Giáo trình Giải tích mạng điện - Lê Kim Hùng

141 trang ngocly 680

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Giải tích mạng điện - Lê Kim Hùng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_giai_tich_mang_dien_le_kim_hung.pdf

Nội dung text: Giáo trình Giải tích mạng điện - Lê Kim Hùng

GIẢI TÍCH MẠNG GIẢI TÍCH MẠNG LỜI NĨI ĐẦU Hệ thống điện bao gồm các khâu sản xuất, truyền tải và phân phối điện năng. Kết cấu một hệ thống điện cĩ thể rất phức tạp, muốn nghiên cứu nĩ địi hỏi phải cĩ một kiến thức tổng hợp và cĩ những phương pháp tinh tốn phù hợp. Giải tích mạng là một mơn học cịn cĩ tên gọi “Các phương pháp tin học ứng dụng trong tính tốn hệ thống điện”. Trong đĩ, đề cập đến những bài tốn mà tất cả sinh viên ngành hệ thống nào cũng cần phải nắm vững. Vì vậy, để cĩ một cách nhìn cụ thể về các bài tốn này, giáo trình đi từ kiến thức cơ sở đã học nghiên cứu lý thuyết các bài tốn cũng như việc ứng dụng chúng thơng qua cơng cụ máy vi tính. Phần cuối, bằng ngơn ngữ lập trình Pascal, cơng việc mơ phỏng các phần mục của bài tốn đã được minh hoạ. Nội dung gồm cĩ 8 chương. 1. Đại số ma trận ứng dụng trong giải tích mạng. 2. Phương pháp số dùng để giải các phương trình vi phân trong giải tích mạng. 3. Mơ hình hĩa hệ thống điện. 4. Graph và các ma trận mạng điện. 5. Thuật tốn dùng để tính ma trận mạng. 6. Tính tốn trào lưu cơng suất. 7. Tính tốn ngắn mạch. 8. Xét quá trình quá độ của máy phát khi cĩ sự cố trong mạng. II. Phần lập trình: gồm cĩ bốn phần mục: 1. Xây dựng các ma trận của 1 mạng cụ thể 2. Tính tốn ngắn mạch. 3. Tính tốn trào lưu cơng suất lúc bình thường và khi sự cố. 4. Xét quá trình quá độ của các máy phát khi cĩ sự cố trong mạng điện. GV: Lê Kim Hùng Trang 1
GIẢI TÍCH MẠNG CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TÍCH MẠNG Trong chương này ta nhắc lại một số kiến thức về đại số ma trận thơng thường được ứng dụng trong giải tích mạng. 1.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN: 1.1.1. Kí hiệu ma trận: Ma trận chữ nhật A kích thước m x n là 1 bảng gồm m hàng và n cột cĩ dạng sau: a11 a 12 a1n a a a A = 21 22 2n = []a ji am1 a m 2 amn Nếu m = 1 và n >1 thì A gọi là ma trận hàng hoặc vectơ hàng. Ngược lại n = 1 và m > 1 thì A gọi là ma trận cột hoặc vectơ cột. 2 Ví dụ: A = 1 và A = 2 3 1 3 1.1.2. Các dạng ma trận: Ma trận vuơng: Là ma trận cĩ số hàng bằng số cột (m = n). Ví dụ: a11 a 12 a 13 A = a21 a 22 a 23 a31 a 32 a 33 Ma trận tam giác trên: Là ma trận vuơng mà các phần tử dưới đường chéo chính aị j của ma trận bằng 0 với i > j. a11 a 12 a 13 A = 0 a22 a 23 0 0 a33 Ma trận tam giác dưới: Là ma trận vuơng mà các phần tử trên đường chéo chính aịj của ma trận bằng 0 với i < j. a11 0 0 A = a21 a 22 0 a31 a 32 a 33 Trang 2
GIẢI TÍCH MẠNG Ma trận đường chéo: Là ma trận vuơng nếu tất cả các phần tử trên đường chéo chính khác 0, cịn các phần tử khác ngồi đường chéo chính của ma trận bằng 0 (aịj = 0 với i≠ j ). a11 0 0 A = 0a22 0 0 0 a33 Ma trận đơn vị: Là ma trận vuơng mà tất cả các phần tử trên đường chéo chính của ma trận bằng 1 cịn tất cả các phần tử khác bằng 0 (aij = 1 với i = j và aịj = 0 với i≠ j ). 1 0 0 U = 0 1 0 0 0 1 Ma trận khơng: Là ma trận mà tất cả các phần tử của ma trận bằng 0. Ma trận chuyển vị: Là ma trận mà các phần tử aịj = aji (đổi hàng thành cột và ngược lại). a11 a 12 T a11 a 21 a 31 A = a21 a 22 và A = a12 a 22 a 32 a31 a 32 T Cho ma trận A thì ma trận chuyển vị kí hiệu là At, A hoặc A’ Ma trận đối xứng: Là ma trận vuơng cĩ các cặp phần tử đối xứng qua đường chéo chính bằng nhau aịj = aji. Ví dụ: 1 5 3 A = 5 2 6 3 6 4 Chuyển vị ma trận đối xứng thì AT = A, nghĩa là ma trận khơng thay đổi. Ma trận xiên - phản đối xứng: Là ma trận vuơng cĩ A = - AT. Các phần tử ngồi đường chéo chính tương ứng bằng giá trị đối của nĩ (aịj = - aji) và các phần tử trên đường chéo chính bằng 0. Ví dụ: 0 5− 3 A = − 5 0 6 3− 6 0 Ma trận trực giao: Là ma trận cĩ ma trận chuyển vị chính là nghịch đảo của nĩ. (AT .A = U = A .AT với A là ma trận vuơng và các phần tử là số thực). Ma trận phức liên hợp: Là ma trận nếu thế phần tử a + jb bởi a - jb thì ma trận mới A* là ma trận phức liên hợp. Cho ma trận A thì ma trận phức liên hợp là A* j3 5 − j3 5 A = và A∗ = 4+j 2 1 + j 1 4−j 2 1 − j 1 -Nếu tất cả các phần tử của A là thực, thì A = A* -Nếu tất cả các phần tử của A là ảo, thì A = - A*. Ma trận Hermitian (ma trận phức đối): Là ma trận vuơng với các phần tử trên đường chéo chính là số thực cịn các cặp phần tử đối xứng qua đường chéo chính là những số phức liên hợp, nghĩa là A = (A*)t. 4 2− j 3 A = 2+ j 3 5 Trang 3
GIẢI TÍCH MẠNG Ma trận xiên - Hermitian (ma trận xiên - phức đối): Là ma trận vuơng với các phần tử trên đường chéo chính bằng 0 hoặc tồn ảo cịn các cặp phần tử đối xứng qua đường chéo chính là những số phức, tức A = - (A*)t. 0 2− j 3 A = −2 − j 3 0 Nếu ma trận vuơng phức liên hợp cĩ (A*) t. A = U = A. (A*)t thì ma trận A được gọi là ma trận đơn vị. Nếu ma trận đơn vị A với các phần tử là số thực được gọi là ma trận trực giao. Bảng 1.1: Các dạng ma trận. Kí hiệu Dạng ma trận Kí hiệu Dạng ma trận A = -A Khơng A = (A*)t Hermitian A = At Đối xứng A = - (A*)t Xiên- Hermitian A = - At Xiên-đối xứng At A = U Trực giao A = A* Thực (A*)t A = U Đơn vị A = - A* Hồn tồn ảo 1.2. CÁC ĐỊNH THỨC: 1.2.1. Định nghĩa và các tính chất của định thức: Cho hệ 2 phương trình tuyến tính a11x1 + a12x2 = k1 (1) (1.1) a21x1 + a22x2 = k2 (2) Rút x2 từ phương trình (2) thế vào phương trình (1), giải được: a22 k 1− a 12 k 2 x1 = a11 a 22− a 12 a 21 Suy ra: a11 k 2− a 21 k 1 x2 = a11 a 22− a 12 a 21 Biểu thức (a11a22 - a12a21) là giá trị định thức của ma trận hệ số A. Trong đĩ |A| là định thức. a a |A | = 11 12 a21 a 22 Giải phương trình (1.1) bằng phương pháp định thức ta cĩ: k1 a 12 a11 k 1 k2 a 22 a22 k 1− a 12 k 2 a21 k 2 a11 k 2− a 21 k 1 x1 = = và x2 = = A a11 a 22− a 12 a 21 A a11 a 22− a 12 a 21 Tính chất của định thức: a. Giá trị của định thức bằng 0 nếu: - Tất cả các phần tử của hàng hoặc cột bằng 0. - Các phần tử của 2 hàng (cột) tương ứng bằng nhau. - Một hàng (cột) là tương ứng tỉ lệ của 1 hoặc nhiều hàng (cột). b. Nếu ta đổi chổ 2 hàng của ma trận vuơng A cho nhau ta được ma trận vuơng B và cĩ det(B) = - det(A). c. Giá trị của định thức khơng thay đổi nếu: - Tất cả các hàng và cột tương ứng đổi chổ cho nhau. - Cộng thêm k vào 1 hàng (cột) thứ tự tương ứng với các phần tử của hàng (cột) đĩ. Trang 4
GIẢI TÍCH MẠNG d. Nếu tất cả các phần tử của hàng (cột) nhân với thừa số k, thì giá trị của định thức là được nhân bởi k. e. Tích của các định thức bằng tích của từng định thức. | A.B.C| = |A| .|B| .|C|. f. Định thức tổng khác tổng các định thức. |A + B - C| = |A| + |B| -|C|. 1.2.2. Định thức con và các phần phụ đại số. Xét định thức: a11 a 12 a 13 A = a21 a 22 a 23 a31 a 32 a 33 Chọn trong định thức này k hàng, k cột bất kỳ với 1 [ k [ n. Các phần tử nằm phía trên kể từ giao của hàng và cột đã chọn tạo thành một định thức cấp k, gọi là định thức con cấp k của A. Bỏ k hàng và k cột đã chọn, các phần tử cịn lại tạo thành 1 định thức con bù của định thức A. Phần phụ đại số ứng với phần tử aij của định thức A là định thức con bù cĩ kèm theo dấu (-1)i+j. 2+ 1 a12 a 13 a12 a 13 A21 =( − 1) = − a32 a 33 a32 a 33 Mối liên hệ giữa các định thức và phần phụ: - Tổng các tích của các phần tử theo hàng (cột) với phần phụ tương ứng bằng định thức |A|. - Tổng các tích của các phần tử theo hàng (cột) với phần phụ tương ứng trong hàng (cột) khác bằng 0. 1.3. CÁC PHÉP TÍNH MA TRẬN. 1.3.1. Các ma trận bằng nhau: Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu tất cả các phần tử của ma trận A bằng tất cả các phần tử của ma trận B (aij = bịj ∀ i, j; i, j = 1, 2, n). 1.3.2. Phép cộng (trừ) ma trận. Cộng (trừ) các ma trận phái cĩ cùng kích thước m x n. Ví dụ: Cĩ hai ma trận A[aij ]mn và B[bij ]mn thì tổng và hiệu của hai ma trận này là ma trận C[cij ]mn với cij = aij6 bij Mở rộng: R = A + B + C + + N với rij = aij 6 bij6 cij 6 6 nij . Phép cộng (trừ) ma trận cĩ tính chất giao hốn: A + B = B + A. Phép cộng (trừ) ma trận cĩ tính chất kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C. 1.3.3. Tích vơ hướng của ma trận: k.A = B. Trong đĩ: bij = k .aij ∀ i & j . Tính giao hốn: k.A = A.k Tính phân phối: k (A + B) = k.A + k B = (A + B) k. (với A và B là các ma trận cĩ cùng kích thước, k là 1 hằng số ). 1.3.4. Nhân các ma trận: Phép nhân hai ma trận A.B = C. Nếu ma trận A cĩ kích thước m x q và ma trận B cĩ kích thước q x n thì ma trận tích C cĩ kích thước m x n. Các phần tử cij của ma trận C là tổng các tích của các phần tử tương ứng với i hàng của ma trận A và j cột của ma trận B là: Trang 5
GIẢI TÍCH MẠNG cij = ai1 .b1j + ai2 .b2j + + aiq .bqj Ví dụ: a11 a 12 a11 b 11+ a 12 b 21 a 11 b 12+ a 12 b 22 b11 b 12 AB. = a21 a 22 x = a21 b 11+ a 22 b 21 a 11 b 12+ a 12 b 22 b21 b 22 a31 a 32 a31 b 11+ a 32 b 21 a 11 b 12+ a 12 b 22 Phép nhân ma trận khơng cĩ tính chất hốn vị: A.B ≠ B.A Phép nhân ma trận cĩ tính chất phân phối đối với phép cộng: A (B + C) = A.B + A.C. Phép nhân ma trận cĩ tính chất kết hợp: A (B.C) = (A.B) C = A.B.C. Tích 2 ma trận A.B = 0 khi A = 0 hoặc B = 0. Tích C.A = C.B khi A = B. Nếu C = A.B thì CT = BT.AT 1.3.5. Nghịch đảo ma trận: Cho hệ phương trình: a11x1 + a12x2 + a13x3 = y1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = y2 (1.2) a31x1 + a32x2 + a33x3 = y3 Viết dưới dạng ma trận A.X = Y Nếu nghiệm của hệ trên là duy nhất thì tồn tại một ma trận B là nghịch đảo của ma trận A. Do đĩ: X = B.Y (1.3) Nếu định thức của ma trận A ≠ 0 thì cĩ thể xác định xi như sau: A A A x =11 y +21 y + 31 y 1 A 1 A 2 A 3 A A A x =12 y +22 y + 32 y 2 A 1 A 2 A 3 A A A x =13 y +23 y + 33 y 3 A 1 A 2 A 3 Trong đĩ: A11, A12, A33 là định thức con phụ của a11, a12, a13 và |A| là định thức của ma trận A. Ta cĩ: A B = ji i, j = 1, 2, 3. ji A Nhân ma trận A với nghịch đảo của nĩ ta cĩ A.A-1 = A-1.A = U Rút X từ phương trình (1.3) sau khi đã nhân cả hai vế cho A-1. A.X = Y A-1.A.X = A-1 .Y U.X = A-1.Y Suy ra: X = A-1 .Y Nếu định thức của ma trận bằng 0, thì ma trận nghịch đảo khơng xác định (ma trận suy biến). Nếu định thức khác 0 gọi là ma trận khơng suy biến và là ma trận nghịch đảo duy nhất. Giả sử 2 ma trận A và B cùng cấp và là khả đảo lúc đĩ: (A.B)-1 = B-1.A-1 Nếu AT khả đảo thì (AT)-1 cũng khả đảo: (At)-1 = (A-1)t Trang 6
GIẢI TÍCH MẠNG 1.3.6. Ma trận phân chia: A1 A2 A = A3 A4 Tổng các ma trận đã phân chia được biểu diễn bởi ma trận nhỏ bằng tổng các ma trận nhỏ tương ứng. A1 A2 B1 B2 A 6B A 6B 1 1 2 3 6 = A3 A4 B3 B4 A36B3 A46B3 Phép nhân được biểu diễn như sau: A1 A2 B1 B2 C1 C2 = A A B B C C 3 4 3 4 3 4 Trong đĩ: C1 = A1.B1 + A2.B3 C2 = A1.B2 + A2.B4 C3 = A3.B1 + A4.B3 C4 = A3.B2 + A4.B4 Tách ma trận chuyển vị như sau: TT A1 A2 A 1 A 2 AT A = = T T A3 A4 A 3 A 4 Tách ma trận nghịch đảo như sau: A A B1 B2 1 2 -1 A = A = A3 A4 B3 B4 Trong đĩ: -1 -1 B1B = (A1 - A2.A4 .A3) -1 B2 = -B1.A2.A4 -1 B3 = -A4 .A3.B1 -1 -1 B4 = A4 - A4 .A3.B2 (với A1 và A4 phải là các ma trận vuơng). 1.4. SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH VÀ HẠNG CỦA MA TRẬN: 1.4.1. Sự phụ thuộc tuyến tính: Số cột của ma trận A(m x n) cĩ thể viết theo n vectơ cột hoặc m vectơ hàng. {c1}{c1} {c1} {r1}{r1} {r1} Phương trình vectơ cột thuần nhất. Trang 7
GIẢI TÍCH MẠNG p1{c1} + p2{c2} + + pn{cn} = 0 (1.4) Khi tất cả Pk = 0 (k = 1, 2, , n). Tương tự vectơ hàng là khơng phụ thuộc tuyến tính nếu. qr = 0 (r = 1, 2, , n). q1{r1} + q2{r2} + + qn{rn} = 0 (1.5) Nếu pk ≠ 0 thỏa mãn phương trình (1.4), thì vectơ cột là tuyến tính. Nếu qr ≠ 0 thỏa mãn phương trình (1.5), thì vectơ hàng là tuyến tính. Nếu vectơ cột (hàng) của ma trận A là tuyến tính, thì định thức của A = 0. 1.4.2. Hạng của ma trận: Hạng của ma trận là cấp cao nhất mà tất cả các định thức con khác 0. 0 [ r(A) [ min(m, n) với A là ma trận kích thước m x n. 1.5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH: Hệ phương trình tuyến tính của m phương trình trong n hệ số được viết: a11x1 + a12x2 + + a1nxn = y1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = y2 (1.6) am1x1 + am2x2 + + amnxn = ym Trong đĩ: ai j: Là hệ số thực hoặc phức ; xj: Là biến số ; yj: Là hằng số của hệ. Hệ phương trình được biểu diễn ở dạng ma trận như sau: A. X = Y (1.7) Ma trận mở rộng: a11 a 12 a1n y 1 a a a y Aˆ = 21 22 2n 2 am1 a m 2 amn y m Nếu yi = 0 thì hệ phương trình gọi là hệ thuần nhất, nghĩa là: A.X = 0. Nếu một hoặc nhiều phần tử của vectơ yi ≠ 0 thì hệ gọi là hệ khơng thuần nhất. Định lý: Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính cĩ nghiệm là hạng của ma trận hệ số bằng hạng của ma trận mở rộng. Hệ phương trình tuyến tính vơ nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn hạng của ma trận mở rộng. Nếu hạng của ma trận r(A) = r(Â) = r = n (số ẩn) của hệ phương trình tuyến tính (1.6) thì hệ cĩ nghiệm duy nhất (hệ xác định). Nếu r(A) = r(Â) = r < n thì hệ phương trình tuyến tính cĩ vơ số nghiệm và các thành phần của nghiệm phụ thuộc (n - r) tham số tùy ý. Trang 8
