Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Đại học Trà Vinh

146 trang ngocly 3260

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Đại học Trà Vinh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_ly_thuyet_xac_suat_va_thong_ke_toan_dai_hoc_tra_v.pdf

Nội dung text: Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Đại học Trà Vinh

GIÁO TRÌNH MƠN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 GIÁO TRÌNH MƠN HỌC CHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CHUYÊN NGÀNH: KẾ TỐN, QUẢN TRỊ KINH DOANH STT MƠN HỌC GHI CHÚ 1 Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. 2 3 4 5 TÊN MƠN HỌC LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN MÃ SỐ THỜI LƯỢNG Số tín chỉ: 04 (01 tín chỉ ứng với 15 tiết) CHƯƠNG TRÌNH Lý thuyết: 60 tiết Thực hành: 0 tiết Tổng cộng: 60 tiết ĐIỀU KIỆN Đã được trang bị kiến thức Tốn cao cấp TIÊN QUYẾT MƠ TẢ MƠN HỌC • Cung cấp các khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất và thống kê tốn học. • Trong phần xác suất, các khái niệm về biến cố, xác suất của biến cố. Biến cố ngẫu nhiên, phân phối xác suất được đề cập và nêu lên các đặc trưng. • Trong phần thống kê tốn học, sinh viên sẽ học các khái niệm liên quan đến tập mẫu thống kê, lý thuyết ước lượng, kiểm định giả thuyết. • Sinh viên tiếp cận những kiến thức trên thơng qua việc kết hợp bài giảng trên lớp, tự học và tìm hiểu thêm trong các tài liệu. • Trang bị kiến thức xác suất, thống kê bước đầu giúp sinh viên làm quen với một vài ứng dụng tốn học trong cuộc sống. ĐIỂM ĐẠT - Hiện diện trên lớp: 10 % điểm (Danh sách các buổi thảo luận và bài tập nhĩm). Vắng 12 tiết khơng được cộng điểm này. - Kiểm tra KQHT: 20 % điểm (2 bài kiểm tra giữa và cuối mơn học: Cĩ ba thang điểm: 2.0 (hai chẵn); 1.0 (một trịn); 0,0: (khơng chẵn). - Kiểm tra hết mơn: 70% điểm (Bài thi hết mơn) Lưu ý: Danh sách các buổi thảo luận và các bài kiểm tra được hủy khi danh sách bảng điểm thi hết mơn được cơng bố. Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 1
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 CẤU TRÚC KQHT 1: Khái quát những kiến thức cơ bản về lý thuyết xác MƠN HỌC suất. KQHT 2: Giải các bài tốn liên quan đến đại lượng ngẫu nhiên và Ứng dụng một số quy luật phân phối thơng dụng. KQHT 3: Xác định tổng thể và mẫu. KQHT 4: Ước lượng các tham số đặc trưng của tổng thể. KQHT 5: Kiểm định giả thiết các tham số thống kê. KQHT 6: Xác định hàm hồi qui và tương quan. * Thực hành: Làm bài tập trên lớp+ Hoạt đơng theo nhĩm+ Thảo luận Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 2
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 KẾT QUẢ VÀ CÁC BƯỚC HỌC TẬP Kết quả học tập/ Phương tiện, tài liệu, Các bước học tập nơi học và cách đánh hình thức đánh giá giá cho từng bước học 1. Khái quát những 1. Bổ sung về giải tích tổ hợp. + Bảng đen kiến thức cơ bản về lý 1.1 Nhắc lại Quy tắc đếm + Kiến thức cơ bản về thuyết Xác suất. 1.2 Nhắc lại Chỉnh hợp (khơng lặp) Giải tích tổ hợp. Đánh giá: Bài tập 1.3 Nhắc lại Chỉnh hợp lặp * Tài liệu chính: “Lý + Đạt : Trình bày được thuyết Xác suất và chính xác ít nhất một 1.4 Nhắc lại Tổ hợp thống kê tốn” trong ba định nghĩa về 1.5 Nhắc lại Hốn vị * Các tài liệu tham xác suất và giải được khảo: các bài tập về: 2. Liệt kê các biến cố và quan hệ giữa các loại biến cố. + Đặng Hấn 1996 - Xác * Giải tích tổ hợp; suất thống kê – NXB * Biết cách biểu diễn Thống kê. một biến cố phức hợp3. Định nghĩa xác suất. + Nguyễn Hữu Khánh – thành tổng và tích của 3.1 Định nghĩa xác suất theo cổ Bài giảng Xác suất thống các biến cố đơn giản hơn. điển. kê – ĐH Cần Thơ. * Định nghĩa xác suất: 3.2 Định nghĩa xác suất theo thống + Giải tích 12 (PTTH). Tính được các xác suất kê. của một biến cố ở dạng đơn giản; 3.3 Định nghĩa xác suất theo hình + Học trong phịng. học. * Áp dụng các cơng thức + Trả lời câu hỏi và bài cộng, nhân, đầy đủ, tính 4. Đưa ra một số cơng thức tính xác tập nhĩm, bài tập về nhà. được các xác suất. suất. 4.1 Các định nghĩa + Bài tập về nhà. 4.2 Cơng thức cộng 4.3 Cơng thức nhân xác suất 4.3.1 Xác suất cĩ điều kiện 4.3.2 Cơng thức nhân xác suất 5. Cơng thức xác suất đầy đủ và cơng thức Bayer 5.1 Cơng thức xác suất đầy đủ 5.2 Cơng thức Bayes. 5.3 Cơng thức Bernoulli. 5.4 Cơng Thức Bernoulli Mở Rộng 5.4.1 Lược đồ Bernoulli mở rộng. 5.4.2 Cơng thức Bernoulli mở rộng. Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 3
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 2. Giải các bài tốn 1. Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên + Bảng, phấn. liên quan đến đại lượng ngẫu nhiên và 1.1 Khái niệm đại lượng ngẫu + Kiến thức Tốn cao Ứng dụng một số quy nhiên. cấp, tốn THPT. luật phân phối thơng 1.2 Liệt kê các đại lượng ngẫu * Tài liệu chính: “Lý dụng. nhiên. thuyết Xác suất và Đánh giá: thống kê tốn” * Các tài liệu tham khảo + Đạt: Hồn thành 2. Đưa ra một số qui luật phân phối được các yêu cầu sau: xác suất của đại lượng ngẫu nhiên. + Đặng Hấn, 1996 - Xác suất thống kê – NXB * Hiểu rõ các khái 2.1 Mơ tả Bảng phân phối xác suất. niệm: Đại lượng ngẫu Thống kê. nhiên và phân biệt được 2.2 Khái niệm Hàm mật độ xác suất. + Nguyễn Hữu Khánh – đại lượng ngẫu nhiên và 2.3 Khái niệm Hàm phân phối xác Bài giảng Xác suất thống biến cố ngẫu nhiên, đại suất. kê – ĐH Cần Thơ. lượng ngẫu nhiên liên 2.4 Khái niệm phân vị mức xác suất + Đinh Văn Gắng – Xác tục và rời rạc. α suất và Thống kê tốn – * Viết đúng các cơng NXB Thống kê 3. Liệt kê một số tham số đặc trưng thức tính tham số của đại lượng ngẫu nhiên của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và liên tục. 3.1 Khái niệm Kỳ vọng + Học trong phịng. * Vận dụng cơng thức, 3.2 Khái niệm Phương sai. + Trả lời câu hỏi và bài tập nhỏ để nắm vững giải các bài tập liên 3.3 Khái niệm Độ lệch tiêu chuẩn quan như kỳ vọng, định nghĩa, tính chất, phương sai, 3.4 Khái niệm Moment cách tính, bản chất và ý 3.5 Khái niệm Mode nghĩa của kỳ vọng tốn, * Nhận biết đại lượng phương sai, độ lệch ngẫu nhiên cĩ phân 3.6 Trung vị chuẩn và giá trị tin chắc phối xác suất nào đĩ. 4. Sử dụng một số qui luật phân phối nhất. * Biết cách sử dụng xác suất thơng dụng. + Các câu hỏi ngắn về các cơng thức gần đúng 4.1 Phân phối nhị thức xác định luật phân phối, để tính xác suất và điều về đại lượng ngẫu nhiên kiện để sử dụng các 4.2 Phân phối Poison 2 chiều, luật số lớn. cơng thức đĩ. 4.3 Phân phối siêu bội + Bài tập về nhà. * Hiểu rõ các khái 4.4 Phân phối chuẩn niệm đại lượng ngẫu 4.5 Phân phối mũ nhiên hai chiều, cách lập bảng phân phối xác 4.6 Phân phối χ 2 suất của đại lượng ngẫu 4.7 Phân phối Student nhiên rời rạc. 4.8 Phân phối đều. Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 4
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 * Từ bảng phân phối 5. Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều. xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều, cĩ 5.1. Định nghĩa đại lượng ngẫu thể tính được kỳ vọng nhiên hai chiều. tốn và phương sai của 5.2. Giới thiệu một số phân phối xác các đại lượng ngẫu suất của đại lượng ngẫu nhiên hai nhiên thành phần. Tính chiều. được hiệp phương sai 5.2.1 Bảng phân phối xác suất. của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều. 5.2.2 Hàm phân phối xác suất. * Hiểu được ý nghĩa 5.2.3 Hàm mật độ xác suất. các định lý của luật số 5.3 Các tham số đặc trưng của hàm lớn. một biến ngẫu nhiên. 5.3.1 Trường hợp (X,Y) rời rạc. 5.3.2 Trường hợp (X,Y) liên tục. 6. Luật số lớn. 6.1 Bất đẳng thức Markov 6.2 Bất đẳng thức Tchebyshev 6.3 Định lý Tchebyshev 6.4 Định lý Bernoulli 3. Xác định Tổng thể 1. Khái niệm Tổng thể và mẫu + Bảng, phấn. và mẫu. 1.1 Khái niệm Tổng thể + Kiến thức Tốn cao Đánh giá: 1.2 Khái niệm Mẫu cấp, tốn THPT. Câu hỏi ngắn 1.3 Đưa ra mơ hình xác suất của * Tài liệu chính: “Lý Bài tập. tổng thể và mẫu thuyết Xác suất và thống kê tốn” Đạt: 2. Tìm hiểu về Thống kê mẫu ngẫu * Các tài liệu tham khảo * Hiểu rõ các khái nhiên. niệm: Tổng thể, mẫu, + Đặng Hấn, 1996 - Xác trung bình tổng thể, 2.1 Nêu Trung bình của mẫu ngẫu suất thống kê – NXB phương sai tổng thể, tỉ nhiên Thống kê. lệ tổng thể. 2.2 Khái niệm Phương sai và + Nguyễn Hữu Khánh – * Thấy rõ sự khác phương sai điều chỉnh của mẫu ngẫu Bài giảng Xác suất thống nhau giữa mẫu ngẫu nhiên kê – ĐH Cần Thơ. nhiên và mẫu cụ thể. 2.3 Đưa ra cơng thức Độ lệch tiêu + Đinh Văn Gắng – Xác * .Biết tính các tham chuẩn và độ lệch tiêu chuẩn hiệu suất và Thống kê tốn – số đặc trưng của mẫu. chỉnh. NXB Thống kê * Thực hành tính đựoc 3. Thu thập số liệu và sắp xếp số liệu. + Học trong phịng. các yếu tố x , s’ 3.1 Thu thập số liệu + Trả lời câu hỏi và bài 3.2 Sắp xếp số liệu. tập nhỏ để nắm vững các 3.3 Thực hành tính các giá trị x , s’ khái niệm và cơng thức. + Bài tập về nhà. Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 5
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 4. Ước lượng tham số 1. Giới thiệu các phương pháp ước + Bảng, phấn. của đại lượng ngẫu lượng + Kiến thức Tốn cao nhiên. 1.1 Mơ tả phương pháp. cấp. 1.2 Đưa ra các phương pháp ước * Tài liệu chính: “Lý Đánh giá : lượng điểm. thuyết Xác suất và Câu hỏi ngắn thống kê tốn” * Các tài liệu tham khảo Bài tập giải theo nhĩm. 2. Ước lượng các tham số + Đặng Hấn, 1996 - Xác Đạt: Đáp ứng được 2.1 Mơ tả phương pháp các yêu cầu sau đây: suất thống kê – NXB 2.2 Ước lượng tham số trung bình Thống kê. * Hiểu rõ các khái niệm ước lượng điểm, 2.3 Ước lượng tham số tỉ lệ + Nguyễn Hữu Khánh – ước lượng khoảng, độ 2.4 Ước lượng tham số phương sai. Bài giảng Xác suất thống tin cậy, độ chính xác. kê – ĐH Cần Thơ. * Biết tìm khoảng tin + Đinh Văn Gắng – Xác cậy của các tham số của suất và Thống kê tốn – tổng thể. NXB Thống kê * Biết tìm kích thước mẫu, độ tin cậy khi ước + Học trong phịng. lượng trung bình và tỉ lệ + Trả lời câu hỏi và bài của tổng thể. tập nhỏ. + Bài tập về nhà. 5. Kiểm định giả 1. Nêu các khái niệm về kiểm định + Bảng, phấn. thuyết tham số thống 1.1 Nêu các khái niệm về kiểm định + Kiến thức Tốn cao kê. 1.2 Mơ tả phương pháp kiểm định cấp. Đánh giá : giả thiết thống kê. * Tài liệu chính: “Lý Câu hỏi ngắn thuyết Xác suất và Bài tập thực hành thống kê tốn” theo nhĩm. * Các tài liệu tham khảo Đạt: + Đặng Hấn, 1996 - Xác Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 6
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 * Hiểu rõ các khái 2. Kiểm định các giả thuyết thống kê. suất thống kê – NXB niệm: Giả thiết thống kê, Thống kê. 2.1 Kiểm định tham số trung bình kiểm định giả thiết, giả + Nguyễn Hữu Khánh – thiết cần kiểm định, giả 2.2 Kiểm định tham số tỷ lệ Bài giảng Xác suất thống thiết đối, mức ý nghĩa, 2.3 Kiểm định giả thuyết về phương kê – ĐH Cần Thơ. miền bác bỏ, các sai lầm sai và biết cách đặt giả thiết. + Đinh Văn Gắng – Xác 2.4 Kiểm định giả thuyết về sự bằng suất và Thống kê tốn – * Làm được các bài tập nhau của hai trung bình NXB Thống kê vận dụng cơng thức để kiểm định các tham số. 2.5 Kiểm định giả thuyết về sự bằng + Học trong phịng. nhau của hai tỉ lệ + Trả lời câu hỏi và bài 2.6 Kiểm định giả thuyết về sự bằng tập nhỏ. nhau của hai phương sai + Bài tập về nhà. 6. Xác định hồi qui và 1. Nêu mối quan hệ giữa các đại + Bảng, phấn. tương quan tuyến lượng ngẫu nhiên. + Kiến thức Tốn cao tính. 2. Khái niệm hệ số tương quan. cấp. Đánh giá: 2.1 Khái niệm Moment tương quan. * Tài liệu chính: “Lý Câu hỏi ngắn 2.2 Khái niệm hệ số tương quan. thuyết Xác suất và thống kê tốn” Bài tập thực hành 2.3 Ước lượng hệ số tương quan. * Các tài liệu tham khảo Đạt: Đáp ứng được 3. Xác định hồi qui. các yêu cầu sau: + Đặng Hấn, 1996 - Xác 3.1 Khái niệm kỳ vọng cĩ điều kiện. * Nắm được mối quan suất thống kê – NXB hệ giữa hai đại lượng 3.2 Khái niệm hàm hồi qui Thống kê. ngẫu nhiên. 3.3 Xác định hàm hồi qui + Nguyễn Hữu Khánh – * Vận dụng cơng thức Bài giảng Xác suất thống để tìm được phương kê – ĐH Cần Thơ. trình hồi qui và mối + Đinh Văn Gắng – Xác tương quan giữa chúng. suất và Thống kê tốn – NXB Thống kê + Học trong phịng. + Trả lời câu hỏi và bài tập nhỏ. + Bài tập về nhà. Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 7
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 KẾ HOẠCH ĐÁNH GIÁ MƠN HỌC Hình thức đánh giá Thời Bài Thực Kết quả Mức độ yêu cầu lượng Thao tập tập Đề Tự học tập đạt được Viết giảng dạy tác về thực tài học nhà tế 1. 12,0 Giải được bài tập X 2. 14,0 Giải được bài tập X X 3. 06,0 Giải được bài tập X 4. 09,0 Giải được bài tập X X 5. 12,0 Giải được bài tập X X 6. 07,0 Giải được bài tập X ĐÁNH GIÁ CUỐI MƠN HỌC HÌNH THỨC Thi (tự luận) . THỜI GIAN 90 - 120 phút. NỘI DUNG Trọng tâm: ĐÁNH - Các bài tốn tính xác suất dạng cổ điển, các cơng thức cộng, GIÁ nhân, đầy đủ, Bernuolli. - Các bài tốn về tính tốn các tham số như kỳ vọng, phương sai, độ lệch tiêu chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên. - Sử dụng tính phân phối của đại lượng ngẫu nhiên để giải các bài tập như phân phối nhi thức, Poison, Chuẩn, mũ, đều, - Các bài tập về ước lượng tham số của đại lượng ngẫu nhiên. - Các bài tốn về kiểm định các tham số của đại lượng ngẫu nhiên. - Tìm hàm hồi qui tuyến tính. Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 8
