Giáo trình Matlab và ứng dụng trong cơ kỹ thuật

Nội dung text: Giáo trình Matlab và ứng dụng trong cơ kỹ thuật

1. ỘC ỗC ỗi nói đu 1 ớồộ I. ỘỌTỗỌọ C ọộ 3 Chưng . Ộ ĐU 3 . Gii thiu M‚ởỗ‚‛ 3 . Mt s kiến thc cơ bn 5 .. C{c phép to{n thẫng dụng 5 .. C{c lnh qun lý 5 .. C{c lnh nhp xut d liu 7 1.2.4 Help trong MATLAB 11 . Ởơ lc về M-file 12 . ởóm tắt chơng 14 . ‛|i tp chơng 16 Chưng . VỐCTỚờ Vủ ỘỌ Tờộ 25 . ỡector v| ma trn trong M‚ởỗ‚‛ 25 . ởhiết lp ma trn trong M‚ởỗ‚‛ 25 . C{c phép to{n cơ bn đi vi ma trn, vector 33 . Đi s tuyến tính 36 . ởóm tắt chơng 40 . ‛|i tp chơng 41 Chưng . TÍộồ TỚÁộ Ở VI ỘỌTỗỌọ 49 . Ở phc 49 . H|m vẫ danh 53 . Cực trị v| nghim ca h|m s mt biến s 54 . Đa thc mt biến s 57 . ởích ph}n v| đo h|m 59 Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
2. . ớhơng trình vi ph}n 61 . ởóm tắt chơng 63 3.8 ‛|i tp chơng 64 Chưng . ọ C4ộỒ C ỖÝ ồIU 69 . Gii thiu biến ký hiu 69 . ‛iến v| biểu thc 70 . Ma trn biến ký hiu 75 . ởích ph}n v| đo h|m đa thc biến ký hiu 77 . ớhơng trình vi ph}n v| h|m s biến ký hiu 79 . ởóm tắt chơng 80 . ‛|i tp chơng 81 Chưng . ỘộỒ ồộ ồớ Vủ ỏ ỗIU C2 CU TờÚC 88 . Mng hn hp 89 .. ởhiết lp mng hn hp 89 .. ởruy xut v| hiển thị thuc tính ca c{c phần t mng hn hp 90 .. ỗu chui ký tự trong mng hn hp 93 . ‛iến có cu trúc 94 .. ởhiết lp v| hiu chỉnh c{c biến cu trúc 94 .. ỡector biến cu trúc 97 .. Cu trúc lồng nhau v| vector biến cu trúc lồng nhau 103 . ởóm tắt chơng 105 . ‛|i tp chơng 106 Chưng . Đ Tồ TờỚộỒ ỘỌTỗỌọ 109 . Đồ thị trong khẫng gian hai chiều 109 .. C{c lnh cơ bn 109 .. C{c lnh tăng cng 115 . Đồ thị trong khẫng gian ba chiều 120 Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
3. .. Ở dụng plot 120 .. ởo li v| mặt phẳng chiều 124 . ởóm tắt chơng 127 . ‛|i tp chơng 128 Chưng . ỗớ TờÌộồ TờỚộỒ ỘỌTỗỌọ 138 . Gii thiu M-file 138 .. ỡăn bn 139 .. H|m do ngi dùng tự định nghĩa 140 . C{c lnh lựa chọn 146 .. C{c phép to{n quan h 146 7.2.2 IF 148 7.2.3 SWITCH 152 . ỡòng lặp 153 7.3.1 FOR 153 7.3.2 WHILE 155 . ởóm tắt chơng 7 157 . ‛|i tp chơng 158 ớồộ II. ỘỌTỗỌọ ộỒ ỏộỒ 163 Chưng . ớồỨộ TÍCồ ĐộỒ ồC C CU 163 . ợ{c định vị trí c{c kh}u, khp trong cơ cu 163 . Ỗho s{t chuyển đng v| to phim mẫ phng chuyển đng ca cơ cu . 167 .. Ỗho s{t chuyển đng 167 .. ởo clip mẫ phng chuyển đng 170 . ỡn tc v| gia tc 171 . ‛|i tp chơng 177 Chưng . ỗÝ TồUỤT ĐIU ỖồIộ T ĐộỒ 193 . ‛iến đi ỗaplace 193 Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
4. . ‛iến đi z 196 . ợ}y dựng c{c h tuyến tính – dừng 199 .. Mẫ hình h|m truyền 200 .. Mẫ hình điểm khẫng – điểm cực 203 .. Mẫ hình khẫng gian trng th{i 205 .. Chuyển đi gia c{c mẫ hình 207 .. Đặc tính thi gian tr trong h|m truyền 208 .. Ghép ni c{c mẫ hình 208 .. Gin đồ ‛ode, ộyquist, ộichols v| đ{p ng ca h 210 . ởóm tắt chơng 212 . ‛|i tp chơng 213 ỘT Ở ọ C4ộỒ C ộỒ ỏộỒ CồUỤÊộ ỞỨU TờỚộỒ ỘỌTỗỌọ 227 TủI ỗIU TồỌỘ ỖồỚ 233 ỏỌộồ ỘC ồủỘ 234 Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
5. Li nói đu MATLAB l| mt gói phần mềm mnh đang đc s dụng rng rãi cho nhiều mục đích ca nhiều đi tng kh{c nhau, đặc bit l| trong khoa học v| kỹ thut. M‚ởỗ‚‛ có thể s dụng theo hai c{ch kh{c nhau ởh nht l| s dụng c{c lnh lần lt đa v|o du nhắc v| thu dc kết qu thẫng dịch th hai l| viết c{c lnh th|nh mt file có thể l| file lnh - scrip file hoặc dng h|m – function file v| c{c lnh đc thực hin tự đng ngay sau khi gọi thực hin thẫng qua gọi tên file. M‚ởỗ‚‛ đc trang bị sẵn nhiều h|m để thực hin c{c nhim vụ kh{c nhau thuc nhiều lĩnh vực, từ đơn gin thực hin c{c phép tính to{n học đến c{c nhim vụ phc tp nh tìm nghim ca phơng trình vi ph}n, ti u hóa, x lý nhởhêm na, M‚ởỗ‚‛ còn đc trang bị c{c c}u lnh cu trúc dùng cho lp trình cho phép ngi dùng tự ph{t triển c{c chơng trình theo mục đích riêng cho nhng b|i to{n cụ thể gặp phi trong thực tế. Cun gi{o trình n|y đc biên son cho sinh viên khoa Cơ học Ỗỹ thut v| ởự đng hóa, trng Đi học Cẫng ngh, Đi học Quc gia H| ội nhằm giúp sinh viên l|m quen vi M‚ởỗ‚‛. s dụng M‚ởỗ‚‛ để gii c{c b|i to{n đơn gin v| tiến ti lp trình tính toán mô phỏng cho các bài toán cơ bản phức tạp hơn. Khi đã nắm đưc những kiến thức cơ bản về khả năng, phương thức làm vic của MATLAB và kỹ năng lập trình, sinh viên có thể xây dựng các chương trình phức tạp hơn trong MATLAB để giải quyết hiu quả các vn đề thực tế liên quan đến ngành, chuyên ngành đã học. Cuốn sách đưc dùng kết hp với các bài giảng và các buổi thực hành để trang bị những kiến thức cn thiết cho các nhà khoa học và kỹ sư tương lai để có thể phát triển và nâng cao khả năng tính toán, xử lý và phân tích những vn đề chuyên môn đa dạng với sự tr giúp của máy tính. ội dung gi{o trình gồm c{c chơng sau: Chơng M đầu, Chơng ỡector v| ma trn Chơng ởính to{n s vi M‚ởỗ‚‛ Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
6. Chơng ‛ cẫng cụ ký hiu Chơng Mng hn hp v| d liu có cu trúc Chơng 6: Đồ thị trong MATLAB Chơng 7: ỗp trình trong MATLAB Chơng ớh}n tích đng học cơ cu Chơng ỗý thuyết điều khiển tự đng Ỗết thúc mi chơng, sinh viên có thể tự ẫn tp v| cng c kiến thc đã học qua mục tng hp c{c lnh trong chơng v| b|i tp có li gii tơng ng. Đi vi nhng b|i tp khẫng có li gii chi tiết, sinh viên có thể trao đi vi ging viên trong c{c bui thực h|nh. ộgo|i ra để cung cp thẫng tin định hng cho sinh viên mun tìm hiểu thêm nhng cẫng cụ dùng cho nhng ng dụng chuyên s}u ởoolbox, mt s b cẫng cụ ph biến sẽ đc gii thiu tóm tắt trong phần phụ lục. Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
7. Chương 1. M ĐU 3 ớồộ I. MATLAB C ọộ Chưng . Ộ ĐU 1.1 Ồii thiu ỘỌTỗỌọ MATLAB (MATrix LABoratory l| phần mềm ca cẫng ty MathỢorks có trụ s chính ộatick, Massachusetts, Mỹ (www.mathworks.com), đc ng dụng rng rãi trong c{c lĩnh vực khoa học, kỹ thut, đặc bit l| điều khiển tự đng v| x lý tín hiu s. M‚ởỗ‚‛ đc ph{t triển bi Cleve Moler v|o cui nhng năm ca thế kỷ trc trên cơ s th vin nguồn ca ỗIộớ‚CỖ v| ỐIỞớ‚CỖ ốỚờởờ‚ộ. ộhng phiên bn đầu tiên ca M‚ởỗ‚‛ ch yếu phục vụ cho tính to{n x lý ma trn v| gii c{c phơng trình đi s tuyến tính. ộg|y nay, M‚ởỗ‚‛ còn đc biết đến nh l| mt cẫng cụ có kh năng x lý đồ họa mnh mẽ (Theo PC Magazine Encyclopedia). Ồiao din ỘỌTỗỌọ Hình 1. 1. Giao diện MATLAB Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
8. Chương 1. M ĐU 4 Ỗhi khi đng, M‚ởỗ‚‛ sẽ hin ra giao din mặc định nh trên, trong đó bao gồm c{c ca s Current ốolder ởh mục hin h|nh, cho phép truy xut ti c{c file cha trong nó. Command Ợindow Ca s lnh, ngi dùng có thể nhp lnh trên ca s n|y từ sau du nhắc >>. Workspace: Ỗhẫng gian b nh ca M‚ởỗ‚‛, dùng để lu tr d liu ca c{c biến trong mt phiên l|m vic ca M‚ởỗ‚‛. Command History: ỗịch s lnh đã thực hin, cho phép xem hoặc thực hin li nhng lnh đã nhp v|o Command Ợindow trc đó. Ởau đ}y l| mt s ví dụ đơn gin thực hin trong Command Ợindow ti du nhắc >> nhp c}u lnh sau: >> a = 1 M‚ởỗ‚‛ sẽ lu biến a có gi{ trị v|o Ợorkspace v| hiển thị kết qu trên m|n hình: a = 1 ởơng tự to c{c biến b, c có gi{ trị lần lt l|: >> b = 2 b = 2 >> c = a + b c = 3 Ỗhi chúng ta khẫng chỉ rậ gi{ trị tr về ca phép tính, M‚ởỗ‚‛ sẽ s dụng biến ans viết tắt ca answer để lu kết qu n|y. >> b – a ans = 1 Ỗhi c}u lnh kết thúc bi du chm phẩy, M‚ởỗ‚‛ sẽ thực hin phép tính nhng khẫng hiển thị kết qu lên m|n hình. >> d = a*b; Hai phím mễi tên lên xung ↑ ↓ có thể đc s dụng để gọi li nhng c}u lnh đã s dụng trc đó. Có thể s dụng hai phím n|y ti du nhắc >> hoặc sau khi nhp mt s ký tự đầu tiên ca c{c ký tự đã s dụng. ỡí dụ: để gọi li lnh b = chỉ cần nhp b v| sau đó nhn phím mễi tên. Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
9. Chương 1. M ĐU 5 ỏu % đc s dụng để viết chú thích cho c}u lnh. Mọi ký tự phía sau du % sẽ khẫng đc M‚ởỗ‚‛ x lý. ỡí dụ ly a nh}n vi b v| g{n gi{ trị cho d >> d = a*b 1.2 Ột s kin thc c bn 1.2. C{c phép to{n thông dng ởrong M‚ởỗ‚‛ c{c phép to{n cng, trừ, nh}n, chia đc biểu din thẫng qua c{c ký tự đã quy định trc. ‛ng 1.1 thể hin c{c phép to{n thẫng dụng v| c{ch nhp c{c phép to{n n|y trong M‚ởỗ‚‛. MATLAB Ý nghĩa MATLAB Ý nghĩa a+b a + b log(x) ln(x) a-b a – b asin(x) sin-1(x) a*b Ab log10(x) log10(x) a a/b acos(x) cos-1(x) b a^b ab abs(x) x sin(x) sin(x) atan(x) tan-1(x) tạo số thực ngẫu nhiên trong sqrt(x) x rand khoảng , làm tròn tới số nguyên gần cos(x) cos(x) round(x) nhất làm tròn tới số nguyên bé exp(x) ex floor(x) hơn làm tròn tới số nguyên lớn tan(x) tan(x) ceil(x) hơn Bảng 1. 1. Các phép toán thông dụng trong MATLAB 1.2. C{c lnh qun lý ởrong M‚ởỗ‚‛ khi gặp trng hp thi gian thực hin lnh qu{ l}u, có thể s dụng t hp phím ctrl + c để ngừng c{c tính to{n đang thực thi. C}u lnh mi có thể đc nhp v|o ti du nhắc xut hin sau khi thực hin t hp phím vừa nêu, lnh ngắt n|y đặc bit hiu qu khi lp trình vi vòng lặp. Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
10. Chương 1. M ĐU 6 Ỗhi mun xóa mt hay nhiều biến, ta có thể s dụng lnh clear vi c{c cú ph{p thẫng dụng nh sau >> clear bien >> clear all ởrong đó - bien v| all lần lt l| tên c{c biến cụ thể hoặc tt c c{c biến có trong Workspace - Cú ph{p th nht cho phép xóa biến cụ thể khi Ợorkspace còn cú ph{p th hai cho phép ngi s dụng xóa to|n b tt c c{c biến, h|m hin h|nh Khi mun hin danh s{ch c{c biến có trong Ợorkspace ta có thể dùng who hoặc whos theo cú ph{p sau >>who Hoặc >>whos ởrong đó lnh who chỉ lit kê tên c{c biến, còn lnh whos lit kê c tên v| c{c thẫng tin cụ thể về biến. ỡí dụ ộhp dòng lnh >> a = 1; b = 2; c = 3; ởrong Ợorkspace xut hin lần lt c{c biến a, b, c vi gi{ trị lần lt l| , , . Quan s{t sự kh{c bit khi s dụng who v| whos: >>who Your variables are: a b c >>whos Name Size Bytes Class Attributes a 1x1 8 double b 1x1 8 double c 1x1 8 double ợóa c{c biến trong Ợorkspace bằng lnh clear: >>clear a >>a ??? Undefined function or variable ‘a’ >>clear all % xóa nốt các biến b và c Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
11. Chương 1. M ĐU 7 ởrong đó biến a đc xóa khi Ợorkspace trc tiên, tiếp theo l| c{c biến b v| c. Để tin quan s{t ta có thể l|m sch Command Ợindow bằng lnh clc. 1.2. C{c lnh nhp xut d liu ộhp d liu từ b|n phím input Cú ph{p >>bien = input(‘text’) >>bien = input(‘text’ ‘s’) ởrong đó: bien l| tên biến bt kỳ do ngi s dụng đặt, text l| đon văn bn sẽ hiển thị th|nh c}u nhắc trên m|n hình, s l| tham s để M‚ởỗ‚‛ hiểu v| x lý d liu nhp v|o dng x}u ký tự. c hai cú ph{p trên, đon văn bn sẽ đc hiển thị trên m|n hình, đồng thi M‚ởỗ‚‛ sẽ ch ngi s dụng nhp ký tự từ b|n phím tuy nhiên khi s dụng cú ph{p th nht, ngi dùng chỉ có thể nhp v|o mt s, còn cú ph{p th hai, ngi dùng có thể nhp v|o mt x}u ký tự sau khi đã thẫng b{o cho M‚ởỗ‚‛ bằng tham s s. ởrng hp thực hin lnh input khi ngi dùng khẫng nhp gi{ trị m| bm trực tiếp phím Ốnter thì gi{ trị tr về sẽ l| mt mng rng. ỡí dụ >> Lop = input(‘Ban hoc lop nao: ‘, ‘s’) Ban hoc lop nao: Co Dien Tu Lop = Co Dien Tu >>x=10; >>SoSV = input(‘Lop ban co bao nhieu sinh vien: ‘) Lop ban co bao nhieu sinh vien: 80 SoSV = 80 >>SVG = input(‘Bao nhieu sinh vien duoc A+ mon MATLAB: ‘) Bao nhieu sinh vien duoc A+ mon MATLAB: x SVG = 10 ộhp d liu từ file load ởrong M‚ởỗ‚‛ có rt nhiều c{ch để ti d liu từ file v|o Ợorkspace, trong đó đơn gin nht l| lnh load cho phép ti to|n b ni dung file v|o Ợorkspace. Yêu cầu khi s dụng lnh load l| ni dung file đc ti phi dng ma trn cha c{c s, mi s c{c dòng ph}n c{ch nhau bằng ký tự trng, du phẩy hoặc tab. ốile có thể cha c{c dòng chú thích trong M‚ởỗ‚‛ c{c dòng bắt đầu bằng ký tự %. Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
