Giáo trình Nhập môn toán tài chính (Phần 2)

Nội dung text: Giáo trình Nhập môn toán tài chính (Phần 2)

1. Chương 6 Quản lý danh mục đầu tư Nền kinh tế thế giới phát triển được là nhờ có đầu tư, không có đầu tư thì không có phát triển. Đầu tư có nghĩa là đổ tiền của công sức vào những cái gì đó, với kỳ vọng là nó sẽ đem lại những của cải vật chất và tinh thần trong tương lai. Tất nhiên, không phải mọi đầu tư đều đem lại hiệu quả như nhau, hoặc là đều dễ đo hiệu quả. Ví dụ như giáo dục là loại hình đầu tư vô cùng quan trọng, nhưng đo hiệu quả của nó rất khó. Ngoài hiệu quả kinh tế mà giáo dục đem lại qua việc làm tăng trình độ chuyên môn của mọi người, còn có hiệu quả về văn hóa, làm cho xã hội văn minh lên, chất lượng cuộc sống tinh thần cao lên, và điều này không đo được bằng tiền. Một thước đo hiệu quả đầu tư, từ quan điểm kinh tế vĩ mỗ, là chỉ số ICOR (incremental capital output ratio), tức là tỷ lệ tăng doanh thu trên vốn đầu tư thêm. Ví dụ, nếu đầu tư thêm 1$ mà nhờ đó mỗi năm tăng thêm doanh thu 0.25$, thì chỉ số ICOR bằng 1/0.25 = 4. Nước nào hay công ty nào có chỉ số ICOR càng thấp thì tức là đầu tư càng hiệu quả về mặt kinh tế. Chẳng hạn, khi chỉ số ICOR dưới 3, như là trường hợp của Đài Loan hay Hàn Quốc trong giai đoạn phát triển nhanh, thì là hiệu quả đầu tư cao. Khi Việt Nam có chỉ số ICOR vào quãng 4 trong thập kỷ 1990, thì là hiệu quả đầu tư ở mức trung bình, nhưng khi chỉ số ICOR lên trên 5 những năm sau đó, rồi thậm chí lên đến 8 vào năm 2009, thì là hiệu quả đầu tư thấp, kéo theo vay nợ nước ngoài nhiều và bấp bênh về tài chính. Ở đây, chúng ta sẽ không bàn về hiệu quả đầu tư từ khía cạnh kinh tế xã hội, mà là từ quan điểm các nhà đầu tư tài chính, tức là những người bỏ vốn ra đầu tư vào những loại hình đầu tư nào đó, nhằm thu lại được một khoản vốn lớn hơn trong tương lai, tuy tất nhiên hiệu quả đầu tư của các nhà đầu tư và hiệu quả đầu tư của các nơi nhận được đầu tư là hai khái niệm gắn nhiều với nhau, và các nhà đầu tư muốn đạt hiệu quả đầu 131
2. 132 CHƯƠNG 6. QUẢN LÝ DANH MỤC ĐẦU TƯ Hình 6.1: Chỉ số ICOR ở Việt Nam. (Nguồn: Tổng Cục Thống Kê) tư cao thì phải tìm những nơi nào có hiệu quả đầu tư cao cho vốn đầu tư vào đó. Đối với các nhà đầu tư, thì hiệu quả đầu tư được đo bằng tỷ lệ lợi nhuận, và mức độ an toàn hay bấp bênh về tài chính của các đầu tư. Câu hỏi đặt ra đối với các nhà đầu tư là: đầu tư vào những đâu, như thế nào, để đạt kỳ vọng lợi nhuận cao nhất, đồng thời đảm bảo mức an toàn chấp nhận được, không quá mạo hiểm. Lý thuyết toán tài chính nhằm trả lời những câu hỏi này gọi là lý thuyết quản lý danh mục đầu tư. Quản lý danh mục đầu tư và phân bổ tài sản (chia tài sản vào các loại hình đầu tư khác nhau thế nào sao cho hợp lý) là một vấn đề rất lớn của tài chính. Trong khuôn khổ của chương này, chúng ta sẽ chỉ bước đầu tìm hiểu những nguyên tắc cơ bản trong việc quản lý danh mục đầu tư, nhằm tạo cơ sở để bạn đọc có thể xây dựng được triết lý đầu tư thích hợp cho mình, và nghiên cứu thêm về vấn này trong nhiều tài liệu chuyên về đầu tư cũng như qua thực hành đầu tư. Thuật ngữ “danh mục đầu tư” tiếng Anh là portfolio, tiếng Pháp là portefeuille, được hình thành từ hai từ “port” (hay “porte”), có nghĩa là mang giữ, và “folio“ (hay “feillle”), có nghĩa là giấy tờ. Sở dĩ được gọi như vậy, vì trong lịch sử, các chứng khoán là các thứ giấy tờ, và portfolio có nghĩa là cặp giữ các giấy tờ chứng khoán khác nhau, hay nói rộng ra là giữ các loại tài sản khác nhau. Trong các chứng khoán thì có thể có chứng khoán có giá trị âm, ví dụ như giấy ghi nhận là đang nợ ai đó. Lý thuyết quản lý một danh mục mà trong đó có cả các khoản âm lớn gọi là asset liability management (ALM) có nghĩa là quản lý tài sản và nợ, đặc biệt quan trọng đối với các ngân hàng và hãng bảo hiểm. Nhưng chúng ta sẽ không bàn đến ALM trong chương này, mà sẽ hạn chế vào trường hợp phần lớn các khoản khác nhau
3. 6.1. MỘT SỐ NGUYÊN TẮC CHUNG VỀ ĐẦU TƯ 133 trong một danh mục đầu tư có giá trị dương. 6.1 Một số nguyên tắc chung về đầu tư 6.1.1 Quan hệ giữa rủi ro và lợi nhuận Tiếng Anh có câu “no pain, no gain” (không chịu đau khổ thì cũng không đạt thành quả) , hay tiếng Việt có câu thành ngữ gần giống thế là “có chí làm quan, có gan làm giầu”. Gan ở đây là khả năng chấp nhận rủi ro mạo hiểm. Điều này rất đúng trong đầu tư, khi mà nguy hiểm rủi ro và cơ hội lợi nhuận luôn đi liền với nhau. Như chúng ta sẽ thấy trong chương này, các loại hình đầu tư nào có kỳ vọng lợi nhuận cao hơn thì cũng thường đi kèm với mức độ rủi ro cao hơn. Rủi ro ở đây có thể hiểu là khả năng bị mất tiền (tiền thu lại được nhỏ hơn số tiền ban đầu bỏ ra) khi gặp những tình huống không thuận lợi. Ví dụ như gửi tiền tiết kiệm là hình thức đầu tư an toàn cao nhưng đem lại lợi nhuận thấp. Đầu tư vào cổ phiếu của các doanh nghiệp là hình thức đầu tư mà về lâu dài đem lại lợi nhuận trung bình cao hơn các hình thức đầu tư khác như đầu tư vào trái phiếu và bất động sản, thế nhưng nó cũng có mức rủi ro cao hơn. Tất nhiên, không phải cứ mức độ rủi ro cao thì kỳ vọng lợi nhuận nghiễm nhiên sẽ cao. Chẳng hạn, các loại hình đánh bạc có độ rủi ro rất cao, và kỳ vọng lợi nhuận là số âm. Bài toán quản lý danh mục đầu tư là bài toán tối ưu hóa về rủi ro và lợi nhuận: một mặt phải quản lý rủi ro để giảm thiểu rủi ro, sao cho danh mục đầu tư được ổn định về giá trị, không bị thua lỗ quá mức chấp nhận được khi gặp các tình huống không thuận lợi, và mặt khác phải làm sao đạt mức lợi nhuận kỳ vọng lớn nhất có thể được, trong phạm vi mức độ rủi ro chấp nhận được đó. Chúng ta sẽ tiếp cận bài toán này, đầu tiên là bằng các phương pháp định tính (qualitative), tức là xác định các nguồn đem lại rủi ro và lợi nhuận, và các qui tắc chung nhằm quản lý rủi ro và tăng lợi nhuận, rồi đến định lượng (quantitative), tức là các công thức toán học để định nghĩa và tính toán với mức độ rủi ro (như volatility và value at risk) và kỳ vọng lợi nhuận, và các mô hình toán học cho chiến lược đầu tư nhằm tối ưu hóa rủi ro và lợi nhuận. 6.1.2 Đa dạng hóa Tuy rằng các lý thuyết toán tài chính về đa dạng hóa (diversification) trong đầu tư, trong đó có lý thuyết gọi là modern portfolio theory (lý thuyết danh mục đầu tư hiện đại)
4. 134 CHƯƠNG 6. QUẢN LÝ DANH MỤC ĐẦU TƯ đoạt giải Nobel về kinh tế của Harry Markowitz(1), mới chỉ xuất hiện từ giữa thế kỷ 20, nhưng các bài học về đa dạng hóa trong đầu tư trên thế giới đã có từ hàng ngàn đời nay. Theo Roger Gibson [10], từ hơn một nghìn năm trước công nguyên, trong sách Talmud (kinh thánh của đạo Do Thái(2)) đã viết như sau: Mỗi người phải chia tài sản của mình thành ba phần, một phần để vào đất đai, một phần để vào doanh nghiệp, và một phần để dự trữ. Lời khuyên trên trong sách Talmud tuy rất đơn giản nhưng cũng rất sáng suốt và hiệu nghiệm. Nhà đất, doanh nghiệp, và dự trữ (như là vàng, hay tiền gửi ngân hàng) là ba loại hình đầu tư khác nhau, phục vụ các nhu cầu khác nhau, với các kỳ vọng về lợi nhuận và độ an toàn khác nhau, khi kết hợp với nhau thì cho được một rổ tài sản vừ đảm bảo có mức an toàn cao, vừa có triển vọng lợi nhuận tốt. Nói một cách tổng quát, đa dạng hóa tài sản là biện pháp hiệu quả nhằm giảm rủi ro. Khi đa dạng hóa tài sản thì rủi ro giảm đi, bởi vì mỗi lúc rủi ro có thể xảy đến với một loại tài sản nào đó, chứ thường không xảy đến với tất cả các tài sản cùng một lúc. Nếu chỉ giữ một tài sản, mà rủi ro xảy đến với tài sản đó, thì sẽ bị thiệt hại nặng nề. Nhưng khi giữ nhiều loại tài sản, thì mức độ thiệt hại chung trên tổng tài sản sẽ nhẹ hơn nhiều khi rủi ro xảy ra với một trong các tài sản. 6.1.3 Đòn bẩy tài chính Biểu hiện của việc sử dụng đòn bẩy đầu tư, là khi một tài khoản đầu tư vào một loại chứng khoán nào đó lại có tốc độ thay đổi giá trị nhanh hơn là chứng khoán đó. Ví dụ, một người có 1000$ đầu tư vào vàng, nhưng vay công ty chứng khoán thêm 19000$ để mua 20000$ tiền vàng, với đòn bẩy là 20 lần. Nếu như giá vàng trong ngày tăng lên 1%, thì thay vì chỉ được lãi 1% nếu chỉ đầu tư bằng vốn của mình, người này được lãi gấp 20 lần như vậy, tức là lãi 20%, nhờ dùng đòn bẩy. Đòn bẩy hấp dẫn với các nhà đầu tư (hay nói chính xác hơn là đầu cơ) và các quỹ đầu cơ (hedge funds(3)) như là “tiếng gọi của nàng tiên cá”, vì nó hứa hẹn triển vọng tăng lợi nhuận lên nhiều lần. Việc dùng đòn bẩy cao rất phổ biến trên các thị trường tài chính, (1)Xem: (2)Xem: (3)hedge fund nếu dịch theo từng chữ thì có nghĩa là “quỹ phòng vệ”, tức là các quỹ có sử dụng các chiến lược rảo cản (hedge) phòng chống rủi ro, nhưng trên thực tế đây thường là các quỹ đầu cơ với độ rủi ro cao hơn là quỹ tương hỗ thông thường, do sử dụng đòn bẩy tài chính.
5. 6.1. MỘT SỐ NGUYÊN TẮC CHUNG VỀ ĐẦU TƯ 135 như là thị trường hàng hóa (commodities) và ngoại hối (forex). Tuy nhiên, đòn bẩy là con dao hai lưỡi rất nguy hiểm, và đi kèm triển vọng tăng lợi nhuận lên nhiều lần cũng là sự tăng độ rủi ro lên gấp bội. Trong ví dụ phía trên, nếu giá vàng không đi lên 1% mà lại giảm 5%, thì người dùng đòn bẩy 20 lần để đầu cơ vàng sẽ phá sản. Khi thị trường cổ phiếu đi xuống, thì các nhà đầu tư cổ phiếu dùng đòn bẩy cao (ví dụ vay một lượng tiền bằng số tiền mình có, để có thể mua được một lượng cố phiếu nhiều lên gấp đôi) cũng gặp nguy cơ phá sản tương tự, như đã xảy ra với nhiều người ở Việt Nam trong giai đoạn 2008–2009. Kể cả khi mà một người có những phán đoán rất đúng về giá của một chứng khoán nào đó, thì việc dùng đòn bẩy cao vẫn có thể gây ra phá sản, do các biến động ngắn hạn bất lợi của thị trường. Ví dụ, một người phán đoán là cổ phiếu XYZ sẽ đi lên rất mạnh trong 1 năm, và mua cổ phiếu đó với đòn bẩy 2 lần (tức là vay thêm số tiền bằng 100% vốn để mua). Quả thật, sau 1 năm, cổ phiếu XYZ tăng giá lên gấp 5 lần. Thế nhưng, trước khi đi lên mạnh như vậy, giá của XYZ đi xuống chỉ còn bằng 50% giá thời điểm mà người này mua vào (rồi sau đó tăng giá lên gấp 10 lần tính từ chỗ giá thấp), kịp làm cho người này phá sản và không còn được hưởng thành quả sự phán đoán đúng đắn của mình nữa. Trên thị trường chứng khoán không thiếu những ví dụ có thật về biến động giá như vậy. Một trong các nguyên tắc quan trọng của đầu tư là, phải rất thận trọng với đòn bẩy (và với các quỹ đầu tư dùng đòn bẩy, như là các hedge funds), bởi đòn bẩy có thể làm tăng độ rủi ro lên quá mức chấp nhận được. 6.1.4 Đệm an toàn Như chúng ta thấy từ Chương 5, việc ước lượng giá trị của một cổ phiếu, hay nói một cách tổng quát hơn, của một số loại tài sản nào đó, là việc rất khó, và hai người khác nhau có thể cho hai giá trị ước lượng rất xa nhau đối với cùng một chứng khoán, ước lượng của người này có khi cao gấp đến mấy lần ước lượng của người kia. Người nào ước lượng ra giá trị của chứng khoán càng cao, thì càng dễ chấp nhận mua chứng khoán với giá cao, mà khi mua với giá cao như vậy thì dễ bị rủi ro về giá, bởi vì sau đó khó bán lại cho những người khác có ước lượng giá trị thấp hơn cho chứng khoán đó, sẵn sàng bán nó với giá rẻ hơn. Trong lý thuyết về các trò chơi đấu giá có một định lý gọi là “nỗi khổ của người thắng” (the winner’s curse): người thắng cuộc trong một cuộc bán đấu giá là người trả giá cao nhất, và sau đó có thể hối hận vì đã trả giá cao đến vậy.
