Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Hàm nhiều biến - Nguyễn Phương

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Hàm nhiều biến - Nguyễn Phương

1. Chương 3: HÀM NHIỀU BIẾN Th.S NGUYỄN PHƯƠNG Khoa Giáo dục cơ bản Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 11 tháng 2 năm 2014 1
2. 1 Định nghĩa hàm nhiều biến 2 Giới hạn và liên tục hàm hai biến 3 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần Đạo hàm riêng Vi phân toàn phần Đạo hàm riêng của hàm hợp Hàm ẩn 4 Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân toàn phần cấp cao 5 Cực trị địa phương 6 Cực trị có ràng buộc 7 Ứng dụng trong kinh tế Ý nghĩa biên tế Hệ số co dãn Tối ưu trong kinh tế 2
3. Định nghĩa hàm nhiều biến Định nghĩa Cho tập D R2, D , φ, hàm số f : D R là một quy tắc cho tương ứng mỗi điểm (x, y) ⊂ D với một z R được gọi→ là hàm hai biến thực. Kí hiệu: z = f(x, y). ∈ ∈ Miền D ở đây được gọi là miền xác định của f(x, y). Nếu f(x, y) là một biểu thức giải tích theo (x, y) mà không chỉ rõ miền xác định thì miền xác định của hàm f(x, y) là tập hợp những điểm (x, y) làm cho f(x, y) có nghĩa. Ví dụ x2 + y2 Tìm miền xác định của hàm số f(x, y) = . x2 y2 2 − 2 Khi đó miền xác định D là miền sao cho x y , 0, tức là − D = (x, y) x , y, x, y R . { | ∈ } 3
4. Giới hạn và liên tục hàm hai biến Định nghĩa Hàm f(x, y) có giới hạn là L R khi (x, y) (x0, y0), nếu ∈ → p 2 2  > 0, δ(, (x0, y0)) sao cho (x, y) thỏa 0 < (x x0) + (y y0) < δ thì ∀ ∃ ∀ − − f(x, y) L < . | − | Kí hiệu: lim f(x, y) = L. (x,y) (x0,y0) → Hàm số z = f(x, y) có giới hạn là L khi (x, y) dần đến (x0, y0) có nghĩa là: Khi M(x, y) dần đến M0(x0, y0) thì giá trị của hàm số tại M(x, y) cũng dần đến L. Các định lý về giới hạn của hàm hai biến cũng tương tự của hàm một biến. 4
5. Giới hạn và liên tục hàm hai biến Ví dụ Chứng minh rằng 1 lim (x2 + y2) sin = 0. (x,y) (0,0) xy → Giải Ta nhận thấy rằng 1 (x2 + y2) 6 (x2 + y2) sin (x2 + y2). − xy ≤ Mà lim (x2 + y2) = lim (x2 + y2) = 0. (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) → → Do đó ta được 1 lim (x2 + y2) sin = 0. (x,y) (0,0) xy → 5
6. Giới hạn và liên tục hàm hai biến Ví dụ Chứng minh không tồn tại xy lim 2 2 . (x,y) (0,0) x + y → Giải +) Với y = x thì xy x2 1 lim 2 2 = lim 2 = . (x,y) (0,0) x + y x 0 2x 2 → → +) Với y = x thì − xy x2 1 lim 2 2 = lim − 2 = . (x,y) (0,0) x + y x 0 2x −2 → → xy Vì giá trị của hai giới khác nhau nên giới hạn lim(x,y) (0,0) không tồn → x2 + y2 tại. 6
7. Giới hạn và liên tục hàm hai biến Định nghĩa 2 Hàm số f : D R R được gọi là liên tục tại điểm (x0, y0) D nếu ⊂ → ∈ lim f(x, y) = f(x0, y0) (x,y) (x0,y0) → . Hàm số z = f(x, y) liên tục tại (x0, y0) có nghĩa là: Khi M(x, y) dần đến M0(x0, y0) thì giá trị của hàm số tại M(x, y) cũng dần đến giá trị của hàm số tại điểm M0(x0, y0). Các tính chất của hàm hai biến giống như hàm một biến. Ví dụ Hàm f(x, y) = sin(x2 + xy y) là hàm liên tục vì f(x, y) là hợp của hai hàm liên tục u(x, y) = x2 + xy −y2, g(x) = sin(x). − 7
