›
›

Bài giảng Toán ứng dụng trong tin học - Chương 3: Ma trận

ppt 82 trang ngocly 80 Free
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán ứng dụng trong tin học - Chương 3: Ma trận", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_toan_ung_dung_trong_tin_hoc_chuong_3_ma_tran.ppt

Nội dung text: Bài giảng Toán ứng dụng trong tin học - Chương 3: Ma trận

  1. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ iSPACE 137C Nguyễn Chí Thanh, P 9, Q 5, TP. Hồ Chí Minh Web: ispace.edu.vn - Tel: 08.6.261.0303 - Fax: 08.6.261.0304 Bài giảng TỐN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC (Tài liệu cập nhật – 2009) Chương 3 MA TRẬN hdxb_2009
  2. A. MA TRẬN §1. Ma trận - Khái niệm ma trận - Ma trận vuơng - Các phép tốn trên ma trận 2 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  3. A. MA TRẬN 1. Khái niệm ma trận • Định nghĩa ma trận: Ma trận cấp mxn là bảng số thực hình chữ nhật cĩ m dịng và n cột . Cột j a11 a 1jn a 1 A = a a a Dịng i i1 ij in am1 a mj a mn 3 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  4. A. MA TRẬN 1. Khái niệm ma trận Ví dụ 1. A = 1 4− 2 (0 2 5 ) A là ma trận thực cấp 2x3 gồm 2 dịng và 3 cột Phần tử của A: a11=1; a 12 = 4; a 13 = − 2; a 21 = 0; a 22 = 2; a 23 = 5 Ví dụ 2 1 2− 1 A =− 3 3 2 5 1 4 4 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  5. A. MA TRẬN 1. Khái niệm ma trận Ma trận A cĩ m dịng và n cột thường được ký hiệu bởi A = a ( ij )m n Tập hợp tất cả các ma trận cấp mxn được ký hiệu là Mmxn(R) Định nghĩa ma trận khơng Ma trận cĩ tất cả các phần tử là khơng được gọi là ma trận khơng, ký hiệu 0, (aij = 0 với mọi i và j). 0 0 0 A = 0 0 0 5 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  6. A. MA TRẬN 2. Ma trận vuơng Định nghĩa ma trận vuơng Nếu số dịng và cột của ma trận A bằng nhau và bằng n, thì A được gọi là ma trận vuơng cấp n. 21− A = 32 Tập hợp các ma trận vuơng cấp n được ký hiệu bởi Mn(R) 6 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  7. A. MA TRẬN 2. Ma trận vuơng Các phần tử a11, a22, ,ann tạo nên đường chéo chính của ma trận vuơng A. 2 3 1− 1 3 4 0 5 −2 1 3 7 2− 1 6 8 Ma trận đường chéo là ma trận cĩ các phần tử nằm ngồi đường chéo chính bằng 0. Lúc đĩ ma trận đường chéo được ký hiệu: diag(a11, a22, ,ann) với aii là các phần tử nằm trên đường chéo chính. 7 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  8. A. MA TRẬN 2. Ma trận vuơng Định nghĩa ma trận tam giác trên Ma trận vuơng Aa= được gọi là ma trận tam ( ij )nn giác trên nếu aij =0,  i j 2 −1 3 A = 0 3 6 0 0 − 2 Định nghĩa ma trận tam giác dưới Ma trận vuơng được gọi là ma trận tam giác dưới nếu aij =0,  i j 2 0 0 A = 4 1 0 5 7− 2 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN 8 HDXB-2009
  9. A. MA TRẬN 2. Ma trận vuơng Định nghĩa ma trận đơn vị Ma trận chéo với các phần tử đường chéo đều bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị, tức là (aij = 0, i ≠ j; và a = 1 với mọi i). ii 1 0 0 I = 0 1 0 0 0 1 Ma trận đơn vị cấp n được ký hiệu bởi In 9 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  10. A. MA TRẬN 3. Các phép tốn ma trận a. Hai ma trận trận bằng nhau Hai ma trận bằng nhau nếu: 1) cùng cấp; 2)các phần tử ở những vị trí tương ứng bằng nhau (aij = bij với mọi i và j). 10 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  11. A. MA TRẬN 3. Các phép tốn ma trận b. Ma trận chuyển vị T Chuyển vị của A = ( a ) là ma trận A = a cấp ij m n ( ij )n m nXm thu được từ A bằng cách chuyển dịng thành cột. Ví dụ 2 4 2 −1 3 T A = A = −1 0 4 0 9 2 3 3 9 3 2 11 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  12. A. MA TRẬN 3. Các phép tốn ma trận Tính chất: a) (AT)T= A; b) AT = BT A =B Định nghĩa ma trận đối xứng Ma trận vuơng A thỏa aij = aji với mọi i = 1, .n và j =1, ,n được gọi là ma trận đối xứng (tức là, nếu T A = A ) 2 −1 3 A = −1 4 7 3 7 0 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN12 HDXB-2009