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 NỘI DUNG CHI TIẾT MƠN HỌC 13 KQHT 1: KHÁI QUÁT NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 13 Bước học 1. BỔ SUNG VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP 13 1.1 Quy tắc đếm (quy tắc nhân): 13 1.2 Chỉnh hợp (khơng lặp): 13 1.3 Chỉnh hợp lặp: 14 1.4 Hốn vị: 15 1.5 Tổ hợp: 15 BÀI TẬP 16 Bước học 2: LIỆT KÊ CÁC BIẾN CỐ VÀ QUAN HỆ GIỮA CÁC LOẠI BIẾN CỐ 18 1. Phép thử và biến cố: 18 2. Các loại biến cố: 18 2.1. Biến cố chắc chắn: 18 2.2. Biến cố khơng thể: 18 2.3. Biến cố ngẫu nhiên: 18 2.4. Biến cố thuận lợi ( Biến cố kéo theo) 19 2.5. Biến cố sơ cấp: 19 2.6. Biến cố hiệu: 19 2.7. Biến cố tổng: 19 2.8. Biến cố tích: 20 2.9. Biến cố xung khắc: 20 2.10. Biến cố đối lập: 20 2.11. Biến cố đồng khả năng: 20 3. Các tính chất: 20 BÀI TẬP 21 Bước học 3: ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 22 3.1. Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển: 22 3.2 Định nghĩa xác suất theo lối thống kê: (Bằng tần suất) 25 3.3 Định nghĩa xác suất theo hình học: 26 BÀI TẬP 28 Bước học 4: ĐƯA RA MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 30 4.1 Các định nghĩa: 30 4.2 Cơng thức cộng: 30 4.3 Cơng thức nhân xác suất: 32 4.3.1 Xác suất cĩ điều kiện: 32 4.3.2 Cơng thức nhân xác suất: 33 Bước học 5: CƠNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CƠNG THỨC BAYES 34 Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 9
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 5.1 Cơng thức xác suất đầy đủ: 34 5.2 Cơng thức Bayes: 35 5.3 Cơng thức Bernoulli: 36 5.4 Cơng Thức Bernoulli Mở Rộng: 37 5.4.1 Lược đồ Bernoulli mở rộng: 37 5.4.2 Cơng thức Bernoulli mở rộng: 38 BÀI TẬP 38 KQHT 2: GIẢI CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 44 Bước học 1: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 44 1.1 Các định nghĩa: 44 1.2 Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên: 44 1.2.1 Bảng phân phối xác suất: 44 1.2.2 Hàm mật độ xác suất: 46 1.2.3 Hàm phân phối xác suất: 47 1.2.4. Phân vị mức xác suất α: 49 Bước học 2: CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN: 50 2.1 Kỳ vọng: (expectation) 50 2.2 Phương sai: (Variance) 52 2.3 Độ lệch tiêu chuẩn: 54 2.4 Mơment: 54 2.5 Mode: 54 2.6 Trung vị: 55 BÀI TẬP 56 Bước học 3: MỘT SỐ QUI LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƠNG DỤNG 59 3.1 Phân phối nhị thức: 59 3.2 Phân phối Poison: 61 3.3 Phân phối siêu bội: 63 3.4 Phân phối chuẩn: 65 3.4.1 Phân phối chuẩn: 65 3.4.2 Phân phối chuẩn tắc: 67 3.5 Phân phối mũ: 69 3.6 Phân phối χ2 : 70 3.7 Phân phối Student: 71 8. Phân phối đều: 71 BÀI TẬP 73 Bước học 4: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU 76 Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 10
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 4.1 Định nghĩa: 76 4.2 Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều: 77 4.2.1 Bảng phân phối xác suất: 77 4.2.2 Hàm phân phối xác suất: 77 4.2.3 Hàm mật độ xác suất: 78 4.3 Các tham số đặc trưng của hàm một biến ngẫu nhiên: 78 4.3.1 Trường hợp (X,Y) rời rạc: 78 4.3.2 Trường hợp (X,Y) liên tục: 80 4.4. Hàm của các đại lượng ngẫu nhiên: 81 4.4.1 Hàm một biến ngẫu nhiên: 81 4.4.2 Hàm của các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: 82 4.4.3 Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc độc lập: 83 4.4.4 Hàm của các đại lượng ngẫu nhiên liên tục: 84 4.4.5 Hàm tổng của hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục độc lập nhau: 85 BÀI TẬP 87 Bước học 5: LUẬT SỐ LỚN 88 5.1 Bất đẳng thức Markov: 88 5.2 Bất đẳng thức Tchebyshev: 89 5.3 Định lý Tchebyshev: 89 5.4 Định lý Bernoulli: 90 KQHT 3: KHÁI NIỆM TỔNG THỂ VÀ MẪU 90 Bước học 1: TỔNG THỂ VÀ MẪU 90 1.1 Tổng thể: 90 1.2 Mẫu: 91 1.3 Mơ hình xác suất của tổng thể và mẫu: 92 Bước học 2: THỐNG KÊ 93 2.1 Trung bình của mẫu ngẫu nhiên: 93 2.2 Phương sai của mẫu ngẫu nhiên: 93 2.3 Phương sai điều chỉnh của mẫu ngẫu nhiên: 94 2.4 Độ lệch tiêu chuẩn và độ lệch tiêu chuẩn điều chỉnh: 94 Bước học 3: THU THẬP SỐ LIỆU VÀ SẮP XẾP SỐ LIỆU 95 3.1 Thu thập số liệu: 95 3.2 Sắp xếp số liệu: 95 3.3 Thực hành tính các giá trị x ,s2: 97 KQHT 4: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 97 Bước học 1: GIỚI THIỆU CÁC PHƯƠNG PHÁP 97 1.1 Mơ tả phương pháp: 97 1.2 Các phương pháp ước lượng điểm: 97 Bước học 2: ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ 101 Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 11
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 2.1 Mơ tả phương pháp: 101 2.2 Ước lượng trung bình: 101 2.3 Ước lượng tỉ lệ: 106 2.4 Ước lượng về phương sai: 107 BÀI TẬP 110 KQHT 5: KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ 114 Bước học 1: GIỚI THIỆU CÁC KHÁI NIỆM 114 1.1 Các khái niệm: 114 1.1.1 Bài tốn kiểm định trên giả thiết thống kê: 114 1.1.2 Sai lầm loại I và sai lầm loại II: 114 1.1.3 Mức ý nghĩa α: 115 1.2 Phương pháp kiểm định giả thiết thống kê: 115 Bước học 2: KIỂM ĐỊNH CÁC THAM SỐ 116 2.1 Kiểm định về trung bình: 116 2.2 Kiểm định về tỉ lệ: 119 2.3 Kiểm định về phương sai: 120 2.4 Kiểm đinh về sự bằng nhau của hai trung bình: 121 2.5 Kiểm định về sự bằng nhau của hai tỉ lệ: 129 2.6 Kiểm định về sự bằng nhau của hai phương sai: 130 BÀI TẬP 132 KQHT6: XÁC ĐỊNH TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 136 Bước học 1: TƯƠNG QUAN 136 1.1 Mối quan hệ giữa hai đại lượng ngẫu nhiên: 136 1.2 Hệ số tương quan: 136 1.2.1 Moment tương quan (Covarian): 136 1.2.2 Hệ số tương quan: 136 1.3 Tỷ số tương quan: 138 Bước học 2: TÌM HÀM HỒI QUI 138 2.1 Kỳ vọng cĩ điều kiện: 138 2.2 Hàm hồi qui: 139 2.3 Xác định hàm hồi qui tuyến tính mẫu (thực nghiệm): 139 TÀI LIỆU THAM KHẢO 145 Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 12
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 NỘI DUNG CHI TIẾT MƠN HỌC KQHT 1: KHÁI QUÁT NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Bước học 1. BỔ SUNG VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.1 Quy tắc đếm (quy tắc nhân): Định nghĩa: Giả sử một cơng việc phải trải qua k giai đoạn. Giai đoạn 1 cĩ n1 cách thực hiện, giai đoạn 2 cĩ n2 cách thực hiện, , giai đoạn k cĩ nk cách thực hiện. Khi đĩ, để hồn thành cả cơng việc thì ta cĩ n = n1 n2 n3 nk cách thực hiện. Ví dụ 1: Cĩ 4 quyển sách tốn, 2 quyển sách lý, 3 quyển sách văn. Hỏi cĩ bao nhiêu cách để lấy ra mỗi loại một quyển sách? Cĩ 3 giai đoạn: Giai đoạn 1, lấy 1 quyển tốn → cĩ 4 cách lấy. Giai đoạn 2, lấy 1 quyển lý → cĩ 2 cách lấy. Giai đoạn 3, lấy 1 quyển văn → cĩ 3 cách lấy. ⇒ Số cách lấy là n = 4.2.3 = 24 cách Ví dụ 2: Cĩ 3 cách đi từ thành phố A đến thành phố B, cĩ 5 cách đi từ thành phố B đến thành phố C và cĩ 2 cách đi từ thành phố C đến thành phố D. Hỏi cĩ bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố D ? 1 1 2 1 A B 2 3 C D 3 4 2 5 10 Số cách đi từ thành phố A đến thành phố D là : n = 3.5.2 = 30 (cách) Ví dụ 3: Các nhĩm I , II , III , IV lần lượt cĩ 8 ,10 ,12 , 9 sinh viên. Cần chọn 4 sinh viên, mỗi nhĩm 1 sinh viên. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn như vậy? Việc chọn 4 sinh viên xem như được chia làm 4 giai đoạn: Giai đoạn 1: Chọn 1 sinh viên của nhĩm I : 8 cách. Giai đoạn 2: Chọn 1 sinh viên của nhĩm II : 10 cách. Giai đoạn 3: Chọn 1 sinh viên của nhĩm III : 12 cách. Giai đoạn 4: Chọn 1 sinh viên của nhĩm IV : 9 cách. ⇒ Số cách chọn: 8.10.12.9 = 8640 cách. 1.2 Chỉnh hợp (khơng lặp): Định nghĩa: Chỉnh hợp chập k của n phần tử (k≤ n) là một bộ (nhĩm) cĩ thứ tự gồm k phần tử khác nhau được chọn từ n phần tử đã cho. Chỉnh hợp chập k của n phần tử kí hiệu k là: An Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 13
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 ♦ Vấn đề đặt ra là: Cĩ n phần tử thì cĩ thể lập được bao nhiêu chỉnh hợp chập k khác nhau? n! A k = Cơng thức: n (n − k )! Chú ý: + n!: n giai thừa. n! = n.(n-1) 3.2.1 + Qui ước: 0! = 1 Ví dụ 4: Trong buổi hợp gồm 12 người. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn một chủ tọa và một thư ký? 12! Số cách chọn là chỉnh hợp chập 2 của 12 ⇒ cĩ n = A2 = = 12.11 =132 cách. 12 (12 − 2)! Ví dụ 5: Cho một tập hợp gồm các số 0,1,2,3,4,5. Hỏi cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau? Ta cĩ các số 0123,0134, khơng phải là số tự nhiên cĩ 4 chữ số nên ta chia cơng việc ra làm hai giai đoạn. Giai đoạn 1: Chọn chữ số đầu tiên phải khác 0. Vì cịn lại 5 số nên cĩ 5 cách chọn. Giai đoạn 2: Chọn 3 số cịn lại từ 5 số cịn lại. Do cĩ kể thứ tự, khơng trùng nhau nên 3 số cách chọn là số chỉnh hợp chập 3 của 5: A5 = 3.4.5= 60. ⇒ Số cách hồn thành cơng việc là n = 5.60 = 300 cách. Ví dụ 6: Cho E = {1, 2, 3, 4}. Cĩ bao nhiêu số tự nhiên bao gồm hai chữ số phân biệt được thành lập từ E. Mỗi số tự nhiên bao gồm hai chữ số phân biệt được thành lập từ E là một chỉnh hợp (khơng lặp) chập 2 của 4. Nên số các số tự nhiên cần tìm là: 2 4! 4.3.2.1 A4 = = = 6 2! 2.1 Ví dụ 7: Một lớp cĩ 8 mơn học, mỗi ngày học 2 mơn. Hỏi cĩ bao nhiêu cách xếp thời khố biểu trong một ngày? Số cách xếp thời khố biểu trong một ngày chính là việc lấy 2 phần tử khác nhau từ tập hợp gồm 8 phần tử. Vì việc lấy gắn liền với việc xếp thời khố biểu nên thứ tự là quan trọng. Vậy số cách xếp thời khố biểu cho một ngày là số chỉnh hợp chập 2 của 8 phần tử: 2 8! 8! A8 = = = 7.8 = 56 (8 − 2)! 6! (cách) 1.3 Chỉnh hợp lặp: Định nghĩa: Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một bộ (nhĩm) cĩ thứ tự gồm k phần tử được chọn từ n phần tử đã cho, trong đĩ các phần tử trong nhĩm cĩ thể lặp lại 2,3,4, , k lần. Gọi số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là k , khi đĩ: k = nk Bn Bn Ví dụ 8: Xếp ngẫu nhiên 5 quyển sách vào 3 ngăn kéo. Hỏi cĩ bao nhiêu cách xếp? Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 14
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 Mỗi cách xếp 5 quyển sách vào 3 ngăn kéo xem như một chỉnh hợp lặp chập 3 của 5 (mỗi lần xếp một quyển sách vào một ngăn, ta cĩ thể xem như chọn một trong 3 ngăn ⇒ Cĩ 3 cách chọn. Do cĩ 5 quyển sách nên số cách chọn là n = 35 = 243 cách. Ví dụ 9: Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số từ các số: 1,2,3,4,5? Cĩ 4 = 54 = 625 số. B5 Ví dụ 10: Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 10 người lên một tàu hỏa cĩ 3 toa? Số cách sắp xếp 10 người lên 3 toa tàu là số các chỉnh hợp lặp chập 10 của 3 phần tử. 10 10 Số cách sắp xếp: B3 = 3 Ví dụ 11: Mỗi vé số của mỗi tỉnh gồm cĩ 6 chữ số. Hỏi mỗi tỉnh khi phát hành mỗi đợt sẽ phát hành được bao nhiêu vé số khác nhau? Ta cĩ mỗi vé số gồm cĩ 6 chữ số, nên ta cĩ thể xem việc phát hành ra một vé số là việc chọn ra 6 số bất kỳ cĩ thứ tự cĩ thể trùng nhau từ 10 số từ 0 đến 9. Do đĩ mỗi vé số được phát hành cĩ thể được xem là một chỉnh hợp lặp chập 6 của 10. Vậy số vé số cĩ thể phát hành mỗi đợt của mỗi tỉnh là số chỉnh hợp lặp chập 6 của 10: 6 6 B10 = 10 = 1000000 (vé số) Lưu ý: Trong chỉnh hợp khơng lặp thì k ≤ n cịn trong chỉnh hợp lặp thì cĩ thể cĩ k > n. 1.4 Hốn vị: Định nghĩa: Hốn vị của n phần tử là một bộ cĩ thứ tự gồm đủ mặt n phần tử đã cho. Gọi số hốn vị của n phần tử là Pn, ta cĩ cơng thức: Pn = n! Hai hốn vị khác nhau khi nào? Do mỗi hốn vị đều cĩ đủ mặt các phần tử, nên hai hốn vị khác nhau khi cĩ ít nhất một thứ tự sắp xếp nào đĩ khác nhau. Chẳng hạn: 312 khác 321. Ví dụ 12: Hỏi cĩ bao nhiêu cách xếp 4 học sinh vào một bàn cĩ 4 chỗ ngồi? Số cách xếp là: n = P4 = 4! = 24 cách. Ví dụ 13: Cĩ 3 cuốn sách Tốn, 2 cuốn sách Lý và 5 cuốn sách XSTK (các cuốn sách này khác nhau) được xếp vào 1 cái kệ. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp sao cho các cuốn sách cùng loại đứng gần nhau? Để thỏa bài tốn, ta chia cơng việc ra các giai đoạn sau: Giai đoạn 1: Phân kệ thành 3 phần để xếp 3 loại sách: Cĩ 3! cách sắp xếp. Giai đoạn 2: Xếp 3 cuốn Tốn → phần dành cho Tốn: Cĩ 3! cách sắp xếp. Giai đoạn 3: Xếp 2 cuốn Lý → phần dành cho Lý: Cĩ 2! cách sắp xếp. Giai đoạn 4: Xếp 5 cuốn XSTK → phần dành cho XSTK: Cĩ 5! cách sắp xếp. ⇒ Số cách sắp xếp cho cả bài tốn: 3!.3!.2!.5! = 8640 (cách) 1.5 Tổ hợp: Định nghĩa: Tổ hợp chập k của n phần tử (k ≤ n) là một bộ (nhĩm) khơng kể thứ tự gồm k phần tử khác nhau được chọn từ n phần tử đã cho. Gọi số tổ hợp chập k của n phần k n! tử là: k , cĩ: = C n C n k!(n − k)! Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 15
