Đề cương bài giảng Giải tích 1

Nội dung text: Đề cương bài giảng Giải tích 1

1. Mục lục Trang Lời nói đầu 5 Ch−ơng 1. Lý thuyết giới hạn 6 Đ1. Giới hạn d∙y số 6 1. Tập số thực 6 2. Giới hạn của dãy số 12 Đ2. Giới hạn hμm số 23 1. Hàm số biến só thực 23 2. Giới hạn của hàm số 31 Đ3. Hμm số liên tục 39 1. Các khái niệm cơ bản 39 2. Phép toán trên các hàm số liên tục 42 3. Tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn 43 4. Liên tục đều 46 5. Tính liên tục của các hàm số sơ cấp 47 Ch−ơng 2. Phép tính vi phân của hμm số một biến số 49 Đ1. Đạo hμm 49 1. Khái niệm về đạo hàm, đạo hàm một phía 49 2. Các quy tắc lấy đạo hàm 52 Đ2. Vi phân 55 1. Khái niệm về vi phân của hàm số 55 2. Các quy tắc lấy vi phân 57 3. Tính bất biến của dạng thức vi phân 57 4. Đạo hàm và vi phân cấp cao 57 3
2. Đ3. Các định lý cơ bản của phép tính vi phân 59 1. Các định lý về giá trị trung bình 59 2. Công thức Taylo 62 Đ4. ứng dụng của đạo hμm 64 1. Quy tắc Lôpitan để khử giới hạn dạng vô định 64 2. Khảo sát hàm số 66 Ch−ơng 3. Phép tính tích phân 74 Đ1. Tích phân không xác định 74 1. Khái niệm về nguyên hàm và tích phân không xác định 74 2. Các ph−ơng pháp tính nguyên hàm 76 3. Tích phân các biểu thức hữu tỷ 78 4. Tích phân các biểu thức vô tỷ 80 5. Tích phân các biểu thức l−ợng giác 83 6. Tích phân các hàm số siêu việt 84 Đ2. Tích phân xác định 85 1. Khái niệm về tích phân xác định 85 2. Điều kiện khả tích 89 3. Các lớp hàm khả tích 91 4. Tính chất của tích phân xác định 93 5. Mối liên hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm 98 6. Các ph−ơng pháp tính tích phân xác định 101 7. ứng dụng của tích phân xác định 105 Đ.3. Tích phân suy rộng 110 1. Tích phân suy rộng với cận vô tận 110 2. Tích phân của hàm số không bị chặn 117 4
3. Lời nói đầu Giải tích cổ điển là một môn học cơ sở, cần thiết đ−ợc đ−a vào giảng dạy ở các tr−ờng Đại học và Cao đẳng khối khoa học tự nhiên, khoa học kỹ thuật. Bộ Giáo trình cơ bản và tài liệu tham khảo của môn này cho ngành S− phạm Toán đã có nhiều. Đặc biệt phần bài tập giải tích cổ điển I đã đ−ợc viết nhiều ở các sách khác nhau. Song để thuận lợi và phù hợp cho sinh viên khoa Toán ĐHSP - ĐHTN chúng tôi đã viết đề c−ơng bài giảng này nhằm đáp ứng yêu cầu đó. Nội dung đề c−ơng đ−ợc trình bày trong 3 ch−ơng, bao gồm: Ch−ơng 1. Lý thuyết giới hạn Ch−ơng 2. Phép tính vi phân của hàm số một biến số Ch−ơng 3. Phép tính tích phân Chúng tôi đã sử dụng tài liệu này trong quá trình giảng dạy và đã hết sức cố gắng khi biên soạn nh−ng chắc chắn đề c−ơng bài giảng còn có những khiếm khuyết. Chúng tôi rất mong nhận đ−ợc ý kiến đóng góp của độc giả. Cuối cùng, chúng tôi xin chân thành cám ơn các thầy cô giáo, các đồng nghiệp trong tổ bộ môn Giải tích - khoa Toán tr−ờng ĐHSP - ĐHTN đã cho chúng tôi những góp ý quý báu trong quá trình biên soạn. Thái Nguyên, ngày tháng 5 năm 2009 Các tác giả ThS Nguyễn Thị Ngân ThS Nguyễn Thị Minh 5
4. Ch−ơng 1. Lý thuyết giới hạn Đ1. Giới hạn d∙y số 1. Tập số thực 1.1. Sự cần thiết mở rộng tập số hữu tỷ Nếu chỉ trong phạm vi các số hữu tỷ thì nhiều phép toán, chẳng hạn phép khai căn số hữu tỷ (thậm chí ngay cả số nguyên) không thể thực hiện đ−ợc. Chẳng hạn ta dễ chứng minh đ−ợc 2 không thể là số hữu tỷ. Thật vậy, p giả sử 2 là số hữu tỷ thì ∃p, q ∈ Â sao cho 2 = với p, q là cặp số nguyên q tố cùng nhau. Suy ra p2 = 2q2 ⇒ p2 là số chẵn, thành thử p là số chẵn (chẳng hạn p = 2k) thay vào ta đ−ợc q2 = 2k2 ⇒ q2 là số chẵn ⇒ q là số chẵn, điều này vô lý vì p, q đều là chẵn thì nó không thể nguyên tố cùng nhau. Về ph−ơng diện hình học, ví dụ trên cho ta thấy việc chỉ xét trong tập số hữu tỷ thì không thể có hình vuông nào có cạnh bằng 1 (đ−ờng chéo bằng 2 ). Để đáp ứng những yêu cầu tính toán trong đời sống và kỹ thuật, ng−ời ta phải mở rộng thêm tập số hữu tỷ. 1.2. Định nghĩa số vô tỷ Nhát cắt Đêđơkin Định nghĩa. Cho A và B là hai tập số hữu tỷ, ta nói rằng chúng làm thành nhát cắt Đêđơkin nếu thoả mãn: i) A, B ≠ φ, A∩B = φ, A ∪ B = Q. ii) ∀a ∈ A, ∀b ∈ B ta luôn có a < b Kí hiệu (A/B) trong đó A là tập d−ới, B là tập trên. 6
5. Ví dụ 1. 1) A = {x ∈ Q, x 10} ⇒ A/B làm thành nhát cắt. 3) A = {x ∈ Q+, x2 2} ⇒ (A/B) làm thành nhát cắt. Đối với nhát cắt (A/B) chỉ có thể xảy ra 1 trong 4 khả năng sau: 1) Lớp d−ới A không có phần từ lớn nhất, lớp trên B có phần tử nhỏ nhất (VD1) ⇒ nhát cắt loại 1. 2) Lớp d−ới A có phần từ lớn nhất, lớp trên B không có phần tử nhỏ nhất (VD2) ⇒ nhát cắt loại 2. 3) Lớp d−ới A không có phần từ lớn nhất, lớp trên B không có phần tử nhỏ nhất (VD3) ⇒ nhát cắt loại 3. 4) Lớp d−ới A có phần từ lớn nhất r1, lớp trên B có phần tử nhỏ nhất r2, khả năng 4 không xảy ra. rr+ Thật vậy, r = 12, thế thì r < r < r và r ∈ A, r ∈ B ⇒ (A/B) không làm 2 1 2 thành nhát cắt. Nh− vậy mỗi số hữu tỷ xác định một nhát cắt loại 1 hoặc loại 2 và ng−ợc lại. Riêng nhát cắt loại 3 còn khuyết phần tử nằm trên biên giữa lớp trên và lớp d−ới, ta sẽ nói mỗi nhát cắt loại 3 xác định một số vô tỷ (chính là số nằm vào chỗ khuyết đó). Tập số vô tỷ kí hiệu là I. Tập số vô tỷ và hữu tỷ ta gọi là tập số thực, kí hiệu là Ă . Từ định nghĩa ta thấy mỗi nhát cắt xác định 1 số thực và ng−ợc lại mỗi số thực xác định một nhát cắt. 1.3. Quan hệ sắp thứ tự trong tập số thực Định nghĩa. Cho hai số α và β xác định bởi hai nhắt cắt (A’/B’) và (A”/B”) t−ơng ứng. Ta nói rằng α = β nếu lớp d−ới A’ = A”, lớp trên B’ = B”. 7
6. Ta nói rằng α β nếu β β hoặc α = β. Số thực α > 0 (α < 0) ta gọi là số d−ơng (số âm). Tập số d−ơng và số 0 ta kí hiệu Ă +. Tập số âm và số 0 ta kí hiệu Ă - 1.4. Biểu diễn số thực a) Trục số: Trên đ−ờng thẳng Δ cho tr−ớc, ta chọn điểm 0 làm điểm gốc, ta thiết lập mối quan hệ giữa tập các số thực với các điểm trên đ−ờng thẳng Δ nh− sau: Số 0 ∈ Ă ta cho ứng với điểm O đã chọn. Mỗi số d−ơng a ∈ Ă ta cho t−ơng ứng với điểm A nằm bên phải điểm O sao cho OA có độ dài bằng a. Mỗi số âm b ∈ Ă ta cho t−ơng ứng với điểm B nằm bên trái điểm O sao cho OB có độ dài bằng ⏐b⏐. Mỗi số thực t−ơng ứng với 1 điểm trên đ−ờng thẳng Δ và ng−ợc lại. Đ−ờng thẳng Δ ta gọi là trục số. b) Biểu diễn thập phân của số thực. Số thực a ∈ Ă đ−ợc biểu diễn d−ới dạng một số thập phân a = n, c1c2 ck trong đó n ∈ Â , ci = 0 9 (i = 1, , k, ) 1.5. Tính liên tục và trù mật của số thực Định lý 1.1 (Định lý Đêđơkin). Đối với mỗi nhát cắt (A/B) trên tập số thực hoặc lớp d−ới A có số lớn nhất hoặc lớp trên B có số nhỏ nhất. Bổ đề. Với hai số thực α < β luôn tồn tại ít nhất 1 số hữu tỷ r sao cho α <r < β Hệ quả. Nếu số thực α thoả mãn -r <α < r với mọi số hữu tỷ d−ơng r thì r = 0. Nhận xét . 1) Bổ đề trên khẳng định giữa hai số thực khác nhau có ít nhất 1 số hữu tỷ xen giữa ⇒ có vô số hữu tỷ xen giữa 2 số thực đó ⇒ tính chất này gọi là tính chất trù mật của tập hợp số hữu tỷ ⇒ tính chất trù mật của tập hợp số thực. 8
7. 2) Trên tập hợp số hữu tỷ Ô ta chỉ ra rằng tồn tại những nhát cắt loại 3, đó là nguyên nhân để mở rộng tập số hữu tỷ. Trên tập số thực, định lý Đêđơkin khẳng định không có nhát cắt loại 3 thành thử dùng ph−ơng pháp Đêđơkin không thể mở rộng thêm những số mới nữa. 3) Trong tập số thực không còn “chỗ khuyết” nh− trong tập số hữu tỷ. Tính chất này gọi là tính đầy đủ hay tính liên tục của tập hợp số thực. 1.6. Tập bị chăn, cận của tập hợp Định nghĩa 1. Cho tập A ⊆ Ă . Ta nói rằng tập A bị chặn trên (hoặc bị chặn d−ới) nếu tồn tại M∈ Ă (hoặc m∈ Ă ) sao cho a ≤ M (hoặc a ≥ m) với ∀a ∈ Ă . Số M (hoặc m) ta sẽ gọi là cận trên (hoặc cận d−ới) của tập A. Ng−ợc lại ta nói rằng tập A không bị chặn trên (hoặc không bị chặn d−ới). Nếu tập A vừa bị chặn trên, vừa bị chặn d−ới thì ta nói tập A bị chặn. Nhận xét . 1) Từ định nghĩa trên ta dễ dàng chứng minh đ−ợc mệnh đề sau: “Để tập A bị chặn điều kiện cần và đủ là tồn tại c > 0: ∀a ∈ A ta luôn có - c ≤ a ≤ c”. 2) Nếu tập A bị chặn trên (hoặc bị chặn d−ới) thì nó sẽ có vô số cận trên (hoặc cận d−ới). Định nghĩa 2. Cho A là tập hợp bị chặn trên (hoặc bị chặn d−ới). Ta nói rằng số M* (hoặc m*) là cận trên đúng (hoặc cận d−ới đúng) của A nếu nó là cận trên nhỏ nhất (hoặc cận d−ới lớn nhất) của tập ấy. Tức là nó thoả mãn: i) ∀a ∈ A ta luôn có a ≤ M* (hoặc a ≥ m*) ii) Nếu M (hoặc m) là một cận trên (hoặc cận d−ới) của A thì M* ≤ M (hoặc m* ≥ m) Đôi với cận trên đúng (hoặc cận d−ới đúng) ta ký hiệu M* = sup A (hoặc m* = inf A). Định lý 1.2. Cho A là tập hợp bị chặn trên (hoặc d−ới). Để M* (hoặc m*) là cận trên đúng (hoặc cận d−ới đúng) của A điều kiện cần và đủ là 9
8. i) a ≤ M* (hoặc a ≥ m*) với ∀a ∈ A. * * * * ii) ∀ε > 0, ∃aε ∈ A sao cho M - ε 0, ∀a∈ A ta luôn có a ≤ M*- ε. Vậy M*- ε là 1 cận trên của A * * * * ⇒ M = supA ≤ M - ε điều này vô lý do đó M - ε 0 theo ii) ∃ aε ∈ A sao * * * * cho M = M - (M - M) = M - ε < aε điều này vô lý. Suy ra M là cận trên đúng của A. 1.7 Phép tính số học trên tập số thực 1.7.1. Định nghĩa Định nghĩa phép cộng. Giả sử cho hai số thực α và β xác định bởi hai nhát cắt (A’/B’) và (A”/B”) t−ơng ứng. Đặt A =+{aaa'":'',"" ∈ AaA ∈}, B = {bbb'":'',""+∈∈ BbB}. Ta có (A/B) làm thành một nhát cắt thành thử nó xác định một số thực γ. Ta gọi γ là tổng của hai số thực α và β. Kí hiệu: γ = α + β. Định nghĩa phép trừ. Ng−ời ta chứng minh rằng với mỗi cặp số thực α, β tồn tại duy nhất số thực γ sao cho α + γ = β, ta gọi γ là hiệu của β trừ α, kí hiệu là γ = β - α. T−ơng tự nh− trên ta định nghĩa các phép toán còn lại. 1.7.2 Tính chất 1) Phép cộng và phép nhân thoả mãn tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp : a + b = b + a; ab = ba (a, b ∈ R); a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c; (ab)c = a(bc), ∀a, b, c ∈ . 2) Tồn tại phần tử trung lập trong phép cộng và phép nhân: 10
9. ∃! 0 ∈ : ∀a ∈ , a + 0 = 0 + a = a ∃!1 ∈ : 1 ∈ , a.1 = 1.a = a 3) Tồn tại phần tử đối trong phép cộng và phần tử nghịch đảo trong phép nhân ∀a∈ , ∃! (-a) ∈ : a + (-a) = 0 -1 -1 ∀a ∈ , a ≠ 0, ∃! a ∈ : a. a = 1 4) Giữa phép cộng và phép nhân thoả mãn định luật phân phối a(b + c) = ab + ac, ∀a, b, c ∈ . 5) Quan hệ sắp thứ tự thoả mãn: Tính chất phản xứng: ab≤ và ba≤ ⇒ ab= Tính chất bắc cầu: ab≤ và bc≤ ⇒ ac≤ 6) ∀∈aaaaaa ⇒.0,.0 ≥ = ⇔ = 0 7) a> b ⇒ a+ c > b+ c, ac > bc (nếu c > 0), ac < bc (nếu c < 0), ∀a, b∈ 1.7.3. Giá trị tuyệt đối ⎧ aa khi ≥ 0 Đối với mỗi số thực a ta gọi số a = ⎨ là giá trị tuyệt đối của a. ⎩−aa khi < 0 Tính chất 1. −≤≤aaa Tính chất 2. aa≥=⇔=0, 0 a 0 Tính chất 3. ab≤⇒−≤≤ bab Tính chất 4. abababab+≤ +, − ≤− a a ab== a., b bb Tính chất 5. ab−≤− ab 1.7.4. Một số quy −ớc a) Số thực mở rộng: Mở rộng thêm hai phần tử +∞ và - ∞. 11
10. + Nếu a là số thực thì -∞ ⎪ ⎩ nếu a = 0 + a(-∞) = (-a)(+∞) ⎧ 0 khi aRb∈=±∞ , a ⎪ + =±∞⎨ khi ab =±∞> , 0 b ⎪ ⎩ khi ab ,=±∞ , a = b = 0 b) Khoảng, đoạn, lân cận [ab,:] =∈{ x R a ≤≤ x b} [ab,:) = { x∈≤ ta có bảng giá trị f(1), f(2), , f(n), (1) Đặt xn = f(n) với n = 1, 2, 3, ta có bảng x1, x2, x3, , xn , (2) Ta sẽ gọi (2) là dãy số, xn là số hạng tổng quát hay phần tử thứ n của dãy, n là chỉ số của số hạng đó. Kí hiệu {xn} = x1, x2, x3, , xn , 12
11. Dãy {xn} đ−ợc gọi là bị chặn trên (hoặc d−ới) nếu ∃C (hoặc c) sao cho xn ≤ C (hoặc xn ≥ c), ∀n. Dãy {xn} vừa bị chặn trên, vừa bị chặn d−ới đ−ợc gọi là bị chặn. Dãy {xn} đ−ợc gọi là đơn điệu tăng (hoặc giảm) nếu ∀n, m ∈ N: n 0, ∃nε ∈ N, ∀n > nε: xan − 0 cho tr−ớc, chọn n02= log thì ∀n > n0 ta có: ⎣⎢ ε ⎦⎥ 1 1 xn −=0 1 + a, điều này vô lý vì luỹ thừa bậc 3 của các số tự nhiên không bị chặn. 13
