›
›

Giáo trình Giải tích 1 - Huỳnh Thế Phùng

pdf 63 trang ngocly 2730
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Giải tích 1 - Huỳnh Thế Phùng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_giai_tich_1_huynh_the_phung.pdf

Nội dung text: Giáo trình Giải tích 1 - Huỳnh Thế Phùng

  1. GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH I Huỳnh Thế Phùng, Khoa Toán, ĐHKH Huế Ngày 26 tháng 9 năm 2006
  2. 1 Mục lục Chương 1. Đường thẳng thực 4 1.1. Trường Số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Hệ tiên đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Định lý Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3. Trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4. Tập số thực mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1. Dãy hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Các phép toán qua giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3. Điểm tụ - Các tiêu chuẩn hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.4. Số e 11 1.3. Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1. Định nghĩa - Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2. Chuỗi dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.3. Hội tụ tuyệt đối - Bán hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Tôpô trên tập số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1. Lân cận - Tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2. Điểm tụ - Điểm dính - Bao đóng - Tập đóng . . . . . . . . . . 15 1.4.3. Tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5. Thực hành tính toán trên Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.1. Giới thiệu phần mềm Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.2. Các thao tác trên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.3. Giải (hệ) phương trình, (hệ) bất phương trình . . . . . . . . . 19 1.5.4. Tính giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.5. Tính tổng hữu hạn hoặc vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chương 2 Giới hạn và liên tục của hàm một biến thực 26
  3. 2 2.1. Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1. Định nghĩa - Phân loại hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2. Các phép toán trên hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.3. Một số hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2. Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2. Các định lý cơ bản về giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.3. Vô cùng bé, vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.4. Giới hạn của một số hàm số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3. Sự liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.2. Các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.3. Hàm luỹ thừa, hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4. Thực hành tính toán trên Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4.1. Định nghĩa một hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4.2. Vẽ đồ thị của hàm số trên hệ toạ độ Oxy . . . . . . . . . . . . 39 2.4.3. Tính giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Chương 3 Đạo hàm và Vi phân của hàm một biến 48 3.1. Đạo hàm - Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1.2. Các quy tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.3. Đạo hàm các hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2. Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.1. Vi phân bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.2. Vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3. Các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3.1. Các định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3.2. Quy tắc L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4. Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4.1. Đa thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4.2. Ước lượng phần dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
  4. 3 3.4.3. Các khai triển quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.5. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.5.1. Tính đơn điệu, cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.5.2. Tính lồi lõm, điểm uốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.6. Thực hành tính toán trên Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.6.1. Tính đạo hàm của một hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.6.2. Khai triển Taylor của hàm f tại x = a đến cấp n . . . . . . . 58 3.6.3. Tính giới hạn các dạng vô định . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.6.4. Khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.7. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
  5. Chương 1. ĐƯỜNG THẲNG THỰC 1.1. Trường Số thực 1.1.1. Hệ tiên đề Tập số thực R là tập hợp trên đó có hai phép toán cộng (+), nhân (·) và quan hệ thứ tự ≤ sao cho R là một trường có thứ tự đầy đủ. Cụ thể, (a) + và · là các phép toán hai ngôi trên R sao cho (R,+,·) lập thành một trường. Tức là, + :R × R −→ R, (x, y) −→ x + y. · :R × R −→ R, (x, y) −→ xy = x · y. thoả mãn (R.1) x + y = y + x với mọi x, y ∈ R; (R.2) (x + y) + z = x + (y + z) với mọi x, y, z ∈ R; (R.3) Tồn tại phần tử 0 ∈ R sao cho x + 0 = x với mọi x ∈ R; (R.4) Với mọi x ∈ R tồn tại phần tử − x ∈ R sao cho x + (−x) = 0; (R.5) xy = yx với mọi x, y ∈ R; (R.6) (xy)z = x(yz) với mọi x, y, z ∈ R; (R.7) Tồn tại phần tử 1 ∈ R sao cho 1x = x với mọi x ∈ R; (R.8) Với mọi x ∈ R \{0} tồn tại phần tử x−1 ∈ R sao cho x(x−1) = 1; (R.9) (x + y)z = xz + yz với mọi x, y, z ∈ R. (b) R là một trường sắp thứ tự toàn phần. Tức là: (R.10) x ≤ x với mọi x ∈ R;
  6. 5 (R.11) (x ≤ y) ∧ (y ≤ x) ⇒ x = y với mọi x, y ∈ R; (R.12) (x ≤ y) ∧ (y ≤ z) ⇒ x ≤ z với mọi x, y, z ∈ R; (R.13) Với mọi x, y ∈ R ta phải có x ≤ y hoặc y ≤ x; (R.14) x ≤ y ⇔ x + z ≤ y + z với mọi x, y, z ∈ R; (R.15) (0 ≤ x) ∧ (0 ≤ y) ⇒ 0 ≤ xy với mọi x, y ∈ R. Như thông thường, ta viết y ≥ x thay vì viết x ≤ y và viết x x) mỗi khi x ≤ y và x 6= y. Cho A ⊂ R. Ta nói A bị chặn trên nếu tồn tại v ∈ R sao cho a ≤ v với mọi a ∈ A. Lúc đó v được gọi là một cận trên của A. Giả sử A là một tập bị chặn trên, β được gọi là một cận trên đúng của A nếu nó là cận trên bé nhất của A. Tức là, + ∀a ∈ A : a ≤ β; + ∀u 0, ∃a ∈ A : β − ² 0, ∃a ∈ A : a < α + ²)}. c) A bị chặn dưới nếu và chỉ nếu −A bị chặn trên, và lúc đó sup(−A) = − inf A. 1.1.2. Định lý Archimedes Để dễ sử dụng, ta vẫn gọi số nguyên dương là các số 1, 2, , n, , mà được định nghĩa một cách quy nạp như sau: 1 là phần tử đơn vị; 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; ··· ; n = (n − 1) + 1; ··· . Ta gọi số nguyên là các số 0, ±1, ±2, ±n, Tập hợp các số nguyên, số nguyên dương lần lượt được ký hiệu là Z và N∗. Tập hợp N := N∗ ∪ {0} được gọi là tập các số tự nhiên. Q là ký hiệu tập các số hữu tỷ. Đó là các số có dạng m := mn−1 với m ∈ Z, n ∈ N∗. Cuối cùng, các số thực x ∈ R \ Q được gọi là số vô n tỷ. Với hai số thực a, b cho trước, ta gọi: Đoạn hay khoảng đóng [a, b] là tập {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}; Khoảng hay khoảng mở (a, b) là tập {x ∈ R | a < x < b};
  7. 6 Khoảng nửa đóng trái [a, b) là tập {x ∈ R | a ≤ x 0, x ∈ R tồn tại n ∈ Z sao cho x ∈ [(n − 1)λ, nλ). Chứng minh. Giả sử pλ ≤ x với mọi p ∈ Z. Lúc đó tập A := {pλ | p ∈ Z} bị chặn trên, nên tồn tại cận trên đúng β. Theo Định lý 1.2 tồn tại p ∈ Z sao cho pλ > β − λ, hay β x} khác rỗng và bị chặn dưới bởi x, nên tồn tại λ α = inf B. Cũng theo Định lý 1.2, tồn tại nλ ∈ B sao cho nλ 0 nên theo Định lý Archimedes tồn tại n ∈ N∗ sao cho 1 1 n > , hay 0, |x| := −x; nếu x < 0,  0; nếu x = 0. Ta dễ dàng kiểm chứng được các tính chất sau của trị tuyệt đối. (i) |x| ≥ 0; ∀x ∈ R. (ii) |x| = 0 ⇔ x = 0. (iii) |x + y| ≤ |x| + |y|; ∀x, y ∈ R. (iv) |xy| = |x||y|; ∀x, y ∈ R.
  8. 7 1.1.4. Tập số thực mở rộng Tập số thực mở rộng R bao gồm R và hai phần tử −∞, ∞ với quy ước như sau: (i) Với mọi x ∈ R: −∞ 0 x.∞ = ∞.x = ∞; x.(−∞) = (−∞).x = −∞. (iii) Với mọi x < 0 x.∞ = ∞.x = −∞; x.(−∞) = (−∞).x = ∞. Ngoài ra, các phép toán sau không được định nghĩa trong R: 0.∞; ∞.0; ∞ + (−∞); (−∞) + ∞. Lúc này, nếu A là một tập không bị chặn trên trong R ta có thể đặt sup A = ∞. Tương tự, nếu A không bị chặn dưới thì inf A = −∞. Để thuận lợi người ta cũng quy ước sup ∅ = −∞ và inf ∅ = +∞. Cuối cùng, với các định nghĩa khoảng như trong Mục 1.1.2. ta có R = (−∞, ∞); R = [−∞, ∞]. 1.2. Dãy số 1.2.1. Dãy hội tụ Ta gọi một dãy số là một ánh xạ f từ tập các số nguyên dương N∗ (hoặc tập ∗ số tự nhiên N) vào R. Lúc đó, nếu ký hiệu xn = f(n) với mỗi n ∈ N thì dãy f còn được gọi là dãy {x1, x2, ··· , xn, ···} hay, đơn giản hơn, (xn)n. Cho dãy f = (xn)n. Giả sử ϕ : N −→ N là ánh xạ sao cho ϕ(k) < ϕ(k + 1) với mọi k. Lúc đó f ◦ ϕ được gọi là một dãy con của f. Trong thực tế, người ta thường đặt nk := ϕ(k), như vậy (f ◦ ϕ)(k) = f(ϕ(k)) = f(nk) = xnk . Do đó, dãy con f ◦ ϕ của dãy (xn)n chính là dãy {xn1 , xn2 , ··· , xnk , ···} hay (xnk )k, trong đó n1 < n2 < ··· < nk < ··· .
  9. 8 Một số thực a được gọi là giới hạn của dãy số (xn)n nếu với mọi số ² dương tồn tại chỉ số n0 đủ lớn sao cho |xn − a| A (xn 0 sao cho |xn| ≤ M với mọi n. Mệnh đề 1.4. Mọi dãy số hội tụ đều bị chặn. Mệnh đề 1.5. Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất. Mệnh đề 1.6. Nếu dãy số (xn)n hội tụ đến một số dương (âm), thì tồn tại n0 sao cho xn > 0 (xn < 0) với mọi n ≥ n0. 1.2.2. Các phép toán qua giới hạn Định lý 1.7. Cho hai dãy số hội tụ (xn)n và (yn)n và c là một số thực. Lúc đó các dãy (xn ± yn)n, (xnyn)n, (cxn)n cũng hội tụ và a) lim (xn ± yn) = lim xn ± lim yn. n→∞ n→∞ n→∞ b) lim (cxn) = c lim xn. n→∞ n→∞ c) lim (xnyn) = lim xn. lim yn. n→∞ n→∞ n→∞ ³ ´ xn xn lim xn d) Nếu lim yn 6= 0, thì dãy cũng hội tụ và lim = . n→∞ yn n yn lim yn Mệnh đề 1.8. Cho 2 dãy số hội tụ (xn)n và (yn)n. Lúc đó a) Nếu xn ≥ 0 với mọi n thì lim xn ≥ 0. n→∞ b) Nếu xn ≥ yn với mọi n thì lim xn ≥ lim yn. n→∞ n→∞ c) Nếu lim xn = a = lim yn và (zn)n là dãy số sao cho với một số n0 ∈ N nào n→∞ n→∞ đó xn ≥ zn ≥ yn với mọi n ≥ n0, thì lim zn = a. n→∞
  10. 9 Mệnh đề 1.9. Nếu dãy (xn)n hội tụ về 0 còn dãy (yn)n bị chặn, thì dãy (xnyn)n hội tụ về 0. Mệnh đề 1.10. Cho 2 dãy số (xn)n, (yn)n với (xn)n phân kỳ đến ±∞. Lúc đó, a) Nếu dãy (yn)n bị chặn thì lim (xn ± yn) = lim xn. n→∞ n→∞ b) Nếu tồn tại số dương ² sao cho yn ≥ ² với mọi n thì lim (xnyn) = lim xn. n→∞ n→∞ Mệnh đề 1.11. Cho dãy số (xn)n ⊂ R \{0}, ta có 1 lim xn = 0 ⇔ lim = +∞. n→∞ n→∞ |xn| 1.2.3. Điểm tụ - Các tiêu chuẩn hội tụ Dãy số (xn)n được gọi là dãy tăng (giảm, không giảm, không tăng) nếu với mọi n ta có xn xn+1, xn ≤ xn+1, xn ≥ xn+1). Dãy thoả mãn một trong bốn tính chất đó được gọi là dãy đơn điệu. Định lý 1.12. Cho dãy (xn)n. a) Nếu (xn)n không giảm và bị chặn trên thì hội tụ. Lúc đó lim xn = sup{xn | n ∈ N}. n→∞ b) Nếu (xn)n không tăng và bị chặn dưới thì hội tụ. Lúc đó lim xn = inf{xn | n ∈ N}. n→∞ c) Mọi dãy đơn điệu không bị chặn đều phân kỳ đến ∞ hoặc −∞. Hệ quả 1.2. Cho hai dãy (xn)n, (yn)n sao cho (i) (xn)n không giảm, (yn)n không tăng; (ii) xn ≤ yn với mọi n ∈ N. Lúc đó cả hai dãy trên đều hội tụ và lim xn ≤ lim yn. Nếu thêm điều kiện lim(yn − xn) = 0 thì lim xn = lim yn. Cho dãy bị chặn (xn)n. Với mỗi k ∈ N, ta đặt: uk := inf{xn | n ≥ k}; vk := sup{xn | n ≥ k}. Lúc đó, uk ≤ uk+1 ≤ vk+1 ≤ vk với mọi k. Từ Hệ quả 1.2 ta thấy cả hai dãy này đều hội tụ và u = lim uk ≤ lim vk = v. Người ta gọi u (v) là giới hạn dưới (giới hạn k→∞ k→∞ trên) của dãy (xn)n và ký hiệu là lim xn ( lim xn) hay lim infxn (lim supxn). n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
  11. 10 Trường hợp dãy (xn)n không bị chặn, ta cũng có (uk)k, (vk)k là các dãy đơn điệu trong [−∞, ∞]. Do đó ta có thể định nghĩa giới hạn dưới và giới hạn trên (có thể bằng vô cùng) của (xn)n trong mọi trường hợp. Kết quả sau cho ta cái nhìn rõ ràng hơn về các giới hạn này. Mệnh đề 1.13. a) (xn)n không bị chặn trên ⇔ lim sup xn = +∞. b) (xn)n không bị chặn dưới ⇔ lim inf xn = −∞. c) lim xn = −∞ ⇔ lim sup xn = −∞. d) lim xn = +∞ ⇔ lim inf xn = +∞ Định lý 1.14. Cho (xn)n và u, v ∈ R. a) lim inf xn = u khi và chỉ khi hai điều sau thoả mãn: (i) ∀² > 0, ∃n0, ∀n ≥ n0 : xn > u − ²; (ii) ∀² > 0, ∀m ∈ N, ∃n > m : xn 0, ∃n0, ∀n ≥ n0 : xn 0, ∀m ∈ N, ∃n > m : xn > v − ². c) (xn)n hội tụ khi và chỉ khi lim sup xn = lim inf xn ∈ R Một điểm s ∈ R được gọi là điểm tụ của dãy số (xn)n nếu tồn tại một dãy con (xn )k ⊂ (xn)n sao cho xn −→ s. k k k→∞ Định lý 1.15. Cho (xn)n là một dãy bị chặn. Lúc đó tồn tại các giới hạn trên, dưới: −∞ 0 tồn tại n0 ∈ N sao cho |xn − xm| < ² với mọi m, n ≥ n0. Mệnh đề 1.16. Mọi dãy Cauchy đều bị chặn. Định lý 1.17 (Tiêu chuẩn Cauchy). (xn)n hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.