12. Chương 1. M ĐU 8 Cú ph{p >>load name.ext ởrong đó name.ext l| tên file cha d liu cần ti. ộếu trong phần tên file khẫng có phần m rng ext, M‚ởỗ‚‛ sẽ tìm trong th mục hin h|nh file có tên name.mat, nếu khẫng tìm thy name.mat hoặc tên file khẫng có phần m rng khẫng phi l| mat ví dụ txt, dat thì M‚ởỗ‚‛ sẽ coi file đó l| file cha d liu ASCII. ỗnh load nh đã nói trên sẽ cho phép ti to|n b ni dung trong file name.ext v|o trong Ợorkspace. ỡí dụ To trong th mục hin h|nh file diem.txt l| mt ma trn h|ng ct có ni dung nh sau 10 8 8.8 7 9 8.2 5 8 6.8 9 6 7.2 9 10 9.6 Ởau đó ti d liu từ file v|o Ợorkspace rồi copy v|o c{c vector x, y, z. C{c c}u lnh cần thực hin có thể nh sau >>load diem.txt ti d liu từ file v|o ma trn >>x = diem(:,1); copy ct ca diem vao vector x >>y = diem(:,2); copy ct ca diem v|o vector y >>z = diem(:,3); copy ct ca diem v|o vector z ộhp d liu từ file fscanf Cho phép ti d liu từ file ma trn m| c{c kiểu d liu ca c{c phần t l| khẫng ging nhau. Cú ph{p >>A = fscanf(fid, format) ởrong đó file đc x{c định bi tham s fid (file identifier l| s nguyên x{c định file có từ lnh fopen cú ph{p fid = fopen(filename) ), format l| định dng d liu. ởo|n b d liu có định dng format sẽ đc copy từ file x{c định bi fid v|o trong Ợorkspace v| sắp xếp theo dng ct. Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
13. Chương 1. M ĐU 9 ỡí dụ file BDTH.txt có ni dung nh sau: 10 8 8.8 A 7 9 7.6 B 5 7 6.2 C 4 5 4.6 D 3 3 3 F >>fid = fopen(‘BDTH.txt’); >>B=fscanf(fid,’%d %d %f %c’,[4 inf]) lu ma trn trong file ‛ỏởH.txt v|o ma trn ‛ có h|ng %tơng ng vi s ct trong ma trn gc >>A=B’ ‚ l| ma trn chuyển vị ca ‛ ởhực hin phép tính v| quan s{t kết qu thu đc A = 10.0000 8.0000 8.8000 65.0000 7.0000 8.0000 7.6000 66.0000 5.0000 7.0000 6.2000 67.0000 4.0000 5.0000 4.6000 68.0000 3.0000 3.0000 3.0000 70.0000 ỗưu ý: Ở dụng fscanf để đọc file có c c{c ký tự v| c{c s nh ví dụ trên, ma trn tr về sẽ l| ma trn s, trong đó gi{ trị tr về ca c{c ký tự trong ma trn l| gi{ trị tơng ng trong bng mã ‚ỞCII. ởh kiểm tra vi gi{ trị cui cùng ca h|ng trong ma trn thu đc >>char(A(1,4)) ans = A ợut d liu ra m|n hình disp Cú ph{p >>disp(X) ởrong đó X l| mng d liu. ỗnh cho phép xut ra m|n hình ni dung ca mng X m| khẫng đa ra tên ca mng n|y. ởrong trng hp X l| mt chui ký tự, disp cễng sẽ xut ra ni dung chui đó. ỡí dụ Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
14. Chương 1. M ĐU 10 >>disp(A) xut ra ma trn ‚ thu đc từ ví dụ trên >>nhap = ‘Kiem tra lenh disp’ >>disp(nhap) Kiem tra lenh disp ợut d liu theo định dng ra file hoặc ra m|n hình fprinf Cú ph{p >>fprintf(fileID,formatSpec,A1, ,An) >>fprintf(formatSpec,A1, ,An) ởrong đó fileID l| s nguyên x{c định file thu đc khi s dụng lnh fopen, formatSpec l| định dng {p dụng cho c{c phần t ca mng “, “, , “n. Cú ph{p th nht cho phép xut ra file d liu di dng ct {p dụng định dng formatSpec đi vi c{c phần t ca mng “, “, , “n. Cú ph{p th hai {p dụng định dng formatSpec cho d liu v| xut ra m|n hình. C{c định dng cho vic xut, nhp d liu xem bng phần . ỡí dụ sau trình b|y c{ch m file vd1.txt v| ghi v|o ni dung di đ}y Diem cua sinh vien 1 la: 8 Diem cua sinh vien 2 la: 9 Diem cua sinh vien 3 la: 10 >> A=[1 2 3;8 9 10]; >> fileID=fopen(‘vd1.txt’,’w’); >> formatSpec=‘Diem cua sinh vien %d la: %d\n’; >> fprintf(fileID,formatSpec,A); >> fclose(fileID); ội dung trên cễng có thể xut trực tiếp ra m|n hình >> fprintf(formatSpec,A); ỗnh fprintf còn cho phép định dng sẵn s ký tự dùng để biểu din c{c biến. ỡí dụ %d sẽ s dụng mt khong rng ký tự để biểu din mt s nguyên, %s sẽ s dụng mt khong rng ký tự để biểu din mt x}u. Đi vi s thực, s ch s phần thp ph}n cễng đc x{c định, ví dụ %.f đồng nghĩa vi vic Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
15. Chương 1. M ĐU 11 M‚ởỗ‚‛ sẽ s dụng mt khong rng ký tự bao gồm du thp ph}n v| phần thp ph}n vi hai ch s biểu din phần thp ph}n. ỗưu ý: ộếu phần biểu din rng hơn so vi yêu cầu, c{c ký tự đầu tiên sẽ l| c{c ký tự trng, nếu phần biểu din phần thp ph}n rng hơn so vi yêu cầu, c{c ký tự cui cùng sẽ l| s . ỗu d liu v|o file save Cú ph{p >>save filename >>save filename x >>save filename x y z ởrong đó filename l| tên file d liu ngi s dụng mun dùng để lu c{c biến x, y, z có trong Ợorkspace. Có thể lu mt hoặc nhiều biến từ Ợorkspace v|o file bằng c{ch thêm tên biến ví dụ x, y, z v|o sau chui ký tự biểu din tên file. 1.2.4 Help trong MATLAB ỡề nguyên tắc ta có thể truy xut mọi thẫng tin về M‚ởỗ‚‛ s dụng chc năng tr giúp Help. ỏi đ}y l| mt s c{ch s dụng đi vi chc năng n|y. Hình 1. 2. Help Browser Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
16. Chương 1. M ĐU 12 Ở dụng tr giúp khi biết tên h|m trong ca s lnh, khi gậ >>help tên_ham, file M-help tơng ng sẽ hiển thị trong ca s lnh, bao gồm mẫ t tóm tắt chc năng ca h|m, cú ph{p v| c{c h|m liên quan. ởìm kiếm thẫng tin liên quan về mt từ khóa trong ca s lnh, khi gậ >>lookfor tu_khoa, M‚ởỗ‚‛ sẽ hiển thị tt c c{c ch đề liên quan đến từ khóa vừa nhp, lookfor đặc bit hu ích khi khẫng nh chính x{c c{ch viết ca tên h|m. Ở dụng Help ‛rowser trình duyt tích hp vi ca s M‚ởỗ‚‛ cho phép tìm kiếm v| đa ra kết qu di dng t|i liu HởMỗ. Help ‛rowser có thể m theo c{c c{ch s dụng phím help trên thanh cẫng cụ, gậ helpbrowser hoặc doc trong ca s lnh, chọn Help\Menu help trên thanh thực đơn. Ca s Help ‛rowser bao gồm hai phần chính, Help ộavigator bên tr{i cho phép tìm kiếm thẫng tin, bên phi l| ni dung thẫng tin tìm đc. ởrong ca s Help ộavigator, thẫng tin có thể đc tìm theo c{c phơng thc . Contents C{c mục tìm kiếm sắp xếp theo danh s{ch. . Index ởìm kiếm theo từ khóa. . Ởearch results danh s{ch c{c kết qu tìm đc. . ỏemos c{c chơng trình gii thiu có sẵn về c{c ðề mục trong MATLAB. . Ở lưc v Ộ-file ‛ên cnh vic cho phép ngi s dụng thao t{c trực tiếp trên ca s lnh, M‚ởỗ‚‛ cung cp mt chế đ son tho văn bn qua đó ngi dùng có thể thực hin mt tp hp c{c lnh lặp lặp đi lặp li hoặc tự x}y dựng cho mình c{c h|m phù hp vi từng yêu cầu cụ thể. ộgi s dụng có thể son tho v| lu li di dng file văn bn có phần m rng l| .m. M-file có thể đc to đơn gin bằng vic chọn New trên danh mục File v| sau đó chọn Script, hoặc gậ lnh edit trên ca s lnh. Ởau khi đã son tho ni dung cho M-file, ngi s dụng có thể chy lần lt tt c c{c ni dung có trong M-file bằng c{ch gậ tên ca file lên ca s lnh, hoặc có thể copy mt phần ca file rồi d{n lên ca s lnh để thực thi. Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
17. Chương 1. M ĐU 13 chơng m đầu n|y, t{c gi chỉ gii thiu sơ lc về M-file vi mt s ví dụ đơn gin, trong trng hp sinh viên đã có kiến thc cơ bn về M‚ởỗ‚‛, có thể chuyển sang mục . để tìm hiểu kỹ hơn về M-file. Ởau đ}y l| mt ví dụ về vic tính tng, hiu v| thơng ca hai s a v| b s dụng M-file để thực hin. qh_2so.m a = 5 b = 3 tong = a +b hieu = a – b tich = a*b M-file qh_2so.m cha dòng lnh trong đó dòng đầu tiên g{n c{c gi{ trị cho hai biến a v| b, dòng tiếp theo lần lt tính tng, hiu, tích tơng ng ca hai s trên. Ỗhi gậ qh_so trên ca s lnh, M‚ởỗ‚‛ sẽ hiển thị nh sau >>qh_2so a = 5 b = 3 tong = 8 hieu = 2 tich = 15 ỗi ích đầu tiên ca vic s dụng M-file có thể thy đ}y l| nếu ta có nhiều cặp gi{ trị (a, b) thì chỉ vic thay gi{ trị tơng ng v|o qh_2so v| chy li file ch khẫng phi lặp li vic thực hin c{c lnh tính to{n ngo|i ca s lnh. ‛ên cnh đó, nh đã nói trên, M‚ởỗ‚‛ cho phép ngi dùng tự x}y dựng c{c h|m vi c{c tham s đầu v|o cễng nh gi{ trị tr về tơng ng, sau đ}y l| mt ví dụ đơn gin về vic x}y dựng h|m tính tng ca hai s tong.m function z = tong(a,b) z = a+b; Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
18. Chương 1. M ĐU 14 end Cu trúc cơ bn đi vi mt h|m trong M‚ởỗ‚‛ l| dòng khai b{o h|m bắt đầu bằng từ khóa function, tiếp đến l| c{c thẫng tin liên quan về gi{ trị đầu ra v| đầu v|o, kết thúc h|m bằng từ khóa end, phần ni dung gia l| c{c lnh phù hp theo yêu cầu b|i to{n. H|m tong.m vừa x}y dựng có thể đc gọi trong ca s lnh nh sau >>t1 = tong(3,2) t1 = 5 >>t2 = tong(6,4) t2 = 10 1.4 Tóm tắt chưng 1 Ột s ký t đặc bit : ởo khong c{ch gia c{c phần t c{ch đều, biểu din mt h|ng/ct ca ma trn ( ) ộgoặc bao tham s h|m, chỉ s mng, vector [ ] ộgoặc bao phần t mng, vector . ỏu ngăn c{ch phần nguyên v| phần thp ph}n Ỗý hiu dòng liên tục , ộgăn c{ch c{c c}u lnh v| c{c phần t trên cùng mt h|ng ; ộgắt ct v| khẫng hiển thị kết qu sau khi thực hin lnh % ởhể hin phần chú thích v| c{c định dng đặc bit ộhóm lnh qun lý clc ợóa m|n hình ca ca s lnh clear ợóa biến khi b nh help ởr giúp khi biết chính x{c tên h|m lookfor ởr giúp khi khẫng biết chính x{c tên h|m Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
19. Chương 1. M ĐU 15 quit ởho{t khi chơng trình M‚ởỗ‚‛ who Hiển thị c{c biến hin h|nh danh s{ch rút gọn whos Hiển thị c{c biến hin h|nh danh s{ch đầy đ Ột s bin v| hằng đặc bit ans Ỗết qu gần nht thu đc i,j Đơn vị phần o, tuy nhiên i v| j cễng thng xuyên đc s dụng nh l| chỉ s trong c{c vòng lặp, để tr{nh xung đt xy ra, trong vòng lặp nên s dụng ii hoặc jj l|m chỉ s inf ỡẫ cùng nan Ỗết qu s khẫng đc định nghĩa ộot a ộumber pi Ở π ộhóm lnhnhp xut d liu input ộhp d liu từ b|n phím load Đọc d liu từ file, định dng biến ging nhau fscanf Đọc d liu từ file, định dng biến kh{c nhau disp ợut ra m|n hình ni dung ca mt mng, mt x}u fprintf ỗu d liu có định dng ra file hoặc ra m|n hình Đnh dng cho fprintf v| fscanf %c Ỗý tự đơn %s ợ}u ký tự %d Gi{ trị nguyên %f Gi{ trị du chm đng \n ợung dòng \t Chèn tab theo phơng ngang \v Chèn tab theo phơng dọc Đnh dng s hin th format short Hiển thị ch s sau du phẩy, mặc định format long Hiển thị ch s sau du phẩy format short e Ging định dng short nhng có thêm phần lễy thừa Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
20. Chương 1. M ĐU 16 format long e Ging định dng long nhng có thêm phần lễy thừa format bank Định dng theo quy định ng}n h|ng cho dollars v| cents, hai ch s sau du phẩy Bảng 1. 2. Tóm tắt các hàm sử dụng trong chương 1 1.5 ọ|i tp chưng 1 ọ|i . ộhp lnh ộhp lần lt c{c lnh sau, trc khi nhp hãy dự đo{n kết qu in ra m|n hình a) >>a = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +6 b) >>b = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6; c) >>b +3 d) >>1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 e) >>c = 10*ans Đáp án: a) a = gi{ trị ca tng + + + + + lu v|o biến a, kết qu a = hiển thị trên ca s lnh. b) b = , kết qu ca phép tính khẫng hiển thị trên m|n hình ca s lnh do có du ; cui c}u lnh, tuy nhiên gi{ trị ca tng + + + + + vn đc lu v|o biến b. c) ans = , kết qu phép tính b + 3 hiển thị trên m|n hình ca s lnh, trong trng hp phép tính khẫng x{c định biến lu kết qu nh c}u n|y, kết qu sẽ tự đng g{n v|o biến ans. d) ans = 21 e) c = Ỗết qu c}u n|y phụ thuc v|o c}u d do có s dụng biến ans trong phép tính, do c}u d ta có ans = 21 nên c = 210. ọ|i . C{c phép tính c bn ởhực hin c{c phép tính sau trong M‚ởỗ‚‛ 2 3 2 a) 2 16 5 b) 4 2/2 Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