GIẢI TÍCH MẠNG CHƯƠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ 2.1. GIỚI THIỆU. Nhiều hệ thống vật lý phức tạp được biểu diễn bởi phương trình vi phân nĩ khơng cĩ thể giải chính xác bằng giải tích. Trong kỹ thuật, người ta thường sử dụng các giá trị thu được bằng việc giải gần đúng của các hệ phương trình vi phân bởi phương pháp số hĩa. Theo cách đĩ, lời giải của phương trình vi phân đúng là một giai đoạn quan trọng trong giải tích số. Trong trường hợp tổng quát, thứ tự của việc làm tích phân số là quá trình từng bước chính xác chuổi giá trị cho mỗi biến phụ thuộc tương ứng với một giá trị của biến độc lập. Thường thủ tục là chọn giá trị của biến độc lập trong một khoảng cố định. Độ chính xác cho lời giải bởi tích phân số phụ thuộc cả hai phương pháp chọn và kích thước của khoảng giá trị. Một số phương pháp thường xuyên dùng được trình bày trong các mục sau đây. 2.2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ. 2.2.1 Phương pháp Euler: Cho phương trình vi phân bậc nhất. dy = f (x, y) (2.1) dx y = g(x,c) y Hình 2.1: Đồ thị của hàm số từ bài giải phương trình vi phân y0 ∆y ∆x x 0 x 0 Khi x là biến độc lập và y là biến phụ thuộc, nghiệm phương trình (2.1) sẽ cĩ dạng: y = g(x,c) (2.2) Với c là hằng số đã được xác định từ lý thuyết trong điều kiện ban đầu. Đường cong miêu tả phương trình (2.2) được trình bày trong hình (2.1). Từ chỗ tiếp xúc với đường cong, đoạn ngắn cĩ thể giả sử là một đoạn thẳng. Theo cách đĩ, tại mỗi điểm riêng biệt (x0,y0) trên đường cong, ta cĩ: dy ∆y ≈ ∆x dx 0 dy Với là độ dốc của đường cong tại điểm (x0,y0). Vì thế, ứng với giá trị ban đầu x0 và y0, giá dx 0 trị mới của y cĩ thể thu được từ lý thuyết là ∆x: Trang 12
GIẢI TÍCH MẠNG dy y1 = y0 + ∆y hay y1 = y0 + h (đặt h = ∆x) dx 0 Khi ∆y là số gia của y tương ứng với một số gia của x. Tương tự, giá trị thứ hai của y cĩ thể xác định như sau. dy y2 = y1 + h dx 1 y y= g(x,c) y3 y2 Hình 2.2 : Đồ thị của lời giải xấp xỉ y cho phương trình vi phân bằng 1 phương pháp Euler y0 h h h dy x Khi 0= f (x1, y1 ) x0 x1 x2 x3 dx 1 Quá trình cĩ thể tính tiếp tục, ta được: dy y3 = y2 + h dx 2 dy y4 = y3 + h dx 3 Bảng giá trị x và y cung cấp cho tồn bộ bài giải phương trình (2.1). Minh họa phương pháp như hình 2.2. 2.2.2. Phương pháp biến đổi Euler. Trong khi ứng dụng phương pháp Euler, giá trị dy/dx của khoảng giả thiết tính tốn bắt đầu vượt ra ngồi khoảng cho phép. Sự thay thế đĩ cĩ thể thu được bằng cách tính tốn giá trị mới của y cho x1 như trước. x1 = x0 + h (0) dy y1 = y0 + h dx 0 (0) dy Dùng giá trị mới x1 và y1 thay vào phương trình (2.1) để tính tốn gần đúng giá trị của tại dx 1 cuối khoảng. (0) dy (0) = f (x1 , y1 ) dx 1 (0) (1) dy dy Sau đĩ tận dụng giá trị y1 cĩ thể tìm thấy bởi dùng trung bình của và như sau: dx 0 dx 1 Trang 13
GIẢI TÍCH MẠNG ⎛ dy dy (0) ⎞ ⎜ + ⎟ (1) ⎜ dx 0 dx 1 ⎟ y1 = y0 + ⎜ ⎟h ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (1) (2) Dùng x1 và y1 , giá trị xấp xỉ thứ ba y1 cĩ thể thu được bởi quá trình tương tự như sau: ⎛ dy dy (1) ⎞ ⎜ + ⎟ (2) ⎜ dx 0 dx 1 ⎟ y1 = y0 + ⎜ ⎟h ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ta được: ⎛ dy dy (2) ⎞ ⎜ + ⎟ (3) ⎜ dx 0 dx 1 ⎟ y1 = y0 + ⎜ ⎟h ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Quá trình cĩ thể tính tiếp tục cho đến khi hai số liền nhau ước lượng cho y là ngang bằng nằm trong phạm vi mong muốn. Quá trình hồn tồn lặp lại thu được giá trị y2. Kết quả thu được cĩ sự chính xác cao hơn từ sự biến đổi của phương pháp Euler được minh họa trong hình 2.3. y = g(x,c) y (0) dy y dx 1 2 Hình 2.3 : Đồ thị của lời giải xấp xỉ cho phương y1 trình vi phân bằng phương ⎛ (0) ⎞ ⎜ dy dy ⎟ pháp biến đổi Euler. + ⎜ dx 0 dx 1 ⎟ y0 ⎜ ⎟ dy 2 ⎜ ⎟ dx ⎜ ⎟ h 0 ⎝ ⎠ x 0 x0 x1 Phương pháp Euler cĩ thể ứng dụng để giải hệ phương trình vi phân cùng lúc. Cho hai phương trình: dy = f (x, y,z) dx 1 dz = f (x, y,z) dx 2 Với giá trị ban đầu x0, y0 và z0 giá trị mới y1 sẽ là: dz y1 = y0 + h dx 0 dy Với: = f1 (x0 , y0 ,z 0 ) dx 0 Tương tự. Trang 14
GIẢI TÍCH MẠNG dz z1 = z0 + h dx 0 dz Với: = f 2 (x0 , y0 , z0 ) dx 0 Cho số gia tiếp theo, giá trị x1 = x0 + h, y1 và z1 dùng để xác định y2 và z2. Trong phương pháp biến đổi Euler y1 và z1 dùng để xác định giá trị đạo hàm tại x1 cho đánh giá gần đúng cấp hai (1) (1) y1 và z1 . 2.2.3. Phương pháp Picard với sự xấp xỉ liên tục. Cơ sở của phương pháp Picard là giải chính xác, bởi sự thay thế giá trị y như hàm của x trong phạm vi giá trị x đã cho. y ⎟ g(x) Đây là biểu thức ước lượng bởi sự thay thế trực tiếp giá trị của x để thu được giá trị tương ứng của y. Cho phương trình vi phân (2.1). dy = f(x,y)dx Và tích phân giữa khoảng giới hạn cho x và y. y x 1 dy = 1 f (x, y)dx ∫∫y x 0 0 x1 Thì y1 − y0 = f (x, y)dx ∫ x 0 x1 Hay y1 = y0 + f (x, y)dx (2.3) ∫ x 0 Số hạng tích phân trình bày sự thay đổi trong kết quả của y với sự thay đổi của x từ x0 đến x1. Lời giải cĩ thể thu được bởi sự đánh giá tích phân bằng phương pháp xấp xỉ liên tục. Ta cĩ thể xem giá trị của y như hàm của x cĩ thể đã thu được bởi sự thay thế y dưới dạng tích phân với y0, cho giá trị ban đầu như sau: x (1) 1 y1 = y0 + f (x, y0 )dx ∫ x 0 Thực hiện biểu thức tích phân với giá trị mới của y bây giờ được thay thế vào phương trình (2.3) thu được lần xấp xỉ thứ hai cho y như sau: x (2) 1 (1) y1 = y0 + f (x, y1 ) dx ∫ x 0 Quá trình này cĩ thể lặp lại trong thời gian cần thiết để thu được độ chính xác mong muốn Thật vậy, ước lượng tích phân luơn luơn phức tạp thế nhưng phải giả thiết cho biến cố định. Khĩ khăn và cần thực hiện nhiều lần tích phân, nên đây là mặt hạn chế sự áp dụng của phương pháp này. Phương pháp Picard cĩ thể áp dụng để giải đồng thời nhiều phương trình như sau: dy = f (x, y, z) dx 1 dz = f (x, y, z) dx 2 Theo cơng thức, ta cĩ: x1 y1 = y0 + f1 (x, y0 , z0 ) dx ∫ x 0 x1 z1 = z0 + f 2 (x, y0 , z0 ) dx ∫ x 0 Trang 15
GIẢI TÍCH MẠNG 2.2.4. Phương pháp Runge- Kutta. Trong phương pháp Runge- Kutta sự thay đổi giá trị của biến phụ thuộc là tính tốn từ các cơng thức đã cho, biểu diễn trong điều kiện ước lượng đạo hàm tại những điểm định trước. Từ mỗi giá trị duy nhất chính xác của y cho bởi cơng thức, phương pháp này khơng địi hỏi thay thế lặp lại như phương pháp biến đổi Euler hay tích phân liên tiếp như phương pháp của Picard. Cơng thức rút gọn gần đúng xuất phát bởi sự thay thế khai triển chuổi Taylor. Runge- Kutta xấp xỉ bậc hai cĩ thể viết trong cơng thức. y1 = y0 + a1k1 + a2k2 (2.4) Với k1 = f(x0,y0)h k2 = f(x0 + b1h, y0 + b2k1)h Các hệ số a1, a2, b1 và b2 là chính xác. Đầu tiên khai triển f(x0+ b1h, y0+ b2k1) trong chuổi Taylor tại (x0,y0), ta được: ⎧ ∂f ∂f ⎫ k2 = ⎨ f (x0 , y0 ) + b1 h + b2 k1 + ⎬ h x y ⎩ ∂ 0 ∂ 0 ⎭ Thay thế hai điều kiện k1 và k2 vào trong phương trình (2.4), thu được: ∂f 2 ∂f 2 y1 = y0 + (a1 + a2 ) f (x0 , y0 )h + a2b1 h + a2b2 f (x0 , y0 ) h (2.5) ∂x 0 ∂y 0 Khai triển chuổi Taylor của y tại giá trị (x0,y0) là: dy d 2 y h 2 y = y + h + + (2.6) 1 0 dx 2 2 0 dx 0 dy d 2 y ∂f ∂f Từ = f (x0 , y0 ) và 2 = + f (x0 , y0 ) dx 0 dx 0 ∂x 0 ∂y 0 Phương trình (2.6) trở thành. ∂f h 2 ∂f h 2 y 1 = y 0 + f (x 0 , y 0 )h + + f (x 0 , y 0 ) (2.7) ∂x 0 2 ∂y 0 2 Cân bằng các hệ số của phương trình (2.5) và (2.7), ta được: a1 + a2 =1; a2b1 = 1/2; a2b2 = 1/2. Chọn giá trị tùy ý cho a1 a1 = 1/2 Thì a2 = 1/2; b1 = 1; b2 = 1. Thay thế giá trị này vào trong phương trình (2.4), cơng thức gần đúng bậc hai Runge- Kutta là: y = y + 1 k + 1 k 1 0 2 1 2 2 Với k1 = f(x0,y0)h k2 = f(x0+ h, y0 + k1)h Vì thế. ∆y = 1 (k + k ) 2 1 2 Áp dụng của phương pháp Runge-Kutta cho việc xấp xỉ bậc hai địi hỏi sự tính tốn của 3 k1 và k2. Sai số trong lần xấp xỉ là bậc h bởi vì chuổi đã cắt sau điều kiện bậc hai. Tơng quát cơng thức xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta là: y1 = y 0 + a1 k1 + a 2 k 2 + a 3 k 3 + a 4 k 4 (2.8) Với k1 = f(x0,y0)h Trang 16
GIẢI TÍCH MẠNG k2 = f(x0 + b1h, y0 + b2k1)h k3 = f(x0 + b3h, y0 + b4k2)h k4 = f(x0 + b5h, y0 + b6k3)h Tiếp theo thủ tục giống như dùng cho lần xấp xỉ bậc hai, hệ số trong phương trình (2.8) thu được là: a1 = 1/6; a2 = 2/6; a3 = 2/6; a4 = 1/6. Và b1 = 1/2; b2 = 1/2; b3 = 1/2; b4 = 1/2; b5 = 1; b6 = 1. Thay thế các giá trị vào trong phương trình (2.8), phương trình xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta trở thành. y = y + 1 (k + 2k + 2k + k ) 1 0 6 1 2 3 4 Với k1 = f(x0,y0)h h k k = f (x + , y + 1 )h 2 0 2 0 2 h k k = f (x + , y + 2 )h 3 0 2 0 2 k4 = f (x0 + h, y0 + k3 )h Như vậy, sự tính tốn của ∆y theo cơng thức địi hỏi sự tính tốn các giá trị của k1, k2, k3 và k4 : ∆y = 1/6(k1+2k2+2k3+k4) Sai số trong sự xấp xỉ là bậc h5. Cơng thức xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta cho phép giải đồng thời nhiều phương trình vi phân. dy = f (x, y, z) dx dz = g(x, y, z) dx Ta co: y1 = y0+1/6 (k1+2k2+2k3+k4) z1 = z0+1/6 (l1+2l2+2l3+l4) Với: k1= f(x0,y0,z0)h h k l k = f (x + , y + 1 z + 1 )h 2 0 2 0 2 0 2 h k l k = f (x + , y + 2 z + 2 )h 3 0 2 0 2 0 2 k4 = f(x0 + h, y0 + k3,z0 + l3)h l1 = g(x0,y0,z0)h h k l l = g(x + , y + 1 z + 1 )h 2 0 2 0 2 0 2 h k l l = g(x + , y + 2 z + 2 )h 3 0 2 0 2 0 2 l4 = g(x0 + h, y0 + k3,z0 + l3)h Trang 17
GIẢI TÍCH MẠNG 2.2.5. Phương pháp dự đốn sửa đổi. Phương pháp dựa trên cơ sở ngoại suy, hay tích phân vượt trước, và lặp lại nhiều lần việc giải phương trình vi phân. dy = f (x, y) (2.9) dx Được gọi là phương pháp dự đốn sửa đổi. Thủ tục cơ bản trong phương pháp dự dy đốn sửa đổi là xuất phát từ điểm (xn,yn) đến điểm (xn+1, yn+1). Thì thu được từ dx n+1 phương trình vi phân và sửa đổi giá trị yn+1 xấp xỉ cơng thức chính xác. Loại đơn giản của cơng thức dự đốn phương pháp của Euler là: yn+1 = yn + yn’h (2.10) ' dy Với: yn = dx n Cơng thức chính xác khơng dùng trong phương pháp Euler. Mặc dù, trong phương pháp biến đổi Euler giá trị gần đúng của yn+1 thu được từ cơng thức dự đốn (2.10) và giá trị thay thế trong phương trình vi phân (2.9) chính là y’n+1. Thì giá trị chính xác cho yn+1 thu được từ cơng thức biến đổi của phương pháp là: h y = y + (y' + y' ) (2.11) n+1 n n+1 n 2 Giá trị thay thế trong phương trình vi phân (2.9) thu được cĩ sự đánh giá chính xác hơn cho y’n+1, nĩ luơn luơn thay thế trong phương trình (2.11) làm cho yn+1 chính xác hơn. Quá trình tiếp tục lặp lại cho đến khi hai giá trị tính tốn liên tiếp của yn+1 từ phương trình (2.11) trùng với giá trị mong muốn chấp nhận được. Phương pháp dự đốn biến đổi kinh điển của Milne. Dự đốn của Milne và cơng thức biến đổi, theo ơng là: 4h y (0) = y + (2y' −y' +2y' ) n+1 n−3 3 n−2 n−1 n h Và y = y + (y' +4y' + y' ) n+1 n−1 3 n−1 n n+1 (0) Với: y'n+1 = f (xn+1 , yn+1 ) Bắt đầu của sự tính tốn địi hỏi biết bốn giá trị của y. Cĩ thể đã tính tốn bởi Runge- Kutta hay một số phương pháp số trước khi sử dụng cơng thức dự đốn sửa đổi của Milne. Sai số trong phương pháp là bậc h5. Trong trường hợp tổng quát, phương pháp mong muốn chọn h đủ nhỏ nên chỉ vài lần lặp là địi hỏi thu được yn+1 hồn tồn chính xác như mong muốn. Phương pháp cĩ thể mở rộng cho phép giải một số phương trình vi phân đồng thời. Phương pháp dự đốn sửa đổi là áp dụng độc lập đối với mỗi phương trình vi phân như một phương trình vi phân đơn giản. Vì vậy, thay thế giá trị cho tất cả các biến phụ thuộc vào trong mỗi phương trình vi phân là địi hỏi sự đánh giá đạo hàm tại (xn+1, yn+1). Trang 18
GIẢI TÍCH MẠNG 2.3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC CAO. Trong kỹ thuật trước đây mơ tả cho việc giải phương trình vi phân bậc nhất cũng cĩ thể áp dụng cho việc giải phương trình vi phân bậc cao bằng sự đưa vào của biến phụ. Ví dụ, cho phương trình vi phân bậc hai. d 2 y dy a + b + cy = 0 dx 2 dx dy Với điều kiện ban đầu x0, y0, và thì phương trình cĩ thể được viết lại như hai dx 0 phương trình vi phân bậc nhất. dy = y' dx d 2 y dy' by'+cy = = − dx 2 dx a Một trong những phương pháp mơ tả trước đây cĩ thể là việc làm đi tìm lời giải cho hai phương trình vi phân bậc nhất đồng thời. Theo cách tương tự, một vài phương trình hay hệ phương trình bậc cao cĩ thể quy về hệ phương trình vi phân bậc nhất. 2.4. VÍ DỤ VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ. Giải phương trình vi phân sẽ minh họa bằng sự tính tốn dịng điện cho mạch RL nối tiếp. t = 0 R Hình 2.4: Sự biểu diễn của mạch i(t) điện RL e(t) L Cho mạch điện RL trong hình 2.4 sức điện động hiệu dụng khi đĩng khĩa là: e(t) = 5t 0 [ t [ 0,2 e(t) = 1 t > 0,2 Điện trở cho theo đơn vị ohms là. R = 1+3i2 Và điện cảm theo đơn vị henrys là. L = 1 Tìm dịng điện trong mạch điện theo các phương pháp sau: Euler’s Biến đổi Euler. Xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta Milne’s Picard’s Trang 19