  13. A. MA TRẬN 3. Các phép tốn ma trận c. Phép nhân ma trận với một số. Nhân ma trận với một số, ta lấy số đĩ nhân với tất cả các phần tử của ma trận. Ví dụ −1 2 4 − 2 4 8 A = 2 A = 3 0 5 6 0 10 Tính chất: a) ( )A= (A); b) ( A)T = AT 13 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  14. A. MA TRẬN 3. Các phép tốn ma trận d. Cộng hai ma trận Cùng cấp Tổng A + B: Các phần tử tương ứng cộng lại Ví dụ −1 2 4 3 − 2 6 2 0 10 A = ;B = A + B = 3 0 5 1 4 7 4 4 12 14 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  15. A. MA TRẬN 3. Các phép tốn ma trận Tính chất: a) A + B = B + A; b) A + 0 = A; c) (A + B) + C = A + ( B + C); d) (A + B) = A + B; e) ( + )A = A + A; f) (A + B)T = AT + BT ; 15 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  16. 3. Các phép tốn ma trận e. Nhân hai ma trận với nhau A==();() aij m p B b ijnp AB = C = (cij )m n với cij = ai1b1 j + ai2b2 j + + aipbpj b1j * b2 j AB== a a a c i12 i ip ij * bpj 16
  17. A. MA TRẬN 3. Các phép tốn ma trận Ví dụ 1 − 2 2 2 −1 4 Tính AB A = ;B = 3 0 1 4 1 0 2 4 3 1− 2 2 2− 1 4 c7 cc c c AB = 3 0 1 = 1112 12 13 13 c c c 4 1 0 c2121 c 22 22 c 23 23 2 4 3 1 c = 2− 1 4 3 =2 1 + ( − 1) 3 + 4 2 = 7 11 ( ) 2 17 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  18. A. MA TRẬN 3. Các phép tốn ma trận Ví dụ 2− 1 1 AB== ; 4 1 3 Tìm ma trận X, thỏa AX = B. a Xác định cấp của ma trận X là 2x1. Đặt X = b 2− 1 a 1 21ab− AX=B = = 4 1 b 3 43ab+ 21ab−= 21 2/ 3 ab =, = Vậy X = 43ab+= 33 1/ 3 18 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  19. A. MA TRẬN 3. Các phép tốn ma trận Tính chất của phép nhân hai ma trận a. A(BC) = (AB)C; b.A(B + C) = AB + AC; c. (B+C)A = BA+CA; d. ImA = A = AIm e. (AB) = ( A)B = A( B). Chú ý: 1. Nĩi chung AB BA 2. AB = AC B = C 3. AB = 0 A = 0  B = 0 19 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  20. A. MA TRẬN 3. Các phép tốn ma trận 1 2 4 3= 8 5 4 3 1 2= 13 20 (3 4)( 2 1) ( 20 13) (2 1)( 3 4) ( 5 8 ) 1 0 0 0= 0 0 1 0 0 0= 0 0 (0 0)( 0 1) ( 0 0) (0 0)( 1 0) ( 0 0) 20 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  21. A. MA TRẬN 3. Các phép tốn ma trận f. Lũy thừa ma trận. Cho A là ma trận vuơng cấp n. Khi đĩ 0 Qui ước: AI= AAA2 = AAAA3 =   AAAAAn =   n 21 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  22. A. MA TRẬN 3. Các phép tốn ma trận Ví dụ 13 A = . Tính A2; A3, từ đĩ suy ra A200 01 2 1 3 1 3 1 6 AAA=  = = 0 1 0 1 0 1 32 1 6 1 3 1 9 AAA=  = = 0 1 0 1 0 1 200 1 200 3 =A 01 22 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  23. A. MA TRẬN 3. Các phép tốn ma trận Ví dụ 23 A = . Tính A200 02 2 3 1 3/ 2 1 a A = =2  = 2 0 2 0 1 01 n 11a na Ta có: = 0 1 0 1 2200 300 2200 A 200 = 200 02 23 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  24. B. BÀI TẬP Bài 1. Phép tốn nào sau đây thực hiện được và tính tốn kết quả: −2 1 0 1 1 3 2 1 1− 2 1 2 3 a. + b. + 3−− 1 2 7 5 1 0 0 −2 3 4 5 6 −2 1 0 1 1 3 2 1 c.3− d. 0 3− 1 2 7 −5 1 0 0 10 1 2 4 1−− 2 4 1 6 01 1 0 1 f . 2 0 0 e. 0 3 0 3 5 24 4− 3 2 2 4 1 2 4 33− −1 1 1 −−31 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  25. B. BÀI TẬP Bài 2. Cho 3 ma trận vuơng A, B, C cấp n. Điều này sau đây luơn đúng? a) ( AB) C= A( BC) b) A( B+ C) = AB + AC c) A( kB) ==( kA) B k( AB) d) AB= BA TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  26. B. BÀI TẬP 2−− 5 1 3 1 6 4 Bài 3. Cho AB == ; 3 0−− 4 0 2 7 5 Phép tốn nào sau đây thực hiện được? Và tính kết quả đĩ. a. A+ B b. A B c. AT B d. A BT TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  27. B. BÀI TẬP 13 xx Bài 4. Tìm x, y nếu = 6. 