6. 136 CHƯƠNG 6. QUẢN LÝ DANH MỤC ĐẦU TƯ Để tránh rơi vào tình trạng hối hận vì trả giá quá cao, có một nguyên tắc trong đầu tư, gọi là đệm an toàn (cushion of safety): một nhà đầu tư chỉ nên mua chứng khoán với giá thấp hơn đáng kể so với ước lượng giá trị của nhà đầu tư về chứng khoán đó. Sự chênh lệch giữa giá trị ước lượng, và giá mua vào, chính là đệm an toàn, để nếu chẳng may ước lượng có bị sai và cao quá so với các ước lượng của các nhà đầu tư khác, thì vẫn giảm được rủi ro về giá trị chứng khoán mua vào so với tiền bỏ ra để mua nó. Đệm an toàn chính là một trong các nguyên tắc đầu tư quan trọng nhất của tỷ phú Warren Buffet, người được mệnh danh là nhà đầu tư giỏi nhất thế giới. 6.1.5 Độ dài thời gian Một cây ăn quả, từ lúc trồng đến lúc được hái quả, có khi phải đợi vài năm. Đối với đầu tư cũng vậy, mỗi loại hình đầu tư cũng thường đòi hỏi một độ dài thời gian nhất định. Ví dụ, với các trái phiếu chính phủ dài hạn, nếu giữ đến lúc đáo hạn thì nói chung đảm bảo là có lợi nhuận, nhưng nếu chỉ giữ một thời gian ngắn thì có thể bị lỗ vì rủi ro về lãi suất. Đối với cổ phiếu cũng tương tự như vậy: nếu giữ một rổ cổ phiếu lâu dài nhiều năm, thì nói chung là có lợi nhuận tốt, nhưng nếu chỉ giữ ngắn hạn (đầu tư theo kiểu lướt sóng, chạy theo “mốt” của thị trường) thì rủi ro cao, dễ thua lỗ do các biến động giá bất lợi xảy ra trong ngắn hạn. Những tài liệu như Greenblatt [11, 12] và Shenoy [27] cho thấy, về mặt lý thuyết ai cũng có thể tìm được các cổ phiếu để đầu tư đạt mức lợi nhuận trung bình trên 20%/năm, theo những nguyên tắc tương đối đơn giản dễ áp dụng, thế nhưng rất hiếm người đạt hiệu quả đầu tư như vậy. Vấn đề nằm ở chỗ, phần lớn các nhà đầu tư có cái nhìn quá ngắn hạn, chạy theo “mốt” thị trường mà bỏ qua những cổ phiếu có giá thấp hơn nhiều giá trị thực. Đến khi các cổ phiếu như vậy trở thành “mốt” thì cũng là lúc giá của chúng đã cao lên nhiều rồi. Theo nguyên tắc chung, những người càng có thể giữ dài hạn các khoản đầu tư, thì càng đỡ bị ảnh hưởng của rủi ro biến động giá trong ngắn hạn, và càng dễ chọn được các đầu tư mang lại kỳ vọng lợi nhuận trung bình hàng năm cao hơn. Về điểm này, những người còn trẻ tuổi có lợi thế hơn là những người đã nhiều tuổi. 6.1.6 Đầu tư có tổ chức Công việc đầu tư là một công việc phức tạp, và muốn làm tốt nó đòi hỏi phải làm tốt nhiều công đoạn như: thu thập thông tin, phân tích tình hình thị trường, phân tích các
7. 6.2. CÁC LOẠI HÌNH ĐẦU TƯ 137 cơ hội đầu tư, lập chiến lược đa dạng hóa và phân bổ tài sản, thực hiện mua bán, quản lý rủi ro, tính toán sổ sách, v.v. Vì có nhiều công việc như vậy, nên một cá nhân đơn lẻ thường không thể làm xuể một cách tối ưu được, mà cần có một tổ chức, có phân công công việc, tương trợ lẫn nhau, thì kết quả sẽ tốt hơn. Bởi vậy, người ta nói rằng “đầu tư là một môn thể thao tập thể” (investing is a team sport). Các nhà đầu tư nói chung nên tránh đầu tư riêng lẻ, mà nên tham gia một nhóm đầu tư, hay một công ty đầu tư có tổ chức tốt, hay gửi tiền vào một nơi như vậy, thì sẽ giảm được rủi ro và có được nhiều cơ hội đầu tư tốt hơn. Các nhà đầu tư lớn nhất thế giới đều là đầu tư có tổ chức, có nhiều người tham gia phụ trách các vấn đề khác nhau trong một bộ máy đầu tư. 6.2 Các loại hình đầu tư Có nhiều loại hình đầu tư khác nhau. Ở đây chúng ta sẽ điểm qua một số loại hình đầu tư thông dụng nhất, và kỳ vọng lợi nhuận cũng như mức độ rủi ro của chúng. 6.2.1 Vàng bạc châu báu Nói về lâu dài, thì vàng bạc châu báu chỉ là phương tiện giữ tài sản, chứ không sinh ra lợi nhuận (trừ khi đem cho vay lấy lãi, thì thành loại hình đầu tư cho vay nợ, hoặc đem dùng trong việc chế tạo cái gì đó, thì không còn là đầu tư theo nghĩa ở đây nữa, mà là sản xuất). Một cân vàng để 100 năm sau vẫn chỉ là một cân vàng chứ không sinh thêm ra của cải. Bởi vậy có thể nói, lợi nhuận trung bình từ đầu tư vàng bằng 0. Đi vào chi tiết hơn, thì trong một quá trình dài hàng thế kỷ, độ tăng giá trung bình hàng năm của vàng xấp xỉ bằng mức độ lạm phát trung bình. Vào năm 1880, một lượng vàng có giá 20.67$, và 130 năm sau, vào cuối năm 2010 nó có giá 1350$, tức là tốc độ tăng giá trung bình vào khoảng 3,27%/năm, tương đương với tốc độ lạm phát trung bình của đồng USD trong 130 năm đó (hơn 3%/năm). Về lâu dài, giá vàng không thể tăng nhanh hơn đáng kể so với tỷ lệ lạm phát, vì vàng trên thể giới không bị khan hiếm đi, và tỷ lệ giá trị của vàng so với tổng các tài sản trên thế giới không thế phình to quá được, cho nên giá của nó cũng không thể tăng quá cao so với giá của các thứ khác. Tất nhiên, do giao động của thị trường, có những giai đoạn mà giá vàng tăng nhanh, ví dụ trong 1 năm 1978–1979 giá vàng tăng hơn gấp đôi từ 208$ lên 459$ một lượng, nhưng cũng có những giai đoạn giá vàng không tăng mà lại giảm, ví dụ trong 10 năm 1987–1997 giá vàng giảm từ gần 500$ xuống còn 290$. Tính trung bình lại trong rất nhiều năm, thì độ tăng của giá vàng
8. 138 CHƯƠNG 6. QUẢN LÝ DANH MỤC ĐẦU TƯ chỉ tương đương với tỷ lệ lạm phát. Từ quan điểm đầu tư dài hạn, thì giữ vàng không nhằm mục đích mang lại lợi nhuận, mà chỉ là cách phân bổ tài sản để nhằm giảm rủi ro và chống lạm phát. Những nhà đầu tư mua đi bán lại vàng thường xuyên trên thị trường tài chính phần lớn không phải là đầu tư theo đúng nghĩa, mà là đầu cơ giá vàng, hay là đánh bạc với vàng, với kỳ vọng lợi nhuận trung bình (sau khi trừ đi lạm phát) bằng 0, hay thậm chí là số âm sau khi trừ chi phí giao dịch, và có thể có mức rủi ro rất cao (vì có nhiều người tham, dùng đòn bẩy mạnh, ví dụ có 1 đồng vay thêm 9 đồng để đầu cơ vàng, dễ bị mất hết tài sản). 6.2.2 Bất động sản Một ví dụ nổi tiếng về thành công trong bất động sản là câu chuyện về bán đảo Manhattan (New York), một nơi thuộc loại giàu có và đắt đỏ nhất trên thế giới ngày nay, với hơn 1,6 triệu dân. Vào năm 1626, một thương gia gốc Hà Lan tên là Peter Minuit mua đảo này từ những người thổ dân da đỏ bằng một lượng hàng hóa trị giá chỉ khoảng 24$ thời đó. Ngày nay, 385 năm sau, không ai biết bán đảo đó có giá trị là bao nhiêu. Nhưng ta cứ thử hình dung là trên đảo đó có 1,6 triệu dân giầu có, và họ trung bình có đất có giá trị cỡ 1 triệu USD mỗi người, thì ta được con số ước lượng là đất đảo Manhattan ngày nay trị giá khoảng 2 nghìn tỷ USD. Phép tính (2 × 1012/24)1/385 ≈ 1.0675 cho ta thấy là giá của đảo này (tính theo USD, chưa trừ đi lạm phát) tăng trung bình khoảng 6.75% trong 385 năm. Nếu trừ đi lạm phát thì có lẽ còn dưới 5%/năm. Mà đây là một thành công tuyệt vời về bất động sản, hiếm nơi nào được như vậy. Bởi vậy, có thể nói rằng, đầu tư vào bất động sản có đem lại lợi nhuận về lâu dài, nhưng tỷ lệ lợi nhuận trung bình không vượt quá 5%/năm sau khi trừ đi lạm phát. (Tất nhiên, cũng có những giai đoạn giá nhà đất lên cơn sốt, tăng giá rất nhanh, nhưng về lâu dài vẫn không vượt 5%). Đầu tư vào vàng đem lại lợi nhuận bằng 0, còn đầu tư bất động sản đem lại lợi nhuận dương, là bởi vì bất động sản có những hiệu ứng làm tăng giá trị mà vàng không có: khi một mảnh đất càng được xây dựng lên trên đó, càng có nhiều người muốn đến ở, trở thành trung tâm, thì giá trị của nó càng tăng lên. Tất nhiên, đầu tư bất động sản cũng có rủi ro, đặc biệt đối với những ai mua vào lúc đang có bong bóng bất động sản. Ví dụ, bong bóng bất động sản ở Tokyo thập kỷ 1980 đẩy giá nhà đất lên đến “tận mây xanh”, có những khu có giá đến 1 triệu USD một mét vuông, nhưng rồi giá giảm trong suốt nhiều năm sau đó. Vào năm 2004, giá nhà ở Tokyo
9. 6.2. CÁC LOẠI HÌNH ĐẦU TƯ 139 chỉ còn bằng khoảng 1/10 giá năm 1989, và nhà đất khu tài chính ở Tokyo có giá chỉ còn bằng 1/100 giá lúc đỉnh điểm của nó(4). Đối với những ai chưa có nhà ở, thì đầu tư bất động sản bằng việc mua nhà ở có thể là một hình thức đầu tư tốt và ít rủi ro, đặc biệt nếu như giá thuê nhà cao và có thể vay trả góp với lãi suất tương đối thấp (tiền trả góp hàng tháng có khi chỉ bằng tiền thuê nhà, mà lại được có nhà của mình). Đầu tư vào nhà cho thuê cũng có thể là một hình thức đầu tư hấp dẫn (ngoài chuyện giá đất tăng nếu là chỗ tốt, còn thu được tiền nhà, nên có thể đạt lợi nhuận trung bình trên 5%/năm sau khi trừ lạm phát). Hình thức đầu tư này tương tự như là đầu tư vào một loại doanh nghiệp (với công việc là kiếm nhà rồi cho thuê). Các hình thức đầu tư như mua đất xây nhà hay sửa nhà cũ để bán lại cũng có thể coi là các hình thức đầu tư vào doanh nghiệp chứ không phải là bất động sản thuần túy. 6.2.3 Các sản phẩm nợ Một loại hình đầu tư rất phổ biến là đầu tư vào các sản phẩm nợ, hay nói cách khác, tức là đi cho vay, trực tiếp hay gián tiếp. Tất nhiên, có nhiều kiểu cho vay khác nhau, và mức độ rủi ro và kỳ vọng lợi nhuận của chúng cũng khác nhau. - Cho vay trực tiếp cá nhân, hoặc là đầu tư vào các trái phiếu “phế phẩm” (junk bonds, dễ vỡ nợ): nếu mục đích của việc cho vay này là để kiếm lợi nhuận từ lãi suất cao (hơn hẳn lãi suất trung bình), thì đây là hình thức đầu tư mạo hiểm cao, khả năng bị quịt nợ lớn. Những người đi vay với lãi suất rất cao so với trung bình là những người ít đáng tin cậy về tài chính. - Gửi tiền tiết kiệm ở ngân hàng, hoặc là mua các trái phiếu ngắn hạn (đầu tư trên thị trường tiền tệ): độ an toàn nói chung rất cao, nhưng lợi nhuận thấp. Lãi suất thực tế của các khoản gửi tiết kiệm (sau khi đã trừ đi tỷ lệ lạm phát) và các sản phẩm nợ ngắn hạn trung bình trên thế giới không vượt quá 1-2%/năm. Ví dụ, theo các thống kê, 1$ đầu tư vào tín phiếu chính phủ ngắn hạn ở Mỹ trong suốt 80 năm từ 1925 đến 2005 sẽ được thành 18,40$, nhưng do lạm phát nên 10,98$ năm 2005 chỉ có giá trị bằng 1$ năm 1925(5). Sau khi trừ đi lạm phát, thì tín phiếu ngắn hạn chỉ cho lợi nhuận trung bình là 0,65%/năm trong 80 năm đó. Ở những nơi đang có nhiều cơ hội phát triển nhanh thì lãi (4)Xem (5)Các con số thống kê về thị trường Mỹ giai đoạn 1925–2005 ở đây là lấy từ Ibbotson Associates 2006 Yearbook
10. 140 CHƯƠNG 6. QUẢN LÝ DANH MỤC ĐẦU TƯ suất gửi tiết kiệm cao hơn. Ví dụ, ở Việt Nam những năm 1990 lãi suất thực cho tiền gửi tiết kiệm lên đến 4-5%/năm (sau khi trừ lạm phát). - Trái phiếu dài hạn: lãi suất phụ thuộc vào kỳ hạn, và độ rủi ro vỡ nợ của trái phiếu. Các trái phiếu chất lượng thấp (ví dụ như có mức tín nhiệm là BB) thì có độ rủi ro vỡ nợ cao hơn là trái phiếu chất lượng cao (có mức tín nhiệm A+), nhưng tính trung bình (đã trừ đi phần vỡ nợ) thì cho lợi nhuận cao hơn là trái phiếu chất lượng cao. Cho đến gần đây, người ta coi rằng trái phiếu chính phủ Mỹ là loại có chất lượng cao nhất. 1$ đầu tư liên tục vào các trái phiếu dài hạn loại này vào năm 1925 sẽ cho 70,85$ vào năm 2005, tức là cho mức lợi nhuận trung bình hàng năm gần 2,5% sau khi đã trừ đi lạm phát (hay gần 5,5% khi chưa trừ đi lạm phát), tốt hơn đáng kể so với các loại cho vay ngắn hạn. Bù lại, trái phiếu dài hạn có rủi ro về biến động giá, đối với những người mua trái phiếu dài hạn nhưng không giữ đến lúc đáo hạn mà chỉ giữ một thời gian ngắn rồi bán đi: như chúng ta đã thấy từ Chương 4, khi lãi suất tăng thì giá của trái phiếu giảm, và trái phiếu càng dài hạn thì độ giảm càng lớn khi lãi suất tăng. Có những giai đoạn mà giá trái phiếu chính phủ dài hạn có thể giảm trên 25%. 6.2.4 Cổ phiếu Cổ phiếu là một loại hình đầu tư có độ mạo hiểm cao, bởi vì giá cổ phiếu hay giao động mạnh, và có khả năng giảm xuống chỉ còn bằng một phần nhỏ giá lúc trước. Ví dụ, trên thị trường chứng khoán Việt Nam, giá các cổ phiếu giảm trung bình hơn 70% trong gian đoạn cuối 2007 – đầu 2009. Ở Mỹ, chỉ số Dow Jones Industrial (đại diện cho giá cổ phiếu của 30 công ty lớn vào loại nhất nước Mỹ) cũng có lúc giảm từ 381 xuống còn có 42 trong giai đoạn 1929-1033. Tuy nhiên, nếu tính về lâu dài, thì cổ phiếu lại là một hình thức đầu tư đem lại lợi nhuận cao hơn hẳn so với trái phiếu, và cũng cao hơn so với bất động sản. 1$ đầu tư liên tục vào cổ phiếu của các công ty lớn ở Mỹ năm 1925 sẽ đem lại trung bình là 2657$ vào năm 2005, tức là cho mức lợi nhuận trung bình 7.1% sau khi đã trừ lạm phát (10.3% nếu chưa trừ đi lạm phát). Ở Việt Nam, sau nhiều lần thăng trầm, giá cổ phiếu tăng trung bình lên gấp hơn 4 lần trong 11 năm 2000-2011 (chỉ số VNINDEX tăng từ 100 lên trên 400), tức là tăng trung bình quãng 14%/năm (chưa trừ đi lạm phát), vẫn tốt hơn so với gửi tiết kiệm. Sở dĩ đầu tư vào cổ phiếu đem lại lợi nhuận trung bình cao về lâu dài, bởi vì đó là đầu tư vào các doanh nghiệp, mà danh nghiệp chính là nơi tạo ra sản phẩm hàng hóa dịch vụ, tạo thêm ra giá trị cho xã hội. Ví dụ, một cái điện thoại di động loại tốt có giá vài
11. 6.2. CÁC LOẠI HÌNH ĐẦU TƯ 141 trăm USD, nhưng chất liệu thô cần thiết để sản xuất ra nó có giá thành rất thấp, giá trị của nó chủ yếu nằm ở công nghệ, tức là sản phẩm chất xám, do các công ty tạo ra. Các doanh nghiệp không ngừng thay đổi, sáng kiến cải tiến, tạo ra công nghệ mới, cách điều hành mới hiệu quả hơn, giá trị mới, và chính vị vậy mà giá trị của chúng tăng lên nhanh. Nói chung, các công ty chỉ đi vay, khi mà việc vay đó có lợi cho công ty, có nghĩa là khi công ty sử dụng số tiền đi vay đem lại lợi nhuận nhiều hơn là lãi suất phải trả. Do đó, tính trung bình, vốn (equity) của các công ty phải tăng trưởng nhanh hơn là mức lãi suất. Điều này cũng giải thích vì sao đầu tư vào cổ phiếu đem lại lợi nhuận nhiều hơn là đầu tư vào trái phiếu về lâu dài. Nói chung các doanh nghiệp nhỏ có độ rủi ro tài chính cao hơn là các doanh nghiệp lớn, nhưng cơ hội phát triển của chúng cũng lớn hơn. (Nhiều danh nghiệp lớn nổi tiếng ngày nay xuất phát là từ doanh nghiệp nhỏ, và khi đã lớn đến mức nào đó rồi thì không còn phát triển nhanh được nữa). Một phần bởi vậy mà đầu tư vào các cổ phiếu nhỏ (small-cap stocks, tức là cổ phiếu của các doanh nghiệp nhỏ) cũng có độ rủi ro cao hơn là đầu tư vào các cổ phiếu lớn, nhưng kỳ vọng lợi nhuận về lâu dài cũng cao hơn. 1$ đầu tư liên tục vào các cổ phiếu nhỏ ở Mỹ năm 1925 sẽ đem lại trung bình là 13706$ vào năm 2005, thay vì chỉ có 2657$ nếu đầu tư vào các cổ phiếu lớn. Ghi chú 6.1. Để đầu tư vào doanh nghiệp, không nhất thiết phải mua cổ phiếu, mà còn có cách khác, là xây dựng doanh nghiệp. Cách này khó hơn là cách thứ nhất, và ít người làm được. Những người giầu nhất thế giới thường không phải là những người mua cổ phiếu giỏi, mà là những người xây dựng doanh nghiệp giỏi, tạo ra cổ phiếu bán cho người khác lấy vốn để xây doanh nghiệp. Thị trường chứng khoán có công dụng tạo điều kiện cho những người không biết xây dựng doanh nghiệp cũng có thể được hưởng lợi từ các doanh nghiệp tốt bằng việc đầu tư vào những người biết xây dựng doanh nghiệp. Ở trong sách này chúng ta sẽ không bàn đến việc xây dựng doanh nghiệp, mà chỉ bàn đến việc đầu tư chứng khoán vào các công ty đã có sẵn. 6.2.5 Chứng khoán phái sinh Các chứng khoán phái sinh ngày nay đã trở thành công cụ đầu tư yêu thích của rất nhiều người, đặc biệt là các quỹ đầu cơ (hedge funds). Chứng khoán phái sinh có thể được dùng để làm giảm rủi ro của các danh mục đầu tư (và bởi vậy có từ hedge, có nghĩa là hàng rào ngăn chặn rủi ro). Thế nhưng nó cũng có thể được dùng làm đòn bẩy để đầu cơ hòng kiếm lời nhanh chóng. Ví dụ, khi một cổ phiếu tăng 10%, thì một số loại quyền
