Giáo trình Nhập môn hàm phức

86 trang ngocly 70

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Nhập môn hàm phức", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_nhap_mon_ham_phuc.pdf

Nội dung text: Giáo trình Nhập môn hàm phức

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT F 7 G GIAÙO TRÌNH NHAÄP MOÂN HAØM PHÖÙC TAÏ LEÂ LÔÏI - 2004
Nhaäp moân haøm phöùc Taï Leâ Lôïi Muïc luïc Chöông I. Soá phöùc - Haøm phöùc 1.1 Soá phöùc 1 1.1.1 Ñònh nghóa . 1 1.1.2 Caùc pheùp toaùn 1 1.1.3 Bieåu dieãn soá phöùc 2 1.1.4 Tính chaát 3 1.1.5 Caên baäc n 3 1.1.6 Bieåu dieãn caàu 4 1.2 Söï hoäi tuï 5 1.2.1 Khoaûng caùch 5 1.2.2 Daõy hoäi tuï 5 1.2.3 Caùc taäp cô baûn trong C 6 1.2.4 Caùc ñònh lyù cô baûn: Cantor, Heine-Borel. 7 1.3 Haøm phöùc - Tính lieân tuïc 7 1.3.1 Ñònh nghóa . 7 1.3.2 Haøm phöùc xem nhö pheùp bieán ñoåi treân Ra2 8 1.3.3 Giôùi haïn haøm 9 1.3.4 Haøm lieân tuïc . 9 1.3.5 Caùc ñònh lyù cô baûn cuûa haøm lieân tuïc: Cauchy, Cantor, Weiersrtass. 9 1.3.6 Ñònh lyù cô baûn cuûa ñaïi soá 10 Chöông II. Chuoãi luõy thöøa - Haøm giaûi tích 2.1 Chuoãi luõy thöøa hình thöùc 11 2.1.1 Chuoãi luõy thöøa hình thöùc . 11 2.1.2 Ñaïi soá C[[Z]] caùc chuoãi hình thöùc 11 2.1.3 Pheùp chia 11 2.1.4 Ñaïo haøm hình thöùc 12 2.1.5 Thay bieán 13 2.1.6 Chuoãi ngöôïc 14 2.1.7 Quan heä ñoàng dö modulo Z N vaø kyù hieäu O(ZN ) 15 2.1.8 Haøm sinh 16 2.2 Hoäi tuï ñeàu 17 2.2.1 Chuoãi soá 17 2.2.2 Daõy haøm - Söï hoäi tuï ñeàu 17 2.2.3 Chuoãi haøm 18 2.3 Chuoãi luõy thöøa hoäi tuï 19 2.3.1 Ñònh lyù Abel. Baùn kính hoäi tuï . 19 2.3.2 Toång, tích chuoãi luõy thöøa hoäi tuï 21
2.3.3 Thay bieán trong chuoãi luõy thöøa hoäi tuï. 21 2.3.4 Nghòch ñaûo cuûa chuoãi luõy thöøa hoäi tuï 22 2.3.5 Ñaïo haøm chuoãi luõy thöøa hoäi tuï . 22 2.3.6 Chuoãi ngöôïc 23 2.4 Moät soá haøm sô caáp 24 2.4.1 Haøm tuyeán tính . 24 2.4.2 Haøm luõy thöøa 24 2.4.3 Haøm muõ 24 2.4.4 Caùc haøm löôïng giaùc 24 2.4.5 Logarithm phöùc - Nhaùnh ñôn trò cuûa haøm logarithm 26 2.4.6 Haøm luõy thöøa toång quaùt 26 2.5 Haøm giaûi tích 27 2.5.1 Ñònh nghóa . 27 2.5.2 Chuoãi luõy thöøa hoäi tuï laø haøm giaûi tích . 28 2.5.3 Khoâng ñieåm cuûa haøm giaûi tích 29 2.5.4 Nguyeân lyù thaùc trieån giaûi tích. 29 2.5.5 Cöïc ñieåm - Haøm phaân hình . Chöông III. Haøm chænh hình - Tích phaân Cauchy 3.0 AÙnh xaï tuyeán tính treân R2 vaø treân C 31 3.0.1 Bieåu dieãn soá phöùc bôûi ma traän thöïc 31 3.3.2 AÙnh xaï tuyeán tính baûo giaùc 31 3.1 Tính khaû vi phöùc - Haøm chænh hình 32 3.1.1 Ñaïo haøm 32 3.1.2 Ñieàu kieän Cauchy-Riemann 32 3.1.3 Coâng thöùc tính ñaïo haøm . 33 3.1.4 Haøm chænh hình . 34 3.1.5 Tính baûo giaùc . 34 3.1.6 Löôùi toïa ñoä . 35 3.2 Tích phaân ñöôøng 35 3.2.1 Ñöôøng cong trong C 35 3.2.2 Tích phaân ñöôøng . 37 3.2.3 Tính chaát cuûa tích phaân ñöôøng 37 3.2.4 Nguyeân haøm - Coâng thöùc Newton-Leibniz- Ñònh lyù Morera 38 3.3 Ñònh lyù Cauchy 40 3.3.1 Ñònh lyù Cauchy cho mieàn ñôn lieân . 40 3.3.2 Ñònh lyù Cauchy cho mieàn coù bieân ñònh höôùng 43 3.3.3 Coâng thöùc tích phaân Cauchy . 44 3.3.4 Khai trieån Taylor 45 3.3.5 Coâng thöùc tích phaân cho ñaïo haøm caáp cao 46 3.3.5 Söï ñoàng nhaát cuûa 2 khaùi nieäm giaûi tích vaø chænh hình . 46 3.4 Caùc tính chaát cô baûn cuûa haøm chænh hình 47 3.4.1 Baát ñaúng thöùc Cauchy. Ñònh lyù Louville. Ñònh lyù cô baûn cuûa ñaïi soá . . 47 3.4.2 Ñònh lyù gía trò trung bình. Nguyeân lyù maxima. Boå ñeà Schwarz 47 3.4.3 Ñònh lyù duy nhaát 48
3.4.4 Ñònh lyù aùnh xaï mô û 48 3.4.5 Ñònh lyù Weierstrass veà hoäi tuï 49 Chöông IV. Kyø dò - Thaëng dö 4.1 Chuoãi Laurent 50 4.1.1 Chuoãi Laurent 50 4.1.2 Khai trieån Laurent 50 4.2 Ñieåm kyø dò coâ laäp 51 4.2.1 Ñinh nghóa . 52 4.2.2 Phaân loaïi kyø dò coâ laäp theo chuoãi Laurent 52 4.2.3 Kyø dò taïi voâ cuøng 54 4.3 Thaëng dö 55 4.3.1 Ñònh nghóa . 55 4.3.2 Ñònh lyù cô baûn cuûa thaëng dö 56 4.3.3 Tính thaëng dö 57 4.4 Thaëng dö logarithm - Nguyeân lyù argument 58 4.4.1 Thaëng dö logarithm 58 4.4.2 Ñònh lyù cô baûn cuûa thaëng dö logarithm. 58 4.4.3 Nguyeân lyù argument 59 4.4.4 Ñònh lyù Roucheù 59 4.5 ÖÙng duïng thaëng dö 60 2π 4.5.1 Tích phaân daïng R(cos t, sin t)dt 60 0 +∞ 4.5.2 Tích phaân daïng f(x)dx 61 −∞ +∞ 4.5.3 Tích phaân daïng f(x)eixdx 62 −∞ 4.5.4 Tính toång chuoãi . 63 Baøi taäp 66 Taøi lieäu tham khaûo [1] Ahlfors L., Complex Analysis , 2 ed., McGraw Hill, NewYork 1966. [2] Cartan H., Theùorie EÙleùmentaire des Fonctions Analytiques d’une ou Plusieurs Vari- ables Complexes , Hermann, Paris 1961. [3] Lang S , Complex Analysis, Springer-Verlag,, 1990. [4] Sabat B.V., Nhaäp moân giaûi tích phöùc , NXB. ÑH& THCN, Haø noäi 1974. [5] Spiegel M.R., Theory and Problems of Complex Variables , McGraw Hill, NewYork 1981. [6] Volkovuski L.I. & al., Baøi taäp lyù thuyeát haøm bieán phöùc , NXB. ÑH& THCN, Haø noäi 1979.
I. Soá phöùc - Haøm phöùc 1. SOÁ PHÖÙC Treân tröôøng soá thöïc, khi xeùt phöông trình baäc hai ax2 + bx + c =0tröôøng hôïp b2 − 4ac < 0 phöông trình voâ nghieäm vì ta khoâng theå laáy caên baäc hai soá aâm. Vaøo theá kyû XVI caùc nhaø toaùn hoïc ñaõ bieát caùch giaûi phöông trình trong tröôøng hôïp naøy baèng caùch “laøm ñaày” taäp caùc soá thöïc bôûi caên baäc hai soá aâm. Ñaõ coù nhieàu tranh caõi xaûy ra, moät soá nhaø toaùn hoïc phuû nhaän söï toàn taïi caên soá aâm, moät soá nhaø toaùn hoïc khaùc laïi söû duïng chuùng cuøng vôùi soá thöïc vôùi nhöõng laäp luaän khoâng chaët cheõ. Maõi ñeán theá kyû XIX, nhaø toaùn hoïc Na uy Wessel ñöa ra caùch bieåu dieãn hình hoïc soá phöùc, roài Hamilton ñöa ra caùch bieåu dieãn ñaïi soá, laøm cô sôû cho vieäc tieân ñeà heä thoáng soá naøy. Vieäc ñöa vaøo heä thoáng soá phöùc ñaõ ñoùng goùp nhieàu trong vieäc phaùt trieån toaùn hoïc vaø khoa hoïc töï nhieân. Ta seõ xaây döïng taäp caùc soá phöùc C nhö laø môû roäng taäp soá thöïc R sao cho moïi phöông trình baäc hai, chaúng haïn x2 +1= 0, coù nghieäm; ñoàng thôøi ñònh nghóa caùc pheùp toaùn coäng, tröø, nhaân, chia sao cho C laø moät tröôøng soá. 1.1 Ñònh nghóa. Kyù hieäu i, goïi laø cô soá aûo, ñeå chæ nghieäm phöông trình x2 +1=0, i.e. i2 = −1. Taäp soá phöùc laø taäp coù daïng: C = {z = a + ib : a, b ∈ R}. z = a + ib goïi laø soá phöùc, a =Rez goïi laø phaàn thöïc coøn b =Imz goïi laø phaàn aûo. 1 z1,z2 ∈ C,z1 = z2 neáuu Rez1 =Rez2, Imz1 =Imz2. Ta xem R laø taäp con cuûa C khi ñoàng nhaát R = {z ∈ C :Imz =0}. Töø “soá aûo” sinh ra töø vieäc ngöôøi ta khoâng hieåu chuùng khi môùi phaùt hieän ra soá phöùc. Thöïc ra soá phöùc raát “thöïc” nhö soá thöïc vaäy. Ví duï. √ √ a) Soá phöùc z = −6+i 2 coù phaàn thöïc ø Rez = −6, phaàn aûo Imz = 2. 1 3 b) Ñeå giaûi phöông trình z2 + z +1=0, ta bieán ñoåi z2 + z +1=(z + )2 + . Vaäy 2 4 1 3 phöông trình töông ñöông (z + )2 = − . Moät caùch hình thöùc, ta suy ra nghieäm √ 2 4 −1 ± i 3 z = . 2 Sau ñaây laø ñònh nghóa caùc pheùp toaùn vöøa thöïc hieän. 1.2 Caùc pheùp toaùn. Veà maët ñaïi soá C laø tröôøng soá vôùi caùc pheùp toaùn ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: Pheùp coäng. (a + ib)+(c + id)=(a + c)+i(b + d) 1Trong giaùo trình naøy: neáuu = neáu vaø chæ neáu.
I.1 Soá phöùc 1 Töø ñaây coù pheùp tröø (a + ib) − (c + id)=(a − c)+i(b − d) Pheùp nhaân. Vôùi chuù yù laø i2 = −1 pheùp nhaân ñöôïc ñònh nghóa (a + ib)(c + id)=(ac − bd)+i(ad + bc) a + ib Coøn pheùp chia , vôùi c + id =0+i0, ñöôïc ñònh nghóa moät caùch töï nhieân khi c + id giaûi phöông trình a + ib =(c + id)(x + iy). Hay laø cx − dy = a dx + cy = b a + ib ac + bd bc − ad Vaäy = + i (c + id =0=0+i0). c + id c2 + d2 c2 + d2 Tính chaát. Vôùi caùc pheùp toaùn treân C laø tröôøng soá. Nhaéc laïi tröôøng soá coù nghóa laø: Pheùp coäng vaø nhaân vöøa ñònh nghóa ôû treân coù tính giao hoaùn, keát hôïp vaø phaân phoái. Pheùp coäng coù phaàn töû khoâng laø 0=0+i0, phaàn töû ñoái cuûa z = a+ib laø −z = −a−ib. Pheùp nhaân coù phaàn töû ñôn vò laø 1=1+i0, nghòch ñaûo cuûa z = a + ib =0laø 1 a b = − i z a2 + b2 a2 + b2 Pheùp lieân hôïp. z = a − ib goïi laø soá phöùc lieân hôïp cuûa z = a + ib. Tính chaát. z = z, z1 + z2 =¯z1 +¯z2, z1z2 =¯z1z¯2. Ví duï. a) Neáu z = a + ib, thì zz¯ = a2 + b2. Töø ñoù coù theå chia 2 soá phöùc baèng caùch nhaân soá lieân hieäp, chaúng haïn 2 − 5i (2 − 5i)(3 − 4i) 6 − 23i +20i2 −14 − 23i = = = 3+4i (3 + 4i)(3 − 4i) 32 − 42i2 25 b) Töø ñònh nghóa suy ra: z¯ + z =2Rez, z¯ − z =2iImz, vaø z ∈ R ⇔ z¯ = z. n c) Neáu α laø nghieäm cuûa ña thöùc vôùi heä soá thöïc P (z)=a0 + a1z + ···+ anz , thì α¯ n cuõng laø nghieäm. Thöïc vaäy, vì P (α)=0neân a0 + a1α + ···+ anα =0. Laáy lieân n hôïp ta coù a¯0 +¯a1α¯ + ···+¯anα¯ =0. Vôùi chuù yù laø a¯k = ak, ta suy ra P (¯α)=0. √ Modul soá phöùc. |z| = a2 + b2 goïi laø modul cuûa soá phöùc z = a + ib. Tính chaát. |z|2 = zz,¯ |Rez|≤|z|, |Imz|≤|z|. |z1z2| = |z1||z2|, |z1 + z2|≤|z1| + |z2| (baát ñaúng thöùc tam giaùc). Chöùng minh: Caùc baát ñaúng thöùc ôû haøng ñaàu laø hieån nhieân. Ta chöùng minh caùc keát luaän ôû caùc haøng sau. 2 2 2 Trôùc heát, ta coù |z1z2| = z1z2z1z2 = z1z2z¯1z¯2 = z1z¯1z2z¯2 = |z1| |z2| . Suy ra |z1z2| = |z1||z2|. Ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc tam giaùc, döïa vaøo ñònh nghóa vaø caùc tính chaát neâu ôû
I.1 Soá phöùc 2 phaàn treân ta coù 2 |z1 + z2| =(z1 + z2)(z1 + z2)=(z1 + z2)(z ¯1 +¯z2) = z1z¯1 + z2z¯2 +2Rez1z¯2 2 2 Duøng baát ñaúng thöùc |Rez1z¯2|≤|z1z¯2| = |z1||z2|, thay vaøo |z1 +z2| ≤ (|z1|+|z2|) . Suy ra |z1 + z2|≤|z1| + |z2|. z1 z1 z1 |z1| Ví duï. Neáu z2 =0, thì töø z2 = z1 ta coù |z2| = |z1|. Vaäy = . z2 z2 z2 |z2| Qui naïp ta coù |z1 + z2 + ···+ zn|≤|z1| + |z2| + ···+ |zn|. 1.3 Bieåu dieãn soá phöùc. y 6 z b ¨* ¨¨ r ¨¨ i ¨¨ 6 ¨ ¨¨ ϕ ¨¨ - O a x Daïng ñaïi soá. z = a + ib, a, b ∈ R,i2 = −1. Daïng hình hoïc. z =(a, b),a,b∈ R. Trong maët phaúng ña vaøo heä toïa truïc Descartes vôùi 1=(1, 0),i=(0, 1) laø 2 vector cô sôû. Khi ñoù moãi soá phöùc z = a + ib ñöôïc bieåu dieãn bôûi vector (a, b), coøn C ñöôïc xem laø toaøn boä maët phaúng, goïi laø maët phaúng phöùc. Trong pheùp bieåu dieãn naøy pheùp coäng soá phöùc ñöôïc bieåu thò bôûi pheùp coäng vector hình hoïc. Daïng löôïng giaùc. z = r(cos ϕ + i sin ϕ), laø bieåu dieãn soá phöùc z = a + ib trong toïa ñoä cöïc (r, ϕ), trong ñoù ta coù caùc quan heä: √ a = r cos ϕ r = |z| = a2 + b2, laø modul cuûa z vaø b = r sin ϕ ϕ = Arg z, goïi laø argument cuûa z ϕ laø goùc ñònh höôùng taïo bôûi 1=(1, 0) vaø z trong maët phaúng phöùc. Vaäy neáu z =0, a b thì cos ϕ = √ vaø sin ϕ = √ . Ta thaáy ϕ coù voâ soá giaù trò sai khaùc nhau a2 + b2 a2 + b2 2kπ, k ∈ Z. Neáu qui öôùc laáy giaù trò −π 0 vaø tg ϕ = √−1 . Vaäy 3 − i =2(cos(− π )+i sin(− π )). 3 3 3
I.1 Soá phöùc 3 Daïng Euler. z = reiϕ. x x2 x3 Trong giaûi tích thöïc ta bieát bieåu dieãn chuoãi e =1+x + 2! + 3! + ···. Thay moät caùch hình thöùc x = iϕ, vaø saép xeáp caùc töø, ta coù iϕ ϕ2 iϕ3 ϕ4 iϕ5 e =1+iϕ − 2! − 3! + 4! − 5! + ··· ϕ2 ϕ4 n ϕ2n ϕ3 ϕ5 n+1 ϕ2n =(1− 2! + 4! + ···(−1) (2n)! + ···)+i(ϕ − 3! + 5! −···(−1) (2n+1)! + ···) =cosϕ + i sin ϕ (do khai trieån Taylor cuûa haøm cos vaø sin ). Töø ñoù coù bieåu dieãn Euler cho soá phöùc z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Vieäc chöùng minh tính hôïp lyù cuûa bieán ñoåi treân seõ ñöôïc trình baøy ôû chöông sau. Euler ñaõ tìm ra heä thöùc quan heä tuyeät ñeïp giöõa caùc soá 1, 0,e,π vaø i: eiπ +1=0. Moãi caùch bieåu dieãn soá phöùc coù thuaän tieän rieâng. Sau ñaây laø moät soá öùng duïng. 1.4 Tính chaát. |z1z2| = |z1||z2| vaø Arg(z1z2)= Argz1 + Argz2 Suy ra coâng thöùc de Moivre (r(cos ϕ + i sin ϕ))n = rn(cos nϕ + i sin nϕ),n∈ N Chöùng minh: Bieåu dieãn z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1),z2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2). Ta coù z1z2 = r1r2(cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2)+i(sin ϕ1 cos ϕ2 +cosϕ1 sin ϕ2) = r1r2(cos(ϕ1 + ϕ2)+i sin(ϕ1 + ϕ2)) Suy ra |z1z2| = r1r2 = |z1||z2|, vaø Arg(z1z2)=ϕ1 + ϕ2 +2kπ = Argz1 + Argz2. Nhaän xeùt. Veà maët hình hoïc pheùp nhaân soá phöùc r(cos ϕ + i sin ϕ) vôùi soá phöùc z laø pheùp co daõn vector z tæ soá r vaø quay goùc ϕ. (xem hình veõ) 6 r(cos ϕ + i sin ϕ)z s ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ z ¢ ϕ ¨*s ¢ ¨ ¢ ¨¨ ¨¢ ¨ - O 1.5 Caên baäc n cuûa soá phöùc. Ñònh nghóa caên baäc n (n ∈ N) cuûa soá phöùc z laø soá phöùc w thoaû wn = z. Ñeå xaùc ñònh w, bieåu dieãn z = reiϕ = rei(ϕ+2kπ) vaø w = ρeiθ. Töø coâng thöùc de Moivre ρneinθ = rei(ϕ+2kπ).
