Giáo trình Đại số sơ cấp (Phần 1)

115 trang ngocly 1090

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Đại số sơ cấp (Phần 1)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_dai_so_so_cap_phan_1.pdf

Nội dung text: Giáo trình Đại số sơ cấp (Phần 1)

HỘI NHỮNG NGƯỜI YÊU THÍCH TOÁN HỌC VIETMATHS.NET ĐẠI SỐ SƠ C ẤP Giáo trình đào tạo giáo viên trung học hệ Đại học, Cao đẳng sư phạm ( Tái bản lần thứ 10) HOÀNG HUY SƠN Bấm nút Like hoặc G+1 để ủng hộ chúng tôi. Chân thành cám ơn. Website: Facebook: GooglePlus:
LỜI NÓI ĐẦ U Tài li ệu “Đại s ố s ơ c ấp” được vi ết nh ằm ph ục v ụ sinh viên chuyên ngành S ư ph ạm Toán. Nội dung c ủa tài li ệu đề c ập đế n các v ấn đề : Hàm s ố và đồ th ị; Ph ươ ng trình và h ệ ph ươ ng trình; B ất đẳ ng th ức và b ất ph ươ ng trình. Một s ố nội dung đề c ập trong tài li ệu, sinh viên đã được h ọc sơ l ược trong ch ươ ng trình Toán ph ổ thông. Tuy nhiên, để tr ở thành th ầy giáo d ạy t ốt môn Toán khi ra tr ường, đòi h ỏi sinh viên ph ải n ắm v ững lý thuy ết và hoàn thi ện các ph ươ ng pháp gi ải toán s ơ c ấp. Xu ất phát t ừ yêu c ầu trên, chúng tôi c ố g ắng trình bày t ươ ng đối có h ệ th ống v ề c ơ s ở lý thuy ết c ủa các khái ni ệm: Hàm s ố; Ph ươ ng trình; B ất đẳ ng th ức; B ất ph ươ ng trình; H ệ ph ươ ng trình. Các n ội dung chi ếm m ột ph ần quan tr ọng trong ch ươ ng trình Toán ph ổ thông nh ư: Phươ ng trình, b ất ph ươ ng trình vô t ỉ; Phươ ng trình, b ất ph ươ ng trình m ũ và logarit; Phươ ng trình l ượng giác, chúng tôi trình bày thành các ch ươ ng riêng để sinh viên d ễ nghiên c ứu. Tài li ệu được trình bày thành 6 ch ươ ng: 1. Ch ươ ng 1: Hàm s ố; 2. Ch ươ ng 2: Ph ươ ng trình – H ệ ph ươ ng trình; 3. Ch ươ ng 3: B ất đẳ ng th ức – B ất ph ươ ng trình; 4. Ch ươ ng 4: Ph ươ ng trình, b ất ph ươ ng trình vô t ỉ; 5. Ch ươ ng 5: Ph ươ ng trình, b ất ph ươ ng trình m ũ và logarit; 6. Ch ươ ng 6: Ph ươ ng trình l ượng giác. Một yêu c ầu h ết s ức quan tr ọng trong gi ải toán là: Vi ệc trình bày bài giải ph ải ch ặt ch ẽ và logic. Để rèn cho sinh viên nh ững k ỹ n ăng đó, chúng tôi c ố g ắng đưa vào tài li ệu nhi ều ví d ụ về th ực hành gi ải toán. Các ví d ụ chi ếm m ột kh ối l ượng đáng k ể trong tài li ệu, giúp sinh viên có th ể t ự nghiên c ứu tài li ệu tr ước khi đế n l ớp. Điều này phù h ợp v ới ph ươ ng th ức đào t ạo theo h ệ th ống tín ch ỉ ở tr ường Đạ i h ọc An Giang t ừ n ăm h ọc 2009 – 2010. Cu ối m ỗi ch ươ ng có h ệ th ống bài t ập đã được lựa ch ọn, nhi ều v ề s ố l ượng, đủ các m ức độ t ừ d ễ đế n khó ( đối v ới m ột s ố bài khó, chúng tôi có h ướng d ẫn cách gi ải), yêu c ầu sinh viên tự gi ải để rèn k ỹ n ăng tìm l ời gi ải m ột bài toán. V ới kh ối l ượng quy đị nh là 5 đơ n v ị h ọc trình, tài li ệu không th ể đề c ập h ết t ất c ả các d ạng toán hay g ặp c ủa các n ội dung v ề ph ươ ng trình, bất ph ươ ng trình và h ệ ph ươ ng trình nh ư m ột s ố tài li ệu khác. Chúng tôi mong mu ốn ở sinh viên là t ự t ổng k ết và đúc rút cho mình nh ững k ỹ n ăng gi ải toán thông qua t ự gi ải các bài t ập trong tài li ệu. Cu ối cùng, chúng tôi r ất mong nh ận được các ý ki ến đóng góp quí báu cho n ội dung c ũng nh ư hình th ức trình bày trong tài li ệu của các b ạn đồ ng nghi ệp trong B ộ môn Toán và H ội đồng Khoa h ọc Khoa S ư ph ạm c ũng nh ư các b ạn sinh viên để tài li ệu này có th ể được hoàn ch ỉnh tốt hơn. An Giang, tháng 02 n ăm 2009 Tác gi ả VIETMATHS.NET 2
MỤC L ỤC Trang LỜI NÓI ĐẦ U 1 BẢNG M ỘT S Ố KÍ HI ỆU VÀ CH Ữ VI ẾT T ẮT S Ử D ỤNG TRONG TÀI LI ỆU 4 CH ƯƠ NG I. HÀM S Ố 5 §1. KHÁI NI ỆM HÀM S Ố 5 1. Định ngh ĩa hàm s ố 5 2. Đồ th ị c ủa hàm s ố 6 3. Hàm s ố đơn điệu 6 4. Hàm s ố ch ẵn, hàm s ố l ẻ 8 5. Hàm s ố tu ần hoàn 9 6. Hàm s ố h ợp 10 7. Hàm s ố ng ược 11 8. Hàm s ố s ơ c ấp c ơ b ản 13 §2. M ỘT S Ố PHÉP BI ẾN ĐỔ I ĐỒ TH Ị 18 1. Tr ục đố i x ứng, tâm đố i x ứng c ủa đồ th ị 18 2. Phép đối x ứng qua tr ục t ọa độ 21 3. Phép t ịnh ti ến song song tr ục tung 21 4. Phép t ịnh ti ến song song tr ục hoành 21 5. M ột s ố ví d ụ 22 6. Đồ th ị c ủa m ột s ố hàm s ố ch ứa d ấu giá tr ị tuy ệt đố i 23 §3. GIÁ TR Ị L ỚN NH ẤT VÀ GIÁ TR Ị NH Ỏ NH ẤT C ỦA HÀM S Ố 28 1. Định ngh ĩa 28 2. M ột s ố ph ươ ng pháp tìm giá tr ị l ớn nh ất, giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố 28 3. M ột s ố ví d ụ 29 BÀI T ẬP CH ƯƠ NG I 37 CH ƯƠ NG II. PH ƯƠ NG TRÌNH – H Ệ PH ƯƠ NG TRÌNH 42 §1. CÁC KHÁI NI ỆM C Ơ B ẢN 42 1. Ph ươ ng trình 42 2. H ệ ph ươ ng trình – Tuy ển ph ươ ng trình 45 §2. PH ƯƠ NG TRÌNH B ẬC NH ẤT, B ẬC HAI M ỘT ẨN 46 1. Ph ươ ng trình b ậc nh ất m ột ẩn 46 2. Ph ươ ng trình b ậc hai m ột ẩn 50 3. M ột s ố ph ươ ng trình b ậc bốn có th ể đưa v ề ph ươ ng trình b ậc hai m ột ẩn 55 §3. H Ệ PH ƯƠ NG TRÌNH 59 1. H ệ ph ươ ng trình g ồm m ột ph ươ ng trình b ậc nh ất và m ột ph ươ ng trình b ậc hai 59 2. H ệ ph ươ ng trình đẳng c ấp b ậc hai 61 3. H ệ ph ươ ng trình đối x ứng 63 4. Gi ải m ột s ố h ệ khác 71 BÀI T ẬP CH ƯƠ NG II 78 CH ƯƠ NG III. B ẤT ĐẲ NG TH ỨC – B ẤT PH ƯƠ NG TRÌNH 85 §1. ĐẠI C ƯƠ NG V Ề B ẤT ĐẲ NG TH ỨC 85 1. Định ngh ĩa 85 2. Tính ch ất c ơ b ản c ủa b ất đẳ ng th ức 85 3. M ột s ố b ất đẳ ng th ức quan tr ọng 86 4. Các ph ươ ng pháp ch ứng minh b ất đẳ ng th ức 86 §2. B ẤT PH ƯƠ NG TRÌNH 96 1. Định ngh ĩa 96 2. S ự t ươ ng đươ ng c ủa các b ất ph ươ ng trình 97 3. Ứng d ụng c ủa giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nhỏ nh ất vào vi ệc gi ải ph ươ ng trình và b ất 3
ph ươ ng trình 97 §3. B ẤT PH ƯƠ NG TRÌNH B ẬC NH ẤT, B ẬC HAI M ỘT ẨN 98 1. B ất ph ươ ng trình b ậc nh ất m ột ẩn 98 2. B ất ph ươ ng trình b ậc hai m ột ẩn 101 BÀI T ẬP CH ƯƠ NG III 111 CH ƯƠ NG IV. PH ƯƠ NG TRÌNH, B ẤT PH ƯƠ NG TRÌNH VÔ T Ỉ 116 §1. PH ƯƠ NG TRÌNH VÔ T Ỉ 116 1. Định ngh ĩa và các định lý 116 2. Các ph ươ ng pháp gi ải ph ương trình vô t ỉ 117 §2. B ẤT PH ƯƠ NG TRÌNH VÔ T Ỉ 132 1. Định ngh ĩa và các định lý 132 2. Các ph ươ ng pháp gi ải b ất ph ươ ng trình vô t ỉ 133 BÀI T ẬP CH ƯƠ NG IV 140 CH ƯƠ NG V. PH ƯƠNG TRÌNH, B ẤT PH ƯƠ NG TRÌNH M Ũ VÀ LOGARIT 146 §1. NH ẮC L ẠI KHÁI NI ỆM LOGARIT 146 1. Định ngh ĩa 146 2. Các tính ch ất c ủa logarit 146 §2. PH ƯƠ NG TRÌNH, B ẤT PH ƯƠ NG TRÌNH M Ũ 147 1. Định ngh ĩa 147 2. M ột s ố ph ươ ng pháp gi ải ph ươ ng trình m ũ 147 3. M ột s ố ph ươ ng pháp gi ải b ất ph ươ ng trình m ũ 158 §3. PH ƯƠ NG TRÌNH, B ẤT PH ƯƠ NG TRÌNH LOGARIT 166 1. Định ngh ĩa 166 2. M ột s ố ph ươ ng pháp gi ải ph ươ ng trình logarit 166 3. M ột s ố ph ươ ng pháp giải b ất ph ươ ng trình logarit 177 BÀI T ẬP CH ƯƠ NG V 184 CH ƯƠ NG VI. PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC 192 §1. CÁC CÔNG TH ỨC BI ẾN ĐỔ I L ƯỢNG GIÁC 192 1. Công th ức c ộng 192 2. Công th ức nhân 192 3. Công thức bi ến đổ i tích thành t ổng 193 4. Công thức bi ến đổ i t ổng thành tích 193 §2. PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC C Ơ B ẢN 194 1. Ph ươ ng trình sin x= a 194 2. Ph ươ ng trình cos x= a 195 3. Ph ươ ng trình tan x= a 195 4. Ph ươ ng trình cot x= a 195 §3. M ỘT S Ố PH ƯƠNG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC TH ƯỜNG G ẶP 196 1. Ph ươ ng trình b ậc nh ất, b ậc hai, b ậc cao đối v ới m ột hàm s ố l ượng giác 196 2. Ph ươ ng trình b ậc nh ất đố i v ới sin x và cos x 197 3. Ph ươ ng trình thu ần nh ất b ậc hai đố i v ới sin x và cos x 198 4. Ph ươ ng trình đối x ứng đố i v ới sin x và cos x 200 §4. CÁC PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC KHÁC 202 1. S ử d ụng công th ức h ạ b ậc, góc nhân đôi, góc nhân ba 202 2. D ạng phân th ức VIETMATHS.NET 208 3. D ạng ch ứa tan x và cot x 209 4. M ột s ố ph ươ ng trình gi ải b ằng ph ươ ng pháp đặc bi ệt 213 5. M ột s ố ph ương trình ch ứa tham s ố 214 BÀI T ẬP CH ƯƠ NG VI 217 TÀI LI ỆU THAM KH ẢO 220 4
BẢNG M ỘT S Ố KÍ HI ỆU VÀ CH Ữ VI ẾT T ẮT S Ử D ỤNG TRONG TÀI LI ỆU ℕ : Tập h ợp các s ố t ự nhiên: {0;1;2; } . ℤ : T ập h ợp các s ố nguyên: { ;− 2; − 1;0;1;2; } . a  ℚ : T ập h ợp các s ố h ữu t ỉ: /,a b∈ℤ , b ≠ 0.  b  ℝ : T ập h ợp các s ố th ực. ℝ* : T ập h ợp các s ố th ực khác không. ℝ+ : T ập h ợp các s ố th ực d ươ ng. n ∑:Phép l ấy t ổng t ừ 1 đế n n. 1 { / } : Tập h ợp. Tf : Tập (mi ền) giá tr ị c ủa hàm s ố f . Max f( x ) : Giá tr ị l ớn nh ất c ủa hàm s ố f trên tập D. x∈ D Min f( x ) : Giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố f trên tập D. x∈ D ∈: Thu ộc. ⊆, ⊂ : Tập con. ∅ : T ập h ợp r ỗng. ∀ : M ọi. ≠: Khác. \: Hi ệu c ủa hai t ập h ợp. ∪ : H ợp c ủa hai t ập h ợp. ∩ :Giao c ủa hai t ập h ợp. n ∪ :Phép l ấy h ợp t ừ 1 đế n n. 1 n ∩ :Phép l ấy giao t ừ 1 đế n n. 1 ∨ : Ho ặc (tuy ển c ủa hai m ệnh đề ). ⇒: Phép kéo theo, ph ươ ng trình h ệ qu ả. ⇔: Phép t ươ ng đươ ng (khi và ch ỉ khi), ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng. Đpcm: K ết thúc ch ứng minh, điều ph ải ch ứng minh. 5
CH ƯƠ NG I. HÀM S Ố §1. KHÁI NI ỆM HÀM S Ố 1. Định ngh ĩa Gi ả s ử X và Y là hai t ập h ợp tùy ý. N ếu có m ột quy tắc f cho t ươ ng ứng m ỗi x∈ X với m ột và ch ỉ m ột y∈ Y thì ta nói r ằng f là m ột hàm t ừ X vào Y, kí hi ệu f: X→ Y x֏ y= fx( ) Nếu X, Y là các t ập h ợp s ố thì f được g ọi là m ột hàm s ố. Trong ch ươ ng này chúng ta ch ỉ xét các hàm s ố th ực c ủa các bi ến s ố th ực, ngh ĩa là X⊆ℝ; Y ⊆ ℝ . X được g ọi là tập xác đị nh (hay là mi ền xác đị nh ) c ủa hàm s ố f . (Ng ười ta hay dùng kí hi ệu tập xác đị nh c ủa hàm s ố là D). S ố th ực x∈ X được g ọi là bi ến s ố độ c l ập (g ọi t ắt là bi ến s ố hay đố i s ố). S ố th ực y= fx( ) ∈ Y được g ọi là giá tr ị c ủa hàm s ố f t ại điểm x. T ập h ợp t ất c ả các giá tr ị f( x ) khi x l ấy m ọi s ố th ực thu ộc t ập h ợp X g ọi là tập giá tr ị (mi ền giá tr ị) c ủa hàm s ố f và được kí hi ệu là Tf , (nh ư v ậy Tf ={ fxxX( ) | ∈} = fX ( )). Hi ển nhiên Tf ⊆ Y . Chú ý r ằng Tf có th ể là m ột t ập h ợp con th ực s ự c ủa Y ho ặc b ằng tập Y. Trong nhi ều tr ường h ợp, ng ười ta cho hàm s ố f d ưới d ạng x֏ f( x ) ho ặc y= f( x ) mà không nêu rõ t ập xác đị nh X và t ập h ợp Y ch ứa t ập các giá tr ị c ủa f . Khi đó, ta hi ểu r ằng Y = ℝ và X là t ập h ợp các s ố th ực x ∈ ℝ sao cho quy t ắc đã cho thì f( x ) t ồn t ại. Ví d ụ 1. Cho hàm s ố y= fx( ) = x 2 + 1. Theo cách hi ểu trên thì Y = ℝ; t ập xác đị nh c ủa f là 2 D = ℝ, t ập các giá tr ị c ủa f là Tf ={ x +1| x ∈ℝ} =[ 1; +∞ ) . 1 Ví d ụ 2. Cho hàm s ố f() x = . Khi đó, t ập xác đị nh D = ℝ \{ 0} , tập giá tr ị là T = ℝ \{ 0} . x f Ví d ụ 3 . Cho hàm s ố f() x=1 − x 2 . Tập xác đị nh D=[ −1;1] , T f = [ 0;1] . Ví d ụ 4. Tìm t ập giá tr ị c ủa các hàm s ố x2 − x + 1 ay.= f() x = 2 ; x+ x + 1 sinx+ 2cos x + 1 by.= f() x = . sinx+ cos x VIETMATHS.NET + 2 Gi ải. x2 − x + 1 a. y = . Hàm s ố có t ập xác đị nh D = ℝ. x2 + x + 1 6
x2 − x + 1 Gi ả s ử y∈ T . Khi đó y = (1) có nghi ệm đố i v ới x . 0 f 0 x2 + x + 1 2 2 2 (1) ⇔yxx0 ( ++=−+⇔ 1) xx 1( y0 − 1) xy +( 0 + 1) xy +−= 0 102.( ) Xét y0−=⇔=10 y 0 1;2( ) ⇔ 20 xx =⇔= 0. Vậy 1∈Tf . Xét y0−≠1 0 ⇔ y 0 ≠ 1. Khi đó, (2) có nghi ệm khi và ch ỉ khi 2 2 1 ()()yy+14 − − 10 ≥⇔− 31030 yy2 + −≥⇔≤≤ y 3. 00 003 0 1 Vậy T = [ ;3]. f 3 b. Tập xác đị nh c ủa hàm s ố đã cho là D = ℝ. C ũng t ươ ng t ự nh ư câu a. y0 thu ộc t ập giá tr ị sinx+ 2cos x + 1 của hàm s ố đã cho khi và ch ỉ khi y = ()1 có nghi ệm đố i v ới x 0 sinx+ cos x + 2 (1) ⇔yxx0 ( sin ++=+ cos 2) sin xx 2cos +⇔− 1( y0 1sin) xy +−( 0 2cos) xy =− 12. 0 (1) có nghi ệm khi và ch ỉ khi 2 2 2 2 ()()()yy00−1 + − 212 ≥− yyy 000 ⇔+−≤⇔−≤≤ 202 y 0 1. Vậy Tf =[ − 2;1] . 2x Ví d ụ 5. Tìm t ập giá tr ị c ủa hàm s ố y= f( x ) = cos . 1+ x2 Tập xác đị nh c ủa hàm s ố là D = ℝ. 2x Đặt t = , xem t là hàm s ố c ủa bi ến x, áp d ụng ph ươ ng pháp đã trình bày ở ví d ụ 4.a. ta 1+ x2 2x được v ới x ∈ℝ thì t ∈[ − 1;1]. Mi ền giá tr ị c ủa hàm s ố y= f( x ) = cos trên t ập xác đị nh 1+ x2 D = ℝ c ũng chính là mi ền giá tr ị c ủa hàm s ố y= cos t v ới t ∈[ − 1;1]. T ừ đó hàm s ố 2x y= f() x = cos có t ập giá tr ị là đoạn [cos1;1 ] . 1+ x2 2. Đồ th ị c ủa hàm s ố Cho hàm s ố y= f( x ) có t ập xác đị nh D, ta g ọi t ập h ợp các điểm ( x; f( x )) v ới ∀x ∈ D là đồ th ị c ủa hàm số y= f( x ). Vi ệc bi ểu di ễn các điểm ( x; f( x )) thu ộc đồ th ị c ủa hàm s ố y= f( x ) lên m ặt ph ẳng t ọa độ Oxy g ọi là v ẽ đồ th ị c ủa hàm s ố. Chú ý r ằng m ột đường (ζ) ( đường cong ho ặc đường th ẳng) trong m ặt ph ẳng t ọa độ ch ỉ có th ể là đồ th ị c ủa m ột hàm s ố nào đó, n ếu nó c ắt m ột đường th ẳng cùng ph ươ ng v ới tr ục Oy tại không quá tại một điểm. 7