21. Chương 1. M ĐU 17 c) sin 4 d) log(e) Đáp án: a) 0.1707 b) 2.5198 c) 0.7071 d) log(exp(1)) 1 ỗưu ý: th tự u tiên c{c phép tính trong M‚ởỗ‚‛. ởrong M‚ởỗ‚‛, c{c phép tính đc thực hin theo th tự nh quy định trong đi s, trong đó l)y thừa thực hin trc, tiếp theo l| c{c phép nhân, chia rồi đến cộng, trừ. ởuy nhiên khi xut hin ngoặc , phép tính trong ngoặc sẽ đc u tiên trc. Đi vi nhng phép tính có cùng mc u tiên, trình tự tính to{n tiến h|nh từ tr{i qua phi. ỡí dụ Phép tính di đ}y đc thực hin trong M‚ởỗ‚‛ nh sau 1 4 6 2 2 3 5 7 >>1/(2 + 3^2) + 4/5 * 6/7 ans = 0.7766 ởuy nhiên trong trng hp khẫng có ngoặc >>1/2 + 3^2 + 4/5 * 6/7 ans = 10.1857 ọ|i . Tính to{n vi bin G{n cho x gi{ trị , thực hin c{c phép tính sau trong M‚ởỗ‚‛ x 2 a) 6 2 b) e1 x x c) 2 1 x d) x3 sin(x2 ) e) x 2/1 Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
22. Chương 1. M ĐU 18 tan 1 ()x f) 2 1 x Đáp án: trc tiên cần nhp >>x = 2 a) 1.3333 b) 148.4132 c) 0.8944 d) -6.0544 e) 1.2599 f) 0.2214 ọ|i . ỗ|m tròn Ỗiểm tra gi{ trị ca c{c phép tính sau a) round(6/9) b) floor(6/9) c) ceil(6/9) Đáp án: a) 1 b) 0 c) 1 ọ|i . ọin v| hằng đặc bit Gậ c{c lnh sau v|o M‚ởỗ‚‛ v| dự đo{n kết qu thu đc a) exp(i*pi) b) 1/0 c) Inf/Inf Đáp án: i a) e cos( ) i sin( ) 1 0 i MATLAB: ans = -1.0000 + 0.0000i b) Inf c) NaN ọ|i . Ởave v| ỗoad ỏùng lnh save to file bai1_6 cha hai biến sv v| diem có gi{ trị nh sau >>sv = [1;2;3;4;5]; >>diem = [6.25;7;8.50;9.75;10]; ợóa Ợorkspace, dùng lnh load để ti li c{c biến sv, diem v|o Ợorkspace Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
23. Chương 1. M ĐU 19 Đáp án: >>save bai1_6 sv diem >>clear all >>load bai1_6 Có thể s dụng load để ti v|o Ợorkspace c{c biến cụ thể từ file theo cú ph{p load filename var, ví dụ b|i n|y có thể dùng >>load vd1_6 diem để chỉ load biến diem từ file v|o Ợorkspace. ọ|i . fopen v| fscanf Ở dụng mt chơng trình son tho bt kỳ, to file bai1_7.txt có ni dung l| mt ma trn nh sau 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 0 0 Ở dụng fopen v| fscanf để hin thị li ma trn trên lên m|n hình ca s lnh. Đáp án: để s dụng fscanf trc tiên ta cần thẫng s fid ly từ lnh fopen >>fid = fopen(‘bai1_7.txt’); ỗưu ý: khi dùng fopen, tên file đa v|o khẫng có phần m rng, M‚ởỗ‚‛ sẽ tự đng tìm .mat file có tên nh tên đa v|o, nếu fopen khẫng thể m đc file, fid sẽ nhn gi{ trị = -1. >>fscanf(fid, ‘%d’, [4,3]); M‚ởỗ‚‛ l|m vic vi ma trn theo ct, m{y tính x lý file theo dòng. ốile bai1_7.txt có ma trn h|ng ct tơng đơng vi s dòng ca file l| . Ỗhi thực thi, fscanf đọc từng s ca file, ly s đầu ca h|ng , tiếp đến s ca h|ng , cui cùng l| s ca h|ng , đa tt c s n|y v|o mt ma trn mt ct. Ởinh viên có thể tự kiểm tra li bằng c{ch nhp lnh >>fscanffid, %d thay vì >>fscanffid, %d, ,. ví dụ n|y ta s dụng , để yêu cầu M‚ởỗ‚‛ ti d liu từ file v|o ma trn h|ng ct. ộh vy phần t ca dòng th nht trong file đc đa v|o vị trí tơng ng ca ct ma trn mi to, phần t ca dòng th hai đc đa từ file v|o vị trí tơng ng ca ct Ma trn thu đc sau bc n|y sẽ có dng: 1 5 0 2 6 0 3 7 0 4 8 0 Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
24. Chương 1. M ĐU 20 Để thu đc ma trn nh trong file, ta cần thực hin bc chuyển vị ma trn >>ans’ ọ|i . fprintf in ra m|n hình ỗoad li hai biến sv, diem b|i . v|o Ợorkspace, dùng lnh fprintf in kết qu sau ra m|n hình trong đó phần điểm có hai ch s sau du thp ph}n. 1 6.25 2 7.00 3 8.50 4 9.75 5 10.00 Đáp án: >>ds = [sv’; diem’]; >>formatSpec=‘%d\t%.2f\n’; >>fprintf(formatSpec,ds); Hoặc >>fprintf(‘%d\t%.2f\n’,ds) ọ|i . fprintf xut ra file Ở dụng lnh fprintfto file bai1_9.txt có ni dung sau s dụng biến ds trong b|i . Bang diem sinh vien STT Diem 1 6.25 2 7.00 3 8.50 4 9.75 5 10.00 Đáp án: >>fid=fopen(‘bai1_9.txt’,’w’); >> fprintf(fid,’Bang diem sinh vien\n’); >> fprintf(fid,’STT\tDiem\n’); >> fprintf(fid,’%d\t%.2f\n’,ds); Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
25. Chương 1. M ĐU 21 >> fclose(fid); ọ|i . Input ởo biến r có gi{ trị nhp v|o từ b|n phím l| b{n kính ca hình cầu theo cm. In ra m|n hình thể tích v| din tích bề mặt hình cầu theo mu sau The tich hinh cau la V cm khoi Dien tich hinh cau la S cm vuong trong đó gi{ trị thể tích v| din tích có hai ch s sau du thp ph}n Cẫng thc tính thể tích v| din tích bề mặt tơng ng 4 2 2 V r , S 4 r 3 Đáp án: >>r = input(‘Nhap ban kinh hinh cau (cm): ‘); >>tt = 4/3*pi*r^3; >>dt = 4*pi*r^2; >>fprintf('\nThe tich hinh cau la %.2f cm khoi\nDien tich hinh cau la %.2f cm vuong\n',tt,dt); ọ|i . Đi đn v ởo biến pounds để lu trọng lng theo pounds có gi{ trị nhp v|o từ b|n phím, đi ra kilograms v| g{n gi{ trị cho biến kilos. Gi{ trị quy đi l| 1 kilogramm = 2.2 pounds ọ|i . Đi đn v tip ởo biến ftemp để lu nhit đ theo ốahrenheit ố có gi{ trị nhp v|o từ b|n phím, đi ra đ Celcius C v| lu kết qu v|o biến ctemp. Gi{ trị quy đi l| 5 C (F 32) 9 ọ|i . Đnh dng hin th ởìm lựa chọn cho lnh format để có thể hiển thị kết qu sau >>5/16 + 2/7 ans = 67/112 ọ|i . ộhit đ cm nhn v| nhit đ thc t Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
26. Chương 1. M ĐU 22 Gió thng l|m cho khẫng khí lnh hơn so vi thực tế. Cẫng thc tính nhit đ cm nhn khi biết nhit đ thực tế ở đ Celcius v| vn tc gió ỡ km/h hai gi{ trị ở, ỡ nhp v|o từ b|n phím WT .0 045 .5( 2735 V 10.45 .0 2778 V) (T 33 )0. 33 ởo biến ở, ỡ lu nhit đ cm nhn v| tc đ gió có gi{ trị nhp từ b|n phím, tính gi{ trị nhit đ cm nhn, in ra m|n hình kết qu nh sau Nhiet do thuc te: (do C) Toc do gio: (km/h) Nhiet do cam nhan: (do C) Ỗiểm tra vi ở = do C, ỡ = km/h ọ|i . rand H|m rand cho phép to s thực trong khong , a) ởo s thực trong khong , b) ởo s thực trong khong , c) ởo s thực trong khong , d) ởo s nguyên trong khong , e) ởo s nguyên trong khong , f) ởo s nguyên trong khong , ọ|i . ọiu din s thc Ở dụng fprintf biểu din s thực . a) ởrong khong rng ký tự vi ch s phần thp ph}n b) ởrong khong rng ký tự vi ch s phần thp ph}n c) ởrong khong rng ký tự vi ch s phần thp ph}n d) ởrong khong rng ký tự vi ch s phần thp ph}n ọ|i . ọiu din ký t ởo hai biến sau x = 12.34 y = 4.56 Điền v|o ch trng trong lnh fprintf di đ}y để có thể hiển thị c{c kết qu a) >>fprintf( 0123456789 0000012.340 b) >>fprintf( Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
27. Chương 1. M ĐU 23 0123456789 12 c) >>fprintf( 0123456789 4.6 d) >>fprintf( 0123456789 4.6 ! Gi ý Để chuyển đi mt ch th|nh s tơng ng trong bng mã ‚ỞCII s dụng lnh double hoặc int32, ví dụ >>doublea sẽ đa ra kết qu . Để chuyển ngc li dùng h|m char, ví dụ >>char(97) sẽ đa ra kết qu a. ọ|i . ọ|i to{n thu nhp ởrung bình con ngi s dụng đến % thu nhp cho thực phẩm. ởo biến lu gi{ trị thu nhp mt năm ca mt ngi nhp từ b|n phím dollars, in ra m|n hình s tiền bình qu}n ngi đó s dụng trong mt th{ng để mua thực phẩm biểu din bằng s thp ph}n có hai ch s sau du thp ph}n Thu nhap mot nam cua ban la: Moi thang ban su dung tu X den Y dollars de mua thuc pham ọ|i . Vn tc m{y bay ỡn tc m{y bay thng ghi theo miles/h hoặc m/s. ởo biến lu vn tc m{y bay theo miles/h nhp v|o từ b|n phím v| in ra m|n hình vn tc m/s. ‛iết rằng h = s, mile = feet, foot = .m feet l| s nhiều ca foot) Nhap van toc may bay theo (miles/hour): Van toc may bay theo meters/second la: ọ|i . ỏin tích hình ch nht ởo biến lu chiều d|i v| chiều rng ca hình ch nht theo cm nhp từ b|n phím, in ra m|n hình din tích hình ch nht theo m2 biểu din bằng s thp ph}n chính x{c đến . Nhap chieu dai hinh chu nhat theo cm: Nhap chieu rong hinh chu nhat theo cm: Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
28. Chương 1. M ĐU 24 Dien tich hinh chu nhat la S (met vuong) Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
29. Chơng . ỡỐCởỚờ ỡủ M‚ ởờộ 25 Chưng . VỐCTỚờ Vủ ỘỌ Tờộ . Vector v| ma trn trong ỘỌTỗỌọ ỡector v| ma trn trong M‚ởỗ‚‛ đc dùng để lu mt tp hp c{c gi{ trị cùng kiểu. Mt vector có thể l| vector h|ng hoặc vector ct. Ma trn có thể hiểu nh mt bng c{c gi{ trị. Chiều ca ma trn thng biểu din di dng m n trong đó m l| s h|ng, n l| s ct tơng ng ca ma trn. ộếu mt vector có n phần t, chiều ca vector h|ng tơng ng đc biểu din l| 1 n , vector ct đc biểu din l| n 1. Mt gi{ trị vẫ hng có chiều l| 1 1. ỡector v| gi{ trị vẫ hng thực ra l| trng hp đặc bit ca ma trn. Hình di từ tr{i qua phi l| biểu din tơng ng ca gi{ trị vẫ hng, vector ct, vector h|ng, ma trn. 1 1 1 2 3 4 1 2 3 2 4 5 6 3 M‚ởỗ‚‛ đc viết ra vi mục đích l|m vic vi c{c ma trn, do đó trong M‚ởỗ‚‛ rt d d|ng to c{c biến vector v| ma trn cễng nh cha rt nhiều h|m v| phép to{n x lý vector, ma trn. . Thit lp ma trn trong ỘỌTỗỌọ Thit lp vector h|ng Có nhiều c{ch để thiết lp vector h|ng trong M‚ởỗ‚‛, trong đó trực tiếp nht l| nhp gi{ trị c{c phần t ca vector v|o trong ngoặc vuẫng [ ], ngăn c{ch gia c{c phần t bi ký tự trng hoặc du phẩy. ỡí dụ: C hai c}u lnh di đ}y cùng to ra vector v. >>v = [ 1 2 3 4]; >>v = [ 1, 2, 3, 4] v = Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
30. Chơng . ỡỐCởỚờ ỡủ M‚ ởờộ 26 1 2 3 4 ởrong trng hp c{c phần t trong ma trn có gi{ trị c{ch đều nhau, du : có thể s dụng để thiết lp vector, trong trng hp n|y khẫng cần s dụng ngoặc vuẫng [ ] na. ỡí dụ >>v1 = 1 : 5 v1 = 1 2 3 4 5 ỏu : cễng có thể s dụng để thiết lp vector m| c{c phần t c{ch nhau mt khong cho trc theo cẫng thc s đầu khong c{ch s cui ). ỡí dụ: To vector gồm c{c s nguyên từ đến c{ch đều >>v2 = 1 : 2 : 9 v2 = 1 3 5 7 9 ỡí dụ ỏự đo{n v| kiểm tra kết qu bằng M‚ởỗ‚‛ khi khong c{ch nhp v|o dn đến vic vt qu{ khong định nghĩa bi s đầu s cui >>1 : 2 : 6 ỗnh n|y sẽ to mt vector bao gồm c{c phần t , , . ởăng thêm v|o sẽ vt qua , vì thế vector sẽ dừng . Ỗết qu hiển thị sẽ l|: 1 3 5 ởơng tự ta có h|m linspace (lineary spaced), cho phép to vector có c{c phần t c{ch đều theo cú ph{p sau >>linspace (x, y, n) Trong đó n l| s phần t sẽ đc to ra nằm trong khong gii hn gia x v| y. Đi vi trng hp n = 1 h|m linspace sẽ tr về gi{ trị y. ỡí dụ: Lnh sau sẽ to vector có phần t trong khong đến >>ls = linspace (3, 15, 5) ls = 3 6 9 12 15 ỡector cễng có thể đc thiết lp dựa trên nhng biến có sẵn. ỡí dụ: Vector mi đc thiết lp di đ}y bao gồm tt c c{c phần t ca vector v2 v| vector ls: >>newvec = [v2 ls] newvec = 1 3 5 7 9 3 6 9 12 15 Truy xut v| thay đi c{c phn t trong mt vector Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
31. Chơng . ỡỐCởỚờ ỡủ M‚ ởờộ 27 ởrong M‚ởỗ‚‛, c{c phần t trong mt vector đc đ{nh s lần lt theo th tự, bắt đầu từ . ỡí dụ: Chỉ s ca c{c phần t trong vector newvec đc thể hin di đ}y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 5 7 9 3 6 9 12 15 Mi phần t trong vector có thể truy xut đến bằng c{ch s dụng tên vector v| chỉ s ca phần t đó trong ngoặc ( ). ỡí dụ: Phần t th ca vector newvec l| >>newvec (5) ans = 9 Ở dụng du : cễng có thể truy xut đến c{c phần t trong mt vector. ỡí dụ: C}u lnh sau sẽ ly từ phần t th t đến phần t th s{u ca vector newvec v| lu gi{ trị v|o vector b: >>b = newvec (4 : 6) b = 7 9 3 ‛ên cnh vic s dụng du : c{c phần t trong vector n|y có thể đc truy xut bi c{c vector kh{c, gọi l| vector chỉ s. ỡí dụ: C}u lnh sau sẽ ly ra phần t th nht, th năm v| th mi ca vector newvec: >>newvec ([1 5 10]) ans = 1 9 15 Gi{ trị ca mi phần t trong mt vector có thể thay đi bằng c{ch g{n gi{ trị kh{c cho phần t ca vector đó vị trí tơng ng. ỡí dụ: Phần t th hai ca vector b sau khi thực hin c}u lnh di đ}y sẽ cha gi{ trị l| >>b (2) = 11 b = 7 11 3 Ỗhi g{n gi{ trị cho mt phần t trong mt vector m| chỉ s ca phần t đó khẫng tồn ti, ta có thể m rng vector đó. ỡí dụ vector b trên có phần t. Ỗhi ta g{n gi{ trị cho phần t th t ca b, b tr th|nh vector có phần t >>b (4) = 1 b = 7 11 3 1 Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
