕ(x) với xK G/K. Chúng tôi để bạn → ∈ đọc kiểm tra lại rằng ψ có các tính chất như trong định lí.
13. 14 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM Theo kết quả của định lí cơ bản, chúng ta thấy rằng bất kì đồng cấu ϕ : G H → đều có thể coi như tích của một toàn cấu (từ G lên ϕ(G)) và đơn cấu (từ ϕ(G) đến H.) Ba kết quả cuối cùng của phần này cũng rất quan trọng. Định lý đẳng cấu thứ nhất. Cho G là một nhóm. Nếu N E G và H 6 G thì HN/N = H/H N. ∼ ∩ (Chú ý rằng HN 6 G và H N E H, theo Mệnh đề 7, do N E G.) ∩ Chứng minh. Áp dụng định lí cơ bản cho ϕ là hạn chế xuống H của ánh xạ tự nhiên η : G G/N. → Chứng minh kết quả tiếp theo thì tương đối đơn giản nhưng hơi nhàm chán một chút. Định lý tương ứng. Cho G, H là các nhóm và ϕ : G H là toàn cấu có hạt nhân → N. Khi đó có một tương ứng song ánh sinh ra bởi ϕ giữa tập các nhóm con của G chứa N và tập các nhóm con của H. Nếu K là một nhóm con của G chứa N thì phép tương ứng này biến K thành ϕ(K); nếu L là một nhóm con của H thì nhóm con của G là tạo ảnh của L đối với phép tương ứng này là ϕ−1(L) = x G ϕ(x) L . { ∈ | ∈ } Hơn nữa, nếu K1 và K2 là các nhóm con của G chứa N thì: K 6 K nếu và chỉ nếu ϕ(K ) 6 ϕ(K ), khi đó K : K = ϕ(K ): ϕ(K ) . • 2 1 2 1 | 1 2| | 1 2 | K E K nếu và chỉ nếu ϕ(K ) E ϕ(K ), khi đó ánh xạ từ K /K đến • 2 1 1 2 1 2 ϕ(K1)/ϕ(K2) biến xK2 thành ϕ(x)ϕ(K2) là một đẳng cấu. Như một trường hợp đặc biệt của định lí tương ứng, chúng ta có kết quả sau: Nếu G là một nhóm và N E G thì mọi nhóm con của G/N đều có dạng K/N với K là một nhóm con của G chứa N. (Ở đây chúng ta coi ϕ là ánh xạ tự nhiên từ G vào G/N.) Định lý đẳng cấu thứ hai. Cho H và K là các nhóm con chuẩn tắc của một nhóm G. Nếu H chứa K thì G/H ∼= (G/K)/(H/K). Chứng minh. Áp dụng định lí tương ứng cho ϕ là ánh xạ tự nhiên từ G vào G/K. BÀI TẬP 1. Hãy chứng minh, hoặc hoàn thành các phác họa chứng minh, cho mỗi kết quả trong phần này. Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
14. 1. NHẮC LẠI 15 2. Chúng ta nói một nhóm G có số mũ e nếu e là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho xe = 1 với mọi x G. Chứng minh rằng nếu G có số mũ 2 thì G là abel. ∈ Với các số nguyên e nào thì một nhóm có số mũ e là abel. 3. Cho G là một nhóm hữu hạn và giả sử rằng ánh xạ ϕ : G G xác định bởi → ϕ(x) = x3, với x G, là một đồng cấu. Chứng minh rằng, nếu 3 không chia ∈ hết G thì G phải là nhóm abel. (Xem kết quả tổng quát ở [2].) | | 4. Cho g là một phần tử của một nhóm G và giả sử rằng G = mn với m và n | | nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng có duy nhất các phần tử x và y thuộc G sao cho xy = g = yx và xm = 1 = yn. (Trong trường hợp m là lũy thừa của một số nguyên tố p, chúng ta gọi x là p-phần của g và y là p0-phần của g; tổng quát hơn, nếu π là tập các số nguyên tố chia hết m và không chia hết n thì x và y tương ứng được gọi là π-phần và π0-phần của g.) 5. Cho r, s và t là các số nguyên dương lớn hơn 1. Chứng minh rằng có một nhóm G có các phần tử x và y sao cho x có cấp r, y có cấp s và xy có cấp t. 6. Cho X và Y là các tập con của một nhóm G. Các nhóm và ∩ có nhất thiết bằng nhau không? Các nhóm > ∩ ∪ và có nhất thiết bằng nhau không? ∪ 7. Cho G là một nhóm hữu hạn và H 6 G. Chứng minh rằng có một tập con T của G mà vừa là lớp ngang trái, vừa là lớp ngang phải của H. 8. Giả sử là họ các tập con của một nhóm G tạo thành sự phân hoạch của G C và giả sử rằng gC với mọi g G và C . (Nhắc lại, một sự phân hoạch ∈ C ∈ ∈ C của tập S là một tập hợp các tập con của S sao cho mọi phần tử của S nằm S trong đúng một phần tử của .) Chứng minh rằng là tập các lớp kề của một S C nhóm con nào đó của G. 9. Giả sử là một họ các tập con của một nhóm G mà tạo thành một sự phân C hoạch của G và giả sử rằng XY với mọi X, Y . Chứng minh rằng có ∈ C ∈ C đúng một trong số các tập hợp thuộc là một nhóm con của G và nhóm con C này là chuẩn tắc trong G, đồng thời bao gồm các lớp kề của nó. C 10. Chứng minh kết quả tổng quát hóa của Mệnh đề 8: Nếu G là một nhóm hữu hạn và H 6 G sao cho G : H bằng ước nguyên dương nhỏ nhất của G thì | | | | H E G. BÀI TẬP MỞ RỘNG
15. 16 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM Nếu K E H 6 G thì H/K được gọi là một thành phần của G. Chúng ta nói rằng hai thành phần H1/K1 và H2/K2 là liên thuộc nếu mọi lớp kề của K1 trong H1 có giao khác rỗng với chính xác một lớp kề của K2 trong H2 và ngược lại. (Nói cách khác, hai thành phần là liên thuộc nếu quan hệ giao khác rỗng cho ta một tương ứng song ánh giữa các phần tử của chúng.) 11. Hãy chỉ ra rằng các thành phần liên thuộc là đẳng cấu. 12. (tiếp) Giả sử rằng N E G và H 6 G. Hãy chứng minh rằng HN/N và H/H N ∩ là liên thuộc. (Bài tập 11 và 12 đưa ra một chứng minh thay thế của định lí đẳng cấu thứ nhất.) Nếu L/M là một thành phần của G và H 6 G thì hình chiếu của H lên L/M là một tập con của L/M bao gồm các lớp kề của M trong L mà chứa các phần tử của H. 13. (tiếp) Hãy chứng minh hình chiếu của H trên L/M là nhóm con (L H)M/M ∩ của L/M. Cho H1/K1 và H2/K2 là các thành phần của một nhóm G. 14. (tiếp) Hãy chỉ ra rằng hình chiếu của K2 trên H1/K1 là nhóm con chuẩn tắc của hình chiếu của H2 trên H1/K1. Nhóm thương thu được bằng cách đó gọi là hình chiếu của H2/K2 trên H1/K1. 15. (tiếp) Hãy chỉ ra rằng hình chiếu của H1/K1 trên H2/K2 và hình chiếu của H2/K2 trên H1/K1 là liên thuộc. Hãy suy ra kết quả sau: Định lý đẳng cấu thứ ba. Cho H1,H2, K1 E H1 và K2 E H2. Khi đó (H H )K /(H K )K = (H H )K /(K H )K . 1 ∩ 2 1 1 ∩ 2 1 ∼ 1 ∩ 2 2 1 ∩ 2 2 (Kết quả này còn được gọi là định lí đẳng cấu thứ tư hay bổ đề Zassenhaus (đặt tên theo người đa tìm ra nó khi mà ông còn là một sinh viên 21 tuổi), hay còn có một tên khác nữa là bổ đề con bướm. Tên sau cùng này ám chỉ hình dạng của biểu đồ biểu diễn mối quan hệ bao hàm giữa nhiều nhóm con được bao hàm trong phát biểu của kết quả này, một biểu đồ như vậy xuất hiện trong [22, trang 62].) Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
16. 2. TỰ ĐẲNG CẤU 17 2. Tựđẳng cấu Tập các tự đẳng cấu của một nhóm G được kí hiệu là Aut(G). Nếu ϕ và ρ là các tự đồng của G thì tích của chúng ϕ ρ cũng là một tự đẳng cấu của G và do ◦ đó tích của các ánh xạ là một phép toán hai ngôi trên Aut(G). Phép toán này cho ta một cấu trúc nhóm trên Aut(G); phần tử đơn vị là tự đẳng cấu tầm thường biến mỗi phần tử thành chính nó, và nghịch đảo của một tự đẳng cấu ϕ là nghịch ánh xạ ngược ϕ−1 của nó. Chúng ta gọi Aut(G) với phép toán này là nhóm tự đẳng cấu của G và có thể viết ϕρ thay cho ϕ ρ với ϕ, ρ Aut(G). ◦ ∈ Mọi phần tử g của một nhóm G xác định một đồng cấu liên hợp ϕg : G G bởi −1 −1 −1 → ϕg(x) = gxg . (Rõ ràng ta có ϕg(xy) = ϕg(x)ϕg(y) và ϕg(x ) = ϕg(x) .) Những ánh xạ như vậy thực ra là một tự đẳng cấu của G, bởi vì với x là một phần tử cho −1 trước của G ta có x = ϕg(g xg), và nếu ϕg(x)ϕg(y) thì ta có x = y bằng cách giản ước. Các ánh xạ này được gọi là tự đẳng cấu trong của G. Chúng ta có ϕgϕh = ϕgh với mọi g, h G, vì g(hxh−1)g−1 = (gh)x(gh)−1 với mọi x G; do đó, có một đồng ∈ ∈ cấu từ G vào Aut(G) biến g G thành ϕ . Ảnh của đồng cấu này được gọi là nhóm ∈ g tự đẳng cấu trong của G và được kí hiệu là Inn(G), đồng thời hạt nhân của nó được gọi là tâm của G và kí hiệu là Z(G). Chú ý rằng Z(G) = g G ϕ (x) = x với mọi x G { ∈ | g ∈ } = g G gx = xg với mọi x G , { ∈ | ∈ } và do đó Z(G) bao gồm các phần tử của G mà nó giao hoán được với mọi phần tử của G. Rõ ràng, G là abel nếu và chỉ nếu Z(G) = G. Nếu σ Aut(G) và ϕ Inn(G) thì dễ dàng kiểm tra được rằng σϕ σ−1 = ϕ . ∈ g ∈ g σ(g) Điều này chứng tỏ Inn(G) E Aut(G); nhóm thương Aut(G)/ Inn(G) được gọi là nhóm tự đẳng cấu ngoài của G và được kí hiệu là Out(G). Tuy nhiên, thuật ngữ "tự đẳng cấu ngoài" thường không dùng để chỉ các phần tử của Out(G) mà thường được dùng để chỉ các tự đẳng cấu của G nhưng không phải là tự đẳng cấu trong và do đó chúng có ảnh không tầm thường trong Out(G) dưới ánh xạ tự nhiên. Khi đó, nếu G là abel thì tất cả các tự đẳng cấu không tầm thường của G đều là tự đẳng cấu ngoài, vì trong trường hợp này chúng ta có Inn(G) = 1. Cho trước một nhóm G, chúng ta luôn muốn xác định cấu trúc của nhóm tự đẳng cấu của nó. Đây thường là một bài toán khó. Bây giờ, chúng ta xét một vài tính chất của các nhóm tự đẳng cấu của các nhóm xyclic. Z Cho G = ∼= và cho ϕ là một tự đẳng cấu trong của G. Khi đó ϕ(x) phải là phần tử sinh của G; nhưng các phần tử sinh của G chỉ có thể là x và x−1. Do đó ϕ cố định mỗi phần tử hoặc biến mỗi phần tử thành nghịch đảo của nó, và do đó
