›
›

Bài giảng Toán ứng dụng trong tin học - Chương 2: Tính toán – Xác suất

ppt 77 trang ngocly 70 Free
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán ứng dụng trong tin học - Chương 2: Tính toán – Xác suất", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_toan_ung_dung_trong_tin_hoc_chuong_2_tinh_toan_xac.ppt

Nội dung text: Bài giảng Toán ứng dụng trong tin học - Chương 2: Tính toán – Xác suất

  1. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ iSPACE 137C Nguyễn Chí Thanh, P 9, Q 5, TP. Hồ Chí Minh Web: ispace.edu.vn - Tel: 08.6.261.0303 - Fax: 08.6.261.0304 Bài giảng TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC (Tài liệu cập nhật – 2009) Chương 2 TÍNH TOÁN & XÁC SUẤT www.math.hcmus.edu.vn/~ntchuyen/ispace Mail: [email protected] TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  2. A. Tính toán I. Các nguyên lý 1. Nguyên lý cộng Giả sử để làm công việc A có 2 phương pháp - Phương pháp 1 có n cách làm - Phương pháp 2 có m cách làm Khi đó số cách làm công việc A là n+m Ví dụ. An có 3 áo tay dài, 5 áo tay ngắn. Để chọn 1 cái áo thì An có mấy cách TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  3. I. Các nguyên lý Phép đếm 2. Nguyên lý nhân Giả sử để làm công việc A cần thực hiện 2 bước - Bước 1 có n cách làm - Bước 2 có m cách làm Khi đó số cách làm công việc A là n.m Ví dụ: A B C Có 3.2 =6 con đường đi từ A đến C TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  4. I. Các nguyên lý Ví dụ: Cho tập X ={1,2,3,4,5,0} Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau mà chia hết cho 2 Giải. Gọi số có 3 chữ số là abc TH1 . c=0. Khi đó c có 1 cách chọn a có 5 cách chọn ( a X\{0} ) TH1 có 1.4.5 =20 b có 4 cách chọn ( b X\{a, 0} ) TH2 . c≠0. Khi đó c có 2 cách chọn a có 4 cách chọn ( a X\{c, 0} ) TH2 có 2.4.4 =32 b có 4 cách chọn ( b X\{a, c} ) Vậy có 20+32 =52 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  5. I. Các nguyên lý 3- Nguyên lý Dirichlet Nếu có n vật đặt trong k hộp n → tồn tại 1 hộp chứa ít nhất vật k n là số nguyên dương nhỏ nhất thoả điều kiện k n n n, n n hay + 1 k k k k k , Ví dụ 2.9: [x] gọi là hàm sàn trên của x 4 4 = 1 5 5 5 5 = 2 4 4 − = 0 − 4 4 5 5 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  6. I. Các nguyên lý 3. Nguyên lý chuồng bồ câu (Derichlet) Gọi x là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hay bằng x. Giả sử có n chim bồ câu ở trong k chuồng. Khi đó tồn tại ít nhất một chuồng chứa từ nk/bồ câu trở lên. Ví dụ. Có 20 chim bồ câu ở trong 7 cái chuồng. Khi đó sẽ có ít nhất 1 chuồng có 3 con bồ câu trở lên - Trong 1 nhóm có 367 người thì ít nhất có 2 người sinh cùng ngày TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  7. I. Các nguyên lý Ví dụ Trong một nhóm có 366 người thì ít nhất có 2 người trùng ngày sinh nhật? Giải: 366 Một năm có 365 ngày → n=365, k=366 = 2 Theo Nguyên lý Dirichlet 365 → tối thiểu có 2 người trùng ngày sinh nhật TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  8. I. Các nguyên lý Ví dụ Trong một nhóm có 28 từ tiếng Anh thì ít nhất có 2 từ bắt đầu bằng cùng một chữ cái? a b c d e f g h i j k l m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n o p q r s t u v w x y z Giải: 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Bảng chữ cái tiếng Anh có 26 mẫu 28 28 tự → n=26, k=28 = 2 Theo Nguyên lý Dirichlet 26 26 → ít nhất có 2 từ bắt đầu trùng chữ cái TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  9. I. Các nguyên lý Ví dụ. Cho tập X ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Lấy A là tập hợp con của X gồm 6 phần tử. Khi đó trong A sẽ có hai phần tử có tổng bằng 10. Giải. Ta