›
›

Bài giảng Toán cao cấp - Chương: Phép tính vi phân hàm một biến - Lê Xuân Trường

pdf 55 trang ngocly 3160
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán cao cấp - Chương: Phép tính vi phân hàm một biến - Lê Xuân Trường", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_toan_cao_cap_chuong_phep_tinh_vi_phan_ham_mot_bien.pdf

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương: Phép tính vi phân hàm một biến - Lê Xuân Trường

  1. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ts. Lê Xuân Trường Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 1 / 55
  2. Các nội dung chính 1 Giới hạn hàm số 2 Hàm số liên tục 3 Đạo hàm 4 Vi phân 5 Khai triển Taylor-Maclaurin 6 Qui tắc L’Hospital 7 Bài toán tối ưu và ứng dụng Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2 / 55
  3. PHẦN 1 GIỚI HẠN HÀM SỐ Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 3 / 55
  4. 1. Giới hạn hàm số 1.1. Một số giới hạn cơ bản   +∞, khi α > 0 α limx→+∞ x = 1, khi α = 0  0, khi α < 0 limx→a C = C (C là hằng số) sin x limx→0 x = 1 ax −1 ln(x+1) limx→0 x = ln a, limx→0 x = 1 1 x 1/x limx→±∞ 1 + x = limx→0 (1 + x) = e (1+x)α−1 limx→0 x = α Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 4 / 55
  5. 1. Giới hạn hàm số 1.2. Điều kiện tồn tại giới hạn   limx→a+ f (x) , limx→a− f (x) hữu hạn tồn tại lim f (x) ⇔ x→a  limx→a+ f (x) = limx→a− f (x) Ví dụ: Xét sự tồn tại của giới hạn sau |x − 1| lim x→1 x − 1 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 5 / 55
  6. 1. Giới hạn hàm số 1.3. Một số tính chất của giới hạn Nếu f là hàm số sơ cấp, xác định tại a thì limx→a f (x) = f (a). 3 2  3 2 Ví dụ: limx→2 x − 2x + 4 = 2 − 2.2 + 4 = 4 Tính chất kẹp:  g (x) ≤ f (x) ≤ h (x) ⇒ lim f (x) = A limx→a g (x) = limx→a h (x) = A x→a 1 Ví dụ:Tính giới hạn limx→0 x sin x  − |x| ≤ x sin 1 ≤ |x|  x 1 ⇒ lim x sin = 0 x→0 x  limx→0 (− |x|) = limx→0 |x| = 0 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 6 / 55
  7. 1. Giới hạn hàm số 1.3. Một số tính chất của giới hạn Giả sử limx→a f (x) và limx→a g (x) tồn tại hữu hạn. Khi đó ta có (i) limx→a [f (x) ± g (x)] = limx→a f (x) ± limx→a g (x) (ii) limx→a [f (x) .g (x)] = limx→a f (x) . limx→a g (x) f (x) limx→a f (x) (iii) limx→a = (nếu limx→a g (x) 6= 0) g(x) limx→a g(x) g(x) limx→a g(x) (iv) limx→a [f (x)] = [limx→a f (x)] (limx→a f (x) > 0) Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 7 / 55
  8. 1. Giới hạn hàm số 1.3. Một số tính chất của giới hạn Khi xét giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương các hàm số ta cũng lưu ý một số điểm như sau     ∞ + một số hữu hạn = ∞, ∞ × một số dương = ∞     ∞ × một số âm = −∞, một số hữu hạn /∞ = 0   ∞/ một số hữu hạn = ∞ Chú thích: Cách viết trên đây là hình thức. Chẳng hạn   ∞ + một số hữu hạn = ∞, được hiểu là nếu lim f (x) = ∞ và lim g (x) 6= ∞ thì lim [f (x) + g (x)] = ∞. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 8 / 55
  9. 1. Giới hạn hàm số 1.4. Dạng vô định Các dạng vô định 0 ∞ , , 0.∞, ∞ − ∞, 1∞, 00, ∞0 0 ∞ Khử dạng vô định Ví dụ:Tính các giới hạn sau √ 1 − cos x 3 + x − 2 A = lim và B = lim x→0 x2 x→1 x − 1 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 9 / 55
  10. 1. Giới hạn hàm số 1.5. Vô cùng bé Định nghĩa: Nếu limx→a α (x) = 0 thì ta nói α (x) là một vô cùng bé (vcb) khi x dần đến a. Ví dụ: sin x, ln (1 + x) , (1 + x)α − 1 là các vcb khi x → 0. Lưu ý: Tổng, hiệu và tích các vcb cũng là một vcb Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 10 / 55