17. 18 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM Z chúng ta có Aut(G) ∼= 2. Bây giờ, cho n N và G = = Z . Giả sử rằng ϕ là một tự đồng cấu của ∈ ∼ n G. Khi đó, ϕ(x) = xm với m nào đó, 0 m ∼= n với n N và với mỗi số 0 m < n gọi σm là tự m ∈ ≤ đồng cấu của G biến x thành x . Khi đó Aut(G) bao gồm các tự đồng cấu σm với m = 0 và gcd(m, n) = 1. Hơn nữa, Aut(G) là abel và đẳng cấu với nhóm (Z/nZ)× 6 của các phần tử đơn vị của vành Z/nZ. Chứng minh. Ánh xạ σ0 có ảnh tầm thường và do đó nó không phải là một tự đẳng cấu. Bây giờ, giả sử 1 m < n, ta xét σm. Nếu gcd(m, n) = 1 thì tồn tại các số ≤ a am 1−bn n −b nguyên a, b sao cho am + bn = 1, từ đó σm(x ) = x = x = x(x ) = x, điều này chứng tỏ σm là toàn ánh. Vì G là hữu hạn nên một toàn ánh từ G vào G cũng là đơn ánh; do đó σ Aut(G). Ngược lại, nếu σ Aut(G) thì x = σ (xa) = xam m ∈ m ∈ m với a Z; suy ra xam−1 = 1, từ đó ta phải có am 1 = bn với b Z, điều này chứng ∈ − ∈ minh gcd(m, n) = 1. Như vậy, khẳng định thứ nhất đã được chứng minh. Giả sử 1 m , m < n. Khi đó σ σ = σ = σ σ , với 1 t < n sao ≤ 1 2 m1 m2 t m2 m1 ≤ cho m m t (mod n); do đó Aut(G) là abel. Vì (Z/nZ)× = m + nZ 1 m < 1 2 ≡ { | ≤ n, gcd(m, n) = 1 nên dễ thấy rằng ánh xạ biến σ thành m + nZ là một đẳng cấu } m từ Aut(G) vào (Z/nZ)×. Chúng ta định nghĩa giá trị hàm Ơle của n N là số các số nguyên dương vừa ∈ nhỏ hơn n vừa nguyên tố cùng nhau với n. (Giá trị này còn được gọi là giá trị tại n của hàm-phi Ơle.) Nếu chúng ta viết n = pa1 par , ở đó p là các số nguyên tố 1 ··· r i phân biệt, thì giá trị hàm Ơle của n là (pa1 pa1−1) (par par−1). Theo Mệnh 1 − 1 ··· r − r đề 1, cấp của Aut(Z ) là giá trị hàm Ơle của n. Đặc biệt, Aut(Z ) = p 1 với p n | p | − là số nguyên tố. Z Z Mệnh đề 2. Cho p là số nguyên tố. Khi đó Aut( p) ∼= p−1. Chứng minh. Cho F là trường có p phần tử. Theo Mệnh đề 1, Aut(Zp) đẳng cấu × với nhóm nhân F các phần tử khác không của F . Với mỗi ước d của p 1, gọi fd × − là số phần tử cấp d trong F và zd là số phần tử cấp d trong Zp−1. Giả sử d là một ước của p 1. Nếu x F × là một phần tử có cấp chia hết d thì − ∈ x phải là nghiệm phương trình Xd 1 F [X] và phương trình này có nhiều nhất − ∈ d nghiệm. Ngược lại, nếu x có cấp d thì các lũy thừa của x là các phần tử của F × mà nghiệm đúng phương trình Xd 1, và do đó mọi phần tử của của F × có cấp d − Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
18. 2. TỰ ĐẲNG CẤU 19 Z phải chứa trong ∼= d. Vậy hoặc fd = 0 hoặc fd bằng số các phần tử cấp d trong Zd. Theo Định lí 4, nếu d là một ước tùy ý của p 1 thì tất cả các phần tử cấp d − của Zp−1 được chứa trong một nhóm con xyclic đơn cấp d; do đó zd bằng số phần tử cấp d của Z . Từ lập luận ở trên chỉ suy ra f z với mọi d (p 1). Nhưng ta d d ≤ d | − có f = F × = p 1 = Z = z , d | | − | p−1| d d|X(p−1) d|X(p−1) điều này kéo theo f = z với mọi d (p 1). Đặc biệt, f = z > 0 và do đó d d | − d−1 d−1 × Z F ∼= p−1. Cho G = = Z với n N và xét tự đẳng cấu lũy thừa m (σ ) của G, ∼ n ∈ m trong đó 1 m n và gcd(m, n) = 1. Bằng lập luận quy nạp ta chứng minh được k ≤ mk ≤ (σm) (x) = x với mọi k N; do đó cấp của σm là số nguyên dương k nhỏ nhất k ∈ mà xm = x, hay là số k N nhỏ nhất sao cho mk 1 (mod n). Nếu cấp của σ ∈ ≡ m bằng giá trị hàm Ơ le của n thì chúng ta nói rằng m là căn nguyên thủy modulo n. (Thuật ngữ này xuất phát từ lí thuyết số cổ điển.) Rõ ràng, Aut(Zn) là xyclic nếu và chỉ nếu tồn tại một căn nguyên thủy modulo n. Với hợp số n, việc xác định cấu trúc của nhóm Aut(Zn) thuộc về lĩnh vực lí thuyết số hơn là lí thuyết nhóm. Kết quả sau đây, mà chúng ta sẽ không chứng minh, cho biết dạng của n mà làm cho nhóm Aut(Zn) là xyclic. k k Định lí 3. Aut(Zn) là xyclic nếu và chỉ nếu n = 2 hoặc 4, hoặc n = p hay 2p với p là số nguyên tố lẻ và k N. ∈ Một kết quả tương đương về sự tồn tại và không tồn tại của căn nguyên thủy modulo n được chứng minh trong [9, Phần 8.3]. Cho ϕ là một tự đẳng cấu của một nhóm G và H là một nhóm con của G. Khi đó ϕ làm H đẳng cấu với một nhóm con ϕ(H) của G; chúng ta nói rằng H bị cố định bởi ϕ nếu ϕ(H) = H. Trong trường hợp đó, hạn chế của ϕ lên H là một tự đẳng cấu của H. Nếu L là một nhóm con của của Aut(G) thì chúng ta nói rằng H bị cố định bởi L nếu H bị cố định bởi mọi ϕ L. Với thuật ngữ này, chúng ta ∈ thấy rằng H là chuẩn tắc trong G nếu và chỉ nếu H bị cố định bởi Inn(G). Chúng ta nói rằng H là nhóm con đặc trưng của G (hay H là đặc trưng trong G) nếu H bị cố định bởi Aut(G). (Một vài tác giả kí hiệu nhóm H này bởi char G.) Ví dụ, tâm Z(G) luôn luôn là một nhóm con đặc trưng của của G, vì nếu x Z(G) và ∈ ϕ Aut(G) thì chúng ta có ϕ(x)y = ϕ(xϕ−1(y)) = ϕ(ϕ−1(y)x) = yϕ(x) với mọi ∈
19. 20 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM y G, điều này chứng tỏ ϕ(x) Z(G). Rõ ràng rằng các nhóm con đặc trưng là ∈ ∈ chuẩn tắc nhưng ngược lại thì không chắc đúng. Đặc biệt, một nhóm abel vô hạn có thể không có một nhóm con đặc trưng khác tầm thường; xem Bài tập 5. Trong Phần 1, chúng ta đã biết rằng chuẩn tắc không có tính chất bắc cầu giữa các nhóm con. Tuy nhiên, tính đặc trưng thì lại có tính chất bắc cầu. Bổ đề 4. Nếu K là một nhóm con đặc trưng của H và H là một nhóm con đặc trưng của G thì K là một nhóm con đặc trưng của G. Chứng minh. Nếu ϕ Aut(G) thì hạn chế của ϕ xuống H là một phần tử của ∈ Aut(H) vì H là đặc trưng trong G, và do đó hạn chế của ϕ xuống K là một phần tử của Aut(K) vì K là đặc trưng trong H. Do đó mọi tự đẳng cấu của G đều cố định K, từ đó suy ra điều phải chứng minh. Lí do mà chuẩn tắc không có tính bắc cầu xuất phát từ thực tế nếu N E G thì hạn chế xuống N của một phần tử của Inn(G) chắc chắn nằm trong Aut(N) nhưng không nhất thiết nằm trong Inn(N). Nhắc lại rằng nếu x và y là các phần tử của một nhóm G thì giao hoán tử của x và y là [x, y] = xyx−1y−1. Chúng ta định nghĩa, nhóm con giao hoán tử của G là nhóm con G0 của G sinh bởi tập tất cả các giao hoán tử trong G; tức là G0 = . Rõ ràng, G là abel nếu và chỉ nếu G0 = 1, đồng { | ∈ } thời nếu H 6 G thì H0 6 G0. Một điều quan trọng là nên nhớ là, G0 bao gồm nhiều hơn chứ không chỉ là các giao hoán tử của G. Vì với mọi phần tử x, y ta có [x, y]−1 = (xyx−1y−1)−1 = yxy−1x−1 = [y, x] nên theo Mệnh đề 2, một phần tử bất kì của G0 là tích của các giao hoán tử của các phần tử của G. Bổ đề 5. Cho G là một nhóm. Khi đó G0 là đặc trưng trong G. Chứng minh. Cho ϕ Aut(G). Ta có ϕ([x, y]) = [ϕ(x), ϕ(y)] với mọi x, y G. ∈ ∈ Nếu g G0 thì g là một tích của các giao hoán tử; suy ra ϕ(g) cũng vậy, và do đó ∈ ϕ(g) G0. Vậy ϕ(G0) 6 G0; bằng lập luận tương tự ta cũng có ϕ−1(G0) 6 G0 và do ∈ đó G0 = ϕ(ϕ−1(G0)) 6 ϕ(G0). Từ đó ϕ(G0) = G0, bổ đề được chứng minh. Nhóm con giao hoán tử có tính chất quan trọng sau: Mệnh đề 6. Cho G là một nhóm và N E G. Khi đó G/N là abel nếu và chỉ nếu G0 6 N. Chứng minh. Với mọi x, y G, ta có [xG0, yG0] = [x, y]G0 = G0; do vậy nhóm con ∈ giao hoán tử của G/G0 là tầm thường, và do đó G/G0 là abel. Giả sử N E G. Nếu Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
20. 2. TỰ ĐẲNG CẤU 21 G0 6 N thì theo định lí đẳng cấu thứ hai (Định lí 1), G/N là đẳng cấu với nhóm thương của nhóm abel G/G0 và do đó nó cũng là abel. Ngược lại, nếu G/N là abel thì với mọi x, y G ta có (xN)(yN) = (yN)(xN) và do đó [x, y] N, điều này ∈ ∈ chứng tỏ G0 6 N. Chúng ta kết thúc phần này bằng một ứng dụng quan trọng của nhóm tự đẳng cấu, đó là cấu trúc của các tích nửa trực tiếp, nhưng trước đó chúng ta nhắc lại khái niệm quen thuộc về các tích nửa trực tiếp. Cho n N và G1, , Gn là các nhóm. Ta xét tích Đề các G1 Gn và một ∈ 0 0 × 0 × 0 phép toán trên tập hợp này xác định bởi (g1, , gn)(g1, , gn) = (g1g1, , gngn). Ta gọi phép toán này là "nhân theo từng thành phần", phép toán này cho tích Đề các một cấu trúc nhóm; phần tử đơn vị là (1, , 1) và nghịch đảo của phần tử bất kì (g , , g ) là (g−1, , g−1). Chúng ta gọi G G với phép toán này là tích trực 1 n 1 n 1 × × n tiếp (ngoài) của G1, , Gn. Thứ tự của các thừa số là không quan trọng vì dễ thấy rằng G G = G G với mọi ρ . 1 × × n ∼ ρ(1) × × ρ(n) ∈ n Chúng ta thấy rằng G = G G có các tính chất sau: 1 × × n P Với mỗi i, G có một nhóm con chuẩn tắc H đẳng cấu với G , cụ thể là H = • i i i (1, , g , , 1) g G (trong đó g xuất hiện ở vị trí thứ i). Hơn nữa, G/H { i | i ∈ i} i i là đẳng cấu với tích trực tiếp của các Gj còn lại. Mọi g G đều có một sự phân tích duy nhất g = h h , với h H ; nếu • ∈ 1 ··· n i ∈ i g = (g1, , gn) thì hi = (1, , gi, , 1) với mọi i (trong đó gi xuất hiện ở vị trí thứ i). Từ đó, nếu G , , G là các nhóm hữu hạn thì G = G G . 1 n | | | 1| · · · | n| Bây giờ, ta giả sử rằng G là một nhóm có các nhóm con H1, , Hn thỏa mãn: (1) H E G với mọi 1 i n. i ≤ ≤ (2) Mọi g G đều có sự phân tích duy nhất g = h h , trong đó h H với ∈ 1 ··· n i ∈ i mọi i. Điều kiện (1) và (2) suy ra các kết quả sau: (3) G = H H . 1 ··· n (4) H H H H H = 1 với mọi i. i ∩ 1 ··· i−1 i+1 ··· n (5) Nếu i = j thì các phần tử của H giao hoán với mọi phần tử của H . 6 i j (6) Nếu g = h h và g0 = h0 h0 , trong đó h , h0 H với mọi i, thì gg0 = 1 ··· n 1 ··· n i i ∈ i (h h0 ) (h h0 ). 1 1 ··· n n
