Bài tập Xác suất thống kê (Phần 1) - Lê Thị Thiên Hương

71 trang ngocly 3010

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Xác suất thống kê (Phần 1) - Lê Thị Thiên Hương", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_tap_xac_suat_thong_ke_phan_1_le_thi_thien_huong.pdf

Nội dung text: Bài tập Xác suất thống kê (Phần 1) - Lê Thị Thiên Hương

LEÂ THÒ THIEÂN HÖÔNG BAØI TAÄP XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC DAÂN LAÄP KYÕ THUAÄT COÂNG NGHEÄ 2005
MUÏC LUÏC Trang CAÙC KYÙ HIEÄU 3 LÔØI NOÙI ÑAÀU 5 CHÖÔNG I. ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP A.Toùm taét lyù thuyeát 6 B. Caùc baøi giaûi maãu 7 C. Baøi taäp 10 CHÖÔNG II. XAÙC SUAÁT A. Toùm taét lí thuyeát 11 B. Caùc baøi giaûi maãu 15 C. Baøi taäp 26 CHÖÔNG III. ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN A. Toùm taét lí thuyeát 29 B. Caùc baøi giaûi maãu 32 C. Baøi taäp 41 CHÖÔNG IV. CAÙC QUY LUAÄT PHAÂN PHOÁI A. Toùm taét lí thuyeát 44 B. Caùc baøi giaûi maãu 48 C. Baøi taäp 53 CHÖÔNG V. LYÙ THUYEÁT MAÃU A. Toùm taét lí thuyeát 55 B. Caùc baøi giaûi maãu 56 C. Baøi taäp 59 CHÖÔNG V. LYÙ THUYEÁT ÖÔÙC LÖÔÏNG A. Toùm taét lí thuyeát 61 B. Caùc baøi giaûi maãu 62 C. Baøi taäp 69 CHÖÔNG VII. KIEÅM ÑÒNH GIAÛ THIEÁT THOÁNG KEÂ A. Toùm taét lí thuyeát 72 B. Caùc baøi giaûi maãu 74 C. Baøi taäp 77 CHÖÔNG VIII. TÖÔNG QUAN VAØ HOÀI QUY A. Toùm taét lí thuyeát 80 B. Caùc baøi giaûi maãu 82 C. Baøi taäp 89 MOÄT SOÁ ÑEÀ THI THAM KHAÛO 93 Ñaùp aùn vaø thang ñieåm 99 CAÙC BAÛNG SOÁ 114 TAØI LIEÄU THAM KHAÛO 120
CAÙC KÍ HIEÄU i = 1,k i nhaän caùc giaù trò 1, 2, , k k A n Soá caùc chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû k A n Soá caùc chænh hôïp laëp chaäp k cuûa n phaàn töû k Cn Soá caùc toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû Pn Soá caùc hoaùn vò cuûa n phaàn töû P(A) Xaùc suaát cuûa bieán coá A A Bieán coá ñoái laäp cuûa bieán coá A P(A/B) Xaùc suaát cuûa bieán coá A vôùi ñieàu kieän B Pn(k) = Pn(k ; p) Xaùc suaát ñeå moät bieán coá xuaát hieän k laàn trong n pheùp thöû (p laø xaùc suaát thaønh coâng) X, Y Caùc ñaïi löôïng ngaãu nhieân f(x) Haøm maät ñoä xaùc suaát F(x) Haøm phaân phoái xaùc suaát E(X) Kì voïng cuûa X D(X) Phöông sai cuûa X (X) Ñoä leäch cuûa X X B(n ,p) X coù phaân phoái nhò thöùc 3
X H (N, M, n) X coù phaân phoái sieâu boäi X P(a) X coù phaân phoái Poisson X N(, 2) X coù phaân phoái chuaån X N(0 ; 1) X coù phaân phoái chuaån chuaån taéc X2 (n) X coù phaân phoái khi bình phöông n baäc töï do X T(n) X coù phaân phoái Student f Tæ leä maãu X Trung bình maãu  S2 Phöông sai maãu 2 S Phöông sai maãu hieäu chænh S Ñoä leäch maãu hieäu chænh  Ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng  = 1 - Ñoä tin caäy cuûa öôùc löôïng Möùc yù nghóa cuûa kieåm ñònh RXY Heä soá töông quan giöõa X, Y rXY Heä soá töông quan tuyeán tính maãu 4
LÔØI NOÙI ÑAÀU Caùc baïn sinh vieân thaân meán, Lôùi noùi ñaàu xin daønh rieâng cho caùc baïn – ñoái töôïng phuïc vuï cuûa quyeån Baøi taäp Xaùc suaát – Thoáng keâ maø caùc baïn ñang coù trong tay. Trong quyeån saùch naøy caùc baïn seõ tìm thaáy nhöõng noäi dung sau ñaây: Phaàn ñaàu cuoán saùch trình baøy caùch giaûi baøi taäp theo töøng chöông thuoäc lónh vöïc xaùc suaát vaø thoáng keâ toaùn hoïc. Moãi chöông goàm 3 muïc chính. Muïc A chæ neâu toùm taét caùc khaùi nieäm, ñònh lyù vaø coâng thöùc cô baûn seõ ñöôïc söû duïng ñeå giaûi baøi taäp. Muoán hieåu vaø naém vöõng lyù thuyeát, caùc baïn caàn tham khaûo theâm caùc saùch lí thuyeát xaùc suaát thoáng keâ khaùc. Muïc B, “Caùc baøi giaûi maãu”, laø troïng taâm cuûa saùch. Trong muïc naøy, caùc baøi taäp ñöôïc phaân loaïi theo töøng daïng, phuø hôïp vôùi thöù töï trình baøy lí thuyeát. Moät soá daïng baøi taäp coù toång keát thaønh phöông phaùp giaûi chung. Ñeå giuùp sinh vieân coù theå töï ñoïc vaø laøm ñöôïc baøi taäp, saùch Baøi taäp Xaùc suaát – Thoáng keâ ñaõ coá gaéng trình baøy caùc lôøi giaûi khaù tæ mæ, ñaëc bieät laø caùc baøi taäp ôû chöông II. Moãi lôøi giaûi ñeàu chuù troïng ñeán vieäc phaân tích yeâu caàu cuûa ñeà baøi vaø muïc ñích cuûa töøng lôøi giaûi. Caùc keát quaû cuûa baøi taäp xaùc suaát thöôøng ñöôïc vieát ôû daïng phaân soá (töùc laø soá ñuùng). Coøn caùc baøi taäp thoáng keâ coù keát quaû laø soá gaàn ñuùng vôùi boán chöõ soá thaäp phaân. Do ñoù, sai soá khaù beù neân coù theå boû qua. Muïc C giôùi thieäu nhöõng baøi taäp töông töï ñeå caùc baïn töï giaûi. Trong saùch Baøi taäp Xaùc suaát – Thoáng keâ coøn coù 6 ñeà thi hoïc kyø moân xaùc suaát thoáng keâ trong caùc naêm hoïc gaàn ñaây. Moãi ñeà thi coù thôøi gian laøm baøi 90 phuùt. Caùc baïn haõy töï giaûi caùc ñeà thi ñoù trong thôøi gian qui ñònh. Sau ñoù thöû chaám ñieåm theo ñaùp aùn vaø thang ñieåm keøm theo ñeå töï ñaùnh giaù naêng löïc cuûa mình. Ñeà thi hoïc kyø thöôøng coù tính chaát toång hôïp, trong ñoù coù moät caâu khoù daønh cho sinh vieân khaù gioûi. Caùc baïn coù theå xem caùch phaân tích vaø laäp luaän moät caùch chi tieát trong ñaùp aùn ñeå hieåu lôøi giaûi. Phaàn phuï luïc cuoái saùch laø caùc baûng thoáng keâ, daønh cho vieäc tra cöùu caùc soá lieäu vaø giaù trò cuûa caùc haøm phaân phoái xaùc suaát, raát caàn cho vieäc giaûi baøi taäp. Sau cuøng, taùc giaû chaân thaønh caûm ôn TS. Leâ Anh Vuõ vaø Th.S Nguyeãn Duy Thanh ñaõ ñoïc goùp yù vaø söûa chöõa baûn thaûo. Xin caûm ôn Ban laõnh ñaïo Tröôøng Ñaïi hoïc Daân laäp Kyõ thuaät Coâng ngheä TP. Hoà Chí Minh, Phoøng Quaûn lyù khoa hoïc, Phoøng Keá hoaïch – Taøi chính, Ban Khoa hoïc cô baûn vaø taäp theå giaûng vieân Boä moân Toaùn ñaõ ñoäng vieân, giuùp ñôõ ñeå quyeån saùch naøy ñeán tay baïn ñoïc. Hi voïng Baøi taäp Xaùc suaát – Thoáng keâ seõ giuùp caùc baïn sinh vieân hieåu roõ moân hoïc vöøa thuù vò, vöøa coù raát nhieàu öùng duïng thöïc teá naøy. Chuùc caùc baïn thaønh coâng. TP. Hoà Chí Minh, ngaøy 18 thaùng 3 naêm 2005 Taùc giaû 5
CHÖÔNG I ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP A. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT 1. Quy taéc ñeám a) Quy taéc coäng Giaû söû moät coâng vieäc V coù theå tieán haønh theo moät trong hai phöông aùn A hoaëc B. Phöông aùn A coù theå thöïc hieän bôûi m caùch, phöông aùn B coù theå thöïc hieän bôûi n caùch. Moãi caùch thöïc hieän A khoâng truøng vôùi baát kyø caùch thöïc hieän B naøo. Khi ñoù coâng vieäc V coù theå thöïc hieän bôûi m + n caùch. b) Quy taéc nhaân Giaû söû moät coâng vieäc V bao goàm hai coâng ñoaïn A vaø B. Coâng ñoaïn A coù theå laøm theo m caùch, coâng ñoaïn B coù theå laøm theo n caùch. Moãi caùch thöïc hieän A ñeàu coù n caùch thöïc hieän B. Khi ñoù coâng vieäc V coù theå thöïc hieän theo m.n caùch. 2. Chænh hôïp, hoaùn vò, toå hôïp a) Chænh hôïp Giaû söû A laø taäp hôïp goàm n phaàn töû vaø k laø soá töï nhieân (1 k n). Keát quaû cuûa vieäc laáy k phaàn töû khaùc nhau thuoäc A vaø saép xeáp chuùng theo moät thöù töï naøo ñoù ñöôïc goïi laø moät chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû. K Soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû kí hieäu laø A n . Ta coù : n! A k (1 k n) n (n k)! vôùi quy öôùc : 0 ! = 1, n ! = 1.2.3 n (n N*). b) Chænh hôïp laëp Keát quaû cuûa vieäc laáy k phaàn töû, khoâng caàn khaùc nhau, töø n phaàn töû ñaõ cho vaø saép xeáp chuùng theo moät thöù töï naøo ñoù ñöôïc goïi laø moät chænh hôïp laëp chaäp k cuûa n phaàn töû. k Soá chænh hôïp laëp chaäp k cuûa n phaàn töû kí hieäu laø A n . Ta coù : k k A n = n (n N* , k N) c) Hoaùn vò Keát quaû cuûa söï saép xeáp n phaàn töû khaùc nhau theo moät thöù töï naøo ñoù ñöôïc goïi laø moät hoaùn vò cuûa n phaàn töû ñoù. Soá caùc hoaùn vò cuûa n phaàn töû kí hieäu laø Pn. Ta coù P A n n! n n (n N*) d) Toå hôïp Moãi taäp con goàm k phaàn töû khaùc nhau cuûa taäp hôïp A coù n phaàn töû ñöôïc goïi laø moät toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû ñaõ cho. 6
K Soá caùc toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû kí hieäu laø C n . Ta coù : A K n! CK n (n N *, 0 k n) n k ! k!(n k)! B. CAÙC BAØI GIAÛI MAÃU 1. Quy taéc coäng Baøi 1. Töø tænh X ñeán tænh Y coù theå ñi baèng oâtoâ hoaëc taøu hoûa. Moãi ngaøy coù 10 chuyeán oâtoâ, 5 chuyeán taøu hoûa ñi töø X ñeán Y. Hoûi coù bao nhieâu söï löïa choïn ñeå ñi töø X ñeán Y ? Giaûi Ta xem coâng vieäc V laø ñi töø X ñeán Y. Coù hai phöông aùn thöïc hieän : - A laø ñi oâtoâ, coù 10 caùch choïn. - B laø ñi taøu hoûa, coù 5 caùch choïn. Moãi caùch choïn A khoâng truøng vôùi baát kì caùch choïn B naøo. Theo quy taéc coäng, soá caùch löïa choïn ñeå ñi töø X ñeán Y laø : 10 + 5 = 15. Baøi 2. Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá khaùc nhau coù chöõ soá khaùc nhau ? Giaûi Ta coù ba phöông aùn laäp soá : - A : Laäp soá coù moät chöõ soá, coù 3 soá, ñoù laø caùc soá 1, 2, 3. - B : Laäp soá coù hai chöõ soá, coù 6 soá, ñoù laø caùc soá : 12, 13, 21, 23, 31, 32. - C : Laäp soá coù ba chöõ soá, coù 6 soá, ñoù laø caùc soá : 123, 132, 213, 231, 312, 321. Caùc caùch laäp treân ñoâi moät khoâng truøng nhau. Vaäy, theo quy taéc coäng, ta seõ laäp ñöôïc : 3 + 6 + 6 = 15 soá coù caùc chöõ soá khaùc nhau töø ba chöõ soá ñaõ cho. 2. Quy taéc nhaân Baøi 3. Moät thieát bò ñöôïc laép raùp töø hai loaïi linh kieän. Linh kieän loaïi moät coù 10 chieác, linh kieän loaïi hai coù 8 chieác. Hoûi coù bao nhieâu caùch laép thieát bò ñoù ? Giaûi Ta xem coâng vieäc V laø laép thieát bò, bao goàm hai coâng ñoaïn : - A : Laép linh kieän loaïi moät, coù 10 caùch choïn ; - B : laép linh kieän loaïi hai, coù 8 caùch choïn. Moãi caùch choïn linh kieän loaïi moät ñeàu coù 8 caùch choïn linh kieän loaïi hai. Theo quy taéc nhaân, soá caùch laép thieát bò laø : 10 . 8 = 80 Baøi 4. Neáu khoâng keå maõ soá vuøng thì moät bieån soá xe maùy coù 6 kí töï. Kí töï ôû vò trí ñaàu tieân laø moät chöõ caùi trong baûng 24 chöõ caùi, ôû vò trí thöù hai laø moät chöõ soá thuoäc taäp hôïp 1, 2, , 9. Boán vò trí tieáp theo laø boán chöõ soá thuoäc taäp hôïp 0, 1, 2, , 9. Hoûi coù theå laøm ñöôïc bao nhieâu bieån soá xe maùy khaùc nhau, neáu khoâng keå maõ soá vuøng ? Giaûi Ta coù 24 caùch choïn chöõ caùi ñeå xeáp ôû vò trí ñaàu tieân. Töông töï coù 9 caùch choïn chöõ soá cho vò trí thöù hai vaø coù 10 caùch choïn chöõ soá cho moãi vò trí trong boán vò trí coøn laïi. Theo quy taéc nhaân, soá bieån soá xe maùy coù theå laøm ñöôïc laø 24 . 9 . 10 . 10 . 10 . 10 = 2 160 000. 7
3. Chænh hôïp, hoaùn vò, toå hôïp Baøi 5. Moät lôùp hoïc coù 60 sinh vieân. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn moät Ban caùn söï goàm moät lôùp tröôûng, moät lôùp phoù hoïc taäp, moät lôùp phoù ñôøi soáng ? Giaûi Caùch thöù nhaát. Moãi caùch choïn laø moät chænh hôïp chaäp 3 cuûa 60 phaàn töû. Do ñoù, soá caùch choïn laø 3 A 30 = 60 . 59 . 58 = 205 320. Caùch thöù hai . Ta xem V laø coâng vieäc choïn Ban caùn söï lôùp, bao goàm ba coâng ñoaïn : - Thöù nhaát, choïn lôùp tröôûng töø 60 sinh vieân, coù 60 caùch. - Thöù hai, choïn lôùp phoù hoïc taäp töø 59 sinh vieân coøn laïi, coù 59 caùch. - Thöù ba, choïn lôùp phoù ñôøi soáng, töông töï coù 58 caùch. Theo quy taéc nhaân, soá caùch choïn Ban caùn söï lôùp laø 60 . 59 . 58 = 205 320. Baøi 6. Trong traän chung keát boùng ñaù phaûi phaân ñònh thaéng thua baèng ñaù luaân löu 11 meùt. Huaán luyeän vieân cuûa moãi ñoäi caàn trình vôùi troïng taøi moät danh saùch saép thöù töï 5 caàu thuû trong soá 11 caàu thuû ñeå ñaù luaân löu. Hoûi huaán luyeän vieân cuûa moãi ñoäi coù bao nhieâu caùch choïn? Giaûi Moãi danh saùch laø moät chænh hôïp chaäp 5 cuûa 11 phaàn töû. Vaäy, soá caùch choïn cuûa huaán luyeän vieân moãi ñoäi laø : 5 A11 = 55 440. Baøi 7. Coù 8 ngöôøi leân moät ñoaøn taøu goàm 5 toa. Hoûi coù bao nhieâu caùch leân taøu moät caùch tuøy yù? Giaûi Caùch thöù nhaát . Moãi caùch leân taøu laø moät chænh hôïp laëp chaäp 8 cuûa 5 phaàn töû. Vaäy, soá caùch leân taøu laø 8 8 A 5 = 5 = 390 625. Caùch thöù hai . ta xem coâng vieäc V laø 8 ngöôøi leân taøu, bao goàm 8 coâng ñoaïn : - Ngöôøi thöù nhaát leân taøu, coù 5 caùch choïn toa. - Ngöôøi thöù hai leân taøu, cuõng coù 5 caùch choïn toa. - v.v Töông töï, ngöôøi thöù taùm vaãn coù 5 caùch choïn toa. Theo quy taéc nhaân, soá caùch leân taøu cuûa 8 ngöôøi ñoù laø : 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 390 625. Baøi 8. Trong giôø hoïc moân Giaùo duïc quoác phoøng, moät tieåu ñoäi 10 sinh vieân ñöôïc xeáp thaønh haøng ngang. Hoûi coù bao nhieâu caùch xeáp ? Giaûi Moãi caùch xeáp laø moät hoaùn vò cuûa 10 ngöôøi. Vaäy soá caùch laø : P10 = 10 ! = 3 628 800. Baøi 9. Moät lôùp hoïc coù 50 sinh vieân, moãi buoåi hoïc caàn choïn 3 sinh vieân laøm tröïc nhaät lôùp. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ? Giaûi Moãi caùch choïn sinh vieân laøm tröïc nhaät lôùp laø moät toå hôïp chaäp 3 cuûa 50 phaàn töû. Vaäy 3 soá caùch choïn laø C50 = 19 600. 8
