Giáo trình Cơ học lý thuyết (Phần 2) - Nguyễn Thúc An

pdf

88 trang ngocly 3340

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Cơ học lý thuyết (Phần 2) - Nguyễn Thúc An", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_co_hoc_ly_thuyet_phan_2_nguyen_thuc_an.pdf

Nội dung text: Giáo trình Cơ học lý thuyết (Phần 2) - Nguyễn Thúc An

PH N TH BA: NG L C H C M u 1. ng l c h c là ph n cu i cùng c a giáo trình C h c lý thuy t, nghiên c u chuy n ng c a ch t im và h ch t im c h c (c h ) d ưi tác d ng c a l c. Ch t im là im hình h c mang kh i l ưng, c h là t p h p hai hay nhi u ch t im mà chuy n ng c a ch t im b t k b ràng bu c b i chuy n ng c a các ch t im còn l i thu c c h . V t r n tuy t i là tr ưng h p c bi t c a c h , nó g n vi th c t và có áp d ng nhi u trong k thu t. 2. L c là i l ng o tác d ng c h c c a v t th này lên v t th khác, c c ư uur ư tr ưng b ng i l ưng véct , ký hi u: F . Trong ph n T nh h c ta g p l c không bi n i (l c t nh). Trong ph n ng l c h c, ta g p l c bi n i, ho c ph thu c vào th i gian t (nh ư l c kéo c a u máy, áp l c c a ng c lên n n – móng), ho c ph thu c r vào v trí (nh l c h p d n, l c àn h i c a lò xo), ho c ph thu c vào v n t c (l c r ư uur cn ca môi tr ưng). Nói chung, trong tr ưng hp t ng quát l c F là hàm c a th i gian, v trí, v n t c và ư ng nhiên có th c gia t c. Ta có th bi u th : uur uur r r F= Ftrv(, , ) H l c tác d ng lên c h có hai cách phân lo i: Ho c chia thành n i l c và ngo i lc; ho c chia thành l c ho t ng (l c ch ng) và ph n l c liên k t. - Ni l c là các l c tác d ng t ư ng h gi a các ch t im thu c c h , ký hi u uur i F . Ngo i l c là l c ngoài c h tác d ng lên các ch t im thu c c h kh o sát, ký uur e hi u F . - Ph n l c liên k t là l c c tr ng cho tác d ng c a các v t gây liên k t lên các ư uur ch t im thu c c h kh o sát, ký hi u N . Các l c không ph i là ph n l c liên k t tác uur a dng lên c h kh o sát g i là l c ho t ng, ký hi u F . 3. Nm 1687, I. Niutn xu t b n cu n “Nh ng nguyên lý toán h c c a tri t h c t nhiên”. Công trình này trình bày c s c a C h c c in. Ông ã ưa ra các khái ni m l c, gia t c và ch ng minh r ng chuy n ng c a các hành tinh có th ưc gi i thích b ng t ư ng tác h p d n. S ti p c n ngày càng ch t ch v m t nh l ưng c a c h c ưc ti p t c su t trong các th k XVI – XIX và t o thành Lý thuy t C h c (C h c c in) áp d ng cho m i v t th thông th ưng. 4. Ni dung nghiên c u: 141
Ni dung nghiên c u c a ph n ng l c h c là gi i quy t hai bài toán c b n. a. Bài toán I (bài toán thu n): Cho quy lu t chuy n ng c a ch t im hay c h , xác nh l c tác d ng lên chúng. b. Bài toán II (bài toán ng ưc): Cho l c tác d ng lên ch t im hay c h và các iu ki n ban u c a chuy n ng, xác nh quy lu t chuy n ng c a ch t im hay c h ó. Nh ư s th y rõ trong ch ưng ti p theo, do các l c ưc bi u di n theo hàm s c a v trí, các v n t c, gia t c và th i gian, nên chuy n ng c a ch t im, c h ưc mô t b i m t h ph ư ng trình vi phân c p II. Ta th a nh n r ng: V i các iu ki n ban u (các v trí và v n t c) cho tr ưc thì nghi m là duy nh t. Nh ư v y, nghi m ca các ph ư ng trình vi phân và th a mãn các iu ki n ban u s là nghi m c a bài toán c hc vì tính duy nh t. 142
CH Ư NG I: CÁC NH LU T C B N C A C H C NIUTN - PH Ư NG TRÌNH VI PHÂN CHUY N NG 1.1. Các nh lu t c a c ơ h c Niut ơn 1.1.1. nh lu t 1 (nh lu t quán tính) Ch t im không ch u tác d ng c a l c nào s ng yên ho c chuy n ng th ng u. uur uur uuuuur Nu F = 0 thì V= const Ch t im không ch u b t k m t tác d ng c h c nào ưc g i là cô l p và chuy n ng th ng u c a nó ưc d c tr ưng b i m t véct v n t c không i. T ó có th suy ra: Tr ng thái ng yên hay chuy n ng th ng u c a ch t im g i là chuy n ng theo quán tính c a nó (ch t im cân b ng). Quán tính ây ưc hi u là s c c n l i s bi n i v n t c. Nh ư v y, nh lu t 1 kh ng nh r ng: L c là nguyên nhân phá v tr ng thái cân bng c a ch t im. 1.1.2. nh lu t 2 ( nh lu t c b n c a ng l c h c) Dưi tác d ng c a l c, ch t im chuy n ng có gia t c cùng h ưng v i h ưng ca l c và có l n t l v i l n c a l c. uur uur F= mW (1-1) F = m.W (1-2) uur Trong ó: là gia t c c a ch t i m nh n c d i tác uurW ư ư d ng c a l c ; m là kh i l ng c a ch t i m, là i l ng z F ư ư V dư ng, b t bi n theo th i gian và không ph thu c vào h M quy chi u. W F T nh lu t 2, ta th y: – Lc là nguyên nhân làm cho ch t im chuy n ng có y gia t c. x O – nh lu t ã thi t l p m i quan h nh l ưng gi a các Hình 1-1 i l ưng c b n c a c h c: L c, kh i l ưng và gia t c (m i quan h gi a không gian, th i gian và v t ch t). – Nu tác d ng lên ch t im m t l c có tr s không i, t (1-2) suy ra: Kh i lưng c a ch t im càng l n thì tr s c a gia t c càng nh , ngh a là càng khó thay i v n t c c a nó. T ó cho th y khi l ưng là o quán tính c a ch t im. 143
uur uur uur – Tr ng h p ch t i m ch u tác d ng ng th i m t s l c , , , thì ư ( F1 F 2 F n ) ur có th thay chúng b i h p l c R . H th c (1-1) tr thành: uur ur uurn uur hay (1-3) mW= R mW= ∑ F k k =1 (1-3) g i là ph ươ ng trình c ơ b n c a ng l c h c ch t im d ưi tác d ng c a nhi u lc ng th i. H th c (1-3) là c s thi t l p các ph ư ng trình vi phân chuy n ng, các nh lý t ng quát c a ng l c h c và nh ng nguyên lý c h c sau này. – lân c n b m t trái t, m t v t th có kh i l ng m ph i ch u tác d ng c a ur ư tr ng lc P . Theo h th c (1-1) thì: uur r P= mg (1-4) Trong g n úng b c nh t, tr ng l ưng P b ng tr s c a l c hút trái t tác d ng lên ch t im. L c này g n nh ư ng u trong m t ph m vi mà kho ng cách t i m t t 2 còn nh so v i bán kính trái t. Giá tr c a g x p x g ≈ 9,81 m/s , ưng th ng ng r là ph ư ng c a g . 1.1.3. nh lu t 3 ( nh lut tác d ng và ph n tác d ng) F Lc tác d ng t ươ ng h gi a hai ch t im là hai l c có B F B cùng giá, cùng c ưng và ng ưc chi u nhau” . A Cho hai ch t i m A và B t ng tác v i nhau. Các l c A uuur uuur ư t ng tác và (hình 1-2). ư FA FB Hình 1-2 uuur uuur Ta có h th c: (1-5) FA= − F B uuur uuur uuur uuur H n n a: 0 FA∧ BA = F B ∧ AB = D th y r ng, khác v i nh lu t 1 và nh lu t 2 ch phát bi u cho ch t im, nh lu t 3 phát bi u cho h hai ch t im. Do ó nó là c s nghiên c u ng l c h c c h. 1.2. H quy chi u quán tính và h ơn v c ơ h c 1.2.1. H quy chi u quán tính T nh lu t quán tính ta th y: T n t i m t l p các h quy chi u, mà i v i chúng mt ch t im không ch u tác d ng c a l c nào s chuy n ng th ng u. H quy chi u ó là h quy chi u quán tính (hay h quy chi u Galilê). Các nh lu t c a c h c niutn ch nghi m úng trong h quy chi u quán tính. H quy chi u không th a mãn các iu ki n v a nêu s là h quy chi u không quán tính. H quy chi u quán tính th ưng dùng trong c h c niutn. 144
- H quy chi u Côpecnic (hình 1-3). H quy chi u Côpecnic ưc xác nh nh s d ng h t a Cx cyczc, trong ó C là kh i tâm c a h m t tr i và các tr c Cx c, Cy c, Cz c h ưng v ba ngôi sao xa có th ưc coi là c nh. i vi các ch t im chuy n ng trong h m t tr i, v i chính xác cao, h quy chi u này là h quy chi u quán tính. zC z zC yC yC C y C S x xC C x Hình 1-3 Hình 1-4 - H quy chi u Kêple (hình 1-4). H quy chi u Kêple ưc suy ra t h quy chi u Côpernic nh phép t nh ti n. G c c a nó là kh i tâm S c a m t tr i, các tr c Sx, Sy, Sz ch n song song v i các tr c Cx c, Cy c, Cz c. Th c t C và S r t g n nhau. Sai s trong tính toán gi a hai h quy chi u trên là không áng k . Mt h quy chi u g n v i m t t, khi tính n các chuy n ng quay quanh tr c ca nó và chuy n ng t nh ti n trên qu o c a trái t, không ph i là h quy chi u quán tính. Tuy nhiên v i nh ng tính toán trong th c t v i sai s cho phép, h quy chi u g n v i m t t ưc coi nh ư h quy chi u quán tính. 1.2.2. H th ng ơ n v c ơ h c Trong tính toán k thu t, ta th ưng dùng h n v qu c t SI. n ưc ta ã ban hành h n v o l ưng h p pháp d a vào h n v qu c t SI. Các i l ưng c ơ b n c a C h c là dài, kh i l ưng và th i gian. Các n v c b n t ư ng ng: dài là mét, ký hi u là m; kh i l ưng là kilôgam, ký hi u là kg; th i gian là giây, ký hi u là s. Các i l ưng còn l i là nh ng i l ưng d n xu t. Ch ng h n, lc ưc tính t công th c: F = mW là n v d n xu t. 2 2 2 Nu l y m = 1 kg; W = 1 m/s thì F = mW = 1kg.1m/s = 1 kgms − và g i là 2 1 niut n, ký hi u là N; 1 N = 1 kgm/s . 145
Th nguyên c a các i l ưng c b n là: [ dài] = L; [kh i l ưng] = M; [th i gian] = T khi ó th nguyên c a l c là: 2 [l c] = [kh i l ưng][gia t c] = MLT − 1.3. Ph ơ ng trình vi phân chuy n ng c a ch t im trong h quy chi u quán tính 1.3.1. Dng véct ơ r Gi r là véct xác nh v trí c a ch t im trong h quy chi u quán tính, ta có: r uur d2 r r W= = && r (1-6) dt 2 r uurn uur r 2 n ur T (1-3): , suy ra: && d r (1-7) mW= ∑ F k mr= m2 = ∑ F k k =1 dt k =1 (1-7) là ph ư ng trình vi phân chuy n ng c a ch t im d ng véct . 1.3.2. Dng to a. To các Trong to các vuông góc Oxyz, ph ưng trình (1-7) t ư ng ư ng v i h : 2n 2 n 2 n dx; dy ; dz m2=∑ Xmk 2 = ∑ Ym k 2 = ∑ Z k dtk=1 dt k = 1 dt k = 1 n n n hay &&; && ; && (1-8) mx=∑ Xk my = ∑ Y k mz = ∑ Z k k=1 k = 1 k = 1 ây: x, y, z là t a c a ch t i m trong h Oxyz; X , Y , Z là các thành ph n uur k k k chi u c a l c lên các tr c to Ox, Oy, Oz. Fk (1-8) là ph ư ng trình vi phân chuy n ng c a ch t im d ng to các. b. To t nhiên Nu bi t tr ưc qu o c a ch t im, chi u (1-3) lên h tr c t a t nhiên M τnb, ta có: n n n ; ; mWτ= ∑ F k τ mWn= ∑ F kn mWb= ∑ F kb k =1 k=1 k =1 d2 s V2 s& 2 Theo k t qu c a ph n ng h c: W= = && s ; W = = ; W b = 0. Do ó, τ dt 2 n ρ ρ ph ư ng trình vi phân chuy n ng c a ch t im d ng to t nhiên có d ng: 146
n &2 n n && ; s ; 0 (1-9) ms= ∑ F kτ m= ∑ F kn = ∑ Fkb k =1 ρ k =1 k =1 c. To c c Ch t im chuy n ng trong m t ph ng, có th dùng to c c. Chi u (1-3) lên r tr c h ưng theo bán kính véct r và tr c vuông góc v i nó v phía t ng c a góc ϕ, ta ưc: n n (&& & &2 ) ;m d ()2 & (1-10) mrr−ϕ =∑ Fkr r ϕ = ∑ F k ϕ k=1 r dt k = 1 (1-10) là ph ư ng trình vi phân chuy n ng c a ch t im trong to c c. Áp d ng các ph ư ng trình vi phân chuy n ng c a ch t im trên ta có th gi i hai bài toán c b n c a ng l c h c ch t im. 1.4. Hai bài toán c ơ b n c a ng l c h c ch t im 1.4.1. Bài toán 1 (Bài toán thu n) Cho bi t quy lu t chuy n ng c a ch t im và kh i l ưng c a nó. Xác nh l c tác d ng lên ch t im ó. Trên c s các ph ư ng trình vi phân ã bi t thi t lp trên, o hàm theo th i gian ph ư ng trình chuy n ng c a ch t im v i s l n c n thi t, sau dó nhân v i kh i lưng c a ch t im, ta s tìm ưc l c tác d ng lên ch t im. 1.4.2. Bài toán 2 (Bài toán ng ưc) Cho bi t l c tác d ng lên ch t im, kh i l ưng c a nó và iu ki n ban u c a chuy n ng. Xác nh quy lu t chuy n ng c a ch t im y. Nh ư ã nêu ph n m u, tìm quy lut chuy n ng c a ch t im (nghi m ca bài toán c h c) ph i gi i các h ph ư ng trình vi phân c p II: (1-7) n (1-10) tho mãn các iu ki n ban u (v trí và v n t c ban u c a ch t im ) cho tr ưc. Trong tr ưng h p t ng quát, vi c tìm tích phân i s các h ph ư ng trình vi phân trên nói chung là không th th c hi n ưc. Ch có th tìm ưc nghi m c a các h ph ư ng trình này trong các tr ưng h p riêng. Ta minh ho m t tr ưng h p có tính nh h ưng các b ưc tìm nghi m duy nh t c a bài toán c h c: Gi s ch t im chuy n ng ưc bi u di n b i ph ư ng trình (1-7): r 2 n uur r r d r , , (1) m2 = ∑ Ftrvk () dt k=1 147