3. Hàm s ố đơn điệu 3.1. Định ngh ĩa. Cho hàm s ố y= f( x ) có t ập xác đị nh là t ập D, kho ảng (a; b ) là t ập con c ủa D. Khi đó ta có Hàm s ố y= f( x ) g ọi là đồng bi ến (hay tăng ) trên kho ảng (a; b ) , n ếu với ∀xx12,;, ∈( abxx) 12 fx( 2 ) . Một hàm s ố đồ ng bi ến ho ặc ngh ịch bi ến trên kho ảng (a; b ) thì ta nói hàm s ố đơ n điệu trên kho ảng đó. 3.2. M ột s ố ví d ụ Ví d ụ 1. Hàm s ố y= x 3 đồng bi ến trên toàn b ộ t ập xác đị nh ℝ. 3x + 1 Ví d ụ 2. Hàm s ố y = ngh ịch bi ến trên t ừng kho ảng xác đị nh (−∞;2) ;( 2; +∞ ) . x − 2 Dựa vào định ngh ĩa 3.1, d ễ dàng ch ứng minh được các tính ch ất sau 3.3. Tính ch ất 3.3.1. N ếu hàm s ố y= f( x ) đồng bi ến (ngh ịch bi ến) trên kho ảng (a; b ) , thì hàm s ố y= fx( ) + c ( c là h ằng s ố) c ũng đồ ng bi ến (ngh ịch bi ến) trên kho ảng (a; b ) . 3.3.2. N ếu hàm s ố y= f( x ) đồng bi ến (ngh ịch bi ến) trên kho ảng (a; b ) , thì hàm s ố y= kf( x ) đồng bi ến (ngh ịch bi ến) trên kho ảng (a; b ) n ếu k > 0 ; hàm s ố y= kf( x ) ngh ịch bi ến ( đồ ng bi ến) trên kho ảng (a; b ) n ếu k < 0. 3.3.3. N ếu hàm s ố y= f( x ) và y= g( x ) đồng bi ến (ngh ịch bi ến) trên kho ảng (a; b ) thì hàm s ố y= fx( ) + gx( ) đồng bi ến (ngh ịch bi ến) trên kho ảng (a; b ) . 3.3.4. N ếu hàm s ố y= f( x ) và y= g( x ) không âm trên kho ảng (a; b ) và cùng đồng bi ến (ngh ịch bi ến) trên kho ảng (a; b ) , thì hàm s ố y= fxgx( ). ( ) đồng bi ến (ngh ịch bi ến) trên kho ảng (a; b ) . Chú ý. Đồ th ị c ủa hàm s ố đồ ng bi ến ho ặc ngh ịch bi ến trên kho ảng (a; b ) c ắt đường th ẳng cùng ph ươ ng v ới tr ục Ox nhi ều nh ất t ại m ột điểm. Gi ả s ử hàm s ố y= f( x ) đồng bi ến trên kho ảng (a; b ) ; hàm s ố y= g( x ) ngh ịch bi ến trên kho ảng (a; b ) . Khi đóVIETMATHS.NET trên kho ảng (a ; b ), đồ th ị c ủa các hàm s ố y= f( x ) và y= g( x ) cắt nhau không quá tại một điểm. Áp d ụng. Tìm x th ỏa mãn 5x−2 = 3 − x . Để ý r ằng hàm s ố y= f( x ) = 5x−2 là hàm s ố đồ ng bi ến trên ℝ , còn hàm s ố ygx=( ) =3 − x ngh ịch bi ến trên ℝ . 8
Dễ th ấy x = 2 th ỏa mãn ph ươ ng trình đã cho. V ậy, x = 2 là nghi ệm duy nh ất c ủa ph ươ ng trình. 4. Hàm s ố ch ẵn, hàm s ố l ẻ 4.1. Định ngh ĩa. Cho hàm s ố y= f( x ) có t ập xác đị nh trên D. Hàm s ố f g ọi là hàm s ố ch ẵn n ếu v ới m ọi x∈ D , ta có −x ∈ D và f(− x) = fx( ). Hàm s ố f g ọi là hàm s ố l ẻ n ếu v ới m ọi x∈ D , ta có −x ∈ D và f(− x) = − fx( ). 4.2. M ột s ố ví d ụ Ví d ụ 1. Xét tính ch ẵn, l ẻ c ủa hàm s ố yfx=( ) = x +−−1 1 x . Tập xác đị nh c ủa hàm s ố là [−1;1 ] nên d ễ th ấy ∀x, x ∈ [ − 1;1]⇒ − x ∈ [ − 1;1] và fx()−=11 −− x +=− x( 11 +− x − xfx) =− () . Vậy f là hàm s ố l ẻ. x2 +1 Ví d ụ 2. Xét tính ch ẵn, l ẻ c ủa hàm s ố y= f() x = . x +1 Tập xác đị nh D =ℝ \{ − 1} . Ta có 1∈ D nh ưng −1 ∉ D , nên hàm s ố đã cho không ph ải là hàm s ố ch ẵn c ũng nh ư hàm s ố lẻ. Ví d ụ 3. Xét tính ch ẵn, l ẻ c ủa hàm s ố yfx=() = xx2 +++1 xx 2 −+ 1. Tập xác đị nh D = ℝ, nên ∀xD ∈ ⇒ − xD ∈ . Ta có 2 2 ∀∈xDfx,()()() −=− x +−++− x 1()() x −−+= x 111. xx2 −++ xx 2 ++= fx() Vậy hàm s ố đã cho là hàm s ố ch ẵn. Ví d ụ 4. Xét tính ch ẵn, l ẻ c ủa hàm s ố yfx=( ) = x2 − 4 x . Tập xác đị nh D = ℝ, do đó x∈ D thì −x ∈ D . Nh ưng f(1) =− 3 ; f ( −= 1) 5, nên f(1) ≠ ± f ( − 1) . Vậy, f không ph ải hàm s ố ch ẵn c ũng nh ư hàm s ố l ẻ. 4.3. Đồ th ị c ủa hàm s ố ch ẵn và hàm s ố l ẻ Gi ả s ử hàm s ố y= f( x ) có t ập xác đị nh D là hàm s ố ch ẵn và có đồ th ị là (G). V ới m ỗi điểm M( x0; y 0 ) thu ộc đồ th ị (G), ta xét điểm đố i x ứng v ới nó qua tr ục tung là M'(− x0 ; y 0 ) . Từ đị nh ngh ĩa hàm s ố ch ẵn, ta có −x0 ∈ D và f(− x0) = fx( 0 ). Do đó MGyfx∈⇔=0( 0) ⇔=−⇔∈ yfx 0( 0 ) M'( G ) . Điều đó ch ứng t ỏ (G) có tr ục đố i x ứng là tr ục tung. 9
Nếu f là hàm s ố l ẻ thì lí lu ận t ươ ng t ự, ta c ũng được (G) có tâm đối x ứng là g ốc t ọa độ O. 5. Hàm s ố tu ần hoàn 5.1. Định ngh ĩa. Hàm s ố y= f( x ) có t ập xác đị nh D được gọi là hàm s ố tu ần hoàn n ếu tồn t ại m ột s ố d ươ ng T sao cho v ới m ọi x∈ D ta có ix) + T ∈ D và x− T ∈ D ; iifx)( ± T) = fx( ) . Số nh ỏ nh ất (n ếu có) trong các s ố T có các tính ch ất trên g ọi là chu k ỳ c ủa hàm s ố tu ần hoàn f( x ). 5.2. M ột s ố ví d ụ Ví d ụ 1. Các hàm s ố l ượng giác y=cos xy ; = sin x là các hàm s ố tu ần hoàn có chu k ỳ T =2 π . Các hàm s ố l ượng giác y=tan xy ; = cot x là các hàm s ố tu ần hoàn có chu k ỳ T = π . Ví d ụ 2. Ch ứng minh các hàm s ố sau đây không ph ải là hàm s ố tu ần hoàn yfx=( ) = x4 + 2 x 3 ; ygx=() =2 x − 3 ; x3 y= h() x = . x2 − 4 Gi ải. x = 0 + Xét fx() =0 ⇔ x4 + 2 x 3 = 0 ⇔  x = − 2 Nếu hàm s ố y= fx( ) = x4 + 2 x 3 là hàm s ố tu ần hoàn thì t ồn t ại s ố T > 0 sao cho f(0+ T) = f ( 0) = 0, suy ra T > 0 là nghi ệm c ủa f( x ), vô lý. V ậy, hàm s ố f( x ) không ph ải là hàm s ố tu ần hoàn. + Hàm s ố ygx=() = 2 x − 3 cũng không ph ải là hàm s ố tu ần hoàn, l ập lu ận gi ống nh ư đối với hàm s ố f( x ). x3 + Hàm s ố y= h( x ) = có t ập xác đị nh D =ℝ \{ − 2;2} . Gi ả s ử hàm s ố h( x ) là hàm s ố x2 − 4 tu ần hoàn thì tồn t ại s ố th ực d ươ ng T sao cho v ới ∀x ∈ D⇒ xT± ∈ D . Do D =ℝ \{ − 2;2} , nên 2 +T thu ộc D suy ra 2(2= +T ) −∈ T D , vô lý. V ậy hàm s ố h( x ) không ph ải là hàm s ố tu ần hoàn. Chú ý. Chúng ta có m ột s ốVIETMATHS.NET d ấu hi ệu để nh ận bi ết một hàm s ố đã cho không ph ải là một hàm s ố tu ần hoàn, ch ẳng h ạn ta có hai d ấu hi ệu sau. + Nếu một hàm s ố có t ập xác đị nh d ạng D= ℝ \ A , v ới A là một tập hợp hữu h ạn thì hàm s ố đó không ph ải là một hàm s ố tu ần hoàn. + N ếu ph ươ ng trình f( x) = k có nghi ệm, nh ưng s ố nghi ệm là m ột s ố h ữu h ạn, thì hàm s ố 10
y= f( x ) không ph ải là một hàm số tu ần hoàn. Ví d ụ 3. Cho hàm s ố  π 0 ,x= +π k ; k ∈ ℤ  2 y= f() x =  1 π  ,x≠ +π k ; k ∈ ℤ 2+ tan2 x 2 Ch ứng minh r ằng hàm s ố y= gx( ) = fx( ) + fax( ) là hàm s ố tu ần hoàn, khi và ch ỉ khi a là một s ố h ữu t ỉ. Gi ải. Dễ dàng ch ứng minh được f( x ) là hàm s ố tu ần hoàn. p Điều ki ện đủ . N ếu a là s ố h ữu t ỉ thì a = v ới p, q∈ℤ , q > 0. Khi đó có s ố d ươ ng T= q π q th ỏa gxq( +π=) fxq( +π+) faxaq( +π=) fx( ) + faxp( +π=) fx( ) + fax( ) = gx( ). Ch ứng minh t ươ ng t ự ta c ũng được gxq( − π) = gx( ). Ch ứng t ỏ hàm s ố g( x ) là hàm s ố tu ần hoàn. 1 1 Điều ki ện c ần. Gi ả s ử a là s ố vô t ỉ. Ta th ấy g()()()0= f 0 + f 0 =+= 1. N ếu t ồn t ại 2 2 1 x ≠ 0 sao cho g( x ) =1 thì fx( ) + fax( ) = 1, nh ưng 0 ≤f() x ≤ v ới m ọi x, nên suy ra 0 0 0 0 2 1 fx()()= fax = . Do đó tanx = 0 và tan(ax ) = 0. 0 0 2 0 0 Vì v ậy x0 = m π và ax0 = n π v ới m, n ∈ℤ . ax 0 nπ n Do x0 ≠ 0 nên a = = = là s ố h ữu t ỉ. x0 mπ m Điều này mâu thu ẫn v ới a là s ố vô t ỉ. Suy ra ph ươ ng trình g( x ) =1 ch ỉ có m ột nghi ệm duy nh ất x = 0, nên g( x ) không ph ải là hàm số tu ần hoàn. Vậy, n ếu g( x ) là hàm s ố tu ần hoàn thì a ph ải là s ố vô t ỉ. 6. Hàm s ố h ợp 6.1. Định ngh ĩa. Cho hàm s ố y= f( x ) xác định trên t ập D1 và y= g( x ) xác định trên D2 . Khi đó ta g ọi hàm s ố h ợp c ủa hai hàm s ố f và g kí hi ệu g f được xác đị nh   y=( gf )( x) = gfx( )  xác định trên t ập D={ xDfx ∈1|( ) ∈ D 2 } . 6.2. Ví d ụ x +1 Cho các hàm s ố yfx=( ) = lg x ; y= g( x ) = . x −1 Xác định các hàm số hợp f g và g f . 11
lgx + 1 Gi ải. Ta có ()()()gfx = gfx  = g[]lg x = . lgx − 1 Hàm số này xác định trên t ập (0;+∞ ) \{10}. x+1   x + 1  ()()()fgx = fgx  = f   = lg  . x−1   x − 1  Hàm số này xác định trên t ập (−∞; − 1) ∪( 1; +∞ ) . Ví d ụ này cho th ấy gf≠ f g . 7. Hàm s ố ng ược 7.1. Định ngh ĩa. Cho hàm s ố f: X→ Y x֏ y= fx() nếu v ới m ỗi giá tr ị y∈ Tf = fX( ), có m ột và ch ỉ m ột x∈ X sao cho f( x) = y , t ức là ph ươ ng trình f( x) = y v ới ẩn x có nghi ệm duy nh ất, thì b ằng cách cho t ươ ng ứng v ới m ỗi y∈ f( X ) ph ần t ử duy nh ất x∈ X , ta xác định được hàm s ố g: fX( ) → X y֏ xgy= () ( x th ỏa mãn f( x) = y ). Hàm s ố g xác định nh ư v ậy được g ọi là hàm s ố ng ược c ủa hàm s ố f . Theo thông l ệ, ng ười ta th ường kí hi ệu đố i s ố là x và hàm s ố là y. Khi đó hàm s ố ng ược c ủa hàm s ố y= f( x ) s ẽ được vi ết l ại là y= g( x ). Gi ả s ử hàm s ố y= f( x ) có hàm s ố ng ược, để tìm hàm s ố ng ược c ủa hàm s ố y= f( x ) ta gi ải ph ươ ng trình f( x) = y ẩn x, ph ươ ng trình này có nghi ệm duy nh ất x= g( y ), đổi kí hi ệu theo cách vi ết thông th ường ta được hàm s ố ng ược y= g( x ). Chú ý. Ng ười ta th ường kí hi ệu hàm s ố ng ược c ủa hàm s ố y= f( x ) là y= f−1 ( x ). 7.2. Ví d ụ Cho hàm s ố y= x2 − 2 x trên t ập xác đị nh [1;+∞ ) . Tìm hàm s ố ng ược. Gi ải. 2 Trên t ập xác đị nh [1;+∞VIETMATHS.NET ) ph ươ ng trình x−2 x = y có nghi ệm duy nh ất x=1 + 1 + y . Vậy hàm s ố ng ược c ần tìm là y=1 + 1 + x . Chú ý. Từ đị nh ngh ĩa c ủa hàm s ố ng ược, suy ra r ằng: T ập xác đị nh c ủa hàm s ố ng ược y= f−1 ( x ) là t ập giá tr ị c ủa hàm s ố y= f( x ), t ập giá tr ị c ủa hàm s ố ng ược là t ập xác đị nh c ủa hàm s ố 12
y= f( x ). Dĩ nhiên hàm s ố y= f( x ) l ại là hàm s ố ng ược c ủa hàm s ố y= f−1 ( x ). Vì v ậy ta nói hai hàm s ố y= f( x ) và y= f−1 ( x ) là hai hàm s ố ng ược nhau. 7.3. Điều ki ện đủ để hàm s ố có hàm s ố ng ược 7.3.1. Định lý. M ọi hàm s ố đồ ng bi ến (hay ngh ịch bi ến) trên t ập xác đị nh c ủa nó đề u có hàm s ố ng ược. Ch ứng minh. Gi ả s ử hàm s ố y= f( x ) đồng bi ến trên t ập xác định D, v ới m ỗi y∈ f( D ) có ít nh ất x∈ D sao cho f( x) = y . Ta ch ứng minh r ằng x là duy nh ất. Th ật v ậy, gi ả s ử còn có x ' ( x'≠ xx , < x ' ch ẳng h ạn) sao cho y= f( x ') , th ế thì x< x ' s ẽ kéo theo fx( ) < fx( ') vì hàm s ố đồ ng bi ến, do đó fx( ) ≠ fx( ') ; điều này mâu thu ẫn v ới fx( ) = y = fx( ') . V ậy theo định ngh ĩa, hàm s ố y= f( x ) có hàm s ố ng ược. Ch ứng minh t ươ ng t ự trong tr ường h ợp hàm s ố ngh ịch bi ến. 7.4. Đồ th ị c ủa hàm s ố ng ược 7.4.1. Định lý. Trong h ệ tr ục t ọa độ Đề Các vuông góc Oxy , đồ th ị c ủa hai hàm s ố ng ược nhau y= f( x ) và y= f−1 ( x ) đối x ứng nhau qua đường phân giác th ứ nh ất y= x . Ch ứng minh. Gi ả s ử hàm s ố y= f( x ) có t ập xác đị nh là D và t ập giá tr ị là Tf = f( D ), khi đó hàm s ố ng ược có t ập xác đị nh là f( D ) và t ập giá tr ị là D . Gọi M( a; b ) là m ột điểm trên đồ th ị hàm s ố y= f( x ) ta có a∈ Db, = fa( ) ∈ fD( ) . Theo định ngh ĩa c ủa hàm s ố ng ược, n ếu x= b thì f−1 ( b) = a , nên N( b; a ) thu ộc đồ th ị c ủa hàm s ố ng ược y= f−1 ( x ) . Hai điểm M và N là đối x ứng v ới nhau qua đường phân giác th ứ nh ất y= x . Nh ư v ậy m ỗi điểm thu ộc đồ th ị c ủa hàm s ố y= f( x ) đều đố i x ứng v ới m ột điểm thu ộc đồ th ị hàm s ố y= f−1 ( x ) qua đường phân giác th ứ nh ất. Ng ược l ại, ta c ũng th ấy r ằng v ới m ỗi điểm thu ộc đồ th ị c ủa hàm s ố ng ược y= f−1 ( x ) đều đối x ứng v ới m ột điểm thu ộc đồ th ị c ủa hàm s ố y= f( x ) qua đường phân giác th ứ nh ất. Vậy, đồ th ị c ủa hai hàm s ố ng ược nhau đối x ứng v ới nhau qua đường phân giác th ứ nh ất. Chú ý. T ừ tính ch ất c ủa đồ th ị hàm s ố ng ược ta suy ra r ằng đồ th ị c ủa hai hàm s ố ng ược nhau, nếu c ắt nhau thì c ắt nhau trên đường th ẳng y= x . T ừ đó ta có th ể áp d ụng để gi ải các ph ươ ng trình d ạng fx( ) = f−1 ( x ) b ằng cách đưa v ề ph ươ ng trình f( x) = x ho ặc f−1 ( x) = x . Ch ẳng hạn ta xét ví d ụ sau. Ví d ụ. Gi ải ph ươ ng trình x3+−(3 aa 2) = 3.33 xa +−( 2 3 ) a v ới a ∈( − 2;2) . x3+(3 − a 2 ) a Gi ải. Hàm s ố y = luôn đồng bi ến trên ℝ nên có hàm s ố ng ược là 3 13