4. Baøi taäp toång hôïp Baøi 10. Moät chi ñoaøn coù 30 sinh vieân nam vaø 15 sinh vieân nöõ. Caàn choïn moät nhoùm goàm 8 sinh vieân ñeå tham gia chieán dòch “Muøa heø xanh” cuûa Thaønh Ñoaøn. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn sao cho nhoùm ñoù coù a) 8 sinh vieân baát kì cuûa chi ñoaøn ? b) 3 sinh vieân nöõ ? c) nhieàu nhaát 1 sinh vieân nöõ ? d) ít nhaát 1 sinh vieân nöõ ? Giaûi a) Moãi caùch choïn laø moät toå hôïp chaäp 8 cuûa 45 ñoaøn vieân, do ñoù soá caùch laø 8 C45 = 215 553 195. b) Vieäc choïn 8 sinh vieân theo yeâu caàu ñeà baøi bao goàm hai coâng ñoaïn : 3 - Choïn 3 sinh vieân nöõ trong soá 15 sinh vieân nöõ, coù C15 caùch. 5 - Choïn 5 sinh vieân nam trong soá 30 sinh vieân nam, coù C30 caùch. Theo quy taéc nhaân, soá caùch choïn nhoùm laø 3 5 C15 . C30 = 64 840 230. c) Vieäc thaønh laäp nhoùm theo yeâu caàu ñeà baøi coù hai phöông aùn thöïc hieän : - Nhoùm coù 1 sinh vieân nöõ vaø 7 sinh vieân nam, töông töï caâu b), soá caùch laø 1 7 C15 C 30 ; 8 - Nhoùm coù 8 sinh vieân nam, soá caùch laøC30 . Theo quy taéc coäng, soá caùch thaønh laäp nhoùm ñeå coù nhieàu nhaát 1 sinh vieân nöõ laø 1 7 8 C15 C 30 + C 30 = 36 389 925. d) Caùch thöù nhaát. Vieäc laäp nhoùm goàm 8 sinh vieân baát kì cuûa chi ñoaøn coù theå thöïc hieän theo hai phöông aùn : 8 - Nhoùm goàm 8 sinh vieân nam (khoâng coù sinh vieân nöõ), soá caùch laø C30 , - Nhoùm coù ít nhaát 1 sinh vieân nöõ, soá caùch laø n. 8 Theo caâu a), soá caùch laäp nhoùm goàm 8 sinh vieân baát kì laø C 45 . Theo quy taéc coäng, ta coù : 8 8 C30 + n = C 45 . Suy ra, soá caùch laäp nhoùm ñeå coù ít nhaát 1 sinh vieân nöõ laø : 8 8 n = C45 - C30 = 209 700 270. Caùch thöù hai. Vieäc laäp nhoùm ñeå coù ít nhaát 1 sinh vieân nöõ coù 8 phöông aùn thöïc hieän : 1 7 - Nhoùm coù 1 sinh vieân nöõ vaø 7 sinh vieân nam, theo caâu c), soá caùch laø C15 C30 ; 2 6 - Nhoùm coù 2 sinh vieân nöõ vaø 6 sinh vieân nam, töông töï, coù C15 C30 caùch ; 7 1 - v.v , nhoùm coù 7 nöõ vaø 1 nam, soá caùch laäp laø C15 C30 ; 8 - Nhoùm coù 8 sinh vieân nöõ, soá caùch laäp laø C15 . Theo quy taéc coäng, soá caùch laäp nhoùm ñeå coù ít nhaát 1 sinh vieân nöõ laø : 1 7 2 6 7 1 8 C15 C30 + C15 C30 + + C15 C30 + C15 = 209 700 270. 9
C. BAØI TAÄP 1. Moät toøa nhaø coù 10 taàng, 7 ngöôøi vaøo thang maùy xuaát phaùt töø taàng 1. Hoûi coù bao nhieâu caùch sao cho a) moãi ngöôøi ra ôû moät taàng khaùc nhau ? b) moãi ngöôøi ra ôû moät taàng tuøy yù ? c) coù hai ngöôøi cuøng ra ôû moät taàng, nhöõng ngöôøi coøn laïi ra ôû caùc taàng khaùc ? 2. Moät ñoäi coâng nhaân coù 15 ngöôøi, goàm 9 nam vaø 6 nöõ. Coù bao nhieâu caùch thaønh laäp moät toå coâng taùc goàm a) 5 ngöôøi ? b) 3 nam vaø 2 nöõ ? c) 3 nam vaø 2 nöõ nhöng anh A vaø chò B khoâng ñi cuøng nhau ? 3. Moät loâ haøng coù 100 saûn phaåm, trong ñoù coù 5 pheá phaåm. Choïn ra 12 saûn phaåm ñeå kieåm tra. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn a) caùc saûn phaåm baát kì ? b) sao cho trong soá caùc saûn phaåm ñoù coù khoâng quaù 2 pheá phaåm ? c) sao cho choïn ñöôïc ít nhaát 1 pheá phaåm ? 4. Ngöôøi ta laáy ra 3 vieân bi töø moät caùi hoäp ñöïng 6 vieân vi ñoû, 4 vieân bi xanh, 5 vieân bi vaøng. Hoûi coù bao nhieâu caùch laáy ra a) caùc vieân bi tuøy yù ? b) 2 vieân bi ñoû, 1 vieân bi xanh ? c) caùc vieân bi coù maàu khaùc nhau ? d) moät vieân maøu ñoû ? e) nhieàu nhaát moät vieân maøu ñoû ? f) ít nhaát moät vieân maøu ñoû ? 5. Moät boä baøi coù 52 laù vôùi 4 chaát khaùc nhau, trong ñoù chaát roâ vaø cô coù maøu ñoû, chaát pic vaø chuoàn coù maøu ñen. Choïn 8 laù baøi töø boä baøi ñoù. Hoûi coù bao nhieâu caùch laáy ñöôïc a) 3 laù maøu ñoû ? b) 2 laù cô ? c) 1 laù aùt vaø 2 laù K ? d) 2 laù roâ vaø 4 laù maøu ñen ? e) khoâng quaù moät laù maøu ñoû ? f) ít nhaát moät laù maøu ñen ? g) ít nhaát 2 laù aùt ? 10
CHÖÔNG II XAÙC SUAÁT A. TOÙM TAÉT LÍ THUYEÁT 1. Pheùp thöû ngaãu nhieân, khoâng gian maãu, bieán coá Moät trong nhöõng khaùi nieäm cô baûn cuûa lí thuyeát xaùc suaát laø pheùp thöû. Moät thí nghieäm, moät haønh ñoäng, moät pheùp ño, ñöôïc hieåu laø pheùp thöû. Pheùp thöû ngaãu nhieân laø pheùp thöû maø ta khoâng ñoaùn tröôùc ñöôïc keát quaû cuûa noù, maëc duø ñaõ bieát taäp hôïp taát caû caùc keát quaû coù theå coù cuûa pheùp thöû ñoù. Taäp hôïp moïi keát quaû cuûa moät pheùp thöû ñöôïc goïi laø khoâng gian maãu (cuûa pheùp thöû) vaø kí hieäu laø . Bieán coá laø moät taäp con cuûa khoâng gian maãu. Moät bieán coá lieân quan vôùi pheùp thöû laø moät taäp hôïp bao goàm caùc keát quaû naøo ñoù cuûa pheùp thöû. Taäp hôïp Þ ñöôïc goïi laø bieán coá khoâng theå, taäp hôïp  ñöôïc goïi laø bieán coá chaéc chaén. Ta noùi raèng bieán coá A xaûy ra khi vaø chæ khi keát quaû cuûa pheùp thöû laø moät phaàn töû cuûa A. Nhö vaäy, bieán coá khoâng theå Þ khoâng bao giôø xaûy ra, bieán coá chaéc chaén  luoân luoân xaûy ra. Bieán coá coù theå xaûy ra hoaëc khoâng xaûy ra ñöôïc goïi laø bieán coá ngaãu nhieân. 2. Quan heä giöõa bieán coá a) Bieán coá baèng nhau Bieán coá A ñöôïc goïi laø keùo theo bieán coá B neáu A xaûy ra thì B xaûy ra, kí hieäu A  B. Neáu A  B vaø B  A thì caùc bieán coá A vaø B ñöôïc goïi laø baèng nhau, kí hieäu laø A = B. Vôùi moïi bieán coá A, ta coù Þ  A, A  . b) Toång, tích caùc bieán coá Giaû söû A vaø B laø caùc bieán coá lieân quan vôùi moät pheùp thöû. Khi ñoù : - A coäng B laø bieán coá xaûy ra neáu A hoaëc B xaûy ra, kí hieäu laø A + B (hoaëc A  B) ; - A nhaân B laø bieán coá xaûy ra neáu A vaø B ñoàng thôøi xaûy ra, kí hieäu laø AB (hoaëc A  B) Vôùi moïi bieán coá A, B, C, ta coù A + B = B + A ; AB = BA (A + B) + C = A + (B + C) ; (AB)C = A(BC) A(B + C) = AB + AC ; A + (BC) = (A + B)(A + C) Neáu A  B thì A + B = B ; AB = A A + A = A ; AA = A A + Þ = A ; AÞ = Þ A +  =  ; A = A c) Bieán coá xung khaéc, bieán coá ñoái laäp - Bieán coá A vaø B ñöôïc goïi laø xung khaéc neáu chuùng khoâng ñoàng thôøi xaûy ra, töùc laø AB = Þ. - Bieán coá A vaø B ñöôïc goïi laø ñoái laäp neáu chuùng khoâng ñoàng thôøi xaûy ra nhöng coù ít nhaát moät trong chuùng chaéc chaén xaûy ra, töùc laø AB = Þ vaø A + B = . Neáu A vaø B ñoái laäp thì ta kí hieäu B = A vaø goïi B laø bieán coá ñoái laäp cuûa A. Nhö vaäy, ta coù 11
A + A =  ; A A = Þ A = A A B = A . B ; AB A + B d) Nhoùm ñaày ñuû caùc bieán coá Caùc bieán coá A1, A2, , An ñöôïc goïi laø ñoâi moät xung khaéc, neáu hai bieán coá khaùc nhau baát kì trong ñoù ñeàu xung khaéc, töùc laø AiAj = Þ vôùi i j. Caùc bieán coá A1, A2, , An ñöôïc goïi laø moät nhoùm ñaày ñuû caùc bieán coá, neáu chuùng ñoâi moät xung khaéc vaø ít nhaát moät trong chuùng chaéc chaén xaûy ra, töùc laø AiAj = Þ vôùi i j vaø A1 + A2 + + An = . Nhö vaäy, vôùi moïi bieán coá A thì A, A laø moät nhoùm ñaày ñuû caùc bieán coá. 3. Ñònh nghóa xaùc suaát a) Ñònh nghóa coå ñieån Cho pheùp thöû T coù khoâng gian maãu  laø moät taäp hôïp höõu haïn vaø caùc keát quaû cuûa T laø ñoàng khaû naêng (töùc laø coù cuøng khaû naêng xuaát hieän). Giaû söû A laø moät bieán coá lieân quan vôùi pheùp thöû T vaø A laø taäp hôïp caùc keát quaû moâ taû A (coøn goïi laø caùc keát quaû thuaän lôïi cho A). Khi ñoù, xaùc suaát cuûa A laø moät soá, kí hieäu laø P(A), ñöôïc xaùc ñònh bôûi coâng thöùc : Soá phaàn töû cuûa A P(A) = Soá phaàn töû cuûa  Hay Soá keát quaû thuaän lôïi cho A P(A) = Soá keát quaû coù theå cuûa pheùp thöû T b) Ñònh nghóa hình hoïc Giaû söû caùc keát quaû ñoàng khaû naêng cuûa pheùp thöû T ñöôïc ñaët töông öùng vôùi caùc ñieåm cuûa moät taäp hôïp coù ñoä ño M, caùc keát quaû thuaän lôïi cho bieán coá A töông öùng vôùi caùc ñieåm cuûa moät taäp hôïp coù ñoä ño m. Khi ñoù ta goïi xaùc suaát cuûa bieán coá A laø soá m P(A) = M ÔÛ ñaây ñoä ño coù theå laø ñoä daøi, dieän tích hay theå tích, tuøy theo taäp hôïp ñang xeùt thuoäc R, R2 hay R3. c) Ñònh nghóa thoáng keâ Giaû söû trong n pheùp thöû vôùi ñieàu kieän gioáng nhau, bieán coá A xuaát hieän k laàn. Ta goïi k fn(A) = n laø taàn suaát xuaát hieän bieán coá A trong n pheùp thöû vaø goïi giôùi haïn lim f n (A) laø xaùc suaát P(A) n cuûa bieán coá A. Xaùc suaát cuûa moät bieán coá luoân coù ba tính chaát sau ñaây 12
0 P(A) 1, vôùi moïi bieán coá A. P(Þ) = 0, P() = 1 Neáu A, B xung khaéc thì P(A + B) = P(A) + P(B) d) Ñònh nghóa theo tieân ñeà Kí hieäu @ laø taäp hôïp taát caû caùc bieán coá trong moät pheùp thöû. Ta goïi xaùc suaát laø moät quy taéc ñaët moãi A @ vôùi moät soá P(A) thoûa maõn ba ñieàu kieän sau (1)  A @ : 0 P(A) 1; (2) P(Þ) = 0 ; P() = 1 ; (3) AB = Þ => P(A + B) = P(A) + P(B). Töø ñònh nghóa, ta coù P( A ) = 1 – P(A) 4. Coâng thöùc coäng xaùc suaát a) Tröôøng hôïp toång cuûa hai bieán coá - Neáu caùc bieán coá A, B xung khaéc thì P(A + B) = P(A) + P(B) - Neáu A, B baát kì thì P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) b) Tröôøng hôïp toång cuûa n bieán coá - Neáu A1, A2, ,An laø caùc bieán coá ñoâi moät xung khaéc thì P(A1 + A2 + + An) = P(A1) + P(A2) + + P(An). - Neáu A1, A2, ,An baát kì thì n P(A1 + A2 + + An) = P(Ai ) P(Ai A j ) P(Ai A jAk ) i 1 i j i j k n – 1 (-1) P(A1A2 An) 5. Xaùc suaát coù ñieàu kieän. Coâng thöùc nhaân xaùc suaát a) Xaùc suaát coù ñieàu kieän Ta goïi xaùc suaát cuûa bieán coá A khi bieán coá B ñaõ xaûy ra laø xaùc suaát cuûa bieán coá A vôùi ñieàu kieän B, kí hieäu laø P(A/B). P(AB) Ta coù P(A/B) = P(B) b) Bieán coá ñoäc laäp Hai bieán coá A vaø B ñöôïc goïi laø ñoäc laäp, neáu xaùc suaát cuûa bieán coá naøy khoâng phuï thuoäc vaøo söï xaûy ra hay khoâng xaûy ra cuûa bieán coá kia, töùc laø : P(A/B) = P(A) hoaëc P(B/A) = P(B). 13
Caùc bieán coá A1, A2, ,An ñöôïc goïi laø ñoäc laäp toaøn theå, neáu xaùc suaát cuûa moät bieán coá trong ñoù khoâng phuï thuoäc vaøo söï xaûy ra hay khoâng xaûy ra cuûa moät toå hôïp baát kì caùc bieán coá khaùc. Neáu A, B ñoäc laäp thì caùc caëp A, B ; A , B ; A , B cuõng ñoäc laäp. Tính ñoäc laäp toaøn theå cuûa nhieàu bieán coá cuõng coù tính chaát töông töï. c) Coâng thöùc nhaân xaùc suaát Tröôøng hôïp tích cuûa hai bieán coá - Neáu A, B baát kyø thì P (AB) = P (A) P (B/A) = P (B) P (A/B) - Neáu A, B ñoäc laäp thì P (AB) = P (A) P (B) . Tröôøng hôïp tích cuûa n bieán coá - Neáu A1, A2, , An baát kyø thì P (A1 A2 An) = P (A1) P(A2/A1) P(An/A1A2 An-1) - Neáu A1, A2, , An ñoäc laäp toaøn theå thì P (A1 A2 An) = P (A1) P(A2) P(An) 6. Coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû. Coâng thöùc Bayes Cho A1, A2 , , An laø moät nhoùm ñaày ñuû caùc bieán coá vaø B laø moät bieán coá baát kyø. Ta coù n P(B) = P(A i )P(B/A i ) i 1 (Coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû) P(A K )P(B/A K ) P(AK / B) = P(B) (Coâng thöùc Bayes, coøn goïi laø coâng thöùc xaùc suaát giaû thieát). 7. Coâng thöùc Bernoulli a) Daõy pheùp thöû Bernoulli Moät daõy n pheùp thöû (n N*) ñöôïc goïi laø moät daõy n pheùp thöû Bernoulli, neáu : - caùc pheùp thöû laø ñoäc laäp vôùi nhau. - trong moãi pheùp thöû bieán coá A maø ta quan taâm coù xaùc suaát P(A) = p khoâng ñoåi. b) Coâng thöùc Bernoulli Kí hieäu Pn(k, p) laø xaùc suaát ñeå bieán coá A xuaát hieän k laàn trong n pheùp thöû Bernoulli, q = 1 – p = P( A ). Ta coù K K n K Pn(k, p) = Cn p q (0 k n) (Coâng thöùc Bernoulli) c) Soá coù khaû naêng nhaát Soá K0 sao cho Pn(K0, p) lôùn nhaát ñöôïc goïi laø soá coù khaû naêng nhaát. Ta coù K0 = np - q hoaëc K0 = np - q + 1. 14
