Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động (Phần 2)

200 trang ngocly 1220

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động (Phần 2)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_ly_thuyet_dieu_khien_tu_dong_phan_2.pdf

Nội dung text: Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động (Phần 2)

172 Chöông 6 THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 6.1 KHAÙI NIEÄM Thieát keá laø toaøn boä quaù trình boå sung caùc thieát bò phaàn cöùng cuõng nhö thuaät toaùn phaàn meàm vaøo heä cho tröôùc ñeå ñöôïc heä môùi thoûa maõn yeâu caàu veà tính oån ñònh, ñoä chính xaùc, ñaùp öùng quaù ñoä, Coù nhieàu caùch boå sung boä ñieàu khieån vaøo heä thoáng cho tröôùc, trong khuoân khoå quyeån saùch naøy chuùng ta chuû yeáu xeùt hai caùch sau: Caùch 1: theâm boä ñieàu khieån noái tieáp vôùi haøm truyeàn cuûa heä hôû, phöông phaùp naøy goïi laø hieäu chænh noái tieáp (H.6.1). Boä ñieàu khieån ñöôïc söû duïng coù theå laø boä hieäu chænh sôùm pha, treã pha, sôùm treã pha, P, PD, PI, PID, Ñeå thieát keá heä thoáng hieäu chænh noái tieáp chuùng ta coù theå söû duïng phöông phaùp QÑNS hay phöông phaùp bieåu ñoà Bode. Ngoaøi ra moät phöông phaùp cuõng thöôøng ñöôïc söû duïng laø thieát keá theo ñaëc tính quaù ñoä chuaån. Hình 6.1 Heä thoáng hieäu chænh noái tieáp Caùch 2: ñieàu khieån hoài tieáp traïng thaùi, theo phöông phaùp naøy taát caû caùc traïng thaùi cuûa heä thoáng ñöôïc phaûn hoài trôû veà ngoõ vaøo vaø tín hieäu ñieàu khieån coù daïng ut()= rt () − Kx () t (H.6.2). Tuøy theo caùch tính veùctô hoài tieáp traïng thaùi K maø ta coù phöông phaùp ñieàu khieån phaân boá cöïc, ñieàu khieån toái öu LQR, .
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 173 Hình 6.2 Heä thoáng ñieàu khieån hoài tieáp traïng thaùi Quaù trình thieát keá heä thoáng laø quaù trình ñoøi hoûi tính saùng taïo do trong khi thieát keá thöôøng coù nhieàu thoâng soá phaûi choïn löïa. Ngöôøi thieát keá caàn thieát phaûi hieåu ñöôïc aûnh höôûng cuûa caùc khaâu hieäu chænh ñeán chaát löôïng cuûa heä thoáng vaø baûn chaát cuûa töøng phöông phaùp thieát keá thì môùi coù theå thieát keá ñöôïc heä thoáng coù chaát löôïng toát. Do ñoù caùc phöông phaùp thieát keá trình baøy trong chöông naøy chæ mang tính gôïi yù, ñoù laø nhöõng caùch thöôøng ñöôïc söû duïng chöù khoâng phaûi laø phöông phaùp baét buoäc phaûi tuaân theo. Vieäc aùp duïng moät caùch maùy moùc thöôøng khoâng ñaït ñöôïc keát quaû mong muoán trong thöïc teá. Duø thieát keá theo phöông phaùp naøo yeâu caàu cuoái cuøng vaãn laø thoûa maõn chaát löôïng mong muoán, caùch thieát keá, caùch choïn löïa thoâng soá khoâng quan troïng. Tröôùc khi xeùt ñeán caùc phöông phaùp thieát keá boä ñieàu khieån, chuùng ta xeùt aûnh höôûng cuûa caùc boä ñieàu khieån ñeán chaát löôïng cuûa heä thoáng. Chöông naøy chæ trình baøy boä ñieàu khieån döôùi daïng moâ taû toaùn hoïc, ñoái vôùi maïch ñieàu khieån cuï theå, xem laïi chöông 2. 6.2 AÛNH HÖÔÛNG CUÛA CAÙC BOÄ ÑIEÀU KHIEÅN ÑEÁN CHAÁT LÖÔÏNG CUÛA HEÄ THOÁNG 6.2.1 AÛnh höôûng cuûa cöïc vaø zero Trong muïc naøy chuùng ta khaûo saùt aûnh höôûng cuûa vieäc theâm cöïc vaø zero vaøo heä thoáng baèng caùch döïa vaøo quyõ ñaïo nghieäm soá. Ta thaáy: - Khi theâm moät cöïc coù phaàn thöïc aâm vaøo haøm truyeàn heä hôû thì QÑNS cuûa heä kín coù xu höôùng tieán gaàn veà phía truïc aûo (H.6.3), heä thoáng seõ keùm oån ñònh hôn, ñoä döï tröõ bieân vaø ñoä döï tröõ pha giaûm, ñoä voït loá taêng.
174 CHÖÔNG 6 Hình 6.3 Söï thay ñoåi daïng QÑNS khi theâm cöïc vaøo heä thoáng - Khi theâm moät zero coù phaàn thöïc aâm vaøo haøm truyeàn heä hôû thì QÑNS cuûa heä kín coù xu höôùng tieán xa truïc aûo (H.6.4), do ñoù heä thoáng seõ oån ñònh hôn, ñoä döï tröõ bieân vaø ñoä döï tröõ pha taêng, ñoä voït loá giaûm. Hình 6.4 Söï thay ñoåi daïng QÑNS khi theâm zero vaøo heä thoáng 6.2.2 AÛnh höôûng cuûa hieäu chænh sôùm treã pha 1- Hieäu chænh sôùm pha 1 + α Ts Haøm truyeàn: G( s ) = (α >1) (6.1) c 1 + Ts 1 + αTj ω Ñaëc tính taàn soá: G( j ω ) = c 1 +Tj ω Hình 6.5 laø bieåu ñoà Bode cuûa khaâu hieäu chænh sôùm pha. Döïa vaøo bieåu ñoà Bode cuûa khaâu sôùm pha chuùng ta thaáy ñaëc tính pha luoân döông (ϕ(ω) > 0, ∀ω ), do ñoù tín hieäu ra luoân luoân sôùm pha hôn tín hieäu vaøo. Khaâu hieäu chænh sôùm pha laø moät boä loïc thoâng cao (xem bieåu ñoà Bode bieân ñoä), söû duïng khaâu hieäu chænh sôùm pha
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 175 seõ môû roäng ñöôïc baêng thoâng cuûa heä thoáng, laøm cho ñaùp öùng cuûa heä thoáng nhanh hôn, do ñoù khaâu hieäu chænh sôùm pha caûi thieän ñaùp öùng quaù ñoä. Tuy nhieân cuõng do taùc duïng môû roäng baêng thoâng maø khaâu hieäu chænh sôùm pha laøm cho heä thoáng nhaïy vôùi nhieãu taàn soá cao. Hình 6.5 Bieåu ñoà Bode cuûa khaâu hieäu chænh sôùm pha Caùc thoâng soá caàn chuù yù treân ñaëc tính taàn soá cuûa khaâu hieäu chænh sôùm pha: - Ñoä leäch pha cöïc ñaïi: −1 α − 1  ϕ = sin   (6.2) max α + 1  - Taàn soá taïi ñoù ñoä leäch pha cöïc ñaïi: ω = 1 max (6.3) T α - Bieân ñoä taïi pha cöïc ñaïi: ω = α L(max )10 lg (6.4)
176 CHÖÔNG 6 Chöùng minh: 1+αωj T  ( 1 +αω−ω j T )( 1 jT )  ϕω=()arg  = arg   1 +jT ω  1 +T2 ω 2  ω α − 2 2  T (1 )  =arg1 +αT ω+ jT ωα− ( 1 ) = arctan     1 + αT2 ω 2  Tωα−(1 )   α− 1 α− 1  ≤arctan  = arctan  = arcsin   (2α ) T ω   2 α α + 1  α − 1  Do ñoù: ϕ = arcsin   max α + 1  = α2 ω 2 ⇔ ω = α Daáu ñaúng thöùc xaûy ra khi: 1T max max 1/(T ) ω = α Thay max 1/(T ) vaøo bieåu thöùc bieân ñoä cuûa khaâu sôùm pha ta deã daøng ruùt ra coâng thöùc (6.4). 2- Hieäu chænh treã pha 1 + α Ts Haøm truyeàn: G( s ) = ( α < 1) (6.5) c 1 + Ts 1 + αTj ω Ñaëc tính taàn soá: G( j ω ) = c 1 +Tj ω Hình 6.6 laø bieåu ñoà Bode cuûa khaâu hieäu chænh treã pha. Döïa vaøo bieåu ñoà Bode cuûa khaâu treã pha ta thaáy ñaëc tính pha luoân aâm (ϕ(ω) < 0, ∀ω ) neân tín hieäu ra luoân luoân treã pha hôn tín hieäu vaøo. Khaâu hieäu chænh treã pha laø moät boä loïc thoâng thaáp (xem bieåu ñoà Bode bieân ñoä), söû duïng khaâu hieäu chænh treã pha seõ thu heïp baêng thoâng cuûa heä thoáng, laøm cho heä soá khueách ñaïi cuûa heä thoáng ñoái vôùi tín hieäu vaøo taàn soá cao giaûm ñi, do ñoù khaâu hieäu chænh treã pha khoâng coù taùc duïng caûi thieän ñaùp öùng quaù ñoä. Tuy nhieân cuõng do taùc duïng laøm giaûm heä soá khueách ñaïi ôû mieàn taàn soá cao maø khaâu treã pha coù taùc duïng loïc nhieãu taàn soá cao aûnh höôûng ñeán heä thoáng. Do heä soá khueách ñaïi ôû mieàn taàn soá thaáp lôùn neân khaâu hieäu chænh treã pha laøm giaûm sai soá xaùc laäp cuûa heä thoáng (xem bieåu thöùc sai soá xaùc laäp ñaõ trình baøy ôû chöông 5). Caùc thoâng soá caàn chuù yù treân ñaëc tính taàn soá cuûa khaâu treã pha: - Ñoä leäch pha cöïc tieåu:
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 177 −1 α − 1  ϕ = sin   (6.6) min α + 1  - Taàn soá taïi ñoù ñoä leäch pha cöïc tieåu: ω = 1 min (6.7) T α - Bieân ñoä taïi pha cöïc tieåu: ω = α L(min )10 lg (6.8) Chöùng minh: Töông töï nhö ñaõ laøm ñoái vôùi khaâu sôùm pha. Hình 6.6 Bieåu ñoà Bode cuûa khaâu hieäu chænh treã pha 3- Hieäu chænh sôùm treã pha Khaâu hieäu chænh sôùm treã pha goàm moät khaâu treã pha maéc noái tieáp vôùi moät khaâu sôùm pha. Haøm truyeàn cuûa khaâu hieäu chænh sôùm treã coù theå vieát döôùi daïng: 1+αTs  1 +α Ts  Gs()= G (). sG () s = 11 22 (6.9) C C1 C 2 +  +  1Ts1  1 Ts 2  Ñeå bieåu thöùc (6.9) laø haøm truyeàn cuûa khaâu sôùm treã pha thì caùc thoâng soá phaûi thoûa ñieàu kieän: α α < α 1 1, 2 1 , 1/(11T ) 1 /( 22 T )
178 CHÖÔNG 6 Ñaëc tính taàn soá cuûa khaâu sôùm treã pha: 1+αTj ω  1 +α Tj ω  G( j ω ) = 11 22 (6.10) c +ω  +ω  1Tj1  1 Tj 2  Hình 6.7 Bieåu ñoà Bode cuûa khaâu hieäu chænh sôùm treã pha Hình 6.7 laø bieåu ñoà Bode cuûa khaâu hieäu chænh sôùm treã pha. ÔÛ mieàn taàn soá cao tín hieäu ra sôùm pha hôn tín hieäu vaøo; ôû mieàn taàn soá thaáp tín hieäu ra treã pha hôn tín hieäu vaøo neân khaâu hieäu chænh naøy ñöôïc goïi laø khaâu hieäu chænh sôùm treã pha. Khaâu hieäu chænh sôùm treã pha laø moät boä loïc chaén daõi (xem bieåu ñoà Bode bieân ñoä), heä soá khueách ñaïi ôû mieàn taàn soá cao lôùn laøm caûi thieän ñaùp öùng quaù ñoä; heä soá khueách ñaïi ôû mieàn taàn soá thaáp lôùn laøm giaûm sai soá xaùc laäp, do ñoù khaâu hieäu chænh sôùm treã pha keát hôïp caùc öu ñieåm cuûa khaâu hieäu chænh sôùm pha vaø treã pha. 6.2.3 Hieäu chænh PID 1- Hieäu chænh tæ leä P (Proportional) = Haøm truyeàn: Gc( s ) K P (6.11)
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 179 Ñaëc tính taàn soá cuûa khaâu hieäu chænh tæ leä ñaõ ñöôïc trình baøy ôû chöông 3. Döïa vaøo caùc bieåu thöùc sai soá xaùc laäp ñaõ trình baøy ôû chöông 5 ta thaáy neáu heä soá khueách ñaïi KP caøng lôùn thì sai soá xaùc laäp caøng nhoû, tuy nhieân khi KP taêng thì caùc cöïc cuûa heä thoáng noùi chung coù xu höôùng di chuyeån ra xa truïc thöïc, ñieàu ñoù coù nghóa laø ñaùp öùng cuûa heä thoáng caøng dao ñoäng, ñoä voït loá caøng cao. Neáu KP taêng quaù giaù trò heä soá khueách ñaïi giôùi haïn thì heä thoáng seõ trôû neân maát oån ñònh. Do ñoù neáu khoâng theå coù sai soá cuûa heä thoáng baèng 0 thì cuõng khoâng theå taêng heä soá khueách ñaïi leân voâ cuøng. Ví duï 6.1. Khaûo saùt aûnh höôûng cuûa boä ñieàu khieån tæ leä. Xeùt heä thoáng hieäu chænh noái tieáp coù sô ñoà khoái nhö hình 6.1, 10 trong ñoù haøøm truyeàn cuûa ñoái töôïng laø: G( s ) = . Boä ñieàu (s+2 )( s + 3 ) khieån ñöôïc söû duïng laø boä ñieàu khieån tæ leä. Ñöôøng lieàn neùt trong hình 6.8 laø ñaùp öùng cuûa heä thoáng khi chöa hieäu chænh KP = 1. Theo hình veõ ta thaáy khi taêng KP thì sai soá xaùc laäp giaûm, ñoàng thôøi ñoä voït loá cuõng taêng leân (caùc ñöôøng ñöùt neùt). g Hình 6.8 Ñaùp öùng naác cuûa heä thoáng kín khi thay ñoåi heä soá khueách ñaïi cuûa boä ñieàu khieån tæ leä 2- Hieäu chænh vi phaân tæ leä PD (Proportional Derivative) =+ = + Haøm truyeàn: GsC() K PD KsK P ()1 Ts D (6.12) = trong ñoù KD K P T D , TD ñöôïc goïi laø thôøi haèng vi phaân cuûa boä ñieàu khieån PD. ω= + ω= + ω Ñaëc tính taàn soá: GjC() K PD Kj K P ()1 jT D (6.13)
180 CHÖÔNG 6 Hình 6.9 Bieåu ñoà Bode cuûa khaâu hieäu chænh PD Maéc noái tieáp khaâu hieäu chænh PD vôùi haøm truyeàn cuûa ñoái töôïng töông ñöông vôùi vieäc theâm vaøo heä thoáng moät zero taïi vò trí –1/ TD. Nhö ñaõ trình baøy ôû muïc 6.2.1, vieäc theâm vaøo heä thoáng moät zero laøm cho QÑNS coù xu höôùng rôøi xa truïc aûo vaø tieán gaàn veà phía truïc thöïc, do ñoù laøm giaûm ñoä voït loá cuûa heä thoáng. Hình 6.9 laø ñaëc tính taàn soá cuûa khaâu hieäu chænh PD. Döïa vaøo bieåu ñoà Bode cuûa khaâu hieäu chænh PD ta thaáy khaâu hieäu chænh PD laø moät tröôøng hôïp rieâng cuûa khaâu hieäu chænh sôùm pha, trong ñoù ñoä leäch pha cöïc ñaïi giöõa tín hieäu ra vaø tín hieäu vaøo ϕ = ° ω = +∞ laø max 90 , töông öùng vôùi taàn soá max . Khaâu hieäu chænh PD coù ñaëc ñieåm cuûa khaâu hieäu chænh sôùm pha, nghóa laø laøm nhanh ñaùp öùng cuûa heä thoáng, giaûm thôøi gian quaù ñoä. Tuy nhieân do heä soá khueách ñaïi ôû taàn soá cao cuûa khaâu hieäu chænh PD laø voâ cuøng lôùn neân khaâu hieäu chænh PD laøm cho heä thoáng raát nhaïy vôùi nhieãu taàn soá cao. Do ñoù xeùt veà aûnh höôûng cuûa nhieãu taàn soá cao thì khaâu hieäu chænh sôùm pha coù öu theá hôn khaâu hieäu chænh PD.
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 181 Ví duï 6.2. Khaûo saùt aûnh höôûng cuûa boä ñieàu khieån vi phaân tæ leä. Xeùt heä thoáng hieäu chænh noái tieáp coù sô ñoà khoái nhö hình 6.1, K trong ñoù haøøm truyeàn cuûa ñoái töôïng laø: G( s ) = ( a>b>0). (s+ a )( s + b ) Boä ñieàu khieån ñöôïc söû duïng laø boä ñieàu khieån vi phaân tæ leä. Phöông trình ñaëc tính cuûa heä thoáng sau khi hieäu chænh laø: K 1+K( 1 + T s ) = 0 P D (s+ a )( s + b ) AÛnh höôûng ñaëc tröng cuûa khaâu PD quyeát ñònh bôûi thôøi haèng vi phaân TD (cuõng chính laø vò trí zero –1/ TD treân QÑNS hay taàn soá gaõy 1/ TD treân ñaëc tính taàn soá). Tuøy theo giaù trò cuûa TD maø QÑNS cuûa heä thoáng sau khi hieäu chænh coù theå coù caùc daïng nhö hình 6.10. Hình 6.10 Söï thay ñoåi daïng QÑNS khi theâm khaâu hieäu chænh PD vaøo heä thoáng a) Chöa hieäu chænh; b) Ñaõ hieäu chænh (0 a) Ta thaáy neáu 0 a thì tuøy giaù trò cuûa KP maø heä thoáng coù theå coù nghieäm phöùc, tuy nhieân nghieäm phöùc naøy gaàn truïc thöïc hôn so vôùi truïc aûo (nghóa laø ξ > 0, 707 ), do ñoù ñoä voït loá cuûa heä thoáng thaáp hôn so vôùi chöa hieäu chænh.