  11. 1. Giới hạn hàm số 1.5. Vô cùng bé So sánh các vcb: Giả sử α (x) , β (x) là các vcb khi x → a và α (x) K = lim x→a β (x) - K = 0: α (x) là vcb bậc cao hơn β (x). Ký hiệu α (x) = 0 (β (x)) - K 6= 0, ∞: α (x) và β (x) cùng bậc. Ký hiệu α (x) = O (β (x)) - K = 1: α (x) và β (x) tương đương. Ký hiệu α (x) ∼ β (x) Ví dụ: So sánh hai vcb sau khi x → 0 p α (x) = 4 + x2 − 2 và β (x) = sin x Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 11 / 55
  12. 1. Giới hạn hàm số 1.5. Vô cùng bé Một số cặp vcb tương đương: khi x → 0 ta có sin x ∼ x tan x ∼ x arcsin x ∼ x 1 2 x arctan x ∼ x 1 − cos x ∼ 2 x e − 1 ∼ x ln (1 + x) ∼ x (1 + x)α − 1 ∼ αx Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 12 / 55
  13. 1. Giới hạn hàm số 1.5. Vô cùng bé 0 Khử dạng vô định 0 : - Nếu α (x) và β (x) là các vcb (khi x → a) và α ∼ α1, β ∼ β1 thì α (x) α (x) lim = lim 1 . x→a β (x) x→a β1 (x) Ví dụ 1: Tính giới hạn √ 5 1 + x3 − 1 lim x→0 ln (1 + 2x3) Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 13 / 55
  14. 1. Giới hạn hàm số 1.5. Vô cùng bé 0 Khử dạng vô định 0 : Ví dụ 2: Tính giới hạn e2x − 1 sin x lim x→0 x3 + 1 − cos x - Hai nguyên tắc khi thay vcb tương đương α ∼ α0 và β ∼ β0 ⇒ α.β ∼ α0.β0 α1 = 0 (α2) ⇒ α1 + α2 ∼ α2 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 14 / 55
  15. 1. Giới hạn hàm số 1.6. Bài tập Tính các giới hạn sau đây (ex −1). sin2 x A = limx→0 x3+tan4 x 1  B = limx→0 cot x − sin x ln(cos(x−1)) C = limx→1 √3 x2−2x+2−1 1 D = limx→0 (cos x) x Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 15 / 55
  16. PHẦN 2 HÀM SỐ LIÊN TỤC Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 16 / 55
  17. 2. Hàm số liên tục 2.1. Định nghĩa Hàm số y = f (x) liên tục tại a nếu f xác định tại a và lim f (x) = lim f (x) = f (a) x→a− x→a+ Liên tục một bên liên tục bên trái: limx→a− f (x) = f (a) liên tục bên phải: limx→a+ f (x) = f (a) Liên tục trên đoạn [a, b] - Liên tục tại mọi điểm c ∈ (a, b) - Liên tục bên phải tại a và bên trái tại b Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 17 / 55
  18. 2. Hàm số liên tục 2.2. Ví dụ: √  3 1+x−cos x  x , x 6= 0, Tìm m để hàm số y = f (x) = liên tục tại 0.  m, x = 0. Cho hàm số x+1  e −1 , x < −1,  x+1   f (x) = ax + b, − 1 ≤ x < 1,    x2 − 2, x ≥ 1. Tìm a, b để hàm số liên tục trên R. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 18 / 55
  19. 2. Hàm số liên tục 2.3. Một số tính chất Mọi hàm số sơ cấp xác định tại a sẽ liên tục tại a. Tổng, hiệu, tích và thương các hàm số liên tục là một hàm liên tục. Hợp hai hàm số liên tục là một hàm số liên tục. Nếu hàm số f liên tục trên [a, b] thì ta có  f (x ) = m = min f (x)  1 x∈[a,b] (i) ∃x1, x2 ∈ [a, b] :  f (x2) = M = maxx∈[a,b] f (x) (ii) ∀c ∈ [m, M] , ∃xc ∈ [a, b] : f (xc ) = c (iii) f (a) f (b) < 0 ⇒ ∃x0 ∈ (a, b) : f (x0) = 0 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 19 / 55
  20. PHẦN 3 ĐẠO HÀM Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 20 / 55
  21. 3. Đạo hàm 3.1. Định nghĩa 0 f (a+h)−f (a) f (a) = limh→0 h (nếu giới hạn tồn tại hữu hạn) Nhận xét: 0 f (x)−f (a) f (a) = limx→a x−a Nếu giới hạn trên không tồn tại thì ta nói f không có đạo hàm tại a Đạo hàm một phía 0 f (x)−f (a) đạo hàm trái: ft (a) = limx→a− x−a 0 f (x)−f (a) đạo hàm phải: fp (a) = limx→a+ x−a Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 21 / 55
