›
›

Bài thảo luận Phương trình vi phân

pdf 34 trang ngocly 1390
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài thảo luận Phương trình vi phân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_thao_luan_phuong_trinh_vi_phan.pdf

Nội dung text: Bài thảo luận Phương trình vi phân

  1. z  BBàài tthhảoo luuậậnn NHHÓÓM 110 " PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNHH VVII PPHÂNN ""
  2. Bài thảo luận NHÓM 10 PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Nhóm 10 – lớp HP : 1111FMAT0211 Thành viên nhóm Thành viên tham gia Vấn đề thảo luận đƣợc thảo luận phân công Nguyễn Tài Nguyên Nguyễn Tài Nguyên Ứng dụng của phƣơng trình (nhóm trƣởng) vi phân trong kinh tế - Tổng hợp kết quả thảo luận Đoàn Thị Thanh Nhàn Đoàn Thị Thanh Nhàn Ứng dụng của phƣơng trình Hà Văn Phúc Hà Văn Phúc vi phân trong kinh tế Trần Trọng Phúc Trần Trọng Phúc Lƣơng Thị Thùy Ninh Lƣơng Thị Thùy Ninh (thƣ ký) Giải bài tập trong giáo trình Chu Thị Phƣơng Chu Thị Phƣơng Trần Thị Phƣơng Trần Thị Phƣơng Lý thuyết cơ bản Phạm Thị Hồng Nhung Phạm Thị Hồng Nhung Trịnh Hồng Phúc (không tham gia thảo luận) 1 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  3. Bài thảo luận NHÓM 10 MỤC LỤC Biên bản thảo luận 3 1. Lý thuyết cơ bản 4 1.1 Vài mô hình đơn giản 4 1.2 Khái niệm phƣơng trình vi phân 5 1.3 Phƣơng trình vi phân cấp I 6 1.4 Phƣơng trình vi phân cấp II 9 2. Các dạng bài tập 9 2.1 Phƣơng trình vi phân cấp I 9 2.2 Phƣơng trình vi phân cấp II 17 3. Ứng dụng của phƣơng trình vi phân trong kinh tế 22 3.1 Một số ứng dụng của phƣơng trình vi phân cấp I 22 3.2 Một số ứng dụng của phƣơng trình vi phân cấp II 27 4. Bài tập (kèm phụ lục) 33 2 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  4. Bài thảo luận NHÓM 10 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc BIÊN BẢN THẢO LUẬN Học phần : Toán cao cấp 2 Nhóm 10 - lớp HP : 0111FMAT0211 Đề tài thảo luận : Phƣơng trình vi phân Địa điểm thảo luận : Sân nhà G, trƣờng Đại học Thƣơng Mại Thời gian : 14h ngày 15/03/2011 Phân công thảo luận (danh sách kèm theo bên trên) Hà Nội ngày 15/11/2011 Nhóm trƣởng Thƣ ký 3 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  5. Bài thảo luận NHÓM 10 1. Lý thuyết cơ bản Trong rất nhiều lĩnh vực, chuyển động của một hệ đƣợc mô hình hóa bởi các phƣơng trình vi phân, tức là phƣơng trình có chứa các đạo hảm của ẩn hàm cần tìm. Chẳng hạn, trong cơ học cổ điển (Newton), trong thiên văn học (sự chuyển động của các hành tinh), trong hóa học (các phản ứng hóa học, sự phân rã phóng xạ), trong sinh học (sự phát triển quần thể, quần xã), trong xã hội học (sự phát triển dân số), trong điện tử Trong hầu hết các lĩnh vực nhƣ thế, bài toán chung nhất là việc mô tả nghiệm của phƣơng trình này (cả về định tính lẫn định lƣợng). 1.1 Vài mô hình đơn giản Sự rơi tự do. Xét một vật có khối lƣợng m đƣợc thả rơi tự do trong khí quyển gần mặt đất. Theo định luật II Newton, chuyển động của vật đó có thể đƣợc mô tả bởi phƣơng trình F = ma (1) Trong đó F là hợp lực tác dụng lên vật và a là gia tốc chuyển động của vật. Hợp lực F có thể giả thiết là chỉ bao gồm lực hấp dẫn (tỉ lệ với khối lƣợng của vật và hƣớng xuống) và lực cản (tỉ lệ với vận tốc của vật và hƣớng lên trên). Ngoài ra, do gia tốc chuyển động nên (1) có thể viết dƣới dạng (2) là gia tốc trọng trƣờng, còn là hệ số cản. Vậy vận tốc v của vật rơi tự do thỏa mãn phƣơng trình (2) với sự xuất hiện của đạo hàm của v. Những phƣơng trình nhƣ vậy gọi là phƣơng trình vi phân. Dung dịch hóa học. Giả sử tại thởi điểm ban đầu t = t0 một thùng chứa x0 kg muối hòa tan trong 1000 lít nƣớc. Ta cho chảy vào thùng một loại 4 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  6. Bài thảo luận NHÓM 10 nƣớc muối nồng độ a (kg/lít) với lƣu lƣợng r(lít/phút) và khuấy đều. Đồng thời cho hỗn hợp đó chảy ra khỏi thùng cũng với tốc độ nhƣ trên. Gọi x = x(t) là lƣợng muối trong