21. 22 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM Trong trường hợp này, ta thấy rằng tồn tại duy nhất một đẳng cấu từ G đến tích trực tiếp ngoài H H biến H thành 1 H 1. Do đó, chúng ta 1 × × n i × × i × × gọi G là tích trực tiếp (trong) của các nhóm con H1, , Hn và chúng ta cũng có thể viết G = H H (mặc dù điều này là lạm dụng kí hiệu một chút). Điều quan 1 × × n trọng là cần chú ý rằng, nếu (1) xảy ra thì (2) xảy ra khi và chỉ khi cả (3) và (4) đều phải xảy ra; do đó một nhóm cho trước có là một tích trực tiếp thì nó cần thỏa mãn hoặc (1) và (2) hoặc (1), (3) và (4). (Chú ý rằng (4) rút gọn thành H H = 1 1 ∩ 2 khi n = 2.) Bây giờ, chúng tôi giới thiệu một vài kết quả liên quan đến các tích trực tiếp. Bổ đề 7. Cho G là một nhóm có các nhóm con chuẩn tắc H và K sao cho G = HK. Khi đó G/H K K/H K. ∩ × ∩ Chứng minh. Trước hết cần chú ý rằng L = H K là chuẩn tắc trong G theo Mệnh ∩ đề 7. Từ định lí Tương ứng (Định lí 1), ta thấy rằng H/L và K/L là các nhóm con chuẩn tắc của G/L, và rõ ràng (H/L) (K/L) là tầm thường. Do đó ta chỉ ∩ cần chứng minh G/L = (H/L)(K/L). Giả sử g G. Khi đó g = hk với h H và ∈ ∈ k K vì G = HK, và do đó gL = hkL = hLkL (H/L)(K/L), điều phải chứng ∈ ∈ minh. Bổ đề 8. Cho n N và ta viết n = pa1 par trong đó p là các số nguyên tố phân ∈ 1 ··· r i Z Z a Z biệt và ai là các số nguyên dương. Khi đó ta có n = p 1 rar . ∼ 1 × × Chứng minh. Cho Pi = = Z ai với mỗi 1 i r. Dễ thấy rằng cấp của ∼ pi ≤ ≤ (x , , x ) P P là pa1 par = n và suy ra rằng P P = Z . 1 r ∈ 1 × × r 1 ··· r 1 × × r ∼ n Kết quả này có hệ quả trực tiếp sau: Hệ quả 9. Nếu gcd(a, b) = 1 thì Z = Z Z . ab ∼ a × b Mệnh đề 10. Giả sử một nhóm hữu hạn G là tích trực tiếp của các nhóm con H , , H của nó, trong đó các cấp H là đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó 1 n | i| nhóm con L của G là tích trực tiếp của L H , , L H . ∩ 1 ∩ n Chứng minh. Trước hết, chúng ta xét trường hợp n = 2 từ đó trường hợp tổng quát dễ dàng được suy ra bằng luật giản ước. Ta viết H = H1 và K = H2, từ đó ta có G = H K và gcd( H , K ) = 1. Giả sử L 6 G. Khi đó, L H E L, L K E L và × | | | | ∩ ∩ (L H) (L K) = 1; do đó ta có, trong L, cấu trúc tích trực tiếp (H H) (L K). ∩ ∩ ∩ ∩ × ∩ Mọi phần tử g của L có thể viết g = hk với h H và k K, và để chứng minh ∈ ∈ L = (L H) (L K) ta chỉ cần chỉ ra rằng h, k L. Vì h và k là các phần tử ∩ × ∩ ∈ Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
22. 2. TỰ ĐẲNG CẤU 23 giao hoán được với nhau, do có cấp nguyên tố cùng nhau, nên cấp của hk bằng tích của các cấp của h và k. Theo Hệ quả 9, = . Mà chúng ta đã × ∼ có = 6 , do đó h, k 6 L, đây là điền cần chứng × ∈ minh. Cho G là một nhóm. Giả sử rằng G có một nhóm con H và một nhóm con chuẩn tắc N sao cho G = NH và N H = 1. Khi đó chúng ta gọi G tích nửa trực tiếp ∩ (trong) của N bởi H và chúng ta viết là G = N oH. (Kí hiệu này là phổ biến nhưng không phải duy nhất, có một vài kí hiệu khác như N n H và H o N, một vài tác giả không áp dụng một kí hiệu nào.) Nếu chúng ta có thêm H E G thì G là tích trực tiếp của N và H. Ví dụ, nếu ta đặt G = 3,N = A3 và H = thì dễ thấy rằng G = N o H; tuy nhiên, H không làP chuẩn tắc trong G nên G không là tích trực tiếp của N và H. Bây giờ, chúng ta đưa ra một vài nhận xét về các tích nửa trực tiếp. Giả sử rằng G = N o H. Ta có H = H/(N H) = NH/N = G/N theo định lí đẳng cấu thứ nhất (Định • ∩ ∼ lí 1). Từ đó, nếu G là hữu hạn thì ta có G = N G : N = N H . | | | || | | || | Vì G = NH nên với mỗi x G ta có thể viết x = nh với n N và h H. Giả • ∈ ∈ ∈ sử rằng x có hai cách viết khác nhau như thế, chẳng hạn x = n1h1 = n2h2 với n , n N và h , h H. Khi đó n−1n = h h−1 N H = 1, do đó n = n 1 2 ∈ 1 2 ∈ 2 1 2 1 ∈ ∩ 1 2 và h = h . Vậy mỗi x G đều có một cách viết duy nhất x = nh trong đó 1 2 ∈ n N và h H. ∈ ∈ Cho x, y G và x = n h , y = n h như ở trên. Chúng ta biết rằng phần • ∈ 1 1 2 2 tử xy của G có thể viết duy nhất thành n0h0 với n0 N và h0 H; chính ∈ ∈ xác là, xy = n h n h−1 h h , trong đó n0 = n h n h−1 N (vì N E G) và 1 1 2 1 · 1 2 1 1 2 1 ∈ h0 = h h H. 1 2 ∈ Cho h H. Do N là chuẩn tắc trong G nên phép liên hợp bởi h ánh xạ N vào • ∈ N; từ đó, ta có thể định nghĩa một ánh xạ ϕ : N N bởi ϕ (n) = hnh−1 h → h với mọi n N. Dễ dàng chỉ ra rằng ϕ là một tự đẳng cấu của N, và do đó ∈ h ϕ ϕ 0 = ϕ 0 với mọi h0 H. Do đó, ta có một đồng cấu ϕ : H Aut(N), h ◦ h hh ∈ → trong đó ϕ(h) = ϕh; chúng ta gọi ϕ là đồng cấu liên hợp của tích nửa trực tiếp G. Bây giờ, chúng ta có (n h )(n h ) = n ϕ(h )(n ) h h với mọi n , n N 1 1 2 2 1 1 2 · 1 2 1 2 ∈ và h , h H, và do đó phép toán của nhóm G có thể được viết theo các phép 1 2 ∈ toán của N và H và đồng cấu ϕ.
23. 24 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM Giả sử rằng đồng cấu ϕ : H Aut(N) xác định ở trên là đồng cấu tầm • → thường. Khi đó ta có nhn−1 = nϕ(h)(n−1)h = nn−1h = h với mọi n N và ∈ h H, và do đó H E G; suy ra G = N H. Ngược lại, nếu G = N H thì ∈ × × các phần tử của H giao hoán với mọi phần tử của N, và do đó đồng cấu ϕ phải là tầm thường. Nếu đồng cấu liên hợp ϕ : H Aut(N) là không tầm thường thì nhóm G phải • → là không abel, từ đó tồn tại h H và n N sao cho hnh−1 = ϕ(h)(n) = n, ∈ ∈ 6 trong trường hợp này h và n không giao hoán. Các nhận xét này gợi ý rằng, nếu G là một tích nửa trực tiếp trong của N bởi H thì cấu trúc của G được mô tả bởi cấu trúc của N và H cùng với sự tương tác giữa N và H bên trong G và sự tương tác ấy được xác định bởi đồng cấu liên hợp từ H vào Aut(N). Do vậy, nếu chúng ta muốn phát triển một khái niệm về tích nửa trực tiếp ngoài thì phải thận trọng khi lấy hai điểm xuất phát của chúng ta là hai nhóm N và H cùng với một đồng cấu cho trước ϕ : H Aut(N) và do đó hãy mô tả cấu → trúc của một nhóm mà nó như là tích nửa trực tiếp trong N o H và có ϕ như là đồng cấu liên hợp của nó. Với ý tưởng này, bây giờ ta giả sử N và H là các nhóm, ϕ là đồng cấu cho trước từ H vào Aut(N). Chúng ta xác định một phép toán hai ngôi trên N H × bởi (n , h )(n , h ) = (n ϕ(h )(n ), h h ). Định nghĩa này cho N H một cấu trúc 1 1 2 2 1 1 2 1 2 × nhóm; phần tử đơn vị là (1, 1) và nghịch đảo của n, h là (ϕ(h−1)(n−1), h−1). Chúng ta gọi nhóm này là tích nửa trực tiếp (ngoài) của N bởi H ứng với ϕ và kí hiệu là G = oϕH. (Nhắc lại, kí hiệu này là phổ biến nhưng không phải là duy nhất; có một vài kí hiệu phổ biến khác như N n H và H N.) Cấu trúc của nhóm này trên ϕ ×ϕ tập N H nói chung là khác so với cấu trúc của nhóm tích trực tiếp; trong tích trực × tiếp, các phần tử của 1 H giao hoán với mọi phần tử của N 1 điều này không × × còn đúng trong trường hợp tích nửa trực tiếp ngoài nếu ϕ không tầm thường. Nhóm G = N o H có các nhóm con = N 1 và = 1 H tương ứng đẳng ϕ N × H × cấu với N và H. Với (x, 1) và (n, h) G, ta có ∈ N ∈ (n, h)(x, 1)(n, h)−1 = (nϕ(h)(x), h)(ϕ(h−1 )(n−1), h−1) = (nϕ(h)(x)ϕ(h)(ϕ(h−1 )(n−1)), hh−1) = (nϕ(h)(x)n−1, 1) , ∈ N và do đó E G. Vì (n, h) = (nϕ(1)(1), h) = (n, 1)(1, h) với mọi (n, h) G nên N ∈ G = ; hơn nữa, chỉ bao gồm phần tử đơn vị của G nên G là tích NH N ∩ H nửa trực tiếp trong của bởi H. Mặt khác, từ (n, 1) và (1, h) ta có N ∈ N ∈ H (1, h)(n, 1)(1, h)−1 = (ϕ(h)(n), 1), do đó đồng cấu liên hợp từ vào Aut(N) của H Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
24. 2. TỰ ĐẲNG CẤU 25 G = o tương ứng, sau khi đồng nhất với N và với H theo một cách tự N H N H nhiên, với đồng cấu gốc ϕ : H Aut(N). → Chúng ta kết luận rằng từ các nhóm N và H và một đồng cấu ϕ : H Aut(N) → chúng ta có thể xây dựng một cấu trúc nhóm mới sao cho N oϕH như là tích nửa trực tiếp trong của một nhóm con đẳng cấu với N bởi một nhóm con đẳng cấu với H. Bằng cách đồng nhất với N và với H, chúng ta có thể viết N o H = nh n N, h N H ϕ { | ∈ ∈ H , trong đó phép nhân được xác định bởi (n , h )(n , h ) = n ϕ(h )(n ) h h . } 1 1 2 2 1 1 2 · 1 2 Đặc biệt, hnh−1 = ϕ(h)(n). Chú ý rằng, nhóm này là không abel khi mà ϕ không phải là đồng cấu tầm thường. Nếu ϕ và ψ là hai đồng cấu phân biệt từ H vào Aut(N) thì nhóm N oϕ H và N oψ H không nhất thiết đẳng cấu với nhau. Tuy nhiên, chúng ta có thể có được một vài kết quả theo hướng này và rất hữu ích trong phần sau. Mệnh đề 11. Cho H là một nhóm xyclic và N là một nhóm bất kì. Nếu ϕ và ψ là các đơn cấu từ H vào Aut(N) sao cho ϕ(H) = ψ(H) thì ta có N oϕ H ∼= N oψ H. Chứng minh. Giả sử H = . Khi đó, từ giả thiết ϕ(H) = ψ(H) ta có ϕ(x) và ψ(x) sinh ra cùng một một nhóm con xyclic của Aut(N). Do đó, tồn tại a, b Z sao ∈ cho ϕ(x)a = ψ(x) và ψ(x)b = ϕ(x). Vì H là xyclic nên ϕ(ha) = ψ(h) và ψ(hb) = ϕ(h) với mọi h H. Bây giờ, chúng ta định nghĩa τ : N o H N o H bởi τ(nh) = nha. ∈ ψ → ϕ Khi đó τ(n1h1n2h2) = τ(n1ψ(h1)(n2)h1h2) a = n1τ(h1)(n2)(h1h2) a a a = n1ϕ(h1)(n2)h1h2 a a = n1h1n2h2 = τ(n1h1)τ(n2h2), điều này chứng tỏ τ là một đồng cấu. Tương tự, chúng ta có thể chứng minh ánh xạ λ : N o H N o H xác định bởi λ(nh) = nha cũng là một đồng ϕ → ψ cấu. Để hoàn thành chứng minh này, ta chỉ cần chỉ ra rằng các ánh xạ τ và λ là nghịch đảo của nhau. Ánh xạ τ λ biến nh N o H thành nhab. Nhưng ◦ ∈ ϕ ϕ(x) = ψ(x)b = (ϕ(x)a)b = ϕ(xab) và ϕ là đơn ánh; do đó xab = x và hab = h với mọi h H. Vậy τ λ là ánh xạ đồng nhất trên N o H, tương tự λ τ là ánh xạ ∈ ◦ ϕ ◦ đồng nhất trên N oψ H, điều phải chứng minh. Mệnh đề 12. Cho N và H là các nhóm, ψ : H Aut(N) là một đồng cấu, và → f Aut(N). Nếu fˆ là tự đẳng cấu trong của Aut(N) cảm sinh bởi f thì N o H = ∈ fˆ◦ψ ∼ N oψ H.
