Bài giảng tóm tắt Đại số tuyến tính - Phạm Thế Hiển

Nội dung text: Bài giảng tóm tắt Đại số tuyến tính - Phạm Thế Hiển

1. BÀI GIẢNG TÓM TẮT ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH PHẠM THẾ HIỂN
2. Mục Lục Trang phụ bìa Trang Mục Lục 1 Chương I Tập hợp – Ánh xạ - Cấu trúc đại số 3 I.1 Mệnh đề - Tập hợp – Ánh xạ 3 I.1.1 Mệnh đề 3 I.1.2 Tập hợp - Một số tập hợp thường gặp 7 I.1.3 Ánh xạ 13 I.2 Cấu trúc đại số 16 I.2.1 Luật hợp thành trong cấu trúc đại số 16 I.2.2 Cấu trúc nhóm, vành, trường 16 I.2.3 Số phức 18 I.3 Đa thức – Phân thức – Phân thức hữu tỷ 21 I.3.1 Đa thức 21 I.3.2 Phân thức – Phân thức hữu tỷ 22 Bài tập 24 Chương II Ma trận - Định thức - Hệ phương trình tuyến tính 27 II.1 Ma trận 27 II.1.1 Các khái niệm 27 II.1.2 Các phép toán trên ma trận 30 II.2 Định thức 32 II.2.1 Khái niệm về định thức 32 II.2.2 Các tính chất cơ bản của định thức 34 II.2.3 Ma trận nghịch đảo 37 II.3 Hệ phương trình tuyến tính 39 II.3.1 Các khái niệm 39 II.3.2 Hệ phương trình Cramer 40 II.3.3 Hạng của ma trận 41 II.3.4 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 43 Bài tập 46 Chương III Không gian vector – Ánh xạ tuyến tính 55 III.1 Không gian vector 55 III.1.1 Khái niệm – Tính chất 55 III.1.2 Phụ thuộc tuyến tính - Độc lập tuyến tính 56 III.1.3 Cơ sở - Chuyển cơ sở - Không gian vector hữu hạn chiều 58 III.1.4 Không gian con 63 III.2 Không gian Euclide 64 III.2.1 Khái niệm 64 III.2.2 Các bất đẳng thức cơ bản 65 III.2.3 Cơ sở trực chuẩn - Trực chuẩn hóa 65 1
3. III.3 Ánh xạ tuyến tính 66 III.3.1 Khái niệm về ánh xạ tuyến tính 66 III.3.2 Ánh xạ tuyến tính và ma trận 67 Bài tập 69 Chương IV Trị riêng và vector riêng - Dạng toàn phương 72 IV.1 Trị riêng – Vector riêng 72 IV.1.1 Khái niệm và tính chất 72 IV.1.2 Đa thức và phương trình đặc trưng 72 IV.1.3 Cách tìm trị riêng và vector riêng 72 IV.2 Dạng toàn phương 74 IV.2.1 Khái niệm về dạng song tuyến, dạng toàn phương 74 IV.2.2 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 75 IV.2.3 Các dạng xác định 78 Bài tập 93 Tài Liệu Tham Khảo 96 2
4. Chương I Tập hợp – Ánh xạ – Cấu trúc đại số I.1 Mệnh đề – Tập hợp – Ánh xạ I.1.1 Mệnh đề 1. Khái niệm Mệnh đề (toán học) là một phát biểu mà ta có thể khẳng định là đúng hoặc sai, sai hay đúng được gọi là chân trị của mệnh đề. Thông thường người ta hay dùng ký hiệu số 1 (hay ký tự Đ) cho giá trị đúng và ký hiệu số 0 (hay ký tự S) cho giá trị sai. Ký hiệu p, q, r, là các mệnh đề toán học. Ví dụ: i. p = “ phương trình x2 + 1 = 0 luôn luôn có nghiệm với mọi x thuộc R ” là một mệnh đề sai. ii. q = “ số 6 là số vừa chia hết cho 2 và vừa chia hết cho 3 ” là một mệnh đề đúng. iii. Cậu làm bài tập về nhà chưa! Không phải là một mệnh đề. Vì có thể là cậu đó đã làm bài tập rồi nhưng cũng có thể là chưa hoặc là đang làm. Bản thân nó là một câu hỏi. 2. Các phép toán a. Phép tuyển (hay phép hoặc): tuyển của hai mệnh đề p và q là một mệnh đề toán học và nhận giá trị sai nếu p và q đều sai; còn đúng trong các trường hợp còn lại. Ký hiệu là p ∨ q (đọc là p hoặc q). Bảng chân trị (chân lý) của phép tuyển được cho ở bảng 1.1. p q p ∨ q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Bảng 1.1: Bảng chân trị của phép tuyển. Ví dụ: a) Cho p = “ x = 2 là nghiệm của phương trình x2 + 2x – 3 = 0 ” và q = “ x = 2 là nghiệm của phương trình x2 – 4 = 0 ”. Khi đó mệnh đề tuyển p ∨ q = “ x = 2 là nghiệm của phương trình x2 + 2x – 3 = 0 hoặc là nghiệm của phương trình x2 – 4 = 0 ” là một mệnh đề nhận giá trị đúng. 3
5. 2 b) Cho p = “ không phải là một số hữu tỷ ” và q = “ 2 là một số nguyên 3 2 không âm ”. Khi đó mệnh đề tuyển p ∨ q = “ không phải là một số hữu tỷ hoặc 2 3 là một số nguyên không âm ” là một mệnh đề sai. b. Phép hội (hay phép và): hội của hai mệnh đề p và q là một mệnh đề toán học và nhận giá trị đúng khi cả p và q đều đúng; còn nhận giá trị sai trong tất cả các trường hợp còn lại. Ký hiệu là p ∧ q (đọc là p và q). Bảng chân trị của phép hội được cho ở bảng 1.2. p q p ∧ q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Bảng 1.2 : Bảng chân trị của phép hội. Ví dụ: a) Cho p = “ Số 6 là số chia hết cho 2 ” và q = “ Số 6 là số chia hết cho 3 ”. Khi đó mệnh đề hội p ∧ q = “ Số 6 là số chia hết cho 2 và 3” là một mệnh đề nhận giá trị đúng. b) Cho p = “ 2 và 3 là số nguyên tố ” và q = “ 6 là số nguyên tố ”. Khi đó mệnh đề hội p ∧ q = “ 2, 3 và 6 là số nguyên tố” là một mệnh đề sai. c. Phép kéo theo (hay phép nếu thì ): ứng với giả thiết p nào đó ta suy ra kết luận q của giả thiết đó. Sự suy này nhận giá trị sai khi p đúng và q sai; còn đúng trong các trường hợp còn lại. Ký hiệu là p ⇒ q (đọc là p suy ra q). Khi đó ta cũng nói p là điều kiện đủ của q và q là điều kiện cần của p. Bảng chân trị của phép kéo theo được cho ở bảng 1.3. p q p ⇒ q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Bảng 1.3 : Bảng chân trị của phép kéo theo. 4
6. Ví dụ: a) Cho p = “ Phương trình x2 + 5x + 6 = 0 có nghiệm ” và q = “ Nghiệm của phương trình x2 + 5x + 6 = 0 là các số nguyên ”. Khi đó mệnh đề kéo théo p ⇒ q = “ Nếu phương trình x2 + 5x + 6 = 0 có nghiệm thì nghiệm của nó là các số nguyên ” là mệnh đề đúng. b) Cho p = “ 10 chia hết cho 2 và 5 ” và q = “ 10 chia hết cho 3 ”. Khi đó mệnh đề kéo theo p ⇒ q = “ Nếu 10 chia hết cho 2 và 5 thì 10 chia hết cho 3 ” là mệnh đề sai. d. Phép tương đương (hay khi và chỉ khi, nếu và chỉ nếu, điều kiện cần và đủ) : hai mệnh đề p và q gọi là tương đương với nhau nếu p và q đồng thời có cùng một giá trị chân lý; nghĩa là p và q cùng đúng hoặc cùng sai, trong những điều kiện hoàn toàn như nhau. Ký hiệu là p ⇔ q (đọc là p đúng (sai) khi và chỉ khi q đúng (sai)); “⇔” gọi là dấu liên hệ tương đương. Khi đó ta cũng nói p là điều kiện cần và đủ của q. Bảng chân trị của phép tương đương được cho ở bảng 1.4. p q p ⇔ q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Bảng 1.4 : Bảng chân trị của phép tương đương. Ví dụ : Cho p = “ Tam giác ABC có ba cạnh bằng nhau hoặc có ba góc bằng nhau ” và q = “ Tam giác ABC là tam giác đều ”. Khi đó mệnh đề tương đương p ⇔ q = “ Tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi có ba cạnh bằng nhau hoặc có ba góc bằng nhau ”. Dễ thấy, mối quan hệ tương đương p ⇔ q chẳng qua là (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ((p kéo theo q) và (q kéo theo p)). Nói cách khác, hai mệnh đề p và q tương đương nhau khi và chỉ khi mệnh đề này kéo theo mệnh đề kia và ngược lại. Trong trường hợp này, hai phát biểu p ⇒ q và q ⇒ p gọi là đảo đề của nhau. Để chứng minh mối quan hệ tương đương p ⇔ q, ta phải chứng minh mối quan hệ kéo theo p ⇒ q và q ⇒ p. Chú ý: (p ⇔ q) ⇔ (q ⇔ p). Trong ngôn ngữ tự nhiên, để diễn đạt mối liên hệ tương đương giữa p và q, người ta có nhiều cách nói p đúng khi và chỉ khi q đúng; để cho p đúng, điều kiện cần và đủ là q đúng; điều kiện để p đúng là q đúng; p đúng là một điều kiện cần và đủ để q đúng; p tương đương q. Nhận xét : Chứng minh bằng các quan hệ tương đương không phải lúc nào cũng đơn giản, nhiều khi cần phải chứng minh riêng lẻ từng đảo đề tương ứng. e. Phép phủ định : mệnh đề p đúng thì sự phủ nhận của mệnh đề p lại là sai và ngược lại. Ký hiệu là p (⎤ p). 5
7. Bảng chân trị của phép phủ định được cho ở bảng 1.5. p p 0 1 1 0 Bảng 1.5 : Bảng chân trị của phép phủ định. Ví dụ : Cho p = “ Phương trình x2 + x – 2 = 0 có nghiệm ”. Khi đó mệnh đề phủ định của mệnh đề p là p = “ Phương trình x2 + x – 2 = 0 không có nghiệm ”. 3. Lượng từ Cho p(x) là một phát biểu thoả tính chất với mỗi x cụ thể thuộc tập X nào đó, phát biểu p(x) là đúng hoặc sai (tức là phát biểu p(x) là một mệnh đề toán học). a. Để diễn tả mệnh đề với mọi x thuộc tập X nào đó có tính chất p(x) ta có viết ∀x ∈ X : p(x). b. Để diễn tả mệnh đề tồn tại x thuộc tập X nào đó có tính chất p(x) ta có viết ∃x ∈ X : p(x). Ví du : a) ∀x ∈ R : x2 + 5x + 7 > 0; b) ∃x ∈ R : x2 + 5x – 6 = 0; 4. Tính chất i. p = p ; ii. pp∨≡1 (Đồng nhất đúng); iii. pp∧≡0 (Đồng nhất sai); iv. ( p ∨⇔∧qpq) ( ) ; v. ()p ∧⇔∨qpq(); vi. ()p ⇒⇔∨⇔⇒qpqqp( ) (); vii.()p ⇒⇔∧qpq( ) ; viii.()p ⇔⇔⇔qpq( ) ; ix. ()∀∈x Xpx:() ⇔∃∈() x Xpx :(); x. (∃∈x Xpx:()) ⇔∀∈() x Xpx :(); Chứng minh : Ở đây chỉ chứng minh minh họa tính chất iv.,vi. bằng bảng chân trị. Việc chứng minh các tính chất còn lại xem như bài tập. iv. p q p ∨ q p ∨ q p q p ∧ q 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 Từ bảng chân trị ta có điều phải chứng minh. 6
8. vi. p q p q p ⇒ q p ∨ q p ⇒ q 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 Từ bảng chân trị ta có điều phải chứng minh. Chú ý : Nếu có n mệnh đề thì có 2n giá trị cho bảng chân trị. Ví dụ : n nn()x +1 a) Ta có ∀∈nNn,2,\1,1 ≥ ∀∈ xR{}( x + ) = ( x − 1 ) ⇔ = 1; ()x −1 n b) Mối quan hệ “tương đương” ∀x, y ∈ R (x = y ⇔ x2 = y2) (bình phương lên) là sai vì thí dụ 22 = ( - 2)2 không kéo theo 2 = - 2; c) Mối quan hệ tương đương sau là đúng : ∀∈−+∞xxxxxx[ 1,) , − 1 ≥ + 1 ⇔(() − 12 ≥ +∧ 1 − 1 ≥ 0 ) (bình phương lên); Khi bình phương lên ta mất thông tin “ x – 1 lớn hơn hoặc bằng căn bậc hai ” nên nó không âm. Vậy để đạt được tương đương, ở mệnh đề sau ta phải bổ sung x – 1 ≥ 0. I.1.2 Tập hợp - Một số tập hợp thường gặp 1. Khái niệm a. Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, nó không được định nghĩa mà được hiểu một cách trực quan như là sự tụ tập của nhiều đối tượng có chung tính chất nào đó hoặc có thể liệt kê ra. Các đối tượng tạo nên một tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp. Các tập hợp được ký hiệu bằng những chữ hoa A, B, ; còn các phần tử của tập hợp thường ký hiệu bằng các chữ thường a, b, hoặc bằng những chữ số. Ta thường dùng các chữ sau để ký hiệu các tập hợp số + N : tập hợp số tự nhiên; N* = N \{0} + Z : tập hợp các số nguyên; Z+ : tập hợp các số nguyên không âm; Z - : tập các số nguyên không dương. + Q : tập hợp các số hữu tỷ * * + R : tập hợp các số thực; R = R \ {0}; R+: tập hợp các số không âm; R + = R+ \ {0}; * R -: tập hợp các số không dương; R - = R - \ {0} + C : tập hợp các số phức Ví dụ: a) Tập hợp các điểm trên đường thẳng thực. b) Tập hợp mái ngói của một ngôi nhà (Mỗi viên ngói là một phần tử của tập hợp này). 7
9. c) Tập hợp các hình trong một mặt phẳng (Mỗi hình trong một mặt phẳng là một phần tử của tập hợp). b. Ta ký hiệu x ∈ A để chỉ x là phần tử của tập hợp A và x ∉ A để chỉ x không là phần tử của tập hợp A. Có hai cách để cho một tập hợp + Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp. Ví dụ: A = {a, b, c, d}. Tập hợp A có bốn phần tử a, b, c, d. Ta có a ∈ A, e ∉ A. + Nêu ra tính chất chung của tất cả các phần tử của tập hợp. Ví dụ: A = {x ∈ R : - 4x2 + 3x + 1 > 0}. Tập hợp các nghiệm của bất phương trình là S = {(-1/4; 1)}. c. Cho hai tập hợp A, B. Nếu với mọi phần tử thuộc A đều thuộc B (∀ a ∈ A ⇒ a ∈ B) thì ta nói A là một bộ phận của B hay A là một tập hợp con của tập hợp B (hay A bao hàm trong B). Ký hiệu A ⊂ B. Dĩ nhiên A ⊂ A. Nếu A ⊂ B và A ≠ B thì ta nói A là một bộ phận thực sự của B. Nếu A ⊂ B và B ⊂ A ta nói (mọi phần tử thuộc A đều thuộc B và ngược lại mọi phần tử thuộc B đều thuộc A) A và B bằng nhau, ký hiệu A = B. Tập rỗng luôn được coi là tập con của mọi tập hợp bất kỳ, ký hiệu ∅, là tập hợp không có phần tử nào. d. Để cho dễ hình dung về tập hợp người ta thường dùng cách biểu diễn hình học (Gọi là biểu đồ Ven) bằng hình phẳng giới hạn bởi một đường cong kín để minh họa tập hợp; mỗi điểm trong hình phẳng chỉ một phần tử của tập hợp đó (Hình 1.1) .a A Hình 1.1 2. Các phép toán trên tập hợp: Cho hai tập hợp A và B. Khi đó a. Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B (hay thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A và B) được ký hiệu là A ∪ B (đọc là A hợp B) (Hình 1.2). Vậy A ∪ B = {x : x ∈ A hoặc x ∈ B}. A ∪ B A B Hình 1.2 8
10. Ví dụ: Cho A = {a, b, c} và B = {b, c, e}. Ta có A ∪ B = {a, b, c, e}. Tương tự ta cũng có thể định nghĩa hợp của nhiều tập hợp. Giả sử A1, A2, , An là các tập hợp. Hợp của các tập hợp nói trên được viết như sau n A12∪∪ ∪AAAni= ∪ . i=1 Từ định nghĩa trên ta thấy phép hợp các tập hợp có các tính chất sau i. A ∪ ∅ = A ii. A ∪ A = A iii. A ∪ B = B ∪ A ( tính chất giao hoán) iv. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C) (tính chất kết hợp) b. Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc A và thuộc B (Gồm tất cả các phần tử chung của A và B), ký hiệu là A ∩ B (đọc là A giao B) (Hình 1.3). Vậy A ∩ B = {x : x ∈ A và x ∈ B}. A ∩ B A B Hình 1.3 Ví dụ: Cho A = {1, 2, 3, 4} và B = {3, 4, 5}. Khi đó, ta có A ∩ B = {3, 4}. Nếu A ∩ B = ∅ thì A và B được gọi là hai tập hợp rời nhau. Tương tự ta cũng có thể định nghĩa giao của nhiều tập hợp. Giao của các tập hợp A1, A2, , An được viết như sau n A12∩∩ ∩AAAni= ∩ i = 1 Từ định nghĩa trên ta thấy phép giao các tập hợp có các tính chất sau i. A ∩ ∅ = ∅ ii. A ∩ A = A iii. A ∩ B = B ∩ A (tính chất giao hoán) iv. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C) (tính chất kết hợp) Hơn nữa ta thấy phép giao có tính chất phân phối với phép hợp và ngược lại phép hợp cũng có tính chất phân phối với phép giao, tức là ta có a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Ta chứng minh đẳng thức b). Việc chứng minh đẳng thức a) xem như bài tập Giả sử x ∈ A ∪ (B ∩ C). Khi đó x ∈ A hoặc x ∈ B ∩ C. + Nếu x ∈ A rõ ràng x ∈ A ∪ B và x ∈ A ∪ C, tức là x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). 9