B. CAÙC BAØI GIAÛI MAÃU 1. Bieåu dieãn moät bieán coá thaønh pheùp toaùn ñoái vôùi caùc bieán coá khaùc Baøi 1. Moät sinh vieân phaûi thi hai moân : Toaùn vaø Lyù. Goïi T, L laàn löôït laø caùc bieán coá sinh vieân ñoù ñaäu Toaùn, Lyù. Haõy bieåu dieãn caùc bieán coá sau ñaây qua T vaø L. a) Sinh vieân ñoù rôùt Toaùn. b) Sinh vieân ñoù chæ ñaäu Toaùn. c) Sinh vieân ñoù ñaäu caû hai moân. d) Sinh vieân ñoù rôùt caû hai moân. e) Sinh vieân ñoù chæ ñaäu moät moân. f) Sinh vieân ñoù ñaäu khoâng quaù moät moân. g) Sinh vieân ñoù ñaäu ít nhaát moät moân. h) Sinh vieân ñoù rôùt ít nhaát moät moân. i) Sinh vieân ñoù rôùt nhieàu nhaát moät moân. Giaûi a) Ta coù bieán coá rôùt Toaùn ñoái laäp vôùi bieán coá ñaäu Toaùn neân, neáu goïi A laø bieán coá sinh vieân ñoù rôùt Toaùn, thì A = T . b) Goïi B laø bieán coá sinh vieân ñoù chæ ñaäu Toaùn, thì B xaûy ra khi T xaûy ra vaø L khoâng xaûy ra. Vaäy B = T L . c) Goïi C laø bieán coá sinh vieân ñoù ñaäu caû 2 moân. Ta coù C xaûy ra khi T vaø L cuøng xaûy ra. Vaäy C = TL. d) Töông töï, bieán coá sinh vieân ñoù rôùt caû 2 moân laø D = T L . e) Goïi E laø bieán coá sinh vieân ñoù chæ ñaäu 1 moân. Ta coù E xaûy ra khi sinh vieân ñoù chæ ñaäu Toaùn (bieán coá B) hoaëc sinh vieân ñoù chæ ñaäu Lyù (bieán coá B’ = T L). Vaäy E = B + B’ hay E = TL + T L. f) Goïi F laø bieán coá sinh vieân ñoù ñaäu khoâng quaù moät moân. - Caùch thöù nhaát. Ta coù F xaûy ra khi sinh vieân ñoù rôùt caû 2 moân (bieán coá D) hoaëc chæ ñaäu moät moân (bieán coá E). Do ñoù F = D + E hay F = T L + T L + T L. - Caùch thöù hai. Ta coù bieán coá ñoái laäp cuûa F laø sinh vieân ñoù ñaäu quaù 1 moân, töùc laø ñaäu caû hai moân (bieán coá C). Vaäy F = C hay F = TL . - Caùch thöù ba . Bieán coá F xaûy ra khi sinh vieân ñoù rôùt Toaùn hoaëc rôùt Lyù. Vaäy F = T + L . g) Goïi G laø bieán coá sinh vieân ñoù ñaäu ít nhaát 1 moân. Töông töï, ta coù ba caùch bieåu dieãn G. - Caùch thöù nhaát. G = E + C = T L + T L + TL - Caùch thöù hai. G = D = (T L ). - Caùch thöù ba. G = T + L h) Goïi H laø bieán coá sinh vieân ñoù rôùt ít nhaát 1 moân. Ta coù H = F. Vaäy : 15
H = T + L , H = C = TL , H = T L + TL + T L i) Goïi I laø bieán coá sinh vieân ñoù rôùt nhieàu nhaát 1 moân. Ta coù I = G. Vaäy I = T L + T L + TL, I = ( T L ), I = T + L. 2. Tính xaùc suaát cuûa bieán coá theo ñònh nghóa coå ñieån . Neâu pheùp thöû, tính soá keát quaû coù theå coù cuûa pheùp thöû. . Neáu bieán coá caàn tìm xaùc suaát, tính soá keát quaû (cuûa pheùp thöû) thuaän lôïi cho bieán coá ñoù. . AÙp duïng ñònh nghóa ñeå tìm xaùc suaát cuûa bieán coá. Baøi 2. Ñeà cöông thi moân Trieát coù 70 caâu hoûi. Moät sinh vieân chæ oân 40 caâu. Cho bieát ñeà thi töï luaän goàm 3 caâu thuoäc ñeà cöông vaø neáu sinh vieân traû lôøi ít nhaát 2 caâu thì ñaäu. Tìm xaùc suaát ñeå sinh vieân ñoù ñaäu moân Trieát. Giaûi Pheùp thöû laø vieäc traû lôøi 3 caâu töø 70 caâu hoûi cuûa ñeà cöông (khoâng caàn saép thöù töï), do ñoù 3 soá caùc keát quaû coù theå laø C 70 . Goïi Ñ laø bieán coá sinh vieân ñoù ñaäu moân Trieát. Muoán Ñ xaûy ra ta coù hai phöông aùn : 3 - Caû ba caâu hoûi cuûa ñeà thi ñeàu naèm trong soá 40 caâu maø sinh vieân ñaõ oân, coù C 40 caùch ; - Coù hai caâu naèm trong soá 40 caâu ñaõ oân vaø moät caâu coøn laïi naèm trong soá 30 caâu anh ta 2 1 khoâng oân, coù C40 C30 caùch. Theo quy taéc coäng, soá keát quaû thuaän lôïi cho Ñ laø 3 2 1 C 40 + C 40 C 30 Vaäy, theo ñònh nghóa, xaùc suaát sinh vieân ñaäu moân Trieát laø 3 2 1 C 40 C 40 .C30 33280 1664 P(Ñ) = 3 0,6 . C70 54740 2737 3. Tính xaùc suaát cuûa bieán coá theo ñònh nghóa hình hoïc . Neâu pheùp thöû, tìm taäp hôïp bieåu dieãn pheùp thöû vaø ñoä ño cuûa taäp hôïp naøy. . Neâu bieán coá caàn tìm xaùc suaát, tìm taäp hôïp bieåu dieãn bieán coá vaø ñoä ño cuûa taäp hôïp ñoù. . AÙp duïng ñònh nghóa ñeå tìm xaùc suaát cuûa bieán coá. Baøi 3. 16 30cm
a) Cho moät taám bia coù hình daïng vaø kích thöôùc nhö hình veõ. Moät sinh vieân baén moät vieân ñaïn vaøo taám bia ñoù. Neáu baén truùng hình troøn ôû taâm coù baùn kính 5cm thì ñaït yeâu caàu. Tìm xaùc suaát ñeå sinh vieân ñoù baén ñaït yeâu caàu. b) Hai ngöôøi heïn gaëp nhau taïi moät ñòa ñieåm trong khoaûng thôøi gian töø 17h ñeán 18h. Hoï giao heïn : ai ñeán tröôùc seõ ñôïi ngöôøi kia 15 phuùt, neáu khoâng thaáy thì huûy cuoäc heïn. Tìm xaùc suaát ñeå hoï gaëp nhau. Giaûi a) Pheùp thöû laø baén moät vieân ñaïn vaøo taám bia. Taäp hôïp bieåu dieãn pheùp thöû laø hình chöõ nhaät (coù chieàu daøi 40cm, chieàu roäng 30cm) vaø nöûa hình troøn (ñöôøng kính 30cm). Ñoä ño cuûa taäp hôïp naøy (hay dieän tích) laø : 1 S = 40 . 30 + 152 = 1200 + 112,5 (cm2). 2 Goïi D laø bieán coá sinh vieân ñoù baén ñaït yeâu caàu. Taäp hôïp bieåu dieãn A laø hình troøn ôû taâm (coù baùn kính 5cm) neân coù ñoä ño laø s = 52 = 25 (cm2). Vaäy, theo ñònh nghóa, s 25 P(D) 0,05 . S 1200 112,5 b) Goïi x, y laàn löôït laø thôøi ñieåm ñeán choã heïn cuûa ngöôøi thöù nhaát, thöù hai. Töø 17h ñeán 18h ta coù 60 phuùt neân coù theå xem taäp hôïp bieåu dieãn pheùp thöû thoûa maõn ñieàu kieän 0 x 60, 0 y 60. Goïi G laø bieán coá hai ngöôøi ñoù gaëp nhau thì ñieàu kieän ñeå G xaûy ra laø y x 15 C P B 60 15 y x 15. 45 N Nhö vaäy, pheùp thöû ñöôïc bieåu dieãn bôûi hình vuoâng OABC coù caïnh 60 (xem hình veõ beân). Coøn bieán coá G ñöôïc bieåu dieãn bôûi luïc giaùc OMNBPQ. Q 15 M A Ta coù dieän tích hình vuoâng laø 2 15 45 60 S = 60 = 3600, dieän tích luïc giaùc laø 17
2 s = dtOABC – (dtAMN + dtCPQ) = 3600 – 45 = 1575. Vaäy xaùc suaát hai ngöôøi gaëp nhau laø : s 1575 P(G) 0,4375. S 3600 4. Tính xaùc suaát cuûa bieán coá baèng caùc coâng thöùc . Neâu bieán coá caàn tìm xaùc suaát, bieåu dieãn bieán coá naøy thaønh pheùp toaùn ñoái vôùi caùc bieán coá khaùc maø ta xem laø caùc bieán coá “ñôn giaûn” hôn bieán coá ban ñaàu. . Phaân tích moái quan heä giöõa caùc bieán coá tham gia vaøo pheùp toaùn : xung khaéc hay khoâng, ñoäc laäp hay khoâng, coù taïo thaønh nhoùm ñaày ñuû khoâng . Choïn coâng thöùc tính xaùc suaát cuûa bieán coá ban ñaàu thoâng qua xaùc suaát cuûa caùc bieán coá “ñôn giaûn”. . Tính xaùc suaát cuûa caùc bieán coá “ñôn giaûn” (neáu caàn). . Tính xaùc suaát cuûa bieán coá ban ñaàu. Baøi 4. Moät sinh vieân phaûi thi Toaùn vaø Lyù. Cho bieát xaùc suaát ñaäu hai moân ñoù laàn löôït laø 0,7 ; 0,6. Haõy tính caùc xaùc suaát sau ñaây. a) Sinh vieân ñoù rôùt Toaùn. b) Sinh vieân ñoù chæ ñaäu Toaùn. c) Sinh vieân ñoù ñaäu caû 2 moân. d) Sinh vieân ñoù rôùt caû 2 moân. e) Sinh vieân ñoù chæ ñaäu 1 moân. f) Sinh vieân ñoù ñaäu khoâng quaù 1 moân. g) Sinh vieân ñoù ñaäu ít nhaát 1 moân. Giaûi Giöõ nguyeân caùch kyù hieäu vaø bieåu dieãn caùc bieán coá nhö ôû Baøi 1, ta coù caùc keát quaû sau ñaây. a) P(A) = P(T ) = 1 – P(T) = 1 – 0,7 = 0,3. b) Vì T vaø L ñoäc laäp neân P(B) = P(T L ) = P(T) P( L ) = 0,7.0,4 = 0,28. c) Töông töï, P(C) = P(TL) = P(T) P(L) = 0,42. d) P(D) = P( T L ) = P(T ) P( L ) = 0,12. e) Vì B, B’ xung khaéc neân P(E) = P(B) + P(B’) = P(T L ) + P( T L) = 0,28 + 0,18 = 0,46 f) Caùch thöù nhaát F = D + E vaø DE = Þ neân P(F) = P(D) + P(E) = 0,58. Caùch thöù hai F = C neân P(F) = 1 – P(C) = 0,58. 18
Caùch thöù ba F = T + L vaø T L Þ neân P(F) = P( T ) + P( L ) – P(T L ) = 0,3 +0,4 – 0,12 = 0,58. g) Caùch thöù nhaát G = E + C vaø EC = Þ neân P(G) = P(E) + P(C) = 0,46 + 0,42 = 0,88. Caùch thöù hai G = D neân P(G) = 1 – P(D) = 1 – 0,12 = 0,88. Caùch thöù ba G = T + L vaø TL Þ neân P(G) = P(T) + P(L) – P(TL) = 0,7 + 0,6 – 0,42 = 0,88. Baøi 5. Moät loâ haøng coù 50 saûn phaåm, trong ñoù coù 8 pheá phaåm. Minh laáy ra 3 saûn phaåm, sau ñoù Huy laáy ra 2 saûn phaåm. Tính caùc xaùc suaát sau ñaây. a) Huy laáy truùng 1 pheá phaåm khi Minh ñaõ laáy ñi 1 pheá phaåm. b) Hai baïn laáy ñöôïc toaøn saûn phaåm toát. c) Hai baïn laáy ra ñuùng 1 pheá phaåm. d) Hai baïn laáy ra ít nhaát 1 pheá phaåm. Giaûi Goïi Mi laø bieán coá Minh laáy ra i pheá phaåm (vaø 3 – i saûn phaåm toát), i = 0,3 ; HK laø bieán coá Huy laáy ra k pheá phaåm (vaø 2 – k saûn phaåm toát), k = 0,2 . a) Goïi A laø bieán coá caàn tìm xaùc suaát. Ta coù P(A) = P(H1/M1). Ta aùp duïng ñònh nghóa ñeå tính xaùc suaát treân. Khi Minh ñaõ laáy ñi 1 pheá phaåm (vaø 2 2 saûn phaåm toát) thì pheùp thöû laø vieäc Huy choïn 2 saûn phaåm töø 47 saûn phaåm coøn laïi, coù C 47 caùch. Ñeå H1 xaûy ra thì caàn choïn 1 pheá phaåm trong soá 7 pheá phaåm coøn laïi vaø choïn 1 saûn 1 1 phaåm toát trong soá 40 saûn phaåm toát coøn laïi, do ñoù soá caùch laø C 7 C 40 . 1 1 C 7 C 40 280 Vaäy P(H1/M1) = 2 = 0,259. C 47 1081 b) Goïi B laø bieán coá Minh vaø Huy laáy ñöôïc 5 saûn phaåm toát. Caùch thöù nhaát. Ta coù bieåu dieãn B = M0 H0 , trong ñoù MO, HO khoâng ñoäc laäp neân P(B) = P(M0) P(H0/ M0). Caùc xaùc suaát ôû veá phaûi ñöôïc tính baèng ñònh nghóa. 3 2 C 42 C 39 P(M0) = 3 ; P (H0/ M0) = 2 C50 C 47 C3 C 2 11480 741 42 39 Vaäy P(B) = 3 . 2 = . 0,4. C50 C 47 19600 1081 Caùch thöù hai. Khoâng quan taâm ñeán thöù töï thôøi gian maø Minh vaø Huy laáy caùc saûn phaåm, ta coù theå xem pheùp thöû laø vieäc hai baïn cuøng laáy 5 saûn phaåm töø 50 saûn phaåm ñaõ 19
cho. Ñeå B xaûy ra thì phaûi laáy ñöôïc 5 saûn phaåm toát trong soá 42 saûn phaåm toát. Vaäy, theo ñònh nghóa, xaùc suaát hai baïn laáy ñöôïc toaøn saûn phaåm toát laø C5 850668 42 P(B) = 5 = 0,4. C50 2118760 c) Goïi C laø bieán coá Minh vaø Huy laáy ra ñuùng 1 pheá phaåm. Caùch thöù nhaát. Ta coù bieåu dieãn C = M1H0 + M0H1. Caùc bieán coá tham gia vaøo toång laø M1H0 vaø M0H1 xung khaéc, caùc bieán coá tham gia vaøo tích laø M1, H0 vaø M0, H1 khoâng ñoäc laäp. Do ñoù P(C) = P(M1) P(H0/M1) + P(M0) P(H1/M0) Töông töï caâu b), ta tính ñöôïc C1 C2 C 2 C 3 C1 C1 8954400 8 42 40 42 8 39 P(C) = 3 . 2 + 3 . 2 = 0,42. C50 C 47 C50 C47 21187600 Caùch thöù hai. AÙp duïng ñònh nghóa, ta coù C1 C 4 8954400 8 42 P(C) = 5 = 0,42. C50 21187600 d) Goïi D laø bieán coá Minh vaø Huy laáy ra ít nhaát 1 pheá phaåm. Ta coù D laø bieán coá hai baïn laáy ñöôïc toaøn saûn phaåm toát, do ñoù D = B . 801 Vaäy P(D) = 1 – P(B) = 0,741. 1081 Baøi 6. Coù hai hoäp phaán. Hoäp thöù nhaát coù 6 vieân phaán traéng, 4 vieân phaán maøu. Hoäp thöù hai coù 7 vieân phaán traéng, 3 vieân phaán maøu. Töø hoäp thöù nhaát laáy ra 2 vieân phaán, töø hoäp thöù hai laáy ra 1 vieân. Tìm xaùc suaát laáy ñöôïc a) 2 vieân phaán traéng. b) ít nhaát 1 vieân phaán maøu. Giaûi Theo ñeà baøi, töø hai hoäp ta seõ laáy ñöôïc 3 vieân phaán. Caùc bieán coá caàn tìm xaùc suaát lieân quan ñeán soá löôïng caùc vieân phaán traéng laáy töø moãi hoäp. Do ñoù ta seõ bieåu dieãn caùc bieán coá qua caùc pheùp toaùn töông öùng. Goïi AK laø bieán coá laáy ñöôïc k vieân phaán traéng töø hoäp thöù nhaát, k = 0,2 , Bi laø bieán coá laáy ñöôïc i vieân phaán traéng töø hoäp thöù hai, i = 0,1. a) Goïi A laø bieán coá trong 3 vieân phaán laáy töø hai hoäp coù 2 vieân maøu traéng. Ta coù A = A1B1 + A2B0. Roõ raøng caùc bieán coá tham gia vaøo toång laø A1B1 vaø A2B0 xung khaéc, coøn caùc bieán coá tham gia vaøo tích laø A1 vaø B1, A2 vaø B0 ñoäc laäp. Do ñoù P(A) = P(A1) P(B1) + P(A2) P(B0). Caùc xaùc suaát ôû veá phaûi ñöôïc tính baèng ñònh nghóa. 20
Chaúng haïn, ñoái vôùi A1 : pheùp thöû laø vieäc laáy 2 trong 10 vieân phaán cuûa hoäp thöù nhaát ; A1 xaûy ra khi laáy 1 vieân phaán traéng töø 6 vieân vaø 1 vieân phaán maøu töø 4 vieân ôû hoäp ñoù. Suy ra 1 1 C 6 C 4 P(A1) = 2 . C10 Töông töï, ta tính ñöôïc caùc xaùc suaát coøn laïi. Vaäy C1 C1 C1 C 2 C1 71 6 4 7 6 3 P(A) = 2 . 1 + 2 . 1 = 0,4733. C10 C10 C10 C10 150 b) Goïi B laø bieán coá laáy ñöôïc ít nhaát moät vieân phaán maøu töø caû hai hoäp. Ta coù hai caùch tính xaùc suaát cuûa B. Caùch thöù nhaát. Ta nhaän thaáy B laø bieán coá caû 3 vieân phaán laáy töø hai hoäp ñeàu maøu traéng. Do ñoù B = A2 B1, 2 1 C 6 C 7 7 neân P B = P(A2) P(B1) = 2 . 1 = . C10 C10 30 23 Suy ra P(B) = 1 – P( B ) = . 30 Caùch thöù hai. Ta coù B xaûy ra khi laáy ñöôïc 1 vieân phaán maøu vaø 2 vieân phaán traéng ; hoaëc 2 vieân phaán maøu vaø 1 vieân phaán traéng ; hoaëc 3 vieân phaán maøu (vaø 0 vieân phaán traéng). Do ñoù B = A + (A1B0 + A0B1) + A0B0 , P(B) = P(A) + P(A1) P(B0) + P(A0) P(B1) + P(A0) P(B0) = 1 1 1 2 1 2 1 71 C6 C 4 C3 C 4 C 7 C 4 C3 23 = + 2 . 1 + 2 . 1 + 2 . 1 = . 150 C10 C10 C10 C10 C10 C10 30 Baøi 7. Moät nhaø maùy coù ba phaân xöôûng cuøng saûn xuaát moät loaïi saûn phaåm. Phaân xöôûng thöù nhaát saûn xuaát 25%, phaân xöôûng thöù hai saûn xuaát 35% vaø phaân xöôûng thöù ba saûn xuaát 40% toång soá saûn phaåm cuûa toaøn nhaø maùy. Tæ leä pheá phaåm cuûa töøng phaân xöôûng töông öùng laø : 1% ; 3% ; 2%. Laáy ngaãu nhieân moät saûn phaåm töø loâ haøng do ba phaân xöôûng saûn xuaát. a) Tìm xaùc suaát laáy ñöôïc pheá phaåm. b) Giaû söû laáy ñöôïc pheá phaåm. Tìm xaùc suaát pheá phaåm naøy do phaân xöôûng thöù hai saûn xuaát . c) Neáu laáy ñöôïc saûn phaåm toát, theo baïn thì saûn phaåm ñoù do phaân xöôûng naøo saûn xuaát? Taïi sao ? Giaûi Caùc bieán coá caàn tìm xaùc suaát phuï thuoäc vaøo vieäc saûn phaåm laáy töø loâ haøng do phaân xöôûng naøo saûn xuaát. Do ñoù, caàn chæ ra caùc bieán coá naøy. Goïi XK laø bieán coá saûn phaåm laáy ñöôïc do phaân xöôûng thöù k saûn xuaát, k = 1,3 . Deã daøng nhaän thaáy ba bieán coá X1, X2, X3 laäp thaønh nhoùm ñaày ñuû caùc bieán coá (vì luoân coù moät vaø chæ moät bieán coá trong soá chuùng xaûy ra, khi ta thöïc hieän pheùp thöû laáy moät saûn phaåm töø loâ haøng). 21
