›
›

Bài giảng Vật liệu và linh kiện điện tử - Chương 8: Hệ thống điều khiển phi tuyến - Huỳnh Gia Thịnh

ppt 77 trang ngocly 3840
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Vật liệu và linh kiện điện tử - Chương 8: Hệ thống điều khiển phi tuyến - Huỳnh Gia Thịnh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_vat_lieu_va_linh_kien_dien_tu_chuong_8_he_thong_di.ppt

Nội dung text: Bài giảng Vật liệu và linh kiện điện tử - Chương 8: Hệ thống điều khiển phi tuyến - Huỳnh Gia Thịnh

  1. Mơn học LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Giảng viên: Huỳnh Gia Thịnh Bộ mơn Điều Khiển Tự Động Khoa Điện Trường Đại học Cơng Nghiệp TP.HCM Email: huynh_gia_thinh@yahoo.com
  2. Chương 8 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN 2
  3. Nội dung chương 8 • Khái niệm • Đặc điểm của hệ phi tuyến • Các khâu phi tuyến đơn giản • Mơ tả tốn học hệ phi tuyến • Các phương pháp khảo sát hệ phi tuyến • Phương pháp tuyến tính hĩa • Phương pháp hàm mơ tả • Phương pháp Lyapunov 3
  4. Khái niệm 4
  5. Khái niệm về hệ phi tuyến • Hệ phi tuyến là hệ thống trong đĩ quan hệ vào – ra khơng thể mơ tả bằng phương trình vi phân/sai phân tuyến tính. • Phần lớn các đối tượng trong tự nhiên mang tính phi tuyến. • Hệ thống thủy khí (TD: bồn chứa chất lỏng, ), • Hệ thống nhiệt động học (TD: lị nhiệt, ), • Hệ thống cơ khí (TD: cánh tay máy, .), • Hệ thống điện – từ (TD: động cơ, mạch khuếch đại, ) • Hệ thống vật lý cĩ cấu trúc hỗn hợp, • Tùy theo dạng tín hiệu trong hệ thống mà hệ phi tuyến cĩ thể chia làm hai loại: • Hệ phi tuyến liên tục • Hệ phi tuyến rời rạc. • Nội dung mơn học chỉ đề cập đến hệ phi tuyến liên tục. 5
  6. Tính chất của hệ phi tuyến • Hệ phi tuyến khơng thỏa mãn nguyên lý xếp chồng. • Tính ổn định của hệ phi tuyến khơng chỉ phụ thuộc vào cấu trúc, thơng số của hệ thống mà cịn phụ thuộc vào tín hiệu vào. • Nếu tín hiệu vào hệ phi tuyến là tín hiệu hình sin thì tín hiệu ra ngồi thành phần tần số cơ bản (bằng tần số tín hiệu vào) cịn cĩ các thành phần hài bậc cao (là bội số của tần số tín hiệu vào). • Hệ phi tuyến cĩ thể xảy ra hiện tượng dao động tự kích. 6
  7. Các khâu phi tuyến cơ bản Khâu relay 2 vị trí Khâu relay 3 vị trí 7
  8. Các khâu phi tuyến cơ bản Khâu khuếch đại bão hịa Khâu khuếch đại cĩ miền chết 8
  9. Các khâu phi tuyến cơ bản Khâu relay 2 vị trí cĩ trể Khâu relay 3 vị trí cĩ trể 9
  10. Các khâu phi tuyến cơ bản Khâu khuếch đại bão hịa cĩ trể 10
  11. Mơ tả tốn học hệ phi tuyến dùng phương trình vi phân • Quan hệ vào – ra của hệ phi tuyến liên tục cĩ thể biểu diễn dưới dạng phương trình vi phân phi tuyến bậc n: trong đĩ: u(t) là tín hiệu vào, y(t) là tín hiệu ra, g(.) là hàm phi tuyến 11
  12. Mơ tả hệ phi tuyến dùng phương trình vi phân – Thí dụ 1 a: tiết diện van xả A: tiết diện ngang của bồn g: gia tốc trọng trường k: hệ số tỉ lệ với cơng suất bơm CD: hệ số xả Phương trình cân bằng: trong đĩ: (hệ phi tuyến bậc 1) 12