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 k n−k 0 n Chú ý: Cn = Cn ⇒ Cn = Cn =1 Ví dụ 14: Mỗi đề thi gồm cĩ 3 câu hỏi khác nhau chọn từ 25 câu hỏi đã cho. Hỏi cĩ thể thành lập được bao nhiêu đề thi khác nhau? Mỗi đề thi sẽ chọn 3 câu từ 25 câu đã cho. Do chọn khơng kể thứ tự, khơng trùng nhau nên số cách chọn là tổ hợp chập 3 của 25 3 25! 25.24.23 ⇒ = = = 2300 cách. C 25 3!(25 − 3)! 6 Ví dụ 15: Trong một giải bĩng chuyền chào mừng ngày Học sinh – Sinh viên của Trường. Cĩ 12 đội bĩng tham gia thi đấu vịng trịn một lượt. Hỏi cĩ bao nhiêu trận đấu được tiến hành? Mỗi trận đấu cĩ hai đội tham gia từ 12 đội, nên số trận đấu cần tiến hành là: 12! 11.12.10! C 2 = = = 11.6 = 66 12 2!10! 2.10! Ví dụ 16: Từ lơ hàng cĩ 10 sản phẩm, ta rút ngẫu nhiên (đồng thời) 3 sản phẩm để kiểm tra. Tính số khả năng cĩ thể xảy ra? Số khả năng cĩ thể xảy ra là số tổ hợp chập 3 của 10 phần tử: 10! C 3 = = 120 10 3!(10 − 3)! Ví dụ 17: Nhĩm A cĩ 10 sinh viên và nhĩm B cĩ 12 sinh viên. Ta chọn ngẫu nhiên 9 sinh viên trong đĩ cĩ 4 sinh viên nhĩm A và 5 sinh viên nhĩm B. Tính số khả năng cĩ thể xảy ra? 10! Chọn 4 sinh viên từ nhĩm A cĩ 10 sinh viên: Cĩ C 4 = = 210 cách. 10 4!(10 − 4)! 12! Chọn 5 sinh viên từ nhĩm B cĩ 12 sinh viên: Cĩ C 5 = = 792 cách. 12 5!(12 − 5)! Áp dụng quy tắc nhân suy ra số khả năng cĩ thể là: 210.792 = 166320 Lưu ý: ♦ Hai tổ hợp khác nhau khi nào? ♦ Chỉnh hợp khác tổ hợp khi nào? BÀI TẬP 1. Một buổi liên hoan cĩ 6 người trong đĩ cĩ 2 người là vợ chồng a. Nếu 6 người này ngồi quanh một cái bàn trịn cĩ 6 cái ghế được đánh số. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp sao cho 2 vợ chồng luơn ngồi cạnh nhau. b. Nếu họ được xếp vào một cái bàn dài cĩ 6 ghế, thì cĩ bao nhiêu cách xếp để 2 vợ chồng luơn ngồi cạnh nhau. 2. Một nhĩm gồm 5 vợ chồng đứng xếp hàng. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp trong các trường hợp sau: a. Nam và nữ đứng thành 2 nhĩm riêng biệt. b. Hai vợ chồng luơn đứng kế nhau. Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 16
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 c. Nếu mỗi người bắt tay một lần với người khác. Hỏi tất cả cĩ bao nhiêu cái bắt tay. d. Nếu trong nhĩm cĩ 3 người khơng bắt tay với nhau. Hỏi cĩ bao nhiêu cái bắt tay trong trường hợp này. 3. Một lơ hàng gồm cĩ 6 sản phẩm được đánh các số thứ tự từ 1 đến 6, trong đĩ cĩ 2 phế phẩm. Người ta lấy từ lơ hàng lần lượt từng sản phẩm cho đến hết. a. Cĩ bao nhiêu trường hợp cĩ thể xảy ra. b. Cĩ bao nhiêu trường hợp 2 phế phẩm được lấy sau cùng. 4. Một nhân viên bưu điện đưa ngẫu nhiên 3 lá thư cho 3 người khác nhau. Hỏi: a. Cĩ bao nhiêu trường hợp cĩ thể xảy ra. b. Cĩ bao nhiêu trường hợp cĩ ít nhất một người nhận đúng thư của mình. 5. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5 ta cĩ thể thành lập được bao nhiêu số trong các trường hợp sau: a. Số cĩ 3 chữ số. b. Số chẵn cĩ 3 chữ số khác nhau. c. Số chia hết cho 5 cĩ 3 chữ số khác nhau. d. Số cĩ 3 chữ số trong đĩ cĩ số 1. e. Số cĩ 3 chữ số khác nhau gồm tồn số lẻ. 6. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta cĩ thể thành lập được bao nhiêu số trong các trường hợp sau: a. Số cĩ 3 chữ số. b. Số chẵn cĩ 3 chữ số khác nhau. c. Số chia hết cho 5 cĩ 3 chữ số khác nhau. d. Số cĩ 3 chữ số trong đĩ cĩ số 1. e. Số cĩ 3 chữ số khác nhau gồm tồn số lẻ. 7. Giải bĩng đá hạng nhất quốc gia gồm cĩ 12 đội. a. Nếu các đội thi đấu vịng trịn một lượt với nhau. Hỏi cĩ bao nhiêu trận đấu đã xảy ra. b. Nếu các đội được chia làm 3 bảng đều nhau, và mỗi đội trong bảng thi đấu vịng trịn một lượt với nhau thì cĩ bao nhiêu trận đấu đã xảy ra. 8. Một lớp cĩ 8 mơn để học, mỗi ngày học 2 mơn (sáng, chiều). Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp thời khố biểu cho một ngày của lớp đĩ. 9. Một tổ gồm cĩ 10 người, người ta muốn thành lập một tiểu ban gồm cĩ 3 người. a. Nếu 3 người này cùng làm một cơng việc thì cĩ bao nhiêu cách chọn. b. Nếu 3 người này được chọn làm 3 cơng việc khác nhau thì cĩ bao nhiêu cách chọn. 10. Mỗi vé số của mỗi tỉnh khi phát hành cĩ 6 chữ số. a. Hỏi cĩ bao nhiêu vé số khác nhau cĩ thể phát hành mỗi đợt của mỗi tỉnh. b. Nếu bạn trúng 2 số cuối cùng so với số sổ của giải này bạn sẽ được thưởng 20.000 đồng. Hỏi mỗi đợt phát hành cĩ bao nhiêu vé số trúng 20.000 đồng. 11. Cĩ n điểm khác nhau nằm trên một đường trịn. a. Cĩ bao nhiêu dây cung được tạo nên từ n điểm đĩ. b. Cĩ bao nhiêu đường chéo của đa giác tạo nên từ n điểm đĩ. c. Đa giác nào cĩ số đường chéo bằng số cạnh. 12. Cĩ 6 dơi giày. Chọn ngẫu nhiên 4 chiếc giày. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn trong các trường hợp sau: a. Chọn được 2 đơi giày. Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 17
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 b. Chọn được chỉ một đơi giày. c. Khơng chọn được đơi giày nào cả. 13. Gieo một con xúc xắc liên tiếp 3 lần, cĩ phân biệt thứ tự các lần gieo. a. Cĩ bao nhiêu kết quả khác nhau cĩ thể xảy ra. b. Cĩ bao nhiêu kết quả xảy ra trong đĩ mặt mang số 6 khơng xuất hiện lần nào. c. Cĩ bao nhiêu kết quả xảy ra trong đĩ mặt mang số 6 xuất hiện ít nhất một lần. 14. Một khách sạn cĩ 6 phịng đơn. Cĩ 10 người khách đến thuê phịng, trong đĩ cĩ 6 nam và 4 nữ. Người quản lý chọn ngẫu nhiên 4 người. Cĩ bao nhiêu cách chọn trong các trường hợp sau: a. Cả 6 người đều là nam. b. Cĩ 4 nam và 2 nữ. c. Cĩ ít nhất 2 nữ. 15. Một khố số cĩ 3 vịng, mỗi vịng được đánh số từ 0 đến 9 và chỉ cĩ một khả năng để mở khố. Một khả năng mở khố là cách chọn đúng số theo thứ tự của 3 vịng. Một người muốn thử các trường hợp mở khố. Hỏi người này mở tối đa bao nhiêu lần để chắc chắn sẽ chọn đúng số mở. Bước học 2: LIỆT KÊ CÁC BIẾN CỐ VÀ QUAN HỆ GIỮA CÁC LOẠI BIẾN CỐ 1. Phép thử và biến cố: Việc thực hiện một nhĩm điều kiện xác định để quan sát một hiện tượng nào đĩ được gọi là một phép thử. Kết quả của phép thử được gọi là biến cố. Ví dụ 1: Khi một sinh viên đi thi mơn Xác suất thống kê: thực hiện phép thử. Kết quả của phép thử là sinh viên thi đậu hoặc rớt. Đậu hoặc rớt là những sự kiện ngẫu nhiên. Tung một đồng xu là một phép thử, đồng xu xuất hiện mặt xấp hay ngữa là các biến cố. Tung một con xúc xắc là một phép thử, xúc xắc xuất hiện mặt 1, ,6 là các biến cố. Bắn một viên đạn đến một mục tiêu để xem viên đạn trúng hay trật. ♦ Điều kiện xác định của các hiện tượng ngẫu nhiên là gì? ♦ Hãy phân tích các yếu tố: Nhĩm điều kiện, hiện tượng, kết quả của các phép thử trên. Cho các ví dụ khác và phân tích các yếu tố. 2. Các loại biến cố: 2.1. Biến cố chắc chắn: Là biến cố chắc chắn xảy ra trong một phép thử, và người ta kí hiệu là: W Ví dụ 2: Tung một con xúc xắc. Gọi A là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt cĩ số chấm nhỏ hơn hoặc bằng 6. Khi đĩ ta nĩi A là biến cố chắc chắn, A = W. 2.2. Biến cố khơng thể: Là biến cố khơng thể xảy ra trong một phép thử, và người ta kí hiệu là: ∅ Ví dụ 3: Tung một con xúc xắc. Gọi B là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt 7 chấm. Khi đĩ ta nĩi A là biến cố khơng thể, A = ∅. 2.3. Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố cĩ thể xảy ra cũng khơng thể xảy ra trong một phép thử. Ta thường dùng các chữ cái A, B, C, để kí hiệu cho biến cố ngẫu nhiên. Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 18
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 Ví dụ 4: Một xạ thủ bắn vào một tấm bia, gọi A là biến cố xạ thủ bắn trúng bia, A là biến cố ngẫu nhiên. 2.4. Biến cố thuận lợi (Biến cố kéo theo) Biến cố A được gọi là thuận lợi cho biến cố B nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra. Kí hiệu: A⊂ B. Ví dụ 5: Tung một con xúc xắc. Gọi A là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt 2 chấm và B là biến cố xuất hiện mặt chẵn. Khi đĩ ta nĩi A⊂ B. Đặc biệt: Nếu A⊂ B và B⊂ A thì A và B là hai biến cố tương đương. Kí hiệu A = B. Ví dụ 6: Mỗi số chấm trên mặt xúc xắc tương ứng 5 điểm. Gọi A là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm, B là biến cố được 30 điểm. Khi đĩ A = B. 2.5. Biến cố sơ cấp: Biến cố A được gọi là biến cố sơ cấp nếu nĩ khơng cĩ biến cố nào thuận lợi cho nĩ (trừ chính nĩ), tức là khơng thể phân tích được nữa. Ví dụ 7: Gọi Ai là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt i chấm (i=1, ,6) thì A1, A2, , A6 là các biến cố sơ cấp. Gọi B là biến cố thu được mặt cĩ số chấm chẵn. ⇒ B = A2 + A4 + A6 ⇒ B khơng phải là biến cố sơ cấp. Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp của một phép thử được gọi là khơng gian các biến cố sơ cấp và kí hiệu: W Ví dụ 8: W = { A1, A2, A3, A4, A5, A6}. 2.6. Biến cố hiệu: Hiệu của hai biến cố A và B, kí hiệu A-B (hay A\B) là một biến cố xảy ra ⇔ A xảy ra nhưng B khơng xảy ra. Ví dụ 9: Tung một con xúc xắc. Gọi A là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt cĩ số chấm là số lẻ. B là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt cĩ số chấm là số nguyên tố nhỏ hơn 5. C là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt cĩ 5 chấm. Ta cĩ: C = A\B 2.7. Biến cố tổng: Tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu A + B hay A ∪B là một biến cố xảy ra ⇔ ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra. Ví dụ 10: Hai xạ thủ cùng bắn vào một con thú. Gọi A là biến cố xạ thủ thứ nhất bắn trúng, B là biến cố xạ thủ thứ hai bắn trúng. Khi đĩ biến cố thú bị trúng đạn là C = A + B. Ví dụ 11: Cĩ 2 xạ thủ, mỗi người bắn 1 viên đến 1 mục tiêu. Gọi Ai là biến cố xạ thủ thứ i bắn trúng mục tiêu (i = 1, 2). Gọi Ai là biến cố xạ thủ thứ i khơng bắn trúng mục tiêu (i =1, 2). Gọi Bi là biến cố mục tiêu bị bắn trúng i viên đạn. Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 19
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 Ta cĩ: B0 = A1.A2 B1 = A1.A2 + A1.A2 B2 = A1.A2 Tổng quát: Tổng của n biến cố A1, A2, , An là một biến cố xảy ra ⇔ ít nhất một trong các biến cố Ai xảy ra (i = 1, ,n). Kí hiệu: A1+ A2+ + An hay A1∪ A2∪ ∪ An Chú ý: Biến cố chắc chắn W là tổng của mọi biến cố sơ cấp cĩ thể, nghĩa là mọi biến cố sơ cấp đều thuận lợi cho W. Do đĩ, W cịn được gọi là khơng gian các biến cố sơ cấp. 2.8. Biến cố tích: Tích của hai biến cố A và B, kí hiệu: AB hay A∩B là một biến cố xảy ra ⇔ cả hai biến cố A và B đồng thời xảy ra. Ví dụ 12: Hai xạ thủ cùng bắn vào một con thú. Gọi A là biến cố xạ thủ thứ nhất bắn trật, B là biến cố xạ thủ thứ hai bắn trật. Khi đĩ biến cố thú bị khơng bị trúng đạn là C = AB. Tổng quát: Tích của n biến cố A1, A2, , An là một biến cố xảy ra ⇔ tất cả các biến cố Ai đều xảy ra. Kí hiệu: A1 A2 An hay A1∩A2∩ ∩ An 2.9. Biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng khơng đồng thời xảy ra trong một phép thử. Ví dụ 13: Tung một con xúc xắc, gọi A là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt chẵn, B là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt 3 chấm ⇒ A, B xung khắc. 2.10. Biến cố đối lập: Biến cố khơng xảy ra biến cố A được gọi là biến cố đối lập của A. Kí hiệu: A A và A đối lập ⇔ A A =∅ và A ∪ A phải là biến cố chắc chắn, tức là trong phép thử cĩ một và chỉ được một A hoặc A xảy ra. Chú ý: Hai biến cố đối lập thì xung khắc nhưng ngược lại 2 biến cố xung khắc thì chưa chắc đối lập. 2.11. Biến cố đồng khả năng: Các biến cố A, B, C, được gọi là đồng khả năng nếu chúng cĩ cùng một khả năng xuất hiện như nhau trong một phép thử. Ví dụ 14: Tung một đồng xu, gọi S là biến cố đồng xu xuất hiện mặt xấp, N là biến cố xuất hiện mặt ngữa ⇒ S, N là hai biến cố đồng khả năng. Tĩm lại, qua các khái niệm trên, ta thấy các biến cố tổng, hiệu, tích, đối lập tương ứng với tập hợp, giao, hiệu, phần bù của lý thuyết tập hợp. Do đĩ cĩ thể sử dụng các phép tốn trên các tập hợp cho các phép tốn trên các biến cố. 3. Các tính chất: 1. A + (B + C) = (A + B) + C ; A.(B.C) = (A.B).C 2. A + B = B + A ; A.B = B.A 3. A(B + C) = A.B + B.C Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 20
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 4. A + A = A ; A.A = A 5. A + W = W ; A.W = A 6. A + ∅ = A ; A.∅ = ∅ 7. B = A ⇒ A = B hay (A) = A 8. A + B = A.B ; A.B = A + B Ví dụ 15: B(ABC + ABC + ABC) = BABC + BABC + B.ABC = A(BB)C + A(BB)C + A(BB)C = AφC + ABC + AφC = φ + ABC + φ = ABC . BÀI TẬP 1. Cĩ 3 xạ thủ, mỗi người độc lập bắn một viên vào một mục tiêu. Gọi Ai là biến cố xạ thủ thứ i bắn trúng mục tiêu. a. Hãy mơ tả các biến cố sau: A1A2A3; A1 + A2 + A3; A1 A2 A3 . b. Xét các biến cố sau: A: Cĩ ít nhất 2 xạ thủ bắn trúng. B: Cĩ nhiều nhất một xạ thủ bắn trúng. C: Chỉ cĩ một xạ thủ bắn trúng. D: Chỉ cĩ một xạ thủ thứ 3 bắn trúng. Hãy biểu diễn các biến cố A, B, C, D theo các biến cố Ai. 2. Cho 3 biến cố A, B, C. Hãy mơ tả dưới dạng tập hợp các biến cố sau: a. A, B, C đều xảy ra. b. A, B xảy ra nhưng C khơng xảy ra. c. Chỉ cĩ một trong biến cố xảy ra. d. Cĩ ít nhất một biến cố xảy ra. 3. Một hộp cĩ 5 sản phẩm, trong đĩ cĩ 2 phế phẩm. Người ta lấy lần lượt từ hộp ra 2 sản phẩm cho đến khi phát hiện hết 2 phế phẩm thì dừng lại. Gọi Ai biến cố chọn được sản phẩm tốt lần thứ i. a. Các biến cố Ai cĩ độc lập tồn phần với nhau khơng? Tại sao? b. Hãy biến diễn các biến cố sau theo các biến cố Ai A: Việc kiểm tra dừng lại ở lần thứ 4. B: Việc kiểm tra dừng lại ở lần lấy sau cùng. 4. Một đồng xu được tung 3 lần. Gọi S là biến cố đồng xu xuất hiện mặt sấp mỗi lần, N là biến cố đồng xu xuất hiện mặt ngữa mỗi lần. a. S, N là cĩ phải là các biến cố sơ cấp, đối lập nhau khơng? b. Hãy tìm khơng gian các biến cố sơ cấp trong phép thử trên. c. Hãy biểu diễn biến cố A: Cĩ 2 lần đồng xu xuất hiện mặt ngữa. 5. Một hộp cĩ 4 bi đỏ và 6 bi trắng a. Chọn ngẫu nhiên từ hộp ra 5 bi. Gọi: A là biến cố chọn được cả 5 bi đỏ. Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 21
