Bài giảng Toán cao cấp - Chương 4: Phép tính vi phân hàm một biến số - Ngô Quang Minh

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 4: Phép tính vi phân hàm một biến số - Ngô Quang Minh

1. 10/13/2012 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số §1. Đạo hàm Nhận xét. Do nên: §2. Vi phân x xx0 §3. Các định lý cơ bản về hàm khả vi – Cực trị f(x) fx() §4. Công thức Taylor 0 fx (0) lim. §5. Quy tắc L’Hospital xx 0 xx 0 §1. ĐẠO HÀM b) Đạo hàm một phía 1.1. Các định nghĩa Cho hàm số y fx() xác định trong lân cận phải a) Định nghĩa đạo hàm f(x) fx() (xb;) của x . Giới hạn lim 0 (nếu có) Cho hàm số xác định trong lân cận của 0 0 y fx() (ab;) xx 0 xx 0 . Giới hạn: được gọi là đạo hàm bên phải của tại . x0 (ab;) y fx() x 0 y f(x00 x)fx() Ký hiệu là . Tương tự, . lim lim fx ()0 fx ()0 xx 00 xx Nhận xét. Hàm số có đạo hàm tại khi và chỉ khi (nếu có) được gọi là đạo hàm của tại . fx() x0 y fx() x 0 Ký hiệu là hay . f (x) f (x )fx(). fx ()0 yx ()0 000 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số c) Đạo hàm vô cùng 1.2. Các quy tắc tính đạo hàm y • Nếu tỉ số khi x 0 thì ta nói y fx() có 1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số: x ; ; đạo hàm vô cùng tại . ()u v uv ()uv uvuv x0 k kv uu v uv • Tương tự, ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng , k ¡; . 2 2 một phía. v v v v VD 1. Cho 3 , 2) Đạo hàm của hàm số hợp f(x) y[ux()]: f(x) xf (0) hay . f(x) xf (0) . f (x) y (u).ux() y (x) y (u).ux() Chú ý 3) Đạo hàm hàm số ngược của y yx(): Nếu fx() liên tục và có đạo hàm vô cùng tại x thì tiếp 0 1 . tuyến tại của đồ thị song song với trục . xy () x0 y fx() Oy yx () Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp 7) eexx ; 8) axx aa.ln ; 1 1) xx . 1; 2) x ; 1 1 2 x 9) ln x ; 10) log x ; x a xa.ln 3) sinxx cos ; 4) cosxx sin ; 1 1 11) arcsin=x ; 12) arccos=x ; 2 2 1 1 1 x 1 x 5) tanx 6) cotx ; 2 2 cos x sin x 1 1 2 13) arctan x ; 14) arcxcot . 1tan x ; 2 2 1 x 1 x 1
2. 10/13/2012 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.4. Đạo hàm cấp cao VD 4. Cho hàm số f(xx) sin2 . Tính đạo hàm f (6)(0). A. f (6)(0) 32; B. f (6)(0) 32; • Giả sử fx() có đạo hàm fx () và fx () có đạo hàm thì C. (6) ; D. (6) . f (0) 16 f (0)0 f (x) fx () là đạo hàm cấp hai của fx(). Giải. Ta có • Tương tự ta có: f(x) sin2x f(xx)2cos2 (4) f (x) 4sin2x f(xx) 8cos2 f(nn)(x) fx( 1)() là đạo hàm cấp n của fx(). f(5)(x) 16sin2x f(6)(xx)32cos2 . Vậy fA(6)(0) 32 . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số §2. VI PHÂN fx() x0 0  A f ()xA. 2.1. Vi phân cấp một x 0 hay . Hàm số được gọi là khả vi tại nếu df(x00) f (xx). df(x) f (xx). y fx() xD0 f • Chọn f(x) x df()x x dxx . có thể biểu diễn dưới f(x0) f(x00 x)fx() dạng: Vậy df(x) f (x).dxhya dyydx f(x0) A. xx 0() với A là hằng số và 0() x là VCB khi x 0. VD 1. Tính vi phân cấp 1 của 23x tại . Khi đó, đại lượng Ax. được gọi là vi phân của hàm f()x xe x0 1 số y fx() tại x . Ký hiệu dfx() hay dyx(). 0 0 0 Giải. Ta có f (x) (2x 3x2)e33x fe( 1) Nhận xét 3 fx()0 0() x Vậy df( 1) edx . • f(x) A. xx 0() A 0 xx Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 2 VD 2. Tính vi phân cấp 1 của yx arctan(1). VD 3. Tính vi phân cấp 1 của hàm số y 2ln(arcsin)x . 2 (xx 1)2 Giải. Ta có ln(arcsin)x Giải. Ta có y . yx ln(arcsin)2ln2 1 (xx2 1)21 (221) 1 ln(arcsin)x 2x 2ln2 Vậy dy dx . 2 22 1 xxarcsin 1 (x 1) 2ln(arcsin)x ln2 dydx . 1 xx2 arcsin 2