r r ur ur Gi thi t r ng: Tìm ưc tích phân t ng quát c a nó: r= rtC( ,1 , C 2 ) (2) ur ur ây: C1 và C2 là các h ng tích phân tùy ý, nh ư v y s quy lu t chuy n ng c a ch t im xác nh ưc s là vô s . iu ó không m t ý ngh a v t lý, vì chuy n ng ca ch t im ph thu c không ch l c tác d ng lên nó mà còn ph thu c vào iu ki n u c a chuy n ng, nh ư v n t c ban u, v trí ban u. Ch ng h n, t i th i im ban u cho bi t v trí và v n t c c a ch t im là: r r r r r= r 0 và v= v 0 (3) t= t 0 t= t 0 o hàm (2) theo th i gian ta có: ur ur r r& r& v= r = rtCC(,1 , 2 ) (4) Thay (3) vào (2) và (4), ta có: r r ur ur  r0 =r(t 0 ,C,C1 2 ) r r ur ur (5) v =v(t ,C,C )  0 0 1 2 ur ur H (5) cho phép gi i ưc các h ng tích phân C1 , C 2 ph thu c vào các thông s ban u cho tr ưc, ngh a là: ur ur r r  C1 =C(t 1 0 ,r,v 0 0 ) ur ur r r (6) C =C (t ,r,v )  2 2 0 0 0 Thay (6) tr l i (2), ta nh n ưc ph ư ng trình chuy n ng c a ch t im là duy nh t d ng véct : rr rr r r =r(t,t00 ,r,v 0 )=r(t) * (7) Ví d 1. Ch t im có kh i l ưng m z chuy n ng trong m t ph ng Oxy có ph ư ng trình chuy n ng dng: M y x= acos kt ; y = b sin kt F r r y Trong ó a, b, k là các h ng s . Xác nh O x lc tác d ng lên ch t im ó. Bài gi i: Ph ư ng trình qu o c a ch t im có Hình 1-5 x2 y 2 dng: + = 1 a2 b 2 ó là m t ellíp có các bán tr c t ư ng ng là a, b (hình 1-5). Áp d ng ph ư ng trình vi phân chuy n ng d ng to các (1-8), ta có: 148
X= mx&& =− mk2 acos kt =− mk 2 x ∑ k && 2sin 2 ∑Yk = my =− mk a kt =− mk y l n ca lc tác d ng lên ch t im s b ng: 2 2 222 2 F = ( Y)k +( Y) k =mk x +y =mkr trong ó r = OM. ur Hưng c a l c F ưc xác nh b i: ur ur ∑ X k ∑Yk cosF , Ox = − ; cosF , Oy = − () F () F ur r Suy ra l c F h ưng ng ưc chi u v i r và luôn luôn i qua O c nh, ta có: r r F= − mk2 r Ví d 2. (chuy n ng th ng, l c ph thu c vào th i gian) M t v t tr ng l ng P b t u chuy n ng t tr ng thái ng yên trên m t ngang ư ur nh n d ưi tác d ng c a l c F n m ngang có giá tr t l vói th i gian t v i h s t l k. tìm quy lu t chuy n ng c a v t. Bài gi i: Xét v t nh m t ch t i m v trí b t k . L c N ư ur tác d ng lên nó bao g m: Tr ng l c P ; l c tác M F x ur O dng F , có giá tr là F= kt và ph n l c pháp uur P tuy n c a m t ngang N (hình 1-6). Theo (1-3), ta x có: Hình 1-6 uur ur uur ur mW= P + N + F Ch n tr c Ox theo h ưng chuy n ng c a ch t im, có g c O trùng v i v trí ban u c a nó. Chi u h th c trên lên tr c Ox, ta có: dV mx&& = F hay m = kt dt T ó ta có: mdV = kt.dt kt 2 Tích phân hai v h th c trên ta nh n ưc: mV= + C (1) 2 1 2  Ta có: dx , nên kt V = mdx= + C1  dt dt 2  149
kt 3 Ti p t c tích phân, ta có: mx= + C t + C (2) 6 1 2 Các h ng s tích phân C 1, C 2 ưc xác nh t các iu ki n ban u: x = 0 và x& = 0 (3) t= t 0 t= t 0 Thay (3) vào (1) và (2), ta ưc: C 1 = 0, C 2 = 0 kt3 kgt 3 Vy quy lu t chuyn ng c a ch t im là: x = = 6m 6 P Ví d 3. (ch t im chuy n ng th ng, l c tác d ng ph thu c vào v trí) M t v t kh i l ng m c b n th ng ng lên trên t ư ưur B mt t v i v n t c ban u V 0 . V t chuy n ng d ưi tác r FB . e m dng c a l c hút c a trái t theo nh lu t h p d n A. 0 2 niut n. Xác nh s ph thu c c a giá tr v n t c V vào m1 kho ng cách t v t t i tâm trái t. Hình 1-7 Bài gi i: Hai ch t im A, B có kh i l ưng m 1, m 2 cách nhau m t kho ng r, tác d ng lên nhau m t l c hút, g i là l c h p d n sao cho (hình 1-7): uur m1 m 2 r F= − G e 0 (1-11) B r 2 −11 2 −2 r Trong ó G = 6,672.10 Nm kg là m t h ng s v tr , e0 là véct n v c a tr c AB (nh h ưng t A n B). Bây gi ta xét v t nh ch t i m v trí b t k , d i ưur ư x tác d ng c a l c h p d n F (hình 1-8). Ch n tr c Ox theo h ng chuy n ng c a v t, g c t a trùng v i tâm trái V ư M t. T h th c c b n c a ng l c h c, chi u trên tr c Ox, ta có; F && V0 mx= − F M0 x k Trong ó, theo (1-11) thì F vi t b ng: F = R x2 Khi ch t im trên m t t ( t i M 0 , x = R) thì F = P, O 2 do ó k = mgR . T ó nh n ưc ph ư ng trình: gR 2 &&x = − x2 Hình 1-8 tìm v n t c V là hàm c a x c a ch t im, ta gi i ph ư ng trình vi phân trên tho mãn các iu ki n ban u: 150
x= R và x& = V 0 t= t 0 t= t 0 Ph ư ng trình vi phân nh n ưc có bi n phân ly. Th t v y: dV dVdx dV gR 2 &&x= =. = V =− dt dxdt dx x 2 2 dx Hay: VdV= − gR x2 V x 2 dx Tích phân ng th c trên, chú ý n iu ki n ban u: VdV= − gR ∫ ∫ x2 V0 R 1 1 Suy ra: 2 2   V= V0 + gR  −  x R  2gR 2 Khi V = 0, v t cao nh t. Ta có: x= x = V =0 max 2 2gR− V 0 Kt qu trên ch ra r ng: x max tng khi V 0 t ng. N u V 0 t t i giá tr * 2 thì ngh a là v t thoát kh i l c hút c a trái t. V0 = Vgh = gR x → ∞ 2 6 Ly g = 9,81 m/s , bán kính c a trái t R ≈ 6,4.10 m, ta có: 2.9,81.6,4.106 11,2 Km/s Vgh = = Giá tr v n t c V gh trên g i là v n t c v tr c p II. Ví d 4 (ch t im chuy n ng th ng, l c ph thu c vào v n t c) Mt qu c u tr ng l ưng P r i xu ng theo ph ư ng th ng ng không có v n t c ban u. L c c n c a không khí t l v i kh i l ưng và v n t c c a qu c u theo quy lu t R = k.m.V; k là h ng s . Tìm v n t c gi i h n và ph ư ng trình chuy n ng c a qu c u. Bài gi i: O Tr ưc khi gi i bài toán, ta l ưu ý m t vài v n sau: Cho n nay không có m t nh lu t t ng quát bi u th l c ma sát, x nh ưng có các nh lu t g n úng áp d ng cho t ng tr ưng h p. Th c R t th ng s d ng hai nh lu t t ng ng v i hai tr ng h p gi i h n: ư ư ư M a. Lc ma sát t l v i V i v i các v n t c nh . b. Lc ma sás t l v i V 2 i v i các v n t c l n. P Khi gi i các ph ư ng trình vi phân bi u di n chuy n ng ca ch t x im, n u t n t i m t nghi m (v n t c) không i và m c dù các iu ki n ban u th nào i n a thì t t c các nghi m (v n t c) u h i t Hình 1-9 v v n t c này, g i là v n t c gi i h n. 151
Bây gi ta xét qu c u nh m t ch t i m v trí bát k , ch u tác d ng c a tr ng ur ur ư lc P và l c c n R , R = k.m.V (hình 1-9). uur ur ur Ta có: mW= P + R Ch n tr c Ox th ng ng h ưng xu ng d ưi, g c O trùng v i v trí ban u c a qu c u. Chi u h th c trên lên tr c Ox, ta ưc: mx&&=−=− P R P kmx & = mg( − k & ) dx& dx& Hay: &&x= = g − kx & suy ra: = dt dt g− kx& ( ) d g− kx& −kt Tích phân ng th c trên, ta có: = − kdt⇒ g− kx& = Ce1 ∫g− kx& ∫ T iu ki n ban u x& = V 0 = 0 , ta nh n ưc C 1 = g. Do ó: t= t 0 g V= x& =(1 − e −kt ) k 2 g g Rõ ràng khi t → ∞ thì V → . Ta g i V = . k gh k g tìm quy lu t chuy n ng c a qu c u. T (*), ta có: dx=(1 − e−kt ) dt k g g −kt Tích phân hai v h th c trên ta có: x= t + e + C 2 k k 2 Theo i u ki n ban u: 0 , ta c: g x = ư C2 = − 2 t= t 0 k −kt 1  V y: gg−kt gg e xte=+2 −= 2  t +−  kk kk kk  Ví d 5 (chuy n ng c a m t viên n g n m t t) Mt viên n kh i l ưng m ưc b n lên t ur z m t t v i v n t cban u l p v i ph ng V 0 ư r ngang m t góc α. B qua s c c n c a không khí. g zQ M a. Xác nh qu o c a viên n. V0 ur P b. Gi s cho tr ưc v n t c V 0 song song α x O vi m t ph ng Oxz. Tính các giá tr góc α viên xP/2 xP n t i ưc m t bia n m C (có t a x C, 0, Hình 1-10 z ). t ó suy ra t p h p các i m mà viên n C ur vi V 0 cho tr ưc có th t i ưc. Bài gi i: 152
r r a. Gi thi t tr ưng tr ng l c g= − gk là u. Ch n g c t a O trùng v i v trí ur ban u c a viên n, m t ph ng xOz ch a véct V 0 (hình 1-10). T (1-3) ta có: &&x=0; &&y = 0; && zg =− Khi k n các iu ki n ban u: x =0;y =0;z =0;x& =Vcos ;y & =0;z & =Vsin t=0 t=0 t=0 t=00 t=0 t=0 0 ta nh n ưc: &&x =0; x & =Vcos0; x = Vcos 0 .t &&y=0; y=0;& y=0 gt 2 &&z=− g;z=Vsin & −gt;z= − +Vsin .t 02 0 Qu o c a viên n trong m t ph ng th ng ng xOz ch a v n t c ban u ur V 0 . ó là m t parabol, ph ư ng trình có d ng: g z= x+x.tg2 − 2 2 2V0 cos Mt s giá tr khác: 2 V0 - Tm b n x P là giá tr c a x khi viên n r i v z = 0: x = sin 2 α P g 2 x V 2 - cao nh t viên n có ưc t i P và b ng: z = 0 sin α 2 Q 2g 0 cao c c i n u α = 90 . b. t i m t bia C thì x C, z C ph i nghi m úng ph ư ng trình qu o c a viên n: gx 2 z=C +tg .x C− 2 2 C z 2V0 cos Vy α là nghi m c a ph ư ng trình: C gx2 gx 2 Ctg 2 + x tg C z = 0 −2 C − 2 − C 2V0 2V 0 x O 4gx2 gx 2  Hình 1-11 Bi t s : =x2 − c C +z C2V2 2V 2 C  0 0  T ó: – ∆ < 0: Bài toán không có nghi m, không th t i ưc bia C. – ∆ = 0: Bài toán có m t nghi m. 153
– ∆ > 0: Bài toán có hai nghi m. g V2 V y, có th t i C n u 0, ngh a là (hình 1-11): z x2 + 0 ∆ ≥ C= − 2 C 2V0 2g Suy ra: Các im có th t i ưc c a viên n trong m t ph ng Oxz u n m d ưi ưng parabol an toàn có ph ư ng trình: g V2 z= x+2 0 − 2 2V0 2g Có th gi i bài toán trên trong tr ưng hp có k n l c c n không khí, gi thi t ur ur rng l c c n t l v i v n t c R =− kmV , k là h ng s . 1.5. Ph ơ ng trình vi phân chuy n ng c a c ơ h Phư ng trình vi phân chuy n ng c a c h trong h quy chi u quán tính d ng véct . thi t l p h ph ư ng trinh này ta d a vào ph ư ng trình c b n c a ng l c hc (1-3) và vi t cho t ng ch t im c a c h . Dng c a ph ư ng trình vi phân chuy n ng c a c h tu thu c vào cách phân lo i l c tác d ng lên c h . Cho c h n ch t im. Xét ch t im th k thu c c h M k, có kh i l ưng m k. uuur uuur - N u phân lo i l c tác d ng lên c h thành n i l c và ngo i l c, g i i và e Fk Fk tư ng ng là h p các n i l c và h p các ngo i l c tác d ng lên ch t im th k, theo (1- 3) ta có: uur uuur uuur i e mWkk = F k + F k uuur 2 r d r k r Trong ó: W = , r là véct xác nh v trí c a ch t im M k trong h quy k dt 2 k chi u quán tính. Tư ng t i v i các ch t im khác thu c h ta thu ưc h ph ư ng trình sau: uur uuur uuur  i e mW11 = F 1 + F 1  uur uuur uuur mW= Fi + F e  22 2 2  uur uuur uuur  i e mWnn = F n + F n uuur uuur uuur Hay: i e ( 1, ) (1-12) mWkk= F k + Fk k = n 154
- Nu phân lo i l c tác d ng lên c h thành l c ho t ng và ph n l c liên k t, uuur uuur g i a và t ng ng là h p các l c ho t ng và h p các ph n l c liên k t tác Fk Nk ư dng lên ch t im th k. T ư ng t nh ư trên, ta nh n ưc: uuruuur uuur  a mW11 = F 1 + N 1  uuruuur uuur mW= Fa + N  22 2 2  uuruuur uuur  a mWnn = F n + N n uuruuur uuur Hay: a ( 1, ) (1-13) mWkk = F k + Nk k = n Do ch ưa có ph ư ng pháp t ng quát tìm nghi m c a h ph ư ng trình vi phân (1-11) và (1-12); mt khác th c t nhi u tr ưng h p không c n thi t ph i xác nh chuy n ng c a các ch t im thuc c h , nên khi gi i các bài toán ng l c h c c h , th ưng ta không tích phân tr c ti p h ph ư ng trình (1-11) và (1-12), mà i tìm các tích phân u c a chúng. Vi c tìm các tích phân u c a h (1-11) s ưc phân tích k trong ch ư ng các nh lý t ng quát c a ng l c h c. H ph ư ng trình (1-12) s ưc s d ng trong ph n “C h c gi i tích” sau này. Các ph ư ng trình v a thi t l p óng vai trò c b n là xu t phát t chúng nh n ưc các nh lý t ng quát và nhi u nguyên lý c h c. 155
CH NG II: CÁC NH LÝ T NG QUÁT C A NG L C H C A. Hình h c kh i l ng Kh o sát chuy n ng c a ch t im, kh i l ng là o quán tính c a nó. Kh o sát chuy n ng c a c ơ h , ngoài kh i l ng, còn ph i tính n s phân b c a kh i lng c a h trong không gian, nó có nh h ng tr c ti p n chuy n ng c ơ h c c a cơ h . 2.1. Kh i tâm c a c ơ h Kh i tâm C c a c ơ h là m t im hình h c c xác z nh b i h th c: n r Mk m r uuur r ∑ k k r C k =1 (2-1) r OC= r C = k M r r r Trong ó: O là m t i m b t k ; m , là kh i l ng C k rk y và véct ơ nh v c a ch t im th k thu c c ơ h , còn: x O n là kh i l ng toàn c h (hình 2-1). M= ∑ m k ơ Hình 2-1 k =1 H th c (2-1) t ơ ng ng v i các h th c trong h t a các Oxyz: n n n ∑mxkk ∑ my kk ∑ mz kk x=k=1; y = k = 1 ; z = k = 1 (2-2) CM C M C M Trong ó: x k, y k, z k là t a c a ch t im th k thu c c ơ h . Bây gi ta xét s t ng h p các kh i tâm: Gi s có nhi u c ơ h (ch ng h n hai c ơ h) v i kh i tâm t ơ ng ng C 1, C 2 và kh i l ng t ơ ng ng M 1, M 2. Kh i tâm C c a các h trên xác nh b ng: uuuur uuuur r r uuur r M. OC+ M . OC Mr1+ Mr 2 OC= r =1 1 2 2 = C1 C 2 (2-3) C M M ây: M = M 1 + M 2 là kh i l ng t ng c ng các h . Cn l u ý r ng: N u h là v t r n n m trong tr ng tr ng l c, kh i tâm c a v t r n trùng v i tr ng tâm c a vt trùng v i tr ng tâm c a nó. Tuy nhiên khái ni m kh i tâm rng h ơn khái ni m tr ng tâm. Kh i tâm c a v t luôn luôn t n t i, còn tr ng tâm c a nó ch t n t i trong tr ng tr ng l c. 156