a) Goïi A laø bieán coá saûn phaåm laáy ñöôïc laø pheá phaåm. Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû P(A) = P (X1) P(A/X1) + P(X2) P (A/X2) + P (X3) P (A/X3). Caùc soá lieäu trong ñeà baøi chính laø caùc xaùc suaát töông öùng ôû veá phaûi. Vaäy P(A) = 0,25 . 0,01 + 0,35 . 0,03 + 0,40 . 0,02 = 0,021 = 2,1%. Löu yù raèng, 2,1% laø tæ leä pheá phaåm chung cuûa caû ba phaân xöôûng. b) Theo ñeà baøi, bieán coá A ñaõ xaûy ra vaø ta caàn tìm P(X2 / A). AÙp duïng coâng thöùc Bayes, ta ñöôïc P(X2 )P(A/X2 ) 0,35.0,03 P(X2 / A) = 0,5 . P(A) 0,021 c) Ñieàu kieän baây giôø laø Ā ñaõ xaûy ra. Ta seõ tính caùc xaùc suaát P(XK/ Ā), vôùi k = 1,3 , vaø so saùnh caùc keát quaû ñeå ñöa ra keát luaän. Theo coâng thöùc Bayes P(X1 )P(A / X1 ) 0,25.(1 0,01) P(X1/ Ā) = 0,25 ; P(A) 1 0,021 P(X 2 )P(A / X 2 ) 0,35.(1 0,03) P(X2 / Ā) = 0,35 ; P(A) 1 0,021 P(X 3 )P(A / X 3 ) 0,4.(1 0,02) P(X3 / Ā) = 0,4 . P(A) 1 0,021 Caùc xaùc suaát treân ñaây ñaëc tröng cho khaû naêng saûn phaåm toát do töøng phaân xöôûng saûn xuaát. Vaäy, khi laáy ñöôïc saûn phaåm toát töø loâ haøng thì khaû naêng saûn phaåm naøy do phaân xöôûng thöù ba saûn xuaát laø nhieàu nhaát. Baøi 8. Caùc saûn phaåm ñöôïc ñoùng thaønh hoäp, moãi hoäp coù 10 saûn phaåm, trong ñoù 4 saûn phaåm do maùy thöù nhaát saûn xuaát, coøn laïi do maùy thöù hai saûn xuaát. Tyû leä saûn phaåm loaïi A do hai maùy ñoù saûn xuaát laàn löôït laø 90%, 80%. Moät ngöôøi ñeán mua haøng quy ñònh kieåm tra nhö sau. Laáy ngaãu nhieân moät saûn phaåm trong hoäp. Neáu ñoù laø saûn phaåm loaïi A thì chaáp nhaän hoäp, ngöôïc laïi thì loaïi hoäp naøy. a) Tính xaùc suaát ñeå ngöôøi mua haøng chaáp nhaän moät hoäp baát kì. b) Phaûi kieåm tra toái thieåu bao nhieâu hoäp ñeå xaùc suaát ngöôøi mua haøng chaáp nhaän ít nhaát moät hoäp seõ lôùn hôn 0,9 ? Giaûi a) Bieán coá caàn tìm xaùc suaát phuï thuoäc vaøo vieäc saûn phaåm laáy ra kieåm tra do maùy naøo saûn xuaát. Goïi MK laø bieán coá laáy ñöôïc saûn phaåm do maùy thöù k saûn xuaát, k = 1,2. Hai bieán coá M1, M2 taïo thaønh nhoùm ñaày ñuû. Goïi H laø bieán coá ngöôøi mua haøng chaáp nhaän hoäp ñang ñöôïc kieåm tra. Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû P(H) = P(M1) P(H/M1) + P(M2).P(H/M2). Töø ñeà baøi ta coù 4 6 P(M1) = ; P(M2) = ; P(H/M1) = 0,9 ; P(H/M2) = 0,8. 10 10 22
Vaäy P(H) = 0,4.0,9 + 0,6.0,8 = 0,84. b) Giaû söû n laø soá hoäp maø ngöôøi mua haøng seõ kieåm tra (n N*). Goïi L laø bieán coá anh ta loaïi caû n hoäp, thì Llaø bieán coá anh ta chaáp nhaän ít nhaát moät hoäp trong soá chuùng. Theo ñeà baøi, ta phaûi coù P( L ) > 0,9. Suy ra P(L) log 0,1 1,3 . 0,16 ln 0,16 Vì n laø soá töï nhieân neân ta ñöôïc n 2. Vaäy, phaûi kieåm tra toái thieåu hai hoäp. Baøi 9. Xaùc suaát baén truùng muïc tieâu cuûa moät xaï thuû ôû moãi laàn baén laø 0,6. Bieát raèng xaùc suaát muïc tieâu bò dieät khi truùng 1, 2, 3 phaùt ñaïn laàn löôït laø 0,2 ; 0,5 ; 0,8. Coøn neáu truùng 4 phaùt ñaïn thì chaéc chaén bò dieät.Tìm xaùc suaát muïc tieâu bò dieät neáu xaï thuû ñoù baén 4 phaùt ñaïn. Giaûi Goïi D laø bieán coá caàn tìm xaùc suaát. Theo ñeà baøi, D phuï thuoäc vaøo vieäc muïc tieâu bò truùng maáy phaùt ñaïn. Ta goïi bieán coá muïc tieâu truùng k phaùt ñaïn laø TK. Muoán coù moät nhoùm ñaày ñuû thì k phaûi nhaän caùc giaù trò 0,4 . Khi aáy, xaùc suaát cuûa D ñöôïc tính bôûi coâng thöùc : 4 P(D) = P(TK )P(D/TK ) . K 0 Töø ñeà baøi suy ra P(D/T1) = 0,2 ; P(D/T2) = 0,5 ; P(D/T3) = 0,8 ; P(D/T4) = 1, coøn hieån nhieân P(D/T0) = 0. ___ Ta caàn tính P(TK), k = 0,4 . Xaï thuû baén 4 phaùt ñaïn moät caùch ñoäc laäp vaø xaùc suaát baén truùng muïc tieâu ôû moãi laàn khoâng thay ñoåi. Do ñoù ta coù daõy 4 pheùp thöû Bernoulli vôùi p = 0,6, q = 0,4. AÙp duïng coâng thöùc Bernoulli ta ñöôïc 0 0 4 4 P(T0) = P4(0 ; 0,6) = C4 p q = 0,4 = 0,0256 ; 1 1 3 3 P(T1) = P4(1 ; 0,6) = C4 p q = 4.0,6.0,4 = 0,1536 ; 2 2 2 2 2 P(T2) = P4(2 ; 0,6) = C4 p q = 6.0,6 .0,4 = 0,3456 ; 3 3 1 3 P(T3) = P4(3 ; 0,6) = C4 p q = 4.0,6 .0,4 = 0,3456 ; 4 4 0 4 P(T4) = P4(4 ; 0,6) = C4 p q = 0,6 = 0,1296 ; Vaäy xaùc suaát muïc tieâu bò dieät neáu xaï thuû baén 4 phaùt ñaïn laø : P(D) = 0,0256.0 + 0,1536.0,2 + 0,3456.0,5 + 0,3456.0,8 + 0,1296.1 = 0,6096. 23
___ Baøi 10. Coù ba hoäp, moãi hoäp ñöïng 5 vieân bi, trong ñoù hoäp thöù k coù k vieân ñoû, k = 1,3 . 1. Laáy ngaãu nhieân töø moãi hoäp ra moät vieân bi. a) Tìm xaùc suaát laáy ñöôïc 3 bi ñoû. b) Tìm xaùc suaát ñeå trong 3 bi thu ñöôïc seõ coù 1 bi ñoû. c) Bieát raèng trong 3 bi laáy ra coù 1 bi ñoû, tìm xaùc suaát ñeå vieân bi ñoû naøy laø cuûa hoäp thöù nhaát. 2. Choïn ngaãu nhieân moät hoäp, töø ñoù laáy ngaãu nhieân 3 vieân bi. Tìm caùc xaùc suaát nhö ôû caâu 1. Giaûi 1. Caùc bieán coá caàn tìm xaùc suaát phuï thuoäc vaøo vieäc töø moãi hoäp laáy ra ñöôïc vieân bi maøu gì. ___ Goïi ÑK laø bieán coá laáy ñöôïc 1 vieân bi ñoû töø hoäp thöù k, k = 1,3 . a) Goïi A laø bieán coá laáy ñöôïc 3 bi ñoû töø 3 hoäp. Ta coù pheùp toaùn A = Ñ1Ñ2Ñ3 Caùc bieán coá ôû veá phaûi trong bieåu dieãn treân ñoäc laäp vôùi nhau neân 1 2 3 6 P(A) = P(Ñ1)P(Ñ2)P(Ñ3) =   . 5 5 5 125 b) Goïi B laø bieán coá trong 3 bi laáy töø 3 hoäp coù 1 bi ñoû. Ta coù __ __ __ __ __ __ B = Ñ1 Ñ2 Ñ3 + Ñ1 Ñ2 Ñ3 + Ñ1 Ñ2 Ñ3. Caùc bieán coá tham gia vaøo toång ôû veá phaûi thì xung khaéc, coøn caùc bieán coá tham gia vaøo tích thì ñoäc laäp, do ñoù : 1 2 3 1 2 3 1 2 3 58 P(B) =  (1 )  (1 ) (1 )   (1 ) (1 )  (1 )  5 5 5 5 5 5 5 5 5 125 c) Theo ñeà baøi, bieán coá B ñaõ xaûy ra, ta caàn tìm P(Ñ1/B). Vì B laø ñieàu kieän ñeå Ñ1 xaûy ra neân ta aùp duïng coâng thöùc xaùc suaát coù ñieàu kieän ñeå tính. P(Ñ1B) P(Ñ1/B) = . P(B) Töø caùch bieåu dieãn bieán coá B ôû caâu b) ta coù __ __ __ __ __ __ __ __ Ñ1B = Ñ1(Ñ1 Ñ2 Ñ3 + Ñ1 Ñ2 Ñ3 + Ñ1 Ñ2 Ñ3) = Ñ1 Ñ2 Ñ3 . Suy ra 1 2 3 6 P(Ñ1B) =  (1 )  (1 ) . 5 5 5 125 Vaäy 6 /125 3 P(Ñ1/B) = . 58/125 29 24
2. Trong tröôøng hôïp naøy, caùc bieán coá caàn tìm xaùc suaát laïi phuï thuoäc vaøo vieäc choïn ___ hoäp. Do ñoù ta goïi HK laø bieán coá choïn ñöôïc hoäp thöù k, k = 1,3 . Roõ raøng caùc bieán coá H1, H2, H3 cho ta moät nhoùm ñaày ñuû. a) Goïi C laø bieán coá laáy ñöôïc 3 bi ñoû töø hoäp ñaõ choïn. AÙp duïng coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù P(C) = P(H1).P(C/H1) + P(H2).P(C/H2) + P(H3).P(C/H3). Deã thaáy raèng 1 P(H1) = P(H2) = P(H3) = ; 3 P(C/H1) = P( ) = 0 ; P(C/H2) = P( ) = 0 ; (Vì trong hoäp thöù nhaát vaø hoäp thöù hai chæ coù 1 hoaëc 2 bi ñoû, neân bieán coá laáy ñöôïc 3 bi ñoû töø hai hoäp naøy laø khoâng theå). 3 C3 1 P(C/H3) = 3 = . C5 10 Vaäy 1 1 1 1 1 P(C) =  0  0  . 3 3 3 10 30 b) Goïi D laø bieán coá laáy ñöôïc 1 bi ñoû vaø 2 bi traéng töø hoäp ñaõ choïn. Töông töï, ta coù 3 P(D) =  P(H K )P(D / H K ) ; K 1 Trong ñoù 1 2 1 2 1 2 C1 C4 6 C2C3 6 C3C2 3 P(D/H1) = 3 ; P(D/H2) = 3 ; P(D/H3) = 3 . C5 10 C5 10 C5 10 Suy ra 1 6 1 6 1 3 1 P(D) =    . 3 10 3 10 3 10 2 c) Theo ñeà baøi, bieán coá D ñaõ xaûy ra, ta caàn tìm P(H1/D). Khaùc vôùi caâu 1c), trong tröôøng hôïp naøy, vì H1 thuoäc nhoùm ñaày ñuû, neân ta aùp duïng coâng thöùc Bayes. Ta coù : 1 6  P(H1 )P(D/H1 ) 3 10 2 P(H1/D) = . P(D) 1 5 2 C. BAØI TAÄP 1. Hai ngöôøi cuøng baén, moãi ngöôøi baén moät vieân ñaïn vaøo taám bia. Goïi Ni laø bieán coá ngöôøi thöù i baén truùng bia, i = 1,2. Haõy bieåu dieãn caùc bieán coá sau qua N1, N2. a) Chæ coù ngöôøi thöù nhaát baén truùng bia. b) Coù ñuùng moät ngöôøi baén truùng. 25
c) Caû hai ngöôøi ñeàu baén truùng. d) Khoâng coù ai baén truùng. e) Coù ít nhaát moät ngöôøi baén truùng. f) Coù khoâng quaù moät ngöôøi baén truùng. 2. Ngöôøi ta choïn ngaãu nhieân 3 linh kieän töø moät loâ haøng. Goïi LK laø bieán coá linh kieän __ thöù k ñaït tieâu chuaån loaïi A, k = 1,3 . Haõy bieåu dieãn caùc bieán coá sau qua L1, L2, L3. a) Caû ba linh kieän ñeàu ñaït loaïi A. b) Chæ coù moät linh kieän ñaït loaïi A. c) Coù ñuùng hai linh kieän ñaït loaïi A. d) Khoâng coù kinh kieän naøo ñaït loaïi A. e) Coù nhieàu nhaát moät linh kieän ñaït loaïi A. f) Coù khoâng quaù hai linh kieän ñaït loaïi A. g) Coù ít nhaát moät linh kieän khoâng ñaït loaïi A. h) Coù ít nhaát moät linh kieän ñaït loaïi A. 3. Moät chieác taøu thuûy goàm coù 1 baùnh laùi, 2 tuyeác bin, 3 noài hôi. Goïi A laø bieán coá baùnh laùi hoaït ñoäng toát ; Bi laø bieán coá tuyeác bin thöù i hoaït ñoäng toát (i = 1,2) ; Cj laø bieán coá noài nôi ___ thöù j hoaït ñoäng toát (j = 1,3 ). Bieát raèng, taøu thuyû seõ chaïy ñöôïc khi vaø chæ khi baùnh laùi, ít nhaát moät tuyeác bin vaø ít nhaát moät noài nôi hoaït ñoäng toát. Goïi D laø bieán coá taøu thuûy chaïy ñöôïc. Haõy bieåu dieãn caùc __ bieán coá D vaø D qua A, B1, B2, C1, C2, C3. Cho bieát taøu thuyû seõ chaïy toát khi baùnh laùi, ít nhaát moät tuyeác bin vaø ít nhaát hai noài hôi __ hoaït ñoäng toát. Goïi E laø bieán coá taøu thuûy chaïy toát. Haõy bieåu dieãn E vaø E qua caùc bieán coá treân ñaây. 4. Lôùp hoïc moân xaùc suaát coù 64 sinh vieân, trong ñoù coù 15 sinh vieân nöõ. Choïn ngaãu nhieân moät nhoùm goàm 10 sinh vieân. Tìm xaùc suaát trong nhoùm choïn ra coù a) 4 sinh vieân nöõ. b) khoâng quaù 2 sinh vieân nöõ. c) ít nhaát 1 sinh vieân nöõ. 5. Thang maùy cuûa moät tröôøng ñaïi hoïc xuaát phaùt töø taàng treät vôùi 10 sinh vieân vaø coù theå leân ñeán laàu 8 laø cao nhaát. Tìm xaùc suaát ñeå a) taát caû cuøng ra ôû laàu 8. b) taát caû cuøng ra ôû moät laàu. c) coù 3 ngöôøi cuøng ra ôû laàu 2, nhöõng ngöôøi coøn laïi ra ôû caùc laàu khaùc. 6. Gieo moät caùch ngaãu nhieân moät ñieåm vaøo hình troøn baùn kính R (R > 0). Tìm xaùc suaát sao cho ñieåm rôi vaøo a) hình vuoâng noäi tieáp ñöôøng troøn. b) tam giaùc ñeàu noäi tieáp ñöôøng troøn. c) luïc giaùc ñeàu noäi tieáp ñöôøng troøn. d) ña giaùc ñeàu n caïnh noäi tieáp ñöôøng troøn. 26
7. Hai taøu thuûy ñeán dôõ haøng taïi moät beán caûng trong cuøng moät ngaøy. Bieát thôøi gian dôõ haøng cuûa taøu thöù nhaát laø 1 giôø, cuûa taøu thöù hai laø 2 giôø vaø hai taøu khoâng theå cuøng dôõ haøng. Tìm xaùc suaát ñeå moät trong hai taøu phaûi chôø taøu kia. 8. Coù ba ngöôøi, moãi ngöôøi baén moät vieân ñaïn vaøo bia vôùi xaùc suaát baén truùng laàn löôït laø 0,6 ; 0,7 ; 0,8. Tìm caùc xaùc suaát sau ñaây: a) Chæ coù ngöôøi thöù hai baén truùng. b) Coù ñuùng moät ngöôøi baén truùng. c) Chæ coù ngöôøi thöù ba baén tröôït. d) Coù ñuùng hai ngöôøi baén truùng. e) Caû ba ngöôøi ñeàu baén truùng. f) Khoâng coù ai baén truùng. g) Coù ít nhaát moät ngöôøi baén truùng. h) Coù khoâng quaù hai ngöôøi baén truùng. i) Coù ít nhaát hai ngöôøi baén truùng. 9. Moät cuoäc thi coù ba voøng. Voøng thöù nhaát laáy 90% soá thí sinh döï thi. Voøng thöù hai laáy 80% thí sinh ñaõ qua voøng thöù nhaát. Voøng thöù ba laáy 70% thí sinh ñaõ qua voøng hai. a) Tìm xaùc suaát ñeå moät thí sinh loït qua caû ba voøng thi. b) Bieát raèng thí sinh ñoù bò loaïi, tìm xaùc suaát ñeå anh ta bò loaïi ôû voøng thöù hai. 10. Moät baøi thi traéc nghieäm nhieàu löïa choïn goàm 12 caâu hoûi. Moãi caâu coù 5 phöông aùn traû lôøi, trong ñoù chæ coù 1 phöông aùn ñuùng. Cho bieát moãi caâu traû lôøi ñuùng ñöôïc 4 ñieåm, moãi caâu traû lôøi sai bò tröø ñi 1 ñieåm. Moät sinh vieân khoâng hoïc baøi neân ñaõ laøm baøi baèng caùch choïn ngaãu nhieân 1 phöông aùn traû lôøi trong töøng caâu hoûi. Tìm xaùc suaát anh ta a) ñöôïc 13 ñieåm. b) bò ñieåm aâm. 11. Moät ngöôøi baén ba vieân ñaïn. Xaùc suaát ñeå caû ba vieân truùng voøng 10 laø 0,008. Xaùc suaát ñeå moät vieân truùng voøng 8 laø 0,15. Xaùc suaát ñeå moät vieân truùng voøng döôùi 8 laø 0,4. Tìm xaùc suaát ñeå ngöôøi ñoù ñaït ít nhaát 28 ñieåm. 12. Moät maùy bay coù 5 ñoäng cô, trong ñoù coù 3 ñoäng cô ôû caùnh phaûi, 2 ñoäng cô ôû caùnh traùi. Moãi ñoäng cô ôû caùnh phaûi coù xaùc suaát bò hoûng laø 0,1 ; ôû caùnh traùi laø 0,05. Caùc ñoäng cô hoaït ñoäng ñoäc laäp. Tính xaùc suaát ñeå maùy bay thöïc hieän chuyeán bay an toaøn trong caùc tröôøng hôïp sau. a) Maùy bay chæ bay ñöôïc neáu coù ít nhaát hai ñoäng cô laøm vieäc. b) Maùy bay chæ bay ñöôïc khi treân moãi caùnh cuûa noù ít nhaát moät ñoäng cô hoaït ñoäng. 13. Hai maùy cuøng saûn xuaát ra moät loaïi chi tieát. Naêng suaát cuûa maùy thöù hai gaáp ñoâi maùy thöù nhaát. Tæ leä chi tieát ñaït tieâu chuaån cuûa maùy thöù nhaát laø 65%, cuûa maùy thöù hai laø 80%. Laáy ngaãu nhieân moät chi tieát töø loâ haøng do hai maùy saûn xuaát. a) Tìm xaùc suaát laáy ñöôïc chi tieát ñaït tieâu chuaån. b) Neáu chi tieát ñoù laø pheá phaåm, tìm xaùc suaát chi tieát ñoù do maùy thöù hai saûn xuaát. 14. Coù hai loâ haøng, loâ thöù nhaát coù 10 saûn phaåm loaïi A, 2 saûn phaåm loaïi B ; loâ thöù hai coù 16 saûn phaåm loaïi A, 4 saûn phaåm loaïi B. Töø moãi loâ ta laáy ngaãu nhieân ra moät saûn phaåm. Sau ñoù, trong hai saûn phaåm thu ñöôïc laïi laáy ra moät saûn phaåm. Tìm xaùc suaát ñeå saûn phaåm laáy ra sau cuøng laø saûn phaåm loaïi A. 27