11. + Nếu x ∈ B ∩ C thì x ∈ B và x ∈ C, suy ra x ∈ A ∪ B và x ∈ A ∪ C, tức là x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Vậy A ∪ (B ∩ C) ⊂ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (1.1) Ngược lại, giả sử x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Khi đó ta có x ∈ A ∪ B và x ∈ A ∪ C. + Nếu x ∈ A thì rõ ràng x ∈ A ∪ (B ∩ C). + Nếu x ∉ A thì vì x ∈ A ∪ B và x ∈ A ∪ C nên x ∈ B và x ∈ C. Tức là x ∈ B ∩ C, suy ra x ∈ A ∪ (B ∩ C). Vậy (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊂ A ∪ (B ∩ ) (1.2) Từ (1.1) và (1.2) suy ra đẳng thức cần chứng minh. c. Hiệu và hiệu đối xứng của hai tập hợp - Cho A, B là hai tập hợp. Hiệu của tập hợp A đối với tập hợp B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B. Ký hiệu A \ B (Hình 1.4). Vậy A \ B = {x : x ∈ A và x ∉ B}. Nói chung A \ B ≠ B \ A. A \ B A B Hình 1.4 Ví dụ: Cho A = {a, b, c, d, e}; B = {c, d, e, g, h}. Ta có A \ B = {a, b}; B \ A = {g, h}. - Hiệu đối xứng của hai tập hợp A và B được ký hiệu là A Δ B và được xác định như sau A Δ B = (A \ B) ∪ (B \ A) (Hình 1.5). A \ B B \ A A B Hình 1.5 Từ định nghĩa ta có A Δ B = B Δ A (Vì vậy trường hợp trên gọi là hiệu đối xứng của A và B). Ví dụ: Cho A = {1, 2, 3, 4}; B = {4, 5, 6}. Khi đó, ta có A Δ B = {1, 2, 3, 5, 6}. Nhận xét: A Δ B = (A ∪B) \ (A ∩ B) (?) d. Phần bù của một tập hợp và các quy tắc De Morgan - Cho A và X là hai tập hợp , trong đó A ⊂ X. Khi đó X \ A (tập hợp tất cả các phần thuộc X nhưng không thuộc A) được gọi là phần bù của tập hợp A đối với tập A c c c hợp X. Ký hiệu là E X hay A hoặc A (tức là A ∪ A = X, A ∩ A = ∅) (Hình 1.6). 10
12. A A X Hình 1.6 Vậy Ac = {x ∈ X : x ∉ A}. Ví dụ: Cho X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; A = {2, 3, 4}. Khi đó, ta có Ac = {1, 5, 6}. - Cho A, B ⊂ X. Khi đó, ta có A ∪=∩BAB (1.3) A ∩ BAB=∪ (1.4) Các đẳng thức (1.3) và (1.4) được gọi là các quy tắc De Morgan. Các quy tắc De Morgan vẫn áp dụng được cho nhiều tập hợp. Ta chứng minh đẳng thức (1.4). Việc chứng minh đẳng thức (1.3) xem như bài tập. Giả sử x ∈∩⇔∉∩⇔∉AB xAB xAhoặc x ∉ BxA⇔∈ hoặc x ∈⇔∈∪BxAB. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. e. Tích Descartes của các tập hợp Cho X, Y là hai tập hợp. Tập hợp tất cả các cặp có thứ tự (x, y), trong đó x ∈ X, y ∈ Y, được gọi là tích Descartes của X, Y (theo thứ tự đó) và được ký hiệu là X ×Y (X nhân Y). Vậy XY×={() xyx,: ∈ XyY , ∈} . Tương tự, cho ba tập hợp X, Y, Z. Vậy XYZ×× ={() xyzx,, : ∈ XyYzZ , ∈ , ∈}. Tổng quát, cho X1, X2, , Xn là n tập hợp. Ta có XX12×××= Xn {()xx12,,, xn : xi ∈ Xi ,in = 1,2,, } n Đặc biệt, nếu X1 = X2 = = Xn = X thì X 12×××=×××=XXn XX X X n n và ta có X =∈={()xx12,,, xn : xi Xi , 1,2,, n} . Ví dụ: Cho A = {1, 2}; B = {3, 4, 5}. Khi đó, ta có A × B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)} B × A = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2)} 3. Các quan hệ trong tập hợp a. Định nghĩa Cho X là một tập hợp khác rỗng. Giả sử R là một tính chất nào đó có liên quan đến các cặp phần tử của X. Khi đó nếu với hai phần tử a, b ∈ X hay (a, b) ∈ X x X mà thỏa mãn tính chất R đối với b thì ta nói a có quan hệ R đối với b và viết a R b. Trong trường hợp này ta nói R là một quan hệ hai ngôi trong X. Ở đây chỉ xét quan hệ hai ngôi trên một tập hợp nên nói gọn là quan hệ trên tập hợp đó. 11
13. Ví dụ: a) Gọi X là tập hợp các sinh viên của một trường đại học với a, b ∈ X hay (a, b) ∈ X × X, ta nói a có quan hệ với b nếu và chỉ nếu a, b cùng khóa. Vậy a R b khi và chỉ khi a, b cùng khóa (Tính chất R là cùng khóa). b) Gọi X là tập hợp các khối hình học trong không gian. Với a, b ∈ X, ta nói a R b ⇔ V(a) = V(b) (thể tích). c) Cho N* = N \ {0}. Với m, n ∈ N*, ta nói m R n nếu và chỉ nếu mn (R tính chia hết cho). d) Cho X là một tập hợp và P(x) là tập hợp các tập con của X. Với A, B ∈ P(x), tức là A, B ⊂ X, ta nói A có R B nếu và chỉ nếu A ⊂ B (R là quan hệ bao hàm trong). b. Tính chất Giả sử X là một tập hợp khác rỗng và R là một quan hệ trong X. Khi đó quan hệ R có thể có các tính chất sau i. Tính phản xạ, tức là a R a, với mọi a thuộc X (Ví dụ: a), b)) ii. Tính đối xứng, tức là nếu a R b thì b R a, với a, b thuộc X (Ví dụ: a), b)) iii. Tính phản đối xứng, tức là nếu a R b và b R a thi a = b (Ví dụ: c), d)) iv. Tính bắc cầu, tức là nếu a R b và b R c thì a R c (Ví dụ: a), b)) c. Quan hệ tương đương trong một tập hợp Quan hệ R trong tập hợp X gọi là quan hệ tương đương nếu nó thỏa các tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Khi đó thay cho R bằng “ ∼ ”; “ ∼ ” dấu sóng có nghĩa tương đương. Vậy nếu “ ∼ ” là quan hệ tương đương trong X thì i. a ∼ a; ∀a ∈ X (Phản xạ) ii. Nếu a ∼ b thì b ∼ a; a, b ∈ X (Đối xứng) iii. Nếu a ∼ b và b ∼ c thì a ∼ c; a, b, c ∈ X (Bắc cầu) Chẳng hạn trong các ví dụ đã nêu ở trên, ta thấy các quan hệ ở ví dụ a) và b) là quan hệ tương đương (Các quan hệ ở ví dụ còn lại không phải quan hệ tương đương). d. Quan hệ thứ tự trong một tập hợp Quan hệ R trong tập hợp X được gọi là quan hệ thứ tự nếu nó thỏa mãn ba tính chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu. Khi đó thay cho R ta viết “ ≤ ”. Nếu “ ≤ ” là quan hệ thứ tự trong tập hợp X thì i. a ≤ a; ∀a ∈ X (Phản xạ) ii. Nếu a ≤ b và b ≤ a thì a = b; a, b ∈ X (Phản đối xứng) iii. Nếu a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c; a, b, c ∈ X (Bắc cầu) Chú ý: a) Nếu “ ≤ ” là quan hệ thứ tự trong tập X thì với a, b bất kỳ thuộc X chưa chắc ta có a ≤ b hoặc b ≤ a. Còn nếu với a, b thuộc X mà ta có a ≤ b hoặc b ≤ a thì ta nói a và b so sánh được với nhau (theo quan hệ thứ tự). Ví dụ : 63 ⇔≤ 6 3⇔ 6 so sánh được với 3; còn với 5 và 3 không so sánh được với nhau. 12
14. Vậy nên quan hệ thứ tự nói trên được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận. Các quan hệ trong các tập hợp mà ta hay gặp nói chung là các quan hệ thứ tự bộ phận. b) Nếu quan hệ thứ tự “ ≤ ” trong tập X thỏa mãn điều kiện hai phần tử bất kỳ thuộc X luôn luôn so sánh được với nhau thì quan hệ thứ tự đó được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần. I.1.3 Ánh xạ 1. Định nghĩa a. Cho X, Y là hai tập hợp khác rỗng. Một quy tắc ứng mỗi phần tử thuộc X với một phần tử thuộc Y được gọi là một ánh xạ từ X vào Y (Hình 1.7). Các ánh xạ thường được ký hiệu bằng các chữ f, g, h, . Nếu f là ánh xạ từ X vào Y thì ta viết f : XY→ hay f :;XYxyfx→= (). Khi đó X gọi là tập nguồn, Y gọi là tập đích. f x f(x) X Y Hình 1.7 Ví du: a) Gọi X là tập hợp các sinh viên trong một trường đại học và Y là tập hợp mã số của các sinh viên đó và gọi f là quy tắc ứng mỗi sinh viên thuộc X với mã số của sinh viên đó. Rõ ràng f : X → Y. b) Gọi f là quy tắc ứng mỗi số thực x ∈ R với số thực x3, ta có f : R → R (f(x) = x3 hay fx: x 3 ). c) Cho f : R → R được xác định f(x) = ax (a > 0, a ≠ 1), ∀x ∈ R (f ứng với x ∈ R x với a ∈ R hay fx: a x ). Ở đây ta cũng thấy f là ánh xạ từ R vào R. d) Giả sử f ứng x ∈ R với x2 ∈ R. Ta thấy f : R → R. Nhận xét: Vậy khái niệm hàm số mà ta đã biết là một trường hợp đặc biệt của ánh xạ mà ta vừa tìm hiểu. 2. Ảnh và nghịch ảnh của một tập + Cho X, Y là hai tập khác rỗng và giả sử f : X → Y, x yfx= (). Phần tử y ứng với phần tử x qua ánh xạ f được gọi là ảnh của x; còn x được gọi là tạo ảnh của y bởi f. + A là tập con của X. Khi đó tập hợp tất cả các ảnh của tất cả các phần tử thuộc A được gọi là ảnh của A bởi f được ký hiệu là f(A) (Hình 1.8). Vậy f(A) = {y ∈ Y : y = f(x), x ∈ X}. Đặc biệt nếu A = X thì ta có f(X) = {y ∈ Y : y = f(x), x ∈ X}. Nói chung ta 13
15. có f(X) ⊂ Y và nó được gọi là miền giá trị của ánh xạ f; còn tập nguồn X được gọi là miền xác định của f. + Giả sử B ⊂ Y. Khi đó tập hợp tất cả các phần tử x ∈ X sao cho f(x) ∈ B được gọi là nghịch ảnh của B bởi f. Ký hiệu là f - 1(B) (Hình 1.9). Vậy f – 1(B) = {x ∈ X : f(x) ∈ B}. Đặc biệt nếu B chỉ gồm một phần tử y ∈ Y thì ta có f – 1(y) = {x ∈ x : f(x) = y}. f – 1 A f (B) B f(A) X Y X f - 1 Y Hình 1.8 Hình 1.9 3. Tính chất: Giả sử f : X → Y, f(A) = {y ∈ Y : y = f(x), x ∈ A}, f – 1(B) = {x ∈ X ; f(x) ∈ B}, A, B ⊂ X; C, D ⊂ Y. Khi đó i. A = ∅ ⇔ f(A) = ∅; ii. A ⊂ B ⇒ f(A) ⊂ f(B); iii. f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B); iv. f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B); v. C ⊂ D ⇒ f – 1(C) ⊂ f – 1(D); vi. f - 1(C ∩ D) = f – 1(C) ∩ f – 1(D); vii. f – 1(C ∪ D) = f – 1(C) ∪ f – 1(D); viii. f – 1(C \ D) = f – 1(C) \ f - 1(D); ix. A ⊂ f – 1[ f(A)]; x. f[f - 1(C)] ⊂ C; Chứng minh: ii. Lấy y ∈ f(A), suy ra ∃x ∈ A để f(x) = y; x ∈ A suy ra x ∈ B do A ⊂ B. Vậy x ∈ B để y = f(x) nên y ∈ f(B), suy ra f(A) ⊂ f(B) (Hỏi điều ngược lại có đúng không!, tức là f(A) ⊂ f(B) ⇒ A ⊂ B (xem bài tập 6)). v. Lấy x ∈ f – 1(A), suy ra f(x) = y ∈ A; do A ⊂ B nên y = f(x) ∈ B, suy ra x ∈ f – 1(B). Vậy f – 1(A) ⊂ f – 1(B). Việc chứng minh các tính chất còn lại xem như bài tập. 4. Đơn ánh, toàn ánh, song ánh Giả sử X, Y là hai tập hợp khác rỗng và f : X → Y a. f được gọi là đơn ánh nếu và chỉ nếu ∀x1, x2 ∈ X và x1 ≠ x2 ta có f(x1) ≠ f(x2) (⇔ ∀x1, x2 ∈ X : f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2). b. f được gọi là toàn ánh nếu và chỉ nếu f(X) = Y (⇔∀y ∈ Y, ∃x ∈ X : y = f(x)). c. f được gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh (⇔∀y ∈ Y, ∃!x ∈ X: y = f(x), dấu “!” gọi là duy nhất). Song ánh từ tập X vào tập Y còn được gọi là ánh xạ một đối một từ X lên Y và ta viết f là ánh xạ 1-1 từ X lên Y. Ví dụ: a) Gọi X là tập hợp các sinh viên một trường đại học, Y là tập hợp các mã số của các sinh viên đó, f : X → Y được xác định như sau f ứng sinh viên x ∈ X với mã số của sinh viên đó (∈ Y). Ta thấy f là một song ánh. 14
16. b) Xét ánh xạ g : R → R được xác định như sau g(x) = x3, ∀x ∈ R. Ta thấy g là một song ánh. c) Cho ánh xạ h : R → R được xác định h(x) = x2, ∀x ∈ R. Trường hợp này h chỉ là ánh xạ không là đơn ánh; không là toàn ánh (do đó h không là song ánh). Trường hợp h : R → [0; + ∞), h là toàn ánh nhưng không là song ánh cũng không là đơn ánh. 5. Ánh xạ ngược, ánh xạ tích (hay ánh xạ hợp) + Giả sử X, Y là hai tập hợp khác rỗng và f : X → Y là song ánh. Khi đó mỗi phần tử x ∈ X được f ứng với một phần tử y = f(x) ∈ Y và ngược lại mỗi phần tử y ∈ Y chỉ có một nghịch ảnh x ∈ X. Xét ánh xạ từ Y vào X như sau ánh xạ đó ứng y ∈ Y với nghịch ảnh x của nó bởi f thuộc X, ánh xạ đó được gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f. Ký hiệu là f – 1. Vậy f – 1 : Y → X và được xác định như sau f – 1 (y) = x sao cho f(x) = y. Ta thấy f – 1 lại là một song ánh từ Y lên X và ánh xạ ngược của f – 1 lại là f. Trong trường hợp này gọi là hai ánh xạ ngược nhau. Ví dụ: a) Cho f : R → R được xác định bởi f(x) = y = x3, ∀x ∈ R. Như đã biết f là một song ánh. Khi đó có f – 1 : R → R và được xác định bởi f −1()yx==3 y. * x b) Cho g : R → R + được xác định bởi g(x) = y = a , ∀x ∈ R (a > 0, a ≠ 1). Ta thấy - 1 – 1 * g là song ánh. Khi đó ta có g là ánh xạ g R + → R và được xác định bởi – 1 g (y) = x = logay. c) h : R → R; h(x) = x2, suy ra h – 1 không tồn tại. h : R → R+; h là một toàn ánh. – 1 −1 h : R+ → R+; h là một song ánh, suy ra h : R+ → R+; h ()yx== y. 2 – 1 h : R - → R+; h(x) = y = x , ∀x ∈ R - (h là song ánh); h : R+ → R -; h −1()yx==− y. + Cho X, Y, Z là ba tập hợp khác rỗng; f : X → Y; g : Y → Z. Khi đó mỗi phần tử x thuộc X ta có phần tử y thuộc Y sao cho y = f(x) và phần tử z thuộc Z sao cho z = g(y) = g[f(x)]. Vậy với mỗi phần tử x thuộc X đều có phần tử z thuộc Z sao cho z = g[f(x)] = h(x). Ánh xạ h : X → Z được xác định như sau h(x) = z = g[f(x)] và được gọi là ánh xạ tích (ánh xạ hợp) của các ánh xạ f và g. Ký hiệu hgf= (Với gf thì miền xác định của nó là MXD = {x : x ∈ Df và f(x) ∈ Dg}; còn f g thì miền xác định của nó là MXD = {x : x ∈ Dg và g(x) ∈ Df}) (Hình 1.10). f g x z = g(f(x)) f(x) h X Y Z Hình 1.10 15
17. Nhận xét: Nói chung gf≠ fg. Ví dụ: a) Cho f : R → R và g : R → R được xác định như sau y = f(x) = 3x, ∀x ∈ R và g(y) = siny, ∀y ∈ R. Khi đó ta có hgfR= : → R và được xác định h(x) = g(f(x)) = sin3x; h’(x) = f(g(x)) = 3sinx (Nếu tồn tại). 2 b) Cho f : R → R+ và g : R+ → R được xác định như y = f(x) = x – x + 1, ∀x ∈ R 2 và gy()= y, ∀y ∈ R+. Khi đó ta có h : R → R; h(x) = g(f(x)) = x −+x 1 , ∀x ∈ R; h’(x) = f(g(x)) = xx−+1 (Nếu tồn tại). I.2 Cấu trúc đại số I.2.1 Luật hợp thành trong cấu trúc đại số 1. Định nghĩa Luật hợp thành trong trên tập X hay phép toán (hai ngôi) trên X là một quy luật khi tác động lên hai phần tử x, y của X sẽ tạo ra một và chỉ một phần tử cũng của X. Nói cách khác, luật hợp thành trong trên tập X là một ánh xạ từ X × X tới X. Ký hiệu luật hợp thành trong trên X là *. ()x,*yXXxyX∈× ∈ hay x,*yX∈ xyX∈ Một tập có trang bị một hay nhiều luật hợp thành trong với những tính chất xác định tạo thành một trong những đối tượng toán học gọi là cấu trúc đại số. 2. Tính chất: i. Tính kết hợp : x * (y * z) = (x * y) * z. ii. Tính giao hoán : x * y = y * x. iii. Phần tử trung hòa : x * e = e * x = x (Hay e là phần tử đơn vị). iv. Phần tử đối : x * x’ = x’ * x = e (x’ gọi là phần tử đối của x). I.2.2 Cấu trúc nhóm, vành, trường 1. Nhóm (Group) a. Định nghĩa Một tập G khác rỗng cùng với một phép toán hai ngôi *. Khi đó (G, *) được gọi là nhóm nếu nó thỏa mãn các tính chất sau i. Tính kết hợp : a * (b * c) = (a * b) * c ii. Phần tử trung hòa : a * e = e * a = a iii. Phần tử đối : a * a’ = a’ * a = e Nếu phép toán hai ngôi * có tính giao hoán, tức là a * b = b * a thì (G, *) được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel. b. Tính chất i. Với mọi phần tử a thuộc G tồn tại duy nhất một phần tử a’ đối của a sao cho a * a’ = a’ * a = e. 16
