Bài giảng Toán cao cấp C2 (Đại học) - Chương 1: Ma trận – Định thức - Nguyễn Phú Vinh

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp C2 (Đại học) - Chương 1: Ma trận – Định thức - Nguyễn Phú Vinh

1. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com TO ÁN CAO C P C2 Đ I H C 3. Nguy ễn Vi ết Đông – Toán cao c ấp A2 – NXB Giáo d ục. (ĐI S TUY N T ÍNH) 4. Lê S ĩ Đồ ng – Toán cao c ấp Đạ i s ố Tuy ến tính PHÂN PH I CH ƯƠ NG TRÌNH – NXB Giáo d ục. 5. Bùi Xuân H ải – Đạ i s ố tuy ến tính S ti t: 45 – ĐHKHTN TP. HCM. Ch ươ ng 1. Ma tr ận – Đị nh th ức Ch ươ ng 2. Hệ phươ ng trình tuy ến tính 6. Alpha C. Chang, Kevin Wainwright Ch ươ ng 3. Không gian vector – Fundamental methods of Mathematical Economics – Ch ươ ng 4. Ánh x ạ tuyến tính Third. Edi. Mc.Graw-hill, Int. Edi. 1984 . Ch ươ ng 5. Dạng song tuy ến tính – D ạng toàn ph ươ ng 7. Khoa Toán Th ống kê – Giáo trình Đạ i s ố tuy ến tính Tài li ệu tham kh ảo – ĐH Kinh t ế TP.HCM. 1. Nguy ễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao c ấp A2 Biên so n: ThS . Đoàn Vươ ng Nguyên – ĐH Công nghi ệp TP. HCM. Download Slide bài gi ng To án C 2 ĐH ti 2. Đỗ Công Khanh – Toán cao c ấp A2 dvntailieu.wordpress.com – NXB ĐHQG TP. HCM.
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c §1. Ma tr ận a a a   11 12 1 n    §2. Đị nh th ức a a a   21 22 2 n  A =  .   §1. MA TR ẬN   ( Matrix ) a a a   m1 m 2 mn  1.1. Các định ngh ĩa • Các s ố aij đượ c g ọi là các ph ần t ử của A ở dòng th ứ i a) Đị nh ngh ĩa ma tr ận và c ột th ứ j . • Ma tr ận A c ấp m× n trên ℝ là 1 h ệ th ống g ồm • C ặp s ố (m , n ) đượ c g ọi là kích th ướ c c ủa A. m× n s ố a ∈ ℝ (i= 1, mj ; = 1, n ) và đượ c s ắp ij • Khi m = 1, ta g ọi: thành bảng gồm m dòng và n c ột: Aaa= (11 12 a 1 n ) là ma tr ận dòng.
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c a  • Ma tr ận vuông  11    • Khi n = 1, ta g ọi A =   là ma tr ận c ột.  Khi m= n , ta g ọi A là ma tr ận vuông c ấp n .   a  Ký hi ệu là A= ( a ) .  m1   ij n • Khi m= n = 1, ta g ọi:  Đườ ng chéo ch ứa các ph ần A= ( a ) là ma tr ận g ồm 1 ph ần t ử. 11 tử a a a đượ c g ọi   11, 22 , , nn 1 2 3 4   là đườ ng chéo chính c ủa 56 7 8  • Ma tr ận O = (0ij ) m× n có t ất c ả các ph ần t ử đề u b ằng 0   A= ( a ) ,   đượ c g ọi là ma tr ận không . ij n 76 5 4  đườ ng chéo còn l ại đượ c g ọi     • T ập h ợp các ma tr ận A trên ℝ đượ c ký hi ệu là là đườ ng chéo ph ụ. 3 2 1 0 =   M m, n (ℝ ) , để cho g ọn ta vi ết là A( a ij ) m× n . Toán cao c p C2 Đi h c 1
2. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c • Các ma tr ận vuông đặ c bi ệt  Ma tr ận ma tr ận vuông cấp n có tất c ả các ph ần t ử  Ma tr ận vuông có t ất c ả các nằm phía dướ i ( trên ) đườ ng chéo chính đề u bằng ph ần t ử n ằm ngoài đườ ng −1 0 0  0 đượ c g ọi là ma tr ận tam giác trên ( dướ i).   chéo chính đề u bằng 0 đượ c        0 5 0  1 0− 2   3 0 0  gọi là ma tr ận chéo (diagonal           B   matrix ).  0 0 0  A =0 − 1 1  =  4 1 0        0 0 0  −1 5 2  Ký hi ệu: diaga(11 , a 22 , , a nn ) .       Ma tr ận chéo c ấp n g ồm t ất c ả    Ma tr ận vuông cấp n có tất c ả   1 0 0  các cặp ph ần t ử đố i xứng  3 4 −1 các ph ần t ử trên đườ ng chéo     chính đề u bằng 1 đượ c g ọi là I = 0 1 0  nhau qua đườ ng chéo chính   3    4 1 0      ma tr ận đơ n v ị c ấp n (Identity   bằng nhau ( aij= a ji ) đượ c   0 0 1   −1 0 2  matrix ). Ký hi ệu là: In . gọi là ma tr ận đố i x ứng .  
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c b) Ma tr ận b ằng nhau 1.2. Các phép toán trên ma tr ận a) Phép c ộng và tr ừ hai ma tr ận Hai ma tr ận A= ( a ) và B= ( b ) đượ c g ọi là bằng ij ij Cho hai ma tr ận A= ( a ) và B= ( b ) , ta có: nhau , ký hi ệu A= B , khi và chỉ khi chúng cùng ij m× n ij m× n AB± =( aij ± b ij ) m× n . kích th ướ c và aij= b ij , ∀ ij , .     −102 202  104  1 x y  1 0− 1  VD 2. +   =   ;          VD 1. Cho A =   và B =  . 23− 4   5 − 31   70 − 3  z2 t   2u 3       −102 202  − 300  Ta có: −   =   .      ABx=⇔=0; y =− 1; z = 2; u = 2; t = 3 . 234−   531 −   −− 365  Nh ận xét Phép c ộng ma tr ận có tính giao hoán và k ết h ợp.
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c b) Phép nhân vô h ướ ng c) Phép nhân hai ma tr ận ℝ Cho ma tr ận A= ( a ij ) m× n và λ ∈ , ta có: Cho hai ma tr ận A= ( a ij ) m× n và B= ( b jk ) n× p , ta có: λA= ( λ a ij ) m× n . AB= ( c ik ) m× p . −110  3 − 30  n    Trong đó, c= abi = 1, mk ; = 1, p . VD 3. −3 =   ; ik∑ ij jk ( ) −20 − 4   6 0 12  j=1 −1  264  132         = 2   . VD 4. Th ực hi ện phép nhân 1 2 3 2 . −408  − 204  ( )       Chú ý −5  • Phép nhân vô h ướ ng có tính phân ph ối đố i v ới phép 1− 1 0  c ộng ma tr ận.   VD 5. Th ực hi ện phép nhân (1 2 ) . • Ma tr ận −1. A = − A đượ c g ọi là ma tr ận đố i c ủa A. −1 0 3  Toán cao c p C2 Đi h c 2
3. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c        2 0  1 0− 1  −1 − 2 1  1 1− 1           A   B   VD 6. Tính   1− 1 . VD 7. Cho =2 − 2 0  và = 0 − 3 1 . −2 0 3           3 0− 3   2− 1 0  −1 3         Tính ch ất Th ực hi ện phép tính: a) AB ; b) BA . Cho các ma tr ận ABC,,∈ M ()ℝ và s ố λ ∈ ℝ. m, n VD 8. Th ực hi ện phép nhân: Gi ả thi ết các phép nhân đề u th ực hi ện đượ c, t a có:     1− 120  1 32   − 12   − 1 1) ()ABC= ABC () ;       A =−−−2 301  2110   − 21   . 2) AB(+ C ) = AB + AC ;             3) (A+ BC ) = AC + BC ; −1142   −− 1 331   0   − 2 4) λ()()AB= λ AB = AB () λ ; Chú ý 5) AIn= A = IA m . • Phép nhân ma tr ận không có tính giao hoán.
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c  Lũy th ừa ma tr ận Tính ch ất Cho ma tr ận vuông A∈ M (ℝ ) . k k ℕ n 1) (0n )= 0 n ; (In )= I n , ∀ k ∈ • L ũy th ừa ma tr ận A đượ c đị nh ngh ĩa theo quy n ạp: km+ k m k k 2) A= AA., ∀∈ AM (),,ℝ ∀∈ km ℕ A0 = I ; A0 = A ; A+1 = AAk. , ∀ ∈ ℕ. n n km k m k 3) A=(), A ∀∈ AM (),ℝ ∀∈ km , ℕ . • Nếu ∃k ∈ ℕ \ {0; 1} sao cho A = (0 ) thì A đượ c n ij n Chú ý gọi là ma tr ận l ũy linh . 1) Nếu A= diaga( , a , , a ) ∈ M ()ℝ thì: Số k∈ℕ, k ≥ 2 bé nh ất sao cho Ak = (0 ) đượ c 11 22 nn n ij n Ak= diaga( kk , a , , a k ) . gọi là cấp c ủa ma tr ận l ũy linh A. 11 22 nn 2) Nếu A, B∈ M (ℝ ) th ỏa AB= BA (giao hoán) thì 0 1 0  n =   các h ằng đẳ ng th ức quen thu ộc c ũng đúng v ới A, B . VD 9. Ma tr ận A 0 0 1  là l ũy linh c ấp 3.   Khi AB≠ BA thì các h ằng đẳ ng th ức đó không còn 0 0 0  đúng n ữa.
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c 1− 1    3 2   cosα− sin α  VD 10. Cho fx()= 2 x − 4 x và A =  . VD 13. Cho ma tr ận A α  . 0 1  ( ) =      sinα cos α   Tính f( A ) + I 2.   n   Hãy tìm ma tr ận A(α )  , ∀ n ∈ ℕ ? 2 0  2011   VD 11. Cho A =  , giá tr ị c ủa (I− A ) là:   2 1 0   VD 14. Cho A= ( a ij ) là ma tr ận vuông c ấp 40 có các         −1 − 1  −1 1  0− 1  −1 0  a i+ j a A2         ph ần t ử ij =( − 1) . Phần t ử 25 c ủa là: A.  ; B.  ; C.  ; D.  .  0 1   −1 0   −1 1   −1 1   A. a25 = 0; B. a25 = − 40 ; C. a25 = 40 ; D. a25 = − 1. VD 12. Tìm ma tr ận D= ( ABC ) 5 , trong đó:      VD 15. Cho A= ( a ) là ma tr ận vuông c ấp 10 0 có −21 30  01  ij      i j 2 A=, B =   , C =   . các ph ần t ử a =( − 1) .3 . Phần t ử a c ủa A là: 10   81−   12  ij 34 Toán cao c p C2 Đi h c 3
4. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c 35 35 Tính ch ất A. a =(1 − 3100 ) ; B. a =(3100 − 1) ; 34 4 34 4 1) (AB+ ) T = A T + B T ; 2) (λA )T= λ . A T ; 5 5 T T 3 100 3 100 3) (A ) = A ; C. a34 =(3 − 1) ; D. a34 =(1 − 3 ) . 2 2 4) (AB ) T= BA T T ; d) Phép chuy ển v ị (Transposed matrix ) 5) AT = A ⇔ A là ma tr ận đố i x ứng . Cho ma tr ận A= ( a ) . ij m× n   T 1− 1  Khi đó, A= ( a ) đượ c g ọi là ma tr ận chuy ển v ị     ji n× m    0 1− 2  VD 17. A= 0 2 , B =  . của A (ngh ĩa là chuy ển t ất c ả các dòng thành c ột).   −1 0 − 3        1 4  −3 − 2   1 2 3      T   T VD 16. Cho A =   ⇒A = 2 5 . a) Tính (AB ) . 4 5 6        T T T 3 6   b) Tính B A và so sánh k ết qu ả v ới (AB ) .
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c 1.3. Phép bi ến đổ i s ơ c ấp trên dòng c ủa ma tr ận VD 18. Dùng PB ĐSC trên dòng để đư a ma tr ận (Gauss – Jordan ) 2 1− 1  1− 2 3      Cho ma tr ận A= ( a ) (m ≥ 2) . Các phép bi ến đổ i     ij m× n A =1 − 2 3  v ề B =0 1 − 7/5 .     sơ c ấp (PB ĐSC) dòng e trên A là: 3− 1 2  0 0 0  d↔ d      1) e Hoán v ị hai dòng cho nhau Ai k A ′. (1 ) :  → Gi ải. Ta có: d→λ d     i i ′′ 1− 2 3  1− 2 3  2) (e2 ) : Nhân 1 dòng v ới s ố λ ≠ 0, A→ A .   d↔ d   d→ d − 2 d   1 2   2 2 1   A →2 1 − 1 →d→ d − 3 d 0 5 − 7  3) (e ) : Thay 1 dòng b ởi t ổng c ủa dòng đó v ới λ lần  3 3 1  3     d→ d + λ d 3− 1 2    dòng khác, A→i i k A ′′′ .    0 5− 7    Chú ý 1− 2 3  d→ d + λ d   i i k d→ d − d   1) Trong th ực hành ta th ườ ng làm A→ B . 3 3 2   →1 0 1 − 7/5 = B . d→ d   2) Tươ ng t ự, ta c ũng có các phép bi ến đổ i s ơ c ấp trên 2 2  5   c ột c ủa ma tr ận. 0 0 0 
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c 1.4. Ma tr ận b ậc thang VD 19. Các ma tr ận b ậc thang: 1 0 0  • Một dòng c ủa ma tr ận có t ất c ả các ph ần t ử đề u b ằng       1 0 2  0 1 2 3    0 đượ c g ọi là dòng b ằng 0 (hay dòng không ).     0 1 0      I   0 0 3, 0 0 4 5, n =  .       • Ph ần t ử khác 0 đầ u tiên tính t ừ trái sang c ủa 1 dòng       0 0 0   0 0 0 1     trong ma tr ận đượ c g ọi là ph ần t ử cơ s ở c ủa dòng đó. 0 0 1   • Ma tr ận b ậc thang là ma tr ận khác không c ấp m× n Các ma tr ận không ph ải là b ậc thang: (m , n ≥ 2) th ỏa hai điều ki ện:       0 0 0  0 2 7  1 3 5  1) Các dòng b ằng 0 (nếu có) ở phía dướ i các dòng       3 1 4 , 0 3 4 , 0 0 4 . khác 0;             2) Ph ần t ử c ơ s ở c ủa 1 dòng b ất k ỳ n ằm bên ph ải 0 0 5  0 0 5   2 1 3   ph ần t ử c ơ s ở c ủa dòng ở phía trên dòng đó. Toán cao c p C2 Đi h c 4
5. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c  Ma tr ận b ậc thang rút g ọn 1.5. Ma tr ận kh ả ngh ịch Ma tr ận b ậc thang rút g ọn là ma tr ận bậc thang có a) Đị nh ngh ĩa ℝ ph ần t ử c ơ s ở c ủa m ột dòng b ất k ỳ đề u b ằng 1 và là • Ma tr ận A∈ M n ( ) đượ c g ọi là kh ả ngh ịch n ếu t ồn ph ần t ử khác 0 duy nh ất của c ột ch ứa ph ần t ử đó. ℝ tại ma tr ận B∈ M n ( ) sao cho:     AB BA I 1 3 0 0  0 1 0 3  = = n .     VD 20. I , A = 0 0 1 0 , B = 0 0 1 2  n     • Ma tr ận B đượ c g ọi là ma tr ận ngh ịch đả o của A.     −1 0 0 0 1   0 0 0 0   Ký hi ệu B= A . Khi đó: −1 − 1 −− 11 là các ma tr ận b ậc thang rút g ọn. AAAA= = IAn ;( ) = A .   Chú ý 1 2 3  Ma tr ận C =   không là b ậc thang rút g ọn. N ếu B là ma tr ận ngh ịch đả o c ủa A thì B là duy nh ất   0 0 1   và A cũng là ma tr ận ngh ịch đả o c ủa B .