I.1 Soá phöùc 4 Suy ra  √  ρ = n r (caên baäc n theo nghóa thöïc) ϕ +2kπ  θ = ,k∈ Z n Vaäy phöông trình coù ñuùng n nghieäm phaân bieät vôùi moãi z =0: √ i( ϕ +k 2π ) √ ϕ 2π ϕ 2π w = n re n n = n r(cos( + k )+i sin( + k )),k=0, ··· ,n− 1. k n n n n Nhaän xeùt. Ta thaáy moãi soá phöùc z =0coù ñuùng n caên baäc n khaùc nhau. Veà maët hình hoïc chuùng laø caùc ñænh cuûa moät ña giaùc ñeàu n caïnh, noäi tieáp ñöôøng troøn taâm 0 baùn √ kính n r. ws2 w3 s sw1 s sw0 s s s wn =1, vôùi n =8 Ví duï. a) Caên baäc n cuûa ñôn vò laø n soá phöùc: 1,ω,··· ,ωn−1, vôùi k 2kπ 2π i 2kπ ω =cos + i sin = e n ,k=0, ··· ,n− 1. n n √ √ b) Ñeå tìm caùc gía trò cuûa 3 1+i, ta bieåu dieãn 1+i = 2(cos π + i sin π ). √ 4 4 3 1 π 2kπ π 2kπ Suy ra 1+i =26 (cos( 12 + 3 )+i sin( 12 + 3 )),k∈ Z. Vaäy coù 3 giaù trò phaân bieät laø: 1 π π k =0,w0 =26 (cos( 12 )+i sin( 12 )) 1 3π 3π k =1,w1 =26 (cos( 4 )+i sin( 4 )) 1 17π 17π k =2,w2 =26 (cos( 12 )+i sin( 12 )) 1.6 Bieåu dieãn caàu. Trong nhieàu baøi toaùn ñeå thuaän tieän ngöôøi ta ñöa vaøo khaùi nieäm ñieåm ôû voâ cuøng. Khi ñoù ta xeùt ñeán maët phaúng phöùc môû roäng : C = C ∪{∞}, vôùi ∞ goïi laø ñieåm voâ cuøng (laø moät ñieåm lyù töôûng khoâng thuoäc C). C ñöôïc moâ taû bôûi maët caàu Riemann, qua pheùp chieáu noåi nhö sau:
I.2 Söï hoäi tuï trong C 5 P t ¡ M ¡ ¡ c ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ z ¡ ¡ t ¡ ¡ ¡ ¡ C ¡ Trong R3 vôùi heä toïa ñoä (x, y, u), ta ñoàng nhaát C vôùi maët phaúng {u =0}. Maët caàu S : x2 + y2 + u2 =1, ñöôïc goïi laø maët caàu Riemann . Goïi P =(0, 0, 1) laø ñieåm cöïc baéc. Xeùt pheùp chieáu noåi: S \{P }M → z ∈ C = {u =0}, vôùi z laø ñieåm naèm treân tia x + iy PM. Bieåu thöùc cuï theå: M =(x, y, u) → z = . 1 − u Pheùp chieáu noåi töø P xaùc ñònh moät ñoàng phoâi (i.e. song aùnh lieân tuïc hai chieàu) töø S \{P } leân C. Neáu cho töông öùng P vôùi ∞, ta coù theå moâ taû C nhö laø maët caàu S. Nhaän xeùt. Töông töï, neáu thöïc hieän pheùp chieáu noåi töø ñieåm cöïc nam P =(0, 0, −1) x − iy leân maët phaúng {u =0},tacoùM(x, y, u) → z = . Khi ñoù zz =1. Nhö vaäy 1+u 1 khi xeùt taïi laân caän ∞, duøng bieán ñoåi z = , ta ña veà xeùt taïi laân caän 0. z 2. SÖÏ HOÄI TUÏ TRONG C Ngoaøi caáu truùc ñaïi soá treân C coøn coù caáu truùc hình hoïc. Khaùi nieäm xuaát phaùt laø khoaûng caùch, noù ña ñeán khaùi nieäm hoäi tuï vaø vì vaäy coù theå “laøm” giaûi tích treân C. Cuõng caàn löu yù raèng neáu xem C nhö R2, thì moïi keát quûa neâu ôû phaàn naøy ñeàu khoâng coù gì ñaëc bieät so vôùi tröôøng hôïp thöïc. 2.1 Khoaûng caùch. Khoaûng caùch giöõa z1,z2 ∈ C, ñònh nghóa: d(z1,z2)=|z1 − z2| Töø tính chaát cuûa modul suy ra 2 tính chaát cô baûn cuûa khoaûng caùch. Tính chaát. d(z1,z2) ≥ 0 vaø d(z1,z2) ≤ d(z1,z3)+d(z2,z3). 2.2 Daõy hoäi tuï. Moät daõy soá phöùc laø aùnh xaï z : N −→ C,n → z(n)=zn Thöôøng ta kyù hieäu (zn)n∈N, hay lieät keâ: z1,z2,z3, ··· . Daõy (zn) goïi laø hoäi tuï veà z0 ∈ C, neáuu ∀>0, ∃N>0:n ≥ N ⇒ d(zn,z0)=|zn − z0| < Khi ñoù, kyù hieäu lim zn = z0 hay zn → z0 (khi n →∞). n→∞
I.2 Söï hoäi tuï trong C 6 Töø vieäc xem C nhö laø R2, ñònh nghóa treân thöïc chaát khoâng khaùc ñònh nghóa hoäi tuï trong R2, vaø vì vaäy ta coù meänh ñeà sau: Meänh ñeà. (1) zn → z0 khi vaø chæ khi Rezn → Rez0 vaø Imzn → Imz0. (2) Daõy (zn) hoäi tuï khi vaø chæ khi noù laø daõy Cauchy, i.e. ∀>0, ∃N>0:n, m ≥ N ⇒|zn − zm| 1 thì |zn| = |z|n →∞, vaäy lim zn = ∞. n→∞ Vôùi |z| =1thì lim zn =1 neáu z =1, vaø lim zn khoâng toàn taïi neáu z =1. n→∞ n→∞ n n Thöïc vaäy, gæa söû phaûn chöùng toàn taïi z =1maø lim z = z0. Khi ñoù |z0| = |z | =1, n→∞ n+1 n n neân z0 =0. Maët khaùc, do z − z = z (z − 1), neân neân khi n →∞, ta coù 0=z0(z − 1). Vaäy z =1, traùi gæa thieát. b) Töø coâng thöùc (1 − z)(1 + z + z2 + ···+ zn)=1− zn+1, ví duï treân suy ra: ∞ 1 − zn+1 1 zk = lim (1 + z + z2 + ···+ zn) = lim = , |z| < 1. n→∞ n→∞ 1 − z 1 − z k=0 c) lim (5n +6i)=?. n→∞ Baøi taäp: Ví duï a) vaø c) ta coù giôùi haïn voâ cuøng , lim zn = ∞, maø ñònh nghóa khaùi n→∞ nieäm naøy moät caùch chính xaùc chaéc khoâng khoù ñoái vôùi ngöôøi ñoïc (nhôù laø C chæ coù moät ñieåm voâ cuøng ∞, khoâng coù ±∞ nhö R). 2.3 Moät soá taäp cô baûn. Trong C moät soá lôùp taäp coù vai troø quan troïng, hay ñöôïc ñeà caäp ñeán thöôøng xuyeân. Caùc khaùi nieäm naøy ta ñaõ quen bieát khi xeùt R2, tuy nhieân ñeå thuaän tieän, ít ra veà maët thuaät ngöõ vaø kyù hieäu, caùc ñònh nghóa ñöôïc lieät keâ sau ñaây. -laân caän. Taäp D(z0,)={z ∈ C : |z − z0| <} goïi laø - laân caän cuûa z0, hay ñóa môû taâm z0 baùn kính . -laân caän thuûng. Taäp {z ∈ C :0< |z − z0| <} goïi laø - laân caän thuûng cuûa z0. Ñieåm trong. z0 ∈ C goïi laø ñieåm trong cuûa taäp X ⊂ C neáuu toàn taïi moät -laân caän cuûa z0 hoaøn toaøn chöùa trong X. Ñieåm giôùi haïn. z0 ∈ C goïi laø ñieåm giôùi haïn cuûa taäp X ⊂ C neáuu moïi -laân caän thuûng cuûa z0 ñeàu chöùa caùc ñieåm cuûa X. Ñieåm bieân. z0 ∈ C goïi laø ñieåm bieân cuûa taäp X neáuu moïi -laân caän cuûa z0 ñeàu chöùa caùc ñieåm cuûa X vaø caùc ñieåm khoâng thuoäc X. Taäp môû. Taäp con cuûa C goïi laø môû neáuu moïi ñieåm cuûa noù ñeàu laø ñieåm trong. Kyù 2Moät soá vaán ñeà trong lyù thuyeát ñoà hoïa lieân quan ñeán daõy soá phöùc, cuï theå laø Hình hoïc Fractal. Coù theå xem: H.Q.Deitgen & P.H. Richter, The Beauty of Fractals , Spriger-Verlag, Berlin-Heidelberg 1986.
I.3 Haøm phöùc - Tính lieân tuïc 7 ◦ hieäu X hay intX thöôøng ñöôïc duøng ñeå chæ phaàn trong cuûa taäp X, i.e. taäp moïi ñieåm trong cuûa X. Taäp ñoùng. Taäp con cuûa C goïi laø ñoùng neáuu noù chöùa moïi dieåm giôùi haïn cuûa noù. Thöôøng duøng kyù hieäu X hay clX ñeå chæ bao ñoùng cuûa taäp X, i.e. taäp X∪ taäp moïi ñieåm giôùi haïn cuûa X. Bieân. Bieân cuûa taäp X, kyù hieäu ∂X hay bdX, laø taäp moïi ñieåm bieân cuûa X. Taäp compact. compact = ñoùng + giôùi noäi. Ñònh nghóa treân veà taäp compact cho pheùp xaùc ñònh moät caùch deã daøng moät taäp coù com- pact hay khoâng. Taäp compact coøn coù ñònh nghóa töông ñöông (Ñònh lyù Heine-Borel 2.4), nhö vaäy coù theå xem tính compact nhö tính höõu haïn, cho pheùp chuyeån caùc tính chaát, caùc keát quûa töø ñòa phöông leân toaøn cuïc. Chaúng haïn, tính lieân tuïc ñeàu trong ñònh lyù Cantor 3.5. Taäp lieân thoâng. Taäp lieân thoâng laø taäp chæ coù moät maûnh. Ñònh nghóa moät caùch chính xaùc thì moät taäp C ⊂ C goïi laø lieân thoâng neáuu noù khoâng theå bò taùch bôûi caùc taäp môû, i.e. khoâng toàn taïi 2 taäp môû U, V ⊂ C sao cho: C ∩ U = ∅ = C ∩ V , C ∩ U ∩ V = ∅ vaø C ⊂ U ∩ V . Baøi taäp: Chöùng minh khaúng ñònh sau, thöôøng duøng ñeå laäp luaän moïi ñieåm cuûa moät taäp lieân thoâng thoûa tính chaát naøo ñoù: Cho C lieân thoâng vaø X ⊂ C. Neáu X vöøa ñoùng vöøa môû trong C , thì X = C. Mieàn. Mieàn = taäp môû + lieân thoâng. Baøi taäp: Chöùng minh tieâu chuaån sau tröïc quan duøng ñeå nhaän bieát taäp D laø mieàn: Cho D ⊂ C laø taäp môû. Khi ñoù D laø mieàn khi vaø chæ khi moïi caëp ñieåm a, b ∈ D ñeàu toàn taïi ñöôøng gaáp khuùc trong D noái a, b. Ví duï. Taäp S goïi laø hình sao neáuu toàn taïi z0 ∈ S sao cho vôùi moïi z ∈ S ñoaïn thaúng noái z,z0 :[z,z0]={z0 + t(z − z0):0≤ t ≤ 1} hoaøn toaøn chöùa trong S. Deã thaáy moïi taäp hình sao laø lieân thoâng. Chaúng haïn, ñóa, hình chöõ nhaät, tam giaùc laø caùc taäp lieân thoâng. 2.4 Caùc ñònh lyù. Caùc ñònh lyù cô baûn sau ñöôïc chöùng minh trong giaùo trình giaûi tích thöïc: Ñònh lyù (Cantor). Cho F1 ⊃ F2 ⊃ ··· ⊃ Fn ⊃ ··· laø moät daõy caùc taäp compact loàng nhau. Khi ñoù giao ∩k∈NFk = ∅. Ñònh lyù (Heine-Borel) K laø taäp compact khi vaø chæ khi moïi phuû môû phuû K ñeàu toàn taïi phuû con höõu haïn, i.e. vôùi moïi hoï (Uk)k∈I goàm caùc taäp môû Uk sao cho K ⊂∪k∈I Uk, toàn taïi höõu haïn chæ soá k1, ··· ,kn ∈ I, sao cho K ⊂ Uk1 ∪···∪Ukn . 3. HAØM PHÖÙC - TÍNH LIEÂN TUÏC 3.1 Ñònh nghóa. Moät aùnh xaï f : D −→ C, D ⊂ C, ñöôïc goïi laø moät haøm phöùc.
I.3 Haøm phöùc - Tính lieân tuïc 8 D goïi laø mieàn xaùc ñònh, coøn f(D) goïi laø mieàn aûnh.3 Thöôøng ta vieát w = f(z),z ∈ D, vôùi qui öôùc z = x + iy laø bieán, coøn w = u + iv laø aûnh. Chuù yù: a) Nhö trong tröôøng hôïp thöïc, khi cho w = f(z) bôûi bieåu thöùc giaûi tích ta xem mieàn xaùc ñònh laø mieàn trong C sao cho bieåu thöùc f(z) coù nghóa (phöùc). Chaúng haïn, haøm 1 f(z)= coù mieàn xaùc ñònh laø C \{±i}. 1+z2 b) Töø haøm ñôn dieäp trong lyù thuyeát haøm phöùc duøng ñeå chæ haøm ñôn aùnh, (ñieàu naøy do az + b lòch söû ñeå laïi). Chaúng haïn, haøm f(z)= (ad − bc =0), laø ñôn dieäp treân mieàn cz + d z ∈ C,cz+ d =0. c) Trong lyù thuyeát haøm phöùc coøn gaëp thuaät ngöõ haøm ña trò, chaúng haïn bieåu thöùc √ f(z)= n z xaùc ñònh n giaù trò öùng vôùi moãi z =0. Ta seõ duøng khaùi nieäm haøm thoâng thöôøng (haøm ñôn trò), coøn hieän töôïng ña trò coù nhöõng caùch khaéc phuïc ñeå ñöa veà xeùt haøm ñôn trò seõ ñöôïc ñeà caäp sau. 3.2 Haøm phöùc xem nhö pheùp bieán ñoåi treân R2. Ñoái vôùi haøm thöïc vieäc nghieân cöùu ñoà thò coù vai troø ñaëc bieät quan troïng vì tính tröïc quan. Ñoà thò haøm phöùc laø taäp con trong khoâng gian 4 chieàu, thaät khoù hình dung. Ñeå moâ taû haøm phöùc moät caùch hình hoïc coù moät phöông phaùp khaù tröïc quan laø xem haøm ñoù nhö laø pheùp bieán ñoåi töø R2 vaøo R2. Cho haøm w = f(z),z ∈ D. Neáu z = x + iy, w = u + iv, thì f(x + iy)= u(x, y)+iv(x, y). Nhö vaäy haøm f ñoàng nhaát vôùi cp haøm thöïc 2 bieán thöïc (x, y) → (u(x, y),v(x, y)) Ta noùi: z chaïy trong maët phaúng z =(x, y), coøn w = f(z) chaïy trong maët phaúng aûnh w =(u, v). Ñeå xeùt tính chaát haøm f thöôøng ta “queùt” mieàn D bôûi hoï ñöôøng cong trong maët phaúng z vaø xem hoï ñoù bieán ñoåi theá naøo qua f trong maët phaúng w. Ví duï. Xeùt haøm w = z2 = x2 + y2 +2xyi. Ta coù haøm xaùc ñònh treân toaøn boä C vaø u = x2 − y2,v=2xy. 2 2 2 Caùch moâ taû 1: AÛnh cuûa hoï ñöôøng thaúng x = x0 laø hoï Parabol v =4x0(x0 − u), aûnh 2 2 2 cuûa hoï y = y0 laø hoï Parabol v =4y0(y0 + u). (xem hình) Caùch moâ taû 2: Trong maët phaúng z ñöa vaøo toïa ñoä cöïc (r, ϕ); trong maët phaúng w coù toïa ñoä cöïc (ρ, θ). Khi ñoù z = reiϕ, w = ρeiθ = r2ei2ϕ. Vaäy aûnh cuûa tia ϕ = ϕ0 laø tia θ =2ϕ0, aûnh cuûa ñöôøng troøn r = r0 laø ñöôøng troøn 2 ρ = r0. Veà maët hình hoïc haøm w = z2 ñöôïc moâ taû nh vieäc môû gaáp ñoâi caùc goùc trong maët phaúng. 3Theo thoùi quen, ngöôøi ta thöôøng noùi “haøm f(z)”, duø raèng khoâng chính xaùc.
