Bài giảng Toán cao cấp 2 - Bài 16: Tích phân mặt loại 1

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp 2 - Bài 16: Tích phân mặt loại 1

1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1
2. NỘI DUNG 1.Định nghĩa tp mặt loại 1 2.Tính chất tp mặt loại 1 3.Cách tính tp mặt loại 1
3. Định nghĩa tích phân mặt loại 1 S là mặt cong trong R3, f(x,y,z) xác định trên S Phân hoạch S thành các mảnh con Sk có diện tích Sk, Mk Sk n Tổng tích phân: Sn=  f() M k S k k =1 f( x , y , z ) ds= lim Sn: tp mặt loại 1 của f trên S S n→
4. Tính chất tp mặt loại 1 1/ Diện tích của mặt cong S = 1ds S 2/ Tp mặt loại 1 không phụ thuộc phía của S 3/ Nếu S = S1  S2 f(,,)(,,)(,,) x y z ds=+ f x y z ds f x y z ds SSS12
5. Tính chất tp mặt loại 1 4/ Nếu S gồm 2 phần S1 và S2 đối xứng qua mp z = 0 (Oxy) f chẵn theo z: f( x , y , z ) ds= 2 f ( x , y , z ) ds SS1 f lẻ theo z: f( x , y , z ) ds = 0 S
6. Cách tính tp mặt loại 1 Nếu S là phần mặt hữu hạn, có phương trình z = z(x, y), hình chiếu của S lên Oxy là miền D, khi đó 22 ds= 1++zz xy dxdy : vi phân mặt 22 f(,,) x y z ds= f( x , y ,zx(,y) ) 1 + zxy + z dxdy S D
7. Cách tính tp mặt loại 1 Tổng quát: B1: chọn cách viết phương trình mặt cong S (theo biến có số lần xuất hiện ít nhất trong pt mặt cong S và các mặt chắn) B2: tìm hình chiếu D của S lên mp tương ứng (giống thể tích trong tích phân kép) B3: tính tp trên D.
8. Ví dụ 1/ Tính: I=+ x22 y ds S 22 trên mặt biên của miền : x+ y z 1 S gồm mặt nón 22 S1 :, z=+ x y và mặt phẳng Sz2 :1= 22 hc S12= hc S = D:1 x + y Oxy Oxy
9. 22 S1 :, z=+ x y 22 ds =1 + z xy + z dxdy 22 xx =1 + + dxdy 2 2 2 2 x++ y x y = 2dxdy 22 Sz2 :1= ds =1 + z xy + z dxdy = dxdy
10. I= x2 + y 2 ds + x 2 + y 2 ds SS12 = x2 + y 22 dxdy + x 2 + y 2 dxdy DD 2 =(1 + 2)x22 + y dxdy = (1 + 2) 3 D
11. 2/ Tính: I= zds S là phần mặt z = 3 - x - y S bị chắn bởi các mặt x + y = 3, 3x + 2y = 6, y = 0 S:3 z= − x − y D= hc S : Oxy 3x+ y = 3,3 x + 2 y = 6, y = 0 I= (3 − x − y ) 1 + 1 + 1 dxdy D
12. 3/ Tính: I= zds S là phần mặt z = x2 + y2 S bị chắn bởi các mặt z = 1 và z = 2 S: z=+ x22 y 22 xy+=1 D : 22 xy+=2 1 2 (D xđ từ hình chiếu gt của S với các mp)
13. S: z=+ x22 y D:1 x22 + y 2 I= ( x2 + y 2) 1 + 4 x 2 + 4 y 2 dxdy 12 xy22 + 22 =+ d r3214 r dr 01 149 = 30
14. VÍ DỤ 4/ Tính diện tích của z=4 − x22 − y bị chắn trong mặt trụ x22+= y2 y Pt mặt cong: 2 D= hc : D Oxy x2+ y 2 4, x 2 + y 2 2 y −−xy zz xy==, 44−x2 − y 2 − x 2 − y 2
15. 22 S= ds = 1 + ( zxy ) + ( z ) dxdy SD 2 = dxdy 22 D 4 −−xy 2sin 2rdr 2 = d 2 004 − r D =−48
16. z=4 − x22 − y x22+= y2 y
17. 5/ Tính diện tích của phần mặt trụ: 2zx= 2 bị chắn bởi các mặt x−2 y = 0, y − 2 x = 0, x = 22 Phương trình mặt cong: x2 z = 2 D= hc : Oxy x−2 y = 0, y − 2 x = 0, x = 2 2 22
18. 22 S= ds = 1 + z xy + z dxdy SD =+ 1 x2 dxdy D 22 2 2 2x = dx1 + x2 dy = 13 x2 02x z = 2
19. 2zx= 2 D
20. 6/ Tính diện tích của phần mặt nón: z=+ x22 y bị chắn bởi mặt cầu: x2+ y 2 + z 2 = 2 D= hc : xy22+=1 Oxy 22 S= 1 + ( fxy ) + ( f ) dxdy = 2dxdy D D ==2SD ( ) 2 (S(D) là diện tích hình tròn có R = 1)
21. 7/ Tính diện tích của phần mặt cầu: x2+ y 2 + z 2 = 4 bị chắn bởi các mặt: x= z, z = 3 x , x 0 Phần mặt cầu gồm 2 nửa S1 và S2: 22 y1,2 = 4 − x − z Hình chiếu của S1 và S2 lên Oxz giống nhau và xác định bởi: 22 4−xz − 0, D : S = S1 + S2 z= x, z = 3 x , x 0
22. 22 4−xz − 0, D : z= x, z = 3 x , x 0 x 4 z
23. 22 S12= S = 1 + (yyx )+ (z ) dxdz D 2dxdz 22 = y=4 − x − z 22 D 4 − xz− 42 2rdr = d = 2 12 604 − r SSS= + = 126