  12. 11 1.2.4. Số e Xét hai dãy số 1 1 1 1 1 1 1 1 u := 1 + + + ··· + ; v := 1 + + + ··· + + = u + . n 1! 2! n! n 1! 2! n! n! n n! Dễ thấy un ≤ un+1 ≤ vn+1 ≤ vn với mọi n và vn − un → 0. Theo Hệ quả 1.2 cả hai dãy này đều hội tụ và có cùng giới hạn. Người ta ký hiệu giới hạn này bởi số e. Đây là một giá trị đặc biệt và có vai trò rất quan trọng trong giải tích. Chúng ta có thể ước 8 17 lượng thô số e bởi các bất đẳng thức: 2 = u1 ≤ e ≤ v1 = 3; 3 = u3 ≤ e ≤ v3 = 6 . Thật ra, số e còn được thiết lập từ một giới hạn khác. Cụ thể, ta có Định lý 1.18. µ ¶ 1 n e = lim 1 + . n→+∞ n 1 n Chứng minh. Thật vậy, nếu đặt zn := (1 + n ) ta có thể khai triển: Xn n! 1 z = n k!(n − k)! nk k=0 1 1 1 1 1 2 1 1 2 n − 1 = 1 + + (1 − ) + (1 − )(1 − ) + ··· + (1 − )(1 − ) (1 − ). 1! 2! n 3! n n n! n n n Dễ chứng minh được rằng zn−1 < zn < un với mọi n. Do đó tồn tại giới hạn lim zn ≤ e. Mặt khác, với mọi số nguyên dương cố định m ta có 1 1 1 1 1 2 m − 1 z ≥ 1 + + (1 − ) + ··· + (1 − )(1 − ) (1 − ); ∀n ≥ m. n 1! 2! n m! n n n Cho n → +∞ ta có lim zn ≥ um. Vì m được lấy tuỳ ý ta suy ra lim zn ≥ e và bổ đề hoàn toàn được chứng minh. 1.3. Chuỗi số 1.3.1. Định nghĩa - Tính chất Cho dãy số (an)n. Với mỗi n ta đặt sn := a1 + a2 + ··· + an, như vậy ta được một dãy mới (sn)n, gọi là dãy các tổng riêng. Nếu dãy này hội tụ về một giá trị S ta nói chuỗi số X∞ (A): ai. i=1 hội tụ, S là tổng của chuỗi và viết
  13. 12 X∞ Xn S = ai = lim ai. n→∞ i=1 i=1 P∞ Nếu dãy (sn)n không hội tụ ta nói chuỗi ai phân kỳ. i=1 Mệnh đề 1.19. Giả sử (A) và (B) là các chuỗi số hội tụ và c là một số thực. Lúc P∞ P∞ đó, các chuỗi (ai ± bi), c.ai hội tụ và ta có i=1 i=1 P∞ P∞ P∞ a) (ai ± bi) = ai ± bi; i=1 i=1 i=1 P∞ P∞ b) c.ai = c. ai. i=1 i=1 Mệnh đề 1.20. Nếu chuỗi (A) hội tụ thì lim ai = 0. i→∞ Định lý 1.21 (Tiêu chuẩn Cauchy). ¯ ¯ ¯n+p ¯ ¯X ¯ Chuỗi (A) hội tụ ⇐⇒ ∀² > 0, ∃n ∈ N, ∀n ≥ n , ∀p ∈ N : ¯ a ¯ < ². 0 0 ¯ i¯ i=n P 1 P 1 Ví dụ 1.1. Chuỗi n phân kỳ còn chuỗi n2 hội tụ. Cho chuỗi (A). Với mỗi k ∈ N ta gọi chuỗi sau là phần dư thứ k của (A): X∞ (Ak): ai. i=k+1 Hệ quả 1.5. Với mọi k ∈ N, hai chuỗi (A) và (Ak) đồng thời hội tụ hay phân kỳ. 1.3.2. Chuỗi dương Chuỗi số (A) được gọi là chuỗi dương nếu ai ≥ 0 với mọi i ∈ N. Lúc đó, dãy các tổng riêng (sn)n là không giảm. Dãy này sẽ hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn trên. Trong trường hợp ngược lại, dãy dần đến +∞. Tóm lại, ta luôn luôn có: P∞ - Hoặc ai = S ∈ [0, +∞); i=1 P∞ - Hoặc ai = +∞. i=1 Hệ quả 1.6. Cho hai chuỗi dương (A), (B) sao cho ai ≤ bi với mọi i ∈ N. Lúc đó, nếu (B) hội tụ thì (A) cũng hội tụ, hay một cách tương đương, nếu (A) phân kỳ thì (B) cũng phân kỳ.
  14. 13 Định lý 1.22. Cho hai chuỗi số dương (A), (B). Nếu tồn tại giới hạn a lim i = k ∈ (0, +∞), i→∞ bi thì hai chuỗi này đồng thời hội tụ hay phân kỳ. Định lý 1.23 (Tiêu chuẩn Cauchy). Cho chuỗi dương (A). Đặt √ n ρ := lim an. n→∞ Lúc đó, nếu ρ 1 thì (A) phân kỳ. Định lý 1.24 (Tiêu chuẩn D’Alembert). Cho chuỗi dương (A). Đặt a a α := lim n+1 ; β := lim n+1 . n→∞ an n→∞ an Lúc đó, nếu α > 1 thì (A) phân kỳ, nếu β 1 thì (A) hội tụ, nếu β1 < 1 thì (A) phân kỳ. X 1 X 1 X 1 Ví dụ 1.2. Xét các chuỗi sin( ), , √ . n n! n n 1.3.3. Hội tụ tuyệt đối - Bán hội tụ Chuỗi (A) được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu X∞ |ai| < ∞. i=1 Mệnh đề 1.26. Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ. Tuy vậy, điều ngược lại không đúng, một chuỗi hội tụ có thể không hội tụ tuyệt ∞ P n 1 đối. Chuỗi như vậy được gọi là bán hội tụ. Ví dụ, chuỗi (−1) n là bán hội tụ. n=1 i Chuỗi (A) được gọi là chuỗi đan dấu nếu ai = (−1) .bi; bi ≥ 0 với mọi i ∈ N. Định lý 1.27 (Định lý Leibnitz). Nếu (A) là chuỗi đan dấu và (|an|)n là dãy giảm về 0, thì (A) hội tụ.
  15. 14 Chuỗi (A) được gọi là hội tụ giao hoán nếu với mọi song ánh σ : N → N, chuỗi X∞ (Aσ): aσ(i) hội tụ. i=1 Định lý 1.28 (Định lý Dirichlet). Nếu chuỗi (A) hội tụ tuyệt đối thì nó là hội tụ giao hoán. Hơn nữa, với mọi song ánh σ : N → N, (Aσ) và (A) có cùng tổng. Định lý 1.29 (Định lý Riemann). Nếu chuỗi (A) bán hội tụ thì với mọi S ∈ R luôn tồn tại một song ánh σ : N → N sao cho X∞ aσ(i) = S. i=1 Bây giờ cho hai chuỗi (A) và (B). Ta thiết lập chuỗi tích: X∞ (AB): ck, k=2 trong đó Xk−1 ck := ai.bk−i, k ≥ 2. i=1 Định lý 1.30. Nếu (A) và (B) là hai chuỗi hội tụ tuyệt đối thì chuỗi tích (AB) hội tụ và Ã ! Ã ! X∞ X∞ X∞ ck = ar . bs . k=2 r=1 s=1 1.4. Tôpô trên tập số thực 1.4.1. Lân cận - Tập mở Với mỗi x ∈ R và số δ > 0 ta gọi khoảng mở (x − δ, x + δ) là một δ−lân cận của x và ký hiệu là Nδ(x). Một tập U ⊆ R được gọi là một lân cận của x nếu Nδ(x) ⊆ U với một δ > 0 nào đó. Lúc đó ta cũng nói x là một điểm trong của U. Một tập con U của R được gọi là mở nếu với mọi x ∈ U, x cũng là một điểm trong của U. Tức là U mở ⇐⇒ ∀x ∈ U, ∃δ > 0,Nδ(x) ⊆ U. Mệnh đề 1.31. Mọi khoảng mở (a, b) đều là một tập mở trong R.
  16. 15 Họ τ tất cả các tập con mở của R được gọi là tôpô của R. Tập R các số thực cùng với tôpô τ được gọi là đường thẳng thực. Định lý 1.32. Tôpô τ của đường thẳng thực có các tính chất sau: a) Tập rỗng ∅ là mở. b) Bản thân R là mở. c) Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là mở. d) Giao của một số hữu hạn các tập mở là mở. Bổ đề 1.1. Mọi họ các khoảng mở khác rỗng và rời nhau trên R đều đếm được. Định lý 1.33. Mọi tập con mở của R đều là hợp của một họ đếm được các khoảng mở rời nhau. Tập hợp tất cả các điểm trong của một tập A được gọi là phần trong của A và được ký hiệu là Int A. Rõ ràng A mở khi và chỉ khi A = Int A. Trường hợp tổng quát ta có kết quả sau Mệnh đề 1.34. Với mọi A ⊂ R, Int A là tập mở và là tập con mở lớn nhất của A. 1.4.2. Điểm tụ - Điểm dính - Bao đóng - Tập đóng Cho A là một tập con của R. Số thực a được gọi là một điểm tụ của A nếu ∀δ > 0, (Nδ(a) \{a}) ∩ A 6= ∅, a được gọi là điểm dính của A nếu ∀δ > 0,Nδ(a) ∩ A 6= ∅. Tập các điểm tụ của A được ký hiệu là A0, còn tập các điểm dính của A được ký hiệu là A và được gọi là bao đóng của A. Mệnh đề 1.35. Cho tập con A của R và số thực a. Lúc đó, a) a ∈ A ⇐⇒ ∃(xn)n ⊂ A, xn → a. 0 b) a ∈ A ⇐⇒ ∃(xn)n ⊂ A; xn 6= a, ∀n ∈ N, xn → a. Hệ quả 1.7. Với Q là tập các số hữu tỷ trên R, ta có Q = Q0 = R = (R \ Q) = (R \ Q)0. Hệ quả 1.8. Với mọi tập con A của R, ta có a) A = A ∪ A0. Nói riêng A ⊆ A và A0 ⊆ A. b) A = A.
  17. 16 Mệnh đề 1.36. Cho A, B là các tập con của R. Lúc đó, a) A ⊆ B =⇒ A ⊆ B. b) A ∪ B = A ∪ B. c) A ∩ B ⊆ A ∩ B. Một tập con A của R được gọi là tập đóng nếu A = A. Từ định nghĩa và từ các tính chất của bao đóng ta suy ra ngay các khẳng định sau Hệ quả 1.9. Cho A là một tập con của R. Lúc đó, hai khẳng định sau là tương đương: a) A là tập đóng; b) ∀(xn)n ⊂ A : xn → a =⇒ a ∈ A. Hệ quả 1.10. Với mọi tập con A của R, A là tập đóng và là tập đóng bé nhất chứa A. Quan hệ giữa các tập đóng và tập mở được phát biểu qua định lý sau: Định lý 1.37. Một tập con A của R là đóng khi và chỉ khi phần bù R \ A của nó là tập mở. Định lý sau là hệ quả trực tiếp của Định lý 1.32 và Định lý 1.37. Định lý 1.38. Họ các tập đóng của R có các tính chất sau: a) Tập rỗng ∅ là dóng. b) Bản thân R là đóng. c) Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là đóng. d) Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là đóng. Hệ quả 1.11. a) Khoảng đóng bị chặn [a, b] trong R là đóng. b) Tập một điểm là đóng. c) Tập hữu hạn điểm là đóng. Từ Định lý 1.32 và Định lý 1.38 ta nhận thấy rằng tập rỗng ∅ và bản thân R vừa đóng vừa mở. Một câu hỏi đặt ra khá tự nhiên là ngoài hai tập này còn có tập nào trong R có tính chất đó nữa hay không. Định lý sau đây trả lời câu hỏi đó. Định lý 1.39. Đường thẳng thực R không còn có tập con nào vừa đóng vừa mở ngoài ∅ và R.