25. 26 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ θ : N o H N o H bởi θ(nh) = f(n)h. ψ → fˆ◦ψ Ta có θ(n1h1n2h2) = θ(n1ψ(h1)(n2)h1h2) = f(n1)f(ψ(h1)(n2))h1h2 = f(n ) (f ψ(h ) f −1 f)(n ) h h 1 · ◦ 1 ◦ ◦ 2 · 1 2 = f(n ) (fˆ ψ)(h )(f(n )) h h 1 · ◦ 1 2 · 1 2 = f(n1)h1f(n2)h2 = θ(n1h1)θ(n2h2), điều này chứng tỏ rằng θ là một đồng cấu. Nhưng đồng cấu mà biến nh N o H ∈ fˆ◦ψ thành f −1(n)h N o H là ánh xạ ngược của θ nên θ là một đẳng cấu. ∈ ψ Một ví dụ về một tích nửa trực tiếp, cho N = Z với n N, H = Z , và ∼ n ∈ ∼ 2 ϕ : H Aut(N) là ánh xạ biến phần tử sinh h của H thành tự đẳng cấu mà nó → biến mỗi phần tử của N thành nghịch đảo của nó (tức là, ϕ(h) = σn−1, kí hiệu như trong đầu của phần này). Nhóm N o H được gọi là nhóm dihedral cấp 2n và kí hiệu là D2n. (Một vài tác giả khác kí hiệu nhóm này là Dn.) Nhóm này không là abel khi n > 2; khi n = 2, ϕ là đồng cấu tầm thường và do đó D = Z Z . Nhóm D có 4 ∼ 2 × 2 2n một cách mô tả hình học như là nhóm đối xứng của một đa giác đều n-cạnh; phần tử sinh của nhóm N tương là phép quay một góc 2π/n radians, và phần tử sinh của H tương ứng là phép đối xứng qua một trục cố định. Ta cũng có nhóm dihedral vô Z hạn D∞ = N oϕ H, trong đó N ∼= và H, ϕ như trên. Chúng ta kết thúc phần này bằng một minh họa cho sự xuất hiện tự nhiên của nhóm dihedral trong lí thuyết nhóm. Mệnh đề 13. Cho s và t là các phần tử cấp 2 trong một nhóm G. (Các phần tử này gọi là các đối hợp.) Khi đó là một nhóm dihedral với tính chất = o . Chứng minh. Đặt L = , N = , và H = . Để chứng minh L = N o H, chúng ta phải chỉ ra rằng L = NH, N H = 1 và N E L; để chứng minh ∩ L là nhóm dihedral, chúng ta phải chỉ ra rằng phép liên hợp bởi s biến mỗi phần tử của N thành nghịch đảo của nó. Ta có s(st)s−1 = s2ts = ts = t−1s−1 = (st)−1 và do đó điều kiện sau được thỏa mãn. Tương tự, ta có t(st)t−1 = (st)−1, do đó N E L. Theo Mệnh đề 2, ta không mấy khó khăn để chỉ ra rằng mọi phần tử của L đều có thể viết được một trong các dạng (st)n, (st)ns, (ts)n hoặc (ts)nt với số nguyên không âm n. Hai cách viết sau trong bốn cách trên có thể viết lại thành (st)−n và (st)−n−1; điều này chứng tỏ L = NH. Cuối cùng, nếu s = (st)n với n nào đó thì chúng ta dễ thấy rằng s = (st)n−2, và do đó N H = 1. ∩ Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
26. 2. TỰ ĐẲNG CẤU 27 Để tìm hiểu kĩ hơn về tầm qua trọng của các kết quả đặc biệt này trong lí thuyết các nhóm đơn hữu hạn, hãy xem [7, Phần 45]. BÀI TẬP 1. Cho H là một nhóm con của một nhóm xyclic G. Hãy chứng minh rằng mọi tự đẳng cấu của H đều là hạn chế xuống H của một tự đẳng cấu của G. 2. Hãy chứng minh rằng Aut(Z ) = Z Z . 8 ∼ 2 × 2 Z Z 3. Hãy chứng minh rằng Aut( p2 ) ∼= p2−p với p là một số nguyên tố. (Hướng dẫn: Giả sử m là một căn nguyên thuỷ modulo p, hãy chỉ ra rằng hoặc m hoặc m + p là một căn nguyên thuỷ modulo p2.) 4. Chứng minh rằng nếu N E G thì mọi nhóm con đặc trưng của H là chuẩn tắc trong G. 5. Cho F là một trường và xét F như một nhóm dưới phép cộng của nó. Hãy chứng minh rằng F không có một nhóm con đặc trưng thực sự nào khác tầm thường. 6. Hãy kiểm tra các điều kiện được phát biểu ở trang 19 rằng: Nếu (1) xảy ra thì (2) xảy ra khi và chỉ khi (3) và (4) cùng xảy ra. 7. Hãy kiểm tra các điều kiện được phát biểu ở trang 19 rằng: Nếu (1) và (2) xảy ra thì (3) và (6) xảy ra. 8. Cho G , G là các nhóm và H 6 G G . Ta định nghĩa 1 2 1 × 2 P = x G (x, y) H với y nào đó y G , 1 { ∈ 1| ∈ ∈ 2 } I = x G (x, 1) H , 1 { ∈ 1| ∈ } và tương tự ta cũng xác định các tập con P2,I2 của G2. (a) Hãy chứng minh rằng Pi 6 Gi và Ii 6 Pi với i = 1, 2. (a) Hãy chứng mihn rằng tồn tại duy nhất một đẳng cấu từ P1/I1 đến P2/I2 biến xI thành yI , trong đó y là một phần tử của G sao cho (x, y) H. 1 2 2 ∈ (b) Chứng minh định lí Goursat : Tồn tại một tương ứng song ánh giữa các nhóm con của G G và cặp ba (S ,S , ϕ), trong đó S là một thành 1 × 2 1 2 i phần của G (i = 1, 2) và ϕ : S S là một đẳng cấu. (Nhắc lại rằng một i 1 → 2 thành phần của một nhóm G là một nhóm L/M, trong đó M E L 6 G.)
27. 28 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM 9. (tiếp) Sử dụng Bài tập 8 để đưa ra một chứng minh khác cho Mệnh đề 10. 10. Cho G = N o (K H) và N 6 K 6 G. Chứng minh K = N o (K H). ∩ ∩ BÀI TẬP MỞ RỘNG Cho N và H là các nhóm. Một mở rộng của N bởi H là một nhóm E cùng với một đơn cấu i : N E và một toàn cấu π : E H sao cho i(N) = ker π (tức là, N → → được nhúng trong E như là một nhóm con chuẩn tắc, với nhóm thương đẳng cấu với H.) Chúng ta thường chỉ kí hiệu mở rộng này là E thay vì (E, i, π); tuy nhiên, bản chất của các ánh xạ i và π là rất quan trọng trong việc phân biệt các mở rộng. Chúng ta đồng nhất N với ảnh của nó qua i và H với nhóm thương của E bởi N. Ví dụ, cho ϕ : H Aut(N) là một đồng cấu thì tích nửa trực tiếp N o H rõ ràng → ϕ là một mở rộng của N bởi H, gọi i là một ánh xạ bao hàm biến n N thành (n, 1) ∈ và π là phép chiếu biến (n, h) thành h. 11. Chúng ta nói rằng một mở rộng E của N bởi H là một mở rộng chẻ được nếu tồn tại một đồng cấu t : H E (được gọi là ánh xạ chẻ cho mở rộng đó) sao → cho π t là một ánh xạ đồng nhất trên H, trong trường hợp này t(H) là một ◦ lớp ngang của H trong E. Hãy chứng minh rằng E là một mở rộng chẻ được nếu và chỉ nếu nó là tích nửa trực tiếp của N bởi H. 12. (tiếp) Cho Q là một nhóm quaternion cấp 8. (Chúng ta có thể coi Q là một tập 1, i, j, k với phép nhân được xác định bởi i2 = j2 = k2 = 1 và {± ± ± ± } − ij = k = ji.) Hãy chứng minh rằng Q có thể được hiểu như là một mở rộng − theo bốn cách - ba cách như là một mở rộng của Z4 bởi Z2 và cách còn lại như là một mở rộng của Z bởi Z Z - nhưng không một mở rộng nào trong số 2 2 × 2 này là chẻ được. (Nói cách khác, Q không thể được viết một cách không tầm thường như một tích nửa trực tiếp.) Nếu E là một mở rộng của N bởi H thì chúng ta không thể tìm thấy một đồng cấu t : H E sao cho t(H) là một lớp ngang của H trong E, nếu tồn tại một t như → vậy thì E được gọi là chẻ được. Tuy nhiên, vì H ∼= E/N nên chúng ta luôn tìm thấy một ánh xạ t : H E mà ảnh của nó là một lớp ngang của N; một ánh xạ như vậy → được gọi là thành phần của mở rộng đó. Hơn nữa, chúng ta luôn có thể chọn được t sao cho t(1) = 1, trong trường hợp này ta nói rằng t được chuẩn tắc hóa. (Ta sử dụng các thành phần được chuẩn tắc thay cho các thành phần bất kì để cho khái niệm được đơn giản đến mức tối đa.) Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
28. 3. TÁC ĐỘNG NHÓM 29 13. (tiếp) Cho t là một thành phần được chuẩn tắc hóa của một mở rộng E. Cho Ψ: E Aut(E) là một đồng cấu biến một phần tử E thành tự đẳng cấu → trong tương ứng của E. Với x E, chúng ta coi Ψ(x) là một tự đẳng cấu của ∈ N, có thể được như thế vì N E E. Hãy xác định các ánh xạ f : H H N × → và ϕ : H Aut(N) bởi → f(α, β) = t(α)t(β)t(αβ)−1, ϕ(α) = Ψ(t(α)). Chúng ta gọi (f, ϕ) là cặp nhân tử xuất phát từ t. Hãy chứng minh rằng (f, ϕ) có các tính chất sau: 1) f(α, 1) = f(1, α) = 1 với mọi α H, và ϕ(1) là phần tử đơn vị của ∈ Aut(N). 2) ϕ(α)ϕ(β) = Ψ(f(α, β))ϕ(αβ) với α, β H. ∈ 3) f(α, β)f(αβ, γ) = ϕ(α)(f(β, γ))f(α, βγ) với α, β, γ H. ∈ 14. (tiếp) Nếu chúng ta có thể mở rộng được khái niệm tích nửa trực tiếp thì chúng ta có thể mở rộng khái niệm mở rộng; nghĩa là, các nhóm cho trước N, H cùng với các điều kiện bổ sung phù hợp chúng ta có thể xây dựng được một mở rộng của N bởi H. Sử dụng Bài tập 13 như một hướng dẫn, hãy xây dựng một cấu trúc mở rộng ngoài và chứng minh nó thỏa đáng. Chúng ta sẽ quay lại với các ý tưởng này trong các bài tập mở rộng của Phần 9. 3. Tác động nhóm Giả sử G là một nhóm bất kì. Một tác động (trái) của G lên tập X là một ánh xạ từ G X X, với ảnh của (g, x) được kí hiệu là gx, thỏa mãn các điều kiện × → sau: 1x = x với mọi x X. • ∈ (g g )x = g (g x) với mọi g , g G và x X. • 1 2 1 2 1 2 ∈ ∈ (Các tác động phải được định nghĩa một cách tương tự và được nhiều tác giả sử dụng thay cho các tác động trái; tuy nhiên, trong cuốn sách này hầu như tất cả các tác động được xét đến đều là các tác động trái.) Nếu ta có một tác động của G lên X thì ta nói rằng G tác động lên X hoặc X là một G-tập. Nếu X là một G-tập thì X cũng là một H-tập với mọi H 6 G, vì tác động của G trên X hạn chế thành một
29. 30 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM tác động của H trên X. Ví dụ, cho H 6 G và xét tập các lớp kề G/H. Ta có một ánh xạ từ G G/H × tới G/H, đó là ánh xạ nhân bên trái biến (g, xH) thành gxH. Dễ thấy rằng đây là một tác động trái của G lên G/H. Bất kì khi nào chúng ta nói đến tập các lớp kề G/H như là một G-tập thì ta luôn hiểu rằng đó chính là tác động của G lên G/H. Bây giờ, chúng ta đưa ra một tiền đề khác trên các tác động nhóm. Mệnh đề 1. Tồn tại một tương ứng song ánh tự nhiên giữa tập các tác động của G trên tập X và tập các đồng cấu từ G tới X . P Chứng minh. Giả sử X là một G-tập. Với mỗi g G, chúng ta định nghĩa một ánh ∈ xạ σg : X X bởi σg(x) = gx với x X. Ta thấy rằng σg−1 σg là một ánh xạ → −1 ∈ −1 ◦ đồng nhất trên X, vì x = 1x = (g g)x = g (gx) = (σ −1 σ )(x) với mọi x X; g ◦ g ∈ tương tự, σ σ −1 cũng là ánh xạ đồng nhất. Từ đó mọi ánh xạ σ đều có một g ◦ g g − nghịch đảo là σg 1 , và do đó σg nằm trong X . Hơn nữa, điều kiện thứ hai trong định nghĩa về một tác động nhóm đảm bảo rằng σ = σ σ với mọi g , g G. P g1g2 g1 ◦ g2 1 2 ∈ Do đó ta có thể xác định một đồng cấu từ G tới biến g G thành σ . X ∈ g Ngược lại, giả sử rằng σ : G là một đồng cấu ta xác định một ánh xạ → X P từ G X bằng cách biến (g, x) thành σ(g)(x), ta dễ dàng kiểm tra được rằng ánh × P xạ này là một tác động của G lên X. Chúng tôi để dành cho độc giả chứng minh rằng các quá trình này là ngược nhau, và từ đó ta có tương ứng song ánh như trong mệnh đề. Nếu G có một nhóm con thực sự H với G : H = n thì theo Mệnh đề 1, tác | | động của G trên G/H xác định một đồng cấu từ G vào n. Đặc biệt khi G là đơn thì một đồng cấu như vậy là không tầm thường và đồngP thời là đơn ánh. Chúng ta nói rằng tác động của G trên một tập X là trung thành (hay G tác động trung thành trên G/H) nếu đồng cấu từ G vào X tương ứng với tác động là đơn ánh. Một cách tương đương, một tác động là trung thành nếu phần tử g G P ∈ thỏa mãn gx = x với mọi x X thì g là phần tử đơn vị. Nếu G tác động trung ∈ thành trên X thì chúng ta có thể xem G như là một nhóm các hoán vị trên X, vì trong trường hợp này G được nhúng đẳng cấu trong X theo tác động trên X. P Định lý Cayley. G là đẳng cấu với một nhóm con của G; đặc biệt, nếu G là hữu hạn với G = n thì G đẳng cấu với một nhóm con của . | | Pn P Chứng minh. Nhóm G tác động trên chính nó bởi phép nhân bên trái; đây là trường hợp H = 1 của tác động của G trên tập các lớp kề G/H. Nếu g G sao cho gx = x ∈ với mọi x G thì đặt x = g−1 ta có g−1 = gg−1 = 1 và do đó g = 1. Như vậy tác ∈ Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