182 CHÖÔNG 6 Hình 6.11a trình baøy ñaùp öùng quaù ñoä cuûa heä thoáng khi thay ñoåi giaù trò TD vaø giöõ heä soá KP baèng haèng soá. Ta thaáy T D caøng lôùn thì ñaùp öùng caøng nhanh, thôøi gian leân caøng ngaén. Tuy nhieân neáu thôøi gian leân nhanh quaù thì seõ daãn ñeán voït loá maëc duø ñaùp öùng khoâng coù dao ñoäng. Khi ñaõ xaùc ñònh ñöôïc TD thì aûnh höôûng cuûa KP töông töï nhö aûnh höôûng cuûa khaâu khueách ñaïi, nghóa laø neáu KP caøng taêng (nhöng phaûi nhoû hôn Kgh ) thì sai soá xaùc laäp caøng giaûm (H.6.11b), tuy nhieân sai soá xaùc laäp luùc naøo cuõng khaùc 0. Maët khaùc trong tröôøng hôïp heä thoáng ñang khaûo saùt, khi KP caøng taêng thì QÑNS caøng rôøi xa truïc aûo neân thôøi gian ñaùp öùng cuõng nhanh leân. Tuy nhieân aûnh höôûng naøy khoâng phaûi laø aûnh höôûng ñaëc tröng cuûa khaâu PD . Hình 6.11 AÛnh höôûng cuûa khaâu hieäu chænh PD ñeán ñaùp öùng naác ñôn vò cuûa heä thoáng 3- Hieäu chænh tích phaân tæ leä PI (Proportional Integral)   =+=K I + 1 Haøm truyeàn: GsKC( ) P K P 1  (6.14) s TI s  = trong ñoù KI K P/ T I , TI ñöôïc goïi laø thôøi haèng tích phaân cuûa boä ñieàu khieån PI. 1  Ñaëc tính taàn soá: G( jω ) = K 1 + (6.15) C P ω  TI j  Maéc noái tieáp khaâu hieäu chænh PI vôùi haøm truyeàn cuûa ñoái töôïng töông ñöông vôùi vieäc theâm vaøo heä thoáng moät zero taïi vò trí –1/ TI vaø moät cöïc taïi goùc toïa ñoä, ñieàu naøy laøm cho QÑNS cuûa heä
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 183 thoáng sau khi hieäu chænh bò ñaåy veà phía phaûi maët phaúng phöùc, neân heä thoáng keùm oån ñònh hôn. Hình 6.12 Bieåu ñoà Bode cuûa khaâu hieäu chænh PI Hình 6.12 laø bieåu ñoà Bode cuûa khaâu hieäu chænh PI. Döïa vaøo bieåu ñoà Bode cuûa khaâu hieäu chænh PI ta thaáy khaâu hieäu chænh PI laø moät tröôøng hôïp rieâng cuûa khaâu hieäu chænh treã pha, trong ñoù ñoä ϕ =− ° leäch pha cöïc tieåu giöõa tín hieäu ra vaø tín hieäu vaøo laø min 90 , ω = töông öùng vôùi taàn soá min 0. Khaâu hieäu chænh PI coù ñaëc ñieåm cuûa khaâu hieäu chænh treã pha, nghóa laø laøm chaäm ñaùp öùng quaù ñoä, taêng ñoä voït loá, giaûm sai soá xaùc laäp. Do heä soá khueách ñaïi cuûa khaâu PI baèng voâ cuøng taïi taàn soá baèng 0 neân khaâu hieäu chænh PI laøm cho sai soá ñoái vôùi tín hieäu vaøo laø haøm naác cuûa heä thoáng khoâng coù khaâu vi phaân lyù töôûng baèng 0 (heä voâ sai baäc moät). Ngoaøi ra do khaâu PI laø moät boä loïc thoâng thaáp neân noù coøn coù taùc duïng trieät tieâu nhieãu taàn soá cao taùc ñoäng vaøo heä thoáng.
184 CHÖÔNG 6 Ví duï 6.3. Khaûo saùt aûnh höôûng cuûa boä ñieàu khieån tích phaân tæ leä. Xeùt heä thoáng hieäu chænh noái tieáp coù sô ñoà khoái nhö hình 6.1, K trong ñoù haøøm truyeàn cuûa ñoái töôïng laø: G( s ) = ( a>b>0). (s+ a )( s + b ) Boä ñieàu khieån ñöôïc söû duïng laø boä ñieàu khieån tích phaân tæ leä. Phöông trình ñaëc tính cuûa heä thoáng sau khi hieäu chænh laø: T s + 1  K 1+K I = 0 P   + + TsI  ( s as )( b ) AÛnh höôûng ñaëc tröng cuûa khaâu PI quyeát ñònh bôûi thôøi haèng tích phaân TI (cuõng chính laø vò trí zero –1/ TI treân QÑNS hay taàn soá gaõy 1/ TI treân ñaëc tính taàn soá). Tuøy theo giaù trò cuûa TI maø QÑNS cuûa heä thoáng sau khi hieäu chænh coù theå coù caùc daïng nhö hình 6.13. Hình 6.13 Söï thay ñoåi daïng QÑNS khi theâm khaâu hieäu chænh PI vaøo heä thoáng a) Chöa hieäu chænh; b) Ñaõ hieäu chænh (0 a)
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 185 Theo coâng thöùc sai soá (5.4), ta thaáy khaâu hieäu chænh PI laøm cho sai soá xaùc laäp cuûa heä thoáng ñoái vôùi tín hieäu vaøo laø haøm naác baèng 0. Tuy nhieân khaâu hieäu chænh PI laøm cho heä thoáng keùm oån ñònh. Ta coù theå kieåm chöùng ñöôïc ñieàu naøy baèng caùch phaân tích söï thay ñoåi daïng QÑNS cuûa heä thoáng sau khi hieäu chænh. Theo coâng thöùc (4.14), giao ñieåm cuûa tieäm caän vôùi truïc thöïc laø: =− − + OA( a b1 / T I ) . Do ñoù khi 1/ TI caøng taêng thì QÑNS cuûa heä thoáng caøng di chuyeån veà phía phaûi maët phaúng phöùc (H.6.13b,c), heä thoáng caøng keùm oån ñònh. Khi 1/ TI ñuû lôùn thoûa ñieàu kieän > + 1/ TI a b thì QÑNS coù ñoaïn naèm beân phaûi maët phaúng phöùc (H.6.13d), heä thoáng khoâng oån ñònh neáu heä soá khueách ñaïi cuûa heä thoáng lôùn hôn giaù trò Kgh . Hình 6.14 minh hoïa ñaùp öùng quaù ñoä cuûa heä thoáng khi thay ñoåi thoâng soá cuûa boä ñieàu khieån PI. ÔÛ hình 6.14a ta thaáy khi caøng giaûm thôøi haèng tích phaân TI thì ñoä voït loá cuûa heä thoáng caøng cao, heä thoáng caøng chaäm xaùc laäp. Töø ñaây ta ruùt ra keát luaän khi thieát keá khaâu hieäu chænh PI neân choïn zero –1/ TI naèm gaàn goác toïa ñoä ñeå thôøi haèng tích phaân TI coù giaù trò lôùn nhaèm haïn cheá ñoä voït loá. Khi giöõ TI baèng haèng soá thì aûnh höôûng cuûa KP ñeán chaát löôïng cuûa heä thoáng chính laø aûnh höôûng cuûa khaâu khueách ñaïi, KP caøng taêng thì ñoä voït loá caøng taêng, tuy nhieân thôøi gian quaù ñoä gaàn nhö khoâng ñoåi (H.6.14b). Neáu KP vöôït quaù giaù trò heä soá khueách ñaïi giôùi haïn thì heä thoáng trôû neân maát oån ñònh. Hình 6.14 AÛnh höôûng cuûa khaâu hieäu chænh PI ñeán ñaùp öùng naác ñôn vò cuûa heä thoáng
186 CHÖÔNG 6 4- Hieäu chænh vi tích phaân tæ leä PID (Proportional Integral Derivative) K Haøm truyeàn: GsK( ) = +I + Ks (6.16) C Ps D Coù theå xem khaâu hieäu chænh PID goàm moät khaâu PI maéc noái tieáp vôùi moät khaâu PD.   = +1 + GsKC() P11  ( 1 Ts D 2 ) (6.17) TI1 s  trong ñoù TI1 > TD2. Deã daøng suy ra ñöôïc moái quan heä giöõa caùc heä soá trong hai caùch bieåu dieãn (6.16) vaø (6.17) nhö sau:   = + TD2 KP K P 1 1  (6.18) TI1  = K P1 K I (6.19) TI1 = ⋅ KD K P1 T D 2 (6.20) 1  Ñaëc tính taàn soá: GjK()ω=1 + ( 1 +ω Tj ) (6.21) C P1ω  D 2 TI1 j  Hình 6.15 Bieåu ñoà Bode cuûa khaâu hieäu chænh PID
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 187 Khaâu hieäu chænh PID laø moät tröôøng hôïp rieâng cuûa hieäu chænh sôùm treã pha, trong ñoù ñoä leäch pha cöïc tieåu giöõa tín hieäu ra vaø tín ϕ =− ° ω = hieäu vaøo laø min 90 , töông öùng vôùi taàn soá min 0 ; ñoä leäch pha ϕ =+ ° cöïc ñaïi giöõa tín hieäu ra vaø tín hieäu vaøo laø max 90 , töông öùng ω = ∞ vôùi taàn soá max . Do khaâu hieäu chænh PID coù theå xem laø khaâu PI maéc noái tieáp vôùi khaâu PD neân noù coù caùc öu ñieåm cuûa khaâu PI vaø PD. Nghóa laø khaâu hieäu chænh PID caûi thieän ñaùp öùng quaù ñoä (giaûm voït loá, giaûm thôøi gian quaù ñoä) vaø giaûm sai soá xaùc laäp (neáu ñoái töôïng khoâng coù khaâu vi phaân lyù töôûng thì sai soá xaùc laäp ñoái vôùi tín hieäu vaøo laø haøm naác baèng 0). Chuùng ta vöøa khaûo saùt xong aûnh höôûng cuûa caùc khaâu hieäu chænh noái tieáp thöôøng duøng ñeán chaát löôïng cuûa heä thoáng, moãi khaâu hieäu chænh coù nhöõng öu ñieåm cuõng nhö khuyeát ñieåm rieâng. Do vaäy caàn phaûi hieåu roõ ñaëc ñieåm cuûa töøng khaâu hieäu chænh chuùng ta môùi coù theå söû duïng linh hoaït vaø hieäu quaû ñöôïc. Tuøy theo ñaëc ñieåm cuûa töøng ñoái töôïng ñieàu khieån cuï theå vaø yeâu caàu chaát löôïng mong muoán maø chuùng ta phaûi söû duïng khaâu hieäu chænh thích hôïp. Khi ñaõ xaùc ñònh ñöôïc khaâu hieäu chænh caàn duøng thì vaán ñeà coøn laïi laø xaùc ñònh thoâng soá cuûa noù. Caùc muïc tieáp seõ ñeà caäp ñeán vaán ñeà naøy. 6.3 THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG DUØNG QÑNS Nguyeân taéc thieát keá heä thoáng duøng phöông phaùp QÑNS laø döïa vaøo phöông trình ñaëc tính cuûa heä thoáng sau khi hieäu chænh: + = 1GC () sGs () 0 (6.22) =  GC () s G () s1 ñieàu kieän bieân ñoä ⇔  (6.23) ∠ =−°  GC () s G () s180 ñieàu kieän pha Ta caàn choïn thoâng soá cuûa boä ñieàu khieån GC(s) sao cho phöông trình (6.22) coù nghieäm taïi vò trí mong muoán. 6.3.1 Hieäu chænh sôùm pha Ñeå thuaän lôïi cho vieäc veõ QÑNS chuùng ta bieåu dieãn haøm truyeàn khaâu hieäu chænh sôùm pha döôùi daïng sau (so saùnh vôùi bieåu
188 CHÖÔNG 6 thöùc (6.1): s+(1 / α T ) G( s ) = K ( α > 1) (6.24) C C s+ (1 / T ) Baøi toaùn ñaët ra laø choïn giaù trò KC, α vaø T ñeå ñaùp öùng cuûa heä thoáng thoûa maõn yeâu caàu veà chaát löôïng quaù ñoä (ñoä voït loá, thôøi gian xaùc laäp, ) Ta ñaõ bieát chaát löôïng quaù ñoä cuûa heä thoáng hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi vò trí cuûa caëp cöïc quyeát ñònh. Do ñoù nguyeân taéc thieát keá khaâu hieäu chænh sôùm pha duøng phöông phaùp QÑNS laø choïn cöïc vaø zero cuûa khaâu hieäu chænh sao cho QÑNS cuûa heä thoáng sau khi hieäu chænh phaûi ñi qua caëp cöïc quyeát ñònh mong muoán. Sau ñoù baèng caùch choïn heä soá khueách ñaïi KC thích hôïp ta seõ choïn ñöôïc cöïc cuûa heä thoáng chính laø caëp cöïc mong muoán. Nguyeân taéc treân ñöôïc cuï theå hoùa thaønh trình töï thieát keá sau: Trình töï thieát keá Khaâu hieäu chænh : Sôùm pha Phöông phaùp thieát keá: QÑNS Böôùc 1: Xaùc ñònh caëp cöïc quyeát ñònh töø yeâu caàu thieát keá veà chaát löôïng cuûa heä thoáng trong quaù trình quaù ñoä:  ξ Ñoä voït loá POT * =−ξω ± ω −ξ 2 ⇒  ⇒ s1, 2 n j n 1  ω Thôøi gian quaù ñoä, n * Böôùc 2: Xaùc ñònh goùc pha caàn buø ñeå caëp cöïc quyeát ñònh s1, 2 naèm treân QÑNS cuûa heä thoáng sau khi hieäu chænh baèng coâng thöùc: n m Φ=−°+* * −− * − 180∑arg(sp1i ) ∑ arg( sz 1 i ) (6.25) i=1 i = 1 trong ñoù pi vaø zi laø caùc cöïc cuûa heä thoáng G(s) tröôùc khi hieäu chænh. Daïng hình hoïc cuûa coâng thöùc treân laø: Φ* =− °+ * 180 ∑ goùc töø caùc cöïc cuûa G( s ) ñeán cöïc s 1 − * ∑ goùc töø caùc zero cuûa G( s ) ñeán cöïc s 1 (6.26) Böôùc 3: Xaùc ñònh vò trí cöïc vaø zero cuûa khaâu hieäu chænh
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 189 Veõ hai nöûa ñöôøng thaúng baát kyø xuaát phaùt töø cöïc quyeát ñònh s* sao cho hai nöûa ñöôøng thaúng naøy taïo vôùi nhau moät goùc baèng Φ* . Giao ñieåm cuûa hai nöûa ñöôøng thaúng naøy vôùi truïc thöïc laø vò trí cöïc vaø zero cuûa khaâu hieäu chænh. Coù hai caùch veõ thöôøng duøng: - PP ñöôøng phaân giaùc (ñeå cöïc vaø zero cuûa khaâu hieäu chænh gaàn nhau). - PP trieät tieâu nghieäm (ñeå haï baäc cuûa heä thoáng). Böôùc 4: Tính heä soá khueách ñaïi K C baèng caùch aùp duïng coâng thöùc: = GC () sGs () * 1 s= s 1 Giaûi thích Böôùc 1 : Do chaát löôïng quaù ñoä phuï thuoäc vaøo vò trí caëp cöïc quyeát ñònh neân ñeå thieát keá heä thoáng thoûa maõn chaát löôïng quaù ñoä mong muoán ta phaûi xaùc ñònh caëp cöïc quyeát ñònh töông öùng. Goïi * caëp cöïc quyeát ñònh mong muoán laø s1, 2 . Böôùc 2 : Ñeå heä thoáng coù chaát löôïng quaù ñoä nhö mong muoán * thì caëp cöïc quyeát ñònh s1, 2 phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tính sau khi hieäu chænh (6.22). Xeùt ñieàu kieän veà pha: ∠G() sGs () =−°180 C s= s * ⇔ ∠Gs() +∠ Gs () =−°180 C ss=* ss = * m n  ⇔ ∠Gs() + arg( sz* −− ) arg( sp * −=−° )  180 (6.27) Cs= s * ∑ i ∑ i  i=1 i = 1  trong ñoù zi vaø pi laø caùc zero vaø caùc cöïc cuûa heä thoáng hôû tröôùc khi hieäu chænh. Ñaët goùc pha caàn buø Φ* = ∠ G( s ) , töø bieåu thöùc C s= s * (6.27) ta suy ra: n m Φ=−°+* * −− * − 180∑arg(spi ) ∑ arg( sz i ) i=1 i = 1 Do soá phöùc coù theå bieåu dieãn döôùi daïng veùctô neân coâng thöùc
190 CHÖÔNG 6 treân töông ñöông vôùi coâng thöùc hình hoïc sau:
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 191 Φ* =−180 °+ ∑ goùc töø caùc cöïc cuûa G( s ) ñeán cöïc s * −∑ goùc töø caùc zero cuûa G( s ) ñeán cöïc s * Böôùc 3 : Baây giôø ta phaûi choïn cöïc vaø zero cuûa khaâu hieäu chænh sao cho: Φ* = ∠ G( s ) C s= s * ⇔ Φ=*arg(s * +α−1 / T )arg( s * + 1 /) T (6.28) Do Φ* vaø s* ñaõ bieát neân phöông trình (6.28) coù hai aån soá caàn tìm laø 1/ αT vaø 1/ T. Choïn tröôùc giaù trò 1/ αT baát kyø thay vaøo phöông trình (6.28) ta seõ tính ñöôïc 1/ T vaø ngöôïc laïi, nghóa laø baøi toaùn thieát keá coù voâ soá nghieäm. Thay vì choïn nghieäm baèng phöông phaùp giaûi tích (giaûi phöông trình (6.28)) nhö vöøa trình baøy chuùng ta coù theå choïn baèng phöông phaùp hình hoïc. Theo hình 6.16 hai soá phöùc ( s* + 1/ T ) vaø uuur uuur ( s* +1/ α T ) ñöôïc bieåu dieãn bôûi hai veùctô BP vaø CP , do ñoù arg(s* +1 / T ) = PBOˆ vaø arg(s* +1 / α T ) = PCOˆ ø. Thay caùc goùc hình hoïc vaøo phöông trình (6.28) ta ñöôïc: Φ=*arg(s * +α−1 / T )arg( s * + 1 /) T = PCOPBOBPCˆ −ˆ = ˆ Töø phaân tích treân ta thaáy cöïc vaø zero cuûa khaâu hieäu chænh sôùm pha phaûi naèm taïi ñieåm B vaø C sao cho BPCˆ = Φ * . Ñaây chính laø cô sôû toaùn hoïc cuûa caùch choïn cöïc vaø zero nhö ñaõ trình baøy trong trình töï thieát keá. Hình 6.16 Quan heä hình hoïc giöõa vò trí cöïc vaø zero cuûa khaâu hieäu chænh sôùm pha vôùi goùc pha caàn buø Böôùc 4: Muoán s* laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tính (6.22) * thì ngoaøi ñieàu kieän veà pha ta phaûi choïn KC sao cho s thoûa ñieàu