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 B là biến cố chọn được ít nhất một bi trắng. Xác định loại của biến cố A và biến cố B. b. Chọn ngẫu nhiên từ hộp ra 4 bi. Gọi: Ai là biến cố chọn được i bi trắng. A là biến cố chọn được số bi trắng bằng số bi đỏ. B là biến cố chọn được số bi trắng lớn hơn số bi đỏ. C là biến cố cĩ ít nhất một bi trắng. i/. {Ai}, i = 0, , 4 cĩ phải là nhĩm biến cố đầy đủ và xung khắc. ii/. Xác định biến cố đối lặp của biến cố C. iii/. Biểu diễn biến cố A, B qua các biến cố Ai. Bước học 3: ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 3.1. Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển: Giả sử một phép thử cĩ n biến cố sơ cấp đồng khả năng cĩ thể xảy ra, trong đĩ cĩ m biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A. Khi đĩ xác suất của biến cố A (kí hiệu P(A)) được định nghĩa bởi cơng thức sau: m P(A) = , trong đĩ m là số biến cố thuận lợi cho A, n là biến cố đồng n khả năng cĩ thể xảy ra. Ví dụ 1: Tung một con xúc xắc. Tính xác suất để xúc xắc xuất hiện mặt chẵn. Gọi Ai là biến cố xuất hiện mặt i chấm. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt chẵn, cĩ A = A2∪A4∪A6 Khi tung con xúc xắc cĩ 6 biến cố đồng khả năng cĩ thể xảy ra trong đĩ cĩ 3 biến cố m 3 thuận lợi cho A. Khi đĩ: P(A) = = = 0,5 n 6 Ví dụ 2: Tung ngẫu nhiên 1 con xúc xắc. Tính xác suất để con xúc xắc xuất hiện mặt cĩ số chấm là số lẻ. Gọi A là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt cĩ chấm là số lẻ. Ai là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt cĩ i chấm (i = 1,6) . Khi tung 1 con xúc xắc thì cĩ 6 khả năng xảy ra tương ứng con xúc xắc cĩ thể xuất hiện các mặt mang số chấm từ 1 đến 6. Ta cĩ khơng gian các biến cố sơ cấp là: W = {A1, A2 , A3, A4 , A5, A6} Số trường hợp cĩ thể của phép thử: 6. Ta cĩ các biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A: A1 , A3 , A5 . Suy ra số trường hợp thuận lợi cho biến cố A: 3 3 1 Do đĩ: p(A) = = 6 2 Ví dụ 3: Tung đồng thời 2 con xúc xắc. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc là 7. Gọi A là biến cố tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc là 7. Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 22
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 Ai là biến cố xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt cĩ i chấm (i = 1,6) . Bi là biến cố xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt cĩ i chấm (i = 1,6) . Ta thấy: Tương tự như ví dụ trên, khi ta tung 1 con xúc xắc thì cĩ 6 khả năng. Do đĩ khi ta tung 2 con xúc xắc cùng lúc thì cĩ thể cĩ 6.6 = 36 khả năng xảy ra. Ta cĩ khơng gian các biến cố sơ cấp là: W = {(A1, B1); (A1, B2 ); ; (A1, B6 ) (A , B ); (A , B ); ; (A , B ) 2 1 2 2 2 6 (A6 , B1); (A6 , B2 ); ; (A6 , B6 )} Vậy số trường hợp cĩ thể của phép thử là: 36 Ta cĩ các biến cố thuận lợi cho biến cố A: (A1 , B6 ); (A2 , B5 ); (A3 , B4 ); (A4 , B3 ); (A5 , B2 ); (A6 , B1 ) Suy ra số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là: 6. 6 1 ⇒ P(A) = = 36 6 Ví dụ 4: Một người gọi điện thoại nhưng lại quên hai số cuối của số điện thoại, chỉ biết rằng hai số đĩ là khác nhau. Tính xác suất để người đĩ chỉ quay một lần đúng số cần gọi. Gọi B là biến cố người đĩ chỉ quay một lần đúng số cần gọi. Số biến cố thuận lợi cho B là: m = 1 Số biến cố đồng khả năng cĩ thể xảy ra là: n = 2 = 90 A10 1 ⇒ P(A) = 90 Ví dụ 5: Một hộp gồm 6 bi trắng và 4 bi đen, lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp. Tính xác suất để : a) Cĩ 1 bi trắng. b) Cĩ 2 bi trắng. Gọi A là biến cố cĩ 1 bi đen trong 2 bi lấy ra. Gọi B là biến cố cĩ 2 bi trắng trong 2 bi lấy ra. 1 1 m 4.6 8 Cĩ: P(A) = = C6 C 4 = = n 2 45 15 C10 2 m 1 P(B) = = C6 = n 2 3 C10 Ví dụ 6: Trong một hộp đựng 20 quả cầu trong đĩ cĩ 14 quả cầu đỏ và 06 quả cầu trắng. Lấy ngẫu nhiên (khơng hồn lại) 5 quả cầu từ trong hộp. Tính xác suất để trong 5 quả cầu lấy ra cĩ 3 quả cầu đỏ. Biết rằng các quả cầu là cân đối và giống nhau. 5 Vì các quả cầu là cân đối và giống nhau. Nên ta cĩ: n = C20 Gọi A là biến cố trong 5 quả cầu lấy ra cĩ 3 quả cầu đỏ và 2 quả cầu trắng. Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 23
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 3 + Số cách lấy 3 quả cầu đỏ: C14 2 + Số cách lấy 2 quả cầu trắng: C6 3 2 ⇒ m = C14 . C6 2 3 m C6 .C14 ⇒ P( A) = = 5 n C 20 Ví dụ 7: Hộp cĩ 10 sản phẩm trong đĩ cĩ 4 sản phẩm tốt cịn lại là sản phẩm 6 tốt xấu. Chọn ngẫu nhiên từ hộp ra 4 sản 4 sản phẩm phẩm. Tính xác suất để trong 4 sản phẩm rút ra cĩ 2 sản phẩm tốt. Gọi A là biến cố cĩ 2 sản phẩm tốt A: 2 tốt + 2 xấu trong 4 sản phẩm được rút ra. Ta cĩ: x - Số trường hợp cĩ thể xảy ra: n = 4 C10 - Số trường hợp thuận lợi: 2 9 Số trường hợp rút được 2 sản phẩm tốt trong 4 sản phẩm tốt: C4 2 9 Số trường hợp rút được 2 sản phẩm xấu trong 6 sản phẩm xấu: C6 2 2 ⇒ Số trường hợp thuận lợi của biến cố A: C4 .C6 2 2 C4 C6 24 ⇒ Xác suất của A: P(A) = 4 = = 0.4286 C10 56 * Từ ví dụ trên ta cĩ thể tổng quát thành bài tốn lược đồ hộp kín: Cho một hộp đựng N quả cầu cân đối và giống nhau trong đĩ cĩ M quả cầu đỏ (M< N) và (N – M) quả cầu trắng. Lấy ngẫu nhiên (khơng hồn lại) p quả cầu (p ≤ N) từ trong hộp. Tính xác suất để trong p quả cầu lấy ra cĩ q (q ≤ p) quả cầu đỏ. Gọi A là biến cố trong p quả cầu lấy ra cĩ q quả cầu đỏ. p ⇒ n = C N . q * Số cách lấy q quả cầu đỏ: CM p−q * Số cách lấy (p – q) quả cầu trắng: C N −M q p−q p p−q m CM .C N −M ⇒ m =C N . C N −M ⇒ P(A) = = p n C N Ví dụ 8: Một nhĩm gồm n người. Tính xác suất để cĩ ít nhất hai người cĩ cùng ngày sinh (cùng ngày cùng tháng). Gọi S là tập hợp các danh sách ngày sinh cĩ thể của n người và E là biến cố cĩ ít nhất hai người trong nhĩm cùng ngày sinh trong năm. Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 24
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 Ta cĩ E là biến cố khơng cĩ hai người bất kỳ trong nhĩm cĩ cùng ngày sinh. Số các trường hợp của S là: n(S) = 365.365.365 365 = 365n 14244 4344 n Số các trường hợp thuận lợi cho E là: n( E ) = 365.364. . . [365 – (n – 1)] [365.364.363 (365 − n +1)](365 − n)! 365! = = (365 − n)! (365 − n)! 365! n(E) (365 − n)! 365! Vì các biến cố đồng khả năng nên: P( E ) = = = n(S) 365n (365 − n)!365n Do đĩ, xác suất để ít nhất hai người cĩ cùng ngày sinh là: 365! P(E) = 1 - P( E ) = 1 - (365 − n)!365n Chú ý: Khi tính xác suất của các biến cố, ta khơng cần phải chỉ ra các biến cố sơ cấp cĩ thể xảy ra và các biến cố sơ cấp thuận lợi mà chỉ cần chỉ ra số các biến cố sơ cấp cĩ thể xảy ra, số các biến cố sơ cấp thuận lợi cho các biến cố đĩ. Nhận xét: Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển cĩ một vài hạn chế như sau: - Chỉ xét cho hệ hữu hạn các biến cố sơ cấp. - Khơng phải lúc nào cũng phân tích được thành tích các biến cố đồng khả năng. 3.2 Định nghĩa xác suất theo lối thống kê: (Bằng tần suất) Định nghĩa: Giả sử thực hiện 1 phép thử nào đĩ n lần độc lập (kết quả của phép thử sau khơng phụ thuộc vào kết quả của phép thử trước), trong đĩ biến cố A xảy ra m lần. Khi đĩ: m gọi là tần số xuất hiện của biến cố A. m f = gọi là tần xuất của biến cố A. n Khi n → ∞, tần xuất f đạt giá trị ổn định và giá trị đĩ được xem là xác suất của biến cố A. m Ta cĩ: P(A) = lim f = lim n→∞ n→∞ n Ghi chú: Trong thực tế khi số phép thử đủ lớn thì P(A) = f. Ví dụ 9: Các nhà tốn học Pearson và Buffon đã làm thực nghiệm gieo nhiều lần một đồng tiền xu cân đối và đồng chất thì thu được các kết quả trong bảng sau: Người gieo Số lần gieo Số lần mặt ngửa Tần suất Buffon 4040 2048 0,508 Pearson (lần 1) 12000 6019 0,516 Pearson (lần 2) 24000 12012 0,5005 Ví dụ 10: Các nhà thống kê cho thấy kết quả tần suất sinh con gái tại Thụy Điển vào các tháng của năm 1935 như bảng sau: Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 25
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 Tháng 1 2 3 4 5 6 Con gái 3537 3467 3866 3911 3775 3865 Tần suất 0,486 0,489 0,490 0,471 0,478 0,482 Tháng 7 8 9 10 11 12 Con gái 3821 3596 3491 3391 3160 3371 Tần suất 0,482 0,484 0,485 0,491 0,482 0,470 Qua 2 bảng trên ta thấy tần suất xuất hiện mặt ngửa khi gieo đồng tiền xu và tần suất sinh con gái xấp sĩ 0,5; khi thí nghiệm càng lớn thì tần suất càng gần 0,5. Ví dụ 11: Tiến hành sản xuất thử trên một hệ thống máy thu được kết quả như sau: Số sản phẩm n 100 150 200 250 300 Số phế phẩm m 14 12 22 24 32 Tần xuất f 0,14 0,08 0,11 0,096 0,106 Sản xuất một sản phẩm là thực hiện một phép thử. Biến cố A chúng ta quan tâm là sản phẩm trở thành phế phẩm. Như vậy, số sản phẩm sản xuất ra n là số phép thử độc lập, số phế phẩm thu được m là tần số của biến cố A. Kết quả trên cho thấy khi n tăng dần, tần xuất f thay đổi và đạt tới giá trị ổn định 0,1. Cĩ thể cho rằng, xác suất của biến cố A hay tỉ lệ phế phẩm của hệ thống là 0,1. Chú ý: Phương pháp định nghĩa xác suất theo lối thống kê được sử dụng trong thực tế khi liên quan đến số lượng lớn như xác định tỉ lệ phế phẩm của nhà máy, tỉ lệ bắn trúng bia của xạ thủ, tỉ lệ nam (nữ) trong khu vực dân cư lớn. Ví dụ 12: Tung ngẫu nhiên một con xúc xắc . Gọi A là biến cố xúc xắc xuất hiện số chấm lẻ. Goi B là biến cố xúc xắc xuất hiện số chấm: 5, 6. 3 2 Khi đĩ: P(A) = > P(B) = 6 6 Do đĩ, biến cố A dễ xảy ra hơn biến cố B. Tuy nhiên cần lưu ý rằng vẫn cĩ trường hợp biến cố B xảy ra nhưng biến cố A khơng xảy ra, đĩ là trường hợp xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm. Ví dụ 13: Một xạ thủ bắn 1000 viên đạn vào bia, trong đĩ cĩ xấp xỉ 50 viên trúng bia. Gọi A là biến cố xạ thủ bắn trúng bia thì xác suất của Chất điểm 50 A là P(A) = = 0,05. A B 1000 3.3 Định nghĩa xác suất theo hình học: A . O Xét một phép thử cĩ khơng gian các biến cố sơ cấp là miền hình học W (đoạn thẳng, hình phẳng, khối khơng D C Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. 2R Trang 26
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 gian, ) cĩ số đo (độ dài, diện tích, thể tích ) hữu hạn, khác khơng. Giả sử xét một điểm rơi ngẫu nhiên vào miền W. Xét miền con A của W. Khi đĩ xác suất để điểm rơi vào miền A là: Số đo miền A P(A) = Số đo miền W Ví dụ 14: Ném 1 chất điểm vào trong hình vuơng cĩ cạnh dài 2R. Tính xác suất để chất điểm đĩ rơi vào hình trịn nội tiếp hình vuơng. Gọi A là biến cố chất điểm rơi vào hình trịn nội tiếp hình vuơng . Trường hợp cĩ thể của phép thử được biểu diễn bằng hình vuơng ABCD. Trường hợp thuận lợi của biến cố A được biểu diễn bằng hình trịn (O,3). 2 S(O,R) S(O,R) R π π Suy ra: P(A) = = = 2 = S( ABCD) S( ABCD) 4R 4 Ví dụ 15: (Bài tốn hai người gặp nhau) Hai người hẹn gặp nhau ở một địa điểm xác định vào khoảng từ 7 giờ đến 8 giờ. Mỗi người đến (chắc chắn sẽ đến) điểm hẹn trong khoảng thời gian trên một cách độc lập với nhau, chờ trong 20 phút, nếu khơng thấy người kia sẽ bỏ đi. Tìm xác suất để hai người gặp nhau. Gọi A là biến cố 2 người gặp nhau trong cuộc hẹn. x, y lần lượt là thời gian đến điểm hẹn của y (II) người thứ 1 và người thứ 2. hA N 8 1 B Biểu diễn x, y lên hệ trục tọa độ Descartes. Chọn gốc tọạ độ là lúc 7h. P Trường hợp cĩ thể của phép thử: A 1/3 W = {}()x, y : 0 ≤ x, y ≤ 1 được biểu diễn bằng M W hình vuơng OABC. 1/3 1 h x(I) Trường hợp thuận lợi cho biến cố A: O h Q 7 8 ⎧ 1 ⎧ 1 x − y ≤ y ≥ x − Hình 4 1 ⎪ 3 ⎪ 3 x − y ≤ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 3 1 1 ⎪x − y ≥ − ⎪y ≤ x + ⎩⎪ 3 ⎩⎪ 3 được biểu diễn bằng miền gạch chéo trên hình vẽ: đa giác OMNBPQ. Suy ra xác suất của A là: 1 2 2 S S 5 P(A) = (OMNBPQ) = 1− 2. ΔAMN = 1− 2. 2 3 3 = S(OABC) S ΔABC 1 9 Ghi chú: Định nghĩa xác suất theo hình học được xem như là sự mở rộng của định nghĩa xác suất theo lối cổ điển trong trường hợp số khả năng cĩ thể xảy ra là vơ hạn. Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 27
