Bài giảng Toán cao cấp C2 (Cao đẳng) - Chương 1: Hàm số nhiều biến số - Nguyễn Phú Vinh
17 trang
1690
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Toán cao cấp C2 (Cao đẳng) - Chương 1: Hàm số nhiều biến số - Nguyễn Phú Vinh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Tài liệu đính kèm:
- bai_giang_toan_cao_cap_c2_chuong_1_ham_so_nhieu_bien_so_nguy.pdf
Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp C2 (Cao đẳng) - Chương 1: Hàm số nhiều biến số - Nguyễn Phú Vinh
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com TO ÁN CAO C P C2 CAO Đ NG 2. Nguy ễn Đình Trí – Toán cao c ấp T ập 2 (dùng cho SV Cao đẳ ng) –NXB Giáo d ục. PHÂN PH I CH ƯƠ NG TRÌNH PHÂN PH I CH ƯƠ NG TRÌNH 3. Lê V ăn H ốt – Toán cao c ấp C 2 S ti t: 30 – ĐH Kinh t ế TP. HCM. 4. Đỗ Công Khanh – Toán cao c ấp A 3 Ch ươ ng 1. Hàm s ố nhi ều bi ến s ố –NXB ĐHQG TP. HCM. Ch ươ ng 2. Ph ươ ng trình vi phân Ch ươ ng 3. Lý thuyết chu ỗi Ch ươ ng 4. M ột s ố bài toán kinh t ế Biên so n: ThS . Đoàn Vươ ng Nguyên Tài li ệu tham kh ảo Download Slide bài gi ng To án C 2CĐ t i 1. Nguy ễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao c ấp dvntailieu.wordpress.com – ĐH Công nghi ệp TP. HCM. Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s §1. Khái ni ệm c ơ b ản • Mi ền ph ẳng D k ể c ả biên ∂D đượ c gọi là mi ền đóng , §2. Đạo hàm riêng – Vi phân mi ền ph ẳng D không k ể biên ∂D là mi ền m ở. §3. C ực tr ị c ủa hàm hai bi ến s ố • Mi ền ph ẳng D đượ c g ọi là mi ền liên thông n ếu có 1 . đườ ng cong n ằm trong D n ối 2 điểm b ất k ỳ thu ộc D . §1. KHÁI NI ỆM C Ơ B ẢN Mi ền liên thông có biên là 1 đườ ng cong kín đượ c g ọi 1.1. Các định ngh ĩa là mi ền đơ n liên (hình a) ; có biên là nhi ều đườ ng cong a) Mi ền ph ẳng kín r ời nhau là mi ền đa liên (hình b). • Trong m ặt ph ẳng Oxy , hình ph ẳng D gi ới h ạn b ởi các đườ ng cong kín đượ c g ọi là mi ền ph ẳng . Tập h ợp các đườ ng cong kín gi ới h ạn D đượ c g ọi là biên c ủa D , ký hi ệu ∂D hay Γ. Đặ c bi ệt, m ặt ph ẳng Oxy đượ c xem là mi ền p hẳng v ới b) Lân c ận c ủa m ột điểm biên ở vô cùng . • Kho ảng cách gi ữa 2 điểm M1( x 1 , y 1 ) , M2( x 2 , y 2 ) là: Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s 2 2 ậ ℝ2 đượ ọ ề đị Đ ủ dMM MM xx yy . • T p D ⊂ c g i là mi n xác nh (MX ) c a h àm ( 12, ) = 12 =( 12 −) +−( 12 ) số, ký hi ệu Df . Mi ền giá tr ị c ủa hàm s ố là: • Hình tròn S( M ,ε ) m ở có tâm ε G== z fxy(,) ∈ℝ (,) xy ∈ D . M( x , y ) , bán kính ε > 0 đượ c • { f } M gọi là m ột lân c ận c ủa điểm M . Chú ý Ngh ĩa là: • Trong tr ườ ng h ợp xét hàm s ố f( x , y ) mà không nói gì 2 2 Mxy000(,)(,)∈ SM ε⇔ ( xx − 0 )( +− yy 0 ) <ε . thêm thì ta hi ểu MX Đ c ủa hàm s ố là t ập t ất c ả các điểm c) Hàm s ố hai bi ến s ố M( x , y ) ∈ ℝ2 sao cho f( x , y ) có ngh ĩa. ℝ2 • Trong m ặt ph ẳng Oxy cho t ập D ⊂ . • Hàm có nhi ều h ơn hai bi ến đượ c đị nh ngh ĩa t ươ ng t ự. Tươ ng ứng f: D → ℝ cho t ươ ng ứng m ỗi (x , y ) ∈ D với m ột giá tr ị z= fxy( , ) ∈ ℝ duy nh ất đượ c g ọi là 1.2. Gi ới h ạn c ủa hàm s ố hai bi ến s ố ( xem giáo trình ) hàm s ố hai bi ến số x, y . 1.3. Hàm s ố liên t ục (xem giáo trình) Toán cao c p C2 Cao đ ng 1
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s §2. ĐẠ O HÀM RIÊNG – VI PHÂN • T ươ ng t ự, đạ o hàm riêng theo bi ến y t ại (x0 , y 0 ) là: 2.1. Đạ o hàm riêng / fx(0 , y)− fx ( 0 , y 0 ) a) Đạ o hàm riêng c ấp 1 fy ( x , y )= lim . 0 0 y→ y y− y • Cho hàm s ố f( x , y ) xác đị nh trên mi ền m ở D ⊂ ℝ2 0 0 Chú ý ch ứa điểm M x y . Cố đị nh y , n ếu hàm s ố f x y 0( 0 , 0 ) 0 ( ,0 ) / ∂f df • Nếu f( x ) là hàm s ố một bi ến x thì fx = = . có đạ o hàm tại x0 thì ta g ọi đạ o hàm đó là đạ o hàm riêng ∂x dx • Hàm s ố nhi ều h ơn hai bi ến có đị nh ngh ĩa t ươ ng t ự. theo bi ến x của hàm s ố f( x , y ) t ại (x0 , y 0 ) . / ∂f VD 1. Tính các đạ o hàm riêng c ủa hàm s ố: Ký hi ệu: f( x , y ) hay f( x , y ) hay (x , y ). 4 32 3 x 0 0 x 0 0 ∂x 0 0 fxy(,)=− x 3 xy + 2 y − 3 xy tại (− 1; 2) . / fxy(, 0 )− fx ( 0 , y 0 ) Vậy fx ( x0 , y 0 )= lim . x→ x 0 x− x 0 Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s x 2 + 1 Ký hi ệu: VD 2. Tính các đạ o hàm riêng c ủa z = ln . 2 2 2 ∂ ∂f ∂ f x+ y + 1 f// == f f = = , 2 xx() x x x ∂x ∂ x ∂x 2 x VD 3. Tính các đạ o hàm riêng c ủa z = cos t ại (π ; 4) . ∂ ∂f ∂ 2 f f// == f f = = , y 2 yy( y ) y y ∂y ∂ y ∂y2 x2 y 2 VD 4. Tính các đạ o hàm riêng c ủa fxyz(,,)= e sin z . // ∂ ∂f ∂ f f== f() f = = , xy xy x y ∂y ∂ x ∂∂ yx 2 // ∂ ∂f ∂ f b) Đạ o hàm riêng cấp cao f== f f = = . yx yx( y )x / / ∂x ∂ y ∂∂ xy • Đạo hàm riêng (n ếu có) c ủa hàm s ố fx ( x , y ) , fy ( x , y ) đượ c g ọi là các đạ o hàm riêng c ấp hai c ủa f( x , y ) . • Hàm s ố nhi ều h ơn 2 bi ến và đạ o hàm riêng c ấp cao h ơn 2 có đị nh ngh ĩa t ươ ng t ự. Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s VD 5. Tính các đạ o hàm riêng c ấp hai c ủa hàm s ố: VD 7. Đạ o hàm riêng z(m+ n ) ( m ≥ 2) c ủa z= e 2x− y là: xm−2 y n x 2 fxy( , ) = xe3y + xy 23 − y 4 t ại (− 1; 1) . A. (− 1)nmn 2 +e2 xy − ; B. (− 1)mmn 2 +e2 xy − ; 5 4 45 VD 6. Cho hàm s ố fxy( , ) = x + y − xy . C. (− 1)m 2 me2 xy− ; D. (− 1)n 2 me2 xy− . Giá tr ị c ủa đạ o hàm riêng cấp năm f (5) (1;− 1) là: x3 y 2 2.2. Vi phân A. f (5) (1;− 1) = 480 ; B. f (5) (1;− 1) = − 480 ; 2.2.1. Vi phân c ấp 1 x3 y 2 x3 y 2 (5) (5) a) Số gia của hàm số C. f 3 2 (1;− 1) = 120 ; D. f 3 2 (1;− 1) = − 120 . x y x y • Cho hàm s ố f( x , y ) xác đị nh trong lân c ận S( M 0 ,ε ) x x • Đị nh lý Schwarz của điểm M0( x 0 , y 0 ) . Cho m ột s ố gia và y m ột // // số gia y , khi đó hàm f( x , y ) có t ươ ng ứng s ố gia: N ếu hàm s ố f( x , y ) có các đạ o hàm riêng fxy, f yx liên ℝ2 // // =f fx( + xy , + − y ) fxy (, ). tục trong mi ền mở D ⊂ thì fxy= f yx . 0 0 00 Toán cao c p C2 Cao đ ng 2