30. 3. TÁC ĐỘNG NHÓM 31 động này là trung thành và ta có một đơn cấu từ G vào G, suy ra điều phải chứng minh. P Về mặt lí thuyết, định lí Cayley hạn chế việc nghiên cứu các nhóm hữu hạn về việc nghiên cứu các nhóm đối xứng hữu hạn và các nhóm con của chúng. Điều này được chứng minh (như trong [5]) là đúng, tuy nhiên trong thực tế việc các nhóm hữu hạn đều có thể được nhúng trong các nhóm đối xứng không ảnh hưởng đến các phương pháp vẫn thường được sử dụng để nghiên cứu về các nhóm hữu hạn. Nếu X và Y là các G-tập thì một hàm ϕ : X Y được gọi là một đồng cấu → G-tập nếu nó giao hoán với tác động của G, tức là ϕ(gx) = g(ϕ(x)) với mọi g G ∈ và x X. Nếu giả thiết thêm ϕ là song ánh thì chúng ta nói rằng ϕ là một đẳng ∈ cấu G-tập và X, Y là các G-tập đẳng cấu, kí hiệu là X ∼= Y . Mục đích của chúng ta là phân loại tất cả các G-tập sai khác đến đẳng cấu. Để làm được điều này chúng ta sẽ phát triển các khái niệm thường xuyên được sử dụng trong lí thuyết nhóm. Cho X là một G-tập. Với mỗi x X, ta định nghĩa quỹ đạo của x là tập con ∈ Gx = gx g G của X, và định nghĩa cái ổn định của x là tập con G = g { | ∈ } x { ∈ G gx = x của G. Dễ thấy rằng Gx cũng là một G-tập với tác động được cảm sinh | } bởi tác động trên X và Gx là một nhóm con của G. Một tập con của X là một G-tập với tác động được cảm sinh từ X nếu và chỉ nếu nó là hợp rời của các quỹ đạo. Bổ đề 2. Nếu X là một G-tập thì G = gG g−1 với mọi g G và x X. gx x ∈ ∈ Chứng minh. Một phần tử u của G nằm trong cái ổn định của gx nếu và chỉ nếu −1 −1 g ug nằm trong cái ổn định của x; tức là, nếu và chỉ nếu u nằm trong gGxg . Chúng ta nói rằng một tác động của G trên X là bắc cầu (hay G tác động bắc cầu trên X) nếu tồn tại một phần tử x X sao cho Gx = X; tức là, với mọi ∈ x , x X đều tồn tại phần tử g G sao cho gx = x . (Chú ý rằng, nếu Gx = X 1 2 ∈ ∈ 1 2 với một x X thì ta cũng có Gx = X với mọi x X.) Một tập con của X là một ∈ ∈ G-tập bắc cầu với tác động cảm sinh từ X nếu và chỉ nếu nó được tạo thành từ đúng một quỹ đạo. Ví dụ, nếu H E G thì tác động của G trên G/H là bắc cầu vì với xH, yH G/H ta có (yx−1)xH = yH. ∈ Mệnh đề 3. Mọi G-tập đều có một sự phân hoạch duy nhất thành các G-tập bắc cầu, tức là các quỹ đạo. Chứng minh. Trước hết, chúng ta nhận xét rằng nếu X có một sự phân hoạch thành các G-tập bắc cầu thì chúng phải là các quỹ đạo, vì chỉ các quỹ mới là các tập con
31. 32 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM bắc cầu của X; điều này chứng minh tính duy nhất. Do một phần tử bất kì x X ∈ nằm trong quỹ đạo Gx nên để chứng minh sự tồn tại ta cần chỉ ra rằng hai quỹ đạo của X hoặc bằng nhau hoặc rời nhau. Giả sử x, y X sao cho Gx Gy khác ∈ ∩ rỗng; tức là, tồn tại g , g G sao cho g x = g y. Khi đó y = g−1g x Gx, và 1 2 ∈ 1 2 2 1 ∈ do đó Gy Gx; do vai trò của x, y là như nhau nên ta cũng có Gx Gy. Vậy ⊆ ⊆ Gx = Gy Từ kết quả trên, ta thấy để mô tả tất cả các G-tập chúng ta cần mô tả tất cả các G-tập bắc cầu. Chúng ta cũng thấy rằng tập các lớp kề là các ví dụ về các G-tập bắc cầu; chúng ta sẽ chứng minh rằng mọi G-tập đều đẳng cấu với một tập các lớp kề G/H với H là một nhóm con nào đó của G. Mệnh đề 4. Nếu X là một G-tập bắc cầu thì X ∼= G/Gx như các G-tập với mọi x X. ∈ Chứng minh. Giả sử x X, ta định nghĩa ϕ : G/G X bởi ϕ(gG ) = gx với ∈ x → x g G. Nếu gG = g0G , với g, g0 G, thì g−1g0 G , và do đó g−1g0x = x, hay ∈ x x ∈ ∈ x gx = g0x; điều này chứng tỏ ϕ được định nghĩa tốt, và bằng lập luận ngược lại ta thấy rằng ϕ là đơn ánh. Hơn nữa, uϕ(gGx) = u(gx) = (ug)x = ϕ(ugGx) = ϕ(u(gGx)) với mọi u G và gG G/G nên ϕ là một đồng cấu G-tập. Từ tính bắc cầu của ∈ x ∈ x X suy ra với mọi y X tồn tại g G sao cho y = gx = ϕ(gG ); điều này chứng tỏ ∈ ∈ x ϕ là toàn ánh. Vậy ϕ là một đẳng cấu G-tập. Mệnh đề 4 không chỉ đưa ra sự phân loại các G-tập mà còn đem lại một kết quả đầy ý nghĩa dưới đây, mà vẫn thường được gọi là "định lí ổn định-quỹ đạo:" Hệ quả 5. Cho X là một G-tập. Khi đó Gx = G/G như các G-tập với mọi x X; ∼ x ∈ đặc biệt, nếu G là hữu hạn thì Gx = G : G . | | | x| Chứng minh. Điều này được suy ra từ Mệnh đề 4 vì Gx là một G-tập bắc cầu. Như đã chứng minh ở trên mọi G-tập đều là hợp của các G-tập bắc cầu, và ta đã xác định được tất cả các G-tập bắc cầu sai khác một đẳng cấu nên chúng ta sẽ có một cài nhìn rõ ràng hơn về cấu trúc của một G-tập bất kì nếu chúng ta trả lời được câu hỏi: Khi nào hai G-tập bắc cầu đẳng cấu? Trước hết, ta cần đến bổ đề sau. Bổ đề 6. Cho ϕ : X Y là một đồng cấu của các G-tập và x X. Khi đó → ∈ Gx 6 Gϕ(x) và nếu ϕ là một đẳng cấu thì Gx = Gϕ(x). Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
32. 3. TÁC ĐỘNG NHÓM 33 Chứng minh. Nếu g G thì ϕ(x) = ϕ(gx) = gϕ(x); do đó G 6 G . Nếu ϕ ∈ x x ϕ(x) là một đẳng cấu thì bằng cách xét đồng cấu G-tập ϕ−1 : Y X ta có G 6 → ϕ(x) Gvp−1(ϕ(x)) = Gx, và do đó Gx = Gϕ(x). Mệnh đề 7. Nếu H và K là các nhóm con của G thì các G-tập G/H và G/K là đẳng cấu khi và chỉ khi H và K là liên hợp nhau trong G. Chứng minh. Vì G/H và G/K là các G-tập bắc cầu nên từ Bổ đề 2 suy ra tập các cái ổn định của G-tập G/H (tương ứng G/K) chính là tập các liên hợp của H (tương ứng K). Nếu G/H ∼= G/K, như các G-tập, thì từ Bổ đề 6 suy ra các tập các cái ổn định của G/H và G/K là bằng nhau, và do đó H và K liên hợp. Ngược lại, giả sử rằng H = gKg−1 với g G. Khi đó H là một cái ổn định của gK G/K, ∈ ∈ theo Mệnh đề 4, G/K ∼= G/H như các G-tập. Giả sử X là một G-tập. Chúng ta nói rằng X là bắc cầu đôi (hay G tác động bắc cầu đôi trên X) nếu với mọi (x , x ) và (y , y ) là các phần tử của X X sao 1 2 1 2 × cho x = x và y = y đều tồn tại g G sao cho gx = y và gx = y . Ví dụ, tác 1 6 2 1 6 2 ∈ 1 1 2 2 động tự nhiên của trên 1, , n với n 2 là bắc cầu đôi. Một G-tập bắc cầu n { } ≤ đôi rõ ràng cũng làP bắc cầu. Một vài tác giả khác sử dụng ngôn ngữ "2-bắc cầu" thay cho bắc cầu đôi vì có khái niệm tổng quát là G-tập k-bắc cầu với mọi k N. ∈ (Xem [24, trang 250].) Một nhóm con thực sự H của một nhóm G được gọi là tối đại nếu không có một nhóm con thực sự nào của G chứa H. Chẳng hạn, mọi nhóm con có chỉ số là một số nguyên tố đều là tối đại theo Định lí 6. Mệnh đề 8. Giả sử G là một nhóm, X là một G-tập bắc cầu đôi và x X. Khi ∈ đó Gx là một nhóm con tối đại của G. Chứng minh. Theo Mệnh đề 4, ta có X ∼= G/Gx như các G-tập. Giả sử phản chứng Gx là không tối đại, tức tồn tại nhóm con K sao cho Gx < K < G. Khi đó tồn tại g G và k K sao cho g / K và k / G . Vì G/G là bắc cầu đôi nên tồn tại ∈ ∈ ∈ ∈ x x u G sao cho uG = G và u(kG ) = gG . Từ đó u G và do đó uk K. Ta ∈ x x x x ∈ x ∈ cũng có g−1uk G , và do vậy g K. Điều này dẫn đến mâu thuẫn; do đó G là ∈ x ∈ x tối đại. Chúng ta nói rằng một tập con khác rỗng B của G-tập bắc cầu X là một khối nếu B và gB = gx x B hoặc bằng nhau hoặc rời nhau với mọi g G. Chú ý { | ∈ } ∈ rằng X luôn là một khối và mọi tập con gồm một phần tử của X luôn là một khối. Chúng ta nói rằng G-tập bắc cầu X là nguyên tố nếu đây là các khối duy nhất của nó.
33. 34 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM Mệnh đề 9. Tồn tại một tương ứng song ánh tự nhiên giữa tập các khối của một G-tập bắc cầu X mà chứa một phần tử x và tập các nhóm con của G chứa Gx. Chứng minh. Giả sử B là một khối chứa x X và xét tập H = g G gx B ; ∈ B { ∈ | ∈ } ta cần chứng minh rằng H 6 G. Rõ ràng, 1 H . Bây giờ, giả sử g, g0 H . B ∈ B ∈ B Vì x và gx đều nằm trong B nên gB B khác rỗng và do đó gB = B. Ta có ∩ (gg0)x = g(g0x) gB = B suy ra gg0 B. Lại có, g H nên gx B và ∈ ∈ ∈ B ∈ g−1(gx) = x B; vậy g−1B B khác rỗng, điều này suy ra g−1B = B; từ đó ta ∈ ∩ có g−1x B và dẫn đến g−1 H . Vậy H là một nhóm con của G; chú ý rằng ∈ ∈ B B G 6 H vì x B. Tóm lại, với mỗi khối B của X chứa x, ta có một nhóm con H x B ∈ B của G chứa Gx. Ta còn phải chứng minh sự tương ứng này là một song ánh. Giả sử B và B0 là các khối phân biệt của X mà chứa x. Khi đó, không giảm tổng quát, ta có thể giả sử tồn tại y X sao cho y B0 và y / B; vì G tác động bắc cầu ∈ ∈ ∈ trên X nên tồn tại g G sao cho gx = y. Do y B0 và y / B nên H = H 0 . Điều ∈ ∈ ∈ B 6 B này chứng minh tương ứng trên là đơn ánh. Giả sử H là một nhóm con của G chứa G và xét tập con C = hx h H của x { | ∈ } X. Rõ ràng, C khác rỗng đồng thời nếu g H thì gC = C. Giả sử g G sao cho ∈ ∈ gC C khác rỗng. Khi đó, tồn tại h , h H sao cho gh x = h x; điều này suy ra ∩ 1 2 ∈ 1 2 h−1gh x = x và h−1gh G 6 H, và do đó g H. Như vậy, nếu g G sao cho 2 1 2 1 ∈ x ∈ ∈ gC = C thì ta phải có g / H, từ đó gC C bằng rỗng. Vậy C là một khối. Bây giờ, 6 ∈ ∩ đặt H = g G gx C ; rõ ràng H 6 H . Nếu g H thì gxhx với h H; từ C { ∈ | ∈ } C ∈ C ∈ đó h−1gx = x và do đó h−1g G 6 H với g H. Vậy H = H. Điều này chứng ∈ x ∈ C tỏ tương ứng trên là toàn ánh. Hệ quả 10. Giả sử X là một G-tập bắc cầu. Khi đó X là nguyên tố khi và chỉ khi G là nhóm con tối đại của G với mọi x X. x ∈ Chứng minh. Giả sử X là nguyên tố và x X. Theo Mệnh đề 9, các khối của X ∈ mà chứa x cũng chính là các nhóm con của G chứa Gx. Nhưng theo giả thiết chỉ tồn tại hai khối như thế, đó là x và X; đồng thời ta cũng biết hai nhóm con của { } G chứa Gx, đó là G và Gx. Do đó không có một nhóm con thực sự nào của G chứa Gx. Vậy Gx tối đại trong G. Ngược lại, giả sử mọi cái ổn định là nhóm con tối đại. Lập luận như trên ta thấy rằng một phần tử x X nằm chính xác trong hai khối, đó là x và X, vì nếu x ∈ { } nằm ở một khối nào khác thì Gx sẽ không cực đại. Do vậy X không thể có các khối khác ngoài chính nó và các tập con một phần tử, và do đó X nguyên tố. Giả sử X là một G-tập bắc cầu. Khi đó, theo Bổ đề 2, tất cả cái ổn định đều liên hợp với nhau. Từ đó, nếu G cực đại, với x X, thì G cực đại với mọi x X. x ∈ x ∈ Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