18. Thật vậy: Giả sử a’ và a” là hai phần tử đối của a. Khi đó ta có a’ = e * a’ = (a” * a) * a’ = a” * (a * a’) = a” * e = a”. ii. Phần tử đơn vị là duy nhất Thật vậy, giả sử G có hai phần tử đơn vị e1 và e2. Thế thì e1 * e2 = e1. Nhưng ta cũng có e1 * e2 = e2. Vậy e1 = e2. iii. Quy tắc giản ước : a * x = a * y ⇒ x = y Thật vậy, giả sử ta đã có a * x = a * y. Khi đó ta có a’ * (a * x) = a’ * (a * y) ⇔ (a’ * a) * x = (a’ * a) * y ⇔ x = y. iv. Với mọi phần tử a và b của G, tồn tại duy nhất phần tử x sao cho a * x = b. Thật vậy, ta có a’ * (a * x) = a’ * b ⇔ (a’ * a) * x = a’ * b ⇔ x = a’ * b. Tính duy nhất : x’ = e * x’ = (a’ * a) * x’ = a’ * (a * x’) = a’ * b = x. Ví dụ : Trên R ta xây dựng một phép toán hai ngôi * xác định như sau a * b = a + b – 1 Khi đó (R, *) là một nhóm giao hoán. Thật vậy, ta có + a * (b * c) = a + (b + c – 1) – 1 = (a + b – 1) + c – 1 = (a * b) * c (Thỏa tính kết hợp) + a * e = e * a = a ⇔ a + e – 1 = e + a – 1 = a ⇒ e = 1(Tồn tại phần tử đơn vị) + a * a’ = a’ * a = e = 1 ⇔ a + a’ – 1 = a’ + a – 1 = 1 ⇒ a’ = 2 – a (Có phần tử đối) + a * b = a + b – 1 = b + a – 1 = b * a (Giao hoán) 2. Vành (Ring) a. Tập A ≠ ∅ cùng với hai phép toán hai ngôi nhân (.) và phép cộng (+). Khi đó (A, +, .) được gọi là một vành nếu nó thỏa mãn các tính chất sau i. (A, +) là một nhóm giao hoán ii. Luật nhân (.) có tính kết hợp, tức là ∀a, b, c ∈ A ta có a.(b.c) = (a.b).c iii. Luật nhân (.) có tính phân phối hai phía đối với luật cộng (+), tức là ∀a, b, c ∈ A, ta có a.(b + c) = a.b + a.c; (b + c).a = b.a + c.a; (A, +, .) gọi là vành giao hoán nếu phép nhân (.) có tính chất giao hoán. Nếu phép nhân (.) có phần tử đơn vị, ký hiệu là 1 thì (A, +, .) là vành có đơn vị. b. Vành nguyên (Miền nguyên) là một vành (A, +, .) trong đó có tính chất a.b = 0, suy ra a = 0 hoặc b = 0 (Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 mà a.b = 0 thì ta gọi là ước của không. Khi đó a gọi là ước bên trái của không, b gọi là ước bên phải của không). Điều kiện cần và đủ để một tích bằng không là một trong hai nhân tử bằng không. 3. Trường (Field) a. Định nghĩa Tập F ≠ ∅ cùng với hai phép toán hai ngôi phép nhân (.) và phép cộng (+). Khi đó (F, +, .) được gọi là một trường nếu nó thỏa mãn các tính chất sau i. (F, +, .) là vành có đơn vị. ii. Với mọi a thuộc F, a ≠ 0 (Phần tử đơn vị của phép cộng (+)) thì tồn tại phần tử 1 nghịch đảo a – 1 ( hay ) của phép toán nhân (.), tức là a.a – 1 = a – 1.a = 1. a b. Tính chất i. Trường là một vành nguyên. 17
19. ii. F là một trường thì F \ {0} là một nhóm đối với phép toán nhân (.). Hệ quả 1.1: Trong một trường có quy tắc giản ước (a.b = a.c suy ra b = c (a ≠ 0)). b iii. Trong một trường phương trình a.x = b, a ≠ 0 có nghiệm duy nhất x = a – 1.b = . a I.2.3 Số phức 1. Khái niệm - Trong trường số thực R phương trình đơn giản x2 + 1 = 0 cũng không có nghiệm nên người ta mới nghĩ là phải mở rộng trường số thực. Vì thế người ta xây dựng trường số phức. Những số mà làm cho phương trình x2 + 1 = 0 có nghiệm gọi là các số phức. - Người ta gọi đơn vị ảo là một số được ký hiệu là i và được xác định như sau i2 = - 1. Việc đưa đơn vị ảo vào toán học giúp ta mở rộng tập hợp số thực và ta đi đến khái niệm số phức mà ta sẽ định nghĩa sau. Số phức có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán, lý, hóa và nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác. - Số phức là một số có dạng z = a + bi, trong đó a, b ∈ R, i là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực ký hiệu Rez = a, b được gọi là phần ảo ký hiệu Imz = b. Tập hợp tất cả các số phức ký hiệu là C = {z = a + bi : a, b ∈ R}. Trong số phức z = a + bi, nếu a = 0 thì z = bi được gọi là số thuần ảo; còn nếu b = 0 thì z = a ∈ R. Như thế số thực là trường hợp đặc biệt của số phức đó là trường hợp phần ảo bằng không (b = 0). Vậy R ⊂ C. Số phức z = a + ib thường được viết dưới dạng z = (a, b), tức là z = a + bi = (a, b). Vậy số phức chẳng qua là một cặp số thực có thứ tự. 2. Các phép toán a. Phép cộng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; sinh ra phép trừ: (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i; b. Phép nhân: (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i; sinh ra phép chia: a++−++− bi a bi c di()() ac bd bc ad i ac + bd bc − ad ==. =+i (c + di ≠ 0). cdicdicdi++−cd22 + cd 22 +c 22 + d Mệnh đề: Ta có mở rộng trường (R, +, .) ⊂ (C, +, .), tức là phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên C có tính chất thông thường như phép các số thực và khi thực hiện trên R chính là phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia trên R quen biết. Phần tử không 0 = 0 + 0i; phần tử một 1 = 1 + 0i; phần tử nghịch đảo 1 abi− =+≠(0)abi . abi++a22b Ví dụ : Cho z1 = 4 – i và z2 = 2 – 3i. Khi đó, ta có z1 + z2 = (4 + 2) + (– 1 – 3)i = 6 – 4i z1 – z2 = (4 – 2) + (– 1 – (– 3))i = 2 + 2i z1.z2 = (4 – i)(2 – 3i) = 5 – 14i z 4−−+−iii (4 )(2 3 ) 11 10 i 1 == = z2 2−−+ 3iii (2 3 )(2 3 ) 13 c. Liên hợp phức: Cho z = a + bi. Khi đó z = abi− được gọi là số phức liên hợp của z Tính chất: zz = ab22+ (Thực ≥ 0); z = z;; z + zzz'';=+ z.'zzz= .'; 18
20. Ví dụ: 3+4i (3+4i)(1-2i) 11 2 a) ==−; 12++i 1222 5 5 b) z +=zz2Re ; z −=zzi2Im ; z ∈ Rz⇔=⇔=Im 0 zz; c) Nếu α là nghiệm của đa thức có hệ số thực thì liên hợp α của nó cũng là nghiệm. n - 1 n Thậy vậy: p(z) =a0 + a1z + + an – 1z + anz , aj ∈ R; n – 1 n p(α) = a0 + a1α + + an - 1α + anα = 0; nn−1 p()αα=+aa01 ++ ann− 1αα + a == 0 0; nn−1 p()αα=+aa01 ++ ann− 1αα + a = 0; nn−1 p()αα=+aa01 ++ ann− 1(αα) + a( ) = 0; nn−1 p()αα=+aa01 ++ ann− 1(αα) + a( ) = 0; (vì aj ∈ R) d. Biểu diễn số phức 2 2 - Dạng đại số z = a + bi, a, b ∈ R, i = – 1; z = (a, b), C ≡ R ; - Dạng hình học z = (a, b), C ≡ R2; Imz (Trục ảo) z + z’ bi z = (a, b) i = (0, 1) z’ Rez (Trục thực) 0 (1, 0) a Hình 1.11: Mặt phẳng phức - Dạng lượng giác z = r(cosϕ + isinϕ), trong đó a = rcosϕ, b = rsinϕ, b rabz=+=22 (modul của z), tgϕϕ==, Argz (Argument của z). a Nhận xét: z ≠ 0, Argz có vô số giá trị sai khác nhau 2kπ, k ∈Z (mod 2π). Nếu hạn chế ϕ ∈ (- π, π] thì có duy nhất ký hiệu argz có tên gọi là argument chính; Argz = {argz + 2kπ, k ∈ Z}. 2 Ví dụ z =−3 i hay z =−(3,1); ta có rz= =+−=()3(1)22 ; 1 ⎛⎞π ⎛⎞⎛⎞π ⎛⎞π tgϕ =− = tg⎜⎟ − ; zi=−+−2cos⎜⎟⎜⎟ sin ⎜⎟; 3 ⎝⎠6 ⎝⎠⎝⎠66 ⎝⎠ - Dạng Euler z = reiϕ = r(cosϕ + isinϕ); Tính chất Cho z1 = r1(cosϕ1 + isinϕ1) và z2 = r2(cosϕ2 + isinϕ2). Khi đó, ta có i. z1z2 = r1r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + isin(ϕ1 + ϕ2)]; trong đó r1 = z1 , r 2 = z2 , ϕ 11= arg z , ϕ 22= arg z , z12zzz= 1 2, Arg()zz12 =+argz12 arg z 19
21. ii. Công thức Moivre: n n n n iϕ n n inϕ z = [r(cosϕ + isinϕ)] = r (cosnϕ + isinnϕ); z = (re ) = r e π −i Ví dụ 3 −=i 2e 6 ; e. Căn bậc n của số phức Cho z ∈ C, n ∈ N. Khi đó w ∈ C được gọi là (một) căn bậc n của z nếu và chỉ nếu wn = z. Ký hiệu là wz= n . Ví dụ: a) Cho z ≠ 0. Tìm wz= n . Ta có z = r(cosϕ + isinϕ). Tìm w = ρ(cosθ + isinθ). Theo định nghĩa ta có wn = z ⇔ρn(cosnθ + isinnθ) = r(cosϕ + isinϕ) (Công thức n n ⎧ρ = r ⎪⎪⎧ρ = r Moivre) ⇔⇔⎨⎨ϕπ2k ; có n căn bậc n của z : ⎩⎪nkkZθϕ=+2, π ∈ ⎪θ = +∈,kZ ⎩ nn n ⎡⎤⎛⎞⎛⎞ϕπ22kk ϕπ wr=+++=⎢⎥cos⎜⎟⎜⎟ i sin , k 0, , n; ⎣⎦⎝⎠⎝⎠nn nn b) Căn bậc n của đơn vị n 1 , gồm n giá trị 1, ω, ω2, , ωn -1; 1 = 1ei(0 + 2kπ), 2kπ kin ω ==1,0,,1e n kn = −; Thật vậy với n = 3 chẳng hạn thì ta có Với k = 0, ω0 = cos0 + isin0 = 1; 221π π Với k = 1, ω1 = cos+=−+ii sin 3 ; 332 4413ππ Với k = 2, ω2 = cos+=−−ii sin ; 3322 c) Tìm −−512i với z = – 5 – 12i Gọi −−512iabi = + , ta có 2 2 2 (a + bi) = – 5 – 12i ⇔ a – b + 2abi = – 5 – 12i ⇔ ⎧⎧ab22−=−55 ab 22 −=− ⎧a = 2 ⎧a =−2 ⇔⇔⇔⎨⎨⎨ hoặc ⎨ . ⎩⎩212ab=− ab =− 6 ⎩b = −3 ⎩b = 3 Vậy, ta có −512−=±−ii (23). Hình học n 1 là n đỉnh của n giác đều nội tiếp đường tròn đơn vị. Tổng quát n z là n đỉnh của n giác đều nội tiếp đường tròn bán kính n z . f. Giải phương trình bậc hai Trên trường số phức C ta thấy tất cả các phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (Phân biệt hoặc trùng nhau). Thật vậy, xét phương trình ax2 + bx + c = 0; a, b, c ∈ R, a ≠ 0. 20
22. Ta đã biết rằng nếu Δ = b2 – 4ac ≥ 0 thì phương trình bậc hai có hai nghiệm khác nhau hay một nghiệm kép; còn đối với Δ 0 và phương −bi−−Δ −bi+−Δ trình có hai nghiệm phức liên hợp là x1 = ; x 2 = 2a 2a Ví dụ : a) Phương trình 4x2 – 2x + 1 = 0 có Δ’ = - 4 = 4i2 nên có hai nghiệm là 12− i 12+ i x1 = ; x 2 = . 4 4 b) Phương trình z2 + (2i – 3)z + 5 – i = 0 có Δ = (4i – 1)2 nên có hai nghiệm là z1 = 23− i ; z2 = 1+ i . I.3 Đa thức – Phân thức – Phân thức hữu tỷ I.3.1 Đa thức 1. Khái niệm n n – 1 Xét đa thức bậc n có dạng như sau pn(x) = anx + an – 1x + + a1x + a0, trong đó các hệ số ai (i = 0, 1, , n) là các hệ số thuộc C, an ≠ 0. Nếu an = an - 1 = = a1 = 0 thì ta nói pn(x) có bậc không. Nếu thêm điều kiện a0 = 0 thì ta quy ước bậc của đa thức là - ∞. Bậc của đa thức pn(x) ký hiệu là deg(pn(x)) = n. x0 được gọi là nghiệm của đa thức pn(x) (hay là nghiệm của phương trình pn(x) = 0) nếu pn(x0) = 0. 2. Phép chia đa thức Cho hai đa thức p(x) có bậc n và q(x) có bậc m (m ≤ n) trên C. Khi đó bao giờ cũng tồn tại duy nhất cặp đa thức h(x) bậc n – m và r(x) bậc nhỏ hơn m sao cho p(x) = h(x)q(x) + r(x), trong đó h(x) là thương của p(x) đối với q(x) và r(x) là phần dư trong phép chia đa thức p(x) cho đa thức q(x) theo lũy thừa giảm. Nếu r(x) ≡ 0 thì ta nói p(x) chia hết cho q(x). Ví dụ : Chia đa thức p(x) = 2x3 – 4x2 – 1 + x4 + 5x cho q(x) = 3x + x2 + 2 Ta sắp xếp p(x), q(x) theo lũy thừa giảm. Do đó, p(x) và q(x) được viết lại như sau p(x) = x4 + 2x3 – 4x2 + 5x – 1; q(x) = x2 + 3x + 2 Ta tiến hành chia như sau xxx432+−+−2451x x 2 + 32x + − xxx432++32 x 2 − x − 3 −−xx32651 +x − − −−xx3232 −x −+−371x 2 x − −−−396x 2 x 16x + 5 21
23. - Định lý 1.1: Giả sử pn(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng một (n ≥ 1). Điều kiện cần và đủ để đa thức pn(x) có nghiệm x0 là nó chia hết cho x – x0, tức là pn(x) = (x – x0)qn - 1(x), trong đó qn - 1(x) là đa thức có bậc n – 1. Chứng minh: + Điều kiện cần: Giả sử pn(x) có nghiệm là x0. Khi đó ta chia pn(x) cho x – x0, tức là pn(x) = (x – x0)qn - 1(x) + r, trong đó qn - 1(x) là đa thức bậc n – 1; còn r là đa thức bậc không, tức là r là hằng số. Vì x0 là nghiệm nên pn(x0) = 0; do đó suy ra pn(x0) = r = 0. Vậy pn(x) chia hết cho x – x0. Trong trường hợp pn(x) có bậc là không (pn(x) = an = const) thì nó bằng không với mọi x nếu an = 0 và khác không với mọi x nếu an ≠ 0. + Điều kiện đủ: Giả sử pn(x) có dạng pn(x) = (x – x0)qn – 1(x). Khi đó rõ ràng pn(x0) = 0; do đó nó có nghiệm là x0. - Định lý 1.2: Mọi đa thức pn(x) có bậc n ≥ 1 đều có ít nhất một nghiệm thực hoặc phức. Đây là định lý cơ bản của đại số học nên ta sẽ thừa nhận nó mà không chứng minh. - Hệ quả 1.2: Mọi đa thức bậc n ≥ 1 có đúng n nghiệm thực hoặc phức. Các nghiệm đó có thể là nghiệm đơn hoặc nghiệm bội. Nếu một nghiệm là bội n thì nghiệm đó được kể n lần. Đồng thời đa thức có phân tích thành tích các thừa số bậc nhất pn(x) = an(x – x1)(x – x2) (x – xn), xi (i = 1, 2, , n) thuộc C. - Hệ quả 1.3: Mọi đa thức pn(x) bậc n ≥ 1 không thể có nhiều hơn n nghiệm thực hoặc phức. I.3.2 Phân thức – Phân thức hữu tỷ 1. Khái niệm p()x - Phân thức hữu tỷ là tỷ số của hai đa thức, tức là nó có dạng , trong đó p(x) qx() và q(x) là các đa thức và q(x) ≠ 0. Ở đây ta chỉ xét phân thức hữu tỷ với hệ số thực. Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì phân thức gọi là phân thức thực sự. Nếu bậc của tử không nhỏ hơn bậc của mẫu thì phân thức gọi là phân thức không thực sự. Một phân thức hữu tỷ không thực sự bao giờ cũng được phân tích thành tổng của một đa thức với một phân thức thực sự bằng phép chia tử cho mẫu. Do đó ta chỉ xét các phân thức hữu tỷ thực. - Phân tích phân thức hữu tỷ thực sự thành tổng của những phân thức đơn giản. A + Phân thức hữu tỷ có dạng , trong đó A, a là hằng số, m ≠ 0, m ≥ 1, được ()x − a m gọi là phân thức đơn giản loại một. MxN+ + Phân thức hữu tỷ có dạng m , trong đó M ≠ 0, a ≠ 0, m ≥ 1, ()abxcx 2 ++ b2 – 4ac < 0, được gọi là phân thức đơn giản loại hai. Người ta đã chứng minh được rằng một phân thức hữu tỷ thực sự bao giờ cũng có thể được phân tích thành tổng của những phân thức đơn giản loại một và các phân thức đơn giản loại hai. 22
24. Ta nắm phương pháp phân tích một phân thức hữu tỷ thành tổng của những phân thức đơn giản loại một và loại hai thông qua các ví dụ sau. Ví dụ: Phân tích phân thức thành tổng của những phân thức đơn giản 11A BAxBx (3)(2)− +− a) ==+= ; x 2 −+56(2)(3)2xxxxx − − − − 3 (2)(3) xx − − ⇒ A(x – 3) + B(x – 2) ≡ 1 ⇔ A = – 1 và B = 1 (≡ đọc là đồng nhất). 111 Vậy =− + . x 2 −+56xxx − 2 − 3 11A Bx+ C b) ==+. Đồng nhất các hệ số A, B, C ta được xx32−−++−++1(xxxx 1)( 1) 1 x 2 1 112 AB==−=−,, C . 333 11x + 2 Vậy =− . xx32−−13(1)3(xx ++ 1) xx42−−3 A Bx + C Dx + E =+ + c) 222 . Đồng nhất các hệ số A, B, C, D, E ta (1)1x −+()xx22x −+11() + 1 x 311 77 được ABCDE=−,,, = = = , = . 422 44 xx42−−33x + 177x + Vậy =− + + . 222 (1)1x −+()xx224(x − 1) 2() + 1 41()x + Phương pháp vừa nêu để phân tích phân thức hữu tỷ thực sự thành tổng các phân thức đơn giản loại một và loại hai gọi là phương pháp hệ số bất định. 23
