Bài giảng Toán cao cấp - Chương 7: Phép tính vi tích phân hàm nhiều biến - Nguyễn Văn Phong

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 7: Phép tính vi tích phân hàm nhiều biến - Nguyễn Văn Phong

1. PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Nguyễn Văn Phong Toán cao cấp - MS: MAT1006 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 1 / 30
2. NỘI DUNG 1 HÀM NHIỀU BIẾN 2 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 ĐẠO HÀM RIÊNG - GRADIENT 4 VI PHÂN 5 CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN 6 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 1 / 30
3. Hàm nhiều biến Định nghĩa Một hàm nhiều biến f là một quy tắc f : D ⊂ Rn → R (x1, x2, , xn) 7→ z = f (x1, x2, , xn) Ví dụ về hàm hai biến Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 2 / 30
4. Đồ thị Định nghĩa Nếu f là hàm hai biến xác định trên miền D thì đồ thị của f được định nghĩa là tập hợp các điểm (x, y, z) trong R3 sao cho z = f (x, y) và (x, y) ∈ D Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 3 / 30
5. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 4 / 30
6. Giới hạn hàm hai biến Định nghĩa Cho hàm f xác định trên D ⊂ R2, và (a, b) ∈ D. Khi đó, ta nói giới hạn của f (x, y) khi (x, y) tiến về (a, b) là L, ta viết lim f (x, y) = L (x,y)→(a,b) nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho, nếu (x, y) ∈ D và 0 < p(x − a)2 + (y − b)2 < δ, thì |f (x, y) − L| < ε Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 5 / 30
7. Chú ý Với x = (x, y), a = (a, b), thì lim f (x) = L. x→a |f (x, y) − L| là khoảng cách từ f (x, y) tới số L p(x − a)2 + (y − b)2 là khoảng cách từ x tới a Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 6 / 30
8. Hàm liên tục Định nghĩa Hàm hai biến f được gọi là liên tục tại điểm (a, b) nếu lim f (x, y) = f (a, b) (x,y)→(a,b) Ta nói, f liên tục trên D, nếu nó liên tục tại mọi (a, b) thuộc D Ví dụ. Xét sự liên tục của hàm số  3x 2y  , (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x 2 + y 2  0, (x, y) = (0, 0) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 7 / 30
9. Giới hạn và liên tục hàm nhiều biến Với, x = (x1, x2, , xn), a = (a1, a2, , an), ta có Định nghĩa Hàm f xác định trên D ⊂ Rn. Khi đó i) Ta nói giới hạn của f , khi x tiến về a là L, nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 :(∀x ∈ D) ∧ (0 < |x − a| < δ) thì |f (x) − L| < ε ii) Hàm f được gọi là liên tục tại a nếu lim f (x) = f (a) x→a Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 8 / 30
10. Đạo hàm riêng - Gradient Định nghĩa Cho f là hàm hai biến, các đạo hàm riêng của f là các hàm hai biến fx và fy được định nghĩa như sau: f (x + ∆x, y) − f (x, y) fx (x, y) = lim ∆x→0 ∆x f (x, y + ∆y) − f (x, y) fy (x, y) = lim ∆y→0 ∆y Nếu cả hai đạo hàm riêng đều tồn tại thì gradient của f là hàm vector ∇f (hoặc gradf ) được định nghĩa: gradf (x, y) = ∇f (x, y) = (fx (x, y), fy (x, y)) = fx i + fy j Với i = (1, 0) và j = (0, 1) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 9 / 30
11. Một vài ký hiệu Đạo hàm riêng của z = f (x, y) có thể ký hiệu: ∂f ∂ ∂z f (x, y) = f = = f (x, y) = = D f x x ∂x ∂x ∂x x ∂f ∂ ∂z f (x, y) = f = = f (x, y) = = D f y y ∂y ∂y ∂y y Để tìm fx , xem y là hằng số và lấy đạo hàm theo x Để tìm fy , xem x là hằng số và lấy đạo hàm theo y Ví dụ. 3 2 5 1. f (x, y) = x − sin(x + y ) + xy . Tìm fx (π, 0), fy (π, 0) x y 2. f (x, y) = x sin + . Tìm ∇f (π, 1). 1 + y 2 x Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 10 / 30
12. Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 11 / 30