15. Coù ba caùi hoäp ñöïng buùt. Hoäp thöù nhaát coù 5 buùt ñoû, 10 buùt xanh. Hoäp thöù hai coù 3 buùt ñoû, 7 buùt xanh. Hoäp thöù ba coù 3 buùt ñoû, 4 buùt xanh. Töø hoäp thöù nhaát laáy ra 1 caùi buùt, töø hoäp thöù hai laáy ra 2 caùi, cuøng boû vaøo hoäp thöù ba. a) Tìm xaùc suaát ñeå trong hoäp thöù ba soá buùt ñoû nhieàu hôn soá buùt xanh. b) Töø hoäp thöù ba laáy ra 2 caùi buùt. Tìm xaùc suaát laáy ñöôïc 2 buùt cuøng maøu. 16. ÔÛ moät vuøng cöù 100 ngöôøi thì coù 30 ngöôøi huùt thuoác laù. Bieát tæ leä ngöôøi bò vieâm hoïng trong soá ngöôøi huùt thuoác laø 60%, coøn trong soá ngöôøi khoâng huùt laø 10%. a) Khaùm ngaãu nhieân moät ngöôøi. Tìm xaùc suaát ñeå ngöôøi ñoù bò vieâm hoïng. b) Giaû söû ngöôøi ñöôïc khaùm bò vieâm hoïng. Tìm xaùc suaát anh ta huùt thuoác. c) Neáu ngöôøi ñoù khoâng bò vieâm hoïng thì xaùc suaát ñeå anh ta huùt thuoác baèng bao nhieâu ? 17. Coù boán nhoùm xaï thuû taäp baén. Nhoùm thöù nhaát coù 6 ngöôøi, nhoùm thöù hai coù 7 ngöôøi, nhoùm thöù ba coù 8 ngöôøi vaø nhoùm thöù tö coù 4 ngöôøi. Xaùc suaát baéng truùng ñích cuûa moãi ngöôøi trong boán nhoùm ñoù laàn löôït laø 0,8 ; 0,7 ; 0,6 ; 0,5. Choïn ngaãu nhieân moät xaï thuû. a) Tìm xaùc suaát anh ta baén truùng ñích. b) Giaû söû xaï thuû naøy baén tröôït. Haõy xaùc ñònh xem ngöôøi ñoù coù khaû naêng ôû trong nhoùm naøo nhaát ? 18. Moät tín hieäu voâ tuyeán ñöôïc phaùt ñi 4 laàn. Xaùc suaát thu ñöôïc ôû moãi laàn phaùt ñeàu laø 0,4. a) Tìm xaùc suaát ñeå nôi thu nhaän ñöôïc tín hieäu ñoù. b) Muoán xaùc suaát thu ñöôïc tín hieäu khoâng beù hôn 95% thì phaûi phaùt toái thieåu bao nhieâu laàn ? 19. Giaû söû xaùc suaát sinh con trai laø 0,51. Moät gia ñình coù 4 ngöôøi con. Tìm xaùc suaát ñeå gia ñình ñoù coù a) hai con trai. b) khoâng quaù moät con trai. c) Neáu muoán coù ít nhaát moät con trai vôùi xaùc suaát treân 80% thì gia ñình ñoù phaûi sinh toái thieåu maáy con ? 20. Moät xaï thuû coù xaùc suaát baén truùng ñích ôû moãi laàn baén laø 0,7. Anh ta ñaõ baén 5 laàn, moãi laàn 1 vieân ñaïn. a) Tìm xaùc suaát coù 3 vieân truùng ñích. b) Tìm xaùc suaát coù khoâng quaù 3 vieân truùng. c) Trong 5 vieân ñaïn ñoù khaû naêng maáy vieân truùng laø nhieàu nhaát ? d) Muoán xaùc suaát coù ít nhaát 1 vieân ñaïn truùng ñích khoâng nhoû hôn 99% thì xaï thuû ñoù phaûi baén toái thieåu bao nhieâu vieân ñaïn ? Chöông III ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN A. TOÙM TAÉT LÍ THUYEÁT 28
1. Khaùi nieäm vaø caùc tính chaát a) Khaùi nieäm vaø caùc tính chaát Ñaïi löôïng cho töông öùng moãi keát quaû cuûa pheùp thöû vôùi moät soá ñöôïc goïi laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân treân caùc keát quaû cuûa pheùp thöû ñoù. b) Caùc loaïi ñaïi löôïng ngaãu nhieân Ñaïi löôïng ngaãu nhieân X coù daïng X = x1, x2, ,xn hoaëc X = x1, x2, , xn,  ñöôïc goïi laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc. Ñaïi löôïng ngaãu nhieân X = c chæ nhaän moät giaù trò duy nhaát ñöôïc goïi laø haèng soá vaø ñöôïc vieát laø X = c. Ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù giaù trò laáp ñaày moät khoaûng hay ñoaïn naøo ñoù ñöôïc goïi laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân lieân tuïc. c) Baûng phaân phoái xaùc suaát Cho X = x1, x2, , xn,  laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc. Ñaët pi = P(X = xi). Khi ñoù baûng sau ñaây ñöôïc goïi laø baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X. X x1 x2 xn P p1 p2 pn Baûng phaân phoái xaùc suaát coù caùc tính chaát sau (1) 0 pi 1; (2)  pi 1. i d) Haøm phaân phoái xaùc suaát Cho X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân. Ta goïi haøm soá F(x) = P(X < x) (x R ) laø haøm phaân phoái xaùc suaát cuûa X. Haøm phaân phoái xaùc suaát coù caùc tính chaát sau (1) F(x) laø haøm khoâng giaûm; (2) 0 F(x) 1,  x R; (3) lim F(x) 0 ; x lim F(x) 1; x (4) P(a X < b) = F(b) – F(a), vôùi moïi a, b R , a < b. Ngöôïc laïi, neáu F(x) laø haøm soá xaùc ñònh treân R vaø coù caùc tính chaát (1) – (3) thì F(x) laø haøm phaân phoái xaùc suaát cuûa moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân naøo ñoù. Neáu X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc coù baûng phaân phoái xaùc suaát. X x1 x2 xn P p1 p2 pn Vôùi x1 < x2 < < xn, thì haøm phaân phoái xaùc suaát cuûa X laø 29
0 ,neáu x x1 p1 ,neáu x x x2 F(x) = p p p ,neáu x x x 1 2 n 1 n 1 n 1 ,neáu x xn e) Haøm maät ñoä xaùc suaát Neáu ñaïi löôïng ngaãu nhieân lieân tuïc X coù haøm phaân phoái xaùc suaát F(x) khaû vi thì haøm f(x) = F’(x) ñöôïc goïi laø haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X. Haøm maät ñoä xaùc suaát coù caùc tính chaát sau (1) f(x) 0,  x R ; (2) f (x)dx 1 ; a (3) P(a < X < b) = P(a X < b) = P(a < X b) = P(a X b) = f (x)dx ; b (a,b R , a < b) x (4) F(x) = f (t)dt . Ngöôïc laïi, moät haøm soá f(x) coù caùc tính chaát (1) – (2) phaûi laø haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân naøo ñoù. 2. Caùc pheùp toaùn ñoái vôùi ñaïi löôïng ngaãu nhieân a) Pheùp coäng Giaû söû X vaø Y laø caùc ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc coù baûng phaân phoái xaùc suaát nhö sau X x1 x2 xm P p1 p2 pm Y y1 y2 yn P p’1 p’2 p’n Khi ñoù X + Y laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc coù baûng phaân phoái xaùc suaát laø X + Y z1 z2 zs P p”1 p”2 p”s , p p Trong ñoù zk laø caùc giaù trò khaùc nhau cuûa caùc toång xi + yj vaø p’’k =  i j xi y j zK b) Pheùp nhaân Cho X, Y laø hai ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc coù baûng phaân phoái xaùc suaát nhö ôû a). Khi ñoù X.Y laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc coù baûng phaân phoái xaùc suaát laø 30
X Y z1 z2 zs P p”1 p”2 P”s Trong ñoù zK laø caùc giaù trò khaùc nhau cuûa caùc tích xiyj vaø '' ' p K  p i p j xi y j zK 3. Caùc ñaëc tröng cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân a) Kì voïng Neáu X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc coù baûng phaân phoái xaùc suaát laø : X x1 x2 xk P p1 p2 pk thì soá E(X) =  x i pi ñöôïc goïi laø kì voïng cuûa X. i Neáu X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân lieân tuïc coù haøm maät ñoä xaùc suaát f(x) thì soá E(X) = xf(x)dx ( neáu veá phaûi hoäi tuï) ñöôïc goïi laø kì voïng cuûa X. Kì voïng cuûa moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân laø trung bình theo xaùc suaát caùc giaù trò coù theå nhaän cuûa ñaïi löôïng ñoù. Kì voïng coù caùc tính chaát sau (1) E(C) = C, vôùi C laø haèng soá ; (2) E(X + Y) = E(X) + E(Y) ; (3) E(XY) = E(X) + E(Y) ; neáu X, Y ñoäc laäp. (4) E(CX) = CE(X) ; vôùi C laø haèng soá. b) Phöông sai Kì voïng cuûa bình phöông ñoä leäch giöõa X vaø E(X) ñöôïc goïi laø phöông sai cuûa X, kí hieäu laø D(X). Vaäy, D(X) = E(X – E(X))2 = E(X - )2, trong ñoù  = E(X). Phöông sai laø trung bình cuûa bình phöông sai soá giöõa X vaø trung bình theo xaùc suaát cuûa X. Neáu X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc coù baûng phaân phoái xaùc suaát nhö ôû a) thì 2 2 2 D(X) =  = .  xi pi xi pi xi pi i i i Neáu X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân lieân tuïc coù haøm maät ñoä xaùc suaát f(x) thì D(X) = (x μ)2 f(x)dx . Phöông sai coù caùc tính chaát sau (1) D(X) 0 ; (2) D(C) = 0, vôùi C laø haèng soá ; (3) D(CX) = C2D(X), vôùi C laø haèng soá ; 31
(4) D(X) = E(X2) – E2(X) ; (5) D(X + Y) = D(X) + D(Y), neáu X,Y ñoäc laäp. c) Ñoä leäch Soá (X) = D(X) ñöôïc goïi laø ñoä leäch cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân X. B. CAÙC BAØI GIAÛI MAÃU 1. Laäp baûng phaân phoái xaùc suaát Baøi 1. Moät xaï thuû ñöôïc pheùp baén 3 vieân ñaïn. Bieát xaùc suaát baén truùng muïc tieâu cuûa moãi vieân ñaïn ñeàu 0,8. Goïi X laø soá vieân ñaïn anh ta baén truùng bia. Haõy laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X. Giaûi Ta coù X = 0, 1, 2, 3. Ta caàn tìm P(X = k), k = 0,3 . Xem pheùp thöû laø baén 1 vieân ñaïn vaø A laø bieán coá vieân ñaïn ñoù truùng muïc tieâu. Ta coù P(A) = 0,8 khoâng ñoåi ôû moãi laàn baén neân ñaây laø moät daõy 3 pheùp thöû Bernoulli vôùi p = 0,8 ; q = 1 – p = 0,2. AÙp duïng coâng thöùc Bernoulli, ta ñöôïc 0 0 3 P(X = 0) = P3(0 ; 0,8) = C3 0,8 .0,2 = 0,008 ; 1 1 2 P(X = 1) = P3(1 ; 0,8) = C3 0,8 .0,2 = 0,96 ; 2 2 1 P(X = 2) = P3(2 ; 0,8) = C3 0,8 .0,2 = 0,384 ; 0 3 0 P(X = 3) = P3(3 ; 0,8) = C3 0,8 .0,2 = 0,512. Vaäy, baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X laø X 0 1 2 3 P 0,008 0,096 0,384 0,512 Baøi 2. Moät xaï thuû ñöôïc phaùt 3 vieân ñaïn vaø ñöôïc pheùp baén laàn löôït töøng vieân cho ñeán khi truùng muïc tieâu thì döøng baén. Bieát xaùc suaát baén truùng töøng vieân ñeàu laø 0,8. Haõy laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa soá vieân ñaïn a) truùng muïc tieâu. b) anh ta ñaõ söû duïng. Giaûi a) Goïi X laø soá vieân ñaïn truùng muïc tieâu. Theo ñeà baøi, neáu truùng muïc tieâu thì döøng baén neân X = 0, 1. Ta tính P(X = 0), P(X=1). Goïi LK laø bieán coá laàn thöù k baén truùng muïc tieâu, k = 1,3 . Ta coù X = 0 xaûy ra khi caû 3 laàn ñeàu baén tröôït. Caùc laàn baén ñoäc laäp vôùi nhau neân : 3 P(X = 0) = P(L1 L 2 L3 ) = P( L1 )P( L 2 )P( L3 ) = (1 – 0,8) = 0,008. Ñeå tính P(X = 1) ta coù hai caùch sau. Caùch thöù nhaát. Theo tính chaát cuûa baûng phaân phoái xaùc suaát, ta coù P(X = 0) + P(X = 1) = 1. Suy ra P(X = 1) = 1 – P (X = 0) = 0,992. 32
Caùch thöù hai . Töông töï caùch tính P(X = 0) ta coù 2 P(X = 1) = P(L1 + L1 L2 + L1 L 2 L3) = 0,8 + 0,2.0,8 + 0,2 .0,8 = 0,992. Vaäy, baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X laø X 0 1 P 0,008 0,992 b) Goïi Y laø soá vieân ñaïn anh ta ñaõ söû duïng thì Y = 1, 2, 3. Ta tính P(X = m), m = 1,3 . . Roõ raøng Y = 1 xaûy ra khi vaø chæ khi L1 xaûy ra, do ñoù P(Y = 1) = P(L1) = 0,8. . Y = 2 xaûy ra khi vaø chæ khi laàn thöù nhaát baén tröôït vaø laàn thöù hai baén truùng. Suy ra P(Y = 2) = P( L1 L2) = 0,2.0,8 = 0,16. . Y = 3 xaûy ra khi vaø chæ khi caû hai vieân ñaïn ñaàu tieân ñeàu tröôït, coøn vieân thöù ba coù theå truùng hoaëc tröôït, töùc laø bieán coá chaén chaén xaûy ra. Vì L1 L 2 (L3 + L3 ) = L1 L 2  = L1 L 2 , neân 2 P(Y = 3) = P(L1 L 2 ) = 0,2 = 0,04. Caùch thöù hai. Ta cuõng coù P(Y = 3) = 1 – ( P(Y = 1) + P(Y = 2)) = 0,04. Vaäy, baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa Y laø : Y 1 2 3 P 0,8 0,16 0,04 2. Tìm haøm phaân phoái xaùc suaát Baøi 3. Moät sinh vieân thi ba moân Toaùn, Lyù, Hoùa vôùi xaùc suaát ñaäu laàn löôït laø 0,6 ; 0,7 ; 0,8. Haõy tìm haøm phaân phoái xaùc suaát cuûa soá moân anh ta ñaäu trong ba moân ñoù. Giaûi Goïi X laø soá moân ñaäu cuûa sinh vieân ñoù. Ta coù X = 0, 1, 2, 3. Ta tính P(X = k), k = 0,3 . Goïi T, L, H laàn löôït laø caùc bieán coá sinh vieân ñoù ñaäu Toaùn, Lyù, Hoùa. Khi ñoù P(X = 0) = P(T L H ) = 0,024, P(X = 1) = P(TL H + T L H + T L H) = 0,188, P(X = 2) = P(TL H + T L H + T LH) = 0,452, P(X = 3) = P(TLH) = 0,336. Vaäy, baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X laø X 0 1 2 3 P 0,02 0,1 0,45 0 4 88 2 ,336 33
Töø ñoù, ta coù haøm phaân phoái xaùc suaát cuûa X laø 0 ,neáu x 0 0,024 , neáu 0 x 1 F(x) = 0,024 0,188 0,212 ,neáu 1 x 2 0,024 0,188 0,452 0,664, neáu 2 x 3 1 , neáu x 3 Baøi 4. Cho X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân lieân tuïc coù haøm maät ñoä xaùc suaát laø 0 ,khi x 0 f(x) x/ ae ,khi x 0 Trong ñoù  laø soá cho tröôùc (  > 0). Haõy xaùc ñònh a) heä soá a. b) haøm phaân phoái xaùc suaát cuûa X. c) P(0 0 thì F(x) = 0dt e t / dt 1 e x / . 0  1 c) P(0 < X < ) = F() – F(0) = (1 – e-1) – 0 = 1 - . e 34