25. Bài tập 1. Các phát biểu sau đúng hay sai? Nếu sai thì hãy phát biểu lại cho đúng. a) ∃x ∈ Z : x2 – 3x + 2 = 0; b) ∀x ∈ R : x2 – 5x + 7 > 0; c) Số 120 chia hết cho 2 và 5; d) Số 111 là một số nguyên tố; 1 21 e) Số 6 không là một hợp số; f) Hỗn số 5 không phải là của phân số ; 4 4 2. Lập bảng chân trị cho các mệnh đề sau a) ()p ∧∨⇒qqp(); b) ( p ∨⇒∧qpr) ( ); c) ⎣⎦⎡⎤( p ⇒∧⇒qqr)( ) ⇒ ( pr ⇒ ); 3. Rút gọn các biểu thức sau a) ⎡⎤p ∧∧qr ⇒ pq ∨ ⇒ qr ∧ ; b) ⎡⎤p ⇒∧⇒∧⇒qqrrp ⇒∨∨ pqr; ⎣⎦()()( ) ⎣⎦( ) ( ) ()() 4. Chứng tỏ rằng a) ()pqp⇒∨≡1; b) ( p ∧⇔⇒qqp) ( ) ; c) ()()p ∨∧⇔q r()() pr ∧∨∧( qr) ; d) (( p ∧∨⇔q) r) ()()() pr ∨∧∨ qr; e) ()p ⇔⇔⇔⇔⇔qpqpq( ) (); f) ( p ∧⇔()qr) ⇔∨⇔() pqr(); 5. Cho A, B, C, D là các tập hợp. Chứng minh rằng a) A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C); b) A \ (B \ C) = A ∩ B; c) Nếu A Δ C = B thì C = A Δ B; d) (B \ C) \ (B \ A) ⊂ A \ C; e) (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B); f) A ∪ (B \ A) = A ∪ B; g) A ∩ (B \ A) = ∅; h) Nếu A ⊂ B và C ⊂ D thì A ∩ C ⊂ B ∩ D và A ∪ C ⊂ B ∪ D; i) Nếu A ⊂ C và B ⊂ C thì A ∩ B ⊂ C và A ∪ B ⊂ C; 6. Cho X, Y ≠ ∅, f : X → Y và A, B ⊂ X. Chứng minh rằng A ⊂ B ⇔ f(A) ⊂ f(B) 7. Cho A, B, C là các tập con của một tập X. Chứng minh a) A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A ⇔ A ∪ B = B; b) (A \ B) ∪ B = A ∪ B; c) (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C); d) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ ( A ∩ C); 8. Cho A, B ⊂ X. Chứng minh rằng a) Nếu A ⊂ B thì B ⊂ A b) Nếu A ∩ B = ∅ thì X =∪AB. Nếu thiếu giả thiết thì khẳng định này còn đúng không? Cho ví dụ. 9. Trong các tập sau, tập nào khác rỗng. Nếu có thì hãy liệt kê tất cả những phần tử của tập đó. a) A = {x ∈ N : x2 – 5x + 6 = 0}; b) B = {x ∈ Z : x2 + 5x – 6 = 0}; c) C = {x ∈ Q : x2 + 3x – 4 = 0}; d) D = {x ∈ R : x2 + 3x + 3 = 0}; e) E = {x ∈ R : x2 + 2x – 3 = 0}; f) F = {x ∈ R : x2 + 4 = 0}; 10. Cho A = {0, 1, 2, 3 ,4}, B = {3, 4, 6, 7}, C = {2, 3, 5, 8, 9}. Hãy tính a) A ∪ B; b) A ∩ C; c) A \ (B ∩ C); d) (A Δ B) ∩ (B Δ C); 24
26. 11. Trong các ánh xạ sau ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh? 2x 2 a) fR:\1{}→== Rx , y fx () ; b) gR:,→==R + x y gx ()x ; x −1 c) hR:,→==+ Rx y hx ()35 x ; 12. Hãy tìm gf , f g với * 2 a) f :,()21RRxfxx→=+ và gR:,()1→=+R + x gx x x x b) fx()= và gx()= 1− x 1+ x 2x 13. Ánh xạ fR:\1{}→== Rx , y fx () có ánh xạ ngược hay không? Nếu có x −1 hãy tìm f – 1. 14. Cho biết rằng 23x − a) gx()=+ x 5 và ()()gfx = (2) x≠ . Tìm f(x) x + 2 b) fx()=−x 2 3 và ()()35gfx = x 2 + . Tìm g(x) 15. Tìm f(x) với 2 ⎛⎞1 a) fx(1)32+=x − x +; b) fx()+ 2 f⎜⎟=≠ xx ( 0); ⎝⎠x x 2 − 4 c) fx(2)−= ; d) fx(1)− =−+x 2 43 x ; x 2 + 2 16. a) Trên R ta trang bị một phép toán hai ngôi * được xác định như sau a * b = 2ab. Hỏi (R*, *) có phải là một nhóm hay không? Nếu có thì nó có giao hoán không? b) Trên N* ta trang bị một phép toán hai ngôi * được xác định như sau a * b = a × b + 1. Hỏi (N*, *) có phải là một nhóm không? 17. Cho z =+cosϕ i sinϕϕπ ,0 ≤< 2 . Hãy tính lượng giác của các số phức sau a) z2 + z ; b) z2 − z ; c) z2 − z ; d) z2 + z ; e) z3 + z ; f) z3 − z ; g) z3 + z ; h) z3 − z ; 18. Giải các phương trình sau a) z2 ++=250z ; b) z2 + (5−+−= 2iz ) 5(1 i ) 0 ; c) z3 +=10; 4 d) ()z +−=1160; e) zz42+18+= 81 0 ; f) zz42++=9200; 2 2 g) zz63++=430; h) z − z2 =−43i ; i) z +=+z2 34i ; 19. Hãy tính căn bậc hai của các số phức a) 1– i; b) – 1 – i; c) 1 + 2i; d) – 1 – 2i; e) 3 – 2i; f) – 3 + 2i; 20. Cho hai ánh xạ 1 2x fx:,RR → ; gx:,RR → x 1+ x 2 a) Chứng tỏ rằng f là song ánh. Tìm f – 1. b) Chứng tỏ rằng g không là đơn ánh cũng không là toàn ánh. c) Tìm g(R*). x 21. Cho ánh xạ fR:,→ Rx . Tính f f ; f ff. 1+ x 2 25
27. 22. Cho hai ánh xạ 2 fR:,→ R + x x ; gyy:,RR++→ ; a) f, g là đơn ánh, toàn ánh, song ánh? Tìm f – 1, g – 1 nếu có. b) Tìm gf và f g (Nếu tồn tại). 23. Thực hiện các phép tính sau a) (2 – 4i)(1 – 5i); b) (3 – 2i)(1 + 2i); c) (1 – 2i)(2 + i)2; d) (3 – i)5(3 + i)7; e) (3 – 2i)3(1 + i); f) (4 – 2i)(2 + 3i)3; 2 3 ()2-i ()21i + 11 g) ; h) ; i) − ; 3+2i ()23− i 3 14+ ii 4− 21i + (1+ ii )(3+−− ) (1 ii )(3 ) j) ; k) − ; ()14− i 2 33−+ii 24. a) Tìm x, y ∈ R thỏa mãn phương trình (2 + 3i)x + (1 – i)y = 7 + 3i. b) Tìm x, y, z, t ∈ R thỏa hệ phương trình ⎧(2++−++++=+ 3ix ) (1 iy ) (2 iz ) (1 it ) 10 7 i ⎨ ⎩(−+ 1 2)ix + ( i − 3) y + (2 − iz ) + (3 + 2) it = 9 + 7 i 2 2 25. Cho hai số phức z1 = 7 – 3i; z2 = (x + y + xy) + (x + y)i; x, y ∈ R. Hãy tìm x, y ∈ R sao cho z1, z2 là hai số phức liên hợp. 26. Hãy chia a) px()=−xxx542 2 + 3 −+ 6 x 7 cho qx()= xx32++ 2 x + 3 b) px()=++ 2xx42 3 5 cho qx()= x 3 + x c) p()xx=−−xx32 cho qx()= x−+ 1 2 i 27. Hãy phân tích phân thức thành các phân thức tối giản x + 2 2 +1 a) ; b) x ; 2 2 ()xx+++32()x x 3 + x − x −1 2 xx42++1 45x (x + ) c) 2 ; d) 42; x 543+++335xxx ++84x xx+ 23− 26
28. Chương II Ma trận - Định thức - Hệ phương trình tuyến tính II.1 Ma trận II.1.1 Các khái niệm - Ma trận là một bảng số gồm m hàng n cột. Ma trận ấy còn được gọi là ma trận cấp m x n. ⎛⎞31 ⎛⎞120− ⎜⎟ Ví dụ: ⎜⎟ là ma trận cấp 2 × 3; ⎜⎟45 là ma trận cấp 3 × 2. ⎝⎠311 ⎜⎟ ⎝⎠01− - Ma trận mà có một hàng hay một cột thì người ta thường hay gọi là ma trận hàng hay ma trận cột. ⎛⎞1 ⎜⎟ Ví dụ: ⎜⎟0 là ma trận cột cấp 3 × 1; (4107) là ma trận hàng cấp 1 × 4. ⎜⎟ ⎝⎠5 - Các ma trận thường được ký hiệu bằng các chữ hoa A, B, C, . - Giả sử A là ma trận cấp m × n, tức A là bảng số có dạng ⎛⎞aaa11 12 13 a 1n ⎜⎟ ⎜⎟aaa21 22 23 a 2n A = ⎜⎟aaa31 32 33 a 3n ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠aaam1 m2 m3 a mn Khi đó các số có mặt trong ma trận A được gọi là các phần tử của A; còn aij (Phần tử aij ) là phần tử ở hàng i cột j (i = 1, 2, , m), (j = 1, 2, , n). Ma trận A cấp m × n còn được viết gọn lại A = . Tập các ma trận cấp m × n (aij )mn× ký hiệu là Mat(m × n). Các phần tử của ma trận có thể là số thực hoặc số phức. Ở dây chỉ xét các ma trận mà các phần tử là thực, tức là chỉ xét các ma trận thực. - Ma trận cấp m × n mà các phần tử đều bằng không được gọi là ma trận không. Ký hiệu là O (cấp m × n). Vậy O = , trong đó a = 0, i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n. (aij )mn× ij 27
29. ⎛⎞000 Ví dụ: ⎜⎟ là ma trận cấp 2 × 3. ⎝⎠000 - Giả sử ta có ma trận A = . Khi đó ma trận − được gọi là ma trận đối ()aij mn× ( aij )mxn của ma trận A. Ký hiệu: - A. - Cho hai ma trận A = , B = . Khi đó ta nói A = B khi và chỉ khi a = b , ()aij mn× (bij )mn× ij ij i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n. ⎛⎞⎛⎞10− 2 abc Ví dụ: ⎜⎟⎜⎟=⇔===−==−=ab1, 0, c 2, de 1, 2, f 3 . ⎝⎠⎝⎠123− def - Cho ma trận A = . Ma trận có được từ A bằng cách đổi hàng thành cột và ()aij mn× đổi cột thành hàng mà vẫn giữ nguyên thứ tự của các phần tử được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A. Ký hiệu là At. Vậy A = suy ra t = ()aij mn× A ()aij nm× ⎛⎞11 ⎛⎞10− 2 t ⎜⎟ Ví dụ: Nếu ma trận A = ⎜⎟ thì ma trận chuyển vị của A là A =−⎜⎟02 ⎝⎠123− ⎜⎟ ⎝⎠−23 - Ma trận có số hàng bằng số cột và bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n. Vậy nếu A là ma trận vuông cấp n thì A có dạng ⎛⎞aa11 12 a 1n ⎜⎟ aa21 22 a 2n A = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠aan1 n2 ann Khi đó các phần tử a11, a22, , ann được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận A. Ma trận vuông cấp n có tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng một còn các phần tử khác bằng không được gọi là ma trận đơn vị cấp n. Ma trận đơn vị thường được ký hiệu bằng chữ I (Identity). ⎛⎞100 ⎛⎞10 ⎜⎟ Ví dụ: ⎜⎟ là ma trận đơn vị cấp 2; ⎜⎟010 là ma trận đơn vị cấp 3. ⎝⎠01 ⎜⎟ ⎝⎠001 Ma trận vuông mà các phần tử nằm ngoài đường chéo chính của nó đều bằng không được gọi là ma trận đường chéo. Ký hiệu: (Diaganal) Dg(a11, a22, , ann). 28
30. ⎛⎞100 ⎜⎟ Ví dụ: Dg(1, 2, 3) = ⎜⎟020. ⎜⎟ ⎝⎠003 Ma trận đơn vị là trường hợp đặc biệt của ma trận đường chéo. t Ma trận vuông A gọi là ma trận đối xứng nếu (A )ij = (A)ji, với ∀i, j = 1, 2, , n (Hay nói một cách khác ma trận đối xứng là ma trận mà các phần tử tương ứng nằm đối xứng với các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng nhau tương ứng). ⎛⎞1057 ⎛⎞124 ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟0426 Ví dụ: A = ⎜⎟235; B = là các ma trận đối xứng ⎜⎟⎜⎟5253 ⎝⎠452 ⎜⎟ ⎝⎠7639 - Ma trận vuông mà các phần tử nằm dưới đường chéo chính đều bằng không được gọi là ma trận tam giáctrên; còn ma trận vuông mà các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng không được gọi là ma trận tam giác dưới. ⎛⎞123 ⎛⎞100 ⎜⎟ ⎜⎟ Ví dụ: ⎜⎟056 là ma trận tam giác trên cấp 3 × 3; ⎜⎟230 là ma trận tam giác ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠001 ⎝⎠453 dưới cấp 3 × 3. - Ma trận bậc thang là ma trận mà các hàng khác không (nếu có) luôn ở trên các hàng bằng không; trên hai hàng khác không thì phần tử khác không đầu tiên ở hàng dưới bao giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên ở hàng trên. ⎛⎞25− 403 ⎛⎞13− 1 ⎛⎞−1021 ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟01376 Ví dụ: A = ⎜⎟02 5; B = ⎜⎟0570; C = là các ma trận ⎜⎟⎜⎟⎜⎟00 0 59 ⎝⎠00 4 ⎝⎠0001 ⎜⎟ ⎝⎠00000 bậc thang. - Ma trận A gọi là ma trận trực giao nếu AtA = I = AAt. Nếu A trực giao thì At = A – 1. Thật vậy, giả sử AtA = I. Khi đó ta có det(AtA) = det(I) = 1 ⇒ det(At)det(A) = 1 ⇒ det(A) ≠ 0. Do đó tồn tại ma trận nghịch đảo A – 1. Ta nhân bên phải hai vế của AtA = I với A – 1 ta được (AtA)A – 1 = IA – 1 = A – 1 ⇔ At(AA – 1) = A – 1; suy ra At = A – 1 Mặt khác, vì AA – 1 = I nên thay A – 1 = At; ta thấy AtA = I. Tương tự cho trường hợp AAt = I. ⎛⎞230− ⎛⎞01 0 1 ⎜⎟⎜⎟ Ví dụ : A = ⎜⎟32 0; B = ⎜⎟10 0 là các ma trận trực giao 13 ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠00 13 ⎝⎠00− 1 29
31. ⎛⎞01 0 ⎛⎞01 0 ⎜⎟t ⎜⎟ Thật vậy, với B = ⎜⎟10 0 thì B = ⎜⎟10 0 ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠00− 1 ⎝⎠00− 1 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞01 0 01 0 100 t ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ Do đó, ta có BB ===⎜⎟⎜⎟⎜⎟10 0 10 0 010 I ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠00−− 100 1 001 II.1.2 Các phép toán trên ma trận 1. Phép chuyển vị Cho A ∈ Mat(m × n). Khi đó chuyển vị của A là ma trận thuộc Mat(m × n) nhận được từ A bằng cách đổi hàng thành cột và cột thàng hàng với thứ tự các phần tử không thay đổi. Ký hiệu At (t : tranpose) ⎛⎞10 ⎛⎞113 t ⎜⎟ Ví dụ: A = ⎜⎟ ∈ Mat(2 × 3); A = ⎜⎟15 ∈ Mat(3 × 2); ⎝⎠051 ⎜⎟ ⎝⎠31 ⎛⎞103 ⎛⎞140 ⎜⎟ t ⎜⎟ B = ⎜⎟489 ∈ Mat(3 × 3); B = ⎜⎟081 ∈ Mat(3 × 3). ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠013 ⎝⎠393 2. Phép cộng ma trận Cho hai ma trận cùng cấp m × n: A = , B = . Tổng của A và B là một (aij )mn× (bij )mn× ma trận được ký hiệu A + B và được xác định AB+= + . (abij ij )mn× Ví dụ: Cho hai ma trận cùng cấp 2 × 3: ⎛⎞023 ⎛⎞10 7 2 A = ⎜⎟; B = ⎜⎟ ⎝⎠146 ⎝⎠393 ⎛⎞⎛⎞⎛0 2 3 10 7 2 0+++ 10 2 7 3 2 ⎞⎛⎞ 10 9 5 Khi đó AB+=⎜⎟⎜⎟⎜ + = ⎟⎜⎟ = là ma ⎝⎠⎝⎠⎝146 3 93 13+++ 4963 ⎠⎝⎠ 6139 trận cấp 2 × 3. Từ định nghĩa ta thấy phép cộng các ma trận có một số tính chất sau: i. A + O = A; ii. A + B = B + A; iii. A + (- A) = O; iv. (A + B) + C = A + ( B + C); Chú ý: - Các ma trận ở các tính chất trên đều cùng cấp. - Cho hai ma trận A = , B = . Khi đó ma trận A + (- B) được viết là A – B ()aij mn× (bij )mn× và được gọi là hiệu của A đối với B. Vậy: A – B = A + (- B). 30
32. 3. Phép nhân một số với một ma trận Cho ma trận A = và α ∈ R . Tích của α và ma trận A là một ma trận được ký ()aij mn× hiệu là ααA = . ()aij mn× ⎛⎞123− ⎛⎞246− Ví dụ: cho A = ⎜⎟. Khi đó ta có 2A = ⎜⎟. ⎝⎠010 ⎝⎠020 Từ định nghĩa trên ta thấy phép nhân một số với một ma trận có các tính chất sau: i. 1.A= A; ii. α.A = O khi và chỉ khi α = 0 hoặc A ≡ O; iii. (- 1).A = - A; iv. (α + β).A = α.A + β.A; v. α(βA) = (αβ).A; vi. α(A + B) = α.A + α.B; với α,β ∈ R và A, B cùng cấp. 4. Phép nhân các ma trận Cho hai ma trận A = , B = . Khi đó ma trận A.B là ma trận thuộc ()aik mn× (b kj )np× n Mat(n p) được tính như sau ab= a b , i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , p. × ( )ij∑ ()() ik kj k=1 Ví dụ: ⎛⎞12 ⎛⎞51 ⎛⎞⎛⎞⎛1 2 5 1 1.5++ 2.0 1.1 2.3 ⎞⎛⎞ 5 7 a) A = ⎜⎟; B = ⎜⎟; AB ==⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟ = ⎝⎠34 ⎝⎠03 ⎝⎠⎝⎠⎝3 4 0 3 3.5++ 4.0 3.1 4.3 ⎠⎝⎠ 15 15 ⎛⎞10 ⎛⎞123 ⎜⎟ ⎛⎞17 21 b) C = ⎜⎟; D = ⎜⎟23; CD = ⎜⎟ ⎝⎠456 ⎜⎟ ⎝⎠38 45 ⎝⎠45 Chú ý: Phép nhân các ma trận nói chung không có tính chất giao hoán. ⎛⎞123 ⎛⎞101 ⎛⎞19 19 9 ⎛⎞237 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟ Ví dụ: A = ⎜⎟405; B = ⎜⎟051; AB = ⎜⎟34 15 14 ; BA = ⎜⎟21 1 29 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠114 ⎝⎠632 ⎝⎠25 17 10 ⎝⎠20 14 41 Ta có một số tính chất sau dây i. A.I = A; ii. A.O = O; iii. (A + B)C = AC + BC; iv. (AB)t = BtAt; Ví dụ: ⎛⎞15 ⎛⎞21 t ⎛⎞17 t ⎛⎞20 tt ⎛⎞214 A = ⎜⎟; B = ⎜⎟; A = ⎜⎟; B = ⎜⎟; BA = ⎜⎟; ⎝⎠78 ⎝⎠03 ⎝⎠58 ⎝⎠13 ⎝⎠16 31 ⎛⎞216 t ⎛⎞214 AB = ⎜⎟; ()AB = ⎜⎟; ⎝⎠14 31 ⎝⎠16 31 31