GIẢI TÍCH MẠNG Bài giải: Phương trình vi phân của mạch điện là. di L + Ri = e(t) dt Thay thế cho R và L ta cĩ: di + (1+ 3i 2 )i = e(t) dt Điều kiện ban đầu tại t = 0 thì e0 = 0 và i0 = 0. Khoảng chọn cho biến độc lập là: ∆t = 0,025. a. Phương trình theo phương pháp Euler là. di ∆in = ∆t dt n in+1 = in +∆in di 2 Với = en − (1+ 3in )in dt n dy Thay thế giá trị ban đầu vào trong phương trình vi phân, = 0 và ∆i0. Vì thế, dịng dt 0 di 2 điện i1 = 0. Tại t1 = 0,025; e1 = 0,125 và = 0,125 −{1+ 3(0) }0 = 0,125 dt 1 ∆i1 = (0,125)0,025 = 0,00313 Thì i2 = 0 + 0,00313 = 0,00313 Lập bảng kê kết quả lời giải đưa vào trong bảng 2.1 Bảng 2.1: Giải bằng phương pháp Euler Thời gian Sức điện động Dịng n tn en di di 2 in = in−1 + ∆t = en − (1 + 3in )in dt n−1 dt n 0 0,000 0,000 0,00000 0,00000 1 0,025 0,125 0,00000 0,12500 2 0,050 0,250 0,00313 0,24687 3 0,075 0,250 0,00930 0,36570 4 0,100 0,375 0,01844 0,48154 5 0,125 0,500 0,03048 0,59444 6 0,150 0.625 0,4534 0,70438 7 0,175 0,750 0,06295 0,81130 8 0,200 0,875 0,08323 0,91504 9 0,225 1,000 0,10611 0,89031 10 0,250 1,000 0,12837 0,86528 11 0,275 1,000 0,15000 0,83988 12 0,300 1,000 0,17100 Trang 20
GIẢI TÍCH MẠNG b. Phương trình của phương pháp biến đổi Euler là. (0) di ∆in = ∆t dt n (0) (0) in+1 = in + ∆in ⎛ di di (0) ⎞ ⎜ + ⎟ (1) ⎜ dt n dt n+1 ⎟ ∆in = ⎜ ⎟∆t ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (1) (1) in+1 = in + ∆in (0) di (0) 2 (0) Với = en+1 −{1+ 3(in+1) }in+1 dt n+1 di Thay thế giá trị ban đầu e0 = 0 và i0 = 0 vào trong phương trình vi phân = 0 dx 0 (0) (0) Do đĩ: ∆i0 = 0; i1 = 0 . (0) Thay thế vào trong phương trình vi phân i1 = 0 và e1 = 0,125 di (0) = 0,125 −{1+ 3(0)2}0 = 0,125 dt 1 0,125 + 0 Và ∆i(1) = ( )0,025 = 0,00156 0 2 Nên (1) i1 = 0 + 0,00156 = 0,00156 (1) Trong lời giải ví dụ cho phương pháp, khơng thực hiện lặp lại in+1 = in+1 . Bài giải thu được bằng phương pháp biến đổi Euler được đưa vào trong bảng 2.2. Bảng 2.2: Bài giải bằng phương pháp biến đổi Euler. (0) di di Thời Sức Dịng dt dt n+1 n Gian điện điện in n (0) (0) e (1) ∆in n+1 in+1 ∆i tn động en n 0 0,000 0,000 0,00000 0,00000 0,00000 0,125 0,00000 0,12500 0,00156 1 0,025 0,125 0,00156 0,12344 0,00309 0,250 0,00465 0,24535 0,00461 2 0,050 0,250 0,00617 0,34383 0,00610 0,375 0,01227 0,36272 0,00758 3 0,075 0,375 0,01375 0,36124 0,00903 0,500 0,02278 0,47718 0,01048 4 0,500 0,02423 0,47573 0,01189 0,625 0,03612 0,58874 0,01331 5 0,625 0,03754 0,58730 0,01468 0,750 0,05222 0,69735 0,01606 6 0,750 0,05360 0,69594 0,01740 0,875 0,07100 0,80293 0,01874 7 0,175 0,875 0,07234 0,80152 0,02004 1,000 0,09238 0,90525 0,02133 8 0,200 1,000 0,09367 0,90386 0,02260 1,000 0,11627 0,87901 0,02229 9 0,225 1,000 0,11596 0,87936 0,02198 1,000 0,13794 0,85419 0,02167 10 0,250 1,000 0,13763 0,85455 0,02136 1,000 0,15899 0,82895 0,02104 11 0,275 1,000 0,15867 0,82935 0,02073 1,000 0,17940 0,80328 0,02041 12 0,300 1,000 0,17908 Trang 21
GIẢI TÍCH MẠNG c. Phương trình dùng phương pháp Runge-Kutta để giải. di = e(t) − (1+ 3i2 )i dt Ta cĩ: 2 k1 = {e(tn ) − (1+ 3in )in}∆t ⎧ ⎡ 2 ⎤ ⎫ ⎪ ∆t ⎛ k1 ⎞ ⎛ k1 ⎞⎪ k2 = ⎨e(tn + ) − ⎢1 + 3⎜i n + ⎟ ⎥.⎜i n + ⎟⎬∆t 2 2 2 ⎩⎪ ⎣⎢ ⎝ ⎠ ⎦⎥ ⎝ ⎠⎭⎪ ⎧ ⎡ 2 ⎤ ⎫ ⎪ ∆t ⎛ k2 ⎞ ⎛ k2 ⎞⎪ k3 = ⎨e(t n + ) − ⎢1+ 3⎜i n + ⎟ ⎥.⎜i n + ⎟⎬∆t 2 2 2 ⎩⎪ ⎣⎢ ⎝ ⎠ ⎦⎥ ⎝ ⎠⎭⎪ 2 k4 = {e(t n + ∆t) − [1+ 3(i n + k3 ) ].(i n + k3 )}∆t ∆i = 1 (k + 2k + 2k + k ) n 6 1 2 3 4 in+1 = in + ∆in Với: e(tn) = en ∆t e + e e(t + ) = n n+1 n 2 2 e(tn + ∆t) = en+1 Thay thế giá trị ban đầu tìm được k1: k1 = 0. Tìm được k2: ⎧0 + 0,125 2 ⎫ k2 = ⎨ − []1+ 3(0) 0⎬0,025 = 0,00156 ⎩ 2 ⎭ Tìm được k3: ⎧ ⎡ 2 ⎤ ⎫ ⎪0 + 0,125 ⎛ 0,00156 ⎞ 0,00156⎪ k3 = ⎨ − ⎢1+ 3⎜ ⎟ ⎥ ⎬0,025 = 0,00154 ⎩⎪ 2 ⎣⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ 2 ⎭⎪ Tìm được k4: 2 k4 = {0 + 0,125 − [1 + 3(0,00154) ]0,00154}0,025 = 0,00309 Thì ∆i = 1 (0 + 0,00312 + 0,00308 + 0,00309) = 0,00155 0 6 Và i1 = i0 + ∆i0 = 0+ 0,00155 = 0,00155 Bài giải thu được bằng phương pháp Runge-Kutta được đưa vào trong bảng 2.3. d. Cơng thức dự đốn sửa đổi của phương pháp Milne là. 4∆t i(0) = i + (2i' −i' +2i' ) n+1 n−3 3 n−2 n−1 n ∆t i = i + (i' +4i' +i' ) n+1 n−1 3 n−1 n n+1 Với di i'n = dt n Và Trang 22
GIẢI TÍCH MẠNG di 2 = en − (1+ 3in )in dt n Các giá trị ban đầu địi hỏi phải thu được từ lời giải của phương pháp Runge-Kutta. Với i0 = 0; i1 = 0,00155; i2 = 0,00615; i3 = 0,01372. Thay thế vào phương trình vi phân, ta cĩ: i’0 = 0; i’1 = 0,12345; i’2 = 0,23485; i’3 = 0,36127. Bắt đầu tại t4 = 0,100 và thay thế vào trong cơng thức dự đốn, ước lượng đầu tiên cho i4 là: i(0) = 0 + 4 (0,025) 2(0,12345) − 0,24385 + 2(0,36127) = 0,02418 4 3 [] Thay thế e4 = 0,500 và i4 = 0,02418 vào trong phương trình vi phân, ta được: 2 i’4 = 0,500 [ 1 + 3(0,02418) ]0,02418 = 0,47578 Dự đốn và giá trị chính xác, chỉ khác nhau một số hàng thập phân vì vậy khơng địi hỏi lặp lại nhiều lần. Kết quả sau từng bước được ghi vào bảng 2.4. Tại t9 giá trị dự đốn của dịng điện là 0,11742 nhưng trong khi giá trị chính xác là 0,11639. Việc thực hiện lặp lại bởi sự thay thế giá trị chính xác trong phương trình vi phân đã thu được i’9 = 0,87888. Cứ lần lượt dùng trong cơng thức sửa đổi để thu được ước lượng thứ hai cho i9 = 0,11640, trước khi kiểm tra giá trị chính xác. Thực hiện lặp lại trong tất cả các bước để đảm bảo yêu cầu chính xác. Trang 23
B Trang ả ng 2.4: Bảng 2.3: Giải bằng phương pháp Runge-Kutta n Thời Sức Dịng en+ en+1 k1 k2 Bài gi gian điện điện k1 in + k2 in + k3 en+1 in + k3 k4 ∆in tn động in 2 2 2 ả en i b ằ ng ph 0 0,000 0,000 0,00000 0,00000 0,0625 0,00000 0,00156 0,00078 0,00154 0,125 0,00154 0,00309 0,00155 ươ 1 0,025 0,125 0,00155 0,00309 0,1875 0,00310 0,00461 0,00386 0,00459 0,250 0,00614 0,00610 0,00460 ng phápc 2 0,050 0,250 0,00615 0,00610 0,3125 0,00920 0,00758 0,00994 0,00756 0,375 0,01371 0,00903 0,00757 3 0,075 0,375 0,01372 0,00903 0,4375 0,01824 0,01048 0,01896 0,01046 0,500 0,02418 0,01189 0,01047 4 0,100 0,500 0,02419 0,01189 0,5625 0,03014 0,01331 0,03084 0,01329 0,625 0,03748 0,01468 0,01330 5 0,125 0,625 0,03749 0,01468 0,6875 0,04483 0,01606 0,04552 0,01604 0,750 0,05353 0,01740 0,01605 ủ a Milne. 6 0,750 0,05354 0,01740 0,8125 0,06224 0,01874 0,06291 0,01872 0,875 0,07226 0,02004 0,01873 7 0,175 0,875 0,07227 0,02004 0,9375 0,08229 0,02134 0,08294 0,02132 1,000 0,09359 0,02260 0,02133 8 0,200 1,000 0,09360 0,02260 1,0000 0,10490 0,02229 0,10475 0,02230 1,000 0,11590 0,02199 0,02230 9 0,225 1,000 0,11590 0,02199 1,0000 0,12690 0,02167 0,12674 0,02168 1,000 0,13758 0,02137 0,02168 10 0,250 1,000 0,13758 0,02137 1,0000 0,14827 0,02105 0,14811 0,02105 1,000 0,15863 0,02073 0,02105 11 0,275 1,000 0,15863 0,02073 1,0000 0,16900 0,02041 0,16884 0,02042 1,000 0,17905 0,02009 0,02041 12 GI Ả I TÍCH M Ạ NG 24
GIẢI TÍCH MẠNG Thời gian Sức điện Dịng điện Dịng điện N tn động en (dự đốn) in i’n (sửa đổi) in 4 0,100 0,500 0,02418 0,47578 0,02419 5 0,125 0,625 0,03748 0,58736 0,03748 6 0,150 0,750 0,05353 0,69601 0,05353 7 0,175 0,875 0,07226 0,80161 0,07226 8 0,200 1,000 0,09359 0,90395 0,09358 9 0,225 1,000 0,11742 0,87772 0,11639 0,87888 0,11640+ 10 0,250 1,000 0,13543 0,85712 0,13755 0,85464 0,13753+ 11 0,275 1,000 0,16021 0,82745 0,15911 0,82881 0,15912+ 12 0,300 1,000 0,17894 0,80387 0,17898 0,80382 0,17898+ + : giá trị sửa đổi thứ hai thu được bởi vịng lặp d. Phương trình dùng phương pháp Picard hàm tương đương khởi đầu cho i, cận i0 = 0 là: t 3 i = i0 + []e(t) − i − 3i dt ∫0 Thay thế e(t) = 5t và giá trị ban đầu i0 = 0 2 t 5t i (1) = 5 t dt = ∫0 2 Thay i(1) cho i trong phương trình tích phân, thu được: 2 6 2 3 7 t ⎛ 5t 375t ⎞ 5t 5t 375t i (2) = ⎜5t − − ⎟ dt = − − ∫0 ⎜ ⎟ ⎝ 2 8 ⎠ 2 6 56 Quá trình tiếp tục, ta được: 2 3 6 7 8 t ⎛ 5t 5t 375t 375t 125t ⎞ i (3) = ⎜5t − + − + − + ⎟ dt ∫0 ⎜ ⎟ ⎝ 2 6 8 7 8 ⎠ 5t 2 5t 3 5t 4 375t 7 = − + − + 2 6 24 56 2 3 4 6 7 t ⎛ 5t 5t 5t 375t 375t ⎞ i (4) = ⎜5t − + − − + + ⎟ dt ∫0 ⎜ ⎟ ⎝ 2 6 24 8 7 ⎠ 5t 2 5t 3 5t 4 t 5 375t 7 = − + − − + 2 6 24 24 56 Giới hạn chuổi sau số hạn bậc bốn là: 5t 2 5t 3 5t 4 i = − + 2 6 24 Nếu hàm dùng xấp xỉ i chính xác bốn số thập phân với số hạn xấp xỉ đầu tiên khơng chú ý đến sai số lớn thì . 5log t [ log0,00120 log t [ 9,415836 - 10 t [ 0,2605 Trang 25
GIẢI TÍCH MẠNG Giá trị giới hạn là hàm xấp xỉ hợp lý. Vì vậy, trong ví dụ này hàm cĩ thể dùng chỉ để thu được y cho trong khoảng 0 [ t [ 0,2; Bởi vì cho t > 0,2 thì e(t) = 1. Cho nên, hàm xấp xỉ khác phải chính xác cho trong khoảng 0,2 [ t[ 0,3 như sau: t i = 0,09367 + ()1− i − 3i 3 dt ∫0,2 t i (1) = 0,09367 + {}1 − 0,09367 − 3()0,09367 3 dt = 0,09367+ 0,90386(t- 0,2) ∫ 0,2 t i (2) = 0,09367 + {1 − 0,09367 − 0,90386()t − 0,2 − 3[]0,09367 + 0,90386(t − 0,2) 3 }dt ∫ 0,2 t = 0,09367 + 0,90386 {}1 −1,07897(t − 0,2) − 0,76189()t − 0,2 2 − 2,45089(t − 0,2) 3 dt ∫ 0,2 = 0,09367 + 0,90386 x ⎧ (t − 0,2) 2 (t − 0,2)3 (t − 0,2) 4 ⎫ x ⎨( t − 0,2) −1,07897 − 0,76189 − 2,45089 ⎬ dt ⎩ 2 3 4 ⎭ Cuối cùng, ta cĩ: i(3) = 0,09367 + 0,90386(t - 0,2) - 0,48762(t - 0,2)2 - - 0,05420(t - 0,2)3 - 0,30611(t - 0,2)4 + 0,86646(t - 0,2)5 Chuỗi giới hạn, hàm xấp xỉ là: i = 0,09367 + 0,90386(t - 0,2) - - 0,48762(t - 0,2)2 - 0,05420(t - 0,2)3 - 0,30611(t - 0,2)4 Cho i hiệu chỉnh trong bốn số thập phân, ta cĩ: 0,86646(t - 0,2)5 [ 0,00005 (t - 0,2) [ 0,14198 Hàm hợp lý cho trong khoảng 0,2 [ t [0,342 Giá trị thu được bằng phương pháp Picard được đưa vào trong bảng 2.5. 2.5. SO SÁNH CÁC PHƯƠNG PHÁP. Trong bài giải của phương trình vi phân hàm quan hệ giữa biến phụ thuộc y và biến độc lập x cần tìm để thỏa mãn phương trình vi phân. Bài giải trong giải tích là rất khĩ và cĩ một số vấn đề khơng thể tìm được. Phương pháp số dùng để tìm lời giải bằng cách biểu diễn y như một số hàm của biến độc lập x từ mỗi giá trị xấp xỉ của y cĩ thể thu được bằng sự thay thế hồn tồn hay biểu diễn tương đương quan hệ giữa các giá trị liên tiếp của y xác định cho việc chọn giá trị của x. Phương pháp Picard là phương pháp số kiểu đầu tiên. Phương pháp Euler, Runge-Kutta, và Milne là ví dụ cho kiểu thứ hai. Khĩ khăn chủ yếu phát sinh từ phương pháp xấp xỉ y bằng hàm số, như phương pháp Picard, tìm thấy trong lần lặp lại sự tích phân hiện tại phải thực hiện để thu được hàm thỏa mãn. Vì vậy phương pháp này là khơng thực tế trong hầu hết các trường hợp và ít được dùng. Trang 26
GIẢI TÍCH MẠNG Bảng 2.5: Giải bằng phương pháp Picard. n Thời gian tn Sức điện động en Dịng điện in 0 0 0 0 1 0,025 0,125 0,00155 2 0,050 0,250 0,00615 3 0,075 0,375 0,01372 4 0,100 0,500 0,02419 5 0,125 0,625 0,03749 6 0,150 0,750 0,05354 7 0,175 0,875 0,07229 8 0,200 1,000 0,09367 9 0,225 1,000 0,11596 10 0,250 1,000 0,13764 11 0,275 1,000 0,15868 12 0,300 1,000 0,17910 Các phương pháp theo kiểu thứ hai địi hỏi phép tính số học đơn giản đo đĩ thích hợp cho việc giải bằng máy tính số của các phương trình vi phân. Trong trường hợp tổng quát, đơn giản quan hệ địi hỏi dùng trong một khoảng nhỏ cho các biến độc lập nhưng ngược lại nhiều phương pháp phức tạp cĩ thể dùng trong khoảng tương đối lớn tốn nhiều cơng sức trong việc chính xác hĩa lời giải. Phương pháp Euler là đơn giản nhất, nhưng trừ khi khoảng tính rất nhỏ thì dùng nĩ cũng khơng đúng với thực tế. Phương pháp biến đổi Euler cũng sử dụng đơn giản và cĩ thêm thuận lợi kiểm tra hệ thống vốn cĩ trong quá trình thu được để cải thiện sự ước lượng cho y. Phương pháp cĩ sự chính xác giới hạn, vì vậy địi hỏi dùng khoảng giá trị nhỏ cho biến độc lập. Phương pháp Runge-Kutta địi hỏi số rất lớn của phép tính số học, nhưng kết quả cũng khơng chính xác. Phương pháp dự đốn sửa đổi của Milne là ít khĩ khăn hơn phương pháp Runge-Kutta và so sánh được độ chính xác của bậc h5. Vì vậy, phương pháp của Milne địi hỏi cĩ bốn giá trị ban đầu cho biến phụ thuộc phải thu được bằng một số phương pháp khác, hầu như phương pháp biến đổi Euler hay phương pháp Runge-Kutta, là như nhau. Trong sự ứng dụng máy tính cho phương pháp số. Chương trình địi hỏi bắt đầu lời giải như phương pháp của Milne. Lời giải tiếp tục dùng cơng thức khác cho dự đốn và sau đĩ sửa chữa giá trị của y cung cấp quá trình hệ thống cho kiểm tra tốt bằng sửa chữa ước lượng ban đầu. Nếu sự khác nhau giữa dự đốn và giá trị chính xác là đáng kể, khoảng tính cĩ thể được rút gọn lại. Khả năng trong phương pháp của Milne khơng cĩ hiệu lực trong phương pháp Runge-Kutta. Trang 27