I.3 Haøm phöùc - Tính lieân tuïc 9 y 6 v 6 f(z)=z2 - - - x u 3.3 Giôùi haïn haøm. Cho haøm w = f(z),z ∈ D vaø z0 ∈ D. f ñöôïc goïi laø coù giôùi haïn w0 ∈ C khi z tieán veà z0, vaø kyù hieäu lim f(z)=w0, z→z0 neáuu ∀>0, ∃δ>0: z ∈ D, 0 < |z − z0| <δ ⇒|f(z) − w0| <. Veà maët hình hoïc: f(z) thuoäc vaøo ñóa taâm w0 baùn kính khi z naèm trong ñóa thuûng taâm z0 baùn kính δ. Veà maët hình thöùc: ñònh nghóa treân hoaøn toaøn gioáng ñònh nghóa hoäi tuï trong tröôøng hôïp haøm thöïc. Do vaäy caùc keát quûa sau ñaây laø töï nhieân maø chöùng minh chuùng chæ laø vieäc phieân dòch. Meänh ñeà. (1) lim f(z)=w0 khi vaø chæ khi lim Ref(z)=Rew0, lim Imf(z)=Imw0. z→z0 z→z0 z→z0 f (2) Neáu toàn taïi lim f(z)=wf vaø lim g(z)=wg, thì caùc haøm f ±g, fg, (wg =0), z→z0 z→z0 g |f|, arg f laø coù giôùi haïn khi z tieán veà z0 vaø caùc giôùi haïn ñoù laàn löôïct laø wf ± wg, wf wf wg, , |wf |, arg wf . wg 3.4 Haøm lieân tuïc. Haøm w = f(z),z∈ D, goïi laø lieân tuïc taïi z0 ∈ D neáuu lim f(z)=f(z0). z→z0 Töø ñònh nghóa vaø nhaän xeùt ôû phaàn treân, caùc tính chaát: toång, hieäu, tích, thöông, modul, argument, hôïp, caùc haøm lieân tuïc ñöôïc deã daøng phaùt bieåu vaø chöùng minh. 3.5 Caùc ñònh lyù veà haøm lieân tuïc. Sau ñaây laø caùc ñònh lyù cô baûn cuûa haøm lieân tuïc, chuùng ñöôïc chöùng minh ôû giaùo trình giaûi tích thöïc. Ñònh lyù(Cauchy). Haøm f lieân tuïc treân taäp lieân thoâng D thì aûnh f(D) laø lieân thoâng. Ñònh lyù(Weierstrass). Haøm f lieân tuïc treân taäp compact K thì aûnh f(K) laø taäp compact. Ñaëc bieät, toàn taïi z1,z2 ∈ K sao cho f(z1)=max|f(z)| vaø f(z2) = min |f(z)|. z∈K z∈K
I.3 Haøm phöùc - Tính lieân tuïc 10 Ñònh lyù(Cantor) Haøm lieân tuïc treân taäp compact thì lieân tuïc ñeàu. Khaùi nieäm lieân tuïc ñeàu hoaøn toaøn nhö tröôøng hôïp thöïc: haøm w = f(z),z ∈ D goïi laø lieân tuïc ñeàu treân D neáuu ∀>0, ∃δ>0:∀z,z ∈ D, |z − z| 0 beù, i.e. h laø moät caên baäc k cuûa − 0 . Khi ñoù ak ak a0 f(z0 + h)=|P (z0 + h)|≤|a0 − a0| + |h Q(z0 + h))| ak√ k < |a0|−|a0| + O( ) < |a0| khi ñuû beù . Ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi ñònh nghóa cuûa z0.
II. Chuoãi luõy thöøa - Haøm giaûi tích 1. CHUOÃI LUÕY THÖØA HÌNH THÖÙC 1.1 Ñònh nghóa. Chuoãi luõy thöøa hình thöùc cuûa moät bieán Z laø toång hình thöùc voâ haïn ∞ k 2 akZ = a0 + a1Z + a2Z + ··· , k=0 p q p+q ak ∈ C goïi laø heä soá thöù k cuûa chuoãi, Z laø bieán, thoûa: Z Z = Z . Hai chuoãi luõy thöøa goïi laø baèng nhau neáuu caùc heä soá töông öùng cuûa chuùng baèng nhau. Nhö vaäy cho moät chuoãi luõy thöøa hình thöùc töông ñöông cho daõy: (a0,a1, ··· ,ak, ··· ) Kyù hieäu C[[Z]] laø taäp moïi chuoãi luõy thöøa hình thöùc cuûa moät bieán Z. ∞ k Caáp cuûa chuoãi S(Z)= akZ laø soá: ω(S)=inf{k : ak =0},ω(0) = +∞. k=0 ω Khi ñoù S(Z)=aωZ + caùc soá haïng luõy thöøa >ω. Ví duï. Moät ña thöùc ñöôïc xem laø chuoãi vôùi ñoàng nhaát sau: n n n+1 n+2 a0 + a1Z + ···+ anZ = a0 + a1Z + ···+ anZ +0Z +0Z + ··· 1.2 Ñaïi soá caùc chuoãi hình thöùc. Treân C[[Z]] ñònh nghóa 2 pheùp toaùn ∞ ∞ ∞ k k k pheùp coäng: ( akZ )+( bkZ )= (ak + bk)Z . k=0 k=0 k=0 ∞ ∞ ∞ k k k pheùp nhaân: ( akZ )( bkZ )= ckZ , vôùi cn = a0bn + ···+ anb0. k=0 k=0 k=0 Khi ñoù (C[[Z]], +, ·) laø moät ñaïi soá vôùi ñôn vò laø 1=1+0Z +0Z2 + ···. Hôn nöõa, noù laø mieàn nguyeân (i.e. vaønh thoûa: S =0,T =0 ⇒ ST =0)do ω(ST)=ω(S)+ω(T ). ∞ ∞ k k 1.3 Pheùp chia. Cho S(Z)=( akZ ) vaø T (Z)=( bkZ ). k=0 k=0 ∞ k Baøi toaùn: Khi naøo toàn taïi chuoãi Q(Z)= ckZ , sao cho S(Z)=T (Z)Q(Z). Khi k=0 S(Z) ñoù, ta kyù hieäu Q(Z)= , vaø goïi laø chuoãi thöông cuûa S(Z) vaø T (Z). T (Z) Meänh ñeà. Gæa söû S(0) = a0 =0. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå toàn taïi Q(Z) ∈ C[[Z]] sao
II.1. Chuoãi luõy thöøa hình thöùc. 12 S(Z) cho = Q(Z), laø heä soá T (0) = b =0. Khi ñoù T (Z) 0 ∞ k akZ ∞ a 1 k=0 = c Zk, vôùi c = 0 ,c = (a − b c −···−b c ) ∞ k 0 b n b n n 0 1 n−1 k k=0 0 0 bkZ k=0 Chöùng minh: Söï toàn taïi Q(Z) sao cho S(Z)=T (Z)Q(Z), suy ra a0 = b0c0. Theo gæa thieát a0 =0, vaäy b0 =0. Ngöôïc laïi, giaû söû a0 =0,b0 =0. Ta caàn xaùc ñònh caùc heä soá ck sao cho ∞ ∞ ∞ k k k akZ =( bkZ )( ckZ ) k=0 k=0 k=0 Theo pheùp nhaân, ñoàng nhaát heä soá, ta coù heä phöông trình vôùi aån c0,c1, ···: an = b0cn + b1cn−1 + ···+ bnc0 n =0, 1, 2, ··· a0 1 Vì a0 =0, heä coù duy nhaát nghieäm: c0 = ,cn = (an − bnc0 −···−b1cn−1). b0 b0 S(Z) Baøi taäp: Chöùng minh, neáu boû gæa thieát a =0, thì ∈ C[[Z]] khi vaø chæ khi 0 T (Z) ω(S)=ω(T ).(HÖÔÙNG DAÃN. Xem nhaän xeùt sau caùc ví duï dôùi ñaây). Ví duï. 1 a) Cho ña thöùc T (Z)=1− Z. Ñeå tìm thöông , coù theå duøng coâng thöùc ôû meänh T (Z) ñeà treân hay nhaän xeùt sau. ∞ Xeùt chuoãi hình hoïc Q(Z)=1+Z + Z2 + ···= Zk . k=0 Ta coù ZQ(Z)= Z + Z2 + ···. Vaäy (1 − Z)Q(Z)=1. 1 ∞ Noùi caùch khaùc =1+Z + Z2 + ···= Zk 1 − Z k=0 Ví duï naøy cuõng cho thaáy nghòch ñaûo moät ña thöùc khoâng laø moät ña thöùc. b) Phöông phaùp ôû ví duï treân coù theå söû duïng ñeå tìm nghòch ñaûo chuoãi luõy thöøa ∞ k T (Z)= bkZ , vôùi b0 =0, nh sau. k=0 2 Vieát T (Z)=b0(1 − Φ(Z)), trong ñoù Φ(Z)=c1Z + c2Z + ···, i.e. Φ(0) = 0. 1 1 1 Suy ra = = (1 + Φ(Z)+Φ(Z)2 + ···). T (Z) b0(1 − Φ(Z)) b0 ∞ S(Z) c) Cho S(Z)= a Zk. Khi ñoù = a +(a + a )Z + ···+ s Zn + ···, k 1 − Z 0 0 1 n k=0 trong ñoù sn = a0 + ···+ an.
II.1. Chuoãi luõy thöøa hình thöùc. 13 Nhaän xeùt. Cho S(Z),T(Z) ∈ C[[Z]],T(Z) =0. Khi ñoù coù bieåu dieãn chuoãi luõy thöøa hình thöùc vôùi höõu haïn soá haïng luõy thöøa aâm: S(Z) c c c = −m + −m+1 + ···+ −1 + c + c Z + c Z2 + ··· T (Z) Zm Zm−1 Z 0 1 2 Thaät vaäy, goïi p vaø q laø caáp cuûa S vaø T . Khi ñoù p p q q S(Z)=Z (ap+ap+1Z+···)=Z S1(Z) vaø T (Z)=Z (bq+bq+1Z+···)=Z T1(Z) 1 Do T1(0) = bq =0, neân = U(Z) ∈ C[[Z]]. Vaäy coù theå bieåu dieãn T1(Z) S(Z) ZpS (Z) S (Z)U(Z) = 1 = 1 (m = q − p). q m T (Z) Z T1(Z) Z Töø ñoù suy ra bieåu dieãn neâu treân. ∞ k 1.4 Ñaïo haøm hình thöùc. Cho S(Z)= akZ . Ñaïo haøm cuûa S(Z), laø chuoãi k=0 dS ñöôïc kyù hieäu bôûi S(Z) hay , vaø ñöôïc ñònh nghóa dZ ∞ k−1 S (Z)= kakZ . k=1 Duøng phöông phaùp ñoàng nhaát heä soá ta coù caùc coâng thöùc tính ñaïo haøm quen bieát: ∀S, T ∈ C[[Z]], vaø ∀α, β ∈ C, S ST − ST (αS + βT) = αS + βT, (ST) = ST + ST , vaø = (T (0) =0). T T 2 Ñaïo haøm caáp n ñöôïc ñònh nghóa qui naïp: S(n)(Z)=(S(n−1)(Z)) ,n∈ N. (n) (n) Ta coù S (Z)=n!an + soá haïng baäc ≥ 1. Vaäy S (0) = n!an. Suy ra coâng thöùc Taylor hình thöùc: ∞ S(k)(0) S(Z)= Zk k! k=0 ∞ ∞ k l 1.5 Thay bieán. Cho S(Z)= akZ , T (Z)= blZ ,b0 = T (0) = 0. k=0 k=0 Thay Z bôûi T (Z) vaøo S, goïi laø chuoãi hôïp S ◦ T , ñònh nghóa bôûi ∞ k S ◦ T (Z)=S(T (Z)) = ak(T (Z)) . k=0 Nhaän xeùt. Vieäc thay bieán nhö treân cho ta moät chuoãi luõy thöøa hình thöùc, i.e. ñònh nghóa ∞ n k laø hôïp caùch. Thaät vaäy, goïi cn laø heä soá cuûa Z trong ak(T (Z)) . Khi ñoù theo pheùp k=0 nhaân, ta coù: n c = a ( b ···b ) n k p1 pk k=1 p1+···+pk=n
II.1. Chuoãi luõy thöøa hình thöùc. 14 Vieát moät caùch ngaén goïn: n n cn = heä soá cuûa Z trong a0 + a1T (Z)+···+ anT (Z) = a1bn + Pn(a2, ··· ,an,b1, ··· ,bn−1)(Pn laø ña thöùc ) Vaäy cn chæ phuï thuoäc vaøo n heä soá ñaàu cuûa S vaø T . Ví duï. 1 a) =1+cZ + c2Z2 + c3Z3 ···. 1 − cZ ∞ k b) Cho S(Z)= akZ . Ta coù theå taùch chuoãi coù muõ chaün vaø leû: k=0 1 (S(Z)+S(−Z)) = a + a Z2 + a z4 + ··· 2 0 2 4 1 (S(Z) − S(−Z)) = a Z + a Z3 + a Z5 + ··· 2 1 3 5 Toång quaùt, duøng caên cuûa ñôn vò coù theå taùch chuoãi coù soá muõ mod m: goïi ω = e2πi/m, ta coù 1 ω−jrS(ωjZ)= a Zk (0 ≤ r 1. 1 1 Suy ra b1 = ,bn = Pn(a2, ··· ,an,b1, ··· ,bn−1). a1 a1 Töø T (0) = 0,T (0) =0, aùp duïng chöùng minh vöøa roài cho S := T , ta coù S1 sao cho
II.1. Chuoãi luõy thöøa hình thöùc. 15 S1(0) = 0,T ◦ S1 = I. Suy ra S1 = I ◦ S1 =(S ◦ T ) ◦ S1 = S ◦ (T ◦ S1)=S, i.e. T ◦ S = I. Nhaän xeùt. Vì T (S(Z)) = Z vaø S(T (W )) = W , coù theå noùi caùc bieán ñoåi hình thöùc W = S(Z) vaø Z = T (W ), laø ngöôïc ñaûo cuûa nhau. Meänh ñeà treân coøn goïi laø Ñònh lyù haøm ngöôïc hình thöùc. 1.7 Quan heä ñoàng dö modulo ZN vaø kyù hieäu O(ZN ). Trong tính toaùn vôùi chuoãi luõy thöøa thöôøng ta “chaët cuït” ôû moät ñoä daøi N ∈ N naøo ñoù, vaø xöû lyù nhö ña thöùc. ∞ ∞ k k N Hai chuoãi S(Z)= akZ vaø T (Z)= bkZ goïi laø ñoàng dö modulo Z neáuu k=0 k=0 ak = bk, vôùi k =0, 1, ··· ,N − 1. Khi ñoù kyù hieäu S(Z)=T (Z) mod ZN hay S(Z)=T (Z)+O(ZN ). Nhaän xeùt. Vôùi moïi n ∈ N, toàn taïi duy nhaát ña thöùc baäc ≤ n, 1 S (Z)= Sk(0)Zk, sao cho S(Z)=S (Z)+O(Zn+1) n k! n k≤n Caùc pheùp toaùn thöïc hieän ôû caùc phaàn tröôùc coù theå ñuùc keát nhö sau. n+1 n+1 Meänh ñeà. Neáu S(Z)=Sn(Z)+O(Z ) vaø T (Z)=Tn(Z)+O(Z ), thì n+1 (1) S(Z)+T (Z)=Sn(Z)+Tn(Z)+O(Z ) n+1 (2) S(Z)T (Z)=Sn(Z)Tn(Z)+O(Z ) n+1 (3) S(T (Z)) = Sn(Tn(Z)) + O(Z ) Ví duï. 1 1 1 a) Cho chuoãi cos Z =1− Z2 + Z4 + ···+(−1)k Z2k + ···. 2! 4! (2k)! 1 Ñeå xaùc ñònh ñeán baäc 4, ta tieán haønh nhö sau. cos Z 1 1 = cos Z 1 1 1 − ( Z2 − Z4 + O(Z6)) 2! 4! 1 1 1 1 =1+(Z2 − Z4 + O(Z6)) + ( Z2 − Z4 + O(Z6))2 + O(Z6) 2! 4! 2! 4! 1 1 1 =1+ Z2 − Z4 +( Z2)2 + O(Z6) 2! 4! 2! 1 1 1 =1+Z2 +(− + )Z4 + O(Z6). 2 24 4 Z Z2 1 b) Cho chuoãi exp(Z)=1+ + + ···+ Zk + ··· . 1! 2! k! Ñeå xaùc ñònh chuoãi hôïp exp(Zcos Z) ñeán baäc 3, ta tieán haønh nhö sau. 1 1 1 1 exp(Zcos Z)=1+(Z − Z3 + O(Z5)) + (Z − Z3 + O(Z5))2 + (Z + O(Z3))3 + O(Z4) 2! 2! 2! 3! 1 1 1 =1+(Z − Z3)+ Z2 + Z3 + O(Z4) 2! 2! 3! 1 1 1 =1+Z + Z2 +(− + )Z3 + O(Z4) 2! 2 3!
II.2 Hoäi tuï ñeàu 16 1.8 Haøm sinh. Theo moät thuaät ngöõ khaùc chuoãi ∞ k G(Z)= akZ , k=0 coøn ñöôïc goïi laø haøm sinh cuûa daõy soá (an)n∈N = a0,a1,a2, ··· Nhö vaäy haøm sinh G(Z) laø ñaïi löôïng duy nhaát xaùc ñònh toaøn boä thoâng tin cuûa taát caû 1 caùc soá haïng cuûa daõy (an). Ví duï. m k a) Chuoãi Z G(Z)= ak−mZ , laø haøm sinh cuûa daõy: (ak−m)=0, ··· , 0,a0,a1, ···. k≥m ∞ −m m−1 k b) Chuoãi Z (G(Z) − a0 − a1Z −···−am−1Z )= ak+mZ , laø haøm sinh cuûa k=0 daõy: (ak+m)=am,am+1, ··· c) Daõy Fibonacci ñònh nghóa: a0 =0,a1 =1, vaø an = an−1 + an−2 (n ≥ 2). Ta coù theå xaùc ñònh bieåu thöùc hieän cho caùc soá haïng an nhôø haøm sinh nh sau. 2 Goïi G(Z) laø haøm sinh cuûa daõy (an). Khi ñoù ZG(Z),ZG(Z) laø haøm sinh cuûa (an−1), (an−2) töông öùng. Töø an − an−1 − an−2 =0, ta coù (1 − Z − Z2)G(Z)=Z. Z 1 1 1 Suy ra G(Z)= = √ ( − ), 1 − Z − Z2 5 1 − φZ 1 − φZˆ 1 trong ñoù φ vaø φˆ = laø 2 nghieäm phöông trình Z2 − Z − 1=0. φ Töø ví duï 1.3 a) ta coù 1 G(Z)=√ (1 + φZ + φ2Z2 + ···) − (1 + φZˆ + φˆ2Z2 + ···) . 5 1 Suy ra a = √ (φn − φˆn). n 5 Toång quaùt, neáu daõy (an) cho bôûi coâng thöùc ñeä qui tuyeán tính: an = c1an−1 + ···+ cman−m,n≥ m, vôùi caùc heä soá cj ∈ C. m Khi ñoù (1 − c1Z −···−cmZ )G(Z) laø ña thöùc. Duøng phöông phaùp töông töï nhö ví duï treân (tìm nghieäm ña thöùc, phaân tích thaønh thöøa soá höõu tæ, khai trieån chuoãi ngöôïc, ) coù theå xaùc ñònh bieåu thöùc hieän cuûa an. 1 d) Neáu G(Z) laø haøm sinh cuûa daõy (a ), thì theo ví duï 1.3 a) G(Z) laø haøm sinh n 1 − Z cuûa daõy toång sn = a0 + ···+ an. 1Lyù thuyeát haøm sinh coù nhieàu aùp duïng trong phaân tích thuaät toaùn. Coù theå tham khaûo: Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Vol.1, Addison-Wesley, 1973.
