Đề cương ôn thi Cao học môn Vật lý - Cơ học lượng tử

Nội dung text: Đề cương ôn thi Cao học môn Vật lý - Cơ học lượng tử

1. ƠNTPCƠHCLƯNGT §1.Hàmsĩng a.Tiênđ:Trngtháicahtvimơđưcmơtbngmthàm Ψ(r , t ) nĩichunglàphcđưcgi làhàmsĩng . b.ÝnghĩaVtlý :ðilưng|Ψ (,)|rt2 dV chotaxácsuttìmthyhttrongyutthtích dV bao quanhđim r vàothiđim t . ðilưng: ρ(,)rt = | Ψ (,)| rt 2 đưcgilàmtđxácsut. c. ðiu kin chun hố : Xác sut tìm thy ht trong th tích V hu hn bng PVt(,)=∫ | Ψ (,)| rt2 dV .Numinlytíchphânmrngratồnkhơnggian (V → ∞ ) thìgiátrca V tíchphântươngngslàxácsuttìmthyhttrongtồnkhơnggianvàphibng1(bincchc chn).Dođĩ: ∫|Ψ (,)|r t2 dV = 1 (điukinchunhố). ∞ d.Nguyênlýchngcht .Nuhtrongcáctrngtháiđưcmơtbicáchàmsĩng Ψ1 và Ψ2 thì hcũngcĩthtrongtrngtháimơtbihàmsĩng c11Ψ + c 22 Ψ (, cc 12 : const ) . Hqu :Cácphươngtrìnhmàhàmsĩngthomãnphilàcácphươngtrìnhtuyntính. §2.Tốnt. a.ðnhnghĩa :Tốntlàmtphéptốnkhitácdnglênmthàmnàođĩtrongkhơnggianhàmđã choschotamthàmkháccũngthuckhơnggianhàmđĩ. b.Cácphéptốntrêntốnt:+Tng: (ABˆ+ˆ ) ψ= A ˆ ψ+ B ˆ ψ . ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ  ˆ ˆ ˆ ˆ +Tích: ()ABψ = A () B ψ .Nĩichung AB≠ BA .ðilưng A, B  = AB − BA đưcgilàgiaohốnt ca Aˆ và Bˆ . c.Phươngtrìnhtrriêngcatốnt :Nu Fqˆψ() = f ψ () q (1) (f : const ) thì ψ(q ) đưc gi là hàmriêngcatốnt Fˆ ngvitrriêng f cịn(1)làphươngtrìnhtrriêngca Fˆ . d.Tốnttuyntính .Tốnt Fˆ đưcgilàtốnttuyntínhnu:   Fcˆ( c ) cF ˆ cF ˆ ( (,:c c const ) haytngquát Fˆ c cF ˆ ( cconst : ) 11ψ+ψ= 22 11 ψ+ 2 ψ 2 1 2 ∑nnψ = ∑ nnn ψ n  n e.Tốnthermite(tốnttliênhp) . +Tốntliênhpphc:Tốntliênhpphcvitốnt Fˆ ,kýhiu Fˆ * làmttốnt, saocho:nu Fˆψ = ϕ thì Fˆ *ψ * = ϕ * ,dođĩ: (Fˆψ ) * = F ˆ * ψ * . ɶ +Tốntchuynv:Tốntchuynvcatốnt Fˆ ,kýhiu Fˆ làmttốntsaocho: ɶ ɶ ɶ ψψFˆ dq = ψ Fdq ˆ ψ .Khiđĩ,tacĩ: ABˆˆ= BA ˆ ˆ ∫12 ∫ 21 + Tốn t liên hp hermite vi tốn t Fˆ , ký hiu Fˆ + là mt tốn t, sao cho : ɶ ψ*Fˆ+ ψ dq =ψ F ˆ * ψ * dq ,nhưthtacĩthvitmtcáchhìnhthc: Fˆ+ = F ˆ * ∫12 ∫ 21 +Tốnthermite(tốnttliênhp):Tốnt Fˆ đưcgilàtốnthermitehaytốntt liênhpnuthomãnhthc: ψψ*Fˆ dq = ψ F ˆ * ψ * dq ,khiđĩtacĩthvit Fˆ= F ˆ + ∫12 ∫ 21 f.Cáctínhchtcatốnthermite .
   
   
   Trriêngcatốnthermitelàthc . ˆ Chngminh:Gis fn làtrriêngcatốnthermite F ngvihàmriêng ψn .Khiđĩta cĩ: Fˆψ=ψ⇒ f ψψ* F ˆ dq = f ψψ * dq (1) .Lyliênhpphchaivbiuthc(1)tađưc nnn∫ nn nnn ∫ 1
2. ψFˆ ψ dq = f * ψψ * dq (2) .Do Fˆ làtốnthermitenên ψψ*Fdqˆ =ψ F ˆ * ψ * dq (3) T ∫n n n ∫ nn ∫nn ∫ nn (1),(2)và(3)suyra: fψψ* dqf = ψψ dq ⇒= ff * ,hay f làthc. nmn∫ n ∫ mn nn n Cáchàmriêngcatốnthermitelàtrcgiaovinhau . ˆ Chngmính:Gis ψn và ψm làcáchàmriêngcatốnthàmriêng F ngvicáctr ˆ ˆ * * * riêng fn và fm .Khiđĩtacĩ: Fψn = f n ψ n (1)và Fψm = f m ψ m (2)(do fm làthc). T(1)suyra ψ*Fdqˆ ψ = f ψψ * dq (3).T(2)suyra ψFˆ * ψ * dq = f ψψ * dq ∫mn n ∫ nn ∫n m m ∫ mn (4).Vì Fˆ làtốnthermitenên ψ*Fˆ ψ dq =ψ F ˆ * ψ * dq (5).T(3),(4)và(5)tatìmđưc: ∫mn ∫ nm fψψ dqf = ψψ dqff ⇒() − ψψ * dq =⇒ψψ 0 * dq = 0 (6)khi f≠ f nmn∫∫ mmn nmmn ∫ ∫ mn n m Nucáchàmriêng ψ chunhốthì ψ* ψdq = 1(7).Cáchthc(6)và(7)cĩthvit n ∫ n n chunglidưidng ψψ* dq =δ (điukintrcchun) ∫ mn nm Cáchàmriêngcatốnthermitetothànhmthđ . Gis {ψn (q ) } làhhàmriêngcamttốnthermitenàođĩ,khiđĩmihàm ψ(q ) btkỳ c đucĩthkhaiitrinthànhchuitheocáchàm ψn (q ) : ψ()q =∑ cn ψ n () q ,trongđĩcáchs n n đưcxácđnhbicơngthcc= ψ* ( q ) ψ ( q ) dq . n∫ n Tiênđ:Trongcơhclưngtmiđilưngvtlýđưcđtđingvimttốnttuyntínht liênhpsaochokhiđođilưngvtlýtanhnđưccácgiátrlàcácgiátrriêngcatốntng vinĩ . g.Mtstốntcacơhclưngt. +Tốnttođ: rˆ =⇔= r xˆ xy, ˆ = yz , ˆ = z ∂ ∂ ∂ +Tốntxunglưng: piˆ =−∇⇔ℏ pipipiˆ =− ℏ, ˆ =− ℏ , ˆ =− ℏ x∂x y ∂ y z ∂ z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ +Tốntmomentxunglưng: Lrp= × =− irℏ( ×∇= )(,,) LLLx y z ,trongđĩ: ∂ ∂    ∂ ∂  ˆ ℏ  ˆ ℏ ∂ ∂  ˆ ℏ  Lx= ypˆ z − zp ˆ y =− i y − z , Ly= zpˆ x − xp ˆ z =− i z − x , Lz= xpˆ y − yp ˆ x =− i x − y   ∂z ∂ y    ∂x ∂ z    ∂y ∂ x   pˆ 2ℏ 2 +TốntHamilton: Hˆ = + Vr() =− + Vr () 2m 2 m 3.Giátrtrungbìnhcacácđilưngvtlý :Giátrtrungbìnhcađilưngvtlý F trong trngtháiđưcmơtbihàmsĩng ψ đưcxácđnhbicơngthc: ψ*()qFˆ ψ () qdq F= ψ* () qFˆ ψ () qdq (khi ψ chunhố)hoc F = ∫ (khi ψchưachunhố) ∫ * ∫ ψ(q ) ψ ( q ) dq 4.ðiukinđ2đilưngvtlýnhngiátrxácđnhđngthi . ˆ Xétđilưngvtlý F ,giskhiđo F tanhnđưctrriêng fn .Khiđĩhphitrong ˆ ˆ trngtháimơtbihàmsĩng ψk làhàmriêngcatốnt F : Fψn = f n ψ n . 2
