›
›

Bài giảng Xử lý số liệu và quy hoạch hoá thực nghiệm trong công nghệ hóa học - Chương 2: Phân tích tương quan và hồi qui

ppt 48 trang ngocly 2180
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xử lý số liệu và quy hoạch hoá thực nghiệm trong công nghệ hóa học - Chương 2: Phân tích tương quan và hồi qui", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_xu_ly_so_lieu_va_quy_hoach_hoa_thuc_nghiem_trong_c.ppt

Nội dung text: Bài giảng Xử lý số liệu và quy hoạch hoá thực nghiệm trong công nghệ hóa học - Chương 2: Phân tích tương quan và hồi qui

  1. CHƯƠNG II PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI
  2. CHƯƠNG II PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 2.1. Phân tích tương quan Xét một đại lượng ngẫu nhiên biến thiên X tương ứng với sự biến thiên của đại lượng Y, ta có: Y = X + Ngẫu nhiên có điều kiện Như vậy:Y = f(x) Y = X + Ngẫu nhiên (không có điều kiện) Độc lập Nếu: Y = X + Ngẫu nhiên có điều kiện + Ngẫu nhiên
  3. CHƯƠNG II PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI Vậy phải ước lượng dưới dạng tổng quát thống kê và hệ số tương quan là tiêu chí quan trọng. Hệ số tương quan là đại lượng không thứ nguyên: M[( X − m )(Y − m ) r = x y  X Y - Đại lượng ngẫu nhiên độc lập r = 0 - Đại lượng ngẫu nhiên có điều kiện càng có thể r = 0 gọi đó là đại lượng không tương quan.
  4. CHƯƠNG II PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI • Hệ số tương quan đặc trưng cho sự phụ thuộc tuyến tính • Tổng quát hệ số tương quan có giá trị trong giới hạn: - 1 0 quan hệ X, Y tồn tại tương quan dương • Khi rx,y < 0 quan hệ X, Y tồn tại tương quan âm
  5. CHƯƠNG II PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 2.2. Phân tích hồi qui: 2.2.1. Khái niệm cơ bản: - Sự phụ thuộc các đại lượng ngẫu nhiên được xác định bằng một hàm phân phối có điều kiện. - Phân tích hồi qui là tính các thông số của mô hình trên cơ sở các số liệu thực nghiệm. - Mô hình mục tiêu nghiên cứu phải xác định rõ ràng, hàm mục tiêu được gọi là hàm đáp ứng.
  6. CHƯƠNG II PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI - Có thể hiểu diễn hàm mục tiêu dưới dạng.  = f (x1, x2, , xn) Trong đó: x1(i = 1, 2 , n) là yếu tố biến thiên độc lập - Hàm mục tiêu được biểu diễn dưới dạng đa thức:  = o + 1x1 + + 12x1x2 + + 11 + Trong đó 0, 1 là hệ số hồi qui được xác định bằng các ước lượng b0, b1, b2 qua các số liệu thí nghiệm.
  7. CHƯƠNG II PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI Phương trình hồi qui trên cơ sở thực nghiệm là ước lượng của hàm mục tiêu . * Y = bo + b1x1 + + b11x2 + - Mặt mô tả bởi phương trình hồi qui gọi là mặt đáp ứng. - Không gian tọa độ trên các trục đặt giá trị các yếu tố gọi là không gian yếu tố - Hiệu giữa giá trị thực nghiệm và giá trị tìm được theo phương trình hồi qui của các thông số tối ưu gọi là độ dư. - Nếu phương sai dư không đáng kể so với phương sai tái hiện thì phương trình hồi qui tương thức với các số liệu thực nghiệm.
  8. CHƯƠNG II PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 2.2.2. Phương pháp bình phương nhỏ nhất. - Phương trình hồi qui gần đúng phụ thuộc vào phương pháp tính dùng để tính các hệ số hồi qui. - Phương pháp bình phương nhỏ nhất xác định hệ số phương trình hồi qui sao cho gần đúng với kỳ vọng toán học của thực nghiệm.