  18. 17 1.4.3. Tập compact Một tập con A của R được gọi là tập compact nếu với mọi dãy (xn)n trong A, tồn tại dãy con (xnk )k ⊂ (xn)n hội tụ đến một điểm x¯ ∈ A. Định lý 1.40. Một tập con A của R là compact khi và chỉ khi A đóng và bị chặn. Một họ F = (Oλ)λ∈I được gọi là một phủ của tập A nếu [ A ⊆ Oλ. λ∈I Hơn nữa, nếu tất cả các Oλ đều mở thì F được gọi là một phủ mở của A. Một phủ con của F là họ con G = (Oλ)λ∈J , với J ⊆ I sao cho ta vẫn có [ A ⊆ Oλ. λ∈J Một họ (Fλ)λ∈I các tập con của R được gọi là có tính chất giao hữu hạn nếu với mọi tập hữu hạn các chỉ số K ⊆ I ta có \ Fλ 6= ∅. λ∈K Định lý 1.41. Một tập con A của R là compact khi và chỉ khi mọi phủ mở của nó tồn tại một phủ con hữu hạn. Tức là, nếu (Oλ)λ∈I là phủ mở của A thì tồn tại λ1, λ2, ··· , λk ∈ I sao cho [k A ⊆ Oλi . i=1 Hệ quả 1.12. Nếu họ (Fλ)λ∈I các tập con compact của R có tính chất giao hữu hạn thì chúng có giao khác rỗng. Tức là \ Fλ 6= ∅. λ∈I 1.5. Thực hành tính toán trên Maple 1.5.1. Giới thiệu phần mềm Maple Maple là một trong các phần mềm tính toán phong phú, hỗ trợ cho hầu hết các lĩnh vực của Toán học như giải tích số, đồ thị, đại số tuyến tính, đại số hình thức, phương trình vi phân, phương trình toán lý, Maple tạo ra một môi trường làm việc hoàn toàn thoải mái, giúp cho người dùng có thể thực hiện các tính toán trực tiếp
  19. 18 đơn giản hoặc viết các đoạn chương trình tính toán phức tạp. Vì đây không phải là một cuốn sách chuyên khảo về Maple nên chúng tôi không có tham vọng giới thiệu quá sâu mà chỉ muốn cho sinh viên làm quen với phần mềm, đủ để giải quyết tốt những bài toán có liên quan trong phạm vi giáo trình. Sử dụng phần mềm này, sinh viên không những giải được những bài toán phức tạp mà nếu tính toán bằng tay phải mất hằng tháng trời (hoặc không tính nổi) mà còn giúp sinh viên nhìn thấy được bản chất của nhiều vấn đề một cách nhanh chóng và sinh động. Thật ra, đây không phải là phần mềm tính toán duy nhất. Tuy nhiên, nếu biết sử dụng Maple một cách thành thạo, sinh viên dễ dàng tiếp cận với các chương trình tính toán phổ biến khác hiện nay như Mathematica, Matlab, Ta luôn bắt đầu tính toán với việc đưa vào một cụm xử lý (bằng cách nhấn chuột vào nút có biểu tượng [> hoặc vào chức năng Insert/Execution Group/After Cusor có sẵn trên thanh lệnh của giao diện) Một dấu nhắc lệnh [> sẽ hiện ra, chờ đợi ta đưa lệnh vào thực hiện. Một số điều cần chú ý là: Câu lệnh được viết ra phải tuân thủ nghiêm ngặt là chữ hoa hay chữ thường, tất cả câu lệnh đều viết bằng tiếng Anh (nhưng không khó để học thuộc, vì số lượng không nhiều). Kết thúc mỗi câu lệnh đều có dấu ";" hoặc ":" và sau đó nhấn phím Enter. Nếu sử dụng dấu ";" thì kết quả tính toán sẽ hiển thị ngay dòng dưới, còn nếu sử dụng dấu ":" thì kết quả sẽ không hiện ra. 1.5.2. Các thao tác trên tập hợp a) Định nghĩa tập hợp. Cú pháp: [> (Tên tập hợp):= {(danh sách các phần tử của tập hợp)}; Ví dụ: [> A:={1, 2, 3, 4, 15}: [> B:={a, b, x, y, z}; B := {a, b, x, y, z} b) Các phép toán trên tập hợp. Ta đã biết 3 phép toán trên tập hợp là ∪ (ký hiệu union), ∩ (ký hiệu intersect) và \ (ký hiệu minus). Cú pháp: [> (Tập hợp 1) (phép toán) (Tập hợp 2); Ví dụ: [> {2, 6, 1, 3 } union {2, 3, 7, 18}; {1, 2, 3, 6, 7, 18} [> M:={1, 3, 5}:
  20. 19 [> N:={5, 1, 2, 6}: [> P:=M minus N; P := {3} c) Kiểm tra các quan hệ trên tập hợp. Ta có 3 phép kiểm tra là ∈ (kí hiệu member), ⊂ (kí hiệu verify(subset)) và ⊃ (kí hiệu verify(superset)). Kết quả ta được true hoặc false. Cú pháp: [> member(phần tử, tập hợp); [> verify(Tập hợp 1, Tập hợp 2, ’subset’/’superset’); Ví dụ: [> member(3, {1, 3, 5}); true [> verify({1, 3, 5}, {2, 3, 5}, ’subset’); false [> verify({1, 3, 5, 6}, {3, 5}, ’superset’); true 1.5.3. Giải (hệ) phương trình, (hệ) bất phương trình a) Giải phương trình, bất phương trình. Cú pháp: [> solve(phương trình/bất phương trình, {biến}); Ví dụ: [> solve(x*x - 1 = 0, {x}); {x = 1}, {x = −1} [> ptb3:=u∧3 - 1 = 0: [> solve(ptb3, {u}); 1 1 √ 1 1 √ {u = 1}, {u = − + I 3}, {u = − − I 3} 2 2 2 2 [> solve(x*x - 3*x + 2 < 0, {x});
  21. 20 {1 bpt:=x*x - 3*x + 2 >= 0; bpt := 0 ≤ x2 − 3x + 2 [> solve(bpt, {x}); {x ≤ 1}, {2 ≤ x} b) Giải hệ phương trình, hệ bất phương trình. Cú pháp: [> solve({danh sách phương trình/bất phương trình}, {ds biến}); Ví dụ: [> p1:=sqrt(x) + sqrt(2-y)=sqrt(2); √ p √ p1 := x + 2 − y = 2 [> p2:=sqrt(2-x) + sqrt(y)=sqrt(2); √ √ √ p2 := 2 − x + y = 2 [> solve({p1, p2}, {x, y}); {x = 0, y = 0}, {x = 2, y = 2} [> q1:=sqrt(4*u-7) q2:=sqrt(u+5) + sqrt(5-u)>4; √ √ q2 := 4 solve({q1, q2}, {u}); 7 { ≤ u, u < 4} 4
  22. 21 1.5.4. Tính giới hạn của dãy số Cú pháp: [> limit(x[n], n=infinity); Ví dụ: [> limit ((n+1)/n, n=infinity); 1 Chú ý rằng nếu viết Limit thì chỉ hiện ra công thức hình thức của giới hạn đó. Nếu muốn tính giới hạn này bằng bao nhiêu ta dùng lệnh value(%). Chẳng hạn: [> Limit ((n*n+1)/(3-2*n*n), n=infinity); n2 + 1 lim n→∞ 3 − 2n2 [> value(%); −2 Ta cũng có thể định nghĩa dãy trước khi gọi thực hiện giới hạn. Ví dụ: [> y[n]:= (3*n*n-5)/(4*n+5*n*n); 3n2 − 5 y[n] := 4n + 5n2 [> limit(y[n], n=infinity); 3 5 1.5.5. Tính tổng hữu hạn hoặc vô hạn Cú pháp: [> sum(x[n], n=n1 n2); (nếu dùng Sum thì cho ra công thức hình thức) trong đó, n1 là chỉ số đầu và n2 là chỉ số cuối của tổng cần tính. Ví dụ: [> sum(1/(n*(n+1)), n=2 10); 9 22 [> Sum(1/(n*n), n=1 infinity); X∞ 1 n2 n=1 [> value(%); 1 π2 6
  23. 22 1.6. Bài tập 1.1. Chứng minh các tính chất sau trên trường số thực R a) 0 + 0 = 0, b) a + c = b + c =⇒ a = b, c) a.0 = 0.a = 0, d) a.b = 0 =⇒ (a = 0) ∨ (b = 0), e) (a.c = b.c) ∧ (c 6= 0) =⇒ (a = b), f) (−a).b = −(a.b), g) (a.b)−1 = a−1.b−1, h) (a > b) ∧ (c > 0) =⇒ (a.c > b.c), i) a > b =⇒ a + c > b + c, j) a > b > 0 =⇒ a2 > b2, với mọi a, b, c ∈ R. 1.2. Chứng minh Q là trường thứ tự không đầy đủ bằng cách chỉ ra rằng tập S := {x ∈ Q | x2 < 3} trong Q là bị chặn trên nhưng không tồn tại sup S trong Q. 1.3. Chứng minh rằng với mọi a, b ∈ R sao cho a < b, tồn tại q ∈ Q, r ∈ R\Q thoả mãn a < q < b, a < r < b. 1.4. Cho S ⊂ R. Chứng minh sup(−S) = − inf(S) và inf(−S) = − sup(S). 1.5. Cho A và B là hai tập con khác rỗng trong R. Chứng minh rằng sup(A ∪ B) = max{sup A, sup B}, inf(A ∪ B) = min{inf A, inf B}. 1.6. Chứng minh trường số phức C không phải là trường có thứ tự. (Gợi ý: Chứng minh số ảo i không so sánh được với 0). 1.7. Khảo sát sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu tồn tại) của các dãy sau √ p 2 xn = n − n − n; xn = n(n + a) − n; √ n nπ x = n + 3 1 − n3; x = sin ; n n 2 2 sin2 n − cos3 n √ x = ; x = ( n4 + 2n + 1 − n2)(2n + 1). n n n 1.8. Cho (xn) ⊂ R. Ta định nghĩa một dãy mới: x + x + ··· + x u := 1 2 n . n n
  24. 23 Chứng minh rằng a) Nếu (xn) là đơn điệu thì (un) cũng vậy. b) Nếu (xn) hội tụ thì (un) cũng hội tụ và giới hạn của hai dãy trùng nhau. 1.9. Cho hằng số c > 0. Thiết lập dãy truy hồi c c + x2 x := ; x := n , n ≥ 1. 1 2 n+1 2 Tìm điều kiện của c sao cho dãy (xn) hội tụ, xác định giới hạn của dãy trong những trường hợp đó. 1 1.10. Xét dãy xn := xn−1 + với x0 := 1. Chứng minh rằng xn−1 lim xn = +∞. n→∞ 1.11. Xét dãy xn := an/bn với a0, b0 dương cho trước và an := 2an−1 + 3bn−1, bn := an−1 + 2bn−1, ∀n ≥ 1. a) Chứng minh an > 0, bn > 0, ∀n ∈ N. b) Tính xn+1 theo xn. c) Chứng tỏ dãy (xn) đơn điệu và có giới hạn độc lập đối với a0 và b0. 1.12. Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của dãy 2 x0 := 1; xn := + 1, n ≥ 1. xn−1 1.13. Cho hai số b > a > 0. Xét hai dãy (xn) và (yn) với √ 1 x := a; y := b; x := x y , y := (x + y ), n ≥ 1. 0 0 n n−1 n−1 n 2 n−1 n−1 Chứng minh hai dãy đó hội tụ và có chung giới hạn. 1.14. Tìm giới hạn trên, giới hạn dưới, giới hạn (nếu có) của các dãy số sau sin(n2) (−1)n(n + 1) + n x = ; x = ; n n + 1 n n √ n2 + (−1)n(2n + 1) x = n − n2 − 1; x = . n n n 1.15. Tính các giới hạn sau √ p 2n n2 − n3 + 1 n2 sin4(n) + (n + 1)3 lim (−1)n ; lim √ ; lim . n→∞ n2 + 1 n→∞ n2 + n3 + 1 n→∞ (n + 1)2
  25. 24 1.16. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số µ ¶ µ ¶ µ ¶ X∞ n X∞ n2 + 1 X∞ n2 + 1 cos ; cos ; tan , n2 + 1 2n 2n n=1 n=1 n=1 µ ¶ µ ¶ X∞ n X∞ n2 + 1 X∞ (n + 1)52n sin ; sin ; , n2 + 1 2n 3n + n2 n=1 n=1 n=1 µ ¶ µ ¶ X∞ 2 + n2 X∞ 1 + (−1)nn X∞ 1 1 tan ; ; sin + e−n , n3 + 1 n2 n + 1 n n=1 n=1 n=1 √ √ X∞ 2 n + n n2 + 1 X∞ sin(n2 + 1) ; . n3 − 10 n2 + 1 n=1 n=1 1.17. Tính tổng của các chuỗi √ X∞ 2n + 1 X∞ 1 X∞ n − n2 − 1 ; ; p . n2(n + 1)2 4n2 − 1 n=1 n=1 n=1 n(n + 1) X∞ n X∞ 1 ; √ √ p . (2n − 1)2(2n + 1)2 n=1 n=1 ( n + n + 1) n(n + 1) 1.18. Cho ba chuỗi X∞ X∞ X∞ (A): an;(B): bn;(C): cn 1 1 1 thoả mãn an < bn < cn, ∀n. Chứng minh rằng nếu (A) và (C) hội tụ thì (B) cũng hội tụ. Nếu (A) và (C) phân kỳ thì (B) có phân kỳ không? P∞ P∞ 2 1.19. Chứng minh rằng nếu chuỗi dương 1 an hội tụ thì chuỗi 1 an cũng hội tụ. Điều ngược lại còn đúng không? 1.20. Chứng minh tập các điểm tụ của một dãy số thực bất kỳ là đóng. Tập đó có bị chặn không? 1.21. Tìm một dãy trong R sao cho tập các điểm tụ của nó là đoạn [0,1]. 1.22. Chứng minh rằng với mọi tập đóng E ⊂ R đều tìm được một dãy (xn) sao cho tập các điểm tụ của nó chính là E. 1.23. Hãy xây dựng một tập mở U trên R sao cho Q ⊂ U ⊂ R và U 6= R. 1.24. Tìm E từ đó cho biết E có phải là tập đóng hay không, với ½ ¯ ¾ 1 ¯ a) E = ¯ n ∈ N∗ , n ½ ¯ ¾ 1 1 ¯ b) E = + ¯ m, n ∈ N∗ , m n
  26. 25 ½ ¯ ¾ n ¯ c) E := ¯ n ∈ Z , n2 + 1 ½ ¯ ¾ n ¯ d) E := ¯ n ∈ Z . |n| + 2 1.25. Chứng minh Z, N là các tập đóng trong R. 1.26. Tìm Q, R \ Q. Từ đó suy ra Q là một tập không đóng, không mở trong R. 1.27. Cho A, B ⊂ R. Chứng minh a) Nếu A ⊂ B thì Int(A) ⊂ Int(B), b) Int(A ∩ B) = Int(A) ∩ Int(B), Int(A ∪ B) ⊃ Int(A) ∪ Int(B). 1.28. Hãy xác định các tập Int(E), ∂E và E với à µ ¶! [ [∞ 1 1 a) E = Z n − , n + n n n=1 à µ ¶! [ [∞ 2 1 b) E = N − 1, − 1 3n 3n−1 n=1 à µ ¸! [ [∞ 2n − 2 2n − 1 c) E = {m ∈ Z | m 0 sao cho N²(x0) ∩ E = {x0}. Chứng minh rằng với mọi tập E ⊂ R, tập các điểm cô lập của E là không quá đếm được.