53 yy Bài 5. Tìm x, y, z, w thỏa: x y 1 1 1 1 x y = . z w 0 1 0 1 z w TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  28. B. BÀI TẬP Bài 6. Cho các ma trận A, B như sau: 2 1−− 1 2 1 0 AB== ; 0 1−− 4 3 2 2 a) Tính 2 3A 2 B ; 2 AATTTT − BB ; A A + ( B B) . b) Tìm ma trận X sao cho B−=2 X BAT TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  29. B. BÀI TẬP Bài 7. Tìm số thực x, y, z, w biết rằng: x y x64 x+ y 3 =+ z w −+1 2 w z w 3 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  30. B. BÀI TẬP 2003 Bài 9. Tính 01 . −10 12 Bài 10. Cho A = . Tính An . 01 Gợi ý: Áp dụng nguyên lý qui nạp. TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  31. CHƯƠNG 3: MA TRẬN 3.1 Ma trận 16- Khái niệm về ma trận 17- Số học ma trận 18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận 3.2 Các ma trận 19- Thuật tốn 20- Độ phức tạp của thuật tốn 21- Đánh giá thời gian tính của một thuật tốn TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  32. 16- KHÁI NiỆM về MA TRẬN3.1 Ma trận Định nghĩa: m = n : MT vuơng Ma trận A ( x ): m n A(3x3) Bảng hình chữ nhật m hàng & n cột. Hàng 2 & cột 3. Phần tử ai j 2 ma trận (A=B) Xác định hàng (i) và cột (j) của phần tử bất kỳ: nA = nB, mA = mB A = B = aij = bij TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  33. 17- SỐ HỌC về MA TRẬN 3.1 Ma trận a/ PHÉP CỘNG (TỔNG CỦA CÁC MA TRẬN) Điều kiện: các ma trận thành phần phải cĩ cùng kích thước m x n. Ví dụ 3.1: Lưu ý: Phép CỘNG ma trận cĩ tính giao hốn  A + B = B + A TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  34. 17- SỐ HỌC về MA TRẬN (tt) 3.1 Ma trận Ví dụ 3.2: 1 3 5 3 1 0 2 3 0 + 8 0 2 0 2 7 1 3 5 4 = 3 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  35. 17- SỐ HỌC về MA TRẬN (tt) 3.1 Ma trận Ví dụ 3.3: 4 1 3 5 4 5 3 2 4 7 = 2 3 0 + 9 4 2 - 3 5 4 0 2 7 2 1 8 1 6 5 Ví dụ 3.4: 4 5 3 2 4 7 1 3 5 = 8 4 6 - 3 5 4 + 2 3 0 1 3 8 1 6 5 0 2 7 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  36. 17- SỐ HỌC về MA TRẬN (tt) 3.1 Ma trận b/ PHÉP NHÂN A B C=A.B (TÍCH CỦA CÁC MA TRẬN) Điều kiện: cột trái = hàng phải (mxk) (kxn) (mxn) B (kxn) A (mxk) C (mxn) TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  37. 17- SỐ HỌC về MA TRẬN (tt) 3.1 Ma trận b/ PHÉP NHÂN - TÍCH CỦA CÁC MA TRẬN (tt) a c i j x bi j i j Lưu ý: Phép TÍCH ma trận khơng cĩ tính giao hốn A.B ≠ B.A A.B.C = (A.B).C ≠ A.(B.C) TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  38. 17- SỐ HỌC về MA TRẬN (tt) 3.1 Ma trận Phương pháp NHÂN ma trận: HÀNG X CỘT a a a 11 12 13 c11 c12 b11 b12 a a a 21 22 23 b b c21 c22 x 21 22 = a a a 31 32 33 b31 b32 c31 c32 a a a 41 42 43 c41 c42 A (4x3) B (3x2) C=AxB (4x2) c11=a11.b11+a12.b21+a13.b31 c12=a11.b12+a12.b22+a13.b32 c21=a21.b11+a22.b21+a23.b31 c22=a21.b12+a22.b22+a23.b32 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  39. 17- SỐ HỌC về MA TRẬN (tt) 3.1 Ma trận Ví dụ 3.5: Phương pháp NHÂN ma trận: HÀNG X CỘT 1 0 4 2 4 2 1 1 x 1 1 = 3 1 0 7 3 0 0 2 2 C31 = 3x2 + 1x1 + 0x3 = 7 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  40. 17- SỐ HỌC về MA TRẬN (tt) 3.1 Ma trận 1 0 4 2 3 6 2 3 Ví dụ 3.6: x 4 1 = 3 5 0 3 0 0 2 3 Ví dụ 3.7 2 3 0 1 0 4 x 4 1 2 = 6 2 3 3 0 1 TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  41. 17- SỐ HỌC về MA TRẬN (tt) 3.1 Ma trận Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  42. 17- SỐ HỌC về MA TRẬN (tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  43. 18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  44. 18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận (tt) Chuyển vị Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  45. 18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận (tt) 1 5 a/ 1 2 3 4 2 2 5 6 7 8 3 7 4 8 1 0 4 6 2 3 3 5 0 0 2 3 = Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  46. 18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận (tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  47. 