›
›

Bài giảng Toán cao cấp - Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số - Nguyễn Phúc Sơn

pdf 94 trang ngocly 3720
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán cao cấp - Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số - Nguyễn Phúc Sơn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_toan_cao_cap_chuong_5_vi_phan_ham_mot_bien_so_luoc.pdf

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số - Nguyễn Phúc Sơn

  1. Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Trường Đại học Kinh tế - Luật Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chớ Minh Ngày 23 thỏng 10 năm 2016 Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  2. Danh sỏch hàm sơ cấp cơ bản Xem trang 1 giỏo trỡnh. Một hàm số được gọi là sơ cấp nếu nú là một sự kết hợp của cỏc hàm cơ bản. Lưu ý trường hợp dựng phộp chia và lấy căn, ta phải cẩn thận với miền xỏc định của hàm số ễn tập Giới hạn Xem Calculus in 20 minutes". Hàm lượng giỏc ngược Xem trang 2 giỏo trỡnh. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  3. Một hàm số được gọi là sơ cấp nếu nú là một sự kết hợp của cỏc hàm cơ bản. Lưu ý trường hợp dựng phộp chia và lấy căn, ta phải cẩn thận với miền xỏc định của hàm số ễn tập Giới hạn Xem Calculus in 20 minutes". Hàm lượng giỏc ngược Xem trang 2 giỏo trỡnh. Danh sỏch hàm sơ cấp cơ bản Xem trang 1 giỏo trỡnh. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  4. Lưu ý trường hợp dựng phộp chia và lấy căn, ta phải cẩn thận với miền xỏc định của hàm số ễn tập Giới hạn Xem Calculus in 20 minutes". Hàm lượng giỏc ngược Xem trang 2 giỏo trỡnh. Danh sỏch hàm sơ cấp cơ bản Xem trang 1 giỏo trỡnh. Một hàm số được gọi là sơ cấp nếu nú là một sự kết hợp của cỏc hàm cơ bản. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  5. ễn tập Giới hạn Xem Calculus in 20 minutes". Hàm lượng giỏc ngược Xem trang 2 giỏo trỡnh. Danh sỏch hàm sơ cấp cơ bản Xem trang 1 giỏo trỡnh. Một hàm số được gọi là sơ cấp nếu nú là một sự kết hợp của cỏc hàm cơ bản. Lưu ý trường hợp dựng phộp chia và lấy căn, ta phải cẩn thận với miền xỏc định của hàm số Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  6. ễn tập Giới hạn Xem Calculus in 20 minutes". Hàm lượng giỏc ngược Xem trang 2 giỏo trỡnh. Danh sỏch hàm sơ cấp cơ bản Xem trang 1 giỏo trỡnh. Một hàm số được gọi là sơ cấp nếu nú là một sự kết hợp của cỏc hàm cơ bản. Lưu ý trường hợp dựng phộp chia và lấy căn, ta phải cẩn thận với miền xỏc định của hàm số Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  7. Mọi hàm sơ cấp đều liờn tục trờn miền xỏc định của nú. Đạo hàm Định nghĩa: p q Ă p q 1p q  f x f x0 f x0 limẹ x x0 x Ă x0 1 í nghĩa hỡnh học: f px0q chớnh là hệ số gúc của đường tiếp tuyến đồ thị hàm f tại điểm x0. Cỏch tớnh đạo hàm: Tự ụn ễn tập (tt) Tớnh liờn tục của hàm số Định nghĩa: lim f pxq  f paq xẹa Hỡnh ảnh: Hàm liờn tục cú đồ thị được vẽ từ một nột bỳt. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  8. Đạo hàm Định nghĩa: p q Ă p q 1p q  f x f x0 f x0 limẹ x x0 x Ă x0 1 í nghĩa hỡnh học: f px0q chớnh là hệ số gúc của đường tiếp tuyến đồ thị hàm f tại điểm x0. Cỏch tớnh đạo hàm: Tự ụn ễn tập (tt) Tớnh liờn tục của hàm số Định nghĩa: lim f pxq  f paq xẹa Hỡnh ảnh: Hàm liờn tục cú đồ thị được vẽ từ một nột bỳt. Mọi hàm sơ cấp đều liờn tục trờn miền xỏc định của nú. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  9. 1 í nghĩa hỡnh học: f px0q chớnh là hệ số gúc của đường tiếp tuyến đồ thị hàm f tại điểm x0. Cỏch tớnh đạo hàm: Tự ụn ễn tập (tt) Tớnh liờn tục của hàm số Định nghĩa: lim f pxq  f paq xẹa Hỡnh ảnh: Hàm liờn tục cú đồ thị được vẽ từ một nột bỳt. Mọi hàm sơ cấp đều liờn tục trờn miền xỏc định của nú. Đạo hàm Định nghĩa: p q Ă p q 1p q  f x f x0 f x0 limẹ x x0 x Ă x0 Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  10. ễn tập (tt) Tớnh liờn tục của hàm số Định nghĩa: lim f pxq  f paq xẹa Hỡnh ảnh: Hàm liờn tục cú đồ thị được vẽ từ một nột bỳt. Mọi hàm sơ cấp đều liờn tục trờn miền xỏc định của nú. Đạo hàm Định nghĩa: p q Ă p q 1p q  f x f x0 f x0 limẹ x x0 x Ă x0 1 í nghĩa hỡnh học: f px0q chớnh là hệ số gúc của đường tiếp tuyến đồ thị hàm f tại điểm x0. Cỏch tớnh đạo hàm: Tự ụn Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  11. ễn tập (tt) Tớnh liờn tục của hàm số Định nghĩa: lim f pxq  f paq xẹa Hỡnh ảnh: Hàm liờn tục cú đồ thị được vẽ từ một nột bỳt. Mọi hàm sơ cấp đều liờn tục trờn miền xỏc định của nú. Đạo hàm Định nghĩa: p q Ă p q 1p q  f x f x0 f x0 limẹ x x0 x Ă x0 1 í nghĩa hỡnh học: f px0q chớnh là hệ số gúc của đường tiếp tuyến đồ thị hàm f tại điểm x0. Cỏch tớnh đạo hàm: Tự ụn Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  12. ễn tập (tt) Vi phõn dy  y 1pxqdx í nghĩa: Tớnh xấp xỉ. Đạo hàm và vi phõn bậc cao y 2  py 1q1, y 3  y 2 v.v í nghĩa: Xấp xỉ bậc cao hơn (Khai triển Taylor) Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  13. ễn tập (tt) Vi phõn dy  y 1pxqdx í nghĩa: Tớnh xấp xỉ. Đạo hàm và vi phõn bậc cao y 2  py 1q1, y 3  y 2 v.v í nghĩa: Xấp xỉ bậc cao hơn (Khai triển Taylor) Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  14. Bước 2 Giải f 1pxq  0 ta được cỏc điểm dừng x  Ă1 hay x  2 Bước 3 Tại x  Ă1, f 1pxq đổi dấu từ - sang + nờn -1 là cực tiểu địa phương, cũn tại x  2, f 1pxq đổi dấu từ + sang - nờn 2 là cực đại địa phương. Lưu ý: Thay vỡ xột dấu f 1 gần điểm dừng, ta cú thể xột dấu f 2 ngay tại điểm dừng để xỏc định cực trị địa phương. Tỡm cực trị một hàm số Vớ dụ Tỡm cực tiểu và cực đại địa phương (nếu cú) của hàm số f pxq  Ă2x 3 3x 2 12x Ă 5 Lời giải: Bước 1f 1pxq  Ă6x 2 6x 12 Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  15. Bước 3 Tại x  Ă1, f 1pxq đổi dấu từ - sang + nờn -1 là cực tiểu địa phương, cũn tại x  2, f 1pxq đổi dấu từ + sang - nờn 2 là cực đại địa phương. Lưu ý: Thay vỡ xột dấu f 1 gần điểm dừng, ta cú thể xột dấu f 2 ngay tại điểm dừng để xỏc định cực trị địa phương. Tỡm cực trị một hàm số Vớ dụ Tỡm cực tiểu và cực đại địa phương (nếu cú) của hàm số f pxq  Ă2x 3 3x 2 12x Ă 5 Lời giải: Bước 1f 1pxq  Ă6x 2 6x 12 Bước 2 Giải f 1pxq  0 ta được cỏc điểm dừng x  Ă1 hay x  2 Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  16. Lưu ý: Thay vỡ xột dấu f 1 gần điểm dừng, ta cú thể xột dấu f 2 ngay tại điểm dừng để xỏc định cực trị địa phương. Tỡm cực trị một hàm số Vớ dụ Tỡm cực tiểu và cực đại địa phương (nếu cú) của hàm số f pxq  Ă2x 3 3x 2 12x Ă 5 Lời giải: Bước 1f 1pxq  Ă6x 2 6x 12 Bước 2 Giải f 1pxq  0 ta được cỏc điểm dừng x  Ă1 hay x  2 Bước 3 Tại x  Ă1, f 1pxq đổi dấu từ - sang + nờn -1 là cực tiểu địa phương, cũn tại x  2, f 1pxq đổi dấu từ + sang - nờn 2 là cực đại địa phương. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  17. Tỡm cực trị một hàm số Vớ dụ Tỡm cực tiểu và cực đại địa phương (nếu cú) của hàm số f pxq  Ă2x 3 3x 2 12x Ă 5 Lời giải: Bước 1f 1pxq  Ă6x 2 6x 12 Bước 2 Giải f 1pxq  0 ta được cỏc điểm dừng x  Ă1 hay x  2 Bước 3 Tại x  Ă1, f 1pxq đổi dấu từ - sang + nờn -1 là cực tiểu địa phương, cũn tại x  2, f 1pxq đổi dấu từ + sang - nờn 2 là cực đại địa phương. Lưu ý: Thay vỡ xột dấu f 1 gần điểm dừng, ta cú thể xột dấu f 2 ngay tại điểm dừng để xỏc định cực trị địa phương. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  18. Tỡm cực trị một hàm số Vớ dụ Tỡm cực tiểu và cực đại địa phương (nếu cú) của hàm số f pxq  Ă2x 3 3x 2 12x Ă 5 Lời giải: Bước 1f 1pxq  Ă6x 2 6x 12 Bước 2 Giải f 1pxq  0 ta được cỏc điểm dừng x  Ă1 hay x  2 Bước 3 Tại x  Ă1, f 1pxq đổi dấu từ - sang + nờn -1 là cực tiểu địa phương, cũn tại x  2, f 1pxq đổi dấu từ + sang - nờn 2 là cực đại địa phương. Lưu ý: Thay vỡ xột dấu f 1 gần điểm dừng, ta cú thể xột dấu f 2 ngay tại điểm dừng để xỏc định cực trị địa phương. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  19. Tuy nhiờn, trong phần lớn bài tập điều này khụng thực hiện được và ta sẽ thực hiện toàn bộ tớnh toỏn dựa vào phương trỡnh tham số. Đạo hàm của ẩn hàm Định nghĩa Hàm y  f pxq nhưng ta khụng biết f là gỡ, chỉ cú phương trỡnh tham số " x  xptq y  yptq trong đú t là một tham số. Trong cỏc bài dễ, ta cú thể khử biến t để cú cụng thức hàm f . Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  20. Đạo hàm của ẩn hàm Định nghĩa Hàm y  f pxq nhưng ta khụng biết f là gỡ, chỉ cú phương trỡnh tham số " x  xptq y  yptq trong đú t là một tham số. Trong cỏc bài dễ, ta cú thể khử biến t để cú cụng thức hàm f . Tuy nhiờn, trong phần lớn bài tập điều này khụng thực hiện được và ta sẽ thực hiện toàn bộ tớnh toỏn dựa vào phương trỡnh tham số. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  21. Đạo hàm của ẩn hàm Định nghĩa Hàm y  f pxq nhưng ta khụng biết f là gỡ, chỉ cú phương trỡnh tham số " x  xptq y  yptq trong đú t là một tham số. Trong cỏc bài dễ, ta cú thể khử biến t để cú cụng thức hàm f . Tuy nhiờn, trong phần lớn bài tập điều này khụng thực hiện được và ta sẽ thực hiện toàn bộ tớnh toỏn dựa vào phương trỡnh tham số. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  22. Vớ dụ Tớnh đạo hàm cấp 1 và 2 của " y  cos t t P r0, 2πs x  2 sin t Đạo hàm của ẩn hàm (tt) Đạo hàm Cấp 1 dy y 1ptq y 1pxq   , @t P D dx x 1ptq Cấp 2 Â d y 1ptq dt x 1ptq y 2pxq  x 1ptq Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  23. Đạo hàm của ẩn hàm (tt) Đạo hàm Cấp 1 dy y 1ptq y 1pxq   , @t P D dx x 1ptq Cấp 2 Â d y 1ptq dt x 1ptq y 2pxq  x 1ptq Vớ dụ Tớnh đạo hàm cấp 1 và 2 của " y  cos t t P r0, 2πs x  2 sin t Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  24. Đạo hàm của ẩn hàm (tt) Đạo hàm Cấp 1 dy y 1ptq y 1pxq   , @t P D dx x 1ptq Cấp 2 Â d y 1ptq dt x 1ptq y 2pxq  x 1ptq Vớ dụ Tớnh đạo hàm cấp 1 và 2 của " y  cos t t P r0, 2πs x  2 sin t Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  25. Một số hàm dựng trong Kinh tế Hàm cung - hàm cầu Cho mụ hỡnh một hàng húa độc lập. Gọi P là giỏ của hàng húa Hàm cung (supply function): Hàm tăng theo theo giỏ P: Qs  SpPq. Hàm cầu (demand function): Hàm giảm theo theo giỏ P: Qs  SpPq. Trong điều kiện lý tưởng, ta cú cõn bằng cung - cầu Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  26. Một số hàm dựng trong Kinh tế Hàm cung - hàm cầu Cho mụ hỡnh một hàng húa độc lập. Gọi P là giỏ của hàng húa Hàm cung (supply function): Hàm tăng theo theo giỏ P: Qs  SpPq. Hàm cầu (demand function): Hàm giảm theo theo giỏ P: Qs  SpPq. Trong điều kiện lý tưởng, ta cú cõn bằng cung - cầu Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  27. Xem vớ dụ hàm sản xuất Cobb-Douglas. Trong ngắn hạn, giả sử vốn K khụng đổi, khi đú hàm sản xuất chỉ cũn phụ thuộc L Q  QpLq Một số hàm dựng trong Kinh tế (tt) Hàm sản xuất ngắn hạn Hàm sản xuất phụ thuộc 2 yếu tố Vốn (capital) K Lượng lao động (labor) L Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  28. Trong ngắn hạn, giả sử vốn K khụng đổi, khi đú hàm sản xuất chỉ cũn phụ thuộc L Q  QpLq Một số hàm dựng trong Kinh tế (tt) Hàm sản xuất ngắn hạn Hàm sản xuất phụ thuộc 2 yếu tố Vốn (capital) K Lượng lao động (labor) L Xem vớ dụ hàm sản xuất Cobb-Douglas. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  29. Một số hàm dựng trong Kinh tế (tt) Hàm sản xuất ngắn hạn Hàm sản xuất phụ thuộc 2 yếu tố Vốn (capital) K Lượng lao động (labor) L Xem vớ dụ hàm sản xuất Cobb-Douglas. Trong ngắn hạn, giả sử vốn K khụng đổi, khi đú hàm sản xuất chỉ cũn phụ thuộc L Q  QpLq Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  30. Một số hàm dựng trong Kinh tế (tt) Hàm sản xuất ngắn hạn Hàm sản xuất phụ thuộc 2 yếu tố Vốn (capital) K Lượng lao động (labor) L Xem vớ dụ hàm sản xuất Cobb-Douglas. Trong ngắn hạn, giả sử vốn K khụng đổi, khi đú hàm sản xuất chỉ cũn phụ thuộc L Q  QpLq Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  31. Hàm lợi nhuận (profit) π  TRpQq Ă TCpQq Hàm tiờu dựng - hàm tiết kiệm Gọi Y là thu nhập Hàm tiờu dựng (consumption): C  CpY q Hàm tiết kiệm (savings): S  SpY q Một số hàm dựng trong Kinh tế (tt) Doanh thu - Chi phớ - Lợi nhuận Gọi Q là sản lượng. Khi đú Hàm doanh thu (Total revenue) TR  TRpQq. Hàm chi phớ (Total cost) TC  TCpQq Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  32. Hàm tiờu dựng - hàm tiết kiệm Gọi Y là thu nhập Hàm tiờu dựng (consumption): C  CpY q Hàm tiết kiệm (savings): S  SpY q Một số hàm dựng trong Kinh tế (tt) Doanh thu - Chi phớ - Lợi nhuận Gọi Q là sản lượng. Khi đú Hàm doanh thu (Total revenue) TR  TRpQq. Hàm chi phớ (Total cost) TC  TCpQq Hàm lợi nhuận (profit) π  TRpQq Ă TCpQq Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  33. Hàm tiết kiệm (savings): S  SpY q Một số hàm dựng trong Kinh tế (tt) Doanh thu - Chi phớ - Lợi nhuận Gọi Q là sản lượng. Khi đú Hàm doanh thu (Total revenue) TR  TRpQq. Hàm chi phớ (Total cost) TC  TCpQq Hàm lợi nhuận (profit) π  TRpQq Ă TCpQq Hàm tiờu dựng - hàm tiết kiệm Gọi Y là thu nhập Hàm tiờu dựng (consumption): C  CpY q Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  34. Một số hàm dựng trong Kinh tế (tt) Doanh thu - Chi phớ - Lợi nhuận Gọi Q là sản lượng. Khi đú Hàm doanh thu (Total revenue) TR  TRpQq. Hàm chi phớ (Total cost) TC  TCpQq Hàm lợi nhuận (profit) π  TRpQq Ă TCpQq Hàm tiờu dựng - hàm tiết kiệm Gọi Y là thu nhập Hàm tiờu dựng (consumption): C  CpY q Hàm tiết kiệm (savings): S  SpY q Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  35. Một số hàm dựng trong Kinh tế (tt) Doanh thu - Chi phớ - Lợi nhuận Gọi Q là sản lượng. Khi đú Hàm doanh thu (Total revenue) TR  TRpQq. Hàm chi phớ (Total cost) TC  TCpQq Hàm lợi nhuận (profit) π  TRpQq Ă TCpQq Hàm tiờu dựng - hàm tiết kiệm Gọi Y là thu nhập Hàm tiờu dựng (consumption): C  CpY q Hàm tiết kiệm (savings): S  SpY q Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  36. í nghĩa của đạo hàm Nhắc lại Đạo hàm bắt nguồn từ bài toỏn tỡm vận tốc tức thời (instantaneous velocity) của một vật chuyển động. Vận tốc này (đạo hàm của hàm khoảng cỏch) là giới hạn của vận tốc trung bỡnh (average velocity) í nghĩa hỡnh học: Đường tiếp tuyến (tangent line) là giới hạn của cỏt tuyến (secant line) khi 2 giao điểm tiến sỏt nhau dọc đồ thị. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  37. í nghĩa của đạo hàm Nhắc lại Đạo hàm bắt nguồn từ bài toỏn tỡm vận tốc tức thời (instantaneous velocity) của một vật chuyển động. Vận tốc này (đạo hàm của hàm khoảng cỏch) là giới hạn của vận tốc trung bỡnh (average velocity) í nghĩa hỡnh học: Đường tiếp tuyến (tangent line) là giới hạn của cỏt tuyến (secant line) khi 2 giao điểm tiến sỏt nhau dọc đồ thị. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  38. Khi ∆x rất nhỏ (∆x ẹ 0) thỡ tốc độ này tiến đến tốc độ thay đổi tức thời (instantaneous rate of change) của f so với x. f px ∆xq Ă f pxq f 1pxq  lim ∆xẹ0 ∆x í nghĩa của đạo hàm (tt) Trong kinh tế Cho f pxq là một đại lượng thay đổi theo x. Khi đú, ∆f  f px ∆xq Ă f pxq là sự thay đổi của f khi x thay đổi một lượng ∆x. Tỉ số f px ∆xq Ă f pxq ∆x là tốc độ thay đổi trung bỡnh (average rate of change) của f so với x Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  39. í nghĩa của đạo hàm (tt) Trong kinh tế Cho f pxq là một đại lượng thay đổi theo x. Khi đú, ∆f  f px ∆xq Ă f pxq là sự thay đổi của f khi x thay đổi một lượng ∆x. Tỉ số f px ∆xq Ă f pxq ∆x là tốc độ thay đổi trung bỡnh (average rate of change) của f so với x Khi ∆x rất nhỏ (∆x ẹ 0) thỡ tốc độ này tiến đến tốc độ thay đổi tức thời (instantaneous rate of change) của f so với x. f px ∆xq Ă f pxq f 1pxq  lim ∆xẹ0 ∆x Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  40. í nghĩa của đạo hàm (tt) Trong kinh tế Cho f pxq là một đại lượng thay đổi theo x. Khi đú, ∆f  f px ∆xq Ă f pxq là sự thay đổi của f khi x thay đổi một lượng ∆x. Tỉ số f px ∆xq Ă f pxq ∆x là tốc độ thay đổi trung bỡnh (average rate of change) của f so với x Khi ∆x rất nhỏ (∆x ẹ 0) thỡ tốc độ này tiến đến tốc độ thay đổi tức thời (instantaneous rate of change) của f so với x. f px ∆xq Ă f pxq f 1pxq  lim ∆xẹ0 ∆x Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  41. Áp dụng vào cỏc hàm thường dựng ta cú marginal revenue, cost, production, consumption, savings etc. Giỏ trị cận biờn Trong Kinh tế, khi ∆x  1 thỡ sự thay đổi của y  f pxq cú thể được xấp xỉ bằng 1 1 ∆y  y px0q∆x  y px0q ∆y trong trường hợp này được gọi là giỏ trị cõn biờn (marginal value) của y Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  42. Giỏ trị cận biờn Trong Kinh tế, khi ∆x  1 thỡ sự thay đổi của y  f pxq cú thể được xấp xỉ bằng 1 1 ∆y  y px0q∆x  y px0q ∆y trong trường hợp này được gọi là giỏ trị cõn biờn (marginal value) của y Áp dụng vào cỏc hàm thường dựng ta cú marginal revenue, cost, production, consumption, savings etc. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  43. Giỏ trị cận biờn Trong Kinh tế, khi ∆x  1 thỡ sự thay đổi của y  f pxq cú thể được xấp xỉ bằng 1 1 ∆y  y px0q∆x  y px0q ∆y trong trường hợp này được gọi là giỏ trị cõn biờn (marginal value) của y Áp dụng vào cỏc hàm thường dựng ta cú marginal revenue, cost, production, consumption, savings etc. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  44. Lưu ý: Đừng nhầm lẫn với tăng trưởng õm (negative returns) khi y 1  f 1pxq Ô 0 Quy luật lợi ớch cận biờn giảm dần Trong kinh tế, Quy luật lợi ớch cận biờn giảm dần (Law of diminishing returns) núi rằng trong quỏ trỡnh sản xuất phụ thuộc nhiều yếu tố, nếu ta chỉ tăng một yếu tố đầu vào trong khi cỏc yếu tố cũn lại khụng đổi thỡ đến một lỳc nào đú sản lượng cận biờn đầu ra sẽ giảm dần. Dưới gúc nhỡn của toỏn, sản lượng đầu ra y  f pxq cú đạo hàm bậc 2 thỏa y 2  f 2pxq Ô 0. í nghĩa hỡnh học: Tại vị trớ xảy ra hiện tượng này, hàm f lồi. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  45. Quy luật lợi ớch cận biờn giảm dần Trong kinh tế, Quy luật lợi ớch cận biờn giảm dần (Law of diminishing returns) núi rằng trong quỏ trỡnh sản xuất phụ thuộc nhiều yếu tố, nếu ta chỉ tăng một yếu tố đầu vào trong khi cỏc yếu tố cũn lại khụng đổi thỡ đến một lỳc nào đú sản lượng cận biờn đầu ra sẽ giảm dần. Dưới gúc nhỡn của toỏn, sản lượng đầu ra y  f pxq cú đạo hàm bậc 2 thỏa y 2  f 2pxq Ô 0. í nghĩa hỡnh học: Tại vị trớ xảy ra hiện tượng này, hàm f lồi. Lưu ý: Đừng nhầm lẫn với tăng trưởng õm (negative returns) khi y 1  f 1pxq Ô 0 Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  46. Quy luật lợi ớch cận biờn giảm dần Trong kinh tế, Quy luật lợi ớch cận biờn giảm dần (Law of diminishing returns) núi rằng trong quỏ trỡnh sản xuất phụ thuộc nhiều yếu tố, nếu ta chỉ tăng một yếu tố đầu vào trong khi cỏc yếu tố cũn lại khụng đổi thỡ đến một lỳc nào đú sản lượng cận biờn đầu ra sẽ giảm dần. Dưới gúc nhỡn của toỏn, sản lượng đầu ra y  f pxq cú đạo hàm bậc 2 thỏa y 2  f 2pxq Ô 0. í nghĩa hỡnh học: Tại vị trớ xảy ra hiện tượng này, hàm f lồi. Lưu ý: Đừng nhầm lẫn với tăng trưởng õm (negative returns) khi y 1  f 1pxq Ô 0 Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  47. Quy luật lợi ớch cận biờn giảm dần (tiếp theo) Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  48. Hệ số co gión (Elasticity) Cho y là một hàm theo x. Hệ số co gión của y là dy 1p q p q  dx  y x yx x0 y y x x Hệ số co gión cũng thường được tớnh bằng % Hệ số co gión Độ thay đổi tuyệt đối - tương đối Cho một đại lượng x ∆x: Độ thay đổi tuyệt đối ∆x : Độ thay đổi tương đối (relative) thường tớnh bằng %. x Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  49. Hệ số co gión Độ thay đổi tuyệt đối - tương đối Cho một đại lượng x ∆x: Độ thay đổi tuyệt đối ∆x : Độ thay đổi tương đối (relative) thường tớnh bằng %. x Hệ số co gión (Elasticity) Cho y là một hàm theo x. Hệ số co gión của y là dy 1p q p q  dx  y x yx x0 y y x x Hệ số co gión cũng thường được tớnh bằng % Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  50. Hệ số co gión Độ thay đổi tuyệt đối - tương đối Cho một đại lượng x ∆x: Độ thay đổi tuyệt đối ∆x : Độ thay đổi tương đối (relative) thường tớnh bằng %. x Hệ số co gión (Elasticity) Cho y là một hàm theo x. Hệ số co gión của y là dy 1p q p q  dx  y x yx x0 y y x x Hệ số co gión cũng thường được tớnh bằng % Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  51. Nếu |yx pxq| 1 thỡ px, yq được gọi là điểm co gión yếu (inelastic) Lưu ý: Trong cụng thức cú dấu || vỡ cú nhiều trường hợp hệ số co gión õm. Cõu hỏi: Nếu bạn là chủ cửa hàng bỏn laptop và đang cõn nhắc việc tăng giỏ sản phẩm. Giả sử bạn tớnh được hệ số co gión của hàm cầu QpPq. Hóy cho cõu trả lời trong từng trường hợp xem bạn cú tăng giỏ hay khụng biết rằng mục tiờu của bạn là doanh thu? Hệ số co gión (tt) Phõn loại hệ số co gión Nếu |yx pxq| Ă 1 thỡ px, yq được gọi là điểm co gión mạnh (elastic) Nếu |yx pxq|  1 thỡ px, yq được gọi là điểm co gión đơn vị (of unit elasticity) hay điểm đẳng co. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  52. Lưu ý: Trong cụng thức cú dấu || vỡ cú nhiều trường hợp hệ số co gión õm. Cõu hỏi: Nếu bạn là chủ cửa hàng bỏn laptop và đang cõn nhắc việc tăng giỏ sản phẩm. Giả sử bạn tớnh được hệ số co gión của hàm cầu QpPq. Hóy cho cõu trả lời trong từng trường hợp xem bạn cú tăng giỏ hay khụng biết rằng mục tiờu của bạn là doanh thu? Hệ số co gión (tt) Phõn loại hệ số co gión Nếu |yx pxq| Ă 1 thỡ px, yq được gọi là điểm co gión mạnh (elastic) Nếu |yx pxq|  1 thỡ px, yq được gọi là điểm co gión đơn vị (of unit elasticity) hay điểm đẳng co. Nếu |yx pxq| 1 thỡ px, yq được gọi là điểm co gión yếu (inelastic) Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  53. Cõu hỏi: Nếu bạn là chủ cửa hàng bỏn laptop và đang cõn nhắc việc tăng giỏ sản phẩm. Giả sử bạn tớnh được hệ số co gión của hàm cầu QpPq. Hóy cho cõu trả lời trong từng trường hợp xem bạn cú tăng giỏ hay khụng biết rằng mục tiờu của bạn là doanh thu? Hệ số co gión (tt) Phõn loại hệ số co gión Nếu |yx pxq| Ă 1 thỡ px, yq được gọi là điểm co gión mạnh (elastic) Nếu |yx pxq|  1 thỡ px, yq được gọi là điểm co gión đơn vị (of unit elasticity) hay điểm đẳng co. Nếu |yx pxq| 1 thỡ px, yq được gọi là điểm co gión yếu (inelastic) Lưu ý: Trong cụng thức cú dấu || vỡ cú nhiều trường hợp hệ số co gión õm. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  54. Hệ số co gión (tt) Phõn loại hệ số co gión Nếu |yx pxq| Ă 1 thỡ px, yq được gọi là điểm co gión mạnh (elastic) Nếu |yx pxq|  1 thỡ px, yq được gọi là điểm co gión đơn vị (of unit elasticity) hay điểm đẳng co. Nếu |yx pxq| 1 thỡ px, yq được gọi là điểm co gión yếu (inelastic) Lưu ý: Trong cụng thức cú dấu || vỡ cú nhiều trường hợp hệ số co gión õm. Cõu hỏi: Nếu bạn là chủ cửa hàng bỏn laptop và đang cõn nhắc việc tăng giỏ sản phẩm. Giả sử bạn tớnh được hệ số co gión của hàm cầu QpPq. Hóy cho cõu trả lời trong từng trường hợp xem bạn cú tăng giỏ hay khụng biết rằng mục tiờu của bạn là doanh thu? Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  55. Hệ số co gión (tt) Phõn loại hệ số co gión Nếu |yx pxq| Ă 1 thỡ px, yq được gọi là điểm co gión mạnh (elastic) Nếu |yx pxq|  1 thỡ px, yq được gọi là điểm co gión đơn vị (of unit elasticity) hay điểm đẳng co. Nếu |yx pxq| 1 thỡ px, yq được gọi là điểm co gión yếu (inelastic) Lưu ý: Trong cụng thức cú dấu || vỡ cú nhiều trường hợp hệ số co gión õm. Cõu hỏi: Nếu bạn là chủ cửa hàng bỏn laptop và đang cõn nhắc việc tăng giỏ sản phẩm. Giả sử bạn tớnh được hệ số co gión của hàm cầu QpPq. Hóy cho cõu trả lời trong từng trường hợp xem bạn cú tăng giỏ hay khụng biết rằng mục tiờu của bạn là doanh thu? Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  56. Khi quy luật lợi ớch cận biờn giảm dần đỳng thỡ π là hàm lồi và cú 1 cực đại duy nhất tại điểm dừng duy nhất. Điểm này xảy ra khi doanh thu cận biờn và chi phớ cận biờn bằng nhau" Xem thờm The marginal decision rule Áp dụng tương tự cho hàm lợi nhuận từ sản xuất π  pQ Ă wL Ă C0 trong đú p: giỏ (hằng) Q: hàm sản xuất (hàm theo L, giả sử vốn K hằng số) w: giỏ 1 lao động (hằng) L: số lao động (biến) C0: chi phớ cố định (hằng). Ứng dụng của tối ưu húa trong kinh tế Xột hàm lợi nhuận π  R Ă C. Muốn tỡm lợi nhuận cực đại ta giải bài toỏn tỡm cực đại toàn cục cho hàm π Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  57. Điểm này xảy ra khi doanh thu cận biờn và chi phớ cận biờn bằng nhau" Xem thờm The marginal decision rule Áp dụng tương tự cho hàm lợi nhuận từ sản xuất π  pQ Ă wL Ă C0 trong đú p: giỏ (hằng) Q: hàm sản xuất (hàm theo L, giả sử vốn K hằng số) w: giỏ 1 lao động (hằng) L: số lao động (biến) C0: chi phớ cố định (hằng). Ứng dụng của tối ưu húa trong kinh tế Xột hàm lợi nhuận π  R Ă C. Muốn tỡm lợi nhuận cực đại ta giải bài toỏn tỡm cực đại toàn cục cho hàm π Khi quy luật lợi ớch cận biờn giảm dần đỳng thỡ π là hàm lồi và cú 1 cực đại duy nhất tại điểm dừng duy nhất. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  58. Xem thờm The marginal decision rule Áp dụng tương tự cho hàm lợi nhuận từ sản xuất π  pQ Ă wL Ă C0 trong đú p: giỏ (hằng) Q: hàm sản xuất (hàm theo L, giả sử vốn K hằng số) w: giỏ 1 lao động (hằng) L: số lao động (biến) C0: chi phớ cố định (hằng). Ứng dụng của tối ưu húa trong kinh tế Xột hàm lợi nhuận π  R Ă C. Muốn tỡm lợi nhuận cực đại ta giải bài toỏn tỡm cực đại toàn cục cho hàm π Khi quy luật lợi ớch cận biờn giảm dần đỳng thỡ π là hàm lồi và cú 1 cực đại duy nhất tại điểm dừng duy nhất. Điểm này xảy ra khi doanh thu cận biờn và chi phớ cận biờn bằng nhau" Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  59. Áp dụng tương tự cho hàm lợi nhuận từ sản xuất π  pQ Ă wL Ă C0 trong đú p: giỏ (hằng) Q: hàm sản xuất (hàm theo L, giả sử vốn K hằng số) w: giỏ 1 lao động (hằng) L: số lao động (biến) C0: chi phớ cố định (hằng). Ứng dụng của tối ưu húa trong kinh tế Xột hàm lợi nhuận π  R Ă C. Muốn tỡm lợi nhuận cực đại ta giải bài toỏn tỡm cực đại toàn cục cho hàm π Khi quy luật lợi ớch cận biờn giảm dần đỳng thỡ π là hàm lồi và cú 1 cực đại duy nhất tại điểm dừng duy nhất. Điểm này xảy ra khi doanh thu cận biờn và chi phớ cận biờn bằng nhau" Xem thờm The marginal decision rule Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  60. p: giỏ (hằng) Q: hàm sản xuất (hàm theo L, giả sử vốn K hằng số) w: giỏ 1 lao động (hằng) L: số lao động (biến) C0: chi phớ cố định (hằng). Ứng dụng của tối ưu húa trong kinh tế Xột hàm lợi nhuận π  R Ă C. Muốn tỡm lợi nhuận cực đại ta giải bài toỏn tỡm cực đại toàn cục cho hàm π Khi quy luật lợi ớch cận biờn giảm dần đỳng thỡ π là hàm lồi và cú 1 cực đại duy nhất tại điểm dừng duy nhất. Điểm này xảy ra khi doanh thu cận biờn và chi phớ cận biờn bằng nhau" Xem thờm The marginal decision rule Áp dụng tương tự cho hàm lợi nhuận từ sản xuất π  pQ Ă wL Ă C0 trong đú Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  61. Ứng dụng của tối ưu húa trong kinh tế Xột hàm lợi nhuận π  R Ă C. Muốn tỡm lợi nhuận cực đại ta giải bài toỏn tỡm cực đại toàn cục cho hàm π Khi quy luật lợi ớch cận biờn giảm dần đỳng thỡ π là hàm lồi và cú 1 cực đại duy nhất tại điểm dừng duy nhất. Điểm này xảy ra khi doanh thu cận biờn và chi phớ cận biờn bằng nhau" Xem thờm The marginal decision rule Áp dụng tương tự cho hàm lợi nhuận từ sản xuất π  pQ Ă wL Ă C0 trong đú p: giỏ (hằng) Q: hàm sản xuất (hàm theo L, giả sử vốn K hằng số) w: giỏ 1 lao động (hằng) L: số lao động (biến) C0: chi phớ cố định (hằng). Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  62. Ứng dụng của tối ưu húa trong kinh tế Xột hàm lợi nhuận π  R Ă C. Muốn tỡm lợi nhuận cực đại ta giải bài toỏn tỡm cực đại toàn cục cho hàm π Khi quy luật lợi ớch cận biờn giảm dần đỳng thỡ π là hàm lồi và cú 1 cực đại duy nhất tại điểm dừng duy nhất. Điểm này xảy ra khi doanh thu cận biờn và chi phớ cận biờn bằng nhau" Xem thờm The marginal decision rule Áp dụng tương tự cho hàm lợi nhuận từ sản xuất π  pQ Ă wL Ă C0 trong đú p: giỏ (hằng) Q: hàm sản xuất (hàm theo L, giả sử vốn K hằng số) w: giỏ 1 lao động (hằng) L: số lao động (biến) C0: chi phớ cố định (hằng). Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  63. Nếu Sn cú lim hữu hạn thỡ ta bảo chuỗi hội tụ với tổng là S  limnẹ8 Sn. Nếu Sn khụng cú lim hữu hạn thỡ ta bảo chuỗi phõn kỳ. Sơ lược về chuỗi số Mở đầu Nghịch lý Zeno (Zeno’s paradoxes) Định nghĩa á8 un n1 Tổng riờng Sn  u1 Ô Ô Ô un Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  64. Nếu Sn khụng cú lim hữu hạn thỡ ta bảo chuỗi phõn kỳ. Sơ lược về chuỗi số Mở đầu Nghịch lý Zeno (Zeno’s paradoxes) Định nghĩa á8 un n1 Tổng riờng Sn  u1 Ô Ô Ô un Nếu Sn cú lim hữu hạn thỡ ta bảo chuỗi hội tụ với tổng là S  limnẹ8 Sn. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  65. Sơ lược về chuỗi số Mở đầu Nghịch lý Zeno (Zeno’s paradoxes) Định nghĩa á8 un n1 Tổng riờng Sn  u1 Ô Ô Ô un Nếu Sn cú lim hữu hạn thỡ ta bảo chuỗi hội tụ với tổng là S  limnẹ8 Sn. Nếu Sn khụng cú lim hữu hạn thỡ ta bảo chuỗi phõn kỳ. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  66. Sơ lược về chuỗi số Mở đầu Nghịch lý Zeno (Zeno’s paradoxes) Định nghĩa á8 un n1 Tổng riờng Sn  u1 Ô Ô Ô un Nếu Sn cú lim hữu hạn thỡ ta bảo chuỗi hội tụ với tổng là S  limnẹ8 Sn. Nếu Sn khụng cú lim hữu hạn thỡ ta bảo chuỗi phõn kỳ. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  67. Nếu |q| Ơ 1 thỡ chuỗi phõn kỳ. Một số chuỗi số hay gặp Chuỗi cấp số nhõn á8 qn  q q2 n1 Tớnh lim của tổng riờng dựng cụng thức Newton, ta dễ dàng cú kết quả sau: Nếu |q| 1 thỡ chuỗi hội tụ 8 á q qn  1 Ă q n1 Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  68. Một số chuỗi số hay gặp Chuỗi cấp số nhõn á8 qn  q q2 n1 Tớnh lim của tổng riờng dựng cụng thức Newton, ta dễ dàng cú kết quả sau: Nếu |q| 1 thỡ chuỗi hội tụ 8 á q qn  1 Ă q n1 Nếu |q| Ơ 1 thỡ chuỗi phõn kỳ. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  69. Một số chuỗi số hay gặp Chuỗi cấp số nhõn á8 qn  q q2 n1 Tớnh lim của tổng riờng dựng cụng thức Newton, ta dễ dàng cú kết quả sau: Nếu |q| 1 thỡ chuỗi hội tụ 8 á q qn  1 Ă q n1 Nếu |q| Ơ 1 thỡ chuỗi phõn kỳ. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  70. phõn kỳ khi α Ô 1 Chuỗi điều hũa đan dấu 8 á pĂ1qn 1 1  Ă1 Ă pα Ă 0q nα 2α 3α n1 Chuỗi luụn hội tụ với α Ă 0 tựy ý. Một số chuỗi số hay gặp Chuỗi điều hũa tổng quỏt 8 á 1 1 1  1 pα Ă 0q nα 2α 3α n1 Chuỗi hội tụ khi α Ă 1. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  71. Chuỗi điều hũa đan dấu 8 á pĂ1qn 1 1  Ă1 Ă pα Ă 0q nα 2α 3α n1 Chuỗi luụn hội tụ với α Ă 0 tựy ý. Một số chuỗi số hay gặp Chuỗi điều hũa tổng quỏt 8 á 1 1 1  1 pα Ă 0q nα 2α 3α n1 Chuỗi hội tụ khi α Ă 1. phõn kỳ khi α Ô 1 Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  72. Một số chuỗi số hay gặp Chuỗi điều hũa tổng quỏt 8 á 1 1 1  1 pα Ă 0q nα 2α 3α n1 Chuỗi hội tụ khi α Ă 1. phõn kỳ khi α Ô 1 Chuỗi điều hũa đan dấu 8 á pĂ1qn 1 1  Ă1 Ă pα Ă 0q nα 2α 3α n1 Chuỗi luụn hội tụ với α Ă 0 tựy ý. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  73. Một số chuỗi số hay gặp Chuỗi điều hũa tổng quỏt 8 á 1 1 1  1 pα Ă 0q nα 2α 3α n1 Chuỗi hội tụ khi α Ă 1. phõn kỳ khi α Ô 1 Chuỗi điều hũa đan dấu 8 á pĂ1qn 1 1  Ă1 Ă pα Ă 0q nα 2α 3α n1 Chuỗi luụn hội tụ với α Ă 0 tựy ý. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  74. á8 á8 can  c an n1 n1 . Tớnh chất chuỗi số Tớnh chất cơ bản Thờm hay bớt một số hữu hạn cỏc số hạng vào chuỗi số sẽ khụng làm thay đổi tớnh chất hội tụ hay phõn kỳ của chuỗi. °8 °8 Giả sử n1 an và n1 bn cựng hội tụ thỡ á8 á8 á8 pan bnq  an bn n1 n1 n1 Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  75. Tớnh chất chuỗi số Tớnh chất cơ bản Thờm hay bớt một số hữu hạn cỏc số hạng vào chuỗi số sẽ khụng làm thay đổi tớnh chất hội tụ hay phõn kỳ của chuỗi. °8 °8 Giả sử n1 an và n1 bn cựng hội tụ thỡ á8 á8 á8 pan bnq  an bn n1 n1 n1 á8 á8 can  c an n1 n1 . Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  76. Tớnh chất chuỗi số Tớnh chất cơ bản Thờm hay bớt một số hữu hạn cỏc số hạng vào chuỗi số sẽ khụng làm thay đổi tớnh chất hội tụ hay phõn kỳ của chuỗi. °8 °8 Giả sử n1 an và n1 bn cựng hội tụ thỡ á8 á8 á8 pan bnq  an bn n1 n1 n1 á8 á8 can  c an n1 n1 . Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  77. n Ơ vn, @n thỡ °8 °8 n1 un hội tụ suy ra n1 vn hội tụ. °8 °8 n1 vn phõn kỳ suy ra n1 un phõn kỳ. Điều kiện hội tụ của chuỗi số °  8 Nếu limnẹ8 un 0 hay lim khụng tồn tại thỡ n1 un phõn kỳ Chuỗi dương °8 Nếu un Ơ 0, @n P thỡ  un được gọi là chuỗi dương. Giả sử °8 °8 N n 1 n1 un và n1 vn dương sao cho u Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  78. °8 °8 n1 vn phõn kỳ suy ra n1 un phõn kỳ. Điều kiện hội tụ của chuỗi số °  8 Nếu limnẹ8 un 0 hay lim khụng tồn tại thỡ n1 un phõn kỳ Chuỗi dương ° Ơ @ P 8 °Nếu un 0,°n N thỡ n1 un được gọi là chuỗi dương. Giả sử 8 8 Ơ @ n1 un và n1 vn dương sao cho un vn, n thỡ °8 °8 n1 un hội tụ suy ra n1 vn hội tụ. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  79. Điều kiện hội tụ của chuỗi số °  8 Nếu limnẹ8 un 0 hay lim khụng tồn tại thỡ n1 un phõn kỳ Chuỗi dương ° Ơ @ P 8 °Nếu un 0,°n N thỡ n1 un được gọi là chuỗi dương. Giả sử 8 8 Ơ @ n1 un và n1 vn dương sao cho un vn, n thỡ °8 °8 n1 un hội tụ suy ra n1 vn hội tụ. °8 °8 n1 vn phõn kỳ suy ra n1 un phõn kỳ. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  80. Điều kiện hội tụ của chuỗi số °  8 Nếu limnẹ8 un 0 hay lim khụng tồn tại thỡ n1 un phõn kỳ Chuỗi dương ° Ơ @ P 8 °Nếu un 0,°n N thỡ n1 un được gọi là chuỗi dương. Giả sử 8 8 Ơ @ n1 un và n1 vn dương sao cho un vn, n thỡ °8 °8 n1 un hội tụ suy ra n1 vn hội tụ. °8 °8 n1 vn phõn kỳ suy ra n1 un phõn kỳ. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  81. Điều kiện hội tụ của chuỗi số (tt) Chuỗi dương (tt) Tiờu chuẩn so sỏnh dạng giới hạn (asymptotic): Nếu un °8 lim ẹ8  k với k hữu hạn và k Ă 0 thỡ 2 chuỗi v và n v n1 n °8 n n1 un cựng hội tụ hay cựng phõn kỳ. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  82. 1 1 Ă cos αpnq  αpnq2 2 eαpnq Ă 1  αpnq lnp1 αpnqq Ă 1  αpnq Điều kiện hội tụ của chuỗi số (tt) Ước lượng thường dựng un Khi limnẹ8  k thỡ ta ký hiệu un  vn. Cỏc ước lượng hay gặp vn sin αpnq  αpnq. tan αpnq  αpnq arcsin αpnq  αpnq arctan αpnq  αpnq Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  83. Điều kiện hội tụ của chuỗi số (tt) Ước lượng thường dựng un Khi limnẹ8  k thỡ ta ký hiệu un  vn. Cỏc ước lượng hay gặp vn sin αpnq  αpnq. tan αpnq  αpnq arcsin αpnq  αpnq arctan αpnq  αpnq 1 1 Ă cos αpnq  αpnq2 2 eαpnq Ă 1  αpnq lnp1 αpnqq Ă 1  αpnq Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  84. Điều kiện hội tụ của chuỗi số (tt) Ước lượng thường dựng un Khi limnẹ8  k thỡ ta ký hiệu un  vn. Cỏc ước lượng hay gặp vn sin αpnq  αpnq. tan αpnq  αpnq arcsin αpnq  αpnq arctan αpnq  αpnq 1 1 Ă cos αpnq  αpnq2 2 eαpnq Ă 1  αpnq lnp1 αpnqq Ă 1  αpnq Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  85. Điều kiện hội tụ của chuỗi số (tt) °8 Tiờu chuẩn? Cauchy Chuỗi dương n1 vn. Đặt C  limnẹ8 n vn. Khi đú, Nếu C 1 thỡ chuỗi hội tụ. Nếu C Ă 1 thỡ chuỗi phõn kỳ. Khi C  1, khụng kết luận được gỡ. °8 Tiờu chuẩn D’Alambert Chuỗi dương n1 un. Đặt un 1 D  limnẹ8 . Khi đú, un Nếu D 1 thỡ chuỗi hội tụ. Nếu D Ă 1 thỡ chuỗi phõn kỳ. Khi D  1, khụng kết luận được gỡ. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  86. Điều kiện hội tụ của chuỗi số (tt) °8 Tiờu chuẩn? Cauchy Chuỗi dương n1 vn. Đặt C  limnẹ8 n vn. Khi đú, Nếu C 1 thỡ chuỗi hội tụ. Nếu C Ă 1 thỡ chuỗi phõn kỳ. Khi C  1, khụng kết luận được gỡ. °8 Tiờu chuẩn D’Alambert Chuỗi dương n1 un. Đặt un 1 D  limnẹ8 . Khi đú, un Nếu D 1 thỡ chuỗi hội tụ. Nếu D Ă 1 thỡ chuỗi phõn kỳ. Khi D  1, khụng kết luận được gỡ. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  87. un chứa giai thừa: D’Alambert. Điều kiện hội tụ của chuỗi số (tt) Cỏch dựng un là hàm hữu tỉ: so sỏnh un chứa số mũ n: Cauchy Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  88. Điều kiện hội tụ của chuỗi số (tt) Cỏch dựng un là hàm hữu tỉ: so sỏnh un chứa số mũ n: Cauchy un chứa giai thừa: D’Alambert. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  89. Điều kiện hội tụ của chuỗi số (tt) Cỏch dựng un là hàm hữu tỉ: so sỏnh un chứa số mũ n: Cauchy un chứa giai thừa: D’Alambert. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  90. Chuỗi đan dấu Định nghĩa ° ° 8 pĂ qn 8 pĂ qn 1 Ơ @ Chuỗi dạng n1 1 un hay n1 1 un với un 0, n được gọi là 1 chuỗi đan dấu. Tiờu chuẩn Leibniz ° ° 8 pĂ qn 8 pĂ qn 1 Chuỗi đan dấu n1 1 un hay n1 1 un hội tụ khi và chỉ khi an Ơ an 1 Ơ Ô Ô Ô Ơ 0 và limnẹ8 an  0. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  91. Chuỗi đan dấu Định nghĩa ° ° 8 pĂ qn 8 pĂ qn 1 Ơ @ Chuỗi dạng n1 1 un hay n1 1 un với un 0, n được gọi là 1 chuỗi đan dấu. Tiờu chuẩn Leibniz ° ° 8 pĂ qn 8 pĂ qn 1 Chuỗi đan dấu n1 1 un hay n1 1 un hội tụ khi và chỉ khi an Ơ an 1 Ơ Ô Ô Ô Ơ 0 và limnẹ8 an  0. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  92. ° ° 8 8 | | Khi n1 un nhưng n1 un khụng hụi tụ thỡ ta núi chuỗi bỏn hội tụ. Hội tụ tuyệt đối - Bỏn hội tụ ° ° 8 8 | | Chuỗi n1 un gọi là hội tụ tuyệt đối nếu n1 un hội tụ. Lưu ý: Hội tụ tuyệt đối ựủ hội tụ, nhưng Hội tụ ựủ hội tụ tuyệt đối. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  93. Hội tụ tuyệt đối - Bỏn hội tụ ° ° 8 8 | | Chuỗi n1 un gọi là hội tụ tuyệt đối nếu n1 un hội tụ. Lưu ý: Hội tụ tuyệt đối ựủ hội tụ, nhưng Hội tụ ựủ hội tụ tuyệt đối. ° ° 8 8 | | Khi n1 un nhưng n1 un khụng hụi tụ thỡ ta núi chuỗi bỏn hội tụ. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số
  94. Hội tụ tuyệt đối - Bỏn hội tụ ° ° 8 8 | | Chuỗi n1 un gọi là hội tụ tuyệt đối nếu n1 un hội tụ. Lưu ý: Hội tụ tuyệt đối ựủ hội tụ, nhưng Hội tụ ựủ hội tụ tuyệt đối. ° ° 8 8 | | Khi n1 un nhưng n1 un khụng hụi tụ thỡ ta núi chuỗi bỏn hội tụ. Tiến sĩ Nguyễn Phỳc Sơn Chương 5: Vi phõn hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số