  27. Chương 2 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN THỰC 2.1. Hàm số 2.1.1. Định nghĩa - Phân loại hàm số Một ánh xạ f từ một tập con X của R vào R được gọi là một hàm số, X được gọi là miền xác định của f còn f(X) được gọi là miền giá trị của nó. Đồ thị của hàm số f là tập hợp: Gr(f) := {(x; f(x)) | x ∈ X} ⊆ R × R. Vẽ đồ thị của một hàm số chính là biểu diễn tập hợp tất cả các điểm M(x; f(x)), x ∈ X trong mặt phẳng toạ độ Descartes vuông góc Oxy. Hàm f : X −→ R được gọi là hàm chẵn (lẻ) nếu tập X là đối xứng (tức là ∀x, x ∈ X ⇒ −x ∈ X) và ∀x ∈ X, f(−x) = f(x)(f(−x) = −f(x)) . Rõ ràng, một hàm số là chẵn (lẻ) nếu và chỉ nếu đồ thị của nó là một hình đối xứng qua trục Oy (qua tâm toạ độ O) trong mặt phẳng Oxy. Hàm f : R −→ R được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại số dương L sao cho f(x + L) = f(x); ∀x ∈ R. (2.1) Lúc đó, L được gọi là một chu kỳ của f (Thật ra, người ta thường chọn số dương L bé nhất, nếu có, thoả mãn (2.1) làm chu kỳ của f). Hàm f được gọi là hàm không giảm (không tăng; tăng; giảm) trên (a, b) ⊆ X nếu với mọi x1, x2 ∈ (a, b), x1 f(x2)).
  28. 27 Một hàm thoả mãn một trong bốn tính chất trên được gọi là hàm đơn điệu trên khoảng (a, b). Hàm f được gọi là lồi (lõm) trên khoảng (a, b) ⊆ X nếu với mọi x1, x2 ∈ (a, b) và mọi số λ ∈ (0, 1) ta có f(λx1+(1−λ)x2) ≤ λf(x1)+(1−λ)f(x2)(f(λx1+(1−λ)x2) ≥ λf(x1)+(1−λ)f(x2)). 2.1.2. Các phép toán trên hàm số Cho X ⊆ R. Ta đặt F := {f | f : X → R}. Với mọi f, g ∈ F ta gọi f bé hơn hoặc bằng g và viết f ≤ g nếu với mọi x ∈ X, f(x) ≤ g(x). Tương tự, ta có thể định nghĩa các quan hệ bé hơn, lớn hơn, lớn hơn hoặc bằng trên F. Dễ kiểm chứng được rằng đây là các quan hệ thứ tự bộ phận trên F. f được gọi là bằng g, và viết f = g, nếu f(x) = g(x) với mọi x ∈ X. f Với mọi f, g ∈ F, ta định nghĩa f ± g, f.g, g , f ∨ g, f ∧ g : X → R là các hàm được xác định bởi, ∀x ∈ X : (f ± g)(x) := f(x) ± g(x); (f.g)(x) := f(x).g(x); µ ¶ f f(x) (x) := ; g g(x) (f ∨ g)(x) := max{f(x), g(x)}; (f ∧ g)(x) := min{f(x), g(x)}. Cho f : X → R và g : Y ⊂ R → R là các hàm số sao cho f(X) ⊂ Y . Hàm hợp của f và g, ký hiệu g ◦ f, là hàm được xác định bởi (g ◦ f)(x) := g[f(x)] với mọi x ∈ X. Dễ thấy rằng, nói chung, g ◦ f 6= f ◦ g. Cho f là hàm số xác định trên X sao cho f : X → Y là một song ánh. Lúc đó tồn tại ánh xạ ngược f −1 : Y → X. f −1 được gọi là hàm ngược của f. Nếu quan niệm đồ thị của f −1 là tập {(x, y) | y ∈ Y ; x = f −1(y)} thì đồ thị của f và f −1 trùng nhau. Nhưng nếu xem đồ thì hàm f −1 là tập Gr(f −1) := {(x; y) | x ∈ Y ; y = f −1(x)} thì hai đồ thị là đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. Cụ thể là ∀(x, y) ∈ R2 :(x, y) ∈ Gr(f) ⇐⇒ (y, x) ∈ Gr(f −1).
  29. 28 2.1.3. Một số hàm cơ bản a. Hàm đa thức, hàm phân thức Với mỗi số thực x và số nguyên dương n người ta định nghĩa luỹ thừa bậc n của x một cách quy nạp như sau: x1 := x; xn := (xn−1).x với n ≥ 2. n n−1 Hàm đa thức bậc n là hàm có dạng y = anx + an−1x + ··· + a1x + a0. Hàm phân thức là thương của hai hàm đa thức: n n−1 anx + an−1x + ··· + a1x + a0 y = m m−1 . bmx + bm−1x + ··· + b1x + b0 b. Các hàm lượng giác Là các hàm đã được khảo sát kỹ trong chương trình phổ thông, thông qua các số đo trong hình tròn đơn vị: Hàm y = sin(x) xác định trên R, nhận giá trị trong [−1, 1]. Đây là hàm lẻ và tuần hoàn với chu kỳ 2π. Hàm y = cos(x) xác định trên R, nhận giá trị trong [−1, 1]. Đây là hàm chẵn và cũng tuần hoàn với chu kỳ 2π. Hàm y = tan(x) = tg(x) được xác định bởi sin(x) tan(x) := . cos(x) π Hàm này có miền xác định là mọi x 6= 2 + kπ, k ∈ Z và có tập giá trị là R. Hàm y = cot(x) = cotg(x) được xác định bởi cos(x) cot(x) := . sin(x) Hàm này có miền xác định là mọi x 6= kπ, k ∈ Z và có tập giá trị là R. Các hàm tan và cot đều là các hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ π. c. Các hàm lượng giác ngược π π Hàm sin là một song ánh từ [− 2 , 2 ] lên [−1, 1]. Hàm ngược của nó được gọi là π π hàm arcsin. Vậy y = arcsin(x) ⇐⇒ x = sin(y) với mọi x ∈ [−1, 1] và y ∈ [ 2 , 2 ]. Hàm cos là một song ánh từ [0, π] lên [−1, 1]. Hàm ngược của nó được gọi là hàm arccos. Vậy y = arccos(x) ⇐⇒ x = cos(y) với mọi x ∈ [−1, 1] và y ∈ [0, π]. π π Hàm tan là một song ánh từ (− 2 , 2 ) lên R. Hàm ngược của nó được gọi là hàm π π arctan. Vậy y = arctan(x) ⇐⇒ x = tan(y) với mọi x ∈ R và y ∈ ( 2 , 2 ). Hàm cot là một song ánh từ (0, π) lên R. Hàm ngược của nó được gọi là hàm arccot. Vậy y = arccot(x) ⇐⇒ x = cot(y) với mọi x ∈ R và y ∈ (0, π).
  30. 29 2.2. Giới hạn của hàm số 2.2.1. Các định nghĩa a. Giới hạn hàm số tại một điểm Cho hàm f xác định trong Nδ(x0) \{x0}, ta nói f có giới hạn bằng l ∈ R tại x0 nếu ∀² > 0, ∃δ1 > 0, ∀x ∈ Nδ1 (x0) \{x0} : |f(x) − l| 0, ∃M, ∀x > M : |f(x) − l| 0, ∃m, ∀x 0, ∃δ1 > 0, ∀x ∈ (x0; x0 + δ1)(∀x ∈ (x0 − δ1; x0)) : |f(x) − l| < ². Lúc đó, ta viết l = lim f(x)(l = lim f(x)). x→x0+ x→x0− d. Giới hạn bằng vô cùng Trong các định nghĩa trên, giới hạn của hàm f là một số thực l. Bây giờ ta sẽ xét đến các trường hợp ở đó giá trị hàm f tiến ra vô cùng khi x dần đến x0.
  31. 30 + Cho hàm f xác định trong Nδ(x0) \{x0}, ta nói f có giới hạn bằng +∞ tại x0 nếu ∀K, ∃δ1 > 0, ∀x ∈ Nδ1 (x0) \{x0} : f(x) > K. Ký hiệu: lim f(x) = ∞. x→x0 + Tương tự, ta có định nghĩa: lim f(x) = −∞ ⇔ ∀L, ∃δ1 > 0, ∀x ∈ Nδ1 (x0) \{x0} : f(x) M : f(x) > K. x→+∞ Việc đưa ra các định nghĩa lim f(x) = −∞; lim f(x) = +∞; lim f(x) = −∞ x→+∞ x→−∞ x→−∞ cũng như các giới hạn trái, phải bằng vô cùng được dành cho các bạn. Ví dụ 2.3. Hàm hằng f = C trên (a, b) 3 x0: lim C = C. x→x0 Hàm đồng nhất f(x) = x trên (a, b) 3 x0: lim x = x0. x→x0 1 Hàm f(x) = x : 1 1 1 lim = +∞; lim = −∞; lim = 0. x→0+ x x→0− x x→±∞ x 2.2.2. Các định lý cơ bản về giới hạn Định lý 2.1 (Tiêu chuẩn qua dãy). Cho f xác định trên Nδ(x0) \{x0}. Lúc đó lim f(x) = l ⇐⇒ (∀(xn) ⊂ Nδ(x0) \{x0}, xn → x0 ⇒ f(xn) → l). x→x0 Lưu ý rằng định lý trên đúng cả khi l = ±∞. Ngoài ra, ta cũng có các phát biểu tương tự cho các trường hợp giới hạn một phía. Mệnh đề 2.2. Nếu f có giới hạn l ∈ R tại x0 thì đó là giới hạn duy nhất.
  32. 31 Mệnh đề 2.3. Nếu f có giới hạn l ∈ (a; b) tại x0 thì tồn tại δ > 0 sao cho f(x) ∈ (a; b) với mọi x ∈ Nδ(x0) \{x0}. Định lý 2.4 (Tiêu chuẩn Cauchy). Hàm f có giới hạn hữu hạn tại x0 khi và chỉ khi 0 0 ∀² > 0, ∃δ0 > 0, ∀x, x ∈ Nδ0 (x0) \{x0}, |f(x) − f(x )| < ². Định lý 2.5. Giả sử lim f(x) = l ∈ R, lim g(x) = m ∈ R và λ ∈ R. Lúc đó, x→x0 x→x0 a) lim (f ± g)(x) = l ± m; x→x0 b) lim (λf)(x) = λl; x→x0 c) lim (fg)(x) = lm; x→x0 ³f ´ l d) Nếu m 6= 0 thì lim (x) = ; x→x0 g m e) Nếu f ≤ g thì l ≤ m. Các phát biểu a)-d) được hiểu là vế trái tồn tại và bằng vế phải mỗi khi vế phải có nghĩa. Mệnh đề 2.6. Giả sử f ≤ g ≤ h trên Nδ(x0) \{x0} và lim f(x) = lim h(x) = l. x→x0 x→x0 Lúc đó lim g(x) = l. x→x0 Định lý 2.7. Giả sử f là một hàm đơn điệu trên (a; b) và c là một điểm nằm trong khoảng này. Lúc đó tồn tại các giới hạn một phía hữu hạn của hàm f tại c. Chú ý rằng cũng tồn tại các giới hạn lim f(x) ∈ R; lim f(x) ∈ R. x→a+ x→b− Hơn nữa, nếu f bị chặn trên (a; b) thì các giới hạn đó hữu hạn. 2.2.3. Vô cùng bé, vô cùng lớn Hàm f được gọi là một vô cùng bé khi x → x0 nếu lim f(x) = 0; x→x0 Hàm f được gọi là một vô cùng lớn khi x → x0 nếu lim |f(x)| = +∞. x→x0
  33. 32 1 Hệ quả 2.1. f là một vô cùng lớn khi x → x0 nếu và chỉ nếu f là một vô cùng bé khi x → x0. Cho α và β là hai vô cùng bé khi x → x0. Ta nói - α và β là hai vô cùng bé tương đương và viết α ∼ β nếu α(x) lim = 1. x→x0 β(x) - α là vô cùng bé bậc cao hơn β và viết α = o(β) nếu α(x) lim = 0. x→x0 β(x) - α và β là các vô cùng bé cùng bậc nếu α(x) lim = m ∈ R \{0}. x→x0 β(x) Rõ ràng, điều này xảy ra khi và chỉ khi α ∼ mβ. 2.2.4. Giới hạn của một số hàm số cơ bản a. Giới hạn của các hàm đa thức và phân thức Từ phép lấy giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương ta dễ dàng nhận được giới hạn của hàm đa thức và phân thức. Cụ thể, nếu P (x) và Q(x) là các đa thức thì ta có lim P (x) = P (x0); x→x0 P (x) P (x0) lim = ; nếu Q(x0) 6= 0. x→x0 Q(x) Q(x0) b. Giới hạn của các hàm lượng giác Ta cũng dễ dàng chứng minh được các công thức giới hạn sau lim sin(x) = sin(x0). x→x0 lim cos(x) = cos(x0). x→x0 π lim tan(x) = tan(x0); x0 6= + kπ. x→x0 2 lim cot(x) = cot(x0); x0 6= kπ. x→x0
  34. 33 2.3. Sự liên tục 2.3.1. Định nghĩa Một hàm số f xác định trên Nδ(x0) được gọi là liên tục tại x0 nếu tồn tại giới hạn của f tại điểm đó và lim f(x) = f(x0). x→x0 Ta nói f gián đoạn tại x0 nếu nó không liên tục tại điểm đó. Tuy nhiên, ta có các định nghĩa yếu hơn: f được gọi là liên tục trái (phải) tại x0 nếu nó xác định trong (x0 − δ; x0] ([x0; x0 + δ)) và lim f(x) = f(x0) ( lim f(x) = f(x0)). x→x0− x→x0+ Bây giờ giả sử f gián đoạn tại x0. x0 được gọi là điểm gián đoạn bỏ được nếu tồn tại giới hạn lim f(x) 6= f(x0), x→x0 được gọi là điểm gián đoạn loại I nếu tồn tại các giới hạn trái phải tại đó nhưng lim f(x) 6= lim f(x). x→x0− x→x0+ Cuối cùng, x0 được gọi là điểm gián đoạn loại II nếu nó không thuộc vào hai dạng trên. Hàm f được gọi là liên tục trên (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. Nếu f liên tục trên (a; b) và liên tục trái tại b, liên tục phải tại a ta nói f liên tục trên [a; b]. Định lý 2.8. Ba phát biểu sau tương đương a) f liên tục tại x0; b) ∀² > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ Nδ(x0): |f(x) − f(x0)| < ²; c) ∀(xn) ⊆ R : xn → x0 =⇒ f(xn) → f(x0). Ví dụ 2.4. Các hàm f(x) = C (C ∈ R), f(x) = x, f(x) = sin(x), f(x) = cos(x) và hàm sau đây đều liên tục trên R ( x sin( 1 ); x 6= 0; f(x) := x 0; x = 0.