32. Chơng . ỡỐCởỚờ ỡủ M‚ ởờộ 28 ộếu chỉ s nhp v|o v| chỉ s phần t cui cùng ca vector khẫng phi l| hai s liên tiếp, tt c c{c phần t gia sẽ nhn gi{ trị . ỡí dụ: Lnh sau tiếp tục m rng vector b: >>b (6) = 13 b = 7 11 3 1 0 13 Thit lp vector ct C{ch thẫng dụng để to vector ct l| nhp gi{ trị c{c phần t v|o trong ngoặc vuẫng [ ], ngăn c{ch bi du ; >>c = [1; 2; 3; 4] c = 1 2 3 4 Ỗhẫng thể s dụng du : để to vector ct mt c{ch trực tiếp. ởuy nhiên có thể {p dụng phép chuyển vị lên mọi vector h|ng để to ra vector ct tơng ng. >>r = 1 : 3; >>c = r’ c = 1 2 3 Thit lp ma trn ởhiết lp mt ma trn tơng đơng vi vic to ra c{c vector h|ng v| vector ct trong ma trn đó. ởrong đó c{c gi{ trị trên cùng mt h|ng ngăn c{ch nhau bi du phẩy hoặc ký tự trng, v| c{c h|ng kh{c nhau ngăn c{ch bi du chm phẩy. >>mat = [4 3 1; 2 5 6] mat = 4 3 1 2 5 6 Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
33. Chơng . ỡỐCởỚờ ỡủ M‚ ởờộ 29 ỗu ý Ở phần t mi h|ng phi luẫn bằng nhau. ởrng hp ma trn nhp v|o có s phần t c{c h|ng l| kh{c nhau, kết qu nhn đc sẽ l| thẫng b{o li. >>mat = [3 5 7; 1 2] ??? Error using ==> vertcat CAT arguments dimensions are not consistent Để ph}n bit c{c dòng trong ma trn, bên cnh vic s dụng du ; còn có thể s dụng phím Enter >>newmat = [2 6 88 33 5 2] newmat = 2 6 88 33 5 2 Ma trn gồm c{c s ngu nhiên có thể đc thiết lp s dụng h|m rand theo cú ph{p sau >>rand(n) >>rand(m,n) ởrong đó m, n l| c{c tham s biểu din chiều ca ma trn tơng ng to th|nh. Ỗhi truyền mt tham s n cho h|m rand, ma trn to th|nh sẽ l| mt ma trn vuẫng n n, khi h|m rand có hai tham s m, n, ma trn to th|nh sẽ l| ma trn m h|ng n ct. >>rand (2) ans = 0.3527 0.4068 0.9982 0.1764 >>rand(1, 3) ans = 0.3754 0.4464 0.7862 Ột s ma trn đặc bit Ma trn m × n m| tt c c{c phần t đều nhn gi{ trị , to bi lnh zeros(m, n) Ma trn m × n m| tt c c{c phần t đều nhn gi{ trị , to bi lnh ones(m, n) Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
34. Chơng . ỡỐCởỚờ ỡủ M‚ ởờộ 30 Ma trn n × n m| chỉ có c{c phần t đng chéo nhn gi{ trị kh{c , to bi lnh diag(v) trong đó v l| vector cha c{c phần t đng chéoca ma trn đó. Ma trn đơn vị n × n m| tt c c{c phần t trên đng chéo đều nhn gi{ trị , to bi lnh eye(n) Truy xut v| thay đi c{c phn t trong ma trn Có thể truy xut đến c{c phần t đơn lẻ ca ma trn s dụng tên ma trn đi kèm vi chỉ s h|ng, chỉ s ct trong ngoặc ( ) chỉ s h|ng luẫn đng trc chỉ s ct. ỡí dụ: To mt ma trn v| truy xut đến phần t h|ng th hai, ct th ba ca ma trn đó. >>mat = [2 : 4; 3 : 5] mat = 2 3 4 3 4 5 >>mat (2, 3) ans = 5 ỡí dụ: Truy xut đến tt c c{c phần t nằm trên h|ng mt đến h|ng hai, ct hai đến ct ba ca ma trn mat. >>mat (1 : 2, 2: 3) ans = 3 4 4 5 Chỉ s dụng du hai chm : đồng nghĩa vi vic ly tt h|ng hoặc ct ca ma trn. ỡí dụ: Truy xut đến tt c c{c ct ca h|ng th nht tt c c{c phần t trên h|ng n|y. >>mat (1, :) ans = 2 3 4 ỡí dụ: Truy xut đến tt c c{c phần t nằm trên ct hai ca ma trn mat. >>mat(:, 2) ans = 3 4 Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
35. Chơng . ỡỐCởỚờ ỡủ M‚ ởờộ 31 ộếu chỉ s dụng mt chỉ s ch s tuyn tính để truy xut đến c{c phần t trong ma trn, M‚ởỗ‚‛ khi đó sẽ sắp xếp li tt c c{c phần t ma trn đó v|o mt ct. ỡí dụ ma trn intmat đc to đ}y, phần t th nht v| th hai ca ma trn l| hai phần t tơng ng ca ct th nht, phần t th ba v| th t ca ma trn l| phần t th nht v| th hai ca ct th hai. >>intmat = [100 77; 28 14] intmat = 100 77 28 14 >>intmat (1) ans = 100 >>intmat (2) ans = 28 >>intmat (3) ans = 77 >>intmat (4) ans = 14 Để thay đi gi{ trị ca c{c phần t đơn lẻ trong ma trn, có thể truy xut đến v| g{n cho phần t đó gi{ trị mi. ỡí dụ: Đi vi ma trn mat to trc đó >>mat(1, 2); ans = 2 11 4 3 4 5 ởơng tự có thể thay đi gi{ trị ca c mt h|ng hoặc mt ct ca ma trn >>mat (2, :) = 5:7 ans = 2 11 4 5 6 7 Để m rng ma trn, khẫng thể chỉ thêm v|o mt phần t vì khi đó sẽ l|m s phần t ca mi h|ng tr nên kh{c nhau m| cần thêm v|o c h|ng hoặc ct. ỡí dụ: Chèn thêm ct th t v|o ma trn mat trên >>mat (:, 4) = [9; 2] mat = 2 11 4 9 Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
36. Chơng . ỡỐCởỚờ ỡủ M‚ ởờộ 32 5 6 7 2 ởơng tự nh đi vi vector, nếu h|ng hoặc ct thêm v|o so vi h|ng hoặc ct cui cùng ca ma trn hin thi khẫng phi l| liền nhau, M‚ởỗ‚‛ sẽ tự điền đầy ma trn bằng c{c gi{ trị . ỡí dụ: Chèn thêm h|ng th t v|o ma trn mat chỉ có hai h|ng >>mat (4, :) = 2 : 2 : 8 ans = 2 11 4 9 5 6 7 2 0 0 0 0 2 4 6 8 Ỗích thưc ca ma trn C{c h|m length, size trong M‚ởỗ‚‛ đc s dụng để x{c định kích thc ca vector v| ma trn. Cú ph{p gọi h|m nh sau >>length(X) >>size(X) ởrong đó X l| vector, ma trn đc quan t}m. H|m length tr về s phần t ca mt vector. H|m size tr về s h|ng v| s ct ca ma trn hoặc vector. ỡí dụ vector vec to di đ}y có bn phần t, nh vy gi{ trị tr về ca h|m lengthvec sẽ có gi{ trị l| . ỡector vec cễng có thể coi l| mt ma trn mt h|ng bn ct, nh vy kích thc ca vec sẽ l| × . >>vec = -2 : 1 vec = -2 -1 0 1 >>length (vec) ans = 4 >>size (vec) ans = 1 4 H|m size tr về s h|ng v| s ct ca mt ma trn vì thế để có thể lu c{c gi{ trị n|y v|o c{c biến kh{c nhau ta có thể s dụng mt vector có hai biến vế Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
37. Chơng . ỡỐCởỚờ ỡủ M‚ ởờộ 33 tr{i ca c}u lnh. ‛iến h sẽ lu gi{ trị đầu tiên tr về, tơng ng vi s h|ng ca ma trn, biến c sẽ lu gi{ trị s ct. >>mat = [1 : 3; 5 : 7]’ mat = 1 5 2 6 3 7 >>[h, c] = size (mat) h = 3 c = 2 Ỗhi s dụng vi ma trn, h|m length sẽ tr về s h|ng hoặc s ct ca ma trn đó, tùy v|o gi{ trị n|o ln nht. >>length (mat) ans = 3 ộgo|i ra trong M‚ởỗ‚‛ còn có h|m numel tr về tng s phần t trong mt vector hoặc ma trn theo cú ph{p sau N = numel(A) ởrong đó ộ l| s phần t tr về ca mng ‚ Đi vi vector, h|m n|y có ý nghĩa tơng đơng h|m length, đi vi ma trn, numel tr về gi{ trị l| tích ca s h|ng v| s ct ca ma trn đó. >>numel (vec) ans = 4 >>numel (mat) ans = 6 . C{c phép to{n c bn đi vi ma trn, vector ớhép cng hai ma trn tơng đơng vi vic cng từng phần t tơng ng ca hai ma trn đó, điều n|y đồng nghĩa vi vic hai ma trn phi có cùng kích thc. ớhép cng ma trn có thể biểu din nh sau cij aij bij . Trong MATLAB, Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
38. Chơng . ỡỐCởỚờ ỡủ M‚ ởờộ 34 phép cng hai ma trn có thể đc thực thi s dụng phép to{n +. ởơng tự phép trừ hai ma trn thực hin bi phép to{n -, biểu din cij aij bij . ớhép nh}n vi mt s l| phép nh}n tt c c{c phần t ca mt ma trn vi mt s, thực thi trong M‚ởỗ‚‛ bi phép to{n *. ớhép nh}n mng cho phép nh}n từng phần t tơng ng ca hai ma trn chú ý khẫng phi phép nh}n ma trn, điều kin l| hai ma trn phi có cùng kích thc, đc thực hin trong M‚ởỗ‚‛ bi phép to{n .* >>A = [1 : 3; 4 : 6]; >>B = [100 10 1; 10 100 1]; >>C = A .* B C = 100 20 3 40 500 6 ớhép nh}n ma trn ‚ vi ma trn ‛ để thu đc ma trn C chỉ đc thực hin khi s ct ca ma trn ‚ bằng vi s h|ng ca ma trn ‛. ộếu ma trn ‚ có kích thc m × n, ma trn ‛ phi có kích thc n × p. Ma trn C thu đc sẽ có s h|ng bằng vi s h|ng ca ma trn ‚ v| s ct bằng vi s ct ca ma trn ‛. n A B C c a b  m n  n p  m p ij  ik kj k 1 ớhép lễy thừa ma trn ‚ thực hin liên tiếp phép nh}n ma trn ‚ vi chính nó. Ma trn ‚ cần phi l| ma trn vuẫng để thực hin phép tính n|y. Ộa trn chuyn v ca ma trn ‚ l| ma trn ‚ có h|ng v| ct đi vai trò cho nhau, ký hiu ‚T, trong M‚ởỗ‚‛ đc thực hin bi phép to{n ‘. >>A = [1 : 3; 4 : 6]; >>AT = A’ AT = 1 4 2 5 3 6 Ộa trn nghch đo nếu kết qu ca phép nh}n ma trn ‚ vi mt ma tr}n kh{c l| mt ma trn đơn vị, ta có thể nói ma trn kia chính l| ma trn nghịch đo ca ‚. ởrong M‚ởỗ‚‛ có thể tính ma trn nghịch đo ca ma trn ‚ bằng h|m inv. >>A = [1 2; 2 2] A = Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
39. Chơng . ỡỐCởỚờ ỡủ M‚ ởờộ 35 1 2 2 2 >>Ainv = inv(A) Ainv = -1.0000 1.0000 1.0000 -0.5000 >>A*Ainv ans = 1 0 0 1 ộếu ma trn ‚ l| ma trn khẫng kh nghịch, M‚ởỗ‚‛ sẽ đa ra li cnh b{o v| cễng có thể đa ra ma trn m| c{c phần t đều l| Inf. >>inv([1 1; 0 0]) Warning: Matrix is singular to working precision ans = Inf Inf Inf Inf Đnh thc ca ma trn vuẫng ‚ trong M‚ởỗ‚‛ đc tính theo h|m det. ồng ca ma trn ‚ trong M‚ởỗ‚‛ đc tính theo h|m rank. ớhép nh}n vô hưng ca hai vector tơng tự nh phép nh}n ma trn khi ta nh}n vector h|ng avi vector ct b, kết qu thu về l| mt gi{ trị vẫ hng mt s. ởrong M‚ởỗ‚‛ có thể thực hin bằng c{ch s dụng phép to{n * gia a v| chuyển vị ca b, hoặc s dụng h|m dot theo cú ph{p >>C = dot(A, B); ởrong đó C l| gi{ trị tích vẫ hng ca hai vector A v| B ỡí dụ >>vec1 = [4 2 5 1]; >>vec2 = [3 6 1 2]; >>vec1 * vec2’ ans = 31 >>dot(vec1, vec2) ans = 31 Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
40. Chơng . ỡỐCởỚờ ỡủ M‚ ởờộ 36 ớhép nh}n có hưng ca hai vector trong khẫng gian ba chiều l| mt vector vuẫng góc vi hai vector trên, nói c{ch kh{c chính l| vector ph{p tuyến ca mặt phẳng to bi hai vector đó. ởrong M‚ởỗ‚‛ phép to{n n|y thực hin bi h|m cross theo cú ph{p sau >>C = cross(A, B) ởrong đó C l| vector hình th|nh bi tích có hng ca hai vector ‚ v| ‛ >>vec1 = [4 2 5]; >>vec2 = [3 6 1]; >>cross(vec1, vec2) ans = -28 11 18 . Đi s tuyn tính ợét h phơng trình đi s tuyến tính m × n gồm m phơng trình n ẩn s a111 x a 122 x a 133 x a 1nn x b 1 a211 x a 222 x a 233 x a 2nn x b 2 a311 x a 322 x a 333 x a 3nn x b 3 . am1 x 1 a m 2 x 2 a m 3 x 3 a mn x n b m H phơng trình n|y có thể biểu din di dng ma trn ‚x = b trong đó A l| ma trn h s, x l| vector ct cha c{c ẩn, b l| vector ct cha c{c h s vế phi ca ma trn. a11 a 12 a 13 a 1n x 1 b 1 a a a a x b 21 22 23 2n 2 2 a31 a 32 a 33 a 3n x 3 b 3 a a a a x b m1 m 2 m 3 mn n n A x b H phơng trình trên có thể gii mt c{ch đơn gin trong M‚ởỗ‚‛ s dụng phép chia tr{i mldivide, hoặc nh}n c hai vế vi ma trn nghịch đo ca A. Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
41. Chơng . ỡỐCởỚờ ỡủ M‚ ởờộ 37 11 A Ax A b 1 Ix A b 1 x A b ỡí dụ ta có h ba phơng trình ba ẩn x1, x2, x3 4x1 2 x 2 1 x 3 7 1x1 1 x 2 5 x 3 10 2x1 3 x 2 1 x 3 2 ỡiết li h di dng Ax = b 4 1 1 x1 7 1 1 5 x 10 2 2 3 1x 2 3 Gii h dùng h|m inv >>A = [4 -2 1; 1 1 5; -2 3 -1]; >>b = [7 10 2]; >>x = inv(A)*b x = 3.0244 2.9512 0.8049 >>x = A\b x = 3.0244 2.9512 0.8049 ỗu ý ph}n bit phép chia tr{i, chia phi: C = A\‛ tơng đơng vi C = ‚-1*‛, để thực hin phép tính n|y, điều kin l| ‚ phi l| ma trn kh nghịch. C = ‚/‛ tơng đơng vi C = ‚*‛-1, để thực hin phép tính n|y, điều kin l| ‛ phi l| ma trn kh nghịch. (B/A) = (‚\‛ ớhép chia tr{i s x = A\b dụng trong M‚ởỗ‚‛ để tìm nghim ca h phơng trình tuyến tính đẫi khi đa ra li cnh b{o sau khi thực hin lnh nh sau: >>Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results maybe inaccurate. RCOộỏ = hoặc >>Warning: Matrix is singular to working precision. Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