  9. CHƯƠNG II PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI - Bài toán xác định hệ số hồi qui là xác định cực tiểu của hàm nhiều biến bo, b1, 2  = [yi −f (xi ,bo ,b1, )] → min i - Trong đó: yi – giá trị thực nghiệm * Y = f (xo, bo, b1, ) giá trị tìm được theo phương trình hồi qui. * - Nếu Y = f (x, bo, b1, ) là hàm khả vi thì điều kiện cực tiểu của  là.   = 0, = 0, bo b1
  10. CHƯƠNG II PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI Hoặc khai triển ra: f (x)  2[yi − f (xi ,bo ,b1 , )] = 0 i bo f (x)  2[yi − f (xi ,bo ,b1 , )] = 0 i b1
  11. CHƯƠNG II PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI Sau khi biến đổi ta có hệ phương trình: f (x ,b ,b , ) f (xi , )  i o 1  yi − = 0 bo b1 f (x ,b ,b , ) f (xi , )  i o 1  yi − = 0 b1 b1 Hệ phương trình trên có bao nhiêu phương trình thì phương trình hồi qui có bấy nhiêu hệ số được gọi là hệ phương trình chuẩn.
  12. CHƯƠNG II PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 2.2.3. Một số dạng phương trình hồi qui: ^ - Tối ưu hóa phụ thuộc 1 biến số Y = f (x) theo dạng hồi qui thực nghiệm - Phương trình hồi qui tuyến tính: ^ Y = b0 + b1 x - Phương trình hồi qui Parabon: ^ 2 Y = b0 + b1 x + b2 x
  13. CHƯƠNG II PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI - Phương trình hồi qui biểu diễn qua đa thức: ^ Y = b0 P0 (x) + b1P1 (x) + + bK PK (x) - Trong đó: Po(x), P1(x), PK(x) là đa thức trực giao trên các tập điểm X1, , Xn; - Phương trình hồi qui mũ và lũy thừa. ^ x Y = b0b1 ^ b1 Y = b0 x
  14. CHƯƠNG II PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 2.2.4. Phân tích hồi qui tuyến tính bội k. - Nếu thông số tối ưu phụ thuộc vào k biến độc lập ta gọi là hồi qui tuyến tính k. Ví dụ: Giả sử có n thí nghiệm với k biến độc lập. (x1, x2, , xK)
  15. CHƯƠNG II PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI Ta có bảng sau: STT X1 X2 - - - XK Y 1 X11 X21 XK1 Y1 2 X12 XK2 Y2 - - - - - - - - n X1n - - - - XKn Yn
  16. CHƯƠNG II PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI Giả thiết: 1. Mỗi kết hợp x1, , xk đại lượng y có phân phối chuẩn 2. Phương sai không đổi 3. Sai số các phép đo biến độc lập không đáng kể. 4. Các biến x1, , xk độc lập tuyến tính. Ước lượng kết quả được tính bằng ^ Y = b0x0 + b1x1 + + bK x K + 
  17. CHƯƠNG II PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI Trong đó :  - nhiễu Dạng ma trận của x thu được là: 1 x x 11 K1 1 x X X = 21 K2    1 X x n1 Kn Bố trí thí nghiệm sao cho  xim.xij = 0 Trong đó: m, j = o,k ; m j
  18. CHƯƠNG II PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI Ý nghĩa: - Tích vô hướng của 2 cột khác nhau của ma trận X = 0 - Tích vô hướng của cột 1 xio = 1, i = 1-n Từ đó: x x = x = 0  io ij ij - Tổng các phần tử của cột bất kỳ trừ cột đầu bằng 0
  19. CHƯƠNG II PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI Ma trận cột của các thông số tối ưu hóa y1 y =  yn Ma trận của các hệ số hồi qui bo b B = 1  bK
  20. CHƯƠNG II PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI Ma trận XT là ma trận chuyển vị của ma trận X xo1 .xon X T = x .x K1 Kn Dạng ma trận hệ phương trình chuẩn ta có. XT X B = XTY Từ đó ta suy ra B = (XT.X)-1 XT.Y (XT.X)-1 là ma trận nghịch c\đảo của XT.X
  21. CHƯƠNG II PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI Sau khi xác định được các hệ số của phương trình hồi qui cần tiến hành kiểm định: - Ý nghĩa của hệ số hồi qui - Sự tương tích của phương trình hồi qui
  22. CHƯƠNG II PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI * Kiểm định của các hệ số qui Việc kiểm định ý nghĩa của các hệ số hồi qui được thực hiện theo tiêu chuẩn Student. | b | t = j j S b j Trong đó: bj – Hệ số thứ J trong phương trình hồi qui Sbj – sai số trong việc xác định của hệ số thứ j.