  35. 34 2.3.2. Các định lý cơ bản Định lý 2.9. Cho f, g là hai hàm liên tục tại x0 và c là một số thực. Lúc đó, các f hàm f ± g, cf, fg đều liên tục tại x0. Nếu hơn nữa, g(x0) 6= 0 thì hàm g cũng liên tục tại điểm đó. Hệ quả 2.2. a) Một hàm đa thức thì liên tục trên R. b) Một hàm phân thức liên tục tại mọi điểm không phải là nghiệm của mẫu. c) Các hàm tan, cot liên tục trên miền xác định của chúng. Định lý 2.10. Nếu hàm f liên tục tại x0 và hàm g liên tục tại y0 = g(x0) thì hàm hợp g ◦ f liên tục tại x0. Định lý 2.11. Giả sử hàm f liên tục trên [a; b] và f(a)f(b) 0, ∃δ > 0, ∀x, x0 ∈ A : |x − x0| < δ =⇒ |f(x) − f(x0)| < ².
  36. 35 1 Chẳng hạn, hàm f(x) = sin(x) liên tục đều trên R, hàm g(x) = sin( x ) liên tục nhưng không liên tục đều trên (0; 1). Định lý 2.16. Mọi hàm số liên tục trên một khoảng đóng, bị chặn thì liên tục đều trên khoảng đó. 2.3.3. Hàm luỹ thừa, hàm mũ a) Căn bậc n n Mệnh đề 2.17. Với mọi số nguyên dương n, hàm fn(x) = x là một hàm tăng và là song ánh liên tục từ [0; +∞) lên [0; +∞). −1 Kết hợp kết quả này với Định lý 2.14 suy ra tồn tại hàm ngược fn đơn điệu √ 1 tăng và liên tục trên [0; +∞), mà ta gọi là hàm căn bậc n và ký hiệu: n x := x n := −1 fn (x). Tức là √ ∀x, y ∈ [0; +∞): y = n x ⇔ x = yn. Mệnh đề 2.18. a) Cho m > n ≥ 1. Lúc đó √ √ √ √ 1 1 và 1 > m x > n x > 0 nếu x ∈ (0, 1). √ b) lim n x = 1 với mọi x > 0. n→+∞ Chứng minh. √ √ a) Chú ý rằng, với x > 1 ta có 1 1, dãy ( x)n giảm, bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ đến α ≥ 1. Chỉ còn phải kiểm chứng α = 1. b) Luỹ thừa hữu tỷ 0 −n 1 ∗ Với mỗi số thực x > 0, ta định nghĩa x := 1; x := xn , n ∈ N . Cuối cùng, p √ 1 ∗ p q q p p q với p ∈ Z và q ∈ N ta định nghĩa hàm luỹ thừa bậc q : x := x = (x ) . Từ các định lý về sự liên tục của hàm thương và hàm hợp ta dễ dàng chứng minh được tính p liên tục của hàm f(x) = x q trên (0; +∞). Việc định nghĩa luỹ thừa vô tỷ sẽ được xét đến sau khi có định nghĩa hàm mũ. c) Các hàm exp, ln Bổ đề 2.1. Nếu (un) là một dãy số hội tụ về 0 thì ³ u ´n lim 1 + n = 1. n→+∞ n
  37. 36 √ Chứng minh. Với mọi ² > 0, tồn tại m ∈ N∗ sao cho m e < 1 + ². Từ đó, tồn tại 1 n0 ∈ N sao cho |un| < min{², m }, với mọi n ≥ n0. Với n như vậy ta cũng có ·µ ¶mn¸ 1 ² ³ ² ´n ³ u ´n 1 m √ 1 − ² = 1 − n ≤ 1 − < 1 + n < 1 + < m e < 1 + ². n n n mn Định lý 2.19. Với mỗi số thực x giới hạn sau tồn tại ³ x´n exp(x) := lim 1 + . n→+∞ n ¡ ¢ x n Chứng minh. Với x ≥ 0 cố định, ta đặt vn := 1 + n . Dễ chứng minh được rằng, với m = [x] + 1, ta có µ ¶ ³ x ´mn 1 nm 1 ≤ v < v < v = 1 + < 1 + < em; ∀n ∈ N. n−1 n mn mn n Từ đó suy ra exp(x) tồn tại với x ≥ 0. Mặt khác, với x < 0 ta có ³ ´n ³ ´ x2 x n 1 − n2 1 lim 1 + = lim ¡ ¢n = . n→+∞ n n→+∞ −x exp(−x) 1 + n Vậy exp(x) cũng tồn tại với x < 0 và exp(x) exp(−x) = 1 với mọi x. Định lý 2.20. Hàm exp có các tính chất a) exp(x + y) = exp(x) exp(y); x, y ∈ R; p p q ∗ b) exp( q ) = e với mọi p ∈ Z và q ∈ N ; c) exp(x) ≥ 1 nếu x ≥ 0 và 0 < exp(x) < 1 nếu x < 0. Từ tính chất b) người ta thường ký hiệu exp(x) bởi ex với mọi x ∈ R và gọi là hàm mũ cơ số e. Chứng minh. Ta có Ã xy !n x n y n (1 + ) (1 + ) n(1+ x+y ) n n = 1 + n , x+y n (1 + n ) n mà xy x+y → 0, n(1 + n )
  38. 37 nên, từ Bổ đề 2.1, suy ra (1 + x )n(1 + y )n lim n n = 1. n→∞ x+y n (1 + n ) a) đã được chứng minh. Sử dụng a) nhiều lần ta chứng minh được, với mọi p ∈ N∗, exp(px) = exp(x)p và exp(−px) = exp(px)−1 = exp(x)−p từ đó, exp(px) = exp(x)p với mọi p ∈ Z. Bây giờ lấy p ∈ Z và q ∈ N∗ ta có p p ep = exp(1)p = exp(p) = exp(q ) = exp( )q. q q p p q Từ đó, exp( q ) = e , suy ra b). Cuối cùng, khẳng định c) được suy ra từ chứng minh Định lý 2.19 Định lý 2.21. Hàm ex tăng, liên tục trên R và ex − 1 lim ex = 0; lim ex = +∞; lim ex = 1; lim = 1. x→−∞ x→+∞ x→0 x→0 x Chứng minh. Với mọi x 1 nên ey = exey−x > ex, vậy ex là hàm tăng. Với x > −1 ta có ex ≥ 1 + x nên lim ex = ∞. x→∞ 1 1 Với x 0, y > 0; b) lim ln(x) = −∞ và lim ln(x) = +∞. x→0+ x→+∞ ln(1 + x) c) lim = 1. x→0 x
  39. 38 c) Hàm mũ, hàm lôgarit Bây giờ cho 1 6= a > 0. Ta định nghĩa hàm mũ cơ số a bởi công thức sau ax := ex ln(a); x ∈ R. Dễ kiểm chứng được rằng đây là một hàm liên tục trên R, có miền giá trị (0; +∞) và là hàm đơn điệu tăng (giảm) nếu a > 1 (a 0. Lúc đó a) ax+y = ax.ay, axy = (ax)y; x, y ∈ R, α b) loga(xy) = loga(x) + loga(y), loga(x ) = α. loga(x); x, y > 0, α ∈ R. d) Hàm luỹ thừa bậc bất kỳ Cho α là một số thực bất kỳ, ta định nghĩa luỹ thừa bậc α là hàm: α α. ln(x) fα(x) = x := e ; x > 0. Có thể kiểm chứng được rằng với α ∈ Q hàm này trùng với hàm luỹ thừa hữu tỷ được định nghĩa trong b). Tức là, √ p xα = q xp; ∀α = ∈ Q, ∀x > 0. q 2.4. Thực hành tính toán trên Maple 2.4.1. Định nghĩa một hàm số Cú pháp: [> f:= x− > (biểu thức hàm theo x); Sau đó, muốn tính giá trị hàm tại một điểm x0 ta chỉ cần viết f(x0). Ta có thể dùng một biến khác thay cho x và tên hàm khác thay cho f. Biểu thức hàm ở đây có thể một biểu thức đơn giản nhưng cũng có thể là một biểu thức phức tạp như giới hạn, tổng Ví dụ: [> f:= x− > x∧2 - x +1; f := x → x2 − x + 1 [> f(2); 3
  40. 39 [> g:= u− > limit(n*u∧2/(u*(2*n+5)+3), n= infinity); nu2 g := u → lim n→∞ u(2n + 5) + 3 [> g(3); 3 2 2.4.2. Vẽ đồ thị của hàm số trên hệ toạ độ Oxy Muốn vẽ đồ thị hàm số trước tiên ta phải khởi động thư viện chuyên dụng plots bằng lệnh [> with(plots); sau đó, mới thực hiện các lệnh vẽ đồ thị. a) Vẽ đồ thị hàm y = f(x). Cú pháp: [> plot(f(x), x=a b, y=c d); Lúc đó, đồ thị hàm y = f(x) được vẽ trong phạm vi hình chữ nhật [a, b] × [c, d]. Nếu không khai báo các phạm vi thì máy sẽ tự vẽ theo một toạ độ thích hợp. Ví dụ:[> f:= x − > x*sin(1/x); µ ¶ 1 f := x → x sin x [> plot(f(x), x=-1 1, y=-0.5 1); 1 0.8 0.6 y 0.4 0.2 ±1 ±0.8 ±0.6 ±0.4 ±0.2 0.2 0.4x 0.6 0.8 1 ±0.2 ±0.4 1 Hình 2.1: Đồ thị hàm số x sin x b) Vẽ đồ thị đường cong ẩn dạng F (x, y) = 0.