33. II.2 Định thức II.2.1 Khái niệm về định thức - Cho ma trận vuông A cấp n ⎛⎞aa11 12 a 1n ⎜⎟ aa21 22 a 2n A = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠aan1 n2 ann Ma trận con của ma trận A là ma trận có được từ ma trận A sau khi đã bỏ đi một số hàng và cột bằng nhau. Trong ma trận A nói trên bằng cách bỏ đi hàng i cột j ta được ma trận của A là Mij và ma trận Mij là ma trận vuông cấp n – 1 và được gọi là ma trận con của A ứng với phần tử aij. Ví dụ: ⎛⎞aa11 12 a) Với A = ⎜⎟, ta có M11 = (a22); M12 = (a21); ⎝⎠aa21 22 ⎛⎞bbb11 12 13 ⎜⎟ ⎛⎞bb22 23 ⎛⎞bb21 23 b) Với B = ⎜⎟bbb21 22 23 , ta có M 11 = ⎜⎟; M 12 = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠bb32 33 ⎝⎠bb31 33 ⎝⎠bbb31 32 33 - Cho ma trận vuông A cấp n ⎛⎞aa11 12 a 1n ⎜⎟ aa21 22 a 2n A = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠aan1 n2 ann Khi đó định thức của A là một số được định nghĩa bằng qui nạp như sau + Cho A là ma trận vuông cấp một, tức là A = (a11). Định thức của ma trận A là một số được ký hiệu det(A) hay |A| và được xác định det(A) = |A| = a11. ⎛⎞aa11 12 + Cho A là ma trận vuông cấp hai có dạng A = ⎜⎟. Định thức của ma trận A ⎝⎠aa21 22 này là một số cũng được ký hiệu như trên và được xác định như sau det(A) = |A| = a11.det(M11) – a12.det(M12) = a11a22 – a12a21. Định thức của ma trận A còn được viết dưới dạng khác aa11 12 1+1 1+2 det(A) = |A| = = (- 1) a11det(M11) + (- 1) a12det(M11). aa21 22 ⎛⎞13 13 Ví dụ: Cho A = ⎜⎟; det(A )= =−=− 1.7 5.4 13 . ⎝⎠47 47 32
34. ⎛⎞aaa11 12 12 ⎜⎟ + Cho A là ma trận vuông cấp ba có dang A = ⎜⎟aaa21 22 23 . Định thức của A là ⎜⎟ ⎝⎠aaa31 32 33 một số được xác định như sau 1 + 1 1 + 2 1 + 3 det(A) = (- 1) a11det(M11) + (- 1) a12det(M12) + (- 1) a13det(M13) Có thể tính định thức của ma trận vuông cấp ba nói trên bằng qui tắc sau aaa11 12 13 aaa11 12 12 aaaaa 11 12 13 11 12 aaa21 22 23 aaa21 22 23== aaaaa 21 22 23 21 22 aaa31 32 33 = aaa31 32 33 aaaaa 31 32 33 31 32 aaa11 12 13 aaa21 22 23 =++−++[aaa11 22 33 aaa 12 23 31 aaa 13 21 32] [ aaa 13 22 31 aaa 11 23 32 aaa 12 21 33] =++−++[aaa11 22 33 aaa 21 32 13 aaa 31 12 23] [ aaa 13 22 31 aaa 23 32 11 aaa 33 12 21] (+) (–) (+) (–) Nguyên tắc là ta thêm hai hàng là hàng một và hàng hai theo đúng thứ tự một hai vào bên dưới hàng thứ ba sau đó ta lấy tổng của tích ba số hạng của các đường chéo (Những hàng chỉ có ba phần tử) song song với đường chéo chính (Kể cả đường chéo chính) trừ đi cho tổng của tích ba số hạng của các đường chéo (Những hàng chỉ có ba phần tử) song song với đường chéo phụ (là đường chéo đi ngược phía với đường chéo chính) (Kể cả đường chéo phụ); còn đối với trường hợp cột thì ta thêm hai cột là cột một và cột hai theo đúng thứ tự một hai vào bên phải cột thứ ba sau đó ta lấy tổng của tích ba số hạng của các đường chéo (Những hàng chỉ có ba phần tử) song song với đường chéo chính (kể cả đường chéo chính) trừ đi cho tổng của tích ba số hạng của các đường chéo (Những hàng chỉ có ba phần tử) song song với đường chéo phụ (là đường chéo đi ngược phía với đường chéo chính) (Kể cả đường chéo phụ). Chú ý: Phương pháp này chỉ dùng để nháp thôi chứ không ghi vào bài làm. Vì có một lý do tế nhị như sau: Định thức chỉ tính được cho ma trận vuông, do đó khi ta thêm hàng hay cột thì ta đã làm cho định thức lúc này không còn là định thức của ma trận vuông nữa. 33
35. Hoặc theo quy tắc Sarius (+) (–) ⎛⎞123 ⎜⎟ Ví dụ: Cho A =−⎜⎟210; ⎜⎟ ⎝⎠415 123 det(A )=− 2 1 0 =−+ 1.( 1).5 2.0.4 + 3.2.1 −−− 3.( 1).4 1.0.1 − 2.2.5 =− 7 415 + Tổng quát: cho A là ma trận vuông cấp n ( n ≥ 1) có dạng ⎛⎞aa11 12 a 1n ⎜⎟ aa21 22 a 2n A = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠aan1 n2 ann Định thức của ma trận này được xác định như sau 1 + 1 1 + 2 1 + 3 det(A) = (- 1) a11det(M11) + (- 1) a12det(M12) + (- 1) a13det(M13) + 1 + n + (- 1) a1ndet(M1n) i +1 i + 2 i + 3 = (- 1) a11det(M11) + (- 1) a12det(M12) + (- 1) a13det(M13) + i + n + (- 1) a1ndet(M1n). Định thức của ma trận vuông cấp n gọi là định thức cấp n. Chú ý: Vấn đề tính định thức trong phần này được trình bày theo cách khai triển theo hàng thứ nhất. Độc giả có thể tính định thức theo cách khai triển theo cột thứ nhất. II.2.2 Các tính chất cơ bản của định thức 1. Với A là ma trận vuông, phép chuyển vị không làm thay đổi giá trị của định thức của ma trận A; tức là ta có det(A) = det(At). Từ đó ta thấy một tính chất nào đó của một định thức đã đúng với các hàng thì tính chất ấy cũng đúng cho các cột. ⎛⎞105 ⎛⎞124 ⎜⎟t ⎜⎟ Ví dụ: Cho A = ⎜⎟231; A = ⎜⎟032 ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠425 ⎝⎠515 34
36. 105 124 det(A )==− 2 3 1 27; det(At )= 0 3 2=− 27 425 515 2. Nếu trong một định thức có một hàng hay một cột gồm toàn phần tử không (số 0) thì định thức đó bằng không. ⎛⎞10 10 Ví dụ: Cho A = ⎜⎟; det(A )= =−= 1.0 0.5 0 ⎝⎠50 50 ⎛⎞104 104 ⎜⎟ 07 57 50 B = ⎜⎟507; det(B )= 5 0 7=−+ 1 0 4 = 0 ⎜⎟ 02 92 90 ⎝⎠902 902 3. Nếu ta đổi chỗ hai hàng hay hai cột của một định thức cho nhau thì định thức đó đổi dấu. Ví dụ: ⎛⎞23 23 ⎛⎞32 32 Cho A = ⎜⎟; det(A )==− 11; A' = ⎜⎟; det(A ')== 11. ⎝⎠75 75 ⎝⎠57 57 ⎛⎞13 13 ⎛⎞57 57 B = ⎜⎟; det(B )==− 8; B' = ⎜⎟; det(B ')== 8. ⎝⎠57 57 ⎝⎠13 13 Hệ quả 2.1: Nếu trong một định thức có hai hàng hoặc hai cột như nhau thì định thức đó bằng không. ⎛⎞11 11 ⎛⎞57 57 Ví dụ: Cho C=⎜⎟; det(C )= = 0 ; D = ⎜⎟; det(D )== 0 . ⎝⎠22 22 ⎝⎠57 57 ⎛⎞131 131 ⎜⎟ 72 22 27 E = ⎜⎟272; det(E )= 2 7 2=−+= 1 3 1 0. ⎜⎟ 45 55 54 ⎝⎠545 545 4. Nếu ta nhân các phần tử của một hàng hay một cột của một định thức với cùng một số thì giá trị của định thức được nhân lên với chính số đó (Khẳng định đó cũng có nghĩa là nếu một hàng hay một cột của một định thức có một thừa số chung thì ta có thể đưa thừa số chung đó ra ngoài dấu định thức). ⎛⎞37 37 Ví dụ: Cho A = ⎜⎟; det(A )= =− 29 ; ⎝⎠89 89 35
37. ⎛⎞67 67 A' = ⎜⎟; det(A ')= =− 58. ⎝⎠16 9 16 9 Hệ quả 2.2: Nếu trong một định thức có hai hàng hoặc hai cột tỷ lệ với nhau thì định thức đó bằng không. Ví dụ: ⎛⎞13 5 13 5 ⎜⎟ 610 210 26 A = ⎜⎟2610; det(A )==−+= 2 6 10 1 3 5 0 ⎜⎟ 47 07 04 ⎝⎠04 7 04 7 5. Nếu định thức có các hàng hay cột có dạng tổng của hai số hạng thì ta có thể phân tích thành tổng của hai định thức. ⎛⎞1326+ 1326+ 136 126 ⎜⎟ Ví dụ: A =+⎜⎟0157; det(A )=+= 0 1 5 7 0 1 7 + 0 5 7 ⎜⎟ ⎝⎠2479+ 2479+ 249 279 Hệ quả 2.3: Trong một định thức nào có một hàng hay một cột là tổ hợp tuyến tính của các hàng hoặc cột còn lại thì định thức đó bằng không. ⎛⎞101 101 ⎜⎟ 31 41 43 Ví dụ: A = ⎜⎟431; det(A )= 4 3 1=−+= 1 0 1 0. ⎜⎟ 23 53 52 ⎝⎠523 523 Hệ quả 2.4: Nếu ta nhân một hàng hay một cột của một định thức với cùng một số rồi cộng vào hàng hay cột khác thì giá trị định thức không đổi. ⎛⎞127 127 ⎜⎟ 32 42 43 Ví dụ: A = ⎜⎟432; det(A )==−+= 4 3 2 1 2 7 26 . ⎜⎟ 69 59 56 ⎝⎠569 569 127 1 2 7 →− −−52602605 − − 432⎯hh⎯⎯⎯⎯224 h 1→−−= 0 5 261 − 2 + 7 = 26 69 59 56 569 5 6 9 6. Đối với ma trận tam giác trên hoặc ma trận tam giác dưới thì định thức của nó bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính. 36
38. a11 00 aa11 12 a 1n a21a 22 0 0 aa22 2n = aa11 22 ann ; = aa11 22 ann . aan1nnn 2 a 00 0 Đặc biệt định thức của ma trận đơn vị bằng một. ⎛⎞100 100 ⎜⎟ Ví dụ: A = ⎜⎟320; det(A )= 3 2 0== 1.2.3 6 ⎜⎟ ⎝⎠453 453 ⎛⎞413 413 ⎜⎟ B = ⎜⎟056; det(B )=== 0 5 6 4.5.7 140 ⎜⎟ ⎝⎠007 007 Chú ý: - Khi tính giá trị các định thức, đặc biệt là các định thức cấp cao, ít khi ta áp dụng trực tiếp định nghĩa vì nó quá phức tạp nên ta tính các định thức ấy bằng cách áp dụng các tính chất vừa nêu. - Mặc dù phép nhân các ma trận nói chung không có tính chất giao hoán nhưng tuy nhiên, người ta đã chứng minh được rằng trong trường hợp các phép nhân AB và BA thực hiện được, tức là A và B là hai ma trận cùng cấp thì ta có det(AB) = det(BA) = det(A)det(B). ⎛⎞21 21 ⎛⎞56 56 Ví dụ : Với A = ⎜⎟; det(A )= = 6 ; B = ⎜⎟; det(B )== 11. ⎝⎠03 03 ⎝⎠−11 −11 Khi đó ta có ⎛⎞⎛⎞⎛⎞21 5 6 9 13 913 AB ==⎜⎟⎜⎟⎜⎟; det(AB )= = 66 ⎝⎠⎝⎠⎝⎠03−− 11 3 3 −33 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞5 6 2 1 10 23 10 23 BA ==⎜⎟⎜⎟⎜⎟; det(BA )== 66 ⎝⎠⎝⎠⎝⎠−−11 03 2 2 −22 Vậy det(AB) = det(BA) = det(A)det(B) II.2.3 Ma trận nghịch đảo - Cho A là ma trận vuông cấp n. Ma trận nghịch đảo của A được ký hiệu là A- 1 và được xác định sao cho A.A- 1 = A- 1.A = I. Định lý 2.1: Nếu A khả nghịch thì A- 1 là duy nhất và det(A) ≠ 0 (A không suy biến). Chứng minh: Giả sử B là ma trận nghịch đảo của A. Suy ra BA = AB = I và A- 1A = AA- 1 = I Ta có B = BI = B(AA- 1) = (BA)A- 1 = IA- 1 = A- 1(duy nhất) Ta lại có AA- 1 = I nên det(AA- 1) = det(I) =1 Suy ra det(A)det(A- 1) = 1. Từ đó suy ra det(A) ≠ 0. 37
39. - Cho A ∈ Mat(n × n) và det(A) ≠ 0. Khi đó tồn tại A- 1 và ⎛⎞b11bb 21 n1 ⎜⎟ 1 bb12 22 b n2 A −1 = ⎜⎟ det(A ) ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠b1nbb 2nnn ij+ trong đó bij =−()1 det ()M ij là phần bù đại số. Ví dụ: ⎛⎞112− ⎜⎟ 70 30 a) Cho A = ⎜⎟370. Khi đó phần bù đại số của 1 là , của – 1 là − , ⎜⎟ −51 21 ⎝⎠251− 37 của 2 là , (Minh họa theo hàng đầu tiên). 25− ⎛⎞12 - 1 b) Cho A = ⎜⎟. Tìm A . ⎝⎠35 - 1 −1 1 ⎛⎞⎛⎞bb11 21 bb 11 21 Ta có det(A) = - 1 ≠ 0 suy ra ∃A và A ==−⎜⎟⎜⎟ det(A ) ⎝⎠⎝⎠bb12 22 bb 12 22 Các phần dù đại số 1 + 1 1 + 2 b11 = (- 1) det(M11) = 5; b12 = (- 1) det(M12) = - 3 2 + 1 2 + 2 b21 = (- 1) det(M21) = - 2; b22 = (- 1) det(M22) = 1 −1 ⎛⎞⎛⎞52−− 52 Suy ra A =−⎜⎟⎜⎟ = ; ⎝⎠⎝⎠−−31 3 1 -1 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞12− 5 2 10 AA ===⎜⎟⎜⎟⎜⎟I ⎝⎠⎝⎠⎝⎠35 3− 1 01 ⎛⎞−12− 1 ⎜⎟ c) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A =−⎜⎟25 6. ⎜⎟ ⎝⎠851 −−12 1 Ta có det(A )=− 2 5 6 = 175 ≠ 0 , do đó A- 1 tồn tại và A- 1 được tính như sau 851 38
40. ⎛−−⎞56 21 21 ⎜⎟+− + ⎜⎟51 51 56 ⎛⎞−−25 7 17 11⎜⎟−−−−−26 1 1 1 1 −1 ⎜⎟⎜⎟ A =− + − =⎜⎟50 7 8 = det(A )⎜⎟81 8 1− 26 175 ⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠−−50 21 1 ⎜⎟−−25 12 − 12 ⎜⎟+− + ⎝⎠85 85− 25 ⎛⎞1717 −− ⎜⎟7175175 ⎜⎟ 27 8 = ⎜⎟ ⎜⎟7 175 175 ⎜⎟ 2211 ⎜⎟−− ⎝⎠7 175 175 II.3 Hệ phương trình tuyến tính II.3.1 Các khái niệm - Hệ phương trình tuyến tính là một hệ (Gồm m phương trình bậc nhất n ẩn) có dạng ⎧ax11 1+++= ax 12 2 ax 1nn b 1 ⎪ ⎪ax21 1+++= ax 22 2 ax 2nn b 2 ⎨ (2.1) ⎪ ⎪ ⎩axmm11+++= ax 2 2 ax mnnm b Trong đó các x1, x2, , xn là ẩn số; aij là các hệ số của xj; còn bi gọi là các số hạng tự do. - Nghiệm của hệ phương trình là một bộ n giá trị x1, x2, , xn đồng thời thỏa mãn tất cả các phương trình của hệ. - Giải hệ phương trình (2.1) là tìm tất cả các nghiệm của nó hoặc chỉ ra rằng hệ đó vô nghiệm. - Trong trường hợp các hệ số hoặc các số hạng tự do của hệ (2.1) phụ thuộc tham số ta còn gặp bài toán giải và biện luận hệ phương trình đó. Giải và biện luận hệ phương trình đang xét xem trường hợp nào hệ phương trình vô nghiệm, trường hợp nào có nghiệm và nếu hệ có nghiệm thì ta cần tìm nghiệm của hệ. - Nếu các hệ số tự do của hệ (2.1) bằng không thì hệ được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. - Gọi A, X, B là các ma trận sau 39
41. ⎛⎞aa11 12 a 1n ⎛⎞x1 ⎛⎞b1 ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟aa21 22 a 2n ⎜⎟x 2 ⎜⎟b 2 A ==()aij ; X = ; B = mn× ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠aam1 m2 amn ⎝⎠x n ⎝⎠b m Ta thấy hệ (2.1) còn được viết lại dưới dạng phương trình ma trận như sau AX = B. II.3.2 Hệ phương trình Cramer Hệ phương trình Cramer là một hệ phương trình tuyến tính có dạng ⎧ax11 1+++= ax 12 2 ax 1nn b 1 ⎪ ⎪ax21 1+++= ax 22 2 ax 2nn b 2 ⎨ (2.2) ⎪ ⎪ ⎩axnn11+++= ax 2 2 ax nnnn b Định lý 2.2 (Cramer): Hệ phương trình Cramer (det(A) ≠ 0, A là ma trận hệ cấp n x det(A j ) n) bao giờ cũng có nghiệm duy nhất tính bằng công thức x j ==(1,2,,)jn và det(A ) A là ma trận các hệ số; Aj là ma trận có được từ ma trận A sau khi bỏ đi cột thứ j và thay vào đó cột số hạng tự do. Ví dụ: Giải hệ phương trình sau ⎧xxx123−+=1 ⎪ ⎨2xxx123+ +=2 ⎪ ⎩32xx12+ += x 30 111− 11 21 21 Ta có det(A )==−−+=≠ 2 1 1 1 ( 1) 1 1 0 12 32 31 312 Suy ra hệ là hệ Cramer. Ta có 111− 111 111− det(A1 )== 2 1 1 7 ; det(A2 )= 2 2 1=− 3 ; det(A3 )= 2 1 2=− 9 012 302 310 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x12= 7;xx=− 3; 3 =− 9 . Chú ý: Gọi 40
42. ⎛⎞aa11 12 a 1n ⎛⎞x1 ⎛⎞b1 ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟aa21 22 a 2n ⎜⎟x 2 ⎜⎟b 2 A ==()aij ; X = ; B = mn× ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠aan1 n2 ann ⎝⎠x n ⎝⎠b n Ta thấy hệ phương trình (2.2) được viết lại như sau AX = B, từ đó ta có X = A- 1B (nhân hai vế với A- 1 vào vế trái). Ví dụ : Giải hệ phương trình sau ⎧xyz++=254 ⎪ ⎨25107xy+ += z ⎪ ⎩xy++3114 z = 12 5 Ta có det(A )==≠ 2 5 10 6 0 , suy ra A không suy biến và do đó ma trận A- 1 tồn 1311 tại. Ta có ⎛⎞510 2 5 2 5 +−+ ⎜⎟⎛⎞25 7 5 ⎜⎟311 311 510 −− ⎜⎟666 1 ⎜⎟210 1 5 1 5 ⎜⎟ A −1 =−⎜⎟ +−=−⎜⎟21 0 det(A ) ⎜⎟111 111 210 ⎜⎟ ⎜⎟111 25 12 12 ⎜⎟− ⎜⎟⎝⎠666 ⎜⎟+−+ ⎝⎠13 13 25 ⎛⎞⎛⎞25 7 5 31 ⎧ 31 −− x = ⎛⎞x ⎜⎟⎜⎟666 ⎛⎞4 6 ⎪ 6 ⎜⎟−1 ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎪ Vậy Xy==⎜⎟A B =−⎜⎟⎜⎟21 07 ⎜⎟ =− 1; suy ra ⎨y = −1 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎪ ⎝⎠z 11141 ⎝⎠ 1 ⎜⎟⎜⎟− ⎪z = ⎝⎠⎝⎠666 6 ⎩ 6 II.3.3 Hạng của ma trận - Cho A ∈ Mat(m × n). Ta giữ lại p hàng và p cột bất kỳ (1≤ p ≤ min(m, n)) của A, ta được ma trận vuông cấp p của A. Ma trận này được gọi là ma trận vuông con cấp p của A và định thức của nó cũng được gọi là định thức con cấp p của A. ⎛⎞1021 ⎜⎟ Ví dụ: Cho ma trận A =−⎜⎟3462; ⎜⎟ ⎝⎠−−1231 − 41