3. Tìm haøm maät ñoä xaùc suaát Baøi 5. Haøm phaân phoái xaùc suaát cuûa moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù daïng x0 1 , neáu x x0 F (x) = x 0 , neáu x x0 , trong ñoù > 0, x0 > 0. Haõy tìm haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa ñaïi löôïng ñoù. Giaûi Theo ñònh nghóa, ta coù haøm maät ñoä xaùc suaát f(x) = F ’(x) , x R. Do ñoù . Vôùi x x0 thì f(x) = , x α 1 . Taïi x = x0 ' F(x) F(x 0 ) F (x 0 ) = lim 0, x x 0 x x 0 x 1 0 ' F(x) F(x 0 ) x F (x 0 ) = lim = lim , x x x x 0 x x 0 0 x x 0 x 0 neân F(x) khoâng khaû vi taïi x0. Vaäy, haøm maät ñoä xaùc suaát caàn tìm coù daïng x 0 ,neáu x x 0 f(x) = 1 x ,neáu x x 0 0 Baøi 6. Chöùng minh raèng haøm soá 1 f(x) = x 2 2 laø haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân naøo ñoù. Tìm xaùc suaát ñeå ñaïi löôïng naøy nhaän giaù trò trong khoaûng ( , + ). Giaûi Ta coù f(x) 0, x R vaø dx 1 x f (x)dx arctg 1. 2 2 x Vaäy f(x) laø haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân naøo ñoù maø ta goïi laø X. Ta caàn tính P( < X < + ). Theo tính chaát cuûa haøm maät ñoä xaùc suaát, 35
dx P( < X < + ) = f(x)dx 2 2 π π x π 1 x 1 = arctg . π π π 4 4. Caùc pheùp toaùn ñoái vôùi ñaïi löôïng ngaãu nhieân Baøi 7. Cho hai ñaïi löôïng ngaãu nhieân X vaø Y coù baûng phaân phoái xaùc suaát laàn löôït laø X 0 1 2 , Y -1 1 2 P 0,2 0,3 0,5 P 0,4 0,3 0,3 Haõy laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa caùc ñaïi löôïng X+Y, XY. Giaûi Ñoái vôùi töøng pheùp toaùn ñaõ cho ta laäp baûng ghi caùc giaù trò vaø xaùc suaát töông öùng. a) Tröôøng hôïp X+Y Ta coù hai baûng sau ñaây. . ÔÛ baûng thöù nhaát (xem Baûng 1) - doøng 1 ghi caùc giaù trò cuûa X, - coät 1 ghi caùc giaù trò cuûa Y, - caùc oâ giöõa ghi giaù trò töông öùng cuûa X+Y. Keát quaû ôû moãi oâ laø toång caùc giaù trò thuoäc doøng 1 laàn löôït vôùi caùc giaù trò thuoäc coät 1. . ÔÛ baûng thöù hai (xem Baûng 2) - doøng 1 ghi xaùc suaát öùng vôùi moãi giaù trò cuûa X, - coät 1 ghi xaùc suaát öùng vôùi moãi giaù trò cuûa Y, - caùc oâ giöõa ghi xaùc suaát öùng vôùi moãi giaù trò cuûa X+Y. Keát quaû ôû moãi oâ laø tích caùc giaù trò thuoäc doøng 1 laàn löôït vôùi caùc giaù trò thuoäc coät 1. X 0 1 2 X 0,2 0,3 0,5 Y Y -1 -1 0 1 0,4 0,008 0,12 0,20 1 1 2 3 0,3 0,06 0,09 0,15 2 2 3 4 0,3 0,06 0,09 0,15 Baûng 1 Baûng 2 Töø Baûng 1 vaø Baûng 2 suy ra X+Y = 1, 0, 1, 2, 3, 4, P (X+Y = -1) = 0,08 , P (X+Y = 0) = 0,12 , P (X+Y = 1) = 0,20 + 0,06 = 0,26 , P (X+Y = 2) = 0,09 + 0,06 = 0,15 , P (X+Y = 3) = 0,15 + 0,09 = 0,24 , P (X+Y = 4) = 0,15. Vaäy, baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X+Y laø X+Y -1 0 1 2 3 4 P 0,08 0,12 0,26 0,15 0,24 0,15 36
b) Tröôøng hôïp XY Ta chæ caàn laäp laïi baûng giaù trò cuûa tích XY töông töï nhö Baûng 1, nhöng keát quaû ôû moãi oâ giöõa trong baûng môùi seõ laø tích caùc giaù trò thuoäc doøng 1 laàn löôït vôùi caùc giaù trò thuoäc coät 1. (xem Baûng 3) X 0 1 2 Y -1 0 -1 -2 1 0 1 2 2 0 2 4 Baûng 3 Töø Baûng 3 vaø Baûng 2 suy ra XY = 2, 1, 0, 1, 2, 4, P (XY = -2) = 0,20 , P (XY = -1) = 0,12 , P (XY = 0) = 0,08 + 0,06 + 0,06 = 0,20 , P (XY = 1) = 0,09 , P (XY = 2) = 0,15 + 0,09 = 0,24 , P (XY = 4) = 0,15. Vaäy, baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa XY laø XY -2 -1 0 1 2 3 P 0,20 0,12 0,20 0,09 0,24 0,15 Löu yù. Baûng 1 vaø Baûng 2 coù theå ghi chung thaønh moät baûng (xem Baûng A) ; Baûng 3 vaø Baûng 2 coù theå ghi chung thaønh moät baûng (xem Baûng B). Trong hai baûng naøy, goùc traùi cuûa moãi oâ ghi giaù trò, goùc phaûi ghi xaùc suaát töông öùng. X 0 1 2 X 0 1 2 Y 0,2 0,3 0,5 Y -1 -1 0 1 -1 0 -1 -2 0,4 0,08 0,12 0,20 0,08 0,12 0,20 1 1 2 3 1 0 1 2 0,3 0,06 0,09 0,15 0,06 0,09 0,15 2 2 3 4 2 0 2 4 0,3 0,06 0,09 0,12 0,06 0,09 0,15 Baûng A Baûng B 37
5. Tính kì voïng, phöông sai, ñoä leäch Baøi 8. Cho ñaïi löôïng ngaãu nhieân X coù baûng phaân phoái xaùc suaát nhö sau X 0 1 2 3 4 P 0,1 0,2 0,3 0,25 0,15 Haõy tính kì voïng, phöông sai, ñoä leäch cuûa X. Giaûi - Kì voïng cuûa X laø E(X) = 0.0,1 + 1.0,2 + 2.0,3 + 3.0,25 + 4.0,15 = 2,15. - Ñeå tính phöông sai, ta coù hai caùch sau. Caùch thöù nhaát. (AÙp duïng ñònh nghóa). D(X) = (0 – 2,15)2.0,1 + (1 – 2,15)2.0,2 + (2 – 21,5)2.0,3 + (3 – 2,15)2.0,25 + (4 – 2,15)2.0,15 = 1,4275. Caùch thöù hai. (AÙp duïng tính chaát) E(X2) = 02.0,1 + 12.0,2 + 22.0,3 + 32.0,25 + 42.0,15 = 6,05 ; D(X) = E(X2) – E2(X) = 6,05 – 2,152 = 1,4275. - Ñoä leäch cuûa X laø (X) = D(X) 1,4275 = 1,19478. Baøi 9. Cho ñaïi löôïng ngaãu nhieân X coù haøm maät ñoä xaùc suaát 1 , neáu x (- a , a ) f(x) = 2 2 a x , 0 neáu x (- a , a ) Tìm kì voïng, phöông sai, ñoä leäch cuûa X. Giaûi - Kì voïng cuûa X laø  a a xdx  a xdx E(X) = xf(x)dx xodx xodx 1 0 2 2 π 2 2   aπ a x a a a x (vì haøm soá laáy tích phaân laø haøm leû) - Phöông sai cuûa X laø  a x2dx 2 a x2dx D(X) = (x 0)2 f(x)dx = = 2 2 2 2  a π a x π 0 a x 2 2 2 2 a 2 a = a 2 sin2tdt = (1 cos2t)dt . π 0 0 2 Ñoä leäch cuûa X laø a 2  (X) = D(X) . 2 38
6. Baøi taäp toång hôïp Baøi 10. Moät xaï thuû baén 2 vieân ñaïn vaøo moät taám bia goàm hai voøng troøn. Baén truùng voøng thöù nhaát ñöôïc 10 ñieåm, truùng voøng thöù hai ñöôïc 6 ñieåm, coøn baén tröôït thì bò ñieåm 0. Goïi X laø ñieåm trung bình cuûa xaï thuû ñoù sau 2 laàn baén ñoäc laäp, moãi laàn 1 vieân ñaïn. Haõy laäp baûng phaân phoái xaùc suaát, haøm phaân phoái xaùc suaát vaø tính kì voïng, phöông sai cuûa X. Cho bieát ôû laàn baén thöù nhaát xaùc suaát baén truùng voøng thöù nhaát laø 0,5, voøng thöù hai laø 0,3 vaø xaùc suaát baén tröôït laø 0,2. ÔÛ laàn thöù hai caùc xaùc suaát ñoù laàn löôït laø 0,4 ; 0,2 ; 0,4. Giaûi Goïi LK laø soá ñieåm maø xaï thuû ñaït ñöôïc ôû laàn baén thöù k, k = 1,2. Theo ñeà baøi LK = 0, 6, 10, k = 1,2, vaø baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa L1, L2 laàn löôït laø L1 0 6 10 , L2 0 6 10 P 0,2 0,3 0,5 P 0,4 0,2 0,4 L L Ta coù X = 1 2 . Ta laäp baûng caùc giaù trò vaø xaùc suaát töông öùng cuûa X (xem Baûng 2 E). L 0 6 1 1 L2 0,2 0,3 0,5 0 0 3 5 0,4 0,08 0,12 0,20 6 3 6 8 0,2 0,04 0,06 0,10 10 5 8 10 0,4 0,08 0,12 0,20 Baûng E Töø baûng E suy ra baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X laø X 0 3 5 6 8 10 P 0,08 0,16 0,28 0,06 0,22 0,20 - Haøm phaân phoái xaùc suaát cuûa X laø 0 , neáu x ≤ 0 0,08 , neáu 0 x 39
- Kì voïng cuûa X laø E(X) = 0.0,08 + 3. 0,16 + 5.0, 28 + 6. 0,06 + 8.0, 22 + 10.0,20 = 6 E(X2) = 02.0,08 + 32.0,16 + 52.0,28 + 62.0,06 + 82.0,22 + 102.0,20 = 44,68 - Phöông sai cuûa X laø D(X) = 44,68 – 62 = 8,68. f(x) Baøi 11. Cho ñoà thò cuûa haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa ñaïi b löôïng ngaãu nhieân X laø nöûa ñöôøng ellip baùn truïc a, b (xem hình veõ). Cho bieát a. Haõy tìm b. x Laäp haøm phaân phoái xaùc suaát vaø tính kì voïng, phöông sai o cuûa X. a Giaûi Töø ñeà baøi suy ra haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X coù daïng b a2 x2 , neáu x ( a,a) f(x) = a 0 , neáu x ( a,a) Tröôùc heát ta tìm b. Ta phaûi coù  a b f(x)dx 1 hay a2 x2 dx = 1.  a a Ñoåi bieán soá x = asint vaø ñeå yù raèng haøm laáy tích phaân laø haøm chaün, ta coù 2b 2 π a2 cos2 tdt =1 hay ab 1. a 0 2 Vaäy 2 b = . aπ Ta tìm haøm phaân phoái xaùc suaát cuûa X. - Vôùi x (- , - a x x F(x) = f(t)dt = 0dt = 0. - Vôùi x (-a, a) x a x 2 F(x) = f(t)dt = 0dt a2 t 2 dt = 2 aa π 2 x 2 t a t x 2 2 1 x 1 = a2 t 2 arcsin = a x arcsin . 2 2 2 a 2 a 2 a π a a π π 40
- Vôùi x a, + ) x a a 2 x F(x) = f(t)dt = 0dt a2 t 2 dt + 0dt =1. 2 aa π a Vaäy, haøm phaân phoái xaùc suaát cuûa X laø 0 ,neáu x a 1 1 x x F(x) = arcsin a2 x2 ,neáu - a x a 2 2 π a a π 1 ,neáu x a . Kì voïng cuûa X laø a 2x E(X) = xf(x)dx = a2 x2 dx = 0 2 aa π (vì haøm soá laáy tích phaân laø haøm leû). . Phöông sai cuûa X laø a a 2x2 4 D(X) = (x 0)2 f(x)dx = a2 x2 dx = x2 a2 x2 dx. 2 2 aa π a π 0 Ñoåi bieán soá x = asint, ta coù π π 4 2 a2 2 D(X) = a2 sin2 t a2 cos2 tdt = sin2 2t dt = 2 π a π 0 0 π a2 2 1 cos 4t a2 = dt . π 2 4 0 C. BAØI TAÄP 1. Cho ñaïi löôïng ngaãu nhieân X coù baûng phaân phoái xaùc suaát sau ñaây X 0 1 2 3 4 5 6 7 P 0 a 2a 2a 3a a2 2a2 7a2 + a a) Tính a. b) Tính P(X 5), P(X < 3). 1 c) Tìm giaù trò beù nhaát cuûa k sao cho P(X k) . 2 2. Trong moät hoäp coù 10 saûn phaåm, trong ñoù coù 2 pheá phaåm. Laáy ngaãu nhieân 3 saûn phaåm. Goïi X laø soá pheá phaåm trong caùc saûn phaåm laáy ra. Haõy laäp baûng phaân phoái xaùc suaát vaø haøm phaân phoái xaùc suaát cuûa X. Veõ ñoà thò haøm soá ñoù. 3. Moät tuùi chöùa 10 taám theû ñoû vaø 6 taám theû xanh. Choïn ngaãu nhieân ra 3 taám theû. 41
a) Goïi X laø soá theû ñoû laáy ñöôïc. Haõy laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X. b) Giaû söû ruùt moãi taám theû ñoû ñöôïc 5 ñieåm, theû xanh ñöôïc 8 ñieåm. Goïi Y laø soá ñieåm toång coäng treân 3 theû ruùt ra. Haõy tìm haøm phaân phoái xaùc suaát cuûa Y. 4. Coù hai hoäp bi, hoäp thöù nhaát coù 3 bi xanh vaø 1 bi ñoû, hoäp thöù hai coù 2 bi xanh vaø 2 bi ñoû. Töø hoäp thöù nhaát laáy ra 2 vieân bi boû vaøo hoäp thöù hai. Sau ñoù laïi laáy 2 vieân bi töø hoäp thöù hai boû vaøo hoäp thöù nhaát. Goïi X, Y laø soá bi ñoû töông öùng ôû hai hoäp ñoù sau hai laàn chuyeån bi. Haõy laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X, Y. 5. Cho hai ñaïi löôïng ngaãu nhieân X vaø Y ñoäc laäp vôùi caùc baûng phaân phoái xaùc suaát nhö sau X -1 0 1 2 Y -1 0 1 P 0,2 0,3 0,3 0,2 P 0,3 0,4 0,3 Haõy laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X2, X + Y, 2Y, X – Y, XY. 6. Gieo ñoàng thôøi hai con suùc saéc. Goïi X1, X2 laàn löôït laø soá chaám xuaát hieän treân hai con suùc saéc ñoù. Tìm baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa caùc ñaïi löôïng ngaãu nhieân sau ñaây a) Y1 = X1 + X2 b) Y2 = X1 – X2 c) Y3 = max(X1, X2). 7. Moät ngöôøi coù moät chuøm chìa khoùa goàm 5 chieác gioáng nhau, trong ñoù chæ coù 2 chieác môû ñöôïc cöûa. Ngöôøi ñoù thöû ngaãu nhieân töøng chieác (thöû xong boû ra ngoaøi) cho ñeán khi tìm ñuùng chìa môû ñöôïc cöûa. Goïi X laø soá laàn thöù caàn thieát. Haõy laäp baûng phaân phoái xaùc suaát vaø tính kì voïng, phöông sai cuûa X. 8. Moät oâtoâ ñi treân ñoaïn ñöôøng coù 3 ñeøn tín hieäu giao thoâng hoaït ñoäng ñoäc laäp. Tính kì voïng, phöông sai, ñoä leäch cuûa soá laàn oâtoâ döøng khi ñi treân ñoaïn ñöôøng ñoù, bieát raèng chæ tín hieäu xanh môùi ñöôïc pheùp ñi vaø a) caû 3 ñeøn ñeàu coù thôøi gian tín hieäu xanh laø 30 giaây, tín hieäu vaøng laø 5 giaây, tín hieäu ñoû laø 15 giaây. b) ôû ñeøn thöù nhaát thôøi gian daønh cho ba tín hieäu ñoù laàn löôït laø : 40 giaây, 10 giaây, 30 giaây ; ôû ñeøn thöù hai : 25 giaây, 5 giaây, 10 giaây ; ôû ñeøn thöù ba 20 giaây, 5 giaây, 35 giaây. 9. Cho X, Y laø hai ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñoäc laäp coù baûng phaân phoái xaùc suaát nhö sau X 0 1 2 3 Y 0 1 2 3 4 P 0,4 0,3 0,2 0,1 P 0,1 0,3 0,4 0,15 0,05 Tìm baûng phaân phoái xaùc suaát vaø tính kì voïng, phöông sai cuûa X + Y, XY. 10. Cho ñaïi löôïng ngaãu nhieân X coù haøm maät ñoä xaùc suaát kx 2 (1 x) , neáu 0 x 1 f(x) = 0 ,neáu x 0,1 a) Tìm k. b) Tìm haøm phaân phoái xaùc suaát cuûa X. c) Tính kì voïng, phöông sai cuûa X. 42
11. Cho ñaïi löôïng ngaãu nhieân X coù haøm maät ñoä xaùc suaát π π acosx ,neáu x , 2 2 f(x) = π π 0 ,neáu x , 2 2 a) Tìm a. b) Vieát bieåu thöùc cuûa haøm phaân phoái xaùc suaát. π c) Tìm P(0 X ). 4 π d) Neáu quan saùt X 5 laàn thì bao nhieâu laàn X nhaän giaù trò thuoäc 0, laø coù khaû 4 naêng nhaát? Tính xaùc suaát ñoù. 12. Cho ñaïi löôïng ngaãu nhieân X coù haøm phaân phoái xaùc suaát 1 1 F(x) = arctgx . 2 π a) Tìm haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X. b) Tính P(0 < X < 1). 13. Haøm phaân phoái xaùc suaát cuûa moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù daïng x2 2a2 F(x) = 1 e ,khi x 0 0 ,khi x 0 a) Haõy tìm haøm maät ñoä xaùc suaát töông öùng. b) Tính xaùc suaát ñeå ñaïi löôïng ñoù nhaän giaù trò trong khoaûng (0, ln2). 14. Cho ñaïi löôïng ngaãu nhieân X coù haøm maät ñoä xaùc suaát a(x 2)(x 4) ,neáu x 2,4 f(x) = 0 ,neáu x 2,4 a) Tìm a. b) Tính kì voïng, phöông sai cuûa X. 15. Cho haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân X f(x) = e-/x/ Haõy tính  vaø tìm kì voïng, phöông sai, ñoä leäch cuûa X. 43