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c     2 5   3− 5  Chú ý VD 21. A =   và B =   là hai ma tr ận 1) N ếu ma tr ận A có 1 dòng (hay cột) b ằng 0 thì 1 3  −1 2      không kh ả ngh ịch. ngh ịch đả o của nhau vì AB= BA = I 2 . 2) I−1 = I ; (AB ) −1= BA − 1 − 1 .   0 0 1    VD 22. Cho bi ết ma tr ận A = 0 1 0  th ỏa: 3) N ếu ac− bd ≠ 0 thì:     −1 1 0 0       ab1  cb−  = .   . A3− A 2 − AI + = O . Tìm A−1 ? dc  dd  3 3 ac− bd  − 
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c b) Tìm ma tr ận ngh ịch đả o b ằng phép bi ến đổ i     2 5  2 1  sơ c ấp trên dòng (tham kh ảo) VD 23. Cho A =   và B =  . 1 3  3 2  −1     Cho A∈ M n (ℝ ) kh ả ngh ịch, ta tìm A nh ư sau: −1 −1 − 1 Bướ c 1. L ập ma tr ận A I (ma tr ận chia kh ối) b ằng Th ực hi ện phép tính: a) (AB ) ; b) B A . ( n ) cách ghép ma tr ận In vào bên ph ải của A. Bướ c 2. Dùng phép bi ến đổ i s ơ c ấp trên dòng để đư a A I v ề d ạng I B . ( n ) ( n ) 1− 101  53−   − 41  −1      Khi đó: A= B .   VD 24. Cho hai ma tr ận A=, B =   . 0− 110  32−   − 23  VD 25. Tìm ngh ịch đả o của A =  . 0 0 11  Tìm m a tr ận X th ỏa AX B .   =   0 0 01  Toán cao c p C2 Đi h c 5
6. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c   1− 1011000  §2. ĐỊ NH TH ỨC     2.1. Đị nh ngh ĩa 0− 1100100  Gi ải. Ta có: A I =   a) Ma tr ận con c ấp k ( 4 ) 0 0 110010      ℝ 0 0 010001  Cho A= aij ∈ M n ( ) .   ( )n   • Ma tr ận vuông c ấp k đượ c lập t ừ các ph ần t ử n ằm 10001− 11 − 2    trên giao c ủa k dòng và k c ột c ủa A đượ c g ọi là ma   d→ d − d 01000− 11 − 1  tr ận con c ấp k c ủa A. 3 → 3 4  . d2→ d 3 − d 2  d d d d 00100 0 1− 1  1→ 1 + 2 − 4   • Ma tr ận M có cấp n thu đượ c t ừ A b ằng cách   ij −1   00010 0 0 1  bỏ đi dòng th ứ i và c ột th ứ j đượ c g ọi là ma tr ận con −1 của A ứng v ới ph ần t ử a . I 4 A ij
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c   b) Đị nh th ức (Determinant ) 1 2 3    Đị nh th ức c ủa ma tr ận vuông A∈ M (ℝ ) , ký hi ệu VD 1. Ma tr ận A = 4 5 6  có các ma tr ận con ứng n     det A hay A , là 1 s ố th ực đượ c đị nh ngh ĩa:  7 8 9  với các ph ần t ử a là: ij  Nếu A= ( a ) thì det A= a .       11 11 5 6  4 6  4 5  a a  M =  , M =  , M =  ,  11 12  11   12   13    Nếu A =   thì det A= aa − aa . 8 9   7 9   7 8   a a  11 22 12 21  21 22         2 3  1 3  1 2   Nếu A= ( a ) (cấp n ≥ 3) thì: M =  , M =  , M =  , ij n 21 8 9  22 7 9  23 7 8  AaA aA aA       det=1111 + 1212 ++ 1n 1 n       trong đó, A=( − 1)i+ j det M và s ố th ực A đượ c 2 3  1 3  1 2  ij ij ij M =  , M =  , M =  . 31   32   33   gọi là ph ần bù đạ i s ố c ủa ph ần t ử a . 5 6  4 6  4 5  ij
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c Chú ý VD 2 . Tính đị nh th ức c ủa các ma tr ận sau: 1) detI= 1, det O = 0 .   n n 1 2− 1  3− 2    a a a     11 12 13 A =  , B =3 − 2 1 . 1 4    2) Tính a a a .     21 22 23 2 1 1  a31 a 32 a 33 a a aa a a a a VD 3 . Tính đị nh th ức c ủa ma tr ận: 11 12 13 11 12 11 12 13   ho c 003− 1  a a aa a a a a   21 22 23 21 22 21 22 23 412− 1  a a aa a a a a   31 32 33 31 32 31 32 33 A =  . 3 1 0 2  (T ổng c ủa tích các ph ần t ử trên đườ ng chéo nét li ền tr ừ   2 3 3 5  đi t ổng c ủa tích các ph ần t ử trên đườ ng chéo nét đứ t).   Toán cao c p C2 Đi h c 6
7. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c 2.2. Các tính ch ất c ơ b ản c ủa đị nh th ức b) Tính ch ất 2 Nếu hoán v ị hai dòng (ho ặc hai cột) cho nhau thì Cho ma tr ận vuông A= a ∈ M (ℝ ) , ta có các ( ij)n n đị nh th ức đổ i d ấu. tính ch ất c ơ b ản sau: 1 3 2 −1 1 1 1− 1 1 a) Tính ch ất 1 VD 5. 2− 2 1 = −2 − 2 1 = − 2 2 1. det(AT ) = det A . −1 1 1 1 3 2 3 1 2 Hệ qu ả. Nếu định th ức có ít nh ất 2 dòng (ho ặc 2 cột) 1 32 12− 1 gi ống nhau thì b ằng 0. 2 3 VD 4. 2− 21 = 3 − 21 =− 12 . 3 3 1 x x x 2 5 −111 21 1 VD 6. 2 2 1 = 0; 1 y y = 0. 1 1 7 1 y2 y 5
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c c) Tính ch ất 3 Hệ qu ả Nếu nhân 1 dòng (ho ặc 1 cột) v ới s ố th ực λ thì 1) Nếu định th ức có ít nh ất 1 dòng (ho ặc 1 cột) đị nh th ức t ăng lên λ l ần. bằng 0 thì b ằng 0. 3.1 0 3.(1)− 1 0 − 1 2) Nếu định th ức có 2 dòng (ho ặc 2 cột) t ỉ l ệ v ới VD 7. 21− 2 = 321 − 2 ; nhau thì b ằng 0. 31 7 317 x 0 1 6− 6 − 9 x+ 1 xx3 1 xx 3 VD 8. x2 0 y = 0 ; 2 2− 30 = . x+1 yy3 = ( x + 1) 1 yy 3 . x30 y 2 −8 − 3 12 x+ 1 zz3 1 zz 3
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c d) Tính ch ất 4 e) Tính ch ất 5 Nếu đị nh th ức có 1 dòng (ho ặc 1 cột) mà m ỗi ph ần Đị nh th ức s ẽ không đổ i nếu ta c ộng vào 1 dòng tử là t ổng c ủa 2 s ố h ạng thì ta có th ể tách thành t ổng (ho ặc 1 cột) v ới λ l ần dòng (ho ặc cột) khác. 2 đị nh th ức. VD 10 . Sử d ụng tính ch ất 5 để đư a đị nh th ức sau v ề VD 9. xxx +1 − 1 110 − xxx 1 2 3 x y y3= xyy 3 + xyy 3 ; dạng b ậc thang: =−1 2 − 1 . 1zz3 1 zz 3 1 zz 3 2 3 4 2 2 cosx 2 3 sin x 2 3 1 2 3 x 2 2 sin2x 56+ cos 2 x 56 = 156. VD 11. Sử d ụng tính ch ất 5 để tính = 2x 2 . sin2x 89 cos 2 x 89 1 8 9 2 2 x Toán cao c p C2 Đi h c 7
8. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c 2.3. Đị nh lý (khai tri ển Laplace ) 1 0 0 2 ℝ Cho ma tr ận vuông A=( aij) ∈ M n ( ) , ta có các 2 0 1 2 n VD 12. Tính đị nh th ức b ằng hai cách khai tri ển Laplace c ủa đị nh th ức A: 1 3 2 3 a) Khai tri ển theo dòng thứ i 3 0 2 1 n AaA aA aA aA khai tri ển theo dòng 1 và khai tri ển theo cột 2. det=ii11 + ii 22 ++ inin = ∑ ijij . j=1 VD 1 3. Áp d ụng tính ch ất và đị nh lý Laplace, hãy tính Trong đó, Ai+ j M . ij=( − 1) det( ij ) 1 1 1 2 b) Khai tri ển theo c ột th ứ j 2− 1 1 3 đị nh th ức . n 1 2− 12 detAaA= + aA ++ aA = aA . 11jj 22 jj njnj∑ ijij i=1 3 3 2 1
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c Các k ết qu ả đặ c bi ệt c ần nh ớ 1) Dạng tam giác VD 1 4 . Tính đị nh th ứ c: VD 1 5. Tính đị nh th ức: aa11 12 a 1n a 11 0 0 1 2 3 4 0 0 3 4 0a a aa 0 22 2n 21 22 a a a 0− 2 7 19 3− 2 7 19 = = 11 22 nn . det A = . det B = . 0 0 3 0 1 2 3 7 0 0 a aa a nn n1 n 2 nn 0 0 0− 1 0 0 8− 1 2) Dạng tích: det(AB )= det A .det B . 3) D ạng chia kh ối 11− 1214      A⋮ B    VD 16. Tính detC =  20 3  213  . A C , v ới ABC M ℝ .    = det .det ,,∈ n ()   12− 3121    On ⋮ C
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c     T 2.4. Ứng d ụng đị nh th ức tìm ma tr ận ngh ịch đả o 11− 1214    − 314       a) Đị nh lý VD 1 7. Tính detD =  20 32130    12.       Ma tr ận vuông A kh ả ngh ịch khi và ch ỉ khi:      12− 3121     1 21  detA ≠ 0. x 1 0 0 VD 1 9. Giá tr ị c ủa tham s ố m để ma tr ận T   m1  m 0  m −1 0  1x 0 0 A      VD 18. Ph ươ ng trình = 0 có nghi ệm =     2  2x x − 2 0m   1 m − 1   1 m   3 8 2 x kh ả ngh ịch là:    x = ± 1 m = 0 m ≠ 0 là: A. x = ± 1; B. x = 1; C. x = − 1; D.  . A.  ; B.  ; C. m ≠ 0; D. m ≠ 1. x = ± 2 m = 1 m ≠ 1    Toán cao c p C2 Đi h c 8
9. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c b) Thu ật toán tìm A–1 VD 20 . Tìm ma trận ngh ịch đả o (nếu có) c ủa:   • Bướ c 1. Tính det A. N ếu detA = 0 thì k ết lu ận A 1 2 1    không kh ả ngh ịch. Ngượ c l ại, ta làm ti ếp b ướ c 2. A = 1 1 2 .     • Bướ c 2. L ập ma tr ận A, A= ( − 1)i+ j det M . 3 5 4   ( ij)n ij ij Suy ra ma tr ận ph ụ h ợp (adjunct matrix ) c ủa A là: T adjA A    = ( ij )  . 1 2 1  n      −1 VD 21. Cho ma tr ận A = 0 1 1 . Tìm A . • Bướ c 3. Ma tr ận ngh ịch đả o c ủa A là:   1 2 3  1   A−1 = . adjA . det A Gi ải. Ta có: detA= 2 ≠ 0 ⇒ A kh ả ngh ịch.
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c 11 01 01 2.5. H ạng c ủa ma tr ận A11= =1, A 12 =− = 1, A 13 = =− 1, 23 13 12 a) Đị nh th ức con c ấp k Cho ma tr ận A= a . Đị nh th ức c ủa ma tr ận con 21 11 12 ( ij )m× n A=− =−4, A = = 2, A =− = 0, 2123 22 13 23 12 cấp k của A đượ c g ọi là đị nh th ức con c ấp k c ủa A. Đị nh lý 21 11 12 A= =1, A =− =− 1, A = = 1. Nếu ma tr ận A có t ất c ả các đị nh th ức con c ấp k đề u 3111 32 01 33 01 bằng 0 thì các đị nh th ức con c ấp k + 1 c ũng b ằng 0.     b) H ạng c ủa ma tr ận (rank of matrix ) 1− 4 1  1− 4 1      Cấp cao nh ất c ủa đị nh th ức con khác 0 c ủa ma tr ận A   −1 1   ⇒adjA = 1 2 − 1 ⇒A = 1 2 − 1. đượ c g ọi là hạng c ủa ma tr ận A.   2       Ký hi ệu là r( A ) . −1 0 1   −1 0 1  
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
   Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c Chú ý VD 22 . Điều ki ện c ủa tham s ố m để ma tr ận • N ếu A= a khác 0 thì 1≤rA ( ) ≤ min{ mn , }. ( ij ) m −1 − 2  m× n     • N ếu A là ma tr ận không thì ta quy ướ c r( A )= 0 . A =  0 3 2  có h ạng b ằng 3 là:    0 1 1  c) Thu ật toán tìm h ạng c ủa ma tr ận   A. m ≠ 1; B. m ≠ − 1; C. m ≠ ± 1; D. m ≠ 0. • B ướ c 1. Đư a ma tr ận c ần tìm h ạng v ề b ậc thang. • B ướ c 2. Số dòng khác 0 c ủa ma tr ận b ậc thang chính VD 23 . Cho ma tr ậ n: VD 24. Tìm r( A ) . Bi ết: là h ạng c ủa ma tr ận đã cho. 1− 342   21− 13          • Đặ c bi ệt A =2 − 514 . 0− 10 0    A =  . N ếu A là ma vuông c ấp n thì:     3− 856   01 2 0  rA( )= n ⇔ det A ≠ 0.   Tìm r( A ) . 0− 11 − 4  Toán cao c p C2 Đi h c 9
10. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 1. Ma tr n – Đnh th c
    Ch ươ ng 2. H ph ươ ng tr ình tuy n tính Chú ý §1. H ệ ph ươ ng trình t ổng quát §2. H ệ ph ươ ng trình thu ần nh ất Ta có th ể hoán v ị c ột c ủa ma tr ận r ồi đư a v ề b ậc thang. m = − 2 §1. H Ệ PH ƯƠ NG TRÌNH T ỔNG QUÁT VD 2 5. Giá tr ị c ủa tham s ố m để ma tr ận A.  ;   m = 1 1.1. Đị nh ngh ĩa m + 1 1 3     B. m = 1; Hệ gồm n ẩn x (i= 1,2, , n ) và m ph ươ ng trình: A= 2 m + 2 0  có r( A )= 2 là: i   C. m = − 2; ax+ ax ++ ax = b    11 1 12 2 1n n 1  2m 1 3      m = − 1 ax ax ax b D.  .  21 1+ 22 2 ++ 2n n = 2   (I ) m = 0 VD 26. Tùy theo     −12 1 − 11   giá tr ị m , tìm   axax+ ++ ax = b  m −11 − 1 − 1   m11 m 22 mnnm hạng c ủa ma tr ận: A   =   trong đó, hệ s ố ab,∈ℝ ( i = 1, ,; nj = 1, , m ) ,  1m 011  ij j    1 22− 11  đượ c g ọi là hệ ph ươ ng trình tuy ến tính t ổng quát .
    Ch ươ ng 2. H ph ươ ng tr ình tuy n tính
    Ch ươ ng 2. H ph ươ ng tr ình tuy n tính a a  VD 1. Cho h ệ ph ươ ng trình:  11 1 n    xx−+2 x + 4 x = 4 Đặ t: A=  = a ,  12 3 4   ()ij m× n    2x+ x + 4 x =− 3 a a   1 2 3 m1 mn   T T 2x− 7 x = 5.  2 3 B= b b và X= x x  ( 1 m ) ( 1 n ) Hệ ph ươ ng trình đượ c vi ết l ại d ướ i d ạng ma tr ận: l ần l ượ t là ma tr ận h ệ s ố, ma tr ận c ột hệ s ố tự do và x   1  1124−   4  ma tr ận c ột ẩn. x     2    I AX= B 2140  =  − 3  Khi đó, h ệ ( ) tr ở thành . x     3    T 02− 70    5  • B ộ s ố α= α α ho ặc α= α; ; α x  ( 1 n ) ( 1 n ) 4  đượ c g ọi là nghi ệm c ủa (I ) n ếu Aα = B . và α =(1; − 1; − 1; 1) là 1 nghi ệm c ủa h ệ.
    Ch ươ ng 2. H ph ươ ng tr ình tuy n tính
    Ch ươ ng 2. H ph ươ ng tr ình tuy n tính 1.2. Đị nh lý Crocneker – Capelli VD 2 . Tùy theo điều ki ện tham s ố m , hãy bi ện lu ận s ố Cho h ệ ph ươ ng trình tuy ến tính AX= B . Gọi ma tr ận nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình:    aa ab  x+ my −3 z = 0  11 12 1n 1      (1−m2 ) z = m − 1. mở r ộng là A=() A B =  .    aa ab  VD 3. Điều ki ện c ủa tham s ố m để h ệ ph ươ ng trình:  m1 m 2 mn m   Đị nh lý  mx + 8 z − 7 t = m − 1 Hệ AX= B có nghi ệm khi và ch ỉ khi rA()= rA ().  3x+ my + 2 z + 4 t = m  Trong tr ườ ng h ợp hệ AX= B có nghi ệm thì:  mz+ 5 t = m 2 − 1   Nếu r( A )= n : kết lu ận hệ có nghi ệm duy nh ất;  5z− mt = 2 m + 2   Nếu r( A )< n : kết lu ận hệ có vô s ố nghi ệm có nghi ệm duy nh ất là: ph ụ thu ộc vào n− r tham s ố. A. m ≠ 0; B. m ≠ 1; C. m ≠ ± 1; D. m ≠ ± 5. Toán cao c p C2 Đi h c 10
11. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 2. H ph ươ ng tr ình tuy n tính
    Ch ươ ng 2. H ph ươ ng tr ình tuy n tính    1.3. Ph ươ ng pháp gi ải h ệ ph ươ ng trình t ổng quát 211− − 112 −     −1 1   a) Ph ươ ng pháp ma tr ận (tham kh ảo) Gi ải. A=013 ⇒= A  323 −  . 2   Cho h ệ phươ ng trình tuy ến tính AX= B , với A là 211  − 101  n    ma tr ận vuông c ấp kh ả ngh ịch. −1 Ta có: Hệ ph ươ ng trình ⇔X = A B −1 x −1121 −  x − 3 AX= B ⇔ X = AB .    1   ⇔=y3233 −   ⇔= y 6 . VD 4. Gi ải h ệ ph ươ ng trình tuy ến tính sau b ằng 2      ph ươ ng pháp ma tr ận: z −1011   − z − 1   2x+ y − z = 1 x = − 3,    y+ 3 z = 3 Vậy h ệ đã cho có nghi ệm y = 6,   2x+ y + z =− 1. z = − 1.  
    Ch ươ ng 2. H ph ươ ng tr ình tuy n tính
    Ch ươ ng 2. H ph ươ ng tr ình tuy n tính b) Ph ươ ng pháp đị nh th ức (hệ Cramer ) • Bướ c 2. K ết lu ận: Cho h ệ AX= B , với A là ma tr ận vuông c ấp n .  Nếu ≠ 0 thì h ệ có nghi ệm duy nh ất: • Bướ c 1. Tính các đị nh th ức: x=j , ∀ j = 1, n . j a11 a 1j a 1 n =detA = ,  Nếu = 0 thì ch ưa có k ết lu ận. Khi đó, ta gi ải tìm tham s ố và thay vào h ệ để gi ải tr ực ti ếp. an1 a nj a nn Chú ý  a b a (m− 7) x + 12 y − 6 zm = 111 1 n  j n Khi m = 1 thì h ệ −10xm ++ ( 19) y − 10 z = 2 m j = , = 1,  −12x + 24 ym +− ( 13) z = 0 an1 .bn a nn  có nh ưng h ệ vô nghi ệm. (thay c ột th ứ j trong b ởi c ột t ự do). =1 = 2 = 3 = 0
    Ch ươ ng 2. H ph ươ ng tr ình tuy n tính
    Ch ươ ng 2. H ph ươ ng tr ình tuy n tính VD 5. Gi ải h ệ ph ươ ng trình sau bằng đị nh th ức: 21 − 1 2 1 1  2x+ y − z = 1 2 =03 3 = 24 , 3 =0 13 = − 4 .   y+ 3 z = 3 2 −1 1 2 1 −1  2x+ y + z =− 1.  Vậy x=1 =−3, y = 2 = 6, z = 3 =− 1. Gi ải. Ta có:  (m+ 1) x += y m + 2 2 1− 1 1 1− 1 VD 6. Hệ ph ươ ng trình  x+( m + 1) y = 0 =01 3 = 4 , =3 1 3 = − 12 ,  1 có nghi ệm khi và ch ỉ khi: 2 1 1 −1 1 1 A. m = − 2; B. m≠−2 ∧ m ≠ 0 ; C. m ≠ 0; D. m ≠ − 2. Toán cao c p C2 Đi h c 11
12. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 2. H ph ươ ng tr ình tuy n tính
    Ch ươ ng 2. H ph ươ ng tr ình tuy n tính c) Ph ươ ng pháp ma tr ận b ậc thang VD 7. Gi ải h ệ sau b ằng ph ươ ng pháp Gauss: (ph ươ ng pháp Gauss )  2x+ y − z = 1 Xét h ệ ph ươ ng trình tuy ến tính AX= B .   y+ 3 z = 3  • Bướ c 1. Đư a ma tr ận m ở r ộng (A B ) v ề d ạng b ậc 2x+ y + z =− 1. Gi ải. Ta có:  thang b ởi PB ĐSC trên dòng.     2 1− 11  2 1− 11   d d d     3→ 3 − 1  • Bướ c 2. Gi ải ng ượ c t ừ dòng cu ối cùng lên trên. A B = 01 3 3  →01 3 3. ( )         Chú ý . Trong quá trình th ực hi ện b ướ c 1, n ếu: 21 1− 1   00 2− 2    có 2 dòng t ỉ l ệ thì xóa đi 1 dòng; 2xyz+−= 1  x =− 3    có dòng nào b ằng 0 thì xóa dòng đó; Hệ ⇔ y += 3 z 3 ⇔=  y 6 .    có 1 dòng d ạng 0 0b , b ≠ 0 thì hệ vô nghi ệm. 2z=− 2  z =− 1 ( )  
    Ch ươ ng 2. H ph ươ ng tr ình tuy n tính
    Ch ươ ng 2. H ph ươ ng tr ình tuy n tính  VD 8. Gi ải h ệ ph ươ ng trình tuy ến tính: 3x− y + 2 z = 3 VD 10. Tìm nghi ệm c ủa h ệ  . 5x− 2 x + 5 x − 3 x = 3 2x+ y − 2 z = 7  1 2 3 4     4xx++ 32 x − x = 1 x = 2 x = 2  12 3 4   2x+ 7 x − x = − 1. A. y =7 − 2 α; B. y =3 + 2 α  1 2 3    z =α ∈ ℝ z =α ∈ ℝ VD 9. Tìm nghi ệm c ủa h ệ  x4+y + 5 z =− 1    C. Hệ có vô s ố nghi ệm; D. H ệ vô nghi ệm. A. x=15, y =− 4, z = 0 ; 2x+ 7 y − 11 z = 2  VD 11 . Giá tr ị c ủa tham s ố m để h ệ ph ươ ng trình B. H ệ có vô s ố nghi ệm; 3x+ 11 y − 6 z = 1.  x y mz    +2 +− (7 ) = 2 A. m = ± 1; x =15 − 79 α x =15 + 79 α    2x+ 4 y − 5 z = 1 B. m = 1; C. y = −4 − 21 α; D. y = −4 − 21 α.    3x+ 6 y + mz = 3 C. m = − 7;    z =α ∈ ℝ z =α ∈ ℝ D. m .   có vô s ố nghi ệm là: = 7
    Ch ươ ng 2. H ph ươ ng tr ình tuy n tính
    Ch ươ ng 2. H ph ươ ng tr ình tuy n tính Chú ý §2. H Ệ PH ƯƠ NG TRÌNH THU ẦN NH ẤT • Khi h ệ phươ ng trình tuy ến tính có vô s ố nghi ệm, ta 2.1. Đị nh ngh ĩa gọi nghi ệm ph ụ thu ộc tham s ố là nghi ệm t ổng quát . Hệ phươ ng trình tuy ến tính thu ần nh ất là tr ườ ng h ợp N ếu cho các tham s ố b ởi các giá tr ị c ụ th ể ta đượ c đặ c bi ệt c ủa hệ ph ươ ng trình t ổng quát, có d ạng : nghi ệm riêng hay còn g ọi là nghi ệm c ơ b ản. ax+ ax ++ ax = 0 • Mu ốn tìm điều ki ện tham s ố để 2 h ệ ph ươ ng trình có  11 1 12 2 1 n n nghi ệm chung, ta ghép chúng thành 1 h ệ r ồi tìm điều  ax21 1+ ax 22 2 ++ ax 2 n n = 0 ki ện tham s ố để h ệ chung đó có nghi ệm.  (II ) .  VD 12. Tìm điều ki ện c ủa tham s ố m để 2 hệ ph ươ ng  ax+ ax ++ ax = 0 trình sau có nghi ệm chung:  m11 m 22 mnn x+ yz − + t = 2 m +1 2xy +5− 2 zt +2 = 2 m +1   H ệ (II ) t ươ ng đươ ng v ới AX = (0 ) .  ,  . ij m ×1 xy+7 −− 5 zt = − m 3x +7 y − 3 z +3 t = 1   Toán cao c p C2 Đi h c 12
13. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 2. H ph ươ ng tr ình tuy n tính
    Ch ươ ng 2. H ph ươ ng tr ình tuy n tính Chú ý 2.3. Đị nh lý 2 • Do rA()= rA () nên h ệ thu ần nh ất luôn có nghi ệm. Xét h ệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát AX= B (I) • Ngh iệm (0; 0; ; 0) đượ c g ọi là nghi ệm t ầm th ườ ng . và h ệ phươ ng trình thu ần nh ất AX= O (II). Khi đó: 2.2. Đị nh lý 1 • Hi ệu 2 nghi ệm b ất k ỳ c ủa (I) là 1 nghi ệm c ủa (II); Hệ (II ) ch ỉ có nghi ệm t ầm th ườ ng khi và ch ỉ khi: • T ổng 1 nghi ệm b ất k ỳ c ủa (I) và 1 nghi ệm b ất k ỳ c ủa detA ≠ 0. (II) là 1 nghi ệm c ủa (I). VD 1. Tìm điều ki ện tham s ố m để h ệ ph ươ ng trìn h tuy ến tính thu ần nh ất sau ch ỉ có nghi ệm t ầm th ườ ng: VD 2. Cho 2 h ệ ph ươ ng trình tuy ến tính:  2 x+4 y + 5 z =− 1 x+4 y + 5 z = 0 3x+ my + ( m − 5) z = 0       (m+ 2) y + z = 0 2x+ 7 y − 11 z = 2 (I) và 2x+ 7 y − 11 z = 0 (II).     4y+ ( m + 2) z = 0. 3x+ 11 y − 6 z = 1 3x+ 11 y − 6 z = 0   
    Ch ươ ng 2. H ph ươ ng tr ình tuy n tính
    Ch ươ ng 3. Không gian vector §1. Khái ni ệm không gian vector Xét 2 nghi ệm của (I) và 1 nghi ệm c ủa (II) l ần l ượ t là: §2. S ự độ c l ập tuy ến tính và ph ụ thu ộc tuy ến tính §3. C ơ s ở, số chi ều c ủa kgvt – T ọa độ c ủa vector α1 =(15; − 4; 0) , α2 =( − 64; 17; − 1) §4. Không gian sinh b ởi hệ vector và β =( − 158; 42; − 2) , ta có: §5. Không gian Euclide • α− α =(79; − 21; 1) là 1 nghi ệm c ủa (II); §1. KHÁI NI ỆM KHÔNG GIAN VECTOR 1 2 (Vector space ) 1.1. Đị nh ngh ĩa • α1 +=− β ( 143; 38; − 2) là 1 nghi ệm c ủa (I). • Cho t ập V khác r ỗng, m ỗi ph ần t ử thu ộc V đượ c g ọi là m ột vector. Xét hai phép toán sau: VVV× → ℝ × VV → (xyxy , )֏+ ; (λ , x ) ֏ λ x .
    Ch ươ ng 3. Không gian vector
    Ch ươ ng 3. Không gian vector • Ta nói V cùng v ới hai phép toán trên là m ột không VD 1. gian vector (vi ết t ắt là kgvt) trên ℝ, hay ℝ – k hông n • T ập ℝ=(,xx , , xxn ) i ∈ ℝ , i = 1, n các b ộ s ố gian vector, n ếu th ỏa 8 tính ch ất sau: { 1 2 } 1) (x++=++ y ) z x ( yz ),,, ∀ xyzV ∈ ; th ực là một không gian vector . 2) ∃∈θVx: +=+= θ θ xxxV , ∀∈ ; • Tập nghi ệm V của h ệ ph ươ ng trình tuy ến tính thu ần 3) ∀∈xV,() ∃−∈ xV :() −+=+−= xxx () x θ ; nh ất là một không gian vector. V M ℝ 4) x+=+ y y x, ∀ xyV , ∈ ; • Tập = m, n ( ) với hai phép toán c ộng ma tr ận và 5) λ()xy+= λλ x + yxyV ,,, ∀ ∈ ∀∈ λ ℝ ; nhân vô h ướ ng là m ột không gian vector . 6) ()λ+x =+ λ x xxV , ∀∈∀ ,, λ ∈ ℝ ; • T ập Pn [ x ] các đa th ức có b ậc n : 7) ()λx= λ (), x ∀∈∀ xV ,, λ ∈ ℝ ; n ℝ {()pxax=n +++ axaa1 0 , i ∈ , i = 0, ,} n 8) 1.x= x , ∀ x ∈ V . v ới phép c ộng đa th ức và nhân s ố th ực v ới đa th ức là Trong đó, θ ∈V đượ c g ọi là vector không. một không gian vector . Toán cao c p C2 Đi h c 13
14. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 3. Không gian vector
    Ch ươ ng 3. Không gian vector 1.2. Không gian vector con (Vectorial subspace ) §2. S Ự ĐỘ C L ẬP TUY ẾN TÍNH PH Ụ THU ỘC TUY ẾN TÍNH  Đị nh ngh ĩa 2.1. Đị nh ngh ĩa Cho kgvt V , t ập W⊂ V đượ c g ọi là không gian Trong kgvt V , xét n vector ui ( i= 1, , n ). Khi đó: V W n vector con c ủa n ếu c ũng là m ột kgvt. • T ổng λλuu+++= λ u λλ u , ∈ ℝ, 11 22 nn∑ iii  Đị nh lý i=1 đượ c g ọi là một tổ h ợp tuy ến tính c ủa n vector u . Cho kgvt V , t ập W⊂ V là kgvt con c ủa V n ếu: i • Hệ gồm n vector {u , u , , u } đượ c g ọi là độ c l ập ∀x, y ∈ W , ∀∈λ ℝ thì (x+λ y ) ∈ W . 1 2 n tuy ến tính (vi ết t ắt là đltt ) nếu: VD 2. n • Tập W = {θ } là kgvt con c ủa m ọi kgvt V . λu = θ thì λ =0, ∀i = 1, , n . ∑ i i i • Tập W =(α ,0, ,0) α ∈ ℝ là kgvt con c ủa ℝn . i=1 { } u u u • H ệ {1 , 2 , ,n } không là độ c l ập tuy ến tính thì đượ c g ọi là ph ụ thu ộc tuy ến tính ( vi ết t ắt là pttt ).
    Ch ươ ng 3. Không gian vector
    Ch ươ ng 3. Không gian vector VD 1. Trong ℝ2, xét s ự đltt hay pttt c ủa h ệ 2 vector: 2.2. Đị nh lý A={ u1 =− (1; 1), u 2 = (2; 3)} . Hệ gồm n vector là pttt khi và ch ỉ khi t ồn t ại m ột vector là t ổ hợp tuy ến tính c ủa n −1 vector còn l ại. VD 2. Trong ℝ3 , xét s ự đltt hay pttt c ủa h ệ 3 vector: Ngh ĩa là: Bu==−{1 ( 1; 3; 2), u 2 = (2; 0; 1), u 3 = (0; 6; 5)} . uuj=++λ11 λλ jjjj−− 11 u + ++ 11 u ++ λ nn u . VD 3. Trong M (ℝ ) , xét s ự đltt hay pttt c ủa h ệ: 2,3  Hệ qu ả        120  230   010   • Hệ có vector không thì ph ụ thu ộc tuy ến tính. A=, B =   , C =    .  301  401   201         • N ếu có m ột b ộ ph ận c ủa h ệ pttt thì h ệ pttt . đ VD 5. Hệ {vxv=2 , =− 3, xv 2 =− (1), x 34 vx = } VD 4. Trong Pn [ x ] , xét s ự ltt hay pttt c ủa h ệ: 12 3 4 2n− 1 n 2 2 {u1=== 1, uxux 2 , 3 , , uxun = , n +1 = x } . là pttt vì bộ ph ận {v1= xv , 2 = − 3} x pttt.
    Ch ươ ng 3. Không gian vector
    Ch ươ ng 3. Không gian vector n 2.3. H ệ vector trong ℝ  Hệ qu ả n Xét m vector u= ( aa , , , a ) , i= 1, m trong ℝ . n i i1 i 2 in • Trong ℝ , h ệ có nhi ều h ơn n vector thì pttt . Ma tr ận A= a đượ c g ọi là ma tr ận dòng c ủa hệ n ( ij )m× n • Trong ℝ , h ệ n vector đltt ⇔detA ≠ 0 . m vector {u1 , u 2 , , u m } . VD 6. H ệ {u1=−− (1; 1; 2), u 2 = (4; 2; − 3)} VD 7. Xét s ự đltt hay pttt c ủa các hệ vector: 1− 1 − 2  a) B ={( − 1; 2; 0), (2; 1; 1)} ; có ma tr ận dòng là   1 A =  . 4 2− 3   Đị nh lý b) B2 ={( − 1; 2; 0), (1; 5; 3), (2; 3; 3)} . ℝn Trong , cho hệ gồm m vector {u1 , u 2 , , u m } có 3 ma tr ận dòng là A. Khi đó: VD 8. Trong ℝ , tìm điều ki ện m để h ệ sau là pttt : • Hệ độ c l ập tuy ến tính khi và ch ỉ khi r( A ) = m . {(−m ; 1; 1), (1 − 4 m ; 3; m + 2)} . • Hệ ph ụ thu ộc tuy ến tính khi và ch ỉ khi r( A ) < m . Toán cao c p C2 Đi h c 14
15. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 3. Không gian vector
    Ch ươ ng 3. Không gian vector 3 §3. C Ơ S Ở, S Ố CHI ỀU C ỦA KGVT VD 9. Trong ℝ , tìm điều ki ện m để h ệ sau là đltt : TỌA ĐỘ CỦA VECTOR {(m ; 1; 1), (1; m ; 1), (1; 1; m )} . 3.1. C ơ s ở c ủa không gian vector  Đị nh nghĩa Trong kgvt V , h ệ n vector F={, uu1 2 , , u n } đượ c VD 10. Trong ℝ4 , cho 4 vector: gọi là m ột cơ s ở (basic ) của V n ếu h ệ F là đltt và m ọi vector c ủa V đề u đượ c bi ểu di ễn tuy ến tính qua F . u1=−(1; 1; 0; 1), umm 2 = ( ; ; − 1; 2) , ℝ2 VD 1. Trong , xét h ệ F={ u1 =(1; − 1), u 2 =(0; 1)} . u3=(0; 2; 0; mu ), 4 = (2; 2; − m ; 4) . F Điều ki ện m để u là t ổ h ợp tuy ến tính c ủa u, u , u ? Ta có: hệ là độ c l ập tuy ến tính . 1 2 3 4 M ặt khác, xét vector tùy ý x=( a ; b ) ∈ ℝ2 ta có: x= au1 +( a + bu ) 2 . V ậy h ệ F là 1 c ơ s ở c ủa ℝ2.
    Ch ươ ng 3. Không gian vector
    Ch ươ ng 3. Không gian vector VD 2. Trong ℝ3 , xét hệ 2 vector:  Chú ý Một không gian vector có th ể có nhi ều c ơ s ở và s ố B={ u1 = (1; 0; 0), u 2 = (0; 1; 0)} . ℝ vector ( hữu h ạn) trong các c ơ s ở là không đổ i. Ta có: αβu1+≠ u 2 (1; 1; 1), ∀∈ αβ , . Vậy h ệ B không ph ải là c ơ s ở c ủa ℝ3 . 3.2. Số chi ều c ủa không gian vector  Đị nh ngh ĩa VD 3. n Số vector có trong 1 c ơ s ở b ất k ỳ của không gian • Trong ℝ , h ệ n vector: vector V đượ c g ọi là số chi ều (dimension ) c ủa V . Eeaa={i = ( ii1 ; 2 ; ; ai in ), = 1,2, , n } Ký hi ệu là: dim V . VD 4. Ta có: dim ℝn = n , dimP [] x = 5 . trong đó: aij = 1 n ếu i= j , aij = 0 n ếu i≠ j 4 đượ c g ọi là cơ s ở chính t ắc.  Chú ý • Trong ℝn , m ọi h ệ g ồm n vector đltt đề u là c ơ s ở. • Không gian vector P4[ x ] có 1 c ơ s ở là: 2 3 4 • S ố chi ều c ủa kgvt có th ể vô h ạn. Trong ch ươ ng trình, {1;xx−− 1; ( 1) ; ( x − 1) ; ( x − 1) } . ta ch ỉ xét nh ững kgvt h ữu h ạn chi ều.
    Ch ươ ng 3. Không gian vector
    Ch ươ ng 3. Không gian vector 3.3. T ọa độ c ủa vector  Quy ướ c a) Đị nh ngh ĩa Ta vi ết t ọa độ c ủa vector x đố i v ới c ơ s ở chính t ắc E trong ℝn là [x ] ho ặc vi ết d ướ i d ạng x = (α ; ; α ) . V F uu u 1 n Trong kgvt , cho c ơ s ở ={,1 2 , ,n } . Vector x∈ V tùy ý có bi ểu di ễn tuy ến tính m ột cách VD 5. Trong ℝ2 , cho x =(3; − 5) và 1 c ơ s ở: n B u u . Tìm x ? duy nh ất qua c ơ s ở F là x=α u , α ∈ ℝ. ={1 =− (2; 1), 2 = (1; 1)} [ ] B ∑ i i i i=1 4 3 x F VD 6. Trong P[ x ] , cho vector px( ) = x + x và một Ta nói có tọa độ đố i v ới cơ s ở là (;α1 α 2 ; ; α n ) . 4 α  cơ s ở:  1  Au ux u x 2   ={ 1 =1; 2 =− 1; 3 =− ( 1) ; α   2  T Ký hi ệu là: []x =  = (α α α ) . u x3 u x 4 F   1 2 n 4=−( 1) ; 5 =− ( 1)} .  ⋮    Hãy tìm [p ( x )] ? α  A  n   Toán cao c p C2 Đi h c 15
16. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 3. Không gian vector
    Ch ươ ng 3. Không gian vector n VD 7. Trong ℝ2, cho 2 c ơ s ở: Đặ c bi ệt. Trong ℝ , ta có: B u u , P= [ uuu ][ ] [ ] 1=={ 1 (1; 0), 2 =− (0; 1)} E→ B( 1 2 n ) 1 B={ v =− (2; 1), v = (1; 1)} . B 2 1 2 (ma tr ận c ột c ủa các vector trong 1).  Công th ức đổ i t ọa độ Cho bi ết [x ] B là (1; 2) . Hãy tìm [x ] B ? 2 1 x P x []B= BB→ .[]. B b) Tọa độ của vector trong các c ơ s ở khác nhau 1 12 2  Ma tr ận chuy ển c ơ s ở ℝ 3 B B VD 8. Trong , cho hai c ơ s ở 1 và 2 . Trong kgvt V , cho 2 c ơ s ở:     1− 1 2  1 BuBvi={ }, = { }, = 1,2, , n .     1i 2 i       Cho biết PB→ B = 0 1 3  và v = 2. 2 1    B  Ma tr ận [v ] [ v ] [ v ] đượ c g ọi là ma tr ận   1   ( 1B 2 B nB )   1 1 1   0 0− 2   3  B B P chuy ển c ơ s ở t ừ 1 sang 2. Ký hi ệu là: B→ B . 1 2 v B Tìm t ọa độ c ủa vector trong c ơ s ở 2 ?
    Ch ươ ng 3. Không gian vector
    Ch ươ ng 3. Không gian vector VD 9. Tìm ma tr ận chuy ển c ơ s ở P trong VD 7. §4. KHÔNG GIAN SINH B ỞI HỆ VECTOR B1→ B 2  Đị nh lý 4.1. Đị nh ngh ĩa Trong kgvt V cho h ệ gồm m vector S={, u , u } . Trong kgvt V , cho 3 c ơ s ở B1, B2 và B3. Khi đó: 1 m Tập hợp tất c ả các t ổ h ợp tuy ến tính c ủa S đượ c g ọi • PB→ B= I n ( i = 1,2,3 ); i i là không gian con sinh b ởi S . • P= P. P ; BB13→ BBBB 1223 → → Ký hi ệu là: ho ặc spanS . −1 4.2. H ệ vector trong ℝn • PBB→= P BB → . n 12( 21 ) Trong kgvt ℝ , xét h ệ S={, u , u } ta có: 1 m  Hệ qu ả. Trong ℝn , ta có: m  = r () A và dim ≤ n .
    Ch ươ ng 3. Không gian vector
    Ch ươ ng 3. Không gian vector • Nếu dim = k thì m ọi h ệ con g ồm k vector §5. KHÔNG GIAN EUCLIDE đltt c ủa S đề u là c ơ s ở c ủa . 5.1. Đị nh ngh ĩa • Cho không gian vector V trên ℝ. M ột quy lu ật cho 3 VD 1. Trong ℝ , cho hệ vector: tươ ng ứng c ặp vector x, y b ất k ỳ thu ộc V v ới s ố S=={ u (1; 0; − 1), u = (0; 1; − 1)} . 1 2 th ực duy nh ất, ký hi ệu x y (hay (x , y ) ), th ỏa mãn: Hãy tìm d ạng t ọa độ c ủa vector v S ? ∈ 1) x x ≥ 0 và x x=0 ⇔ x = θ; VD 2. Trong ℝ4 , cho h ệ vector: S = {(1;2;3;4), (2;4;9;6), (1;2;5;3), (1;2;6 ;3)} . 2) xy= yx ; Tìm s ố chi ều c ủa không gian sinh ? 3) (xyz+ ) = xz + yz , ∀∈ zV ; VD 3. Trong ℝ4 , cho h ệ vector S : 4) λxy= λ xy , ∀ λ ∈ ℝ {u1 =(−−− 2;4; 2; 4), u 2 =(2; −− 5; 3;1), u 3 =( − 1;3;4;1)} . Hãy tìm dim và 1 c ơ s ở của ? đượ c g ọi là tích vô h ướ ng c ủa x và y . Toán cao c p C2 Đi h c 16
17. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 3. Không gian vector
    Ch ươ ng 3. Không gian vector • Không gian vector V h ữu h ạn chi ều trên ℝ có tích 5.2. Chu ẩn c ủa vector vô h ướ ng nh ư trên đượ c g ọi là không gian Euclide . a) Đị nh ngh ĩa VD 1. Kgvt ℝn có tích vô h ướ ng thông th ườ ng: • Trong không gian Euclide V , s ố th ực u u đượ c g ọi là chu ẩn (hay độ dài) c ủa vector u. xy=( x1 , , xyn )( 1 , , y n ) =++ xy 11 xy nn là m ột không gian Euclide. Ký hi ệu là u . Vậy, u= u u . VD 2. Trong C[ a ; b ] – không gian các hàm s ố th ực • Vector u đượ c g ọi là vector đơ n v ị n ếu u = 1. liên t ục trên [a ; b ] , ta xác đị nh đượ c tích vô h ướ ng: • duv( , ) = u − v đượ c g ọi là kho ảng cách gi ữa u , v. b VD 3. Trong ℝn cho vector u= ( uu , , , u ) , ta có: fg= fxgxdx( )( ) . 1 2 n ∫ n a u= uu = uu22 +++= u 2 u 2 . Vậy C a b có tích vô h ướ ng nh ư trên là kg Euclide. 1 2 n∑ i [ ; ] i=1
    Ch ươ ng 3. Không gian vector
    Ch ươ ng 3. Không gian vector VD 4. Trong không gian Euclide C[ a ; b ] , ta có: VD 5. Trong ℝn , b ất đẳ ng th ức Cauchy – Schwarz là : b n n n 2 xy≤ x2. y 2 . f= ff = fxdx( ) . ∑ii ∑ i ∑ i ∫ i=1 i = 1 i = 1 a b) Đị nh lý VD 6. Trong C[ a ; b ] , bất đẳ ng th ức Cauchy–Schwarz: Trong kg Euclide V cho 2 vector u, v b ất k ỳ. Ta có: b b b fxgxdx()()≤ f2 (). xdx gxdx 2 () . • B ất đẳ ng th ức Cauchy – Schwarz ∫ ∫ ∫ a a a uv≤ u. v ; 5.3. C ơ s ở tr ực chu ẩn • B ất đẳ ng th ức tam giác a) Đị nh ngh ĩa Trong không gian Euclide n chi ều V , ta đị nh ngh ĩa: u− v ≤ uv +≤ u + v . • Hai vector u, v đượ c g ọi là tr ực giao n ếu u v = 0;
    Ch ươ ng 3. Không gian vector
    Ch ươ ng 3. Không gian vector • Cơ s ở {u1 , u 2 , , u n } đượ c g ọi là cơ s ở tr ực giao n ếu  Thu ật toán tr ực chu ẩn hóa Gram – Schmidt các vecto r c ủa cơ s ở là tr ực giao t ừng đôi m ột; • B ướ c 1. Trong không gian Euclide n chi ều V , ch ọn cơ s ở {u1 , u 2 , , u n } b ất k ỳ. • Cơ s ở {u1 , u 2 , , u n } đượ c g ọi là cơ s ở tr ực chu ẩn • Bướ c 2. Xây d ựng c ơ s ở tr ực giao {v , v , , v } : nếu cơ s ở là tr ực giao và ui =1,( i = 1, , n ) . 1 2 n 2 Đặ t v= u ; VD 7. Trong ℝ , ta có : 1 1 u v • H ệ {(2;− 1), ( − 3; − 6)} là c ơ s ở tr ực giao; v= u − 2 1 v ; 2 22 1     v 2 2  2 2   1 • H ệ ;− ,  − ; −   là c ơ s ở tr ực chu ẩn.     uv uv 2 2   2 2  31 32   vu= − v − v ; b) Đị nh lý 332 1 2 2 v1 v 2 Mọi kg Euclide n chi ều đề u t ồn t ại c ơ s ở tr ực chu ẩn. Toán cao c p C2 Đi h c 17
18. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 3. Không gian vector
    Ch ươ ng 3. Không gian vector  Đị nh lý n−1 u v n i N ếu {u , , u } là m ột c ơ s ở tr ực chu ẩn c ủa kg Euclide v= u − v . 1 n n n∑ 2 i i=1 v n i u uuu n chi ều V và u∈ V thì: = ∑ i i . i=1 • B ướ c 3. Xây d ựng c ơ s ở tr ực chu ẩn {w1 , w 2 , , w n } 3 b ằng vi ệc chu ẩn hóa các vector ở b ướ c 2: VD 9. Trong ℝ , hãy tr ực chu ẩn hóa c ơ s ở: v v v v {u=− (1; 1; 0), u = (0; 1; − 1), u =− (1; 1; 1)} . w=1; w = 2 ; w = 3 ; ; w = n . 1 2 3 1 2 3 n Tìm t ọa độ c ủa u = (1; 2; 3) trong c ơ s ở tr ực chu ẩn đó. v1 v 2 v 3 v n VD 10. Trong ℝ4 , cho h ệ S g ồm 3 vector: 3 u u u VD 8. Trong ℝ , hãy tr ực chu ẩn hóa c ơ s ở: {1 =(1; 1; 0; 0), 2 =(1; 0; 1; 0), 3 =(− 1; 0; 0; 1)} . Fu=={1 (1; 0; 0), u 2 = (0; 1; 1), u 3 =− (0; 1; 1)} . Hãy t ìm một c ơ s ở tr ực chu ẩn của không gian . .
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính §1. Ánh x ạ tuy ến tính  Chú ý §2. Tr ị riêng – Vector riêng §3. Chéo hóa ma tr ận vuông • Đố i v ới ánh x ạ tuy ến tính (vi ết t ắt là AXTT), ký hi ệu T( x ) còn đượ c vi ết là Tx . §1. ÁNH X Ạ TUY ẾN TÍNH • Hai điều ki ện c ủa đị nh ngh ĩa t ươ ng đươ ng với: 1.1. Khái ni ệm ánh x ạ tuy ến tính t ổng quát Tx(+α y ) =+ Tx α Ty , ∀∈∀∈ xy, X , α ℝ. a) Đị nh ngh ĩa • T(θ ) = θ . Trong đó θ, θ l ần l ượ t là vector không Cho X , Y là 2 kgvt trên ℝ. Ánh x ạ T: X→ Y đượ c X Y X Y gọi là ánh x ạ tuy ến tính (hay toán t ử tuy ến tính) n ếu c ủa X và Y . th ỏa mãn 2 điều ki ện sau: VD 1. Cho ánh x ạ T : ℝ3→ ℝ 2 đượ c đị nh ngh ĩa: 1) Tx(α )= α Tx ( ), ∀∈ xX , ∀∈ α ℝ; Txxx(;;123 )(=−+ xx 1231 x ; 2 x + 3) x 2 . ℝ3 2) Tx(+= y ) Tx () + Ty (), ∀∈ xy , X . Trong , xét x=(; xxx123 ; ), y = (;; yyy 123 ) .
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính ℝ  Với α ∈ tùy ý, ta có: fu(+= v ) f (1; 1) =− (1 1; 2 + 3.1) = (0; 5) Txα y Tx α yx α yx α y  ()(+=+1 12 ; + 23 ; + 3 ) fu( )+ fv ( ) =− ( 1; 8) +−= (1; 1) (0; 7)  x yx yx y =(1 +α 12 −− α 23 ++ α 3 ; fu v fu fv ⇒( +≠ ) () + () . 2 2 2x1+ 2α yx 12 + 3 + 3) α y 2 Vậy ánh x ạ f không ph ải là AXTT t ừ ℝ vào ℝ . xx xx x =−+(12 31 ;2 + 3) 2 VD 3. Các AXTT th ườ ng g ặp trong m ặt ph ẳng: +α(y12 −+ y y 31 ;23) y + y 2 =+ Tx α Ty . • Phép chi ếu vuông góc xu ống tr ục Ox , Oy : V ậy ánh x ạ T là ánh x ạ tuy ến tính t ừ ℝ3 vào ℝ2. Txy(; )= (;0) x , Txy( ; )= (0; y ) . • Phép đố i x ứng qua tr ục Ox , Oy : 2 2 VD 2. Cho ánh x ạ f : ℝ→ ℝ xác đị nh như sau: Txy(;)= (; x − y ) , Txy(;)= ( − xy ;) . fxy(;)= ( xy − ;2 + 3) y . • Phép quay 1 góc ϕ quanh g ốc t ọa độ O : Xét u=(1; 2), v = (0; − 1) ta có: Txyx(; )= (cosϕ − y sin; ϕ x sin ϕ + y cos) ϕ . Toán cao c p C2 Đi h c 18
19. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính y x M•′ asinϕ+ b cos ϕ SCab:[;]→ Cab [;], Sf =∫ ftdtx (), ∈ [;] ab . b •M a ϕ ℝ VD 5. Cho A∈ M m, n ( ) , ta có: acosϕ− b sin ϕ O a x ℝn ℝ m TA:→ , TxAx A = là ánh x ạ tuy ến tính. VD 4. G ọi C[ a ; b ] là t ập h ợp các hàm m ột bi ến s ố liên b) Nhân và ảnh c ủa ánh x ạ tuy ến tính tục trên [a ; b ] . Trên C[ a ; b ] , xác đị nh phép toán c ộng  Đị nh ngh ĩa Cho ánh x ạ tuy ến tính T: X→ Y . hai hàm s ố và nhân vô h ướ ng thì C[ a ; b ] là 1 kgvt. • T ập {x∈ X : Tx = θY } đượ c g ọi là nhân c ủa T . Các phép l ấy tích phân sau là ánh x ạ tuy ến tính: Ký hi ệu là KerT . Vậy KerT={ x ∈ X : Tx = θY }. a • T ập TX Txx X đượ c g ọi là ảnh c ủa T . TCab:[;]→ Cab [;], Tf = fxdx () ; (){:= ∈ } ∫ RangeT T a Ký hi ệu là ho ặc Im .