thùng tại thời điểm bất kỳ. Rõ ràng tỉ lệ thay đổi lƣợng muối trong thùng bằng hiệu của tỉ lệ muối chảy vào ar (kg/phút) trừ đi tỉ lệ muối chảy ra tại thời điểm đang xét (kg/phút). Vậy ta có phƣơng trình vi phân với dữ kiện ban đầu x(t0) = x0 1.2 Khái niệm phương trình vi phân 1.2.1 Phƣơng trình vi phân Phƣơng trình vi phân là phƣơng trình liên hệ giữa biến độc lập (hay các biến độc lập), hàm chƣa biết và đạo hàm của hàm số đó. Phƣơng trình vi phân có dạng ( ( )) Trong đó ( ) là ẩn hàm cần tìm và nhất thiết phải có sự tham gia của đạo hàm (đến cấp nào đó) của ẩn. Trong trƣờng hợp ẩn hàm cần tìm là hàm nhiều biến (xuất hiện các đạo hàm riêng) thì phƣơng trình vi phân còn đƣợc gọi là phƣơng trình đạo hàm riêng. Để phân biệt, ngƣời ta thƣờng gọi phƣơng trình với ẩn hàm là hàm một biết là phƣơng trình vi phân thƣơng và là đối tƣợng nghiên cứu của bài thảo luận này. Ta nói một phƣơng trình vi phân cấp n nếu n là cấp lớn nhất của đạo hàm của ẩn xuất hiện trong phƣơng trình. Ví dụ : √ 5 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  7. Bài thảo luận NHÓM 10 lần lƣợt là các phƣơng trình vi phân cấp II, cấp III và cấp I. 1.2.2 Nghiệm của phƣơng trình vi phân Cho một phƣơng trình vi phân cấp n. Mọi hàm số, khả vi đến cấp n mà khi thay vào phƣơn trình đó cho ta đồng nhất thức đều gọi là nghiệm của phƣơng trình vi phân đó. Ví dụ : Cho phƣơng trình vi phân : √ Nghiệm của phƣơng trình là mọi hàm dạng ( ) với là hằng số tùy ý. Thật vậy, ( ) thay vào phƣơng trình ta đƣợc ( ) √( ) √ 1.3 Phương trình vi phân cấp I Phƣơng trình vi phân cấp I là phƣơng trình vi phân ở dạng đơn giản nhất và là nền tảng cho các phƣơng trình vi phân ở cấp cao hơn. 1.3.1 Dạng biểu diễn Phƣơng trình vi phân cấp I có dạng tổng quát là ( ) . Ở đây, là hàm 3 biến. Phƣơng trình sau gọi là phƣơng trình vi phân cấp I, giải đƣợc với đạo hàm ( ) hay ( ) ( ) là hàm 2 biến, xác định trong miền nào đó thuộc mặt phẳng tọa độ . Phƣơng trình vi phân cấp I có thể đƣợc cho với biến , biến có vai trò bình đẳng. ( ) ( ) 6 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  8. Bài thảo luận NHÓM 10 Khác với các trƣờng hợp ban đầu, phƣơng trình cuối có thể có nghiệm dạng với là hằng số. 1.3.2 Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng Định nghĩa 1. Họ các hàm số dạng ( ), trong đó là hằng số tự do, thỏa mãn phƣơng trình đã cho gọi là nghiệm tổng quát của phƣơng trình. ( ) là nghiệm tổng quát của phƣơng trình √ Định nghĩa 2. Nếu từ nghiệm tổng quát cho hằng số cụ thể thì hàm số ( ) đƣợc gọi là nghiệm riêng của phƣơng trình ấy. Lƣu ý rằng phƣơng trình có những nghiệm có thể không chứa trong nghiệm tổng quát với bất kỳ hằng số cụ thể nào. Phƣơng trình √ Có nghiệm những lại không chứa trong nghiệm tổng quát. Định nghĩa 3. Giải phƣơng trình vi phân cấp I đƣợc kết quả ở dạng ( ) với là hằng số tùy ý thì ( ) gọi là tích phân tổng quát của phƣơng trình. Với , đẳng thức ( ) gọi là tích phân riêng của phƣơng trình. Ví dụ. Phƣơng trình ( ) ( ) có tích phân tổng quát là . 1.3.3 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm 1.3.3.1 Bài toán Cauchy Ta nhận xét rằng nghiệm của một phƣơng trình vi phân nói chung phụ thuộc vào một hay nhiều hằng số tùy ý nào đó. Để 7 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  9. Bài thảo luận NHÓM 10 xác định một nghiệm cụ thể, ta cần thêm một hay nhiều hằng số tùy ý nào đó (tùy theo cấp của phƣơng trình vi phân). Chẳng hạn, là nghiệm của phƣơng trình . Dễ thấy là nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện ( ) . Ta xét bài toán sau đây, gọi là bài toán Cauchy ( ) Tìm nghiệm ( ) thỏa mãn { ( ) Trong đó ( ) đƣợc gọi là điều kiện ban đầu. Vậy thì, câu hỏi đặt ra là liệu bài toán trên có Lời giải không, và nếu có thì sẽ có bao nhiêu Lời giải. Ngƣời ta đã chứng minh đƣợc rằng không phải lúc nào bài toán Cauchy cũng có nghiệm và khi có nghiệm thì cũng không nhất thiết là chỉ có duy nhất nghiệm. Chẳng hạn, phƣơng trình ( ) có duy nhất 1 nghiệm là . Phƣơng trình ( ) không có nghiệm nào. Còn phƣơng trình ( ) có ít nhất 2 nghiệm (tích phân) là . Trong mục sau ta sẽ phát biểu định lý giải quyết trọn vẹn bài toán Cauchy cho phƣơgn trình vi phân cấp I. 1.3.3.