12. Định lí 1.3. Giới hạn (nếu có) của một dãy số là duy nhất. Chứng minh. Giả sử {xn} hội tụ đến 2 giới hạn khác nhau a và b. ε Chọn ε = a - b > 0, ∃n , n ∈ N sao cho xa− n 1 2 n 2 1 ε xb− n n 2 2 Chọn n0 = max{n1, n2} ta có ε ε ε =≤a - b a - x + x - b n . Điều này vô lý nn 22 0 Vậy định lý đ−ợc chứng minh. Định lí 1.4. Mọi dãy hội tụ đều bị chặn. Chứng minh. Giả sử limxn = a , với ε = 1, ∃nε ∈N sao cho xan − nε. Chọn C = max{ 1a+ , 1a− , x1 , x2 , , xn , } ⇒ xn ≤ C, ∀n. Vậy định lý đ−ợc chứng minh. Định nghĩa. Cho {xn} và dãy đơn điệu nghiêm ngặt các số tự nhiên n1 ε 0, ∃ε sao cho xn − ann nên ta có x −<⇒axaε lim =. k ε nnkk nk →∞ 14
13. áp dụng Chứng minh dãy {()−1 n } phân kỳ Xét dãy con {x2k} = {1} hội tụ về 1 {x2k + 1} = {-1} hội tụ về -1. Vậy {}()−1 n phân kỳ. 2.2. Các phép toán và tính chất của dãy hội tụ 2.2.1. Các phép toán trên giới hạn của dãy số Định lí 1.6. Giả sử dãy {}xn hội tụ đến a và {yn} hội tụ đến b. Khi đó i) xn hội tụ và lim xn = a { } n→∞ ii) Dãy {}xnn± y hội tụ và lim( xnn± yab) =± n→∞ iii) Dãy {xnn.y } hội tụ và limxnn .yab= . n→∞ ⎧ x ⎫ x a iv) Nếu b ≠ 0 thì dãy ⎨ n ⎬ hội tụ và lim n = . n→∞ ⎩⎭yn ybn Chứng minh. i) Sinh viên tự chứng minh. ii) Giả sử limxnn==⇔∀>∃∈ayb ,limε 0, nnN12 , sao cho nn→∞ →∞ ε ε ∀>nnx: − a − 0 : ε ε ()()xy+−+≤−+− 0 sao cho xn ≤∀Cn, . 15
14. ε Mặt khác, limxnn==ayb ,lim , nếu với ∀ε > 0 ta chọn ε1 =>0 , nn→∞ →∞ Cb+ ∃ n1, n2∈ N sao cho xan1− n1, n > n2 Chọn n0 = max{n1, n2} với ∀n > n0 ta có: xnnyabxyb−= n( n −+−) ( xab n ) ≤−+− 0 , với δ > 0, ta chọn δ1 = b , ∃n0 sao cho n→∞ 2 b ∀n > n ta có: = byb− 0, chọn δ = εb ⇒ − n0 ⇒ lim = . n→∞ 2 ybn ybn áp dụng iii) ta có điều phải chứng minh. Chú ý. 1) Nếu cả hai dãy hội tụ thì tổng, hiệu, tích, th−ơng của chúng cũng hội tụ. 2) Nếu một dãy hội tụ, một dãy phân kỳ thì tổng, hiệu, tích, th−ơng phân kỳ. 3) Cả hai dãy phân kỳ ⇒ ch−a kết luận đ−ợc. 4) Sự hội tụ hay phân kỳ của một dãy hoàn toàn không phụ thuộc vào hữu hạn các số hạng ban đầu của nó. 16
15. Hệ quả. Nếu dãy {xn} hội tụ thì lim(Cx+ nn) =+ C lim x với C là hằng số. nn→∞ →∞ limCx .nn= C .lim x . nn→∞ →∞ 2.2.2. Tính chất Định nghĩa. Ta nói rằng {xn} nhỏ hơn hoặc bằng dãy {yn}, kí hiệu {xn}≤{yn} nếu ∃n0 với n > n0 ta có xn ≤ yn. Định lí 1.7. i) Giả sử {xn} và {yn} là các dãy hội tụ và {xn}≤{yn}. Khi đó limxnn≤ lim y . nn→∞ →∞ ii) Nếu limxnn lim ybn = . n→∞ n→∞ Chọn ε = a - b > 0, ∃n0 sao cho 0 = a - b - ε n0 ⇒ xn > yn, ∀n > n0 , trái với giả thiết ⇒ đpcm. 1 ba+ ii) Chọn εεε=−>∃− n . 2 n 0 Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. iii) Giả sử limxnn== lim ya nn→∞ →∞ ⇔ ∀>ε 0, ∃nn12 , ∈ N , ∀> n n 1 : a −εε − n0: axzya− ε <≤≤<+nn n ε ⇒ zan −<⇒ε lim zan = . n→∞ 17
16. Hệ quả. 1) Nếu lim xn = a và {xn} ≤ C thì a ≤ C. n→∞ 2) Nếu lim xn = n0. n→∞ 3) limxn = 0 khi và chỉ khi limxn = 0 . n→∞ n→∞ nn ()−−11⎛⎞() 1 áp dụng. lim=== 0 ⎜⎟ lim lim 0 nnn→∞nnn⎜⎟ →∞ →∞ ⎝⎠ sinnn⎛⎞ sin 1 n→∞ limnnn=≤⎯⎯⎯ 0 ⎜⎟→ 0 . n→∞ 222⎝⎠ 2.3. Điều kiện hội tụ của dãy số 2.3.1. Điều kiện hội tụ của dãy đơn điệu Định lí 1.8 i) Nếu {xn} là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ và xnn≤∀limxn , . n→∞ ii) Nếu {xn} là dãy đơn điệu giảm và bị chặn d−ới thì nó hội tụ và xnn≥∀limxn , . n→∞ Chứng minh. i) Giả sử {xn} đơn điệu tăng và bị chặn trên. Khi đó a = sup{xn} ⇒ xn ≤ a, ∀n. Theo định lí 1.2, ∀ε > 0, ∃n sao cho a - ε n ta có a - ε ⇒ε, nn0 lim xn = a . n→∞ ii) Chứng minh t−ơng tự. 2.3.2. Bổ đề về các dãy đoạn thắt 18
17. Định nghĩa. Ta sẽ gọi dãy các đoạn thẳng {[an, bn]} là dãy các đoạn lồng thắt nếu [][]abnn++11,,⊂ ab nn và lim(bann− ) = 0 . n→∞ Bổ đề Căngto. Với mỗi dãy lồng thắt các đoạn thẳng tồn tại duy nhất điểm C sao cho C ∈ [an, bn], ∀n. Chứng minh. Từ giả thiết [abnn++11,,] ⊂ [ ab nn] ⇒ {an} là dãy tăng, còn {bn} là dãy giảm và đều bị chặn. Định lí 1.8 ⇒ lim aan = và limbbn = . Vì n→∞ n→∞ lim(bann−=) 0 nên ta suy ra a = b. n→∞ Chọn C = a = b. Hiển nhiên aCbnnn≤ ≤∀, hay C ∈ [an, bn], ∀n. Định lí 1.9. (Bônxanô - Wâyơtrát) Mỗi dãy bị chặn có ít nhất một dãy con hội tụ. Chứng minh. Giả sử {xn} là dãy bị chặn ⇒ ∃a, b ∈ R sao cho ax≤≤∀n bn, . Ta chia đôi [a, b] thì ít nhất một trong hai nửa của [a, b] chứa vô số phần tử của dãy {xn}, kí hiệu nửa đó là [a1, b1]. Ta lại chia đôi [a1, b1], cũng lý luận t−ơng tự ta nhận đ−ợc nửa [a2, b2] của đoạn [a1, b1] chứa vô số phần tử của {xn}. Cứ tiếp tục mãi quá trình trên đây ta nhận đ−ơch dãy {[an, bn]} các đoạn thẳng có 1 tính chất [an+1, bn+1] ⊂ [an, bn] và ba− =−→() ba 0 khi n →∞. Mỗi đoạn nn2n [an, bn] chứa vô số phần tử của {xn}. Theo bổ đề Căngto, ∃! c ∈ R sao cho limabcnn== lim . Ta chọn dãy xn nh− sau: nn→∞ →∞ { k } Trong đoạn [a , b ] chọn x , trong [a , b ] chọn x sao cho n > n , cứ tiếp 1 1 n1 2 2 2 2 1 tục quá trình nh− trên ta đ−ợc x ⊂ x . Mặt khác: axb≤≤ mà { nnk } { } nnnkkk ac→ , bc→ khi n →∞ ⇒ lim x = c . nk nk k nk nk →∞ Định lí 1.10. (Nguyên lý Bôxanô - Côsi về dãy hội tụ) Để dãy {xn} hội tụ, điều kiện cần và đủ là ∀ε > 0, nhỏ tuỳ ý, ∃n0 ∈ N sao cho xnm− xnmn 0 . Chứng minh. 19
18. ε Điều kiện cần. Giả sử lim xn = a, thế thì ∀ε > 0, ∃n0 sao cho xam − n . n 2 0 ε ε ⇒ x −=xxaxaxaxa()() −−−≤−+− ε,, mnn nm n m n m 22 0 Ta có điều phải chứng minh. Điều kiện đủ. Tr−ớc hết ta chứng minh dãy {xn} bị chặn. Thật vậy với ε = 1, ∃n0 sao cho xx− n hay x −11, nn. Điều này nn0 +1 0 nnn00++110 chứng tỏ {xn} bị chặn. Theo Định lí 1.9, ∃ dãy con x của dãy x hội tụ đến a. Ta sẽ chứng { nk } { n } minh lim xn = a . n→∞ ε Ta có limx =⇒∀>∃amε 0, sao cho x − anm , (1) n k 1 nkk 1 nk →∞ 2 ε Theo giả thiết ∃m2 sao cho xx− m2 (theo định nghĩa nnk 2 dãy chứng minh nk ≥ n). Chọn n0 = max{m1, m2}. ε ε Từ (1) và (2) ⇒ x −≤axx − + x − aε, nn. nnnnkk 22 0 ⇒ lim xn = a (đpcm). n→∞ 2.4. Đại l−ợng vô cùng bé - đại l−ợng vô cùng lớn 2.4.1. Đại l−ợng vô cùng bé (VCB) Định nghĩa 1. Ta sẽ gọi dãy số α12,αα , ,n , là một đại l−ợng vô cùng bé khi n→ ∞ nếu limαn = 0 ⇔∀ε >0, ∃nN0 ∈ sao cho αn n0. n→∞ Chú ý. Nếu {αn } là VCB thì {−αn }, {αn }là VCB khi n→∞ . 20
19. n ⎧⎫1 ⎪⎪⎧⎫11+−() Ví dụ. ⎨⎬n là VCB, ⎨⎬ là VCB. ⎩⎭2 ⎩⎭⎪⎪n * Tính chất và phép toán 1) Tổng của hai đại l−ợng VCB là một đại l−ợng VCB. 2) Tích của hai đại l−ợng VCB là một đại l−ợng VCB. 3) Tích của một đại l−ợng VCB và một dãy hội tụ là một đại l−ợng VCB. 4) Tích của một đại l−ợng VCB và một đại l−ợng bị chặn là một đại l−ợng VCB. Chú ý. 1) Nếu limαn = 0 thì limcαn = 0 , với c là hằng số. n→∞ n→∞ 2) Th−ơng của hai đại l−ợng VCB ch−a chắc là VCB. 51 αn Ví dụ. αβnn==, là hai VCB nh−ng = 5 là hằng số. nn βn 3) Nếu lim aan = thì {aan − } là VCB và ng−ợc lại. n→∞ 2.4.2. Đại l−ợng vô cùng lớn (VCL) Định nghĩa 1. Dãy số α12,αα , ,n , đ−ợc gọi là một đại l−ợng VCL khi n → ∞, nếu với mỗi số d−ơng M lớn tuỳ ý, ∃n0 sao cho αn >∀>M , nn0 . Định nghĩa 2. Cho {αn }, nếu với mỗi M > 0, lớn tuỳ ý, ∃n0 ∈ N sao cho αn > M với ∀n > n0 ta sẽ nói rằng dãy {αn } có giới hạn bằng +∞ và viết limαn =+∞. n→∞ T−ơng tự ta có limαn = −∞ nếu với n đủ lớn ta có αn < −M . n→∞ Ví dụ. {}()−1.n n là một VCL, {n2 − 5} là VCL. Tính chất. 1) Nếu {αn } là một VCL và βnn≥∀α , n thì {βn } là một VCL. 21
20. 2) Tích của một VCL và một dãy có giới hạn khác 0 là một VCL. ⎧ 1 ⎫ 3) Nếu {αn } là một VCL thì ⎨ ⎬ là một VCB. ⎩⎭αn ⎧ 1 ⎫ 4) Nếu {αn } là một VCB và αn ≠ 0 , ∀n thì ⎨ ⎬ là một VCL. ⎩⎭αn 2.5. Số e n ⎪⎧⎛⎞1 ⎪⎫ Ta chứng minh đ−ợc {}an =+⎨⎜⎟1 ⎬ là dãy tăng và bị chặn trên bởi 3. ⎪⎩⎭⎝⎠n ⎪ Thật vậy, n ⎛⎞11nn.( −−−+ 1) 1 nn( 1) ( n n 1) 1 ann =+⎜⎟1 =+ 1 . + .2 ++ . n ⎝⎠nn1.2 n 1.2 nn 11⎛⎞⎛⎞⎛⎞ 11n − 1 =++1 1⎜⎟⎜⎟⎜⎟ 1 − + + 1 − 1 − + 2!⎝⎠⎝⎠⎝⎠nnnn+ 1 !++ 1 1 11⎛⎞⎛⎞n +−⎜⎟⎜⎟1 1 − ()nn+1!⎝⎠⎝⎠++ 1 n 1 ⇒ aann< +1 11 1 11 1 1 Ta có a <++1 1 + + + < 2 + + + + < 2 + + n 2! 3!n ! 2 4 2n−1 2 11 =+2. = 3 1 2 1− 2 n ⎛⎞1 ⇒ {}an hội tụ và limaen =+== lim⎜⎟ 1 2,71828828459015 nn→∞ →∞ ⎝⎠n n ⎛⎞1 −1 Ta chứng minh đ−ợc lim⎜⎟ 1 − = e . n→∞ ⎝⎠n 2.6. Giới hạn trên - giới hạn d−ới 22
21. Định nghĩa. Số lớn nhất trong các giới hạn riêng của dãy {xn} đ−ợc gọi là giới hạn trên của nó. Kí hiệu: limxn . n→∞ Số bé nhất trong các giới hạn riêng của dãy {xn} đ−ợc gọi là giới hạn d−ới của nó. Kí hiệu:lim xn . n→∞ Định lí 1.11. Mọi dãy số {xn} đều có giới hạn trên và giới hạn d−ới trong tập số thực mở rộng. Định lí 1.12. Điều kiện cần và đủ để dãy {xn} có giới hạn (hữu hạn hoặc bằng ±∞ ) là limxn = lim xn . n→∞ n→∞ Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên. Điều kiện đủ. Giả sử limxn = lim xn = M. Khi đó ∃n0 sao cho ∀n > n0 ta n→∞ n→∞ có: M - ε 0 ⇒ lim xn = M . n→∞ ⎧⎫nπ 22 Ví dụ. {}xn = ⎨⎬sin có giới hạn riêng 0, ,1,−− 1, ⎩⎭4 22 limxn = 1, limxn =− 1. n→∞ n→∞ Đ2. Giới hạn hμm số 1. Hàm số biến só thực 1.1. Định nghĩa * Cho X ⊆ . Nếu ứng với mỗi giá trị của đại l−ợng x biến đổi trong miền X t−ơng ứng 1 giá trị xác định của đại l−ợng biến đổi y thì ta nói rằng giữa x và y đ−ợc thiết lập một t−ơng quan hàm số, trong đó x là đại l−ợng biến đổi 23
22. độc lập (hay còn gọi là đối số) còn y là đại l−ợng biến đổi phụ thuộc. Ta gọi y là hàm số của biến số x hay đối số x. Kí hiệu: y = f(x), y = ϕ(x). Tập X gọi là tập xác định (miền xác định) của hàm số. Kí hiệu Df, Dy. f(X) = {f(x): x ∈ X} gọi là tập giá trị của hàm số. * Ta gọi ánh xạ f: X → x a y = f(x) là một hàm số, X là tập nguồn hay tập xác định, Y = f(X) là tập đích hay tập giá trị. Muốn xác định hàm số phải cho tập xác định, cho quy luật t−ơng ứng, y = f(x) là giá trị của hàm số tại điểm x. 2 Ví dụ 1. yx=−1 , Dy = [-1, 1], Tập giá trị : [0, +∞). Ví dụ 2. ⎧1 với x hữu tỷ Dx () = ⎨ (Hàm Đirichlê) ⎩0 với x vô tỷ TXĐ: Dy = , TGT = {0, 1}. nn( +1) * Ví dụ 3. Tổng của n số tự nhiên đầu tiên Sn()= , DS = N . 2 1.2. Các ph−ơng pháp biểu diễn hàm số 1.2.1. Ph−ơng pháp giải tích. Quy tắc xác định giá trị của hàm số đ−ợc cho bằng một hay nhiều biểu thức toán học. Ví dụ: y = ax + b; a, b ∈ ⎧ 1 khi x > 0 ⎪ signx==⎨ 0 khi x 0 (Hàm dấu) ⎪ ⎩−<1 khi x 0 Hàm phần nguyên y = [x] = n nếu n ≤ x < n + 1 [- 3,1] = - 4, [3, 1] = 3, [1] = 1. 24
23. 1.2.2. Ph−ơng pháp đồ thị. Trong mặt phẳng ta chọn hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy. Mỗi cặp giá trị x và y = f(x) sẽ ứng với điểm M(x, f(x)) trong hệ trục Oxy. Khi cho điểm x chạy khắp trong miền xác định Dy của hàm số tập tất cả các điểm M(x, g(x)) sẽ tạo thành 1 đ−ờng cong trong mặt phẳng, ta gọi đó là đồ thị của hàm số y = f(x). Khi hàm số y = f(x) đ−ợc cho bằng đồ thị, muốn xác định các giá trị của hàm số khi biết giá trị của đối số x ta tiến hành nh− sau: Từ điểm trên trục Ox có hoành độ x ta kẻ đ−ờng thẳng song song với Ox cắt Oy tại điểm có tung độ y. Giá trị tung độ đó chính là giá trị f(x) của hàm số. Để đ−ờng cong là đồ thị của hàm số nào đó cần đảm bảo tính chất mỗi đ−ờng thẳng song song với trục tung cắt đ−ờng cong không quá 1 điểm. y y y y = f(x) 2 f(x) M(x, f(x)) 1 1 -1 O x x O 1 2 x O x -1 Hàm phần nguyên Hàm dấu 1.2.3. Ph−ơng pháp lập bảng. Giá trị của đối số x và giá trị t−ơng ứng của hàm số y đ−ợc liệt kê thành bảng nn( +1) Hàm số Sn()= , n ∈ N đ−ợc biểu diễn nh− sau: 2 n 1 2 3 4 S(n) 1 3 6 10 Nhận xét. Từng ph−ơng pháp có −u điểm, nh−ợc điểm. 1.3. Các phép toán trên các hàm số 25