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính  Tính ch ất 1.2. Ma tr ận c ủa ánh x ạ tuy ến tính Cho ánh x ạ tuy ến tính T: X→ Y , khi đó: a) Đị nh ngh ĩa • KerT là không gian con c ủa X ; n m Cho ánh x ạ tuy ến tính f : ℝ→ ℝ và hai c ơ s ở c ủa • Im T là không gian con c ủa Y ; n m • N ếu S là tập sinh c ủa X thì T( S ) là t ập sinh c ủa Im T ; ℝ, ℝ l ần l ượ t là: • T là đơ n ánh khi và ch ỉ khi KerT = {θ } . X B1={, uu 1 2 , , u n } và B2={, vv 1 2 , , v m } .  Đị nh lý Ma tr ận A∈ M (ℝ ) : fu( )  fu ( )   fu ( )  Cho ánh x ạ tuy ến tính T: X→ Y , khi đó: m, n (1 B 2  B n  B ) 2 2 2 dim(KerT )+ dim(Im T ) = dim X . đượ c g ọi là ma tr ận c ủa AXTT trong cặp cơ s ở .
    Chú ý f B1, B 2 • T ừ đây v ề sau, ta ch ỉ xét lo ại AXTT f : ℝn→ ℝ m . B2 n n Ký hi ệu là: [f ] B ho ặc vi ết đơ n gi ản là A. • Khi n= m , ta g ọi f : ℝ→ ℝ là phép bi ến đổ i 1 tuy ến tính (vi ết t ắt là PB ĐTT).
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính Cụ th ể là, n ếu:  Tr ườ ng h ợp đặ c bi ệt Cho PB ĐTT f ℝn ℝ n và cơ s ở B u u . fu( )= av + av + av ++ av : → ={,1 ,n }  1 11 1 21 2 31 3m 1 m fu av av av av Ma tr ận vuông A c ấp n : fu()  fu ( )  ( fu )   (2 )= 12 1 + 22 2 + 32 3 ++ m 2 m (1 B 2  Bn  B )   đượ c g ọi là ma tr ận c ủa PB ĐTT f trong c ơ s ở B .  fu av av av av Ký hi ệu là: [f ] B ho ặc [f ] ho ặc vi ết đơ n gi ản là A.  (n )=11 n + 22 n + 33 n ++ mnm  Chú ý a a a  n m  11 12 1 n  N ếu A là ma tr ận c ủa AXTT f : ℝ→ ℝ trong c ặp   a a a  n  21 22 2 n  cơ s ở chính t ắc E E thì fx Axx ℝ .   n, m ( )= , ∈ B   2 a a a  thì [f ] B = 31 32 3 n . 4 3 1   VD 6. Cho AXTT f : ℝ→ ℝ xác đị nh nh ư sau:    ⋮ ⋮ ⋮ ⋮  fxyzt(;;;)(3= xyzx +− ; −+ 2 yty ; +− 3 z 2) t .     E 4 a a a 3  m1 m 2 mn  Tìm ma tr ận A= [ f ] ? Ki ểm tra fv( )= Avv , ∈ ℝ ? E4 Toán cao c p C2 Đi h c 19
20. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính 3 3 VD 7. Cho AXTT f : ℝ2→ ℝ 3 xác đị nh nh ư sau: VD 8. Cho PB ĐTT f : ℝ→ ℝ xác đị nh nh ư sau: fxy(;)= (3; xx − 2;5) y − y . fxyz(;;)(3= xyzx +− ; − 2; yy + 3) z . E 3 Tìm ma tr ận [f ] E ? Tìm ma tr ận [f ] E ? 3 2     3 1− 1   3 1− 1  3 0  3 0          A. 1− 2 0 ; B.  1− 2 1 ;         A. 1− 2 ; B. 1− 2 ;         1− 1 3  −1 0 3          0− 5   1− 5   3 1− 1  3 1 0          3 1 0  3 1 1      C.  ; D.  . C. 1− 2 0 ; D.  1− 2 1 . 0− 2 − 5  0− 2 − 5                0 1 3   −1 0 3  
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính 2 2   VD 9. Cho PB ĐTT f : ℝ→ ℝ có bi ểu th ức: 1− 3  E   fxy(;)= (2 x − yy ;3) . 2 3 3   VD 12. Cho AXTT f : ℝ→ ℝ có f  = 0 2 .   E   B 2   Hãy tìm ma tr ận c ủa f trong c ặp cơ s ở chính t ắc E và 2  Tìm ma tr ận f  , bi ết hai c ơ s ở: 4 3    B cơ s ở B={ u1 = (1; 2), u 2 =− ( 1; 3)} ? 1 B={ u = (1; 1), u = (1; 2)} và VD 10. Cho PB ĐTT f : ℝ2→ ℝ 2 có ma tr ận c ủa f 1 1 2 Bv21=={ (1; 0; 1), v 2 = (1; 1; 1), v 3 = (1; 0; 0)} . đối v ới c ơ s ở F={ u1 = (1; 0), u 2 = (1; 1)} là 1 2    b) Đị nh lý A =  . Hãy tìm bi ểu th ức c ủa f ? B′ B′   1 2 3 4  Nếu AXTT f ℝn ℝ m có f  A , f  A   : →   = 1   = 2   B1   B2 2 2 VD 11. Cho PB ĐTT f : ℝ→ ℝ . Bi ết r ằng: A P′ −1 AP và P= P , P′ = P ′ ′ thì: 2= ( ). 1 B1→ B 2 B1→ B 2 f(1; 2)= ( − 4; 3) và f(3; 4)= ( − 6; 7) . Hãy tìm [f ] E ?
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính  Đặ c bi ệt VD 13. Cho PB ĐTT fxy(;)(= x + yx ; − 2) y . Nếu PB ĐTT f : ℝn→ ℝ n có [f ] = A , [f ] = B Tìm [f ] , v ới c ơ s ở B ={(2; 1), (1; − 1)} ? B1 B2 B –1 và P= P thì: B= P. AP . . VD 14. Cho PB ĐTT f : ℝ3→ ℝ 3 có bi ểu th ức: B1→ B 2 fxyz(;;)(= x ++ y zx ; −+ y zx ; +− yz ) . P ′ Tìm [f ] F , v ới F ={(2; 1; 0), (1; 0; 1), ( − 1; 0; 1)} ? B ′ B ′ 1   2 f  A A= f 3 2 = 1 2   B VD 15. Cho AXTT f : ℝ→ ℝ có bi ểu th ức:   B   2 1 fxyz(;;)(= x +− y zx ; −+ y z ) . P Tìm ma tr ận c ủa f trong c ặp cơ s ở: B = {(1; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 0; 1)} ′ −1 A2= (P ) A 1 P và B′ = {(2; 1), (1; 1)} ? Toán cao c p C2 Đi h c 20
21. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính c) Thu ật toán tìm ma tr ận c ủa AXTT VD 16. Cho PB ĐTT fxy(;)(= x + yx ; − 2) y . Cho AXTT f : ℝn→ ℝ m và hai c ơ s ở l ần l ượ t là: Dùng thu ật toán tìm [f ] B , v ới B ={(2; 1), (1; − 1)} ? B={ uu , , , u } và B={ vv , , , v } . 1 1 2 n 2 1 2 m VD 17. Cho AXTT f : ℝ3→ ℝ 2 có bi ểu th ức: • Bướ c 1. Tìm các ma tr ận: fxyz(;;)(= x +− y zx ; −+ y z ) . S= [ v1 ]E [ v 2 ] E [ v mE ] ( m m m ) Dùng thu ật toán tìm ma tr ận c ủa f trong c ặp c ơ s ở: (ma tr ận c ột các vector c ủa B2 ), B = {(1; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 0; 1)} Q= [( fu )] [( fu )] [( fu )] . và B′ = {(2; 1), (1; 1)} ? ( 1E 2 E nE ) n n n • Bướ c 2. Dùng PB ĐSC dòng đư a ma tr ận (S Q ) VD 18. Cho AXTT fxy(;)(= x + yy ; − xx ;) và B cặp c ơ s ở: A = {(1; 0; 0), (1; 1; 0), (1; 1; 1)} , về d ạng I[ f ] 2 . ( B ) 1 A B ={(1; − 2), (3; 4)} . Dùng thu ật toán, tìm [f ] B ?
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính d) H ạng c ủa ánh x ạ tuy ến tính §2. TR Ị RIÊNG – VECTOR RIÊNG  Đị nh ngh ĩa 2.1. Ma tr ận đồ ng d ạng Hạng c ủa AXTT f : ℝn→ ℝ m là số chi ều c ủa không  Đị nh ngh ĩa gian ảnh c ủa nó. Ngh ĩa là: r( f )= dim(Im f ) .  Đị nh lý. Hạng c ủa AXTT bằng h ạng ma tr ận c ủa nó. Hai ma tr ận vuông A, B c ấp n đượ c g ọi là đồ ng d ạng VD 19. Cho PB ĐTT f : ℝ2→ ℝ 2 có ma tr ận trong với nhau n ếu t ồn t ại ma tr ận kh ả ngh ịch P th ỏa:   B= P–1 AP . 1 2  cơ s ở F là A =  . V ậy rf()= rA () = 1 .       2 4   1 0  −1 0  VD 1. A =   và B =   là đồ ng d ạng v ới 3 2     VD 20. Cho AXTT f : ℝ→ ℝ có ma tr ận trong c ặp 6− 1    0 1   1 1 0  B′   0 1  cơ sở B, B ′ là [f ] =  . Vậy r( f )= 2 .   −1 B   nhau vì có P =   kh ả ngh ịch th ỏa B= P AP . 2 0 1   1 3  .   
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính  Đị nh lý • Cho PB ĐTT f : ℝn→ ℝ n . Đa th ức b ậc n c ủa λ: Hai ma tr ận vuông cùng bi ểu di ễn m ột PB ĐTT (trong Pf()λ= det( A − λ I n ) hai c ơ s ở t ươ ng ứng) thì đồ ng d ạng v ới nhau. đượ c g ọi là đa th ức đặ c tr ưng của f ( A là ma tr ận bi ểu di ễn f trong m ột c ơ s ở nào đó) và P (λ )= 0 2.2. Đa th ức đặ c tr ưng f  Đị nh ngh ĩa đượ c g ọi là ph ươ ng trình đặ c tr ưng c ủa f .   • Cho A∈ M (ℝ ) . Đa th ức b ậc n c ủa λ: 1 2  n VD 2. Cho ma tr ận A =  , ta có: 3 4  Pλ A λ I    A()= det( − n ) 1−λ 2 P ()λ= =−− λ2 52 λ . đượ c g ọi là đa th ức đặ c tr ưng (characteristic A 3 4 −λ polynomial ) c ủa A và ph ươ ng trình P (λ )= 0 đượ c A  Đị nh lý gọi là ph ươ ng trình đặ c tr ưng c ủa A. Hai ma tr ận đồ ng d ạng thì có cùng đa th ức đặ c tr ưng. Toán cao c p C2 Đi h c 21
22. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính VD 3 . Cho PB ĐTT fxyz(;;)(=− x yy ; − zz ; − x ) . • Vector x ≠ θ th ỏa (1 ) đượ c g ọi là vector riêng Hãy tìm ph ươ ng trình đặ c tr ưng c ủa f ? (eigenvector ) c ủa f ứng v ới tr ị riêng λ. Đ fxx x xx x Chú ý VD 4. Cho PB TT (;)(412= 1 − 2; 212 + ) . T ừ đây v ề sau, ta g ọi đa th ức (ph ươ ng trình) đặ c Xét s ố λ = 3 và vector x = (2; 1) , ta có: tr ưng chung cho PB ĐTT f và ma tr ận A bi ểu di ễn f . fxf( )= (2; 1) = (6; 3) = 3(2; 1) = λ x . 2.3. Trị riêng, vector riêng Vậy x = (2; 1) là vector riêng ứng v ới tr ị riêng λ = 3. a) Trị riêng, vector riêng c ủa PB ĐTT b) Trị riêng, vector riêng c ủa ma tr ận  Đị nh ngh ĩa  Đị nh ngh ĩa n n Cho PB ĐTT f : ℝ→ ℝ . Cho ma tr ận vuông A∈ M n (ℝ ) . • S ố λ ∈ ℝ đượ c g ọi là tr ị riêng (eigenvalue ) của f • S ố λ ∈ ℝ đượ c g ọi là tr ị riêng c ủa A n ếu t ồn t ại nếu tồn t ại vector x∈ℝn , x ≠θ :() fx = λ x (1). vector x∈ℝn , x ≠θ :[] Ax = λ [] x (2).
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính • Vector x ≠ θ th ỏa (2 ) đượ c g ọi là vector riêng của A Nh ận xét ứng v ới tr ị riêng λ. Ax[]=λ [] x ⇔− ( A λ Ixn )[][] = θ (3).  Đị nh lý Để x ≠ θ là vector riêng c ủa A thì (3) ph ải có nghi ệm không t ầm th ườ ng. Suy ra det(A−λ I ) = 0 . • S ố th ực λ là tr ị riêng c ủa PB ĐTT f khi và ch ỉ khi λ n là tr ị riêng c ủa ma tr ận A bi ểu di ễn f trong m ột c ơ V ậy λ là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình đặ c tr ưng . sở B nào đó.  Ph ươ ng pháp tìm tr ị riêng và vector riêng ℝn • Vector x ∈ \ {θ } là vector riêng c ủa f ứng v ới λ • Bướ c 1. Gi ải ph ươ ng trình đặ c tr ưng A−λ I = 0 để khi và ch ỉ khi [x ] là vector riêng c ủa A ứng v ới λ. B tìm giá tr ị riêng λ. • Các vector riêng c ủa f (hay A) ứng v ới tr ị riêng khác • B ướ c 2. Gi ải h ệ ph ươ ng trình (A−λ I )[] x = [] θ , nhau thì độ c l ập tuy ến tính. nghi ệm không t ầm th ườ ng là vector riêng .
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính 2.4. Không gian con riêng VD 5. Cho PB ĐTT f : ℝ2→ ℝ 2 có ma tr ận bi ểu di ễn  Đị nh lý 4− 2    Cho PB ĐTT f ℝn ℝ n . Tập h ợp tất c ả các vector là A =  . Tìm tr ị riêng và vector riêng c ủa f ? : → 1 1  n   x ∈ ℝ th ỏa f( x )=λ x , λ ∈ ℝ (k ể c ả vector không) là m ột không gian con c ủa ℝn . Ký hi ệu là E(λ ) .   0 0 1   Đị ĩ   nh ngh a   VD 6. Cho ma tr ận A = 0 1 0 . n   Không gian con E()λ={ x ∈ℝ fx () = λ x } đượ c 1 0 0    gọi là không gian con riêng (eigenvector space ) của Tìm tr ị riêng và vector riêng c ủa A ? ℝn ứng v ới tr ị riêng λ. Toán cao c p C2 Đi h c 22
23. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính Chú ý • E(1)= (1; 0; 1), (0; 1; 0) và dimE (1)= 2 . • Các nghi ệm c ơ b ản đltt của h ệ ph ươ ng trình thu ần    2 4 3  nh ất (A−λ I )[ x ] = [ θ ] tạo thành 1 c ơ s ở c ủa E(λ ) .   VD 8. Cho ma tr ận B =− 4 − 6 − 3 . • Số chi ều của không gian con riêng là:     dimE (λ )= nrA − ( − λ I ).  3 3 1   • Nếu λ là nghi ệm b ội k c ủa ph ươ ng trình đặ c tr ưng Tìm số chi ều c ủa các không gian con riêng ứng v ới thì: dimE ()λ ≤ k . các giá tr ị riêng c ủa B ? 3 1− 1      VD 7 . Xét ti ếp VD 6, ta có: VD 9. Cho ma tr ận C =2 2 − 1 .   2 2 0  • Nghi ệm c ơ b ản của (A−λ1 I )[ x ] = [ θ ] là (1; 0;− 1)   Tìm một c ơ s ở c ủa các không gian con riêng ứng v ới nên E(− 1) = (1; 0; − 1) và dimE (− 1) = 1 . các giá tr ị riêng c ủa C ?
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính   2 2 1 3 3  VD 11. Cho PB ĐTT f : ℝ→ ℝ có ma tr ận bi ểu       VD 10. Cho ma tr ận D =− 3 − 5 − 3 . 4− 2  2   di ễn là A =   và P ()λ= λ − 5 λ + 6 .     f  3 3 1   1 1   Tìm tr ị riêng, dạng vector riêng t ươ ng ứng và cơ s ở  2   42− 42 −  00  c ủa các không gian con riêng của D ? Ta có: P() A= − 5   += 6 I   . f   2   11   11   00  2.5. Đị nh lý Cayl ey – Hamilton 7 0 3      Nếu PB ĐTT f : ℝn→ ℝ n có ma tr ận bi ểu di ễn là A VD 12. Cho ma tr ận A = 0 2 0 . Tính det B ?   và đa th ức đặ c tr ưng là P λ thì:   f ( ) 3 0 1  P( A )= (0 ) . 7 6 5 4 f ijn Trong đó, BA=−10 A + 14 A + 4 A + 8 I 3 .