42. Chơng . ỡỐCởỚờ ỡủ M‚ ởờộ 38 Cnh b{o trên đồng nghĩa vi vic kết qu thu đc thng khẫng chính x{c. ởuy nhiên cễng có khi M‚ởỗ‚‛ khẫng đa ra cnh b{o nhng kết qu thu đc li khẫng đ{ng tin cy do M‚ởỗ‚‛ đa ra nghim bình phơng ti thiểu ca h ví dụ trng hp ‚ khẫng phi l| ma trn vuẫng, vì vy điều quan trọng khi s dụng phép chia tr{i l| luẫn kiểm tra kết qu thu đc bằng c{ch so s{nh A*x v| b. ớhép kh Ồauss v| Ồauss – Jordan s dụng trong vic gii h phơng trình đi s tuyến tính đều bắt đầu bằng vic thiết lp ma trn Ab|  v| {p dụng c{c phép biến đi lên c{c h|ng ca ma trn n|y nh}n tt c c{c phần t trong h|ng vi mt s, đi ch c{c h|ng trong ma trn, thay thế mt h|ng bằng c{ch cng hoặc trừ vi c{c h|ng kh{c để thu về ma trn tam gi{c trên có cùng tp nghim. ớhơng ph{p Gauss từ đ}y sẽ {p dụng thế ngc để tìm ra tp nghim ca h phơng trình trong khi phơng ph{p Gauss –ổordan sẽ tiếp tục kh để thu về ma trn đng chéo từ đó suy ra tp nghim ca h phơng trình. ỡí dụ >>a = [ 1 3 0; 2 1 3; 4 2 3] a = 1 3 0 2 1 3 4 2 3 >>b = [1 6 3]’ b = 1 6 3 >>ab = [a b] ab = 1 3 0 1 2 1 3 6 4 2 3 3 >>ab(2, :) = ab(2, :) – 2*ab(1, :) ab = 1 3 0 1 0 -5 3 4 4 2 3 3 >>ab(3, :) = ab(3, :) – 4*ab(1, :) Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
43. Chơng . ỡỐCởỚờ ỡủ M‚ ởờộ 39 ab = 1 3 0 1 0 -5 3 4 0 -10 3 -1 >>ab(3, :) = ab(3, :) – 2*ab(2, :) ab = 1 3 0 1 0 -5 3 4 0 0 -3 -9 >>ab(2, :) = ab(2, :) + ab(3, :) ab = 1 3 0 1 0 -5 0 -5 0 0 -3 -9 >>ab(1, :) = ab(1, :) + 3/5*ab(2, :) ab = 1 0 0 -2 0 -5 0 -5 0 0 -3 -9 Dng bc thang ti gin ởừ kết qu dng đng chéo từ phép kh Gauss-ổordan, ma trn đc đa về dng bc thang ti gin, tơng đơng vi tt c c{c h s trên đng chéo thu đc đều l| , hay nói c{ch kh{c vector ct b chính l| kết qu cần tìm. ởrong MAởỗ‚‛ ta có thể đa ma trn Ab|  về dng bc thang ti gin Ib|'  để gii h phơng trình đi s tuyến tính bằng h|m rref. ỡí dụ đi vi ma trn trên: >>a = [ 1 3 0; 2 1 3; 4 2 3]; >>b = [1 6 3]’; >>ab = [a b]; >>rref(ab) ans = 1 0 0 -2 0 1 0 1 Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
44. Chơng . ỡỐCởỚờ ỡủ M‚ ởờộ 40 0 0 1 3 ộghim ca h chính l| gi{ trị ca ct cui cùng x1 = -2, x2 = 1, x3 = 3 >>x = ans(:, end) x = -2 1 3 . Tóm tắt chưng C{c lnh đi vi mng linspace ởo mng có c{c phần t c{ch đều find ởìm chỉ s ca c{c phần t kh{c khẫng trong mng max ởìm gi{ trị ln nht trong mng min ởìm gi{ trị nh nht trong mng prod ởính tích c{c phần t trong mng sum ởính tng c{c phần t trong mng length ởìm tng s phần t trong mng size ởìm kích c ca mng cross ởích có hng ca hai vector trong ỏ dot ởích vẫ hng ca hai vector Ột s ma trn đặc bit eye ởo ma trn đơn vị ones ởo ma trn m| tt c c{c phần t đều nhn gi{ trị zeros ởo ma trn m| tt c c{c phần t đều nhn gi{ trị diag ởo ma trn đng chéo C{c lnh gii h phưng trình đi s tuyn tính det ởính định thc ma trn inv ởính ma trn nghịch đo rank ởính hng ca ma trn rref Đa về dng bc thang ti gin Bảng 2. 1. Tóm tắt các hàm sử dụng trong chương 2 Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
45. Chơng . ỡỐCởỚờ ỡủ M‚ ởờộ 41 . ọ|i tp chưng ọ|i . ỏùng du : to c{c vector h|ng sau: 3 4 5 6 a) 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 b) 5 4 3 2 Đáp án a) >>3 : 6 b) >>1 : .5 : 3 c) >>5 : -1 : 2 ọ|i . ỏùng h|m linspace to c{c vector sau: a) >>4 6 8 b) >>-3 -6 -9 -12 -15 c) >>9 7 5 Đáp án a) >>linspace(4, 8, 3) b) >>linspace(-3, -15, 5) c) >>linspace(9, 5, 3) ọ|i . ỏùng : v| ‘ to vector ct cha c{c gi{ trị trong khong từ - đến c{ch đều nhau 0.2. Đáp án >>[ -1 : .2 : 1]’ ọ|i . a) ởo ma trn × cha c{c s nguyên ngu nhiên từ đến 20. b) ởo biến hang cha s nguyên ngu nhiên từ đến , to biến cot cha s nguyên ngu nhiên từ đến , to ma trn m| tt c c{c phần t đều nhn gi{ trị khẫng có kích c hang × cot. Đáp án a) >>round(5 + 15*rand(2, 3)) b) >>hang = round(3*rand); >>cot = round(3 + 2*rand); >>zeros(hang, cot) Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
46. Chơng . ỡỐCởỚờ ỡủ M‚ ởờộ 42 ọ|i . Ỗhẫng nhp tt c c{c phần t, to ma trn sau: mat = 7 8 9 10 12 10 8 6 ỡiết c{c lnh truy xut đến: a) ớhần t h|ng mt ct ba ca ma trn. b) ởo|n b h|ng hai ca ma trn. c) Hai ct đầu ca ma trn. Đáp án a) >>mat = (7:10; 12:-2:6); >>mat(1,3); b) >>mat(2, :); c) >>mat(:, 1:3); ọ|i . Cho c{c ma trn sau: 12 12 56 12 A B C 34 78 12 12 ởo ma trn ỏ có ma trn ‚ trên ma trn ‛ to th|nh hai ct đầu, C l| hai ct kế tiếp. Đáp án >>A = [1 2; 3 4]; >>B = [5 6; 7 8]; >>C = [1 1 1 1; 2 2 2 2]’ >>AB = [A;B]; >>D = [AB C]; ọ|i . ởo c{c ma trn sau: a) Ma trn đơn vị x 6. b) Ma trn khẫng x . c) Ma trn mt x . Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
47. Chơng . ỡỐCởỚờ ỡủ M‚ ởờộ 43 d) Ma trn ngu nhiên x . e) Ma trn đng chéo m| c{c gi{ trị trên đng chéo chy từ đến . Đáp án a) >> eye (6) b) >>zeros (5,10) c) >>ones (5,15) d) >>rand (5) e) >>e0 = 1:5; >>diag(e0) ọ|i . Cho ma trn A, b v| h phơng trình tuyến tính Ax = b 1 2 3 6 A 2 3 2 B 14 3 1 1 2 Gii h phơng trình s dụng lnh ‚\b v| lnh rref Đáp án: >>A = [1 2 3; 2 -3 2; 3 1 -1]; >>b = [6 14 -2]; >>x = A\b x = 1.0000 -2.0000 3.0000 >>A*x Ỗiểm tra kết qu thu đc , ‚*x có gi{ trị bằng vi b, chng t x l| %nghim ca h phơng trình ‚x = b >>rref([A, b]) ộghim thu đc l| duy nht, do ma trn bc thang ti gin cha ma %trn đơn vị v| ma trn kết qu ans = 1 0 0 1 0 1 0 -2 0 0 1 3 Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
48. Chơng . ỡỐCởỚờ ỡủ M‚ ởờộ 44 ọ|i . Cho h phơng trình sau: 6x1 2 x 2 3 x 3 0 4x1 1 x 2 2 x 3 0 2x1 1 x 2 5 x 2 0 ộhp v|o M‚ởỗ‚‛ ma trn h s A v| ma trn ct b tơng ng, tìm nghim ca ma trn bằng c{ch s dụng phép chia tr{i v| rref. Đáp án >>A = [6 2 3; 4 1 -2; 2 1 5]; >>b = zeros(3,1); >>A\b Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 6.728624e-018. x = 1.0e+015 * -2.6271 9.0072 -0.7506 >>rref([A b]) ans = 1.0000 0 -3.5000 0 0 1.0000 12.0000 0 0 0 0 1.0000 Thế ngc ta có x1= 3.5x3 v| x2 = -12x3. Có thể thy h phơng trình có biến tự do x3 v| có thể nhn bt kỳ gi{ trị n|o. ỡí dụ chọn x3 = 2 khi đó ta có: x1 = 7, x2 = -24 >>x = [7; -24; 2]; >>A*x ans = 0 0 0 Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
49. Chơng . ỡỐCởỚờ ỡủ M‚ ởờộ 45 ọ|i . Cho hai ma trn A, b v| h phơng trình tuyến tính Ax = b 12 3 4 A B 21 3 4 Gii h phơng trình s dụng phép chia tr{i, tp nghim thu đc có phi l| duy nht? ởìm nghim tng qu{t s dụng h|m rref. Đáp án: >>A = [1 2 3; 2 1 -3]; >>b = [-4; 4]; >>x = A\b; x = 0 0.0000 -1.3333 >>A*x Ỗiểm tra x có phi l| nghim ca phơng trình >>rref([ A b]) H có vẫ s nghim do s biến nhiều hơn s phơng trình ans = 1 0 -3 4 0 1 3 -4 ọ|i . Cho ma trn sau: 1 2 1 3 7 2 0 1 A 3 2 1 1 0 1 4 8 ỏự đo{n kết qu v| kiểm tra li bằng M‚ởỗ‚‛ ý nghĩa ca lnh sau: >>A( [1 3], [1 3] ) = 10 * ones (2) ọ|i . ộhp v|o ma trn sau: Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
50. Chơng . ỡỐCởỚờ ỡủ M‚ ởờộ 46 1 2 1 3 7 2 0 1 A 3 2 1 1 0 1 4 8 a) ởính AT = B b) ởính C = A * B c) ởính D = B * A d) ởính 3A + 5B3 ọ|i . ộhp v|o c{c ma trn sau: 3 2 1 2 1 0 0 A 0 5 2 B 1 C 0 1 0 1 0 3 3 0 0 1 ởính trong M‚ởỗ‚‛ c{c phép tính sau, gii thích trong trng hp M‚ởỗ‚‛ khẫng thể thực hin phép to{n. A * B B * A I + A A .* I ọ|i . ởo ma trn × v| lu v|o mt biến. ởhay thế h|ng th hai ca ma trn đó bằng vector ct cha c{c gi{ trị v| . ọ|i . ởo vector x cha phần t c{ch đều nhau trong khong –π đến π. ởo vector y cha sin(x). ọ|i . ởo ma trn × có c{c phần t l| c{c s nguyên ngu nhiên trong khong - đến . ợóa h|ng th ba ca ma trn. ọ|i . ởo vector vec. ởìm tt c c{c lnh cho phép truy xut đến phần t cui cùng ca vec gi s khẫng biết vec có bao nhiêu phần t. Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
51. Chơng . ỡỐCởỚờ ỡủ M‚ ởờộ 47 ọ|i .18 ởo ma trn mat. ởìm tt c c{c lnh cho phép truy xut đến phần t cui cùng ca ma gi s khẫng biết s phần t, s h|ng, s ct ca mat). ọ|i . ỡiết c{c lnh yêu cầu nhp v|o từ b|n phím c{c gi{ trị n, low, high (high ln hơn low). ởừ c{c gi{ trị nhp v|o to ma trn đng chéo n × n trong đó đng chéo cha c{c gi{ trị nguyên ngu nhiên từ low đến high. ọ|i . ỡiết c{c c}u lnh yêu cầu nhp v|o từ b|n phím hai s nguyên dơng lu v|o c{c biến m, n. ỡiết c}u lnh nhp v|o s nguyên k. ỡiết c}u lnh to ma trn có kích c m × n m| tt c c{c phần t đều có gi{ trị k trong c}u lnh có s dụng lnh ones). ọ|i . Cho h phơng trình đi s tuyến tính Ax = b. ộhp c{c ma trn A, b v| gii s dụng c{c lnh chia tr{i v| rref. 11 1 2 A 12 1 B 3 11 1 6 ọ|i . Cho h bn phơng trình bn ẩn sau: ộhp c{c ma trn v|o M‚ởỗ‚‛ v| gii. 4x1 x 2 3 x 4 10 2x1 3 x 2 x 3 5 x 4 3 x1 x 2 x 3 22 x 4 3x1 2 x 2 4 x 3 4 ọ|i . Gii h phơng trình đi s tuyến tính: 2x1 2 x 2 x 3 2 xx23 2 1 x1 x 2 3 x 3 3 Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
52. Chơng . ỡỐCởỚờ ỡủ M‚ ởờộ 48 ọ|i . Gii h phơng trình đi s tuyến tính: x1 2 x 2 x 3 2 2x1 5 x 2 3 x 3 6 x1 2 x 2 2 x 3 4 ọ|i . Cho h phơng trình đi s tuyến tính Ax = b, tìm nghim ca h. 10 10 A 12 b 16 14 17 ọ|i . Cho h phơng trình đi s tuyến tính Ax = b, tìm nghim ca h. 1 1 2 A 11 b 0 13 3 Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
53. Chơng 3. ởÍộH ởỚ[ộ Ở ỡI M‚ởỗ‚‛ 49 Chưng . TÍộồ TỚÁộ Ở VI ỘỌTỗỌọ . Ở phc Ở phc đc viết di dng tng qu{t a + bi trong đó a l| phần thực, b l| phần o, i có gi{ trị 1 . Trong MATLAB i v| j l| nhng hằng x}y dựng sẵn tr về gi{ trị 1. Ở phc trong M‚ởỗ‚‛ có thể biểu din theo i hoặc theo j, ví dụ 5 + 2i hoặc 3 – 4j. Ỗhẫng cần s dụng ký hiu phép nh}n * gia phần o v| c{c hằng i, j. Có sự kh{c bit gia i v| *i" ? Điều n|y phụ thuc v|o vic trc đó i có đc dùng cho mt biến n|o kh{c hay khẫng. ộếu i trc đó đã s dụng nh l| mt biến ví dụ trong vòng lặp for thì c}u lnh 3*i sẽ s dụng gi{ trị đc g{n cho biến i v| nh vy kết qu sẽ khẫng phi l| mt s phc. ỡì thế, để tr{nh nhầm ln khi biểu din s phc trong M‚ởỗ‚‛ ta nên s dụng 1i hoặc 1j thay vì chỉ i hoặc j. Ỗết qu tr về khi s dụng 1i hoặc 1j luẫn luẫn l| s phc bt kể trc đó i v| j có đc g{n gi{ trị hay khẫng. ởrong M‚ởỗ‚‛ có h|m complex sẽ tr về s phc gồm phần thực v| phần o khi nhn đc hai tham s tơng ng, khi chỉ nhn mt tham s, complex coi nh phần o khẫng có gi{ trị v| chỉ biểu din phần thực, cú ph{p gọi h|m nh sau: >>C = complex (A, B) ởrong đó gi{ trị tr về C sẽ đc biểu din di dng phc C = A + Bi Mt s ví dụ biểu din s phc >>z1 = 4 + 2i z1 = 4.0000 + 2.0000i >>z2 = sqrt( -5 ) z2 = 0 + 2.2361i >>z3 = complex (3,-3) z3 = 3.0000 – 3.0000i Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
54. Chơng 3. ởÍộH ởỚ[ộ Ở ỡI M‚ởỗ‚‛ 50 >>z4 = 2 + 3j z4 = 2.00 + 3.0000i >>z5 = (-4)^1/2 z5 = 0.0 + 2.0000i ỗu ý l| ngay c khi dùng j để biểu din s phc trong c}u lnh thì M‚ởỗ‚‛ vn s dụng i trong c{c kết qu tr về. ởrong M‚ởỗ‚‛ còn có c{c h|m real v| imag tr về phần thực v| phần o ca mt s phc, cú ph{p gọi h|m nh sau >>real (X) >>imag (X) ởrong đó X l| s phc, gi{ trị tr về ca hai h|m real v| imag sẽ l| phần thực v| phần o tơng ng ca X. >>real(z1) ans = 4 >>imag(z3) ans = -3 ởrng hp mun xut ra m|n hình gi{ trị ca mt s phc, lnh disp sẽ hiển thị c phần thực v| phần o trong khi đó lnh fprintf chỉ hiển thị phần thực trừ khi có lnh in đồng thi c hai th|nh phần ca s phc. >>disp(z1) ans = 4.0000 + 2.0000i >>fprintf(‘ %f \n’, z1) 4.0000 >>fprintf(‘ %f %f \n’, real(z1), imag(z1)) 4.0000 2.0000 >>fprintf(‘ %f + %fi \n’, real(z1), imag(z1)) 4.0000 + 2.0000i H|m isreal tr về gi{ trị logic nếu đúng l| s phc khẫng có gi{ trị phần o, tr về gi{ trị logic nếu s phc có gi{ trị phần o kể c gi{ trị phần o l| . Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
