Chuyên đề Đẳng thức lượng giác

Nội dung text: Chuyên đề Đẳng thức lượng giác

1. Đẳng thức lượng giác Trong toán học, các đẳng thức lượng giác là các phương trình chứa các hàm lượng giác, đúng với một dải lớn các giá trị của biến số. Các đẳng thức này hữu ích cho việc rút gọn các biểu thức chứa hàm lượng giác. Ví dụ trong việc tính tích phân với các hàm không phải là lượng giác: có thể thay chúng bằng các hàm lượng giác và dùng các đẳng thức lượng giác để đơn giản hóa phép tính. Định nghĩa Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị: Tuần hoàn (k nguyên) Đối xứng Tịnh tiến
2. Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích: với Đẳng thức Pytago Các đẳng thức sau dựa vào định lý Pytago. Đẳng thức thứ 2 và 3 có thể suy ra từ đẳng thức đầu bởi chia nó cho cos²(x) và sin²(x).
3. Tổng và hiệu của góc Cách chứng minh nhanh các công thức này là dùng công thức Euler. với và Công thức góc bội Bội hai Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên. Cũng có thể dùng công thức de Moivre với n = 2.
4. Công thức góc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago. Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a2 − b2, 2ab, c2) cũng vậy. Tổng quát Nếu Tn là đa thức Chebyshev bậc n thì công thức de Moivre: Hàm hạt nhân Dirichlet Dn(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau: Hay theo công thức hồi quy: sin(nx) = 2sin((n − 1)x)cos(x) − sin((n − 2)x) cos(nx) = 2cos((n − 1)x)cos(x) − cos((n − 2)x) Bội ba Ví dụ của trường hợp n = 3: sin(3x) = 3sin(x) − 4sin3 (x)
5. cos(3x) = 4cos3(x) − 3cos(x)dinh van phu Công thức hạ bậc Giải các phương trình ở công thức bội cho cos2(x) và sin2(x), thu được: Công thức góc chia đôi Thay x/2 cho x trong công thức trên, rồi giải phương trình cho cos(x/2) và sin(x/2) để thu được:
6. Dẫn đến: Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa: Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa: Suy ra: Nếu thì:
7. and and Phương pháp dùng t thay thế như trên hữu ích trong giải tích để chuyển các tỷ lệ thức chứa sin(x) và cos(x) thành hàm của t. Cách này giúp tính đạo hàm của biểu thức dễ dạng. Biến tích thành tổng Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên có thể suy ra. Biển tổng thành tích Thay x bằng (x + y) / 2 và y bằng (x – y) / 2 trong công thức trên, suy ra:
8. Hàm lượng giác nghịch đảo
9. Dạng số phức với Tích vô hạn Trong các ứng dụng với hàm đặc biệt, các tích vô hạn sau có ích: Đẳng thức số
10. Cơ bản Richard Feynman từ nhỏ đã nhớ đẳng thức sau: Tuy nhiên nó là trường hợp riêng của: Đẳng thức số sau chưa được tổng quát hóa với biến số: . Đẳng thức sau cho thấy đặc điểm của số 21: Một cách tính pi có thể sựa vào đẳng thức số sau, do John Machin tìm thấy: hay dùng công thức Euler: Một số đẳng thức khác:
11. Dùng tỷ lệ vàng φ: Nâng cao • •
12. • • • • • • • • • • • •
13. • • Giải tích Các công thức trong giải tích sau dùng góc đo bằng radian Các đẳng thức sau có thể suy ra từ trên và các quy tắc của đạo hàm:
14. Các biểu thức về tính tích phân có thể tìm tại danh sách tích phân với hàm lượng giác và danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược.