Giáo trình CAD thiết kế ô tô (Phần 1) - Nguyễn Thế Tranh

69 trang ngocly 1050

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình CAD thiết kế ô tô (Phần 1) - Nguyễn Thế Tranh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_cad_thiet_ke_o_to_phan_1_nguyen_the_tranh.pdf

Nội dung text: Giáo trình CAD thiết kế ô tô (Phần 1) - Nguyễn Thế Tranh

C1 CAD-CAM> TONGQUAN 1 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Chương 1. TỔNG QUAN VỀ CAD/CAM 1.1 VAI TRÒ VÀ CHỨC NĂNG CỦA CAD/CAM TRONG NỀN SX HIỆN ĐẠI. 1.1.1 Giới thiệu về CAD/CAM hay CAO/FAO. Thiết kế và chế tạo có sự tham gia của máy vi tính (CAD/CAM hay CAO/FAO) thường được trình bày gắn liền với nhau. Thật vậy, hai lĩnh vực ứng dụng tin học trong ngành cơ khí chế tạo này có nhiều điểm giống nhau bởi chúng đều dựa trên cùng các chi tiết cơ khí và sử dụng dữ liệu tin học chung: đó là các nguồn đồ thị hiển thị và dữ liệu quản lý. Thực tế, CAD và CAM tương ứng với các hoạt động của hai quá trình hỗ trợ cho phép biến một ý tưởng trừu tượng thành một vật thể thật. Hai quá trình này thể hiện rõ trong công việc nghiên cứu (bureau d’étude) và triển khai chế tạo (bureau des méthodes). Xuất phát từ nhu cầu cho trước, việc nghiên cứu đảm nhận thiết kế một mô hình mẫu cho đến khi thể hiện trên bản vẽ biễu diễn chi tiết. Từ bản vẽ chi tiết, việc triển khai chế tạo đảm nhận lập ra quá trình chế tạo các chi tiết cùng các vấn đề liên quan đến dụng cụ và phương pháp thực hiện. Hai lĩnh vực hoạt động lớn này trong ngành chế tạo máy được thực hiện liên tiếp nhau và được phân biệt bởi kết quả của nó. * Kết quả của CAD là một bản vẽ xác định, một sự biểu diễn nhiều hình chiếu khác nhau của một chi tiết cơ khí với các đặc trưng hình học và chức năng. Các phần mềm CAD là các dụng cụ tin học đặc thù cho việc nghiên cứu và được chia thành hai loại: Các phần mềm thiết kế và các phần mềm vẽ. * Kết quả của CAM là cụ thể, đó là chi tiết cơ khí. Trong CAM không truyền đạt một sự biểu diễn của thực thể mà thực hiện một cách cụ thể công việc. Việc chế tạo bao gồm các vấn đề liên quan đến vật thể, cắt gọt vật liệu, công suất của trang thiết bị, các điều kiện sản xuất khác nhau có giá thành nhỏ nhất, với việc tối ưu hoá đồ gá và dụng cụ cắt nhằm đảm bảo các yêu cầu kỹ thuật của chi tiết cơ khí. Nhằm khai thác các công cụ hữu ích, những ứng dụng tin học trong chế tạo không chỉ hạn chế trong các phần mềm đồ hoạ hiển thị và quản lý mà còn sử dụng việc lập trình và điều khiển các máy công cụ điều khiển số, do vậy đòi hỏi khi thực hiện phải nắm vững các kiến thức về kỹ thuật gia công.
C1 CAD-CAM> TONGQUAN 2 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Trong chế tạo, việc sử dụng các dữ liệu tin học phải lưu ý đến nhiều mối quan hệ ràng buộc. Các ràng buộc này nhiều hơn trong thiết kế. Việc cắt gọt vật liệu trên một máy công cụ điều khiển số hay một máy công cụ vạn năng thông thường là như nhau, trong hai trường hợp vật liệu không thay đổi về tính chất. Trong khi đó các dữ liệu tin học có trong môi trường công nghiệp cũng có trong các xưởng gia công. Các nguồn dữ liệu này cải thiện kỹ thuật chế tạo, chuyển đổi phương pháp và dẫn đến thay đổi quan trọng trong các công việc hoàn thành khi lập qui trình công nghệ cũng như trên vị trí làm việc. Ngoài công việc cho phép điều khiển số các nguyên công gia công, việc thiết lập các dữ liệu tin học mang lại nhiều sự cải thiện về kết cấu liên quan đến cấu trúc máy và đồ gá, các phương pháp chế tạo và kiểm tra sản phẩm, thiết kế dụng cụ cắt và các cơ cấu tự động khác. Mặt khác, các ứng dụng tin học này cũng cho phép khai thác tốt hơn các khả năng mới của máy và dụng cụ. Ngày nay việc chuyển biến từ một ý tưởng trừu tượng thành một sản phẩm thực tế có thể theo một quá trình hoàn toàn được chi phối bởi máy tính điện tử, như sơ đồ hình 1.1 đã chỉ rõ. BUREAUTIQUE ADMINISTRATION ET COMMUNICATION ET GESTION CONCEPTION, MODELISATION, ANALYSE ET INGENIERIE ASSISTE PAR BUREAU ORDINATEUR (CAO - IAO) D’ETUDE CAO DESSIN ASSISTE PAR FABRICATION ORDINATEUR (DAO) INTEGREE SUR ORDINATEUR (FIO) PROCEDES, SIMULATION, PROGRAMMATION BUREAU DE METHODES FAO MOCN MOCN AUTOMAT ROBOT CONTRÔLE DE QUALITÉ INVENTAIRE ET MANUTENTION ADMINISTRATION ET GESTION Hình 1.1 - Sơ đồ CAO - FAO - FIO
C1 CAD-CAM> TONGQUAN 3 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Ta phân biệt hai loại dụng cụ tin học trong nghiên cứu thiết kế: - Các phần mềm vẽ có sự tham gia của máy tính điện tử (Dessin Assisté par Ordinateur-DAO hay Computer Aided Drawing - CAD). - Các phần mềm thiết kế có sự tham gia của máy tính điện tử (Conception Assistée par Ordinateur-CAO hay Computer Aided Design-CAD). Trong tiếng Anh ta sử dụng từ CAD chung cho cả hai phần mềm này. Trong triển khai chế tạo ra sản phẩm từ bản vẽ thiết kế, ngày nay có các phần mềm ứng dụng đó là các phần mềm chế tạo có sự tham gia của máy tính điện tử ( Fabrication Assistée par Ordinateur - FAO hay Computer Aided Manufacturing - CAM) Khi sự tích hợp trên máy tính điện tử cho các hoạt động thiết kế và chế tạo được thực hiện, tức là khi việc thực hiện có thể trực tiếp dựa vào các dữ liệu số được tạo ra bởi việc thiết kế, tập hợp các hoạt động đặc trưng của CAD/CAM được mô tả dưới khái niệm chế tạo được tích hợp bởi máy tính điện tử ( Fabrication Intégrée par Ordinateur - FIO hay Computer integrated Manufacturing - CIM). Do vậy CIM biểu diễn các hoạt động tương ứng với thiết kế, vẽ, chế tạo và kiểm tra chất lượng của một sản phẩm cơ khí. 1.1.2 Đối tượng phục vụ của CAD/CAM. Xu thế phát triển chung của các ngành công nghiệp chế tạo theo công nghệ tiên tiến là liên kết các thành phần của qui trình sản xuất trong một hệ thống tích hợp điều khiển bởi máy tính điện tử (Computer Integrated Manufacturing - CIM). Các thành phần của hệ thống CIM được quản lý và điều hành dựa trên cơ sở dữ liệu trung tâm với thành phần quan trọng là các dữ liệu từ quá trình CAD. Kết quả của quá trình CAD không chỉ là cơ sở dữ liệu để thực hiện phân tích kỹ thuật, lập qui trình chế tạo, gia công điều khiển số mà chính là dữ liệu điều khiển thiết bị sản xuất điều khiển số như các loại máy công cụ, người máy, tay máy công nghiệp và các thiết bị phụ trợ khác. Công việc chuẩn bị sản xuất có vai trò quan trọng trong việc hình thành bất kỳ một sản phẩm cơ khí nào.
C1 CAD-CAM> TONGQUAN 4 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Công việc này bao gồm: - Chuẩn bị thiết kế ( thiết kế kết cấu sản phẩm, các bản vẽ lắp chung của sản phẩm, các cụm máy.v.v ) - Chuẩn bị công nghệ (đảm bảo tính năng công nghệ của kết cấu, thiết lập qui trình công nghệ) - Thiết kế và chế tạo các trang bị công nghệ và dụng cụ phụ v.v - Kế hoạch hoá quá trình sản xuất và chế tạo sản phẩm trong thời gian yêu cầu. Hiện nay, qua phân tích tình hình thiết kế ta thấy rằng 90% thời lượng thiết kế là để tra cứu số liệu cần thiết mà chỉ có 10% thời gian dành cho lao động sáng tạo và quyết định phương án, do vậy các công việc trên có thể thực hiện bằng máy tính điện tử để vừa tiết kiệm thời gian vừa đảm bảo độ chính xác và chất lượng. CAD/CAM là lĩnh vực nghiên cứu nhằm tạo ra các hệ thống tự động thiết kế và chế tạo trong đó máy tính điện tử được sử dụng để thực hiện một số chức năng nhất định. CAD/CAM tạo ra mối quan hệ mật thiết giữa hai dạng hoạt động: Thiết kế và Chế tạo. Tự động hoá thiết kế là dùng các hệ thống và phương tiện tính toán giúp người kỹ sư thiết kế, mô phỏng, phân tích và tối ưu hoá các giải pháp thiết kế. Tự động hoá chế tạo là dùng máy tính điện tử để kế hoạch hoá, điều khiển và kiểm tra các nguyên công gia công. 1.1.3 Vai trò của CAD/CAM trong chu kỳ sản xuất. Khái niệm Thiết kế Vẽ SP mới sản phẩm chi tiết Nhu cầu thị trường Nhu cầu Kế hoạch hoá TTB mới QTSX Kiểm tra Sản xuất Lập chất lượng sản phẩm biểu đồ SX Hình 1.2- Sơ đồ chu kỳ sản xuất
C1 CAD-CAM> TONGQUAN 5 GVC NGUYỄN THẾ TRANH TĐH Vẽ bằng thiết kế MTĐT Khái niệm Thiết kế Vẽ chi tiết SP mới SP Nhu cầu Nhu cầu KHH TĐH KHH thị tr ường TTB mới QTSX QTSX Kiểm tra Sản xuất Lập biểu đồ chất lượng sản phẩm SX TĐH TB ĐK bằng Vẽ BĐ, lập nhu cầu KTCL MTĐT NVL KT Hình 1.3 - Sơ đồ chu kỳ sản xuất khi dùng CAD/CAM Rõ ràng rằng CAD/CAM chi phối hầu hết các dạng hoạt động và chức năng của chu kỳ sản xuất. Ở các nhà máy hiện đại, trong công đoạn thiết kế và chế tạo, kỹ thuật tính toán ngày càng phát huy tác dụng và là nhu cầu không thể thiếu được. 1.1.4 Chức năng của CAD. Khác biệt cơ bản với qui trình thiết kế theo công nghệ truyền thống, CAD cho phép quản lý đối tượng thiết kế dưới dạng mô hình hình học số trong cơ sở dữ liệu trung tâm, do vậy CAD có khả năng hỗ trợ các chức năng kỹ thuật ngay từ giai đoạn phát triển sản phẩm cho đến giai đoạn cuối của quá trình sản xuất, tức là hỗ trợ điều khiển các thiết bị sản xuất bằng điều khiển số. Hệ thống CAD được đánh giá có đủ khả năng để thực hiện chức năng yêu cầu hay không, phụ thuộc chủ yếu vào chức năng xử lý của các phần mềm thiết kế. Ngày nay những bộ phần mềm CAD/CAM chuyên nghiệp phục vụ thiết kế và gia công khuôn mẫu có khả năng thực hiện được các chức năng cơ bản sau:
C1 CAD-CAM> TONGQUAN 6 GVC NGUYỄN THẾ TRANH - Thiết kế mô phỏng hình học 3 chiều (3D) những hình dạng phức tạp. - Giao tiếp với các thiết bị đo, quét toạ độ 3D thực hiện nhanh chóng các chức năng mô phỏng hình học từ dữ liệu số. - Phân tích và liên kết dữ liệu: tạo mặt phân khuôn, tách khuôn, quản lý kết cấu lắp ghép - Tạo bản vẽ và ghi kích thước tự động: có khả năng liên kết các bản vẽ 2D với mô hình 3D và ngược lại. - Liên kết với các chương trình tính toán thực hiện các chức năng phân tích kỹ thuật: tính biến dạng khuôn, mô phỏng dòng chảy vật liệu, trường áp suất, trường nhiệt độ, độ co rút vật liệu, - Nội suy hình học, biên dịch các kiểu đường chạy dao chính xác cho công nghệ gia công điều khiển số. - Giao tiếp dữ liệu theo các định dạng đồ hoạ chuẩn. - Xuất dữ liệu đồ hoạ 3D dưới dạng tập tin STL để giao tiếp với các thiết bị tạo mẫu nhanh theo công nghệ tạo hình lập thể. Những ứng dụng của CAD trong ngành chế tạo máy: • Tạo mẫu nhanh thông qua giao tiếp dữ liệu với thiết bị tạo mẫu nhanh theo công nghệ tạo hình lập thể (đo quét toạ độ) • Giảm đáng kể thời gian mô phỏng hình học bằng cách tạo mô hình hình học theo cấu trúc mặt cong từ dữ liệu số. • Chức năng mô phỏng hình học mạnh, có khả năng mô tả những hình dáng phức tạp nhất. • Khả năng mô hình hoá cao cho các phương pháp phân tích, cho phép lựa chọn giải pháp kỹ thuật tối ưu. 1.2 THIẾT KẾ VÀ GIA CÔNG TẠO HÌNH. Theo lịch sử hình thành và phát triển ta có thể phân biệt công nghệ thiết kế và gia công tạo hình như sau: - Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ truyền thống. - Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ CAD/CAM - Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ tích hợp CIM 1.2.1 Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ truyền thống. Trong công nghệ truyền thống, các mặt cong 3D phức tạp được gia công trên máy vạn năng theo phương pháp chép hình sử dụng mẫu hoặc dưỡng. Do vậy qui trình thiết kế và gia công bao gồm có 4 giai đoan phân biệt (Hình 1.4): 1. Tạo mẫu sản phẩm, 2. Lập bản vẽ kỹ thuật, 3. Tạo mẫu chép hình, 4. Gia công chép hình. Qui trình này có những hạn chế:
C1 CAD-CAM> TONGQUAN 7 GVC NGUYỄN THẾ TRANH - Khó đạt được độ chính xác gia công, chủ yếu do quá trình chép hình, - Dễ dàng làm sai do nhầm lẫn hay hiểu sai vì phải xử lý một số lớn dữ liệu, - Năng suất thấp do mẫu được thiết kế theo phương pháp thủ công và qui trình được thực hiện tuần tự: tạo mẫu sản phẩm - lập bản vẽ chi tiết - tạo mẫu chép hình - phay chép hình. Ý TƯỞNG Hiệu chỉnh VẼ & THIẾT KẾ MẪU SẢNPHẨM Lấy mẫu BẢN VẼ KỸ THUẬT TẠO MẪU CHÉP HÌNH MẪU CHÉP HÌNH GIA CÔNG CHÉP HÌNH Hình 1.4 - Qui trình thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ truyền thống 1.2.2 Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ CAD/CAM. Sự phát triển của phương pháp mô hình hoá hình học cùng với thanh tựu của công nghệ thông tin, công nghệ điện tử, kỹ thuật điều khiển số đã có những ảnh hưởng trực tiếp đến công nghệ thiết kế và gia công tạo hình (Hình 1.5): - Bản vẽ kỹ thuật được tạo từ hệ thống vẽ và tạo bản vẽ với sự trợ giúp của máy vi tính. - Tạo mẫu thủ công được thay thế bằng mô hình hoá hình học trực tiếp từ giá trị lấy mẫu 3D. - Mẫu chép hình được thay thế bằng mô hình toán học - mô hình hình học lưu trữ trong bộ nhớ máy vi tính và ánh xạ trên màn hình dưới dạng mô hình khung lưới. - Gia công chép hình được thay thế bằng gia công điều khiển số (CAM). Về công nghệ, khác biệt cơ bản giữa gia công tạo hình theo công nghệ truyền thống và công nghệ CAD/CAM là thay thế tạo hình theo mẫu bằng mô hình hoá hình học.
C1 CAD-CAM> TONGQUAN 8 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Kết quả là mẫu chép hình và công nghệ gia công chép hình được thay thế bằng mô hình hình học số (Computational Geometric Model - CGM) và gia công điều khiển số. Mặt khác khả năng kiểm tra kích thước trực tiếp và khả năng lựa chọn chế độ gia công thích hợp (gia công thô, bán tinh và tinh). Theo công nghệ CAD/CAM phần lớn các khó khăn của quá trình thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ truyền thống được khắc phục vì rằng: • Bề mặt gia công đạt được chính xác và tinh xảo hơn. • Khả năng nhầm lẫn do chủ quan bị hạn chế đáng kể. • Giảm được nhiều tổng thời gian thực hiện qui trình thiết kế và gia công tạo hình. Ý TƯỞNG Hiệu chỉnh VẼ & TẠO BẢN VẼ MẪU (CADD) SẢNPHẨM Lấy mẫu, số hoá BẢN VẼ KỸ THUẬT MÔ HÌNH MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC HÌNH HỌC SỐ (CGM) GIA CÔNG ĐIỀU KHIỂN SỐ (CAM) Hình 1.5 - Qui trình thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ CAD/CAM 1.2.3 Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ tích hợp (CIM). Từ công nghệ CAD/CAM ta dễ dàng thực hiện ý tưởng liên kết mọi thành phần trong một hệ thống tích hợp (Hình 1.6). Theo công nghệ tích hợp, công việc mô hình hoá hình học - vẽ - tạo bản vẽ được tích hợp trong CAD; kết quả mọi thông tin về hình dáng được lưu lại dưới dạng CGM, lưu trữ trong cơ sở dữ liệu trung tâm. Công nghệ tiên tiến nhất có khả năng hỗ trợ thực hiện toàn bộ qui trình thiết kế và chế tạo theo công nghệ tích hợp: • Cho phép thiết lập mô hình hình học số CGM trực tiếp từ ý tưởng về hình dáng. • Được trợ giúp bởi thiết bị đồ hoạ mạnh và công nghệ tô màu, tạo bóng hiện đại.