8. Giới hạn và liên tục hàm hai biến Ví dụ Cho hàm số  2  xy  khi (x, y) , (0, 0); f(x, y) = x2 + y2  a khi (x, y) = (0, 0). Tìm a để f(x, y) là hàm liên tục tại (0, 0). Giải Với (x, y) , (0, 0), ta có: xy2 0 x ≤ x2 + y2 ≤ | | 2 xy Mà lim x = 0 nên lim 2 2 = 0 , suy ra (x,y) (0,0) | | (x,y) (0,0) x + y → → xy2 lim(x,y) (0,0) = 0. Vậy f(x, y) liên tục tại (0, 0) khi a = 0. → x2 + y2 Định lý (Định lý Weierstrass) Hàm số f liên tục trên một tập D đóng và bị chặn thì f bị chặn và đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D. 8
9. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần Đạo hàm riêng Định nghĩa Cho hàm hai biến z = f(x, y) xác định trên miền D và (x0, y0) D. ∈ f(x0 + ∆x, y0) f(x0, y0) i) Nếu giới hạn lim − tồn tại và hữu hạn thì giới ∆x 0 ∆x → hạn này được gọi là đạo hàm riêng theo biến x của f(x, y) tại (x0, y0). Kí ∂f(x0, y0) hiệu: f x(x0, y0) hay fx(x0, y0) hay . 0 ∂x f(x0, y0 + ∆y) f(x0, y0) ii) Nếu giới hạn lim − tồn tại và hữu hạn thì giới ∆y 0 ∆y → hạn này được gọi là đạo hàm riêng theo biến y của f(x, y) tại (x0, y0). Kí ∂f(x0, y0) hiệu: f y(x0, y0) hay fy(x0, y0) hay . 0 ∂y - Khi tính đạo hàm riêng của hàm f(x, y) theo biến x thì ta xem y là hằng số và tính đạo hàm tương tự hàm một biến. - Khi tính đạo hàm riêng của hàm f(x, y) theo biến y thì ta xem x là hằng số và tính đạo hàm tương tự hàm một biến. 9
10. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần Đạo hàm riêng Ví dụ Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau: 2 3 a)z = f(x, y) = x y 2x + 3y + 1; tìm fx(1, 0), fy(1, 2). x − b)z = y c)z = xy Giải a) Ta có 2 3 3 +f x(x, y) = (x y 2x + 3y + 1)x0 = 2xy 2, suy ra 3 − − fx(1, 0) = 2.1.0 2 = 2., 2 3 − − 2 2 +f y(x, y) = (x y 2x + 3y + 1)y0 = 3x y + 3, suy ra 2 2− fy(1, 2) = 3.1 .2 + 3 = 15. 1 x b)z x = , zy = . y −y2 y 1 y c)f x(x, y) = yx − , fy(x, y) = x ln x. 10
11. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần Vi phân toàn phần Định nghĩa (Số gia toàn phần) 2 Cho hàm hai biến z = f(x, y) xác định trên miền D R và (x0, y0) D. Số gia ⊂ ∈ toàn phần của f(x, y) tại (x0, y0), kí hiệu là ∆z hay ∆f, được xác định như sau: ∆z = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) f(x0, y0) − Định nghĩa Hàm số z = f(x, y) được gọi là khả vi tại (x0, y0) nếu tồn tại hai số A và B sao cho ∆z = A∆x + B∆y + 0(d) q với 0(d) là VCB bậc cao hơn so với d = (∆x)2 + (∆y)2 khi d 0 (hay khi → ∆x 0 và ∆y 0) → → Định lý Nếu hàm z = f(x, y) trong lân cận của điểm (x0, y0) có các đạo hàm riêng ∂z ∂z liên tục tại (x y ) thì hàm z = f(x y) khả vi tại (x y ) và ∂x , ∂y 0, 0 , 0, 0 ∂f(x0, y0) ∂f(x0, y0) = A; = B. ∂x ∂y 11
12. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần Vi phân toàn phần Định nghĩa Nếu hàm số z = f(x, y) khả vi tại (x0, y0) thì biểu thức ∂f(x0, y0) ∂f(x0, y0) ∆x + ∆y ∂x ∂y được gọi là vi phân toàn phần của hàm f(x, y) tại điểm (x0, y0), kí hiệu là df(x0, y0). ∂f(x0, y0) ∂f(x0, y0) Vì dx = ∆x, dy = ∆y nên df(x0, y0) = dx + dy. ∂x ∂y Ví dụ xy2 Cho hàm số z = e− . a) Tìm vi phân toàn phần tại điểm (x, y); b) Tìm dz( 1, 2). − 12
13. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần Vi phân toàn phần Từ định nghĩa 3.3 và định lý 3.4 ta có công thức tính gần đúng của hàm hai biến như sau f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) f(x0, y0) + df(x0, y0). ≈ Ví dụ Tính gần đúng 1, 023,01. Giải Chọn hàm z = xy ta có y 1 y dz = yx − ∆x + x .lnx∆y. Với x = 1, ∆x = 0, 02, y = 3, ∆y = 0, 01 ta có dx = 3.1.0, 02 + 1.ln1.0, 01 = 0, 006. Do đó, 1, 023,01 = z(1 + ∆x, 3) + ∆y) = z(1, 1) + dz 11 + 0, 06 = 1, 06. ≈ 13
14. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần Vi phân toàn phần Định lý Với hàm n biến z = f(x1, , xn) có đạo hàm riêng liên tục tại điểm − (x01, , x0n) thì vi phân toàn phần của z tại (x01, , x0n) là df(x01, , x0n) = fx (x01, , x0n)dx1 + + fx (x01, , x0n)dxn. 1 ··· n Ví dụ Tìm vi phân toàn phần của hàm z w = f(x, y, z) = p . x2 + y2 xz yz 1 Giải. Ta có: wx = ; wy = ; wz = −(x2 + y2)3 −(x2 + y2)3 x2 + y2 xz yz 1 Do đó dw = dx dy + dz. −(x2 + y2)3 − (x2 + y2)3 x2 + y2 14
15. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần Đạo hàm riêng của hàm hợp Định lý Nếu w = f(u1, u2) với u1 = u1(x), u2 = u2(x) thì dw ∂w du1 ∂w du2 = . + . dx ∂u1 dx ∂u2 dx Nếu w = f(x, u), u = u(x) thì dw du = w0 + w0 . dx x u dx Tổng quát: Nếu w = f(u1, u2, , um), ui = ui(x) thì dw du1 du2 dum = w0 + w0 + + w0 dx u1 dx u2 dx ··· um dx Ví dụ ∂w ∂w Cho w = x2 + y2, với x = t2, y = lnt. Tìm , ∂x ∂t 15
16. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần Đạo hàm riêng của hàm hợp Định lý Nếu w = f(u1, u2), u1 = u1(x, y), u2 = u2(x, y) thì ∂w ∂u1 ∂u2 = w0 + w0 ∂x u1 ∂x u2 ∂x ∂w ∂u1 ∂u2 = w0 + w0 ∂y u1 ∂y u2 ∂y Tổng quát: Nếu w = f(u1, u2, , um), ui = ui(x1, x2, , xn) thì ∂w ∂u1 ∂u2 ∂um = w + w + + w u0 1 u0 2 u0 m ∂xi ∂xi ∂xi ··· ∂xi Ví dụ Cho z = u2v + uv3 với u = x2 y2, v = exy. ∂z ∂z − Tìm , . ∂x ∂y 16
17. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần Hàm ẩn Định nghĩa Giả sử biến phụ thuộc y có quan hệ hàm số với n biến độc lập x1, x2, , xn được cho trong phương trình F(x1, x2, , xn, y) = 0 (1) trong đó F là một hàm số của n + 1 biến số (x1, x2, , xn, y). Hàm số y = y(x1, x2, , xn) được xác định gián tiếp qua phương trình (1) được gọi là hàm ẩn. ∂F ∂F ∂y + . = 0 ∂xi ∂y ∂xi ∂F ∂y x = ∂ i F ∂xi − ∂ ∂y ∂F ∂x Với hàm ẩn một biến y = y(x) cho bởi F(x, y) = 0:yx0 = ∂F − ∂y 17
18. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần Hàm ẩn Ví dụ Cho hàm số y = y(x) xác định bởi ey = x + y. Tìm yx. Giải Ta có ey = x + y hay F(x, y) = ey x y = 0. Đạo hàm hai vế theo x ta được − − ∂F ∂x + yx = 0. ∂x ∂y ∂F ∂F Do = 1, = ey 1 nên ∂x − ∂y − 1 1 yx = = . ey 1 x + y 1 − − 18
19. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần Hàm ẩn Ví dụ Cho z = z(x, y) xác định bởi xyz = x + y + z. ∂z ∂z Tìm , , dz. ∂x ∂y Giải Ta có xyz = x + y + z hay F(x, y, z) = xyz x y z = 0. Do đó ∂F ∂F ∂F − − − = yz 1, = xz 1, = xy 1 và ta được ∂x − ∂y − ∂z − ∂F ∂z ∂x yz 1 = = − ; ∂x − ∂F −xy 1 − ∂z ∂F ∂z ∂y xz 1 = = − ; ∂y − ∂F −xy 1 − ∂z 19
20. Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân toàn phần cấp cao Định nghĩa ∂f ∂f Cho hàm số z = f(x, y) có các đạo hàm riêng cấp 1 , trên tập mở ∂x ∂y D R2, đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp 1 được gọi là đạo hàm riêng cấp⊂ 2.ê Kí hiệu các đạo hàm riêng cấp 2. ∂2f = f = f = (f ) ∂2f = f = f = (f ) ∂x2 xx xx00 x0 x0 ∂x∂y xy xy00 0x y0 ∂2f = f = f = (f ) ∂2f = f = f = (f ) ∂y∂x yx yx00 0y x0 ∂y2 yy yy00 y0 y0 Định lý Nếu trong một lân cận nào đó của điềm (x0, y0), hàm z = f(x, y) có các đạo hàm riêng hỗn hộp f00xy, f00yx và các đạo hàm này liên tục tại (x0, y0) thì f00xy(x0, y0) = f00yx(x0, y0). Ví dụ Cho f(x, y) = x2y xy4. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của f(x, y). − 4 2 3 Giải.Ta có fx = 2xy y ; fy = x 4xy . Do đó, − − 3 3 2 fxx = 2x; fxy = 2x 4y ; fyx = 2x 4y ; fyy = 12xy − 20 − −
21. Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân toàn phần cấp cao Định nghĩa Cho z = f(x, y), z có vi phân toàn phần dz, nếu dz lại có vi phân toàn phần, ta gọi vi phân toàn phần của dz là vi phân toàn phần cấp hai, kí hiệu là d2z, 2 2 2 d z = zxxdx + 2zxydxdy + zyydy . Ví dụ Tìm vi phân toàn phần cấp hai của hàm số z = f(x, y) = 2x2 3xy y2. − − Giải Ta có zx = 4x 3y; zxx = 4, zxy = 3; zy = 3x 2y; zyy = 2. Vậy − − − − − d2z = 4dx2 6dxdy 2dy2. − − 21
22. Cực trị địa phương Định nghĩa 2 Cho f : D R R, điểm (x0, y0) D, ⊂ → ∈ i) Ta nói f đạt cực đại (địa phương) tại (x0, y0) nếu có một tập mở Ω D ⊂ sao cho (x0, y0) Ω và f(x, y) 6 f(x0, y0), (x, y) Ω D. ∈ ∀ ∈ ⊂ ii) Ta nói f đạt cực tiểu (địa phương) tại (x0, y0) nếu có một tập mở Ω D ⊂ sao cho (x0, y0) Ω và f(x, y) > f(x0, y0), (x, y) Ω D. ∈ ∀ ∈ ⊂ Hàm f(x, y) đạt cực đại hoặc cực tiểu tại điểm (x0, y0) thì ta nói hàm đạt cực trị tại điểm (x0, y0). Định lý Nếu f đạt cực trị tại (x0, y0) D và nếu nó có đạo hàm riêng tại (x0, y0) thì ∈ fx(x0, y0) = fy(x0, y0) = 0. (1) Những điểm thỏa phương trình (1) ta gọi là điểm dừng. Xét trên một miền mở, f chỉ có thể đạt cực trị địa phương tại những điểm dừng. 22
