Bài giảng Vật lý đại cương - Chương 4: Vector ngẫu nhiên

Nội dung text: Bài giảng Vật lý đại cương - Chương 4: Vector ngẫu nhiên

1. TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING KHOA CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN – THỐNG KÊ BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Giảng viên ThS. Lê Trƣờng Giang
2. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT & THỐNG KÊ TOÁN Chƣơng 4 VECTOR NGẪU NHIÊN
3. Chương 4. Vector ngẫu nhiên §1. Phân phối xác suất của vector ngẫu nhiên rời rạc §2. Phân phối xác suất của vector ngẫu nhiên liên tục §1. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA VECTOR NGẪU NHIÊN RỜI RẠC 1.1 Bảng phân phối xác suất đồng thời của (X, Y) 1.2. Phân phối xác suất thành phần (phân phối lề) 1.3. Phân phối xác suất có điều kiện
4. 1.1 Bảng phân phối xác suất đồng thời của (X, Y) Y y y yj y Tổng dòng X 1 2 n p x1 p11 p12 1j p1n p1• p x2 p21 p22 2j p2n p2• p xi pi1 pi2 ij pin pi• p xm pm1 pm2 mj pmn pm• p Tổng cột p•1 p•2 •j p•n 1 mn Trong đó P X xi; Y y j p ij và pij 1. ij11
5. 1.2. Phân phối xác suất thành phần (phân phối lề) • Bảng phân phối xác suất của X X x1 x2 xm P p1• p2• pm• Trong đó pi• p i 1 p i 2 p in (tổng dòng i của bảng phân phối xác suất đồng thời). Kỳ vọng của X là EX x1 p 1• x 2 p 2• xmm p •.
6. • Bảng phân phối xác suất của Y Y y1 y2 yn P p•1 p•2 p•n Trong đó p•j p 1 j p 2 j p mj (tổng cột j của bảng phân phối xác suất đồng thời). Kỳ vọng của Y là EY y1 p •1 y 2 p •2 ynn p • .
7. VD 1. Phân phối xác suất đồng thời của vector ngẫu nhiên (,)XY cho bởi bảng: Y 1 2 3 X 6 0,10 0,05 0,15 7 0,05 0,15 0,10 8 0,10 0,20 0,10 1) Tính PX 6 và PXY7, 2 . 2) Lập bảng phân phối xs thành phần và tính EX , EY .
8. Ví dụ 1B (BTN) Chọn ngẫu nhiên 2 bi từ hộp có 3 bi đỏ, 2 bi vàng, 4 bi xanh. Gọi X, Y tương ứng là số bi đỏ và số bi vàng có trong 2 bi lấy ra. a) Tìm phân phối xác suất đồng thời của X và Y. b) Tính P{(X,Y)∈ } với = , + ≤ 1 . c) Tìm phân phối xác suất biên của X, của Y.
9. 1.3. Phân phối xác suất có điều kiện P(X=xi, Yy= j ) pij P Xx= i Y =yj , im1, . P(Y yj ) p•j P(Xx= i, Yy= j ) pij P Y =yj Xx= i , jn1, . Pp(X xi ) i•
10. • Bảng phân phối xác suất của X với điều kiện Yyj : X x1 x2 x m p1j p2j pmj PxXy==i Y j p•j p•j p•j Kỳ vọng của X với điều kiện Yyj là: 1 EX( x1 p 1j x 2 p 2 j x m p mj ). p•j
11. • Bảng phân phối xác suất của Y với điều kiện Xxi : Y y1 y2 yn pi1 pi2 pin P Y== yji X x pi• pi• pi• Kỳ vọng của Y với điều kiện Xxi là: 1 EY( y1 pi 1 y 2 p i 2 y n p in ). pi•
12. VD 2. Cho bảng phân phối xs đồng thời của (,)XY : Y 1 2 3 X 6 0,10 0,05 0,15 7 0,05 0,15 0,10 8 0,20 0,10 0,10 1) Lập bảng phân phối xác suất của với điều kiện Y 2 và tính kỳ vọng của . 2) Lập bảng phân phối xác suất của Y với điều kiện X 8 và tính kỳ vọng của Y .
13. Ví dụ 2B(BTN): Thống kê dân số của một vùng theo hai chỉ tiêu: giới tính X; học vấn Y được kết quả cho trong bảng sau Y Thất học Phổ thông Sau phổ thông X 0 1 Nam: 0 0.1 0.25 0.16 Nữ: 1 0.15 0.22 0.12 a) Lập bảng phân phối xác suất của học vấn; giới tính. b) Học vấn có độc lập với giới tính không? c) Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên một người của vùng thì người đó không bị thất học. d) Lập bảng PPXS học vấn của nữ; tính tb học vấn của nữ. e) Tìm tỉ lệ nữ có học vấn không vượt quá phổ thông.
14. §2. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA VECTOR NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC 2.1. Hàm mật độ đồng thời của (X, Y) 2.2. Hàm mật độ thành phần 2.3. Hàm mật độ có điều kiện
15. 2.1. Hàm mật độ đồng thời của (X, Y) • Hàm hai biến f( x , y ) 0 xác định trên 2 được gọi là hàm mật độ của vector ngẫu nhiên (,)XY nếu: f( x , y ) dxdy f ( x , y ) dxdy 1. 2 • Xác suất của vector (,)XY trên tập D 2 là: P{( X , Y ) D } f ( x , y ) dxdy . D
16. 2.2. Hàm mật độ thành phần • Hàm mật độ của X là: fX ()(,).x f x y dy • Hàm mật độ của Y là: fY ()(,).y f x y dx
17. Chú ý Khi tìm hàm fxX (), ta lấy tích phân hàm f(,) x y theo biến y và điều kiện x phải độc lập đối với . Tìm hàm fyY (), ta làm tương tự. Trung bình thành phần E fXXYY().(),().(). x x f x dx E f y y f y dy
18. 2.3. Hàm mật độ có điều kiện • Hàm mật độ có điều kiện của X khi biết Yy là: f(,) x y fxX y . fY ()y • Hàm mật độ có điều kiện của Y khi biết Xx là: f(,) x y fyY x . fX ()x
19. 10x2 y ,khi 0 y x 1, VD 1. Cho hàm f(,) x y 0, nôi khaùc. 1) Chứng tỏ vector (,)XY có hàm mật độ là f(,) x y . 1 2) Tính xác suất PYX . 2 3) Tìm hàm mật độ thành phần của X , Y . 4) Tìm hàm mật độ có điều kiện fX ( x | y ), fY ( y | x ). 1 1 5) Tính xác xuất PYX . 8 4
20. VD 2. Cho hàm mật độ đồng thời của vector (,)XY là: 6x ,khi 0 x 1; 0 y 1 x , f(,) x y 0, nôi khaùc. 1) Tính trung bình thành phần của XY, . 2) Tính xác suất P X 0,3Y 0,5 .
21. XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!