C1 CAD-CAM> TONGQUAN 9 GVC NGUYỄN THẾ TRANH • Có khả năng thực hiện các chức năng phân tích kỹ thuật; liên kết với các thiết bị tạo mẫu nhanh theo công nghệ tạo hình lập thể; lập trình chế tạo; điều khiển quá trình gia công điều khiển số; lập qui trình lắp ráp; tạo phôi, Ý TƯỞNG CAD MÔ HÌNH FEM MẪU SẢN PHẨM MÔ HÌNH BẢ N VẼ HÌNH HỌC SỐ (CGM) KỸ THUẬT MÀN HÌNH ĐỒ HOẠ CAPP Computer Aided Process Planning CAM Hình 1. 6 - Qui trình thiết kế và gia công tạo hình theo công nghê tích hợp 1.3 MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC. Mô hình hoá hình học là mô tả đối tượng hình học bởi mô hình toán học - mô hình hình học số. Khái niệm mô hình hình học được sử dụng cho thực thể hình học có thể mô tả được, đó là những thực thể hình học cơ sở, được sử dụng trên bản vẽ kỹ thuật hay trên màn hình, đó là: - Điểm, - Đường cong, bao gồm cả đoạn thẳng, - Mặt cong, bao gồm cả mặt phẳng, - Khối (cấu trúc đặc). Mô hình hình học được diễn giải bởi con người nhưng hình thức mô tả chúng phải thích hợp, rõ ràng sao cho có thể chuyển đổi thành mô hình hình học số duy nhất. Tức là yêu cầu mô hình hình học phải được mô tả bởi các giá trị số chính xác:
C1 CAD-CAM> TONGQUAN 10 GVC NGUYỄN THẾ TRANH - Điểm có thể mô tả bởi giá trị toạ độ, - Đường cong có thể được mô tả bởi chuỗi điểm hoặc phương trình, - Mặt cong có thể được mô tả bởi tập hợp điểm hoặc lưới đường cong, hoặc phương trình, - Khối có thể được định nghĩa bởi các mặt cong bao quanh nó. 1.3.1 Phương pháp mô tả đường cong. 1. Đường cong 2D được mô tả bởi 2 phương pháp: a. Sử dụng các đường cong 2D cơ sở. b. Như là chuỗi điểm trên mặt phẳng. 2. Đường cong 3D được mô tả bởi một trong các cách sau: a. Chuỗi điểm 3D b. Giao tuyến giữa 2 mặt cong. c. Hình chiếu của đường cong 2D lên mặt cong 3D. d. Tập đường cong 2D trên các mặt phẳng hình chiếu trục đo. 3. Phương pháp đơn giản mô tả đường cong 2D. Người ta sử dụng họ đường cong bậc hai conic, bao gồm: đoạn thẳng, đường tròn, đường êlip, đường Parabol, đường Hyperbol. Chúng được xác định rõ ràng bởi thông số của chúng như: toạ độ tâm, bán kính, tiêu điểm. Ta có thể gọi họ đường cong conic là đường cong cơ sở tạo nên đường cong đa hợp bằng cách nối kết liên tục theo chuỗi, có thể sử dụng góc lượn tại vị trí yêu cầu để đạt độ trơn láng. 4. Phương pháp phổ biến nhất để mô tả đường cong tự do 2D và 3D. Đây là phương pháp xác định chuỗi điểm đường cong đi qua, phương pháp gián tiếp để mô tả đường cong 3D là xác định giao tuyến giữa 2 mặt cong. Trong trường hợp này ta không thể xác định đường cong một cách chính xác. Phương pháp phổ biến xác định dường cong 3D trong vẽ kỹ thuật là xác định hình chiếu 2D của chúng, sau đó xác định hình chiếu trên mặt cong, đây chính là phép chiếu ngược. 1.3.2 Phương pháp mô tả mặt cong. Ta không thể vẽ mặt cong hình học, nhưng có thể mô tả chúng trên bản vẽ dưới dạng mô hình: - Mặt hình học cơ sở, - Mặt nội suy lưới đường cong, - Mặt quét hình đường mặt cắt, - Mặt nội suy điểm, - Mặt kết nối hình. Tương ứng đó là: • Sử dụng các mặt cong cơ sở. • Mô tả mặt cong bởi mô hình lưới đường cong.
C1 CAD-CAM> TONGQUAN 11 GVC NGUYỄN THẾ TRANH • Mô tả mặt cong bởi phép quét hình. • Mặt cong nội suy điểm. • Mô hình mặt cong kết nối. 1.3.3 Phương pháp mô tả khối hình học. Khác biệt cơ bản với mô hình mặt cong, ngoài dữ liệu hình học thuộc mặt bao, phương pháp mô hình hoá theo cấu trúc khối, cho phép quản lý dữ liệu thuộc miền không gian bên trong thực thể hình học. Về phương pháp tạo hình, phương pháp mô hình hoá hình học theo cấu trúc khối sử dụng thuật toán BOOL (phép toán về tập hợp) trên các khối hình học cơ sở. Khối hình học cơ sở có thể là: - Khối cơ sở bậc hai. - Khối quét hình: hình thành trên cơ sở quét hình mặt giới hạn bởi đường viền 2D khép kín theo đường định hình. 1.3.4 Phương pháp mô hình hoá hình học. Theo phương pháp mô tả điểm, đường cong, mặt cong, khối hình học đã đề cập ở trên, ta có thể xây dựng giải thuật mô hình hoá hình học theo cấu trúc mặt cong và cấu trúc khối theo qui tắc chung như sau: • Thực thể hình học được mô tả như cấu trúc thể hiện mối tương quan giữa các thực thể hình học cơ sở cùng loại hoặc khác loại. • Mặt cong được mô tả bởi phép nội suy điểm; nội suy lưới đường cong; phép quét hình đường mặt cắt; mặt cong cơ sở bậc hai. • Khối hình học được mô tả bởi phép quét hình mặt cắt; khối cơ sở bậc 2. Trong trường hợp tổng quát, thực thể hình học được xác dịnh từ những thực thể cơ sở cấp thấp hơn. Ví dụ như đường cong được thiết lập từ điểm, mặt cong từ điểm và đường cong, khối từ các bề mặt bao, Các thực thể hình học cấp thấp và tham số thiết kế được gọi là yếu tố điều khiển hình học, có thể hiệu chỉnh được để thay đổi hình dáng và kích thước.
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 1 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Chương 2 CƠ SỞ CỦA MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC Trong chương này trình bày tóm tắt các kết quả cơ bản của hình học vi phân và phép biến đổi toạ độ sử dụng trong mô hình hoá hình học. 2.1 HÌNH HỌC ĐƯỜNG CONG. Về mặt trực quan, đường cong được định nghĩa như là quĩ đạo điểm thoả mãn một số điều kiện. 2.1.1 Biểu diễn đường cong. Về toán học, đường cong có thể dược biểu diễn dưới các dạng: - Phương trình ẩn. - Phương trình tường minh. - Phương trình tham số. Xét đường tròn đơn vị trên mặt phẳng (x - y), có tâm trùng với gốc hệ toạ độ trên hình 2.1. Mối quan hệ giữa các toạ độ x và y được mô tả bởi phương trình: f (x, y) = x 2 + y 2 −1 = 0 : Phương trình ẩn (2.1) Nếu chỉ xét phần nửa trên của đường tròn, phương trình biểu diễn là: y = g(x) = (1− x)1/ 2 : Phương trình tường minh (2.2) Nếu đặt góc θ giữa đoạn thẳng PO và trục x là tham số của đường tròn, ta có: x = x(θ ) = cosθ ; y = y(θ ) = sinθ : Phương trình tham số (2.3) y y P(x,y) P(x,y) θ x α x o y Q o y Hình 2.1 : Tham số hoá đường tròn đơn vị Trường hợp đặt góc α tạo bởi PQ và trục x là tham số, thì t = tgα = y /(x +1) Kết hợp với phương trình (2.1) ta có: x = x(t) = (1− t 2 )/(1+ t 2 ) ; y = y(t) = 2t /(1+ t 2 ) (2.4) Đây cũng là phương trình tham số của đường tròn và được gọi là phương trình tham số đa thức hữu tỷ. Quá trình thiết lập phương trình tham số hữu tỷ của đường cong và mặt cong từ phương trình đa thức ẩn được gọi là tham số hoá. Nên biểu diễn đường cong 3D thích hợp dưới dạng phương trình tham số: x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t) hay dưới dạng vectơ: r(t) = [x(t), y(t), z(t)]
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 2 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Theo dạng phương trình tham số, đường cong được định nghĩa một cách dễ dàng bằng cách xác định miền giới hạn của tham số. Không thể xác định đường cong 3D bởi phương trình ẩn hay tường minh, bởi vì phương trình ẩn g(x,y,z)=0 biểu diễn mặt cong, do đó cần hai phương trình để xác định đường cong 3D. Trong trường hợp này, đường cong được định nghĩa như giao tuyến giữa hai mặt cong. 2.1.2 Đặc tính của đường cong. Trong phần này để biểu diễn đường cong, ta sử dụng phương trình tham số chuẩn tắc: r = r(t) = [x(t), y(t), z(t)] Đặc tính cơ bản của đường cong, bao gồm: a. Độ chảy của đường cong. b. Vectơ tiếp tuyến đơn vị. c. Vectơ pháp tuyến chính. d. Độ cong và bán kính cong. 1. Độ chảy: Độ lớn của vectơ đạo hàm r&(t) được gọi là độ chảy của đường cong: s&(t) = r&(t) (2.5) Hãy tưởng tượng đường cong là con đường và tham số t tượng trưng cho thời gian. Như vậy, độ chảy của đường cong tương ứng với tốc độ chạy xe. Đại lượng này được sử dụng trong thuật toán nội suy hình học theo phương pháp quét hình. Nếu đặt quãng đường đi được là tham số s, phương trình đường cong dạng r(s) trở thành phương trình tham số tự nhiên với độ chảy bằng 1. Độ chảy của đường cong không phải là đặc tính riêng của đường cong, đó là kết quả của phép tham số hoá. 2. Vectơ tiếp tuyến đơn vị: Cho s là tham số tự nhiên của đường cong r(t), sao cho: θ s = ∫ r&(t)dt 0 Vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t) được định nghĩa như sau: T = dr / ds (2.6) hay dưới dạng vi phân: T = r&(t)/ r&(t) (2.7) 3. Vectơ pháp tuyến chính: Lấy đạo hàm vectơ tiếp tuyến đơn vị T theo t và chuẩn hoá giá trị, chúng ta có vectơ đơn vị N, được gọi là vectơ pháp tuyến chính của đường cong: N = (dT / dt)/ dt / dt ≡ (dT / ds) / dT / ds (2.8) T Vì T là vectơ đơn vị (T.T=1), do đó vectơ N vuông góc với vectơ T (Hình 2.2). Mặt phẳng định nghĩa bởi vectơ T N và N được gọi là mặt phẳng mật tiếp. Vectơ B vuông góc với vectơ N và T được gọi là Đường tròn mật tiếp vectơ pháp tuyến đôi xác định bởi quan hệ: B = TxN Hình 2.2 : Vectơ pháp tuyến chính và đường tròn mật tiếp
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 3 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 4. Độ cong và bán kính cong: Hãy cho s là tham số tự hiên và T là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t). Độ cong được định nghĩa như sau: k = dT / ds (2.9) hay dưới dạng vi phân: r&× &r& k = 3 (2.10) r& trong đó: r& ≡ dr(t)/ dt;&r& ≡ dr& / dt . Đối với đường cong 2D dạng phương trình tường minh y = y(x), phương trình trên có dạng: 2 3/ 2 k = &y&/(1+ y& ) trong đó: y& ≡ dy / dx ; &y& ≡ dy& / dx Hãy xét đường tròn trên mặt phẳng mật tiếp (Hình 2.2), đi qua điểm hiện thời r(t) và độ cong của nó bằng chính độ cong của đường cong tại điểm này. Đường tròn này được gọi là đường tròn mật tiếp, bán kính của đường tròn mật tiếp được gọi là bán kính cong và được xác định bởi: ρ =1/ k (2.11) 5. Độ xoắn của đường cong: Độ xoắn của đường cong 3D được định nghĩa như sau: τ = −(dB / ds).N trong đó N là vectơ pháp tuyến chính; B là vectơ pháp tuyến đôi. Phương trình cơ bản mô tả đặc tính của đường cong 3D được gọi là phương trình Serret-Frenet: dr / ds = T; dT / ds = kN dN / ds =τB − kT ; dB / ds = −τN −1 (2.12) 2.2 HÌNH HỌC MẶT CONG. 2.2.1 Phương pháp biểu diễn mặt cong: 1. Mô hình mặt cong cong dạng phương trình ẩn. Hãy xét mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc toạ độ Đề các. Các điểm phía trong mặt cầu thoả bất đẳng thức: x 2 + y 2 + z 2 −1 0 và g(x,y,z) < 0. 2. Mô hình mặt cong dạng phương trình tham số. Theo hình học vi phân, mặt cong được định nghĩa như là ảnh của phép ánh xạ chính qui tập hợp điểm trong không gian 2D vào không gian 3D và được biểu diễn bởi phương trình: r(u,v) = [x(u,v), y(u,v), z(u,v)] (2.14) trong đó: u và v là tham số của mặt cong. Đối với hình cầu đơn vị, ta có thể dễ dàng tham số hoá phương trình (2.13) bằng cách đặt tham số u là vĩ tuyến và tham số v là kinh tuyến của mặt cầu: r(u,v) = (cosvcosu,cosvsinu,sinv) (2.15)
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 4 GVC NGUYỄN THẾ TRANH với: 0 ≤ u ≤ 2π và −π / 2 ≤ v ≤ π / 2 Tương tự như đường tròn đơn vị có thể tham số hoá phương trình mặt cầu dưới hình thức khác, bằng cách sử dụng đa thức hữu tỷ. 3. Mô hình mặt cong dạng phương trình phi tham số. Khi miền xác định của mặt cong là mặt phẳng x-y của hệ toạ độ Descarte (u ≡ x,v ≡ y) , mô hình tham số (2.14) trở thành phi tham số: r(u,v) = (u,v, z(u,v)) hay z = z(x, y) (2.16) Nếu chỉ xét bán cầu trên của mặt cầu đơn vị thì phương trình (2.13) được biểu diễn dưới dạng tường minh: z = (1− x2 − y 2 )1/ 2 với (x2 + y 2 ) ≤1 (2.17) đường sinh phương v điểm gốc v · Hình học mặt cong (u=0,v=0) được minh hoạ trên hình 2.3. Ta thường gọi phần · mặt cong trong miền tham u số giớ i hạn là mặt lưới. Các đường mặt lưới liên kết theo điều đường sinh biên kiện kết nối liên tục tạo phương u thành mặt cong phức hợp. (u=1,v=1)· mặt lưới Hình 2.3 : Hình học mặt cong 2.2.2 Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong. Xét đường cong tham số 2D: q(t) trên miền (u,v) của mặt cong tham số r(u,v) (Hình 2.4): q(t) = [u(t),v(t)]T (2.18) Hãy cho đường cong r(t) là hình chiếu của đường cong q(t) trên mặt cong r(u,v), sao cho: r(t) = r(u(t), v(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))) (2.19) v r rv & Trường hợp đặc ru biệt của (2.19) là đường q(t) u cong đẳng tham số: v r(t) * r(u,v) v = v ,u(t) = t u u = u* ,v(t) = t Hình 2.4 - Đường cong trên mặt cong và mặt phẳng tiếp tuyến
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 5 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Vectơ tiếp tuyến. Đạo hàm riêng của mặt cong r(u,v) được định nghĩa như sau: 2 ru = ∂r / ∂u ; rv = ∂r / ∂v ; ruv = ∂ r / ∂u∂v (2.20) Lấy đạo hàm phương trình (2.19) theo t, ta có: dr ∂r du ∂r dv r& = = + = ruu& + rvv& (2.21) dt ∂u dt ∂v dt trong đó: r& là vectơ tiếp tuyến của đường cong r(t); ru và rv là vectơ tiếp tuyến của * * đường cong đẳng tham số u = u , v = v . Ba vectơ tiếp tuyến r& , ru, rv xác định mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong (Hình 2.4). Vectơ pháp tuyến. Vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt phẳng tiếp tuyến được gọi là vectơ pháp tuyến đơn vị của mặt cong tại điểm cho trước và được xác định bởi: n = (ru × rv )/ ru × rv (2.22) Vectơ pháp tuyến đơn vị rất cần thiết trong các phép khảo sát mặt cong. Ma trận cơ sở thứ nhất. Vectơ tiếp tuyến (2.21) có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận: r& = ruu& + rvv& = Λq& (2.23) T trong đó: Λ = ru ,rv ; q& = dq(t)/ dt = (du / dt,dv / dt) = [u& v&] . Giá trị vectơ tiếp tuyến được tính như sau: 2 T T T T r& = (r&) (r&) = q& Λ Λq& = q& Gq& (2.24) T ⎡ru .ru ru .rv ⎤ trong đó: G = Λ Λ = ⎢ ⎥ : Ma trận cơ sở thứ nhất. (2.25) ⎣ru .rv rv .rv ⎦ Do đó, vectơ tiếp tuyến đơn vị T được biểu diễn theo G như sau: T 1/ 2 T = r&/ r& = (Λq&) /(q& Gq&) (2.26) Áp dụng ma trận cơ sở thứ nhất, ta có thể tính diện tích mặt cong và diện tích mặt cắt theo công thức đơn giản sau: 1/ 2 S = r × r dudv = G dudv (2.27) ∫∫ u v ∫∫ 2.2.3 Độ cong. Ma trận cơ sở thứ hai. Xét đường cong r(t) trên mặt cong r(u,v) (Hình 2.4). từ (2.21), đạo hàm bậc hai của r(t) theo t có giá trị như sau: &r& = u&(u&ruu + v&ruv ) + u&&ru + v&(v&rvv + u&ruv ) + v&&rv (2.28) Thực hiện phép nhân vô hướng với vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong với chú ý rằng ru.n = rv.n = 0, ta có: 2 2 T &r&.n = (u&) ruu .n + 2u&v&ruv .n + (v&) rvv .n = q& Dq& (2.29a) ⎡u&⎤ ⎡ruu .n ruv .n⎤ trong đó: q& = ⎢ ⎥ ; và D = ⎢ ⎥ : ma trận cơ sở thứ hai. ⎣v&⎦ ⎣ruv .n rvv .n⎦
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 6 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Độ cong pháp tuyến. Từ phương trình (2.12), đạo hàm bậc hai của r(t) được tính như sau: dr& d(s&T) &r& = = = &s&T + s&T& = &s&T + s&(s&kN) dt dt Thực hiện phép nhân vô hướng một lần nữa với vectơ n và chú ya rằng:T.n = 0: 2 &r&.n = (s&) kN.n (2.29b) Giá trị kN.n ở biểu thức trên được gọi là độ cong pháp tuyến kn. Từ các công thức (2.29) và (2.25), chú ý rằng s& = r& , độ cong pháp tuyến được xác dịnh bởi công thức sau: T T &r&.n q& Dq& q& Dq& kn ≡ kN.n = 2 = 2 = T (2.30) (s&) (s&) q& Gq& Ý nghĩa vật lý của độ cong pháp tuyến như sau: Tại điểm hiện thời r(u(t),v(t)) trên mặt cong r(u,v), dựng mặt phẳng π đi qua vectơ tiếp tuyến đơn vị T và vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong. Độ cong của đường cong với mặt phẳng π là độ cong pháp tuyến của mặt cong tại điểm r(t) theo phương vectơ q& . Độ cong chính. Độ cong pháp tuyến (2.30) là hàm của q& : T q& Dq& kn (q&) = T q& Gq& Do đó có thể tính giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến từ biểu thức: ∂kn = 2Dq& − 2knGq& = 0 (2.31) ∂q& Giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến được gọi là độ cong chính và được xxác định từ (2.30) như sau: b + (b 2 − ac)1/ 2 b − (b 2 − ac)1/ 2 k = ; k = (2.32) n1 a n2 a ⎡g1 h ⎤ ⎡d1 e ⎤ g1d 2 + g 2 d1 trong đó: a = G = ⎢ ⎥ ; c = D = ⎢ ⎥ ; b = − eh ⎣ h g 2 ⎦ ⎣ e d 2 ⎦ 2 Với: g1, g2, h, d1, d2, e là các số hạng tương ứng của ma trận cơ sở G và D. Tích giá trị hai độ cong chính được gọi là độ cong Gauss được sử dụng để biểu diễn độ trơn láng của mặt cong.