192 CHÖÔNG 6 kieän bieân ñoä. Do ñoù ta phaûi choïn KC baèng coâng thöùc: = g GC () sGs () * 1 s= s 1 Ví duï 6.4. Thieát keá khaâu hieäu chænh sôùm pha duøng phöông phaùp QÑNS. Cho heä thoáng ñieàu khieån nhö hình veõ. Haõy thieát keá khaâu hieäu chænh GC(s) ñeå ñaùp öùng quaù ñoä cuûa heä thoáng sau khi hieäu chænh thoûa: POT 1) C C s+ (1 / T ) Böôùc 1: Xaùc ñònh caëp cöïc quyeát ñònh Theo yeâu caàu thieát keá, ta coù: ξπ  ξπ POT =exp −  1 −ξ 2 ⇒ 4, 8ξ2 > 1 ⇒ ξ > 0, 45 Choïn ξ = 0, 707 4 4 t = ⇒ ω > 11, 4 qñ ξω n × ξ n n 0, 5 ω = Choïn n 15 Vaäy caëp cöïc quyeát ñònh laø: * =−ξω±ω −ξ=−2 × ± − 2 s1, 2 n j n 1 0707, 15 j 151 0707 , * = − ± ⇒ s1, 2 10, 5 j 10 , 5 Böôùc 2: Xaùc ñònh goùc pha caàn buø Caùch 1. Duøng coâng thöùc ñaïi soá Φ=−°+* 180{arg[( − 105 , +j 105 ,) −+ 0 ]arg[( − 105 , + j 105 ,)( −− 5 )] } 105,   105 ,  =−°+180 arctan  + arctan   −10, 5   − 5 , 5  =−180 °+( 135 + 1176 , )
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 193 ⇒ Φ* =72, 6 ° Caùch 2. Duøng coâng thöùc hình hoïc Φ* =− °+β +β 180(1 2 ) =−180 °+( 135 °+ 1176 ,), °= 726 ° Böôùc 3: Xaùc ñònh cöïc vaø zero cuûa khaâu hieäu chænh baèng phöông phaùp ñöôøng phaân giaùc. - Veõ PA laø phaân giaùc cuûa goùc OPxˆ . Φ* Φ* - Veõ PB vaø PC sao cho APBˆ = , APCˆ = 2 2 Ñieåm B chính laø vò trí cöïc vaø C laø vò trí zero cuûa khaâu hieäu 1 1 chænh: = OB = OC T αT AÙp duïng heä thöùc löôïng trong tam giaùc ta suy ra: ˆ Φ*  OPx + 135° 72, 6 °  sin   sin +  2 2 2 2  OB= OP =15 = 2812, OPxˆ Φ* 135° 72, 6 °  sin −  sin −    2 2 2 2    ˆ Φ*  OPx − 135° 72, 6 °  sin  sin −  2 2 2 2  OC= OP =15 = 80, OPxˆ Φ* 135° 72, 6 °  sin +  sin +    2 2 2 2    s + 8 ⇒ G( s ) = K C C s + 28
194 CHÖÔNG 6 Böôùc 4: Tính KC . G() sGs () = 1 C s= s * s + 8 50 ⇒ K . = 1 C + + s28 s( s 5 ) s=−10, 5 + j 10 , 5 −105, +j 1058 , + 50 ⇒ K . = 1 C −+105,j 105 , +−+ 28 (, 105 j 105 ,)(, −+ 105 j 105 ,) + 5 10, 79× 50 ⇒ K = 1 C 20, 41× 15 × 11 , 85 = ⇒ KC 6, 7 Vaäy haøm truyeàn cuûa khaâu hieäu chænh sôùm pha caàn thieát keá laø: s + 8 G( s )= 6 , 7 g C s + 28 Nhaän xeùt Quyõ ñaïo nghieäm soá cuûa heä thoáng tröôùc khi hieäu chænh khoâng qua ñieåm s* (H.6.17a) do ñoù heä thoáng seõ khoâng bao giôø ñaït ñöôïc chaát löôïng ñaùp öùng quaù ñoä nhö yeâu caàu duø coù thay ñoåi heä soá khueách ñaïi cuûa heä thoáng. Hình 6.17 Söï thay ñoåi daïng QÑNS khi hieäu chænh sôùm pha a) QÑNS tröôùc khi hieäu chænh; b) QÑNS sau khi hieäu chænh
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 195 Baèng caùch söû duïng khaâu hieäu chænh sôùm pha, quyõ ñaïo nghieäm soá cuûa heä thoáng bò söûa daïng vaø qua ñieåm s* (H.6.17b). Baèng caùch choïn heä soá khueách ñaïi thích hôïp (nhö ñaõ thöïc hieän ôû böôùc 4) heä thoáng seõ coù caëp cöïc quyeát ñònh nhö mong muoán, do ñoù ñaùp öùng quaù ñoä ñaït yeâu caàu thieát keá (H.6.18). Hình 6.18 Ñaùp öùng naác cuûa heä thoáng ôû ví duï 6.4 tröôùc vaø sau khi hieäu chænh 6.3.2 Hieäu chænh treã pha Haøm truyeàn khaâu hieäu chænh treã pha caàn thieát keá coù daïng: s+(1 / β T ) G( s ) = K ( β < 1 ) C C s+ (1 / T ) Baøi toaùn ñaët ra laø choïn giaù trò KC, β vaø T ñeå ñaùp öùng cuûa heä thoáng thoûa maõn yeâu caàu veà sai soá xaùc laäp maø “ khoâng ” laøm aûnh höôûng ñeán ñaùp öùng quaù ñoä (aûnh höôûng khoâng ñaùng keå). Ta ñaõ bieát do khaâu hieäu chænh treã pha coù heä soá khueách ñaïi ôû mieàn taàn soá thaáp lôùn neân coù taùc duïng laøm giaûm sai soá xaùc laäp cuûa heä thoáng. Ñeå ñaùp öùng quaù ñoä cuûa heä thoáng sau khi hieäu chænh treã pha gaàn nhö khoâng ñoåi thì caëp cöïc quyeát ñònh cuûa heä thoáng tröôùc vaø sau khi hieäu chænh phaûi naèm raát gaàn nhau. Ñeå ñaït ñöôïc ñieàu naøy ta phaûi ñaët theâm cöïc vaø zero cuûa khaâu hieäu chænh treã pha sao cho daïng QÑNS thay ñoåi khoâng ñaùng keå. Ñaây laø nguyeân taéc caàn tuaân theo khi thieát keá khaâu hieäu chænh treã pha. Trình töï thieát keá döôùi ñaây cuï theå hoùa nguyeân taéc treân:
196 CHÖÔNG 6 Trình töï thieát keá Khaâu hieäu chænh : Treã pha Phöông phaùp thieát keá: QÑNS Böôùc 1: Xaùc ñònh β töø yeâu caàu veà sai soá xaùc laäp. Neáu yeâu caàu veà sai soá xaùc laäp cho döôùi daïng heä soá vaän toác K K * thì tính β baèng coâng thöùc: β = V V * KV * trong ñoù KV vaø KV laø heä soá vaän toác cuûa heä thoáng tröôùc vaø sau khi hieäu chænh. Böôùc 2: Choïn zero cuûa khaâu hieäu chænh sao cho: 1 << Re(s* ) βT 1, 2 * trong ñoù s1, 2 laø caëp cöïc quyeát ñònh cuûa heä thoáng sau khi hieäu chænh. 1 1 Böôùc 3: Tính cöïc cuûa khaâu hieäu chænh: = β . Tβ T Böôùc 4: Tính K C baèng caùch aùp duïng coâng thöùc: = GC () sGs () = * 1 s s 1, 2 * trong ñoù s1, 2 laø caëp cöïc quyeát ñònh cuûa heä thoáng sau khi hieäu chænh. Do yeâu caàu thieát keá khoâng laøm aûnh höôûng ñaùng keå ñeán * ≈ ñaùp öùng quaù ñoä neân coù theå tính gaàn ñuùng: s12, s 12 , Giaûi thích Böôùc 1 : Ta coù heä soá vaän toác cuûa heä thoáng tröôùc vaø sau khi hieäu chænh laø: = KV lim sG ( s ) s→0 * = = KVlim sGsGs C ()()( lim Gs C ())( lim sGs () ) s→0 s → 0 s → 0 + β ⋅ =s1/ T  = KC K V limKC  ( lim sG () s ) s→0s+1/ T  s → 0 β K K ⇒ β = C V * KV
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 197 K Neáu K ≈ 1 thì β = V C * KV Do ñoù ta choïn β baèng coâng thöùc treân. Caùc böôùc thieát keá tieáp ≈ theo ñaûm baûo KC 1 . Böôùc 2: Goïi s1,2 laø caëp cöïc quyeát ñònh cuûa heä thoáng tröôùc khi hieäu chænh:  = G( s ) = 1  s s 1, 2 1+G( s ) = = 0 ⇔ s s 1, 2  ∠G( s ) = =−°180  s s 1, 2 * Goïi s1, 2 laø caëp cöïc quyeát ñònh cuûa heä thoáng sau khi hieäu chænh:  = GC () sGs () = * 1  s s 1, 2 + = ⇔ 1GC () sGs () = * 0  s s 1, 2 ∠ =−° GC () sGs () = * 180  s s 1, 2 Xeùt ñieàu kieän veà pha. Ñeå heä thoáng coù chaát löôïng quaù ñoä gaàn * ≈ nhö khoâng thay ñoåi thì s12, s 12 , . Suy ra: ∠ =−° GC () sGs () = * 180 s s 1, 2 ⇒ ∠ +∠ =−° GsC ()=* Gs () = * 180 ss12, ss 12 , ⇒ ∠ =− °−∠ GsC ()=*180 Gs () = * ss12, ss 12 , ≈− °−∠ =− °−− ° 180G() s = 180 () 180 s s 1, 2 ⇒ ∠ ≈ ° GC ( s ) = * 0 (6.29) s s 1, 2 Phaân tích ôû treân cho thaáy cöïc vaø zero cuûa khaâu hieäu chænh treã pha phaûi thoûa maõn bieåu thöùc (6.29). Khi thieát keá ta thöôøng −°<∠ <° choïn khaâu hieäu chænh treã pha sao cho 5GC ( s ) = * 0 , ñeå s s 1, 2 ñaït ñöôïc ñieàu naøy coù theå ñaët cöïc vaø zero cuûa khaâu hieäu chænh treã * pha naèm raát gaàn goùc toïa ñoä so vôùi phaàn thöïc cuûa nghieäm s1, 2 . Do
198 CHÖÔNG 6 1 ñoù ta choïn vò trí zero sao cho: << Re(s* ) βT 1, 2 1 1 Böôùc 3: Suy ra: = β Tβ T Ñeå yù raèng baèng caùch choïn nhö treân 1/ T cuõng naèm raát gaàn goác toïa ñoä do β < 1. Böôùc 4: ÔÛ böôùc 2 vaø 3 ta môùi choïn cöïc vaø zero cuûa khaâu hieäu chænh treã pha ñeå thoûa maõn ñieàu kieän veà pha. Ñeå thoûa maõn ñieàu = kieän bieân ñoä ta choïn KC baèng coâng thöùc: GC () sGs () = * 1 s s 1, 2 Coù theå deã daøng kieåm chöùng ñöôïc raèng do caùch choïn zero vaø cöïc cuûa khaâu hieäu chænh nhö ôû böôùc 2 vaø böôùc 3 maø ôû böôùc 4 ta ≈ luoân tính ñöôïc KC 1. Nhö vaäy KC thoûa maõn giaû thieát ban ñaàu khi tính heä soá β ôû böôùc 1. g Ví duï 6.5. Thieát keá khaâu hieäu chænh treã pha duøng phöông phaùp QÑNS. Haõy thieát keá khaâu hieäu chænh GC(s) sao cho heä thoáng coù sô ñoà khoái döôùi ñaây sau khi hieäu chænh coù sai soá ñoái vôùi tín hieäu vaøo laø haøm doác laø 0,02 vaø ñaùp öùng quaù ñoä thay ñoåi khoâng ñaùng keå. Giaûi. Heä soá vaän toác cuûa heä thoáng tröôùc khi hieäu chænh: = =10 = KV lim()lim sGs s 0 , 83 s→0 s → 0 s( s+3 )( s + 4 ) Sai soá xaùc laäp cuûa heä thoáng khi tín hieäu vaøo laø haøm doác laø: =1 = 1 = exl 1, 2 KV 0, 83 Vì yeâu caàu thieát keá laøm giaûm sai soá xaùc laäp neân söû duïng s+(1 / β T ) khaâu hieäu chænh treã pha: G( s ) = K ( β < 1 ) C C s+ (1 / T )
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 199 Böôùc 1: Tính β Heä soá vaän toác cuûa heä sau khi hieäu chænh: * =1 = 1 = KV 50 * exl 0, 02 K 0, 83 Do ñoù: β=V = = 0, 017 * KV 50 Böôùc 2: Choïn zero cuûa khaâu hieäu chænh Caùc cöïc cuûa heä thoáng tröôùc khi hieäu chænh laø nghieäm cuûa phöông trình: 10 1+G( s ) = 0 ⇔ 1+ = 0 ⇔ s3+7 s 2 + 12 s += 10 0 s( s+3 )( s + 4 ) s= −1 ± j ⇔ 1, 2  = − s3 5 = − ± Vaäy caëp cöïc quyeát ñònh tröôùc khi hieäu chænh laø s1, 2 1 j 1 1 1 Choïn sao cho: <<Re {}s = 1 ⇒ = 0, 1 βT βT 1 βT Böôùc 3: Tính cöïc cuûa khaâu hieäu chænh 1 1 1 = β = (0 , 017 )( 0 , 1 ) ⇒ = 0, 0017 Tβ T T s + 0, 1 ⇒ G( s ) = K C C s + 0, 0017 Böôùc 4: Tính KC: G() sGs () = 1 C s= s * s + 01, 10 ⇒ K . = 1 C + + + s0, 0017 ss ( 3 )( s 4 ) s= s * Ñeå ñaùp öùng quaù ñoä khoâng thay ñoåi ñaùng keå thì: * = =−± s12, s 12 , 1 j Theá vaøo coâng thöùc treân ta ñöôïc: (−1 +j + 01 , ) 10 K . = 1 C (−++1j 00017 , ) ( −+ 1 jj )( −++ 1 31 )( −++ j 4 ) = ≈ ⇒ KC 1, 0042 1
200 CHÖÔNG 6 Vaäy khaâu hieäu chænh treã pha caàn thieát keá laø: s + 0, 1 G( s ) = g C s + 0, 0017 Hình 6.19 cho thaáy QÑNS cuûa heä thoáng tröôùc vaø sau khi hieäu chænh treã pha gaàn nhö truøng nhau. Do vò trí caëp cöïc phöùc quyeát ñònh gaàn truøng nhau neân ñaùp öùng quaù ñoä cuûa heä thoáng tröôùc vaø sau khi hieäu chænh gaàn nhö nhau (H.6.20). Hình 6.20 cuõng cho thaáy sai soá xaùc laäp cuûa heä thoáng sau khi hieäu chænh nhoû hôn raát nhieàu so vôùi tröôùc khi hieäu chænh. Nhö vaäy khaâu hieäu chænh treã pha vöøa thieát keá ôû treân thoûa maõn yeâu caàu ñaët ra. Hình 6.19 QÑNS cuûa heä thoáng ôû ví duï 6.5 a) Tröôùc khi hieäu chænh; b) Sau khi hieäu chænh Hình 6.20 Ñaùp öùng cuûa heä thoáng ôû ví duï 6.5 ñoái vôùi tín hieäu vaøo laø haøm doác tröôùc vaø sau khi hieäu chænh
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 201 6.3.3 Hieäu chænh sôùm treã pha Haøm truyeàn khaâu hieäu chænh sôùm treã pha caàn thieát keá coù = daïng: GsC() G C1 () sG C 2 () s trong ñoù: GC1( s ) laø khaâu hieäu chænh sôùm pha GC2( s ) laø khaâu hieäu chænh treã pha. Baøi toaùn ñaët ra thieát keá GC ( s ) ñeå caûi thieän ñaùp öùng quaù ñoä vaø sai soá xaùc laäp cuûa heä thoáng. Trình töï thieát keá Khaâu hieäu chænh : Sôùm treã pha Phöông phaùp thieát keá: QÑNS Böôùc 1: Thieát keá khaâu sôùm pha GC1( s ) ñeå thoûa maõn yeâu caàu veà ñaùp öùng quaù ñoä (xem phöông phaùp thieát keá khaâu hieäu chænh sôùm pha ôû muïc 6.3.1). = Böôùc 2: Ñaët Gs1() GC 1 ().() sGs . Thieát keá khaâu hieäu chænh treã pha GC2( s ) maéc noái tieáp vaøo G1( s ) ñeå thoûa maõn yeâu caàu veà sai soá xaùc laäp maø khoâng thay ñoåi ñaùng keå ñaùp öùng quaù ñoä cuûa heä thoáng sau khi ñaõ hieäu chænh sôùm pha (xem phöông phaùp thieát keá khaâu hieäu chænh treã pha ôû muïc 6.3.2). Ví duï 6.6. Thieát keá khaâu hieäu chænh sôùm treã pha duøng phöông phaùp QÑNS. Haõy thieát keá khaâu hieäu chænh GC(s) sao cho heä thoáng sau khi ξ = ω = hieäu chænh coù caëp cöïc phöùc vôùi 0, 5 , n 5 ( rad /sec ); heä soá vaän = toác KV 80 . ξ = ω = = Giaûi: Heä chöa hieäu chænh coù 0, 125 , n 2 ( rad /sec ); KV 8 . Vì yeâu caàu thieát keá boä hieäu chænh ñeå caûi thieän ñaùp öùng quaù ñoä vaø sai soá xaùc laäp neân GC(s) laø khaâu hieäu chænh sôùm treã pha. = GsC() G C1 () sG C 2 () s
202 CHÖÔNG 6 Böôùc 1: Thieát keá khaâu hieäu chænh sôùm pha GC1( s ) 1 s + αT G( s ) = K 1 C1 C 1 1 s + T1 - Caëp cöïc quyeát ñònh sau khi hieäu chænh: * =−ξω ± ω −ξ 2 s1, 2 n j n 1 =−(,)()055 ±j () 51 − (,) 05 2 * = − ± ⇒ s1, 2 25, j 433 , Hình 6.21 Goùc pha caàn buø - Goùc pha caàn buø: Φ* =− °+β +β 180(1 2 ) =−180 °+( 120 °+ 115 ° ) ⇒ Φ* =55 ° - Choïn zero cuûa khaâu sôùm pha truøng vôùi cöïc s = −0,5 cuûa G(s) ñeå haï baäc heä thoáng sau khi hieäu chænh. 1 = 0, 5 α T1 * Φ* Töø cöïc s1 veõ hai nöûa ñöôøng thaúng taïo vôùi nhau moät goùc laø nhö hình 6.21. Cöïc cuûa khaâu sôùm pha taïi ñieåm B.