12. 142 CHƯƠNG 6. QUẢN LÝ DANH MỤC ĐẦU TƯ chọn mua (Call) của nó có thể tăng theo những 100%, nhanh gấp 10 lần so với cổ phiếu, và như vậy đầu tư vào Call trong trường hợp này cho đòn bẩy 10 lần, thắng nhanh gấp 10 lần so với đầu tư vào cổ phiếu. Tuy nhiên, các đòn bẩy trong tài chính luôn là các con dao hai lưỡi: nếu nó làm tăng kỳ vọng lợi nhuận, thì cũng làm tăng độ rủi ro. Các hedge funds thường có độ rủi ro cao hơn nhiều so với các loại hình đầu tư khác, do đòn bẩy tài chính mà họ dùng. Thực tế trên thế giới là có nhiều hedge funds phá sản, trong khi các quỹ đầu tư vào cổ phiếu hay trái phiếu nói chung không phá sản được. 6.3 Lợi nhuận và lợi nhuận kỳ vọng 6.3.1 Các công thức tính lợi nhuận Nếu một người đầu tư một khoản tiền (hay tài sản trị giá) V (0) và sau một thời gian T đầu tư đó có (kể tất cả các khoản thu được) trị giá là V (T ), thì lợi nhuận của đầu tư này là V (T ) − V (0), và tỷ lệ lợi nhuận (rate of return, ROR, hay còn gọi là return on investment, ROI) là V (T ) − V (0) R = . (6.1) V (0) Ghi chú 6.2. Công thức trên là công thức thường được dùng, nhưng nó không tính đến lạm phát. Nếu tính đến lạm phát (để được tỷ lệ lợi nhuận thực tế, sau khi đã trừ đi lạm phát), thì phải thay V (0) bằng (1 + Π)V (0) trong công thức trên, trong đó Π là tỷ lệ lạm phát xảy ra trong thời gian đầu tư, có nghĩa là lượng tiền (1 + Π)V (0) sau thời gian T chỉ có sức mua bằng lượng tiền V (0) vào thời điểm ban đầu. Giả sử là quá trình đầu tư gồm nhiều giai đoạn, ví dụ n năm, và sau năm thứ i giá trị của tài khoản đầu tư là V (i), và để đơn giản ta giả sử thêm rằng không có sự rút bớt tiền ra hay bỏ thêm tiền vào tài khoản đầu tư trong quá trình đó. Khi đó tỷ lệ lợi nhuận của năm thứ i là V (i) − V (i − 1) R(i) = , (6.2) V (i − 1) hay có thể viết là V (i) = (1 + Ri)Vi−1, từ đó suy ra: n Y V (n) = (1 + Ri)V (0), (6.3) i=1 có nghĩa là tỷ lệ lợi nhuận của toàn quá trình đầu tư bằng n Y R(n) = (1 + Ri) − 1. (6.4) i=1
13. 6.3. LỢI NHUẬN VÀ LỢI NHUẬN KỲ VỌNG 143 Con số n 1/n Y 1/n R = (1 + R(n)) − 1 = ( (1 + Ri)) − 1 (6.5) i=1 được gọi là tỷ lệ lợi nhuận trung bình hàng năm (hay trên một giai đoạn) của quá trình đầu tư n năm (hay n giai đoạn) với tỷ lệ lợi nhuận các năm (hay các giai đoạn) là Ri (i = 1, . . . , n). Ý nghĩa của nó là, nếu như giai đoạn nào cũng có tỷ lệ lợi nhuận đúng bằng R, thì tỷ lệ lợi nhuận sau n giai đoạn sẽ đúng bằng R(n). Trong trường hợp tính theo năm, con số R còn được gọi theo tiếng Anh là CAGR (compound annual growth rate). Chú ý rằng, tỷ lệ lợi nhuận trung bình R không phải là trung bình cộng của các con số R1, ,Rn, mà nói chung nhỏ hơn trung bình cộng. (Nếu quỹ đầu tư nào đó quảng cáo lợi nhuận trung bình hàng năm bằng cách tính trung bình cộng, thì là thiếu trung thực!). Ví dụ, nếu đầu tư 2 năm, năm đầu có tỷ lệ lợi nhuận 100% (tăng giá trị lên gấp đôi), và năm thứ hai có tỷ lệ lợi nhuận -50% (giảm giá trị đi một nửa), thì lợi nhuận sau hai năm là bằng 0, trong khi trung bình cộng của tỷ lệ lợi nhuận hàng năm là +25%. Trong trường hợp mà danh mục đầu tư gồm có nhiều khoản đầu tư khác nhau, thì tỷ lệ lợi nhuận của toàn danh mục bằng trung bình cộng có trọng số của các tỷ lệ lợi nhuận của các khoản đầu tư trong đó: giả sử ta có một danh mục đầu tư gồm m khoản đầu tư có giá trị V1(0), Vm(0) tương ứng tại thời điểm ban đầu, và tổng giá trị của danh mục là: m X V (0) = Vj(0). (6.6) j=1 Khi đó V (0) w = j (6.7) j V (0) được gọi là tỷ trọng (weight) của khoản đầu tư thứ j trong danh mục. Nếu Rj là tỷ lệ lợi nhuận của khoản đầu tư thứ j, và R là tỷ lệ lợi nhuận của toàn danh mục đầu tư (tại cùng một thời điểm T nào đó), thì ta có: m X R = wjRj (6.8) j=1 Bài tập 6.1. Hãy chứng minh công thức trên.
14. 144 CHƯƠNG 6. QUẢN LÝ DANH MỤC ĐẦU TƯ 6.3.2 Lợi nhuận kỳ vọng Đối với các quá trình đầu tư đã xảy ra, nhà đầu tư có thể tính được là đã đạt lợi nhuận bằng bao nhiêu. Nhưng đối với các quá trình đầu tư đang hoặc sẽ xảy ra, nói chung không thể biết chính xác được lợi nhuận cho đầu tư đó vào một thời điểm trong tương lai sẽ là bao nhiêu, mà nhà đầu tư chỉ có thể dùng các cách khác nhau để ước lượng xem kỳ vọng lợi nhuận sẽ bằng bao nhiêu, chẳng hạn dựa trên số liệu lịch sử, hoặc là dựa trên các mô hình phân tích nào đó. Ví dụ 6.1. Thống kê thị trường chứng khoán Mỹ trong vòng 80 năm 1925–2005 cho thấy, tỷ lệ lợi nhuận trung bình của việc đầu tư vào cổ phiếu là 10.3%/năm (chưa trừ đi lạm phát), tuy rằng có những giai đoạn thị trường đi xuống. Dựa vào con số đó, người ta cũng có thể kỳ vọng rằng, lợi nhuận trung bình của việc đầu tư vào cổ phiếu ở Mỹ trong những năm tới cũng sẽ đạt quãng 10%/năm (hay 7%/năm sau khi trừ đi lạm phát). Tương tự như vậy, dựa vào các con số thống kê trên thị trường Việt Nam trong giai đoạn 2000–2011, người ta cũng có thể kỳ vọng rằng lợi nhuận trung bình cho đầu tư cổ phiếu ở Việt Nam sẽ đạt quãng 14%/năm (chưa trừ lạm phát) trong những năm sau đó. Chú ý rằng, các kết luận thống kê mà chỉ dựa trên ít số liệu thì không đáng tin cậy (trong xác suất thống kê người ta gọi hiện tượng đó là luật số nhỏ ). Ví dụ, các nhà đầu tư nhìn thấy cổ phiếu đi lên rất nhanh, trên 40%/năm, trong vòng 2 năm liền, mà vội kết luận là nó sẽ đi lên nhanh tiếp như vậy trong năm tiếp theo, thì sẽ rất dễ bị thất vọng. Đối với các quỹ đầu tư cũng vậy. Một hedge fund mà dùng một số chiến thuật đòn bẩy nào đó, có thể đem lại tỷ lệ lợi nhuận rất cao trong vài năm khi gặp điều kiện thuận lợi, nhưng điều đó không chứng tỏ là chiến lược của hedge fund đó sẽ cho lợi nhuận trung bình cao như vậy, mà có thể là đến năm sau khi gặp khó khăn thì hedge fund đó sẽ thua lỗ nặng hay thậm chí phá sản. Ví dụ 6.2. Một xu hướng thế giới vào nửa đầu thế kỷ 21 là phát triển năng lượng tái tạo được (renewable energy), đặc biệt là năng lượng mặt trời, để thay thế cho các nguồn năng lượng hóa thạch (như dầu mỏ, than đá) vừa cạn kiệt nhanh vừa hại môi trường. Dựa trên các số liệu dự đoán về sự phát triển các nhà máy điện mặt trời trên thế giới, người ta có thể ước lượng rằng đầu tư cổ phiếu vào các công ty lớn chuyên về sản xuất và lắp đặt điện mặt trời sẽ mang lại lợi nhuận trung bình trên 20%/năm trong giai đoạn 2010–2020, cao hơn so với lợi nhuận trung bình của các cổ phiếu khác. Một cách ước lượng lợi nhuận kỳ vọng, là xây dựng nhiều kịch bản khác nhau, ước lượng xác suất xảy ra của mỗi kịch bản và tỷ lệ lợi nhuận trong trường hợp đó xảy ra, rồi lấy
15. 6.3. LỢI NHUẬN VÀ LỢI NHUẬN KỲ VỌNG 145 trung bình có trọng theo xác suất. Giả sử ta xây dựng được không gian Ω = {ω1, . . . , ωk} các kịch bản ω1, . . . , ωk có thể xảy ra, với các xác suất xảy ra tương ứng là P (ωi) = pi Pk ( i=1 pi = 1), và ước lượng tỷ lệ lợi nhuận khi mà kịch bản thứ i xảy ra là Ri. Khi đó kỳ vọng tỷ lệ lợi nhuận sẽ là: k X E(R) = piRi. (6.9) i=1 (Chữ E trong công thức trên là để chỉ kỳ vọng, khi ta coi tỷ lệ lợi nhuận R như là một biến ngẫu nhiên chưa xác định được). Ví dụ 6.3. Giả sử một hãng dược phẩm bỏ 300 triệu $ để đầu tư vào nghiên cứu cho ra một loại thuốc giảm đau mới, và để cho đơn giản ta giả sử rằng có 3 kịch bản có thể xảy ra: 1) Nghiên cứu không thành công, mất toàn bộ tiền. Xác suất của kịch bản này là 65%. 2) Nghiên cứu thành công, nhưng không phải là thuốc có hiệu quả cao lắm. Giá trị của thuốc nghiên cứu được là 600 triệu $. Xác suất của kịch bản này là 25%. 3) Thuốc rất tốt, có giá trị 3 tỷ $. Xác suất của kịch bản này là 10% Kịch bản đầu tiên có tỷ lệ lợi nhuận là R1 = −1 (mất toàn bộ vốn đầu tư); kịch bản thứ hai có tỷ lệ lợi nhuận là (600 − 300)/300 = 1; kịch bản thứ ba có tỷ lệ lợi nhuận là (3000 − 300)/300 = 9. Tính tổng cộng lại, ta được kỳ vọng lợi nhuận là E(R) = 65% × (−1) + 25% × 1 + 10% × 9 = 50%. Nói một cách tổng quát hơn, nếu ta giả sử (Ω, F,P ) là không gian xác suất tất cả các tình huống có thể xảy ra đối với một danh mục đầu tư, và R : (Ω, F,P ) → R là biến ngẫu nhiên tỷ lệ lợi nhuận theo các tình huống xảy ra, thì kỳ vọng lợi nhuận của danh mục đầu tư chính là giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên R: Z E(R) = RdP. (6.10) Ω Vấn đề trong thực tế, là làm sao xây dựng được mô hình không gian xác suất (Ω, F,P ) hợp lý và có thể tính toán được với nó, và biến ngẫu nhiên R hợp lý trên đó, dựa trên các mô hình phân tích khác nhau. Ghi chú 6.3. Một vấn đề quan trọng khi tính toán với kỳ vọng là phải làm sao đảm bảo tính khách quan và nhất quán của nó. Ví dụ, nếu công ty nước giải khát nào cũng kỳ vọng tăng trưởng 10%/năm, trong khi toàn bộ thị trường nước giải khát thế giới chỉ có kỳ vọng tăng trưởng 5%/năm, thì như vậy là không nhất quán, và điều đó có nghĩa là có thể nhiều công ty có kỳ vọng tăng trưởng chủ quan, thiếu thực tế. Tương tự như vậy, các
16. 146 CHƯƠNG 6. QUẢN LÝ DANH MỤC ĐẦU TƯ con bạc thường có kỳ vọng lợi nhuận chủ quan là số dương, trong khi kỳ vọng lợi nhuận khách quan là số âm. 6.4 Hàm thỏa dụng 6.4.1 Khái niệm hàm thỏa dụng Giả sử có hai chiến lược đầu tư A và B khác nhau cho một tài khoản đầu tư cho một giai đoạn nào đó. Chiến lược A sẽ cho tỷ lệ lợi nhuận cố định bằng 5% dù bất cứ tình huống nào xảy ra. Chiến lược B cho tỷ lệ lợi nhuận phụ thuộc vào tình huống: +25% nếu tình huống tốt xảy ra, −10% nếu tình huống xấu xảy ra, và giả sử là xác suất để mỗi tình huống xảy ra là 50%. Khi đó, tỷ lệ lợi nhuận kỳ vọng của chiến lược B sẽ là (25% − 10%)/2 = 7.5%, cao hơn là kỳ vọng lợi nhuận của A. Thế nhưng, một nhà đầu tư có thể sẽ thích chiến lược A hơn chiến lược B, vì A chắc chắn đem lại lợi nhuận còn B thì bấp bênh, có thể gây lỗ. Khi đó, ta nói rằng, đối với nhà đầu tư, chiến lược A có độ thỏa dụng (utility) cao hơn là chiến lược B. Độ thỏa dụng không chỉ phụ thuộc vào kỳ vọng lợi nhuận, mà còn phụ thuộc vào độ chắc chắn hay bấp bênh của các đầu tư. Nói một cách tổng quát hơn, giả sử ta có không gian xác suất (Ω, F,P ) tất cả các tình huống có thể xảy ra. Ứng với mỗi chiến lược đầu tư A có một biến ngẫu nhiên RA : (Ω, F,P ) → R là tỷ lệ lợi nhuận sẽ đạt được theo chiến lược đó trong các tình huống. Gọi F (Ω, F,P ) là không gian tất cả các biến ngẫu nhiên (tức là các hàm đo được) trên (Ω, F,P ). Định nghĩa 6.1. Một hàm số U : F (Ω, F,P ) → R ∪ {−∞} (6.11) được gọi là hàm thỏa dụng (utility function), hay còn gọi là hàm tiện ích, nếu nó thỏa mãn tính chất đơn điệu tăng sau: nếu RA và RB là hai biến ngẫu nhiên trên (Ω, F,P ) sao cho RA ≥ RB hầu khắp mọi nơi, thì ta cũng có U(RA) ≥ U(RB). Độ thỏa dụng, tính theo U, của một chiến lược đầu tư A với biến tỷ lệ kỳ vọng lợi nhuận RA, là U(RA). Ý nghĩa của hàm thỏa dụng là: nếu hai chiến lược đầu tư A và B có U(RA) > U(RB) thì nhà đầu tư sẽ thích A hơn B. Nếu như chiến lược A luôn cho lợi nhuận cao hơn chiến lược B dù tình huống nào xảy ra, thì tất nhiên nhà đầu tư sẽ thích A hơn B, tức là độ thỏa dụng của A cao hơn của B. Đây chính là tính chất đơn điệu tăng của hàm thỏa
17. 6.4. HÀM THỎA DỤNG 147 dụng. Nếu độ thỏa dụng của một chiến lược nào đó là −∞, thì tức là nhà đầu tư sẽ không bao giờ chấp nhận nó. Chú ý rằng, hàm thỏa dụng không duy nhất, mà phụ thuộc vào sở thích của nhà đầu tư. Với hai chiến lược A và B có các biến ngẫu nhiên tỷ lệ lợi nhuận RA và RB cho trước, nhà đầu tư này có thể thích A hơn B trong khi nhà đầu tư khác lại thích B hơn A. Chúng ta không thể biết được hàm thỏa dụng của mỗi nhà đầu tư cụ thể ra sao, nhưng có thể đưa ra một số hàm thỏa dụng hay được dùng, và giả sử là nhà đầu tư sẽ dùng một trong các hàm thỏa dụng như vậy khi lựa chọn chiến lược đầu tư. Ghi chú 6.4. Mục đích chính của hàm thỏa dụng là để so sánh giữa các lựa chọn. Bởi vậy nếu U, V là hai hàm thỏa dụng khác nhau thỏa mãn đẳng thức U = f(V ), trong đó f là một hàm số thực đơn điệu tăng cho trước nào đó (ví dụ như V = U + 1 hay V = U 3), thì hai hàm thỏa dụng U và V này có thể được coi là tương đương với nhau, vì chúng cho ra các lựa chọn giống nhau. Nếu U là một hàm thỏa dụng, thì nó cũng được xác định trên các hằng số, bởi vì mọi hằng số đều có thể coi là một biến ngẫu nhiên với giá trị là hằng số đó. Trên tập các hằng số (tức là tập số thực), U cũng có tính đơn điệu tăng. Ngược lại, giả sử có một hàm đơn điệu tăng: u : R → R ∪ {−∞}. (6.12) Khi đó, ta có thể xây dựng một hàm thỏa dụng U từ u theo công thức giá trị kỳ vọng: Z U(RA) = E(u(RA)) = u(RA)dP. (6.13) Ω Các hàm thỏa dụng được xây dựng theo công thức trên được gọi là hàm thỏa dụng cộng tính, và giá trị của nó còn được gọi là độ thỏa dụng kỳ vọng (theo u). Hàm số u ở đây cũng được gọi là hàm thỏa dụng. Loại hàm thỏa dụng cộng tính là loại hàm thỏa dụng phổ biến nhất trong tài chính. Theo một định lý của Von Neumann và Morgenstern từ năm 1944(6), nếu một hàm thỏa dụng U thỏa mãn một số tiên đề nào đó, thì nó sẽ là cộng tính, tức là tồn tại một hàm số u thỏa mãn công thức phía trên. 6.4.2 Hàm thỏa dụng Bernoulli Một trong các hàm thỏa dụng hay được dùng nhất là hàm thỏa dụng Bernoulli, do nhà toán học Daniel Bernoulli đề xướng từ năm 1838 trong lời giải cho “nghịch lý St. (6)Xem
18. 148 CHƯƠNG 6. QUẢN LÝ DANH MỤC ĐẦU TƯ Petersbourg”(7). Định nghĩa 6.2. Hàm thỏa dụng Bernoulli là hàm thỏa dụng cộng tính cho bởi hàm số uBernoulli(x) = ln(1 + x), (6.14) có nghĩa là Z UBernoulli(RA) = ln(1 + RA)dP. (6.15) Ω Công thức trong định nghĩa trên được viết cho tỷ lệ lợi nhuận, với giả sử là tỷ lệ lợi nhuận luôn lớn hơn hoặc bằng −1 (tức là giả sử trường hợp xấu nhất thì mất 100% tiền đầu tư chứ không mất hơn vậy). Nếu RA có nhận giá trị nhỏ hơn −1, thì ta coi là thỏa dụng Bernoulli của chiến lược A bằng âm vô cùng. Nếu ta coi là số tiền bỏ ra đầu tư là V (0) = 1 (tính theo đơn vị nào đó), thì VA = 1+RA chính là tổng số tiền thu lại được từ đầu tư theo chiến lược A, và do đó ta cũng có thể viết công thức hàm thỏa dụng Bernoulli như sau: Z UBernoulli(A) = E(ln VA) = ln(VA)dP. (6.16) Ω Nói cách khác, độ thỏa dụng Bernoulli bằng kỳ vọng của log của trị giá của tài sản. Bởi vậy, hàm thỏa dụng Bernoulli còn được gọi là hàm thỏa dụng log. Theo hàm khả dụng Bernoulli, thì sự chênh lệch về độ thỏa mãn về tài chính giữa một người có 1 tỷ USD và một người có 1 triệu USD, cũng chỉ bằng sự chênh lệch về độ thỏa mãn về tài chính giữa một người có 1 triệu USD và một người có 1 nghìn USD, vì trong cả hai trường hợp thì người thứ nhất đều có tiền nhiều gấp 10 lần người thứ hai, và có độ chênh lệch về thỏa dụng Bernoulli so với người thứ hai là ln 10. Một tính chất tự nhiên rất quan trọng của hàm thỏa dụng Bernoulli là tính cộng tính theo thời gian, tức là độ thỏa dụng của một đầu tư trong một giai đoạn từ T1 đến T2 cộng với độ thỏa dụng trong giai đoạn từ T2 đến T3 thì bằng độ thỏa dụng trong giai đoạn từ T1 đến T3. Chỉ có các hàm thỏa dụng dạng log mới có tính cộng tính theo thời gian như vậy. (7)Xem Theo “nghịch lý” này, thì có một trò chơi ở St. Petersbourg mà phải mua vé mới được vào chơi, và về lý thuyết thì kỳ vọng lợi nhuận của trò chơi này là bằng vô cùng, nhưng người ta vẫn không sẵn sàng trả tiền vé cao quá một số tiền nào đó.