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 7 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 2.3 PHÉP BIẾN ĐỔI TOẠ ĐỘ. Mọi phép biến hình trong đồ hoạ điện toán và mô hình hoá hình học đều dựa trên 3 hình thức biến đổi toạ độ cơ bản là dịch chuyển tịnh tiến, lấy tỷ lệ và quay. 2.3.1 Phép biến đổi toạ độ 2D. Giả sử điểm P’(x’,y’) là vị trí của điểm P(x,y) sau phép biến đổi toạ độ. Toạ độ (x’,y’) của điểm P’ tương ứng với vectơ dịch chuyển t (tx,ty) (Hình 2.5a); hệ số tỷ lệ s (sx,sy) (Hình 2.5b); góc xoay θ ngược chiều quya kim đồng hồ (Hình 2.5c) được xác định như sau: x’ = x + tx ; y’ = y + ty (2.33) x’ = sx.x ; y’ = sy.y (2.34) x’ = xcosθ - ysinθ ; y’ = xsinθ + ycosθ (2.35) y y y P’(x’,y’) P’(x’,y’) P’(x’,y’) P(x,y) ty r P(x,y) r P(x,y) θ tx x x α x o o o a) b) c) Hình 2.5 - Phép biến đổi toạ độ 2D Phép biến đổi đồng nhất. Biểu diễn điểm dưới dạng toạ độ đồng nhất cho phép đơn giản hoá và thống nhất hoá biểu diễn các phép biến đổi hình học như phép nhân ma trận. Theo toạ độ đồng nhất, điểm trong không gian n chiều được ánh xạ vào không gian (n+1) chiều. Thí dụ điểm P(x,y) trong hệ toạ độ Đề các 3 chiều được biểu diễn dưới dạng toạ độ đồng nhất 4 chiều P’(x’,y’,z’,h) theo mối quan hệ: x = x’/h ; y = y’/h ; z = z’/h (2.36) trong đó: h ≠ 0: hệ số vô hướng. Môi quan hệ (2.36) dựa trên thực tế, nếu toạ độ Đè các của điểm P được nhân với hệ số h, điểm P sẽ được di chuyển tới vị trí mới P’(x’,y’,z’) theo phép lấy tỷ lệ với hệ số h. Tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi 2D tuyến tính (2.33), (2.34), (2.35) dưới dạng ma trận bởi vectơ toạ độ đồng nhất (chuẩn tắc) Ph, P’h và ma trận biến đổi đồng nhất M: P’h = PhM (2.37) trong đó: Ph = (x y 1) ; P’h = (x’ y’ 1)
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 8 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Ma trận biến đổi toạ độ M tương ứng với phép dịch chuyển (T), phép lấy tỷ lệ (S) và phép quay (R) có giá trị như sau: ⎡1 0 0⎤ ⎡s x 0 0⎤ ⎡ cosθ sinθ 0⎤ ⎢ ⎥ T = 0 1 0 ; S = ⎢ 0 s 0⎥ ; R = ⎢− sinθ cosθ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣tx t y 1⎦ ⎣ 0 0 1⎦ ⎣ 0 0 1⎦ 2.3.2 Phép biến đổi toạ độ 3D. Phép biến đổi toạ độ 3D là mở rộng của phép biến đổi toạ độ 2D. Toạ độ (x’,y’,z’) của điểm P(x,y,z) sau phép biến đổi toạ độ, tương ứng với vectơ dịch chuyển t (tx, ty, tx); hệ số tỷ lệ s (sx, sy, sz) được xác định như sau: x’ = x + tx ; y’ = y + ty ; z’ = z + tz (2.38) x’ = sx.x ; y’ = sy.y ; z’ = sz.z (2.39) Tương tự như đối với trường hợp biến đổi 2D, có thể biểu diễn phép dịch chuyển 3D (2.38) và phép lấy tỷ lệ (2.39) dưới hình thức tích ma trận bởi vectơ toạ độ đồng nhất Ph, P’h, ma trận biến đổi T(S): P’h = PhT (2.40a) P’h = PhS (2.40b) trong đó: Ph = (x y z 1) ; P’h = (x’ y’ z’ 1) ⎡1 0 0 0⎤ ⎡sx 0 0 0⎤ ⎢ ⎥ 0 1 0 0 ⎢ 0 s 0 0⎥ T = ⎢ ⎥ ; S = ⎢ y ⎥ ⎢0 0 1 0⎥ ⎢ 0 0 sz 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢tx t y tz 1⎦⎥ ⎣ 0 0 0 1⎦ Bởi vì rất khó xác định phép quay quanh trục bất kỳ trong không gian 3D, phép quay quanh trục bất kỳ thường được qui về các phép quay cơ bản quanh các trục hệ toạ độ, về cơ bản là phép quya 2D (bảng 2.1). Bảng 2.1 Phép quay cơ bản X’ Y’ Z’ quanh trục x x’ = x y’ = ycosθ - zsinθ z’ = ysinθ + zcosθ quanh trục y x’ = zsinθ + xcosθ y’ = y z’ = zcosθ + xsinθ quanh trục z ĩn’ = xcosθ + ysinθ y’ = xsinθ + ycosθ z’ = z Có thể thấy rằng ma trận biến đổi đồng nhất đối với phép quay (Bảng 2.1) có giá trị như sau (C = cosθ ; S = sinθ): ⎡1 0 0 0⎤ ⎡C 0 − S 0⎤ ⎡ C S00⎤ ⎢0 C S 0⎥ ⎢0 1 0 0⎥ ⎢−SC00⎥ R(x,θ ) = ⎢ ⎥ ; R(y,θ ) = ⎢ ⎥ ; Rz(,θ )= ⎢ ⎥ (2.41) ⎢0 − S C 0⎥ ⎢S 0 C 0⎥ ⎢ 00C 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 0 1⎦ ⎣0 0 0 1⎦ ⎣ 0001⎦
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 9 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Một cách tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi toạ độ 3D (chỉ gồm phép dịch chuyển t và phép quay cơ bản R) bởi ma trận biến đổi đồng nhất H như sau: (x’ y’ z’ 1) = (x y z 1)H (2.42) ⎡r11 r12 r13 0⎤ ⎡ 0⎤ ⎢ ⎥ r r r 0 ⎢ R 0⎥ trong đó: H = ⎢ 21 22 23 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢r31 r32 r33 0⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢t x t y t z 1⎦⎥ ⎣ t 1⎦ hay biểu diễn dưới dạng khác: (x’ y’ z’) = (x y z)R + t (2.43) Ta thấy rằng ma trận xoay R (2.41) là ma trận trực giao, tức là nếu định nghĩa các vectơ hàng của R: n = (r11 r12 r13); o = (r21 r22 r23); a = (r31 r32 r33) (2.44) thành phần của các vectơ này chính là cosin chỉ hướng của vectơ đơn vị i, j, k và thoả điều kiện: n x o = a; o x a = n; a x n = o và n = o = a =1 (2.45) 2.3.3 Phép ánh xạ. Ta đã xét các phép biến đổi toạ độ trong cùng một hệ toạ độ mà hoàn toàn không có sự thay đổi hệ toạ độ tham chiếu về vị trí cũng như phương chiều. Trong phần này ta sẽ xét tới phép ánh xạ đối tượng hình học giữa 2 hệ toạ độ khác nhau. Phép ánh xạ đối tượng hình học từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai được định nghĩa như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học từ hệ toạ độ thứ nhất sang hệ toạ độ thứ hai. Do đó, không có sự thay đổi về vị trí và phương chiều của đối tượng hình học so với cả 2 hệ toạ độ. Phép ánh xạ này tương đương với phép biến đổi hệ toạ độ thứ nhất sang hệ toạ độ thứ hai và được sử dụng rất phổ biến trong thiết kế. Thông thường, người ta sử dụng định nghĩa hệ toạ độ làm việc (còn được gọi là hệ toạ độ địa phương hay hệ toạ độ đối tượng) gắn liền với đối tượng thiết kế để đơn giản hoá việc thiết lập và nhập dữ liệu hình học. Phần mềm thiết kế sẽ ánh xạ (chuyển đổi) toạ độ được đo trong hệ toạ độ làm việc sang hệ toạ độ hệ thống trước khi lưu trữ trong hệ cơ sở dữ liệu hệ thống. Phép ánh xạ đóng vai trò quan trọng đối với cấu trục lắp ghép, khi mỗi đối tượng ( chi tiết hay bộ phận) được định nghĩa theo hệ toạ độ hệ thống riêng và chúng cần được kết nối và quản lý trong hệ toạ độ hệ thống chủ.
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 10 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Ví dụ, có thể đặt bài toán ánh xạ điểm từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai như sau: Cho trước toạ độ của điểm P xác định theo hệ toạ độ (X, Y, Z), hãy xác định toạ độ của điểm P theo hệ toạ độ (X’, Y’, Z’), sao cho thoả điều kiện: P’ = f(P, thông số ánh xạ) hay P’ = P.H trong đó: P : Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (X, Y, Z) P’: Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (X’, Y’, Z’) H : Ma trận ánh xạ (2.42) mô tả vị trí tương đối của hệ toạ độ (X, Y, Z) so với hệ toạ độ (X’, Y’, Z’). 2.3.4 Khung toạ độ. Trên đây ta đã đề cập tới phép ánh xạ như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai. Bây giờ ta sẽ đề cập đến phép ánh xạ như sự thay đổi hệ toạ độ. Có thể mô tả phép biến đổi toạ độ (2.42) dưới hình thức hệ toạ độ chuyển động (Hình 2.6). Cho ih, jh và kh là các vectơ chỉ hướng đồng nhất của hệ toạ độ tham chiếu: ih = (1 0 0 1) ; jh = (0 1 0 1) ; kh = (0 0 1 1) (2.46) Áp dụng phép biến đổi (2.4) với các vectơ đồng nhất: i’h = ih H = (1 0 0 1) H = (n 1) (2.47a) j’h = jhH = (0 1 0 1) H = (o 1) (2.47b) k’h= khH = (0 0 1 1) H = (a 1) (2.47c) Kết quả trên nói lên rằng các vectơ trực giao n, o, a của ma trận biến đổi đồng nhất H trở thành vectơ trục của hệ toạ độ chuyển động (Hình 2.6) biến đổi theo (2.42). Gốc hệ toạ độ chuyển động được xác định tương tự: P’h = (0 0 0 1) H = (tx ty tz 1) = (t 1) (2.48) Vì lý do này, ma trận biến đổi đồng nhất H được gọi là khung toạ độ. Như vậy, phép biến đổi (2.42) chính là phép ánh xạ từ hệ toạ độ làm việc (hệ toạ độ địa phương hay hệ toạ độ chuyển động) sang hệ toạ độ hệ thống ( hệ toạ độ cố định). a r o Viết lại biểu thức (2.42) P H ta có: r’ n P’h = Ph H hay: t -1 z Ph = P’h H r’ = rH k y i j Hình 2.6 - Phép biến đổi toạ độ dưới hình thức hệ toạ độ chuyển động
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 11 GVC NGUYỄN THẾ TRANH trong đó: Ph = (r 1) = (x y z 1) P’h = (r’ 1) = (x’ y’ z’ 1) r(x, y, z): vectơ toạ độ tương đối của điểm P so với hệ toạ độ làm việc. r’(x’, y’, z’); vectơ toạ độ tuyệt đối của điểm P so với hệ toạ độ tham chiếu (hệ toạ độ hệ thống). n n n 0 ⎡ x y z ⎤ ⎧ nx ox ax 0⎫ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ox oy oz 0 −1 ⎪ ny oy a y 0⎪ H = ⎢ ⎥ ; H = ⎨ ⎬ ⎢a a a 0⎥ x y z ⎪ nz oy az 0⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎣⎢t x t y t z 1⎦⎥ ⎩− n.t − o.t − a.t 1⎭ n = (nx ny nz) ; o = (ox oy oz) ; a = (ax ay az) ; t = (tx ty tz) Tóm lại: Biểu diễn đường cong và mặt cong dưới dạng phương trình tham số thực chất là biểu diễn dưới dạng phương trình vectơ. Hình thức biểu diễn này đảm bảo phương thức biểu diễn hợp lý, chặt chẽ; phương thức truy nhập thống nhất đối với cả 2 dạng đường cong 2D và 3D, nhằm đạt được phương trình biểu diễn đơn giản, thích hợp cho lập trình. Từ các kết quả trên ta có thể rút ra kết luận: Các đặc tính cơ bản của mặt cong tham số đều được biểu diễn bởi đạo hàm riêng ru, rv của mặt cong. Tức là có thể quản lý hình học mặt cong - được coi là đối tượng hình học phức tạp- bằng phương thức đơn giản là quản lý hai lưới đường cong đẳng tham số của mặt cong.
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 1 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Chương 3. MÔ HÌNH HOÁ CÁC THỰC THỂ HÌNH HỌC 3.1. MÔ HÌNH ĐƯỜNG CONG Về mặt lý thuyết có thể sử dụng phương trình toán học bất kỳ để định nghĩa đường cong. Tuy nhiên, mô hình toán học dưới dạng phương trình đa thức được sử dụng phổ biến nhất do có đặc tính dễ dàng xử lý, đủ linh hoạt để mô tả phần lớn các loại đường cong sử dụng trong kỹ thuật. 3.1.1. PHÂN LOẠI ĐƯỜNG CONG ĐA THỨC. Mô hình toán học biểu diễn đường cong có thể dưới dạng phương trình ẩn, phương trình tường minh hoặc phương trình tham số. Phương trình ẩn và phương trình tường minh chỉ được sử dụng cho đường cong 2D. Đường cong đa thức tương ứng với các dạng phương trình toán học được trình bày dưới dạng tổng quát sau: Phương trình đa thức ẩn. m n i j g(x, y) = ∑∑cij x y = 0 i==00j Phương trình đa thức tường minh. y = f (x) = a + bx + cx 2 + (theo toạ độ Đề các) r = h(θ ) = α + βθ + γθ 2 + (theo toạ độ cực) Phương trình đa thức tham số. r(t) ≡ (x(t), y(t), z(t)) = a + bt + ct 2 + Các dạng đường cong đa thức tham số được sử dụng phổ biến nhất bao gồm: 1, Đường cong đa thức chuẩn tắc, 2, Đường cong Ferguson, 3, Đường cong Bezier, 4, Đường cong B-spline đều, 5, Đường cong B-spline không đều. 3.1.2. ĐƯỜNG CONG 2D. Đường cong 2D được sử dụng như các đối tượng hình học cơ sở trên các bản vẽ kỹ thuật truyền thống để mô tả hình thể 3D. 1. Mô hình đường cong dưới dạng phương trình đa thức ẩn. Phương trình ẩn g(x,y) = 0 biểu diễn đường cong trên mặt phẳng x-y, ví dụ như đường tròn và đường thẳng được biểu diễn bởi phương trình:
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 2 GVC NGUYỄN THẾ TRANH (x − a) 2 + (y − b) 2 − r 2 = 0 ; ax + by + c = 0 Mô hình này có ưu điểm: - Dễ dàng xác định vectơ tiếp tuyến và pháp tuyến, - Dễ dàng xác định vị trí tương đối giữa điểm với đường cong. Phương trình đa thức bậc 2 g(x,y) = 0 biểu diễn họ đường cong conic là giao tuyến giữa mặt cắt phẳng và mặt nón trụ. Tuỳ theo vị trí tương đối giữa mặt phẳng cắt và mặt nón, đường cong conic có thể là: x 2 y 2 1, Elip : + −1 = 0 a 2 b 2 2, Parabôn : y 2 − 4ax = 0 x 2 y 2 3, Hyperbôn : − −1 = 0 a 2 b 2 Nhược điểm chính của mô hình đường cong dưới dạng phương trình ẩn là khó thực hiện đồ hình tuần tự, đây là chức năng quan trọng trong đồ hoạ điện toán. Do vậy trong mô hình hoá hình học, đường cong conic dưới dạng phương trình tham số được sử dụng phổ biến hơn cả. Thực tế mô hình dạng phương trình đa thức ẩn có bậc cao hơn 2 rất ít được sử dụng. 2. Mô hình đường cong dưới dạng phương trình đa thức tường minh. Phương trình tường minh dạng : y = f(x) = a + bx + cx2 + mô tả đường cong trên mặt phẳng x-y. Nếu f(x) là đa thức bậc 2, đường cong là Parabol. Đặc tính tiêu biểu của đa thức tường minh là có thể chuyển đổi thành phương trình ẩn hoặc phương trình tham số. Nếu y = f(x), trong đó f(x) là đa thức của x, tức là: g(x, y) ≡ y − f (x) = 0 hoặc x(t) = t ; y(t) = f(t) (3.1) Do vậy phương trình đa thức tường minh có ưu điểm của phương trình ẩn và phương trình tham số, đó là: - Dễ dàng xác định vectơ tiếp tuyến và pháp tuyến. - Dễ dàng xác định vị trí tương quan giữa điểm với đường cong. - Dễ dàng thực hiện đồ hình tuần tự. Nhược điểm chính của dạng phương trình tường minh là không thể điều khiển đường cong khép kín hoặc đường thẳng đứng. Dạng phương trình (3.1) còn được gọi là dạng phi tham số.