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 203 1 = OB T1 Ta coù: OB= OA + AB OA = 0, 5 sin APBˆ AB= PA sin PAB Deã thaáy: PA =22 + 4, 33 2 = 4 , 76 APB =Φ* =55 ° =β−Φ=* °− °= ° PAB 2 115 55 60 sin 55 ° Neân: AB =476, = 45 , sin 60 ° 1 ⇒ =OB =05, + 45 , = 5 T1 s + 0, 5 Do ñoù: G( s ) = K C1 C 1 s + 5 - Tính K : G() sGs () = 1 C1 C1 s= s * s + 0, 5 4 ⇒ K . = 1 C1 + + s5 s( s 0 , 5 ) s=−25, + j 433 , 1 4 ⇒ K . = 1 C1 (,−+25j 433 , + 5 )(, −+ 25 j 433 ,) = ⇒ KC1 6, 25 s + 0, 5 Vaäy G( s )= 6 , 25 C1 s + 5 Haøm truyeàn hôû sau khi hieäu chænh sôùm pha laø: + = = s 0, 5   4  Gs1() GC 1 ()() sGs 6 , 25    s+5   s( s + 0 , 5 )  25 ⇒ G( s ) = 1 s( s + 5 )
204 CHÖÔNG 6 Böôùc 2: Thieát keá khaâu hieäu chænh treã pha GC2( s ) 1 s + βT G( s ) = K 2 C2 C 2 1 s + T2 - Xaùc ñònh β: Heä soá vaän toác cuûa heä sau khi hieäu chænh sôùm pha: = =25 = KV lim sGs1 ( ) lim s 5 s→0 s → 0 s( s + 5 ) * = Heä soá vaän toác mong muoán: KV 80 K 5 1 Suy ra: β=V = = * KV 80 16 - Xaùc ñònh zero cuûa khaâu treã pha: 1 <<Re()s* = Re( −25 , + j 433 , ) = 25 , β T2 1 Choïn = 0, 16 β T2 - Xaùc ñònh cöïc cuûa khaâu treã pha: 1 1 1 =β. = .(,)016 = 001 , β T2 T 2 16 s + 0, 16 ⇒ G( s ) = K C2 C 2 s + 0, 01 - Tính K : G() sG () s = 1 C2 C2 1 s= s * ⇒ ( Gs())( Gs () ) = 1 C2ss=* 1 ss = * ⇒ G( s ) = 1 C2 s= s * −25, +j 433 , + 016 , ⇒ K = 1 C2 −25, +j 433 , + 001 , 4, 995 ⇒ K = = 1, 01 C2 4, 992 s + 0, 16 ⇒ G( s )= 1 , 01 C2 s + 0, 01
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 205 Toùm laïi khaâu hieäu chænh sôùm treã pha caàn thieát keá laø: + + = = s0, 5   s 0 , 16  GsC() G C1 ()(), sG C 2 s 625   101 ,  s+5   s + 001,  (s+05 , )( s + 016 , ) ⇒ G( s )= 6 , 31 g C (s+5 )( s + 0 , 01 ) 6.4 THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG DUØNG BIEÅU ÑOÀ BODE 6.4.1 Hieäu chænh sôùm pha Haøm truyeàn khaâu hieäu chænh sôùm pha caàn thieát keá coù daïng: 1 + α Ts G( s ) = K ( α > 1) C C 1 + Ts Chuùng ta caàn choïn giaù trò KC, α vaø T ñeå ñaùp öùng cuûa heä thoáng thoûa maõn yeâu caàu veà ñoä döï tröõ bieân, ñoä döï tröõ pha vaø sai soá xaùc laäp. Nguyeân taéc thieát keá khaâu hieäu chænh sôùm pha duøng bieåu ñoà Bode laø choïn heä soá khueách ñaïi KC ñeå heä thoáng thoûa maõn yeâu caàu veà sai soá xaùc laäp, sau ñoù choïn vò trí cöïc vaø zero cuûa khaâu sôùm pha ñeå theâm pha döông vaøo heä thoáng xung quanh taàn soá caét, nhôø ñoù taêng ñoä döï tröõ pha, baêng thoâng cuûa heä thoáng sau khi hieäu chænh sôùm pha ñöôïc môû roäng. Tuy nhieân neáu goùc pha caàn buø quaù lôùn (hôn 70 o) thì khoâng theå duøng khaâu hieäu chænh sôùm pha. Caùc böôùc thieát keá döôùi ñaây cuï theå hoùa nguyeân taéc treân. Trình töï thieát keá Khaâu hieäu chænh: Sô ùm pha Phöông phaùp thieát keá: Bieåu ñoà Bode Böôùc 1: Xaùc ñònh K C ñeå thoûa maõn yeâu caàu thieát keá veà sai soá xaùc laäp = Böôùc 2: Ñaët G1() s KGsC () . Veõ bieåu ñoà Bode cuûa G1( s ) Böôùc 3: Xaùc ñònh taàn soá caét bieân cuûa G1( s ) töø ñieàu kieän: ω = ω = L1(C ) 0 hoaëc G1( j C ) 1
206 CHÖÔNG 6 Böôùc 4: Xaùc ñònh ñoä döï tröõ pha cuûa G1( s ) (ñoä döï tröõ pha cuûa heä tröôùc khi hieäu chænh): Φ = +ϕω M 180 1(C ) Böôùc 5: Xaùc ñònh goùc pha caàn buø ϕ =Φ* −Φ +θ max M M trong ñoù ΦM* laø ñoä döï tröõ pha mong muoán, θ=5 °÷ 20 ° Böôùc 6: Tính α baèng caùch aùp duïng coâng thöùc: 1 +sin ϕ α = max − ϕ 1 sin max ω′ Böôùc 7: Xaùc ñònh taàn soá caét môùi C (taàn soá caét cuûa heä sau khi hieäu chænh) töø ñieàu kieän: ω′ =− α ω′ = α L1(C )10 lg hoaëc G1( j C )1 / Böôùc 8: Tính haèng soá thôøi gian T töø ñieàu kieän: 1 T = ω′ α C Böôùc 9: Kieåm tra laïi heä thoáng coù thoûa maõn ñieàu kieän veà ñoä döï tröõ bieân hay khoâng? Neáu khoâng thoûa maõn thì trôû laïi böôùc 6. Chuù yù: Trong tröôøng hôïp heä thoáng quaù phöùc taïp khoù tìm ω Φ ñöôïc lôøi giaûi giaûi tích thì coù theå xaùc ñònh C (böôùc 3), M (böôùc ω′ 4) vaø C (böôùc 7) baèng caùch döïa vaøo bieåu ñoà Bode. Ví duï 6.7. Thieát keá khaâu hieäu chænh sôùm pha duøng phöông phaùp bieåu ñoà Bode. Haõy thieát keá khaâu hieäu chænh sôùm pha sao cho heä thoáng sau * = Φ* ≥ ° * ≥ khi hieäu chænh coù: KV 20 ; M 50 ; GM10 dB . Giaûi. Haøm truyeàn khaâu hieäu chænh sôùm pha caàn thieát keá laø: 1 + α Ts G( s ) = K ( α > 1) C C 1 + Ts
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 207 Böôùc 1: Xaùc ñònh K C Heä soá vaän toác cuûa heä sau khi hieäu chænh laø: + α * = =1Ts 4 = KVClim sGsGs ()()lim sK C . 2 K C s→0 s → 0 1+Ts ss( + 2 ) K * 20 ⇒ K =V = ⇒ K = 10 C 2 2 C Böôùc 2 4 Ñaët: G() s= KGs () = 10 . 1 C s( s + 2 ) 20 ⇒ G( s ) = 1 s(0 , 5 s + 1 ) Bieåu ñoà Bode cuûa G1( s ) laø ñöôøng lieàn neùt ôû ñöôøng 6.22. Hình 6.22 Bieåu ñoà Bode cuûa heä thoáng tröôùc vaø sau khi hieäu chænh sôùm pha
208 CHÖÔNG 6 Böôùc 3: Taàn soá caét cuûa heä tröôùc khi hieäu chænh ω = G1( j C ) 1 40 40 ⇔ = 1 ⇔ = 1 jω( j ω + 2 ) ω ω2 + C C C C 4 ⇔ ω+ω−4 2 = C4 C 1600 0 ⇔ ω = C 6, 17 ( rad /sec ) Böôùc 4: Ñoä döï tröõ pha cuûa heä khi chöa hieäu chænh Φ = +ϕω M 180 1(C ) 40  ω   ⇒ Φ=°+M 180arg =°−°+ 180 90 arctan C ω ω +     jC( j C 2 )   2   6, 17   ⇒ Φ=M 180 °− 90 °+arctan    = 180 °−°−° 90 72 2   ⇒ ΦM =18 ° Böôùc 5: Goùc pha caàn buø ϕ =Φ* −Φ +θ θ = ° max M M (choïn 5 ) ϕ = °− °+° ⇒ max 50 18 5 ϕ = ° ⇒ max 37 Böôùc 6: Tính α 1 +sin ϕ 1+sin 37 ° α =max = ⇒ α = 4 −ϕ − ° 1sinmax 1 sin 37 Böôùc 7: Tính taàn soá caét môùi 1 G( j ω′ ) = 1 C α 40 1 40 1 ⇔ = ⇔ = jω′( j ω ′ + 2 ) 4 ω′ ω ′ 2 + 4 C C C( C ) 4 ⇔ ω′4 +ω ′ 2 − = ()C4 () C 6400 0 ω′ = ⇒ C 8, 83 ( rad /sec )
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 209 Böôùc 8: Tính T 1 1 T = = ω′ α C (8 , 83 )( 4 ) ⇒ T = 0, 057 ⇒ α=×T 4 0, 057 = 0 , 228 1+ 0, 228 s Vaäy: G( s ) = 10 C 1+ 0, 057 s Böôùc 9: Kieåm tra laïi ñieàu kieän veà bieân ñoä Vì taàn soá caét pha ω−π tröôùc vaø sau khi hieäu chænh ñeàu baèng voâ cuøng neân ñoä döï tröõ bieân cuûa heä tröôùc vaø sau khi hieäu chænh ñeàu baèng voâ cuøng (>10dB). Keát luaän: Khaâu hieäu chænh caàn thieát keá laø coù haøm truyeàn nhö treân. g 6.4.2 Hieäu chænh treã pha Haøm truyeàn khaâu hieäu chænh sôùm pha caàn thieát keá coù daïng: 1 + α Ts G( s ) = K ( α < 1 ) C C 1 + Ts Baøi toaùn ñaët ra laø choïn giaù trò KC, α vaø T ñeå ñaùp öùng cuûa heä thoáng thoûa maõn yeâu caàu veà ñoä döï tröõ bieân, ñoä döï tröõ pha vaø sai soá xaùc laäp. Nguyeân taéc thieát keá khaâu hieäu chænh treã pha duøng bieåu ñoà Bode laø choïn heä soá khueách ñaïi KC ñeå heä thoáng thoûa maõn yeâu caàu veà sai soá xaùc laäp, sau ñoù choïn vò trí cöïc vaø zero cuûa khaâu treã pha ñeå laøm giaûm bieân ñoä ôû mieàn taàn soá cao, baêng thoâng cuûa heä thoáng sau khi hieäu chænh treã pha bò thu heïp, nhôø ñoù maø ñaït yeâu caàu veà ñoä döï tröõ pha vaø ñoä döï tröõ bieân. Caùc böôùc thieát keá döôùi ñaây cuï theå hoùa nguyeân taéc treân. Trình töï thieát keá Khaâu hieäu chænh : Treã pha Phöông phaùp thieát keá: Bieåu ñoà Bode Böôùc 1: Xaùc ñònh K C ñeå thoûa maõn yeâu caàu thieát keá veà sai soá xaùc laäp = Böôùc 2: Ñaët G1() s KGsC () . Veõ bieåu ñoà Bode cuûa G1( s )
210 CHÖÔNG 6 ω′ Böôùc 3: Xaùc ñònh taàn soá caét bieân C cuûa heä sau khi hieäu chænh töø ñieàu kieän: ϕω′ =− °+Φ* +θ 1(C ) 180M trong ñoù ΦM* laø ñoä döï tröõ pha mong muoán, θ=5 °÷ 20 ° Böôùc 4: Tính α töø ñieàu kieän: 1 L (ω′ ) =−20 lg α hoaëc G( j ω′ ) = 1 C 1 C α Böôùc 5: Choïn zero cuûa khaâu hieäu chænh treã pha sao cho: 1 << ω ′ ⇒ αT αT C Böôùc 6: Tính haèng soá thôøi gian T 1 1 = α ⇒ T Tα T Böôùc 7: Kieåm tra laïi heä thoáng coù thoûa maõn ñieàu kieän veà ñoä döï tröõ bieân hay khoâng? Neáu khoâng thoûa maõn thì trôû laïi böôùc 3. Chuù yù: Trong tröôøng hôïp heä thoáng quaù phöùc taïp khoù tìm ϕ ω ′ ω′ ñöôïc lôøi giaûi giaûi tích thì coù theå xaùc ñònh 1(C ) , C (böôùc 3) vaø ω′ L1(C ) (böôùc 4) baèng caùch döïa vaøo bieåu ñoà Bode. Ví duï 6. 1. Thieát keá khaâu hieäu chænh treã pha duøng phöông phaùp bieåu ñoà Bode. Haõy thieát keá khaâu hieäu chænh treã pha sao cho heä thoáng sau * = Φ* ≥ * ≥ khi hieäu chænh coù: KV 5; M 40 ; GM10 dB . Giaûi. Haøm truyeàn khaâu hieäu chænh treã pha caàn thieát keá laø: 1 + α Ts G( s ) = K ( α < 1 ) C C 1 + Ts Böôùc 1: Xaùc ñònh K C Heä soá vaän toác cuûa heä sau khi hieäu chænh laø: + α * = =1Ts 1 = KVCClim sGsGs ()()lim sK . K C s→0 s → 0 1+Tsss( + 1051 )( , s + )
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 211 = * = ⇒ KC K V ⇒ KC 5 Böôùc 2 1 Ñaët: G() s= KGs () = 5 . 1 C s( s+1 )( 05 , s + 1 ) 5 ⇒ G( s ) = 1 s( s+1 )( 05 , s + 1 ) Bieåu ñoà Bode cuûa G1( s ) (H.6.23) Hình 6.23 Bieåu ñoà Bode cuûa heä thoáng tröôùc vaø sau khi hieäu chænh treã pha
212 CHÖÔNG 6 Böôùc 3: Xaùc ñònh taàn soá caét môùi ω′ Caùch 1: Tìm C baèng phöông phaùp giaûi tích. Ta coù: ϕω′ =− °+Φ* +θ 1(C ) 180M −°− ω−′ ω=− ′ °+°+° ⇒ 90arctan(C ) arctan( 05 , C ) 180405 ω+′ ω=° ′ ⇒ arctan(C ) arctan(05 , C ) 45 (ω′ )(, +0 5 ω ′ ) ⇒ C C =tan(45 ° ) = 1 − ω ′ 2 1 0, 5 (C ) ω′2 + ω−= ′ ⇒ 05,(C ) 15 , C 10 ω′ = ⇒ C 0, 56 ( rad /sec ) Caùch 2: Döïa vaøo bieåu ñoà Bode ϕω′ =− °+Φ* +θ Ta coù: 1(C ) 180M ϕω′ =− °+ + ⇒ 1(C ) 180 40 5 ϕω′ =− ° ⇒ 1(C ) 135 Veõ ñöôøng thaúng coù hoaønh ñoä –135 0. Hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ϕ ω ñöôøng thaúng naøy vôùi bieåu ñoà Bode veà pha 1( ) chính laø giaù trò taàn soá caét môùi. ω′ ≈ Theo hình 6.23 ta thaáy: C 0, 5 ( rad /sec ) Böôùc 4 Caùch 1: Tính α töø ñieàu kieän: 1 G( j ω′ ) = 1 C α 5 1 ⇒ = s( s+1 )( 05 , s + 1 ) ′ α s= j ω c 5 1 ⇒ = j056,(, j 056+ 1 )(, 05 × j 056 , + 1 ) α 5 1 ⇒ = α 056,(, 0562+ 1 )(, 028 2 + 1 ) 5 1 ⇒ = ⇒ α = 0, 133 056,× 1146 , × 1038 , α
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 213 α ω′ =− α Caùch 2: Tính töø ñieàu kieän: L1(C )20 lg ω′ ≈ Döïa vaøo bieåu ñoà Bode ta thaáy: L1(C ) 18 dB Suy ra: 18= − 20 lg α ⇒ lgα = − 0 , 9 − ⇒ α = 100, 9 ⇒ α = 0, 126 Ta thaáy giaù trò α tính theo hai caùch khoâng sai khaùc nhau ñaùng keå. ÔÛ caùc böôùc thieát keá tieáp theo ta söû duïng giaù trò α = 0, 133 . Böôùc 5: Choïn zero cuûa khaâu treã pha 1 << ω′ = 0, 56 αT C 1 Choïn = 0, 05 αT ⇒ αT = 20 Böôùc 6: Tính thôøi haèng T 1 1 =α =0, 133 × 0 , 05 = 0 , 067 Tα T ⇒ T = 150 (20s + 1 ) Vaäy: G( s ) = 5 C (150s + 1 ) Böôùc 7: Kieåm tra laïi ñieàu kieän bieân ñoä Döïa vaøo bieåu ñoà Bode ta thaáy ñoä döï tröõ bieân sau khi hieäu chænh laø: GM* ≈ 10 dB Keát luaän: Khaâu hieäu chænh vöøa thieát keá ñaït yeâu caàu veà ñoä döï tröõ bieân. Nhaän xeùt Qua hai ví duï thieát keá khaâu hieäu chænh sôùm pha vaø treã pha duøng phöông phaùp bieåu ñoà Bode ta coù nhaän xeùt sau: - Neáu G(s) laø heä baäc hai thì baøi thieát keá khaâu hieäu chænh sôùm pha vaø treã pha hoaøn toaøn coù theå giaûi ñöôïc baèng caùc coâng thöùc giaûi tích, böôùc veõ bieåu ñoà Bode khoâng thaät söï caàn thieát.