23. Cực trị địa phương Định lý Giả sử hàm f thuộc lớp C2 (có đạo hàm riêng cấp 2 và các đạo hàm riêng này liên tục) và M0(x0, y0) D là một điểm dừng của f trên D. Đặt ∈ 2 A = f00 2 (x0, y0); B = f00 (x0, y0); C = f00 (x0, y0); ∆ = AC B x xy yy − Khi đó, i) Nếu ∆ > 0 và A 0 và A > 0 thì f đạt cực tiểu tại M0(x0, y0). iii) Nếu ∆ < 0 thì f không đạt cực trị tại M0(x0, y0). iv) Nếu ∆ = 0 thì ta chưa thể kết luận được. 23
24. Cực trị địa phương Thuật toán tìm cực trị địa phương a) Bước 1: Tìm điểm dừng (xk, yk) ∂f ∂f +) Tính , , ∂x ∂y  ∂f   = 0 +) Giải hệ phương trình  ∂x  ∂f  = 0.  ∂y b) Bước 2: Tính ∂2f ∂2f ∂2f +) , , ; ∂x2 ∂y2 ∂x∂y ∂2f ∂2f ∂2f +) (xk, yk), (xk, yk), (xk, yk). ∂x2 ∂y2 ∂x∂y c) Tính ∆(xk, yk) và kết luận dựa vào định lý (5.2). 24
25. Cực trị địa phương Ví dụ Tìm cực trị hàm f(x, y) = x2 y2 + 2x + 4y + 6. − − Giải fx = 2x + 2, fy = 2y + 4. Do đó ta có hệ − −      2x + 2 = 0; x = 1; − hay   2y + 4 = 0. y = 2. − Và ta có fxx = 2, fyy = 2, fxy = 0. Do đó − − 2 ∆(x, y) = fxxfyy f = 4 > 0. − xy Và ta được ∆(1, 2) = 4 > 0, A = fxx(1, 2) = 2 < 0. Vậy M(1,2) là điểm cực đại địa phương. − 25
26. Cực trị có ràng buộc Định nghĩa Cực trị hàm w = f(x, y) với điều kiện các biến x, y phải thỏa mãn ràng buộc cho bởi phương trình g(x, y) = 0 được gọi là cực trị có điều kiện (hay cực trị có ràng buộc). Định lý (Nhân tử Lagrange) Cho f, g khả vi trên tập mở U chứa (x0, y0) với ∂g 2 ∂g 2 ( (x0, y0)) + ( (x0, y0)) , 0. Nếu hàm f có cực trị trên mặt g(x, y) = 0 tại ∂x ∂y (x0, y0) thì có λ R sao cho ∈  f g  ∂ ∂  (x0, y0) + λ (x0, y0) = 0; ∂x ∂x  ∂f ∂g  (x0, y0) + λ (x0, y0) = 0; ∂y ∂y  g(x0, y0) = 0. i) Hàm số L(x, y) = f(x, y) + λg(x, y) gọi là hàm Lagrange. ii) Định lý trên vẫn đúng trong trường hợp hàm 3 biến. 26
27. Cực trị có ràng buộc Định lý Giả sử hàm f, g có đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai tại điểm (x0, y0) và (x0, y0, λ0) là điểm dừng của hàm Lagrange L. Khi đó, nếu trong miền dx, dy thỏa các ràng buộc 2 2 ∂g ∂g dx + dy , 0 và dg(x0, y0) = (x0, y0)dx + (x0, y0)dy = 0 ∂x ∂y mà 2 i)d L(x0, y0) xác định dương thì hàm có cực tiểu có điều kiện tại điểm (x0, y0). 2 ii)d L(x0, y0) xác định âm thì hàm có cực đại có điều kiện tại điểm (x0, y0). 2 iii)d L(x0, y0) không xác định dấu thì hàm không có cực trị có điều kiện tại điểm (x0, y0) với 2 2 2 2 ∂ L 2 ∂ L ∂ L 2 d L(x0, y0, λ0) = (x0, y0, λ0)dx +2 (x0, y0, λ0)dxdy+ (x0, y0, λ0)dy ∂x2 ∂x∂y ∂y2 27
28. Cực trị có ràng buộc  0 g g   x0 y0   g L L  H =  x0 00x2 00xy    gy0 L00xy L00y2 Định lý i) Nếu định thức H > 0 thì (x0, y0) là cực đại. ii) Nếu định thức H < 0 thì (x0, y0) là cực tiểu Tương tự ta có thể mở rộng điều kiện cho hàm nhiều hơn hai biến. Ví dụ Tìm cực trị hàm f(x, y) = x + 2y với điều kiện x2 + y2 = 5 28