34. 3. TÁC ĐỘNG NHÓM 35 Khi đó, Hệ quả 10 có thể được phát biểu lại một cách phù hợp. Hệ quả 11. Mọi G-tập bắc cầu đôi đều là nguyên tố. Chứng minh. Điều này được suy ra từ Mệnh đề 8 và Hệ quả 10. Trong phần còn lại của phần này, chúng ta giới thiệu một số ứng dụng cơ bản của lí thuyết tác động nhóm. Như thông thường ta luôn kí hiệu G là một nhóm bất kì. Mệnh đề 12. Nếu G hữu hạn và H, K 6 G thì H K HK = | || | . | | H K | ∩ | Chứng minh. Đặt X = G/K; ta coi X là một H-tập theo phép nhân bên trái. Quỹ đạo của K G/K dưới tác động của H là hK h H = HK, và do đó HK ∈ { | ∈ } | | bằng K nhân với số các lớp kề của K nằm trong quỹ đạo này. Dễ thấy, cái ổn định | | H = H K ; do đó, theo Hệ quả 5, quỹ đạo HK bao gồm H : H K lớp kề của K | ∩ | | ∩ | K. Với x G, ta định nghĩa tâm hóa của x trong G là tập C (x) = g G gx = xg ∈ G { ∈ | } bao gồm tất cả các phần tử của G giao hoán được với x. Dễ thấy CG(x) 6 G với mọi x G. Tổng quát, nếu S G thì C (S) = g G gx = xg với mọi x ∈ ⊆ G { ∈ | ∈ S = C (x) được gọi là tâm hóa của S trong G. Chú ý rằng Z(G) = C (x) và } ∩x∈S G G x Z(G) khi và chỉ khi C (x) = G. ∈ G Lớp liên hợp của x G là tập gxg−1 g G bao gồm tất cả các phần tử liên ∈ { | ∈ } hợp với x bởi các phần tử của G. Theo cách kí hiệu này, từ Mệnh đề 10 suy ra lớp liên hợp của một phần tử ρ trong n bao gồm tất cả các phần tử của n có cùng kiểu xích với ρ; số phần tử của lớpP liên hợp này có thể được tính như mộtP bài toán tổ hợp cơ bản (xem [24, trang 47]). Mệnh đề 13. Các lớp liên hợp trong G tạo thành một sự phân hoạch của G, và nếu G là hữu hạn thì một phần tử x G có G : C (x) lớp liên hợp trong G. ∈ | G | Chứng minh. Ta có G tác động trên chính nó bằng phép lấy liên hợp, do đó g G ∈ biến x thành gxg−1. (Hãy kiểm tra rằng đây là một tác động trái.) Quỹ đạo của x G dưới tác động này là gxg−1 g G và là một lớp liên hợp của x trong G; do ∈ { | ∈ } đó từ Mệnh đề 3 suy ra khẳng định thứ nhất. Từ Hệ quả 5 và Gx = CG(x) với mọi x G suy ra khẳng định thứ hai. ∈
35. 36 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM Dễ dàng chứng minh được rằng một nhóm con của một nhóm G là chuẩn tắc trong G nếu và chỉ nếu nó là hợp của các lớp liên hợp của G. Từ mệnh đề trên ta thấy các hợp như thế là hợp rời. Do vậy cấp của một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm hữu hạn G phải là tổng các cấp của các lớp liên hợp của G. Với H 6 G, cho N (H) = g G gHg−1 = H; tập này được gọi là chuẩn tắc hóa G ∈ | của H trong G. Ta dễ dàng thấy rằng NG(H) 6 G và H E NG(H); quả thực, NG(H) là nhóm con lớn nhất của G trong đó H là chuẩn tắc, và do vậy ta có NG(H) = G nếu và chỉ nếu H E G. Mệnh đề 14. Một nhóm con H của một nhóm hữu hạn G có đúng G : N (H) | G | các liên hợp trong G. Đặc biệt, số các liên hợp của H trong G chia hết G : H và | | bằng 1 nếu và chỉ nếu H E G. Chứng minh. Gọi (G) là tập các tập con của G, và mỗi g G tác động trên (G) P ∈ P bằng cách biến S (G) thành gSg−1. Dễ thấy rằng, đây một tác động trái của ∈ P G trên (G). Quỹ đạo của H P (G) dưới tác động này là tập các liên hợp của H P ∈ trong G, và cái ổn định của H là NG(H). Do đó, từ Hệ quả 5 ta suy ra điều phải chứng minh. Cho G là một nhóm, H và K là các nhóm con của G. Một lớp kề kép của H và K trong G là một tập HxK = hxk h H, k K , với mọi x G. Giả sử rằng { | ∈ ∈ } ∈ HxK HyK khác rỗng. Khi đó, tồn tại h, h0 H và k, k0 K sao cho hxk = h0yk0; ∩ ∈ ∈ từ đó x HyK và y HxK, và do đó HxK = HyK. Bởi vậy, hai lớp kề kép bất kì ∈ ∈ hoặc là rời nhau hoặc là bằng nhau, như trường hợp với các lớp kề thông thường. Kết quả cuối cùng của chúng ta là sự khái quát Mệnh đề 12. Mệnh đề 15. Nếu G là hữu hạn và H, K 6 G thì với mọi x G ta có ∈ H K H K HxK = | || | = | || | . | | H xKx−1 x−1Hx K | ∩ | | ∩ | Chứng minh. Tương tự như trong phần chứng minh của Mệnh đề 12, chúng ta coi G/K là một H-tập. Khi đó, HxK là hợp trong G của các lớp kề đó của K mà nằm trong quỹ đạo của xK trong G/K, và do đó HxK bằng K lần số các lớp kề của | | | | K trong quỹ đạo đó. Từ Hệ quả 5 suy ra đẳng thức đầu tiên vì theo Bổ đề 2 ta có cái ổn định của xK dưới tác động của H là H xKx−1. Đẳng thức thứ hai được ∩ chứng minh bằng lập luận tương tự trong đó ta xét tác động phải của K (bằng phép nhân bên phải) trên tập các lớp kề phải của H trong G. Tuy nhiên, ta cũng có thể Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
36. 3. TÁC ĐỘNG NHÓM 37 chứng minh đẳng thức thứ hai (và thứ nhất) bằng cách sử dụng Mệnh đề 12 như sau: H xKx−1 H K HxK = HxKx−1 = | || | = | || | | | | | H xKx−1 x−1(H xKx−1)x | ∩ | | ∩ | H K = | || | . x−1Hx K | ∩ | (Ở đây, ta sử dụng kết quả g(S T )g−1 = gSg−1 gT g−1, với mọi g G và ∩ ∩ ∈ S, T G.) ⊆ BÀI TẬP 1. Hãy chứng minh rằng một nhóm đơn hữu hạn mà cấp của nó nhỏ hơn r! không thể có một nhóm con thực sự chỉ số r. 2. Hãy chứng minh rằng một nhóm G tác động bắc cầu đôi lên một tập X nếu và chỉ nếu G tác động bắc cầu lên X x với mọi x X. (Ở đây ta giả sử x − { } ∈ rằng X có nhiều hơn hai phần tử.) 3. Từ các định nghĩa (không sử dụng các Mệnh đề 8 và 9) hãy chứng minh rằng một G-tập bắc cầu đôi là nguyên tố. 4. Cho G là mhóm con của 5 được sinh bởi (1 2 3 4 5) và G tác động lên X = 1, 2, 3, 4, 5 theo cách chính tắc. Hãy chứng minh rằng tác động này là { } P nguyên tố, nhưng không bắc cầu đôi. 5. Cho L E G và y N. Hãy chứng minh rằng lớp liên hợp của y trong G là hợp ∈ của các lớp liên hợp của nhóm N. Hãy chứng minh tiếp rằng có một tương ứng song ánh giữa các lớp liên hợp của N chứa lớp liên hợp của y trong G và các lớp kề của NCG(y) trong G. 6. Cho G là một nhóm hữu hạn và r là số các lớp liên hợp của G. Hãy chứng minh rằng (a, b) G G ab = ba = r G . |{ ∈ × | }| | | −1 −1 7. Hãy chứng minh rằng CG(gxg ) = gCG(x)G với mọi phần tử g và x của một nhóm G. 8. Cho n 5 và giả sử rằng A là nhóm đơn. (Một sơ đồ chứng minh của kết ≥ 5 quả này được trình trong Bài tập 7.8. ) Hãy sử dụng Bài tập 1 để chứng minh rằng n không có nhóm con thực sự chỉ số nhỏ hơn n nào ngoài A5. P
37. 38 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM BÀI TẬP MỞ RỘNG Cho X là một G-tập bắc cầu. Một hệ thống không nguyên tố của X là một sự phân hoạch của X mà được hoán vị bởi tác động của G. Lưu ý rằng một hệ thống nguyên tố của một G-tập chính là một G-tập. 9. Hãy chứng minh rằng có một tương ứng song ánh giữa tập các khối mà chứa một phần tử cho trước của X và tập các hệ thống không nguyên tố của X. (Nhận thấy rằng khi X là hữu hạn, điều này suy ra rằng hai phần tử bất kì của X nằm trong cùng một số các khối.) 10. Giả sử rằng G-tập Y là một ảnh toàn cấu của một G-tập X. Hãy chứng minh rằng có một đẳng cấu G-tập giữa Y và hệ thống không nguyên tố nào đó của X. Nếu X là một G-tập, ta sử dụng [X] để kí hiệu cho lớp đẳng cấu của X. 11. Cho G là một nhóm hữu hạn và S(G) là tập các lớp đẳng cấu của các G-tập hữu hạn. Hãy chứng minh rằng ta có thể xác định được các phép toán tổng và tích trên S(G) bởi [X] + [Y ] = [X Y ] và [X][Y ] = [X Y ]. ∪ × 12. (tiếp) Cho B(G) là tập có được từ S(G) bằng cách nối các nghịch đảo theo lối cộng của các lớp đẳng cấu, giống như cách mà Z có được từ N bằng cách nối các nghịch đảo theo lối cộng của các số nguyên dương. (Phần tử đơn vị của phép cộng ở đây là lớp đẳng cấu của tập rỗng.) Hãy chứng minh rằng các phép toán được xác định ở trên S(G) có thể mở rộng để tạo thành một cấu trúc vành giao hoán trên B(G). Vành B(G) này được gọi là vành Burnside của G. 13. (tiếp) Hãy chứng minh rằng một phần tử bất kì của B(G) có thể được viết duy nhất thành một Z-tổ hợp tuyến tính của các lớp đẳng cấu của các G-tập bắc cầu. 14. (tiếp) Cho H 6 G. Hãy chứng minh rằng có một đồng cấu vành duy nhất từ B(G) đến Z mà biến một lớp đẳng cấu [X] thành số các phần tử của X được cố định bởi H. 15. (tiếp) Hãy chứng minh rằng mọi đồng cấu khác không bất kì từ B(G) đến Z đều xuất phát từ cấu trúc trong Bài tập 14 và giao của các hạt nhân của tất cả các đồng cấu như vậy bằng không. Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
38. 3. TÁC ĐỘNG NHÓM 39 Một phần tử e của một nhóm R được gọi là một phần tử lũy đẳng nếu e2 = e. 16. (tiếp) Hãy chứng minh rằng nếu G không có một nhóm con thực sự nào tự chuẩn tắc hóa thì B(G) không có phần tử lũy đẳng nào ngoài các phần tử đơn vị của phép nhân và phép cộng. (Một nhóm con H của G được gọi là tự chuẩn tắc hóa nếu NG(H) = H. Trong Phần 11, chúng ta sẽ ta thấy rằng có một lớp các nhóm quan trọng, đó là các nhóm lũy linh, mà không có các nhóm con thực sự nào tự chuẩn tắc hóa.)