43. ⎛⎞10 ⎛⎞42 Các ma trận ⎜⎟; ⎜⎟, là các ma trận con cấp hai của A. ⎝⎠−34 ⎝⎠−24 - Cho ma trận A = . Hạng của ma trận A là một số bằng cấp cao nhất của các ()aij mn× định thức con khác không của A. Hạng của ma trận A ký hiệu là r(A) (Rank(A)). ⎛⎞2317 231 ⎜⎟ Ví dụ: Cho A = ⎜⎟0156; Ta có 015= 920≠ nên r(A) = 3. Vì A có định ⎜⎟ ⎝⎠9431 943 thức con cấp ba khác không là cấp cao nhất. - Cách tìm hạng của một ma trận Ký hiệu A → T là phép biến đổi sơ cấp trên hàng của A để thành T. Cụ thể là đổi chỗ hai hàng hoặc nhân một hàng với một số khác không hoặc cộng một hàng với một hàng khác nhân hệ số. Chú ý: Hạng của ma trận không đổi qua phép biến đổi sơ cấp. Ví dụ: ⎛⎞21324−− ⎜⎟ a) Cho A =−⎜⎟42517 ⎜⎟ ⎝⎠21182− 21324−−→− 21324 − − ⎛⎞⎛⎞hh222 h 1 →− →− ⎜⎟⎜⎟hhh331 hhh 332 A =−⎜⎟⎜⎟42517 ⎯⎯⎯⎯⎯→ 00151 − − ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠2−−− 1182 00 2102 ⎛⎞21324−− →− hhh332⎜⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯→−−=⎜⎟00 15 1 T ⎜⎟ ⎝⎠00 0 0 0 Vậy r(A) = r(T) = 2. ⎛⎞11 1 1 ⎜⎟ 12−− 1 1 b) Cho B = ⎜⎟. Tìm r(B) ⎜⎟10 3 3 ⎜⎟ ⎝⎠21 4 4 →− ⎛⎞⎛11 1 1hhh221 1 1 1 1 ⎞ →− →+ ⎜⎟⎜hhh331 ⎟ hhh 332 12−− 1 1→− 0 1 −− 2 2 →+ B =⎜⎟⎜ ⎯⎯⎯⎯⎯hh442 h 1→ ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯ hhh 442→ ⎜⎟⎜1033 0122− ⎟ ⎜⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝2144 0122− ⎠ 42
44. ⎛⎞11 1 1 →+ hhh332⎜⎟ →+ 01−− 2 2 ⎯hhh⎯⎯⎯⎯442→=⎜⎟T ⎜⎟00 0 0 ⎜⎟ ⎝⎠00 0 0 Suy ra r(B) = r(T) = 2. Nhận xét: Dùng phương pháp biến đổi sơ cấp trên hàng để tính ma trận nghịch đảo. Cho A ∈ Mat(n × n); I ∈ Mat(n × n). Viết (A | I) → (I | B) (biến đổi sơ cấp trên hàng). Khi đó A- 1 = B. ⎛⎞123 ⎜⎟ Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của A = ⎜⎟253 ⎜⎟ ⎝⎠108 Ta dùng phương pháp biến đổi sơ cấp trên hàng như sau ⎛⎞⎛123100→− 1 2 31 00 ⎞ hh222 h 1 →− →+ ⎜⎟⎜hhh331 ⎟ hh 332 h 2 ⎜⎟⎜253010⎯⎯⎯⎯⎯→ 0 1 − 3210 − ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝108001 0−− 2 5 101 ⎠ ⎛⎞⎛⎞12 31 00 12 31 0 0 →+ → →+ hh3323 h 2⎜⎟⎜⎟ h 3− h 3 hh 22 h 3 ⎯⎯⎯⎯⎯→⎜⎟⎜⎟01 − 3210 − ⎯⎯⎯⎯→−−⎯⎯→ 01 32 1 0 ⎯⎯⎯ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠00−− 1521 00 15 − 2 − 1 ⎛⎞⎛−⎞12310 0 10325106 →+ →− →− hh2233 h 3⎜⎟⎜⎟hh112 h 2 hh11 h 3 ⎯⎯⎯⎯⎯→⎜⎟⎜⎟0101353 − − ⎯⎯⎯⎯⎯→ 0101353 − − ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠0015−− 2 1 0015 −− 2 1 ⎛−10040169 ⎞ →− hh113 h 3⎜⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯→−−⎜⎟010135 3 ⎜⎟ ⎝⎠0015−− 2 1 ⎛⎞−40 16 9 −1 ⎜⎟ Vậy A ==B ⎜⎟13 − 5 − 3 . ⎜⎟ ⎝⎠521−− II.3.4 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính - Hệ phương trình tuyến tính tổng quát Xét hệ phương trình tuyến tính 43
45. ⎧ax11 1+++= ax 12 2 ax 1nn b 1 ⎪ ⎪ax21 1+++= ax 22 2 ax 2nn b 2 ⎨ (2.3) ⎪ ⎪ ⎩axmm11+++= ax 2 2 ax mnnm b Với hệ (2.3), ta thành lập các ma trận sau ⎛⎞aa11 12 a 1n ⎛⎞aab11a 1n 1 ⎜⎟⎜⎟ aa21 22 a 2n aa21 22 ab 2n 2 A = ⎜⎟; AAB==()⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠aan1 n2 ann ⎝⎠aam1 m2 ab mn m Ma trận A được gọi là ma trận bổ sung của ma trận A (hay ma trận mở rộng). Sau đây chúng ta đề cập đến định lý nói về vấn đề nghiệm của hệ phương trình và hạng của ma trận. Định lý 2.3: i. Hệ (2.3) có duy nhất nghiệm khi và chỉ khi r(A) = r(⎯A) = n. ii. Hệ (2.3) có vô số nghiệm khi và chỉ khi r(A) = r(⎯A) < n. iii. Hệ (2.3) vô nghiệm khi và chỉ khi r(A) < r(⎯A). Nhận xét: Để tiện cho việc tính toán, thay vì viết hệ phương trình tuyến tính người ta viết ma trận mở rộng, thay vì dùng phép biến đổi sơ cấp trong hệ phương trình tuyến tính thì thường dùng phép biến đổi sơ cấp hàng trên ma trận mở rộng. - phương pháp Gauss Lần lượt chọn các phần tử chính (Trên các hàng của ma trận mở rộng) và khử dần các số hạng dưới phần tử chính bằng các phép biến đổi sơ cấp hàng để đưa ma trận mở rông đến dạng bậc thang. Ví dụ: Giải hệ phương trình ⎧x −+−=yzt2 ⎪ ⎪xzt++20 = ⎨ ⎪−+xyzt227 − + =− 7 ⎩⎪23xyz−− = Ta có →− ⎛−11112 −⎞hhh221 ⎛− 11112 −⎞ →+ →− ⎜⎟⎜⎟hhh331 hhh 332 10120→− 01032− →− A =⎜⎟⎜⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯hh442 h 1→ ⎯⎯⎯⎯⎯ hhh 442→ ⎜⎟⎜⎟−−−12 277 01 −− 165 ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠21103−− 01321 − − 44
46. ⎛−11112 − ⎞ ⎛− 11112 − ⎞ →− → hhh332⎜⎟⎜⎟hh33− →− 01 0 32− →− 010 3− 2 ⎯⎯⎯⎯⎯hhh442→⎜⎟⎜⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯hh443 h 3→ ⎜⎟⎜⎟00−− 133 001 − 33 ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠00−− 3 11 000 − 1010 Hệ tương đương ⎧⎧x −+−=yzt22 x = ⎪⎪ ⎪⎪yt+=−=32 y 1 ⎨⎨⇔ ⎪⎪zt−=33 z = 0 ⎩⎩⎪⎪− 10tt==− 10 1 Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = 2;yzt===− 1; 0; 1 45
47. Bài tập ⎛⎞23 ⎛⎞10 ⎛⎞78 ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ 1. Cho A = ⎜⎟56; B = ⎜⎟31; C =−⎜⎟32 ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠78 ⎝⎠−14 ⎝⎠91 Tính a) A – B; b) 2B + C; c) A + B – C; d) Tìm At, Bt, Ct; 2. Tính AB, ABC, với ⎛⎞10 ⎛⎞123 ⎜⎟ ⎛⎞256 ⎛⎞113 ⎜⎟ a) A = ⎜⎟75; B = ⎜⎟; b) A = ⎜⎟; B =−⎜⎟532 ⎜⎟ ⎝⎠910 ⎝⎠−321 ⎜⎟ ⎝⎠43 ⎝⎠703 ⎛⎞132− ⎛⎞256 ⎜⎟⎜⎟ c) A =−⎜⎟341; B =−⎜⎟413; ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠253− ⎝⎠965 ⎛⎞−−574 ⎛⎞212 ⎛⎞521 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ d) A =−⎜⎟8168; B = ⎜⎟122; C =−⎜⎟321 − ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠13− 4 ⎝⎠218 ⎝⎠−−113 ⎛⎞23 3 2 3. a) Cho ma trận A = ⎜⎟ và f(x) = x + 3x – 4x – 1. Hãy tính f(A). ⎝⎠34− ⎛⎞21− 2 b) Cho ma trận B = ⎜⎟ và f(y) = y – 5y + 3. Hãy tính f(B). ⎝⎠−33 ⎛⎞21− 1 ⎜⎟ 4 2 c) Cho ma trận C = ⎜⎟12 3 và f(z) = z + 2z + 2z – 3. Hãy tính f(C). ⎜⎟ ⎝⎠21− 4 4. Tính n n n ⎛⎞11 ⎛⎞cosα − sinα ⎛⎞λ 1 a) A = ⎜⎟; b) A = ⎜⎟; c) A = ⎜⎟; ⎝⎠01 ⎝⎠sinα cosα ⎝⎠0 λ n n n ⎛⎞31 ⎛⎞21− ⎛⎞21 d) A = ⎜⎟; e) A = ⎜⎟; f) A = ⎜⎟; ⎝⎠03 ⎝⎠32− ⎝⎠−−52 5. Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp giao hoán (AB = BA). Hãy chứng minh rằng a) A2 – B2 = (A + B)(A – B); b) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2; 46
48. n nn12−−122nn− n n c) ()AB+=+A CCnnAABB B + ++ C n ⎛⎞001 ⎛⎞101 2004 ⎜⎟ 2004 ⎜⎟ 6. a) Tính A , với A =−⎜⎟100; b) Tính B , với B =−⎜⎟110; ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠010− ⎝⎠011− ⎛⎞121− ⎛⎞210 100 ⎜⎟ 100 ⎜⎟ c) Tính C , với C =−⎜⎟110; d) Tính D , với D = ⎜⎟010 ; ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠010− ⎝⎠002 ⎛⎞ab 7. Cho A = ⎜⎟, với a, b, c là các số thực. Hãy tìm tất cả các giá trị của a, b, c sao ⎝⎠0 c cho tồn tại n thuộc N để An = I. ⎛⎞ab 2 8. Chứng minh rằng ma trận A = ⎜⎟ thỏa mãn phương trình X – (a + d)X + ⎝⎠cd (ad – bc)I = 0. 9. Tìm ma trận vuông cấp hai X sao cho 2 2 ⎛⎞12 a) X = 0; b) X = I; c) XA = AX, với A = ⎜⎟; ⎝⎠25 10. Xác định xem trong các ma trận sau ma trận nào là ma trận trực giao ⎛⎞110− ⎛⎞212 1 ⎛⎞34 1 ⎜⎟ 1 ⎜⎟ a) ⎜⎟; b) ⎜⎟11 0; c) ⎜⎟−221; 5 ⎝⎠43− 2 ⎜⎟ 3 ⎜⎟ ⎝⎠00 2 ⎝⎠−−122 ⎛⎞1111 ⎛⎞111− 1 ⎛⎞011 ⎜⎟ ⎜⎟ 1 ⎜⎟ 1 ⎜⎟11− 1− 1 1 ⎜⎟11− 11 d) ⎜⎟101; e) ; f) ; 2 ⎜⎟ 2 ⎜⎟1111− − 2 ⎜⎟1111− ⎝⎠110 ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠1111−− ⎝⎠−11 1 1 11. Hãy tìm x, y, z, t để các ma trận sau là ma trận trực giao ⎛⎞122 ⎛⎞623 −− − − ⎜⎟333 ⎜⎟777 ⎛⎞−−1111 ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ 221 36 2 1 1− 111 a) ⎜⎟−− ; b) ⎜⎟− ; c) ⎜⎟; ⎜⎟333 ⎜⎟77 7 2 ⎜⎟11− 11 ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟x yz x yz x yzt ⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ 47
49. ⎛⎞0111 ⎜⎟ 1 101− 1 d) ⎜⎟; 3 ⎜⎟1101− ⎜⎟ ⎝⎠x yzt 12.Tính 0111 14 3 1 abc 1 aa23 1011 a) ; b) 25 7; c) 1 bca; d) 1 bb23; 1101 6912 1 cab 1 cc23 1110 abc1 1 a a3 x + ax x bca1 e) 1bb3 ; f) x xb+ x; g) cab1 ; 1cc3 x xxc+ bc+++ ca ab 1 222 10305 027− 18 h) −−24 150 13047 91234− 13. Chứng minh đẳng thức 2 ()ab+ cc22 23 aa22()b+c=++ 2abc() a b c ; 2 bb22()a+c 12− 10 4157− 14. Cho Δ= . Tính các định thức sau qua Δ 56 2 3 37 9− 1 2101− 0121− −15 74 75− 14 a) b) 6235 3265 79− 13 −19 73 48
50. 15. Giải phương trình 11 1 1 x 2 111 12x 23 4 x 111x 2 a) −−=x 310; b) = 0 ; c) = 0 ; 4916x 2 11x 2 1 313− 82764x 3 111x 2 1 x xx23 12 4 8 d) = 0 ; 13 9 27 1 4 16 64 16. Chứng minh các đẳng thức sau bc+++ ca ab a b c 11abc aa2 a) bc''+++= ca '' ab ''2'' a b c '; b) 11bca= bb2 ; bc''+++ '' ca '' '' ab '' '' a '' b '' c '' 11cab cc 2 11aa23a a 2 11aaaa32 c) 1()1bb23=++ab bc ca b b 2; d) 1bbb32=++ (abc )1b ; 11cc23c c 2 1ccc32 1c abcd −−ba d c 2 e) =+++()abcd2222; −−cdab −−dc ba aacac11+−bbxx 11 1 1 b 11 f) aacabc22+−bbxx 22 2 =−2 x 222; aacabc33+−bbxx 33 3 333 aabcac11bb 1xy++ 1 1 111 g) aba222xy++= b 2 c 2 abc 222; aba333xy++ b 3 c 3 abc 333 aac11++bbxx 1 11 ac 1 b 11 2 h) aacxabc22++=−bbxx 2 22(1 ) 222; aac33++bbxx 3 33 abc 333 49
51. ⎛⎞213− ⎜⎟ 3 2 17. Cho A = ⎜⎟245. Tính det(2A – 3A ). ⎜⎟ ⎝⎠−120 18. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu tồn tại) của các ma trận sau ⎛⎞35 1 ⎛⎞231− ⎛⎞311 ⎛⎞23 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ a) ⎜⎟; b) ⎜⎟12− 2; c) ⎜⎟41− 2; d) ⎜⎟131; ⎝⎠−21 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠11 4 ⎝⎠622− ⎝⎠113 ⎛⎞2103− ⎛⎞1349 ⎛⎞211 ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟1121− ⎜⎟−26 0 3 e) ⎜⎟121; f) ; g) ; ⎜⎟ ⎜⎟−1231 ⎜⎟0725 ⎝⎠112 ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠0121 ⎝⎠14− 10 ⎛⎞1111 ⎛⎞−11 1 1 ⎛⎞12 3 4 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ 11−− 1 1 1111− 23 1 2 h) ⎜⎟; j) ⎜⎟; k) ⎜⎟; ⎜⎟1111−− ⎜⎟11− 11 ⎜⎟11 1− 1 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠1111−− ⎝⎠111− 1 ⎝⎠1026−− ⎛⎞12− 2 ⎜⎟ – 2 19. a) Cho A = ⎜⎟21 2. Hãy tính A . ⎜⎟ ⎝⎠11 2 ⎛⎞−11 1 1 ⎜⎟ 1 1111− b) Cho B = ⎜⎟. Hãy tính tổng M = B – 100 + B – 99 + + B 99 + B100. 2 ⎜⎟11− 11 ⎜⎟ ⎝⎠111− 1 20. Chứng minh rằng nếu a, b, c, d không đồng thời bằng không thì ma trận sau khả ⎛⎞ab c d ⎜⎟ badc−− nghịch A = ⎜⎟. ⎜⎟cd−− a b ⎜⎟ ⎝⎠dcba−− 21. Giải các phương trình ma trận sau ⎛⎞⎛25 4− 6 ⎞ ⎛⎞⎛⎞32−− 12 ⎛⎞⎛⎞46 11 a) ⎜⎟⎜X = ⎟; b) X ⎜⎟⎜⎟= ; c) ⎜⎟⎜⎟X = ; ⎝⎠⎝13 2 1 ⎠ ⎝⎠⎝⎠54−− 56 ⎝⎠⎝⎠69 11 50
52. ⎛⎞⎛⎞36 2 4 ⎛⎞⎛⎞23− 23 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞3− 1 5 6 14 16 d) X ⎜⎟⎜⎟= ; e) ⎜⎟⎜⎟X = ; f) ⎜⎟⎜⎟⎜⎟X = ; ⎝⎠⎝⎠48 918 ⎝⎠⎝⎠46 4− 6 ⎝⎠⎝⎠⎝⎠52− 78 910 ⎛⎞⎛⎞21−− 1 1 13 ⎛⎞⎛⎞12−− 3 1 30 ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ g) X ⎜⎟⎜⎟21 0= 432; h) ⎜⎟⎜⎟32−= 4X 1027; ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠111−− 125 ⎝⎠⎝⎠210− 1078 ⎛⎞⎛⎞531− 830 ⎛⎞⎛⎞312− 397 ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ j) X ⎜⎟⎜⎟132−−=− 590; k) ⎜⎟⎜⎟433−=X 1117; ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠−−52 1 2150 ⎝⎠⎝⎠130 757 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞231976−− 20 2 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ l) ⎜⎟⎜⎟⎜⎟45211218129−=X ; ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠5− 7 3 1 1 1 23 15 11 22. Giải các phương trình ma trận sau t ⎛⎞11− t ⎛⎞46 a) XX = ⎜⎟; b) XX = ⎜⎟; ⎝⎠−11 ⎝⎠64 23. Tìm hạng của các ma trận sau ⎛⎞21− 14 ⎛⎞13− 2 1 4 ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟121− 3 a) A =−⎜⎟21 3 2 2; b) B = ; ⎜⎟⎜⎟142 3 ⎝⎠47− 1 0 10 ⎜⎟ ⎝⎠−21 2 2 ⎛⎞23− 51 4 ⎜⎟ 11− 12− 3 c) C = ⎜⎟; ⎜⎟34− 63 1 ⎜⎟ ⎝⎠10 2 5− 13 24. Tính hạng của các ma trận sau theo giá trị của tham số λ ⎛⎞λ 111 ⎜⎟⎛⎞12− 13 ⎛⎞112λ − ⎜⎟111λ ⎜⎟⎜⎟ a) A = ; b) B = ⎜⎟λ 12− 1; c) C =−⎜⎟21λ 5; ⎜⎟11λ 1 ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠23− λ − 7 ⎝⎠11061− ⎝⎠111λ 51
53. 25. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau ⎧239xy−+ z = ⎧323xyz+ −=− 1 ⎪ ⎪ a) ⎨xyz−−=−44; b) ⎨24xyz−+= 0; ⎪ ⎪ ⎩3224xyz+−= ⎩629xy−+ z = ⎧xy++329 z − t = ⎧xy++235 z + t = ⎪ ⎪ c) ⎨29xyzt−−+=−; d) ⎨xyzt+−−=32 3; ⎪ ⎪ ⎩xyzt+−+=22 4 ⎩2355xy−+ z + t = ⎧xyzt+++=23 ⎪ e) ⎨2323xyzt++−=− 10; ⎪ ⎩22415xy−+ z + t = 26. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Crame ⎧22x +−+=yzt 4 ⎪ ⎧239xy−+ z = ⎪43xyzt+−+= 26 ⎪ a) ⎨ ; b) ⎨35xyz− +=− 4; ⎪853412xyzt+−+= ⎪ ⎩47xyz−+= 5 ⎩⎪33226xyzt+−+= ⎧231152x ++yzt += ⎧253x −++=ytt 5 ⎪ ⎪ ⎪xyzt+++=2521 ⎪373xyzt− +−=− 1 c) ⎨ ; d) ⎨ ⎪2323xy++ z + t =− ⎪59627xyzt−++= ⎩⎪xy++34 z + t =− 3 ⎩⎪463xyzt−++= 8 ⎧254x +++=yzt 20 ⎧2421x + yzt++=− ⎪ ⎪ ⎪x + 3y + 2z + t = 11 ⎪xyzt+−+=3623 e) ⎨ ; f) ⎨ ⎪2x + 10y + 9y + 7t = 40 ⎪32228xyzt−+−= ⎩⎪3x + 8y + 9z + 2t = 37 ⎩⎪224xy−+ z = ⎧34x +++=−yz 2 t 3 ⎧79422x +++=yzt ⎪ ⎪ ⎪3535xyzt+++=− 6 ⎪22xyzt−++= 6 g) ⎨ ; h) ⎨ ⎪68xyzt+++=− 5 8 ⎪56323xyzt+++= ⎪⎩3537xyzt+++=− 8 ⎩⎪23xyzt+++= 0 52
54. ⎧652414x +−+=yzt ⎧2631x − yzt−+ =− ⎪ ⎪ ⎪9413xy−+−= zt ⎪7421532xyz− +− t =− i) ⎨ ; j) ⎨ ⎪34221xyzt++−= ⎪ xyzt−−+249 = 5 ⎪⎩39xy−+= 211 t ⎩⎪ xy− +−26 zt =− 8 27. Chứng minh rằng nếu a ≠ 0 thì hệ phương trình sau luôn có nghiệm ∀b, c, d ∈ R ⎧ax+−(1 b ) y + cz +− (1 d ) t = a ⎪ ⎪(1)bx−+ aydz +−+ (1) ctb = ⎨ ⎪−+−cx(1 d ) y + az +− ( b 1) t = c ⎩⎪(1)dx−− cy +−+ (1) bzatd = 28. a) Tìm đa thức bậc hai f(x) biết rằng f(1) = - 1; f(- 1) = 9; f(2) = - 3. b) Tìm đa thức bậc ba g(x) biết rằng g(- 1) =0; g(1) = 4; g(2) = 3; g(3) = 16. 29. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss ⎧x −+−=yzt2 ⎧325x −−+=yzt 3 ⎪ ⎪ ⎪xzt−+20 = ⎪23xyzt− ++ 5 =− 3 a) ⎨ ; b) ⎨ ; ⎪−+xyzt2277 − − = ⎪xy+ 243−=− t ⎩⎪23xyz−− =− ⎩⎪xy−−4922 z + t = ⎧43x −++=yz 57 t ⎧22x − yt+=− 3 ⎪ ⎪ ⎪xyzt−−−=2233 ⎪23xyzt+ +− 3 =− 6 c) ⎨ ; d) ⎨ ; ⎪32xy−+ z =− 1⎪34xyzt+−+= 20 ⎪⎩2328xyzt++−=− 7 ⎩⎪xyzt++−=32 ⎧x +−yzt646 − = ⎧23x −+−=yzt ⎪ ⎪ ⎪3642xy−− z − t = ⎪42232xyzt−−+= e) ⎨ ; f) ⎨ ; ⎪23926xyzt+++= ⎪2561xy−+ z − t = ⎪⎩3238xyzt+++=− 7 ⎩⎪2345xy−− z + t = ⎧xy−+22 z + tu += 3 ⎪25226xy++ z + t + u = ⎪ g) ⎨−+xy46 − tu + =− 3; ⎪−−244xyztu − − + =− 3 ⎪ ⎩⎪2447xyztu+++−= 9 53
55. 30. Giải các hệ phương trình thuần nhất sau ⎧2570xy−+ z + t = ⎧240xy+− z = ⎪ ⎪ a) ⎨42750xyzt−++=; b) ⎨3570xyz+−=; ⎪ ⎪ ⎩250xyz−−− t = ⎩4560xyz−−= ⎧x ++−=2430yzt ⎧3520x ++=yz ⎪ ⎪ ⎪35640xyzt++−= ⎪4750xyz++= c) ⎨ ; d) ⎨ ; ⎪45230xyzt+−+= ⎪xy+−40 z = ⎩⎪3xy++ 8 24 z − 19 t = 0 ⎩⎪2960xyz++= ⎧24530xyzt−++= ⎪ e) ⎨36420xyzt−++=; ⎪ ⎩4xy−+ 8 17 z + 11 t = 0 31. Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo tham số λ ⎧53243x −++=yzt ⎧25x +++=yz 32 t ⎪ ⎪ ⎪42371xyzt−++= ⎪46354xyzt+++= a) ⎨ ; b) ⎨ ; ⎪86xyzt−−−= 59 ⎪41474xxzt+++= ⎪⎩73717xyz−++ t =λ ⎩⎪233xyzt−++=λ 7 ⎧22543x +++=yzt ⎧2345x −+yzt + = ⎪ ⎪ ⎪23685xyzt+++= ⎪42367xyzt−++= c) ⎨ ; d) ⎨ ⎪xyz−−−6 9 20 t =− 11 ⎪63789xyzt−++= ⎪⎩44xy++ z +λ t = 2⎩⎪λxyz−++4 9 10 t = 11 32. Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo tham số ⎧xyz++=1 ⎧ax + y + z = 1 ⎪ ⎪ a) ⎨ax++= by cz d ; b) ⎨x +by+z=1; ⎪ 2222 ⎪ ⎩abcdxyz++= ⎩x+y+cz=1 ⎧ax++= y z a ⎪ c) ⎨x ++=by z b ; ⎪ ⎩x ++yczc = 54