3. Gis G làmtđilưngvtlýnàođĩcah,nutrongtrngthái ψn tađo G vànhn ˆ ˆ đưcgiátr gn thìhàm ψn cũngphilàhàmriêngcatốnt G : Gψn = g n ψ n .ðiunàycĩnghĩa làcáctốnt Fˆ và Gˆ cĩchunghàmriêng.Dođĩtacĩthnĩi:điukinđhaiđilưngvtlýđo đưcchínhxácđngthilàcáctốnttươngngvichúngcĩhàmriêngchung. ðnhlý:ðiukincnvàđđhaitốnttuyntính Fˆ và Gˆ cĩhàmriêngchunglàchúnggiao hốnvinhau . Chngminh :+ðiukincn:Gis Fˆ , G ˆ cĩchunghàmriêng,cnchngminh Fˆ, G ˆ giaohốn ˆ ˆ ˆ ˆ vinhau.Gis ψn làhàmriêngchungca F, G ,tclà: Fψ=n f nn ψ, G ψ= n g nn ψ .Khiđĩtacĩ: ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ ()FGψ=n FG ()( ψ= n Fg nn ψ= ) gF nnnnn ψ= gf ψ ; ()GFψ=n GF ()() ψ= n Gf nn ψ= fG nnnnn ψ= fg ψ ˆˆ ˆ ˆ Ψ tđĩsuyra FGψn = GF ψ n (1) .Gis làhàmbtkỳ,khaitrintheo ψn ,tacĩ: Ψ =∑cn ψ n . n ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ Vì F, G làcáctốnttuyntínhnên: (FG ) Ψ =∑ cn FG ψ n (2)và (GF ) Ψ =∑ cn GF ψ n (3).T n n (1),(2)và(3),tacĩ: (FGˆˆ )Ψ = ( GF ˆ ˆ ) Ψ hay FGˆˆ= GF ˆ ˆ . ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ +ðiukinđ:Gis FG= GF ,cnchngminh F, G cĩhàmriêngchung.Thtvy,gis ψn là ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ hàmriêngca F : Fψ=nnn f ψ⇒ GF ψ= nnn f G ψ (4).Do FG= GF nên GFψn = FG ψ n (5).T(4) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ và(5),tanhnđưc: FG(ψn ) = fG n ( ψ n ) .ðiunàycĩnghĩalà Gψn cũnglàhàmriêngca F ng ˆ vicùngtrriêng fn vàdođĩ,nutrriêng fn khơngsuybinthì Gψn = g n ψ n .ðiunàycĩnghĩalà ˆ ψn cũnglàhàmriêngca G ngvitrriêng gn . Tĩmli:điukinđhaiđilưngvtlýcĩthđođưcchínhxácđngthilàcáctốnttương ngvichúngphigiaohốnvinhau . 5.HthcbtđnhHeisenberg . Gis Aˆ, B ˆ làcáctốntngvicácđilưngvtlý A và B .Nu Aˆ, B ˆ khơnggiaohốnvinhau ˆˆ  ˆ ˆ thì AB,  = iC ,trongđĩ C làmttốnthermite.Gi A, B làgiátrtrungbìnhca A, B ;tađưa vàocáctốnt Aˆ, B ˆ ngvicácđilưngvtlý =A AA −, = B BB − , khi đĩ ta cũng cĩ : Aˆ, Bˆ  = iC ˆ .Xétbtđngthchinnhiênsau: I() |( AiBˆ ˆ )|2 dV 0(ℝ )   α=∫ α−ψ ≥ ∀α∈ (1).Tavitli(1)dưidng: I()(α=∫ α− AiBˆˆ )( ψα AiBdV ˆ * + ˆ * ) ψ * (2).Vì Aˆ, B ˆ làcác tốnthermitenên Aˆ, B ˆ cũnglàcáctốnthermite,dođĩ(2)trthành: I()(α= ψα+* AiBˆˆˆˆ )( α− AiBdV ) ψ = ψα*22 AiAB ˆˆ −α , ˆˆ  + BdV 2 ψ . ∫ ∫ {   } Vì Aˆ, Bˆ  = iC ˆ nêntacĩthvit: I() *22 ACBdVˆ ˆ ˆ 2 22 ACB 2 0   α=∫ ψ{ α +α +} ψ =α +α + ≥ Tđâytathy: I(α ) làmttamthcbc2theo α cĩhsca α2 là A2 ≥ 0 ,nênđ I(α ) ≥ 0 thì 2 2 (C ) bitthccanĩphiâm,tclà: (C) −4 A2 . B 2 ≤ 0 hay A2. B 2 ≥ (3).Lycănhaivca(3) 4 |C | vàđt δ=A AB2, δ= B 2 ,tađưchthc: δA. δ B ≥ ,hthcnàyđưcgilàhthcbt 4 đnhHeisenberg.Cácđilưng δA = A 2 và δB = B 2 đưcgilàđbtđnhca A và B . 3
4. §2.PhươngtrìnhSchrodinger. 1.PhươngtrìnhSchrodingerkhơngphthucthigian . Khosáthtchuynđngtrongtrưngth V( r ) vàcĩnănglưngkhơngđitheothigian. Gi E lànănglưngcahvà ψE (r ) làhàmsĩng ngvitrngtháicĩnănglưng E .Nhưth ˆ ˆ ψE (r ) làhàmriêngcatốntnănglưng H ngvitrriêng E .Phươngtrìnhtrriêngca H cĩ pˆ 2ℏ 2 dng: Hˆ ψ() r = E ψ () r (1).Thaybiuthc Hˆ = + Vr() =− + Vr () vào(1)tanhnđưc E E 2m 2 m 2m phươngtrình: ψ()r +[] EVr − ()()0 ψ r = (2).Phươngtrìnhnàyđưcgilàphươngtrình Eℏ2 E Schrodingerkhơngphthucthigian.NuthnăngV= V( x ) ,tacĩchuynđng1chiuvàlúcđĩ d2ψ( x ) 2 m (2)trthành: +[]E − Vx() ψ= () x 0 (3) dx ℏ2 a.Cáctínhchtcachuynđng1chiu:
   Nuthnăng V( x ) làmthàmchncatođthìnghimcaphươngtrình(3)philà mthàmhocchn,hocl Nuthnăng V( x ) V(xcĩđimgiánđonhuhnti x0 thìhàmsĩngvàđohàmcp1 canĩliêntcti x0 . b.Hth1chiuvuơnggĩcsâuvơhn . 0khi |x | 0 (3) dx 2 ℏ2 Nghimtngquátca(2)cĩdng: ψ(x ) = A cos kx + B sin kx (4),trongđĩ A, B làcáchngstuỳ ý.VìthnăngV( x ) làhàmchncatođnênnghim(4)philàcáchàmchnhoclcatođ. *Cácnghimchn :Khiđĩψ (x ) =ψ− ( x ) vàt(4)tatìmđưcψ (x ) = A cos kx .Tđiukin nπ liêntccahàmsĩngti x= a tacĩ: coska= 0 ⇒ kk = = vi n làcácsnguyênl.Tđiu n 2a a a 1 kinchunhố,tacĩ |()|ψx2 dx =⇔ 1 A 22 cos k xdx =⇒= 1 A 2 a 1 ,hay A = .Vynghim ∫ ∫ n a −a − a 1 nπ x chncĩdng: ψ(x ) = cos (5),trongđĩ n làsl. n a 2a *Cácnghiml :Khiđĩ ψ()x = −ψ () − x vàt(4)tatìmđưc ψ()x = B sin kx .Tđiukinliên nπ tccahàmsĩngti x= a tacĩ: sinka= 0 ⇒ k = k = vi n làcácsnguyênchn.Tđiu n 2a a a 1 kinchunhố,tacĩ |()|ψx2 dx =⇔ 1 A 22 sin k xdx =⇒= 1 A 2 a 1 ,hay A = .Vynghim ∫ ∫ n a −a − a 4