24. 1.3.1. Tổng, hiệu, tích, th−ơng của các hàm số Định nghĩa. Cho hai hàm số f(x) và g(x) xác định trên miền Df và Dg t−ơng ứng. Ta nói rằng hàm số h(x) xác định trên Dh là tổng của g và f nếu thoả mãn: i) Dh = Df ∩ Dg ii) h(x) = g(x) + f(x), ∀x ∈ Dh. T−ơng tự ta định nghĩa cho hiệu, tích, th−ơng, của hai hàm số (th−ơng ta loại vì giá trị x làm cho g(x) = 0). 1.3.2. Hàm hợp Định nghĩa. Giả sử hàm số f(x) xác định trong miền Df, g(x) xác định trong miền Dg sao cho f(x) ∈ Dg, ∀x ∈ Df. Ta sẽ gọi hàm xác định bởi quy tắc h(x) = g(f(x)), ∀x ∈ Df là hàm hợp của f và g. Kí hiệu h = g°f hay h(x) = g(f(x)) trong đó f gọi là hàm trong, g gọi là hàm ngoài. 1 Ví dụ. gy()==+∞=+=;0,,31,. Dyf()() f x x D R y 1 1 Hàm hợp hx()= xác định với x > − . 31x + 3 1.3.3. Hàm ng−ợc Định nghĩa. Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền X, Y = f(X) thoả mãn tính chất với mỗi y ∈ Y tồn tại duy nhất giá trị x ∈ X sao cho f(x) = y. Ta nói rằng hàm x = ϕ(y) là hàm ng−ợc của hàm f nếu i) MXĐ của hàm số ϕ là Y. ii) ϕ(y) = x nếu f(x) = y, ∀y ∈ Y. Kí hiệu f -1. Chú ý. Từ định nghĩa ta có f ( fy−−11()) = yffxxxXyY,,,.( ()) =∀∈∀∈ y −1 Ví dụ. Hàm số y = 2x + 1 có hàm số ng−ợc là x = 2 26
25. x y = a có hàm số ng−ợc là x = loga y y = sinx không có hàm số ng−ợc trên cả trục số. 1.3.4. Quan hệ giữa các hàm số Định nghĩa 1. Ta nói rằng hai hàm số f và g bằng nhau nếu: i) Df = Dg ii) f(x) = g(x), ∀x ∈ Df. Định nghĩa 2. Ta nói rằng hàm số f lớn hơn hàm số g trên X nếu chúng đều xác định trên X và f(x) > g(x), ∀x ∈ X. Kí hiệu: f > g. 1.4. Một số hàm số đặc biệt 1.4.1. Hàm bị chặn Định nghĩa 1. Ta nói rằng hàm số y = f(x) bị chặn trên (hoặc bị chặn d−ới) trên miền X nếu tồn tại hằng số C (hoặc c) sao cho f(x) ≤ C (hoặc g(x) ≥ c), ∀x ∈ X. Hàm số đồng thời bị chặn trên và bị chặn d−ới đ−ợc gọi là hàm bị chặn. Nhận xét. Từ định nghĩa suy ra mệnh đề: “Để y = f(x) bị chặn trên X, điều kiện cần và đủ là ∃K > 0 sao cho f ( xKxX) ≤∀∈, ”. Định nghĩa 2. Cho hàm số y = f(x) xác định trên X, ta sẽ gọi giá trị supf(X) (hoặc inff(X)) là cận trên đúng (hoặc cận d−ới đúng) của hàm số trên X. Kí hiệu: sup f ()x (inf f ( x)). xX∈ xX∈ Ví dụ. Hàm Đirichlê bị chặn supfx( ) = 1, inffx( ) = 0 . xR∈ xR∈ Hàm số y = x2 bị chặn d−ới bởi 0, không bị chặn trên 1 y =− bị chặn trên bởi 0, không bị chặn d−ới. x2 1.4.2. Hàm đơn điệu Định nghĩa. Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền X, ta nói rằng: + Hàm số đơn điệu tăng (hoặc giảm) trên X nếu với x1, x2 ∈ X, ta luôn có x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2) (hoặc f(x1) ≥ f(x2)). 27
26. + Hàm số tăng nghiêm ngặt (hoặc giảm nghiêm ngặt) trên miền X nếu ∀x1, x2∈ X, ta luôn có x1 f(x2)). Chú ý. Hàm số tăng nghiêm ngặt (hoặc giảm nghiêm ngặt) ta gọi là hàm tăng hay đồng biến (hoặc hàm giảm hay nghịch biến), gọi chung là hàm số đơn điệu. Ví dụ. y = 2x + 1, y = x3 là hàm số tăng nghiêm ngặt trên R. y = x2, yx= giảm nghiêm ngặt trên (-∞, 0) y = sinx không đơn điệu trên R. 1.4.3. Hàm chẵn, hàm lẻ Định nghĩa 1. Tập X đ−ợc gọi là tập đối xứng nếu ∀x∈ X ⇒ - x∈ X. Định nghĩa 2. Hàm số y = f(x) xác định trên tập xác định X gọi là hàm chẵn (hoặc hàm lẻ) nếu f(- x) = f(x) (hoặc f(- x) = - f(x)), ∀x∈ X. Ví dụ. y = x2 là hàm số chẵn trên R, không chẵn, không lẻ trên (0, +∞). y = x3 là hàm số lẻ trên R. Chú ý. Đồ thị của hàm số chẵn gồm hai nhánh đối xứng qua trục Oy. Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ. 1.4.4. Hàm tuần hoàn Định nghĩa. Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền X, ta nói rằng hàm số tuần hoàn trên miền X nếu ∃T > 0, ∀x ∈ X, x + T ∈ X: f(x) = f(x + T). Số T d−ơng đ−ợc nhỏ nhất thoả mãn điều kiện trên gọi là chu kỳ của hàm số. Kí hiệu: Tf. Ví dụ. Hàm số y = ⏐sinx⏐ với chu kỳ Tf = π. Định lí 1.13. Giả sử hàm số f tăng nghiêm ngặt (hoặc giảm nghiêm ngặt) trên X, f(X) = Y. Khi đó: i) f có hàm số ng−ợc f-1 xác định trên Y. ii) Hàm số ng−ợc f-1 cũng tăng nghiêm ngặt (hoặc giảm nghiêm ngặt) trên Y. 1.5. Các hàm số sơ cấp 28
27. 1.5.1. Các hàm số sơ cấp đơn giản α 1) Hàm số luỹ thừa y = x , α ∈ . TXĐ phụ thuộc vào α. + α ∈ , Dy = . - + α∈ Z , Dy = \ {0} 1 + α = , D = [0, +∞) 2 y 1 + α =− , D = (0, +∞) , 2 y Đồ thị của hàm số luôn luôn đi y qua A(1,1). 2) Hàm số mũ ya=>≠x ( a 0, a 1) a > 1 Dy = Hàm tăng a > 1, giảm 0 ≠loga ,( 0, 1)là hàm số ng−ợc của hàm số ya= , Dy = (0, +∞) Đồ thị luôn đi qua (1, 0) đối xứng với ya= x qua đ−ờng thẳng y = x. Tính chất. x log a = 1, log 1 = 0, log xy = log x + log y, log = log x - log y, a a a a a a y a a α loga b logax = α logax, b = a . 4) Hàm số l−ợng giác a) Hàm số y = sinx: TXĐ: , là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kỳ Tf = 2π, TGT: [-1,1]. b) Hàm số y = cosx: TXĐ: , là hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kỳ Tf = 2π, TGT: [-1,1]. 29
28. c) Hàm số y = tgx: ⎧⎫π TXĐ: \ ⎨⎬− kπ , là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kỳ Tf = π. ⎩⎭2 d) Hàm số y = cotgx: TXĐ: \ {kπ}, là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kỳ Tf = π. 5) Hàm số l−ợng giác ng−ợc. ⎡⎤π π a) y = arcsinx xác định và tăng nghiêm ngặt trên [-1, 1], TGT: − , . ⎣⎦⎢⎥22 b) y = arccosx xác định và giảm nghiêm ngặt trên [-1, 1], TGT: [0,π ]. ⎡ π π ⎤ c) y = arctgx xác định và tăng nghiêm ngặt trên R, TGT: − , . ⎣⎢ 22⎦⎥ d) y = arccotgx xác định và giảm nghiêm ngặt trên R, TGT: [0,π ]. 6) Các hàm số Hypebolic eex − − x eex + −x shx = , chx = 2 2 shx ex − e− x chx ex + e−x thx == , cthx == chx ex + e− x shx ex − e−x TXĐ: , trừ cthx (x ≠ 0). Tính chất. ch(x ± y) = chx.chy ± shx.shy sh(x ± y) = shx.chy ± chx.shy ch2x - sh2x = 1, ch2x = ch2x + sh2x, sh2x = 2shx.chx. 1.5.2. Hàm số sơ cấp Hàm số cho bởi công thức giữa các hàm số sơ cấp đơn giản với các phép toán +, -, x, :, 2 n Ví dụ. Hàm đa thức Pxnn( )=+ a01 axax + 2 ++ ax 30
29. 2 n aaxax01++ 2 ++ axn Hàm phân thức Qxn ()= 2 m bbxbx01++ 2 ++ bxm 2. Giới hạn của hàm số 2.1. Các khái niệm cơ bản 2.1.1. Giới hạn hữu hạn tại một điểm hữu hạn Định nghĩa 1. Cho tập X ⊆ và a ∈ . Ta nói rằng a là điểm tụ hay điểm giới hạn của tập X nếu trong mỗi lân cận (a - δ, a + δ) của điểm a với δ > 0 nhỏ tuỳ ý luôn tìm đ−ợc ít nhất một điểm của tập X khác a. Ví dụ. X = [a, b] thì mọi điểm ∈ [a, b] là điểm tụ của nó. X = [0, 1] ∪ {2} thì mọi điểm thuộc [0, 1] là điểm tụ của nó, 2 không là điểm tụ. Định nghĩa 2. Cho hàm số y = f(x) xác định trong miền X và a là một điểm tụ của nó. Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn hữu hạn bằng A khi x dần đến a nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x∈ X sao cho 0 0, chọn δ = thì (314x +− 0, ∃δ > 0, ∀x∈ X sao cho xa− k (hoặc f(x) < - k). 31
30. Kí hiệu. lim fx( ) =+∞ (hoặc lim fx( ) = −∞ ). xa→ xa→ 1 1 Ví dụ. lim =+∞. Thật vậy với K > 0 cho tr−ớc ta chọn δ = thì x→0 x2 K 11 >=K , ∀x sao cho x 0 nhỏ tuỳ ý ∃x0 > 0 sao cho fx( ) − A x0 (hoặc x 0 muốn có − 0 = x2 > hay x >=x . ε ε 0 2.1.4. Giới hạn vô cùng ở vô cùng Định nghĩa. Ta nói rằng hàm số y = f(x) có giới hạn bằng +∞ (hoặc -∞) khi x→ +∞ nếu với mỗi K > 0, ∃x0 sao cho f(x) > K (hoặc f(x) x0. Kí hiệu. lim fx( ) =+∞ (hoặc lim fx( ) = −∞ ). x→+∞ x→+∞ T−ơng tự ta định nghĩa lim fx( ) = ±∞ . x→−∞ ⎧ +∞ khi a > 1 Ví dụ. lim loga x = ⎨ . x→+∞ ⎩−∞ khi 0 0, ∃δ > 0, ∀x∈ X sao cho a < x < a + δ (hoặc a - δ < x < a) thì fx( ) −< A ε . Kí hiệu. f (afxA+=0lim) ( ) = (hay f (afxA− 0lim) ==( ) ). xa→+0 xa→−0 32
31. Tr−ờng hợp a = 0, ta viết x → + 0 hoặc x → - 0. T−ơng tự ta định nghĩa giới hạn 1 phía bằng ±∞ . Định lí 1.14. Để hàm số f(x) có giới hạn bằng A khi x → a, điều kiện cần và đủ là tồn tại giới hạn trái và giới hạn phải của hàm số tại điểm ấy và đều bằng A. Chứng minh. Ta chứng minh cho tr−ờng hợp giới hạn hữu hạn tại một điểm hữu hạn. Điều kiện cần: Giả sử limfx( ) = A⇔∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho xa→ fx( ) − 0, ∃δ1, δ2 > 0 sao cho a - δ1 < x < a ⇒ fx( ) − A< ε a < x < a + δ2 ⇒ fx( ) − A< ε . Chọn δ = min(δ1, δ2) ⇒ fx( ) − A< ε với 0 < xa−<δ tức là lim f ( xA) = . xa→ Ví dụ. limsignx = 1, limsignx = − 1, x→+0 x→−0 1 1 lim =+∞, lim = −∞ , x→+0 x x→−0 x limx −= 1 0 , không tồn tại limx − 1 . x→+10 x→−10 2.2. Tính chất và các phép toán trên giới hạn của hàm số Định lí 1.15. Để lim f ( xA) = điều kiện cần và đủ là mọi dãy {xn} các phần tử xa→ nằm trong miền X sao cho lim xn = a thì limf (xAn ) = . n→∞ n→∞ 33
32. Chứng minh. Ta chứng minh cho tr−ờng hợp giới hạn hữu hạn tại một điểm hữu hạn. Điều kiện cần: Giả sử lim f ( xA) = và {xn} là dãy các phần tử của X tiến xa→ dần tới a ⇔ ∀ε > 0, từ lim f ( xA) = ⇒ ∃δ > 0, sao cho xa− 0, ∃n0 ∈ N sao cho xn − ann δ , 0 (2). n→∞ Từ (1) và (2) ta có f ( xAn ) − ε, nn0 tức là limf (xAn ) = . n→∞ Điều kiện đủ: Giả sử hàm số f(x) không có giới hạn bằng A khi x → a. 1 1 Thế thì ∃ε0 > 0, với mỗi δ = tồn tại xn ∈ X: xa− < mà fx( ) −≥ A ε . n n n n 0 Điều đó chứng tỏ dãy xn → a nh−ng f(xn) → A mâu thuẫn giả thiết. Ta có điều phải chứng minh. Chú ý. 1) Định lý 1.15 đ−ợc phát biểu t−ơng tự cho giới hạn một phía. 2) Sử dụng định lý 1.15 ta có thể chuyển việc xét giới hạn của hàm số tại một điểm sang việc xét giới hạn của dãy hàm số. Khi chứng minh định lý về giới hạn của hàm số ta có thể suy ra từ định lý 1.15 và các định lý về giới hạn của dãy số. Định lý 1.16. Giới hạn (hoặc giới hạn trái, hoặc giới hạn phải) của hàm số tại một điểm nếu tồn tại là duy nhất. Định lý 1.17. Nếu hàm số có giới hạn hữu hạn tại một điểm thì tồn tại một lân cận của điểm ấy để hàm số bị chặn trong lân cận đó ⇔ hàm số y = f(x) xác định trên X và điểm a là điểm giới hạn của X. Nếu lim f (xl) = và A < l < B thì tồn xa→ tại một khoảng J chứa a sao cho ∀x∈ X∩ J và x ≠ a ta có A < f(x) < B 34
33. Định lý 1.18. Nếu lim f (xl) = và α 0 thì l ≥ 0, lim f (xl) = và f(x) B. Khi đó ∃δ> 0 sao cho f(x) xa→ xa→ > g(x), ∀x ∈(a - δ, a) ∪ (a, a + δ). Đặc biệt nếu lim f ( xC) > thì ∃δ > 0 để f(x) > C, ∀x∈(a - δ, a) ∪ (a, a + δ). xa→ ii) Giả sử f ( xgx) ≥ ( ) trong lân cận mở của điểm a và ∃lim f ( xA) = , xa→ lim gx( ) = B. Khi đó A ≥ B. xa→ iii) Giả sử f ( xgxhx) ≥≥( ) ( ) trong lân cận mở của điểm a là tồn tại limf ( xA) == lim hx( ) . Khi đó lim gx( ) = A. xa→→ xa xa→ Định lý 1.20 (các phép toán trên giới hạn của hàm số) Giả sử lim f ( xA) = và lim gx( ) = B với A, B ∈ R. Khi đó xa→ xa→ i) ∃lim f ( xA) = . xa→ ii) ∃limf ( xgxAB) ±=± ( ) . xa→ ( ) iii) ∃limf ( xgx) . ( )= AB . . xa→ ( ) fx( ) A iv) Nếu B ≠ 0 thì ∃lim = . xa→ gx() B Chú ý. Định lý 1.20 vẫn còn đúng khi a = ±∞ , cho giới hạn một phía. 2.3. Điều kiện tồn tại giới hạn của hàm số 2.3.1. Nguyên lý Bônxanô - Côsi đối với giới hạn của hàm số Định lý 1.21. Cho hàm số f(x) xác định trên X ⊂ . Để lim f ( xA) = ∈ xa→ điều kiện cần và đủ là ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x’, x”∈ X sao cho: xa'−<δ , xa"−<δ thì fx( '") −< fx( ) ε . 35
34. Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử lim f ( xA) = , ∀ε > 0, ∃δ > 0, xa→ ε ∀x’∈ X: xa'− ∃>0, 0 sao cho x’, x”∈ nn→∞ →∞ 3 ε X: xa'− 0, ∃n0 ∈ N sao cho ∀n > n0 ta có nn→∞ →∞ ε ε xa−<δ và ya−<δ và fx()− A< , fy()− A< . n n n 3 n 3 ⇒ A −=−−−−−B fx( nnnn) A( fx( ) fy( )) ( fy( ) B) ε εε ≤fx() −+ A fx() − fy () + fy() −<++= B ε nnnn333 Điều này vô lý. Định lý đ−ợc chứng minh. 2.3.2. Giới hạn vô định 36