CHÖÔNG IV CAÙC QUY LUAÄT PHAÂN PHOÁI A. TOÙM TAÉT LÍ THUYEÁT 1. Caùc phaân phoái rôøi raïc a) Phaân phoái nhò thöùc Ñaïi löôïng ngaãu nhieân X = 0, 1, ,n ñöôïc goïi laø coù phaân phoái nhò thöùc, neáu toàn taïi soá p (0, 1) sao cho k k n – k P(X = k) = Cn p (1 – p) , k = 0,n . Khi ñoù ta kí hieäu X B(n, p). Neáu X coù phaân phoái nhò thöùc thì E(X) = np, D(X) = npq, trong ñoù q = 1 – p. b) Phaân phoái sieâu boäi Ñaïi löôïng ngaãu nhieân X = 0, 1, ,n ñöôïc goïi laø coù phaân phoái sieâu boäi, neáu toàn taïi caùc soá töï nhieân N, M sao cho n M N vaø Ck Cn k P(X = k) = M N M , k = 0,n . n CN Khi ñoù ta kí hieäu X H(N, M, n). Neáu X coù phaân phoái sieâu boäi thì N n M E(X) = np, D(X) = npq , trong ñoù p = , q = 1 –p. N 1 N c) Phaân phoái Poisson Ñaïi löôïng ngaãu nhieân X = 0, 1, ,n,  ñöôïc goïi laø coù phaân phoái Poisson, neáu toàn taïi soá a > 0 sao cho e aak P(X = k) = , k = 0, 1, k! Khi ñoù ta kí hieäu X P(a). Neáu X coù phaân phoái Poisson thì E(X) = a, D(X) = a. 2. Caùc phaân phoái lieân tuïc a) Phaân phoái ñeàu Ñaïi löôïng ngaãu nhieân X ñöôïc goïi laø coù phaân phoái ñeàu treân a, b, neáu haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X coù daïng 1 , khi x a, b f(x) = b a 0 , khi x a, b Neáu X coù phaân phoái ñeàu treân a, b thì a b (b a)2 E(X) = , D(X) = 2 12 44
b) Phaân phoái muõ Ñaïi löôïng ngaãu nhieân X ñöôïc goïi laø coù phaân phoái muõ, neáu haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X coù daïng e x , khi x 0, f(x) = 0 , khi x 0, trong ñoù  > 0. Neáu X coù phaân phoái muõ vôùi tham soá  thì 1 1 E(X) = , D(X) = . λ λ 2 c) Phaân phoái chuaån Ñaïi löôïng ngaãu nhieân X ñöôïc goïi laø coù phaân phoái chuaån, neáu haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X coù daïng ( x ) 2 1 2 f(x) = e 2 ,  > 0 ( x R )  2 Khi ñoù ta kí hieäu X N (, 2). Neáu X coù phaân phoái chuaån thì E(X) = , D(X) = 2. Khi X N (0 ; 1) ta coøn noùi X coù phaân phoái chuaån chuaån taéc. Khi aáy, haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X coù daïng x 2 1 f(x) = e 2 ( x R ) 2π vaø ñöôïc goïi laø haøm maät ñoä Gauss. u Neáu f(x) laø haøm maät ñoä Gauss thì haøm F(u) = f (x) dx ñöôïc goïi laø haøm phaân phoái u Gauss, haøm (u) = f (x) dx ñöôïc goïi laø haøm Laplace ( u R ) 0 Ta coù 1 F u  u ;u R. 2  u  u ;u R. Neáu X N (0 ; 1) thì (1) P (a 0. Neáu X N (, 2) thì b μ a μ (1) P (a < X < b) =  -  ; σ σ  (2) P ( X μ < ) = 2  ;  (3) P ( X μ < K) = 2  (K). 45
d) Phaân phoái “khi bình phöông” Ñaïi löôïng ngaãu nhieân X2 ñöôïc goïi laø coù phaân phoái “khi bình phöông” n baäc töï do, neáu 2 2 2 2 X = X1 + X2 + . + Xn , trong ñoù X1, X2, , Xn laø caùc ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñoäc laäp coù phaân phoái chuaån chuaån taéc. Khi aáy ta kí hieäu X2  2 (n). Haøm  (x) = t x 1 e t dt ñöôïc goïi laø haøm Gamma. 0 Neáu X2 2 (n) thì (1) Haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X2 laø x n 1 e 2 x 2 , neáu x 0, fn (x) = 0 , neáu x 0. (2) E (X2) = n , D (X2) = 2n. e) Phaân phoái Student Ñaïi löôïng ngaãu nhieân X ñöôïc goïi laø coù phaân phoái Student n baäc töï do, neáu U n X = , trong ñoù U N (0 ; 1), V 2 (n). V Khi ñoù ta kí hieäu X T (n). Neáu X T (n) thì (1) Haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X laø n 1 n 1  2 2 2 x fn(x) = 1 ; n n n  2 n (2) E(X) = 0 , D (X) = . n 2 3. Caùc ñònh lyù giôùi haïn a) Baát ñaúng thöùc Chebyshev. Vôùi moïi  > 0 vaø moïi ñaïi löôïng ngaãu nhieân X, ta coù D(X) P ( X E(X) ≥ ) . ε 2 b) ñònh lyù Chebyshev Neáu X1, X2, laø daõy caùc ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñoäc laäp töøng ñoâi, coù phöông sai bò chaën ñeàu (töùc laø toàn taïi C > 0 ñeå D(XK) C vôùi moïi k) thì vôùi moïi  > 0 ta coù n n 1 1 lim P XK E(XK ) ε 1.    n n K 1 n K 1 46
Khi aáy, vôùi n khaù lôùn ta coù xaáp xæ sau ñaây 1 n 1 n  XK  E XK . n K 1 n K 1 c) Ñònh lyù Bernoulli Neáu m laø soá laàn thaønh coâng trong daõy n pheùp thöû Bernoulli vôùi xaùc suaát thaønh coâng p thì m lim P p ε 1. n  n Khi ñoù, vôùi n khaù lôùn ta coù xaáp xæ m p . n d) Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm (Liapounov) Giaû söû X1, X2, laø caùc ñaïi löôïng ngaãu nhieân. Ñaët 2 3 K = E(Xk), σ K = D (XK), CK = E XK μ K n n n 2 2 Yn  XK ,en μ K ,d n σ K . K 1 K 1 K 1 Neáu X1, X2, ñoäc laäp töøng ñoâi vaø n CK lim K 1 0 3/ 2 n  n 2 σ K K 1 thì Y e lim P a n n b (b) (a), n  d n vôùi moïi a, b (a<b),  laø haøm Laplace. Khi ñoù, vôùi n khaù lôùn coù theå xem Yn en 2 N (0 ; 1) hay Yn N en ,d n . d n 2 Ñaëc bieät, neáu E(XK) = , D(XK) =  vôùi moïi k, thì vôùi n khaù lôùn coù theå xem 1 σ 2 μ . X1 X2 Xn N , n n Trong thoáng keâ ta xem n laø ñuû lôùn neáu n 30. 4. Caùc coâng thöùc tính gaàn ñuùng xaùc suaát a) Phaân phoái sieâu boäi vaø phaân phoái nhò thöùc M Cho X H (N, M, n). Neáu N khaù lôùn so vôùi n, ta coù theå xem X B n, . Khi ñoù, n ta coù coâng thöùc gaàn ñuùng 47
k n k k n k CM C N M k M M P (X = k) = n CN 1 C N N N b) Phaân phoái nhò thöùc vaø phaân phoái Poisson Cho X B (n, p). Neáu p khaù beù vaø n khaù lôùn coù theå xem X P (np). Khi ñoù e np (np)k P(X = k) = C k p k 1 p n K . n k! c) Phaân phoái nhò thöùc vaø phaân phoái chuaån Cho X B (n, p). Khi n khaù lôùn, p khoâng quaù beù, ta coù 1 k np P(X = k) = C k p k 1 p n K f , n np(1 p) np(1 p) K 2 K k n K P (k1 X k2) =  Cn p 1 p K K1 k np k np  2  1 np(1 p) np(1 p) trong ñoù f laø haøm maät ñoä Gauss,  laø haøm Laplace B. CAÙC BAØI GIAÛI MAÃU 1. AÙp duïng caùc phaân phoái rôøi raïc Baøi 1. Moät loâ haøng coù 500 saûn phaåm, trong ñoù coù 400 saûn phaåm loaïi moät. Laáy ngaãu nhieân töø loâ haøng ñoù ra 200 saûn phaåm ñeå kieåm tra. Goïi X laø soá saûn phaåm loaïi moät coù trong 200 saûn phaåm ñoù. Haõy tính kì voïng vaø phöông sai cuûa X. Giaûi Ta coù X H (500, 400, 200), töùc laø X coù phaân phoái sieâu boäi vôùi N = 500, M = 400, n = 200. Suy ra M p = = 0,8 ; q = 1 – p = 0,2. N Vaäy E (X) = np = 200 . 0,8 = 160, N n 300 D (X) = npq = 200 . 0,8 . 0,2 . 19,238. N 1 499 Baøi 2. Moät xaï thuû baén 40 vieân ñaïn. Bieát xaùc suaát baén truùng muïc tieâu cuûa moãi vieân ñaïn ñeàu laø 0,7. Tính kì voïng, phöông sai, ñoä leäch cuûa soá vieân ñaïn truùng muïc tieâu. Giaûi Ta coù X B (40 ; 0,7), töùc laø X coù phaân phoái nhò thöùc vôùi n = 40, p = 0,7. Do ñoù E (X) = np = 40 . 0,7 = 28, D(X) = np (1-p) = 40 . 0,7 . 0,3 = 8,4 ,  (X) = D(X) = 2,898. 2. AÙp duïng caùc phaân phoái lieân tuïc Baøi 3. Troïng löôïng cuûa moät loaïi saûn phaåm do moät nhaø maùy saûn xuaát laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù phaân phoái chuaån vôùi kì voïng laø 250 gam vaø phöông sai laø 25. Saûn phaåm ñöôïc 48
goïi laø loaïi moät neáu troïng löôïng töø 245 gam ñeán 260 gam. Tìm tæ leä saûn phaåm loaïi moät cuûa nhaø maùy ñoù. Giaûi Goïi X laø troïng löôïng cuûa loaïi saûn phaåm ñoù. Theo ñeà baøi X N (250, 25). Ta caàn tìm P (245 X 260). Ta coù a = 245 , b = 260 ,  = 250,  = 25 = 5. Do ñoù b μ a μ P (245 X 260) =   (2) ( 1) (2) (1). σ σ Tra baûng haøm soá Laplace, ta ñöôïc  (1) = 0,3413,  (2) = 0,4772. Vaäy, tæ leä saûn phaåm loaïi moät cuûa nhaø maùy laø P (245 X 260) = 0,8185. Baøi 4. Moät loaïi chi tieát maùy ñöôïc xem laø ñaït tieâu chuaån, neáu ñöôøng kính cuûa noù sai leäch so vôùi ñöôøng kính thieát keá khoâng quaù 0,33mm. Cho bieát ñöôøng kính cuûa loaïi chi tieát maùy ñoù laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù phaân phoái chuaån vôùi ñoä leäch laø 0,3mm. Tìm soá chi tieát ñaït tieâu chuaån trung bình khi saûn xuaát 200 chi tieát. Giaûi Goïi X laø soá chi tieát ñaït tieâu chuaån trong soá 200 chi tieát saûn xuaát ra thì X B (200, p) , trong ñoù p laø xaùc suaát saûn xuaát ñöôïc moät chi tieát ñaït tieâu chuaån. Roõ raøng, soá chi tieát ñaït tieâu chuaån trung bình khi saûn xuaát 200 chi tieát laø kì voïng cuûa X. Ñeå tính E(X), tröôùc heát ta tìm p. Goïi Y laø ñöôøng kính cuûa loaïi chi tieát maùy ñoù. Theo ñeà baøi, Y N ( ; 0,32). Do ñoù 0,33 p = P Y  0,33 2 2(1,1) 0,3 Tra baûng haøm soá Laplace, ta ñöôïc  (1,1) = 0,3643. Suy ra p = 0,7286; E(X) = np = 200 . 0,7286 = 145,72. Nhö vaäy, khi saûn xuaát 200 chi tieát, trung bình coù khoaûng 146 chi tieát ñaït tieâu chuaån. 3. AÙp duïng caùc ñònh lyù giôùi haïn Baøi 5. Giaû söû tieàn ñieän maø moät gia ñình phaûi traû trong moät thaùng laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân vôùi trung bình 160 ngaøn ñoàng vaø ñoä leäch 1 ngaøn ñoàng. AÙp duïng baát ñaúng thöùc Chebyshev, haõy xaùc ñònh soá M nhoû nhaát ñeå vôùi xaùc suaát khoâng beù hôn 0,99, soá tieàn ñieän phaûi traû trong moät naêm cuûa gia ñình ñoù khoâng quaù M ñoàng. Giaûi Goïi XK laø soá tieàn ñieän phaûi traû trong thaùng k, k = 1,12 , S laø soá tieàn ñieän phaûi traû trong moät naêm. 2 Ta coù XK N (160 ; 1 ), k = 1,12 , neân 12 S  X k k 1 laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù  = E (S) = 160.12 = 1920, 2 = D(S) = 12 . 12 = 12. Theo ñeà baøi, ta caàn tìm M nhoû nhaát ñeå 49
P (S M) 0,99. Giaû söû  > 0. AÙp duïng baát ñaúng thöùc Chebyshev, ta coù 12 P ( S 1920 ) , ε 2 hay 12 P ( S 1920 ) 1 - . ε 2 Maët khaùc, vì S 1920  1920 -  S 1920 + , neân baøi toaùn tìm M ñöôïc ñöa veà baøi toaùn tìm  nhoû nhaát sao cho P ( S 1920 ) 0,99. Muoán vaäy, ta phaûi coù 12 1- 0,99. ε 2 Suy ra  34,64 Vaäy giaù trò nhoû nhaát cuûa  laø 34,64. Töø ñoù, giaù trò nhoû nhaát cuûa M laø 1920 +  = 1954,64 (ngaøn ñoàng). 4. Tính gaàn ñuùng xaùc suaát Neáu X coù phaân phoái nhò thöùc, X B (n, p) vôùi p khaù beù, n khaù lôùn thì aùp duïng phaân phoái Poisson ñeå tính xaùc suaát P (X = k). Neáu X B (n, p) vôùi p khoâng quaù lôùn, khoâng quaù beù, n khaù lôùn thì aùp duïng haøm maät ñoä Gauss ñeå tính P (X=k) hoaëc aùp duïng haøm Laplace ñeå tính P(k1 X k2). Baøi 6. Moät chung cö coù 160 hoä gia ñình. Xaùc suaát ñeå moãi hoä coù söï coá veà ñieän vaøo buoåi toái laø 0,02. Tính xaùc suaát ñeå trong moät buoåi toái coù a) 4 gia ñình gaëp söï coá veà ñieän. b) töø 2 ñeán 5 gia ñình gaëp söï coá veà ñieän. Giaûi Goïi X laø soá gia ñình gaëp söï coá veà ñieän trong moät buoåi toái ôû chung cö ñoù. a) Caùch thöù nhaát. Ta coù X B (160 ; 0,02) neân aùp duïng phaân phoái nhò thöùc, ta ñöôïc 4 4 156 P (X = 4) = C160 0,02 0,98 0,17999. Caùch thöù hai. Vì n =160 khaù lôùn, p = 0,02 khaù beù neân X coù xaáp xæ phaân phoái Poisson vôùi a = np = 160 . 0,02 = 3,2. Tra baûng phaân phoái Poisson, ta ñöôïc P(X = 4) = 0,17809. Neáu khoâng tra baûng, aùp duïng coâng thöùc, ta ñöôïc e 3,2 3,24 P (X = 4) = = 0,17809. 41 50
b) AÙp duïng phaân phoái Poisson, ta ñöôïc 5 3,22 3,23 3,24 3,25 P (2 X 5) = P(X k) e 3,2 = 0,72339.  k 2 2! 3! 4! 5! Baøi 7. Moät ñeà thi traéc nghieäm coù 100 caâu hoûi, xaùc suaát traû lôøi ñuùng moãi caâu cuûa moät sinh vieân laø 0,4. Tính xaùc suaát ñeå sinh vieân ñoù traû lôøi ñuùng a) 50 caâu hoûi. b) ít nhaát 50 caâu hoûi. Giaûi Xem pheùp thöû laø traû lôøi moät caâu hoûi, ta coù n = 100 pheùp thöû ñoäc laäp. Goïi A laø bieán coá sinh vieân traû lôøi ñuùng caâu hoûi ñoù, theo ñeà baøi, P(A) = p = 0,4. Goïi X laø soá caâu sinh vieân traû lôøi ñuùng thì X B(100 ; 0,4). Vì n khaù lôùn vaø p khoâng quaù lôùn, khoâng quaù beù neân X coù xaáp xæ phaân phoái chuaån, töùc laø X N(, 2), trong ñoù 2  = np = 40,  = np(1 – p) = 24. a) AÙp duïng haøm maät ñoä Gauss, ta coù 1 50 40 1 P(X = 50) = f f(2,04) . 24 24 24 Tra baûng haøm soá Gauss ta ñöôïc f(2,04) = 0,0498. Vaäy 0,0498 P(X = 50) = = 0,0102. 24 b) AÙp duïng haøm soá Laplace, ta coù 100 40 50 40 P(50 X 100) = Φ Φ Φ (12,25) Φ (2,04). 24 24 Tra baûng haøm soá Laplace ta ñöôïc Φ (12,25) 0,5 ; Φ(2,04) 0,4793 . Vaäy P(60 X 100) = 0,0207. Baøi 8. Saûn phaåm cuûa moät nhaø maùy ñöôïc ñoùng thaønh töøng hoäp, moãi hoäp 10 saûn phaåm. Goïi X laø soá saûn phaåm loaïi moät coù trong hoäp. Cho bieát X coù phaân phoái xaùc suaát nhö sau X 7 8 9 10 P 0,2 0,3 0,3 0,2 Tieán haønh kieåm tra 300 hoäp theo caùch sau. Moãi hoäp choïn ngaãu nhieân 3 saûn phaåm ñeå kieåm tra. Neáu thaáy coù ít nhaát 2 saûn phaåm loaïi moät thì nhaän hoäp ñoù. a) Tìm xaùc suaát ñeå coù ít nhaát 240 hoäp ñöôïc nhaän. b) Tìm soá hoäp ñöôïc nhaän coù khaû naêng lôùn nhaát. Giaûi a) Xem pheùp thöû laø kieåm tra moät hoäp, ta coù n = 300 pheùp thöû ñoäc laäp. Goïi N laø bieán coá nhaän hoäp. Ta tính P(N) = p. 51