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm Cho phƣơng trình vi phân cấp I, giải đƣợc với đạo hàm ( ). Nếu hàm số ( ) liên tục trên miền mở có chứa điểm ( ) thì tồn tại một nghiệm ( ) của phƣơng trình đó, sao cho ( ). Nếu đạo hàm riêng ( ) cũng liên tục trên thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất. Điều kiện ( ) gọi là điều kiện ban đầu. Điều kiện ban đầu đƣợc ký hiệu 8 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  10. Bài thảo luận NHÓM 10 | 1.4 Phương trình vi phân cấp II 1.4.1 Mở đầu về phƣơng trình vi phân cấp II Phƣơng trình vi phân cấp II có dạng tổng quát ( ) Trong đó nhất thiết không đƣợc thiếu . Dạng giải đƣợc đối với đạo hàm bậc hai : ( ) 1.4.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Xét phƣơng trình ( ). Nếu hàm số ( ) liên tục trên miền mở nào đó chứa điểm ( ) thì tồn tại nghiệm ( ) của phƣơng trình sao cho ( ) ( ) . Nếu cũng liên tục trên thì nghiệm nói trên là nghiệm duy nhất. 2. Các dạng bài tập 2.1 Phương trình vi phân cấp I 2.1.1 Các dạng phƣơng trình vi phân cấp I có thể giải đƣợc và phƣơng pháp giải Trong phần này, ta sẽ giới thiệu một số dạng phƣơng trình vi phân cấp I mà có thể tích phân đƣợc theo nghĩa có thể viết biểu thức của nghiệm tổng quát dƣới dạng tƣờng minh hoặc phụ thuộc tham số. Ta nói một phƣơng trình vi phân là cầu phƣơng đƣợc nếu có thể biểu diễn nghiệm của nó dƣới dạng tổ hợp hữu hạn các phép toán trên các hàm sơ cấp và tích phân của chúng. Lƣu ý rằng ta không có phƣơng pháp giải tổng quát cho các phƣơng trình vi phân, thậm chí với những phƣơng trình vi phân cấp I. Điều đó cũng có nghĩa là không phải tất cả các phƣơng trình vi phân (kể cả cấp I) đều giải đƣợc. 9 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  11. Bài thảo luận NHÓM 10 2.1.2 Phƣơng trình với biến số phân ly Phƣơng trình vi phân cấp I với biến số phân ly (hay còn gọi là phƣơng trình tách biến) là phƣơng trình vi phân có dạng ( ) ( ) Cách giải: Các hàm ( ) ( ) đƣợc giả thiết liên tục trên các khoảng nào đó. Khi đó chỉ cần tích phân 2 về của phƣơng trình là ta thu đƣợc tích phân tổng quát của nó. ∫ ( ) ∫ ( ) Ví dụ: Giải phƣơng trình ( ) Nhận xét: Phƣơng trình có dạng phân ly biến số. Tích phân 2 vế ta thu đƣợc tích phân tổng quát Nhận xét. Các phƣơng trình dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) đều có thể đƣa về đƣợc phƣơng trình có biến số phân ly. a) Phƣơng trình có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ ( ) ( ) ⇔ ( ) ( ) b) Phƣơng trình có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ ( ) ( ) c) Phƣơng trình có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) * Nếu ( ) ( ) chia cả 2 vế cho ( ) ( ). 10 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  12. Bài thảo luận NHÓM 10 ( ) ( ) ( ) ( ) là phƣơng trình dạng trên. Tích phân cả 2 vế ( ) ( ) ∫ ∫ ( ) ( ) * Trƣờng hợp N(y) hoặc P(x) bằng 0 thì phải thử trực tiếp vào phƣơng trình. Tuy nhiên phép thử chỉ mang ý nghĩa tƣợng trƣng, ta sẽ luôn có nghiệm ( ) ( ) Ví dụ. Giải phƣơng trình ( ) ( ) Nhận xét : ( )( ) , nên ta có ( ) ( ) ⇔ ∫ ∫ ( ) ( ) Tức là ( ) ( ) Vậy tích phân tổng quát của phƣơng trình đã cho là ( )( ) trong đó là hằng số dƣơng tùy ý. 2.1.3 Phƣơng trình đẳng cấp cấp I Định nghĩa 1. Hàm ( ) đƣợc gọi là hàm đẳng cấp bậc m nếu với mọi t ta có ( ) ( ) Định nghĩa 2. Phƣơng trình 11 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  13. Bài thảo luận NHÓM 10 ( ) ( ) Trong đó ( ) ( ) là các hàm đẳng cấp cùng bậc đƣợc gọi là phƣơng trình đẳng cấp. Phƣơng trình cuối luôn có thể đƣợc biến đổi về dạng ( ) Cách giải: Đặt , ta có . Từ đó ( ) Hay ( ) Nếu ( ) thì ta có hay ( ) | | ∫ | | ( ) | | ( ) Hay ( ) Nếu ( ) thì bằng cách thử trực tiếp ta thấy hàm là nghiệm của phƣơng trình đã cho. Ví dụ. Giải phƣơng trình Lời giải. Đặt , khi đó Phƣơng trình có dạng ⇔ ⇔ ⇔ | | 12 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  14. Bài thảo luận NHÓM 10 Thay ta có ( | | )( ) PHƢƠNG TRÌNH ĐƢA VỀ DẠNG ĐẲNG CẤP ( ) Nếu | | , ta đặt 2 với là các biến mới, còn là các hằng số thỏa mãn hệ { Khi đó phƣơng trình đƣợc đƣa về dạng đẳng cấp có dạng ( ) Nếu | | thì đƣa phƣơng trình đã cho về dạng ( ) ( ) ( ) Đặt , đƣa về phƣơng trình có vế phải không chứa biến . Ví dụ. Giải phƣơng trình : ( ) ( ) Ta có định thức | | . Giải hệ { ta đƣợc Đặt { , đƣa phƣơng trình về dạng ( ) ( ) Đây là phƣơng trình đẳng cấp. Giải bằng phép đổi biến , ta đƣợc 13 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  15. Bài thảo luận NHÓM 10 Trở về biến theo công thức đặt ban đầu. Tích phân tổng quát của phƣơng trình này là 2.1.4 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp I Trong mục này ta xét lớp các phƣơng trình vi phân mà biểu thức là tuyến tính đối với ẩn và đạo hàm của nó. Các phƣơng trình nhƣ thế gọi là phƣơng trình vi phân tuyến tính. Dạng tổng quát của phƣơng trình vi phân cấp I là ( ) ( ) Trong đó ( ) ( ) là các hàm xác định trên ( ) nào đó. Với ( ) ta có phƣơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất : ( ) Định lý. Giả sử ( ) ( ) liên tục trên ( ) và ( ) thì với mọi giá trị phƣơng trình tuyến tính thuần nhất chỉ có một nghiệm duy nhất thỏa mãn ( ) . Cách giải. Ta giải phƣơng trình vi phân tuyến tính bằng phƣơng pháp biến thiên hằng số. Để giải đƣợc phƣơng trình vi phân tuyến tính trƣớc hết ta phải giải phƣơng trình tuyến tính thuần nhất ( ) ( ) ⇔ | | ∫ ( ) | | ( ) Nghiệm tổng quát của phƣơng trình là ∫ ( ) Coi là một hàm của : ( ), khi đó ( ) ∫ ( ) Và do đó 14 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  16. Bài thảo luận NHÓM 10 ∫ ( ) ( ( )) ∫ ( ) Thay vào phƣơng trình : ( ) ( ), ta đƣợc ( ) ∫ ( ) ⇔ ∫ ( ) ∫ ( ) Thay vào nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất, ta có nghiệm tổng quát của phƣơng trình không thuần nhất : (∫ ( ) ∫ ( ) ) ∫ ( ) là hằng số tùy ý. Ví dụ : Tìm nghiệm của phƣơng trình vi phân ,đi qua điểm (0 ; 4) Lời giải. Ta có ( ) ⇒ ∫ ( ) . Do đó nghiệm tổng quát là (∫ ) ( ) Thay vào đẳng thức trên ta tìm đƣợc và nghiệm riêng cần tìm là * Hệ quả : Nghiệm của phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp I với điều kiện ( ) cho bởi công thức ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 15 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  17. Bài thảo luận NHÓM 10 ∫ ( ) Trong đó ( ) 2.1.5 Phƣơng trình Bernoulli Phƣơng trình có dạng ( ) ( ) trong đó là số thực nào đó, đƣợc gọi là phƣơng trình Bernoulli. Các hàm ( ) ( ) đƣợc giả thiết là các hàm liên tục. Cách giải. 1) Nếu thì phƣơng trình Bernoulli là phƣơng trình tuyến tính cấp I. 2) Nếu thì phƣơng trình Bernoulli là phƣơng trình tuyến tính cấp I thuần nhất do sẽ biến đổi đƣợc dƣới dạng , ( ) ( )- 3) Nếu thì chia cả 2 vế của phƣơng trình cho ta đƣợc ( ) ( ) Đặt , đƣa phƣơng trình về dạng phƣơng trình tuyến tính. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4) Nếu thì ngoài nghiệm nhƣ ở 3) còn có thêm nghiệm . Ví dụ : Giải phƣơng trình √ Rõ ràng đây là phƣơng trình Bernoulli với và là một nghiệm của phƣơng trình đã cho. Giả sử , chia cả 2 vế cho ta đƣợc : 16 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  18. Bài thảo luận NHÓM 10 Đặt ta có . Khi đó phƣơng trình đã cho trở thành phƣơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất. Giải phƣơng trình này ta đƣợc nghiệm ( | | ) Do đó phƣơng trình có nghiệm tổng quát là . | | / Và 1 nghiệm là 2.2 Phương trình vi phân cấp II 2.2.1 Các trƣờng hợp giảm cấp đƣợc 2.2.1.1 Trƣờng hợp vế phải không phụ thuộc vào Phƣơng trình có dạng ( ) Cách