5. 1 nπ x lcĩdng: ψ(x ) = sin (6), trongđĩ n làschn. n a 2a nπ Nhưvytrongchailoinghimchnvàl,tacĩ k = (7)vi n∈ ℕ .Thay(7)vào(4)tanhn n 2a ℏ22k π 22ℏ đưcbiuthccanănglưngcaht: E=n = n2 ( n = 1,2, ) .Tđâytathyrng, n 2m 8 ma 2 nănglưngcahtchuynđngtronghthnhncácgiátrgiánđon,cácgiátrchnca n ng vicácnghiml(6),cịncácgiátrlca n ngvicácnghimchn(5). c.Daođngtđiuhồtuyntính . Daođngtđiuhồtuyntínhlàmthtthchiêncácdaođngbéxungquanhvtrícân mω2 x 2 bngvithnăngcĩdng: V( x ) = ,trongđĩ ωlàtnscadaođngt.Phươngtrình 2 d2ψ2 m mx ω 2 2  mω Schrodinger ca dao đng t cĩ dng : +E − ψ= 0(1). ðt ξ = x và dx 2ℏ 2  2   ℏ E d 2ψ ε = (2) ta đưa (1) v dng : +(2 ε−ξ2 ) ψ= 0 (3). Ta tìm nghim ca (3) dưi dng ℏω dξ2 2 ψξ=()e−ξ / 2 y () ξ (4), thay (4) vào (3), ta nhn đưc phương trình cho y(ξ ) dưi dng : y''−ξ+ 2 y ' (2 ε− 1) y = 0 (5).Phươngtrình(5)làphươngtrìnhHermite,nĩcĩnghimriêngdngđa thcbc n ,khi 2ε − 1 = 2 n (6),nghimnàyđưcgilàđathcHermitevàđưcxácđnhbicơng n 2d 2 thc: H(ξ ) = ( − 1) n eξ e −ξ .T(2)và(6),tanhnđưcbiuthcchophnănglưngca n dξn ( ) 1   ℏ daođngtdưidng: E= En = n +  ω (vi n = 0,1,2, )cịnhàmsĩngcadaođngtdưi 2  mω   m ω   2    dng: ψ=ψ(x )n ( xC ) = n exp  − xH n  x ,trongđĩ Cn làhschunhố.Ttínhcht 2ℏ   ℏ  mω 1 4 trcgiaoca Hn ( x ) ,tatìmđưcCn = πℏ 2n n ! ∂Ψ (r , t ) 2.PhươngtrìnhSchrodingerphthucthigian:iℏ = Hrtˆ Ψ ( , ) ∂t 3.Phươngtrìnhliêntc . Xétsthayđitheothigiancamtđxácsuttìmthyht ρ(,)rt =Ψ | (,)| rt 2 =ΨΨ * . ∂ρ ∂ ∂Ψ* ∂Ψ ∂Ψ Tacĩ: =() ΨΨ=* Ψ+Ψ * (1).Mtkháctphươngtrình iℏ = H ˆ Ψ ,tasuyra: ∂∂tt ∂ t ∂ t ∂t ∂Ψ i ∂Ψ * i = −Hˆ Ψ (2).Lyliênhpphchaivca(2),tađưc =Hˆ * Ψ * (3).Thay(2),(3)vào ∂t ℏ ∂t ℏ ∂ρ i ℏ2 (1)tanhnđưc: = ΨHˆ* Ψ−Ψ * * H ˆ Ψ  (4).Vì Hˆ =− + V( r ) nên: ∂t ℏ   2m ℏ2 ℏ 2 ΨHˆ Ψ−Ψ H ˆ Ψ=− ΨΨ−ΨΨ=−  ∇Ψ∇Ψ−Ψ∇Ψ  (5) 2m  2 m  ∂ρ iℏ Thay(5)vào(4),tanhnđưcphươngtrình: +∇j = 0 (6),trongđĩ j =( Ψ∇Ψ* −Ψ∇Ψ * ) ∂t 2m 5
6. Phươngtrình(6)đưcgilàphươngtrìnhliêntc,trongđĩ ρ làmtđxácsutcịn j làvector mtđdịngxácsut.Phươngtrìnhliêntc(6)biuthđnhlutbotồnxácsuthayđnhlutbo tồnsht. 4.Trngtháidng . a.ðnhnghĩa:Trngtháidnglàtrngtháicĩnănglưngkhơngphthucthigian. b.Hàmsĩng :ðxácđnhdngtngquátcahàmsĩngmơttốntdngtakhosátphương ∂Ψ (r , t ) trìnhSchrodingerphthucthigian:iℏ = Hrtˆ Ψ ( , ) (1).Tatìmnghimca(1)dưidng ∂t Ψ(,)rt = ψ ()() rft (2).Thay (2) vào (1) ta đưc df( t ) iℏ df Hˆ ψ( r ) :iℏ ψ() r = Hrftˆ ψ ().() ⇔ = = E . T đĩ ta cĩ h phương trình sau : dt f() t dtψ () r  ˆ Hψ( r ) = Er ψ ( )(3)   df .Phươngtrình(3)làphươngtrìnhtrriêngcatốntnănglưngvà E là iℏ = Ef( t )(4)  dt Et −i nănglưngcahtrongtrngtháidng.Nghimcaphươngtrình(4)cĩdng f( t ) = e ℏ (5).T Et −i (2)và(5)tatìmđưchàmsĩngmơttrngtháidngvinănglưng E là: Ψ(,)rt = ψ () re ℏ , trongđĩ E và ψ(r ) lànghimcaphươngtrìnhtrriêngcatốntnănglưng.Trongtrưnghp ˆ phươngtrình(3)cĩmttpcácnghim Hψn() r =ψ E n n ()( rn = 1,2, ) thìnghimtngquátca E t −i n (1) cĩ dng : (,)rt c () re ℏ . Các h s c đưc xác đnh t điu kin đu : Ψ =∑ n ψ n n n Ψ(,0)r = crc ψ () ⇒=ψΨ* ()(,0) rrdV . ∑ nn n∫ n n c.Cáctínhchtcatrngtháidng : 2 2 +Mtđxácsuttrongtrngtháidngkhơngphthucthigian: ρ=Ψn| n (,)|rt =ψ | n ()| r ∉ t +Mtđdịngxácsuttrongtrngtháidngkhơngphthucthigian: iℏ i ℏ j= Ψ(,) rt ∇Ψ (,) rt −Ψ (,) rt ∇Ψ (,) rt  = ψ () r ∇ψ* () r −ψ * () r ∇ψ () rt  ∉ n2m  nnnn 2 m nnnn  5.ðohàmtheothigiancatốnt .Tíchphânchuynđng.ðnhlýEhrenfest. a.ðohàmtheothigiancatốnt.ðmơtsthayđitheothigiancađilưngvtlý dF ngưitađưavàokháinimđohàmcatốnttheothigian,kýhiu ,đưcđnhnghĩanhư dt dF sau: làtốntmàgiátrtrungbìnhtươngngvinĩtrngtháibtkỳbngđohàmtheo dt dF d dF d thigiancagiátrtrungbình F trongtrngtháiđĩ: = F hay Ψ* ΨdV = F (1). dt dt ∫ dt dt dF d∂ F ˆ ∂Ψ* ∂Ψ +Dngca :Tacĩ F=ΨΨ⇒ Fˆ dV F =Ψ Ψ+ dV F ˆ Ψ+Ψ dV* F ˆ dV (2) dt ∫dt ∫∂ t ∫ ∂ t ∫ ∂ t 6
