Giáo trình Lý thuyết mạch

176 trang ngocly 2570

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Lý thuyết mạch", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_ly_thuyet_mach.pdf

Nội dung text: Giáo trình Lý thuyết mạch

___Chương 1 Những khái niệm cơ bản - 1 CHƯƠNG I NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN DẠNG SÓNG CỦA TÍN HIỆU √ Hàm mũ √ Hàm nấc đơn vị √ Hàm dốc √ Hàm xung lực √ Hàm sin √ Hàm tuần hoàn PHẦN TỬ MẠCH ĐIỆN √ Phần tử thụ động √ Phần tử tác động MẠCH ĐIỆN √ Mạch tuyến tính √ Mạch bất biến theo thời gian √ Mạch thuận nghịch √ Mạch tập trung MẠCH TƯƠNG ĐƯƠNG √ Cuộn dây √ Tụ điện √ Nguồn độc lập ___ Lý thuyết mạch là một trong những môn học cơ sở của chuyên ngành Điện tử-Viễn thông-Tự động hóa. Không giống như Lý thuyết trường - là môn học nghiên cứu các phần tử mạch điện như tụ điện, cuộn dây. . . để giải thích sự vận chuyển bên trong của chúng - Lý thuyết mạch chỉ quan tâm đến hiệu quả khi các phần tử này nối lại với nhau để tạo thành mạch điện (hệ thống). Chương này nhắc lại một số khái niệm cơ bản của môn học. 1.1 DẠNG SÓNG CỦA TÍN HIỆU Tín hiệu là sự biến đổi của một hay nhiều thông số của một quá trình vật lý nào đó theo qui luật của tin tức. Trong phạm vi hẹp của mạch điện, tín hiệu là hiệu thế hoặc dòng điện. Tín hiệu có thể có trị không đổi, ví dụ hiệu thế của một pin, accu; có thể có trị số thay đổi theo thời gian, ví dụ dòng điện đặc trưng cho âm thanh, hình ảnh. . . . Tín hiệu cho vào một mạch được gọi là tín hiệu vào hay kích thích và tín hiệu nhận được ở ngã ra của mạch là tín hiệu ra hay đáp ứng. Người ta dùng các hàm theo thời gian để mô tả tín hiệu và đường biểu diễn của chúng trên hệ trục biên độ - thời gian được gọi là dạng sóng. Dưới đây là một số hàm và dạng sóng của một số tín hiệu phổ biến. ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 1 Những khái niệm cơ bản - 2 1.1.1 Hàm mũ (Exponential function) v(t) = Keσt K , σ là các hằng số thực. (H 1.1) là dạng sóng của hàm mũ với các trị σ khác nhau (H 1.1) 1.1.2 Hàm nấc đơn vị (Unit Step function) ⎧1 , t ≥ a u(t - a) = ⎨ ⎩0 , t < a Đây là tín hiệu có giá trị thay đổi đột ngột từ 0 lên 1 ở thời điểm t = a. (H 1.2) là một số trường hợp khác nhau của hàm nấc đơn vị (a) (b) (c) (H 1.2) Hàm nấc u(t-a) nhân với hệ số K cho Ku(t-a), có giá tri bằng K khi t ≥ a. 1.1.3 Hàm dốc (Ramp function) Cho tín hiệu nấc đơn vị qua mạch tích phân ta được ở ngã ra tín hiệu dốc đơn vị. t r(t) = u(x)dx ∫−∞ Nếu ta xét tại thời điểm t=0 và mạch không tích trữ năng lượng trước đó thì: t 0 r(t) = u(x)dx + u(0) với u(0) = u(x)dx = 0 ∫0 ∫−∞ Dựa vào kết quả trên ta có định nghĩa của hàm dốc đơn vị như sau: ⎧t , t ≥ a r(t - a) = ⎨ ⎩0 , t < a (H 1.3) là dạng sóng của r(t) và r(t-a) ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 1 Những khái niệm cơ bản - 3 (a) (H 1.3) (b) Hàm dốc r(t-a) nhân với hệ số K cho hàm Kr(t-a), dạng sóng là đường thẳng có độ dốc K và gặp trục t ở a. 1.1.4 Hàm xung lực (Impulse function) Cho tín hiệu nấc đơn vị qua mạch vi phân ta được tín hiệu ra là một xung lực đơn vị du(t) δ(t) = dt (δ(t) còn được gọi là hàm Delta Dirac) Ta thấy δ(t) không phải là một hàm số theo nghĩa chặt chẽ toán học vì đạo hàm của hàm nấc có trị = 0 ở t ≠ 0 và không xác định ở t = 0. Nhưng đây là một hàm quan trọng trong lý thuyết mạch và ta có thể hình dung một xung lực đơn vị hình thành như sau: Xét hàm f1(t) có dạng như (H 1.4a): ⎧1 ⎪ r(t) , t ∈{}0,δ f1(t) = ⎨δ ⎩⎪1 , t > δ (a) (b) (c) (d) (H 1.4) Hàm f0(t) xác định bởi: df (t) f (t) = 1 0 dt 1 f0(t) chính là độ dốc của f1(t) và = khi (0≤ t ≤δ) và = 0 khi t > δ (H 1.4b). δ Với các trị khác nhau của δ ta có các trị khác nhau của f0(t) nhưng phần diện tích giới hạn giữa f0(t) và trục hoành luôn luôn =1 (H 1.4c). Khi δ→0, f1(t) → u(t) và f0(t) → δ(t). Vậy xung lực đơn vị được xem như tín hiệu có bề cao cực lớn và bề rộng cực nhỏ và diện tích bằng đơn vị (H 1.4d). Tổng quát, xung lực đơn vị tại t=a, δ(t-a) xác định bởi: t ⎧1 , t ≥ a δ(t)dt = ∫−∞ ⎨ ⎩0 , t < a Các hàm nấc, dốc, xung lực được gọi chung là hàm bất thường. ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 1 Những khái niệm cơ bản - 4 1.1.5 Hàm sin Hàm sin là hàm khá quen thuộc nên ở đây chỉ giới thiệu vài hàm có quan hệ với hàm sin. Hàm sin tắt dần: v(t)=Ae-σtsinωt, t>0 và A là số thực dương (H 1.5a) Tích hai hàm sin có tần số khác nhau v(t)=Asinω1t.sinω2t (H 1.5b) (a) (H 1.5) (b) 1.1.6 Hàm tuần hoàn không sin Ngoài các tín hiệu kể trên, chúng ta cũng thường gặp một số tín hiệu như: răng cưa, hình vuông, chuỗi xung. . . . được gọi là tín hiệu không sin, có thể là tuần hoàn hay không. Các tín hiệu này có thể được diễn tả bởi một tổ hợp tuyến tính của các hàm sin, hàm mũ và các hàm bất thường. (H 1.6) mô tả một số hàm tuần hoàn quen thuộc (H 1.6) 1.2 PHẦN TỬ MẠCH ĐIỆN Sự liên hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào của một mạch điện tùy thuộc vào bản chất và độ lớn của các phần tử cấu thành mạch điện và cách nối với nhau của chúng. Người ta phân các phần tử ra làm hai loại: Phần tử thụ động: là phần tử nhận năng lượng của mạch. Nó có thể tiêu tán năng lượng (dưới dạng nhiệt) hay tích trữ năng lượng (dưới dạng điện hoặc từ trường). Gọi v(t) là hiệu thế hai đầu phần tử và i(t) là dòng điện chạy qua phần tử. Năng lượng của đoạn mạch chứa phần tử xác định bởi: t W(t) = v(t).i(t)dt ∫−∞ - Phần tử là thụ động khi W(t) ≥ 0, nghĩa là dòng điện đi vào phần tử theo chiều giảm của điện thế. ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 1 Những khái niệm cơ bản - 5 Điện trở, cuộn dây và tụ điện là các phần tử thụ động. Phần tử tác động: là phần tử cấp năng lượng cho mạch ngoài. Năng lượng của đoạn mạch chứa phần tử W(t)<0 và dòng điện qua phần tử theo chiều tăng của điện thế. Các nguồn cấp điện như pin , accu và các linh kiện bán dẫn như transistor, OPAMP là các thí dụ của phần tử tác động. 1.2.1 Phần tử thụ động 1.2.1.1 Điện trở - Ký hiệu (H 1.7) - Hệ thức: v(t) = R. i(t) - Hay i(t) = G.v(t) - Với G=1/R (gọi là điện dẫn) Đơn vị của điện trở là Ω (Ohm) Và của điện dẫn là Ω-1 (đọc là Mho) t t - Năng lượng: W(t) = v(t).i(t)dt = R.i(t)2dt ≥ 0 ∫−∞ ∫−∞ (H 17) 1.2.1.2 Cuộn dây (a) (b) (H 1.8) - Ký hiệu (H 1.8a) di(t) - Hệ thức: v(t) = L dt 1 t - Hay i(t) = v(t)dt L ∫−∞ Đơn vị của cuộn dây là H (Henry) Do cuộn dây là phần tử tích trữ năng lượng nên ở thời điểm t0 nào đó có thể cuộn dây đã trữ một năng lượng từ trường ứng với dòng điện i(t0) Biểu thức viết lại: 1 t i(t) = v(t)dt + i(t 0 ) L ∫t 0 Và mạch tương đương của cuộn dây được vẽ lại ở (H 1.8b) Năng lượng tích trữ trong cuộn dây: t W(t) = v(t).i(t)dt ∫−∞ di(t) Thay v(t) = L dt t 1 2 t 1 2 W(t) = Li(t)di = Li(t) ]−∞ = Li(t) ≥ 0 (vì i(-∞)=0) ∫−∞ 2 2 ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 1 Những khái niệm cơ bản - 6 1.2.1.3 Tụ điện (a) (H 1.9) (b) - Ký hiệu (H 1.9a) dv(t) - Hệ thức: i(t) = C dt 1 t - Hay v(t) = i(t)dt C ∫−∞ Đơn vị của tụ điện là F (Farad) Do tụ điện là phần tử tích trữ năng lượng nên ở thời điểm t0 nào đó có thể nó đã trữ một năng lượng điện trường ứng với hiệu thế v(t0) Biểu thức viết lại: 1 t v(t) = i(t)dt + v(t 0 ) C ∫t 0 Và mạch tương đương của tụ điện được vẽ như (H 1.9b) Năng lượng tích trữ trong tụ điện t W(t) = v(t).i(t)dt ∫−∞ dv(t) Thay i(t) = C dt t 1 2 t 1 2 W(t) = Cv(t)dv = Cv(t) ]−∞ = Cv(t) ≥ 0 (vì v(-∞)=0) ∫−∞ 2 2 Chú ý: Trong các hệ thức v-i của các phần tử R, L, C nêu trên, nếu đổi chiều một trong hai lượng v hoặc i thì hệ thức đổi dấu (H 1.10): v(t) = - R.i(t) (H 1.10) 1.2.2 Phần tử tác động Ở đây chỉ đề cập đến một số phần tử tác động đơn giản, đó là các loại nguồn. Nguồn là một phần tử lưỡng cực nhưng không có mối quan hệ trực tiếp giữa hiệu thế v ở hai đầu và dòng điện i đi qua nguồn mà sự liên hệ này hoàn toàn tùy thuộc vào mạch ngoài, do đó khi biết một trong hai biến số ta không thể xác định được biến số kia nếu không rõ mạch ngoài. ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 1 Những khái niệm cơ bản - 7 1.2.2.1 Nguồn độc lập Là những phần tử mà giá trị của nó độc lập đối với mạch ngoài - Nguồn hiệu thế độc lập: có giá trị v là hằng số hay v(t) thay đổi theo thời gian. Nguồn hiệu thế có giá trị bằng không tương đương một mạch nối tắt - Nguồn dòng điện độc lập: có giá trị i là hằng số hay i(t) thay đổi theo thời gian. Nguồn dòng điện có giá trị bằng không tương đương một mạch hở (H 1.11) 1.2.2.2 Nguồn phụ thuộc Nguồn phụ thuộc có giá trị phụ thuộc vào hiệu thế hay dòng điện ở một nhánh khác trong mạch. Những nguồn này đặc biệt quan trọng trong việc xây dựng mạch tương đương cho các linh kiện điện tử. Có 4 loại nguồn phụ thuộc: - Nguồn hiệu thế phụ thuộc hiệu thế (Voltage-Controlled Voltage Source, VCVS) - Nguồn hiệu thế phụ thuộc dòng điện (Current-Controlled Voltage Source, CCVS) - Nguồn dòng điện phụ thuộc hiệu thế(Voltage-Controlled Current Source, VCVS) - Nguồn dòng điện phụ thuộc dòng điện (Current-Controlled Current Source, CCCS) (a)VCVS (b) CCVS (c)VCCS (d) CCCS (H 1.12) 1.3 MẠCH ĐIỆN Có hai bài toán về mạch điện: - Phân giải mạch điện: cho mạch và tín hiệu vào, tìm tín hiệu ra. - Tổng hợp mạch điện: Thiết kế mạch khi có tín hiệu vào và ra. Giáo trình này chỉ quan tâm tới loại bài toán thứ nhất. Quan hệ giữa tín hiệu vào x(t) và tín hiệu ra y(t) là mối quan hệ nhân quả nghĩa là tín hiệu ra ở hiện tại chỉ tùy thuộc tín hiệu vào ở quá khứ và hiện tại chứ không tùy thuộc tín hiệu ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 1 Những khái niệm cơ bản - 8 vào ở tương lai, nói cách khác, y(t) ở thời điểm t0 nào đó không bị ảnh hưởng của x(t) ở thời điểm t>t0 . Tín hiệu vào thường là các hàm thực theo thời gian nên đáp ứng cũng là các hàm thực theo thời gian và tùy thuộc cả tín hiệu vào và đặc tính của mạch. Dưới đây là một số tính chất của mạch dựa vào quan hệ của y(t) theo x(t). 1.3.1 Mạch tuyến tính Một mạch gọi là tuyến tính khi tuân theo định luật: Nếu y1(t) và y2(t) lần lượt là đáp ứng của hai nguồn kích thích độc lập với nhau x1(t) và x2(t), mạch là tuyến tính nếu và chỉ nếu đáp ứng đối với x(t)= k1x1(t) + k2x2(t) là y(t)= k1y1(t) + k2y2(t) với mọi x(t) và mọi k1 và k2. Trên thực tế, các mạch thường không hoàn toàn tuyến tính nhưng trong nhiều trường hợp sự bất tuyến tính không quan trọng và có thể bỏ qua. Thí dụ các mạch khuếch đại dùng transistor là các mạch tuyến tính đối với tín hiệu vào có biên độ nhỏ. Sự bất tuyến tính chỉ thể hiện ra khi tín hiệu vào lớn. Mạch chỉ gồm các phần tử tuyến tính là mạch tuyến tính. Thí dụ 1.1 Chứng minh rằng mạch vi phân, đặc trưng bởi quan hệ giữa tín hiệu vào và ra theo hệ thức: dx(t) y(t) = là mạch tuyến tính dt Giải dx 1(t) Gọi y1(t) là đáp ứng đối với x1(t): y (t) = 1 dt dx 2(t) Gọi y2(t) là đáp ứng đối với x2(t): y (t) = 2 dt Với x(t)= k1x1(t) + k2 x2(t) đáp ứng y(t) là: dx(t) dx (t) dx (t) y(t) = = k 1 + k 2 dt 1 dt 2 dt y(t)=k1y1(t)+k2y2(t) Vậy mạch vi phân là mạch tuyến tính 1.3.2 Mạch bất biến theo thời gian (time invariant) Liên hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào không tùy thuộc thời gian. Nếu tín hiệu vào trễ t0 giây thì tín hiệu ra cũng trễ t0 giây nhưng độ lớn và dạng không đổi. Một hàm theo t trễ t0 giây tương ứng với đường biểu diễn tịnh tiến t0 đơn vị theo chiều dương của trục t hay t được thay thế bởi (t-t0). Vậy, đối với mạch bất biến theo thời gian, đáp ứng đối với x(t-t0) là y(t-t0) Thí dụ 1.2 Mạch vi phân ở thí dụ 1.1 là mạch bất biến theo thời gian Ta phải chứng minh đáp ứng đối với x(t-t0) là y(t-t0). Thật vậy: dx(t − t 0 ) dx(t − t 0 ) d(t − t 0 ) = x = y(t − t 0 )x1 dt d(t − t 0 ) d(t) ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 1 Những khái niệm cơ bản - 9 Để minh họa, cho x(t) có dạng như (H 1.13a) ta được y(t) ở (H 1.13b). Cho tín hiệu vào trễ (1/2)s, x(t-1/2) (H 1.13c), ta được tín hiệu ra cũng trễ (1/2)s, y(t-1/2) được vẽ ở (H 1.13d). (a) (b) (c) (d) (H 1.13) 1.3.3 Mạch thuận nghịch Xét mạch (H 1.14) + + v1 Mạch i2 i’ Mạch v 2 1 (H 1.14) Nếu tín hiệu vào ở cặp cực 1 là v1 cho đáp ứng ở cặp cực 2 là dòng điện nối tắt i2 . Bây giờ, cho tín hiệu v1 vào cặp cực 2 đáp ứng ở cặp cực 1 là i’2. Mạch có tính thuận nghịch khi i’2=i2. 1.3.4 Mạch tập trung Các phần tử có tính tập trung khi có thể coi tín hiệu truyền qua nó tức thời. Gọi i1 là dòng điện vào phần tử và i2 là dòng điện ra khỏi phần tử, khi i2= i1 với mọi t ta nói phần tử có tính tập trung. i1 Ph ầ n t ử i2 (H 1.15) Một mạch chỉ gồm các ph ần tử tập trung là mạch tập trung Với một mạch tập trung ta có một số điểm hữu hạn mà trên đó có thể đo những tín hiệu khác nhau. Mạch không tập trung là một mạch phân tán. Dây truyền sóng là một thí dụ của mạch phân tán, nó tương đương với các phần tử R, L và C phân bố đều trên dây. Dòng điện truyền trên dây truyền sóng phải trễ mất một thời gian để đến ngã ra. ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 1 Những khái niệm cơ bản - 10 1.4 MẠCH TƯƠNG ĐƯƠNG Các phần tử khi cấu thành mạch điện phải được biểu diễn bởi các mạch tương đương. Trong mạch tương đương có thể chứa các thành phần khác nhau Dưới đây là một số mạch tương đương trong thực tế của một số phần tử. 1.4.1 Cuộn dây (H 1.16) Cuộn dây lý tưởng được đặc trưng bởi giá trị điện cảm của nó. Trên thực tế, các vòng dây có điện trở nên mạch tương đương phải mắc nối tiếp thêm một điện trở R và chính xác nhất cần kể thêm điện dung của các vòng dây nằm song song với nhau 1.4.2 Tụ điện (a) (b) (c) (H 1.17) (H 1.17a ) là một tụ điện lý tưởng, nếu kể điện trở R1 của lớp điện môi, ta có mạch tương (H 1.17b ) và nếu kể cả điện cảm tạo bởi các lớp dẫn điện (hai má của tụ điện) cuốn thành vòng và điện trở của dây nối ta có mạch tương ở (H 1.17c ) 1.4.3 Nguồn độc lập có giá trị không đổi 1.4.3.1 Nguồn hiệu thế Nguồn hiệu thế đề cập đến ở trên là nguồn lý tưởng. Gọi v là hiệu thế của nguồn, v0 là hiệu thế giữa 2 đầu của nguồn, nơi nối với mạch ngoài, dòng điện qua mạch là i0 (H 1.18a). Nếu là nguồn lý tưởng ta luôn luôn có v0 = v không đổi. Trên thực tế, giá trị v0 giảm khi i0 tăng (H 1.18c); điều này có nghĩa là bên trong nguồn có một điện trở mà ta gọi là nội trở của nguồn, điện trở này đã tạo một sụt áp khi có dòng điện chạy qua và sụt áp càng lớn khi i0 càng lớn. Vậy mạch tương đương của nguồn hiệu thế có dạng (H 1.18b) ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 1 Những khái niệm cơ bản - 11 (a) (b) (c) (H 1.18) 1.4.3.2 Nguồn dòng điện Tương tự, nguồn dòng điện thực tế phải kể đến nội trở của nguồn, mắc song song với nguồn trong mạch tương đương và điện trở này chính là nguyên nhân làm giảm dòng điện mạch ngoài i0 khi hiệu thế v0 của mạch ngoài gia tăng. (H 1.19) BÀI TẬP 1. Vẽ dạng sóng của các tín hiệu mô tả bởi các phương trình sau đây: 10 a. ∑δ (t − nT) với T=1s n =1 2πt 2πt b. u(t)sin và u(t-T/2)sin T T c. r(t).u(t-1), r(t)-r(t-1)-u(t-1) 2. Cho tín hiệu có dạng (H P1.1). Hãy diễn tả tín hiệu trên theo các hàm: a. u(t-a) và u(t-b) b. u(b-t) và u(a-t) c. u(b-t) và u(t-a) (H P1.1) 3.Viết phương trình dạng sóng của các tín hiệu không tuần hoàn ở (H P1.2) theo tập hợp tuyến tính của các hàm bất thường (nấc, dốc), sin và các hàm khác (nếu cần) ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 1 Những khái niệm cơ bản - 12 (a) (b) (H P1.2) 4. Cho tín hiệu có dạng (H P1.3) (H P1.3) (H P1.4) a. Viết phương trình dạng sóng của các tín hiệu theo tập hợp tuyến tính của các hàm sin và các hàm nấc đơn vị. b. Xem chuỗi xung có dạng (H P1.4) Chuỗi xung này có dạng của các cổng, khi xung có giá trị 1 ta nói cổng mở và khi trị này =0 ta nói cổng đóng. Ta có thể diễn tả một hàm cổng mở ở thời điểm t0 và kéo dài một khoảng thời gian T bằng một hàm cổng có ký hiệu: (t) = u(t − t ) − u(t − t − T) ∏t ,T 0 0 0 Thử diễn tả tín hiệu (H P1.3) bằng tích của một hàm sin và các hàm cổng. 5. Cho ý kiến về tính tuyến tính và bất biến theo t của các tín hiệu sau: a. y =x2 dx b. y =t dt dx c. y =x dt 6. Cho mạch (H P1.6a) và tín hiệu vào (H P1.6b) Tình đáp ứng và vẽ dạng sóng của đáp ứng trong 2 trường hợp sau (cho vC(0) = 0): a. Tín hiệu vào x(t) là nguồn hiệu thế vC và đáp ứng là dòng điện iC. b. Tín hiệu vào x(t) là iC nguồn hiệu thế và đáp ứng là dòng điện vC. Bảng dưới đây cho ta dữ kiện của bài toán ứng với các (H 5a, b, c ) kèm theo. Tính đáp ứng và vẽ dạng sóng của đáp ứng (a) (b) (c) (H P1.6) ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 1 Những khái niệm cơ bản - 13 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (H P1.5) Câu Mạch hình Kích thích x(t) Dạng sóng Đáp ứng a a vc d ic b a vc f ic c a ic c vc d a ic d vc e b vL c iL f b vL d iL g b iL e vL h b iL f vL ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___ Chương 2 Định luật và định lý mạch 1 điện ‐ CHƯƠNG 2 ĐỊNH LUẬT VÀ ĐỊNH LÝ MẠCH ĐIỆN ĐỊNH LUẬT KIRCHHOF ĐIỆN TRỞ TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỊNH LÝ MILLMAN ĐỊNH LÝ CHỒNG CHẤT ĐỊNH LÝ THEVENIN VÀ NORTON BIẾN ĐỔI Y ↔ ∆ (ĐỤNH LÝ KENNELY) ___ ___ Chương này đề cập đến hai định luật quan trọng làm cơ sở cho việc phân giải mạch, đó là các định luật Kirchhoff. Chúng ta cũng bàn đến một số định lý về mạch điện. Việc áp dụng các định lý này giúp ta giải quyết nhanh một số bài toán đơn giản hoặc biến đổi một mạch điện phức tạp thành một mạch đơn giản hơn, tạo thuận lợi cho việc áp dụng các định luật Kirchhoff để giải mạch. Trước hết, để đơn giản, chúng ta chỉ xét đến mạch gồm toàn điện trở và các loại nguồn, gọi chung là mạch DC. Các phương trình diễn tả cho loại mạch như vậy chỉ là các phương trình đại số (Đối với mạch có chứa L & C, ta cần đến các phương trình vi tích phân) Tuy nhiên, khi khảo sát và ứng dụng các định lý, chúng ta chỉ chú ý đến cấu trúc của mạch mà không quan tâm đến bản chất của các thành phần, do đó các kết quả trong chương này cũng áp dụng được cho các trường hợp tổng quát hơn. Trong các mạch DC, đáp ứng trong mạch luôn luôn có dạng giống như kích thích, nên để đơn giản, ta dùng kích thích là các nguồn độc lập có giá trị không đổi thay vì là các hàm theo thời gian. 2.1 định luật kirchhoff Một mạch điện gồm hai hay nhiều phần tử nối với nhau, các phần tử trong mạch tạo thành những nhánh. Giao điểm của hai hay nhiều nhánh được gọi là nút. Thường người ta coi nút là giao điểm của 3 nhánh trở nên. Xem mạch (H 2.1). (H 2.1) - Nếu xem mỗi phần tử trong mạch là một nhánh mạch này gồm 5 nhánh và 4 nút. - Nếu xem nguồn hiệu thế nối tiếp với R1 là một nhánh và 2 phần tử L và R2 là một nhánh (trên các phần tử này có cùng dòng điện chạy qua) thì mạch gồm 3 nhánh và 2 nút. Cách sau thường được chọn vì giúp việc phân giải mạch đơn giản hơn. ___ Nguyễn Minh Luân KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ
2___ ___ Chương 2 Định luật và định lý mạch điện ‐ Hai định luật cơ bản làm nền tảng cho việc phân giải mạch điện là: 2.1.1. Định luật Kirchhoff về dòng điện : ( Kirchhoff's Current Law, KCL ) Tổng đại số các dòng điện tại một nút bằng không . ∑ i j = 0 (2.1) j ij là dòng điện trên các nhánh gặp nút j. Với qui ước: Dòng điện rời khỏi nút có giá trị âm và dòng điện hướng vào nút có giá trị dương (hay ngược lại). (H 2.2) Theo phát biểu trên, ta có phương trình ở nút A (H 2.2): i1 + i 2 - i 3 + i 4=0 (2.2) Nếu ta qui ước dấu ngược lại ta cũng được cùng kết quả: - i 1 - i 2 + i 3 - i 4 =0 (2.3) Hoặc ta có thể viết lại: i 3 = i 1 + i 2 + i 4 (2.4) Và từ phương trình (2.4) ta có phát biểu khác của định luật KCL: Tổng các dòng điện chạy vào một nút bằng tổng các dòng điện chạy ra khỏi nút đó. Định luật Kirchhoff về dòng điện là hệ quả của nguyên lý bảo toàn điện tích: Tại một nút điện tích không được sinh ra cũng không bị mất đi. Dòng điện qua một điểm trong mạch chính là lượng điện tích đi qua điểm đó trong một đơn vị thời gian và nguyên lý bảo toàn điện tích cho rằng lượng điện tích đi vào một nút luôn luôn bằng lượng điện tích đi ra khỏi nút đó. 2.1.2. Định luật Kirchhoff về điện thế: ( Kirchhoff's Voltage Law, KVL ). Tổng đại số hiệu thế của các nhánh theo một vòng kín bằng không ∑vK (t) = 0 (2.5) K Để áp dụng định luật Kirchhoff về hiệu thế, ta chọn một chiều cho vòng và dùng qui ước: Hiệu thế có dấu (+) khi đi theo vòng theo chiều giảm của điện thế (tức gặp cực dương trước) và ngược lại. Định luật Kirchhoff về hiệu thế viết cho vòng abcd của (H 2.3). ___ Nguyễn Minh Luân KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ
___ Chương 2 Định luật và định lý mạch 3 điện ‐ - v1 + v 2 - v 3 = 0 (H 2.3) Ta cũng có thể viết KVL cho mạch trên bằng cách chọn hiệu thế giữa 2 điểm và xác định hiệu thế đó theo một đường khác của vòng: v1 = vba = vbc+ vca = v2 - v3 Định luật Kirchhoff về hiệu thế là hệ quả của nguyên lý bảo toàn năng lượng: Công trong một đường cong kín bằng không. Vế trái của hệ thức (2.5) chính là công trong dịch chuyển điện tích đơn vị (+1) dọc theo một mạch kín. Thí dụ 2.1 . Tìm ix và vx trong (H2.4) (H 2.4) Giải: Áp dụng KCL lần lượt cho các cho nút a, b, c, d - i1 - 1 + 4 = 0 ⇒ i1 = 3A - 2A + i1 + i2 = 0 ⇒ i2 = -1A - i3 + 3A - i2 = 0 ⇒ i3 = 4A ix + i3 + 1A = 0 ⇒ ix = - 5A Áp dụng định luật KVL cho vòng abcd: - vx - 10 + v2 - v3 = 0 Với v2 = 5 i2 = 5.( - 1) = - 5V v3 = 2 i3 = 2.( 4) = 8V ⇒ vx =- 10 - 5 - 8 = -23V ÒTrong thí dụ trên , ta có thể tính dòng ix từ các dòng điện ở bên ngoài vòng abcd đến các nút abcd. Xem vòng abcd được bao bởi một mặt kín ( vẽ nét gián đoạn). Định luật Kirchhoff tổng quát về dòng điện có thể phát biểu cho mặt kín như sau: Tổng đại số các dòng điện đến và rời khỏi mặt kín bằng không. Với qui ước dấu như định luật KCL cho một nút. Như vậy phương trình để tính ix là: ___ Nguyễn Minh Luân KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ
4___ ___ Chương 2 Định luật và định lý mạch điện ‐ - ix - 4 + 2 - 3 = 0 Hay ix = - 5 A Định luật có thể được chứng minh dễ dàng từ các phương trình viết cho các nút abcd chứa trong mặt kín có dòng điện từ các nhánh bên ngoài đến. Thí dụ 2.2: L và R trong mạch (H 2.5a) diễn tả cuộn lệch ngang trong TiVi nếu L = 5H, R = 1Ω và dòng điện có dạng sóng như (H 2.5b). Tìm dạng sóng của nguồn hiệu thế v(t). (a) (b) (H 2.5) Giải: Định luật KVL cho : - v(t) + v R(t) + v L(t) = 0 (1) di(t ) hay v (t) = v R + v L(t) = Ri(t) + L dt Thay trị số của R và L vào: di(t ) v L(t) = 5 (2) dt v R(t) = 1. i(t) (3) di()t Và v (t) = i(t) + 5 (4) dt Dựa vào dạng sóng của dòng điện i(t), suy ra đạo hàm của i(t) và ta vẽ được dạng sóng của vL(t) (H 2.6a) và v(t) (H 2.6b) từ các phương trình (2), (3) và (4). (a) (H 2.6) (b) ___ Nguyễn Minh Luân KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ
___ Chương 2 Định luật và định lý mạch 5 điện ‐ 2.2 Điện trở tương đương Hai mạch gọi là tương đương với nhau khi người ta không thể phân biệt hai mạch này bằng cách đo dòng điện và hiệu thế ở những đầu ra của chúng. Hai mạch lưỡng cực A và B ở (H 2.7) tương đương nếu và chỉ nếu: ia = ib với mọi nguồn v (H 2.7) Dưới đây là phát biểu về khái niệm điện trở tương đương: Bất cứ một lưỡng cực nào chỉ gồm điện trở và nguồn phụ thuộc đều tương đương với một điện trở. Điện trở tương đương nhìn từ hai đầu a & b của một lưỡng cực được định nghĩa: v Rtđ = (2.6) i Trong đó v là nguồn bất kỳ nối vào hai đầu lưỡng cực. (H 2.8) Thí dụ 2.3: Mạch (H 2.9a) và (H 2.9b) là cầu chia điện thế và cầu chia dòng điện. Xác định các điện thế và dòng điện trong mạch. (a) (H 2.9) (b) Giải: a/ (H 2.9a) cho v = v1+ v2 = R1 i + R2 i= (R1 + R2) i v ⇒ Rtđ = = R1 + R2 i v Từ các kết quả trên suy ra : i = R1 + R2 ___ Nguyễn Minh Luân KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ
6___ ___ Chương 2 Định luật và định lý mạch điện ‐ R1 R2 ⇒ v1 = R1 i = v và v2 = R2 i = v R1 + R2 R1 + R2 b/ (H 2.9b) cho v v v i = i1+ i2 hay = + Rtâ R1 R2 1 1 1 ⇒ = + hay Gtđ = G1+ G2 Rtâ R1 R2 1 Từ các kết quả trên suy ra: v = i G1 + G2 G1 R2 G2 R1 ⇒ i1 = G1v = i = i và i2 = G2v = i = i G1 + G2 R1 + R2 G1 + G2 R1 + R2 Thí dụ 2.4: Tính Rtđ của phần mạch (H 2.10a) (a) (b) (H 2.10) Giải: Mắc nguồn hiệu thế v vào hai đầu a và b như (H2.10b) và chú ý i = i1. 1 2 Định luật KCL cho i1 = i3 + i ⇒ i3 = i 3 1 3 1 Hiệu thế giữa a &b chính là hiệu thế 2 đầu điện trở 3Ω v v = 3i3 = 2i1 = 2i ⇒ Rtđ = = 2Ω i 2.3. định lý Millman Định lý Millman giúp ta tính được hiệu thế hai đầu của một mạch gồm nhiều nhánh mắc song song. Xét mạch (H 2.11), trong đó một trong các hiệu thế Vas = Va - Vs ( s = 1,2,3 ) có thể triệt tiêu. (H 2.11) Định lý Millman áp dụng cho mạch (H 2.11) được phát biểu: ___ Nguyễn Minh Luân KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ
___ Chương 2 Định luật và định lý mạch 7 điện ‐ ∑vas.Gs s vab = (2.7) ∑Gs s 1 Với Gs = là điện dẫn ở nhánh s. Rs Chứng minh: Gọi vsb là hiệu thế hai đầu của Rs: vsb = vab - vas Dòng điện qua Rs: vsb vab − vas is = = = (vab − vas)Gs Rs Rs Tại nút b : ∑ iS = 0 s ∑()vab − vas Gs = 0 s Hay vab ∑Gs = ∑vasGs s s ∑ vasGs s vab = ∑ Gs s Thí dụ 2.5 Dùng định lý Millman, xác định dòng điện i2 trong mạch (H 2.12). (H 2.12) 8 6,4 + 1 0,5 8+ 12,8 ta có v = = ab 1 16 1+ + 2 5 5 vab = 6,5 V 6,5 Vậy i2 = = 1,3 A 5 2.4. Định lý chồng chất ( superposition theorem) Định lý chồng chất là kết quả của tính chất tuyến tính của mạch: Đáp ứng đối với nhiều nguồn độc lập là tổng số các đáp ứng đối với mỗi nguồn riêng lẻ. Khi tính đáp ứng đối với một nguồn độc lập, ta phải triệt tiêu các nguồn kia (Nối tắt nguồn hiệu thế và để hở nguồn dòng điện, tức cắt bỏ nhánh có nguồn dòng điện), riêng nguồn phụ thuộc vẫn giữ nguyên. Thí dụ 2.6 Tìm hiệu thế v2 trong mạch (H 2.13a). ___ Nguyễn Minh Luân KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ
8___ ___ Chương 2 Định luật và định lý mạch điện ‐ (a) (b) (c) (H 2.13) - Cho nguồn i3 = 0A (để hở nhánh chứa nguồn 3A), ta có mạch (H 2.13b): 6 v'2 = v = 1,8V (dùng cầu phân thế) 4 + 6 1 - Cho nguồn v1 = 0V (nối tắt nhánh chứa nguồn 3V), mạch (H 2.13c). 4 Dòng điện qua điện trở 6Ω: 2 = 0,8A (dùng cầu phân dòng) 6 + 4 v''2 = - 0,8 x 6 = - 4,8 V Vậy v2 = v'2 + v''2 = 1,8 - 4,8 = - 3V v2 = - 3V Thí dụ 2.7 Tính v2 trong mạch (H 2.14a). (a) (b) (c) (H 2.14) Giải: - Cắt nguồn dòng điện 3A, ta có mạch(H 2.14b). 2 1 i1 = = A 4 2 i3 = 2i1 = 1A → v'2 = 2 - 3i3 = -1 V - Nối tắt nguồn hiệu thế 2 V, ta có mạch (H 2.14c). Điện trở 4Ω bị nối tắt nên i1 = 0 A Vậy i3 = 3A ⇒ v''2 = - 3 x 3 = - 9 V Vậy v2 = v'2 + v''2 = -1 - 9 = -10 V ___ Nguyễn Minh Luân KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ
___ Chương 2 Định luật và định lý mạch 9 điện ‐ 2.5. Định lý Thevenin và Norton Định lý này cho phép thay một phần mạch phức tạp bằng một mạch đơn giản chỉ gồm một nguồn và một điện trở. Một mạch điện giả sử được chia làm hai phần (H 2.15) (H 2.15) Định lý Thevenin và Norton áp dụng cho những mạch thỏa các điều kiện sau: * Mạch A là mạch tuyến tính, chứa điện trở và nguồn. * Mạch B có thể chứa thành phần phi tuyến. * Nguồn phụ thuộc, nếu có, trong phần mạch nào thì chỉ phụ thuộc các đại lượng nằm trong phần mạch đó. Định lý Thevenin và Norton cho phép chúng ta sẽ thay mạch A bằng một nguồn và một điện trở mà không làm thay đổi hệ thức v - i ở hai cực a & b của mạch . Trước tiên, để xác định mạch tương đương của mạch A ta làm như sau: Thay mạch B bởi nguồn hiệu thế v sao cho không có gì thay đổi ở lưỡng cực ab (H2.16). (H 2.16) Áp dụng định lý chồng chất dòng điện i có thể xác địnhbởi: i = i1 + isc (2.8) Trong đó i1 là dòng điện tạo bởi nguồn và mạch A đã triệt tiêu các nguồn độc lập (H2.17a) và isc là dòng điện tạo bởi mạch A với nguồn v bị nối tắt (short circuit, sc) (H2.17b). (a) (H 2.17) (b) - Mạch thụ động A, tương đương với điện trở Rth, gọi là điện trở Thevenin, xác định bởi: v i1 =- (2.9) Rth Thay (2.9) vào (2.8) v i = - + isc (2.10) Rth ___ Nguyễn Minh Luân KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ
10___ ___ Chương 2 Định luật và định lý mạch điện ‐ Hệ thức (2.10) diễn tả mạch A trong trường hợp tổng quát nên nó đúng trong mọi trường hợp. Trường hợp a, b để hở (Open circuit), dòng i = 0 A, phương trình (2.10) thành: voc 0 = − + isc Rth Hay voc = Rth . isc (2.11) Thay (2.11) vào (2.10): v = - Rth . i + voc (2.12) Hệ thức (2.12) và (2.10) cho phép ta vẽ các mạch tương đương của mạch A (H 2.18) và (H 2.19) (H 2.18) (H 2.19) * (H 2.18) được vẽ từ hệ thức (2.12) được gọi là mạch tương đương Thevenin của mạch A ở (H 2.15). Và nội dung của định lý được phát biểu như sau: Một mạch lưỡng cực A có thể được thay bởi một nguồn hiệu thế voc nối tiếp với một điện trở Rth. Trong đó voc là hiệu thế của lưỡng cực A để hở và Rth là điện trở nhìn từ lưỡng cực khi triệt tiêu các nguồn độc lập trong mạch A (Giữ nguyên các nguồn phụ thuộc). Rth còn được gọi là điện trở tương đương của mạch A thụ động. * (H 2.19) được vẽ từ hệ thức (2.10) được gọi là mạch tương đương Norton của mạch A ở (H 2.15). Và định lý Norton được phát biểu như sau: Một mạch lưỡng cực A có thể được thay thế bởi một nguồn dòng điện isc song song với điện trở Rth. Trong đó isc là dòng điện ở lưỡng cực khi nối tắt và Rth là điện trở tương đương mạch A thụ động. Thí dụ 2.8 Vẽ mạch tương đương Thevenin và Norton của phần nằm trong khung của mạch (H2.20). (H 2.20) Giải: Để có mạch tương đương Thevenin, ta phải xác định được Rth và voc. Xác định Rth Rth là điện trở nhìn từ ab của mạch khi triệt tiêu nguồn độc lập. (H 2.21a). ___ Nguyễn Minh Luân KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ
___ Chương 2 Định luật và định lý mạch 11 điện ‐ Từ (H 2.21a) : 6x 3 Rth = 2 + = 4Ω 6 + 3 (a) (b) (H 2.21) Xác định voc voc là hiệu thế giữa a và b khi mạch hở (H 2.21b). Vì a, b hở, không có dòng qua điện trở 2Ω nên voc chính là hiệu thế vcb. Xem nút b làm chuẩn ta có vd = - 6 + vc = - 6 + voc Đ/L KCL ở nút b cho : v v − 6 oc + oc = 2A 3 6 Suy ra voc = 6 V Vậy mạch tương đương Thevenin (H2.22) (H 2.22) (H 2.23) Để có mạch tương đương Norton, Rth đã có, ta phải xác định isc. Dòng isc chính là dòng qua ab khi nhánh này nối tắt. Ta có thể xác định từ mạch (H 2.20) trong đó nối tắt ab. Nhưng ta cũng có thể dùng hệ thức (2.11) để xác định isc theo voc: voc 6 isc = = = 1,5A Rth 4 Vậy mạch tương đương Norton (H 2.23) Thí dụ 2.9 Vẽ mạch tương đương Norton của mạch (H 2.24a). (a) ___ Nguyễn Minh Luân KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ
12___ ___ Chương 2 Định luật và định lý mạch điện ‐ (b) (c) (H 2.24) Ta tìm isc từ mạch (H 2.24c) KCL ở nút b cho: i1 = 10 - i2 - isc Viết KVL cho 2 vòng bên phải: -4(10 - i2 - isc) - 2i1 + 6i2 = 0 - 6i2 + 3isc = 0 Giải hệ thống cho isc = 5A Để tính Rth ở (H 2.24b), do mạch có chứa nguồn phụ thuộc, ta có thể tính bằng cách áp vào a,b một nguồn v rồi xác định dòng điện i, để có Rth = v/i ( điện trở tương đương ). Tuy nhiên, ở đây ta sẽ tìm voc ở ab khi a,b để hở (H 2.25). (H 2.25) Ta có voc = 6i2 Viết định luật KVL cho vòng chứa nguồn phụ thuộc : -4(10 - i2) - 2 i1+ 6i2 = 0 Hay i2 = 5 A và voc = 6 x 5 = 30 V voc 30 Vậy Rth = = = 6Ω isc 5 Mạch tương đương Norton: (H 2.26) Thí dụ 2.10: Tính vo trong mạch (H 2.27a) bằng cách dùng định lý Thevenin ___ Nguyễn Minh Luân KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ
___ Chương 2 Định luật và định lý mạch 13 điện ‐ (a) (b) (c) (H 2.27) (d) Để có mạch thụ động, nối tắt nguồn v1 nhưng vẫn giữ nguồn phụ thuộc 1/3 i1, ta có mạch (H 2.27c). Mạch này giống mạch (H 2.10) trong thí dụ 2.4; Rth chính là Rtđ trong thí dụ 2.4. Rth = 2Ω Để tính voc, ta có mạch (H2.27b) voc = v5 + v1 v5 = 3i5 i4 = 0 A ( mạch hở ) nên: 1 1 v1 1 4 2 2 i5= i = x = x = A ⇒ voc = 3 + 4 = 6 V 3 1 3 2 3 2 3 3 voc = 6 V Mạch tương đương Thevenin vẽ ở (H 2.27d). voc 6 và vo = 10 = 10 = 5 V 2 + 10 12 vo = 5 V 2.6. Biến đổi ∆ - Y ( Định lý Kennely ). Coi một mạch gồm 3 điện trở Ra, Rb, Rc nối nhau theo hình (Y), nối với mạch ngoài tại 3 điểm a, b, c điểm chung O (H 2.28a). Và mạch gồm 3 điện trở Rab, Rbc, Rca nối nhau theo hình tam giác (∆), nối với mạch ngoài tại 3 điểm a, b, c (H 2.28b). ___ Nguyễn Minh Luân KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ
14___ ___ Chương 2 Định luật và định lý mạch điện ‐ (H 2.28) Hai mạch ∆ và Y tương đương khi mạch này có thể thay thế mạch kia mà không ảnh hưởng đến mạch ngoài, nghĩa là các dòng điện ia, ib, ic đi vào các nút a, b, c và các hiệu thế vab,vbc, vca giữa các nút không thay đổi. - Biến đổi ∆ ↔ Y là thay thế các mạch ∆ bằng các mạch Y và ngược lại. Người ta chứng minh được : Biến đổi Y → ∆: RRab++RbcR RcRa Rab = Rc RRab++RbcR RcRa Rbc = (2.13) Ra RRab++RbcR RcRa Rca = Rb Biến đổi ∆ → Y: RRab . ca Ra = RRRab ++bc ca RRab . bc Rb = (2.14) RRab ++bc Rca RRbc . ca Rc = RRRab ++bc ca Nên thận trọng khi áp dụng biến đổi ∆ ↔ Y. Việc áp dụng đúng phải cho mạch tương đương đơn giản hơn. Thí dụ 2.11: Tìm dòng điện i trong mạch (H 2.29a). ___ Nguyễn Minh Luân KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ
___ Chương 2 Định luật và định lý mạch 15 điện ‐ (a) (b) (c) (d) (H 2.29) - Biến đổi tam giác abc thành hình sao, ta được (H 2.29b) với các giá trị điện trở: 2x2 4 Raf = = = 0,8Ω 2 + 2 + 1 5 2x1 2 Rbf = = = 0,4Ω 5 5 2x1 2 Rcf = = = 0,4Ω 5 5 - Điện trở tương đương giữa f và d: 1,4x2,4 = 0,884 Ω 1,4+ 2,4 - Điện trở giữa a và e: Rac = 0,8 + 0,884 +1 = 2,684 Ω và dòng điện i trong mạch : v v i = = A Rac 2,684 2.7 Mạch khuếch đại thuật toán ( Operation amplifier, OPAMP ) Một trong những linh kiện điện tử quan trọng và thông dụng hiện nay là mạch khuếch đại thuật toán ( OPAMP ). Cấu tạo bên trong mạch sẽ được giới thiệu trong một giáo trình khác. Ở đây chúng ta chỉ giới thiệu mạch OPAMP được dùng trong một vài trường hợp phổ biến với mục đích xây dựng những mạch tương đương dùng nguồn phụ thuộc cho nó từ các định luật Kirchhoff . OPAMP là một mạch đa cực, nhưng để đơn giản ta chỉ để ý đến các ngõ vào và ngõ ra (bỏ qua các cực nối nguồn và Mass ). Mạch có hai ngõ vào (a) là ngõ vào không đảo, đánh dấu (+) và (b) là ngõ vào đảo đánh dấu (-), (c) là ngõ ra. ___ Nguyễn Minh Luân KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ
16___ ___ Chương 2 Định luật và định lý mạch điện ‐ (H 2.30) Mạch có nhiều đặc tính quan trọng , ở đây ta xét mạch trong điều kiện lý tưởng: i1 và i2 dòng điện ở các ngõ vào bằng không (tức tổng trở vào của mạch rất lớn) và hiệu thế giữa hai ngõ vào cũng bằng không . Lưu ý là ta không thể dùng định luật KCL tổng quát cho mạch (H 2.30) được vì ta đã bỏ qua một số cực do đó mặc dù i1 = i2 = 0 nhưng i3 ≠ 0. Mạch OPAMP lý tưởng có độ lợi dòng điện → ∞ nên trong thực tế khi sử dụng người ta luôn dùng mạch hồi tiếp. Trước tiên ta xét mạch có dạng (H 2.31a), trong đó R2 là mạch hồi tiếp mắc từ ngõ ra (c) trở về ngã vào đảo (b), và mạch (H 2.31b) là mạch tương đương . (a) (b) (c) (H 2.31) Để vẽ mạch tương đương ta tìm liên hệ giữa v2 và v1. Áp dụng cho KVL cho vòng obco qua v2 vbc + v2 - vbo = 0 Hay vbc = vbo - v2 = v1 - v2 (vbo = v1) Áp dụng KCL ở nút b: v v v v − v bo + bc = 1 + 1 2 = 0 R1 R2 R1 R2 R2 Giải phương trình cho: v2 = Av v1 với Av = 1 + R1 Ta có mạch tương đương (H 2.31b), trong đó Av là độ lợi điện thế. Xét trường hợp đặc biệt R2 = 0Ω và R1 = ∞, Av = 1 và v2 = v1 (H 2.31c) mạch không có tính khuếch đại và được gọi là mạch đệm ( Buffer ), có tác dụng biến đổi tổng trở. Một dạng khác của mạch OP-AMP vẽ ở (H 2.32a) Ap dụng KCL ở ngã vào đảo. v1 v2 R2 − − = 0 hay v2 = − v1 R1 R2 R1 Ta thấy v2 có pha đảo lại so với v1 nên mạch được gọi là mạch đảo. Mạch tương đương vẽ ở (H 2.31b), dùng nguồn hiệu thế phụ thuộc hiệu thế . ___ Nguyễn Minh Luân KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ
___ Chương 2 Định luật và định lý mạch 17 điện ‐ v1 Nếu thay = i1 , ta được mạch tương đương (H 2.32c), trong đó nguồn hiệu thế phụ R1 thuộc hiệu thế đã được thay bằng nguồn hiệu thế phụ thuộc dòng điện . (a) (b) (c) (H 2.32) BÀI TẬP o0o 2.1. Cho mạch (H P2.1) (H P2.1) ⎛ v v ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ Chứng minh: v3 = − R0⎜ + ⎟ ⎝ R1 R2 ⎠ Lưu ý là v3 không phụ thuộc vào thành phần mắc ở a, b. Đây là một trong các mạch làm toán và có tên là mạch cộng. 2.2. Cho mạch (H P2.2a) (H P2.2a) (H P2.2b) ___ Nguyễn Minh Luân KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ
18___ ___ Chương 2 Định luật và định lý mạch điện ‐ R2 Chứng minh rằng ta luôn có: v1 = v2 và i1 = i2 R1 Với bất kỳ thành phần nối vào b,d. Áp dụng kết quả trên vào mạch (H P2.2b) để xác định dòng điện i. 2.3. Tìm dòng điện i trong mạch (H P2.3). (H P2.3) 2.4. Cho mạch (H P2.4) a/ Tính vo. b/ Áp dụng bằng số v1 = 3 V, v2 = 2 V, R1 = 4KΩ, R2 = 3KΩ, Rf = 6KΩ và R = 1KΩ. 2.5. (H P2.5) là mạch tương đương của một mạch khuếch đại transistor. Dùng định lý Thevenin hoặc Norton để xác định io/ii (độ lợi dòng điện). (H P2.4) (H P2.5) 2.6. Cho mạch (H P2.6a). Tìm các giá trị C và R2 nếu vi(t) và i(t) có dạng như (H P2.6b) và (H P2.6c). (a) (b) (c) (H P2.6) v ()t 2.7 Tính 1 trong mạch (H P2.7) và thử đặt tên cho phần mạch nằm trong khung kẻ nét i1()t gián đoạn. 2.8. Tính Rtd của (H P2.8). ___ Nguyễn Minh Luân KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ
___ Chương 2 Định luật và định lý mạch 19 điện ‐ (H P2.7) (H P2.8) 2.9. Cho mạch (H P2.9), tìm điều kiện để vo = 0. 2.10. Thay thế mạch điện trong khung của (H P2.10) bằng mạch tương đương Thevenin sau đó tính io. (H P2.9) (H P2.10) 2.11. Dùng định lý chồng chất xác định dòng i trong mạch (H P2.11). 2.12 Tìm mạch tương đương của mạch (H P2.12). (H P2.11) (H P2.12) 2.13. Dùng định lý Thevenin xác định dòng i trong mạch (H P2.14). (H P2.13) (H P2.14) 2.14. Dùng định lý Norton xác định dòng i của mạch (H P2.1). 2.15. Dùng định lý Norton ( hay Thevenin ) xác định dòng i trong mạch (H P2.16). (H P2.15) ___ Nguyễn Minh Luân KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ
20___ ___ Chương 2 Định luật và định lý mạch điện ‐ ___ Nguyễn Minh Luân KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ
___Chương 3 Phương trình mạch điện - 1 Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH MẠCH ĐIỆN KHÁI NIỆM VỀ TOPO Một số định nghĩa Định lý về topo mạch PHƯƠNG TRÌNH NÚT Mạch chứa nguồn dòng điện Mạch chứa nguồn hiệu thế PHƯƠNG TRÌNH VÒNG Mạch chứa nguồn hiệu thế Mạch chứa nguồn dòng điện BIẾN ĐỔI VÀ CHUYỂN VỊ NGUỒN Biến đổi nguồn Chuyển vị nguồn ___ Trong chương này, chúng ta giới thiệu một phương pháp tổng quát để giải các mạch điện tương đối phức tạp. Đó là các hệ phương trình nút và phương trình vòng. Chúng ta cũng đề cập một cách sơ lược các khái niệm cơ bản về Topo mạch, phần này giúp cho việc thiết lập các hệ phương trình một cách có hiệu quả. 3.1 Khái niệm về Topo MẠCH Trong một mạch, ẩn số chính là dòng điện và hiệu thế của các nhánh. Nếu mạch có B nhánh ta có 2B ẩn số và do đó cần 2B phương trình độc lập để giải. Làm thế nào để viết và giải 2B phương trình này một cách có hệ thống và đạt được kết quả chính xác và nhanh nhất, đó là mục đích của phần Topo mạch. Topo mạch chỉ để ý đến cách nối nhau của các phần tử trong mạch mà không để ý đến bản chất của chúng. 3.1.1. Một số định nghĩa Giản đồ thẳng Để vẽ giản đồ thẳng tương ứng của một mạch ta thay các nhánh của mạch bởi các đoạn thẳng (hoặc cong) và các nút bởi các dấu chấm. (a) (b) (H 3.1) ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 3 Phương trình mạch điện - 2 Trong giản đồ các nhánh và nút được đặt tên hoặc đánh số thứ tự. Nếu các nhánh được định hướng (thường ta lấy chiều dòng điện trong nhánh định hướng cho giản đồ ), ta có giản đồ hữu hướng. (H 3.1b) là giản đồ định hướng tương ứng của mạch (H 3.1a). Giản đồ con Tập hợp con của tập hợp các nhánh và nút của giản đồ. Vòng Giản đồ con khép kín. Mỗi nút trong một vòng phải nối với hai nhánh trong vòng đó. Ta gọi tên các vòng bằng tập hợp các nhánh tạo thành vòng hoặc tập hợp các nút thuộc vòng đó. Thí dụ: (H 3.2a): Vòng (4,5,6) hoặc (a,b,o,a). (H 3.2b): Vòng (1,6,4,3) hoặc ( a,b,o,c,a). (a) (b) (H 3.2) Cây Giản đồ con chứa tất cả các nút của giản đồ nhưng không chứa vòng. Một giản đồ có thể có nhiều cây. Thí dụ: (H 3.3a): Cây 3,5,6 ; (H 3.3b): Cây 3,4,5 . . (a) (b) (H 3.3) * Cách vẽ một cây: Nhánh thứ nhất được chọn nối với 2 nút, nhánh thứ hai nối 1 trong hai nút này với nút thứ 3 và nhánh theo sau lại nối một nút nữa vào các nút trước. Như vậy khi nối N nút, cây chứa N-1 nhánh. Thí dụ để vẽ cây của (H 3.3b) ta lần lượt làm từng bước theo (H 3.4). (H 3.4) ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 3 Phương trình mạch điện - 3 Để phân biệt nhánh của cây với các nhánh khác trong giản đồ, người ta gọi nhánh của cây là cành và các nhánh còn lại gọi là nhánh nối. Cành và nhánh nối chỉ có ý nghĩa sau khi đã chọn cây. Gọi L là số nhánh nối ta có: B = (N - 1) + L Hay L = B - N +1 (3.1) Trong đó B là số nhánh của giản đồ, N là số nút. Trong giản đồ trên hình 3.1 : B = 6, N = 4 vậy L = 6 - 4 + 1 = 3 Nhận thấy, một cây nếu thêm một nhánh nối vào sẽ tạo thành một vòng độc lập ( là vòng chứa ít nhất một nhánh không thuộc vòng khác ). Vậy số vòng độc lập của một giản đồ chính là số nhánh nối L. 3.1.2. Định lý về Topo mạch Nhắc lại, một mạch gồm B nhánh cần 2B phương trình độc lập để giải, trong đó B phương trình là hệ thức v - i của các nhánh, vậy còn lại B phương trình phải được thiết lập từ định luật Kirchhoff . Định lý 1: Giản đồ có N nút, có (N -1) phương trình độc lập do định luật KCL viết cho (N-1) nút của giản đồ. Thật vậy, phương trình viết cho nút thứ N có thể suy từ (N-1) phương trình kia. Định lý 2 Hiệu thế của các nhánh (tức giữa 2 nút) của giản đồ có thể viết theo (N-1) hiệu thế độc lập nhờ định luật KVL. Thật vậy, một cây nối tất cả các nút của giản đồ, giữa hai nút bất kỳ luôn có một đường nối chỉ gồm các cành của cây, do đó hiệu thế giữa hai nút có thể viết theo hiệu thế của các cành của cây. Một cây có (N - 1) cành, vậy hiệu thế của một nhánh nào của giản đồ cũng có thể viết theo (N-1) hiệu thế độc lập của các cành. Trong thí dụ của (H 3.1), cây gồm 3 nhánh 3, 4, 5 đặc biệt quan trọng vì các cành của nó nối với một nút chung O, O gọi là nút chuẩn. Hiệu thế của các cành là hiệu thế giữa các nút a, b, c (so với nút chuẩn). Tập hợp (N - 1) hiệu thế này được gọi là hiệu thế nút. Nếu mạch không có đặc tính như trên thì ta có thể chọn một nút bất kỳ làm nút chuẩn. Định lý 3 Ta có L = B - N +1 vòng hay mắt lưới độc lập với nhau, trong đó ta có thể viết phương trình từ định luật KVL. Định lý 4 Mọi dòng điện trong các nhánh có thể được viết theo L = B - N +1 dòng điện độc lập nhờ định luật KCL. Các vòng độc lập có được bằng cách chọn một cây của giản đồ, xong cứ thêm 1 nhánh nối vào ta được 1 vòng. Vòng này chứa nhánh nối mới thêm vào mà nhánh này không thuộc một vòng nào khác. Vậy ta có L = B - N + 1 vòng độc lập. Các dòng điện chạy trong các nhánh nối họp thành một tập hợp các dòng điện độc lập trong mạch tương ứng . Thí dụ: Trong giản đồ (H 3.1b), nếu ta chọn cây gồm các nhánh 3,4,5 thì ta được các vòng độc lập sau đây: ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 3 Phương trình mạch điện - 4 (H 3.5) Một phương pháp khác để xác định vòng độc lập là ta chọn các mắt lưới trong một giản đồ phẳng (giản đồ mà các nhánh chỉ cắt nhau tại các nút). Mắt lưới là một vòng không chứa vòng nào khác. Trong giản đồ (H 3.1b) mắt lưới là các vòng gồm các nhánh: (4,5,6), (2,3,4) & (1,2,6). Một mắt lưới luôn luôn chứa một nhánh không thuộc mắt lưới khác nên nó là một vòng độc lập và số mắt lưới cũng là L. Các định lý trên cho ta đủ B phương trình để giải mạch : Gồm (N-1) phương trình nút và (L = B - N + 1) phương trình vòng. Và tổng số phương trình là: (N-1) + L = N - 1 + B - N + 1 = B 3.2 Phương trình Nút 3.2.1 Mạch chỉ chứa điện trở và nguồn dòng điện Trong trường hợp ngoài điện trở ra, mạch chỉ chứa nguồn dòng điện thì viết phương trình nút cho mạch là biện pháp dễ dàng nhất để giải mạch. Chúng ta luôn có thể viết phương trình một cách trực quan, tuy nhiên nếu trong mạch có nguồn dòng điện phụ thuộc thì ta cần có thêm các hệ thức diễn tả quan hệ giữa các nguồn này với các ẩn số của phương trình mới đủ điều kiện để giải mạch. Nguồn dòng điện độc lập: Nếu mọi nguồn trong mạch đều là nguồn dòng điện độc lập, tất cả dòng điện chưa biết có thể tính theo (N - 1) điện thế nút. Ap dụng định luật KCL tại (N - 1) nút, trừ nút chuẩn, ta được (N - 1) phương trình độc lập. Giải hệ phương trình này để tìm hiệu thế nút. Từ đó suy ra các hiệu thế khác. Thí dụ 3.1: Tìm hiệu thế ngang qua mỗi nguồn dòng điện trong mạch (H 3.6) (H 3.6) Mạch có 3 nút 1, 2, O; N = 3 vậy N - 1 = 2, ta có 2 phương trình độc lập. Chọn nút O làm chuẩn, 2 nút còn lại là 1 và 2 . v1 và v2 chính là hiệu thế cần tìm. Viết KCL cho nút 1 và 2. ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 3 Phương trình mạch điện - 5 v v − v Nút 1: − 5+ 1 + 1 2 = 0 (1) 4 2 v − v v v Nút 2: 2 1 + 2 + 2 + 2 = 0 (2) 2 3 6 Thu gọn: ⎛ 1 1⎞ 1 ⎜ + ⎟v1 − v2 = 5 (3) ⎝ 4 2⎠ 2 1 ⎛ 1 1 1⎞ − v1 + ⎜ + + ⎟v2 = −2 (4) 2 ⎝ 2 3 6⎠ Giải hệ thống (3) và (4), ta được : v1 = 8 (V) và v2 = 2 (V) Thiết lập phương trình nút cho trường hợp tổng quát Xét mạch chỉ gồm điện trở R và nguồn dòng điện độc lập, có N nút. Nếu không kể nguồn dòng điện nối giữa hai nút j và k, tổng số dòng điện rời nút j đến nút k luôn có dạng: Gjk (vj - vk ) (3.2) Gjk là tổng điện dẫn nối trực tiếp giữa hai nút j , k ( j ≠ k ) gọi là điện dẫn chung giữa hai nút j , k ; ta có: Gjk = Gkj (3.3) Gọi ij là tổng đại số các nguồn dòng điện nối với nút j. Định luật KCL áp dụng cho nút j: ∑G jk (vj − vk ) = i j (ij > 0 khi đi vào nút j ) k Hay vj ∑G jk − ∑G jkvk = i j ( j ≠ k ) ( 3.4) kk ∑G jk : Là tổng điện dẫn của các nhánh có một đầu tại nút j. Ta gọi chúng là điện k dẫn riêng của nút j và ký hiệu: Gjj = ∑Gjk (3.5) k Phương trình (3.4) viết lại: G jjvj − ∑ G jkvk = i j (j ≠ k) (3.6) k Viết phương trình (3.6) cho (N - 1) nút ( j = 1, , N - 1 ), ta được hệ thống phương trình Nút 1: G11v1 - G12v2 - G13v3 . . . - G1(.N-1)vN-1 = i1 Nút 2: - G21 v1 + G22 v 2 - G23 v 3 . . . - G2.(N-1) v N-1 = i2 : : : Nút N -1: - G(N-1).1 v 1 - G(N-1).2 v 2 . . . +G(N-1)(.N-1) v N-1 = iN-1 Dưới dạng ma trận: ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 3 Phương trình mạch điện - 6 ⎡G11 −G12 − G1.N−1 ⎤⎡v1 ⎤ ⎡i1 ⎤ ⎢- G G − G ⎥⎢v ⎥ ⎢i ⎥ ⎢ 21 22 2.N−1 ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢: : : ⎥⎢ : ⎥ ⎢ : ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢: : : ⎥⎢ : ⎥ ⎢ : ⎥ ⎢: : : ⎥⎢ : ⎥ ⎢ : ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢- GN −1.1 − GN −1.2 GN −1.N−1⎦⎥⎣⎢vN −1⎦⎥ ⎣⎢iN −1⎦⎥ Hay [G][V] = [I] (3.7) [G]: Gọi là ma trận điện dẫn các nhánh, ma trận này có các phần tử đối xứng qua đường chéo chính và các phần tử có thể viết một cách trực quan từ mạch điện . [V]: Ma trận hiệu thế nút, phần tử là các hiệu thế nút. [I]: Ma trận nguồn dòng điện độc lập, phần tử là các nguồn dòng điện nối với các nút, có giá trị dương khi đi vào nút. Trở lại thí dụ 3.1: 1 1 1 1 1 1 G11 = + ; G22 = + + ; G12 = 4 2 2 3 6 2 i1 = 5A và i2 = - 2A Hệ phương trình thành: ⎡1 1 1⎤ + − ⎡v1 ⎤ ⎡ 5 ⎤ ⎢4 2 2⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 1 1 1 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− + + ⎥ v − 2 ⎣ 2 2 3 6 ⎦⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦ Ta được kết quả như trên. Nguồn dòng điện phụ thuộc : Phương pháp vẫn như trên nhưng khi viết hệ phương trình nút trị số của nguồn dòng điện này phải được viết theo hiệu thế nút để giới hạn số ẩn số vẫn là N-1. Trong trường hợp này ma trận điện dẫn của các nhánh mất tính đối xứng. Thí dụ: 3.2 Tín hiệu thế ngang qua các nguồn trong mạch (H 3.7). (H 3.7) Ta có thể viết phương trình nút một cách trực quan: ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 3 Phương trình mạch điện - 7 ⎧⎛ 1 1⎞ 1 ⎪⎜ + ⎟v1 − v2 = 5 ⎪⎝ 4 2⎠ 2 ⎨ (1) ⎪ 1 ⎛ 1 1 1⎞ − v1 + ⎜ + + ⎟v2 = −3i3 ⎩⎪ 2 ⎝ 2 3 6⎠ Hệ thống có 3 ẩn số, như vậy phải viết i3 theo v1 và v2. v − v i = 1 2 (2) 3 2 Thay (2) vào (1) và sắp xếp lại 3 1 1 v − v = 5 & v − v = 0 4 1 2 2 1 2 2 ⇒ v1 = - 20 (V) và v2 = - 40 (V) Thí dụ 3.3 Tính v2 trong mạch (H 3.8). (H 3.8) Chọn nút chuẩn O, v1 & v2 như trong (H 3.8) Hệ phương trình nút là: ⎧⎛ 1 ⎞ ⎪⎜ + 1⎟v1 − v2 = 4 + i 3 ⎪⎝ 2 ⎠ ⎨ (1) ⎪ ⎛ 1⎞ − v1 + ⎜1+ ⎟v2 = −i 3 ⎩⎪ ⎝ 9 ⎠ Với i3 = 5v1 (2) Ta được : ⎧ 7 ⎪− v1 − v2 = 4 2 (3) ⎨ 10 ⎪4v + v = 0 ⎩ 1 9 2 Suy ra : v2 = - 114 (V) 3.2.2 Mạch chỉ chứa điện trở và nguồn hiệu thế Nguồn hiệu thế độc lập ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 3 Phương trình mạch điện - 8 Nếu một nhánh của mạch là 1 nguồn hiệu thế độc lập, dòng điện trong nhánh đó không thể tính dễ dàng theo hiệu thế nút như trước. Vì hiệu thế của nguồn không còn là ẩn số nên chỉ còn (N-2) thay vì (N-1) hiệu thế chưa biết, do đó ta chỉ cần (N-2) phương trình nút, viết nhờ định luật KCL để giải bài toán. Để có (N-2) phương trình này ta tránh 2 nút nối với nguồn hiệu thế thì dòng điện chạy qua nguồn này không xuất hiện. Cuối cùng, để tìm dòng điện chạy trong nguồn hiệu thế, ta áp dụng định luật KCL tại nút liên hệ với dòng điện còn lại này, sau khi tính được các dòng điện trong các nhánh tại nút này. Thí dụ 3.4 Tính v4 và điện trở tương đương nhìn từ 2 đầu của nguồn hiệu thế v1 trong (H 3.9). (H 3.9) Mạch có N = 4 nút và một nguồn hiệu thế độc lập. Chọn nút chuẩn O và nút v1 nối với nguồn v1 = 6 V nên ta chỉ cần viết hai phương trình cho nút v2 và v3. Viết KCL tại nút 2 và 3. ⎧v − 6 v v − v 2 + 2 + 2 3 = 0 ⎪ 1 2 1 ⎨ (1) v − v v − 6 v ⎪ 3 2 + 3 + 3 = 0 ⎩⎪ 1 4 2 Thu gọn: ⎧5 v − v = 6 ⎪2 2 3 ⎨ (2) 7 3 ⎪− v + v = ⎩⎪ 2 4 3 2 Giải hệ thống (2): 32 26 v2 = V và v3 = V 9 9 2 ⇒ v4 = v2 - v3 = V 3 Dòng i1 là tổng các dòng qua điện trở 1Ω và 4Ω. 6 − v 6 − v 22 7 29 i = 2 + 3 = + = A 1 1 4 9 9 9 Điện trở tương đương: 6 54 Rtđ = = Ω 29 29 9 54 Rtđ = Ω 29 ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 3 Phương trình mạch điện - 9 Chúng ta chưa tìm được một phương pháp tổng quát để viết thẳng các phương trình nút trong những mạch có chứa nguồn hiệu thế. Trong thực tế nguồn hiệu thế thường được mắc nối tiếp với một điện trở (chính là nội trở của nguồn) nên ta có thể biến đổi thành nguồn dòng điện mắc song song với điện trở đó (biến đổi Thevenin, Norton). Nếu nguồn hiệu thế không mắc nối tiếp với điện ta phải dùng phương pháp chuyển vị nguồn trước khi biến đổi (đề cập ở trong một phần sau ). Sau các biến đổi, mạch đơn giản hơn và chỉ chứa nguồn dòng điện và ta có thể viết hệ phương trình một cách trực quan như trong phần 3.2.1. Trong thí dụ 3.3 ở trên, mạch (H 3.9) có thể vẽ lại như ở (H 3.10a) mà không có gì thay đổi và biến các nguồn hiệu thế nối tiếp với điện trở thành các nguồn dòng song song với điện trở ta được (H 3.10b). (H 3.10) Và phương trình nút: ⎛ 1 ⎞ ⎜1+ + 1⎟v2 − v3 = 6 ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 1 ⎞ - v2 + ⎜ + + 1⎟v3 = 1,5 ⎝ 4 2 ⎠ Giải hệ thống ta tìm lại được kết quả trên. Nguồn hiệu thế phụ thuộc : Ta cần một phương trình phụ bằng cách viết hiệu thế của nguồn phụ thuộc theo hiệu thế nút. Thí dụ 3.5 Tìm hiệu thế v1 trong mạch (H 3.11) (H 3.11) Mạch có 4 nút và chứa 2 nguồn hiệu thế nên ta chỉ cần viết 1 phương trình nút cho nút b. Chọn nút O làm chuẩn, phương trình cho nút b là: v − 24 v − 2v b + b 1 − 4 = 0 (1) 1 3 ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 3 Phương trình mạch điện - 10 Với phương trình phụ là quan hệ giữa nguồn phụ thuộc và các hiệu thế nút: vb = 24- v1 (2) Thay (2) vào (1), sau khi đơn giản: v1=2 (V) 3.3 Phương trình Vòng Mạch có B nhánh, N nút có thể viết L = B - N + 1 phương trình vòng độc lập . Mọi dòng điện có thể tính theo L dòng điện độc lập này. 3.3.1 Mạch chỉ chứa điện trở và nguồn hiệu thế Nguồn hiệu thế độc lập : Nếu mạch chỉ chứa nguồn hiệu thế độc lập, các hiệu thế chưa biết đều có thể tính theo L dòng điện độc lập. Áp dụng KVL cho L vòng độc lập (hay L mắt lưới) ta được L phương trình gọi là hệ phương trình vòng. Giải hệ phương trình ta được các dòng điện vòng rồi suy ra các hiệu thế nhánh từ hệ thức v - i. Thí dụ 3.6: Tìm các dòng điện trong mạch (H 3.12a). (a) (b) (c) (H 3.12) Mạch có N = 5 và B = 6 Vậy L = B - N + 1 = 2 Chọn cây gồm các đường liền nét (H 3.12b). Các vòng có được bằng cách thêm các nhánh nối 1 và 2 vào cây. Dòng điện i1 và i2 trong các nhánh nối tạo thành tập hợp các dòng điện độc lập. Các dòng điện khác trong mạch có thể tính theo i1 và i2. Mặt khác, thay vì chỉ rõ dòng điện trong mỗi nhánh, ta có thể dùng khái niệm dòng điện vòng. Đó là dòng điện trong nhánh nối ta tưởng tượng như chạy trong cả vòng độc lập tạo bởi các cành của cây và nhánh nối đó (H 3.12c). Viết KVL cho mỗi vòng: ⎧6(i1 - i 2 ) + 3i1 - 60 = 0 ⎨ (1) ⎩2i 2 + 6(i 2 - i1) + 4i 2 + 24 = 0 Thu gọn: ⎧( 6 + 3)i1 - 6i 2 = 60 ⎨ (2) ⎩- 6i1 + ()2 + 4 + 6 i 2 = −24 Giải hệ thống ta được : i1 = 8A và i2 = 2A Dòng qua điện trở 6Ω: i1 - i2 = 6 (A) ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 3 Phương trình mạch điện - 11 Thiết lập phương trình vòng cho trường hợp tổng quát Coi mạch chỉ chứa điện trở và nguồn hiệu thế độc lập , có L vòng. Gọi ij, ik là dòng điện vòng của vòng j, vòng k Tổng hiệu thế ngang qua các điện trở chung của vòng j và k luôn có dạng: Rjk ( ij ± ik) (3.8) Dấu (+) khi ij và ik cùng chiều và ngược lại. Rjk là tổng điện trở chung của vòng j và vòng k. Ta luôn luôn có: Rjk = Rkj vj là tổng đại số các nguồn trong vòng j, các nguồn này có giá trị (+) khi tạo ra dòng điện cùng chiều ij ( chiều của vòng ). Áp dụng KVL cho vòng j: ∑Rjk (i j ± ik ) = vj (3.10) k Hay i j ∑ Rjk ± ∑ Rjk ik = vj (3.11) k k ∑ Rjk chính là tổng điện trở chung của vòng j với tất cả các vòng khác tức là tổng điện trở k có trong vòng j. Đặt ∑ R jk = Rjj và với qui ước Rjk có trị dương khi ij và ik cùng chiều và âm khi ngược lại, k ta viết lại (3.11) như sau: Rjjij + ∑ Rjk ik = vj (3.12) k Đối với mạch có L vòng độc lập : Vòng 1 : R11i1 + R12i2 + . . . . R1LiL = v1 Vòng 2 : R21i1 + R22i2 + . . . . R2LiL = v2 : : : : : : : : : : Vòng L: RL1i1 + RL2i2 + . . . . RLLiL = vL Dưới dạng ma trận ⎡R11 R12 R1.L ⎤ ⎡i1 ⎤ ⎡v1 ⎤ ⎢R R R ⎥ ⎢i ⎥ ⎢v ⎥ ⎢ 21 22 2.L ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢: : : ⎥ ⎢ : ⎥ ⎢ : ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢: : : ⎥ ⎢ : ⎥ ⎢ : ⎥ ⎢: : : ⎥ ⎢ : ⎥ ⎢ : ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢RL.1 RL.2 RLL ⎦⎥ ⎣⎢iL ⎦⎥ ⎣⎢vL ⎦⎥ Hệ phương trình vòng viết dưới dạng vắn tắt: [R] .[I] = [V] (3.13) [R]: Gọi là ma trận điện trở vòng độc lập. Các phần tử trên đường chéo chính luôn luôn dương, các phần tử khác có trị dương khi 2 dòng điện vòng chạy trên nó cùng chiều, có trị âm khi 2 dòng điện vòng ngược chiều. Các phần tử này đối xứng qua đường chéo chính. [I] : Ma trận dòng điện vòng [V]: Ma trận hiệu thế vòng ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 3 Phương trình mạch điện - 12 Trở lại thí dụ 3.6 ta có thể viết hệ phương trình vòng một cách trực quan với các số liệu sau: R11 = 3 + 6 = 9 Ω, R22 = 2 + 4 + 6 = 12 Ω, R21 = R12 = - 6 Ω, v1 = 60 V và v2 = - 24 (V) Nguồn hiệu thế phụ thuộc Nếu mạch có chứa nguồn hiệu thế phụ thuộc, trị số của nguồn này phải được tính theo các dòng điện vòng. Trong trường hợp này ma trận điện thế mất tính đối xứng. Thí dụ 3.7 Tính i trong mạch (H 3.13) (H 3.13) Viết phương trình vòng cho các vòng trong mạch 6i1- 2 i+ 4i2=15 (1) 4i1+ 2 i+ 6i2= 2 i (2) -2i1+ 8 i+ 2i2=0 (3) 3 (2) cho i = − i (4) 1 2 2 i − i (3) cho i = 1 2 (5) 4 Thay (5) vào (1) 11i1+ 9i2=30 (6) Thay (4) vào (6) ta được i2=- 4 A i1= 6 A Và i = 2,5 (A) 3.3.2. Mạch chứa nguồn dòng điện Nguồn dòng điện độc lập Nếu một nhánh của mạch là một nguồn dòng điện độc lập, hiệu thế của nhánh này khó có thể tính theo dòng điện vòng như trước. Tuy nhiên nếu một dòng điện vòng duy nhất được vẽ qua nguồn dòng điện thì nó có trị số của nguồn này và chỉ còn (L-1) ẩn số thay vì L (bằng cách không chọn nhánh có chứa nguồn dòng làm cành của cây). Thí dụ 3.8: Tính dòng điện qua điện trở 2Ω trong mạch (H3.14a) ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 3 Phương trình mạch điện - 13 (a) (H 3.14) (b) Mạch có B = 8, N = 5, cây có 4 nhánh và 4 vòng độc lập . Chọn cây như (H 3.14b) (nét liền), cành của cây không là nhánh có chứa nguồn dòng độc lập. Ta có: i3 = 10 A và i4 = 12 A Viết phương trình vòng cho hai vòng còn lại. Vòng 1: ( 4 + 6 + 2 )i1 - 6i2 - 4i4 = 0 (1) Vòng 2: - 6i1 + 18i2 + 3i3 - 8i4 = 0 (2) Thay i3 = 10 A và i4 = 12 A vào (1) và (2) 12i1 - 6i2 = 48 - 6i1 + 18i2 = 66 Suy ra i1 = 7 (A) Thí dụ trên cho thấy ta vẫn có thể viết được hệ phương trình vòng cho mạch chứa nguồn dòng điện độc lập. Tuy nhiên ta cũng có thể biến đổi và chuyển vị nguồn (nếu cần) để có mạch chứa nguồn hiệu thế và như vậy việc viết phương trình một cách trực quan dễ dàng hơn. Mạch ở (H 3.14a) có thể chuyển dời và biến đổi nguồn để được mạch (H 3.15) dưới đây. (a) (H 3.15) (b) Với mạch (H 3.15b), ta viết hệ phương trình vòng. Vòng 1: 12i1 - 6i2 = 48 Vòng 2: - 6i1 + 18i2 = 96 - 30 Ta được lại kết quả trước. Nguồn dòng điện phụ thuộc Tìm v1 trong mạch (H 3.16) ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 3 Phương trình mạch điện - 14 (a) (b) (c) (H 3.16) Mạch có B = 5, N = 3 cây có hai cành và 3 vòng độc lập . Chọn cây là đường liền nét của (H 3.16b). Các nguồn dòng điện ở nhánh nối Viết phương trình cho vòng 3 26i3 + 20i2 + 24i1 = 0 (1) v1 1 Với i1 = 7A và i2= = − i (2) 8 4 3 Thay (2) vào (1) 26i3 - 5i3 + 168 = 0 ⇒ i3 = - 8 (A) và v1= 16 (V) 3.4 Biến đổi và chuyển vị nguồn Các phương pháp biến đổi và chuyển vị nguồn nhằm mục đích sửa soạn mạch cho việc phân giải được dễ dàng. Mạch sau khi biến đổi hoặc phải đơn giản hơn hoặc thuận tiện hơn trong việc áp dụng các phương trình mạch điện . 3.4.1. Biến đổi nguồn Nguồn hiệu thế nối tiếp và nguồn dòng điện song song (H 3.17). (H 3.17) Nguồn hiệu thế song song và nguồn dòng điện nối tiếp. Ta phải có: v1 = v 2 và i1 = i2. (H 3.18) Nguồn hiệu thế song song với điện trở và nguồn dòng điện nối tiếp điện trở : Có thể bỏ điện trở mà không ảnh hưởng đến mạch ngoài. ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 3 Phương trình mạch điện - 15 (H 3.19) Nguồn hiệu thế mắc nối tiếp với điện trở hay nguồn dòng mắc song song với điện trở. Ta có thể dùng biến đổi Thevenin ↔ Norton để biến đổi nguồn hiệu thế thành nguồn dòng điện hay ngược lại cho phù hợp với hệ phương trình sắp phải viết. (H 3.20) 3.4.2. Chuyển vị nguồn : Khi gặp 1 nguồn hiệu thế không có điện trở nối tiếp kèm theo hoặc 1 nguồn dòng điện không có điện trở song song kèm theo, ta có thể chuyển vị nguồn trước khi biến đổi chúng. Trong khi chuyển vị, các định luật KCL và KVL không được vi phạm. Chuyển vị nguồn hiệu thế : (H 3.21) cho ta thấy một cách chuyển vị nguồn hiệu thế . Ta có thể chuyển một nguồn hiệu thế " xuyên qua một nút " tới các nhánh khác nối với nút đó và nối tắt nhánh có chứa nguồn ban đầu mà không làm thay đổi phân bố dòng điện của mạch, mặc dù có sự thay đổi về phân bố điện thế nhưng định luật KVL viết cho các vòng của mạch không thay đổi. Hai mạch hình 3.21a và 3.21b tương đương với nhau. (a) (b) (H 3.21) Thí dụ 3.9: Ba mạch điện của hình 3.22 tương đương nhau: (H 3.22) Chuyển vị nguồn dòng điện: Nguồn dòng điện i mắc song song với R1 và R2 nối tiếp trong mạch hình 3.23a được chuyển vị thành hai nguồn song song với R1 và R2 hình 3.23b. (H 3.23) ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 3 Phương trình mạch điện - 16 Định luật KCL ở các nút a, b, c của các mạch (H 3.23) cho kết quả giống nhau. Hoặc một hình thức chuyển vị khác thực hiện như ở (H 3.24a) và (H 3.24b). Định luật KCL ớ các nút của hai mạch cũng giống nhau, mặc dù sự phân bố dòng điện có thay đối nhưng hai mạch vẫn tương đương . (a) (H 3.24) (b) Thí dụ 3.10: Tìm hiệu thế giữa a b của các mạch hình 3.25a (a) (b) (c) (H 3.25) 15 11 55 Suy ra vab = = V 8 3 8 55 vab = V 8 ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 3 Phương trình mạch điện - 17 Tóm lại, khi giải mạch bằng các phương trình vòng hoặc nút chúng ta nên sửa soạn các mạch như sau: - Nếu giải bằng phương trình nút, biến đổi để chỉ có các nguồn dòng điện trong mạch. - Nếu giải bằng phương trình vòng, biến đổi để chỉ có các nguồn hiệu thế trong mạch. BÀI TẬP o0o 1. Dùng phương trình nút, tìm v1 và v2 của mạch (H P3.1) 2. Dùng phương trình nút , tìm i trong mạch (H P3.2). (H P3.1) (H P3.2) 3. Dùng phương trình nút tìm v và i trong mạch (H P3.3). 4. Dùng phương trình nút, tìm v trong mạch (H P3.4) (H P3.3) (H P3.4) 5. Dùng phương trình nút, tìm v và v1 trong mạch (H P3.5) 6. Cho vg = 8cos3t (V), tìm vo trong mạch (H P3.6) (H P3.5) (H P3.6) 7. Tìm v trong mạch (H P3.7), dùng phương trình vòng hay nút sao cho có ít phương trình nhất. ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 3 Phương trình mạch điện - 18 (H P3.7) 8. Tìm Rin theo các R, R2, R3 mạch (H P3.8). Cho R1 = R3 = 2KΩ. Tìm R2 sao cho Rin = 6KΩ và Rin = 1KΩ (H P3.8) 9. Cho mạch khuếch đại vi sai (H P3.9) - Tìm vo theo v1, v2, R1, R2, R3, R4. R2 - Tìm liên hệ giữa các điện trở sao cho: vo = ()v2 − v1 R1 10. Tìm hiệu thế v ngang qua nguồn dòng điện trong mạch (H P3.10) bằng cách dùng phương trình vòng rồi phương trình nút. (H P3.9) (H P3.10) i 11. Tính độ lợi dòng điện 0 của mạch (H P.11) trong 2 trường hợp. ii a. R2 = 0Ω b. R2 = 1Ω 12. Tìm ix trong mạch (H P.12) ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 3 Phương trình mạch điện - 19 (H P.11) (H P.12) ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 4 Mạch điện đơn giản- RL 1 & RC - Â CHƯƠNG 4 MẠCH ĐIỆN ĐƠN GIẢN: RL VÀ RC Â MẠCH KHÔNG CHỨA NGUỒN NGOÀI - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THUẦN NHẤT Mạch RC không chứa nguồn ngoài Mạch RL không chứa nguồn ngoài Thời hằng Â MẠCH CHỨA NGUỒN NGOÀI - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ VẾ 2. Â TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT Phương trình mạch điện đơn giản trong trường hợp tổng quát Một phương pháp ngắn gọn Â VÀI TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT Đáp ứng đối với hàm nấc Dùng định lý chồng chất Chương này xét đến một lớp mạch chỉ chứa một phần tử tích trữ năng lượng (L hoặc C) với một hay nhiều điện trở. Áp dụng các định luật Kirchhoff cho các loại mạch này ta được các phương trình vi phân bậc 1, do đó ta thường gọi các mạch này là mạch điện bậc 1. Do trong mạch có các phần tử tích trữ năng lượng nên đáp ứng của mạch, nói chung, có ảnh hưởng bởi điều kiện ban đầu của mạch. Vì vậy, khi giải mạch chúng ta phải quan tâm tới các thời điểm mà mạch thay đổi trạng thái (thí dụ do tác động của một khóa K), gọi là thời điểm qui chiếu t0 (trong nhiều trường hợp, để đơn giản ta chọn t0=0). Để phân biệt thời điểm ngay trước và sau thời điểm qui chiếu ta dùng ký hiệu t0-(trước) và t0+ (sau). 