  41. 40 Cú pháp: [> implicitplot(F(x,y)=0,x=a b, y=c d); với [a, b] × [c, d] là phạm vi cần vẽ. x2 y2 Ví dụ:Để vẽ Êlip 4 + 9 = 1 trong hình chữ nhật [−2, 2] × [−3, 3], ta viết [> implicitplot(x∧2/4 + y∧2/9 -1 =0, x=-2 2, y=-3 3); 3 2 y 1 ±2 ±1 1 2 x ±1 ±2 ±3 x2 y2 Hình 2.2: Đồ thị Ellipse 4 + 9 = 1 c) Vẽ nhiều đồ thị trên cùng một hệ truc toạ độ. Cú pháp: [> plot([f1(x), , fm(x)], x=a b, y=c d, color=[c1, , cm]}); Lúc đó, đồ thị các hàm fi(x), 1 ≤ i ≤ m, được vẽ tương ứng với các màu ci, 1 ≤ i ≤ m trên cùng một hệ trục toạ độ. Việc vẽ nhiều đồ thị trên cùng một hệ trục toạ độ cho chúng ta một công cụ rất mạnh để đánh giá việc xấp xỉ một hàm bởi các hàm đa thức. Chẳng hạn để biết hàm ex được xấp xỉ tốt như thế nào bởi hàm ³ x´9 g(x) = 1 + 9 ta dùng lệnh [> g:=x − > (1+x/9)∧9; ³ x´9 g := x → 1 + 9 [> plot([exp(x), g(x)], x=-4 2, color=[red, blue]); d) Vẽ đồ thị hàm từng khúc. Đó là hàm được xác định trên từng khoảng với các công thức khác nhau. Để khai báo một hàm như thế ta dùng cú pháp sau [> f:= piecewise(đk1, f1(x), đk2, f2(x), , đkk, fk(x), fk+1(x));
  42. 41 7 6 5 4 3 2 1 ±4 ±3 ±2 ±1 1 2 x x x 9 Hình 2.3: Xấp xỉ hàm e bởi hàm (1 + 9 ) Điều đó có nghĩa là  f (x), nếu điều kiện đk đúng,  1 1  f2(x), nếu điều kiện đk2 đúng và đk1 sai, . f(x) := . .  fk(x), nếu điều kiện đkk đúng và tất cả các điều kiện trước sai,  fk+1(x), nếu không có điều kiện nào đúng. Ví dụ: [> f(x):=piecewise(x plot(f(x), x=-2 2, color=blue); 5 4 3 2 1 ±2 ±10 1 2 x ±1 Hình 2.4: Đồ thị hàm từng khúc
  43. 42 Trong ví dụ này ta thấy, mặc dù hàm gián đoạn tại −1 và 1, đồ thị vẫn được vẽ liên tục. Đó là vì Maple tự động nối các điểm gián đoạn lại thành đường liền nét. Muốn thấy rõ các điểm gián đoạn ta đưa vào tham số discont=true. Ví dụ: Nếu viết như sau, ta sẽ được kết quả ở Hình 2.5. [> plot(f(x), x=-2 2, color=blue, discont=true); 5 4 3 2 1 ±2 ±1 1 2 x ±1 Hình 2.5: Đồ thị hàm từng khúc gián đoạn thực sự 2.4.3. Tính giới hạn của hàm số Cú pháp: [> limit(f(x), x=a); (dùng Limit thì chỉ cho công thức hình thức) Ví dụ: [> Limit(sin(x)/x, x=0); sin(x) lim x→0 x [> value(%); 1 [> limit((1+1/x)∧x, x=infinity); e 2.5. Bài tập 2.1. Tìm miền xác định của các hàm sau √ √ p y = x2 − x − 2, y = sin x, y = cos(x2), x − 3 √ 1 y = tan(x2 + 1), y = , y = −x + √ . x2 − 1 2 + x
  44. 43 1 − x 1 2.2. Cho f(x) = . Tìm f(0), f(−x), f(x + 1), f(x) + 1, f( 1 ), . 1 + x x f(x) √ 2.3. Cho f(x) = sin(x + 1), g(x) = x2 + 2. Tìm g ◦ f, f ◦ g. 2.4. Ký hiệu [x] và {x} lần lượt là phần nguyên và phần thập phân của một số thực x. Tức là {x} = x − [x]. Vẽ đồ thị các hàm số a) y = [x]; x ∈ R; b) y = {x}; x ∈ R; c) y = {x2}; x ∈ [−2, 2]. 2.5. Tìm f ◦ f, f 2, f ◦ g, g ◦ f, g2, g.f với a) f(x) = x3; g(x) = sin x. b) f(x) = sgn(x); g(x) = |x|. 1 c) f(x) = ; g(x) = sin x. x + 1 2.6. Tìm f nếu biết a) f(x + 1) = x2 − 3x + 2, ∀x ∈ R. ³ 1 ´ 1 b) f x + = x2 + , ∀x 6= 0. x x2 ³ 1 ´ √ c) f = x + 1 + x2, ∀x 6= 0. x 2.7. Cho biết sự liên hệ giữa đồ thị hai hàm y = f(x) và y = g(x) := |f(x + 1) − 2|. 2.8. Vẽ đồ thị các hàm số a) y = |x − 1| + |x − 2|; |x| + 1 b) y = . 2 − x 2.9. Tìm hàm ngược của các hàm sau 1 − x a) y = 5x + 1; b) y = x3; c) y = , x 6= − 1 . 1 + 2x 2 2.10. Xét tính chẵn lẻ của các hàm 1 1 a) f(x) = 2x2 + 1; b) f(x) = x2 sgn(x); c) f(x) = + . 1 − x 1 + x 2.11. Chứng minh rằng mọi hàm f có miền xác định đối xứng đều có thể viết dưới dạng tổng của một hàm chẵn và một hàm lẻ. 2.12. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ (nếu có) của các hàm sau a) f(x) = sin(3x) + 2 sin(2x); b) f(x) = cos(x2); c) f(x) = cos2 x; d) f(x) = [x]; e) f(x) = {x}.
  45. 44 2.13. Cho hàm số f. Tìm sự liên hệ giữa đồ thị hàm f và các hàm: a) g(x) = f(x) + y0; b) g(x) = f(x + x0); c) g(x) = f(x + x0) + y0; d) g(x) = |f(x)|. 2.14. Vẽ đồ thị các hàm số sau trên miền xác định của chúng p p a) y = {x}; b) y = [x] + {x}; ³ 1 ´ ³ 1 ´ ³ 1 ´ c) y = sin ; d) y = x sin ; e) y = x2 cos . x x x 2.15. Tìm các giới hạn √ √ √ xn − an − nan−1(x − a) x + 3 x + 4 x lim ; lim √ ; x→a (x − a)2 x→0 2x + 1 √ √ m 1 + αx n 1 + βx − 1 √ lim ; lim ( 3 x3 + x2 − 1 − x); x→0 √ x √ x→∞ m 1 + αx − n 1 + βx x − 1 lim ; lim √ ; x→0 x x→−∞ 1 + x2 Ãr r ! √ √ 1 1 x2 + x − 3 x3 − x2 + 5 lim + 1 − ; lim . x→0 x x x→∞ x 2.16. Tìm các giới hạn √ √ 1 + tan x − 1 + sin x 1 − cos x. cos(2x). cos(3x) lim 3 ; lim ; x→0 √ √x x→0 µ 1 − cos¶ x cos x − 3 cos x sin(πx) lim ; lim sin ; x→0 sin2 x x→0 2x tan x sin x − sin a lim arcsin( ); lim . x→0 1 + tan x x→a x − a 2.17. Đặt 1 1 f(x) := 1 + + ··· + ; x ∈ [1, +∞). 2 [x] a) Chứng minh f là hàm không giảm. b) Dùng tiêu chuẩn Cauchy (tại vô cùng) chứng minh lim f(x) = +∞. x→+∞ 2.18. Tính các giới hạn √ √ 1 + tan x − 1 + x (x2 − 1)e1+cos x lim ; lim √ . x→0 x3 x→∞ (2 − sin x) x5 + 5x2 + 1 2.19. Khảo sát sự hội tụ của các dãy số sau µ ¶ µ ¶ 1 − 2n2 + n3 n 1 x = ; x = (2n + 1) arctan . n 1 + n3 n n2 + 2
  46. 45 2.20. Xét sự hội tụ của các dãy: µ ¶ n2 + (−1)nn n n cos(n!) x = ; x = arctann( ); x = √ ; n n2 + 2 n n + 1 n 1 + n µ n ¶ µ ¶ (−1) n nπ √n x = arccos ; x = sinn ; x = n2 + 1; n n + 1 n 3n + 1 n µ ¶ n + 2 + n cos(nπ) n2 + n + 1 n n! + 5 ln n x = ; x = ; x = ; n nπ − sin(n) n n2 + n n 3n + n3 µ ¶ 2n(n + 1)! − n ln n arctan(n2 + 2) 1 − n + n2 n x = ; x = ; x = . n 3nn! + n5 n 2n + 1 n n2 + n 2.21. Tính các giới hạn (n + 1)3 + 2n (n2 + 3).2n+1 lim ; lim . n→∞ 3n + (n + 1)2 n→∞ 3n. ln(n + 1) 2.22. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số X∞ ln(1 + n) X∞ 1 X∞ ; ; e− arctan n; arctan(n! + 2n) 2 n=1 n=2 n ln n n=1 p X∞ X∞ 1 + (n2 + 1)(3n − ln n) esin n−n; √ . (n − 1)3(2 + n) n=1 n=1 2.23. Chứng minh nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của hàm f khi x → x0 thì ∀² > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ Nδ(x0)\{x0}, |f(x) − f(2x0 − x)| < ². Điều ngược lại còn đúng không? 2.24. Cho ( 1 nếu x ∈ Q, f(x) = 0 nếu x ∈ R \ Q. Chứng minh không tồn tại giới hạn của hàm f tại mọi điểm trên R. ³ 1 ´ 2.25. Cho f(x) = arctan . Chứng minh với mọi a ∈ [−1, 1] tồn tại dãy (x ) ⊂ R x n sao cho xn → 0 và f(xn) → a. 2.26. Định nghĩa ( x3 nếu x ∈ Q, f(x) = x nếu x ∈ R \ Q. Hàm f có giới hạn tại những điểm nào? 2.27. Cho f là một hàm tuần hoàn trên R và lim f(x) = l ∈ R. Chứng minh f x→+∞ là hàm hằng trên R.
  47. 46 ³ 1 ´ 2.28. Cho hai hàm f(x) = x sin và g(x) = sgn(x). Chứng minh không tồn tại x giới hạn của hàm g ◦ f tại 0. 2.29. Cho f là một hàm xác định,p không âm trong một lân cận của điểm x0 và liên tục tại điểm đó. Chứng minh hàm f(x) cũng liên tục tại x0. 2.30. Chứng minh nếu f liên tục tại một điểm x0 thì |f| cũng vậy. Điều ngược lại còn đúng không? 2.31. Tìm tất cả các điểm gián đoạn của các hàm sau p p a) f(x) = {x}; b) f(x) = [x] + {x}; c) f(x) = [x] + {x}2. 2.32. Tìm tất cả các điểm gián đoạn của hàm:  0; x ∈ R \ Q, f(x) = 1 p p  ; x = với p ∈ Z, q ∈ N∗ và là phân số tối giản . q q q 2.33. Tìm m và n để hàm sau  1 − cos x  nếu x > 0,  x2 f(x) = m nếu x = 0,  2x2 − n nếu x 0 với mọi x ∈ (−S, S). 2.34. Cho f là một hàm liên tục trên tập (a, b)\{x0}. Nếu tồn tại lim f(x) = l ∈ R x→x0 thì bằng cách bổ sung giá trị f(x0) := l ta được hàm f liên tục trên (a, b). Lúc đó ta nói hàm f có thể thác triển liên tục lên khoảng (a, b). Trong các hàm sau, hàm nào có thể thác triển liên tục lên R? Nếu được thì bổ sung những giá trị nào tại những điểm nào? ³ 1 ´ 1 a) f(x) = x sin ; b) f(x) = sin x. x x 1 ³ 1 ´ 1 c) f(x) = sin ; d) f(x) = ((1 + x)n − 1), n ∈ N∗. x x 2x 2.35. Cho f là hàm liên tục trên R thoả mãn lim f(nx) = 0, với mọi x ∈ [1, 2]. n→∞ Chứng minh lim f(x) = 0. x→+∞ 2.36. Cho I = [a, b]. Chứng minh nếu f : I → I liên tục thì tồn tại x ∈ I sao cho f(x) = x. Khẳng định trên còn đúng không nếu I = (a, b)? 2.37. Cho f, g : [0, 1] → [0, 1] là các hàm liên tục. Nếu g không giảm và f ◦ g = g ◦ f thì phương trình f(x) = g(x) có nghiệm trên [0, 1].
  48. 47 2.38. Chứng minh nếu f liên tục trên R và tồn tại các giới hạn hữu hạn lim f(x), x→±∞ thì f liên tục đều trên R. 2.39. Cho f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn I = [a, b]. Chứng minh rằng nếu phương trình f(x) = 0 không có nghiệm trên I, thì tồn tại một số δ > 0 sao cho f 2(x) ≥ δ; ∀x ∈ I. Điều khẳng định trên còn đúng khi I = (a, b) hay không? 2.40. Cho f : R → R. Chứng minh các khẳng định sau tương đương: a) f liên tục trên R. b) f −1(V ) mở với mọi tập mở V ⊂ R. c) f −1(F ) đóng với mọi tập đóng F ⊂ R. d) f(A) ⊂ f(A), với mọi A ⊂ R. π 2.41. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm trong khoảng (0, 2 ): ln(x2 + 1) − cos x + sin x = 0. 2.42. Chứng minh phương trình sau có ít nhất hai nghiệm thực trái dấu trong khoảng (−1, 1): x2ecos(1−x2) − sin(ex) = 0. 2.43. Chứng minh phương trình sau có ít nhất hai nghiệm thực trái dấu trong khoảng (− π , π ): 2 2 ³π ´ ³x´ sin ex + x2 − x tan = 0. 2 2 2.44. Chứng minh rằng nếu hàm f(x) liên tục, thì hàm f 2(x) cũng liên tục. Điều ngược lại còn đúng không? 1 2.45. Cho hàm số thực f được xác định bởi, f(x) = 0 với x là số vô tỷ, và f(x) = q p với x = q là phân số tối giản của số hữu tỷ x. Chứng minh f gián đoạn tại mọi điểm hữu tỷ khác không và liên tục tại mọi điểm còn lại. 2.46. Hãy xác định giá trị tham số m để các hàm số sau liên tục trên R. Vẽ đồ thị của các hàm số lúc đó. ( ( −x2 + m; x ≥ −1, (2m + 1)x − 1; x 0 sao cho f(x).f(x0) > 0 với mọi x ∈ Nδ(x0). 2.48. Tìm các giá trị của a và b để mỗi hàm số sau liên tục   ax + 2; x 0.  ; x > 0. x x
  49. Chương 3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN THỰC 3.1. Đạo hàm - Đạo hàm cấp cao 3.1.1. Định nghĩa Cho hàm f xác định trên Nδ(x0). Ta nói f có đạo hàm tại x0 nếu tồn tại giới hạn (có thể vô hạn) 0 f(x0 + h) − f(x0) f (x0) := lim . h→0 h 0 0 f (x0) được gọi là đạo hàm của hàm f tại x0. Nếu f (x0) hữu hạn ta nói f khả vi tại x0. Ta cũng gọi đạo hàm trái, phải của f tại x0 lần lượt là các giới hạn sau 0 f(x0 + h) − f(x0) f−(x0) := lim ; h→0− h 0 f(x0 + h) − f(x0) f+(x0) := lim . h→0+ h Rõ ràng, f có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi tồn tại các đạo hàm trái, phải tại 0 0 điểm đó và f−(x0) = f+(x0). Nếu f khả vi tại mọi điểm x ∈ (a; b) ta nói f khả vi trên (a; b). Ta nói f khả vi trên [a; b] nếu f khả vi trên (a; b) và có các đạo hàm hữu 0 0 hạn f+(a), f−(b). 0 0 0 Ý nghĩa hình học f (x0) (f−(x0), f+(x0)) chính là hệ số góc của tiếp tuyến (tiếp tuyến trái, tiếp tuyến phải) của đồ thị hàm f tại điểm M0(x0, f(x0)). Ý nghĩa cơ học Nếu s(t) là hàm biểu diễn sự phụ thuộc của quãng đường đi vào thời gian, thì s0(t) thể hiện vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t. Còn nếu v(t) là hàm biểu diễn vận tốc tức thời của chất điểm thì v0(t) thể hiện gia tốc tức thời của chuyển động.
