Chỉnh hóa bài toán nhiệt ngược với hệ số phụ thuộc thời gian trong tọa độ cầu

Nội dung text: Chỉnh hóa bài toán nhiệt ngược với hệ số phụ thuộc thời gian trong tọa độ cầu

1. TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lưu Hồng Phong và tgk ___ CHỈNH HĨA BÀI TỐN NHIỆT NGƯỢC VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRONG TỌA ĐỘ CẦU LƯU HỒNG PHONG*, PHẠM HỒNG QUÂN , LÊ MINH TRIẾT TĨM TẮT Như chúng ta đã biết, bài tốn nhiệt ngược cĩ nhiều ứng dụng trong vật lí và các ngành khoa học kĩ thuật. Cho đến nay, các cơng trình nghiên cứu bài tốn nhiệt ngược chủ yếu xem xét bài tốn trong tọa độ Đề-các, cĩ rất ít bài báo xem xét bài tốn trong tọa độ cực, tọa độ trụ hay tọa độ cầu. Do đĩ trong bài báo này, chúng tơi mong muốn nghiên cứu bài tốn nhiệt ngược trong tọa độ cầu với hệ số khuếch tán phụ thuộc vào thời gian. Chi tiết hơn, chúng tơi sẽ chỉnh hĩa bài tốn bằng cách áp dụng phương pháp tựa giá trị biên cĩ điều chỉnh và đưa ra tốc độ hội tụ của nghiệm chỉnh hĩa nhanh hơn dạng Hưlder. Và sau cùng, một ví dụ số được đưa ra để minh họa cho tính hiệu quả của phương pháp của chúng tơi. Từ khĩa: bài tốn nhiệt ngược, tọa độ cầu, phương pháp tựa giá trị biên cĩ điều chỉnh. ABSTRACT Regularizing the Backward Heat Problem with time-dependent diffusivity in the spherical coordinates It is known that the backward heat problem (BHP) has many applications in physics and engineering sciences. Until now, the works on the BHP have been conducted in Descartes coordinates, and there have been few papers in polar coordinates, cylindrical coordinates or spherical coordinates. Therefore, in this paper, we study the BHP in the spherical coordinates with the time-dependent diffusivity. In more details, we regularize the problem by applying the modified quasi-boundary value method and get the convergence of the regularized solution, which is better than the Hưlder type. Eventually, a numerical experiment is given to illustrate the effectiveness of our method. Keywords: backward heat problem, spherical coordinates, the modified quasi- boundary value method. 1. Giới thiệu Như đã biết, lí thuyết phương trình đạo hàm riêng đã xuất hiện từ lâu trong vật lí và các ứng dụng khoa học kĩ thuật. Cho đến nay, một trong các phương trình đạo hàm riêng được khảo sát đến nhiều nhất là phương trình parabolic. Cụ thể hơn, bài tốn * NCS - ThS, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQG TPHCM PGS TS, Trường Đại học Sài Gịn; Email: phquan@sgu.edu.vn TS, Trường Đại học Sài Gịn 145
2. TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 12(90) năm 2016 ___ ngược cho phương trình nhiệt được đưa vào nghiên cứu trong nhiều thập kỉ qua. Ý nghĩa của bài tốn, đĩ là, chúng ta phải tìm lại được sự phân bố nhiệt tại một thời điểm cụ thể t T khi chúng ta đo đạc được sự phân bố nhiệt tại thời điểm cuối T . Bài tốn này được xuất hiện trong nhiều ngành khoa học kĩ thuật; ví dụ như, xác định nhiệt độ đầu của một vật thể, việc đo đạc di chuyển của nước ngầm, xác định và kiểm sốt các nguồn ơ nhiễm, bảo vệ mơi trường Bài tốn nhiệt ngược (BHP) được xuất hiện trong nhiều bài báo chẳng hạn như [9, 13, 14, 16, 17]. Các bài báo trên tập trung nghiên cứu chủ yếu vào các bài tốn BHP một chiều với hệ số hằng hoặc khơng hằng trong tọa độ Đề-các. Chi tiết hơn, trong [13], P. H. Quân cùng với các cộng sự đã xem xét bài tốn BHP với hệ số khuếch tán phụ thuộc thời gian sau: uxt(,) atuxt ()(,),(,) xt 0, T , xx (1.1) u( x , T ) g ( x ), x . Bằng phương pháp tựa giá trị biên (MQBV) và yêu cầu một số điều kiện đầu cho dữ liệu chính xác, các tác giả thu được tốc độ hội tụ của nghiệm chỉnh hĩa nhanh hơn dạng Hưlder. Tuy nhiên, các bài tốn BHP được xét trong tọa độ cực thì rất hiếm. Gần đây, bài tốn truyền nhiệt ngược đối xứng (ABHP) trên một đĩa trịn được nghiên cứu bởi W. Cheng và C. L. Fu [3, 4]. Trong bài báo [3, 4], W. Cheng và C. L. Fu đã sử dụng phương pháp chặt cụt phổ tốn tử và phương pháp Tikhonov cĩ điều chỉnh để chỉnh hĩa bài tốn sau: u2 u1 u    , 0r r , 0 t T , t r2 r r 0   u( r , T ) ( r ), 0 r r , 0 (1.2) u( r , t ) 0, 0 t T , 0 u(0, t ) , 0 t T . Với một số điều kiện của nghiệm chính xác, các tác giả thu được các sai số dưới dạng logarit. Trong [5], một mơ hình vật lí được xem xét đến là xác định nguồn nhiệt trong một quả cầu cĩ bán kính r₀ và được xét trong trường hợp đối xứng tâm với thơng lượng nhiệt trên bề mặt bằng 0. Từ đĩ, mơ hình tốn học tương ứng cĩ thể mơ tả qua bài tốn BHP đối xứng tâm sau: 2 u u u, 0 r r , 0 t T , t rr r r 0 u( r , t ) 0, 0 t T , r 0 (1.3) u( r , T ) ( r ), 0 r r , 0 u(0, t ) , 0 t T , 146
3. TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lưu Hồng Phong và tgk ___ trong đĩ, ()r là nhiệt độ tại thời điểm cuối. Hơn nữa, các tác giả đã sử dụng phương pháp Tikhonov cĩ điều chỉnh để thu được tốc độ hội tụ nhanh hơn dạng Hưlder (xem [5]). Một điểm yếu của hai bài tốn (1.2), (1.3) đĩ là sự phân bố nhiệt ở thời điểm cuối T lần lượt độc lập với  và (,)  mà rõ ràng điều này khĩ xảy ra trong thực tế. Do đĩ, để tổng quát hơn và mang tính ứng dụng thực tế nhiều hơn, với ý tưởng của hai bài tốn (1.1) và (1.3), chúng tơi tập trung nghiên cứu bài tốn xác định sự phân bố nhiệt độ u r,,,  t , với r, ,  , t 0, a 0, 0,2 0,T thỏa mãn: 2u2 u 1 2 u u 2 u u a() t    cot  csc2   , (1.4) t r2 r r r 2 2   2        u a, , , t 0, (1.5)   u r,,,,  T f r ,  , (1.6) u0, ,  , t , (1.7) trong đĩ, f là nhiệt độ tại thời điểm cuối T và a t là hệ số khuếch tán. Bài tốn (1.6), (1.7) là một bài tốn khơng chỉnh. Do đĩ, nếu cĩ sự thay đổi rất nhỏ của dữ liệu thì nghiệm xấp xỉ tìm được, nếu tồn tại, sẽ cĩ sự sai khác rất lớn so với nghiệm chính xác. Vấn đề quan trọng được các nhà nghiên cứu quan tâm là chỉnh hĩa bài tốn, nhằm đưa ra nghiệm xấp xỉ ổn định cho bài tốn. Từ đĩ, chúng tơi vận dụng