II.2 Hoäi tuï ñeàu 17 2. HOÄI TUÏ ÑEÀU 2.1 Chuoãi soá. Chuoãi soá phöùc laø moät toång hình thöùc caùc soá phöùc zk ∞ zk = z0 + z1 + ···+ zn + ··· . k=0 n Xeùt toång rieâng thöù n Sn = zk,n∈ N, cuûa chuoãi. Neáu daõy (Sn) hoäi tuï veà S ∈ C, k=0 ∞ thì ta noùi chuoãi ñaõ cho hoäi tuï veà S vaø kyù hieäu S = zk. k=0 Caùc keát quûa sau ñöôïc chöùng minh nhö tröôøng hôïp chuoãi soá thöïc. Meänh ñeà. ∞ (1) Neáu zk hoäi tuï, thì zk → 0 khi k → +∞. k=0 ∞ (2) Chuoãi zk hoäi tuï khi vaø chæ khi noù thoaû ñieàu kieän Cauchy: k=0 ∀>0, ∃N : n>N ⇒|zn + ···+ zn+p| <, (p =0, 1, ···) ∞ Caùc daáu hieäu hoäi tuï. Chuoãi zk hoäi tuï neáu moät thoaû moät trong caùc daáu hieäu sau: k=0 ∞ Hoäi tuï tuyeät ñoái: |zk| hoäi tu . k=0 ∞ So saùnh: |zk|≤ak, khi k ñuû lôùn, vaø ak hoäi tuï. k=0 |z | D’Alembert: lim sup k+1 < 1. k→∞ |zk| k Cauchy: lim sup |zk| < 1. k→∞ 2.2 Daõy haøm. Cho daõy haøm fn : D → C, n ∈ N. Mieàn hoäi tuï cuûa daõy laø taäp D = {z ∈ D : daõy soá (fn(z))n∈N hoäi tuï }. Khi ñoù ta coù haøm f(z) = lim fn(z),z∈ D , vaø (fn) goïi laø hoäi tuï ñieåm hay hoäi tuï ñôn giaûn veà f n→∞ treân D. n Ví duï. Daõy haøm fn(z)=|z| ,n∈ N, coù mieàn hoäi tuï D = {z ∈ C : |z|≤1}. Treân D daõy hoäi tuï (ñieåm) veà haøm 0 neáu |z| < 1 f(z)= 1 neáu |z| =1 Trong ví duï naøy fn lieân tuïc, nhöng haøm giôùi haïn f khoâng lieân tuïc. Khaùi nieäm hoäi tuï ñeàu sau ñaây baûo ñaûm moät soá tính chaát giaûi tích cuûa daõy haøm ñöôïc
II.2 Hoäi tuï ñeàu 18 baûo toaøn khi qua giôùi haïn. Daõy haøm (fn)n∈N ñöôïc goïi laø hoäi tuï ñeàu veà f treân D, neáuu ∀>0, ∃N : n>N ⇒ sup |fn(z) − f(z)| 0, do tính hoäi tuï ñeàu ta coù ∃n0 : |fn0 (z) − f(z)| 0: |z − z0| 0, ∃δ>0:khi |z − z0| 0, ∃N : n>N ⇒ sup | fk(z)| <, (p =1, 2, ···). z∈D k=n ∞ ∞ Weierstrass’ M-test. Neáu |fk(z)|≤ak, ∀z ∈ D vaø ak hoäi tuï, thì chuoãi fk hoäi k=0 k=0 tuï ñeàu treân D.
II.3 Chuoãi luõy thöøa hoäi tuï 19 ∞ Meänh ñeà. Neáu chuoãi haøm fk hoäi tuï ñeàu treân D veà haøm S vaø moãi fk laø lieân k=0 tuïc treân D, thì S lieân tuïc treân D. ∞ ∞ Noùi caùch khaùc lim fk(z)= lim fk(z),z0 ∈ D, i.e. coù theå chuyeån daáu lim vaøo z→z0 z→z0 k=0 k=0 trong daáu . 3. CHUOÃI LUÕY THÖØA HOÄI TUÏ ∞ k Cho S(Z)= akZ ∈ C[[Z]]. Khi thay kyù hieäu Z bôûi gía trò z ∈ C ta coù chuoãi soá k=0 ∞ k S(z), noù laø moät gía trò phöùc khi chuoãi akz hoäi tuï. Phaàn naøy seõ nghieân cöùu söï k=0 hoäi tuï cuûa chuoãi luõy thöøa vaø moái quan heä giöõa caùc pheùp toaùn hình thöùc vôùi caùc pheùp toaùn treân haøm. ∞ k 3.1 Ñònh lyù Abel. Vôùi moïi chuoãi luõy thöøa S(Z)= akZ , toàn taïi R = R(S), 0 ≤ k=0 R ≤ +∞, sao cho neáu R>0 thì: (1) S(z) hoäi tuï khi |z| R. (2) S(z) hoäi tuï ñeàu treân ñóa |z|≤r, vôùi moïi r k. Suy ra |a z | R, choïn ρ : R . Vaäy k ρ |z| k ∞ |a zk| > vôùi voâ soá chæ soá k. Suy ra a zk phaân kyø theo 2.2 (1). k ρ k k=0 ∞ k Nhaän xeùt. Cho S(Z)= akZ . Khi ñoù k=0 C R(S) > 0 ⇔∃C, r > 0: |a |≤ , ∀k ∈ N k rk Nhaän xeùt. Trong nhieàu tröôøng hôïp coù theå duøng coâng thöùc D’Alembert ñeå tính baùn kính
II.3 Chuoãi luõy thöøa hoäi tuï 20 hoäi tuï: |a | R = lim k k→∞ |ak+1| neáu giôùi haïn treân toàn taïi. Ñieàu naøy suy töø keát quûa sau |ak+1| k lim = q ⇒ lim |ak| = q k→∞ |ak| k→∞ |a | Chöùng minh: Theo gæa thieát, ∀>0, ∃N: k>N⇒ q − < k+1 <q+ . |ak| |a ||a |···|a | Suy ra (q − )p < N+1 N+2 N+p < (q + )p p =1, 2, ··· |aN ||aN+1| ···|aN+p−1| 1 p 1 p N+p Suy ra |aN | N+p (q − ) N+p < |aN+p| < |aN | N+p (q + ) N+p p =1, 2, ··· k k Khi p →∞, q − ≤ lim inf |ak|≤lim sup |ak|≤q + . k→∞ k→∞ Töø ñoù suy ra keát quûa. √ k± k Baøi taäp: Chöùng minh chieàu ⇐ cuûa phaùt bieåu treân khoâng ñuùng. Haõy xeùt ak = q . Ví duï. ∞ a) Chuoãi k!zk coù baùn kính hoäi tuï laø 0,dok! ≥ 3kke−k. k=0 ∞ zk b) Chuoãi coù baùn kính hoäi tuï laø ∞. k! k=0 ∞ ∞ 1 ∞ 1 c) Caùc chuoãi zk, zk, zk ñeàu coù baùn kính hoäi tuï laø 1, nhng tính hoäi tuï k k2 k=0 k=1 k=1 treân ñöôøng troøn |z| =1khaùc nhau. ∞ Chuoãi zk phaân kyø khi |z| =1, theo ñieàu kieän caàn. k=0 ∞ 1 Chuoãi zk hoäi tuï khi |z| =1, theo tieâu chuaån so saùnh. k2 k=1 ∞ 1 Chuoãi zk phaân kyø khi z =1, nhöng hoäi tuï taïi moïi ñieåm khaùc treân ñöôøng troøn k k=1 ∞ 1 ñôn vò. Thaät vaäy, vôùi z = eiϕ (ϕ =2kπ), chuoãi coù daïng ekiϕ. Ta duøng phöông k k=1 phaùp toång töøng phaàn cuûa Abel ñeå chöùng minh chuoãi hoäi tu. n 1 n Ñaët S = ekiϕ vaø A = ekiϕ. Khi ñoù n k n k=1 k=0 n 1 1 n−1 1 1 1 S − S = (A − A )=− A + ( − )A + A n m k k k−1 m +1 m k k +1 k n n k=m+1 k=m (n+1)iϕ e − 1 ni ϕ sin((n +1)ϕ/2) 1 Maët khaùc A = = e 2 . Vaäy |A |≤ . n eiϕ − 1 sin(ϕ/2) n | sin(ϕ/2)|
II.3 Chuoãi luõy thöøa hoäi tuï 21 1 1 n−1 1 1 1 2 Suy ra |S −S |≤ + ( − )+ ≤ . n m | sin(ϕ/2)| m +1 k k +1 n | sin(ϕ/2)|(n +1) k=m Vaäy (Sn) laø daõy Cauchy, neân hoäi tuï. 3.2 Toång & Tích caùc chuoãi luõy thöøa hoäi tuï. Meänh ñeà. Giaû söû A(Z),B(Z) laø caùc chuoãi luõy thöøa coù baùn kính hoäi tuï ≥ R. Ñaët S(Z)=A(Z)+B(Z) , P (Z)=A(Z)B(Z). Khi ñoù (1) S(Z) vaø P (Z) coù baùn kính hoäi tuï ≥ R. (2) Vôùi |z| 0 sao cho |bk|r 0 neân |bk|r <R(S) vôùi r ñuû beù. k=0 ∞ ∞ p k k Khi ñoù |ak|( |bp|r ) = γkr < +∞. k=0 p≥1 k=0 ∞ k Ñaët U(Z)=S ◦ T (Z)= ckZ , thì |ck|≤γk. Suy ra R(U) ≥ r. k=0
II.3 Chuoãi luõy thöøa hoäi tuï 22 k Ñeå chöùng minh ñaúng thöùc ñaët Sn(Z)= akZ ,Sn ◦ T = Un. k≤n Vôùi |z|≤r, ta coù Un(z)=Sn(T (z)) vaø lim Sn(T (z)) = S(T (z)). n→∞ Maët khaùc trò tuyeät ñoái heä soá chuoãi U − Un =(S − Sn) ◦ T ≤ heä soá chuoãi p k |ak|( |bp|r ) → 0, khi k →∞. k>n p≥1 Do vaäy lim (U(z) − Un(z)) = 0, i.e. S ◦ T (z)=S(T (z)). n→∞ 3.4 Nghòch ñaûo cuûa chuoãi luõy thöøa hoäi tuï. 1 Meänh ñeà. Giaû söû S(Z) ∈ C[[Z]],S(0) =0, coù baùn kính hoäi tuï döông. Khi ñoù S(Z) cuõng coù baùn kính hoäi tuï döông. Chöùng minh: Ta coù S(Z)=a0(1 − Φ(Z)) vôùi R(Φ) > 0. 1 1 1 1 ∞ Ngoaøi ra = = (Φ(Z))k. S(Z) a 1 − Φ(Z) a 0 0 k=0 ∞ 1 Maø chuoãi Y k coù baùn kính hoäi tuï =1> 0, theo Meänh ñeà 3.3 R( ) > 0. S k=0 3.5 Ñaïo haøm chuoãi luõy thöøa hoäi tuï. Meänh ñeà. Vôùi moïi S(Z) ∈ C[[Z]], R(S)=R(S). Hôn nöõa, neáu R(S) > 0, thì vôùi |z| 0, ∃n0 : 2k|ak|r n0 Ngoaøi ra uk(z,h) laø ña thöùc theo h vaø baèng 0 khi h =0, neân toàn taïi η sao cho: k≤n0 |h| 0, toàn taïi η>0, sao cho khi |h| n0
II.3 Chuoãi luõy thöøa hoäi tuï 23 Nhaän xeùt. Theo meänh ñeà treân haøm S coù ñaïo haøm (theo nghóa phöùc) laø S treân mieàn hoäi tuï cuûa noù. Caùc tính chaát cuûa ñaïo haøm phöùc seõ ñöôïc xeùt cuï theå ôû chöông III. Qui naïp ta coù R(S(n))=R(S) vaø khi R = R(S) > 0, thì vôùi |z| 0, thì R(T ) > 0. Chöùng minh: Ta seõ chöùng minh baèng phöông phaùp chuoãi troäi nh sau. ∞ ∞ k k Ñaët S(Z)= akZ ,T(Z)= bkZ . k=0 k=0 Thay vì S(Z), xeùt chuoãi troäi ¯ k S(Z)=A1Z − AkZ , thoaû: A1 = a1, |ak|≤Ak (k>1) k>1 ∞ ¯ k ¯ ¯ Khi ñoù toàn taïi T (Z)= BkZ sao cho S(T (Y )) = Y vaø Bn thoaû k=0 A1Bn − Pn(A2, ··· ,An,B1, ··· ,Bn−1)=0, vôùi Pn laø ña thöùc . ¯ Baèng qui naïp ta coù |bk|≤Bk. Suy ra R(T ) ≥ R(T ). Vaäy neáu coù R(T¯) > 0, meänh ñeà ñöôïc chöùng minh. ∞ ¯ k Ñeå xaây döïng cuï theå S, choïn 0 0:|ak|r ≤ M, ∀k ∈ N. k Ñaët A1 = a1,Ak = M/r (k>1). Khi ñoù vôùi |z| <r, z2/r2 S¯(z)=A z − M . 1 1 − z/r Caàn tìm haøm T¯(y) sao cho T¯(0) = 0 vaø S¯(T¯(y)) = y, vôùi y ñuû beù. Haøm T¯ coù theå xaùc ñònh töø phöông trình 2 ¯2 ¯ (A1/r + M/r )T − (A1 + y/r)T + y =0. Nghieäm phöông trình thoûa T¯(0) = 0 laø 2 2 2 2 A1 + y/r − A − 2A1y/r − 4My/r + y /r T¯(y)= 1 . 2 2(A1/r + M/r )
II.3 Moät soá haøm sô caáp 24 √ Khi y ñuû beù nghieäm treân coù daïng 1+u, |u| 0. 4. MOÄT SOÁ HAØM SÔ CAÁP 4.1 Haøm tuyeán tính. w = f(z)=az + b, a =0. Ñaët a = reiϕ. Khi ñoù w ñöôïc moâ taû hænh hoïc nhö laø hôïp cuûa 3 bieán ñoåi sau iϕ Pheùp quay moät goùc ϕ : z1 = e z. Pheùp co daõn tæ soá r : z2 = rz1. Pheùp tònh tieán vector b : w = z2 + b. Ñaëc bieät tính song song vaø ñoä lôùn cuûa goùc ñöôïc baûo toaøn qua haøm tuyeán tính. 4.2 Haøm luõy thöøa. w = f(z)=zn,n∈ N. Khi chuyeån qua toïa ñoä cöïc z = reiϕ, thì w = rneinϕ. Ta coù moâ taû hình hoïc nhö sau: (1) AÛnh cuûa caùc tia Argz = ϕ0 laø caùc tia Argw = nϕ0. (aøaømôû roäng n laàn”) n (2) AÛnh cuûa caùc ñöôøng troøn |z| = r0 laø caùc ñöôøng troøn |w| = r0 . n Nhö vaäy haøm w = z chæ ñôn dieäp treân caùc mieàn D khoâng chöùa z1 = z2 maø |z1| = |z2| 2π vaø argz = argz + k (k ∈ Z). 1 2 n Ví duï. Haøm w = zn laø ñôn dieäp töø goùc D = {0 < argz<2π/n} leân mieàn {0 < argw<2π}. 1 1 ∞ 1 4.3 Haøm muõ. w = ez =1+z + z2 + ···+ zn + ···= zk. 2! n! k! k=0 Chuoãi treân coù baùn kính hoäi tuï laø ∞ neân haøm muõ xaùc ñònh treân toøan boä C. Tính chaát. (1) (ez) = ez. (2) ez+z = ezez . Ñaëc bieät: ez =0, ∀z,vìeze−z =1. (3) eiy =cosy + i sin y, y ∈ R. Suy ra ez =1 ⇔ z =2kπi, k ∈ Z Chöùng minh: (1) suy töø 3.5. Ñoái vôùi (2), duøng coâng thöùc tích chuoãi ∞ 1 ∞ 1 ∞ n znzn−k ezez = zk zp = k! p! k!(n − k)! k=0 p=0 n=0 k=0 ∞ 1 n ∞ 1 = Ckzkzn−k = (z + z)n n! n n! n=0 k=0 n=0 = ez+z . (3) ñöôïc chöùng minh döïa vaøo khai trieån Taylor haøm cos vaø sin thöïc (xem daïng Euler I.1.3). eiz + e−iz eiz − e−iz 4.4 Caùc haøm löôïng giaùc. cos z = , sin z = . 2 2i Töø bieåu dieãn chuoãi luõy thöøa haøm exp ta coù vôùi moïi z ∈ C:
II.3 Moät soá haøm sô caáp 25 z2 z4 z2n cos z =1− + + ···+(−1)n + ··· 2! 4! (2n)! z3 z5 z2n+1 sin z = z − + + ···+(−1)n + ···. 3! 5! (2n +1)! Tính chaát. (1) sin2 z +cos2 z =1 (2) (cos z) = − sin z, (sin z) =cosz. (3) sin, cos laø caùc haøm tuaàn hoaøn, chu kyø 2π. π (4) sin z =0 ⇔ z = kπ vaø cos z =0 ⇔ z =(2k +1) (k ∈ Z). 2 Baøi taäp: Chöùng minh caùc tính chaát treân. Nhaän xeùt. Haàu heát caùc coâng thöùc cuûa haøm sin vaø cos trong tröôøng hôïp thöïc vaãn coøn ñuùng cho tröôøng hôïp phöùc (xem II.5.4). Chaúng haïn, coâng thöùc coäng cos(a + b)= cos a cos b − sin a sin b, sin(a + b)=sina cos b +sinb cos a. Tuy nhieân, trong tröôøng hôïp phöùc haøm cos vaø sin khoâng giôùi noäi: e−y + ey cos iy = → +∞, khi R y → +∞. 2 sin z eiz − e−iz 1 Haøm tang ñònh nghóa: tgz = = ,z=(k + )π,k ∈ Z. cos z i(eiz + e−iz) 2 cos z i(eiz + eiz) Haøm cotang ñònh nghóa: cotgz = = ,z= kπ, k ∈ Z. sin z eiz − e−iz Caùc haøm hyperbolic cuõng ñònh nghóa töông töï tröôøng hôïp thöïc: ez + e−z ez − e−z sinhz coshz coshz = , sinhz = , tanhz = , cothz = z ∈ C. 2 2 coshz sinhz Ta cuõng coù: cosh2z− sinh2z =1, (coshz) = sinhz, (sinhz) = coshz. Caùc haøm löôïng giaùc ngöôïc ñöôïc ñònh nghóa qua chuoãi luõy thöøa nhôø khai trieån Taylor haøm thöïc: 1 z3 1.3 z5 1.3.5 z7 π arcsin z = z + + + + ··· , |z| < 1. arccos z = − arcsin z. 2 3 2.4 5 2.4.6 7 2 z3 z5 z7 z9 π arctgz = z − + − + −··· , |z| < 1. arccotgz = − arctgz. 3 5 7 9 4 Chuù yù: Thöïc ra, caùc haøm löôïng giaùc ngöôïc ñöôïc ñònh nghóa ôû treân chæ laø moät “nhaùnh” (nhaùnh chính) trong caùc nhaùnh lieân tuïc cuûa caùc haøm “ña trò” töông öùng. Chaúng haïn, neáu ñònh nghóa w =arcsinz laø giaù trò thoaû sin(arcsin z)=z. Khi ñoù noùi chung seõ coù nhieàu giaù trò w thoûa ñaúng thöùc (tính ña trò). Ñeå xeùt caùc haøm ña trò ta coù khaùi nieäm taùch nhaùnh ñôn trò nhö seõ ñöôïc trình baøy sau ñaây ñoái vôùi haøm logarithm.