  50. 49 Đạo hàm cấp cao Giả sử f khả vi trên khoảng (a; b). Lúc đó f 0 là một hàm số trên (a; b). Hàm số này có thể lại có đạo hàm. Nếu đạo hàm đó tồn tại ta gọi đó là đạo hàm cấp hai của f, và ký hiệu là f 00. Vậy, f 00 := (f 0)0. Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm cấp ba f (3) = (f 00)0, và các cấp cao hơn bằng công thức quy nạp f (n+1) := (f (n))0, với quy ước f (0) = f, f (1) = f 0. Từ ý nghĩa cơ học của đạo hàm ta thấy s00(t) là gia tốc tức thời của chuyển động khi s(t) là hàm biểu diễn quãng đường đi. Tính chất của hàm khả vi Mệnh đề 3.1. f khả vi tại x0 khi và chỉ khi f được biểu diễn dưới dạng f(x) = f(x0) + A(x − x0) + α(x − x0), với A là một hằng số và α(x − x0) là một vô cùng bé của x − x0 tại x0. Lúc đó, 0 A = f (x0). Hệ quả 3.1. Nếu f khả vi tại x0 thì f liên tục tại điểm đó. 3.1.2. Các quy tắc tính đạo hàm Định lý 3.2. Cho f và g là hai hàm khả vi tại x0. Lúc đó các hàm f ± g, fg, λf f và (nếu g(x ) 6= 0) cũng khả vi tại x . Hơn nữa, ta có g 0 0 0 0 0 a) (f ± g) (x0) = f (x0) ± g (x0); 0 0 b) (λf) (x0) = λf (x0); 0 0 0 c) (fg) (x0) = f (x0)g(x0) + f(x0)g (x0); µ ¶0 0 0 f f (x0)g(x0) − g(x0)f (x0) d) (x0) = 2 . g g(x0) Định lý 3.3. Nếu ϕ khả vi tại x0 và f khả vi tại ϕ(x0), thì f ◦ ϕ khả vi tại x0 và 0 0 0 (f ◦ ϕ) (x0) = f [ϕ(x0)].ϕ (x0). Định lý 3.4. Nếu f :(a; b) → (c; d) là song ánh liên tục và khả vi tại x0 ∈ (a; b) 0 −1 sao cho f (x0) 6= 0. Lúc đó ánh xạ ngược f cũng khả vi tại y0 = f(x0) và ta có −1 0 1 (f ) (y0) = 0 . f (x0) 3.1.3. Đạo hàm các hàm sơ cấp Sử dụng định nghĩa ta có thể tính được đạo hàm của các hàm hằng (f(x) = C), hàm đồng nhất (f(x) = x), hàm sin, hàm cos và hàm ex. Từ đó, sử dụng các quy
  51. 50 tắc tính đạo hàm trong Mục 3.1.2. chúng ta dễ dàng suy ra các công thức tính đạo hàm của các hàm sơ cấp như sau: 1. y = C (= const) y0 = 0, ∀x. 2. y = x y0 = 1, ∀x. 3. y = ex y0 = ex, ∀x. y = ax (a > 0) y0 = ax ln a, ∀x. 1 4. y = ln x y0 = , ∀x > 0. x 1 y = log (x)(a > 0) y0 = , ∀x > 0. a x ln a 5. y = xα (α ∈ R) y0 = αxα−1, ∀x > 0. 6. y = sin(x) y0 = cos(x), ∀x. 7. y = cos(x) y0 = − sin(x), ∀x. 1 π 8. y = tan(x) y0 = , ∀x 6= (2n + 1) . cos2(x) 2 1 9. y = cot(x) y0 = − , ∀x 6= nπ. sin2(x) 1 10. y = arcsin(x) y0 = √ , − 1 < x < 1. 1 − x2 1 11. y = arccos(x) y0 = −√ , − 1 < x < 1. 1 − x2 1 12. y = arctan(x) y0 = , ∀x. 1 + x2 1 13. y = arccot(x) y0 = − , ∀x. 1 + x2 3.2. Vi phân 3.2.1. Vi phân bậc nhất Cho hàm f xác định trên khoảng (a; b) 3 x0. Với mỗi số gia của biến số ∆x, ta ký hiệu số gia của hàm số bởi ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0). Ta muốn biểu diễn ∆y bằng một xấp xỉ tuyến tính của ∆x, cụ thể, ta cần tìm số A sao cho ∆y = A.∆x + ◦(∆x), với x0 + ∆x ∈ (a; b). (3.1) Từ Mệnh đề 3.1 ta thấy biểu diễn (3.1) có được khi và chỉ khi f có đạo hàm hữu hạn tại x0, và A chính là đạo hàm của f tại điểm đó. Từ đó, 0 f(x0 + ∆x) − f(x0) = f (x0).∆x + ◦(∆x).
  52. 51 Lúc này f khả vi tại x0 và biểu thức: 0 df(x0) := f (x0).∆x được gọi là vi phân bậc nhất của hàm f tại x0 ứng với số gia ∆x của biến số. Từ định nghĩa ta có ngay vi phân của biến độc lập đúng bằng số gia của biến 0 số: dx = ∆x. Do đó, người ta thường viết vi phân dưới dạng df(x0) = f (x0).dx. Bây giờ nếu f khả vi tại một điểm x ∈ (a; b) tuỳ ý thì ta cũng có vi phân của f tại điểm đó là biểu thức df(x) = f 0(x).dx. Trong thực hành ta thường viết tắt: dy = df = f 0dx. Từ các quy tắc tính đạo hàm ta dễ dàng suy ra các quy tắc tính vi phân tương ứng: d(f + g) = df + dg. d(λ.f) = λ.df. d(f.g) = f.dg + g.df. ³f ´ g.df − f.dg d = . g g2 Tính bất biến của vi phân bậc nhất. Giả sử hàm số hợp y = g(t) là hợp của hai hàm khả vi: y = f(x) và x = ϕ(t). Lúc đó nếu xem x như biến độc lập, ta có vi phân của y theo dx là: dy = f 0(x).dx. (3.2) Mặt khác, nếu xem x là hàm của biến độc lập t thì y cũng là một hàm của t và ta có: dy = g0(t).dt = f 0[ϕ(t)].ϕ0(t).dt, (3.3) dx = ϕ0(t).dt. (3.4) Chú ý rằng ϕ(t) = x, từ (3.3) và (3.4) ta nhận được trở lại công thức (3.2) nhưng dx lúc đó là vi phân của hàm x = ϕ(t). Ta nói vi phân bậc nhất có tính bất biến đối với phép đổi biến. Ứng dụng vi phân để tính gần đúng giá trị của hàm. Từ định nghĩa vi phân ta có, với số gia ∆x đủ nhỏ: 0 f(x0 + ∆x) ≈ f(x0) + df(x0) = f(x0) + f (x0).∆x. Do đó giá trị ở vế phải√ thường được dùng để xấp xỉ giá trị hàm f tại x0 +∆x. Chẳng hạn, tính gần đúng 3 65; arctan(1, 02). 3.2.2. Vi phân cấp cao Giả sử hàm f khả vi tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b). Lúc đó df(x) là một hàm của x. Ta định nghĩa vi phân bậc hai của f là vi phân của df (nếu nó tồn tại)
  53. 52 và ký hiệu là d2f. Vậy: d2f := d(df). Một cách quy nạp, ta định nghĩa vi phân bậc n của f là dnf := d(dn−1f). Chú ý rằng nếu x là biến độc lập thì đại lượng dx được xem là không đổi tại các điểm x khác nhau. Vì vậy dnx = 0 với mỗi n ≥ 2. Do đó dnf(x) = f (n)(x).(dx)n = f (n)(x).dxn. Vi phân cấp cao không có tính bất biến. Thật vậy, với y = f(x) và x = ϕ(t), bằng cách đặt g(t) = f[ϕ(t)] ta có vi phân bậc hai của y theo biến t là: d2y(t) = g00(t).dt2 = (f 0[ϕ(t)].ϕ0(t))0.dt2 = f 00[ϕ(t)].ϕ0(t)2.dt2 + f 0[ϕ(t)].ϕ00(t).dt2 = f 00(x).dx2 + f 0(x).d2x. (3.5) Trong khi đó, vi phân bậc hai của y theo biến x là d2y(x) = f 00(x).d2x. (3.6) Từ (3.5) và (3.6) ta thấy vi phân bậc hai của y không bất biến qua phép đổi biến x = ϕ(t). 3.3. Các định lý cơ bản 3.3.1. Các định lý giá trị trung bình Cho hàm số f xác định trong một lân cận của điểm x0. x0 được gọi là điểm cực tiểu (cực đại) địa phương của f nếu tồn tại ² > 0 sao cho ∀x ∈ N²(x0): f(x) ≥ f(x0)(f(x) ≤ f(x0)). Trong cả hai trường hợp ta đều gọi x0 là điểm cực trị (địa phương) của f hay f đạt cực trị tại x0. Định lý 3.5 (Fermat). Nếu f đạt cực trị địa phương tại x0 và khả vi tại điểm đó thì 0 f (x0) = 0. Định lý 3.6 (Rolle). Giả sử f liên tục trên [a; b], khả vi trên (a; b) và f(a) = f(b). Lúc đó, tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho f 0(c) = 0. Định lý 3.7 (Lagrange). Giả sử f liên tục trên [a; b] và khả vi trên (a; b). Lúc đó, tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho f(b) − f(a) f 0(c) = . (3.7) b − a
  54. 53 Chú ý rằng, nếu chọn trước c thì không chắc tồn tại hai số a, b để a −∞. Đặt f(a) := 0, g(a) := 0. Áp dụng Định lý Cauchy. Trường hợp a = −∞. Xét các hàm F (t) := f(ln(t)), G(t) := g(ln(t)); t ∈ (0, eb).
  55. 54 Định lý 3.11. Cho f và g là các hàm khả vi trên (a; b), với −∞ ≤ a 0, tồn tại x ∈ (a, b) sao cho với mọi u ∈ (a, x ): f (u) > 4M. Lại tồn tại 0 ¯ ¯ ¯ ¯ 0 g0(u) ¯ f(x0) ¯ 1 ¯ g(x0) ¯ 1 x1 ∈ (a, x0) để với mọi x ∈ (a, x1): ¯ f(x) ¯ M; ∀x ∈ (a, x ). g(x) 1 Trường hợp A ∈ [0, +∞). Với mọi ² ∈ (0, 1), đặt ²0 := ²/4(1 + A), tồn tại x ∈ (a, b) ¯ ¯ 0 ¯ 0 ¯ sao cho với mọi u ∈ (a, x ): ¯ f (u) − A¯ < ²0. Lại tồn tại x ∈ (a, x ) để với mọi ¯ ¯ ¯ 0 ¯ g0(u) 1 0 ¯ f(x0) ¯ 0 ¯ g(x0) ¯ 0 x ∈ (a, x1): ¯ f(x) ¯ < ² , ¯ g(x) ¯ < ² . Lúc đó, áp dụng Định lý Cauchy cho f, g trên [x, x0] ta có ¯ ¯ ¯f(x) ¯ ¯ − A¯ < ²; ∀x ∈ (a, x ). ¯ g(x) ¯ 1 3.4. Công thức Taylor 3.4.1. Đa thức Taylor Cho f là hàm có đạo hàm đến cấp n − 1 trên khoảng (a; b) và có đạo hàm cấp n hữu hạn tại điểm x0 ∈ (a; b). Lúc đó, ta gọi đa thức sau là đa thức Taylor đến cấp n của f tại x0 x − x (x − x )2 (x − x )n P (x ; f)(x) :=f(x ) + f 0(x ) 0 + f 00(x ) 0 + ··· + f (n)(x ) 0 n 0 0 0 1! 0 2! 0 n! Xn (x − x )k = f (k)(x ) 0 . (3.8) 0 k! k=0
  56. 55 Đa thức này cho một xấp xỉ của hàm f. Sự xấp xỉ càng tốt nếu n càng lớn và x càng gần x0. Ta gọi phần dư của hàm f tương ứng với xấp xỉ (3.8) là biểu thức sau: Rn(x) := f(x) − Pn(x0; f)(x). 3.4.2. Ước lượng phần dư Định lý 3.12. Giả sử f có đạo hàm đên cấp n − 1 trên đoạn [a; b], có đạo hàm hữu hạn đến cấp n tại x0. Lúc đó n Rn(x) = o(x − x0) . Ngược lại, nếu n Qn(x) := a0 + a1(x − x0) + ··· + an(x − x0) là đa thức sao cho n f(x) − Qn(x) = o(x − x0) , thì Qn(x) chính là đa thức Taylor đến cấp n của f tại x0; Tức là: f (k)(x ) a = 0 ; ∀k. k k! Để chứng minh định lý này ta cần bổ đề sau: Bổ đề 3.2. Nếu S(x) là hàm khả vi đến cấp n − 1 trên khoảng (a, b), khả vi cấp n 0 (n) n tại x0 và S(x0) = S (x0) = ··· = S (x0) = 0, thì S(x) = ◦(x − x0) . Định lý 3.13 (Taylor). Giả sử f khả vi liên tục đến cấp n trên đoạn [a; b], khả vi đến cấp n + 1 trên khoảng (a; b). Lúc đó, với mọi x ∈ [a; b] tồn tại c nằm giữa x0 và x sao cho (x − x )n+1 f(x) − P (x ; f)(x) = f (n+1)(c) 0 n 0 (n + 1)! Khi đó, ta có khai triển Taylor của hàm f tại x0 đến cấp n: Xn (x − x )k (x − x )n+1 f(x) = f (k)(x ) 0 + f (n+1)(c) 0 . 0 k! (n + 1)! k=0 Từ định lý này, ta thấy nếu |f (n+1)(x)| bị chặn bởi M trên (a; b), thì ta có ước lượng sai số của phép xấp xỉ hàm f bởi đa thức Taylor như sau: |x − x |(n+1) |f(x) − P (x ; f)(x)| ≤ M 0 . n 0 (n + 1)! Khai triển Taylor của f tại x0 = 0 còn được gọi là khai triển Maclaurin: Xn xk xn+1 f(x) = f (k)(0) + f (n+1)(θx) , với θ ∈ (0; 1). k! (n + 1)! k=0
  57. 56 3.4.3. Các khai triển quan trọng x2 xn xn+1 ex = 1 + x + + ··· + + eθx . 2! n! (n + 1)! x2 x4 x2n x2n+2 cos(x) = 1 − + − · · · + (−1)n + (−1)n+1 sin(θx) . 2! 4! (2n)! (2n + 2)! x3 x5 x2n−1 x2n+1 sin(x) = x − + − · · · + (−1)n−1 + (−1)n cos(θx) . 3! 5! (2n − 1)! (2n + 1)! x2 x3 xn xn+1 ln(1 + x) = x − + − · · · + (−1)n−1 + (−1)n . 2 3 n (n + 1)(1 + θx)n+1 α(α − 1) α(α − 1) (α − n + 1) (1 + x)α = 1 + αx+ x2 + ··· + xn 2! n! α(α − 1) (α − n) + xn+1(1 + θx)α−n−1. (n + 1)! 3.5. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Trong mục này ta luôn giả thiết hàm f khả vi trên đoạn [a; b]. 3.5.1. Tính đơn điệu, cực trị Định lý 3.14. f không giảm (không tăng) trên [a; b] nếu và chỉ nếu f 0(x) ≥ 0 (f 0(x) ≤ 0) với mọi x ∈ (a; b). Định lý 3.15 (Điều kiện đủ cực trị dùng đạo hàm cấp 1). Cho x0 ∈ (a; b). 0 a) Nếu f đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu địa phương. 0 b) Nếu f đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x0 thì x0 là điểm cực đại địa phương. 0 c) Nếu f giữ nguyên dấu khi đi qua x0 thì x0 không phải là điểm cực trị. Định lý 3.16 (Điều kiện đủ cực trị dùng đạo hàm cấp cao). Giả sử f có đạo hàm 0 00 (n−1) đến cấp n hữu hạn tại x0 ∈ (a; b). Hơn nữa, f (x0) = f (x0) = ··· = f (x0) = 0 (n) còn f (x0) 6= 0. Lúc đó a) Nếu n lẻ thì thì x0 không phải là điểm cực trị. (n) b) Nếu n chẵn và f (x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu địa phương. (n) c) Nếu n chẵn và f (x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại địa phương.