55. Chơng 3. ởÍộH ởỚ[ộ Ở ỡI M‚ởỗ‚‛ 51 >>isreal(z1) ans = 0 >>z6 = complex(3) z6 = 3 >>isreal(z6) ans = 0 >>isreal(3.3) ans = 1 Đi vi z6 mặc dù gi{ trị hiển thị trên ca s lnh l| nhng biểu din trong M‚ởỗ‚‛ vn l| . + .i xem Ợorkspace vì thế gi{ trị tr về ca h|m isreal trong trng hp n|y l| do z6 vn cha phần o. ọiu din s phc bằng ta đ cc v| lễy thừa ca loga t nhiên Mọi s phc z = a + bi đều có thể biểu din bi điểm (a, b) hoặc di dng vector trên mặt phẳng phc trong đó trục ho|nh v| trục tung biểu din phần thực v| phần o ca z. ỏo mt vector có thể đc biểu din trong h tọa đ Đề c{c hoặc h tọa đ cực, mt s phc cễng có thể biểu din trong h tọa đ cực s dụng c{c phép quy đi sau: ‛iến đi h tọa đ cực sang h tọa đ Đề c{c: a = r cosθ b = r sinθ ‛iến đi h tọa đ Đề c{c sang h tọa đ cực: 22 r z a b 1 b  tan ( ) a z a bi rcos ( r sin ) i ộgo|i ra, s phc có thể biểu din di dng lễy thừa ca loga tự nhiên i ei cos sin , biểu din dng phc dng lễy thừa có thể thu đc trong M‚ởỗ‚‛ s dụng lnh expj*theta. ỡí dụ >>exp(j*pi/2) ans = Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
56. Chơng 3. ởÍộH ởỚ[ộ Ở ỡI M‚ởỗ‚‛ 52 0.0000 + 1.0000i ởrong M‚ởỗ‚‛ ta có thể s dụng nhng h|m x}y dựng sẵn để tìm gi{ trị ca r v| θ l| abs v| angle theo cú ph{p sau >>abs (X) >>angle (X) ởrong đó X l| s phc, abs v| angle sẽ tr về gi{ trị r v| θ tơng ng ca X, xét ví dụ >>z1 = 3 + 4i; >>r = abs(z1) r = 5 >>theta = angle(z1) theta = 0.9273 >>r*exp(i*theta) ans = 3.0000 + 4.0000i Cng, trừ, nh}n, chia s phc: Cho hai s phc z1 = a + bi, z2 = c + di z1 + z2 = a + bi + c + di = (a+c) + (b +d)i z1 – z2 = a + bi – c – di = (a –c) + (b – d)i z1 * z2 = (a + bi) * (c + di) = ac + (bc + ad)i –bd = (ac – bd) + (bc + ad)i ỡí dụ: >>z1 = 3 + 4i; >>z2 = 1 – 2i; >>z1*z2 ans = 11.0000 – 2.0000i ớhép chia hai s phc có thể đc thực hin d d|ng khi biểu din hai s phc di dng lễy thừa ca loga tự nhiên rồi thực hin phép chia sau đó. ỡí dụ zj2 2 1.5 z3 zj1 1.25 2.5 >>z1 = 2 + 1.5j; Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
57. Chơng 3. ởÍộH ởỚ[ộ Ở ỡI M‚ởỗ‚‛ 53 >>z2 = 1.25 + 2.5j; >>abs1 = abs(z1); >>abs2 = abs(z2); >>angle1 = angle(z1); >>angle2 = angle(z2); >>abs3 = abs2/abs1; >>angle3 = angle2 – angle1; Hai phép tính z/z v| abs*expj*angle đều đa ra kết qu ging nhau. >>z3 = z2/z1 z3 = 1.0000 + 0.5000i Ở phc liên hp v| gi{ tr tuyt đi Cho s phc di dng z = a + bi , s phc z a bi gọi l| s phc liên hp ca z. Đ ln hay gi{ trị tuyt đi ca s phc đc tính theo cẫng thc 22 z a b . ởrong M‚ởỗ‚‛ có thể s dụng hai h|m sẵn có để tính dng liên hp v| gi{ trị tuyt đi ca s phc l| conj v| abs. >>z1 = 3 + 4i z1 = 3.0000 + 4.0000i >>conj (z1) ans = 3.0000 – 4.0000i >>abs (z1) ans = 5 . ồ|m vô danh H|m vẫ danh l| dng h|m s đơn gin, đc thể hin chỉ cần s dụng mt dòng lnh trong M‚ởỗ‚‛. u điểm ca h|m vẫ danh l| khẫng cần phi lu trong c{c file văn bn son tho bằng Matlab editor M-file, đơn gin hóa chơng trình s dụng nhng phép tính đơn gin, gim thiểu s M-file cần dùng cho mt chơng trình. H|m vẫ danh có thể đc to trong ca s lnh hoặc trong c{c h|m văn bn. Cú ph{p cho h|m vẫ danh trình b|y nh sau Ten_ham = @(ten_bien) than_ham Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
58. Chơng 3. ởÍộH ởỚ[ộ Ở ỡI M‚ởỗ‚‛ 54 ỡí dụ >>dt_hinhtron = @(r) pi*r.^2; >>dt_hinhtron(4) ans = 50.2655 ởrong trng hp khẫng truyền tham s cho h|m, vn phi s dụng du ngoặc lúc khai b{o v| lúc gọi h|m. ỡí dụ: H|m vẫ danh sau in ra m|n hình s thực ngu nhiên có hai ch s phần thp ph}n >>in_nn = @( ) fprintf(‘ %.2f \n’, rand); >>in_nn ( ) 0.95 ởrng hp gọi h|m chỉ có tên h|m m| khẫng có du ngoặc, M‚ởỗ‚‛ sẽ hiển thị th}n h|m lên m|n hình. >>in_nn in_nn = @ ( ) fprintf(‘ %.2f \n’, rand) . Cc tr v| nghim ca h|m s mt bin s Trong MATLAB cc tr ca h|m s có thể x{c định trong khong x1, x2 ca h|m s đó x{c định từ đồ thị dùng h|m fminbnd theo cú ph{p sau >>fminbnd (fun, x1, x2) ởrong đó fun l| h|m s khai b{o v| x1, x2 l| khong gi{ trị cha cực tiểu. Gi{ trị tr về ca h|m fminbnd l| cực tiểu ca h|m fun trong khong x1, x2 ỡí dụ: Cho h|m s f(x) = x3 – 2x - 5, tìm cực tiểu ca h|m s trong khong , v| gi{ trị h|m s ti vị trí cực tiểu. >>f = @(x) x^3 – 2*x -5; >>x1 = fminbnd (f, 0, 2) x1 = 0.8165 >>y1 = f(x1) y1 = -6.0887 ỡí dụ: Cho h|m s f(x) = x3 – x2 – 3tan-1(x) +1, h|m s n|y có cực tiểu trong khong , có thể x{c định nh sau Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
59. Chơng 3. ởÍộH ởỚ[ộ Ở ỡI M‚ởỗ‚‛ 55 >>clear all >>f = @ (x) x^3 – x^2 – 3*atan(x) + 1; >>x1 = fminbnd(f, 0, 2) x1 = 1.0878 >>f(x1) ans = -1.3784 ộh vy trên , h|m s có mt cực tiểu ti x = . vi gi{ trị -1.3784. H|m s n|y cễng có mt cực đi trong khong -, . M‚ởỗ‚‛ khẫng có h|m để tìm trực tiếp cực đi ca h|m s tuy nhiên ta có thể s dụng fminbnd để tìm cực tiểu ca h|m –f(x) trên khong tơng ng. >>finv = @(x) –f(x); >>x2 = fminbnd(finv, -1, 0) x2 = -0.5902 >>finv(x2) ans = -2.0456 ộh vy h|m s có mt cực đi ti x = -. vi gi{ trị -2.0456 ộghim ca h|m s mt bin s Định nghĩa to{n học về nghim ca ca h|m s f(x) l| giao điểm ca đồ thị h|m s đó v| trục Ox hay gi{ trị x0 m| ti đó f(x0) = 0. ỏo M‚ởỗ‚‛ s dụng du chm đng nên rt khó x{c định chính x{c điểm khẫng ca h|m s, nên thay vì tìm gi{ trị biến m| ti đó h|m s bằng khẫng, M‚ởỗ‚‛ tìm điểm m| ti đó h|m s đi du. Cú ph{p: x = fzero (fun, x0) ởrong đó x0 l| l}n cn điểm m| h|m s giao vi trục Ox hoặc x0 l| vector cha hai gi{ trị x1 v| x2 m| f(x1) v| f(x2) kh{c du nhau. H|m fzero cho phép x{c định nghim ca h|m s f(x) = 0 ti l}n cn x0. ỡí dụ: Xét h|m s f(x) =x2 – 2x – 3 Đồ thị h|m s n|y giao vi trục Ox ti hai điểm x1 = - và x2 = 3 Để dùng M‚ởỗ‚‛ tìm c{c gi{ trị x1, x2 trc tiên cần khai b{o h|m >>f = @(x) x^2 – 2*x – 3; Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
60. Chơng 3. ởÍộH ởỚ[ộ Ở ỡI M‚ởỗ‚‛ 56 >>x1 = fzero(f, -2) ởìm nghim ti l}n cn ca -2 x1 = -1 >>x2 = fzero(f, [2, 4]) ởìm nghim trong khong , ỗu ý f v| f kh{c du x2 = 3 >>f(x1) ans = 0 >>f(x2) ans = 0 Hình 3. 1. Xác định nghiệm ca hàm số tại điểm đồ thị giao với trục hoành ỡí dụ: S dụng M‚ởỗ‚‛ để gii phơng trình sau 5 – 2x = e-0.25x ởrc tiên thực hin phép biến đi để có vế phi bằng khẫng, sau đó khai b{o h|m trong M‚ởỗ‚‛ >>f = @(x) 5 – 2*x – exp(-0.25*x); ởa thy đồ thị h|m s cắt trục ho|nh trong khong , Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
61. Chơng 3. ởÍộH ởỚ[ộ Ở ỡI M‚ởỗ‚‛ 57 0.25x Hình 3. 2. Đồ thị hàm số f(x) = 5 - 2x - e >>x0 = fzero(f, [2, 3]) x0 = 2.2124 >>f (x0) ans = 2.2204e-016 -16 ỗu ý gi{ trị h|m ti x0 xp xỉ . × tơng đơng khẫng, vì vy x =2.2124 chính l| nghim ca h|m 5 – 2x – e -0.25x cễng chính l| nghim ca phơng trình 5 – 2x = e -0.25x ỗu ý M‚ởỗ‚‛ định nghĩa nghim ca phơng trình f(x) = 0 ti nơi đồ thị h|m s f(x) cắt trục ho|nh nơi h|m s đi du. ỡì vy trong trng hp f(x) = x 2đt gi{ trị khẫng ti x=0, fzero sẽ khẫng tìm đc nghim nếu x{c định l}n cn khẫng đúng. ỡí dụ >>fzerof, hoặc fzerof, -1) hay fzero(f, [-1, 1]). . Đa thc mt bin s M‚ởỗ‚‛ biểu din đa thc mt biến s di dng mt vector h|ng cha c{c h s. ỡí dụ: Đa thc x3 + 2x2 – 4x + 3 có thể biểu din bi vector - , đa thc 2x4 – x2 + 5 có thể biểu din bi vector - , lu ý h s khẫng cho c{c s hng x3 v| x. ộếu v l| mt vector cha c{c h s ca đa thc v| x l| mt s, h|m polyval(v,x) cho phép tính gi{ trị ca đa thc biểu din bi v ti x, x có thể l| mt vector, khi đó tp hp c{c gi{ trị ca đa thc cễng sẽ đc lu trong mt vector, cú ph{p gọi h|m nh sau >>y = polyval (v, x) ộh đã trình b|y trên, gi{ trị tr về y sẽ l| gi{ trị ca h|m s v ti x tơng ng. Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
62. Chơng 3. ởÍộH ởỚ[ộ Ở ỡI M‚ởỗ‚‛ 58 ỡí dụ: >>polyval ([1 -2 0 1], [1 2 3 4]) ans = [0 1 10 33] ởrong đó , 1, 10, lần lt l| c{c gi{ trị ca đa thc x3 – 2x2 + 1 ti c{c điểm x = 1, 2, 3, 4 tơng ng. H|m roots trong M‚ởỗ‚‛ cho phép tìm nghim ca phơng trình biểu din di dng đa thc. Cú ph{p gọi h|m nh sau >>roots(C) ởrong đó C l| vector cha c{c h s ca đa thc cần tìm nghim, gi{ trị tr về sẽ l| tp hp c{c nghim ca đa thc cần tìm. ỡí dụ cho đa thc f(x) =4x3 – 2x2 – 8x + 3, gii phơng trình f(x) = 0. >>Rs = roots([4 -2 -8 3]) Rs = -1.3660 1.5000 0.3660 ởrng hp đã biết tt c c{c nghim ca đa thc biểu din trong vector Rs, ta có thể biểu din li đa thc đó di dng vector ca c{c h s s dụng lnh poly theo cú ph{p sau >>f = poly(Rs) ởrong đó ờs l| vector biểu din tp nghim ca phơng trình f(x) = 0 tơng ng, gi{ trị tr về ca h|m sẽ l| vector cha c{c h s ca f(x). ỡí dụ: Biểu din li đa thc có nghim cha trong ờs đc tính trên: >>f = polys(Rs) f = 1.0000 -0.5000 -2.0000 0.7500 ộh}n tt c c{c h s ca đa thc vi để đc đa thc ban đầu ởrong M‚ởỗ‚‛ ta cễng có thể x{c định tích ca hai đa thc a, b bằng lnh conv(a, b) vi gi{ trị tr về l| vector cha c{c h s ca đa thc tích. ởơng tự phép chia hai đa thc cễng có thể thực hin trong M‚ởỗ‚‛ s dụng lnh deconv(b, a). Trong đó, b, a lần lt l| c{c đa thc t s v| mu s. Cú ph{p tơng ng nh sau: >>c = conv(a, b) Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
63. Chơng 3. ởÍộH ởỚ[ộ Ở ỡI M‚ởỗ‚‛ 59 >>[q, r] = deconv(b, a) ởrong đó: a, b lần lt l| c{c đa thc th|nh phần, c l| đa thc tích, q l| thơng ca phép chia đa hai đa thc v| r l| phần d trong phép chia đa thc b cho a. ỡí dụ: Xét hai đa thc 2 Ax 25 B x 37 x >>A = [2 5]; >>B = [1 3 7]; Ỗết qu ca phép tính AB >>C = conv(A, B) C = 2 11 29 35 C Ỗết qu ca phép tính A >>[D, r] = deconv(C, A) D = 1 3 7 r = 0 0 0 0 . Tích ph}n v| đo h|m Để tính tích ph}n x{c định, M‚ởỗ‚‛ có h|m quadfun, a, b tính gần đúng tích ph}n ca h|m fun trong khong (a, b) vi sai s 1e-6 s dụng cẫng thc Ởimpson. H|m y = fun(x) phi chp nhn tham s x di dng vector v| tr về kết qu di dng vector y. ỡì thế khi định nghĩa h|m cần s dụng c{c phép to{n đi vi vector .* ./ .^ Cú ph{p gọi h|m nh sau >>q = quad(fun, a, b) Gi{ trị tr về ca h|m q l| kết qu tính gần đúng tích ph}n tơng ng ca h|m fun nh đã trình b|y trên. ỡí dụ: Tính tích ph}n x{c định ca h|m x2 – 6x + 5 trong khong (1, 5). >>f = @(x) x.^2 – 6*x + 5; >>intf = quad(f, 1, 5) Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
64. Chơng 3. ởÍộH ởỚ[ộ Ở ỡI M‚ởỗ‚‛ 60 intf = -10.6667 2 1 ỡí dụ: Tính tích ph}n sau 3 0 xx 25 >>f = @(x) 1./(x.^3 – 2*x – 5); >>quad(f, 0, 2) ans = -0.4605 dy Đo h|m ca h|m s y = f(x) đc viết di dng fx() hoặc f’x v| dx định nghĩa bằng đ thay đi ca biến đc lp y theo x. Đo h|m ca h|m s ti mt điểm chính l| góc nghiêng ca tiếp tuyến vi h|m s ti điểm đó. Để x{c định đo h|m ca đa thc mt biến trong M‚ởỗ‚‛ có thể s dụng h|m polyder vi cú ph{p nh sau >>polyder (P) ởrong đó P l| vector cha c{c h s ca đa thc tơng ng. ỡí dụ: Cho đa thc x3 + 2x2 – 4x + 3 có thể biểu din bằng vector [1 2 -4 , đo h|m ca đa thc n|y sẽ x{c định nh sau >>hs = [1 2 -4 3]; >>dhs = polyder(hs) dhs = 3 4 -4 có dng vector - biểu din cho đa thc 3x2 + 4x – 4. Đo h|m có thể biểu din di dng gii hn nh sau v| có thể tính gần đúng trong M‚ởỗ‚‛ s dụng h|m diff theo cú ph{p >>diff(X) ởrong đó X l| vector cha c{c h s ca đa thc tơng ng. f()() x h f x fx'( ) lim h 0 h ợét h|m s f(x) = x2 – 6x + 5. Gi s chúng ta có tp hp c{c gi{ trị ca biến x biểu din bi vector x = [1 2 3 4 5]. ộh vy tp hp c{c gi{ trị ca biến y = f(x) tơng ng l| >>f = @(x) x.^2 – 6*x + 5; >>x = [1 2 3 4 5]; Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