x3+(3 − a 2 ) a y=3 3 xa +( 2 − 3) a . Hoành độ giao điểm c ủa hai đồ th ị y = và 3 x3+(3 − a 2 ) a y=3 3 xa +( 2 − 3 ) a chính là hoành độ giao điểm c ủa hai đồ th ị y= x và y = . 3 Do đó ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới x3+(3 − a 2 ) a =⇔−+−xx33 x() 3 aa 2 = 0 3 ⇔−−xa3 3 30()() xa −=⇔− xaxaxa()2 ++−= 2 30 x= a  2 ⇔  −a ±12 − 3 a 2 (do a ∈( − 2;2 ) nên 12− 3a > 0 ). x =  2 x3+(3 − a 2 ) a (D ĩ nhiên hai hàm s ố y = và y=3 3 xa +( 2 − 3 ) a không trùng nhau) 3 Bằng ph ươ ng pháp nh ư trên chúng ta có th ể gi ải được ph ươ ng trình x3 +1 = 23 2 x − 1. (1) x3 +1 Th ật v ậy ph ươ ng trình (1) có th ể vi ết được d ưới d ạng =3 2x − 1 2 x3 +1 Hàm s ố y = có hàm s ố ng ược là y=3 2 x − 1 (hai hàm s ố này không trùng nhau), nên 2 x3 +1 −1 ± 5 ph ươ ng trình (1) t ươ ng đươ ng v ới = x , t ừ đó ta được nghi ệm x=1; x = . 2 2 Chú ý. Gi ải ph ươ ng trình (1) có th ể đặ t y=3 2 x − 1 suy ra y3 +1 = 2 x . Khi đó, ph ươ ng trình x3 +1 = 2 y (1) được vi ết thành h ệ ph ươ ng trình  y3 +1 = 2 x Đây là h ệ ph ươ ng trình đối x ứng ta s ẽ nghiên c ứu ở ph ần sau. 8. Các hàm s ố s ơ c ấp c ơ b ản Ta g ọi các hàm s ố sau đây là hàm s ố s ơ c ấp c ơ b ản 8.1. Hàm h ằng: y= a , a ∈ ℝ Hàm h ằng y= a có t ập xác đị nh D = ℝ, tập giá tr ị Ty = { a }. 8.2. Hàm s ố l ũy th ừa: yVIETMATHS.NET= fx () = x α , α∈ ℝ Tập xác đị nh c ủa hàm s ố l ũy th ừa y= x α tùy thu ộc vào α, c ụ th ể ta có: + N ếu α nguyên d ươ ng thì D = ℝ. + N ếu α nguyên âm ho ặc α = 0 thì D = ℝ*. 14
+ N ếu α không nguyên thì D = ℝ+ . Mi ền giá tr ị c ủa hàm s ố l ũy th ừa c ũng tùy thu ộc vào α, chẳng h ạn: 2 · α = 2, ta có y= fx( ) = xT ;f = [0; +∞ ). 3 · α = 3, ta có y= fx() = xT ;f = ℝ . 1 1 · α = , ta có y= fx() = xT2 ; = [0; +∞ ). 2 f 1 1 − · α = − , ta có y= fx() = x3 ; T = ℝ+ . 3 f Chú ý. V ới m ọi α∈ ℝ, đồ th ị c ủa hàm s ố l ũy th ừa y= x α đi qua điểm (1;1). 8.3. Hàm s ố m ũ: y= fx( ) = aax , >≠ 0, a 1 x Hàm s ố m ũ y= a có t ập xác đị nh D = ℝ. Mi ền giá tr ị c ủa hàm s ố m ũ là Tf =(0; +∞ ). + N ếu a >1, thì hàm s ố m ũ đồ ng bi ến trên t ập xác đị nh. + N ếu 0 1 y a> 1 a 1 O 1 x + Đồ th ị c ủa hàm s ố y= ax ,0 < a < 1 0 < a < 1 y 1 a O 1 x 15
8.4. Hàm s ố logarit: yfx=( ) = loga xa , >≠ 0, a 1 Hàm s ố logarit y= log a x có t ập xác đị nh D =(0; +∞ ). Mi ền giá tr ị c ủa hàm s ố logarit là Tf = ℝ. + N ếu a >1, thì hàm s ố logarit đồ ng bi ến trên t ập xác đị nh. + N ếu 0 1 y a > 1 1 O 1 a x + y=loga x ,0 < a < 1 y 1 O a 1 x 0 < a < 1 8.5. Hàm s ố l ượng giác 8.5.1. Hàm s ố y= sin x VIETMATHS.NET và hàm s ố y= cos x Các hàm s ố y= sin x và y= cos x đều có t ập xác đị nh D = ℝ, và mi ền giá tr ị là đoạn [− 1;1]. Các hàm s ố y= sin x và y= cos x đều là hàm s ố tu ần hoàn v ới chu k ỳ T =2 π . 16
π π Hàm s ố y= sin x là hàm s ố l ẻ, đồ ng bi ến trên m ỗi kho ảng (−+k 2; π + k 2), π k ∈ ℤ ; ngh ịch 2 2 π3 π bi ến trên m ỗi kho ảng (+k 2; π + k 2), π k ∈ ℤ . 2 2 Hàm s ố y= cos x là hàm s ố ch ẵn, đồ ng bi ến trên m ỗi kho ảng (−π+k 2;2), π k π k ∈ ℤ ; ngh ịch bi ến trên m ỗi kho ảng (2;kππ+ k 2), π k ∈ ℤ . Đồ th ị c ủa các hàm s ố y= sin x và y= cos x nh ư sau. y 1 y = cos x -2 π 3π -π π π π 3π 2π x - - O 2 2 2 2 -1 y = sin x 8.5.2. Hàm s ố y=tan xy ; = cot x · Hàm s ố y= tan x π  Hàm s ố y= tan x có t ập xác đị nh D=ℝ\ +π∈ k / k ℤ  . 2  Mi ền giá tr ị là ℝ. π π Hàm s ố y= tan x luôn luôn đồng bi ến trên m ỗi kho ảng (− +πk ; +π k ), k ∈ ℤ . 2 2 Hàm s ố y= tan x là hàm s ố l ẻ, và là hàm s ố tu ần hoàn v ới chu k ỳ T = π . Đồ th ị c ủa hàm s ố y= tan x nh ư sau. y x 3π -π π O π π 3π - - 2 2 2 2 · Hàm s ố y= cot x Hàm s ố y= cot x có t ập xác đị nh D=ℝ\{ k π / k ∈ ℤ } . Mi ền giá tr ị là ℝ. Hàm s ố y= cot x luôn luôn ngh ịch bi ến trên m ỗi kho ảng (kππ+ ; k π ), k ∈ ℤ . Hàm s ố y= cot x là hàm s ố l ẻ, và là hàm s ố tu ần hoàn v ới chu k ỳ T = π . Đồ th ị c ủa hàm s ố y= cot x nh ư sau. 17
y x - π O π π 3 π - π 2π 2 2 2 8.6. Hàm s ố l ượng giác ng ược 8.6.1. Hàm s ố y= arcsin x π π Hàm s ố y= arcsin x là hàm s ố ng ược c ủa hàm s ố y= sin x trên đoạn [− ; ]. 2 2 π π Hàm s ố y= arcsin x có t ập xác đị nh là D =[ − 1;1]. Mi ền giá tr ị là [− ; ]. 2 2 Hàm s ố y= arcsin x t ăng trên t ập xác đị nh. Hàm s ố y= arcsin x là hàm s ố l ẻ. Đồ th ị c ủa hàm s ố y= arcsin x nh ư sau. y π 2 -1 O 1 x π - 2 8.6.2. Hàm s ố y= arccos x Hàm s ố y= arccos x là hàm s ố ng ược c ủa hàm s ố y= cos x trên đoạn [0;π ]. Hàm s ố y= arccos x có t ập xác đị nh là D =[ − 1;1]. Mi ền giá tr ị là [0;π ]. Hàm s ố y= arccos x gi ảm trên t ập xác đị nh. Đồ th ị c ủa hàm s ố y= arccos x nh ư sau. y π π VIETMATHS.NET2 -1O 1 x 8.6.3. Hàm s ố y= arctan x 18
π π Hàm s ố y= arctan x là hàm s ố ng ược c ủa hàm s ố y= tan x trên kho ảng (− ; ). 2 2 π π Hàm s ố y= arctan x có t ập xác đị nh là D = ℝ. Mi ền giá tr ị là (− ; ). 2 2 Hàm s ố y= arctan x luôn luôn tăng trên t ập xác đị nh. Hàm s ố y= arctan x là hàm s ố l ẻ. Đồ th ị c ủa hàm s ố y= arctan x nh ư sau. π y π 2 O x π - 2 8.6.4. Hàm s ố y= arccot x Hàm s ố y= arccot x là hàm s ố ng ược c ủa hàm s ố y= cot x trên kho ảng (0;π ). Hàm s ố y= arccot x có t ập xác đị nh là D = ℝ. Mi ền giá tr ị là (0;π ). Hàm s ố y= arccot x luôn luôn gi ảm trên t ập xác đị nh. Hàm s ố y= arccot x là hàm s ố l ẻ. Đồ th ị c ủa hàm s ố y= arccot x nh ư sau. y π π 2 O x Ta g ọi hàm s ố s ơ c ấp là hàm s ố cho b ởi m ột công th ức duy nh ất y= f( x ) v ới f( x ) là tổng, hi ệu, tích, th ươ ng ho ặc là hàm h ợp c ủa m ột s ố h ữu h ạn các hàm s ố s ơ c ấp c ơ b ản. §2. M ỘT S Ố PHÉP BI ẾN ĐỔ I ĐỒ TH Ị 1. Tr ục đố i x ứng, tâm đố i x ứng c ủa đồ th ị Chúng ta đã bi ết đồ th ị hàm s ố ch ẵn nh ận tr ục Oy làm tr ục đố i x ứng, đồ th ị hàm s ố l ẻ nh ận g ốc t ọa độ O làm tâm đối x ứng. Sau đây chúng ta đư a ra d ấu hi ệu cho bi ết đồ th ị c ủa một hàm s ố có tr ục đố i x ứng, tâm đố i x ứng. (Trong ph ần này chúng ta ch ỉ xét tr ục đố i x ứng của đồ th ị hàm s ố, cùng ph ươ ng v ới tr ục tung). 1.1. Định lý. Đồ th ị c ủa hàm s ố y= f( x ) nh ận đường th ẳng ∆ có ph ươ ng trình x = α làm tr ục đố i x ứng khi và ch ỉ khi f(2α − x) = fx( ) v ới m ọi x∈ D . Th ật v ậy, mu ốn cho đường th ẳng ∆ có ph ươ ng trình x = α là tr ục đố i x ứng c ủa đồ th ị y= f( x ) thì ắt có và đủ là n ếu điểm M( x; y ) thu ộc đồ th ị thì điểm M ' đối x ứng v ới điểm M qua ∆ c ũng thu ộc đồ th ị. Ở đây điểm M ' có t ọa độ (2α − x ; y ) , nh ư v ậy v ới m ọi x∈ D 19
ta có f(2α − x) = fx( ) . b Ví d ụ. Đồ th ị hàm s ố y= ax2 ++ bx ca( ≠ 0) nh ận đường th ẳng x = − làm tr ục đố i x ứng 2a b 2 b  vì ta có fxaxbxcax() =2 ++=−−  +−− bx  + c , v ới m ọi x ∈ℝ. a  a  1.2. Định lý. Đồ th ị hàm s ố y= f( x ) nh ận điểm I (α; β ) làm tâm đối x ứng khi và ch ỉ khi f(2α− x) =β− 2 fxxD( ) , ∀∈ . Th ật v ậy, mu ốn cho điểm I (α; β ) là tâm đối x ứng c ủa đồ th ị, ắt có và đủ là n ếu điểm M( x; y ) thu ộc đồ th ị thì điểm M ' đối x ứng v ới nó qua I , t ức là điểm có t ọa độ M'2( α− x ;2 β− y ) c ũng thu ộc đồ th ị, t ức là v ới m ọi x∈ D , ta ph ải có 2β−fx( ) = f( 2 α− x ) . Chú ý. Trong định lý 1.1 cho α = 0 và trong định lý 1.2 cho α = β = 0, ta được k ết qu ả + Đồ th ị c ủa hàm s ố ch ẵn nh ận tr ục tung làm tr ục đố i x ứng. + Đồ th ị hàm s ố l ẻ nh ận g ốc t ọa độ làm tâm đối x ứng. Trong th ực t ế mu ốn ch ứng minh đồ th ị hàm s ố y= f( x ) nh ận đường th ẳng x= x 0 làm tr ục đối x ứng thì ta có th ể làm nh ư sau: x= X + x 0 · D ời h ệ tr ục t ọa độ Oxy v ề h ệ tr ục IXY , v ới I( x 0;0 ) theo công th ức  y= Y · L ập hàm s ố m ới b ằng cách thay x= X + x0 ; yY = vào hàm s ố y= f( x ); · Ch ứng minh hàm s ố m ới Y= g( X ) là hàm s ố ch ẵn để k ết lu ận x= x 0 là tr ục đố i x ứng. Tươ ng t ự nh ư trên, mu ốn ch ứng minh I( x0, y 0 ) là tâm đối x ứng c ủa đồ th ị (C ) c ủa hàm s ố x= X + x y= f( x ) , ta d ời h ệ tr ục t ọa độ Oxy sang h ệ tr ục IXY , b ằng phép đặ t  0 ; y= Y + y 0 Sau đó ch ứng minh hàm s ố m ới Y= g( X ) là hàm s ố l ẻ để k ết lu ận điểm I( x0; y 0 ) là tâm đối xứng c ủa đồ th ị. Ví d ụ 1 . Ch ứng minh đồ th ị c ủa hàm s ố yx=−44 x 3 − 2 x 2 + 12 x − 1 nh ận đường th ẳng x = 1 làm tr ục đố i x ứng. T ừ đó tìm giao điểm c ủa đồ th ị hàm s ố v ới tr ục hoành. x= X + 1 Gi ải. Đặt  y= Y Hàm s ố đã cho tr ở thành VIETMATHS.NET YX=+−144 X +− 12 3 X ++ 112 2 X +− 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔=Y X4 −8 X 2 + 6. Hàm s ố Y= X4 −8 X 2 + 6 là hàm s ố ch ẵn. V ậy đường th ẳng x = 1 là tr ục đố i x ứng c ủa đồ th ị hàm s ố đã cho. 20
Đặt tX=2 ≥ 0⇒ tt 2 − 860 += ⇔=± t 410 ⇒ X1,2=±−4 10, X 3,4 =±+ 4 10⇒ x 1,2=±− 1 410, x 3,4 =±+ 1 4 10. Vậy, có b ốn giao điểm c ủa đồ th ị hàm s ố đã cho v ới tr ục hoành là (1+− 4 10 ;0), (1 −− 4 10 ;0), (1 ++ 4 10 ;0), (1 −+ 4 10;0). Ví d ụ 2 . Ch ứng minh đồ th ị hàm s ố b ậc ba y= fx( ) =+++ ax3 bx 2 cx d( a ≠ 0) nh ận điểm b b   uốn I−; f  −   làm tâm đối x ứng. 3a 3 a   Gi ải. x= X + x 0 b b  Dời h ệ tr ục t ọa độ b ằng phép đặ t  v ới x0=−; y 0 = f  −  . Thay vào y= Y + y 0 3a 3 a  hàm s ố y= f( x ) ta được 3 2 Yy+= aXx()()() ++ bXx + + cXx ++ d 0 0 0 0 3 2 ⇔=Y aX +()3 ax0 + 2 bx 0 + c X . Hàm này là hàm s ố l ẻ nên đồ th ị nh ận I làm tâm đối x ứng. Nh ư v ậy, đồ th ị hàm s ố b ậc ba y= fx( ) =+++ ax3 bx 2 cx d( a ≠ 0) nh ận điểm u ốn làm tâm đối x ứng. Ta c ũng có k ết qu ả: Đồ th ị c ủa các hàm s ố ax+ b y=, c ≠ 0; adbc −≠ 0 ; cx+ d ax2 + bx + c y=( a . d ≠ 0, mẫu và t ử không có nghi ệm chung) dx+ e nh ận giao điểm c ủa hai đường ti ệm c ận làm tâm đối x ứng. Ví d ụ 3 . Cho hàm s ố yx=++4( m 3) x 3 + 2( mx + 1) 2 . Tìm m để đồ th ị c ủa hàm s ố có tr ục đố i x ứng cùng ph ươ ng v ới tr ục tung. Gi ải. Gi ả s ử x = α là tr ục đố i x ứng c ủa đồ th ị hàm s ố đã cho. Đặt x= X + α . Khi đó yX=4 +α++(4 mX 3) 3 +α+α++ [6 2 3 ( m 3) 2( mX + 1)] 2 +α+α[43 3( 2 m ++α 3)4( mX + 1)] +α+4 ( m +α+ 3) 3 2( m +α 1) 2 ph ải là hàm s ố ch ẵn. Điều này t ươ ng đươ ng v ới 4α+m + 3 = 0 (1)  4α+α3 3 2 (m + 3) +α 4( m += 1) 0(2) 21
α = 0⇒ m = − 3 Thay (1) vào (2) ta được −8 α ( α + 1)2 = 0 ⇔  α = − 1⇒ m = 1. 2. Phép đối x ứng qua tr ục t ọa độ 2.1. Định lý. Đồ th ị c ủa các hàm s ố y= f( x ) và y= − f( x ) đối x ứng nhau qua tr ục hoành. Ch ứng minh. V ới m ỗi giá tr ị c ủa x∈ D thì các hàm s ố y= f( x ) và y= − f( x ) cho ta hai giá tr ị đố i nhau c ủa y, do đó đồ th ị c ủa chúng đố i x ứng nhau qua tr ục hoành. 2.2. Định lý. Đồ th ị c ủa các hàm s ố y= f( x ) và y= f( − x ) đối x ứng nhau qua tr ục tung. Ch ứng minh t ươ ng t ự nh ư định lý 2.1. 3. Phép t ịnh ti ến song song v ới tr ục tung 3.1. Định lý. Đồ th ị c ủa hàm s ố y= fx( ) + by( = fx( ) − b), b > 0 suy ra t ừ đồ thị y= f( x ) b ằng m ột phép t ịnh ti ến theo vect ơ Oy(− Oy ) m ột đoạn b ằng b. Ch ứng minh. Th ật v ậy, g ọi O′ XY là h ệ tr ục m ới suy ra t ừ h ệ tr ục Oxy b ằng một phép t ịnh ti ến song song v ới tr ục tung v ề phía trên m ột đoạn OO′ = b . Công th ức đổ i h ệ tr ục t ọa độ là x= X  y= Y + b . Bằng phép t ịnh ti ến đồ th ị y= f( x ) v ới b đơ n v ị theo vect ơ Oy , ta thu được đồ th ị c ủa hàm số y= f( x ) xét theo h ệ tr ục m ới, t ức c ũng là đồ th ị c ủa hàm s ố y= fx( ) + b . Tr ường h ợp đố i v ới hàm s ố y= fx( ) − b , ch ứng minh t ươ ng t ự. Ví d ụ 1. Từ đồ th ị hàm s ố y= x suy ra đồ th ị hàm s ố y= x + 2 b ằng phép t ịnh ti ến theo vect ơ Oy 2 đơ n v ị. Ví d ụ 2. Đồ th ị c ủa hàm s ố y= x 2 + 3 thu được t ừ parabol y= x 2 b ằng cách t ịnh ti ến 3 đơn vị theo vect ơ Oy . 4. Phép t ịnh ti ến song song v ới tr ục hoành 4.1. Định lý. Đồ th ị hàm s ố y=+ fxa( ) ( y =− fxa( )), a > 0 suy được t ừ đồ th ị hàm s ố y= f( x ) b ằng phép t ịnh ti ến theo vect ơ −Ox( Ox ) m ột đoạn b ằng a. Ch ứng minh t ươ ng t ự nh ư định lý 3.1. 2 Ch ẳng h ạn đồ th ị c ủa hàm s ố y=() x − 2 thu được t ừ phép t ịnh ti ến parabol y= x 2 theo vect ơ Ox (sang bên ph ải) m ột đoạn b ằng 2. VIETMATHS.NET Nếu t ịnh ti ến parabol y= x 2 theo vect ơ −Ox (sang bên trái) 2 đơ n v ị ta thu được đồ th ị hàm 2 số y=() x + 2 . Chú ý. Ngoài phép t ịnh ti ến theo các tr ục t ọa độ ng ười ta còn đư a ra phép t ịnh ti ến theo vect ơ v ≠ 0. 22
Từ đồ th ị hàm s ố y= f( x ), t ịnh ti ến theo vect ơ v= ( a; b ) thì được đồ th ị hàm s ố y= fxa( −) + b . Ví d ụ 1. Từ đồ th ị hàm s ố y= fx( ) = x 2 suy ra đồ th ị hàm s ố y= x2 −2 x − 3 bằng phép t ịnh ti ến theo véc t ơ v =(1; − 4). 2 Th ật v ậy, ta có yxx=−−=22 3( xx 2 −+−=− 2 1)4() x 1 −= 4 fx ( −− 1)4. Đồ th ị c ủa các hàm s ố y= fx( ) = x 2 và y= x2 −2 x − 3 v ẽ trên cùng m ột h ệ tr ục t ọa độ nh ư sau. y -1 O 1 3 x -3 -4 x2 +2 x + 2 Ví d ụ 2. Tịnh ti ến đồ th ị hàm s ố y= f( x ) = theo véc t ơ v =( − 2;3) ta thu được đồ x +1 x2 +9 x + 19 th ị c ủa hàm s ố y = . x + 3 x2 +2 x + 2 Th ật v ậy, theo chú ý trên, thì t ịnh ti ến đồ th ị c ủa hàm s ố y= f( x ) = , theo véc t ơ x +1 v =( − 2;3) ta thu được đồ th ị c ủa hàm s ố (x+ 2)2 + 2( x ++ 2) 2 y=++= f( x 2) 3 + 3 (x + 2) + 1 xx2 +++++44242 x xx2 ++ 610 = +=3 + 3 x+3 x + 3 x2 +6 x + 10 + 3( x + 3) = x + 3 x2 +6 x + 10 + 3 x + 9 = x + 3 x2 +9 x + 19 = . x + 3 5. M ột s ố ví d ụ Ví d ụ 1. Cho hàm s ố yfx=( ) = x3 − 3 x a) Hãy d ựng đồ th ị c ủa hàm s ố đã cho; b) T ừ đồ th ị hàm s ố yfx=( ) = x3 − 3 x , hãy suy ra các đồ th ị sau đây, ch ỉ ra các phép bi ến đổi. 23