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s b) Đị nh nghĩa Nh ận xét • Xét nh ững điểm Mx(0+ xy , 0 + y ) d ịch chuy ển • Nếu trong lân c ận S( M ,ε ) v ới s ố gia x , y mà s ố 0 trên đườ ng đi qua M 0 song song Ox . Khi đó y = 0 : gia f t ươ ng ứng có th ể vi ết đượ c d ướ i d ạng =f fx(0 + xy , 0)(, − fxy 00 ) = + AxOx . () = + +fAxByOrr. . , = ()() x2 + y 2 f / ( ) ⇒lim =⇒=A A fxyx (,)0 0 . x → 0 x trong đó A, B là nh ững s ố ch ỉ ph ụ thu ộc vào điểm f / Tươ ng t ự, lim=B ⇒ B = fxyy (,)0 0 . y →0 M0( x 0 , y 0 ) và hàm f( x , y ) , không ph ụ thu ộc x, y y / / thì đạ i l ượ ng A. x + B . y đượ c g ọi là vi phân c ủa hàm Suy ra dfxy(, )= fxyx (, ). + x fxy y (, ). y . số f( x , y ) t ại điểm M0( x 0 , y 0 ) . Khi đó, f( x , y ) đượ c • Xét fxy(, )=⇒ x dfxy (,) = ⇒ x dx = x . gọi là kh ả vi t ại điểm M0( x 0 , y 0 ) . T ươ ng t ự, dy= y . V ậy: Ký hi ệu df= A. x + B . y . / / dfx(, y)= fx (, x ydx) + f y (, x ydy). Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s c) Đị nh lý 2.2.2. Vi phân c ấp 2 • N ếu hàm s ố f( x , y ) có các đạ o hàm riêng trong lân c ận • Gi ả s ử f( x , y ) là hàm kh ả vi v ới x, y là các bi ến độ c lập. Các s ố gia dx= x, dy = y tùy ý độ c l ập v ới nào đó c ủa (x0 , y 0 ) và các đạ o hàm riêng này liên t ục x, y nên đượ c xem là h ằng s ố đố i v ới x, y . Vi phân c ủa tại (x0 , y 0 ) thì f( x , y ) kh ả vi t ại (x0 , y 0 ) . df( x , y ) đượ c g ọi là vi phân c ấp 2 c ủa f( x , y ) . Ký hi ệu và công th ức: 2x− y 5 df2== ddf fdx// 2// +2 fdxdy + fdy // 2 . VD 8. Cho hàm fxy( , ) = xe − y . Tính df (1;− 1) . ( ) x2 xy y 2 Chú ý 2 • Nếu x, y là các bi ến không độ c l ập (bi ến trung gian) VD 9. Tính vi phân c ấp 1 c ủa hàm z= ex− y sin( xy 2 ) . x= x ( ϕ , ψ ) , y= y ( ϕ , ψ ) thì công th ức trên không còn đúng n ữa. Sau đây ta ch ỉ xét tr ườ ng h ợp x, y độ c l ập. Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s VD 10. Cho hàm s ố fxy(,)= xy23 + xy 2 − 3 xy 35 . Gi ả s ử các hàm trên đề u kh ả vi, đạ o hàm 2 v ế (*) ta đượ c: F/+ Fz //. = 0, F / + Fz // . = 0 . Tính vi phân cấp hai df 2(2;− 1) . x zx y zy / F / /Fx /y / 2 V ậy z=−, z =− F ≠ 0 . VD 11. Tính vi phân c ấp 2 c ủa hàm f( x , y )= ln( xy ) . x/ y / () z Fz F z VD 12. Cho hàm ẩn z( x , y ) th ỏa ph ươ ng trình: 2.3. Đạ o hàm c ủa hàm s ố ẩn (hai bi ến) xyz=cos( x + y + z ) . Tính z/, z / . ℝ2 x y • Hàm z( x , y ) xác đị nh trên Dz ⊂ th ỏa ph ươ ng trình Fxyzxy(,,(,))= 0, ∀ (,) xy ∈⊂ D D z (*) đượ c g ọi là VD 13. Cho hàm ẩn z( x , y ) th ỏa ph ươ ng trình m ặt c ầu: hàm s ố ẩn hai bi ến xác đị nh b ởi (*) . 2 2 2 / xyz+ + −2 x + 4 yz − 6 −= 20 . Tính zy . Toán cao c p C2 Cao đ ng 3
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s §3. C ỰC TR Ị C ỦA HÀM HAI BI ẾN S Ố 3.2. Đị nh lý 3.1. Đị nh ngh ĩa a) Điều ki ện c ần • N ếu hàm s ố z= fxy( , ) đạ t c ực tr ị t ại M( x , y ) và • Hàm s ố z= fxy( , ) đạ t cực tr ị th ực s ự t ại M0( x 0 , y 0 ) 0 0 0 tại đó hàm s ố có đạ o hàm riêng thì: nếu v ới m ọi điểm M( x , y ) khá g ần nh ưng khác M0 thì / / fxyx(,)00= fxy y (,) 00 = 0. hi ệu f = fxy(,) − fx (,0 y 0 ) có d ấu không đổ i. Điểm M x y th ỏa fxy/ fxy / đượ c • N ếu f > 0 thì f( x0 , y 0 ) là giá tr ị cực ti ểu và M0 là 0( 0 , 0 ) x(,)00= y (,) 00 = 0 điểm c ực ti ểu c ủa z fxy . = ( , ) gọi là điểm d ừng , M0 có th ể không là điểm c ực tr ị. • N ếu f 0 • N ếu ⇒ f( x , y ) đạ t c ực ti ểu t ại M . điểm cao nh ất (hay th ấp A > 0 0 nh ất) so v ới các điểm ở trong lân c ận c ủa nó và 2 AC− B > 0 hình chi ếu M D là • N ếu ⇒ f( x , y ) đạ t c ực đạ i t ại M . 1 ∈ A 0, y > 0) . f/( x , y )= 0. x y y 0 0 Kh ẳng đị nh đúng là: • Bướ c 2. Tính Afxy=// (, ), B = fxy// (, ) , x 2 00xy 00 A. z đạ t c ực ti ểu t ại M(2; 5) và giá tr ị c ực ti ểu z = 39 . Cfxy=// ( , ) ⇒ = ACB − 2. B. z đạ t c ực ti ểu t ại M(5; 2) và giá tr ị c ực ti ểu z = 30 . y2 0 0 • Bướ c 3. D ựa vào điều ki ện đủ để k ết lu ận. C. z đạ t c ực đạ i t ại M(2; 5) và giá tr ị c ực đạ i z = 39 . D. z đạ t c ực đạ i t ại M(5; 2) và giá tr ị c ực đạ i z = 30 . VD 2. Tìm điểm d ừng c ủa hàm s ố z= xy(1 − x − y ) . Toán cao c p C2 Cao đ ng 4