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 ♥ Các tính chất của xác suất: i) ∀A∈W : 0 ≤ P(A) ≤1 ii) P(A) =1− P(A) iii) P(∅) = 0, với ∅ là biến cố rỗng. iv) P(W) = 1, với W là biến cố chắc chắn. v) Nếu A⊂ B thì P(A) ≤ P(B). Ý nghĩa: Xác suất của một biến cố là con số đặt trưng cho khả năng xảy ra ít hay nhiều của biến cố đĩ. Biến cố cĩ xác suất càng lớn thì càng dễ xảy ra và ngược lại biến cố cĩ xác suất càng nhỏ càng khĩ xảy ra. BÀI TẬP Xác Suất Theo Lối Cổ Điển 1. Bảng số xe gắn máy gồm cĩ phần chữ và phần số. Phần chữ gồm cĩ 2 chữ được lấy từ 25 chữ La Tinh, phần số gồm cĩ 4 số được lấy từ các số 0, 1, 2, , 9. Tính xác suất trong các trường hợp sau: a. Được bảng số xe cĩ phần chữ và phần số khác nhau. b. Được bảng số xe cĩ chữ A và duy nhất số 5. c. Cĩ phần chữ giống nhau và phần số giống nhau. 2. Số điện thoại trước đây của mỗi tỉnh (khơng kể mã số tỉnh) gồm 5 chữ số. Để gia tăng số điện thoại, bưu điện gia tăng mỗi số điện thoại thêm một chữ số. a. Tính số điện thoại thêm cĩ thể cho việc gia tăng này. b. Giả sử thành phố cĩ 5 triệu dân, và mỗi người cần một số điện thoại khác nhau. Tính số chữ số tối thiểu cần phải cĩ cho mỗi số điện thoại. c. Giả sử bạn cần gọi một số điện thoại gồm 6 chữ số khác nhau. Bạn chỉ biết nĩ cĩ các chữ số 3, 5, 7 nhưng bạn khơng biết vị trí của nĩ. Ba chữ số cịn lại thì bạn khơng biết. Tính xác suất để bạn chọn đúng số điện thoại cần gọi. d. Nếu ở câu (c) bạn biết rõ vị trí của 3 số 3, 5, 7 trong số điện thoại. Tính xác suất để bạn chọn đúng số điện thoại này. 3. a. Cĩ 10 cuốn sách khác nhau trong đĩ cĩ 2 cuốn sách Xác suất, 3 cuốn sách Vật Lý và 5 cuốn sách Tốn được xếp vào một kệ sách. Cĩ bao nhiêu cách xếp các cuốn sách đĩ sao cho các cuốn sách cùng loại thuộc cùng một nhĩm. b. Nếu 10 cuốn sách được xếp ngẫu nhiên vào 5 ngăn. Tính xác suất sao cho: i/. 10 cuốn sách ở cùng một ngăn. ii/. 2 cuốn sách Xác Suất ở 2 ngăn khác nhau. iii/. Chỉ cĩ 2 cuốn sách Xác Suất ở cùng một ngăn. iv/. Chỉ cĩ 2 cuốn sách Xác Suất ở 2 ngăn khác nhau. 4. Giải vịng loại cúp thế giới khu vực Đơng Á gồm 12 đội, trong đĩ cĩ VIỆT NAM và THÁI LAN được chia làm 3 bảng. Nếu việc chia bảng được thực hiện như sau: Chọn ngẫu Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 28
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 nhiên 4 đội xếp vào một bảng nào đĩ. Sau đĩ tiếp tục chọn 4 đội xếp vào 1 trong 2 bảng cịn lại, 4 đội cuối cùng được xếp vào bảng cuối cùng. Tính xác suất để VIỆT NAM và THÁI LAN chung một bảng. 5. Tung đồng thời 2 con xúc xắc. Tính xác suất trong các trường hợp sau: a. Tổng số chấm 2 mặt xúc xắc là 9. b. Trị tuyệt đối hiệu số chấm 2 mặt xúc xắc là 2. 6. Cĩ 12 lọ thuốc trừ sâu được chia làm 6 nhĩm (mỗi nhĩm 2 lọ). Một nơng dân chọn ngẫu nhiên 4 lọ để phun thuốc. a. Tính xác suất để 4 lọ thuốc đĩ thuộc 2 nhĩm. b. Tính xác suất để trong 4 lọ thuốc đĩ chỉ cĩ 2 lọ thuộc một nhĩm. 7. Một tổ gồm 8 người tổ chức một buổi tiệc trong đĩ cĩ 2 người là vợ chồng được xếp ngồi một cách ngẫu nhiên vào 8 cái ghế. a. Nếu tất cả họ ngồi quanh một chiếc bàn trịn. Tìm xác suất để 2 người là vợ chồng khơng ngồi gần nhau. b. Nếu 8 người đĩ ngồi trên một hàng ghế dài, thì xác suất để 2 vợ chồng ngồi cách nhau một ghế là bao nhiêu? 8. Câu lạc bộ nữ sinh tổ chức 3 hoạt động nhân ngày 8/3: cắm hoa, nấu nướng và may thêu. Một phịng cĩ 10 nữ sinh (trong đĩ cĩ A và B) đều ghi tên tham gia một hoạt động, ghi một cách ngẫu nhiên (khả năng chọn 3 hoạt động như nhau) và độc lập. Tính xác suất: a. Cả 10 người ghi tên cắm hoa. b. Cả 10 người ghi tên một hoạt động. c. Cĩ 5 người cắm hoa, 3 người nấu nướng và 2 người may thêu. d. Hai bạn A và B cùng tham gia một hoạt động. 9. Mỗi vé số gồm cĩ 5 chữ số (khơng kể số thứ tự lơ). Khi mua một vé số, nếu bạn trúng 2 số cuối cùng bạn sẽ được thưởng 5 chục ngàn đồng, nếu bạn trúng cả 5 chữ số bạn sẽ được giải đặc biệt, nếu sai chỉ một số nào trong giải đặc biệt bạn sẽ được thưởng an ủi 5 chục ngàn đồng. Khi mua ngẫu nhiên một vé số, tính xác suất để: a. Bạn trúng giải đặc biệt. b. Bạn được thưởng 5 chục ngàn đồng. 10. Giả sử một kỹ thuật viên xét nghiệm máu để 10 mẫu máu của 10 người khác nhau trên một cái kệ. Giả sử người đĩ đưa ngẫu nhiên 10 mẫu máu cho 10 người. Tính xác suất trong các trường hợp sau: a. Cả 10 mẫu máu đến đúng người nhận. b. Người thứ nhất nhận đúng mẫu máu của mình. c. 5 người đầu tiên nhận đúng mẫu máu của mình. 11. Xếp 10 người lên 7 toa tàu một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để: a. 10 người cùng lên toa đầu. b. 10 người cung lên một toa. c. 5 người đầu mỗi người một toa. d. Cĩ 2 người A và B lên cùng một toa. Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 29
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 e. Hai người A và B lên cùng một toa ngồi ra khơng cĩ ai khác trên toa này. 12. Một bộ bài cĩ 52 cây được chia làm 4 loại đều nhau, mỗi loại cĩ một cây At. Chọn ngẫu nhiên 4 cây bài từ bộ bài. Tính xác suất trong các trường hợp sau: a. 4 cây thuộc 4 loại khác nhau. b. Tất cả đều là cây At. c. Cĩ ít nhất một cây At. Xác Suất Hình Học 13. Một lồi thực vật cĩ hoa đực và hoa cái. Người ta nghiên cứu thấy rằng hoa đực và hoa cái nở ngẫu nhiên trong khoảng thời gian từ 1h – 2h. Tuy nhiên chúng chỉ kết hợp tạo thành trái nếu hai loại hoa nở cách nhau khơng quá 30 phút. Tính xác suất tạo thành trái của loại hoa trên. 14. Gieo ngẫu nhiên một điểm trong vịng trịn bán kính R. Tính xác suất để điểm đĩ rơi vào: a. Hình vuơng nội tiếp hình trịn. b. Tam giác đều nội tiếp hình trịn. 15. Một đoạn thẳng cĩ độ dài l được chia làm 3 đoạn bởi 2 điểm chia ngẫu nhiên. Tính xác suất để 3 đoạn đĩ tạo thành một tam giác. Bước học 4: ĐƯA RA MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 4.1 Các định nghĩa: Định nghĩa 1: Các biến cố A1, A2, , An được gọi là biến cố đầy đủ, xung khắc từng đơi nếu chúng xung khắc từng đơi và tổng của chúng là biến cố chắc chắn. Cĩ: Ai Aj= ∅ và A1 ∪ A2 ∪ . . ∪ An = W. Định nghĩa 2: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay khơng xảy ra biến cố này khơng làm ảnh hưởng đến việc xảy ra hay khơng xảy ra biến cố kia và ngược lại. Định nghĩa 3: Các biến cố A1, A2, , An được gọi là độc lập tồn phần nếu mỗi biến cố trong chúng độc lập với tích của một tổ hợp bất kỳ các biến cố cịn lại. 4.2 Cơng thức cộng: P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB), với A và B là hai biến cố bất kỳ. Tổng quát: n P(A1+A2+ +An) = ∑ P ( Ai ) - i=1 n-1 ∑P(Ai )P(Aj ) + ∑P(Aj )P(Aj )P(Ak ) + +(-1) P(A1A2 An) i< j i< j<k Cụ thể khi n = 3, cĩ: P(A1+A2+A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) – P(A1A2) – P(A1A3) – P(A2A3) + P(A1A2A3) Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 30
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 Hệ quả: i) Nếu A, B là hai biến cố xung khắc thì: P(A+B) = P(A) + P(B) ii) Nếu A1, A2 , , An là các biến cố xung khắc từng đơi thì: P(A1+A2+ +An) = P(A1) + P(A2) + . . +P(An) iii) Nếu A1, A2 , , An là các biến cố độc lập tồn phần thì: P(A1+A2+ . . +An) = 1 - P(A1 ).P(A2 ) P(An ) iv) Nếu A1, A2 , , An là nhĩm các biến cố đầy đủ, xung khắc từng đơi thì: n ∑ P(Ai ) = 1 1 Ví dụ 1: Một lơ hàng cĩ 10 sản phẩm, trong đĩ cĩ 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại từ lơ hàng ra 6 sản phẩm. Tìm xác suất để cĩ khơng quá 1 phế phẩm trong 6 sản phẩm được lấy ra. Gọi A là biến cố khơng cĩ phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra B là biến cố cĩ đúng một phế phẩm. C là biến cố cĩ khơng quá một phế phẩm. Khi đĩ A và B là hai biến cố xung khắc và C = A + B 6 C8 28 2 Ta cĩ P(A) = 6 = = C10 210 15 1 5 C2 .C8 112 8 P(B) = 6 = = C10 210 15 2 8 2 Do đĩ: P(C) = P(A) + P(B) = + = 15 15 3 Ví dụ 2: Một lớp cĩ 100 sinh viên, trong đĩ cĩ 40 sinh viên giỏi ngoại ngữ, 30 sinh viên giỏi tin học, 20 sinh viên giỏi cả ngoại ngữ lẫn tin học. Sinh viên nào giỏi ít nhất một trong hai mơn sẽ được thêm điểm trong kết quả học tập của học kỳ. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp. Tìm xác suất để sinh viên đĩ được thêm điểm. Gọi A là biến cố gọi được sinh viên được tăng điểm. B là biến cố gọi được sinh viên giỏi ngoại ngữ. C là biến cố gọi được sinh viên giỏi tin học. Khi đĩ A = B + C, với B và C là hai biến cố khơng xung khắc Ta cĩ: P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) – P(BC) 30 40 20 50 = + − = 100 100 100 100 Ví dụ 3: Chọn ngẫu nhiên 6 cây bài từ bộ bài cĩ 52 cây bài. Tính xác suất để ít nhất cĩ 2 cây At. Gọi A là biến cố chọn ít nhất 2 cây At từ 6 cây bài chọn ra. Ai là biến cố chọn được i cây At từ 6 cây bài chọn ra (i = 0,4) . Suy ra: A = A2 + A3 + A4 Ta cĩ: Hệ các biến cố {A2 , A3 , A4 } xung khắc từng đơi, nên: Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 31
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 P(A) = P(A2 + A3 + A4 ) = P(A2 ) + P(A3 ) + P(A4 ) 2 4 3 3 4 2 C4 C48 C4 C48 C4 C48 = 6 + 6 + 6 ≈ 0,06 C52 C52 C52 Nhận xét: Trong dãy n biến cố A1, A2 , , An: + Nếu từng đơi một các biến cố mà độc lập với nhau thì dãy này gọi là độc lập từng đơi; + Nếu dãy độc lập tồn phần thì độc lập từng đơi nhưng điều ngược lại khơng đúng. 4.3 Cơng thức nhân xác suất: 4.3.1 Xác suất cĩ điều kiện: Định nghĩa: Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B xảy ra được gọi là xác suất cĩ điều kiện của biến cố A. Ký hiệu P(A/B). Ví dụ 4: Hộp cĩ 10 viên bi trong đĩ cĩ 4 viên màu đỏ, 6 viên màu trắng. Lần lượt rút khơng hồn lại 2 viên bi. Giả sử lần thứ nhất rút được bi màu đỏ, tính xác suất để lần thứ hai rút được bi màu đỏ. Gọi Ai là biến cố rút được bi màu đỏ lần thứ i. lần 1 lần 2 4 đỏ 3 đỏ 10 9 Đ ? Đ1 2 Hình 5 3 Ta cĩ: P( A / A ) = 2 1 9 Chú ý: Cho A, B là hai biến cố với P(B) > 0. Ta cịn cĩ cơng thức: (AB) P(A / B) = (B) Ví dụ 5: Một bộ bài cĩ 52 lá. Rút ngẫu nhiên 1 lá bài. Tính xác suất để rút được con “át”, biết rằng lá bài rút ra là lá bài màu đen. Gọi A là biến cố rút được con “át”. B là biến cố rút được lá bài màu đen. 26 1 Ta thấy trong bộ bài cĩ 26 lá bài màu đen nên P(B) = = 52 2 2 một con át đen nên P(AB) = 52 P(AB) 2 / 52 1 Do đĩ ta cĩ: P(A/ B) = = = P(B) 26 / 52 13 Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 32
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 Ví dụ 6: Thi 2 mơn, xác suất đậu một thứ nhất là 0,6. Nếu mơn thứ nhất đậu thì khả năng sinh viên đĩ đậu mơn thứ hai là 0,8. Nếu mơn thứ nhất khơng đậu thì khả năng sinh viên đĩ đậu mơn thứ 2 chỉ là 0,6. Tính xác suất trong các trường hợp sau: a) Sinh viên đĩ đậu chỉ một mơn. b) Sinh viên đĩ đậu 2 mơn. Giải a) Sinh viên đĩ đậu chỉ một mơn: Gọi A là biến cố sinh viên đĩ đậu chỉ một mơn. Ai là biến cố sinh viên đĩ đậu mơn thứ i (i =1, 2). Ta cĩ: A = A1 A2 + A1 A2 Suy ra: P(A) = P(A1 A2 + A1 A2 ) = P(A1 A2) + P(A1 A2 ) = P( A1)P( A2 / A1 ) + P( A1 )P(A2 / A1 ) = (0,6.(0,2) + (0,4).(0,6) = 0,36 b) Sinh viên đĩ đậu 2 mơn: Gọi B là biến cố sinh viên đậu hai mơn. Ta cĩ: B = A1 A2 Suy ra: P(B) = P(A1A 2 ) = P(A1 )P(A 2 / A1 ) = (0,6).(0,8) = 0,48 4.3.2 Cơng thức nhân xác suất: Cho A và B là hai biến cố bất kỳ của một phép thử. Ta luơn cĩ: P(AB) = P(A) . P(B/A) = P(B) . P(A/B) • Nếu A và B độc lập, cĩ: P(AB) = P(A) . P(B) • Mở rộng: P(A1.A2 An) = P(A1) . P(A2/A1) . P(A3/A1A2). . .P(An/A1An – 1) • Nhĩm các biến cố độc lập tồn phần: A1, A2, , An được gọi là độc lập tồn phần khi và chỉ khi: P(A1A2 An) = P(A1). P(A2) P(An) Ví dụ 7: Tung đồng thời hai con xúc xắc. Tính xác suất để cả 2 con xúc xắc đều xuất hiện mặt 6 chấm. Gọi A là biến cố cả hai xúc xắc đều xuất hiện mặt 6 chấm. Ai là biến cố xúc xắc thứ i xuất hiện mặt 6 chấm (i = 1, 2) Ta cĩ: A= A1 A2 1 1 1 Do A và A độc lập nhau, nên: P(A) = P(A A ) = P(A )P(A ) = = 1 2 1 2 1 2 6 6 36 Ví dụ 8: Hai xạ thủ mỗi người bắn một phát đạn vào bia. Xác suất bắn trúng của người thứ nhất là p = 0,9; của người thứ hai là p = 0,7. Tính xác suất: a) Cả hai đều bắn trúng. b) Cĩ đúng một viên đạn trúng bia. c) Bia bị trúng đạn. Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 33
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 Biết rằng hai người bắn độc lập với nhau. Gọi A là biến cố xạ thủ I bắn trúng bia. B là biến cố xạ thủ II bắn trúng bia. C là biến cố cả hai xạ thủ trúng bia. D là biến cố cĩ một viên đạn trúng bia. E là biến cố bia bị trúng đạn. a) Xác suất để cả hai đều bắn trúng: Ta cĩ C = AB P(C) = P(AB) = P(A) . P(B) = 0,9 . 0,7 = 0,63 b) Xác suất để cĩ một viên đạn trúng bia: Ta cĩ: D = AB + BA Vì AB và BA là xung khắc với nhau ⇒ P(D) = P(AB) + P(BA) = P(A).P(B) + P(A).P(B) ⇒ P(D) = 0,9 . 0,3 + 0,1 . 0,7 = 0,34 c.) Xác suất để bia bị trúng đạn: Ta cĩ: E = AB ⇒ P(E) = P(AB) = P(A).P(B) = 0,3.0,1 = 0,03 P(E) = 1 – 0,03 = 0,97 Bước học 5: CƠNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CƠNG THỨC BAYES 5.1 Cơng thức xác suất đầy đủ: Định nghĩa: Giả sử A1, A2,. . ,An là nhĩm biến cố đầy đủ xung khắc từng đơi và B là biến cố bất kỳ cĩ thể xảy ra đồng thời với một trong các biến cố Ai (i= 1, , n). Khi đĩ xác suất B được tính bởi cơng thức: n P(B) = ∑ P(Ai ).P(B / Ai ) i=1 Khi B xảy ra thì cĩ một và chỉ một biến cố Ai cùng xảy ra với B. Chú ý: Vận dụng cơng thức xác suất đầy đủ để giải một bài tốn, vấn đề quan trọng là phải chỉ ra được nhĩm biến cố đầy đủ và xung khắc từng đơi. Trong thực tế việc này thường gặp ở 2 hình thức sau: 9 Cơng việc tiến hành trải qua 2 phép thử. Thực hiện phép thử thứ nhất ta cĩ một trong n khả năng xảy ra là các biến cố: A1 , A2 , , An . Sau khi thực hiện phép thử thứ nhất ta thực hiện phép thử thứ hai. Trong phép thử thứ hai ta quan tâm đến biến cố B. Khi đĩ biến cố B sẽ được tính theo cơng thức xác suất tồn phần với nhĩm biến cố đầy đủ và xung khắc từng đơi là các biến cố Ai (i = 1,n) . 9 Một tập hợp chứa n nhĩm phần tử. Mỗi nhĩm phần tử cĩ một tỉ lệ phần tử cĩ tính chất P nào đĩ. Lấy ngẫu nhiên từ tập hợp ra 1 phần tử. Gọi A là biến cố chọn được phần tử thuộc nhĩm thứ i. Khi đĩ xác suất của biến cố chọn được phần tử cĩ tính chất P trong Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 34