7. ∂Ψ ∂Ψ i Do Ψ thomãnphươngtrình iℏ = Hˆ Ψ⇒ =− H ˆ Ψ (3).Lyliênhpphchaivphương ∂t ∂ t ℏ ∂Ψ * i trìnhnàytađưc =Hˆ * Ψ * (4).Thay(3),(4)vào(2)tanhnđưc: ∂t ℏ d∂ Fiˆ i F=Ψ* Ψ+ dV( Hˆˆ ΨΨ−ΨΨ )( FdV ) * FHdV ˆˆ (5) dt∫∂ t ℏ ∫ ℏ ∫ Do Hˆ làtốnthermitenên ∫(Hˆˆ ΨΨ= )() FdV ∫ () F ˆˆ ΨΨ H dV ∫ ΨΨ HFdV ˆˆ (6).T(5)và(6) d∂ Fiˆ  ∂ Fi ˆ  ta nhn đưc : F=Ψ*  + HFFHdVˆˆˆˆ −  Ψ=Ψ* + HFdV ˆˆ,   Ψ (7).Sosánh ∫ℏ() ∫ ℏ   dtt∂  ∂ t  dF∂ Fˆ i (1)và(7)tatìmđưc: = + Hˆ, F ˆ  .ðâylàphươngtrìnhchuynđngcatốnt. dt∂ t ℏ   b.Tíchphânchuynđng. ðilưngvtlý F đưcgilàtíchphânchuynđngnutốnt Fˆ cĩđohàmtheothi dF gianbng0: = 0 .Tphươngtrìnhchuynđngcatốnttasuyrarng,nu F làtíchphân dt ∂Fˆ i chuynđngthì: +Hˆ, F ˆ  = 0 .Trưnghpđcbitkhi Fˆ khơngphthuctưngminhvào ∂t ℏ   ∂Fˆ thigian,khiđĩ = 0 vàtacĩ: Hˆ, F ˆ  = 0 .ðiunàycĩnghĩalà:Numttốnt Fˆ khơngph ∂t   thuctưngminhvàothigianvàgiaohốnvitốntHamilton Hˆ thìđilưngvtlý F tương nglàmttíchphânchuynđng. c.ðnhlýEhrenfest. Phátbiu: Giátrtrungbìnhcacácbinscơhclưngtthomãncùngphươngtrìnhnhưcác binscđintươngng. Chngminh.Vìgiátrtrungbìnhcacácđilưngvtlýtrongcơhclưngtđưcxácđnh nhbiuthc F=∫ Ψ* FdVˆ Ψ nêntachcnchngminhcáchthcchotốnt. dr i ∂r +Xétđohàmca r theo t ,tacĩ: = Hˆ , r  (1)( = 0 vì r khơngphthuctưngminhvào dt ℏ   ∂t pˆ 2 1 1 iℏ t ).Do Hˆ = + V( r ) nên Hrˆ ,  = prVrrˆ2 ,(), +[] = prpppr ˆˆˆˆ , + , =− p ˆ (2).Thay 2m   2m 2 m{  } m dr pˆ (2)vào(1)tanhnđưc: = (3). dt m dp i ∂pˆ +Xétđohàmca pˆ theot ,tacĩ: = Hˆ , pˆ  (4)( = 0vì pˆ khơngphthuctưngminhvào dt ℏ   ∂t pˆ 2 1 ∂V t ).Do Hˆ = + V( r ) nên Hpˆ ,ˆ= pp ˆˆ2 , + Vrp ( ), ˆ  = Vrp ( ), ˆ  =− i ℏ (5). Thay (5)vào (4)ta 2m 2m    ∂ r dpˆ ∂ V dr p nhnđưc: = − (6).Cácphươngtrình(3)và(6)tươngtnhưcácphươngtrình = và dt∂ r dt m dp∂ V = − (đnhlut2Newton)cacơhccđin. dt∂ r 7
8. §3.Chuynđngtrongtrưngxuyêntâm . 1.Tốntmomentxunglưng. ˆ ˆ ℏ ˆ ˆ ˆ a.Biuthc : Lrp= × =− ir( ×∇= )( LLLx ,, y z ) .TrongtođDescartes: ∂∂  ∂∂ ∂∂  ˆℏ ˆ ℏ  ˆ ℏ Lypzpxzy=−=−ˆˆ iy − z , Lzpxp yxz =−=− ˆˆ iz − x  , Lxpyp zyx =−=− ˆˆ ix − y  ∂∂zy   ∂∂ xz   ∂∂ yx  ˆ2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 +Tốntbìnhphươngmomentxunglưng: L= Lx + L y + L z +Cáchthcgiaohốn: LLˆˆ,= iLLLℏ ˆˆˆ ,,  = iL ℏ ˆˆˆ ,,  LL = iL ℏ ˆ xy zyz  xzx  y LLˆˆ2, = LL ˆˆ 2 ,  = LL ˆˆ 2 ,0  = x  y  z  ˆ ˆ 2 Trong cơ hc lưng t ngưi ta s dng Lz , L đ mơ t moment xung lưng. Trong to đ cu (,r θ , ϕ ) biuthccacáctốntmomentxunglưngcĩdng    ˆ∂ ∂ ˆ  ∂ ∂∂  ˆ Lix =ℏsin ϕ+θϕ cotgcos , Liy =−ϕ+θϕ ℏ  cos cotgsin  , Liz =− ℏ ∂θ ∂ϕ   ∂θ ∂ϕ  ∂ϕ 1∂ ∂  1 ∂ 2  Lˆ2=−ℏ 2 sin θ+   2 2  sinθ∂θ ∂  sin θ∂ϕ  b.Hàmriêngvàtrriêngcatốntmomentxunglưng . ˆ ˆ ˆ *Hàmriêng,trriêngca Lz :Phươngtrìnhtrriêngca Lz cĩdng Lzψ = L z ψ ,sdngbiu ∂ψ thcca Lˆ trongtođcu,tacĩphươngtrình:−iℏ = L ψ .Nghimcaphươngtrìnhnàycĩ z ∂ϕ z i L ϕ dng : ψ( ϕ ) = Ce ℏ z (1). ð đm bo điu kin đơn tr ca hàm sĩng, ta phi cĩ : Lz i 2πLz L ψ() ϕ=ψ ( ϕ+ 2) π ,tđĩsuyra: e ℏ =1 ⇔ z 2π = 2 m π vi m làmtsnguyên.Tđĩsuyra Lz L z ℏ im ϕ rng: Lz = m ℏ (2) (m∈ℤ ) Thay(2)vào(1)tanhnđưc ψm ( ψ ) = Ce (3).Tđiukinchunhố, 2π 2π 1 ta cĩ : |ψ ()| ϕ2 d ϕ= 1 ⇔ Ced2||im ϕ 2ϕ=⇒ 1 C 2 21 π=⇒ C = . Thay vào (3) ta nhn ∫ m ∫ 0 0 2π 1 im ϕ ˆ đưc: ψm ( ϕ ) = e .Ktqu,tatìmđưctrriêngca Lz là Lz = m ℏ vàcáchàmriêngtương 2π 1 im ϕ nglà: ψm ( ϕ ) = e (m∈ℤ ) . 2π *Hàmriêng,trriêngca Lˆ2 :phươngtrìnhtrriêngca Lˆ2 cĩdng Lˆ2ψ = L 2 ψ ,sdngbiu 1∂ ∂ψ  1 ∂ψ2  thcca Lˆ2 trongtođcu,tacĩphươngtrình:−ℏ2 sin θ+  =ψL2 hay:   2 2  sinθ ∂θ ∂  sin θ ∂ϕ    2 2 1∂ ∂ψ 1 ∂ψ L sinθ +2 2 +ψ= 2 0 (1).Phươngtrình(1)cĩnghimhuhnđơntrvicác sinθ∂θ ∂  sin θ∂ϕ ℏ L2 giátr 0≤θ≤π ,0 ≤ϕ≤ 2 π khi =l( l + 1) (2)vi l làmtsnguyênkhơngâm.Khiđĩnghim ℏ2 8
9. 1 imϕ m m ca(1)làhàmcu Ylm(θϕ= , ) e P l (cos θ ) (3)viPl (cosθ ) làđathcLegendreliênkt.T 2π ˆ2 2 2 (2)và(3)tanhnđưctrriêngca L là L=ℏ l( l + 1) vàcáchàmriêngtươngnglàYlm (θ , ϕ ) (l = 0,1,2, ) .Khi l đãcho m chcĩthnhn 2l + 1 giátrkhdĩbng 0,± 1, ± 2, , ± l . Biuthccamtshàmcuđutiên: 1 3 3 ±i ϕ Y00(,)θϕ= ; Y 10 (,) θϕ= cos, θ Y 1, 1 (,) θϕ=∓ sin θ e 4π 4π± 8 π 5 15 15 Y(,)θϕ= (3cos2 θ− 1); Y (,) θϕ=∓ cossin θθ eY±i ϕ , (,) θϕ= ∓ sin 2 θ e ± 2 i ϕ 20 16π2,± 2 8 π2,± 2 32 π *ðiukintrcchuncacáchàmcu: 2π π dϕsin θθ dY * (,) θϕ Y (,) θϕ=δδ ∫ ∫ lm', ' lm , llmm ' ' 0 0 3.Chuynđngcahttrongtrưngxuyêntâm . a.Trưngxuyêntâmtngquát:Trưngxuyêntâmlàtrưngmàthnăngcahtchuynđng trongtrưngchphthucvàokhongcáchthtđnđimcđnhgilàtâmcatrưng.Chn gctođtitâmcatrưng,tacĩbiuthccathnăng:Vr()= Vr () .KhiđĩtốntHamiltoncĩ ℏ2 dng Hˆ =− + V( r ) (1).SdngbiuthccatốntLaplacetrongtođcutađưa(1)v 2m ℏ2 1  1     2 ˆ   ∂ 2 ∂  1∂ ∂ 1 ∂ dng: H=− +r 2 θϕ  + V( r ) (2),vir = 2 r , =θϕ sin θ+ 2 2 2m r   r∂ ∂ r   sinθ ∂θ ∂  sin θ ∂ϕ Sdngbiuthccatốntbìnhphươngmomentxung lưng trong to đ cu,ta cĩ th vit Lˆ2 ℏ2Lˆ 2 Lˆ2=−ℏ 2 ⇔ =− .Thayvào(2),tanhnđưc: Hˆ =− + + V( r ) (3).T(3) θϕ θϕ ℏ2 2mr 2 mr 2 ˆ2 ˆ tathyrngcácshngth1vàth3chcha r nêngiaohốnvi L, L z (vìcáctốntnàych ˆ2 ˆ2 ˆ phthucvàocácgĩc θ, ϕ ),shngth2cha L nênphigiaohốnvi L và Lz .Dođĩbatốn ˆ ˆ 2 ˆ t H, L và Lz giaohốnvinhau ⇒ chúngphicĩchunghàmriêng.Nhưvycáctrngtháidng cahtchuynđngtrongtrưngxuyêntâmphiđưcmơtbnghàmsĩnglàhàmriêngchung ˆ ˆ 2 ˆ ˆ2 ˆ ca3tốnt H, L và Lz .Mtkhác,tabithàmriêngchungcacáctốnt L và Lz làhàmcu Ylm (θ , ϕ ) .Dođĩdngtngquátcahàmsĩngmơtcáctrngtháidngcahtchuynđngtrong trưngxuyêntâmlà: ψ(,,)r θϕ= RrY ()lm (,) θϕ (4).PhươngtrìnhSchrodingerca htcĩdng : ˆ ˆ2 2 Hψ = E ψ (5)Thaycácbiuthc(3),(4)vào(5)vàđýrng LYlm(,)θϕ=ℏ ll ( + 1) Y lm (,) θϕ tanhn 1d dR  2 mℏ2 l ( l + 1)  đưcphươngtrìnhchohàm R( r ) dưi dng : r2 +− E − VrRr()  () = 0 . 2  2 2  r dr dr  ℏ 2 mr  Tđâytathyrngnănglưngphthuc l và hàm R( r ) ph thuc và E và l . Như vy trong trưnghptngquátcácgiátrnănglưngcahtchuynđngtrongtrưngxuyêntâmsph thucslưngt l cịnhàmsĩngsphthuchaislưngt l, m ⇒cácmcnănglưngsbsuy bintheo m .Dongvimigiátrca l cĩ 2l + 1 giátrkhdĩca l nêncácmcnănglưngs suybinbi 2l + 1 . 9
10. b.TrưngCoulomb.Nguyênthidro . e2 XétchuynđngcaelectrontrongtrưngCoulombcahtnhânvithnăng V( r ) = − . r 2 Khi đĩ hàm sĩng ca ht cĩ dng ψθϕ=ψ(,,)rnlm (,,) r θϕ= RrY nl () lm (,) θϕ , trong đĩ Rnl ( r ) là 1ddR  2 mℏ2 ll (+ 1) e 2  nghim ca phương trình r2 nl +− E −  Rr( ) = 0 . Phương trình này 2  2 2  nl rdr dr  ℏ 2 mr r  q me 4 − cĩ nghim, hu hn đơn tr khi E= − ( n ∈ ℕ ) . Lúc đĩ Rr()= Rq( ) = qeLl2 2 l + 1 () q vi 2ℏ2n 2 nl nl n +1 8m | E | q= r n và L2l+ 1 ( x ) làđathcLaguerreliênkt.Khi n đãcho l chcĩthnhn n giátrkh ℏ2 n+1 dĩbng 0,1, ,n − 1 . me 4 Ktlun: Cácmcnănglưngcaelectrontrongnguyênthidro: E= − ( n ∈ ℕ ) n 2ℏ2n 2 Hàmsĩngcaelectrontrongnguyênthidro:ψnlm(,,)r θϕ= RrY nl () lm (,) θϕ . Nhưvytrngtháicaelectrontrongnguyênthidrođưcxácđnhbi3slưngt n, l , m : n đưcgilàslưngtchính,nĩnhncácgiátrnguyêndương n = 1,2, vàxácđnhcác 1 giátrnănglưngcaelectron: E ∼ . n n2 l đưcgilàslưngtquđo,nĩnhncácgiátrnguyênkhơngâm,ngvi1giátr ca n thì l chcĩthnhn n giátrkhdĩbng 0,1, ,n − 1 ;slưngtquđoxácđnhđln camomentxunglưng: L=ℏ l( l + 1) . m đưcgilàslưngtt,nĩcĩthnhncácgiátrnguyênvàngvimtgiátrđã choca l thìnĩcĩthnhn 2l + 1 giátrkhdĩbng 0,± 1, ± 2, , ± l ;slưngttxácđnhđln cahìnhchiumomentxunglưnglêntrcz: Lz = m ℏ . Theotrêntathy,hàmsĩngcaelectronphthuc3slưngt n, l , m trongkhinănglưngch phthuc n ,nêncácmc En ssuybintheocácslưngt l, m .Vìkhi n đãcho l cĩthnhn n giátrkhdĩbng 0,1, ,n − 1 vàvimttr l ,tacĩ 2l + 1 giátrkhdĩca m nênbisuybinca n−1 2 mc En bng: ∑(2l+ 1) = n . l=0 §4.Spinvàhhtđngnht . 1.Tốntspincaelectron.Hàmspin.MatrnPauli . a.Tốntspin.MatrnPauli :ðivicáchtvimơ,ngồicácđilưngđctrưngđãbitnhư tođ,xunglưng,momentxunglưng,nănglưng cịncĩmtđilưngthuntuýlưngtlà spincaht,đilưngnàycĩcáctínhchtgingnhưmomentxunglưngcaht.Tốnttương ˆ ˆ ˆ ˆ ngvispinkýhiu S= ( SSSx , y , z ) ,đưcxácđnhbicáchthcsau: SSˆˆ,= iSℏ ˆˆˆ ,  SS , = iS ℏ ˆˆˆ ,  SS , = iS ℏ ˆ xy z  yz xzx  y ˆ 2ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 Ngồiratacũngđưavàotốntbìnhphươngspin S= Sx + S y + S z ,thomãncáchthcgiaohốn ˆ2 ˆ 2 ˆ 2 sau : SSˆ, = SS ˆ ,  = SS ˆ ,0  = .Tươngtnhưmomentxunglưng,đmơtspinngưi ta x  y  z  ˆ 2 ˆ 2 2 dùng 2 tốn t S, S ˆ vi các phương trình tr riêng : Sχ =ℏ s( s +χ 1) và Sˆ χ = m ℏ χ , z sm,s sm , s zsm,s s sm , s 10
11. trongđĩ: s làslưngtxácđnhđlncaspin, ms làslưngttxácđnhđlncahình chiuspinlêntrc z và χ làhàmspin. s, m s 1 1 ðivicácelectronthì s = và m = ± .Dođĩcáctốntspincaelectroncĩthđưc 2 s 2 ˆ biudinbngcácmatrnvuơngcphai.Trongbiudinmà Sz cĩdngchéo,tacĩ: ℏ01 ℏ 0−i ℏ 10 ℏ2 1 0 ˆ ˆ  ˆ  ˆ 2 3   Sx=, S y =  , S z =  và S =   210 2 i 0 2  01− 4 0 1  01  0−i  10  Cácmatrn σ=x, σ= y  , σ= z   đưcgilàcácmatrnPauli.Bngphépnhân 10 i 0  01−  trctipcácmatrn,cĩththyrngcácmatrnPauli,thomãncáchthcsau:   2 2 2 σσxy, =σ 2i z ,  σσ yz , =σ 2 i xzx ,[ σσ=σ ,] 2 i yxyz , σ+σ+σ= 1 ˆ  ˆ ˆ σσxy,  =σσ yz ,  =σσ[ zx ,0] = ,trongđĩ abˆ, = ab ˆ + ba ˆ  +  + +   + c.Hàmriêngtrriêngcatốntspin . ˆ ˆ a  +Hàmriêng,trriêngca Sx :phươngtrìnhtrriêng: Sxsχ = s xs χ (1)trongđĩ χs =   (2).Thay x x x b  b a 2s a−ℏ b = 0 ˆ ℏ    x biu thc ca χs và Sx vào(1)tađưc = sx  hay  (3).