lập các chuồng như sau: {1,9} {2,8} {3,7} {4,6} {5} Do A có 6 phần tử nên trong 6 phần tử đó sẽ có 2 phần tử trong 1 chuồng. Suy ra đpcm TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  10. I. Các nguyên lý Tính lượng SV tối thỉểu cần có ghi tên vào Ví dụ danh sách lớp A, để chắc chắn có ít nhất 6 SV có cùng một điểm trong thang điểm 5? Giải: Theo Nguyên lý Dirichlet nn n =61 +  6 −1 = 5 55 5 Cách 1: n = (5*5) +1 = 26 Cách 2: n 5*5 = 25 Vậy tối thiểu có 26 SV ghi tên vào DS lớp TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  11. Bài tập về nhà DẠNG 3 (Homework-3): Bài 3.1: Tính lượng SV tối thỉểu cần có ghi tên vào danh sách lớp CC02, để chắc chắn có ít nhất 5 SV có cùng một điểm trong thang điểm 10? Bài 3.2: Thời khoá biểu trường xx học từ thứ 2 đến thứ 7. CMR nều trường có 7 lớp thì it nhất có 2 lớp học cùng ngày? TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  12. Bài tập về nhà DẠNG 3 (Homework-3): Mỗi SV trong lớp A đều có quê ở 1 trong 64 tỉnh Bài 3.3: thành. Trường cần phải tuyển bao nhiêu SV để đảm bảo trong 1 lớp A có ít nhất: a/ 2 SV có quê cùng tỉnh b/ 10 SV có quê cùng tỉnh c/ 50 SV có quê cùng tỉnh Bài 3.4: Lớp có 32 SV, CMR có ít nhất 2 SV có tên bắt đầu cùng 1 chữ cái? TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  13. Bài tập về nhà DẠNG 3 (Homework-3): CMR trong 5 số chọn từ tập hợp 8 số Bài 3.5: {1,2,3,4,5,6,7,8} bao giờ cùng có 1 cặp số có tổng bằng 9? CMR trong 6 số bất kỳ chọn từ tập hợp 9 số Bài 3.6: nguyên dương đầu tiên {1,2,3,4,5,6,7,8,9} bao giờ cũng chứa it nhất 1 cặp số có tổng bằng 10? TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  14. I. Các nguyên lý 4. Nguyên lý bù trừ. Cho A và B là hai tập hữu hạn. Khi đó |A  B|= |A|+|B| - |A  B| A A  B B TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  15. I. Các nguyên lý C A  C BC A  B  C A B A  B |A  B  C|=? TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  16. I. Các nguyên lý Ví dụ. Trong một lớp ngoại ngữ Anh Pháp. Có 24 HS học Tiếng Pháp, 26 học sinh học Tiếng Anh. 15 học sinh học Tiếng Anh và Tiếng Pháp. Hỏi lớp có bao nhiêu người Giải. Gọi A là những học sinh học Tiếng Pháp B là những học sinh học Tiếng Anh Khi đó. Số học sinh của lớp là |A  B |. Theo nguyên lý bù trừ ta có |A  B|= |A|+|B| - |A  B|=24+26-15=35 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  17. I. Các nguyên lý Ví dụ 2.2: Cho các tập hợp như sau 1 9 A = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10  3 7 5 A1 = 1,3,5,7,9 2 4 A2= 2,4,6,8,10 6 A3= 1,4,5,8 10 8 Hãy chứng minh A1  A2  A3 = A1 + A2 + A3 + A1  A2  A3 − A1  A2 − A2  A3 − A3  A1 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  18. I. Các nguyên lý THỰC HÀNH: Ví dụ 2.3: X = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 X1  X2  X3 = X = X = 1,3,7,9 1 1 X1  X2 = X2= 2,4,6,10, X2 = ?  X3= 5,7,10,11 X2  X3 = ?  X3 = ?  X3  X1 = ?  X1  X2  X3 = ?  ? X1  X2  X3 = X1 − X1  X2 + X2 − X2  X3 + X3 − X3  X1 + X1  X2  X3 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  19. II. Giải tích tổ hợp 1. Hoán vị Định nghĩa. Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp đặt có thứ tự n phần tử của A được gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử ký hiệu là Pn Pn = n! = n.(n-1).(n-2) 1 Quy ước 0! =1 Ví dụ. Cho A ={a,b,c}. Khi đó A có các hoán vị sau abc,acb, bac,bca, cab,cba TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  20. II. Giải tích tổ hợp Ví dụ. Cho X ={1,2,3,4,5}. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được tạo từ tập X ➔ 5! TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  21. II. Giải tích tổ hợp 2. Chỉnh hợp. Định nghĩa. Cho A là tập hợp gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k phần tử (1 k n) sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh hợp chập k của n ký hiệu là k An - Công thức n! Ak = n (nk− )! Ví dụ. Cho X ={abc}. Khi đó X có các chỉnh hợp chập 2 của 3 là: ab, ba, ac, ca, bc, cb. TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  22. II. Giải tích tổ hợp Ví dụ. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số được tạo thành từ 1,2,3,4,5,6. 3 Kết quả: A6 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  23. II. Giải tích tổ hợp 3.Tổ hợp. Định nghĩa. Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. k n Số tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là C hay n k n! C k = n k!!( n− k ) n− k k CCCk+= k−1 k Tính chất CCnn= n n n+1 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  24. II. Giải tích tổ hợp Ví dụ. Cho X = {1,2,3,4}. Tổ hợp chập 3 của 4 phần tử của X là {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4} , {2,3,4} Một lớp có 30 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 10 bạn 10 - Số cách chọn là tổ hợp chập 10 của 30. C30 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  25. II. Giải tích tổ hợp Từ một tập thể gồm 15 nam và 10 nữ, hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một tổ gồm 8 người mỗi trường hợp sau: a) Không có điều kiện gì thêm. b) Tổ có 5 nam và 3 nữ. c) Tổ có số nam nhiều hơn nữ. d) Tổ có ít nhất một nữ. d) Tổ trưởng là nữ. e) Tổ có cả nam lẫn nữ. TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  26. II. Giải tích tổ hợp Có bao nhiêu byte thỏa điều kiện trong mỗi trường hợp sau: a) Không có điều kiện gì thêm. b) Chứa đúng 3 bit 1. c) Chứa ít nhất 3 bit 1. d) Không có hai bít 1 nào gần nhau. e) Không có ba bít 1 nào gần nhau. TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  27. B. Xác suất Sự kiện ngẫu nhiên MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN: Sự kiện cơ bản Sự kiện chắc chắn PHÉP THỬ Sự kiện không thể NGẪU NHIÊN Sự kiện A hoặc B Sự kiện đồng thời A và B Sự kiện A mà không B Sự kiện xung khắc SỰ KIỆN Sự kiện đối lập Rời rạc Không gian mẫu hữu hạn Không gian mẫu vô hạn đếm được Liên tục KHÔNG GIAN MẪU Không gian mẫu vô hạn không đếm được TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  28. Xác suất 13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt) PHÉP THỬ = Một bộ điều kiện xác định (thí nghiệm, quan sát hiện tượng) SỰ KIỆN = Kết quả của Phép Thử → Ký hiệu: A, B,C Card A = Số phần tử của A SỰ KIỆN NGẪU NHIÊN = kết quả không đoán trước (tiên đoán) được KHÔNG GIAN MẪU =  Sự kiện ngẫu nhiên (có thể có) của Phép thử ngẫu nhiên TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  29. Xác suất 13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt) Ví dụ 2.13: Tung đồng tiền 1 lần = Phép thử ngẫu nhiên  Không gian mẫu  = (Sap , Ngua ) = (0,1) Card R = cặp (0,1) Mỗi Sự kiện là 1 điểm của Không gian mẫu  = Sap, Ngua = 0,1 Card R = 2 (0 và 1) TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  30. Xác suất 13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt) Ví dụ 2.14: Tung đồng tiền 2 lần (1,1)  Không gian mẫu (0,1) = (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) Card R = 4 (0,0) (1,0) ĐỒ THỊ Ví dụ 2.15: Tung đồng tiền 3 lần  Không gian mẫu ? Card R = ? = (0,0,0),(0,0,1)(0,1,1),(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  31. Xác suất 13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt) Ví dụ 2.16: Gieo một con xúc xắc  Không gian mẫu Card R = 6  = 1,2,3,4,5,6 = w1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 Ví dụ 