3. 10/13/2012 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 2.2. Vi phân cấp cao VD 5. Tính vi phân cấp n của hàm số ye 2x . Giả sử y fx() có đạo hàm đến cấp n thì: 2xx22 Giải. Ta có y 22e ye (n)2nx nn2xn dny d()dn 1yy()nndx 2 y e dye 2 dx . được gọi là vi phân cấp n của hàm y fx(). VD 6. Tính vi phân cấp 2 của tại . f(xx) tan x0 VD 4. Tính vi phân cấp 2 của hàm số . 4 yx ln(sin) Giải. Ta có f (xx) 1tan2 cos1x Giải. Ta có yy . 2 . 2 f (x) 2tanx(1 tanxf)4 sin x sin x 4 2 2 dx 22 Vậy dy . Vậy df 4dx . 2 sin x 4 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Chú ý §3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Khi x là một hàm số độc lập với y thì công thức 3.1. Các định lý n()nn dy ydx không còn đúng nữa. 3.1.1. Bổ đề Fermat Cho hàm số fx() xác định trong (ab;) và có đạo hàm tại . Nếu đạt giá trị lớn nhất (hoặc bé nhất) x0 (ab;) fx() tại x trong (ab;) thì fx ()0 . 0 0 3.1.2. Định lý Rolle Cho hàm số fx() liên tục trong [ab;] và khả vi trong (ab;). Nếu f(a) fb() thì  c(ab;) sao cho fc ()0 . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 3.1.3. Định lý Cauchy §4. CÔNG THỨC TAYLOR Cho hai hàm số fx(), gx() liên tục trong [ab;], khả vi 4.1. Công thức khai triển Taylor trong (ab;) và g (x) 0, x(ab;). Khi đó,  c(ab;) sao cho: a) Khai triển Taylor với phần dư Peano f(b) f(a)fc () . Cho hàm fx() liên tục trên [ab;] có đạo hàm đến cấp g(b) g(a)gc () trên với ta có: n 1 (ab;) x,x0 (ab;) 3.1.4. Định lý Lagrange Cho hàm số fx() liên tục trong [ab;], khả vi trong (ab;). n fx()k () f(xx) 0 ( x).k O((xx ))n Khi đó,  c(ab;) sao cho:  0 0 k 0 k ! f(b) fa() fc (). ba 3
4. 10/13/2012 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số b) Khai triển Maclaurin VD 1. Khai triển Maclaurin của f(xx) tan đến x 3. • Khai triển Taylor với phần dư Peano tại được x0 0 Giải. Ta có: f (0)0 , gọi là khai triển Maclaurin. 2 , n ()k f (x) 1 tanxf (0)1 Vậy f (0) k n f(xx). Ox() f (x) 2tanx 2tan3 xf (0)0, k 0 k ! f (x) 2(1 tan2x) 6tan22xx(1tan) • Khai triển Maclaurin được viết lại: f (0)2. ff (0) (0) f(x) f(0) xx 2 Vậy f (0)ff (0) (0) 1!2! tanx f(0)+x+x2+xx33+0() f()n (0) 1!2!3! xn O()xn 1 n ! x xx330(). 3 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 4.2. Các khai triển Maclaurin cần nhớ Chú ý 1 2 nn Nếu ux() là VCB khi x 0 thì ta thay x trong các 1) 1 x x xx0(). 1 x công thức trên bởi ux(). 2 n xnxxx 2) . 1 6 ex 1 0() VD 2. Khai triển Maclaurin hàm số y đến x . 1!2!!n 2 234 13 x 3) xxxx n . 1 ln(1 xx) 0() Giải. y 1234 2 246 1 () 3x xxx n 4) cosxx 1 0(). 222236 2!4!6! 1 ( 3x) ( 3x) ( 3xx)0() xx3xx57 2466. 5) sinxx 0()n . 1 3x 9x 27xx0() 1!3!5!7! Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số x 4 VD 3. Khai triển Maclaurin của yx ln(12)2 đến x 6. VD 4. Khai triển Maclaurin của hàm số y 2 đến x . Giải. Biến đổi: 2 Giải. yx ln[1 (2)] x y 2x eeln2 x ln2. ( 2xx2)2(2)23 ( 2xx26) 0() Vậy xxln2 23 2 e 8 xln2(xln2)234(xxln2)(ln2) 2x2 2x4 xx660(). 1 0()x 4 3 1!2!3!4! ln22ln342ln2 1 xln2 x2 x3 xx440(). 2624 4
5. 10/13/2012 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số (7) §5. QUY TẮC L’HOSPITAL VD 5. Cho hàm số f(x) xxcos2 . Tính f (0). Giải. Ta có: Định lý (quy tắc L’Hospital) 246 Cho hai hàm số fx(), gx() khả vi trong lân cận của điểm (2x)(2xx)(2) 6 cos2xx 1 0() và trong lân cận của (có thể ). 2!4!6! x0 gx ()0 x0 gx (0)0 3 5 7 Nếu fx() có dạng 0 hoặc thì: 4xx16 64x 7 lim f(xx) x 0() xx 0 gx() 0 2! 4! 6! f(x)fx () (7) lim lim. f (0)64 (7) x xxx f (0) 448. 00g(x)gx() 7!6! Chú ý § Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần. Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 22 xx xx sin VD 1. Tìm giới hạn ee 2 . VD 2. Tìm giới hạn L lim . L lim x 0 22 x 0 x 2 xx.arctan 1 1 A. L 0; B. L ; C. L ; D. L . x xxx 2 3 Giải. (e e 2) ee L limlim Giải. Khi , ta có: xx 00()x 2 2x x 0 x2 sin2xxx22sin : ()ex e x eexx 224 lim lim1. x.arctan xx xx 00(2x)2 xx22 sin L lim . x 0 x 4 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 2xx sin2 L lim VD 3. Tìm giới hạn L limxx3 ln (dạng 0 ). x 0 4x 3 x 0 Giải. Ta có: 2 2cos2x lim lnx x 0 2 L lim 12x x 0 x 3 4sin2x 1 lim x 0 24x lim x x 0 3x 4 8cos21x . 3 lim D x x 0 243 lim0. x 0 3 5
6. 10/13/2012 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 1 VD 4. Tìm giới hạn Lx lim x 1 (dạng 1 ). x 1 1 x 1 Giải. Ta có: Le lim lnx x 1 lnx 1 lim lnx x 1x 1 limeex 1 x 1 1 lim x 1x ee. 6