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 3 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 3.1.3. ĐƯỜNG CONG ĐA THỨC THAM SỐ. Khảo sát việc thiết lập đường cong với điều kiện biên cho trước bao gồm toạ độ và tiếp tuyến tại 2 điểm đầu và cuối: P0, P1, t0, t1. Vì rằng đường cong được định nghĩa bởi 2 vectơ vị trí và 2 vectơ tiếp tuyến có thể biểu diễn chúng dưới dạng phương trình đa thức vectơ bậc 3. Đa thức bậc 3 được sử dụng rất phổ biến, bởi vì đó là bậc tối thiểu, đủ để dựng các loại đường cong trong không gian 3D. 1. Mô hình đường cong dưới dạng phương trình đa thức chuẩn tắc. Đặc tính của mô hình đa thức chuẩn tắc là dễ dàng xác định. Xét phương trình đa thức vectơ bậc 3: 2 3 r(u) = (x(u), y(u), z(u)) = a + bu + cu + du Có thể biểu diễn phương trình đa thức này dưới dạng ma trận theo vectơ cơ sở U và vectơ hệ số A như sau: ⎡a⎤ ⎢b⎥ r(u) = []1 u u 2 u 3 ⎢ ⎥ = UA với 0 ≤ u ≤1 (3.2) ⎢c⎥ ⎢ ⎥ ⎣d⎦ Phương trình đa thức bậc 3 (3.2) không thể hiện được ý nghĩa hình học, nhưng có thể được sử dụng để thiết lập đường cong trơn láng đi qua 4 điểm dữ liệu { Pi: i = 1, ,4} theo phương pháp sau: Đặt di là chiều dài cát tuyến giữa điểm Pi và Pi+1: di = Pi+1 − Pi với i = 0, 1, 2 Từ đó giá trị tham số ui tại các điểm Pi được xác định như sau: u0 = 0 ; u1 = d0 / ∑ di ; u2 = (d0 + d1 ) / ∑ di ; u3 =1 Đường cong bậc 3 (3.2) đi qua các điểm dữ liệu phải thoả điều kiện: r(u i ) = Pi ; với i = 1, ,4 Tổng quát, đường cong đa thức bậc n đi qua (n+1) điểm dữ liệu được biểu diễn bởi phương trình đa thức: n i r(u) = ∑ aiu i=0 2. Đường cong Ferguson. t1 t0 Ferguson giới thiệu một r(u) phương pháp khác sử dụng phương trình (3.2). Theo đó đường cong P1 được thiết lập bởi (Hình 3.1): P0 a. Hai điểm đầu cuối P0 và P1. Hình 3.1 - Đường cong Ferguson b. Tiếp tuyến đầu cuối t0 và t1.
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 4 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Đường cong bậc 3 (3.2) thoả điều kiện biên P0, P1, t0, t1 chúng phải đảm bảo: P0 = r(0) = a P = r(1) = a + b + c + d 1 (3.3) t0 = r&(0) = b t1 = r&(1) = b + 2c + 3d Sau các phép biến đổi, hệ số PT đa thức được xác định theo biểu thức: ⎡a⎤ ⎡ 1 0 0 0 ⎤⎡P0 ⎤ ⎢b⎥ ⎢ 0 0 1 0 ⎥⎢P ⎥ A = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ 1 ⎥ ≡ CS (3.4) ⎢c⎥ ⎢− 3 3 − 2 −1⎥⎢t0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣d⎦ ⎣ 2 − 2 1 1 ⎦⎣ t1 ⎦ Kết hợp biểu thức (3.2) và (3.4), đường cong Ferguson r(u) theo điều kiện biên như trên được biểu diễn bởi ma trận hệ số Ferguson C và vectơ điều kiện biên Ferguson S như sau: r(u) = UA = UCS , với 0 ≤ u ≤1 (3.5) Thực tế dễ dàng xác định được độ lớn của vectơ tiếp tuyến, do đó độ lớn của vectơ được chọn bằng chiều dài cát tuyến t0 = t1 = P1 − P0 . Sự lựa chọn này thoả yêu cầu về hình dáng. Phương trình (3.2) và (3.5) đều được biểu diễn dưới dạng ma trận cơ sở. Có thể biểu diễn (3.5) dưới dạng khác: r(u) = (U C) S 2 3 2 3 2 3 2 3 = (1- 3u +2u )P0 + (3u - 2u )P1 + (u - 2u + u )t0 + (-u + u )t1 (3.6) 3 3 3 3 = H 0 (u)P0 + H 1 (u)t0 (u) + H 2 (u)t1 (u) + H 3 (u)P1 3 2 3 3 2 3 trong đó: H 0 (u) = (1− 3u + 2u ) ; H1 (u) = (u − 2u + u ) 3 2 3 3 2 3 H 2 (u) = (−u + u ) ; H 3 (u) = (3u − 2u ) 3 H i (u) là hàm kết nối Hermite bậc 3 thoả điều kiện biên tại u = 0, 1 như sau: H 3 (0) = H 3 (1) = H& 3 (0) = H& 3 (1) = 1 0 3 1 2 3 3 3 3 H 0 (1) = H 3 (0) = H& 1 (1) = H& 2 (0) = 0 3 3 3 3 H& 1 ( j) = H& 2 ( j) = H1 ( j) = H 2 ( j) = 0 với mọi j = 0,1 Dễ dàng xác nhận rằng phương trình (3.6) thoả điều kiện biên (3.3). Phương trình (3.6) là định nghĩa chuẩn về đường cong kết nối Hermite.
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 5 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 3. Đường cong Bezier Đường cong Bezier được định nghĩa bằng nhiều phương pháp. Hãy xét phương pháp xây dựng đường cong Bezier bậc 3 từ phương trình đường cong Ferguson (3.5). Bốn đỉnh điều khiển Bezier V0, V1, V2, V3 (hình 3.2a) thoả điều kiện: V0 là điểm đầu của đường cong, V1 là vị trí 1/3 chiều dài trên vectơ tiếp tuyến đầu, V2 là vị trí 2/3 chiều dài trên vectơ tiếp tuyến cuối, V3 là điểm cuối của đường cong. V 2 V1 V1 t0 t1 r(u) V2 V2 r(u) V1 r(u) V0 V3=P1 V3 V0=P0 V0 V3 a, b, c, Hình 3.2 - Đường cong Bezier bậc 3 Đỉnh điều khiển Bezier được biểu diễn theo điều kiện Ferguson như sau: V0 = P0 ; V1 = (V0 + t0/3) ; V2 = (V3 - t1/3) ; V3 = P1 Ngược lại, điều kiện biên Ferguson được biểu diễn theo đỉnh điều khiển Bezier Vi là: P0 = V0 ; P1 = V3 ; t0 = 3(V1-V0) ; t1 = 3(V3-V2) hay dưới dạng ma trận: ⎡P0 ⎤ ⎡ 1 0 0 0⎤⎡V0 ⎤ ⎢P ⎥ ⎢ 0 0 0 1⎥⎢V ⎥ S ≡ ⎢ 1 ⎥ = ⎢ ⎥⎢ 1 ⎥ ≡ LR (3.7) ⎢t0 ⎥ ⎢− 3 3 0 0⎥⎢V2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ t1 ⎦ ⎣ 0 0 − 3 3⎦⎣V3 ⎦ Cuối cùng ta thay thế kết quả (3.7) vào phương trình đường cong Ferguson (3.5) để đạt được phương trình đường cong Bezier bậc 3 biểu diễn bởi ma trận hệ số Bezier M và vectơ đỉnh điều khiển R: r(u) = U C S = U C (L R) = U (C L) R = U M R , với 0 ≤ u ≤ 1 (3.8) ⎡ 1 0 0 0⎤ ⎡V0 ⎤ ⎢− 3 3 1 0⎥ ⎢V ⎥ trong đó: M = ⎢ ⎥ ; R = ⎢ 1 ⎥ ⎢ 3 − 6 3 0⎥ ⎢V2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣−1 3 − 3 1⎦ ⎣V3 ⎦ Đặc tính tiêu biểu của đường cong Bezier là hình dáng của đường cong phụ thuộc vào đa tuyến lồi giới hạn bởi các đỉnh điều khiển ( Hình 3.2) . Tương tự như
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 6 GVC NGUYỄN THẾ TRANH đường cong Ferguson có thể biểu diễn đường cong Bezier (3.8) dưới dạng phương trình đa thức: r(u) = (UM )R 3 3 3 3 = B0 (u)V0 + B1 (u)V1 + B2 (u)V2 + B3 (u)V3 (3.9) 3 3 = ∑ Bi (u)Vi i=0 trong đó: 3 3 3 2 B0 (u) = (1− u) ; B1 (u) = 3u(1− u) 3 2 3 3 B2 (u) = 3u (1− u) ; B3 (u) = u là đa thức Bernstein bậc 3. Đa thức Bernstein bậc n có dạng : n! B n (u) = u i (1− u)n−i (3.10a) i (n −1)!i! Đa thức Bernstein được gọi là hàm cơ sở Bezier sử dụng để định nghĩa đường cong Bezier bậc n bằng cách kết nối (n+1) đỉnh điều khiển: n n r(u) = ∑ Bi (u)Vi , với 0 ≤ u ≤ 1 (3.10b) i=0 Đường cong Bezier bậc n thoả điều kiện biên sau: r(0) = V0 ; r(1) = V1 ; r&(0) = n(V1 −V0 ) ; r&(1) = n(Vn −Vn−1 ) (3.11) Định nghĩa chuẩn về đường cong Bezier theo hàm cơ sở Bezier (3.10b) thể hiện tính chất hình học của đường cong tốt hơn so với biểu diễn dưới dạng ma trận (3.8), ví dụ như có thể chia nhỏ hoặc tăng bậc cho đường cong. Ngược mại dạng ma trận có ưu điểm là dễ dàng xử lý dữ liệu. 4. Đường cong B-spline đều. Mô hình toán học của đường cong B-spline là phương trình đại số. Ta sẽ nghiên cứu phép dựng hình để hiểu rõ tính chất hình học của dạng mô hình này. Xét 4 đỉnh điều khiển V0, ,V3 và các điểm M0, M1, P0, P1 với tính chất như sau: (Hình 3.3). M0 là điểm giữa của đoạn thẳng V0V2 : M0= (V0+V2)/2 M1 là điểm giữa của đoạn thẳng V1V3 : M1= (V1+V3)/2 P0 là điểm 1/3 của đoạn thẳng V1M0 : P0= (2V1+M0)/3 P1 là điểm 1/3 của đoạn thẳng V2M1 : P1= (2V2+M1)/3 Cần thiết lập đường cong bậc 3 r(u) thoả điều kiện: 1. Đường cong bắt đầu từ điểm P0 và kết thúc tại điểm P1, 2. Vectơ tiếp tuyến tại điểm P0 có giá trị bằng (M0-V0), 3. Vectơ tiếp tuyến tại điểm P1 có giá trị bằng (M1-V1). Như vậy ta có thể biểu diễn điểm biên P0, P1 và tiếp tuyến t0, t1 theo đỉnh điều khiển như sau:
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 7 GVC NGUYỄN THẾ TRANH P0 ≡ r(0) = [4V1+(V0+V2) ]/6 (3.12a) P1 ≡ r(1) = [4V2+(V1+V3) ]/6 (3.12b) t0 ≡ r&(0) = (V2 - V0) /2 (3.12c) t1 ≡ r&(0) = (V3 - V1) /2 (3.12d) hay dưới dạng ma trận: ⎡P0 ⎤ ⎡ 1 4 1 0⎤⎡V0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ P 1 0 1 4 1 V S ≡ ⎢ 1 ⎥ = ⎢ ⎥⎢ 1 ⎥ ≡ KR ⎢t0 ⎥ 6 ⎢− 3 0 3 0⎥⎢V2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ t1 ⎦ ⎣ 0 − 3 0 3⎦⎣V3 ⎦ Thay kết quả trên vào phương trình đường cong Ferguson (3.5) để đạt được phương trình đường cong B-spline đều bậc 3 biểu diễn bởi ma trận hệ số B-spline đều N và vectơ đỉnh điều khiển R: r(u) = U C S V3 M1 = U C (K R) V1 = U (C K) R = U N R với 0 ≤ u ≤1 trong đó: t0 C là ma trận Ferguson r(u) t1 P0 P1 ⎡ 1 4 1 0⎤ ⎢ ⎥ − 3 0 3 0 V2 1 M N = ⎢ ⎥ V 0 6 ⎢ 3 − 6 3 0⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎣−1 3 − 3 1⎦ Hình 3.3 - Đường cong B-spline đều bậc 3 Tương tự như đường cong Bezier ta có thể biểu diễn đường cong B-spline đều 3 bậc 3 bởi hàm kết nối B-spline đều Ni (u) : 3 3 r(u) = (UN)R = ∑ Ni (u)Vi (3.14) i=0 3 2 3 3 2 3 trong đó: N 0 (u) = (1− 3u + 3u − u ) / 6 ; N1 (u) = (4 − 6u + 3u ) / 6 3 2 3 3 3 N 2 (u) = (1+ 3u + 3u − 3u ) / 6 ; N3 (u) = u / 6 3.1.4. ĐƯỜNG CONG B-SPLINE KHÔNG ĐỀU (NURBS) NURBS – Non-Uniform Rational B-Spline Phần này sẽ cung cấp định nghĩa toán học về đường cong B-spline không đều và chỉ ra rằng đường cong Bezier và B-spline đều là trường hợp đặc biệt của NURBS.
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 8 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 1. Hàm cơ sở B-spline. n Xét hàm vô hướng đệ qui Li (t) được định nghĩa theo chuỗi điểm không giảm {ti}: n (t − ti ) n−1 (ti+1 − t) n−1 Li (t) = Li (t) + Li+1 (t) (3.15) (ti+n−1 − ti ) (ti+n − ti+1 ) trong đó: 1 ⎧1, t ∈[ti ,ti+1 ], ti < ti+1 Li (t) = ⎨ ⎩0,các t khác Hàm đệ qui (3.15) được gọi là hàm đệ qui Cox-deBoor là phương pháp chuẩn định nghĩa hàm cơ sở B-spline (bậc n-1). Ta sẽ khảo sát hàm này để hiểu rõ tính chất hình học của chúng. Xét n = 2: 2 (t − ti ) 1 (ti+1 − t) 1 Li (t) = Li (t) + Li+1 (t) (ti+1 − ti ) (ti+2 − ti+1 ) ⎧ (t − ti ) /(ti+1 − ti ), t ∈[ti ,ti+1 ] ⎪ = ⎨(ti+2 − t) /(ti+2 − ti+1 ),t ∈[ti+1 ,ti+2 ] ⎪ ⎩ 0, các t khác Để đơn giản các phép tính đại số ta sử dụng toán tử vi phân ∇ để biểu diễn khoảng cách giữa các điểm nút: ∇i = (ti+1 − ti ) (3.16a) k ∇i = ∇i + + ∇i+k −1 + (ti+k − ti ) (3.16b) Sử dụng toán tử vi phân ∇ , hàm Cox-deBoor với n = 2 có giá trị: ⎧ (t − ti ) / ∇i , t ∈[ti ,ti+1 ] 2 ⎪ Li (t) == ⎨(ti+2 − t) / ∇i+1 ,t ∈[ti+1 ,ti+2 ] ⎪ ⎩ 0, các t khác Với n = 3, ta có: (t − t ) (t − t) 3 i 2 i+3 2 Li (t) = 2 Li (t) + 2 Li+1 (t) ∇i ∇i 2 2 ⎧ (t − ti ) /(∇i ∇i ), t ∈[ti ,ti+1 ] ⎪ 2 2 3 2 2 ⎪(t − ti ) /(∇i ∇i ) − ∇i (t − ti+1 ) /(∇i+1∇i+1∇i ), t ∈[ti+1 ,ti+2 ] = ⎨ (3.17) (t − t)2 /(∇ 2 ∇ ), t ∈[t ,t ] ⎪ i+3 i+1 i+2 i+2 i+3 ⎩⎪ 0
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 9 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Biểu thức (3.17) là hàm cơ sở B-spline bậc 2. Hình dáng chức năng của hàm cơ sở B-spline bậc nhỏ hơn 4 được thể hiện trên hình 3.4. Vì hàm cơ sở B-spline có hình dạng khác biệt trên từng miền tham số, hàm cơ sở trong khoảng thứ k được phân biệt bởi chỉ số thứ hai [k]: n n Li[k ] (t) ≡ Li (t) với t ∈[ti+k−1 ,ti+k ]: k =1,2, ,n (3.18) Theo qui ước trên thì hàm cơ sở B-spline (3.17) trên miền tham số đầu tiên t ∈[ti ,ti+1 ] được trình bày lại như sau: 3 3 2 2 Li[1] (t) ≡ Li (t) với t ∈[ti+k −1 ,ti+k ] = (t − ti ) /(∇i ∇i ) L1 (t) i t 2 Li (t) t 3 Li (t) t 4 Li (t) t ti ti+1 ti+2 ti+3 ti+4 Hình 3.4 - Hàm cơ sở B-spline không đều Hãy định nghĩa phép chuyển đổi tuyến tính giữa tham số u và t như sau: u = (t - ti)/(ti+1 - ti) = (t - ti)/∇i (3.19) Như được minh họa trên hình 3.5 chỉ có 3 hàm cơ sở B-spline bậc 2 có giá trị 3 3 3 khác không trên miền t ∈[ti ,ti+1 ], bao gồm Li−2[3] (t) , Li−1[ 2] (t) , Li−[1] (t) . 3 2 2 Li−2[3] (t) = (ti+1 − ti ) /(∇i−1.∇i ) 2 2 2 2 = (∇i / ∇i−1 ) + u(−2∇i / ∇i−1 ) + u (∇i / ∇i−1 ) (3.20a) 2 ≡ N 0 (u) với 0 ≤ u ≤1
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 10 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 3 2 2 3 2 2 Li−1[2] (t) = (t − ti−1 ) /(∇i−1.∇i−1 ) − ∇i−1 (t − ti ) /(∇i ∇i∇i−1 ) ∇ ⎧ ∇ ∇3 ⎫ 2 2 2 i i i−1 (3.20b) = (∇i−1 / ∇i−1 ) + u(∇i / ∇i−1 ) + u ⎨ 2 − 2 ⎬ ∇i−1 ⎩∇i−1 ∇i ⎭ 2 ≡ N1 (u) với 0 ≤ u ≤1 3 2 2 Li−[1] (t) = (t − ti ) /(∇i .∇i ) 2 2 = (u∇i ) /(∇i .∇i ) (3.20c) 2 ≡ N 2 (u) với 0 ≤ u ≤1 L3 L3 L3 L3 L3 i−3] i−2[3] i−1[ 2] i[1] i+1 t t ti-2 ti-1 i ti+1 ti+2 ti+3 Hình 3.5 - Hàm cơ sở B-spline bậc 2 khác 0 trên miền [ti, ti+1][2] 2. Đường cong B-spline không đều. 3 Với chuỗi điểm 3D cho trước {Pj} và hàm cơ sở B-spline (bậc 2) L j (t) (3.17) trên miền tham số t ∈[ti ,ti+1 ], ta thiết lập hàm vectơ: i 3 r(t) = ∑ Pj L j (t) :t ∈[ti ,ti+1 ] (3.21) j=i−2 Như đã minh hoạ trên hình 3.5, hàm kết nối (3.21) có giá trị khác 0 chỉ khi j=i- 2, i-1, i. Ta đặt: V0 = Pi-2; V1 = Pi-1; V2 = Pi từ (3.17) và (3.20) hàm vectơ (3.21) được biểu diễn bởi: i 3 r(t) = ∑ Pj L j (t) với t ∈[ti ,ti+1 ] j=i−2 3 3 3 = Pi−2 Li−2 (t) + Pi−1Li−1 (t) + Pi Li (t) với t ∈[ti ,ti+1 ] (3.22) 3 3 3 = V0 Li−2[3] (t) +V1Li−1[ 2] (t) +V2 Li[1] (t) 2 2 2 = V0 N 0 (u) +V1 N1 (u) +V2 N 2 (u) = UN q R ≡ r(u) với u ∈[0,1] 2 T trong đó: U = []1 u u ; R = [V0 V1 V2 ]
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 11 GVC NGUYỄN THẾ TRANH ⎡ ⎤ ⎢ (∇ / ∇ 2 ) (∇ / ∇ 2 ) 0 ⎥ Ma trận hệ ⎢ i i−1 i−1 i−1 ⎥ 2 2 số B-spline N q = ⎢(−2∇i / ∇i−1 ) (2∇i / ∇i−1 ) 0 ⎥ : không đều ⎢ ∇ ⎧ ∇ ∇3 ⎫ ∇ ⎥ bậc 2 2 i i i−1 i ⎢ (∇i / ∇i−1 ) ⎨ 2 − 2 ⎬ 2 ⎥ ⎣⎢ ∇i−1 ⎩∇i−1 ∇i ⎭ ∇i ⎦⎥ 2 ∇i = (ti+1 − ti ); ∇i = ∇i + ∇i+1 , và đường cong (3.22) được gọi là đường cong NUBRS bậc 2. Khảo sát giá trị của hàm kết nối B-spline không đều bậc 2, ta có thể rút ra kết luận: đường cong NURBS bậc 2 được hỗ trợ bởi 6 điểm nút ti-2 đến ti+3, ngay cả khi miền tham số xác định là [ti, ti+1] (Hình 3.5). Tuy nhiên các điểm biên ti-2 và ti+3 không cần thiết bởi vì dữ liệu này không được sử dụng để xác định đường cong. Do đó đường cong NURBS bậc 2 hoàn toàn được xác định bởi 3 giá trị bước nút ∇i−1 ,∇i ,∇i+1 và 3 đỉnh điều khiển V0, V1, V2. Tương tự ta có đường cong NURBS bậc 3 có dạng như sau: i 4 r(t) = ∑ Pj Lj (t) với t ∈[ti ,ti+1 ] (3.23) j=i−3 = UN c R ≡ r(u) với u ∈[0,1] 3. Trường hợp đặc biệt của đường cong NURBS. Qua khảo sát ta thấy rằng đường cong NURBS bậc 3 (3.23) có dạng tương tự như đường cong B-spline đều bậc 3 (3.13), nhưng ma trận hệ số Nc không phụ thuộc vào khoảng cách giữa các điểm nút. Do vậy với cùng tập hợp đỉnh điều khiển, ta có thể đạt được hình dáng đường cong khác nhau bằng cách thay đổi khởng cách giữa các điểm nút. Khi tất cả điểm nút {ti} được xác định trên miền số nguyên liên tục và khoảng 2 cách giữa chúng đều nhau, nếu đặt ∇i = 1, với mọi i và từ đó ∇i = 2 , , ma trận hệ số Nc của đường cong NURBS (3.23) trở thành ma trận N của đường cong B-spline đều bậc 3 (3.13). Như vậy đường cong B-spline đều bậc 3 (3.13) là trường hợp đặc biệt của đường cong NURBS khi khoảng cách giữa các điểm nút đều nhau. Tương tự, đường cong NURBS có thể trở thành đường cong Bezier nếu đặt các giá trị: ti-2 = ti-1 = ti = 0; ti+1 = ti+2 = ti+3 = 1 Từ đó ta có khoảng cách giữa các điểm nút tương ứng có giá trị như sau: ∇i = 1; ∇j = 0, với mọi j ≠ i Điều này làm cho ma trận hệ số B-spline không đều bậc 3 Nc (3.23) biến đổi thành ma trận hệ số M của đường cong Bezier bậc 3 (3.8).
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 12 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Vậy cả 2 đường cong B-spline đều và Bezier chỉ là trường hợp đặc biệt của dường cong NURBS. 3.1.5. ĐƯỜNG CONG HỮU TỶ. Hàm hữu tỷ được định nghĩa như là tỷ số của 2 hàm đa thức. Đường cong hữu tỷ có độ linh hoạt về hình dáng cao hơn so với các dạng đường cong đa thức chuẩn tắc khác. Đường cong hữu tỷ sẽ có dạng đa thức chuẩn tắc nếu như được biểu diễn theo hệ toạ độ đồng nhất. Ta sẽ khảo sát dạng hữu tỷ của mô hình đường cong Bezier. 1. Toạ độ đồng nhất. Ta đã biết phương trình tham số của đường tròn đơn vị như sau: r(u) = (x(u), y(u), z(u)) = ((1-u2)/(1+u2), 2u/(1+u2), 0/(1+u2)) Vì mỗi tyhành phần của vectơ 3D trên có cùng mẫu số, nên ta có thể chuyển chúng thành vectơ đồng nhất 4 thành phần R(u) với 3 thành phần đầu tiên ứng với tử số và thành phần thứ 4 ứng với mẫu số chung: R(u) = ((1-u2), 2u, 0, (1+u2)) = (X(u), Y(u), Z(u), h(u)) Vectơ R(u) được gọi là vectơ đồng nhất và thành phần của chúng trở thành toạ độ đồng nhất của điểm 3D (r(u)). Ta có thể chuyển đổi (X, Y, Z, h) thành (X/h, Y/h, Z/h, 1) tức là thành (x, y, z, 1). Sự chuyển đổi này gọi là sự chuẩn hoá. Ý nghĩa hình học của sự chuẩn hoá là vectơ 4D được chiếu lên mặt phẳng h = 1 trong không gian 4 chiều. Như vậy vectơ đồng nhất (x, y, z, 1) và (hx. hy, hz, h) biểu diễn cùng một điểm 3D (x, y, z) nếu h ≠ 0 . Theo mô hình hữu tỷ mõi dỉnh điều khiển Vi(xi, yi, zi) được định nghĩa như đỉnh điều khiển đồng nhất: Hi = (wixi, wiyi, wizi, wi ) trọng số wi làm tăng tính linh hoạt về hình dáng. Biểu diễn toạ độ Đề các dưới dạng đồng nhất được sử dụng rộng rãi trong các phép biến đổi tạo độ ứng dụng trong đồ hoạ cũng như Robot học. 2. Đường cong hữu tỷ bậc 2. Nếu vectơ đỉnh điều khiển Bezier chuẩn tắc được thay thế bởi vectơ đồng nhất tưong ứng ta sẽ đạt được đường cong Bezier hữu tỷ. Đường cong Bezier bậc 2 có dạng: 2 2 r(u) = (x(u), y(u), z(u)) = ∑ Bi (u)Vi , với 0 ≤ u ≤ 1 (3.10b) i=0 h đặt : Vi = (xi , yi , zi ,1) , với i = 0, 1, 2. Ta chuyển đổi đường cong Bezier bậc 2 này thành dạng hữu tỷ.
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 13 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Sử dụng Hi để biểu diển đỉnh điều khiển đồng nhất của Vi, sao cho: h H i = wiVi = (wi xi , wi yi , wi zi , wi ) ; wi ≠ 0 (3.25) Toạ độ Đề các của đỉnh điều khiển đồng nhất Hi trên biểu thức (3.25) tương đương với đỉnh điều khiển Vi, không phụ thuộc vào trọng số wi. Do vậy đường cong Bezier hữu tỷ bậc 2 được biểu diễn dưới dạng: 2 2 R(u) = (X (u),Y (u), Z(u),h(u)) = ∑ Bi (u)H i (3.26) i=0 Ta sẽ khảo sát hình dánh đường cong đồng nhất này. Điều kiện biên của đường cong hữu tỷ được xác định bằng cách tính biểu thức (3.26) và đạo hàm của chúng tại u = 0 và u = 1. Đặt rh(u) là phương trình đồng nhất chuẩn tắc như sau: rh(u) = R(u)/h(u) = (x(u), y(u), z(u), 1) (3.27) Lấy đạo hàm phương trình trên theo u ta có: h 2 r& (u) = −(R(u)h&(u)) /(h(u)) − R&(u) / h(u) (3.28) Cụ thể đối với đường cong Bezier bậc 2 ta có: w w h h h 1 ; h h h 1 r& (0) = 2(V1 −V0 ). r& (1) = 2(V2 −V1 ). w0 w2 Kết quả trên chứng tỏ rằng tiếp tuyến của đường cong Bezier đồng nhất (3.26) và đường cong Bezier chuẩn tắc (3.24) tại các điểm biên có cùng phương với nhau nhưng độ lớn của chúng thay đổi theo tỷ lệ w1/w0 và w1/w2 (Hình 3.6). V1 V1 t0=2(w1/w0)(V1-V0) t0=2(V1-V0) V2 V2 r(u) r(u) t1=2(V2-V1) V0 V0 t1=2(w1/w2)((V2-V1) a. b. Hình 3.6 - Tính chất của đường cong Bezier hữu tỷ - Đường cong Bezier chuẩn tắc. - Đường cong Bezier hữu tỷ bậc 2. Phương trình Bezier đồng nhất (3.26) được biểu diễn dưới dạng thành phần đồng nhất như sau: R(u) = (X (u),Y (u), Z(u),h(u)) 2 2 2 2 2 2 2 2 (∑∑Bi (u)wi xi ,∑ Bi (u)wi yi ,∑ Bi (u)wi zi , Bi (u)wi ) i=0 i=0 i=0 i=0
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 14 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Và phương trình Bezier được biểu diễn ngắn gọn hơn dưới dạng hữu tỷ: r(u) = (x(u), y(u), z(u)) w (1− u)2V + w 2u(1− u)V + w u 2V 0 0 1 1 2 2 (3.30) = 2 2 w0 (1− u) + w1 2u(1− u) + w2u 2 2 2 2 (∑ Bi (u)wiVi )/(∑ Bi (u)wi ) i=0 i=0 trong đó: Vi = (xi, yi, zi) : đỉnh điều khiển Bezier, wi : trọng số. Như vậy ta đã chỉ ra rằng có thể biểu diễn đường cong Bezier hữu tỷ hoặc dưới dạng đồng nhất (3.26) hoặc dưới dạng hữu tỷ (3.30) và đường cong Bezier hữu tỷ bậc 2 được chuyển đổi thành đường cong chuẩn tắc khi wi = 1 với mọi i. Mô hình đường cong hữu tỷ bậc 2 được sử dụng rất phổ biến trong phép tham số hoá đường cong mặt cắt cônic. 3. Đường cong hữu tỷ bậc 3. Ta có thể dễ dàng xác định mô hình hữu tỷ cho đường cong Bezier và B-spline bậc cao hơn. Đường cong Bezier bậc 3 hữu tỷ có dạng đồng nhất tương tự như đường cong Bezier chuẩn tắc (3.7): R(u) = (X(u), Y(u), Z(u), h(u)) = U M H (3.31) 2 3 trong đó: U = [1 u u u ]; Hi = (wixi, wiyi, wizi, wi) ⎡ 1 0 0 0⎤ ⎡H 0 ⎤ ⎢− 3 3 0 0⎥ ⎢H ⎥ M = ⎢ ⎥ ; H = ⎢ 1 ⎥ ⎢ 3 − 6 3 0⎥ ⎢H 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣−1 3 − 3 1⎦ ⎣H 3 ⎦ Vi(xi,yi,zi) : đỉnh điều khiển, wi : trọng số. Dạng dồng nhất trên tương đương với dạng hữu tỷ sau: 3 3 3 3 r(u) = (∑ Bi (u)wiVi )/(∑ Bi (u)wi ) i=0 i=0 Mô hình đường cong hữu tỷ có bậc tự do cao hơn dùng để định nghĩa hình dáng. Sử dụng các giá trị trọng số khác nhau có thể điều khiển hình dáng đường cong hữu tỷ trong miền giới hạn bởi đa tuyến đặc tính. Nhưng quá nhiều bậc tự do thường không phải là tốt, thực tế rất ít khi sử dụng bậc cao hơn 2. 3.2. ĐƯỜNG CONG PHỨC HỢP Trong các bài toán dựng hình, phần lớn dữ liệu cho trước ở dạng dữ liệu điểm. Dữ liệu điểm có thể là dữ liệu thực nghiệm từ các phép đo bằng dụng cụ thông thường hay bằng máy quét toạ độ. Vấn đề cần giải quyết trong các bài toán này là thiết lập đường cong tham số trơn láng r(t) từ chuỗi điểm {Pi: i = 0, ,n}. Với cấu hình dữ liệu điểm này, ta thường sử dụng mô hình đường cong phức hợp từ các đoạn cong liên kết theo chuỗi.
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 15 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Về mặt lý thuyết, để dựng đường cong phức hợp có thể sử dụng mô hình đường cong bất kỳ như chương trước đã đề cập. Tuy nhiên mô hình đường cong Ferguson và B-spline được sử dụng phổ biến nhất do các đặc điểm: • Dễ sử dụng, • Có hiệu suất tính toán cao, • Có tính liên tục về toán học, • Đạt được độ trơn láng thẫm mỹ và độ đồng đều của đường cong. Về cơ bản, giải quyết vấn đề dựng đường cong phức hợp là giải hệ phương trình tuyến tính. Bằng cách đặt điều kiện liên tục bậc 2 tại mỗi điểm Pi, chúng ta thiết lập được hệ phương trình tuyến tính với các ẩn số là hệ số của phương trình đường cong. Do vậy, để dựng đường cong phức hợp cần thiết phải có các điều kiện liên tục thích hợp và giải được hệ phương trình tuyến tính. Ở đây ta sẽ khảo sát phương pháp dựng hình theo các dạng mô hình sau: a. Mô hình cấu hình dữ liệu điểm cách đều: - Đường cong bậc 3, - Đường cong B-spline đều. b. Mô hình cấu hình dữ liệu điểm không cách đều: - Đường cong cát tuyến, - Đường cong B-spline không đều. c. Mô hình đường cong 2D: - Theo cấu trúc cung đôi, - Theo đường mặt cắt conic. 3.2.1. DỰNG ĐƯỜNG CONG TỪ CHUỖI ĐIỂM CÁCH ĐỀU. 1. Điều kiện liên tục tham số. Xét 2 đoạn đường cong ra(u) và rb(u) (Hình 3.7) trên miền tham số u ∈[0,1]. Để 2 đoạn đường cong kết nối với nhau, chúng phải thoả điều kiện liên tục vị a b trí: r (1) = P1 = r (0) (3.32a) Đường cong phức hợp được gọi là liên tục bậc nhất (C1) nếu đạo hàm bậc nhất của 2 đoạn đường cong tại điểm kết nối có giá trị như nhau: a b r& (1) = t1 = r& (0) (3.32b) Đường cong phức hợp được gọi là liên tục bậc 2 nếu: a b &r& (1) = &r& (0) (3.32c) Các điều kiện (3.32) được gọi chung là điều kiện liên tục tham số C2. Giả thiết đường cong phức hợp đi qua 3 t2 điểm cho trước P0, P1, P2 với tiếp tuyến đầu P2 cuối t0, t2 (Hình 3.7). Nếu vectơ tiếp tuyến t1 tại b . t0 P1 r (u) điểm kết nối cũng được cho trước ta có thể mô . a tả mỗ i đoạn đường cong như đường Ferguson. . r (u) P0 t1 Vì vậy ta sẽ xác định t1 sao cho 2 đoạn đường cong thoả điều kiện liên tục tham số C2 tại điểm kết nối P1, tức là cần xác định t1 từ dữ liệu Hình 3.7 - Điều kiện liên tục cho tr ước (P0, P1, P2, t0, t2) và điều kiện liên tục tham số tại điểm kết nối tham số C2.