phương pháp tựa giá trị biên cĩ điều chỉnh để xây dựng nghiệm chỉnh hĩa cho bài tốn (1.4)-(1.7). Ý tưởng của phương pháp này là thêm vào điều kiện biên (1.6) một lượng "ổn định" sẽ được trình bày sau. Hơn nữa, chúng tơi thu được ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hĩa theo dạng Hưlder kết hợp với logarit. Đặc biệt hơn, một ví dụ số được đề xuất để minh họa cho phương pháp của chúng tơi. Đây cũng là một điểm mạnh của bài báo này vì trong bài báo [5], các tác giả khơng đưa ra ví dụ số để minh họa cho phương pháp của họ. Phần cịn lại của bài báo được chia như sau: Chúng tơi đưa ra một số kiến thức liên quan đến việc tìm nghiệm chính xác của bài tốn (1.4)-(1.7) trong Chương 2; Chương 3, chúng tơi giới thiệu nghiệm chỉnh hĩa và đưa ra ước lượng sai số; Chương 4 thể hiện ví dụ số mà chúng tơi đề cập ở trên; cuối cùng, chúng tơi cĩ kết luận trong Chương 5. 2. Một số định nghĩa và bổ đề a 0 L² 0; a ; r f : 0; a| f Định nghĩa 2.1. Cho và là hàm đo được r 0;a Lebesgue với trọng lượng trên  . Từ đĩ, ta thấy rằng khơng gian L² 0; a ; r trên là một khơng gian định chuẩn với chuẩn 147
4. TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 12(90) năm 2016 ___ 1/2 a 2 2 f r f( r ) dr , với f L [[0; a ]; r ]. 2 0 Tiếp theo, chúng tơi phát biểu một vài định nghĩa và bổ đề đã được trình bày trong [11, 19]. Bổ đề 2.1. Cho n là một số nguyên khơng âm. Khi đĩ, chúng ta cĩ các hàm cầu Bessel loại một cấp n như sau: 1/2 j( x ) J ( x ), n 1 2x n 2 1 J n trong đĩ, 1 là hàm Bessel loại một cấp . n 2 2 Bổ đề 2.2. Cho n là một số nguyên khơng âm và phương trình cầu Bessel cấp n được định nghĩa như sau xy² 2 xy  ²² xnn 1 y 0, 0 xaya , 0. (2.1) Khi đĩ, chúng ta cĩ các nghiệm của phương trình (2.1) như sau: y x j x n j n,, j n  n j , 0,1,2, , 1,2, , n1/2, j j J với n, j , trong đĩ, n1/2, j nghiệm dương thứ của 1 . a n 2 Bổ đề 2.3. Cho n là một số nguyên khơng âm thì chúng ta cĩ đa thức Legendre loại một cấp n như sau 1M (2n 2 m )! P( x ) ( 1)m x n 2 m , n 2n  m!( n m )!( n 2 m )! (2.2) m 0 trong đĩ, M n / 2 nếu n là số chẵn hay n 1 / 2 nếu n là số lẻ. Bên cạnh đĩ, chúng ta cĩ hàm Legendre loại hai cấp n 1 Q x P x dx n n n 2 , 0,1,2, . (2.3) P x 1 x ² n Bổ đề 2.4. Cho n=0,1,2, , ta cĩ phương trình Legendre cấp n 1 x ² y 2 xy n n 1 y 0, 1 x 1. (2.4) Từ đĩ, nghiệm tổng quát của phương trình (2,4) là y x c P x c Q x , 1n 2 n 148
5. TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lưu Hồng Phong và tgk ___ P( x ), Q ( x ) c, c trong đĩ, n n lần lượt được định nghĩa bởi (2.2) và (2.3), 1 2 là các hằng số. Chú ý 2.1. n 0,1,2, m 0,1,2, , Pm () x i) Cho và hàm Legendre liên hợp n được định nghĩa dưới dạng đạo hàm cấp m của đa thức Legendre cấp n như sau: dm P() x Pm( x ) ( 1) m (1 x2 ) m /2 n . n dx m (2.5) P n Pm 0m n . Từ n là một đa thức cấp , để n khác khơng, chúng ta phải chọn Pm Hơn nữa, nếu m là một số nguyên âm, chúng ta định nghĩa n