  13. Mơ tả hệ phi tuyến dùng phương trình vi phân – Thí dụ 2 J: moment quán tính của cánh tay máy M: khối lượng của cánh tay máy m: khối lượng vật nặng l: chiều dài cánh tay máy lC : khoảng cách từ trọng tâm tay máy đến trục quay B: hệ số ma sát nhớt g: gia tốc trọng trường u(t): moment tác động lên trục quay của cánh tay máy θ(t): gĩc quay (vị trí) của cánh tay máy • Theo định luật Newton (hệ phi tuyến bậc 2) 13
  14. Mơ tả hệ phi tuyến dùng phương trình vi phân – Thí dụ 3 δ: gĩc bánh lái ψ: hướng chuyển động của tàu k: hệ số τi: hệ số • Phương trình vi phân mơ tả đặc tính động học hệ thống lái tàu (hệ phi tuyến bậc 3) 14
  15. Mơ tả tốn học hệ phi tuyến dùng phương trình trạng thái • Hệ phi tuyến liên tục cĩ thể mơ tả bằng phương trình trạng thái: trong đĩ: u(t) là tín hiệu vào, y(t) là tín hiệu ra, x(t) là vector trạng thái, x(t) = [x1(t), x2(t), ,xn(t)]T f(.), h(.) là các hàm phi tuyến 15
  16. Mơ tả hệ phi tuyến dùng phương trình trạng thái – Thí dụ 1 PTVP: Đặt biến trạng thái: x1 (t ) = y(t ) PTTT: trong đĩ: 16
  17. Mơ tả hệ phi tuyến dùng phương trình trạng thái – Thí dụ 2 PTVP: • Đặt biến trạng thái: PTTT: trong đĩ: 17
  18. Các phương pháp khảo sát hệ phi tuyến • Khơng cĩ phương pháp nào cĩ thể áp dụng hiệu quả cho mọi hệ phi tuyến. • Mơn học đề cập đến một số phương pháp thường dùng sau đây: • Phương pháp tuyến tính hĩa • Phương pháp hàm mơ tả • Phương pháp Lyapunov 18
  19. Phương pháp tuyến tính hĩa 19
  20. Điểm dừng của hệ phi tuyến Xét hệ phi tuyến mô tả bởi PTTT phi tuyến: • Điểm trạng thái x được gọi là điểm dừng của hệ phi tuyến nếu như hệ đang ở trạng thái x và với tác động điều khiển u cố định, khơng đổi cho trước thì hệ sẽ nằm nguyên tại trạng thái đĩ. • Nếu ( x , u ) là điểm dừng của hệ phi tuyến thì: • Điểm dừng cịn được gọi là điểm làm việc tĩnh của hệ phi tuyến 20
  21. Điểm dừng của hệ phi tuyến – Thí dụ Cho hệ phi tuyến mô tả bởi PTTT: Xác định điểm dừng của hệ thống khi u(t ) = u = 1 Giải: • Điểm dừng là nghiệm của phương trình: => hoặc 21
  22. Tuyến tính hĩa hệ phi tuyến xung quanh điểm làm việc tĩnh • Xét hệ phi tuyến mơ tả bởi PTTT phi tuyến: => • Khai triển Taylor f(x,u) và h(x,u) xung quanh điểm làm việc tĩnh ( x , u ) ta cĩ thể mơ tả hệ thống bằng PTTT tuyến tính: (*) trong đĩ: 22
  23. Tuyến tính hĩa hệ phi tuyến xung quanh điểm làm việc tĩnh • Các ma trận trạng thái của hệ tuyến tính quanh điểm làm việc tĩnh được tính như sau: 23
  24. Tuyến tính hĩa hệ phi tuyến – Thí dụ 1 Thơng số hệ bồn chứa : a = 1cm2 , A = 100cm2 k = 150cm3 / sec.V , CD = 0.8 g = 981cm / sec2 • PTTT: trong đĩ: 24
  25. Tuyến tính hĩa hệ phi tuyến – Thí dụ 1 (tt) Tuyến tính hĩa hệ bồn chứa quanh điểm y = 20cm: • Xác định điểm làm việc tĩnh: 25
  26. Tuyến tính hĩa hệ phi tuyến – Thí dụ 1 (tt) • Xác định các ma trận trạng thái tại điểm làm việc tĩnh: • Vậy PTTT mơ tả hệ bồn chứa quanh điểm làm việc y=20cm là: 26
  27. Tuyến tính hĩa hệ phi tuyến – Thí dụ 2 Thơng số cánh tay máy : l = 0.5m, lC = 0.2m, m = 0.1kg M = 0.5kg , J = 0.02kg.m2 B = 0.005, g = 9.81m / sec2 • PTTT: trong đĩ: 27