GIẢI TÍCH MẠNG Bài tập: 2.1. Giải phương trình vi phân. dy = x2 − y dx Cho 0 [ t [ 0,3; với khoảng phương trình 0,05 và giá trị ban đầu x0 = 0 và y0 = 1, bằng các phương pháp số sau đây. Euler Biến đổi Euler. Picard Xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta Milne dùng giá trị bắt đầu thu được phương pháp Runge-Kutta 2.2. Giải bằng phương pháp biến đổi Euler hệ phương trình vi phân. dx = 2y dt dy x = − dt 2 Cho 0 [ t [ 1,0; Với khoảng phương trình 0,2 và giá trị ban đầu i0 = 0,x0 = 0 và y0 = 1 2.3. Giải bằng xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta phương trình vi phân bậc hai. y’’ = y + xy’ Cho 0 [ x [ 0,4; Với khoảng phương trình 0,1 và giá trị ban đầux0 = 0,y0 = 1, và y’0 = 0 Trang 28
GIẢI TÍCH MẠNG CHƯƠNG 3 MƠ HÌNH HĨA CÁC PHẦN TỬ TRONG HỆ THỐNG ĐIỆN 3.1. GIỚI THIỆU: Trong hệ thống điện gồm cĩ các thành phần cơ bản sau: a. Mạng lưới truyền tải gồm: - Đường dây truyền tải. - Biến áp. - Các bộ tụ điện tĩnh, kháng điện. b. Phụ tải. c. Máy phát đồng bộ và các bộ phận liên hợp: Hệ thống kích từ, điều khiển Các vấn đề cần xem xét ở đây là: Ngắn mạch, trào lưu cơng suất, ổn định quá độ. Mạng lưới truyền tải được giả thiết là ở trạng thái ổn định vì thời hằng của nĩ nhỏ hơn nhiều so với máy phát đồng bộ. 3.2. MƠ HÌNH ĐƯỜNG DÂY TRUYỀN TẢI. 3.2.1. Đường dây dài đồng nhất. Đường dây dài đồng nhất là đường dây cĩ điện trở, điện kháng, dung kháng, điện dẫn rị phân bố đều dọc theo chiều dài đường dây, cĩ thể tính theo từng pha và theo đơn vị dài. Trong thực tế điện dẫn rị rất nhỏ cĩ thể bỏ qua. Chúng ta chỉ quan tâm đến quan hệ giữa điện áp và dịng điện giữa hai đầu đường dây, một đầu cấp và một đầu nhận. Khoảng cách tính từ đầu cấp đến đầu nhận. Để tính tốn và xem xét mối quan hệ giữa điện áp và dịng điện trên từng điểm của đường dây ta cĩ mơ hình tốn học như sau: (xem hình 3.1). Tại tọa độ x lấy vi phân dx trên mỗi pha so với trung tính và khảo sát phân tố dx. IS I + dI IR + Hình 3.1 : Quan hệ điện áp + V và dịng điện ở phân tố dài S V + dV V VR - của đường dây truyền tải - x =1 dx x = 0 Đầu cấp Đầu nhận Với phân tố dx này ta cĩ thể viết: dV = I .z .dx dV Hay = I.z (3.1) dx Và dI = V. y . dx Với z: Tổng trở nối tiếp của mỗi pha trên mỗi đơn vị dài y: Tổng dẫn rẽ nhánh của mỗi pha trên mỗi đơn vị dài dI Hay =V.y (3.2) dx Trang 29
GIẢI TÍCH MẠNG Lấy vi phân bậc 2 của (3.1) và (3.2) theo x ta cĩ: d 2V dI = z. (3.3) dx2 dx d 2 I dV = y. (3.4) dx2 dx Thế (3.1) và (3.2) vào (3.3) và (3.4) ta cĩ: d 2V = z.y.V (3.5) dx2 d 2 I = z.y.I (3.6) dx2 Giải (3.5) ta cĩ dạng nghiệm như sau: V = A1 exp( zy.x) + A2 exp(− zy.x) (3.7) Thay (3.7) vào đạo hàm bậc nhất (3.1) ta cĩ dịng điện 1 1 I = A exp( zy.x) − A exp(− zy.x) (3.8) z 1 z 2 y y A1 và A2 được xác định từ điều kiện biên: V = VR và I = IR ở x = 0; Thay vào (3.7) và (3.8) cân bằng ta được: z V + .I R y R A = (3.9) 1 2 z V − .I R y R A = (3.10) 2 2 Đặt Z = z : Gọi là tổng trở đường dây c y γ = z.y : Gọi là hằng số truyền sĩng Vậy (3.9) và (3.10) được viết gọn như sau: V + I .Z V − I .Z V(x) = R R c exp(γ .x) + R R c exp(−γ .x) (3.11) 2 2 V V R + I R − I Z R Z R I (x) = c exp(γ .x) − c exp(−γ .x) (3.12) 2 2 Cơng thức (3.11) và (3.12) dùng để xác định điện áp và dịng điện tại bất cứ điểm nào của đường dây theo tọa độ x. Ta viết (3.11) lại như sau: V(x) =V . 1 .[]exp (γ . x) + exp ( − γ . x) + I .Z . 1 [ exp (γ . x) − exp (−γ . x)] R 2 R C 2 (3.13) =V .ch(γ . x) + I .Z .sh(γ . x) R R C Tương tự (3.12) VR I (x) = I R ch(γ . x) + .sh(γ . x) (3.14) ZC Khi x = 1 ta cĩ điện áp và dịng điện ở đầu cấp: Trang 30
GIẢI TÍCH MẠNG VS = VR .ch(γ .x) + I R .ZC .sh(γ .x) (3.15) VR I S = .sh(γ .x) + I R .ch(γ .x) (3.16) ZC 3.2.2. Sơ đồ tương đương đường dây dài (l > 240): Sử dụng cơng thức (3.15) và (3.16) để lập sơ đồ tương đương của đường dây dài như hình 3.2 (gọi là sơ đồ hình π). IS Zπ IR + + Hình 3.2 : Sơ đồ π của đường dây VS VR truyền tải Y Y - π1 π2 - Từ sơ đồ hình 3.2 ta cĩ: VS =VR + Zπ . I R + VR.Yπ 2 .Zπ = (1 + Yπ 2 .Zπ )VR + Zπ .I R (3.17) I S = (I R +VR.Yπ 2 ) +VSYπ1 (3.18) Thay VS ở (3.17) vào (3.18) và đơn giản hĩa ta được: I S = [(Yπ1 + Yπ 2 ) + Zπ .Yπ1.Yπ 2 ].YR + (1+ Zπ .Yπ1 )I R (3.19) Đồng nhất (3.17) và (3.19) tương ứng với (3.15) và (3.16) ta cĩ: Zπ = ZC sh (γ .l) (3.20) Yπ1 = Yπ2 = Yπ (3.21) (1+Zπ.Yπ) = ch (γ .l) (3.22) ch(γ .l) −1 1 ⎛ γ .l ⎞ Vậy: Yπ = = .th⎜ ⎟ (3.23) ZC .sh(γ .l) ZC ⎝ 2 ⎠ Viết gọn (3.20) và (3.23) lại ta cĩ: sh(γ .l) z.l .sh(γ .l) Z = Z .y.l = (3.24) π C γ .l γ .l y. l th(γ . l ) th(γ . l ) 2 2 y.l 2 Yπ = . = . (3.25) ZC γ . l 2 γ . l 2 2 Sử dụng sơ đồ hình (3.3) và khai triển sh và ch ta cĩ thể tính Yπ và Zπ đến độ chính xác cần thiết. Thơng thường trong sơ đồ nối tiếp chỉ cần lấy 2 hay 3 phần tử là đạt yêu cầu chính xác: x3 x5 Sh(x) = x + + + + 3! 5! x2 x4 Ch(x) =1 + + + + (3.26) 2! 4! x3 2 17 Th(x) = x − + x5 − x7 + 3 15 315 Trang 31
GIẢI TÍCH MẠNG sh(γ .l) z.l . Is γ .l IR + + V y.( l ) th(γ . l ) th(γ . l ) V R S 2 2 y.l 2 - . . - Z γ . l 2 γ .( l ) c 2 2 Hình 3.3 : Sơ đồ π của mạng tuyền tải Nếu chỉ lấy hai số hàng đầu. ⎡ (γ .l) 2 ⎤ Zπ ≈ z.l .⎢1+ ⎥ ⎣ 6 ⎦ 2 2 γ .l ⎡ 1 ⎛ γ .l ⎞ ⎤ γ .l ⎡ ⎛ γ .l ⎞ ⎤ Yπ ≈ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ = ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ (3.27) 2 ⎣⎢ 3 ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ 2 ⎣⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ 3.2.3. Sơ đồ tương đương của đường dây trung bình: Gồm các đường dây cĩ γ.l << 1 gọi là đường dây trung bình (240km) Zπ = z.l = Z (tổng các tổng trở nối tiếp) y.l Y Y = = (nửa của tổng dẫn rẽ) π 2 2 I ZT1 ZT1 I IS Z IR S R + + + + V V VS YT VR S Y/2 Y/2 R - - - - Hình 3.4 : Sơ đồ đối xứng π của Hình 3.5 : Sơ đồ đối xứng T của đường dây truyền tải đường dây truyền tải Sơ đồ thu được theo giả thiết gọi là sơ đồ đối xứng π (hình 3.4) và cịn cĩ một sơ đồ thể hiện khác nửa gọi là sơ đồ đối xứng T (hình 3.5) Tính tốn tương tự như sơ đồ π ta cĩ (sơ đồ T) th(γ . l ) z.l 2 ZT1 = ZT 2 = ZT = . 2 γ . l 2 sh(γ .l) Và Y = y.l T γ .l Với sơ đồ đối xứng T (yl << 1) cĩ thể rút gọn như hình 3.6 Hai sơ đồ tương xứng này cĩ độ chính xác như nhau nhưng thơng thường hay dùng sơ đồ p vì khơng phải tính thêm nữa. Trong trường hợp đường dây khá ngắn (l [ 80km) cĩ thể bỏ qua tổng dẫn mạch rẽ ở cả hai sơ đồ p và T và thu gọn chỉ cịn một tổng dẫn nối tiếp Z (hình 3.7) Trang 32
GIẢI TÍCH MẠNG IS Z/2 Z/2 IR Z IS IR + + + + VS Y V R VS VR - - - - Hình 3.7 : Sơ đồ tương đương của đường Hình 3.6 : Sơ đồ đối xứng T dây tuyền tải ngắn 3.2.4. Thơng số A, B, C, D: Các thơng số A, B, C, D được sử dụng để thiết lập các phương trình quan hệ giữa điện áp và dịng điện ở đầu cung cấp và đầu nhận của đường dây truyền tải. Bảng 3.1 : Tham số A, B, C, D cho từng loại sơ đồ Loại đường dây A B C D -Đường dây dài Y.Z Z .sh(γ.l) = Z(1+ sh(γ .l) ch(γ .l) = A ch(γ .l) =1 + C = Y(1+ đồng nhất 2 2 2 Y.Z Y .Z ZC 2 2 + + Y .Z 6 240 2 2 + + Y.Z Y .Z 24 + + -Đường dây trung 6 120 bình .Sơ đồ đối xứng T A Y .Z Y .Z .Sơ đồ đối xứng p 1 + Z (1 + ) Y -Đường dây ngắn 2 4 A Y .Z Y .Z Z Y(1 + ) 1 + 4 2 Z 0 1 A Ví dụ: Đẳng thức 3.15 và 3.16 được viết lại như sau: VS = A.VR + B.IR IS = C.VR + D.IR Bảng 3.1 cho giá trị A, B, C, D của từng loại đường dây truyền tải. Đường dây dài, đường dây trung bình và đường dây ngắn, các thơng số này cĩ đặc tính quan trọng là: A.D - B.C = 1 (3.28) Điều này đã được chứng minh. 3.2.5. Các dạng tổng trở và tổng dẫn: Xét các đường dây truyền tải theo các tham số A, B, C, D các phương trình được viết dưới dạng ma trận: ⎡VS ⎤ ⎡A B⎤ ⎡VR ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ × ⎢ ⎥ (3.29) ⎣I S ⎦ ⎣C D⎦ ⎣I R ⎦ Phương trình 3.29 được viết lại theo biến IS và IR sử dụng kết quả: A.D - B.C = 1 Như sau: Trang 33
GIẢI TÍCH MẠNG ⎡VS ⎤ ⎡ZSS ZSR⎤ ⎡I S ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ × ⎢ ⎥ (3.30) ⎣VR ⎦ ⎣ZRS ZRR⎦ ⎣I R ⎦ Với ZSS = A/C; ZSR = -1/C; ZRS = 1/C; ZRR = -D/C Cơng thức (3.30) được viết dưới dạng kí hiệu: V = Z.I (3.31) Thêm một cách biểu diễn IS, IR theo biến VS, VR như sau: ⎡I S ⎤ ⎡YSS YSR⎤ ⎡VS ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ × ⎢ ⎥ (3.32) ⎣I R ⎦ ⎣YRS YRR⎦ ⎣VR ⎦ Hay I = Y. V Với: YSS = D/B; YSR = -1/B; YRS = 1/B; YRR = -A/B Ở đây ma trận Z là ma trận tổng trở mạch hở, ma trận Y là ma trận tổng dẫn ngắn mạch và đảm bảo Z = Y-1 của mạng hai cửa. Ở chương sau sẽ tính mở rộng cho mạng n cửa. 3.2.6. Các thơng số Z và Y dùng cho các giới thiệu khác: Từ bảng 3.1 các đẳng thức 3.30 và 3.31 thơng số Z và Y được tính như sau (dùng cho sơ đồ p) Y .Z Y = D = (1 + ) / Z = 1 + Y SS B 2 2 2 Y = − 1 = − 1 ;Y = 1 (3.33) Các SR B 2 RS 2 Y .Z Y = − A = −(1 + ) / Z = −(1 + Y ) RR B 2 2 2 tham số này cĩ thể tính trực tiếp từ sơ đồ hình 3.4 viết ra các phương trình nút và loại dịng nhánh giữa. 3.3. MÁY BIẾN ÁP: 3.3.1. Máy biến áp 2 cuộn dây: Sơ đồ tương đương của máy biến áp (MBA) như hình 3.8. Các tham số được quy về phía sơ cấp (phía 1). 2 2 ⎛ N ⎞ ⎛ N1 ⎞ ⎜ 1 ⎟ R ⎜ ⎟ X ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ 2 I R1 X1 ⎝ N 2 ⎠ ⎝ N2 ⎠ 1 + + I2 R V 1 m Xm V2 - - Hình 3.8 : Sơ đồ tương đương của máy biến áp Trang 34
GIẢI TÍCH MẠNG Trong MBA lực, nhánh từ hĩa cĩ dịng khá nhỏ cĩ thể lượt đi và sơ đồ tương đương được rút gọn như hình 3.9 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ N ⎞ N1 1 R + ⎜ ⎟ R X1 + ⎜ ⎟ X 2 1 ⎜ ⎟ 2 ⎜ N ⎟ I1 ⎝ N2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ I2 + + V1 V2 - - R X I I 2 1 + + V1 V2 - - Hình 3.9 : Sơ đồ tương đương đơn giản hĩa của MBA 3.3.2. Máy biến áp từ ngẫu: Máy biến áp từ ngẫu (MBATN) gồm cĩ một cuộn dây chung cĩ số vịng N1 và một cuộn dây nối tiếp cĩ số vịng N2, sơ đồ 1 pha và 3 pha ở dưới. Đầu cực a-n đại diện cho phía điện áp thấp và đầu cực a’-n’ đại diện cho phía điện áp cao. Tỉ lệ vịng tồn bộ là: Va' N = 1+ 2 = 1+ a = N Va N Ia’ 1 (a’) (a’) (a) N N I 2 2 N1 (a) V ’ (c’) a (b) N1 Va N1 IN2 (n) (n) (b’) (c) Hình 3.10 : MBA từ ngẫu 3 pha Hình 3.11 : Sơ đồ 1 pha của MBATN Hình 3 9: Sơ đồ tương đương đơngiản Sơ đồ tương đương của MBATN được mơ phỏng như hình 3.12, trong đĩ Zex là tổng trở đo được ở phía hạ khi phía cap áp ngắn mạch. Hai tổng trở ngắn mạch nữa được tính là: - ZeH: Tổng trở đo được ở phía cao áp khi số vịng N1 bị ngắn mạch nối tắt cực a-n. Và dễ dàng chứng minh từ hình 3.12 (phép quy đổi) 2 ZeH = Zex N (3.34) - ZeL: Tổng trở đo được phía hạ áp khi số vịng N2 bị ngắn mạch nối tắt cực a-a’ Trang 35
GIẢI TÍCH MẠNG hình 3.13. I Z I a ex 1:N a’ I a a’ a 1:N a’ + a + + I Z I + 1 ex a’ Va Va V a V a’ - ’ - - - n n’ n n’ Hình 3.13 : Sơ đồ tương đương khi Hình 3.12 : Sơ đồ tương đương của MBATN nối a-a’ của MBATN Từ sơ đồ hình 3.13 ta cĩ: Va = Va’ V (N −1) I = (V − a' ) / Z =V / Z (3.35) 1 a N ex a N ex Đối với máy biến áp lý tưởng số ampe vịng bằng zero cho nên chúng ta cĩ: I1 = Ia’ N Hay Ia’ = I1/N Với: Ia + Ia’ = I1 Vì vậy: N −1 I = I . a 1 N Tổng trở : 2 Va Va N ⎛ N ⎞ Z eL = = = ⎜ ⎟ Z ex I a I1 (N −1) ⎝ N −1⎠ Do đĩ: 2 ⎛ N −1⎞ Zex = ⎜ ⎟ ZeL (3.36) ⎝ N ⎠ Sử dụng (3.34) ta cĩ: 2 2 ZeH = (N-1) Z eL = a ZeL * Nhược điểm của MBATN: - Hai phía cao và hạ áp khơng tách nhau về điện nên kém an tồn - Tổng trở nối tiếp thấp hơn MBA 2 cuộn dây gây ra dịng ngắn mạch lớn * Ưu điểm của MBATN: - Cơng suất đơn vị lớn hơn MBA 2 cuộn dây nên tải được nhiều hơn - Độ lợi càng lớn khi tỉ số vịng là 2:1 hoặc thấp hơn Ví dụ minh họa: Cho một MBA 2 cuộn dây cĩ thơng số định mức là 22KVA, 220/110V, f = 50Hz. Cuộn A là 220V cĩ Z = 0,22 + j0,4 (Ω) cuộn B là 110V cĩ tổng trở là Z = 0,05 + j0,09 (Ω). MBA đấu theo dạng từ ngẫu cung cấp cho tải 110V với nguồn 330V. Tính Zex, ZeL, ZeH dịng phụ tải là 30A. Tìm mức điều tiết điện áp. Giải: Cuộn B là cuộn chung cĩ N1 vịng, cuộn A là cuộn nối tiếp cĩ N2 vịng. Vậy N2 /N1 = 2 = a và N = a+1 = 3, do ZA = 0,24 + j0,4 (Ω), ZB = 0,05 + j0,09 (Ω) Nên: 2 ZeH = ZA + a ZB = 0,44+ j0,76 (Ω) 2 ZeL = ZB + ZA/a = 0,11+j0,19 (Ω) Trang 36