giải. Lấy tích phân liên tiếp 2 lần ∫ ( ) ⇒ ∫ (∫ ( ) ) 2.2.1.2 Trƣờng hợp vế phải không phụ thuộc vào Phƣơng trình ( ) Cách giải. Đặt . Khi đó phƣơng trình có dạng ( ). Đây là phƣơng trình vi phân cấp I đối với hàm . Giả sử nghiệm tổng quát của phƣơng trình này là ( ). Khi đó ta có ( ). Giải tiếp đƣợc nghiệm ∫ ( ) 17 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  19. Bài thảo luận NHÓM 10 Ví dụ. Giải phƣơng trình Lời giải. Đặt , đƣa phƣơng trình về dạng Thay bởi , ta có . Nghiệm tổng quát của phƣơng trình này là | | 2.2.1.3 Trƣờng hợp vế phải không chứa Phƣơng trình có dạng ( ) Cách giải. Trƣớc tiên kiểm tra trƣờng hợp . Trƣờng hợp còn lại đặt ( ), ta có Thay vào phƣơng trình ta có ( ). Giả sử phƣơng trình này có nghiệm là ( ). Giải tiếp phƣơng trình ( ), ta đƣợc . Từ đây ta có ( ) ∫ ( ) Ví dụ. Giải phƣơng trình Lời giải. Phƣơng trình có nghiệm . Trƣờng hợp còn lại đặt ( ), ta có . Thay vào phƣơng trình ta đƣợc ⇔ 18 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  20. Bài thảo luận NHÓM 10 Đây là phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp I của hàm theo biến độc lập . Giải theo phƣơng pháp biến thiên hằng số, ta đƣợc nghiệm tổng quát là ( tùy ý). Thay lại biến cũ √ ( ) ⇔ ⇔ ∫ ( tùy ý). √ √ 2.2.2 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp II Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp II là phƣơng trình có dạng ( ) ( ) ( ) Nếu ( ) thì phƣơng trình không thuần nhất. Nếu ( ) thì phƣơng trình thuần nhất. Định lý nghiệm. Nghiệm tổng quát của phƣơng trình không thuần nhất ( ) ( ) ( ) bằng tổng của nghiệm tổng quát phƣơng trình thuần nhất và một nghiệm riêng nào đó của phƣơng trình không thuần nhất. Nguyên lý chồng chất nghiệm. Cho phƣơng trình ( ) ( ) ( ) ( ) Nếu là nghiệm riêng của phƣơng trình của phƣơng trình ( ) ( ) ( ) Nếu là nghiệm riêng của phƣơng trình của phƣơng trình ( ) ( ) ( ) Thì là nghiệm riêng của phƣơng trình ban đầu. Lƣu ý : Kết quả này có thể mở rộng cho trƣờng hợp vế phải là tổng của hàm. 19 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  21. Bài thảo luận NHÓM 10 2.2.3 Phƣơng trình tuyến tính cấp II hệ số hằng Phƣơng trình ( ) đƣợc gọi là phƣơng trình tuyến tính cấp II hệ số hằng, với là hằng số. Nếu ( ) thì phƣơng trình đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp II thuần nhất. Cách giải. Ta giải phƣơng trình bằng cách tìm nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất và một nghiệm riêng của phƣơng trình không thuần nhất. (áp dụng các định lý của phần 1.4.4) 2.2.3.1 Nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất Ta tìm nghiệm riêng độc lập tuyến tính (tức là chúng không tỉ lệ) của phƣơng trình thuần nhất dƣới dạng . Tính , thay vào phƣơng trình thuần nhất ta có ⇔ Đây là một phƣơng trình đại số, nghiệm phức. Phƣơng trình này đƣợc gọi là phƣơng trình đặc trƣng của hai phƣơng trình trên. Ta dùng ký hiệu ̅ để chỉ nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất. Định lý về nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất. Nếu phƣơng trình đặc trƣng có 2 nghiệm thực phân biệt thì nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất là ̅ Nếu phƣơng trình đặc trƣng có các nghiệm thực trùng nhau thì nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất là ̅ Nếu phƣơng trình đặc trƣng co 2 nghiệm phức liên hợp là thì nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất là ̅ , - 20 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  22. Bài thảo luận NHÓM 10 Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của phƣơng trình Lời giải. Xét phƣơng trình đặc trƣng có nghiệm là nghiệm tổng quát của phƣơng trình là ̅ ( ) 2.2.3.2 Tìm nghiệm riêng của phƣơng trình không thuần nhất Trƣờng hợp 1. ( ) ( ) với ( ) là đa thức bậc của còn là hằng số thực, . Nghiệm riêng ̂. Nếu không là nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng thì nghiệm riêng