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s 3.5 . C ực tr ị có điều ki ện VD 7. Tìm điểm cực tr ị c ủa hàm z= x2 y th ỏa điều kiện: • Cho hàm s ố f( x , y ) xác đị nh trên lân c ận c ủa điểm x− y +3 = 0 . M x y thu ộc đườ ng cong x y . 0( 0 , 0 ) ():γ ϕ (, ) = 0 b) Ph ươ ng pháp nhân t ử Lagrange / / Nếu t ại M0 hàm f( x , y ) đạ t c ực tr ị thì ta nói M0 là f f Tại điểm c ực tr ị (x , y ) c ủa f , g ọi λ=−x =− y là điểm cực tr ị có điều ki ện c ủa f( x , y ) v ới điều ki ện / / ϕx ϕ y ϕ(,x y ) = 0 . nhân t ử Lagrange . Để tìm cực trị ta thực hiện các bước: • Để tìm c ực tr ị có điều ki ện c ủa hàm s ố f( x , y ) ta dùng • Bướ c 1. L ập hàm ph ụ ( hàm Lagrange ): ph ươ ng pháp kh ử ho ặc nhân t ử Lagrange . Lxy(,,)λ = fxy (,) + λϕ (,). xy a) Ph ươ ng pháp kh ử / / / • Từ ph ươ ng trình ϕ(,x y ) = 0 ta rút x ho ặc y th ế vào • Bướ c 2. Gi ải h ệ: Lx=0, L y = 0, L λ = 0 f( x , y ) , sau đó tìm c ực tr ị của hàm m ột bi ến. ⇒ điểm d ừng M0( x 0 , y 0 ) ứng v ới λ0. Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s • Bướ c 3. Tính vi phân c ấp 2 t ại M0( x 0 , y 0 ) ứng v ới λ0 : VD 8. Tìm điểm cực tr ị c ủa hàm s ố fxy(, )= 2 x + y dLM2()= Ldx// 2 + 2 Ldxdy // + Ldy // 2 . với điều ki ện x2+ y 2 = 5. 0 x2 xy y 2 Các vi phân dx, dy ph ụ thu ộc vào điều ki ện ràng bu ộc: VD 9. Tìm điểm cực tr ị c ủa hàm z= xy th ỏa điều ki ện / / dxyϕ(,) =ϕ (,) xydx +ϕ (,) xydy = 0(1) 2 2 00x 00 y 00 x y (dx )2+ ( dy ) 2 > 0 (2). + = 1. 8 2 • Bướ c 4. Từ điều ki ện ràng bu ộc (1) và (2), ta có: . 2 Nếu d L( M 0 )> 0 thì f( x , y ) đạ t c ực ti ểu t ại M0. 2 f x y Nếu d L( M 0 )< 0 thì ( , ) đạ t c ực đạ i t ại M0. 2 Nếu d L( M 0 )= 0 thì M0 không là điểm c ực tr ị. Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân §1. Ph ươ ng trình vi phân c ấp 1 VD 1. Cho phươ ng trình vi phân y′ − x = 0 (*). §2. Ph ươ ng trình vi phân c ấp 2 x 2 Xét hàm số y= + C , ta có: §1. PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN C ẤP I 2 y′ − x = 0 thỏa phương trình (*). 1.1. Khái ni ệm c ơ b ản v ề phươ ng trình vi phân c ấp 1 x 2 • Ph ươ ng trình vi phân c ấp 1 là ph ươ ng trình có d ạng Suy ra y= + C là nghiệm tổng quát của (*). tổng quát F(,, x y y ′ )= 0 (*). Nếu t ừ (*) ta gi ải đượ c 2 theo y′ thì (*) tr ở thành y′ = fxy( , ) . x 2 Th ế x=2, y = 1 vào y= + C , ta đượ c: • Nghi ệm c ủa (*) có d ạng y= y( x ) ch ứa h ằng s ố C đượ c 2 2 gọi là nghi ệm t ổng quát . Khi th ế điều ki ện y0= y( x 0 ) x C=−⇒1 y = − 1 là nghiệm riêng của (*) ứng với cho tr ướ c (th ườ ng g ọi là điều ki ện đầ u) vào nghi ệm 2 tổng quát ta đượ c giá tr ị C0 c ụ th ể và nghi ệm lúc này điều kiện đầu y(2)= 1 . đượ c g ọi là nghi ệm riêng c ủa (*). Toán cao c p C2 Cao đ ng 5
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân 1.2. M ột s ố ph ươ ng trình vi phân c ấp 1 c ơ b ản VD 3. Gi ải phươ ng trình vi phân y′ = xyy( + 2) . 1.2.1. Ph ươ ng trình vi phân c ấp 1 với bi ến phân ly Phươ ng trình vi phân với bi ến phân ly có d ạng: f( xdx )+ gydy ( ) = 0 (1). Ph ươ ng pháp gi ải VD 4. Gi ải ptvp xy2(+ 1) dx +− ( x 3 1)( y − 1) dy = 0 . L ấy tích phân hai v ế của (1) ta đượ c nghi ệm t ổng quát: ∫fxdx()+ ∫ gydy () = C . 1 xdx ydy VD 5. Gi ải ptvp xy′ + y = y 2 th ỏa điều ki ện y(1) = . VD 2. Gi ải phươ ng trình vi phân + = 0. 2 1+x2 1 + y 2 Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân 1.2.2. Ph ươ ng trình vi phân đẳ ng c ấp c ấp 1 b) Ph ươ ng trình vi phân đẳ ng c ấp a) Hàm đẳ ng c ấp hai bi ến s ố • Phươ ng trình vi phân đẳ ng c ấp cấp 1 có d ạng: • Hàm hai bi ến f( x , y ) đượ c g ọi là đẳ ng c ấp b ậc n n ếu y′ = fxy( , ) (2). n với m ọi k > 0 thì fkxky(,)= k fxy (,) . Trong đó, f( x , y ) là hàm số đẳ ng c ấp b ậc 0. Ch ẳng h ạn, hàm số: Ph ươ ng pháp gi ải x− y y f( x , y ) = là đẳ ng c ấp b ậc 0, Bướ c 1. Bi ến đổ i (2) ⇔y′ = ϕ . 2x+ 3 y x y 4x2 + 3 xy Bướ c 2. Đặ t u= ⇒ y′ = u + xu ′ . f( x , y ) = là đẳ ng c ấp b ậc 1, x 5x− y du dx Bướ c 3. (2)⇒+u xu′ =ϕ⇒ ( u ) = f(,) x y= 3 x2 − 2 xy là đẳ ng c ấp b ậc 2. ϕ(u ) − u x (ϕ(u ) − u ≠ 0 ≠ x ) ( đây là ptvp có bi ến phân ly). Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân 1.2.3. Ph ươ ng trình vi phân toàn ph ần x2− xy + y 2 VD 6. Gi ải phươ ng trình vi phân y′ = . • Cho hai hàm s ố Pxy(, ), Qxy (, ) và các đạ o hàm riêng xy của chúng liên t ục trong mi ền m ở D , th ỏa điều ki ện / / Qx= P y , ∀ (, xy ) ∈ D . Nếu t ồn t ại hàm u( x , y ) sao cho duxy(,)= Pxydx (,) + Qxydy (,) thì phươ ng trình vi phân có d ạng: x+ y VD 7. Gi ải phươ ng trình vi phân y′ = Pxydx(,)+ Qxydy (,) = 0 (3) x− y đượ c g ọi là p hươ ng trình vi phân toàn ph ần. với điều ki ện đầ u y(1)= 0 . • Nghi ệm t ổng quát c ủa (3) là uxy( , ) = C . Nhận xét / / uxyx(,)= Pxy (,), uxy y (,) = Qxy (,) . Toán cao c p C2 Cao đ ng 6
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân Ph ươ ng pháp gi ải VD 8. Cho ph ươ ng trình vi phân: Bướ c 1. T ừ (3) ta có u/ = P (3 a) và u/ = Q (3 b). x y (3y2++ 2 xy 2) xdx +++ ( x 2 6 xy 3) dy = 0 (*). Bướ c 2. L ấy tích phân (3 a) theo bi ến x ta đượ c: 1) Ch ứng t ỏ (*) là phươ ng trình vi phân toàn ph ần. uxy(,)=∫ Pxydx (,) =ϕ (,) xy + Cy () (3 c). 2) Gi ải p hươ ng trình (*). Trong đó, C( y ) là hàm theo bi ến y . Bướ c 3. Đạ o hàm (3 c) theo bi ến y ta đượ c: u/= ϕ / + C′( y ) (3 d). y y VD 9. Gi ải ptvp (x+− y 1) dx + ( ey + xdy ) = 0 . Bướ c 4. So sánh (3 b) và (3 d) ta tìm đượ c C( y ) . Thay C( y ) vào (3 c) ta đượ c u( x , y ) . Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân p( x ) dx q( x ) 1.2.4. Ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính c ấp 1 Nh ận xét . Bx( )= qxe ( ).