GIẢI TÍCH MẠNG 2 ZeH ⎛ N −1⎞ Zex = = ZeL ⎜ ⎟ = 0,049 + j0,08(Ω) N 2 ⎝ N ⎠ I . R.cosθ + I . X .sinθ Mức điều chỉnh điện áp = .100% V 30 0,44.0,9 + 0,76.0,437 = . .100% = 2,21% 3 330 3.3.3. Máy biến áp cĩ bộ điều áp: Do phụ tải luơn thay đổi theo thời gian dẫn đến điện áp của hệ thống điện cũng thay đổi theo. Để giữ cho điện áp trên các dây dẫn nằm trong giới hạn cho phép người ta điều chỉnh điện áp một hoặc hai phía của MBA bằng cách đặt bộ phân áp vào MBA nĩi chung là đặt phía cao áp để điều chỉnh mềm hơn. Khi tỉ số vịng N bằng tỉ số điện áp định mức ta nĩi đĩ là tỉ lệ đồng nhất. Khi chúng khơng bằng ta nĩi tỉ lệ là khơng đồng nhất. Bộ điều áp cĩ hai loại: -Bộ điều áp dưới tải -Bộ điều áp khơng tải Bộ điều áp dưới tải cĩ thể điều chỉnh tự động hoặc bằng tay, khi điều chỉnh bằng tay phải dựa vào kinh nghiệm và tính tốn trào lưu cơng suất trước đĩ. Tỉ số đầu phân áp cĩ thể là số thực hay số phức trong trường hợp là số phức điện áp ở hai phía khác nhau về độ lớn và gĩc pha. MBA này gọi là MBA chuyển pha. 3.3.4. Máy biến áp cĩ tỉ số vịng khơng đồng nhất: Chúng ta xét trường hợp tỉ số vịng khơng đồng nhất là số thực cần xét hai vấn đề sau: - Giá trị tương đối của tổng trở nối tiếp của MBA đặt nối tiếp trong máy biến áp lý tưởng cho phép cĩ sự khác nhau trong điện áp, tỉ lệ khơng đồng nhất được mơ tả trên sơ đồ bằng chữ a và giả thiết rằng a nằm xung quanh 1 (a ≠ 1) - Giả thiết tổng trở nối tiếp của MBA khơng đổi khi đầu phân áp thay đổi vị trí. MBA khơng đồng nhất được mơ tả theo hai cách như hình 3.14, tổng dẫn nối tiếp trong hai 2 cách cĩ quan hệ là Y1’ = Y1/a . a:1 Y1 p q (1) Hình 3.14 : Hai cách giới thiệu máy biến áp khơng ’ a:1 đồng nhất Y 1 p q (2) Với tỉ lệ biến áp bình thường là a:1 phía a gọi là phía điều áp. Vì vậy trong sơ đồ 1 tổng dẫn nối tiếp được nối đến phía 1 cịn sơ đồ 2 thì được nối đến phía a. a:1 Y1 p q a Hình 3.15 : Sơ đồ tương đương của MBA khơng đồng nhất Xét hình 3.15 của MBA khơng đồng nhất ở đây tổng trở nối tiếp được nối đến phía đơn vị của bộ điều áp. Mạng hai cửa tương đương của nĩ là: Trang 37
GIẢI TÍCH MẠNG Ở nút p: 2 I pq = (Vp − aVq )Y1 / a V Y V Y (3.37) = p 1 − q 1 a2 a Ở nút q: V I ' = (V − p )Y pq q a 1 (3.38) V .Y =V .Y − p 1 q 1 a Y1 Y1/a Ipq I’pq Ipq I’pq p q p q + + + + (1− a) (a −1) Vp Y2 Y3 Vq Vp Y Y Vq 1 2 1 2 - - a a - 0 0 - 0 0 (a) (b) Ipq aY’1 I’pq p q + + V (1-a)Y’1 a(a-1)Y’1 V p q 0 - - 0 (c) Hình 3.16 : Sơ đồ tương đương của MBA khơng đồng nhất Ở sơ đồ hình 3.16a ta cĩ: Ipq = VpY2 + (Vp-Vq)Y1 (3.39) I’pq = VqY3 + (Vq-Vp)Y1 (3.40) Đồng nhất (3.39) và (3.40) với (3.37) và (3.38) ta được: 2 Y1 + Y2 = Y1/a Y1 =Y1/a Y1 + Y3 = Y1 Y Y Y Y Giải ra ta được: Y = 1 ; Y = 1 − 1 ; Y = Y − 1 1 a 2 a2 a 3 1 a Sơ đồ là hình 3.16b. Chú ý tất cả tổng dẫn trong sơ đồ tương đương là hàm của tỉ số vịng a. Và dấu liên hợp giữa Y2 và Y 3 luơn ngược. Ví dụ: Nếu Y1 là điện kháng a > 1; Y2 là điện kháng; Y3 là điện dung; nếu a < 1; Y2 là dung kháng và Y3 là điện kháng. Sơ đồ hình 3.16c là sơ đồ tương đương theo Y’1 khi a → 1 thì tổng trở mạch rẽ → ∞ và tổng dẫn nối tiếp tiến đến Y1. 3.3.5. Máy biến áp chuyển pha: Trong hệ thống điện liên kết cĩ mạch vịng hay đường dây song song, cơng suất thật truyền trên đường dây được điều khiển bằng máy biến áp chuyển pha, MBA cĩ tỉ số vịng là số phức thì độ lớn và gĩc pha điện áp phụ thuộc vào vị trí của bộ điều áp. Khi cuộn sơ cấp và cuộn thứ cấp được quấn trên cùng một lõi thì chúng cĩ cùng pha và tỉ lệ phân áp là thực. Tuy nhiên trong máy biến áp từ ngẫu chuyển pha cuộn sơ cấp và cuộn thứ cấp được bố trí tùy theo độ lệch pha để khi thay đổi đầu phân áp thì gĩc pha cũng thay đổi theo. Sơ đồ minh họa ở hình 3.17a, sơ đồ đơn giản hĩa chỉ cĩ một pha của MBATN chuyển pha là đầy đủ để cho gọn gàng, dễ thấy cuộn dây thứ 2 của pha a bị làm lệch điện áp đi 900 so với pha a. Trang 38
GIẢI TÍCH MẠNG Ở sơ đồ vectơ hình 3.17b khi đầu phân áp chạy từ R → A thì điện áp thay đổi từ zero đến aa’ kết quả là điện áp thứ cấp thay đổi từ oa đến oa’. a A a’ R a’ a A R b b’ A c c R b c’ (b) (a) Hình 3.17 : Máy biến áp từ ngẫu chuyển pha gồm cả ba pha a. Sơ đồ đấu dây b. Sơ đồ vectơ Như hình 3.17 ta thấy rằng điện áp ở cuộn nối tiếp cao hơn bình thường cho phép cơng suất lớn hơn chạy trên đường dây nghĩa là: Thay vì lắp máy biến áp thường ta lắp máy biến áp chuyển pha sẽ cho phép nâng cao điện áp cấp và đường dây mang tải nhiều hơn. 3.3.6. Máy biến áp ba cuộn dây. Máy biến áp ba cuộn dây sử dụng trong những trường hợp cần cung cấp cho phụ tải ở hai cấp điện áp từ một cuộn dây cung cấp. Hai cuộn dây này gọi là cuộn thứ hai và cuộn thứ ba (hình 3.18). Cuộn thứ 3 ngồi mục đích trên cịn cĩ mục đích khác, chẳng hạn được nối vào tụ để chặn sĩng bậc 3. Trên sơ đồ ta ký hiệu 11’ là cuộn sơ cấp (P), 22’ là cuộn thứ 2 (S), 33’ là cuộn thứ 3 (T). P S c d Hình 3.18 : Máy biến áp ba cuộn dây c d ’ ’ e T e Các tham số đo được từ thí nghiệm là: ZPS: Là tổng trở cuộn sơ cấp khi ngắn mạch cuộn 2 và hở mạch cuộn 3 ZPT: Là tổng trở cuộn sơ cấp khi ngắn mạch cuộn 3 và hở mạch cuộn 2 ’ Z ST: Là tổng trở cuộn thứ cấp khi cuộn sơ cấp hở mạch và cuộn 3 ngắn mạch 2 ⎛ N ⎞ ’ ⎜ P ⎟ Z ST’ quy đổi về phía sơ cấp là: ZST = ⎜ ⎟ .Z'ST ⎝ N S ⎠ Sơ đồ tương đương của MBA ba cuộn dây hình 3.19 ZPS, ZPT, ZST, quy đổi về phía sơ cấp. Theo cách đo ngắn mạch ta cĩ: ZPS = ZP + ZS (3.41) ZPT = ZP + ZT (3.42) ZST = ZS + ZT (3.43) Trừ (3.42) đi (3.43) ta cĩ: Trang 39
GIẢI TÍCH MẠNG ZPT - ZST = ZP - ZS (3.44) Từ (3.41) và (3.44) ta cĩ: ZP =1/2 (ZPS + ZPT -ZST) (3.45) ZS =1/2 (ZPS + ZST -ZPT) (3.46) ZT =1/2 (ZST + ZPT - ZPS) (3.47) Zp ZS Z e T e ’ Hình 3.19 : Sơ đồ tương đương của MBA ba cuộn dây Bỏ qua tổng trở mạch rẽ nên nút đất q tách rời đầu cực 1 nối với nguồn cung cấp, đầu cực 2 và 3 nối đến tải, nếu cuộn 3 dùng để chặn sĩng hài thì thả nổi. 3.3.7. Phụ tải: Chúng ta nghiên cứu về phụ tải liên quan đến trào lưu cơng suất và ổn định. Điều quan trọng là phải biết sự thay đổi của cơng suất tác dụng và cơng suất phản kháng theo điện áp. Ở các nút điển hình các loại tải gồm cĩ: - Động cơ khơng đồng bộ 50÷70 % - Nhiệt và ánh sáng 20÷30 % - Động cơ đồng bộ 5÷10 % Để tính chính xác người ta dùng đặc tính P-V và Q-V của từng loại tải nhưng xử lý phân tích rất phức tạp. Vì vậy người ta đưa ra ba cách giới thiệu chính về tải dùng cho mục đích phân tích. - Giới thiệu theo cơng suất khơng đổi: Cả lượng MVA và MVAR đều bằng hằng số thường dùng để nghiên cứu trào lưu cơng suất. - Giới thiệu theo dịng điện khơng đổi: Dịng điện tải I trong trường hợp này được tính P − jQ I = |V | ∠(θ − Φ) V Ở đĩ V = |V|∠q và φ = tan-1 (Q/P) là gĩc hệ số cơng suất, độ lớn của I được giữ khơng đổi. - Giới thiệu theo tổng trở khơng đổi: Đây là cách giới thiệu thường xuyên khi nghiên cứu ổn định nếu lượng MVA và MVAR đã biết và khơng đổi thì tổng trở tải tính như sau: V |V |2 Z = = I P − jQ Và tổng dẫn: 1 P − jQ Y = = Z |V |2 3.4. KẾT LUẬN: Trong chương này ta xem xét các phần tử của hệ thống điện như đường dây truyền tải, biến áp, phụ tải. Mơ hình hĩa chúng trong hệ thống điện với trạng thái ổn định đủ để nghiên cứu các trạng thái cơ bản của hệ thống: Ngắn mạch, phân bố dịng chảy cơng suất, và ổn định quá độ. Trang 40
GIẢI TÍCH MẠNG CHƯƠNG 4 CÁC MA TRẬN MẠNG VÀ PHẠM VI ỨNG DỤNG 4.1. GIỚI THIỆU: Sự trình bày rõ ràng chính xác phù hợp với mơ hình tốn học là bước đầu tiên trong giải tích mạng điện. Mơ hình phải diễn tả được đặc điểm của các thành phần mạng điện riêng biệt như mối liên hệ chi phối giữa các thành phần trong mạng. Phương trình ma trận mạng cung cấp cho mơ hình tốn học những thuận lợi trong việc giải bằng máy tính số. Các thành phần của ma trận mạng phụ thuộc vào việc chọn các biến một cách độc lập, cĩ thể là dịng hoặc áp. Vì lẽ đĩ, các thành phần của ma trận mạng sẽ là tổng trở hay tổng dẫn. Đặc điểm riêng của các thành phần mạng điện cĩ thể được trình bày thuận lợi trong hình thức hệ thống ma trận gốc. Ma trận diễn tả được đặc điểm tương ứng của mỗi thành phần, khơng cung cấp nhiều thơng tin liên quan đến kết nối mạng điện. Nĩ là cần thiết, vì vậy biến đổi hệ thống ma trận gốc thành ma trận mạng là diễn tả được các đặc tính quan hệ trong lưới điện. Hình thức của ma trận mạng được dùng trong phương trình đặc tính phụ thuộc vào cấu trúc làm chuẩn là nút hay vịng. Trong cấu trúc nút làm chuẩn biến được chọn là nút áp và nút dịng. Trong cấu trúc vịng làm chuẩn biến được chọn là vịng điện áp và vịng dịng điện. Sự tạo nên ma trận mạng thích hợp là phần việc tính tốn của chương trình máy tính số cho việc giải bài tốn hệ thống điện. 4.2. GRAPHS. Để diễn tả cấu trúc hình học của mạng điện ta cĩ thể thay thế các thành phần của mạng điện bằng các đoạn đường thẳng đơn khơng kể đặc điểm của các thành phần. Đường thẳng phân đoạn được gọi là nhánh và phần cuối của chúng được gọi là nút. Nút và nhánh nối liền với nhau nếu nút là phần cuối của mỗi nhánh. Nút cĩ thể được nối với một hay nhiều nhánh. Graph cho thấy quan hệ hình học nối liền giữa các nhánh của mạng điện. Tập hợp con của các graph là các nhánh. Graph được gọi là liên thơng nếu và chỉ nếu cĩ đường nối giữa mỗi cặp điểm với nhau. Mỗi nhánh của graph liên thơng được ấn định hướng thì nĩ sẽ định theo một hướng nhất định. Sự biểu diễn của hệ thống điện và hướng tương ứng của graph trình bày trong hình 4.1. Cây là một graph liên thơng chứa tất cả các nút của graph nhưng khơng tạo thành một vịng kín. Các thành phần của cây được gọi là nhánh cây nĩ là tập hợp con các nhánh của graph liên thơng đã chọn trước. Số nhánh cây b qui định cho mỗi cây là: b = n - 1 (4.1) Với: n là số nút của graph Trang 42
GIẢI TÍCH MẠNG G G (a) G Hình 4.1 : Mơ tả hệ thống điện. 1 2 (a) Sơ đồ một pha. 4 (b) Sơ đồ thứ tự thuận. (c) Graph định hướng. 3 0 (b) 7 1 2 4 6 5 3 4 2 (c) 1 3 0 Nhánh của graph liên thơng khơng chứa trong cây được gọi là nhánh bù cây, tập hợp các nhánh này khơng nhất thiết phải liên thơng với nhau được gọi là bù cây. Bù cây là phần bù của cây. Số nhánh bù cây l của graph liên thơng cĩ e nhánh là: l = e - b Từ phương trình (4.1) ta cĩ l = e - n + 1 (4.2) Cây và bù cây tương ứng của graph cho trong hình 4.1c được trình bày trong hình 4.2 7 2 1 4 5 6 3 4 e = 7 2 n = 5 Nhánh cây 1 3 b = 4 l = 3 Nhánh bù cây 0 Hình 4.2 : Cây và bù cây của graph liên thơng định hướng Nếu nhánh bù cây được cộng thêm vào cây thì kết quả graph bao gồm một đường kín được gọi là vịng. Mỗi nhánh bù cây được cộng thêm vào sẽ tạo thành một hay nhiều vịng. Vịng chỉ gồm cĩ một nhánh bù cây độc lập thì gọi là vịng cơ bản. Bởi vậy, số vịng cơ bản đúng bằng số nhánh bù cây cho trong phương trình (4.2). Sự định Trang 43
GIẢI TÍCH MẠNG hướng của vịng cơ bản được chọn giống như chiều của nhánh bù cây. Vịng cơ bản của graph cho trong hình 4.2 được trình bày trong hình 4.3. 7 1 2 3 4 6 5 4 F E G 2 1 3 0 Hình 4.3 : Vịng cơ bản định hướng theo graph liên thơng Vết cắt là tập hợp của các nhánh, nếu bỏ đi hoặc chia graph liên thơng thành hai graph con liên thơng. Nhĩm vết cắt cĩ thể chọn độc lập duy nhất nếu mỗi vết cắt chỉ bao gồm một nhánh cây. Vết cắt độc lập như vậy gọi là vết cắt cơ bản. Số vết cắt cơ bản đúng bằng số nhánh cây. Sự định hướng của vết cắt cơ bản được chọn giống như hướng của nhánh cây. Vết cắt cơ bản của graph cho trong hình 4.2 được trình bày trong hình 4.4 7 2 D 6 5 3 4 4 1 B 2 A C 3 1 0 Hình 4.4 : Vết cắt cơ bản định hướng theo graph liên thơng 4.3. MA TRẬN THÊM VÀO. 4.3.1. Ma trận thêm vào nhánh - nút Â. Sự liên hệ giữa nhánh và nút trong graph liên thơng trình bày bởi ma trận thêm vào nhánh nút. Các thành phần của ma trận được trình bày như sau: aịj = 1 : Nếu nhánh thứ i và nút thứ j cĩ chiều hướng từ nhánh i vào nút j aịj = -1: Nếu nhánh thứ i và nút thứ j cĩ chiều hướng từ nhánh i ra khỏi nút j aịj = 0 : Nếu nhánh thứ i và nút thứ j khơng cĩ mối liên hệ với nhau. Kích thước của ma trận là e x n, với e là số nhánh và n là số nút của graph. Ma trận thêm vào nhánh nút cho trong graph hình 4.2 trình bày như trên. Với: Trang 44
GIẢI TÍCH MẠNG 4 ∑ ai j = 0 i =1, 2, e j =0 n e 0 1 2 3 4 1 1 -1 2 1 -1 3 1 -1 Đ = 4 -1 1 5 1 -1 6 1 -1 7 1 -1 Các cột của ma trận Â là phụ thuộc tuyến tính. Vì vậy hạng của Â < n. 4.3.2. Ma trận thêm vào nút A. Các nút của graph liên thơng cĩ thể chọn làm nút qui chiếu. Nút qui chiếu cĩ thể thay đổi, nĩ được xem như một nút trong graph cĩ thể cân nhắc khi ấn định cụ thể một nút nào đĩ làm nút qui chiếu. Ma trận thu được từ ma trận Â bỏ đi cột tương ứng với nút chọn làm nút qui chiếu là ma trận nhánh - nút A, nĩ sẽ được gọi là ma trận nút. Kích thước của ma trận là e x (n-1) và hạng là n-1 = b. Với: b là số nhánh cây của graph. Chọn nút 0 làm nút qui chiếu thể hiện trên graph trong hình 4.2. nút e 1 2 3 4 1 -1 2 -1 3 -1 4 -1 1 A = 5 1 -1 6 1 -1 7 1 -1 Ma trận A là hình chữ nhật và là duy nhất. Nếu hàng của A sắp xếp theo một cây riêng biệt thì ma trận trên cĩ thể phân chia thành các ma trận con Ab cĩ kích thước b x (n-1) và At cĩ kích thước là l x (n-1). Số hàng của ma trận Ab tương ứng với số nhánh cây và số hàng của ma trận At tương ứng với số nhánh bù cây. Ma trận phân chia của graph trên hình 4.2 được trình bày như sau: Trang 45