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 16 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 2. Dựng đường cong phức hợp bậc 3. a b Đầu tiên ta sẽ xác định tiếp tuyến chung t1 của 2 đoạn đường cong r (u) và r (u) sao cho thoả điều kiện liên tục tham số C2 (3.32). Phương trình Ferguson cho 2 đoạn đường cong được biểu diễn như sau: ra(u) = U C Sa ; rb(u) = U C Sb (3.33) ⎡ 1 0 0 0 ⎤ ⎢ 0 0 1 0 ⎥ trong đó: U = []1 u u 2 u 3 ; C = ⎢ ⎥ ⎢− 3 3 − 2 −1⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 2 − 2 1 1 ⎦ a T b T S = []P0 P1 t0 t1 ; S = [P1 P2 t1 t2 ] Ta có: r a (1) = U&&CSa = []0 0 2 6 CS a = 6P − 6P + 2t + 4t (3.34a) && u =1 0 1 0 1 r b (0) = U&&CSb = [0 0 2 0]CS b = −6P + 6P − 4t − 2t (3.34b) && u=0 1 2 1 2 2 Kết hợp với điều kiện C , ta có: t1 =(3P2-3P0-t0-t2)/4 (3.35) Xét trường hợp tổng quát, dựng đường cong liên tục C2 đi qua chuỗi (n+1) điểm {Pi} (hình 3.8). Giả thiết tiếp tuyến đầu cuối t0, tn được cho trước. Đặt vectơ tiếp tuyến i-1 i tại điểm kết nối Pi là ti, khi đó mỗi cặp đường cong kế cận r (u) và r (u) thoả phương trình tuyến tính (3.36): ti−1 + 4ti + ti+1 = 3(Pi+1 − Pi−1 ) i=1, ,n-1 (3.36) Ta có thể biểu diễn hệ phương trình trên dưới dạng ma trận: A X = B trong đó: A là ma trận hệ số cấp (n+1)x(n+1); X là vectơ ẩn của phương trình. Pn-1 t 0 Pn tn P1 P2 Pn-2 P0 Hình 3.8 - Chuỗi điểm cần nội suy Sau khi sắp xếp các phương trình (3.36), ta có: ⎡1 1 0 0 ⎤⎡ t0 ⎤ ⎡ t0 ⎤ ⎢1 1 1 0 ⎥⎢ t ⎥ ⎢ 3(P − P ) ⎥ ⎢ ⎥⎢ 1 ⎥ ⎢ 2 0 ⎥ ⎢0 1 1 1 ⎥⎢ t2 ⎥ ⎢ 3(P3 − P1 ) ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . . . . . . . . . . ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ (3.37) ⎢ . . . . . . . . ⎥⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 1 1 0⎥⎢tn−2 ⎥ ⎢3(Pn−1 − Pn−3 )⎥ ⎢ 0 1 1 1⎥⎢t ⎥ ⎢ 3(P − P ) ⎥ ⎢ ⎥⎢ n−1 ⎥ ⎢ n n−2 ⎥ ⎣⎢ 0 0 1 1⎦⎥⎣⎢ tn ⎦⎥ ⎣⎢ tn ⎦⎥
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 17 GVC NGUYỄN THẾ TRANH i Với vectơ tiếp tuyến ti, đường cong Ferguson r (u) trên miền [Pi, Pi+1] được xác định bởi: ri(u) = U C Si , với i = 0, 1, ,n-1 (3.38) i T trong đó: S = [Pi, Pi+1, ti, ti+1] U và C được định nghĩa theo (4.2). Trong thực tế, hầu hết các trường hợp tiếp tuyến đầu cuối t0, tn không được cho trước. Do vậy ta có thể xác định tiếp tuyến đầu cuối theo một trong các điều kiện sau: a. Điều kiện biên tiếp tuyến đường tròn. b. Điều kiện biên đa thức. c. Điều kiện biên tự do. Điều kiện biên tiếp tuyến vòng tròn. Dựng đường tròn qua 3 điểm đầu. Đặt : P1 t0 Q là tâm đường tròn cần dựng, a b P2 r là bán kính: r = Q-P0, P0 r a=P1-P0, b=P2-P0, c = a x b. Phương của tiếp tuyến t0 sẽ vuông góc với đoạn thẳng r = Q-P0 và vectơ Q c = a x b , ta có: t0 = a (r × c)/ r × c (3.39) Hình 3.9 - Tiếp tuyến đường tròn Có thể nhận thấy rằng vectơ chưa biết r = Q-P0 được xác định bởi: 2 2 2 r = {a (b× c) + b (c × a)}/(2c ) (3.40) Điều kiện biên đa thức. Tiếp tuyến đầu cuối t0, tn được xác định bằng cách dựng đường cong đa thức chuẩn tắc qua các điểm biên ( 3 hoặc 4 điểm). Tiếp tuyến t0 = r&(0). Điều kiện biên tự do. Giả thiết rằng độ cong tại các điểm P0, Pn bằng 0. Điều kiện này tương ứng với trạng thái khi đường cong phức hợp không bị ảnh hưởng bởi điều kiện ngoại vi nào tại các điểm biên: n−1 &r&(0) = 0 ; &r& (1) = 0 Theo điều kiện biên tự do, biểu thức (4.3a) và (4.3b) được biến đổi thành: 2t0 + t1 = 3(P1 − P0 ) ; 2tn + tn−1 = 3(Pn − Pn−1 ) Hai phương trình tuyến tính này bổ sung vào hệ phương trình (3.37) để tạo thành hệ (n+1) phương trình tuyến tính với (n+1) ẩn số: t0, ,tn:
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 18 GVC NGUYỄN THẾ TRANH ⎡2 1 0 0 ⎤⎡ t0 ⎤ ⎡ 3(P1 − P0 ) ⎤ ⎢1 4 1 0 ⎥⎢ t ⎥ ⎢ 3(P − P ) ⎥ ⎢ ⎥⎢ 1 ⎥ ⎢ 2 0 ⎥ ⎢0 1 4 1 ⎥⎢ t2 ⎥ ⎢ 3(P3 − P1 ) ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . . . . . . . . . . ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ (3.41) ⎢ . . . . . . . . ⎥⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 4 1 0⎥⎢tn−2 ⎥ ⎢3(Pn−1 − Pn−3 )⎥ ⎢ 0 1 4 1⎥⎢t ⎥ ⎢ 3(P − P ) ⎥ ⎢ ⎥⎢ n−1 ⎥ ⎢ n n−2 ⎥ ⎣⎢ 0 0 1 2⎦⎥⎣⎢ tn ⎦⎥ ⎣⎢ 3(Pn − Pn−1 ) ⎦⎥ Kết luận: Đối với phương pháp dựng hình này, không phụ thuộc vào điều kiện biên, đường cong phức hợp bậc 3 bao gồm các đoạn đường cong Ferguson và có thể chuyển đổi dễ dàng thành đường cong Bezier bậc 3. 3. Dựng đường cong phức hợp B-spline đều. Xét phương pháp dựng đường cong phức hợp trơn láng đi qua chuỗi điểm {Pi : i=0, ,n} sử dụng mô hình đường cong B-spline đều (3.13). Đường cong kết quả bao gồm nhiều đoạn đường cong B-spline đều bậc 3 kết nối theo điều kiện liên tục C2. b Ví dụ nếu gán thêm điểm điều khiển V3 cho đoạn đường cong B-spline đều trên Hình 3.3, chúng ta sẽ có đoạn đường cong mới (Hình 3.10). Phương trình của 2 đường cong có dạng: ra(u) = U N Ra ; rb(u) = U N Rb (3.42) trong đó: U = [1 u u2 u3] a b ⎡ 1 4 1 0⎤ ⎡V0 ⎤ ⎡V0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ a ⎥ ⎢ b ⎥ 1 − 3 0 3 0 V V ⎢ ⎥ ; a ⎢ 1 ⎥ ; b ⎢ 1 ⎥ N = R = a R = b 6 ⎢ 3 − 6 3 0⎥ ⎢V2 ⎥ ⎢V2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ a ⎥ ⎢ b ⎥ ⎣−1 3 − 3 1⎦ ⎣V3 ⎦ ⎣V3 ⎦ a b V = V 3 2 a b M1 V1 = V0 b t0 a r (u) r (u) P0 V b 3 a b M0 V2 = V1 a V0 Hình 3.10 - Dựng đường cong B-spline đều phức hợp
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 19 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Ta thấy rằng các đỉnh điều khiển của 2 đường cong trùng nhau: b a b a b a V0 ≡ V1 ; V1 ≡ V2 ; V2 ≡ V3 Bằng cách xây dựng đường cong theo biểu thức (4.11), dễ dàng thấy rằng: a a a a b b b b r (1) = (V1 + 4V2 +V3 )/ 6 ≡ r (0) = (V0 + 4V1 +V2 )/ 6 (3.43) và các đạo hàm của chúng sự bằng nhau. Theo điều kiện liên tục C2, ta có: b a b a b a r (0) = r (1) ; r& (0) = r& (1) ; &r& (0) = &r& (1) (3.44) Như vậy vấn đề dựng đường cong B-spline đều phức hợp từ chuỗi (n+1) điểm {Pi : i=0,1, ,n} tương đương với việc xác định (n+3) đỉnh điều khiển {Vi : i=0,1, ,n+2}. Từ điều kiện liên tục vị trí (4.12) ta có: V i+4Vi+1+Vi+2 = 6Pi , với i = 0,1, ,n (3.45) • Khi tiếp tuyến đầu cuối được cho trước ta có thêm 2 phương trình: 0 V2 −V0 = 2t0 ≡ 2r& (0) (3.46) n−1 Vn+2 −Vn = 2tn ≡ 2r& (1) Giải hệ phương trình (4.14) và (4.15) để xác định các đỉnh điều khiển Vi. Hệ phương trình tuyến tính theo điều kiện biên được biểu diễn dưới dạng ma trận: ⎡−1 0 1 0 ⎤⎡ V0 ⎤ ⎡ 2t0 ⎤ ⎢ 1 4 1 0 ⎥⎢ V ⎥ ⎢ 6P ⎥ ⎢ ⎥⎢ 1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 1 4 1 ⎥⎢ V2 ⎥ ⎢ 6P1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . . . . . . . . . . ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ (3.47) ⎢ . . . . . . . . ⎥⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 4 1 0 ⎥⎢ Vn ⎥ ⎢6Pn−1 ⎥ ⎢ 0 1 4 1 ⎥⎢V ⎥ ⎢ 6P ⎥ ⎢ ⎥⎢ n+1 ⎥ ⎢ n ⎥ ⎣⎢ 0 1 0 −1⎦⎥⎣⎢Vn+2 ⎦⎥ ⎣⎢ 2tn ⎦⎥ • Nếu tiếp tuyến đầu cuối không được cho trước ta có thể xác định theo điều kiện biên tiếp tuyến đường tròn hoặc điều kiện biên đa thức. Theo điều kiện biên tự do để đơn giản ta có thể cho độ cong tại 2 điểm biên của đường cong phức hợp bằng 0, nên ta nhận được hệ phương trình tuyến tính với (n+3) ẩn số:
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 20 GVC NGUYỄN THẾ TRANH ⎡1 −1 0 0 ⎤⎡ V0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢1 4 1 0 ⎥⎢ V ⎥ ⎢ 6P ⎥ ⎢ ⎥⎢ 1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢0 1 4 1 ⎥⎢ V2 ⎥ ⎢ 6P1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . . . . . . . . . . ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ (3.48) ⎢ . . . . . . . . ⎥⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ V ⎢ 1 4 1 0⎥⎢ n ⎥ ⎢6Pn−1 ⎥ ⎢ 0 1 4 1⎥⎢V ⎥ ⎢ 6P ⎥ ⎢ ⎥⎢ n+1 ⎥ ⎢ n ⎥ ⎣⎢ 0 0 −1 1⎦⎥⎣⎢Vn+2 ⎦⎥ ⎣⎢ 0 ⎦⎥ Khi đỉnh điều khiển Vi đã được xác định, đường cong B-spline đều bậc 3 qua điểm {Pi,Pi+1} được biểu diễn bởi: ri(u) = U N Ri , với i = 0,1, ,n-1 (3.49) i T trong đó: R = []Vi Vi+1 Vi+2 Vi+3 Như vậy đường cong phức hợp bao gồm n đoạn đường cong xác định bởi (n+3) đỉnh điều khiển {Vi : i = 0,1, ,n+2}. Trong cả 2 phép dựng hình chúng ta đều sử dụng điều kiện liên tục tham số C2, tức là tại điểm kết nối Pi ta sử dụng chung một vectơ tiếp tuyến ti cho cả 2 đoạn đường cong: i−1 i r& (1) = t1 = r& (0) Do vậy ta có thể suy ra rằng: đường cong phức hợp có thể là phẳng hoặc lồi khi khoảng cách vật lý giữa các điểm dữ liệu không bằng nhau. Như thế nếu khoảng cách vật lý không bằng nhau chúng ta phải sử dụng phương pháp khác. 3.2.2. DỰNG ĐƯỜNG CONG TỪ CHUỖI ĐIỂM KHÔNG CÁCH ĐỀU. Khảo sát theo 2 dạng mô hình: - Đường cong cát tuyến: dùng phương pháp dựng đường cong bậc 3 với hiệu chỉnh sao cho chiều dài cát tuyến được tính đến khi xác định vectơ tiếp tuyến ti. - Đường cong B-spline không đều: dùng phương pháp cho chiều dài cát tuyến như là khoảng cách giữa các điểm nút. Hai phương pháp này đều thích hợp trong việc dựng các đường cong phức hợp trơn láng đi qua chuỗi điểm phân bố không đều. 1. Điều kiện liên tục hình học. Hai đoạn đường cong kế cận ra(u) và rb(u) thoả điều kiện ra(1) = rb(0), được gọi là liên tục tiếp tuyến, nếu thoả: a a b b r& (1) / r& (1) = r& (0)/ r& (0) = T (3.50a) trong đó: T là vectơ tiếp tuyến đơn vị tại điểm kết nối.
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 21 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Mối quan hệ trên được gọi là điều kiện hình học C1, hay được gọi tắt là điều kiện G1. Nếu đặt : a a r& (1) = t1 ; r& (1) = α b r& (0) = β ; ω = β /α thì (4.19a) trở thành: a b r& (1) = t1 ; r& (0) = ωt1 (3.50b) Cho r(u) là đường cong tham số chuẩn tắc. Đạo hàm của r(u) được tính như sau: r& = dr / du = (dr / ds) /(ds / du) ≡ Ts& &r& = dr& / du = s&(dT / du) + (ds&/ du)T 2 2 = s& (dT / ds) + &s&T = s& kN + &s&T Thực hiện tích vectơ với 2 đạo hàm trên: 2 3 3 r&× &r& = s&T × s& kN = s& k(T × N) ≡ r& kB trong đó: B = T x N là vectơ pháp tuyến đôi của đường cong. Do đó có thể biểu diễn độ cong của đường cong tham số r(u) bởi: 3 kB = (r&× &r&) / r& (3.51a) Đường cong ra(u) và rb(u) liên tục theo độ cong tại điểm ra(1) = rb(0), nếu thoả điều kiện: r a (1)× r a (1) r b (0)× r b (0) & && = & && (3.51b) a 3 b 3 r& (1) r& (0) b 2 a Suy ra: T × &r& (0) = (β /α) (T × &r& (1)) Nghiệm của phương trình vectơ là: b 2 a &r& (0) = (β /ω) &r& (1) (3.52) Mối quan hệ giữa các đạo hàm bậc 2 này được gọi là điều kiện liên tục hình học C2 hay được gọi tắt là điều kiện G2. 2. Dựng đường cong cát tuyến. Ví dụ ta dựng đường cong t0 a r (u) t2 phức hợp trơn láng qua 3 điểm P0, P1 β P1, P2 với vectơ tiếp tuyến đầu cuối P0 P2 t0, t2 (Hình 3.10) theo mô hình α 2 t1 b Ferguson và điều kiện G . r (u) Hình 3.10-Đường cong cát tuyến Cho ra(u) và rb(u) là 2 đợn đường cong Ferguson. Việc cần giải quyết là xác định vectơ tiếp tuyến t1 chưa biết tại điểm kết nối. a Giả sử t1 là vectơ tiếp tuyến tại điểm cuối của đoạn cong r (u): a (3.53a) t1 = r& (1) Điều kiện liên tục G2 yêu cầu vectơ tiếp tuyến tại điểm đầu của đoạn cong rb(u) thoả điều kiện:
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 22 GVC NGUYỄN THẾ TRANH b (3.53b) r& (0) = ωt1 Theo phương pháp dựng đường cong cát tuyến, độ lớn của vectơ tiếp tuyến tại điểm kết nối được đặt bằng chiều dài cát tuyến: α = P1 − P0 ; β = P2 − P1 Do vậy tỷ số độ lớn của các vectơ trở thành tỷ số chiều dài cát tuyến. Điều kiện G2 được viết lại như sau: b 2 a &r& (0) = ω &r& (1) (3.54) trong đó: ω = P2 − P1 / P1 − P0 Viết lại phương trình Ferguson cho đường cong ra(u) và rb(u) : ra(u) = U C Sa (3.55a) rb(u) = U C Sb (3.55b) trong đó: ⎡ 1 0 0 0 ⎤ ⎢ 0 0 1 0 ⎥ U = []1 u u 2 u 3 ; C = ⎢ ⎥ ⎢− 3 3 − 2 −1⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 2 − 2 1 1 ⎦ a T b T S = []P0 P1 t0 t1 ; S = [P1 P2 ωt0 t1 ] Sau khi tính đạo hàm bậc 2 của các biểu thức (3.55) ta có thể xác định được t1 theo điều kiện G2: 2 (−6P1 + 6P2 − 4ωt1 − 2t2 ) = ω (6P0 − 6P1 + 2t0 + 4t1 ) (3.56) Xét trường hợp tổng quát: dựng đường cong đi qua (n+1) điểm thoả điều kiện G2. Cho trước: Chuỗi điểm 3D : {Pi : i = 0,1, ,n} Vectơ tiếp tuyến biên : t0, tn Xác định: Hệ số tỷ lệ cát tuyến: {ω = P − P / P − P : i = 1,2, , n −1} với ω = 1. i i+1 i i i−1 0 Tiếp tuyến : {ti : i = 1,2, ,n-1} i Cho r (u) là đoạn dường cong Ferguson trên miền [Pi, Pi+1], được biểu diến: ri(u) = U C Si (3.57) trong đó: i T S = []Pi Pi+1 ωiti ti+1 ω = 1,ω = P − P / P − P : i = 1,2, , n −1 0 i i+1 i i i−1 2 Tại mỗi điểm kết nối Pi, điều kiện G được biểu diễn bởi: i 2 i−1 &r& (0) = (ωi ) &r& (1) Ta có thể suy ra được (n-1) phương trình tuyến tính dạng:
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 23 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 2 2 2 {ωi-1ωi ti−1 + 2ωi (1+ωi )ti + ti+1} = 3{Pi+1 + (ωi −1)Pi −ωi Pi−1}(3.58) Giả thiết rằng biết trước t0 và tn, hệ phương trình trên có thể biểu diễn dưới dạng ma trận: ⎡ 1 0 0 0 . . . .⎤⎡ t0 ⎤ ⎡ t0 ⎤ 2 2 ⎢ω1 2ω1+2ω1 1 0 . . . .⎥⎢ t1 ⎥ ⎢ b1 ⎥ ⎢ 0 ω ω 2 2ω +2ω 2 1 . . . .⎥⎢ t ⎥ ⎢ b ⎥ 1 2 2 2 2 = 2 ⎢ . . . . . . . .⎥⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ 2 2 ⎥⎢t ⎥ ⎢b ⎥ ⎢ . . . . . ωn−2ωn−1 2ωn−1+2ωn−1 1⎥⎢ n−1⎥ ⎢ n−1⎥ ⎣ . . . . . 0 0 1⎦⎣ tn ⎦ ⎣ tn ⎦ 2 2 Trong đó: bi = 3{Pi+1 + (ωi −1)Pi −ωi Pi−1} Phương trình trên có thể biến đổi thành phương trình bậc 3 (3.37) khi ωi = 1 hay một cách khác đường cong cát tuyến trở thành đường cong bậc 3 nếu như tất cả cát tuyến bằng nhau. 3. Dựng đường cong phức hợp B-spline không đều. Xét phương pháp dựng đường cong NUBS trơn láng đi qua chuỗi điểm 3 D. Trên hình (4.6) minh hoạ đường cong phức hợp tạo bởi n đoạn đường cong NUBS bậc 3 { ri(u) : i = 0,1, ,n-1} định nghĩa bởi: a. (n+3) đỉnh điều khiển, b. (n+4) bước nút. Ta có bài toán dựng hình: Cho trước: Chuỗi điểm 3D : {Pi : i = 0,1, ,n} Vectơ tiếp tuyến biên : t0, tn Hãy xác định: Bước nút : {∇i : i = -2, -1, ,n+1} Đỉnh điều khiển : {Vi : i = 0,1, ,n+2} Giải thuật bài toán tương tự như giải thuật dựng đường cong B-spline đều. Bước đầu tiên cần thực hiện là xác định bước nút ∇i. Có n giá trị bước nút hỗ trợ ∇0, ,∇n-1 (Hình 4.6) có thể được được lựa chọn bằng chiều dài cát tuyến tương ứng: ∇i = Pi+1 − Pi : i = 0, ,n-1 (3.59a) những giá trị còn lại được gọi là bước nút mở rộng, chúng không ảnh hưởng tới chất lượng của đường cong có thể đặt bằng 0 hoặc lấy giá trị như nhau: ∇-2 = ∇-1 = ∇n+1 = ∇n = 0 (3.59b) ∇-2 = ∇-1 = ∇0; ∇n+1 = ∇n = ∇n-1 (3.59c) Bước tiếp theo là thiết lập hệ phương trình tuyến tính cho các đỉnh điều khiển chưa biết. Ta thiết lập phương trình cho mỗi đoạn cong (Hình 4.6) theo dạng đường cong NURBS bậc 3:
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 24 GVC NGUYỄN THẾ TRANH i i i r (u) = UN c R 0 ≤ u ≤1; i=0,1, ,n-1 (3.60) i T trong đó: R = [Vi Vi+1 Vi+2 Vi+3] ⎡ (∇ )2 (∇ )2 ⎤ i 1− n − n i−1 0 ⎢∇ 2 ∇ 2 11 13 ∇3 ∇ 2 ⎥ ⎢ i−1 i−2 i−1 i−1 ⎥ 3∇ ∇ ⎢ − 3n (3n − n ) i i−1 0 ⎥ ⎢ 11 11 23 ∇3 ∇ 2 ⎥ N i = i−1 i−1 c ⎢ 2 ⎥ 3(∇i ) ⎢ 3n11 − (3n11 + n33 ) 3 2 0 ⎥ ⎢ ∇i−1∇i−1 ⎥ ⎢ (∇ )2 ⎥ − n (n − n − n ) n i ⎢ 11 11 43 44 43 3 2 ⎥ ⎣ ∇i ∇i ⎦ ⎧1 2 2 3 ⎫ n43 = −⎨ n33 + n44 + (∇i ) /(∇i ∇i−1 )⎬ ⎩3 ⎭ k nij : phần tử hàng thứ i, cột thứ j. ∇i = ∇i + ∇i+1 + + ∇i+k −1 2 2 3 2 2 3 Nếu đặt: hi = (1- fi - gi) ; fi = (∇i ) /(∇i−1∇i−2 ) ; gi = (∇i−1 ) /(∇i−1∇i−1 ) Qua các điều kiện ta có thể rút ra được hệ phương trình tuyến tính của đường cong NURBS như sau: ⎡− 3 3 0 0 ⎤⎡ V0 ⎤ ⎡ t0 ⎤ ⎢ 1 0 0 0 ⎥⎢ V ⎥ ⎢ P ⎥ ⎢ ⎥⎢ 1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 f1 h1 g1 ⎥⎢ V2 ⎥ ⎢ P1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . . . . . . . . . . ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ (3.61) ⎢ . . . . . . . . ⎥⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . f h g V P ⎢ n−1 n−1 n−1 ⎥⎢ n ⎥ ⎢ n−1 ⎥ ⎢ . 0 0 1 ⎥⎢V ⎥ ⎢ P ⎥ ⎢ ⎥⎢ n+1 ⎥ ⎢ n ⎥ ⎣ . 0 − 3 3 ⎦⎣Vn+2 ⎦ ⎣ tn ⎦ 3.3. MÔ HÌNH MẶT LƯỚI Về hình học, nói chung mặt tạo hình của các loại hình thể có cấu trúc đa hợp hình thành bởi sự liên kết các mặt tạo hình cơ sở. Mỗi dạng mặt cơ sở được thiết lập theo qui luật riêng nhưng có cùng đặc điểm chung là có cấu trúc phức hợp từ các phần tử hình học dạng ô lưới mà ta gọi qui ước là mặt lưới.