214 CHÖÔNG 6 - Neáu G(s) laø heä baäc ba trôû leân thì caùc coâng thöùc giaûi tích ñeå tìm taàn soá caét bieân, taàn soá caét pha, ñoä döï tröõ bieân, ñoä döï tröõ pha trôû neân phöùc taïp, trong tröôøng hôïp naøy neân veõ bieåu ñoà Bode vaø xaùc ñònh caùc thoâng soá döïa vaøo bieåu ñoà Bode vöøa veõ. Bieåu ñoà Bode bieân ñoä ñöôïc veõ baèng caùc ñöôøng tieäm caän, bieåu ñoà Bode veà pha ñöôïc veõ baèng caùch phaân tích ñònh tính vaø thay moät soá giaù trò taàn soá ω bieåu thöùc ϕ( ω ) ñeå coù giaù trò ñònh löôïng. - Ñeå yù baêng thoâng cuûa heä sau khi hieäu chænh sôùm pha vaø treã pha. Sau khi hieäu chænh sôùm pha baêng thoâng cuûa heä thoáng ñöôïc môû roäng, ñaùp öùng cuûa heä ñoái vôùi tín hieäu taàn soá cao toát hôn, ñaùp öùng quaù ñoä ñöôïc caûi thieän; trong khi ñoù sau khi hieäu chænh treã pha baêng thoâng cuûa heä thoáng bò thu heïp, ñaùp öùng cuûa heä ñoái vôùi tín hieäu taàn soá cao keùm ñi, ñaùp öùng quaù ñoä cuûa heä thoáng bò chaäm laïi. Vì vaäy caàn nhaán maïnh raèng hai khaâu hieäu chænh sôùm pha vaø treã pha coù ñaëc ñieåm hoaøn toaøn khaùc nhau, khoâng theå söû duïng laãn loän ñöôïc. 6.5 THIEÁT KEÁ BOÄ ÑIEÀU KHIEÅN PID Boä ñieàu khieån PID laø tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa hieäu chænh sôùm treã pha neân veà nguyeân taéc coù theå thieát keá boä ñieàu khieån PID baèng phöông phaùp duøng QÑNS hoaëc duøng bieåu ñoà Bode. Moät phöông phaùp khaùc cuõng thöôøng duøng ñeå thieát keá boä ñieàu khieån PID laø phöông phaùp giaûi tích. Sau ñaây laø moät ví duï: Ví duï 6.10. Cho heä thoáng ñieàu khieån nhö hình veõ: Haõy xaùc ñònh thoâng soá cuûa boä ñieàu khieån PID sao cho heä thoáng thoûa maõn yeâu caàu: ξ = ω = - Heä coù caëp nghieäm phöùc vôùi 0, 5 , n 8 - Heä soá vaän toác KV = 100. Giaûi: Haøm truyeàn boä ñieàu khieån PID caàn thieát keá: K GsK( ) = +I + Ks C Ps D
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 215 Heä soá vaän toác cuûa heä sau khi hieäu chænh: = = ++K I 100  KVClim sGsGs () () lim sK PD Ks   s→0 s → 0 s s2 +10 s + 100  = ⇒ KV K I Theo yeâu caàu ñeà baøi KV = 100 neân suy ra: = K I 100 Phöông trình ñaëc tính cuûa heä sau khi hieäu chænh laø: + = 1GC () sGs () 0 ⇔ +++K I 100  = 1 KP K D s   0 s s2 +10 s + 100  ⇔ 2+++ 2 ++= ss(10 s 100 )( 100 KsKsKD P I ) 0 ⇔ 3++ 2 ++ + = s(10 100 KsD )( 100 100 KsK P ) 100 I 0 (1) ξ = ω = Ñeå heä thoáng coù caëp cöïc phöùc vôùi 0, 5 , n 8 thì phöông trình ñaëc tính (1) phaûi coù daïng: +2 +ξω +ω 2 = (sas )(2n s n ) 0 ⇔ (sas+ )(2 ++8 s 64 ) = 0 ⇔ sas3++(8 )( 2 ++ 8 a 64 ) s + 64 a = 0 (2) Caân baèng caùc heä soá hai phöông trình (1) vaø (2), suy ra: + = + 10 100KD a 8  + = + 100 100KP 8 a 641  = 100KI 64 a Vôùi KI = 100, giaûi heä phöông trình treân ta ñöôïc: a = 156, 25  = K P 12, 14  = K D 1, 54 Vaäy haøm truyeàn cuûa khaâu hieäu chænh PID caàn thieát keá laø: 100 G(), s=1264 + + 154 , s g C s Boä ñieàu khieån PID ñöôïc söû duïng raát roäng raõi trong thöïc teá ñeå ñieàu khieån nhieàu loaïi ñoái töôïng khaùc nhau nhö nhieät ñoä loø nhieät, toác ñoä ñoäng cô, möïc chaát loûng trong boàn chöùa do noù coù khaû
216 CHÖÔNG 6 naêng laøm trieät tieâu sai soá xaùc laäp, taêng toác ñoä ñaùp öùng quaù ñoä, giaûm ñoä voït loá neáu caùc thoâng soá cuûa boä ñieàu khieån ñöôïc choïn löïa thích hôïp. Do tính thoâng duïng cuûa noù neân nhieàu haõng saûn xuaát thieát bò ñieàu khieån ñaõ cho ra ñôøi caùc boä ñieàu khieån PID thöông maïi raát tieän duïng. Trong thöïc teá caùc phöông phaùp thieát keá boä ñieàu khieån PID duøng QÑNS, bieåu ñoà Bode hay phöông phaùp giaûi tích raát ít ñöôïc söû duïng do söï khoù khaên trong vieäc xaây döïng haøm truyeàn cuûa ñoái töôïng. Phöông phaùp phoå bieán nhaát ñeå choïn thoâng soá cho caùc boä ñieàu khieån PID thöông maïi hieän nay laø phöông phaùp Zeigler-Nichols. Phöông phaùp Zeigler-Nichols Phöông phaùp Zeigler-Nichols laø phöông phaùp thöïc nghieäm ñeå thieát keá boä ñieàu khieån P, PI, hoaëc PID baèng caùch döïa vaøo ñaùp öùng quaù ñoä cuûa ñoái töôïng ñieàu khieån. Boä ñieàu khieån PID caàn thieát keá coù haøm truyeàn laø:   =++K I = ++1 GsKCP( ) KsK DP1 Ts D  (6.30) s TI s  Zeigler vaø Nichols ñöa ra hai caùch choïn thoâng soá boä ñieàu khieån PID tuøy theo ñaëc ñieåm cuûa ñoái töôïng. Caùch 1: Döïa vaøo ñaùp öùng quaù ñoä cuûa heä hôû, aùp duïng cho caùc ñoái töôïng coù ñaùp öùng ñoái vôùi tín hieäu vaøo laø haøm naác coù daïng chöõ S nhö hình 6.24, ví duï nhö nhieät ñoä loø nhieät, toác ñoä ñoäng cô,
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 217 Hình 6.24 Ñaùp öùng naác cuûa heä hôû coù daïng S Thoâng soá boä ñieàu khieån P, PI, PID ñöôïc choïn nhö sau: Thoâng soá KP TI TD Boä ÑK ∞ P T2/( T 1 . K ) 0 PI 0, 9T2 /( T 1 .) K T1/ 0.3 0 PID 1, 2T2 /( T 1 .) K 2T1 0.5 T1 Ví duï 6.11. Haõy thieát keá boä ñieàu khieån PID ñieàu khieån nhieät ñoä cuûa loø saáy, bieát ñaëc tính quaù ñoä cuûa loø saáy thu ñöôïc töø thöïc nghieäm coù daïng nhö sau: Giaûi. Döïa vaøo ñaùp öùng quaù ñoä thöïc nghieäm ta coù: = = T1 8min 480 sec = = T2 24min 1440 sec Choïn thoâng soá boä ñieàu khieån PID theo phöông phaùp Zeigler- Nichols: =T2 =1440 =×= K P 12, 12336 , , T2 480 = =× = TI 2 T 1 2 480 960 sec = =× = TD 05, T 1 05 , 480 240 sec 1   1  = ++ = + + g Do ñoù: GsKPID( ) P1 Ts D  361 ,  240 s  TI s  960 s  Caùch 2: Döïa vaøo ñaùp öùng quaù ñoä cuûa heä kín, aùp duïng cho caùc ñoái töôïng coù khaâu tích phaân lyù töôûng, ví duï nhö möïc chaát loûng trong boàn chöùa, vò trí heä truyeàn ñoäng duøng ñoäng cô, Ñaùp öùng quaù ñoä (heä hôû) cuûa caùc ñoái töôïng coù khaâu tích phaân lyù töôûng
218 CHÖÔNG 6 khoâng coù daïng nhö hình 6.24 maø taêng ñeán voâ cuøng. Ñoái vôùi caùc ñoái töôïng thuoäc loaïi naøy ta choïn thoâng soá boä ñieàu khieån PID döïa vaøo ñaùp öùng quaù ñoä cuûa heä kín nhö hình 6.25. Taêng daàn heä soá khueách ñaïi K cuûa heä kín ôû hình 6.25 ñeán giaù trò giôùi haïn Kgh , khi ñoù ñaùp öùng ra cuûa heä kín ôû traïng thaùi xaùc laäp laø dao ñoäng oån ñònh vôùi chu kyø Tgh . Hình 6.25 Ñaùp öùng naác cuûa heä kín khi K = K gh Thoâng soá boä ñieàu khieån P, PI, PID ñöôïc choïn nhö sau: Thoâng soá KP TI TD Boä ÑK ∞ P 0, 5K gh 0 PI 0, 45K gh 0, 83T gh 0 PID 0, 6K gh 0, 5T gh 0, 125T gh Ví duï 6.12. Haõy thieát keá boä ñieàu khieån PID ñieàu khieån vò trí goùc quay cuûa ñoäng cô DC, bieát raèng neáu söû duïng boä ñieàu khieån tæ leä thì baèng thöïc nghieäm ta xaùc ñònh ñöôïc khi K = 20 vò trí goùc quay ñoäng cô ôû traïng thaùi xaùc laäp laø dao ñoäng vôùi chu kyø T = 1 sec. = = Giaûi. Theo döõ kieän cuûa baøi toaùn, ta coù: K gh 20 ; Tgh 1sec Choïn thoâng soá boä ñieàu khieån PID theo phöông phaùp Zeigler- Nichols: = =×= KP06, K gh 06 , 20 12
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 219 = = ×= TI05, T gh 051 , 05 ,sec = = ×= TD0125, T gh 0125 , 1 0125 ,sec 1   1  = ++ = + + g Do ñoù: GsKPID() P1 Ts D  121 0125, s  TI s  0, 5 s  6.6 THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN HOÀI TIEÁP TRAÏNG THAÙI 6.6.1 Ñieàu khieån hoài tieáp traïng thaùi Cho ñoái töôïng ñieàu khieån moâ taû bôûi phöông trình traïng thaùi: x&()t= Ax () t + B ut ()  (6.31) c() t= Cx () t Heä thoáng ñieàu khieån hoài tieáp traïng thaùi (H.6.26) laø heä thoáng trong ñoù tín hieäu ñieàu khieån xaùc ñònh bôûi: ut()= rt () − Kx () t (6.32) Hình 6.26 Heä thoáng ñieàu khieån hoài tieáp traïng thaùi Thay (6.32) vaøo (6.31) ta ñöôïc: x&()t= Ax () t + B [() rt − Kx ()] t  c(t)= Cx ( t ) x&()[t= ABKx − ]() trt + B () ⇔  (6.33) c(t)= Cx ( t ) Thieát keá heä thoáng hoài tieáp traïng thaùi laø choïn veùctô hoài tieáp traïng thaùi K sao cho heä thoáng kín moâ taû bôûi bieåu thöùc (6.33) thoûa maõn yeâu caàu chaát löôïng mong muoán. 6.6.2 Tính ñieàu khieån ñöôïc vaø quan saùt ñöôïc Ñeå coù theå thieát keá ñöôïc heä thoáng hoài tieáp traïng thaùi (6.33) ñieàu kieän caàn laø taát caû caùc traïng thaùi cuûa heä thoáng phaûi ño löôøng
220 CHÖÔNG 6 ñöôïc (quan saùt ñöôïc) vaø heä saün saøng nhaän tín hieäu ñieàu khieån (ñieàu khieån ñöôïc). Muïc naøy seõ trình baøy cuï theå veà khaùi nieäm ñieàu khieån ñöôïc vaø quan saùt ñöôïc cuõng nhö caùc kieåm tra toaùn hoïc ñeå ñaùnh giaù heä coù theå ñieàu khieån ñöôïc vaø quan saùt ñöôïc hay khoâng. 1- Tính ñieàu khieån ñöôïc Heä thoáng (6.31) ñöôïc goïi laø ñieàu khieån ñöôïc hoaøn toaøn neáu toàn taïi luaät ñieàu khieån u( t ) coù khaû naêng chuyeån heä töø traïng thaùi ñaàu taïi x(to ) ñeán traïng thaùi cuoái x(tf ) baát kyø trong khoaûng thôøi ≤ ≤ gian höõu haïn to t t f . Moät caùch ñònh tính, ñieàu naøy coù nghóa laø heä thoáng coù theå ñieàu khieån ñöôïc neáu moãi bieán traïng thaùi cuûa heä ñeàu coù theå bò aûnh höôûng bôûi tín hieäu ñieàu khieån u( t ) . Tuy nhieân, neáu moät hoaëc vaøi bieán traïng thaùi khoâng bò aûnh höôûng bôûi u( t ) thì caùc bieán traïng thaùi naøy khoâng theå bò ñieàu khieån bôûi u( t ) trong khoaûng thôøi gian höõu haïn vaø trong tröôøng hôïp naøy heä thoáng khoâng ñieàu khieån ñöôïc hoaøn toaøn. Ñeå ví duï veà heä thoáng khoâng ñieàu khieån ñöôïc hoaøn toaøn, chuùng ta xeùt heä thoáng moâ taû bôûi sô ñoà doøng tín hieäu ôû hình 6.27. Heä naøy goàm 4 traïng thaùi, chæ coù hai traïng thaùi x1(t) vaø x2(t) bò aûnh höôûng bôûi u(t), coøn hai traïng thaùi x3(t) vaø x4(t) khoâng bò aûnh höôûng bôûi u(t). Do ñoù x3(t) vaø x4(t) khoâng theå ñieàu khieån ñöôïc, ñieàu naøy coù nghóa laø u(t) khoâng theå laøm thay ñoåi x3(t) vaø x4(t) töø traïng thaùi ñaàu x3(0) vaø x4(0) ñeán traïng thaùi cuoái x3(tf) vaø x4(tf) trong khoaûng thôøi gian höõu haïn. Vì vaäy heä khoâng ñieàu khieån ñöôïc hoaøn toaøn. Hình 6.27 Sô ñoà doøng tín hieäu cuûa moät heä thoáng
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 221 khoâng ñieàu khieån ñöôïc hoaøn toaøn Ñeå kieåm tra tính ñieàu khieån ñöôïc cuûa heä thoáng (6.31) chuùng ta thaønh laäp ma traän CCC, goïi laø ma traän ñieàu khieån ñöôïc: − CCC = [BABAB2K An 1 B ] (6.34) Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå heä thoáng ñieàu khieån ñöôïc laø: rank (CCC ) = n (6.35)
222 CHÖÔNG 6 Ñoái vôùi heä thoáng moät ñaàu vaøo moät ñaàu ra (SISO) thì ma traän CCC laø ma traän vuoâng caáp n. Do ñoù ñieàu kieän (6.35) trôû thaønh: det(CCC ) ≠ 0 (6.36) Ví duï 6.13. Cho heä thoáng moâ taû bôûi phöông trình traïng thaùi: x&()t= Ax () t + B ut ()  c() t= Cx () t 0 1  5  trong ñoù: A =   B =   C = [1 3 ] −2 − 3  2  Haõy ñaùnh giaù tính ñieàu khieån ñöôïc cuûa heä thoáng treân. Giaûi. Ñoái vôùi heä baäc hai, ma traän ñieàu khieån ñöôïc laø: CCC = [B AB ] 5 0 15   5 2  ⇒ CCC =    =   2− 2 − 32   2− 16  Vì: det(CCC ) =-84 ≠ 0 ⇔ rank(CCC ) = 2 Do ñoù heä thoáng treân ñieàu khieån ñöôïc hoaøn toaøn. 2- Tính quan saùt ñöôïc Heä thoáng (6.31) ñöôïc goïi laø quan saùt ñöôïc hoaøn toaøn neáu cho ≤ ≤ tín hieäu ñieàu khieån u( t ) vaø ñaàu ra c( t ) trong khoaûng to t t f ta coù theå xaùc ñònh ñöôïc traïng thaùi ñaàu x(to ) . Moät caùch ñònh tính, heä thoáng laø quan saùt ñöôïc neáu moãi bieán traïng thaùi cuûa heä ñeàu aûnh höôûng ñeán ñaàu ra c(t). Thöôøng, chuùng ta muoán xaùc ñònh thoâng tin veà traïng thaùi cuûa heä thoáng döïa vaøo vieäc ño c(t). Tuy nhieân neáu chuùng ta khoâng quan saùt ñöôïc moät hay nhieàu traïng thaùi töø vieäc ño c(t) thì heä khoâng quan saùt ñöôïc hoaøn toaøn. Ñeå ví duï veà heä khoâng quan saùt ñöôïc hoaøn toaøn, chuùng ta xeùt heä thoáng coù sô ñoà doøng tín hieäu ôû hình 6.28. Heä naøy goàm boán traïng thaùi, trong ñoù chæ coù hai traïng thaùi x1(t) vaø x2(t) laø aûnh höôûng ñeán c(t) neân coù theå quan saùt ñöôïc. Hai traïng thaùi coøn laïi x3(t) vaø x4(t) khoâng aûnh höôûng ñeán c(t) neân khoâng theå quan saùt ñöôïc. Do ñoù heä thoáng ôû hình 6.28 khoâng quan saùt ñöôïc hoaøn toaøn.