có thể tìm ở dạng ̂ ( ), trong đó ( ) là đa thức với các hệ số chƣa biết và có thể đƣợc xác định bằng phƣơng pháp hệ số bất định. Nếu là nghiệm đơn của phƣơng trình đặc trƣng thì có thể tìm ở dạng ̂ ( ) Nếu là nghiệm kép của phƣơng trình đặc trƣng thì nghiệm riêng có thể tìm ở dạng ̂ ( ) Ví dụ. Giải phƣơng trình Lời giải. Phƣơng trình đặc trƣng ⇔ Nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất là ̅ Ta tìm nghiệm riêng ở dạng . Thay vào phƣơng trình ta đƣợc ⇔ . Nghiệm riêng của phƣơng trình không 21 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  23. Bài thảo luận NHÓM 10 thuần nhất là ̂ . Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình không thuần nhất là ̂ ̅ Trƣờng hợp 2 ( ) , ( ) ( ) - Nếu không là nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng thì nghiệm riêng có thể tìm ở dạng : ̂ , ( ) ( ) - * + Nếu là nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng thì nghiệm riêng có thể tìm ở dạng ̂ , ( ) ( ) - * + Ví dụ. Giải phƣơng trình Xét phƣơng trình đặc trƣng : ⇔ Nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất ( ) So sánh các hệ số, tìm đƣợc Nghiệm tổng quát của phƣơng trình không thuần nhất là 3. Ứng dụng của phƣơng trình vi phân trong kinh tế PHÂN TÍCH ĐỘNG TRONG KINH TẾ 3.1 Một số mô hình phương trình vi phân cấp I 3.1.1 Mô hình tăng trƣởng Domar 22 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  24. Bài thảo luận NHÓM 10 Mô hình tăng trƣởng cổ điển của giáo sƣ Domar đề cập đến việc xác định luồng đầu tƣ đảm bảo cho nền kinh tế luôn ở trạng thái cân bằng. Mô hình này đƣợc xác lập trên cơ sở các giả thiết: Các yếu tố sản xuất đƣợc sử dụng theo một tỉ lệ cố định Do đó có thể xét hàm sản xuất nhƣ là hàm số một biến ( ) Trong đó là sản lƣợng tiềm năng và K là tƣ bản. Tỉ lệ giữa Q và K là không đổi, tức là ( ) Nền kinh tế luôn ở trạng thái sản xuất, tức là thu nhập Y bằng sản lƣợng tiềm năng Xu hƣớng tiết kiệm cận biên không đổi và đầu tƣ bằng tiết kiệm (s là xu hƣớng tiết kiệm cận biên) Ta xét các biến số nêu trên nhƣ các hàm số của biến thời gian t. Tại thời điểm t, lƣợng đầu tƣ I(t) biểu thị tốc độ gia tăng quỹ vốn K(t), do đó ( ) ( ) Theo giả thiết thứ hai Theo giả thiết thứ ba Theo giả thiết thứ tƣ ⇔ Kết hợp các kết quả trên suy ra 23 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  25. Bài thảo luận NHÓM 10 Đây là phƣơng trình tuyến tính thuần nhất. Giải phƣơng trình này ta đƣợc quỹ đạo thời gian của biến số I : Với t=0 ta có I(0)=A, do đó ( ) Trong đó I(0) là lƣợng đầu tƣ ban đầu (tại thời điểm xuất phát). Do và nên với ( ) , I tăng không ngừng. Trạng thái cân bằng không tồn tại vài khi . 3.1.2 Mô hình tăng trƣởng Solow Trong mô hình Domar, sản lƣợng tiềm năng đƣợc xét nhƣ là hàm số của 1 biếnK . Sự vắng mặt của các biến số khác, trong đó có biến số lao động L hàm ý rằng lao động và vốn đƣợc kết hợp theo 1 tỉ lệ xác định. Khác với Domar, giáo sƣ Solow đã tìm ra cách phân tích tăng trƣởng trong điều kiện vốn và lao động đƣợc kết hợp theo tỉ lệ thay đổi. 3.1.2.1 Thiết lập mô hình, giả thiết Ta xuất phát từ hàm sản xuất ( ) trong đó các biến số đƣợc xét trong kinh tế vĩ mô. Mô hình Solow đƣợc thiết lập với các giả thiết chính sau Hàm sản xuất là hàm thuần nhất bậc 1 Với giả thiết này ta có ( ) với là tỉ số vốn – lao động. Biến k biểu thị hàm lƣợng vốn tính bình quân cho một đơn vị lao động. Tại thời điểm nền kinh tế phát huy hết tiềm năng công nghệ, tức là ( ) ( ) 24 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  26. Bài thảo luận NHÓM 10 Tại mọi thời điểm một tỉ phần cố định của thu nhập đƣợc tiết kiệm và dùng hết cho đầu tƣ: ( ) ( ) Trong đó s là xu hƣớng tiết kiệm cận biên. Lực lƣợng lao động tăng theo quy luật hàm số mũ ( ) Từ đồng nhất thức ta có Kết hợp giả thiết thứ 2, thứ 3 và đẳng thức trên suy ra : ( ) Kết hợp đẳng thức này với hệ thức giả thiết 4, ta có thể viết hệ thức Dƣơi dạng ( ) Từ đây