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 25 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 3.3.1. MÔ HÌNH MẶT LƯỚI ĐA THỨC THAM SỐ. Mô hình này được sử dụng chủ yếu trong mô hình hoá mặt cong phức hợp từ ma trận điểm, trong đó mô hình Ferguson, Bezier và B-spline được sử dụng phổ biến nhất. Một cách tổng quát có 5 dạng mô hình mặt lưới đa thức tham số bậc 3 sử dụng phổ biến trong mô hình hoá mặt cong từ dữ liệu điểm 3D tương ứng với các mô hình đường cong đã khảo sát: a. Đường cong đa thức chuẩn tắc : r(u) = U A b. Đường cong Ferguson : r(u) = U C S c. Đường cong Bezier : r(u) = U M R d. Đường cong B-spline : r(u) = U N R e. Đường cong B-spline không đều: r(u) = U Nc R 1. Mô hình mặt lưới đa thức chuẩn tắc. Mặt lưới đa thức chuẩn tắc bậc 3 kép được định nghĩa như sau: 3 3 i j r(u,v) = ∑∑diju v ; với 0 ≤ u,v ≤ 1 (3.62a) ij==0 0 hay dưới dạng ma trận: r(u,v) = U D VT (3.62b) trong đó: r(u,v) là đa thức vectơ bậc 3 trên miền tham số (u,v). U = [1 u u2 u3 ]; V = [1 v v2 v3 ] ⎡d00 d01 d02 d02 ⎤ ⎢d d d d ⎥ D = ⎢ 10 11 12 13 ⎥ : Ma trận hệ số đa thức. ⎢d 20 d 21 d 22 d 23 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣d30 d31 d32 d33 ⎦ Ví dụ ta có thể sử dụng mô hình này để thiết lập mặt cong trơn láng nội suy qua (4x4) dãy điểm 3D {Pij ; i =0, ,3; j = 0, ,3} (Hình 3.11): Đặt giá trị tham số tại các P03 P điểm góc lưới: 13 P02 P12 P23 P00 : u = v = 0 P01 P22 P11 P03 : u = 0 , v = 1 P33 P21 P30 : u = 1 , v = 0 v P33 : u = 1 , v = 1 P00 P32 P10 u P Gía trị tham số tại các điểm 20 P31 khác lấy theo chiều dài cát P30 tuyến: Hình 3.11 - Mặt lưới đa thức chuẩn tắc bậc 3 kép
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 26 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Ví dụ tại điểm P 11: u = P11 − P01 /{P11 − P01 + P21 − P11 P31 − P21 } Ta có thể tăng bậc của mặt lưới đến giá trị (mxn) sao cho mặt lưới nội suy qua (m+1) x (n+1) điểm. Mô hình này nói chung khó duy trì tính liên tục trên các đường biên khi mặt lưới có dạng phức tạp và mặt lưới có xu hướng dao động khi bậc của đa thức tăng. 2. Mô hình mặt lưới Ferguson. Ta có thể sử dụng mặt lưới trên một cách tiện dụng hơn bằng cách thiết lập mặt lưới nội suy qua 4 điểm góc {Pij : i, j = 0,1} (Hình 3.12). Trong biểu thức (3.62) có 16 hệ số chưa biết nên cần xác định 16 hệ thức ràng buộc. Điều kiện ràng buộc liên quan đến các điểm góc bao gồm: r(i,j) = Pij : i,j = 0,1 (3.63) t01 P01 x Điều kiện biên tại 4 điểm góc lưới 01 P : s01 ij -Vectơ tiếp tuyến theo phương u: u=0 s = ∂r(u,v)/ ∂u = r (i, j) ij u t00 P11 t11 -Vectơ tiếp tuyến theo phương v: v x00 s00 x11 P00 tij = ∂r(u,v)/ ∂v = rv (i, j) u=1 s11 - Vectơ xoắn tại Pij: u t10 2 xij = ∂ r(u,v)/ ∂u∂v = ruv (i, j) P10 x10 (3.64) s10 Hình 3.12 - Mặt lưới Ferguson Bằng cách giải 16 phương trình (3.63) và (3.64) ta xác định được các hệ số dij. Có thể biến đổi phương trình (3.62) thành phương trình Ferguson: r(u,v) = U D VT = U C Q CT VT , 0 ≤ u,v ≤ 1 (3.65) trong đó: C: Ma trận hệ số Ferguson. ⎡P00 P01 t00 t01 ⎤ ⎢P P t t ⎥ Q = ⎢ 10 11 10 11 ⎥ : Ma trận điều kiện góc. ⎢s00 s01 x00 x01 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣s10 s11 x10 x11 ⎦ Ta cũng thấy rằng phương trình đường cong Ferguson thực ra là hàm kết nối điều kiện biên bởi hàm Hermite bậc 3 và do vậy ta có thể thiết lập mặt cong r(u,v) như là hàm kết nối đường biên và tiếp tuyến biên ngang bởi hàm Hermite bậc 3 như sau: 3 3 3 3 r(u,v) = H 0 (u)r(0,v) + H1 (u)ru (0,v) + H 2 (u)ru (1,v) + H 3 (u)r(1,v)
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 27 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Kết quả nhận được là phương trình mặt cong Ferguson (3.65) và cũng đạt được kết quả tương tự nếu bắt đầu với các đường biên v = 0,1. Mặt khác nếu mặt cong được xác định hoàn toán bởi điều kiện góc (P, s, t, x) thì được gọi là mặt cong tích tenxơ. Mặt cong tích Tenxơ có cấu hình chữ nhật đối xứng (theo u và v) và có tính chất quan trong nêu trên. 3. Mô hình mặt lưới Bezier. Hãy xét dãy (4x4) đỉnh điều khiển {Vij} (Hình 3.13). Bằng cách kết nối các đỉnh điều khiển bởi đa thức Bernstein mặt lưới Bezier bậc 3 kép được định nghĩa như sau: 3 3 3 3 r(u,v) = ∑∑Bi (u)B j (v)Vij ij==0 0 3 3 3! i 3−i 3! j 3− j = ∑∑ u (1− u) v (1− v) Vij ij==0 0 (3 − i)!i! (3 − j)! j! = U M B MT VT (3.66) trong đó: ⎡V00 V01 V02 V02 ⎤ ⎢V V V V ⎥ B = ⎢ 10 11 12 13 ⎥ : Ma trận đỉnh điều khiển Bezier ⎢V20 V21 V22 V23 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣V30 V31 V32 V33 ⎦ V03 V13 V02 V u=0 V12 23 V Ma trận hệ số Bezier bậc 3 01 V11 V22 M và ma trận đỉnh điều V33 v khiển Bezier B tạo thành V21 v=0 V khối đa diện đặc tính. V00 32 V10 u V20 V31 V30 Hình 3.13 - Mặt lưới Bezierbậc 3 kép Có thể phát triển mô hình mặt lưới Bezier bậc 3 kép tới bậc (m x n): m n m n r(u,v) = ∑∑Bi (u)B j (v)Vij (3.67) i==00j m n m! i m−i n! j n− j = ∑∑ u (1− u) v (1− v) Vij i==00j (m − i)!i! (n − j)! j! Một số phần mềm CAD/CAM chuyên nghiệp sử dụng giá trị m = n = 5 hoặc m = n = 7. Khi m = n = 5 ta cần 36 đỉnh điều khiển để thiết lập mô hình mặt lưới Bezier bậc 5 kép.
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 28 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 4. Mô hình mặt lưới B-spline đều. Tương tự như mặt lưới Bezier bậc 3 kép, mặt lưới B-spline đều bậc 3 kép được định nghĩa là mặt cong tích Tenxơ các đường cong B-spline đều: 3 3 3 3 r(u,v) = ∑∑Ni (u)N j (v)Vij ij==0 0 = U N B NT VT (3.68) V03 V13 V02 V12 V23 V V 22 Ta cũng có thể lập mặt lưới 01 V11 v B-spline đều với thứ bậc V33 khác nhau theo phương u và u V00 V32 v riêng biệt. V21 V10 V20 V31 V30 Hình 3.14 - Mặt lưới B-spline đều bậc 3 kép 3.3.2. MÔ HÌNH MẶT LƯỚI NỘI SUY BIÊN Dạng mặt lưới này sử dụng tương đối phổ biến do phương thức tạo hình đơn giản. Ở đây ta khảo sát các dạng mặt lưới cơ bản như: Mặt kẻ, mặt tuyến hình, mặt Coons và mặt Gregory. 1. Mặt kẻ. Xét 2 đường cong tham số r0(u) và r1(u) với 0 ≤ u ≤ 1 (Hình 3.15). Kết nối tuyến tính 2 đường cong này tạo nên một dạng mặt cong được gọi là mặt kẻ: r(u,v) = (1-v)r0(u) + vr1(u) : 0 ≤ u,v ≤ 1 (3.69) hay r(u,v) = r0(u) + v(r1(u) - r0(u)) : 0 ≤ u,v ≤ 1 Đây là dạng mặt cong đơn giản nhất được định nghĩa từ các đường biên. Số hạng thứ 2 trong (3.69) là hàm vectơ theo u. Vectơ đơn vị theo phương r1(u) - r0(u) trong (3.69) được gọi là vectơ kẻ t(u). Ta có thể biểu diễn phương trình mặt cong tương tự như mặt kẻ (3.69) bằng cách sử dụng vectơ kẻ t0(u) của đường biên r0(u): r(u,v) = r0(u) + vt0(u) (3.70) Nếu vectơ kẻ t0(u) không đổi và đường biên là đường cong 2D thì mặt cong trở thành mặt trụ. Nếu vectơ kẻ t0(u) là vectơ tiếp tuyến ngang của đường biên, phương trình mặt cong là phép nội suy tuyến tính Taylor.
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 29 GVC NGUYỄN THẾ TRANH r1(u) r1(u) v v r(u,v) u u t0(u) r0(u) r0(u) a, b, Hình 3.15 - a, Mặt kẻ; b, Phép nội suy tuyến tính Taylor 2. Mặt tuyến hình. Xét một trường hợp mở rộng của mô hình mặt kẻ (3.69) khi dữ liệu cho trước bao gồm: a. Cặp đường biên ri(u) : i = 0, 1 b. Vectơ tiếp tuyến biên ngang ti(u) : i = 0, 1 Trường hợp này giống hệt như trường hợp đường cong Ferguson với khác biệt là hàm vectơ được sử dụng thay cho vectơ. Từ phương trình đường cong Ferguson đã biết, mặt tuyến hình được định nghĩa bởi phép kết nối dữ liệu theo hàm Hermite bậc 3 3 H i (v) : 3 3 3 3 r(u,v) = H 0 (v)r0 (u) + H1 (v)t0 (u) + H 2 (v)t1 (u)H 3 (v)r1 (u) (3.71) trong đó: 3 2 3 3 2 3 H 0 (v) = (1− 3v + 2v ) ; H1 (v) = (v − 2v + v ) 3 2 3 3 2 3 H 2 (v) = (−v + v ); H 3 (v) = (3v − 2v ) ri(u) : đường biên (i = 0, 1) ti(u) : tiếp tuyến biên ngang (i = 0, 1) 3. Mặt lưới Coons chữ nhật. Thiết lập mặt cong r(u,v) nội suy từ các đường biên (Hình 3.16): a0(v) ; a1(v) ; b0(u) ; b1(u) : 0 ≤ u,v ≤ 1 Như vậy mặt cong này phải thoả điều kiện biên sau: r(i,v) = ai(v) : i = 0,1 r(u,j) = bj(u) : j = 0,1 (3.72) Pij = r(i,j) : i,j = 0,1 Cho r1(u,v) và r2(u,v) là các mặt kẻ thoả điều kiện biên trên: r1(u,v) = (1-u)a0(v) + ua1(v) r2(u,v) = (1-v)b0(u) + vb1(u) (3.73) Phương trình mặt cong r(u,v) thoả điều kiện nbiên (3.72) được định nghĩa như sau: r(u,v) = r1(u,v) + r2(u,v) - r3(u,v) (3.74) Phương trình này có dạng cọng Lôgic (theo Boole), nếu r3 là hàm giao của r1 và r2.
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 30 GVC NGUYỄN THẾ TRANH P b1(u) 01 a0(v) P11 r1(u,v) a1(v) a0(v) a1(v) b1(u) v P00 b0(u) P10 u r1(u,v) a, b, Hình 3.16 - Mặt Coons b0(u) Để xác định mặt cong hiệu chỉnh r3(u,v) cần xác định phương trình mặt cong (3.74) tại các đường biên. Từ các điều kiện biên ta có giá trị mặt cong tại các đường biên u = 0,1 được xác định như sau: r3(0,v) = (1-v)b0(0) +vb1(0) = (1-v)P00 + vP01 r3(1,v) = (1-v)b0(1) +vb1(1) = (1-v)P10 + vP11 (3.75) Có thể coi mặt cong hiệu chỉnh r3(u,v) là mặt kẻ xác định bởi 2 đường biên: r3(u,v) = (1-u)r3(0,v) + ur3(1,v) = (1-u)(1-v)P00 + (1-u)vP01 + u(1-v)P10 + uvP11 (3.76) Ta thấy rằng mặt cong hiệu chỉnh được định nghĩa như phép kết nối tuyến tính kép 4 điểm góc. Từ các kết quả trên ta có thể suy ra phương trình mặt cong nội suy từ 4 đường biên như sau: ⎡a0 (v)⎤ ⎡α 0 (v)⎤ r(u,v) = [α0(u)α1(u)] ⎢ ⎥ + [b0(u)b1(u)] ⎢ ⎥ ⎣a1 (v)⎦ ⎣α1 (v)⎦ ⎡P00 P01 ⎤ ⎡α 0 (v)⎤ - [α0(u)α1(u)] ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ với 0 ≤ u,v ≤ 1 (3.77) ⎣P10 P11 ⎦ ⎣α1 (v)⎦ trong đó: α0(u) = (1-u) ; α1(u) = u α0(v) = (1-v) ; α1(u) = v Phương trình mặt cong (3.77) được gọi là mặt Coons kết nối tiếp tuyến kép. 4. Mặt lưới Gregory tam giác. Ta khảo sát vấn đề thiết lập mặt lưới tam giác từ 3 đường biên ei(si) và tiếp tuyến biên ngang ti(si) (Hình 3.17) bằng cách áp dụng phép nội suy (5.71) cho từng đường biên. Xét ví dụ xác định phương trình tham số đường biên và tiếp tuyến biên ngang của mặt cong cho trước là 1/8 mặt cầu đơn vị (Hình 3.17).