Goïi Ni laø bieán coá coù i saûn phaåm loaïi moät trong 3 saûn phaåm ñöôïc kieåm tra ôû moãi hoäp, i= 0,3. Ta coù N = N2 + N3 vaø N2, N3 xung khaéc. Do ñoù P(N) = P(N2) + P(N3). Goïi Mk laø bieán coá coù k saûn phaåm loaïi moät trong soá 10 saûn phaåm cuûa hoäp, k = 0,10 . Theo ñeà baøi, M7, M8, M9, M10 taïo thaønh moät nhoùm ñaày ñuû (vì chuùng xung khaéc töøng ñoâi vaø toång xaùc suaát baèng 1). AÙp duïng coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù P(N2) = P(M7)P(N2/M7) + + P(M10)P(N2/M10), P(N3) = P(M7)P(N3/M7) + + P(M10)P(N3/M10). Caùc xaùc suaát P(Mk), k = 7,10 , ñaõ ñöôïc cho trong baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X ; baèng ñònh nghóa ta tính ñöôïc P(Ni/Mk) , i = 2,3 ; k = 7,10 . Chaúng haïn, C2C1 C3 P(N /M ) = 7 3 , P(N /M ) = 7 . 2 7 3 3 7 3 C10 C10 Suy ra C2C1 C2C1 C2 C1 P(N ) = 0,2. 7 3 + 0,3 8 2 + 0,3 9 1 + 0,2.0 = 0,335, 2 3 3 3 C10 C10 C10 C 3 C3 C3 P(N ) = 0,2. 7 + 0,3. 8 + 0,3 9 + 0,2.1 = 0,41. 3 3 3 3 C10 C10 C10 Vaäy P(N) = 0,335 + 0,41 = 0,745. . Goïi Y laø soá hoäp ñöôïc nhaän trong 300 hoäp ñaõ kieåm tra. Ta caàn tìm P(240 Y 300). Ta coù Y B(300 ; 0,745), vì n khaù lôùn , p khoâng quaù lôùn, khoâng quaù beù neân coù theå xem Y coù xaáp xæ phaân phoái chuaån Y N(, 2), vôùi  = np = 223,5 ; 2 = np(1 – p) = 56,9925,  = 7,5493. AÙp duïng haøm soá Laplace, ta ñöôïc 300 223,5 240 223,5 P(275 Y 300) =   7,5493 7,5493 = Φ (10,13) - Φ (2,186) = 0,5 – 0,4854 = 0,0146. c) Ta coù Y B(300 ; 0,745) vaø n = 300, p = 0,745, q = 0,255 neân np - q = 223,245 = 223. Vaäy, soá hoäp ñöôïc nhaän coù khaû naêng lôùn nhaát laø 223 hoaëc 224 hoäp. 52
C. BAØI TAÄP 1. Moät loâ haøng coù 700 chi tieát, trong ñoù coù 250 chi tieát ñaït tieâu chuaån. Laáy ngaãu nhieân töø loâ haøng ñoù ra 80 chi tieát, goïi X laø soá chi tieát ñaït tieâu chuaån laáy ñöôïc. Tính kì voïng, phöông sai cuûa X. 2. Cho X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân vôùi E(X) = 5, D(X) = 0,16. a) Tính xaùc suaát nhoû nhaát ñeå X (3 ; 7). b) Chöùng minh raèng P(2 < X < 8) 0,98. c) Chöùng minh raèng, neáu X1, X2, , X9 laø caùc ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñoäc laäp coù cuøng phaân phoái xaùc suaát vôùi X, thì X X X P( 3 < 1 2 9 7) 0,99 . 9 3. Troïng löôïng cuûa moät toa taøu laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù giaù trò trung bình baèng 65 taán vaø ñoä leäch laø 0,9 taán. Tìm xaùc suaát ñeå troïng löôïng toa taøu khoâng vöôït quaù 70 taán nhöng vaãn lôùn hôn 60 taán, bieát raèng troïng löôïng naøy tuaân theo luaät phaân phoái chuaån. 4. Xaùc suaát ñeå moät haït thoùc gioáng bò leùp laø 0,006. Tính xaùc suaát sao cho trong soá 1000 haït thoùc gioáng coù a) ñuùng 6 haït leùp. b) khoâng ít hôn 3 haït leùp. c) khoâng nhieàu hôn 5 haït leùp. 5. Xaùc suaát sinh moät beù trai laø 0,51. Tìm xaùc suaát ñeå trong 200 em beù, soá beù trai ít hôn soá beù gaùi. 6. Moät ñeà thì goàm 45 caâu hoûi, vôùi moãi caâu hoûi thí sinh caàn choïn moät trong boán caâu traû lôøi keøm theo, trong ñoù chæ coù moät caâu traû lôøi ñuùng. Moät sinh vieân hoaøn toaøn khoâng hoïc baøi, khi ñi thi choïn ngaãu nhieân moät trong boán caâu traû lôøi. Tìm xaùc suaát a) sinh vieân ñoù traû lôøi ñuùng 30 caâu hoûi. b) sinh vieân ñoù traû lôøi ñuùng ít nhaát 23 caâu hoûi. c) sinh vieân ñoù traû lôøi ñuùng nhieàu nhaát 20 caâu hoûi. 7. Moät maùy tính ñieän töû goàm 10000 boùng baùn daãn, chia laøm ba loaïi. Loaïi moät coù 1000 boùng, xaùc suaát hoûng cuûa moãi boùng laø 0,0005. Loaïi hai coù 3000 boùng, xaùc suaát hoûng töông öùng laø 0,0003. Loaïi ba coù xaùc suaát hoûng töông öùng laø 0,0001. Maùy tính ngöøng laøm vieäc neáu coù ít nhaát hai boùng baùn daãn bò hoûng. Tìm xaùc suaát maùy tính ngöøng laøm vieäc, neáu caùc boùng hoûng hay toát ñoäc laäp vôùi nhau. 8. Cho ñaïi löôïng ngaãu nhieân X coù phaân phoái ñeàu treân 0, 1. Tìm xaùc suaát sao cho trong 100 laàn quan saùt veà X thì coù 60 laàn X nhaän giaù trò thuoäc (0,2 ; 0,7). 9. Moät maùy saûn xuaát haøng loaït saûn phaåm. Caùc saûn phaåm ñöôïc xem laø ñaït tieâu chuaån neáu troïng löôïng cuûa noù sai leäch so vôùi troïng löôïng quy ñònh khoâng quaù 0,588. Bieát troïng löôïng cuûa saûn phaåm do maùy saûn xuaát ra laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù phaân phoái chuaån vôùi phöông sai 0,09. Tìm xaùc suaát ñeå trong 10 saûn phaåm do maùy saûn xuaát seõ coù ít nhaát 4 saûn phaåm ñaït tieâu chuaån. 53
10. ÔÛ moät xí nghieäp may xuaát khaåu, sau khi quaàn aùo may xong, ngöôøi ta ñoùng thaønh töøng hoäp, moãi hoäp 3 boä quaàn aùo. Khi ñoùng hoäïp coù theå xaûy ra hieän töôïng xeáp aùo quaàn nhaàm soá. Cho bieát xaùc suaát xeáp aùo ñuùng soá laø 0,7, xeáp quaàn ñuùng soá laø 0,8 vaø hoäp seõ ñöôïc chaáp nhaän neáu soá löôïng quaàn xeáp ñuùng soá baèng soá löôïng aùo xeáp ñuùng soá. a) Kieåm tra ngaãu nhieân 100 hoäp cuûa xí nghieäp. Tìm xaùc suaát coù 50 hoäp ñöôïc chaáp nhaän. b) Phaûi kieåm tra ít nhaát bao nhieâu hoäp ñeå xaùc suaát coù ít nhaát moät hoäp ñöôïc chaáp nhaän lôùn hôn hay baèng 0,9. 54
CHÖÔNG V LYÙ THUYEÁT MAÃU A. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT 1. Maãu vaø phöông phaùp choïn maãu a) Toång theå vaø maãu Taäp hôïp coù phaàn töû laø taát caû caùc ñoái töôïng maø ta nghieân cöùu ñöôïc goïi laø toång theå. Moät taäp con cuûa toång theå ñöôïc goïi laø maãu töø toång theå ñoù. Soá phaàn töû cuûa maãu ñöôïc goïi laø kích thöôùc maãu. b) Caùc phöông phaùp choïn maãu - Maãu ngaãu nhieân laø maãu ñöôïc choïn töø toång theå moät caùch ngaãu nhieân. - Maãu hoaøn laïi laø maãu ñöôïc choïn theo caùch laáy moät phaàn töû cuûa toång theå ra quan saùt, sau ñoù boû vaøo toång theå roài môùi laáy phaàn töû tieáp theo ñeå quan saùt. - Maãu khoâng hoaøn laïi laø maãu ñöôïc choïn baèng caùch phaàn töû ñaõ laáy ra quan saùt thì loaïi ra khoûi toång theå. Neáu soá phaàn töû cuûa toång theå lôùn thì maãu hoaøn laïi vaø khoâng hoaøn laïi coù theå xem laø nhö nhau. Trong giaùo trình naøy ta xem maãu laø maãu hoaøn laïi. c) Caùch kí hieäu maãu, maãu thu goïn - Maãu ñònh tính laø maãu maø ta chæ quan taâm ñeán caùc phaàn töû cuûa noù coù moät tính chaát  naøo ñoù hay khoâng. Khi ñoù maãu ñöôïc cho döôùi daïng . Kích thöôùc maãu : n . Soá phaàn töû coù tính chaát  : k. - Maãu ñònh löôïng laø maãu maø ta quan taâm ñeán moät yeáu toá veà löôïng cuûa caùc phaàn töû. Khi ñoù maãu coù kích thöôùc n ñöôïc cho döôùi daïng X = (x1, x2, , xn), trong ñoù xi laø giaù trò cuûa phaàn töû thöù i cuûa maãu, i = 1,n . Neáu maãu coù caùc phaàn töû nhaän giaù trò gioáng nhau, thì maãu ñöôïc cho döôùi daïng thu goïn nhö sau X x1 x2 xm Taàn soá n1 n2 nm trong ñoù x1 < x2 < < xm laø caùc giaù trò cuûa caùc phaàn töû thuoäc maãu, ni laø soá phaàn töû cuûa maãu cuøng coù giaù trò xi, i = 1,m , n1 + n2 + + nm = n. Neáu ni laø soá phaàn töû cuûa maãu nhaän giaù trò trong khoaûng (ai, bi) thì ta xem chuùng nhaän giaù trò chung laø ai b i xi = , i = 1, m . 2 2. Caùc ñaëc tröng cuûa maãu a) Ñoái vôùi maãu ñònh tính Cho maãu ñònh tính coù n phaàn töû, trong ñoù coù k phaàn töû coù tính chaát . Ta goïi tæ soá k f = n 55
laø tæ leä maãu (coù tính chaát ). Neáu toång theå coù tæ leä p thì p(1 p) E(f) = p, D(f) = . n p(1 p) Vôùi n 30 ta co ù f N(p ; ) n f p hay n N(0 ; 1). f(1 f) b) Ñoái vôùi maãu ñònh löôïng Cho maãu ñònh löôïng döôùi daïng thu goïn. Ta goïi soá 1 m X xi ni . n i 1 laø trung bình maãu. m 2 1 2 Ñaët X  xi ni . n i 1 Khi ñoù  - Soá S2 = X2 (X)2 ñöôïc goïi laø phöông sai maãu, n  - Soá S2 = S2 ñöôïc goïi laø phöông sai maãu hieäu chænh, n 1 - Soá S = S2 ñöôïc goïi laø ñoä leäch maãu hieäu chænh. Neáu toång theå coù kì voïng , phöông sai 2, thì moïi maãu kích thöôùc n ñeàu coù σ 2 E( X ) = , D( X ) = , n  n -1 E(S2 ) = σ 2 , E(S2) = 2. n Neáu toång theå coù phaân phoái chuaån thì σ2 X μ X N( μ, ) hay n N(0 ; 1) . n σ S2 Vôùi n 30 coù theå xem toång theå coù phaân phoái chuaån neân X N(μ, ). n Vôùi n < 30, toång theå coù phaân phoái chuaån, ta coù X μ n T(n 1). S B. CAÙC BAØI GIAÛI MAÃU 1. Tính ñaëc tröng cuûa maãu ñònh tính k Soá phaàn töû coù tính chaát  cuûa maãu f = n Soá phaàn töû cuûa maãu 56
Baøi 1. Tröôùc kì baàu cöû, ngöôøi ta phoûng vaán 1575 cöû tri thì thaáy coù 1212 ngöôøi traû lôøi laø uûng hoä öùng cöû vieân A. Tính tæ leä maãu uûng hoä öùng cöû vieân ñoù. Giaûi Ta coù toång theå laø toaøn boä soá cöû tri, maãu laø nhoùm cöû tri ñöôïc phoûng vaán, tính chaát  laø “uûng hoä öùng cöû vieân A”. Do ñoù - Soá phaàn töû cuûa maãu : n = 1575 - Soá phaàn töû coù tính chaát  cuûa maãu : k = 1212. Vaäy tæ leä maãu uûng hoä öùng cöû vieân A laø k 1212 f = 0,7695. n 1575 Baøi 2. Ngöôøi ta baét ñöôïc 1200 con caù, ñaùnh daáu roài thaû laïi vaøo hoà. Sau moät thôøi gian baét laïi 250 con thì thaáy coù 32 con bò ñaùnh daáu. Tìm tæ leä maãu bò ñaùnh daáu. Giaûi Toång theå laø toaøn boä soá caù trong hoà, maãu laø nhöõng con ñöôïc baét leân, tính chaát  laø “bò ñaùnh daáu”. Ta coù - Soá phaàn töû cuûa maãu : n = 250 - Soá phaàn töû coù tính chaát  cuûa maãu : k = 32 Vaäy, tæ leä maãu bò ñaùnh daáu laø k 32 f = 0,128. n 250 2. Tính ñaëc tröng cuûa maãu ñònh löôïng - Laäp baûng maãu thu goïn (neáu caàn) 2 - Laäp baûng tính x i n i , x i ni (neáu caàn) 1 1 - Tính X x n , X2 x2n n  i i n  i i  S2 = X2 (X)2 n  S2 = S2 , S = S2 n 1 Baøi 3. Ñieåm thi moân Toaùn cuûa sinh vieân moät lôùp ñöôïc ghi trong baûng sau 8 9 7 5 8 7 4 3 5 6 7 7 5 4 6 8 5 6 5 4 5 7 6 6 3 7 5 6 7 7 6 5 4 4 5 6 8 7 5 5 7 5 4 3 8 7 6 4 Haõy tính caùc ñaëc tröng maãu. Giaûi Ta laäp maãu thu goïn X 3 4 5 6 7 8 9 Taàn soá 3 7 12 9 11 5 1 n = 3 + 7 + 12 + 9 + 11 + 5 + 1 = 48 57
1 X (3.3 + 4.7 + 5.12 + 6.9 + 7.11 + 8.5 + 9.1) = 5,7708 ; 48 1 X2 (32.3 + 42.7 + 52.12 + 62.9 + 72.11 + 82.5 + 92.1) = 35,4792 ; 48  S2 = 35,4792 – 5,77082 = 2,1771 ; 48 S2 = . 2,1771 = 2,2234 ; 47 S = 2,2234 = 1,4911. Baøi 4. Ñieàu tra naêng suaát luùa cuûa moät vuøng, ta coù baûng soá lieäu sau Naêng suaát luùa (taï/ha) 41 44 45 46 48 52 54 Dieän tích coù naêng suaát luùa töông öùng (ha) 10 20 30 15 10 10 5 Haõy tính caùc ñaëc tröng maãu. Giaûi Ta laäp baûng tính caùc soá lieäu caàn thieát 2 xi ni xini xi ni 41 10 410 16810 44 20 880 38720 45 30 1350 60750 46 15 690 31740 48 10 480 23040 52 10 520 27040 54 5 270 14580  n = 100 4600 212680 Do ñoù 4600 212680 X = 46 ; X2 2126,8 ; 100 100  S2 = 2126,8 – 462 = 10,8 ; 100 S2 = .10,8 = 10,9091 ; S = 3,3029. 99 Baøi 5. Ñeå nghieân cöùu nhu caàu mua gaïo ôû moät thaønh phoá, ngöôøi ta tieán haønh ñieàu tra moät soá gia ñình vaø ghi keát quaû ôû baûng sau ñaây. Nhu caàu Soá gia ñình Nhu caàu Soá gia ñình (kg/thaùng) 30 – 35 45 55 – 60 182 35 – 40 68 60 – 65 151 40 – 45 103 65 – 70 115 45 – 50 179 70 – 75 94 50 - 55 208 75 - 80 55 a) Haõy tính caùc ñaëc tröng maãu. b) Tính tæ leä maãu coù nhu caàu treân 60kg/thaùng. 58
Giaûi a) Ta laäp baûng caùc giaù trò cuûa maãu 2 xi ni xini x i n i 32,5 45 1462,5 47531,25 37,5 68 2550 95625 42,5 103 4377,5 186043,75 47,5 179 8502,5 403868,75 52,5 208 10920 573300 57,5 182 10465 601737,5 62,5 151 9437,5 589843,75 67,5 115 7762,5 523968,75 72,5 94 6815 494087,5 77,5 55 4262,5 330343,75  1200 66555 3846350 66555 3846350 X = 55,4625 ; X2 3205,2917 ; 1200 1200  S2 = 129,2028 ; S2 = 129,3105 ; S = 11,3715. b) Xem maãu ñaõ cho laø maãu ñònh tính coù kích thöôùc n = 1200 ; xem tính chaát  laø coù nhu caàu treân 60 kg/thaùng thì soá phaàn töû coù tính chaát  cuûa maãu laø k = 151 + 115 + 94 + 55 = 415. Vaäy tæ leä maãu caàn tìm laø k 415 f = = = 0,3458. n 1200 C. BAØI TAÄP 1. Soá lieäu sau ñaây laø soá kó sö ñeán thöïc taäp taïi moät coâng ty trong voøng moät naêm ôû caùc xí nghieäp khaùc nhau. 59 70 79 73 45 70 68 61 69 59 73 45 68 61 45 68 70 69 59 73 45 70 79 73 45 59 70 73 68 73 61 45 68 73 45 59 70 79 68 45 61 59 79 59 45 79 68 61 73 45 61 59 45 68 73 68 59 61 70 70 Haõy tính caùc ñaëc tröng maãu. 59
2. Ño chieàu cao cuûa moät soá thanh nieân löùa tuoåi 18 – 20 ôû tænh Tieàn Giang, ta thu ñöôïc baûng sau ñaây Soá ngöôøi coù chieàu cao töông öùng Chieàu cao (cm) 154 – 158 10 158 – 162 14 162 – 166 26 166 – 170 28 170 – 174 12 174 – 178 8 178 - 182 2 a) Haõy tính caùc ñaëc tröng maãu. b) Tính tæ leä maãu coù chieàu cao treân 1,7m. 3. Ñieåm kieåm tra moân xaùc suaát thoáng keâ cuûa moät soá sinh vieân ñöôïc cho trong baûng sau. Ñieåm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Soá sinh vieân 1 2 5 10 20 48 35 22 10 5 2 a) Tính ñieåm kieåm tra trung bình vaø phöông sai maãu hieäu chænh cuûa maãu ñoù. b) Tìm tæ leä maãu coù ñieåm kieåm tra döôùi trung bình. 4. Ñeå nghieân cöùu tuoåi thoï cuûa moät loaïi boùng ñeøn, ngöôøi ta thaép thöû 100 boùng vaø coù soá lieäu sau. Tuoåi thoï (giôø) Soá boùng töông öùng 1010 – 1030 2 1030 – 1050 3 1050 – 1070 8 1070 – 1090 13 1090 – 1110 25 1110 – 1130 20 1130 – 1150 12 1150 – 1170 10 1170 – 1190 6 1190 – 1210 1 Sau khi caûi tieán kó thuaät, ngöôøi ta laïi thaép thöû 100 boùng, keát quaû laø Tuoåi thoï (giôø) 1150 1160 1170 1180 1190 1200 Soá boùng 10 15 20 30 15 10 Haõy so saùnh tuoåi thoï trung bình vaø ñoä leäch maãu hieäu chænh cuûa caùc boùng ñeøn tröôùc vaø sau khi caûi tieán kó thuaät. 60