4.1 MẠCH KHÔNG CHỨA NGUỒN NGOÀI - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THUẦN NHẤT 4.1.1 Mạch RC không chứa nguồn ngoài Xét mạch (H 4.1a). - Khóa K ở vị trí 1 để nguồn V0 nạp cho tụ. Lúc tụ đã nạp đầy (hiệu thế 2 đầu tụ là V0) dòng nạp triệt tiêu i(0-)=0 (Giai đoạn này ứng với thời gian t=- ∞ đến t=0-). - Bật K sang vị trí 2, ta xem thời điểm này là t=0. Khi t>0, trong mạch phát sinh dòng i(t) do tụ C phóng điện qua R (H 4.1b). Xác định dòng i(t) này (tương ứng với thời gian t≥0). (a) (b) (H 4.1) ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
2___Ch ương 4 Mạch điện đơn giản- RL & RC - Gọi v(t) là hiệu thế 2 đầu tụ lúc t>0 Áp dụng KCL cho mạch (H 4.1b) dv v C + = 0 dt R Hay dv 1 + v = 0 dt RC Đây là phương trình vi phân bậc nhất không có vế 2. Lời giải của phương trình là: −t v(t) = Ae RC A là hằng số tích phân, xác định bởi điều kiện đầu của mạch. 0 Khi t=0, v(0) = V0 = Ae ⇒ A=V0 −t RC Tóm lại: v(t) = V0e khi t ≥ 0 Dòng i(t) xác định bởi v(t) V -t i(t) = = 0 e RC khi t ≥ 0 R R V i(0+) = 0 R Từ các kết quả trên, ta có thể rút ra kết luận: - Dòng qua tụ C đã thay đổi đột ngột từ trị 0 ở t=0- đến V0/R ở t=0+. Trong lúc - Hiệu thế hai đầu tụ không đổi trong khoảng thời gian chuyển tiếp từ t=0- đến t=0+: vC(0+)=vC(0-)=V0. Đây là một tính chất đặc biệt của tụ điện và được phát biểu như sau: Hiệu thế 2 đầu một tụ điện không thay đổi tức thời Dạng sóng của v(t) (tương tự cho i(t)) được vẽ ở (H 4.2) (a) (b) (H 4.2) - (H 4.2a) tương ứng với V0 và R không đổi, tụ điện có trị C và 2C (độ dốc gấp đôi) - (H 4.2b) tương ứng với V0 và C không đổi, điện trở có trị R và 2R Chú ý: Nếu thời điểm đầu (lúc chuyển khóa K) là t0 thay vì 0, kết quả v(t) viết lại: −(t -t 0 ) RC v(t) = V0e khi t ≥ t0 4.1.2 Mạch RL không chứa nguồn ngoài Xét mạch (H 4.3a). ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 4 Mạch điện đơn giản- RL 3 & RC - (a) (H 4.3) (b) - Khóa K ở vị trí 1, dòng qua mạch đã tích trữ trong cuộn dây một năng lượng từ trường. Khi mạch đạt trạng thái ổn định, hiệu thế 2 đầu cuộn dây v(0-)=0 và dòng điện qua V0 cuộn dây là i(0-) = I0 = R - Bật K sang vị trí 2, chính năng lượng từ trường đã tích được trong cuộn dây duy trì dòng chạy qua mạch. Ta xem thời điểm này là t=0. Khi t>0, dòng i(t) tiếp tục chạy trong mạch (H 4.3b). Xác định dòng i(t) này. Áp dụng KVL cho mạch (H 4.3b) di L + Ri = 0 dt di R Hay + i = 0 dt L Lời giải của phương trình là: R − t i(t) = Ae L A là hằng số tích phân, xác định bởi điều kiện đầu của mạch V0 0 Khi t=0, i(0) = I0 = = Ae ⇒ A = I0 R R − t L Tóm lại: i(t) = I 0 e khi t ≥ 0 R − t L v L (t) = − Ri(t) = − RI 0 e khi t ≥ 0 Từ các kết quả trên, ta có thể rút ra kết luận: - Hiệu thế hai đầu cuộn dây đã thay đột ngột đổi từ vL(0-)=0 đến vL(0+)=-RI0. - Dòng qua cuộn dây không đổi trong khoảng thời gian chuyển tiếp từ t=0- đến t=0+: iL(0+) = iL(0-) = I0 = V0/R. Đây là một tính chất đặc biệt của cuộn dây và được phát biểu như sau: Dòng điện qua một cuộn dây không thay đổi tức thời Dạng sóng của v(t) (tương tự cho i(t)) được vẽ ở (H 4.4) (a) (H 4.4) (b) - (H 4.4a) tương ứng với V0 và R không đổi, cuộn dây có trị L và 2L - (H 4.2b) tương ứng với V0 và L không đổi, điện trở có trị R và 2R ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
4___Ch ương 4 Mạch điện đơn giản- RL & RC - 4.1.3 Thời hằng Trong các mạch có chứa các phần tử tích trữ năng lượng và các điện trở, khi mạch hoạt động năng lượng của phần tử có thể giảm dần theo thời gian do sự tiêu hao qua điện trở, dưới dạng nhiệt. Để đo mức độ giảm nhanh hay chậm của các đại lượng này, người ta dùng khái niệm thời hằng. Trong hai thí dụ trên, đáp ứng có chung một dạng: t − τ y(t) = Y0 e (4.1) Đại lượng τ trong biểu thức chính là thời hằng. Với mạch RL: τ =L/R (4.2) Với mạch RC: τ =RC (4.3) τ tính bằng giây (s). τ − τ − 1 Khi t = τ ⇒ y(t) = Y0 e = Y0 e = 0,37Y 0 Nghĩa là, sau thời gian τ, do phóng điện, đáp ứng giảm còn 37% so với trị ban đầu Bảng trị số và giản đồ (H 4.5) dưới đây cho thấy sự thay đổi của i(t)/I0 theo tỉ số t/τ t/τ 0 1 2 3 4 5 y(t)/Y0 1 0,37 0,135 0,05 0,018 0,0067 (H 4.5) Ta thấy đáp ứng giảm còn 2% trị ban đầu khi t = 4τ và trở nên không đáng kể khi t = 5τ. Do đó người ta xem sau 4 hoặc 5τ thì đáp ứng triệt tiêu. Lưu ý là tiếp tuyến của đường biểu diễn tại t=0 cắt trục hoành tại điểm 1, tức t = τ , điều này có nghĩa là nếu dòng điện giảm theo tỉ lệ như ban đầu thì triệt tiêu sau thời gian τ chứ không phải 4τ hoặc 5τ. Thời hằng của một mạch càng nhỏ thì đáp ứng giảm càng nhanh (thí dụ tụ điện phóng điện qua điện trở nhỏ nhanh hơn phóng điện qua điện trở lớn). Người ta dùng tính chất này để so sánh đáp ứng của các mạch khác nhau. 4.2 MẠCH CHỨA NGUỒN NGOÀI-PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ VẾ 2 4.2.1 Mạch chứa nguồn DC Chúng ta xét đến mạch RL hoặc RC được kích thích bởi một nguồn DC từ bên ngoài. Các nguồn này được gọi chung là hàm ép (forcing function). Xét mạch (H 4.6). Khóa K đóng tại thời điểm t=0 và tụ đã tích điện ban đầu với trị V0. Xác định các giá trị v, iC và iR sau khi đóng khóa K, tức t>0. ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 4 Mạch điện đơn giản- RL 5 & RC - (H 4.6) Khi t>0, viết KCL cho mạch: dv v C + = I dt R 0 Hay dv 1 I + v = 0 dt RC C Giải phương trình, ta được: −t RC v(t) = Ae + RI0 Xác định A nhờ điều kiện đầu. Ở t=0+: v(0+) = v(0-) = V0 ⇒ V0=A+RI0 Hay A=V0-RI0 −t −t −t RC RC RC v(t) = (V0 - RI0 )e + RI0 = V0e + RI0 (1− e ) Hằng số A bây giờ tùy thuộc vào điều kiện đầu (V0) và cả nguồn kích thích (I0) Đáp ứng gồm 2 phần: Phần chứa hàm mũ có dạng giống như đáp ứng của mạch RC không chứa nguồn ngoài, phần này hoàn toàn được xác định nhờ thời hằng của mạch và được gọi là đáp ứng tự nhiên: −t RC vn=(V0 - RI0 )e Để ý là vn → 0 khi t → ∞ Phần thứ hai là một hằng số, tùy thuộc nguồn kích thích, được gọi là đáp ứng ép vf=RI0 . Trong trường hợp nguồn kích thích DC, vf là một hằng số. (H 4.7) là giản đồ của các đáp ứng v, vnvà vf (H 4.7) Dòng iC và iR xác định bởi: t dv V - RI − i (t) = C = − 0 0 e RC C dt R t V - RI − v i (t) = I - i = I + 0 0 e RC = R 0 C 0 R R Lưu ý là khi chuyển đổi khóa K, hiệu thế 2 đầu điện trở đã thay đổi đột ngột từ RI0 ở t=0- đến V0 ở t=0+ còn hiệu thế 2 đầu tụ thì không đổi. Về phương diện vật lý, hai thành phần của nghiệm của phương trình được gọi là đáp ứng giao thời (transient response) và đáp ứng thường trực (steady state response). ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
6___Ch ương 4 Mạch điện đơn giản- RL & RC - Đáp ứng giao thời → 0 khi t → ∞ và đáp ứng thường trực chính là phần còn lại sau khi đáp ứng giao thời triệt tiêu. Trong trường hợp nguồn kích thích DC, đáp ứng thường trực là hằng số và chính là trị của đáp ứng khi mạch đạt trạng thái ổn định (trạng thái thường trực) 4.2.2 Điều kiện đầu và điều kiện cuối (Initial and final condition) 4.2.2.1 Điều kiện đầu Trong khi tìm lời giải cho một mạch điện, ta thấy cần phải tìm một hằng số tích phân bằng cách dựa vào trạng thái ban đầu của mạch mà trạng thái này phụ thuộc vào các đại lượng ban đầu của các phần tử tích trữ năng lượng. Dựa vào tính chất: Hiệu thế ngang qua tụ điện và dòng điện chạy qua cuộn dây không thay đổi tức thời: vC(0+)=vC(0-) và iL(0+)=iL(0-) - Nếu mạch không tích trữ năng lượng ban đầu thì: vC(0+)=vC(0-) = 0, tụ điện tương đương mạch nối tắt. iL(0+)=iL(0-) = 0, cuộn dây tương đương mạch hở. - Nếu mạch tích trữ năng lượng ban đầu: * Hiệu thế ngang qua tụ tại t=0- là V0=q0/C thì ở t=0+ trị đó cũng là V0 , ta thay bằng một nguồn hiệu thế. * Dòng điện chạy qua cuộn dây tại t=0- là I0 thì ở t=0+ trị đó cũng là I0 , ta thay bằng một nguồn dòng điện. Các kết quả trên được tóm tắt trong bảng 4.1 Phần tử với điều kiện đầu Mạch tương đương Giá trị đầu IL(0+)=IL(0-)=0 Mạch hở VC(0+)=VC(0-)=0 Mạch nối tắt IL(0+)=IL(0-)=I0 VC(0+)=VC(0-)=V0 Bảng 4.1 4.2.2.2 Điều kiện cuối Đáp ứng của mạch đối với nguồn DC gồm đáp ứng tự nhiên → 0 khi t→∞ và đáp ứng ép là các dòng điện hoặc hiệu thế trị không đổi. Mặt khác vì đạo hàm của một hằng số thì bằng 0 nên: te dvC te diL vC =C ⇒ i = C = 0 (mạch hở) và iL =C ⇒ v = L = 0 (mạch nối tắt) C dt L dt Do đó, ở trạng thái thường trực DC, tụ điện được thay bằng một mạch hở và cuộn dây được thay bằng một mạch nối tắt. Ghi chú: Đối với các mạch có sự thay đổi trạng thái do tác động của một khóa K, trạng thái cuối của mạch này có thể là trạng thái đầu của mạch kia. Thí dụ 4.1 ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 4 Mạch điện đơn giản- RL 7 & RC - Xác định hiệu thế v(t) trong mạch (H 4.8a). Biết rằng mạch đạt trạng thái thường trực trước khi mở khóa K. (a) (b) (c) (H 4.8) (H 4.8b) là mạch tương của (H 4.8a) ở t=0-, tức mạch (H 4.8a) đạt trạng thái thường trực, tụ điện tương đương với mạch hở và điện trở tương đương của phần mạch nhìn từ tụ về bên trái: 3(2+ 4) R = 8+ = 10Ω tâ 3 + (2 + 4) và hiệu thế v(0-) xác định nhờ cầu phân thế 10Ω và 15Ω 10 v(0-)= 100 = 40V 10+ 15 Khi t>0, khóa K mở, ta có mạch tương đương ở (H 4.8c), đây chính là mạch RC không chứa nguồn ngoài. Ap dụng kết quả trong phần 4.1, được: t − τ v(t) = V 0 e với τ =RC=10x1=10 s và V0= v(0+)= v(0-)=40 (V) t − v(t) = 40e 10 (V) 4.3 TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT 4.3.1 Phương trình mạch điện đơn giản trong trường hợp tổng quát Ta có thể thấy ngay phương trình mạch điện đơn giản trong trường hợp tổng quát có dạng: dy + Py = Q (4.4) dt Trong đó y chính là biến số, hiệu thế v hoặc dòng điện i trong mạch, P là hằng số tùy thuộc các phần tử R, L, C và Q tùy thuộc nguồn kích thích, có thể là hằng số hay một hàm theo t. ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
8___Ch ương 4 Mạch điện đơn giản- RL & RC - Ta có thể tìm lời giải tổng quát cho phương trình (4.4) bằng phương pháp thừa số tích phân: nhân 2 vế phương trình với một thừa số sao cho vế thứ nhất là đạo hàm của một hàm và sau đó lấy tích phân 2 vế Nhân 2 vế của (4.4) với ept dy ( + Py)ept = Qept (4.5) dt d Vê 1 của phương trình chính là (yept ) và (4.5) trở thành: dt d (yept ) = Qept (4.6) dt Lấy tích phân 2 vế: yept = ∫ Qept dt + A Hay y = e-pt ∫ Qept dt + Ae -pt (4.7) Biểu thức (4.5) đúng cho trường hợp Q là hằng số hay một hàm theo t. Trường hợp Q là hằng số ta có kết quả: Q y = Ae −pt + (4.8) P Đáp ứng cũng thể hiện rõ 2 thành phần : -pt - Đáp ứng tự nhiên yn=Ae và - Đáp ứng ép yf = Q/P. So sánh với các kết quả phần 4.1 ta thấy thời hằng là 1/P Thí dụ 4.2 Tìm i2 của mạch (H 4.9) khi t>0, cho i2(0)=1 A (H 4.9) Viết phương trình vòng cho mạch Vòng 1: 8i1-4i2=10 (1) di2 Vòng 2: -4i1+12i2+ =0 (2) dt Loại i1 trong các phương trình ta được: di2 +10i2=5 (3) dt Dùng kết quả (4.6) -10t 1 i2(t)=Ae + (4) 2 Xác định A: Cho t=0 trong (4) và dùng điều kiện đầu i2(0)=1 A 1 1 i2(0)=A + =1 ⇒ A= 2 2 ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 4 Mạch điện đơn giản- RL 9 & RC - 1 -10t 1 i2(t)= e + 2 2 4.3.2 Một phương pháp ngắn gọn Dưới đây giới thiệu một phương pháp ngắn gọn để giải nhanh các mạch bậc 1 không chứa nguồn phụ thuộc. Lấy lại thí dụ 4.2. Lời giải i2 có thể viết: i2 = i2n + i2f - Để xác định i2n, ta xem mạch như không chứa nguồn (H 4.10a) Điện trở tương đương nhìn từ cuộn dây gồm 2 điện trở 4Ω mắc song song (=2Ω), nối tiếp với 8Ω, nên Rtđ = 2Ω+8Ω = 10Ω (a) (b) (H 4.10) L 1 -10t Và τ = = (s) ⇒ i2n =Ae Rtâ 10 - Đáp ứng ép là hằng số, nó không tùy thuộc thời gian, vậy ta xét mạch ở trạng thái thường trực, cuộn dây tương đương mạch nối tắt (H 4.10b). 4.8 20 Điện trở tương đương của mạch: Rtđ=4Ω+ Ω = Ω 4 + 8 3 10 3 i1f = = (A) 20/3 2 1 ⇒ i2f = (A) 2 -10t 1 Vậy i2(t)=Ae + (A) và A được xác định từ điều kiện đầu như trước đây. 2 Thí dụ 4.3 Tìm i(t) của mạch (H 4.11) khi t>0, cho v(0)=24 V (H 4.11) Ta có i = in + if Để xác định in ta lưu ý nó có cùng dạng của hiệu thế v ở 2 đầu tụ điện. ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
10___Ch ương 4 Mạch điện đơn giản- RL & RC - Thật vậy, tất cả các đáp ứng tự nhiên khác nhau trong một mạch thì liên hệ với nhau qua các phép toán cộng, trừ, vi tích phân; các phép toán này không làm thay đổi giá trị trên mũ mà nó chỉ làm thay đổi các hệ số của hàm mũ. Thời hằng của mạch là: τ =RC=10x0,02=0,2 s -5t in =Ae Ở trạng thái thường trực, tụ điện tương đương mach hở: if = i = 1A Vậy i(t) =Ae-5t + 1 (A) Để xác định A, ta phải xác định i(0+) Viết phương trình cho vòng bên phải -4 i(0+) +6[1- i(0+)] +24 = 0 ⇒ i(0+) = 3 A 3=A+1 ⇒ A=2 Vậy i(t) =2e-5t + 1 (A) Thí dụ 4.4 Xác định i(t) và v(t) trong mạch (H 4.12a) khi t>0. Biết rằng mạch đạt trạng thái thường trực ở t=0- với khóa K hở. (H 4.12a) (H 4.12b) Ở trạng thái thường trực (t=0-), tụ điện tương mạch hở và cuộn dây là mạch nôi tắt. Hiệu thế 2 đầu tụ là hiệu thế 2 đầu điện trở 20Ω và dòng điện qua cuộn dây chính là dòng qua điện trở 15Ω Dùng cầu chia dòng điện xác định dễ dàng các giá trị này: i(0-)=2A và v(0-) = 60 V Khi đóng khóa K, ta đã nối tắt 2 nút a và b (H 4.12b). Mạch chia thành 2 phần độc lập với nhau, mỗi phần có thể được giải riêng. * Phần bên trái ab chứa cuộn dây là mạch không chứa nguồn: i(t) = Ae-15t (A) Với i(0-) = i(0-)=2 ⇒ A=2 i(t) = 2e-15t (A) * Phần bên phải ab là mạch có chứa nguồn 6A và tụ .15F Hiệu thế v(t) có thể xác định dễ dàng bằng phương pháp ngắn gọn: ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 4 Mạch điện đơn giản- RL11 & RC - v(t) = 20e-t+40 (V) 4.4 VÀI TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT 4.4.1 Đáp ứng đối với hàm nấc Xét một mạch không chứa năng lượng ban đầu, kích thích bởi một nguồn là hàm nấc đơn vị. Đây là một trường hợp đặc biệt quan trọng trong thực tế. Mạch (H 4.13), trong đó vg=u(t) (H 4.13) Ap dụng KCL cho mạch dv v − u(t) C + = 0 dt R Hay dv v 1 + = u(t) dt RC RC * Khi t < 0, u(t)=0, phương trình trở thành: dv v + = 0 và có nghiệm là: v(t)=Ae-t/RC dt RC Điều kiện đầu v(0-) = 0 ⇒ A = 0 và v(t)=0 * Khi t ≥ 0 , u(t) = 1, pt thành: dv v 1 + = dt RC RC v(t) = vn+vf vf được xác định từ mạch ở trạng thái thường trực: vf = vg=u(t) = 1 V v(t)=Ae-t/RC + 1 Với v(0+) = v(0-) = 0 ⇒ A = -1 v(t)=1- e-t/RC ⎧ v(t) = 0 , t < 0 Tóm lại ⎨ −t/RC ⎩v(t) = 1− e , t ≥ 0 Hay v(t)=(1- e-t/RC)u(t) (V) Thí dụ 4.5 Mạch (H 4.14). Xác định vo(t) ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