18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận (tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  48. 18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận (tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  49. 18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận (tt) MA TRẬN 0 1` Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  50. 18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận (tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  51. 18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận (tt) Lũy thừa các ma trận Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  52. 18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận (tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  53. 18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận (tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  54. 18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận (tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  55. 19- Thuật tốn Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  56. 19- Thuật tốn (tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  57. 19- Thuật tốn (tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  58. 19- Thuật tốn (tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  59. 19- Thuật tốn (tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  60. 19- Thuật tốn (tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  61. 19- Thuật tốn (tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  62. 19- Thuật tốn (tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  63. 19- Thuật tốn (tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  64. 19- Thuật tốn (tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  65. 19- Thuật tốn (tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  66. 19- Thuật tốn (tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  67. 19- Thuật tốn (tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  68. 20- Độ phức tạp của thuật tốn Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  69. 20- Độ phức tạp của thuật tốn (tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  70. 20- Độ phức tạp của thuật tốn (tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  71. 20- Độ phức tạp của thuật tốn (tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  72. 21- Đánh giá thời gian tính của 1 thuật tốn Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  73. 21- Đánh giá thời gian tính của 1 thuật tốn(tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  74. 21- Đánh giá thời gian tính của 1 thuật tốn(tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  75. 21- Đánh giá thời gian tính của 1 thuật tốn(tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  76. 21- Đánh giá thời gian tính của 1 thuật tốn(tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  77. 21- Đánh giá thời gian tính của 1 thuật tốn(tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  78. 21- Đánh giá thời gian tính của 1 thuật tốn(tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  79. 21- Đánh giá thời gian tính của 1 thuật tốn(tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  80. 21- Đánh giá thời gian tính của 1 thuật tốn(tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  81. 21- Đánh giá thời gian tính của 1 thuật tốn(tt) Tham khảo → Seminars TỐN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009
  82. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ iSPACE 137C Nguyễn Chí Thanh, P 9, Q 5, TP. Hồ Chí Minh Web: ispace.edu.vn - Tel: 08.6.261.0303 - Fax: 08.6.261.0304 Kết thúc Chương 3: MA TRẬN CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE ! TỐN ỨNG DỤNG Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH HDXB-2009