Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 3: Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và véctơ ngẫu nhiên

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 3: Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và véctơ ngẫu nhiên

1. Chương 3.Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và véctơ ngẫu nhiên. §1 Kỳ vọng 1. Định nghĩa   xi p i    xi pi Định nghĩa 1.1: Giả sử i Định nghĩa 1.2: Giả sử X liên tục và cĩ hàm mật độ là fX x  x. f x dx X Ý nghĩa: Kỳ vọng E(X) là giá trị trung bình của X 2. Tính chất: (1) E(C) = C,(2) E(CX) = C.E(X) ,C là hằng số (3) E(X+Y) = E(X) + E(Y) (4) X, Y độc lập suy ra E(XY) = E(X).E(Y) 1
2. §2: PHƯƠNG SAI 1.Định nghĩa 2.1:Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X 2 là: D      Định lý 2.1 : 2   2     2 2 D( ) với  xi . p i , nếu X rời rạc ; i  2 x 2 . f x dx , nếu X liên tục.  2. Tính chất: (1) D(C) = 0 ; (2) D(CX) = CD2.() (3) X,Y độc lập suy ra D(X+Y) = D(X)+D(Y) (4) D(C+ X) = D(X), với C là hằng số 3. Độ lệch:   D  2
3. §3.Các đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên 1.Mod X (giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất) Định nghĩa 3.1: Giả sử X rời rạc và   xi p i M o d  x n e áu p M a x p i0 i 0 i Định nghĩa 3.2: Giả sử X liên tục và cĩ hàm , ta cĩ fX x Mod  x0 nếu fXX x 0 Max f x 2. Med X(medium – trung vị X) Định nghĩa 3.3: Med m   m 1/ 2,  X m 1/ 2 Định lý 3.1: Nếu X liên tục thì m 1 MedX m Fm() f xdx XX 2 3
4. 3.Moment Định nghĩa 3.4: Moment cấp k cuả đại lượng ngẩu nhiên X đối với số a là :  X a k a = 0: moment gốc a = E(X): moment trung tâm. 4. Hệ số nhọn và hệ số bất đối xứng(xem SGK) Ví dụ 3.1: cosx , x  0, / 2 ~ fX x 0,x  0, / 2 / 2   x. f x dx x .cos xdx 1 X 0 2 4
5. 2 /2 2 D X xcos xdx 1 3 0 2  X 2 Mod X =0 m m Med X = m fX x dx cos xdx 1 / 2 0 sinm 1/2, m [0, /2] m /6 Ví dụ 3.2 :Cho X cĩ bảng phân phối xác suất như sau X1 2 m 1 m m 1 k Ppqp qpqpqpm 2 m 1 m qp k 1 5
6. k 1 1 1 E() X  k p q p 2 k 1 1 q p 2 2k 1 1 D() X  k p q k 1   p   2 2 1 q 1 1 q 1 q p . 3 2 2 2 (1 q ) p p p p Mod X = 1 m 2 p 1 q q 1 / 2 Med X =m m 2 m 1 p 1 q q q 1 / 2 6
7. 1 qm 1 m 1 1 p. 1/ 2 m 1 q 1 q 1 q 1/ 2 2 m m 1 q 1 q 1/ 2 m 1 p. 1/ 2 q 1 q 2 mln q ln 2 , m 1 ln q ln 2 ln 2 ln 2 m 1 lnq ln q 7
8. .Ví dụ 3.3 : Cho X cĩ bảng phân phối xác suất sau: X 2 5 7 P 0,4 0,3 0,3   2.0,4 5.0,3 7.0,3 4,4 2 2 2 2 D  2 .0.4 5 .0,3 7 .0,3 4,4  2   DX( ) 2,107 Mod X = 2 ; Med X = 5 8
9. Cách dùng máy tính bỏ túi ES • Mở tần số(1 lần): Shift Mode Stat On(Off) • Nhập: Mode Stat 1-var xi n i 2 0,4 5 0,3 7 0,3 AC: báo kết thúc nhập dữ liệu Cách đọc kết quả: Shift Stat Var x   4, 4 n x  n  x   2,107 9
10. Cách dùng máy tính bỏ túi MS: Vào Mode chọn SD Xĩa dữ liệu cũ: SHIFT CLR SCL = Cách nhập số liệu : 2; 0,4 M+ 5; 0,3 M+ 7; 0,3 M+ Cách đọc kết quả: x   4, 4 SHIFT S – VAR n x  n  x   2,107 10