  23. CHƯƠNG II PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI * Nếu tj > tp (f) ảnh hưởng của yếu tố thứ j có ý nghĩa với thông số tối ưu hóa yi, hệ số bj được giữ lại. * Nếu tj < tp (f) hệ số bj bị loại khỏi phương trình hồi qui (p – mức ý nghĩa, f – bậc tự do tái hiện)
  24. CHƯƠNG II PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI * Kiểm định sự tương thích của phương trình hồi qui: Sự tương thích của phương trình hồi qui được kiểm định theo tiêu chuẩn Fisher 2 stt F = 2 sth Trong đó: 2 stt - phương sai tương thích 2 sth - phương sai tái hiện
  25. CHƯƠNG II PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 2 Stt stt = ftt T 2 ^ ^ ^ stt = Y −Y Y −Y =  yi − yi ftt = fdư – fth = n - l l – số hệ số có nghĩa trong phương trình hồi qui. Nếu F tính được nhỏ hơn giá trị tra trong bảng F1-p (f1, f2) với mức ý nghĩa p, f1 = ftt, f2 = fth thì phương trình tương thích với thực nghiệm.
  26. CHƯƠNG III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH THỰC NGHIỆM
  27. CHƯƠNG III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH THỰC NGHIỆM 3.1. Thực nghiệm yếu tố toàn phần: - Những thực nghiệm mà mọi tổ hợp của các mức của các yếu tố đều được thực nghiệm nghiên cứu gọi là thực nghiệm yếu tố toàn phần (TYT). - Có k yếu tố, mỗi yếu tố có n mức số thí nghiệm phải thực hiện là: N = nk
  28. CHƯƠNG III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH THỰC NGHIỆM - Nếu các thí nghiệm chỉ thực hiện ở hai mức thì N = 2k, hai mức ở giá trị biên của yếu tố được khảo sát. - Nếu chọn thí nghiệm có một tâm đối xứng ta có phương án cấu trúc có tâm. - Xét yếu tố được ký hiệu là Zj ta có: Z max + Z min Z o = j j j = 1  k j 2 Trong đó:
  29. CHƯƠNG III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH THỰC NGHIỆM max Z j - mức cao min Z j - mức thấp o Z j - mức cơ sở (tâm của phương án) Biến thiên của yếu tố Zj tính từ mức cơ sở: Z max − Z Z = j j , j = 1  k j 2 - Tiện cho tính toán ta chuyển sang hệ trục không thứ nguyên nhờ chọn tâm của miền là gốc hệ trục tọa độ. Z − Zo j j , j = 1  k X j = Zj
  30. CHƯƠNG III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH THỰC NGHIỆM - Từ đó ta có mức trên là +1, mức dưới là -1 ở tâm trùng với góc tọa độ Ví dụ: Nghiên cứu tốc độ phản ứng hóa học của một phản ứng đã cho phụ thuộc vào, nhiệt độ toC nồng độ C, áp suất P.