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính     §3. CHÉO HÓA MA TR ẬN VUÔNG 1 0 0  0 0 0      Trong bài này, ta xét A∈ M (ℝ ) là ma tr ận bi ểu di ễn   −1   n có P =  0 1 0  thỏa: P AP = 0 1 0 . n n n     PB ĐTT f : ℝ→ ℝ trong c ơ s ở B nào đó c ủa ℝ .     −1 0 1  0 0 1  3.1. Ma tr ận chéo hóa đượ c  Đị nh ngh ĩa 3.2. Điều ki ện ma tr ận chéo hóa đượ c ℝ Ma tr ận A∈ M n ( ) đượ c g ọi là chéo hóa đượ c n ếu  Đị nh lý 1 A đồ ng d ạng v ới ma tr ận đườ ng chéo D . ℝ Ma tr ận A∈ M n ( ) là chéo hóa đượ c khi và ch ỉ khi −1 N gh ĩa là t ồn t ại P kh ả ngh ịch , th ỏa: P AP= D . ℝn có m ột c ơ s ở g ồm n vector riêng c ủa A.   0 0 0     Hệ qu ả VD 1. Ma tr ận A = 0 1 0  là chéo hóa đượ c, vì:   Nếu ma tr ận A∈ M (ℝ ) có n tr ị riêng phân bi ệt thì   n 1 0 1   chéo hóa đượ c. Toán cao c p C2 Đi h c 23
24. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính  Đị nh lý 2 3.3. Ma tr ận làm chéo hóa • Cho ma tr ận A∈ M (ℝ ) chéo hóa đượ c. Khi đó, t ồn Cho ma trận A∈ M (ℝ ) có k tr ị riêng λ i= 1, k n n i ( ) tại ma tr ận P khả ngh ịch th ỏa P−1 AP= D . phân bi ệt và n= dim E (λ ) . i i λ   1 0 0    Khi đó, ba điều sau đây là t ươ ng đươ ng:  0λ 0  D 2  diag Trong đó, =  = (λ1 , λ 2 , , λ n ) . 1) Ma tr ận A chéo hóa đượ c;  ⋮ ⋮ ⋮ ⋮     λ   0 0 n   2) Đa th ức đặ c tr ưng c ủa A có d ạng: n n n • Xét ma tr ận P= ([ uu ][ ] [ u ]) , ta có: P ()(λλλ=− )1 +− ( λλ ) 2 ++− ( λλ ) k ; 1 2 n A 1 2 k P−1 AP= D ⇒ AP = PD Au Pu Au ui n 3) nn1+ 2 + + nnk = . ⇒=[]i [ i ] ⇒= [] iiiλ [ ]( = 1,2, ,) . Suy ra λi là tr ị riêng và ui là vector riêng c ủa A.
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính • Vậy P là ma tr ận có các c ột là các vector riêng đltt     của A. Ma tr ận chéo D g ồm các tr ị riêng tươ ng ứng  1 0 1  −2 0 0      với các vector riêng trong ma tr ận P . P   D   Vậy = 0 1 − 1  và = 0 − 2 0 .        1 3 3  −1 − 1 1   0 0 1        A   VD 2. Ma tr ận =− 3 − 5 − 3  có 2 tr ị riêng là:    3 3 1    Nh ận xét λ = − 2, λ = 1. −1 − 1 1 2 P AP= D ⇒ A = PDP 2− 1 − 1 21 − • Ứng v ới λ = − 2 có 2 vector riêng đltt là: ⇒A =( PDP )( PDP ) = PD P 1 k k −1 k − 1 ⇒A = PDP = Pdiag.[ (λ1 , , λ n )]. P . u1 =(1; 0; − 1) , u2 =(0; 1; − 1) . k k k −1 Vậy A= Pdiag. (λ1 , , λ n ). P . • Ứng v ới λ2 = 1 có 1 vector riêng là u3 =(1; − 1; 1) .
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính VD 3. Ti ếp VD 2, ta có: 3.4. Thu ật toán chéo hóa ma tr ận vuông A cấp n  10    011− − 2 0 0   101  Bướ c 1. Gi ải A−λ I = 0 tìm tr ị riêng th ực c ủa A.     A10 =12 102 10 00  1 − 1      • Tr ườ ng h ợp A không có tr ị riêng th ực nào thì ta k ết      11 10  01   − 1 − 11  lu ận A không chéo hóa đượ c. • Tr ườ ng h ợp A có n tr ị riêng phân bi ệt thì A chéo hóa đượ c. Ta làm ti ếp b ướ c 3 (b ỏ qua b ướ c 2).    1− 1023 1023   • Tr ườ ng h ợp A có k tr ị riêng phân biệt λi (i= 1, , k )   =1023 2047 − 1023 . với s ố b ội t ươ ng ứng n thì n ếu:   i 1023 1023 1     nn1+ 2 + + nnk < ⇒A không chéo hóa đượ c.  nn1+ 2 + + nnk = , ta làm ti ếp b ướ c 2. Toán cao c p C2 Đi h c 24
25. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính Bướ c 2. Với m ỗi λ ta tìm rA(−λ I ) = r .   i i i 3 1− 1    Suy ra Eλ n r .   dim (i ) = − i VD 4. Ma tr ận A =2 2 − 1  có tr ị riêng b ội hai là   • Nếu có m ột λ mà dimE (λ ) < n thì ta k ết lu ận A   i i i 2 2 0   không chéo hóa đượ c. λ = 2 (xem VD 9, §2, ch ươ ng 4). • Nếu Eλ n với m ọi λ thì A chéo hóa đượ c. dim (i ) = i i Do dimE (2)= 1 < 2 nên A không chéo hóa đượ c. Ta làm ti ếp b ướ c 3. Bướ c 3. Lập ma tr ận P có các c ột là các vector c ơ s ở VD 5. Ma tr ận nào sau đây chéo hóa đượ c: −1       của E(λ ) . Khi đó, P AP= D v ới D là ma tr ận 1 0 1− 3 1 3 i       A =  , B =  , C =  . chéo có các ph ần t ử trên đườ ng chéo chính l ần l ượ t 2 3   2 5   1− 1   là λi (mỗi λi xu ất hi ện liên ti ếp ni l ần). A. A và B; B. B và C; C. C và A; D. A, B và C.
    Ch ươ ng 4. Ánh x tuy n tính
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng §1. Khái ni ệm cơ b ản 1 0    §2. Đư a d ạng toàn ph ươ ng v ề d ạng chính t ắc VD 6. Chéo hóa (n ếu đượ c) ma tr ận A =  . 6− 1   §3. Lu ật quán tính Xác đị nh d ấu c ủa d ạng toàn ph ươ ng 3 0    2010 §1. KHÁI NI ỆM CƠ B ẢN VD 7. Cho ma tr ận A =  . Tính A . 8− 1    1.1. D ạng song tuy ến tính    Đị nh ngh ĩa 1  4 2− 1  n n   • Ánh x ạ f : ℝ× ℝ → ℝ VD 8. Chéo hóa ma tr ận A = −6 − 4 3 .   (,)xy֏ fxy (,)   −6 − 6 5   đượ c g ọi là m ột dạng song tuy ến tính nếu f tuy ến tính theo t ừng bi ến x, y .
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng Ngh ĩa là: Đặ t aij= fuu( i , j ) ta đượ c: 1) fx(+ yz ,) = fxz (,) + fyz (,) ; n n fxy( , )= axy (1). 2) fxy(,+ z ) = fxy (,) + fxz (,) ; ∑∑ ij i j i=1 j = 1 3) f(,)α xy= α fxy (,) ; • Ma tr ận A= ( a i j ) n đượ c g ọi là ma tr ận c ủa d ạng song 4) fx(,α y )= α fxy (,) , x y z ℝn , α ℝ. ∀, , ∈ ∀ ∈ tuy ến tính f trong c ơ s ở B . Ký hi ệu là A= [ f ] B . Khi đó, d ạng song tuy ến tính f còn đượ c vi ết d ướ i • Xét m ột c ơ s ở B uu u c ủa ℝn . V ới hai = {1 , 2 , ,n } T n n dạng ma tr ận: fxy(,)= [] xB Ay [] B (2). vector b ất k ỳ x y ℝn , x= u x , y= u y , ∈ ∑ i i ∑ j j  Chú ý i=1 j=1 n n • N ếu c ơ s ở không đượ c ch ỉ rõ thì ta ng ầm hi ểu đó là ta có fxy fuuxy . n (,)= ∑∑ (,)i j ij c ơ s ở chính t ắc E trong ℝ . i=1 j = 1 • D ạng song tuy ến tính th ườ ng đượ c cho ở d ạng (1). Toán cao c p C2 Đi h c 25
26. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng  Đị nh ngh ĩa 2 VD 1. D ạng song tuy ến tính   1 3  f ℝn đố ứ fxy(,)= xy − 2 xy + 3 xy có A =  . D ạng song tuy ến tính trên đượ c g ọi là i x ng 11 21 12   −2 0   (t ươ ng ứng, ph ản đố i x ứng ) n ếu: Khi đó: n 1 3 y fxy(,)= fyx (,), ∀ xy , ∈ ℝ T   1  fxy(,)= [] xAy [] = x x    . n ()1 2 −2 0   y  (t ươ ng ứng, fxy(,)=− fyx (,), ∀ xy , ∈ ℝ ).    2   Nh ận xét   0 1 2  Ma tr ận c ủa d ạng song tuy ến tính f đố i x ứng (ph ản   n A   đố i x ứng) trong m ột c ơ s ở b ất k ỳ c ủa ℝ là đố i x ứng VD 2. Cho d ạng song tuy ến tính có = 3 4 5 .   (ph ản đố i x ứng). 6 7 8  Ta có:   VD 3. D ạng song tuy ến tính đố i x ứng fxy(,)= xy + 2 xy + 3 xy 12 13 21   1 0  +4xy + 5 xy + 6 xy + 7 xy + 8 xy . fxy(,)= xy − 2 xy có A =   đố i x ứng. 22 23 31 32 33 11 22   0− 2  
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng 1.2. D ạng toàn ph ươ ng VD 4. Tìm d ạng toàn ph ươ ng Q( x ) ?  Đị nh ngh ĩa    1− 1  n  • Cho f là d ạng song tuy ến tính đố i x ứng trên ℝ . Bi ết ma tr ận c ủa Q( x ) là A =  . −1 2  Ánh x ạ Q : ℝn → ℝ x֏ fxx( , )  Nh ận xét n 2 2 đượ c g ọi là dạng toàn ph ươ ng trên ℝ ứng v ới f . • Trong VD 4, h ệ s ố c ủa x1 và x2 là a11 và a22 c ủa A. • N ửa h ệ s ố c ủa x1 x 2 là a12 và a21 c ủa A. • Nếu A= [ f ] B thì A c ũng đượ c g ọi là ma tr ận c ủa dạng toàn ph ươ ng Q trong c ơ s ở B . VD 5. Tìm ma tr ận trong d ạng toàn ph ươ ng sau: Khi đó, ta có: Qx()2= x2 + 3 x 2 −− x 2 4 xx + 6 xx . Qx()= [] xT Ax []. 1 2 3 12 23 B B
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng §2. ĐƯ A D ẠNG TOÀN PH ƯƠ NG   1 0  VỀ D ẠNG CHÍNH T ẮC VD 1. Dạng chính t ắc có ma tr ận A =   là: 0− 2  2.1. D ạng chính t ắc c ủa một dạng toàn ph ươ ng   T 2 2  Đị nh ngh ĩa Qx()= Qxx (,)[][]12 = xAx =− x 12 2 x . Trong ℝn , xét d ạng toàn ph ươ ng (vi ết t ắt là DTP) Q . Ta nói Q đượ c đư a v ề dạng chính t ắc n ếu ta ch ỉ ra đượ c m ột c ơ s ở B mà trong c ơ s ở này, ma tr ận c ủa VD 2. Trong ℝ3 , d ạng chính t ắc Qx( )= x2 − 5 x 2 Q có d ạng đườ ng chéo. 1 2   1 0 0  Ngh ĩa là:   T 2 2 2   QxxAx()[][]= =+++λ x λ x λ x có ma tr ận A =0 − 5 0 . BB 11 22 n n   T 0 0 0  Af=[]B = diag (,, ,λ1 λ 2 λ nB ),[] x = ( x 1 x n ) .   Toán cao c p C2 Đi h c 26
27. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng 2.2. Đư a d ạng toàn ph ươ ng v ề d ạng chính t ắc VD 3. Ma tr ận c ủa dạng toàn ph ươ ng 2.2.1. Ph ươ ng pháp bi ến đổ i tr ực giao Qxx(,)= x2 − 2 xx + 6 x 2 12 1 12 2 a) Đị nh ngh ĩa trong c ơ s ở B ={(1; 1), ( − 1; 1)} là: • Ma tr ận vuông P đượ c g ọi là ma tr ận tr ực giao n ếu:     T −1 1 5 5  1 5 5  P= P . A. A =  ; B. A =  ; B   B   2 5 9   2 −5 9   • N ếu có ma tr ận tr ực giao P làm chéo hóa ma tr ận A thì ta nói P chéo hóa tr ực giao ma tr ận A. 5− 5  5 5  1   1    Chú ý C. AB =  ; D. AB =  . 5 9  5− 9  n 2    2    2 Nếu P= ( a ) là ma tr ận tr ực giao thì a ij n ∑ ij = 1 i=1 (t ổng bình ph ươ ng m ỗi c ột c ủa P bằng 1 ).
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng VD 4. Ma tr ận nào sau đây là ma tr ận tr ực giao ? b) Thu ật toán n Xét d ạng toàn ph ươ ng Q( x ) trong ℝ có ma tr ận là A.     Ta đi tìm ma tr ận tr ực giao P sao cho khi đổi bi ến  3− 2 2   0 1 2      []x= P [] y thì D= PT AP có d ạng chéo. 1   1       T A.  0 1 2 ; B.  3− 2 2 ; Khi đó, Q= [] y Dy [] có dạng chính t ắc theo bi ến y : 6   6   − 3 1 2  − 3 1 2  Qy()=λ y2 + λ y 2 ++ λ y 2       11 22 n n với λ ,i= 1,2, , n là các tr ị riêng c ủa A.     i  3 1 2   3 1 2      • B ướ c 1. Tìm các tr ị riêng λi của A và vector riêng 1   1   C.  0− 2 2 ; D. −3 − 2 2 .     cơ sở ui của không gian riêng ứng v ới λi ,i= 1, n . 6   6   − 3 1 2    0 1 2   • B ướ c 2. Tr ực chu ẩn hóa Gram – Schmidt các vector ui thành wi (xem ch ươ ng 3, §5, 5.3).
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng • B ướ c 3. Ma tr ận tr ực giao là: Tr ực chu ẩn hóa u1, u 2 ta đượ c: P=[ ww ] [ ] [ w ] . 1 1 ( 1 2 n ) w = 2; 1 và w =1; − 2 . 1 ( ) 1 ( ) Ma tr ận c ủa Q trong c ơ s ở m ới là: 5 5 D= PT AP = diag (λ , λ , , λ ) . Ma tr ận P c ủa phép chuy ển t ừ c ơ s ở chính t ắc sang 1 2 n   1 2 1  2 c ơ s ở tr ực chu ẩn {w , w } là P =  . VD 5. Trong ℝ , cho d ạng toàn ph ươ ng: 1 2   5 1− 2  2 Đổ i bi ến []x= P [] y : Qx()= − 3 x2 + 4 xx 1 2 .   2 1 12 0 2  x y yx y y .   1= 1 + 22, = 1 − 2 Q( x ) có ma tr ận A =   trong c ơ s ở chính t ắc. 2− 3  55 55 Thay x, x trong công th ức đổ i bi ến trên vào Q( x ) , Ma tr ận A có trị riêng và vector riêng t ươ ng ứng là: 1 2 2 2 λ11=1,u = (2; 1); λ 2 =− 4, u 2 =− (1; 2) . ta đượ c d ạng chính t ắc Qy( )= y1 − 4 y 2 . Toán cao c p C2 Đi h c 27
28. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng 3 VD 6. Trong ℝ2, cho d ạng toàn ph ươ ng VD 7. Trong ℝ , cho ma tr ận A c ủa DTP Q( x ) có các Qxx(,)= 3 x2 + 4 xx . tr ị riêng và vector riêng c ơ s ở t ươ ng ứng là: 12 2 12 λ=3,u = (1; 1; 1); λ = 6, u =−− ( 1; 1; 2) B ằng phép đổ i bi ến tr ực giao []x= P [] y , 11 22   và λ =8,u = ( − 1; 1; 0) . 1 −2 1  3 3 v ới P =  , ta đư a Q v ề d ạng chính t ắc là: Tìm ma tr ận tr ực giao P và d ạng chính t ắc c ủa Q ?  1 2  5   1 2 2 2 2 Gi ải. Đặ t v== u(1; 1; 1) ⇒= w 1; 1; 1 , A. Q= − y + 4 y ; B. Q= y − 4 y ; 1 1 1 ( ) 1 2 1 2 3 C. Q=4 y2 − y 2 ; D. Q= −4 y2 + y 2 . u v 1 2 1 2 v=− u2 1 v =−−( 1; 1; 2) 2 22 1 v1  Chú ý 1 ⇒w = −−1; 1; 2 , Các tr ị riêng c ủa A ứng v ới vector c ột c ủa P . 2 ( ) 6
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng uv uv VD 8. Đư a d ạng toàn ph ươ ng sau về d ạng chính t ắc vu=−31 v − 32 v =−( 1; 1; 0) 332 1 2 2 b ằng bi ến đổ i tr ực giao: v v 2 2 2 1 2 Qx()3=++− x 6 x 3 x 4 xx + 8 xx + 4 xx . 1 1 2 3 12 13 23 ⇒w = − 1; 1; 0 .   3 ( )  3− 2 4    2    3 6 2  Gi ải. Q( x ) có ma tr ận A = − 2 6 2 .  − −     3 6 2       4 2 3   3 6 2  λ = 7 Vậy P = −  và đổ i bi ến []x= P [] y det(A−λ I ) = 0 ⇔ ( λ − 7)(2 λ + 2) = 0 ⇔  .  3 6 2     λ = − 2  3 6    0  • Với λ = 7, ta có 2 vector c ơ s ở c ủa E(7) là:    3 3  1  u=(1; 0; 1), u = − ; 1; 0 . 2 2 2 1 2   ta có d ạng chính t ắc là Qy()3= y1 + 6 y 2 + 8 y 3 . 2 
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng • Với λ = − 2, ta có 1 vector c ơ s ở c ủa E(− 2) là: uv uv 31 32 1  vu v v   1  33=− 1 − 2 =−− 1; ; 1  u = −1; − ; 1 . 2 2  2   3   v v  2  1 2 1 ⇒w = −−2; 1; 2 . 2   3 ( ) Đặ t v== u(1; 0; 1) ⇒= w 1; 0; 1 ,  2 2 2  3 1 1 1 2 ( )  − −   2 6 3    u v     2 1 1 1   2 2 1  v=− u v =− ; 1;  Vậy P = 0 −  và đổ i bi ến []x= P [] y 2 22 1    3 3  v 4 4    1  2 2 2    2   ⇒w = − 1; 4; 1 ,  2 6 3   2 ( ) 6 2 2 2 ta có d ạng chính t ắc là Qy()7= y1 + 7 y 2 − 2 y 3 . Toán cao c p C2 Đi h c 28
29. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng 2.2.2. Thu ật toán Lagrange Đổi bi ến: Xét d ạng toàn ph ươ ng: y= ax + ax ++ ax , y= xi = 2, n . n 1 11 1 12 2 1 n n i i ( ) Qx ax2 axx . ( )=∑iii + 2 ∑ ijij Đổ i bi ến ng ượ c: i=1 1 ≤<≤ ijn 1 x= yay − −− ay , x= yi = 2, n . 1( 1122 1 n n ) i i ( ) a) Tr ườ ng h ợp 1 (có 1 h ệ số aii ≠ 0) a11 • Bướ c 1. Gi ả s ử a , ta tách t ất c ả các s ố h ạng a a  11 ≠ 0 12 1 n  1− −  ch ứa x trong Q( x ) và thêm ho ặc bớt để có d ạng:  a a  1  11 11    1 2 Ta có ma tr ận P =  0 1 0 . Qx ax ax Qx x 1   ()=( 111 ++ 1n n) + 12 (, ,) n ,   a   11     với Q( x , , x ) ch ứa t ối đa n bi ến.   1 2 n −1  0 0 1 
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng 3 1 2 ℝ Với bi ến m ới thì Q= yQy + ( , , y ) . VD 9. Trong , cho d ạng toàn ph ươ ng: 1 1 2 n Qxxx x2 x 2 x 2 xx xx . a11 (,,)123=+ 1 2 2 + 2 3 + 2 12 − 2 23 • Bướ c 2. Ti ếp t ục làm nh ư b ướ c 1 cho Q( y , , y ) , Dùng thu ật toán Lagrange đư a Q( x ) v ề d ạng chính t ắc 1 2 n ta đặ t y=+ x xy, =− x xy , = x . Sau k b ướ c thì Q có d ạng chính t ắc. 1 1 22 2 33 3 Ma tr ận đổ i bi ến P là: Ma tr ận đổ i bi ến P= P1 P k và []x= P [] y . 1 1 0  1 0 0      b) Tr ườ ng h ợp 2 (h ệ s ố a=0, i = 1, , n )     ii A. 0 1− 1 ; B. 1 1 0 ;     Gi ả s ử a ≠ 0, ta đổ i bi ến:     12 0 0 1   0− 1 1   xyyx=+, =− yyxyi , = ( = 3, ,) n . 1 1 22 1 2 i i 1 0 0  1− 1 − 1      2 2 2     Khi đó, Q=2 ay − 2 ay + có h ệ s ố c ủa y là C. −1 1 0 ; D. 0 1 1 . 121 122 1         a −1 1 1  0 0 1  212 ≠ 0 . Ta trở l ại tr ườ ng h ợp 1.      