11. Ví dụ 3.4: Tung cùng 1 lúc 5 con xúc xắc cân đối,đồng chất .Gọi X là tổng số điểm nhận được. Hãy tính E(X), D(X) Giải: Gọi Xi là số điểm của con xúc xắc thứ i  1  2  5   1  5  5 1 Xi độc lập     DDDDD 1 2 5 5  1 X1 1 2 6 7 35   , D  1 1 1 1 1 P X 2 12 6 6 6 11
12. §4: Kỳ vọng của hàm Y  1.Trường hợp rời rạc:   xi p i E(). Y  xi p i i 2.Trường hợp liên tục: ~fXX x  Y x . f x dx Ví dụ 4.1: c o sx , x 0 , 2 Cho  fX x 0 ,x 0 , 2 Tìm kỳ vọng và phương sai của Y= sinX. 12
13. 2 /2 sinx /2 1  Y sin xcos xdx 0 20 2 3 /2 /2 2 2 sinx 1  Y sin xcos xdx 0 0 3 3 2 1 1 1 DYYEY  2 3 4 12 13
14. §5: Kỳ vọng của hàm  ,Y 1.Trường hợp rời rạc:   xi, Y y j p ij    x i, y j . p ij Ví dụ 5.1: i, j  Y  xi y j p ij i, j 2.Trường hợp liên tục: (X,Y) liên tục và cĩ hàm mật độ f(x,y)   x, y .,f x y dxdy 2  Ví dụ 5.2: R Z  f x, y 8xy , nếu 0 x y 1, ( hình 5.1) 0 , nếu trái lại. 14
15. HÌNH 5.1 y 1  0 1 X 15
16. 1 y   x.f xydxdy , dy x .8 xydx 0 0 R 2 1 y  Y y. f xydxdy, dy y .8 xydx 0 0 R 2  Y2 y 2 . f x, y d x d y R 2  X 2 x 2 . f x, y d x d y  X. Y x y . f x, y d x d y R 2 16
17. §6: Các đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên 1.Kỳ vọng: E(X,Y) = (E(X),E(Y)) 2. Hiệp phương sai (covarian): Định nghĩa 6.1: cov(X,Y) = E[(X - E(X)).(Y – E(Y))] Định lý 6.1: cov(X,Y) = E(XY) – E(X).E(Y) Tính chất: (1) X,Y độc lập thì cov(X,Y) = 0 (2) cov(X,X) = D(X) m n m n (3)cov i , YY j   cov  i , j i 1 j 1 i 1 j 1 m m m (4)cov i ,   k DX  i  cov,  i k i 1 k 1 i 1 i k 17
18. 3. Hệ số tương quan c o v  , Y Định nghĩa 6.2: R XY   .  Y Tính chất: (1) X,Y độc lập RY 0 (2) RYXY 1,   , (3) RXY 1  a , b , c : a  bY c Ý nghĩa: Hệ số R XY đặc trưng cho sự ràng buộc tuyến tính giữa X và Y: R XY càng gần1, thì X,Y càng gần cĩ quan hệ tuyến tính. 4. Ma trận tương quan: cov  ,  ,cov  ,Y DY, cov YYY , ,cov , 18
19. • Ví dụ 6.1:Cho các biến ngẫu nhiên  1 ,  2 , ,  m ; YYY 1 , 2 , , n cĩ phương sai đều bằng 1 và cov i ,  j p1 ;cov Y i , Y j p 2 ;cov  i , Y j p 3 Tìm hệ số tương quan của 2 biến ngẫu nhiên: U   1 2 m v à V Y 1 Y 2 Y n Giải: m n m n cov U , V cov  i ,  Y i  . cov  i , Y j mn . . p3 i 1 j 1 i 1 j 1 m m m D U cov  i ,  X k  D  i  cov  i ,  k m m ( m 1). p1 i 1 k 1 i 1 i k D V n n( n 1). p2 cov UV , mn p R 3 UV UV.  m m m 1 p1 . n n n 1 p 2 19
20. 5. Cách dùng máy tính bỏ túi a)Loại ES: MODE STAT a+bx xi y j p ij AC Cách đọc kết quả: SHIFT STAT VAR x  X SHIFT STAT VAR x n  X SHIFT STAT VAR y  Y SHIFT STAT VAR y n  Y SHIFT STAT REG r R XY SHIFT STAT SUM  xy  XY 20
21. b) Loại MS: MODE REG LIN Cách xĩa dữ liệu cũ : SHIFT CLR SCL = Cách nhập dữ liệu : xi,; y j p ij M Cách đọc kết quả: x  X SHIFT S-VAR SHIFT S-VAR x n  X SHIFT S-VAR y  Y SHIFT S-VAR y n  Y SHIFT S-VAR r R XY SHIFT S-SUM  x y  X Y 21
22. Ví dụ 6.2: Giả sử X,Y cĩ bảng phân phối xác suất sau: Y 3 5 X 0 0,1 0,2 2 0,3 0,4 22
23. .Bảng trên tương đương với bảng sau: p xi yj ij 0 3 0,1 0 5 0,2 2 3 0,3 2 5 0,4 23
24. Nhập bảng số liệu vào máy tính,ta cĩ: x  X 1,4 x n  X 0,9165 y  Y 4, 2 y n  Y 0,9798 r R XY 0, 0891  xy  XY 5,8 24