  58. 57 3.5.2. Tính lồi lõm, điểm uốn Bổ đề 3.3. Một hàm f xác định trên đoạn [a; b] là lồi khi và chỉ khi với mọi bộ ba điểm x1 0 sao cho f lõm (lồi) trên (x0 − δ, x0) và lồi (lõm) trên (x0, x0 + δ). Định lý 3.18. Cho hàm f khả vi đến cấp hai trên Nδ(x0). Lúc đó, 00 a) Nếu f đổi dấu khi đi qua x0 thì M0 là điểm uốn. 00 b) Nếu f giữ nguyên dấu khi đi qua x0 thì M0 không phải là điểm uốn. 3.6. Thực hành tính toán trên Maple 3.6.1. Tính đạo hàm của một hàm số a) Tính đạo hàm cấp một. Cú pháp: [> diff(f(x), x); (dùng Diff thì cho công thức hình thức) Ví dụ: [> diff(sqrt(1+x∧2), x); x √ 1 + x2 Nhiều lúc máy cho ta một biểu thức đạo hàm khá cồng kềnh. Lúc đó, muốn đơn giản biểu thức ta dùng lệnh simplify có cú pháp [> simplify(biểu thức); Ví dụ: [> f:=x− > cos(x)∧2/sin(2*x); cos(x)2 f := x → sin(2x)
  59. 58 [> Diff(f(x), x); ∂ cos(x)2 ∂x sin(2x) [> Df:=value(%); cos(x) sin(x) cos(x)2 cos(2x) Df := −2 − 2 sin(2x) sin(2x)2 [> simplify(%); cos(x)2 2 −1 + cos(2x)2 b) Tính đạo hàm cấp k. Cú pháp: [> diff(f(x), x$k); Ví dụ: [> g:=x− >3*x∧3-4*x*sin(x); g := x → 3x3 − 4x sin(x) [> diff(g(x),x$2); 18x − 8 cos(x) + 4x sin(x) 3.6.2. Khai triển Taylor của hàm f tại x = a đến cấp n Cú pháp: [> taylor(f(x), x=a, n); Ví dụ: [> taylor(exp(x), x=0, 7); 1 1 1 1 1 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + O(x7) 2 6 24 120 720 [> taylor(x*cos(x), x=Pi, 5); 1 1 1 −π − (x − π) + π(x − π)2 + (x − π)3 − π(x − π)4 + O((x − π)5) 2 2 24 3.6.3. Tính giới hạn các dạng vô định Để tính giới hạn các dạng vô định chúng ta vẫn dùng lệnh tính giới hạn như các hàm thông thường, bởi vì máy đã biết dùng Công thức L’hospital trong tính toán. Tuy vậy, cũng có lúc chúng ta cũng phải hỗ trợ bằng những bước thích hợp.
  60. 59 Ví dụ: [> limit((six(x)-x)/(x*(1-cos(x))), x=0); 1 − 3 [> limit((x*exp(2*x)-5*tan(x))/(tan(x)∧2+x∧3), x=0); undefined Như vậy, máy đã không tính nổi giới hạn này. Chúng ta có thể giúp máy bằng cách cho lần lượt tính đạo hàm cấp một, rồi cấp hai, cấp ba đồng thời cả tử và mẫu và tính giới hạn của thương cho đến khi máy tính được. Trong ví dụ trên, khi tính đến đạo hàm cấp hai thì ta có kết quả [> f:=value(diff(x*exp(2*x)-5*tan(x),x$2); f := 4e(2x) + 4xe(2x) − 10 tan(x)(1 + tan(x)2) [> g:=value(diff(tan(x)∧2+x∧3,x$2); g := 2(1 + tan(x)2)2 + 4 tan(x)2(1 + tan(x)2) + 6x [> limit(f/g, x=0); 2 3.6.4. Khảo sát hàm số Để sử dụng máy tính trong việc khảo sát dáng điệu của hàm số chúng ta có thể vẽ ngay đồ thị của hàm đó. Tuy nhiên, để biết chính xác toạ độ của các điểm cực trị, điểm uốn, khoảng đơn điệu, lồi lõm v.v. chúng ta phải biết vận dụng lý thuyết và các kỹ thuật tính toán trên máy để đạt được mục đích. Chẳng hạn, trước tiên chúng ta phải tính đạo hàm cấp một sau đó dùng kỹ thuật giải phương trình và bất phương trình để xác định các cực trị và các khoảng đơn điệu của hàm số. Việc sử dụng đạo hàm cấp hai để tìm điểm uốn và các khoảng lồi lõm được làm tương tự. 3.7. Bài tập √ 3.1. Chứng minh hàm số f(x) = 3 x2 không khả vi tại 0. 3.2. Khảo sát sơ lược và vẽ đồ thị các hàm số x x y = ; y = . 1 + |x| 1 + x2
  61. 60 Từ đó cho biết bao đóng của các tập hợp ½ ¾ ½ ¾ x x A = | x ∈ R ; B = | x ∈ R . 1 + |x| 1 + x2 3.3. Xét các hàm số sau, phụ thuộc hai tham số thực m và n: ( ( 2m cos x + n sin x; x < 0, x2 + m sin x + n; x < 0, f(x) := g(x) := 1 + mx + nx2; x ≥ 0. 2x − 1; x ≥ 0. ( ( m sin x + n cos x; x ≥ π, m sin(x) + x − 1; x ≥ 0, h(x) := i(x) := x2; x < π. mx2 − n cos(x); x < 0. ( √ ( m 3 x + n cos(πx); x < 1 emx + x2; x < 0, j(x) := k(x) := (1 + m) ln(x) + nx2; x ≥ 1. mx2 − 2x + n; x ≥ 0. ( π m ln( x ) + n cos(x); x ≥ π, l(x) := x m π + (n + 1) sin(x); x < π. Đối với từng trường hợp, hãy tìm tất cả các giá trị của m và n để mỗi hàm trên: a) liên tục trên R, b) khả vi trên R. 3.4. Dùng vi phân cấp 1 để tính gần đúng các biểu thức sau: √ (1.002)40; arctan(0.997); 30 1.0012. 3.5. Chứng minh hàm số sau khả vi trên R nhưng có đạo hàm không liên tục: ( x2 sin( 1 ); x 6= 0, f(x) = x 0; x = 0. 3.6. Chứng minh hàm số sau khả vi vô hạn lần trên R: ( − 1 e x2 ; x 6= 0, f(x) = 0; x = 0. 3.7. Cho hàm số 2 y = f(x) = . 1 + x2 a) Khảo sát (miền xác định, tăng/giảm, cực trị, tiệm cận) và vẽ đồ thị hàm số. b) Chứng minh f là một song ánh từ [0, +∞) lên (0, 2], xác định ánh xạ ngược. c) Khai triển Maclaurin hàm f đến cấp 3. 3.8. Cho một hàm số f khả vi đến cấp 8 trên khoảng [0, 1] và phương trình f(x) = 0 có 9 nghiệm phân biệt trên khoảng đó. Chứng minh rằng tồn tại c ∈ (0, 1) sao cho f (8)(c) = 0.
  62. 61 3.9. Cho f là hàm xác định trên R sao cho |f(x)−f(y)| ≤ (x−y)2 với mọi x, y ∈ R. Chứng minh rằng f là hàm hằng trên R. 3.10. Chứng minh các hàm số sau đây xác định, khả vi trên R. Tính đạo hàm của chúng. µ ¶ 1 arcsin µ µ ¶¶ 2 1 f(x) = e 2 + x ; g(x) = ln arccos , 2 + x2 p h(x) = arctan x + 2ex2 . 3.11. Chứng minh các bất đẳng thức sau µ ¶ µ ¶ 1 + a3 1 + a2 |a − b| ≥ ln ; ∀a, b ≥ 3; |a − b| ≥ ln ; ∀a, b ∈ R. 1 + b3 1 + b2 3.12. Tìm một hàm f : R → R khả vi sao cho a) lim f(x) = a ∈ R nhưng f 0(x) −6→ 0. x→+∞ x→+∞ b) lim f(x) = +∞ và lim f 0(x) = 0. x→+∞ x→+∞ 3.13. Tính các giới hạn √ esin x − 1 − x3 ex − cos x lim ; lim √ ; x→0 tan x x→0 1 − 1 − x2 1 ¡ ¢ lim sin πetan(x) ; lim[cos(x)]sin(x) ; x→0 x→0 µ µ ¶¶ πx + 1 lim [tan(x)]sin(x); lim ln tan ; x→0+ x→+∞ 4(x + 2) ¡ ¢ 1 ¡ ¢ 1 lim 1 + tan(x) sin(x) ; lim cos(x) cos(x) ; x→0 π x→ 2 − ¡ ¢sin(x) ¡ ¢ 1 lim cot(x) ; lim sin(x) sin(x) ; x→0+ x→0+ (x5 + 2x + 1)3 lim (cos x − ex) ln x; lim ; x→0+ x→+∞ ex−1 ln(x2 + 4) µ ¶ 1 lim (cot x)sin x; lim ln 1 + tan2 ; x→0+ x→+∞ x2 √ √ 3 x − x (x4 + 2x − 1)esin x lim √ ; lim ; x→1 x − 1 x→+∞ (2 − cos x)(x3 + 5x2 + 1) ln(1 + x) − sin x (x4 + 2x2 − 1)ecos x lim ; lim ; x→0 x + sin x x→−∞ (2 − sin x)(x5 + 5x2 + 1) ³ ´ π x √ 1 lim x − arctan ; lim (x + x2 + 1) ln x . x→+∞ 4 1 + x x→+∞
  63. 62 3.14. Khảo sát (sự tồn tại của) các giới hạn sau 1 a) lim(1 + x)sin x , x→0 µ ¶ x2 + arccos x b) lim tan , x→0 2(x + 1)2 3.15. Chứng minh các khẳng định sau x a) x > ln(1 + x) > với mọi x > 0. 1 + x ³ 1 1 1 ´ b) lim + + ··· + = ln 2. n→∞ n n + 1 2n ³ 1 1 1 ´ c) lim p + p + ··· + p = ln 2. n→∞ n(n + 1) (n + 1)(n + 2) 2n(2n + 1) 3.16. Chứng minh các khẳng định sau x2 a) x > ln(1 + x) > x − với mọi x > 0. 2 ³ 1 ´³ 2 ´ ³ n ´ √ b) lim 1 + 1 + ··· 1 + = e. n→∞ n2 n2 n2 3.17. Viết khai triển Taylor các hàm số sau π a) f(x) = cot(x) tại x = 2 đến cấp 3. b) f(x) = tan(x) tại x = π đến cấp 4. 3.18. Viết khai triển MacLaurin các hàm số sau 1 + x + x2 a) f(x) = đến cấp 4. 1 − x + x2 b) f(x) = e2x−x2 đến cấp 5. 3.19. Chứng minh bất đẳng thức H¨older: up vq 1 1 uv ≤ + ; ∀u, v ≥ 0; p, q > 0 : + = 1. p q p q Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi up = vq. 2 3.20. Cho hàm số y = f(x) = . 1 + x2 a) Khảo sát (miền xác định, tăng/giảm, cực trị, tiệm cận) và vẽ đồ thị hàm số. b) Chứng minh f là một song ánh từ [0, +∞) lên (0, 2], xác định ánh xạ ngược. c) Khai triển Maclaurin hàm f đến cấp 3