iy)= x3 − 32; x + iiy)= x3 − 3 x 2 ; iiiy)= − x3 + 3 x . Gi ải. a) Kh ảo sát hàm s ố yfx=( ) = x3 − 3 x , ta được đồ th ị c ủa hàm s ố yfx=( ) = x3 − 3 x nh ư sau y 2 1 -1 O x -2 b) i) T ừ đồ th ị hàm s ố yfx=( ) = x3 − 3 x , suy ra đồ th ị y= x3 −3 x + 2 b ằng phép t ịnh ti ến theo Oy 2 đơ n v ị. Đồ th ị y= x3 −3 x + 2 nh ư sau y 4 1 -1 O x ii) Ta có yxxx=−33 2 =−−()() 13123 x −− =f() x −1 − 2. Do đó để có đồ th ị y= x3 − 3 x 2 ta th ực hi ện hai b ước: + B ước 1: T ịnh ti ến đồ th ị hàm s ố y= f( x ) theo Ox 1 đơ n v ị ta được đồ th ị(C1 ) 3 2 + B ước 2: T ịnh ti ến (C1 ) theo −Oy 2 đơ n v ị ta được đồ th ị hàm s ố y= x − 3 x . Hay nói cách khác, để có đồVIETMATHS.NET th ị hàm s ố y= x3 − 3 x 2 ta t ịnh ti ến đồ th ị y= f( x ) theo vect ơ v =(1; − 2) . Đồ th ị hàm s ố y= x3 − 3 x 2 nh ư sau 24
y 1 2 O x -2 -4 iii) Đối x ứng qua Ox đồ th ị y= f( x ) ta được đồ th ị y= − x3 + 3 x , ho ặc là đối x ứng qua tr ục tung đồ th ị y= f( x ) ta c ũng được đồ th ị y= − x3 + 3 x . Đồ th ị hàm s ố y= − x3 + 3 x nh ư sau y 2 -1 O 1 x -2 Ví d ụ 2. Xác định phép t ịnh ti ến đồ th ị y= x3 − 3 x 2 theo vect ơ v= ( a; b ) để được đồ th ị y= x3 + 3 x 2 . Gi ải. T ừ đồ th ị y= x3 − 3 x 2 t ịnh ti ến theo vect ơ v= ( a; b ) được đồ th ị y= x3 + 3 x 2 khi và ch ỉ khi 3 2 x3+3 x 2 =−()() xa − 3 xa − +∀ bx , ⇔+=−+x3233 xx 3132() a x 22 +() a + axa −−+∀ 32 3, abx 3= − 3(a + 1 )  a = − 2 ⇔0 = 3()a2 + 2 a ⇔   b = 4 3 2 0=−a − 3 a + b Vậy, t ịnh ti ến đồ th ị y= x3 − 3 x 2 theo vect ơ v =( − 2;4 ) được đồ th ị y= x3 + 3 x 2 . 6. Đồ th ị c ủa m ột s ố hàm s ố ch ứa d ấu giá tr ị tuy ệt đố i 6.1. Đồ th ị hàm s ố y= f( x )  fx( ); fx( ) ≥ 0 Ta có y= f() x =  −fx()(); fx < 0 25
Do đó đồ th ị c ủa hàm s ố y= f( x ) g ồm + Ph ần t ừ tr ục hoành tr ở lên c ủa đồ th ị hàm s ố y= f( x ) ; + Đối x ứng ph ần đồ th ị hàm s ố y= f( x ) phía d ưới tr ục hoành qua tr ục hoành. 6.2. Đồ th ị hàm s ố y= f( x ) Th ấy ngay y= f( x ) là hàm s ố ch ẵn nên đồ th ị có tr ục đố i x ứng là Oy . V ới x ≥ 0 thì y= fx( ) = fx( ). V ậy đồ th ị g ồm hai ph ần + Ph ần bên ph ải Oy c ủa đồ th ị y= f( x ) ; + Đối x ứng ph ần trên qua Oy . 6.3. Đồ th ị hàm s ố y= ux( ) . vx( ) uxvx( ).( ) ; ux( ) ≥ 0 Ta có y= ux() . vx() =  −uxvx()()(). ; ux <0 Do đó ta v ẽ đồ th ị y= fx( ) = uxvx( ). ( ) và t ừ đó đồ th ị y= ux( ) . vx( ) g ồm + Ph ần đồ th ị y= f( x ) trên mi ền u( x ) ≥ 0. + Đối x ứng ph ần đồ th ị y= f( x ) trên mi ền u( x ) < 0 qua tr ục hoành. 6.4. T ừ đồ th ị hàm s ố y= f( x ) suy ra đường bi ểu di ễn y= f( x ), ( ζ ) Ta có nh ận xét: Giả s ử điểm ( x0; y 0 ) thu ộc (ζ) thì ( x0;− y 0 ) c ũng thu ộc (ζ). Vậy, (ζ) có tr ục đố i x ứng là Ox . V ới y ≥ 0 thì y= fx( ) ⇔ yfx = ( ). Do đó (ζ) g ồm hai ph ần + Ph ần đồ th ị t ừ tr ục hoành tr ở lên c ủa đồ th ị y= f( x ) + Đối x ứng ph ần trên qua tr ục hoành để được ph ần còn l ại. x2 − x − 1 Ví d ụ. Cho hàm s ố y= f( x ) = x − 2 a) D ựng đồ th ị c ủa hàm s ố đã cho; x2 − x − 1 b) T ừ đồ th ị hàm s ố y= f( x ) = , hãy v ẽ các đường sau x − 2 x2 − x − 1 x2 − x VIETMATHS.NET − 1 x2 − x − 1 x2 − x − 1 y = ; y = ; y = ; y = . x − 2 x − 2 x − 2 x − 2 Gi ải. a) Đồ th ị c ủa hàm s ố đã cho nh ư sau. 26
y 5 1 O 1 3 x  x2 − x − 1 2  ;x > 2 x− x − 1  x − 2 b) · Ta có y = =  x − 2  x2 − x − 1 −;x 2; + Đối x ứng ph ần đồ th ị y= f( x ) trên mi ền x < 2 qua tr ục hoành. x2 − x − 1 Đồ th ị hàm s ố y = nh ư sau. x − 2 y 5 O 1 3 x -1  x2 − x − 1 2  ;f ()0 x ≥ x− x − 1  x − 2 · Ta có y = =  x − 2  x2 − x − 1 −;f () x < 0  x − 2 x2 − x − 1 Đồ th ị hàm s ố y = g ồm hai ph ần. x − 2 + Ph ần t ừ tr ục hoành tr ở lên c ủa đồ th ị hàm s ố y= f( x ) ; + Đối x ứng ph ần đồ th ị hàm s ố y= f( x ) phía d ưới tr ục hoành qua tr ục hoành. 27
x2 − x − 1 Đồ th ị hàm s ố y = nh ư sau. x − 2 y 5 1 O 1 3 x · Ta có y= f( x ) là hàm s ố ch ẵn nên đồ th ị có tr ục đố i x ứng là Oy . Với x ≥ 0 thì y= fx( ) = fx( ). V ậy đồ th ị g ồm hai ph ần. + Ph ần bên ph ải Oy c ủa đồ th ị y= f( x ) ; + Đối x ứng ph ần trên qua Oy . x2 − x − 1 Đồ th ị hàm s ố y = nh ư sau x − 2 y 5 1 -3 -1 O1 3 x · Gi ả sử đường bi ểu di ễn y= f( x ) là (ζ). Ta có nh ận xét sau đây: Nếu điểm ( x0; y 0 ) thu ộc (ζ) thì ( x0;− y 0 ) c ũng thu ộc (ζ). V ậy (ζ) có tr ục đố i x ứng là Ox . Với y ≥ 0 thì y= fx( ) ⇔ yfx = ( ). Do đó (ζ) g ồm hai ph ần. + Ph ần đồ th ị t ừ tr ục hoành tr ở lên c ủa đồ th ị y= f( x ) ; + Đối x ứng ph ần trênVIETMATHS.NET qua tr ục hoành để được ph ần còn l ại. Chúng ta chú ý r ằng, (ζ) không ph ải là đồ th ị c ủa m ột hàm s ố, vì y= f( x ) không ph ải là một hàm s ố. Đường bi ểu di ễn y= f( x ) nh ư sau. 28
y 5 1 O 1 3 x -1 -5 §3. GIÁ TR Ị L ỚN NH ẤT VÀ GIÁ TR Ị NH Ỏ NH ẤT C ỦA HÀM S Ố 1. Định ngh ĩa Cho hàm s ố y= f( x ) xác định trên t ập D. a) S ố M được g ọi là giá tr ị l ớn nh ất c ủa hàm s ố y= f( x ) trên t ập D n ếu i)∀ xDfx ∈ :( ) ≤ M ; ii)∃ x0 ∈ Dfx :() 0 = M . Kí hi ệu M= Max f( x ). x∈ D b) S ố m được g ọi là giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố y= f( x ) trên t ập D n ếu i)∀ x ∈ Dfx :( ) ≥ m ; ii)∃ x0 ∈ Dfx :() 0 = m . Kí hi ệu m= Min f( x ). x∈ D 2. M ột s ố ph ươ ng pháp tìm giá tr ị l ớn nh ất, giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố 2.1. Ph ươ ng pháp mi ền giá tr ị Nội dung c ủa ph ươ ng pháp này nh ư sau. + Xem y= f( x ) là ph ươ ng trình đối v ới ẩn x và y là tham s ố; + Tìm điều ki ện c ủa y để ph ươ ng trình y= f( x ) có nghi ệm; + T ừ điều ki ện trên, bi ến đổ i đưa đến d ạng m≤ y ≤ M . Xét d ấu “=” x ảy ra và k ết lu ận Minf() x= m ; Maxf () x = M . 2.2. Ph ươ ng pháp đạo hàm + Kh ảo sát s ự bi ến thiên c ủa hàm s ố y= f( x ) ; + D ựa vào b ảng bi ến thiên để k ết lu ận Maxf(); x Minf (). x Chú ý. Trong tr ường h ợp tìm giá tr ị l ớn nh ất, giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố y= f( x ) trên đoạn [a ; b ], ta có th ể trình bày đơ n gi ản nh ư sau. Bước 1. Tìm f′( x ) và tìm các điểm t ới h ạn x1, x 2 , , x n c ủa f( x ) trên đoạn [a ; b ]; 29
Bước 2. Tính fx( 1), fx( 2 ) , , fx( n ) , fafb( ) , ( ) ; Bước 3. Tìm s ố l ớn nh ất M và s ố nh ỏ nh ất m trong các s ố trên, khi đó M= Maxf( x) ; m = Minf( x ) . xab∈[]; xab ∈ [] ; (N ếu hàm s ố y= f( x ) liên t ục trên đoạn [a ; b ], thì giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm số trên đoạn [a ; b ] bao gi ờ c ũng t ồn t ại). 2.3. Ph ươ ng pháp dùng b ất đẳ ng th ức Dùng b ất đẳ ng th ức quen thu ộc để ch ứng minh f( x) ≤ M ho ặc f( x) ≥ m . Ph ải ch ỉ ra t ồn t ại x0; x 1 ∈ D sao cho f( x0 ) = M , f( x1 ) = m . Khi đó M= Maxf( x) ; m = Minf( x ) . xab∈[]; xab ∈ [] ; Chúng ta s ẽ nghiên c ứu k ỹ v ề b ất đẳ ng th ức trong Chươ ng III, tuy nhiên các b ất đẳ ng th ức quen thu ộc sau đây s ẽ được dùng để tìm giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố. + B ất đẳng th ức Côsi. (Augustin Louis Cauchy,1789 – 1857. Nhà Toán h ọc Pháp). Cho n s ố th ực a1, a 2 , , a n không âm. Th ế thì a+ a + + a 1 2 n ≥ n a. a a n 1 2 n Dấu “ = ” x ảy ra khi và ch ỉ khi a1= a 2 = = a n . + Bất đẳ ng th ức Bunhiacôpski. (Victor Yakovlevich Bunyakovsky, 1804 – 1889. Nhà Toán học Nga). Cho n c ặp s ố th ực (ai ; b i ), i = 1, 2, , n. Th ế thì n2 n n  2  2  ∑abii ≤ ∑ a i  ∑ b i  i=1  i = 1  i = 1  Dấu “ = ” x ảy ra khi và ch ỉ khi t ồn t ại k ∈ℝ sao cho bi= ka i , i = 1, 2, , n. + Bất đẳ ng th ức v ề d ấu giá tr ị tuy ệt đố i. Cho abai, ,i ,= 1,2, , n là các s ố th ực. Th ế thì abab+≤+(*); abab −≤− ( ); aa12 +++≤+++ aaan 12 a n ( ) D ấu “ = ” trong (*) và ( ) xảy ra, khi và ch ỉ khi ab ≥ 0. Dấu “ = ” trong ( ) x ảy ra, khi và ch ỉ khi ai ≥ 0 ho ặc ai ≤0, ∀ i = 1,2, , n . 3. M ột s ố ví d ụ Ví d ụ 1. Tìm giá tr ị l ớn nhVIETMATHS.NETất, giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố x + 1 y = f( x ) = . x2 + x + 1 Gi ải. 30
Tập xác định: D = ℝ . Ta có (xx2 ++− 1) (2 xx + 1)( + 1) −− xx2 2 y' = = (xx22++ 1) ( xx 22 ++ 1) 2 x = 0 y' = 0⇔ − x − 2 x = 0 ⇔  x =− 2 Bảng bi ến thiên x −∞ −2 0 +∞ y' − 0 + 0 − 0 1 y − 1 3 0 Dựa vào b ảng bi ến thiên, ta được 1 Maxf()1; x= Minf () x = − . 3 Ví d ụ 2. Tìm giá tr ị l ớn nh ất, giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố cosx+ 2sin x + 3 y = . 2cosx− sin x + 4 Gi ải. cosx+ 2sin x + 3 Tập xác đị nh c ủa hàm s ố y= f() x = là D = ℝ. 2cosx− sin x + 4 cosx+ 2sin x + 3 Gi ả s ử y thu ộc t ập giá tr ị c ủa hàm s ố đã cho, khi đó y = (1) có nghi ệm 0 0 2cosx− sin x + 4 đối v ới x . (1)⇔( 2y0 − 1) cos xy −+( 0 2) sin x =− 3 4 y 0 . (1) có nghi ệm khi và ch ỉ khi 2 2 2 2 ()()()21yy−++≥− 2 34 yyy ⇔ 1124402 − +≤⇔≤≤ y 2. 00 00011 0 2 Chú ý r ằng luôn t ồn t ại x ∈ℝ sao cho y = 2 và t ồn t ại x ∈ℝ sao cho y = . 0 0 1 0 11 2 Vậy, Maxf()2; x= Minf () x = . 11 Ví d ụ 3. Tìm giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm yfxx=() =+2 − x 2 .   Gi ải. T ập xác đị nh D = − 2; 2  . Ta có 31
x2 − x2 − x y '= 1 − = 2−x2 2 − x 2 y'0= ⇔ x = 1. Hàm s ố có các điểm t ới h ạn là x=1; x = ± 2. f()12;= f( 2) = 2; f ( −=− 2) 2. Vậy, Maxf()2; x= Minf () x = − 2. x∈−[ 2;2] x ∈− [ 2;2] Ví d ụ 4. Tìm giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố y=cos x + sin x . 0≤ cosx ≤ 1 Gi ải. Điều ki ện:  0≤ sinx ≤ 1 Khi đó 1= cos2x + sin 2 x ≤ cos x + sin x . Nh ư v ậy Miny = 1 đạt t ại ch ẳng h ạn x = 0. Mặt khác theo b ất đẳ ng th ức Bunhiacôpski ta có 2 2  yxx=+≤+cos sin 12 1 2 cos xx + sin () () ()  π  =22sinx +  ≤ 22. 4  π π Dấu "= " x ảy ra ch ẳng h ạn t ại x = . V ậy, Maxy = 2 2 đạt t ại x = . 4 4 Ví d ụ 5. Cho ph ươ ng trình 12 33x2− mx + m 2 −+ 4 = 0 (1) m2 3 3 Hãy tìm m để bi ểu th ức A= x1 + x 2 đạt giá tr ị l ớn nh ất, giá tr ị nh ỏ nh ất. V ới x1, x 2 là hai nghi ệm c ủa ph ươ ng trình (1). Gi ải. Ph ươ ng trình đã cho có nghi ệm x1, x 2 khi và ch ỉ khi 12  ∆=' 9m2 − 12 m 2 −+ 4  ≥⇔≤ 0 4 m 2 ≤ 12 m2  −2 3 ≤m ≤− 2 ⇔2 ≤m ≤ 2 3 ⇔  2≤mVIETMATHS.NET ≤ 2 3 3 m 3 Ta có Axx=+=+3 3 ()() xx −3 xxxx +=− . 1 2 12 1212 2 2 m m 3 Xét hàm s ố y= f() m = − trên mi ền D =−23;2 −  ∪ 2;23.  2 2 m    32
1 3 y'=+ > 0, ∀∈ m D , suy ra hàm s ố f( m ) t ăng trong −2 3; − 2  và 2;2 3  . 2 2 m2     1 1 Ta có f()−2 =− < = f () 2 . 4 4 Vậy, khi m = − 2 3 thì A đạt giá tr ị nh ỏ nh ất ; m = 2 3 thì A đạt giá tr ị l ớn nh ất. Ví d ụ 6. Cho hai s ố x, y th ỏa mãn 1 8x2+ y 2 + = 4 . 4x2 Xác định x, y để tích xy đạt giá tr ị nh ỏ nh ất. Gi ải. 221 2 1  22 Ta có 8x++ y2 =⇔ 44 x + 2 −+ 24  () x ++ y 4420 xy −−= xy 4x 4 x  2 1  2 1 ⇔42xy = x −  +() 2 x + y −≥−⇔≥− 22 xy 2x  2 1 1  1 2x=  x=  x = − Dấu “ = ” x ảy ra khi và ch ỉ khi 2x ⇔ 2 ∨  2 −2x = y y= −1  y = 1 1 Vậy, giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa xy là − , đạt được khi và ch ỉ khi 2 1  1  ()x; y = ; − 1  ho ặc ()x; y = − ;1  . 2  2  Ví d ụ 7. Cho ba s ố th ực a, b , c th ỏa mãn a+ b + c ≤ 3 . Tìm giá tr ị l ớn nh ất c ủa a++1 aa2 + 11 b ++ bb 2 + 11 c ++ cc 2 + 1 P = + + . a2+1 b 2 + 1 c 2 + 1 Gi ải. a++1 aa2 + 11 b ++ bb 2 + 11 c ++ cc 2 + 1 Ta có P = + + a2+1 b 2 + 1 c 2 + 1 a+1 b + 1 c + 1 = + + +++a b c . a2+1 b 2 + 1 c 2 + 1 a+1 b + 1 c + 1 Đặt T = + + . a2+1 b 2 + 1 c 2 + 1 x +1 Xét hàm s ố f( x ) = có t ập xác đị nh là D = ℝ . x2 +1 33
x x2 +1 − ( x + 1) x2 +1 1− x f'( x ) =2 = . x +1 (x2+ 1) x 2 + 1 f'()0 x= ⇔ x = 1 . Nh ư v ậy, hàm s ố ch ỉ có m ột điểm t ới h ạn duy nh ất và l ập b ảng bi ến thiên c ủa hàm s ố x +1 f( x ) = ta được hàm s ố đạ t giá tr ị l ớn nh ất t ại x = 1, giá tr ị l ớn nh ất là 2. V ậy, ta có x2 +1 f( x )≤ 2 v ới m ọi x ∈ℝ . a +1 Suy ra ≤ 2 . (1) a2 +1 b +1 ≤ 2 . (2) b2 +1 c +1 ≤ 2 . (3) c2 + 1 Cộng (1), (2) và (3) theo v ế, ta được T ≤ 3 2 (4) Theo gi ả thi ết a+ b + c ≤ 3 (5) Cộng (4) và (5) theo v ế, ta được P ≤3 2 + 3 . Đẳng th ức x ảy ra khi a= b = c = 1. Vậy, MaxP =3 2 + 3 . Ví d ụ 8. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố yfxx=() =+−34 x −++− 1 x 158 x − 1 . Gi ải. Điều ki ện: x ≥1. Ta có fxx() = +−34 x −+ 1 x +− 158 x − 1 =x −−14 x −++ 14 x −− 18 x −+ 116 2 2 =()x −−12 +() x −− 14 =x −−+12 x −− 14 VIETMATHS.NET =x −−+−124 xx −≥ 1 −−+− 124 x −= 12.  x−−12.4 − x −≥ 1 0 2≤x − 1 ≤ 4 f() x =⇔2 ( ) ( ) ⇔  ⇔≤≤5x 17 . x ≥ 1 x ≥1 34