19. 6.4. HÀM THỎA DỤNG 149 6.4.3 Tính lõm của hàm thỏa dụng Giả sử U là một hàm thỏa dụng cộng tính cho bởi hàm số u, và A là một chiến lược (hay danh mục) đầu tư nào đó. Vì u là hàm đơn điệu tăng nên nói chung sẽ tồn tại duy ˆ nhất một số RA sao cho ˆ U(RA) = u(RA), (6.17) ˆ có nghĩa là, một chiến lược đầu tư cho tỷ lệ lợi nhuận cố định bằng RA thì sẽ có độ thỏa dụng bằng chiến lược A. Các nhà đầu tư nói chung thường không ưa mạo hiểm. Có nghĩa là, một đầu tư có lợi nhuận bấp bênh thì phải có mức kỳ vọng lợi nhuận cao hơn so với là một đầu tư có mức lợi nhuận cố định, thì mới đem lại cho họ độ thỏa dụng bằng độ thỏa dụng của đầu tư có mức lợi nhuận cố định: ˆ E(RA) ≥ RA. (6.18) ˆ Phần chênh lệch E(RA) − RA có thể được gọi là phí mạo hiểm (risk premium) mà nhà đầu tư nhận được (hay không nhận được) nếu chấp nhận (hay không chấp nhận) đầu tư có mạo hiểm (tức là có lợi nhuận bấp bênh). ˆ Từ bất đẳng thức trên, ta có u(E(RA)) ≥ u(RA) = U(RA) = E(u(RA)). Bất đẳng thức u(E(RA)) ≥ E(u(RA)) (6.19) được gọi là bất đẳng thức Jensen, và nó được thỏa mãn với mọi biến ngẫu nhiên RA khi và chỉ khi hàm số u là hàm lõm. (Trong trường hợp mà u là hàm khả vi bậc hai, thì nó là hàm lõm khi và chỉ khi đạo hàm bậc hai của nó nhỏ hơn hoặc bằng 0). Khi u là hàm lõm, thì với mọi 0 ≤ λ ≤ 1 và mọi biến ngẫu nhiên RA và RB, ta cũng có U(λRA + (1 − λ)RB) ≥ λU(RA) + (1 − λ)U(RB). (6.20) Bất đẳng thức trên được gọi là tính lõm của hàm thỏa dụng U. Nó ứng với sự không ưa mạo hiểm (risk aversion) của các nhà đầu tư. Bởi vậy, tuy trong định nghĩa hàm thỏa dụng không có tính lõm, nhưng nói chung các hàm thỏa dụng được dùng trong tài chính đều có tính lõm. √ Ví dụ 6.4. Các hàm ln(1 + x), 1 + x, 1 − exp(−1 − x) (cho x ≥ −1) là các hàm số đơn điệu tăng và lõm, và các hàm thỏa dụng cộng tính sinh bởi chúng thỏa mãn tính lõm.
20. 150 CHƯƠNG 6. QUẢN LÝ DANH MỤC ĐẦU TƯ Hình 6.2: Đồ thị một hàm số lõm đơn điệu tăng 6.5 Các thước đo rủi ro Rủi ro là khái niệm về khả năng xảy ra những tình huống xấu hơn dự kiến. Đối với đầu tư, đó có thể là khả năng bị mất tiền (rủi ro tuyệt đối), hay là được tiền nhưng thấp hơn mong đợi hay không được bằng một mức tham chiếu nào đó (rủi ro tương đối). Chúng ta có thể xét rủi ro tương đối tương tự như là rủi ro tuyệt đối, bằng cách chỉ tính lợi nhuận thặng dư (bằng lợi nhuận trừ đi mức lợi nhuận tham chiếu) thay vì tính tổng lợi nhuận. Ngược lại, khi ta có một thước đo rủi ro tương đối và biết được mức lợi nhuận tham chiếu, thì nó cũng cho ta một ước lượng về mức độ rủi ro tuyệt đối. Ở trong mục này chúng ta sẽ điểm qua một số thước đo rủi ro “cổ điển” hay được dùng. Bạn đọc muốn tìm hiểu sâu thêm về các thước đo rủi ro có thể tham khảo các tài liệu như [17, 25] 6.5.1 Phương sai và độ lệch chuẩn Gọi VA = (1 + RA)V (0) : (Ω,P ) → R là biến giá trị tài sản của một danh mục đầu tư (hay chiến lược) A nào đó, với giá trị ban đầu là V (0), biến tỷ lệ lợi nhuận là RA, và (Ω,P ) là không gian xác suất các tình huống có thể xảy ra. Khi đó độ lệch chuẩn σ của VA, bằng căn bậc hai của phương sai var, định nghĩa theo công thức độ lệch chuẩn thông thường trong xác suất thống kê: q p p 2 2 2 σ(VA) = var(VA) = E((VA − E(VA)) ) = E(VA) − (E(VA)) , (6.21) hay được dùng như là một thước đo rủi ro của đầu tư A. Thay vì tính độ lệch chuẩn của giá trị tài sản, ta cũng có thể tính độ lệch chuẩn của
21. 6.5. CÁC THƯỚC ĐO RỦI RO 151 tỷ lệ lợi nhuận: p p 2 σ(RA) = var(RA) = E((RA − E(RA)) ). (6.22) Hai độ lệch chuẩn này liên hệ với nhau theo công thức đơn giản: σ(VA) = σ(RA)V (0). (6.23) Độ lệch chuẩn là một thước đo rủi ro tương đối, vì kể cả khi đầu tư không có khả năng bị thua lỗ (biến tỷ lệ lợi nhuận luôn có giá trị dương), thì độ lệch chuẩn vẫn có thể là số dương. Mức lợi nhuận tham chiếu ở đây chính là mức lợi nhuận kỳ vọng của bản thân đầu tư (chứ không phải là một mức cố định có sẵn, hay là một mức tham chiếu nào đó của thị trường). Bởi vậy, việc dùng độ lệch chuẩn làm thước đo rủi ro tạo ra một nghịch lý là: có thể có 2 chiến lược đầu tư khác nhau A và B, sau cho A luôn đem lại lợi nhuận cao hơn B dù bất cứ tình huống nào xảy ra (và như vậy mọi nhà đầu tư có lý trí phải thích A hơn B), thế nhưng độ lệch chuẩn tạo bởi A lớn hơn độ lệch chuẩn tạo bởi B, và nếu chỉ tính theo độ lệch chuẩn thì A lại được coi là có rủi ro cao hơn B ! Ví dụ 6.5. Giả sử có hai tính huống tốt và xấu, với xác suất mỗi tình huống là 50%. Chiến lược đầu tư A cho lợi nhuận 50% trong trường hợp tốt, 0% trong trường hợp xấu. Chiến lược đầu tư B cho lợi nhuận 7% trong trường hợp tốt, -7% trong trường hợp xấu. Khi đó A hiển nhiên là tốt hơn B. Thế nhưng độ lệch chuẩn của B chỉ có 7%, trong khi độ lệch chuẩn của A những 25%. Tuy ví dụ trên cho thấy, độ lệch chuẩn là một thước đo rất thiếu chính xác của rủi ro, nhưng nó vẫn là một thước đo rủi ro được ưa chuộng trong các lý thuyết tài chính, vì một số lý do: Thứ nhất là nó dễ ước lượng (dựa trên số liệu lịch sử), đặc biệt trong thời kỳ mà công suất máy tính còn yếu và người ta phải dựa trên những thứ đòi hỏi ít thời gian sử dụng máy tính. Thứ hai là nó ứng với khái niệm ddộ giao động (volatility) của giá cả, trong các mô hình biến động giá cả của chứng khoán. Với giả sử là giá cả các chứng khoán tuân theo phân bố normal hay log-normal, thì phân bố đó được xác định bởi hai yếu tố: kỳ vọng và độ lệch chuẩn. Chính vì vậy mà độ lệch chuẩn đóng vai trò quan trọng trong các công thức tính toán ước lượng trong tài chính. (Trên thực tế thì phân bố xác suất của giá cả thường “nặng đuôi” hơn là phân bố log-normal, do có những tình huống có thể xảy ra khiến cho giá nhảy đột biến lên rất cao hoặc xuống rất thấp, nhưng có thể tạm coi là phân bố log-normal là xấp xỉ gần đúng của phân bố thực tế, với độ sai số tạm chấp nhận được). Một cải tiến của độ lệch chuẩn và phương sai (phương sai chẳng qua là bình phương của độ lệch chuẩn), là khái niệm nửa phương sai (semi-variance). Định nghĩa của nửa
22. 152 CHƯƠNG 6. QUẢN LÝ DANH MỤC ĐẦU TƯ phương sai svar tương tự như định nghĩa của phương sai var, nhưng chỉ tính đến những phần thấp hơn trung bình mà không tính đến những phần cao hơn trung bình:  2 svar(VA) = E min(VA − E(VA), 0) . (6.24) Theo Markowitz, người được giải Nobel kinh tế vì lý thuyết danh mục đầu tư, thì ông ta đã áp dụng nửa phương sai vào tính rủi ro cho một số tập đoán đầu tư từ những năm 1990 (xem Mục 2.3 của [1]). Nửa phương sai là một thước đo tốt hơn so với phương sai trong những tình huống mà phân phối xác suất của biến lợi nhuận không có tính đối xứng. Thế nhưng nghịch lý lúc trước về “đầu tư luôn cho kết quả tốt hơn lại bị coi là có rủi ro cao hơn” vẫn tồn tại khi sử dụng nửa phương sai làm thước đo rủi ro. 6.5.2 Rủi ro thâm hụt (shortfall risk) Rủi ro thâm hụt là một khái niệm khá tự nhiên và quan trọng, nhưng nó mới chỉ được giới tài chính nghiên cứu một cách có hệ thống từ cuối những năm 1980. Bạn đọc muốn tìm hiểu kỹ thêm có thể xem chẳng hạn [1] và các bài báo được trích dẫn trong đó. Ý tưởng như sau: Trên thị trường có những chiến lược đầu tư đơn giản và phổ biến thường được dùng làm tham chiếu. Ví dụ như chiến lược gửi tiết kiệm với lãi suất cố định, hay chiến lược đầu tư theo một chỉ số chứng khoán nào đó. Ta sẽ gọi một chiến lược như vậy là chiến lược thị trường M. Nhà đầu tư, khi xem xét một chiến lược đầu tư A nào đó, sẽ đem nó so sánh với M. Nhà đầu tư biết rằng, ít ra có thể đạt được tỷ lệ lợi nhuận của M, và sẽ chỉ lựa chọn đầu tư vào A, nếu A đem lại hiệu quả tốt hơn M. Những tình huống mà trong đó A đem lại lợi nhuận thấp hơn so với M, RA < RM , thì được gọi là những tình huống rủi ro thâm hụt. Giả sử f : R+ → R+ là một hàm số liên tục đơn điệu tăng với f(0) = 0 (ví dụ f(x) = xn trong đó n là một số dương nào đó). Khi đó, độ rủi ro thâm hụt (về tỷ lệ lợi nhuận) của A theo tham chiếu M và theo hàm f được định nghĩa là: −1 Sf,M (A) = f (E(f(max(0,RM − RA)))). (6.25) Ví dụ, đặt f(x) = x2, và cố định một chiến lược thị trường M, ta được thước đo rủi ro thâm hụt sau: p 2 S(A) = E(max(0,RM − RA) ). (6.26) Thước đo rủi ro thâm hụt trên tương tự như là độ nửa lệch chuẩn (căn bậc hai của
23. 6.5. CÁC THƯỚC ĐO RỦI RO 153 nửa phương sai), nhưng nó khác ở chỗ ta dùng RM thay vì kỳ vọng lợi nhuận của A làm tham chiếu. Bởi vậy, thước đo rủi ro thâm hụt không bị dẫn đến nghịch lý về việc chiến lược tốt hơn lại bị coi là có rủi ro cao hơn, như là trường hợp của phương sai hay nửa phương sai: dễ thấy rằng, nếu chiến lược A luôn cho lợi nhuận cao hơn chiến lược B, thì độ rủi ro thâm hụt của A thấp hơn của B (tính theo bất kỳ tham chiếu nào và bất kỳ hàm f nào). 6.5.3 Giá trị chịu rủi ro (value at risk) Khái niệm value at risk (VaR) rất phổ biến trong giới tài chính, đặc biệt kể từ khi nó được đưa vào trụ cột đầu tiên (một trong ba trụ cột) của Công ước Quốc tế Basel II(8) về quản trị rủi ro trong các ngân hàng. Chúng tôi chưa được biết thuật ngữ tiếng Việt tương ứng, và tạm dịch thành giá trị chịu rủi ro. Ý tưởng chung là, một cá nhân hay tổ chức có thể chấp nhận mất tiền, nhưng không thể chấp nhận mất quá một mức nào đấy, vì để mất quá mức đó thì sẽ có ảnh hưởng rất xấu, rất khó hồi phục lại, hoặc thậm chí sẽ phá sản. Cá nhân hay tổ chức đó muốn rằng, với độ tin tưởng cao, ví dụ 99%, số tiền bị mất sẽ không vượt quá ngưỡng nào đó. Ngưỡng đó là ngưỡng mà VaR không được vượt quá. Định nghĩa hình thức của VaR như sau: giả sử có một tài khoản trị giá ban đầu là V (0), và giả sử α là một số dương cho trước rất nhỏ nào đó, ví dụ α = 1%, và giả sử T là một thời điểm cho trước nào đó trong tương lai. Gọi V (T ) là giá trị của tài khoản tại điểm T , được xét như là một biến ngẫu nhiên tại thời điểm ban đầu. Gọi W là số thực sao cho xác suất để V (T ) < W bằng α, có nghĩa là ta có thể tin rằng giá trị của V (T ) sẽ không nhỏ hơn W , với độ tin tưởng (confidence) bằng 1 − α. Khi đó hiệu V (0) − W (với giả sử rằng hiệu này là số dương) được gọi là value at risk VaRα của tài khoản, với độ tin tưởng bằng 1 − α. Có nhiều phương pháp để ước lượng VaR, ví dụ như: dùng các mô hình mô phỏng ngẫu nhiên về thị trường, phương pháp Monte-Carlo, sử dụng số liệu lịch sử với RiskMetrics(9), v.v. Tuy nhiên, Việc sử dụng VaR trong thực tế gặp phải những khó khăn lớn sau: 1) Tuy định nghĩa VaR tương đối dễ dàng, nhưng ước lượng được nó một cách đang tin lại là việc rất khó (bất kể dùng phương pháp nào), đặc biệt là với các chứng khoán phái sinh. (8)Xem chẳng hạn: (9)Xem:
24. 154 CHƯƠNG 6. QUẢN LÝ DANH MỤC ĐẦU TƯ 2) VaR chỉ cho ta biết là trong số 1 − α các tình huống “tốt” thì sẽ không bị mất quá VaRα nếu có mất tiền. Nhưng nó không nói cho ta biết, là nếu rơi vào α tình huống xấu còn lại, thì sẽ bị mất bao nhiêu: lượng tiền bị mất khi rơi vào α tình huống xấu có thể cao hơn nhiều lần VaRα. Để đối phó với vấn đề thứ hai, người ta đưa thêm vào những thước đo rủi ro mới, ví dụ như tail value at risk (TVaRα, giá trị chịu rủi ro ở đuôi), hay còn gọi là tail conditional expectation (kỳ vọng đuôi có điều kiện): nó là kỳ vọng số tiền bị mất khi rơi vào α tình huống xấu. Công thức định nghĩa của nó là: TVaRα(X) = E[−X|X ≤ −VaRα(X)]. (6.27) Hình 6.3: Giao động giá nhà đất ở Mỹ (chỉ số Case–Shiller), 2000–2010 Một ví dụ điển hình cho thấy hạn chế của VaR và các cách ước lượng chúng là vấn đề nợ trả góp dưới chuẩn ở Mỹ. Trong những năm 2000–2007, giá nhà đất ở Mỹ và nhiều nơi trên thế giới đi lên mạnh, tăng trung bình trên 100% trong 7 năm đó. Cùng với việc giá nhà đi lên, là việc các công ty tài chính khuyến khích nhân dân vay tiền mua nhà, kể cả những người mà mức thu nhập không thể đủ để trả nợ tiền nhà, mà chỉ có thể giữ được nợ trong trường hợp giá nhà tiếp tục đi lên. Những khoản vay nợ kiểu như vậy gọi