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 phép thử sẽ được tính theo cơng thức xác suất tồn phần với nhĩm biến cố đầy đủ và xung khắc từng đơi là Ai (i = 1,n) . Ví dụ 1: Xét một lơ sản phẩm, trong đĩ cĩ sản phẩm của nhà máy 1 sản phẩm chiếm 20%, nhà máy 2 sản phẩm chiếm 30%, nhà máy 3 sản phẩm chiếm 50%. Xác suất phế phẩm của nhà máy 1, 2, 3 lần lượt là 0,001; 0,005; 0,006. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lơ hàng. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Gọi B là biến cố lấy được sản phẩm là phế phẩm. A1, A2, A3 lần lượt là biến cố lấy được sản phẩm của nhà máy 1, 2, 3. Ta cĩ: A1, A2, A3 là nhĩm biến cố đầy đủ, xung khắc từng đơi. Theo cơng thức xác suất đầy đủ, ta cĩ: 3 P(B) = ∑ P(Ai ).P(B / Ai ) = P(A1) . P(B/A1) + P(A2) . P(B/A2) + P(A3) . P(B/A3) i=1 = 20/100 . 0,001 + 30/100 . 0,005 + 50/100 . 0,006 = 0,0065. 5.2 Cơng thức Bayes: Từ giả thuyết, để tính xác suất đầy đủ, nếu B xảy ra thì xác suất biến cố Ai bằng bao nhiêu? Định nghĩa: Giả sử A1, A2, , An là nhĩm biến cố đầy đủ xung khắc từng đơi và B là biến cố bất kỳ cĩ thể xảy ra đồng thời với một trong các biến cố Ai. Khi đĩ ta cĩ cơng thức: P(A ).P(B / A ) P(A / B) = i i i P(B) (Cơng thức Bayes) n Với P(B) = ∑ P( Ai ).P(B / Ai ) i=1 Ví dụ 2: Một phân xưởng sản xuất chi tiết máy cĩ hai máy: Máy I sản xuất 60% sản phẩm của phân xưởng; Máy II sản xuất 40% sản phẩm của phân xưởng. Tỉ lệ phế phẩm của máy I là 0,1 và tỉ lệ phế phẩm của máy II là 0,05. Sản phẩm của phân xưởng sau khi sản xuất được đem trộn lẫn với nhau. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của phân xưởng thì thấy sản phẩm đĩ là phế phẩm. Tính xác suất để phế phẩm lấy ra do máy I sản xuất. Gọi B1 là biến cố sản phẩm lấy ra do máy I sản xuất. B2 là biến cố sản phẩm lấy ra do máy II sản xuất. A là biến cố sản phẩm lấy ra là phế phẩm. ⇒ B1, B2 lập thành nhĩm đầy đủ các biến cố. Theo cơng thức xác suất tồn phần: P(A) = P(B1).P(A/B1)+P(B1).P(A/B2) = 0,08. P(B ).P(A.B ) 0,6.0,1 Theo cơng thức Bayer: P(B / A) = 1 1 = = 0,75. 1 P(A) 0,08 Vậy xác suất để phế phẩm do máy I sản xuất là P(B1/A) = 0,75. Ví dụ 3: Cĩ 3 hộp đựng sản phẩm, mỗi hộp cĩ 10 sản phẩm, trong đĩ số phế phẩm lần lượt là 2, 3, 4. Chọn ngẫu nhiên một hộp, rồi từ hộp đã chọn, rút ra ngẫu nhiên một sản phẩm. Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 35
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 a) Tính xác suất để sản phẩm chọn ra là phế phẩm. b) Nếu sản phẩm rút ra là phế phẩm, thì theo bạn phế phẩm đĩ cĩ khả năng thuộc hộp nào nhiều nhất, tại sao? Giải a) Tính xác suất để sản phẩm chọn ra là phế phẩm: Gọi B là biến cố rút được sản phẩm là phế phẩm. Ai là biến cố chọn được hộp thứ i (i = 1,3). Theo cơng thức xác suất tồn phần, ta cĩ: P(B) = P(A1 )P(B / A1 ) + P(A2 )P(B / A2 ) + P(A3 )P(B / A3 ) 1 2 1 3 1 4 1 9 3 = + + = = = 0,3 3 10 3 10 3 10 3 10 10 b) Theo cơng thức Bayes, ta cĩ: 1 2 P(A )P(B / A ) 2 P(A / B) = 1 1 = 3 10 = 1 P(B) 3 9 10 1 3 P(A )P(B / A ) 1 3 P(A / B) = 2 2 = 3 10 = = 2 P(B) 3 3 9 10 1 4 P(A )P(B / A ) 4 P(A / B) = 3 3 = 3 10 = 3 P(B) 3 9 10 So sánh các kết quả, ta thấy phế phẩm rút ra cĩ khả năng thuộc hộp thứ III nhiều nhất. 5.3 Cơng thức Bernoulli: Định nghĩa: Ta tiến hành n phép thử độc lập. Giả sử trong mỗi phép thử chỉ xảy ra hai trường hợp: Hoặc biến cố A xảy ra với xác suất p hoặc biến cố A khơng xảy ra với xác suất q = 1 – p. Các bài tốn thỏa mãn các điều kiện trên thì được gọi là tuân theo lược đồ Bernoulli. Khi đĩ xác suất để trong n phép thử độc lập biến cố A xuất hiện k lần được ký hiệu: Pn(k) và k k n−k được tính Pn (k) = Cn .p .q , cơng thức này gọi là cơng thức Bernoulli. Ví dụ 4: Hộp cĩ 10 viên bi, trong đĩ cĩ 6 viên bi màu đỏ. Lần lượt rút cĩ hồn lại 5 viên bi. Gọi A là biến cố rút được viên bi màu đỏ trong mỗi lần rút, ta được một lược đồ Bernoulli với: * Số phép thử độc lập: n = 5. * P(A) = 6/15. Ví dụ 5: Trong một phân xưởng cĩ 5 máy hoạt động độc lập, xác suất để một máy bị hư trong một ca sản xuất là bằng nhau và bằng p = 0,1. Tính xác suất để trong 1 ca cĩ hai máy bị hư. Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 36
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 Ta thấy 5 máy hoạt động độc lập cho nên ta cĩ thể coi như tiến hành 5 phép thử độc lập và mỗi phép thử chỉ cĩ hai kết cục máy hoạt động tốt hoặc máy bị hư với xác suất p = 0,1. ⇒ bài tốn tuân theo lược đồ Bernoulli. 2 2 3 Do đĩ xác suất để trong một ca cĩ hai máy bị hư. P5(2) = C5 .(0,1) .(0,9) Ví dụ 6: Một sinh viên thi trắc nghiệm mơn Ngoại Ngữ gồm cĩ 10 câu hỏi. Mỗi câu cĩ 4 phần để lựa chọn trả lời, trong đĩ chỉ cĩ 1 phần đúng. Giả sử sinh viên làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên các phần của câu hỏi. Tính xác suất trong các trường hợp sau: a) Sinh viên vừa đủ điểm đậu (5 điểm). b) Sinh viên chọn đúng ít nhất 1 câu hỏi. Giải a) Sinh viên vừa đủ điểm đậu: Gọi A là biến cố sinh viên vừa đủ điểm đậu. Xem việc chọn câu trả lời ở mỗi câu hỏi của sinh viên là 1 phép thử thì trong mỗi phép thử cĩ 1 trong 2 khả năng xảy ra : 1 9 Sinh viên trả lời đúng với xác suất là p = . 4 3 9 Sinh viên trả lời sai với xác suất là q = . 4 1 3 Vậy: P(A) = P(10,5) = C 5 ( )5 ( )5 ≈ 0,058 10 4 4 b) Sinh viên chọn đúng ít nhất 1 câu hỏi: Gọi B là biến cố sinh viên chọn đúng ít nhất 1 câu hỏi. ⇒ B là biến cố sinh viên khơng chọn đúnh câu hỏi nào. 1 3 3 Ta cĩ: P(B) = P(10,0) = C 0 ( )0 ( )10 = ( )10 10 4 4 4 3 ⇒ P(B) = 1− P(B) = 1− ( )10 = 0,056 4 Ví dụ 7: Một bác sĩ cĩ xác suất chữa khỏi bệnh là 0,8. Cĩ người nĩi rằng cứ 10 người đến chữa bệnh thì chắc chắn cĩ 8 người khỏi bệnh. Điều khẳng định đĩ cĩ đúng khơng? Điều khẳng định trên là sai. Ta cĩ thể xem việc chữa bệnh cho 10 người là một dãy của một phép thử độc lập. Nếu gọi A là biến cố chữa khỏi bệnh cho một người thì P(A) = 0,8 Do đĩ: Xác suất để trong 10 người đến chữa bệnh thì cĩ 8 người khỏi bệnh là: 8 8 2 P10(8) = C10.(0,8) .(0,2) ≈ 0,3108 . 5.4 Cơng Thức Bernoulli Mở Rộng: 5.4.1 Lược đồ Bernoulli mở rộng: Định nghĩa: Một lược đồ Bernoulli mở rộng gồm : 9 Dãy n phép thử độc lập. Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 37
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 9 Hệ biến cố {A1 , A2 , , Ak } đầy đủ, xung khắc. Trong đĩ: P(A1 ) = p1 , P(A2 ) = p2 , , P(Ak ) = pk và p1 + p2 + + pk = 1. 5.4.2 Cơng thức Bernoulli mở rộng: Cơng thức: Xác suất để trong n phép thử độc lập, biến cố A1 xảy ra m1 lần, biến cố A2 xảy ra m2 lần , , biến cố Ak xảy ra mk lần (trong đĩ m1 + m2 + + mk = n ) là: n! m1 m2 mk P(n;m1 ,m2 , ,mk ) = p1 .p2 pk m1!m2! mk ! Ví dụ 8: Lơ hàng cĩ 100 sản phẩm trong đĩ cĩ 30 sản phẩm loại A, 50 sản phẩm loại B và 20 sản phẩm loại C. Lần lượt rút cĩ hồn lại 9 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất để trong 9 lần rút đĩ cĩ 3 lần rút được sản phẩm loại A, 4 lần rút được sản phẩm loại B và 2 lần rút được sản phẩm loại C. Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố rút được sản phẩm loại A, B, C trong mỗi lần rút. Rõ ràng hệ {}A, B,C đầy đủ và xung khắc từng đơi. 30 50 20 Và P(A) = , P(B) = , P(A) = 100 100 100 9! 30 50 20 Do đĩ: P(9;3A,4B,2C) = ( )3 ( ) 4 ( ) 2 = 0,086 3!4!2! 100 100 100 BÀI TẬP 1. Một tổ gồm cĩ 8 nam và 6 nữ. Chọn ngẫu nhiên một nhĩm 5 người. Tính xác suất để trong nhĩm: a. Cĩ ít nhất một nữ. b. Số nữ nhiều hơn số nam. 2. Ở một hội đồng nhân dân tỉnh cĩ 20 đại biểu trong đĩ cĩ một người nữ. Để điều hành một cơng việc nào đĩ cần thành lập một tiểu ban gồm 5 người. Tính xác suất sao cho tiểu ban đĩ cĩ số lượng nam nhiều hơn số lượng nữ khi chọn ngẫu nhiên các đại biểu. 3. Một lớp cĩ 30 học sinh, gồm: 10 học sinh giỏi tốn, 10 học sinh giỏi văn, 10 học sinh giỏi ngoại ngữ. Trong đĩ cĩ 5 học sinh vừa giỏi ngoại ngữ và tốn, 3 học sinh vừa giỏi ngoại ngữ và văn, khơng cĩ học sinh nào giỏi văn và tốn hoặc giỏi cả 3 mơn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh, tính xác suất để được học sinh giỏi ít nhất 1 trong 3 mơn nĩi trên. 4. Bắn liên tiếp vào một mục tiêu cho đến khi viên đạn đầu tiên trúng mục tiêu hoặc hết đạn thì ngưng. Xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi lần bắn là 0,6. a. Nếu người đĩ cĩ 4 viên đạn. Tính xác suất để bắn đến viên đạn thứ 4. b. Nếu người đĩ cĩ số viên đạn khơng hạn chế. Tính xác suất để việc bắn ngưng lại ở lần thứ tư. 5. Một lơ hàng gồm 10 sản phẩm trong đĩ cĩ lẫn lộn 1 phế phẩm. Người ta lấy lần lượt từng sản phẩm từ lơ hàng để tìm phế phẩm đĩ. a. Tìm xác suất sao cho phế phẩm đĩ lấy ra ở lần sau cùng. Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 38
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 b. Giả sử lơ hàng cĩ 2 phế phẩm. Người ta lấy lần lượt từng sản phẩm cho đến khi phát hiện hết 2 phế phẩm thì dừng. Tính xác suất sao cho việc kiểm tra dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. 6. Một sinh viên thi vào trường ngoại ngữ phải thi 5 mơn với xác suất đậu của mỗi mơn tương ứng là: 0,7; 0,6; 0,4; 0,8; 0,5. Tìm xác suất để sinh viên đĩ: a. Đậu cả 5 mơn. b. Đậu ít nhất 1 mơn. c. Đậu nhiều nhất 1 mơn. 7. Một trận khơng chiến giữa máy bay ta và máy bay địch. Máy bay ta đã bắn trước với xác suất trúng là 0,5. Nếu bị trượt máy bay địch bắn trả lại với xác suất trúng là 0,4. Nếu khơng bị trúng đạn máy bay ta lại bắn trả lại với xác suất trúng là 0,3. Trận khơng chiến đến đây kết thúc, và máy bay sẽ bị rơi nếu như bị trúng. Tìm xác suất: a. Máy bay địch bị rơi trong cuộc khơng chiến trên. b. Máy bay ta bị rơi trong cuộc khơng chiến. 8. Trong một kỳ thi mỗi sinh viên phải thi 2 mơn. Giả sử bạn ước lượng rằng: Bạn cĩ hy vọng đậu 80% mơn thứ nhất. Nếu đạt mơn thứ nhất, điều này làm bạn phấn khởi và do bạn phấn khởi sẽ cĩ hy vọng 60% đạt yêu cầu mơn thứ hai. Nếu khơng đạt mơn thứ nhất, điều này làm bạn nản lịng làm cho hy vọng đạt mơn thứ hai chỉ cịn 30%. Hãy tìm xác suất để bạn: a. Đạt cả hai mơn. b. Đạt mơn thứ hai. c. Đạt ít nhất một mơn. d. Khơng đạt cả hai mơn. 9. Nếu dùng 3 loại thuốc A, B, C riêng lẻ để điều trị bệnh phổi thì tỉ lệ kháng thuốc theo thứ tự là: 15%, 20%, 25%. Dùng phối hợp cả 3 loại thuốc trên thì khả năng kháng thuốc của vi trùng là bao nhiêu. 10. Chọn ngẫu nhiên một vé số cĩ 5 chữ số. Tính xác suất để được vé số khơng cĩ số 1 hoặc khơng cĩ số 5. 11. Chọn ngẫu nhiên một vé số cĩ 5 chữ số. Tính xác suất để được vé số cĩ số 5 và số chẵn. 12. Một người bỏ ngẫu nhiên 3 lá thư vào 3 phong bì đã ghi địa chỉ. Tính xác suất để cĩ ít nhất một lá thư bỏ đúng phong bì của nĩ. 13. Trong một hộp đựng 30 ấm trà, trong đĩ cĩ 7 ấm bị sứt vịi, 5 ấm bị mẻ miệng, 6 ấm bị bể nắp, 3 ấm vừa sứt vịi vừa bể nắp, 2 ấm vừa sứt vịi vừa mẻ miệng, 1 ấm vừa sứt vừa bể nắp vừa mẻ miệng. a. Lấy ngẫu nhiên một ấm từ hộp. Tính xác suất để ấm ấy cĩ nhượt điểm. b. Tìm xác suất để lấy ra một ấm sẽ là ấm bị sứt vịi khi nĩ đã bị bể nắp. c. Lấy ngẫu nhiên ra 4 ấm. Tính xác suất để trong 4 ấm này cĩ 2 ấm cĩ nhượt điểm. 14. Biết rằng một người cĩ nhĩm máu AB cĩ thể nhận máu bất kỳ nhĩm máu nào. Nếu người nào đĩ cĩ nhĩm máu cịn lại (A hoặc B hoặc O) thì chỉ nhận máu của người cùng nhĩm với mình hoặc người cĩ nhĩm máu O. Cho biết tỉ lệ người cĩ nhĩm máu A, B, O và AB tương ứng là: 33,7%; 37,5%; 20,9%; 7,9%. Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 39