ðhcĩnghim x ℏ 2 a  b  a−2 sx b = 0 ℏ khơngtmthưngtaphicĩ: 4s2=ℏ 2 ⇒ s =± (4). x x 2 ℏ a  + Khi sx = , t (3) ta đưc a= b ⇒χs =   . T điu kin chun hố χs χ s = 1. Suy ra 2 x a  x x a  2 1 (+ ) 1 1  (*,*)aa  =⇔ 1 2|| a =⇒= 1 a .Dođĩ: χs =   . a  2 x 2 1  ℏ  a  + Khi sx = − , t (3) ta đưc a=− b ⇒χs =   . T điu kin chun hố χs χ s = 1. Suy ra 2 x −a  x x a  2 1 (− ) 1  1  (*,*)aa  =⇔ 1 2|| a =⇒= 1 a .Dođĩ: χs =   . a  2 x 2 −1  ˆ ˆ a  +Hàmriêng,trriêngca S y :phươngtrìnhtrriêng: Sysχ = s ys χ (1)trongđĩ χs =   (2).Thay y y y b  ˆ ℏ 0 −i  a  a ℏ −ib   a biu thc ca χs và S y vào (1 ) ta đưc :  = sy  suy ra  = sy  hay y 2 i0  b  b 2 ia   b ℏ 2say + i b = 0 ℏ (3).ðhcĩnghimkhơngtmthưngtaphicĩ: 4s2=ℏ 2 ⇒ s =± (4).  ℏ y y ia−2 sby = 0 2 ℏ a  + Khi sy = , t (3) ta đưc b= ia ⇒χs =   . T điu kin chun hố χs χ s = 1. Suy ra 2 y ia  y y a  2 1 (+ ) 1 1  (*,aia− *)  =⇔ 1 2|| a =⇒= 1 a .Dođĩ: χs =   . ia  2 y 2 i  11
12. ℏ  a  + Khi sy = − , t (3) ta đưc b=− ia ⇒χs =   . T điu kin chun hố χs χ s = 1. Suy ra 2 y −ia  y y a  2 1 (− ) 1  1  (*,*)aia  =⇔ 1 2|| a =⇒= 1 a .Dođĩ: χs =   . −ia  2 y 2 −i  ˆ ˆ a  +Hàmriêng,trriêngca Sz :phươngtrìnhtrriêng: Szsχ = s zs χ (1)trongđĩ χs =   (2).Thay z z z b  a a (ℏ − 2)s a = 0 ˆ ℏ     z biuthcca χs và Sz vào(1)tađưc  = sz  hay  (3).ðhcĩ z ℏ 2 −b   b (+ 2)sz b = 0 ℏ nghimkhơngtmthưngtaphicĩ: s = ± (4). z 2 ℏ a  + Khi sz = , t (3) ta đưc b =0 ⇒χs =   . T điu kin chun hố χs χ s = 1. Suy ra 2 z 0  z z a  2 (+ ) 1  (*,0)a  =⇔ 1 ||1 a =⇒ a = 1 .Dođĩ: χs =   . 0  z 0  ℏ 0  + Khi sz = − , t (3) ta đưc a =0 ⇒χs =   . T điu kin chun hố χs χ s = 1. Suy ra 2 z b  z z *0  2 (− ) 0  (0,)b  =⇔ 1||1 b =⇒= b 1 .Dođĩ: χs =   . b  z 1  2.Hhtđngnht . a.Hhtđngnht :làhcáchtcĩcùngkhilưng,đintích,spin,momentt, saochotrong cùngđiukinnhưnhauthìcáchtycĩcácbiuhinnhưnhau. b.Nguyênlýkhơngphânbitcáchtđngnht:Donguyênlýbtđnh,mihtkhơngcĩmt quđoxácđnhnênvmtnguyêntc,dùtacĩthbitchínhxácvtrícacáchtcahthi đimbanđuthìtithiđimtiptheosauđĩ,vtrícahtđãtrnênbtđnh,dođĩtakhơngth phânbitđưccáchtcamthhtđngnht c.Trngtháiđixngvàphnđixng . Khosáthàmsĩngcahcáchtđngnht.Trưctiêntaxéth2ht,hàmsĩngcahlà ψ(1,2) .Nutahốnv2htthìhàmsĩngcahlàψ (2,1) .Donguyênlýkhơngphânbitcácht đngnhtnênvichốnvhaihtskhơnglàthayđitrngtháicah,nghĩalàcáchàm ψ(1,2) và ψ(2,1) mơtcùngmttrngtháicah,munvychúngchcĩthsaikhácnhaumtnhâns khơng đi nào đĩ, tc là : ψ(2,1) =k ψ (1,2) . Nu hốn v hai ln, ta đưc ψ(1,2) =ψk (2,1) =ψ k 2 (1,2) ⇒k 2 = 1hay k = ± 1.Nhưthcĩhaikhnăngxyra: khi k =1: ψ (2,1) =ψ (1,2) ,hàmsĩnglàđixngviphéphốnvhaiht khik = − 1: ψ (2,1) = −ψ (1,2) ,hàmsĩnglàphnđixngviphéphốnvhaiht. Nhưvyhàmsĩngcahhaihtđngnhtlàmthàmhocđixnghocphnđixng điviphéphốnvhaiht.Ktqunàyvnđúngchohcĩshtbtkỳ.Pauliđãchngtrng cáchtcĩspinnguyên(cácboson)đưcmơtbngcáchàmsĩngđixng,cịncáchtcĩspinbán nguyên(fermion)đưcmơtbngcáchàmsĩngphnđixng. d.Hàmsĩngcahhtđngnht.NguyênlýloitrPauli . Xéth N htđngnhtkhơngtươngtác.PhươngtrìnhSchrodingerchohtcĩdng: N ℏ2  −+Vr( )  ψ (1,2, , NE ) =ψ (1,2, , N ) (1) ∑ i i  i=1 2m  12
13. Gi ψ, ψ , làcáchàmsĩngmơtcáctrngtháidngcatnghtriêngbitcịn n, n , làtp n1 n 2 1 2 cácslưngtđctrưngchotrngtháimtht.Khiđĩnghimca(1)cĩthtìmdưidngthp tuyn tính ca các tích dng ψ(1) ψ (2) ψ (N ) (2) vi tt c các hốn v cĩ th cĩ ca n1 n 2 n N n1, n 2 , , n N .Tuynhiêndonguyênlýkhơngphânbitcáchtđngnhtnênhàmsĩngcah N ht phicĩtínhđixngxácđnh.Cthlàhàmsĩngcah N bosonphilàthptuyntínhđi xnghĩacacáctíchdng(2)cịnhàmsĩngcah N fermionphilàthptuyntínhphnxng cacáctíchdng(2).Ktqu,tacĩ: N! N ! ðivih N boson: ψ=1 2 ψψ(1) (2) ψ (N ) (3),trongđĩtnglytheo N ! ∑ n1 n 2 n N [n1 , n 2 , ] ttccáchốnvcacács n1, n 2 , , n N ; Ni làshttrngthái ni và ∑ Ni = N . i ðivih N fermion:(4) T(4)tathyrngvichốnvhaihtnàođĩcahtươngđươngvivichốnvhaictcađnh thcvàđnhthcsđidu,nghĩalàhàmsĩngcahđãđidu.Cũngt(4)tathyrngnutrong mttrngtháinàođĩcĩ2ht(hocnhiuhơn)thìcáchàngtươngngcađnhthcstrùngnhau vàdođĩđnhthcsbng0.ðiunàycĩnghĩalà:trongmthfermionđngnht,khơngthcĩ quámthttrongmitrngtháilưngt .ðâychínhlànidungcanguyênlýloitrPauli . 13