II.3 Moät soá haøm sô caáp 26 4.5 Logarithm phöùc. w ∈ C ñöôïc goïi laø moät logarithm cuûa z =0, neáuu ew = z Taäp nghieäm phöông trình treân kyù hieäu laø Lnz. Coù voâ soá logarithm cuûa z: wk =ln|z| + i Argz =ln|z| + i arg z +2kπi (k ∈ Z), trong ñoù ln |z| laø logarithm Neper thöïc. (Baøi taäp) Vaäy w = Lnz laø haøm ña trò. Nhaùnh cuûa haøm log. Cho D ⊂ C \ 0 laø mieàn. Haøm lieân tuïc f : D → C goïi laø moät nhaùnh cuûa haøm log neáuu ef(z) = z, ∀z ∈ D. Khi ñoù ta kyù hieäu f(z)=lnz. Chaúng haïn, nhaùnh chính cuûa haøm log laø haøm xaùc ñònh gía trò ln 1 = 0 (öùng vôùi k =0), cuï theå f(z)=ln|z| + i arg z, z ∈ D = C \{z = te−iπ,t≥ 0}. Khoâng phaûi mieàn naøo cuõng toàn taïi nhaùnh cuûa haøm log, chaúng haïn mieàn C \{0}. Tuy nhieân, neáu mieàn naøo toàn taïi moät nhaùnh, thì caùc nhaùnh khaùc sai khaùc moät haèng soá. Cuï theå Meänh ñeà. Giaû söû treân mieàn D toàn taïi nhaùnh f cuûa haøm log. Khi ñoù g : D → C laø nhaùnh cuûa haøm log khi vaø chæ khi g = f +2kπi vôùi k ∈ Z. 1 Chöùng minh: Xeùt haøm h(z)= (f(z) − g(z)). Ta coù h lieân tuïc vaø e2πih(z) = 2πi ef(z)e−g(z) =1, neân h nhaän giaù trò nguyeân. Suy ra h =const. Meänh ñeà. Nhaùnh chính cuûa haøm ln(1 + z), |z| < 1, i.e. thoaû ln 1 = 0, coù bieåu dieãn chuoãi luõy thöøa laø ∞ (−1)k+1 ln(1 + z)= zk, |z| < 1. k k=1 ∞ 1 ∞ (−1)k+1 Chöùng minh: Ñaët S(Z)= Zk vaø T (Z)= Zk. k! k k=0 k=1 ∞ 1 1 (T (Z)= (−1)kZk = , i.e. T (Z) nguyeân haøm hình thöùc cuûa ). 1+Z 1+Z k=0 Vôùi x ∈ R, |x| < 1, ta coù ln(1+x)=T (x), i.e. S(T (x)) = 1+x. Do tính duy nhaát cuûa heä soá chuoãi luõy thöøa hình thöùc ta coù S ◦ T (Z)=1+Z. Ngoaøi ra, S(z)=ez,z ∈ C vaø T coù baùn kính hoäi tuï 1. Theo ñònh nghóa nhaùnh chính cuûa haøm log suy ra khi |z| < 1, ln(1 + z)=T (z). 4.6 Haøm luõy thöøa toång quaùt. Vôùi moãi z =0,α ∈ C, ñònh nghóa zα = eα Ln z. Nh vaäy seõ coù voâ soá gía trò zα. Töông töï nh haøm log ta coù theå ñònh nghóa nhaùnh cuûa haøm zα. Moãi nhaùnh cuûa Ln z xaùc ñònh moät nhaùnh cuûa zα.
II.5. Haøm giaûi tích. 27 Coâng thöùc nhò thöùc.Nhaùnh chính cuûa haøm (1 + z)α, i.e. thoûa 1α =1, coù bieåu dieãn chuoãi luõy thöøa laø α(α − 1) α(α − 1) ···(α − k +1) (1 + z)α =1+αz + z2 + ···+ zk + ··· |z| 0, sao cho ∞ k f(z)=S(z − z0)= ak(z − z0) , vôùi moïi z ∈ D(z0,r). k=0 Khi ñoù chuoãi S xaùc ñònh duy nhaát (nhaän xeùt 3.5). Haøm f goïi laø giaûi tích treân D neáuu f giaûi tích taïi moïi z ∈ D. Kyù hieäu A(D) taäp moïi haøm giaûi tích treân D. Theo caùc keát quûa ôû §3, ta coù:
II.5. Haøm giaûi tích. 28 Meänh ñeà. (1) A(D) laø vaønh vôùi pheùp coäng vaø nhaân haøm thoâng thöôøng. (2) Hôïp hai haøm giaûi tích laø giaûi tích. (3) Neáu f giaûi tích taïi z0 vaø f (z0) =0, thì f khaû nghòch ñòa phöông taïi z0, i.e. toàn taïi laân caän U cuûa z0 vaø V cuûa f(z0), sao cho f : U → V laø song aùnh vaø coù aùnh xaï ngöôïc giaûi tích. (Ñònh lyù haøm ngöôïc ñòa phöông). (4) Neáu f giaûi tích treân D, thì f coù ñaïo haøm moïi caáp. Chuù yù: ÔÛ chöông sau ta seõ chöùng minh: neáu f coù ñaïo haøm caáp 1 treân D, thì f giaûi tích treân D. Ñieàu naøy hoaøn toaøn khaùc vôùi tính khaû vi thöïc, ví duï ñieån hình laø − 1 haøm thöïc khaû vi voâ haïn f(x)=e x2 ,f(0) = 0, coù ñaïo haøm moïi caáp trieät tieâu taïi 0, neân chuoãi Taylor laø 0 - noù khoâng hoäi tuï veà f(x). Ví duï. n a) Vì haøm luõy thöøa laø giaûi tích, neân ña thöùc P (z)=a0 + a1z + ···+ anz laø giaûi tích treân C. P (z) b) Caùc haøm höõu tæ , trong ñoù P vaø Q laø caùc ña thöùc (Q =0),laø giaûi tích treân Q(z) mieàn C \{z : Q(z)=0}. c) Caùc haøm cho ôû §4 laø caùc haøm giaûi tích. Ñieàu naøy suy töø keát quûa toång quaùt sau. 5.2 Meänh ñeà. Giaû söû S(Z) ∈ C[[Z]] coù baùn kính hoäi tuï R>0. Khi ñoù S xaùc ñònh moät haøm giaûi tích treân ñóa D(0,R). Cuï theå, vôùi moïi z0 ∈ D(0,R), ta coù khai trieån ∞ 1 S(z)= S(k)(z )(z − z )k , |z − z | <R−|z |. k! 0 0 0 0 k=0 ∞ k Chöùng minh: Ñaët S(z)= akz , |z| <R. Cho z0 ∈ D(0,R). k=0 k k k k k−p p Ta coù z =(z0 +(z − z0)) == Cp z0 (z − z0) . p=0 Vôùi |z0| + |z − z0| <R,doS(z) hoäi tuï tuyeät ñoái, neân ∞ ∞ k k k k−p p |ak|(|z0| + |z − z0|) = |ak| Cp |z0| |z − z0| . k=0 k=0 p=0 Töø tính hoäi tuï tuyeät ñoái ta coù theå hoaùn vò caùc ñaáu toång, nh sau ∞ ∞ k ∞ ∞ k k k−p p p k−p p S(z)= akz = ak( Cp z0 (z − z0) )= ( akCk z0 )(z − z0) . k=0 k=0 p=0 p=0 k=p ∞ 1 Deã kieåm tra a Cpzk−p = S(p)(z ). k k 0 p! 0 k=p
II.5. Haøm giaûi tích. 29 Chuù yù: Baùn kính hoäi tuï cuûa chuoãi cho ôû meänh ñeà treân coù theå >R−|z0|. Chaúng haïn ∞ 1 vôùi S(Z)= (iZ)k, ta coù S(z)= , |z| 1 −|z0|. ∞ k Chuù yù: Neáu ñaët M(r)= |ak|r ,r 1, goïi laø boäi. Ñeå yù laø do g lieân tuïc neân f(z) =0, 0 0 ñuû beù. Noùi moät caùch khaùc ta coù: Meänh ñeà. Neáu f =0laø haøm giaûi tích treân mieàn D, thì taäp Zf caùc khoâng ñieåm cuaû f laø taäp rôøi raïc, i.e. moïi ñieåm z0 ∈ Zf toàn taïi laân caän U cuûa z0, sao cho U ∩ Zf = {z0}. Ñc bieät, khi K laø taäp compact trong D, thì taäp Zf ∩ K = {z ∈ K : f(z)=0} laø höõu haïn. 5.4 Ñònh lyù duy nhaát. Ñònh lyù. Cho f laø haøm giaûi tích treân mieàn D. Khi ñoù caùc ñieàu sau töông ñöông: (k) (1) f (z0)=0vôùi moïi k ∈ N, taïi moät ñieåm z0 ∈ D. (2) f =0treân moät taäp coù ñieåm giôùi haïn thuoäc D (= taäp khoâng rôøi raïc trong D). (3) f ≡ 0 treân D. Chöùng minh: (3) ⇒ (1) laø roõ raøng. (1) ⇒ (2) do khai trieån Taylor. Ñeå chöùng minh (2) ⇒ (3) goïi z0 laø ñieåm giôùi haïn cuûa taäp khoâng ñieåm Zf .Dof lieân tuïc f(z0)=0.Vìz0 khoâng laø khoâng ñieåm coâ laäp, töø meänh ñeà ôû 5.3 suy ra f ≡ 0 ôû moät
II.5. Haøm giaûi tích. 30 (k) laân caän cuûa z0. Ñaët X = {z ∈ D : f ≡ 0 ôû laân caän z} = {z ∈ D : f (z)=0, ∀k}. Ta coù X = ∅ vì chöùa z0, X laø môû do ñònh nghóa, X laø ñoùng trong D vì laø giao cuûa caùc taäp ñoùng. Do D lieân thoâng, X = D. Heä quûa. Cho f,g ∈ A(D),Dlaø mieàn. Neáu f = g treân moät taäp coù ñieåm giôùi haïn thuoäc D, thì f ≡ g. Ví duï. a) Hai haøm giaûi tích treân C baèng nhau treân R thì ñoàng nhaát vôùi nhau. Chaúng haïn, vì coâng thöùc cos 2z =2cos2 z − 1 ñuùng cho z ∈ R, neân cuõng ñuùng cho z ∈ C. 1 1 1 b) Khoâng toàn taïi f ∈ A(C) thoûa f( )=f(− )= (n =1, 2, 3, ···). Thöïc vaäy, n n n 1 neáu toàn taïi f nh vaäy, thì f(z)=z treân { : n ∈ N}. Theo nguyeân lyù thaùc trieån ta coù n f(z)=z,∀z ∈ C. Voâ lyù. Baøi toaùn thaùc trieån giaûi tích: Cho f ∈ A(D), D laø mieàn. Giaû söû D ⊃ D laø mieàn. Toàn taïi hay khoâng haøm h ∈ A(D ) sao cho h|D = f? Ñaây laø moät baøi toaùn cô baûn cuûa lyù thuyeát haøm phöùc. Heä quaû treân cho ta tính duy nhaát cuûa haøm thaùc trieån h (neáu toàn taïi).
III. Haøm chænh hình 0. AÙNH XAÏ TUYEÁN TÍNH TREÂN R2 VAØ TREÂN C Moïi aùnh xaï C-tuyeán tính w : C → C, coù daïng w(z)=(α + iβ)z. Vaäy aùnh xaï C-tuyeán tính ñöôïc xem laø pheùp nhaân vôùi soá phöùc w(1) = α + iβ ∈ C. Maët khaùc, nhö ñaõ bieát, trong R2 khi söû duïng cô sôû chính taéc (1, 0), (0, 1), thì moïi aùnh xaï R-tuyeán tính A : R2 → R2 ñöôïc ñoàng nhaát vôùi ma traän ac A = a, b, c, d ∈ R, bd theo pheùp nhaân ma traän A(x, y)=(ax + cy, bx + dy). Nhaän xeùt. Moïi aùnh xaï C-tuyeán tính laø R-tuyeán tính. Ngöôïc laïi, ta coù: 0.1 Bieåu dieãn soá phöùc döôùi daïng ma traän. Khi ñoàng nhaát C ≡ R2 bôûi z = x + iy =(x, y), thì Az = A(x + iy)=ax + cy + i(bx + dy). Meänh ñeà. A laø C-tuyeán tính khi vaø chæ khi d = a vaø c = −b. Chöùng minh: A laø C-tuyeán tính khi vaø chæ khi toàn taïi α + iβ ∈ C: A(x + iy)=(α + iβ)(x + iy)=(αx − βy)+i(βx + αy), ∀x, y ∈ R. Ñieàu treân töông ñöông vôùi ax + cy + i(bx + dy)=(αx − βy)+i(βx + αy), ∀x, y ∈ R. Hay laø a = α, c = −β,b = β,d = −α. a −b Nhaän xeùt. Ta coù bieåu dieãn daïng ma traän soá phöùc a + ib = . ba Baøi taäp: Chöùng minh pheùp nhaân soá phöùc töông öùng vôùi pheùp nhaân ma traän bieåu dieãn chuùng. 0.2 AÙnh xaï tuyeán tính baûo giaùc. AÙnh xaï tuyeán tính A : R2 → R2 ñöôïc goïi laø baûo giaùc neáuu noù baûo toaøn goùc (veà ñoä lôùn cuõng nhö veà höôùng). Noùi moät caùch khaùc A = rT, trong ñoù r>0 coøn T laø pheùp quay. Töø tính chaát hình hoïc cuûa pheùp nhaân soá phöùc, ta coù Meänh ñeà. A laø aùnh xaï tuyeán tính baûo giaùc khi vaø chæ khi det A>0 vaø d = a, c = −b. Khi ñoù A bieåu dieãn soá phöùc a+ib = reiϕ = r(cos ϕ+i sin ϕ), coøn det A = r2 = a2 +b2.