∫ dx = dx . • Ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính c ấp 1 có d ạng: ∫ ∫ A( x ) Chú ý y′ + pxy() = qx () (4). • Khi tính các tích phân trên, ta ch ọn h ằng s ố là 0. • Khi q( x )= 0 thì (4) đượ c g ọi là p hươ ng trình vi phân • Ph ươ ng pháp bi ến thiên h ằng s ố là đi tìm nghi ệm tuy ến tính c ấp 1 thu ần nh ất. − p( x ) dx t ổng quát c ủa (4) d ướ i d ạng: y= Cxe( )∫ . Ph ươ ng pháp gi ải (ph ươ ng pháp bi ến thiên h ằng s ố Lagrange ) VD 10. Trong ph ươ ng pháp bi ến thiên h ằng s ố, ta đi tìm y − p( x ) dx nghi ệm t ổng quát c ủa y′ +2 = 4ln x x d ướ i d ạng: Bướ c 1. Tìm bi ểu th ức A( x ) = e ∫ . x p( x ) dx C( x ) C( x ) Bướ c 2. Tìm bi ểu th ức Bx()= qxe (). ∫ dx . A. y = ; B. y = ; ∫ x 2 x 3 Bướ c 3. Nghi ệm t ổng quát là y AxBx C . C( x ) C( x ) =() () + C. y = ; D. y = − . x x Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân 1.2.5. Ph ươ ng trình vi phân Bernoulli 2 VD 11. Gi ải phươ ng trình vi phân y′ − x y = 0 • Ph ươ ng trình vi phân Bernoulli có d ạng: th ỏa điều ki ện y= − e 9. α x=3 y′ + pxy( ) = qxy ( ) (5). • Khi α = 0 ho ặc α = 1 thì (5) là tuy ến tính c ấp 1. • Khi px()= qx () = 1 thì (5) là pt có bi ến phân ly. Ph ươ ng pháp gi ải (với α khác 0 và 1) Bướ c 1. Với y ≠ 0, ta chia hai v ế cho yα: VD 12. Gi ải phươ ng trình y′ + ycos x = e −sin x . y′ y (5)⇒ +px ( ) = qx ( ) yα y α ⇒yy′ −α + pxy()1 −α = qx () . Toán cao c p C2 Cao đ ng 7
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân Bướ c 2. Đặ t zy=1−α ⇒ z′ =(1 −α ) yy ′ −α , ta được: §2. PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN C ẤP II (5)⇒z′ +−α (1 ) pxz ( ) = (1 −α ) qx ( ) 2.1. Các d ạng ph ươ ng trình vi phân c ấp 2 khuy ết (đây là phươ ng trình tuy ến tính c ấp 1). 2.1.1. Ph ươ ng trình khuy ết y và y’ • Phươ ng trình vi phân khuy ết y và y′ có d ạng: y VD 13. Gi ải phươ ng trình vi phân y′ + = xy 2 y′′ = f( x ) (1). x với điều ki ện đầ u x=1, y = 1 . Ph ươ ng pháp gi ải • L ấy tích phân hai v ế (1) hai l ần: y′′= fx() ⇒= y ′ fxdx () =ϕ+ () x C VD 14. Gi ải phươ ng trình vi phân y′ −2 xy = xy3 4 . ∫ 1 ⇒=ϕy() xdxCx + =ψ+ () x CxC + . ∫ 1 1 2 Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân 2.1.2. Ph ươ ng trình khuy ết y VD 1. Gi ải phươ ng trình vi phân y′′ = x 2 . • Phươ ng trình vi phân khuy ết y có d ạng: y′′= fxy( , ′ ) (2). Ph ươ ng pháp gi ải • Đặ t z= y ′ đư a (2) v ề ph ươ ng trình tuy ến tính c ấp 1. 2x 7 3 y′ VD 2. Gi ải ptvp y′′ = e v ới y(0)= − , y ′ (0) = . VD 3. Gi ải phươ ng trình vi phân y′′ = x − . 4 2 x y′ VD 4. Gi ải pt vi phân y′′ − − x( x −= 1) 0 x −1 với điều kiện y(2)= 1, y ′ (2) = − 1 . Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân 2.1.3. Ph ươ ng trình khuy ết x 2.2. Ph ươ ng trình vi phân c ấp 2 tuy ến tính • Phươ ng trình vi phân khuy ết x có d ạng: với h ệ s ố h ằng y′′= fyy( , ′ ) (3). 2.2.1. Ph ươ ng trình thu ần nh ất Ph ươ ng pháp gi ải • Phươ ng trình thu ần nh ất có d ạng: ′ ′′ ′ ℝ • Đặ t z= y ta có: y++= ay1 ay 20, ( aa 12 , ∈ ) (4). dz dz dy dz y′′=== z ′ . = z . Ph ươ ng pháp gi ải. Xét ph ươ ng trình đặ c tr ưng c ủa (4): dx dy dx dy k2 + ak + a = 0 (5). Khi đó, (3) tr ở thành pt vp v ới bi ến s ố phân ly. 1 2 Tr ườ ng h ợp 1 VD 5. Gi ải phươ ng trình vi phân (1−y ) y′′ + 2( y ′ )2 = 0 . Ph ươ ng trình (5) có hai nghi ệm th ực phân bi ệt k1, k 2 . kx kx VD 6. Gi ải phươ ng trình vi phân y′′+2 y ′ (1 − 2 y ) = 0 1 2 Khi đó, (4) có hai nghi ệm riêng y1= e, y 2 = e 1 kx kx với điều ki ện y(0)= 0, y ′ (0) = . và nghi ệm t ổng quát là y= Ce1 + Ce 2 . 2 1 2 Toán cao c p C2 Cao đ ng 8
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân Tr ườ ng h ợp 2 VD 7. Gi ải phươ ng trình vi phân y′′+2 y ′ − 3 y = 0 . Ph ươ ng trình (5) có nghi ệm kép th ực k . Khi đó, (4) có hai nghi ệm riêng y= ekx, y = xe kx 1 2 ′′ ′ kx kx VD 8. Gi ải phươ ng trình vi phân y−6 y + 9 y = 0 . và nghi ệm t ổng quát là y= C1 e + C 2 xe . Tr ườ ng h ợp 3 VD 9. Gi ải phươ ng trình vi phân y′′ +16 y = 0 . Ph ươ ng trình (5) có hai nghi ệm ph ức liên h ợp k=α± i β . Khi đó, (4) có hai nghi ệm riêng: VD 10. Gi ải phươ ng trình vi phân y′′+2 y ′ + 7 y = 0 . αx α x ye1=cos β= xye , 2 sin β x và nghi ệm t ổng quát là: VD 11. Tìm nghi ệm t ổng quát c ủa phươ ng trình: yeC=αx cos β+ xC sin β x . ( 1 2 ) y′′− y ′ + y = 0. Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân 1 2.2.2. Ph ươ ng trình không thu ần nh ất VD 12. Gi ải phươ ng trình vi phân y′′ + y = ( a). • Phươ ng trình không thu ần nh ất có d ạng: cos x ′′ ′ ℝ y++= ay12 ay fx( ), ( aa 12 , ∈ ) (6). Gi ải. Xét ph ươ ng trình thu ần nh ất y′′ + y = 0 ( b) ta có: k2 +1 = 0 ⇒ k =±⇒α= i 0, β= 1 a) Ph ươ ng pháp gi ải t ổng quát ⇒y =cos xy , = sin x là 2 nghi ệm riêng c ủa ( b). • N ếu (4) có hai nghi ệm riêng yx( ), yx ( ) thì (6) có 1 2 1 2 Nghi ệm t ổng quát c ủa ( a) có d ạng: nghi ệm t ổng quát là y= Cxyx11()() + Cxyx 22 ()(). yCx=1( ).cos xCx + 2 ( ).sin x . • Để tìm C1( x ) và C2( x ) , ta gi ải h ệ Wronsky : Ta có hệ Wronsky: Cxyx′ Cxyx ′ cos.xCx′ ()+ sin. xCx ′ () = 0 11()()+ 22 ()() = 0 1 2 Cxyx′′()() + Cxyx ′′ ()() = fx (). 1 11 22 −sinxCx .′ () + cos xCx . ′ () = 1 2 cos x Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân 2 b) CÁC PH ƯƠ NG PHÁP GI ẢI ĐẶ C BI ỆT sinx cos. xCx′ ()+ sin xCx . ′ () = 0 ⇒ 1 2 Ph ươ ng pháp c ộng nghi ệm −sinx cos. xCx′ () + cos2 xCx . ′ () = 1 1 2 • Đị nh lý Nghi ệm t ổng quát c ủa ph ươ ng trình không thu ần nh ất sin x (6) b ằng tổng nghi ệm t ổng quát c ủa ph ươ ng trình thu ần C′( x ) = − ⇒ 1 cos x nh ất (4) v ới 1 nghi ệm riêng c ủa (6). C′( x ) = 1 2 VD 13. Cho ph ươ ng trình vi phân: y′′−2 y ′ + 2 y = (2 + xe2 ) x (*). Cx xC 1( )= lncos + 1 2 x ⇒ 1) Ch ứng t ỏ (*) có 1 nghi ệm riêng là y= x e . Cx( )= x + C . 2 2 2) Tìm nghi ệm t ổng quát c ủa (*). Vậy phương trình (a) có nghiệm tổng quát là: VD 14. Tìm nghi ệm t ổng quát c ủa phươ ng trình vi phân: yy′′ ′ x x y=lncos xC + cos xxC ++( ) sin x . + =2sin2 + 4cos2 , ( 1) 2 bi ết 1 nghi ệm riêng là y= − cos 2 x . Toán cao c p C2 Cao đ ng 9