25. 6.6. LÝ THUYẾT MARKOWITZ 155 là nợ dưới chuẩn (suprime loans). Khi giá nhà còn đi lên, thì giá trị của các chứng khoán nợ tạo thành từ các khoản nợ dưới chuẩn trên thị trường chứng khoán rất ổn định, có volatility thấp, tạo ra một “sự an toàn” ảo về chúng, vì theo các ước lượng rủi ro chỉ dựa trên số liệu lịch sử thì các chứng khoán nợ này rất an toàn, có VaR thấp. Thế nhưng, về mặt cơ bản, đây là các chứng khoán nợ có rủi ro vô cùng lớn, vì chỉ cần giá nhà thôi không tăng nữa (như đã xảy ra vào quãng 2007), thì lập tức dẫn đến những người vay nợ dưới chuẩn vỡ nợ, bị tịch thu nhà bán lại cho người khác với giá rẻ hơn, dẫn đến hiệu ứng dây chuyền kéo giá nhà đi xuống và làm cho một tỷ lệ rất lớn các khoản nợ nhà đất trở thành nợ xấu, và đây chính là một trong các nguyên nhân dẫn đến khủng hoảng tài chính thế giới 2008–2009, kéo theo một loạt tổ chức tài chính lớn phá sản. 6.6 Lý thuyết Markowitz Bài toán tối ưu hóa một danh mục đầu tư trong thực tế thường là một bài toán phức tạp, với nhiều ràng buộc và nhiều tiêu chí, ví dụ như chỉ được đầu tư vào một số chứng khoán nào đó, tỷ lệ không quá bao nhiêu đó, VaR hay TVaR không vượt quá bao nhiêu đó, muốn đạt cực trị cho những hàm thỏa dụng nào đó, v.v. Một mô hình đơn giản cho bài toán tối ưu này là lý thuyết modern portfolio theory của Markowitz(10), mà chúng ta sẽ bàn đến ở đây. Lý thuyết của Markowitz là lý thuyết về tối ưu hóa một danh mục đầu tư theo hai tiêu chí đơn giản: kỳ vọng lợi nhuận và độ lệch chuẩn (của phân bổ lợi nhuận, được dùng như là một thước đo rủi ro). Sở dĩ độ lệch chuẩn, chứ không phải các thước đo rủi ro khác, được dùng trong lý thuyết này, là bởi vì tính toán với độ lệch chuẩn dễ hơn là với các thước đo khác, và tuy rằng nó không phải là một thước đo “hoàn hảo” về rủi ro, nhưng lý thuyết vẫn cho ta các kết luận thú vị về thị trường, và về công dụng của việc đa dạng hóa tài sản. Để đơn giản, chúng ta sẽ giả sử là danh mục đầu tư được thiết lập vào một thời điểm 0 ban đầu nào đó, và sẽ được giữ nguyên như vậy đến một thời điểm T trong tương lai. Danh mục gồm có n chứng khoán, đánh thứ tự từ 1 đến n. Tỷ lệ lợi nhuận của chứng khoán thứ k trong tài khoản tại thời điểm T là một biến ngẫu nhiên Rk, và chúng ta giả sử rằng phân bố xác suất đồng thời của (R1, ,Rk) đã được xác định trước. (Chúng ta chưa biết lợi nhuận sẽ bằng bao nhiêu, nhưng biết là nó tuân theo phân bố xác suất nào). Pn Giả sử là chứng khoán thứ k chiếm tỷ trọng wk trong danh mục đầu tư ( 1 wk = 1). Ta (10)Modern portfolio theory của Markowitz còn được gọi đùa là mediocre portfolio theory, vì theo lý thuyết này thì không ai đầu tư được tốt hơn mức trung bình của toàn thị trường
26. 156 CHƯƠNG 6. QUẢN LÝ DANH MỤC ĐẦU TƯ sẽ gọi w = (w1, . . . , wn) là vector chiến lược. Khi đó tỷ lệ lợi nhuận của danh mục đầu tư với vector chiến lược w là biến ngẫu nhiên n X Rw = wkRk (6.28) k=1 Nếu như có ít nhất một trong các tỷ trọng wk là số âm, thì ta nói rằng danh mục có bán khống (tức là giữ một lượng âm một loại chứng khoán nào đó), còn ngược lại thì ta nói là danh mục không có bán khống. Một số thị trường cho phép bán khống, còn một số thị trường không cho phép bán khống. Khi thị trường không có bán khống, thì ta sẽ coi là tập tất cả các chiến lược được phép sử dụng là tập tất cả các bộ n số (tỷ trọng) không âm có tổng bằng 1. Còn khi thị trường cho phép bán khống, thì ta bỏ đi điều kiện không âm. Bài toán đặt ra là tìm w sao cho cặp số (E(Rw), σ(Rw)) (kỳ vọng và độ lệch chuẩn của biến lợi nhuận) đạt tối ưu theo nghĩa nào đó, ví dụ như sao cho độ lệch chuẩn σ(Rw) không vượt quá mức nào đó, còn kỳ vọng lợi nhuận E(Rw) đạt mức cao nhất có thể. 6.6.1 Trường hợp có hai chứng khoán Để đơn giản, trước hết ta xét trường hợp chỉ có 2 chứng khoán trong danh mục (n = 2, w1 + w2 = 1). Mệnh đề 6.3. Ta có các công thức sau để tính kỳ vọng và phương sai của biến lợi nhuận Rw = w1R1 + w2R2 của danh mục với vector chiến lược w = (w1, w2): E(Rw) = w1E(R1) + w2E(R2), (6.29) và 2 2 var(Rw) = w1.var(R1) + w2.var(K2) + 2w1w2.cov(R1,R2), (6.30) trong đó cov(R1,R2) là ký hiệu hiệp phương sai (covariance) của R1 và R2: cov(R1,R2) = E(R1R2) − E(R1)E(R2). (6.31) Chứng minh của công thức trên suy ra trực tiếp từ định nghĩa của phương sai, và tính tuyến tính của kỳ vọng, và đúng cho mọi cặp biến ngẫu nhiên. Ghi chú 6.5. Một trường hợp riêng nhưng rất quan trọng của tài khoản với 2 chứng khoán, là khi chỉ có 1 chứng khoán có rủi ro, còn chứng khoán kia không có rủi ro:
27. 6.6. LÝ THUYẾT MARKOWITZ 157 var(R1) > 0, var(R2) = 0. Khi đó thì độ lệch chuẩn lợi nhuận của danh mục tỷ lệ thuận với tỷ trọng tuyệt đối của chứng khoán có rủi ro trong tài khoản: σ(Rw) = |w1|σ(R1). Như vậy, trong trường hợp đơn giản này, độ chênh lệnh E(Rw) − R2 giữa kỳ vọng lợi nhuận của danh mục và lợi nhuận không rủi ro R2 tỷ lệ thuận với độ rủi ro σ(Rw) của danh mục, theo một hệ số tỷ lệ dương nếu như R1 > R2 và w1 > 0 hoặc R1 < R2 và w1 < 0 (w1 < 0 có nghĩa là là giữ một lượng âm chứng khoán có rủi ro, hay còn gọi là bán khống), còn nếu ngược lại thì là theo một hệ số tỷ lệ âm, tức là càng tăng rủi ro lại càng làm giảm kỳ vọng lợi nhuận. Giả sử là cả hai chứng khoán đều có rủi ro (ở đây có nghĩa là có lợi nhuận là biến ngẫu nhiên có độ lệch chuẩn dương). Để cho gọn, ký hiệu p µw = E(Rw) σw = var(Rw), p µ1 = E(R1) σ1 = var(R1), p µ2 = E(R2) σ2 = V ar(R2), cov(R1,R2) và đặt ρ12 = là hệ số tương quan (khi mà σ1σ2 6= 0). Hệ số tương quan luôn σ1σ2 thỏa mãn tính chất −1 ≤ ρ12 ≤ 1 (xem [7]). Ta có thể viết lại các công thức trên như sau: µw = w1µ1 + w2µ2 (6.32) và 2 2 2 2 2 σw = w1σ1 + w2σ2 + 2w1w2ρ12σ1σ2 (6.33) Ví dụ 6.6. Giả sử không gian các tình huống có thể xảy ra gồm có 3 tình huống ω1, ω2, ω3, với các xác suất, và các mức lợi nhuận R1 và R2 của hai chứng khoán trong các tình huống đó, được cho trong bảng sau: Tình huống Xác suất Lợi nhuận R1 Lợi nhuận R2 ω1 0.4 −10% 10% ω2 0.2 0% 10% ω3 0.4 20% 0% Giả sử w1 = 40%, w2 = 60%. Bằng cách tính trực tiếp, ta rút ra được 2 ∼ 2 ∼ ∼ σ1 = 0, 0184, σ2 = 0, 0024, ρ12 = −0, 96309, từ đó suy ra 2 ∼ σw = 0, 000736.
28. 158 CHƯƠNG 6. QUẢN LÝ DANH MỤC ĐẦU TƯ Chú ý rằng σw < σ1 và σw < σ2 , tức là bằng cách kết hợp hai chứng khoán với nhau trong ví dụ này, ta đạt được độ rủi ro thấp hơn là nếu chỉ đầu tư vào một trong hai chứng khoán đó. Vì w2 = 1 − w1, nên các công thức phía trên trên cho thấy µw là hàm bậc 1 theo w1, 2 còn σw là hàm bậc hai theo w1. Nếu giả sử µ1 6= µ2, và ta cho phép các số w1, w2 có thể âm (nói cách khác, là tài khoản được phép bán khống), thì khi đó bằng cách thay đổi w1 ta có thể đạt mức kỳ vọng lợi nhuận µw cao tùy ý ! (Trên thực tế thì điều này không xảy ra, vì kể cả khi thị trường cho phép bán khống, thì cũng không được phép bán khống quá một mức nào đó so với tổng giá trị của tài khoản). Tập hợp các giá trị có thể có của cặp số (σw, µw), khi w1 thay đổi trong tập các số thực, tạo thành một đường đi qua hai điểm (σ1, µ1) (ứng với w1 = 1) và (σ2, µ2) (ứng với w1 = 0) trên mặt phẳng tọa độ. Hình 6.4 là một ví dụ minh họa. Hình 6.4: Một đoạn đường cong (σw, µw), với 0 ≤ w1 ≤ 1 Nếu µ1 6= µ2, thì có thể viết w1 = (µw − µ2)/(µ1 − µ2), và thay công thức này vào biểu 2 2 2 thức tính σw, ta được một phương trình bậc hai dạng σw = Aµw + Bµw + C, trong đó A, B, C là ba hằng số. Từ đó suy ra rằng, trong trường hợp tổng quát, khi mà ρ12 6= ±1 và µ1 6= µ2, thì tập hợp các giá trị có thể có của cặp số (σw, µw) là một đường cong bậc 2 dạng hyperbol nằm theo chiều ngang có đáy quay về phía bên trái mặt phẳng tọa độ (σ, µ). Một hệ quả đơn giản của dáng điệu hyperbolic quay đáy về bên trái này là bất đẳng thức sau: Mệnh đề 6.4. Nếu w1, w2 ≥ 0 (tức là không có bán khống) thì 2 2 2 σV ≤ max{σ1, σ2}. (6.34)
29. 6.6. LÝ THUYẾT MARKOWITZ 159 2 2 Chứng minh. Giả sử σ1 ≤ σ2. Vì w1, w2 ≥ 0 nên ta có w1σ1 + w2σ2 ≤ (w1 + w2)σ2 = σ2. Vì −1 ≤ ρ12 ≤ 1 nên 2 2 2 2 2 σw = w1σ1 + w2σ2 + 2w1w2ρ12σ1σ2 2 2 2 2 ≤ w1σ1 + w2σ2 + 2w1w2σ1σ2 2 2 = (w1σ1 + w2σ2) ≤ σ2. 2 2 Trường hợp σ1 ≥ σ2 được chứng minh tương tự. Mệnh đề 6.5. Giả sử −1 < ρ12 < 1. Nếu cho phép bán khống, thì danh mục đầu tư có rủi ro ít nhất, theo nghĩa độ lệch chuẩn lợi nhuận thấp nhất, là danh mục có w1 = s0 cho bởi công thức 2 σ2 − ρ12σ1σ2 s0 = 2 2 . (6.35) σ1 + σ2 − 2ρ12σ1σ2 Nếu không cho phép bán khống, thì rủi ro thấp nhất xảy ra khi w1 = smin cho bởi công thức  0, s0 < 0,  smin = s0, 0 ≤ s0 ≤ 1, (6.36)   1, 1 < s0. Trường hợp đặc biệt, khi mà ρ12 = ±1, thì tập các điểm (σw, µw) không phải là đường hyperbol trơn nữa, mà nó suy biến thành hai nửa đường thẳng trên mặt phẳng (σ, µ) gặp nhau tại một điểm có σ = 0. Điểm đó được xác định như sau: Mệnh đề 6.6. 1. Nếu ρ12 = 1 và σ1 6= σ2 thì σw = 0 khi và chỉ khi −σ2 σ1 w1 = , w2 = σ1 − σ2 σ1 − σ2 2. Nếu ρ12 = −1 thì σw = 0 khi và chỉ khi σ2 σ1 w1 = , w2 = σ1 + σ2 σ1 + σ2 Chứng minh của các mệnh đề trên là bài tập dành cho bạn đọc. Bài tập 6.2. Cho thông tin về một danh mục đầu tư như sau, trong đó R1 và R2 là tỷ lệ lợi nhuận của hai chứng khoán tương ứng: Kịch bản Xác suất R1 R2 ω1 0.3 −5% 5% ω2 0.3 20% 10% ω3 0.4 10% 25%
30. 160 CHƯƠNG 6. QUẢN LÝ DANH MỤC ĐẦU TƯ a) Tìm các tỷ trọng w1, w2 sao cho danh mục đạt kỳ vọng lợi nhuận bằng 15%. b) Tìm các tỷ trọng w1, w2 sao cho độ lệch chuẩn σw đạt cực tiểu. 6.6.2 Trường hợp có nhiều chứng khoán Giả sử danh mục có thể giữ n chứng khoán, với các biến tỷ lệ lợi nhuận tương ứng là R1, ,Rn. Gọi µk = E(Rk) là kỳ vọng tỷ lệ lợi nhuận của chứng khoán thứ k. Gọi m = (µ1, µ2, . . . , µn) (6.37) là vector kỳ vọng lợi nhuận, w = (w1, . . . , wn) là vector chiến lược (các thành phần của vector chiến lược là các tỷ trọng của các chứng khoán trong danh mục), còn C = (Cij),Cij = cov(Ri,Rj) (6.38) là ma trận hiệp phương sai của các biến lợi nhuận. Ma trận hiệp phương sai luôn có các tính chất sau: đối xứng, và nửa xác định dương. Chúng ta sẽ giả sử rằng ma trận C này là khả nghịch. Tương tự như trong trường hợp với 2 chứng khoán, chúng ta có các công thức sau cho phép đánh giá kỳ vọng lợi nhuận và độ rủi ro của một danh mục đầu tư: Mệnh đề 6.7. T µw = m.w (6.39) và 2 T σw = w.C.w . (6.40) Chứng minh. n X µw = E(Rw) = E( wiRi) i=1 n X T = wiµi = mw i=1 n 2 X σw = var(Rw) = var( wiRi) i=1 n n X X = cov( wiRi, wjRj) i=1 j=1 n X T = ( wiwjCij) = wCw i,j=1
31. 6.6. LÝ THUYẾT MARKOWITZ 161 Ký hiệu u = (1, , 1) (6.41) là vector n chiều với tất cả các hệ số đều bằng 1. Ta có uwT = 1. −1 T Mệnh đề 6.8. (Danh mục ít rủi ro nhất). Giả sử uC u 6= 0. Khi đó danh mục có σw thấp nhất là danh mục cho bởi vector chiến lược uC−1 w = . (6.42) uC−1uT Chứng minh. Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange với 1 F (w, λ) = wCwT − λuwT , 2 ta tính ra w = λuC−1. Do đó λuC−1uT = 1. Giải λ và thay vào biểu thức của w ta có điều phải chứng minh. Mệnh đề 6.9. (Rủi ro thấp nhất cho mức kỳ vọng lợi nhuận định trước). Trong các danh mục có kỳ vọng lợi nhuận bằng một số µV cho trước, danh mục có σw thấp nhất là danh mục cho bởi vector chiến lược sau: 1 uC−1mT uC−1uT 1 uC−1 + mC−1 −1 T −1 T µV mC m mC u µV w = . (6.43) uC−1uT uC−1mT −1 T −1 T mC u mC m Chứng minh. Áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange với 1 G(w, λ, γ) = wCwT − λuwT − γmwT , 2 ta rút ra wC = λu + γm. (6.44) Với giả sử rằng C là ma trận đảo nghịch được, ta có w = λuC−1 + γmC−1,
32. 162 CHƯƠNG 6. QUẢN LÝ DANH MỤC ĐẦU TƯ từ đó suy ra hệ phương trình tuyến tính sau: λuC−1uT + γuC−1mT = 1 −1 T −1 T λmC u + γmC m = µV Giải hệ phương trình trên để tính λ, γ, rồi thế vào công thức của w, ta được điều phải chứng minh. Ghi chú 6.6. Công thức trong mệnh đề phía trên có thể cho một danh mục đầu tư có bán khống, tức là có một số chứng khoán có tỷ trọng âm. Nếut yêu cầu không được bán khống, thì phải điều chỉnh công thức, và kỳ vọng lợi nhuận không thể vượt qua một mức nào đó (vì tập các chiến lược được phép là một tập compact, nên tập các kỳ vọng lợi nhuận có thể đạt được cũng là tập compact). Bài tập 6.3. Tính µw và σw của một danh mục đầu tư biết: w1 = 50% w2 = −20% w3 = 70% µ1 = 8% µ2 = 6% µ3 = 10% σ1 = 1.5 σ2 = 0.5 σ3 = 1.7 ρ12 = 0.3 ρ23 = 0.2 ρ31 = −0.2 Bài tập 6.4. Cho danh mục đầu tư có µ1 = 0.15 µ2 = 0.12 µ3 = 0.17 σ1 = 0.3 σ2 = 0.3 σ3 = 0.4 ρ12 = 0.5 ρ23 = 0.2 ρ31 = 0.3 a) Tìm vector chiến lược w có σw thấp nhất, và tính độ lệch chuẩn thấp nhất đó. b) Tìm vector chiến lược w có σw thấp nhất trong số các vector chiến lược cho kỳ vọng lợi nhuận µw = 15%, và tính σw thấp nhất đó. 6.6.3 Biên hiệu quả Định nghĩa 6.10. Một chiến lược đầu tư w được gọi là hiệu quả hơn một chiến lược 0 đầu tư w nếu như µw ≥ µw0 và σw ≤ σw0 , và ít nhất một trong hai bất đẳng thức trên không phải là đẳng thức. Một chiến lược đầu tư được gọi là chiến lược hiệu quả nếu không có chiến lược nào hiệu quả hơn nó trong số các chiến lược cho phép. Tập hợp tất cả các điểm (σw, µw) trên mặt phẳng, trong đó w là chiến lược hiệu quả, được gọi là biên hiệu quả.