39. 2 Nhóm tuyến tính tổng quát Chương này trình bày chuyên sâu về một lớp các nhóm cực kì quan trọng, các nhóm GL(n, F ) với F là một trường. Tuy nhiên, các kết quả của chương này không đóng vai trò quan trọng trong phần còn lại của cuốn sách này, các ý tưởng được đưa ra ở đây như một sự giới thiệu về sự xuất hiện hiện của lí thuyết nhóm trong toán học hiện đại. Phần 4 đưa ra định nghĩa về các nhóm con Borel và Weyl và xây dựng sự phân hoạch Bruhat của GL(n, F ). Phần 5 thảo luận về nhóm con parabol và luỹ đơn của GL(n, F ). Phần 6 chuyển sự chú ý của chúng ta sang các nhóm SL(n, F ) và PSL(n, F ), và kết thúc bằng chứng minh rằng PSL(n, F ) là đơn trừ khi n = 2 và F 3. | | ≤ 4. Cấu trúc cơ bản Cho F là một trường và n N. Chúng ta kí hiệu M (F ) là tập tất cả các ma ∈ n trận n n với các hệ số trong trường F . Ta thường viết một ma trận như vậy là × M = (m ), trong đó m F kí hiệu cho phần tử (i, j) của M (phần tử nằm trên ij ij ∈ dòng i và cột j). Chúng ta định nghĩa nhóm tuyến tính tổng quát GL(n, F ) là tập con của Mn(F ) bao gồm tất cả các ma trận khả nghịch, hay bao gồm tất cả các ma trận có định thức khác 0. GL(n, F ) tạo thành một nhóm với phép nhân ma trận, chúng ta kí hiệu phần tử đơn vị là I. Tổng quát hơn, cho một F -không gian véctơ hữu hạn chiều V , chúng ta định nghĩa nhóm tuyến tính tổng quát GL(V ) là nhóm bao gồm tất cả các biến đổi tuyến tính khả nghịch của V ; ở đây phép toán trên nhóm là phép hợp thành của các ánh xạ. Nếu ta đặt V = F n thì nhóm thu được rõ ràng đẳng cấu với nhóm ma trận GL(n, F ). Vì mọi F -không gian véctơ n-chiều đẳng cấu với F n nên chúng ta không mất tổng quát khi hạn chế sự chú ý của chúng ta đến các nhóm GL(n, F ). Nhắc lại rằng, nếu F là một trường hữu hạn thì F được xác định sai khác đẳng cấu bởi cấp F của nó, và cấp này phải bằng pa với p là số nguyên tố và a N. (Kết | | ∈ quả này được tìm ra bởi E.H Moore, trưởng khoa Toán của Đại học Chicago, ông đã công bố kết quả này vào năm 1893 tại Đại hội Các Nhà Toán học Thế giới lần đầu tiên ở Chicago.) Do đó, nếu q là một luỹ thừa của một số nguyên tố thì chúng ta có thể viết GL(n, q) thay vì GL(n, F ), ở đó F là một trường duy nhất có cấp q. Chúng ta bắt đầu với một minh hoạ về tầm quan trọng của nhóm tuyến tính tổng quát trong lí thuyết nhóm hữu hạn. Mệnh đề 16. Cho E là một nhóm abel hữu hạn có số mũ p, với p là một nguyên
40. 4. CẤU TRÚC CƠ BẢN 41 tố. Khi đó Aut(E) = GL(n, p), với n N sao cho E = pn. ∼ ∈ | | (Nhắc lại rằng mũ của một nhóm là bội số chung nhỏ nhất của các cấp của các phần tử của nó.) Chứng minh. Gọi F = Z/pZ là trường gồm p phần tử. Chúng ta xây dựng cho E cấu trúc của một F -không gian véctơ. Chúng ta định nghĩa phép cộng trong E bởi x + y = xy, phép nhân vô hướng với α F bởi αx = xa, trong đó a Z ∈ ∈ sao cho α = a + pZ; định nghĩa này là tốt vì E có mũ p. Khi đó, dễ dàng chứng minh được rằng E có một cấu trúc F -không gian véctơ; chẳng hạn chúng ta có α(x + y) = xya = αx + αy với α F và x, y E. Bây giờ ta suy ra rằng mọi tự ∈ ∈ đồng cấu của nhóm E đồng thời là một biến đổi tuyến tính của F -không gian véctơ E, và ngược lại; do đó Aut(E) ∼= GL(E) ∼= GL(n, p) ở đó n = dimF E Nếu E được xác định giống như ở mệnh đề trên và x , , x là một cơ sở của { 1 n} E như là một không gian véctơ trên trường p phần tử thì ta suy ra E = (như là các nhóm), ở đó mỗi nhóm là xyclic cấp p. Ta suy ra × × n i mọi rằng nhóm abel hữu hạn với số mũ nguyên tố p đều đẳng cấu với một tích trực tiếp của các phiên bản của Zp. Các nhóm như thế được gọi là các p-nhóm abel cơ bản. Chúng ta định nghĩa hạng của một p-nhóm abel cơ bản E là n nếu E = pn. | | Z × Theo Mệnh đề 1, Aut( p) ∼= GL(1, p) ∼= (Z/pZ) ; kết quả này đã được giới thiệu trong Mệnh đề 1. Mệnh đề 17. Cho n N và q là luỹ thừa của một sô nguyên tố. Khi đó ∈ n − k k−1 n(n 1) n GL(n, q) = (q q ) = q 2 (q 1) (q 1). | | − − ··· − kY=1 Chứng minh. Để xác định GL(n, q) , ta cần tính số các ma trận n n với các hệ | | × số trong trường F gồm q phần tử mà các dòng của nó độc lập tuyến tính trên F . Để xây dựng một ma trận như thế, chúng ta có thể chọn một véctơ khác 0 bất kì trong F n như là dòng đầu tiên, có qn 1 cách chọn như vậy. Với 1 < k n, dòng k − ≤ có thể là véctơ bất kì trong F n ngoại trừ qk−1 các tổ hợp tuyến tính của k 1 dòng − trước đó; do đó có qn qk−1 các lựa chọn cho dòng thứ k. Từ đó suy ra công thức − cần chứng minh. Bây giờ, chúng ta cố định một trường F và n N và kí hiệu G thay cho GL(n, F ). ∈ Giả sử M M (F ) và viết M = (m ). Đường chéo chính của M bao gồm các ∈ n ij hệ số m với 1 i n. Chúng ta nói rằng M là chéo nếu các hệ số khác 0 duy nhất ii ≤ ≤ của nó chỉ xuất hiện trên đường chéo chính. Chúng ta nói rằng M là tam giác trên
41. 42 CHƯƠNG 2. NHÓM TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT nếu tất cả các hệ số của M nằm dưới đường chéo chính, đó là các mij với i > j, đều bằng 0. Mệnh đề 18. Tập B bao gồm tất cả các ma trận tam giác trên khả nghịch là một nhóm con của G, và được gọi là nhóm con Borel tiêu chuẩn. Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra được rằng B đóng đối với phép nhân ma trận; do đó ta còn phải chứng minh rằng nếu M B thì nghịch đảo N của M trong G cũng ∈ nằm trong B. Ta viết M = (mij) và N = (nij). Vì M là tam giác trên nên định thức của M bằng tích các hệ số trên đường chéo chính của nó. Do định thức này khác 0 nên m = 0 với mọi i. Mà MN = I, từ đó n m n = δ với mọi i, j. ii 6 k=1 ik kj ij (Trong đó δij là kí hiệu delta Kronecker, nó nhận giáP trị là 1 nếu i = j, nhận giá trị là 0 trong các trường hợp còn lại.) Từ đó với i = n ta có nnj = 0 với mọi j j, và do đó N B, điều phải − ij ∈ chứng minh. Tổng quát, một nhóm con Borel của G là một liên hợp bất kì của nhóm con Borel tiêu chuẩn B. Một ma trận hoán vị là một ma trận mà mọi dòng và mọi cột của nó có một phần tử khác 0 duy nhất và mọi phần tử khác 0 đều bằng 1. Ví dụ, ma trận đơn vị là một ma trận hoán vị, và mọi ma trận hoán vị có thể có được từ ma trận đơn vị bằng cách thay đổi các cột (hoặc các dòng). Mọi ma trận hoán vị là trực giao và do vậy nghịch đảo của nó cũng là một ma trận hoán vị, đó là chuyển vị của nó. Đặc biệt, mọi ma trận hoán vị n n đều nằm trong G. × Mệnh đề 19. Tập W tất cả các ma trận hoán vị là một nhóm con của G và được gọi là nhóm con Weyl. Chứng minh. Ta cần chứng minh rằng tích của hai ma trận hoán vị là một ma trận hoán vị. Giả sử M = (mij) và N = (nij) là các ma trận hoán vị và MN = P = (pij). Với mọi i, j, ta thấy rằng pij = 1 nếu tồn tại k sao cho mik = nkj = 1 và pij = 0 nếu trái lại. Mà với mỗi i tồn tại duy nhất k sao cho mik = 1 và tồn tại duy nhất j sao cho nkj = 1. Do đó pij = 1 với một và chỉ một j; tương tự, với mỗi j cho trước, tồn tại duy nhất i sao cho pij = 1. Vậy P là một ma trận hoán vị. Giả sử Vn(F ) là không gian véctơ các véctơ cột n-chiều với các tọa độ trong F và v1, , vn là cơ sở chính tắc. Nếu ta nhân vi ở bên trái bởi một ma trận M (cỡ n n) thì ta được cột thứ i của M; chúng ta nói rằng M biến v thành cột thứ i × i của M. Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
42. 4. CẤU TRÚC CƠ BẢN 43 Mệnh đề 20. W ∼= n. P Chứng minh. Chúng ta thấy rằng mọi ma trận hoán vị đều biến mỗi vi thành vk nào đó. Đặt X = 1, , n . Với mọi w W , ta xác định một ánh xạ ϕ(w): X X { } ∈ → bởi ϕ(w)(i) = k với 1 i n, ở đó 1 k n sao cho v = w v . Nếu ϕ(w)(i) = ≤ ≤ ≤ ≤ k i ϕ(w)(j), với i, j nào đó, thì do w là một ma trận hoán vị nên cột thứ i và thứ j của w phải bằng nhau, điều này suy ra i = j. Từ đó ϕ(w) là đơn ánh, và do đó ϕ(w) là song ánh (vì X là một tập hữu hạn), với mọi w W . Như vậy ta có ánh xạ ∈ ϕ : W . Nếu ϕ(w) = ϕ(w0) với w, w0 W thì w v = w0 v với mọi 1 i n; → n ∈ i i ≤ ≤ tức là, cột thứ i của w và w0 bằng nhau với mọi 1 i n, điều này suy ra w = w0. P ≤ ≤ Do đó ϕ là đơn ánh. Nếu ρ thì ρ = ϕ(w), trong đó w là ma trận hoán vị mà ∈ n cột thứ i của nó là v với mọi 1 i n; do đó ϕ là toàn cấu. Chúng tôi để cho ρ(i) P ≤ ≤ độc giả chứng minh rằng ϕ là một đồng cấu nhóm. Chúng ta thường coi một ma trận hoán vị w là một phần tử của n biến i thành v j, trong đó j là cột thứ i của w. Chẳng hạn, ma trận P 0 0 1 0 0 0 0 1   1 0 0 0 0 1 0 0     tương ứng với (1 3)(2 4) , do đó nếu w là ma trận này thì ta có thể viết ∈ 4 w(1) = 3. Một kết quả hữu íchP về các ma trận hoán vị là nếu w(i) = j thì với mọi M M (F ), dòng thứ j của wM bằng dòng thứ i của M và cột thứ i của Mw bằng ∈ n cột thứ j của M. Giả sử 1 i, j n là phân biệt và α F . Chúng ta định nghĩa X (α) là ma ≤ ≤ ∈ ij trận n n mà hệ số (k, l) của nó bằng α nếu (k, l) = (i, j) và bằng δ với mọi (k, l) × k,l khác. Chẳng hạn, X (α) M(3)(F ) là ma trận 23 ∈ 1 0 0 0 1 α .   0 0 1   Các ma trận Xij(α) như vậy và các liên hợp của nó bởi các phần tử của G được gọi là phép co. Chúng tôi để cho độc giả tự kiểm tra các tính chất sau của các phép co: Bổ đề 21. Cho α, β F và i, j phân biệt. ∈ (i) Xij(α) có định thức 1 và do đó nó nằm trong G. (ii) Nếu α = 0 thì X (α) B nếu và chỉ nếu i < j. 6 ij ∈
43. 44 CHƯƠNG 2. NHÓM TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT (iii) X (α)X (β) = X (α + β), và do đó X (α)−1 = X ( α). ij ij ij ij ij − (iv) [xij(α),Xjk(β)] = Xik(αβ) với mọi i, j, k phân biệt. (v) Nếu w W thì wX (α)w−1 = X (α). ∈ ij w(i)wj (vi) X (α) biến v thành v +α v và cố định v với mọi k = j. ij j j i k 6 (vii) Nếu M M (F ) thì dòng thứ i của X (α)M bằng tổng của dòng thứ i của M ∈ n ij và α lần dòng thứ j của M, và nếu k = i thì dòng thứ k của X (α)M bằng 6 ij dòng thứ k của M. Với i và j phân biệt, chúng ta xác định X = X (α) α F ; theo phần (i) và ij { ij | ∈ } (iii) của Bổ đề 21, đây là một nhóm con của G. Các nhóm con Xij được gọi là các nhóm con nghiệm của G. (Thuật ngữ này bắt nguồn từ lí thuyết của Đại số Lie.) Bây giờ, chúng ta đi đến kết quả chính của phần này mà có liên quan đến sự phân hoạch Bruhat của nhóm G. Nhưng trước đó, chúng ta cần đến bổ đề sau. Bổ đề 22. Cho M G. Khi đó, tồn tại một tích b các ma trận tam giác trên của ∈ các phép co có tính chất sau: Với mọi 1 i n, bM có chính xác một dòng, dòng ≤ ≤ thứ k , và các hệ số của nó ở i 1 cột đầu tiên bằng 0 đồng thời nó có một phần tử i − khác 0 ở cột thứ i. Chứng minh. Cho M = (m G). Vì M là khả nghịch nên cột đầu tiên của M ij ∈ phải có phần tử khác 0; giả sử 1 k n sao cho m và m = 0 với mọi i > k . ≤ 1 ≤ k116=0 i1 1 Chẳng hạn, nếu ta lấy n = 5 và k1 = 3 thì ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ M = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0   ∗ ∗ ∗ ∗ 0   ∗ ∗ ∗ ∗   (trong đó, là kí hiệu cho một hệ số nhận giá trị bất kì). Nhân từ bên trái của M ∗ bởi các phép co có dạng Xik1 (α), ở đó i < k1, khi đó phần tử khác 0 duy nhất ở cột 0 0 đầu tiên của tích thu được M = (mij) nằm ở dòng thứ k1. Chẳng hạn, tiếp tục với ma trận M ở trên, ta có 0 ∗ ∗ ∗ ∗ 0  ∗ ∗ ∗ ∗ M 0 = . ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0   ∗ ∗ ∗ ∗ 0   ∗ ∗ ∗ ∗   Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
44. 4. CẤU TRÚC CƠ BẢN 45 Tất cả các phép co M 0 có được từ M đều nằm trong B, và do đó M 0M −1 B. Vì ∈ M 0 cũng khả nghịch nên cột thứ hai của M 0 phải có phần tử khác 0 ở dòng nào đó khác dòng thứ k . Gọi 1 k n sao cho k = k ,m0 và m0 = 0 với mọi 1 2 2 1 k226=0 i2 ≤ ≤ 0 6 i > k2, i = k1. Tiếp tục nhân bên trái của M với các phép co dạng Xik2 (α), ở đó 6 00 i < k2, ta có tất cả các phần tử trong cột thứ hai của tích thu được M là 0 ngoại 00 trừ các phần tử của các dòng k1 và k2. Tương tự, tất cả các phép co M có được từ M 0 nằm trong B, và do vậy M 00M −1 B. Tiếp tục quá trình này, cuối cùng ta ∈ có được một ma trận bM với tính chất mong muốn, trong đó b là tích của các tam giác trên của các phép co. Nếu chọn n = 5 và (k1, k2, k3, k4, k5) = (3, 5, 4, 1, 2) thì 0 0 0 ∗ ∗ 0 0 0 0  ∗ bM = . ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0   ∗ ∗ ∗ 0   ∗ ∗ ∗ ∗   (Ở đây, các số k1, , kn chỉ là 1, , n theo một thứ tự nào đó.) Định lý phân hoạch Bruhat. G = BW B. Chứng minh. Với mỗi M G, ta xác định các số k và ma trận b B như trong Bổ ∈ i ∈ đề 22. Cho w W là ma trận hoán vị mà cột thứ k của nó là v với mọi i. Khi đó ∈ 1 i dòng thứ i của wbM bằng dòng thứ k1 của bM với mọi i, và do đó wbM là ma trận tam giác trên. Vậy wbM B, điều này suy ra M b−1w−1B BW B. ∈ ∈ ⊆ Bây giờ, chúng ta xem G như là hợp của các lớp kề kép BwB, với w chạy trên W . Ta sẽ chứng minh rằng hợp này là rời dựa trên bổ đề sau. Bổ đề 23. Nếu w , w W và b B sao cho w bw B thì w = w−1. 1 2 ∈ ∈ 1 2 ∈ 2 1 Chứng minh. Giả sử 1 j = n cho trước và cho i là số sao cho w (i) = j; khi đó, ≤ 6 1 dòng thứ i của w1b bằng dòng thứ i của b. Gọi k là số sao cho w2(k) = i; khi đó cột thứ k của w bw bằng cột thứ i của w b. Gọi β là hệ số (i, i) của b. Ta có β = 0 1 2 1 6 vì b B, và β là hệ số (j, i) của w b và do đó cũng là hệ số (j, k) của w bw . Vì ∈ 1 1 2 w bw B nên j k. Như vậy, với mỗi 1 j n, ta có một ma trận w−1w−1 W 1 2 ∈ ≤ ≤ ≤ 2 1 ∈ mà nó biến vj thành vk, trong đó j k n. Nhưng chỉ có một ma trận hoán vị ≤ ≤ −1 −1 duy nhất có tính chất này là ma trận đơn vị do đó w2 w1 = I, điều phải chứng minh. Hệ quả 24. Nếu w và w0 là các phần tử phân biệt của W thì BwB vàBw0B là rời nhau; do đó, G là hợp rời của n! các lớp kề kép BwB, với w chạy trên W .