29. Cực trị có ràng buộc Với g(x, y) = x2 + y2 5, ta có hệ phương trình −   ∂f ∂g   (x0, y0) + λ (x0, y0) = 0;  x x 1 + 2xλ = 0; ∂ ∂   ∂f ∂g 2 + 2yλ = 0;  (x0, y0) + λ (x0, y0) = 0;  ∂y ∂y ⇐⇒  2 2  x + y = 5. g(x0, y0) = 0. 1 1 ta có các điểm dừng M1(1, 2) ứng với λ = và M2( 1, 2) ứng với λ = . − 2 − − 2 Với M1(1, 2) ta có 1 L(x, y) = x + 2y (x2 + y2 5) − 2 − và d2L(1, 2) = dx2 dy2 0. Và giá trị cực đại là 5, cực tiểu là -5. − − 29
30. Cực trị có ràng buộc Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhât (GTNN) trên một tập đóng, bị chặn ta làm các bước sau: i) Tìm những điểm giới hạn (gồm những điểm dừng và những điểm mà tại đó đạo hàm riêng không tồn tại) trong miền mở. ii) Tìm những điểm nghi ngờ hàm có GTLN, GTNN trên biên của miền (cực trị có điều kiện). iii) So sánh các giá trị tại những điểm trên để tìm GTLN, GTNN. Ví dụ Tìm GTLN,GTNN của hàm f(x, y) = x2 + y2 12x + 16y, − trên miền x2 + y2 6 25. 30
31. Cực trị có ràng buộc Trước hết ta xét các điểm dừng trong miền x2 + y2 < 25. Từ hệ phương trình   ∂f  = 2x 12 = 0; ∂x −  ∂f  = 2y + 16 = 0. ∂y ta được điểm A(6, 8), điểm này không nằm trong miền x2 + y2 < 25. Ta xét cực trị của− f(x, y) với điều kiện biên x2 + y2 = 25. Từ hệ  f g  ∂ ∂  + λ = 2x 12 2λx = 0; ∂x ∂x − −  ∂f ∂g  + λ = 2y + 16 2λy = 0; ∂y ∂y −  g(x, y) = x2 + y2 25 = 0. − ta có hai điểm nghi ngờ là M1(3, 4) và M2( 3, 4) tương ứng với λ = 3 và λ = 1. Và ta có f(3, 4) = 75; f−( 3, 4) = 125.− Vậy− GTLN là 125, GTNN− là− -75. − 31
32. Ứng dụng trong kinh tế Ý nghĩa biên tế Cho z = f(x, y). dz df = là lượng thay đổi của z khi x tăng 1 đơn vị. dx dx dz df = là lượng thay đổi của z khi y tăng 1 đơn vị. dy dy dQ dQ Ví dụ: Cho hàm sản xuất Q = f(K, L).MPK = , MPL = . dK dL α 1 α Ví dụ: Cho hàm sản xuất Cobb - Douglas Q = AK L − với A > 0, 0 < α < 1. dQ αA MP = = AKα 1L1 α = K α − −  1 α dK K − L  α dQ α α K MPL = = (1 α)AK L− = (1 α)A dL − − L Cho hàm hữu dụng U = f(x1, x2, , xn). Quy luật hữu dụng biên giảm dần được mô tả bằng công thức ∂2f 2 0 i = 1, n ∂xi ≤ ∀ 32
33. Ứng dụng trong kinh tế Hệ số co dãn Gọi y là đại lượng kinh tế phụ thuộc vào các biến kinh tế khác x1, x2, , xn biểu diễn qua hàm số y = f(x1, x2, , xn). Khi đó, độ co dãn của y theo biến xj được định nghĩa là: ∂y xj Exj y = . ∂xj y α 1 α Ví dụ: Cho hàm sản xuất Cobb - Douglas Q = AK L − với A > 0, 0 < α < 1. ! α 1 α dQ K α 1 1 α K αAK L − EK = . = αAK − L − . = = α dK Q Q Q ! α 1 α dQ L α α L (1 α)AK L − EL = . = (1 α)AK L− . = − = 1 α dL Q − Q Q − 33