56. Chương III Không gian vector – Ánh xạ tuyến tính III.1 Không gian vector III.1.1 Khái niệm – Tính chất - Gọi V3 là tập hợp tất cả các vector trong không gian thông thường. Ta đã xét phép cộng các vector và phép nhân các số thực với các vector. Ta thấy các phép toán trên thỏa mãn các tính chất sau i. abbaab+=+∀;, ∈V 3 ; ii. (ab++=++)() ca bc;,, ∀ abc ∈V 3 ; iii. aaaa+=+=∀∈00 ; V 3 ; iv. aa+−( ) =−( aa) + =0; ∀∈ aV 3 ; v. 1.aaa=∀∈ ; V 3 ; vi.αβ( aa) =∀∈∀∈() αβ;, αβ Ra , V 3 ; vii.αααα()ab+= a + b;,, ∀∈∀∈ RabV 3 ; viii.()αβ+=+∀∈∀∈aaa α β;, αβ Ra , V 3 ; Khi đó tập hợp V3 cùng với hai phép toán trên được gọi là không gian vector trên trường số thực (hay không gian vector thực). Nếu thay trường số thực bởi trường số phức thì với hai phép toán trên được gọi là không gian vector trên trường số phức (hay không gian vector phức). Từ đó, bằng cách tổng quát hóa ta đi đến khái niệm không gian vector tổng quát. - Cho X là một tập khác trống (≠ ∅) và K là một trường. X được gọi là không gian vector trên trường K nếu có hai phép toán + Phép toán cộng: Ứng với mỗi cặp phần tử x, y ∈ X với một phần tử trong X thuộc X ký hiệu là x + y. + Phép toán nhân: Các phần tử thuộc K với các phần tử thuộc X ứng với mỗi cặp (α, x) trong đó α ∈ K, x ∈ X với một phần tử thuộc X ký hiệu là αx. Các phép toán đó thỏa mãn các tính chất sau a) x + y = y + x; ∀x, y ∈ X b) (x + y) + z = x + (y + z); ∀x, y, z ∈ X c) ∃O ∈ X sao cho O + x = x + O = x; ∀x ∈ X d) ∀x ∈ X, ∃ - x ∈ X sao cho (- x) + x = x + (- x) = O e) 1.x =x; ∀x ∈ X (1 là phần tử đơn vị của trường K) f) α(βx) = (αβ)x; α,β ∈ K, ∀x ∈ X g) α(x + y) = αx + αy; α ∈ K, ∀x, y ∈ X h) (α + β)x = αx + βx; α, β ∈ K, ∀x ∈ X Nếu X là không gian vector trên trương K thì các phần tử của X cũng đều được gọi là các vector và các phần tử của K được gọi là các lượng vô hướng. Nếu K = R hay K = C thì X được gọi là không gian vector thực hoặc không gian vector phức tương ứng. Ở đây chủ yếu ta xét không gian vector thực nên ta nói gọn là không gian vector. 55
57. n Ví dụ: Xét tập hợp R =={x ( xx12,,, xni) , x ∈Ri , = 1,, n} . n Với x = ()x12,,,xx n , y =∈()yy12,,, yn R và ∀α ∈ R , ta đặt x + y = {x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn}; αx = {αx1, αx2, , αxn}. Ta thấy các phép toán trên thỏa mãn các tính chất của các phép toán vector (hay phép toán đại số). Do đó tập hợp R n với các phép toán trên là không gian vector thực. Trong trường hợp này mỗi phần tử x = (x1, x2, , xn), xi ∈ R, i = 1, 2, , n là một vector; phần tử không hay vector không là O = (0, 0, , 0); vector x có vector đối là – x = ( - x1, - x2, , - xn). III.1.2 Phụ thuộc tuyến tính - Độc lập tuyến tính - Cho X là không gian vector. Khi đó vector có dạng α1x1 + α2x2 + + αnxn; αi ∈ R, xi ∈ X, i = 1, 2, , n, được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vector x1, x2, , xn. Chú ý: x ∈ X có thể được viết x = 1.x là tổ hợp tuyến tính của x. Ví dụ: + Cho X là không gian vector và x ∈ X. Vector 11⎛⎞ 1 yx=− x =1;1,, x +−⎜⎟ x =αααα11xx + 2 2 1 = 2 =− xx 1 = 2 = x 22⎝⎠ 2 là tổ hợp tuyến tính của x. + Cho M là một tập con của không gian vector X (M ⊂ X). Khi đó tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các vector thuộc M được gọi là bao tuyến tính của M hay không gian sinh ra bởi M và ký hiệu là Span(M). Vậy Span(M) = {α1x1 + α2x2 + + αkxk; αi ∈ R, xi ∈ M, i = 1, 2, , k}. - Cho X là không gian vector, x = (x1, x2, , xn) ∈ X. Hệ vector x được gọi là độc lập tuyến tính nếu đẳng thức α1x1 + α2 + + αnxn = 0 ( αi ∈ R) xảy ra khi và chỉ khi α1 = α2 = = αn = 0. - Hệ vector x được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu đẳng thức α1x1 + α2 + + αnxn = 0 ( αi ∈ R) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại các hằng số α1, α2, , αn không đồng thời bằng không. Ta thấy hệ chỉ gồm một vector khác không bao giờ cũng độc lập tuyến tính. Ví dụ: a) Xét hệ E = { e1 = (1, 0, , 0), e2 = ( 0, 1, , 0), , en = (0, 0, , 1)} độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Xét αα11ee+++= 2 2 αnn e0 ⎧α 1 = 0 ⎪ ⎪α 2 = 0 ⇔+++=⇔αα12()()()1,0, ,0 0,1, ,0 αn 0,0, ,1 0 ⎨ ⎪ ⎪ ⎩α n = 0 Suy ra hệ E là độc lập tuyến tính. b) Cho hệ a = {a1 = (1, 1, 1, 0), a2 = (1, 2, 0, 1), a3 = (- 1, 0, 2, 0)}. Hệ a độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Xét αα11aaa++= 2 2 αnn 0 56
58. ⎧ααα123+−=0 ⎪ ⎧α 1 = 0 ⎪⎪αα12+=2 0 ⇔+αα12()()(1,1,1, 0 1, 2, 0,1 +−⇔ α 3 1, 0, 2, 0 )⎨⎨ ⇔= α2 0 αα13+=2 0 ⎪⎪= 0 ⎪ ⎩α 3 ⎩ α 2 = 0 Suy ra hệ a độc lập tuyến tính. c) Cho hệ b = {b1 = (1, 2, 2), b2 = (0, 1, 1), b3 = (1, 1, 1)}. Hệ b độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Xét αα11bbb++= 2 2 αnn 0 ⎧αα13+=0 ⎪ ⎧α 13= −α ⇔++⇔++=⇔ααα123()()()1,2,2 0,1,1 1,1,1⎨⎨2 ααα 123 0 ⎪ ⎩α 23= α ⎩2ααα123++=0 Lấy α3 = 1 ta được αα12=−1, = 1 . Suy ra hệ b phuộc tuyến tính. Định lý 3.1: i. Trong một hệ vector nếu có vector không thì hệ đó bao giờ cũng phụ thuộc tuyến tính. ii. Trong một hệ vector nếu có một vector là tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại thì hệ đó phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh i. Giả sử ta có một vector {0, x2, x3, , xn} trong không gian vector X. Khi đó ta có 1.0 + 0x2 + 0x3 + + 0xn = 0, trong đó α1 = 1 ≠ 0. Vậy hệ đã cho phụ thuộc tuyến tính. ii. Giả sử hệ vector {x1, x2, , xn} có x1 là tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại; tức là x1 = α2x2 + α3x3 + + αnxn ⇔ 1x1 - α2x2 - α3x3 - - αnxn = 0 ⇔ ⇔ 1x1 + (- α2)x2 + (- α3)x3 + + (- αn)xn = 0 ⇔ 1x1 + α2’x2 + α3’x3 + + αn’xn = 0 (α2’ = - α2, α3’ = - α3, , - αn’ = - αn), trong đó α1’ = 1 ≠ 0. Vậy hệ {x1, x2, , xn} phụ thuộc tuyến tính. - Cho hệ vector x = {x1, x2, , xn}. Hạng của hệ x, ký hiệu r(x) là số r sao cho + Tồn tại hệ con x’ = {xi1, xi2, , xir} độc lập tuyến tính (1 ≤ i1 < i2 < < ir ≤ n). + Mọi hệ nhiều hơn r vector là phụ thuộc tuyến tính. Nhận xét: + r(x) = n ⇔ hệ x độc lập tuyến tính. + r(x) < n ⇔ hệ x phụ thuộc tuyến tính. Ví dụ: Trong R3 cho hệ vector a) x = {x1 = (1, 2, 3), x2 = (- 1, 4, 7), x3 = (5, 1, 4)}. ⎛⎞123 ⎜⎟ Ta có AMat=−⎜⎟147 ∈ (33) × , suy ra r(x) = r(A). ⎜⎟ ⎝⎠514 57
59. 123 47−− 17 14 Vì det(A )=− 1 4 7 = 1 − 2 + 3 = 24 ≠ 0 nên suy ra r(A) = 3. 14 5 4 5 1 514 Vậy r(x) = 3 = số vector, suy ra hệ x độc lập tuyến tính. b) y = {y1 = (1, 2, 3), y2 = (3, 4, 5), y3 = (6, 7, 8)}. ⎛⎞123 ⎜⎟ Ta có BMat=∈×⎜⎟345 (33), suy ra r(y) = r(B). ⎜⎟ ⎝⎠678 123 56 46 45 Vì det(B )==−+=−+−= 4 5 6 1 2 3 3 12 9 0 nên suy ra r(B) = 2. 89 79 78 789 Vậy r(y) = 2 < số vector, suy ra hệ y phụ thuộc tuyến tính. III.1.3 Cơ sở - Chuyển cơ sở - Không gian vector hữu hạn chiều - Cho X là không gian vector ; {x1, x2, , xn} là một hệ vector trong X. Hệ này được gọi là độc lập tuyến tính cực đại của X. Nếu nó là độc lập tuyến tính với không có bất kỳ một hệ n + 1 vector nào độc lập tuyến tính trong X. - Không gian vector X được gọi là n chiều nếu trong X có tồn tại một hệ n vector độc lập tuyến tính cực đại. Khi đó ta viết là dim X = n. Do đó bất kỳ một hệ n vector tuyến tính cực đại nào của X cũng đều được gọi là một cơ sở của X. - Tất cả các vector trong không gian n chiều (n ∈ N cố định) tùy ý được gọi là các không gian vector hữu hạn chiều. Các không gian vector không hữu hạn chiều được gọi là các không gian vector vô hạn chiều. Ở đây chỉ xét các không gian hữu hạn chiều. - Đặt bài toán Trong không gian vector n chiều V, giả sử có hai cơ sở B = {e1, e2, , en} và B’ = {e1’, e2’, , en’}. Xét v ∈ V. Đối với cơ sở B ta có v = v1e1 + v2e2 + + vnen, tức là [v]B = {v1, v2, , t vn}; (v)B = (v1, v2, , vn) ; còn đối với cơ sở B’ ta có v = v1’e1’ + v2’e2’ + + vn’en’, t tức là [v]B’ = {v1’, v2’, , vn’}; (v)B’ = (v1’, v2’, , vn’) . Hãy tìm liên hệ giữa [v]B và [v]B’, tức là giữa (v)B và (v)B’ Ma trận A thỏa mãn (v)B = A(v)B’ gọi là ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ và được xác định như sau '' ' ⎧vavav1111122=+ ++ av 1nn ⎛⎞aa11 12 a 1n ⎪ '' '⎜⎟ ⎪vavav2211222=+ ++ av 21n aa21 22 a 2n Nếu ⎨ thì A = ⎜⎟ ⎪ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎪ '' '⎜⎟ ⎩vavavnn=+11 n 2 2 ++ av nnn ⎝⎠aan1 n2 a nn 58
60. Hay A = '',,, '. ()()vv12BB( )() vn B Cụ thể để có A, trước hết ta viết các biểu diễn của các ei’ (i = 1, 2, , n) trong cơ sở B ' ⎧eaeae1111212=+ ++ aenn 1 ⎪ ' ⎪eaeae2121222=+ ++ aenn 2 ⎨ ⎪ ⎪ ' ⎩eaeaenn=+11 2 n 2 ++ ae nnn ⎛⎞aa11 ⎛⎞ 12 ⎛⎞ a 1n ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ''⎜⎟aa21 ⎜⎟ 22 ' ⎜⎟ a 2n Tức là ()ee12==,,, () () en = BB⎜⎟ ⎜⎟ B ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠aan1 ⎝⎠ n2 ⎝⎠ a nn Như thế ta có '' v =vae1( 11 1 + ae 21 2 ++ aenn 1) + vae 2( 12 1 + ae 22 2 ++ ae n 2 n) + ' ++++vaeaenn( 11 2 n 2 ae nnn) '' ' '' ' =++++++++()av11 1 av 12 2 av 1nn e 1( av 21 1 av 22 2 a 2 nn v) e 2 '' ' ++++(avnn12 av 22 av nnnn) e ⎛⎞v1 ⎜⎟ ⎜⎟v 2 Mà v =+ve11 ve 2 2 ++ venn, nghĩa là [v] = (vv12,,, vn ) hay ()v = B B ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠v n Từ đó suy ra '' ⎧vav1111=++ av 1nn ⎪ '' ⎪vav2211=++ av 2nn ⎨ . ⎪ ⎪ '' ⎩vavnn=++11 av nnn Nếu A là ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ thì A khả đảo (det(A) ≠ 0) và A- 1 là ma - 1 −1 = trận chuyển cơ sở từ B’ sang B ((v)B’ = A (v)B; A ((vv12) BB'',,,( )() vn B ') ). Ví dụ : 3 a) Trong gian R , cho B = {e1, e2, e3} với e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) là ’ ’ ’ ’ ’ ’ cơ sở chính tắc và B’ = {e1 , e2 , e3 } với e1 = (2, 1, 1), e2 = (1, 2, - 1), e3 = (1, 1, 2) là một cơ sở khác. Hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ và B’ sang B. Tìm tọa độ của x = (3, - 2, 4) trong cơ sở B’. Ma trận chuyển cơ sở A từ B sang B’ là 59
61. ⎛⎞211 ⎜⎟ A = ⎜⎟121 ⎜⎟ ⎝⎠112− Ta có ⎧ 511''' ⎪eeee1123=−− ' 662 ⎧eeee1123=++2 ⎪ ⎪⎪' 111'' ' ⎨⎨ee21=+−⇔=−++2 eee 232 e 1 e 2 e 3 ⎪⎪' 222 ⎩ee31=++ e 22 e 3 ⎪ 111'' ' ⎪eeee3123=− − + ⎩ 662 Vậy ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B là ⎛⎞511 − − ⎜⎟626 ⎜⎟ −1 ⎜⎟11 1 A = −− ⎜⎟62 6 ⎜⎟ 11 1 ⎜⎟− ⎝⎠22 2 Tọa độ của x trong cơ sở B’ là ⎛⎞⎛⎞511 17 −− ⎜⎟⎜⎟626 6 ⎜⎟⎜⎟⎛⎞3 −1 ⎜⎟⎜⎟11 1⎜⎟ 13 17131''' ()xx==−−−=−⇔=−−A () 2 xeee123 BB' ⎜⎟⎜⎟62 6⎜⎟ 6 6 6 2 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟4 11 1⎝⎠ 1 ⎜⎟⎜⎟−− ⎝⎠⎝⎠22 2 2 Hoặc tính (x)B’ trực tiếp ⎛3211 ⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜−=21 ⎟ab ⎜⎟ + ⎜ 21 ⎟ + c ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝41 ⎠ ⎝⎠ ⎝− 12 ⎠ ⎝⎠ Do đó a, b, c là nghiệm của hệ phương trình ⎧ 17 a = ⎪ 6 ⎧23ab++= c ⎪ ⎪⎪13 ⎨⎨abc++=−⇔=−22 b 6 ⎪⎪ab−+=24 c ⎩ ⎪ 1 ⎪c = − ⎩ 2 60
62. Vậy ta có ⎛⎞17 ⎜⎟6 ⎜⎟ ⎜⎟13 17''' 13 1 ()xx=− ⇔ =eee123 − − B ' ⎜⎟6662 ⎜⎟ 1 ⎜⎟− ⎝⎠2 3 b) Trong R , cho B = {b1, b2, b3} với b1 = (1, - 1, 1), b2 = (1, 0, 1), b3 = (- 1, 1, 0) và ’ ’ ’ ’ ’ ’ B’ = {b1 , b2 , b3 } với b1 = (1, 1, 1), b2 = (2, 0, 1), b3 = (- 1, 1, 1). Hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’, B’ sang B và công thức tọa độ tương ứng. Hãy tìm tọa độ vector x = (4, 3, 4) trong cơ sở B, B’. 3 Tìm tọa độ của vector y = (a, b, c) ∈ R nào đó trong cơ sở B, tức là tìm y1, y2, y3 ∈ R sao cho ⎧ yyy123+−=acab⎧ y 1 =−− ⎪⎪ ybab=+yy12bbb123 + y 3 ⇔−⎨⎨ y 1 + y 3 =⇔ y 2 = +⇔ ⎪⎪ ⎩ yy12+==−cca⎩ y 3 ⎛⎞cab− − ⎜⎟ ⇔=+yab ()B ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ca− ’ ’ ’ Thay vai trò của y = (a, b, c) lần lượt bởi b1 , b2 , b3 ta được ⎛⎞−1 ⎛⎞−1 ⎛⎞1 ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ' = 2 ; ' = 2 ; ' = 0 ; ()b1 B ⎜⎟ ()b 2 B ⎜⎟ ()b1 B ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠0 ⎝⎠−1 ⎝⎠2 Vậy ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ là ⎛⎞−−111 ⎜⎟ A = ⎜⎟220 ⎜⎟ ⎝⎠012− Công thức đổi tọa độ tương ứng là ''' ' ⎛⎞yyyyy11123⎛⎞−−111⎛⎞⎛− − + ⎞ ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜'' ' ⎟ yAy==yyyy =220 = 2 + 2 ⇔ ()BB⎜⎟2212 ()' ⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜⎟012−−+⎜⎟⎜''' 2 ⎟ ⎝⎠yyyy3323⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠ 61
63. '' ' ⎧yyyy1123=−+− ⎪ '' ⇔=⎨yyy21222 + ⎪ =−+''2 ⎩yyy323 Tọa độ của x trong cơ sở B là x = - 3b1 + 7b2 + 0b3. Ta có ''' ' ⎧bbbb1123=−22 + + ⎧bbb112=− +2 ⎪ ⎪⎪' 11'' ' ⎨⎨bbbbb21132=− +2 − ⇔ =− bb 12 + + b 3 ⎪⎪' 22 ⎩bb31=+2 b 3 '' ⎩⎪bb31=− b 2 Vậy ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B là ⎛⎞1 −−21 ⎜⎟2 − ⎜⎟ A 1 = ⎜⎟21− 1 ⎜⎟1 ⎜⎟10 ⎝⎠2 Công thức đổi tọa độ tương ứng 1 1 ⎛⎞⎛⎞−− + ' ⎜⎟−−21 ⎜⎟2zz13z ⎛⎞zz112 ⎛⎞ 2 2 ⎜⎟' ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ zz===zzzzz−1 21 −=+−⇔ 1 2 ()BB' ⎜⎟22123A () ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟' ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠zz3311⎝⎠ ⎜⎟10⎜⎟z1 + z ⎝⎠22⎝⎠2 1 ⎧ ' =−+ ⎪z11−2zzz 3 2 2 ⎪ ' ⇔=⎨z21232zzz + − ⎪ ' 1 ⎪zz31=+z ⎩ 2 2 Tọa độ của x trong B’ là ⎛⎞⎛⎞15 −−21 ⎜⎟⎜⎟22⎛⎞−3 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ 51'' xx==−1 21 −=⇔=++ 17 1 xbb' ()BB' A () ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ b 2 2213 ⎜⎟⎜⎟101⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟10⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠22 62