35. sin x a) lim= 1. x→0 x x ⎛⎞1 1 b) lim⎜⎟ 1+= lim() 1 +=x x e. xx→∞⎝⎠x →0 loga ( xx++ 1) ln( 1) c) lim== loga e ,lim 1. xx→→00xx aexx−−11 lim== lna ,lim 1. xx→→00xx (11+−x)α d) lim = α . x→0 x 2.4. Đại l−ợng VCB và đại l−ợng VCL 2.4.1. Khái niệm về đại l−ợng VCB và VCL Định nghĩa 1. Cho hàm số y = α(x) xác định trên X và a là điểm giới hạn của X. Ta nói rằng α(x) là đại l−ợng VCB khi x → a nếu limα ( x) = 0 . xa→ α(x) là đại l−ợng VCB khi x → ±∞ nếu limα (x) = 0. x→±∞ Định nghĩa 2. Ta nói rằng α(x) là đại l−ợng VCL khi x → a nếu lim α ( x) =+∞, α(x) là đại l−ợng VCL khi x →±∞ nếu lim α ( x) =+∞. xa→ xa→ Ví dụ. α(x) = sinx là VCB khi x → 0. 1 α(x) = là VCL khi x → 0. x α(x) = xsinx không phải là VCB, không là VCL khi x → ±∞ . 2.4.2. Tính chất và các phép toán Định lý 1.22. i) Nếu α(x) và β(x) là hai VCB khi x → a thì f(x) = α(x) + β(x) là VCB khi x→ a. 37
36. ii) Nếu α(x) là VCB và β(x) là đại l−ợng bị chặn khi x→ a thì α(x).β(x) = γ(x) là VCB khi x → a. iii) Để lim f ( xA) = điều kiện cần và đủ là f(x) = A + α(x), với α(x) là xa→ VCB khi x → a. iv) Nếu α(x) là VCB, β(x) là đại l−ợng bị chặn khi x → a thì α(x) + β(x) = γ(x) là VCL khi x → a. v) Nếu α(x) và β(x) là hai VCL khi x → a thì α(x).β(x) = γ(x) là VCL khi x → a. 1 vi) Nếu α(x) là VCL khi x → a thì β ()x = là VCB khi x → a. α ()x 1 Nếu α(x) là VCB khi x→ a (α(x) ≠ 0) thì β ()x = là VCL khi x→ a α ()x 2.4.3. Phân loại các VCB α ( x) Định nghĩa. Cho α(x) và β(x) là hai VCB khi x → a. Giả sử ∃ lim = K . xa→ β ()x Khi đó: i) Nếu K = 0 thì ta nói rằng α(x) là VCB bậc cao hơn β(x) (hay β(x) là VCB bậc thấp hơn α(x)) khi x → a. Kí hiệu α(x) = o(β(x)) khi x → a. ii) Nếu K ≠ 0, 1, ±∞ thì ta nói rằng α(x) và β(x) là 2 VCB cùng bậc khi x → a. Kí hiệu α(x) = O(β(x)) khi x → a. iii) Nếu K = 1 thì ta nói rằng α(x) và β(x) là 2 VCB t−ơng đ−ơng khi x → a. Kí hiệu: α(x) ∼ β(x) khi x → a. β ( x) Chú ý. K = ±∞ thì lim= 0 thành thử β(x) là VCB bậc cao hơn α(x) khi xa→ α ()x x→ a. Định lý 1.23. Cho α(x), β(x) và γ(x) là các VCB khi x → a. Khi đó: 38
37. i) α(x) ∼ α(x) khi x → a. ii) Nếu α(x) ∼ β(x) và β(x) ∼ γ(x) khi x → a thì α(x) ∼ γ(x) khi x → a. iii) α(x) ∼ β(x) khi x → a khi và chỉ khi α(x) - β(x) = o(β(x)). Ví dụ. sinx ∼ x khi x → 0. tgx ∼ x khi x → 0. ex - 1 ∼ x khi x → 0 hay ex ∼ x + 1 khi x → 0. (1 + x)α - 1 ∼ αx khi x → 0. Nhận xét: Nếu α(x) ∼ α*(x) và β(x) ∼ β*(x) khi x → a thì: αα(x) * ( x) lim= lim . xa→→ββ()x xa * ()x x −−11 Ví dụ. I = lim . x→0 sin3x 1 Ta có: x −−11 ∼ x và sin3x ∼ 3x khi x → 0. 2 1 x 1 Từ đó I ==lim 2 . x→0 36x Định nghĩa. Cho α(x) và β(x) là 2 VCB khi x → a và tồn tại giới hạn β ( x) lim=≠C 0 thì ta nói rằng β(x) là VCB bậc k so với α(x) và C.αk(x) là xa→ α k ()x phần chính của VCB β(x). 1 Ví dụ. Phần chính của 1 - cosx khi x → 0 là x2 . 2 2 2 loga(x + 1) khi x → 0 là (logae)x . Đ3. Hμm số liên tục 1. Các khái niệm cơ bản 39
38. Định nghĩa 1. Cho hàm số y = f(x) xác định trong khoảng (a, b) và điểm x0 ∈(a, b). Hàm số đó đ−ợc gọi là hàm số liên tục tại điểm x0 nếu lim f ( xfx) = ( 0 ) . xx→ 0 ⇔ ∀>ε 0, ∃>δδε 0, ∀∈xabxx( ,) : −00 <ε ⇒ fxfx( ) −( ) <. ⇔ Nếu ta kí hiệu Δx = x - x0: số gia của biến số x, Δy = f(x) - f(x0) = f(x0 + Δx) - f(x0): số gia của hàm số tại x0. Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục tại x0 là limΔy = 0 . Δ→x 0 Định nghĩa 2. Hàm số y = f(x) đ−ợc gọi là hàm số liên tục trên (a, b) nếu nó liên tục tại mỗi điểm của khoảng đó. Định nghĩa 3. Cho hàm số y = f(x) xác định trên [a, b]. Hàm số đó đ−ợc gọi là liên tục trái tại điểm b (hoặc liên tục phải tại điểm a) nếu limf ( xfb) =−=( 0) fb( ) (hoặc limf ( xfa) = ( += 0) fa( ) ). xb→−0 xa→+0 Hàm số liên tục trái (hoặc liên tục phải) tại một điểm x0 thì đ−ợc gọi là hàm số liên tục một phía tại điểm đó. ⎧ 1 ⎪xxsin khi ≠ 0 Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số fx()= ⎨ x ⎩⎪0 khi x = 0 tại điểm x0 = 0 Giải. Ta có f(0) = 0. 1 limfx()==⇒= lim x .sin 0 lim fx() f () 0 xx→→00x x → 0 ⇒ hàm số liên tục tại điểm x0 = 0. Ví dụ 2. Xét tính liên tục phải và trái của hàm số: ⎧ xx2 khi ≥ 1 fx()= ⎨ tại x0 = 1. ⎩3x+1 khi x < 0 40
39. Giải. Ta có f(1) = 1. limf ( xx) ==⇒= lim2 1 lim fxf( ) ( 1) xx→+10 →+ 10 x →+ 10 ⇒ Hàm số liên tục phải tại x0 = 1. limf ( xx) =+=⇒≠ lim (3 1) 4 lim fxf( ) ( 1) xx→−10 →− 10 x →+ 10 ⇒ Hàm số không liên tục trái tại x0 = 1. Định lý 1.24 Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục tại điểm x0 là nó liên tục phải và liên tục trái tại điểm đó. Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử hàm số f(x) liên tục tại x0 ⇒ lim f ( xfx) = ( 0 ) xx→ 0 ⇔==limf ( xfxfx) lim ( ) ( 0 ). Suy ra hàm số liên tục phải tại x0 và liên xx→+0000 xx →− tục trái tại x0. Điều kiện đủ: Giả sử hàm số liên tục phải và liên tục trái tại điểm x0. Khi đó ta có: limfx( ) =+= fx( 00 0) fx( )⎫ xx→+0 0 ⎪ ⎬ ⇒=lim f ()xfx (0 ) xx→ limfx()=−= fx (00 0 ) fx ( )⎪ 0 xx→−0 0 ⎭ ⇒ Hàm số liên tục tại x0. Định nghĩa 4. Hàm số y = f(x) xác định trong khoảng (a, b). Hàm số này đ−ợc gọi là hàm số gián đoạn tại điểm x0 ∈ [a, b] nếu nó không liên tục (hoặc không liên tục một phía) tại điểm đó. Phân loại điểm gián đoạn: a) Hàm số f(x) đ−ợc gọi là gián đoạn loại 1 tại x0 nếu f(x) gián đoạn tại x0 nh−ng ∃ f(x0 + 0), f(x0 - 0). Đặc biệt f(x0 + 0) = f(x0 - 0) ≠ f(x0) thì x0 gọi là điểm giới hạn bỏ đ−ợc. b) Hàm số y = f(x) gián đoạn tại x0 nh−ng không gián đoạn loại 1 thì ta nói rằng hàm số y = f(x) gián đoạn loại 2 tại x0. 41
40. fx( 00+−00) fx( −) đ−ợc gọi là b−ớc nhảy. ⎧sinx ⎪ khi x ≠ 0 Ví dụ. fx()= ⎨ x ⎩⎪ 0 khi x = 0 sin x f(0) = 0 và limfx()= lim= 1 ⇒ giới hạn bỏ đ−ợc tại x = 0. xx→→00x 2. Phép toán trên các hàm số liên tục Định lý 1.25 (các phép toán trên hàm số liên tục). Giả sử các hàm số f(x) và g(x) liên tục tại x0, khi đó các hàm số: i) f ( x) liên tục tại x0 ii) f(x) ± g(x) liên tục tại x0 iii) f(x).g(x) liên tục tại x0 f ()x iv) liên tục tại x nếu g(x ) ≠ 0. gx() 0 0 Định lý 1.26. (liên tục của hàm hợp). Giả sử hàm số y = f(x) liên tục tại x0 và z = g(y) liên tục tại y0 = f(x0). Khi đó hàm hợp z = g(f(x)) liên tục tại x0. Chú ý. Trong định lý 1.25, 1.26 ta thay “liên tục” bằng “liên tục trái” hoặc “liên tục phải” ta đ−ợc định lí về sự liên tục một phía. Định lý 1.27 (về tính liên tục của hàm số đơn điệu). Giả sử hàm số f(x) tăng nghiêm ngặt (hoặc giảm nghiêm ngặt) trên đoạn [a, b] và biến đoạn [a, b] lên đoạn [c, d], tức là f([a, b]) = [c, d]. Khi đó hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b]. Chứng minh. Giả sử f(x) tăng nghiêm ngặt trên [a, b], chọn x0 tuỳ ý thuộc [a, b]. Ta chứng minh hàm số f(x) liên tục phải tại x0. Thật vậy, do f(x) tăng nghiêm ngặt nên y0 = f(x0) ∈ [c, d]. Với ∀ε>0, đặt y1 = y0 + ε ∈[c, d]. Thế thì ∃x1 ∈ [a, b] sao cho y1 = f(x1). Đặt δ = x1 - x0, thế thì 0 < x - x0 < δ , ta có f(x0) < f(x) < f(x1) hay 0 < f(x) - f(x0) < f(x1) - f(x0). 42
41. ⇒ fx( ) − 0. Ta chia đoạn [a, b] bởi điểm chia . 2 ⎛⎞ab+ ab+ Nếu f ⎜⎟= 0 thì c = là điểm phải tìm. ⎝⎠2 2 ⎛⎞ab+ ab+ Ng−ợc lại f ⎜⎟≠ 0. Khi đó tại đầu mút 1 trong 2 đoạn [a, ] ⎝⎠2 2 ab+ hoặc [ , b], hàm số f(x) nhận giá trị trái dấu nhau. 2 Ta kí hiệu đoạn đó là [a1, b1]. Thế thì f(a1) 0. Lại chia đôi [a1, b1] và lý luận nh− trên ta đ−ợc [a2, b2]: f(a1) 0. Tiếp tục cách chia nh− trên đến b−ớc chia thứ n ta đ−ợc [an, bn], trong đó ba− f(an) 0 (1) và [an, bn] ⊂ [an-1, bn-1] , lim()bann− == 0 . Theo n→∞ 2n bổ đề Căngto về dãy các đoạn lồng thắt tồn tại duy nhất điểm c ∈ [an, bn], ∀n, 43
42. tức là c ∈[a, b] sao cho limabcnn= lim = . Mặt khác vì f(x) liên tục, cho nên nn→∞ →∞ limf (afcn )= ( ) và limf (bfcn )= ( ) . n→∞ n→∞ Theo (1) và áp dụng định lý về so sánh trong giới hạn ta có f(an) 0 ⇒ g(c) ≥ 0. ⇒ g(c) = 0, vì f(a).f(b) < 0 nên c ≠ a, b, tức là ∃c ∈(a, b): f(c) = 0. ý nghĩa hình học: Nếu f là đ−ờng cong liên tục, trong đó 2 đầu mút của nó nằm về 2 phía của trục hoành thì đ−ờng cong đó cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm. Định lý 1.29 (Bônxanô - Côsi II) Giả sử hàm số f(x) liên tục trên [a, b], f(a) =A, f(b) = B. Khi đó f(x) nhận mọi giá trị trung gian giữa A và B. Chứng minh. Giả sử A < B. Ta phải chứng minh với số C bất kì mà A < C < B thì ∃ c ∈ (a, b) sao cho f(c) = C. Đặt F(x) = f(x) - C, hàm số F(x) liên tục trên [a, b] và F(a).F(b) = [f(a) - C].[f(b) - C] = (A - C)(B - C) < 0. Suy ra ∃c ∈ (a, b) sao cho F(c) = 0, tức là f(c) - C = 0 hay f(c) = C (đpcm). Hệ quả. Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a, b] thì nó nhận mọi giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của nó trên đoạn đó. Ví dụ. Chứng minh rằng ph−ơng trình ex + sinx = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc ⎛⎞π π ⎜⎟− , . ⎝⎠22 Định lý 1.30 (Wâyơstrat I) Nếu hàm số f(x) liên tục trên một đoạn thì f(x) bị chặn trên đoạn đó. Chứng minh. Giả sử hàm số f(x) không bị chặn trên đoạn [a, b], thế thì ∀n, ∃xn∈[a, b] sao cho f(xn) ≥ n. (1) 44
43. Ta có {x } bị chặn, theo định lý Bônxanô - Côsi, ∃ dãy con x hội tụ n { nk } đến c ∈[a, b]. Vì f(x) liên tục cho nên lim f xfc= (2). Mặt khác từ (1) ta ( nk ) ( ) nk →∞ có lim fx =+∞ (3). Từ (2) và (3) ⇒ f(c) = + ∞, điều này vô lý. Vậy f(x) bị ( nk ) nk →∞ chặn trên. T−ơng tự ta chứng minh f(x) bị chặn d−ới trên [a, b]. Định lý 1.31 (Wâyơstrat II). Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a, b] thì nó đạt đ−ợc giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó (tức là ∃x1, x2 ∈[a, b]: f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2), ∀x∈[a, b]). Chứng minh. áp dụng định lý 1.29 suy ra f(x) bị chặn trên [a, b] tức là sup fx( ) =∈ M và inf fx( ) = m∈ . Nếu ∃ x1, x2∈ [a, b] sao cho axb≤≤ axb≤≤ f(x1) = m, f(x2) = M thì định lý chứng minh xong. Giả sử f(x) 0 1 sao cho F(x) ≤ M*, ∀x∈[a, b] ⇒ f(x) ≤ M - m, ∀x∈[a, b] ⇒ ∃x1∈[a, b] sao cho f(x1) = min f ( x). xab∈[], Chú ý. Các định lý trên không còn đúng nữa nếu thay giả thiết “liên tục trên một đoạn” thành giả thiết khác. 1 Ví dụ: f(x) = liên tục trên (0, 1) nh−ng không bị chặn trên (0, 1). x 45
44. 4. Liên tục đều 4.1. Định nghĩa. Hàm số y = f(x) đ−ợc gọi là liên tục đều trên [a, b] (hay trong khoảng (a, b)) nếu với số ε > 0 cho tr−ớc, ∃δ > 0 sao cho với 2 điểm x’, x” ∈ [a, b] (hay (a, b)) mà xx'"− 0, ∃δ = ε thì ∀x’, x” ∈ mà xx'"− = 1ε ⎝⎠⎝⎠⎝⎠2224nnnn ⇒ Hàm số không liên tục đều trên (0, + ∞). 4.2. Định lý 1.32 (Định lý Canto): Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì nó liên tục đều trên đoạn đó. Chứng minh: Nếu hàm số f(x) không liên tục đều trên [a, b], thế thì ∃ε > 0 sao cho với mỗi số δ > 0 bất kỳ tồn tại 2 điểm x, x’ ∈ [a, b] mà x−<⇒ x'()(')δ fx − fx ≥ε . Ta lấy dãy số d−ơng {δn} sao cho δn → 0 khi n → ∞. Với mỗi δn này (n = 1, 2, ) sẽ cho 2 điểm xn, xn’ ∈ [a, b] mà xxnn−<⇒'()(')δ fxfx n − n ≥ε (1). Theo định lý Bôxanô - Côsi từ dãy {xn} bị chặn có thể rút ra đ−ợc một dãy con hội tụ x →∈xab, khi n → ∞. nk 0 [ ] k 46
45. Mặt khác, vì xx− 0 + Hàm số y = xα liên tụctrên TXĐ + Hàm số y = sinx, y = cosx liên tục trên y = tgx liên tục với ∀x π ≠+kπ , y = cotgx liên tục với ∀x ≠ kπ . 2 + y = arcsinx, y = arccosx liên tục ∀x∈[-1, 1] y = arctgx, y = arccotgx liên tục ∀x ∈ R. + Hàm số Hypebolic liên tục ∀x ∈ trừ hàm cthx liên tục với ∀x ≠ 0. 5.2. Tính liên tục của hàm số sơ cấp. Các hàm số sơ cấp liên tục trên TXĐ của chúng. 5.3. áp dụng tính một số giới hạn dạng vô định loga ( x + 1) 1) lim= loga e x→0 x 47