2.17: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), Gieo 2 con xúc xắc cùng lúc (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,3),(3,4),(3,5),(3,6), Không gian mẫu ? =  (4,4),(,5),(4,6), Card R = ? (5,5),(5,6), (6,6) TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  32. Xác suất 13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt) KHÔNG GIAN MẪU  =  Sự kiện ngẫu nhiên (có thể có) của Phép thử ngẫu nhiên  hữu hạn Card  = hữu hạn Rời rạc  vô hạn đếm được Card  = N (Số tự nhiên)  vô hạn không đếm được Liên tục Card  = Không đếm được TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  33. Xác suất 13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt) SỰ KIỆN = Kết quả của Phép Thử → Ký hiệu: A, B,C SK ngẫu nhiên = kết quả không đoán trước (tiên đoán) được SK cơ bản  Card A = 1 SK chắc chắn  Card A =  SK không thể  Card A = Ø A  B SK hoặc A hoặc B  HỢP SK đồng thời A và B  A  B ĐẠI SỐ SK SK A mà không B  A − B (các Quan hệ- SK xung khắc AB =  Phép toán SK) SK đối lập A và A SK tất yếu AA =  A  A =  i n j Nhóm đđủ các SK (phân hoạch) A =  i=1 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  34. Xác suất 13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt) Ví dụ 2.18: Tung 1 đồng tiền 2 lần. Giả sử: A: SK có ít nhất 1 mặt sấp (S) B: SK ngửa (N) ở lần tung thứ 2 C: cả 2 lần đều mặt sấp (S) ABSNNSNNSS = ( ,,,,,,,) ( ) ( ) ( ) =  SK tất yếu AB = SN BC =  B và C là 2 SK xung khắc A− B = NS,SS TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  35. Xác suất Các định nghĩa-khái niệm về xác suất 1/ Định nghĩa cổ điển Xác suất của A Xác suất của A là tỉ số của số kết quả thích hợp cho A (m) trên số m số trường hợp xảy ra A kết quả đồng khả năng (n) của P(A) = = phép thử n số trường hợp của không gian mẫu 0 SK không thể m = 0 → P(A) = = 0 n n HỆ QUẢ SK tất yếu m = n → P(A) = = 1 n n SK bất kỳ 0 m n → 0 P(A) = 1 n TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  36. Xác suất Các định nghĩa xác suất (tt) Trong một thùng kín chứa 20 quả cầu giống Ví dụ 2.19: nhau.Trong đó có 10 quả màu trắng, 6 màu xanh, còn lại là màu đỏ. Nếu lấy ngẫu nhiên một quả thì xác suất rút được là bao nhiêu? a/ quả trắng? b/ quả xanh? c/ quả đỏ? d/ quả đen? e/ quả trắng hoặc xanh? f/ quả trắng hoặc xanh hoặc đỏ? TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  37. Xác suất Các định nghĩa xác suất (tt) Ví dụ 2.20: Một hộp đồ chơi đối xứng và đồng chất có 12 mặt, được đánh số từ 1 đến 12. Số 1,4,7,10,12 tô màu đỏ; số 2,5,8,11 tô màu xanh; các số còn lại tô màu đen. Tính xác suất để khi ném nó lên thì xuất hiện: a/ Mặt màu cam? b/ Mặt màu đỏ hoặc xanh? c/ Mặt màu đỏ hoặc xanh hoặc đen? TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  38. Bài tập về nhà DẠNG 4 (Homework-4): Bài tập 4.1: Trong một thùng kín chứa 50 viên bi giống nhau.Trong đó có 25 viên màu xanh, 15 màu đỏ, còn lại là màu cam. Nếu lấy ngẫu nhiên hai viên cùng lúc thì xác suất rút được 2 viên bi màu là bao nhiêu? a/ cùng xanh? b/ xanh và cam? c/ cam và đỏ? d/ khác màu? TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  39. Bài tập về nhà DẠNG 4 (Homework-4): Một hộp đồ chơi đối xứng và đồng chất có 12 mặt, Bài tập 4.2: được đánh số từ 1 đến 12. Số 1,4,7,10 tô màu vàng; số 2,5,6,9,12 tô màu nâu; các số còn lại tô màu trắng. Tính xác suất để khi ném một lần hai hộp đồng thời lên thì xuất hiện: a/ 2 mặt màu trắng? d/ 2 mặt có tổng bằng 10? b/ 2 mặt cùng màu nâu hoặc vàng? e/ 2 mặt có hiệu bằng 8? c/ ít nhất có 1 mặt màu vàng hoặc trắng? f/ 2 mặt có màu khác nhau? TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  40. Bài tập về nhà DẠNG 4 (Homework-4): Bài