  28. Tuyến tính hĩa hệ phi tuyến – Thí dụ 2 (tt) Tuyến tính hĩa hệ tay máy quanh điểm làm việc y = π/6 (rad): • Xác định điểm làm việc tĩnh: • Do đĩ điểm làm việc tĩnh cần xác định là: 28
  29. Tuyến tính hĩa hệ phi tuyến – Thí dụ 2 (tt) • Xác định các ma trận trạng thái tại điểm làm việc tĩnh: 29
  30. Tuyến tính hĩa hệ phi tuyến – Thí dụ 2 (tt) • Xác định các ma trận trạng thái tại điểm làm việc tĩnh: 30
  31. Tuyến tính hĩa hệ phi tuyến – Thí dụ 2 (tt) • Xác định các ma trận trạng thái tại điểm làm việc tĩnh: • Vậy phương trình trạng thái cần tìm là: 31
  32. Điều khiển ổn định hĩa hệ phi tuyến quanh điểm làm việc tĩnh • Đưa hệ phi tuyến về miền xung quanh điểm làm việc tĩnh (đơn giản nhất cĩ thể dùng bộ điều khiển ON-OFF) • Xung quanh điểm làm việc, dùng bộ điều khiển kinh điển thiết kế dựa vào mơ hình tuyến tính (phổ biến nhất là bộ điều khiển PID). 32
  33. Điều khiển ổn định hĩa hệ phi tuyến quanh điểm làm việc tĩnh • Thuật tốn chọn bộ điều khiển: 33
  34. Điều khiển ổn định hĩa hệ phi tuyến quanh điểm làm việc tĩnh • Thuật tốn điều khiển ON-OFF: 34
  35. Điều khiển ổn định hĩa hệ phi tuyến quanh điểm làm việc tĩnh • Thuật tốn điều khiển PID: 35
  36. Phương pháp hàm mơ tả (Phương pháp tuyến tính hĩa điều hịa) 36
  37. Phương pháp hàm mơ tả • Phương pháp hàm mơ tả mở rộng gần đúng hàm truyền đạt của hệ tuyến tính sang hệ phi tuyến. • Phương pháp hàm mơ tả là phương pháp khảo sát trong miền tần số cĩ thể áp dụng cho các hệ phi tuyến bậc cao (n>2) do dễ thực hiện và tương đối giống tiêu chuẩn Nyquist. • Chỉ áp dụng được để khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến gồm cĩ khâu phi tuyến nối tiếp với khâu tuyến tính theo sơ đồ khối như sau: 37
  38. Đáp ứng của hệ phi tuyến khi tín hiệu vào hình sin • Để khảo khả năng tồn tại dao động tuần hồn khơng tắt trong hệ, ở đầu vào khâu phi tuyến ta cho tác động sĩng điều hịa: e(t ) = M sin(ωt ) • Tín hiệu ra khâu phi tuyến khơng phải là tín hiệu hình sin. Phân tích Fourier ta thấy u(t) chứa thành phần tần số cơ bản ω và các thành phần hài bậc cao 2ω, 3ω A ∞ u(t ) = 0 + ∑[ Ak sin(kωt ) + Bk cos(kωt )] 2 k =1 38
  39. Đáp ứng của hệ phi tuyến khi tín hiệu vào hình sin • Các hệ số Fourier xác định theo các cơng thức sau: • Giả thiết G(s) là bộ lọc thơng thấp, các thành phần hài bậc cao ở ngõ ra của khâu tuyến tính khơng đáng kể so với thành phần tần số cơ bản, khi đĩ tín hiệu ra của khâu tuyến tính gần đúng bằng: y(t ) ≈ Y1 sin(ωt + ϕ1 ) 39
  40. Điều kiện cĩ dao động ổn định trong hệ phi tuyến • Điều kiện để trong hệ cĩ dao động ổn định với tần số ω là: M sin(ωt ) = e(t ) = − y(t ) ≈ −Y1 sin(ωt + ϕ1 ) Suy ra: Phương trình cân bằng biên độ Phương trình cân bằng pha 40
  41. Khái niệm hàm mơ tả Xét khâu phi tuyến : • Do khi tín hiệu vào của khâu phi tuyến là tín hiệu hình sin: e(t ) = M sin(ωt ) tín hiệu ra u(t) xấp xỉ thành phần tần số cơ bản (do ta bỏ qua các thành phần hài bậc cao) u(t ) ≈ u1 (t ) = A1 sin(ωt ) + B1 cos(ωt ) nên ta cĩ thể coi khâu phi tuyến như là một khâu khuếch đại cĩ hệ số khuếch đại là: • Tổng quát N(M) là một hàm phức nên ta gọi là hệ số khuếch đại phức của khâu phi tuyến. Vì quan hệ vào ra của khâu phi tuyến cĩ thể mơ tả gần đúng bằng hệ số khuếch đại phức N(M) nên N(M) cịn được gọi là hàm mơ tả của khâu phi tuyến. 41
  42. Định nghĩa hàm mơ tả • Hàm mơ tả (hay cịn gọi là hệ số khuếch đại phức) là tỉ số giữa thành phần sĩng hài cơ bản của tín hiệu ra của khâu phi tuyến và tín hiệu vào hình sin. • Trong các cơng thức trên u(t) là tín hiệu ra của khâu phi tuyến khi tín hiệu vào là Msin(ωt). Nếu u(t) là hàm lẻ thì: 42
  43. Hàm mơ tả của các khâu phi tuyến cơ bản Khâu relay 2 vị trí 43
  44. Hàm mơ tả của các khâu phi tuyến cơ bản Khâu relay 2 vị trí (tt) • Do u(t) là hàm lẻ nên: • Do đĩ hàm mơ tả của khâu relay 2 vị trí là: 44
  45. Hàm mơ tả của các khâu phi tuyến cơ bản Khâu relay 3 vị trí 45
  46. Hàm mơ tả của các khâu phi tuyến cơ bản Khâu relay 3 vị trí • Do u(t) là hàm lẻ nên B1 = 0 • Theo đồ thị ta cĩ: => • Do đĩ hàm mơ tả của khâu relay 3 vị trí là: 46
  47. Hàm mơ tả của các khâu phi tuyến cơ bản Khâu khuếch đại bão hịa 47
  48. Hàm mơ tả của các khâu phi tuyến cơ bản Khâu khuếch đại bão hịa (tt) • Do u(t) là hàm lẻ nên B1 = 0 • Do đĩ hàm mơ tả của khâu khuếch đại bão hịa là: 48
  49. Hàm mơ tả của các khâu phi tuyến cơ bản Khâu khuếch đại cĩ vùng chết 49
  50. Hàm mơ tả của các khâu phi tuyến cơ bản Khâu khuếch đại cĩ vùng chết (tt) • Do u(t) là hàm lẻ nên B1 = 0 • Do đĩ hàm mơ tả của khâu khuếch đại cĩ vùng chết là: 50
  51. Hàm mơ tả của các khâu phi tuyến cơ bản Khâu relay 2 vị trí cĩ trể 51
  52. Hàm mơ tả của các khâu phi tuyến cơ bản Khâu relay 2 vị trí cĩ trể (tt) • Do đĩ hàm mơ tả của khâu relay 2 vị trí cĩ trể là: 52
  53. Khảo sát chế độ dao động đều hịa trong hệ phi tuyến Xét hệ phi tuyến cĩ sơ đồ như sau: • Phương trình đặc trưng của hệ thống là: (*) • Phương trình trên được gọi là phương trình cân bằng điều hịa. Phương trình này sẽ được dùng để xác định biên độ và tần số của dao động điều hịa trong hệ phi tuyến. • Nếu (M*, ω*) là nghiệm của phương trình (*) thì trong hệ phi tuyến cĩ dao động với tần số ω* , biên độ M*. 53
  54. Khảo sát chế độ dao động đều hịa trong hệ phi tuyến (tt) • Về mặt hình học, nghiệm (M*, ω*) là nghiệm của phương trình (*) chính là giao điểm của đường cong Nyquist G(jω) của khâu tuyến tính và đường đặc tính −1/N(M) của khâu phi tuyến. • Dao động trong hệ phi tuyến là ổn định nếu đi theo chiều tăng của đặc tính − 1/N(M) của khâu phi tuyến, chuyển từ vùng khơng ổn định sang vùng ổn định của khâu tuyến tính G(jω) . 54
  55. Trình tự khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến B1: Xác định hàm mơ tả của khâu phi tuyến (nếu khâu phi tuyến khơng phải là các khâu cơ bản). B2: Điều kiện tồn tại dao động trong hệ: đường cong Nyquist G(jω) và đường đặc tính −1/N(M) phải cắt nhau. B3: Biên độ, tần số dao động (nếu cĩ) là nghiệm của phương trình: • Tần số dao động chính là tần số cắt pha ω−π của khâu tuyến tính G(jω). • Biên độ dao động là nghiệm của phương trình: 55