thì ta có mô hình Solow ( ) ( ) Mô hình này cho ta phân tích quỹ đạo thời gian của biến số k 3.1.2.2 Phân tích Ta xét hàm sản xuất ở dạng Cobb-Douslas ( ) Thì ( ) ( ) Phƣơng trình (3.1) của mô hình Solow trở thành 25 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  27. Bài thảo luận NHÓM 10 Đây là phƣơng trình Bernoulli. Theo phƣơng pháp đã biết ta tìm đƣợc 0. / ( ) 1 ( ) Do và nên . / khi . Trạng thái ổn định là ̅ . / 3.1.3 Mô hình điều chỉnh giá thị trƣờng Giả sử cung và cầu của một loại hàng hóa nhƣ sau : ( ) ( ) Khi đó giá cân bằng (giá khi ) là một hằng số dƣơng ̅ Nếu tại thời điểm xuất phát t = 0 giá P(0) đúng bằng giá cân bằng thì thị trƣờng đã cân bằng. Nhƣng nếu khác thì phải sau một thời gian nó mới có thể tiến tới trạng thái ấy. Vấn đề phân tích động đƣợc đặt ra nhƣ sau : Nếu có đủ thời gian để điều chỉnh thì liệu thị trƣờng có tiến tới trạng thái cân bằng hay không, tức là P(t) có hội tụ đến ̅ hay không khi ? Ta thiết lập hàm số P=P(t). Để đơn giản ta giả thiết rằng tốc độ biến thiên của giá cả tỉ lệ thuận với lƣợng chênh lệch giữa cung và cầu, tại mọi thời điểm 26 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  28. Bài thảo luận NHÓM 10 ( ) ( ) Hằng số đƣợc gọi là hệ số điều chỉnh. Chú ý rằng trong phƣơng trình trên, khi và chỉ khi . Thay 2 phƣơng trình cung cầu ban đầu vào phƣơng trình trên, ta đƣợc ( ) ( ) ⇔ ( ) ( ) Đây là phƣơng trình vi phân tuyến tính, giải phƣơng trình này ta đƣợc : ( ) , ( ) ̅- ( ) ̅ Trong đó ̅ Do ( ) nên , ( ) ̅- ( ) khi . Nhƣ vậy, mô hình trên đây cho thấy ( ) ̅ khi , tức là ̅ là trạng thái ổn định. Ngoài ra thì còn một ứng dụng quan trọng nữa của phƣơng trình vi phân cấp I là “Phân tích định tính quỹ đạo thời gian của một biến số kinh tế bằng phƣơng pháp đồ thị” tuy nhiên không có chứng minh cụ thể định lƣợng cho phƣơng pháp này (không ứng dụng những gì đã học) nên chúng em không trình bày ở đây. 3.2 Một số mô hình phương trình vi phân tuyến tính cấp II 3.2.1 Điều kiện ổn định động 27 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  29. Bài thảo luận NHÓM 10 Giả sử quy luật vận động theo thời gian t của biến y đƣợc thiết lập dƣới dạng phƣơng trình : ( ) Trạng thái cân bằng ̅ là một nghiệm riêng của phƣơng trình trên. Trạng thái cân bằng tồn tại khi và chỉ khi . Khi đó ̅ Điều kiện ổn định của trạng thái cân bằng ̅ là điều kiện để mọi quỹ đạo thời gian hội tụ đến ̅. Định lý. Trạng thái cân bằng ̅ ổn định động khi và chỉ khi tất cả các nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng đều có phần thực là số âm. (phần thực của nghiệm chính là nghiệm đó) Chứng minh. Nếu phƣơng trình đặc trƣng có hai nghiệm thực phân biệt thì nghiệm tổng quát của phƣơng trình (*) là ̅ Trong trƣờng hợp này ( ) ̅ khi và chỉ khi cả đều là số âm. Nếu phƣơng trình đặc trƣng có một nghiệm thực kép thì nghiệm tổng quát của phƣơng trình (*) là ̅ ( ) Trong trƣờng hợp này, ( ) ̅ khi và chỉ khi Nếu phƣơng trình đặc trƣng có 2 nghiệm phức liên hợp thì nghiệm tổng quát của phƣơng trình (*) là ̅ ( ) Trong trƣờng hợp này ( ) ̅ khi và chỉ khi Nhận xét. Trƣờng hợp phƣơng trình đặc trƣng không có nghiệm thực ( ) thì phần thực của các nghiệm phức là , do đó là số 28 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  30. Bài thảo luận NHÓM 10 âm khi và chỉ khi . Nếu phƣơng trình đặc trƣng có nghiệm thực ( ) thì điều kiện để cả hai nghiệm thực đều âm là . 