12___Ch ương 4 Mạch điện đơn giản- RL & RC - (H 4.14) Viết KCL ở ngã vào đảo của OPAMP: v dv i + C o = 0 R dt Hay dv v o = − i dt RC Lấy tích phân từ pt 0+ đến t 1 t vo(t) = − vi dt + vo (0+) RC ∫0+ Ta thấy vo(t) tỉ lệ với tích phân của vi(t), nếu vo(0+)=0. Mạch này có tên là mạch tích phân. Xét trường hợp vi(t) = Vu(t) V t vo(t) = − u(t)dt + vo (0+) RC ∫0+ Tụ điện không tích điện ban đầu nên vo(0+) = 0 V và vo(t) = − tu(t) RC Đây chính là hàm dốc với độ dốc -V/RC. Giản đồ vo(t) được vẽ ở (H 4.15) (H 4.15) Thí dụ 4.6 Xác định v(t) trong mạch (H 4.16a). Với nguồn kích thích ig(t) có dạng sóng như (H 4.16b) ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 4 Mạch điện đơn giản- RL13 & RC - (a) (b) (H 4.16) Mạch không tích trữ năng lượng ban đầu nên i(0-)=0; ở t=0 nguồn dòng điện 10A áp vào mạch, cho đến lúc t=1 s thì nguồn này bị ngắt (giống như mở khóa K) Tóm lại, ta có thể hình dung mạch hoạt động như sau: * 0 1, mạch không chứa nguồn nhưng có tích trữ năng lượng ban đầu, ta tìm đáp ứng tự nhiên của mạch: v(t) = Be-(t-1) -1 Ở t=1- , v(1-) = 12(1-e ) Ở t=1+ , v(1+) = B Do tính liên tục: v(1+) = v(1-) ⇒ B = 12(1-e-1 ) và lời giải cuối cùng: v(t) = 12(1-e-1 )e-(t-1) khi t>1 Lời giải cho mọi t: v(t) = 12(1-e-t )[u(t)-u(t-1)] + 12(1-e-1 )e-(t-1)u(t-1). Giản đồ v(t) cho ở (H 4.17) ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
14___Ch ương 4 Mạch điện đơn giản- RL & RC - (H 14.7) 4.4.2 Áp dụng định lý chồng chất Với các mạch có chứa 2 hay nhiều nguồn độc lập, chúng ta có thể dùng định lý chồng chất để giải Trở lại thí dụ 4.6. Nguồn dòng ig trong mạch có thể viết lại: ig = 10u(t) - 10u(t-1) Nguồn này có thể xem như gồm 2 nguồn mắc song song i 1 và i2 ig = i 1 + i2 với i 1 = 10 u(t) và i2 = -10u(t-1) (H 4.18) (H 4.18) Gọi v1 và v2 lần lượt là các đáp ứng đối với từng nguồn i 1 và i2 Trong phần trước ta đã xác định được: -t v1(t) = 12(1-e )u(t) Dòng i2 có dạng đảo của i 1 và trễ 1s.Vậy v2(t) có được bằng cách nhân v1(t) với -1 và thay t bởi (t-1): -(t-1) v2(t) = -12(1-e )u(t-1) Và kết quả cuối cùng: -t -(t-1) v(t) = v1(t) + v2(t) = 12(1-e )u(t) -12(1-e )u(t-1) Kết quả này có vẻ như khác với kết quả trước. Tuy nhiên sinh viên có thể chứng minh hai kết quả chỉ là một. Thí dụ 4.7 Mạch (H 4.19). Xác định hiệu thế v(t) ở 2 đầu tụ khi t>0. Biết rằng tụ đã nạp điện ban đầu với hiệu thế V0 (H 4.19) Ap dụng KVL cho mắt lưới bên trái: ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 4 Mạch điện đơn giản- RL15 & RC - 1 (R + R )i + idt + V = V − R I 1 2 C ∫ 0 1 2 1 Nhân 2 vế phương trình cho hằng số K 1 (R + R )Ki + Kidt + KV = KV − R (KI ) 1 2 C ∫ 0 1 2 1 Biểu thức cho thấy đáp ứng dòng điện i trở thành Ki khi các nguồn độc lập (V1& I1) và hiệu thế ban đầu của tụ (V0) nhân với K. Kết quả này có thể mở rộng cho mạch tuyến tính chứa một hoặc nhiều tụ điện (hay cuộn dây). Hiệu thế ban đầu của tụ (hay dòng điện ban đầu của cuộn dây) cũng được xem như một nguồn độc lập. Ap dụng định lý chồng chất, ta xác định v là tổng của v1, v2 và v3 lần lượt là đáp ứng riêng rẽ của V1, I1 và V0. Các mạch điện tương ứng là (H 4.20a), (H 4.20b) và (H 4.20c) (a) (b) (c) (H 4.20) Áp dụng phương pháp giải ngắn gọn, ta được các kết quả: -t/(R1+R2)C v1=V1(1-e ) -t/(R1+R2)C v2=-R2I1(1-e ) -t/(R1+R2)C v3=V0e Trong đó v1 và v2 là đáp ứng của mạch có chứa nguồn DC và v3 là đáp ứng của mạch không chứa nguồn. -t/R1+R2)C -t/R1+R2)C -t/R1+R2)C v(t) = v1+ v2+ v3 = V1(1-e ) - R2I1(1-e )+ V0e -t/R1+R2)C = V1- R2I1+(R2I1- V1+ V0)e Có thể thấy ngay đáp ứng gồm 2 phần: đáp ứng ép và đáp ứng tự nhiên vf = V1- R2I1 -t/R1+R2)C và vn=(R2I1- V1+ V0)e Các kết quả này cũng có thể kiểm chứng như sau: Từ (H 4.20a) và (H 4.20b) ta có ngay: v1f = V1 v2f = - R2I1 Và đáp ứng tự nhiên, xác định từ mạch không chứa nguồn: -t/R1+R2)C vn =A e A là hằng số tích phân -t/R1+R2)C v(t)= V1- R2I1+Ae Với v(0)=V0 ⇒ A= R2I1- V1+V0 Ta được lại kết quả trên. BÀI TẬP o0o 4.1 Mạch (H P4.1). Khóa K mở ở t=0 và i(0-)=2 (A). Xác định v khi t>0 4.2 Mạch (H P4.2). Xác định v khi t>0, cho i(0+)=1 (A) ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
16___Ch ương 4 Mạch điện đơn giản- RL & RC - (H P4.1) (H P4.2) 4.3 Mạch (H P4.3) đạt trạng thái thường trực ở t=0- với khóa K ở vị trí 1. Chuyển K sang vị trí 2, thời điểm t=0. Xác định v khi t>0 (H P4.3) 4.4 Mạch (H P4.4) đạt trạng thái thường trực ở t=0- với khóa K đóng. Xác định i khi t>0 (H P4.4) 4.5 Mạch (H P4.5) đạt trạng thái thường trực ở t=0- với khóa K đóng. Xác định i và v khi t>0 4.6 Mạch (H P4.6) đạt trạng thái thường trực ở t=0- với khóa K đóng. Xác định v khi t>0 (H P4.5) (H P4.6) 4.7 Mạch (H P4.7) đạt trạng thái thường trực ở t=0- với khóa K ở vị trí 1. Chuyển K sang vị trí 2, thời điểm t=0. a. Xác định i khi t>0 b. Làm lại câu a, cuộn dây 2H được thay bằng tụ điện C=1/16 F (H P4.7) (H P4.8) 4.8 Mạch (H P4.8). a. Xác định v khi t>0, cho i(0+)=1 (A) b. Làm lại bài toán, thay nguồn 18V bởi nguồn 6e-4t (V) và mạch không tích trử năng lượng ban đầu 4.9 Mạch (H P4.9) đạt trạng thái thường trực ở t=0- với khóa K mở. Xác định i và v khi t>0 ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___Chương 4 Mạch điện đơn giản- RL17 & RC - (H P4.9) -t 4.10 Mạch (H P4.10). Xác định vo, cho vi=5e u(t) (V) và mạch không tích năng lượng ban đầu (H P4.10) ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___ Chương5 Mạch điện bậc 1 hai - Ò CHƯƠNG 5 MẠCH ĐIỆN BẬC HAI Ò MẠCH ĐIỆN VỚI HAI PHẦN TỬ TÍCH TRỬ NĂNG LƯỢNG (L&C) Ò LỜI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC HAI Ô Đáp ứng tự nhiên Ô Đáp ứng ép Ô Đáp ứng đầy đủ Ô Điều kiện đầu và điều kiện cuối Ò TÍNH CHẤT VÀ Ý NGHĨA VẬT LÝ CỦA CÁC ĐÁP ỨNG Ô Đáp ứng tự nhiên Ô Đáp ứng ép Ò ĐÁP ỨNG ÉP ĐỐI VỚI est Trong chương trước chúng ta đã xét mạch đơn giản , chỉ chứa một phần tử tích trữ năng lượng (L hoặc C), và để giải các mạch này phải dùng phương trình vi phân bậc nhất. Chương này sẽ xét đến dạng mạch phức tạp hơn, đó là các mạch chứa hai phần tử tích trữ năng lượng và để giải mạch phải dùng phương trình vi phân bậc hai. Tổng quát, mạch chứa n phần tử L và C được diễn tả bởi phương trình vi phân bậc n. Tuy nhiên để giải các mạch rất phức tạp này, người ta thường dùng một phương pháp khác: Phép biến đổi Laplace mà ta sẽ bàn đến ở một chương sau. 5.1 MẠCH ĐIỆN VỚI HAI PHẦN TỬ TÍCH TRỮ NĂNG LƯỢNG (L&C) Thí dụ 5.1: Xác định i2 trong mạch (H 5.1) Viết phương trình vòng cho mạch di 2 1 + 12i − 4i = v (1) dt 1 2 g di − 4i + 2 + 4i = 0 (2) 1 dt 2 1 di Từ (2): i = ( 2 + 4i ) (3) 1 4 dt 2 Lấy đạo hàm (3) (H 5.1) di 1 d 2i di 1 = ( 2 + 4 2 ) (4) dt 4 dt 2 dt Thay (3) và (4) vào (1) ta được phương trình để xác định i2 d 2i di 2 + 10 2 + 16i = 2v (5) dt 2 dt 2 g Phương trình để xác định i2 là phương trình vi phân bậc 2 và mạch (H 5.1), có chứa 2 phần tử L và C, được gọi là mạch bậc 2. Cũng có những ngoại lệ cho những mạch chứa 2 phần tử tích trữ năng lượng nhưng được diễn tả bởi các phương trình vi phân bậc 1. Mạch (H 5.2) ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH (H 5.2)
2___ Chương5 Mạch điện bậc hai - Chọn O làm chuẩn, viết KCL cho nút v1 và v2: dv 1 + v = v (6) dt 1 g dv 2 + 2v = 2v (7) dt 2 g (6) và (7) là 2 phương trình vi phân bậc 1, mỗi phương trình chứa 1 ẩn số và không phụ thuộc lẫn nhau. Ở mạch (H 5.2) vì cùng một nguồn vg tác động lên hai mạch RC nên ta có thể thay mạch này bằng hai mạch, mỗi mạch gồm nguồn vg và một nhánh RC, đây là 2 mạch bậc 1 , do đó phương trình cho mạch này không phải là phương trình bậc 2. 5.2 LỜI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC HAI Dạng tổng quát của phương trình vi phân bậc 2 với các hệ số là hằng số d 2y dy + a + a y = F(t) (5.1) dt 2 1 dt 0 a1, a0 là các hằng số thực, dương, y thay cho dòng điện hoặc hiệu thế và F(t) là một hàm tùy vào nguồn kích thích. Ap dụng cho mạch (H 5.1) thì a1 = 10, a0 = 16, y = i2 và F(t) =2vg Nghiệm của phương trình (5.1) gồm 2 thành phần: - Nghiệm tổng quát của phương trình không vế 2, chính là đáp ứng tự nhiên yn - Nghiệm riêng của phương trình có vế 2, chính là đáp ứng ép yf: y=yn+yf (5.2) * Đáp ứng tự nhiên yn là nghiệm của phương trình: d 2y dy n + a n + a y = 0 (5.3) dt 2 1 dt 0 n * Đáp ứng ép yf là nghiệm của phương trình: d 2y dy f + a f + a y = F(t) (5.4) dt 2 1 dt 0 f Cộng vế với vế của (5.3) và (5.4): d 2(y + y ) d(y + y ) n f + a n f + a (y + y ) = F(t) (5.5) dt 2 1 dt 0 n f (5.5) kết hợp với (5.2) cho thấy nghiệm của phương trình (5.1) chính là y=yn+yf 5.2.1 Đáp ứng tự nhiên Đáp ứng tự nhiên là lời giải phương trình (5.3) st yn có dạng hàm mũ: yn=Ae (5.6) Lấy đạo hàm (5.6), thay vào (5.10), ta được 2 st st st As e +Aa1se +Aa0e =0 st 2 Ae (s +a1s+a0)=0 Vì Aest không thể =0 nên 2 s +a1s+a0=0 (5.7) (5.7) được gọi là phương trình đặc trưng, có nghiệm là: − a ± a 2 − 4a s = 1 1 0 (5.8) 1,2 2 Ứng với mỗi trị của s ta có một đáp ứng tự nhiên: ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___ Chương5 Mạch điện bậc 3 hai - s1t s2t y n1 = A 1e y n2 = A 2e s1t s2t y n = yn1 + yn2 = A 1e + A 2e (5.9) Trở lại thí dụ 5.1, đáp ứng tự nhiên của mạch: d 2i di 2 + 10 2 + 16i = 0 dt 2 dt 2 2 s +10s+16=0 ⇒ s1=-2 ; s2=-8 -2t -8t i 2 = A 1e + A 2e Ô Các loại tần số tự nhiên − a ± a 2 − 4a 2 1 1 0 s1t s2t a1 - 4a0>0 ⇒ s = ⇒ y (t) = A e + A e 1,2 2 n 1 2 2 (-α+ jβ)t (-α− jβ)t a1 -4a0 0 Nghiêm thực, y n (t) = A 1e + A 2e Tắt dần không phân biệt, âm dao động 2 -αt 2 a1 -4a0 0) 2 kt 3 a1 -4a0=0 Kép, thực y n (t) = (A 1 + A 2t)e Tắt dần tới hạn s1,2=k<0 4 a1=0 Ao, liên hợp y n (t) = A1cosβt + A2 sin βt Dao động biên a0≠0 s1,2=±jβ độ không đổi Bảng 5.1 Thí dụ 5.2 Xác định đáp ứng tự nhiên vn trong mạch (H 5.3) Phương trình nút A: v − v g 1 dv + i + = 0 (1) 4 4 dt Phương trình vòng bên phải di Ri + = v (2) dt Thay i từ (1) vào (2) (H 5.3) ⎡1 ⎛ dv ⎞⎤ d ⎡ 1 ⎛ dv ⎞⎤ − R⎢ ⎜ + v − vg ⎟⎥ + ⎢− ⎜ + v − vg ⎟⎥ = v (3) ⎣4 ⎝ dt ⎠⎦ dt ⎣ 4 ⎝ dt ⎠⎦ ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
4___ Chương5 Mạch điện bậc hai - Lấy đạo hàm (3) và đơn giản 2 d v dv dvg + (R+ 1) + (R+ 4)v = Rv + (4) dt 2 dt g dt Đáp ứng tự nhiên là lời giải phương trình: d 2 v dv n + (R+ 1) n + (R+ 4)v = 0 (5) dt 2 dt n Phương trình đặc trưng và các nghiệm của nó: s2 + (R + 1)s+ (R + 4) = 0 −(R+ 1)± (R+ 1)2 − 4(R+ 4) s = 1,2 2 − (R+ 1)± R2 − 2R− 15) s = 1,2 2 Kết quả ứng với vài giá trị cụ thể của điện trở R: -2t -5t β R=6Ω, s1,2= -2, -5 ⇒ vn=A1e +A2e -3t β R=5Ω, s1,2= -3, -3 ⇒ vn=(A1+A2t)e -t β R=1Ω, s1,2= -1± j2 ⇒ vn=e (B1cos2t+B2sin2t) Thí dụ 5.3 Xác định dòng i(t) trong mạch (H 5.4). Cho vg = 1 V là nguồn DC Phương trình mạch: di 1 L + Ri + idt = v dt C ∫ g Lấy vi phân 2 vế , thay các trị số vào: d 2i di 1 L + R + i = 0 dt 2 dt C d 2i di + 3 + 2i = 0 (H 5 4) dt 2 dt 2 Phương trình đặc trưng và các nghiệm : s +3s+2=0 ⇒ s1,2=-1, -2 -t -2t Vậy i(t)=in(t)=A1e +A2e 5.2.2 Đáp ứng ép Ò Trường hợp tổng quát Đáp ứng ép của một mạch bậc 2 phải thỏa phương trình (5.4). Có nhiều phương pháp để xác định đáp ứng ép; ở đây ta dùng phương pháp dự đoán lời giải: Trong lúc giải phương trình cho các mạch bậc 1, ta đã thấy đáp ứng ép thường có dạng của hàm kích thích, điều này cũng đúng cho trường hợp mạch điện có bậc cao hơn, nghĩa là, nếu hàm kích thích là một hằng số thì đáp ứng ép cũng là hằng số, nếu hàm kích thích là một hàm mũ thì đáp ứng ép cũng là hàm mũ. . Xét mạch thí dụ 5.1 với vg=16V 2 d i 2 di 2 + 10 + 16i = 32 (1) dt 2 dt 2 ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH (H 5.5)