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân Ph ươ ng pháp ch ồng ch ất nghi ệm Ph ươ ng pháp tìm nghi ệm riêng c ủa ph ươ ng trình • Đị nh lý vi phân tuy ến tính c ấp 2 v ới h ệ s ố h ằng Cho phươ ng trình vi phân: Xét ph ươ ng trình y′′+ ay ′ + ay = fx( ) (6) ′′ ′ 1 2 y+ ay1 + ay 2 = fx 1( ) + fx 2 ( ) (7) . y′′ ay ′ ay và +1 + 2 = 0 (4). N ếu y1( x ) và y2( x ) l ần l ượ t là nghi ệm riêng c ủa y′′+ ay ′ + ay = fx( ) , y′′+ ay ′ + ay = fx( ) αx 1 2 1 1 2 2 • Tr ườ ng h ợp 1: f(x) có d ạng e Pn(x) thì nghi ệm riêng c ủa (7) là: (Pn ( x ) là đa th ức b ậc n ). y= yx1() + yx 2 (). Bướ c 1. N ghi ệm riêng của (6) có d ạng : VD 15. Tìm nghi ệm t ổng quát c ủa y′′− y ′ = 2 cos 2 x (*). y= xeQxmα x ( ) Cho biết y′′− y ′ = 1 và y′′− y ′ = cos2 x lần lượt có n 2 1 (Q( x ) là đa th ức đầ y đủ b ậc n ). nghiệm riêng y= − x , y= −cos2 x − sin2 x . n 1 2 10 10 Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân Bướ c 2. Xác đị nh m: VD 16. Tìm nghi ệm riêng c ủa phươ ng trình vi phân: 1) N ếu α không là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình đặ c tr ưng y′′−−=2 y ′ 3 yex3x ( 2 + 1) . của (4) thì m = 0. Gi ải. Ta có fx( )= e3x ( x 2 + 1) , α =3,P ( x ) = x 2 + 1 . 2) N ếu α là nghi ệm đơ n c ủa ph ươ ng trình đặ c tr ưng 2 của (4) thì m = 1. Suy ra nghi ệm riêng có dạng: y= xem3 x ( Ax 2 + Bx + C ) . 3) N ếu α là nghi ệm kép c ủa ph ươ ng trình đặ c tr ưng của (4) thì m = 2. Do α = 3 là nghi ệm đơ n c ủa ph ươ ng trình đặ c tr ưng mα x k2 −2 k − 3 = 0 nên m = 1. Bướ c 3. Th ế y= xeQx.n ( ) vào (6) và đồ ng nh ất th ức ta đượ c nghi ệm riêng c ần tìm. Suy ra nghi ệm riêng có d ạng y= xe3x ( Ax 2 + Bx + C ) . Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân x • Tr ườ ng h ợp 2 Th ế y= xe3( Ax 2 + Bx + C ) vào ph ươ ng trình đã cho, f(x) có d ạng eαx[P (x)cos βx + Q (x)sin βx] đồ ng nh ất th ức ta đượ c: n m (P( x ) là đa th ức b ậc n , Q( x ) là đa th ức b ậc m ). 1 1 9 n m A=, B =− , C = . 12 16 32 Bướ c 1. N ghi ệm riêng có d ạng : yxeRx=sα x [ ( )cosβ xHx + ( )sin β x ] k k 3x 1 2 1 9 (Rx H x là đa th ức đầ y đủ b ậc k n m ). Vậy nghi ệm riêng là yxe= x − x + . k(), k () = max{ , } 12 16 32 Bướ c 2. Xác đị nh s : 1) N ếu α± i β không là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình đặ c VD 1 7. Tìm dạng nghi ệm riêng c ủa phươ ng trình vi phân: tr ưng c ủa (4) thì s = 0. x− x y′′+2 y ′ += yxe + 2 e . 2) N ếu α± i β là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình đặ c tr ưng của (4) thì s = 1. Toán cao c p C2 Cao đ ng 10
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân Ch ươ ng 2. Ph ươ ng tr ình vi phân Bướ c 3. Th ế yxeRx=sα x [ ()cosβ xHx + ()sin β x ] k k yC=1cos xC + 2 sin x (1). vào (6) và đồ ng nh ất th ức ta đượ c nghi ệm riêng. M ặt khác: α=0, β =⇒= 1s 1, k = 0 . VD 1 8. Tìm dạng nghi ệm riêng c ủa phươ ng trình vi phân: D ạng nghi ệm riêng c ủa (*) là y= xA( cos x + B sin x ) . y′′+−=2 y ′ 3 yex cos x + 3 xe x sin x . Th ế y= xA( cos x + B sin x ) vào (*), ta đượ c: VD 19. Tìm dạng nghi ệm riêng c ủa phươ ng trình vi phân: 3 3 x y′′−+=2 yyex ′ 2x [(2 + 1)cos xxx + sin] . A=−, By = 0 ⇒ =− cos x (2). 2 2 VD 20 . Tìm nghi ệm tổng quát c ủa phươ ng trình vi phân: Từ (1) và (2), ta có nghi ệm t ổng quát là: y′′ + y = 3 sin x (*). 3x 2 yCxCx=cos + sin − cos x . Gi ải. Ta có k+1 = 0 ⇒ k =± i . 1 2 2 Nghi ệm t ổng quát c ủa y′′ + y = 0 là: Ch ươ ng 3. Lý thuy t chu i Ch ươ ng 3. Lý thuy t chu i §1. Khái ni ệm c ơ b ản v ề chu ỗi s ố • T ổng n s ố h ạng đầ u tiên Suun=1 + 2 + + u n đượ c §2. Chu ỗi s ố d ươ ng gọi là tổng riêng th ứ n c ủa chu ỗi s ố. §3. Chu ỗi s ố có d ấu tùy ý • N ếu dãy {S } h ội t ụ đế n số S h ữu h ạn thì ta nói n n∈ℕ ∞ §1. KHÁI NI ỆM C Ơ B ẢN V Ề CHU ỖI S Ố S chu ỗi s ố hội t ụ và có t ổng là , ta ghi là ∑un = S . 1.1. Đị nh ngh ĩa Ng ượ c l ại, ta nói chu ỗi s ố phân k ỳ. n=1 • Cho dãy s ố có vô h ạn các s ố h ạng u1, u 2 , , u n , ∞ n Bi ểu th ức ∞ VD 1. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi nhân aq −1 v ới a ≠ 0. uu u u ∑ 1+ 2 ++ n + = ∑ n n=1 n=1 Gi ải đượ c g ọi là chu ỗi s ố. • q = 1: Sn = na → +∞ ⇒ chu ỗi phân k ỳ. • Các s ố u, u , , u , là các s ố hạng và u được gọi là 1−qn 1 − q n 1 2 n n • q ≠ 1: S= u. = a . số h ạng t ổng quát c ủa chu ỗi s ố. n 1 1−q 1 − q Ch ươ ng 3. Lý thuy t chu i Ch ươ ng 3. Lý thuy t chu i a V ới q 1 thì n → +∞ ⇒ chu ỗi phân k ỳ. • N ếu chu ỗi un hội t ụ thì limun = 0 , ∑ n→∞ ∞ n=1 V ậy ∑aq n−1 h ội t ụ ⇔q < 1. ∞ ng ượ c l ại nếu limun ≠ 0 thì un phân k ỳ. n=1 n→∞ ∑ ∞ 1 n=1 VD 2. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ∑ . n=1 n( n + 1) ∞ n 4 ∞ VD 5. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . 1 ∑ 4 VD 3. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ln 1 + . n=1 3n+ n + 2 ∑ n=1 n ∞ 5 ∞ n 1 VD 6. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . VD 4. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∑ 4 ∑ n=1 n + 1 n=1 n Toán cao c p C2 Cao đ ng 11