  31. CHƯƠNG III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH THỰC NGHIỆM * Xác lập ma trận thực nghiệm: Các biến độc lập được chọn là: o o - Nhiệt độ Z1 mức cao: 300 C mức thấp 200 C - Nồng độ Z2 mức cao: 45 g/l mức thấp 35 g/l - Áp suất Z3 mức cao: 1,25 at mức thấp 0,75 at
  32. CHƯƠNG III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH THỰC NGHIỆM Phương án thí nghiệm được viết dưới dạng ma trận (TYT) 2 mức thí nghiệm, số biến độc lập k = 3. Số thí nghiệm được thực hiện là: N = 23 = 8 Phương án thí nghiệm và kết quả thí nghiệm được trình bày trên bảng 1
  33. CHƯƠNG III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH THỰC NGHIỆM MA TRẬN TYT 23 = 8 Biến thực Biến mã hóa Kết quả Số thí nghiệm Z1 Z2 Z3 X1 X2 X3 Y 1 300 45 1,25 + + + 296 2 200 35 1,25 - - + 122 3 300 35 1,25 + - + 239 4 200 45 1,25 - + + 586 5 300 45 0,75 + + - 232 6 200 35 0,75 - - - 292 7 300 35 0,75 + - - 339 8 200 45 0,75 - + - 383
  34. CHƯƠNG III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH THỰC NGHIỆM Để thuận tiện cho nghiên cứu người ta hàm biến ảo xo, xo = 1 Ma trận qui hoạch với biến ảo TYT 23 Số thí nghiệm X0 X1 X2 X3 Y 1 + + + + Y1 2 + - - + Y2 3 + + - + Y3 4 + - + + Y4 5 + + + - Y5 6 + - - - Y6 7 + + - - Y7 8 + - + - Y8
  35. CHƯƠNG III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH THỰC NGHIỆM Ma trận qui hoạch đảm bảo tính trực giao. N  x ui.x ji = 0,(u j,u, j = 0  k) i=1 N Và  x ji = 0; j =1 k; j 0 i=1 * Xác lập phương trình hồi qui Nếu dùng phương trình hồi qui tuyến tính dưới dạng: ^ Y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + b3 x3
  36. CHƯƠNG III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH THỰC NGHIỆM Theo phương pháp tính hệ số trong phương trình hồi qui: bo b B = 1 = (X T .X ) −1 X T Y b2 b3 Ma trận XTXcó dạng: 8 2  xoi  xoix1i  xoix 2i  xoix3i i=1 i i i 2  x1i xoi  x1i  x1i x 2i  x1i x3i XTX = i i i 2  x 2i xoi  x 2i x1i  x 2i  x 2i x3i i i i i 2  x3i xoi  x3i x1i  x3i x 2i  x3i i i i i
  37. CHƯƠNG III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH THỰC NGHIỆM Từ tính chất trên ta có: 1 0 0 0 8 8 0 0 0 1 0 8 0 0 0 0 0 XTX = ; (XTX)−1 = 8 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0 8 8 0 0 0 1 8  xoiyi i x y XTY =  1i i  x 2i yi  x3i yi
  38. CHƯƠNG III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH THỰC NGHIỆM 1 0 0 0 8  xoi yi bo i 0 1 0 0 b1 T −1 T 8 x y B = = (X X ) X .Y =  1i i b2 0 0 1 0 8  x2i yi b 3 0 0 0 1 x y 8  3i i 1 N Suy ra: b j =  x ji yi N i=1 8  x1i yi Tính b = i=1 1 8 1.296 −1.122 +1.239 −1.586 +1.232 −1.292 +1.339 −1.383 b = 1 8 b1 = 34,625, tương tự ta có: b2 = 63,125, b3 = -0,375, bo = 311, 125
  39. CHƯƠNG III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH THỰC NGHIỆM Ta có mô hình: Y = 311,125 + 34,625x1 + 63,125x2 – 0,375x3 Để xét mô hình đầy đủ hơn ^ Y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 + b12 x1 x2 + b13 x1 x3 + b23 x2 x3 Ma trận qui hoạch được mở rộng ^ ^ Số thí X X X X X X X X X X Y 2 nghiệm 0 1 2 3 1 2 1 3 2 3 Y (Y −Y i ) 1 + + + + + + + 296 331,125 1233,765 2 + - - + + - - 122 139,875 319,515 3 + + - + - + - 239 221,875 293,265 4 + - + + - - + 586 551,625 1181,640 5 + + + - + - - 232 196,875 1230,765 6 + - - - + + + 292 274,125 319,515 7 + + - - - - + 339 356,125 293,265 8 + - + - - + - 383 417,375 1185,640