Vậy, Min f( x ) = 2. x∈[5;7] 3y2 − 4 xy Ví d ụ 9. Tìm giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố u = . x2+ y 2 Gi ải. Điều ki ện: x2+ y 2 ≠ 0 . Ta gi ả s ử x ≠0, khi đó, chia t ử và m ẫu c ủa u cho x2 ta được y  2 y 3  − 4 x  x u = . y  2 1+   x  y 3t2 − 4 t Đặt t = , khi đó u = . x 1+ t 2 3t2 − 4 t Gi ả s ử u là m ột giá tr ị b ất kì c ủa hàm s ố u = . Khi đó, t ồn t ại t ∈ℝ sao cho ph ươ ng 0 1+ t 2 2 trình (u0−3) t ++ 4 tu 0 = 0 (*) có nghi ệm t. 3 · u = 3, (*) tr ở thành 4t + 3 = 0 ⇔t = − . Do đó nh ận u = 3. 0 4 0 · u0 ≠ 3, (*) có nghi ệm khi và ch ỉ khi 4−u0( u 0 − 3) ≥ 0 ⇔−u2 +3 u +≥ 4 0 0 0 ⇔−≤1u0 ≤ 4. Do đó, v ới −1 ≤u0 ≤ 4 thì (*) có nghi ệm. T ừ đó suy ra −1 ≤u ≤ 4 với m ọi (x ; y ) th ỏa x2+ y 2 ≠ 0 . Vậy, Minu = − 1 và Maxu = 4. Ví d ụ 10. Tìm giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức px=21 ++ 31 y ++ 41 z + Trong đó x, y , z là ba s ố th ực không âm th ỏa x+ y + z = 4. Gi ải. Áp d ụng b ất đẳ ng th ức Bunhiacôpski cho hai b ộ s ố 1 1 1  (2,3,4);x+ , y + , z +  2 3 4  1 1 1  13 183 Ta có p2 ≤++(234) xyz +++++  = 94 + = 2 3 4  12 4 183 ⇒ p ≤ . 2 Đẳng th ức x ảy ra khi và ch ỉ khi 35
xyz++=4;( xyz , , ≥ 0)   11 1 13  xy + z xyz + + +++ 61  2===3 4 12 =  2 3 4 9 108  17 x =  27  49 ⇔y =  36  217 z =  108 183 Vậy, Maxp = . 2 Mặt khác, ta đặ t a=+=+=+2 xb 1, 3 y 1, z 4 z 1,,, abc ≥ 1. p2=++( abc ) 2222 =+++ a b c 2( abbcca ++ ) (1) Mà abc2++=+ 2 2 32( xyz ++++ )( yz 2) ≥+ 32.411 = (2) Do abc, ,≥ 1⇒ ( ab− 1)( −+− 1) ( bc 1)( −+− 1) ( ca 1)( −≥ 1) 0 ⇔ab ++≥ bc ca2( a ++−= b c ) 3 2 p − 3 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra p2≥+11 2(2 p −⇔ 3) pp 2 − 4 −≥ 5 0⇒ p ≥ 5. Đẳng th ức x ảy ra khi và ch ỉ khi x = 4  y= z = 0. Vậy, Minp = 5. Ví d ụ 11. Tìm giá tr ị l ớn nh ất c ủa bi ểu th ức 1 T=( yz x −+ 1 zx y −+ 2 xy z − 3) xyz Gi ải. Điều ki ện: x≥1, y ≥ 2, z ≥ 3. x−1y − 2 z − 3 Bi ểu th ức được vi ết l ại T = + + x y z Áp d ụng b ất đẳ ng th ức Côsi đối v ới hai s ố không âm (x − 1);1 ta được x−1 + 1 x x−=1 ( x −≤ 1).1 VIETMATHS.NET = 2 2 x −1 1 ⇔ ≤ . x 2 Lập lu ận t ươ ng t ự nh ư trên, ta c ũng có 36
y − 2 1 ≤ y 2 2 z − 3 1 ≤ z 2 3 1 1 1 Nh ư v ậy, ta được T ≤ + + . 2 22 23 Đẳng th ức x ảy ra khi và ch ỉ khi x −1 = 1  x = 2 y −2 = 2  ⇔  y = 4 z −3 = 3  z = 6. x≥1, y ≥ 2, z ≥ 3 1 1 1 Vậy, MaxT = + + . 2 22 23 2.4. Ph ươ ng pháp t ọa độ véc t ơ Ta có các b ất đẳ ng th ức v ề véc t ơ như sau · ab+ ≤ a + b . D ấu đẳ ng th ức x ảy ra khi và ch ỉ khi a, b cùng h ướng. · a− b ≤ ab − . D ấu đẳ ng th ức x ảy ra khi và ch ỉ khi a, b cùng h ướng. · ab.≤ a . b . D ấu đẳng th ức x ảy ra khi và ch ỉ khi a, b cùng ph ươ ng. Ví d ụ 1. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố yfx=() = x2 +++ 22 x x 2 −+ 22 x Gi ải. Ta có xxx2+2 += 2 ( + 1) 2 +>∀∈ 1 0, x ℝ xxx2−2 += 2 ( − 1) 2 +>∀∈ 1 0, x ℝ . Ta vi ết l ại hàm s ố nh ư sau 2 2 yfx=() =() x +++ 112() x −+ 11 2 Trong m ặt ph ẳng t ọa độ Oxy , xét hai véc t ơ ux=+( 1;1), v =− (1 x ;1) Khi đó 2 2 uv+=(2;2), ux =++() 1 1, vx =−+() 1 1 u+ v = 2 2. Áp d ụng b ất đẳ ng th ức uv+ ≤ u + v , ta có 37
yfx=() = x2 +++ 22 x x 2 −+≥ 2222. x Dấu đẳ ng th ức x ảy ra khi và ch ỉ khi hai véc t ơ u, v cùng h ướng. Vì hai véc t ơ u, v có tung độ bằng nhau nên hoành độ cũng ph ải b ằng nhau, nh ư v ậy ta có x+=−11 x ⇔ x = 0. Vậy, Minf() x = 2 2, đạt t ại x = 0. Ví d ụ 2. Tìm giá tr ị lớn nh ất c ủa hàm s ố yfxx=() =++ 17 33 − x Gi ải. Điều ki ện: −17 ≤x ≤ 33. Trong m ặt ph ẳng t ọa độ Oxy , xét hai véc t ơ ux=+( 17; 33 − xv ), = (1;1). Khi đó uvx.=+ 17.1 + 33 −= xfx .1 () u= x +17 + 33 −= x 5 2 v = 2. Áp d ụng b ất đẳ ng th ức: uv.≤ u . v Ta được yfxx=() =++ 17 33 −≤ x 10. Dấu đẳ ng th ức x ảy ra khi và ch ỉ khi hai véc t ơ u, v cùng ph ươ ng. Vì véc t ơ v có hoành độ và tung độ b ằng nhau nên ta ph ải có x+17 = 33 − x ⇔x =8 ∈− [ 17;33]. Vậy, Maxf( x )= 10. x∈[ − 17;33] BÀI T ẬP CH ƯƠ NG I Bài 1. Tìm t ập giá tr ị c ủa hàm s ố 2x − 1 y = . x2 + x + 4 x +1 Bài 2. Cho hàm s ố y = . Tìm các giá tr ị a > 0 để t ập giá tr ị c ủa hàm s ố đã cho ch ứa x2 + a đoạn [0;1]. VIETMATHS.NET Bài 3. Tìm các giá tr ị c ủa m để hàm s ố 1 y = x2 −( m + 1) xm + là hàm s ố ch ẵn. 38
Bài 4. Cho hàm s ố y= f( x ) xác định trên ℝ th ỏa fab(+= ) fa () + fb (),, ∀∈ ab ℝ . Ch ứng minh r ằng 1) f (0)= 0; 2) y= f( x ) là m ột hàm s ố l ẻ. Bài 5. Cho hàm s ố y= f( x ) xác định trên ℝ và là hàm s ố l ẻ, th ỏa f (0)≠ 0. Chứng minh rằng số nghi ệm c ủa ph ươ ng trình f( x )= 0 là m ột s ố ch ẵn. Bài 6. Cho hàm s ố y= f( x ) xác định trên ℝ th ỏa f ( x )≠ 0, ∀ x ∈ ℝ và fxx(12++−= ) fxx ( 12 )2()(),, fxfx 1212 ∀∈ xx ℝ . Ch ứng minh r ằng 1) f (0)= 1; 2) y= f( x ) là m ột hàm s ố ch ẵn. Bài 7. Ch ứng minh các hàm s ố cho sau đây là hàm s ố tu ần hoàn, tìm chu kì (n ếu có) 1) y=cos(2 x + 3); 2) y= sin2 x . Bài 8. Ch ứng minh các hàm s ố cho sau đây không ph ải là m ột hàm s ố tu ần hoàn 1) y= x3 + 2 x 2 ; 2) y= x − 1 ; x 3) y = . x2 −1 Bài 9. Ch ứng minh hàm s ố Đirichlê 1, x ∈ℚ f( x ) =  0,x ∈ℝ \ ℚ là m ột hàm s ố tu ần hoàn nh ưng không có chu k ỳ. x +1 Bài 10. Cho các hàm s ố y= f( x ) = và y= gx() = 2 x − 1 x −1 1) Xác định hàm s ố y= f( fx ( )); 2) Xác định hàm s ố y= fgx( ( )). 1 Bài 11. Cho hàm s ố y= f( x ) = . Kí hi ệu fx( )= ff ( ( x )) , v ới n∈ℕ và n ≥ 2. Xác 1 1− x n n −1 định hàm s ố y= f100 ( x ).  1 1− 2x , x <  2 x−1, x ≥ 1 Bài 12. Cho các hàm s ố y= f( x ) =  và y= g( x ) =  1 1−x , x < 1. 2x− 1, x ≥  2 Xác định các hàm s ố h ợp y= fgx( ( )), y = gfx ( ( )). 39
Bài 13. Cho hàm s ố yfx=() =− 2 1 − x . Tìm hàm s ố ng ược y= f−1( x ) . Bài 14. 1) Hãy xác định véc t ơ v= ( a ; b ), sao cho khi t ịnh ti ến đồ th ị c ủa hàm s ố x2 + x − 3 y = x + 2 theo véc t ơ v ta được đồ th ị c ủa hàm s ố cho trong các tr ường h ợp sau đây x2 − x − 7 a) y = ; x + 2 x2 +7 x + 9 b) y = ; x + 5 x2 +2 x − 4 c) y = . x + 3 x2 + x − 3 2) T ừ đồ th ị c ủa hàm s ố y = , suy ra đồ th ị c ủa các hàm s ố sau b ằng các phép bi ến x + 2 đổi nào ? −x2 − x + 3 a) y = ; x + 2 −x2 + 5 b) y = ; x + 2 1 Bài 15. T ừ đồ th ị c ủa hàm s ố y = , b ằng các phép bi ến đổ i đồ th ị nào để nh ận được đồ th ị x 3x − 7 của hàm s ố y = ? x − 2 Bài 16. Cho hàm s ố x2 −3 x + 1 y = . x − 3 1) D ựng đồ th ị (C) c ủa hàm s ố đã cho; 2) T ừ đồ th ị (C) hãy suy ra đồ th ị c ủa các hàm s ố sau x2 −3 x + 1 a) y = ; x − 3 x2 −3 x + 1 b) y = ; x − 3VIETMATHS.NET x2 −3 x + 1 c) y = ; x − 3 40
x2 −3 x + 1 d) y = . x − 3 Bài 17. Ch ứng minh đồ th ị c ủa hàm s ố 5 y = x2 −4 x + 3 nh ận đường th ẳng x = 2 làm tr ục đố i x ứng. Bài 18. Ch ứng minh đồ th ị c ủa hàm s ố yx=+44 x 3 + 3 x 2 − 2 x có đúng m ột tr ục đố i x ứng cùng ph ươ ng v ới tr ục tung. Bài 19. Ch ứng minh đồ th ị c ủa hàm s ố x2 +4 x − 2 y = x2 +1 không có tâm đối x ứng. Bài 20. Cho hàm s ố y=+ x44 ax 3 − 2 x 2 − 12 ax . Tìm các giá tr ị c ủa a để đồ th ị c ủa hàm s ố đã cho có tr ục đố i x ứng cùng ph ươ ng v ới tr ục Oy . x2+2 mx 2 + m 2 Bài 21. Cho hàm s ố y = có đồ th ị là (C ). x +1 m Tìm m để trên (Cm ) t ồn t ại hai điểm đố i x ứng nhau qua g ốc to ạ độ . Bài 22. Tìm giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa các hàm s ố cho sau đây 1) y =2.33x − 4.3 2 x + 2.3 x trên đoạn [ −1; 1]; π 3π 2) y=cos3 x − 15cos x + 8 trên đoạn [ ; ]; 3 2 3) y= x3 −3 x 2 + 5 trên đoạn [0; 3]. Bài 23. Tìm giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa các hàm s ố cho sau đây x2 3 1) y = 3 trên đoạn [ ; 2]; 2x − 1 4 2) y=(cos x + 1)sin xx , ∈π [0,2 ]. x+ y =2 − a Bài 24. Gi ả s ử (x , y ) là m ột nghi ệm của h ệ ph ươ ng trình  x2+ y 2 + xy = 3. Tìm các giá tr ị c ủa a để bi ểu th ức M= x2 + y 2 − xy đạt giá tr ị l ớn nh ất, giá tr ị nh ỏ nh ất. Bài 25. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố yx=+( 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4). 5 4 1 Bài 26. Cho x>0, y > 0 th ỏa mãn x+ y = . Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức A = + . 4 x4 y Bài 27. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố yx= ++−+1 x 225 x − . 41
Bài 28. Cho hai s ố d ươ ng x, y thay đổi th ỏa mãn điều ki ện x+ y ≥ 4 . Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức 3x2+ 4 y 3 + 2 A = + . 4x y 2 Bài 29. Tìm giá tr ị l ớn nh ất c ủa bi ểu th ức 1 T=( yzx −+ 3 zxy −+ 4 xyz − 5). xyz Bài 30. Xét các s ố d ươ ng x, y , z th ỏa mãn điều ki ện x+ y + z = 1. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức xyz2(+ ) yzx 2 ()( + zxy 2 + ) P = + + . yz zx xy Bài 31. Cho các s ố a, b , c d ươ ng thay đổi th ỏa mãn điều ki ện abc = 1. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức a3 b 3 c 3 A = + + . ()()11++bc()() 11 ++ ca()() 11 ++ ab Bài 32. Cho các s ố a, b , c d ươ ng thay đổi th ỏa mãn điều ki ện a+ b + c ≥ 3. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức a b c A = + + . b c a Bài 33. Cho các s ố x, y , z d ươ ng thay đổi th ỏa mãn điều ki ện x2+ y 2 + z 2 = 1. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức xy yz zx S = + + . z x y Bài 34. Cho các s ố a, b , c d ươ ng thay đổi th ỏa mãn điều ki ện a+ b + c = 1. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức (1+a)( 1 + b)( 1 + c ) A = . ()()()1−a 1 − b 1 − c Bài 35. Cho các s ố a, b , c d ươ ng thay đổi th ỏa mãn điều ki ện a2+ b 2 + c 2 = 3. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức ab2+ bc 2 + ca 2 M = . ()ab+ bc + ca 2 Bài 36. Cho các s ố x, y , z VIETMATHS.NETthay đổi th ỏa mãn điều ki ện ()()()x−12 +− y 2 2 +− z 1 2 = 1. Tìm giá tr ị l ớn nh ất c ủa bi ểu th ức Ax= +2 y + 3 z − 8. Bài 37. Cho các s ố a, b , c d ươ ng thay đổi th ỏa mãn điều ki ện a+ b + c = 1. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức 42
A= ab22 ++ bc 22 ++ ca 22 + . Bài 38. Cho các s ố x, y thay đổi th ỏa mãn điều ki ện x2+ y 2 = 1. Tìm giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức xy+ y 2 A = . 1+ 2x2 + 2 xy Bài 39. Cho x, y , z là các s ố th ực d ương thay đổi. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức x1 y 1   z 1 Px= ++ y ++  z  + . 2yz 2 zx   2 xy Bài 40. Cho x, y , z là các s ố th ực d ươ ng thay đổi th ỏa mãn điều ki ện xyz =1. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức xyz2( +) yzx 2( +) zxy 2 ( + ) P = + + . yy+2 zzzz + 2 xxxx + 2 yy Bài 41. Tìm giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố π  sin x −  4  π  y=, x ∈  ;π  . sinx+ 1 + 2cos 2 x 2  CH ƯƠ NG II. PH ƯƠ NG TRÌNH − H Ệ PH ƯƠ NG TRÌNH §1. CÁC KHÁI NI ỆM C Ơ B ẢN 1. Ph ươ ng trình 1.1. Định ngh ĩa Cho hai hàm s ố c ủa n bi ến th ực x1, x 2 , , x n là fxx(12 ; ; ; xn ), gxx ( 12 ; ; ; x n ). Ta g ọi b ộ n s ố n n th ực (x1 ; x 2 ; ; x n ) ∈ ℝ là m ột điểm trong ℝ . Khi đó các hàm s ố fxx(12 ; ; ; xn ), gxx ( 12 ; ; ; x n ) được xem là các hàm m ột bi ến x trong ℝn. Ta g ọi Ph ươ ng trình ẩn x là m ệnh đề ch ứa bi ến d ạng fx()= gx () (1) trong đó, f( x ) và g( x ) là nh ững bi ểu th ức ch ứa x. Ta g ọi f( x ) là v ế trái, g( x ) là v ế ph ải c ủa ph ươ ng trình (1). N ếu coi f và g là hàm c ủa n bi ến trong không gian ℝ thì (1) là ph ươ ng trình c ủa n ẩn x1, x 2 , , x n . Gi ả s ử f(x) có t ập xác đị nh là D1, g(x) có t ập xác đị nh là D2 thì D= D1 ∩ D 2 g ọi là tập (mi ền) xác đị nh c ủa ph ươ ng trình (1). N ếu xo ∈ D sao cho fx(o ) = gx( o ) là m ột m ệnh đề đúng thì xo được g ọi là m ột nghi ệm của ph ươ ng trình (1). Gi ải ph ươ ng trình (1) là tìm t ất c ả các nghi ệm c ủa nó, t ập h ợp các nghi ệm c ủa ph ươ ng trình kí hi ệu là S. N ếu S = ∅ thì ta nói ph ươ ng trình vô nghi ệm. 43