___ Chương5 Mạch điện bậc 5 hai - Đáp ứng ép i2f là hằng sô: i2f=A (2) Lấy đạo hàm (2) và thay vào pt (1): 16A=32 ⇒ A=2 ⇒ i2f=2 Ta có thể xác định i2f nhờ mạch ở trạng thái thường trực DC: (H 5.5) i2f=16/8=2 A -2t -8t Và đáp ứng đầy đủ của mạch: i 2 = i 2n + i 2f = A 1e + A 2e + 2 Bảng 5.2 cho kết quả đáp ứng ép ứng với các nguồn kích thích khác nhau F(t) yf(t) Hằng số A Hằng số C n n n-1 B1t B0t + B1t +. . . . . +Bn-1t+Bn αt αt B2e C e B3sinβt, B4cosβt A sinβt+ Bcosβt n αt n n-1 αt B5t e cosβt (F0t + F1t +. . . . . +Fn-1t+Fn) e cosβt+ n αt n n-1 αt B6t e sinβt (G0t + G1t +. . . . . +Gn-1t+Gn) e sinβt Bảng 5.2 Ò Đáp ứng ép khi kích thích ở tần số tự nhiên Phương trình mạch điện có dạng 2 d y dy at − (a+ b) + aby = e (5.10) dt 2 dt 2 at bt s − (a + b)s + ab = 0 ⇒ s1=a và s2=b và y n = A 1e + A 2e at Đáp ứng ép yf=Ae phải thỏa (5.10), thay vào ta được 0=eat (đây là biểu thức không thể chấp nhận được) at Nếu chọn yf=Ate , lấy đạo hàm , thay vào (5.10): Ateat(a2t+2a-(a+b)(at+1)+abt)= eat Sau khi đơn giản: A(a-b) eat= eat Hệ thức đúng với mọi t nên: 1 A = a − b và nghiệm tổng quát của phương trình (5.10) là teat y = A eat + A ebt + (5.11) 1 2 a − b Trở lại thí dụ 5.1, cho vg có chứa tần số tự nhiên: -2t vg =6e +32 2 d i 2 di 2 −2t + 10 + 16i = 12e + 64 (1) dt 2 dt 2 -2t -8t i 2n = A 1e + A 2e (2) -2t Kích thích vg có số hạng trùng với i2n (e ) nên i2f xác định như sau: -2t i2f=Ate +B (3) Lấy đạo hàm (3) và thay vào (1) 6Ae-2t+16B=12e-2t+64 ⇒ A=2 & B=4 -2t i2f=2te +4 -2t -8t -2t i2= i 2n + i 2f = A 1e + A 2e +2te +4 ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
6___ Chương5 Mạch điện bậc hai - Ò Trường hợp kích thích có tần số trùng với nghiệm kép của phương trình đặc trưng Phương trình mạch điện có dạng: 2 d y dy 2 at − 2a + a y = e (5.12) dt 2 dt Phương trình đặc trưng 2 2 s -2as+a =0 ⇒ s1=s2=a at yn=(A1+A2t)e a là nghiệm kép của phương trình đặc trưng nên yf xác định bởi: 2 at yf=At e Lấy đạo hàm yf và thay vào (5.12): at at 2 at 2Ae =e ⇒ A=1/2 ⇒ yf=(1/2)t e at 2 at y=yn+yf= (A1+A2t)e +(1/2)t e (5.13) 5.2.3 Đáp ứng đầy đủ Đáp ứng đầy đủ của mạch điện bậc 2 là tổng của đáp ứng ép và đáp ứng tự nhiên, trong đó có chứa 2 hằng số tích phân, được xác định bởi các điều kiện ban đầu, cụ thể là các giá trị của y(t) và dy(t)/dt ở thời điểm t=0. Thí dụ 5.4 Xác định v khi t>0 của mạch (H 5.6). Cho vg=5cos2000t (V) và mạch không tích trữ năng lượng ban đầu. v − v 1 g v1 v1 − v dv1 + + + C1 = 0 (1) R1 R2 R3 dt v1 dv + C2 = 0 (2) R2 dt Thay trị số vào (1) và (2) và sắp xếp lại: dv 4v − v + 2103 1 = 2v = 10cos2000t(3) 1 dt g 1 dv v = − 10-3 (4) (H 5.6) 1 4 dt Thay (4) vào (3), sau khi đơn giản: d 2 v dv + 2.10 3 + 2.10 6 v = −2.10 7 cos2000t (5) dt 2 dt 2 3 6 s +2.10 s+2.10 =0 ⇒ s1,2=1000(-1±j) (6) -1000t vn=e (A1cos1000t+A2sin1000t) (7) vf=Acos2000t+Bsin2000t (8) Xác định A và B: Lấy đạo hàm (8) thay vào (5): (-2A+4B)cos2000t+(-4A-2B)sin2000t=-20cos2000t Cân bằng các hệ số -2A+4B=20 và -4A-2B=0 ⇒ A=2 và B=-4 -1000t v=e (A1cos1000t+A2sin1000t) +2cos2000t-4sin2000t (9) Xác định A1 và A2: Thay t=0+ vào (4) ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___ Chương5 Mạch điện bậc 7 hai - 1 -3 dv(0+) dv(0+) v (0+) = − 10 vì v1(0+)=v1(0-)=0 ⇒ = 0 (10) 1 4 dt dt v(0+)=v(0-)=0 (11) Thay t=0 vào (9) rồi dùng điều kiện (11) v (0)=A1+2=0 ⇒ A1=-2 Lấy đạo hàm (9), thay t=0 và dùng điều kiện (10) 1000A2-1000A1-8000=0 ⇒ A2=6 Tóm lại: v(t)=e-1000t(-2cos1000t+6sin1000t) +2cos2000t- 4sin2000t (V) 5.2.4 Điều kiện đầu và điều kiện cuối Có thể nói các điều kiện ban đầu và điều kiện cuối của mạch bậc 2 không khác gì so với mạch bậc 1. Tuy nhiên vì phải xác định 2 hằng số tích phân nên chúng ta cần phải có 2 giá trị đầu; 2 giá trị này thường được xác định bởi y(0+) và dy(0+)/dt. * y(0+) được xác định giống như ở chương 4, nghĩa là dựa vào tính chất hiệu thế 2 đầu tụ hoặc dòng điện qua cuộn dây không thay đổi tức thời. * dy(0+)/dt thường được xác định bởi dòng điện qua tụ và hiệu thế 2 đầu cuộn dây vì: dv di i = C C và v = L L C dt L dt Thí dụ 5.5 dv0(0+ ) Cho mạch (H 5.7a), xác định các điều kiện đầu v0(0+) và dt (a) (H 5.7) (b) v0(0+)=i0(0+)=0 (H 5.7b) là mạch tương đương ở t=0+ v0(0+) i1(0+) = = 0 R1 i0(0+)=0 iC(0+)=i(0+)=1A dv dv 1 i = C C ⇒ C = i C dt dt C C dv dv 1 1 0 (0+) = C (0+) = i (0+) = V/s dt dt C C C Thí dụ 5.6 di1 di2 Xác định i1(0+), i2(0+), (0+), (0+) (H 5.8 a) dt dt ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
8___ Chương5 Mạch điện bậc hai - (a) (H 5.8) (b) Xác định i1(0+), i2(0+) Từ mạch tương đương ở t=0+ (H 5.8b) A i1(0+) = và i2(0+)=0 R1 di di Xác định 1 (0+), 2 (0+) dt dt Viết phương trình vòng cho mạch khi t>0 1 i dt + R (i − i ) = A (1) C ∫ 1 1 1 2 di − R (i − i ) + R i + L 2 = 0 (2) 1 1 2 2 2 dt Từ (2) di 1 2 = []R i − (R + R )i dt L 1 1 1 2 2 di2 1 ⎡ A ⎤ A (0+) = ⎢R1 − 0⎥ = dt L ⎣ R1 ⎦ L Đạo hàm theo t phương trình (1) i di di 1 + R 1 − R 2 = 0 C 1 dt 1 dt di1 1 ⎡ i1 di2 ⎤ = ⎢− + R1 ⎥ dt R1 ⎣ C dt ⎦ di1 1 ⎡ 1 A A ⎤ A A (0+) = ⎢− + R1 ⎥ = − 2 dt R1 ⎣ C R1 L ⎦ L CR1 Thí dụ 5.7 Trở lại thí dụ 5.3 dùng điều kiện đầu để xác định A1 và A2 trong kết quả của -t -2t in(t)=A1e +A2e -t -2t i(t)=in(t)=A1e +A2e (1) Ở t=0 , cuộn dây tương đương với mạch hở, i(0+)=0 ⇒ A1+A2 = 0 (2) Và tụ điện tương đương với mạch nối tắt 1 0 vC(0+) = idt = 0 (3) C ∫-∞ Ngoài ra Ri(0+)=0 (4) ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___ Chương5 Mạch điện bậc 9 hai - Thay (3) và (4) vào phương trình mạch: di di v L (0+) = v hay (0+) = g = 1 dt g dt L Lấy đạo hàm (1) , thay các trị số vào: di (0+) = −A − 2A = 1 (5) dt 1 2 Giải hệ thống (2) và (5): A1=1 và A2=-1 Và i(t)=e-t- e-2t Thí dụ 5.8 Khóa K trong mạch (H 5.9a) đóng khá lâu để mạch đạt trạng thái thường trực. Mở khóa K tại thời điểm t=0, Tính vK, hiệu thế ngang qua khóa K tại t=0+ (a) (H 5.9) (b) 10 i (0−) = i (0−) = = 5A 1 L 2 Viết phương trình cho mạch khi t>0 (H 5.9b) 3 di − t 2 L + 3i = 0 ⇒ i = Ae 2 dt L L 3 − t 2 iL(0+) = iL(0-) = 5 ⇒ A=5 ⇒ i L = 5e 3 − t 2 khi t > 0 vK = 10+ R3i L = 10+ 15e Ở t=0+ vK=10+15=25V Kết quả cho thấy: Do sự có mặt của cuộn dây trong mạch nên ngay khi mở khóa K, một hiệu thế rất lớn phát sinh giữa 2 đầu khóa K, có thể tạo ra tia lửa điện. Để giảm hiệu thế này ta phải mắc song song với cuộn dây một điện trở đủ nhỏ, trong thực tế, người ta thường mắc một Diod. 5.3 TÍNH CHẤT VÀ Ý NGHĨA VẬT LÝ CỦA CÁC ĐÁP ỨNG 5.3.1 Đáp ứng tự nhiên Đáp ứng tự nhiên là nghiệm của phương trình vi phân bậc 2 thuần nhất, tương ứng với trường hợp không có tín hiệu vào (nguồn ngoài). Dạng của đáp ứng tự nhiên tùy thuộc vào ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
10___ Chương5 Mạch điện bậc hai - nghiệm của phương trình đặc trưng, tức tùy thuộc các thông số của mạch. Tính chất của đáp ứng tự nhiên xác định dễ dàng nhờ vị trí của nghiệm của phương trình đặc trưng trên mặt phẳng phức. Gọi α và β là 2 số thực, cho biết khoảng cách từ nghiệm lần lượt đến trục ảo và trục thực. Ta có các trường hợp sau: Ò Phương trình đặc trưng có nghiệm thực, phân biệt s1,2= α1, α2 Với trị thực của α, đáp ứng có dạng mũ (H 5.10) Tùy theo α>0, α=0 hay α<0 mà dạng sóng của đáp ứng là đường cong tăng theo t, đường thẳng hay đường cong giảm theo t. (H 5.10) Ò Phương trình đặc trưng có nghiệm phức s1,2=-α ±jβ - Nếu đôi nghiệm phức nằm ở 1/2 trái của mặt phẳng (α và β ≠ 0), đáp ứng là dao động tắt dần (H 5.11) - Nếu là nghiệm ảo (α=0 và β ≠ 0), đáp ứng là một dao động hình sin (H 5.11) - Nếu đôi nghiệm phức nằm ở 1/2 phải của mặt phẳng (α và β ≠ 0), đáp ứng là dao động biên độ tăng dần (H 5.11) jω σ (H 5.11) Ò Phương trình đặc trưng có nghiệm kép (H 5.13) -αt - Nghiệm kép trên trục thực : s1=s2= -α y n = (A 1 + A 2t)e , đáp ứng có giá trị tắt dần tới hạn - Nghiệm kép trên trục ảo s1=s2=+jβ hoặc -jβ yn=k1cos(βt+Φ1) + k2tcos(βt+Φ2), đáp ứng là dao động biên độ tăng dần jω ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___ Chương5 Mạch điện bậc 11 hai - +β -α σ -β (H 5.13) Thí dụ 5.9 Khảo sát phương trình đặc trưng của mạch RLC nối tiếp. Khi R thay đổi vẽ quỹ tích nghiệm s trên mặt phẳng phức di 1 L + Ri + idt = v(t) (1) dt C ∫ Lấy đạo hàm 2 vế d 2i R di 1 1 dv + + i = (2) dt 2 L dt LC L dt Phương trình đặc trưng (H 5.14) R 1 s2 + s+ = 0 (3) L LC R 1 Đặt α = và ω = , (3) trở thành 2L 0 LC 2 2 s + 2αs+ ω0 = 0 (4) * α=0 (R=0) s=±jω0 Đáp ứng tự nhiên là dao động hình sin có biên độ không đổi, R=0 có nghĩa là công suất không tiêu tán thành nhiệt nên năng lượng tích trữ ban đầu không mất đi mà được chuyển hóa và trao đổi qua lại giữa tụ điện (điện trường) và cuộn dây (từ trường). 2 2 * 0 ω0 s1,2=a<0 (2 nghiệm âm phân biệt trên trục thực) ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
12___ Chương5 Mạch điện bậc hai - Đáp ứng tự nhiên tắt dần không dao động, nghĩa là R có trị khá lớn đủ để ngăn chận sự trao đổi năng lượng giữa L và C. 1 Tóm lại, khi α 1, Tắt dần không dao động * R<0 (hay Ψ, α<0), phương trình đặc trưng có nghiệm nằm ở 1/2 mặt phẳng phải và đáp ứng tăng không giới hạn, ta nói mạch bất ổn. Điện trở âm là một nguồn năng lượng, có được do tác dụng của một nguồn phụ (H 5.14) thuộc lên một điện trở dương. Khi mạch thụ động có chứa nguồn năng lượng, đáp ứng tự nhiên có thể có giá trị tăng mãi theo thời gian và tạo ra một sự bất ổn. 5.3.2 Đáp ứng ép Đáp ứng ép của một mạch chính là nghiệm riêng của phương trình có vế 2, nó tùy thuộc cả tín hiệu vào và các thành phần trong mạch điện. Một trường hợp đặc biệt ảnh hưởng đến đáp ứng ép là khi một số hạng của F(t) có cùng dạng của yn(t). Lúc đó yf(t) được nhân với t. Về phương diện vật lý, điều này có nghĩa là mạch buộc phải đáp ứng như khi không có tín hiệu vào hay nói cách khác mạch bị kích thích theo một trong những cách vận chuyển tự nhiên của nó. Nói nôm na là mạch đáp ứng nhạy hơn bình thường và điều này được biểu thị một cách toán học bằng cách nhân với thừa số t. Lưu ý là năng lượng tích trữ ban đầu chỉ ảnh hưởng đến độ lớn (các hằng số tích phân) chứ không ảnh hưởng đến dạng của yn(t). Mặt khác, các hằng số tích phân cũng tùy thuộc vào nguồn kích thích và các thành phần trong mạch. Chính vì những lý do này mà người ta chỉ xác định các hằng số tích phân sau khi có kết quả cuối cùng (đáp ứng đầy đủ). Tóm lại, khi tính toán đáp ứng của một mạch, các hằng số tích phân được xác định dựa trên đáp ứng đầy đủ y(t)=yn(t)+yf(t) và các điều kiện ban đầu. Ngoài ra, xét đến ảnh hưởng của đáp ứng của mạch theo diễn tiến thời gian, người ta chia đáp ứng của một mạch ra 2 thành phần: Thành phần chuyển tiếp (giao thời, transient time) và thành phần thường trực (steady state). - Thành phần chuyển tiếp yt(t): triệt tiêu sau một khoảng thời gian. - Thành phần thường trực yss(t): còn lại sau khi thành phần chuyển tiếp triệt tiêu. Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng đều ở 1/2 mặt phẳng trái hở và đáp ứng ép không triệt tiêu khi t →∞ thì yt(t) = yn(t) yss(t) = yf(t) ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH
___ Chương5 Mạch điện bậc 13 hai - 5.4 ĐÁP ỨNG ÉP ĐỐI VỚI est Trong phân giải mạch điện, một trường hợp đặc biệt cần quan tâm, đó là những mạch với tín hiệu vào có dạng hàm mũ est, s là hằng số độc lập với t. Chúng ta sẽ xét ngay dưới đây trường hợp này Với x(t) và y(t) lần lượt là kích thích và đáp ứng, phương trình mạch điện có dạng tổng quát dn y dn −1y dy dmx dm−1x dx a + a + + a + a y = b + b + + b + b x (5.14) n dt n n −1 dtn −1 1 dt 0 m dt m m−1 dt m−1 1 dt 0 st st Cho x(t) = e ⇒ yf(t)= H(s)e Bằng cách lấy đạo hàm yf(t) thay vào (5.14) ta xác định được H(s) m bms + + b1s+ b0 H(s) = n (5.15) ans + + a1s+ a0 H(s) được gọi là hàm số mạch, giữ vai trò rất quan trọng trong bài toán giải mạch. Quan sát (5.15) ta sẽ thấy H(s) là tỉ số của 2 đa thức theo s có bậc là bậc của đạo hàm và các hệ số chính là các hệ số tương ứng của 2 vế của phương trình mạch điện. Vì vậy, khi có phương trình mạch điện ta có thể viết ngay ra hàm số mạch. -t Thí dụ 5.9 Tìm đáp ứng vo(t) của mạch (H 5.15), cho i(t)=e . Phương trình mạch điện dv (t) 1 C o + v (t) = i(t) dt R o Hàm số mạch H(s) 1 R H(s) = = sC+ 1/R 1+ sRC -t (H 5.15) Đáp ứng ép đối với i(t)=e là R R v (t) = est = e−t of 1+ sRC 1- RC Thông số s trong hàm số mạch có thể là số thực hay phức. Trong thực tế tín hiệu vào thường là một hàm thực theo t. Tuy nhiên tính đáp ứng đối với một hàm phức cũng rất hữu ích vì từ đó chúng ta có thể suy ra đáp ứng đối với tín hiệu là hàm thực từ định lý sau đây: " Nếu yf(t) là đáp ứng đối với tín hiệu phức x(t), đáp ứng đối với phần thực của x(t) chính là phần thực của yf(t) và đáp ứng đối với phần ảo của x(t) là phần ảo của yf(t)" * Trở lại thí dụ 5.9. Xét trường hợp kích thích có dạng x(t)= cosωt Từ công thức EULER ejωt=cosωt +jsinωt, ta thấy cosωt là phần thực của ejωt Vậy trước tiên ta tìm đáp ứng ép đối với ejωt R v (t) = ejωt of 1+ jωRC Dùng công thức EULER viết lại vof: R v = (1− jωRC)(cosωt + jsinωt) of 1+ (ωRC)2 Phần thực của đáp ứng ép vof(t) ___ Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT MẠCH