14. BÀITPCƠHCLƯNGT §1.Hàmsĩng,tốnt,hàmriêngtrriêng,giátrtrungbình + 1.Chngminhrng:( ABˆˆ) = BA ˆ + ˆ + ,trongđĩ Aˆ + làtốntliênhphermitevitốnt Aˆ : ∫ϕψ*Aˆ dx = ∫ ψ( A ˆ + ϕ ) * dx 2.Chngminhrng:nucáctốnt Aˆ và Bˆ làcáctốnthermitevàgiaohốnvinhauthìtốn ttích ABˆ ˆ cũnglàtốnthermite ˆˆ ˆ ˆ ˆ  3. Chng minh rng : nu các tốn t A, B , C tha mãn các h thc giao hốn A, C  = 0 , ˆ ˆ  ˆ ˆ  ˆ B, C  = 0 và A, B  ≠ 0 thìcáctrriêngcaC làsuybin. ∂ 4.Chngtrngtốntsaulàtốnthermite pˆ = − i ℏ x ∂x ˆ ˆ ˆˆ  ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 5.Chngminhrng:nu A, B lànhngtốnthermitethì A, B  = AB − BA = iC trongđĩ C là tốnthermite. 6.Chngminhrng:giátrtrungbìnhcacáctốnthermite Aˆ+ A ˆ, AA ˆˆ + ( Aˆ làmttốnttuyn tính)trongmttrngtháibtkỳlàkhơngâm. 7.Chngminhrngtrintrungbìnhcabìnhphươngtốnthermitelàkhơngâm. ˆ ˆ ˆˆ  ˆ 8.Chngminhrng:nucáctốnthermite A, B thomãnhthc AB,  = iC thì: 2 (C ) (A )(2 B ) 2 ≥ 4 d 9.Hàmriêngvàtrriêngcatốnt pˆ = − i ℏ nuhàmriêngψ (x ) ca pˆ thomãnđiukin x dx x ψ()x =ψ ( xaa + )( :const) ∂ 10 .Hàmriêngvàtrriêngcatốnt Lˆ = − i ℏ ,vi 0≤φ≤ 2 π . z ∂φ 11.Haihàm ψ1(x ), ψ 2 ( x ) làhaihàmriêngđãchunhốvàngvicùngmttrriêng.Bitrng: +∞ ψψ* ()()x x dx = a ( a ∈ ℝ ) ,hãytìmhàmchunhố Φ()x =ψ C () xC +ψ () x vi C, C làcác ∫ 1 2 11 22 1 2 −∞ hngsthcsaochonĩtrcgiaovi ψ1(x ) . 12 .Giátrtrungbìnhcaxunglưngcahttrongtrngtháiđưcmơtbihàmsĩngchunhố i p x e ℏ 0 ψ(x ) = A ,trongđĩ A, p0 , a lànhnghngs. x2+ a 2 2 2 13.Tínhcácgiátrtrungbình x, p x vànghimlihthcbtđnhgiatođvàxunglưng khi: a. Trngtháicahttronggingthmtchiuvuơnggĩcsâuvơhnbrng a đưcmơtbi 2 nπ x hàmsĩng ψ(x ) = sin ( n = 1,2, ) . n a a 14
15. 1 ax 2 a  4 − mω b. Trng thái ca ht đưc mơ t bi hàm sĩng ψ(x ) =   e 2 , trong đĩ a = . Cho bit π  ℏ +∞ +∞ 2 π2 1 π e−αx dx=; x2 e −α x dx = . ∫ ∫ 3 −∞α −∞ 2 α x2 − + ikx 14 .Trngtháicahtđưcmơtbihàmsĩng ψ(x ) = Ae 2a2 ,trongđĩa , k lànhnghngs. a. Xácđnhhschunhố Avàtođ x đchomtđxácsuttìmthyhtρ (x ) cĩgiátrln nht. 2 2 b.Tínhcácgiátrtrungbình x, p x vànghimlihthcbtđnhgiatođvàxunglưng. +∞ +∞ 2 π2 1 π Chobit e−αx dx=; x2 e −α x dx = . ∫ ∫ 3 −∞α −∞ 2 α 15 .Sdnghthcbtđnh,hãyưctínhmcnănglưngthpnhtkhdĩca: a. Ht chuynđngtrong ging th mtchiu vuơng gĩc,sâuvơhnđưcmơtbihàmsĩng 2 nπ x chunhố ψ()x = sin ,trongđĩ d làbrngcagingthvà n = 1,2, n d d pˆ 2 mω2 x 2 b.Daođngtđiuhồmtchiuvi Hˆ =x + 2m 2 §2.Chuynđngmtchiu.Phươngtrìnhliêntc 1 mω x 2 4 − mω  ℏ 1.Chngminhrnghàm ψ(x ) =   e 2 làhàmriêngcatốntnănglưngcadaođngt  πℏ  điuhồmtchiu. ˆ ˆ 2. Chng minh rng tốn t tnh tin TTxa: a ψ () =ψ ( xaa + )( :const) giao hốn vi tốn t ℏ2d 2 Hˆ = − + V( x ) nuthnăngcĩtínhtunhồnVx()= Vx ( + a ) 2m dx 2 3.Tìmnănglưngvàhàmsĩngchunhốcahtchuynđngtrongtrưngthcĩdng: 0khi0 ≤x ≤ a V( x ) =  ∞ khix > a hay x x 0 a.Tìmhàmsĩngmơttrngtháicahtcĩnănglưng E x 0 , x< x 0 b.Xácđnhbiuthccamtđdịngxácsutcahtti j0 ,htphnx jR vàhttruyn qua jT . j j c.Tínhcáchsphnx R = R vàhstruynqua D = T . j0 j0 15
16. V0 khi x 0 a.Tìmhàmsĩngmơttrngtháicahtcĩnănglưng E> V 0 > 0 trongmin x > 0, x 0 a.Tìmhàmsĩngmơttrngtháicahtcĩnănglưng E> V 0 trongmin x > 0, x 0 a.Tìmhàmsĩngmơttrngtháicahtcĩnănglưng 0 0, x 0 a.Tìmhàmsĩngmơttrngtháicahtcĩnănglưng E> V0, V 1 trongmin x > 0, x 0 x→+∞ j j và limV ( x )= 0 thìtacĩhthc: R+ D = 1,trongđĩ R = R làhsphnx, D = T làhs x→−∞ j0 j0 truynqua.; j0 , jR , j T lnlưtlàmtđdịngxácsutti,phnxvàtruynqua,gishtcĩnăng lưng E> V . 0 1 p 11. Chngminhrng,mtđdịngxácsutcahtchuynđngtdobng: j = (2πℏ ) 2 m 16
17. 12.Tìmmtđdịngxácsutcahtđưcmơtbihàmsĩngcĩdng: ipx ipx ip2 t −  −  ℏ ℏ  2mℏ ψ(xt , ) = Ae + Be e ,trongđĩcáchs A, B phc.   13.Tìmmtđdịngxácsutcahtđưcmơtbihàmsĩngcĩdng: ψ(x ) = Aeρx + Be −ρ x , trongđĩcáchs A, B phccịn ρ làthc §3.Trngtháidng. 1.Chngminhrng,mtđxácsutvàmtđdịngxácsut cahttrngtháidnglàkhơng phthuctưngminhvàothigian. 2.Trngtháicahttronghthmtchiuvuơnggĩc,sâuvơhnbrnga (0 0 . b. Tínhmtđxácsutρ (x , t ) vàmtđdịngxácsut j( x , t ) c. Nghimliđnhlutbotồnxácsut. 4. Hàm sĩng thi đim đu ca mt ht cĩ khi lưng m chuyn đng t do trong min −a ≤ x ≤ a cahthmtchiuvuơnggĩc,sâuvơhncĩdng: 1πx 3 π x 13 π x ψ=(x ,0) cos + sin + cos 5a2aaa 5 5 a 2 a a.Xácđnhcácgiátrđođưcvàxácsutcacácgiátrnàykhiđonănglưngtrongtrngthái trên. b.Tínhnănglưngtrungbình. c.Tìmhàmsĩng ψ(x , t ) tithiđim t > 0 btkỳ.Xácđnhxácsuttìmthyhtthiđim t iπ2ℏ 2 − t 1 πx 2 trongtrngthái ϕ(,)x t = sin e 2ma a a 5.Hàmsĩngthiđimđucamthtcĩkhilưng mchuynđngtdotrongmin 0 ≤x ≤ a cahthmtchiuvuơnggĩc,sâuvơhncĩdng: 8 πx  π x ψ(x ,0) = 1 + cos sin 5a a  a a. Xácđnhhàmsĩng ψ(x , t ) tithiđimt > 0 . b. Tínhnănglưngtrungbìnhthiđimđuvàthiđimt > 0 a c. Xácđnhxácsuttìmthyhtnatráicahth(min (0≤x ≤ ) tithiđimt > 0 . 2 6. Hàmsĩngcadaođngtđiuhồthiđim t = 0cĩdng Ψ(,0)x = C[ 3 ψ0 () x +ψ 4 1 () x ], trongđĩC làhschunhố,ψn (x ) làhàmsĩngcatrngtháidngth ncadaođngtvi: 1 1 mω m ω mω4− x2  m ω 4 2 m ω − x 2 2ℏ   2 ℏ ψ=0()x e ,() ψ= 1 x   xe πℏ  π ℏ  ℏ a. TínhhschunhốC 17