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 223 Hình 6. 28 Sô ñoà doøng tín hieäu cuûa moät heä thoáng khoâng quan saùt ñöôïc hoaøn toaøn Ñeå yù raèng maëc duø heä thoáng ôû hình 6.28 khoâng quan saùt ñöôïc hoaøn toaøn nhöng laïi ñieàu khieån ñöôïc hoaøn toaøn vì tín hieäu ñieàu khieån u(t) aûnh höôûng ñeán taát caû caùc traïng thaùi cuûa heä thoáng. Ngöôïc laïi, heä thoáng ôû hình 6.27 maëc duø khoâng ñieàu khieån ñöôïc hoaøn toaøn nhöng laïi quan saùt ñöôïc hoaøn toaøn do taát caû caùc traïng thaùi cuûa heä thoáng ñeàu aûnh höôûng ñeán tín hieäu ra c(t). Ñeå kieåm tra tính quan saùt ñöôïc cuûa heä thoáng (6.31) chuùng ta thaønh laäp ma traän OOO, goïi laø ma traän quan saùt ñöôïc: C    CA OOO =   (6.37) M    CA n- 1  Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå heä thoáng quan saùt ñöôïc laø: rank (OOO ) = n (6.38) Ñoái vôùi heä thoáng moät ñaàu vaøo moät ñaàu ra (SISO) thì ma traän OOO laø ma traän vuoâng caáp n. Do ñoù ñieàu kieän (6.38) trôû thaønh: det(OOO ) ≠ 0 (6.39) Ví duï 6.14. Haõy ñaùnh giaù tính quan saùt ñöôïc cuûa heä thoáng ôû ví duï 6.9. Giaûi. Ma traän quan saùt ñöôïc cuûa heä thoáng ôû ví duï 6.9 laø: C  OOO =   CA 
224 CHÖÔNG 6 [1 3 ]    1 3  ⇒ O =  = OO     0 1  −6 − 8  []1 3     −2 − 3    Vì: det(OOO ) =10 ≠ 0 ⇔ rank(OOO ) = 2 Do ñoù heä thoáng quan saùt ñöôïc hoaøn toaøn. Tính ñieàu khieån ñöôïc vaø quan saùt ñöôïc coù yù nghóa raát quan troïng trong lyù thuyeát ñieàu khieån hieän ñaïi, caùc tính chaát naøy quyeát ñònh söï toàn taïi cuûa lôøi giaûi cho baøi toaùn ñieàu khieån toái öu. Ñoäc giaû coù theå tham khaûo theâm caùc taøi lieäu veà lyù thuyeát ñieàu khieån hieän ñaïi ñeå naém ñöôïc phaàn chöùng minh ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå heä thoáng ñieàu khieån ñöôïc vaø quan saùt ñöôïc, ñoàng thôøi coù ñöôïc hieåu bieát ñaày ñuû hôn veà hai khaùi nieäm quan troïng naøy. 6.6.3 Phöông phaùp phaân boá cöïc Neáu heä thoáng (6.31) ñieàu khieån ñöôïc vaø quan saùt ñöôïc thì coù theå xaùc ñònh ñöôïc luaät ñieàu khieån ut()= rt () − Kx () t ñeå phöông trình ñaëc tính cuûa heä hoài tieáp traïng thaùi (6.33) coù nghieäm baát kyø. Phöông trình ñaëc tính cuûa heä hoài tieáp traïng thaùi (6.33) laø: det[sI− A + BK ] = 0 (6.40) Phöông phaùp choïn veùctô hoài tieáp traïng thaùi K ñeå phöông trình ñaëc tính (6.40) coù nghieäm taïi vò trí mong muoán goïi laø phöông phaùp phaân boá cöïc. Coù nhieàu caùch thieát keá boä ñieàu khieån phaân boá cöïc, trong quyeån saùch naøy chuùng toâi giôùi thieäu hai caùch thöôøng söû duïng nhaát. Caùch 1: Tính K baèng caùch caân baèng caùc heä soá cuûa phöông trình ñaëc tröng. Caùch naøy tröïc quan, deã hieåu hôn caùc phöông phaùp khaùc vaø cuõng raát deã aùp duïng trong tröôøng hôïp heä baäc thaáp (baäc ba trôû xuoáng). Trình töï thieát keá Boä ñieàu khieån : Hoài tieáp traïng thaùi
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 225 Phöông phaùp thieát keá: Phaân boá cöïc baèng caùch caân baèng caùc heä soá cuûa phöông trình ñaëc tröng Böôùc 1: Kieåm tra tính ñieàu khieån ñöôïc (vaø quan saùt ñöôïc). - Neáu heä khoâng ñieàu khieån ñöôïc thì keát thuùc vì baøi toaùn phaân boá cöïc khoâng coù lôøi giaûi. - Neáu heä ñieàu khieån ñöôïc thì tieáp tuïc böôùc 2. Böôùc 2: Vieát phöông trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng hoài tieáp traïng thaùi: det[sI− A + BK ] = 0 Böôùc 3: Vieát phöông trình ñaëc tröng mong muoán: n − = ∏(s p i ) 0 (6.41) i=1 = trong ñoù pi ( i1 n ) laø caùc cöïc mong muoán Böôùc 4: Caân baèng caùc heä soá cuûa hai phöông trình ñaëc tröng (6.41) vaø (6.42) seõ tìm ñöôïc veùctô hoài tieáp traïng thaùi K. Ví duï 6.15. Cho ñoái töôïng ñieàu khieån moâ taû bôûi heä phöông trình traïng thaùi: x&()t= Ax () t + B ut ()  c() t= Cx () t 0 1 0  0  =   =   = vôùi: A 0 0 1  B 3  C [0 0 1 ] −4 − 7 − 3  1  Haõy xaùc ñònh luaät ñieàu khieån ut()= rt () − Kx () t sao cho heä ξ = ω = thoáng kín coù caëp cöïc phöùc vôùi 0, 6 ; n 10 vaø cöïc thöù ba laø cöïc thöïc taïi −20 . Giaûi. Phöông trình ñaëc tính cuûa heä hoài tieáp traïng thaùi laø: det[sI− A + BK ] = 0  100  010  0    ⇔  −  +[] = det  s0100013   kkk1 2 3  0    001 − 473 − −  1 
226 CHÖÔNG 6 s −10  000     ⇔ −  +  = det 0s 1333  kkk1 2 3   0 +    4 7s 3  kkk1 2 3   s −1 0     ⇔ + −+  = det 3ksk1 3 2 13 k 3   0 + + ++   4k1 7 ks 2 3 k 3   ⇔ + ++−+ −+ + ssks(32 )( 3 ksk 3 ) ( 7 2 )( 13 k 3 ) + ++ −+ −+ = 3ks1( 3 k 3 ) ( 4 k 1 )( 130 k 3 ) ⇔ 3+++ 2 +++ − + s(3 3 kks23 )( 7 3 k 123 10 k 21 ks ) ++ − = (4 10k1 12 k 3 ) 0 (1) Phöông trình ñaëc tröng mong muoán laø: +2 +ξω +ω 2 = (s20 )( s 2n s n ) 0 ⇔ (s+20 )( s2 +××+ 20610 , s 10 2 ) = 0 ⇔ s3+32 s 2 + 340 s + 2000 = 0 (2) Caân baèng caùc heä soá cuûa hai phöông trình ñaëc tröng (1) vaø (2), suy ra: + + = 33k2 k 3 32  ++ − = 7 3k1 10 k 2 21 k 3 340  + − = 4 10k1 12 k 2 2000 Giaûi heä phöông trình treân, ta ñöôïc: = k1 220, 578  = k2 3, 839  = k3 17, 482 Vaäy: K = [220, 578 3 , 839 17 , 482 ] g Caùch 2: Tính K baèng caùch aùp duïng coâng thöùc Ackermann. Trong phaïm vi quyeån saùch naøy chuùng ta chæ aùp duïng coâng thöùc maø khoâng chöùng minh. Ñoäc giaû coù theå tham khaûo phaàn chöùng minh coâng thöùc Ackermann trong caùc taøi lieäu veà lyù thuyeát ñieàu khieån hieän ñaïi.
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 227 Trình töï thieát keá Boä ñieàu khieån : Hoài tieáp traïng thaùi Phöông phaùp thieát keá: Phaân boá cöïc duøng coâng thöùc Ackermann Böôùc 1: Thaønh laäp ma traän ñieàu khieån ñöôïc: − CCC = [BABAB2K An 1 B ] - Neáu heä khoâng ñieàu khieån ñöôïc thì keát thuùc vì baøi toaùn phaân boá cöïc khoâng coù lôøi giaûi. - Neáu heä ñieàu khieån ñöôïc thì tieáp tuïc böôùc 2. Böôùc 2: Vieát ña thöùc ñaëc tröng mong muoán: n Φ= −=+n n −1 ++ + ()s∏ ( spsasi ) 1K asa n− 1 n i=1 = trong ñoù pi ( i1 n ) laø caùc cöïc mong muoán Böôùc 3: Tính K baèng coâng thöùc Ackermann: K=[0 0K 1 ]CCC -1 Φ ( A ) Ví duï 6.16. Thieát keá boä ñieàu khieån hoài tieáp traïng thaùi phaân boá cöïc ôû ví duï 6.15 duøng coâng thöùc Ackermann. Giaûi. Böôùc 1: Ma traän ñieàu khieån ñöôïc: CCC = 2  B AB AB  0 0100  0100100    =      3 0013  0010013      1−−− 4731  −−−−−− 4734731    0 3 1  = −  3 1 24  1− 24 53  Böôùc 2: Ña thöùc ñaëc tröng mong muoán: Φ = +2 +ξω+ω 2 (ss ) (20 )( s 2n s n ) =+(s20 )( s2 +× 2 0610 , × s + 10 2 ) ⇒ Φ=+(ss ) 332 s 2 + 340 s + 2000
228 CHÖÔNG 6 Do ñoù: Φ=+(AA ) 332 A 2 + 340 A + 2000 I 3 2 010  010  Φ=  +  + (A ) 0 0 1  320 0 1  −−−473  −−− 473  010  100  +  +  340 0 0 1  20000 1 0  −473 − −  001  1996 333 29  Φ = −  ⇒ (A ) 116 1793 246  −984 − 1838 − 1055  Böôùc 3: Tính K duøng coâng thöùc Ackermann: K=[0 0 1 ]CCC -1 Φ ( A ) -1 0 3 1  1996 333 29  = −  −  []0 013 1 24  116 1793 246  1− 24 53  −−− 984 1838 1055  ⇒ K = [220, 578 3 , 839 17 , 482 ] g Ta thaáy veùctô K tính ñöôïc theo caû hai caùch ñeàu cho keát quaû nhö nhau. Tuy nhieân phöông phaùp tính theo coâng thöùc Ackermann phaûi thöïc hieän nhieàu pheùp tính ma traän neân thích hôïp ñeå giaûi baøi toaùn treân maùy tính hôn laø giaûi baèng tay. Coâng thöùc Ackermann ñöôïc Matlab söû duïng ñeå giaûi baøi toaùn phaân boá cöïc.
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 229 Phuï luïc: THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG DUØNG MATLAB Phuï luïc naøy giôùi thieäu coâng cuï Sisotool hoã trôï thieát keá heä thoáng ñieàu khieån töï ñoäng cuûa Control Toolbox 5.0 chaïy treân neàn MATLAB 6.0. Ñoäc giaû caàn naém vöõng lyù thuyeát ñieàu khieån töï ñoäng vaø tham khaûo theâm caùc taøi lieäu höôùng daãn söû duïng cuûa MATLAB môùi coù theå khai thaùc hieäu quaû coâng cuï naøy. Sisotool laø coâng cuï giuùp thieát keá heä thoáng ñieàu khieån tuyeán tính hoài tieáp moät ñaàu vaøo, moät ñaàu ra. Taát caû caùc khaâu hieäu chænh trình baøy trong quyeån saùch naøy nhö sôùm pha, treã pha, sôùm treã pha, P, PI, PD, PID ñeàu coù theå thieát keá ñöôïc vôùi söï trôï giuùp cuûa coâng cuï naøy. Caàn nhaán maïnh raèng sisotool khoâng phaûi laø boä coâng cuï thieát keá töï ñoäng maø chæ laø boä coâng cuï trôï giuùp thieát keá, ngöôøi thieát keá phaûi hieåu roõ lyù thuyeát ñieàu khieån töï ñoäng, naém ñöôïc baûn chaát cuûa töøng khaâu hieäu chænh thì môùi söû duïng boä coâng cuï naøy ñöôïc. Do phuï luïc naøy chæ mang tính giôùi thieäu neân chuùng toâi chæ trình baøy moät ví duï thieát keá khaâu hieäu chænh sôùm pha duøng QÑNS, caùc khaâu hieäu chænh khaùc coù theå thöïc hieän töông töï. Ví duï: Thieát keá heä thoáng ñieàu khieån ôû ví duï 6.4 duøng sisotool . Trình töï thieát keá nhö sau. Böôùc 1: Khai baùo ñoái töôïng ñieàu khieån >> G=tf(50,[1 5 0]); H=tf(1,1); Böôùc 2: Kích hoaït sisotool >> sisotool; Cöûa soå SISO Design Tool xuaát hieän. Böôùc 3: Nhaäp ñoái töôïng ñieàu khieån vaøo sisotool Trong cöûa soå SISO Design Tool choïn [File] → [Import ] (xem hình beân). Cöûa soå Import System Data xuaát hieän. Thöïc hieän caùc böôùc sau: 3.1. Ñaët teân heä thoáng tuøy yù (ôû ñaây teân heä thoáng ñöôïc ñaët laø ví duï 6.4). 3.2. Caáu hình heä thoáng ñieàu khieån hieån thò ôû goùc treân, beân phaûi. Coù theå thay ñoåi caáu hình ñieàu khieån baèng caùch nhaáp chuoät
230 CHÖÔNG 6 vaøo nuùt nhaán [Other ]. Ban ñaàu taát caû caùc khoái trong heä thoáng ñieàu khieån ñeàu coù haøm truyeàn baèng 1, ta thay ñoåi ñoái töôïng ñieàu khieån (plant) laø G, caûm bieán (sensor) laø H, boä loïc F (prefilter) baèng 1, khaâu hieäu chænh (compensator) C chöa thieát keá neân cuõng baèng 1. 3.3. Sau khi thöïc hieän xong böôùc 3.2 cöûa soå Import System Data nhö hình treân. Nhaáp chuoät vaøo nuùt [OK]. Böôùc 4: Khaûo saùt heä thoáng tröôùc khi hieäu chænh
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 231 Sau khi nhaáp chuoät vaøo nuùt [OK] ôû böôùc 3.3, cöûa soå SISO Design Tool xuaát hieän trôû laïi, trong cöûa soå naøy coù caùc thoâng tin sau: - Haøm truyeàn khaâu hieäu chænh hieän taïi baèng 1. - Caáu hình heä thoáng ñieàu khieån hieän taïi laø hieäu chænh noái tieáp, hoài tieáp aâm. Coù theå thay ñoåi caáu hình heä thoáng ñieàu khieån baèng caùch nhaáp chuoät vaøo nuùt [+/ −] vaø [FS]. - QÑNS cuûa heä thoáng chöa hieäu chænh ñöôïc hieån thò ôû ñoà thò beân traùi. Caùc chaám vuoâng ñoû ñaùnh daáu vò trí caùc cöïc hieän taïi cuûa heä thoáng. - Bieåu ñoà Bode cuûa heä thoáng chöa hieäu chænh ñöôïc hieån thò ôû ñoà thò beân phaûi, treân bieåu ñoà Bode coù ghi chuù taàn soá caét bieân, taàn soá caét pha, ñoä döï tröõ bieân, ñoä döï tröõ pha. - Coù theå xem ñaùp öùng cuûa heä thoáng tröôùc khi hieäu chænh baèng caùch choïn [Tool] →[Loop Responses ] →[Plant Output (Step)]. Quan saùt ñaùp öùng cuûa heä thoáng ôû hình döôùi ñaây ta thaáy ñoä voït loá khoaûng 30%, thôøi gian quaù ñoä khoaûng 1.5 giaây.
232 CHÖÔNG 6 Böôùc 5: Thieát keá khaâu hieäu chænh sôùm pha duøng QÑNS Di chuyeån chuoät vaøo ñoà thò QÑNS vaø nhaáp nuùt chuoät phaûi,
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 233 moät menu xuaát hieän. Ñeå yù caùc tuøy choïn treân menu ôû hình beân ta thaáy SISO Design Tool hoã trôï thieát keá taát caû caùc khaâu hieäu chænh thoâng duïng trong lyù thuyeát ñieàu khieån kinh ñieån nhö hieäu chænh sôùm pha (Lead), treã pha. (Lag), sôùm treã pha (Notch), PD (Real Zero), PI (Integrator + Real Zero), PID. (Integrator + Real Zero + Real Zero). Ngoaøi ra, ta coøn coù theå thieát keá caùc khaâu hieäu chænh khaùc tuøy theo söï keát hôïp cuûa caùc cöïc thöïc (Real Pole), cöïc phöùc (Complex Pole), tích phaân lyù töôûng (Integrator), zero thöïc (Real Zero), zero phöùc (Complex Zero), vi phaân lyù töôûng (Differentiator). Trong ví duï naøy ta choïn [Add] →→→[Lead] ñeå theâm khaâu hieäu chænh sôùm pha vaøo heä thoáng. Nhaáp chuoät vaøo moät vò trí tuøy choïn treân truïc thöïc cuûa QÑNS ñeå xaùc ñònh vò trí cuûa cöïc, vò trí zero SISO Design Tool seõ gaùn töï ñoäng naèm gaàn goùc toïa ñoä hôn cöïc. Ta thaáy sau khi theâm vaøo khaâu sôùm pha QÑNS cuûa heä thoáng bò söûa daïng. Baây giôø ta duøng chuoät di chuyeån vò trí cöïc vaø zero * = − ± sao cho QÑNS ñi qua cöïc mong muoán s1, 2 10, 5 j 10 , 5 (xem laïi ví duï 6.4 ñeå bieát caùch tính cöïc mong muoán naøy). Chuù yù laø khi di chuyeån vò trí cöïc vaø zero ta phaûi luoân ñaûm baûo zero gaàn goùc toïa ñoä hôn cöïc thì khaâu hieäu chænh thieát keá môùi laø khaâu hieäu chænh sôùm pha.
234 CHÖÔNG 6 Sau khi di chuyeån cöïc ñeán vò trí –28.2 vaø zero ñeán vò trí – 7.91 ta thaáy QÑNS ñi qua cöïc mong muoán (hoaëc chính xaùc hôn laø gaàn qua cöïc mong muoán, xem hình beân traùi). Ñeå yù heä soá khueách ñaïi cuûa khaâu hieäu chænh baây giôø vaãn laø 1 (haøm truyeàn cuûa khaâu hieäu chænh naèm trong khung [Current Compensator]). Di chuyeån chuoät ñeán vò trí cöïc hieän taïi cuûa heä thoáng (chaám vuoâng * = − ± ñoû) vaø dôøi vò trí cöïc naøy ñeán gaàn cöïc mong muoán s1, 2 10, 5 j 10 , 5 . Khi di chuyeån vò trí cöïc thì heä soá khueách ñaïi cuûa khaâu hieäu chænh * = − ± thay ñoåi. Khi vò trí cöïc ñeán s1, 2 10, 7 j 10 , 7 thì heä soá khueách ñaïi cuûa khaâu hieäu chænh laø 6.82 (vò trí cöïc hieån thò trong khung traïng thaùi phía döôùi ñoà thò QÑNS, xem hình beân phaûi ).
THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 235 Böôùc 6: Kieåm tra laïi ñaùp öùng cuûa heä thoáng Choïn [Tools] →[Loop Responses] →[Plant Output (Step)], ñaùp öùng cuûa heä thoáng sau khi hieäu chænh hieån thò treân cöûa soå LTI Viewer. Quan saùt ñaùp öùng ta thaáy heä thoáng sau khi hieäu chænh coù ñoä voït loá nhoû hôn 20%, thôøi gian quaù ñoä khoaûng 0.5 giaây, thoûa maõn yeâu caàu thieát keá. Vaäy haøm truyeàn cuûa khaâu hieäu chænh sôùm pha laø: (s + 7 , 91 ) G( s )= 6 , 82 C (s + 28 , 1 )
236 CHÖÔNG 7 Chöông 7 MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC 7.1 HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC 7.1.1 Khaùi nieäm Chöông naøy ñeà caäp ñeán moät loaïi heä thoáng ñieàu khieån coù hoài tieáp, trong ñoù tín hieäu taïi moät hay nhieàu ñieåm laø moät chuoãi xung, khoâng phaûi laø haøm lieân tuïc theo thôøi gian. Tuøy thuoäc vaøo phöông phaùp löôïng töû hoùa tín hieäu maø ta coù caùc loaïi heä thoáng xöû lyù tín hieäu khaùc nhau. Phöông phaùp löôïng töû hoùa theo thôøi gian cho tín hieäu coù bieân ñoä lieân tuïc, thôøi gian rôøi raïc. Heä thoáng xöû lyù loaïi tín hieäu naøy ñöôïc goïi laø heä thoáng rôøi raïc. Neáu pheùp löôïng töû hoùa ñöôïc tieán haønh theo thôøi gian vaø caû theo bieân ñoä thì keát quaû nhaän ñöôïc laø tín hieäu soá. Heä thoáng xöû lyù tín hieäu soá goïi laø heä thoáng soá. Trong heä thoáng rôøi raïc vaø heä thoáng soá, thoâng soá ñieàu khieån - bieân ñoä cuûa tín hieäu chæ xuaát hieän taïi caùc thôøi ñieåm rôøi raïc caùch ñeàu nhau ñuùng baèng moät chu kyø laáy maãu tín hieäu. Vì coù thôøi gian treã taát yeáu do laáy maãu, vieäc oån ñònh heä thoáng trôû neân phöùc taïp hôn so vôùi heä lieân tuïc, do ñoù ñoøi hoûi nhöõng kyõ thuaät phaân tích vaø thieát keá ñaëc bieät. Söï phaùt trieån maïnh meõ cuûa kyõ thuaät soá, kyõ thuaät vi xöû lyù vaø kyõ thuaät maùy tính laøm cho ngaøy caøng coù nhieàu heä thoáng ñieàu khieån soá ñöôïc söû duïng ñeå ñieàu khieån caùc ñoái töôïng. Heä thoáng ñieàu khieån soá coù nhieàu öu ñieåm so vôùi heä thoáng ñieàu khieån lieân tuïc nhö uyeån chuyeån, linh hoaït, deã daøng ñoåi thuaät toaùn ñieàu khieån, deã daøng aùp duïng caùc thuaät toaùn ñieàu khieån phöùc taïp baèng
237 caùch laäp trình. Maùy tính soá coøn coù theå ñieàu khieån nhieàu ñoái töôïng cuøng moät luùc. Ngoaøi ra, giaù maùy tính ngaøy caøng haï trong khi ñoù toác ñoä xöû lyù, ñoä tin caäy ngaøy caøng taêng leân cuõng goùp phaàn laøm cho vieäc söû duïng caùc heä thoáng ñieàu khieån soá trôû neân phoå bieán. Hieän nay caùc heä thoáng ñieàu khieån soá ñöôïc söû duïng raát roäng raõi, töø caùc boä ñieàu khieån ñôn giaûn nhö ñieàu khieån nhieät ñoä, ñieàu khieån ñoäng cô DC, AC, ñeán caùc heä thoáng ñieàu khieån phöùc taïp nhö ñieàu khieån robot, maùy bay, taøu vuõ truï, caùc heä thoáng ñieàu khieån quaù trình coâng ngheä hoùa hoïc vaø caùc heä thoáng töï ñoäng cho nhöõng öùng duïng khaùc nhau. Hình 7.1 Sô ñoà khoái heä thoáng ñieàu khieån soá Hình 7.1 trình baøy sô ñoà khoái cuûa heä thoáng ñieàu khieån soá thöôøng gaëp, trong heä thoáng coù hai loaïi tín hieäu: tín hieäu lieân tuïc c(t) , uR(t) vaø tín hieäu soá r(kT), c ht (kT), u(kT). Trung taâm cuûa heä thoáng laø maùy tính soá, maùy tính coù chöùc naêng xöû lyù thoâng tin phaûn hoài töø caûm bieán vaø xuaát ra tín hieäu ñieàu khieån ñoái töôïng. Vì caûm bieán vaø ñoái töôïng laø heä thoáng lieân tuïc neân caàn söû duïng boä chuyeån ñoåi A/D vaø D/A ñeå giao tieáp vôùi maùy tính. Do ñoù ñeå phaân tích vaø thieát keá heä thoáng ñieàu khieån soá tröôùc tieân ta phaûi moâ taû toaùn hoïc ñöôïc quaù trình chuyeån ñoåi A/D vaø D/A. Tuy nhieân, hieän nay khoâng coù phöông phaùp naøo cho pheùp moâ taû chính xaùc quaù trình chuyeån ñoåi A/D vaø D/A do sai soá löôïng töû hoùa bieân ñoä, vì vaäy thay vì khaûo saùt heä thoáng soá ôû hình 7.1 ta khaûo saùt heä rôøi raïc ôû hình 7.2.