tập 4.3: Gieo 3 hột xí ngầu (số 1 và 4 sơn màu đỏ: còn lại sơn màu đen) cùng lúc. Tính số trường hợp có thể xảy ra khi xuất hiện: a/ 3 mặt có số giống nhau b/ 3 mặt có số khác nhau c/ 2 mặt có màu đỏ d/ 2 mặt có màu đen e/ Tổng giá trị 3 mặt là 12 f/ Tổng giá trị 3 mặt là 9 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  41. Xác suất Hệ đầy đủ các biến cố Định nghĩa Nhóm các biến cố AAAA1, 2 , 3 , , n của một phép thử được gọi là một hệ đầy đủ các biến cố nếu thỏa mãn 2 tính chất: AAAA1 2  3  n = AAij = Ví dụ: Trong phép thử tung đồng xu, ta đặt biến cố A1= “xuất hiện mặt sấp” A2= “xuất hiện mặt ngửa” P(A1)=P(A2)=0,5 khi đó {A1, A2} là hệ đầy đủ các biến cố TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  42. Xác suất Ví dụ: Ba xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào một con thú. Gọi biến cố Ai=“xạ thủ thứ i bắn trúng thú”, i=1, 2, 3. Hãy biểu diễn Ai qua các biến cố sau: a) A= “thú bị trúng đạn” b) B= “thú không bị trúng đạn” c) C=“thú bị trúng 3 viên đạn” d) D= “thú bị trúng 1 viên đạn” Giải: Ai = “xạ thủ thứ i không bắn trúng thú” a) A= A1A2A3 (ít nhất 1 viên trúng) b) B= (cả ba xạ thủ đều bắn trượt) AAAAAAA=1  2  3 = 1  2  3 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  43. Xác suất c) C= A1A2A3 (cả 3 xạ thủ đều cùng bắn trúng thú) dDAAA)()()()=1  2  3  AAA 1  2  3  AAA 1  2  3 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  44. Xác suất Ví dụ 1: Một hộp đựng bi gồm có 12 viên bi trắng và 8 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 bi trong hộp. 12 a. Xác suất lấy được 1 bi trắng: PT()= 20 8 b. Xác suất lấy được 1 bi xanh: PX()= 20 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  45. Xác suất Ví dụ 2: Một thùng có 3 quả cầu trắng và 5 quả cầu đen giống nhau về kích thước. Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ thùng đó. Tính xác suất lấy được: a) 2 quả cầu màu trắng b) 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen. Giải 2 C3 3 a) A= “lấy được 2 quả cầu trắng” PA()==2 C8 28 b) B= “lấy được 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen” 11 CC35. 15 PB()==2 C8 28 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  46. Xác suất Các tính chất cơ bản của xác suất Giả sử A là một biến cố . Khi đó 1) 0 PA ( ) 1 và PAPA( )=− 1 ( ) 2) Nếu AB  thì PAPB()() 3) Tính cộng tính: a. nếu A và B là 2 biến cố xung khắc: P(A  B)= P(A) + P(B) b. nếu A và B là 2 biến cố ngẫu nhiên bất kỳ: P(AB)= P(A) + P(B) – P(A B) TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  47. Xác suất Ví dụ 1: Một hộp có 10 bi, trong đó có 4 bi đỏ và 6 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp. Tính xác suất để lấy được ít nhất 1 bi đỏ. Giải. Đặt A= “lấy được ít nhất 1 bi đỏ”. Khi đó A = “lấy được 3 bi xanh” PAPA( )=− 1 ( ) 3 C6 =−1 3 C10 = 0,8333 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  48. Xác suất Ví dụ 2: Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên giỏi Toán, 50 sinh viên giỏi Văn, 20 sinh viên giỏi cả Toán lẫn Văn. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp. Tính xác suất để sinh viên đó giỏi ít nhất 1 trong 2 môn. Giải. Đặt T=“sinh viên được chọn giỏi Toán” V=“sinh viên được chọn giỏi Văn” Khi đó TV=“sinh viên được chọn giỏi ít nhất 1 trong 2 môn” TV=“sinh viên được chọn giỏi cả 2 môn” PTVPTPVPTV()()()() = + −  40 50 20 7 = + − = 100 100 100 10 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  49. Xác suất Ví dụ 3: Một hộp chứa 5 cầu trắng, 3 cầu xanh và 4 cầu đen cùng kích thước. Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 cầu. Tính xác suất để: a) Cả 3 cầu cùng màu (A) b) Có đúng 2 cầu cùng màu (B) c) Có ít nhất 2 cầu cùng màu (C) d) Cả 3 cầu khác màu nhau (D) TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  50. Xác suất Giải: a) Đặt: At= “3 cầu rút được màu trắng” Ađ= “3 cầu rút được màu đỏ” Ax= “3 cầu rút được màu xanh” Do chỉ rút 1 lần 3 cầu nên A= At Ađ  Ax Do At, Ađ, Ax xung khắc nên P(A)= P(At) + P(Ađ) + P(Ax) 333 CCC5++ 4 3 3 ==3 C12 44 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  51. Xác suất b) Bt= trong 3 cầu rút được có 2 cầu trắng Bđ= trong 3 cầu rút được có 2 cầu đen Bx= trong 3 cầu rút được có 2 cầu xanh P(B)= P(Bt)+ P(Bđ)+ P(Bx) 2 1 2 1 2 1 CCCCCC5 7++ 4 8 3 9 29 ==3 C12 44 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  52. Xác suất c) P(C)= P(B) + P(A) 3 29 32 = + = 44 44 44 d) D= C P( D) =− 1 P( C) 32 12 =1 − = 44 44 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  53. Xác suất Xác suất có điều kiện Công thức đầy đủ Công thức Bayes TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  54. Xác suất có điều kiện Xác suất có điều kiện Cho hai biến cố A, B. Xác suất của A với điều kiện B, ký hiệu PAB ( / ), là xác suất của A được tính sau khi B đã xảy ra. PAB() PAB(/) = PB() TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  55. Xác suất có điều kiện • Ví dụ (xác suất có điều kiện): Một hộp có 10 vé, trong đó có 3 vé trúng thưởng. Tính xác suất người thứ hai bốc được vé trúng thưởng, biết rằng người đầu tiên đã bốc được một vé trúng thưởng. (mỗi người chỉ được bốc 1 vé). Đặt A=“người thứ nhất bốc được vé trúng thưởng” B=“người thứ hai bốc được vé trúng thưởng” Xác suất của B sau khi A đã xảy ra: 2 PBA(/) = 9 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  56. Xác suất có điều kiện • Ví dụ (xác suất có điều kiện): Một hộp điều tra về sở thích mua sắm quần áo của dân cư trong một vùng. Trong số 500 người được điều tra (gồm 240 nam và 260 nữ), có 136 nam và 224 nữ trả lời “thích”. a) Chọn một người nữ của vùng. Tính xác suất người đó thích mua sắm. b) Chọn một người nam của vùng. Tính xác suất người đó thích mua sắm. Đặt: A=“người được chọn thích mua sắm” B=“người được chọn là nữ” C=“người được chọn là nam” PAB( ) 224 PAC( ) 136 a)(/) P A B ==b)(/) P A C == PB( ) 260 PC( ) 240 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  57. Xác suất có điều kiện Công thức nhân xác suất • Cho A, B là hai biến cố. PABPAPBA(= ) ( ). ( / ) • Khi A, B là hai biến cố độc lập P(AB)= P(A). P(B) TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  58. Xác suất có điều kiện Ví dụ. Một xưởng có 2 máy hoạt động độc lập. Trong một ngày làm việc, xác suất để hai máy này bị hỏng tương ứng là 0,1; 0,05. Tính xác suất trong một ngày làm việc xưởng có: a) máy hỏng b) một máy hỏng Giải Đặt Ai=“máy i hỏng trong một ngày làm việc” a) A=“có máy hỏng” khi đó A = “không có máy nào hỏng” PAPA( )=− 1 ( ) =−1PAPA (12 ). ( ) =1 − 0,9.0,95 = 0,145 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  59. Xác suất có điều kiện b) B=“có một máy hỏng” PBPAAPAA()()()=1  2 + 1  2 =+PAPAPAPA(1 ). ( 2 ) ( 1 ). ( 2 ) =0,1.0,95 + 0,9.0,05 = 0,14 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  60. Xác suất có điều kiện Ví dụ : Một lô hàng có 100 sản phẩm, trong đó có 6% phế phẩm. Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt 4 sản phẩm, nếu có ít nhất 1 phế phẩm thì không mua lô hàng. Tính xác suất lô hàng được mua trong 2 trường hợp: hoàn lại và không hoàn lại. Giải. Đặt A= “lô hàng được mua”. Ai=“lấy được sản phẩm tốt lần thứ i” a) trường hợp lấy có hoàn lại P(A)=P(A1A2  A3  A4)=P(A1).P(A2).P(A3).P(A4) (xác suất các lần lấy độc lập) 94 94 94 94 ==. . . 