bởi: (n m )! Pm( x ) ( 1) m P m ( x ). n n (n m )! Đây là mở rộng định nghĩa của hàm Legendre liên hợp với n 0,1,2, và m n, n 1 , , n 1, n . Y , ii) Sau đây, chúng ta định nghĩa hàm cầu điều hịa n, m   bởi: 2n 1 n m ! Y,, Pm cos e im n, m   n  (2.6) 4 n m ! với n 0,1,2, và m n, n 1 , , n 1, n . Bổ đề 2.5. Cho n là một số nguyên khơng âm và phương trình vi phân cho hàm cầu điều hịa được định nghĩa như sau: ²YYY   ² cot csc²  n n 1 Y 0, ²     ² với 0  , 0  2 . Khi đĩ, chúng ta cĩ 2n 1 nghiệm khơng tầm thường được cho bởi hàm cầu điều hịa Y Y m n ,  n, m  ,  , , Y , với n, m   được định nghĩa bởi (2.6). Định nghĩa 2.2. Với f r,,  là một hàm khả tích bậc 2, xác định với 0 r a , 0  , 0 2 , và cĩ chu kì 2π theo biến  . Khi đĩ, chúng ta cĩ: n f r, , A j ( r ) Y ( , ),     jnm n  n,, j n m   j 1 n 0 m n 149
6. TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 12(90) năm 2016 ___ trong đĩ, 2 a 2 A fr(,,)()(,), j rY rsindddr2 jnm   n  n, j n, m      a3 j2 0 0 0 n 1 1 n, j 2 Y Y . và n, m là liên hợp phức của n, m 3. Các kết quả chính Bằng cách sử dụng phương pháp tách biến và khai triển chuỗi cầu điều hịa, chúng tơi thu được nghiệm chính xác của bài tốn (1.4)-(1.7) như sau: n u(,,,) r t A t j ()(,), r Y     jnm n  n,, j n m   (3.1) j 1 n 0 m n trong đĩ, A()exp t2 (() F T F ()) t f , jnm  n, j  jnm 2 a 2 f fr(,,)()(,), j rY rsindddr2 jnm   n  n, j n, m      a3 j2 0 0 0 n 1 1 n, j 2 t F()(). t a s ds 0 Từ đĩ, chúng ta dễ dàng thấy rằng: lim exp2 F T F t , n 0,1, n, j . j  Đây chính là nguyên nhân gây nên tính khơng ổn định của nghiệm chính xác (3.1). Do đĩ, chúng ta cần xây dựng một nghiệm xấp xỉ cho bài tốn (1.4)-(1.7) bằng exp 2 F T F t cách thay thế thừa số n, j  bởi một thừa số "tốt hơn". Để làm được điều đĩ, chúng tơi đề xuất bài tốn chỉnh hĩa sau: 2u2 u  1 2 u  u  2 u     2  u a() t cot csc  , (3.2) t r2r r r 2 2 2      u a, ,  , t 0, (3.3) u 0, ,  ,t , (3.4) và điều kiện biên tại t T như sau: 150
7. TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lưu Hồng Phong và tgk ___ 2 n expF ( T ) k n, j u(,,,) r T  f  j ()(,), r Y   2 2 jnm n  n,, j n m   j1 n 0 m  n expF ( T ) k  n,, j  n j  2 a 2 f fr  (,,)()(,), jrY rsindddr2 jnm   n  n, j n, m      a3 j2 0 0 0 n 1 1 n, j 2 với α(ε) là tham số chỉnh hĩa được chọn sao cho lim  0, k 0 và f  là dữ liệu  0 đo. Khi đĩ, chúng tơi thu được nghiệm chỉnh hĩa u ứng với dữ liệu đo f  n u(,,,) r t B  t j ()(,), r Y     jnm n  n,, j n m   (3.5) j 1 n 0 m n trong đĩ, exp2 F ( t ) k n, j B t  f  , jnm jnm 2exp 2 F ( T ) k  n,, j  n j  và nghiệm chỉnh hĩa v ứng với dữ liệu chính xác f n v (,,,) r t B t j ()(,), r Y     jnm n  n,, j n m   (3.6) j 1 n 0 m n với exp2 F ( t ) k B t n, j  f , jnm jnm 2exp 2 F ( T ) k  n,, j  n j  Để tiện cho việc trình bày, từ đây trở đi, chúng tơi kí hiệu  . Sau đây, chúng tơi đưa ra một số bổ đề giúp ích cho việc đánh giá sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hĩa. Bổ đề 3.1. Giả sử 0 T , a 0, ta cĩ bất đẳng thức sau: 1 TT 1 ln . a exp{ aT} Bổ đề 3.3. Giả sử 0 t s T , 0 T và p 2. Khi đĩ, ta cĩ các bất đẳng thức sau: t s exp (s t T) a T T sup  T ln , i) aexp aT 0 a 0  151
8. TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 12(90) năm 2016 ___ t 1 exp ta T T sup  T ln , ii) aexp aT a 0  1 a T T iii) sup C p , T ln , p/2 a 0 1 a a exp a T p 2 1 p /2 C(,) p T trong đĩ, T₀=max{1;T} và 2T . Chứng minh. Người đọc cĩ thể tham khảo phần chứng minh của (i) - (ii) trong bài báo [13], nên trong phần này, chúng tơi chỉ chứng minh (iii). Đặt a1 p /2 H(). a a exp aT limH a lim H a 0 a 0, Dễ dàng thấy rằng . Dẫn đến tồn tại 0 sao cho: a 0 a H a H( a)() với a 0 và H a 0 . 0 0 Bằng phép tính đơn giản, chúng tơi cĩ được: a p / 2 expa T 0 . 0  1p / 2 Ta (3.7) 0 Mặt khác, vế trái của (3.7) là một số thực dương, do đĩ, chúng tơi thu được: p 2 a . 0 2T Áp dụng Bổ đề 3.1, suy ra: H()() a H a 0 1 p 2 1 p /2 TT ln . 2T Kết thúc chứng minh Bổ đề 3.1 iii). Trong thực tế, để cĩ được nhiệt độ tại thời điểm cuối T , chúng ta phải sử dụng các thiết bị đo đạc. Do đĩ, khơng thể tránh được sự xuất hiện sai số giữa dữ liệu chính xác f và dữ liệu đo đạc được. Trong bài báo này, chúng tơi giả sử dữ liệu đo đạc là f  và thỏa điều kiện sau: 152
9. TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lưu Hồng Phong và tgk ___ 2 H₁ f f  L 0; a ; r : Giả sử, , lần lượt là dữ liệu chính xác và dữ liệu đo đạc sao cho: supf (,,) f (,,) .     2  ,  0, 0,2 Ngồi ra, chúng tơi cần thêm một điều kiện đầu về nghiệm chính xác như sau: p H₂: Với một số thực p 2 . Giả sử rằng u(,,,)  t H ([0;]) a - khơng gian Sobolev, tức là tồn tại một số dương K sao cho supu ( , , , t ) K ,   Hp ([0; a ]) (3.8) ,  ,t 0, 0,2 0, T trong đĩ, n p/2 u(,,,) t 12 A t j ()(,). Y  Hp ([0; a ])   n,,, j jnm n  n j  n m   j 1 n 0 m n 2 Với hai điều kiện trên, chúng tơi đưa ra ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hĩa qua định lí sau. Định lí 3.1. Với f , f  thỏa điều kiện H₁, 0  min 1,T và  . Giả sử rằng u(,,,) r  t và u (,,,) r  t , được cho bởi (3.1) và (3.5), lần lượt là nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hĩa tương ứng với dữ liệu đo f  . Với ,  ,t 0, 0,2 0, T , chúng tơi cĩ đánh giá sau: F() T k 1 u (,,,)(,,,) t u t T ln M (),    2 k  (3.9) Tmax 1; F T k trong đĩ, k và F() t k F() T k F() T k M( ) ln C ( p , F ( T ) k ) K .    Chứng minh. Chứng minh của định lí này được chia thành hai phần. Trong phần 1, từ (3.5), (3.6) và Bổ đề 3.1, chúng tơi cĩ đánh giá sau: u (,,,) t v  (,,,) t      2 2 n expF ( T ) k n, j  f f j()(,) Y jnm jnm n nj,,  nm     2exp 2 F ( T ) k j 1 n 0 m n n,, j  n j  2 153
10. TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 12(90) năm 2016 ___ F() t k 1 F() T k F() T k n T ln f f j()(,) Y k    jnmjnmnnjnm ,,    j 1 n 0 m n 2 F() t k 1 F() T k F() T k T ln f (,,)(,,) f k       2 F() t k 1 F( T) k F() T k T ln . (3.10) k  Trong phần hai, từ (3.1) và (3.6), chúng tơi cĩ được: A ( t ) B( t) jnm jnm exp2 F ( t ) k n, j exp2 (F ( T ) F ( t ))  f , n, j jnm  2exp 2 F ( T) k n,, j  n j  2exp 2 (F ( T ) F ( t )) n,, j  n j  f . jnm 2exp 2 F ( T) k n,, j  n j  Áp dụng Bổ đề 3.2 iii), chúng tơi cĩ v (,,,) t u (,,,) t      2 2 n n, j exp2 F ( T ) F ( t ) 2 2 n, j  j1 n 0 m  n expF ( T ) k n,, j  n j  f j ( ) Y ( , ) jnm n n,, j  n m   2 p/2 2 2 n 1 n,, j  n j    2exp 2 F ( T ) k j 1 n 0 m n n,, j  n j  p/ 2 12 A()t j ( )(,)Y n,, j jnm n  n j  n, m   2 T F() T k 1 C p,() F T k k ln n p/2 12 A(t) j ( ) Y ( , )    n,,, j jnm n  n j  n m   j 1n 0 m n 2 F() T k 1 C p, F ( T ) kT ln K , (3.11) k 154
11. TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lưu Hồng Phong và tgk ___ 1 p /2 p 2 trong đĩ, C(,()) p F T k . 2F ( T ) k Bằng bất đẳng thức tam giác, kết hợp (3.10), (3.11) và chọn  , chúng tơi suy ra được đánh giá sau: u (,,,) t u (,,,) t      2 u(,,,)(,,,)(,,,) t v  t v  t u(,,,) t      2      2 F() t k F() t k 1 1 F()() T kF() T k F T k F() T k T ln C p,() F T kT ln K k k   F() t k 1 F() t k F()T k F() T k T ln F() T k C p, F() T k K . k   F T k Từ đĩ, chúng tơi cĩ được đánh giá (3.9). Chú ý rằng  ln sẽ hội tụ về  0 khi  tiến về 0. Kết thúc chứng minh Định lí 3.1. Chú ý 3.1. Nếu p 2 , điều kiện H₂trở thành u(,,,), t K   H2 ([0; a ]) Hơn nữa, C(,() p F T k ) C (2,() F T k )0 . Điều này dẫn đến ước lượng sai số (3.9) trở thành F() t k F() t k 1 F() T k F() T k u (,,,)(,,,) t u t T F() T k ln .     2 k   Đây là sai số dưới dạng kết hợp logarit và Hưlder nhanh hơn dạng logarit của (3.9). Chú ý 3.2. Dựa vào (3.9), chúng ta cĩ thể thấy rằng k càng lớn thì tốc độ hội tụ của nghiệm chỉnh hĩa càng tốt. 4. Ví dụ số Trong chương này, chúng tơi xét bài tốn cụ thể sau: 155
12. TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 12(90) năm 2016 ___ 2u2 u 1 2 u u 2 u u a() t    cot  csc2   , (4.1) t r2 r r r 2 2   2        u a, ,  , t 0, (4.2) u r,,  ,T f r ,  ,  , (4.3) trong đĩ, r,,,  t 0,1 0, 0,2 0,1 và f(,,) r 1010 j r Y , Y , , (4.4)   12 25/2,1 12,12   12,12   1 1 a(), t t 50 10 Chúng ta cĩ được 25 Y, P12 cos ei 12 , 12,12   12  24!4 d6 P() x P12( x ) ( 1) 12 (1 x2 ) 6 12 , 12 dx6 16 (24 2m )! P( x ) ( 1)m x12 2 m , 12 212  m!(12 m )!(12 2 m )! m 0 12 YY, =( 1)12,12 , . 12, 12     Từ đĩ, chúng tơi thu được nghiệm chính xác u tương ứng với dữ liệu chính xác (4.4) như sau: n u(,,,) r t exp2 ((1) F F ()) t f j ( r ) Y (,),     n,,, j  jnm n  n j n m   j 1 n 0 m n Xét dữ liệu đo sau f (,,) r  1   rand  f (,,), r   (4.5) trong đĩ, rand()  N 0,1 . Từ (4.4) và (4.5), ta cĩ f (,,)(,,). f     2  1 k0, k , Ngồi ra, từ (3.5), (4.5) và chọn ₁ ₂ 3 chúng tơi đưa ra các nghiệm chỉnh ,k ,k hĩa u 1 và u 2 lần lượt tương ứng với k₁, k ₂ như sau: 156
13. TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lưu Hồng Phong và tgk ___ ,k u 1 ( r , ,  , t ) 2 n 1 rand expF ( t )    n, j  f j( r ) Y ( , ), (4.6) jnm n n,, j n m     2exp 2 F (1) j 1 n 0 m n n,, j  n j  và ,k u 2 ( r , ,  , t ) 1 1 rand exp 2 F ( t )  n    n, j 3   f j( r ) Y ( , ), (4.7)   1 jnm n n,, j n m   j 1 n 0 m n 2exp 2 F (1)  n,, j  n j 3   Chúng tơi đưa ra các tính tốn sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ tại 10 i ,i 1,4 t 0;0.5 các giá trị của t. Chi tiết hơn, chúng tơi lấy ε lần lượt là i ,  ,, và   6 6 . Các bảng sau đây thể hiện các tính tốn sai số của cả hai trường hợp 1 k0, k . ₁ ₂ 3 ,k Bảng 1. Ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hĩa u 1 ,, k 0 trong trường hợp   6 6 và 1 ,k u 1 ,,,,,, t u t 6 6  6 6 2 10 1 10 2 10 3 10 4 t 1 2 3 4 1 3.1297 10 3.1206 10 1 3.0320 10 1 2.3617 10 1 0 6.4538 10 4 6.4350 10 4 6.2524 10 4 4.8700 10 4 0.5 ,k Bảng 2. Ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hĩa u 2 1 ,, k trong trường hợp   6 6 và 2 3 ,k u 2 ,,,,,, t u t 6 6  6 6 2 10 1 10 2 10 3 10 4 t 1 2 3  4 1.0669 10 1 1.0649 10 1 9.2697 10 2 9.2028 10 2 0 4 5.6685 10 4 5.5152 10 4 5.4914 10 5.3310 10 4 0.5 157
14. TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 12(90) năm 2016 ___ ,k Tiếp theo, Hình 1 thể hiện nghiệm chính xác và các nghiệm chỉnh hĩa ui 2 , i 1,4 r 1 tại thời điểm t=0 trong trường hợp và  6 . Sau cùng, chúng tơi vẽ đồ thị ,k ui 2 i 1,4 nghiệm chính xác u và các nghiệm chỉnh hĩa , tại thời điểm t=0 với  6 trong Hình 2, Hình 3. 5. Kết luận Trong bài báo này, chúng tơi đã nghiên cứu một bài tốn nhiệt khơng đối xứng trong tọa độ cầu bằng phương pháp tựa giá trị biên cĩ điều chỉnh. Với phương pháp này, chúng tơi đã đưa ra ước lượng sai số dạng Hưlder kết hợp logarit trong Chương 3. Hơn nữa, trong Chương 4, Bảng 1 và 2 đã minh họa cho Chú ý 3.2. Một điểm yếu của bài báo là chúng tơi xét bài tốn trong trường hợp thuần nhất. Do đĩ, trong những cơng trình tiếp theo, chúng tơi sẽ tiếp tục nghiên cứu bài tốn này trong trường hợp khơng thuần nhất. r 1 Hình 1. Nghiệm chính xác và các nghiệm chỉnh hĩa tại t=0, và 6 158
15. TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lưu Hồng Phong và tgk ___ ,k ui 2 i 1,2 Hình 2. Nghiệm chính xác và các nghiệm chỉnh hĩa , tại t=0,  6 ,k ui 2 i 3,4 Hình 3. Các nghiệm chỉnh hĩa , tại t=0,  6 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Beskos, D. E., (1997), “Boundary element method in dynamic analysis: Part II”, Applied Mechanics Review, 50, pp. 149-197. 2. Chen, J. T. & Wong, F. C., (1998), “Dual formulation of multiple reciprocity method for the acoustic mode of a cavity with a thin partition”, Journal of Sound and Vibration, 217, pp. 75-95. 159
16. TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 12(90) năm 2016 ___ 3. Cheng, W. & Fu, C. L., (2009), “A spectral method for an axisymmetric backward heat equation”, Inverse Problems in Science and Engineering, 17(8), pp. 1085-1093. 4. Cheng, W.& Fu, C. L., (2010), “A modified Tikhonov regularization method for an axisymmetric backward heat equation”, Acta Mathematica Sinica, English Series, 26(11), pp. 2157-2164. 5. Cheng ,W., Ma, Y.-J.& Fu C. L., (2014), “A regularization method for solving the radially symmetric backward heat conduction problem”, Applied Mathematics Letters, 30, pp. 38-43. 6. Denche, M. & Djezzar S., (2006), “A modified quasi-boundary value method for a class of abstract parabolic ill-posed problems”, Hindawi Publishing Corporation Boundary Value Problems, 2006, Article ID 37524, pp.1-8. 7. Edmund, Y. M. C., (2008), A brief introduction to Bessel and related special functions, Math306 supplementary material. 8. Frank, B. (1958), Introduction to Bessel functions, Dover publications Inc., New York. 9. Fu, C. L., Xiong, X. T.& Qian, Z., (2007), “Fourier regularization for a backward heat equation”, J. Math. Anal. Appl., 331, pp. 472-480. 10. Gun, S. et al., (2009), “Linear independence of digamma function and a variant of a conjecture of Rohrlich”, J. Number Theory, doi:10.1016/j.jnt. 2009.02.007. 11. Nakhlé, H. A., (2005), Partial differential equations with Fourier series and boundary value problems, second edition, University of Missouri, New Jersey. 12. Neta, B., (2002), Partial differential equation MA 3132 Lecture Notes, Department of Math-ematics Naval Postgraduate School, Monterey, California. 13. Quan, P. H., Trong, D. D., Triet, L. M.& Tuan, N. H. (2011), “A modified quasi- boundary value method for regularizing of a backward problem with time- dependent coefficient”, Inverse Problems in Science and Engineerin, 19(3), pp. 409-423. 14. Trong, D. D. & Tuan, N. H. (2008), “Stabilized quasi-reversibility method for a class of nonlinear ill-posed problems”, Electronic Journal of Differential Equations, 2008(84), pp.1-12. 15. Trong, D. D., Quan, P. H. & Tuan, N. H. (2009), “A quasi-boundary value method for regularizing nonlinear ill-posed problems”, Electronic Journal of Differential Equations, 2009(109), pp. 1-16. 16. Trong, D. D. & Tuan, N. H. (2008), “A nonhomogeneous backward heat problem: Regularization and error estimates”, Electronic Journal of Differential Equations, 2008(33), pp. 1-14. 160
17. TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lưu Hồng Phong và tgk ___ 17. Tuan, N. H. & Trong, D. D. (2011), “A note on a nonlinear backward heat equation Stability and error estimates”, Acta Universitatis Apulensis, 2011(28), pp. 279-292. 18. Z. Qian, C. -L. Fu & X. -T. Xiong (2008), “Two regularization methods for a Cauchy problem for the Laplace equation”, J. Math. Anal. Appl., 338, pp. 479- 489. 19. Watson, G. N. (1966), A treatise on the theory of bessel functions 2nd edition, Cambridge, the University Press. (Ngày Tịa soạn nhận được bài: 14-11-2016; ngày phản biện đánh giá: 25-11-2016; ngày chấp nhận đăng: 16-12-2016) 161