Ví d 1. Cho c ơ c u th c v ellíp g m hai con ch y A, B có cùng tr ng l ng Q, tay quay OC 1 có tr ng l ng P và th c AB có tr ng l ng 2P. Bi t OC1 = AC 1 = BC 1 = l . Coi tay quay và th c là các thanh ng ch t. Xác nh t a kh i tâm c a c ơ c u theo góc ϕ (hình 2-2). Bài gi i: Có c u th c v ellíp g m 4 v t r n: Thanh AB, OC 1 và các con ch y A, B. Kh i lng và kh i tâm c a chúng xác nh i v i h Oxy c xác nh l n l t nh sau: 2P x1 = l cos ϕ m= ; C 1 1  sin y g y1 = l ϕ  l A x= cos ϕ P  2 2 m2= ; C 2  g l C1 y = sin ϕ  2 2 O ϕ x x = 0 QA Q 3 B m3= = ; C 3  2l sin g g y3 = ϕ Hình 2-2 2 Q Q x4 = l cos ϕ m=B = ; C 4 4  0 g g y4 = Gi kh i tâm c a c ơ c u là C. Khi ó theo các công th c (2-2) ta có: mx+ mx + mx + mx 5P+ 4 Q l x =11 22 33 44 = cos ϕ C mmmm+++3 PQ + 2 2 1 2 3 4 5 4 l my11+ my 22 + my 33 + my 44 P + Q sin yC = = ϕ mmmm1+++ 2 3 4 3 PQ + 2 2 2.2. Mômen quán tính 2.2.1. nh ngh a − Mômen quán tính c ủa c ơ h ệ đố i v ới tr ục z ký hi ệu J z là đại l ượng vô h ướng b ằng tổng các tích các kh ối l ượng m k c ủa m ỗi ch ất điểm thu ộc h ệ v ới bình ph ươ ng kho ảng cách dk t ừ ch ất điểm đế n tr ục: n 2 (2-4) Jz= ∑ m k d k k=1 i v i m t ch t i m cách m t kho ng d n tr c z thì: 2 Jz = md − Trong tính toán k thu t th ng s d ng khái ni m bán kính quán tính, ký hi u ρz, o b ng dài tính mômen quán tính c a h i v i tr c z: 157
2 (2-5) Jz= M ρ z Trong ó: M là kh i l ng toàn c ơ h . 2 2 ơ n v c a mômen quán tính là kgm , th nguyên c a nó [J] = ML . 2.2.2. 2. Mômen quán tính c a m t s v t ng ch t Thanh m ng ng ch t dài l , kh i l ng M. Ta s y tìm mômen quán tính c a thanh i v i tr c Az th ng góc vi thanh (hình 2-3). H ng tr c Ax nh hình v , phân t A B x thanh dx cách A m t kho ng x, có kh i l ng dm= ρ dx , x dx M ρ = là khi l ng c a m t ơn v chi u dài c a thanh. Hình 2-3 l Ta có: l l l3 J= xdm2 =ρ xdx 2 = ρ , vì M = ρl Az ∫ ∫ 3 0 0 1 T ó: J= M l2 (2-6) Az 3 − Vành tròn m nh ng ch t bán kính R, kh i l ng M. Ta tìm mômen quán tính ca nó i v i tr c Cz th ng góc v i m t ph ng vành tròn và i qua tâm c a nó (hình 2-4). T t c các im c a vành tròn u cách Cz kho ng R, nên: n n  2 2 2 JCz=∑ mR k = ∑ mRMR k  = k=1 k = 1  V y: 2 (2-7) JCz = MR Công th c (2-7) c ng c dùng tính mômen quán tính c a v tr ng ch t bán kính R, kh i l ng M i v i tr c c a nó. y R r dr C R C Hình 2-4 Hình 2-5 − T m tròn ng ch t và kh i tr ng ch t bán kính R, kh i l ng M. Ta tính mômen quán tính c a t m tròn i v i tr c Cz th ng góc v i m t t m và i qua tâm c a 158
nó (hình 2-5). Tách ra m t vành tròn y u t bán kính r, r ng dr. Di n tích vành tròn: M 2πrdr, kh i l ng dm= ρ2πrdr trong ó: ρ = là kh i l ng ơn v c a di n tích π R2 tm. i v i vành tròn trên: 22 3 dJCz = rdm = πρ rdr R 1 Khi ó: J=2πρ rdr3 = πρ R 4 , vì M= ρ. π R 2 Cz ∫ 2 0 1 Do ó: J= MR 2 (2-8) Cz 2 Công th c (2-8) c ng dùng tính mômen quán tính c a kh i tr ng ch t nói trên i v i tr c c a nó. − Hình ch nh t ng ch t, hình nón, hình c u: a. T ấm ch ữ nh ật đồ ng ch ất, kh ối l ượng M, các c ạnh là a và b . Tr c x h ng d c cnh a, tr c y h ng d c c nh b: 1 1 J= Mb2; J = Ma 2 (2-9) x3 y 3 b. Nón tròn xoay đồng ch ất kh ối l ượng M, bán kính đáy R. Tr c z h ng d c tr c nón. 0,3 2 (2-10) Jz = MR c. Hình c ầu đồ ng ch ất, kh ối l ượng M, bán kính R. Tr c z h ng d c ng kính: 0,4 2 (2-11) Jz = MR 2.2.3. Mômen quán tính i v i tr c song song nh lý Huyghen z z1 Mômen quán tính c a v t i v i tr c khác a h nhau s khác nhau. Ta ch ra h th c: Khi bi t ′k d αk mômen quán tính c a v t i v i m t tr c nào ó . B e dn qua v t, tìm mômen quán tính i v i tr c hk bt k song song v i nó. Gi thi t tr c Cz qua kh i tâm C c a v t và y xk C song song v i tr c Oz 1. Kho ng cách gi a hai tr c là d (hình 2-6). Theo nh ngh a: x l n n 2; ′ 2 Hình 2 -6 JOz1 =∑ mhJ k k Cz = ∑ mh k k k=1 k = 1 159
Trong ó: h , t ng ng là kho ng cách t ch t i m b t k B n tr c Oz , Cz. k hk′ ơ 1 T Bae, ta có: 2 2 2 2 ∆ hkk= h′ + d − dhcos kk′ α Dn t C h ta có tr c Cx, Cy th ng góc tr c Cz và tr c Cx c t tr c Oz 1, nh th Cx // ae. Ta g i t a c a B là x k, y k, z k, nh n c: và 2 2 2 2 . hk′ cosα k= x k hk= h k′ + d − dx k Thay 2 vào bi u th c tính , ta có: hk JOz 1 n n  n  ′2 2 2 JOz1 =∑ mhd kk + ∑ m k  − d ∑ mx kk  k=1 k = 1  k = 1  n n T h th c (2-2): . Do C là g c t a , nên x = 0 và 0 ; ∑mxk k= Mx C C ∑mk x k = k=1 k =1 cu i cùng ta có h th c: 2 (2-12) JOz1 = J Cz + Md H th c (2-12) bi u th định lý Huyghen : Mômen quán tính c ủa vật đố i v ới tr ục đã cho b ằng mômen quán tính c ủa v ật đố i với tr ục song song v ới nó đi qua kh ối tâm C c ủa v ật, c ộng v ới tích kh ối l ượng c ủa toàn vật v ới bình ph ươ ng khoảng cách gi ữa hai tr ục. B. Các nh lý tng quát c a ng l c h c trong h quy chi u quán tính Vi c gi i nhi u bài toán động l ực h ọc thu n ti n h ơn khi thay ph ơ ng pháp tích phân tr c ti p ph ơ ng trình vi phân chuy n ng, b ng các nh lý - gi là các định lý tổng quát c ủa độ ng l ực h ọc. Các nh lý t ng quát c a ng l c h c là h qu c a ph ơ ng trình c ơ b n ng l c h c, cho m i quan h gi a các c tr ng ng l c c ơ bn ( ng l ng, mômen ng l ng, ng n ng) v i các i l ng c ơ b n do tác dng c a l c (xung l ng c a l c, mômen c a l c và công c a l c). 2.3. nh lý ng l ng và nh lý chuy n d i kh i tâm 2.3.1. nh lý ng l ng a. nh ngh a ng l ng và công th c tính ng l ng r Động l ượng c ủa ch ất điểm là đại l ượng véct ơ, ký hi ệu q , b ằng tích kh ối l ượng m r của ch ất điểm v ới véct ơ v ận t ốc v c ủa nó. r r q= mv (2-13) r r Véct ơ ng l ng q h ng theo h ng véct ơ v , ngh a là h ng ti p tuy n v i qu o ch t im. 160
ur Động l ượng của c ơ h ệ, ký hi ệu là Q , là t ổng hình h ọc độ ng l ượng các ch ất điểm thu ộc c ơ h ệ: ur n r (2-14) Q= ∑ mk v k k =1 Nếu c ơ h ệ g ồm nhi ều v ật r ắn chuy ển độ ng, độ ng l ượng c ủa c ơ h ệ b ằng t ổng hình học độ ng l ượng c ủa các v ật r ắn chuy ển độ ng thu ộc c ơ h ệ. L ơ n v o ng l ng là kg.m/s, th nguyên c a nó [ ng l ng] = M . T ng l ng c a c ơ h còn có th tính qua kh i l ng toàn h và v n t c tâm kh i lng c a nó. nh lý Động l ượng c ủa c ơ h ệ bằng độ ng l ượng c ủa kh ối tâm c ủa h ệ, t ại đó t ập trung toàn bộ kh ối l ượng c ủa c ơ h ệ: ur uur (2-15) Q= M V C Ch ứng minh: n r r Th t v y, t nh ngh a kh i tâm c a c h ta có: . o hàm theo ơ ∑ mk r k= Mr C k =1 nr r n uur uur th i gian h th c trên, thu c: & & ∑mrkk= Mr C hay ∑ mV kk = MV C k=1 k = 1 ur uur Ngh a là: Q= M V C b. nh ngh a xung l ng c a l c ur −ur Xung l ượng y ếu t ố c ủa l ực là đại l ượng véct ơ, ký hi ệu là d S , b ằng tích véct ơ lực F v ới kho ảng th ời gian y ếu t ố dt: ur ur dS= Fdt (2-16) ur Hng c a d S theo h ng tác d ng c a l c. ur − Xung l ượng c ủa l ực F trong kho ảng th ời gian h ữu h ạn t ừ t 0 đến t 1 là: urt1r t 1 ur S=∫ dS = ∫ Fdt (2-17) t0 t 0 ur ur ur Nu l c F không i c v mô un và h ng thì: S= Ft(1 − t 0 ) (2-18) L ơ n v o xung l ng c a l c kgm/s. Th nguyên c a nó là: [xung l ng] = M . T 161
c. Các nh lý ng l ng i v i ch t im nh lý 1 Đạo hàm theo th ời gian độ ng l ượng c ủa ch ất điểm b ằng tổng hình h ọc các l ực tác dụng lên ch ất điểm ấy: d ur ur mV= ∑ F k (2-19) dt () Ch ứng minh: uur uur uur n uur ur Xét ch t i m kh i l ng m, ch u tác d ng c a các l c ( , , , ), F1 F 2 F n ∑ Fk = R k=1 uur uurn ur ur và chuy n ng v i gia t c W . Theo (1-3), ta có: mW=∑ Fk = R k=1 Do kh i l ng m c a ch t im không i theo th i gian t, ta có: uurd ur ur mW= mV = R dt () nh lý 2 Bi ến thiên động l ượng c ủa ch ất điểm trong m ột kho ảng th ời gian nào đó b ằng t ổng hình h ọc xung l ượng c ủa các lực tác d ụng lên ch ất điểm trong kho ảng th ời gian ấy. ur uurn uur (2-20) mV1− mV 0 = ∑ S k k=1 ur urn uur  T (2-19), ta có: Ch ứng minh: d() mV= Rdt = ∑ Fk  dt k =1  Tích phân hai v c a h th c v i cá c n t ơ ng ng: uur mV1ur t 1n uur  n t 1 uur d mV= F dt = F dt ∫uur () ∫∑k  ∑ ∫ k 1 1 mV 0 t0k=  k = t 0 ur uurn uur Hay: mV1− mV 0 = ∑ S k k=1 d. Các nh lý ng l ng i v i c ơ h nh lý 3 Đạo hàm theo th ời gian độ ng l ượng c ủa c ơ h ệ b ằng véct ơ chính c ủa h ệ ngo ại l ực tác d ụng lên c ơ h ệ. ur ur• n uur dQ e (2-21) =Q = ∑ F k dt k=1 Ch ứng minh: 162
Xét c ơ h n ch t im. G i h p các ngo i l c và h p các n i l c tác d ng lên ch t uur uur i m th k thu c h t ng ng là e và i . Áp d ng (2-19) cho ch t i m th k, ta ơ Fk Fk có: uur uur d uur mV= Fe + F i dt ()kk k k Vi t các h th c t ơ ng t cho các ch t im c a c ơ h r i c ng v l i, ta c: nuur nuur n uur d e i ∑()mVkk= ∑ F k + ∑ F k k=1dt k = 1 k = 1 nuur n uur  ur ur• V trái c a h th c b ng: d d d ∑()mVkk= ∑ () mV kk  = QQ = k=1dt dt k = 1  dt n uur Do ó ch c n ch ng minh: i 0 , ngh a là véct chính ∑ Fk = ơ k =1 FB F B ca h n i l c tác d ng lên c ơ h tri t tiêu. Th y v y, xét hai A ch t i m A, B b t k thu c c h . Các l c tác d ng t ng h ơ ơ A gi a hai ch t im theo nh lu t 3 niutơn: uur uur uur uur nên 0 (hình 2-7) Hình 2-7 FA= − F B FA+ F B = n uur Vì A, B b t k , ta suy ra i 0 . ∑ Fk = k =1 nh lý 4 Bi ến thiên động l ượng c ủa c ơ h ệ trong m ột kho ảng th ời gian nào đó b ằng t ổng hình h ọc xung l ượng c ủa các ngo ại l ực tác d ụng lên c ơ h ệ trong kho ảng th ời gian ấy. uur uur n uur e (2-22) Q1− Q 0 = ∑ S k k =1 ur n uur  T (2-21), ta có: e Ch ứng minh: dQ= ∑ Fk  dt k=1  uur Q1ur t 1nuur  n t 1 uur Tích phân hai v h th c trên v i c n t ơ ng ng: dQ= Fdte = Fdt e uur∫ ∫∑k  ∑ ∫ k 1 1 Q0 t0k=  k = t 0 uur uur n uur hay: e Q1− Q 0 = ∑ S k k =1 Nh n xét: Các công thc (2-19), (2-20), (2-21), và (2-22) khi vi t d i d ng t a các, tơ ng ng có d ng: d()& ;() d & ;() d & (2-19a) mx=∑ Xk my = ∑ Y k mz = ∑ Z k dt dt dt 163
&&; && ;& & ; (2-20a) mx10−= mx∑ Skx my 10 −= my ∑ S ky mz 10 −= mz ∑ S kz dQdQ dQ x e;y e ;z e ; (2-21a) =∑Xk = ∑ Y k = ∑ Z k dt dt dt e; e ; e ; (2-22a) QQ10x−= x∑ SQQ kx 10 y −= y ∑ SQQ ky 10 z −= z ∑ S kz e. nh lu t b o toàn ng l ng Ta ch trình bày tr ng h p i v i c ơ h , còn ch t im là c ơ h c bi t g m có mt ch t im. n uur ur uuuuur T (2-21) suy ra: N u e 0 thì: , ngh a là n u véct chính c a các ∑ Fk = Q= const ơ k=1 ngo i l c tác d ng lên c ơ h luôn luôn b ng không thì véct ơ ng l ng c a c ơ h s không i. T (2-21a) suy ra: e 0 thì Q = const, ngh a là n u t ng chi u c a các ngo i ∑ X k = x lc tác d ng lên c ơ h trên m t tr c nào ó (tr c Ox) luôn luôn tri t tiêu thì chi u ng lng c a h lên tr c ó s không i. nh lu t b o toàn ng l ng giúp ta gi i thích m t s hi n t ng c ơ h c trong th c t , ch ng h n: ••• Chuy ển độ ng nh ờ chân v ịt c ủa tàu thu ỷ hay nh ờ cánh qu ạt c ủa máy bay Xét tàu thu chuy n ng t tr ng thái ngh . Khi chân v t quay, nó y m t kh i nc chuy n ng d c tr c v phía sau. Quan sát chuy n ng c a c ơ h g m kh i nc trên và tàu thu . N u b qua tác d ng c a l c c n và t ng chi u các ngo i l c lên ph ơ ng ngang b ng không. L c tác d ng t ơ ng h gi a chân v t và kh i n c là ni lc, chúng không làm bi n i ng l ng c a h . Do ng l ng c a h c b o toàn, nên khi kh i n c b y v phía sau, thì tàu thu ph i chuy n ng v phía tr c. Chuy n ng c a máy bay cánh qu t t tr ng thái t nh c ng c gi i thích t ơ ng t. ••• Chuy ển độ ng b ằng ph ản l ực c ủa máy bay hay tên l ửa trong chân không và theo ph ươ ng n ằm ngang. Nhiên li u c a máy bay ph n l c hay tên l a b t cháy thành h ơi ph t ra phía sau vi v n t c l n. Xét máy bay hay tên l a và kh i nhiên li u là m t c ơ h . ng l ng ca c ơ h y luôn luôn không i và b ng không. Khi bu ng h ơi c a nhiên li u ã cháy có ng l ng h ng v phía sau, nên máy bay hay tên l a ph i chuy n ng v phía tr c. Nh ận xét: áp d ng các nh lý ng l ng c a ch t im hay c a c ơ h c n hoàn thành các tích phân v ph i các h th c (2-20) hay (2-22). Ngh a là tích phân 164
theo th i gian các hàm bi u di n l c tác d ng lên ch t im hay c ơ h . Do ó các nh lý ng l ng dùng gi i thu n l i i v i các bài toán mà các l c tác d ng là không i ho c ch ph thu c vào th i gian. i v i c ơ h , nh lý ng l ng không có m t n i l c. Nên c n ch n c ơ h sao cho t t c ho c m t s l c ch a bi t tr thành n i l c và vi c gi i bài toán tr nên d dàng h ơn. i v i các bài toán mà c ơ h là môi tr ng ch t l ng hay ch t khí, c bi t bài toán v va ch m, vi c áp d ng nh lý ng l ng r t hi u qu . Ví d 2. M t t i tr ng kh i l ng m n m trên m t ph ng ngang và nh n v n t c uur ur ban u V0 . Sau ó t i tr ng chuy n ng theo quán tính và ch u l c c n F không i. Xác nh th i gian v t d ng l i và quãng ng i c c a nó. Bài gi i: Coi t i tr ng nh m t ch t im M. L c tác d ng ur ur N lên nó: Tr ng l c P , l c c n F và ph n l c pháp uur F M V tuy n c a n n (hình 2-8). Ch n tr c to Ox x N O hng theo chi u chuy n ng c a t i tr ng, g c O x P trùng v i v trí ban u c a nó. Áp d ng nh lý bi n thiên ng l ng c a ch t Hình 2-8 im trên tr c Ox, ta có: t & & ( ) mx− mx0 =∫ − Fdt 0 ur Trong ó x&0= V 0 , khi t i tr ng d ng l i thì x& = 0 . Do F không i, ta thu c: mV 0 −mV0 = − Ft⇒ t = F dx F F Mt khác, c ng t h th c trên, ta c: x& = = V0 − t⇒ dxVdt= 0 − tdt dt m m x t Tích phân h th c v a nh n c v i c n t ng ng: (F ) ơ ∫dx= ∫ V0 − tdt 0 0 m F t 2 Suy ra: x= V0 t − . m 2 Thay giá tr t tìm c vào, ta nh n c quãng ng v t i c: 2 2 mV0F  mV 0  mV 0 S= V 0 −  = F2 mF  2 F 165
Ví d 3. M t viên n kh i l ng m c b n kh i nòng súng theo ph ng n m ur ơ ngang v i v n t c V , kh i l ng c a súng b ng M. Hãy tìm v n t c gi t lùi c a súng. B qua ma sát (hình 2-9). Bài gi i: r S lo i tr áp l c ch a bi t c a khí h ơi ta kh o sát u V c h g m n và súng. B qua ma sát, nên ngo i l c ơ ur ur x tác d ng lên c ơ h : Tr ng l c c a n P= mg , tr ng ur ur uur lc c a súng Q= M g và ph n l c pháp tuy n N c a Hình 2-9 mt t lên súng. Khi ó t ng chi u các l c này lên ph ơ ng ngang (ch n Ox) b ng không. Ta có s b o toàn ng l ng c a h theo tr c Ox: Q x = const. Tr c khi n bay ra kh i nòng súng h c nh và Q 0x = 0, nên t i b t r k th i i m nào thì Q = 0. G i v n t c gi t lùi c a súng là , thì ng l ng c a h x ur u ti th i im n có v n t c V là: mV Q=− Mu + mV = 0 suy ra: u = x M Ví d 4. N c ch y v i v n t c V 0 = 2m/s vào ng d n có ti t di n bi n i, i 2 xng v i m t th ng ng (hình 2-10). Di n tích ti t di n ng dn vào là F = 0,02m . Vn t c c a n c ch y ra kh i ng là V 1 = 4m/s và nghiêng v i ng n m ngang góc 0 α = 30 . Gi thi t dòng ch y là n nh (d ng), xác nh thành ph n n m ngang c a ph n l c t ng h p do thành c a on ng d n tác d ng lên kh i n c ch y trong ó. Bài gi i: V Kh o sát chuy n ng c a c ơ h là kh i n c 90 0 0 a b abcd trong kho ng th i gian dt. Khi b qua ma sát a1 b gi a kh i n c và thành ng, ngo i l c tác d ng lên ur ur cơ h g m: Tr ng l c P , ph n l c R c a thành ng c phân làm hai thành ph n: Thành ph n n m 0 uur ur 30 d ngang N và thành ph n th ng ng Q theo ph ơ ng d c ur ur c1 P , và áp l c (áp su t khí quy n) hai u ng φ1 và uur V1 Hình 2-10 φ2 vuông góc v i ab và cd. Áp d ng nh lý ng l ng c a c ơ h trên tr c Ox n m ngang, ta có: dQ x =++NPQ +φ1 + φ 2 = N (a) dt x x x x 166
Ti th i im t h chi m v trí abcd, t i th i im t 1 = t + dt h chi m v trí a1b1c1d1. Các th tích y u t abb 1a1 và cdd 1c1 b ng nhau (lng n c ch y vào và ch y ra trong cùng kho ng th i gian dt). Do ó khi l ng c a chúng: m0== m 1ρ FV 0 dt =1000.0,02.2. dt = 40 dt Mt khác, bi n thiên ng l ng c a c ơ h trong th i gian dt b ng hi u ng l ng các kh i n c cdd 1c1 và abb 1a1. Thành ph n chi u trên tr c Ox b ng: dQx= mV11 x − mV 00 x Trong ó V = 0, nh v y: 0x V1x = − V 1 cos α 300 160 30 0 (b) dQx =− mVcos1 1 =− cos dt dQ 0 Thay (b) vào (a), ta c: N=x =−160 cos 30 =− 803( N ) dt uur Ph n l c N n m ngang có h ng ng c chi u tr c Ox. nh lý -le Ta xét m t kh i ch t l ng gi i h n b i m t bên ng và hai ti t V 2 di n ngang ph ng th ng góc v i thành ng (hình 2-11). G i: S , S là di n tích các ti t di n ngang c a 1 và 2; , là 1 2 ur uur ρ1 ρ2 mt kh i c a ch t l ng 1 và 2; V1 và V2 là v n t c c a ch t lng 1 và 2. Trong tr ng thái ch y n nh (d ng), ngh a là v n t c t i m i th i im c a dòng ch t l ng không ph thu c vào th i gian, thì kh i l ng M c a kh i ch t l ng ch y trong m t ơ n v th i gian V1 qua b t k m t c t c a ng là không i: Hình 2-11 M=ρ111 VS = ρ 222 VS (2-23) ur uur Ký hi u MV 1 , MV 2 là véct ơ ng l ng c a kh i ch t l ng ti t di n 1, 2 trong m t ơn v th i gian, khi ó có nh lý Ơ-le, phát bi u: “T ổng véct ơ chính c ủa các l ực m ặt, l ực kh ối và các véct ơ động l ượng c ủa ch ất lỏng ch ảy qua hai m ặt c ắt 1 và 2 b ằng không”. uur uur ur uur 0 (2-24) Rm+ R k + MV1 +−( MV 2 ) = uur Trong ó: R là véct ơ chính các l c m t (các l c tác d ng lên các ph n t ch t m uur l ng n m trên m t ngoài kh i ch t l ng: Ph n l c thành ng, ); là véct chính R k ơ các l c kh i (các l c tác d ng lên các ph n t ch t l ng thu c kh i ch t l ng: Tr ng lc, ) 167
2.3.2. nh lý chuy n ng c a kh i tâm a. nh lý chuy n ng c a kh i tâm Kh ối tâm c ủa c ơ h ệ chuy ển độ ng nh ư m ột ch ất điểm, có kh ối l ượng b ằng kh ối lượng c ủa c ơ h ệ và ch ịu tác d ụng c ủa các l ực được bi ểu di ễn b ằng véct ơ chính c ủa các ngo ại l ực tác d ụng lên c ơ h ệ. uur n uur e (2-25) MWC = ∑ F k k =1 Ho c vi t d i d ng t a các: &&e; && e ; && e (2-25a) MxC=∑ X kC My = ∑ Y kC Mz = ∑ Z k k k k D dàng th y, t các h th c (2-15) và (2-21): Ch ứng minh:ur ur uur n uur , dQ e QMV=C = ∑ F k dt k=1 uur n uur Suy ra: e MWC = ∑ F k k=1 b. nh lu t b o toàn chuy n ng kh i tâm n uur uur uuuuur T (2-25), n u e 0 thì . V y, n u véct chính c a các ngo i l c ∑ Fk = VC = const ơ k=1 tác d ng lên c ơ h luôn luôn b ng không thì kh i tâm c a c ơ h ho c ng yên ho c chuy n ng th ng u. n T ng t , n u e 0 , theo (2-25a) ta có & ( ) . Ngh a là: ơ ∑ X k = xC= const V Cx = const k=1 Nu t ng chi u c a các ngo i l c tác d ng lên c ơ h trên m t tr c nào ó (tr c Ox) luôn luôn b ng không thì hình chi u c a kh i tâm c a c ơ h trên tr c ó s ng yên hay chuy n ng u. Áp d ng các nh lu t b o toàn chuy n ng kh i tâm có th gi i thích m t s hi n tng trong th c t : ••• Chuy ển độ ng c ủa kh ối tâm h ệ m ặt tr ời: Các l c h p d n gi a các ngôi sao là ni l c, nên có th nói: H m t tr i không có các ngo i l c tác d ng. Do ó có th coi gn úng: Kh i tâm h chuy n ng th ng u trong không gian v tr . ••• Tác d ụng c ủa ng ẫu l ực lên v ật. V t r n t do d i tác d ng c a ng u l c ur uur n uur ur uur ( , ) có: e 0. N u ban u v t ng yên, kh i tâm C c a nó s ng F F ′ ∑ Fk = F + F ′ ≡ k =1 yên d i tác d ng c a ng u. Vì v y, v t r n ch có th b t u chuy n ng quay quanh C d i tác d ng c a ng u. 168
••• Chuy ển độ ng theo m ặt n ằm ngang - Nu không có ma sát, ngo i l c tác d ng lên ng i g m tr ng l ng và ph n lc pháp tuy n m t ng có t ng chi u lên tr c x theo ph ơ ng ngang b ng không. Do ó n u ban u ng i ng yên, thì dù có s c g ng c a b p th t (n i l c) c ng không giúp cho ng i có th i l i c. L c ma sát có tác d ng làm cho ng i i l i. Khi bc chân trái lên phía tr c, chân ph i có xu h ng tr t v phía sau và l p t c xu t hi n l c ma sát h ng v phía tr c, chính l c ó giúp ng i i v phía tr c. - Xe Ô-tô hay u máy xe l a có th di chuy n c là nh có l c ma sát tr t t vào V im ti p xúc B gi a bánh ch ng và m t ng. Áp l c h ơi hay khí t máy phát s truy n m t mômen quay t i bánh ch ng và nó có h ng A B quay v phía sau, l c ma sát tr t h ng v phía Fms tr c. Khi l c này không có ho c không Hình 2-12 th ng s c c n c a bánh b ng (l c ma sát bánh b ng t i A h ng v phía sau), xe Ô-tô hay u máy không chuy n ng hay t ng t c c (hình 2-12). Bánh ch ng s quay t i ch , ta g i hi n t ng pan xe. ••• Hãm xe. hãm xe ta t t máy và cho má phanh áp ch t váo bánh xe. L c ma sát gi a má phanh và bánh xe là n i l c. L c này làm bánh xe quay ch m l i và l c ma sát im ti p xúc gi a bánh xe và m t ng là ngo i l c, ng c chi u chuy n ng ca xe có tác d ng hãm xe. Nh ận xét. T (2-21), và (2-25) khi chú ý n (2-15) ta th y, th c ch t nh lý ng lng và nh lý chuy n ng kh i tâm là hai d ng c a cùng m t nh lý. Tuy v y, (2- 25) ch s d ng thu n ti n i v i v t r n và h v t r n. Khi kh o sát môi tr ng l ng hay khí, h th c (2-25) s m t ý ngh a. Ví d 5 Mt ng i tr ng l ng P ng i mi mt chi c thuy n tr ng l ng Q dài l. Thuy n ng yên trên m t n c. B qua s c c n c a n c. Xác nh d ch chuy n d ca thuy n khi ng i i t i m i kia c a thuy n. Bài gi i: Xét c h g m có ng i và thuy n, ch u tác d ng l ơ ur ur ur các ngo i l c: Tr ng l c P, Q và ph n l c R c a V R nc, chúng u có ph ơ ng th ng ng. Ch n tr c P Ox n m ngang (hình 2-13). Áp d ng nh lý chuy n Q O x ng kh i tâm trên tr c Ox, ta có: && 0 & MxC= ⇒ x C = const Hình 2-13 169
Do lúc u h ng yên, &0 0 , nên suy ra x = const. xC = C 0 0 Gi s ban u ng i và thuy n có t a kh i tâm trên tr c x là x1 và x2 , thì v trí kh i tâm ban u c a h là: 0 0 0 Px+ Qx x = 1 2 (a) C P+ Q Khi ng i i t i m i kia c a thuy n, thuy n d ch chuy n ng c l i m t on d. Kh i tâm c a ng i và thuy n trên tr c Ox, khi này có t a : 0 0 xx11=+−l dxxd; 22 =− Kh i tâm c a h có hoành b ng: Px+ Qx Px(0 +−+l d )( Qx 0 − d ) x =121 = 2 (b) C PQ+ PQ + 0 Pl Do x C = const hay x= x , t (a) và (b) suy ra: d = C C P+ Q 2.4. nh lý mômen ng l ng 2.4.1. Mômen ng l ng a. Định ngh ĩa z l Mômen động l ượng c ủa ch ất điểm đố i v ới tâm O nàour đó là O mV đại l ượng véct ơ, là mômen c ủa véct ơ động l ượng (mV ) c ủa ur l mV′ ch ất điểm l ấy đối v ới tâm ấy, ký hi ệu: O . O h Theo nh ngh a ta có (hình 2-14): r p r M uur uur urr ur l ( ) (2-26) O =mO mV = r ∧ mV Mômen động l ượng c ủa ch ất điểm l ấy đố i v ới m ột tr ục z là Hình 2-14 đại l ượng đạ i s ố, là mômen c ủa véctơ động l ượng c ủa ch ất l điểm l ấy đố i v ới tr ục ấy, ký hi ệu z : ur l ( ) (2-27) z=m z mV = ± mV′ h uur ur Trong ó: ′ là hình chi u c a trên m t ph ng ( ) vuông góc v i tr c z, h là V V π uur kho ng cách t giao im c a m t ph ng ( π) v i tr c z t i giá c a véct ơ V ′. Giá tr l uur z ly d u d ơ ng (+) n u nhìn t ng n tr c z xu ng m t ph ng ( π) th y V′ có chi u quay vòng quanh tr c z ng c chi u kim ng h , l l y d u âm (-) trong tr ng h p z ng c l i. 170