III.1 Tính khaû vi phöùc - Haøm chænh hình 32 1. TÍNH KHAÛ VI PHÖÙC - HAØM CHÆNH HÌNH 1.1 Ñaïo haøm. Cho f : D −→ C,Dlaø taäp môû trong C. Haøm f goïi laø khaû vi taïi z0 ∈ D neáuu toàn taïi f(z) − f(z ) f(z + h) − f(z ) lim 0 = lim 0 0 . z→z0 z − z0 h→0 h df Kyù hieäu giôùi haïn treân laø f (z ) hay (z ), vaø goïi laø ñaïo haøm cuûa f taïi z . 0 dz 0 0 Noùi moät caùch khaùc f khaû vi taïi z0 neáuu f coù theå xaáp xæ bôûi haøm baäc nhaát w(h)= f(z0)+(a + ib)h ôû laân caän z0, theo nghóa sau: f(z0 + h)= w(h)+o(h), ψ(h) trong ñoù o(h) kyù hieäu caùc haøm ψ(h) thoûa lim =0. h→0 h Ñeå tìm moái quan heä giöõa tính khaû vi phöùc vaø tính khaû vi thöïc, caàn nhaéc laïi aùnh xaï 2 2 R → R , (x, y) → (u(x, y),v(x, y)) khaû vi taïi (x0,y0) neáuu noù coù theå xaáp xæ bôûi moät aùnh xaï affin ôû laân caän (x0,y0), theo nghóa sau: toàn taïi aùnh xaï R-tuyeán tính ac A = : R2 −→ R2 bd sao cho u(x0 + h1,y0 + h2) u(x0,y0) h1 2 2 = + A + o( h1 + h2). v(x0 + h1,y0 + h2) v(x0,y0) h2 Hôn nöõa, khi ñoù ∂u ∂u a = u (x ,y )= (x ,y ),c= u (x ,y )= (x ,y ) x 0 0 ∂x 0 0 y 0 0 ∂y 0 0 ∂v ∂v b = v (x ,y )= (x ,y ),d= v (x ,y )= (x ,y ) x 0 0 ∂x 0 0 y 0 0 ∂y 0 0 Töø Meänh ñeà 0.1 suy ra 1.2 Ñieàu kieän Cauchy-Riemann. Cho f(z)=f(x + iy)=u(x, y)+iv(x, y) vaø z0 = x0 + iy0. Khi ñoù f khaû vi taïi z0 khi vaø chæ khi (1) u, v khaû vi (theo nghóa thöïc) taïi (x0,y0). ∂u ∂v ∂u ∂v (2) u, v thoûa ñieàu kieän Cauchy-Riemann: = , = − taïi (x ,y ) ∂x ∂y ∂y ∂x 0 0 Khi ñoù f = ux + ivx = vx − ivy taïi z0 =(x0,y0). Nhaän xeùt. Ñoåi bieán z = x + iy x =(z +¯z)/2 hay z¯ = x − iy y =(z − z¯)/2i
III.1 Tính khaû vi phöùc - Haøm chænh hình 33 ∂f ∂f ∂f ∂f Neáu u, v khaû vi, thì df = dx + dy = dz + dz.¯ ∂x ∂y ∂z ∂z¯ ∂ 1 ∂ ∂ ∂ 1 ∂ ∂ Theo coâng thöùc ñaïo haøm hôïp = ( − i ), = ( + i ). ∂z 2 ∂x ∂y ∂z¯ 2 ∂x ∂y Vaäy ∂f ∂f ∂f f khaû vi ⇔ u, v thoaû ñieàu kieän C-R ⇔ = −i ⇔ =0. ∂x ∂y ∂z¯ Khi ñoù df (z0)=f (z0)dz. Ví duï. a) Raát deã tìm ví duï u, v khaû vi maø f = u + iv khoâng khaû vi. Chaúng haïn haøm 2 f(z)=x +2iy coù u, v khaû vi taïi moïi ñieåm (x, y) ∈ R , nhng ux =1= vy =2: ñieàu kieän Cauchy-Riemann khoâng thoaû, i.e. f khoâng khaû vi. b) Neáu f coù ñaïo haøm taïi moïi ñieåm treân mieàn D vaø coù modul |f| = const , thì f = const . Thaät vaäy, töø |f|2 = u2 + v2 = const , suy ra 2uux +2vvx =0, 2uuy +2vvy =0. 2 2 Keát hôïp vôùi ñieàu kieän Cauchy-Riemann, neáu u +v =0, ta coù ux = uy = vx = vy =0 treân D. Töø tính lieân thoâng suy ra u = const ,v = const , i.e. f = const . Neáu u2 + v2 =0, thì roõ raøng f = const. c) Töông töï, ta cuõng coù f = const khi f =0hay f chæ nhaän giaù trò thöïc, hay f chæ nhaän giaù trò thuaàn aûo. Toång quaùt, neáu f khaû vi treân taäp môû D maø f(D) khoâng môû, thì f = const . Ñoù laø noäi dung ñònh lyù 4.4. Vì ñònh nghóa ñaïo haøm 1.1 veà maët hình thöùc hoaøn toaøn gioáng ñònh nghóa ñoái vôùi tröôøng hôïp thöïc, neân ta coù caùc keát quaû sau f 1.3 Meänh ñeà. (1) Giaû söû f,g khaû vi taïi z . Khi ñoù f ± g, fg, (g(z ) =0) 0 g 0 khaû vi taïi z0, vaø ta coù coâng thöùc toång: (f ± g) (z0)=f (z0) ± g (z0). coâng thöùc tích: (fg) (z0)=f (z0)g(z0)+f(z0)g (z0). f f (z )g(z ) − f(z )g(z ) coâng thöùc thöông: (z )= 0 0 0 0 . 0 2 g g (z0) (2) Giaû söû f khaû vi taïi z0, φ khaû vi taïi w0 = f(z0). Khi ñoù haøm hôïp h = φ ◦ f khaû vi taïi z0, vaø ta coù coâng thöùc ñaïo haøm hôïp: h (z0)=φ (f(z0))f (z0). (3) Giaû söû f khaû vi taïi moïi ñieåm cuûa moät laân caän z0 vaø f (z0) =0. Giaû söû f laø khaû −1 nghòch treân moät laân caän cuûa z0 vaø haøm ngöôïc f laø khaû vi taïi w0 = f(z0). Khi ñoù ta coù
III.1 Tính khaû vi phöùc - Haøm chænh hình 34 1 coâng thöùc ñaïo haøm haøm ngöôïc: (f −1)(w )= , w = f(z ). 0 0 0 f (z0) Chöùng minh: Vieäc chöùng minh (1) vaø (2) hoaøn toaøn laäp laïi chöùng minh trong tröôøng hôïp haøm thöïc. Coâng thöùc (3) suy töø (2) hay töø f −1(w) − f −1(w ) z − z 1 lim 0 = lim 0 = . w→w0 w − w0 z→z0 f(z) − f(z0) f (z0) Chuù yù. Giaû thieát ôû (3) laø thöøa, xem Ñònh lyù haøm ngöôïc. Ví duï. Deã thaáy (z) =1, neân töø coâng thöùc tích suy ra (zn) = nzn−1. ∞ k Toång quaùt, moïi chuoãi luõy thöøa hoäi tuï S(z)= akz laø khaû vi trong mieàn hoäi tuï cuûa k=0 ∞ k−1 noù vaø ñaïo haøm S (z)= kakz (xem II.3.5). k=1 1.4 Haøm chænh hình. Haøm f goïi laø chænh hình taïi z0 neáuu f khaû vi taïi moïi ñieåm cuûa moät laân caän cuûa z0. Haøm f goïi laø chænh hình treân mieàn D neáu noù chænh hình taïi moïi ñieåm cuûa D. Kyù hieäu H(D) laø taäp moïi haøm chænh hình treân D. Ñoâi khi ñeå thuaän tieän ta noùi f chænh hình treân taäp X baát kyø neáu f chænh hình treân moät taäp môû chöùa X. Khi ñoù cuõng kyù hieäu f ∈ H(X). ∂f Ví duï. Haøm f(z)=zz¯ coù = z. Neân f khaû vi taïi 0, nhng khoâng chænh hình ∂z¯ taïi ñoù. Chuù yù: Moät haøm giaûi tích roõ raøng laø chænh hình. Ta seõ chöùng minh khaùi nieäm chænh hình truøng vôùi khaùi nieäm giaûi tích xeùt ôû chöông II, i.e. H(D)=A(D). 1.5 Tính baûo giaùc. Giaû söû f khaû vi taïi z0 vaø f (z0) =0. Theo ñònh nghóa ñaïo haøm, sau khi tònh tieán Z = z − z0 vaø W = w − w0 coù theå xem f taïi laân caän z0 ñöôïc xaáp xæ bôûi haøm tuyeán tính i arg f (z0) W = f (z0)Z = |f (z0)|e Z, i.e. W thöïc hieän pheùp co daõn tæ soá |f (z0)| vaø pheùp quay moät goùc arg(f (z0)) trong maët phaúng phöùc C ≡ R2. f(γ2) γ2 f(γ1) ¢ ¢ ¢ So ¢ ¢ S ¢ α ¨¨* α ¢ ¨¨ f S ¢ ¢¨ γ1 - S¢ z0 R w0 |f (z0)|R
III.2 Tích phaân ñöôøng 35 Nhö vaäy neáu 2 ñöôøng cong trong maët phaúng z =(x, y) caét nhau taïi z0 theo moät goùc α naøo ñoù (goùc giöõa 2 ñöôøng cong ñöôïc ñònh nghóa laø goùc giöõa 2 vector tieáp xuùc), thì aûnh cuûa chuùng qua f trong maët phaúng w =(u, v) cuõng caét nhau taïi w0 = f(z0) moät goùc ñuùng baèng α (veà ñoä lôùn cuõng nhö veà höôùng). Tính chaát ñoù goïi laø tính baûo giaùc taïi z0 . Ngöôïc laïi ta coù Meänh ñeà. Cho 2 haøm thöïc u = u(x, y),v = v(x, y). Giaû söû (u, v) khaû vi taïi (x0,y0) vaø ñaïo haøm D(u, v) ux(x0,y0) uy(x0,y0) (x0,y0)= D(x, y) vx(x0,y0) vy(x0,y0) laø aùnh xaï tuyeán tính baûo giaùc trong R2. Khi ñoù haøm f(z)=f(x+iy)=u(x, y)+iv(x, y) laø khaû vi taïi z0 = x0 + iy0 vaø f (z0) =0. Chöùng minh: Suy tröïc tieáp töø meänh ñeà 0.2 1.6 Löôùi toïa ñoä. Nhö laäp luaän ôû treân, neáu w = f(z) laø chænh hình treân mieàn D vaø f (z) =0, ∀z ∈ D, thì aûnh cuûa hai hoï ñöôøng cong tröïc giao trong maët phaúng z qua f seõ laø hai hoï ñöôøng cong tröïc giao trong maët phaúng w. Ví duï. Xem ví duï I.3.2 caùch moâ taû 1, ñoái vôùi haøm f(z)=z2. Taïi caùc ñieåm z =0aûnh cuûa hai hoï ñöôøng toïa ñoä x = const vaø y = const qua f laø hai hoï parabol tröïc giao nhau. Taïi z =0, tính baûo giaùc bò phaù vôõ. 2. TÍCH PHAÂN ÑÖÔØNG 2.1 Ñöôøng cong. Cho D ⊂ C. Ñöôøng cong (theo nghóa Jordan) trong D laø aùnh xaï lieân tuïc, 1-1 γ :[a, b] −→ D, γ(t)=x(t)+iy(t). Caùc ñieåm γ(a) vaø γ(b) goïi laø ñieåm ñaàu vaø ñieåm cuoái cuûa ñöôøng cong. Ñöôøng cong (Jordan) kín trong D laø aùnh xaï lieân tuïc γ :[a, b] −→ D, vaø γ(t1)=γ(t2) khi vaø chæ khi t1 = t2 hay t1,t2 ∈{a, b} Ñöôøng cong γ goïi laø trôn neáu ñaïo haøm γ = x + iy toàn taïi vaø lieân tuïc treân [a, b]. γ goïi laø trôn töøng khuùc neáu toàn taïi phaân hoaïch a = a0 <a1 < ··· <an = b sao cho haïn cheá γ| (k =0, ··· ,n− 1) laø caùc ñöôøng cong trôn. [ak,ak+1] Ta hieåu höôùng cuûa ñöôøng cong γ laø höôùng taêng cuûa tham soá, i.e. γ(t1) laø ñöùng tröôùc − γ(t2) neáuu t1 <t2. Ñöôøng cong ñònh höôùng ngöôïc cuûa γ, kyù hieäu γ , ñöôïc ñònh nghóa: γ−(t)=γ(a + b − t),t∈ [a, b]. Ví duï. Sau ñaây laø moät soá ñöôøng cong hay gaëp: a) Ñoaïn thaúng [z0,z1](z0,z1 ∈ C): γ(t)=z0 + t(z1 − z0),t ∈ [0, 1]. Roõ raøng tham soá hoùa ñònh höôùng töø z0 ñeán z1. b) Ñöôøng troøn |z − a| = r: γ(t)=a + reit,t ∈ [0, 2π]. ÔÛ ñaây ñöôøng troøn ñöôïc ñònh höôùng “ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà”.
III.2 Tích phaân ñöôøng 36 c) Ñöôøng tam giaùc ∆(z0,z1,z2) coù caùc ñænh z0,z1,z2 ∈ C, ñöôïc ñònh nghóa nh laø hôïp caùc ñoaïn thaúng [z0,z1], [z1,z2], [z2,z0] (theo thöù töï ñoù). Ta coøn duøng kyù hieäu: ∆(z0,z1,z2)=[z0,z1]+[z1,z2]+[z2,z0]. Kyù hieäu toång hieåu laø noái caùc ñoaïn thaúng nhö ví duï a) (haõy vieát bieåu thöùc töôøng minh). ÔÛ ñaây tam giaùc ñöôïc ñònh höôùng töø z0 ñeán z1, z1 ñeán z2, roài z2 ñeán z0. Töông töï, ta ñònh nghóa ñöôøng gaáp khuùc qua caùc ñieåm z0,z1, ···zn nh laø hôïp L(z0, ··· ,zn)=[z0,z1]+[z1,z2]+···+[zn−1,zn]. Xy HYH XXX H @ XX - @ XX 6 : XX @R XX ¡ XXX= ¡ ¡ ¡¡ -s zn s- z0 z1 Chuù yù: a) Theo ñònh nghóa ñöôøng cong laø aùnh xaï (pheùp tham soá hoùa) chöù khoâng phaûi laø taäp con cuûa C. Ta duøng kyù hieäu γ∗, hay chính γ khi noäi dung ñaõ roõ, ñeå chæ taäp aûnh γ([a, b]) cuûa ñöôøng cong γ(t),t ∈ [a, b]. Roõ raøng laø coù nhieàu pheùp tham soá hoùa cho cuøng moät taäp trong C (haõy tìm ví duï). b) Khaùi nieäm ñöôøng cong coù theå môû roäng nhö sau: cho caùc ñöôøng cong γ1 :[a, b] → C vaø γ2 :[c, d] → C. Ta noùi γ1 vaø γ2 laø töông ñöông neáuu toàn taïi song aùnh lieân tuïc ∗ ∗ τ :[a, b] → [c, d], γ1 = γ2 ◦ τ. Khi ñoù γ1 = γ2 . Hôn nöõa, neáu τ(a)=c, τ(b)=d, thì γ1 vaø γ2 xaùc ñònh cuøng moät höôùng. neáu τ(a)=d, τ(b)=c, thì γ1 vaø γ2 ngöôïc höôùng nhau. c) Veà maët tröïc quan, ñoâi khi trong giaùo trình ta noùi ñeán ñöôøng cong nhö laø taäp con cuûa C. Khi ñoù ta hieåu ñoù laø moät tham soá hoùa cuï theå hay moät lôùp tham soá hoùa töông ñöông cuûa cuøng taäp ñoù. Chaúng haïn, khi noùi ñeán ñöôøng troøn, tam giaùc hay ñöôøng gaáp khuùc ta hieåu ñoù laø caùc tham soá hoùa cho ôû ví duï treân. Ñoä daøi ñöôøng cong. Cho γ :[a, b] → C. Goïi P laø moät pheùp phaân hoaïch [a, b]: a = t0 <t1 < ··· <tn = b. Khi ñoù ñoä daøi ñöôøng gaáp khuùc noái caùc ñieåm γ(t0),γ(t1), ··· ,γ(tn): n L(γ,P)= |γ(tk) − γ(tk−1)| k=1 Ñoä daøi ñöôøng cong γ, ñònh nghóa L(γ)=supL(γ,P), (sup laáy theo moïi phaân hoaïch P ). P Neáu L(γ) < ∞, thì γ goïi laø ñöôøng cong khaû tröôøng. Keát quûa sau ñöôïc chöùng minh ôû giaùo trình giaûi tích thöïc: Meänh ñeà. Neáu γ(t)=x(t)+y(t),t ∈ [a, b], laø ñöôøng cong trôn töøng khuùc, thì γ
III.2 Tích phaân ñöôøng 37 khaû tröôøng vaø b b L(γ)= |γ| = x(t)2 + y(t)2dt a a 2.2 Tích phaân ñöôøng. Cho f : D → C vaø γ :[a, b] → D. Tích phaân f doïc theo ñöôøng cong γ ñöôïc ñònh nghóa thoâng qua giôùi haïn cuûa toång f(γ(ξi))(γ(ti+1) − γ(ti)) i khi ñoä beù cuûa phaân hoaïch a = t0 <t1 < ··· <tn = b, tieán veà 0. Giôiù haïn treân toàn taïi khoâng phuï thuoäc pheùp phaân hoaïch vaø caùch choïn ξ =(ξi), khi f lieân tuïc vaø γ trôn töøng khuùc. ÔÛ phaàn naøy ta neâu ñònh nghóa tính toaùn döïa treân caùch xaây döïng tích phaân vöøa neâu, maø khoâng ñi vaøo chi tieát veà söï toàn taïi. Vôùi f(t)=P (t)+iQ(t),t∈ [a, b], laø haøm lieân tuïc cuûa 1 bieán thöïc, ta ñònh nghóa b b b f = P (t)dt + i Q(t)dt . a a a Cho γ :[a, b] −→ C, γ(t)=z(t)=x(t)+iy(t), laø ñöôøng cong trôn. Giaû söû f = u + iv laø haøm lieân tuïc treân γ∗. Khi ñoù f(z(t))z(t)=(u(x(t),y(t)) + iv(x(t),y(t)))(x(t)+ iy(t)) = P (t)+iQ(t),t∈ [a, b], laø haøm lieân tuïc cuûa 1 bieán thöïc. Tích phaân haøm f doïc theo ñöôøng cong γ laø soá b f(z)dz = f(z(t))z(t)dt . γ a Cho γ laø ñöôøng cong trôn töøng khuùc, hay toång quaùt hôn γ laø hôïp höõu haïn ñöôøng cong ∗ ∗ ∗ trôn γ1, ··· ,γn. Neáu f laø haøm lieân tuïc treân γ = γ1 ∪···∪γn, thì tích phaân cuûa f treân γ ñöôïc kyù hieäu vaø ñònh nghóa laø f(z)dz = f(z)dz + ···+ f(z)dz . γ γ1 γn Tích phaân treân ñöôøng cong kín ñöôøng coøn ñöôïc kyù hieäu f. γ Nhaän xeùt. Cho γ1(t),t ∈ [a, b], vaø γ2(τ),τ ∈ [c, d], laø 2 ñöôøng cong trôn. Giaû söû τ :[a, b] → [c, d] khaû vi lieân tuïc sao cho γ1 = γ2 ◦ τ, thì theo coâng thöùc ñoåi bieán ta coù τ(d) b f(γ2(τ))γ2(τ)dτ = f(γ1(t))γ1(t)dt. τ(c) a Nhö vaäy tích phaân treân 2 ñöôøng cong töông ñöông cuøng höôùng laø baèng nhau, tích phaân treân 2 ñöôøng töông ñöông ngöôïc höôùng laø ñoái nhau. 2.3 Tính chaát. Cho γ laø ñöôøng cong trôn töøng khuùc vaø f,g laø caùc haøm phöùc lieân tuïc treân γ∗. Khi ñoù