GIẢI TÍCH MẠNG nút nút e 2 3 e 1 4 Các nút 1 -1 2 -1 Ab 3 -1 Nhánh cây 4 -1 1 A = = 5 1 -1 6 1 -1 At 7 1 -1 Nhánh bù cây Ab là ma trận vuơng khơng duy nhất với hạng (n -1). 4.3.3. Ma trận hướng đường - nhánh cây K: Hướng của các nhánh cây đến các đường trong 1 cây được trình bày bằng ma trận hướng đường - nhánh cây. Với 1 đường được định hướng từ 1 nút qui chiếu. Các phần tử của ma trận này là: kij = 1: Nếu nhánh cây i nằm trong đường từ nút j đến nút qui chiếu và được định hướng cùng hướng. kij = -1: Nếu nhánh cây i nằm trong đường từ nút j đến nút qui chiếu nhưng được định hướng ngược hướng. kij = 0: Nếu nhánh cây i khơng nằm trong đường từ nút j đến nút qui chiếu. Với nút 0 là nút qui chiếu ma trận hướng đường - nhánh cây liên kết với cây được trình bày ở hình 4.2 cĩ dạng dưới đây. đường Nhánh cây 1 2 3 4 -1 1 2 -1 K = 3 -1 -1 4 -1 Đây là ma trận vuơng khơng duy nhất với cấp là (n-1). Ma trận hướng - đường nhánh cây liên hệ nhánh cây với các đường nhánh cây nối đến nút qui chiếu và ma trận Ab liên kết các nhánh cây với các nút. Vì vậy cĩ tỉ lệ tương ứng 1:1 giữa các đường và các nút. t Ab.K = 1 (4.3) t -1 Do đĩ: K = Ab (4.4) Trang 46
GIẢI TÍCH MẠNG 4.3.4. Ma trận vết cắt cơ bản B. Liên hệ giữa nhánh với vết cắt cơ bản của graph liên thơng được thể hiện trong ma trận vết cắt cơ bản B. Các thành phần của ma trận là. bịj = 1 : Nếu nhánh thứ i và hướng cùng chiều với vết cắt cơ bản thứ j bịj = -1 : Nếu nhánh thứ i và hướng ngược chiều với vết cắt cơ bản thứ j bịj = 0 : Nếu nhánh thứ i khơng liên quan với vết cắt thứ j Ma trận vết cắt cơ bản cĩ kích thước là e x b của graph cho trên hình 4.4 là: Vết cắt cơ bản e b A B C D 1 1 2 1 1 3 B = 4 1 5 -1 1 1 6 1 1 7 1 1 Ma trận B cĩ thể phân chia thành các ma trận con Ub và Bt. Số hàng của ma trận Ub tương ứng với số nhánh cây và số hàng của ma trận Bt tương ứng với số nhánh bù cây. Ma trận phân chia được biểu diễn như sau: Vết cắt cơ bản b b A e B C D e Vết cắt cơ bản 1 1 2 1 Ub 3 1 Nhánh cây B = 4 1 = 5 -1 1 1 6 -1 1 Bt 1 7 1 Nhánh bù cây Trang 47
GIẢI TÍCH MẠNG Ma trận đơn vị Ub cho ta thấy quan hệ tương ứng của một nhánh cây với một vết cắt cơ bản Ma trận con Bt cĩ thể thu được từ ma trận nút A. Liên hệ giữa nhánh bù cây với nút cho thấy bởi ma trận con At và giữa nhánh cây với nút là ma trận con Ab. Từ đây tương ứng quan hệ của một nhánh cây với một vết cắt cơ bản, Bt.Ab cho thấy quan hệ giữa các nhánh bù cây với các nút như sau: Bt.Ab = At Vì vậy -1 Bt = At .Ab Theo phương trình (4.4) ta cĩ -1 t Ab = K Vì vậy ta cĩ t Bt = At .K (4.5) 4.3.5. Ma trận vết cắt tăng thêm Bˆ . Vết cắt giả thiết được gọi là vết cắt ràng buộc cĩ thể đưa vào sau từng bước để số vết cắt đúng bằng số nhánh. Mỗi vết cắt ràng buộc chỉ gồm một nhánh bù cây của graph liên thơng. Vết cắt ràng buộc của graph cho trên hình 4.4 được trình bày trong hình 4.5. 7 G F E D 2 4 1 6 5 4 B 3 2 Vết cắt cơ bản A C 1 3 Vết cắt ràng buộc 0 Hình 4.5 : Vết cắt cơ bản và ràng buộc định hướng theo graph liên thơng Ma trận vết cắt tăng thêm cĩ hình thức biểu diễn như ma trận vết cắt cơ bản cộng thêm số cột của vết cắt ràng buộc. Vết cắt ràng buộc được định hướng phụ thuộc vào hướng của nhánh bù cây. Ma trận vết cắt tăng thêm của graph trình bày trên hình 4.5 là ma trận Bˆ như sau: Trang 48
GIẢI TÍCH MẠNG Vết cắt cơ bản Vết cắt giả tạo e e A B C D E F G 1 1 2 1 3 1 Bˆ = 4 1 5 -1 1 1 1 6 -1 1 1 7 -1 1 1 Bˆ : Là ma trận vuơng cĩ kích thước e x e và khơng duy nhất. Ma trận Bˆ cĩ thể phân chia như sau: Vết cắt cơ bản Vết cắt giả tạo Vết cắt cơ Vết cắt giả e e A B C D E F G bản tạo e e 1 1 2 1 U 0 3 1 b B ˆ = Nhánh cây 4 1 = 5 -1 1 1 1 6 -1 1 1 Bt Ut 7 -1 1 1 Nhánh bù cây 4.3.6. Ma trận thêm vào vịng cơ bản C. Tác động của nhánh cây với vịng cơ bản của graph liên thơng thể hiện bởi ma trận vịng cơ bản. Thành phần của ma trận là: cịj = 1 : Nếu nhánh cây thứ i và hướng cùng chiều với vịng cơ bản thứ j cịj = -1: Nếu nhánh cây thứ i và hướng ngược chiều với vịng cơ bản thứ j cịj = 0 : Nếu nhánh cây thứ i khơng liên quan với vịng cơ bản thứ j Ma trận vịng cơ bản cĩ kích thước e x l theo graph cho trên hình 4.3 như sau: Trang 49
GIẢI TÍCH MẠNG Vịng cơ bản l e E F G 1 1 2 1 -1 3 -1 C = 4 -1 5 1 6 1 7 1 Ma trận C cĩ thể phân chia thành các ma trận con Cb và Ut. Số hàng của ma trận Cb tương ứng với số nhánh cây và số hàng của ma trận Ut tương ứng với số nhánh bù cây. Ma trận phân chia như sau: Vịng cơ bản l l Vịng cơ bản e E F G e 1 1 2 1 -1 C 3 -1 b Nhánh cây C = 4 -1 = 5 1 6 1 Ut 7 1 Nhánh bù cây Ma trận đơn vị Ut cho thấy một nhánh bù cây tương ứng với một vịng cơ bản. 4.3.7. Ma trận số vịng tăng thêm Cˆ . Số vịng cơ bản trong graph liên thơng bằng số nhánh bù cây. Để cĩ tổng số vịng bằng số nhánh, thêm vào (e-l) vịng, tương ứng với b nhánh cây, gọi là vịng hở. Vịng hở được vẽ bên các nút nối bởi nhánh cây. Vịng hở của graph cho trên hình 4.3 được trình bày trong hình 4.6. Hướng của vịng hở được xác định theo như hướng của nhánh cây. Trang 50
GIẢI TÍCH MẠNG 7 2 3 D 1 6 5 4 4 F E G A C 2 1 3 B Vịng cơ bản Vịng hở 0 Hình 4.6 : Vịng cơ bản và vịng hở định hướng theo graph liên thơng Ma trận vịng tăng thêm cĩ hình thức nằm bên cạnh ma trận vịng cơ bản, các cột của nĩ biểu diễn mối quan hệ giữa các nhánh với vịng hở. Ma trận của graph trình bày trong hình 4.6 được biểu diễn dưới đây. Cˆ : Là ma trận vuơng, kích thước e x e và khơng duy nhất. Vịng hở Vịng cơ bản e e A B C D E F G 1 1 1 2 1 1 -1 1 3 1 -1 -1 Cˆ = 4 1 -1 5 1 6 1 7 1 Trang 51
GIẢI TÍCH MẠNG Ma trận Cˆ cĩ thể phân chia như sau: Vịng hở Vịng cơ bản e e e A B C D E F G e Vịng hở Vịng cơ bản 1 1 1 2 1 1 -1 1 C 3 Ub b 1 -1 -1 ˆ 4 Nhánh cây C = 1 -1 = 5 1 6 1 0 Ut 7 1 Nhánh bù cây 4.4. MẠNG ĐIỆN GỐC. Thành phần của mạng điện là tổng trở và tổng dẫn được trình bày trong hình 4.7. Đặc tính của các thành phần cĩ thể biểu diễn trong mỗi cơng thức. Biến và tham số là: vpq: Là hiệu điện thế của nhánh p-q epq: Là nguồn áp mắc nối tiếp với nhánh p-q ipq: Là dịng điện chạy trong nhánh p-q jpq: Là nguồn dịng mắc song song với nhánh p-q zpq: Là tổng trở riêng của nhánh p-q ypq: Là tổng dẫn riêng của nhánh p-q Mỗi một nhánh cĩ hai biến vpq và ipq. Trong trạng thái ổn định các biến và tham số của nhánh zpq và ypq là một số thực đối với dịng điện một chiều và là một số phức đối với dịng điện xoay chiều. Trang 52
GIẢI TÍCH MẠNG E E q p zpq q p e pq i pq v = E -E (a) pq p q E j p pq E q ypq p q ipq ipq+jpq vpq= Ep-Eq (b) Hình 4.7 : Thành phần biểu diễn mạng điện (a) Hình thức tổng trở; (b) Hình thức tổng dẫn Phương trình đặc tính của tổng trở nhánh là: vpq + epq = zpqipq (4.6) Hay tổng dẫn nhánh là: ipq + jpq = ypqvpq (4.7) Nguồn dịng mắc song song với tổng dẫn cĩ liên hệ với nguồn áp mắc nối tiếp với tổng trở như sau: jpq = -ypqepq Tập hợp các thành phần khơng liên hệ với nhau được gọi là mạng gốc. Phương trình đặc tính của mạng gốc cĩ thể xuất phát từ (4.6) hay (4.7) được biểu diễn bởi các biến là vectơ và các tham số là ma trận. Phương trình đặc tính của tổng trở là: r vr + er = []z i Hay đối với tổng dẫn là: r r i + j = []y vr Thành phần trên đường chéo của ma trận [z] hay [y] của mạng gốc là tổng trở riêng zpq,pq hay tổng dẫn riêng ypq,pq. Các thành phần ngồi đường chéo là tổng trở tương hổ zpq,rs hay tổng dẫn tương hỗ ypq,rs giữa nhánh p-q và nhánh r-s. Ma trận tổng dẫn gốc [y] cĩ thể thu được bằng cách nghịch đảo ma trận tổng trở gốc [z]. Ma trận [z] và [y] là ma trận đường chéo nếu khơng cĩ thành phần tương hổ giữa các nhánh. Trong trường hợp này tổng trở riêng đúng bằng số nghịch đảo của tổng dẫn riêng tương ứng. Trang 52
GIẢI TÍCH MẠNG 4.5. CÁCH THÀNH LẬP MA TRẬN MẠNG BẰNG SỰ BIẾN ĐỔI TRỰC TIẾP. 4.5.1. Phương trình đặc tính của mạng điện. Mạng điện là sự ghép nối tập hợp các nhánh cĩ mối liên hệ với nhau. Trong cấu trúc nút qui chiếu, thành phần của mạng điện cĩ mối liên hệ với nhau được diễn tả bởi n-1 phương trình nút độc lập, với n là số nút. Trong kí hiệu ma trận các thành phần của phương trình đối với tổng trở là: r r ENụt = ZNụtI Nụt Hay đối với tổng dẫn là: r r I Nụt = YNụtENụt r ENụt: Là vectơ điện áp nút đo được với nút qui chiếu đã chọn. r I Nụt: Là vectơ dịng điện nút đưa vào. ZNút: Là ma trận tổng trở nút cĩ các thành phần của ma trận là tổng trở truyền hở mạch giữa các điểm. YNút: Là ma trận tổng dẫn nút cĩ các thành phần của ma trận là tổng dẫn truyền ngắn mạch giữa các điểm. Trong cấu trúc nhánh cây tham khảo thành phần của mạng điện cĩ mối liên hệ với nhau được thể hiện bởi b phương trình nhánh cây độc lập. Với b là số nhánh cây. Trong kí hiệu ma trận các thành phần của phương trình đối với tổng trở là: r r Enhạnhcáy = Znhạnhcáy.I nhạnhcáy Hay đối với tổng dẫn là: r r I nhạnhcáy = Ynhạnhcáy.Enhạnhcáy r Với: Enhạnhcáy : Là vectơ điện áp qua nhánh cây r I nhạnhcáy : Là vectơ dịng điện đi qua nhánh cây Znhánh cây : Là ma trận tổng trở của nhánh cây cĩ các thành phần của ma trận là tổng trở truyền hở mạch giữa các điểm của các nhánh cây trong mạng điện. Ynhánh cây : Là ma trận tổng dẫn của nhánh cây cĩ các thành phần của ma trận là tổng dẫn truyền ngắn mạch giữa các điểm của các nhánh cây trong mạng điện. Trong cấu trúc vịng tham khảo các thành phần của mạng điện cĩ mối liên hệ với nhau được thể hiện bởi l phương trình vịng độc lập. Với l là số nhánh bù cây hay số vịng cơ bản. Phương trình đặc tính đối với dạng tổng trở là: r r EVoìng = ZVoìng.I Voìng Hay đối với dạng tổng dẫn là: r r I Voìng = YVoìng.EVoìng r Trong đĩ: EVoìng: Là vectơ điện áp của vịng cơ bản r I Voìng: Là vectơ dịng điện của vịng cơ bản ZVịng: Là ma trận tổng trở vịng YVịng: Là ma trận tổng dẫn vịng. Trang 53
GIẢI TÍCH MẠNG 4.5.2. Ma trận tổng trở nút và ma trận tổng dẫn nút. Ma trận tổng dẫn nút YNút cĩ thể thu được bằng cách dùng ma trận nút A liên kết với các biến và tham số của mạng điện gốc với lượng nút của mạng điện kết nối. Phương trình đặc tính của mạng điện gốc như sau: r r i + j = []y vr Nhân hai vế với At là ma trận chuyển vị của ma trận nút ta thu được: t r t r t A .i + A . j = A []y vr (4.8) t r Từ ma trận A cho thấy sự tác động của các nhánh với các nút, A i là vectơ ứng với mỗi nhánh nĩ là tổng đại số của dịng chạy qua các nhánh trong mạng tại mỗi nút khác nhau. Theo luật Kirchhoff về dịng điện (định luật Kirchhoff I) tổng đại số của dịng điện tại một nút là bằng 0 ta cĩ: t r A .i = 0 (4.9) t r Tương tự A j là tổng đại số của nguồn dịng tại mỗi nút bằng vectơ dịng điện nút. Vì Vậy: r t r I Nụt = A . j (4.10) Thay thế phương trình (4.9) và (4.10) vào trong phương trình (4.8) ta thu được: r t r I Nụt = A []y v (4.11) r * t r Cơng suất trong mạng điện là (I Nụt) ENụt và tổng của cơng suất trong mạng điện nguồn r* t là ( j ) vr . Cơng suất trong mạng điện nguồn và mạng điện kết nối phải bằng nhau, cơng suất phải khơng đổi khi cĩ sự thay đổi của các biến. r* t r r* t r (I Nụt) ENụt = ( j ) v (4.12) Kết hợp với phương trình chuyển vị của (4.10) r * t r * t * (I Nụt) = ( j ) A Ma trận A là ma trận thực nên: A* = A r* t r* t Do đĩ: (I Nụt) = ( j ) A (4.13) Thay thế phương trình (4.13) vào trong (4.12) r * t r r * t r ( j ) AENụt = ( j ) v r Phương trình trên đúng cho tất cả các giá trị của j, đơn giản nĩ trở thành: r r A.ENụt = v (4.14) Thay thế phương trình (4.14) vào trong (4.11) r t r I Nụt = A []y A.ENụt (4.15) Từ phương trình đặc tính của mạng điện r r I Nụt = YNụt.ENụt (4.16) Từ phương trình (4.15) và (4.16) ta cĩ: t YNụt = A []y A Ma trận nút A là ma trận đơn giản vì vậy At [y] A là đơn giản với phép biến đổi của [y] Ma trận tổng trở nút cĩ thể thu được từ −1 t −1 ZNụt = YNụt = (A []y A) Trang 54
GIẢI TÍCH MẠNG 4.5.3. Ma trận tổng trở nhánh cây và tổng dẫn nhánh cây. Ma trận tổng dẫn nhánh cây Ynhánh cây cĩ thể thu được bằng cách dùng ma trận vết cắt cơ bản B liên kết các biến và tham số của mạng điện gốc với số nhánh cây của mạng điện kết nối. Phương trình đặc tính của mạng điện gốc đối với tổng dẫn khi nhân cả hai vế với Bt thu được. t r t r t B .i + B . j = B []y vr (4.17) t r Từ ma trận B cho thấy sự liên hệ của các nhánh với các vết cắt cơ bản, B .i là vectơ ứng với mỗi nhánh nĩ là tổng đại số của dịng chạy qua các nhánh trong mạng tại mỗi vết cắt cơ bản khác nhau. Các nhánh của vết cắt cơ bản chia mạng điện ra thành hai mạng con liên kết. Vì vậy t r thành phần của vectơ B .i là tổng đại số của dịng điện đi vào mạng con và theo định luật Kirchhoff về dịng điện (định luật Kirchhoff I) ta cĩ: t r B .i = 0 (4.18) t r Tương tự B j là vectơ đối với mỗi nhánh là tổng đại số của nguồn dịng trong các nhánh với các vết cắt cơ bản và tổng nguồn dịng trong mạch mắc song song với nhánh cây là: r t r I nhạnhcáy = B . j (4.19) Thay thế phương trình (4.18) và (4.19) vào trong (4.17) thu được: r t r I nhạnh cáy = B []y v (4.20) r * t r Cơng suất trong mạng điện là (I nhạnhcáy ) (Enhạnhcáy ) và từ cơng suất khơng thay đổi ta cĩ: r * t r r * t r (I nhạnhcáy ) Enhạnhcáy = ( j ) v r * t Thu được (I nhạnh cáy ) từ phương trình (4.19) và thay vào phương trình trên ta cĩ: r * t * r r * t r ( j ) B .Enhạnhcáy = ( j ) v Từ ma trận B là ma trận thực, ta cĩ: * r * t r r * t r B = B do đĩ ( j ) B.Enhạnh cáy = ( j ) v r Phương trình trên đúng với mọi giá trị của j, đơn giản nĩ trở thành như sau: r r v = B.Enhạnhcáy (4.21) Thay thế phương trình (4.21) vào trong (4.20) thu được: r t r I nhạnhcáy = B []y B.Enhạnhcáy (4.22) Mối liên hệ giữa dịng điện chạy qua nhánh cây và điện áp trên nhánh cây là: r r I nhạnhcáy = Ynhạnhcáy.Enhạnhcáy (4.23) Từ phương trình (4.22) và (4.23) ta cĩ: t Ynhạnhcáy = B []y .B Ma trận vết cắt cơ bản B là ma trận đơn giản vì vậy Bt [y].Blà đơn giản với sự biến đổi của [y] Ma trận nhánh cây cĩ thể thu được từ −1 t −1 Znhạnhcáy = Ynhạnhcáy = (B [y].B) Trang 55