46. 1 loga (x + 1) Theo tính chất của hàm số lôgarít ta có: =+log()x 1 x . x a 1 x Ta có lim()x += 1 e , hàm số y = logau liên tục tại u = e. x→0 áp dụng định lý về sự liên tục của hàm hợp ta có 1 loga ( x + 1) x lim=+= limlogaa()x 1 log e . xx→→00x a x −1 2) lim= ln a . x→0 x ayx −111 Ta có: lim== lim == ln a . xy→→00 xylog() 1+ loga () 1 + y log e aalim y→0 y (11+−x)α 3) lim = α . x→0 x α (11+−xx) eeααln() 1++xx−−11 ln() 1 α ln1( +) Ta có lim= lim== lim . α . xxx→→→000xxα ln() 1 + xx 48
47. Ch−ơng 2. Phép tính vi phân của hμm số một biến số Đ1. Đạo hμm 1. Khái niệm về đạo hàm, đạo hàm một phía 1.1. Khái niệm về đạo hàm Định nghĩa. Cho hàm số y = f(x) xác định trong (a, b) và x0 ∈ (a, b). Cho x0 một số gia Δx (Δx = x - x0) và x0 + ⏐Δx⏐ ∈ (a, b). Gọi Δy = f(x) - f(x0) = f(x + Δx) - f(x0) là số gia của hàm số t−ơng ứng. Lập tỷ số giữa số gia của hàm số trên số gia của đối số. Nếu tỷ số đó có giới hạn hữu hạn khi Δx dần tới 0 thì ta nói rằng hàm số y = f(x) có đạo hàm hữu hạn tại x0 và gọi giá trị giới hạn hữu hạn đó là đạo hàm của hàm số tại x0. Kí hiệu f’(x0) hay ⎡⎤fx ' . ⎣⎦( ) x=x0 fx( 00+Δ x) − fx( ) fx( ) − fx( 0) Ta có lim== limf '()x0 . Δ→xx00 Δ→ Δ−xxx0 Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số y = 2x2 + 1 tại x = 1. + Cho x = 1 một số gia Δx: Δx = x - 1 2 + Δ = f(x0 + Δx) - f(x0) = f(1 + Δx) - f(1) = 2(1 + Δx) + 1 - 3 = 2 + 4Δx + 2Δx2 - 2 = 2Δx(2 + Δx) Δy 22Δ+Δxx( ) + ==+Δ22()x ΔΔxx Δy 22Δ+Δxx( ) + lim== lim 4 ⇒ y’(1) = 4. Δ→xx00ΔΔxx Δ→ Ta có thể tính nh− sau: fx( ) − f(1) 21322xx22+ −− y '() 1=== lim lim lim xxx→→→111x −−−111xx 49
48. 2(xx+− 1)( 1) ==+=lim lim 2()x 1 4 xx→→11x −1 ý nghĩa hình học của đạo hàm. Tr−ớc hết ta đi vẽ tiếp tuyến của đ−ờng cong. Cho đ−ờng cong (C) và điểm T thuộc (C). Ta lấy trên đ−ờng cong (C) điểm M ≡ T, và kẻ cát tuyến TM, cho M chạy trên đ−ờng cong (C) thì cát tuyến đó quay quanh điểm T. Ta gọi tiếp tuyến với đ−ờng cong (C) tại điểm T là vị trí giới hạn của cát tuyến TM, khi điểm M di chuyển trên (C) đến trùng với T. Ta xét đ−ờng cong (C) là đồ thị của hàm số y = f(x), trong đó hàm số f(x) có đạo hàm tại x0. Gọi T(x0, f(x0)), M(x0 + Δx, f(x0 + Δx)) ≡(x0 + Δx, y0 + Δy), α là góc hợp bởi cát tuyến TM với chiều d−ơng của trục hoành, ϕ là góc hợp bởi cát tuyến TM với chiều d−ơng của trục hoành. y Δy Ta có = tgϕ khi Δx → 0 thì ϕ → α M Δx y0 + Δy Δy ⇒ f 'limlim()xtgtg0 ===ϕ α T Δ→x 0 Δx ϕα → y0 ⇒ Đạo hàm của hàm số tại một α ϕ x O 0 x0 + Δx x điểm là hệ số góc của tiếp tuyến với đ−ờng cong y = f(x) hợp với chiều d−ơng của trục hoành tại điểm đó. 1.2. Khái niệm đạo hàm một phía Định nghĩa. Cho hàm số y = f(x) xác định trong [a, b) (hoặc (a, b] và x0 ∈ [a, b), hoặc x0∈(a, b]). Ta nói rằng hàm số có đạo hàm phải (hoặc đạo hàm trái) f ( xxfx00+ Δ−) ( ) hữu hạn tại x0 nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim (hoặc Δ→+x 0 Δx f ( xxfx+Δ) − ( ) lim 00). Ta sẽ gọi giá trị giới hạn đó là đạo hàm phải (hoặc Δ→−x 0 Δx đạo hàm trái) của hàm số tại điểm x0 và kí hiệu f’+(x0) (hoặc f’-(x0)). 50
49. Định nghĩa. Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a, b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng đó. Định lý 2.1 (Quan hệ giữa đạo hàm và đạo hàm một phía). Để hàm số f(x) có đạo hàm tại x0, điều kiện cần và đủ là hàm số có đạo hàm phải bằng đạo hàm trái tại điểm đó. Trong tr−ờng hợp đó f’(x0) = f’+(x0) = f’-(x0). Chứng minh. fx( 00+ Δ− x) fx( ) Hàm số có đạo hàm tại x0 : f’(x0) ⇔∃lim = f '()x0 Δ→x 0 Δx f ( xxfx00+Δ) − ( ) ⇔ ∃=fx'lim+ ()0 Δ→+x 0 Δx fx( 00+Δ x) − fx( ) ==limf− '()x0 Δ→−x 0 Δx và f’(x0) = f’+(x0) = f’-(x0). Ví dụ. Tính đạo hàm trái và phải tại x = 0 của hàm số ⎪⎧ 2x khi x ≥ 0 fx()= ⎨ ⎩⎪2xx+< 1 khi 0 fx( ) − f(0) 21x − f '0+ ()=== lim lim ln2 xx→+00x − 0 →+ x fx( ) − f(0) 211x +− f '0− ()=== lim lim 2 xx→−00x − 0 →+ x ff'0−+( ) ≠⇒∃ '0( ) f '0( ) . Bảng công thức tính đạo hàm: 1) y = C, C ∈ ⇒ y’ = 0 α α - 1 2) y = x , α ∈ ⇒ y’ = αx 1 1 1 Đặc biệt: α = ⇒ y’ = , α = -1 ⇒ y’ = − . 2 2 x x2 3) y = ax ⇒ y’ = axlna; y = ex ⇒ y’ = ex 51
50. log e 1 4) y = log x ⇒ y’ = a ; y = lnx ⇒ y’ = a x x 5) y = sinx ⇒ y’ = cosx; y = cosx ⇒ y’ = -sinx 1 1 y = tgx ⇒ y’ = ; y = cotgx ⇒ y’ = − cos2 x sin2 x 1 1 6) y = arcsinx ⇒ y’ = ; y = arccosx ⇒ y’ = − 1− x2 1− x2 1 1 y = arctgx ⇒ y’ = ; y = arccotgx ⇒ y’ = - 1+ x2 1+ x2 7) Hàm Hypebolíc Định lý 2.2 (Quan hệ giữa đạo hàm và liên tục). Nếu hàm số có đạo hàm tại một điểm thì nó liên tục tại điểm ấy. Chứng minh. Giả sử f(x) có đạo hàm hữu hạn f’(x0) tại x0, có ý nghĩa tồn tại giới fx( 00+Δ x) − fx( ) hạn hữu hạn lim= f '()x0 Δ→x 0 Δx Theo định lý 1.19, tồn tại lân cận điểm x0 sao cho fx( +Δ x) − fx( ) 00≤ C trong lân cận đó, với C là hằng số. Từ đó Δx Δ=+Δ−≤Δf ( xfxxfxCx00) ( ) ( 0) . Chuyển qua giới hạn khi Δx → 0 ta có limΔ=fx( 0 ) 0. Vậy hàm số liên tục tại x0. Δ→x 0 Chú ý. + Hàm số liên tục tại một điểm ch−a chắc ∃ đạo hàm tại điểm ấy. Ví dụ. y = ⏐x⏐ liên tục tại x = 0 nh−ng không tồn tại đạo hàm tại x = 0. + T−ơng tự ta phát biểu định lí về mỗi liên hệ giữa liên tục một phía và đạo hàm một phía. 2. Các quy tắc lấy đạo hàm 52
51. 2.1. Các phép toán trên đạo hàm Định lý 2.3. Giả sử các hàm số f(x) và g(x) có đạo hàm hữu hạn tại x0. Khi đó i) Hàm số f(x) ± g(x) có đạo hàm hữu hạn tại x0 và []fg± / = f’(x ) + g’(x ) x=x0 0 0 ii) Hàm C.f(x) có đạo hàm tại x và [.cf ]/ = C.f’(x ) 0 x=x0 0 iii) Hàm f(x)g(x) có đạo hàm tại x0 và [.]fg/ = f’(x ).g(x ) + f(x ).g’(x ) x=x0 0 0 0 0 f ( x) iv) Nếu g(x ) ≠ 0 thì hàm số có đạo hàm tại x và 0 gx() 0 ' ⎡⎤fx() f '.()()xgx− fxgx ()() .' = 00 0 0 ⎢⎥ 2 gx() gx()0 ⎣⎦xx= 0 Chứng minh. Chứng minh bằng định nghĩa và định lí các phép toán của giới hạn. Δ( fxgx( ). ( ))( x0 ) ΔΔf ( xgx) ( ) iii) Xét =+Δ+gx() x 00 f() x ΔΔΔx 00xx Ta có lim gx( 00+Δ x) = gx( ) Δ→x 0 Δ( fxgx( ). ( ))( x0 ) ⇒[]f .'ggxfxfxgxxx= ==+ lim()00 .' () () 00 .' () 0 Δ→x 0 Δx Chú ý. Phát biểu t−ơng tự ta có định lí về các phép toán trên đạo hàm một phía. 2.2. Đạo hàm của hàm hợp Định lý 2.4. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x0) tại x0 và z = g(y) có đạo hàm g’(y0) tại y0 = f(x0). Khi đó hàm hợp z = h(x) = g(f(x)) có đạo hàm tại x0 và z’(x0) = g’(y0).f’(x0). Δz zx( +Δ x) − zx( ) gfx( ( 00+Δ x)) − gfx( ( )) Chứng minh. Ta có ==00 ΔΔx xx Δ 53
52. gfx( ( 00+Δ x)) − gfx( ( )) gy( ) − gy( 0 ) =lim== limgy '()0 (1) Δ→xyy0 → fx()()00+Δ x − fx0 y − y 0 Đặt y = f(x0 + Δx), y0 = f(x0). Khi đó y → y0 khi Δx → 0. Ta có gfx( ( 00+Δ x)) − gfx( ( )) gy( ) − gy( 0 ) lim== limgy '()0 (2) Δ→xyy0 fx()()00+Δ x − fx →0 y − y 0 fx( 00+Δ x) − fx( ) lim= f '()x0 Δ→x 0 Δx (3) Δz Từ (1), (2) và (3) ⇒ lim= gy '()()00 . f ' x . Δ→x 0 Δx Ví dụ. y = sin100x ⇒ y’ = 100.sin99x.cosx 2.3. Đạo hàm của hàm số ng−ợc Định lý 2.5. Giả sử hàm số y = f(x) đơn điệu nghiêm ngặt và liên tục trong (a, -1 b) và có đạo hàm f’(x0) ≠ 0 tại x0 ∈ (a, b). Khi đó hàm ng−ợc x = f (y) có đạo /1− 1 hàm tại y0 = f(x0) và x’(y0) = f (y0) = . f '()x0 Chứng minh. Theo hệ quả của định lý 1.27 tồn tại hàm ng−ợc x = f-1(y) liên tục và đơn điệu nghiêm ngặt trong (c, d) = f((a, b)). Vì hàm số f và f-1 đều đơn điệu Δx 1 nghiêm ngặt ta có = Δy Δy Δx Do f và f-1 đều liên tục cho nên khi Δy → 0 thì Δx → 0, do đó Δx 11 1 fy−1 'limlim=== ()0 ΔΔyy Δ→yx00Δyfx Δ→ lim '()0 Δx Δ→x 0 Δx 1 π π áp dụng chứng minh công thức (arcsinx)’ = với x ∈ [- , ] 1− x2 2 2 54
53. 11 1 1 Ta có y’ = == = . ()sinyy ' cos 1sin− 22yx 1− 3. Đạo hàm vô cùng Định nghĩa. Ta nói rằng hàm số y = f(x) có đạo hàm bằng +∞ (hoặc −∞ ) tại Δy fx( 00+ Δ− x) fx( ) điểm x0 ∈ (a, b) nếu ∃=lim lim =+∞ (hoặc −∞ ). Δ→xx00ΔΔxx Δ→ T−ơng tự ta định nghĩa đạo hàm bằng ±∞ . Ví dụ. yxy==+∞3 ,'0( ) y==+∞ signx,'0 y + ( ) Đ2. Vi phân 1. Khái niệm về vi phân của hàm số 1.1. Định nghĩa. Cho hàm số y = f(x) xác định trong khoảng (a, b). Ta nói rằng hàm số f(x) có vi phân (khả vi) tại x0 ∈ (a, b) nếu tồn tại số thực A sao cho với Δx đủ nhỏ để x0 + Δx ∈ (a, b), ta có đăng thức Δy =Δfx( 0 ) = Ax. Δ + o( Δ x) ox(Δ ) trong đó → 0 khi Δx → 0. Δx Biểu thức A. Δx ta sẽ gọi là vi phân của hàm số và kí hiệu là dy hoặc df(x0). 1.2. Liên hệ giữa khả vi và đạo hàm. Hàm số khả vi ⇔ hàm số có vi phân. Định lý 2.6. Để hàm số y = f(x) khả vi tại x0, điều kiện cần và đủ là nó có đạo hàm hữu hạn tại điểm đó và trong tr−ờng hợp này Δf(x0) = f’(x0). Δx + 0(Δx), tức là dy = df(x0) = f’(x0). Δx. Chứng minh. 55
54. Điều kiện cần. Giả sử f(x) khả vi tại x0, tồn tại A ∈ sao cho Δy Δy ox(Δ ) ox(Δ ) = Δf(x ) = A.Δx + o(Δx) hay =+A trong đó → 0 khi Δx → 0 Δx Δx Δx 0. Δy Chuyển qua giới hạn cả hai vế khi Δx → 0 ta đ−ợc f 'lim()xA0 == Δ→x 0 Δx ⇒ Hàm số tồn tại đạo hàm tại x0. Điều kiện đủ. Giả sử f có đạo hàm f’(x0) tại x0. Theo định lý 1.22 ta Δy có =+Δf '()xxα () trong đó α (Δx) là VCB khi Δx → 0. Δx 0 Chọn A = f’(x0) ta có điều phải chứng minh. Chú ý. Hàm số y =x có dx = Δx. Vì vậy ta th−ờng viết dy = f’(x0)dx hay dy fx'()= . 0 dx 1.3. ý nghĩa hình học của vi phân Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì f’(x0) = tgα. Theo định lý 2.6 ta có IT ' IT ' dy = f’(x ).dx = tgα. dx = dx = dx = IT’ 0 IT dx Suy ra vi phân của hàm số y = f(x) tại x0 ứng với số gia Δx là độ dài đại số đoạn IT’ trên hình vẽ. 1.4. Công thức tính gần đúng Ta có Δy = f(x0 + Δx) – f(x0) = f’(x).Δx. Khi Δx khá nhỏ thì Δy ≈ f’(x). Δx Ta gọi f’(x). Δx là biểu thức tuyến tính đối với Δx, gọi là vi phân chính của Δy nếu f’(x) ≠ 0. Công thức tính gần đúng f(x0 + Δx) ≈ f’(x0). Δx + f(x0). 56
55. Ví dụ. Biết ln2 tính gần đúng ln2,001 0001, ln(2 + 0,001) = + ln2 2 2. Các quy tắc lấy vi phân Dựa vào quy tắc tính đạo hàm và định lý 2.6 ta nhận đ−ợc các quy tắc tính vi phân: d(f ± g) = df ± dg d(k. f) = k. df , k ∈ . d(f. g) = f.dg + g.df f gdf− fdg d()= , (g(x0) ≠ 0) g g2 3. Tính bất biến của dạng thức vi phân Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x0) tại x0 và hàm số z = g(y) xác định trong lân cận của y0 = f(x0) và có đạo hàm hữu hạn tại y0 = f(x0). Theo định lý về đạo hàm hợp thì hàm số z = g(f(x) có đạo hàm tại x0. Theo định lý 2.6 thì vi phân của z đối với biến y: dz = g’(y0) dy (1) vi phân của y đối với biến x: dy = f’(x0) dx (2) vi phân của z đối với biến x: dz = g’(y0).f’(x0) dx (3) Từ (1), (2) và (3) ta có vi phân của hàm số z trong cả 2 tr−ờng hợp (coi là hàm đối với biến y hay biến x) ta đều có dz = g’(y0) dy = g’(y0).f’(x0) dx. Tính chất trên đây ng−ời ta gọi là tính chất bất biến của dạng thức vi phân. 4. Đạo hàm và vi phân cấp cao 4.1. Đạo hàm cấp cao Định nghĩa. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) tại mọi điểm thuộc khoảng [a, b]. Khi đó g(x) = f’(x) lại là một hàm số xác định trong (a, b). Nếu hàm số g(x) có đạo hàm g’(x0) tại x0 ∈(a, b) thì ta gọi đạo hàm g’(x0) là đạo hàm cấp 2 của hàm số f(x) tại x0 ∈ (a, b). 57
56. Ký hiệu: f’’(x0) hay y’’(x0). T−ờng tự định nghĩa đạo hàm cấp n của hàm số f(x) tại điểm x0 là đạo (n) (n) hàm cấp n - 1 của hàm số đó tại điểm x0. Ký hiệu f (x0) hay y (x0) (0) Quy −ớc: f (x0) = f(x0) 2 2 Ví dụ. y = e−x , y’’ = ().42x2 − e−x Công thức đạo hàm cấp n y = xα ⇒ y(n) = α(α - 1) (α - n + 1). xα - n y = ex ⇒ y(n) = ex ()!n −1 y = lnx ⇒ y(n) = ()−1 n−1 xn nπ y = sinx ⇒ y(n) = sin(x + ) 2 nπ y = cosx ⇒ y(n) = cos(x + ) 2 Định lý 2.7. (các phép toán trên đạo hàm cấp cao). Giả sử hàm số f(x) và g(x) có đạo hàm cấp n - 1 tại mọi điểm trong khoảng (a, b) và có đạo hàm cấp n tại x0 thuộc khaỏng đó. Khi đó i) c.f có đạo hàm cấp n tại x và [c. f(x)] ()n = c. f(n)(x ) 0 x=xo 0 ii) f ± g có đạo hàm cấp n tại x và [f(x) ± g(x)] ()n = fn)(x ) ± g(n)(x ) 0 x=xo 0 0 iii) f. g có đạo hàm cấp n tại x0 và ta có n [f(x). g(x)] ()n = Cfii()(). x g ( ni− ) () x x=xo ∑ no o i=0 n! trong đó Ci = công thức Lepnit cho đạo hàm cấp n n in!(− i )! Ví dụ. y = x2. sinx. Tính y(20) 58