Mômen động l ượng c ủa c ơ h ệ l ấy đố i v ới m ột tâm O hay tr ục z là t ổng hình h ọc hay đại s ố mômen động l ượng c ủa t ất c ả các ch ất điểm thu ộc c ơ h ệ đối v ới cùng tâm uur hay cùng tr ục ấy, ký hi ệu L0 hay Lz : urn ur n uur uur n r uur l ( ) (2-28) LO=∑ Ok = ∑ mmV O kk =∧ ∑ rmV k kk k=1 k = 1 k = 1 n nuur n l ()( ) (2-29) Lz==∑ zk ∑ mmV zkk =± ∑ mVh kkk′ k=1 k = 1 k = 1 Nếu c ơ h ệ g ồm m ột s ố các v ật r ắn chuy ển độ ng thì mômen động l ượng c ủa c ơ h ệ đối v ới m ột tâm hay m ột tr ục, b ằng t ổng mômen độ ng l ượng c ủa các v ật thu ộc c ơ h ệ đối v ới cùng tâm hay cùng tr ục ấy. D dàng ch ng minh nh lý liên h sau: Chi ếu véct ơ mômen động l ượng c ủa ch ất điểm hay c ơ h ệ đố i v ới m ột tâm O lên tr ục z đi qua tâm ấy b ằng mômen độ ng l ượng c ủa ch ất điểm hay c ơ h ệ đố i v ới tr ục ấy. uur uur l l ; (2-30) chOzO= z ch Oz LO = L z 2 ơ n v tính mômen ng l ng: kg.m /s, th nguyên: [mômen ng l ng] = 2 ML . T b. Tính mômen động l ượng c ủa ch ất điểm, c ơ h ệ đối v ới các tr ục t ọa độ ur Gi s t i th i im kh o sát ch t im có t a x, y, z; có v n t c V(, x&y & , z& ) , còn O là g c t a c a h Oxyz. Ta có: r r r i j k urr ur l O =r ∧ mV = x y z mx& my & mz& Khai tri n nh th c và chú ý t i h th c u (2-30), ta c: l(&& ); l ( & & ); l ( && ) (2-31) x=−m yz zy y =− m zx xz z =− m xy yx T ó, suy ra i v i c ơ h : n n n (&& ); ( & & ); ( && ) (2-32) Lx=∑ myz kkkkk −= zyL y ∑ mzx kkkkk −= xzL z ∑ mxy kkk − yx kk k=1 k=1 k = 1 c. Mômen động l ượng c ủa v ật r ắn quay xung quanh tr ục c ố đị nh 171
Gi s v t r n quay xung quanh tr c c nh Oz v i v n t c góc . Ta coi ur uur ω . Xét m t ph n t M thu c v t có kh i l ng m , v n t c và cách tr c ω ↑↑ z k k V k n quay kho ng r (hình 2-15) theo nh ngh a: k Lz= ∑ mVr kkk′ k=1 Do . nên: Vk′ = V k = ω r k n n ( )2 . Lz=∑ mrr kkkω = ω ∑ mr kk = ω J z k=1 k = 1 ur Khi , ta có: . v y: (2-33) ω ↑↓ z Lz= − ω J z Lz= ± ω J z z z z A ′ Mk r ω r r r k r r k′ k m V r y k k r ′ M C k C y O x′ B x Hình 2-15 Hình 2-16 d. Tính mômen động l ượng c ủa h ệ Trong (2-28) ã a ra công th c nh ngh a tính mômen ng l ng c a h i vi m t tâm (O). Bây gi ta s bi n i nó, có áp d ng thu n ti n sau này. Dng h Cx ′y′z′ qua kh i tâm C c a c ơ h , chuy n ng t nh ti n i v i h quy chi u quán tính g c t i O là Oxyz. M k là ch t im b t k thu c c ơ h , ta có (hình 2- 16): r r r rk= r c + r k ′ urr uur uur dr k o hàm h th c trên theo th i gian: Vk = = V + V ′ dt C k urn r r ur uur H th c (2-28) tr thành: ( )( ) LO =∑ rrC +∧ k′ mVV k C + ′ k k =1 r r Khai tri n và chú ý r ng: là véct có ng n và g c trùng nhau, nên 0 , do ó rC′ ơ rC′ = uur urr ur uur 0 , ta thu c: (2-34) V′C = LO= rC ∧ MVC + L ′ C 172
uurn r uur Trong ó: , là mômen ng l ng c a c h trong chuy n ng L′C =∑ rk ′ ∧ mV k ′ k ơ k=1 tơ ng i l y i v i kh i tâm. nh lý C ơ-níc 1 Mômen động l ượng c ủa c ơ h ệ l ấy đố i v ới m ột tâm O nào đó b ằng mômen độ ng lượng c ủa kh ối tâm t ại đấ y t ập tr ụng toàn b ộ kh ối l ượng c ủa c ơ h ệ l ấy đố i v ới tâm O, cộng v ới mômen động l ượng c ủa c ơ h ệ trong chuy ển độ ng t ươ ng đối đố i v ới kh ối tâm lấy đố i v ới kh ối tâm. 2.4.2. nh lý mômen ng l ng a. Định lý đạ o hàm mômen động l ượng c ủa ch ất điểm Đạo hàm theo th ời gian mômen độ ng l ượng c ủa ch ất điểm đố i v ới m ột tâm O (hay tr ục z) b ằng t ổng hình h ọc (hay đạ i s ố) mômen c ủa các l ực tác d ụng lên ch ất điểm đố i với tâm (hay tr ục) ấy. ur dl ur• n ur uur O l ( ) =O = ∑mO F k dt k=1 (2-35) dl n uur z l& ( ) =z = ∑ m z F k dt k =1 ur ur dl drur ur ur r dV Ch ứng minh: Ta có: O =(r ∧ mV ) =∧ V mV +∧ r m dt dt dt ur ur ur uurn uur Vì 0, dV V∧= mV m == mW∑ F k dt k =1 ur ur dl rdV rnuur n r uur n uur uur Do ó: O =∧rm =∧ r∑ Fk = ∑ rF ∧= k ∑ mFO () k dt dt k=1 k = 1 k = 1 có h th c th hai c a (2-35), ta chi u h th c u lên tr c z i qua tâm O. b. Định lý đạ o hàm mômen động l ượng c ủa c ơ h ệ Đạo hàm theo th ời gian mômen độ ng l ượng c ủa c ơ h ệ đố i v ới tâm O (hay tr ục z) bằng t ổng hình h ọc (hay đạ i s ố) mômen c ủa các ngo ại l ực tác d ụng lên c ơ h ệ đố i v ới tâm (hay tr ục) ấy ur uur d L urn uur O =L = m F e O∑ O ( k ) dt k =1 (2-36) uur dL n z =L& = m F e z∑ z() k dt k =1 173
Ch ứng minh: Áp d ng nh lý mômen ng l ng cho ch t im th k c a c ơ h n ch t im, ta có: ur uur uur dl ur uur uur Ok =l =m Fe + m F i dt Ok O()()k O k uur uur Trong ó: e , i là h p các ngo i l c, n i l c tác d ng lên ch t i m th k thu c Fk Fk cơ h . L p h th c trên cho n ch t im và c ng v v i v l i, ta c: ur uur uur ndl nuur n uur O =mFe + mF i ∑ ∑O()()k ∑ O k k=1dt k = 1 k = 1 ur uur uur d L nuur n uur Hay O =mFe + mF i ∑O()()k ∑ O k dt k=1 k = 1 nh n c h th c th nh t c a nh lý, ta c n ch ra: n uur uur B F m F i = 0, ngh a là: Véct ơ mômen chính c a h n i lc B ∑ O ( k ) FB k =1 A r r tác d ng lên c ơ h tri t tiêu. r B rA Th t v y, xét hai ch t i m A, B b t k thu c h . L c tác ur ur ur ur O dng t ơ ng h gi a chúng FA, F B v i FA= − F B (hình 2-17). L y O làm tâm l y mômen, ta có: Hình 2-17 uur ur uur urr ur r ur mFO( A) + mF O ( B) =∧+∧ rFrFA A B B uur uur uur uur uur uurr r ur uuur ur Thay , ta c: ( ) 0 FA= − F B mFO( A) + mF O ( B) =−∧=∧≡ rr BA FB ABF B ur n uur uur n ur uur i d L O e Do A, B b t k , suy ra: m F = 0. T ó suy ra: = mO F ∑ O ( k ) ∑ ( k ) k =1 dt k=1 Chi u h th c này lên tr c z i qua O, ta nh n c h th c th hai c a (2-36) và nh lý c ch ng minh. 2.4.3. nh lu t b o toàn mômen ng l ng n uur uur ur uuuuur T h th c u c a (2-36), n u m F e ≡ 0, thì suy ra: L= const . ∑ O ( k ) O k=1 Vy, n u véct ơ mômen chính c a h ngo i l c tác d ng lên c ơ h luôn luôn b ng không, thì mômen ng l ng c a h i v i tâm y không i. Tơ ng t : N u t ng mômen c a các ngo i l c tác d ng lên c ơ h v i m t tr c luôn luôn b ng không, thì mômen ng l ng c a h v i tr c y không i, ngh a là: n uur e m F ≡ 0 suy ra: L z = const ∑ z( k ) k =1 174
Có th áp dng nh lu t b o toàn mômen ng l ng gi i thích nhi u hi n tng, ch ng h n: Xét chuy n ng lên th ng c a máy bay lên th ng: Cánh qu t t lên máy bay khi quay u không nh ng y không khí xu ng phía di mà còn truy n cho nó chuy n ng xoáy cùng chi u v i chi u quay c a cánh qu t. G i C z là tr c th ng ng i qua tr ng tâm C c a máy bay. B qua tác d ng c a kh i l ng khí ng yên bao quanh kh i không khí ang chuy n ng xoáy, ta s có: n uur m F e ≡ 0 ∑ Cz( k ) k=1 Suy ra: Lz(h ) = L z(máy bay) + L z(cánh qu t + kh i không khí nén) = const Do ban u h kh o sát ng yên, nên L z(h ) ≡ 0. Nên khi cánh qu t c a máy bay quay thì thân máy bay ph i quay quanh tr c Cz ng c chi u v i chi u quay c a cánh qu t. làm m t hi n t ng không mong mu n này, ng i ta t t i uôi máy bay mt cánh qu t nh , g i là cánh qu t lái. Nh ận xét: - Cng gi ng nh nh lý ng l ng, nh lý mômen ng l ng khi nghiên cu chuyên ng quay c a h cho phép lo i tr các n i l c ch a bi t tác d ng lên h . - Áp d ng nh lý mômen ng l ng ngoài vi c kh o sát chuy n ng quay c a h i v i tr c c nh, mà còn s d ng nó c trong lý thuy t con quay, lý thuy t va ch m và m r ng h ơn i v i các v t r n chuy n ng t do (ch ng h n nh : Chuy n ng c a máy bay, c a n, tên l a, ). 2.4.1. Chuy n ng d i tác d ng c a l c xuyên tâm l O V Cho m t i m O c nh c a m t h quy chi u quán tính. b ds M t ch t i m M s ch u tác d ng c a m t tr ng l c xuyên tâm h M uur O F có tâm O n u t i m i th i im, l c F c t vào M trên p cùng m t ng th ng v i OM. Hình 2-18 uur uur Trong tr ng h p m t l c xuyên tâm thì 0 . Nh mO ( F ) ≡ uuuur ur vy, t i m i th i im, OM vuông góc v i véct ơ l không i. Qu o c a M là ur O ph ng, m t ph ng qu o vuông góc v i véct l và ch a i m O (hình 2-18). ơ O Ngoài ra, ta c ng có: ur uur r uur r l ( ) . Do m không i, suy ra: ( ) . . Có th O=m O mv = const mO mv= vh = const ds gi i thích k t qu này b ng hình h c nh sau: vh= hdsh; . = 2 d σ . dt 175
Trong ó: d σ là di n tích tam giác qu t y u t Omb. T ó: dσ d σ vh=2 = const , hay : = const dt dt dσ c g i là v n t c di n tích, là không i i v i m t chuy n ng do l c xuyên dt tâm. K t qu này t o ra nh lu t các di n tích, t n t i trong chuy n ng các hành tinh và là m t trong s các nh lu t Kêple. Ví d 6. Qu c u M c bu c vào s i dây BM m m z uur nh không giãn nh n c v n t c ban u vuông góc B V O vi m t ph ng ABM. Qu cu chuy n ng sao cho dây cu n vào tr c AB th ng ng và có v n t c luôn luôn vuông góc v i m t ph ng i qua tr c và nó. Kho ng cách T h ban u t qu c u t i tr c là h 0. B qua kích th c c a M 1 tr c. Tìm v n t c c a qu c u khi kho ng cách t nó n tr c quay là h 1 ?. P h0 M Bài gi i: 0 A Ch n tr c z trùng v i AB. Qu c u coi nh ch t i m ur ch u tác d ng các l c g m: Tr ng l c P và ph n l c c a ur Hình 2-19 dây T . Áp d ng nh lý o hàm mômen ng l ng c a ch t im, ta có: dl ur ur z =m P + mT ≡ 0 dt z()() z Suy ra l , ngh a là: l(1) l (0) z = const z= z Do: l(0); l (1) . Thay vào h th c trên, ta nh n c: h0 z=mv00 h z = mv 11 h v1= v 0 h1 Ví d 7. M t s i dây m m nh không dãn, hai u bu c hai t i tr ng, tr ng l ng P và Q, v t qua ròng r c ng ch t NO R bán kính R tr ng l ng P 1, b qua ma sát tr c. Xác nh O gia t c các t i tr ng khi h chuy n ng. V P1 Bài gi i: Kh o sát c ơ h bao g m: Các t i tr ng, dây và ròng r c. Các V ngo i l c tác d ng lên c h là: Tr ng l ng c a ròng r c và các ur uur ur ơ uur Q ti tr ng: P1, P 2 , Q và ph n l c N O c a tr c ròng r c (hình 2- 20). P Hình 2-20 Áp d ng nh lý mômen ng l ng c a c ơ h i v i tr c 176
uur dL quay c a ròng r c Ox, ta có: x = m F e ∑ x( k ) dt k uur ur ur ur uur e Trong ó: mF= mP + mPmQ + + mNO =−( PQR ) ∑ xkx( ) ( 1 ) x( ) x( ) x ( ) k i l ng L x bao g m mômen ng l ng c a t i tr ng và ròng r c, b ng: P Q L= Jω + VR. + VR . x x g g V ây: ω = là v n t c góc c a ròng r c; R là bán kính c a nó; V là v n t c c a R P1 2 P1  R ti tr ng; J= 0,5 R , do ó: L= + PQV +  x g x 2  g R dV Thay các giá tr v a tìm c vào (a), ta c: (22).PPQ1 ++ =− ( PQR ) 2g dt dV2( PQ− ) T ó: w= = g dt P1 +2 P + 2 Q Ví d 8. Bánh công tác c a tuabin thu l c quay quanh tr c th ng ng v i v n t c ur góc không i ω. V n t c tuy t i c a ph n t n c t i ti t di n n c ch y vào là V1 h p v i ti p tuy n c a vòng tròn ngoài c a vành bánh m t góc . ti t di n n c uur α1 thoát ra, ph n t n c có v n t c V2 h p v i ti p tuy n c a vòng tròn trong c a vành bánh m t góc α2. Bán kính c a vòng ngoài và vòng trong c a vành bánh là r 1, r 2. Gi thi t n c ch y d ng trong các ng d n. Xác nh mômen quay do n c ch y kho ng gi a các cánh truy n cho bánh công tác (hình 2-21a). Bài gi i: Xét c ơ h g m: Kh i n c ch a y trong t t c các ng d n gi a các cánh. ur uur Ngo i l c tác d ng lên h : Tr ng l c c a kh i n c, các ph n l c c a các thành P Rk ng d n lên kh i n c. Ch n tr c z là tr c quay th ng ng và h ng xu ng phía di. a b a 1 α1 ur a1 V1 b1 a2 V1 Mq V2 c α2 d ur c1 a) d1 V2 b) Hình 2-21 177