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 3. Lý thuy t chu i Ch ươ ng 3. Lý thuy t chu i §2. CHU ỖI S Ố D ƯƠ NG 1.3. Tính ch ất 2.1. Đị nh ngh ĩa ∞ ∞ ∞ • N ếu u, v hội t ụ thì: u u n ∑n ∑ n • ∑ n đượ c g ọi là chu ỗi s ố d ươ ng n ếu n ≥0, ∀ . n=1 n = 1 n=1 ∞ ∞ ∞ Khi u>0, ∀ n thì chu ỗi số là d ươ ng th ực s ự. uv u v n ∑(nn+ ) = ∑ n + ∑ n . 2.2. Các đị nh lý so sánh n=1 n = 1 n = 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ Đị nh lý 1. Cho hai chu ỗi s ố d ươ ng ∑un, ∑ v n th ỏa: • N ếu ∑un hội t ụ thì: ∑αun = α ∑ u n . n=1 n = 1 n=1 n=1 n = 1 0≤u ≤ v , ∀≥ nn . n n 0 • Tính ch ất h ội t ụ hay phân k ỳ c ủa chu ỗi s ố không đổ i ∞ ∞ • N ếu ∑ vn hội t ụ thì ∑ un hội t ụ. nếu ta thêm ho ặc b ớt đi h ữu h ạn s ố h ạng. n =1 n =1 ∞ ∞ • N ếu ∑ un phân k ỳ thì ∑ vn phân k ỳ. n =1 n =1 Ch ươ ng 3. Lý thuy t chu i Ch ươ ng 3. Lý thuy t chu i ∞ 1 Đị nh lý 2 VD 1. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∞ ∞ ∑ n n=1 n.2 u v Cho hai chuỗi số ∑n, ∑ n th ỏa: n=1 n = 1 un un > 0 và vn > 0 với n đủ lớn và lim = k . n→∞ vn ∞ 1 ∞ ∞ VD 2. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi điều hòa bằng cách k u v ∑ • N ếu = 0 thì ∑ n phân k ỳ ⇒ ∑ n phân k ỳ. n=1 n n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ 1 so sánh v ới ln 1 + . • N ếu k = +∞ thì u h ội t ụ ⇒ v h ội t ụ. ∑ n ∑ n ∑ n n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ k u v • N ếu 0 1 thì chu ỗi phân k ỳ. ∞ 1 • N ếu D = 1 thì ch ưa th ể k ết lu ận. Chu ỗi h ội t ụ khi α > 1 và phân k ỳ khi α ≤ 1. ∑ α ∞ n n=1 n 1 1 VD 5. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố 1 + . ∑ n n=1 3 n ∞ n + 1 VD 4. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∞ n 2 ∑ 5 5 (n !) n=1 2n + 3 VD 6. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ∑ . n=1 (2n )! Toán cao c p C2 Cao đ ng 12
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 3. Lý thuy t chu i Ch ươ ng 3. Lý thuy t chu i 2.3.2. Tiêu chu ẩn Cauchy 2.3.3. Tiêu chu ẩn Tích phân Maclaurin – Cauchy ∞ Cho hàm s ố f( x ) liên t ục, không âm và gi ảm trên nửa n Cho chu ỗi s ố d ươ ng un và lim un = C . ℕ ∑ n khoảng [;k+∞ ), k ∈ . Khi đó: n=1 →∞ +∞ • N ếu C 1 thì chu ỗi phân k ỳ. ∑ ∫ n k • N ếu C = 1 thì ch ưa th ể k ết lu ận. = k n2 ∞ ∞ 1 1 VD 9. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . VD 7. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∑ 3 ∑ n=1 2 n=12 n ∞ nn ∞ 1 VD 8. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . VD 10. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . ∑ n ∑ 3 n=1 3 n=2 nln n Ch ươ ng 3. Lý thuy t chu i Ch ươ ng 3. Lý thuy t chu i §3. CHU ỖI S Ố CÓ D ẤU TÙY Ý ∞ (− 1) n VD 2. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ∑ . 3.1. Chu ỗi đan d ấu n=1 n ∞ Đị ĩ n u a) nh ngh a. Chu ỗi s ố ∑(− 1) n đượ c g ọi là n=1 chu ỗi s ố đan d ấu n ếu u>0, ∀ n . ∞ 2n + 1 n VD 3. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố (− 1) n . ∞ n ∞ n ∑ n+1 (− 1) 2+ 1 n 2 VD 1. , (− 1) n+1 là các chu ỗi đan dấu. =1 ∑ ∑ n+1 n=1 n n=1 2 b) Đị nh lý Leibnitz Nếu dãy {u } gi ảm nghiêm ng ặt và u → 0 thì chuỗi ∞ n n n ∈ℕ n (− 1) ∞ VD 4. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . n ∑ n n=2 n +( − 1) ∑(− 1) un h ội t ụ. Khi đó, ta g ọi là chu ỗi Leibnitz . n=1 Ch ươ ng 3. Lý thuy t chu i Ch ươ ng 3. Lý thuy t chu i 3.2. Chu ỗi có d ấu tùy ý b) Đị nh lý a) Đị nh ngh ĩa ∞ ∞ ∞ Nếu u h ội t ụ thì chu ỗi có d ấu tùy ý u hội t ụ. ℝ ∑ n ∑ n • Chu ỗi ∑un, u n ∈ đượ c g ọi là chu ỗi có d ấu tùy ý . n=1 n=1 ∞ n=1 ∞ • ∑un đượ c g ọi là hội t ụ tuy ệt đố i nếu ∑ un hội t ụ. n=1 n=1 ∞ cos(nn ) ∞ ∞ VD 6. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố . • u đượ c g ọi là bán hội t ụ nếu u hội t ụ và ∑ 2 ∑ n ∑ n n=1 n n=1 ∞ n=1 un phân k ỳ. ∑ ∞ n n +1 n=1 (− 1) + ( − 2) VD 7. Xét s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ∑ . ∞ (− 1) n 3n VD 5. Chu ỗi s ố ∑ là bán h ội t ụ. n=1 n=1 n Toán cao c p C2 Cao đ ng 13
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 4. M t s bài to án Kinh t Ch ươ ng 4. M t s bài to án Kinh t CÁC KHÁI NI ỆM – KÝ HI ỆU TRONG KINH T Ế • Biên t ế H V V • Trung bình c ủa hàm Biên t ế c ủa hàm ( ) theo biến t ại V0 là đạ i l ượ ng Xét hai đạ i l ượ ng kinh t ế H, V có m ối quan h ệ hàm v ới HV()− HV () lim0 = H′ ( V ) . Ký hi ệu là MH( V ) . V V 0 V 0 nhau: H= H( V ) . → 0 V− V 0 H( V ) Tỉ s ố đượ c g ọi là hàm trung bình c ủa H . Ch ẳng h ạn, biên t ế c ủa doanh thu R theo s ản l ượ ng Q V tại Q là đạ i l ượ ng mô t ả độ t ăng c ủa doanh thu khi Q Ký hi ệu là AH( V ) . 0 tăng thêm 1 đơ n v ị t ại Q . Ta có: MR() Q= R′ () Q . VD. Một doanh nghi ệp s ản xu ất l ượ ng hàng Q và bán 0 Q 0 0 hết v ới đơ n giá là P thì t ổng doanh thu s ẽ là R= PQ . VD. Gi ả s ử chi phí C c ủa 1 doanh nghi ệp để s ản xu ất ra PQ Q sản ph ẩm là: V ậy AR= = P . Q 1 CQ=3 −10 Q 2 + 1000 Q + 70 ( đơ n v ị ti ền t ệ). Trong kinh tế, đơ n giá là trung bình c ủa doanh thu . 3 Ch ươ ng 4. M t s bài to án Kinh t Ch ươ ng 4. M t s bài to án Kinh t Sử d ụng biên t ế, ta ướ c l ượ ng c hi phí để doanh nghi ệp §1. BÀI TOÁN LÃI KÉP sản xu ất ra s ản ph ẩm th ứ 50 là: BÀI TOÁN ĐÁNH THU Ế DOANH THU C ′(50)= 2500 ( đơ n v ị ti ền t ệ). 