18. b.XácđnhΨ (x , t ) và|Ψ (,)|x t 2 khit > 0 c. Xácđnhxácgiátrtrungbìnhtrungbình x, p vànghimliđnhlýEhrenfest. +∞ 2 1 π Chobit: x2 e−α x dx = ∫ 2 3 −∞ α §4.ðohàmcatốnttheothigian,Tíchphânchuynđng 1. Tìmbiuthccatốntvntcđivi: pˆ 2 a.mthtcĩHamiltonian Hˆ = + V( r ) 2m b.mthtmangđinchuynđngtrongtrưngđintviHamiltonian 1  e  2 Hˆ = pAeˆ − +ϕ trongđĩ Ax(, y , z ) làthvectorcịn ϕ(,x y , z ) làthvơhưng. 2m c  2.Chngminhrng: a. Giátrtrungbìnhcaxunglưngtrongtrngtháidngcĩphgiánđonlàbng0 b.Giátrtrungbìnhcalctácdnglênhttrongtrngtháidngcĩphgiánđonlàbng0 3.Chngminhrng,đivimthttrongtrưngthdngV( r ) thì: dr p dp a. = b. = −∇ V( r ) dt m dt 4.Chngminhrng :nănglưng,xunglưng,cáchìnhchiumomentxunglưngvàbìnhphương momentxunglưngcahttdolàcácđilưngbotồn. 5.Tìmcáctíchphânchuynđngcahtchuynđngtrongtrưnglccĩđixnghìnhtrđng chtdàivơhn dctheotrc z :Vxy(,)= V () ρ vi ρ =x2 + y 2 . 6.TìmcáctíchphânchuynđngkhihchuynđngtrongtrưnglccĩdngVzt(,)= ftz () . §5.Momentxunglưng.Chuynđngtrongtrưngxuyêntâm. 1. Thitlphthcbtđnhđivicácthànhphn Lx và Ly ˆ 2.Chngminhrng,nuψm ( φ ) làhàmriêngca Lz ngvitrriêng mℏ thìcácgiátrtrungbình Lx và Ly trongtrngtháinàyđubng0. ˆ ˆ 3.Chngminhrng,nu ψm ( φ ) làhàmriêngca Lz ngvitrriêng mℏ thì L±ψm ( φ ) cũnglàcác ˆ ˆ ˆ ˆ hàmriêngca Lz ngvicáctrriêng (m ± 1) ℏ .Chobit L± = Lx ± iL y . im ℏ2 4.Chngminhrng,trongtrngthái ψ cĩ L xácđnhthì: LL= − LL = và L2= L 2 m z xy yx 2 x y 2 5.Tìmđiukinđhìnhchiumomentxunglưng Lz vàbìnhphươngmomentxunglưng L làtích phânchuynđng. 6.BitrngtốntHamilton Hˆ cahlưngtlàhermite. a. Chngminhrngcácgiátrnănglưngcahlàthc. b. Cáchàmriêngca Hˆ ngvicáctrriêngkhácnhaulàtrcgiaovinhau. ˆ2 c. Gis {ψlm }làhhàmriêngđcatốntbìnhphươngmomentxunglưng L vàtốn ˆ thìnhchiumomentxunglưng Lz .Chngminhrngnuh{ψlm }cũnglàhàmriêngca ˆ ˆˆ2   ˆ ˆ  H thì HL,  = HL ,z = 0 .     18
19. ˆ 7.Xácđnhcácgiátrkhdĩcahìnhchiumoment Lz trongtrngtháicarotatorphngđưcmơ 2 tbnghàmsĩng ψ( φ )= cos 2 φ ,trongđĩφ làgĩcquayquanhtrc z . 3π ∂ 8.Trongtođcu,tốnthìnhchiumomentxunglưngcĩdng Lˆ = − i ℏ ( 0≤φ ≤ 2 π ) z ∂φ ˆ a. Tìmtrriêngvàhàmriêngchunhốca Lz 1 b.Tìmxácsutcáctrriêng L khihttrongtrngtháiđưcmơtbihàmsĩng ψ( φ )= sin φ z π 9.Httrongtrngtháiđưcmơtbihàmsĩngcĩdng: 3 1 Ψ=(,)θφY (,) θφ + Y (,) θφ + AY (,) θφ ,trongđĩY (θ , φ ) làcáchàmcu 81,1 8 1,0 1,− 1 l, m a. Xácđnh Ađhàmsĩngtrênchunhố ˆ ˆ ˆ ˆ b. Tính L+Ψ(θ , φ ) ,trongđĩ L± = Lx ± iL y ˆ ˆ2 c.Tínhcácgiátrtrungbìnhca Lz và L trongtrngtháitrên.Xácđnhxácsutđhìnhchiu Lz ˆ nhngiátr 0 trongtrngtháitrên.Chobit: LY± l, m =ℏ ll( +− 1) mm ( ± 1) Y l, m ± 1 2 10.Xácđnhcácgiátrkhdĩvàxácsuttươngngca L và Lz trongtrngtháiđưcmơtbi r2 − hàm sĩng cĩ dng ψ(r ) = Cze2 b2 trong đĩ b là s thc, C là hng s chun hố. Cho bit 1 5 Y=, Y = (3cos2 θ − 1) 004π 20 16 π 11.Nguyênthidrotrongtrngtháiđưcmơtbihàmsĩngcĩdng: π  i  Ψ=(,,)rCrθφ 3 ψ (,,)2 θφ + ψ (,,) rer θφ − 3 ψ (,,) θφ   100 210 322    trongđĩ ψnlm (,r θ , φ ) làhàmriêngcatốntnănglưng. a. XácđnhhschunhốC .Hàmsĩngtrêncĩphilàhàmriêngca Lˆ2 khơng? b.Xácđnhcácgiátrnănglưng khdĩvàxácsutcacácgiátrnàytrongtrngtháitrên c.Tìmgiátrtrungbìnhcanănglưngvàhìnhchiucamomentxunglưnglêntrc z . 12.Xácđnhmtđxácsuttheophươngxuyêntâmcaelectrontrongnguyênthidrotrngthái r ∞ − vihàmsĩng ψθφ(,,)r= Cre 2a0 cos θ ,trongđĩ a làbánkínhBohr.Chobit xn e− x dx= n !. 0 ∫ 0 13.Xácđnhgiátrtrungbình r trongtrngtháicơbncanguyênthidro,đưcmơtbihàm r − sĩng ψ(r ) = Ce a ,trongđĩ a làbánkínhquđoBohrthnht. §6.Spinvàhhtđngnht . 1. Chngminhrngcĩthđođưcđngthibìnhphươngspinvàhìnhchiuspinlênmttrc.     ˆ ℏ 01  ˆ ℏ0 −i 2. Tìmcáchàmriêngvàtrriêngcacáctốnt: Sx =  và S y =   210   2i 0  3. Tìmhàmsĩngcah2electronkhơngtươngtáccĩtínhđnspincaelectron. 19