  22. 3. Đạo hàm 3.2. Xét sự tồn tại và tính đạo hàm bằng định nghĩa Ví dụ: Tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau  x2 sin 1 , khi x 6= 0,  x f (x) = tại x0 = 0  0, khi x = 0, g (x) = 2 − |x + 1| tại x0 = −1 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 22 / 55
  23. 3. Đạo hàm 3.3. Một số qui tắc Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 23 / 55
  24. 3. Đạo hàm 3.4. Đạo hàm các hàm số sơ cấp (hàm lũy thừa) Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 24 / 55
  25. 3. Đạo hàm 3.4. Đạo hàm các hàm số sơ cấp (hàm mũ và logarit) Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 25 / 55
  26. 3. Đạo hàm 3.4. Đạo hàm các hàm số sơ cấp (hàm lượng giác) Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 26 / 55
  27. 3. Đạo hàm 3.4. Đạo hàm các hàm số sơ cấp (hàm lượng giác ngược) Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 27 / 55
  28. 3. Đạo hàm 3.5. Ý nghĩa của đạo hàm Ý nghĩa hình học f 0 (a) là hệ số góc của tiếp tuyến tại P (a, f (a)) Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 28 / 55
  29. 3. Đạo hàm 3.5. Ý nghĩa của đạo hàm Ý nghĩa kinh tế  0 f (a+h)−f (a)  f có đạo hàm tại a f (a) = limh→0 h =⇒ f (a + h) − f (a) = f 0 (a) h + 0 (h) - Biên tế: Mf (x) = f (x + 1) − f (x) ' f 0 (x) Ví dụ: Giả sử chi phí sản xuất làm một hàm số của sản lượng, Q, C = C (Q) thì chi phí biên xác định bởi MC (Q) ' C 0 (Q). Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 29 / 55
  30. 3. Đạo hàm 3.5. Ý nghĩa của đạo hàm Ý nghĩa kinh tế - Hệ số co dãn: % thay đổi của y ∆y/y εf (x) = = % thay đổi của x ∆x/x Ví dụ: Hàm cầu của một loại hàng hóa được cho bởi 2 Qd = Qd (P) = 60 − 2P .  Tính hệ số co dãn của lượng cầu tại mức giá P = 4  Từ kết quả trên hãy tính phần trăm thay đổi của sản lượng khi giảm giá xuống còn 3, 6. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 30 / 55
  31. 3. Đạo hàm 3.6. Đạo hàm cấp cao ( (n) d nf d  (n−1)  f (x) = dxn (x) = dx f (x) , n ≥ 1, f (0) (x) = f (x) . Công thức Leibnitz: n (n) k (k) (n−k) (u (x) .v (x)) = ∑ Cn u (x) .v (x) k=0 Ví dụ: Tính đạo hàm cấp n của hàm số 1 2 −3x f (x) = ax+b và g (x) = x e . Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 31 / 55
  32. PHẦN 4 VI PHÂN Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 32 / 55
  33. 4. Vi phân 4.1. Vi phân vi phân của f tại x : dy = f 0 (x) dx phụ thuộc vào x và dx Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 33 / 55
  34. 4. Vi phân 4.2. Vi phân và xấp xỉ tuyến tính khi dx bé f (a + dx) − f (a) ' f 0 (a) dx = dy hay khi x gần a f (x) ' f (a) + f 0 (a)(x − a) := L (x) Ta gọi L (x) là xấp xỉ tuyến tính của f (x) trong lân cận điểm a √ Ví dụ: Cho hàm số f (x) = x + 3. - Tìm vi phân của f tại a = 1 - Tìm xấp xỉ tuyến tính của f tại a = 1 √ - Sử dụng xấp xỉ tuyến tính, tính gần đúng giá trị 4, 05. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 34 / 55
  35. 4. Vi phân 4.3. Vi phân cấp cao Vi phân cấp n của hàm số y = f (x) d nf (x) = f (n) (x) dxn Ví dụ: Tính vi phân cấp n của hàm số 1 y = f (x) = x2 − 1 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 35 / 55
  36. PHẦN 5 KHAI TRIỂN TAYLOR-MACLAURIN Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 36 / 55