45. 46 CHƯƠNG 2. NHÓM TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT Chứng minh. Giả sử phản chứng w, w0 W sao cho BwB Bw0B khác rỗng. Vì hai ∈ ∩ lớp kề kép hoặc rời nhau hoặc bằng nhau nên BwB = Bw0B. Đặc biệt, w0 = bwb0 với b, b0 B và do đó w−1b−1w0 B. Theo Bổ đề 23, w−1 là nghịch đảo của w0 và ∈ ∈ do đó w = w0. Điều này chứng minh khẳng định đầu tiên, khẳng định thứ hai được suy ra từ định lí phân hoạch Bruhat. Từ các chứng minh trên ta suy ra một kết quả có tính kĩ thuật sau đây, kết quả này rất cần thiết trong phần tiếp theo của cuốn sách này. Hệ quả 25. Giả sử M G và w là phần tử duy nhất của W sao cho M BwB. ∈ ∈ v v Khi đó, w biến i thành ki với mọi i, trong đó các số ki được xác định như trong Bổ đề 22. Đặc biệt, nếu M biến v thành α v + + α v với α = 0 thì w biến 1 1 1 k k k 6 v1 thành vk. Chúng ta kết thúc phần này bằng một kết quả mà nó cho phép chúng ta đưa ra một tập sinh cho G mà nó nhỏ hơn so với tập sinh được đưa ra bởi phân hoạch Bruhat. Một lần nữa, chúng ta bắt đầu bằng một bổ đề. Bổ đề 26. Cho b B. Khi đó, tồn tại một tích t các phép co sao cho tb là ma trận ∈ chéo có các hệ số trên đường chéo chính giống như của b. Chứng minh. Vì b B nên các hệ số trên đường chéo chính của b khác 0. Ta áp ∈ dụng một quy trình giống như đã áp dụng cho Bổ đề 7, nhưng ở đây để giữ nguyên các hệ số trên đường chéo chính, chúng ta bắt đầu ở cột cuối cùng thay vì cột đầu tiên. Ta nhân b từ bên trái bởi các phép co Xin(α) sao cho hệ số khác không duy nhất của cột thứ n của ma trận thu được nằm trên dòng thứ n. Hệ số thứ n trên đường chéo của ma trận thu được giống hệ số này của b và hệ số thứ n 1 trên − đường chéo của nó khác 0. Bây giờ, ta tiếp tục nhân từ bên trái ma trận này với các phép co X (α) để thu được một ma trận có một khối đường chéo 2 2 ở i(n−1) × góc dưới phải, với các hệ số trên đường chéo đó bằng với các hệ số trong khối tương tự như thế của b. Tiếp tục quá trình này, chúng ta thu được một ma trận chéo mà các hệ số trên đường chéo của nó giống như của b. Định lí 27. G được sinh bởi tập bao gồm tất cả các ma trận chéo khả nghịch và tất cả các phép co. Chứng minh. Theo định lí phân hoạch Bruhat (Định lí 4) G = BW B, ta chỉ cần chứng minh B và W được chứa trong nhóm con của G mà được sinh bởi các ma trận chéo và các phép co. Nhưng điều này được suy ra trực tiếp từ Bổ đề 26. Vì W = n (theo Mệnh đề 20) nên W được sinh bởi các ma trận hoán vị tương P Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
46. 4. CẤU TRÚC CƠ BẢN 47 ứng với các phép biến đổi đó; đây chính là các ma trận mà có được từ ma trận đơn vị bằng cách đổi chỗ hai cột. Giả sử i và j phân biệt. Ta cần chứng minh, bằng các ma trận chéo và các phép co, chúng ta có thể xây dựng một ma trận mà biến vi thành vj, biến vj thành vi và cố định mọi vk khác. Nhận thấy ma trận X (1)X ( 1)X (1) biến v thành v , biến v thành v và cố định mọi v khác. ji ij − ji i j j − i k Để có được ma trận hoán vị mà biến vi thành vj, vj thành vi và cố định mọi vk khác, ta nhân ma trận này từ bên trái bởi ma trận chéo mà hệ số (i, i) của nó bằng 1 và phần tử khác 0 khác của nó bằng 1. Điều này chứng minh rằng W nằm trong − nhóm được sinh bởi các ma trận chéo và các phép co. BÀI TẬP 1. Hãy chứng minh rằng GL(2, 2) ∼= 3. 2. (tiếp) Hãy xây dựng một đơn cấuPϕ : GL(1, 4) GL(2, 2) mà tương ứng với → phép nhúng A3 vào 3. (Nhắc lại rằng trường F4 gồm 4 phần tử có thể được viết thành 0, 1, α, α2 , ở đó α + 1 = α2 và λ + λ = 0 với mọi λ F .) Hãy { P} ∈ 4 chứng minh tiếp rằng mở rộng của ϕ thành một ánh xạ từ F tới (F ), ở 4 M2 2 đó F = 0, 1 là một trường gồm 2 phần tử, là một đơn cấu vành. 2 { } 3. (tiếp) Hãy xây dựng một đơn cấu từ GL(n, 4) vào GL(2n, 2) với mọi n N. ∈ 4. (tiếp) Tổng quát hơn, hãy chứng minh với mọi n N và mọi luỹ thừa nguyên ∈ tố q hãy chứng minh rằng GL(2n, q) có một nhóm con đẳng cấu với GL(n, q2). GL(n, qm) có luôn có một nhóm con đẳng cấu với GL(mn, q) với bất kì m, n N ∈ và mọi luỹ thừa nguyên tố q không? 5. Hãy chứng minh rằng GL(4, 2) ∼= A8. 6. Cho β là một tự đẳng cấu không tầm thường của trường F . Hãy sử dụng β để xây dựng một tự đẳng cấu ngoài của GL(n, F ). Có phải tất cả các tự đẳng cấu ngoài của GL(n, F ) đều được sinh ra theo cách này không? BÀI TẬP MỞ RỘNG 7. Một ma trận được gọi là đơn nếu mọi dòng và mọi cột của nó đều có các hệ số khác 0. Cho N là tập con của G = GL(n, F ) bao gồm tất cả các ma trận đơn. Hãy chứng minh N 6 G, T = B N là nhóm con của G chứa tất cả các ∩ ma trận chéo, N = NG(T ), và N = T o W . Cho G là một nhóm. Giả sử G có các nhóm con B và N thoả mãn các điều kiện sau:
47. 48 CHƯƠNG 2. NHÓM TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT G được sinh bởi B và N. • T = B N là một nhóm con chuẩn tắc của N. • ∩ W = N/T được sinh bởi một tập hữu hạn S của các phần tử đối hợp (các • phần tử cấp 2). Hơn nữa, nếu với mỗi w W chúng ta chọn w˙ N sao cho ∈ ∈ wT˙ = w thì – sB˙ w˙ BwB˙ Bs˙wB˙ với mọi s S và w W , ⊆ ∪ ∈ ∈ – sB˙ s˙ * B với mọi s S. ∈ Trong trường hợp này chúng ta nói rằng B và N tạo thành một BN-cặp của G, hay (G, B, N, S) là một hệ thống Tits (đặt theo tên của Jacques Tits). Ta gọi B là nhóm con Borel của G và W = N/B N là nhóm Weyl kết hợp với hệ thống Tits. Hạng ∩ của hệ thống Tits được định nghĩa là S . | | 8. (tiếp) Cho G = GL(n, F), B là nhóm con Borel tiêu chuẩn của G, N là nhóm con của G chứa tất cả các ma trận đơn, và đặt T = B N. Theo Bài tập 7 ∩ trên, ta có thể coi W = N/T được nhúng vào G như là nhóm bao gồm các ma trận hoán vị. (Nhận xét rằng, ta có thể thay thế w˙ bằng w trong các công thức ở trên.) Cho S là tập con của W bao gồm các ma trận hoán vị mà có được từ ma trận đơn vị bằng cách thay đổi hai cột liền kề. (Nói cách khác, nếu chúng ta đồng nhất W với n như trong Mệnh đề 20 thì S tương ứng với tập (1 2), (2 3), , (n 1 n) .) Hãy chứng minh rằng (G, B, N, S) là một hệ { − } P thống Tits hạng n 1. − 9. (tiếp) Cho G là một nhóm với BN-cặp. Hãy chứng minh rằng với w W , ∈ tập BwB˙ là độc lập với cách chọn w˙ N sao cho wT˙ = w. Chứng minh rằng ∈ chúng ta có một phân hoạch Bruhat G = m BwB x[∈W đây là hợp rời, trong đó BwB được hiểu là BwB˙ với mọi w˙ N sao cho wT˙ = w. ∈ 5. Nhóm con parabol Trong phần này, chúng ta tiếp tục kí hiệu G = GL(n, F ) với F là một trường và n N; V (F ) là không gian véctơ của các véctơ cột gồm n tọa độ trên F . Chúng ta ∈ n luôn coi một phần tử của G là các ma trận của các biến đổi tuyến tính khả nghịch Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
48. 5. NHÓM CON PARABOL 49 của Vn(F ) ứng với cơ sở chính tắc v1, , vn. Một cờ đầy đủ trên Vn(F ) là một dãy các không gian con 0 V V V V = V (F ). ⊂ 1 ⊂ 2 ⊂ ⊂ n−1 ⊂ n n Chúng ta thường kí hiệu (V , , V ) cho cờ trên. Vì chúng ta sử dụng để kí 1 n ⊂ hiệu cho quan hệ tập con thực sự nên dimF Vi = i với mọi i. Cờ chính tắc là cờ được xác định bởi V = F v F v = V F v với mọi i (quy ước V = 0). i 1 ⊕ ⊕ i i−1 ⊕ i 0 Có một tác động tự nhiên của G lên tập các cờ đầy đủ trên Vn(F ); đó là, nếu (V , , V ) là một cờ đầy đủ và g G thì g(V , , V ) = (gV , , gV ), ở đây chúng 1 n ∈ 1 n 1 n ta coi g như một biến đổi tuyến tính khả nghịch của Vn(F ). (Mỗi gVi là một không gian con i-chiều và các gVi vẫn giữ nguyên mối quan hệ bao hàm như Vi, do đó (gV1, , gVn) cũng là một cờ đầy đủ.) Dễ thấy đây là một tác động nhóm. Bây giờ, giả sử (V1, , Vn) là cờ chính tắc, chúng ta sẽ chứng minh rằng mọi cờ đầy đủ đều nằm trong quỹ đạo của cờ chính tắc và do đó G-tập các cờ đầy đủ có tính bắc cầu. Thật vậy, nếu (W , , W ) là một cờ đầy đủ thì tồn tại w , , w V (F ) sao cho 1 n 1 n ∈ n w W W với mọi i (W = 0). Gọi g là ma trận mà cột thứ i của nó là w với i ∈ i − i−1 0 i mọi i; khi đó, g khả nghịch, vì w1, , wn là một cở sở của Vn(F ). Lại có g vi = wi với mọi i nên (W1, , Wn) = g(V1, , Vn), suy ra điều phải chứng minh. Cái ổn định của một cờ đầy đủ (V1, , Vn) dưới tác động này là tập các phần tử g G sao cho (gV , , gV ) = (V , , V ); tức là, tập các phần tử g sao cho gV = V ∈ 1 n 1 n i i với mọi i. Không khó khăn để chỉ ra rằng cái ổn định của cờ chính tắc chính xác là nhóm con Borel tiêu chuẩn B của G. (Lập luận này có thể sử dụng để chứng minh rằng B là một nhóm con của G.) Vì G-tập của các cờ đầy đủ có tính bắc cầu nên theo Bổ đề 2, các nhóm con Borel của G, mà theo định nghĩa là các liên hợp của B, chính là các cái ổn định của các cờ đầy đủ trên Vn(F ). Một ma trận tam giác trên được gọi là ma trận tam giác đơn vị trên nếu tất cả các hệ số của nó nằm trên đường chéo chính bằng 1; tức nó là ma trận tam giác trên và có các giá trị riêng đều bằng 1. Bằng cách lặp lại phần chứng minh của Mệnh đề 18, chúng ta có thể chứng minh rằng tập U chứa tất cả các ma trận tam giác đơn trên khả nghịch là một nhóm con của B. Kí hiệu T là tập con của G bao gồm tất cả các ma trận chéo. Dễ thấy T 6 B và U T = 1. ∩ Mệnh đề 1. B = U o T . Chứng minh. Chúng ta chỉ cần chứng minh rằng U ¢ B và B = UT . Gọi ϕ : B T → là ánh xạ biến mỗi ma trận thành ma trận chéo có cùng một đường chéo chính. Dễ thấy ϕ là một đồng cấu và hạt nhân của ϕ là U do đó U ¢ B. Nếu b B thì ∈ hạn chế của ϕ xuống T là ánh xạ đơn vị. Từ đó bϕ(b)−1 ker ϕ = U, và do đó ∈