Áp d ng nh lý mômen ng l ng c a c ơ h i v i tr z, ta có: dL ur uur z =mP + m R (1) dt z()() z k ur ur Trong ó: 0 vì song song cùng chi u v i tr c z. Xét m t ng d n, mz ( P ) = P gi s t i th i im t có kh i n c abcd, còn t i th i im t + dt kh i n c ó chi m v trí a 1b1c1d1 (hình 2-21b). Các th tích nguy n t abb 1a1 và cdd 1c1 b ng nhau vì l ng nc ch y vào và thoát ra trong ng d n trong cùng kho ng th i gian dt b ng nhau. Do ó kh i l ng c a chúng c ng b ng nhau. Ta có: Q m1= m 2 = m = dt ng Trong ó: n là s ng d n; Q là tr ng l ng c a n c ch y qua t t c các ng dn trong m t ơn v th i gian. Do chuy n ng c a dòng n c là d ng, bi n thiên mômen ng l ng c a kh i nc abcd i v i tr c z trong kho ng th i gian dt b ng hi u mômen ng l ng c a kh i n c cdd 1c1 và abb 1a1 i v i tr c z, ngh a là: (2) dLzk = mVh222 − mVh 111 ur ây: m = m 1 = m 2; h 1 và h 2 là kho ng cách t các véct ơ ng l ng m1 V 1 và uur m2 V 2 t i tr c z và: h11= rcosα 122; h = rcos α 2 .   Thay các giá tr vào (2) ta có: Q Q dLzk = rVcos22α 2 − rVcos 11 α 1  dt ng ng  Bin thiên mômen ng l ng c a toàn h i v i tr c z trong kho ng th i gian dt bng: Q dLz=∑ dL zk = n() rVcos22α 2 − rVcos 11 α 1 dt k ng uur Thay các k t qu trên vào (1), thu c: Q ()rVcos22α 2− rVcos 11 α 1 = ∑ mz () R k g k uur Các áp l c c a n c lên thành ng d n có l n b ng l n c a , chi u Rk ng c l i. Do ó, n c s tác d ng lên rôto m t mômen quay: uur Q Mq=−∑ m z () Rk =() rVcos11α 1 − rVcos 22 α 2 k g Chính nh mômen quay này mà rôto c a tu cbin ph n l c quay c. 178
2.5. nh lý ng n ng 2.5.1. ng n ng a. Định ngh ĩa - Động n ăng c ủa ch ất điểm là đại l ượng vô h ướng d ương b ằng n ửa tích kh ối lượng (m) c ủa ch ất điểm v ới bình ph ươ ng v ận t ốc (v) c ủa nó. 1 T= mV 2 2 - Động n ăng c ủa c ơ h ệ, ký hi ệu T, là t ổng độ ng n ăng c ủa t ất c ả các ch ất điểm thu ộc c ơ h ệ đó: n n 1 T= T = mv 2 (2-37) ∑k ∑ 2 k k k=1 k = 1 - Tr ường h ợp c ơ h ệ g ồm m ột s ố v ật r ắn chuy ển độ ng, thì động n ăng c ủa c ơ h ệ là tổng độ ng n ăng c ủa các v ật r ắn chuy ển độ ng thu ộc c ơ h ệ đó. L2 Th nguyên c a ng n ng [T ] = M , ơ n v th ng dùng là Jun (J), T 2 m2 1J = 1kg . s2 b. Tính động n ăng c ủa c ơ h ệ Tính ng n ng c a c ơ h chuy n ng b t k ngoài vi c dùng công th c nh ngh a (2-37), còn có th dùng công th c bi u th b ng nh lý sau: nh lý C ơ-níc 2 Động n ăng c ủa c ơ h ệ chuy ển độ ng b ất k ỳ, b ằng t ổng độ ng n ăng c ủa kh ối tâm t ại đó t ập trung toàn b ộ kh ối l ượng c ủa c ơ h ệ và động n ăng c ủa c ơ h ệ trong chuy ển độ ng tươ ng đối đố i v ới kh ối tâm. 1 T= MV2 + T ′ (2-38) 2 C C Ch ứng minh: uur uur uur T ng t nh vi c d n ra công th c (2-34) ( ), thay ơ định lý C ơ-níc 1 Vk= V C + V k′ vào (2-37), ta có: 11uuruur uur2 11 uur uur2 uuruur 2 ′2 ′. ′ T=∑∑ mVkk = mVV kCk() += ∑∑∑ mV kC + mV kk + mVV kCk kk22 kkk 22 1 1 1 Xét t ng thành ph n: 2 2 2 ∑mkC V= V C ∑ m k = MV C k2 2 k 2 179
1 2 , là ng n ng c a c h trong chuy n ng t ng i i v i kh i ∑ mk V′ k= T C ′ ơ ơ k 2 tâm. uuruur uur uur uur uur .0 ∑mVVkCk′= V C ∑ mV kk ′ = VMV C C ′ = k k uur uur (vì là v n t c c a i m C i v i h quy chi u có g c t i C, nên 0) VC′ VC′ = 1 Vy, ta c: T= MV2 + T ′ 2 C C c. Động n ăng c ủa v ật r ắn - Vt r n chuy n ng t nh ti n: V t r n chuy n ng t nh tin thì v n t c c a uur m i i m thu c v t u b ng nhau và b ng v n t c kh i tâm c a nó, nên: VC 1 1 1 2 2 2 (2-39) T=∑ mVkk = ∑ mV kC = MV C k2 k 2 2 - Vt r n quay xung quanh tr c c nh: V t r n quay xung quanh tr c c nh z vi v n t c góc ω, thì m t im M k thu c v t cách tr c quay kho ng r k s có v n tc V k = ω.r k. ng n ng c a v t r n b ng: 1 1 1 2( . ) 2 2 (2-40) T=∑ mVkk = ∑ mr kkω = J z ω k2 k 2 2 - Vt r n chuy n ng song ph ng: Trong chuy n ng song ph ng, m i d ch chuy n c a v t u có th th c hi n c b ng m t chuy n ng t nh ti n cùng v i cc và m t chuy n ng quay quanh tr c qua c c và vuông góc v i m t ph ng c ơ s. Nu ch n c c là kh i tâm C c a v t r n, áp dung nh lý C ơ-níc 2 v i chú ý n (2- 39) và (2-40), ta c: 1 1 1 T= MV2 += T′ MV 2 + J ω 2 (2-41) 2CC 2 C 2 Cz Trong ó J Cz là mômen quán tính c a v t r n i v i tr c Cz i qua kh i tâm và vuông góc v i m t ph ng c ơ s . 2.5.2. Công c a l c a. Định ngh ĩa ur Cho l c bi n i, có i m t M d i ch trên ng cong • Công y ếu t ố c ủa l ực: ur F ur (C). G i α là góc h p b i l c F và véct ơ v n t c V c a im t l c M; ds là d ch chuy n y u t c a M theo ng cong (C) (hình 2-22). 180
ur Công y ếu t ố c ủa l ực F , ký hi ệu dA, khi điểm đặ t l ực z F M d ời ch ỗ trên đường cong (C) là đại l ượng vô h ướng, M ds τ V xác định b ởi h ệ th ức: M0 M1 . (2-42) r F dA= Fcosα ds (C) r T (2-42) suy ra: y  Fds khi α = 0 x O  0 dA= 0 khi α = 90  0 Hình 2-22 −Fds khi α = 180 Có th bi u th h th c (2-42) các d ng: ruur r uur ur – D ng véct ơ: dA= Fcos.α ds = Fdrcos . α == Fdr . FVdt . (2-43) uur r – Dng t a các: dA= Fdr. = Xdx ++ Ydy Zdz (2-44) – D ng t a t nhiên: . (2-45) dA= Fcosα ds = Fdsτ ••• Công c ủa l ực trên quãng đường h ữu h ạn: uur Công c a l c F khi im t M d i ch trên ng cong (C) t M 0 n M 1 là: uur n ( ) lim A F= ∑ dA k M0 M 1 n→∞ k=1 Tng trên là tích phân ng t M 0 n M 1, ngh a là: (M1 ) A = dA = Fcosα. ds (2-46) M0 M 1 ∫ ∫ ( ) M0 M 1 M 0 L2 Th nguyên c a công [A ] = M , ơ n v th ng dùng là Jun(J), 1J = 1Nm = 1 T 2 kgm 2/s 2. – Công su t: Công su t, ký hi u là N, là công sinh ra trong m t ơn v th i gian. Ta có: dA F ds N= =τ = F V (2-47) dt dt τ ơ n v th ng dùng: Oát (ký hi u W), 1W = 1J/s Trong k thu t hay l y ơn v là mã l c ch công su t, 1 mãl c b ng 736 oát. b. Một s ố ví d ụ tính công c ủa l ực ur ••• Công c ủa tr ọng l ực: Gi s ch t im M ch u tác d ng c a tr ng l c P d i chuy n ur r t v trí M 0(x 0, y 0, z 0) n v trí M 1(x 1, y 1, z 1) (hình 2-23). g n m t t, coi P= mg không i và h ng th ng ng xu ng d i, song song v i tr c Oz. Ta có: 181
z1 z A = XdxYdy ++=− Zdz() mgdz =− Pz (0 z 1 ) M0 M 1 ∫ ∫ M0 M 1 z0 t là d i th ng ng c a i m t M h= z0 − z 1 M0 lc, ta c: M r 1 P = mg y A = ± Ph (2-48) M0 M 1 x O Trong ó: Công l y d u d ơ ng (+) n u im t Hình 2-23 tr ng l c h xu ng, l y d u âm ( −) n u im t tr ng lc nâng lên. Vy, công c a tr ng l c không ph thu c vào quãng ng i c a im t lc, mà ch ph thu c vào v trí u z và v trí cu i c a im t l c. A ••• Công c ủa l ực đặ t lên v ật r ắn quay xung quanh tr ục c ố F định (hình 2-24): r dϕ τ Gi s v t r n quay xung quanh tr c c nh z, d i tác O R F ur uur M τ dng c a l c F . Ta tính công c a l c F khi v t quay c m t góc . ϕ B uur Ta có: dA= Fds = FRd. ϕ ; do: FR.= m ( F ) , nên uur τ τ τ z Hình 2-24 ( ) . dA= mz F d ϕ uur ϕ uur Khi v t quay c m t góc , công c a l c b ng: ( ) ϕ F A= ∫ mFdz ϕ 0 (2-49) uur Nu m( F ) = M = const thì A = M ϕ z z M0 M 1 z Khi v t quay d i tác d ng c a ng u, thì M z h th c trên c hi u là gía tr c a ng u l c ã cho. l l 0 ∆l ••• Công c ủa l ực đàn h ồi: Xét t i tr ng M trên m t F M M ngang và g n vào lò xo (hình 2-25). H ng tr c Ox 1 z O M theo ph ơ ng ngang, g c O trùng v i v trí mút c a lò xo 0 x = ∆ l ch a bi n d ng. Khi M v trí b t k , thì t i tr ng ch u uur tác d ng l c àn h i F h ng v O. Theo nh lu t Húc, ta có: Hình 2-25 182
FC= ∆l = Cx , C là c ng c a lò xo. uur Công c a l c àn h i F khi t i tr ng d ch chuy n t M 0(x 0) n M 1(x 1) b ng: (M1 ) x 1 C 2 2 A =−() Cxdx =− Cxdx = () x0 − x 1 (2-50) M0 M 1 ∫ ∫ 2 (M0 ) x 0 ur Do và có h ng ng c chi u v n t c , do ••• Công c ủa l ực ma sát: Fms = fN V ó (hình 2-26): ()M1 () M 1 A =− Fds =− fNds (2-51) M0 M 1 ∫ms ∫ ()M0 () M 0 uur Công c a l c ma sát luôn luôn âm. F ms ur ur N ur r N C VC Fms r R v ur M F B M0 τ ms ur M1 P k Hình 2-26 Hình 2-27 ••• Công c ủa l ực ma sát tác d ụng lên v ật l ăn. Xét bánh xe l n không tr t trên m t ph ng ngang (hình 2-27). Công c a l c ma uur sát tr t b ng: F ms dA=− FdSms B =− FVdt ms B Do B là tâm v n t c t c th i: V B = 0, nên suy ra: dA = 0. Theo cách gi i thích này uur thì công y u t c a ph n l c pháp tuy n N c ng b ng không. ur uur Tuy nhiên, i v i ng u ma sát l n t o b i , có (k là h s ma sát (P N ) Ml = kN ln), thì: uuur dS dAM=− Mdϕ =− kNd ϕ =− kN C (2-52) ()l l R Trong ó: dS C là d ch chuy n y u t c a tâm bánh xe. Khi N không i, ta có: uur k A Ml =− kNϕ =− NS () R C 183
2.5.3. nh lý ng n ng a. Định lý vi phân độ ng n ăng c ủa ch ất điểm: Vi phân động n ăng c ủa ch ất điểm b ằng t ổng công y ếu t ố c ủa các l ực tác d ụng lên ch ất điểm ấy. mV 2  d= dA (2-53) 2  ∑ k   k Chứng minh: Xét ch t im có kh i l ng m, chuy n ng d i tác d ng c a các uur uur uur l c , , , . Theo ph ng trình c b n c a ng l c h c, ta có: F1 F 2 F n ơ ơ ur uur uur uur hay dV mW= ∑ F k m= ∑ F k k dt k r Gi dr là véct ơ di chuy n y u t c a ch t im trong h quy chi u quán tính. r Nhân vô h ng dr v i h th c trên, ta c: ur ruur r ur ur dV . . m dr=∑ FdrhaymVdVk = ∑ dA k dt k k ur 2 2 2 mV  Chú ý r ng V= V , h th c trên vi t c: d= dA 2  ∑ k   k b. Định lý bi ến thiên động n ăng c ủa ch ất điểm: Bi ến thiên động n ăng c ủa ch ất điểm trên m ột chuy ển d ời nào đó b ằng t ổng đạ i s ố công c ủa các l ực tác d ụng lên ch ất điểm trên cùng chuy ển d ời ấy. 12 1 2 M0 M (2-54) mV1− mV 0 = ∑ A k 2 2 k Ch ứng minh: Tích phân hai v h th c (2-53) theo các c n t ơ ng ng c a các bi n t i M 0 và M 1 ta nh n c h th c (2-54). c. Định lý vi phân độ ng n ăng c ủa c ơ h ệ: Vi phân động n ăng c ủa c ơ h ệ b ằng t ổng công y ếu t ố c ủa các n ội l ực và ngoại l ực tác d ụng lên c ơ h ệ ấy. i e (2-55) dT=∑ dAk + ∑ dA k k k Ch ứng minh: 184
Xét c ơ h n ch t im. G i công y u t c a h p các n i l c và h p các ngo i l c tác d ng vào ch t i m th k là i và e . Áp d ng nh lý vi phân ng n ng cho dA k dA k ch t im này, ta có: 2  mk V k i e d  = dAdAk + k 2  Lp các h th c trên cho t ng ch t im c a h và l y t ng t ng v , ta c: 1  2 i e d∑ mVkk  = dT = ∑ dA k + ∑ dA k k2  k k d. Định lý bi ến thiên động n ăng c ủa c ơ h ệ: Bi ến thiên động n ăng c ủa c ơ h ệ trên m ột chuy ển d ời nào đó b ằng t ổng đạ i s ố công của các n ội l ực và ngo ại l ực tác d ụng lên c ơ h ệ trên cùng chuy ển d ời ấy. i e (2-56) TT1− 0 =∑ Ak + ∑ A k k k Ch ứng minh: Gi công c a n i l c và ngo i l c tác d ng vào ch t im th k c a c ơ h trên m t chuy n d i nào ó là i và e . Áp d ng nh lý bi n thiên ng n ng cho ch t i m Ak Ak này trên cùng chuy n d i, ta có: 1 1 mV2− mV 2 = Ai + A e 2kk1 2 kk 0 k k Lp h th c trên cho t ng ch t im thu c c ơ h và c ng t ng v l i, thu c: 1 1 2 2 i e ∑mVkk1− ∑ mV kk 0 = ∑∑ A k + A k k2 k 2 kk Hay: i e TT1− 0 =∑ Ak + ∑ A k k k e. Định lý bi ến thiên động n ăng đối v ới v ật r ắn Bi ến thiên động n ăng c ủa v ật r ắn chuy ển độ ng trên m ột chuy ển d ời nào đó b ằng tổng đạ i s ố công c ủa các ngo ại l ực tác d ụng lên v ật r ắn trên cùng chuyển d ời ấy. e (2-57) T1− T 0 = ∑ A k k Ch ứng minh: Vt r n là tr ng h p c bi t c a c ơ h . ch ng minh h th c (2-57), ta ch c n ch ng minh: T ng công n i l c c a v t r n trên m t chuy n d i b t k b ng không, ngh a là: i 0 . ∑ Ak = k 185