III.2 Tích phaân ñöôøng 38 Tính tuyeán tính: (αf + βg)= α f + β g (α, β ∈ C). γ γ γ Tính phuï thuoäc höôùng: f = − f. γ− γ Tính lieân tuïc: | f|≤max |f|L(γ). γ γ∗ Chöùng minh: Tính tuyeán tính laø roõ raøng. Tính phuï thuoäc höôùng suy töø coâng thöùc ñoåi bieán nh phaàn nhaän xeùt ôû 2.2. Ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc cuoái, ñaët I = f = |I|eiθ. Suy ra γ b |I| =Re( e−iθf)=Re e−iθf(z(t))z(t)dt γ a b b ≤ |f(z(t))||z(t)|dt ≤ max |f| |z(t)|dt =max|f|L(γ). a γ∗ a γ∗ Ví duï. Treân ñöôøng troøn taâm a baùn kính r vôùi tham soá cho ôû ví duï 2.2.b, vaø n ∈ Z,ta coù: 2π 2π (z − a)ndz = enitieitdt = i (cos(n +1)t + i sin(n +1)t)dt |z−a|=r 0 0 2πi neu n = −1 = 0neun = −1 Heä quûa. Cho γ laø ñöôøng cong trôn. Neáu daõy haøm lieân tuïc (fn) hoäi tuï ñeàu veà f treân ∗ ∗ γ , thì f lieân tuïc treân γ vaø lim fn = f, n→∞ γ γ i.e. coù theå chuyeån daáu giôùi haïn qua daáu tích phaân. Chöùng minh: Töø tính hoäi tuï ñeàu suy ra tính lieân tuïc cuûa f treân γ ∗. Theo Tính chaát (3) ta coù | fn − f|≤max |fn − f|L(γ) γ γ γ∗ Theo giaû thieát lim max |fn − f| =0vaø L(γ) < ∞, suy ra giôùi haïn treân. n→∞ γ∗ 2.4 Nguyeân haøm. Haøm F goïi laø nguyeân haøm cuûa haøm f treân mieàn D neáu F (z)=f(z),z ∈ D. Vaäy neáu F vaø G laø 2 nguyeân haøm cuûa f treân mieàn D, thì töø tính lieân thoâng suy ra G = F + const . Hôn nöõa, cuõng nhö haøm soá thöïc ta coù:
III.2 Tích phaân ñöôøng 39 Coâng thöùc Newton-Leibniz. Neáu f lieân tuïc vaø coù nguyeân haøm F treân mieàn D, thì vôùi moïi ñöôøng cong γ trong D noái z0,z1,tacoù f = F (z1) − F (z0). γ Chöùng minh: Suy töø coâng thöùc Newton-Leibniz (ñònh lyù cô baûn cuûa giaûi tích) tröôøng hôïp thöïc: b b f = f(γ(t))γ(t)dt = F (γ(t))γ(t)dt γ a a b = (F ◦ γ)(t)dt = F (γ(b)) − F (γ(a)). a Nhaän xeùt. Nhö vaäy, neáu f coù nguyeân haøm treân mieàn D, thì tích phaân f chæ phuï γ thuoäc caùc ñieåm muùt z0,z1, khoâng phuï thuoäc daïng ñöôøng cong. Tröôøng hôïp naøy ta coøn z1 duøng kyù hieäu f ñeå chæ tích phaân cuûa f treân ñöôøng cong coù ñieåm ñaàu z0, ñieåm z0 cuoái z1. Ñaëc bieät, ta coù Heä quûa. Neáu f coù nguyeân haøm treân mieàn D, thì vôùi moïi ñöôøng cong kín γ trong D ta coù f =0. γ Ñònh lyù sau khaúng ñònh chieàu ngöôïc laïi cuûa phaùt bieåu treân cuõng ñuùng. Ñònh lyù Morera. Giaû söû haøm f lieân tuïc treân mieàn D vaø f =0, vôùi moïi ñöôøng γ cong kín γ trong D. Khi ñoù f coù nguyeân haøm treân D. Chöùng minh: Tröôùc heát chuù yù laø neáu D laø moät mieàn, thì vôùi moïi caëp ñieåm z0,z ∈ D toàn taïi ñöôøng gaáp khuùc L(z0,z)=[z0,z1]+···+[zn,z] trong D noái z0,z. Coá ñònh z0 ∈ D. Ñònh nghóa F (z)= f, z ∈ D. L(z0,z) Do giaû thieát, tích phaân veá phaûi chæ phuï thuoäc z maø khoâng phuï thuoäc ñöôøng cong noái z0 vôùi z, i.e. ñònh nghóa laø ñuùng ñaén. Vôùi z ∈ D vaø h ñuû beù, ta coù F (z + h) − F (z) 1 − f(z) = (f(ζ) − f(z))dζ ≤ sup |f(ζ) − f(z)| . h |h| [z,z+h] ζ∈[z,z+h] Töø tính lieân tuïc cuûa f, bieåu thöùc cuoái seõ tieán veà 0 khi h → 0. Vaäy F (z)=f(z), i.e. f coù nguyeân haøm treân D. Ví duï. a) Coù theå duøng caùc phöông phaùp tìm nguyeân haøm nhö tröôøng hôïp thöïc ñeå tính tích phaân. Chaúng haïn, duøng nguyeân haøm tröïc tieáp z1 z1 n 1 n+1 n+1 cos zdz =sinz1 − sin z0, z dz = (z1 − z0 ), (n = −1) z0 z0 n +1
III.3 Ñònh lyù Cauchy 40 hay tích phaân töøng phaàn a a z z a z a a ze dz = ze |0 − e dz = ae − e +1. 0 0 ∞ k b) Neáu f(z)= ak(z − z0) , treân ñóa D = {|z − z0| <R}, thì vôùi z ∈ D ta coù k=0 z ∞ a f = k (z − z )k+1. k +1 0 z0 k=0 1 c) Haøm f(z)= laø khoâng coù nguyeân haøm treân C \{0}, vì tích phaân treân ñöôøng cong z 1 kín dz =2πi =0. Tuy nhieân, f laïi coù nguyeân haøm treân mieàn D = C \{z = |z|=1 z te−iπ,t≥ 0}, chaúng haïn nhaùnh chính cuûa haøm log. Vaäy tính chaát hình hoïc cuûa mieàn coù vai troø quan troïng trong baøi toaùn toàn taïi nguyeân haøm. 3. ÑÒNH LYÙ CAUCHY Tröôùc heát ta chaáp nhaän ñònh lyù deã thaáy, khoù chöùng minh sau Ñònh lyù Jordan. Moïi ñöôøng cong kín γ chia C thaønh ñuùng hai mieàn, i.e. C \ γ∗ ∗ laø hôïp cuûa hai mieàn Dγ vaø Dγ coù cuøng bieân γ , mieàn Dγ giôùi noäi goïi laø mieàn trong coøn Dγ khoâng giôùi noäi goïi laø mieàn ngoaøi. Dγ Dγ mieàn trong mieàn ngoaøi γ Mieàn D ⊂ C goïi laø mieàn ñôn lieân neáuu vôùi moïi ñöôøng cong kín γ trong D mieàn trong Dγ giôùi haïn bôûi γ chöùa trong D. Mieàn khoâng ñôn lieân goïi laø mieàn ña lieân. Moät caùch tröïc quan mieàn ñôn lieân khoâng coù “loã thuûng”. Caùc ví duï sau minh hoïa cho khaùi nieäm naøy. Ví duï. Caùc mieàn loài hay mieàn hình sao laø ñôn lieân. Chaúng haïn: maët phaúng C, ñóa môû D(z0,r)={z ∈ C : |z − z0| <r}, hình tam giaùc, hình chöõ nhaät, ···. Ñóa thuûng D(z0,r) \{z0}, vaønh A = {z ∈ C : r<|z − z0| <R} (0 <r<R), laø caùc mieàn ña lieân. Ñònh lyù sau ñöôïc xem laø quan troïng nhaát cuûa lyù thuyeát haøm phöùc: 3.1 Ñònh lyù Cauchy cho mieàn ñôn lieân. Giaû söû f ∈ H(D),Dlaø mieàn ñôn lieân. Khi ñoù f(z)dz =0, vôùi moïi ñöôøng cong kín γ trong D. γ
III.3 Ñònh lyù Cauchy 41 Chöùng minh: Sau ñaây laø chöùng minh cuûa Goursat. Chia ra 3 böôùc. Böôùc 1: γ laø bieân tam giaùc ∆ ⊂ D. Ñaët I(∆) = f(z)dz. ∂∆ Chia ∆ baèng caùc ñöôøng trung bình, vôùi ñònh höôùng nhö hình veõ, ta coù 4 tam giaùc con ∆1, ∆2, ∆3, ∆4 ⊂ D. Do tính phuï thuoäc höôùng I(∆) = I(∆1)+I(∆2)+I(∆3)+I(∆4). 1 Vaäy toàn taïi ∆ =∆k sao cho |I(∆k)|≥ |I(∆)|. 1 4 ¡QQ Q ¡¡ QkQQ ¡¡ 1 QQ ∆ Q ¡ - Q ¡Q Q QQ ¡ Q ¡ Q 3 ¡ ¡ Q ¡¡ QkQ QQQs ∆ ¡¡ QkQQ ¡ 2 Q Q ¡ ¡ 4 QQ ¡ ∆ Q ¡ ∆ Q ¡ - Q¡ - Q Tieáp tuïc chia ∆1, , ta coù moät daõy caùc tam giaùc {∆n}n∈N, thoûa: • ∆ ⊃ ∆1 ⊃···⊃∆n ⊃··· . 1 •|I(∆ )|≥ |I(∆)|. n 4n 1 •|∂∆ | = |∂∆|. n 2n Theo ñònh lyù Cantor I.3.5, toàn taïi duy nhaát z0 ∈ ∆n, ∀n. Töø tính khaû vi taïi z0 ta coù: f(z) − f(z0) ∀>0, ∃δ>0: |z − z0| n0 ⇒ ∆n ⊂{z ∈ C : |z − z0| n0,z ∈ ∂∆n, thì |∂∆| |f(z) − f(z ) − f (z )(z − z )| <|z − z | <|∂∆ | < . (c) 0 0 0 0 n 2n Maët khaùc, do dz = zdz =0, ta coù ∂∆ ∂∆ (f(z) − f(z0) − f (z0)(z − z0))dz = f(z)dz = I(∆n). (d) ∂∆n ∂∆n Töø (a)(b)(c)(d) suy ra |I(∆)| |∂∆| |∂∆|2 ≤|I(∆ )|≤ |∂∆ | = . 4n n 2n n 4n Suy ra I(∆) = 0. Böôùc 2: γ laø bieân cuûa ña giaùc. Phaân hoaïch ña giaùc ñoù thaønh höõu haïn tam giaùc (coù
III.3 Ñònh lyù Cauchy 42 theå coù chung caïnh): ∆1, ··· , ∆s. Khi ñoù bieân ñònh höôùng cho bôûi: Γ=∂∆1 + ···+ ∂∆s. (chuù yù laø caïnh 2 tam giaùc keà nhau laø ñoái höôùng). Töø ñoù suy ra keát quaû. Böôùc 3: γ trôn töøng khuùc. Do tính lieân tuïc ñeàu cuûa f treân mieàn ñoùng giôùi haïn bôûi γ, khi z1,z2 trong mieàn ñoù, ta coù ∀>0, ∃δ>0: |z1 − z2| <δ⇒|f(z1) − f(z2)| <. Phaân hoaïch γ bôûi caùc ñieåm z0,z1, ··· ,zn sao cho: caùc cung con γk noái zk,zk+1 coù ñoä daøi |γk| <δ <δ, vaø ñöôøng gaáp khuùc Γ noái caùc ñieåm chia ñoù chöùa trong D. Γ γ Khi ñoù f − f(z )(z − z ) = (f − f(z )) <L(γ) , k k+1 k k γ k k γk vaø f − f(zk)(zk+1 − zk) = (f − f(zk)) <L(Γ) <L(γ). Γ [z ,z ] k k k k+1 Suy ra f − f < 2L(γ). Vaäy γ f = Γ f =0. γ Γ Töø ñònh lyù treân vaø ñònh lyù Morera, ta coù Heä quûa. Giaû söû D laø mieàn ñôn lieân. Khi ñoù neáu f chænh hình treân D, thì f coù nguyeân haøm treân D. Ñaëc bieät, moïi haøm chænh hình treân moät taäp môû ñeàu coù nguyeân haøm taïi laân caän moãi ñieåm. Chuù yù: Ñònh lyù treân khoâng ñuùng cho mieàn ña lieân. Chaúng haïn, haøm f(z)=1/z dz chænh hình treân C∗ = C \{0}, nhöng =2πi =0. |z|=1 z Ví duï treân cuõng khaúng ñònh khoâng toàn taïi nhaùnh giaûi tích cuûa haøm log treân C∗, vì neáu toàn taïi thì noù laø nguyeân haøm cuûa f(z)=1/z treân C∗ neân tích phaân treân phaûi baèng 0. Tuy nhieân, neáu D laø mieàn ñôn lieân khoâng chöùa 0 (chaúng haïn maët phaúng caét nöûa ñöôøng dz thaúng thöïc D = C \{z = teiϕ,t ≥ 0}), thì f coù nguyeân haøm F (z)= , vôùi L(z0,z) z L(z0,z) laø ñöôøng cong trong D noái z0,z ∈ D (khi ñoù tích phaân khoâng phuï thuoäc daïng ñöôøng cong maø chæ phuï thuoäc 2 ñaàu muùt). F chính laø moät nhaùnh giaûi tích cuûa haøm log treân D thoûa lnz0 =0. Töông töï ñoái vôùi mieàn toàn taïi nhaùnh giaûi tích cuûa haøm zα = eα Ln z.
III.3 Ñònh lyù Cauchy 43 Coù theå toång quaùt ñònh lyù treân cho moät lôùp caùc mieàn ña lieân coù daïng sau. Ta hieåu mieàn coù bieân ñònh höôùng laø mieàn D coù bieân ∂D laø höõu haïn caùc ñöôøng cong kín trôn töøng khuùc rôøi nhau γ0,γ1, ··· ,γn, ñöôøng cong γ0 goïi laø bieân ngoaøi coøn γ1, ··· ,γn laø caùc bieân trong, thoûa ñieàu caùc kieän: (1) D chöùa trong mieàn giôùi haïn bôûi γ0 vaø chöùa trong mieàn ngoaøi cuûa γ1, ··· ,γn. (2) Vôùi i, j ∈{1, ··· ,n}, vaø i = j, γi thuoäc mieàn ngoaøi cuûa γj. Moät caùch tröïc quan, ∂D ñöôïc ñònh höôùng thuaän nhö sau: neáu “ñi doïc theo höôùng” cuûa moãi ñöôøng cong ñoù, thì mieàn D ôû phía “traùi”. Noùi moät caùch khaùc, bieân ngoaøi ñònh höôùng “ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà”, caùc bieân trong ñònh höôùng “thuaän chieàu kim ñoàng hoà”. Chuù yù: ÔÛû ñaây khoâng neâu ñònh nghóa chaët cheõ khaùi nieäm: höôùng, ñònh höôùng, ? ¡¡AA 6 ¡ AUA - z 1 3.2 Ñònh lyù Cauchy cho mieàn coù bieân ñònh höôùng. Cho f laø haøm chænh hình treân mieàn chöùa bao ñoùng cuûa mieàn coù bieân ñònh höôùng D. Khi ñoù f(z)dz =0, trong ñoù ∂D ñònh höôùng thuaän . ∂D Chöùng minh: Ñeå chöùng minh chæ caàn boå sung vaøo ∂D caùc caëp ñöôøng noái caùc ñöôøng bieân trong vôùi bieân ngoaøi, coù höôùng ngöôïc nhau (e.g. haõy boå sung vaøo hình treân). Khi ñoù tích phaân treân ∂D ñöôïc bieåu dieãn thaønh tích phaân treân ñöôøng cong kín trong mieàn ñôn lieân. Ñònh lyù suy töø ñònh lyù 3.1 . dz Ví duï. Tính I(γ)= , vôùi γ laø ñöôøng cong kín, ñònh höôùng thuaän, khoâng γ z − a qua a. Tröôøng hôïp 1: γ khoâng bao quanh a, i.e. mieàn Dγ giôùi haïn bôûi γ khoâng chöùa a. Khi 1 ñoù laø chænh hình treân D , neân I(γ)=0. z − a γ Tröôøng hôïp 2: γ bao quanh a. Goïi U laø ñóa taâm a baùn kính r ñuû beù sao cho U ⊂ Dγ. − AÙp duïng ñònh lyù 3.2 cho mieàn D := Dγ \ U, ta coù ∂D = γ + ∂U . Töø I(∂D)=0, suy ra dz I(γ)=I(∂U)= =2πi. ∂U z − a Ñeå yù laø tích phaân treân khoâng phuï thuoäc daïng ñöôøng cong kín, maø chæ phuï thuoäc vò trí cuûa ñöôøng cong ñoái vôùi ñieåm “kyø dò” cuûa haøm döôùi daáu tích phaân.
III.3 Ñònh lyù Cauchy 44 Y sa - γ - bao quanh a khoâng bao quanh a 3.3 Coâng thöùc tích phaân Cauchy. Cho f laø haøm chænh hình treân mieàn chöùa bao ñoùng cuûa mieàn coù bieân ñònh höôùng D. Khi ñoù 1 f(ζ) f(z) neáu z ∈ D dζ = (∂D ñònh höôùng thuaän ) 2πi ∂D ζ − z 0 neáu z ∈ D Chöùng minh: Cho z0 ∈ D. Goïi U = {|z − z0| 0, toàn taïi δ>0 sao cho |z − z0| <δ⇒|f(z) − f(z0)| <. it it Vaäy khi r<δ, |z0 + re − z0| = r<δ. Suy ra |f(z0 + re ) − f(z0)| <. Vaäy 2πi it | (f(z0 + re ) − f(z0))dt| <2π 0 Töø ñoù deã daøng suy ra ñaúng thöùc caàn chöùng minh. Nhaän xeùt. Qua ñònh lyù treân ta thaáy giaù trò cuûa moät haøm chænh hình trong moät mieàn hoaøn toaøn ñöôïc xaùc ñònh bôûi giaù trò cuûa noù treân bieân mieàn ñoù. Chaúng haïn, neáu ∂D = {|z − z0| = r}, thì 2π 1 it f(z0)= f(z0 + re )dt. 2π 0 Ví duï. ezdz a) Xeùt I(γ)= . Ta tính I(γ) trong 3 tröôøng hôïp sau: γ z(z − 3) Tröôøng hôïp 1: γ := γ1 laø ñöôøng troøn taâm 3 baùn kính 3/4. ez e3 Luùc naøy γ chæ bao quanh 3, neân I(γ )= | = . 1 1 z z=3 3 Tröôøng hôïp 2: γ := γ2 laø ñöôøng troøn taâm 0 baùn kính 1/4. ez 1 Vì γ chæ bao quanh 0, neân I(γ )= | = − . 2 2 z − 3 z=0 3
III.3 Ñònh lyù Cauchy 45 Tröôøng hôïp 3: γ := γ3 laø ñöôøng troøn taâm 1/2 baùn kính 5. 1 Vì γ bao quanh caû 2 ñieåm 0 vaø 3, neân I(γ )=I(γ )+I(γ )= (e3 − 1). 3 3 1 2 3 Baèng laäp luaän nh trong ví duï ôû 3.2, deã daøng suy ra giaù trò I(γ), vôùi moïi ñöôøng cong kín γ khoâng ñi qua 0, 3. b) Cho D = {|z| 0}. Khi ñoù 1 eizdz eiz e−1 = | = . 2 z=i 2πi ∂D z +1 z + i 2i 3.4 Khai trieån Taylor. Neáu f laø haøm chænh hình treân taäp môû D, thì f giaûi tích treân D. Cuï theå, vôùi moïi z0 ∈ D, toàn taïi chuoãi luõy thöøa S(Z) ∈ C[[Z]] coù baùn kính hoäi tuï R ≥ d(z0,∂D), sao cho ta coù khai trieån Taylor cuûa f taïi z0 ∞ k f(z)=S(z − z0)= ak(z − z0) , |z − z0| <d(z0,∂D) , k=0 f (k)(z ) trong ñoù a = 0 ,k=0, 1, 2, ··· k k! Chöùng minh: Goïi 0 <r<R. Khi ñoù U = {z ∈ D : |z − z0| <r}⊂D. Theo coâng thöùc tích phaân Cauchy, vôùi z ∈ U, ta coù 1 f(ζ)dζ f(z)= 2πi ζ − z ∂U 1 1 1 = f(ζ) z − z dζ 2πi ∂U (ζ − z0) (1 − 0 ) ζ − z 0 1 ∞ (z − z )k = f(ζ) 0 dζ k+1 2πi ∂U (ζ − z0) k=0 ∞ 1 f(ζ)dζ = (z − z )k , 2πi (ζ − z )k+1 0 k=0 ∂U 0 trong ñoù ñaúng thöùc cuoái suy ra töø tính hoäi tuï ñeàu cuûa chuoãi treân. Coâng thöùc cho ak suy töø tính duy nhaát cuûa chuoãi luõy thöøa (nhaän xeùt II.3.4). Nhaän xeùt. Döïa vaøo Ñònh lyù treân, coù theå duøng phöông phaùp hình hoïc ñeå tìm baùn kính hoäi tuï cuûa moät chuoãi luõy thöøa bieåu dieãn moät haøm f. Chaúng haïn, ta coù khai trieån Taylor taïi 0: 1 1 ∞ zk = − = − (a =0). z − a a(1 − z/a) ak+1 k=0 Vì haøm 1/(z − a) khoâng chænh hình taïi z = a, neân chuoãi veá phaûi coù baùn kính hoäi tuï R = d(0,a)=|a|. Neáu f chænh hình treân toaøn boä C, thì f coù bieåu dieãn thaønh chuoãi Taylor treân C, i.e. baùn kính hoäi tuï cuûa chuoãi laø ∞. Moät haøm nhö vaäy goïi laø haøm nguyeân. Chaúng haïn, ez, sin z,cos z, laø caùc haøm nguyeân.