238 CHÖÔNG 7 Hình 7.2 Sô ñoà khoái heä thoáng ñieàu khieån rôøi raïc
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC 239 Trong quyeån saùch naøy, chuùng ta phaùt trieån caùc phöông phaùp phaân tích vaø thieát keá heä thoáng ñieàu khieån lieân tuïc cho heä thoáng ñieàu khieån rôøi raïc. Neáu ñoä phaân giaûi cuûa pheùp löôïng töû hoùa bieân ñoä ñuû nhoû ñeå coù theå boû qua sai soá thì ta coù theå xem tín hieäu soá laø tín hieäu rôøi raïc, ñieàu ñoù coù nghóa laø lyù thuyeát ñieàu khieån rôøi raïc trình baøy trong quyeån naøy hoaøn toaøn coù theå aùp duïng ñeå phaân tích vaø thieát keá caùc heä thoáng ñieàu khieån soá. 7.1.2 Ñaëc ñieåm laáy maãu Hình 7.3 Quaù trình laáy maãu döõ lieäu Laáy maãu laø bieán ñoåi tín hieäu lieân tuïc theo thôøi gian thaønh tín hieäu rôøi raïc theo thôøi gian. Xeùt boä laáy maãu coù ñaàu vaøo laø tín
240 CHÖÔNG 7 hieäu lieân tuïc x(t) vaø ñaàu ra laø tín hieäu rôøi raïc x*(t) (H.7.3). Quaù trình laáy maãu coù theå moâ taû bôûi bieåu thöùc toaùn hoïc sau: x*(t) = x(t).s(t) (7.1) trong ñoù s(t) laø chuoåi xung dirac: +∞ st( ) =∑ δ() tkT − (7.2) k=−∞ Thay (7.2) vaøo (7.1), ñoàng thôøi giaû söû raèng x(t) = 0 khi t < 0, ta ñöôïc: +∞ x* ( t ) =∑ xt()() δ tkT − k=0 +∞ ⇒ x* ( t ) =∑ x()() kT δ t − kT (7.3) k=0 Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (7.3) ta ñöôïc: +∞ − X* ()() s= ∑ xkTe kTs (7.4) k=0 Bieåu thöùc (7.4) chính laø bieåu thöùc toaùn hoïc moâ taû quaù trình laáy maãu. Ñònh lyù Shanon: Ñeå coù theå phuïc hoài döõ lieäu sau khi laáy maãu maø khoâng bò meùo daïng thì taàn soá laáy maãu phaûi thoûa maõn ñieàu kieän: 1 f= ≥ 2 f (7.5) T c trong ñoù fc laø taàn soá caét cuûa tín hieäu caàn laáy maãu. Trong caùc heä thoáng ñieàu khieån thöïc teá, neáu coù theå boû qua ñöôïc sai soá löôïng töû hoùa thì caùc khaâu chuyeån ñoåi A/D chính laø caùc khaâu laáy maãu. 7.1.3 Khaâu giöõ döõ lieäu Khaâu giöõ döõ lieäu laø khaâu chuyeån tín hieäu rôøi raïc theo thôøi gian thaønh tín hieäu lieân tuïc theo thôøi gian. Khaâu giöõ döõ lieäu coù nhieàu daïng khaùc nhau, ñôn giaûn nhaát vaø ñöôïc söû duïng nhieàu nhaát trong caùc heä thoáng ñieàu khieån rôøi raïc laø khaâu giöõ baäc 0 (Zero-Order Hold - ZOH) (H.7.4).
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC 241 a) b) Hình 7.4 Khaâu giöõ baäc 0 (ZOH) Ta tìm haøm truyeàn cuûa khaâu ZOH. Ñeå yù raèng neáu tín hieäu vaøo cuûa khaâu ZOH laø xung dirac thì tín hieäu ra laø xung vuoâng coù ñoä roäng baèng T (H.7.4b). Ta coù: R(s) = 1 (vì r(t) laø haøm dirac) −Ts 1 1− 1 − e Cs()()=L {} ct = L {} ututT()() −−=− e Ts = s s s C( s ) Theo ñònh nghóa: G() s = ZOH R() s − − 1−eTs 1 − z 1 Do ñoù: G() s = = (7.6) ZOH s s Bieåu thöùc (7.6) chính laø haøm truyeàn cuûa khaâu giöõ baäc 0. Trong caùc heä thoáng ñieàu khieån thöïc teá, neáu coù theå boû qua ñöôïc sai soá löôïng töû hoùa thì caùc khaâu chuyeån ñoåi D/A chính laø caùc khaâu giöõ baäc 0 (ZOH). Nhaän xeùt Baèng caùch söû duïng pheùp bieán ñoåi Laplace ta coù theå moâ taû quaù trình laáy maãu vaø giöõ döõ lieäu baèng caùc bieåu thöùc toaùn hoïc (7.4) vaø
242 CHÖÔNG 7 (7.6). Tuy nhieân caùc bieåu thöùc toaùn hoïc naøy laïi chöùa haøm e x neân neáu ta söû duïng ñeå moâ taû heä rôøi raïc thì khi phaân tích, thieát keá heä thoáng seõ gaëp nhieàu khoù khaên. Ta caàn moâ taû toaùn hoïc khaùc giuùp khaûo saùt heä thoáng rôøi raïc deã daøng hôn, nhôø pheùp bieán ñoåi Z trình baøy döôùi ñaây chuùng ta seõ thöïc hieän ñöôïc ñieàu naøy. 7.2 PHEÙP BIEÁN ÑOÅI Z 7.2.1 Ñònh nghóa Cho x(k) laø chuoãi tín hieäu rôøi raïc. Bieán ñoåi Z cuûa x(k) laø: +∞ − Xz()()=ZZZ{} xk = ∑ xkz() k (7.7) k=−∞ trong ñoù: z = eTs ( s laø bieán Laplace) Kyù hieäu: xk()()←→ZZZ Xz Neáu x(k) = 0, ∀k < 0 thì bieåu thöùc ñònh nghóa trôû thaønh: +∞ − Xz()()=ZZZ{} xk = ∑ xkz() k (7.8) k=0 Mieàn hoäi tuï ( Region of Convergence - ROC ) ROC laø taäp hôïp taát caû caùc giaù trò z sao cho X(z) höõu haïn. YÙ nghóa cuûa pheùp bieán ñoåi Z Giaû söû x(t) laø tín hieäu lieân tuïc trong mieàn thôøi gian, laáy maãu x(t) vôùi chu kyø laáy maãu T ta ñöôïc chuoãi rôøi raïc x(k) = x(kT). Bieåu thöùc laáy maãu x(t): +∞ − X* ()() s= ∑ xkTe kTs (7.9) k=0 Bieåu thöùc bieán ñoåi Z: +∞ − Xz()()= ∑ xkz k (7.10) k=0 Vì z = e Ts neân veá phaûi cuûa hai bieåu thöùc (7.9) vaø (7.10) laø nhö nhau, do ñoù baûn chaát cuûa vieäc bieán ñoåi Z moät tín hieäu chính laø rôøi raïc hoùa tín hieäu ñoù.
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC 243 Pheùp bieán ñoåi Z ngöôïc Cho X(z) laø haøm theo bieán phöùc z. Bieán ñoåi Z ngöôïc cuûa X(z) laø: 1 − xk() = Xzz() k 1 dz 2 jπ ∫ C vôùi C laø ñöôøng cong kín baát kyø naèm trong mieàn hoäi tuï ROC cuûa X(z) vaø bao goác toïa ñoä. 7.2.2 Tính chaát cuûa pheùp bieán ñoåi Z 1- Tính tuyeán tính ()()←→ZZZ Neáu: xk1 Xz 1 ()()←→ZZZ xk2 Xz 2 ()()()()+ ←→ZZZ + Thì: axk11 axk 22 aXz 11 aXz 22 (7.11) 2- Dôøi trong mieàn thôøi gian Hình 7.5 Laøm treã tín hieäu k o maãu Neáu: xk()()←→ZZZ Xz − − ←→ZZZ ko () thì: xkk()o zXz (7.12) Nhaän xeùt: − Neáu trong mieàn Z ta nhaân X(z) vôùi z k0 thì töông ñöông vôùi trong mieàn thôøi gian laø treã tín hieäu x(k) ko chu kyø laáy maãu.
244 CHÖÔNG 7 − Vì xk()()−1 ←→ZZZ zXz1 neân z –1 ñöôïc goïi laø toaùn töû laøm treã moät chu kyø laáy maãu. 3- Tæ leä trong mieàn Z Neáu: xk()()←→ZZZ Xz − thì: axkk () ←→ZZZ Xaz()1 (7.13) 4- Ñaïo haøm trong mieàn Z Neáu: xk()()←→ZZZ Xz dX( z ) thì: kx() k←→−ZZZ z (7.14) dz 5- Ñònh lyù giaù trò ñaàu Neáu: xk()()←→ZZZ Xz thì: x(0) = lim X( z ) (7.15) z→∞ 6- Ñònh lyù giaù trò cuoái: Neáu: xk()()←→ZZZ Xz − thì: x()∞ = lim(1 − z1 ) Xz() (7.16) z→1 7.2.3 Bieán ñoåi Z cuûa caùc haøm cô baûn 1- Haøm dirac 1 neáu k = 0 δ(k) =  0 neáu k ≠ 0 Theo ñònh nghóa: +∞ − − ZZZ{}δ=()k∑ δ()() kzk =δ0 z 0 = 1 k=−∞ Vaäy: δ()k ←→ZZZ 1 (ROC: toaøn boä maët phaúng Z)
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC 245 2- Haøm naác ñôn vò Haøm naác ñôn vò (lieân tuïc trong mieàn thôøi gian): 1neáu t ≥ 0 u(t) =  0 neáu t 1) 1 − z 1 z − 1 3- Haøm doác ñôn vò Haøm doác ñôn vò (lieân tuïc trong mieàn thôøi gian): t neáu t ≥ 0 r(t) =  0 neáu t < 0 Laáy maãu r(t) vôùi chu kyø laáy maãu laø T, ta ñöôïc: kT neáu k ≥ 0 r(k) =  0 neáu k < 0 ⇒ r(k) = kTu(k) Ta tìm bieán ñoåi Z cuûa r(k) baèng caùch aùp duïng tính chaát tæ leä trong mieàn Z:
246 CHÖÔNG 7 Ta coù: () ←→ZZZ 1 u k − 1 − z 1 −1 () ←→−ZZZ d1  = z ⇒ ku k z −  − 1− 2 dz 1 z  ()1 − z 1 − Tz1 Tz ⇒ kTu() k ←→ZZZ = − 2() 2 ()1 − z 1 z − 1 − Tz1 Tz Vaäy r()() k= kTu k ←→ZZZ = (ROC: |z| > 1) − 2() 2 ()1 − z 1 z − 1 4- Haøm muõ Haøm muõ lieân tuïc trong mieàn thôøi gian: − eat neáu t ≥ 0 x(t) =  0 neáu t 1 ⇔ z > e aT )
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC 247 Keát quaû treân ta deã daøng suy ra: k ()←→ZZZ 1 = z a u k − 1 − az 1 z− a 7.2.4 Caùc phöông phaùp tìm bieán ñoåi Z ngöôïc Cho haøm X( z ) , baøi toaùn ñaët ra laø tìm x( k ) . Theo coâng thöùc bieán ñoåi Z ngöôïc, ta coù: 1 − xk() = Xzz() k 1 dz 2 jπ ∫ C vôùi C laø ñöôøng cong kín baát kyø naèm trong ROC cuûa X (ZZZ) vaø bao goác toïa ñoä. Tìm x(k) baèng coâng thöùc treân raát phöùc taïp, thöïc teá ta thöôøng aùp duïng caùc caùch sau: Caùch 1: Phaân tích X( z ) thaønh toång caùc haøm cô baûn, sau ñoù tra baûng bieán ñoåi Z z Ví duï 7.1. Cho X() z = . Tìm x(k). ()()z−2 z − 3 Giaûi. Phaân tích X (ZZZ) , ta ñöôïc: −z z X() z = + ()z−2 z − 3 Tra baûng bieán ñoåi Z: z ak u() k ←→ZZZ z− a k k Suy ra: x(k) = (–2 + 3 )u(k) g Caùch 2: Phaân tích X( z ) thaønh chuoãi luõy thöøa Theo ñònh nghóa bieán ñoåi z: +∞ − −−− Xz()()==∑ xkzk =+ xzxz(0 ) 0()() 1 1 + xz 2 2 + xz() 3 3 + K k=0 Do ñoù neáu phaân tích X( z ) thaønh toång cuûa chuoãi luõy thöøa ta seõ ñöôïc giaù trò x(k) chính laø heä soá cuûa thaønh phaàn z–k.