Chú ý. Trong m ột ph ươ ng trình (m ột ho ặc nhi ều ẩn), ngoài các ch ữ đóng vai trò là các ẩn s ố, còn có th ể có các ch ữ khác được xem nh ư nh ững h ằng s ố và được g ọi là tham s ố. Gi ải và bi ện lu ận ph ươ ng trình ch ứa tham s ố, ngh ĩa là xét xem v ới giá tr ị nào c ủa tham s ố thì ph ươ ng trình vô nghiệm, có nghi ệm và tìm các nghi ệm đó. Ch ẳng h ạn, (m2 +1) x + 5 = 0 và x2 +( m +1) x += 2 0 có th ể được coi là các ph ươ ng trình ẩn x, ch ứa tham s ố m. 1.2. Ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng, ph ươ ng trình h ệ qu ả 1.2.1. Ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng. Hai ph ươ ng trình được g ọi là tươ ng đươ ng với nhau khi chúng có cùng t ập h ợp nghi ệm. Khi hai ph ươ ng trình fx()= gx () ; fx1()= gx 1 () t ươ ng đươ ng với nhau ta dùng kí hi ệu fx()= gx () ⇔ fx1 () = gx 1 (). 6 Ví d ụ. Hai ph ươ ng trình 5 x – 3 = 0 và 2x − = 0 t ươ ng đươ ng v ới nhau vì cùng có nghi ệm 5 3 duy nh ất là x = . 5 Chú ý. N ếu theo đị nh ngh ĩa trên thì hai ph ươ ng trình vô nghi ệm c ũng được coi là t ươ ng đươ ng với nhau vì có cùng t ập h ợp nghi ệm đó là t ập h ợp ∅ . Vì v ậy, cách vi ết sau c ũng coi nh ư là đúng, tuy nhiên trong th ực t ế ít khi g ặp. Ch ẳng h ạn, x2 +=⇔3 0 cos x = 3. Sự t ươ ng đươ ng c ủa hai ph ươ ng trình có tính ch ất ph ản x ạ, đối x ứng, b ắc c ầu. 1.2.2. Ph ươ ng trình h ệ qu ả N ếu m ọi nghi ệm c ủa c ủa ph ươ ng trình fx()= gx () đều là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình fx1()= gx 1 () thì ph ươ ng trình fx1()= gx 1 () được g ọi là ph ươ ng trình h ệ qu ả của ph ươ ng trình fx()= gx () . Ta dùng kí hi ệu fx()= gx ()⇒ fx1 ()= gx 1 (). Ví d ụ. Ph ươ ng trình ( x2 −1)( x + 3) = 0 là ph ươ ng trình h ệ qu ả c ủa ph ươ ng trình x2 −1 = 0. 1.2.3. Các phép bi ến đổ i t ươ ng đươ ng ph ươ ng trình Quá trình gi ải m ột ph ươ ng trình là quá trình bi ến đổ i ph ươ ng trình đó để đi đế n m ột ph ươ ng trình đơ n gi ản h ơn mà ta đã bi ết cách gi ải. N ếu phép bi ến đổ i không làm thay đổi t ập xác định c ủa ph ươ ng trình thì ph ươ ng trình đã cho được bi ến đổ i t ươ ng đương, còn n ếu làm thay đổi t ập xác đị nh c ủa ph ươ ng trình thì có th ể t ập h ợp nghi ệm c ủa ph ươ ng trình đã cho cũng đã b ị thay đổ i. Sau đây ta xét m ột s ố phép bi ến đổ i t ươ ng đươ ng. 1.2.3.1. Định lí. Cho ph ươ ng trình fx()= gx () . N ếu h( x ) có ngh ĩa trong t ập xác đị nh c ủa ph ươ ng trình đã cho thì fx()= gx () ⇔ fx () + hx () = gx () + hx (). (1) Ch ứng minh VIETMATHS.NET Trong (1) ta cho x m ột giá tr ị a nào đó thu ộc t ập xác đị nh c ủa ph ươ ng trình f(x) = g(x) thì ta có fa()= ga () ⇔ fa () + ha () = ga () + ha () là một m ệnh đề đúng. H ệ qu ả 1. Có th ể chuy ển các h ạng t ử t ừ v ế này sang v ế kia c ủa ph ươ ng trình, nh ưng ph ải đổi d ấu c ủa nó. 44
H ệ qu ả 2. M ọi ph ươ ng trình đều có th ể đưa v ề d ạng mà v ế ph ải b ằng không. Do v ậy, ta luôn có th ể kí hi ệu ph ươ ng trình là F(x) = 0. Chú ý. Điều ki ện h(x) có ngh ĩa trong t ập xác đị nh c ủa ph ươ ng trình f(x) = g(x) là điều ki ện đủ nh ưng không c ần. Nói khác đi, n ếu có điều ki ện ấy thì fx()= gx () ⇔ fx () + hx () = gx () + hx () là phép bi ến đổ i t ươ ng đươ ng, còn n ếu không có điều ki ện ấy thì phép biến đổ i trên có th ể tươ ng đươ ng ho ặc có th ể không. Ch ẳng h ạn, ph ươ ng trình x2 =1 và ph ươ ng trình 1 1 x2 + =1 + là t ươ ng đươ ng, nh ưng ph ươ ng trình x2 =1 không t ươ ng đươ ng v ới x−2 x − 2 1 1 ph ươ ng trình x2 + =1 + . x+1 x + 1 1.2.3.2. Định lí. Cho ph ươ ng trình f(x) = g(x). N ếu h(x) có ngh ĩa và khác không trong t ập xác định c ủa ph ươ ng trình đã cho thì fx()= gx () ⇔ fxhx ()() = gxhx ()(). Ch ứng minh t ươ ng t ự nh ư định lí 1.2.3.1. H ệ qu ả. Có th ể nhân hai v ế c ủa m ột ph ươ ng trình v ới m ột s ố khác không tùy ý. Ta c ũng có nh ận xét v ề h(x) t ươ ng t ự nh ư định lí 1.2.3.1. 1.2.3.3. Định lí. N ếu nâng hai v ế c ủa m ột ph ươ ng trình lên m ột l ũy th ừa b ậc l ẻ thì ta được một ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng v ới ph ươ ng trình đã cho. Ch ứng minh. Th ật v ậy, n ếu a là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình f(x) = g(x) t ức là f(a) = g(a) là đúng thì ta có 21k+ 21 k + [ fa()] =[ ga (),] k ∈ ℕ . 21k+ 21 k + Ngh ĩa là a là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình [ fx()] = [ gx ()] . 21k+ 21 k + 21k+ 21 k + Đảo l ại, n ếu a là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình [ fx()] = [ gx () ] thì [ fa()] = [ ga () ] là đẳng th ức đúng. Do đó, f(a) = g(a) c ũng là đẳng th ức đúng hay a là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình f(x) = g(x). Chú ý. Phép bi ến đổ i nâng hai v ế c ủa ph ươ ng trình lên m ột l ũy th ừa b ậc ch ẵn là phép bi ến đổ i hệ qu ả, nó ch ỉ là phép bi ến đổ i t ươ ng đươ ng n ếu hai v ế c ủa ph ươ ng trình đều không âm trên tập xác đị nh. 2k 2 k fxgx()=⇔ ()[ fx ()] =[ gx ()] ,(()0,()0). fx ≥≥ gx N ếu sau m ột phép bi ến đổ i nào đó, t ập xác đị nh c ủa ph ươ ng trình đã cho mở r ộng ra thì tập h ợp nghi ệm c ủa nó c ũng có th ể m ở r ộng ra, khi đó có th ể xu ất hi ện nh ững nghi ệm, ta g ọi là nghi ệm ngo ại lai ( đố i v ới ph ươ ng trình đã cho). Nh ững nghi ệm ngo ại lai đó (n ếu có) là nh ững nghi ệm c ủa ph ươ ng trình sau khi bi ến đổ i và thu ộc vào phần m ở r ộng c ủa t ập xác đị nh. Nếu tập xác đị nh m ở r ộng ra nh ưng không có nghi ệm ngo ại lai thì ph ươ ng trình đã cho và ph ươ ng trình bi ến đổ i v ẫn t ươ ng đươ ng. N ếu sau m ột phép bi ến đổ i nào đó, t ập xác đị nh c ủa ph ươ ng trình đã cho b ị thu h ẹp l ại thì t ập nghi ệm c ủa nó c ũng có th ể b ị thu h ẹp l ại, m ột s ố nghi ệm nào đó có th ể m ất đi. Nh ững nghi ệm m ất đi đó (n ếu có) là nh ững nghi ệm c ủa ph ươ ng trình đã cho nh ưng thu ộc vào ph ần b ị thu h ẹp c ủa t ập xác đị nh. N ếu t ất c ả các giá tr ị c ủa ẩn s ố b ị m ất đi khi t ập xác định b ị thu h ẹp 45
không th ỏa mãn ph ươ ng trình đã cho, thì ph ươ ng trình đã cho và ph ươ ng trình bi ến đổ i v ẫn tươ ng đươ ng. 2. H ệ ph ươ ng trình – Tuy ển ph ươ ng trình 2.1. Định ngh ĩa. Cho m ph ươ ng trình fx1()= gx 1 () fx()= gx () 2 2 fm() x= g m () x (có th ể coi x= ( xx1; 2 ; ; x n ) , khi đó các fxgxii( ), i ( ),= 1,2, , m là nh ững hàm n bi ến). Gi ả s ử m ph ươ ng trình đã cho có t ập xác đị nh l ần l ượt là D1, D 2 , , D m . Ta g ọi hệ m ph ươ ng trình kí hi ệu là  fx1()= gx 1 ()   fx2()= gx 2 () (1)     fm() x= g m () x m D= ∩ D i là t ập xác đị nh c ủa h ệ (1). i=1 M ột giá tr ị a∈ D c ủa bi ến x làm cho t ừng ph ươ ng trình c ủa h ệ (1) đề u tr ở thành đẳng th ức đúng được g ọi là m ột nghi ệm c ủa h ệ (1). Kí hi ệu Si là t ập h ợp nghi ệm c ủa ph ươ ng trình th ứ i m của h ệ (1) thì t ập h ợp nghi ệm c ủa h ệ (1) là S= ∩ S i . Khi S = ∅ ta nói h ệ vô nghi ệm. i=1 2.2. Định ngh ĩa. Ta c ũng g ọi tuy ển c ủa m ph ươ ng trình kí hi ệu là  fx1()= gx 1 ()  fx()= gx ()  2 2 (2)    fm() x= g m () x m T ập xác đị nh c ủa tuy ển ph ươ ng trình (2) c ũng là D= ∩ D i , v ới Di là t ập xác đị nh c ủa i=1 ph ươ ng trình th ứ i. N ếu có m ột giá tr ị a∈ D của x làm cho m ột ph ươ ng trình nào đó c ủa tuy ển ph ươ ng trình (2) tr ở thành đẳng th ức đúng thì a được g ọi là m ột nghi ệm c ủa tuy ển ph ươ ng trình (2). T ập m hợp nghi ệm c ủa tuy ển ph ươ ng trình (2) là S= S , S là t ập hợp nghi ệm c ủa ph ươ ng trình VIETMATHS.NET∪ i i i=1 th ứ i c ủa tuy ển ph ươ ng trình (2). Khái ni ệm t ươ ng đươ ng c ủa h ệ ph ươ ng trình, tuy ển ph ươ ng trình c ũng t ươ ng t ự nh ư ph ươ ng trình. 2.3. Các định lí v ề h ệ ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng 46
2.3.1. Định lí. N ếu Fxx(;12 ; ; xn )= 0 ⇔ xfx 112 = ( ; ; x n ) thì Fxx( ; ; ; x) = 0  xfx = ( ; ; x ) 112n  112 n Fxx(); ; ; x= 0  Ffx (() ; ; xx ; ; ; x ) = 0 212n ⇔  212n 2 n     Fxxm()12; ; ; x n= 0  Ffx m ( 12() ; ; xx nn ; 2 ; ; x ) = 0 2.3.2. Định lí F1=0  F 1 = 0   F=0 nFnF + = 0 2  121 222 F3=⇔0  nFnFnF 131 + 232 + 333 = 0     Fm=0  nFnF11 m +++ 2 m 2 nF mm m = 0 2.4. Định lí v ề tuy ển ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng F1 = 0  F = 0 F. F F = 0 ⇔  2 1 2 m   Fm = 0 §2. PH ƯƠ NG TRÌNH B ẬC NH ẤT, B ẬC HAI M ỘT ẨN 1. Ph ươ ng trình b ậc nh ất m ột ẩn 1.1. Định ngh ĩa. Ph ươ ng trình b ậc nh ất m ột ẩn là ph ươ ng trình ax+= b0, a , b ∈ℝ , a ≠ 0. b Ph ươ ng trình b ậc nh ất có m ột nghi ệm duy nh ất x = − . a 1.2. Gi ải và bi ện lu ận ph ươ ng trình d ạng ax+ b = 0 (1) b · a ≠ 0 , ph ươ ng trình (1) có m ột nghi ệm duy nh ất x = − . a · a=0, b ≠ 0 , ph ươ ng trình (1) vô nghi ệm. · a=0, b = 0 , ph ươ ng trình (1) có nghi ệm tùy ý. Ví d ụ. Gi ải và bi ện lu ận ph ươ ng trình (m2 − mx) = m − 1 (*) Ta xét các tr ường h ợp 1 (i) m2 − m ≠0 ⇔ m ≠ 0 và m ≠ 1 thì ph ươ ng trình (*) có m ột nghi ệm duy nh ất là x = m 2 m =1 (ii) m− m =0 ⇔  m = 0 · m = 0 thì (*) ⇔0x = − 1 , ph ươ ng trình vô nghi ệm. · m = 1 thì (*) ⇔0x = 0 , ph ươ ng trình có nghi ệm tùy ý. 47
Kết lu ận. 1 · N ếu m ≠ 0 và m ≠ 1 thì (*) có nghi ệm là x = . m · N ếu m = 0 thì (*) vô nghi ệm. · N ếu m = 1 thì (*) có nghi ệm tùy ý. 1.3. M ột số ph ươ ng trình qui v ề ph ươ ng trình b ậc nh ất m ột ẩn ax+ b Đó là các ph ươ ng trình d ạng: =0;ax +=+ b cx d ; ax +=+ b cx d . cx+ d ax+ b Khi gi ải ph ươ ng trình d ạng = 0 ta ph ải đặ t điều ki ện cho m ẫu khác không. Để gi ải các cx+ d ph ươ ng trình ax+=+ b cx d; ax +=+ b cx d , ta ph ải kh ử d ấu giá tr ị tuy ệt đố i b ằng đị nh ngh ĩa và tính ch ất c ủa d ấu giá tr ị tuy ệt đố i. A; A ≥ 0 · A =  −A; A < 0  A= B · A= B ⇔   A= − B B ≥ 0  · A= B ⇔ A= B  A= − B Ví d ụ 1. Gi ải và bi ện lu ận ph ươ ng trình x− m x − 2 = (*) x+1 x − 1 Điều ki ện: x ≠ ± 1 Khi đó, (*)⇔− (xmx )( −=− 1) ( x 2)( x + 1) ⇔mx = m + 2 (2) Ta xét các tr ường h ợp m + 2 (i) m ≠ 0 thì (2) có m ột nghi ệm x = . m So sánh v ới điều ki ện: m + 2 · x≠⇔1 ≠⇔+≠⇔≠ 1 m 2 m 20 , luôn th ỏa. m m + 2 · x≠−⇔1 ≠−⇔VIETMATHS.NET 12 mmm +≠− ⇔ ≠− 1. m (ii) m = 0 thì (2)⇔ 0x = 2 , ph ươ ng trình vô nghi ệm. Kết lu ận. 48
m + 2 + Nếu m ≠ 0 và m ≠ − 1 thì (*) có nghi ệm là x = . m + Nếu m = 0 ho ặc m = − 1 thì (*) vô nghi ệm. Ví d ụ 2. Gi ải và bi ện lu ận ph ươ ng trình mx+ m −2 = x + m + 1 (1) Gi ải. mx+ m −=2 x + m + 1 (m−1) x = 3 (1 a ) (1) ⇔  ⇔  mx+ m −2 =−− x m − 1 (mx+ 1) = 1 − 2 m (1 b ) * (m− 1) x = 3 (1 a) 3 · m ≠ 1 thì (1a ) ⇔ x = m −1 · m = 1 thì (1a )⇔ 0 x = 3 , ph ươ ng trình (1 a) vô nghi ệm. * (m+ 1) x = 1 − 2 m (1 b) 1− 2 m · m ≠ − 1 thì (1b ) ⇔ x = m +1 · m = − 1 thì (1b )⇔ 0 x = 3 , ph ươ ng trình (1 b) vô nghi ệm. Kết lu ận. 1 + Nếu m = 1 thì ph ươ ng trình (1) có m ột nghi ệm là x = − . 2 3 + Nếu m = − 1 thì ph ươ ng trình (1) có m ột nghi ệm là x = − . 2 3 1− 2 m + Nếu m ≠ 1 và m ≠ − 1 thì ph ươ ng trình (1) có hai nghi ệm là x = và x = (hai m −1 m +1 nghi ệm không b ằng nhau v ới ∀∈mℝ, m ≠± 1 ). Ví d ụ 3. Tìm m để ph ươ ng trình 3xm− 221 xm + − +x −2 = (1) x−2 x − 2 vô nghi ệm. Gi ải. Điều ki ện: x > 2 Khi đó, (1)⇔ 3xmx −+−= 2 2 x + 2 m − 1 ⇔2x = 3 m + 1 3m + 1 ⇔x = 2 49
3m + 1 Ph ươ ng trình (1) vô nghi ệm khi và ch ỉ khi ≤⇔2314m +≤⇔ m ≤ 1 . 2 Ví d ụ 4. Tìm điều ki ện c ủa tham s ố a, b để ph ươ ng trình ax−1 b ax2 + a + = (1) x−1 x + 1 x 2 − 1 có nghi ệm. Gi ải. Điều ki ện: x ≠ ± 1 Khi đó, (1)⇔ (ax − 1)( x ++ 1) b ( x −= 1) ax2 + a ⇔(ab +− 1) xab =++ 1 (2) · Xét a+ b −1 = 0, khi đó (2) vô nghi ệm, do đó (1) vô nghi ệm. a+ b + 1 · Xét a+ b −1 ≠ 0 , khi đó (2) ⇔x = a+ b − 1 Từ điều ki ện ta ph ải có a+ b + 1  ≠ 1 a+ b − 1 ab++≠+−1 ab 1  11 ≠− ⇔  ⇔  ⇔+≠a b 0 ab++1 ab ++≠−−+ 1 ab 12()0  ab +≠  ≠ − 1 a+ b − 1 Vậy, ph ươ ng trình đã cho có nghi ệm khi và ch ỉ khi a+ b ≠ 0 và a+ b ≠ 1. Ví d ụ 5. Gi ải ph ươ ng trình 3− 2 x − x = 5 (1) 3x+ 2 + x − 2 Gi ải. Khi g ặp bài toán có nhi ều d ấu giá tr ị tuy ệt đố i ta s ẽ gi ải b ằng cách chia kho ảng để xét d ấu. Ta có b ảng xét d ấu sau 2 3 x −∞ − 3 0 2 +∞ x − − + + 2+ 3 x − + + + 3− 2 x + + + −  23+x +−≠ x 20 (1a ) (1) ⇔  VIETMATHS.NET  32−xx −= 523() + xx +− 2 (1b ) Ta gi ải (1b). 2 + Xét x<−,(1) b ⇔− 32 xx +=−− 5(23 xx +− 2) 3 50
23 ⇔9x =− 23 ⇔ x =− (nh ận). 9 2 + Xét −≤ 0 thì ph ươ ng trình (1) có hai nghi ệm phân bi ệt x = . 1,2 2a b Ngoài ra, n ếu đặ t b' = thì ∆' =b ' 2 − ac g ọi là bi ệt th ức thu g ọn c ủa ph ươ ng trình (1). Ta 2 cũng có ba tr ường h ợp sau: i) Nếu ∆' 0 thì ph ươ ng trình (1) có hai nghi ệm phân bi ệt là x = . 1,2 a 2.2. Định lí Viet 51
2 N ếu ph ươ ng trình b ậc hai ax+ bx + c = 0 có nghi ệm x1, x 2 thì b c x+ x = − và x. x = . 1 2 a 1 2 a Đảo l ại n ếu hai s ố x, y th ỏa mãn x + y = S và x.y = P thì x, y là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình bậc hai X2 − SX + P = 0 (*) ( Điều ki ện để (*) có nghi ệm là S2 −4 P ≥ 0). Từ đó, ta có h ệ qu ả sau: c 2.2.1. N ếu a + b + c = 0 thì ph ươ ng trình (1) có m ột nghi ệm b ằng 1 và nghi ệm kia b ằng . a 2.2.2. Nếu a – b + c = 0 thì ph ươ ng trình (1) có m ột nghi ệm b ằng −1 và nghi ệm kia b ằng c − . a 2.3. M ột s ố ví d ụ Ví d ụ 1. Cho ph ươ ng trình x2 −2(1 + 2 mx ) ++ 3 4 m = 0 (1) a) Tìm điều ki ện để ph ươ ng trình có nghi ệm; 3 3 b) Tính bi ểu th ức x1+ x 2 theo m; c) Tìm m để ph ươ ng trình có m ột nghi ệm b ằng ba l ần nghi ệm kia; 2 2 d) Vi ết ph ươ ng trình b ậc hai có nghi ệm là x1 và x2 , trong đó x1, x 2 là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình (1). Gi ải.  2 m ≥ 2 2 a) Ph ươ ng trình (1) có nghi ệm khi và ch ỉ khi ∆ =4m − 2 ≥ 0 ⇔   2 m ≤ −  2 b) Ta có Axx=+=+3 3 xx xx +2 − 3 xx  12()() 12 12 12  Theo định lí Viet ta có: xx12+=+2(1 2 mxx ); 12 . =+ 3 4 m Thay vào ta có: A=+2(1 2 mmm )(162 +− 4 5) x+ x =2(1 + 2 m ) (a)  1 2 c) Ta có x1 x 2 =3 + 4 m (b)  x1= 3 x 2 (c) VIETMATHS.NET1+ 2 m 3+ 6 m Thay (c) vào (a) ta có x = , do đó x = 2 2 1 2 12+m  36 + m  Thay x, x vào (b) ta được  .  = 4m + 3 1 2 2  2  ⇔12m2 + 12 m += 3 16 m + 12 52