III.4 Caùc tính chaát cô baûn cuûa haøm chænh hình. 46 (k) Ví duï. Do tính duy nhaát, khoâng nhaát thieát phaûi tính f (z0) maø coù theå tính heä soá cuûa khai trieån Taylor baèng nhieàu caùch. 1 1 a) ez cos z = ez · (eiz + e−iz)= (e(1+i)z + e(1−i)z) 2 2 1 ∞ (1 + i)k +(1− i)k = zk z ∈ C. 2 k! k=0 z b) Ñeå khai trieån Taylor haøm taïi z =1, ta thöïc hieän caùc bieán ñoåi z +2 0 z 2 2 1 2 ∞ (−1)k =1− =1− =1− (z − 1)k, |z − 1| < 3. z − 2 z +2 3 1+(z − 1)/3 3 3k k=0 1 c) Töø =1− z2 + z4 − z6 + ···, tích phaân treân [0,z] ta coù khai trieån Taylor cuûa 1+z2 nhaùnh chính haøm arctang: z3 z5 z7 arctgz = z − + − + ··· |z| < 1. 3 5 7 Töø chöùng minh ñònh lyù treân ta coù: 3.5 Coâng thöùc Cauchy cho ñaïo haøm caáp cao. Cho f ∈ H(D). Khi ñoù f coù ñaïo haøm moïi caáp f (n)(z), ∀n ∈ N, ∀z ∈ D, vaø n! f(ζ)dζ f (n)(z)= , n+1 2πi γ (ζ − z) trong ñoù γ laø ñöôøng cong kín bao quanh mieàn trong D chöùa z, ñònh höôùng thuaän. cos zdz Ví duï. Cho I(γ)= , trong ñoù γ laø ñöôøng cong kín, ñònh höôùng thuaän, 3 γ (z − i) khoâng qua i. Nh ví duï ôû 3.2 vaø coâng thöùc treân ta coù  2πi  (cos z)| neáu γ bao quanh i I(γ)= 2! z=i  0 neáu γ khoâng bao quanh i Nhaän xeùt. Nhö vaäy nhôø lyù thuyeát tích phaân Cauchy ta ñaõ thoáng nhaát khaùi nieäm haøm giaûi tích (cuûa Weierstrass) vôùi khaùi nieäm haøm chænh hình (cuûa Cauchy vaø Riemann), i.e. A(D)=H(D). Cuï theå, ta coù: Ñònh lyù. 3 ñieàu sau laø töông ñöông: (W) Haøm f coù theå khai trieån thaønh chuoãi luõy thöøa trong laân caän z0. (R) Haøm f khaû vi treân moät laân caän cuûa z0. (C) Haøm f lieân tuïc trong moät laân caän cuûa z0, vaø f =0, vôùi moïi ñöôøng cong kín γ γ trong laân caän ñoù.
III.4 Caùc tính chaát cô baûn cuûa haøm chænh hình. 47 4. CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN CUÛA HAØM CHÆNH HÌNH 4.1 Baát ñaúng thöùc Cauchy. Giaû söû f chænh hình treân mieàn chöùa ñóa ñoùng {z : |z − z0|≤r}. Khi ñoù k!M(r) |f (k)(z )|≤ , trong ñoù M(r)= max |f(z)|. 0 k r |z−z0|=r Chöùng minh: Suy töø bieåu dieãn tích phaân cuûa ñaïo haøm caáp cao 3.5 vaø baát ñaúng thöùc tích phaân. AÙp duïng baát ñaúng thöùc treân vôùi k =1roài cho r → +∞ ta coù Ñònh lyù Louville. Neáu f ∈ H(C) vaø f giôùi noäi, thì f laø haøm haèng. Döïa vaøo ñònh lyù Louville ta coù moät chöùng minh ngaén goïn cho ñònh lyù sau. Ñònh lyù cô baûn cuûa ñaïi soá. Moïi ña thöùc baäc n>0 treân tröôøng soá phöùc ñeàu coù nghieäm. Do ñoù coù ñuùng n nghieäm (keå caû boäi). 1 Chöùng minh: Cho P (Z) laø ña thöùc baäc n>0. Neáu P voâ nghieäm, thì chænh P hình treân C vaø giôùi noäi vì lim P (z)=∞. Vaäy P = const , i.e. baäc cuûa P laø 0, voâ z→∞ lyù. Khaúng ñònh cuoái suy töø pheùp chia ña thöùc. 4.2 Ñònh lyù giaù trò trung bình. Neáu f chænh hình treân mieàn chöùa ñóa ñoùng {z : |z − z0|≤r}, thì 2π 1 it f(z0)= f(z0 + re )dt. 2π 0 Ñeå yù laø bieåu thöùc veá phaûi chính laø giaù trò trung bình cuûa f treân ñöôøng troøn |z −z0| = r. Chöùng minh: xem nhaän xeùt ôû 3.3 . Töø ñònh lyù treân suy ra: Nguyeân lyù maxima. Neáu f chænh hình treân mieàn D vaø f = const , thì modul |f| khoâng theå ñaït cöïc ñaïi taïi z0 ∈ D. Chöùng minh: Giaû söû |f(z0)| laø cöïc ñaïi ñòa phöông. Vôùi moïi r>0 ñuû beù, theo ñònh lyù treân ta coù 2π 2π 2π 1 it 1 it 1 it (|f(z0)|−|f(z0+re )|)dt = f(z0 + re )dt− |f(z0+re )|dt ≤ 0. 2π 0 2π 0 2π 0 it Do |f(z0)|−|f(z0 + re )|≥0, neân noù phaûi baèng 0, vôùi moïi t ∈ [0, 2π] vaø moïi r>0 ñuû beù, i.e. |f| laø haèng ôû laân caän z0.
III.4 Caùc tính chaát cô baûn cuûa haøm chænh hình. 48 Taäp {z ∈ D : |f(z)| laø cöïc ñaïi ñòa phöông } khaùc troáng vaø theo chöùng minh treân noù vöøa ñoùng vöøa môû trong D. Do tính lieân thoâng taäp ñoù phaûi truøng vôùi D, i.e. |f| = const . Suy ra f = const (xem ví duï 1.2.b). Heä quûa. Neáu f chænh hình treân mieàn giôùi noäi D, lieân tuïc treân D. Khi ñoù |f| ñaït giaù trò lôùn nhaát ôû treân bieân: max |f| =max|f|. Hôn nöõa, neáu toàn taïi z0 ∈ D sao cho D ∂D |f(z0)| =max|f|, thì f ≡ const . D Chuù yù: Ñieàu kieän D giôùi noäi laø caàn thieát ñeå toàn taïi max |f|. Khi mieàn khoâng giôùi noäi, D chaúng haïn vôùi D = {z :Rez>0}, haøm ez laø chænh hình treân ñoù vaø coù modul khoâng giôùi noäi. Tuy nhieân max |ez| =1. ∂D Sau ñaây laø moät aùp duïng cuûa nguyeân lyù treân. Boå ñeà Schwarz. Giaû söû f chænh hình treân ñóa ñôn vò D = {|z| 0 sao cho f({|z − z0| 0ñuû beù |g(z) − g(z0)| < |g(z0)|, |z − z0| <. Suy ra toàn taïi nhaùnh ñôn trò k h(z) cuûa g(z) treân mieàn |z − z0| <. k Vaäy f(z) − w0 = h (z).Vìh (z0) =0, theo ñònh lyù aùnh xaï ngöôïc ñòa phöông suy ra ñieàu caàn chöùng minh. Töø chöùng minh treân, ta coù caùc heä quûa sau:
III.4 Caùc tính chaát cô baûn cuûa haøm chænh hình. 49 Meänh ñeà. Giaû söû f chænh hình taïi z0, f(z0)=w0 vaø z0 laø khoâng ñieåm caáp k cuûa f(z) − w0. Khi ñoù vôùi moïi >0 ñuû beù, toàn taïi δ>0, sao cho khi |w − w0| <δphöông trình f(z)=w , coù ñuùng k nghieäm trong mieàn |z − z0| <. Ñònh lyù haøm ngöôïc. Giaû söû f chænh hình taïi z0 vaø f (z0) =0. Khi ñoù f laø khaû −1 nghòch ñòa phöông vaø f laø chænh hình taïi f(z0). 4.5 Ñònh lyù Weierstrass veà hoäi tuï. Giaû söû daõy haøm fk ∈ H(D) hoäi tuï ñeàu veà (n) (n) haøm f treân moãi taäp compact K ⊂ D. Khi ñoù f ∈ H(D) vaø daõy fk hoäi tuï ñeàu veà f treân moãi compact K ⊂ D. Chöùng minh: Töø ñònh lyù Morera vaø tính hoäi tuï ñeàu ta coù f = lim fk = lim fk =0, γ γ k→∞ k→∞ γ trong ñoù γ laø ñöôøng cong kín trong D. Laïi theo ñònh lyù Morera f ∈ H(D). (n) (n) Theo coâng thöùc tích phaân Cauchy cho ñaïo haøm ta coù fk → f , ñeàu treân moãi ñóa ñoùng {|z − z0|≤r}⊂D. Söï hoäi tuï ñeàu treân vaãn ñuùng treân moãi compact K ⊂ D,vì coù theå phuû K bôûi höõu haïn ñóa trong D.
IV. Kyø dò - Thaëng dö 1. CHUOÃI LAURENT 1.1 Chuoãi Laurent. Xeùt chuoãi hình thöùc vôùi soá muõ aâm cuûa Z daïng a a a a Zk = −1 + −2 + −3 + ··· ,a∈ C. k Z Z2 Z3 k k rvaø hoäi tuï ñeàu treân mieàn |z|≥ρ>r. Chuoãi Laurent laø chuoãi daïng: +∞ k k k akZ = akZ + akZ . k=−∞ k r. Vaäy chuoãi Laurent treân hoäi tuï khi r<R. Khi +∞ k ñoù f(z)= akz , xaùc ñònh moät haøm chænh hình treân vaønh r<|z| <R. Ngöôïc k=−∞ laïi, ta coù: 1.2 Khai trieån Laurent. Neáu f laø haøm chænh hình treân vaønh r<|z − z0| <R, thì f coù theå bieåu dieãn duy nhaát döôùi daïng chuoãi Laurent taïi z0 +∞ k f(z)= ak(z − z0) ,r<|z − z0| <R, k=−∞ 1 f(z)dz trong ñoù heä soá a = , (r<ρ<R). k k+1 2πi |z−z0|=ρ (z − z0) Chöùng minh: Vôùi moãi z,r < |z − z0| <R, goïi r1,R1 sao cho r<r1 < |z − z0| < R1 <R. Theo coâng thöùc tích phaân Cauchy 1 f(ζ)dζ f(ζ)dζ f(z)= ( − ). 2πi |ζ−z0|=R1 ζ − z |ζ−z0|=r1 ζ − z Hôn nöõa, cuõng theo coâng thöùc tích phaân Cauchy, 2 tích phaân veá phaûi khoâng phuï thuoäc r1,R1, neân chuùng baèng tích phaân laáy doïc |ζ − z0| = ρ. Tích phaân ñaàu coù khai trieån Taylor (phaàn muõ khoâng aâm) nhö chöùng minh ñònh lyù III.3.4. Ñeå khai trieån tích phaân sau döôùi daïng chuoãi, ta coù (chuù yù vò trí cuûa ζ vôùi z) ∞ k 1 1 1 (ζ − z0) ζ − z0 = − = − , vì < 1. ζ − z z − z ζ − z0 (z − z )k+1 z − z 0 1 − k=0 0 0 z − z0
III.1. Chuoãi Laurent. 51 Töø tính hoäi tuï ñeàu coù theå laáy tích phaân qua daáu ta coù tích phaân thöù nhì laø ∞ f(ζ)(ζ − z )k ∞ 0 dζ = f(ζ)(ζ − z )kdζ (z − z )−k−1. (z − z )k+1 0 0 |ζ−z0|=R1 k=0 0 k=0 |ζ−z0|=R1 Töø ñoù suy ra khai trieån caàn tìm. Heä quaû. Moïi haøm f chænh hình treân vaønh r R): 1 1 1 ∞ (z − z )k f(z)= = − = − 0 . (z − z ) − (a − z ) a − z z − z0 (a − z )k+1 0 0 0 1 − k=0 0 a − z0 - Khai trieån phía ngoaøi ñóa |z − z0| >R (khi ñoù |a − z0| 1. 1 − z z 1 − 1/z zk+1 k=0 1 1 1 ∞ (−1)kzk = = , |z| < 2. z +2 2 (1 + z/2) 2k+1 k=0 1 ∞ (−1)kzk ∞ 1 Vaäy f(z)= − , 1 < |z| < 2. 3 2k+1 zk+1 k=0 k=0 - Khai trieån taïi 1 treân vaønh 1 < |z − 1| < 3: 1 1 1 1 ∞ (−1)k(z − 1)k = = = , |z − 1| < 3. z +2 3+(z − 1) 3 1+(z − 1)/3 3k+1 k=0
IV.2 Ñieåm kyø dò coâ laäp 52 ∞ (−1)k(z − 1)k 1 Vaäy f(z)= − , 1 < |z − 1| < 2. 3k+2 3(z − 1) k=0 z c) Khai trieån Laurent haøm f(z)=sin , taïi z =1. Phaân tích z − 1 0 z 1 1 1 sin =sin(1+ )=sin1cos +cos1sin . z − 1 z − 1 z − 1 z − 1 Töø khai trieån Taylor haøm sin vaø cos suy ra 1 ∞ (−1)k cos = ,z=1. z − 1 (2k)!(z − 1)2k k=0 1 ∞ (−1)k sin = ,z=1. z − 1 (2k +1)!(z − 1)2k+1 k=0 Töø ñoù suy ra khai trieån Laurent cuûa f(z),z=1. 2. ÑIEÅM KYØ DÒ COÂ LAÄP 2.1 Ñònh nghóa. a goïi laø ñieåm kyø dò coâ laäp cuûa haøm f neáuu f chænh hình treân moät laân caän thuûng 0 < |z − a| <Rcuûa a. Ñieåm kyø dò cuûa haøm f ñöôïc phaân loaïi: • Kyø dò khöû ñöôïc: neáu toàn taïi lim f(z) ∈ C. z→a • Cöïc ñieåm : neáu lim f(z)=∞. z→a • Kyø dò coát yeáu : neáu khoâng toàn taïi lim f(z) (trong C). z→a Baøi taäp: Chöùng minh caùc haøm sau coù kyø dò khöû ñöôïc, cöïc ñieåm vaø kyø dò coát yeáu taïi sin z 1 a =0töông öùng: , ,e1/z. z z 2.2 Phaân loaïi ñieåm kyø dò theo khai trieån Laurent. Giaû söû haøm f coù kyø dò coâ laäp taïi a vaø coù khai trieån Laurent k k f(z)=f1(z)+f2(z)= ak(z − a) + ak(z − a) , 0 < |z − a| <R, k≥0 k<0 Khi ñoù (1) a laø khöû ñöôïc khi vaø chæ khi phaàn chính f2 ≡ 0. (2) a laø cöïc ñieåm khi vaø chæ khi phaàn chính f2 =0vaø chæ coù höõu haïn soá haïng. (3) a laø coát yeáu khi vaø chæ khi phaàn chính f2 coù voâ soá soá haïng. Chöùng minh: (1) Neáu f coù kyø dò khöû ñöôïc taïi a, thì |f|≤M ôû laân caän a. Vôùi k<0, 1 f(z)dz |a | = ≤ Mρ−k → 0 khi ρ → 0. k k+1 2πi |z−a|=ρ (z − a) Vaäy ak =0neáu k<0, i.e. phaàn chính f2 ≡ 0. Ngöôïc laïi, neáu f2 ≡ 0, thì lim f(z)=a0. Vaäy a laø kyø dò khöû ñöôïc. z→a
IV.2 Ñieåm kyø dò coâ laäp 53 1 (2) f coù cöïc ñieåm taïi a khi vaø chæ khi coù kyø dò khöû ñöôïc taïi a. Theo (1), toàn taïi f 1 m ∈ N: =(z − a)mg(z), vôùi g chænh hình taïi a, g(a) =0. f(z) h(z) 1 Vieát caùch khaùc f(z)= , vôùi h = laø chænh hình taïi a, h(a) =0. (z − a)m g Nghóa laø khai trieån Laurent coù phaàn chính khaùc 0 vaø höõu haïn soá haïng: 1 f(z)= (a + a (z − a)+···+ a (z − a)m−1)+f (z). (z − a)m −m −m+1 −1 1 (3) laø tröôøng hôïp coøn laïi. Nhaän xeùt. Töø chöùng minh treân, ta coù ñaëc tröng cuûa caùc loaïi kyø dò: (1) a laø kyø dò khöû ñöôïc cuûa f khi vaø chæ khi f bò chaën taïi laân caän a. Hôn nöõa, vì khai trieån thaønh chuoãi Laurent chæ coù phaàn ñeàu f1, neân f coù theå thaùc trieån thaønh f1 laø haøm chænh hình taïi a. Chaúng haïn, ta coù khai trieån Laurent: sin z 1 z3 z5 z2 z4 = (z − + −···)=1− + −··· , 0 0, sao cho h(z) a a a f(z)= = −m + −m+1 + ···+ −1 + phaàn ñeàu, (z − a)m (z − a)m (z − a)m−1 (z − a) trong ñoù h(a)=a =0. Khi ñoù m goïi laø caáp cuûa cöïc ñieåm a. −m c Nhö vaäy taïi caùc cöïc ñieåm haøm coù tính chaát nhö phaân thöùc höõu tæ . Cuõng nhö (z − a)m taäp khoâng ñieåm cuûa moät haøm chænh hình, taäp caùc cöïc ñieåm cuûa moät haøm laø taäp rôøi raïc. (3) Taïi laân caän ñieåm kyø dò coát yeáu daùng ñieäu haøm raát xaáu. Tröôùc heát xeùt ví duï sau. Ta coù khai trieån Laurent taïi 0: 1 1 1 1 ez =1+ + + + ··· |z| > 0. z 2!z2 3!z3 1 Neân haøm e z coù kyø dò coát yeáu taïi 0. Hôn nöõa ta coù khaúng ñònh sau: 1 Vôùi moïi >0, f(z)=e z , coù theå nhaän moïi giaù trò w ∈ C \{0} vôùi 0 < |z| <. iθ 1 Thaät vaäy, vôùi w = ρe =0, phöông trình f(z)=e z = w, luoân coù nghieäm daïng zk =1/(ln ρ + i(θ +2kπ)),k∈ Z. Hôn nöõa lim |zk| =0. Vaäy khi k ñuû lôùn k→∞ f(zk)=w, |zk| <. Moät caùch toång quaùt, ta coù caùc ñònh lyù sau: Ñònh lyù (Cosorati-Weierstrass). Giaû söû a laø kyø dò coát yeáu cuûa f. Khi ñoù vôùi moïi