GIẢI TÍCH MẠNG 4.5.4. Ma trận tổng trở vịng và ma trận tổng dẫn vịng. Ma trận tổng trở vịng ZVịng cĩ thể thu được bằng cách dùng ma trận vịng cơ bản C liên kết các biến và tham số của mạng điện gốc với số vịng của mạng điện kết nối. Phương trình đặc tính của mạng điện gốc là: r vr + er = []z i Nhân hai vế phương trình với Ct ta thu được: t t t r C vr + C er = C []z i (4.24) Bảng 4.1 : Thành lập ma trận mạng bằng phép biến đổi đơn giản Ma trận mạng Gốc Vịng Nút Nhánh cây t C [z] C ở Znhánh cây ZVịng ZNút o ng tr ả ổ [z] đ T ch ị [y] t YVịng YNút Ynhánh cây Ngh n A [y] A ẫ Bt[y] B ng d ổ T Bảng 4.2 : Dịng điện và điện áp liên hệ giữa ma trận gốc và ma trận kết nối Cấu trúc tham khảo Vịng Nút Nhánh cây r t r n r r r t r I = B . j ệ i = C .I I = A .j nhạnhcáy i Voìng Nụt đ Dịng r r r r r t r v = A.E Nụt v = B.Enhạnh cáy EVoìng = C .e n áp ệ i Đ Từ ma trận C cho thấy sự tác động của nhánh tới vịng cơ bản, C t .vr là tổng đại số của điện áp vịng trong mỗi vịng lặp cơ bản. Nĩ phù hợp với định luật Kirchhoff về Trang 56
GIẢI TÍCH MẠNG điện áp (định luật Kirchhoff II) là tổng đại số của điện áp vịng trong một vịng cơ bản là bằng 0. Nên: C t .vr = 0 (4.25) Tương tự C t .er là tổng đại số của nguồn điện áp vịng trong mỗi vịng cơ bản. Vì vậy: r t r EVoìng = C .e (4.26) Từ cơng suất khơng đổi ta cĩ: r * t t r r * t r (EVoìng) C .e = (i ) e Phương trình trên đúng với mọi giá trị er nên ta đơn giản nĩ trở thành như sau: r * t r * t t (i ) = (EVoìng) C Nên: r * r i = C .I Voìng Từ ma trận thực C, ta cĩ: * r r C = C và i = C.I Voìng (4.27) Thay thế phương trình (4.25), (4.26) và (4.27) vào trong (4.24) ta thu được: r t r EVoìng = C []z C.I Voìng (4.28) Phương trình đặc tính của mạng điện trong cấu trúc vịng tham khảo là: r r EVoìng = ZVoìng.I Voìng (4.29) Từ phương trình (4.28) và (4.29) ta cĩ: t ZVoìng = C []z C Ma trận C là ma trận đơn giản, nên Ct [z] C là đơn giản với sự biến đổi của [z] Ma trận tổng dẫn vịng cĩ thể thu được từ −1 t −1 YVoìng = (ZVoìng) = (C []z C) Ma trận mạng thu được từ phép biến đổi đơn giản được tổng kết trong bảng 4.1. Quan hệ dịng và áp giữa mạng điện gốc và mạng điện kết nối được tổng kết trong bảng 4.2. 4.6. CÁCH THÀNH LẬP MA TRẬN MẠNG BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI PHỨC TẠP. 4.6.1. Ma trận tổng trở nhánh và tổng dẫn nhánh Ma trận tổng dẫn nhánh Ynhánh cây cũng cĩ thể thu được bằng cách dùng ma trận vết cắt tăng thêm Bˆ liên kết với các biến và các tham số của mạng điện gốc với mạng điện liên thơng thêm vào. Mạng điện thêm vào thu được bằng sự kết nối với một nhánh cây giả mắc nối tiếp với mỗi nhánh bù cây của mạng điện gốc. Để giữ nguyên các đặc tính trong mạng liên thơng tổng dẫn của mỗi nhánh cây giả bằng 0 và nguồn dịng đúng bằng dịng qua nhánh bù cây liên kết, được biểu diễn trên hình 4.8a. Hiệu điện thế đi qua nhánh cây giả là bằng 0. Vết cắt ràng buộc được xem như vết cắt giữa nhánh bù cây liên thơng với nhánh cây giả, được thể hiện trên hình 4.8b. Phương trình đặc tính của mạng điện thêm vào trong cấu trúc nhánh cây tham khảo như sau: ˆ ˆ ˆ I nhạnhcáy = Ynhạnhcáy.Enhạnhcáy Trang 57
GIẢI TÍCH MẠNG ˆ Ma trận Ynhánh cây sẽ thu được trực tiếp từ ma trận tổng dẫn Ynhạnhcáy của mạng điện thêm vào. Phương trình đặc tính của mạng điện gốc r r i + j = []y vr Nhân hai vế với Bˆ t thu được: t r t r t Bˆ .i + Bˆ . j = Bˆ []y vr (4.30) Phương trình (4.30) cĩ thể viết lại với hình thức ma trận phân chia như sau: Nút giả jl l il il v = 0 (a) Nhánh cây giả 2 4 Nút Vết cắt ràng buộc G giả Nhánh cây giả l 2 1 4 3 (b) 0 Hình 4.8 : Trình bày mạng điện thêm vào. (a) Nhánh cây giả nối tiếp với nhánh bù cây; (b) Thể hiện vết cắt ràng buộc U B t i + U B t j = U B t y v (4.31) b t b b t b b t U 0 Ut it 0 Ut jt 0 t r r r r Trong đĩ: Vectơ dịng gốc i và j được phân chia thành vectơ dịng ib và jb , nĩ liên r r kết với nhánh cây của mạng, vectơ dịng it và jt liên kết với nhánh bù cây. Vế trái của phương trình (4.31) là: t t ib+B t it + jb+ Bt jt i jt t Trang 58
GIẢI TÍCH MẠNG r t r t r r t r t r Khi ib + Bt .it = B .i và j b + Bt . j t = B . j Tuy nhiên: t r t r r B .it = 0 và B . j = I nhạnhcáy Thì vế trái của phương trình (4.31) là: Inhánh cây 0 Inhánh cây = + i jt i +j t t t r r r Từ mỗi thành phần của vectơ it là bằng nguồn dịng của nhánh cây giả, it + jt là vectơ trong đĩ mỗi thành phần của nĩ bằng tổng đại số nguồn dịng của nhánh cây giả với nhánh bù cây liên kết. Vì vậy: ˆ I nhạnhcáy = Inhánh cây it+jt Và phương trình (4.30) trở thành. ˆ ˆ t r I nhạnh cáy = B []y v (4.32) Hiệu điện thế qua nhánh cây giả là bằng 0, vectơ điện áp của mạng điện thêm vào là: ˆ Enhạnhcáy = Enhánh cây 0 Điện áp qua các nhánh của mạng điện gốc theo phương trình (4.21) là: r r v = B.Enhạnhcáy Tuy nhiên: r ˆ r B.Enhạnhcáy = B.Enhạnhcáy r ˆ r Nên v = B.Enhạnhcáy (4.33) Thế phương trình (4.33) vào trong phương trình (4.32) ta được. ˆ ˆ t ˆ r I nhạnhcáy = B []y B.Enhạnhcáy (4.34) Phương trình đặc tính của mạng điện thêm vào là ˆ ˆ r I nhạnhcáy = Ynhạnhcáy.Enhạnhcáy (4.35) Từ phương trình (4.34) và (4.35) ta cĩ ma trận tổng dẫn của mạng điện thêm vào là: ˆ ˆ t ˆ Ynhạnhcáy = B []y B (4.36) Phương trình (4.36) cĩ thể viết theo hình thức phân chia như sau: Y Y2 U B t y y U 0 (4.37) 1 = b t b b b l b Y3 Y4 0 Ut ylb yll Bt Ut Trang 59
GIẢI TÍCH MẠNG Với: [ybb]: Là ma trận tổng dẫn gốc của nhánh cây t [ybl] = [ylb] : Là ma trận tổng dẫn gốc, mỗi thành phần là tổng dẫn tương hỗ giữa nhánh cây với nhánh bù cây. [yll]: Là ma trận tổng dẫn gốc của nhánh bù cây. Phương trình (4.37) viết lại như sau t t Y1 =[]ybb +Bt[ylb]+[ybl]Bt +Bt[yll ]Bt (4.38) ˆ t Từ Ynhạnhcáy = B []y B Hay Ynhánh cây = t Ub Bt ybb ybl Ub yll ylb Bt t t Thì Ynhạnhcáy = []ybb + B t [ylb ]+ [ybl ]Bt + B t [yll ]Bt (4.39) Từ phương trình (4.38) và (4.39) ta cĩ: Ynhánh cây = Y1 Ma trận tổng trở nhánh cây cĩ thể thu được từ -1 Znhánh cây = Y1 4.6.2. Ma trận tổng trở vịng và tổng dẫn vịng. Ma trận tổng trở vịng ZVịng cũng cĩ thể thu được bằng cách dùng ma trận tổng trở vịng thêm vào Cˆ liên kết với các biến và các tham số của mạng điện gốc liên hệ với mạng điện thêm vào. Mạng điện thêm vào thu được bằng sự nối kết với một nhánh bù cây giả mắc song song với mỗi nhánh cây của mạng điện gốc. Giữ nguyên trật tự các thành phần liên kết trong mạng, tổng trở của mỗi nhánh bù cây giả bằng 0 và nguồn áp bằng nhưng ngược hướng với áp qua nhánh cây liên kết trình bày trên hình 4.9.a. Dịng qua nhánh bù cây giả bằng 0. Vịng hở cĩ thể xem như vịng liên thơng giữa nhánh cây và nhánh bù cây giả tưởng cho trên hình 4.9b. Trang 60
GIẢI TÍCH MẠNG 1 vb vb eb i = 0 2 (a) Nhánh bù cây giả 2 1 4 3 Vịng (b) hở A 0 Nhánh bù cây giả Hình 4.9 : Trình bày mạng điện thêm vào. (a) Nhánh bù cây giả song song với nhánh cây; (b) Thể hiện vịng hở. Phương trình đặc tính của mạng điện thêm vào trong cấu trúc vịng tham khảo như sau: ˆ ˆ ˆ EVoìng = ZVoìng.I Voìng ˆ Ma trận Zvịng sẽ thu được trực tiếp từ ma trận tổng trở ZVoìng của mạng điện thêm vào. Phương trình đặc tính cho mạng điện gốc là: r vr + er = []z .i Nhân hai vế với Cˆ t ta thu được: t t t r Cˆ .vr + Cˆ .er = Cˆ []z .i (4.40) Phương trình (4.40) cĩ thể được viết dưới dạng phân chia như sau: + z i (4.41) U 0 vb U 0 eb Ub 0 b b = t U t t U C t vt C U e Cb t b b t t r r r r Trong đĩ: Vectơ điện áp gốc v và e được phân chia thành vectơ điện áp vb và eb liên r r kết với nhánh cây của mạng và vectơ điện áp vt và et liên kết với nhánh bù cây. Vế trái của phương trình (4.41) là. Trang 61
GIẢI TÍCH MẠNG vb eb + t t Cb eb+et Cb vb+vt t r r t r t r r t r Khi Cb.vb + vt = C .v và Cb.eb + et = C .e Tuy nhiên. t r t r r C .v = 0 và C .e = EVoìng Vế trái của phương trình (4.41) trở thành vb eb vb+eb + = 0 E E Vịng Vịng r r r Các thành phần của vb là bằng nguồn áp của nhánh bù cây giả tưởng, vb + eb là vectơ trong các nhánh, mỗi thành phần là bằng tổng đại số nguồn áp trong vịng hở. Vì vậy. v + e (4.42) ˆ b b EVoìng = EVịng Và từ phương trình (4.40) và (4.42) ˆ ˆ t r EVoìng = C []z .i (4.43) Ta cĩ dịng trong vịng hở bằng 0, vectơ dịng của mạng điện thêm vào là: ˆ 0 I Voìng = IVịng Dịng điện đi qua các nhánh của mạng điện gốc từ phương trình (4.27) là r r i = C.I Voìng Tuy nhiên: r ˆ ˆ C. I Voìng = C.I Voìng r ˆ ˆ Thì i = C.I Voìng (4.44) Thay thế phương trình (4.44) vào trong phương trình (4.43) ˆ ˆ t ˆ ˆ EVoìng = C []z C.I Voìng (4.45) Phương trình đặc tính của mạng điện thêm vào là: ˆ ˆ ˆ EVoìng = ZVoìng.I Voìng (4.46) Từ phương trình (4.45) và (4.46) ta cĩ ma trận tổng trở của mạng điện thêm vào là: ˆ ˆ t ˆ ZVoìng = C []z .C (4.47) Phương trình (4.47) cĩ thể được viết dưới dạng phân chia như sau: Trang 62
GIẢI TÍCH MẠNG Z1 Ub zbb Ub Cb (4.48) Z 2 = 0 zb l Z3 t Z4 Cb Ut zlb zll 0 Ut Với: [zbb]: Là ma trận tổng trở gốc của nhánh cây t [zbl] = [zlb] : Là ma trận tổng trở gốc mỗi thành phần là tổng trở tương hỗ giữa nhánh cây và nhánh bù cây [zll]: Là ma trận tổng trở gốc của nhánh bù cây Phương trình (4.48) viết lại như sau: t t Z4 = Cb []zbb Cb + [zlb ]Cb + Cb [zbl ]+ [zll ] (4.49) t Từ ZVoìng = C []z C Hay zbb zbl Cb ZVịng = t Ub Ut zlb zll Ut Thì t t ZVoìng = Cb []zbb Cb + [zlb ]Cb + Cb [zbl ]+ [zll ] (4.50) Từ phương trình (4.49) và (4.50) ta cĩ Zvịng = Z4 Ma trận tổng dẫn vịng cĩ thể thu được từ -1 Zvịng = Z4 4.6.3. Ma trận tổng dẫn vịng thu được từ ma trận tổng dẫn mạng thêm vào. Ma trận tổng dẫn vịng YVịng cĩ thể thu được từ ma trận tổng dẫn thêm vào ˆ Ynhạnhcáy . Từ phương trình (4.36) và (4.47). ˆ ˆ ˆ t ˆ ˆ t ˆ ZVoìng.Ynhạnhcáy = C []z C.B [y]B (4.51) Hình thức phân chia là: t = t t (4.52) Cˆ .Bˆ Ub Cb Ub Bt Ub Bt +Cb = 0 Ut 0 Ut 0 Ut Dịng điện đi qua các nhánh của mạng gốc từ phương trình (4.27) là: r r i = C.I Voìng Nhân cả hai vế với Bt ta cĩ: t r t r B i = B .C.I Voìng (4.53) Tuy nhiên, từ phương trình (4.18) vế trái của phương trình (4.53) là bằng 0. Vì vậy, phương trình (4.53) cĩ thể viết lại như sau: t r (Cb + B t )I Voìng = 0 Suy ra: Trang 63
GIẢI TÍCH MẠNG t Cb = −Bt (4.54) Thay thế phương trình (4.54) vào trong phương trình (4.52) Cˆ .Bˆ t = U (4.55) Một cách tương tự ta cĩ thể biểu diễn như sau: Cˆ t .Bˆ = U (4.56) Thay thế phương trình (4.55) vào trong (4.51),ta được: ˆ ˆ ˆ t ˆ ZVoìng.Ynhạnhcáy = C []z .[y].B Từ [z].[y] = U Nên ˆ ˆ ˆ t ˆ ZVoìng.Ynhạnhcáy = C .B Vì vậy theo phương trình (4.56) ta cĩ ˆ ˆ ZVoìng.Ynhạnhcáy = U (4.57) Phương trình (4.57) dưới hình thức phân chia như sau: Z 1 Z 2 Y 1 Y 2 = U b 0 Z3 Z4 Y3 Y4 0 Ut Nĩ biểu diễn: Z1 .Y1 + Z2 .Y3 = Ub (4.58) Z1 .Y2 + Z2 .Y4 = 0 Z3 .Y1 + Z4 .Y3 = 0 (4.59) Z3 .Y2 + Z4 .Y4 = Ut (4.60) Rút Z3 từ phương trình (4.59) -1 Z3 = -Z4 .Y3 .Y1 Thay thế vào trong phương trình (4.60) -1 -Z4 .Y3 .Y1 .Y2 + Z4 .Y4 = Ut Hay -1 Z4(Y4 - Y3 .Y1 .Y2) = Ut Từ Z4 .YVịng = Ut -1 Ta cĩ: YVịng = Y4 - Y3 .Y1 .Y2 4.6.4. Ma trận tổng trở nhánh cây thu được từ ma trận tổng trở thêm vào: Ma trận tổng trở nhánh cây Znhánh cây cĩ thể thu được từ ma trận tổng trở thêm ˆ vào ZVoìng. Kết hợp phương trình (4.58) và (4.59) ta cĩ: -1 (Z1- Z2 .Z4 .Z3) Y1 = Ub Từ Znhánh cây .Y1 = Ub Ta cĩ -1 Znhánh cây = Z1 - Z2 .Z4 .Z3 Trang 64
GIẢI TÍCH MẠNG 4.6.5. Thành lập ma trận tổng dẫn và tổng trở nhánh cây từ ma trận tổng dẫn và tổng trở nút. Sử dụng ma trận hướng đường - nhánh cây K, ma trận tổng dẫn nhánh cây Ynhánh cây cĩ thể thu được từ ma trận tổng dẫn nút YNút. Từ phương trình (4.3) t Ta cĩ: Ab .K =Ub Và từ phương trình (4.5) ta cĩ: t B1 = A1 . K Nhân thêm với Kt vào sau A ta cĩ: t t t A. K = Ab K = Ab K (4.61) A A Kt t t Thế phương trình (4.3) và (4.5) vào (4.61) ta cĩ. t = B A . K Ub (4.62) = U t Đảo phương trình này ta được: K .At = Bt Nhân phương trình này với [y].A.Kt ta cĩ: K.At [y].A.Kt = Bt [y].A.Kt Hay K.(At [y].A).Kt = Bt [y].B (4.63) Từ các phép biến đổi đơn giản ta cĩ. t Ynhánh cây = K.YNút .K (4.64) Ma trận tổng trở nhánh cây là: -1 t -1 -1 -1 Znhánh cây = Y nhánh cây = (k ) .YNút .K (4.65) Từ phương trình (4.4) t -1 K = Ab (4.66) Thế phương trình (4.66) vào (4.65) ta cĩ: t Znhánh cây = Ab.ZNút .Ab 4.6.6. Thành lập ma trận tổng dẫn và tổng trở nút từ ma trận tổng dẫn và tổng trở nhánh cây. Phương trình (4.64) được nhân thêm K-1 vào phía trước và (Kt)-1 vào phía sau ta cĩ. -1 t -1 K.Ynhánh cây (K ) = YNút (4.67) Thế phương trình (4.66) vào (4.67): t YNút = Ab .Ynhánh cây.Ab Vì -1 ZNút = - YNút Nên: t -1 ZNút = (Ab .Ynhánh cây.Ab) Hay t ZNút = K .Znhánh cây .K Trang 65
Các phé Trang 66 Bảng 4.3: Ma trận mạng thu được bằng sự biến đổi phức tạp. p bi Ma trận mạng ế n đổ i ph Gốc Thêm vào Vịng Nút Nhánh cây ứ c t ạ -1 p cĩ Z1-Z2Z4 Z3 đư t AbZNútAb ợ Z1 Z2 ZNút Znhánh cây c cácmatr [z] = ZVịng Z3 Z4 ậ t n m K Znhánh cây .K Z4= ZVịng ạ ng đượ -1 Y4-Y3Y1 Y2 c trìnhbàytrongb t KYNútK GI Ynhánh cây YVịng YNút Ả [y] = Y 1 Y2 I TÍCHM Y3 Y4 t Ab Ynhánh cây.Ab ả Ạ Y1= Ynhánh cây ng 4.3. NG
GIẢI TÍCH MẠNG CHƯƠNG 5 CÁC THUẬT TỐN DÙNG CHO VIỆC THÀNH LẬP NHỮNG MA TRẬN MẠNG 5.1. GIỚI THIỆU. Những phương pháp trình bày trong các mục trên địi hỏi một sự chuyển đổi và đảo ngược những ma trận để cĩ được những ma trận mạng. Một phương pháp thay thế dựa trên một thuật tốn cĩ thể được dùng để thành lập trực tiếp ma trận tổng trở nút từ những thơng số hệ thống và số nút đã được mã hố. Nguyên tắc của thuật tốn là thành lập ma trận tổng trở nút theo từng bước, mơ phỏng cấu trúc của mạng bằng cách thêm vào từng nhánh một. Một ma trận được thành lập cho mạng riêng được biểu thị sau khi mỗi phần tử được nối với mạng. Ngồi ra, một thuật tốn được biểu thị để chuyển hĩa ma trận tổng dẫn vịng từ ma trận tổng trở nút đã định. Các phương trình mạng: INút = YNút .ENút ENút = ZNút .INút t YNút = A .y. A -1 ZNút = (YNút) 5.2. XÁC ĐỊNH MA TRẬN YNÚT BẰNG PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP. Gọi Ei, Ej, Ek là điện áp tại các nút khi bơm một dịng vào nút i. Ei yij Ii Ej j i y yiij yjji iik yik Yii E ykki y k ii k Hình 5.1 : Sơ đồ mơ tả mạng điện tại 1 nút Ij = 0; ∀ j ≠ i I i = ∑(yiij .Ei ) + ∑ (Ei − E j )yij j ≠i j ≠i Trang 67
GIẢI TÍCH MẠNG = ∑ (yiij .Ei ) + ∑ yij Ei − ∑ yij E j j ≠i ji≠≠i j = Ei (∑∑yiij + yij ) + ∑ E j ( − yij ) ji≠≠i j j ≠i = Ei (yii + ∑ yij ).∑ E j ( − yij ) j ≠i j ≠i Ta cĩ: Yii = ∑∑yiij + yij = yii + ∑ yij Yij = −yij Do đĩ: I i = Yii .Ei + ∑Yij E j = ∑Yij E j j ≠i Vậy : YNút là ma trận cĩ các thành phần trên đường chéo chính là Yii thành phần ngồi đường chéo là Yij. Chú ý: Nếu cĩ tương hổ thì chúng ta phải tính thêm các thành phần tương hỗ. Yii = ∑∑yiij + yij + ∑ yij , rs = yii + ∑ yij + ∑ yij , rs Yij = −(yij , ij + ∑ yij ,rs ) 5.3. THUẬT TỐN ĐỂ THÀNH LẬP MA TRẬN TỔNG TRỞ NÚT: 5.3.1. Phương trình biểu diễn của một mạng riêng. Giả thiết rằng ma trận tổng trở nút ZNút được biết từ một mạng riêng m nút và một nút qui chiếu 0. Phương trình biểu diễn của mạng này cho trong hình (5.2) là: I 1 1 2 E1 I2 Mạng riêng E2 Im Hình 5.2 : Sự biểu diễn của một m mạng riêng E m Hệ qui chiếu 0 r r ENụt = ZNụt.I Nụt r Trong đĩ: ENụt= m x 1 vectơ của các điện áp nút được đo đối với nút qui chiếu. r I Nụt= m x 1 vectơ của các dịng điện được bơm vào nút khi một nhánh p - q được thêm vào mạng riêng, nĩ cĩ thể là một nhánh cây hoặc một nhánh bù cây như cho ở hình (5.3) Trang 68
GIẢI TÍCH MẠNG (a) Sự thêm vào của một nhánh cây (b) Sự thêm vào của một nhánh bù cây - Nếu p - q là một nhánh cây, một nút mới q được thêm vào mạng riêng và tạo thành ma trận tổng trở nút kích thước là (m + 1) x (m + 1). Các vectơ điện áp mới và dịng điện mới cĩ kích thước là (m + 1) x 1. Để xác định ma trận tổng trở nút mới yêu cầu chỉ tính các phần tử trong hàng và cột mới. - Nếu p - q là một nhánh bù cây, khơng cĩ nút mới được thêm vào mạng riêng. Trong trường hợp này, kích thước của các ma trận trong phương trình biểu diễn được giữ nguyên, nhưng tất cả các phần tử của ma trận tổng trở nút phải được tính lại để bao hàm ảnh hưởng của nhánh bù cây được thêm vào. (a) 1 (b) 1 2 2 M p q p M Mạng Mạng Nhánh p- m q điện Nhánh p- điện M q q m M 0 M 0 Hệ qui Hệ qui chiếu chiếu Hình 5.3 : Sự biểu diễn của một mạng riêng với một nhánh được thêm vào 5.3.2. Sự thêm vào của một nhánh cây. Giả sử ma trận ZNút ban đầu cĩ kích thước m x m, sau khi thêm 1 nhánh cây kích thước m → m +1. Giả sử ta thêm vào 1 nút q ta cĩ phương trình biểu diễn của mạng riêng với một nhánh cây p - q được thêm vào là như (5.1). Điều đĩ cĩ nghĩa là mạng tồn tại các nhánh bị động cả hai phía. 1 Nhánh p- 2 q p q vpq M i Mạng E M p Hình 5.4 : Dịng điện được bơm điện Eq vào và sự tính tốn các điện áp nút M Ii = 1 của Zqi 0 M Hệ qui chiếu Trang 69
GIẢI TÍCH MẠNG Do đĩ: Zqi = Ziq, với i = 1, 2, , m và cĩ liên quan đến các nút của mạng riêng, nhưng khơng kể đến nút mới q. Nhánh cây p - q thêm vào được xem là cĩ hỗ cảm với một hoặc nhiều nhánh của mạng điện. ⎡ E1 ⎤ ⎡Z11 * * Z1m Z1q ⎤ ⎡ I 1 ⎤ ⎢E ⎥ ⎢Z * * Z Z ⎥ ⎢ I ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 21 2m 2q ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ * ⎥ ⎢ * * * * * ⎥ ⎢ * ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (5.1) ⎢Ep ⎥ ⎢Z p1 * * Z pm Z pq ⎥ ⎢I p ⎥ ⎢E ⎥ ⎢Z * * Z Z ⎥ ⎢I ⎥ ⎢ m ⎥ ⎢ m1 mm mq ⎥ ⎢ m ⎥ ⎣⎢Eq ⎦⎥ ⎣⎢Zq1 * * Zqm Zqq ⎦⎥ ⎣⎢ I q ⎦⎥ Các phần tử Zqi cĩ thể được xác định bằng cách bơm vào một dịng điện tại nút i và tính điện áp tại nút q với điểm qui chiếu như trình bày ở hình (5.4). Giả sử ta bơm dịng I = 1A vào nút i (Ij = 0 ∀ j ≠ i) vì tất cả các dịng điện tại các nút khác bằng 0, từ phương trình (5.1) suy ra: Eq = Zqi .Ii = Zqi Tương tự như trên ta bơm vào các nút cịn lại E1 = Z1i .Ii E2 = Z2i .Ii Ep = Zpi .Ii (5.2) Em = Zmi .Ii Eq = Zqi .Ii Cho Ii = 1 trong phương trình (5.2), Zqi cĩ thể thu được trực tiếp bằng cách tính Eq Các điện áp nút liên kết với nhánh thêm vào và điện áp qua nhánh được thể hiện bởi: Eq = Ep - vpq (5.3) Các dịng điện trong các nhánh của mạng trong hình (5.4) được diễn tả trong các số hạng của các tổng dẫn ban đầu và các điện áp qua các nhánh là: y ypq,rs ipq pq,pq vpq = (5.4) irs yrs,pq yrs,rs Vrs Trong phương trình (5.4), pq là một chỉ số cố định và liên quan với nhánh thêm vào, và rs là chỉ số biến đổi, liên quan đến các nhánh khác. Trong đĩ: - ipq và vpq: Là dịng điện và điện áp chạy qua tương ứng với nhánh thêm vào. - irs và vrs: Là các vectơ dịng điện và điện áp trong các nhánh của mạng riêng. - ypq,pq: Là tổng dẫn riêng của nhánh thêm vào. - ypq,rs : Là vectơ của các tổng dẫn tương hổ giữa nhánh thêm vào p - q và các nhánh r - s của mạng riêng. - yrs,pq : Là vectơ chuyển vị của ypq,rs - [yrs,rs]: Là ma trận tổng dẫn ban đầu của mạng riêng. Dịng điện chạy trong nhánh cây thêm vào cho trong hình 5.4 là: Trang 70
GIẢI TÍCH MẠNG ipq = 0 (5.5) Tuy nhiên, vpq khơng bằng 0 vì nhánh cây thêm vào hỗ cảm với một hoặc nhiều nhánh của mạng riêng. Ngồi ra: r r r vrs = Er − Es (5.6) Trong đĩ: Er và Es là các suất điện động tại các nút trong mạng riêng. Từ phương trình (5.5) ta cĩ: r r i pq = ypq, pq.vpq + ∑ ypq,rs.vrs = 0 Do đĩ: 1 r r vpq = − ∑ ypq,rs.vrs ypq, pq r Thế vrs từ phương trình (5.6) ta cĩ: 1 r r r vpq = − ∑ ypq,rs (Er − Es ) (5.7) ypq, pq Thế vpq vào trong phương trình (5.3) từ (5.7) ta cĩ: 1 r r r Eq = Ep + ∑ ypq,rs (Er − Es ) ypq, pq r r Cuối cùng, thế Ep, Eq, Er và Es từ phương trình (5.2) với Ii = 1, ta cĩ: 1 r r r Zqi = Z pi + ∑ ypq,rs (Zri − Zrs ) i = 1, 2, m i ≠ j (5.8) ypq, pq Phần tử Zqq cĩ thể được tính bằng cách bơm một dịng điện tại nút q và tính điện áp tại nút đĩ. Giả sử ta bơm dịng I = 1A vào nút q (Ij = 0 ∀ j ≠ q) vì tất cả các dịng điện tại các nút khác bằng 0, từ phương trình (5.1) ta suy ra. Eq = Zqq .Iq = Zqq Tương tự như trên ta bơm vào các nút cịn lại E1 = Z1q.Iq M Ep = Zpq.Iq (5.9) M Em = Zmq.Iq Trong phương trình (5.9), Zqq cĩ thể thu được trực tiếp bằng cách tính Eq. Tương tự ta cĩ điện áp giữa 2 nút p và q là: Eq = Ep - vpq Điện áp tại các nút p và q được liên kết với nhau bởi phương trình (5.3) và dịng điện chạy qua nhánh thêm vào là: ipq = -Iq = -1 (5.10) Các điện áp qua các nhánh của mạng riêng được cho bởi phương trình (5.6) và các dịng điện chạy qua các nhánh đĩ cho bởi phương trình (5.4) và (5.10) ta cĩ: r r i pq = ypq, pq.vpq + ∑ ypq,rs.vrs = −1 Do đĩ: r r −1− ∑ ypq,rs .vrs vpq = ypq, pq r Thế vrs từ phương trình (5.6) ta cĩ: r r r −1− ∑ ypq,rs.(Er − Es ) vpq = (5.11) ypq, pq Trang 71
GIẢI TÍCH MẠNG Thế vpq vào trong phương trình (5.11) từ (5.3) ta cĩ: r r r 1+ ∑ ypq,rs.(Er − Es ) Eq = Ep + ypq, pq r r Cuối cùng, thế Ep, Eq, Er và Es từ phương trình (5.9) với Iq = 1, ta cĩ: r r r 1+ ∑ ypq,rs (Zrq − Zsq) Z qq= Z pq + (5.12) ypq, pq Nếu khơng cĩ hỗ cảm giữa nhánh cây thêm vào và các nhánh khác của mạng riêng, thì các phần tử của ypq,rs bằng 0. Và ta cĩ: 1 Z pq, pq = ypq, pq Từ phương trình (5.8), ta suy ra rằng: Zqi = Zpi , i = 1, 2, m i ≠ j Và từ phương trình (5.12), ta cĩ: Zqq = Zpq + Zpq,pq Hơn nữa, nếu như khơng cĩ hỗ cảm và p là nút qui chiếu Zpi = 0, i = 1, 2, m i ≠ q Nên: Zqi = 0, i = 1, 2, m i ≠ q Tương tự: Zpq = 0 Và vì vậy: Zqq = Zpq,pq 5.3.3. Sự thêm vào của một nhánh bù cây. Nếu nhánh p - q thêm vào là một nhánh bù cây, phương pháp để tính các phần tử của ma trận tổng trở nút là mắc nối tiếp với nhánh thêm vào một suất điện động el như cho trong hình 5.5. Việc này tạo thành một nút giả l mà nút đĩ sẽ được loại trừ ra sau đĩ. Suất điện động el được chọn như thế nào mà dịng điện chạy qua nhánh bù cây thêm vào bằng 0. l p el ipq =0 q Ypq,pq Eq Ep Giả sử ma trận ZNút ban đầu cĩ kích thước m x m, khi ta thêm nhánh bù cây và tạo nút giả l thì ma trận ZNút cĩ kích thước là (m+1) x (m+1). Trang 72
GIẢI TÍCH MẠNG 1 2 M i p M Ii = 1 Mạng điện Ep ipq l vpq El Hình 5.5 : Dịng điện bơm vào, suất điện động trong mạch nối el E tiếp với nhánh bù cây thêm vào q q M và các điện áp nút cho việc tính tốn của Zli Hệ qui 0 chiếu Phương trình đặt trưng cho mạng riêng với nhánh p-l thêm vào và mạch nối tiếp sức điện động el là . ⎡ E1 ⎤ ⎡Z11 * * Z1m Z1l ⎤ ⎡ I 1 ⎤ ⎢E ⎥ ⎢Z * * * Z ⎥ ⎢ I ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 12 2l ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ * ⎥ = ⎢ * * * * * ⎥ ⎢ * ⎥ (5.13) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Em ⎥ ⎢Zm1 * * Zmm Zml ⎥ ⎢I m ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ el ⎦ ⎣ Zl1 * * Zlm Zll ⎦ ⎣ I l ⎦ Vì: el = El - Eq Phần tử Zli cĩ thể được xác định bằng cách bơm vào một dịng điện tại nút i và tính điện áp tại nút l thuộc về nút q. Vì tất cả các dịng điện tại các nút khác bằng 0, từ phương trình (5.13) ta suy ra: Ek = Zki .Ii = Zki Tương tự như trên ta bơm vào các nút cịn lại E1 = Z1i .Ii M Ep = Zpi .Ii M el = Zli.Ii , i =1, 2, m (5.14) Cho Ii = 1 trong phương trình (5.14), Zli cĩ thể thu được trực tiếp bằng cách tính el. Suất điện động trong mạch nối tiếp là: el = Ep - Eq - vpl (5.15) Vì dịng điện chạy qua nhánh bù cây thêm vào là: ipq= 0 Nhánh p - l cĩ thể được lý giải như một nhánh cây. Dịng điện trong nhánh này, ứng với các số hạn của tổng dẫn ban đầu và điện áp qua các nhánh là: r r i pq = i pl = ypq, pl .vpl + ∑ ypq,rs.vrs = 0 Với: ypq,pq: Là tổng dẫn riêng của nhánh p - q ypq,rs: Là tổng dẫn tương hổ của nhánh p - q với nhánh r - s ipl = ipq = 0 Vì vậy: Trang 73
GIẢI TÍCH MẠNG 1 r r vpl = − ∑ ypl,rs.vrs ypl, pl r r Do đĩ: ypl,rs = ypq,rs và ypl, pl = ypq, pq Nên ta cĩ: 1 r r vpl = − ∑ ypq,rs.vrs (5.16) ypq, pq Thế lần lượt phương trình (5.16), (5.6) và (5.14) với Ii = 1 vào phương trình (5.15) ta cĩ: 1 r r r Zli = Z pi − Zqi + ∑ ypl,rs (Zri − Zsi ) i = 1, 2, m,i ≠ l (5.17) ypl, pl Phần tử Zll cĩ thể được tính bằng cách bơm vào một dịng điện tại nút l với nút q là điểm nút qui chiếu và tính điện áp tại nút thứ l thuộc về nút q. Giả sử ta bơm dịng I = 1A vào nút l (Ij = 0 ∀ i ≠ l), vì tất cả các dịng điện tại các nút khác bằng 0. Từ phương trình 5.13) ta suy ra: Ek = ZklIl = Zkl k = 1, 2, m Tương tự như trên ta bơm vào các nút cịn lại. E1 = Z1l.Il M Ep = Zpl.Il (5.18) M el = Zll.Il = Zll Tương tự ta cĩ điện áp giữa 2 nút p và l là: el = Ep - Eq - vpl Cho Il = 1 ở phương trình (5.18), Zll cĩ thể thu được trực tiếp bằng cách tính el. Dịng điện trong nhánh p - l là: ipl = -Il = -1 Dịng điện này trong các số hạng của các tổng dẫn ban đầu và các điện áp qua các nhánh là: r r i pq = i pl = ypq, pl .vpl + ∑ ypq,rs.vrs = −1 Với: ypq,pq: Là tổng dẫn riêng của nhánh p - q ypq,rs: Là tổng dẫn tương hổ của nhánh p - q với nhánh r - s Tương tự, vì: r r ypl,rs = ypq,rs và ypl, pl = ypq, pq r r 1+ ∑ ypl,rs .vrs Nên: vpl = − (5.19) ypl, pl Thế lần lượt phương trình (5.19), (5.6) và (5.18) vào phương trình (5.15) với Il = 1 ta cĩ: r r r 1+ ∑ ypq,rs (Zrl − Zsl ) Zll = Z pl − Zql + (5.20) ypq, pq Nếu nhánh thêm vào khơng hỗ cảm với các nhánh khác của mạng riêng, thì các phần tử ypq,rs = 0 1 Và: Z pq, pq = ypq, pq Từ phương trình (5.17) ta suy ra: Trang 74