⇔12m2 − 4 m −= 9 0 −1 ± 2 7 ⇔m = 6 Kết h ợp v ới điều ki ện ban đầ u (câu a) ta th ấy hai giá tr ị này c ủa m đều th ỏa mãn. 2 2 2   2 d) Sxxxx=+=+−1 2()()() 122 xx 12 = 212 + m  −+ 234 m =28( m2 + 4 m − 1 ) 2 2 2 Pxx=1 2 =()3 + 4 m . 2 Vậy, ph ươ ng trình c ần tìm là: X2−28( mmX 2 +− 41) ++() 34 m = 0. Ví d ụ 2. Gi ải và bi ện lu ận ph ươ ng trình a b + = 2 (1) x− b x − a Gi ải. x≠ a Điều ki ện:  (*) x≠ b (1)⇔axa ( −+ ) bxb ( −− ) 2( xaxb − )( −= ) 0  a+ b x = ⇔x − ab + 2 x − ab +  = 0 ⇔  ()()    2 x= a + b Th ử điều ki ện (*)  a+ b x= ≠ a  2 x= a + b ≠ a  ⇔a ≠ b và  ⇔ab ≠ 0 a+ b x= a + b ≠ b x= ≠ b  2 Bi ện lu ận. a≠ b a+ b · N ếu  thì ph ươ ng trình (1) có nghi ệm là x=; xab = + . Hai nghi ệm này b ằng ab ≠ 0 2 nhau khi a= − b ≠ 0. a≠ b b · N ếu  thì ph ươ ng trình (1) có nghi ệm là x = . a = 0 2 a≠ b a · N ếu  thì ph ươ ng trình (1) có nghi ệm là x = . b = 0 2 · N ếu a≠ b ≠ 0 thì ph ươ ng trình (1) có nghi ệm là x= 2 a . · N ếu a = b = 0 thì ph ươ ng trình (1) vô nghi ệm. Ví d ụ 3. Gi ải và bi ện lu ận ph ươ ng trình 53
1 a− b a + b x + = + (1) x ab+ ab − Gi ải. a≠ ± b Điều ki ện:  . x ≠ 0 ab−+  ab  ab +− ab Ta có ()1⇔−xx  −  =⇔= 0 xx ∨= . ab+−  ab  ab −+ ab Bi ện lu ận. · N ếu a= ± b thì ph ươ ng trình vô nghi ệm. ab− ab + · N ếu a≠ ± b thì ph ươ ng trình có 2 nghi ệm x=, x = . ab+ ab − Ví d ụ 4. Cho hai ph ươ ng trình xxm2−+=0 (1); x 2 −+= 3 xm 0 (2) . Tìm m để ph ươ ng trình (2) có m ột nghi ệm khác không g ấp hai l ần m ột nghi ệm c ủa ph ươ ng trình (1). Gi ải. Gi ả s ử x0 là m ột nghi ệm c ủa ph ươ ng trình (1) và 2x0 là m ột nghi ệm c ủa ph ươ ng trình (2). Khi đó x = 0 x2 − x + m = 0 0  0 0 ⇒ 3x2 − 5 x = 0 ⇒  2 0 0  5 4x− 6 x + m = 0 x0 = 0 0  3 10 ⇒ m=0 ∨ m =− . 9 Với m = 0, thay vào hai ph ươ ng trình đã cho thì không th ỏa, do đó m = 0 b ị lo ại. 10 10 Với m = − , th ấy th ỏa mãn yêu c ầu bài toán. V ậy, giá tr ị c ần tìm là m = − . 9 9 2 2 Ví d ụ 5. Ch ứng minh r ằng n ếu hai ph ươ ng trình x+ pxq11 +=0, x + pxq 22 += 0 có nghi ệm chung thì (qq−+− )(2 p pqpqp )( − )0 = . VIETMATHS.NET1 2 1 22112 Gi ải. Hai ph ươ ng trình có nghi ệm chung khi và ch ỉ khi h ệ ph ươ ng trình x2 + px + q = 0 1 1 có nghi ệm  2 x+ px2 + q 2 = 0 54
 px+ y = − q hay h ệ ph ươ ng trình  1 1 có nghi ệm ( ở đây y= x 2 ) .  px2+ y = − q 2 Ta có D= p1 − p 2 . + N ếu D≠0 ⇔ p1 = p 2 D qq−D pqpq − Khi đó x==x 21; y ==y 2112 Dpp12− D pp 12 − 2 2 Mà yx= ⇒ ( qq1−+− 2 )( ppqpqp 1 22112 )( − )0 =  px1+ y = − q 1 + N ếu D=0 ⇔ p1 = p 2 h ệ  có nghi ệm ⇔q1 = q 2 ,khi đó ta c ũng có  px2+ y = − q 2 2 (qq1−+− 2 )( p 1 pqpqp 22112 )( − )0. = Từ đó, ta có đpcm. Ví d ụ 6. Ch ứng minh r ằng n ếu aa12≥2( b 1 + b 2 ) thì ít nh ất m ột trong hai ph ươ ng trình sau có nghi ệm 2 2 x++= axb110; x + axb 22 += 0. Gi ải. 2 2 ∆+∆=−12112112a4 ba +− 42 b ≥ aa − 4( bb 12 + )0 ≥ ⇒ max (∆ 12 , ∆) ≥ 0 . Ta có đpcm. 2 2 Ví d ụ 7. Gi ả s ử ph ươ ng trình x+ ax + b = 0 có nghi ệm x1, x 2 ; ph ươ ng trình x+ cx + d = 0 có nghi ệm x3, x 4 . Ch ứng minh r ằng 222 2 2(xxxxxxxx1+ 31 )( + 42 )( + 32 )( +=−−− 4 )2( bd )( acbd )( −++ )( acbd )( + ) Gi ải. 2 (xxxx1314134134+ )( +=++ ) x ( xxxxx ) + =−−+ ()() db acx 1 2 (xxxx2324234234+ )( +=++ ) x ( xxxxx ) + =−−+ ()() db acx 2 2 2 ⇒ S=+( xxxxxxxx1 31 )( + 42 )( + 32 )( +=−−− 4 )( bd )( bdacaacb )( +++ )( ) Tươ ng t ự S=−( db )(2 −− dbacc )( + )( ++ acd ) 2 ⇒ 2S=−−− 2( bd )(222 acbd )( −++ )( ac 222 )( bd + ). Ví d ụ 8. Cho ph ươ ng trình x2−(2sin α− 1) x + 6sin 2 α− sin α−= 1 0 (1) a) Tìm α để ph ươ ng trình (1) có nghi ệm; b) G ọi x1, x 2 là hai nghi ệm c ủa ph ươ ng trình (1), tìm giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa 2 2 bi ểu th ức A= x1 + x 2 . 55
Gi ải. a) Ta có 1 1 ycbt ⇔0 ≤∆=− 20sin2 α+⇔− 5 ≤ sin α≤ 2 2 π π5 π 7 π ⇔− +2k π≤α≤ + 2 k π∨ + 2 k π≤α≤ + 2. k π 6 6 6 6 b) Ta có 2 2 A=( xx1 + 2 ) − 2 xx 12 =− 8sin α− 2sin α+= 3 25 1 25 = −2(2sin α+ ) 2 ≤ 8 4 8 25 1 25 A= ⇔sin α=− ⇒ max A = . 8 8 8 Mặt khác 1 1 1 A =−38sin2 α− 2sin α≥− 38. − 2. = 0⇒ minA = 0 đạt được khi sinα = . 4 2 2 2 Ví d ụ 9. Tìm a để các nghi ệm x1, x 2 c ủa ph ươ ng trình x+ ax +1 = 0 th ỏa mãn 2 2 x1 x 2 2+ 2 > 7. x2 x 1 Gi ải. 2 Theo định lý Viet, vì x1, x 2 là hai nghi ệm c ủa ph ươ ng trình x+ ax +1 = 0 nên x1+ x 2 =− axx, 12 = 1. Theo bài ra ta có 2 2 x1 x 2 2+ 2 > 7 x2 x 1 2  2 2 2 (xx12+ )2 − xx 12  − 2 xx 12 ⇔2 2 > 7 x1 x 2 ⇔(a22 − 2) −>⇔ 27 ( a 22 − 2) > 9. Do đó ∆=−≥a240  a 2 ≥ 4  a 2 ≥ 4 ycbt ⇔ ⇔  ⇔  ⇔>|a | 5. (a22−> 2)9VIETMATHS.NET  | a 2 −> 2|3  a 2 −> 23 3. M ột s ố ph ươ ng trình b ậc b ốn có th ể đưa v ề ph ươ ng trình bậc hai m ột ẩn (qua phép đặt ẩn ph ụ) 3.1. Ph ươ ng trình trùng ph ươ ng: ax4+ bx 2 + c = 0, đặt t= x 2 ≥ 0, khi đó ph ươ ng trình đã cho được đưa v ề ph ươ ng trình b ậc hai đố i v ới bi ến t. 56
3.2. Ph ươ ng trình d ạng: (xaxbxcxd+ )( + )( + )( += ) k , v ới a+ b = c + d . Đặt t=( xaxb + )( + ), khi đó ph ươ ng trình đã cho được đưa v ề ph ươ ng trình b ậc hai đố i v ới bi ến t. 4 4 a+ b 3.3. Ph ươ ng trình d ạng: ()()xa+ ++ xb = c . Đặt t= x + , ph ươ ng trình được đưa v ề 2 ph ươ ng trình trùng ph ươ ng ab− ab − 2t4+ 12( ) 22 t + 2( ) 4 = c . 2 2 3.4. Ph ươ ng trình d ạng: ax4+ bx 3 + cx 2 ++= bx a0,( a ≠ 0) (Ph ươ ng trình b ậc b ốn h ồi quy). Chia hai v ế c ủa ph ươ ng trình cho x2 (vì x = 0 không ph ải là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình), 1  1  ph ươ ng trình tr ở thành ax2 +  + bx +  += c 0. x2  x  1 Đặt t= x + , t ≥ 2, ta được ph ươ ng trình b ậc hai theo bi ến t x at2 + bt +− c2 a = 0. Đối v ới ph ươ ng trình d ạng ax4+ bx 3 + cx 2 −+= bx a0,( a ≠ 0) (Ph ươ ng trình b ậc b ốn ph ản h ồi quy), ta c ũng có cách bi ến đổ i nh ư trên v ới phép đặ t 1 t= x − , t ∈ℝ, khi đó ph ươ ng trình đã cho được đư a v ề ph ươ ng trình b ậc hai theo bi ến t x at2 + bt ++ c2 a = 0. Ví d ụ 1. Tìm m để ph ươ ng trình x4−2( m + 1) x 2 + 2 m += 1 0 (1) a) Có b ốn nghi ệm phân bi ệt; b) Có ba nghi ệm phân bi ệt; c) Có hai nghi ệm phân bi ệt. Gi ải. Đặt t= x 2 ≥ 0, ph ươ ng trình (1) tr ở thành t2 −2( m + 1) t + 2 m += 1 0 (2) a) (1) có bốn nghi ệm phân bi ệt khi và ch ỉ khi (2) có hai nghi ệm d ươ ng phân bi ệt   2 2 ∆='()m + 1 − 210 m −> m > 0 m ≠ 0    ⇔S =2( m + 1) > 0 ⇔  m > − 1 ⇔  1    m > − P=210 m + > 1  2  m > −  2 b) (1) có ba nghi ệm phân bi ệt khi và ch ỉ khi (2) có t1=0, t 2 > 0 57
 1 P=2 m + 1 = 0 m = − 1 ⇔ ⇔  2 ⇔=−m S=2( m + 1) > 0 2 m > − 1 c) (1) có hai nghi ệm phân bi ệt khi và ch ỉ khi ho ặc là (2) có nghi ệm kép d ươ ng ho ặc (2) có hai nghi ệm trái d ấu ∆' =m2 = 0 m = 0  ⇔ ⇔  S=2( m + 1) > 0  1  m < − . P=2 m + 1 < 0  2 Ví d ụ 2. Cho ph ươ ng trình (xxxx+ 2)( + 3)( − 4)( ++ 9) 190 = m (1) Tìm m để ph ươ ng trình có nghi ệm x ∈[ − 1;0]. Gi ải. (1) ⇔++(xxxx2 5 6)( 2 +−+ 5 36) 190 = m Đặt txxx=2 +5 ; ∈− [ 1;0]⇒ t ∈ [ − 4;0]. Ta có ph ươ ng trình (tt+ 6)( − 36) + 190 =⇔− mtt2 30 −= 26 m (2) (1) có nghi ệm x ∈[ − 1;0] khi và ch ỉ khi (2) có nghi ệm t ∈[ − 4;0], khi và ch ỉ khi m thu ộc mi ền giá tr ị c ủa hàm s ố ft( )= t2 − 30 t − 26 trên đoạn [− 4;0]. ftt′( )= 2 − 30 =⇔= 0 t 15 ∉− [ 4;0], f′( t )< 0, ∀∈− t [ 4;0] nên hàm s ố ft( )= t2 − 30 t − 26 ngh ịch bi ến do đó có mi ền giá tr ị trên đoạn [− 4;0] là [ff (0); (− 4)]; f ( −= 4) 110, f (0) =− 26. Vậy, giá tr ị m c ần tìm là −26 ≤m ≤ 110. Ví d ụ 3. Cho ph ươ ng trình x4+ mx 3 +2 mx 2 ++= mx 1 0 (1) 1 a) Gi ải ph ươ ng trình khi m = − ; 2 b) Tìm m để ph ươ ng trình có nghi ệm. Gi ải. Do x = 0 không ph ải là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình (1) nên chia hai v ế c ủa ph ươ ng trình (1) cho x2 ≠ 0, ta được 11 1 1 xmxmm2 +++2 . +=⇔+ 0( x2 )()20 + mx ++= m xx2 x 2 x 1 1 Đặt txt= +;2 ≥ ⇒ x2+VIETMATHS.NET = t 2 − 2. x x 2 Khi đó, ph ươ ng trình tr ở thành f( t )=+ t2 mt + 2 m −= 2 0. (2) 1 a) V ới m = − 2 58
t = 2 2 1  (2) ⇔t − t −3 = 0 ⇔  3 2 t = − .  2 1 Ta nh ận t= 2⇒ x+ = 2 ⇔ x = 1. x 1 Vậy, v ới m = − ph ươ ng trình có m ột nghi ệm x = 1. 2 b) Ph ươ ng trình (1) có nghi ệm khi và ch ỉ khi ph ươ ng trình (2) có nghi ệm t ≥ 2. Xét bài toán ng ược “Tìm điều ki ện để ph ươ ng trình đã cho vô nghi ệm”. Ph ươ ng trình (1) vô nghi ệm khi và ch ỉ khi ph ươ ng trình (2) ho ặc vô nghi ệm ho ặc có hai nghi ệm ∈( − 2;2) ∆ 0, af (2) > 0 2> 0, 4m + 2 > 0    S  m −2 < < 2 −2 <− < 2  2  2 1 Vậy, v ới m≤− ∨ m ≥4 + 2 2 thì ph ươ ng trình đã cho có nghi ệm. 2 Ví d ụ 4. Gi ải ph ương trình (x+ 4)( x + 5)( x + 7)( x += 8) 4 Gi ải. Vi ết l ại ph ươ ng trình d ưới d ạng (x2++ 12 x 32)( x 2 ++= 12 x 35) 4 Đặt t= x2 +12 x + 32 ≥− 4, ph ươ ng trình đã cho tr ở thành t = 1 tt(3)4+ = ⇔ tt2 + 340 − = ⇔  t = − 4 x = −6 + 5 Với t = 1, ta có xx2+12 + 32 = 1 ⇔ xx 2 + 12 + 31 = 0 ⇔   x = −6 − 5. Với t = − 4, ta có xx2+12 + 32 =−⇔ 4 xx 2 + 12 + 36 =⇔=− 0 x 6. Vậy, ph ươ ng trình đã cho có ba nghi ệm x=−6; x =− 6 ± 5. Ví d ụ 5. Gi ải ph ươ ng trình (x+ 4)4 ++ ( x 6) 4 = 82 59
Gi ải. Đặt t= x + 5, ph ươ ng trình đã cho tr ở thành t = 4 (tt−++=⇔+ 1)44 ( 1) 82 2 tt 42 12 +=⇔+−=⇔ 2 82 tt 42 6 40 0  t = − 10 Với t = 4, ta có x = − 1. Với t = − 10, ta có x = − 15. Vậy, ph ươ ng trình đã cho có hai nghi ệm x=−1; x =− 15. §3. HỆ PH ƯƠ NG TRÌNH Trong m ục này ta xét m ột s ố h ệ ph ươ ng trình hai ẩn. 1. H ệ g ồm m ột ph ươ ng trình b ậc nh ất và m ột ph ươ ng trình b ậc hai hai ẩn Hệ ph ươ ng trình có d ạng Ax+ By + C = 0  ax2+ bxy + cy 2 +++= dx ey f 0 Ph ươ ng pháp gi ải. Sử d ụng ph ươ ng pháp th ế: Rút x ho ặc y t ừ ph ươ ng trình b ậc nh ất r ồi thay vào ph ươ ng trình bậc hai trong h ệ, ta được m ột ph ươ ng trình m ột ẩn. Gi ải ph ươ ng trình m ột ẩn này, sau đó tìm ẩn còn l ại. Ví d ụ 1. Gi ải h ệ ph ươ ng trình x− y +1 = 0 (1)  6x2− 3 y 2 + 4 x += 30(2) Gi ải. Từ ph ươ ng trình (1) suy ra y= x + 1, thay vào ph ươ ng trình (2) ta được 6x2− 3( x + 1) 2 + 4 x += 3 0 x= 0⇒ y = 1 2  ⇔3x − 2 x = 0 ⇔  2 5 x= ⇒ y = .  3 3 2 5 Vậy, h ệ ph ươ ng trình đã cho có hai nghi ệm là (0;1),( ; ). 3 3 Chú ý. Có th ể dùng ph ươ ng pháp th ế để gi ải nh ững h ệ ph ươ ng trình ph ức t ạp h ơn, mi ễn là có th ể bi ểu th ị được m ột ẩn quaVIETMATHS.NET ẩn kia d ưới d ạng đơ n gi ản. Ta xét một s ố ví d ụ sau. Ví d ụ 2. Gi ải h ệ ph ươ ng trình 2 2 x−4 xy + y = 1(1)  y2 −3 xy = 4 (2) Gi ải. 60
Nh ận xét r ằng n ếu (x ; y ) là nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình thì y ≠ 0. Từ ph ươ ng trình (2), rút x theo y, ta được  y2 = 16 2 y − 4 4 2  x = (3), thay (3) vào (1), ta được 2y− 31 y − 16 = 0 ⇔  1 3y  y2 = − .  2  y= − 4⇒ x = − 1 Ta ch ọn y 2 =16 ⇔   y= 4⇒ x = 1. Vậy, h ệ ph ươ ng trình đã cho có hai nghi ệm là (1;4),(− 1; − 4). Ví d ụ 3. Gi ải h ệ ph ươ ng trình xy2 2 +7 x − 21 y = 18 (1)  xy2− xy +3 y 2 = 0 (2) Gi ải. 18 + Xét y = 0, thay vào h ệ ph ươ ng trình ta được x = . Vậy, h ệ ph ươ ng trình đã cho nh ận 7 18 ( ;0) làm nghi ệm. 7 + Xét y ≠ 0, khi đó (2) t ươ ng đươ ng v ới yxyx(−+ 3)0 y =⇔ xyx −+ 30 y =⇔ xyx =− 3. y Thay xy= x − 3 y vào ph ươ ng trình (1) ta được ()()xy−32 +− 7 xy 21 =⇔− 18 xy 32 +−−= 7( xy 3)180 x−3 y = − 9 ⇔  x−3 y = 2. + V ới x−3 y = − 9, ta có h ệ ph ươ ng trình x−3 y = − 9 x=3 y − 9 x−3 y = − 9 ⇔  ⇔  (vn ) xy = − 9 ()3y− 9 y + 90 = 3y2 − 9 y + 90 = + V ới x−3 y = 2, ta có h ệ ph ươ ng trình x=3 y + 2   −1 + 7 x−3 y = 2 x=3 y + 2 x=3 y + 2   y = ⇔ ⇔  ⇔  2  3 xy = 2 ()3y+ 2 y = 2 3y+ 2 y − 20 =   −1 − 7  y =  3 x=+17  x =− 17   ⇔−+17 ∨  −− 17 y=  y = . 3  3 61