57. 4.2. Vi phân cấp cao T−ơng tự nh− đạo hàm cấp cao, ta có định nghĩa vi phân cấp 2 của hàm số tại một điểm là vi phân của của vi phân cấp 1 tại điểm đó. 2 2 Ký hiệu d y = d(dy) hay d f(x0). Bằng quy nạp ta định nghĩa vi phân cấp n của hàm số tại một điểm là vi phân của vi phân cấp n-1 của hàm số tại điểm đó. Ký hiệu dn y. Chú ý. 1) Khi tính vi phân cấp cao ta phải coi dx là một số tuỳ ý không phụ thuộc biến x, tức là xem nó nh− là một hằng số d2 y = d(dy) = d(y’dx) = dy’. dx = y” dx2. T−ơng tự dn y = y(n) dxn. 2) Dựa vào định lý 2.7 ta có thể xác định đ−ợc công thức tính vi phân cấp cao. Đ3. Các định lý cơ bản của phép tính vi phân 1. Các định lý về giá trị trung bình Định nghĩa. Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền X, ta nói rằng f(x) đạt cực đại (hoặc cực tiểu) địa ph−ơng tại x0 ∈ X, nếu ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ X ∩ (x0 - δ, x0 + δ) ta luôn có f(x) ≤ f(x0) (hoặc f(x) ≥ f(x0)). Hàm số đạt cực đại, cực tiểu địa ph−ơng gọi chung là hàm số đạt cực trị địa ph−ơng tại x0. Điểm x0 đ−ợc gọi là điểm cực trị của hàm số. Chú ý. Nếu ∀x ∈ X ∩ (x0 - δ, x0 + δ): f(x) f(x0)) thì ta nói rằng f đạt cực trị địa ph−ơng nghiêm ngặt tại x0. Định lý 2.8. (Bổ đề Fécma). Giả sử hàm số f(x) xác định trong (a, b) và đạt cực trị địa ph−ơng tại x0 ∈ (a, b). Khi đó nếu tại x0 hàm số có đạo hàm f’(x0) thì f’(x0) = 0 59
58. Chứng minh. Giả sử hàm số f(x) đạt cực đại địa ph−ơng tại x0 khi đó ∃δ > 0 sao cho f(x) ≤ f(x0), ∀x ∈ (x0 - δ, x0 + δ). f ()xfx− (0 ) Nh− vậy ≤ 0 với x ∈ (x0, x0 + δ) xx− 0 / fx()− fx (0 ) ⇒ fx+ (0 )=⊇ lim ≤ 0 (1) xx→ 0 xx− 0 f ()xfx− (0 ) T−ơng tự ≥ 0, ∀x ∈ (x0 - δ, x0) xx− 0 / f ()xfx− (0 ) ⇒ fx− (0 )= lim ≥ 0 (2) xx→ 0 xx− 0 Từ giả thiết hàm f(x) khả vi tại x0 và từ (1), (2) ta có / / 0 ≤ f+ ()x0 = f− ()x0 ≤ 0 ⇒ f’(x0) = 0 Chú ý. 1) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu địa ph−ơng không nhất thiết phải có đạo hàm tại điểm đó. Ví dụ. y = ⏐x⏐ đạt cực tiểu địa ph−ơng tại x = 0 nh−ng tại x = 0 không có đạo hàm 2) Trong (a, b) hàm f(x) chỉ có thể đạt cực trị địa ph−ơng tại những điểm không khả vi hoặc tại những điểm khả vi và tại đó đạo hàm triệt tiêu gọi là điểm tới hạn. Định lý 2.9 (Định lý Rôll về giá trị trung bình). Giả sử hàm số y = f(x) thoả mãn i) f(x) liên tục trên [a, b] ii) Tồn tại đạo hàm f’(x) tại mọi điểm x ∈(a, b) iii) f(a) = f(b) Khi đó tồn tại điểm c ∈ (a, b) sao cho f’(c) = 0 60
59. Chứng minh. Vì f(x) liên tục trên [a, b] nên theo định lý Wâyơtrat II nó đạt giá trị nhỏ nhất m trên đoạn [a, b] đó. Nếu M = m thì hàm số không đổi trên [a, b]. Nh− vậy điểm c ta có thể lấy bất kỳ điểm nào thuộc khoảng đó. y Nếu M > m thì hàm f phải đạt giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất tại điểm c trong (a, b) M (vì f(a) = f(b)). Hàm f khả vi tại c nên theo bổ đề Fecma f(a) f’(c) = 0. O a c b x ý nghĩa hình học. Nếu y = f(x) là đ−ờng cong trơn và tung độ của 2 đầu mút bằng nhau thì trên đ−ờng cong đó có ít nhất điểm M(c, f(c)) sao cho tiếp tuyến tại đó với đ−ờng cong song song Ox. Định lý 2.10. (Định lý Lagrange về số gia hữu hạn). Giả sử hàm số y = f(x) thoả mãn i) f(x) liên tục trong [a, b] ii) Tồn tại đạo hàm hữu hạn f’(x) tại mọi điểm x ∈ (a, b) fb()− fa () Khi đó tồn tại điểm c ∈ (a, b) sao cho = f '(c ) ba− Chứng minh. Với mọi điểm x ∈ [a, b] ta đặt f ()bfa− () F(x) = f(x) – f(a) - (x – a) ba− Hàm số F(x) thoả mãn các giả thiết của định lý Rôll cho nên ∃c ∈ (a, b) f ()bfa− () f ()bfa− () sao cho F’(c) = 0 tức là f’(c) - = 0 hay = f’(c) ba− ba− 61
60. ý nghĩa hình học. Nếu y = f(x) là đ−ờng cong trơn, thì trên đ−ờng cong đó có ít nhất 1 điểm M(c, f(c) sao cho tiếp tuyến với đ−ờng cong tại điểm đó song song với đ−ờng thẳng nối 2 đầu mút A(a, f(a)) , B(b, f(b)) của đ−ờng cong. Chú ý. 1) Định lý Rôll là tr−ờng hợp đặc biệt của định lý Lagrange 2) Nếu ta chọn x = a, x + Δx = b thì ta có Δy = f(x + Δx) - f(x) = f’(c).Δx ⇒ c có thể biểu diễn d−ới dạng c = x + θΔx), 0 < θ < 1. Khi đó ta có Δy = f’(x + θΔx). Δx, công thức cho ta mối quan hệ giữa số gia Δy, Δx gọi là công thức số gia hữu hạn. Định lý 2.11 (Định lý Côsi về giá trị hữu hạn). Giả sử hàm số f(x) và g(x) thoả mãn i) f(x) và g(x) liên tục trên [a, b] ii) Tồn tại đạo hàm hữu hạn f’(x) và g’(x) với x ∈ (a, b) iii) g’(x) ≠ 0, ∀x ∈ (a, b) f ()bfafc− () '() Khi đó, ∃c ∈ (a, b) sao cho = gb()− ga () g '() c f ()bfa− () Chứng minh. ∀x ∈ [a, b] ta đặt G(x) = f(x) - f(a) - (g(x) - g(a)) gb()− ga () Hàm số G(x) thoả mãn các giả thiết của định lý Rôll nên ∃c ∈ (a, b): f ()bfa− () f ()bfafc− () '() G’(c) = 0 ⇔ f’(c) - . g’(c) = 0 ⇔ = . gb()− ga () gb()− ga () g '() c Chú ý. Nếu trong định lý Côsi chọn g(x) = x thì ta đ−ợc định lý Lagrange. 2. Công thức Taylo 2.1. Công thức Taylo đối với đa thức n Cho đã thức bậc n: Pn(x) = a0 + a1x + + an x (1) P()j ()0 P()j ()0 = ja !. , với j = 1, n ⇒ a = (2) j j j! 62
61. Thay (2) vào (1) ta đ−ợc PP(00 ) '( ) P ''( 0 ) P()n ( 0 ) P(x) = ++x xx2 ++ n (3) 01!! 2 !n ! Công thức (3) gọi là công thức Macloranh đối với đa thức P(x) tại x = 0 Đặt z = x - x0 khi đó n P(x) = P(x0 + z) = a0 + a1(x0 + z) + + an (x0 + z) n = A0 + A1z + + An z = P(z) Theo công thức Macloranh ta có PP(00 ) '( ) P ''( 0 ) P()n ( 0 ) P(z) = ++zz2 ++ zn 01!! 2 !n ! Do cách đặt nên PP(00 ) '( ) P ''( 0 ) P()n ( 0 ) P(x) = +−+−++−(x xxxxx ) ( )2 ( )n (4) 01!!00 2 !n ! 0 Công thức (4) gọi là công thức Taylo của đa thức P(x) tại điểm x = x0. 2.2. Công thức Taylo đối với hàm bất kỳ Định lý 2.12 (về khai triển Taylo của hàm số). Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp n trong đoạn [a, b] và đạo hàm cấp n + 1 trong khoảng (a, b). Khi đó với mỗi x ∈ [a, b] ta có fa'( ) f()n ( a ) f(x) = f (axaxa )+−++− ( ) ( )n + R (x) 1!!n n + 1 trong đó Rn + 1(x) đ−ợc tính f ()n+1 (())axa+−θ Theo Lagrange: R (x) = , 0 < θ < 1 n + 1 ()!n +1 faxa()n+1 (())+−θ Theo Côsi : R (x) = ()()1−−θ nnxa+1, 0< θ<1 n + 1 ()!n fa'( ) f()n ( a ) Ta gọi đa thức f (axaxa )+−++− ( ) ( )n là đa thức 1!!n Taylo của hàm f tại x = a. 63
62. 2.3. Khai triển Taylo của hàm số sơ cấp đơn giản 1) f(x) = ex tại x = 0 xx21 xnn x+ eex =+1 + + + + θ x , 0 < θ < 1. 12!!nn !()!+ 1 2) f(x) = sinx tại x = 0 xx35 x x 21kk++ x 23 sinx =− + +− (11 )kk +− ( )+1 cosθ x , 13!! 5 ! ( 21kk++ )! ( 23 )! 0 < θ < 1. 3) f(x) = ln(x + 1) tại x = 0 xx23 xnn x+ 1 ln(xx+=−1111 ) + −+− ( )nn−11 +− ( ) ( +θ x ) n+ , 23!!nn ! ()!+ 1 0 < θ < 1. Đ4. ứng dụng của đạo hμm 1. Quy tắc Lôpitan để khử giới hạn dạng vô định 0 1.1. Khử giới hạn dạng vô định 0 Định lý 2.13. Cho hàm số f(x) và g(x) xác định và liên tục trong (a, b). Giả sử thoả mãn i) ∃ lim f(x) = lim g(x) = 0 x→+a 0 x→+a 0 ii) Tồn tại hữu hạn f’(x), g’(x), ∀x ∈ (a, b) trong đó g’(x) ≠ 0 f '(x ) iii) ∃ lim = A x→+a 0 gx'( ) f ()x Khi đó lim = A x→+a 0 gx() Chứng minh. Ta đặt 64
63. ⎡ f ()xvớixab∈ (,] ⎡gx() vớix∈ (,] ab F(x) = ⎢ , G(x) = ⎢ ⎣0 với x= a ⎣0 với x= a Khi đó các hàm số F(x), G(x) thoả mãn các giả thiết của định lý Côsi nên f ()xFxFxFaFcfc () ()− () '() '() ∃c ∈ (a, b) sao cho == = = gx() Gx () Gx ()− Ga () G '() c g '() c Rõ ràng c → a + 0 khi x → a + 0, do vậy f ()x f '(c ) lim = lim = A x→+a 0 gx() ca→+0 gc'( ) Chú ý. 0 1) T−ơng tự ta phát biểu quy tắc Lôpitan để khử giới hạn dạng cho giới 0 hạn trái và giới hạn 2 phía. 2) Ta có thể dùng quy tắc Lôpitan lần thứ 2, 3, n 0 Định lý 2.14. (khử dạng vô định ở vô cùng). Cho hàm số f(x) và g(x) xác định 0 và liên tục trên [a, +∞]. Giả sử thoả mãn i) lim f(x) = lim g(x) = 0 x→+∞ x→+∞ ii) Tồn tại f’(x) và g’(x) hữu hạn, g’(x) ≠ 0, ∀x ∈ [a, ∞) f '(x ) iii) ∃ lim = A x→+∞ gx'( ) f ()x Khi đó, ∃ lim = A x→+∞ gx() 1 −1 tgx− x 2 1+ cos x Ví dụ. lim = lim cos x = lim = 2 x→0 x − sin x x→0 1− cos x x→0 cos2 x ∞ 1.2. Khử giới hạn dạng vô định ∞ 65
64. Định lý 2.15. Cho hàm số f(x) và g(x) xác định trong (a, b]. Giả sử thoả mãn i) lim f(x) = lim g(x) = ∞. x→+a 0 x→+a 0 ii) Tồn tại f’(x) và g’(x) hữu hạn, g’(x) ≠ 0, ∀ x ∈ (a , b]. f '(x ) iii) ∃ lim = A. x→+a 0 gx'( ) f ()x Khi đó lim = A. x→+a 0 gx() Chú ý. T−ơng tự ta phát biểu cho giới hạn trái, giới hạn 2 phía giới hạn ở vô cùng. xn nx. n−1 n! Ví dụ. lim = lim = = lim = 0 x→+∞ ex x→+∞ ex x→+∞ ex 1.3. Các dạng vô định khác + Giới hạn dạng 0. ∞: lim f(x) = 0, lim g(x) = ∞ x→a x→a f ()x gx() lim f(x). g(x) = lim = lim x→a x→a 1 x→a 1 gx() f ()x + Giới hạn dạng 00, ∞0, 1∞, ta áp dụng biểu thức sau y = [f(x)] g(x) ⇒ lny = g(x). ln f(x) Chú ý. Không tồn tại f’(x), g’(x) không dùng Lôpitan 11 xx2 sin sin limxx= lim = 0 xx→→00sin x sin x x 2. Khảo sát hàm số 2.1. Chiều biến thiên của hàm số 66
65. Định lý 2.16. Giả sử hàm số f(x) liên tục trên [a, b] và có đạo hàm f’(x) trong (a, b). Khi đó nếu f’(x) > 0 (hoặc f’(x) 0 trong (a, b) và a ≤ x1 0, x2 - x1 > 0 ⇒ f(x2) - f(x1) > 0 hay f(x2) > f(x1), x1 0 2) Đối với hàm số đơn điệu ta có định lý sau: Để hàm số khả vi f(x) tăng (hoặc giảm) trên [a, b] điều kiện cần và đủ là f’(x) ≥ 0 (hoặc f’(x) ≤ 0) trên [a, b]. 52()x − Ví dụ. f(x) = x2/3(x - 5), f’(x) = 33 x f’(x) = 0, khi x = 2, không tồn tại f’(0) Hàm số tăng nghiêm ngặt trên (- ∞, 0) ∪ (2, +∞) Hàm số giảm nghiêm ngặt trên (0, 2) 2.2. Cực trị của hàm số Định lý 2.17 (Quy tắc 1 để tìm cực trị địa ph−ơng). Giả sử hàm số f(x) liên tục trong [x0 - δ, x0 + δ] khả vi trong (x0 - δ, x0) ∪ (x0, x0 + δ). Khi đó i) Nếu f’(x) > 0 với x0 - δ < x < x0 và f’(x) < 0 với x0 < x0 + δ thì hàm số đạt cực đại tại x0. 67
66. ii) Nếu f’(x) 0 với x0 f(x0), ∀x (x0, x0 + δ). ⇒ f(x) ≤ f(x0), ∀x ∈ (x0 - δ, x0 + δ) ⇒ Hàm số đạt cực đại địa ph−ơng tại x0. ii) Chứng minh t−ơng tự Định lý 2.18. Giả sử hàm số f(x) khả vi trong δ lân cận của điểm dừng x0, có đạo hàm bậc 2 tại x0. Khi đó i) Nếu f”(x0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu địa ph−ơng tại x = x0. ii) Nếu f”(x0) 0. Theo định nghĩa đạo hàm bậc 2 ta có f '(xfx )− '(0 ) f '(x ) 0 0 trong lân cận đó. Thành thử f’(x) phải đổi dấu từ (-) sang (+) qua x0. Theo quy tắc 1, f(x) đạt cực tiểu địa ph−ơng tại x = x0. ii) Chứng minh t−ơng tự. 68
67. Định lý 2.19 (Quy tắc tìm cực trị bằng đạo hàm). Giả sử hàm số f(x) khả vi đến (n - 1) (n) cấp n + 1 tại x0: f’(x0) = f”(x0) = = f (x0) = 0, f (x0) ≠ 0 Khi đó i) Nếu n lẻ thì hàm số không có cực trị tại x0. ii) Nếu n chẵn thì hàm số có cực trị địa ph−ơng tại x0. Hơn nữa, nếu (n) (n) f (x0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu địa ph−ơng tại x0, f (x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại địa ph−ơng tại x0. Ví dụ. Tìm cực trị địa ph−ơng 1) y = 2sinx + cos2x [0, 2π] 2) y = x6 Định nghĩa. Cho hàm số y = f(x) xác định trong miền X, ta nói rằng hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tuyệt đối tại x0 ∈ X nếu ∀x ∈ X, f(x) ≤ f(x0) (hoặc f(x) ≥ f(x0)). (cực đại tuyệt đối gọi là giá trị lớn nhất, cực tiểu tuyệt đối gọi là giá trị nhỏ nhất) Tìm cực trị tuyệt đối trên [a, b] + Tính cực trị địa ph−ơng x1, x2, xn, f(x1), f(x2), + Tính f(a), f(b) + Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là cực đại tuyệt đối (cực tiểu tuyệt đối). 2.3. Tính lồi lõm của đ−ờng cong, điểm uốn Định nghĩa. Ta sẽ gọi cung (C) của đ−ờng cong y = f(x) là lồi (hoặc lõm) trong (a, b) nếu ∀x1, x2, x3 ∈ (a, b), x1 < x2 < x3 thì điểm M2 (x2, f(x2)) nằm phía trên (hoặc phía d−ới) đ−ờng thẳng nối 2 điểm M1(x1, f(x1)), M3(x3, f(x3)). M2 M1 M3 M3 M1 M2 69 x1 x2 x3