1.1. Bài toán lãi kép • Gi ả s ử m ột ng ườ i g ửi s ố ti ền P vào m ột ngân hàng v ới • B ảng ký hi ệu 0 Ký hi ệu Ý ngh ĩa lãi su ất s(%) trong th ời gian t . Sau th ời gian t thì ng ườ i Đơ n giá ( Price ) P đó có t ổng s ố ti ền là: P=+ P0 sP 0 = P 0 (1 + s ) . Q S ố l ượ ng ( Quantity ) • N ếu chia kho ảng th ời gian t ra làm n kho ảng b ằng nhau R Doanh thu ( Revenue ) s Π L ợi nhu ận ( Profit ) thì lãi su ất m ỗi kho ảng là (%) . C Chi phí ( Cost ) n D C ầu ( Demand ) T ổng s ố ti ền cu ối kho ảng th ời gian th ứ nh ất ng ườ i đó có S Cung ( Supply ) s s đượ c là: PP=+ P = P 1 + . T Thu ế ( Tax ) 0n 0 0 n Ch ươ ng 4. M t s bài to án Kinh t Ch ươ ng 4. M t s bài to án Kinh t • Ng ườ i đó l ại g ửi ti ếp s ố ti ền có đượ c vào ngân hàng thì VD 1. Đầ u tháng 1 n ăm 2010, m ột ng ườ i g ửi 100 tri ệu cu ối kho ảng th ứ hai s ố ti ền có đượ c là: đồ ng ở 1 ngân hàng v ới lãi su ất 8% trên m ột n ăm và 2 cu ối n ăm 2010 t ới nh ận. Tính t ổng s ố ti ền c ả v ốn l ẫn lãi ss s s PP=1 ++ P 1 += P 1. + ng ườ i đó nh ận đượ c trong các tr ườ ng h ợp sau: 0nn 0 n 0 n 1) Đầ u n ăm g ửi đế n cu ối n ăm đế n nh ận; Ti ếp t ục nh ư v ậy cho đế n cu ối k ỳ thì t ổng s ố ti ền ng ườ i 2) M ỗi tháng đế n rút ti ền và g ửi l ại; n 3) M ỗi ngày đế n rút ti ền và g ửi l ại; s đó có đượ c là: P 1+ . 4 ) Lãi kép liên t ục. 0 n Gi ải • N ếu t ăng s ố l ần rút và g ửi lên vô h ạn l ần thì sau kho ảng 1) Lãi su ất ti ền g ửi là s = 8% nên tổng số ti ền ng ườ i đó th ời gian t, t ổng s ố ti ền ng ườ i đó có, đượ c tính theo nh ận được vào cuối năm là: công th ức lãi kép liên t ục là: P= P1 += s 100(1 + 8%) = 108 (tri ệu đồ ng). s 0 ( ) P= P0 e . Toán cao c p C2 Cao đ ng 14
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 4. M t s bài to án Kinh t Ch ươ ng 4. M t s bài to án Kinh t 1.2. Bài toán đánh thu ế doanh thu • Bài toán 2 Tìm t để khi doanh nghi ệp đạ t m ức l ợi nhu ận t ối đa thì Gi ả m ột doanh nghi ệp s ản xu ất độ c quy ền 1 lo ại s ản thu ế thu đượ c t ừ doanh nghi ệp là l ớn nh ất. ph ẩm. G ọi Q là s ản l ượ ng và P là giá bán 1 đơ n v ị s ản • Bài toán 3 ph ẩm. Bi ết hàm c ầu c ủa th ị tr ườ ng v ề lo ại s ản ph ẩm Tìm t để s ản l ượ ng h ợp lý nh ất c ủa doanh nghi ệp đạ t trên trong 1 đơ n v ị th ời gian là Q P DP , t ổng chi D()= () một mức t ối thi ểu hay t ối đa. phí là C C Q và t ổng s ố thu ế là T T t (v ới t là = ( ) = ( ) Cách gi ải mức thu ế doanh thu đị nh trên m ột đơ n v ị s ản ph ẩm). Bướ c 1. T ừ hàm c ầu ta tìm P theo Q . Ta có 3 bài toán sau đây: Bướ c 2. L ập các hàm: • Bài toán 1 • T ổng thu ế doanh nghi ệp ph ải đóng là T= Qt , Tìm m ức s ản l ượ ng Q theo t để doanh nghi ệp đạ t m ức doanh thu c ủa doanh nghi ệp là R= R( Q ) = PQ . lợi nhu ận t ối đa sau thu ế. M ức s ản l ượ ng này đượ c gọi • L ợi nhu ận c ủa doanh nghi ệp thu đượ c là: là sản l ượ ng h ợp lý nh ất c ủa doanh nghi ệp. Π=R − C − T (doanh thu “–” chi phí “–” thu ế). Ch ươ ng 4. M t s bài to án Kinh t Ch ươ ng 4. M t s bài to án Kinh t Bướ c 3 VD 2. M ột doanh nghi ệp (DN) s ản xu ất độ c quy ền 1 lo ại sản ph ẩm. Bi ết hàm c ầu c ủa lo ại s ản ph ẩm này và và • Tìm m ức s ản l ượ ng Q( t ) theo t để hàm Π đạ t giá tr ị 0 hàm t ổng chi phí sản xu ất lần l ượ t là Q( P )= 800 − P lớn nh ất (Bài toán 1). D và C= Q2 +200 Q + 100 . • Từ Q0( t ) tìm đượ c, ta tìm t để hàm T đạ t giá tr ị lớn 1) N ếu bi ết m ức thu ế doanh thu đị nh trên m ột đơ n v ị s ản nh ất (Bài toán 2). ph ẩm là t thì DN sẽ ấn đị nh s ản l ượ ng nh ư th ế nào để lợi nhu ận sau thu ế là l ớn nh ất ? 2) Khi DN đạ t lợi nhu ận sau thu ế lớn nh ất, hãy tìm mức • Gi ải Q0( t ) ≥ Q hay Q0( t ) ≤ Q v ới Q là m ức s ản l ượ ng tối thi ểu hay t ối đa (Bài toán 3). thu ế doanh thu t áp trên m ột đơ n v ị s ản ph ẩm để t ổng thu ế thu đượ c t ừ DN này là l ớn nh ất ? 3 ) Nhu c ầu xã h ội c ần có t ối thi ểu 125 đơ n v ị s ản ph ẩm của DN này. V ậy m ức thu ế doanh thu ch ỉ đượ c áp t ối đa là bao nhiêu ? Ch ươ ng 4. M t s bài to án Kinh t Ch ươ ng 4. M t s bài to án Kinh t §2. BÀI TOÁN TÌM M ỨC S ẢN L ƯỢ NG ĐỂ VD 1 . M ột DN s ản xu ất m ột lo ại s ản ph ẩm trong điều DOANH NGHI ỆP ĐẠ T L ỢI NHU ẬN T ỐI ĐA ki ện c ạnh tranh hoàn h ảo. Bi ết giá c ủa s ản ph ẩm trên th ị (Cực đạ i hóa l ợi nhu ận theo s ản l ượ ng ) tr ườ ng là P = 130 (đơ n v ị ti ền) và t ổng chi phí để s ản xu ất ra Q (Q > 1) đơ n v ị s ản ph ẩm là: 2.1. Sản xu ất trong điều ki ện c ạnh tranh hoàn h ảo 1 3 2 C= QQ −+10 Q + 20 . a) Doanh nghi ệp s ản xu ất m ột lo ại s ản ph ẩm 3 Hãy tìm m ức s ản l ượ ng để l ợi nhu ận DN đạ t c ực đạ i ? Trong điều ki ện c ạnh tranh hoàn h ảo thì giá bán do th ị tr ườ ng quy ết đị nh và không ph ụ thu ộc vào m ức s ản b) Doanh nghi ệp s ản xu ất hai lo ại s ản ph ẩm lượ ng c ủa DN. Khi đó, t ổng doanh thu là R PQ và = Gi ả s ử m ột DN s ản xu ất hai lo ại s ản ph ẩm trong điều hàm l ợi nhu ận là Π =R − C . ki ện c ạnh tranh hoàn h ảo. Bi ết giá bán c ủa các s ản ph ẩm Ta tìm m ức s ản l ượ ng Q để hàm Π đạ t c ực đạ i. là P1, P2; hàm tổng chi phí ph ụ thu ộc vào m ức s ản l ượ ng Q1, Q2 là C= CQ(1 , Q 2 ) . Toán cao c p C2 Cao đ ng 15