18  −+ 1 7  −− 1 7  Vậy, h ệ ph ươ ng trình đã cho có ba nghi ệm là ;0,1  + 7;  ,1 − 7;  . 7   3  3  2. H ệ ph ươ ng trình đẳng c ấp b ậc hai Hệ ph ươ ng trình đẳng c ấp b ậc hai đố i v ới hai ẩn x, y là h ệ ph ươ ng trình có d ạng ax2+ bxy + cy 2 = d  ax'2+ bxy ' + cy ' 2 = d ' Ph ươ ng pháp gi ải. · Xét xem x = 0 có th ỏa h ệ ph ươ ng trình hay không; · Khi x ≠ 0 , đặt y= kx + Th ế y= kx vào h ệ ph ươ ng trình, kh ử x ta được ph ươ ng trình b ậc hai theo k; + Gi ải tìm k, sau đó tìm (x ; y ). Ví d ụ 1. Gi ải h ệ ph ươ ng trình 3x2+ 2 xy + y 2 = 11 (1)  x2+2 xy + 3 y 2 = 17 (2) Gi ải. y2 =11 · Xét x = 0, h ệ ph ươ ng trình tr ở thành  (vô nghi ệm) 3y2 = 17 · Xét x ≠ 0 , đặt y= kx . Khi đó, h ệ ph ươ ng trình tr ở thành 2 2 2  2 2 3x+ 2 kx + kx = 11  x(3+ 2 k + k ) = 11 (1') ⇔  2 2 2 2 2 x+2 kx + 3 kx = 17 x()1+ 2 k + 3 k = 17 (2') Từ (1’) và (2’) suy ra 17(3++ 2kk2 ) = 11(1 ++ 2 kk 3 2 ) ⇔16k2 − 12 k −= 40 0 ⇔4k2 − 3 k − 10 = 0 k = 2  ⇔ 5 k = − .  4 x = 1  11x2 = 11 x=1 ∨ x =− 1 y = 2 ⇒  + V ới k = 2 ⇔  ⇔  y= 2 x y= 2 x x = − 1 VIETMATHS.NET y = − 2 62
 4 x =  3  2   5 33 x 4 4 y = −  = 11 x= ∨ x =−  5 16 3 3  3 + V ới k = − ⇒ ⇔  ⇔  4 5  5  4 y= − x y= − x x = − 4  4  3   5 y =  3 4 5  45  Vậy, h ệ ph ươ ng trình đã cho có b ốn nghi ệm là ()()1;2;1;2;−− ; −  ; − ;  . 3 3  33  Ví d ụ 2. Gi ải h ệ ph ươ ng trình x3−8 xy = 3 + 2 y  x2−3 = 3( y 2 + 1) Gi ải. Cách 1. Tuy h ệ ph ươ ng trình đã cho không ph ải là h ệ ph ươ ng trình đẳng c ấp b ậc hai nh ưng ta v ẫn có th ể gi ải b ằng ph ươ ng pháp nh ư đã trình bày. x3 −8 x = 0 · Xét y = 0, hệ ph ươ ng trình tr ở thành  (vô nghi ệm) x2 = 6 · Xét y ≠ 0 ta đặt x= ky Thay vào h ệ ph ươ ng trình ta được ky33−=+8 kyy 3 2 y  ky 32 −=+ 82 ky 2 (k3− 1) y 2 = 8 k + 2 (1) ⇔  ⇔  ky22−=+333 y 2  kyy 222 −= 36 (k2− 3) y 2 = 6 (2) k = 0 3 2  Lấy (1) chia cho (2) v ế theo v ế ta được: kk+ −12 k =⇔ 0 k = 3 k = − 4 + V ới k = 0, thay vào (2), ta được −3y2 = 6, hệ ph ươ ng trình vô nghi ệm. x = 3  y2 =1 y=1 ∨ y =− 1 y =1 + V ới k = 3, ta được ⇔  ⇔  x= 3 y x= 3 y x = − 3  y = − 1 63
 6 x = − 4  13   6  6  y = y2 =   13 Với k = − 4, ta được  13 ⇔    6 x= − 4 y x = 4  13   6 y = −  13 66  6 6  Vậy, h ệ ph ươ ng trình đã cho có b ốn nghi ệm là ()()3;1;3;1;4−−− ;  ;4 ; −  . 13 13  13 13  Cách 2. Ta gi ải b ằng ph ươ ng pháp th ế nh ư sau xxyy23−=+8 2  xy 33 −=+ 2(4 xy )  3( xy 33 −=+ ) 6(4 xy ) (1) Ta có ⇔  ⇔  x2−=+3 3( y 2 1)  xy 22 −= 3 6  xy 22 −= 3 6 (2) Th ế (2) vào (1) ta được x = 0 3322 2 2  3(xy−=− )(3)(4 xyxy +⇔ ) xxxy() +− 12 y =⇔= 0 xy 3 x= − 4 y + V ới x = 0, khi đó (2)⇔y2 = − 2, vô nghi ệm. x = 3  y = 1 + V ới x= 3 y , khi đó (2)⇔y2 = 1 ⇒ x = − 3  y = − 1 6  6 x= −4  x = 4 6 13  13 + V ới x= − 4 y , khi đó (2) ⇔y2 = ⇒ ∨  13 6  6 y= y = − 13  13 Vậy, h ệ ph ươ ng trình đã cho có b ốn nghi ệm là 66  6 6  ()()3;1;3;1;4−−− ;  ;4 ; −  . 13 13  13 13  3. H ệ ph ươ ng trình đối x ứng 3.1. H ệ ph ươ ng trình đốVIETMATHS.NETi x ứng lo ại I Ta qui ước g ọi m ột h ệ hai ph ươ ng trình ch ứa hai ẩn x, y là hệ ph ươ ng trình đối x ứng lo ại I, nếu ta thay th ế x b ởi y và y b ởi x thì mỗi ph ươ ng trình c ủa h ệ không thay đổ i. Ph ươ ng pháp gi ải. · Đặt S= x + y , P = xy đư a h ệ ph ươ ng trình v ề h ệ ph ươ ng trình ẩn S và P. 64
· Tìm S, P, khi đó x , y là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình: X2 − SX + P = 0, chú ý ph ải có điều ki ện S2 −4 P ≥ 0 . 3.2. H ệ ph ươ ng trình đối x ứng lo ại II Ta qui ước g ọi m ột h ệ hai ph ươ ng trình ch ứa hai ẩn x , y là hệ ph ươ ng trình đối xứng lo ại II , n ếu tráo đổ i vai trò c ủa x, y cho nhau thì ph ươ ng trình này chuy ển thành ph ươ ng trình kia. Ph ươ ng pháp gi ải. · Tr ừ t ừng v ế các ph ươ ng trình đã cho ta được ph ươ ng trình m ới, đưa ph ươ ng trình này v ề ph ươ ng trình tích. · Ứng v ới t ừng tr ường h ợp x ảy ra, k ết h ợp v ới m ột trong hai ph ươ ng trình c ủa h ệ để có một h ệ ph ươ ng trình con, gi ải h ệ ph ươ ng trình con này. · T ổng h ợp nghi ệm. Ví d ụ 1. Gi ải h ệ ph ươ ng trình x2− xy + y 2 =3( x − y )  x2+ xy + y 2 =7( x − y ) 2 Gi ải. Cách 1. X2+ XYY + 2 =3( XY + ) Đặt x= Xy, = − Y , hệ ph ươ ng trình đã cho tr ở thành  X2− XY += Y 27( X + Y ) 2 Đây là h ệ ph ươ ng trình đối x ứng lo ại I đố i v ới hai ẩn X, Y . Đặt S= X + YP, = XY , điều ki ện S2 −4 P ≥ 0. Ta có h ệ ph ươ ng trình SPS2−=3  SSS 22 +−= 230  SS 2 −= 0 S = 0 S = 1 ⇔  ⇔  ⇔ ho ặc  SPSPS22−=37  =− 2 2  PS =− 2 2 P = 0 P = − 2 S=0  X + Y = 0 · ⇒  ⇔X = Y = 0 , do đó x= y = 0. P=0  XY = 0 S=1  XY += 1  X = 2 X = − 1 · ⇒ ⇔  ho ặc  P=−2  XY =− 2  Y =− 1 Y = 2 x = 2 x = − 1 Do đó,  ho ặc  y =1 y = − 2 Vậy, h ệ ph ươ ng trình đã cho có ba nghi ệm (0;0);(2;1);(− 1; − 2). Cách 2. x2− xy + y 2 =3( x − y ) (1)  x2+ xy + y 2 =7( x − y ) 2 (2) 65
x= 2 y 2 2  Ta có (2)⇔ 2x − 5 xy + 2 y = 0 ⇔ y x =  2 ⇒ 2  y= 0 x = 0 · V ới x= 2 y khi đó (1)⇔y − y = 0 ⇔   y= 1⇒ x = 2 ⇒ y 2 x= 0 y = 0 · V ới x = khi đó (1)⇔x + x = 0 ⇔  2 x= − 1⇒ y = − 2 Vậy, h ệ ph ươ ng trình có ba nghi ệm (0;0);(2;1);(− 1; − 2). Chú ý. B ạn đọ c c ũng có th ể gi ải theo ph ươ ng pháp đối v ới h ệ ph ươ ng trình đẳng c ấp. Ví d ụ 2. Gi ải h ệ ph ươ ng trình x2+ y 2 = 5  x4− xy 22 + y 4 = 13 Gi ải. 2 2 x2+ y 2 = 5 x+ y = 5 x2+ y 2 = 5 Ta có  ⇔2 ⇔  4 22 4 2 2 22 2 2 x− xy + y = 13 ()x+ y −3 xy = 13 x y = 4 Khi đó x2; y 2 là các nghi ệm c ủa ph ươ ng trình X2 −5 X + 4 = 0 ; ph ươ ng trình này có nghi ệm là X1=1; X 2 = 4 . x2+ y 2 = 5 Do đó, h ệ ph ươ ng trình  t ươ ng đươ ng v ới x2 y 2 = 4 x2 =1 x=1 ∨ x =− 1   2  y=4  y =∨=− 2 y 2  ⇔  x2 = 4  x=2 ∨ x =− 2    2 y = 1 y=1 ∨ y =− 1 Vậy, h ệ ph ươ ng trình đã cho có tám nghi ệm là (1;2 ) ; (1;− 2 ); (−1;2 ) ; (−1; − 2 ) ; (2;1 ) ; (2;− 1) ;( − 2;1) ;( −− 2; 1 ) . Ví d ụ 3. Gi ải h ệ ph ươ ng trình  y2 + 2 3y =  x2  x2 + 2 VIETMATHS.NET3x =  y2 Gi ải. 66
 y2 + 2 3y =  x2  (1) x2 + 2 3x =  y2 x > 0 Điều ki ện:  (do v ế ph ải không âm nên v ế trái c ũng không âm) y > 0 xy>>0, 0 xy >> 0, 0   Ta có ()13⇔yx22 =+⇔ y 2  3 xy 22 =+ x 2 2 2  2 2 323xy=+ x xy() x −+−= y x y 0 x>0, y > 0  ⇔3xy2 = x 2 + 2  ()()x− y3 xy ++= x y 0 do x>0, y > 0 suy ra 3xy+ x + y > 0, nên ta được h ệ ph ươ ng trình x>0, y > 0  3xy2= x 2 + 2  x= y x>0, y > 0 x>0, y > 0   ⇔3x3 − x 2 −= 2 0 ⇔()x −13() x2 ++= 2 x 2 0   x= y x= y xy>>0, 0  xy >> 0, 0   x = 1 ⇔x −=1 0 ⇔  x = 1 ⇔    y = 1 x= y  y = 1 Vậy, h ệ ph ươ ng trình đã cho có m ột nghi ệm duy nh ất (1;1) . Ví d ụ 4. Cho h ệ ph ươ ng trình xy+ x2 = m( y − 1)  xy+ y2 = m( x − 1) a) Tìm các giá tr ị c ủa m để h ệ ph ươ ng trình có nghi ệm duy nh ất; b) Gi ải h ệ ph ươ ng trình khi m = − 1. Gi ải. a) Hệ ph ươ ng trình đã cho tươ ng đươ ng v ới 67
x= y  (I) xy+ x2 = my( − 1) xy+ x2 = my( − 1)  2x2 − m ( x − 1) = 0 (*) ⇔  ⇔  x2− y 2 = myx( − ) (x− yx )( ++ y m ) = 0 y= − x − m  (II)  2 m+ m = 0 Ta có h ệ (II) ho ặc vô nghi ệm ho ặc vô s ố nghi ệm. Do đó, mu ốn h ệ ph ươ ng trình đã cho có m ột nghi ệm duy nh ất thì điều ki ện là h ệ (I) có m ột nghiệm duy nh ất đồ ng th ời h ệ (II) vô nghi ệm. Hệ (I) có m ột nghi ệm duy nh ất khi và ch ỉ khi ph ươ ng trình (*) c ủa h ệ (I) có 2 m = 0 ∆ =0 ⇔m − 8 m = 0 ⇔  m = 8 Ta nh ận m = 8 vì khi m = 8 thì h ệ (II) vô nghi ệm. Vậy, m = 8 thì h ệ ph ươ ng trình đã cho có một nghi ệm duy nh ất. b) Khi m = − 1 thì h ệ ph ươ ng trình tr ở thành x = − 1  y = − 1 x= y    1 2 x = 2x+ x − 1 = 0  2  ⇔  y= − x + 1  1  y =   0= 0  2 x= t  ,t ∈ℝ y= − t + 1 Trong m ột s ố tr ường h ợp, ph ươ ng pháp gi ải đã trình bày ở trên không ph ải lúc nào c ũng thu ận l ợi. Ta xét ví d ụ sau. Ví d ụ 5. Gi ải h ệ ph ươ ng trình  2xy 2 x+ = x + y  3x 2 −2 x + 9  2xy y+ = y2 + x  3 2  y−2 y + 9 Gi ải. Nếu tr ừ t ừng v ế c ủa hai ph ươ ng trình c ủa h ệ thì s ẽ khó đi đế n k ết qu ả, ta bi ến đổ i h ệ nh ư sau  2xy 2 x+ = x + y (1)  3 (x − 1)2 + 8 Hệ ph ươ ng trình đã cho tươVIETMATHS.NETng đươ ng v ới  2xy y+ = y2 + x (2)  2  3 (y − 1) + 8 Cộng (1) và (2) theo v ế ta được 68
2xy 2 xy x2+ y 2 = + 3(x−+ 1)2 8 3 ( y −+ 1) 2 8  3 (x − 1)2 + 8 ≥ 2   Ta có nh ận xét  3 (y − 1)2 + 8 ≥ 2  x2+ y 2 ≥ 0  Từ đó suy ra xy ≥ 0. Nh ư v ậy, ta có 2xy 2 xy 22 xy xy x2+= y 2 + ≤+= 2xy 3(x−+ 1)2 8 3 ( y −+ 1) 2 8 2 2 ⇔+≤x2 y 22 xy ⇔− ( xy )0 2 ≤ Nh ư v ậy, x= y . 2 x = 0 2x 2 23 2  Khi đó, (1)⇔ =x ⇔ x ( x − 1) + 8 − 2 = 0 ⇔  3 (x − 1)2 + 8   x = 1 Vậy, xy= =∨0 xy = = 1. Th ử l ại, ta th ấy xy==0, xy == 1 th ỏa h ệ ph ươ ng trình. Vậy, h ệ ph ươ ng trình đã cho có hai nghi ệm (0;0); (1;1). Ví d ụ 6. Gi ải h ệ ph ươ ng trình yx2= 3 −4 x 2 + 7 x (1)  xy2= 3 −4 y 2 + 7 y (2) Gi ải. Tr ừ (1) cho (2) v ế theo v ế ta được yxx2232−=−47 x +−+ xy 3 47 y 2 − y ⇔−y3237 y + yx =− 32 37 x + x ⇔fy( ) = fx ( ) (*) Với ft()= t3 − 3 t 2 + 7. t Ta có fttt'( )= 32 − 6 +> 7 0, ∀∈ t ℝ . Do đó, hàm s ố f( t ) luôn luôn t ăng trên toàn b ộ ℝ. Vì v ậy, (*)⇔x = y . Với x= y , (1) tr ở thành xxx3−5 2 + 7 =⇔= 0 x 0. Th ử l ại ta được x= y = 0 th ỏa h ệ ph ươ ng trình đã cho. Vậy, h ệ ph ươ ng trình có m ột nghi ệm duy nh ất là (0;0). 69
Ví d ụ 7. Ch ứng minh r ằng h ệ ph ươ ng trình sau có đúng hai nghi ệm th ỏa mãn điều ki ện x>0, y > 0.  x y e =100 − (1)  y2 −1  x e y =100 − (2)  2  x −1 Gi ải. x > 0  y > 0 x > 1 Điều ki ện: 2 ⇔  y−1 > 0 y > 1  2 x −1 > 0 Lấy (1) tr ừ cho (2) v ế theo v ế ta được xy x y eex−= y − ⇔− ex =− e y ⇔= fxfy() () xy22−−11 x 2 − 1 y 2 − 1 t Xét hàm đặc tr ưng fte()=t − ,1 t > t 2 −1 1 Khi đó, fte'( )=+t >∀> 0, t 1 (t2− 1) t 2 − 1 Suy ra, hàm s ố f là hàm đồng bi ến v ới m ọi t > 1 Do đó, fx()= fy () ⇔=> xy 1 x x Với x= y , ta được ex=−100 ⇔+ e x −= 100 0 (*) , x > 1 x2−1 x 2 − 1 x Xét hàm s ố g( x )= e x + − 100 , x > 1 x2 −1 1 3x Ta có g'( x ) = e x − và gxe''( )=+x >∀> 0, x 1 3 5 ()x2 −1 ()x2 −1 Suy ra đồ th ị hàm s ố g luôn luôn lõm v ới m ọi x > 1. Mặt khác, lim()gx=+∞ ;lim gx () =+∞ . x→1+ x→+∞ Ngoài ra, g(2) 1; x > 1. VIETMATHS.NET1 2 Vậy, h ệ ph ươ ng trình có đúng hai nghi ệm ( xy11;) ;( xy 22 ; ) th ỏa điều ki ện đã cho. Ví d ụ 8. Cho h ệ ph ươ ng trình 70
2 2 x+ y =2( 1 + a )  2 ()x+ y = 4 Tìm các giá tr ị c ủa a để h ệ ph ươ ng trình có đúng hai nghi ệm. Gi ải. Đặt S=+ x yP, = xyS ;2 −≥ 4 P 0. Khi đó h ệ ph ươ ng trình đã cho tr ở thành S2 −2 P = 2( 1 + a )  S 2 = 4  P=1 − a ⇔  S = ± 2 (x ; y ) là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình  XXa2 −2 +−= 1 0 ( i )  2  X+2 X +−= 1 a 0 () ii (i) có hai nghi ệm là: 1+ a , 1− a (ii ) có hai nghi ệm là: −1 + a , −1 − a Nếu a > 0 thì b ốn giá tr ị này khác nhau và do đó h ệ ph ươ ng trình đã cho có b ốn nghi ệm khác nhau. Nếu a = 0 thì hai nghi ệm c ủa (i) trùng nhau t ại 1 và hai nghi ệm c ủa (ii ) trùng nhau t ại −1, do đó h ệ ph ươ ng trình đã cho có đúng hai nghi ệm (1;1) và (− 1; − 1). Vậy, h ệ ph ươ ng trình đã cho có đúng hai nghi ệm khi và ch ỉ khi a = 0. Ví d ụ 9. Cho h ệ ph ươ ng trình y2= x 3 −4 x 2 + ax  x2= y 3 −4 y 2 + ay Tìm a để h ệ ph ươ ng trình có nghi ệm duy nh ất. Gi ải. Ta th ấy n ếu (x ; y ) là nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình thì (y ; x ) cũng là nghi ệm c ủa h ệ. Vì v ậy, để h ệ ph ươ ng trình có nghi ệm duy nh ất thì x= y . Thay y= x vào h ệ ph ươ ng trình đã cho, ta được x2= x 3 −4 x 2 + ax ⇔xx()2 −+=5 xa 0 x = 0 ⇔  x2 −5 x + a = 0 Do đó, h ệ ph ươ ng trình đã cho có nghi ệm duy nh ất khi ph ươ ng trình x2 −5 x + a = 0 ho ặc có nghi ệm kép b ằng 0 ho ặc vô nghi ệm, tuy nhiên không x ảy ra tr ường h ợp th ứ nh ất. Ph ươ ng trình x2 −5 x + a = 0 vô nghi ệm khi và ch ỉ khi 71
∆=25 − 4a . 4 Tr ừ hai ph ươ ng trình theo t ừng v ế ta được yx22−=−−( xy 33) 4( xy 22 −+) axy( − ) ⇔−x323 x +=− ax y 32 3 y + ay 25 Xét hàm s ố f() t= t3 − 3 t 2 + at , ta có ft′()3= t2 − 6 ta +> 0 khi a > , suy ra hàm s ố 4 25 f( t )= t3 − 3 t 2 + at đồng bi ến khi a > , nh ư v ậy h ệ không có nghi ệm (xy ; ), x≠ y v ới 4 25 25 a > . V ậy, giá tr ị c ần tìm c ủa a là a > . 4 4 4. Gi ải m ột s ố h ệ khác Ví d ụ 1. Gi ải h ệ ph ươ ng trình y2 + xy +− x6 y += 1 0  (1) yx3−8 y 2 + xy 2 += x 0 Gi ải. 2  2 ()xy++1( y + x) = 6 y ()xy++1( y + x) = 6 y (1) ⇔  ⇔  2 2 2 2 y()() xy++1 x xy += 1 9 y ()xy+1() y + x = 9 y Nh ư v ậy, ( xy +1) và ( y2 + x ) có t ổng và tích là 6y và 9y 2 , do đó ta được y2 + x = 3 y (1)  . T ừ (1) ⇒ x=3 y − y 2 thay vào (2) ta được (3yyy−2 ) + 1 = 3 y xy+1 = 3 y (2) 3 ⇔ ()y −1 = 0 ⇔ y = 1 ⇒ x = 2. Vậy, nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình là (2;1). Ví d ụ 2. Gi ải h ệ ph ươ ng trình x2 ++1 yyx ( + )4 = y  (x2 + 1)( yx +− 2) = y Gi ải. Nh ận xét: Khi y = 0, hệ ph ươ ng trình vô nghi ệm. VIETMATHS.NETx2 +1  x 2 + 1 ++=yx4  ++−=() yx 2 2 y  y Với y ≠ 0, h ệ ph ươ ng trình tươ ng đươ ng v ới ⇔  x2 +1  x 2 + 1 (yx+−= 2)1 ( yx +−= 2)1 y  y 72