  56. Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến - Thí dụ 1 Xét hệ phi tuyến cĩ sơ đồ như sau: • Hàm truyền của khâu tuyến tính là • Khâu phi tuyến là khâu relay 2 vị trí cĩ Vm=6. • Hãy xác định biên độ và tần số • dao động tự kích trong hệ (nếu cĩ). 56
  57. Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến - Thí dụ 1 Lời giải • Hàm mơ tả của khâu relay 2 vị trí là: • Do đường cong Nyquist G(jω) và đường đặc tính −1/N(M) luơn luơn cắt nhau (xem hình vẽ) nên trong hệ phi tuyến luơn luơn cĩ dao động. 57
  58. Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến - Thí dụ 1 • Tần số dao động là tần số cắt pha của G(jω) : • Biên độ dao động là nghiệm của phương trình: • Kết luận: Trong hệ phi tuyến cĩ dao động y(t ) = 13. 90 sin(1.58t ) 58
  59. Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến - Thí dụ 2 Xét hệ phi tuyến cĩ sơ đồ như sau: • Hàm truyền của khâu tuyến tính là • Khâu phi tuyến là khâu relay 3 vị trí. 1. Hãy tìm điều kiện để trong hệ phi tuyến cĩ dao động. 2. Hãy xác định biên độ và tần số dao động khi Vm=6, D=0.1. 59
  60. Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến - Thí dụ 2 Lời giải • Hàm mơ tả của khâu relay 3 vị trí là: • Điều kiện để trong hệ thống cĩ dao động là đường cong Nyquist G(jω) và đường đặc tính −1/N(M) phải cắt nhau. Điều này xảy ra khi: 60
  61. Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến - Thí dụ 2 • Tần số cắt pha của G(jω) (xem cách tính ở thí dụ 1) • Để dao động xảy ra ta phải cĩ điều kiện: (*) • Theo bất đẳng thức Cauchy 61
  62. Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến - Thí dụ 2 • Do đĩ điều kiện (*) được thỏa mãn khi: • Vậy điều kiện để trong hệ cĩ dao động tự kích là: • Biên độ dao động là nghiệm của phương trình: • Khi Vm=6, D=0.1, giải phương trình trên ta được: M = 13 .90 • Vậy dao động trong hệ là: 62
  63. Phương pháp Lyapunov 63
  64. Phương pháp Lyapunov Giới thiệu • Phương pháp Lyapunov cung cấp điều kiện đủ để đánh giá tính ổn định của hệ phi tuyến. • Cĩ thể áp dụng cho hệ phi tuyến bậc cao bất kỳ. • Cĩ thể dùng phương pháp Lyapunov để thiết kế các bộ điều khiển phi tuyến. • Hiện nay phương pháp Lyapunov là phương pháp được sử dụng rộng rãi nhất để phân tích và thiết kế hệ phi tuyến. 64
  65. Điểm cân bằng của hệ phi tuyến • Xét hệ phi tuyến mơ tả bởi phương trình trạng thái sau: • Một điểm trạng thái xe được gọi là điểm cân bằng nếu như hệ đang ở trạng thái xe và khơng cĩ tác động nào từ bên ngồi thì hệ sẽ nằm nguyên tại đĩ. • Dễ thấy điểm cân bằng phải là nghiệm của phương trình: • Hệ phi tuyến cĩ thể cĩ nhiều điểm cân bằng hoặc khơng cĩ điểm cân bằng nào. Điều này hồn tồn khác so với hệ tuyến tính , hệ tuyến tính luơn luơn cĩ 1 điểm cân bằng là xe = 0. 65
  66. Điểm cân bằng của hệ phi tuyến – Thí dụ • Xét hệ con lắc mơ tả bởi PTVP: • Xác định các điểm cân bằng (nếu cĩ) Thành lập PTTT. Đặt: • PTTT mơ tả hệ con lắc là: trong đĩ: 66
  67. Điểm cân bằng của hệ phi tuyến – Thí dụ • Điểm cân bằng phải là nghiệm của phương trình: • Kết luận: Hệ con lắc cĩ vơ số điểm cân bằng: 67