248 CHÖÔNG 7 z Ví duï 7.2. Cho X() z = . Tìm x(k). ()()z−2 z − 3 z z Giaûi. X() z = = ()()z−2 z − 3 z2 −5 z + 6 Chia ña thöùc, ta ñöôïc: − − − − Xzz() =+15 z 2 + 19 z 3 + 65 z 3 + K Suy ra: x(0) = 0; x(1) = 1; x(2) = 5; x(3) = 19; x(4) = 65, g Caùch 3: Tính x(k) baèng coâng thöùc ñeä qui z Ví duï 7.3. Cho X() z = . Tìm x(k). ()()z−2 z − 3 −1 () =z = z = z Giaûi. Ta coù: X z − − ()()z−2 z − 3 zz2−+5 615 − zz 1 + 6 2 − − − ⇒ (1− 5z1 + 6 z 2) Xz() = z 1 − − − ⇒ Xz()()()−5 zXz2 + 6 zXz 2 = z 1 Bieán ñoåi Z ngöôïc hai veá phöông trình treân (ñeå yù tính chaát dôøi trong mieàn thôøi gian), ta ñöôïc: x(k) – 5x(k – 1) + 6x(k – 2) = δ(k – 1) ⇒ x(k) = 5x(k – 1) – 6x(k – 2) + δ(k – 1) Vôùi ñieàu kieän ñaàu: x( k – 1) = 0; x(k – 2) = 0 Thay vaøo coâng thöùc treân ta tìm ñöôïc: x(0) = 0; x(1) = 1; x(2) = 5; x(3) = 19; x(4) = 65, g Caùch 4: AÙp duïng coâng thöùc thaëng dö ()()= k−1  xk∑ Re szXz  taïi caùc cöïc cuûa zk–1 X() z Neáu ZZZo laø cöïc baäc moät thì: k−1() k − 1 () Re szXz  = =() zzzXz − = z z o o z z o Neáu ZZZo laø cöïc baäc p thì: p−1 k−1 ()  =1 d () − p k − 1 ()  Re szXz  z= z−  zzzXz o  = 0 ()p − 1 ! dz p 1 z z o
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC 249 z Ví duï 7.4. Cho X() z = . Tìm x(k). ()()z−2 z − 3 Giaûi. AÙp duïng coâng thöùc thaëng dö, ta ñöôïc: ()()()=k−1  +  k − 1  xkRe szXz z=2 Re szXz   z = 3 Maø: k−1()()()  = − k − 1 Re szXz  z=2 z2 zXz z=2 k () k−1 z z k = z− 2 z = = = = − 2 ()()z−2 z − 3 z 2 ()z − 3 z 2 k−1()()()  = − k − 1 Re szXz  z=3 z3 zXz z=3 k () k−1 z z k = z− 3 z = = = = 3 ()()z−2 z − 3 z 3 ()z − 2 z 3 Do ñoù: x(k) = –2k + 3 k g 7.3 MOÂ TAÛ HEÄ THOÁNG RÔØI RAÏC BAÈNG HAØM TRUYEÀN 7.3.1 Haøm truyeàn cuûa heä rôøi raïc Quan heä giöõa tín hieäu vaøo vaø tín hieäu ra cuûa heä thoáng rôøi raïc ñöôïc moâ taû baèng phöông trình sai phaân: ( ++) ( +−++) ( ++) ( ) = ackno ackn11K ackn− 1 1 ack n ( ++) ( +−++) ( ++) ( ) = brkmbrkmo 11K bm− 1 rk 1 brk m (7.17) trong ñoù n ≥ m, n goïi laø baäc cuûa heä thoáng rôøi raïc Bieán ñoåi z hai veá phöông trình (7.17) ta ñöôïc: n()()()()+ n −1 ++ + = azCzo az1 CzK an− 1 zCz aCz n m()()()()+ m −1 ++ + = bzRzo bz1 RzK bm − 1 zRz Rz ⇔ n+ n −1 ++ +  () azo az1K azaCz n− 1 n  = =m + m −1 ++ ++  () bzo bz1KK bz m− 1 bRz m 
250 CHÖÔNG 7 − C() z bzm+ bz m 1 ++K bzb + ⇔ = o1 m− 1 m () n+ n −1 ++ + R z azo az1K aza n− 1 n − C() z bzm+ bz m 1 ++K bzb + Ñaët: G() z = = o1 m− 1 m (7.18) () n+ n −1 ++ + R z azo az1K aza n− 1 n G( z ) ñöôïc goïi laø haøm truyeàn cuûa heä thoáng rôøi raïc. Haøm truyeàn (7.18) coù theå bieán ñoåi töông ñöông veà daïng: −−(nm )  −1 −+ mm 1 −  C() z z bbz+ ++K bz− + bz  G() z = = o1 m 1 m (7.19) () +−1 ++ −+n 1 + − n R z aazo1K az n− 1 az n Hai caùch bieåu dieãn treân hoaøn toaøn töông ñöông nhau, trong thöïc teá haøm truyeàn daïng thöù hai ñöôïc söû duïng nhieàu hôn. Ví duï 7.5. Cho heä thoáng rôøi raïc moâ taû bôûi phöông trình sai phaân: ck( ++32) ck( +− 25) ck( ++ 13) ck( ) = 2 rk( ++ 2 ) rk( ) Tìm haøm truyeàn cuûa heä thoáng. Giaûi. Bieán ñoåi Z hai veá phöông trình sai phaân moâ taû heä thoáng, ta ñöôïc: zCz3()()()()()()+2 zCz 2 − 5 zCz += 3 Cz 2 zRz2 + Rz C() z2 z 2 + 1 ⇒ G() z = = R() z z3+2 z 2 − 5 z + 3 () −1( + − 2 ) ⇔ () =Cz = z2 z G z − − − R() z 12+z1 − 5 z 2 + 3 z 3 7.3.2. Tính haøm truyeàn heä rôøi raïc töø sô ñoà khoái Khi theâm vaøo heä thoáng lieân tuïc caùc khaâu laáy maãu, khaâu giöõ döõ lieäu (vaø boä ñieàu khieån soá) ta ñöôïc heä thoáng ñieàu khieån rôøi raïc. Baøi toaùn ñaët ra laø tìm haøm truyeàn heä rôøi raïc theo bieán z töø sô ñoà khoái coù caùc khaâu laáy maãu. Xeùt moät soá sô ñoà thöôøng gaëp sau ñaây: 1- Hai khaâu noái tieáp caùch nhau bôûi khaâu laáy maãu Hình 7.6 Hai khaâu noái tieáp caùch nhau bôûi khaâu laáy maãu
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC 251 C( z ) Gz() = = GzGz()() (7.20) R() z 1 2 ( ) = ( ) ( ) = ( ) trong ñoù: Gz1ZZZ{ Gs 1 } ; Gz2ZZZ{ Gs 2 } 1 1 Ví duï 7.6. Cho G() s= vaø G() s = . Tìm haøm truyeàn töông 1 sa+2 sb + ñöông cuûa hai heä thoáng coù sô ñoà khoái ôû hình 7.6. Giaûi. Tra baûng bieán ñoåi Z, ta coù: ()()={} =1 = z Gz1Z Gs 1 Z { } − s+ a z− e aT ()()={} =1 = z Gz2Z Gs 2 Z { } − s+ b z− e bT Do ñoù deã daøng suy ra: z2 ()() = g G1 zG 2 z − − ()()ze−aT ze − bT 2- Hai khaâu noái tieáp khoâng caùch nhau bôûi khaâu laáy maãu Hình 7.7 Hai khaâu noái tieáp khoâng caùch nhau bôûi khaâu laáy maãu C( z ) Gz() = = GGz() (7.21) R() z 1 2 = ( ) ( ) trong ñoù: GG12ZZZ{ GsGs 1 2 } Caàn chuù yù laø: ( ) ( ) =( ) ( ) ≠( ) ( ) = ( ) GzGz12Z{ Gs 1} Z{ Gs 1} Z { GsGs 12} GGz 12 Ví duï 7.7 seõ minh hoïa ñieàu naøy. 1 1 Ví duï 7.7. Cho G() s= vaø G() s = . Tìm haøm truyeàn töông 1 sa+2 sb + ñöông cuûa hai heä thoáng coù sô ñoà khoái ôû hình 7.7. Giaûi. Tra baûng bieán ñoåi z, ta coù:
252 CHÖÔNG 7 1  GGz()()()=Z{} GsGs = Z   12 1 1 ()()s+ a s + b  1 1 1 1  =ZZZ  +  ()basa−() +() absb −() +  11  11  =Z  + Z  ()basa−+() () absb −+()  1z 1 z = + () −() − ba−()ze−aT ab − () ze − bT − − z( ebT− e aT ) ⇒ () = G1 G 2 z − − ()baze−()() −aT ze − bT Roõ raøng keát quaû tính haøm truyeàn töông ñöông cuûa hai heä thoáng ôû ví duï 7.6 vaø 7.7 hoaøn toaøn khaùc nhau. g 3- Heä thoáng hoài tieáp coù khaâu laáy maãu trong keânh sai soá Hình 7.8 Heä thoáng hoài tieáp coù khaâu laáy maãu trong keânh sai soá Cz( ) Gz( ) G() z = = (7.22) k Rz() 1 + GHz() trong ñoù: Gz( ) = ZZZ{ Gs( )} ; GHz( ) = ZZZ{ GsHs( ). ( )} Tröôøng hôïp H(s) = 1 (heä thoáng hoài tieáp aâm ñôn vò) ta coù: Cz( ) Gz( ) G() z = = (7.23) k Rz() 1 + Gz() 1 1 Ví duï 7.8. Cho G() s= vaø H() s = . Tìm haøm truyeàn töông sa+ sb + ñöông cuûa hai heä thoáng coù sô ñoà khoái ôû hình 7.7. Giaûi. Thöïc hieän pheùp bieán ñoåi Z töông töï nhö ñaõ laøm ôû ví duï 7.6 vaø 7.7, ta deã daøng tính ñöôïc: ()()={} =1 = z GzZ Gs Z { } − s+ a z− e aT
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC 253 − − 1 1 z( ebT− e aT ) GHz()()()=Z{} GsHs = Z { } = Z Z − − s+ as + b ()baze−()() −aT ze − bT Thay vaøo coâng thöùc (7.22) ta ñöôïc: z Cz() Gz() ()− −aT G() z = = = z e k R() z1 + GH() z ()−bT− − aT + z e e 1 − − ()baze−()() −aT ze − bT − ()baze−( − bT ) z ⇒ () = g Gk z − − −− ()baze−−()()()aT ze −+ bT ze bT − e aT 4- Heä thoáng hoài tieáp coù khaâu laáy maãu trong voøng hoài tieáp Hình 7.9 Heä thoáng hoài tieáp coù khaâu laáy maãu trong voøng hoài tieáp Tröôøng hôïp naøy khoâng tìm ñöôïc bieåu thöùc haøm truyeàn, quan heä giöõa tín hieäu vaøo vaø tín hieäu ra nhö sau: RG( z ) C() z = (7.24) 1 + GH() z trong ñoù: RGz( ) = ZZZ{ RsGs( ) ( )} ; GHz( ) = ZZZ{ GsHs( ) ( ) } 5- Heä thoáng hoài tieáp coù caùc khaâu laáy maãu ñoàng boä trong nhaùnh thuaän Hình 7.10 Heä thoáng hoài tieáp coù caùc khaâu laáy maãu ñoàng boä trong nhaùnh thuaän Cz( ) Gz( ) G() z = = (7.25) k Rz() 1 + GzHz()() trong ñoù: Gz( ) = ZZZ{ Gs( )} ; Hz( ) = ZZZ{ Hs( )}
254 CHÖÔNG 7 6- Heä thoáng hoài tieáp coù caùc khaâu laáy maãu ñoàng boä vaø caùc khaâu noái tieáp ôû nhaùnh thuaän Hình 7.11 Heä thoáng hoài tieáp coù caùc khaâu laáy maãu ñoàng boä vaø caùc khaâu noái tieáp ôû nhaùnh thuaän C( z ) G( zG) ( z ) G() z = = 1 2 k () + ()() Rz1 GzGHz1 2 ( ) = ( ) ( ) = ( ) trong ñoù: Gz1ZZZ{ Gs 1 } ; Gz2ZZZ{ Gs 2 } ( ) = ( ) ( ) GHz2ZZZ{ G 2 sHs } 7- Sô ñoà doøng tín hieäu - Coâng thöùc Mason cho heä rôøi raïc Coù theå môû roäng khaùi nieäm sô ñoà doøng tín hieäu ñaõ trình baøy trong chöông 2 cho heä lieân tuïc ñeå aùp duïng vaøo heä rôøi raïc vôùi moät vaøi thay ñoåi nhoû. Ñeå söû duïng coâng thöùc Mason cho heä rôøi raïc caàn ñeå yù caùc nguyeân taéc sau ñaây: Neáu khoâng coù boä laáy maãu giöõa ñaàu vaøo R(s) vaø khaâu ñaàu tieân trong voøng thuaän (ví duï G(s) ) thì khoâng theå taùch bieät bieán ñoåi Z cuûa ñaàu vaøo vaø khaâu ñaàu tieân vaø ta luoân coù soá haïng RG (ZZZ) . Do ñoù trong tröôøng hôïp naøy khoâng theå tính ñöôïc haøm truyeàn baèng tæ leä giöõa bieán ñoåi Z tín hieäu ra vaø tín hieäu vaøo cuûa heä thoáng. Neáu moät khaâu trong voøng thuaän hay trong voøng hoài tieáp phaân bieät vôùi ñaàu vaøo, ñaàu ra cuûa heä thoáng vaø vôùi caùc khaâu khaùc bôûi caùc boä laáy maãu ôû ñaàu vaøo vaø ñaàu ra cuûa noù hoaøn toaøn ñoäc laäp veà bieán ñoåi Z. Neáu moät khaâu trong voøng thuaän hay voøng hoài tieáp khoâng phaân bieät vôùi caùc khaâu keá caän hay vôùi ñaàu vaøo cuûa heä thoáng bôûi boä laáy maãu thì phaûi thöïc hieän pheùp bieán ñoåi Z cuûa haøm truyeàn keát hôïp cuûa hai khaâu hay giöõa khaâu ñoù vôùi ñaàu vaøo. Duøng lyù thuyeát Mason vaø ba nguyeân taéc treân cho heä rôøi raïc, ñoäc giaû coù theå kieåm chöùng ñöôïc caùc coâng thöùc tính haøm truyeàn ñaõ
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC 255 daãn ra trong muïc 7.3.2 naøy. 7.4 MOÂ TAÛ HEÄ THOÁNG RÔØI RAÏC BAÈNG PHÖÔNG TRÌNH TRAÏNG THAÙI 7.4.1 Thaønh laäp phöông trình traïng thaùi töø phöông trình sai phaân 1- Veá phaûi cuûa phöông trình sai phaân khoâng chöùa sai phaân cuûa tín hieäu vaøo Xeùt heä thoáng rôøi raïc coù quan heä giöõa tín hieäu vaøo vaø tín hieäu ra moâ taû bôûi phöông trình sai phaân: ( ++) ( +−++) ( ++) ( ) = ( ) ckn ackn11K ackn− 1 1 ack n brk o (7.26) Chuù yù: ÔÛ phöông trình treân heä soá ao = 1 . Neáu ao ≠ 1 ta chia hai veá cho ao ñeå ñöôïc phöông trình sai phaân coù daïng (7.26). Töông töï nhö ñaõ laøm ñoái vôùi heä lieân tuïc, ta ñaët caùc bieán traïng thaùi ñeå bieán ñoåi töông ñöông phöông trình sai phaân baäc n ôû treân thaønh heä n phöông trình sai phaân baäc moät. Ñaët caùc bieán traïng thaùi nhö sau: ( ) = ( ) x1 k ck ( ) =( + ) ( ) =( + ) x2 k x 1 k 1 ⇒ x2 k ck 1 ( ) =( + ) ( ) =( + ) x3 k x 2 k 1 ⇒ x3 k ck 2 ( ) =( + ) ( ) =( + − ) ( +) =( + ) xkxnn−1 k1⇒ xkckn n 1⇒ xk n 1 ckn Thay vaøo phöông trình (7.26) ta ñöôïc: ( ++) ( ) ++( ) +( ) = ( ) xkn1 axk1 nK axkaxkbrk n− 12 no 1 ( +=−) ( ) −−( ) −( ) + ( ) ⇒ xkn1 axk1 nK axkaxkbrk n− 12 no 1 Keát hôïp phöông trình treân vôùi caùc bieåu thöùc ñaët bieán traïng thaùi ta ñöôïc heä phöông trình sau:
256 CHÖÔNG 7 ( +) = ( ) xk11 xk 2  xk()()+1 = xk  2 3 M  ()()+ = xn−1 k1 xk n ()()()()()+=− −− − + xkn1 axk1 nK axkaxkbrk n− 12 no 1
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC 257 Vieát laïi döôùi daïng ma traän: ( + ) ( ) x1 k 1  01 0K 00  x1 k  0  ()+    ()    x2 k 1  00 1K 00  x2 k  0  M  = MM M MM  M  + M  r(k)         ()+ () xn−1 k 1  00 0K 01  xn−1 k  0  ()+  −− − −−  ()    xn k 1  aan n−1 a n − 2K aa 21  xn k  bo  Ñaùp öùng cuûa heä thoáng: ( ) x1 k  ()  x2 k  ()()= =   ckxk1 []10K 00 M ()  xn−1 k  ()  xn k  Ñaët: ( ) x1 k  01 0K 00  ()    x2 k  00 1K 00    =   x(k) = M Ad MM M MM ()    xn−1 k  00 0K 01  ()  −− − −−  xn k  aan n−1 a n − 2K aa 21  0    0  Bd = M  Cd = [10K 00 ]   0    b0  Ta ñöôïc heä phöông trình bieán thaùi: x()()()k+1 = Ax k + B rk  d d g ()()= c kCd x k Ví duï 7.9. Cho heä thoáng ñieàu khieån rôøi raïc moâ taû bôûi phöông trình sai phaân: 2ck( += 3) ck( ++ 25) ck( ++ 14) ck( ) = 3 rk( ) Haõy vieát heä phöông trình bieán traïng thaùi moâ taû heä thoáng. Giaûi. Ta coù: 2ck( += 3) ck( ++ 25) ck( ++ 14) ck( ) = 3 rk( ) ⇔ ck( ++305) , ck( ++ 225) , ck( ++ 12) ck( ) = 15 , rk( )
258 CHÖÔNG 7 Ñaët bieán traïng thaùi nhö sau: ( ) = ( ) x1 k ck ( ) =( + ) x2 k x 1 k 1 ( ) =( + ) x3 k x 2 k 1 Heä phöông trình bieán traïng thaùi moâ taû heä thoáng ñaõ cho laø: x()()()k+1 = Ax k + B rk  d d ()()= c kCd x k ( ) x1 k  ()  trong ñoù: x(k) = x2 k  ()  x3 k  010  01 0   =  Ad = 001  00 1  −−−  −− −  a3 a 2 a 1  2 25, 05 ,  0  0  =   Bd = 0  0     bo  1, 5  Cd = [1 0 0 ] 2- Veá phaûi cuûa phöông trình sai phaân coù chöùa sai phaân cuûa tín hieäu vaøo Xeùt heä thoáng rôøi raïc coù quan heä giöõa tín hieäu vaøo vaø tín hieäu ra moâ taû bôûi phöông trình sai phaân: ( ++) ( +−++) ( ++) ( ) = cknackn11K ackn− 1 1 ack n ( ++) ( +−++) ( ++) ( ) = brkno brkn11K brkn− 1 1 brk n (7.27) Chuù yù: ÔÛ phöông trình treân heä soá ao = 1 . Neáu ao ≠ 1 ta chia hai veá cho ao ñeå ñöôïc phöông trình sai phaân coù daïng (7.27) Ñaët caùc bieán traïng thaùi nhö sau: ( ) =( ) − β ( ) xk1 cko rk ( ) =( +) −β ( ) xkxk2 11 1 rk ( ) =( +) −β ( ) xkxk3 21 2 rk ( ) =( +−β) ( ) xkxn n−1 k1 n − 1 rk
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC 259 Töø caùch ñaët bieán traïng thaùi treân ta ruùt ra phöông trình sau: ( +=−) ( ) −( ) −−( ) +β ( ) ⇒ xkn1 axkaxk nn1− 12K axk 1 nn rk trong ñoù: β = ob o β= − β 1b 1 a 1 o β= − β− β 2b 2 a 11 a 20 β= − β− β− β 3ba 3 12 a 21 a 3 o β= − β− β− β− β 4ba 4 13 a 22 a 31 a 4 o β=−β −β −β −β −− β−β nnnbaa11223344− n − a n − a n −K aa n − 11 no Do ñoù heä phöông trình bieán traïng thaùi moâ taû heä thoáng coù daïng: x()()()k+1 = Ax k + B rk  d d ()()()= + ckCd x k D d rk trong ñoù: ( ) x1 k  01 0K 00  ()    x2 k  00 1K 00  x(k) = M  Ad = MM M MM  ()    xn−1 k  00 0K 01  ()  −− − −−  xn k  aan n−1 a n − 2K aa 21  β 1  β  2  Bd = M  Cd = [10K 00 ] Dd = βo.   β n−1  β  n  Ví duï 7.10. Cho heä thoáng rôøi raïc moâ taû bôûi phöông trình sai phaân: 23ck( ++) ck( ++ 2514) ck( ++) ckrk( ) =( ++ 23) rk( ) Haõy vieát heä phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng treân. Giaûi. Ta coù: 23ck( ++) ck( ++ 2514) ck( ++) ckrk( ) =( ++ 23) rk( ) ⇔ ck( ++305) ,, ck( ++ 225) ck( ++ 12) ck( ) = 05 ,, rk( ++ 215) rk( )
260 CHÖÔNG 7 Ñaët caùc bieán traïng thaùi: ( ) =( ) − β ( ) xk1 cko rk ( ) =( +) −β ( ) xkxk2 11 1 rk ( ) =( +) −β ( ) xkxk3 21 2 rk ( +=−) ( ) −( ) −( ) +β ( ) ⇒ xk31 axk 31 axk 22 axk 13 3 rk trong ñoù: β = = ob o 0 β= −β= ×= 1b 1 a 1 o 05, 0 05 , β= −β−β=− × − ×=− 2b 2 a 11 a 2 o 0 05,,, 05 25 0 025 , β=−β−β−β= = ×−( ) − × = 3ba 3 12 a 21 a 3 o 15,, 05 025 , 25 ,,, 05 0375 Heä phöông trình bieán traïng thaùi coù daïng: x()()()k+1 = Ax k + B rk  d d ()()()= + ckCd x k D d rk trong ñoù: ( ) x1 k  0 1 0  ()    x(k) = x2 k  Ad = 0 0 1  ()  − − −  x3 k  2 25, 05 ,  0, 5    − [ ] g Bd = 0, 25  Cd = 1 0 0 Dd = 0 0, 375  7.4.2 Thaønh laäp phöông trình traïng thaùi töø haøm truyeàn heä rôøi raïc Cho heä thoáng moâ taû bôûi haøm truyeàn: − C() z bzm+ bz m 1 ++K bzb + G() z = = o1 m− 1 m (7.28) () n+ n −1 ++ + R z zaz1K azan− 1 n Chuù yù: ÔÛ haøm truyeàn treân heä soá ao = 1 . Neáu a0 ≠ 1 ta chia töû soá vaø maãu soá cho ao ñeå ñöôïc haøm truyeàn coù daïng (7.28). Caùch 1: Bieán ñoåi töông ñöông haøm truyeàn veà daïng phöông trình sai phaân: