Bài giảng Toán cao cấp 2 - Bài 15: Tích phân đường loại 2

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp 2 - Bài 15: Tích phân đường loại 2

1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2
2. NỘI DUNG 1.Định nghĩa tp đường loại 2 2.Tính chất tp đường loại 2 3.Cách tính tp đường loại 2 4.Định lý Green 5.Tích phân không phụ thuộc đường đi.
3. ĐỊNH NGHĨA Trong mp Oxy, cho cung AB và 2 hàm số P(x,y), Q(x,y) xác định trên AB. Phân hoạch AB bởi các điểm {A0, A2, , An}, với A0 = A, An = B. Giả sử Ak = (xk, yk), k = 0, ,n. Gọi xk = xk+1 – xk , yk = yk+1 – yk, k = 0, , n-1.
4. Trên cung AkAk+1, lấy điểm Mk, xét tổng tp B  An Mk A yk k+1 Ak A  A0 xk n−1 Sn=  P()() M k x k + Q M k y k  k =0
5. n−1 Sn=  P()() M k x k + Q M k y k  k =0 P( x , y ) dx+= Q ( x , y ) dy lim Sn n→ AB là tp đường loại 2 của P, Q trên AB Quy ước: Pdx+ Qdy C chỉ tích phân trên chu tuyến (đường cong kín) C
6. TÍNH CHẤT TP ĐƯỜNG LOẠI 2 1.Tp đường loại 2 phụ thuộc vào chiều đường đi BAĐổi chiều Pdx+ Qdy =− Pdx + Qdy đường đi thì tp đổi dấu. AB 2.Nếu C = C1  C2 Pdx+ Qdy = Pdx + Qdy + Pdx + Qdy CCC12
7. CÁCH TÍNH TP ĐƯỜNG LOẠI 2 Khi tham số hóa đường cong, lưu ý về chiều đường đi. TH1: (C) viết dạng tham số x = x(t), y = y(t), t1 :điểm đầu, t2: điểm cuối P(,)(,) x y dx+ Q x y dy C t2 =+ Pxtytxt((), ()) () Qxtytytdt ((), ()) () t1
8. TH2: (C) viết dạng y = y(x), x = a : điểm đầu, x = b : điểm cuối P(,)(,) x y dx+ Q x y dy C b =+ P(,()) x y x Q (,())() x y x y x dx a TH3: (C) viết dạng x = x(y), y = c : điểm đầu, y = d : điểm cuối d P(,) x y dx+ Q (,) x y dy = P ((),)() x y y x y + Q ((),) x y y dy Cc
9. Nhắc lại Khi tham số hóa cho cung tròn, elippse, ngược chiều kim đồng hồ là tham số tăng dần, cùng chiều kim đồng hồ là tham số giảm dần.
10. Cách tính Tp đường loại 2 trong không gian I= P(,,)(,,)(,,) x y z dx + Q x y z dy + R x y z dz C Cách tính: (C) x = x(t), y = y(t), z = z(t), t1 :điểm đầu, t2: điểm cuối Pdx++ Qdy Rdz C t2 = Pxtytztxt((),(),()) () + Q (,,) − − − yt () + R (,,)() − − − ztdt  t1
11. VÍ DỤ 1/ Tính: I=+ x2 dx xydy C C là đoạn nối từ A(0,0) đến B(1,1) theo các đường cong sau đây: a.Đoạn thẳng AB b.Parabol: x = y2 c.Đường tròn: x2+y2 = 2y, lấy ngược chiều KĐH
12. 2 I=+ x dx xydy A(0, 0), B(1, 1) C a/ Đoạn thẳng AB: y = x, x : 0 → 1 1 2 1 I=+ x x () x y x dx 0 1 2 =()x22 + x dx = 1 3 0 b/ Parabol: x = y2 , y : 0 → 1 1 1 2 2 2 53 7 I=+ ( y ) .2 y y . y dy =(2y + y ) dy = 12 0 0
13. c/ x2+y2 = 2y x2+(y – 1)2 = 1, lấy ngược chiều KĐH x = cost, y = 1+sint, A(0,0) t =− 2 B(1,1) t = 0 0 I=[cos2 t ( − sin t ) + cos t (1 + sin t )cos t ] dt = 4 − 2
14. 2/ Tính: I=+ 2 ydx xdy C với C là cung ellipse x2 + 3y2 = 3 đi từ (0, 1) đến giao điểm đầu tiên của ellipse với đường thẳng y = x, lấy theo chiều KĐH. x==3cos t , y sin t 1 (x , y )= (0,1) t = / 2 3 Tại giao điểm với đt y = x: 3cost= sin t t = 3
15. x==3cos t , y sin t I=+ 2 ydx xdy C 3 = 2sint ( − 3sin t ) + 3cos t .cos t dt 2
16. 3/ Tính: I= 23 ydx + zdy + ydz C với C là gt của mặt cầu x2 + y2 + z2 = 6z và mp z = 3 - x lấy ngược chiều KĐH nhìn từ phía dương trục Oz 3 2x2 + y2 = 9 xt= cos , 2 yt= 3sin , 3 zt=−3 cos 2 t : 0→ 2
17. I= 23 ydx + zdy + ydz C 33 x=cos t , y = 3sin t , z = 3 − cos t 22 2()()ytxt ++ ztyt ()() 3()() ytzt 33 =6sint ( − sin t ) + (3 − cos t )(3cos t ) 22 3 +=9sint sin t 9cos t 2
18. CÔNG THỨC GREEN Định nghĩa: Nếu chu tuyến C(đường cong kín) là biên của miền D  R2, chiều dương của C là chiều mà đi trên đó, miền D nằm về bên trái. C1 C D C2 D Định nghĩa: Miền đơn liên là miền mà mọi chu tuyến trong miền này có thể co về 1 điểm trong miền( không chứa lỗ thủng).
19. Định lý D là miền đóng và bị chận trong R2, C là biên định hướng dương của D. Giả sử P, Q và các đạo hàm riêng liên tục trên D. Khi đó QP Pdx+ Qdy = − dxdy xy CD (Công thức Green) Lưu ý: C có thể gồm nhiều chu tuyến giới hạn miền D.
20. VÍ DỤ 22 1/ Tính: I=− x ydx xy dy trong đó C là đtròn C x2 + y2 = 1, lấy ngược chiều KĐH. Gọi D là hình tròn x2 + y2 1, khi đó C là biên định hướng dương của D. Áp dụng công thức Green:
21. 22 QP I= x ydx − xy dy = − dxdy xy CD = () −y22 − x dxdy D: xy22+ 1 21 − = −d r3 dr = 2 00
22. 2/ Tính: I= ( x − 2 y ) dx + (3 x + y ) dy C C = {(x, y)/ |x| + |y| = 1} , lấy theo chiều KĐH. Gọi D là hình vuông |x|+|y| 1. Khi đó C là biên định hướng âm của D. Áp dụng công thức Green : QP I=( x − 2 y ) dx + (3 x + y ) dy =− − dxdy xy CD
23. I= ( x − 2 y ) dx + (3 x + y ) dy C QP = − − dxdy xy D = − (3 + 2)dxdy = − 5 S ( D ) = − 10 D
24. 3/ Tính: x3 I= ( x22 + y cos xy ) dx + ( + xy − x + x cos xy ) dy C 3 C là nửa dưới đt x2 + y2 = 2x, ngược chiều KĐH • Nếu tham số hóa để tính I khó C 1 2 • C không kín nên không thể áp dụng ct Green. -1 Gọi C1 là đoạn thẳng y = 0, x: 2 → 0 D là nửa dưới hình tròn x2 + y2 2x
25. Khi đó C  C1 là biên định C1 2 hướng dương của D. D -1 Áp dụng ct Green: x3 (x22+ y cos xy ) dx + ( + xy − x + x cos xy ) dy 3 CC 1 QP 22 =− dxdy =(x + y − 1) dxdy xy D D 0 2cos =d ( r2 − 1) rdr = 4 − 20
26. Pdx+ Qdy= Pdx + Qdy Pdx + Qdy = 4 CC 1 CC1 I = Pdx + Qdy = − Pdx + Qdy 4 CC1 P=+ x2 ycos xy C : y = 0, x: 2 → 0 x3 1 Q= + xy2 − x + xcos xy 3 0 8 I = − x2 dx = + 4 4 3 2
27. yx 4/ Cho PQ= −,, = kiểm tra:PQ = x2++ y 2 x 2 y 2 yx Tính : I=+ Pdx Qdy trong các TH sau: C a)C là đtr x2 + y2 = R2, R > 0 tùy ý. b)C là đtr (x – 3)2 + (y – 1)2 = 2. c)C ={(x,y)/ max {|x|, |y|} =1} d)C là đường cong bao quanh gốc tọa độ nối từ điểm (1, 0) đến ( , 0). Các đường cong đều lấy ngược chiều KĐH.
28. yx PQ= −,, = x2++ y 2 x 2 y 2 x2+ y 2 −2 x 2 y 2 − x 2 QPxy = = = ()()x2++ y 2 2 x 2 y 2 2 a)C là đtr x2 + y2 = R2, R > 0 tùy ý. Vì P, Q và các đạo hàm riêng không xác định tại (0, 0) nên không thể áp dụng công thức Green trên hình tròn x2 + y2 R2 .
29. yx Tham số hóa C: PQ= −,, = x2++ y 2 x 2 y 2 x== Rcos t , y R sin t t : 0→ 2 I=+ Pdx Qdy C 2 −Rsin t ( − R sin t ) + R cos t ( R cos t ) = dt R2 0 = 2
30. Nhận xét: trên đường tròn C, do x2 + y2 = R2, thay vào tp ta có −+ydx xdy I= Pdx + Qdy = R2 CC yx Lúc này : PQ= −,, = xác định tại (0, 0). RR22 Áp dụng ct Green được −ydx + xdy 11 − I= = − dxdy = 2 RRR2 2 2 C x2+ y 2 R 2
31. b)C là đtr (x – 3)2 + (y – 1)2 = 4. Áp dụng ct Green trên 1 hình tròn biên C 3 I= Pdx + Qdy = ( Qxy − P) dxdy C (xy− 3)22 + ( − 1) 4 = 0
32. yx c)C ={(x,y)/ max { |x|, |y|} = 1} PQ= −,, = x2++ y 2 x 2 y 2 Không thể áp dụng ct Green trên miền hình vuông (P, Q không xác định tại (0,0). Dùng 1 đường tròn C’ đủ nhỏ bao gốc O (hoặc 1 đtròn đủ lớn bao cả đường cong C). Áp dụng ct Green trên hình vành khăn (HVK) giới hạn bởi C và C’( hình vành khăn sẽ không chứa (0,0)).
33. C : xy2+= 2R 2 lấy cùng chiều KĐH I=+ Pdx Qdy CC =− (Qxy P) dxdy = 0 HVK Pdx + Qdy = − Pdx + Qdy = 2 (theo câu a) CC Nhận xét: khi tính tp trong câu c) theo cách này, không sử dụng tham số hóa của đc (C), Nếu C là đường cong tùy ý bao gốc O?
34. d)C là đường cong bao quanh gốc O nối từ (1,0) đến ( ,0) Nối vào C bởi C’ với 1 C’: y = 0, x : → 1 Khi đó C  C’ là đường cong kín bao gốc O, áp dụng kết quả câu c).
35. TÍCH PHÂN KHÔNG PHỤ THUỘC ĐƯỜNG ĐI D là miền mở đơn liên. P, Q và các đạo hàm riêng liên tục trên D. Các điều sau tương đương: PQ 1/ = yx B 2/ Pdx+ Qdy không phụ thuộc đường nối A, B A 3/ Pdx+ Qdy với mọi chu tuyến trong D C 4/ Tồn tại hàm U(x, y) thỏa: dU=+ Pdx Qdy (Biểu thức dưới dấu tp là vp toàn phần của U)
36. Áp dụng 1. Thông thường ta sẽ kiểm tra điều kiện 1 hoặc 4 (nếu hàm U có thể đoán nhanh). 2. Nếu 1 hoặc 4 thỏa, có 2 cách tính tp từ A đến B C1: Đổi đường lấy tp thông thường đi theo các đoạn thẳng // với các trục tọa độ B Lưu ý miền D A
37. Áp dụng C2: với hàm U trong đk 4 B Pdx+ Qdy = U()() B − U A A C : Tìm U từ hệ :U’ = P, U’ = Q Cách tìm U: 1 x y C2: chọn (x0, y0) tùy ý trong D xy Uxy(,)(,)(,)=+ Ptydt0 Qxtdt xy00xy hay Uxy(,)(,)(,)=+ Ptydt Qxtdt0 xy00
38. VÍ DỤ 1/ Tính : I=+ ydx xdy C C: đoạn thẳng nối 2 điểm (1, -1), (2,1). P’y = Q’x trên R2 nên tp không phụ thuộc đường đi. (2,− 1) (2,1) I=+ ydx xdy ++ ydx xdy (1,− 1) (2,− 1) 1 2 1 1 2 = −1dx + 2dy = 3 -1 1 −1
39. Cách khác: nhận thấy hàm U(x, y) = xy thỏa dU = ydx + xdy trên R2 nên I = U(2, 1) – U(1, -1) = 2 + 1 = 3
40. (0,2) (x++ 2 y ) dx ydy 2/ Tính : I = ()xy+ 2 (2,− 1) Theo đường không cắt đường thẳng x + y = 0 P’y = Q’x, (x,y): x + y 0 2 2 0 ydy (x+ 4) dx I = + (2+ y )2 (x + 2)2 2 −1 2 -1 =−ln2 2 x + y =0
41. Hoặc(tính U): chọn (x0, y0) = (1, 0) xy (t+ 0) dt tdt U(,) x y =+ (t++ 0)22 ( x t ) 10 x =ln |xy + | + − 1 xy+
42. 3/ Tìm các hằng số a, b sao cho tp B (axy22+ 3 y ) dx + [( b − 2) x y + ( a + b ) x ] dy A không phụ thuộc đường đi. Sau đó, với a, b vừa tìm được, tính tp với A(-1, 2), B(0,3). 15 1 PQ = ab==, U( x , y )=+ x22 y 3 xy yx 22 4 B Pdx+ Qdy = U( B ) − U ( A ) = − 5 A
43. 4/ Tìm hàm số h(y) thỏa h(1) = 1 sao cho tp B (2xy+− 3) h ( y ) dy y2 h ( y ) dx A không phụ thuộc đường đi. Sau đó, với h vừa tìm được, tính tp với A(-1,1), B(1,1) theo đường tròn x2 + y2 = 2y, lấy cùng chiều KĐH.
44. B I= (2 xy + 3) h ( y ) dy − y2 h ( y ) dx A 1 PQ = hy()= yx y 4 (1,1) dx 23 x I= − + + dy theo nửa trên đường (− 1,1) 2 3 4 y y y tròn Đổi đường lấy tp: chọn đường thẳng nối A, B. 1 dx I = − = −2 −1 12