Bài giảng Toán cao cấp - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính - Ngô Quang Minh

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính - Ngô Quang Minh

1. 10/13/2012 Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính §3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH aa111 n 3.1. Định nghĩa Đặt: Aa , ij mn Hệ gồm ẩn và phương trình: n xi (in 1, ,) m aam1 mn T T a11x1 a12x2 a11nnxb và B bb1 m X xx1 n a21x1 a22x2 a22nnxb ()I lần lượt là ma trận hệ số, ma trận cột hệ số tự do và ma trận cột ẩn. ax ax axb m11m22 mnnm Khi đó, hệ ()I trở thành AXB . T trong đó, các hệ số , • Bộ số hoặc aij ¡ (i 1, ,n;jm1, ,) ; ; 1 n 1 n được gọi là hệ phương trình tuyến tính. được gọi là nghiệm của ()I nếu AB . Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 1. Cho hệ phương trình: 3.2. Định lý Crocneker – Capelli x x 2xx 44 Cho hệ phương trình tuyến tính AXB . Gọi ma trận 1234 aa ab 2x1 xx23 43 111211n 2xx 75. mở rộng là A AB . 23 Hệ phương trình được viết lại dưới dạng ma trận: am12am abmnm Định lý x 1 Hệ có nghiệm khi và chỉ khi 1 1244 AXB r(A) rA(). x2 Trong trường hợp hệ có nghiệm thì: 21403 AXB x3 § Nếu kết luận hệ có nghiệm duy nhất; 02 705 r(An): x4 § Nếu r(An): kết luận hệ có vô số nghiệm và là 1 nghiệm của hệ. (1; 1;1;1) phụ thuộc vào nr tham số. Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 3.3. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 21 1 112 a) Phương pháp ma trận (tham khảo) Giải. 1 1 . AA 013 323 Cho hệ phương trình tuyến tính , với là 2 AXB A 211 101 ma trận vuông cấp khả nghịch. n 1 Ta có: Hệ phương trình XAB 1 xx 1 12 13 AX B XAB. 1 . VD 4. Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng yy 32 3 36 2 phương pháp ma trận: zz 101 11 21x yz x 3, yz 33 Vậy hệ đã cho có nghiệm y 6, 2x yz 1. z 1. 1
2. 10/13/2012 Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính b) Phương pháp định thức (hệ Cramer) • Bước 2. Kết luận: § Nếu thì hệ có nghiệm duy nhất: Cho hệ AXB , với A là ma trận vuông cấp n . 0 • Bước 1. Tính các định thức: j xj , jn1,. a11 aa11jn , detA § Nếu thì hệ có vô số nghiệm j 0, jn1, an1 aanj nn (ta thay tham số vào hệ và tính trực tiếp). aa b 1111n § Nếu và thì hệ vô nghiệm. 0  j 0,jn1, j ,j1, n an1 bn ann (thay cột thứ j trong bởi cột tự do). Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 5. Giải hệ phương trình sau bằng định thức: 211 21 1 21x yz , . 2 03 324 3 0143 yz 33 2 1 1 2 1 1 2x yz 1. Giải. Ta có: Vậy x 1 3,yz 23 6, 1. 211 111 , , 0134 1 313 12 211 111 Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính • Hệ hệ có vô số nghiệm. (m 1)2x ym m 2: xy 0 VD 6. Hệ phương trình x (my 1)0 có nghiệm khi và chỉ khi: xy 2 • m 0: Hệ hệ vô nghiệm. A. m 2; B. mm 20 ; xy 0 C. m 0; D. m 2. Vậy với m 0 thì hệ có nghiệm C . m 11 Giải. Ta có: mm(2) 11m 0 mm 20 . 2
3. 10/13/2012 Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính c) Phương pháp ma trận bậc thang VD 7. Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss: (phương pháp Gauss) 21x yz Xét hệ phương trình tuyến tính AXB . yz 33 • Bước 1. Đưa ma trận mở rộng về dạng bậc AB Giải. Ta có: 2x yz 1. thang bởi PBĐSC trên dòng. 21 11 21 11 d dd • Bước 2. Giải ngược từ dòng cuối cùng lên trên. 331 AB 0133  0133. Chú ý. Trong quá trình thực hiện bước 1, nếu: 0022 2111 § có 2 dòng tỉ lệ thì xóa đi 1 dòng; 2x y zx 13 § có dòng nào bằng 0 thì xóa dòng đó; Hệ y 3zy 36 . § có 1 dòng dạng thì hệ vô nghiệm. 0 0bb,0 2zz 21 Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 8. Giải hệ phương trình tuyến tính: 5 2533 d2 54dd21 5x1 2x2 5xx34 33 d 52dd 013 527 331 4x x 3xx 21 1234 039 15611 2x 7xx =1. 123 5 2533 d3 dd323 5 2533  013 527 . Giải. Ta có: AB 41321 0000 10 27 101 Vậy hệ phương trình vô nghiệm. Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính x 4yz 51 145 1 1451 VD 9. Tìm nghiệm của hệ . 2x 7yz 112 Giải. Ta có: 27 112 0 1214 . 3x 11yz 61 311 61 0 1214 A. ; B. Hệ có vô số nghiệm; x 1579 x 4yz 51 Hệ yD 4 21 . yz 214 z ¡ 3
4. 10/13/2012 Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 11. Giá trị của tham số m để hệ phương trình 3x yz 23 VD 10. Tìm nghiệm của hệ . 2x yz 27 x 2y (7 mz)2 tuyến tính 2x 4yz 51 3 123 3123 Giải. Ta có: . 3x 63y mz 21 27 051015 có vô số nghiệm là: A. ; B. ; C. ; D. . m 1 m 1 m 7 m 7 x 2 3x yz 23 Giải. Ta có: Hệ yB 32 . yz 23 1272 m 1227 m z ¡ cc 34 AB 2451  2415 363 m 363m Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 1227 mm 1227 00 32mm 19 00 3219 . 00 34mm 21 00022 Hệ có vô số nghiệm r(A) r(Am) 31 . 4