0,781 100 100 100 100 b) trường hợp lấy không hoàn lại P(A)=P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1  A2).P(A4/A1  A2  A3) 94 93 92 91 ==. . . 0,7777 100 99 98 97 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  61. Xác suất có điều kiện Công thức xác suất đầy đủ • Nếu trong một phép thử có biến cố A và một hệ đầy đủ A1, A2, , An xảy ra thì ta có công thức xác suất đầy đủ: P(A)=P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2)+ +P(An).P(A/An) n =  PAPAA(ii ). ( / ) i=1 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  62. Xác suất có điều kiện Công thức Bayes • Công thức Bayes cho ta biết xác suất của các biến cố trong nhóm đầy đủ thay đổi như thế nào khi một biến cố đã xảy ra. PAPAA(ii ). ( / ) PAA(/)i = n  PAPAA(ii ). ( / ) i=1 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  63. Xác suất có điều kiện • Ví dụ (công thức xác suất đầy đủ) Một lô sản phẩm gồm hai loại và do hai máy sản xuất ra. Số sản phẩm do máy I sản xuất là 65% và do máy II sản xuất là 35%. Tỉ lệ phế phẩm của máy I là 0,02 và của máy II là 0,03. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm, tính xác suất để lấy được phế phẩm. Giải. Đặt Ai=“sản phẩm chọn được do máy i sản xuất” B=“sản phẩm chọn được là phế phẩm” P(A1)=0,65 ; P(A2)=0,35 Hệ hai biến cố A1, A2 là một hệ đầy đủ. Theo công thức xác suất đầy đủ P(B)=P(A1).P(B/A1)+P(A2).P(B/A2) =0,65.0,02 + 0,35.0,03= 0,0235 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  64. Xác suất có điều kiện • Ví dụ (công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes) Một loại nón bảo hiểm sản xuất trên thị trường xuất phát từ ba nguồn I, II, III với tỷ lệ thị phần tương ứng là 35%, 40% và 25%. Tỷ lệ được kiểm định chất lượng tương ứng là 70%, 80% và 90%. Mua ngẫu nhiên một nón loại này. a) Tính xác suất để mua được nón đã được kiểm định chất lượng. b) Giả sử đã mua được nón đã được kiểm định. Tính xác suất để nón này xuất xứ từ nguồn II. a) Giải. Đặt A1=“mua được nón từ nguồn I” A2=“mua được nón từ nguồn II” A3=“mua được nón từ nguồn III” A=“mua được nón đã được kiểm định chất lượng” TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  65. Xác suất có điều kiện P(A1)=0,35 P(A2)=0,4 P(A3)=0,25 A1, A2, A3 là một hệ đầy đủ các biến cố. P(A)=P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2)+P(A3).P(A/A3) =0,35.0,7 + 0,4.0,8 + 0,25.0,9 = 0,79 b) Xác suất để nón này có xuất xứ từ nguồn II: PAPAA( ). ( / ) PAA(/) = 22 2 PA() 0,4.0,8 ==0,405 0,79 TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  66. Xác suất có điều kiện Bài tập TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  67. Xác suất có điều kiện Bài tập 1: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có: 8 học sinh giỏi, 20 học sinh khá và 12 học sinh trung bình. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suât để trong 3 học sinh đó có: a) 1 học sinh trung bình, 1 hsinh khá và 1 hsinh giỏi. b) Có ít nhất 1 học sinh giỏi. TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  68. Xác suất có điều kiện Bài tập 2: Có hai hộp đựng bút chì. Hộp I có 10 bút màu đỏ và 15 bút màu xanh, hộp II có 8 bút màu đỏ và 9 bút màu xanh. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một bút. Tính xác suất sao cho trong hai but lấy ra có: a) Ít nhất 1 bút màu đỏ. b) Chỉ có 1 bút màu đỏ. c) Hai bút có màu giống nhau. TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  69. Xác suất có điều kiện Bài tập 3: Có hai xe chở hàng độc lập về một xí nghiệp. Xác suất để hai xe chở hàng về đến xí nghiệp lần lượt là 0,7 và 0,6. Tính xác suất sao cho: a) Chỉ có một xe chở hàng về đến xí nghiệp b) Xí nghiệp nhận được hàng. TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  70. Xác suất có điều kiện Bài tập 4: Một hộp gồm có 24 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm loại II. Lấy ngẫu nhiên lần lượt ra từng sản phẩm kiểm tra (lấy không hoàn lại), đến khi nào được sản phẩm loại II thì dừng lại. Tìm xác suất để quá trình kiểm tra kết thúc sau không quá 3 lần lấy. TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  71. Xác suất có điều kiện Bài tập 5: Một người say mê xổ số cào, người đó mua liên tiếp từng vé xổ cho đến khi nào được vé trúng thưởng thì dừng. Tìm xác suất sao cho người đó mua đến vé thứ 4 thì dừng, biết rằng xác suất trúng thưởng của mỗi lần mua là như nhau và bằng 0,01. TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  72. Xác suất có điều kiện Bài tập 6: Học kỳ này sinh viên được thi môn Toán ứng dụng 3 lần. Xác suất để sinh viên thi đậu ở lần thi thứ nhất là 0,5. Nếu thi trượt ở lần thi thứ nhất thì xác suất thi đỗ ở lần thi thứ hai là 0,7. Còn nếu thi trượt ở cả hai lần đầu thì xác suất thi đỗ ở lần thi thứ 3 là 0,9. Tìm xác suất để sinh viên nói trên thi đậu học kỳ này. TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  73. Xác suất có điều kiện Bài tập 7: Một trường đại học có 52% số sinh viên là nữ, 5% số sinh viên của trường học Toán và 2% nữ của trường học ngành này. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của trường. Tìm xác suất: a) Tìm xác suất sinh viên là nữ, biết rằng sinh viên đó học Toán. b) Tìm xác suất sinh viên học Toán, biết rằng sinh viên đó là nữ. TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  74. Xác suất có điều kiện Bài tập 8: Có 2 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Tỷ lệ làm ra chính phẩm của máy thứ nhất là 0,9; của máy thứ hai là 0,8. Từ một kho chứa 1/3 số sản phẩm của máy thứ nhất (còn lại của máy thứ hai), lấy ra một sản phẩm để kiểm tra. a) Tính xác suất lấy được phế phẩm. b) nếu sản phẩm lấy ra không phải là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó do máy thứ hai sản xuất ra. TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  75. Xác suất có điều kiện Bài tập 9: Có 2 hộp sản phẩm. Hộp thứ nhất có 12 sản phẩm trong đó có 4 phế phẩm; hộp thứ hai có 10 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm. a) Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một sản phẩm. Tính xác suất để lấy được ít nhất 1 phế phẩm. b) Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ đó lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Tính xác suất để lấy được phế phẩm. c)* Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm của hộp thứ nhất bỏ qua hộp thứ hai, sau đó lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm của hộp thứ hai. Tính xác suất lấy được phế phẩm từ hộp thứ hai. TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  76. Xác suất có điều kiện Bài tập 10: Một nhà máy sản xuất giày xuất khẩu làm việc 3 ca: sáng, chiều, tối, trong đó 40% sản phẩm được sản xuất ca sáng, 40% sản phẩm được sản xuất ca chiều, 20% sản phẩm được sản xuất ca tối. Tỷ lệ phế phẩm trong các ca tương ứng là 5%, 10% và 20%. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm để kiểm tra. a) Tính xác suất để lấy được phế phẩm. b) Giả sử đã lấy được sản phẩm tốt. Tính xác suất để sản phẩm đó do ca sáng sản xuất. TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009
  77. TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ iSPACE 137C Nguyễn Chí Thanh, P 9, Q 5, TP. Hồ Chí Minh Web: ispace.edu.vn - Tel: 08.6.261.0303 - Fax: 08.6.261.0304 Kết thúc Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE ! TOÁN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009