13. Ví dụ 2 2 Với f (x, y) = 4 − x − 2y thì fx = −2x, fy = −4y và fx (1, 1) = −2, fy (1, 1) = −4. Các đường cong và tiếp tuyến tương ứng như hình vẽ Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 12 / 30
14. Mặt phẳng tiếp xúc Mặt phẳng tiếp xúc với mặt z = f (x, y) tại điểm (a, b, f (a, b)) là: z − f (a, b) = fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b) Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt z = 2x 2 + y 2 tại điểm (1, 1, 3) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 13 / 30
15. Đạo hàm riêng hàm nhiều biến Cho hàm f (x1, x2, , xn). Khi đó, đạo hàm riêng của f theo biến thứ i, được định nghĩa là: ∂f f (x , , x + ∆x , , x ) − f (x , , x , , x ) = lim 1 i i n 1 i n ∂xi ∆xi →0 ∆xi Đạo hàm riêng theo biến thứ i cũng được ký hiệu là: ∂f = fxi = Dxi f ∂xi Vector Gradient Nếu mọi fxi tồn tại thì ∇f = (fx1 , fx2 , , fxn ) Ví dụ. Cho f (x, y, z) = ex sin y ln(x 2 + z). Tìm ∇f (x, y, z) và ∇f (1, 0, 0) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 14 / 30
16. Đạo hàm riêng cấp cao Cho hàm hai biến f (x, y), giả sử các đạo hàm riêng cấp một fx và fy khả vi. Khi đó, các đạo hàm riêng cấp hai của f được định nghĩa bởi ∂2f ∂ ∂f  f (x + ∆x, y) − f (x, y) = = lim x x ∂x 2 ∂x ∂x ∆x→0 ∆x ∂2f ∂ ∂f  f (x + ∆x, y) − f (x, y) = = lim y y ∂y 2 ∂y ∂y ∆y→0 ∆y ∂2f ∂   f (x + ∆x, y) − f (x, y) = ∂f = lim y y ∂x∂y ∂x ∂y ∆x→0 ∆x ∂2f ∂ ∂f  f (x + ∆x, y) − f (x, y) = = lim x x ∂y∂x ∂y ∂x ∆y→0 ∆y 3 2 3 2 Ví dụ. Tìm fxx , fyy , fxy , fyx của f (x, y) = x + x y − 2y Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 15 / 30
17. Một số kết quả Định lý (Clairaut’s - Young’s) Giả sử f xác định trên D chứa điểm (a, b). Nếu các hàm số fxy và fyx đều liên tục trên D, thì fxy (a, b) = fyx (a, b) Phản ví dụ. Cho  x 3y − xy 3  nếu (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x 2 + y 2  0 nếu (x, y) = (0, 0) CMR fxy (0, 0) 6= fyx (0, 0) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 16 / 30
18. Tính khả vi Định nghĩa Hàm z = f (x, y) gọi là khả vi tại (a, b) nếu ∆z = f (a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b) có thể viết dưới dạng p 2 2 ∆z = fx (a, b)∆x + fy (a, b)∆y + ε (∆x) + (∆y) Trong đó ε → 0 khi (∆x, ∆y) → (0, 0) Để kiểm tra tính khả vi, ta dùng định lý sau: Định lý Nếu các đạo hàm riêng fx và fy tồn tại quanh điểm (a, b) và liên tục tại (a, b) thì f khả vi tại (a, b) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 17 / 30
19. Tính khả vi Tính chất hàm khả vi Nếu f khả vi tại (a, b) thì f liên tục tại (a, b) Xấp xỉ tuyến tính (tiếp diện) Xấp xỉ tuyến tính của f tại (a, b) là hàm L(x, y) = f (a, b) + fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b) Ví dụ. Cho f (x, y) = xexy . Tìm xấp xỉ tuyến tính của f tại điểm (1, 0). Tính xấp xỉ f (0.95, 0.1) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 18 / 30
20. Vi phân Định nghĩa 1) Vi phân toàn phần cấp 1 của f (x, y) là df = fx (x, y)dx + fy (x, y)dy 2) Vi phân toàn phần cấp 2 của f (x, y) là 2 2 2 d f = fxx (x, y)(dx) +2fxy (x, y)dxdy +fyy (x, y)(dy) Trong đó, df (x, y) = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y) Ví dụ. Cho f (x, y) = ex sin(2x + 3y). a) Tìm df (0, 1) và d 2f (0, 1) b) Tính xấp xỉ f (−0.01, 0.98) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 19 / 30
21. Cực trị hàm hai biến Định nghĩa Cho f xác định trên một lân cận của (a, b), N(a,b). Khi đó 1) Nếu ∀(x, y) ∈ N(a,b) : f (x, y) > f (a, b) thì (a, b) được gọi là cực tiểu địa phương của f . 2) Nếu ∀(x, y) ∈ N(a,b) : f (x, y) 6 f (a, b) thì (a, b) được gọi là cực đại địa phương của f . Điểm (a, b) còn được gọi là cực trị địa phương của f Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 20 / 30