  40. CHƯƠNG III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH THỰC NGHIỆM Các hiệu ứng tương tác được xác định tương tự như hiệu ứng tuyến tính. N  (x j xl )i Yi b = i=1 jl N N  (x1 x2 )i Yi i=1 b12 = thay số vào N (1.296 +1.122 −1.239 −1.586 +1.232 +1.292 −1.339 −1.838 b = = −75,625 12 8 Tương tự: b13 = - 8,625, b23 = 67,125 Phương trình hồi qui lúc này có dạng Y = 311,125 + 34,625x1 + 63,125x2 – 0,375x3 – 75,625x1x2 = 8,625x1x3 + 67,125x2x 3
  41. CHƯƠNG III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH THỰC NGHIỆM * Kiểm định tính ý nghĩa của các hệ số phương trình hồi qui - Vì ma trận (XTX)-1 là ma trận đường chéo nên các hệ số độc lập với nhau. - Loại bỏ các hệ số không có nghĩa không ảnh hường đến hệ số còn lại. - Các hệ số kiểm định theo tiêu chuẩn Student (t). - Mọi hệ số của phương trình được xác định với độ chính xác. sth sbj = N
  42. CHƯƠNG III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH THỰC NGHIỆM - Do không làm thí nghiệm song song để xác định phương sai tái hiện sth ta tiến hành làm 3 thí nghiệm ở tâm phương án nhận 3 giá trị theo bảng dưới: Số thí Biến thực Biến mã hóa Kết quả nghiệm 0 0 0 X X X Y Z1 Z2 Z3 1 2 3 0 1 250 40 1 0 0 0 295 2 250 40 1 0 0 0 312 3 250 40 1 0 0 0 293
  43. CHƯƠNG III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH THỰC NGHIỆM 3 y o  4 295 + 312 + 293 Y o = 1 = = 300 3 3 3 2 o o  (y4 − y ) s 2 = 1 =109 th 3 −1 sth = 109 =10,440 sth 10,440 stj = = = 3,69 N 8
  44. CHƯƠNG III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH THỰC NGHIỆM Ý nghĩa của các hệ số được kiểm định theo tiêu chuẩn Student t | b | t = j j s b j 311,125 Ta tính được: to = = 84,315 3,69 t1 = 9,38, t2 = 17,107, t3 = 0,1016, t12 = 20,494 t13 = 2,337 t23 = 18,191
  45. CHƯƠNG III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH THỰC NGHIỆM Tra bảng tp(f) với p = 0,05, f = 2 f = l - 1 bậc tự do tái hiện l số thí nghiệm song song ở tâm t0,05 (2) = 4,3 Vì t3 < tp(f), t13 < tp(f) Các hệ số b3, b13 bị loại, phương trình lúc này có dạng: ^ Y = 311,125 − 34,625x1 + 63,125x2 + 75,625x1 x2 + 67,125x2 x3
  46. CHƯƠNG III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH THỰC NGHIỆM * Kiểm định sự tương thích của phương trình hồi qui: Sự tương tích của phương trình hồi qui được kiểm định bằng tiêu chuẩn Fisher. 2 sdu F = 2 sth N ^ 2  (yi − y i ) 2 i=1 Trong đó: sdu = N − l N – số thí nghiệm l - số thí nghiệm ở tâm
  47. CHƯƠNG III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH THỰC NGHIỆM 2 6056,3742 Thay số sdu = = 2018,791 3 2 sdu 2018,791 F = 2 = =18,521 sth 109 Tra bảng F1p (f1, f2) với p = 0,05 f1 = 3, f2 = 2 f1 – bậc tự do phương sai tương thích f1 = N – l N số thí nghiệm : 8 l hệ số có nghĩa trong phương trình hồi qui: 5
  48. CHƯƠNG III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH THỰC NGHIỆM f2 – bậc tự do phương sai tái hiện f2 = N - 1 N – số thí nghiệm song song ở tâm F0,05 (3,2) = 19,2 F F 1− p( f1 , f2 ) phương trình hồi qui tương thích với thực nghiệm.