33. 6.6. LÝ THUYẾT MARKOWITZ 163 Theo định nghĩa trên, thì tất cả các điểm (σw, µw) trong đó w là một chiến lược cho phép, nằm về phía dưới và bên phải của biên hiệu quả. Chú ý là biên hiệu quả phụ thuộc vào tập các chiến lược cho phép, ví dụ như có cho phép bán khống hay không. Hình 6.5: Hình minh họa về biên hiệu quả Điểm cực trái của biên hiệu quả (điểm có tọa độ σ nhỏ nhất) chính là điểm ứng với chiến lược đầu tư có độ lệch chuẩn thấp nhất. Nếu ta gọi µ0 là kỳ vọng lợi nhuận của danh mục đầu tư này, thì mọi chiến lược đầu tư hiệu quả phải có kỳ vọng lợi nhuận lớn hơn hoặc bằng µ0. Với mỗi µV > µ0, chiến lược có độ lệch chuẩn thấp nhất trong số các chiến lược có kỳ vọng lợi nhuận bằng µV được cho bởi công thức trong Mệnh đề 6.9, và đó chính là một chiến lược tối ưu. Theo Mệnh đề 6.9, các chiến lược hiệu quả w này là các chiến lược được cho bởi tính chất: vector w là tổ hợp tuyến tính của hai vector u = (1, , 1) và m = (µ1, . . . , µn): wC = λu + γm. (6.45) Mệnh đề 6.11. Đường biên hiệu quả có tính lồi (về phía bên trái). Có nghĩa là, nếu có 3 điểm (σ1, µ1), (σ2, µ2), (σ3, µ3) nằm trên đường biên hiệu quả, với µ2 = pµ1 + (1 − p)µ3, 0 ≤ p ≤ 1, thì σ2 ≤ pσ1 + (1 − p)σ3.
34. 164 CHƯƠNG 6. QUẢN LÝ DANH MỤC ĐẦU TƯ Chứng minh. Thật vậy, gọi w1 là một chiến lược đầu tư ứng với (σ1, µ1), và w3 là một chiến lược đầu tư ứng với (σ2, µ2), và đặt w2 là tổ hợp tuyến tính của w1 và w3: w2 = pw1 + (1 − p)w3. Khi đó ta có µw2 = µ2, và σw2 ≤ pσ1 + (1 − p)σ2. Mặt khác, vì (σ2, µ2) nằm trên biên hiệu quả, nên ta có σ2 ≤ σw2 . 6.7 Mô hình định giá tài sản vốn (CAPM) Lý thuyết CAPM (capital asset pricing model(11)) về thị trường chứng khoán được đưa ra từ đầu những năm 1960, dựa trên mô hình quản lý danh mục đầu tư của Markowitz, và nhờ nó mà William Sharpe, Harry Markowitz and Merton Miller được giải Nobel về kinh tế năm 1990. Tuy rằng CAPM dựa trên các giả thiết rất mạnh và tính sát thực của nó khá hạn chế(12), nhưng CAPM vẫn là một lý thuyết được giới tài chính rất ưa chuộng, bởi nó cho ra một số kết luận rất thú vị. Một trong các kết luận quan trọng nhất của CAPM là: danh mục thị trường (market portfolio) chính là một chiến lược đầu tư hiệu quả. Danh mục thị trường tức là một danh mục đầu tư mà đầu tư vào tất cả các chứng khoán có trên thị trường, với tỷ trọng đầu tư vào mỗi chứng khoán tỷ lệ thuận với tổng giá trị của chứng khoán đó (vốn hóa của nó) trên thị trường, hay nói cách khác, tỷ trọng của một loại chứng khoán trong một danh mục thị trường bằng đúng tỷ trọng của toàn bộ loại chứng khoán đó trên toàn thị trường. Ví dụ như nếu một công ty cổ phần có vốn hóa bằng 2,5% tổng vốn hóa của thị trường, thì tỷ trọng của cổ phiếu của công ty đó trong một danh mục thị trường cũng bằng 2,5%. Lý thuyết CAPM dựa trên các giả thiết sau đây về thị trường: 1) Thị trường có n chứng khoán có rủi ro, và có một chứng khoán không có rủi ro (hình dung chứng khoán không có rủi ro này là tiền mặt hưởng lãi suất qua đêm). Tỷ lệ lợi nhuận của chứng khoán không có rủi ro là một số R0 > 0 biết trước. 2) Tất cả các nhà đầu tư đều có thông tin giống nhau về kỳ vọng lợi nhuận và hiệp phương sai của các chứng khoán có rủi ro (cho một giai đoạn đầu tư nào đó), và các con số này được biết trước. 3) Mọi danh mục đầu tư của các nhà đầu tư đều là một danh mục đầu tư hiệu quả theo nghĩa của lý thuyết Markowitz. (11)CAPM còn được gọi đùa là communist asset pricing model, vì nó dựa trên giả thiết là tất cả các nhà đầu tư có cùng thông tin và phân tích giống nhau về thị trường, và ai cũng có danh mục đầu tư hiệu quả theo cùng một kiểu (12)Xem:
35. 6.7. MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ TÀI SẢN VỐN (CAPM) 165 6.7.1 Đường thị trường vốn Xét các danh mục đầu tư chỉ chứa các chứng khoán có rủi ro mà không chứa chứng khoán không rủi ro. Theo lý thuyết Markowitz, ta có một đường biên hiệu quả trên mặt phẳng (σ, µ), mà ta sẽ ký hiệu là Γ, cho các danh mục đầu tư với n chứng khoán có rủi ro này. Do tính lồi của đường biên hiệu quả Γ, nên có duy nhất một nửa đường thẳng L xuất phát từ điểm (0,R0) (điểm của chứng khoán không rủi ro) và tiếp xúc với Γ. Ta sẽ giả sử là có một điểm tiếp xúc duy nhất, ký hiệu là (σM , µM ), và gọi là điểm Markowitz. Định lý 6.12. i) Nửa đường thẳng L là đường biên hiệu quả cho các danh mục có chứa cả chứng khoán không có rủi ro. ii) Điểm Markowitz là điểm ứng với danh mục thị trường. Chứng minh. i) Nếu một chiến lược w không chứa chứng khoán không rủi ro có độ lệch chuẩn và kỳ vọng tỷ lệ lợi nhuận là (σw, µw), thì chiến lược (1 − p, pw) chứa chứng khoán không rủi ro với tỷ trọng 1 − p và phần còn lại với tỷ trọng p được phân bổ theo tỷ lệ thuận với w, là chiến lược có độ lệch chuẩn và kỳ vọng lợi nhuận là (pσw, (1−p)R0 +pµw) (với giả sử p > 0). Điểm (pσw, (1 − p)R0 + pµw) nằm trên nửa đường thẳng xuất phát từ (0,R0) đi qua (σw, µw). (Nếu đòi hỏi 1 − p ≥ 0, tức là tài khoản không được phép nợ loại chứng khoán không rủi ro, thì điểm này nằm trên đoạn thẳng nối từ (0,R0) đến (σw, µw)). Như vậy, nếu ta có một điểm (σw, µw) ứng với một chiến lược nào đó, thì mọi điểm trên nửa đường thẳng xuất phát từ (0,R0) đi qua (σw, µw) đều có các chiến lược tương ứng. Mỗi điểm trên nửa đường thẳng Lứng với một chiến lược là tổ hợp tuyến tính của chứng khoán không có rủi ro và một chiến lược cho điểm Markowitz. Để chứng minh L là biên hiệu quả (cho các danh mục có giữ cả chứng khoán không rủi ro), ta giả sử có một chiến lược với điểm (σ, µ) tương ứng nằm bên trái L (tức là hiệu quả hơn so với chiến lược nào đó của L). Khi đó, bỏ phần không rủi ro khỏi chiến lược này, ta vẫn được một chiến lược (σ, µ) tương ứng nằm bên trái L, tức là nằm bên trái đường biên hiệu quả Γ, vì bản thân L đã nằm phía bên trái của Γ, có nghĩa là đây là một chiến lược (không chứa chứng khoán không rủi ro) còn hiệu quả hơn là đường biên hiệu quả Γ, mâu thuẫn với định nghĩa của đường biên hiệu quả (cho các danh mục không chứa chứng khoán không rủi ro). Bởi vậy L chính là đường biên hiệu quả cho các danh mục có thể chứa chứng khoán không rủi ro. ii) Vì nhà đầu tư nào cũng theo một chiến lược hiệu quả theo giả thiết, nên các điểm (σ, µ) đều nằm trên đường L. Bỏ đi phần chứng khoán không rủi ro, thì các danh mục đó vẫn nằm trên đường L. Nhưng trên đường L chỉ có một điểm ứng với danh mục không
36. 166 CHƯƠNG 6. QUẢN LÝ DANH MỤC ĐẦU TƯ chứa chứng khoán không rủi ro, bởi vậy phần có rủi ro của các danh mục của mọi nhà đầu tư đều ứng với điểm Markowitz (σM , µM ). Cộng tất cả các phần có rủi ro đó lại với nhau, ta được danh mục thị trường, và bởi vậy danh mục thị trường cũng có kỳ vọng lợi nhuận là µM , còn độ lệch chuẩn nhỏ hơn hoặc bằng σM (xem mệnh đề 6.4). Thế nhưng ứng với µM thì σM đã là độ lệch chuẩn nhỏ nhất có thể, bởi vậy độ lệch chuẩn của danh mục thị trường chính bằng σM , và danh mục thị trường là một chiến lược đầu tư hiệu quả ứng với điểm Markowitz. Ghi chú 6.7. Trong trường hợp mà các nhà đầu tư không được phép “bán khống chứng khoán không rủi ro”, có nghĩa là không được vay tiền để đầu tư vào các chứng khoán có rủi ro, thì đường biên hiệu quả cho các danh mục có chứng khoán không rủi ro không phải là nửa đường thẳng L, mà gồm có đoạn thẳng nằm trên L đi từ (0,R0) đến (σM , µM ) cộng với đoạn đường cong Γ (biên hiệu quả khi bỏ qua chứng khoán không rủi ro) nằm phía bên phải điểm (σM , µM ). Có nghĩa là, các nhà đầu tư mà chấp nhận độ rủi ro trên σM thì không cần giữ tiền mặt (chứng khoán không rủi ro) trong danh mục, còn nếu độ rủi ro chấp nhận được là dưới σM , thì việc giữ một phần tiền mặt sẽ làm tăng hiệu quả của danh mục đầu tư. Định nghĩa 6.13. Nửa đường thẳng L trong định lý trên được gọi là đường thị trường vốn (capital market line). Hình 6.6: Đường thị trường vốn Theo CAPM, thì các nhà đầu tư sẽ đều chọn danh mục đầu tư nằm trên đường thị trường vốn, và nằm ở điểm nào trên đường đó tùy thuộc vào mức độ rủi ro chấp nhận
37. 6.7. MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ TÀI SẢN VỐN (CAPM) 167 được của nhà đầu tư: những điểm gần (0,R0) dành cho các nhà đầu tư ít chấp nhận rủi ro, còn những điểm ở xa hơn dành cho các nhà đầu tư chấp nhận được mức rủi ro cao hơn. 6.7.2 Nhân tử beta và đường thị trường chứng khoán Gọi V là một chứng khoán hay danh mục đầu tư nào đó, còn M là danh mục đầu tư thị trường, với các biến lợi nhuận tương ứng cho một giai đoạn nào đó là RV và RM . Khi đó ta có thể viết RV = αV + βV RM + V , (6.46) trong đó αV và βV là hai hằng số, còn V là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng bằng 0 và hiệp phương sai với RM cũng bằng 0: E(V ) = 0, cov(V ,RM ) = 0. Công thức để tính αV và βV là: cov(RV ,RM ) βV = 2 , (6.47) σM αV = µV − βV µM . (6.48) 2 trong đó µV = E(RV ), µM = E(RM ), σM = var(RM ). Hệ số βV được gọi là hệ số beta, hay nhân tử beta của V , và nó đo độ phụ thuộc vào thị trường chung của lợi nhuận của V . Chúng ta đã đề cập đến hệ số beta này từ Chương 5 khi phân tích cổ phiếu. Chú ý rằng, hệ số beta tạo chặn dưới của mức rủi ro. 2 2 2 2 Thật vậy, ta có σV = βV σM + σ(V ) , suy ra σV ≥ |βV |σM . (6.49) Dấu bằng đạt được khi V là một tổ hợp tuyến tính của danh mục thị trường với chứng khoán không rủi ro. Bài tập 6.5. Cho bảng dữ liệu sau, hãy tính βV , αV : Kịch bản Xác suất Lợi nhuận RV Lợi nhuận RM ω1 0.1 −7% 8% ω2 0.3 0% 10% ω3 0.4 5% 9% ω4 0.2 20% 13% Bài tập 6.6. Chứng minh tính chất sau của nhân tử beta: nhân tử beta của một danh mục đầu tư V gồm n chứng khoán với các tỷ trọng w1, . . . , wn là βV = w1β1 + + wnβn,
38. 168 CHƯƠNG 6. QUẢN LÝ DANH MỤC ĐẦU TƯ trong đó βk là nhân tử beta của chứng khoán thứ k. Nhắc lại rằng, theo CAPM, danh mục đầu tư thị trường M là một danh mục hiệu quả, và do đó theo công thức 6.44 ta có wM C = λu + γm, trong đó wM là vector chiến lược của danh mục thị trường (hệ số ứng với chứng khoán không rủi ro của nó bằng 0, còn các hệ số khác là các tỷ trọng vốn hóa của các chứng khoán có rủi ro trên thị trường), C là ma trận hiệp phương sai của toàn bộ thị trường (kể cả chứng khoán không rủi ro), m là vector kỳ vọng lợi nhuận của các chứng khoán, u = (1, , 1), còn λ và γ là các số thực nào đó. Từ đó suy ra công thức sau cho nhân tử beta βV của một danh mục đầu tư V bất kỳ: T T cov(RV ,RM ) wM CwV (γu + λm)wV µV + γ/λ βV = 2 = T = T = . σM wM CwM (γu + λm)wM µM + γ/λ Trong trường hợp V là chứng khoán không rủi ro, thì lợi nhuận của nó bằng hằng số R0, còn nhân tử beta của nó bằng 0, bởi vậy ta có R0 + λ/γ = 0, nghĩa là λ/γ = −R0, từ đó suy ra định lý sau: Định lý 6.14. Theo lý thuyết CAPM, thì kỳ vọng lợi nhuận của một danh mục đầu tư V bất kỳ phụ thuộc hoàn toàn vào nhân tử beta của nó theo công thức: µV = R0 + βV (µM − R0). (6.50) Hình 6.7: Hình minh họa về đường thị trường chứng khoán Như vậy, tập hợp các điểm (βV , µV ) tạo ra bởi các chứng khoán và các danh mục đầu tư nằm trên một đường thẳng trên mặt phẳng (β, µ), gọi là đường thị trường chứng khoán (security market line). Theo kết luận trên của CAPM thì việc đi tìm chứng khoán hay danh mục “trội hơn” thị trường là vô nghĩa, vì muốn có kỳ vọng lợi nhuận cao cách duy nhất là tăng hệ số beta lên, và như vậy tăng mức rủi ro lên tương ứng.
39. Chương 7 Giải tích ngẫu nhiên Theo ngôn ngữ toán học, sự biến động theo thời gian của giá cả (như giá vàng, giá dầu hỏa, giá cổ phiếu của công ty Intel, v.v.), cũng như của các số liệu khác (ví dụ như mức tăng trưởng kinh tế, tỷ lệ thất nghiệp, v.v.) được gọi là các quá trình ngẫu nhiên (random process), bởi vì nói chung không ai có thể biết trước được một cách chính xác giá trị của chúng trong tương lai sẽ ra sao. Để nghiên cứu các quá trình ngẫu nhiên này, chúng ta sẽ cần dùng đến một bộ phận của toán học gọi là giải tích ngẫu nhiên (stochastic calculus). Giải tích ngẫu nhiên tức là giải tích toán học (các phép tính giới hạn, vi tích phân, v.v.) áp dụng vào các quá trình ngẫu nhiên, dựa trên cơ sở của lý thuyết xác suất thống kê. Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu một số kiến thức cơ bản nhất về giải tích ngẫu nhiên, cần thiết cho toán tài chính. Bạn đọc muốn nghiên cứu sâu thêm về giải tích ngẫu nhiên có thể tìm đọc các sách chuyên khảo, ví dụ như Øksendal [21], Karatzas và Shreve [15], hoặc quyển sách của tác giả Nguyễn Duy Tiến [29]. 7.1 Một số mô hình biến động giá chứng khoán Ở phần này, chúng ta sẽ coi giá S của một cổ phiếu (hay nói một cách tổng quát hơn, của một chứng khoán có giá dương) như là một quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị trong tập hợp các số thực dương, và chúng ta sẽ xét một số mô hình hệ động lực ngẫu nhiên một chiều đơn giản mô tả diễn biến của S theo thời gian. Chú ý rằng, do chỉ có 1 chiều, nên các mô hình này tương đối thô: sự tương tác giữa các thành phần của thị trường không đưa được vào mô hình, và mô hình chỉ dựa trên các phương trình bậc 1, thay vì phương trình bậc 2 như trong vật lý. Tuy là các mô hình tương đối thô, nhưng chúng vẫn 169
40. 170 CHƯƠNG 7. GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN rất quan trọng trong việc phân tích sự biến động giá của các cổ phiếu. Trước hết, chúng ta sẽ định nghĩa một cách hình thức toán học thế nào là một quá trình ngẫu nhiên. 7.1.1 Quá trình ngẫu nhiên Các quá trình biến đổi theo thời gian, ví dụ như giá cổ phiếu, lượng nước mưa trong tháng, số người mắc bệnh cúm, v.v., mà ta không thể dự đoán được trước một cách chính xác, thì được coi là các quá trình ngẫu nhiên. Một cách trực giác, để mô tả một quá trình ngẫu nhiên theo ngôn ngữ toán học, ta cần các yếu tố sau: - Thời gian. Theo qui ước, có một mốc thời gian ban đầu, là 0. Thời gian t có thể là biến đổi liên tục, t ∈ R+, hoặc rời rạc, tức là ta chỉ xét một dãy các mốc thời điểm 0 = t0 < t1 < t2 < . . . nào đó. Trong trường hợp rời rạc, để cho đơn giản, ta sẽ giả sử thêm là các bước thời gian là bằng nhau, tức là ti − ti−1 = τ là một hằng số không phụ thuộc vào i. Nhiều khi, ta sẽ dùng dãy số nguyên không âm 0, 1, 2, để ký hiệu các mốc thời gian, thay vì dùng các thời điểm t0, t1, t2, - Không gian xác suất. Với mỗi mốc thời gian t, có thể coi là có một không gian Ωt tất cả các tình huống có thể xảy ra từ thời điểm ban đầu cho đến thời điểm t. Không gian này là không gian xác suất, với một sigma-đại số St và một độ đo xác suất Pt đi kèm (tức là xác suất của các tình huống có thể xảy ra cho đến thời điểm t). Nếu s và t là hai mốc thời điểm nào đó với s ≤ t, thì ta có một phép chiếu tự nhiên πs,t : (Ωt, St,Pt) → (Ωs, Ss,Ps) (7.1) Khi ωt là một tình huống có thể xảy ra cho đến thời điểm t, thì πs,t(ωt) là tình huống đó nhưng chỉ tính đến thời điểm s, bỏ qua những gì xảy ra sau thời điểm s. Các phép chiếu πs,t thỏa mãn các tính chất tự nhiên sau: a) Toàn ánh (surjective), tức là mọi tình huống có thể xảy ra cho đến thời điểm s thì phải có thể tiếp diễn để trở thành tình huống có thể xảy ra cho đến thời điểm t. b) πt,t là ánh xạ đồng nhất trên Ωt. c) Bắc cầu: πr,s ◦ πs,t = πr,t với mọi r ≤ s ≤ t. d) Bảo toàn xác suất, có nghĩa là nếu A ∈ Ss là tập con đo được của (Ωs, Ss,Ps), thì ảnh ngược của nó trong Ωt cũng là tập con đo được, và có cùng xác suất với nó: −1 Pt(πs,t (A)) = Ps(A). (7.2)
41. 7.1. MỘT SỐ MÔ HÌNH BIẾN ĐỘNG GIÁ CHỨNG KHOÁN 171 Một dãy các không gian xác suất (Ωt,Pt) với các phép chiếu πs,t thỏa mãn các tính chất phía trên sẽ được gọi là một họ lọc các không gian xác suất (filtered family of probability spaces). Các không gian xác suất (Ωt, St,Pt) có thể được gộp chung lại (ngôn ngữ toán học gọi là lấy giới hạn xạ ảnh) thành một không gian xác suất (Ω, F,P ) tất cả các tình huống có thể xảy ra cho mọi thời gian: mỗi phần tử ω ∈ Ω ứng với một họ các phần tử ωt ∈ Ωt thích hợp với nhau, có nghĩa là πs,tωt = ωs với mọi s < t. Ta có thể viết: Ω = lim Ωt, (7.3) t→∞ (giới hạn ở đây là giới hạn xạ ảnh, theo nghĩa như trên: mỗi phần tử ω ∈ Ω ứng với một họ các phần tử ωt ∈ Ωt thích hợp với nhau), với các phép chiếu tự nhiên πt :Ω → Ωt, (7.4) πt(ω) = ωt, cũng thỏa mãn các tính chất toàn ánh và bắc cầu như phía trên. Sigma-đại số trên Ω được xây dựng như sau: với mỗi t, gọi Ft là sigma đại số trên Ω sinh bởi ảnh ngược qua πt của các tập đo được trên Ωt. Nói cách khác, các phần tử của −1 Ft là các tập con có dạng πt (At) với At ∈ St. Các tính chất phía trên của họ không gian xác suất (Ωt, St,Pt) cho ta thấy Fs ⊂ Ft với mọi s ≤ t. Có nghĩa là t càng lớn thì càng có nhiều tập “đo được tại thời điểm t”. Người ta gọi Ft là sigma-đại số sinh bởi các thông tin có được cho đến thời điểm t. Tất nhiên, khi t càng lớn, thì càng có thêm nhiều thông tin, và do đó sigma-đại số tương ứng càng lớn, càng có nhiều thứ có thể đo được. Đặt [ F = Ft (7.5) t Đó chính là sigma-đại số trên Ω, và họ các sigma-đại số con (Ft) được gọi là một họ lọc (filtration) của F. Phân bố xác suất P trên Ω cũng được định nghĩa qua các phép chiếu πt: Nếu A = −1 πt (At) ∈ Ft, thì P (A) := Pt(At). Chú ý rằng, do tính chất tương thích giữa các không gian xác suất (Ωt, St,Pt), định nghĩa này không phụ thuộc vào sự lựa chọn t (sao cho tồn −1 tại At ∈ St sao cho A = πt (At)). S Với định nghĩa sigma-đại số F = t Ft và phân bố xác suất P như trên, các ánh xạ πt : (Ω, F,P ) → (Ωt, St,Pt) nghiễm nhiên trở thành các toàn ánh bảo toàn xác suất. S Để nhấn mạnh rằng F = t Ft sinh bởi một họ lọc các sigma-đại số (Ft) (một họ lọc tức là một họ thỏa mãn điều kiện Fs ⊂ Ft với mọi s ≤ t), mô hình xác suất trên Ω
42. 172 CHƯƠNG 7. GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN được ký hiệu là (Ω, (Ft)t∈T ,P ), và được gọi là một không gian xác suất có lọc (filtered probability space). - Biến ngẫu nhiên thay đổi theo thời gian. Nếu ta có một quá trình lọc các không gian xác suất (Ωt, St,Pt), và với mỗi mốc thời gian t ta có một biến ngẫu nhiên St thực với không gian xác suất tương ứng là (Ωt, St,Pt), có nghĩa là một hàm đo được St :Ωt → R, (7.6) (xem Chương 2 của [7] về các khái niệm cơ bản về biến ngẫu nhiên), thì ta nói rằng ta có một quá trình ngẫu nhiên (stochastic process) S trên mô hình xác suất (Ωt, St,Pt). Hàm St :Ωt → R chính là hàm giá trị của quá trình ngẫu nhiên S tại thời điểm t. Ta có thể coi St như là biến ngẫu nhiên trên Ω qua các phép chiếu πt : St ◦ πt :Ω → R. (7.7) Để cho tiện, ta cũng sẽ ký hiệu St ◦ πt là St, khi đó nó là hàm số trên Ω và đo được theo sigma-đại số Ft. Từ đó, ta có định nghĩa toán học sau đây về quá trình ngẫu nhiên: Định nghĩa 7.1. Giả sử ta có một không gian xác suất có lọc (Ω, (Ft)t∈T ,P ), và một họ các biến ngẫu nhiên St :Ω → R, sao cho St là đo được theo sigma-đại số Ft với mọi t (trong tập các mốc thời gian của lọc). Khi đó họ St được gọi là một quá trình ngẫu nhiên với mô hình xác suất (Ω, (Ft)t∈T ,P ) và tương thích (compatible) với lọc (Ft)t∈T . Trong định nghĩa 7.1, các không gian (Ωt, St,Pt) bị bỏ qua, chỉ còn (Ω, (Ft)t∈T ,P ) được giữ lại. Nói cách khác, sự đưa vào các không gian không gian xác suất (Ωt, St,Pt) như trên là không cần thiết cho việc tính toán với các quá trình ngẫu nhiên. Nhưng chúng có tác dụng là giúp ta dễ hình dung hơn về mặt trực giác, và cũng không gây cản trở gì cho việc tính toán. Bởi vậy, trong chương này, để cho dễ hình dung, khi xét các quá trình ngẫu nhiên, ta sẽ luôn coi là không gian xác suất có lọc (Ω, Ft,P ) được sinh bởi một họ lọc các không gian xác suất (Ωt, St,Pt), và mỗi quá trình ngẫu nhiên S đều được định nghĩa qua một họ các biến ngẫu nhiên St : (Ωt, St,Pt) → R. Các quá trình ngẫu nhiên như vậy tất nhiên đều là các quá trình ngẫu nhiên tương thích với lọc (Ft). Khi ta giả sử rằng tình huống ω xảy ra, thì quá trình ngẫu nhiên S trở thành một hàm số theo biến thời gian: t 7→ St(ω). Hàm số Sω(t) := St(ω) này được gọi là một quĩ đạo (sample path) của S, ứng với tình huống ω. Nếu s < t, và ta biết là tình huống ωs xảy ra cho đến thời điểm s, thì ta biết giá trị S(s) = Ss(ωs) của quá trình ngẫu nhiên tại thời điểm s (và các thời điểm trước đó),
43. 7.1. MỘT SỐ MÔ HÌNH BIẾN ĐỘNG GIÁ CHỨNG KHOÁN 173 nhưng chưa đủ thông tin để biết giá trị của S tại thời điểm t. Nói các khác, nếu t > s thì St cũng là biến ngẫu nhiên tại thời điểm s, tuy đã biết tình huống nào xảy ra cho đến thời điểm s. Nhưng khi đã biết ωs, thì không gian xác suất của St không còn là không gian (Ωt,Pt), mà là không gian xác suất có điều kiện (Ωt|ωs := {ωt ∈ Ωt | πs,t(ωt) = ωs},Pt|ωs ) (7.8) với xác suất có điều kiện Pt|ωs . Trong trường hợp mà Ps(ωs) > 0 thì xác suất có điều kiện Pt|ωs có thể được định nghĩa theo công thức thông thường: Pt(A) Pt|ωs (A) = Pt(A|ωs) = (7.9) Ps(ωs) với mọi A đo được trong Ωt|ωs . Trong trường hợp mà Ps(ωs) = 0 thì định nghĩa xác suất có điều kiện phức tạp hơn, phải thông qua các giới hạn; chúng ta sẽ coi rằng các xác suất có điều kiện này tồn tại và thỏa mãn các tính chất thường dùng (xem [7] về xác suất có điều kiện cho biến ngẫu nhiên). Hoàn toàn tương tự như trên, ta có thể định nghĩa quá trình ngẫu nhiên với giá trị là vector, hoặc tổng quát hơn, quá trình ngẫu nhiên trên một đa tạp hay một không gian metric nào đó. 7.1.2 Mô hình một bước thời gian Trong mô hình một bước thời gian, ta chỉ quan tâm đến giá cổ phiếu ST tại một thời điểm T trong tương lai, và ta muốn dự đoán ST . Vì ST có tính ngẫu nhiên, nên việc dự đoán ST không có nghĩa là dự đoán 1 con số duy nhất cho ST , mà là dự đoán theo nghĩa xác suất: Cái mà chúng ta có thể làm là, dựa trên các thông tin có được, xây (1) dựng một không gian xác suất (ΩT ,PT ) các tình huống có thể xảy ra đến thời điểm T , và biểu diễn ST như là một biến ngẫu nhiên, với mô hình không gian xác suất là (ΩT ,PT ): ST : (ΩT ,PT ) → R+ (7.10) Nhắc lại rằng (xem Chương 2 của [7]), mỗi biến ngẫu nhiên Y : (Ω,P ) → R trên một mô hình không gian xác suất (Ω,P ) cho một phân bố xác suất PY trên R theo công thức: −1 PY (A) = P (Y (A)) (7.11) (1)Trong ký hiệu của một mô hình xác suất thường có ký hiệu của sigma-đại số, nhưng để cho tiện ta sẽ hay bỏ qua ký hiệu của sigma-đại số, khi mà điều đó không gây ra sự hiểu lầm nào.