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng VD 10. Trong ℝ2, cho d ạng toàn ph ương: VD 12. Dùng thu ật toán Lagrange đưa DTP sau về 2 2 dạng chính t ắc và tìm ma tr ận đổ i bi ến P : fxx(,)12=− 7 x 1 − 2 x 2 − 8 xx 12 . Dùng thu ật toán Lagrange với ma tr ận đổ i bi ến fx()2= xx12 + 2 xx 13 − 6 xx 23 . 1 0  x= y + y 1 1 0     1 1 2   P =  , ta đư a f v ề d ạng chính t ắc là:    −2 1  Gi ải. Đổ i bi ến: x=−⇒ y y P =1 − 1 0 .    2 1 2 1   2 2 2 2    A. fyy(, )= 2 y − y ; B. fyy(,)= − 2 y + y ; x= y 0 0 1  12 1 2 12 1 2  3 3   C. fyy y2 y 2 ; D. fyy y2 y 2 . (,)12= 1 − 2 2 (,)12= − 1 + 2 2 D ạng toàn ph ươ ng f đố i v ới bi ến y là: f=2( yyyy + )( − )+2( yyy + ) −− 6( yyy ) VD 11. Dùng thu ật toán Lagrange đưa DTP sau v ề 121 2 123 1 23 2 22 2 dạng chính t ắc và tìm ma tr ận đổ i bi ến P : =2(y1 − 2 yy 13 +−+ y 3 )2 y 2 8 yy 23 − 2 y 3 2 2 2 2 2 Qx()=−+ x2 42 x 3 + xx 12 + 4 xx 13 . =2(yy13 − ) −+ 2 y 2 8 yy 23 − 2 y 3 . Toán cao c p C2 Đi h c 29
30. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng z= y − y 1 0 1  Vậy d ạng chính t ắc c ủa Q là:  1 1 3      2 2 2 Đổ i bi ến: z= y ⇒ P = 0 1 0 . Qu()2= u − 2 u + 6 u .  2 2 2   1 2 3    z= y 0 0 1   3 3   Ma tr ận đổ i bi ến là: D ạng toàn ph ươ ng f đố i v ới bi ến z là:   1 1 3  f=2 z2 − 2 z 2 + 8 zz − 2 z 2   1 2 23 3   P= PPP1 2 3 =1 −− 1 1 . =−2z22 2( z − 4 zz + 4)6 z 22 + z   1 2 23 3 3 0 0 1  2 2 2   =2z1 − 2( zz 23 − 2 ) + 6 z 3 .     Nh ận xét u1= z 1 1 0 0        Do cách đổ i bi ến trong thu ật toán Lagrange có th ể Đổ i bi ến: u2= z 2 −2 z 3 ⇒ P 3 =  012 .    khác nhau nên d ạng chính t ắc là không duy nh ất. u= z 0 0 1   3 3  
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng 2.2.3. Thu ật toán Jacobi (tham kh ảo) j i D • Với > , ta đặ t j−1, i là đị nh th ức c ủa ma tr ận có  Đị nh th ức con chính các ph ần t ử n ằm trên giao các dòng 1,2, ,j − 1 và Cho ma tr ận vuông A= ( a ) . ij n các c ột 1,2, ,i − 1, i + 1, , j (b ỏ c ột i) c ủa A. a a 11 1 k • Đổ i bi ến theo công th ức: Đị nh th ức: D = (1≤k ≤ n ) x=+ y by + by + by ++ by , k  1 1 21 2 31 3 41 4n 1 n a a  k1 kk x2= ybyby 2 + 32 3 + 42 4 ++ byn 2 n ,  đượ c g ọi là đị nh th ức con chính c ủa A.  ,  x= y .  Thu ật toán  n n D • Cho d ạng toàn ph ươ ng Q( x ) có ma tr ận A= ( a ) j−1, i ij n Trong đó, b =( − 1) i+ j . ji D th ỏa các đị nh th ức con Dk ≠0, k = 1, , n . j−1
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng 2 3/2 2  1b b     21n 1      Gi ải. Ma tr ận c ủa Q( x ) là A = 3/2 1 0 . 0 1 b     n2    Khi đó, P =   và  2 0 1          2 3/2 1 17 0 0 1  Ta có: D=2, D = =− , D = − . 1 2 3/2 1 3 D D D 4 4 QDy=222 +2 y + 3 y ++ n y 2 . 11 2 3 n x y by by D D D  1= 1 + 212 + 313 1 2n− 1  Đổ i bi ến x= yby + , trong đó:  2 2 323 x= y VD 13. Dùng thu ật toán Jacobi đưa DTP sau về d ạng  3 3 2 2 2 D 2− 1, 1 3/2 3 chính t ắc: Qx()2= x1 +++ x 2 x 3 3 xx 12 + 4 xx 13 . 1+ 2 b21 =−( 1) =− =− , D1 2 4 Toán cao c p C2 Đi h c 30
31. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng 3/2 2 2.2.4. Thu ật toán bi ến đổ i s ơ c ấp ma tr ận đố i x ứng D 1 0 (tham kh ảo) 1+ 3 3− 1, 1 b =−( 1) = = 8 , • B ướ c 1. Bi ến đổ i s ơ c ấp dòng của ma tr ận A I và 31 D −1 / 4 ( n ) 2 2 2 đồ ng th ời l ặp l ại các bi ến đổ i cùng ki ểu trên các c ột D 3− 1, 2 3/2 0 của A I để đư a A v ề d ạng chéo diag λ λ . 2+ 3 ( n ) (1 , ,n ) b32 =−( 1) = =− 12 . T D2 −1 / 4 Khi đó, In s ẽ tr ở thành P . 1− 3/4 8    • B ướ c 2. Đổ i bi ến []x= P [] y , ta đượ c:   Vậy v ới ma tr ận đổ i bi ến P =0 1 − 12  thì Qy( )=λ y2 + λ y 2 ++ λ y 2 .   11 22 n n   0 0 1  VD 14. Dùng thu ật toán bi ến đổ i s ơ c ấp, đưa DTP 2D2 2 D 3 2221 2 QyDy( )=11 + y 2 + y 31 =−+ 2 y y 2 17 y 3 . Qx()2= xx12 − 4 xx 13 + 6 xx 23 v ề d ạng chính t ắc. D1 D 2 8
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng    0 1− 2  2 1 11 1 0         c→ c + c  Gi ải. Ma tr ận c ủa Q là A . 1 1 2   =  1 0 3  →1 0 30 1 0      −2 3 0      1 3 00 0 1        0 1− 2100  21 11 10        d→2 d − d   Ta có: A I =  1 0 3010  →2 2 1 0 − 15 − 110  ( 3 )   d→2 d − d     3 3 1   −23 0001       05− 11 − − 12        1 1 11 1 0  20 01 10  d→ d + d     1 1 2  c→2 c − c   → 1 0 30 1 0  →2 2 1 0 − 210 − 1 1 0    c→2 c − c     3 3 1   −2 3 00 0 1       010− 21 − − 12  
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng 2 0 01 10   §3. LUẬT QUÁN TÍNH   d→ d + 5 d   3 3 2   XÁC ĐỊ NH D ẤU C ỦA D ẠNG TOÀN PH ƯƠ NG →0 − 210 − 110    0 0 48− 642   3.1. Lu ật quán tính 2 0 01 10   a) D ạng chu ẩn t ắc   c→ c + 5 c   3 3 2  . n →0 − 20 − 110  • Trong ℝ , m ọi d ạng toàn ph ươ ng b ất k ỳ đề u có th ể   0 0 48− 642   đư a v ề d ạng chính t ắc trong m ột c ơ s ở chính t ắc: Qxx=+++λ2 λ 2 λλλλ x 2 ( ≠ 0) (1). 110  116− −  11 22r r 12 r    T    Vậy P=−110 ⇒= P  114     • Dạng chính t ắc (1) đượ c g ọi là dạng chu ẩn t ắc n ếu:    −642   002  λi =1, ∀i = 1,2, , r . và Qy()= 2 y2 − 2 y 2 + 48 y 2 . 1 2 3 Toán cao c p C2 Đi h c 31
32. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng • Không làm mất tính t ổng quát, giả s ử: VD 1. Trong ℝ4 , cho dạng chính t ắc: λ λ λ và λ λ λ . 2 2 2 1, 2 , ,s > 0 s+1, s + 2 , , r ∀∈ 0, x \{}θ . • Q( x ) đượ c gọi là xác đị nh d ươ ng n ếu: n Q() x> 0, ∀ x ∈ ℝ \{}θ . 2 2 • fx()=− 4 x1 − x 2 + 4 xx 12 là n ửa xác đị nh âm vì • Q x đượ c g ọi là xác đị nh âm n ếu: 2 2 ( ) fx( )=− (2 xx − ) ≤ 0, ∀∈ x ℝ . Q() x 0 . • Q( x ) đượ c g ọi là không xác đị nh d ấu n ếu nó nh ận cả giá tr ị d ươ ng l ẫn âm. Toán cao c p C2 Đi h c 32
33. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng 3.3. Các tiêu chu ẩn xác đị nh dấu VD 4. Trong ℝ3 , xét tính xác đị nh d ấu c ủa DTP sau: a) Đị nh lý 1 2 2 2 Qx()4= x1 ++ x 2 52 x 3 − xx 12 + 6 xx 13 . • DTP trong ℝn là xác đị nh d ươ ng khi và ch ỉ khi t ất c ả 3 các hệ s ố ở d ạng chính t ắc c ủa nó đề u d ươ ng. VD 5. Trong ℝ , xét tính xác đị nh d ấu c ủa DTP sau: 2 2 2 n fx x x x xx . • DTP trong ℝ là xác đị nh âm khi và ch ỉ khi t ất c ả ()7=1 + 2 2 −+ 3 5 13 các hệ s ố ở dạng chính t ắc c ủa nó đề u âm.  Hệ qu ả b) Đị nh lý 2 ( Đị nh lý Sylvester ) • D ạng toàn ph ươ ng Q( x ) là xác đị nh d ươ ng khi và ch ỉ • Trong ℝn , d ạng toàn ph ươ ng là xác đị nh d ươ ng khi khi ma tr ận c ủa nó có tất c ả các tr ị riêng dươ ng. và ch ỉ khi ma tr ận c ủa nó có tất c ả các đị nh th ức con chính đề u d ươ ng. • D ạng toàn ph ươ ng Q( x ) là xác đị nh âm khi và ch ỉ khi ma tr ận c ủa nó có tất c ả các tr ị riêng âm . Ngh ĩa là: Dk >0, k = 1, n .
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng • Trong ℝn , d ạng toàn ph ươ ng là xác đị nh âm khi và Bài đọ c thêm ch ỉ khi ma tr ận của nó có các đị nh th ức con chính MỘT S Ố ỨNG D ỤNG TRONG KINH T Ế cấp ch ẵn d ươ ng, c ấp l ẻ âm. k 1. Ch ỉ s ố giá Laspeyres và Paasche Ngh ĩa là: (− 1)Dk > 0, k = 1, n . VD 1. Một khách hàng mua t ại siêu th ị X l ượ ng g ạo, ℝ3 VD 6. Trong , dùng đị nh lý Sylvester xét tính xác th ịt, rau ( đơ n v ị: kg) cho b ởi ma tr ận A = (12 2 3) đị nh d ấu c ủa dạng toàn ph ươ ng sau: 2 2 2 với giá t ươ ng ứng (ngàn đồ ng / kg) cho b ởi ma tr ận Qx()=− 2 x − 4 x − 3 x + 4 xx . 1 2 3 12 B = (9 62 5) . Khi đó: 3 VD 7. Trong ℝ , dùng đị nh lý Sylvester xét tính xác T đị nh d ấu c ủa dạng toàn ph ươ ng sau: AB T =(12 2 3)( 9 62 5) = (247) . 2 2 2 fx()7= x1 + 2 x 2 −+ x 3 5 xx 13 . Vậy s ố ti ền khách hàng ph ải tr ả là 247.000 đồ ng.
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng   VD 2. Công ty X có 3 c ửa hàng I, II, III cùng bán 4  3  2 1 4 5    62,5  mặt hàng: tivi, t ủ l ạnh, máy gi ặt, máy l ạnh v ới giá bán     T  5   tươ ng ứng (tri ệu đồ ng / chi ếc) cho b ởi ma tr ận Gi ải. BA =0 2 6 1  =  43,7  . 4,5        A = (3 5 4,5 6,7 ). Lượ ng hàng bán đượ c trong 5 2 0 2    38,4  6,7  ngày c ủa 3 c ửa hàng t ươ ng ứng 3 dòng c ủa ma tr ận   Vậy s ố ti ền c ửa hàng I, II, III bán đượ c tr ong ngày l ần 2 1 4 5    lượ t là: 62,5; 43,7; 38,4 (tri ệu đồ ng). B = 0 2 6 1 .     5 2 0 2   T VD 3. Gi ả s ử giá bán (ngàn đồ ng / kg) c ủa g ạo, đườ ng Hãy cho bi ết ý ngh ĩa các ph ần t ử c ủa tích BA ? và b ột mì vào các ngày 1/1 và 1/6 l ần l ượ t cho b ởi 2 cột c ủa ma tr ận Toán cao c p C2 Đi h c 33
34. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng   Từ ma tr ận V , ta suy ra: 10 11    • v = 170 : ti ền mua hàng 1/1 theo giá ngày 1/1. P   11 = 20 19 . Một ng ườ i A trong hai ngày đó đã   • v = 178 : ti ền mua hàng 1/1 theo giá ngày 1/6.  12 30 32   • v = 210 : ti ền mua hàng 1/6 theo giá ngày 1/1. mua vào l ượ ng hàng t ươ ng ứng cho b ởi 2 c ột c ủa ma 21 v   • 22 = 218 : ti ền mua hàng 1/6 theo giá ngày 1/6. 4 3    tr ận Q = 2 3 .   a) N ếu l ấy ngày 1/1 làm c ơ s ở thì v , v l ần l ượ t là   11 12 3 4   giá c ủa t ổng l ượ ng hàng ng ườ i A mua t ại ngày c ơ   Khi đó, ta có: 10 11  sở tính t ại ngày c ơ s ở và ngày 1/6. 4 2 3   170 178  T     v V= Q P =20 19  =   . 12 3 3 4   210 218  Khi đó: ≈ 1,047 đượ c g ọi là ch ỉ s ố Laspeyres .     v 30 32   11
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng v v Q và Q đượ c g ọi là hàm cung và hàm c ầu. b) N ếu l ấy ngày 1/6 làm c ơ s ở thì 21 , 22 l ần l ượ t là S D giá c ủa t ổng l ượ ng hàng ng ườ i A mua t ại ngày c ơ • Gi ả s ử ta có các m ối quan h ệ tuy ến tính: sở tính t ại ngày 1/1 và ngày c ơ s ở. P= aQD + b và P= cQS + d . v Ng ườ i ta đã ch ứng minh đượ c r ằng: Khi đó: 22 ≈ 1,038 đượ c g ọi là ch ỉ s ố Paasche . v  Thông th ườ ng lượ ng c ầu gi ảm khi giá t ăng 21 và lượ ng cung t ăng khi giá t ăng . 2. Mô hình cân b ằng th ị tr ườ ng 2.1. Th ị tr ườ ng m ột lo ại hàng hóa • Th ị tr ườ ng cân b ằng khi • G ọi P, Q , Q l ần l ượ t là giá th ị tr ườ ng, l ượ ng c ầu l ượ ng cung b ằng l ượ ng c ầu. D S Giá P là giá cân b ằng và và l ượ ng cung c ủa m ặt hàng c ần kh ảo sát. 0 l ượ ng Q0 là l ượ ng cân b ằng. Khi đó, l ượ ng QS và QD ph ụ thu ộc vào P .