68. Chú ý. Nếu đồ thị của hàm số y = f(x) là đ−ờng cong lồi (hoặc lõm) trên (a, b) thì ta nói rằng hàm số f(x) lồi (hoặc lõm) trong khoảng đó. Điểm M(x0, f(x0)) đ−ợc gọi là điểm uốn của đ−ờng cong y = f(x), nếu điểm đó phân chia hai vùng lồi, lõm kề nhau của đ−ờng cong đó. Định lý 2.20. i) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 f”(x) > 0 (hoặc f”(x) 0, theo định lý 2.15, đạo hàm f’(x) là hàm tăng nghiêm ngặt trong (a, b). Giả sử a 0 sao cho f”(x) > 0, ∀x ∈ (x0 - δ, x0) và f”(x0) < 0 với x0 ∈ (x0, x0 + δ). Suy ra hàm số f lõm trong (x0 - δ, x0), lồi trong (x0, x0 + δ). ⇒ M(x0, f(x0)) là điểm uốn. 2 Ví dụ. Xác định khoảng lồi, lõm và điểm uốn của y = e−x đ−ờng cong Gauxơ. 70
69. 2 y” = 221ex−x ()2 − 1 1 Hàm số lõm (-∞, - ) ∪ ( , +∞) 2 2 1 1 Hàm số lồi (- , ) 2 2 1 Điểm uốn x = ± . 2 2.4. Tiệm cận của đ−ờng cong 2.4.1. Khái niệm về tiệm cận của đ−ờng cong Định nghĩa. Ta nói rằng đ−ờng thẳng d là tiệm cận của đ−ờng cong y = f(x), nếu khoảng cách từ 1 điểm biến thiên M trên đ−ờng cong đến đ−ờng thẳng d dần tới 0 khi M chạy dọc trên đ−ờng cong ra xa vô tận. 2.4.2. Các loại tiệm cận 1) Tiệm cận đứng. Nếu đ−ờng tiệm cận của đ−ờng cong y = f(x) là đ−ờng thẳng song song với trục tung thì ta gọi nó là đ−ờng tiệm cận đứng của đ−ờng cong. x = a là tiệm cận đứng của đ−ờng cong y = f(x) ⇔ lim f(x) = ± ∞. x→±a 0 1 Ví dụ. y = có tiệm cận dứng x = 0, x = 2. xx()− 2 2) Tiệm cận ngang. Nếu đ−ờng tiệm cận y = f(x) là đ−ờng thẳng song song với trục hoành thì ta gọi nó là tiệm cận ngang của đ−ờng cong. y = b là tiệm cận ngang của đ−ờng cong y = f(x) ⇔ lim f(x) = b x→±∞ 1 Ví dụ. y = có tiệm cận ngang y = 0. x 3) Tiệm cận xiên. Là những đ−ờng thẳng không thuộc 2 dạng trên y = ax + b là tiệm cận xiên của y = f(x) nếu i) lim (f(x) - (ax + b)) = 0 x→±∞ 71
70. f ()x ii) lim = a, lim (f(x) - ax) = b x→±∞ x x→±∞ x2 +−21x Ví dụ. y = có tiệm cận xiên y = x + 2 x 2.5. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 1) Tìm tập xác định, xét tính chẵn lẻ, tuần hoàn (nếu có). 2) Chiều biến thiên +) Tính y’, xét dấu y’ → khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị → Bảng biến thiên. +) Tính y”, xét dấu y” → khoảng lồi, lõm, điểm uốn. +) Xác định các đ−ờng tiệm cận. 3) Đồ thị; xác định giao với các trục và vẽ đồ thị. ()x −1 3 Ví dụ. y = TXĐ: ∀x ≠ - 1 ()x +1 2 Tiệm cận đứng x = - 1 y Tiệm cận xiên: a = lim = 1 x→∞ x ()()xxx−−1132 + −+−521x2 x b = lim = lim = x→∞ ()x +1 2 x→∞ ()x +1 2 - 5 ⇒ Tiệm cận xiên: y = x - 5 31()()()()xx−+−+−22 121 xx 1 3()(xxx−132 +− 32 + 2 ) y’ = = ()x +1 4 ()1+ x 3 ()()xx−+152 = ()1+ x 3 y’ = 0 ⇔ x1 = 1, x2 = - 5 72
71. 24()x − 1 y’’ = , y” = 0 ⇔ x = 1 ()1+ x 4 y”(1) = 0, y”(- 5) = - 9 x -5 -1 0 1 y’ + 0 - + + 0 + y’’ - - 0 + y 0 73
72. Ch−ơng 3. Phép tính tích phân Đ1. Tích phân không xác định 1. Khái niệm về nguyên hàm và tích phân không xác định 1.1. Các khái niệm cơ bản Qui −ớc. Nếu không nói gì thêm về miền X, ta có thể hiểu là một đoạn, một khoảng hay nửa đoạn, nửa khoảng (hữu hạn hay vô hạn) Định nghĩa 1. Ta nói rằng hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trong miền X nếu F’(x) = f(x) với mọi x ∈ X. Ví dụ. F(x) = cos(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = - sinx trong . −x F(x) = 1− x2 là nguyên hàm của fx()= trong (-1, 1) 1− x2 Định lý 3.1. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trong miền X. Khi đó để hàm số G(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trong miền X. Điều kiện cần và đủ là G(x) = F(x) + C (1), trong đó C là một hằng số bất kỳ. Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử F(x) và G(x) là 2 nguyên hàm của hàm số f(x). Vậy thì -F’(x) + G’(x) = 0, ∀x ∈ X ⇒ -F(x) + G(x) = C với C là hằng số bất kỳ ⇒ G(x) = F(x) + C Điều kiện đủ: Giả sử F, G thoả mãn điều kiện G(x) = F(x) + C. Hiển nhiên là G’(x) = F’(x) = f(x), ∀x ∈ X. ⇒ G(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f(x) trong X. Định nghĩa 2. Cho hàm F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trong miền X. Ta sẽ gọi họ tất cả các nguyên hàm dạng F(x) + C, với C là hằng số tùy ý là tích phân không xác định của hàm số f(x) trong miền X. Ký hiệu ∫ f ()xdx, trong đó ∫ là dấu tích phân, 74
73. f(x) là hàm số d−ới dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức d−ới dấu tích phân, C là hằng số tích phân. Ta có ∫ f ()xdx=+ Fx () C. 1.2. Tính chất của tích phân không xác định Định lý 3.2. Nếu f(x) liên tục trên miền X thì nó có nguyên hàm trong miền đó. Định lý 3.3. (Các phép toán trên nguyên hàm). Giả sử F(x) và G(x) là các nguyên hàm của hàm số f(x) và g(x) trong miền X, a là hằng số bất kỳ. Khi đó i) aF(x) là nguyên hàm của hàm số af(x) và ∫ af() x dx= a∫ f () x dx ii) F(x) ± G(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) ± g(x) và ∫∫∫[ f ()x±= gx ()] dx f () xdx ± gxdx () Chứng minh. Suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Chú ý. Từ định nghĩa ta rút ra một số tính chất sau 1) d∫ f() xdx=+== d( Fx () C) dFx ( ()) f () xdx 2) ∫∫dFx(())==+ f () xdx Fx () C Bảng tích phân 1. ∫ adx=+ ax C α ∈ xα +1 2. xα dx=+ C α ≠ -1 ∫ α +1 dx 3. =+ln x C ∫ x dx 4. =+arctgx C ∫1+ x2 dx 5. ∫ =+arcsin x C 1− x2 75
74. ax 6. adxx =+ C, edxexx= + C ∫ ln a ∫ 7. ∫sinx =− cos xC + 8. ∫ cosx =+ sin xC dx 9. =−cot gx + C ∫ sin2 x 2. Các ph−ơng pháp tính nguyên hàm 2.1. Ph−ơng pháp đổi biến số (ph−ơng pháp thế) a) Tr−ờng hợp thế một biểu thức của x bởi một biến mới là t Định lý 3.4. Giả sử t = ϕ(x) là một hàm khả vi và khi thay t = ϕ(x) ta tính đ−ợc ∫ f ()tdt=+ Ft () C. Khi đó ∫ f (ϕϕ (xxdxFxC )). '( )=+ ( ϕ ( )) hay ∫ f ()tdt= ∫ f (ϕϕ ( x )).'() xdx dx x Ví dụ1. =+arctg C ∫ ax22+ a Ví dụ 2. Tính I = ∫ cos7 x sin xdx Đặt t = cosx ⇒ dt = -sinxdx tx88cos I =−=−+=−+tdt7 C C ∫ 88 b) Tr−ờng hợp thế x bởi một biểu thức là t Định lý 3.5. Giả sử x = ϕ(t) là hàm khả vi và khi thay x = ϕ(t) ta tính đ−ợc ∫ f (ϕϕ (ttdtFtC )). '( )=+ ( ϕ ( )) . Khi đó ∫ f ()xdx= F (())ϕ t+= C Fx () + C Ví dụ. Tính ∫ 1− x2 dx ⎡⎤π π Đặt x = sint với t ∈− , ⇒ dx = cost. dt ⎣⎦⎢⎥22 76
75. 1cos2+ t ⇒ 1cos−=x22dx tdt = dt ∫∫∫2 1cos(2)(2)1sin21td t t x .1− x2 =+ttCxC =+ +=arcsin + + 24242∫ 2 Chú ý. 1 1) Nếu biểu thức d−ới dấu tích phân có chứa và x thì đặt t = lnx x dx d(ln x ) Ví dụ. ==+arctgln x C . ∫∫xx(1++ ln22 ) 1 ln x 2) Nếu biểu thức d−ới dấu tích phân có dạng g(cosx). sin2k+1x.dx Đặt t = cosx Ví dụ. I = ∫(cos23x + 1) sin xdx Đặt t = cosx ⇒ dt = -sinx t5 ⇒ I =−ttdttdttC22 +11 − =− 1 − 4 =−+ + ∫∫()() () 5 cos5 x =−cos x + +C . 5 3) Nếu biểu thức d−ới dấu tích phân có dạng g(sinx). cos2k+1x.dx Đặt t = sinx cos33xxdx cos (sin ) Ví dụ. I = ==−+arctgsin x sin x C . ∫∫1sin++22x 1sinx dx 4) Nếu biểu thức d−ới dấu tích phân có dạng gtgx(). ta đặt t = tgx cos2 x 2 dx Ví dụ. ()1+ tgx (sinh viên tự tính). ∫ cos2 x f '(x) 5) Nếu biểu thức d−ới dấu tích phân có dàng f(x).f’(x)dx hoặc thì f (x) đặt t = f(x). Khi đó 77
76. tfx22() f ().'()xfxdx==+=+ tdt C C. ∫∫22 fx'( ) dt dx==+=ln t C ln f ( x ) + C. ∫∫fx() t 2.2. Ph−ơng pháp tích phân từng phần Định lý 3.6. Giả sử các hàm số u = f(x) và v = g(x) có các đạo hàm u’ = f’(x) và v’ = g’(x) liên tục. Khi đó ∫ udv=− u. v∫ vdu hay ∫∫f ()'()xg xdx=− f ()() xgx gx () f '() xdx. Chứng minh. Ta có d(u.v) = u.dv + v.du Từ đó suy ra u.(.) v==+=+∫∫ d u v[ u dv v du] ∫∫ u . dv v . du ⇒ ∫∫udv=− u. v vdu . Ví dụ. ∫ x cos xdx (sinh viên tự tính). 3. Tích phân các biểu thức hữu tỷ 3.1. Tích phân của các phân thức tối giản 1()dx− a 1. dx==−+ln x a C . ∫∫x −−axa Adx Ad() x− a A 1−k 2. ==−+()x aC. ∫∫()xa−−kk () xa 1− k 2 Ax+ B ⎛⎞p ⎛⎞p2 3. I = dx , xpxqx2 ++=+ +− q không có ∫ 2 ⎜⎟⎜⎟ x ++px q ⎝⎠24⎝⎠ nghiệm thực. p p2 Đặt tx=+, a = q − 24 ⎛⎞p At+−⎜⎟ B A ⎝⎠2 A 2tdt⎛⎞ p dt I ==+−dt⎜⎟ B A ∫∫∫ta22++22 ta 22⎝⎠ ta 22 + 78
77. Apt221 ⎛⎞ =++−ln ta⎜⎟ BAarctgC +. 22( ) aa⎝⎠ Ax+ B A2 tdt⎛⎞ p dt 4. dx=+−⎜⎟ B A ∫∫∫222mm2222 ()xpxq++()ta+ ⎝⎠() ta + dt Jm = ∫ , m = 1, 2, 3 ()ta22+ 1 2mtdt Đặt u = , dv = dt ⇒ du = , v = t m m+1 ()ta22+ ()ta22+ ttdtttaa2222+− J =+22mmdt =+ m mmmm∫∫++11 ()ta22++++() ta 22() ta 22() ta 22 tdtdt =+22mma −2 mm∫∫ m+1 ()ta22++() ta 22() ta 22 + 1121m − ⇒ J =+. J . mm+1 22m 22ma()ta22+ ma 1 t J = arctg . 1 aa 3.2. Tích phân hàm hữu tỷ bất kỳ Px() k =+R()xPx∑ i (), R(x) là đa thức và Pi(x) là phân thức tối giản. Qx() i=1 k AA A A BxC+ Px( )=+11 12 +++ 21 22 ++ 11 11 + ∑ i xa−−222 xa i=1 12()xa−−12() xa xpxq++ x5 + 4 Ví dụ. a) dx (sinh viên tự tính). ∫ x2 −1 79
78. x b) dx (sinh viên tự tính). ∫ x3 +1 4. Tích phân các biểu thức vô tỷ ⎛⎞ax+ b 4.1. Tích phâp của biểu thức có dạng R ⎜⎟xdx, m , R là hàm số hữu tỷ, ⎝⎠cx+ d m ∈ ; a, b, c, d ∈ . ax+ b dt. m − b Đặt t = m ⇒=xtϕ() = cx+ d act− m ⎛⎞ax+ b Tích phân đ−a về dạng ∫∫R ⎜⎟xRtttdt,(),.'()m = ()ϕϕ. ⎝⎠cx+ d 4.2. Tích phân của biểu thức dạng R ( xaxbxcdx, 2 ++) (tích phân ơle) tc2 + a) Nếu a > 0, đặt ax2 ++=−⇒= bx c t ax x 2 at+ b at2 ++ bt c a ax2 ++= bx c 2 at+ b Đ−a về tích phân hữu tỷ đối với t x2dx Vídụ. ∫ , với x > 1. x2 −1 tt22+−11 Đặt x2 −=−⇒1 tx x = ⇒ dx = dt 2t 2t2 t2 −1 x2 −=1 2t xdx222(1)1 t + ⎛⎞ 21 ==++dt t dt (sinh viên tự tính). ∫∫33 ∫⎜⎟ x2 −1 4tt4 ⎝⎠t 80
79. b) Nếu c > 0 ta đặt ax2 + bx+=±+ c c xt , đ−a về dạng tích phân hàm hữu tỷ biến t. dx −22t Ví dụ. Đặt 22−=+⇒=xtx2 x ∫ 2 2 − x2 1+ t 2(1− t2 ) 2 −=x2 1+ t2 22(t2 − 1) ⇒ dx= dt (1+ t2 ) dx−2 dt ⇒ ==−+2arctgt C ∫∫2 2 − x2 1+ t 2 x − x1 c) Nếu ax + bx + c có 2 nghiệm thực x1, x2 đặt ta= => đ−a về x − x2 dạng tích phân hữu tỷ. dx x − a Ví dụ. I = ∫ (a > 0, | x | > a) Đặt t = x22− a x + a I=+−+ln x xa22 C p 4.3. Tích phân của biểu thức vi phân nhị thức xmn(abxdx+ ) (tích phân m +1 m +1 Tr−bêsép) p; m; n ∈ Q và p; ; + p là những số nguyên. n n a) Nếu p nguyên thì ta đặt tx= s (s là BSCNN của các mẫu số của m, n) 2 1+ 23 x Ví dụ. Tính ()dx ∫ x 1 1 P = 2; n = − ; m = đặt t = 6 x ; x = t 6 ⇒ dx = 6t 5dt 2 3 81
80. 3 2 ()1+ 2 x 2 4 2 dx = ()1+ 4t + 4t 6t dt (sinh viên tự tính). ∫ x ∫ m +1 b) Nếu là nguyên thì đặt tabx=+s n (s là mẫu số của p) n 1 11 3 1+ 4 x − ⎛⎞3 Ví dụ. dx=+ x24⎜⎟1 x dx ∫∫⎜⎟ x ⎝⎠ m +1 = 2 n 43 Đặt t=+3 114.314 x ⇒=− x( t332) ⇒= dx( t −) t dt 3 12tt23( − 1) dt tttdt=−1233 1 (sinh viên tự tính). ∫∫2 () ()t3 −1 m +1 c) Nếu + p nguyên. n Đặt t = s ax−n + b (s là mẫu số của p) 1 dx − Ví dụ ∫∫=+xo.1()xdx4 4 4 1+ x4 m +1 1 1 Ta có + p = − = 0 n 4 4 15 −− Đặt tx=+⇒=−⇒=−−4 4411 xt()44 dxtt 34() 1 dt 1 − 4 11+==xtxtt44() −4 dx t2 dt11⎛⎞ 1 1 dt =− = −dt − ∫∫∫42⎜⎟ ∫ 4 1+ x4 tt−+114112⎝⎠tt+− 82
81. 111t + =−+ln arctgt C . 412t − 5. Tích phân các biểu thức l−ợng giác ∫ R (cosxxdx ,sin ) trong đó R(u,v) là các hàm số hữu tỷ đối với u, v x 5.1. Phép thế ttg=⇒= x2 arctgt 2 2dt 2t 1− t2 dx = ; sin x = ; cos x = 1+ t2 1+ t2 1+ t2 ⎛⎞122− tt2 R cosxxdxR ,sin= , dt. ∫∫()⎜⎟22 2 ⎝⎠11++tt 1 + t Ví dụ. Tính dx a) I = (sinh viên tự tính). ∫ sin x dx b) I = ∫ 4sinx −− 7cosx 7 x Đặt ttg= 2 dt21 t dt I = .ln47= =−+tC. ∫∫877tt− 2 −−7 1+ t 474t − 11++tt22 5.2. Tr−ờng hợp đặt biệt a) Xét ∫ R (cosxxdx ,sin ) trong đó R (cosxx ,sin) = −− R( cos xx ,sin ) Đặt t = sinx cos5 xdx Ví dụ. I = (sinh viên tự tính). ∫ sin4 x 83