Xét hai ch t i m A, B b t k thu c v t r n. Các n i l c ur V AB ur tác d ng lên chúng t o nên t ng c p tr c i nhau theo nh ur F F B lu t tác d ng và ph n tác d ng c a Niutơn (hình 2-28). Ta A B có: r A r r r B uur uur uurr uur r A i ()() . . ∑ dAk = dAFA + dAF B = FdrA A + Fdr B B k ruur r uur O Do , , do ó: drA= VdtA dr B = Vdt B Hình 2-28 uur uur uur uur uur uuruur ()(). . 0 dAFAB+ dAF =−= FAAB( V V) dt FV A AB dt = uur uur uur Vì vuông góc v i AB (theo nh lý c b n c a ng h c v t r n). VAB= V A − V B ơ Do A, B b t k , suy ra: i 0 ∑ Ak = k Nh ận xét: i v i c ơ h b t k , trong các nh lý ng l ng và mômen ng l ng c a h , không có m t c a n i l c trong các h th c bi u th các nh lý. Còn n i l c có m t trong các h th c bi u th các nh lý ng n ng. Tuy nhiên, n ph n l c liên k t nh là ngo i l c v n có m t trong các h th c bi u th các nh lý trên, còn i v i các nh lý ng n ng, n u b qua ma sát n ph n l c liên k t s b lo i tr trong các h th c ca nh lý. Ví d 9: Vt có tr ng l ng P r ơi không có v n t c ban u vào m t lò xo t cao h. Tìm co l n nh t c a lò xo λ, n u co t nh c a nó d i tác d ng c a v t này b ng λt. B qua kh i l ng c a lò xo. Bài gi i: Kh o sát v t nh ch t i m M. L c tác d ng lên ur M0 ur F dh ch t im: Tr ng l ng P trên chuy n d i t M 0 n h uur M M và l c àn h i lò xo trên chuy n d i t M n 1 F dh l M1 (hình 2-29). Áp d ng nh lý bi n thiên ng n ng ur P ca ch t im khi nó chuy n d i t M 0 n M 1, ta có: M1 12 1 2 M0 M 1 mV1− mV 0 = ∑ A k 2 2 k Trong ó: V 0 = 0; V 1 = 0; ur uur Hình 2-29 M0 M 1 ∑ Ak = AP( ) + AF( dh ) k 186
1 2 Hay: M0 m 1 ( ) ∑ Ak = Ph +λ − C λ k 2 ây: C là c ng c a lò xo, c tính t h th c: . Thay các k t qu P= C λt vào h th c trên, ta c ph ng trình xác nh : 2 2. 2 0 ơ λ λ− λλt − λ t h = Gi i ph ng trình này ta c: 2 2 ơ λλ=t + λ t + λ t h Rõ ràng: ; khi h = 0, ta có: 2 . λ> λ t λ= λ t Ví d 10. Bánh xe I tr ng l ng Q, bán kính r l n không tr t trong bánh xe II c nh trong m t ph ng th ng ng và truy n chuy n ng cho tay quay AB tr ng l ng P. T i th i im u tay quay v trí l p m t ur 0 R A góc α = 60 so v i ph ơ ng th ng ng và không có v n t c ban u. Xác nh v n t c A ur I . N góc c a tay quay t i th i im nó i qua v 60 0 II ur B trí cân b ng. B qua ma sát tr c, tay . P ω ur quay AB coi là thanh ng ch t dài l , bánh Q xe I coi nh a ng ch t (hình 2-30). . Bài gi i: CV ≡ C - Kh o sát c h bao g m tay quay AB ơ Hình 2-30 và bánh xe I. ur ur uur ur - Ngo i l c tác d ng lên c ơ h : P , Q , N , R A . - Ni l c tác d ng lên c ơ h : T i B có 1 ôi n i l c. - Áp d ng nh lý bi n thiên ng n ng i v i c ơ h ta có: n n e i (*) TT1− 0 =∑ Ak + ∑ A k 1 1 n - Tính i : Vì d ch chuy n c a i m t c a ôi n i l c này nh nhau, hai l c ∑ Ak 1 này l i tr c i (cùng giá, cùng c ng , ng c chi u) nên công sinh ra c a chúng có n tr s tuy t i b ng nhau nh ng ng c d u nên: i 0 . ∑ Ak = 1 n n ur ur uur ur - Tính e : e ∑ Ak ∑ Ak = AP()()()() + AQ + AN + AR A 1 1 ur Pl0 P l AP== Ph. (1 − cos60 ) = () P 2 4 187
ur 0 Ql AQ==− Ph. Q l (1 cos60 ) = () Q 2 uur uur A( N ) = 0 (do ph ơ ng c a l c N ⊥ ph ơ ng d ch chuy n c a im t lc). ur ur 0 (do i m t c a ng yên). A( R A ) = R A n Pl Q l P2 Q Ta có: e + l ∑ Ak = + = 1 4 2 4 - Tính T0 : T0 = 0 (t i th i im ban u c ơ h ng yên). AB I - Tính T1 : T1= T 1 + T 1 Gi s khi qua v trí cân b ng tay quay AB có v n t c góc ω, v n tc góc c a bánh ωl xe I là ωI, ta có: ω = . I r 1 1 2 2 AB 2 2Pl P l 2 Ta có: T1 =ω J = ω. . = ω 2Az 2g 36 g 1 1l2 3 l 2 I Q22 Q( ) 2ω  QQ 22 TVJ1 =+=ω ωl +  r = ω 22gBI I B I z 2 g 224 rgg  I 2 2 2 Pl23 Q l 2 (2 PQ+ 9) l 2 Suy ra: T1 =ω + ω = ω 6g 4 g 12 g Thay các k t qu vàp (*) ta có: 2 (29)PQ+l 2 PQ + 2 3(g P+ 2) Q ω = l suy ra ω = 12g 4 (2P+ 9 Q ) l Ví d 11. Hai thanh ng ch t AB và BC n i v i nhau b ng b n l B. M i thanh dài 2l và có bán kính quán tính i v i tr c i qua kh i tâm và vuông góc v i thanh là ρ. Chúng c d ng trên n n nh n n m ngang nh dây FG. Ti th i im nào ó dây b t. B qua ma sát b n l . Tính v n t c c a im B là hàm c a kho ng cách OB (hình 2-31a). Bài gi i: Xét c ơ h là hai thanh AB và BC. Do tính ch t i x ng, thanh chuy n ng d i tác d ng c a tr ng l c, nên i m B s chuy n ng theo ph ng th ng ng. Ngo i ur ơ uur lc tác d ng lên h g m: Các tr ng l c P và ph n l c pháp tuy n t i A, C là N và uur A . N i l c ch có b n l B không có ma sát. N C 188
y y B B K D ur E D ur ur VB E ur ur N NA P P C y ur A C A F G C x VC O O Hình 2-31a Hình 2-31b Áp d ng nh lý bi n thiên ng n ng c a c h , ta có: i e ơ TT1− 0 =∑ Ak + ∑ A k k k Do b qua ma sát b n l B, nên: i 0 ; T = 0 vì ban u h ng yên. H ∑ Ak = 0 k th c trên tr thành: e (a) T1 = ∑ A k k ur ur uur uur Trong ó: e ∑ Ak = AP( ) + AP( ) + AN( A) + AN( C ) k uur uur uur uur ây 0 vì , vuông góc v i ph ng d ch chuy n c a AN( A) = AN( C ) = NA N C ơ im t l c, còn khi B có t a (0, y) (hình 2-31b) thì: ur ur h− y AP+ AP =2 P =− Phy ( ) ()() 2 V y: e ( ) (b) ∑ Ak = Ph − y k 1  ng n ng c a h khi B(0, y) b ng: 2 2 P 2 2 TTT1 =+=AB BC T BC = V E + J Ez ω  2g 2  K là tâm v n t c t c th i c a BC, nên: KE l P 2 V V ; ; B B VE= V B = V B J Ez = ρ ω = = KB 4l2− y 2 g KB 4l2− y 2 Do ó, ta c: l2 2  l 22 22.P2 ρ+ ρ . P 2 (c) TTV1 ==BC B 22 + 22  = 22 V B 24gl− y 4 l − y  4 l − yg ghy(− )(4l2 − y 2 ) Thay (b), (c) vào (a), suy ra: V = B l2+ ρ 2 189
gh khi B r ơi t i n n thì y = 0, nên v n t c c a nó b ng: V = 2l B l2+ ρ 2 Ví d 12. Trên con l n hình tr bán kính R tr ng l ng P, ng i ta qu n s i A ur O dây m m nh không dãn và v t qua N ur V ròng r c O r i bu c vào t i tr ng D C C R tr ng l ng Q (hình 2-32). Xác nh ur D F ms B vn t c và gia t c kh i tâm C c a con ur ur ln khi nó d i c quãng ng S, ban P k Q u h ng yên. H s ma sát l n gi a con l n và m t ph ng ngang là k, bán Hình 2-32 kính quán tính c a nó i v i tr c quay bng ρ. B qua kh i l ng ròng r c O, gi thi t con l n l n không tr t trên m t ngang. Bài gi i: Xét h g m con l n, t i tr ng D, dây và ròng r c O. xác nh V C, ta áp d ng nh lý bi n thiên ng n ng c a c ơ h : i e (a) TT1− 0 =∑ Ak + ∑ A k k k Trong tr ng h p này: T = 0 và i 0 ; 0 ∑ Ak = k T1 = TD + T c l 1   Q 2 , còn P2 P 2 2 TD= V D Tcl = V C + ρ  ω 2g 2g 2  g  V Do im B c a con l n là tâm v n t c t c th i, nên: ω = C và V= V = 2 V . Do R D A C ó: 1 2   4 1 ρ 2 T1 = QP + + 2   V C 2g R   ur uur uur Tng công các ngo i l c c th c hi n ch do l c Q và ng u l c ( N, P ) . Do ur 2 , nên d ch chuy n th ng ng h c a t i tr ng D là 2 và .2 . VD= V C h= S AQ( ) = Q S M t khác vì N = P = const, công c a ng u l c ma sát l n b ng: Ml = kN uur k . V y: e 2 k AM()l = − PS ∑ Ak = QS − PS R k R 190
Thay các giá tr tìm c vào ph ơ ng trình (a), nh n c: 1 2   4 1ρ 2  2 k  QP++2   VC =− QPS  2g R    R  2gS( 2 QR− kP) R Suy ra: V = (b) C 4QR2+ P() R 2 + ρ 2 dS xác nh W C, o hàm (b) theo t và chú ý r ng V = , ta tìm c: C dt (2QR− kP) R W= g C 4QR2+ P ( R 2 + ρ 2 ) 2.5.4. nh lu t b o toàn c ơ n ng a. Định ngh ĩa - Tr ường l ực: Ph n không gian trong ó m i ch t im ch u tác d ng c a l c ch ph thu c vào v trí c a nó g i là tr ng l c. Theo nh ngh a: uur uur ur uur ur F= Fxyz( ,,) = Xxyzi( ,,.) + Yxyz( ,,.) j + Zxyzk( ,,.) - Tr ường l ực th ế: Trong tr ng l c n u t n t i hàm: U= Uxyz( , , ) sao cho th a mãn iu ki n: ∂U ∂ U ∂ U X=; Y = ; Z = ∂x ∂ y ∂ z (2-58) thì tr ng l c ó g i là tr ng l c th . Hàm U= Uxyz( , , ) c g i là hàm l c. Trong tr ng l c th , công c a l c không ph thu c vào d ng ng i c a im t l c, mà ch ph thu c vào v trí u và v trí cu i c a nó. uur M M ∂U ∂ U ∂ U Th t v y, ta có: A F= XdxYdyZdz ++= dx + dy + dz M0 M () ∫ ∫ ∂x ∂ y ∂ z M0 M 0 M ,, ,, ==−∫ dU UM() UM()0 = Uxyz() − Uxyz() 000 M 0 hay vi t ơ n gi n là: A= U − U 0 (2-59) - Th ế n ăng: Trong tr ng l c th , ta ch n im M 0(x 0, y 0, z 0) c nh. Giá tr ca im M 0 là U 0. Th n ng c a tr ng l c th t i v trí M(x, y, z), ký hi u là π; π = 191
π(x, y, z) là công c a l c sinh ra khi ch t im d ch chuy n t v trí M(x, y, z) b t k n v trí M 0(x 0, y 0, z 0). G i giá tr hàm t i v trí M(x, y, z) b t k là U, khi ó: π = U 0 − U (2-60) uur π c g i là hàm th ; l c F trong tr ng l c th g i là l c th . T (2-58) và (2-60) suy ra: ∂π ∂ π ∂ π X=−; Y =− ; Z =− (2-61) ∂x ∂ y ∂ z uur Do ó: A F= A =π0 − π (2-62) M0 M ( ) b. Định lu ật b ảo toàn c ơ n ăng Gi s các n i l c và ngo i l c tác d ng lên c ơ h kh o sát là nh ng l c th , khi ó, m i im c a c ơ h công c a các l c t lên nó b ng: uur uur A= AFi + AF e =−=− UU π π kkk( ) kk( ) k0 k 0 kk i v i t t c các n i và ngo i l c tác d ng lên các ch t im thu c h , ta có: uur uur A= AFi + AF e =−=−π πππ ∑∑k kk( ) ∑ kk( ) ∑∑0 k k 0 kk k kk Áp d ng nh lý bi n thiên ng n ng c a c ơ h trong tr ng h p này thì: T−= T0∑ A k =−π 0 π k Suy ra: T+π = const (2-63) Ký hi u: E= T + π , g i là c ơ n ng. H th c (2-63) tr thành E = const. C ơ h th a mãn iu ki n này g i là h b o toàn. H th c (2-63) là tích phân n ng l ng, nó bi u th nh lu t b o toàn c ơ n ng và c phát bi u nh sau: “Trong tr ường l ực th ế, t ổng động n ăng và th ế n ăng c ủa h ệ không đổ i”. C Ví d 13. S i dây ng ch t có chi u dài L, m t ph n ur S V L C nm trên bàn nh n n m ngang, chuy n ng c d i tác dng c a tr ng l ng ph n kia c a dây treo l ng ngoài bàn. L Hãy xác nh kho ng th i gian dây tr t kh i bàn. Bi t rng t i th i im ban u chi u dài on dây treo l ng bng l , còn v n t c ban u b ng không. Bài gi i: Hình 2-33 192
ur Xét h là dây ng ch t chi u dài L. G i là v n t c tr ng tâm c a dây, còn S là V C quãng ng i c c a tr ng tâm ph n treo l ng ngoài bàn (hình 2-33). Ta có: mV 2 T=C ; V = S & 2 C Ch n v trí mút d i dây khi tu t kh i bàn làm g c tính th n ng, khi ó: 2(SLS− ) ( L − 2) SL π =mg + mg L L Áp d ng nh lu t b o toàn c ơ n ng, ta c: 2g 2 2 T+π = constC = ⇒ S& +() L −2 S = C 2L l g 2 2 Ti th i im ban u: t = 0: S& =0; S = . Nên suy ra: C=()2 L − l do ó: 2 4L 2 dS g2 21 2  LCL  =+C()2 SL −= . S +−  dtL2L/ g  g 2  L L2 dS LLL+2 − l 2 T ó, ta nh n c: t = = ln ∫ 2 2 gl S − l / 4 g l 2 Chú ý: Các nh lý t ng quát c a ng l c h c trong h quy chi u quán tính c thi t l p trên c ơ s ph ơ ng trình c ơ b n c a ng l c h c trong h quy chi u quán tính (1-3). Mt cách t ơ ng t , các nh lý t ng quát c a ng l c h c trong h quy chi u không quán tính (trong chuy n ng t ơ ng i) c ng c thi t l p d a vào ph ơ ng trình c ơ b n c a ng l c h c trong h quy chi u không quán tính. Trong tr ng h p này, l c tác d ng lên ch t im và c ơ h ph i k thêm vào l c quán tính kéo theo và lc quán tính C ơriôlít. Tuy nhiên, i v i nh lý ng n ng do công c a l c quán tính Cơriôlít luôn luôn b ng không, nên l c này không có m t trong các h th c bi u th nh lý. 193
PH ẦN PH Ụ L ỤC (Dành riêng cho Sinh viên các ngành Công trình và Cơ khí) CH ƯƠ NG I: ĐỘNG L ỰC H ỌC V ẬT R ẮN 1.1. Chuy ển độ ng t ịnh ti ến c ủa v ật r ắn Vt r n chuy n ng t nh ti n thì m i im thu c v t s chuy n ng nh nhau, do ó ph ng trình vi phân chuy n ng c a tâm kh i l ng s là ph ng trình vi phân chuy n ng c a v t r n chuy n ng t nh ti n: uur n uur e (1-1) MWC = ∑ F k k=1 uur uur e Trong ó: M và W C là kh i l ng c a vt r n và gia t c c a tâm kh i l ng, F { k } là h ngo i l c t lên v t r n. (1-1) vi t d i d ng t a các: n n n &&e; && e ; && e (1-1) MxC=∑ X kC My = ∑ Y kC Mz = ∑ Z k ′ k=1 k = 1 k = 1 Da vào (1-1) hay (1-1) ′ có th gi i c hai bài toán c b n c a ng l c h c v t rn. uur e ur Chú ý: iu ki n c n và v t r n chuy n ng t nh ti n là M C = 0 và ω 0 = 0. 1.2. Chuy ển độ ng quay c ủa v ật r ắn quanh m ột tr ục c ố đị nh 1.2.1. Ph ươ ng trình vi phân chuy ển độ ng z ur NB Xét v t r n chuy n ng quay xung quanh m t tr c c ur e uur uur uur F B nh d i tác d ng c a h ngo i l c g m Fe , F e , , F e và 2 1 2 n ur e ( ) F uur uur 1 ur e ph n l c liên k t hai tr c là NA, N B (hình 1-1). F 2 Áp d ng nh lý o hàm mômen ng l ng i v i tr c ta có: ur e n uur ur e F dL z e F ur n = m F (1-2) k ∑ z( k ) A NA dt k=1 n uur Hay ϕ&& J= m F e (1-3) Hình 1-1 z∑ z( k ) k=1 217