  37. 5. Khai triển Taylor-Maclaurin 5.1. Khai triển Taylor với phần dư Peano Nếu f (x) có đạo hàm đến cấp n trên (a − ε, a + ε) thì 00 0 f (x0) 2 f (x) = f (a) + f (a)(x − a) + 2! (x − a) f (n)(a) n n + ··· + n! (x − a) + 0 ((x − a) ) Nhận xét: - Khi x − a bé (x gần a), ta có xấp xỉ n 0(k) f (a) k f (x) ' ∑ (x − a) := Pn (x) k=0 k! - Phần dư n Rn (x) = f (x) − Pn (x) = 0 ((x − a) ) Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 37 / 55
  38. 5. Khai triển Taylor-Maclaurin 5.1. Khai triển Taylor với phần dư Peano Ví dụ: Viết khai triển Taylor đến cấp 3 cho hàm số y = f (x) = ln (2 + x) trong lân cận điểm a = −1 Ta có f (x) = ln (2 + x) ⇒ f (−1) = 0 f 0 (x) = 1/ (x + 2) ⇒ f 0 (−1) = 1 f 00 (x) = −1/ (x + 2)2 ⇒ f 00 (−1) = −1 f (3) (x) = 2/ (x + 2)3 ⇒ f (3) (−1) = 2 Suy ra 1 1   f (x) = (x + 1) − (x + 1)2 + (x + 3)3 + 0 (x + 1)3 2 3 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 38 / 55
  39. 5. Khai triển Taylor-Maclaurin 5.2. Khai triển Maclaurin với phần dư Peano Công thức Maclaurin f 00 (0) f (n) (0) f (x) = f (0) + f 0 (0) x + x2 + ··· + xn + 0 (xn) 2! n! Nhận xét: - Khai triển Maclaurin là là trường hợp đặc biệt của khai triển Taylor - Khai triển Maclaurin của hàm số f (x) chính là khai triển Taylor của hàm số g (x) = f (x − a) trong lân cận điểm a Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 39 / 55
  40. 5. Khai triển Taylor-Maclaurin 5.2. Khai triển Maclaurin với phần dư Peano Ví dụ: Viết khai triển Maclaurin của hàm số f (x) = sin x (đến cấp n) Ta có  0, n = 2k  π   f (n) (x) = sin x + n ⇒ f (n) (0) = 2  (−1)k n = 2k + 1 Do đó ta suy ra x3 x5 x2k+1   f (x) = x − + − · · · + (−1)k + 0 x2k+1 3! 5! (2k + 1)! Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 40 / 55
  41. 5. Khai triển Taylor-Maclaurin 5.3. Khai triển Maclaurin với phần dư Peano Khai triển Maclaurin một số hàm sơ cấp x x2 xn n e = 1 + x + 2! + ··· + n! + 0 (x ) 3 5 2m−1 sin x = x − x + x − · · · + (−1)m−1 x + 0 x2m 3! 5! (2m−1)! 2 2m cos x = 1 − x + x4 − · · · + (−1)m x + 0 x2m+1 2! 4! (2m)! x2 x3 n−1 xn n ln (1 + x) = x − 2 + 3 − · · · + (−1) n + 0 (x ) 1 2 n n 1−x = 1 + x + x + ··· + x + 0 (x ) Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 41 / 55
  42. 5. Khai triển Taylor-Maclaurin LUYỆN TẬP Cho hàm số y = f (x) = cos2 x Viết khai triển Maclaurin của f đến cấp 4 Sử dụng kết quả trên, tính gần đúng giá trị cos2 120 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 42 / 55
  43. 5. Khai triển Taylor-Maclaurin 5.4. Phần dư Lagrange và đánh giá sai số Nếu f có đạo hàm đến cấp n + 1 trên (a − ε, a + ε) thì (n+1) f (c) n+1 Rn (x) = (x − a) , (n + 1)! trong đó c nằm giữa x và a. Ví dụ: Tính gần đúng số e với sai số không quá 10−2 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 43 / 55
  44. PHẦN 6 QUY TẮC L’HOSPITAL Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 44 / 55
  45. 6. Quy tắc L’Hospital Giả sử f (x) , g (x) có đạo hàm trong (a − ε, a + ε) và - limx→a f (x) = limx→a g (x) = 0 (hoặc ∞) f 0(x) - tồn tại giới hạn limx→x0 g 0(x) = A (hữu hạn) Khi đó ta có f (x) f 0 (x) lim = lim 0 = A x→x0 g (x) x→x0 g (x) Ví dụ: tan x − x 1 + tan2 x − 1 x2 1 lim 3 = lim 2 = lim 2 = x→x0 x x→x0 3x x→x0 3x 3 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 45 / 55
  46. 6. Quy tắc L’Hospital LUYỆN TẬP Tính các giới hạn sau ex + e−x − 2 A = lim x→0 3x2 B = lim xx x→0+  1  C = lim co tan2 x − x→0 x2 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 46 / 55
  47. PHẦN 7 BÀI TOÁN TỐI ƯU VÀ ỨNG DỤNG Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 47 / 55