  68. Ổn định tại điểm cân bằng • Định nghĩa: Một hệ thống được gọi là ổn định tại điểm cân bằng xe nếu như cĩ một tác động tức thời đánh bật hệ ra khỏi xe và đưa đến điểm được x0 thuộc lân cận nào đĩ của xe thì sau đĩ hệ cĩ khả năng tự quay được về điểm cân bằng xe ban đầu. • Chú ý: tính ổn định của hệ phi tuyến chỉ cĩ nghĩa khi đi cùng với điểm cân bằng. Cĩ thể hệ ổn định tại điểm cân bằng này nhưng khơng ổn định tại điểm cân bằng khác. Thí dụ: Điểm cân bằng ổn định Điểm cân bằng khơng ổn định 68
  69. Ổn định Lyapunov • Cho hệ phi tuyến khơng kích thích mơ tả bởi PTTT: (1) • Giả sử hệ thống cĩ điểm cân bằng xe = 0. • Hệ thống được gọi là ổn định Lyapunov tại điểm cân bằng xe = 0 nếu với ε > 0 bất kỳ bao giờ cũng tồn tại δ phụ thuộc ε sao cho nghiệm x(t) của phương trình (1) với điều kiện đầu x(0) thỏa mãn: 69
  70. Ổn định tiệm cận Lyapunov • Cho hệ phi tuyến khơng kích thích mơ tả bởi PTTT: (1) • Giả sử hệ thống cĩ điểm cân bằng xe = 0. • Hệ thống được gọi là ổn định tiệm cận Lyapunov tại điểm cân bằng xe = 0 nếu với ε > 0 bất kỳ bao giờ cũng tồn tại δ phụ thuộc ε sao cho nghiệm x(t) của phương trình (1) với điều kiện đầu x(0) thỏa mãn: 70
  71. So sánh ổn định Lyapunov và ổn định tiệm cận Lyapunov Ổn định Lyapunov Ổn định tiệm cận Lyapunov 71
  72. Phương pháp tuyến tính hĩa Lyapunov • Cho hệ phi tuyến phương trình trạng thái: (1) • Giả sử xung quanh điểm cân bằng xe , hệ thống (1) cĩ thể tuyến tính hĩa về dạng: (2) Định lý: • Nếu hệ thống tuyến tính hĩa (2) ổn định thì hệ phi tuyến (1) ổn định tiệm cận tại điểm cân bằng xe. • Nếu hệ thống tuyến tính hĩa (2) khơng ổn định thì hệ phi tuyến (1) khơng ổn định tại điểm cân bằng xe. • Nếu hệ thống tuyến tính hĩa (2) ở biên giới ổn định thì khơng kết luận được gì về tính ổn định của hệ phi tuyến tại điểm cân bằng xe. 72
  73. Phương pháp tuyến tính hĩa Lyapunov – Thí dụ • Xét hệ con lắc mơ tả bởi PTTT: trong đĩ: • Xét tính ổn định của hệ thống tại điểm cân bằng: (a) (b) 73
  74. Phương pháp tuyến tính hĩa Lyapunov – Thí dụ (tt) • Mơ hình tuyến tính quanh điểm cân bằng => => PTĐT  • Kết luận: Hệ thống ổn định (theo hệ quả tiêu chuẩn Hurwitz) 74
  75. Phương pháp tuyến tính hĩa Lyapunov – Thí dụ (tt) T • Mơ hình tuyến tính quanh điểm cân bằng xe = [π 0] => => PTĐT  Kết luận: Hệ thống khơng ổn định (PTĐT khơng thỏa điều kiện cần) 75
  76. Phương pháp trực tiếp Lyapunov – Định lý ổn định • Định lý ổn định Lyapunov: Cho hệ phi tuyến khơng kích thích mơ tả bởi phương trình trạng thái: (1) • Giả sử hệ thống cĩ điểm cân bằng xe = 0. Nếu tồn tại hàm V(x) sao cho: i) ii) V (0) = 0 iii) Thì hệ thống (1) ổn định Lyapunov tại điểm 0. Chú ý: Hàm V(x) thường được chọn là hàm tồn phương theo biến trạng thái. 76
  77. Phương pháp trực tiếp Lyapunov – Định lý khơng ổn định • Định lý khơng ổn định: Cho hệ phi tuyến khơng kích thích mơ tả bởi phương trình trạng thái: (1) • Giả sử hệ thống cĩ điểm cân bằng xe = 0. Nếu tồn tại hàm V(x) sao cho: i) ii) iii) Thì hệ thống (1) khơng ổn định tại điểm 0. 77