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 a. Chọn ngẫu nhiên một người cần tiếp máu và một người cho máu. Tính xác suất để sự truyền máu thực hiện được. b. Chọn ngẫu nhiên một người cần tiếp máu và hai người cho máu. Tính xác suất để sự truyền máu thực hiện được. 15. Cĩ 2 lơ sản phẩm. Mỗi lơ cĩ 10 sản phẩm, trong đĩ số lượng phế phẩm của mỗi lơ lần lượt là: 2 và 3. a. Lấy ngẫu nhiên mỗi lơ một sản phẩm. b. Lấy ngẫu nhiên một lơ, rồi từ lơ đĩ lấy ra 2 sản phẩm. Hãy đánh giá xem phương thức nào chọn được một phế phẩm lớn hơn. 16. Một người cĩ 3 con gà mái và 2 con gà trống nhốt trong chuồng. Một người đến mua, người bán gà bắt ngẫu nhiên ra một con. Người mua chấp nhận mua con đĩ. a. Tìm xác suất để bắt được gà trống. b. Người thứ 2 đến mua, người bán bắt ra ngẫu nhiên một con. Tính xác suất để được gà mái. c. Xác suất này sẽ bằng bao nhiêu nếu người thứ hai đến mua, biết rằng người bán gà quên mất đã bán cho người thứ nhất là gà trống hay gà mái. 17. Một tổ sinh viên gồm cĩ 4 người nam và 6 người nữ. Giả sử tổ được Đồn trường cho 3 vé xem phim. a. Cĩ bao nhiêu cách phân phối sao cho nữ cĩ 2 vé và nam cĩ 1 vé. b. Nếu việc phân phối thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên mỗi người lần lượt lấy một vé từ 10 vé, trong đĩ cĩ 3 vé cĩ dấu hiệu đặc biệt mà người bốc trúng sẽ được xem phim. Theo bạn nên chọn việc bốc thăm lần thứ mấy để cĩ lợi nhất, tại sao? 18. Một hộp cĩ 3 bi trắng và 5 bi đỏ. a. Lấy 2 bi khơng chú ý màu của nĩ, rồi bỏ vào hộp 2 bi trái màu với nĩ. Sau đĩ lấy tiếp một bi. Tính xác suất để bi lấy ra lần sau là đỏ. b. Lấy ra lần đầu một bi, sau đĩ lấy tiếp một bi nữa. Tính xác suất để 2 bi này cùng màu. 19. Cĩ 3 lơ hàng 1, 2, 3 theo thứ tự cĩ tỉ lệ phế phẩm là: 3/10, 6/15, 4/20. Chọn ngẫu nhiên một lơ hàng, rồi từ đĩ lấy tiếp ra một sản phẩm. a. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là phế phẩm. b. Giả sử sản phẩm lấy ra là chính phẩm, nĩ cĩ thể là của hộp nào nhiều nhất, tại sao? 20. Một nhĩm gồm cĩ 10 người, trong đĩ cĩ 6 người cĩ nhĩm máu O. Chọn ngẫu nhiên 3 người, rồi từ nhĩm 3 người chọn ngẫu nhiên một người. a. Tính xác suất để chọn được người cĩ nhĩm máu O. b. Giả sử chọn được người cĩ nhĩm máu O. Tính xác suất để 3 người chọn ra trước đĩ cĩ 2 người cĩ nhĩm máu O. 21. Cĩ 4 chiến sĩ độc lập bắn vào một chiếc xe, mỗi người bắn một viên với xác suất trúng là: 0,8; 0,4; 0,6; 0,5. Biết rằng cĩ k viên đạn bắn trúng xe thì xe bị tiêu diệt với xác suất là: 1 pk = 1− . Tìm xác suất để xe bị tiêu diệt. 2 k Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 40
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 22. Cĩ 2 hộp: Hộp 1 cĩ 3 bi đỏ và 7 bi trắng. Hộp 2 cĩ 6 bi đỏ và 4 bi trắng. a. Lấy 2 viên bi từ hộp 1 bỏ vào hộp 2, sau đĩ rút lần lượt hộp 2 ra 2 viên. Tính xác suất để 2 viên này đều trắng. b. Lấy mỗi hộp 2 viên. Tính xác suất để được 3 viên trắng. c. Nếu lấy được 3 viên trắng, 1 viên đen ở câu (b). Tính xác suất để viên bi đen là của hộp 2. 23. Một cơng ty bảo hiểm cho người bị tai nạn. Cơng ty chia khách hàng của mình ra thành 3 nhĩm: Người ít bị rủi ro, người bị rủi ro trung bình và người thường xuyên bị rủi ro với tỉ lệ là: 60%, 30%, 10%. Xác suất bị rủi ro của các nhĩm lần lượt là: 0,01; 0,05; 0,1. a. Tính tỉ lệ người bị tai nạn trong năm. b. Nếu người khơng bị tai nạn trong năm, họ cĩ khả năng thuộc nhĩm nào nhiều nhất, tại sao? 24. Một hộp đựng 3 đồng xu trong đĩ cĩ 1 đồng xu thiên vị ngữa (luơn lật mặt ngữa khi tung) và 2 đồng xu cơng bằng. Chọn ngẫu nhiên một đồng xu trong hộp rồi tung. Nếu ngữa thì tung tiếp đồng xu đĩ một lần nửa. Nếu sấp thì rút một đồng xu khác trong hộp và tung. a. Tìm xác suất để 2 lần tung đều xuất hiện mặt ngữa. b. Nếu một đồng xu được tung 2 lần. Tìm xác suất để đĩ là đồng xu thiên vị ngữa. 25. Hai nhà máy cùng sản xuất ra một loại chi tiết. Năng suất của máy I gấp đơi máy II. Tỉ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn của máy I là 64%, của máy II là 80%. Lấy ngẫu nhiên một chi tiết từ lơ hàng do 2 máy sản xuất thì được chi tiết đạt tiêu chuẩn. Tính xác suất để chi tiết đĩ do máy I sản xuất. 26. Hộp A: cĩ 15 lọ thuốc tốt, 5 lọ thuốc hỏng. Hộp B: cĩ 17 lọ thuốc tốt, 3 lọ thuốc hỏng. Hộp C: cĩ 10 lọ thuốc tốt, 10 lọ thuốc hỏng. a. Lấy ở mỗi hộp 1 lọ. Tính xác suất để cĩ một lọ thuốc hỏng. b. Chọn ngẫu nhiên 1 hộp, rồi từ hộp đã chọn lấy ra 3 lọ. Tính xác suất được 2 lọ tốt và 1 lọ hỏng. c. Trộn chung 3 hộp lại, rồi từ đĩ lấy ra 3 lọ. Tính xác suất để được 3 lọ thuốc tốt. d. Kiểm tra từng lọ ở hộp B cho đến khi phát hiện đủ 3 lọ thuốc hỏng thì dừng. Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lại ở lần lấy thứ 5. 27. Tỉ lệ lọ thuốc hỏng trong các lơ thuốc A, B lần lượt là: 0,1; 0,07. Giả sử các lơ thuốc này cĩ rất nhiêu lọ. a. Lấy ngẫu nhiên 2 lọ ở mỗi lơ thuốc. Tính xác suất để cĩ một lọ thuốc hỏng. b. Chọn ngẫu nhiên 1 trong 2 lơ, rồi từ đĩ lấy ra 4 lọ. Tính xác suất để được 1 lọ thuốc hỏng. c. Cửa hàng nhận 600 lọ thuốc ở lơ thứ nhất và 400 lọ thuốc ở lơ thứ hai. Ta mua ngẫu nhiên 1 lọ. Tính xác suất để lọ này là lọ hỏng. 28. Ở hội chợ cĩ 3 cửa hàng. Cửa hàng loại I phục vụ những người “may mắn” bán hàng với tỉ lệ phế phẩm là 1%. Cửa hàng loại II phục vụ bán hàng với tỉ lệ phế phẩm là 5%. Cửa hàng loại III phục vụ những người “rủi ro” bán hàng với tỉ lệ phế phẩm là 10%. Một người Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 41
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 vào hội chợ phải gieo 2 đồng xu. Người đĩ là may mắn nếu cả 2 đều sắp, là rủi ro nếu cả 2 đều ngữa. a. Tính xác suất để một người vào hội chợ mua phải hàng xấu. b. Nếu một người mua phải hàng xấu, theo ý bạn người đĩ là may mắn hay rủi ro. 29. Một bệnh nhân nghi là cĩ thể mắc một trong 3 bệnh A, B, C với xác suất tương ứng là: 0,3; 0,4 và 0,3. Người đĩ đến khám bệnh ở 4 bác sĩ một cách độc lập. Bác sĩ thứ nhất chuẩn đốn bệnh A, bác sĩ thứ hai chuẩn đốn bệnh B, bác sĩ thứ ba chuẩn đốn bệnh C và bác sĩ thứ tư chuẩn đốn bệnh A. Hỏi khi khám bệnh xong, người bệnh đánh giá lại xác suất mắc bệnh A, B, C của mình là bao nhiêu. Biết rằng xác suất chuẩn đốn đúng của mỗi ơng bác sĩ là 0,6 và chuẩn đốn nhầm sang 2 bệnh cịn lại là: 0,2 và 0,2. 30. Một máy bay cĩ 3 bộ phận A, B, C cĩ tầm quan trọng khác nhau. Máy bay sẽ rơi nếu cĩ hoặc 1 viên đạn trúng vào A. hoặc 2 viên đạn trúng vào B, hoặc 3 viên đạn trúng vào C. Giả sử các bộ phận A, B, C lần lượt chiếm tỉ lệ 15%, 30%, 55% diện tích của máy bay. Tính xác suất để máy bay rơi nếu: a. Máy bay bị trúng 2 viên. b. Máy bay bị trúng 3 viên. 31. Một máy bay cĩ 4 bộ phận A, B, C, D đặt liên tiếp nhau. Máy bay sẽ rơi nếu 2 viên đạn trúng vào cùng một bộ phận, hoặc 2 bộ phận kề nhau trúng đạn. Tính xác suất để máy bay rơi nếu: a. Bốn bộ phận cĩ diện tích bằng nhau và máy bay bị trúng 2 viên đạn. b. Các bộ phận B, C, D cĩ diện tích bằng nhau, bộ phận A cĩ diện tích gấp đơi bộ phận B và máy bay bị bắn trúng 2 viên. 32. Một máy bay cĩ 5 động cơ, trong đĩ 3 động cơ ở cánh phải, 2 động cơ ở cánh trái. Mỗi động cơ ở cánh phải cĩ xác suất bị hỏng là: 10%, cịn mỗi động cơ ở cánh trái cĩ xác suất bị hỏng là: 5%. Các động cơ hoạt động độc lập. Tính xác suất để động cơ thực hiện chuyến bay an tồn trong các trường hợp sau: a. Máy bay chỉ bay được nếu cĩ ít nhất 2 động cơ làm việc. b. Máy bay chỉ bay được nếu trên mỗi cánh của nĩ cĩ ít nhất một động cơ làm việc. 33. Một máy bay cĩ thể xuất hiện ở vị trí A với xác suất 2/3 và ở vị trí B với xác suất 1/3. Cĩ 3 phương án bố trí 4 khẩu pháo bắn máy bay như sau: * Phương án 1: 3 khẩu đặt tại A, 1 khẩu đặt tại B. * Phương án 2: 2 khẩu đặt tại A, 2 khẩu đặt tại B. * Phương án 3: 1 khẩu đặt tại A, 3 khẩu đặt tại B. Biết xác suất bắn trúng máy bay của mỗi khẩu pháo là 0,7 và các khẩu pháo hoạt động độc lập với nhau, hãy chọn phương án tốt nhất. 34. Một loại sản phẩm được gia cơng qua 3 giai đoạn độc lập với nhau, với tỉ lệ khuyết tật của mỗi cơng đoạn theo thứ tự là: 5%, 4%, 2%. Nếu sản phẩm bị khuyết tật ở 3 cơng đoạn thì nĩ trở thành phế phẩm. Nếu sản phẩm bị khuyết tật ở 2 cơng đoạn thì nĩ trở thành phế phẩm với tỉ lệ 50%. Nếu sản phẩm bị khuyết tật ở 1 cơng đoạn thì nĩ trở thành phế phẩm với tỉ lệ 30%. Tính tỉ lệ phế phẩm của nhà máy đĩ. 35. Một lơ hàng gồm 5 sản phẩm khơng rõ chất lượng cụ thể. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ lơ hàng thì được cả 2 chính phẩm. Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 42
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 a. Nếu lấy tiếp 1 sản phẩm nữa từ lơ hàng theo ý bạn sẽ được chính phẩm hay phế phẩm, tại sao? b. Theo ý bạn khả năng số sản phẩm tốt trong hộp cĩ khả năng nhất là bao nhiêu trong 3 sản phẩm cịn lại, tại sao? 36. Một cuộc thi cĩ 3 vịng. Vịng 1 lấy 90% thí sinh. Vịng 2 lấy 80% thí sinh của vịng 1 và vịng 3 lấy 90% thí sinh của vịng 2. a. Tính xác suất để thí sinh lọt qua 3 vịng thi. b. Tính xác suất để thí sinh đĩ bị loại ở vịng 2 nếu biết rằng thí sinh đĩ bị loại. 37. Tung một con xúc xắc liên tục cho đến khi mặt 6 chấm xuất hiện 4 lần thì ngưng. Tính xác suất sao cho việc tung xúc xắc ngưng ở lần thứ 6. 38. Một sinh viên thi trắc nghiệm mơn Vật Lý gồm 10 câu hỏi. Mỗi câu gồm cĩ 4 phần để chọn. Giả sử sinh viên đĩ chỉ biết rõ 3 câu hỏi, cịn lại thì chọn một cách ngẫu nhiên. a. Tính xác suất để sinh viên đĩ chọn đúng tất cả những câu hỏi trên. b. Nếu chọn đúng từ phân nửa trở đi sinh viên đĩ sẽ đậu. Tính xác suất để sinh viên đĩ đậu. 39. Phải tung xúc xắc ít nhất bao nhiêu lần để cĩ ít nhất một lần nhận mặt 4 chấm khơng bé hơn 0,95. 40. Theo kết quả điều tra, tỉ lệ bệnh lao ở một vùng là: 0,001. Tính xác suất để khi khám cho 10 người: a. Khơng ai bệnh lao. b. 5 người bệnh lao. c. Cĩ ít nhất 1 người bệnh lao. 41. Một cầu thủ cĩ tiếng về đá phạt đền. Xác suất cho banh vào lưới của cầu thủ đĩ trong mỗi lần đá là 0,8. Một người nĩi cầu thủ đĩ cứ đá 10 lần đá chắc chắn cĩ 8 lần bĩng vào lướt, điều đĩ đúng hay sai? Tại sao? 42. Một sọt cam rất lớn được phân loại theo cách sau: Chọn ngẫu nhiên 20 quả cam làm mẫu đại diện. Nếu mẫu khơng cĩ quả cam nào bọ hỏng thì sọt cam được xếp loại I. Nếu mẫu cĩ 1 hoặc 2 quả cam bị hỏng thì sọt cam được xếp loại II. Trong trường hợp cịn lại thì sọt cam được xếp loại III. Giả sử tỉ lệ cam hỏng của sọt là 3%. Hãy tính xác suất để: a. Sọt cam được xếp loại I. b. Sọt cam được xếp loại II. c. Sọt cam được xếp loại III. 43. Trong một giải vơ địch bĩng đá quốc gia lứa tuổi nhi đồng việc so tài được chia làm 3 vịng: 1, 2, 3. Vịng 1 đá tính điểm: Mỗi trận đấu đội thắng được 3 điểm, hồ được 1 điểm, cịn thua thì 0 điểm. Mỗi đội trong vịng 1 đá 4 trận. Giả sử rằng đội nào muốn được vào vịng 2 thì kết thúc vịng 1 ít nhất phải được 9 điểm. Trong vịng 2 cĩ 4 đội, mỗi đội chỉ đá một trận trực tiếp để tranh thắng bại xác định 2 đội thắng vào vịng 3 tranh chung kết. Tính xác suất để một đội giành chức vơ địch trong giải đĩ. Giả sử rằng các đội tham dự là ngang sức ngang tài nhau. 44. Tính xác suất khi rút cĩ hồn lại 10 lần từ bộ bài 52 cây ta được 4 cây chuồng, 2 cây pít, 3 cây rơ, 1 cây cơ. Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 43
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 KQHT 2: GIẢI CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Bước học 1: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 1.1 Các định nghĩa: Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng biến đổi biểu thị các giá trị kết quả của một phép thử ngẫu nhiên. Ta thường dùng các kí hiệu: X, Y, Z, để biểu thị cho đại lượng ngẫu nhiên. Ví dụ 1: Tung một con xúc sắc, gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc. Khi đĩ, X là đại lượng ngẫu nhiên. Gọi Y là số học sinh vắng trong một buổi học ⇒ Y = 0, 1, 2, . . . Y là đại lượng ngẫu nhiên. Gọi Z là điểm rơi của hạt cát trên đoạn [0;1] thì Z cũng là đại lượng ngẫu nhiên. Đo chiều cao của các sinh viên ở một trường đại học. Gọi Y là chiều cao đo được của các sinh viên. Giả sử Y∈ [0.5m ; 1.2m]. Vậy Y là đại lượng ngẫu nhiên. ♥ Cĩ hai loại đại lượng ngẫu nhiên: + Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu nĩ cĩ một số hữu hạn hoặc vơ hạn đếm được các giá trị. ⇒ X, Y là các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Các giá trị cĩ thể của đại lượng ngẫu nhiên X được ký hiệu x1, x2, , hay y1, y2, + Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu các giá trị cĩ thể cĩ của nĩ lắp đầy một khoảng trên trục số. ⇒ Z là đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Ta khơng thể liệt kê các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên liên tục. Các đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhiệt độ, diện tích, thể tích, thời gian, là liên tục. 1.2 Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên: Định nghĩa: Luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên là biểu đồ (bảng, đồ thị, ) trong đĩ chỉ ra: 9 Các giá trị cĩ thể nhận được của đại lượng ngẫu nhiên. 9 Xác suất tương ứng của đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị đĩ. 1.2.1 Bảng phân phối xác suất: Bảng phân phối xác suất dùng để thiết lập luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Bảng gồm 2 dịng: Dịng trên ghi các giá trị cĩ thể cĩ của đại lượng ngẫu nhiên là: x1, x2, , xn; dịng dưới ghi các xác suất tương ứng là: P1, P2, , Pn. X x1 x2 x3 . . . xn P P1 P2 P3 . . . Pn n Trong đĩ: ∑ Pi = 1 i=1 Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 44