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 4. M t s bài to án Kinh t Ch ươ ng 4. M t s bài to án Kinh t Tìm m ức s ản l ượ ng tươ ng ứng c ủa t ừng s ản ph ẩm mà Hãy tìm m ức s ản l ượ ng của m ỗi s ản ph ẩm mà DN c ần DN c ần s ản xu ất để có l ợi nhu ận t ối đa. sản xu ất để có l ợi nhu ận t ối đa ? Cách gi ải 2.2. Sản xu ất trong điều ki ện độ c quy ền Bướ c 1. Lập c ác hàm doanh thu và l ợi nhu ận c ủa DN : a) Doanh nghi ệp s ản xu ất m ột lo ại s ản ph ẩm R= PQ11 + PQ 22 và Π =R − C . Bướ c 2. Tìm m ức s ản l ượ ng d ươ ng Q*, Q* để hàm lợi • Trong điều ki ện s ản xu ất độ c quy ền thì giá P c ủa s ản 1 2 ph ẩm do DN quy ết đị nh. Lượ ng c ầu Q do ng ườ i tiêu nhu ận Π đạ t c ực đạ i. D dùng quy ết đị nh l ại ph ụ thu ộc vào P . VD 2 . Một DN s ản xu ất hai lo ại s ản ph ẩm trong điều ki ện c ạnh tranh hoàn h ảo. Giá bán hai s ản ph ẩm này trên Ta có quan h ệ hàm QD= Q D ( P ) . th ị tr ườ ng là P = 450 , P = 630 ( đơ n v ị ti ền). 1 2 • Mu ốn tiêu th ụ h ết s ản ph ẩm, ngh ĩa là Q= Q( P ) , thì Bi ết hàm t ổng chi phí là: D −1 2 2 DN ph ải ấn đị nh m ức giá P= QD () Q = PQ () . CQQ(12 , )=+ Q 1122 QQQ ++ 210 Q 1 + 360 Q 2 + 100 . Ch ươ ng 4. M t s bài to án Kinh t Ch ươ ng 4. M t s bài to án Kinh t Hàm t ổng doanh thu và l ợi nhu ận c ủa DN lúc này là: b) Doanh nghi ệp s ản xu ất hai lo ại s ản ph ẩm RQ()= PQQ (). và Π =RQ() − CQ () . Gi ả s ử m ột DN s ản xu ất độ c quy ền hai lo ại s ản ph ẩm v ới sản l ượ ng Q1, Q2. Bi ết hàm c ầu c ủa th ị tr ườ ng v ề hai lo ại • T ừ Π =RQ() − CQ () , ta tìm đượ c m ức s ản l ượ ng c ần sản ph ẩm này là QD = DPP1( 1 , 2 ) , QD = DPP2( 1 , 2 ) và sản xu ất và giá bán để DN có đượ c lợi nhu ận t ối đa. 1 2 hàm t ổng chi phí là C= CQ(1 , Q 2 ) . Tìm m ức s ản lượ ng c ủa hai lo ại sản ph ẩm trên mà DN VD 3. Một DN s ản xu ất độ c quy ền 1 lo ại s ản phẩm. cần s ản xu ất để có l ợi nhu ận t ối đa ? Bi ết hàm c ầu v ề lo ại s ản ph ẩm này là QD =1200 − P và Cách gi ải hàm t ổng chi phí để đạ t m ức s ản l ượ ng Q là: Bướ c 1. Khi DN đị nh giá bán để bán h ết s ản ph ẩm thì: 3 2 CQ=0,25 − 30,625 Q + 1528,5 Q + 20000 . DPP112( , ) = Q 1 , DPP212( , ) = Q 2 (*). Tìm m ức s ản l ượ ng và giá bán để DN có Π c ực đạ i ? Gi ải h ệ (*) ta đượ c: P1= PQQ 112( , ) , P2= PQQ 212( , ) . Ch ươ ng 4. M t s bài to án Kinh t Ch ươ ng 4. M t s bài to án Kinh t Chú ý Bướ c 2. Lập các hàm doanh thu và lợi nhu ận c ủa DN : R= PQQQ112(, ). 1 + PQQQ 212 (, ). 2 và Π =R − C . Tr ườ ng h ợp DN s ản xu ất độ c quy ền 1 lo ại s ản ph ẩm nh ưng đượ c tiêu th ụ ở 2 th ị tr ườ ng tách bi ệt. Bi ết hàm * Bướ c 3. Từ hàm Π =R − C , ta tìm các giá tr ị d ươ ng Q1 cầu c ủa t ừng th ị tr ườ ng là QD = D( P ) , QD = D( P ) * 1 1 1 2 2 2 và Q2 để Π đạ t c ực đạ i. thì ta vẫn gi ải nh ư trên v ới Q= Q1 + Q 2 . VD 4. Một doanh nghi ệp s ản xu ất độ c quy ền hai lo ại s ản VD 5. Một doanh nghi ệp s ản xu ất độ c quy ền 1 lo ại s ản ph ẩm. Bi ết hàm c ầu v ề hai lo ại s ản ph ẩm này là: ph ẩm và có 2 th ị tr ườ ng tiêu th ụ tách bi ệt. Bi ết hàm cầu Q=1200 − 2 P + P , Q=1440 + P − P về lo ại sản ph ẩm này trên 2 th ị tr ườ ng lần l ượ t là: D1 1 2 D2 1 2 và hàm t ổng chi phí sản xu ất là: Q=310 − P , Q=350 − P D1 1 D2 2 CCQQ=( , ) = 480 Q + 720 Q + 400 . 2 12 1 2 và hàm t ổng chi phí là CCQ=( ) =+ 20 30 QQ + . Tìm m ức s ản l ượ ng và giá bán t ươ ng ứng mà DN c ần Tìm m ức sản l ượ ng và giá bán t ươ ng ứng trên m ỗi th ị sản xu ất để có l ợi nhu ận t ối đa ? tr ườ ng để DN có l ợi nhu ận t ối đa ? Toán cao c p C2 Cao đ ng 16
- ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 4. M t s bài to án Kinh t Ch ươ ng 4. M t s bài to án Kinh t §3. BÀI TOÁN NG ƯỜ I TIÊU DÙNG VD 1. Một ng ườ i tiêu dùng dùng s ố ti ền là B = 178 để TÌM ĐẦ U VÀO SAO CHO CHI PHÍ S ẢN XU ẤT NH Ỏ NH ẤT mua s ắm 2 lo ại hàng có giá là P=4, P = 6 . 3.1. Bài toán ng ườ i tiêu dùng 1 2 Hàm lợi ích cho 2 lo ại hàng là U=( x + 2)( y + 1) . • Gi ả s ử m ột ng ườ i tiêu dùng d ự đị nh dùng s ố ti ền là B Tìm s ố l ượ ng x, y c ủa hai lo ại hàng trên mà ng ườ i tiêu để mua s ắm 2 lo ại hàng có giá là P, P v ới số l ượ ng 1 2 dùng s ẽ mua sao cho giá tr ị s ử d ụng là l ớn nh ất ? hàng sẽ mua l ần l ượ t là x và y . • Ng ườ i tiêu dùng s ẽ nh ận đượ c l ợi ích t ừ s ố hàng đã Gi ải. Ta có: PxPy1+ 2 =⇒ϕ B(,) xy = 4 x +− 6 y 178 mua. L ợi ích này là m ột hà m ph ụ thu ộc vào l ượ ng hàng ⇒=Lx( + 2)( y ++λ 1) (4 xy + 6 − 178) . ng ườ i đó mua và đượ c g ọi là hàm l ợi ích hay h ữu d ụng ′ (utility function ), ký hi ệu là U= Uxy( , ) . Lx =++λ= y14 0 x = 22 • Tìm s ố l ượ ng các lo ại hàng trên mà ng ườ i tiêu dùng s ẽ Điểm d ừng: L′ =++λ= x26 0 ⇔ y = 15 . y mua sao cho giá tr ị s ử d ụng l ớn nh ất là tìm điểm c ực đạ i ′ Lλ =4 x + 6 y − 1780 = λ=− 4 U x y của hàm ( , ) v ới điều ki ện Px1+ Py 2 = B . Ch ươ ng 4. M t s bài to án Kinh t Ch ươ ng 4. M t s bài to án Kinh t Vi phân c ấp 2: 3.2. Bà i toán tìm đầ u vào để chi phí s ản xu ất nh ỏ nh ất L′′=0, L ′′ = 1, L ′′ =⇒ 0 dL2 (22; 15) = 2 dxdy . x2xy y 2 • Gi ả s ử m ột DN s ản xu ất một lo ại s ản ph ẩm c ần 2 đầ u vào v ới đơn giá tươ ng ứng là P1, P 2 c ố đị nh. Điều ki ện: dϕ(,) x y = 4 dx + 6 dy ⇒d ϕ(22; 15) = 0 ⇔4dx + 6 dy = 0 • Để có đượ c m ức s ản l ượ ng Q thì DN c ần số l ượ ng đầ u ⇔2dx =− 3 dy ≠ 0 vào tươ ng ứng là x và y . Ta có hàm s ản xu ất Q Qxy = ( , ) và chi phí là Cxy( , ) = Px1 + Py 2 . ⇒dL2(22; 15) =− 3 dy 2 0 Hàm chi phí: Cxy(,)= Px1 + Py 2 = 10 x + 40 y . ⇒=L10 x + 40 y +λ ( xy − 400) . ⇒ (40; 10 ) là điểm c ực ti ểu. L′ y x x =+λ=10 0 = 40 Vậy x = 40 và y = 10 đơ n v ị đầ u vào. Điểm d ừng: L′ =40 +λ= x 0 ⇔ y = 10 . y L′ = xy −4000 = λ=− 1 λ Toán cao c p C2 Cao đ ng 17