64. Hoặc tính (x)B’ trực tiếp ⎛⎞412 ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛− 1 ⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟3101=++ab ⎜⎟ ⎜⎟ c ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠4111 ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠ Do đó a, b, c là nghiệm của hệ phương trình ⎧ 5 a = ⎧abc+−=24⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎨⎨acb+=⇔=31 ⎪⎪abc++=41 ⎩ ⎪c = ⎩ 2 Vậy ta có ⎛⎞5 ⎜⎟2 ⎜⎟ 51'' ' ()xx=⇔=++⎜⎟1 bb12 b 3 B ' 22 ⎜⎟1 ⎜⎟ ⎝⎠2 III.1.4 Không gian con - Cho X là không gian vector và M ⊂ X. M được gọi là không gian vector con ( không gian con) của X nếu với mọi x, y ∈ M và ∀α, β ∈ R, ta luôn có αx + yβ ∈ M (điều đó có nghĩa là tập hợp M khép kín đối với các phép toán vector hay nói cách khác bản thân tập con M của X cũng là không gian vector). - Cho X là không gian vector; (x1, x2, , xn) ∈ X. Khi đó vector có dạng x = α1x1 + α2x2 + + αnxn, với αi ∈ R, i = 1, 2, , n, được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vector x1, x2, , xn. - Cho M là tập con của không gian vector X (M ⊂ X). Khi đó tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các vector thuộc M được gọi là bao tuyến tính của M hay không gian con sinh ra bởi M và ký hiệu là Span(M). Vậy Span(M) = {α1x1 + α2x2 + + αnxn; αi ∈ R, xi ∈ M, i = 1, 2, , n} Tập Span(M) là một không gian vector con của X. Thật vậy, với ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ Span(M), ∃αi, βi ∈ R, i = 1, 2, , n : x = α1x1 + α2x2 + + αnxn; y = β1x1 + β2x2 + + βnxn. Ta có Vì x1 = 1.x1 nên x1 ∈ Span(M), do đó Span(M) ≠ ∅. Mặt khác ta lại có x + y = (α1 + β1)x1 + (α2 + β2)x2 + + (αn + βn)xn ⇒ x + y ∈ Span(M) λx = (λα1)x1 + (λα2)x2 + + (λαn)xn ⇒ λx ∈ Span(M) 63
65. Nếu Span(M) = X, tức là ∀x ∈ X đều được biểu diễn dưới dạng x = α1x1 + α2x2 + + αnxn; αi ∈ R, xi ∈ M, i = 1, 2, , n thì ta nói toàn bộ không gian X được sinh ra bởi hệ M và M được gọi là hệ sinh của X. - Trong không gian vector X cho B ={x1, x2, , xn} ⊂ X. Tập B’ = {x1, x2, , xm} ⊂ B (m ≤ n) được gọi là tập con độc lập tuyến tính tối đại của B, nếu B’ là độc lập tuyến tính và mọi vector của B đều được biểu diễn tuyến tính được qua các vector thuộc B’. Ví dụ : Hỏi mỗi tập cho dưới đây tập nào là không gian con của R3? a) (0, y, 0); b) (x, 0, 1); - Gọi M là tập các vector của R3 có dạng (0, y, 0); y ∈ R. Ta thấy (0, y, 0) ∈ M, (0, y’, 0) ∈ M; suy ra (0, y, 0) + (0, y’, 0) = (0, y + y’, 0) ∈ M k(0, y, 0) = (0, ky, 0) ∈ M Vậy M là không gian con của R3. - Gọi M là tập các vector của R3 có dạng (x, 0, 1), x ∈ R Ta thấy (x, 0, 1) ∈ M, (x’, 0, 1) ∈ M; suy ra (x, 0, 1) + (x’, 0, 1) = (x + x’, 0, 2) ∉ M. Vậy M không là không gian con của R3. III.2 Không gian Euclide III.2.1 Khái niệm - V là một không gian vector, u và v là hai vector của V. Tích vô hướng của u và v là một số thực, ký hiệu là , thỏa mãn các tính chất sau gọi là các tiên đề của tích vô hướng i. xác định đối với mọi cặp u, v ∈ V ii. = iii. = + iv. = k v. ≥ 0 và = 0 ⇔ u = 0 Không gian vector V có trang bị một tích vô hướng gọi là không gian có tích vô hướng. Không gian n chiều có tích vô hướng gọi là không gian Euclide. - Tích vô hướng = u1v1 + u2v2 + + unvn gọi là tích vô hướng Euclide trong Rn. - Nếu V là một không gian có tích vô hướng và u ∈ V thì số (không âm) u xác 1 định bởi uuu= , 2 gọi là độ dài (chuẩn) của vector u. Tính chất i. uu≥=⇔=0; 0 u 0 ii. ku= k u iii. uv+≤ u + v (bất đẳng thức tam giác) - Cho V là không gian vector hữu hạn trong đó xác định một tích vô hướng (V là không gian Euclide) và u, v ∈ V (ta còn nói u, v là hai điểm thuộc V). Số uv− được gọi là khoảng cách giữa hai điểm u, v ký hiệu là d(u, v) = uv− . 64
66. Tính chất i. d(u, v) ≥ 0; d(u, v) = 0 ⇔ u = v ii. d(u, v) = d(v, u) iii. d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v) (bất đẳng thức tam giác) - Cho V là không gian vector trong đó có xác định tích vô hướng và u, v ∈ V. Khi đó hai vector u và v gọi là trực giao và ta viết u ⊥ v nếu và chỉ nếu = 0. - Một họ vector M trong không gian có tích vô hướng gọi là một họ trực giao nếu bất kỳ hai vector khác nhau nào của họ cũng trực giao. Nếu mọi vector u của M đều có độ dài (chuẩn) bằng một thì M được gọi là một họ trực chuẩn. III.2.2 Các bất đẳng thức cơ bản Nếu u và v là hai vector trong một không gian có tích vô hướng thì ta có các bất đẳng thức sau - Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (C – S) uv,.≤ u v . Thật vậy, với ∀t ∈ R, ta có 2 22 0,,,,,2,≤−utv =− utvutvuu − = +− tvu + utv −+−−= tvtvu − uvtv + t 2 2 Vì biểu thức cuối là một tam thức bậc hai không âm nên ( uv,0) −≤ u22 v (đpcm) - Bất đẳng thức tam giác uv+≤ u + v Thật vậy: 2 0,2,2≤+uv22222 =+ uvuv += u + uvv + ≤ u + uv + v =() u + v (đpcm) III.2.3 Cơ sở trực chuẩn - Trực chuẩn hóa - Hệ M ⊂ Rn là cơ sở trực chuẩn nếu M là cơ sở trực giao và ∀u ∈ M : u = 1 3 12 21 Ví dụ : Xét các vector trong R với u1 = (0,0,1) ; u 2 = (,,0); u3 =−(,,0) 55 55 3 Họ M = {u1, u2, u3} trong R với tích vô hướng Euclide là một họ trực chuẩn vì = 0; = 0; = 0 và u1 = 1; u 2 = 1; u3 = 1 1 - Nếu u là một vector khác không trong không gian có tích vô hướng thì u có u chuẩn là 1. 11 Thật vậy uu= = 1 uu - Phương pháp trực chuẩn hóa Gram – Smith Giả sử ta có một cơ sở E = {u1, u2, , un} nào đó. Khi đó ta sẽ xây dựng một cơ sở trực giao F = {v1, v2, , vn} như sau Đặt v1 = u1 Ta tìm v2 sao cho {v1, v2} trực giao, tức là ta tìm v2 dưới dạng v2 = u2 + α1v1 nghĩa uv21, là tìm α1 sao cho 0 = = + α1 ⇒ α 1 =− vv11, 65
67. uv21, Do đó vu22=− v 1 vv11, Giả sử ta đã xây dựng được họ trực giao {v1, v2, , vk}, 1 ≤ k = + αk + αk-1 + + i=1 k uvki+1, α1 = uvki+1,,+ ∑α iii vv ⇒=−α i (1,)ik = i=1 vvii, k uvki+1, Do đó vukk++11=−∑ v i i=1 vvii, Thuật toán trên không kéo dài quá n bước, ta tìm được cơ sở trực giao {v1, v2, , vk}. Từ đó suy ra được cơ sở trực giao {v1, v2, , vn}. Sau đó ta trực chuẩn hóa ta ' vi được một cơ sở trực chuẩn vi = , i = 1, 2, , n. vi Ví dụ : a) Hãy trực giao hóa hệ vector u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 0, 1); u3 = (1, 1, 0) Đặt v1 = u1 = (1, 1, 1) uv21, 21 vu22=− v 1 =()1,0,1 −() 1,1,1 =() 1, − 2,1 vv11,33 uv32,, uv 31 121 vu33=− v 2 − v 1 =()1,1, 0 +() 1, − 2,1 −() 1,1,1 =() 1, 0, − 1 vv22,, vv 11 632 Vậy hệ {u1, u2, u3} sau khi trực giao hóa ta thu được hệ {v1, v2, v3} b) Hãy trực chuẩn hóa hệ vector u1 = (- 1, 1, 1); u2 = (- 1, 0, 1); u3 = (1, - 1, 0) Đặt v1 = u1 = (- 1, 1, 1) uv21, 21 vu22=− v 1 =−()1,0,1 −−() 1,1,1 =−−() 1, 2,1 vv11,33 uv32,, uv 31 121 vu33=− v 2 − v 1 =−()1, 1, 0 −−−+−() 1, 2,1() 1,1,1 =() 1, 0,1 vv22,, vv 11 6 32 ' 1 ' 1 Sau đó ta trực chuẩn v1, v2, v3 ta được v1 =−()1,1,1 ; v 2 =−−()1, 2,1 ; 3 6 ' 1 v3 = ()1, 0,1 ; 2 ’ ’ ’ Vậy hệ {u1, u2, u3} sau khi trực chuẩn hóa ta thu được hệ {v1 , v2 , v3 } III.3 Ánh xạ tuyến tính III.3.1 Khái niệm về ánh xạ tuyến tính - Cho hai không gian vector thực X và Y. Khi đó ánh xạ f : X → Y được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa mãn i. ∀x, y ∈ X: f(x + y) = f(x) + f(y) (bảo toàn phép toán cộng hai vector) 66
68. ii. ∀α ∈ R, ∀x ∈ X: f(αx) = αf(x). Từ đó dễ thấy rằng điều kiện i. và ii. tương đương với điều kiện sau f(αx + βy) = αf(x) + βf(y); ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ X. Ký hiệu tập tất cả các ánh xạ tuyến tính từ X vào Y là L(X, Y) = {f sao cho f : X → Y là ánh xạ tuyến tính}. Ví dụ: a) idX : X → X; x xxX,∀∈ là ánh xạ tuyến tính được gọi là phép đồng nhất của X. b) 0 : X → Y; x 0,∀∈xX là ánh xạ tuyến tính được gọi là ánh xạ không. c) Ánh xạ : R2 → R; ()x, yaxby + , với a, b cho trước thuộc R là một ánh xạ tuyến tính. - Giả sử V và W là hai không vector và f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó: + Tập tất cả các phần tử của V có ảnh 0 ∈ W gọi là hạt nhân của f, ký hiệu là Kerf = {x : x ∈ V, f(x) =0}. + Tập tất cả các phần tử của W là ảnh của ít nhất một phần tử của V gọi là ảnh của f, ký hiệu là Imf = {y : y ∈ W, ∃x ∈ V, f(x) = y}. Như vậy Imf = f(V). - Nếu f : V → W là một ánh xạ tuyến tính thì số chiều của Imf gọi là hạng của f, kiệu là rank(f) = dim(Imf). - Tính chất: Giả sử V và W là hai không gian vector và f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó i. f(0) = 0; ii. f(– x) = – x; iii. f(x – y) = f(x) – f(y); iv. Kerf là một không gian con của V; v. Imf là một không gian con của W; - Định lý 3.2 + Nếu f : V → W là một ánh xạ tuyến tính từ không gian vector n chiều V tới không gian vector W thì ta có dim(Imf) + dim(Kerf) = n, tức là rank(f) + dim(Kerf) = n. + Nếu A là ma trận cấp m × n thì số chiều của không gian nghiệm của phương trình A(x) = 0 bằng n trừ đi hạng của A. III.3.2 Ánh xạ tuyến tính và ma trận - Xét hai không gian hữu hạn chiều V có n chiều và W có m chiều. Cơ sở B = {u1, u2, , un} là một cơ sở trong V, B’ = {v1, v2, , vm} là một cơ sở trong W. Cho ánh xạ tuyến tính f : V → W. Khi đó x ∈VfxW ()∈ , x = x1u1 + x2u2 + + . xnun; f(x) = y1v1 + y2v2 + + ymvm. n m Chuyển qua tọa độ ta có [x]B = (x1, x2, , xn) ∈ R ; [f(x)]B’ = (y1, y2, , ym) ∈ R , tức là ⎛⎞x1 ⎛⎞y1 ⎜⎟ ⎜⎟ x 2 y ()x =∈⎜⎟Mat(1) n × (())fx =⎜⎟2 ∈ Mat ( m × 1) B ⎜⎟ B ' ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠x n ⎝⎠y m Ta muốn tìm ma trận A ∈ Mat(m × n) liên hệ (x)B với (f(x))B’ sao cho A(x)B = (f(x))B’ ∀x ∈ V để cho f(x) có thể thực hiện được bằng một phép nhân ma trận. 67
69. - Ma trận A cấp m × n thỏa mãn A(x)B = (f(x))B’ nếu có sẽ được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f : V → W đối với cơ sở B trong V với cơ sở B’ trong W. Ta xây dựng ma trận A bằng cách xây dựng A(uj)B bởi A(uj)B = (f(uj))B’, j =1, 2, , n. Vì f(uj) ∈ W nên nó có phân tích trong cơ sở B’ là f(uj) = f1jv1 + f2jv2 + + fmjvm, t tức là (f(uj))B’ = (f1j, f2j, , fmj) . Do đó A = ((f(u1))B’, (f(u2))B’, , (f(un))B’); ⎛⎞f 11ff 12 1n ⎜⎟ f ff A = ⎜⎟21 22 2n ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠f mm12ff mn Với ma trận A trên ta kiểm tra lại điều kiện A(x)B = (f(x))B’. Ta có x = x1u1 + x2u2 + + xnun; f(x) = f(x1u1 + x2u2 + + xnun). Do đó (f(x))B’ = x1(f(u1)B’ + x2(f(u2))B’ + + xn(f(un))B’. ⎛⎞ff11 ⎛⎞ 12 ⎛⎞ f 1n ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ff f ⎜⎟21 ⎜⎟ 22 ⎜⎟ 2n ()fx() =+xx12 ++= xn A()x B ' ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ B ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ffmm12 ⎝⎠ ⎝⎠ f mn Vậy ma trận A xây dựng như trên được thỏa mãn. Nếu B = {e1, e2, , en}, e1 = (1, 0, , 0), e2 = (0, 1, 0, , 0), , en = (0, 0, , 1) thì b được gọi là cơ sở chính tắc và ma trận A gọi là ma trận chính tắc. Ví dụ: 2 2 ⎛⎞⎛⎞x ⎛xy +3 ⎞ a) Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ f : R → R xác định bởi f ⎜⎟⎜⎟= ⎜ ⎟ ⎝⎠⎝⎠yxy ⎝− 2 ⎠ ⎛⎞⎛⎞11 ⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞03 ⎛ ⎞ Ta có ff()e1 ==⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ và ff()e2 ==⎜⎟⎜⎟ ⎜ ⎟. ⎝⎠⎝⎠01 ⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠12 ⎝− ⎠ ⎛⎞13 Vậy A = ⎜⎟. ⎝⎠12− 2 2 ⎛⎞−+⎛⎞x ⎛xy2 ⎞ b) Cho ánh xạ g : R → R được xác định bởi g⎜⎟⎜⎟= ⎜ ⎟. Hãy tìm ma trận ⎝⎠⎝⎠yxy ⎝35+ ⎠ của A đối với cơ sở B = {u1, u2} với u1 = (2, 1) và u2 = (1, 2). ⎛⎞⎛⎞20 ⎛ ⎞ ⎛⎞⎛⎞13 ⎛ ⎞ Ta có g⎜⎟⎜⎟= ⎜ ⎟ và g⎜⎟⎜⎟= ⎜ ⎟. ⎝⎠⎝⎠111 ⎝ ⎠ ⎝⎠⎝⎠213 ⎝ ⎠ ⎛⎞03 Vậy A = ⎜⎟. ⎝⎠11 13 68
70. Bài tập 1. Các hệ cho dưới đây hệ nào phụ thuộc tuyến tính, hệ nào độc lập tuyến tính? a) a1 = (1, 1, 0); a2 = (2, 3, 1); a3 = (1, 2, 2); b) b1 = (2, 1, - 2, 0); b2 = (1, 1, 1, - 1); b3 = (2, - 1, 3, 2); b4 = (2, 3, - 1, 1); c) c1 = (2, 2, 1); c2 = (1, 2, 2); c3 = (2, 1, 2); d) d1 = (2, - 1, 1, 0); d2 = (1, 2, - 1, - 1); d3 = (1, - 1, 0, 2); d4 = (3, - 1, 2, - 2) e) e1 = (1, 1, - 2, 1); e2 = (0, - 2, 3, 2); e3 = (1, 2, - 1, 3); e4 = (2, 1, 0, 6); 2. Cho a1 = (1, 2, 3, 1); a2 = (1, - 3, 1, - 4); a3 = (1, 1, 1, 0). Hỏi các vector nào dưới đây là tổ hợp tuyến tính của a1, a2, a3 a) b1 = (4, 2, 8, - 2); b) b2 = (0, 1, 1, 1); c) b3 = (0, 1, 1, 0); 3 3. Hỏi hệ {a1, a2, a3} được cho sau đây có là cơ sở của không gian R hay không? a) a1 = (1, 0, 0); a2 = (1, 1, 0); a3 = (1, 1, 1); b) a1 = (2, 1, 2); a2 = (1, 2, - 2); a3 = ( - 2, 2, 1); c) a1 = (1, 1, 3); a2 = (2, 2, - 3); a3 = (5, 1, 0); d) a1 = (2, 1, 2); a2 = (1, - 2, 1); a3 = (1, 1, 1); e) a1 = (1, - 1, 1); a2 = (2, - 1, 1); a3 = (1, 2, - 1); 4. Chứng minh rằng hệ {a1, a2, a3, a4} với a1 = (1, 2, - 2, 3); a2 = (2, 1, 0, 1); a3 = (1, 4 1, 4, 1); a4 = (- 2, 1, 0, 0) là một cơ sở của R và tìm tọa độ của x = (4, 8, 4, 9) trong hệ cơ sở trên 5. Hãy xác định ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B = {a1, a2, a3} sang cơ sở B’ = {b1, b2, b3} và ngược lại. Tìm tọa độ của x = (1, 2, 3) trong cơ sở B và B’. Biết rằng: a) a1 = (1, 2, 2); a2 = (2, - 1, - 1); a3 = (3, 4, 5); b1 = (3, 2, 1); b2 = (2, - 1, - 2); b3 = (1, 1, 1). b) a1 = (3, 1, 1); a2 = (1, 3, - 1); a3 = (1, 1, 3); b1 = (1, 2, 1); b2 = (1, 0, - 1); b3 = (- 1, 2, 3). c) a1 = (2, 1, 2); a2 = (1, 2, - 2); a3 = (- 2, 2, 1); b1 = (1, 1, 3); b2 = (2, 2, - 3); b3 = (5, 1, 0). 6. Xác định tọa độ của vector a = (1, 2, 3, 4) trong cơ sở {a1, a2, a3, a4} với a1 = (1, 2, 2, 2); a2 = (2, 1, 2, 2); a3 = (2, 2, 1, 2); a4 = (2, 2, 2, 1); 7. Hỏi các tập con sau đây tập nào là không gian con của R3 hoặc R4? a) M = {(x, y, z): x + y + z = 0}; b) M = {(x, y, z, t): 2x + y - z + t = 0}; c) M = {(x, y, z): x = y + z }; d) M = {(x, y, z, t): x2 + xy + y2 + z2 + zt + t2 = 0}; 8. Hãy chứng tỏ trong không gian Mat(2 × 2) (Bao gồm các ma trận vuông cấp 2), các tập cho sau đây là không gian con ⎧⎫⎛⎞0 b ⎧⎛⎞ab ⎫ a) A =∈⎨⎬⎜⎟:,bc R ; b) B =∈⎨⎜⎟:,,abc R⎬; ⎩⎭⎝⎠c 0 ⎩⎭⎝⎠ca ⎧⎫⎛⎞ab ⎧⎛⎞abbc−− ⎫ c) CabcR=∈⎨⎬⎜⎟:,, ; d) D =∈⎨⎜⎟:,,abc R⎬ ; ⎩⎭⎝⎠cac+ ⎩⎭⎝⎠ca− 0 Nếu cho a, b, c ∈ Z thì có tập nào là không gian con không? 69