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 Ghi chú: X = xi: Đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị xi. P(X = xi): Xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị xi. Ví dụ 2: Tung 1 con xúc sắc, gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt của một con xúc xắc. Khi đĩ bảng phân phối xác suất của X là: X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Ví dụ 3: Tiến hành thử độ bền của 3 loại vật liệu, với điều kiện vật liệu thử trước phải vượt qua được phép thử mới thử tiếp vật liệu sau. Biết rằng khả năng vượt qua phép thử của các vật liệu đều bằng 0,8. Hãy tìm luật phân phối xác suất của số vật liệu vượt qua phép thử. Gọi X là số vật liệu vượt qua phép thử. Ai là biến cố vật liệu thứ i vượt qua phép thử (i = 1,3). Ta cĩ: P(X = 0) = P( A1 ) = 0,2 P(X = 1) = P( A1 A2 ) = P( A1 )P( A2 ) = (0,8)(0,2) = 0,16 P(X = 2) = P( A1 A2 A3 ) = P( A1 )P( A2 )P( A3 ) = (0,8)(0,8)(0,2) = 0,128 P(X = 3) = P( A1 A2 A3 ) = P( A1 )P( A2 )P( A3 ) = (0,8)(0,8)(0,8) = 0,512 Bảng phân phối xác suất của X là: X 0 1 2 3 P 0,2 0,16 0,128 0,512 Ví dụ 4: Hộp cĩ 10 viên bi, trong đĩ cĩ 6 viên màu đỏ, cịn lại màu trắng. Rút đồng thời 4 viên bi và gọi X là số viên bi màu đỏ được rút ra. Lập luật phân phối xác suất của X. Gọi Ai là biến cố rút được i viên bi màu đỏ (i = 1,4) . Các xác suất được tính theo nguyên tắc hộp kín như sau: 0 4 C6 C4 1 P(X = 0) = P(A0 ) = 4 = = 0,005 C10 210 1 3 C6C4 24 P(X = 1) = P(A1) = 4 = = 0,114 C10 210 2 2 C6 C4 P(X = 2) = P(A2 ) = 4 = 0,429 C10 3 1 C6C4 P(X = 3) = P(A3 ) = 4 = 0,318 C10 4 0 C6 C4 P(X = 4) = P(A4 ) = 4 = 0,071 C10 Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 45
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 Vậy ta cĩ bảng phân phối xác suất của X là: X 0 1 2 3 4 P 0,005 0,114 0,429 0,381 0,071 1.2.2 Hàm mật độ xác suất: Định nghĩa: Luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X được biểu thị bởi hàm số y = f(x) xác định trên (-∞ , +∞) thỏa mãn: i) f (x) ≥ 0,∀x +∞ ii) ∫ f (x)dx = 1 −∞ • Tính chất: i) P(X = x0) = 0. b ii) P(a α) = P(α < X < +∞) = ∫ f (x)dx f(x) α v) Đặc biệt: f(x) chỉ nhận giá trị F(x) = P( X b y = f(t) trên [a; b] thì: ∫ f (x)dx = 1 a Ví dụ 5: Cho đại lượng ngẫu nhiên O x t liên tục cĩ hàm mật độ xác suất Hình ⎪⎧c(3x − x2) nếu x ∈[0 , 3] f (x) = ⎨ ⎩⎪ 0 nếu x ∉[0 , 3] a) Xát định hằng số c. f(x) P(1 < X < 2) b) Tính P(1 < X < 2) . 2 Giải y = c(3x – x ) a) Ta cĩ: +∞ 1 = ∫ f (x).dx −∞ 0 1 2 3 Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 46
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 03+∞ = ∫∫∫f (x).dx + f (x).dx + f (x).dx −∞ 03 0 3 +∞ 9 9 = ∫ 0.dx + ∫∫c(3x − x 2 ) + 0.dx = 0 + c + 0 = c −∞ 032 2 2 Vậy: c = 9 b) Ta cĩ: 2 2 2 13 P (1 < X < 2) = ∫ f(x) dx = ∫ (3x − x 2 ) dx = . 1 1 9 27 1.2.3 Hàm phân phối xác suất: Định nghĩa: Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X (liên tục hoặc rời rạc), ký hiệu F(x), là hàm được xác định như sau: F(x) = P(X < x) Cụ thể : 9 X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: F(x) = ∑ pi xi <x x 9 X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục: F(x) = ∫ f (x)dx −∞ (Bằng diện tích hình thang cong, cạnh trái t = -∞, cạnh phải t = x (xem hình 9)). Tính chất: i) 0 ≤ F(x) ≤ 1 ,∀x ii) F(x) là hàm khơng giảm iii) F(-∞) = 0 F(+∞) = 1 iv) P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a) v) Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì F(x) cĩ dạng bậc thang vi) Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục cĩ hàm mật độ xác suất f(x) thì F/(x) = f(x) Ý nghĩa: Hàm phân phối xác suất F(x) phản ánh mức độ tập trung xác suất về phía bên trái của điểm x. Ví dụ 6: Cho X cĩ: X 1 2 3 P 0,5 0,2 0,3 Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 47
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 Tìm F(x) và vẽ đồ thị. Giải Đồ thị F(x) y Ta cĩ: F(x) = ∑ pi i 3 : Đồ thị hàm số cĩ dạng bậc thang F(x) = 0,5 + 0,2 + 0,3 = 1 Hình 10 ⎧0 nếu x ≤ 1 ⎪ ⎪0,5 nếu 1 3 ⎧ 0 nếu x ≤ 0 ⎪ ⎪ x nếu 0 2 Tìm hàm phân phối xác suất F(x) và vẽ đồ thị của nĩ . x Ta cĩ: F(x) = ∫ f (x)dx −∞ xx + x ≤ 0 : F(x) = ∫∫f (x)dx = 0dx = 0 −∞∞ − x xx0 0 x x2 x2 + 0 2 : F(x) = ∫∫∫∫∫f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx = −∞∞ − 0 12 Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 48
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 1 2 1 1 Đồ thị = ∫∫xdx + (2 − x)dx = + 4 − 2 − 2 + = 1 0 1 2 2 F(x) Vậy: 1 ⎧ 0 nếu x ≤ 0 0.5 ⎪ 2 ⎪ x nếu 0 2 1.2.4. Phân vị mức xác suất α: Định nghĩa: Phân vị mức xác suất α của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X là số Xα sao cho: P (X < Xα ) = α (*) X α Hệ thức (*) tương đương với: ∫ f (x) dx = α −∞ Như vậy, Xα là cận trên của tích phân sao cho tích phân bằng α hay Xα là vị trí cạnh phải của hình thang cong sao cho diện tích hình thang cong bằng α (xem hình 12)). y Diện tích y = Mặt khác, từ hệ thức (*) suy ra: F( X ) = α hay X = F-1(α) α α O x Như vậy, X là giá trị ngược của α Hình hàm phân phối xác suất F(x) tại α cho F(x) 1 α O x X α Hình 13 Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 49
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 trước (xem hình 13). Ví dụ 8: Cho đại lượng ngẫu nhiên X liên tục cĩ hàm mật độ xác suất: ⎧( 3x - x2 ) nếu x ∈ [ 0 , 3 ] f (x) = ⎨ ⎩ 0 nếu x ∉ [ 0 , 3 ] a) Xác định hàm phân phối xác suất F(x) của X. b) Tìm X7 . 27 Giải x a) Ta cĩ: F(x) = ∫ f(x) dx −∞ Do đĩ: x • x 3 , F(x) = ∫ f(x) dx + ∫∫f(x) dx + f(x) dx = 1. −∞ 03 ⎧0 nếu x 3 7 b) Tính X 7 : Ta cĩ: α = . 27 27 7 Đặt u = X 7 , sử dụng cơng thức trên, ta cĩ F(u) = . Từ câu a), suy ra 27 27 u2 (9 − 2u) 7 = , 0 < u < 3 27 27 7 ± 105 ⇒ 2u3 - 9u2 + 7 = 0 ⇒ u = 1 ; u = (loại) 4 Vậy: X7 = 1. 27 Bước học 2: CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN: 2.1 Kỳ vọng: (expectation) Định nghĩa: Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc cĩ thể nhận các giá trị x1, x2, , xn với các xác suất tương ứng P1, P2, , Pn Khi đĩ kỳ vọng của X, kí hiệu là E(X) hay M(X) được xác định bởi cơng thức: Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 50
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 n E ( X ) = ∑ xi Pi i =1 Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục cĩ hàm mật độ xác suất là f(x) thì kỳ vọng của X +∞ là: E ( X ) = ∫ x. f (x)dx −∞ Ví dụ 1: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc cĩ bảng phân phối xác suất sau: X 5 6 7 8 9 10 11 P 1/12 2/12 3/12 2/12 2/12 1/12 1/12 Tìm E(X)? 7 1 2 3 2 2 1 1 93 Ta cĩ: E(X ) = ∑ xi Pi = 5. + 6. + 7. + 8. + 9. +10. +11. = = 7,75 i=1 12 12 12 12 12 12 12 12 Ví dụ 2: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc cĩ luật phân phối: X 0 1 3 4 7 8 1 3 12 8 4 2 P 30 30 30 30 30 30 Tính E(X). n 1 3 12 8 4 2 125 25 Ta cĩ: E(X ) = ∑ xi pi = 0 +1 + 3 + 4 + 7 + 8 = = ≈ 4,17 i=1 30 30 30 30 30 30 30 6 Ví dụ 3: Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X cĩ hàm mật độ xác suất: ⎪⎧c(4x − x2) nếu x ∈[0 , 4] f (x) = ⎨ ⎩⎪ 0 nếu x ∉[0 , 4] Tính E(X). Trước tiên, ta xác định hằng số c: Ta cĩ: +∞ 0 4 +∞ 1 = ∫ f (x)dx = ∫0.dx + ∫ f (x)dx + ∫0.dx −∞ −∞ 0 4 4 4 ⎛ 4x2 x3 ⎞ = c(4x − x2 )dx = c⎜ − ⎟ ∫ ⎜ 2 3 ⎟ 0 ⎝ ⎠ 0 43 3.2.42 − 4.42 32 = c(2.42 − ) = c = c. 3 3 2 3 ⇒ c = 32 Do đĩ: Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 51
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 −∞ 4 4 3 4 4 3 2 3 2 3 3 ⎡ x x ⎤ E(X ) = ∫∫x. f (x)dx = x. (4x − x )dx = ∫(4x − x )dx = ⎢4 − ⎥ +∞ 0 32 32 0 32 ⎣ 3 4 ⎦0 3 ⎡44 44 ⎤ 3 4.44 − 3.44 44 = ⎢ − ⎥ = 2 = 3 = 2 32 ⎣ 3 4 ⎦ 2.4 3.4 2.4 ♦ Tính chất: i) E(C) = C ii) E(C.X) = C.E(X) , với C là hằng số. iii) E(X + Y) = E(X) + E(Y) iv) Nếu X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì: E(X.Y) = E(X).E(Y). Chú ý: Tính chất iii) và iv) cĩ thể mở rộng cho nhiều đại lượng ngẫu nhiên. Ý nghĩa: Kỳ vọng của 1 đại lượng ngẫu nhiên chính là giá trị trung bình (theo xác suất) của đại lượng ngẫu nhiên đĩ. Nĩ là trung tâm điểm của phân phối mà các giá trị cụ thể của X sẽ tập trung quanh đĩ. Ví dụ 4: Giả sử ta cĩ cái bình lớn đựng 10 quả cầu giống nhau nhưng khác nhau về trọng lượng: 5 quả nặng 1 kg, 2 quả nặng 2 kg, 3 quả nặng 3 kg. Ta lấy ngẫu nhiên từ bình ra 1 quả cầu và gọi X là trọng lượng của quả cầu đĩ. Tính E(X) và so sánh E(X) với trọng lượng trung bình của 1 quả cầu trong hộp. 9 Bảng phân phối xác suất của X: X 1 2 3 5 2 3 P 10 10 10 3 5 2 3 18 ⇒ E(X ) = ∑ xi pi == 1. + 2. + 3. = x=1 10 10 10 10 ⇒ E(X) = 1,8 9 Gọi M là trọng lượng trung bình của các quả cầu trong bình. 5.1+ 2.2 + 3.3 18 Ta cĩ: M = = = 1,8 10 10 Vậy: E(X) = M 2.2 Phương sai: (Variance) Định nghĩa: Phương sai (độ lệch bình phương trung bình) của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu Var(X) (hay V(x) hoặc D(X)) được xác định bởi cơng thức: Var(X) = E{[X – E(X)]2} Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc cĩ thể nhận các giá trị là x1, x2, , xn với các xác suất tương ứng là P1, P2, , Pn thì: Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 52
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 n Var(X ) = x − E(X ) 2 .P ∑[]i i i=1 Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục cĩ hàm mật độ xác suất là f(x) thì: +∞ Var(X ) = x − E(X ) 2 f (x)dx ∫[] −∞ Chú ý: Trong thực tế ta thường tính phương sai bằng cơng thức: Var(X) = E(X2) – [E(X)]2 Ví dụ 5: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc cĩ bảng phân phối xác suất sau: X 1 3 5 P 0,1 0,4 0,5 Tìm phương sai của X. Dễ dàng ta cĩ: E(X) = 3,8 Var(X) = E(X2) – [E(X)]2 = 1,76 Ví dụ 6: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục cĩ hàm mật độ xác suất sau: 3 ⎧c.x nếu 0 ≤ x ≤ 3 f(x)= ⎨ ⎩0 x ∉[0;3] Tìm hằng số c, E(X), Var(X) 3 4 3 3 ⎡ x ⎤ 81c Ta cĩ: 1 = ∫c.x dx = c.⎢ ⎥ = 0 ⎣ 4 ⎦0 4 Dễ dàng tính được c = 4/81, E(X) = 2,4; Var(X) = 0,24 ♦ Tính chất: i) Var(C) = 0 ii) Var(C.X) = C2.Var(X) iii) Nếu X, Y là 2 đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì: Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y); Var(X – Y) = Var(X) + Var(Y) iv) Var(C+X) = Var(X) Ý nghĩa: Ta thấy X - E(X) là độ lệch khỏi giá trị trung bình. Do đĩ phương sai Var(X) = E{[X – E(X)]2} gọi là độ lệch bình phương trung bình. Nên phương sai phản ánh mức độ phân tán các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình. Như vậy, phương sai phản ánh mức độ phân tán các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên chung quanh kỳ vọng. Đại lượng ngẫu nhiên cĩ phương sai càng lớn thì các giá trị càng phân tán và ngược lại. Ứng dụng: Trong cơng nghiệp, phương sai biểu thị độ chính xác của sản xuất. Trong chăn nuơi, nĩ biểu thị độ đồng đều của các con gia súc. Trong trồng trọt, nĩ biểu thị mức độ ổn định của năng suất, .v.v Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 53
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 Ví dụ 7: Giả sử X là khối lượng các gĩi bột giặt của phân xưởng I, Y là khối lượng các gĩi bột giặt của phân xưởng II. Trong đĩ: E(X) = E(Y) = 500g và Var(X) >Var(Y). Khi đĩ, các gĩi bột giặt của phân xưởng II cĩ khối lượng tập trung hơn xung quanh khối lương 500g. Nĩi cách khác, hệ thống đĩng gĩi của phân xưởng II hoạt động tốt hơn phân xưởng I. 2.3 Độ lệch tiêu chuẩn: Định nghĩa: Độ lệch tiêu chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu σ(X) được xác định bởi cơng thức: σ ( X ) = Var ( X ) 2.4 Mơment: k Mơment cấp k của đại lượng ngẫu nhiên X là số mk = E(X ) k Mơment quy tâm cấp k của đại lượng ngẫu nhiên X là số: α k = E{[X – E(X)] } • Nhận xét: Mơment cấp 1 của X là kỳ vọng của X Mơment quy tâm cấp 2 của X là phương sai của X 2.5 Mode: Mod(X) là giá trị của đại lượng ngẫu nhiên X cĩ xác suất lớn nhất. Đối với đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, mod(X) là giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất. Cịn đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì mod(X) là giá trị của X tại đĩ hàm mật độ đạt giá trị cực đại. Chú ý: Một đại lượng ngẫu nhiên cĩ thể cĩ 1 mode hoặc nhiều mode. Ví dụ 8: Gọi X là điểm thi của sinh viên thì mod(X) là điểm mà cĩ nhiều sinh viên đạt được nhất. Ví dụ 9: X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc cĩ luật phân phối: X 0 1 3 4 7 8 1 3 12 8 4 2 P 30 30 30 30 30 30 12 Ta thấy P(x = 3) = → max 30 => mod(X) = 3. Ví dụ 10: Cho đại lượng ngẫu nhiên X liên tục cĩ hàm mật độ: ⎧ 0 nếu x ≤ 0 ⎪ x2 f (x) = ⎨x - ⎪ e 4 nếu x > 0 ⎩2 Hãy tìm mod(X). x 2 x − Xét: f (x) = e 4 2 2 2 x 2 x 1 - x - Cĩ: f ' (x) = e 4 − e 4 2 4 Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 54
Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 2 2 x 2 x 1 - x - ⇒ f ' (x) = 0 ⇔ e 4 − e 4 = 0 2 4 2 2 x 1 x - ⇔ (1− )e 4 = 0 2 2 x2 ⇔ (1− ) = 0 2 ⇔ x = ± 2 2 2 2 2 2 x x 3 x x 3 x x − ⎛ x − x − ⎞ 3x − x − f ''(x) = − e 4 − ⎜ e 4 − e 4 ⎟ = − e 4 + e 4 4 ⎜ 2 8 ⎟ 4 8 Và: ⎝ ⎠ 2 2 x x x − = ( − 3) e 4 2 4 Suy ra: 2 2 + x = 2 : f ''( 2) = (2 − 3) e−1 = − 0 4 4e ⇒ f ( 2) → min Vậy: mod(X ) = 2 = 1,414 2.6 Trung vị: Định nghĩa: Trung vị của đại lượng ngẫu nhiên X là giá trị của X chia phân phối xác suất thành 2 phần cĩ xác suất giống nhau. Kí hiệu: med(X). 1 Cơng thức: P(X < med(X )) = P(X ≥ med(X )) = 2 Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy để tìm trung vị chỉ cần giải phương trình 1 F(med(X )) = . Trong ứng dụng, trung vị là đặc trưng vị trí tốt nhất, nhiều khi tốt hơn cả 2 kỳ vọng, nhất là khi trong số liệu cĩ nhiều sai sĩt. Trung vị cịn gọi là phân vị 50% của phân phối. Ví dụ 11: Cho X như trong ví dụ 10. Hãy xác định med(X). Med(X) là nghiệm của phương trình: med ( X ) 1 F(med(X )) = ∫ f (x)dx = −∞ 2 med ( X ) med ( X ) x2 x - 1 ⇒ ∫ f (x)dx = ∫ e 4 dx = 0 0 2 2 Lý thuyết Xác suất và thống kê tốn. Trang 55