82. b) R (cosxx ,sin) =− R( cos x , − sin x) Đặt t = cosx sin 3 xdx Ví dụ. I = (sinh viên tự tính). ∫ cos x c) Nếu R (cosxxR ,sin) =−( cos x , − sin x) Đặt t = tgx dx Ví dụ. (sinh viên tự tính). ∫ 3sin22x + 5cos x 1 d) sinax cos bxdx=++−[] sin( a b ) x sin( a b ) x dx ∫∫2 1 sinax sin bxdx=−−+[] cos( a b ) x cos( a b ) x dx ∫∫2 1 cosax cos bxdx=++−[] sin( a b ) x cos( a b ) x dx ∫∫2 6. Tích phân các hàm số siêu việt 1) Xét tích phân I = ∫ ePxdxkx () , (k ≠ 0), P(x) là đa thức tùy ý Tích phân từng phần 11 I =−ePxkx.() ePxdx kx .'() kk∫ Tiếp tục tích phân từng phần T−ơng tự I1 = ∫sinkxP ( x ) dx ; I2 = ∫coskxP '( x ) dx 2) Xét tích phân ∫ R()edxx , R()ex là hàm số hữu tỷ đối với ex Đặt t = ex edxx dt Ví dụ. Tính = (sinh viên tự tính). ∫∫et22x ++11 3) Xét các tích phân dạng 84
83. ax ax K1 = ∫ebxdxcos ; K2 = ∫ebxdxsin Dùng ph−ơng pháp tích phân từng phần (sinh viên tự tính). Đ2. Tích phân xác định 1. Khái niệm về tích phân xác định 1.1. Bài toán tính diện tích hình thang cong. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đ−ờng cong Gioóc-đăng kín bất kỳ + Ta gọi là đ−ờng cong liên tục tập các điểm M(x,y) thoả mãn hệ ph−ơng ⎧x = ϕ()t trình ⎨ , (α ≤ t ≤ β) trong đó ϕ(t) và ψ(t) là các hàm số liên tục trên [α, ⎩y =ψ ()t β]. Đ−ờng cong liên tục C đ−ợc gọi là đ−ờng cong Jooc-đăng nếu với 2 điểm bất kỳ t1 và t2 mà α ≤ t1 < t2 ≤ β (trừ tr−ờng hợp t1 = α, t2 = β) thì M11[ϕ(),()ttMttψϕψ 1] ≠ 2[ ( 2 ),( 2 )] Đ−ờng cong Jooc-đăng gọi là kín nếu ϕ(α) = ϕ(β); ψ(α) = ψ(β) Bài toán: Tính diện tích của y hình phẳng giới hạn bởi một đ−ờng B cong kín Jooc-đăng bất kỳ. Giả sử hình phẳng đó là S. Ta chia hình này A thành các hình nhỏ bởi các đ−ờng thẳng theo 2 ph−ơng vuông góc với x nhau. Mỗi hình nhỏ này đ−ợc giới hạn bởi các đoạn thẳng và một cung cong, α β ta gọi chúng là hình thang cong (nếu có một đáy thu về một điểm ta cũng coi nh− là hình thang cong) Ta chọn hệ toạ độ đề các vuông góc sao cho hình thang 85
84. cong đó đ−ợc giới hạn bởi đ−ờng cong AB có ph−ơng trình y = f(x) (trong uur đó f(x) liên tục và không âm) trục hoành ox , và 2 trung tuyến x = a, x = b. Ta chia đoạn [a,b] thành hữu hạn các đoạn nhỏ bởi các điểm chia a ≡ x0 0, ∃δ > 0 sao cho với mọi phép phân hoạch π mà d(π) < δ và với mọi n cách chọn điểm ξk ta đều có ∑ fxxS()(ξkk− k−1 )−<ε hay k=1 n * SS==lim lim∑ fxx (ξkk )( − k−1 ) dd()ππ→→ 0 () 0k=1 Từ vẫn đề tích phân giới hạn trên là nghiệm nhân dấu đến đủ về thời gian xác định. 1.2. Định nghĩa tích phân xác định. Cho hàm số f(x) xác định trên [a, b]. Mỗi họ n+1 điểm chia x0, x1 xn, thoả mãn tính chất a ≡ x0 < x1 < < xn ≡ b, gọi là phép phân hoạch của đoạn [a,b] và ký hiệu là π, trong đó xk gọi là các điểm chia (k = 0, ,n). 86
85. Trong mỗi đoạn [xk+1, xk] ta chọn điểm ξk bất kỳ (0 ≤ k ≤ n) rồi thiết lập n tổng σ ()f ,π ,{}ξ k = ∑ f (ξ k )(xk − xk −1 ) gọi là tổng tích phân của hàm số f(x) k =1 t−ơng ứng với phép chia π và họ các điểm ξk. Với mỗi phép phân hoạc π, ta đặt d(π) = max (xxkk− −1 ) . Nếu tồn tại 0≤≤kn giới hạn hữu hạn If= limσ ( ,πξ ,{ k }) không phụ thuộc vào cách chia [a,b] d()π → 0 và cách chọn điểm ξk thì ta gọi giá trị giới hạn đó là tích phân xác định của hàm b số g(x) trên [a,b] và ký hiệu là ∫ f ()xdx. a Khi đó ta nói hàm số f(x) khả tích trên [a,b], f(x) là hàm d−ới dấu tích phân, f(x) là biểu thức d−ới dấu tích phân, a là cận d−ới và b là cận trên. Chú ý. 1. Tích phân xác định đôi khi ng−ời ta gọi là Rieman, kí hiệu R[a,b] là họ tất cả các hàm khả tích Rieman trong đoạn [a,b]. ab a 2. Ta quy −ớc ∫∫f ()xdx=− f () xdx và ∫ fxdx()= 0 nếu f(x) xác định ba a tại điểm a. 3. Giả sử trong hình thang cong T đ−ợc giới hạn bởi trục ox, đ−ờng cong y = f(x) và đ−ờng thẳng x = a, x = b. Giá trị fxx()(ξkk− k−1 ) trong tổng tích phân chính là diện tích hình chữ nhật có một cạnh ()xxkk− −1 và một cạnh là f ()ξk . Suy ra tổng tích phân là tổng diện tích của n hình chữ nhật, khi d(π)→ 0 thì tổng diện tích σ ( f ,,πξ{ k }) dẫn đến diện tích S(T) của hình thang cong T. b Ta có S = (T) ∫ − f ()xdx a 87
86. b Do đó S = (T) ∫ f (x) dx a Định lý. 3.7. Nếu hàm số y = f(x) khả tích trên [a,b] thì nó phải bị chặn trên đoạn này. Chứng minh. Giả sử hàm số y = f(x) không bị chặn trên [a,b]. Gọi π là phép phân hoạch nào đó đoạn [a,b]. Rõ ràng y = f(x) không bị chặn trên một đoạn nào đó Δk = [xk-1, xk] của đoạn [a,b] trong phép phân hoạch π. Vì vậy, với cách chọn điểm ξk thích hợp, ta có thể là cho | f (ξk ) | lớn tuỳ n (*) ý. Do đó có thể làm tăng ∑ fxx()(ξkk− k−1 ) lớn tuỳ ý về giá trị tuyệt đối ⇒ k=1 tổng tích phân (*) không thể có giới hạn hữu hạn ⇒ hàm số y = f(x) không khả tích trên đoạn [a,b], mâu thuẫn giả thiết. Định lý đ−ợc chứng minh. Chú ý. 1. Hàm số không bị chặn trên [a,b] ⇒ không khả tích trên đoạn đó. ⎧1/xvớix∈ (0,1] Ví dụ. f(x) = ⎨ không bị chặn trên [0,1] => nó không khả ⎩00với x = tích trên đoạn đó. 2. Định lý 3.7 không là điều kiện đủ. Một hàm số bị chặn trên [a,b] ch−a chắc khả tích trên đoạn đó. ⎧0(0,1]với x ∈ ∩ Ví dụ. D(x) = ⎨ , D(x) hiển nhiên bị chặn trên [0,1] ⎩1\(0,1]với x ∈∩ Trong mỗi đoạn [xk-1, xk] ⊂ [0,1] ứng với phép phân hoạch π, ta sẽ có n ∑ D (ξk)(xk - xk-1) = 1 nếu ξ hữu tỷ ∈[0,1] k=1 n ∑ D (ξk)( xk - xk-1) = 0 nếu ξ vô tỷ ∈ [0,1] k=1 88
87. n Khi d(π ) → 0 ⇒ ∑ D (ξk) ( xk - xk-1) → 1 với ∀ξk hữu tỷ ∈[0,1] k=1 n ∑ D (ξk)(xk - xk-1) → 0 với ∀ξk vô tỷ ∈ [0,1] k=1 n ⇒ ∃ lim ∑ D (ξk)(xk - xk-1) ⇒ hàm số y = D(x) không khả tích trên [0,1] d()π → 0k=1 2. Điều kiện khả tích 2.1. Tổng Đacbu. Giả sử hàm số y = f(x) bị chặn trên [a, b]. Gọi M và m là cận trên đúng và cận d−ới đúng của hàm số y = f(x) trên [a,b]. Ta có m ≤ f(x) ≤ M. Trên [a,b] ta thực hiện phép phân hoạch π bởi các điểm a = x0 <x1 < < xn = b, Δk = [xk-1, xk] và kí hiệu Δk là độ dài của đoạn đó, Mk và mk là cận trên đúng và cận d−ới đúng của hàm số f(x) trên Δk (1 ≤ k ≤ m) n n Ta gọi tổng S (π) = ∑ Mk Δk ,s(π) = ∑ mk Δk lần l−ợt là tổng Đacbu trên k=1 k=1 (tổng trên) và tổng Đacbu d−ới (tổng d−ới) của hàm số f(x) ứng với phép phân hoạch π. Tính chất 1. Tổng tích phân bất kỳ đối với phép phân hoạch π bao gồm giữa tổng trên và tổng d−ới của phép phân hoạch này (s(π) ≤ δ(f, π,{ξk}) ≤ S(π). 2. Tổng trên (hoặc tổng d−ới) của phép phân hoạch π là cận trên (hoặc cận d−ới) đúng của tập hợp mọi tổng tích phân ứng với phép phân hoạch này S(π) = sup δ(f, π, {ξk}), s(π) = inf δ(f, π, {ξk}), ξk ∈( xk-1, xk). 3. Nếu ta thêm vào phép phân hoạch π mới những điểm chia mới thì tổng trên không tăng và tổng d−ới không giảm. 4. Tổng Đacbu d−ới của 1 phép phân hoạc bất kỳ đều nhỏ hơn tổng Đacbu trên của phép phân phân hoạc bất kỳ khác. 89
88. * * 5. Đặt Is* = sup{ (π )}, IS= inf{ (π )}, thì s(π) ≤ I* ≤ I ≤ S(π) ứng vợi π π * mội phép phân hoạch π bất kỳ số IA (hoặc I ) gọi là tích phân d−ới (hoặc trên) của hàm số f(x) trên [a,b]. 2.2. Tiêu chuẩn khả tích Định lý 3.8. Cho hàm số y = f(x) bị chặn trên [a,b]. Điều kiện cần và đủ để hàm số khả tích là lim (S(π) - s(π)) = 0 d()π → 0 Chứng minh. b Điều kiện cần: Giả sử tồn tại tích phân I = ∫ f ()xdx. Khi đó ∀ε > 0, ∃δ a > 0 sao cho với mọi phép phân hoạch π mà d(π) I* = I = I. Ta có s ≤ I ≤ S (1) Nếu gọi σ là một tổng tích phân ứng với phép phân hoạch π (là phép phân hoạch của S và s) thì s ≤ σ ≤ S (2) (tính chất 1) Vì lim (S - s) = 0 nên ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ⏐S - s⏐< ε nếu d(π) < δ d()π → 0 Từ (1) và (2) ta có ⏐σ - I⏐< δ ⇒ lim δ = I d()π → 0 ⇒ hàm số f(x) khả tích trên [a,b] 90
89. 3. Các lớp hàm khả tích Định lý 3.9. Mọi hàm số y = f(x) liên tục trên [a,b] thì khả tích trên đoạn đó. Chứng minh. Theo định lý Canto, hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a,b], cho nên liên tục đều trên đoạn này. Nghĩa là ∀ ε > 0, ∃δ > 0 sao cho x1, x2 ∈ [a,b] :⏐x2 - x1 ⏐ 0 nhỏ tuỳ ý cho nên y = f(x) khả tích trên [a,b]. Đính lý 3.10. Nếu hàm số bị chặn y = f(x) trên [a,b] chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn thì y khả tích trên đoạn này. Chứng minh. Giả sử y = f(x) gián đoạn tại các điểm a 0 nhỏ tuỳ ý sao cho các khoảng (αi - ε, αi + ε) (1 ≤ i ≤ r) không giao nhau. Trên mỗi đoạn [αi -1 - ε, αi + ε] (i = 1, , r + 1), a = α0 , b = αr +1 hàm số y = f(x) liên tục cho nên nó khả tích. Vì vậy ε > 0, ta tìm đ−ợc số δi > 0 ứng với các đoạn [αi-1+ε, αi - ε] sao cho dao độ của hb trên mỗi đoạn nằm trên [αi-1 + ε, αi - ε] và có độ dài bé hơn δi đều nhỏ hơn ε. Rõ ràng δi nói chung khác nhau. Vì [αi-1+ ε,αi - ε] có số các đoạn là hữu hạn cho nên ∃δ = min{ δi} Giả sử phép phân hoạch π thoả mãn d(π) < δ. Ta phân chia các đoạn Δk trong phép phân hoạch này thành 2 loại. 1) Loại 1 gồm những đoạn hoàn thành thuộc vào các đoạn [αi-1+ε, αi - ε], 1≤ i ≤ r +1. 91
90. 2) Loại 2 gồm những đoạn có điểm chung với các khoảng [αi - ε, αi + ε], 1 ≤ i ≤ r . nn n /// Ta lập tổng t−ơng ứng ∑∑wwwkkΔ =Δ+Δ kk ∑ kk, trong đó ∑’ kk=11== k 1 trải qua khắp đoạn loại 1, ∑” trải qua khắp đoạn loại 2. Vì d(π) 0 nhỏ tuỳ ý, [b- a+ 4(M- m)r] là hằng số nên lim ∑ wkkΔ = 0 d()π → 0k=1 ⇒ y = f(x) khả tích trên [a, b]. Định lý 3.11. Nếu hàm số y = f(x) bị chặn và đơn điệu trên [a, b] thì f(x) khả tích trên [a, b]. 92
91. Chứng minh. Giả sử y = f(x) đơn điệu tăng trên đoạn [a, b]. Khi đó dao độ của ε nó trên Δ sẽ là w = f(x ) – f(x ). Với ε > 0 nhỏ tuỳ ý ta chọn δ = i i i i – 1 f ()bfa− () khi đó với mọi phép phân hoạch π sao cho d(π) < δ ta có n n ∑ wkkΔ < δ ∑[(fxii )− fx (−1 )] = δ[f(b) – f(a)] = ε k=1 k=1 n ⇒ lim ∑ wkkΔ = 0. d()π → 0k=1 ⇒ y = f(x) khả tích trên [a, b]. 4. Tính chất của tích phân xác định Định lý 3.12. Nếu hàm số y = f(x) = c (c = const), ∀x ∈ [a, b] thì nó khả tích bb trên [a, b] và ∫∫f ()xdx= cdx . = c(b – a). aa Chứng minh. Đối với phép phân hoạch π bất kỳ ta có n n σ = ∑ f ()(ξiixx− i−1 ) = cxx.(∑ ii− −1 ) = c(b – a), ξi ∈ [xi - 1, xi] i=1 i=1 ⇒ lim σ = c(b – a) dπ →0 Định lý 3.13. Nếu các hàm số f(x) và g(x) khả tích trên [a, b] thì f(x) ± g(x) khả tích trên [a, b]. Chứng minh. Gọi π là phép phân hoạch bất kỳ. Ta lấy điểm tuỳ ý ξi ∈ Δi và lập tổng tích phân đối với f(x) ± g(x) n n n ∑[fg (ξξiii )+Δ ( )]. = ∑ f ().ξiiΔ ± ∑ g().ξiiΔ i=1 i=1 i=1 93
92. n n Vì f(x) và g(x) khả tích nên ∑ f ().ξiiΔ và ∑ g().ξiiΔ có giới hạn hữu i=1 i=1 hạn khi dπ → 0. Ta có điều phải chứng minh. Định lý 3.14. Nếu hàm số f(x) và g(x) khả tích trên [a, b], α = const bất kì thì bb α.f(x) khả tích trên [a, b] và ∫∫αα.()f xdx= . f (). x dx. aa Chứng minh. Lập tổng tích phân của các hàm f(x) và α.f(x) ứng với phép phân n n hoạch π ta có ∑αξ.(f ii ).Δ = α. ∑ f ().ξiiΔ . Ta có điều phải chứng minh. i=1 i=1 Định lý 3.15. Nếu hàm số y = f(x) khả tích trên mỗi đoạn [a, c], [c, d] (a <c <d) bc b thì nó khả tích trên [a, b] và ∫∫∫f ()xdx=+ fxdx (). fxdx (). . aa c Chứng minh. Tr−ớc hết ta chứng minh f(x) khả tích trên [a, b] n Dùng phép phân hoạch π về lập tổng ∑wii.Δ . i=1 Nếu trong phép phân hoạch ta lấy c làm điểm chia ta có n ∑wii.Δ = ∑1 + ∑2, i=1 trong đó ∑1, ∑2 là tổng tích phân trên [a, c], [c, b]. n Vì ∑1 → 0, ∑2 → 0 khi d(π) → 0 nên ∑wii.Δ → 0 i=1 94