22. Cực trị hàm hai biến Cực trị toàn cục (Max, Min) Nếu f (x, y) đạt cực trị trên D, với D là miền xác định, thì (a, b) được gọi là cực trị toàn cục của f hay f đạt giá trị lớn nhất, (nhỏ nhất) tại (a, b) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 21 / 30
23. Điều kiện cần Định lý Nếu f đạt cực trị địa phương tại (a, b) và các đạo hàm riêng cấp một của f tồn tại, thì fx (a, b) = 0 và fy (a, b) = 0 Nhân xét. Điểm (a, b) được gọi là điểm dừng của f . Chiều ngược lại của định lý không đúng. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 22 / 30
24. Ví dụ Ví dụ 1. Cho f (x, y) = x 2 + y 2 − 2x − 6y + 14  f = 2x − 2 = 0  x = 1 Ta có x ⇒ fy = 2y − 6 = 0 y = 3 Nên f có một điểm dừng là (1, 3) Do f (x, y) = 4 + (x − 1)2 + (y − 3)2 ≥ 4 = f (1, 3) với mọi x, y, nên f đạt cực tiểu tại (1, 3) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 23 / 30
25. Ví dụ Ví dụ 2. Cho f (x, y) = y 2 − x 2 Ta có fx = −2x; fy = 2y nên f có một điểm dừng là (0, 0). Mặt khác f (x, 0) = −x 2 0, y 6= 0. Trên N(0,0), theo phương Ox hàm f cực đại, theo phương Oy hàm f cực tiểu. Do đó điểm (0, 0) không là cực trị của f . Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 24 / 30
26. Điều kiện đủ Định lý Nếu các đạo hàm riêng cấp hai của f (x, y) tồn tại trên N(a,b) và fx (a, b) = 0, fy (a, b) = 0. Ta đặt 2 fxx fxy ∆ = fxx (a, b)fyy (a, b) − [fxy (a, b)] = fyx fyy a. Nếu ∆ > 0 và fxx (a, b) > 0 thì (a, b) là cực tiểu b. Nếu ∆ > 0 và fxx (a, b) < 0 thì (a, b) là cực đại c. Nếu ∆ < 0 thì (a, b) là điểm yên ngựa Chú ý. Trong trường hợp ∆ = 0 thì (a, b) có thể là cực đại, có thể là cực tiểu, cũng có thể là điểm yên ngựa. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 25 / 30
27. Ví dụ Tìm các cực trị (địa phương) của hàm số: 1. f (x, y) = x 4 + y 4 − 4xy + 1 2. f (x, y) = x 3 + y 3 + 3x 2y − 15y + 1 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 26 / 30
28. Cực trị có điều kiện Bài toán Tìm cực trị của hàm f (x, y) thoả mãn g (x, y) = 0 Phương pháp tìm CT có điều kiện Phương pháp 1. (Chuyển về bài toán một biến) Bước 1. Từ ràng buộc g(x, y) = 0, ta tìm x = ϕ (y) hay y = ψ (x). Bước 2. Thay x = ϕ (y) hay y = ψ (x) vào hàm f , ta được hàm một biến theo y (hay theo x). Ví dụ. Khảo sát cực trị của f (x, y) = 2x 2 − 6y 2 với ràng buộc x + 2y = 6 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 27 / 30
29. Cực trị có điều kiện Phương pháp tìm CT có điều kiện Phương pháp 2. (Nhân tử Lagrange) Bước 1. Lập hàm Lagrange L(x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y) Bước 2. Tìm các điểm dừng  L (x, y, λ) = 0  x Ly (x, y, λ) = 0 ⇒ (x0, y0, λ)   Lλ (x, y, λ) = 0 Bước 3. Tính dg(x0, y0) = gx (x0, y0)dx + gy (x0, y0)dx và cho dg(x0, y0) = 0. Ta tìm được biểu thức liên hệ giữa dx và dyNguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 28 / 30
30. Cực trị có điều kiện Phương pháp tìm CT có điều kiện Phương pháp 2. (Nhân tử Lagrange) Bước 4. Kiểm tra điều kiện cực trị 2 Tính d L(x0, y0) vi phân toàn phần cấp hai của L 2 Nếu d L(x0, y0) > 0 thì (x0, y0) là cực tiểu 2 Nếu d L(x0, y0) < 0 thì (x0, y0) là cực đại 2 Trường hợp d L(x0, y0) = 0 thì (x0, y0) có thể là cực tiểu, cực đại Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 29 / 30
31. Ví dụ. Tìm cực trị của f (x, y) = x 2 + 2y 2 1. Trên đường tròn x 2 + y 2 = 1 2. Trên hình tròn x 2 + y 2 ≤ 1 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 30 / 30