65. Chơng 3. ởÍộH ởỚ[ộ Ở ỡI M‚ởỗ‚‛ 61 >>y = f(x) y = 0 -3 -4 -3 0 ộếu coi dy l| đo h|m ca f(x) theo x v| x{c định gi{ trị ca đo h|m ti c{c điểm x = [1 2 3 4 5] tơng ng >>dy = @(x) 2*x – 6 >>dy(x) ans = -4 -2 0 2 4 Ởo s{nh gi{ trị đo h|m ca h|m s ti c{c điểm cho trc bằng c{ch tính gần đúng gii hn s dụng h|m diff. >>diff(y)./diff(x) ans = -3 -1 1 3 ỗu ý trong M‚ởỗ‚‛ vic tính diff ca vector a gồm n phần t đc x{c định bằng vector mi da có n – 1 phần t do đó s phần t ca phép tính đo h|m theo diff ít hơn so vi c{ch tính thẫng thng mt phần t. Gi{ trị chênh lch gia hai phép tính nh dần khi khong c{ch gia c{c phần t trong vector x c|ng gim (có thể th li khi nhp x = 1: .1 : 5). a = [a1 a2 a3 an-2 an-1 an] da = [a2 – a1 a3 – a2 an-1 – an-2 an – an-1] 3.6 ớhưng trình vi ph}n ởrong M‚ởỗ‚‛, phơng trình vi ph}n có thể gii theo phơng ph{p s thẫng qua mt s h|m x}y dựng sẵn, trong ni dung gi{o trình n|y chúng ta sẽ tp trung tìm hiểu hai h|m ode23, ode45 l| nhng phiên bn ph{t triển từ cẫng thc ờunge-Ỗutta bc / v| ờunge-Ỗutta bc /. Cú ph{p tng qu{t để gii phơng trình vi ph}n vi nhng h|m n|y nh sau: >>[t, y] = ode45(‘yprime’, [t0, tF], y0) >>[t,y ] = ode23(‘yprime’, [t0, tF], y0) Trong đó: yprime l| tên h|m biểu din phơng trình vi ph}n, t0 v| tF l| hai mc thi gian đầu cui cho đ{p {n, y0 l| gi{ trị ca biến ti thi điểm ban đầu. Gi{ trị tr về ca h|m l| vector thi gian t, v| ma trn y cha nhng gi{ trị tơng ng ca h|m ti c{c thi điểm kh{c nhau ly từ vector thi gian t. Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
66. Chơng 3. ởÍộH ởỚ[ộ Ở ỡI M‚ởỗ‚‛ 62 Đi vi nhng h|m phc tp hoặc đi vi h phơng trình vi ph}n, nên khai b{o h|m trong script, trong chơng n|y chúng ta sẽ chỉ xét nhng trng hp có thể khai b{o bằng h|m vẫ danh. ỡí dụ: Gii phơng trình vi ph}n 3 3 dy t 2 y ty 2 y t dt t trong khong 1 >ode1 = @(t,y) (t^3 – 2*y)/t; >>[t, y] = ode45(ode1, [1: 0.1: 3], 4.2); C{c cặp gi{ trị (t,y) thu đc có thể biểu din bằng đồ thị .. Gii phơng trình vi ph}n sau: 2 y ty y ởrong khong t 0,.5  vi y(0) = 1 >>ode2 = @(t,y) (t*y^2 + y) >>[t,y] = ode45(ode2, [0, .5], 1) C{c gi{ trị t,y thu đc có thể biểu din di dng đồ thị nh sau: Hình 3. 4. Đồ thị (t, y) ca phương trình vi phân dy/dt = ty2 +y Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
67. Chơng 3. ởÍộH ởỚ[ộ Ở ỡI M‚ởỗ‚‛ 63 ởrên đ}y l| c{c ví dụ về gii phơng trình vi ph}n bc nht, đi vi phơng trình vi ph}n bc cao hơn, cần đa về h phơng trình vi ph}n bc nht rồi gii, tuy nhiên khi đó khai b{o h|m cần đc thực hin trong M-file. . Tóm tắt chưng Ở phc abs(x) ợ{c định gi{ trị tuyt đi ca biến x angle(x) Góc ca s phc x conj(x) ởr về s phc liên hp ca x imag(x) ớhần o ca x real(x) ớhần thực ca x ồ|m s v| đa thc mt bin s fminbnd ợ{c định cực tiểu ca h|m s trong mt khong cho trc fzero ộghim ca h|m f(x) = 0 x{c định trong khong cho trc polyval ởính gi{ trị đa thc roots ởính nghim ca đa thc poly ởr về vector h s ca đa thc nếu biết vector nghim conv ởhực hin phép nh}n hai đa thc deconv ởhực hin phép chia hai đa thc Tích ph}n, đo h|m, vi ph}n s quad ởích ph}n h|m s polyder Đo h|m đa thc mt biến s diff ởính gần đúng đo h|m ca h|m s mt biến s ode23 H|m tính vi ph}n theo cẫng thc ờunge-Kutta ode45 H|m tính vi ph}n theo cẫng thc ờunge-Kutta Bảng 3. 1. Tóm tắt các hàm sử dụng trong chương 3 Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
68. Chơng 3. ởÍộH ởỚ[ộ Ở ỡI M‚ởỗ‚‛ 64 . ọ|i tp chưng ọ|i . Thc hin c{c phép tính sau a. (3 5ii ) (2 3 ) b. (3 5i ) 6 c. 7ii (4 5 ) d. 3(2 4i ) e. (5 3ii ) f. (2 7ii )(3 4 ) 1 g. i 3 h. 1 i 47i i. 25 i Đáp án: a. 52 i b. 95 i c. 42i d. 6 12i e. 35i f. 34 13i g. i h. 1.5 1.5i i. 1.4828 0.2069i ọ|i . ờềt gn 13 ii a. (1 2ii )(2 2 ) 11 ii 3 b. 2i ( i 1) ( 3 i ) (1 i )(1 i ) Đáp án: a. 37 i b. 10i ọ|i . a. ỡiết li c{c s phc sau di dng [,]r  i. 72 i Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
69. Chơng 3. ởÍộH ởỚ[ộ Ở ỡI M‚ởỗ‚‛ 65 ii. 3 i iii. 46i b. ỡiết li c{c s phc sau di dng a bi i. [3, ] 4 ii. [5, ] 2 iii. [ 2, ] 3 c. ỡiết li c{c s phc sau di dng lễy thừa. i. 2(cos i cos ) 33 2 ii. [5, ] 3 iii. 13 i ọ|i . Cho h|m s sau: y exp( 2 x )-4 exp( x )+ 2 4 2 0 -2 x -10 -8 -6 -4 -2 0 2 Hình 3. 5. Hình bài 3.4 2xx f( x ) e 4 e 2 ởìm nghim f(x) = 0 v| cực trị ca h|m trong khong biểu din ca đồ thị. ọ|i . ns() Cho: Hs() ds() ỡi: 4 3 2 n( s ) s 6 s 5 s 4 s 3 5 4 3 2 d( s ) s 7 s 6 s 5 s 4 s 7 Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
70. Chơng 3. ởÍộH ởỚ[ộ Ở ỡI M‚ởỗ‚‛ 66 ởìm: a. n(10), n(-5), n(-3), n(-1) b. d(10), d(-5), d(-3), d(-1) c. H(10), H(-5), H(-3), H(-1) ọ|i . Cho: 32 p1( s ) s 5 s 3 s 10 4 3 2 p2( s ) s 7 s 5 s 8 s 15 5 4 3 2 p3( s ) s 15 s 10 s 6 s 3 s 9 a. ởìm p1(2), p2(2), p3(3) b. ởìm p1(s)p2(s)p3(s) c. ởìm p1(s)p2(s)/p3(s) ọ|i . ởìm nghim p(x) = 0 ca c{c đa thc sau: 7 6 5 4 3 2 a. p1( x ) x 8 x 5 x 4 x 3 x 2 x x 1 5 4 3 2 b. p2( x ) x 13 x 10 x 12 x 8 x 15 32 c. p3( x ) x 4 7 x 12 x 25 x 8 ọ|i . Ở dụng h|m quad tính c{c tích ph}n sau a. y1 sin xdx 2 sin x b. y2 dx x 2 3 321 c. y() x x dx 3 2 1 x ọ|i . 2 Cho h|m s f( x ) x sin ( x ) v| đồ thị biểu din trên khong [0,2 ] a. ợ{c định c{c điểm cực đi ca h|m s trên khong biểu din v| gi{ trị h|m s tơng ng. b. ởính tích ph}n sau s dụng h|m quad. Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
71. Chơng 3. ởÍộH ởỚ[ộ Ở ỡI M‚ởỗ‚‛ 67 2 f() x dx 0 x (sin(x)2) 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 x Hình 3. 6. Hình bài 3.9 ọ|i . 32 ợét mt vt chuyển đng vi vn tc v( t ) t 2 t 2 m/s xét trên khong thi gian 0(s) t 5(s). ợ{c định gia tc ca vt thi điểm t = 2.5 (s). Đáp án: Ỗhai b{o biến t cha c{c gi{ trị thi gian c{ch nhau ts0.1( ) , tính v theo t >>t = 0: 0.1: 5; >>v = t.^3 – 2*t.^2 + 2; ởính đo h|m theo t ca v >>dv = diff(v)./diff(t); Gia tc ti thi điểm t = 2.5 (s) >>dv(26) ans = 9.3100 ộh vy vi ts0.1( ) , gia tc ti thi điểm t = 2.5(s) l| . m/s2 Ởo s{nh vi gi{ trị gia tc tính theo đo h|m 2 v'( t ) 3 t 4 t 2 v'(2.5) 3  (2.5)2 4  2.5 8.75 m/s Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
72. Chơng 3. ởÍộH ởỚ[ộ Ở ỡI M‚ởỗ‚‛ 68 Gi{ trị gia tc tính bằng phơng ph{p s dụng h|m diff chỉ đa ra đ{nh gi{ gần đúng, để thu về kết qu chính x{c hơn sinh viên có thể th vi ts0.01( ) v| ts0.001( ) ọ|i . Ở dụng h|m ode23 v| ode45 để gii c{c phơng trình vi ph}n sau: a. x 12 tx vi x(0) = 1 trên khong , tx b. x 2 vi x(0) = 3 trên khong , 1 x Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
73. Chương 4. B CÔNG C KÝ HIU 69 Chưng . ọ C4ộỒ C ỖÝ ồIU 4.1 Ồii thiu bin ký hiu ‛ cẫng cụ ký hiu to{n học l| tp hp c{c cẫng cụ cho phép thao t{c v| x lý c{c phép to{n s dụng biến ký hiu. ‛ cẫng cụ n|y có thể đc ng dụng trong đồ họa cễng nh c{c phơng ph{p tính to{n s trong mẫi trng M‚ởỗ‚‛ nh đo h|m, tích ph}n, chui ởaylor, đi s tuyến tính, rút gọn, gii h phơng trình, c{c h|m to{n học đặc bit, c{c phép biến đi ốourier, ỗaplace ‛ cẫng cụ biến ký hiu trong M‚ởỗ‚‛ ph{t triển dựa trên cơ s mt phiên bn đặc bit ca Maple Ỗernel, tơng thích vi M‚ởỗ‚‛ v| Maple tr lên. ỡi sự xut hin ca b cẫng cụ biến ký hiu, trong M‚ởỗ‚‛ xut hin thêm mt kiểu d liu gọi l| đối tượng ký hiệu, đc định nghĩa l| mt kiểu d liu có cu trúc. Trong đó, lu mt chui ký tự đi din cho mt biến ký hiu có thể l| mt biến đơn lẻ, mt ma trn hoặc mt biểu thc. ỡí dụ sau đ}y chỉ ra sự kh{c bit gia hai loi kiểu d liu double v| đi tng ký hiu tơng ng, c}u lnh sau tr về kết qu l| mt s thp ph}n s dụng du chm đng. >>sqrt(2) ans = 1.4142 Mặt kh{c khi ta chuyển gi{ trị sang dng đi tơng ký hiu s dụng lnh symsau đó thực hin phép căn bc hai, kết qu thu đc sẽ l| >>a = sqrt(sym(2)) ans = 2^(1/2) M‚ởỗ‚‛ tr về kết qu dng biểu thc cho phép căn bc hai m| khẫng đa ra gi{ trị s, kết qu n|y sẽ đc lu li trong mt x}u ký tự biểu din cho ^/. Gi{ trị s ca biểu thc n|y có thể thu đc s dụng lnh double theo cú ph{p >>double (X) ởrong đó ợ l| biến có kiểu cần chuyển về dng double, nếu biến X đã có dng double, lnh trên khẫng có t{c dụng. Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
74. Chương 4. B CÔNG C KÝ HIU 70 >>double(a) ans = 1.4142 Ỗhi to mt ph}n s có cha đi tng ký hiu, M‚ởỗ‚‛ sẽ lu li t s v| mu s ca ph}n s đó. ỡí dụ >>sym(2)/sym(5) ans = 2/5 Ỗết qu thu đc trong phép to{n s dụng đi tng ký hiu sẽ đc biểu din di dng biểu thc, kh{c vi c{c kiểu d liu tiêu chuẩn kh{c. ỡí dụ: Trong phép cng hai ph}n s có kiểu d liu double, M‚ởỗ‚‛ tr về kết qu dng s thp ph}n >>2/5 + 1/3 ans = 0.7333 ởrong khi đó nếu thực hin phép cng hai ph}n s có kiểu biến ký hiu, M‚ởỗ‚‛ sẽ quy đồng mu s rồi thực hin phép cng, kết qu tr về sẽ có dng ph}n s >>sym(2)/sym(5) + sym(1)/sym(3) ans = 11/15 . ọin v| biu thc ởrong M‚ởỗ‚‛, c{c biến v| biểu thc ký hiu có thể đc to s dụng lnh sym theo cú ph{p sau >>S = sym (A); >>x = symx ởrong đó c{c biến S v| x đc s dụng để lu tr gi{ trị tr về ca h|m sym, cú ph{p th nht cho phép to mt biến có cu trúc sym cu trúc ký hiu từ tham s đầu v|o ‚, cú ph{p th hai cho phép to biến ký hiu có tên ’x’ v| lu kết qu v|o x. Ví dụ c{c lnh >>x = symx >>a = symalpha Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
75. Chương 4. B CÔNG C KÝ HIU 71 cho phép to c{c biến ký hiu m| khi in ra m|n hình, chúng đc biểu din tơng ng l| x v| alpha. ởrong to{n học v| ngh thut, hai đi lng đc coi l| có tỉ s v|ng nếu tỉ l gia chúng tơng đơng vi tỉ l gia tng ca chúng vi đi lng ln hơn. ỡí dụ cho hai đi lng a v| b vi a > b, hai đi lng n|y đc coi l| có tỉ s v|ng a a b 15 nếu ba 2 1 5 Gi s dùng biến ký hiu để biểu din tỉ s v|ng , ta có thể s 2 dụng lnh >>rho = sym(‘ ( 1 + sqrt(5) )/2 ’) sau đó thực hin c{c phép to{n vi biến ký hiu rho vừa khai b{o, ví dụ >>f = rho^2 – rho – 1 f = (1/2+1/2*5^(1/2))^2-3/2-1/2*5^(1/2) Ỗết qu l| mt biểu thc m| ta có thể rút gọn đc s dụng lnh simplify. >>simplify(f) ans = 0 ỗnh simplify cho phép rút gọn c{c phần t có dng ký hiu, s dụng theo cú ph{p sau >>simplify(x) ỡí dụ: Nhp mt h|m s bc hai f = ax2 + bx + c >>f = sym(‘a*x^2 + b*x + c’) ỗnh trên sẽ g{n cho biến f biểu thc ký hiu ax2 + bx + c. ởuy nhiên, trong trng hp n|y b cẫng cụ biến ký hiu trong M‚ởỗ‚‛ khẫng to c{c biến tơng ng vi c{c th|nh phần a, b, c, x trong đa thc vừa nhp. C{c biến, tham s trên cần đc khai b{o để có thể s dụng >>a = sym(‘a’); >>b = sym(‘b’); >>c = sym(‘c’); >>x = sym(‘x’); Hoặc đơn gin hơn >>syms a b c x; Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