  48. 7. Bài toán tối ưu và ứng dụng Cực trị địa phương và cực trị toàn cục Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập S ⊂ R. f đạt cực đại toàn cục tại x0 trên tập ràng buộc S nếu f (x) ≤ f (x0) , ∀x ∈ S. f đạt cực đại địa phương tại x0 nếu tồn tại ε > 0 sao cho f (x) ≤ f (x0) , với mọi x ∈ (x0 − ε, x0 + ε) ∩ S. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 48 / 55
  49. 7. Bài toán tối ưu và ứng dụng Cực trị địa phương và cực trị toàn cục Với khái niệm cực tiểu ta có các bất đẳng thức ngược lại. Khi f đạt cực đại hoặc cực tiểu thì ta nói f đạt cực trị. Nếu f đạt cực đại toàn cục tại x0 thì nó cũng đạt cực đại địa phương tại đó. Trên tập ràng buộc S, hàm số có thể đạt cực trị tại nhiều điểm khác nhau. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 49 / 55
  50. 7. Bài toán tối ưu và ứng dụng Điều kiện cần Theorem f đạt cực trị tại x0 và f khả vi tại x0 thì ta có 0 f (x0) = 0 Nhận xét: 0 Điểm x0 thỏa điều kiện f (x0) = 0 được gọi là điểm dừng.  x0 là điểm dừng f đạt cực trị tại x0 thì  . f không có đạo hàm tại x0 Các điểm thuộc một trong hai loại trên được gọi là điểm tới hạn. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 50 / 55
  51. 7. Bài toán tối ưu và ứng dụng Điều kiện đủ cho cực trị địa phương Theorem (theo đạo hàm cấp một) Giả sử x0 là một điểm dừng của hàm số y = f (x) và f có đạo hàm trong lân cận x0. Khi đó  0  f (x) > 0, ∀x ∈ (x0 − δ, x0) ⇒ f đạt cực đại địa phương tại x0. 0  f (x) 0, ∀x ∈ (x0, x0 + δ) Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 51 / 55
  52. 7. Bài toán tối ưu và ứng dụng Điều kiện đủ cho cực trị địa phương Theorem (theo đạo hàm cấp cao) Cho x0 là một điểm dừng của hàm số y = f (x). Giả sử tồn tại số tự nhiên n ≥ 2 sao cho 0 00 (n−1) (n) f (x0) = f (x0) = ··· = f (x0) = 0 và f (x0) 6= 0. Nếu n là số chẵn thì x0 là một điểm cực trị của hàm số (n) x0 là điểm cực đại nếu f (x0) 0 Nếu n là số lẻ thì x0 không là điểm cực trị của hàm số Ví dụ: Tìm cực trị địa phương của hàm số y = f (x) = x4 + 2x3 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 52 / 55
  53. 7. Bài toán tối ưu và ứng dụng Điều kiện đủ cho cực trị toàn cục Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng S = (a, b) Theorem Giả sử x0 là một điểm dừng của hàm số y = f (x) Nếu f là hàm lồi trên S (f 00 (x) > 0, ∀x ∈ S) thì f đạt cực tiểu toàn cục tại x0. Nếu f là hàm lõm trên S (f 00 (x) < 0, ∀x ∈ S) thì f đạt cực tiểu toàn cục tại x0. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 53 / 55
  54. 7. Bài toán tối ưu và ứng dụng Tìm sản lượng để có lợi nhuận lớn nhất Giả thiết: Xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử Hàm cầu của sản phẩm là Qd = Qd (P), với P là giá bán Chi phí sản xuất: C = C (Q) , trong đó C là chi phí và Q là sản lượng. Sản phẩm làm ra được tiêu thụ hết Yêu cầu:Định mức sản lượng Q để xí nghiệp thu được lợi nhuận lớn nhất Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 54 / 55
  55. 7. Bài toán tối ưu và ứng dụng Đánh thuế doanh thu Giả thiết: Xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử Hàm cầu của sản phẩm là Qd = Qd (P), với P là giá bán Chi phí sản xuất: C = C (Q) , trong đó C là chi phí và Q là sản lượng. Sản phẩm làm ra được tiêu thụ hết Yêu cầu:Xác định mức thuế trên 1 đơn vị sản lượng để thu được của xí nghiệp nhiều thuế nhất. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 55 / 55