n uur m F e ∑ z( k ) T ó rút ra: ε= ϕ && = k =1 J z n uur e − Nu m F ã cho thì J z càng l n, ε s càng nh và ngc l i, cho nên v t ∑ z( k ) k=1 rn chuy n ng quay xung quanh tr c c nh thì J z óng vai trò nh kh i l ng c a vt r n chuy n ng t nh it n. Vì th ng i ta coi J z – s o quán tính c a v t r n chuy n ng quay xung quanh tr c c nh. n uur − Nu m F e = 0 thì ε= ϕ&& = 0 ⇒ ω = const , v t quay u quanh tr c. ∑ z( k ) k =1 Ph ng trình chuy n ng có d ng: ϕ= ϕ0 + ω t n uur − Nu m Fe = const thì ε = const, v t r n quay bi n i u, ph ng trình ∑ z( k ) k =1 1 chuy n ng có d ng: ϕϕω= +t + ε t 2 0 0 2 Trong ó: ϕ0, ω0 là góc quay và v n t c góc ban u. T (1-2) ta có th gi i c hai bài toán c b n c a ng l c h c v t r n. 1.2.2. Xác định ph ản l ực độ ng l ực ở hai z gối đỡ c ủa tr ục quay c ố đị nh ur B Y ur B Di tác d ng c a h l c ho t ng XB uur uur uur a a a ur a F1, F 2 , , F v t r n chuy n ng quay xung F ( n ) ur 2 ur r a F k r quanh tr c z c nh v i ω và ε nh hình v C rε (hình 1-2). r ω r y Mk C uur uur O Xác nh ph n l c NA, N B các g i t i ur a th i im kh o sát. x F ur 1 ur Z Theo nguyên lý al mbe i v i v t r n thì a A ur F n h ngo i l c t lên v t cùng v i l c quán tính A YA ur ca các im thu c v t l p thành h l c cân b ng. XA Ta có h ph ng trình cân b ng: Hình 1-2 218
n uuruur uur uuur a qt 0 ∑ Fk + NA + N B + R = k=1 (1-3) n uruur ur uur ur uur uur a qt mFO+ mN OA + mN OB += M O 0 ∑ ()k ()() k=1 ur uur ur Ta ch n tr c Ox, Oy g n ch t v i v t r n, i, j và k là ba véct n v trên ba uuur uur ur uur ur uur tr c Ox, Oy, Oz. Xác nh qt , qt và , : R M O mO( N A) m O( N B ) ur uur ur uur Ta có: qt 2 2 (a) R=− MWC = My(εωCC + xiM) +( ωε y CC − xj) uurn uruuur n uur qt qt r MO = mFO =− rmW ∧ k ∑( k) ∑ () k k 1 1 (b) k=ur k = uur ur 2 2 =−()()εωJxz Ji yz ++ εω J yz JjJk xz − ε z ur uur ur uur (c) mO( N A ) = aYiA − aX A j ur uur ur uur (d) mO( N B ) = − bYiB + bXj B Thay (a), (b), (c) và (d) vào (1-3) ri chi u h ph ng trình này lên ba tr c t a ã ch n ta có: ∑ Xe +++ X X Mxω2 + My ε = 0  kAB C C e 2 0 ∑YkAB+++ Y Y My Cω − Mx C ε =  e 0 ∑ Zk+ Z A =  uur e 2 (1-4) ∑mF+−+ aY bYε J − ω J = 0  x() k A B xz yz  uur mFe − aX ++ bXε J + ω 2 J = 0 ∑ y() k A B yz xz  uur  m Fe −ε J = 0 ∑ z() k z Vì h t a Oxyz g n ch t vào v t, nên x C, y C, J xz , J yz và J z không i. Ph ng trình cu i c a (1-4) không ch a ph n l c chính là ph ng trình vi phân chuy n ng quay c a v t quanh tr c c nh. 5 ph ng trình còn l i xác nh 5 thành ph n ph n lc hai g i A và B, các thành ph n ph n l c không ch ph thu c vào ngo i l c ur r mà còn ph thu c vào ω và ε c a v t. Thành ph n ph n l c ph thu c vào ω và ε c g i là các thành ph n ph n l c ng l c. T (1-4) cho ω0 = ε = 0 ta có ph n l c t nh. 219
uur tìm các ph n l c ng l c ta cho X e = 0 , Y e = 0 , m F e = 0 và ∑ k ∑ k ∑ x( k ) uur m F e = 0 các ph ng trình (1), (2), (4), (5) c a h (1-4) ta có: ∑ z( k ) Xd++ X d Mxω2 + My ε = 0  AB C C d d 2 0 YAB++ Y My Cω − Mx C ε =  (1-5) d d 2 0 aYA− bY B +ε J xz − ω J yz =  d d 2 0 −+aXA bX B +ε J yz + ω J xz = T (1-5) ta th y: N u ω và ε l n thì thành ph n ph n l c ng l c l n, cho nên trong k thu t ta mu n nó tri t tiêu, khi ó ta có: Mxω2 + My ε = 0  C C 2 0 MyCω− Mx C ε =  (1-6) 2 0 εJxz− ω J yz =  2 0 εJyz+ ω J xz = 4 2 T (1-6) n u ω+ ε ≠ 0 thì t hai ph ng trình u ta có x C = y C = 0 do ó tr c Oz ph i i qua tâm kh i l ng C và t hai ph ng trình cu i ta có J xz = J yz = 0 do ó tr c Oz là tr c quán tính chính i v i im O c a v t. Vy iu ki n các thành ph n ph n l c ng l c tri t tiêu khi tr c quay Oz là tr c quán tính chính trung tâm. Ví d ụ 1. Bánh xe n ng 300KN có tr ng tâm cách tr c n m ngang m t kho ng 1mm. Tìm các ph n l c t i , kho ng cách gi a bánh xe và hai b ng nhau, cho bi t tr c quay u v i n = 1200 v/p, bánh xe có m t ph ng i x ng vuông góc vi tr c quay (hình 1-3). Hình 1-3 220
Bài gi ải: Ch n g c t a O là giao im tâm bánh xe v i tr c quay. Tr c Ox c a h ng i qua tâm kh i l ng C, tr c Oz và Oz 1 trùng v i tr c quay. Do ó x C = −1 và y C = 0. Vì bánh xe có m t ph ng i x ng vuông góc v i tr c quay nên mômen quán tính ly tâm b ng không: Jxz = J yz = 0. 1 l l Vì ϕ& =1200v / p = 40 π do ó: ε= ϕ && = 0 ta có: z= −; z = s A2 B 2 P Ph n l c t nh h c s b ng: XT= =150 KNX ; T = 150 KN . Da vào (1-5) ta có: A2 B  P & 2 d d −xCϕ = X A + X B  g 0 =Yd + Y d  A B  l l 0 d d  = −YA − Y B  2 2  l l 0 = −Xd + X d  2A 2 B P 2 Gi i h ph ng trình ta có: XXd==− d xϕ& =−240 KNYY ;d == d 0 AB2g C AB Ta thy ph n l c ng l c l n b ng 1,6 l n ph n l c t nh h c. H ng c a chúng uuur trong các th i im theo h ng véct OC . 1.3. Chuy ển độ ng song ph ẳng c ủa v ật r ắn uur uur uur y Di tác d ng c a h ngo i l c Fe, F e , , F e v t ( 1 2 n ) rn chuy n ng song ph ng. B ti n cho vi c kh o sát ta ch n tâm kh i l ng C C ϕ ca v t r n làm c c, h quy chi u Oxy c nh trùng v i x mt ph ng c nh c a hình ph ng (hình 1-4). O Ph ng trình chuy n ng c a v t r n là: Hình 1-4 ( ); ( ); ( ) (1-7) xxtyytC= C C = C ϕ = ϕ t 221
Áp dng nh lý chuy n d i kh i tâm và nh lý o hàm mômen ng l ng c a c h theo th i gian ta có ph ng trình vi phân chuy n ng song ph ng c a v t r n:  n && e MxC= ∑ X k  k =1  n && e (1-8) MyC= ∑ Y k  k =1  n uur Jϕ&& = m F e Cz∑ Cz() k  k =1 T h (1-8) có th gi i c hai bài toán c b n c a ng l c h c v t r n. Nu bi t tr c qu o tâm kh i l ng thì h ph ng trình (1-8) có th vi t d i dng t a t nhiên:  n && eτ MsC= ∑ F k  k=1  V 2 n C en (1-9) M= ∑ F k  ρC k =1  n uur Jϕ&& = m F e Cz∑ Cz() k  k =1 Trong ó: sC, V C, ρC là to cong, v n t c và bánh kính cong c a tâm kh i l ng. Ví d ụ 2. M t con l n có tr ng l ng là P, bán kính là R l n không tr t trên m t ph ng nghiêng, nghiêng m t góc α so v i ph ng n m ngang. Tìm gia t c c a tâm con l n và h s ma sát tr t nh nh t con l n l n không tr t, b qua ma sát l n (hình 1-5). y O C uur ur ur WC F N ur ur P VC ϕ x Hình 1-5 Bài gi ải: 222
Con l n chuy n ng song ph ng, ch n tâm kh i l ng C làm c c. Gi F là tr s l c ma sát tr t nh nh t con l n l n không tr t. Ch n h quy chi u nh hình v . Ph ng trình vi phân chuy n ng c a con l n có d ng:  P &&x= Psin α − F  g C  0 =N − Pcos α (a) ϕ&& J= R. F  Cz  PR 2 Ta có: V= x& = ω. R , do ó &&x=ε. R ; J = C C C Cz 2g Thay vào ph ng trình cu i c a (a) ta có: PR2 P Px&& ε.= RF . ⇒ F= ε R = C (b) 2g 2 g 2 g Thay (b) vào ph ng trình u c a (a) ta có: PPx&& 2 g sin α &&xP=sin α − C ⇒ &&xW= = gC2 g C 3 Psin α Vy F = 3 T ph ng trình (2) c a (a) ta có N = Pcos α. Psinα 1 iu ki n con l n không tr t là: F≤ fN hay ≤ fPcosα⇒ f≥ tg α 3 3 1 Vy f= tg α . min 3 1.4. Chuy ển độ ng quay quanh m ột điểm c ố đị nh c ủa v ật r ắn 1.4.1. Mô men động l ượng và động n ăng a. Mô men động l ượng rr r Vn t c c a im b t k thu c v t: v=ω ∧ r . Do ó mô men ng l ng c a v t rn i v i im c nh O b ng: ur rrrr r r rr r 2 LO = ∑ rmvkkk∧ = ∑ rm kk∧(ω ∧ r k) = ω∑ mr kk− ∑ mrr kkk( ∧ ω ) k k kk 223
Chi u h th c này lên h tr c ng Oxyz (g n li n v i v t r n), ta c: (2 2 2 )( ) Lx= ω x∑ mxyz kk+ k + k − ∑ mxx kkxk ωωω+ yk y + jk z = k k (2 2 ) = ωk∑ myz kk+ k − ω y∑ mxy kkk− ω j∑ mxz kkk k k k Hay: t ng t ta có: Lx=ω x J xx − ω y J xy − ω z J xz (1-10) Lz=−ω xzx J − ω yzy J + ω zzz J Lz=−ω xzx J − ω yzy J + ω zzz J Nu h Oxyz là h tr c quán tính chính i v i im O thì các mômen tích quán tính (mômen quán tính ly tâm) b ng không và ta có: ; ; (1-11) Lx==ω xxx J ApL y == ω yyy J BqL z == ω zzz J Cr ây ký hi u: , , . Jxx= AJ yy = BJ zz = C b. Động n ăng c ủa v ật r ắn ng n ng c a v t r n tính theo công th c: 1 1r 1 rr r T= ∑ mv2 = ∑ mv= ∑ mvω ∧ r = 2kk 2 kk 2 kk() k k k k 1rrr 1 r rr 1 r ur . = ∑ω()rmvk∧ kk = ω∑ rmv k∧ kk = ω L O 2k 2 k 2 T ó, ta có: 1 TJJJJ= ω2 ++− ω 2 ω 2 2 ωω − 2 J ωω − 2 J ωω  (1-12) 2  xxx yyy zzz xzxz yzyz zxzx  Nu h Oxyz là h tr c quán tính chính i v i im O thì: 1 1 T= Jω2 ++ J ω 2 J ω 2  = ApBqCr 222 ++  (1-13) 2xx x yy y zz z  2  1.4.2. Ph ươ ng trình động l ực h ọc Ơ-le uur Gi M O là vect mômen chính c a h ngo i l c tác d ng lên v t r n i v i im c nh O, ta có: uur ur uur ∑ e (1-14) MO = mO F k k ( ) ur uur d L O Theo nh lý o hàm mômen ng l ng ta có: = M O (1-15) dt 224
r r da r da% Ký hi u: là o hàm c a véct a theo t i v i h c s (h c nh); là dt dt r o hàm c a véct a theo t i v i h ng ( o hàm c c b ), thì: r r da da% r r = +ω ∧ a (1-16) dt dt Áp d ng công th c (1-16) i v i ph n trái c a (1-15). Ta có: r r da da% r ur = +ω ∧ LO (1-17) dt dt Thay (1-17) vào (1-15) nh n c: ur % ur ur uur d L O +ω ∧LO = M O (1-18) dt Chi u h th c (1-18) lên h tr c ng Oxyz và b d u ký hi u o hàm c c b , ta c: dL x  +ωyzL − ω zy L = M x  dt dL y (1-19)  +ωzxL − ω xz L = M y  dt dL z  +ωxyL − ω yx L = M z  dt Nu h tr c ng Oxyz là h tr c quán tính chính i v i im O thì: ; ; LJx== xxxω ApL y == J yyy ω BqLJ z == zzz ω Cr  dp ( ) A+ C − Bqr = M x  dt Ph ng trình (1-19) tr thành:  dq ( ) (1-20) B+ A − C rp = M y  dt  dr ( ) C+ B − Apq = M z  dt Các h th c (1-20) do Ơ-le n ra u tiên vào n m 1765 và c g i là các ph ng trình ng l c h c Ơ-le. H (1-20) k t h p v i ba h th c ng h c Ơle t o thành h sáu ph ng trình vi phân th ng phi tuy n i v i sáu n s : ωx, ωy, ωz và ϕ, ψ, θ. Tích phân h này ta c các hàm t ng ng ch a các h ng s tích phân. Các h ng tích phân c xác nh khi cho bi t v trí và v n t c góc ban u c a v t r n. Nói chung M x, M y, M z là 225
hàm c a t, ϕ, ψ, θ, ωx, ωy, ωz, nên th c ch t vi c tích phân h ph ng trình ã ch trên là r t khó kh n ngay c i v i tr ng h p riêng. Mt s bài toán riêng ã c nghiên c u: uur a. Tr ường h ợp Ơle – Poanhxô: Xét khi MO = 0 b. Tr ường h ợp Lagr ăng – Poanhxô: Xét khi A=B và tr ọng tâm c ủa v ật r ắn nằm trên tr ục đố i x ứng độ ng l ực. c. Tr ường h ợp Côvalepxki đã được xét vào n ăm 1905. Xét khi A = B = 2C và tr ng tâm c a v t r n n m m t ph ng xích o c a Ellípxôít quán tính. Nh ng nghiên c u ti p theo c a nhi u tác gi khác ã ch ra r ng: Ngoài ba tr ng h p kh o sát k trên, i v i các tr ng h p khác, không có tr ng h p nào tn t i tích phân i s . Mt s tác gi ti p theo ã tìm các tr ng h p t n t i tích phân i s riêng, ngh a là các tích phân có trong iu ki n ban u ch n c bi t nào ó, ch ng h n nh : Héc, Chanpl ghin, 1.5. Lý thuy ết g ần đúng c ủa hi ện t ượng con quay 1.5.1. Khái ni ệm. Mô hình con quay trong giá các đă ng Vt thu n ch t quay nhanh quanh tr c i x ng, tr c này D có th i h ng trong không gian, g i là con quay. K Ng i ta t o ra con quay b ng hình tr c ho c hình B A xuy n c liên k t sao cho m t trong các im c a tr c quay E F luôn luôn c nh. Nh ng liên k t nh th c th c hi n, I C ch ng h n, nh m t cái giá và c g i là giá các ng. Mô hình con quay (Gyrôxc p) trong giá các ng có c u t o nh sau (hình 1-6): Hình 1-6 Rôto: Là bánh à n ng quay r t nhanh quanh tr c i x ng vt ch t. Nó là b ph n ch y u c a Gyrôxc p. Rôto c treo trên giá g i là giá các ng. Khung trong: là vòng tròn A ng ch t mà ng kính CD c a nó là tr c quay c a bánh à (Rôto). ng kính IK ⊥ CD là tr c c a chính nó. Khung ngoài: Vòng tròn A c treo vào vòng tròn B mà ng kính EF c a nó có th quay t do quanh hai tr c g n trên giá . 226