34. Ứng dụng trong kinh tế Tối ưu trong kinh tế (Lập kế hoạch sản xuất trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo) Giả sử doanh nghiệp sản xuất n mặt hàng trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo (tức là nhà sản xuất phải bán hết sản phẩm với giá thị trường quyết định) với các mức giá P1, P2, , Pn. Hàm chi phí C = C(Q1, Q2, , Qn) với Qi là mức sản lượng của sản phẩm thứ i mà doanh nghiệp sản xuất. Tìm mức sản lượng để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa. Ví dụ: Doanh nghiệp sản xuất 2 mặt hàng trong điều kiện cạnh tranh hoàn 2 2 hảo với giá P1 = 60, P2 = 75. Hàm chi phí C = Q1 + Q1Q2 + Q2. Tìm mức sản lượng (Q1, Q2) để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa. 34
35. Ứng dụng trong kinh tế Tối ưu trong kinh tế (Lập kế hoạch sản xuất trong điều kiện sản xuất độc quyền) Giả sử doanh nghiệp độc quyền sản xuất n loại sản phẩm (giá cả do nhà sản xuất quyết định). Biết hàm cầu của n loại sản phẩm này là QDi = Di(P1, P2, , Pn). Hàm tổng chi phí là C = C(Q1, Q2, , Qn). Tìm mức sản lượng để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa. Ví dụ: Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm. Biết hàm cầu của hai loại sản phẩm này và hàm tổng chi phí như sau: QD = 40 2P1 + P2; QD = 15 + P1 P2 1 − 2 − 2 2 C = Q1 + Q1Q2 + Q2 Tìm mức sản lượng (Q1, Q2) để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa. 35
36. Ứng dụng trong kinh tế Tối ưu trong kinh tế (Lập kế hoạch phân phối cho nhiều thị trường tiêu thụ tách biệt) Giả sử doanh nghiệp độc quyền sản xuất 1 loại sản phẩm và phân phối trên n thị trường tách biệt. Biết hàm cầu trên n thị trường là QDi = Di(Pi). Hàm tổng chi phí là C = C(Q) với Q = Q1 + Q2 + + Qn. Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa Ví dụ: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền 1 loại sản phẩm và kinh doanh trên 2 thị trường tách biệt với hàm cầu: QD = 840 2P1; QD = 12301 3P2 1 − 2 − 2 Hàm chi phí C = 20 + 150Q + Q với Q = Q1 + Q2. Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. 36
37. Ứng dụng trong kinh tế Tối ưu trong kinh tế (Bài toán tối ưu của người tiêu dùng) Giả sử một người tiêu dùng định dùng số tiền là I để mua n loại sản phẩm. Biết rằng giá của các loại sản phẩm này là P1, P2, , Pn. Hàm hữu dụng cho n loại sảm phẩm này là u = u(x1, x2, , xn) trong đó xi là số lượng của loại sản phẩm thứ i mà người đó mua. Hãy xác định số lượng phải mua sao cho giá trị sử dụng lớn nhât. ∂u ∂u ∂u ∂x1 ∂x2 ∂xn λ = = = = P1 P2 Pn Để đạt giá trị sử dụng cực đại, người tiêu dùng phải mua sắm sao cho tỉ số giữa hữu dụng biên theo các loại hàng hóa với giá của chúng bằng nhau. Ví dụ. Một người dùng số tiền 400 (ngàn đồng) để mua 2 loại hàng hóa với giá P1 = 500 (ngàn đồng) và P2 = 400 (ngàn đồng). Tìm số lượng 2 loại hàng trên người đó sẽ mua để có giá trị sử dụng lớn nhất. Biết hàm hữu dụng của 2 mặt hàng trên là U(x, y) = (x + 4)(y + 15) với x là số lượng của mặt hàng thứ nhất, y là số lượng của mặt hàng thứ hai. 37