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng VD 4. Cho bi ết hàm cung và hàm c ầu c ủa 1 lo ại hàng Gi ải hóa là 5P= Q + 30 , 4P= − Q + 240 . Q Q Q S D 1) Khi th ị tr ườ ng cân b ằng, ta có: S= D = 0. Hãy tìm giá cân b ằng và l ượ ng cân b ằng? P=1,5 Q + 15  P = 81 0 0  0 Gi ải. Khi th ị tr ườ ng cân b ằng, ta có: Q= Q = Q . ⇔  . S D 0 P=−+ Q125  Q = 44 0 0  0 5P= Q + 30  P = 30   0 0  0 ⇔  . 2) Khi nhà n ướ c đánh thu ế thì hàm cung s ẽ b ị thay P Q Q 40=−+ 0 240  0 = 120   đổ i, c ụ th ể là: P−5 = 1,5 Q S + 15 . VD 5. Cho bi ết hàm cung và c ầu c ủa 1 lo ại hàng hóa: P−=5 1,5 Q + 15  P = 83 0 0  0 P=1,5 Q + 15 , P= − Q + 125 . ⇔  . S D P=−+ Q125  Q = 42 1) Hãy tìm giá cân b ằng và l ượ ng cân b ằng? 0 0  0 2) Gi ả s ử nhà n ướ c đánh thu ế 5 đơ n v ị ti ền t ệ trên 1 So sánh 2) và 1) ta th ấy giá cân b ằng t ăng lên 2 đơ n đơ n v ị s ản ph ẩm. Hãy cho bi ết ng ườ i mua hay vị và đó là ph ần thu ế ng ườ i mua ph ải tr ả; ph ần còn ng ườ i bán ph ải tr ả thu ế này? lại ng ườ i bán ph ải tr ả. Toán cao c p C2 Đi h c 34
35. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng 2.2. Th ị tr ườ ng nhi ều lo ại hàng hóa liên quan • Khi thị tr ườ ng cân b ằng thì: • Trong th ị tr ườ ng nhi ều hàng hóa, giá c ủa m ặt hàng QQi=( = 1,2, , n ) Si D i này có th ể ảnh h ưở ng đế n l ượ ng cung – c ầu c ủa các cPcP+ ++ cP =− c mặt hàng khác.  111 122 1n n 10  Hàm cung – c ầu tuy ến tính c ủa th ị tr ườ ng n hàng cPcP211+ 222 ++ cP 2n n =− c 20 ⇔ ,c = a − b . hóa có d ạng:  ik ik ik  Q=+ a aPaP + ++ aP  Si0 i 11 i 22 inn cPcP+ ++ cP =− c i  n1122 n nnn n 0 Q bbPbP bPi n Dii=+0 11 + i 22 ++ inn ( = 1,2, , ) . i Chú ý Trong đó: • N ếu vi ệc t ăng giá m ặt hàng 2 khi ến ng ườ i tiêu dùng Q, Q và P t ươ ng ứng là l ượ ng cung, c ầu và giá Si D i i chuy ển sang ch ọn m ặt hàng 1 làm t ăng l ượ ng c ầu của hàng hóa i. của m ặt hàng 1 thì ta nói m ặt hàng 1 và 2 có th ể thay th ế l ẫn nhau .
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng   • N ếu vi ệc t ăng giá m ặt hàng 2 làm gi ảm l ượ ng c ầu QS= Q D = Q 1452−P + P =− 45 + P  1 1 1  1 2 1 mặt hàng 2 và c ũng làm l ượ ng c ầu c ủa m ặt hàng 1 ⇔  QQQS= D =2  30 +− PP 12 2 =−+ 405 P 2 gi ảm theo thì ta nói 2 m ặt hàng ph ụ thu ộc l ẫn nhau . 2 2   P=70  Q = 25 1  1 VD 6. Cho bi ết hàm cung và c ầu c ủa 2 lo ại hàng hóa: ⇔ ⇒  . P=20  Q = 60 Q= −45 + P ; Q=145 − 2 P + P ; 2  2 S1 1 D1 1 2 2) T ừ QD =145 − 2 P1 + P 2 , ta th ấy: Q= −40 + 5 P ; Q=30 + P − 2 P . 1 S2 2 D2 1 2 P2 ↑⇒ Q D ↑⇒ hai m ặt hàng này có th ể thay th ế nhau. 1) Hãy tìm giá và l ượ ng cân b ằng c ủa hai m ặt hàng? 1 2) Hãy cho bi ết hai m ặt hàng này có th ể thay th ế l ẫn VD 7. Cho bi ết hàm cung và c ầu c ủa 3 lo ại hàng hóa: nhau hay ph ụ thu ộc l ẫn nhau? Q= −4 + P ; Q=70 − PPP − 2 − 6 ; S1 1 D1 1 2 3 Gi ải QS = −3 + P 2; QD =76 − 3 PPP1 − 2 − 4 3 ; 1) Khi th ị tr ườ ng cân b ằng, ta có: 2 2 Q= −6 + 3 P ; Q=70 − 2 PPP − 3 − 2 . S3 3 D3 1 2 3
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng 1) Hãy tìm giá và l ượ ng cân b ằng c ủa ba m ặt hàng? 2) T ừ các hàm c ầu, ta th ấy r ằng: 2) Hãy cho bi ết ba m ặt hàng này có th ể thay th ế l ẫn B ất k ỳ m ặt hàng nào t ăng giá s ẽ kéo t ất c ả l ượ ng c ầu nhau hay ph ụ thu ộc l ẫn nhau? gi ảm theo. V ậy 3 m ặt hàng này là ph ụ thu ộc l ẫn nhau. Gi ải 3. Mô hình Input – Output Leontief 1) Khi th ị tr ườ ng cân b ằng, ta có: 3.1. Khái ni ệm chung Q= Q = Q P P P  S D 1  1+ 2 +3 3 = 37 • Mô hình này còn đượ c g ọi là mô hình I/O hay mô  1 1    hình cân đố i liên ngành, đề c ập đế n vi ệc xác đị nh QQQS= D =⇔2  3 PPP 1 ++ 2 2 4 3 = 79 2 2    P P P mức t ổng c ầu đố i v ới s ản ph ẩm c ủa m ỗi ngành s ản QS= Q D = Q 3  21+ 3 2 + 5 3 = 76 3 3   xu ất trong t ổng th ể n ền kinh t ế. P  Q • Trong mô hình I/O, khái ni ệm ngành đượ c xét theo 1=15  1 = 11   ngh ĩa thu ần túy là s ản xu ất, v ới các gi ả thi ết sau: ⇔P =⇒7  Q = 4 . 2  2 1) Mỗi ngành s ản xu ất 1 lo ại hàng hóa ho ặc s ản xu ất P=5  Q = 9 3  3 một s ố lo ại hàng hóa theo t ỉ l ệ nh ất đị nh. Toán cao c p C2 Đi h c 35
36. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng 2) Các y ếu t ố đầ u vào ( input – nguyên li ệu) c ủa s ản G ọi a : s ố đơ n v ị đầ u vào i (i= 1,2, , m ) để xu ất trong 1 ngành đượ c s ử d ụng theo t ỉ l ệ c ố đị nh. ij sản xu ất 1 đơ n v ị đầ u ra j (j= 1,2, , n ) ; • T ổng c ầu đố i v ới đầ u ra ( output – sản ph ẩm) c ủa y : t ổng đơ n v ị đầ u vào i; x : t ổng đơ n v ị đầ u ra j . mỗi ngành bao g ồm: i j  Cầu trung gian t ừ phía các nhà s ản xu ất s ử d ụng bi : giá tr ị hàng hóa c ủa ngành i c ần cho tiêu dùng và các lo ại s ản ph ẩm cho quá trình s ản xu ất. xu ất kh ẩu (c ầu cu ối cùng).  Cầu cu ối cùng t ừ phía ng ườ i s ử d ụng các lo ại s ản a a a  x  y  11 12 1 n  1  1  ph ẩm để tiêu dùng ho ặc xu ất kh ẩu.       a a a  x  y   21 22 2 n   2   2  3.2. Mô hình I/O t ổng quát Đặ t A =  , X =  , Y =  .       • Gi ả s ử có m đầ u vào đượ c dùng để s ản xu ất n đầ u ra       a a a  x  y  (m> n ). Trong m đầ u vào có n đầ u vào l ấy t ừ n  m1 m 2 mn    n   m   đầ u ra c ủa chính n ngành s ản xu ất và m− n đầ u vào lấy t ừ m− n đầ u ra ngành khác. Ta có ph ươ ng trình ma tr ận: AX= Y ( I).
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng • Thông th ườ ng, bài toán đặ t ra là tìm m ức n đầ u ra để Khi đó: đáp ứng nhu c ầu n đầ u vào cho n ngành s ản xu ất. 1) Ma tr ận t ổng c ầu đượ c xác đị nh: Ngoài ra, ph ải cò n d ư m ột ph ần khác cho nhu c ầu X=( I − AD )−1 . T D= ( d1 d n ) c ủa ngành kinh t ế m ở (ngành không 2) I− A đượ c g ọi là ma tr ận Leontief (hay ma tr ận sản xu ất mà ch ỉ tiêu th ụ s ản ph ẩm c ủa n ngành s ản hệ s ố công ngh ệ). Với m đủ l ớn, ta có: xu ất trên). Khi đó, m= n và: (IA− )−1 ≈++ IAA 2 ++ A m . AX= Y ⇔ AX = X − D ⇔ (I− AX ) = D (II). Ý ngh ĩa c ủa đị nh lý 1) Pt (I) dùng để tìm đầ u vào Y khi bi ết đầ u ra X . • Đị nh lý −1 Trong (II), n ếu t ất c ả các ph ần t ử c ủa A và D không 2) Các s ố li ệu ở c ột j trong (I− A ) cho bi ết l ượ ng âm đồ ng th ời t ổng các ph ần t ử trên m ỗi c ột c ủa A nh ỏ đơ n v ị ph ải s ản xu ất thêm (đầ u ra t ăng thêm) c ủa hơn 1 t hì I− A kh ả ngh ịch. mỗi ngành khi nhu c ầu c ủa ngành m ở đố i v ới ngành j t ăng thêm 1 đơ n v ị.
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng 3) Pt (II ) cho phép ta xác đị nh đượ c t ổng c ầu đố i v ới Hãy tìm m ột ph ươ ng trình ma tr ận gi ữa X và Y ? hàng hóa c ủa t ất c ả các ngành s ản xu ất. Giúp cho 2) Cho bi ết giá c ủa m ỗi đơ n v ị đầ u vào điện, gas và vi ệc l ập k ế ho ạch s ản xu ất đả m b ảo cho n ền kinh t ế nướ c l ần l ượ t là 8, 4 và 1. Hãy tìm t ổng chi phí để vận hành t ốt, tránh d ư th ừa hay thi ếu hàng hóa. sản xu ất 1000 đơ n v ị đầ u ra ngành điện và 900 đơ n vị đầ u ra ngành gas? VD 8. Xét n ền kinh t ế có 2 ngành: ngành 1 s ản xu ất 3) Cho bi ết nhu c ầu c ủa ngành kinh t ế m ở là điện, ngành 2 s ản xu ất gas. Gi ả s ử D = (40 80) . Hãy tìm l ượ ng đơ n v ị đầ u ra c ủa 1 đơ n v ị đầ u ra điện c ần s ố đơ n v ị đầ u vào là: 0,3 điện; 0,1 gas; 1,0 n ướ c. ngành điện, gas để đủ đáp ứng nhu c ầu c ủa hai 1 đơ n v ị đầ u ra gas c ần s ố đơ n v ị đầ u vào là: ngành đó và ngành kinh t ế m ở? Tìm l ượ ng đơ n v ị 0,2 điện; 0,4 gas; 1,2 n ướ c. đầ u vào c ủa ngành n ướ c? 1) G ọi X= ( x x ) T : s ố đơ n v ị đầ u ra c ủa 2 ngành, Gi ải 1 2 1) Nhu c ầu đầ u vào l ấy t ừ ngành điện là: Y= ( yyy ) T : s ố đơ n v ị đầ u vào c ủa 3 ngành. 1 2 3 0,3x1+ 0,2 x 2 = y 1 . Toán cao c p C2 Đi h c 36
37. ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng Nhu c ầu đầ u vào l ấy t ừ ngành gas là: x  y  d x x y . 1  1   1  0,11+ 0,4 2 = 2 3) Ta có: =   +   x  y   d  Nhu c ầu đầ u vào l ấy t ừ ngành n ướ c là: 2  2   2  x x y . 1,01+ 1,2 2 = 3 x0,3 0,2  x d 1   1 1   ⇔ =   + . 0,3 0,2  x0,1 0,4   x d   2   2 2   Vậy, đặ t A=0,1 0, 4  ⇒ AXY = .     0,3 0,21 7− 2    Đặ t A= ⇒−= I A   1,0 1,2      0,1 0,410 − 1 6  2) T ổng chi phí s ản xu ất là: 6 2  0, 3 0,2  −1 1      ⇒(I − A ) =  .  1000  1 7  8 4 1 0,1 0,4  = () 7760 ( đơ n v ị ti ền). 4    ( )  900     1,0 1,2  
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng x    1) Nếu nhu c ầu c ủa ngành kinh t ế m ở đố i v ới ngành 2 1 1 6 2  40  100  V ậy =   =   ( đơ n v ị). tăng thêm 1 đơ n v ị thì đầ u ra c ủa m ỗi ngành t ăng x 4 1 7  80  150  2    thêm (s ản xu ất thêm) bao nhiêu đơ n v ị? L ượ ng đơ n v ị đầ u vào l ấy t ừ ngành n ướ c là: 2) Cho bi ết nhu c ầu c ủa ngành m ở đố i v ới đố i v ới y3=1,0 x 1 + 1,2 x 2 =+ 100 1,2.150 = 280 ( đơ n v ị). ngành 1 gi ảm 1 đơ n v ị; ngành 2 t ăng 2 đơ n v ị; ngành 3 gi ảm 1 đơ n v ị thì m ức s ản l ượ ng ( đầ u ra) của 3 ngành t ăng hay gi ảm bao nhiêu? VD 9. Trong mô hình I/O Leontief (3 ngành), cho Gi ải     0,3 0,4 0,1  7− 4 − 1      ma tr ận h ệ s ố đầ u vào A  . 1   = 0,2 0,3 0,2  1) Ta có: I−= A  −2 7 − 2    10   0,2 0,1 0,4       −2 − 1 6  
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng
    Ch ươ ng 5. Dng song tuy n tính – To àn ph ươ ng   −1 40 25 15  2) T ừ 3 dòng c ủa (I− A ) cho ta bi ết: 1   I A −1  . • Mức thay đổ i s ản l ượ ng (theo đơ n v ị) c ủa ngành 1 là: ⇒( − ) =  16 40 16  20   −×1 40 +× 2 25 −× 115 1 16 15 41     =x1 =− (gi ảm); 20 4 T ừ c ột 2 c ủa (I− A ) −1 cho ta bi ết: • Mức thay đổ i s ản l ượ ng (theo đơ n v ị) c ủa ngành 2 là: 25 −×1 16 +× 2 40 −× 1 16 12  Đầ u ra ngành 1 t ăng thêm đơ n v ị; x = = (t ăng); 20 2 20 5 40 • Mức thay đổ i s ản l ượ ng (theo đơ n v ị) c ủa ngành 3 là:  Đầ u ra ngành 2 t ăng thêm đơ n v ị; −×1 16 +× 2 15 −× 1 41 27 20 =x =− (gi ảm). 15 3 20 20  Đầ u ra ngành 3 t ăng thêm đơn v ị. 20 Ht Toán cao c p C2 Đi h c 37