76. Chương 4. B CÔNG C KÝ HIU 72 >>f = sym(‘a*x^2 + b*x + c’); Cễng ging nh đi vi đa thc biểu din bi vector h|ng hay h|m s vẫ danh, mt đa thc đc khai b{o bi lnh sym có thể x{c định gi{ trị ca nó ti mt điểm s dụng lnh subs theo cú ph{p sau >>subs(S) >>subs(S, new) >>subs(S, old, new) ởrong đó old l| c{c gi{ trị trong biểu thc S sẽ bị thay thế bi c{c gi{ trị new. Trng hp s dụng cú ph{p th nht, tt c c{c biến ký hiu trong S sẽ bị thay thế bi c{c biến tr về ca c{c h|m đc gọi hoặc c{c gi{ trị có sẵn trong Ợorkspace. ởrong vi cú ph{p th hai hoặc th ba, hoặc l| tt c c{c biến ký hiu sẽ bị thay thế bi new hoặc chỉ c{c biến ký hiu đc lit kê trong old sẽ bị thay thế bi new trong biểu thc S. ỡí dụ: Thay gi{ trị x = 2 v|o biểu thc f = 2x2 – 3x + 1 >>syms x f; >>f = 2*x^2 – 3*x + 1; >>f2 = subs(f,2) f2 = 3 Đi vi đa thc có mt biến s, vn có thể s dụng lnh subs để tính gi{ trị đa thc khi ta chỉ định rậ biến n|o trong đa thc đc thay thế bi mt gi{ trị cho trc. >>syms x y ; >>f = x^2*y + 5*x*sqrt(y); thay gi{ trị x = v|o f >>subs(f, x, 3) ans = 9*y + 15*y^(1/2) thay gi{ trị y = v|o f >>subs(f, y, 3) ans = 3*x^2 + 5*x*3^(1/2) tính gi{ trị f ti x = v| y = >>subs(f, {x, y}, {0,0}) ans = Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
77. Chương 4. B CÔNG C KÝ HIU 73 0 Chề ý Ỗhi s dụng h|m subs m| khẫng chỉ rậ ra biến s ký hiu n|o sẽ đc thay gi{ trị, M‚ởỗ‚‛ sẽ chọn bin ký hiu mặc đnh theo quy tắc sau đi vi biến mt ký tự, M‚ởỗ‚‛ sẽ chọn biến gần vi x nht trong bng ch c{i, nếu có hai biến có cùng khong c{ch ti x, biến đc chọn sẽ l| biến xếp sau trong bng ch c{i. ‛ cẫng cụ ký hiu còn cho phép ta gii phơng trình, h phơng trình s dụng h|m solve theo cú ph{p sau >>solvept, pt, pt, , ptộ >>solvept, pt, pt,, ptộ, bien, bien, bien, , bienộ ởrong đó pt, pt, pt, , ptN l| c{c phơng trình cần gii còn bien1, bien2, bien, , bienN l| c{c ẩn tơng ng. ợét ví dụ đi vi đa thc trong mục .: f(x) =4x3 – 2x2 – 8x + 3 Đa thc n|y có thể đc biểu din di dng vector: >>clear all >>v = [4 -2 -8 3] v| có thể đc biểu din di dng h|m biến ký hiu nh lnh poly2sym: >>f = poly2sym(v) f = 4*x^3 – 2*x^2 – 8*x + 3 ỗu ý trong trng hp n|y, biến mi xut hin trong Ợorkspace chỉ có f v| x vn l| biến cha đc khai b{o. >>x ??? Undefined function or variable ‘x’ ộgc li M‚ởỗ‚‛ cễng cho phép biến đa thc biến ký hiu sang dng vector h s vi lnh sym2poly. ộh đã biết f(x) = 0 có nghim v| có thể gii bằng lnh solve khi f đc khai b{o nh mt biến ký hiu. >>x=solve(f) x = 3/2 1/2*3^(1/2)-1/2 -1/2-1/2*3^(1/2) Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
78. Chương 4. B CÔNG C KÝ HIU 74 ộghim ca f(x) = 0 đ}y đc đa ra di dng biểu thc v| có thể chuyển về gi{ trị s s dụng lnh double hoặc eval. >>eval(x) ans = 1.5000 0.3660 -1.3660 ỗu ý: Trong trng hp trên, nếu nh tham s s dụng trong lnh solve l| mt đa thc, mt h|m s ch khẫng dng phơng trình, solve sẽ cho đa thc bằng khẫng rồi gii. Ởau đ}y l| ví dụ đi vi trng hp tham s đa v|o dng phơng trình. >>syms y >>solve(‘2*y^2 + y = 6’) ans = 3/2 -2 ởrong trng hp có nhiều hơn mt biến trong mt phơng trình, cần chỉ rậ phơng trình sẽ đc gii theo biến n|o. ởrng hp khẫng chỉ rậ trong c}u lnh m| phơng trình có biến x thì M‚ởỗ‚‛ sẽ luẫn u tiên gii theo x. Hai c}u lnh sau l| ví dụ cho vic solve gii phơng trình theo biến u tiên x v| gii theo biến chỉ định: >>solve (‘ a*x^2 + b*x ‘) ans = 0 -b/a >>solve(‘a*x^2 + b*x’,’b’) ans = -a*x ỗnh solve cễng có thể s dụng để gii h phơng trình nhiều ẩn trong đó kết qu đc lu di dng d liu có cu trúc. ỡí dụ h phơng trình di đ}y có thể gii nh sau 4x 2y z 7  x y 5z 10  2x 3y z 2  Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
79. Chương 4. B CÔNG C KÝ HIU 75 >>solve(‘4*x – 2*y + z = 7’, ‘x + y + 5*z = 10’, ‘-2*x + 3*y – z = 2’) ans = x: [1 x 1 sym] y: [1 x 1 sym] z: [1 x 1 sym] Để truy xut ti c{c nghim th|nh phần đc lu trong kiểu d liu có cu trúc, cần s dụng du chm . >> x = ans.x x = 124/41 >> y = ans.y y = 121/41 >> z = ans.z z = 33/41 . Ộa trn bin ký hiu M‚ởỗ‚‛ chp nhn ma trn có thể có phần t l| biến ký hiu, c{c phép to{n đi vi ma trn n|y ho|n to|n tơng tự nh c{c phép to{n đi vi ma trn a11 a12 a13 thẫng thng. ỡí dụ nhp ma trn A a a a 21 22 23 >>syms a11 a12 a13 a21 a22 a23; >>A = [a11 a12 a13; a21 a22 a23]; Mt ma trn đc coi l| ma trn tuần ho|n nếu nh mi h|ng ca ma trn chính l| h|ng trc đó ca ma trn đó v| phần t đầu tiên ca h|ng đc đặt vị trí cui cùng. ỡí dụ: Có thể to mt ma trn tuần ho|n từ biến ký hiu a, b, c nh sau: >>syms a b c >>A = [a b c; b c a; c a b] A = [a b c] [b c a] Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
80. Chương 4. B CÔNG C KÝ HIU 76 [c a b] Đi vi ma trn tuần ho|n, gi{ trị tng c{c phần t ca mi h|ng v| ct l| nh nhau, ví dụ kiểm tra h|ng mt v| ct hai ca ma trn ‚: >>sum(A(1,:) ) ans = a + b + c >>sum( A(:,2) ) ans = a + b + c ởo thêm c{c biến ký hiu alpha, beta v| thay thế cho c{c phần t trong ‚: >>syms alpha beta >>A(2,3) = beta; >>subs(A,b,alpha); >>A A = [a alpha c] [alpha c beta] [c a alpha] ỡí dụ: Xét ma trn quay G vi góc quay t cos(tt ) sin( ) G sin(tt ) cos( ) >>syms t; >>G = [cos(t) sin(t); -sin(t) cos(t)]; Ở dụng hai lần ma trn quay G cho phép quay mặt phẳng vi mt góc bằng hai lần góc t cho trc >>A = G*G A = [ cos(t)^2-sin(t)^2, 2*cos(t)*sin(t)] [ -2*cos(t)*sin(t), cos(t)^2-sin(t)^2] Cễng ging nh ti gin biểu thc bằng lnh simplify, ma trn cễng có thể đc đa về dng đơn gin s dụng lnh simple theo cú ph{p sau >>simple(S) Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
81. Chương 4. B CÔNG C KÝ HIU 77 ởrong đó Ở l| mt biến ký hiu. ỗnh simple sẽ tìm dng ti gin nht ca biểu thc hoặc ma trn biến ký hiu. ỡí dụ >>simple(A) ans = [ cos(2*t), sin(2*t)] [ -sin(2*t), cos(2*t)] 4. Tích ph}n v| đo h|m đa thc bin ký hiu Đi vi đa thc biến ký hiu, trong M‚ởỗ‚‛ ta có thể s dụng hai h|m int v| diff khi mun tích ph}n hay đo h|m nhng đa thc n|y. Chi tiết về hai lnh n|y có thể tìm hiểu thêm trong M‚ởỗ‚‛ Help >>help sym/int >>help sym/diff Cú ph{p >>int (S, v, a, b) >> diff(S, ‘v’, n) >> diff(S, n, ‘v’) ởrong đó cú ph{p th nht, M‚ởỗ‚‛ cho phép tính tích ph}n ca S theo v trong khong từ a đến b. cú ph{p th hai v| th ba, M‚ởỗ‚‛ cho phép ngi s dụng tính đo h|m n lần ca S theo v 2 ỡí dụ: Tính tích ph}n 3( x )1 dx >>syms x; >>int(3*x^2-1) ans = x^3 – x ợ{c định tích ph}n trên khi biết hai gii hn [a, b] = [2, 4] >>int(3*x^2 – 1, 2, 4) ans = 54 3 2 ỡí dụ: Tính đo h|m h|m s sau f x 2x 4x 3 >>syms x f >>f = x^3 + 2*x^2 – 4*x + 3 Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
82. Chương 4. B CÔNG C KÝ HIU 78 f = x^3 + 2*x^2 – 4*x + 3 >>diff(f) ans = 3*x^2 + 4*x - 4 ỗu ý: Khi mun x{c định đo h|m ca hằng s s dụng lnh diff, trc tiên cần định nghĩa hằng s đó kiểu biến ký hiu. ỡí dụ: >>c = sym(‘5’); >>diff(c) ans = 0 ộếu chỉ nhp từ ca s lnh >>diff(5) Ỗết qu tr về sẽ có dng ans = [ ] Đi vi đa thc có nhiều biến, cần chỉ rậ trong lnh để x{c định sẽ đo h|m đa thc theo biến n|o. ỡí dụ >>syms s t >>f = sin(s*t) Đo h|m theo t: >>diff(f, t) ans = cos(s*t)*s Đo h|m theo s: >>diff(f, s) ans = cos(s*t)*t H|m diff cễng có thể nhn gi{ trị đầu v|o l| ma trn biến ký hiu, khi đó phép đo h|m sẽ đc thực hin bằng c{ch đo h|m từng phần t ca ma trn đầu v|o. ỡí dụ: Tìm đo h|m ca ‚. cos(ax) sin(ax ) A sin(ax ) cos( ax ) Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
83. Chương 4. B CÔNG C KÝ HIU 79 >>syms a x >>A = [cos(a*x) sin(a*x); -sin(a*x) cos(a*x)]; >>B = diff(A) B = [ -sin(a*x)*a, cos(a*x)*a] [ -cos(a*x)*a, -sin(a*x)*a] . ớhưng trình vi ph}n v| h|m s bin ký hiu ởrong M‚ởỗ‚‛, phơng trình vi ph}n ca h|m s biến ký hiu có thể đc gii s dụng h|m dsolve, trong đó ký tự D đc s dụng để biểu din c{c biến vi ph}n, ký hiu D, D, , DN tơng ng vi bc vi ph}n. ỡí dụ D2y l| biểu din ca d2y/dt2. Điều kin ban đầu nếu khẫng khai b{o trong phơng trình, M‚ởỗ‚‛ sẽ đa ra đ{p {n bao gồm c{c hằng C1, C2. Cú ph{p gọi h|m nh sau >>dsolve(‘eqn1’, eqn2’, ) ởrong đó eqn1, eqn2 tơng ng l| c{c phơng trình biến ký hiu thể hin phơng trình vi ph}n v| c{c điều kin ban đầu. ỡí dụ: Gii phơng trình vi ph}n sau 2 yy 1 trong đó y l| biến phụ thuc v|o biến đc lp t >>dsolve(‘Dy = 1 + y^2’) ans = tan( t + C1 ) Ỗhi điều kin ban đầu đc khai b{o trong phơng trình, kết qu tr về sẽ l| >>dsolve(‘Dy = 1 + y^2’, ‘y(0) = 1’) ans = tan (t + ¼*pi) ỗu ý: Trong trng hp n|y mặc dù y biểu din theo t v| trong Ợorkspace ta có thể quan s{t thy biến y nhng khẫng có biến t, vì thế h|m diff(y, t sẽ tr về khai b{o li. ỡí dụ: Phơng trình vi ph}n bc hai vi hai điều kin ban đầu dy2 dy 2 cos(2ty ) y(0) 1 (0) 0 dt dt Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
84. Chương 4. B CÔNG C KÝ HIU 80 >>y=dsolve(‘D2y = cos (2*t) – y’, ‘y(0) = 1’, ‘Dy(0) = 0’, ‘t’) Ỗhẫng ging nh khi s dụng phơng ph{p s, phơng trình vi ph}n bc cao khẫng cần phi đa về h phơng trình vi ph}n bc nht để gii, chỉ cần s dụng ký hiu phù hp vi c{c bc vi ph}n tơng ng. ỡí dụ phơng trình vi ph}n bc ba du3 du du2 3 u u(0) 1 (0) 1 x (0) dx dx dx >>u = dsolve(‘D3u = u’, ’u(0) = 1’, ‘Du(0) = -1’, ‘D2u(0) = pi’, ‘x’) H|m dsolve còn cho phép gii h phơng trình vi ph}n vi mt hoặc nhiều biến. ỡí dụ: Cho h phơng trình vi ph}n bc nht f 34 f g g 43 f g >>S=dsolve(‘Df = 3*f + 4*g’, ‘Dg = -4*f + 3*g’) Ỗết qu tr về đc lu li trong cu trúc Ở, để truy xut ti f v| g có thể s dụng lnh: >>f = S.f f = exp(3*t)*(C1*sin(4*t)+C2*cos(4*t)) >>g = S.g g = exp(3*t)*(C1*cos(4*t)-C2*sin(4*t)) . Tóm tắt chưng Tóm tắt c{c h|m đi vi bin ký hiu sym Ỗhi to mt biến ký hiu syms ởo mt hay nhiều biến ký hiu double Chuyển biểu thc biến ký hiu về dng s eval Chuyển biểu thc biến ký hiu về dng s numden Đa về dng t s v| mu s ca mt đa thc dng ph}n s poly2sym Chuyển đa thc dng vector h s sang đa thc biến ký hiu sym2poly Chuyển đa thc biến ký hiu sang đa thc dng vector h s Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
85. Chương 4. B CÔNG C KÝ HIU 81 subs ởhay thế gi{ trị ca biến trong biểu thc simplify Đơn gin hóa biểu thc simple Đơn gin hóa ma trn diff Đo h|m đa thc int ởích ph}n đa thc solve ởìm nghim ca phơng trình, h phơng trình dsolve Gii phơng trình vi ph}n, h phơng trình vi ph}n Bảng 4. 1. Tóm tắt các hàm sử dụng trong chương 4 . ọ|i tp chưng ọ|i 4.1 f( x ) 2 xe x sin( x ) [0, ] Cho h|m s trên khong , x{c định nghim ca phơng trình fx( ) 0 v| cực trị h|m s trên khong[0, ] Đáp án 2 x exp(-x)-sin(x) 0.2 0 y -0.2 -0.4 0 1 2 3 x Hình 4. 1. Hình bài 4.1 ởừ đồ thị có thể thy phơng trình fx( ) 0 có hai nghim v| h|m s có hai cực trị trên [0, ]. ộh đã biết ta có thể tìm nghim ca phơng trình v| cực trị ca h|m s s dụng fzero v| fminbnd đi vi tham s h|m có dng chui ký tự. >>syms x >>y = 2*x*exp(-x) – sin(x) ởìm nghim th nht trên khong , >>x01 = fzero( char(y), [.5, 1]) Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut
86. Chương 4. B CÔNG C KÝ HIU 82 x01 = 0.8030 ởìm nghim th hai trên khong ., >>x02 = fzero( char(y), [2.5, 3]) x02 = 2.7923 ợ{c định cực tiểu ca h|m s trên khong ., >>xmin1 = fminbnd( char(y), [1.5, 2]) xmin1 = 1.8409 ợ{c định cực đi ca h|m s trên khong , . >>xmax2 = fminbnd( char(-y), 0, .5) xmax2 = 0.3384 ọ|i . 23 Cho đa thc x y sin( xy ), tính gi{ trị ca đa thc khi thay x = 2 v| y = 3 tơng ng. Đáp án: >>syms x y >>z = x^2*y^3 + sin(pi*x*y) z = x^2*y^3 + sin(pi*x*y) >>z23 = subs(z, {x, y}, {2, 3}) z23 = 108 ọ|i . Ỗiểm tra kết qu ca phép tính tích ph}n bt định sau bằng c{ch đo h|m kết qu v| so s{nh vi biểu thc trong du tích ph}n: 1 4 dx 1 x Đáp án: >>syms x Ỗhoa Cơ học kỹ thut & ởự đng hóa – Đi học Cẫng ngh M‚ởỗ‚‛ v| ng dụng trong Cơ kỹ thut