44. 174 CHƯƠNG 7. GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN cho mọi đoạn thẳng A ⊂ R, và ta có thể định nghĩa các đại lượng đặc trưng của Y , ví dụ như các moment bậc k: Z Z k k Mk(Y ) = Y dP = y dPY (y). (7.12) Ω R Tuy rằng Y là ngẫu nhiên, nhưng một khi ta đã biết phân bố xác suất của nó, thì các đại lượng đặc trưng của nó là các đại lượng xác định, và cho ta các thông tin về Y . Trong các đại lượng đặc trưng, có hai đại lượng quan trọng nhất, là kỳ vọng và phương sai. Kỳ vọng E(Y ) của Y là: Z E(Y ) = ydPY (y), (7.13) R và phương sai σ2(Y ) của Y là: Z 2 2 2 2 2 σ (Y ) = (y − E(Y )) dPY (y) = E((Y − E(Y )) ) = E(Y ) − (E(Y )) . (7.14) R Căn bậc hai của phương sai, σ(Y ), được gọi là độ lệch chuẩn của Y. Khi mà phương sai càng nhỏ, thì tức là các giá trị của Y càng gần giá trị kỳ vọng của nó, có nghĩa là độ ngẫu nhiên (bất định) của Y càng nhỏ. Bởi vậy phương sai (hay độ lệch chuẩn) chính là một thước đo độ bất định. Trong trường hợp mà biến ngẫu nhiên là giá cổ phiếu ST , đại lượng (S ) − S µ = E T 0 , (7.15) S0 trong đó S0 là giá cổ phiếu tại thời điểm 0, chính là mức lợi nhuận kỳ vọng của cổ phiếu S cho khoảng thời gian từ 0 đến T , còn σ(S ) σ = T , (7.16) S0 là một đại lượng đo độ bất định của giá cổ phiếu, theo mô hình dự đoán. Ta có thể coi S như là một quá trình ngẫu nhiên với chỉ có 2 mốc thời gian 0 và T , và không gian xác suất chính là (ΩT ,PT ). Hệ động lực ngẫu nhiên mô tả chuyển động của S sau 1 bước thời gian, từ 0 đến T , có thể được viết dưới dạng phương trình sai phân: ∆S = µS + σSE, (7.17) trong đó: • S = S0 là giá cổ phiếu tại thời điểm 0,
45. 7.1. MỘT SỐ MÔ HÌNH BIẾN ĐỘNG GIÁ CHỨNG KHOÁN 175 • ∆S = ST − S0 là độ thay đổi giá cổ phiếu từ thời điểm 0 đến thời điểm T, • µ là mức lợi nhuận kỳ vọng, còn được gọi là hệ số trượt (drift) của mô hình, • σ là hệ số đo độ bất xác định của giá ST , hay còn gọi là hệ số volatility (độ giao động) của mô hình, • E = (ST − E(ST ))/(σS0) là phần ngẫu nhiên đã chuẩn hóa của mô hình: kỳ vọng của E bằng 0 và độ lệch chuẩn của E bằng 1. Ví dụ 7.1. Tiếp tục ví dụ 3.4 về giá cổ phiếu của một công ty sinh học nhỏ. Kỳ vọng giá cổ phiếu của ngày hôm sau của công ty bằng 60% × 16 + 40% × 5 = 11.6 đô la, phương sai √ bằng 60%×(16−11.6)2 +40%×(5−11.6)2 = 29.04, và độ lệch chuẩn bằng 29.04 ≈ 5.4. Ta có mô hình chuyển động giá cổ phiếu 1 bước ∆S = µS + σSE, (7.18) với các tham số sau: S0 = 10, µ = (E(S1) − S0)/S0 = 0.16, σ = σ(S1)/S0 = 0.54, và E là một biến ngẫu nhiên chỉ nhận hai giá trị, và có kỳ vọng bằng 0 và độ lệch chuẩn bằng 1. Ví dụ 7.2. Cổ phiếu Coca-Cola (mã chứng khoán: KO) đạt giá 80$ vào đầu năm 1998. Với các công thức ước lượng giá trị thực của cổ phiếu dựa trên lợi nhuận và tăng trưởng, vào thời điểm đầu năm 1998, có thể ước lượng là giá trị của KO vào thời điểm đầu năm 2003 sẽ không quá 50$/cổ phiếu. (Xem Ví dụ 5.7). Tạm coi nó là 50$. Vì yếu tố “con cưng của thị trường” sẽ mất dần đi theo thời gian khi mà công ty Coca-Cola không còn phát triển nhanh được nữa nên ta giả thiết là giá cổ phiếu sẽ đi về giá trị thực sau 5 năm, trong giai đoạn 1998-2003. Khi đó, vào đầu năm 1998, mô hình dự đoán giá KO cho thời điểm đầu năm 2003 sẽ là: KO2003 = 50 + σ.KO1998.E, (7.19) trong đó KO1998 = 80,E là một biến ngẫu nhiên nào đó đã chuẩn hóa (kỳ vọng bằng 0, phương sai bằng 1), σ là một số nào đó cần ước lượng. Theo mô hình này thì mức lợi nhuận kỳ vọng cho 5 năm sẽ bằng (50 − 80)/80 ≈ −38%, tức là kỳ vọng là giá cổ phiếu sẽ giảm gần 40% sau 5 năm. Ta sẽ tạm thời bỏ qua việc chọn E và σ ở đây. (Có thể tạm coi là E có phân bố normal chuẩn tắc N(0, 1) dựa trên định lý giới hạn trung tâm trong xác suất, và ước lượng σ dựa trên độ giao động lịch sử (historical volatility) của KO). Thực tế xảy ra là KO2003 = 40, khá gần với dự báo của mô hình.
46. 176 CHƯƠNG 7. GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN 7.1.3 Mô hình với thời gian rời rạc Tương tự như là trong mô hình với một bước thời gian, trong các mô hình với thời gian rời rạc (hệ động lực với thời gian rời rạc) cho giá cổ phiếu, với giả sử là giá cổ phiếu luôn luôn dương, ta có thể viết chuyển động của quá trình ngẫu nhiên S theo phương trình sai phân Sn − Sn−1 = µn + σnEn, (7.20) Sn−1 trong đó • Sn là giá cổ phiếu tại thời điểm thứ n trong tập các mốc thời gian (S0 > 0 là giá tại thời điểm ban đầu). • µn là mức lợi nhuận kỳ vọng tại thời điểm thứ n − 1 cho một bước chuyển động của giá, còn gọi là hệ số trượt của mô hình, • σn là hệ số volatility (độ giao động) của mô hình, • En là phần ngẫu nhiên đã chuẩn hóa của mô hình: kỳ vọng của En bằng 0 và phương sai của En bằng 1 (hoặc là đặt bằng τ, trong đó τ là bước thời gian). Mức lợi nhuận µn được xác định tại thời điểm n−1 khi đã biết tình huống ωn−1 ∈ Ωn−1 nào xảy ra, trong đó Ωn−1 là ký hiệu không gian tất cả các tình huống có thể xảy ra cho đến thời điểm thứ n − 1. Bản thân µn cũng có thể coi là một quá trình ngẫu nhiên (vì không biết trước được µn tại thời điểm 0), nhưng được gọi là một quá trình dự đoán được (predictable) vì biết được µn tại thời điểm thứ n − 1, tức là biết trước một bước thời gian. Phân bố xác suất của phần sai số ngẫu nhiên σnEn cũng được biết tại thời điểm n − 1, và do đó σn cũng là một quá trình dự đoán được. Tùy bài toán, ta có thể đưa thêm các giả thiết và điều kiện vào mô hình. Ví dụ, để cho đơn giản, người ta có thể giả sử là các biến sai số σnEn là một họ các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố xác suất. Hoặc có thể giả sử là các biến ngẫu nhiên En là độc lập với nhau và có cùng phân bố xác suất, còn đại lượng volatility σn thay đổi theo thời gian. Một giả thiết khác hay được dùng, là µ và σ là các hàm số theo 2 biến n và S: µn = µ(n, Sn−1), σn = σ(n, Sn−1). Nói cách khác, µn và σn không phụ thuộc vào toàn bộ tình huống ωn−1, mà chỉ phụ thuộc vào giá Sn−1 tại thời điểm n − 1 (nhiều tình huống khác nhau có thể dẫn đến cùng 1 giá tại thời điểm n − 1). Ở phía dưới, chúng ta sẽ xét mô hình cây nhị phân, là một trường hợp đơn giản của mô hình thời gian rời rạc. Chính vì đơn giản, dễ tính toán, nên mô hình cây nhị phân này
47. 7.1. MỘT SỐ MÔ HÌNH BIẾN ĐỘNG GIÁ CHỨNG KHOÁN 177 rất quan trọng trong thực tế. Nhiều chương trình tính giá quyền chọn trên các thị trường chứng khoán thế giới là dựa trên mô hình cây nhị phân. 7.1.4 Mô hình cây nhị phân Giống như trước, ta ký hiệu bước thời gian là τ, và gọi thời điểm nτ là thời điểm thứ n (thời điểm thứ 0 là thời điểm 0, tức là thời điểm ban đầu). Giá của cổ phiếu tại thời điểm thứ n được ký hiệu là S(n) hay Sn. Ta coi (Sn)n∈Z+ là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc, và ta sẽ viết phương trình mô tả chuyển động của nó. Ta sẽ giả sử là bước thời gian τ nhỏ đến mức, từ thời điểm thứ n − 1 đến thời điểm thứ n giá cổ phiếu chỉ kịp thay đổi 1 lần, phụ thuộc vào 1 tin xảy ra trong khoảng thời gian đó. Tin ở đây sẽ chỉ là tốt (ký hiệu là g) hoặc xấu (ký hiệu là b), và giá cổ phiếu sẽ thay đổi, phụ thuộc vào tin tốt hay tin xấu, theo công thức sau:  Sn−1(1 + un) nếu tin tốt Sn = . (7.21) Sn−1(1 + dn) nếu tin xấu Các đại lượng un và dn không nhất thiết phải cố định, mà có thể phụ thuộc vào tình huống đã xảy ra cho đến thời điểm thứ n − 1 (và được biết vào thời điểm thứ n − 1 khi tình huống đó được biết). Nói cách khác, chúng là các hàm số trên không gian xác suất (Ωn−1,Pn−1) các tình huống có thể xảy ra cho đến thời điểm thứ n − 1 : un, dn :Ωn−1 → R. (7.22) Chúng ta sẽ giả sử rằng S0 > 0, và các đại lượng un và dn thỏa mãn các bất đẳng thức un > dn > −1, (7.23) có nghĩa là giá cổ phiếu luôn luôn dương, và giá cổ phiếu khi tin tốt thì cao hơn giá cổ phiếu khi tin xấu. Không gian xác suất (Ωn,Pn) các tình huống có thể xảy ra đến thời điểm thứ n là một tập hữu hạn gồm có 2n phần tử: mỗi phần tử có thể được ký hiệu bởi một dãy n chữ cái ωn = (a1, . . . , an), trong đó mỗi chữ cái nhận một trong hai giá trị g (tin tốt) hoặc b (tin xấu), và chữ cái thứ i trong dãy ứng với tin xảy ra từ thời điểm thứ i − 1 đến thời điểm thứ i. Ta có thể viết: ∼ n Ωn = {g, b} . (7.24)
48. 178 CHƯƠNG 7. GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN Hình 7.1: Cây nhị phân Mô hình được gọi là cây nhị phân vì mỗi tình huống ωn−1 đến thời điểm n − 1 được rẽ làm hai nhánh, thành 2 tình huống đến thời điểm n, ký hiệu là (ωn−1, g) và (ωn−1, b). Tại thời điểm 0 ban đầu thì cây chỉ có 1 nhánh, đến thời điểm thứ 1 thì thành 2 nhánh, đến thời điểm thứ 2 thì thành 4 nhánh, v.v. Xác suất rẽ nhánh từ tình huống ωn−1 thành tình huống (ωn−1, g) ∈ Ωn được ký hiệu là pn(ωn−1), và nó có thể được tính theo công thức xác suất có điều kiện: Pn(ωn−1, g) pn(ωn−1) = P ((ωn−1, g)|ωn−1) = . (7.25) Pn−1(ωn−1) Ngược lại, khi ta biết các xác suất rẽ nhánh pn, thì ta cũng có thể tìm lại được phân bố xác suất trên Ωn theo công thức sau: với mọi ωn = (a1, . . . , an) ∈ Ωn, ta có n Y P (ωi) P (ω ) = , (7.26) n P (ω ) i=1 i−1 P (ωi) P (ωi) trong đó ωi = (a1, . . . , ai), = pi(ωi−1) nếu ai = g và = 1 − pi(ωi−1) nếu P (ωi−1) P (ωi−1) ai = b. Chúng ta sẽ giả sử các phân bố xác suất ở đây là không suy biến, có nghĩa là các xác suất rẽ nhánh thỏa mãn bất đẳng thức 0 < pn < 1. Các đại lượng un, dn và pn có thể được coi như là các quá trình ngẫu nhiên, vì chúng không những phụ thuộc vào n, mà còn có thể phụ thuộc vào tình huống xảy ra. Các quá trình ngẫu nhiên này là dự đoán được, có nghĩa là từ thời điểm thứ n − 1 đã biết được các giá trị của un, dn và pn. Ví dụ 7.3. Một mô hình nhị phân hai bước, tức là với n = 2: S0 = 100 (giá thời điểm 0 là 100) S1(g) = 125 (giá thời điểm 1 là 125 nếu tin tốt)
49. 7.1. MỘT SỐ MÔ HÌNH BIẾN ĐỘNG GIÁ CHỨNG KHOÁN 179 S1(b) = 105 (giá thời điểm 1 là 105 nếu tin xấu) p1 = 0.5 (xác suất để tin đầu tiên là tốt bằng 0.5) S2(g, g) = 150 (giá thời điểm 2 là 150 nếu tin đầu tốt tin sau cũng tốt) S2(g, b) = 115 (giá thời điểm 2 là 115 nếu tin đầu tốt tin sau xấu) p2(g) = 0.4 (nếu tin đầu tốt, thì xác suất để tin thứ hai cũng tốt là 0.4) S2(b, g) = 130 (giá thời điểm 2 là 130 nếu tin đầu xấu tin sau tốt) S2(b, b) = 90 (giá thời điểm 2 là 115 nếu tin đầu xấu tin sau cũng xấu) p2(b) = 0.7 (nếu tin đầu xấu, thì xác suất để tin thứ hai tốt là 0.7) Theo mô hình này, tại thời điểm 0, S2 là một biến ngẫu nhiên nhận 4 giá trị 150, 115, 130 và 90, với các xác suất tương ứng là: 0.5 × 0.4 = 0.2, 0.5 × (1 − 0.4) = 0.3, và (1 − 0.5) × 0.7 = 0.35, (1 − 0.5) × (1 − 0.7) = 0.15. Tại thời điểm 1, thì S2 vẫn là biến ngẫu nhiên, nhưng nó chỉ còn nhận 2 giá trị, và phụ thuộc vào tính huống xảy ra cho đến thời điểm 1. Ví dụ, nếu tin đầu tiên là tốt, thì khi đó S2 là biến ngẫu nhiên với hai giá trị 150 và 115, với các xác suất tương ứng là 0.4 và 1 − 0.4 = 0.6. Một trường hợp đặc biệt của cây nhị phân hay được dùng đến là khi un = u, dn = d và pn = p là những hằng số, không phụ thuộc vào n cũng như là vào các tình huống xảy ra. Ta sẽ gọi mô hình cây nhị phân mà trong đó un, dn, pn là các hằng số là mô hình cây nhị phân bất biến (invariant binary tree model), để phân biệt với mô hình cây nhị phân tổng quát. Mô hình cây nhị phân bất biến tất nhiên là tính toán dễ hơn so với mô hình nhị phân tổng quát vì có ít tham số hơn, và bởi vậy hay được dùng, nhưng bù lại nó không được chính xác bằng mô hình tổng quát. Hình 7.2: Cây nhị phân bất biến 3 bước Bài tập 7.1. Viết lại phương trình chuyển động (7.21) của mô hình cây nhị phân dưới
50. 180 CHƯƠNG 7. GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN Sn − Sn−1 “dạng chuẩn” = µn + σnEn: tính µn, σn và tìm phân bố xác suất của En từ Sn−1 các biến un, dn và pn. Bài tập 7.2. i) Chứng minh rằng, trong mô hình cây nhị phân bất biến, vào thời điểm 0 i n−i ban đầu, Sn là một biến ngẫu nhiên nhận n + 1 giá trị (1 + u) (1 + d) S0, i = 0, 1, . . . , n (thay vì có thể nhận đến 2n giá trị như trong mô hình cây nhị phân tổng quát), và mỗi i n−i i i n−i i giá trị (1 + u) (1 + d) S0 có xác suất là Cnp (1 − p) , trong đó Cn = n!/(i!(n − i)!) là nhị thức Newton. (Phân bố xác suất với các xác suất như vậy được gọi là phân bố nhị thức, xem [7]). ii) Tính kỳ vọng E(Sn) của giá cổ phiếu sau n bước trong mô hình cây nhị phân bất biến. 7.1.5 Mô hình với thời gian liên tục Trong toán học, các mô hình với thời gian liên tục có thể được xây dựng như là giới hạn của các mô hình với thời gian rời rạc, khi mà bước thời gian tiến tới 0. Đối với các quá trình ngẫu nhiên mô tả giá cổ phiếu cũng vậy: một quá trình với thời gian liên tục có thể nhận được bằng cách lấy giới hạn một quá trình với thời gian rời rạc, khi mà bước thời gian tiến tới 0. Phương trình mô tả chuyển động của một quá trình ngẫu nhiên trong trường hợp thời gian liên tục sẽ là phương trình vi phân ngẫu nhiên (stochastic differential equation). Mô hình với thời gian liên tục đơn giản nhất, 1 chiều, mô tả sự thay đổi của giá cổ phiếu, có dạng sau: dSt = µ(t, St)dt + σ(t, St)dBt, (7.27) St hay còn viết là dSt = µ(t, St)Stdt + σ(t, St)StdBt, (7.28) trong đó µ(t, St) là hệ số trượt (drift), σ(t, St) là hệ số volatility, là các hàm số với hai biến số thực, được cho bởi mô hình, (mỗi khi biết giá trị của t và St thì cũng biết giá trị của µ và σ), Bt là một quá trình ngẫu nhiên gọi là chuyển động Brown (Brownian motion). Chuyển động Brown Bt này được sinh ra bằng cách lấy giới hạn phần ngẫu nhiên trong mô hình rời rạc, khi khi bước thời gian τ tiến tới 0. Phương trình trên hiểu nghĩa như sau: Khi mà thời gian t dịch chuyển đi một đại lượng ∆t = t0 − t > 0 rất nhỏ, thì giá cổ phiếu cũng dịch chuyển đi một đại lượng ∆St = St0 − St, bằng tổng của hai phần, một phần là dự đoán được tại thời điểm t, và một phần là không dự đoán được. Phần