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 31 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Có thể tham số hoá cung tròn trên mặt z phẳng x-y như sau: x = cosθ ; y = sinθ Từ đó phương trình các đường biên có e2(s2) e1(s1) dạng: t1(s1) e1(s1)=(0,cos(s1π/2),sin(s1π/2)): 0≤s1≤1 y x e2(s2)=( sin(s2π/2),0,cos(s2π/2)): 0≤s ≤1 2 e3(s3) e3(s3)=( cos(s1π/2),sin(s1π/2),0): 0≤s3≤1 Hình 3.17- Dữ liệu biên của mặt cong tam giác Vì rằng tiếp tuyến biên ngang song song với trục toạ độ nên ta có thể biểu diễn chúng như sau: t1 = (π/2, 0, 0); t2 = (0, π/2, 0); t3 = (0, 0, π/2) Để thiết lập mặt cong trơn láng từ dữ liệu biên (Hình 3.17) cần xác định giới hạn tham số cho miền tam giác. Xét tam giác đều V1V2V3, đặt λi là khoảng cách vuông góc từ điểm V trong tam giác đến cạnh đối diện đỉnh Vi (Hình 3.18a): V = (λ1, λ2, λ3) P1=e2(1)=e3(0) V1(1,0,0) e3(s3) e2(s2) t (s ) t2(s2) 3 3 λ λ3 2 V t1(s1) λ1 e1(s1) P2=e3(1)=e1(0) P3=e1(1)=e2(0) V2(0,1,0) V3(0,0,1) a, b, Hình 3.18 - Mặt cong Gregory tam giác Như vậy λi tạo nên toạ độ trọng tâm của miền tam giác. Ta có thể xác định tham số si của đường biên theo λi: s1=λ3(λ2+λ3); s2=λ1(λ3+λ1); s3=λ2(λ1+λ2) (5.18) Từ đó có thể xác định hàm nội suy tuyến tính Taylor ri(si, λi) theo đường biên ei(si) và tiếp tuyến biên ngang ti(si): ri(si, λi) = ei(si) + λiti(si) i = 1, 2, 3 (3.79) Cuối cùng mặt lưới Gregory tam giác giới hạn bởi 3 đường biên (Hình 3.18b) được thiết lập như phép kết nối lồi 3 mặt cong nội suy tuyến tính Taylor: 3 r(V ) = ∑γ i (V ){ei (si ) + λiti (si )} (3.80) i=1 trong đó: V(λ1, λ2, λ3) : Toạ độ trọng tâm
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 32 GVC NGUYỄN THẾ TRANH si : tham số đường cong 2 2 ⎧(1/ λi ) / ∑ j (1/ λ j ) khiλ j ≠ 0 và γ i (V ) = ⎨ 1 khiλ = 0 ⎩ j Giải thuật thiết lập mặt cong theo (3.80) được gọi là phép kết nối lồi vì mặt cong kết quả nội suy từ miền lồi giới hạn bởi 3 đường biên. Ta có thể mở rộng phương pháp này để thiết lập mặt cong giới hạn mởi n đường biên; ngoài ra cũng có thể thiết lập mặt cong n cạnh theo giải thuật mặt Coons. Giải thuật này còn được gọi là phép cong Lôgic. Theo đó mặt lưới kết quả được biểu diễn như tổng Lôgic của các mặt cong thành phần: r(u,v) = r1(u,v) ⊕ r2(u,v) = r1(u,v) + r2(u,v) - r3(u,v) trong đó r3(u,v) là phần giao của r1(u,v) và r2(u,v). 3.3.3. MÔ HÌNH MẶT LƯỚI QUÉT HÌNH Mặt quét hình được định nghĩa bởi quĩ đạo quét hình đường mặt cắt (đường tạo hình) dọc theo đường định hình (đường dẫn hướng). Ta có các loại mặt lưới quét hình sau: 1. Mặt lưới quét hình song song. Xét đường cong tham số g(u) và d(v) (Hình 3.19). Nếu coi 2 đường cong 3D này là sợi dây cứng ta có thể tưởng tượng mặt cong quét hình song song như mặt cong xác định bởi quĩ đạo quét hình đường mặt cắt g(u) dọc đường dẫn d(v): r(u,v) = g(u) + d(v) - d(0) : 0 ≤ u,v ≤ 1 (3.81) trong đó: d(0) là điểm đầu của đường cong dẫn hướng. Có thể mở rộng ý tưởng quét hình cho trường hợp đường cong tham số định nghĩa bởi đỉnh điều khiển Bezier và B-spline. Đối với trường hợp Bezier bậc 3 có thể di d(v) chuyển các đỉnh điều khiển V0, V1, V2, V3 dọc theo 4 đường dẫn hướng d(0) d0(v), d1(v), d2(v), d3(v). Như vậy mặt g(u) cong kết quả được biểu diễn như sau: Hình 3.19- Mặt quét hình song song 3 3 r(u,v) = U M R(v) = ∑ Bi (u)di (v) (3.82) i=0 Khi đường mặt cắt là đường cong cônic và đường dẫn hướng là đường bậc 3 thì mặt cong quét hình được gọi là mặt cong đa cônic, được sử dụng để thiết lập mặt cong kết nối biên.
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 33 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 2. Mặt lưới quét hình tròn xoay. Đây là dạng mặt cong được sử dụng tương đối phổ biến. Xét đường mặt cắt s(u) trên mặt phẳng x-z (Hình 3.20a): s(u) = d(u)i - z(u)k = (d(u), 0, z(u)) (3.83) trong đó: i = (1, 0, 0) và k = (0, 0, 1). Phương trình tham số mặt cong quét hình được định nghĩa bởi phép xoay tròn đường mặt cắt (3.83) quanh trục z (Hình 3.20b) có dạng như sau: z x k r(u,θ) = (d(u)cosθ, d(u)sinθ, z(u)) = d(u)cosθ.i + d(u)sinθ.j + z(u).k s(u) (3.84) s(u) j y trong đó: d(u), z(u) là đường mặt cắt (3.83). z i x a, b, Hình 3.20 - Mặt quét hình tròn xoay 3. Mặt quét hình phi tham số. Ta đã biết rằng mặt cong tham số r(u,v) suy biến thành mặt cong phi tham số khi x(u,v) ≡ u và y(u,v) ≡ v: r(u,v) = {x(u,v), y(u,v), z(u,v)} ≡ {u,v,z(u,v)} ≡ (x,y,z(x,y)) (3.85) Thực tế phương trình này tương đương với z = z(x,y). Xét trường hợp mặt cong quét hình song song z = z(x,y) (Hình 3.21c) được tạo bởi đường mặt cắt z = g(x) và đường dẫn hướng z = d(y) (Hình 3.21a,b): z = g(x), x ∈ [x0, x1] z = d(y), y ∈ [y , y ] 0 1 z z = d(y) z = g(x) z z z = g(x) z = d(y) y x y x a, b, c, Hình 3.21 - Mặt cong quét hình phi tham số Theo định nghĩa mặt cong quét hình song song (3.81) mặt cong quét hình tham số được xác định như sau: z(x,y) = g(x) + d(y) - d(0) với x0 ≤ x ≤ x1; y0 ≤ y ≤ y1 (3.86) Có thể trình bày lại phương trình (3.86) dưới dạng chuẩn:
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 34 GVC NGUYỄN THẾ TRANH f(x,y,z) ≡ -g(x) - d(y) + z +d(0) = 0 Từ đó có thể xác định vectơ pháp tuyến N của mặt cong quét hình (3.86) như sau: N(x, y) = (∂f / ∂x,∂f / ∂y,∂f / ∂z) = (−g&(x),−d&(y),1) (3.87) 3.3.4. MẶT LƯỚI GIẢI TÍCH. Thuật ngữ mặt cong giải tích được sử dụng cho trường hợp mặt cong biểu diễn dưới dạng phương trình ẩn g(x,y,z) = 0, trong đó hàm giải tích g(x,y,z) thường là đa thức với biến toạ độ x, y, z. Nếu bậc đa thức là 2, mặt cong được gọi là mặt conicoit. Nếu là bậc 3 mặt cong được gọi là mặt cubicoit. Thực tế chỉ có mặt cong bậc 2 được sử dụng phổ biến để thể hiện các loại hình thể. 1. Mặt cong bậc 2. Trong trường hợp tổng quát, phương trình đa thức ẩn bậc 2 biểu diễn mặt cong bậc 2 trong không gian 3D: 2 2 2 i j k g(x, y, z) = ∑∑∑cij x y z = 0 (3.88) ijk===0 0 0 Phương trình (3.88) gồm 27 số hạng, nên mô hình giải tích này không có nghĩa hình học. Thực tế mặt cong bậc 2 chuẩn tác (Hình 3.22) được sử dụng như mặt cong tạo hình cơ sở trong các phép dựng hình (Bảng 3.1). Hình 3.22 - 6 dạng mặt cong bậc 2 chuẩn tắc
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 35 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Bảng 3.1 STT Mặt cong bậc 2 chuẩn tắc Phương trình ẩn 1 Elipsoit (mặt cầu) (x/a)2 + (y/b)2 + (z/c)2 = 1 2 Hyperboloid đơn (x/a)2 + (y/b)2 - (z/c)2 = 1 3 Hyperboloid kép (x/a)2 - (y/b)2 - (z/c)2 = 1 4 Paraboloiđ Elip (x/a)2 + (y/b)2 - z = 0 5 Paraboloidd Hyperbol (x/a)2 - (y/b)2 + z = 0 6 Nón Elip (x/a)2 + (y/b)2 + z = 0 Dễ dàng xác định ý nghĩa hình học của “hằng số tỷ lệ” a, b, c bằng phương pháp thay thế. Ví dụ đặt y = z = 0 để thấy ảnh hưởng của hệ số a. 2. Tham số hoá mặt cong bậc 2. Theo hình học vi phân phương trình ẩn nêu trên không phải là phương trình mặt cong, đơn thuần chúng biểu diễn giới hạn giữa 2 nửa không gian không kết nối đựơc. Phần lớn các chức năng xử lý CAD/CAM yêu cầu mô tả mặt cong dưới dạng phương trình tham số. Bảng (3.2) tóm tắt phương trình tham số của các dạng mặt cong bậc 2 chuẩn tắc biểu diễn dưới dạng tổng quát: r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) Bảng 3.2 STT Mặt cong bậc 2 chuẩn tắc Phương trình tham số 1 Elipsoit (mặt cầu) r(α,β) = (acosαcosβ, bcosαsinβ, csinα) 2 Hyperboloid đơn r(α,β) = (acosβ/ cosα, bsinβ/ cosα, ctgα) 3 Hyperboloid kép r(α,β) = (a/ cosα, bcosβtgα, ctgαsinβ) 4 Paraboloiđ Elip r(u,v) = (au, bv, u2 + v2) 5 Paraboloidd Hyperbol r(u,v) = (au, bv, u2 - v2) 6 Nón Elip r(u,v) = (aucosβ, bvsinβ, cu) trong đó: -π/2 ≤ α ≤ π/2; -π/2 ≤ β ≤ π/2; u,v là số thực Phương pháp tham số hoá tốt nhất là cho độ chảy đều. Có thể dễ dàng chuyển đổi các biểu thức lượng giác trên bảng (3.2) thành dạng tham số hữu tỷ với giả thiết hệ số tỷ lệ bằng 1. (Bảng 3.3): Bảng 3.3 STT Mặt cong bậc 2 chuẩn tắc Phương trình tham số hữu tỷ thuần nhất 1 Elipsoit (mặt cầu) ((1-u2)(1-v2),2u(1-v2),2v(1+u2),(1+u2)(1+v2)) 2 Hyperboloid đơn ((1-u2)(4+v2),2u(1+v2),4v(1+u2),(1+u2)(4-v2)) 3 Hyperboloid kép ((4+u2)(4+v2),4u(4+v2),4v(4-u2),(4-u2)(4-v2)) 4 Paraboloiđ Elip (u, v, u2 + v2, 1) 5 Paraboloidd Hyperbol (u, v, u2 - v2, 1) 6 Nón Elip (v(1-u2), 2uv, v(1+u2), (1+u2))
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 36 GVC NGUYỄN THẾ TRANH KẾT LUẬN Chúng ta đã đề cập đến 4 dạng mô hình mặt lưới và đã sử dụng các dạng hàm kết nối bậc 3 để thiết lập mặt lưới nội suy chữ nhật. Thông thường mô hình mặt lưới dưới dạng ma trận rất thích hợp cho xử lý dữ liệu. Tuy nhiên đối với hình học Bezier, ta thấy rằng dạng ma trận ít ổn định về số so với dạng đa thức Bernstein. Trong số mô hình mặt lưới chữ nhật (vô tỷ) được nêu, mô hình NURBS là dạng tổng quát nhất, các dạng khác chỉ là trường hợp đặc biệt. Trong đó mô hình Bezier thích hợp nhất vì có thể chuyển đổi các dạng khác sang dạng Bezier. Mặt quét hìnhlà dạng mô hình hình học được sử dụng phổ biến nhất trong kỹ thuật. Ví dụ như có thể mô tả mặt tạo hình các loại ống dẫn, vỏ tàu, cánh quạt và các chi tiết khuôn mẫu bởi phương pháp quét hình. Mặt quét hình được định nghĩa như phép chuyển đổi toạ độ. Đây chính là lý do chính để phương pháp tạo hình này được sử dụng rất phổ biến nhất trong các hệ thống CAD/CAM.
C4 CAD- CAM> CO SO CAD 1 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Chương 4 CƠ SỞ CỦA CAD 4.1 GIỚI THIỆU CHUNG. 4.1.1. Xác định một hệ CAD. Các hệ CAD hiện đại (còn gọi là CAD/CAM) được xây dựng trên cơ sở đồ hoạ máy tính tương tác (Interative Computer Graphics) viết tắt là ICG. Hệ thống đồ hoạ máy tính tương tác là một hệ hướng đến người sử dụng, trong đó máy tính được dùng để tạo ra, chuyển đổi và hiển thị dữ liệu dưới dạng các hình vẽ hay biểu tượng. Người sử dụng ở đây là nhà thiết kế, thực hiện truyền dữ liệu và ra lệnh cho các máy tính thông qua một số thiết bị vào (INPUT) như chuột, bàn phím Còn máy tính thì liên lạc với con người thông qua màn hình CRT (CRT viết tắt từ chữ Catode Ray Tube- ống phóng chùm tia âm cực). Người sử dụng tạo ra một hình ảnh trên màn hình CRT bằng cách vào lệnh để gọi những chương trình con (Subroutine) cần thiết của phần mềm lưu trữ trong bộ nhớ máy tính. Hình ảnh được xây dựng từ những phần tử hình học cơ bản như điểm, đường thẳng, vòng tròn v.v Hình ảnh đó có thể được sửa đổi tuỳ theo lệnh của con người như phóng to, thu nhỏ, di chuyển vị trí trên màn hình và theo các phép biến đổi khác.Thông qua các thao tác này mà những chi tiết cần thiết của hình ảnh sẽ được tạo ra theo ý muốn của người thiết kế. Một hệ thống ICG điển hình bao gồm phần cứng và phần mềm . * Phần cứng gồm có bộ phận xử lý trung tâm (CPU), một hoặc nhiều trạm công tác (Work Station) kể cả những terminal hiển thị đồ hoạ, và các thiết bị ngoại vi như máy vẽ, máy in, v.v * Phần mềm gồm các chương trình máy tính để thực hiện việc xử lí đồ hoạ trên hệ thống. Thông thường các chương trình ứng dụng lập ra để thực hiện các chức năng cụ thể của hãng hay công ty. Ví dụ hãng thiết kế xây dựng thường phải có phần mềm phân tích ứng suất - biến dạng, hãng thiết kế - chế tạo máy thường phải có phần mềm phân tích động lực học cơ cấu, hãng thiết kế công nghiệp hoá chất nào cũng có phần mềm về truyền nhiệt và hệ thống đường ống, v.v Hệ ICG chỉ là một bộ phận của công tác thiết kế có sử dụng máy tính mà thôi, phần quan trọng chính là người thiết kế. Hệ ICG là công cụ trong tay người sử dụng để giải quyết những vấn đề về thiết kế công trình. Ở đây người sử dụng đảm nhận những kĩ năng sáng tạo của con người, còn máy tính đảm nhiệm phần việc phù hợp với nó nhất (tốc độ tính toán, hiển thị hình ảnh, lưu trữ dữ liệu số lượng lớn ) Sử dụng hệ CAD (hệ ICG) cho phép ta đạt được các thuận lợi sau: 1. Nâng cao năng suất thiết kế của người kĩ sư: • Hiển thị hoá sản phẩm và các bộ phận cấu thành sản phẩm lên màn hình máy tính. • Giảm thời gian tổng hợp, phân tích và lập hồ sơ, tư liệu thiết kế cho người kĩ sư. • Hạ giá thành sản phẩm và giảm thời gian thiết kế. 2. Nâng cao chất lượng thiết kế: • Cho phép phân tích kĩ thuật một cách toàn diện và thấu đáo hơn. • Cho phép đưa ra nhiều phương án để phân tích, so sánh.
C4 CAD- CAM> CO SO CAD 2 GVC NGUYỄN THẾ TRANH • Giảm sai sót trong thiết kế, nâng cao độ chính xác của bản đồ án. 3. Cải thiện và nâng cao điều kiện trao đổi thông tin: • Tạo ra các bản vẽ kỹ thuật tốt hơn so với thiết kế truyền thống. • Tiêu chuẩn hoá trong các bản vẽ cao hơn. • Chất lượng hồ sơ, tư liệu thiết kế cao hơn. • Bản vẽ đẹp, rõ ràng và ít sai sót. 4. Tạo ra một cơ sở dữ liệu trong máy tính để phục vụ cho giai đoạn chế tạo. Trong quá trình xây dựng hồ sơ tư liệu thiết kế cho một sản phẩm, các chi tiết tạo nên sản phẩm, đặc tính kỹ thuật, vật liệu v.v sẽ tạo những cơ sở dữ liệu cần cho việc chế tạo sản phẩm, đồng thời cũng được tạo ra và lưu trữ trong bộ nhớ của máy tính. 4.1.2. Lịch sử phát triển Lịch sử phát triển của CAD liên quan trực tiếp tới sự phát triển của đồ hoạ máy tính. Đương nhiên CAD bao hàm một nội dung rộng lớn hơn đồ hoạ máy tính, song hệ ICG là bộ phận cơ bản của CAD. Lịch sử phát triển của đồ hoạ máy tính diễn biến qua nhiều thời kỳ: • Một trong những dự án quan trọng đầu tiên trong lĩnh vực đồ hoạ máy tính là dự án triển khai ngôn ngữ APT tại Học viện Công nghệ Massachusetts vào giữa thập kỷ 50. APT là chữ viết tắt của thuật ngữ Automatically Programed Tools, có nghĩa là “máy công cụ được lập trình tự động”. Dự án này có quan hệ mật thiết với ý tưởng triển khai một phương pháp thuận tiện để thông qua máy tính xác định các yếu tố hình học phục vụ việc lập trình cho máy công cụ điều khiển số. Mặc dù sự phát triển của APT là một cột mốc quan trọng trong lĩnh vực đồ hoạ máy tính, nhưng việc sử dụng ngôn ngữ APT trước đây lại ít liên quan với đồ hoạ máy tính. • Một ý tưởng khác, ra đời vào khoảng cuối thập kỷ 50 có tên là “bút quang”. Ý tưởng về bút quang xuất hiện khi nghiên cứu cách xử lý dữ liệu ra đa của một dự án quốc phòng gọi là SAGE (Semi-Automatic Ground Environment system). Mục đích của dự án này là triển khai một hệ thống phân tích dữ liệu rađa và làm rõ mục đích được coi là máy bay địch trên màn hình CRT. Để tiết kiệm thời gian vào việc hiển thị máy bay đánh chặn của chủ nhà chống lại máy bay địch, người ta nghĩ ra bút quang, dụng cụ dùng để vẽ hình ảnh trực tiếp lên màn hình và giúp cho CPU nhận biết vị trí cụ thể của màn hình vừa được bút quang tiếp xúc. • Năm 1963 Ivan Sutherland công bố một số kết quả đầu tiên về đồ hoạ máy tính, cho phép tạo ra và làm chủ các hình ảnh trong thời gian thực trên màn hành CRT. • Nhiều tập đoàn công nghiệp như General Motors, IBM, Lockheed-Georgia, Itek Corp, Mc. Ponell, v.v đã bắt đầu thực hiện những dự án về đồ hoạ máy tính từ những năm 60. Đến cuối thập kỷ 60 một số nhà cung cấp hệ thống CAD/CAM đã được thành lập, trong đó phải kể đến hãng Calma vào năm 1969. Các hãng này bán trọn gói theo kiểu chìa khoá trao tay, trong đó gồm có hều hết hoặc toàn bộ phần cứng và phần mềm theo yêu cầu của khách hàng. Một số hãng khác phát triển theo hướng cung cấp phần mềm đồ hoạ như hãng Pat Hanratti mà công ty thành viên của nó là MCS đã cho ra đời AD 2000 (với phiên bản sau đó là ANVIL 4000), được coi là gói phần mềm CAD phổ dụng.