3.2.2 Mô hình thị trƣờng với kì vọng giá Khi xét biến thời gian t liên tục, thông tin về xu hƣớng giá P(t) có thể biết đƣợc thông qua ( ) (giá tăng hay giá giảm) và ( ) (giá tăng với tốc độ tăng hay giảm). Các thông tin đó có thể ảnh huonwgr tới quyết định tiêu dùng của ngƣời tiêu dùng và nhà sản xuất. Chẳng hạn, nếu cho rằng trong tƣơng lai gần, giá một loại hàng hóa sẽ tăng nhanh thì ngƣời tiêu dùng sẽ mua nhiều hơn hàng hóa đó. Để xem xét ảnh hƣởng của kỳ vọng giá (nhận định về xu hƣớng thay đổi của giá cả trên thị trƣờng) đối với lƣợng cung và lƣợng cầu ngƣời ta xét hàm cung và hàm cầu dƣới dạng , ( ) ( ) ( )- , ( ) ( ) ( )- Quỹ đạo thời gian của giá thị trƣờng (giá cân bằng cung cầu) đƣợc thiết lập dƣới dạng phƣơng trình vi phân cấp II , ( ) ( ) ( )- , ( ) ( ) ( )-( ) Nếu hạn chế ở mô hình tuyến tính và đơn giản hóa ký hiệu ta có thể viết ( ) Để cho đơn giản ta giả thiết rằng chỉ có hàm cầu chứa kỳ vọng giá, tức là . Khi đó phƣơng trình ( ) có dạng ⇔ ( ) Dựa vào định lý về điều kiện ổn định động của trạng thái cân bằng ta có thể rút ra một số kết luận khái quát về tính ổn định động của trạng thái cân bằng nhƣ sau : 29 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  31. Bài thảo luận NHÓM 10 Nếu thì phƣơng trình đặc trƣng có hai nghiệm thực trái dấu, do đó trạng thái cân bằng ̅ không ổn định. Nếu thì các hệ số của phƣơng trình ( ) dƣơng, do đó các nghiệm của phƣơgn trình đặc trƣng của nó hoặc là các số thực âm, hoặc là các số phức có phần thực âm. Trong trƣờng hợp này, trạng thái cân bằng ổn định. Nếu thì hệ số của âm và hệ số của dƣơng. Trong trƣờng hợp này phƣơng trình đặc trƣng hoặc có các nghiệm thực dƣơng, hoặc có các nghiệm phức với phần thực dƣơng, do đó trạng thái cân bằng không ổn định. 3.2.3 Mô hình điều chỉnh giá có tính đến hàng hóa tồn đọng Trong các mô hình tăng trƣởng xét ở phần trên ta giả sử rằng tốc độ điều chỉnh giá tỉ lệ thuận với lƣợng chênh lệch cung cầu. ( ) ( ) Trong đó lƣợng cung và lƣợng cầu là các hàm số theo biến . Trong mô hình nói trên, ta bỏ qua lƣợng hàng hóa tồn đọng (chƣa bán hết) khi có sự dƣ cung. Vấn đề đặt ra là không chỉ lƣợng dƣ cung hiện thời mà cả lƣợng hàng tồn đọng chƣa bán hết cũng gây áp lực hạ giá. Để biểu diễn ý tƣởng này ta xét mô hình sau : ( ) ∫ , ( ) ( )- Trong đó là các hằng số dƣơng. Từ phƣơng trình trên, ta có ( ) , ( ) ( )- Giả sử hàm cung và hàm cầu là các hàm tuyến tính ( ) ( ) 30 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  32. Bài thảo luận NHÓM 10 Khi đó ( ) , ( ) ( ) - ( ) ( ) ( ) ( ) Quỹ đạo thời gian của giá cả đƣợc thiết lập gián tiếp dƣới dạng phƣơng trình vi phân (4*) trên. Với giả thiết đều là các hằng số dƣơng, các hệ số của phƣơng trình (4*) dƣơng, do đó phƣơng trình đặc trƣng hoặc có các nghiệm thực âm hoặc có các nghiệm phức có phần thực âm. Trạng thái cân bằng ̅ ổn định động. Dù xuất phát ở trạng thái nào thì giá thị trƣờng vẫn sẽ đƣợc điều chỉnh dần đến trạng thái cân bằng. 3.2.4 Mô hình ô nhiễm môi trƣờng Ngƣời ta cho rằng hàm lƣợng CO2 trong khí quyển làm tăng nhiệt độ trái đất. Hàm lƣợng đó ngày một tăng cùng với sự phát triển của công nghiệp, do chất đốt và khí thải đƣợc thải vào khí quyển, đồng thời một phần trong số đó đƣợc hấp thụ tự nhiên bởi nƣớc biển và sinh vật. Gọi y là hàm lƣợng CO2. Hàm lƣợng đó tăng theo quy luật ( ) Trong đó là hàm lƣợng CO2 do các xí nghiệp công nghiệp thải vào không khí và là tham số biểu diễn tỉ phần CO2 hấp thu bởi tự nhiên. Giả sử lƣợng khí trên đƣợc thải vào khí quyển là tăng theo thời gian theo quy luật ( ) Trong đó là các hằng số dƣơng. Hệ số biểu diễn tỉ phần CO2 bị hạn chế bớt do các hoạt động chống ô nhiễm của các quốc gia. Mô hình là một hệ phƣơng trình vi phân cấp I gồm 2 phƣơng trình nhƣng ta có thể biểu diễn chúng dƣới dạng 1 phƣơng trình vi phân cấp II. Lấy đạo hàm cả 2 vế rồi thế phƣơng trình từ (6*) vào (5*). Ta có 31 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  33. Bài thảo luận NHÓM 10 ⇔ Bằng phƣơng pháp hệ số bất định ta tìm đƣợc nghiệm riêng ̅( ) Nghiệm tổng quát của phƣơng trình trên nhƣ sau Nếu Trong đó √ Nếu ( ) Nếu ( ) Trong đó √ Do nên là các số âm. Trong cả 3 trƣờng hợp nói trên ta đều có : ( ) Nhƣ vậy quỹ đạo dài hạn của hàm lƣợng CO2 trong khí quyển là 32 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
  34. Bài thảo luận NHÓM 10 BÀI TẬP 33 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN