Bài giảng Toán cao cấp 2 - Bài 13: Đổi biến trong tích phân bội ba

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp 2 - Bài 13: Đổi biến trong tích phân bội ba

1. ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA
2. ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA f(x,y,z) xác định trong , đặt x = x(u,v,w) y = y(u,v,w) (x,y,z)  (u,v,w) ’ z = z(u,v,w) xu x y x w D(,,) x y z J== y y y D(,,) u v w u v w zu z v z w f( x , y , z ) dxdydz= g ( u , v , w ) | J | dudvdw 
3. Áp dụng vào việc xét tính đối xứng của  Nếu  gồm 2 phần 1 và 2 đối xứng nhau qua mp z = 0 1.f chẵn theo z : f(,,) x y z dxdydz  = 2 f ( x , y , z ) dxdydz 1 2.f lẻ theo z : f( x , y , z ) dxdydz = 0 
4. Lưu ý: • Mp z = 0 là mp Oxy • Kết quả áp dụng tương tự nếu  đối xứng qua mp • y = 0 (tính chẵn lẻ của f xét theo y) • x = 0 (tính chẵn lẻ của f xét theo x)
5. TỌA ĐỘ TRỤ x = rcos , y = rsin , z = z z z M y r=+ x22 y r ( ) x M’ cố định z đổi sang tọa độ trụ hình chiếu D đổi sang tọa độ cực.
6. TỌA ĐỘ TRỤ x = rcos , y = rsin , z = z J = r f( x , y , z ) dxdydz= f ( r cos , r sin ,z )rdrd dz  Điều kiện giới hạn: 1.r 0 2. [0, 2 ] hay [- , ]
7. TỌA ĐỘ CẦU x = sincos , z M y = sinsin ,  z = cos y J = 2 sin x Điều kiện giới hạn: 1. 0 2. [0, 2 ] hay [- , ] 3. [0, ]
8. Lưu ý: =x2 + y 2 + z 2 xy22+= sin Tọa độ cầu thường dùng cho miền giới hạn bởi mặt cầu hoặc mặt nón và mặt cầu.
9. Một số mặt cong thường gặp trong tđ cầu x2+ y 2 + z 2 = R 2 = R 0 R 2 2 2 2 x+ y + z R 0  02  2R cos 2 2 2 x+ y + z 20 Rz  2 02
10. z 1 xy22+ = tan = Nón trên. aa R x2+ y 2 = R 2 = Trụ tròn. sin
11. VÍ DỤ 1/ Vẽ miền lấy tp và đổi tp sau sang tọa độ trụ 4 4xx− 2 2 I= dx dy xzdz 0 0 0 04 x 2 D= hc : 2 Oxy 04 y x − x • 2 x = rcos , y = rsin , z = z : 0 r 4cos , 0 /2, 0 z 2
12. z = 2 y =0 x2 + y2 = 4x 4 4xx− 2 2 z = 0 I= dx dy xzdz 0 0 0 2 4cos 2 = d dr rzcos . .rdz 0 0 0
13. 2/ Vẽ miền lấy tp và đổi tp sau sang tọa độ trụ, cầu: 2 4−y 2 0 I= dy dx xzdz 00−4 −xy22 −
14. 2 2 4−y 0 x = rcos , I dy dx xzdz = y = rsin , 00 22 −4 −xy − z = z 2 2 0 I = d dr rzcos . .rdz 0 0 −−4 r 2
15. 2 4−y 2 0 I= dy dx xzdz 00−4 −xy22 − 2 2 2 I = d d sin  cos . cos. sind 0 2 0
16. 3/ Tính tp sau sử dụng tọa độ trụ và tọa độ cầu: I= zdxdydz   Là miền bên trong nón z=+ x22 y 2 2 2 và bị chắn bởi mặt cầu x+ y + z = 2
17. 2 2 2 22 x+ y + z = 2, z=+ x y x = rcos , y = rsin , 1 z = z J = r Giao tuyến: z =1 1 xy22+=1 2 1 2−r 2 I= zdxdydz = d dr z.rdz = 2  0 0 r
18. z=+ x22 y , x2+ y 2 + z 2 = 2 x = sincos , y = sinsin , 1 z = cos. J = 2 sin 2 4 2 I = d d cos 2 sind 0 0 0
19. 4/ Tính tp sau sử dụng tọa độ cầu: I= zdxdydz  : z + x22 y , x2+ y 2 + z 2 2 z
20. z + x22 y , x2+ y 2 + z 2 2 z Giao tuyến của mặt cầu và trụ z=+ x22 y 1 2 22zz= z =1 4 22 xy+=1 1
21. z + x22 y , x2+ y 2 + z 2 2 z x = sincos , y = sinsin , z = cos. 1 J = 2 sin x2+ y 2 + z 2 = 2 z 4  = 2cos 1 2 2 2cos zdxdydz = d d cos 2 sind  0 4 0
22. I== zdxdydz  2 2 2cos  = d d  cos  2 sin  d 0 4 0 = 6
23. 22 Cách 2: : z + x y , x2+ y 2 + z 2 2 z cos  = 22 sin  sin  Biểu diễn lại :  2cos cos  = 22 sin  sin  2cos  ( cos  0) 0  2cos 0  2cos (0  / 2) 42  tan 1 02
24. 5/ Tính tp sau sử dụng tọa độ cầu: I= xdxdydz  : 2 x2 + y 2 + z 2 4, x y 2 + z 2 x = cos, y = sincos , z = sinsin J = 2 sin
25. 2 x2 + y 2 + z 2 4, x y 2 + z 2 2 4 2 I== xdxdydz d d  cos  2 sin  d  00 2 12 =−3 24
26. Cách 2: 2 x2 + y 2 + z 2 4, x y 2 + z 2 : cos  22 sin  = sin  (0  ) 2 24 tan 1 22 04  0 2 22
27. 6/ Đổi tp sau sang tọa độ cầu: 1 1−y2 4 − x 2 − y 2 I= dy dx x2 + y 2 + z 2 dz −10−−1 y 2 04 z − x22 − y  : 22 xy+ 1
28. 6 z=4 − x22 − y z = 3 Giao tuyến: 22 22 xy+=1 xy+=1
29. 6 1 02 0 sin : 0  6 1 2 : 6  2 02 02
30. 04 z − x22 − y  : 22 xy+ 1 0 cos  4 − 22 sin  22 sin 1 0 2, cos 0 0  2 1 0 sin
31. 1 vì 2  nên  được chia làm 2 miền: sin 6 1 0 02 sin 1 : 0  6 2 : 6  2 02 02 I= x2 + y 2 + z 2 dxdydz + x 2 + y 2 + z 2 dxdydz 12 2 6 2 2 2 1 sin  =+ d d  33sin  d d d  sin  d 0 0 0 0 6 0
32. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt sau: x22+ y =2 y , z + y = 2, y = 2 z + 2 zy+=2 V= dxdydz  2−y = y dz dxdy −1 x22+ y2 y 2 2 2sin 2− 2sin yz=+22 = d dr rdz 2 Dùng tọa độ trụ 0 0 r sin − 1
33. Đổi biến cho hình cầu tổng quát, ellipsoid  : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 R2 x = a + sincos , Đổi biến: y = b + sinsin , z = c + cos J = 2 sin 0 R :0  02
34. x2 y 2 z 2  là ellipsoid: + + 1 a2 b 2 c 2 x = a sincos , y = b sinsin , Đổi biến: z = c cos J = abc 2sin 01 :0  02
35. VÍ DỤ Tính thể tích vật thể giới hạn bên trong mặt nón và mặt ellipsoid: xx22 z + y2,1 + y 2 + z 2 33